דינמיקה של גוף קשיח

‫‪1920/2/01/‬‬
‫דף נוסחאות ‪ -‬דינמיקה של גוף קשיח‬
‫‪Rigid Body Dynamics‬‬
‫העתק (‪)Displacement‬‬
‫שינוי של ווקטור ⃗‪ ⃗R‬בזמן ‪∆t‬‬
‫ווקטור מהירות קווית של חלקיק (‪)Velocity‬‬
‫ווקטור המקביל להעתק והמשיק למסלול‬
‫ווקטור תאוצה קווית (‪)Acceleration‬‬
‫מהירות יחסית (‪)Relative velocity‬‬
‫‪ B‬ביחס ל ‪A‬‬
‫)𝑡(⃗𝑟 ‪∆𝑟⃗ = 𝑟⃗(𝑡 + ∆𝑡) −‬‬
‫⃗𝑟∆‬
‫‪∆t‬‬
‫= ‪𝑣⃗∆t→0‬‬
‫⃗𝑣∆‬
‫𝑡∆‬
‫= ‪𝑎⃗∆𝑡→0‬‬
‫𝐴⃗𝑣 ‪𝑣⃗𝐵⁄ = 𝑣⃗𝐵 −‬‬
‫𝐴‬
‫תנועת חלקיק במסלול מעוקם מחייבת תאוצה‪.‬‬
‫במסלול מעוקם ווקטור המהירות אינו מקביל לווקטור התאוצה‪ ,‬ולכן נהוג לפרק את ווקטור התאוצה לרכיבים‬
‫רכיב תאוצה משיקי (‪)Tangential component of acceleration‬‬
‫מקביל לווקטור המהירות‬
‫רכיב תאוצה נורמלי (‪)Normal component of acceleration‬‬
‫מאונך לווקטור המהירות‪ ,‬מכוון למרכז המעקם‬
‫מהירות זוויתית (‪)Angular Velocity‬‬
‫תאוצה זוויתית (‪)Angular Acceleration‬‬
‫ווקטור תאוצה זוויתית מקביל לווקטור מהירות זוויתית‪,‬‬
‫ומאונך למישור התנועה‪.‬‬
‫כיוונו ע"פ כלל יד ימין‪.‬‬
‫גוף קשיח (‪)Rigid Body‬‬
‫גוף שהמרחק בין שתי נקודות הנמצאות עליו נשאר קבוע‬
‫תנועת העתקה של גוף קשיח (‪)Translation‬‬
‫כאשר קו שנמצא על הגוף נשאר מקביל לאוריינטציה‬
‫ההתחלתית שלו במהלך כל התנועה‪.‬‬
‫תנועה סיבובית של גוף קשיח (‪)Rotation about fixed axis‬‬
‫כאשר גוך קשיח מסתובב סביב ציר סיבוב קבוע‪.‬‬
‫כל החלקיקים שעל הגוף מלבד אלו שנמצאים על ציר הסיבוב‪,‬‬
‫נעים במסלול מעגלי‬
‫⃗𝑣∆‬
‫𝑟𝛼 =‬
‫𝑡∆‬
‫= 𝑡𝑛𝑒𝑔𝑛𝑎𝑡𝑎‬
‫‪𝑣2‬‬
‫𝑟 ‪= 𝜔2‬‬
‫𝑟‬
‫= 𝑙𝑎𝑚𝑟𝑜𝑛𝑎‬
‫𝜃𝑑‬
‫𝑡𝑑‬
‫=𝜔‬
‫𝜔𝑑‬
‫𝑡𝑑‬
‫=𝛼‬
