‫‪/14/040/30‬‬ ‫כיצד מחשבים מומנט אינרציה של שטח‬ ‫)‪(Second moment of inertia‬‬ ‫‪ .3‬מגדירים מערכת צירים נוחה עבור כל פרופיל החתך – במידה והצורה סימטרית אז כדאי להגדיר‬ ‫מערכת צירים שעוברת בצירי הסימטריה על מנת לחסוך בחישובים‪.‬‬ ‫חישוב נקודת מרכז שטח‬ ‫‪ .0‬מפרידים את פרופיל החתך לצורות מוכרות (מלבן‪,‬משולש‪,‬מעגל‪,‬חצי מעגל)‪.‬‬ ‫‪ .1‬ממספרים כל צורה שהפרדנו‪.‬‬ ‫‪ .0‬עבור כל צורה מחשבים‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫שטח חתך ]‪𝐴𝑛 [𝑚𝑚2‬‬ ‫‪‬‬ ‫קוארדינטת ‪ X‬של נקודת מרכז שטח ‪,‬ביחס למערכת הצירים שבחרנו ]𝑚𝑚[‬ ‫‪‬‬ ‫קוארדינטת ‪ Y‬של נקודת מרכז שטח‪ ,‬ביחס למערכת הצירים שבחרנו ]𝑚𝑚[‬ ‫‪ .5‬מבצעים את שלב ‪ 0‬עבור כל צורה מוכרת שהפרדנו‪.‬‬ ‫‪ .6‬מחשבים נקודת מרכז שטח עבור כל הפרופיל כולו‪ ,‬בעזרת הנוסחא‬ ‫𝑛𝑐𝑥 𝑛𝐴 ‪𝐴1 𝑥𝑐1 ± 𝐴2 𝑥𝑐2 ± 𝐴3 𝑥𝑐3 ± ⋯ ±‬‬ ‫𝑛𝐴 ‪𝐴1 ± 𝐴2 + 𝐴3 ± ⋯ ±‬‬ ‫𝑛𝑐𝑦 𝑛𝐴 ‪𝐴1 𝑦𝑐1 ± 𝐴2 𝑦𝑐2 ± 𝐴3 𝑦𝑐3 ± ⋯ ±‬‬ ‫𝑛𝐴 ‪𝐴1 ± 𝐴2 + 𝐴3 ± ⋯ ±‬‬ ‫= ‪𝑥𝑐1‬‬ ‫= ‪𝑦𝑐1‬‬ ‫= 𝑐𝑋‬ ‫= 𝑐𝑌‬ ‫‪ ‬הערה עבור הסימנים בנוסחא‪:‬‬ ‫‪ ‬עבור צורות מלאות שיוצרות שטח מלא אז הסימן בנוסחא הוא ‪+‬‬ ‫‪ ‬עבור צורות ריקות שיוצרות חור אז הסימן הוא –‬ ‫כאשר נדרשים למצוא מרכז שטח עבור שטח מתחת לפונקציה‪ ,‬משתמשים בנוסחא‪:‬‬ ‫𝑏‬ ‫‪1‬‬ ‫𝑥𝑑))𝑥(𝑓 ∙ 𝑥(∫ = 𝑐𝑋‬ ‫𝐴‬ ‫𝑎‬ ‫𝑏‬ ‫‪1‬‬ ‫‪𝑓(𝑥)2‬‬ ‫( ∫ = 𝑐𝑌‬ ‫𝑥𝑑 )‬ ‫𝐴‬ ‫‪2‬‬ ‫𝑎‬ ‫𝑏‬ ‫𝑥𝑑))𝑥(𝑓(∫ = 𝐴‬ ‫𝑎‬ ‫‪/14/040/30‬‬ ‫חישוב מומנטי אנרציה‬ ‫‪ .7‬מחשבים מומנטי אנרציה עבור כל צורה בנפרד‪ ,‬ביחס לנקודת מרכז הכובד של הפרופיל )מצאנו‬ ‫בשלב הקודם(‪.