מומנטי אנרציה ונוסחאות גיאומטריות עבור צורות מוכרות

‫‪25.02.2015‬‬
‫מומנטי אנרציה ונוסחאות גיאומטריות עבור צורות מוכרות‬
‫המומנט הסטטי הראשון (‪)First Moment of Area‬‬
‫] ‪ 𝑄𝑥 [𝑚3‬המומנט הסטטי הראשון‬
‫]𝑚[̅𝑦 המרחק בין מרכז השטח שעבורו מחשבים את המומנט‬
‫הסטטי למרכז הפרופיל כולו‬
‫]‪ 𝐴[𝑚2‬שטח החתך‬
‫𝐴 ∙ ̅𝑦 = 𝐴𝑑 ∙ 𝑦 ∫ = 𝑥𝑄‬
‫𝐴‬
‫𝐴 ∙ ̅𝑥 = 𝐴𝑑 ∙ 𝑥 ∫ = 𝑦𝑄‬
‫𝐴‬
‫שימושים‪:‬‬
‫‪‬‬
‫חוזק חומרים ‪ – 2‬מציאת מאמצי גזירה בקורות‪ ,‬מציאת שטף הגזירה בקורות‪.‬‬
‫המומנט הסטטי השני ‪ /‬מומנט אנרציה של שטח ( ‪Area Moment of‬‬
‫‪)inertia‬‬
‫שימושים‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫סטטיקה של גוף קשיח – חישוב מומנטי אנרציה של פרופילים‬
‫חוזק חומרים ‪ – 1‬חישוב מאמצי גזירה‪ ,‬מומנטי כפיפה בקורות‪ ,‬מאמצי כפיפה‬
‫זרימה ‪ – 1‬מציאת נקודת מרכז לחץ‪ ,‬מציאת נקודת מרכז הציפה (‪ )Metacenter‬של גוף צף‬
‫הגדרת מומנט אנרציה של שטח‪ ,‬סביב ציר ‪X‬‬
‫‪𝑓(𝑥)3‬‬
‫𝑥𝑑 )‬
‫‪3‬‬
‫𝑏‬
‫‪2‬‬
‫( ∫ = 𝐴𝑑 ∙ 𝑦 ∫ = 𝑥𝑥𝐼‬
‫𝑎‬
‫𝑏‬
‫הגדרת מומנט אנרציה של שטח‪ ,‬סביב ציר ‪Y‬‬
‫‪2‬‬
‫𝑥𝑑))𝑥(𝑓 ∙ ‪𝐼𝑦𝑦 = ∫ 𝑥 ∙ 𝑑𝐴 = ∫(𝑥 2‬‬
‫𝑎‬
‫הגדרת מומנט אנרציה של שטח‪ ,‬סביב ציר ‪Z‬‬
‫𝑏‬
‫‪𝑓(𝑥)2‬‬
‫∙ 𝑥( ∫ = 𝑎𝑑 ∙ 𝑦𝑥 ∫ =‬
‫𝑥𝑑 )‬
‫‪2‬‬
‫𝑧𝑧𝐼‬
‫𝑎‬
‫משפט שטיינר‬
‫‪2‬‬
‫מומנט אנרציה של שטח‪ ,‬סביב ציר ‪X‬‬
‫] ‪[𝑚𝑚4‬‬
‫) 𝑛𝑐𝑦 ‪𝐼𝑥𝑥𝑛 = 𝐼𝑥 ∗ 𝑛 + 𝐴𝑛 (𝑌𝑐 −‬‬
‫𝑛∗ 𝑥𝐼 מומנט אנרציה של שטח ביחס למערכת צירים מרכזית (בד"כ קיים בטבלה)‬
‫] ‪ 𝐴𝑛 [𝑚𝑚2‬שטח הצורה‬
‫]𝑚𝑚[ 𝑐𝑌 קוארדינטת מרכז שטח של כל הצורה ביחס למערכת צירים שהגדרנו‬
