‫טיפים להצלחה במהלך הבחינה‬ ‫‪ .1‬בתחילת הבחינה קראו היטב את כל השאלות וסמנו לעצמכם את השאלות המועדפות על ידכם‪ .‬קראו‬ ‫כל שאלה לפחות פעמיים‪ ,‬כדי שלא תחמיצו נתון כלשהו‪.‬‬ ‫‪ .2‬אין צורך לענות על השאלות לפי סדר הופעתן‪ .‬מומלץ לענות תחילה על השאלה הקלה יותר‪.‬‬ ‫‪ .3‬יש לכתוב תשובות מלאות ומנומקות‪ .‬אין לדלג על שלבים בפתרון‪.‬‬ ‫יש לרשום את כל הטיוטות במחברת הבחינה בלבד‪.‬‬ ‫‬ ‫‪ .4‬אין לענות על מספר שאלות גדול מהדרוש‪ .‬הבוחן יבדוק רק את ‪ 4‬השאלות הראשונות במחברת‪.‬‬ ‫אם התחלתם שאלה ואינכם מעוניינים להשאירה זכרו למחוק אותה‪.‬‬ ‫‬ ‫‪ .5‬עדיף לענות על חלק משאלה מאשר לא לענות כלל‪.‬‬ ‫‪ .6‬הדגישו במרקר את התשובות הסופית או מסגרו אותן‪.‬‬ ‫‪ .7‬עם סיום הבחינה אל תמהרו לצאת! בדקו שוב את התשובות לתרגילים‪.‬‬ ‫‬ ‫ראו שלא החמצתם סעיף כלשהו‪.‬‬ ‫‪ .8‬אם אתם לא מצליחים לפתור שאלה אל תאבקו איתה! המשיכו לשאלה אחרת ייתכן שהיא תהיה‬ ‫נוחה יותר‪.‬‬ ‫‬ ‫בסוף המבחן חזרו לשאלות שלא הצלחתם ונסו לפתור אותן שוב‪.‬‬ ‫‪ .9‬מומלץ להעזר בטבלאות ובסרטוטים במידת הצורך‪.‬‬ ‫פוקוס במתמטיקה — שאלון ‪ — 35803‬שחר יהל‬ ‫‪9‬‬ ‫‪10‬‬ ‫העתקה ו‪/‬או צילום מספר זה הם מעשה לא חינוכי‪ ,‬המהווה עברה פלילית‪.‬‬ ‫‪ — 803‬רשימת נוסחאות מורחבת ודרכים לפתרון השאלות‬ ‫‪ .1‬בעיות‬ ‫בעיות קנייה ומכירה‪:‬‬ ‫א‪ .‬בונים טבלה הכוללת שלוש עמודות ושני מצבים‬ ‫‬ ‫כמות‬ ‫סה"כ כסף‬ ‫מחיר יחידה אחת‬ ‫מצב ‪I‬‬ ‫מצב ‪II‬‬ ‫ב‪ .‬מציבים בטבלה את הנתונים וממלאים את העמודה החסרה בעזרת הנוסחה‪:‬‬ ‫סך כל הכסף = כמות · מחיר יחידה אחת‬ ‫ג‪.‬‬ ‫מתוך הטבלה בונים משוואה אחת עם נעלם אחד או שתי משוואות עם שני נעלמים‪.‬‬ ‫ד‪ .‬פותרים את המשוואה או המשוואות‪.‬‬ ‫ה‪ .‬רושמים תשובה במילים‪.‬‬ ‫*‬ ‫מומלץ לבצע בסוף התרגיל בדיקה בעזרת הצבת הפתרון שהתקבל בסיפור הבעיה‪.‬‬ ‫בעיות אחוזים‪:‬‬ ‫א‪ .‬הנוסחה לחישוב אחוז מסוים מכמות נתונה היא‪:‬‬ ‫ב‪ .‬הנוסחה לחישוב כמות הגדולה באחוז מסוים מכמות נתונה היא‪:‬‬ ‫ג‪.‬‬ ‫‬ ‫הנוסחה לחישוב כמות הקטנה באחוז מסוים מכמות נתונה היא‪:‬‬ ‫דוגמאות‪ 20% :‬מ–‪ x‬הם‪:‬‬ ‫אחוז · כמות‬ ‫‪100‬‬ ‫כמות · (אחוז ‪)100 +‬‬ ‫‪100‬‬ ‫כמות · (אחוז — ‪)100‬‬ ‫‪100‬‬ ‫‪x · 20‬‬ ‫‪= 0.2 x‬‬ ‫‪100‬‬ ‫‬ ‫‪(100 + 20 ) · x‬‬ ‫מוצר עולה ‪ x‬ש"ח ומחירו מתייקר ב–‪ .20%‬מחירו החדש יהיה‪= 1.2 x :‬‬ ‫‪100‬‬ ‫‬ ‫‪(100 − 20 ) · x‬‬ ‫‪= 0.8 x‬‬ ‫‪100‬‬ ‫מוצר עולה ‪ x‬ש"ח ומחירו מוזל ב–‪ .20%‬מחירו החדש יהיה‪:‬‬ ‫פוקוס במתמטיקה — שאלון ‪ — 35803‬שחר יהל‬ ‫‪11‬‬ ‫בעיות גאומטריות‪:‬‬ ‫א‪ .