כיצד מחשבים מומנט אנרציה של שטח - גרסה 3 - קובץ PDF

‫‪/14/040/30‬‬
‫כיצד מחשבים מומנט אינרציה של שטח‬
‫)‪(Second moment of inertia‬‬
‫‪ .3‬מגדירים מערכת צירים נוחה עבור כל פרופיל החתך – במידה והצורה סימטרית אז כדאי להגדיר‬
‫מערכת צירים שעוברת בצירי הסימטריה על מנת לחסוך בחישובים‪.‬‬
‫חישוב נקודת מרכז שטח‬
‫‪ .0‬מפרידים את פרופיל החתך לצורות מוכרות (מלבן‪,‬משולש‪,‬מעגל‪,‬חצי מעגל)‪.‬‬
‫‪ .1‬ממספרים כל צורה שהפרדנו‪.‬‬
‫‪ .0‬עבור כל צורה מחשבים‪:‬‬
‫‪‬‬
‫שטח חתך ]‪𝐴𝑛 [𝑚𝑚2‬‬
‫‪‬‬
‫קוארדינטת ‪ X‬של נקודת מרכז שטח ‪,‬ביחס למערכת הצירים שבחרנו ]𝑚𝑚[‬
‫‪‬‬
‫קוארדינטת ‪ Y‬של נקודת מרכז שטח‪ ,‬ביחס למערכת הצירים שבחרנו ]𝑚𝑚[‬
‫‪ .5‬מבצעים את שלב ‪ 0‬עבור כל צורה מוכרת שהפרדנו‪.‬‬
‫‪ .6‬מחשבים נקודת מרכז שטח עבור כל הפרופיל כולו‪ ,‬בעזרת הנוסחא‬
‫𝑛𝑐𝑥 𝑛𝐴 ‪𝐴1 𝑥𝑐1 ± 𝐴2 𝑥𝑐2 ± 𝐴3 𝑥𝑐3 ± ⋯ ±‬‬
‫𝑛𝐴 ‪𝐴1 ± 𝐴2 + 𝐴3 ± ⋯ ±‬‬
‫𝑛𝑐𝑦 𝑛𝐴 ‪𝐴1 𝑦𝑐1 ± 𝐴2 𝑦𝑐2 ± 𝐴3 𝑦𝑐3 ± ⋯ ±‬‬
‫𝑛𝐴 ‪𝐴1 ± 𝐴2 + 𝐴3 ± ⋯ ±‬‬
‫= ‪𝑥𝑐1‬‬
‫= ‪𝑦𝑐1‬‬
‫= 𝑐𝑋‬
‫= 𝑐𝑌‬
‫‪ ‬הערה עבור הסימנים בנוסחא‪:‬‬
‫‪ ‬עבור צורות מלאות שיוצרות שטח מלא אז הסימן בנוסחא הוא ‪+‬‬
‫‪ ‬עבור צורות ריקות שיוצרות חור אז הסימן הוא –‬
‫כאשר נדרשים למצוא מרכז שטח עבור שטח מתחת לפונקציה‪ ,‬משתמשים בנוסחא‪:‬‬
‫𝑏‬
‫‪1‬‬
‫𝑥𝑑))𝑥(𝑓 ∙ 𝑥(∫ = 𝑐𝑋‬
‫𝐴‬
‫𝑎‬
‫𝑏‬
