fx x

‫‪1‬‬
‫תיכון ע"ש ב‪.‬צ מוסינזון‬
‫עבודת תרגול לקראת תיכון ‪ 5 ,4 -‬יח"ל‬
‫העבודה שלפניכם כוללת תרגילי חזרה לקראת לימודיכם בקבוצות ‪ 4-5‬יחידות לימוד‪.‬‬
‫בתחילת שנת הלימודים הבאה תיערך בחינה על נושאי העבודה‪ .‬העבודה תשוקלל בציון‪.‬‬
‫פונקציות‪:‬‬
‫‪ .1‬נתונות הפונקציות‪:‬‬
‫‪3x  12‬‬
‫‪4‬‬
‫‪y‬‬
‫‪f  x ‬‬
‫‪B‬‬
‫‪g  x   3x   x  2 ‬‬
‫‪x‬‬
‫‪E‬‬
‫א‪ .‬חשב את אורך הקטע ‪ 5 ( . EC‬יחידות אורך )‬
‫ב‪ .‬באיזה תחום‬
‫‪O‬‬
‫‪C‬‬
‫‪ x  4 ? f  x   0‬‬
‫‪A‬‬
‫ג‪.‬מצא את פונקצית הקו הישר העובר דרך הנקודה ‪ A‬ומקביל לציר ‪ y  6 . x‬‬
‫ד‪.‬מצא את שטח המשולש ‪ 11 (. ABC‬יחידות שטח )‬
‫ה‪ .‬רשמו פונקציה קווית שהיא פונקציה עולה ושלילית עבור ‪x < –2‬‬
‫‪f(x)=(3/4)x-3‬‬
‫‪f(x)=2x+2‬‬
‫‪ .2‬בשרטוט מתוארים הגרפים של הפרבולה‪ f  x    x  3 :‬והישר‪. g  x   x  3 :‬‬
‫‪2‬‬
‫א‪ .‬מצא את שיעורי הנקודות ‪. A, B, C, D, E, F :‬‬
‫ב‪ .‬הוכח כי הנקודה ‪ C‬היא קודקוד הפרבולה‪.‬‬
‫ג‪ .‬מצא את תחומי העלייה והירידה של הפרבולה‪.‬‬
‫ד‪ .‬מצא באיזה תחום ‪. f  x   0‬‬
‫ד‪ .‬לאילו ערכי ‪ x‬מתקיים ‪? f  x   g  x ‬‬
‫ה‪ .‬לאילו ערכי ‪ x‬מתקיים ‪? f  x   g  x ‬‬
‫פתרון‪ :‬א‪F  6,9 , E 1, 4  , D  0,9  , C 3,0  , B  0,3 , A  3,0  .‬‬
‫ג‪ .‬תחומי עלייה‪ . x  3 :‬תחומי ירידה‪ . x  3 :‬ד‪ x  3 .‬ה‪ 1  x  6 .‬ו‪ x  6 .‬או ‪x  1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ .3‬בשרטוט מתוארים הגרפים של הפרבולה‪ y  x 2  5x  20 :‬והישר‪. y  x  1 :‬‬
‫דרך הנקודה ‪ , C‬קודקוד הפרבולה‪ ,‬העבירו ישר המקביל לציר ה‪, x -‬‬
‫החותך את הישר הנתון בנקודה ‪. D‬‬
‫א‪ .‬מצא את שיעורי הנקודות ‪. A, B, D :‬‬
‫ב‪ .‬הנקודות‪ B :‬ו‪ F -‬הן נקודות סימטריות‪ .‬מצא את שיעורי הנקודה ‪. F‬‬
‫ג‪ .‬האם ערך הפרבולה יכול להיות ‪ ? 30‬נמק!‬
‫פתרון‪ :‬א‪ . D  27.25, 26.25 , B  3, 4  , A  7, 6  .‬ב‪ F  8, 4  .‬ג‪ .‬לא‬
‫‪ .4‬בשרטוט מתוארים הגרפים של הפרבולה‪ f  x   x 2  6 x  8 :‬והישר‪. y   x  4 :‬‬
‫א‪ .‬מצא את שיעורי הנקודות ‪ - F ( F , B, A :‬קודקוד הפרבולה )‪.‬‬
‫ב‪ .‬הקטע ‪ EP‬מקביל לציר ה‪ . y -‬מצא את שיעורי הנקודה ‪. P‬‬
‫ג‪ .‬חשב את אורך הקטע ‪. CD‬‬
‫ד‪ .‬מצא תחומי חיוביות ושליליות של ‪. f  x ‬‬
‫ה‪ .‬מצא תחומי עלייה וירידה של ‪. f  x ‬‬
‫פתרון‪ :‬א‪ . F  3, 1 , B  4,0  , A 1,3 .‬ב‪ . P  2, 2  .‬ג‪4 .‬‬
‫ד‪ .‬חיוביות‪ x  4 :‬או ‪ x  2‬שליליות‪. 2  x  4 :‬‬
‫ה‪ .‬תחומי עלייה‪ . x  3 :‬תחומי ירידה‪. x  3 :‬‬
‫‪ .5‬בשרטוט מתוארים הגרפים של הפרבולות‪:‬‬
‫‪. g  x   x 2  10 x  30 , f  x   8x  x 2  6‬‬
‫א‪ .‬מצא את שיעורי הנקודות ‪. A, B :‬‬
‫ב‪ .‬דרך הנקודה ‪ , M‬קודקוד הפרבולה‪ ,‬העבירו ישר מאונך‬
‫לציר ה‪ , x -‬החותך את הפרבולה השנייה בנקודה ‪. C‬‬
‫חשב את שיעורי הנקודה ‪. C‬‬
‫ג‪ .‬לאילו ערכי ‪ x‬מתקיים ‪? f  x   g  x ‬‬
‫ד‪ .‬לאילו ערכי ‪ x‬מתקיים ‪? f  x   g  x ‬‬
‫‪3‬‬
‫ה‪ .‬מצא את משוואת הישר העובר דרך נקודה ‪ M‬ומקביל לישר ‪. AB‬‬
‫פתרון‪ :‬א‪ B  6,6  , A  3,9  .‬ב‪C  5,9  .‬‬
‫ג‪ x  6 .‬או ‪x  3‬‬
‫ד‪ 3  x  6 .‬ה‪y   x  12 .‬‬
‫‪ .6‬א‪ .‬שרטט את הפרבולה‪f  x    x 1 :‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ .‬כמה נקודות אפס יש לגרף הפונקציה? נמק!‬
‫ב‪ .‬הוכח שהפרבולה‪ y  x 2  2 x  4 :‬חיובית לכל ‪. x‬‬
‫אוריינות‪:‬‬
‫חלקת אדמה‬
‫מר מזרחי גר במושב ולו חלקת אדמה שמידותיה הן ‪55‬מ׳ ‪20 x‬מ׳‪.‬‬
‫מדרום וממזרח לחלקה שלו שוכנת חלקה של משפחת קדם‪.‬‬
‫מר קדם מעוניין‪ ,‬מטעמים השמורים עמו‪ ,‬שהחלקה שלו מדרום‬
‫תגדל על חשבון חלקתו ממזרח‪ .‬לכן‪ ,‬הוא מציע למר מזרחי‬
‫להתחלף בשטחים‪ .‬הוא אפילו מסכים לתת שטח גדול יותר מהשטח‬
‫שהוא מקבל‪.‬‬
‫מר מזרחי ומר קדם מחליטים על ההחלפה באופן המוצג בשרטוט‪,‬‬
‫תוך הקפדה על העיקרון‪ ,‬לפיו לשני השטחים המוחלפים תהייה‬
‫צורת מלבן‪ ,‬ולשניהם צלע השווה באורכה‪.‬‬
‫מר מזרחי רוצה לדעת באילו מקרים השטח שיקבל יהיה שווה‬
‫לשטח שייתן‪ ,‬ובאילו מקרים יהיה גדול או קטן מהשטח שייתן‪.‬‬
‫לצורך כך צייר שני גרפים‪.‬‬
‫אחד מהגרפים מתאר את השטח שמר מזרחי ייתן‪ ,‬והשני מתאר את השטח שיקבל‪.‬‬
‫שאלה ‪ . 1‬איזה משני הגרפים מתאר את השטח שמר מזרחי ייתן‪ ,‬ואיזה ‪ -‬את השטח שיקבל?‬
‫‪4‬‬
‫שאלה ‪ .2‬מסביב לחלקה של מר מזרחי יש גדר שעלות התקנתה גבוהה‪.‬‬
‫אמר מר מזרחי‪ :‬״אני שמח על כך שאינני צריך לשנות את אורך הגדר"‪ .‬האם הוא צודק?‬
‫שאלה ‪ .3‬איזה שטח ייתן מר מזרחי‪ ,‬אם ‪ x‬יהיה ‪ 10‬מ׳?‬
‫האם מר מזרחי משיג במקרה זה שטח גדול יותר או קטן יותר‪ ,‬ביחס לשטח שהיה לו קודם?‬
‫הראה כיצד פתרת‪.‬‬
‫שאלה ‪ .4‬אם מר מזרחי ייתן ‪ 20%‬משטח החלקה שלו‪ ,‬מהו אחוז השטח אותו יקבל מתוך שטח החלקה‬
‫כולה?‬
‫שאלה ‪ .5‬אילו מהביטויים הבאים מתארים את השטח שיישאר למר מזרחי לאחר החלפת השטחים?‬
‫א‪20(55 - x( .‬‬
‫ב‪20  55  20 x  x  55  x  .‬‬
‫ג‪)20 + x)(55 - x( .‬‬
‫ד‪x(55 – x( .‬‬
‫שאלה ‪ .6‬מה צריך להיות ערכו של ‪ ,x‬כדי ששטח החלקה יישאר כפי שהיה לפני ההחלפה?‬
‫שאלה ‪ .7‬מה צריך להיות ערכו של ‪ x‬כדי שהשטח של מר מזרחי לאחר ההחלפה יהיה הגדול ביותר?‬
‫הסבר כיצד מצאת‪.‬‬
‫בעיות‪:‬‬
‫‪ .1‬אם נקטין אורך מלבן נתון ב‪ 21%-‬ונגדיל את רוחבו ב‪ 5 -‬ס"מ נקבל מלבן ששטחו גדול ב‪ 31-‬סמ"ר‬
‫משטח המלבן הנתון‪ .‬אם נגדיל את אורך המלבן הנתון ב‪ 5-‬ס"מ ונקטין את רוחבו ב‪ 5-‬ס"מ נקבל מלבן‬
‫ששטחו קטן ב‪ 51-‬סמ"ר משטח המלבן הנתון‪ .‬מצא את צלעות המלבן הנתון‪ 10 ( .‬ס"מ‪ 15 ,‬ס"מ )‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ .2‬שטחו של משולש ישר זווית הוא‬
‫‪3‬‬
‫משטחו של ריבוע שהיקפו ‪ 24‬ס"מ‪.‬‬
‫אחד מהניצבים של המשולש הוא ‪ 8‬ס"מ‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא את הניצב השני‪ 6 ( .‬ס"מ )‪.‬‬
‫ב‪ .‬חשב את אורך היתר של המשולש( ‪ 11‬ס"מ )‬
‫‪5‬‬
‫‪ .3‬במשולש שווה שוקיים הבסיס גדול ב‪ 4-‬ס"מ מהגובה לבסיס‪ .‬שטח המשולש ‪ 48‬סמ"ר‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא את הבסיס ואת הגובה לבסיס‪ 12 ( .‬ס"מ‪ 8 ,‬ס"מ )‬
‫ב‪ .‬מצא את היקף המשולש‪ 32 ( .‬ס"מ )‪.‬‬
‫‪ .4‬בטיול השתתפו ‪ 41‬ילדים ומבוגרים‪.‬‬
‫העלות עבור כל הילדים הייתה ‪ 1811‬ש"ח והעלות עבור כל המבוגרים הייתה ‪ 811‬ש"ח‪.‬‬
‫המחיר לכל מבוגר היה ‪ 21‬ש"ח יותר מאשר המחיר לכל ילד‪.‬‬
‫כמה ילדים השתתפו בטיול? הציגו דרך פתרון‪ 21 ( .‬ילדים)‪.‬‬
‫פעולות בשברים אלגברים‬
‫צמצם את השברים הבאים )במידת הצורך‪ ,‬היעזר בהוצאת גורם משותף(‪:‬‬
‫‪.1‬‬
‫‪.4‬‬
‫‪.7‬‬
‫‪ab‬‬
‫‪a‬‬
‫‪6ab‬‬
‫‪.2‬‬
‫‪9a 2 b 4‬‬
‫‪15a 3 b3‬‬
‫‪3x 2‬‬
‫‪9x 3  6x 2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪.3‬‬
‫‪3b‬‬
‫‪.5‬‬
‫‪4x  4‬‬
‫‪8‬‬
‫‪.6‬‬
‫‪.8‬‬
‫‪ab  bc‬‬
‫‪ac‬‬
‫‪.9‬‬
‫‪. 10‬‬
‫‪5x  5y‬‬
‫‪3y  3x‬‬
‫‪. 11‬‬
‫‪. 13‬‬
‫‪5a 2  15a‬‬
‫‪3a‬‬
‫‪. 14‬‬
‫‪. 16‬‬
‫‪15a 2  6a‬‬
‫‪2  5a‬‬
‫‪. 17‬‬
‫‪12x 2 y‬‬
‫‪x3  x 2 y‬‬
‫‪2‬‬
‫‪15a‬‬
‫‪5a  10b‬‬
‫‪6  18a‬‬
‫‪a  3a 2‬‬
‫‪. 12‬‬
‫‪xy  x 2‬‬
‫‪8x  8y‬‬
‫‪yx‬‬
‫‪x 2  2xy‬‬
‫‪2y 2  xy‬‬
‫‪8xy‬‬
‫‪10x 2  8x 3‬‬
‫‪4x 2  5x‬‬
‫‪. 15‬‬
‫‪5ab  5a 2‬‬
‫‪ab‬‬
‫‪. 18‬‬
‫‪6ab  9cb‬‬
‫‪6c  4a‬‬
‫צמצם את השברים הבאים )במידת הצורך‪ ,‬היעזר בנוסחה להפרש ריבועים(‪:‬‬
‫‪. 19‬‬
‫‪. 22‬‬
‫‪. 25‬‬
‫‪. 28‬‬
‫‪a 2  25‬‬
‫‪a 5‬‬
‫‪3x  1‬‬
‫‪. 20‬‬
‫‪x2  4‬‬
‫‪9x 2  1‬‬
‫‪16  9a 2‬‬
‫‪6a  8‬‬
‫‪. 23‬‬
‫‪x 2  2x‬‬
‫‪9a  6‬‬
‫‪x3  x 2 y‬‬
‫‪. 26‬‬
‫‪9a 3  4a‬‬
‫‪a 4  25‬‬
‫‪2‬‬
‫‪y x y‬‬
‫‪xy  3‬‬
‫‪. 29‬‬
‫‪a2  5‬‬
‫‪3‬‬
‫‪x 2 y2  9‬‬
‫‪. 21‬‬
‫‪6a  6‬‬
‫‪a2 1‬‬
‫‪. 24‬‬
‫‪x 3  16x‬‬
‫‪12  3x‬‬
‫‪. 27‬‬
‫‪a2b  x2b‬‬
‫‪cx  ca‬‬
‫‪. 30‬‬
‫‪8a 2 b 2  18‬‬
‫‪9  6ab‬‬
‫צמצם את השברים הבאים )במידת הצורך‪ ,‬היעזר בנוסחאות לדו‪ -‬איבר בריבוע(‪:‬‬
‫‪. 31‬‬
‫‪. 34‬‬
‫‪a 2  8a  16‬‬
‫‪a4‬‬
‫‪b3  b‬‬
‫‪b3  2b 2  b‬‬
‫‪. 32‬‬
‫‪. 35‬‬
‫‪2x 2  6x‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x  6x  9‬‬
‫‪9a 2  24ab  16b 2‬‬
‫‪16b 2  9a 2‬‬
‫‪. 33‬‬
‫‪. 36‬‬
‫‪2y 2  8‬‬
‫‪2‬‬
‫‪y  4y  4‬‬
‫‪4x 2  12x  9‬‬
‫‪6x 2  9x‬‬
‫צמצם א ת השברים הבאים )במידת הצורך‪ ,‬היעזר בפירוק הטרינום(‪:‬‬
‫‪. 37‬‬
‫‪x 2  4x  3‬‬
‫‪2x  2‬‬
‫‪. 38‬‬
‫‪a 2  5a‬‬
‫‪a 2  6a  5‬‬
‫כל הזכויות שמורות ליואל גבע ואריק דז'לדטי‬
‫‪22‬‬
‫‪. 39‬‬
‫‪a 2  10a  21‬‬
‫‪9  a2‬‬
b 2  8b  9
b 2  2b  1
5a 2  12a  4
25a 2  4
9a 2  30a  25
6a 2  a  15
x 2  10x  24
. 42
x 2  2x  8
6x 2  x  7
. 45
x2 1
2m 2  3m  2
. 48
2m 2  5m  2
a 2  3a  4
. 41
a 2  7a  6
2a 2  5a  3
4a  6
. 44
a 2  5a  14
. 47
4a 2  7a  2
. 40
. 43
. 46
:(‫כפול את השברים הבאים )צמצם במידת האפשר‬
a2  9 6