‬נוסחאות לחישוב שטחים והיקפים‪:‬‬ ‫‬ ‫הסרטוט‬ ‫הצורה‬ ‫ההיקף‬ ‫השטח‬ ‫‪a‬‬ ‫‪a‬‬ ‫ריבוע‬ ‫‪a‬‬ ‫‪4a‬‬ ‫‪a2‬‬ ‫‪a‬‬ ‫מלבן‬ ‫‪b‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪c‬‬ ‫‪h b‬‬ ‫משולש‬ ‫‪a‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪‬‬ ‫מעוין‬ ‫‪k‬‬ ‫טרפז‬ ‫‪a·h‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪a+b+c‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪4a‬‬ ‫‪·k‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪c‬‬ ‫‪a·b‬‬ ‫‪2a + 2b‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪h‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪d‬‬ ‫‪(a + b ) · h‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪a+b+c+d‬‬ ‫הנדסה אנליטית‬ ‫ברוב התרגילים מומלץ לבצע סרטוט (הסרטוט אינו חייב להיות במערכת צירים — אפשר לסרטט אותו‬ ‫באופן סכמטי)‪.‬‬ ‫א‪ .‬הקו הישר‪ — m( y = mx + n :‬שיפוע הישר‪ — n ,‬נקודת החיתוך של הישר עם ציר ה–‪.)y‬‬ ‫‬ ‫כדי למצוא משוואת ישר יש צורך בנקודה )‪ (x , y‬ובשיפוע ‪ .m‬נשתמש בנוסחה‪.y – y1 = m (x–x1) :‬‬ ‫*‬ ‫דרכים למציאת שיעורי נקודה‪:‬‬ ‫—‬ ‫נקודת החיתוך של הישר עם ציר ה–‪ :y‬נציב במשוואת הישר ‪ x = 0‬ונקבל את ‪.y‬‬ ‫—‬ ‫נקודת החיתוך של הישר עם ציר ה–‪ :x‬נציב במשוואת הישר ‪ y = 0‬ונקבל את ‪.x‬‬ ‫‪12‬‬ ‫העתקה ו‪/‬או צילום מספר זה הם מעשה לא חינוכי‪ ,‬המהווה עברה פלילית‪.‬‬ ‫—‬ ‫נקודת חיתוך של שני ישרים‪ :‬משווים בין שני הישרים ופותרים מערכת של שתי משוואות‪.‬‬ ‫—‬ ‫נקודת אמצע קטע ‪:AB‬‬ ‫‪B‬‬ ‫*‬ ‫‬ ‫‪yA + yB‬‬ ‫‪2‬‬ ‫= ‪yM‬‬ ‫‪M‬‬ ‫‪xA + xB‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‬ ‫נעזרים בנוסחה‪:‬‬ ‫‬ ‫הערה‪ :‬בעזרת נוסחה זו ניתן למצוא גם קצה קטע אם נתון הקצה השני ואמצע הקטע‪.‬‬ ‫= ‪xM‬‬ ‫דרכים למציאת שיפוע‬ ‫— מציאת שיפוע על פי שתי נקודות‪ :‬נציב בנוסחה‪y 2 − y1 :‬‬ ‫‪x 2 − x1‬‬ ‫=‪m‬‬ ‫) ‪( m1 = m 2‬‬ ‫)‪( m1 ·m 2 = −1‬‬ ‫‬ ‫— ישרים מקבילים‪ :‬לישרים מקבילים יש שיפועים שווים‪:‬‬ ‫‬ ‫— ישרים מאונכים‪ :‬לישרים מאונכים יש שיפוע הפכי ונגדי‪:‬‬ ‫‬ ‫— מציאת שיפוע על פי ישר נתון‪ :‬מבודדים את ‪ m . y = mx + n ← y‬הוא השיפוע‪.