‬‬ ‫חישוב מומנט אנרציה מתבצע על פי הנוסחא (משפט שטיינר) ‪:‬‬ ‫מומנט אנרציה של שטח‪ ,‬סביב ציר ‪X‬‬ ‫] ‪[𝑚𝑚4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫𝑛∗ 𝑥𝐼 מומנט אנרציה של שטח ביחס למערכת צירים מרכזית (בד"כ קיים בטבלה)‬ ‫) 𝑛𝑐𝑦 ‪𝐼𝑥𝑥𝑛 = 𝐼𝑥 ∗ 𝑛 + 𝐴𝑛 (𝑌𝑐 −‬‬ ‫] ‪ 𝐴𝑛 [𝑚𝑚2‬שטח הצורה‬ ‫]𝑚𝑚[ 𝑐𝑌 קוארדינטת מרכז שטח של כל הצורה ביחס לצירים שהגדרנו‬ ‫]𝑚𝑚[ 𝑛𝑐𝑌 קוארדינטת מרכז שטח של הצורה עבורה אנו מחשבים‪ ,‬ביחס לצירים שהגדרנו‬ ‫מומנט אנרציה של שטח‪ ,‬סביב ציר ‪Y‬‬ ‫] ‪[𝑚𝑚4‬‬ ‫𝑛∗𝑦𝐼 מומנט אנרציה של שטח ביחס למערכת צירים מרכזית (בד"כ קיים בטבלה)‬ ‫‪2‬‬ ‫) 𝑛𝑐𝑥 ‪𝐼𝑦𝑦𝑛 = 𝐼𝑦∗𝑛 + 𝐴𝑛 (𝑋𝑐 −‬‬ ‫] ‪ 𝐴𝑛 [𝑚𝑚2‬שטח הצורה‬ ‫]𝑚𝑚[ 𝑐𝑋 קואורדינטת מרכז שטח של כל הצורה‪ ,‬ביחס לצירים שהגדרנו‬ ‫]𝑚𝑚[ 𝑛𝑐𝑋 קואורדינטת מרכז שטח של הצורה עבורה אנו מחשבים ביחס לצירים שהגדרנו‬ ‫מכפלת אנרציה של שטח‪ ,‬סביב ציר ‪xy‬‬ ‫] ‪[𝑚𝑚4‬‬ ‫) 𝑛𝑐𝑦 ‪𝐼𝑥𝑦𝑛 = 𝐼𝑥𝑦∗ 𝑛 + 𝐴𝑛 (𝑋𝑐 − 𝑥𝑐𝑛 )(𝑌𝑐 −‬‬ ‫𝑛 ∗𝑦𝑥𝐼 מכפלת אנרציה מרכזית של שטח ביחס למערכת צירים מרכזית‬ ‫] ‪ 𝐴𝑛 [𝑚𝑚2‬שטח הצורה‬ ‫‪ .8‬סכום מומנטי אנרציה‬ ‫לאחר שחישבנו מונטי אנרציה עבור כל צורה בנפרד‪ ,‬סוכמים את מומנטי האנרציה על מנת למצוא‬ ‫את מומנט האנרציה של הפרופיל סביב מערכת צירים שהגדרנו‪.