2
a 3
a 2  5a  6 5a  5

4a  24
a2 1
. 51
a 2  2a 3

9
a
. 50
. 54
a 2  7a  10 a

2a  4
a 5
. 53
3a 12

8 6a
a 2  8a  16
a
2

3a
a4
. 49
. 52
:(‫חלק את השברים הבאים )צמצם במידת האפ שר‬
6
8
: 2
3a  15 a  5a
. 56
6 2
:
a a 1
. 55
2a  10
3a  15
:
2
9a  6a  1 9a  3
. 58
9a 2  4 6a  4
:
3a
8a
. 57
a 2  2a  15 a 2  6a  9
:
4a  12
2a 2  50
. 60
a 2  6a  8
a2  a  2
: 2
2
3a  13a  4 2a  3a  5
. 59
:‫פשט את התבניות הבאות‬
6 5

a2 a
. 62
a
5a

a2 a2
. 61
a 6 5a

a  6 3a  18
. 64
1
a 3

a  1 2a  2
. 63
a
2
6a
 
a  7 a a 2  7a
. 66
1
5

2a  10 a 2  5a
. 65
2
4
 2
a a  2a
. 68
3a  1
1

4a  4 a  1
. 67
7a
2a  6
. 70
3
2
3


a 2a  3 2a 2  3a
. 69
6
2
a  3a

23
‫כל הזכויות שמורות ליואל גבע ואריק דז'לדטי‬
a
b

2a  4b a  2b
. 72
a
2a
 2
a 1 a 1
. 74
12
2
a 3
. 76
a
6a
 2
2a  3 4a  9
. 78
a
a
72


a  6 a  6 a 2  36
1
3
6


a  3 a 2  3a a 2  9
2
a 9
1
2
a  3ab
3
2



2
2
a  9b
2
2
2
a  4 a  4a  4
a 8
1

2
a a 6 a 3
a 5
a7

2a  6 a 2  2a  3
.
. 71
3
5 3  2a
  2
a  3 a a  3a
. 73
2a  a
a

a
7a  49
. 75

6
3a  15
. 77
. 80
a
25

a  5 a 2  5a
. 79
. 82
3
15

6a  10 9a 2  25
. 81
. 84
1
b
 2
2a  2b a  b 2
. 83
2
a  7a
20
2
a  25
a
. 86
2

2
3a  12
1
a  6a  8
1
1


3a  6 a  1 a 2  a  2
. 88
2a 2  3a
. 90
3a 2  5a  2

a
3a  1
. 85
. 87
. 89
. 8 . 14
. 5a . 13
. 2x . 12
. x . 11
. 5 . 10
3
.
6
.9 . b .8
a
6
1
x2
3b
x
. 22 .
. 21 .
. 20 . a  5 . 19 .
. 18 . 
. 17 . 3a . 16
a 1
3x  1
x
2
y
.
.
2
2a  1

1
3b
2a
x 1
3x
3a
.7 .
.6 .
.5 .
.4 .
.3 .
. 2 . b . 1 :‫תשובות‬
a  2b
3x  2
5a
b
2
2y
. 5a . 15
.
1
2
b(a  x)
x(x  4)
x2
3
4  3a
. 27 . 
. 26 .
. 25 .
. 24 .
. 23
c
3
y(x  y)
a(3a  2)
2
2x
2(2ab  3)
2(y  2)
1
. 33 .
. 32 . a  4 . 31 . 
. 30 .
. 29 . a 2  5 . 28
x 3
3
y2
xy  3
a 7
a
2x  3
4b  3a
b 1
x 3
. 39 .
. 38 .
. 37 . 
. 36 .
. 35 .
3a
a 1
3x
4b  3a
b 1
2
a2
9b
a4
6x  7
a 1
x 6
.
. 45 .
. 44 .
. 43 .
. 42 .
. 41 .
5a  2
a6
b 1
x 1
2
x2
a2
3a

5
2

m
a
7
. 3(a  3) . 51 .
. 50 . 3 . 49 .
. 48 .
. 47 .
4
4a  1
3
2a  3
m2
4(3a  2)
3(a  1)
3(a
 4)
a
a
.
. 57 .
. 56 .
. 55 . 5 . 54
.
. 53 .
4
3
a
a
4
2
2
2a  5
2
6  5a
a 5
5
.
. 63 .
. 62 .
. 61 .
. 60 .
. 59 .
2
2(a  1)
a2
a 5
3a  1
3a  1
a
.
.
. 34
. 40
. 46
. 52
. 58
4
2
a 2  a  20
a  10
2a  13
. 69 .
. 68 . 3 . 67 .
. 66 .
. 65 .
. 64
4
a
a2
a(a  7)
2a(a  5)
3(a  6)
24
‫כל הזכויות שמורות ליואל גבע ואריק דז'לדטי‬
.
2
a
4
1
a4
. 76 .  1 . 75
.
. 74 .  . 73 . 1 . 72 .  . 71 .
. 70
7
2
2a
a 3
a 1
a
a
1
2
3
12 . 80 . a  5 . 79 . a
.
. 82 .
. 81 .
. 78 .
. 77
a 6
a
a
2a  3
a 5
2(3a  5)
.
a  10
(a  2)(a  2)
2
. 86
.
.
a4
1
1
. 85 .
. 84 .
. 83
3(a  2)(a  4)
a(a  3b)
2(a  b)
a
2
a 3
4
. 87
. 90 .
. 89 .
. 88 .
a 2
a2
2(a  1)
3(a  1)
25
‫כל הזכויות שמורות ליואל גבע ואריק דז'לדטי‬
‫משוואות עם נעלמים במכנה‬
:(‫פתור את המשוואות הבאות )ללא פירוק לגורמים‬
1
2 1


x 3x 6
.2
8 2
x
.1
2x  1 3

6x
8
.4
10  2
x2
.3
6 3
x2
.6
x  6
4 x5
.5
6x  2 3  3x
1


5
4
x2
.8
4 1
x
x2
3(x  2)
.7
3  7 0
x2 4x
. 10
4 3
x x9
.9
5
8

2
x 1 x  2
. 12
3x  2 3x  5

x 1
x2
. 11
1
1
4


x 1 x 1 3
. 14
3
7

4
2x  3 2x  3
. 13
5  8 
80
x  3 x  6 (x  3) (x  6)
. 15
6  11  6 
11
2x  5 2x  5
(2x  5)(2x  5)
. 16
x
7  0.75  2  100
0.8x 0.6x
x2
. 18
9  3 2
x2 x
. 17
1
4

 2 0
(x  3) 2 x (x  3) 3  x
. 20
9
 3 2
(x  2) 2 x  2
. 19
(x  5) 80  3  25
x
. 22
4 300  5  2x  70
x

. 21
1  1  1 1
x 1 x  8 x  2 x
. 24
1 1  1  1
x x  10 x  2 x  1
. 23



.‫ רשום את תחום ההצבה של כל אחת מהמשוואות הבאות‬.‫א‬
.‫ פתור את המשוואות‬.‫ב‬
7(x  4)
x
2x  8
. 26
x 2  12
 7x
x3
x3
. 25
x 2  25
x 5 x 5
. 28
x 2  2x  3
4
x3
. 27
26
‫כל הזכויות שמורות ליואל גבע ואריק דז'לדטי‬
:(‫פתור את המשוואות הבאות )היעזר בפירוק לגורמים‬
x3
2
x6
. 30
x5
6
2


1
5x  15 x  1 x  3
. 32
2
x  6x
2x  30

11  2x
x 1

x4
6x  24
. 29
x 1
2x  16
. 31
6

2
x  8x
3
2x
. 34
x  13
7
2


6x  8 9x  12 3
. 33
1
7
14


x  3 x  3 x2  9
. 36
6
x7

x  2 x2  4
. 35
8
32
2
 2
 2
x  5 x  25
x 5
. 38
1
7x
13

 2
x  6 x  6 x  36
. 37
3
3x
2x  1


0
2x  4 x 2  4 2x  4
. 40
2
x  2x
2x  1

3
3x  12
. 42
2x  1
1


x  1 3x  3 3x  3
. 44
2
x  16

x2
2
5
2
x  4x
45

2
x  4x
3

18
2
x  16
1
3

2x  2 x 2  1
. 48

7
14

x  6 x 2  36
. 50
8
5
x2 5



3x  3 2  2x x  1 18
. 52
1
1
1
 2

0
2x  2 x  x 1  x 2
. 54
1  x 11x  4

4  6x 3x  2
. 56
7
7
1


1
6x  9 12x 2  27 2x  3
. 58
14x  72
4
 2
3x  15
x  10x  25
. 60
x x
24  3x
x 2  6x
10
2
9x  4

1
x 2  12x  36

13
x 2  36
0
1
1

x 5 6
. 39
2x  1
7x
x4
 2
 1
2x  3 4x  9
2x  3
. 41

x  25
3
11
1
2x  6
. 43
x 3
9x  57
x7

 2
2x  10 10x  50 x  25
. 45
x2  9
. 46

2
2x
2
20
2
x  8x


x  10
2
x  8x

36
2
x  64
x  12
6
6
2



2x(x  2) x  2 x 2  4 x
1

2x 2  5x
2
4x 2  25
8
2
x 9

x6
2
x  25

11x  18
6x 2  15x
. 51
. 53
11 15  2x

x  5 15  3x
. 55

6x

9
2
x  4x  4
2
x 2  6x  9
27
. 49
5
1

0
3x  9 3  x
3x 2  12
. 62
. 47
2
1
x2
. 57
2x  7
x2
. 59


3
x2  9
. 61
‫כל הזכויות שמורות ליואל גבע ואריק דז'לדטי‬
2
2
x  2x  1

98
2
4x  12x  9
3
2x  5
 2
2x

2
x 1
2x  4x  2
4
. 64
1
2
4x  20x  25
3x  4
6
 2
x  7 x  6x  7
. 67
x2
16
24


x  4 x  1 x 2  3x  4
. 69
2
x 2  5x  14
18
5
8

3x  6 33
3x  25

121
2
4x  20x  25
2
22

2
4x  25
1

2
x  5x  4 x  4
5
8
80


x  3 x  6 x 2  9x  18
8
. 71
x 2  3x  10
1 
x  12
8
1

x  2 5x
4x  27
. 65
. 66
. 68
. 70
. 73
3
5
4x  3
. 75
2x
7x

2x  5 2x 2  x  15
. 74
3
2
25

 2
3x  4 x  2 3x  2x  8
. 77
3
14
 2
5  0
2x  3 4x  4x  15
. 76
3
5
30

 2
2x  3 2x  1 4x  8x  3
. 79
3x  5 x  2
4

 2
x  5 4x  3 4x  23x  15
. 78
x 1
1
2x  2


3x  12 x  6 x 2  2x  24
. 81
x4
4x  5
8x  15


3x  1 9x 2  18x  5 3x  5
. 80
. 83
x4
x4
9


2x  14 2x  2 x 2  8x  7
. 82
. 85
5x  8 2x  25
x  143

 2
2x  2 15x  3 5x  6x  1
. 84
x  x  12
2
4x  12x
12
2
4x  17x  15

x 3
x 2  6x  5
x  11
2
x  3x  10
x 5
2
2x  18



5
x2 1
x 1
2
x  8x  15
x 3
2
4x  6x  18
2
x  4x
3x
. 87
2
x  5x  6
1
7
4
14
. 89


 2
x  4 x  8 x  2 x  4x  32
5
2
x  2x  3
.