‫‪1‬‬
‫‪𝑓(𝑥)2‬‬
‫( ∫ = 𝑐𝑌‬
‫𝑥𝑑 )‬
‫𝐴‬
‫‪2‬‬
‫𝑎‬
‫𝑏‬
‫𝑥𝑑))𝑥(𝑓(∫ = 𝐴‬
‫𝑎‬
‫‪/14/040/30‬‬
‫חישוב מומנטי אנרציה‬
‫‪ .7‬מחשבים מומנטי אנרציה עבור כל צורה בנפרד‪ ,‬ביחס לנקודת מרכז הכובד של הפרופיל )מצאנו‬
‫בשלב הקודם(‪.‬‬
‫חישוב מומנט אנרציה מתבצע על פי הנוסחא (משפט שטיינר) ‪:‬‬
‫מומנט אנרציה של שטח‪ ,‬סביב ציר ‪X‬‬
‫] ‪[𝑚𝑚4‬‬
‫‪2‬‬
‫𝑛∗ 𝑥𝐼 מומנט אנרציה של שטח ביחס למערכת צירים מרכזית (בד"כ קיים בטבלה)‬
‫) 𝑛𝑐𝑦 ‪𝐼𝑥𝑥𝑛 = 𝐼𝑥 ∗ 𝑛 + 𝐴𝑛 (𝑌𝑐 −‬‬
‫] ‪ 𝐴𝑛 [𝑚𝑚2‬שטח הצורה‬
‫]𝑚𝑚[ 𝑐𝑌 קוארדינטת מרכז שטח של כל הצורה ביחס לצירים שהגדרנו‬
‫]𝑚𝑚[ 𝑛𝑐𝑌 קוארדינטת מרכז שטח של הצורה עבורה אנו מחשבים‪ ,‬ביחס לצירים שהגדרנו‬
‫מומנט אנרציה של שטח‪ ,‬סביב ציר ‪Y‬‬
‫] ‪[𝑚𝑚4‬‬
‫𝑛∗𝑦𝐼 מומנט אנרציה של שטח ביחס למערכת צירים מרכזית (בד"כ קיים בטבלה)‬
‫‪2‬‬
‫) 𝑛𝑐𝑥 ‪𝐼𝑦𝑦𝑛 = 𝐼𝑦∗𝑛 + 𝐴𝑛 (𝑋𝑐 −‬‬
‫] ‪ 𝐴𝑛 [𝑚𝑚2‬שטח הצורה‬
‫]𝑚𝑚[ 𝑐𝑋 קואורדינטת מרכז שטח של כל הצורה‪ ,‬ביחס לצירים שהגדרנו‬
‫]𝑚𝑚[ 𝑛𝑐𝑋 קואורדינטת מרכז שטח של הצורה עבורה אנו מחשבים ביחס לצירים שהגדרנו‬
‫מכפלת אנרציה של שטח‪ ,‬סביב ציר ‪xy‬‬
‫] ‪[𝑚𝑚4‬‬
‫) 𝑛𝑐𝑦 ‪𝐼𝑥𝑦𝑛 = 𝐼𝑥𝑦∗ 𝑛 + 𝐴𝑛 (𝑋𝑐 − 𝑥𝑐𝑛 )(𝑌𝑐 −‬‬
‫𝑛 ∗𝑦𝑥𝐼 מכפלת אנרציה מרכזית של שטח ביחס למערכת צירים מרכזית‬
‫] ‪ 𝐴𝑛 [𝑚𝑚2‬שטח הצורה‬
‫‪ .8‬סכום מומנטי אנרציה‬