‬‬ ‫*‬ ‫‪A‬‬ ‫מציאת מרחק בין שתי נקודות ‪ /‬אורך קטע‬ ‫‪2‬‬ ‫) ‪d 2 = ( x 2 − x1 ) + ( y 2 − y1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‬ ‫ניעזר בנוסחה‪:‬‬ ‫‬ ‫כדי למצוא את המרחק נוציא שורש ונקבל‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫) ‪( x 2 − x1 ) + ( y 2 − y1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫=‪d‬‬ ‫הוכחות‬ ‫משולש ישר–זווית — כדי להוכיח שמשולש הוא ישר–זווית נחשב את שיפועי הצלעות (על פי נוסחת ‪)m‬‬ ‫ונראה שקיימות שתי צלעות ששיפועיהן הפכיים ונגדיים (או שמכפלת השיפועים ‪.)–1‬‬ ‫משולש שווה–שוקיים — כדי להוכיח שמשולש הוא שווה–שוקיים יש לחשב את אורכי הצלעות (על פי‬ ‫נוסחת ‪ )d‬ולהראות שקיימות ‪ 2‬צלעות שוות באורכן‪.‬‬ ‫דלתון — כדי להוכיח שמרובע הוא דלתון נחשב את אורכי הצלעות (על פי נוסחת ‪ )d‬ונראה כי ‪ 2‬צלעות‬ ‫סמוכות שוות באורכן ו–‪ 2‬הצלעות האחרות שוות באורכן‪.‬‬ ‫מקבילית — כדי להוכיח שמרובע הוא מקבילית יש לחשב את שיפועי ‪ 4‬צלעותיו (על פי נוסחת ‪ )m‬ולהראות‬ ‫ששיפועי כל שתי צלעות נגדיות — שווים‪.‬‬ ‫(דרך נוספת היא להראות שאלכסוני המרובעים חוצים זה את זה על פי נוסחת אמצע קטע)‪.‬‬ ‫פוקוס במתמטיקה — שאלון ‪ — 35803‬שחר יהל‬ ‫‪13‬‬ ‫מעוין — כדי להוכיח שמרובע הוא מעוין יש לחשב את אורכי הצלעות (על פי נוסחת ‪ )d‬ולהראות שכל‬ ‫הצלעות שוות באורכן‪.‬‬ ‫מלבן — כדי להוכיח שמרובע הוא מלבן נחשב את שיפועי כל הצלעות (על פי נוסחת ‪ )m‬ולהראות ששיפועי‬ ‫כל שתי צלעות נגדיות — שווים ושמכפלת השיפועים של ‪ 2‬צלעות סמוכות היא ‪( –1‬שיפוע הפכי ונגדי)‪.‬‬ ‫ריבוע — כדי להוכיח שמרובע הוא ריבוע נראה כי הוא מלבן (ראה ההסבר לגבי הוכחת מלבן) ובנוסף‬ ‫להראות כי שתי צלעות סמוכות של המרובע שוות באורכן (על פי נוסחת ‪.)d‬‬ ‫טרפז — על מנת להוכיח שמרובע הוא טרפז נחשב את השיפועים של כל הצלעות (על פי נוסחת ‪ )m‬ונראה‬ ‫כי שיפועי זוג צלעות נגדיות אחד שווים ושיפועי הזוג השני לא שווים‪.‬‬ ‫* כדי להראות שהטרפז שווה–שוקיים נשווה את אורך השוקיים (על פי נוסחת ‪.)d‬‬ ‫* כדי להראות שהטרפז ישר–זווית נראה כי שיפוע אחת השוקיים הפכי ונגדי לשיפוע הבסיסים‪.‬‬ ‫ב‪ .‬המעגל‬ ‫‬ ‫משוואת המעגל היא‪( x − a )2 + ( y − b )2 = R 2 :‬‬ ‫‬ ‫כאשר שיעורי מרכז המעגל הם )‪ (a , b‬ורדיוס המעגל הוא ‪.R‬‬ ‫—‬ ‫כדי למצוא משוואת מעגל צריך למצוא את שיעורי מרכז המעגל ונקודה על המעגל‪ .‬נציב את נקודת‬ ‫המרכז והנקודה הנוספת במשוואת המעגל ונמצא את הרדיוס‪.‬‬ ‫—‬ ‫אם נתונות נקודות המהוות קצות קוטר‪.‬‬ ‫‬ ‫נמצא בעזרת הנקודות את מרכז המעגל (על פי הנוסחה למציאת אמצע קטע)‪.