. 63
0
2



2

45
2
x  10x  21
2
x  2x  8
2x  2
2
x  6x  9

18
2
x  6x  7
x2  9
 x 2  4x  9 ‫נתונה המשוואה‬
x 3
. 72
. 86
. 88
. 90
?‫ איזה מספר אסור להציב באגף שמאל של המשוואה‬.‫א‬
.‫ פשט את אגף שמאל של המשוואה‬.‫ב‬
.'‫ פתור את המשוואה שקיבלת בסעיף ב‬.‫ג‬
?‫ האם שני הפתרונות שקיבלת בסעיף ג' מקיימים את המשוואה הנתונה‬.‫ד‬
!‫נמק‬
.
.‫ פתור את המשוואה‬.‫ב‬
2x 3  32x
 6x ‫נתונה המשו ואה‬
x4
. 91
.‫ פשט את אגף שמאל של המשוואה‬.‫א‬
28
‫כל הזכויות שמורות ליואל גבע ואריק דז'לדטי‬
‫פתור את המשוואות הבאות‪:‬‬
‫‪. 92‬‬
‫‪x 2  5x‬‬
‫‪ x2  2‬‬
‫‪x5‬‬
‫‪. 93‬‬
‫‪x 3  4x 2  3x‬‬
‫‪ x3  3‬‬
‫‪x2  x‬‬
‫תשובות‪.  2 , 3 . 8 . 9 . 7 . 0 , 5 . 6 . 3 , 8 . 5 . 2 . 4 . 3 . 3 . 2 . 2 . 4 . 1 :‬‬
‫‪9‬‬
‫‪. 2 . 15 . 2 ,  1 . 14 . 2 ,  34 . 13 . 6 ,  12 . 12 . 1 . 11 . 2.6 . 10 . 36 . 9‬‬
‫‪16‬‬
‫‪2‬‬
‫‪5 . 16‬‬
‫‪. 15 , 40 . 21 . 4 , 1.5 . 20 . 5 , 12 . 19 . 5 , 10 . 18 . 3 , 1.5 . 17 . 3 , 3 12‬‬
‫‪ . 25 . 74 , 4 . 24 . 1 73 , 2 . 23 . 13 13 , 10 . 22‬א‪ . x  3 .‬ב‪ . 26 . 4 .‬א‪. x  4 .‬‬
‫ב‪ . 27 . 3.5 .‬א‪ . x  3 .‬ב‪ .‬אין פתרון‪ . 28 .‬א‪ . x  5 .‬ב‪. 5 . 29 . 5 .‬‬
‫‪. 3 , 2 . 38 . 7 . 37 . 4 . 36 . 1 . 35 . 6 . 34 . 1 . 33 . 5 , 2 1 . 32 . 4 , 3 . 31‬‬
‫‪3‬‬
‫‪. 5 . 46 . 7 , 10 . 45 . 0 , 4 . 44 . 4 1 , 1 . 43 . 5 . 42 . 0 , 6 . 41 . 1 . 40 . 1 . 39‬‬
‫‪5‬‬
‫‪2‬‬
‫‪. 0 . 53 . 4 . 52 . 1 3 , 3 . 51 . 8 , 4.5 . 50 . 4 ,  2 . 49 . 2 , 3 . 48 . 10 . 47‬‬
‫‪7‬‬
‫‪22‬‬
‫‪. 5 , 1 . 59 . 2 , 2 2 . 58 . 2 , 3 . 57 . 1 ,  38 . 56 . 18.5 , 6 . 55 . 2 . 54‬‬
‫‪63‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪. 3 . 66 . 3 . 65 . 4 , 2 . 64 . 0 , 5 . 63 . 7 . 62 . 15 . 61 . 4 1 , 6 . 60‬‬
‫‪7‬‬
‫‪9‬‬
‫‪. 2 2 , 3 . 72 . 2.875 , 9 . 71 . 6 . 70 . 7 , 6 . 69 . 2 . 68 . 1 2 , 2 . 67‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪. 2 7 , 1 . 78 . 3 . 77 . 2.3 , 1 . 76 . 5.1 , 1 . 75 . 1 , 3 1 . 74 . 6 2 , 5 . 73‬‬
‫‪11‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ . 82 . 2 . 81 . 119 , 0 . 80 . 3 . 79‬אין פתרון‪ . 83 .‬אין פתרון‪. 2 63 , 4 . 84 .‬‬
‫‪21‬‬
‫‪79‬‬
‫‪ . 90 . 2.5 , 6 . 89 . 2 . 88 . 6 , 1 . 87 . 1 , 4 . 86 . 7 . 85‬א‪. 3 .‬‬
‫‪. 3 . 30‬‬
‫‪2‬‬
‫ב‪. x  3  x  4x  9 .‬‬
‫המשוואה הנתונה‪.‬‬
‫ג‪. 2 , 3 .‬‬
‫ד‪ .‬לא‪ x  3 ,‬אינו נמצא בתחום ההצבה של‬
‫‪ . 91‬א‪ . 2x(x  4)  6x .‬ב‪. 1 . 93 . 1 , 2 . 92 . 7 , 0 .‬‬
‫כל הזכויות שמורות ליואל גבע ואריק דז'לדטי‬
‫‪29‬‬
‫גיאומטריה‬
‫מקבילית‬
‫‪.1‬‬
‫‪B‬‬
‫המרובע ‪ ABCD‬הוא מקבילית‪.‬‬
‫‪A‬‬
‫א‪ .‬נתון‪ . C  52 :‬מהו גודל הזווית ‪? A‬‬
‫ב‪ .‬נתון גם‪. BDC  56 :‬‬
‫חשב את הזווית ‪. ADB‬‬
‫תשובה‪:‬‬
‫‪.2‬‬
‫א ‪. 52 .‬‬
‫‪D‬‬
‫‪C‬‬
‫ב‪. 72 .‬‬
‫במקבילית ‪ ABCD‬הזווית ‪ C‬גדולה פי ‪ 2‬מהזווית ‪. B‬‬
‫חשב את זוויות המקבילית‪.‬‬
‫תשובה‪:‬‬
‫‪.3‬‬
‫‪. 60 , 120 , 60 , 120‬‬
‫‪x2‬‬
‫במקבילית שלפניך מסומנים באמצעות ‪x‬‬
‫אורכי הצלעות בס"מ‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא את ‪. x‬‬
‫‪2x  3‬‬
‫ב‪ .‬חשב את היקף המקב ילית‪.‬‬
‫תשובה‪:‬‬
‫‪.4‬‬
‫‪10  x‬‬
‫א‪ 4 .‬ס"מ‪ .‬ב‪ 22 .‬ס"מ‪.‬‬
‫האלכסונים ‪ AC‬ו‪ BD -‬של מקבילית‬
‫‪ ABCD‬נחתכים בנקודה ‪. E‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫נתון‪. CE  2x  2 , AE  x  6 :‬‬
‫‪E‬‬
‫חשב את אורך האלכסון ‪. AC‬‬
‫תשובה‪:‬‬
‫‪.5‬‬
‫‪C‬‬
‫‪ 20‬ס"מ‪.‬‬
‫במקבילית ‪ ABCD‬נתון‪. BDC  28 :‬‬
‫הנקודה ‪ E‬נמצאת על האלכסון ‪BD‬‬
‫כך ש‪. AB  BE -‬‬
‫א‪ .‬חשב את הזווית ‪. AED‬‬
‫ב‪ .‬נתון ‪ . AE  DE :‬חשב את הזווית ‪. C‬‬
‫תשובה‪:‬‬
‫‪.6‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫‪E‬‬
‫‪C‬‬
‫‪D‬‬
‫‪‬‬
‫א‪ . 104 .‬ב‪. 114 .‬‬
‫הנקודה ‪ Q‬נמצאת על הצלע ‪AB‬‬
‫של מקבילית ‪ . ABCD‬הקטע ‪DQ‬‬
‫חותך את האלכסון ‪ AC‬בנקודה ‪. P‬‬
‫נתון‪. DAC   , AD  AQ , AB  AC :‬‬
‫הבע באמצעות ‪ ‬הזווית ‪. APQ‬‬
‫תשובה‪:‬‬
‫‪D‬‬
‫‪. 11 ‬‬
‫‪2‬‬
‫כל הזכויות שמורות ליואל גבע ואריק דז'לדטי‬
‫‪30‬‬
‫‪B‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪A‬‬
‫‪P‬‬
‫‪C‬‬
‫‪D‬‬
‫‪.7‬‬
‫‪B‬‬
‫המרובע ‪ ABCD‬הוא מקבילית‪.‬‬
‫‪A‬‬
‫‪F‬‬
‫‪ F‬ו‪ E -‬הן נקודות על הצלעות‬
‫‪ AB‬ו‪ . DC -‬נתון‪. AF  CE :‬‬
‫הוכח‪. ADF  CBE :‬‬
‫‪.8‬‬
‫‪C‬‬
‫‪D‬‬
‫‪E‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫המרובע ‪ ABCD‬הוא מקבילית‪.‬‬
‫‪ E‬ו‪ F -‬הן נקודות על האלכסון ‪. BD‬‬
‫‪E‬‬
‫‪F‬‬
‫נתון‪. BE  DF :‬‬
‫הוכח‪. AE  CF :‬‬
‫‪C‬‬
‫‪D‬‬
‫‪E‬‬
‫‪.9‬‬
‫המרובע ‪ ABCD‬הוא מקבילית‪.‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫הנקודות ‪ E‬ו‪ F -‬נמצאות על המשך‬
‫האלכסון ‪) AC‬ראה ציור(‪.‬‬
‫נתון‪. AE  CF :‬‬
‫הוכח‪. EDC  FBA :‬‬
‫‪C‬‬
‫‪D‬‬
‫‪F‬‬
‫‪. 10‬‬
‫הנקודות ‪ E‬ו‪ F -‬נמצאות על האלכסון ‪AC‬‬
‫של מקבילית ‪. ABCD‬‬
‫נתון‪. BF  AC , DE  AC :‬‬
‫א‪ .‬הוכח‪. BF  DE :‬‬
‫ב‪ .‬הוכח‪. ABF  CDE :‬‬
‫‪C‬‬
‫‪. 11‬‬
‫הנקודה ‪ E‬נמצאת על הצלע ‪ AB‬של‬
‫‪B‬‬
‫‪E‬‬
‫‪F‬‬
‫‪D‬‬
‫‪F‬‬
‫מקבילית ‪ . ABCD‬המשך הקטע ‪DE‬‬
‫‪E‬‬
‫‪B‬‬
‫חותך את המשך הצלע ‪ CB‬בנקודה ‪. F‬‬
‫נתון‪. BF  BC :‬‬
‫הוכח‪. AE  1 DC :‬‬
‫‪2‬‬
‫‪. 12‬‬
‫‪A‬‬
‫‪C‬‬
‫‪A‬‬
‫‪D‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫המרובע ‪ ABCD‬הוא מקבילית‪.‬‬
‫‪ BE‬ו‪ BF -‬הם גבהים במקבילית‪.‬‬
‫‪F‬‬
‫א‪ .‬הוכח‪. ABF  EBC :‬‬
‫ב ‪ .‬הוכח‪. FBE  C :‬‬
‫‪C‬‬
‫‪. 13‬‬
‫כל הזכויות שמורות ליואל גבע ואריק דז'לדטי‬
‫‪31‬‬
‫‪E‬‬
‫‪B‬‬
‫במקבילית ‪ ABCD‬הצלע ‪ AB‬ארוכה‬
‫פי ‪ 2‬מהצלע ‪ . BC‬הנקודה ‪E‬‬
‫נמצאת באמצע הצלע ‪. DC‬‬
‫א‪ .‬הוכח‪ AE :‬חוצה את הזווית ‪. BAD‬‬
‫ב‪ .‬הוכח‪. AE  BE :‬‬
‫‪D‬‬
‫‪C‬‬
‫‪A‬‬
‫‪E‬‬
‫‪D‬‬
‫‪. 14‬‬
‫הנקודות ‪ E‬ו‪ F -‬נמצאות על הצלע ‪AB‬‬
‫של מקבילי ת ‪. ABCD‬‬
‫המשכי הקטעים ‪ DE‬ו‪ CF -‬נפגשים‬
‫בנקודה ‪ . G‬נתון‪. AD  AE  BF :‬‬
‫הוכח ‪. DG  CG :‬‬
‫‪. 15‬‬
‫המרובע ‪ ABCD‬הוא מקבילית‪.‬‬
‫‪G‬‬
‫‪E‬‬
‫‪F‬‬
‫‪B‬‬
‫‪A‬‬
‫‪D‬‬
‫‪C‬‬
‫‪Q‬‬
‫נתון‪. BQ  DQ , BP  DP :‬‬
‫א‪ .‬הוכח‪. BCD  PBQ :‬‬
‫‪B‬‬
‫ב‪ .‬נתון‪. ABC  2ABQ :‬‬
‫‪A‬‬
‫חשב את ‪. BAD‬‬
‫תשובה‪:‬‬
‫‪. 16‬‬
‫ב‪. 120 .‬‬
‫‪D‬‬
‫‪C‬‬
‫‪P‬‬
‫‪F‬‬
‫המרובע ‪ ABCD‬הוא מקבילית‪.‬‬
‫‪ E‬ו‪ F -‬הן נקודות הנמצאות על המשכי‬
‫הצלעות ‪ CD‬ו‪ . CB -‬נתון‪. AF  AB :‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫א‪ .‬הוכח‪. AE  DE :‬‬
‫ב‪ .‬הוכח‪ AD :‬חוצה את הזווית ‪. BAE‬‬
‫‪C‬‬
‫‪. 17‬‬
‫‪E‬‬
‫‪D‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫המרובעים ‪ ABCD‬ו‪ABEF -‬‬
‫הם מקביליות‪.‬‬
‫הוכח‪. FD  CE :‬‬
‫‪C‬‬
‫‪. 18‬‬
‫‪E‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫המרובע ‪ ABCD‬הוא מקבילית‪.‬‬
‫‪D‬‬
‫‪F‬‬
‫‪ AE‬הוא הגובה לצלע ‪. BC‬‬
‫נתון‪. D  60 :‬‬
‫הוכח‪. BE  1 DC :‬‬
‫‪2‬‬
‫‪. 19‬‬
‫‪E‬‬
‫המרובע ‪ ABCD‬הוא מקבילית‪.‬‬
‫‪ BE‬הוא גובה לצ לע ‪. DC‬‬
‫‪C‬‬
‫‪D‬‬
‫‪B‬‬
‫‪A‬‬
‫נתון‪ 4 :‬ס"מ ‪. ADC  120 , BC ‬‬
‫היקף המקבילית הוא ‪ 24‬ס"מ‪.‬‬
‫חשב את אורך הקטע ‪. DE‬‬
‫תשובה‪:‬‬
‫‪C‬‬
‫‪ 6‬ס"מ‪.‬‬
‫כל הזכויות שמורות ליואל גבע ואריק דז'לדטי‬
‫‪32‬‬
‫‪E‬‬
‫‪D‬‬
‫‪. 20‬‬
‫הנקודה ‪ E‬היא מפגש האלכסונים‬
‫‪B‬‬
‫‪F‬‬
‫‪A‬‬
‫במקבילית ‪ F . ABCD‬נקודה על‬
‫המשך הצלע ‪. AB‬‬
‫‪E‬‬
‫נתון‪. CF  AF :‬‬
‫‪C‬‬
‫הוכח‪. AE  FE :‬‬
‫‪. 21‬‬
‫‪B‬‬
‫‪ BE‬ו‪ BF -‬הם גבהים במקבילית ‪. ABCD‬‬
‫הנקודות ‪ G‬ו‪ H -‬הן אמצעי‬
‫‪A‬‬
‫‪H‬‬
‫‪G‬‬
‫הצלעות ‪ BC‬ו‪ AB -‬בהתאמה‪.‬‬
‫‪F‬‬
‫הוכח‪. BGE  BHF :‬‬
‫‪. 22‬‬
‫‪D‬‬
‫‪C‬‬
‫‪D‬‬
‫‪E‬‬
‫הנקודות ‪ E‬ו‪ F -‬נמצאות על הצלעות‬
‫‪E‬‬
‫‪B‬‬
‫‪ AB‬ו‪ DC -‬של מקבילית ‪. ABCD‬‬
‫‪A‬‬
‫נתון‪. EF  AD :‬‬
‫א‪ .‬הוכח‪ :‬המרובע ‪ ADFE‬הוא מקבילית‪.‬‬
‫ב‪ .‬הוכח‪. BE  CF :‬‬
‫‪. 23‬‬
‫‪C‬‬
‫המרובע ‪ ABCD‬הוא מקבילית‪.‬‬
‫‪F‬‬
‫‪E‬‬
‫‪B‬‬
‫‪D‬‬
‫‪A‬‬
‫הנקודות ‪ E‬ו‪ F -‬נמצאות על הצלעות‬
‫‪ AB‬ו‪ CD -‬בהתאמה‪ .‬נתון‪. AF  CE :‬‬
‫א‪ .‬הוכח‪ :‬המרובע ‪ AECF‬הוא מקבילית‪.‬‬
‫‪C‬‬
‫ב‪ .‬הוכח‪. DAF  BCE :‬‬
‫‪. 24‬‬
‫‪F‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫במרובע ‪ ABCD‬נתון‪, BAC  35 :‬‬
‫‪‬‬
‫‪D‬‬
‫‪‬‬
‫‪. B  D  75 , DAC  70‬‬
‫הוכח‪ :‬המרובע ‪ ABCD‬הוא מקבילית‪.‬‬
‫‪D‬‬
‫‪C‬‬
‫‪. 25‬‬
‫המרובע ‪ ABCD‬הוא מקבילית‪.‬‬
‫‪B‬‬
‫‪A‬‬
‫‪F‬‬
‫‪ AE‬ו‪ CF -‬הם גבהים במקבילית‪.‬‬
‫א‪ .‬הוכח‪ :‬המרובע ‪DEBF‬‬