‫]𝑚𝑚[ 𝑛𝑐𝑦 קוארדינטת מרכז שטח של הצורה עבורה אנו מחשבים‪ ,‬ביחס למערכת צירים שהגדרנו‬
‫מומנט אנרציה של שטח‪ ,‬סביב ציר ‪Y‬‬
‫] ‪[𝑚𝑚4‬‬
‫‪2‬‬
‫) 𝑛𝑐𝑥 ‪𝐼𝑦𝑦𝑛 = 𝐼𝑦∗ 𝑛 + 𝐴𝑛 (𝑋𝑐 −‬‬
‫𝑛∗𝑦𝐼 מומנט אנרציה של שטח ביחס למערכת צירים מרכזית (בד"כ קיים בטבלה)‬
‫] ‪ 𝐴𝑛 [𝑚𝑚2‬שטח הצורה‬
‫]𝑚𝑚[ 𝑐𝑋 קואורדינטת מרכז שטח של כל הצורה‪ ,‬ביחס לצירים שהגדרנו‬
‫]𝑚𝑚[ 𝑛𝑐𝑥 קואורדינטת מרכז שטח של הצורה עבורה אנו מחשבים ביחס לצירים שהגדרנו‬
‫מכפלת אנרציה של שטח‪ ,‬סביב ציר ‪xy‬‬
‫] ‪[𝑚𝑚4‬‬
‫) 𝑛𝑐𝑦 ‪𝐼𝑥𝑦𝑛 = 𝐼𝑥𝑦∗ 𝑛 + 𝐴𝑛 (𝑋𝑐 − 𝑥𝑐𝑛 )(𝑌𝑐 −‬‬
‫𝑛 ∗𝑦𝑥𝐼 מכפלת אנרציה של שטח ביחסת למערכת צירים מרכזית‬
‫] ‪ 𝐴𝑛 [𝑚𝑚2‬שטח הצורה‬
‫מערכת צירים מרכזית – מערכת צירים שראשיתה נמצאת בנקודת מרכז מסה ‪ / G‬מרכז שטח‬
‫מערכת צירים ראשית – מערכת צירים שנמצאת על אחד מצירי הסימטריה של הגוף‪ ,‬ומכפלות האינרציה שלה שוות אפס‪.‬‬
‫מערכת צירים מרכזית וראשית – מערכת צירים שראשיתה נמצאת בנקודת מרכז שטח‪/‬מסה וגם נמצאת על צירי הסימטריה‬
‫של הגוף‪ ,‬ולכן מכפלות האינרציה שלה שוות אפס‪.‬‬
‫שטח‪ ,‬נק' מרכז מסה‪ ,‬מומנטי אנרציה‪ ,‬עבור צורות גיאומטריות מוכרות‬
‫מלבן‬
‫‪𝐴 = 𝑏ℎ‬‬
‫𝑏‬
‫‪2‬‬
‫= 𝑐𝑥‬
‫‪ℎ‬‬
‫‪2‬‬
‫= 𝑐𝑦‬
‫‪𝑏ℎ3‬‬
‫‪3‬‬
‫= 𝑥𝐼‬
‫‪𝑏ℎ3‬‬
‫‪12‬‬
‫= ∗ 𝑥𝐼‬
‫‪ℎ𝑏 3‬‬
‫‪3‬‬
‫= 𝑦𝐼‬
‫‪ℎ𝑏 3‬‬
‫‪12‬‬
‫= ∗ 𝑦𝐼‬
‫פרופיל ריבועי חלול‬
‫)𝑏 ‪𝐴 = 2𝑡(ℎ +‬‬
‫‪1‬‬
‫‪b‬‬
‫‪‬‬
‫‪I x*  h3t 1  3 ‬‬
‫‪6‬‬
‫‪h‬‬
‫‪‬‬
‫משולש ישר זווית‬
‫‪𝑏ℎ‬‬
‫‪2‬‬
‫=𝐴‬
‫‪2‬‬
‫𝑏 = 𝑐𝑥‬
‫‪3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪𝑦𝑐 = ℎ‬‬
‫‪3‬‬
‫‪𝑏ℎ3‬‬
‫‪36‬‬
‫= ∗ 𝑥𝐼‬
‫‪ℎ𝑏 3‬‬
‫‪36‬‬