‫לאחר שחישבנו מונטי אנרציה עבור כל צורה בנפרד‪ ,‬סוכמים את מומנטי האנרציה על מנת למצוא‬
‫את מומנט האנרציה של הפרופיל סביב מערכת צירים שהגדרנו‪.‬‬
‫𝑛𝑥𝑥𝐼 ‪𝐼𝑥 = 𝐼𝑥𝑥1 ± 𝐼𝑥𝑥2 ± ⋯ ±‬‬
‫𝑛𝑦𝑦𝐼 ‪𝐼𝑦 = 𝐼𝑦𝑦1 ± 𝐼𝑦𝑦2 ± ⋯ ±‬‬
‫‪/14/040/30‬‬
‫פרמטרים הנדסיים עבור פרופילים סטנדרטיים‬
‫מלבן‬
‫‪𝐴 = 𝑏ℎ‬‬
‫𝑏‬
‫‪2‬‬
‫= 𝑐𝑥‬
‫‪ℎ‬‬
‫‪2‬‬
‫= 𝑐𝑦‬
‫‪𝑏ℎ3‬‬
‫= 𝑥𝐼‬
‫‪3‬‬
‫‪𝑏ℎ3‬‬
‫‪12‬‬
‫= ∗ 𝑥𝐼‬
‫= 𝑦𝐼‬
‫‪ℎ𝑏 3‬‬
‫‪12‬‬
‫= ∗ 𝑦𝐼‬
‫‪ℎ𝑏 3‬‬
‫‪3‬‬
‫משולש ישר זווית‬
‫‪𝑏ℎ‬‬
‫‪2‬‬
‫=𝐴‬
‫‪2‬‬
‫𝑏 = 𝑐𝑥‬
‫‪3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪𝑦𝑐 = ℎ‬‬
‫‪3‬‬
‫‪𝑏ℎ3‬‬
‫‪36‬‬
‫= ∗ 𝑥𝐼‬
‫‪ℎ𝑏 3‬‬
‫=‬
‫‪36‬‬
‫∗𝑦‬
‫𝐼‬
‫‪1‬‬
‫‪𝑥𝑐 = ℎ‬‬
‫‪3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪𝑦𝑐 = ℎ‬‬
‫‪3‬‬
‫‪𝑏ℎ3‬‬
‫‪12‬‬
‫= 𝑥𝐼‬
‫‪𝑏ℎ3‬‬
‫‪36‬‬
‫= ∗ 𝑥𝐼‬
‫‪ℎ𝑏 3‬‬
‫‪12‬‬
‫= 𝑦𝐼‬
‫‪ℎ𝑏 3‬‬
‫‪36‬‬
‫= ∗ 𝑦𝐼‬
‫‪/14/040/30‬‬
‫‪𝜋𝐷 2‬‬
‫‪4‬‬
‫עיגול‬
‫‪5‬‬
‫‪𝐼𝑥 = 𝜋𝑟 4‬‬
‫‪4‬‬
‫= ‪𝐴 = 𝜋𝑟 2‬‬
‫𝑑‬
‫‪2‬‬
‫= 𝑐𝑥‬
‫𝑑‬
‫‪2‬‬
‫= 𝑐𝑦‬
‫‪𝜋𝐷 4 𝜋 4‬‬
‫𝑟 =‬
‫‪64‬‬
‫‪4‬‬
‫= ∗ 𝑥𝐼‬
‫‪𝜋𝐷 4 𝜋 4‬‬
‫𝑟 =‬
‫‪64‬‬
‫‪4‬‬
‫= ∗ 𝑦𝐼‬
‫חצי עיגול‬
‫‪𝜋𝑟 4‬‬
‫‪8‬‬
‫= 𝑥𝐼‬
‫‪𝜋𝑟 2 𝜋𝐷 2‬‬
‫=‬
‫‪2‬‬
‫‪8‬‬
‫=𝐴‬
‫𝑑‬
‫‪2‬‬
‫= 𝑐𝑥‬
‫‪4‬‬
‫𝑟‬
‫𝜋‪3‬‬
‫= 𝑐𝑦‬
‫‪𝐼𝑥 ∗ = 0.10976𝑟 4‬‬
‫‪𝜋𝑟 4‬‬
‫‪8‬‬
‫= ∗ 𝑦𝐼‬
‫רבע עיגול‬
‫‪𝜋𝑟 2 𝜋𝐷 2‬‬
‫=‬
‫‪4‬‬
‫‪16‬‬
‫=𝐴‬
‫‪4‬‬
‫𝑟‬
‫𝜋‪3‬‬
‫= 𝑐𝑥‬
‫‪4‬‬
‫𝑟‬
‫𝜋‪3‬‬