‫הוא מקבילית‪.‬‬
‫‪C‬‬
‫ב‪ .‬הוכח‪. DCF  BAE :‬‬
‫‪. 26‬‬
‫המרובע ‪ ABCD‬הוא מקבילית‪.‬‬
‫‪E‬‬
‫‪A‬‬
‫‪D‬‬
‫‪B‬‬
‫‪F‬‬
‫‪ E‬אמצע הצלע ‪ F , DC‬אמצע הצלע ‪. AB‬‬
‫א‪ .‬הוכח‪. AE  CF :‬‬
‫ב‪ .‬הוכח‪ :‬נקודת מפגש האלכסונים‬
‫של המרובע ‪ AECF‬היא נקודת מפגש‬
‫האלכסונים של ה מקבילית ‪. ABCD‬‬
‫כל הזכויות שמורות ליואל גבע ואריק דז'לדטי‬
‫‪33‬‬
‫‪D‬‬
‫‪E‬‬
‫‪C‬‬
‫‪. 27‬‬
‫‪B‬‬
‫המרובע ‪ ABCD‬הוא מקבילית‪.‬‬
‫‪A‬‬
‫‪E‬‬
‫הקטעים ‪ DE‬ו‪ BF -‬חוצים את‬
‫הזוויות ‪ ADC‬ו‪ CBA -‬בהתאמה‪.‬‬
‫הוכח‪ :‬המרובע ‪ EBFD‬הוא מקביל ית‪.‬‬
‫‪. 28‬‬
‫‪C‬‬
‫המרובע ‪ ABCD‬הוא מקבילית‪.‬‬
‫‪D‬‬
‫‪F‬‬
‫‪B‬‬
‫‪ BE‬חוצה את הזווית ‪ABC‬‬
‫ו‪ DF -‬חוצה את הזווית ‪. ADC‬‬
‫הוכח‪ :‬המרובע ‪ BEDF‬הוא מקבילית‬
‫‪A‬‬
‫‪F‬‬
‫‪E‬‬
‫‪C‬‬
‫‪. 29‬‬
‫אלכסוני המקבילית ‪ ABCD‬נפגשים‬
‫‪D‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫בנקודה ‪ . O‬הנקודות ‪ G , F , E‬ו‪H -‬‬
‫‪F‬‬
‫נמצאות באמצעי הקטעים‬
‫‪ CO , BO , AO‬ו‪ DO -‬בהתאמה‪.‬‬
‫‪H‬‬
‫‪C‬‬
‫המרובע ‪ ABCD‬הוא מקבילית‪.‬‬
‫‪D‬‬
‫‪E‬‬
‫‪F‬‬
‫אלכסוני המקבילית נפגשים בנקודה ‪. M‬‬
‫‪B‬‬
‫הנקודות ‪ G , F , E‬ו‪ H -‬נמצאות‬
‫על המשכי האלכסונים ‪ AC‬ו‪. BD -‬‬
‫‪A‬‬
‫‪M‬‬
‫‪D‬‬
‫‪C‬‬
‫נתון‪. AE  CG , BF  DH :‬‬
‫‪H‬‬
‫‪G‬‬
‫הוכח‪ :‬המרובע ‪ EFGH‬הוא מקבילית‪.‬‬
‫‪. 31‬‬
‫‪O‬‬
‫‪G‬‬
‫הוכח‪ :‬המרובע ‪ EFGH‬הוא מקבילית‪.‬‬
‫‪. 30‬‬
‫‪E‬‬
‫אלכסוני המרובע ‪ ABCD‬נחתכים בנקודה ‪ . E‬נתון‪ – E :‬אמצע ‪, AC‬‬
‫‪ . AB  DC‬הוכח‪ :‬המרובע ‪ ABCD‬הוא מקבילית‪.‬‬
‫‪. 32‬‬
‫המרובע ‪ ABCD‬הוא מקבילית‪.‬‬
‫‪B‬‬
‫‪ G , F , E‬ו‪ H -‬הן אמצעי הצלעות‬
‫‪ DC , BC , AB‬ו‪ AD -‬בהתאמה‪.‬‬
‫‪E‬‬
‫‪A‬‬
‫‪F‬‬
‫א‪ .‬הוכח‪ :‬המרובע ‪ EFGH‬הוא מקבילית‪.‬‬
‫ב‪ .‬הוכח‪ :‬נקודת מפגש האלכסונים‬
‫‪H‬‬
‫‪C‬‬
‫במקבילית ‪ ABCD‬מתלכדת עם נקודת‬
‫‪D‬‬
‫‪G‬‬
‫מפגש האלכסונים במקבילית ‪. EFGH‬‬
‫הדרכה‪:‬‬
‫‪. 33‬‬
‫הראה שהקטעים ‪ BD‬ו‪ GE -‬חוצים זה את זה‪.‬‬
‫המרובע ‪ ABCD‬הו א מקבילית‬
‫‪F‬‬
‫‪B‬‬
‫שאלכסוניה נחתכים בנקודה ‪. E‬‬
‫‪A‬‬
‫‪E‬‬
‫הנקודה ‪ E‬נמצאת על הקטע ‪. FG‬‬
‫הוכח‪ :‬המרובע ‪AFCG‬‬
‫הוא מקבילית‪.‬‬
‫כל הזכויות שמורות ליואל גבע ואריק דז'לדטי‬
‫‪C‬‬
‫‪34‬‬
‫‪G‬‬
‫‪D‬‬
‫‪. 34‬‬
‫‪E‬‬
‫המרובעים ‪ ABCD‬ו‪ ABEF -‬הן מקביליות‪.‬‬
‫א‪ .‬הוכח‪ :‬המרובע ‪DCEF‬‬
‫‪F‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫הוא מקבילית‪.‬‬
‫ב‪ .‬הוכח‪. ADF  BCE :‬‬
‫‪C‬‬
‫‪. 35‬‬
‫המרובע ‪ ABCD‬הוא מקבילית‪.‬‬
‫‪D‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫הנקודה ‪ E‬נמצאת על האלכסון ‪. AC‬‬
‫‪E‬‬
‫המרובע ‪ AEFD‬הוא מקבילית‪.‬‬
‫א‪ .‬הוכח‪. BE  CF :‬‬
‫‪C‬‬
‫ב‪ .‬הוכח‪. BE  CF :‬‬
‫‪D‬‬
‫‪G‬‬
‫‪F‬‬
‫‪. 36‬‬
‫המרובעים ‪ DCFE‬ו‪ ABFE -‬הם מקביליות‪.‬‬
‫‪B‬‬
‫א‪ .‬הוכח‪ :‬המרובע ‪ABCD‬‬
‫הוא מקבילית‪.‬‬
‫‪A‬‬
‫‪E‬‬
‫‪F‬‬
‫ב‪ .‬הוכח‪ :‬המרובע ‪EBFC‬‬
‫הוא מקבילית‪.‬‬
‫‪D‬‬
‫‪C‬‬
‫‪F‬‬
‫‪. 37‬‬
‫אלכסוני ה מקבילית ‪ ABCD‬נפגשים בנקודה ‪. E‬‬
‫‪B‬‬
‫נתון‪. BF  AE , AF  BE :‬‬
‫‪A‬‬
‫א‪ .‬הוכח‪ :‬המרובע ‪ FBCE‬הוא מקבילית‪.‬‬
‫‪E‬‬
‫ב‪ .‬הוכח‪ :‬מרובע ‪ FEDA‬הוא מקבילית‪.‬‬
‫‪C‬‬
‫‪D‬‬
‫‪F‬‬
‫‪. 38‬‬
‫המרובעים ‪ ABCD‬ו‪AFED -‬‬
‫הם מקביליות‪ .‬הקטעים ‪FC‬‬
‫ו‪ EB -‬נחתכים בנקודה ‪. M‬‬
‫הוכח‪. FM  MC :‬‬
‫‪. 39‬‬
‫המרובע ‪ ABCD‬הוא מקבילית‪.‬‬
‫‪B‬‬
‫‪A‬‬
‫‪M‬‬
‫‪E‬‬
‫‪C‬‬
‫‪ , G , F , E‬ו‪ H -‬הן נקודות על צלעות‬
‫‪E‬‬
‫‪B‬‬
‫ב ‪ .‬הוכח‪ :‬המרובע ‪ AECG‬הוא מקבילית‪.‬‬
‫ג‪ .‬הוכח‪ :‬המרו בע ‪ KLMN‬הוא מקבילית‪.‬‬
‫כל הזכויות שמורות ליואל גבע ואריק דז'לדטי‬
‫‪35‬‬
‫‪A‬‬
‫‪K‬‬
‫‪L‬‬
‫המקבילית‪ .‬נתון‪. BE  DG , AH  CF :‬‬
‫א‪ .‬הוכח‪ :‬המרובע ‪ BFDH‬הוא מקבילית‪.‬‬
‫‪D‬‬
‫‪H‬‬
‫‪F‬‬
‫‪N‬‬
‫‪M‬‬
‫‪C‬‬
‫‪G‬‬
‫‪D‬‬
‫‪. 40 ‬‬
‫המרובע ‪ ABCD‬הוא מקבילית‪.‬‬
‫‪L‬‬
‫‪C‬‬
‫הנקודות ‪ G , L , E , H‬נמצאות‬
‫‪D‬‬
‫‪E‬‬
‫‪F‬‬
‫על צלעות המקבילית‪.‬‬
‫נתו ן‪. CE  AG , DH  BL :‬‬
‫‪G‬‬
‫הוכח‪ :‬המרובע ‪ DFBK‬הוא מקבילית‪.‬‬
‫‪K‬‬
‫‪B‬‬
‫‪A‬‬
‫‪H‬‬
‫‪G‬‬
‫‪. 41 ‬‬
‫המרובע ‪ ABCD‬הוא מקבילית‪.‬‬
‫הנקודות ‪ E‬ו‪ F -‬הן אמצעי‬
‫הצלעות ‪ AB‬ו‪ BC -‬בהתאמה‪.‬‬
‫‪E‬‬
‫‪B‬‬
‫‪H‬‬
‫‪A‬‬
‫הוכח‪ :‬המרובע ‪ AGHC‬הוא מקבילית‪.‬‬
‫‪F‬‬
‫‪D‬‬
‫‪C‬‬
‫‪. 42‬‬
‫הנקודה ‪ M‬היא מפגש האלכסונים‬
‫‪F‬‬
‫‪B‬‬
‫במקבילית ‪. ABCD‬‬
‫‪G‬‬
‫הנקודות ‪ G , F , E‬ו‪ H -‬נמצאות‬
‫‪A‬‬
‫‪M‬‬
‫‪E‬‬
‫על צלעות המקבילית )ראה ציור(‪.‬‬
‫א‪ .‬הוכח‪. EM  GM :‬‬
‫‪C‬‬
‫ב‪ .‬הוכח‪. EF  GH :‬‬
‫‪. 43‬‬
‫אלכסוני המקבילית ‪ ABCD‬נפגשים בנקודה ‪. E‬‬
‫הנקודות ‪ M , L , K‬ו‪ N -‬נמצאות‬
‫‪H‬‬
‫‪K‬‬
‫‪B‬‬
‫‪ KM‬ו‪ LN -‬עוברים דרך נקודה ‪. E‬‬
‫‪N‬‬
‫‪M‬‬
‫‪D‬‬
‫‪E‬‬
‫‪B‬‬
‫הנקודות ‪ G , F , E‬ו‪ H -‬נמצאות‬
‫על צלעותיה של מקבילית ‪ABCD‬‬
‫כך ש‪. BF  HD , AE  CG -‬‬
‫הוכח‪. PF  PH , PE  PG :‬‬
‫‪. 45‬‬
‫‪E‬‬
‫‪C‬‬
‫ב‪ .‬הוכח‪. KL  MN :‬‬
‫‪. 44 ‬‬
‫‪A‬‬
‫‪L‬‬
‫על צלעות המקבילית כך שהקטעים‬
‫א‪ .‬הוכח‪. KN  ML :‬‬
‫‪D‬‬
‫‪A‬‬
‫‪F‬‬
‫‪P‬‬
‫‪H‬‬
‫‪C‬‬
‫‪G‬‬
‫‪F‬‬
‫המשולשים ‪ ABD , BCE‬ו‪ AEF -‬הם‬
‫משולשים שווי‪ -‬צלעות‪.‬‬
‫‪D‬‬
‫‪D‬‬
‫א‪ .‬הוכח‪. DAF  BAE :‬‬
‫‪C‬‬
‫ב‪ .‬הוכח‪. DF  BC :‬‬
‫‪B‬‬
‫ג‪ .‬הוכח‪ :‬המרובע ‪ DBCF‬הוא מקבילית‪.‬‬
‫‪E‬‬
‫‪. 46 ‬‬
‫‪A‬‬
‫הוכח‪ :‬אורך התיכון במשולש קטן מהממוצע של אורכי שתי הצלעות‬
‫שלידו‪.‬‬
‫כל הזכויות שמורות ליואל גבע ואריק דז'לדטי‬
‫‪36‬‬
‫‪. 47‬‬
‫הוכח‪ :‬סכום האלכסונים במקבילית גדול מסכום שתי צלעות סמוכות‬
‫וקט ן מהיקף המקבילית‪.‬‬
‫‪. 48‬‬
‫הוכח את המשפט‪:‬‬
‫כל שתי זוויות נגדיות במקבילית שוות זו‬
‫לזו ‪.‬‬
‫‪. 49‬‬
‫הוכח את המשפט‪:‬‬
‫כל שתי צלעות נגדיות במקבילית שוות זו‬
‫לזו ‪.‬‬
‫‪. 50‬‬
‫הוכח את המשפט‪:‬‬
‫האלכסונים במ קבילי ת חוצים זה את‬
‫זה ‪.‬‬
‫‪. 51‬‬
‫הוכח את המשפט‪:‬‬
‫מרובע שבו יש שני זוגות של צלעות נגדיות שוות‬
‫הוא‬
‫‪. 52‬‬
‫הוכח את המשפט‪:‬‬
‫הוא‬
‫‪. 53‬‬
‫מקבילית ‪.‬‬
‫מרובע שבו יש שני זוגות של זוויות נגדיות שוות‬
‫מקבילית ‪.‬‬
‫הוכח את המשפט‪ :‬מרובע שבו יש זוג צלעות נגדיות שהן שוות וגם‬
‫מקבילות הוא מקב ילית‪.‬‬
‫מרובע שאלכסוניו חוצים זה את זה הוא מקבילית‪.‬‬
‫‪. 54‬‬
‫הוכח את המשפט‪:‬‬
‫‪.1‬‬
‫המרובע ‪ ABCD‬הוא מלבן שאלכסוניו‬
‫מלבן‬
‫‪B‬‬
‫‪A‬‬
‫נפגשים בנקודה ‪ . E‬נתון‪. EBC  58 :‬‬
‫‪E‬‬
‫א‪ .‬חשב את הזווית ‪. ABD‬‬
‫ב‪ .‬חשב את הזווית ‪. AED‬‬
‫‪C‬‬
‫תשובה‪ :‬א‪ . 32 .‬ב‪. 64 .‬‬
‫‪.2‬‬
‫‪D‬‬
‫המרובע ‪ ABCD‬הוא מלבן שאלכסוניו נפגשים בנקודה ‪. E‬‬
‫הוכח‪. DEC  2  EBC :‬‬
‫‪.3‬‬
‫אלכסוני המלבן ‪ ABCD‬נפגשים בנקודה ‪. E‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫‪ F‬היא נקודה על הקטע ‪. CE‬‬
‫נתון‪. AB  AF :‬‬
‫‪E‬‬
‫הוכח‪. AED  4FBC :‬‬
‫‪.4‬‬
‫‪F‬‬
‫הנקודה ‪ E‬נמצאת בתוך מלבן ‪. ABCD‬‬
‫נתון‪. DE  CE :‬‬
‫‪C‬‬
‫‪D‬‬
‫‪B‬‬
‫‪A‬‬
‫‪E‬‬
‫א‪ .‬הוכח‪. AE  BE :‬‬
‫ב‪ .‬נתון‪. BCE  55 , AEB  130 :‬‬
‫חשב את הזווית ‪. BEC‬‬
‫תשובה‪:‬‬
‫‪C‬‬
‫ב‪. 60 .‬‬
‫כל הזכויות שמורות ליואל גבע ואריק דז'לדטי‬
‫‪37‬‬
‫‪D‬‬
‫‪E‬‬
‫‪.5‬‬
‫המרובע ‪ ABCD‬הוא מלבן‪.‬‬
‫‪B‬‬
‫הנקודה ‪ E‬נמצאת מחוץ‬
‫‪G‬‬
‫‪A‬‬
‫‪F‬‬
‫למלבן כך ש‪. AE  BE -‬‬
‫א‪ .‬הוכח‪. DE  CE :‬‬
‫ב‪ .‬הוכח ‪. EF  EG :‬‬
‫‪.6‬‬
‫הנקודות ‪ E‬ו‪ F -‬נמצאות על הצלע ‪AD‬‬
‫של מלבן ‪ . ABCD‬הקטעים ‪ CE‬ו‪BF -‬‬
‫נפגשים בנקו דה ‪ . G‬נתון‪. CE  BF :‬‬
‫א‪ .‬הוכח‪. AE  DF :‬‬
‫ב‪ .‬הוכח‪. GE  GF :‬‬
‫‪.7‬‬
‫הנקודות ‪ E‬ו‪ F -‬נמצאות על הצלע ‪AB‬‬
‫של מלבן ‪ . ABCD‬הקטעים ‪ CE‬ו‪DF -‬‬
‫נפגשים בנקודה ‪ . G‬נתון‪. AE  BF :‬‬
‫א‪ .‬הוכח‪. DG  CG :‬‬
‫ב‪ .‬הוכח‪ :‬מרחק הנקודה ‪ F‬מהקטע ‪CE‬‬
‫שווה למרחק הנקודה ‪ E‬מהקטע ‪. DF‬‬
‫‪.8‬‬
‫המשולש ‪ ABC‬הוא שווה‪ -‬שוקיים )‪. (AB  AC‬‬
‫‪C‬‬
‫‪D‬‬
‫‪B‬‬
‫‪A‬‬
‫‪E‬‬
‫‪G‬‬
‫‪F‬‬
‫‪C‬‬
‫‪D‬‬
‫‪B‬‬
‫‪A E‬‬
‫‪F‬‬
‫‪G‬‬
‫‪D‬‬
‫‪C‬‬
‫‪A‬‬
‫המלבן ‪ DEFG‬חסום בתוך המשולש‪.‬‬
‫הוכח‪. AG  AF :‬‬
‫‪E‬‬
‫‪C‬‬
‫‪.9‬‬
‫המשולש ‪ ABC‬הוא ישר‪ -‬זווית ושווה‪ -‬שוקיים‬
‫‪D‬‬
‫‪B‬‬
‫‪G‬‬
‫‪F‬‬
‫‪A‬‬
‫‪‬‬
‫) ‪ . (BAC  90‬המלבן ‪ EFGH‬שהיקפו‬
‫‪ 16‬ס"מ חסום בתוך המשולש ‪.‬‬
‫‪F‬‬
‫אורך הגובה המורד מקדקוד ‪A‬‬
‫לצלע ‪ BC‬הוא ‪ 5‬ס"מ‪.‬‬
‫חשב את אורך הקטע ‪. EH‬‬
‫תשובה‪:‬‬
‫‪. 10‬‬
‫‪C‬‬
‫‪E‬‬
‫‪B‬‬
‫‪H‬‬
‫‪G‬‬
‫‪ 2‬ס"מ‪.‬‬
‫הנקודות ‪ F , E‬ו‪ G -‬נמצאות‬
‫‪B‬‬
‫‪F‬‬
‫‪A‬‬
‫על צלעות המלבן ‪. ABCD‬‬
‫נתון‪. AF  BG , AE  BF :‬‬
‫א‪ .‬הוכח‪AFE  BGF :‬‬
‫ב‪ .‬הוכח‪. EF  GF :‬‬