‬‬ ‫‬ ‫נציב את נקודת המרכז ואחת מהנקודות במשוואת המעגל ונמצא את הרדיוס‪.‬‬ ‫—‬ ‫חשוב לזכור!‬ ‫‬ ‫היתר של משולש ישר–זווית מהווה את קוטר המעגל החוסם את המשולש‪.‬‬ ‫—‬ ‫המשיק למעגל מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה (נשתמש בתכונת הישרים המאונכים — שיפוע הפכי‬ ‫ונגדי)‪.‬‬ ‫*‬ ‫נקודות חיתוך של המעגל עם הצירים‪:‬‬ ‫‬ ‫חיתוך עם ציר ה–‪ — x‬נציב ‪.y = 0‬‬ ‫‬ ‫חיתוך עם ציר ה–‪ — y‬נציב ‪.x = 0‬‬ ‫‪14‬‬ ‫העתקה ו‪/‬או צילום מספר זה הם מעשה לא חינוכי‪ ,‬המהווה עברה פלילית‪.‬‬ ‫נגזרות‬ ‫שיטות גזירה‬ ‫השיטה‬ ‫נגזרת של‬ ‫הכלל‬ ‫‪n −1‬‬ ‫דוגמאות‬ ‫‪( x ) ' = nx‬‬ ‫)‬ ‫‪+ 3x 2 + 2 x + 7 ' = 5 x 4 + 6 x + 2‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪(x )' = 1‬‬ ‫פולינום‬ ‫‪(x )' = 1‬‬ ‫‪(20 )' = 0‬‬ ‫‪ ) ' = 0‬מספר(‬ ‫נגזרת של מכפלה‬ ‫נגזרת של‬ ‫פונקציה‬ ‫רציונלית‬ ‫‪5‬‬ ‫‪(x‬‬ ‫)‬ ‫' ‪+ 5 · 2 (u · v)' = u ' · v + u · v‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪) ( 2x − 7 ) ' = (6x) (2x − 7) + ( 3x‬‬ ‫(‬ ‫‪ 3x 2 + 5‬‬ ‫‪‬‬ ‫'‬ ‫‪−5 · 2 x‬‬ ‫‪ 5 ‬‬ ‫‪ 2‬‬ ‫‪ = 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x −4‬‬ ‫‪x −4‬‬ ‫'‬ ‫) ‪ a  − a · f '(x‬‬ ‫= ‪ f (x ) ‬‬ ‫‪( f ( x ) )2‬‬ ‫'‬ ‫‪ 1  −1‬‬ ‫‪  = 2‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫'‬ ‫‪ a  −a‬‬ ‫‪  = 2‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫'‬ ‫‪ 1  −1‬‬ ‫‪  = 2‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫'‬ ‫‪ 7  −7‬‬ ‫‪  = 2‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪' 2 ·1‬‬ ‫= ‪2 x‬‬ ‫‪2 x‬‬ ‫)‬ ‫משוואת משיק‬ ‫(‬ ‫שיפוע המשיק לפונקציה הנקודה = הנגזרת בנקודה‬ ‫א‪ .‬מציאת משוואת משיק על פי פונקציה ו–‪ x‬נתונים‪.‬‬ ‫—‬ ‫גוזרים את הפונקציה ומציבים ב–'‪ y‬את ה–‪ ← x‬מקבלים את השיפוע )‪.(m‬‬ ‫—‬ ‫מציבים את ה–‪ x‬הנתון בפונקציה המקורית ← מקבלים את ‪.y‬‬ ‫—‬ ‫מציבים את )‪ (x , y‬ואת ‪ m‬בנוסחה‪. y − y1 = m ( x − x1 ) :‬‬ ‫ב‪ .‬מציאת משוואת משיק על פי פונקציה ושיפוע )‪ (m‬נתונים‪.‬‬ ‫—‬ ‫גוזרים את הפונקציה ומשווים את '‪ y‬לשיפוע הנתון ← מקבלים את ‪.x‬‬ ‫—‬ ‫מציבים את ‪ x‬בפונקציה המקורית ← מקבלים את ‪.y‬‬ ‫—‬ ‫מציבים את )‪ (x , y‬ואת ‪ m‬בנוסחה‪. y − y1 = m ( x − x1 ) :‬‬ ‫פוקוס במתמטיקה — שאלון ‪ — 35803‬שחר יהל‬ ‫‪15‬‬ ‫חקירת פונקציה‬ ‫א‪ .