‫אוניברסיטת תל אביב ‪ -‬בית הספר למדעי המחשב‬ ‫מבוא מורחב למדעי המחשב‪ ,‬אביב ‪2014‬‬ ‫תרגיל בית מספר ‪ - 2‬להגשה עד ‪ 20‬במרץ בשעה ‪23:55‬‬ ‫קראו בעיון את הנחיות העבודה וההגשה המופיעות באתר הקורס‪ ,‬תחת התיקייה‬ ‫‪ .assignments‬חריגה מההנחיות תגרור ירידת ציון ‪ /‬פסילת התרגיל‪.‬‬ ‫הנחיות והערות ספציפיות לתרגיל זה‪:‬‬ ‫הגשה‪:‬‬ ‫• תשובות לשאלות מילוליות תוגשנה בקובץ ‪ pdf‬יחיד‪.‬‬ ‫•‬ ‫מימושים לפונקציות יש להוסיף לקובץ השלד )‪ (skeleton2.py‬המצורף לתרגיל זה‪ .‬אין לצרף‬ ‫לקובץ ה ‪ py‬את הקוד ששימש לפתרון יתר השאלות‪.‬‬ ‫לא לשכוח לשנות את שם הקובץ למספר ת"ז שלכם לפני ההגשה‪ ,‬עם סיומת ‪.py‬‬ ‫•‬ ‫בסה"כ מגישים שני קבצים בלבד‪ .‬עבור סטודנט שמספר ת"ז שלו הוא ‪ 012345678‬הקבצים‬ ‫שיש להגיש הם ‪ 012345678.pdf‬ו‪.012345678.py -‬‬ ‫•‬ ‫הקפידו לענות על כל מה שנשאלתם‪.‬‬ ‫•‬ ‫בתרגיל זה ניתן להניח כי הקלט לפונקציות אותן תכתבו תקין‪ ,‬כלומר אין צורך לבדוק את‬ ‫תקינותו‪.‬‬ ‫•‬ ‫תשובות מילוליות והסברים צריכים להיות תמציתיים‪ ,‬קולעים וברורים‪.‬‬ ‫להנחיה זו מטרה כפולה‪:‬‬ ‫‪ .1‬על מנת שנוכל לבדוק את התרגילים שלכם בזמן סביר‪.‬‬ ‫‪ .2‬כדי להרגיל אתכם להבעת טיעונים באופן מתומצת ויעיל‪ ,‬ללא פרטים חסרים מצד אחד‬ ‫אך ללא עודף בלתי הכרחי מצד שני‪ .‬זוהי פרקטיקה חשובה במדעי המחשב‪.‬‬ ‫עמ' ‪ 1‬מתוך ‪7‬‬ ‫‪CC BY-NC-SA 3.0‬‬ ‫אוניברסיטת תל אביב ‪ -‬בית הספר למדעי המחשב‬ ‫מבוא מורחב למדעי המחשב‪ ,‬אביב ‪2014‬‬ ‫שאלה ‪1‬‬ ‫אלגוריתם שמבצע את פעולתו בַּ מָּ קום )‪ (in-place algorithm‬הוא אלגוריתם שמעתיק לכל היותר‬ ‫כמות קבועה מהקלט שלו למשתני עזר )ב"כמות קבועה" הכוונה לכמות שאינה תלויה בגודל‬ ‫הקלט(‪.‬‬ ‫בפרט‪ ,‬אלגוריתם כזה לא יוצר העתק של הקלט שלו‪ ,‬אלא משנה אותו במידת הצורך‪.‬‬ ‫ראשית‪ ,‬נבחן בהקשר זה את פעולת היפוך סדר באיברים של רשימה נתונה בשם ‪.lst‬‬ ‫א‪.‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫ג‪.‬‬ ‫ד‪.