‫כל הזכויות שמורות ליואל גבע ואריק דז'לדטי‬
‫‪G‬‬
‫‪E‬‬
‫‪C‬‬
‫‪38‬‬
‫‪D‬‬
‫‪F‬‬
‫‪. 11‬‬
‫‪E‬‬
‫בציור מתוארים שני מלבנים זהים –‬
‫מלבן ‪ ABCD‬ומלבן ‪. CEFG‬‬
‫‪B‬‬
‫הוכח‪. AC  CF :‬‬
‫‪G‬‬
‫‪. 12‬‬
‫הנקודה ‪ E‬נמצאת על הצלע ‪DC‬‬
‫של מלבן ‪ . ABCD‬נתון‪. BE  DE :‬‬
‫א‪ .‬הוכח‪ BD :‬חוצה את הזווית ‪. ABE‬‬
‫ב‪ .‬הנקודה ‪ F‬היא אמצע הקטע ‪. BE‬‬
‫הוכח‪. BFC  4  ABD :‬‬
‫‪. 13‬‬
‫המרובע ‪ ABCD‬הוא מלבן‪ .‬הנקודה ‪ E‬נמצאת‬
‫‪C‬‬
‫‪D‬‬
‫‪B‬‬
‫‪A‬‬
‫‪C‬‬
‫‪D‬‬
‫‪E‬‬
‫‪E‬‬
‫‪B‬‬
‫על הצלע ‪ AB‬כך ש‪ . BC  BE -‬הנקודה ‪F‬‬
‫נמצאת על הצלע ‪ AD‬כך ש‪. AE  AF -‬‬
‫א‪ .‬הוכח‪. FE  CE :‬‬
‫ב‪ .‬נקודה ‪ G‬היא אמצע הקטע ‪. CF‬‬
‫הוכח‪. GD  GE :‬‬
‫‪. 14‬‬
‫‪A‬‬
‫‪A‬‬
‫‪F‬‬
‫‪C‬‬
‫‪D‬‬
‫‪B‬‬
‫הנקודות ‪ E‬ו‪ F -‬נמצאות על הצלעות‬
‫‪E‬‬
‫‪A‬‬
‫‪ AB‬ו‪ AD -‬של מלבן ‪. ABCD‬‬
‫נתון‪. FE  BD :‬‬
‫הוכח‪ :‬האלכסון ‪AC‬‬
‫חוצה את הקטע ‪. FE‬‬
‫‪. 15‬‬
‫‪F‬‬
‫‪C‬‬
‫המרובע ‪ ABCD‬הוא מקבילית‪.‬‬
‫‪B‬‬
‫‪D‬‬
‫‪A‬‬
‫‪F‬‬
‫‪ AE‬ו‪ CF -‬הם גבהים במקבילית‪.‬‬
‫הוכח‪ :‬המרובע ‪ AECF‬הוא מלבן‪.‬‬
‫‪C‬‬
‫‪. 16‬‬
‫המרובע ‪ ABCD‬הוא מלבן‪.‬‬
‫‪B‬‬
‫‪E‬‬
‫‪E‬‬
‫‪D‬‬
‫‪A‬‬
‫הנקודות ‪ E‬ו‪ F -‬נמצאות באמצעי‬
‫הצלעות ‪ AB‬ו‪ DC -‬בהתאמה‪.‬‬
‫א‪ .‬הוכח‪. EF  AB :‬‬
‫ב‪ .‬האלכסון ‪ BD‬חותך את הקטע ‪EF‬‬
‫בנ קודה ‪ . G‬הוכח‪. GE  GF :‬‬
‫כל הזכויות שמורות ליואל גבע ואריק דז'לדטי‬
‫‪39‬‬
‫‪C‬‬
‫‪F‬‬
‫‪D‬‬
‫‪. 17‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫המרובע ‪ ABCD‬הוא מקבילית‪.‬‬
‫‪G‬‬
‫‪ CG , BF , AE‬ו‪ DH -‬חוצים את‬
‫‪F‬‬
‫הזוו יות הפנימיות של המקבילית‪.‬‬
‫‪E‬‬
‫הוכח‪ :‬המרובע ‪ EFGH‬הוא מלבן‪.‬‬
‫‪. 18‬‬
‫‪. 19‬‬
‫‪F‬‬
‫‪G‬‬
‫נפגשים בנקודה ‪. E‬‬
‫‪B‬‬
‫ממשיכים את האלכסונים ‪ BD‬ו‪AC -‬‬
‫כך שמתקיים ‪. AF  BG  CH  DI‬‬
‫הוכח‪ :‬המרובע ‪ FGHI‬הוא מלבן‪.‬‬
‫‪C‬‬
‫‪A‬‬
‫‪E‬‬
‫‪D‬‬
‫‪H‬‬
‫‪I‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫שאלכסוניה נפגשים בנקודה ‪. E‬‬
‫‪G‬‬
‫נתון‪ . BD  2AC :‬הנקודו ת ‪ F‬ו‪G -‬‬
‫נמצאות על הקטעים ‪ DE‬ו‪BE -‬‬
‫בהתאמה‪ .‬נתון‪. DF  FE , EG  BG :‬‬
‫הוכח ‪ :‬המרובע ‪ AGCF‬הוא מל בן‪.‬‬
‫‪. 20‬‬
‫‪D‬‬
‫‪C‬‬
‫המרובע ‪ ABCD‬הוא מלבן שאלכסוניו‬
‫המרובע ‪ ABCD‬הוא מקבילית‬
‫‪H‬‬
‫‪E‬‬
‫‪F‬‬
‫‪D‬‬
‫‪C‬‬
‫המרובע ‪ ABCD‬הוא מלבן‪ .‬הנקודה ‪ E‬נמצאת‬
‫על המשך הצלע ‪ . DC‬נתון‪. BE  AC :‬‬
‫‪B‬‬
‫‪A‬‬
‫א‪ .‬הוכח‪ :‬המרובע ‪ABEC‬‬
‫הוא מקבילית‪.‬‬
‫ב‪ .‬ה וכח‪ BC :‬חוצה את הזווית ‪. DBE‬‬
‫‪E‬‬
‫‪C‬‬
‫‪D‬‬
‫‪. 21‬‬
‫הוכח את‬
‫המשפט‪ :‬האלכסונים במלבן שווים זה לזה‪.‬‬
‫‪. 22‬‬
‫הוכח את‬
‫המשפט‪ :‬מקבילית שבה האלכסונים שווים זה לזה היא מלבן‪.‬‬
‫כל הזכויות שמורות ליואל גבע ואריק דז'לדטי‬
‫‪40‬‬
‫מעוין‬
‫‪.1‬‬
‫בציור שלפניך מתואר מעוין ‪. ABCD‬‬
‫‪x6‬‬
‫‪B‬‬
‫‪A‬‬
‫א‪ .‬מצא את ‪. x‬‬
‫‪2x  1‬‬
‫ב‪ .‬חשב את היקף המעוין‪.‬‬
‫תשובה‪:‬‬
‫‪.2‬‬
‫א‪. 5 .‬‬
‫‪D‬‬
‫‪C‬‬
‫ב‪. 44 .‬‬
‫חשב את הזוויות ‪  , ‬ו‪  -‬במעוינים הבאים‪:‬‬
‫ב‪.‬‬
‫א‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪110‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪32‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫תשובה‪:‬‬
‫‪.3‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫א‪.   70 ,   110 ,   70 .‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫ב‪.   116 ,   32 ,   32 .‬‬
‫המרובע ‪ ABCD‬הוא מעוין‪.‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫‪ AE‬ו‪ AF -‬הם הגבהים‬
‫לצלעות ‪ DC‬ו‪ BC -‬בהתאמה‪.‬‬
‫‪F‬‬
‫א‪ .‬הוכח‪. ADE  ABF :‬‬
‫ב‪ .‬הוכח‪. CE  CF :‬‬
‫‪C‬‬
‫‪D‬‬
‫‪E‬‬
‫‪A‬‬
‫‪.4‬‬
‫המרובע ‪ ABCD‬הוא מעוין‪.‬‬
‫‪F‬‬
‫‪ AF‬ו‪ CE -‬הם גבהים לצלעות‬
‫‪ CD‬ו‪) AB -‬ר אה ציור(‪.‬‬
‫‪B‬‬
‫‪D‬‬
‫‪E‬‬
‫הוכח‪. AE  AD  DF :‬‬
‫‪C‬‬
‫‪.5‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫המרובע ‪ ABCD‬הוא מעוין‪.‬‬
‫‪F‬‬
‫‪ F‬היא נקודה הנמצאת‬
‫על האלכסון ‪. BD‬‬
‫הוכח‪ :‬המשולש ‪ ACF‬הוא שווה‪ -‬שוקיים‪.‬‬
‫‪D‬‬
‫‪C‬‬
‫‪A‬‬
‫‪.6‬‬
‫אל כסוני המעוין ‪ABCD‬‬
‫נפגשים בנקודה ‪. O‬‬
‫נתון‪. DE  2OF , OF  1 DB :‬‬
‫‪2‬‬
‫חשב את זוויות המשולש ‪. CFE‬‬
‫‪B‬‬
‫‪O‬‬
‫‪D‬‬
‫‪F‬‬
‫תשובה‪:‬‬
‫‪. 112.5 , 22.5 , 45‬‬
‫‪E‬‬
‫‪C‬‬
‫כל הזכויות שמורות ליואל גבע ואריק דז'לדטי‬
‫‪41‬‬
‫‪F‬‬
‫‪.7‬‬
‫המרובע ‪ ABCD‬הוא מעוין‪.‬‬
‫הנקודה ‪ E‬נמצאת באמצע הצלע ‪. AB‬‬
‫‪B‬‬
‫המשכי הקטעים ‪ CE‬ו‪DA -‬‬
‫נפגשים בנקודה ‪. F‬‬
‫הוכח‪. DF  4BE :‬‬
‫‪E‬‬
‫‪A‬‬
‫‪D‬‬
‫‪C‬‬
‫‪.8‬‬
‫המרובע ‪ ABCD‬הוא מעוין‪.‬‬
‫‪G‬‬
‫הנקודות ‪ E‬ו‪ F -‬הן אמצעי‬
‫הצלעות ‪ AB‬ו‪ BC -‬בהתאמה‪.‬‬
‫‪B‬‬
‫א‪ .‬הוכח‪. GE  FH :‬‬
‫‪F‬‬
‫ב‪ .‬חשב את היחס ‪. CF : DG‬‬
‫תשובה‪:‬‬
‫‪.9‬‬
‫‪E‬‬
‫‪A‬‬
‫‪H‬‬
‫ב‪. 1: 3 .‬‬
‫הנקודות ‪ E‬ו‪ F -‬נמצאות על הצלעות‬
‫‪D‬‬
‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫‪A‬‬
‫‪E‬‬
‫‪ AB‬ו‪ AD -‬של מעוין ‪. ABCD‬‬
‫‪F‬‬
‫נתון‪. BCE  DCF :‬‬
‫הוכח‪. FE  DB :‬‬
‫‪C‬‬
‫‪. 10‬‬
‫‪D‬‬
‫המרובע ‪ ABCD‬הוא מעוין שאלכסוניו‬
‫נפגשים בנקודה ‪ . O‬נתון‪. DE  BE :‬‬
‫‪B‬‬
‫א‪ .‬הוכח‪. OE  OB :‬‬
‫ב‪ .‬הנקודה ‪ G‬היא אמצע הצלע ‪AD‬‬
‫והיקף המעוין הוא ‪ 32‬ס"מ‪.‬‬
‫חשב את אורך הקטע ‪. OG‬‬
‫‪E‬‬
‫‪A‬‬
‫‪O‬‬
‫‪G‬‬
‫‪D‬‬
‫‪C‬‬
‫תשובה‪ :‬ב‪ 4 .‬ס"מ ‪.‬‬
‫‪. 11‬‬
‫‪B‬‬
‫המרובע ‪ ABCD‬הוא מעוין שהיקפו ‪ 24‬ס"מ ‪.‬‬
‫‪A‬‬
‫‪ BE‬הוא גובה לצלע ‪ . DC‬נתון‪. D  120 :‬‬
‫א‪ .‬חשב את אורך הקטע ‪. DE‬‬
‫ב‪ .‬אלכסוני המעוין נפגשים בנקודה ‪. O‬‬
‫הוכח‪. OE  OD :‬‬
‫תשובה‪:‬‬
‫‪. 12‬‬
‫‪C‬‬
‫‪D‬‬
‫‪E‬‬
‫א‪ 3 .‬ס"מ‪.‬‬
‫‪B‬‬
‫המרובע ‪ ABCD‬הוא מלבן‪.‬‬
‫הנקודות ‪ G , F , E‬ו‪ H -‬הן אמצעי‬
‫הצלעות ‪ CD , BC , AB‬ו‪. AD -‬‬
‫הוכח‪ :‬המרובע ‪ EFGH‬הוא מעוין‪.‬‬
‫כל הזכויות שמורות ליואל גבע ואריק דז'לדטי‬
‫‪42‬‬
‫‪E‬‬
‫‪H‬‬
‫‪F‬‬
‫‪C‬‬
‫‪A‬‬
‫‪G‬‬
‫‪D‬‬
‫‪. 13‬‬
‫המרובע ‪ ABCD‬הוא מקבילית‪.‬‬
‫‪E‬‬
‫‪B‬‬
‫‪A‬‬
‫הנקודות ‪ E‬ו‪ F -‬נמצאות על הצלעות‬
‫‪ AB‬ו‪ . DC -‬נתון‪. AE  CE , BE  DF :‬‬
‫א‪ .‬הוכח‪ :‬המרובע ‪ AECF‬הוא מעוין‪.‬‬
‫‪C‬‬
‫ב‪ .‬הוכח‪ :‬מפגש האלכסונים של המקבילית‬
‫‪D‬‬
‫‪F‬‬
‫‪ ABCD‬והמעוין ‪ AECF‬הוא באותה נקודה‪.‬‬
‫‪A‬‬
‫‪. 14‬‬
‫המרובע ‪ ABCD‬הוא מעוין שאלכסוניו‬
‫‪E‬‬
‫נפגשים בנקודה ‪. O‬‬
‫הנקודות ‪ G , F , E‬ו‪ H -‬הן אמצעי‬
‫‪F‬‬
‫‪B‬‬
‫הקטעים ‪ CO , BO , AO‬ו‪ DO -‬בהתאמה‪.‬‬
‫‪O‬‬
‫‪D‬‬
‫‪H‬‬
‫הוכח‪ :‬המרובע ‪ EFGH‬הוא מעוין‪.‬‬
‫‪G‬‬
‫‪C‬‬
‫‪A‬‬
‫‪. 15‬‬
‫המרובע ‪ ABCD‬הוא דלתון )‪(BC  DC , AB  AD‬‬
‫שאלכסוניו נפגשים בנקו דה ‪. E‬‬
‫נתון‪ F , CE  2AE :‬אמצע הקטע ‪. CE‬‬
‫הוכח‪ :‬המרובע ‪ ABFD‬הוא מעוין‪.‬‬
‫‪. 16‬‬
‫במקבילית ‪ , ABCD‬הנקודות ‪ E‬ו‪F -‬‬
‫נמצאות על הצלעות ‪ AB‬ו‪, DC -‬‬
‫כך ש‪ AF -‬חוצה את הזווית ‪BAD‬‬
‫ו‪ DE -‬חוצה את הזווית ‪. ADC‬‬
‫הוכח‪ :‬המרובע ‪ ADFE‬הוא מעוין‪.‬‬
‫‪. 17‬‬
‫‪ BD‬הוא חוצה‪ -‬זווית ‪ B‬במשולש ‪. ABC‬‬
‫‪E‬‬
‫‪B‬‬
‫‪D‬‬
‫‪F‬‬
‫‪C‬‬
‫‪E‬‬
‫‪A‬‬
‫‪D‬‬
‫‪B‬‬
‫‪C‬‬
‫‪F‬‬
‫‪C‬‬
‫‪ E , D‬ו‪ F -‬הן נקודות על צלעות המשולש‪.‬‬
‫נתון‪. FD  BC , DE  BF :‬‬
‫‪D‬‬
‫‪E‬‬
‫א‪ .‬הוכח‪ :‬המרובע ‪ BEDF‬הוא מעוין‪.‬‬
‫ב‪ .‬הוכח‪ :‬אם ‪ , BD  AC‬אזי ‪. BE  CE‬‬
‫‪F‬‬
‫‪A‬‬
‫‪. 18‬‬
‫המרובעים ‪ ABCD‬ו‪ ABDE -‬הם מקביליות‪.‬‬
‫‪B‬‬
‫‪B‬‬
‫‪A‬‬
‫א‪ .‬הוכח‪. DE  DC :‬‬
‫ב‪ .‬נתון גם‪. BE  BC :‬‬
‫הוכח שהמרובע ‪ ABDE‬הוא מעוין‪.‬‬
‫כל הזכויות שמורות ליואל גבע ואריק דז'לדטי‬
‫‪43‬‬
‫‪C‬‬
‫‪D‬‬
‫‪E‬‬
‫‪. 19‬‬
‫על הצלעות ‪ AD‬ו‪ BC -‬של מלבן ‪ABCD‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫בנו משולשים שווי‪ -‬צלעות ‪ ADE‬ו‪. BCF -‬‬
‫‪G‬‬
‫‪ AE‬ו‪ BF -‬נחתכים בנקודה ‪. G‬‬
‫‪E‬‬
‫‪ DE‬ו‪ CF -‬נחתכים בנקודה ‪. H‬‬
‫‪H‬‬
‫הוכח‪ :‬המרובע ‪ EGFH‬הוא מעוין‪.‬‬
‫‪. 20‬‬
‫‪F‬‬
‫‪C‬‬
‫‪D‬‬
‫המרובע ‪ ABCD‬הוא דלתון )‪ . (BC  DC , AB  AD‬נתון‪. AB  DC :‬‬
‫הוכח‪ :‬המרובע ‪ ABCD‬הוא מעוין‪.‬‬
‫‪. 21‬‬
‫‪. 22 ‬‬
‫המרובע ‪ ABCD‬הוא מקבילית‪ .‬נתון‪ . AB  BC :‬הוכח‪. AC  BD :‬‬
‫המרובע ‪ ABCD‬הוא מעוין‪ ,‬שזוויתו החדה‬
‫‪A‬‬
‫‪D‬‬
‫היא בת ‪ M . 60‬ו‪ N -‬הן נקודות על צלעות‬
‫המעוין כך שסכום הקטעים ‪ BM‬ו‪BN -‬‬
‫‪M‬‬
‫שווה לאורך צלע המעוין‪.‬‬
‫הוכח‪ :‬המשולש ‪ DMN‬הוא שווה‪ -‬צלעות‪.‬‬
‫הדרכה‪:‬‬
‫‪. 23 ‬‬
‫‪B‬‬
‫‪N‬‬
‫‪C‬‬
‫העבר את האלכסון ‪. BD‬‬
‫‪A‬‬
‫המשולש ‪ ABC‬הוא ישר‪ -‬זווית )‪. (AB  BC‬‬
‫‪ BD‬הוא הגובה ליתר ‪. AC‬‬
‫‪D‬‬
