2 +

‫מתמטיקה בהישג יד‪3-‬‬
‫גאומטריה אנליטית‬
‫‪m1 • m2 = -1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪(x - a) + (y – b) = R‬‬
‫דודו גולדשטיין‬
‫מתמטיקה בהישג יד ‪803 -‬‬
‫גאומטריה אנליטית‬
‫תנאי‬
‫ניצבות של שני‬
‫דודו גולדשטיין‬
‫ישרים‬
‫שני ישרים מאונכים זה לזה ‪ ,‬אם ורק אם ‪ ,‬השיפועים שלהם הופכיים ונגדיים‬
‫הסבר בוידאו ‪<--‬‬
‫בדף הנוסחאות לבגרות מופיע המשפט בניסוח אחר‪:‬‬
‫לדוגמה‪ ,‬הישרים‪:‬‬
‫‪ y = 0.5x -3‬ו‪ y = -2x + 1 -‬מאונכים זה לזה ‪ ,‬מפני ש‪:‬‬
‫‪-2 • 0.5 = -1‬‬
‫הסימון של שני ישרים מאונכים הוא‪┴ :‬‬
‫מספר הופכי ונגדי‬
‫והמספר הנגדי למספר ‪ -10‬הוא ‪10‬‬
‫המספר הנגדי למספר ‪ 3‬הוא ‪-3‬‬
‫)מספר נגדי הוא אותו מספר עם סימן "הפוך"(‬
‫המספר ההופכי למספר ‪ 4‬הוא‬
‫‪1‬‬
‫‪4‬‬
‫והמספר ההופכי למספר‬
‫‪1‬‬
‫‪3‬‬
‫הוא ‪3‬‬
‫)מספר הופכי הוא אותו מספר ש"עבר" מהמונה למכנה או מהמכנה למונה(‬
‫‪1‬‬
‫© כל הזכויות שמורות‪ .‬אין לצלם או להעתיק חוברת זו ללא אישור מהמחבר‪.‬‬
‫‪lomdimbareshet.net‬‬
‫מתמטיקה בהישג יד ‪803 -‬‬
‫גאומטריה אנליטית‬
‫דודו גולדשטיין‬
‫פתרו את התרגיל מימין בהתאם לדוגמה‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪5‬‬
‫מצאו את המספר ההופכי ונגדי למספר‬
‫מצאו את המספר ההופכי ונגדי למספר ‪. 9‬‬
‫‪−‬‬
‫תשובה‪:‬‬
‫א‪ .‬מבחינת נגדיות‪ :‬המספר המקורי הוא שלילי‬
‫)סימן ‪ (-‬ולכן הנגדי הוא חיובי )סימן ‪(+‬‬
‫ב‪ .‬מבחינת הופכיות‪ :‬יש להחליף בין המונה‬
‫והמכנה ‪.‬‬
‫כלומר‪ ,‬המספר ההופכי ונגדי הוא‪:‬‬
‫‪5‬‬
‫‪2‬‬
‫מצאו לכל מספר את המספר ההופכי ונגדי שלו‪:‬‬
‫‪−‬‬
‫‪1‬‬
‫→‬
‫‪4‬‬
‫‪3‬‬
‫→‬
‫‪2‬‬
‫→ ‪-2‬‬
‫→‪5‬‬
‫‪2‬‬
‫→‬
‫‪7‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫→‬
‫‪6‬‬
‫‪−‬‬
‫→ ‪-1‬‬
‫→‪9‬‬
‫‪−1‬‬
‫→‬
‫‪7‬‬
‫‪4‬‬
‫→‬
‫‪9‬‬
‫→‪8‬‬
‫→‪1‬‬
‫© כל הזכויות שמורות‪ .‬אין לצלם או להעתיק חוברת זו ללא אישור מהמחבר‪.‬‬
‫‪lomdimbareshet.net‬‬
‫מתמטיקה בהישג יד ‪803 -‬‬
‫דודו גולדשטיין‬
‫גאומטריה אנליטית‬
‫פתרו את התרגיל מימין בהתאם לדוגמה‪:‬‬
‫רשמו משוואת ישר‪ ,‬המאונך לישר‬
‫רשמו משוואת ישר‪ ,‬המאונך לישר‬
‫‪1‬‬
‫‪y= − x+3‬‬
‫‪5‬‬