‬‬ ‫האם הפקודה ]‪ lst = lst[ : :-1‬הופכת את סדר האיברים במקום? הסבירו בקצרה את‬ ‫תשובתכם‪.‬‬ ‫האם הפקודה )(‪) lst.reverse‬המתודה ‪ reverse‬של המחלקה ‪ (list‬הופכת את סדר‬ ‫האיברים במקום? מה מחזירה הפונקציה? הסבירו בקצרה את תשובתכם‪.‬‬ ‫האם ניתן לכתוב פונקצית ‪ reverse‬במקום עבור מחרוזת? הסבירו‪.‬‬ ‫הוסיפו לקובץ השלד המצורף מימוש לפונקציה )‪ ,reverse_sublist(lst,start,end‬אשר‬ ‫מקבלת רשימה ושני אינדקסים‪ ,‬והופכת במקום את סדר האיברים בחלק הרשימה‬ ‫שמתחיל באינדקס ‪ start‬ונגמר באינדקס ‪.end-1‬‬ ‫לשם הפשטות ניתן להניח כי )‪.0<=start<end<=len(lst‬‬ ‫דוגמאות הרצה‪:‬‬ ‫]‪>>> lst = [1, 2, 3, 4, 5‬‬ ‫)‪>>> reverse_sublist (lst,0,4‬‬ ‫‪>>> lst‬‬ ‫]‪[4, 3, 2, 1, 5‬‬ ‫]"‪>>> lst = ["a","b‬‬ ‫)‪>>> reverse_sublist (lst,0,1‬‬ ‫‪>>> lst‬‬ ‫]"‪["a", "b‬‬ ‫כעת נדון בפעולת ה ‪-k‬סיבוב של רשימה‪.‬‬ ‫בהנתן פרמטר ה ‪- k‬סיבוב‪ ,‬פעולת ה ‪-k‬סיבוב על רשימה באורך ‪ m‬מוגדרת באופן הבא‪:‬‬ ‫הרשימה תסודר מחדש כך שאיבר שהופיע באינדקס ‪ i‬יועתק לאינדקס ‪.(i+k)mod m‬‬ ‫לדוגמה‪,‬‬ ‫אם נבצע על הרשימה ]‪-1 [1,2,3,4,5‬סיבוב נקבל ]‪[5,1,2,3,4‬‬ ‫אם נבצע על הרשימה ]‪-2 [1,2,3,4,5‬סיבוב נקבל ]‪[4,5,1,2,3‬‬ ‫ואם נבצע על הרשימה ]‪-(-1) [1,2,3,4,5‬סיבוב נקבל ]‪.[2,3,4,5,1‬‬ ‫שימו לב שפעולת הסיבוב מעתיקה לתוך כל תא איבר יחיד‪ .‬בנוסף‪ ,‬הפרמטר ‪ k‬חייב להיות שלם‪,‬‬ ‫אבל יכול להיות שלילי )כמו בדוגמה האחרונה(‪.‬‬ ‫ה‪ .‬הוסיפו לקובץ השלד מימוש לפונקציה )‪ ,rotate1(lst‬אשר מקבלת רשימה ומבצעת‬ ‫‪-1‬סיבוב של אבריה במקום‪.‬‬ ‫דוגמת הרצה‪:‬‬ ‫]‪>>> lst = [1, 2, 3, 4, 5‬‬ ‫)‪>>> rotate1 (lst‬‬ ‫‪>>> lst‬‬ ‫]‪[5, 1, 2, 3, 4‬‬ ‫עמ' ‪ 2‬מתוך ‪7‬‬ ‫‪CC BY-NC-SA 3.0‬‬ ‫אוניברסיטת תל אביב ‪ -‬בית הספר למדעי המחשב‬ ‫מבוא מורחב למדעי המחשב‪ ,‬אביב ‪2014‬‬ ‫ו‪ .‬הוסיפו לקובץ השלד מימוש לפונקציה )‪ ,rotatek_v1(lst,k‬אשר מקבלת רשימה ומבצעת‬ ‫סיבוב‪ k-‬של אבריה במקום באמצעות קריאה לפונקציה )(‪ .rotate1‬ניתן להניח ש ‪ k‬שלם‪.