‬‬ ‫𝑛𝑥𝑥𝐼 ‪𝐼𝑥 = 𝐼𝑥𝑥1 ± 𝐼𝑥𝑥2 ± ⋯ ±‬‬ ‫𝑛𝑦𝑦𝐼 ‪𝐼𝑦 = 𝐼𝑦𝑦1 ± 𝐼𝑦𝑦2 ± ⋯ ±‬‬ ‫‪/14/040/30‬‬ ‫פרמטרים הנדסיים עבור פרופילים סטנדרטיים‬ ‫מלבן‬ ‫‪𝐴 = 𝑏ℎ‬‬ ‫𝑏‬ ‫‪2‬‬ ‫= 𝑐𝑥‬ ‫‪ℎ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫= 𝑐𝑦‬ ‫‪𝑏ℎ3‬‬ ‫= 𝑥𝐼‬ ‫‪3‬‬ ‫‪𝑏ℎ3‬‬ ‫‪12‬‬ ‫= ∗ 𝑥𝐼‬ ‫= 𝑦𝐼‬ ‫‪ℎ𝑏 3‬‬ ‫‪12‬‬ ‫= ∗ 𝑦𝐼‬ ‫‪ℎ𝑏 3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫משולש ישר זווית‬ ‫‪𝑏ℎ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫=𝐴‬ ‫‪2‬‬ ‫𝑏 = 𝑐𝑥‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪𝑦𝑐 = ℎ‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪𝑏ℎ3‬‬ ‫‪36‬‬ ‫= ∗ 𝑥𝐼‬ ‫‪ℎ𝑏 3‬‬ ‫=‬ ‫‪36‬‬ ‫∗𝑦‬ ‫𝐼‬ ‫‪1‬‬ ‫‪𝑥𝑐 = ℎ‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪𝑦𝑐 = ℎ‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪𝑏ℎ3‬‬ ‫‪12‬‬ ‫= 𝑥𝐼‬ ‫‪𝑏ℎ3‬‬ ‫‪36‬‬ ‫= ∗ 𝑥𝐼‬ ‫‪ℎ𝑏 3‬‬ ‫‪12‬‬ ‫= 𝑦𝐼‬ ‫‪ℎ𝑏 3‬‬ ‫‪36‬‬ ‫= ∗ 𝑦𝐼‬ ‫‪/14/040/30‬‬ ‫‪𝜋𝐷 2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫עיגול‬ ‫‪5‬‬ ‫‪𝐼𝑥 = 𝜋𝑟 4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫= ‪𝐴 = 𝜋𝑟 2‬‬ ‫𝑑‬ ‫‪2‬‬ ‫= 𝑐𝑥‬ ‫𝑑‬ ‫‪2‬‬ ‫= 𝑐𝑦‬ ‫‪𝜋𝐷 4 𝜋 4‬‬ ‫𝑟 =‬ ‫‪64‬‬ ‫‪4‬‬ ‫= ∗ 𝑥𝐼‬ ‫‪𝜋𝐷 4 𝜋 4‬‬ ‫𝑟 =‬ ‫‪64‬‬ ‫‪4‬‬ ‫= ∗ 𝑦𝐼‬ ‫חצי עיגול‬ ‫‪𝜋𝑟 4‬‬ ‫‪8‬‬ ‫= 𝑥𝐼‬ ‫‪𝜋𝑟 2 𝜋𝐷 2‬‬ ‫=‬ ‫‪2‬‬ ‫‪8‬‬ ‫=𝐴‬ ‫𝑑‬ ‫‪2‬‬ ‫= 𝑐𝑥‬ ‫‪4‬‬ ‫𝑟‬ ‫𝜋‪3‬‬ ‫= 𝑐𝑦‬ ‫‪𝐼𝑥 ∗ = 0.10976𝑟 4‬‬ ‫‪𝜋𝑟 4‬‬ ‫‪8‬‬ ‫= ∗ 𝑦𝐼‬ ‫רבע עיגול‬ ‫‪𝜋𝑟 2 𝜋𝐷 2‬‬ ‫=‬ ‫‪4‬‬ ‫‪16‬‬ ‫=𝐴‬ ‫‪4‬‬ ‫𝑟‬ ‫𝜋‪3‬‬ ‫= 𝑐𝑥‬ ‫‪4‬‬ ‫𝑟‬ ‫𝜋‪3‬‬ ‫= 𝑐𝑦‬ ‫‪𝜋𝑟 4‬‬ ‫‪16‬‬ ‫= 𝑥𝐼‬ ‫𝜋‬ ‫‪4‬‬ ‫‪𝐼𝑥 ∗ = 𝑟 4 ( − ) = 0.0549𝑟 4‬‬ ‫𝜋‪16 