‫= ∗ 𝑦𝐼‬
‫‪1‬‬
‫‪𝑥𝑐 = ℎ‬‬
‫‪3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪𝑦𝑐 = ℎ‬‬
‫‪3‬‬
‫‪𝑏ℎ3‬‬
‫‪36‬‬
‫= ∗ 𝑥𝐼‬
‫‪𝑏ℎ3‬‬
‫= 𝑥𝐼‬
‫‪12‬‬
‫‪ℎ𝑏 3‬‬
‫‪36‬‬
‫= ∗ 𝑦𝐼‬
‫‪ℎ𝑏 3‬‬
‫‪12‬‬
‫= 𝑦𝐼‬
‫‪𝑏ℎ‬‬
‫‪2‬‬
‫משולש שווה שוקיים‬
‫=𝐴‬
‫‪𝑥𝑐 = 0‬‬
‫‪ℎ‬‬
‫‪3‬‬
‫משולש כללי‬
‫= 𝑐𝑦‬
‫‪𝑏ℎ3‬‬
‫‪36‬‬
‫= ∗ 𝑥𝐼‬
‫‪ℎ𝑏 3‬‬
‫‪48‬‬
‫= ∗ 𝑦𝐼‬
‫‪𝑏ℎ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪𝑏ℎ3‬‬
‫‪12‬‬
‫= 𝑥𝐼‬
‫) ‪𝑏ℎ(𝑏 2 + 𝑏𝑐 + 𝑐 2‬‬
‫‪12‬‬
‫= 𝑦𝐼‬
‫=𝐴‬
‫)𝑐 ‪(𝑏 +‬‬
‫‪3‬‬
‫= 𝑐𝑥‬
‫‪ℎ‬‬
‫‪3‬‬
‫= 𝑐𝑦‬
‫‪𝑏ℎ3‬‬
‫‪36‬‬
‫= ∗ 𝑥𝐼‬
‫) ‪𝑏ℎ(𝑏 2 − 𝑏𝑐 + 𝑐 2‬‬
‫=‬
‫‪36‬‬
‫∗𝑦𝐼‬
‫‪𝜋𝐷 2‬‬
‫‪4‬‬
‫עיגול‬
‫= ‪𝐴 = 𝜋𝑟 2‬‬
‫‪𝑥𝑐 = 0‬‬
‫‪𝑦𝑐 = 0‬‬
‫‪5‬‬
‫‪𝐼𝑥 = 𝜋𝑟 4‬‬
‫‪4‬‬
‫‪𝜋𝐷 4 𝜋 4‬‬
‫𝑟 =‬
‫‪64‬‬
‫‪4‬‬
‫= ∗ 𝑥𝐼‬
‫‪𝜋𝐷 4 𝜋 4‬‬
‫=‬
‫𝑟 =‬
‫‪64‬‬
‫‪4‬‬
‫∗𝑦‬
‫𝐼‬
‫חצי עיגול‬
‫‪𝜋𝑟 2 𝜋𝐷 2‬‬
‫=‬
‫‪2‬‬
‫‪8‬‬
‫=𝐴‬
‫‪𝑥𝑐 = 0‬‬
‫‪4‬‬
‫𝑟‬
‫𝜋‪3‬‬
‫‪𝜋𝑟 4‬‬
‫= 𝑥𝐼‬
‫‪8‬‬
‫= 𝑐𝑦‬
‫‪𝐼𝑥 ∗ = 0.10976𝑟 4‬‬
‫‪𝜋𝑟 4‬‬
‫‪8‬‬
‫= ∗ 𝑦𝐼‬
‫רבע מעגל‬
‫‪𝜋𝑟 2 𝜋𝐷 2‬‬
‫=‬
‫‪4‬‬
‫‪16‬‬
‫=𝐴‬
‫‪4‬‬
‫𝑟‬
‫𝜋‪3‬‬
‫= 𝑐𝑥‬
‫‪4‬‬
‫𝑟‬
‫𝜋‪3‬‬
‫= 𝑐𝑦‬
‫‪𝜋𝑟 4‬‬
‫‪16‬‬
‫= 𝑥𝐼‬
‫𝜋‬
‫‪4‬‬
‫‪𝐼𝑥 ∗ = 𝑟 4 ( − ) = 0.0549𝑟 4‬‬
‫𝜋‪16 9‬‬
‫‪𝜋𝑟 4‬‬
‫‪16‬‬
‫= 𝑦𝐼‬
‫𝜋‬
‫‪4‬‬
‫‪= 𝑟 ( − ) = 0.0549𝑟 4‬‬
‫𝜋‪16 9‬‬
‫‪4‬‬
‫∗ 𝑦𝐼‬
‫טבעת דקה ‪ -‬צינור‬
‫𝜋‬
‫𝜋‬
‫‪𝐴 = 𝜋𝑅 2 − 𝜋𝑟 2 = 𝐷 2 − 𝑑2‬‬
‫‪4‬‬
‫‪4‬‬
‫‪𝑥𝑐 = 0‬‬
‫) ‪𝜋(𝐷 4 − 𝑑4‬‬
‫‪64‬‬
‫= ∗ 𝑥𝐼‬
‫) ‪𝜋(𝐷 4 − 𝑑4‬‬
‫‪64‬‬
‫= ∗𝑦𝐼‬
‫טרפז שווה שוקיים‬
‫‪(𝑎 + 𝑏)ℎ‬‬
‫‪2‬‬
‫)𝑏 ‪ℎ(2𝑎 +‬‬
‫)𝑏 ‪3(𝑎 +‬‬
‫‪1 3‬‬
‫)𝑏 ‪ℎ (3𝑎 +‬‬
‫‪12‬‬
‫טרפז ישר זווית‬
‫= 𝑥𝐼‬