‬‬ ‫דוגמת הרצה‪:‬‬ ‫]‪>>> lst = [1, 2, 3, 4, 5‬‬ ‫)‪>>> rotatek_v1 (lst,2‬‬ ‫‪>>> lst‬‬ ‫]‪[4, 5, 1, 2, 3‬‬ ‫ז‪ .‬הוסיפו לקובץ השלד מימוש לפונקציה )‪ ,rotatek_v2(list,k‬אשר מקבלת רשימה ומבצעת‬ ‫סיבוב‪ k-‬של אבריה במקום באמצעות קריאה לפונקציה )(‪.reverse_sublist‬‬ ‫פלט לדוגמה‪ :‬בדיוק כמו בסעיף הקודם‪ ,‬בשינוי שם הפונקציה‪.‬‬ ‫)רמז‪ :‬התבוננו ברשימה‬ ‫]‪[1,2,3,4,5‬‬ ‫ובתוצאת הסיבוב‪ 2-‬שלה‬ ‫]‪.[4,5,1,2,3‬‬ ‫כיצד ניתן להפוך את הרשימה הראשונה לשנייה באמצעות פעולות היפוך עוקבות ?(‪.‬‬ ‫הנחיות הגשה‪:‬‬ ‫ בקובץ ה ‪ pdf‬הגישו‪:‬‬‫• את התשובות לסעיפים א'‪,‬ב'‪,‬ג'‪.‬‬ ‫ בקובץ ה ‪ py‬הגישו‪:‬‬‫• את הפונקציות שמימשתם בסעיפים ד'‪,‬ה'‪,‬ו'‪,‬ז'‪.‬‬ ‫עמ' ‪ 3‬מתוך ‪7‬‬ ‫‪CC BY-NC-SA 3.0‬‬ ‫אוניברסיטת תל אביב ‪ -‬בית הספר למדעי המחשב‬ ‫מבוא מורחב למדעי המחשב‪ ,‬אביב ‪2014‬‬ ‫שאלה ‪2‬‬ ‫בשאלה זו נבצע פעולת חישוב על רשימה של מספרים‪ .‬כיוון שרשימת המספרים עשויה להיות‬ ‫ארוכה מאד‪ ,‬הכרחי לממש את הפעולה באופן יעיל‪.‬‬ ‫נגדיר סכום מתחלף )‪ (alternating sum‬של סדרת מספרים ‪ 𝑎0 , 𝑎1 , … , 𝑎𝑛−1‬כתוצאת החישוב‬ ‫‪n‬‬ ‫‪.∑n−1‬‬ ‫… ‪𝑖=0 (−1) 𝑎𝑖 = 𝑎0 − 𝑎1 + 𝑎2 − 𝑎3‬‬ ‫א‪ .‬מצאו במספר ‪ 5200,000‬סכום מתחלף מקסימלי של ‪) 50,000‬חמישים‪-‬אלף( ספרות עוקבות‪.‬‬ ‫שימו לב‪ :‬אנו מגדירים את סדר הספרות במספר משמאל לימין‪ ,‬ולכן בכל רצף עוקב הספרה‬ ‫השמאלית ביותר היא זו שתסומן כ ‪ 𝑎0‬ותפתח את הסכום בסימן חיובי‪.‬‬ ‫לדוגמה‪ ,‬המספר ‪ 43805‬מכיל את הסכומים המתחלפים באורך ‪ 3‬הבאים‪:‬‬ ‫‪4-3+8‬‬ ‫‪3-8+0‬‬ ‫‪8-0+5‬‬ ‫על הריצה להסתיים תוך לכל היותר דקה אחת על מחשב סביר )למשל המחשבים בחוות‬ ‫המחשבים בבניין שרייבר(‪.‬‬ ‫בקובץ השלד ממשו את הקוד כפונקציה‪ .‬שם הפונקציה יהיה )‪ altsum_digits(n, d‬והיא‬ ‫תחזיר את הסכום המקסימלי של ‪ d‬ספרות סמוכות במספר ‪.n‬‬ ‫דוגמת הרצה‪:‬‬ ‫)‪>>> altsum_digits(5**36, 12‬‬ ‫‪18‬‬ ‫הדרכה‪:‬‬ ‫נסו לחשוב בתחילה כיצד הייתם מחפשים באופן יעיל את הסכום הרגיל )לא מתחלף( של ‪d‬‬ ‫ספרות עוקבות‪ .