‫‪1920/2/01/‬‬
‫𝑅𝜔 = 𝑣‬
‫מהירות משיקית של נקודה המסתובבת סביב מרכז קבוע‬
‫𝑅‪𝑎𝑡 = α‬‬
‫תאוצה משיקית של נקודה המסתובבת סביב מרכז קבוע‬
‫‪Tangential acceleration measures the rate of change in the magnitude of the velocity‬‬
‫תאוצה נורמלית של נקודה המסתובבת סביב מרכז קבוע‬
‫‪Normal acceleration measures the rate of change in the direction of the velocity‬‬
‫‪𝑉2‬‬
‫𝑅‬
‫= 𝑅 ‪𝑎𝑛 = 𝜔2‬‬
‫נוסחאות קינמטיות עבור תנועה מעגלית‬
‫מהירות זוויתית ברגע ‪ t‬עבור מקרה בו התאוצה הזוויתית קבועה‬
‫)𝑡(𝜔 מהירות זוויתית ברגע ‪ t‬כלשהוא‬
‫]𝑑𝑎𝑟[ ‪ 𝜔0‬מהירות זוויתית התחלתית‬
‫𝑡𝛼 ‪𝜔(𝑡) = 𝜔0 +‬‬
‫𝑐𝑒𝑠‬
‫] 𝑑𝑎𝑟 [𝛼 תאוצה זוויתית קבועה‬
‫‪𝑠𝑒𝑐2‬‬
‫]𝑐𝑒𝑠[𝑡 הרגע עבורו מחשבים את המהירות הזוויתית‬
‫מהירות זוויתית כתלות בזווית סיבוב עבור מקרה בו התאוצה הזוויתית קבועה‬
‫]𝑑𝑎𝑟[𝜔 מהירות זוויתית‬
‫) ‪𝜔2 = 𝜔02 + 2𝛼(𝜃 − 𝜃0‬‬
‫𝑐𝑒𝑠‬
‫] 𝑑𝑎𝑟 [𝛼 תאוצה זוויתית קבועה‬
‫‪𝑠𝑒𝑐2‬‬
‫]𝑑𝑎𝑟[𝜃 זווית הסיבוב הרגע מסויים שעבורו מחשבים את המהירות הזוויתית‬
‫]𝑑𝑎𝑟[ ‪ 𝜃0‬זווית התחלתית‬
‫זווית סיבוב ברגע ‪ t‬כלשהוא עבור מקרה בו התאוצה הזוויתית קבועה‬
‫]𝑑𝑎𝑟[)‪ θ(t‬זווית סיבוב שגוף מבצע כעבור ‪ t‬שניות‬
‫]𝑑𝑎𝑟[ ‪ 𝜃0‬זווית התחלתית‬
‫‪1‬‬
‫‪θ(t) = 𝜃0 + 𝜔0 𝑡 + 𝛼𝑡 2‬‬
‫‪2‬‬
‫]𝑑𝑎𝑟[ ‪ 𝜔0‬מהירות זוויתית התחלתית‬
‫𝑐𝑒𝑠‬
‫]𝑐𝑒𝑠[𝑡 הרגע עבורו מחשבים את זווית הסיבוב‬
‫] 𝑑𝑎𝑟 [𝛼 תאוצה זוויתית קבועה‬
‫‪𝑠𝑒𝑐2‬‬
‫מספר סיבובים שגוף מבצע‬
‫]𝑣𝑒𝑟[𝑛 מספר סיבובים‬
‫]𝑑𝑎𝑟[𝜃 זווית שהגוף עבר כעבור ‪ n‬סיבובים‬
‫𝜃‬
‫𝜋‪2‬‬
‫=𝑛‬
‫נוסחא פולרית למהירות גוף קשיח ‪AB‬‬
‫𝜔 ‪𝑣⃗𝐵 = 𝑣⃗𝐴 +‬‬
‫⃗⃗⃗⃗⃗⃗ × 𝐵𝐴⃗⃗‬
‫𝐵𝐴‬