‬מציאת תחום ההגדרה‪:‬‬ ‫—‬ ‫אם יש מכנה אז הוא שונה מ–‪.0‬‬ ‫—‬ ‫אם יש שורש ריבועי אז הביטוי לא שלילי‪ ,‬כלומר הביטוי גדול או שווה ל–‪.0‬‬ ‫‬ ‫דוגמאות‪:‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪x −4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫= ‪ y‬תחום ההגדרה‪:‬‬ ‫‪x2 − 4 ≠ 0‬‬ ‫‪x2 ≠ 4‬‬ ‫‪x ≠ 2 x ≠ −2‬‬ ‫‪ y = x − 2‬תחום ההגדרה‪:‬‬ ‫‪x−2≥0‬‬ ‫‪x≥2‬‬ ‫ב‪ .‬מציאת נקודות קיצון‬ ‫—‬ ‫גוזרים את הפונקציה ומשווים ‪ ← y ' = 0‬מקבלים את ‪.x‬‬ ‫—‬ ‫מציבים את שיעורי ה–‪ x‬בפונקציה המקורית ← מקבלים את ‪.y‬‬ ‫—‬ ‫כדי למצוא את סוג הקיצון יש שתי אפשרויות‪:‬‬ ‫‬ ‫אפשרות א — על פי נגזרת שנייה‪.‬‬ ‫‬ ‫גוזרים את הנגזרת השנייה )"‪ (y‬ומציבים בה את שיעורי ה–‪ x‬שהתקבלו‪.‬‬ ‫‬ ‫אם מתקבלת תוצאה חיובית ← מדובר בנקודת מינימום‪.‬‬ ‫‬ ‫אם מתקבלת תוצאה שלילית ← מדובר בנקודת מקסימום‬ ‫‬ ‫דרך זו עדיפה בפתרון בעיות קיצון ובשאלות שאינן דורשות תחומי עלייה ותחומי ירידה‪.‬‬ ‫‬ ‫אפשרות ב — על פי טבלה‪.‬‬ ‫‬ ‫בונים טבלה הכוללת שלוש שורות‪:‬‬ ‫‬ ‫מציבים בטבלה את ערכי ה–‪ x‬שקיבלנו בנקודות הקיצון ואת ערכי ה–‪ x‬שקיבלנו בתחום‬ ‫ההגדרה‪.‬‬ ‫‪16‬‬ ‫העתקה ו‪/‬או צילום מספר זה הם מעשה לא חינוכי‪ ,‬המהווה עברה פלילית‪.‬‬ ‫‬ ‫בוחרים נקודות ביניהן ומציבים אותן בנגזרת אם התוצאה חיובית — הפונקציה עולה ואם התוצאה‬ ‫שלילית — הפונקציה יורדת‪.‬‬ ‫‬ ‫קיצון‬ ‫תחום הגדרה ‬ ‫‬ ‫‪‬‬ ‫‬ ‫‪x2‬‬ ‫–‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪Max‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪Min‬‬ ‫ג‪.‬‬ ‫מציאת תחומי עלייה וירידה‬ ‫‬ ‫את תחומי העלייה והירידה נמצא בעזרת הטבלה מהסעיף הקודם‪.‬‬ ‫‪x‬‬ ‫'‪y‬‬ ‫‪y‬‬ ‫_‬ ‫‪‬‬ ‫ד‪ .‬מציאת נקודות חיתוך עם הצירים‪:‬‬ ‫‬ ‫עם ציר ה–‪ :x‬נציב ‪ y = 0‬בפונקציה המקורית ונפתור את המשוואה‪.‬‬ ‫‬ ‫עם ציר ה–‪ :y‬נציב ‪ x = 0‬בפונקציה המקורית ונפתור את המשוואה‪.‬‬ ‫ה‪ .‬מציאת אסימפטוטות המקבילות לציר ה–‪y‬‬ ‫האסימפטוטות מתקבלות כאשר לפונקציה יש מכנה והוא שווה ל–‪.0‬‬ ‫‬ ‫‪3‬‬ ‫לדוגמה‪ :‬לפונקציה‬ ‫‪x −4‬‬ ‫‬ ‫‪2‬‬ ‫= ‪ y‬יש אסימפטוטות ‪.x = –2 x = 2‬‬ ‫אינטגרלים‬ ‫*‬ ‫מציאת אינטגרל‬ ‫‬ ‫הנוסחות‪:‬‬ ‫‪ax n +1‬‬ ‫‪∫ ax dx = n + 1 + c‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪∫ adx = ax + c‬‬ ‫דוגמאות‪:‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪+c‬‬ ‫‪6‬‬ ‫= ‪∫ x dx‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪x 4 5x 3 7x2‬‬ ‫= ‪x + 5 x + 7 x + 4 dx‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪+ 4x + c‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫)‬ ‫‪2‬‬ ‫פוקוס במתמטיקה — שאלון ‪ — 35803‬שחר יהל‬ ‫‪3‬‬ ‫(∫‬ ‫‪17‬‬ ‫חישוב שטחים‬ ‫כאשר מחפשים שטח צריך למצוא את ערכי ה–‪ x‬שבתוכם השטח נמצא‪.