‫=‪A‬‬
‫= 𝑐𝑦‬
‫) ‪ℎ3 (𝑎2 + 4𝑎𝑏 + 𝑏 2‬‬
‫)𝑏 ‪36(𝑎 +‬‬
‫= ∗ 𝑥𝐼‬
‫) ‪ℎ(𝑎 + 𝑏)(𝑎2 + 𝑏 2‬‬
‫‪48‬‬
‫= ∗ 𝑦𝐼‬
‫)𝑏 ‪ℎ(𝑎 +‬‬
‫‪2‬‬
‫=‪A‬‬
‫‪𝑎2 + 𝑎𝑏 + 𝑏 2‬‬
‫)𝑏 ‪3(𝑎 +‬‬
‫= 𝑐𝑥‬
‫)𝑏 ‪ℎ(2𝑎 +‬‬
‫)𝑏 ‪3(𝑎 +‬‬
‫= 𝑐𝑦‬
‫) ‪ℎ3 (𝑎2 + 4𝑎𝑏 + 𝑏 2‬‬
‫)𝐵 ‪36(𝑎 +‬‬
‫= ∗ 𝑥𝐼‬
‫) ‪ℎ(𝑎2 + 2𝑎3 𝑏 + 2𝑎𝑏 3 + 𝑏 4‬‬
‫=‬
‫)𝑏 ‪36(𝑎 +‬‬
‫∗𝑦‬
‫𝐼‬
‫מומנט אנרציה פולרי (‪)Polar Moment of inertia‬‬
‫מושג שמתאר את התנגדות החתך לפיתול‬
‫שימושים‬
‫‪‬‬
‫חוזק חומרים ‪ ,1‬חוזק חומרים ‪ ,2‬חלקי מכונות – חישוב מאמצי פיתול בפרופילים עגולים‬
‫מומנט אנרציה פולרי של פרופיל עגול (מלא)‬
‫קוטר חיצוני ]𝑚𝑚[𝐷‬
‫מומנט אנרציה פולרי של צינור‬
‫קוטר חיצוני ]𝑚𝑚[𝐷‬
‫קוטר פנימי ]𝑚𝑚[𝑑‬
‫‪𝜋 4‬‬
‫𝐷‬
‫‪32‬‬
‫= 𝑃𝐼‬
‫𝜋‬
‫) ‪(𝐷 4 − 𝑑4‬‬
‫‪32‬‬
‫= 𝑃𝐼‬
‫מומנט אנרציה של מסה (‪)Mass Moment of inertia‬‬
‫מושג שמתאר את מידת התנגדות הגוף לתאוצה זוויתית‪.‬‬
‫שימושים‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫פיסיקה מכניקה – אנרגיה קינטית של גוף‬
‫דינמיקה של גוף קשיח – משוואת סכום מומנטים של גוף קשיח‪ ,‬אנרגיה קינטית של גוף קשיח‪,‬‬
‫תנע זוויתי של גוף קשיח‬
‫מומנט אנרציה מסי ‪ -‬הגדרה‬
‫מומנט אנרציה מרכזי של מוט דק‬
‫𝑚𝑑 ∙ ‪I = ∫ 𝑟 2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪𝑚𝑙 2‬‬
‫‪12‬‬
‫= 𝐺𝐼‬
‫מומנט אנרציה של מוט דק‬
‫‪1‬‬
‫‪𝐼 = 𝑚𝑙 2‬‬
‫‪3‬‬
‫מומנט אנרציה מרכזי של גליל מלא‬
‫‪1‬‬
‫‪𝐼𝐺 = 𝑚𝑅 2‬‬
‫‪2‬‬
‫מומנט אנרציה של גליל מלא‬
‫מומנט אנרציה של חישוק דק‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪𝐼 = 𝑚𝑅 2 + 𝑚𝑙 2‬‬
‫‪4‬‬