‫‪ E‬נקודה על ‪. DC‬‬
‫‪E‬‬
‫נתון‪. EF  AC , AE  AB :‬‬
‫‪G‬‬
‫הוכח‪ :‬המרובע ‪ BGEF‬הוא מעוין‪.‬‬
‫‪F‬‬
‫‪C‬‬
‫‪. 24 ‬‬
‫המרובע ‪ ABCD‬הוא מעוין‪.‬‬
‫‪B‬‬
‫הנקודות ‪ G , F , E‬ו‪ H -‬הן אמצעי‬
‫הצלעות ‪ CD , BC , AB‬ו‪. AD -‬‬
‫‪. 25‬‬
‫בנקודה ‪ . M‬הישר המאונך‬
‫‪H‬‬
‫‪C‬‬
‫‪D‬‬
‫‪G‬‬
‫‪D‬‬
‫‪F‬‬
‫‪M‬‬
‫‪B‬‬
‫הצלע ‪ BC‬בנקודה ‪. G‬‬
‫‪E‬‬
‫‪C‬‬
‫לאלכסון ‪ BD‬בנקודה ‪ , M‬חותך‬
‫את ‪ AB‬בנקודה ‪ , E‬ואת המשך‬
‫‪A‬‬
‫‪F‬‬
‫א‪ .‬הוכח‪ :‬המרובע ‪ EFGH‬הוא מלבן‪.‬‬
‫ב‪ .‬הוכח‪ :‬מפגש האלכסונים של המעוין ‪ABCD‬‬
‫ו ה מלבן ‪ EFGH‬הוא באותה נקודה‪.‬‬
‫אלכסוני המקבילית ‪ ABCD‬נפגשים‬
‫‪B‬‬
‫‪A‬‬
‫‪E‬‬
‫א‪ .‬הוכח‪. BG  DG :‬‬
‫ב ‪ .‬הוכח‪ :‬המרובע ‪ EBFD‬הוא מעוין ‪.‬‬
‫כל הזכויות שמורות ליואל גבע ואריק דז'לדטי‬
‫‪44‬‬
‫‪G‬‬
‫‪. 26‬‬
‫אלכסוני המלבן ‪ ABCD‬נפגשים‬
‫‪B‬‬
‫בנקודה ‪ . E‬נתון‪. DF  AE , AF  DE :‬‬
‫‪A‬‬
‫א‪ .‬הוכח‪ :‬המרובע ‪AEDF‬‬
‫‪F‬‬
‫‪E‬‬
‫הוא מע וין‪.‬‬
‫ב‪ .‬הוכח‪ :‬המרובע ‪ ABEF‬הוא מקבילית‪.‬‬
‫‪D‬‬
‫‪C‬‬
‫‪E‬‬
‫‪. 27‬‬
‫אלכסוני המעוין ‪ ABCD‬נפגשים בנקודה ‪. O‬‬
‫המרובע ‪ BCOE‬הוא מקבילית‪.‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫א‪ .‬הוכח‪ :‬המרובע ‪ ADOE‬ה וא מקבילית‪.‬‬
‫‪O‬‬
‫ב‪ .‬הוכח‪ :‬המרובע ‪ AOBE‬הוא מלבן‪.‬‬
‫‪D‬‬
‫‪C‬‬
‫‪. 28‬‬
‫המרובע ‪ ABCD‬הוא מלבן‪.‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫הנקודה ‪ F‬נמצאת מחוץ למלבן‬
‫כך שהמרובע ‪ DCFE‬הוא מקבילית‪.‬‬
‫‪F‬‬
‫‪E‬‬
‫א ‪ .‬הוכח‪ :‬המרובע ‪ CEBF‬הוא מעוין‪.‬‬
‫‪C‬‬
‫ב‪ .‬הוכח‪. AC  2CF :‬‬
‫‪. 29‬‬
‫‪D‬‬
‫‪G‬‬
‫המרובע ‪ ABCD‬הוא מעוין‬
‫שאלכסוניו נפגשים בנקודה ‪. O‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫נתון‪. BF  AC , AE  BD :‬‬
‫המשכי הקטעים ‪ FB‬ו‪EA -‬‬
‫נפגשים בנקודה ‪. G‬‬
‫הוכח‪ :‬המרובע ‪ AGBO‬הוא מלבן‪.‬‬
‫‪O‬‬
‫‪F‬‬
‫‪C‬‬
‫‪E‬‬
‫‪D‬‬
‫‪E‬‬
‫‪. 30‬‬
‫המרובע ‪ ABCD‬הוא מלבן‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫שעל צלעותיו בנו ‪ 4‬משולשים‬
‫‪H F‬‬
‫שווי‪ -‬צלעות‪.‬‬
‫הוכח‪ :‬המרובע ‪ EFGH‬הוא מעוין‪.‬‬
‫‪D‬‬
‫‪C‬‬
‫‪G‬‬
‫‪B‬‬
‫‪. 31 ‬‬
‫‪A‬‬
‫‪G‬‬
‫אלכסוני המעוין ‪ ABCD‬נפגשים בנקודה ‪. E‬‬
‫‪ F‬נקודה על הקטע ‪. BE‬‬
‫‪E‬‬
‫‪F‬‬
‫נתון‪. AD  CE  BG , FG  AB :‬‬
‫הוכח‪. EF  GF :‬‬
‫‪. 32‬‬
‫‪C‬‬
‫הוכח את המשפט‪ :‬האלכסונים במעוין חוצים את זוויות המעוין‪.‬‬
‫כל הזכויות שמורות ליואל גבע ואריק דז'לדטי‬
‫‪45‬‬
‫‪D‬‬
‫האלכסונים במעוין מאונכים זה לזה ‪.‬‬
‫‪. 33‬‬
‫הוכח את המשפט‪:‬‬
‫‪. 34‬‬
‫הוכח את המשפט ‪ :‬אם האלכסונים במרובע חוצים זה את זה ומאונכים‬
‫זה לזה‪ ,‬אז המרובע הוא מעוין‪.‬‬
‫‪. 35‬‬
‫הוכח את המשפט‪ :‬מקבילית שבה האלכסונים מאונכים זה לזה היא מעוין‪.‬‬
‫‪. 36‬‬
‫הוכח את המשפט‪ :‬מקבילית שבה האלכסון הוא חוצה זווית היא מעוין‪.‬‬
‫כל הזכויות שמורות ליואל גבע ואריק דז'לדטי‬
‫‪46‬‬
‫ריבוע‬
‫‪.1‬‬
‫‪3x  1‬‬
‫בציור מתואר ריבוע ו עליו מסומנים‬
‫אורכי צלעותיו באמצעות ‪. x‬‬
‫חשב את היקף הריבוע‪.‬‬
‫תשובה‪:‬‬
‫‪.2‬‬
‫‪x7‬‬
‫‪. 40‬‬
‫אלכסוני הריבוע ‪ ABCD‬נפגשים בנקודה ‪. E‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫‪ DF‬חוצה את הזווית ‪. BDC‬‬
‫‪ DF‬ו‪ AC -‬נחתכים בנקודה ‪. G‬‬
‫‪F‬‬
‫א‪ .‬חשב את הזווית ‪. DGE‬‬
‫‪G‬‬
‫ב‪ .‬הוכח‪. AD  AG , CG  CF :‬‬
‫ת שובה‪:‬‬
‫‪.3‬‬
‫‪.4‬‬
‫‪C‬‬
‫‪D‬‬
‫א‪. 67.5 .‬‬
‫המרובע ‪ ABCD‬הוא ריבוע‪ .‬הנקודות ‪ E‬ו‪F -‬‬
‫נמצאות על הצלעות ‪ BC‬ו‪ DC -‬בהתאמה‪.‬‬
‫נתון‪. AEB  AFD  75 :‬‬
‫א‪ .‬הוכח‪ :‬המשולש ‪ AEF‬הוא שווה צלעות‪.‬‬
‫ב‪ .‬חשב את זוויותיו של המשולש ‪. CEF‬‬
‫תשובה‪:‬‬
‫‪E‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫‪E‬‬
‫‪C‬‬
‫‪F‬‬
‫‪D‬‬
‫ב‪. 45 , 45 , 90 .‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫המ רובע ‪ ABCD‬הוא ריבוע והמשולש ‪ADE‬‬
‫הוא משולש שווה צלעות‪.‬‬
‫א‪ .‬הוכח‪. DE  AB :‬‬
‫‪E‬‬
‫ב‪ .‬חשב את זוויותיו של המשולש ‪. ABE‬‬
‫תשובה‪:‬‬
‫‪C‬‬
‫ב‪. 75 , 75 , 30 .‬‬
‫‪D‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫‪.5‬‬
‫המרובע ‪ ABCD‬הוא ריבוע‪.‬‬
‫‪F‬‬
‫הקטע ‪ DE‬חוצה את הזווית ‪. BDC‬‬
‫נתון‪. EF  BD :‬‬
‫‪E‬‬
‫הוכח‪. CE  BF :‬‬
‫‪.6‬‬
‫המרובע ‪ ABCD‬הוא ריבוע‪.‬‬
‫הנקודה ‪ E‬נמצאת בתוך הריבוע‬
‫‪C‬‬
‫‪D‬‬
‫‪B‬‬
‫‪A‬‬
‫כך שמתקיים ‪. DE  CE‬‬
‫א‪ .‬הוכח‪. AE  BE :‬‬
‫ב‪ .‬נתון‪. AEB  60 :‬‬
‫‪E‬‬
‫חשב את הזווית ‪. DEC‬‬
‫תשובה‪:‬‬
‫‪C‬‬
‫ב‪. 150 .‬‬
‫כל הזכויות שמורות ליואל גבע ואריק דז'לדטי‬
‫‪47‬‬
‫‪D‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫‪.7‬‬
‫הנקודות ‪ E‬ו‪ F -‬נמצאות‬
‫על הצלעות ‪ AD‬ו‪DC -‬‬
‫של ריבוע ‪. ABCD‬‬
‫נתון‪ . EF  AC :‬הוכח‪. BE  BF :‬‬
‫‪E‬‬
‫‪C‬‬
‫‪.8‬‬
‫בריבוע ‪ ABCD‬הנקודות ‪ E‬ו‪F -‬‬
‫נמצאות על הצלעות ‪ AB‬ו‪BC -‬‬
‫בהתאמה ‪ .‬נתון‪. BE  BF :‬‬
‫א‪ .‬הוכח‪. AF  CE :‬‬
‫ב‪ .‬הוכח‪ :‬המרובע ‪ AGCD‬הוא דלתון‪.‬‬
‫‪.9‬‬
‫על הצלעות ‪ AD‬ו‪ BC -‬של ריבוע ‪ABCD‬‬
‫‪F‬‬
‫‪B‬‬
‫‪A‬‬
‫‪E‬‬
‫‪G‬‬
‫‪F‬‬
‫‪C‬‬
‫‪D‬‬
‫‪B‬‬
‫‪A‬‬
‫בנו משולשי ם שווי‪ -‬שוקיים‪:‬‬
‫‪G‬‬
‫משולש ‪(AE  DE) ADE‬‬
‫ומשולש ‪. (BF  CF) BCF‬‬
‫הוכח‪ :‬המרובע ‪ EHFG‬הוא דלתון‪.‬‬
‫‪. 10‬‬
‫בריבוע ‪ ABCD‬הנקודות ‪ E‬ו‪F -‬‬
‫נמצאות על הצלעות ‪ BC‬ו‪CD -‬‬
‫בהתאמה‪ .‬נתון‪. AE  BF :‬‬
‫א‪ .‬הוכח‪. BAE  CBF :‬‬
‫ב‪ .‬הוכח‪. AE  BF :‬‬
‫‪. 11‬‬
‫בר יבוע ‪ , ABCD‬הנקודות ‪ E‬ו‪F -‬‬
‫נמצאות על הצלעות ‪ AD‬ו‪DC -‬‬
‫בהתאמה‪ .‬נתון‪. AF  BE :‬‬
‫א‪ .‬הוכח‪. AF  BE :‬‬
‫ב‪ .‬הוכח‪. DE  DF  BC :‬‬
‫‪. 12‬‬
‫המרובעים ‪ ABCD‬ו‪BEFG -‬‬
‫‪D‬‬
‫‪F‬‬
‫‪E‬‬
‫‪H‬‬
‫‪C‬‬
‫‪D‬‬
‫‪B‬‬
‫‪A‬‬
‫‪E‬‬
‫‪C‬‬
‫‪D‬‬
‫‪F‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫‪E‬‬
‫‪C‬‬
‫‪F‬‬
‫‪D‬‬
‫‪F‬‬
‫‪E‬‬
‫‪G‬‬
‫‪B‬‬
‫הם ריבועים‪.‬‬
‫‪A‬‬
‫א‪ .‬הוכח‪. AG  CE :‬‬
‫ב‪ .‬הוכח‪. AG  CE :‬‬
‫‪C‬‬
‫כל הזכויות שמורות ליואל גבע ואריק דז'לדטי‬
‫‪48‬‬
‫‪D‬‬
‫‪. 13‬‬
‫‪F‬‬
‫המרובע ‪ ABCD‬ה וא מקבילית‪.‬‬
‫‪E‬‬
‫על הצלעות ‪ AD‬ו‪ DC -‬בנו‬
‫‪K‬‬
‫ריבועים ‪ ADKL‬ו‪. DEFC -‬‬
‫‪D‬‬
‫‪C‬‬
‫א‪ .‬הוכח‪. BF  BL :‬‬
‫ב‪ .‬הוכח‪. BF  BL :‬‬
‫‪L‬‬
‫‪B‬‬
‫‪. 14‬‬
‫אלכסוני הריבוע ‪ ABCD‬נפגשים בנקודה ‪. E‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫הנקודות ‪ F‬ו‪ G -‬נמצאות על הצלעות‬
‫‪A‬‬
‫‪ AD‬ו‪ DC -‬בהתאמה‪ .‬נתון‪. EF  EG :‬‬
‫‪E‬‬
‫א‪ .‬ה וכח‪. EF  EG :‬‬
‫‪F‬‬
‫ב‪ .‬נתון‪. EGC  3.5GEC :‬‬
‫חשב את זוויותיו של המשולש ‪. DFE‬‬
‫תשובה‪:‬‬
‫‪C‬‬
‫‪G‬‬
‫ב‪. 30 , 105 , 45 .‬‬
‫‪F‬‬
‫‪E‬‬
‫‪. 15‬‬
‫‪D‬‬
‫המרובע ‪ ABCD‬הוא מקבילית‪.‬‬
‫על הצלעות ‪ AB‬ו‪ AD -‬בונים‬
‫‪H‬‬
‫ריבועים ‪ ABEF‬ו‪. ADGH -‬‬
‫‪B‬‬
‫הוכח‪. FAH  ABC :‬‬
‫‪A‬‬
‫‪G‬‬
‫‪C‬‬
‫‪D‬‬
‫‪F‬‬
‫‪E‬‬
‫‪. 16‬‬
‫המרובע ‪ ABCD‬הוא מקבילית‪.‬‬
‫המרובע ‪ ABEF‬הוא ריבוע‪.‬‬
‫‪B‬‬
‫א‪ .‬הוכח‪ :‬המרובע ‪ DCEF‬הוא מקבילית‪.‬‬
‫‪A‬‬
‫ב‪ .‬הוכח‪. ADF  BCE :‬‬
‫‪D‬‬
‫‪C‬‬
‫‪. 17‬‬
‫על הצלעות ‪ AB‬ו‪ BC -‬של משולש ‪ABC‬‬
‫בנו ריבועים ‪ ABGF‬ו‪. BCDE -‬‬
‫המשכי הקטעים ‪ EC‬ו‪GA -‬‬
‫נפגשים בנקודה ‪. H‬‬
‫‪‬‬
‫נתון‪ . ABC  58 :‬חשב את הזווית ‪. H‬‬
‫תשובה‪:‬‬
‫‪. 18‬‬
‫‪F‬‬
‫‪H‬‬
‫‪A‬‬
‫‪G‬‬
‫‪C‬‬
‫‪. 32‬‬
‫‪B‬‬
‫‪D‬‬
‫בריבוע ‪ ABCD‬הנקודה ‪ E‬נמצאת‬
‫‪B‬‬
‫‪E‬‬
‫‪A‬‬
‫על הצלע ‪ . AD‬המשכי הקטעים‬
‫‪E‬‬
‫‪ BE‬ו‪ CD -‬נפגשים בנקודה ‪. F‬‬
‫נתון‪. AC  DF :‬‬
‫חשב את הזווית ‪. BFC‬‬
‫תשובה‪:‬‬
‫‪C‬‬
‫‪. 22.5‬‬
‫כל הזכויות שמורות ליואל גבע ואריק דז'לדטי‬
‫‪49‬‬
‫‪D‬‬
‫‪F‬‬
‫‪. 19‬‬
‫‪E‬‬
‫‪B‬‬
‫המרובע ‪ ABCD‬הוא ריבוע‪.‬‬
‫‪A‬‬
‫הנקודות ‪ G , F , E‬ו‪ H -‬הן אמצעי‬
‫הצלעות ‪ CD , BC , AB‬ו‪ AD -‬בהתאמה‪.‬‬
‫‪H‬‬
‫‪F‬‬
‫א‪ .‬הוכח‪ :‬המרובע ‪ EFGH‬הוא ריבוע‪.‬‬
‫ב‪ .‬הוכח‪. BG  DF :‬‬
‫‪C‬‬
‫‪D‬‬
‫‪G‬‬
‫‪F‬‬
‫‪. 20‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫המרובע ‪ ABCD‬הוא מלבן‪.‬‬
‫הקטעים ‪ CF , BE , AE‬ו‪DF -‬‬
‫‪G‬‬
‫חוצים את זוויותיו של המלבן ‪. ABCD‬‬
‫הוכח‪ :‬המרובע ‪ EGFH‬הוא ריבוע‪.‬‬
‫‪H‬‬
‫‪C‬‬
‫‪D‬‬
‫‪E‬‬
‫‪. 21 ‬‬
‫‪B‬‬
‫המרובע ‪ ABCD‬הוא ריבוע‪.‬‬
‫נתון‪. BE  CF  DG  AH :‬‬
‫‪A‬‬
‫‪E‬‬
‫‪F‬‬
‫הוכח‪ :‬מפגש האלכסונים של הריבוע‬
‫‪H‬‬
‫‪ ABCD‬מתלכד עם מפגש האלכ סונים‬
‫של ה מרובע ‪. EFGH‬‬
‫‪C‬‬
‫‪G‬‬
‫‪D‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫‪. 22 ‬‬
‫הנקודה ‪ E‬נמצאת על האלכסון‬
‫‪E‬‬
‫‪ BD‬של מלבן ‪. ABCD‬‬
‫נתון‪. BE  DE , AE  CE :‬‬
‫הוכח‪ :‬המלבן ‪ ABCD‬הוא ריבוע‪.‬‬