‬בפרט‪ ,‬שימו לב שעל מנת שהתכנית תרוץ מספיק מהר‪ ,‬לא ניתן לממש את‬ ‫הפתרון הטריוויאלי‪ ,‬אשר סוכם בנפרד כל תת סדרה רציפה באורך ‪ .d‬חשבו איך בהינתן‬ ‫הסכום של ‪ d‬הספרות הראשונות ניתן לחשב ביעילות את הסכום של ‪ d‬הספרות אשר‬ ‫מתחילות בספרה השנייה בסדרה‪.‬‬ ‫ב‪ .‬נסמן ב ‪ nmult, nminus, nplus‬את מספר פעולות החיבור‪ ,‬חיסור וכפל )בהתאמה(‬ ‫שהפונקציה שכתבתם בסעיף א' מבצעת בריצה נתונה‪.‬‬ ‫רשמו ביטויים מתמטיים )פשוטים( למספרים אלה כפונקציה של הפרמטרים ‪ n‬ו ‪.d‬‬ ‫ניתן להשמיט מהחישוב כל פעולה שבוצעה מספר קבוע של פעמים )כלומר שאינה נמצאת‬ ‫בתוך לולאה כלשהי(‪.‬‬ ‫הנחיות הגשה‪:‬‬ ‫ בקובץ ה ‪ pdf‬הגישו‪:‬‬‫• את התשובה שחישבתם בסעיף א'‬ ‫• את התשובה לסעיף ב'‬ ‫ בקובץ ה ‪ py‬הגישו‪:‬‬‫• את הפונקציה שכתבתם כדי לענות על סעיף א'‬ ‫עמ' ‪ 4‬מתוך ‪7‬‬ ‫‪CC BY-NC-SA 3.0‬‬ ‫אוניברסיטת תל אביב ‪ -‬בית הספר למדעי המחשב‬ ‫מבוא מורחב למדעי המחשב‪ ,‬אביב ‪2014‬‬ ‫שאלה ‪3‬‬ ‫מספר מושלם )‪ (perfect number‬הינו מספר שלם חיובי ששווה לסכום המחלקים שלו‪ ,‬כאשר לא‬ ‫כוללים בסכום את המספר עצמו )קבוצה זו נקראת גם קבוצת המחלקים‪-‬ממש של המספר(‪.‬‬ ‫לדוגמה‪ ,‬המספר ‪ 6‬הוא מספר מושלם מכיוון שמתקיים‪. 6 = 3 + 2 + 1 :‬‬ ‫לעומת זאת‪ ,‬המספר ‪ 4‬אינו מספר מושלם משום שמתקיים‪. 4 ≠ 2 + 1 :‬‬ ‫א‪ .‬הוסיפו לקובץ השלד המצורף מימוש לפונקציה )‪ ,sum_divisors(n‬אשר מקבלת מספר שלם‬ ‫חיובי ‪ ,n‬ומחזירה את סכום המחלקים‪-‬ממש שלו‪.‬‬ ‫דוגמת הרצה‪:‬‬ ‫)‪>>> sum_divisors(6‬‬ ‫‪6‬‬ ‫)‪>>> sum_divisors(4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫הנחייה מחייבת‪ :‬על הפונקציה לרוץ ב– )𝑛√(𝑂‪ .‬מימוש יעיל פחות יגרור זמן ריצה ארוך‬ ‫בסעיף ג' )בהמשך השאלה(‪ ,‬ולכן יאבד נקודות‪.‬‬ ‫ב‪ .‬הוסיפו לקובץ השלד המצורף מימוש לפונקציה )‪ ,is_perfect(n‬אשר מקבלת מספר שלם‬ ‫חיובי ‪ ,n‬ומחזירה ערך בוליאני באופן הבא‪ :‬אם המספר ‪ n‬הינו מספר מושלם הפונקציה‬ ‫תחזיר ‪ ,True‬אחרת תחזיר ‪.False‬‬ ‫דוגמת הרצה‪:‬‬ ‫)‪>>> is_perfect(6‬‬ ‫‪True‬‬ ‫)‪>>> is_perfect(4‬‬ ‫‪False‬‬ ‫ג‪ .