‫‪12‬‬
‫‪1‬‬
‫‪𝐼 = 𝑚𝑅 2‬‬
‫‪2‬‬
‫מומנט אנרציה של טבעת דקה (צינור)‬
‫מומנט אנרציה של צינור‬
‫מומנט אנרציה מרכזי של פלטה מלבנית‬
‫דקה‬
‫מומנט אנרציה של דלת‬
‫דקה‬
‫‪𝐼 = 𝑚𝑅 2‬‬
‫‪1‬‬
‫) ‪𝐼 = 𝑚(𝑟12 + 𝑅22‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫) ‪𝑚(𝑎2 + 𝑏 2‬‬
‫‪12‬‬
‫= 𝐺𝐼‬
‫‪1‬‬
‫‪𝐼 = 𝑚𝐴2‬‬
‫‪3‬‬
‫מומנט אנרציה של ספירה (כדור מלא)‬
‫‪2‬‬
‫‪𝐼 = 𝑚𝑅 2‬‬
‫‪5‬‬
‫מומנט אנרציה של קליפה כדורית (כדור דק חלול)‬
‫‪2‬‬
‫‪𝐼 = 𝑚𝑅 2‬‬
‫‪3‬‬
)Area( ‫שטח‬
A
)Triangle( ‫משולש‬
bh
2
)Rectangle( ‫מלבן‬
A  bh
A
 a  b h
)Trapezoid( ‫טרפז‬
2


A
1
5 5  2 5  a2
4
A
3 3 2
a
2

‫משושה משוכלל‬

A  2 1  2  a2
A   r2 
‫מחומש משוכלל‬
 D2
4
‫מתומן משוכלל‬
‫עיגול‬
)Volume( ‫נפח‬
bh
H
2
)Triangle( ‫משולש‬
V  bh H
)Rectangle( ‫מלבן‬
V
)Cube( ‫קוביה‬
V  a3
V
 a  b h  H
V
1
5 5  2 5  a2  H
4
V
3 3 2
a H
2
)Trapezoid( ‫טרפז‬
2


)Regular Pentagon( ‫מחומש משוכלל‬
)Regular Hexagon( ‫משושה משוכלל‬
)Regular Octagon( ‫מתומן משוכלל‬
V   r2  H
)Cylinder( ‫גליל‬
4

V    R3   D3
3
6
)Sphere( ‫כדור‬
V
V
h
3
 3R  h 
 R2
3
s
V  H
3
H
)Spherical Cap( ‫כיפה כדורית‬
)Cone( ‫חרוט‬
S ‫פירמידה בעלת שטח בסיס‬
‫שטח פנים (‪)Surface Area‬‬
‫שטח פנים של גליל (צילינדר) כולל המכסים (עליון ותחתון)‬
‫)𝑟 ‪2𝜋𝑟(𝐿 +‬‬
‫שטח פנים של גליל (צילינדר) ללא המכסים (עליון ותחתון)‬
‫𝐿𝜋𝑑 = 𝐿𝑟𝜋‪2‬‬
‫‪6𝑎2‬‬
‫שטח פנים של קוביה בעלת מקצוע ‪a‬‬
‫שטח פנים של כדור (מעטפת כדורית‪/‬קליפה כדורית)‬
‫אורך קשת מעגלית‬
‫‪4𝜋𝑟 2 = 𝜋𝐷 2‬‬
‫]𝑑𝑎𝑟[𝜃𝑅 = 𝑠‬