‫‪y = 2x + 1‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫מכיוון ששני ישרים מאונכים הם בעלי שיפוע‬
‫הופכי ונגדי‪ ,‬עלינו למצוא מספר הופכי ונגדי‬
‫לשיפוע הנתון‪1 :‬‬
‫‪m= −‬‬
‫‪5‬‬
‫המספר ההופכי ונגדי הוא ‪.5‬‬
‫במשוואת הישר שנרשום ניתן לבחור כל ‪n‬‬
‫תשובה‪:‬‬
‫‪y = 5x + 1‬‬
‫לכל משוואת ישר ‪ ,‬רשמו משוואת ישר שמאונך לו ) בחרו ‪:( n = 0‬‬
‫‪1‬‬
‫→ ‪x+9‬‬
‫‪4‬‬
‫= ‪y‬‬
‫)‪(1‬‬
‫‪1‬‬
‫→ ‪x+1‬‬
‫‪2‬‬
‫= ‪y‬‬
‫)‪(2‬‬
‫)‪(3‬‬
‫→ ‪y = -x + 7‬‬
‫)‪(6‬‬
‫→ ‪y = x+6‬‬
‫)‪(7‬‬
‫‪2‬‬
‫→ ‪y = − x+5‬‬
‫‪3‬‬
‫)‪(8‬‬
‫‪1‬‬
‫→ ‪y = − x−2‬‬
‫‪3‬‬
‫= ‪y‬‬
‫)‪(9‬‬
‫→ ‪y = -5x + 2‬‬
‫)‪(4‬‬
‫‪1‬‬
‫→ ‪y = − x −5‬‬
‫‪3‬‬
‫)‪(10‬‬
‫→ ‪y = -4x + 6‬‬
‫)‪(5‬‬
‫‪1‬‬
‫→ ‪x‬‬
‫‪7‬‬
‫‪y = -4x‬‬
‫‪4) y = 1/5x , 5) y = 1/4x , 6) y = x , 7) y = -x‬‬
‫‪,‬‬
‫‪3) y = 3x‬‬
‫‪9) y = -7x , 10) y = -3x‬‬
‫‪3‬‬
‫© כל הזכויות שמורות‪ .‬אין לצלם או להעתיק חוברת זו ללא אישור מהמחבר‪.‬‬
‫‪,‬‬
‫‪,‬‬
‫‪2) y = -2x‬‬
‫‪8) y = 3/2x‬‬
‫‪lomdimbareshet.net‬‬
‫מתמטיקה בהישג יד ‪803 -‬‬
‫דודו גולדשטיין‬
‫גאומטריה אנליטית‬
‫מילים שקשורות לזווית ‪ : 90o‬גובה ‪ ,‬ניצב ‪ ,‬מאונך ‪ ,‬אנך‬
‫פתרו את התרגיל מימין בהתאם לדוגמה‪:‬‬
‫רשמו את משוואת הישר‪ ,‬המאונך לישר‬
‫רשמו את משוואת הישר‪ ,‬המאונך לישר‬
‫‪1‬‬
‫‪y = -2x + 1‬‬
‫‪y = − x+3‬‬
‫‪3‬‬
‫ועובר דרך הנקודה )‪B(0 , 4‬‬
‫ועובר דרך הנקודה )‪A(1 , 2‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫שלב ‪ – I‬מציאת שיפוע הישר‬
‫מכיוון שהישרים מאונכים עלינו למצוא מספר‬
‫הופכי ונגדי לשיפוע הנתון‪.‬‬
‫לכן‪:‬‬
‫‪m=3‬‬
‫שלב ‪ – II‬מציאת החיתוך עם ציר ‪y‬‬
‫נציב במשוואת הישר‪:‬‬
‫‪y = mx + n‬‬
‫‪2=3•1+n‬‬
‫‪2 = 3 + n / -3‬‬
‫‪-1 = n‬‬
‫תשובה‪:‬‬
‫‪y = 3x - 1‬‬
‫‪4‬‬
‫© כל הזכויות שמורות‪ .‬אין לצלם או להעתיק חוברת זו ללא אישור מהמחבר‪.‬‬
‫‪lomdimbareshet.net‬‬
‫מתמטיקה בהישג יד ‪803 -‬‬
‫דודו גולדשטיין‬
‫גאומטריה אנליטית‬
‫תרגול‪:‬‬
‫)‪ (1‬מצאו את משוואת הישר המאונך לישר ‪ , y = -2x - 7‬ושעובר דרך הנקודה )‪.A(2 ,6‬‬
‫)‪ (2‬דרך הנקודה )‪ B(3 , 4‬עובר ישר המאונך לישר‬
‫מצאו את משוואת הישר‪.‬‬
‫‪. y = −1x+1‬‬
‫‪3‬‬
‫)‪ (3‬לפניכם שני ישרים הניצבים זה לזה בנקודה )‪.(2 , 2‬‬
