‫אוניברסיטת תל אביב ‪ -‬בית הספר למדעי המחשב‬ ‫מבוא מורחב למדעי המחשב‪ ,‬אביב ‪3102‬‬ ‫תרגיל בית מספר ‪ - 2‬להגשה עד ‪ 8‬באפריל בשעה ‪225::‬‬ ‫קיראו בעיון את הנחיות העבודה וההגשה המופיעות באתר הקורס‪ ,‬תחת‬ ‫התיקיה ‪ .assignments‬חריגה מההנחיות תגרור ירידת ציון ‪ /‬פסילת התרגיל‪.‬‬ ‫הנחיות ספציפיות לתרגיל זה‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫תשובות לשאלות ‪ 1‬ג'‪ 4 ,3 ,‬א' ו‪ 4 -‬ב' יש לממש בקובץ השלד (‪ )skeleton.py‬המצורף לתרגיל זה‪ .‬אין לצרף‬ ‫לקובץ ה‪ py -‬את הקוד ששימש לפתרון יתר השאלות‪ .‬לא לשכוח לשנות את שם הקובץ למספר ת"ז שלכם‬ ‫לפני ההגשה‪ ,‬אך להשאיר את הסיומת ‪.py‬‬ ‫שימו לב שבקובץ השלד יש פונקציה בשם ‪ test‬המכילה כמה מקרים פשוטים‪ .‬היעזרו בפונקציה זו כדי לוודא‬ ‫נכונות הפלטים שלכם עבור אותם מקרים‪ .‬פתרונות שלא עובדים נכון במקרים פשוטים אלו לא יתקבלו‪.‬‬ ‫כמובן‪ ,‬על הקוד שלכם להיות נכון לכל קלט תקין‪ ,‬ולא רק למקרים שבדוגמאות‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫כל שאר השאלות יוגשו בקובץ ‪ docx ,doc‬או ‪ pdf‬יחיד‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫בסה"כ מגישים שני קבצים בלבד‪ .‬עבור סטודנט שמספר ת"ז שלו הוא ‪ 012345678‬הקבצים שיש‬ ‫להגיש הם ‪( 012345678.docx‬או ‪ .doc‬או ‪ ).pdf‬ו‪.012345678.py -‬‬ ‫‪‬‬ ‫הקפידו לענות על כל מה שנשאלתם‪ ,‬באופן קולע וברור‪.‬‬ ‫עמ' ‪ 1‬מתוך ‪5‬‬ ‫‪CC BY-NC-SA 3.0‬‬ ‫אוניברסיטת תל אביב ‪ -‬בית הספר למדעי המחשב‬ ‫מבוא מורחב למדעי המחשב‪ ,‬אביב ‪3102‬‬ ‫שאלה ‪1‬‬ ‫אלגוריתם שמבצע את פעולתו במקום (‪ )in-place algorithm‬הוא אלגוריתם שמעתיק בכל רגע נתון רק‬ ‫כמות קבועה מהקלט שלו למשתני עזר (ב"כמות קבועה" הכוונה לכמות שאיננה תלויה כלל בגודל הקלט)‪.‬‬ ‫בפרט‪ ,‬אלגוריתם כזה לא מייצר העתק של הקלט שלו‪ ,‬אלא משנה אותו במידת הצורך‪.‬‬ ‫נבחן בהקשר זה את פעולת היפוך סדר האיברים של רשימה נתונה בשם ‪.lst‬‬ ‫א‪ .‬האם הפקודה ]‪ lst = lst[ : :-1‬הופכת את סדר האיברים במקום? הסבירו בקצרה את תשובתכם‪.‬‬ ‫ב‪ .