‫נוסחא פולרית לתאוצת גוף קשיח ‪AB‬‬
‫𝐵𝐴 ∙ ‪⃗⃗⃗⃗⃗⃗ − 𝜔2‬‬
‫⃗⃗⃗⃗⃗⃗‬
‫𝐵𝐴 × ⃗‪𝑎⃗𝐵 = 𝑎⃗𝐴 + ⃗α‬‬
‫‪1920/2/01/‬‬
‫תנאי גלגול ללא החלקה‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫קיים משיק משותף לגופים‬
‫נסמן נקודות מגע בין הגופים (נק' ‪ A‬על גוף ‪ ,1‬ונק' ‪ B‬על גוף ‪)/‬‬
‫𝑉 = 𝐴⃗⃗‬
‫מתקיים תנאי מהירויות עבור נקודות מגע 𝐵⃗⃗‬
‫𝑉‬
‫מתקיים תנאי תאוצות עבור נקודות מגע 𝑥𝐵𝑎 = 𝑥𝐴𝑎‬
‫מקרה פרטי – גלגול ללא החלקה ‪ -‬גלגל על משטח ישר נייח‬
‫נק ‪ B‬היא חלק מהקרקע‪ ,‬ולכן היא נייחת ולכן אין לה‬
‫מהירות ולא תאוצה בכלל‬
‫נק' ‪ A,B‬נוגעות אחת בשניה באופן רגעי‪ ,‬ומכיוון שמדובר בגלגול ללא‬
‫החלקה חייב שבאותו הרגע המהירויות שלהם יהיו שוות בדיוק‪.‬‬
‫נק' ‪ A‬נעה במסלול מעגלי‪ ,‬ולכן יש לה רכיב תאוצה נורמלי‪ ,‬ורכיב תאוצה משיקי‪ .‬אבל‬
‫בגלל תנאי מהירויות נקודות מגע‪ ,‬הרכיב המשיקי של התאוצה מתאפס‪.‬‬
‫‪𝑣𝐴 2‬‬
‫)𝟎 ‪, 0) = (𝑎𝐴𝑥 = 𝑎𝐵𝑥 = 0, 𝜔2 𝑅, 0) = (𝟎, 𝝎𝟐 𝑹,‬‬
‫𝑅‬
‫נק ‪ O‬נעה במסלול ישר‪ ,‬היא נקודת מרכז סיבוב הגלגל‪ ,‬והיא חלק‬
‫מהגלגל‪ ,‬ולכן היא נעה יחד עם הגלגל‪.‬‬
‫המהירות והתאוצה שלה בציר ‪ x‬מושפעים מהמהירות הזוויתית של‬
‫הגלגל תאוצה זוויתית‪ ,‬וגודל הגלגל‪.‬‬
‫)‪⃗⃗𝐵 = (0,0,0‬‬
‫𝑉‬
‫)‪𝑎⃗𝐵 = (0,0,0‬‬
‫𝑉 = 𝐴⃗⃗‬
‫)‪⃗⃗𝐵 = (0,0,0‬‬
‫𝑉‬
‫‪𝑎𝐴𝑥 = 𝑎𝐵𝑥 = 0‬‬
‫)‪⃗⃗𝐴 = (0,0,0‬‬
‫𝑉‬
‫‪𝑎⃗𝐴 = (𝑎𝐴𝑡 , 𝑎𝐴𝑛 , 0) = (𝛼𝑅,‬‬
‫)𝟎 ‪⃗⃗𝑶 = (𝝎𝑹, 𝟎,‬‬
‫𝒗‬
‫)𝟎 ‪⃗⃗𝑶 = (𝜶𝑹, 𝟎,‬‬
‫𝒂‬
‫‪1920/2/01/‬‬
‫מקרה פרטי – שני גלגלים בעלי משיק משותף‪ ,‬מסתובבים ללא החלקה‬
‫𝜔‬
‫) ‪⃗⃗1 = (0,0, 𝜔1‬‬
‫)‪𝑣⃗𝑂1 = (0,0,0‬‬
‫)‪𝑣⃗𝐴 = (𝑣𝐴𝑥 ,0,0) = (𝜔1 𝑟1 , 0,0‬‬
