‫‪1920/2/01/‬‬ ‫דף נוסחאות ‪ -‬דינמיקה של גוף קשיח‬ ‫‪Rigid Body Dynamics‬‬ ‫העתק (‪)Displacement‬‬ ‫שינוי של ווקטור ⃗‪ ⃗R‬בזמן ‪∆t‬‬ ‫ווקטור מהירות קווית של חלקיק (‪)Velocity‬‬ ‫ווקטור המקביל להעתק והמשיק למסלול‬ ‫ווקטור תאוצה קווית (‪)Acceleration‬‬ ‫מהירות יחסית (‪)Relative velocity‬‬ ‫‪ B‬ביחס ל ‪A‬‬ ‫)𝑡(⃗𝑟 ‪∆𝑟⃗ = 𝑟⃗(𝑡 + ∆𝑡) −‬‬ ‫⃗𝑟∆‬ ‫‪∆t‬‬ ‫= ‪𝑣⃗∆t→0‬‬ ‫⃗𝑣∆‬ ‫𝑡∆‬ ‫= ‪𝑎⃗∆𝑡→0‬‬ ‫𝐴⃗𝑣 ‪𝑣⃗𝐵⁄ = 𝑣⃗𝐵 −‬‬ ‫𝐴‬ ‫תנועת חלקיק במסלול מעוקם מחייבת תאוצה‪.‬‬ ‫במסלול מעוקם ווקטור המהירות אינו מקביל לווקטור התאוצה‪ ,‬ולכן נהוג לפרק את ווקטור התאוצה לרכיבים‬ ‫רכיב תאוצה משיקי (‪)Tangential component of acceleration‬‬ ‫מקביל לווקטור המהירות‬ ‫רכיב תאוצה נורמלי (‪)Normal component of acceleration‬‬ ‫מאונך לווקטור המהירות‪ ,‬מכוון למרכז המעקם‬ ‫מהירות זוויתית (‪)Angular Velocity‬‬ ‫תאוצה זוויתית (‪)Angular Acceleration‬‬ ‫ווקטור תאוצה זוויתית מקביל לווקטור מהירות זוויתית‪,‬‬ ‫ומאונך למישור התנועה‪.‬‬ ‫כיוונו ע"פ כלל יד ימין‪.‬‬ ‫גוף קשיח (‪)Rigid Body‬‬ ‫גוף שהמרחק בין שתי נקודות הנמצאות עליו נשאר קבוע‬ ‫תנועת העתקה של גוף קשיח (‪)Translation‬‬ ‫כאשר קו שנמצא על הגוף נשאר מקביל לאוריינטציה‬ ‫ההתחלתית שלו במהלך כל התנועה‪.‬‬ ‫תנועה סיבובית של גוף קשיח (‪)Rotation about fixed axis‬‬ ‫כאשר גוך קשיח מסתובב סביב ציר סיבוב קבוע‪.‬‬ ‫כל החלקיקים שעל הגוף מלבד אלו שנמצאים על ציר הסיבוב‪,‬‬ ‫נעים במסלול מעגלי‬ ‫⃗𝑣∆‬ ‫𝑟𝛼 =‬ ‫𝑡∆‬ ‫= 𝑡𝑛𝑒𝑔𝑛𝑎𝑡𝑎‬ ‫‪𝑣2‬‬ ‫𝑟 ‪= 𝜔2‬‬ ‫𝑟‬ ‫= 𝑙𝑎𝑚𝑟𝑜𝑛𝑎‬ ‫𝜃𝑑‬ ‫𝑡𝑑‬ ‫=𝜔‬ ‫𝜔𝑑‬ ‫𝑡𝑑‬ ‫=𝛼‬ ‫‪1920/2/01/‬‬ ‫𝑅𝜔 = 𝑣‬ ‫מהירות משיקית של נקודה המסתובבת סביב מרכז קבוע‬ ‫𝑅‪𝑎𝑡 = α‬‬ ‫תאוצה משיקית של נקודה המסתובבת סביב מרכז קבוע‬ ‫‪Tangential acceleration measures the rate of change in the magnitude of the velocity‬‬ ‫תאוצה נורמלית של נקודה המסתובבת סביב מרכז קבוע‬ ‫‪Normal acceleration measures the rate of change in the direction of the velocity‬‬ ‫‪𝑉2‬‬ ‫𝑅‬ ‫= 𝑅 ‪𝑎𝑛 = 𝜔2‬‬ ‫נוסחאות קינמטיות עבור תנועה מעגלית‬ ‫מהירות זוויתית ברגע ‪ t‬עבור מקרה בו התאוצה הזוויתית קבועה‬ ‫)𝑡(𝜔 מהירות זוויתית ברגע ‪ t‬כלשהוא‬ ‫]𝑑𝑎𝑟[ ‪ 𝜔0‬מהירות זוויתית התחלתית‬ ‫𝑡𝛼 ‪𝜔(𝑡) = 𝜔0 +‬‬ ‫𝑐𝑒𝑠‬ ‫] 𝑑𝑎𝑟 [𝛼 תאוצה זוויתית קבועה‬ ‫‪𝑠𝑒𝑐2‬‬ ‫]𝑐𝑒𝑠[𝑡 הרגע עבורו מחשבים את המהירות הזוויתית‬ ‫מהירות זוויתית כתלות בזווית סיבוב עבור מקרה בו התאוצה הזוויתית קבועה‬ ‫]𝑑𝑎𝑟[𝜔 מהירות זוויתית‬ ‫) ‪𝜔2 = 𝜔02 + 2𝛼(𝜃 − 𝜃0‬‬ ‫𝑐𝑒𝑠‬ ‫] 𝑑𝑎𝑟 [𝛼 תאוצה זוויתית קבועה‬ ‫‪𝑠𝑒𝑐2‬‬ ‫]𝑑𝑎𝑟[𝜃 זווית הסיבוב הרגע מסויים שעבורו מחשבים את המהירות הזוויתית‬ ‫]𝑑𝑎𝑟[ ‪ 𝜃0‬זווית התחלתית‬ ‫זווית סיבוב ברגע ‪ t‬כלשהוא עבור מקרה בו התאוצה הזוויתית קבועה‬ ‫]𝑑𝑎𝑟[)‪ θ(t‬זווית סיבוב שגוף מבצע כעבור ‪ t‬שניות‬ ‫]𝑑𝑎𝑟[ ‪ 𝜃0‬זווית התחלתית‬ ‫‪1‬‬ ‫‪θ(t) = 𝜃0 + 𝜔0 𝑡 + 𝛼𝑡 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫]𝑑𝑎𝑟[ ‪ 𝜔0‬מהירות זוויתית התחלתית‬ ‫𝑐𝑒𝑠‬ ‫]𝑐𝑒𝑠[𝑡 הרגע עבורו מחשבים את זווית הסיבוב‬ ‫] 𝑑𝑎𝑟 [𝛼 תאוצה זוויתית קבועה‬ ‫‪𝑠𝑒𝑐2‬‬ ‫מספר סיבובים שגוף מבצע‬ ‫]𝑣𝑒𝑟[𝑛 מספר סיבובים‬ ‫]𝑑𝑎𝑟[𝜃 זווית שהגוף עבר כעבור ‪ n‬סיבובים‬ ‫𝜃‬ ‫𝜋‪2‬‬ ‫=𝑛‬ ‫נוסחא פולרית למהירות גוף קשיח ‪AB‬‬ ‫𝜔 ‪𝑣⃗𝐵 = 𝑣⃗𝐴 +‬‬ ‫⃗⃗⃗⃗⃗⃗ × 𝐵𝐴⃗⃗‬ ‫𝐵𝐴‬ ‫נוסחא פולרית לתאוצת גוף קשיח ‪AB‬‬ ‫𝐵𝐴 ∙ ‪⃗⃗⃗⃗⃗⃗ − 𝜔2‬‬ ‫⃗⃗⃗⃗⃗⃗‬ ‫𝐵𝐴 × ⃗‪𝑎⃗𝐵 = 