‫‪25.02.2015‬‬ ‫מומנטי אנרציה ונוסחאות גיאומטריות עבור צורות מוכרות‬ ‫המומנט הסטטי הראשון (‪)First Moment of Area‬‬ ‫] ‪ 𝑄𝑥 [𝑚3‬המומנט הסטטי הראשון‬ ‫]𝑚[̅𝑦 המרחק בין מרכז השטח שעבורו מחשבים את המומנט‬ ‫הסטטי למרכז הפרופיל כולו‬ ‫]‪ 𝐴[𝑚2‬שטח החתך‬ ‫𝐴 ∙ ̅𝑦 = 𝐴𝑑 ∙ 𝑦 ∫ = 𝑥𝑄‬ ‫𝐴‬ ‫𝐴 ∙ ̅𝑥 = 𝐴𝑑 ∙ 𝑥 ∫ = 𝑦𝑄‬ ‫𝐴‬ ‫שימושים‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫חוזק חומרים ‪ – 2‬מציאת מאמצי גזירה בקורות‪ ,‬מציאת שטף הגזירה בקורות‪.‬‬ ‫המומנט הסטטי השני ‪ /‬מומנט אנרציה של שטח ( ‪Area Moment of‬‬ ‫‪)inertia‬‬ ‫שימושים‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫סטטיקה של גוף קשיח – חישוב מומנטי אנרציה של פרופילים‬ ‫חוזק חומרים ‪ – 1‬חישוב מאמצי גזירה‪ ,‬מומנטי כפיפה בקורות‪ ,‬מאמצי כפיפה‬ ‫זרימה ‪ – 1‬מציאת נקודת מרכז לחץ‪ ,‬מציאת נקודת מרכז הציפה (‪ )Metacenter‬של גוף צף‬ ‫הגדרת מומנט אנרציה של שטח‪ ,‬סביב ציר ‪X‬‬ ‫‪𝑓(𝑥)3‬‬ ‫𝑥𝑑 )‬ ‫‪3‬‬ ‫𝑏‬ ‫‪2‬‬ ‫( ∫ = 𝐴𝑑 ∙ 𝑦 ∫ = 𝑥𝑥𝐼‬ ‫𝑎‬ ‫𝑏‬ ‫הגדרת מומנט אנרציה של שטח‪ ,‬סביב ציר ‪Y‬‬ ‫‪2‬‬ ‫𝑥𝑑))𝑥(𝑓 ∙ ‪𝐼𝑦𝑦 = ∫ 𝑥 ∙ 𝑑𝐴 = ∫(𝑥 2‬‬ ‫𝑎‬ ‫הגדרת מומנט אנרציה של שטח‪ ,‬סביב ציר ‪Z‬‬ ‫𝑏‬ ‫‪𝑓(𝑥)2‬‬ ‫∙ 𝑥( ∫ = 𝑎𝑑 ∙ 𝑦𝑥 ∫ =‬ ‫𝑥𝑑 )‬ ‫‪2‬‬ ‫𝑧𝑧𝐼‬ ‫𝑎‬ ‫משפט שטיינר‬ ‫‪2‬‬ ‫מומנט אנרציה של שטח‪ ,‬סביב ציר ‪X‬‬ ‫] ‪[𝑚𝑚4‬‬ ‫) 𝑛𝑐𝑦 ‪𝐼𝑥𝑥𝑛 = 𝐼𝑥 ∗ 𝑛 + 𝐴𝑛 (𝑌𝑐 −‬‬ ‫𝑛∗ 𝑥𝐼 מומנט אנרציה של שטח ביחס למערכת צירים מרכזית (בד"כ קיים בטבלה)‬ ‫] ‪ 𝐴𝑛 [𝑚𝑚2‬שטח הצורה‬ ‫]𝑚𝑚[ 𝑐𝑌 קוארדינטת מרכז שטח של כל הצורה ביחס למערכת צירים שהגדרנו‬ ‫]𝑚𝑚[ 𝑛𝑐𝑦 קוארדינטת מרכז שטח של הצורה עבורה אנו מחשבים‪ ,‬ביחס למערכת צירים שהגדרנו‬ ‫מומנט אנרציה של שטח‪ ,‬סביב ציר ‪Y‬‬ ‫] ‪[𝑚𝑚4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫) 𝑛𝑐𝑥 ‪𝐼𝑦𝑦𝑛 = 𝐼𝑦∗ 𝑛 + 𝐴𝑛 (𝑋𝑐 −‬‬ ‫𝑛∗𝑦𝐼 מומנט אנרציה של שטח ביחס למערכת צירים מרכזית (בד"כ קיים בטבלה)‬ ‫] ‪ 𝐴𝑛 [𝑚𝑚2‬שטח הצורה‬ ‫]𝑚𝑚[ 𝑐𝑋 קואורדינטת מרכז שטח של כל הצורה‪ ,‬ביחס לצירים שהגדרנו‬ ‫]𝑚𝑚[ 𝑛𝑐𝑥 קואורדינטת מרכז שטח של הצורה עבורה אנו מחשבים ביחס לצירים שהגדרנו‬ ‫מכפלת אנרציה של שטח‪ ,‬סביב ציר ‪xy‬‬ ‫] ‪[𝑚𝑚4‬‬ ‫) 𝑛𝑐𝑦 ‪𝐼𝑥𝑦𝑛 = 𝐼𝑥𝑦∗ 𝑛 + 𝐴𝑛 (𝑋𝑐 − 𝑥𝑐𝑛 )(𝑌𝑐 −‬‬ ‫𝑛 ∗𝑦𝑥𝐼 מכפלת אנרציה של שטח ביחסת למערכת צירים מרכזית‬ ‫] ‪ 𝐴𝑛 [𝑚𝑚2‬שטח הצורה‬ ‫מערכת צירים מרכזית – מערכת צירים שראשיתה נמצאת בנקודת מרכז מסה ‪ / G‬מרכז שטח‬ ‫מערכת צירים ראשית – מערכת צירים שנמצאת על אחד מצירי הסימטריה של הגוף‪ ,‬ומכפלות האינרציה שלה שוות אפס‪.‬‬ ‫מערכת צירים מרכזית וראשית – מערכת צירים שראשיתה נמצאת בנקודת מרכז שטח‪/‬מסה וגם נמצאת על צירי הסימטריה‬ ‫של הגוף‪ ,‬ולכן מכפלות האינרציה שלה שוות אפס‪.‬‬ ‫שטח‪ ,‬נק' מרכז מסה‪ ,‬מומנטי אנרציה‪ ,‬עבור צורות גיאומטריות מוכרות‬ ‫מלבן‬ ‫‪𝐴 = 𝑏ℎ‬‬ ‫𝑏‬ ‫‪2‬‬ ‫= 𝑐𝑥‬ ‫‪ℎ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫= 𝑐𝑦‬ ‫‪𝑏ℎ3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫= 𝑥𝐼‬ ‫‪𝑏ℎ3‬‬ ‫‪12‬‬ ‫= ∗ 𝑥𝐼‬ ‫‪ℎ𝑏 3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫= 𝑦𝐼‬ ‫‪ℎ𝑏 3‬‬ ‫‪12‬‬ ‫= ∗ 𝑦𝐼‬ ‫פרופיל ריבועי חלול‬ ‫)𝑏 ‪𝐴 = 2𝑡(ℎ +‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪I x*  h3t 1  3 ‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪h‬‬ ‫‪‬‬ ‫משולש ישר זווית‬ ‫‪𝑏ℎ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫=𝐴‬ ‫‪2‬‬ ‫𝑏 = 𝑐𝑥‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪𝑦𝑐 = ℎ‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪𝑏ℎ3‬‬ ‫‪36‬‬ ‫= ∗ 𝑥𝐼‬ ‫‪ℎ𝑏 3‬‬ ‫‪36‬‬ ‫= ∗ 𝑦𝐼‬ ‫‪1‬‬ ‫‪𝑥𝑐 = ℎ‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪𝑦𝑐 = ℎ‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪𝑏ℎ3‬‬ ‫‪36‬‬ ‫= ∗ 𝑥𝐼‬ ‫‪𝑏ℎ3‬‬ ‫= 𝑥𝐼‬ ‫‪12‬‬ ‫‪ℎ𝑏 3‬‬ ‫‪36‬‬ ‫= ∗ 𝑦𝐼‬ ‫‪ℎ𝑏 3‬‬ ‫‪12‬‬ ‫= 𝑦𝐼‬ ‫‪𝑏ℎ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫משולש שווה שוקיים‬ ‫=𝐴‬ ‫‪𝑥𝑐 = 0‬‬ ‫‪ℎ‬‬ ‫‪3‬‬ ‫משולש כללי‬ ‫= 𝑐𝑦‬ ‫‪𝑏ℎ3‬‬ ‫‪36‬‬ ‫= ∗ 𝑥𝐼‬ ‫‪ℎ𝑏 3‬‬ ‫‪48‬‬ ‫= ∗ 𝑦𝐼‬ ‫‪𝑏ℎ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪𝑏ℎ3‬‬ ‫‪12‬‬ ‫= 𝑥𝐼‬ ‫) ‪𝑏ℎ(𝑏 2 + 𝑏𝑐 + 𝑐 2‬‬ ‫‪12‬‬ ‫= 𝑦𝐼‬ ‫=𝐴‬ ‫)𝑐 ‪(𝑏 +‬‬ ‫‪3‬‬ ‫= 𝑐𝑥‬ ‫‪ℎ‬‬ ‫‪3‬‬ ‫= 𝑐𝑦‬ ‫‪𝑏ℎ3‬‬ ‫‪36‬‬ ‫= ∗ 𝑥𝐼‬ ‫) ‪𝑏ℎ(𝑏 2 − 𝑏𝑐 + 𝑐 2‬‬ ‫=‬ ‫‪36‬‬ ‫∗𝑦𝐼‬ ‫‪𝜋𝐷 2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫עיגול‬ ‫= ‪𝐴 = 𝜋𝑟 2‬‬ ‫‪𝑥𝑐 = 0‬‬ ‫‪𝑦𝑐 = 0‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪𝐼𝑥 = 𝜋𝑟 4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪𝜋𝐷 4 𝜋 4‬‬ ‫𝑟 =‬ ‫‪64‬‬ ‫‪4‬‬ ‫= ∗ 𝑥𝐼‬ ‫‪𝜋𝐷 4 𝜋 4‬‬ ‫=‬ ‫𝑟 =‬ ‫‪64‬‬ ‫‪4‬‬ ‫∗𝑦‬ ‫𝐼‬ ‫חצי עיגול‬ ‫‪𝜋𝑟 2 𝜋𝐷 2‬‬ ‫=‬ ‫‪2‬‬ ‫‪8‬‬ ‫=𝐴‬ ‫‪𝑥𝑐 = 0‬‬ ‫‪4‬‬ ‫𝑟‬ ‫𝜋‪3‬‬ ‫‪𝜋𝑟 4‬‬ ‫= 𝑥𝐼‬ ‫‪8‬‬ ‫= 𝑐𝑦‬ ‫‪𝐼𝑥 ∗ = 0.10976𝑟 4‬‬ ‫‪𝜋𝑟 4‬‬ ‫‪8‬‬ ‫= ∗ 𝑦𝐼‬ ‫רבע מעגל‬ ‫‪𝜋𝑟 2 𝜋𝐷 2‬‬ ‫=‬ ‫‪4‬‬ ‫‪16‬‬ ‫=𝐴‬ ‫‪4‬‬ ‫𝑟‬ ‫𝜋‪3‬‬ ‫= 𝑐𝑥‬ ‫‪4‬‬ ‫𝑟‬ ‫𝜋‪3‬‬ ‫= 𝑐𝑦‬ ‫‪𝜋𝑟 4‬‬ ‫‪16‬‬ ‫= 𝑥𝐼‬ ‫𝜋‬ ‫‪4‬‬ ‫‪𝐼𝑥 ∗ = 𝑟 4 ( − ) = 0.0549𝑟 4‬‬ ‫𝜋‪16 9‬‬ ‫‪𝜋𝑟 4‬‬ ‫‪16‬‬ ‫= 𝑦𝐼‬ ‫𝜋‬ ‫‪4‬‬ ‫‪= 𝑟 ( − ) = 0.0549𝑟 4‬‬ ‫𝜋‪16 9‬‬ ‫‪4‬‬ ‫∗ 𝑦𝐼‬ ‫טבעת דקה ‪ -‬צינור‬ ‫𝜋‬ ‫𝜋‬ ‫‪𝐴 = 𝜋𝑅 2 − 𝜋𝑟 2 = 𝐷 2 − 𝑑2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪𝑥𝑐 = 0‬‬ ‫) ‪𝜋(𝐷 4 − 𝑑4‬‬ ‫‪64‬‬ ‫= ∗ 𝑥𝐼‬ ‫) ‪𝜋(𝐷 4 − 𝑑4‬‬ ‫‪64‬‬ ‫= ∗𝑦𝐼‬ ‫טרפז שווה שוקיים‬ ‫‪(𝑎 + 𝑏)ℎ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫)𝑏 ‪ℎ(2𝑎 +‬‬ ‫)𝑏 ‪3(𝑎 +‬‬ ‫‪1 3‬‬ ‫)𝑏 ‪ℎ (3𝑎 +‬‬ ‫‪12‬‬ ‫טרפז ישר זווית‬ ‫= 𝑥𝐼‬ ‫=‪A‬‬ ‫= 𝑐𝑦‬ ‫) ‪ℎ3 (𝑎2 + 4𝑎𝑏 + 𝑏 2‬‬ ‫)𝑏 ‪36(𝑎 +‬‬ ‫= ∗ 𝑥𝐼‬ ‫) ‪ℎ(𝑎 + 𝑏)(𝑎2 + 𝑏 2‬‬ ‫‪48‬‬ ‫= ∗ 𝑦𝐼‬ ‫)𝑏 ‪ℎ(𝑎 +‬‬ ‫‪2‬‬ ‫=‪A‬‬ ‫‪𝑎2 + 𝑎𝑏 + 𝑏 2‬‬ ‫)𝑏 ‪3(𝑎 +‬‬ ‫= 𝑐𝑥‬ ‫)𝑏 ‪ℎ(2𝑎 +‬‬ ‫)𝑏 ‪3(𝑎 +‬‬ ‫= 𝑐𝑦‬ ‫) ‪ℎ3 (𝑎2 + 4𝑎𝑏 + 𝑏 2‬‬ ‫)𝐵 ‪36(𝑎 +‬‬ ‫= ∗ 𝑥𝐼‬ ‫) ‪ℎ(𝑎2 + 2𝑎3 𝑏 + 2𝑎𝑏 3 + 𝑏 4‬‬ ‫=‬ ‫)𝑏 ‪36(𝑎 +‬‬ ‫∗𝑦‬ ‫𝐼‬ ‫מומנט אנרציה פולרי (‪)Polar Moment of inertia‬‬ ‫מושג שמתאר את התנגדות החתך לפיתול‬ ‫שימושים‬ ‫‪‬‬ ‫חוזק חומרים ‪ ,1‬חוזק חומרים ‪ ,2‬חלקי מכונות – חישוב מאמצי פיתול בפרופילים עגולים‬ ‫מומנט אנרציה פולרי של פרופיל עגול (מלא)‬ ‫קוטר חיצוני ]𝑚𝑚[𝐷‬ ‫מומנט אנרציה פולרי של צינור‬ ‫קוטר חיצוני ]𝑚𝑚[𝐷‬ ‫קוטר פנימי ]𝑚𝑚[𝑑‬ ‫‪𝜋 4‬‬ ‫𝐷‬ ‫‪32‬‬ ‫= 𝑃𝐼‬ ‫𝜋‬ ‫) ‪(𝐷 4 − 𝑑4‬‬ ‫‪32‬‬ ‫= 𝑃𝐼‬ ‫מומנט אנרציה של מסה (‪)Mass Moment of inertia‬‬ ‫מושג שמתאר את מידת התנגדות הגוף לתאוצה זוויתית‪.‬‬ ‫שימושים‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫פיסיקה מכניקה – אנרגיה קינטית של גוף‬ ‫דינמיקה של גוף קשיח – משוואת סכום מומנטים של גוף קשיח‪ ,‬אנרגיה קינטית של גוף קשיח‪,‬‬ ‫תנע זוויתי של גוף קשיח‬ ‫מומנט אנרציה מסי ‪ -‬הגדרה‬ ‫מומנט אנרציה מרכזי של מוט דק‬ ‫𝑚𝑑 ∙ ‪I = ∫ 𝑟 2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪𝑚𝑙 2‬‬ ‫‪12‬‬ ‫= 𝐺𝐼‬ ‫מומנט אנרציה של מוט דק‬ ‫‪1‬‬ ‫‪𝐼 = 𝑚𝑙 2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫מומנט אנרציה מרכזי של גליל מלא‬ ‫‪1‬‬ ‫‪𝐼𝐺 = 𝑚𝑅 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫מומנט אנרציה של גליל מלא‬ ‫מומנט אנרציה של חישוק דק‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪𝐼 = 𝑚𝑅 2 + 