‫)‪𝑎⃗𝐴 = (𝑎𝐴𝑡 , 𝑎𝐴𝑛 , 0) = (𝛼1 𝑟1 , 𝜔12 𝑟1 ,0‬‬
‫𝜔‬
‫) ‪⃗⃗2 = (0,0, −𝜔2‬‬
‫)‪𝑣⃗𝑂2 = (0,0,0‬‬
‫)‪𝑣⃗𝐵 = (𝑣𝐵𝑥 ,0,0) = (−𝜔2 𝑟2 , 0,0‬‬
‫)‪𝑎⃗𝐵 = (𝑎𝐵𝑡 , 𝑎𝐵𝑛 , 0) = (𝛼2 𝑟2 , 𝜔22 𝑟2 ,0‬‬
‫ע"פ תנאי גלגול ללא החלקה‪ ,‬מתקיים‪:‬‬
‫𝑉 = 𝐴⃗⃗‬
‫𝐵⃗⃗‬
‫𝑉‬
‫)‪(𝜔1 𝑟1 , 0,0) = (−𝜔2 𝑟2 , 0,0‬‬
‫‪𝜔1 𝑟1 = −𝜔2 𝑟2‬‬
‫𝑥𝐵𝑎 = 𝑥𝐴𝑎‬
‫𝑡𝐵𝑎 = 𝑡𝐴𝑎‬
‫‪𝛼1 𝑟1 = 𝛼2 𝑟2‬‬
‫‪1920/2/01/‬‬
‫חוק שני עבור גוף קשיח – משוואת סכום כוחות עבור גוף קשיח‬
‫𝑦 𝐺𝑎𝑚 = 𝑦𝐹‪Σ‬‬
‫𝐺⃗𝑎𝑚 = 𝐹‪Σ‬‬
‫𝑥 𝐺𝑎𝑚 = 𝑥𝐹‪Σ‬‬
‫משוואת סכום מומנטים עבור תנועה במישור‬
‫⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ̇⃗⃗‬
‫𝐻 = 𝑜𝑀‪Σ‬‬
‫𝑎𝑚 × 𝐺𝑂‬
‫⃗⃗⃗⃗⃗‬
‫⃗‬
‫𝛼 𝐺𝐼 ‪𝐺 +‬‬
‫𝑜𝑀‪ Σ‬סכום מומנטים סביב נק' כלשהיא ‪ O‬שהיא לא נק' מרכז מסה‬
‫̇⃗⃗‬
‫𝐻 נגזרת של תנע זוויתי‬
‫⃗⃗⃗⃗⃗⃗‬
‫𝐺𝑂 זרוע – המרחק מנק' מרכז מסה לנקודה כלשהיא ‪O‬‬
‫𝑚 מסת הגוף‬
‫⃗⃗⃗⃗⃗ ווקטור תאוצת מרכז כובד‬
‫𝐺𝑎‬
‫𝐺𝐼 מומנט אינרציה מרכזי של הגוף ביחס לציר המאונך למישור התנועה‬
‫⃗𝛼 ווקטור תאוצה זוויתית‬
‫משוואות סכום מומנטים עבור תנועה במישור – סביב נקודת מרכז מסה ‪G‬‬
‫מומנט אנרציה של מסה – משפט צירים מקבילים (שטיינר)‬
‫𝛼 𝐺𝐼 = ‪ΣMG‬‬
‫‪𝐼 = 𝐼𝐺 + 𝑚𝑑2‬‬
‫] ‪ 𝐼[𝑘𝑔∙𝑚2‬מומנט אנרציה של מסה‪2‬גוף סביב נקודה כלשהיא‬
‫] ‪ 𝐼𝐺 [𝑘𝑔∙𝑚2‬מומנט אנרציה מרכזי סביב ציר מרכז כובד‬
‫]𝑔𝑘[𝑚 מסת הגוף‬
‫]𝑚[𝑑 מרחק אנכי בין נקודה כלשהיא לנקודת מרכז הכובד של הגוף‬
‫רדיוס גירציה‬
‫נתון שמופיע בטבלה‪ ,‬עבור גופים לא סטנדרטיים שקשה לחשב עבורם את מומנט‬
‫האנרציה‪ ,‬ולכן מומנט אנרציה שלהם נמדד בניסוי ומבוטא באמצעות רדיוס גרציה‪.‬‬
‫𝐼‬
‫√=𝑘‬
‫𝑚‬
‫]𝑚[𝑘 רדיוס גירציה‬