𝑎⃗𝐴 + ⃗α‬‬ ‫‪1920/2/01/‬‬ ‫תנאי גלגול ללא החלקה‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫קיים משיק משותף לגופים‬ ‫נסמן נקודות מגע בין הגופים (נק' ‪ A‬על גוף ‪ ,1‬ונק' ‪ B‬על גוף ‪)/‬‬ ‫𝑉 = 𝐴⃗⃗‬ ‫מתקיים תנאי מהירויות עבור נקודות מגע 𝐵⃗⃗‬ ‫𝑉‬ ‫מתקיים תנאי תאוצות עבור נקודות מגע 𝑥𝐵𝑎 = 𝑥𝐴𝑎‬ ‫מקרה פרטי – גלגול ללא החלקה ‪ -‬גלגל על משטח ישר נייח‬ ‫נק ‪ B‬היא חלק מהקרקע‪ ,‬ולכן היא נייחת ולכן אין לה‬ ‫מהירות ולא תאוצה בכלל‬ ‫נק' ‪ A,B‬נוגעות אחת בשניה באופן רגעי‪ ,‬ומכיוון שמדובר בגלגול ללא‬ ‫החלקה חייב שבאותו הרגע המהירויות שלהם יהיו שוות בדיוק‪.‬‬ ‫נק' ‪ A‬נעה במסלול מעגלי‪ ,‬ולכן יש לה רכיב תאוצה נורמלי‪ ,‬ורכיב תאוצה משיקי‪ .‬אבל‬ ‫בגלל תנאי מהירויות נקודות מגע‪ ,‬הרכיב המשיקי של התאוצה מתאפס‪.‬‬ ‫‪𝑣𝐴 2‬‬ ‫)𝟎 ‪, 0) = (𝑎𝐴𝑥 = 𝑎𝐵𝑥 = 0, 𝜔2 𝑅, 0) = (𝟎, 𝝎𝟐 𝑹,‬‬ ‫𝑅‬ ‫נק ‪ O‬נעה במסלול ישר‪ ,‬היא נקודת מרכז סיבוב הגלגל‪ ,‬והיא חלק‬ ‫מהגלגל‪ ,‬ולכן היא נעה יחד עם הגלגל‪.‬‬ ‫המהירות והתאוצה שלה בציר ‪ x‬מושפעים מהמהירות הזוויתית של‬ ‫הגלגל תאוצה זוויתית‪ ,‬וגודל הגלגל‪.‬‬ ‫)‪⃗⃗𝐵 = (0,0,0‬‬ ‫𝑉‬ ‫)‪𝑎⃗𝐵 = (0,0,0‬‬ ‫𝑉 = 𝐴⃗⃗‬ ‫)‪⃗⃗𝐵 = (0,0,0‬‬ ‫𝑉‬ ‫‪𝑎𝐴𝑥 = 𝑎𝐵𝑥 = 0‬‬ ‫)‪⃗⃗𝐴 = (0,0,0‬‬ ‫𝑉‬ ‫‪𝑎⃗𝐴 = (𝑎𝐴𝑡 , 𝑎𝐴𝑛 , 0) = (𝛼𝑅,‬‬ ‫)𝟎 ‪⃗⃗𝑶 = (𝝎𝑹, 𝟎,‬‬ ‫𝒗‬ ‫)𝟎 ‪⃗⃗𝑶 = (𝜶𝑹, 𝟎,‬‬ ‫𝒂‬ ‫‪1920/2/01/‬‬ ‫מקרה פרטי – שני גלגלים בעלי משיק משותף‪ ,‬מסתובבים ללא החלקה‬ ‫𝜔‬ ‫) ‪⃗⃗1 = (0,0, 𝜔1‬‬ ‫)‪𝑣⃗𝑂1 = (0,0,0‬‬ ‫)‪𝑣⃗𝐴 = (𝑣𝐴𝑥 ,0,0) = (𝜔1 𝑟1 , 0,0‬‬ ‫)‪𝑎⃗𝐴 = (𝑎𝐴𝑡 , 𝑎𝐴𝑛 , 0) = (𝛼1 𝑟1 , 𝜔12 𝑟1 ,0‬‬ ‫𝜔‬ ‫) ‪⃗⃗2 = (0,0, −𝜔2‬‬ ‫)‪𝑣⃗𝑂2 = (0,0,0‬‬ ‫)‪𝑣⃗𝐵 = (𝑣𝐵𝑥 ,0,0) = (−𝜔2 𝑟2 , 0,0‬‬ ‫)‪𝑎⃗𝐵 = (𝑎𝐵𝑡 , 𝑎𝐵𝑛 , 0) = (𝛼2 𝑟2 , 𝜔22 𝑟2 ,0‬‬ ‫ע"פ תנאי גלגול ללא החלקה‪ ,‬מתקיים‪:‬‬ ‫𝑉 = 𝐴⃗⃗‬ ‫𝐵⃗⃗‬ ‫𝑉‬ ‫)‪(𝜔1 𝑟1 , 0,0) = (−𝜔2 𝑟2 , 0,0‬‬ ‫‪𝜔1 𝑟1 = −𝜔2 𝑟2‬‬ ‫𝑥𝐵𝑎 = 𝑥𝐴𝑎‬ ‫𝑡𝐵𝑎 = 𝑡𝐴𝑎‬ ‫‪𝛼1 𝑟1 = 𝛼2 𝑟2‬‬ ‫‪1920/2/01/‬‬ ‫חוק שני עבור גוף קשיח – משוואת סכום כוחות עבור גוף קשיח‬ ‫𝑦 𝐺𝑎𝑚 = 𝑦𝐹‪Σ‬‬ ‫𝐺⃗𝑎𝑚 = 𝐹‪Σ‬‬ ‫𝑥 𝐺𝑎𝑚 = 𝑥𝐹‪Σ‬‬ ‫משוואת סכום מומנטים עבור תנועה במישור‬ ‫⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ̇⃗⃗‬ ‫𝐻 = 𝑜𝑀‪Σ‬‬ ‫𝑎𝑚 × 𝐺𝑂‬ ‫⃗⃗⃗⃗⃗‬ ‫⃗‬ ‫𝛼 𝐺𝐼 ‪𝐺 +‬‬ ‫𝑜𝑀‪ Σ‬סכום מומנטים סביב נק' כלשהיא ‪ O‬שהיא לא נק' מרכז מסה‬ ‫̇⃗⃗‬ ‫𝐻 נגזרת של תנע זוויתי‬ ‫⃗⃗⃗⃗⃗⃗‬ ‫𝐺𝑂 זרוע – המרחק מנק' מרכז מסה לנקודה כלשהיא ‪O‬‬ ‫𝑚 מסת הגוף‬ ‫⃗⃗⃗⃗⃗ ווקטור תאוצת מרכז כובד‬ ‫𝐺𝑎‬ ‫𝐺𝐼 מומנט אינרציה מרכזי של הגוף ביחס לציר המאונך למישור התנועה‬ ‫⃗𝛼 ווקטור תאוצה זוויתית‬ ‫משוואות סכום מומנטים עבור תנועה במישור – סביב נקודת מרכז מסה ‪G‬‬ ‫מומנט אנרציה של מסה – משפט צירים מקבילים (שטיינר)‬ ‫𝛼 𝐺𝐼 = ‪ΣMG‬‬ ‫‪𝐼 = 𝐼𝐺 + 𝑚𝑑2‬‬ ‫] ‪ 𝐼[𝑘𝑔∙𝑚2‬מומנט אנרציה של מסה‪2‬גוף סביב נקודה כלשהיא‬ ‫] ‪ 𝐼𝐺 [𝑘𝑔∙𝑚2‬מומנט אנרציה מרכזי סביב ציר מרכז כובד‬ ‫]𝑔𝑘[𝑚 מסת הגוף‬ ‫]𝑚[𝑑 מרחק אנכי בין נקודה כלשהיא לנקודת מרכז הכובד של הגוף‬ ‫רדיוס גירציה‬ ‫נתון שמופיע בטבלה‪ ,‬עבור גופים לא סטנדרטיים שקשה לחשב עבורם את מומנט‬ ‫האנרציה‪ ,‬ולכן מומנט אנרציה שלהם נמדד בניסוי ומבוטא באמצעות רדיוס גרציה‪.‬‬ ‫𝐼‬ ‫√=𝑘‬ ‫𝑚‬ ‫]𝑚[𝑘 רדיוס גירציה‬ ‫] ‪ 𝐼[𝑘𝑔∙𝑚2‬מומנט אנרציה‬ ‫]𝑔𝑘[𝑚 מסת הגוף‬ ‫מומנט אנרציה של גוף כאשר ידוע רדיוס גירציה של הגוף‬ ‫] ‪ 𝐼[𝑘𝑔∙𝑚2‬מומנט אנרציה‬ ‫]𝑔𝑘[𝑚 מסת הגוף‬ ‫]𝑚[𝑘 רדיוס גירציה‬ ‫מערכת צירים מרכזית – מערכת צירים שראשיתם נמצא בנקודת מרכז מסה ‪ 2 G‬מרכז שטח‬ ‫מערכת צירים ראשית – מערכת צירים שנמצאת על צירי הסימטריה של הגוף‪ ,‬ומכפלות האינרציה שלה‬ ‫שוות אפס‪.