‬נרצה לדעת כמה מספרים מושלמים שקטנים מ ‪ 100,000‬קיימים‪.‬‬ ‫הוסיפו לקובץ השלד המצורף מימוש לפונקציה )‪ ,count_perfect_numbers(limit‬אשר‬ ‫מקבלת מספר חיובי ‪ ,limit‬ומחזירה כמה מספרים מושלמים קטנים או שווים ל ‪.limit‬‬ ‫בנוסף‪ ,‬את התוצאה שקיבלתם עבור ‪ limit = 100,000‬הוסיפו לקובץ ה ‪. pdf‬‬ ‫הנחיות הגשה‪:‬‬ ‫ בקובץ ה ‪ pdf‬הגישו‪:‬‬‫• את התשובה שחישבתם בסעיף ג'‬ ‫ בקובץ ה ‪ py‬הגישו‪:‬‬‫• את הפונקציות שכתבתם כדי לענות על סעיפים א'‪,‬ב'‪,‬ג'‬ ‫עמ' ‪ 5‬מתוך ‪7‬‬ ‫‪CC BY-NC-SA 3.0‬‬ ‫אוניברסיטת תל אביב ‪ -‬בית הספר למדעי המחשב‬ ‫מבוא מורחב למדעי המחשב‪ ,‬אביב ‪2014‬‬ ‫שאלה ‪4‬‬ ‫בשאלה זו נעסוק בהיבטים שונים של ייצוג מספרים בבסיסים שונים‪.‬‬ ‫א‪ .‬כמה ספרות יש למספר ‪ 51209‬בייצוג עשרוני ?‬ ‫ענו על השאלה באמצעות הנוסחה שראיתם בשיעור )שקף ‪ 33‬במצגת שיעור ‪ ,(4‬וגם באמצעות‬ ‫הפיכת המספר מ‪ integer-‬ל‪ ,string-‬ומדידת אורך המחרוזת באמצעות )(‪.len‬‬ ‫צרפו לקובץ ה ‪ pdf‬את התשובה‪ ,‬וכן שתי שורות קוד בודדות – אחת לכל אופן פתרון ‪-‬‬ ‫שמבצעות את החישוב‪.‬‬ ‫הדרכה‪ :‬מומלץ להשתמש בפונקציה )‪ log(x,base‬של המודול ‪ ,math‬אשר מחשבת את‬ ‫הלוגריתם של ‪ x‬בבסיס ‪.base‬‬ ‫ב‪ .‬ממשו את הפונקציה )‪ ,add_hex(A, B‬אשר מקבלת שתי מחרוזות המייצגות מספרים בייצוג‬ ‫הקסדצימלי )כלומר בבסיס ‪ ,(16‬ומחזירה את המחרוזת שמייצגת את תוצאת החיבור שלהם‪,‬‬ ‫גם היא בייצוג הקסדצימלי‪.‬‬ ‫ניתן להניח כי מחרוזות הקלט מייצגות מספרים חוקיים בבסיס ‪ ,16‬ולפיכך כוללות רק‬ ‫ספרות ואת האותיות ‪) a,b,c,d,e,f‬שימו לב‪ :‬האותיות ניתנות ב ‪.(lower case‬‬ ‫דוגמת הרצה‪:‬‬ ‫)"‪>>> add("a5", "17‬‬ ‫'‪'bc‬‬ ‫להלן המחשה של אלגוריתם החיבור ‪ A+B‬על מספרים בבסיס ‪) 16‬בדומה לחיבור מספרים‬ ‫עשרוניים עם נשא )‪:((carry‬‬ ‫)‪(carried digits‬‬ ‫‪1‬‬ ‫)‪1 f 5 (A‬‬ ‫‪+‬‬ ‫)‪5 a (B‬‬ ‫‪------------‬‬‫=‬ ‫‪2 4 f‬‬ ‫הנחיה‪:‬‬ ‫‪ .1‬הטיפול בספרות ההקס דצימליות )חלקן ספרות "רגילות" וחלקן אותיות( לא יתבצע‬ ‫באמצעות סדרה של משפטי תנאי‪ ,‬אלא באמצעות המרה מיידית‪ ,‬בדומה למה שראיתם‬ ‫בתרגול ‪.3‬‬ ‫‪ .2‬אין להמיר את המספרים ‪ A‬או ‪ B‬מבסיס לבסיס‪ .