‫] ‪ 𝐼[𝑘𝑔∙𝑚2‬מומנט אנרציה‬
‫]𝑔𝑘[𝑚 מסת הגוף‬
‫מומנט אנרציה של גוף כאשר ידוע רדיוס גירציה של הגוף‬
‫] ‪ 𝐼[𝑘𝑔∙𝑚2‬מומנט אנרציה‬
‫]𝑔𝑘[𝑚 מסת הגוף‬
‫]𝑚[𝑘 רדיוס גירציה‬
‫מערכת צירים מרכזית – מערכת צירים שראשיתם נמצא בנקודת מרכז מסה ‪ 2 G‬מרכז שטח‬
‫מערכת צירים ראשית – מערכת צירים שנמצאת על צירי הסימטריה של הגוף‪ ,‬ומכפלות האינרציה שלה‬
‫שוות אפס‪.‬‬
‫מערכת צירים מרכזית וראשית – מערכת צירים שראשיתה נמצאת בנקודת מרכז שטח‪2‬מסה וגם נמצאת‬
‫על צירי הסימטריה של הגוף‪ ,‬ולכן מכפלות האינרציה שלה שוות אפס‪.‬‬
‫‪I = 𝑚𝑘 2‬‬
‫‪1920/2/01/‬‬
‫משפט עבודה ואנרגיה‬
‫]𝐽[ ‪ 𝐸1‬אנרגיה (פוטנציאלית כובדתית‪,‬קינטית קווית‪,‬קינטית סיבובית‪,‬אלסטית) במצב ‪1‬‬
‫‪𝐸1 + Σ𝑊1→2 = 𝐸2‬‬
‫‪ Σ𝑊1→2‬סכום כל העבודות שנעשות על המערכת במעבר ממצב ‪ 1‬למצב ‪/‬‬
‫]𝐽[ ‪ 𝐸2‬אנרגיה (פוטנציאלית כובדתית‪ ,‬קינטית קווית‪,‬קינטית סיבובית‪,‬אלסטית) במצב ‪/‬‬
‫‪1‬‬
‫‪𝐸𝑘 = 𝐼𝐺 𝜔2‬‬
‫‪2‬‬
‫אנרגיה קינטית עבור תנועה סיבובית סביב ציר קבוע‬
‫שעובר בנק' מרכז מסה של הגוף‬
‫אנרגיה קינטית עבור תנועה סיבובית סביב ציר קבוע‬
‫שעובר בנק' מרכז סיבוב רגעי ‪O‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪𝐸𝑘 = 𝐼𝑂 𝜔2 = (𝐼𝐺 + 𝑚𝑑2 )𝜔2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫נקודת מרכז סיבוב רגעי ‪IC = Instantaneous Center‬‬
‫‪.1‬מפגש האנכים לווקטור המהירות של ‪ /‬נקודות על הגוף מהווה מרכז סיבוב רגעי‬
‫‪./‬ציר סיבוב קבוע מהווה מרכז סיבוב רגעי‬
‫‪.3‬נקודת מגע עם קרקע נייחת בגלגל ללא החלקה מהווה מרכז סיבוב רגעי‬
‫עבודת כח קבוע‬
‫]𝑁[𝐹 עבודת כח קבוע‬
