‫מבחן מתכונת מס' ‪1‬‬ ‫משך המבחן‪ :‬שעה ושלושה רבעים‬ ‫‪1‬‬ ‫ענה על ‪ 3‬מהשאלות ‪( 5—1‬לכל שאלה —‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ 33‬נקודות)‪.‬‬ ‫שים לב! אם תענה על יותר מ–‪ 3‬שאלות‪ ,‬ייבדקו רק ‪ 3‬התשובות הראשונות‪.‬‬ ‫פרק ראשון‪ :‬אלגברה — בעיות מילוליות‪ ,‬גיאומטריה אנליטית‬ ‫שאלה ‪1‬‬ ‫מחיר חולצה היה קטן ב–‪ 60‬ש"ח ממחיר מכנסיים‪.‬‬ ‫עקב מחסור בפריטים התייקר מחיר המכנסיים ב–‪ 20%‬ומחיר החולצה התייקר ב–‪.10%‬‬ ‫לאחר שינוי המחירים שילם דני עבור חולצה ומכנסיים בסך הכל ‪ 486‬ש"ח‪.‬‬ ‫מה היו מחיר המכנסיים ומחיר החולצה לפני השינוי?‬ ‫שאלה ‪2‬‬ ‫‪y‬‬ ‫הנקודה ‪ M‬נמצאת על ישר שמשוואתו ‪,y = -x + 5‬‬ ‫‪D‬‬ ‫וגם על ישר שמשוואתו ‪.y = -10‬‬ ‫א‪ .‬מצא את שיעורי הנקודה ‪.M‬‬ ‫‬ ‫הנקודה ‪ M‬היא מרכז של מעגל‪ .‬הנקודה )‪A (5 , -10‬‬ ‫‬ ‫נמצאת על מעגל זה‪.‬‬ ‫‪x‬‬ ‫ב‪ .‬מצא את רדיוס המעגל ורשום את משוואת המעגל‪.‬‬ ‫ג‪.‬‬ ‫הישר ‪ y = -10‬חותך את ציר ה–‪ y‬בנקודה ‪C‬‬ ‫‬ ‫והישר ‪ y = –x + 5‬חותך את ציר ה–‪ y‬בנקודה ‪.D‬‬ ‫‬ ‫מצא את שטח המשולש ‪.CDM‬‬ ‫‪M‬‬ ‫‪A‬‬ ‫פוקוס במתמטיקה ‪ — 2011‬שאלון ‪ — 35003‬שחר יהל‬ ‫‪C‬‬ ‫‪19‬‬ ‫פרק שני‪ :‬חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי‬ ‫שאלה ‪3‬‬ ‫נתונות שתי פונקציות‪:‬‬ ‫‪f (x ) = ax 2 − 8 x‬‬ ‫‬ ‫‪−16‬‬ ‫‪x‬‬ ‫(‪ a‬הוא פרמטר)‪.‬‬ ‫= ) ‪g(x‬‬ ‫א‪ .‬שיפוע המשיק לפונקציה )‪ f(x‬בנקודה בה ‪ x = 2‬שווה לשיפוע המשיק לפונקציה )‪ g(x‬באותה נקודה‪.‬‬ ‫חשב את הפרמטר ‪.a‬‬ ‫ב‪ .‬מהו תחום ההגדרה של הפונקציה )‪?g(x‬‬ ‫ג‪.‬‬ ‫מהי משוואת המשיק לפונקציה )‪ g(x‬בנקודה שבה ‪?x = 1‬‬ ‫שאלה ‪4‬‬ ‫נתון מלבן ‪ ABCD‬שהיקפו ‪ 60‬ס"מ‪ .‬הנקודה ‪E‬‬ ‫היא אמצע הצלע ‪ EFGD .BC‬הוא מלבן‬ ‫שאורכו שווה לאורך המלבן הנתון )‪.(DC = GD‬‬ ‫‪B‬‬ ‫א‪ .‬סמן ב–‪ x‬את אורך המלבן הנתון )‪(CD‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫המצולע ‪ ABCGFE‬יהיה מקסימלי?‬ ‫‪20‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪E‬‬ ‫והבע באמצעות ‪ x‬את שטח המצולע ‪.ABCGFE‬‬ ‫ב‪ .‬מה צריך להיות אורך הצלע ‪ ,CD‬כדי ששטח‬ ‫‪A‬‬ ‫‪C‬‬ ‫העתקה ו‪/‬או צילום מספר זה הם מעשה לא חינוכי‪ ,‬המהווה עברה פלילית‪.‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪G‬‬ ‫שאלה ‪5‬‬ ‫נתונה הפונקציה‪.y = x (x2 – 9) :‬‬ ‫‪y‬‬ ‫א‪ .‬מצא את נקודות החיתוך של הפונקציה‬ ‫עם ציר ה–‪.x‬‬ ‫‬ ‫ב‪ .‬חשב את השטח המוגבל בין גרף הפונקציה‬ ‫והצירים (השטח המודגש)‪.‬‬ ‫‬ ‫‪x‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪A‬‬ ‫שאלה נוספת לתלמידים שאושר להם מבחן מותאם‬ ‫שאלה ‪6‬‬ ‫נתונות הפונקציות‪:‬‬ ‫‪g(x ) = 2 x 3 − 6 x 2 + 7 x − 1 , f (x ) = 3x 2 − 5 x + 3‬‬ ‫א‪ .‬באילו ערכי ‪ x‬שיפוע המשיק לפונקציה )‪ f(x‬שווה לשיפוע המשיק לפונקציה )‪.g(x‬‬ ‫ב‪ .‬מצא את משוואת המשיק לפונקציה )‪ f(x‬ששיפועו ‪.7‬‬ ‫ג‪.‬‬ ‫המשיק שמצאת בסעיף ב חותך את ציר ה–‪ x‬בנקודה ‪ A‬ואת ציר ה–‪ y‬בנקודה ‪ .B‬מצא את שיעורי‬ ‫הנקודות ‪ A‬ו–‪.B‬‬ ‫פוקוס במתמטיקה ‪ — 2011‬שאלון ‪ — 35003‬שחר יהל‬ ‫‪21‬‬ ‫מבחן מתכונת מס' ‪2‬‬ ‫משך המבחן‪ :‬שעה ושלושה רבעים‬ ‫‪1‬‬ ‫ענה על ‪ 3‬מהשאלות ‪( 5—1‬לכל שאלה —‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ 33‬נקודות)‪.‬‬ ‫שים לב! אם תענה על יותר מ–‪ 3‬שאלות‪ ,‬ייבדקו רק ‪ 3‬התשובות הראשונות‪.‬‬ ‫פרק ראשון‪ :‬אלגברה — בעיות מילוליות‪ ,‬גיאומטריה אנליטית‬ ‫שאלה ‪1‬‬ ‫רוכבת אופניים יצאה מעיר ‪ ,A‬עברה דרך העיר ‪ B‬והגיעה לעיר ‪.C‬‬ ‫המרחק מ–‪ A‬ל–‪ B‬הוא ‪ 180‬ק"מ והמרחק מ–‪ B‬ל–‪ C‬הוא ‪ 160‬ק"מ‪.‬‬ ‫מהירות הרוכבת מ–‪ A‬ל–‪ B‬הייתה גדולה ב–‪ 25%‬ממהירותה מ–‪ B‬ל–‪.C‬‬ ‫הרוכבת עברה את הדרך מ–‪ A‬ל–‪ B‬ב–‪ 48‬דקות פחות משעברה את הדרך מ–‪ B‬ל–‪.C‬‬ ‫מה הייתה מהירות הרוכבת מ–‪ B‬ל–‪?C‬‬ ‫שאלה ‪2‬‬ ‫נתון מעוין ‪ .ABCD‬הצלע ‪ AD‬נמצאת על הישר ‪ y = 2x - 4‬והאלכסון ‪ AC‬נמצא‬ ‫על הישר ‪ ,M .y = –4x + 8‬נקודת מפגש אלכסוני המעוין נמצאת על הישר ‪.y = -2x - 2‬‬ ‫א‪ .‬מצא את שיעורי הקדקוד ‪.A‬‬ ‫ב‪ .‬מצא את ‪ ,M‬נקודת מפגש אלכסוני המעוין‪.‬‬ ‫ג‪.‬‬ ‫מצא את משוואת האלכסון השני של המעוין‪.‬‬ ‫ד‪ .‬מצא את שיעורי הקדקוד ‪.D‬‬ ‫‪22‬‬ ‫העתקה ו‪/‬או צילום מספר זה הם מעשה לא חינוכי‪ ,‬המהווה עברה פלילית‪.