‫= 𝑐𝑦‬
‫‪𝜋𝑟 4‬‬
‫‪16‬‬
‫= 𝑥𝐼‬
‫𝜋‬
‫‪4‬‬
‫‪𝐼𝑥 ∗ = 𝑟 4 ( − ) = 0.0549𝑟 4‬‬
‫𝜋‪16 9‬‬
‫‪𝜋𝑟 4‬‬
‫‪16‬‬
‫= 𝑦𝐼‬
‫𝜋‬
‫‪4‬‬
‫‪= 𝑟 ( − ) = 0.0549𝑟 4‬‬
‫𝜋‪16 9‬‬
‫‪4‬‬
‫∗ 𝑦𝐼‬
‫‪/14/040/30‬‬
‫טבעת דקה ‪ -‬צינור‬
‫𝜋‬
‫𝜋‬
‫𝑡𝑟𝜋‪𝐴 = 𝜋𝑅 2 − 𝜋𝑟 2 = 𝐷 2 − 𝑑2 = 2‬‬
‫‪4‬‬
‫‪4‬‬
‫𝐷‬
‫‪2‬‬
‫= 𝑐𝑥‬
‫) ‪𝜋(𝐷 4 − 𝑑4‬‬
‫‪= 𝜋𝑡𝑅 3‬‬
‫‪64‬‬
‫= ∗ 𝑥𝐼‬
‫) ‪𝜋(𝐷 4 − 𝑑4‬‬
‫‪= 𝜋𝑡𝑅 3‬‬
‫‪64‬‬
‫= ∗ 𝑦𝐼‬
‫טרפז שווה שוקיים‬
‫‪(𝑎 + 𝑏)ℎ‬‬
‫‪2‬‬
‫)𝑏 ‪ℎ(2𝑎 +‬‬
‫)𝑏 ‪3(𝑎 +‬‬
‫‪1 3‬‬
‫)𝑏 ‪ℎ (3𝑎 +‬‬
‫‪12‬‬
‫טרפז ישר זווית‬
‫= 𝑥𝐼‬
‫=‪A‬‬
‫= 𝑐𝑦‬
‫) ‪ℎ3 (𝑎2 + 4𝑎𝑏 + 𝑏 2‬‬
‫)𝑏 ‪36(𝑎 +‬‬
‫= ∗ 𝑥𝐼‬
‫) ‪ℎ(𝑎 + 𝑏)(𝑎2 + 𝑏 2‬‬
‫‪48‬‬
‫= ∗ 𝑦𝐼‬
‫)𝑏 ‪(𝑎 +‬‬
‫‪ℎ‬‬
‫‪2‬‬
‫=‪A‬‬
‫)𝑏 ‪ℎ(2𝑎 +‬‬
‫)𝑏 ‪3(𝑎 +‬‬
‫= 𝑐𝑦‬
‫‪𝑎2 + 𝑎𝑏 + 𝑏 2‬‬
‫)𝑏 ‪3(𝑎 +‬‬
‫= 𝑐𝑥‬
‫) ‪ℎ3 (𝑎2 + 4𝑎𝑏 + 𝑏 2‬‬
‫)𝐵 ‪36(𝑎 +‬‬
‫= ∗ 𝑥𝐼‬
‫) ‪ℎ(𝑎2 + 2𝑎3 𝑏 + 2𝑎𝑏 3 + 𝑏 4‬‬
‫)𝐵 ‪36(𝑎 +‬‬
‫= ∗ 𝑦𝐼‬
‫‪/14/040/30‬‬
‫‪𝑏ℎ‬‬
‫‪2‬‬
‫משולש שווה שוקיים‬
‫=𝐴‬
‫𝑏‬
‫‪2‬‬
‫= 𝑐𝑥‬
‫‪ℎ‬‬
‫‪3‬‬
‫= 𝑐𝑦‬
‫‪𝑏ℎ3‬‬
‫‪36‬‬
‫= ∗ 𝑥𝐼‬
‫‪ℎ𝑏 3‬‬
‫=‬
‫‪48‬‬
‫משולש כללי‬
‫∗𝑦‬
‫‪𝑏ℎ‬‬
‫‪2‬‬
‫)𝑐 ‪(𝑏 +‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ℎ‬‬
‫‪3‬‬
‫𝐼‬
‫=𝐴‬
‫= 𝑐𝑥‬
‫= 𝑐𝑦‬
‫‪𝑏ℎ3‬‬
‫‪12‬‬
‫= 𝑥𝐼‬
‫‪𝑏ℎ3‬‬
‫‪36‬‬
‫= ∗ 𝑥𝐼‬
‫) ‪𝑏ℎ(𝑏 2 + 𝑏𝑐 + 𝑐 2‬‬
‫‪12‬‬
‫= 𝑦𝐼‬
‫) ‪𝑏ℎ(𝑏 2 − 𝑏𝑐 + 𝑐 2‬‬
‫‪36‬‬
‫= ∗𝑦𝐼‬