‫)𝜃(𝑠𝑜𝑐 קוסינוס הזווית בין ווקטור הכח למסלול שמבצעת הנקודה שעליה פועל הכח‬
‫]𝑚[𝑠 מסלול שמבצעת הנקודה בהשפעת הכח‬
‫כוח שפועל על הגוף בכיוון מאונך לכיוון המסלול שמבצע הגוף אינו מבצע עבודה‬
‫עבודת כח חיכוך קינטי‬
‫]𝑁[𝑓‪ −‬כח חיכוך קינטי – תמיד מבצע עבודה שלילית‬
‫𝑘𝜇 מקדם חיכוך קינטי‬
‫]𝑁[𝑁 כח נורמלי‬
‫]𝑚[𝑠 מסלול שמבצעת הנקודה בהשפעת הכח‬
‫𝑠 ∙ )𝜃(𝑠𝑜𝑐 ∙ 𝐹 = 𝐹𝑊‬
‫‪𝑊𝐹 = 𝐹 ∙ 𝑐𝑜𝑠(90) ∙ 𝑠 = 0‬‬
‫𝑠 ∙ 𝑁 𝑘𝜇‪𝑊𝑓𝑘 = −𝑓 ∙ 𝑠 = −‬‬
‫כוח חיכוך סטטי אינו מבצע עבודה (מכיוון שהוא פועל על נק' נייחת)‬
‫עבודת מומנט טהור קבוע‬
‫]𝑑𝑎𝑟[𝜃‪𝑊𝑀 = 𝑀Δ‬‬
‫עבודת המומנט תהיה חיובית כאשר סיבוב הגוף מתבצע בכיוון המומנט‬
‫עבודת קפיץ פיתול‬
‫]𝑚∙𝑁[𝑘 קבוע קפיץ פיתול‬
‫𝑑𝑎𝑟‬
‫]𝑑𝑎𝑟[𝜃 זווית פיתול‬
‫דק‬
‫אנרגיה פונטציאלית כובדית של מרכז מסה‬
‫אנרגיה פונטציאלית אלסטית‬
‫‪𝜃0 +𝜃1‬‬
‫𝜃𝑑)𝜃 ∙ 𝑘( ∫ = 𝑔𝑛𝑖𝑟𝑝𝑠 𝑛𝑜𝑖𝑠𝑟𝑜𝑡𝑊‬
‫‪𝜃0‬‬
‫𝐺‪𝐸𝑃 = 𝑚𝑔ℎ‬‬
‫‪1‬‬
‫‪𝐸𝑒𝑙𝑎𝑠𝑡𝑖𝑐 = 𝑘∆𝑙 2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1920/2/01/‬‬
‫⃗⃗⃗⃗⃗‬
‫⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ‪𝐻𝐴 = 𝑚𝑑2‬‬
‫𝐴𝜔‬
‫ווקטור תנע זוויתי עבור חלקיק שמסתובב סביב נק' ‪ A‬כלשהיא‬
‫ווקטור תנע זוויתי של גוף שמסתובב סביב נק' מרכז כובד ‪G‬‬
‫‪ 𝐻𝐺 𝑚2‬תנע זוויתי של גוף סביב נקודת מרכז כובד ‪G‬‬
‫]‬
‫⃗⃗⃗⃗⃗⃗‬
‫⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐺𝐼 = 𝐺𝐻‬
‫𝐺𝜔‬
‫∙𝑔𝑘[‬
‫𝑠‬
‫] ‪ 𝐼𝐺 [𝑘𝑔∙𝑚2‬מומנט אנרציה מרכזי של הגוף‬
‫]𝑑𝑎𝑟[𝜔 מהירות זוויתית של הגוף סביב נק' מרכז כובד ‪G‬‬
‫𝑐𝑒𝑠‬
‫תנע זוויתי של גוף מסתובב סביב נק' כלשהיא‬
‫‪ 𝐻𝐴 𝑚2‬תנע זוויתי של גוף שמסתובב סביב נקודה כלשהיא‬