‬‬ ‫פרק שני‪ :‬חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי‬ ‫שאלה ‪3‬‬ ‫‪y‬‬ ‫הציור שלפניך מתאר את גרף הפונקציה ‪.y = x (x + 1)2‬‬ ‫לפונקציה מקסימום מקומי בנקודה ‪ B‬ומינימום מקומי‬ ‫בנקודה ‪.A‬‬ ‫א‪ .‬מצא את שיעורי הנקודות ‪ A‬ו–‪.B‬‬ ‫ב‪ .‬באילו ערכי ‪ k‬הישר ‪ y = k‬חותך את גרף‬ ‫‬ ‫‪B‬‬ ‫‪x‬‬ ‫הפונקציה בשלוש נקודות?‬ ‫‪A‬‬ ‫שאלה ‪4‬‬ ‫נתונה הפונקציה ‪. y = x‬‬ ‫‪y‬‬ ‫על ציר ‪ x‬נתונה הנקודה )‪.A (10 , 0‬‬ ‫‪ k‬נקודה כלשהי על גרף הפונקציה‪.‬‬ ‫‪K‬‬ ‫א‪ .‬סמן ב–‪ x‬את שיעור ה–‪ x‬של הנקודה ‪K‬‬ ‫‬ ‫והבע באמצעות ‪ x‬את אורך הקטע ‪.AK‬‬ ‫ב‪ .‬מה צריך להיות שיעור ה–‪ x‬של הנקודה ‪K‬‬ ‫‬ ‫כדי שאורך הקטע ‪ AK‬יהיה מינימלי?‬ ‫‪x‬‬ ‫)‪A (10, 0‬‬ ‫פוקוס במתמטיקה ‪ — 2011‬שאלון ‪ — 35003‬שחר יהל‬ ‫‪23‬‬ ‫שאלה ‪5‬‬ ‫‪y‬‬ ‫ישר משיק לגרף הפונקציה ‪ y = x2 + bx + 5‬בנקודה ‪.x = 1‬‬ ‫שיפוע הישר הוא ‪.–2‬‬ ‫א‪ .‬חשב את ערך הפרמטר ‪.b‬‬ ‫ב‪ .‬חשב את משוואת המשיק‪.‬‬ ‫ג‪.‬‬ ‫חשב את השטח המוגבל בין גרף הפונקציה‪,‬‬ ‫‬ ‫המשיק וציר ה–‪.y‬‬ ‫‪x‬‬ ‫שאלה נוספת לתלמידים שאושר להם מבחן מותאם‬ ‫שאלה ‪6‬‬ ‫מבין כל המספרים ‪ x‬ו–‪ y‬המקיימים ‪ ,2x + y = 30‬מצא את שני המספרים שסכום ריבועיהם הוא‬ ‫מינימלי‪.‬‬ ‫‪24‬‬ ‫העתקה ו‪/‬או צילום מספר זה הם מעשה לא חינוכי‪ ,‬המהווה עברה פלילית‪.‬‬ ‫מבחן מתכונת מס' ‪3‬‬ ‫משך המבחן‪ :‬שעה ושלושה רבעים‬ ‫‪1‬‬ ‫ענה על ‪ 3‬מהשאלות ‪( 5—1‬לכל שאלה —‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ 33‬נקודות)‪.‬‬ ‫שים לב! אם תענה על יותר מ–‪ 3‬שאלות‪ ,‬ייבדקו רק ‪ 3‬התשובות הראשונות‪.‬‬ ‫פרק ראשון‪ :‬אלגברה — בעיות מילוליות‪ ,‬גיאומטריה אנליטית‬ ‫שאלה ‪1‬‬ ‫‪B‬‬ ‫הריבוע ‪ EFGH‬חסום בתוך הריבוע ‪( ABCD‬ראה ציור)‪.‬‬ ‫אורך צלע הריבוע ‪ ABCD‬גדול ב–‪ 4‬ס"מ מאורך‬ ‫‪E‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪F‬‬ ‫צלע הריבוע ‪.EFGH‬‬ ‫שטח הריבוע ‪ EFGH‬קטן ב–‪ 96‬סמ"ר משטח הריבוע ‪.ABCD‬‬ ‫‪H‬‬ ‫א‪ .‬חשב את אורך צלע הריבוע ‪.EFGH‬‬ ‫ב‪ .‬חשב את היקף הריבוע ‪.EFGH‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪G‬‬ ‫‪D‬‬ ‫שאלה ‪2‬‬ ‫נתון קטע שקצותיו הם )‪ .A (2 , 0) , B (6 , 8‬דרך הנקודה ‪ B‬העבירו קטע ‪ BC‬כך ש–˚‪ CBA = 90‬והנקודה‬ ‫‪ C‬נמצאת על ציר ה–‪.y‬‬ ‫א‪ .