‬‬ ‫נבדוק איזה פונקציות נמצאות בתחום הנתון ונעשה פונקציית הפרש (נחסר את הפונקציה הנמוכה‬ ‫מהפונקציה שמעליה)‪.‬‬ ‫נעשה אינטגרל לפונקציית ההפרש ונציב את ערכי ה–‪ x‬של קצות התחום‪ .‬נחסר את התוצאה שהתקבלה על‬ ‫ידי הצבת ה–‪ x‬הגבוה מהתוצאה שהתקבלה על ידי הצבת ה–‪ x‬הנמוך‪.‬‬ ‫הנוסחה לחישוב השטח על ידי אינטגרל‬ ‫נציב ‪x1‬‬ ‫נציב ‪x2‬‬ ‫השטח = ) ‪= (  ) − ( ‬‬ ‫*‬ ‫‪x2‬‬ ‫[ = ‪∫ ( f (x) − g(x))dx‬‬ ‫‪]x‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫=‪S‬‬ ‫‪x1‬‬ ‫הערה‪ :‬כאשר יש שטחים מורכבים נפצל את השטח למספר חלקם על פי הפונקציות הנמצאות בכל‬ ‫תחום‪.‬‬ ‫‪y‬‬ ‫דוגמאות‪:‬‬ ‫‪b‬‬ ‫א‪ .‬שטח לא מורכב‬ ‫‪a‬‬ ‫= ‪∫ ( f (x) − g(x))dx‬‬ ‫=‪S‬‬ ‫)‪f(x‬‬ ‫)‪g(x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫ב‪ .‬שטח מורכב‬ ‫‪a‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪c‬‬ ‫= ‪S1 = ∫ f (x ) dx‬‬ ‫‪a‬‬ ‫)‪f(x‬‬ ‫‪b‬‬ ‫= ‪S2 = ∫ g(x ) dx‬‬ ‫‪c‬‬ ‫)‪g(x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪18‬‬ ‫העתקה ו‪/‬או צילום מספר זה הם מעשה לא חינוכי‪ ,‬המהווה עברה פלילית‪.‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪a C‬‬ ‫‪S1 S 2‬‬ ‫מבחן מתכונת מס' ‪1‬‬ ‫משך המבחן‪ :‬שעתיים‪.‬‬ ‫ענה על ‪ 4‬מהשאלות ‪( 6—1‬לכל שאלה — ‪ 25‬נקודות)‪.‬‬ ‫שים לב! אם תענה על יותר מ–‪ 4‬שאלות‪ ,‬ייבדקו רק ‪ 4‬התשובות הראשונות‪.‬‬ ‫פרק ראשון‪ :‬אלגברה — בעיות מילוליות‪ ,‬גיאומטריה אנליטית‬ ‫שאלה ‪1‬‬ ‫חנות קנתה ‪ 30‬מכנסי גלישה ו–‪ 70‬בגדי ים‪.‬‬ ‫המחיר של בגד ים היה נמוך ב–‪ 20%‬מהמחיר של מכנסי גלישה‪.‬‬ ‫עבור כל בגדי הים שילמה החנות ‪ 6720‬ש"ח‪.‬‬ ‫כמה ש"ח שילמה החנות עבור כל מכנסי הגלישה?‬ ‫שאלה ‪2‬‬ ‫שלושה קדקודים של המקבילית ‪ ABCD‬נמצאים בנקודות )‪.D (14, 4) B (0, -10) A (6, -2‬‬ ‫א‪ .‬מצא את שיעורי הקדקוד ‪.C‬‬ ‫ב‪ .‬הוכח כי המקבילית ‪ ABCD‬היא מעוין‪.‬‬ ‫פוקוס במתמטיקה — שאלון ‪ — 35803‬שחר יהל‬ ‫‪19‬‬ ‫שאלה ‪3‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪D‬‬ ‫הנקודה ‪ M‬נמצאת על ישר שמשוואתו ‪,y = -x + 5‬‬ ‫וגם על ישר שמשוואתו ‪.y = -10‬‬ ‫‪x‬‬ ‫א‪ .