‫]‬
‫𝐴𝜔 ‪𝐻𝐴 = 𝐼𝐴 𝜔𝐴 = 𝐼𝐺 𝜔𝐴 + 𝑚𝑣𝑔 𝑑 = 𝐼𝐺 𝜔𝐴 + 𝑚𝑑2‬‬
‫∙𝑔𝑘[‬
‫𝑠‬
‫] ‪ 𝐼𝐺 [𝑘𝑔∙𝑚2‬מומנט אנרציה מרכזי של הגוף‬
‫]𝑑𝑎𝑟[𝜔 מהירות זוויתית של הגוף סביב נק' כלשהיא‬
‫𝑐𝑒𝑠‬
‫]𝑔𝑘[𝑚 מסת הגוף‬
‫] 𝑚[ 𝐺𝑣 מהירות קווית של נקודת מרכז כובד‬
‫‪𝑠2‬‬
‫]𝑚[𝑑 זרוע – המרחק מציר הסיבוב (נק' ‪ )A‬לנקודת מרכז כובד של הגוף‬
‫תנע זוויתי של גוף מסתובב סביב נק' מרכז סיבוב רגעי‬
‫‪ 𝐻𝐼𝐶 𝑚2‬תנע זוויתי של גוף סביב נקודה כלשהיא‬
‫]‬
‫𝑠‬
‫𝐶𝐼𝜔 𝐶𝐼𝐼 = 𝐶𝐼𝐻‬
‫∙𝑔𝑘[‬
‫] ‪ 𝐼𝐼𝐶 [𝑘𝑔∙𝑚2‬מומנט אנרציה של הגוף סביב ציר סיבוב רגעי (משתמשים במשפט שטיינר)‬
‫]𝑑𝑎𝑟[𝜔 מהירות זוויתית של הגוף‬
‫𝑐𝑒𝑠‬
‫שימור תנע זוויתי (‪)Conservation of Angular Momentum‬‬
‫תנע זוויתי של מערכת גופים קשיחים נשמר ביחס לנקודת ‪ G‬מרכז כובד (או נקודת ציר סיבוב ‪ ,)O‬כאשר‬
‫סכום כל המתקפים הזוויתיים סביב נקודה זו הם אפס או שהם קטנים עד כדי הזנחה‪.‬‬
‫ייתכן בהחלט מצב שבו תנע קווי אינו נשמר אבל תנע זוויתי כן נשמר‪.‬‬
‫מצב כזה מתרחש כאשר הכוחות החיצוניים שפועלים על הגוף‪ ,‬פועלים על נקודת מרכז הכובד (או על על‬
‫נקודת ציר הסיבוב של הגוף) ולכן משנים את התנע הקווי אך לא את התנע הזוויתי‪.‬‬
‫משוואת מתקף ותנע קווי‬
‫משוואת מתקף ותנע זוויתי‬
‫‪(𝐻𝐺 )1 = (𝐻𝐺 )2‬‬
‫‪𝑚(𝑣𝐺 )1 + Σ ∫ 𝐹 𝑑𝑡 = 𝑚(𝑣𝐺 )2‬‬
‫‪(𝐻𝐺 )1 + Σ ∫ 𝑀𝐺 𝑑𝑡 = (𝐻𝐺 )2‬‬
‫‪1920/2/01/‬‬
‫תנועת גוף קשיח במרחב‬
‫ווקטור מהירות זוויתית עבור גוף שמבצע תנועת ספין ותנועה סיבובית‬
‫ווקטור תנע זוויתי מרכזי‬
‫טנזור מומנטי אינרציה אלכסוני נכון עבור מערכת צירים‬
‫מרכזית וראשית בלבד‬
‫ווקטור תאוצה זוויתית‬
‫אחראי על שינוי גודל ושינוי כיוון‬