‬מצא את משוואת הישר ‪.BC‬‬ ‫ב‪ .‬מצא את שיעורי הנקודה ‪.C‬‬ ‫ג‪.‬‬ ‫‬ ‫מצא את משוואת המעגל החוסם את המשולש ‪.ABC‬‬ ‫(זכור‪ :‬זווית היקפית הנשענת על קוטר שווה ˚‪.)90‬‬ ‫פוקוס במתמטיקה ‪ — 2011‬שאלון ‪ — 35003‬שחר יהל‬ ‫‪25‬‬ ‫פרק שני‪ :‬חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי‬ ‫שאלה ‪3‬‬ ‫הפונקציה ‪ y = − x 2 + 8 x − 7‬מוגדרת בתחום ‪.1 ≤ x ≤ 7‬‬ ‫א‪ .‬מצא את שיעורי הנקודה שבה נגזרת הפונקציה מתאפסת ונקבע את סוג הקיצון‪.‬‬ ‫ב‪ .‬מצא את ערכי הפונקציה בקצות תחום ההגדרה שלה‪.‬‬ ‫ג‪.‬‬ ‫סרטט סקיצה של גרף הפונקציה בתחום הגדרתה‪.‬‬ ‫שאלה ‪4‬‬ ‫‪9‬‬ ‫נתונה הפונקציה‬ ‫‪x‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪ . y = 1 +‬הנקודה ‪A‬‬ ‫נמצאת על גרף הפונקציה ברביע הראשון‪.‬‬ ‫מנקודה ‪ A‬מורידים אנך ‪ AB‬לציר ה–‪x‬‬ ‫ואנך ‪ AC‬לצד ה–‪.y‬‬ ‫א‪ .‬סמן ב–‪ x‬את שיעור ה–‪ x‬של הנקודה ‪A‬‬ ‫‬ ‫‪A‬‬ ‫ובטא באמצעות ‪ x‬את היקף המלבן ‪.ABOC‬‬ ‫‪C‬‬ ‫ב‪ .‬מצא את שיעורי הנקודה ‪ A‬שבהם יהיה‬ ‫‬ ‫‪x‬‬ ‫היקף המלבן מינימלי‪.‬‬ ‫שאלה ‪5‬‬ ‫הנגזרת של הפונקציה )‪ f(x‬היא ‪.f '(x) = 16x3 – 5‬‬ ‫העבירו ישר המשיק לפונקציה )‪ f(x‬בנקודה ‪ ,A‬המקביל לישר ‪.y = 11x – 1‬‬ ‫א‪ .‬מצא את שיעור ה–‪ x‬של הנקודה ‪.A‬‬ ‫ב‪ .‬ערך הפונקציה )‪ f(x‬בנקודה ‪ A‬היא ‪ .6‬מצא את הפונקציה )‪.f(x‬‬ ‫‪26‬‬ ‫העתקה ו‪/‬או צילום מספר זה הם מעשה לא חינוכי‪ ,‬המהווה עברה פלילית‪.‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪O‬‬ ‫שאלה נוספת לתלמידים שאושר להם מבחן מותאם‬ ‫שאלה ‪6‬‬ ‫א‪.‬‬ ‫בציור מסורטטים הגרפים של הפונקציות‪:‬‬ ‫‬ ‫‪.g(x) = x3 f(x) = x‬‬ ‫‬ ‫חשב את נקודות החיתוך של הגרפים (‪ B ,A‬ו–‪.)0‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪y‬‬ ‫ב‪ .‬מהו השטח המוגבל בין שני הגרפים ברביע‬ ‫‬ ‫הראשון (השטח האפור בציור)‪.‬‬ ‫‪O‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪B‬‬ ‫פוקוס במתמטיקה ‪ — 2011‬שאלון ‪ — 35003‬שחר יהל‬ ‫‪27‬‬ ‫מבחן מתכונת מס' ‪4‬‬ ‫משך המבחן‪ :‬שעה ושלושה רבעים‬ ‫‪1‬‬ ‫ענה על ‪ 3‬מהשאלות ‪( 5—1‬לכל שאלה —‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ 33‬נקודות)‪.