‬‬ ‫מערכת צירים מרכזית וראשית – מערכת צירים שראשיתה נמצאת בנקודת מרכז שטח‪2‬מסה וגם נמצאת‬ ‫על צירי הסימטריה של הגוף‪ ,‬ולכן מכפלות האינרציה שלה שוות אפס‪.‬‬ ‫‪I = 𝑚𝑘 2‬‬ ‫‪1920/2/01/‬‬ ‫משפט עבודה ואנרגיה‬ ‫]𝐽[ ‪ 𝐸1‬אנרגיה (פוטנציאלית כובדתית‪,‬קינטית קווית‪,‬קינטית סיבובית‪,‬אלסטית) במצב ‪1‬‬ ‫‪𝐸1 + Σ𝑊1→2 = 𝐸2‬‬ ‫‪ Σ𝑊1→2‬סכום כל העבודות שנעשות על המערכת במעבר ממצב ‪ 1‬למצב ‪/‬‬ ‫]𝐽[ ‪ 𝐸2‬אנרגיה (פוטנציאלית כובדתית‪ ,‬קינטית קווית‪,‬קינטית סיבובית‪,‬אלסטית) במצב ‪/‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪𝐸𝑘 = 𝐼𝐺 𝜔2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫אנרגיה קינטית עבור תנועה סיבובית סביב ציר קבוע‬ ‫שעובר בנק' מרכז מסה של הגוף‬ ‫אנרגיה קינטית עבור תנועה סיבובית סביב ציר קבוע‬ ‫שעובר בנק' מרכז סיבוב רגעי ‪O‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪𝐸𝑘 = 𝐼𝑂 𝜔2 = (𝐼𝐺 + 𝑚𝑑2 )𝜔2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫נקודת מרכז סיבוב רגעי ‪IC = Instantaneous Center‬‬ ‫‪.1‬מפגש האנכים לווקטור המהירות של ‪ /‬נקודות על הגוף מהווה מרכז סיבוב רגעי‬ ‫‪./‬ציר סיבוב קבוע מהווה מרכז סיבוב רגעי‬ ‫‪.3‬נקודת מגע עם קרקע נייחת בגלגל ללא החלקה מהווה מרכז סיבוב רגעי‬ ‫עבודת כח קבוע‬ ‫]𝑁[𝐹 עבודת כח קבוע‬ ‫)𝜃(𝑠𝑜𝑐 קוסינוס הזווית בין ווקטור הכח למסלול שמבצעת הנקודה שעליה פועל הכח‬ ‫]𝑚[𝑠 מסלול שמבצעת הנקודה בהשפעת הכח‬ ‫כוח שפועל על הגוף בכיוון מאונך לכיוון