‬האם הפקודה )(‪( lst.reverse‬המתודה ‪ reverse‬של המחלקה ‪ )list‬הופכת את סדר האיברים במקום? מה‬ ‫מחזירה הפונקציה? הסבירו בקצרה את תשובתכם‪.‬‬ ‫טיפ‪ :‬כדי לענות על סעיפים א' ו‪ -‬ב' כדאי להשתמש בפונקציה ‪ id‬של פייתון‪.‬‬ ‫ג‪ .‬הוסיפו לקובץ השלד המצורף מימוש לפונקציה )‪ reverse(lst‬שמקבלת רשימה‪ ,‬והופכת את סדר‬ ‫האיברים שלה‪ ,‬במקום‪ .‬הפונקציה תחזיר ‪ .None‬אין להשתמש בפונקציות מוכנות של פייתון‪ ,‬אלא יש‬ ‫לבצע את היפוך הסדר באופן ישיר‪.‬‬ ‫דוגמת הרצה‪:‬‬ ‫]‪>>> lst = [1,2,3‬‬ ‫)‪>>> reverse(lst‬‬ ‫‪>>> lst‬‬ ‫]‪[3,2,1‬‬ ‫ד‪ .‬האם ניתן לכתוב פונקציה כזו גם עבור היפוך סדר התווים במחרוזת במקום? הסבירו מה יהיו‬ ‫ההבדלים מן הפונקציה שכתבתם בסעיף ג' (אם בכלל)‪ ,‬או הסבירו מדוע אי אפשר‪.‬‬ ‫עמ' ‪ 2‬מתוך ‪5‬‬ ‫‪CC BY-NC-SA 3.0‬‬ ‫אוניברסיטת תל אביב ‪ -‬בית הספר למדעי המחשב‬ ‫מבוא מורחב למדעי המחשב‪ ,‬אביב ‪3102‬‬ ‫שאלה ‪2‬‬ ‫שלישיית מספרים טבעיים ‪ a < b < c‬נקראת שלשה פיתגורית אם היא מקיימת את משפט פיתגורס‪:‬‬ ‫‪.a2 + b2 = c2‬‬ ‫דוגמה‪.32 + 42 = 52 :‬‬ ‫א‪ .‬מיצאו את כל השלשות הפיתגוריות שמקיימות ‪.a + b + c = 1960‬‬ ‫ב‪ .‬מיצאו לכמה מספרים ‪ 0 ≤ m < 1000‬מתקיים התנאי הבא‪:‬‬ ‫קיימת בדיוק שלשה פיתגורית אחת עבורה ‪.a + b + c = m‬‬ ‫ג‪ .‬בונוס‪ :‬מיצאו את כל השלשות הפיתגוריות שמקיימות ‪.a + b + c = 30000000 = 3*107‬‬ ‫הערה‪ :‬אין בתרגיל זה מגבלה ספציפית על זמן הריצה של התוכנית שלכם‪ ,‬אבל בכל זאת כדאי להשקיע מחשבה‬ ‫על היעילות של הקוד שלכם בטרם תפתרו את סעיף ב' ‪ -‬פתרון לא יעיל עלול לרוץ זמן רב מדיי (ולא להסתיים‬ ‫לפני מועד הגשת התרגיל‪ .)...‬בסעיף ג' צריך להשקיע אף יותר מחשבה בעניין‪.‬‬ ‫הערה נוספת‪ :‬אל תשתמשו בתכונות של שלשות פיתגוריות שאינכם יודעים להוכיח‪.‬‬ ‫שאלה ‪2‬‬ ‫זוהי שאלת המשך לשאלה ‪ 5‬מתרגיל בית ‪.1‬‬ ‫בשאלה ההיא נתבקשתם למצוא ‪ 12‬ספרות סמוכות שסכומן מקסימלי במספר נתון‪ .‬לא נדרשתם לתת‬ ‫דעתכם לעניין היעילות של התוכנית שלכם‪.‬‬ ‫כעת‪ ,‬ברצוננו למצוא סכום מקסימלי של ‪ 60,000‬ספרות סמוכות במספר ‪.5200,000‬‬ ‫נסו לפתור את הבעייה הזו תחילה עם הקוד שכתבתם בתרגיל בית ‪ .1‬ייתכן שהקוד שלכם היה יעיל מספיק‪.