‫משוואת אחד הישרים היא ‪. y = x‬‬
‫מצאו את משוואת הישר האחר‪.‬‬
‫‪3) y = - x + 4‬‬
‫‪5‬‬
‫‪2) y = 3x – 5 ,‬‬
‫© כל הזכויות שמורות‪ .‬אין לצלם או להעתיק חוברת זו ללא אישור מהמחבר‪.‬‬
‫‪,‬‬
‫‪1) y = 0.5x + 5‬‬
‫‪lomdimbareshet.net‬‬
‫מתמטיקה בהישג יד ‪803 -‬‬
‫משוואת‬
‫גאומטריה אנליטית‬
‫הישר‬
‫דודו גולדשטיין‬
‫בצורה מפורשת‬
‫הסבר בוידאו ‪<--‬‬
‫משוואת ישר בצורתה המפורשת נראית כך‪Y = mX + n :‬‬
‫‪Y = 3x + 4‬‬
‫לדוגמה ‪ ,‬במשוואת הישר‬
‫כלומר‪ :‬שיפוע הישר הוא ‪3‬‬
‫ונקודת החיתוך של הישר עם ציר ‪ y‬היא )‪.(0 , 4‬‬
‫כדי "לעבור" ממשוואה סתומה‪ ,‬למשוואה מפורשת יש להשתמש בכללי האלגברה‪.‬‬
‫פתרו את התרגיל מימין בהתאם לדוגמה‪:‬‬
‫רשמו את משוואת הישר‬
‫‪3y – 9x = 15‬‬
‫‪2y – 4x = 6‬‬
‫רשמו את משוואת הישר‬
‫בצורה מפורשת וגלו את שיפועו ואת נקודת‬
‫בצורה מפורשת וגלו את שיפועו ואת נקודת‬
‫החיתוך עם ציר ‪y‬‬
‫החיתוך עם ציר ‪y‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫‪2y – 4x = 6 / +4x‬‬
‫‪2y = 4x + 6 / :2‬‬
‫‪y = 2x + 3‬‬
‫תשובה‪:‬‬
‫שיפוע הישר הוא‪:‬‬
‫‪m=2‬‬
‫נקודת החיתוך עם ציר ‪: y‬‬
‫)‪(0 , 3‬‬
‫לפניכם משוואות ישר ‪ ,‬הנתונות בצורה סתומה‪.‬‬
‫עברו לצורה מפורשת ומצאו את השיפוע ואת החיתוך עם ציר ‪y‬‬
‫‪(2) 3y – 6x = 24‬‬
‫‪6‬‬
‫© כל הזכויות שמורות‪ .‬אין לצלם או להעתיק חוברת זו ללא אישור מהמחבר‪.‬‬
‫‪(1) 5x = y – 4‬‬
‫‪lomdimbareshet.net‬‬
‫מתמטיקה בהישג יד ‪803 -‬‬
‫דודו גולדשטיין‬
‫גאומטריה אנליטית‬
‫‪(5) y – 2ax = 0‬‬
‫‪(3) x + y = 3 – 5‬‬
‫‪(6) 2y – bx – 7 = 0‬‬
‫‪(4) 10x + 5y = 30‬‬
‫מעבר לצורה מפורשת ‪ -‬תרגילים עם פרמטרים‬
‫דוגמאות בווידאו ‪<--‬‬
‫)‪ (1‬לשני הישרים ‪y = bx + 3 , 2y – 8x = 15‬‬
‫יש אותו שיפוע‪ .‬מצאו את הערך של הפרמטר ‪.b‬‬
‫)‪ (2‬הישר ‪ y – bx = 0‬מקביל לישר ‪14y = 14x – 7‬‬
‫מצאו את הערך של הפרמטר ‪.b‬‬
‫‪7‬‬
‫© כל הזכויות שמורות‪ .‬אין לצלם או להעתיק חוברת זו ללא אישור מהמחבר‪.‬‬
‫‪lomdimbareshet.net‬‬
‫גאומטריה אנליטית‬
‫מתמטיקה בהישג יד ‪803 -‬‬
‫דודו גולדשטיין‬
‫)‪ (3‬מצאו את ערך הפרמטר ‪ , a‬אם ידוע שהישר ‪3y – 4 = 3x‬‬
‫מקביל לישר ‪.y = -ax +4‬‬