‬מצא את שיעורי הנקודה ‪.M‬‬ ‫‬ ‫הנקודה ‪ M‬היא מרכז של מעגל‪ .‬הנקודה )‪A (5 , -10‬‬ ‫‬ ‫נמצאת על מעגל זה‪.‬‬ ‫ב‪ .‬מצא את רדיוס המעגל ורשום את משוואת המעגל‪.‬‬ ‫ג‪.‬‬ ‫‪M‬‬ ‫‪A‬‬ ‫הישר ‪ y = -10‬חותך את ציר ה–‪ y‬בנקודה ‪C‬‬ ‫‬ ‫והישר ‪ y = –x + 5‬חותך את ציר ה–‪ y‬בנקודה ‪.D‬‬ ‫‬ ‫מצא את שטח המשולש ‪.CDM‬‬ ‫פרק שני‪ :‬חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי‬ ‫שאלה ‪4‬‬ ‫‪y‬‬ ‫הציור שלפניך מתאר את גרף הפונקציה ‪.y = x (x + 1)2‬‬ ‫לפונקציה מקסימום מקומי בנקודה ‪ B‬ומינימום מקומי‬ ‫בנקודה ‪.A‬‬ ‫א‪ .‬מצא את שיעורי הנקודות ‪ A‬ו–‪.B‬‬ ‫ב‪ .‬באילו ערכי ‪ k‬הישר ‪ y = k‬חותך את גרף‬ ‫‬ ‫‪B‬‬ ‫‪x‬‬ ‫הפונקציה בשלוש נקודות?‬ ‫‪A‬‬ ‫‪20‬‬ ‫העתקה ו‪/‬או צילום מספר זה הם מעשה לא חינוכי‪ ,‬המהווה עברה פלילית‪.‬‬ ‫‪C‬‬ ‫שאלה ‪5‬‬ ‫א‪ .‬הפרבולה ‪ y = –x2 + ax – 27‬עוברת דרך הנקודה‬ ‫‪y‬‬ ‫)‪ .(4 , 5‬מצא את ערך הפרמטר ‪.a‬‬ ‫‬ ‫ב‪ A .‬ו–‪ B‬הן נקודות החיתוך של הפרבולה עם‬ ‫‬ ‫ציר ה–‪ .x‬מצא את שיעורי הנקודות ‪ A‬ו–‪.B‬‬ ‫ג‪.‬‬ ‫מצא את שיעור ה–‪ x‬של נקודת המקסימום‬ ‫‬ ‫‪C‬‬ ‫‪x‬‬ ‫של הפונקציה (נקודה ‪.)C‬‬ ‫‪B‬‬ ‫ד‪ .‬מנקודת המקסימום הורידו אנך לציר ה–‪.x‬‬ ‫‬ ‫מצא את השטח המוגבל בין הפונקציה‪ ,‬האנך‬ ‫‬ ‫וציר ה–‪( x‬משמאל לאנך — ראה ציור)‪.‬‬ ‫‪A‬‬ ‫שאלה ‪6‬‬ ‫חלקת אדמה מלבנית ‪ ABCD‬ששטחה ‪ 2500‬מ"ר‪,‬‬ ‫סמוכה בצדה האחד לחומה (ראה ציור)‪.‬‬ ‫‪D‬‬ ‫מגדרים את חזית החלקה‪ ,BC ,‬ואת צדיה ‪AB‬‬ ‫חומה‬ ‫‪A‬‬ ‫ו–‪ .CD‬מחיר התקנת גדר בחזית החלקה (הקטע ‪)BC‬‬ ‫הוא ‪ 20‬ש"ח למטר‪ ,‬ומחיר התקנת גדר בצדדים (הקטעים‬ ‫‪ AB‬ו–‪ )CD‬הוא ‪ 10‬ש"ח למטר‪.‬‬ ‫‪C‬‬ ‫חזית החלקה‬ ‫‪B‬‬ ‫א‪ .‬סמן ב–‪ x‬את אורך חזית החלקה )‪ (BC‬והבע באמצעות ‪ x‬את מחיר התקנת הגדר‪.‬‬ ‫ב‪ .‬מה צריך להיות אורך חזית החלקה כדי שמחיר התקנת הגדר יהיה מינימלי?‬ ‫פוקוס במתמטיקה — שאלון ‪ — 35803‬שחר יהל‬ ‫‪21‬‬ ‫מבחן מתכונת מס' ‪2‬‬ ‫משך המבחן‪ :‬שעתיים‪.‬‬ ‫ענה על ‪ 4‬מהשאלות ‪( 6—1‬לכל שאלה — ‪ 25‬נקודות)‪.‬‬ ‫שים לב! אם תענה על יותר מ–‪ 4‬שאלות‪ ,‬ייבדקו רק ‪ 4‬התשובות הראשונות‪.‬‬ ‫פרק ראשון‪ :‬אלגברה — בעיות מילוליות‪ ,‬גיאומטריה אנליטית‬ ‫שאלה ‪1‬‬ ‫נקודות ‪ C‬ו–‪ D‬נמצאות על הקטע ‪ AB‬כך ש–‪.AC = DB‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪C‬‬ ‫בונים ריבועים על הקטעים ‪( DB ,CD ,AC‬ראה ציור)‪.‬‬ ‫אורך הקטע ‪ AB‬הוא ‪ 18‬ס"מ‪.