‬‬ ‫אך אם הריצה לא מסתיימת תוך לכל היותר דקה אחת על מחשב סביר (למשל המחשבים בחוות המחשבים‬ ‫בבניין שרייבר)‪ ,‬תצטרכו לייעל את התוכנית שלכם‪ .‬נסו לחשוב איפה יש נקודות של חוסר יעילות מבחינת‬ ‫זמן ריצה‪.‬‬ ‫הנחיות הגשה‪ :‬את התשובה המספרית לשאלה (הסכום המקסימלי הנ"ל) הגישו בקובץ ה‪.doc/docx/pdf -‬‬ ‫בקובץ השלד ממשו את הקוד המשופר שלכם‪ ,‬אבל הפעם כפונקציה‪ ,‬ולא כתוכנית כמו בתרגיל בית ‪ .1‬שם‬ ‫הפונקציה יהיה )‪ ,sum_digits(n, d‬והיא תחזיר את הסכום המקסימלי של ‪ d‬ספרות סמוכות במספר ‪.n‬‬ ‫דוגמת הרצה‪:‬‬ ‫)‪>>> sum_digits(5**36, 12‬‬ ‫‪16‬‬ ‫עמ' ‪ 3‬מתוך ‪5‬‬ ‫‪CC BY-NC-SA 3.0‬‬ ‫אוניברסיטת תל אביב ‪ -‬בית הספר למדעי המחשב‬ ‫מבוא מורחב למדעי המחשב‪ ,‬אביב ‪3102‬‬ ‫שאלה ‪4‬‬ ‫א‪ .‬כיתבו פונקציה )‪ add(A, B‬שמקבלת שתי מחרוזות המייצגות מספרים טבעיים בכתיב בינארי‪,‬‬ ‫ומחזירה מחרוזת שמייצגת את החיבור שלהם‪.‬‬ ‫דוגמת הרצה‪:‬‬ ‫)"‪>>> add("1111", "11010‬‬ ‫'‪'101001‬‬ ‫להלן המחשה של אלגוריתם החיבור ‪( A+B‬בדומה לחיבור מספרים עשרוניים עם נשא (‪:))carry‬‬ ‫)‪(carried digits‬‬ ‫‪1 1 1 1‬‬ ‫)‪1 1 1 1 (A‬‬ ‫‪+‬‬ ‫)‪1 1 0 1 0 (B‬‬ ‫‪------------‬‬‫‪= 1 0 1 0 0 1‬‬ ‫ב‪ .‬כיתבו פונקציה )‪ mult(A, B‬שמקבלת שתי מחרוזות המייצגות מספרים טבעיים בכתיב בינארי‪,‬‬ ‫ומחזירה מחרוזת שמייצגת את המכפלה שלהם‪.‬‬ ‫דוגמת הרצה‪:‬‬ ‫)"‪>>> mult("110", "11‬‬ ‫'‪'10010‬‬ ‫להלן המחשה של אלגוריתם ההכפלה ‪( AxB‬בדומה למכפלת מספרים עשרוניים)‪:‬‬ ‫)‪(A‬‬ ‫)‪(B‬‬ ‫‪← Corresponds to a zero in B‬‬ ‫‪← Corresponds to a one in B‬‬ ‫‪1 0 1‬‬ ‫‪× 1 0 1 0‬‬ ‫‪--------‬‬‫‪0 0 0‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪1 0 1‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪0 0 0‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪1 0 1‬‬ ‫‪--------------‬‬‫=‬ ‫‪1 1 0 0 1 0‬‬ ‫הנחייה‪ :‬בסעיפים א' ו‪ -‬ב' אין להשתמש בהמרות של מספרים מבסיס לבסיס‪ .‬בפרט‪ ,‬אין להשתמש‬ ‫בפונקציות ‪ int‬ו‪ bin -‬של פייתון‪ ,‬בפונקציה ‪ convert_base‬שראינו בתרגול וכו'‪ .