‬‬ ‫שים לב! אם תענה על יותר מ–‪ 3‬שאלות‪ ,‬ייבדקו רק ‪ 3‬התשובות הראשונות‪.‬‬ ‫פרק ראשון‪ :‬אלגברה — בעיות מילוליות‪ ,‬גיאומטריה אנליטית‬ ‫שאלה ‪1‬‬ ‫סוחר קנה ‪ 200‬צלחות‪ 30 .‬צלחות נשברו‪ 50 .‬צלחות הוא מכר ב–‪ 20%‬פחות ממחיר הקנייה ואת היתר מכר‬ ‫ברווח של ‪ 1.5‬ש"ח לכל צלחת‪.‬‬ ‫הסוחר הרוויח בעסקה ‪ 20‬ש"ח‪.‬‬ ‫מהו המחיר שבו קנה הסוחר כל צלחת?‬ ‫שאלה ‪2‬‬ ‫הנקודות ‪ A‬ו–‪ M‬מונחות על הישר ‪y = x‬‬ ‫‪y‬‬ ‫ברביע השלישי‪ .‬שיעור ה–‪ x‬של הנקודה ‪ A‬הוא ‪.-8‬‬ ‫א‪ .‬מצא את שיעור ה–‪ y‬של הנקודה ‪.A‬‬ ‫ב‪ .‬מצא את מרחק הנקודה ‪ A‬מראשית הצירים‪.‬‬ ‫ג‪.‬‬ ‫מרחק הנקודה )‪ M (x, x‬מראשית הצירים‬ ‫‬ ‫הוא‪ . 50 :‬מצא את שיעורי הנקודה ‪.M‬‬ ‫‪x‬‬ ‫ד‪ .‬מצא את אמצע הקטע ‪.MA‬‬ ‫‪M‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪28‬‬ ‫העתקה ו‪/‬או צילום מספר זה הם מעשה לא חינוכי‪ ,‬המהווה עברה פלילית‪.‬‬ ‫פרק שני‪ :‬חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי‬ ‫שאלה ‪3‬‬ ‫‪x3‬‬ ‫נתונה הפונקציה ‪+ Ax 2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫א‪ .‬חשב את ערכו של ‪.A‬‬ ‫= ‪ . y‬נתון כי יש לה נקודת קיצון כאשר ‪.x = –6‬‬ ‫הצב את ערכו של ‪ A‬בפונקציה וענה על הסעיפים הבאים‪:‬‬ ‫‬ ‫ב‪ .‬מהן נקודות הקיצון של הפונקציה?‬ ‫ג‪.‬‬ ‫מצא את נקודות החיתוך של הפונקציה עם ציר ה–‪.x‬‬ ‫ד‪ .‬סרטט סקיצה של גרף הפונקציה‪.‬‬ ‫ה‪ .‬מצא את התחום שבו הפונקציה שלילית‪.‬‬ ‫שאלה ‪4‬‬ ‫הנקודה ‪ A‬נמצאת על גרף הפונקציה ‪y = 4 x‬‬ ‫)‪f(x‬‬ ‫‪y‬‬ ‫והנקודה ‪ B‬נמצאת על גרף הפונקציה ‪g(x) = x2‬‬ ‫כך שהקטע ‪ AB‬מקביל לציר ה–‪ y‬ונמצא בין‬ ‫‪A‬‬ ‫נקודות החיתוך של הגרפים (ראה ציור)‪.‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪B‬‬ ‫א‪ .‬סמן ב–‪ x‬את שיעור ה–‪ x‬של הנקודה ‪ A‬והבע באמצעות ‪ x‬את אורך הקטע ‪.AB‬‬ ‫ב‪ .‬מה צריך להיות שיעור ה–‪ x‬של הנקודה ‪ A‬כדי שאורך הקטע ‪ AB‬יהיה מקסימלי?‬ ‫פוקוס במתמטיקה ‪ — 2011‬שאלון ‪ — 35003‬שחר יהל‬ ‫‪29‬‬ ‫שאלה ‪5‬‬ ‫‪y‬‬ ‫נתונות הפונקציות ‪. g(x ) = − x 2 + 32 , f (x ) = x 2‬‬ ‫הגרפים של הפונקציות נחתכים בנקודות ‪ A‬ו–‪.B‬‬ ‫א‪ .