9‬‬ ‫‪𝜋𝑟 4‬‬ ‫‪16‬‬ ‫= 𝑦𝐼‬ ‫𝜋‬ ‫‪4‬‬ ‫‪= 𝑟 ( − ) = 0.0549𝑟 4‬‬ ‫𝜋‪16 9‬‬ ‫‪4‬‬ ‫∗ 𝑦𝐼‬ ‫‪/14/040/30‬‬ ‫טבעת דקה ‪ -‬צינור‬ ‫𝜋‬ ‫𝜋‬ ‫𝑡𝑟𝜋‪𝐴 = 𝜋𝑅 2 − 𝜋𝑟 2 = 𝐷 2 − 𝑑2 = 2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫𝐷‬ ‫‪2‬‬ ‫= 𝑐𝑥‬ ‫) ‪𝜋(𝐷 4 − 𝑑4‬‬ ‫‪= 𝜋𝑡𝑅 3‬‬ ‫‪64‬‬ ‫= ∗ 𝑥𝐼‬ ‫) ‪𝜋(𝐷 4 − 𝑑4‬‬ ‫‪= 𝜋𝑡𝑅 3‬‬ ‫‪64‬‬ ‫= ∗ 𝑦𝐼‬ ‫טרפז שווה שוקיים‬ ‫‪(𝑎 + 𝑏)ℎ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫)𝑏 ‪ℎ(2𝑎 +‬‬ ‫)𝑏 ‪3(𝑎 +‬‬ ‫‪1 3‬‬ ‫)𝑏 ‪ℎ (3𝑎 +‬‬ ‫‪12‬‬ ‫טרפז ישר זווית‬ ‫= 𝑥𝐼‬ ‫=‪A‬‬ ‫= 𝑐𝑦‬ ‫) ‪ℎ3 (𝑎2 + 4𝑎𝑏 + 𝑏 2‬‬ ‫)𝑏 ‪36(𝑎 +‬‬ ‫= ∗ 𝑥𝐼‬ ‫) ‪ℎ(𝑎 + 𝑏)(𝑎2 + 𝑏 2‬‬ ‫‪48‬‬ ‫= ∗ 𝑦𝐼‬ ‫)𝑏 ‪(𝑎 +‬‬ ‫‪ℎ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫=‪A‬‬ ‫)𝑏 ‪ℎ(2𝑎 +‬‬ ‫)𝑏 ‪3(𝑎 +‬‬ ‫= 𝑐𝑦‬ ‫‪𝑎2 + 𝑎𝑏 + 𝑏 2‬‬ ‫)𝑏 ‪3(𝑎 +‬‬ ‫= 𝑐𝑥‬ ‫) ‪ℎ3 (𝑎2 + 4𝑎𝑏 + 𝑏 2‬‬ ‫)𝐵 ‪36(𝑎 +‬‬ ‫= ∗ 𝑥𝐼‬ ‫) ‪ℎ(𝑎2 + 2𝑎3 𝑏 + 2𝑎𝑏 3 + 𝑏 4‬‬ ‫)𝐵 ‪36(𝑎 +‬‬ ‫= ∗ 𝑦𝐼‬ ‫‪/14/040/30‬‬ ‫‪𝑏ℎ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫משולש שווה שוקיים‬ ‫=𝐴‬ ‫𝑏‬ ‫‪2‬‬ ‫= 𝑐𝑥‬ ‫‪ℎ‬‬ ‫‪3‬‬ ‫= 𝑐𝑦‬ ‫‪𝑏ℎ3‬‬ ‫‪36‬‬ ‫= ∗ 𝑥𝐼‬ ‫‪ℎ𝑏 3‬‬ ‫=‬ ‫‪48‬‬ ‫משולש כללי‬ ‫∗𝑦‬ ‫‪𝑏ℎ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫)𝑐 ‪(𝑏 +‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ℎ‬‬ ‫‪3‬‬ ‫𝐼‬ ‫=𝐴‬ ‫= 𝑐𝑥‬ ‫= 𝑐𝑦‬ ‫‪𝑏ℎ3‬‬ ‫‪12‬‬ ‫= 𝑥𝐼‬ ‫‪𝑏ℎ3‬‬ ‫‪36‬‬ ‫= ∗ 𝑥𝐼‬ ‫) ‪𝑏ℎ(𝑏 2 + 𝑏𝑐 + 𝑐 2‬‬ ‫‪12‬‬ ‫= 𝑦𝐼‬ ‫) ‪𝑏ℎ(𝑏 2 − 𝑏𝑐 + 𝑐 2‬‬ ‫‪36‬‬ ‫= ∗𝑦𝐼‬