‬יש לממש את‬ ‫האלגוריתמים בהתאם להמחשות שהובאו‪ ,‬ישירות באמצעות לולאות‪.‬‬ ‫ג‪ .‬נניח שכל פעולת חיבור או כפל של שני ביטים לוקחת יחידת זמן אחת‪ .‬נסמן את מספר הביטים של ‪ A‬ב‪-‬‬ ‫‪ n‬ושל ‪ B‬ב‪.m -‬‬ ‫מהי סיבוכיות הזמן של הפונקציה ‪ add‬ושל הפונקציה ‪ mult‬כתלות ב‪ n -‬ו‪ ?m -‬התייחסו למקרה הגרוע‬ ‫(כלומר ל‪ A -‬ו‪ B -‬כנ"ל עבורם יתבצע מספר מקסימלי של פעולות חיבור‪/‬כפל של שני ביטים)‪ .‬תנו‬ ‫תשובתכם כביטוי סדר גודל אסימפטוטי (כלומר ע"י שימוש בסימון )…(‪.) O‬‬ ‫עמ' ‪ 4‬מתוך ‪5‬‬ ‫‪CC BY-NC-SA 3.0‬‬ ‫אוניברסיטת תל אביב ‪ -‬בית הספר למדעי המחשב‬ ‫מבוא מורחב למדעי המחשב‪ ,‬אביב ‪3102‬‬ ‫שאלה ‪:‬‬ ‫בהינתן טבעי ‪ ,n‬כל טבעי ‪ k‬שקטן ממש מ‪ n-‬ומחלק את ‪ n‬נקרא מחלק ממש של ‪.n‬‬ ‫סדרת מחלקים היא סדרת מספרים‪ ,‬שהראשון שבהם הוא מספר טבעי כלשהו‪ ,‬וכל איבר שווה לסכום‬ ‫המחלקים ממש של קודמו בסדרה‪ .‬אם מגיעים ל‪ – 0 -‬הסדרה מסתיימת (שכן ל‪ 0 -‬אין מחלקים)‪.‬‬ ‫למשל‪ ,‬להלן סדרת מחלקים שמתחילה ב‪:45 -‬‬ ‫סדרות מחלקים נחלקות ל‪ 3 -‬סוגים‪:‬‬ ‫‪ .1‬סדרות שמסתיימות ב‪( 0 -‬סדרות סופיות)‪.‬‬ ‫‪ .2‬סדרות שלא מגיעות ל‪ 0 -‬לעולם (אינסופיות)‪ ,‬שנכנסות למעגל מחזורי כלשהו‪.‬‬ ‫‪ .3‬סדרות שלא מגיעות ל‪ 0 -‬לעולם (אינסופיות)‪ ,‬שלא נכנסות למעגל מחזורי כלשהו (סדרות כאלו‬ ‫חייבות להיות בלתי חסומות)‪.‬‬ ‫ישנן סדרות שלא ידוע לאיזה סוג הן שייכות‪ .‬למעשה לא ידוע אם בכלל יש סדרות מהסוג השלישי –‬ ‫זוהי שאלה פתוחה במתמטיקה‪.‬‬ ‫א‪ .‬הסבירו בקצרה מדוע יש אינסוף סדרות מהסוג הראשון (רמז‪ :‬מספרים ראשוניים)‪ ,‬ומדוע יש סדרות‬ ‫מהסוג השני (רמז‪ :‬מספרים מושלמים)‪.‬‬ ‫ב‪ .‬כמה מספרים בין ‪ 1‬ל‪ 275 -‬הם התחלה של סדרות מהסוג הראשון? ומהסוג השני? (כל המספרים בתחום‬ ‫זה מתחילים סדרה ששייכת לאחד משני הסוגים הללו‪ .‬לגבי ‪ 272‬אגב‪ ,‬לא ידוע כיום לאיזה סוג הוא‬ ‫שייך‪.)...‬‬ ‫ג‪ .‬כמה מספרים בסדרה שמתחילה ב‪ 107 -‬מתחלקים ב‪ 10 -‬ללא שארית?‬ ‫למשל‪ ,‬עבור ‪ 45‬יש מספר אחד כזה (שהוא ‪.)0‬‬ ‫לצורך עזרה בבדיקת תקינות‪ :‬בסדרה שמתחילה ב‪ 131 -‬יש ‪ 30‬מספרים כאלו‪.‬‬ ‫סוף‪.‬‬ ‫עמ' ‪ 5‬מתוך ‪5‬‬ ‫‪CC BY-NC-SA 3.0‬‬