‫נגזרת תנע זוויתי מרכזי‬
‫סכום מומנטים דינמיים סביב נקודת מרכז כובד‬
‫(ע"פ חוק ‪ II‬של ניטון)‬
‫𝜔‬
‫𝜔 = ⃗⃗‬
‫𝜔 ‪⃗⃗𝑠𝑝𝑖𝑛 +‬‬
‫𝑛𝑜𝑖𝑠𝑠𝑒𝑐𝑒𝑟𝑝⃗⃗‬
‫‪0‬‬
‫𝑥𝜔 𝑥 𝐺𝐼‬
‫𝑥𝜔‬
‫) 𝑦𝜔 𝑦𝐺𝐼 ( = ) 𝑦𝜔( ] ‪0‬‬
‫𝑧𝜔‬
‫𝑧𝜔 𝐺𝐼‬
‫𝐺𝐼‬
‫𝑧‬
‫𝑧‬
‫‪0‬‬
‫𝑦 𝐺𝐼‬
‫‪0‬‬
‫𝑥 𝐺𝐼‬
‫⃗⃗⃗⃗⃗⃗‬
‫𝜔] 𝐺𝐼[ = 𝐺𝐻‬
‫‪⃗⃗ = [ 0‬‬
‫‪0‬‬
‫𝜔 = ⃗𝛼‬
‫⃗⃗⃗⃗⃗ = ̇⃗⃗‬
‫⃗⃗⃗⃗⃗ ‪𝛼𝑠 +‬‬
‫⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ‪𝛼𝑝 +‬‬
‫⃗⃗⃗⃗⃗ × 𝒑𝜔‬
‫𝒔𝜔‬
‫⃗⃗⃗⃗⃗⃗‬
‫𝜔 ‪𝐻𝐺̇ = [𝐼𝐺 ]𝛼⃗ +‬‬
‫⃗⃗⃗⃗⃗⃗ × ⃗⃗‬
‫𝐺𝐻‬
‫⃗⃗⃗⃗⃗⃗‬
‫̇⃗⃗⃗⃗⃗⃗‬
‫𝑀‪Σ‬‬
‫𝐺𝐻 = 𝐺‬
‫‪1920/2/01/‬‬
‫מומנט אנרציה מסי של גופים (‪)Mass Moment of inertia‬‬
‫מומנט אנרציה מרכזי של מוט דק‬
‫מומנט אנרציה של מוט דק‬
‫מומנט אנרציה של מוט דק‬
‫מומנט אנרציה מרכזי של גליל מלא‬
‫‪1‬‬
‫‪𝑚𝑙 2‬‬
‫‪12‬‬
‫= 𝐺𝐼‬
‫‪1‬‬
‫‪𝐼 = 𝑚𝑙 2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪I = 𝑚𝑙 2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪𝐼𝐺 = 𝑚𝑅 2‬‬
‫‪2‬‬
‫מומנט אנרציה של גליל מלא‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪𝐼 = 𝑚𝑅 2 + 𝑚𝑙 2‬‬
‫‪4‬‬
‫‪12‬‬
‫מומנט אנרציה של חישוק דק‬
‫‪1‬‬
‫‪𝐼 = 𝑚𝑅 2‬‬
‫‪2‬‬
‫מומנט אנרציה של צינור דק (טבעת)‬
‫מומנט אנרציה של צינור‬
‫‪𝐼 = 𝑚𝑅 2‬‬
‫‪1‬‬
‫) ‪𝐼 = 𝑚(𝑟12 + 𝑅22‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1920/2/01/‬‬
‫מומנט אנרציה מרכזי של פלטה מלבנית דקה‬
‫‪1‬‬
‫) ‪𝑚(𝑎2 + 𝑏 2‬‬
‫‪12‬‬
‫= 𝐺𝐼‬
‫מומנט אנרציה של דלת דקה‬
‫‪1‬‬
‫‪𝐼 = 𝑚𝐴2‬‬
‫‪3‬‬
‫מומנט אנרציה של ספירה (כדור מלא)‬
‫‪2‬‬
‫‪𝐼 = 𝑚𝑅 2‬‬
‫‪5‬‬
‫מומנט אנרציה של קליפה כדורית (כדור דק חלול)‬
‫‪2‬‬
‫‪𝐼 = 𝑚𝑅 2‬‬
‫‪3‬‬