‬מצא את שיעורי ה–‪ x‬של הנקודות ‪ A‬ו–‪.B‬‬ ‫ב‪ .‬מצא את השטח ברביע הראשון המוגבל בין‬ ‫‬ ‫ציר ה–‪ ,x‬הגרפים של שתי הפונקציות והישר ‪.x = 5‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪5‬‬ ‫שאלה נוספת לתלמידים שאושר להם מבחן מותאם‬ ‫שאלה ‪6‬‬ ‫‪x3‬‬ ‫נתונה הפונקציה‪+ Ax 2 + 2 :‬‬ ‫‪3‬‬ ‫א‪ .‬חשב את ערכו של ‪.A‬‬ ‫= ‪ . y‬ידוע כי לפונקציה יש נקודת קיצון כאשר ‪.x = –4‬‬ ‫ב‪ .‬הצב את הערך של ‪ A‬שמצאת בפונקציה‪ .‬מצא את נקודות הקיצון של הפונקציה וקבע את סוגן‪.‬‬ ‫ג‪.‬‬ ‫קבע את תחומי העלייה ותחומי הירידה של הפונקציה‪.‬‬ ‫‪30‬‬ ‫העתקה ו‪/‬או צילום מספר זה הם מעשה לא חינוכי‪ ,‬המהווה עברה פלילית‪.‬‬ ‫מבחן מתכונת מס' ‪5‬‬ ‫משך המבחן‪ :‬שעה ושלושה רבעים‬ ‫‪1‬‬ ‫ענה על ‪ 3‬מהשאלות ‪( 5—1‬לכל שאלה —‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ 33‬נקודות)‪.‬‬ ‫שים לב! אם תענה על יותר מ–‪ 3‬שאלות‪ ,‬ייבדקו רק ‪ 3‬התשובות הראשונות‪.‬‬ ‫פרק ראשון‪ :‬אלגברה — בעיות מילוליות‪ ,‬גיאומטריה אנליטית‬ ‫שאלה ‪1‬‬ ‫משתי ערים‪ ,‬שהמרחק ביניהן הוא ‪ 650‬ק"מ‪ ,‬יצאו באותו הזמן מכונית ומשאית זו לקראת זו‪ .‬מהירות‬ ‫המכונית גדולה ב–‪ 15‬קמ"ש ממהירות המשאית‪.‬‬ ‫כעבור ‪ 4‬שעות היה המרחק בין המכונית והמשאית ‪ 110‬ק"מ‪.‬‬ ‫א‪ .‬מצא את מהירות המכונית ואת מהירות המשאית‪.‬‬ ‫ב‪ .‬בכמה אחוזים גדולה מהירות המכונית ממהירות המשאית?‬ ‫שאלה ‪2‬‬ ‫נתון מעגל שמשוואתו ‪. (x − 4 )2 + (y + 3)2 = 36‬‬ ‫א‪ .‬מצא את שיעורי מרכז המעגל ואת רדיוס המעגל‪.‬‬ ‫ב‪ .‬מהי משוואת הקוטר במעגל ששיפועו ‪.2‬‬ ‫ג‪.‬‬ ‫הקוטר שמצאת בסעיף ב חותך את ציר ה–‪ x‬בנקודה ‪ A‬ואת ציר ה–‪ y‬בנקודה ‪.B‬‬ ‫‬ ‫חשב את אורך הקטע ‪.AB‬‬ ‫פוקוס במתמטיקה ‪ — 2011‬שאלון ‪ — 35003‬שחר יהל‬ ‫‪31‬‬ ‫פרק שני‪ :‬חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי‬ ‫שאלה ‪3‬‬ ‫נתונה הפונקציה‪. y = x + A − 6 :‬‬ ‫‪x‬‬ ‫א‪ .‬ידוע כי הנקודה )‪ (1 , 4‬נמצאת על גרף הפונקציה‪ .‬מצא את ערך הפרמטר ‪.A‬‬ ‫‬ ‫הצב את ערך ה–‪ A‬שמצאת בפונקציה וענה על הסעיפים הבאים‪:‬‬ ‫ב‪ .‬מהו תחום ההגדרה של הפונקציה?