𝑚𝑙 2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪𝐼 = 𝑚𝑅 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫מומנט אנרציה של טבעת דקה (צינור)‬ ‫מומנט אנרציה של צינור‬ ‫מומנט אנרציה מרכזי של פלטה מלבנית‬ ‫דקה‬ ‫מומנט אנרציה של דלת‬ ‫דקה‬ ‫‪𝐼 = 𝑚𝑅 2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫) ‪𝐼 = 𝑚(𝑟12 + 𝑅22‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫) ‪𝑚(𝑎2 + 𝑏 2‬‬ ‫‪12‬‬ ‫= 𝐺𝐼‬ ‫‪1‬‬ ‫‪𝐼 = 𝑚𝐴2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫מומנט אנרציה של ספירה (כדור מלא)‬ ‫‪2‬‬ ‫‪𝐼 = 𝑚𝑅 2‬‬ ‫‪5‬‬ ‫מומנט אנרציה של קליפה כדורית (כדור דק חלול)‬ ‫‪2‬‬ ‫‪𝐼 = 𝑚𝑅 2‬‬ ‫‪3‬‬ )Area( ‫שטח‬ A )Triangle( ‫משולש‬ bh 2 )Rectangle( ‫מלבן‬ A  bh A  a  b h )Trapezoid( ‫טרפז‬ 2   A 1 5 5  2 5  a2 4 A 3 3 2 a 2  ‫משושה משוכלל‬  A  2 1  2  a2 A   r2  ‫מחומש משוכלל‬  D2 4 ‫מתומן משוכלל‬ ‫עיגול‬ )Volume( ‫נפח‬ bh H 2 )Triangle( ‫משולש‬ V  bh H )Rectangle( ‫מלבן‬ V )Cube( ‫קוביה‬ V  a3 V  a  b h  H V 1 5 5  2 5  a2  H 4 V 3 3 2 a H 2 )Trapezoid( ‫טרפז‬ 2   )Regular Pentagon( ‫מחומש משוכלל‬ )Regular Hexagon( ‫משושה משוכלל‬ )Regular Octagon( ‫מתומן משוכלל‬ V   r2  H )Cylinder( ‫גליל‬ 4  V    R3   D3 3 6 )Sphere( ‫כדור‬ V V h 3  3R  h   R2 3 s V  H 3 H )Spherical Cap( ‫כיפה כדורית‬ )Cone( ‫חרוט‬ S ‫פירמידה בעלת שטח בסיס‬ ‫שטח פנים (‪)Surface Area‬‬ ‫שטח פנים של גליל (צילינדר) כולל המכסים (עליון ותחתון)‬ ‫)𝑟 ‪2𝜋𝑟(𝐿 +‬‬ ‫שטח פנים של גליל (צילינדר) ללא המכסים (עליון ותחתון)‬ ‫𝐿𝜋𝑑 = 𝐿𝑟𝜋‪2‬‬ ‫‪6𝑎2‬‬ ‫שטח פנים של קוביה בעלת מקצוע ‪a‬‬ ‫שטח פנים של כדור (מעטפת כדורית‪/‬קליפה כדורית)‬ ‫אורך קשת מעגלית‬ ‫‪4𝜋𝑟 2 = 𝜋𝐷 2‬‬ ‫]𝑑𝑎𝑟[𝜃𝑅 = 𝑠‬