‬בפרט‪ ,‬אין להשתמש כלל בפונקציה ‪int‬‬ ‫של פייתון‪ ,‬בפונקציה ‪ convert_base‬שראינו בתרגול וכו'‪ .‬יש לממש את האלגוריתם בהתאם‬ ‫להמחשה‪ :‬ישירות באמצעות לולאות‪.‬‬ ‫עמ' ‪ 6‬מתוך ‪7‬‬ ‫‪CC BY-NC-SA 3.0‬‬ ‫אוניברסיטת תל אביב ‪ -‬בית הספר למדעי המחשב‬ ‫מבוא מורחב למדעי המחשב‪ ,‬אביב ‪2014‬‬ ‫ג‪ .‬נתבונן שוב בקוד אשר הובא בהרצאה להעלאה בחזקה באמצעות ‪:iterated squaring‬‬ ‫‪def power(a,b):‬‬ ‫"""‪"""computes a**b using iterated squaring‬‬ ‫‪result = 1‬‬ ‫‪while b>0:‬‬ ‫‪if b%2 == 1: # b is odd‬‬ ‫‪result = result*a‬‬ ‫‪a = a*a # squares power of a‬‬ ‫‪b = b//2 # removes least significant bit of b‬‬ ‫‪return result‬‬ ‫נרצה להבין את הקשר בין מספר הפעולות שמבצע האלגוריתם לבין המספרים ‪ a‬ו ‪.b‬‬ ‫לשם כך‪ ,‬הוסיפו בתוך הפונקציה )אך מבלי לשנות את הקוד הקיים( שורות אשר‬ ‫תספורנה‬ ‫‪ (1‬כמה פעמים בוצעה לולאת ה ‪) while‬נסמן ב ‪(n1‬‬ ‫‪ (2‬כמה פעמים התקיים התנאי ב ‪) if‬נסמן ב ‪(n2‬‬ ‫‪ (3‬כמה פעולות כפל ביצעה הפונקציה )נסמן ב ‪(n3‬‬ ‫הריצו את הפונקציה עבור הקלטים‬ ‫‪a=3, b=2**10‬‬ ‫‪a=3, b=2**10-1‬‬ ‫‪a=30, b=2**10‬‬ ‫‪a=30, b=2**10-1‬‬ ‫ורשמו בקובץ ה ‪ pdf‬את ‪ n1,n2,n3‬עבור כל אחת מההרצות‪.‬‬ ‫בנוסף‪ ,‬רשמו ביטוי מתמטי מפורש עבור ‪ n1, n2, n3‬כפונקציה של‬ ‫‪=k‬מספר הביטים בייצוג הבינארי של ‪b‬‬ ‫ו ‪=m‬מספר ה‪ 1-‬בייצוג הבינארי של ‪.b‬‬ ‫כדאי כמובן לבדוק את הביטויים שלכם על הדוגמאות שלעיל‪.‬‬ ‫הנחיות הגשה‪:‬‬ ‫ בקובץ ה ‪ pdf‬הגישו‪:‬‬‫• את התשובה שחישבתם בסעיף א'‪ ,‬ואת שורות הקוד ששימשו אתכם בחישוב‬ ‫• את תשובתכם לסעיף ג'‬ ‫ בקובץ ה ‪ py‬הגישו‪:‬‬‫• את הפונקציה שמימשתם בסעיף ב'‬ ‫סוף‪.‬‬ ‫עמ' ‪ 7‬מתוך ‪7‬‬ ‫‪CC BY-NC-SA 3.0‬‬