המסלול שמבצע הגוף אינו מבצע עבודה‬ ‫עבודת כח חיכוך קינטי‬ ‫]𝑁[𝑓‪ −‬כח חיכוך קינטי – תמיד מבצע עבודה שלילית‬ ‫𝑘𝜇 מקדם חיכוך קינטי‬ ‫]𝑁[𝑁 כח נורמלי‬ ‫]𝑚[𝑠 מסלול שמבצעת הנקודה בהשפעת הכח‬ ‫𝑠 ∙ )𝜃(𝑠𝑜𝑐 ∙ 𝐹 = 𝐹𝑊‬ ‫‪𝑊𝐹 = 𝐹 ∙ 𝑐𝑜𝑠(90) ∙ 𝑠 = 0‬‬ ‫𝑠 ∙ 𝑁 𝑘𝜇‪𝑊𝑓𝑘 = −𝑓 ∙ 𝑠 = −‬‬ ‫כוח חיכוך סטטי אינו מבצע עבודה (מכיוון שהוא פועל על נק' נייחת)‬ ‫עבודת מומנט טהור קבוע‬ ‫]𝑑𝑎𝑟[𝜃‪𝑊𝑀 = 𝑀Δ‬‬ ‫עבודת המומנט תהיה חיובית כאשר סיבוב הגוף מתבצע בכיוון המומנט‬ ‫עבודת קפיץ פיתול‬ ‫]𝑚∙𝑁[𝑘 קבוע קפיץ פיתול‬ ‫𝑑𝑎𝑟‬ ‫]𝑑𝑎𝑟[𝜃 זווית פיתול‬ ‫דק‬ ‫אנרגיה פונטציאלית כובדית של מרכז מסה‬ ‫אנרגיה פונטציאלית אלסטית‬ ‫‪𝜃0 +𝜃1‬‬ ‫𝜃𝑑)𝜃 ∙ 𝑘( ∫ = 𝑔𝑛𝑖𝑟𝑝𝑠 𝑛𝑜𝑖𝑠𝑟𝑜𝑡𝑊‬ ‫‪𝜃0‬‬ ‫𝐺‪𝐸𝑃 = 𝑚𝑔ℎ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪𝐸𝑒𝑙𝑎𝑠𝑡𝑖𝑐 = 𝑘∆𝑙 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1920/2/01/‬‬ ‫⃗⃗⃗⃗⃗‬ ‫⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ‪𝐻𝐴 = 𝑚𝑑2‬‬ ‫𝐴𝜔‬ ‫ווקטור תנע זוויתי עבור חלקיק שמסתובב סביב נק' ‪ A‬כלשהיא‬ ‫ווקטור תנע זוויתי של גוף שמסתובב סביב נק' מרכז כובד ‪G‬‬ ‫‪ 𝐻𝐺 𝑚2‬תנע זוויתי של גוף סביב נקודת מרכז כובד ‪G‬‬ ‫]‬ ‫⃗⃗⃗⃗⃗⃗‬ ‫⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐺𝐼 = 𝐺𝐻‬ ‫𝐺𝜔‬ ‫∙𝑔𝑘[‬ ‫𝑠‬ ‫] ‪ 𝐼𝐺 [𝑘𝑔∙𝑚2‬מומנט אנרציה מרכזי של הגוף‬ ‫]𝑑𝑎𝑟[𝜔 מהירות זוויתית של הגוף סביב נק' מרכז כובד ‪G‬‬ ‫𝑐𝑒𝑠‬ ‫תנע זוויתי של גוף מסתובב סביב נק' כלשהיא‬ ‫‪ 𝐻𝐴 𝑚2‬תנע זוויתי של גוף שמסתובב סביב נקודה כלשהיא‬ ‫]‬ ‫𝐴𝜔 ‪𝐻𝐴 = 𝐼𝐴 𝜔𝐴 = 𝐼𝐺 𝜔𝐴 + 𝑚𝑣𝑔 𝑑 = 𝐼𝐺 𝜔𝐴 + 𝑚𝑑2‬‬ ‫∙𝑔𝑘[‬ ‫𝑠‬ ‫] ‪ 𝐼𝐺 [𝑘𝑔∙𝑚2‬מומנט אנרציה מרכזי של הגוף‬ ‫]𝑑𝑎𝑟[𝜔 מהירות זוויתית של הגוף סביב נק' כלשהיא‬ ‫𝑐𝑒𝑠‬ ‫]𝑔𝑘[𝑚 מסת הגוף‬ ‫] 𝑚[ 𝐺𝑣 מהירות קווית של נקודת מרכז כובד‬ ‫‪𝑠2‬‬ ‫]𝑚[𝑑 זרוע – המרחק מציר הסיבוב (נק' ‪ )A‬לנקודת מרכז כובד של הגוף‬ ‫תנע זוויתי של גוף מסתובב סביב נק' מרכז סיבוב רגעי‬ ‫‪ 𝐻𝐼𝐶 𝑚2‬תנע זוויתי של גוף סביב נקודה כלשהיא‬ ‫]‬ ‫𝑠‬ ‫𝐶𝐼𝜔 𝐶𝐼𝐼 = 𝐶𝐼𝐻‬ ‫∙𝑔𝑘[‬ ‫] ‪ 𝐼𝐼𝐶 [𝑘𝑔∙𝑚2‬מומנט אנרציה של הגוף סביב ציר סיבוב רגעי (משתמשים במשפט שטיינר)‬ ‫]𝑑𝑎𝑟[𝜔 מהירות זוויתית של הגוף‬ ‫𝑐𝑒𝑠‬ ‫שימור תנע זוויתי (‪)Conservation of Angular Momentum‬‬ ‫תנע זוויתי של מערכת גופים קשיחים נשמר ביחס לנקודת ‪ G‬מרכז כובד (או נקודת ציר סיבוב ‪ ,)O‬כאשר‬ ‫סכום כל המתקפים הזוויתיים סביב נקודה זו הם אפס או שהם קטנים עד כדי הזנחה‪.‬‬ ‫ייתכן בהחלט מצב שבו תנע קווי אינו נשמר אבל תנע זוויתי כן נשמר‪.‬‬ ‫מצב כזה מתרחש כאשר הכוחות החיצוניים שפועלים על הגוף‪ ,‬פועלים על נקודת מרכז הכובד (או על על‬ ‫נקודת ציר הסיבוב של הגוף) ולכן משנים את התנע הקווי אך לא את התנע הזוויתי‪.‬‬ ‫משוואת מתקף ותנע קווי‬ ‫משוואת מתקף ותנע זוויתי‬ ‫‪(𝐻𝐺 )1 = (𝐻𝐺 )2‬‬ ‫‪𝑚(𝑣𝐺 )1 + Σ ∫ 𝐹 𝑑𝑡 = 𝑚(𝑣𝐺 )2‬‬ ‫‪(𝐻𝐺 )1 + Σ ∫ 𝑀𝐺 𝑑𝑡 = (𝐻𝐺 )2‬‬ ‫‪1920/2/01/‬‬ ‫תנועת גוף קשיח במרחב‬ ‫ווקטור מהירות זוויתית עבור גוף שמבצע תנועת ספין ותנועה סיבובית‬ ‫ווקטור תנע זוויתי מרכזי‬ ‫טנזור מומנטי אינרציה אלכסוני נכון עבור מערכת צירים‬ ‫מרכזית וראשית בלבד‬ ‫ווקטור תאוצה זוויתית‬ ‫אחראי על שינוי גודל ושינוי כיוון‬ ‫נגזרת תנע זוויתי מרכזי‬ ‫סכום מומנטים דינמיים סביב נקודת מרכז כובד‬ ‫(ע"פ חוק ‪ II‬של ניטון)‬ ‫𝜔‬ ‫𝜔 = ⃗⃗‬ ‫𝜔 ‪⃗⃗𝑠𝑝𝑖𝑛 +‬‬ ‫𝑛𝑜𝑖𝑠𝑠𝑒𝑐𝑒𝑟𝑝⃗⃗‬ ‫‪0‬‬ ‫𝑥𝜔 𝑥 𝐺𝐼‬ ‫𝑥𝜔‬ ‫) 𝑦𝜔 𝑦𝐺𝐼 ( = ) 𝑦𝜔( ] ‪0‬‬ ‫𝑧𝜔‬ ‫𝑧𝜔 𝐺𝐼‬ ‫𝐺𝐼‬ ‫𝑧‬ ‫𝑧‬ ‫‪0‬‬ ‫𝑦 𝐺𝐼‬ ‫‪0‬‬ ‫𝑥 𝐺𝐼‬ ‫⃗⃗⃗⃗⃗⃗‬ ‫𝜔] 𝐺𝐼[ = 𝐺𝐻‬ ‫‪⃗⃗ = [ 0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫𝜔 = ⃗𝛼‬ ‫⃗⃗⃗⃗⃗ = ̇⃗⃗‬ ‫⃗⃗⃗⃗⃗ ‪𝛼𝑠 +‬‬ ‫⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ‪𝛼𝑝 +‬‬ ‫⃗⃗⃗⃗⃗ × 𝒑𝜔‬ ‫𝒔𝜔‬ ‫⃗⃗⃗⃗⃗⃗‬ ‫𝜔 ‪𝐻𝐺̇ = [𝐼𝐺 ]𝛼⃗ +‬‬ ‫⃗⃗⃗⃗⃗⃗ × ⃗⃗‬ ‫𝐺𝐻‬ ‫⃗⃗⃗⃗⃗⃗‬ ‫̇⃗⃗⃗⃗⃗⃗‬ ‫𝑀‪Σ‬‬ ‫𝐺𝐻 = 𝐺‬ ‫‪1920/2/01/‬‬ ‫מומנט אנרציה מסי של גופים (‪)Mass Moment of inertia‬‬ ‫מומנט אנרציה מרכזי של מוט דק‬ ‫מומנט אנרציה של מוט דק‬ ‫מומנט אנרציה של מוט דק‬ ‫מומנט אנרציה מרכזי של גליל מלא‬ ‫‪1‬‬ ‫‪𝑚𝑙 2‬‬ ‫‪12‬‬ ‫= 𝐺𝐼‬ ‫‪1‬‬ ‫‪𝐼 = 𝑚𝑙 2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪I = 𝑚𝑙 2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪𝐼𝐺 = 𝑚𝑅 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫מומנט אנרציה של גליל מלא‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪𝐼 = 𝑚𝑅 2 + 𝑚𝑙 2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪12‬‬ ‫מומנט אנרציה של חישוק דק‬ ‫‪1‬‬ ‫‪𝐼 = 𝑚𝑅 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫מומנט אנרציה של צינור דק (טבעת)‬ ‫מומנט אנרציה של צינור‬ ‫‪𝐼 = 𝑚𝑅 2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫) ‪𝐼 = 𝑚(𝑟12 + 𝑅22‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1920/2/01/‬‬ ‫מומנט אנרציה מרכזי של פלטה מלבנית דקה‬ ‫‪1‬‬ ‫) ‪𝑚(𝑎2 + 𝑏 2‬‬ ‫‪12‬‬ ‫= 𝐺𝐼‬ ‫מומנט אנרציה של דלת דקה‬ ‫‪1‬‬ ‫‪𝐼 = 𝑚𝐴2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫מומנט אנרציה של ספירה (כדור מלא)‬ ‫‪2‬‬ ‫‪𝐼 = 𝑚𝑅 2‬‬ ‫‪5‬‬ ‫מומנט אנרציה של קליפה כדורית (כדור דק חלול)‬ ‫‪2‬‬ ‫‪𝐼 = 𝑚𝑅 2‬‬ ‫‪3‬‬