‫‪D‬‬
‫‪C‬‬
‫‪. 23‬‬
‫‪E‬‬
‫‪B‬‬
‫המרובע ‪ ABCD‬הוא ריבוע‪.‬‬
‫‪ G , F , E‬ו‪ H -‬הן אמצעי‬
‫‪A‬‬
‫‪M‬‬
‫‪N‬‬
‫‪H‬‬
‫‪F‬‬
‫הצלעות ‪ CD , BC , AB‬ו‪. DA -‬‬
‫הוכח‪ :‬המרובע ‪ MNOP‬הוא ריבוע‪.‬‬
‫‪P‬‬
‫‪O‬‬
‫‪G‬‬
‫‪C‬‬
‫‪D‬‬
‫‪E‬‬
‫‪. 24 ‬‬
‫המשולש ‪ ABC‬הוא ישר‪ -‬זווית ) ‪. (ABC  90‬‬
‫על היתר ‪ AC‬בנו ריבוע ‪. ACDE‬‬
‫‪A‬‬
‫נתון‪. CG  DF , DF  BC :‬‬
‫‪D‬‬
‫‪G‬‬
‫‪F‬‬
‫הוכח‪ :‬המרובע ‪BCGF‬‬
‫הוא ריבוע‪.‬‬
‫‪C‬‬
‫כל הזכויות שמורות ליואל גבע ואריק דז'לדטי‬
‫‪50‬‬
‫‪B‬‬
‫טרפז‬
‫‪.1‬‬
‫‪B‬‬
‫המרובע ‪ ABCD‬הוא טרפז )‪. (AB  CD‬‬
‫‪‬‬
‫‪A‬‬
‫‪‬‬
‫נתו ן‪. DB  DC , DAB  104 , ADB  40 :‬‬
‫א‪ .‬חשב את הזווית ‪. BDC‬‬
‫ב‪ .‬הוכח‪. DBC  2  ABD :‬‬
‫תשובה‪:‬‬
‫‪.2‬‬
‫‪D‬‬
‫‪C‬‬
‫א‪. 36 .‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫המרובע ‪ ABCD‬הוא טרפז שווה‪ -‬שוקיים‬
‫)‪. (AD  BC , AB  DC‬‬
‫נתון‪. DAC  72 , ADC  66 :‬‬
‫חשב את זוויות יו של המשולש ‪. ABC‬‬
‫תשובה‪:‬‬
‫‪.3‬‬
‫‪. 24 , 114 , 42‬‬
‫‪C‬‬
‫המרובע ‪ ABCD‬הוא טרפז ישר‪ -‬זווית‬
‫‪D‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫)‪. (BC  DC , AB  CD‬‬
‫נתון‪. ADC  68 , AB  AD :‬‬
‫חשב את הזווית ‪. DBC‬‬
‫תשובה‪:‬‬
‫‪.4‬‬
‫‪D‬‬
‫‪C‬‬
‫‪. 56‬‬
‫המרובע ‪ ABCD‬הוא טרפז שווה‪ -‬שוקיים‬
‫‪B‬‬
‫)‪. (AD  BC , AB  CD‬‬
‫‪A‬‬
‫נתון‪. ABC  122 , AEB  114 :‬‬
‫‪E‬‬
‫א‪ .‬חשב את הז ווית ‪. BDC‬‬
‫ב‪ .‬חשב את הזווית ‪. ADE‬‬
‫תשובה‪:‬‬
‫‪.5‬‬
‫‪C‬‬
‫‪D‬‬
‫א‪ . 33 .‬ב‪. 25 .‬‬
‫המרובע ‪ ABCD‬הוא טרפז שווה‪ -‬שוקיים‬
‫‪B‬‬
‫‪A‬‬
‫)‪ . (AB  DC‬נתון‪. BC  CE , DAC   :‬‬
‫א‪ .‬הבע באמצעות ‪ ‬את הזווית ‪. EDC‬‬
‫‪E‬‬
‫ב‪ .‬הבע באמצעות ‪ ‬את הזווית ‪. ABC‬‬
‫תשובה‪:‬‬
‫‪.6‬‬
‫‪C‬‬
‫א‪ . 1  .‬ב‪. 1 1  .‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪D‬‬
‫‪B‬‬
‫המרובע ‪ ABCD‬הוא טרפז שווה‪ -‬שוקיים‬
‫‪A‬‬
‫)‪(AD  BC , AB  DC‬‬
‫נתון‪. BD  DC , AB  AD :‬‬
‫חשב את הזווית ‪. ABD‬‬
‫תשובה‪:‬‬
‫‪C‬‬
‫‪. 36‬‬
‫כל הזכויות שמורות ליואל גבע ואריק דז'לדטי‬
‫‪51‬‬
‫‪D‬‬
‫‪.7‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫המרובע ‪ ABCD‬הוא טרפז )‪. (AB  DC‬‬
‫‪ BE‬ו‪ CE -‬הם חוצי הזווית‬
‫‪E‬‬
‫של זוויות הטרפז‪.‬‬
‫הוכח‪. BE  CE :‬‬
‫‪.8‬‬
‫‪C‬‬
‫‪D‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫המרובע ‪ ABCD‬הוא טרפז )‪. (AB  DC‬‬
‫‪E‬‬
‫‪ DE‬חוצה את הזווית ‪ADC‬‬
‫ו‪ AF -‬חוצה את הזווית ‪. BAD‬‬
‫‪G‬‬
‫א‪ .‬הוכח‪ DG :‬מאונך ל‪. AF -‬‬
‫‪C‬‬
‫ב‪ .‬הוכח‪ DG :‬חוצה את ‪. AF‬‬
‫‪.9‬‬
‫המרובע ‪ ABCD‬הוא טרפז שווה‪ -‬שוקיים‬
‫‪F‬‬
‫‪D‬‬
‫‪B‬‬
‫‪A‬‬
‫‪E‬‬
‫)‪ E . (AB  DC‬היא נקודה בת וך הטרפז‪.‬‬
‫נתון‪. DE  CE :‬‬
‫הוכח‪. AE  BE :‬‬
‫‪. 10‬‬
‫‪C‬‬
‫המרובע ‪ ABCD‬הוא טרפז )‪. (AB  DC‬‬
‫‪D‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫נתון‪. ACB  ACD , DAC  ABC :‬‬
‫א‪ .‬הוכח‪. AD  AC :‬‬
‫ב‪ .‬האם המשולשים ‪ABC‬‬
‫ו‪ DAC -‬חופפים זה לזה?‬
‫תשובה‪:‬‬
‫‪. 11‬‬
‫‪C‬‬
‫ב‪ .‬לא‪.‬‬
‫המרובע ‪ ABCD‬הוא טרפז )‪. (AB  CD‬‬
‫הנקודה ‪ E‬נמצאת על הבסיס ‪AB‬‬
‫כך ש‪ DE -‬חוצה את הזווית ‪ADC‬‬
‫ו‪ CE -‬חוצה את הזווית ‪. BCD‬‬
‫הוכח ‪. AB  AD  BC :‬‬
‫‪. 12‬‬
‫‪D‬‬
‫‪B‬‬
‫‪E‬‬
‫‪A‬‬
‫‪D‬‬
‫‪C‬‬
‫המרובע ‪ ABCD‬הוא טרפז שווה‪ -‬שוקיים )‪ . (AB  DC‬היקף המשולש‬
‫‪ BDC‬גדול ב‪ 4 -‬ס"מ מהיקף המשולש ‪ . ABC‬נתון‪ 16 :‬ס"מ ‪. AB  DC ‬‬
‫חשב את אורכי הבסיסים ‪ AB‬ו‪. DC -‬‬
‫תשובה‪:‬‬
‫‪. 13‬‬
‫‪ 6‬ס"מ‪ 10 ,‬ס"מ‪.‬‬
‫‪B‬‬
‫המרובע ‪ ABCD‬הוא טרפז ישר זווית‬
‫‪A‬‬
‫)‪. (AD  DC , AB  DC‬‬
‫‪E‬‬
‫הנקודה ‪ E‬נמצאת על השוק ‪. AD‬‬
‫נתון‪. BE  EF , AB  DE :‬‬
‫הוכח‪. BE  EF :‬‬
‫כל הזכויות שמורות ליואל גבע ואריק דז'לדטי‬
‫‪C‬‬
‫‪52‬‬
‫‪F‬‬
‫‪D‬‬
‫‪. 14‬‬
‫‪B‬‬
‫המרובע ‪ ABCD‬הוא טרפז )‪. (AB  DC‬‬
‫‪A‬‬
‫‪ AE‬ו‪ BF -‬הם גבהים בטרפז‪.‬‬
‫הוכח‪ :‬המרובע ‪ABFE‬‬
‫הוא מלבן‪.‬‬
‫‪. 15‬‬
‫‪C‬‬
‫‪E‬‬
‫‪F‬‬
‫‪ AE‬ו‪ BF -‬הם גבהים בטרפז שווה‪ -‬שוקיים‬
‫‪D‬‬
‫‪B‬‬
‫‪. (AD  BC , AB  DC) ABCD‬‬
‫‪A‬‬
‫א‪ .‬הוכח‪. DE  CF :‬‬
‫ב‪ .‬נתון‪ 10 :‬ס"מ ‪ 19 , AB ‬ס"מ ‪, DC ‬‬
‫‪ . C  60‬חשב את היקף הטרפז‪.‬‬
‫תשובה‪:‬‬
‫‪. 16‬‬
‫‪E‬‬
‫‪F‬‬
‫‪C‬‬
‫‪D‬‬
‫ב‪ 47 .‬ס"מ‪.‬‬
‫בטרפז ישר‪ -‬זווית‪ ,‬השוק הארוכה היא ‪ 8‬ס"מ והזווית החדה היא בת ‪. 30‬‬
‫חשב את השוק הקצרה בטרפז‪.‬‬
‫תשובה‪:‬‬
‫‪. 17‬‬
‫‪ 4‬ס"מ‪.‬‬
‫המרובע ‪ ABCD‬הוא טרפז )‪. (AB  DC‬‬
‫‪B‬‬
‫‪A‬‬
‫א‪ .‬נתון‪ . BE  AD :‬הוכח‪. AB  DE :‬‬
‫ב‪ .‬נתון‪ 7 :‬ס"מ ‪ 11 , BC ‬ס"מ ‪, DC ‬‬
‫‪ 8‬ס"מ ‪ 5 , BE ‬ס"מ ‪. CE ‬‬
‫חשב את היקף הטרפז‪.‬‬
‫תשובה‪:‬‬
‫‪. 18‬‬
‫‪D‬‬
‫‪C‬‬
‫‪E‬‬
‫ב‪ 32 .‬ס"מ‪.‬‬
‫המרובע ‪ ABCD‬הוא טרפז )‪. (AB  DC‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫הנקודות ‪ E‬ו‪ F -‬נמצאות על הבסיס ‪. DC‬‬
‫נתון‪. AF  BC , BE  AD :‬‬
‫א‪ .‬הוכח‪. DE  CF :‬‬
‫ב ‪ .‬נתון‪ . AD  BC :‬הוכח‪. C  D :‬‬
‫‪. 19‬‬
‫‪C‬‬
‫המרובע ‪ ABCD‬הוא טרפז שבסיסו ‪DC‬‬
‫גדול פי ‪ 3‬מבסיסו ‪. AB‬‬
‫‪ AE‬הוא גובה בטרפז‪.‬‬
‫נתון‪ . AD  BE :‬הוכח‪ :‬הטרפז ‪ABCD‬‬
‫‪C‬‬
‫הוא שווה‪ -‬שוקיים‪.‬‬
‫‪. 20‬‬
‫המרובע ‪ ABCD‬הוא טרפז )‪. (AB  DC‬‬
‫נתון‪. AD  AB  BC  1 DC :‬‬
‫‪2‬‬
‫א‪ .‬הוכח‪. BCD  60 :‬‬
‫‪F‬‬
‫‪E‬‬
‫‪B‬‬
‫‪A‬‬
‫‪D‬‬
‫‪E‬‬
‫‪B‬‬
‫‪D‬‬
‫‪A‬‬
‫ב‪ .‬הוכח‪. DCA  30 :‬‬
‫ג‪ .‬הוכח‪. AC  AD :‬‬
‫כל הזכויות שמורות ליואל גבע ואריק דז'לדטי‬
‫‪C‬‬
‫‪53‬‬
‫‪D‬‬
‫‪. 21‬‬
‫המרובע ‪ ABCD‬הוא טרפז שווה‪ -‬שוקיים‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫‪E‬‬
‫)‪. (AD  BC , AB  DC‬‬
‫‪ E‬היא נקודה על המש ך הבסיס ‪. AB‬‬
‫נתון‪. AE  DC :‬‬
‫‪C‬‬
‫הוכח‪. DB  DE :‬‬
‫‪. 22‬‬
‫‪D‬‬
‫המרובע ‪ ABCD‬הוא טרפז )‪. (AB  CD‬‬
‫הנקודה ‪ E‬נמצאת על המשך הבסיס ‪. CD‬‬
‫הקטע ‪ BE‬חותך את השוק ‪AD‬‬
‫בנקודה ‪ , M‬כך ש‪. AM  MD -‬‬
‫הוכח‪ :‬המרובע ‪ ABDE‬הוא מקבילית‪.‬‬
‫‪. 23‬‬
‫‪D‬‬
‫‪C‬‬
‫‪E‬‬
‫‪M‬‬
‫‪B‬‬
‫‪A‬‬
‫המרובע ‪ ABCD‬ה וא טרפז )‪. (AB  CD‬‬
‫‪D‬‬
‫‪C‬‬
‫נתון‪. BC  DC :‬‬
‫‪ CM‬חוצה את הזווית ‪. BCD‬‬
‫א‪ .‬הוכח‪. BM  DM :‬‬
‫‪B‬‬
‫ב‪ .‬הוכח‪. BD  CM :‬‬
‫‪. 24‬‬
‫‪A‬‬
‫‪M‬‬
‫בתוך משולש שווה‪ -‬צלעות ‪ EDC‬חסום‬
‫‪E‬‬
‫טרפז שווה‪ -‬שוקיים ‪. (AB  DC) ABCD‬‬
‫הנקודה ‪ F‬נמצאת על המשך הצלע ‪. AB‬‬
‫נתון‪. BC  CF :‬‬
‫‪B‬‬
‫‪F‬‬
‫‪A‬‬
‫א‪ .‬הוכח‪. ECF  DCB :‬‬
‫ב‪ .‬הוכח‪. AC  EF :‬‬
‫‪. 25‬‬
‫‪C‬‬
‫‪D‬‬
‫המרובע ‪ ABCD‬הוא טרפז )‪. (AB  DC‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫הנקודה ‪ E‬נמצאת על השוק ‪BC‬‬
‫כך שמתקיים ‪. DC  CE , AB  BE‬‬
‫א‪ .‬הוכח‪. AE  DE :‬‬
‫ב‪ .‬נקודה ‪ F‬נמצאת באמצע השוק ‪. AD‬‬
‫הוכח‪. DF  EF :‬‬
‫‪E‬‬
‫‪D‬‬
‫‪C‬‬
‫‪. 26‬‬
‫‪E‬‬
‫הצלע ‪ AB‬במקבילית ‪ ABCD‬גדולה‬
‫פי שניים מהצלע ‪ CE . AD‬הוא גובה‬
‫ל צלע ‪ . AD‬הנקודות ‪ N‬ו‪ M -‬הן אמצעי‬
‫הצלעות ‪ DC‬ו‪ . AB -‬הוכח‪:‬‬
‫‪N‬‬
‫‪C‬‬
‫‪D‬‬
‫המרובע ‪ AMNE‬הוא טרפז שווה‪ -‬שוקיים‬
‫שבו אורך השוק שווה לאורך הבסיס הקטן‪.‬‬
‫‪. 27‬‬
‫‪B‬‬
‫‪A‬‬
‫‪M‬‬
‫‪B‬‬
‫המרובע ‪ ABCD‬הוא טרפז שווה‪ -‬שוקיים‬
‫)‪ (AB  DC‬שאלכסוניו נחתכים בנקודה ‪E‬‬
‫‪A‬‬
‫‪E‬‬
‫ומאונכים זה לזה ‪.‬‬
‫הוכח‪ :‬גובה הטרפז שווה למחצית סכום‬
‫בסיסי הטרפז‪.‬‬
‫כל הזכויות שמורות ליואל גבע ואריק דז'לדטי‬
‫‪C‬‬
‫‪54‬‬
‫‪D‬‬
‫‪. 28‬‬
‫‪ AE‬הוא גובה בטרפז שווה‪ -‬שוקיים ‪ABCD‬‬
‫)‪ F . (AB  DC‬היא נקודה על המשך‬
‫הבסיס ‪ . AB‬נתון‪. BF  DE :‬‬
‫הוכח‪. AC  EF :‬‬
‫‪. 29‬‬
‫הנקודה ‪ E‬נמצאת על הבסיס ‪DC‬‬
‫של טרפז ‪. (AB  DC) ABCD‬‬
‫נתון‪. DE  AE  BE  CE :‬‬
‫הו כח שהטרפז הוא שווה שוקיים‪.‬‬
‫‪. 30‬‬
‫‪B‬‬
‫‪F‬‬
‫‪A‬‬
‫‪C‬‬
‫‪D‬‬
‫‪E‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫‪C‬‬
‫‪D‬‬
‫‪E‬‬
‫בטרפז ‪ (AB  DC) ABCD‬האלכסונים‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫‪ AC‬ו‪ BD -‬נחתכים בנקודה ‪ E‬וחוצים‬
‫את הזוויות ‪ BCD‬ו‪ , ADC -‬בהתאמה‪.‬‬
‫‪E‬‬
‫א‪ .‬הוכח שהטרפז הוא שווה‪ -‬שוקיים‪.‬‬
‫ב‪ .‬הוכח שמרחק הנקודה ‪ E‬מהשוק ‪BC‬‬
‫שווה למרחקה מהשוק ‪. AD‬‬
‫‪. 31‬‬
‫‪C‬‬
‫‪D‬‬
‫‪B‬‬
‫במלבן ‪ ABCD‬האלכסונים ‪ AC‬ו‪BD -‬‬
‫נפגשים בנקודה ‪ . O‬הנקודות ‪ E‬ו‪F -‬‬
‫נמצאות על הקטעים ‪ OA‬ו‪OB -‬‬
‫בהתאמה כך ש‪. AE  BF -‬‬
‫הוכח‪ :‬המרובע ‪ DCFE‬הוא טרפז‬
‫‪A‬‬
‫‪F‬‬
‫‪E‬‬
‫‪O‬‬
‫‪C‬‬
‫‪D‬‬
‫שווה‪ -‬שוקיים‪.‬‬
‫‪. 32‬‬
‫במרובע ‪ ABCD‬הנקודות ‪ E‬ו‪F -‬‬
‫‪E‬‬
‫‪B‬‬
‫‪A‬‬
‫הן אמצעי הצלעות ‪ AB‬ו‪ DC -‬בהתאמה‪.‬‬