‬ ‫ג‪.‬‬ ‫מצא את נקודות הקיצון של הפונקציה וקבע את סוגן‪.‬‬ ‫ד‪ .‬מהי האסימפטוטה של הפונקציה המאונכת לציר ה–‪?x‬‬ ‫שאלה ‪4‬‬ ‫‪x‬‬ ‫בגינה שאורכה ‪ 30‬מטרים ורוחבה ‪ 18‬מטרים‬ ‫החליטו לשתול דשא על שטח המורכב משני‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫ריבועים שאורך צלעם ‪ x‬וממלבן נוסף‬ ‫(השטח המודגש בציור)‪ .‬חשב את ‪ ,x‬שבו‬ ‫‪18‬‬ ‫שטח הדשא יהיה מינימלי‪.‬‬ ‫‪30‬‬ ‫‪32‬‬ ‫העתקה ו‪/‬או צילום מספר זה הם מעשה לא חינוכי‪ ,‬המהווה עברה פלילית‪.‬‬ ‫שאלה ‪5‬‬ ‫נתונה פרבולה שמשוואתה ‪.y = 18 – 2x2‬‬ ‫‪y‬‬ ‫בנקודה )‪ A (2 , 10‬העבירו משיק לפרבולה‪.‬‬ ‫א‪ .‬מצא את משוואת המשיק‪.‬‬ ‫ב‪ .‬חשב את השטח המוגבל בין גרף‬ ‫‬ ‫הפרבולה‪ ,‬ציר ה–‪ y‬והמשיק‪.‬‬ ‫‪x‬‬ ‫שאלה נוספת לתלמידים שאושר להם מבחן מותאם‬ ‫שאלה ‪6‬‬ ‫א‪ .‬מבין כל שלשות המספרים החיוביים שסכומם ‪ 27‬ושאחד מהם גדול פי ‪ 4‬מהשני‪ ,‬מצא את שלושת‬ ‫‬ ‫המספרים שמכפלתם מקסימלית‪.‬‬ ‫ב‪ .‬חשב את המכפלה המקסימלית‪.‬‬ ‫פוקוס במתמטיקה ‪ — 2011‬שאלון ‪ — 35003‬שחר יהל‬ ‫‪33‬‬ ‫מבחן מתכונת מס' ‪6‬‬ ‫משך המבחן‪ :‬שעה ושלושה רבעים‬ ‫‪1‬‬ ‫ענה על ‪ 3‬מהשאלות ‪( 5—1‬לכל שאלה —‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ 33‬נקודות)‪.‬‬ ‫שים לב! אם תענה על יותר מ–‪ 3‬שאלות‪ ,‬ייבדקו רק ‪ 3‬התשובות הראשונות‪.‬‬ ‫פרק ראשון‪ :‬אלגברה — בעיות מילוליות‪ ,‬גיאומטריה אנליטית‬ ‫שאלה ‪1‬‬ ‫מדפיסים מכתב על דף בצורת ריבוע ומשאירים‬ ‫שוליים של ‪ 3‬ס"מ בחלק העליון ובחלק התחתון של הדף‬ ‫‪3‬‬ ‫ושוליים של ‪ 2‬ס"מ בצדדים של הדף (ראה ציור)‪.‬‬ ‫א‪ .‬סמן ב–‪ x‬את אורך צלע הריבוע והבע‬ ‫‪2‬‬ ‫באמצעות ‪ x‬את השטח המודפס‪.‬‬ ‫‬ ‫‪2‬‬ ‫ב‪ .‬ידוע כי השטח המודפס הוא ‪ 255‬סמ"ר‪.‬‬ ‫מצא את ממדי הדף‪.‬‬ ‫‬ ‫‪3‬‬ ‫שאלה ‪2‬‬ ‫המעגל ‪ (x + k )2 + (y − 1)2 = 50‬עובר דרך ראשית הצירים‪.‬‬ ‫א‪ .‬ידוע כי ‪ K‬מספר שלילי‪ .‬מצא את ערכו‪.‬‬ ‫ב‪ .‬לערך של ‪ K‬שמצאת בסעיף א‪ ,‬קבע האם המעגל עובר דרך הנקודה )‪.(5 , 5‬‬ ‫ג‪.‬‬ ‫מהי משוואת הישר המחבר את מרכז המעגל עם הנקודה )‪.(5 , 5‬‬ ‫‪34‬‬ ‫העתקה ו‪/‬או צילום מספר זה הם מעשה לא חינוכי‪ ,‬המהווה עברה פלילית‪.‬‬