‫)‪ (4‬שני הישרים ‪y = 2bx + 4 , 3y + 12x = 15‬‬
‫ניצבים זה לזה‪ .‬מצאו את הערך של הפרמטר ‪.b‬‬
‫)‪ (5‬הישר ‪ y – 3bx = 6‬מאונך לישר‬
‫מצאו את הערך של הפרמטר ‪.b‬‬
‫‪1‬‬
‫‪y = − x+4‬‬
‫‪3‬‬
‫)‪ (6‬מצאו את ערך הפרמטר ‪ , a‬אם ידוע שהישר ‪2y – 5 = -0.5x‬‬
‫מאונך לישר ‪.y = -2ax + 1‬‬
‫‪, 4 (1‬‬
‫‪8‬‬
‫‪, 1 (2‬‬
‫‪, -1 (3‬‬
‫‪, 0.5 (4‬‬
‫‪, 1 (5‬‬
‫‪- 2 (6‬‬
‫© כל הזכויות שמורות‪ .‬אין לצלם או להעתיק חוברת זו ללא אישור מהמחבר‪.‬‬
‫‪lomdimbareshet.net‬‬
‫מתמטיקה בהישג יד ‪803 -‬‬
‫גאומטריה אנליטית‬
‫דודו גולדשטיין‬
‫ניצבות במשולשים‬
‫הסברים ודוגמאות בווידאו ‪<--‬‬
‫גובה במשולש – קו היוצא מקודקוד במשולש ומאונך לצלע שמולו )או להמשך הצלע(‬
‫דוגמה פתורה‪:‬‬
‫במשולש ‪ ABC‬משוואת הצלע ‪ AC‬היא‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪y = − x+1‬‬
‫‪3‬‬
‫ושיעורי הקודקוד ‪ B‬הם )‪ .(2 , -1‬מצאו את משוואת הגובה לצלע ‪.AC‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫נסרטט סקיצה של המשולש‪:‬‬
‫כמו בכל ישר משוואת הגובה היא‬
‫‪y = mx + n‬‬
‫את השיפוע של הגובה לצלע ‪ AC‬נחשב באמצעות‬
‫הופכי ונגדי‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ m = −‬ולכן‪:‬‬
‫שיפוע הצלע ‪ AC‬היא‬
‫‪3‬‬
‫‪m=3‬‬
‫הגובה עובר דרך הנקודה ‪ B‬ולכן נשתמש בשיעורים )‪: (2 , -1‬‬
‫‪-1 = 3•2 + n‬‬
‫‪-1 = 6 + n /-1‬‬
‫‪-7 = n‬‬
‫תשובה‪:‬‬
‫משוואת הגובה לצלע ‪ AC‬היא ‪y = 3x – 7‬‬
‫‪9‬‬
‫© כל הזכויות שמורות‪ .‬אין לצלם או להעתיק חוברת זו ללא אישור מהמחבר‪.‬‬
‫‪lomdimbareshet.net‬‬
‫מתמטיקה בהישג יד ‪803 -‬‬
‫דודו גולדשטיין‬
‫גאומטריה אנליטית‬
‫תרגול‪:‬‬
‫)‪ (1‬במשולש ‪ KOF‬משוואת הצלע ‪ KO‬היא‪:‬‬
‫‪y = x+2‬‬
‫ושיעורי הקודקוד ‪ F‬הם )‪, 4 .(0 , 0‬‬
‫מצאו את משוואת הגובה לצלע ‪. KO‬‬
‫)‪ (2‬נתונים קודקודי משולש ‪:‬‬
‫)‪P(4 , 1) , A(1 , 3) , S(-2 , 0‬‬
‫א‪ .‬שרטטו את המשולש על גבי מערכת צירים‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצאו את משוואת הגובה שיוצא מקודקוד ‪.A‬‬
‫‪2) y = -6x + 9‬‬
‫‪10‬‬
‫© כל הזכויות שמורות‪ .‬אין לצלם או להעתיק חוברת זו ללא אישור מהמחבר‪.‬‬
‫‪y = -x ,‬‬
‫)‪1‬‬
‫‪lomdimbareshet.net‬‬