‬‬ ‫‪Q‬‬ ‫‪P‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪E‬‬ ‫שטח הריבוע ‪ CDFK‬גדול ב–‪ 126‬סמ"ר‬ ‫מסכום שטחי הריבועים ‪ ACPE‬ו–‪.DBQT‬‬ ‫‪F‬‬ ‫חשב את אורך הקטע ‪.AC‬‬ ‫‪K‬‬ ‫שאלה ‪2‬‬ ‫מחיר ארוחה הכוללת המבורגר וצ'יפס ‪ 42‬ש"ח‪ .‬הרשת עשתה מבצע בסוף שבוע והוזילה את מחיר הציפס‬ ‫ב–‪ .15%‬מחיר ההמבורגר נשאר ללא שינוי‪ .‬מחיר ארוחה הכוללת המבורגר וצ'יפס באותו סוף שבוע היה ‪39‬‬ ‫ש"ח‪.‬‬ ‫מה היה מחיר מנת צ'יפס לפני ההוזלה?‬ ‫‪22‬‬ ‫העתקה ו‪/‬או צילום מספר זה הם מעשה לא חינוכי‪ ,‬המהווה עברה פלילית‪.‬‬ ‫שאלה ‪3‬‬ ‫נתון טרפז ‪ .C (2, 3) , D (4, 7) , A (8, 5) .(AB || CD) ABCD‬קדקוד ‪ B‬נמצא על ציר ה–‪.y‬‬ ‫א‪ .‬מצא את משוואת הבסיס ‪.AB‬‬ ‫ב‬ ‫מצא את שיעורי הקדקוד ‪.B‬‬ ‫ג‪.‬‬ ‫הוכח כי הטרפז הוא ישר–זווית‪.‬‬ ‫ד‪ .‬חשב את שטח הטרפז ‪.ABCD‬‬ ‫פרק שני‪ :‬חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי‬ ‫שאלה ‪4‬‬ ‫נתונה הפונקציה ‪( y = −2 x + x‬ראה ציור)‪.‬‬ ‫‪y‬‬ ‫א‪ .‬מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה‪.‬‬ ‫ב‪ .‬מצא את השיעורים של נקודת הקיצון הפנימית של הפונקציה‬ ‫‬ ‫וקבע את סוגה‪.‬‬ ‫ג‪.‬‬ ‫בהסתמך על תשובותיך לסעיף ב‪ ,‬קבע האם נקודה‬ ‫‬ ‫ששיעור ה–‪ y‬שלה הוא ‪ ,-2‬נמצאת על גרף הפונקציה‪ .‬נמק‪.‬‬ ‫‪x‬‬ ‫שאלה ‪5‬‬ ‫נתונה הפונקציה ‪.f(x) = – x2 + 4x‬‬ ‫העבירו ישר המקביל לציר ה–‪ x‬שמשוואתו ‪.y = a‬‬ ‫הישר חותך את הפונקציה בנקודה )‪.A (1 , 3‬‬ ‫א‪ .‬מצא את ערך הפרמטר ‪.a‬‬ ‫פוקוס במתמטיקה — שאלון ‪ — 35803‬שחר יהל‬ ‫‪23‬‬ ‫ב‪ .‬מצא את נקודת החיתוך השנייה של הישר‬ ‫‪y‬‬ ‫והפונקציה (נקודה ‪.)B‬‬ ‫‬ ‫ג‪.‬‬ ‫‪B‬‬ ‫מנקודה ‪ B‬הורידו אנך לציר ה–‪.x‬‬ ‫‬ ‫חשב את השטח המוגבל בין הפונקציה‪,‬‬ ‫‬ ‫הישר‪ ,‬האנך לציר ה–‪ x‬בנקודה ‪ B‬וציר ה–‪x‬‬ ‫‬ ‫(השטח המודגש)‪.‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪x‬‬ ‫שאלה ‪6‬‬ ‫נתונה הפרבולה ‪.y = –x2 + 27‬‬ ‫‪ A‬היא נקודה על הפרבולה ברביע הראשון‪.‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪ B‬היא נקודה על ציר ה–‪ ,y‬כך ש–‪AB‬‬ ‫מקביל לציר ה–‪.x‬‬ ‫א‪ .‬סמן ב–‪ x‬את שיעור ה–‪ x‬של נקודה ‪A‬‬ ‫‬ ‫והבע באמצעות ‪ x‬את שטח המשולש ‪ABO‬‬ ‫‬ ‫(‪ — 0‬ראשית הצירים)‪.‬‬ ‫ב‪ .‬מה צריך להיות שיעור ה–‪ x‬של הקדקוד ‪A‬‬ ‫‬ ‫‪A‬‬ ‫‪x‬‬ ‫כדי ששטח המשולש ‪ ABO‬יהיה מקסימלי?‬ ‫‪24‬‬ ‫העתקה ו‪/‬או צילום מספר זה הם מעשה לא חינוכי‪ ,‬המהווה עברה פלילית‪.‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪O‬‬