‫נתון‪. EF  DC , EF  AB :‬‬
‫הוכח‪ :‬המרובע ‪ ABCD‬הוא‬
‫‪C‬‬
‫טרפז שווה‪ -‬שוקיים‪.‬‬
‫‪. 33‬‬
‫‪D‬‬
‫‪F‬‬
‫‪A‬‬
‫המשולש ‪ ABC‬הוא שווה‪ -‬שוקיים )‪. (AB  AC‬‬
‫‪ BD‬ו‪ CE -‬הם גבהים לשוקיים‪.‬‬
‫הוכח‪ :‬המרובע ‪BCDE‬‬
‫הוא טרפז שווה‪ -‬שוקיים‪.‬‬
‫‪E‬‬
‫‪D‬‬
‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫‪A‬‬
‫‪. 34‬‬
‫המרובע ‪ ABCD‬הוא דלתון )‪. (BC  DC , AB  AD‬‬
‫‪ DE‬חוצה את הזווית ‪ADC‬‬
‫‪D‬‬
‫‪B‬‬
‫ו‪ BF -‬חוצה את הזווית ‪. ABC‬‬
‫‪F‬‬
‫‪E‬‬
‫הוכח‪ :‬המרובע ‪BDFE‬‬
‫הוא טרפז שווה‪ -‬שוקיים‪.‬‬
‫‪C‬‬
‫כל הזכויות שמורות ליואל גבע ואריק דז'לדטי‬
‫‪55‬‬
‫‪. 35‬‬
‫הוכח את המשפט‪ :‬בטרפז שווה‪ -‬שוקיים הזוויות שליד אותו בסיס‬
‫שוות זו לזו‪.‬‬
‫המשפט‪ :‬בטרפז שווה‪ -‬שוקיים האלכסונים שווים זה לזה‪.‬‬
‫‪. 36‬‬
‫הוכח את‬
‫‪. 37‬‬
‫הוכח את המשפט‪ :‬אם בטרפז‪ ,‬הזוויות שליד אותו בסיס שוות זו לזו‪,‬‬
‫אז הטרפז הוא שווה‪ -‬שוקיים‪.‬‬
‫‪. 38‬‬
‫הוכח את המשפט‪ :‬אם האלכסונים בטרפז שווים זה לזה‪ ,‬אז הטרפז‬
‫הוא שווה‪ -‬שוקיים‪.‬‬
‫כל הזכויות שמורות ליואל גבע ואריק דז'לדטי‬
‫‪56‬‬
‫קטע אמצעים במשולש‬
‫‪.1‬‬
‫‪ DE‬הוא קטע אמצעים במשולש ‪. ABC‬‬
‫‪A‬‬
‫נתון‪ 12 :‬ס"מ ‪. ADE  62 , BC ‬‬
‫‪D‬‬
‫‪E‬‬
‫א‪ .‬מהו אורך הקטע ‪? DE‬‬
‫ב‪ .‬מהו גוד ל הזווית ‪? ABC‬‬
‫תשובה‪:‬‬
‫‪.2‬‬
‫‪B‬‬
‫‪C‬‬
‫א‪ 6 .‬ס"מ‪ .‬ב‪. 62 .‬‬
‫הנקודות ‪ D‬ו‪ E -‬הן בהתאמה אמצעי הצלעות‬
‫‪ AB‬ו‪ AC -‬של משולש ‪. ABC‬‬
‫‪A‬‬
‫א‪ .‬נתון‪ 12 :‬ס"מ ‪. BC  DE ‬‬
‫חשב את אורך הקטע ‪. DE‬‬
‫‪E‬‬
‫ב‪ .‬נתון‪. BDE  3  DBC :‬‬
‫‪D‬‬
‫חשב את הזווית ‪. DBC‬‬
‫תשובה‪:‬‬
‫‪.3‬‬
‫א ‪ 4 .‬ס"מ ‪.‬‬
‫‪B‬‬
‫‪C‬‬
‫ב‪. 45 .‬‬
‫‪A‬‬
‫‪ AD‬הוא גובה לצלע ‪ BC‬במשולש ‪. ABC‬‬
‫‪ E‬ו‪ F -‬הן אמצעי הקטעים ‪AC‬‬
‫ו‪ DC -‬בהתאמה‪.‬‬
‫הוכח‪. EF  DC :‬‬
‫‪E‬‬
‫‪C‬‬
‫‪.4‬‬
‫‪F‬‬
‫‪B‬‬
‫‪D‬‬
‫‪A‬‬
‫במשולש ‪ ABC‬הנקודות ‪ E , D‬ו‪ F -‬הן‬
‫ב התאמה אמצעי הצלעות ‪ AC , AB‬ו‪. BC -‬‬
‫‪D‬‬
‫‪E‬‬
‫א‪ .‬הוכח‪. ADE  DBF :‬‬
‫ב‪ .‬הוכח‪ :‬המרובע ‪ DECF‬הוא מקבילית‪.‬‬
‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫‪F‬‬
‫‪A‬‬
‫‪.5‬‬
‫‪ DE‬הוא קטע אמצעים ב משולש ‪. ABC‬‬
‫‪‬‬
‫נתון‪. BDC  90 :‬‬
‫‪D‬‬
‫‪E‬‬
‫הוכח‪. AC  BC :‬‬
‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫‪A‬‬
‫‪.6‬‬
‫המשולש ‪ ABC‬הוא שווה‪ -‬שוקיים )‪. (AB  AC‬‬
‫הנקודות ‪ E , D‬ו‪ F -‬הן אמצעי‬
‫‪E‬‬
‫הצלעות ‪ AC , AB‬ו‪ BC -‬בהתאמה‪.‬‬
‫‪D‬‬
‫הוכח‪ :‬המרובע ‪ ADFE‬הוא מעוין‪.‬‬
‫‪C‬‬
‫כל הזכויות שמורות ליואל גבע ואריק דז'לדטי‬
‫‪57‬‬
‫‪F‬‬
‫‪B‬‬
‫‪A‬‬
‫‪.7‬‬
‫במשולש ‪ BD , ABC‬הוא תיכון לצלע ‪AC‬‬
‫ו‪ CE -‬הוא תיכון לצלע ‪. AB‬‬
‫הוכח‪. DE  BC :‬‬
‫‪.8‬‬
‫‪ DE‬הוא קטע אמצעים במשולש ‪. ABC‬‬
‫‪D‬‬
‫‪E‬‬
‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫‪A‬‬
‫‪ GF‬הוא קטע אמצעים במשולש ‪. DEC‬‬
‫א‪ .‬נתון‪ 12 :‬ס"מ ‪. BC ‬‬
‫‪E‬‬
‫חשב את אורך הקטע ‪. GF‬‬
‫‪G‬‬
‫ב‪ .‬הוכח‪. AC  4GE :‬‬
‫תשובה‪:‬‬
‫‪.9‬‬
‫‪D‬‬
‫‪F‬‬
‫‪B‬‬
‫‪C‬‬
‫א‪ 3 .‬ס"מ‪.‬‬
‫‪A‬‬
‫הנקודה ‪ D‬נמצאת על הצלע ‪ BC‬במשולש ‪. ABC‬‬
‫‪ EF‬הוא קטע אמצעים במשולש ‪. ABD‬‬
‫‪G‬‬
‫‪ GH‬הוא קטע אמצעים במשולש ‪. ACD‬‬
‫א‪ .‬הוכח‪ :‬המרובע ‪ EFHG‬הוא מקבילית‪.‬‬
‫ב‪ .‬הוכח‪. EG  1 BC :‬‬
‫‪2‬‬
‫‪. 10‬‬
‫במרובע ‪ ABCD‬הנקודות ‪ E‬ו‪F -‬‬
‫הן אמצעי הצלעות ‪ AB‬ו‪, CD -‬‬
‫בהתאמה‪ .‬הנקודות ‪ G‬ו‪H -‬‬
‫הן אמצעי האלכסונים ‪ BD‬ו‪, AC -‬‬
‫בהתאמה‪ .‬הוכח‪. GE  FH :‬‬
‫‪. 11‬‬
‫‪ DE‬הוא קטע אמצעים במשולש ‪. ABC‬‬
‫‪E‬‬
‫‪C‬‬
‫‪D‬‬
‫‪H‬‬
‫‪B‬‬
‫‪F‬‬
‫‪B‬‬
‫‪E‬‬
‫‪G‬‬
‫‪A‬‬
‫‪H‬‬
‫‪C‬‬
‫‪D‬‬
‫‪F‬‬
‫‪A‬‬
‫‪ F‬היא נקודה על הצלע ‪. BC‬‬
‫‪E‬‬
‫‪ AF‬ו‪ DE -‬נחתכים בנקודה ‪. G‬‬
‫‪G‬‬
‫‪H‬‬
‫‪D‬‬
‫נתון‪ . BF  2CF :‬הוכח‪. CH  DH :‬‬
‫‪C‬‬
‫‪. 12‬‬
‫‪B‬‬
‫‪F‬‬
‫‪A‬‬
‫במשולש ‪ , ABC‬הנקודות ‪ E , D‬ו‪ F -‬הן‬
‫בהתאמה אמצעי הצלעות ‪ AC , AB‬ו‪. BC -‬‬
‫‪E‬‬
‫א‪ .‬הוכח‪ :‬המרובע ים ‪ ADFE‬ו‪DECF -‬‬
‫הם מקבילי ו ת‪.‬‬
‫‪H‬‬
‫ב‪ .‬הוכח‪. AC  4GH :‬‬
‫כל הזכויות שמורות ליואל גבע ואריק דז'לדטי‬
‫‪G‬‬
‫‪D‬‬
‫‪C‬‬
‫‪58‬‬
‫‪F‬‬
‫‪B‬‬
‫‪. 13‬‬
‫‪A‬‬
‫הנקודות ‪ E , D‬ו‪ F -‬הן בהתאמה אמצעי‬
‫הצלעות ‪ AC , AB‬ו‪ BC -‬של משולש ‪. ABC‬‬
‫‪E‬‬
‫נתון כי היקף המשולש ‪ DEF‬הוא ‪ 12‬ס "מ‪.‬‬
‫‪D‬‬
‫מהו היקף המשולש ‪? ABC‬‬
‫תשובה‪:‬‬
‫‪. 14‬‬
‫‪C‬‬
‫‪ 24‬ס"מ‪.‬‬
‫‪B‬‬
‫‪F‬‬
‫‪A‬‬
‫המרובע ‪ ABCD‬הוא דלתון )‪. (CB  CD , AB  AD‬‬
‫הנקודות ‪ H , E‬ו‪ F -‬הן אמצעי הקטעים‬
‫‪E‬‬
‫‪ BD , AD‬ו‪ DC -‬בהתאמה‪.‬‬
‫א‪ .‬הוכח‪ :‬המרובע ‪ EHFD‬הוא דלתון‪.‬‬
‫‪H‬‬
‫‪B‬‬
‫ב‪ .‬נתון כי היקף הדלתון ‪ EHFD‬הוא ‪ 12‬ס"מ‪.‬‬
‫‪D‬‬
‫מהו היקף הדלתון ‪? ABCD‬‬
‫תשובה‪:‬‬
‫‪. 15‬‬
‫‪F‬‬
‫‪C‬‬
‫ב‪ 24 .‬ס"מ‪.‬‬
‫במרובע ‪ , ABCD‬הנקודות ‪ G , F , E‬ו‪H -‬‬
‫הן אמצעי הצלעות ‪CD , BC , AB‬‬
‫ו‪ AD -‬בהתאמה‪.‬‬
‫א‪ .‬הוכח‪ :‬המרובע ‪ EFGH‬הוא מקבילית‪.‬‬
‫ב‪ .‬נתון‪ 12 :‬ס"מ ‪. AC  BD ‬‬
‫חשב את היקף המקבילית ‪. EFGH‬‬
‫תשובה‪:‬‬
‫‪B‬‬
‫‪E‬‬
‫‪A‬‬
‫‪F‬‬
‫‪H‬‬
‫‪C‬‬
‫‪D‬‬
‫‪G‬‬
‫ב‪ 12 .‬ס"מ‪.‬‬
‫‪A‬‬
‫‪. 16‬‬
‫במרובע ‪ , ABCD‬האלכסונים ‪ AC‬ו‪BD -‬‬
‫מאונכים זה לזה‪ .‬הנקודות ‪, F , E‬‬
‫‪ G‬ו‪ H -‬הן אמצעי הצלעות ‪, AB‬‬
‫‪ CD , BC‬ו‪ AD -‬בהתאמה‪.‬‬
‫הוכח‪ :‬המרובע ‪ EFGH‬הוא מלבן‪.‬‬
‫‪H‬‬
‫‪E‬‬
‫‪D‬‬
‫‪B‬‬
‫‪F‬‬
‫‪G‬‬
‫‪C‬‬
‫‪. 17 ‬‬
‫המרובע ‪ ABCD‬הוא טרפז )‪. (AB  DC‬‬
‫‪B‬‬
‫‪E‬‬
‫‪A‬‬
‫הנקודות ‪ G , F , E‬ו‪ H -‬הן אמצעי‬
‫הצלעות ‪ CD , BC , AB‬ו‪ AD -‬בהתאמה‬
‫כך שהמרובע ‪ EFGH‬הוא ריבוע‪.‬‬
‫‪F‬‬
‫‪H‬‬
‫א‪ .‬הוכח‪ ABCD :‬טרפז שווה‪ -‬שוקיים‪.‬‬
‫ב‪ .‬הוכח‪. AC  BD :‬‬
‫כל הזכויות שמורות ליואל גבע ואריק דז'לדטי‬
‫‪C‬‬
‫‪59‬‬
‫‪G‬‬
‫‪D‬‬
‫הוכחת קטע אמצעים‬
‫‪. 18‬‬
‫‪A‬‬
‫‪ BD‬הוא תיכון לצלע ‪ AC‬במשולש ‪. ABC‬‬
‫‪ E‬היא נקודה על הצלע ‪. BC‬‬
‫‪D‬‬
‫נתון‪. DE  AB :‬‬
‫הוכח‪. BE  EC :‬‬
‫‪C‬‬
‫‪. 19‬‬
‫‪B‬‬
‫‪E‬‬
‫‪A‬‬
‫‪ EF‬הוא קטע אמצעים במשולש ‪. ABC‬‬
‫‪ D‬היא נקודה על הצלע ‪. BC‬‬
‫‪F‬‬
‫‪ AD‬ו‪ EF -‬נחתכים בנקודה ‪. G‬‬
‫‪E‬‬
‫‪G‬‬
‫הוכח ‪ :‬אם ‪ AD‬הוא תיכון במשולש ‪, ABC‬‬
‫אז ‪ AG‬הוא תיכון במשולש ‪. AEF‬‬
‫‪D‬‬
‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫‪A‬‬
‫‪. 20‬‬
‫‪ DE‬הוא קטע אמצעים במשולש ‪. ABC‬‬
‫הנקודה ‪ F‬נמצאת על הצלע ‪. BC‬‬
‫‪G‬‬
‫‪E‬‬
‫‪D‬‬
‫הקטע ‪ AF‬חותך את ‪ DE‬בנקודה ‪. G‬‬
‫נתון‪ . GE  3  DG :‬הוכח‪. BC  4  BF :‬‬
‫‪C‬‬
‫‪. 21‬‬
‫‪B‬‬
‫‪F‬‬
‫‪A‬‬
‫הנקודה ‪ D‬היא אמצע הצלע ‪ AB‬במשולש ‪. ABC‬‬
‫הקטע ‪ DC‬חוצה את הזווית ‪. ACB‬‬
‫הנקודה ‪ E‬נמצאת על הצלע ‪AC‬‬
‫כך שמתקיים ‪. DE  CE‬‬
‫הוכח‪ – E :‬אמצע הקטע ‪. AC‬‬
‫‪E‬‬
‫‪D‬‬
‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫‪. 22‬‬
‫המרובע ‪ ABCD‬הוא מעוין שאלכס וניו‬
‫‪B‬‬
‫‪A‬‬
‫‪E‬‬
‫נפגשים בנקודה ‪. O‬‬
‫הנקודה ‪ E‬נמצאת על הצלע ‪. AB‬‬
‫‪O‬‬
‫נתון‪. OE  BC :‬‬
‫הוכח‪. OE  1 DC :‬‬
‫‪2‬‬
‫‪C‬‬
‫‪D‬‬
‫‪A‬‬
‫‪. 23‬‬
‫הנקודה ‪ D‬היא אמצע הצלע ‪AB‬‬
‫של משולש ‪ . ABC‬בתוך המשולש‬
‫חסומה מקבילית ‪. DEFB‬‬
‫הוכח‪ :‬המרובע ‪ ADFE‬הוא מקבילית‪.‬‬
‫‪E‬‬
‫‪C‬‬
‫כל הזכויות שמורות ליואל גבע ואריק דז'לדטי‬
‫‪60‬‬
‫‪D‬‬
‫‪F‬‬
‫‪B‬‬
‫‪. 24‬‬
‫‪A‬‬
‫‪ DE‬הוא קטע אמצעים במשולש ‪. ABC‬‬
‫‪F‬‬
‫הנקודה ‪ F‬נמצאת על הקטע ‪AE‬‬
‫כך שמתקיים ‪. DF  BE‬‬
‫הוכח‪. FE  1 EC :‬‬
‫‪2‬‬
‫‪D‬‬
‫‪E‬‬
‫‪C‬‬
‫‪. 25‬‬
‫‪B‬‬
‫‪A‬‬
‫‪ AD‬הוא הגובה ל‪ BC -‬במשולש ‪. ABC‬‬
‫‪ EF‬הוא הגובה ל‪ BC -‬במשולש ‪. EBC‬‬
‫‪E‬‬
‫נתון‪. BF  FD  DC :‬‬
‫‪G‬‬
‫הוכח‪. AG  3DG :‬‬
‫‪D‬‬
‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫‪F‬‬
‫‪A‬‬
‫‪. 26‬‬
‫במשולש ‪ ABC‬נתון‪, AD  DB :‬‬
‫‪. FG  BC , DF  BF , AE  EC‬‬
‫‪D‬‬
‫‪E‬‬
‫הוכח‪. GH  2FH :‬‬
‫‪G‬‬
‫‪F‬‬
‫‪H‬‬
‫‪C‬‬
‫‪. 27‬‬
‫‪B‬‬
‫‪ AD‬הוא תיכון לצלע ‪ BC‬במשולש ‪. ABC‬‬
‫‪A‬‬
‫‪ – E‬אמצע התיכון ‪. AD‬‬
‫נתון‪. GE  AB , DF  AB :‬‬
‫‪F‬‬
‫הוכח‪ :‬מרובע ‪EFDG‬‬
‫‪E‬‬
‫הוא מקבילית‪.‬‬
‫‪C‬‬
‫‪. 28‬‬
‫‪G‬‬
‫‪D‬‬
‫‪A‬‬
‫‪ CD‬הוא גובה במשולש ‪. ABC‬‬
‫הנקודות ‪ F , E‬ו‪ G -‬הן אמצעי הקטעים‬
‫‪D‬‬
‫‪E‬‬
‫‪ BC , AC‬ו‪ , BD -‬בהתאמה‪.‬‬
‫‪G‬‬
‫הוכח‪. GF  EF :‬‬
‫‪C‬‬
‫‪. 29 ‬‬
‫‪B‬‬
‫‪F‬‬
‫‪A‬‬
‫גבהי המשולש ‪ ABC‬נפגשים בנקודה ‪. H‬‬
‫נתון‪, BK  KA , CL  LA :‬‬
‫‪F‬‬
‫‪. CN  NH , BM  MH‬‬
‫‪L‬‬
‫‪E‬‬
‫הוכח‪ :‬המרובע ‪ KLMN‬הוא מלבן‪.‬‬
‫‪C‬‬
‫כל הזכויות שמורות ליואל גבע ואריק דז'לדטי‬
‫‪B‬‬
‫‪61‬‬
‫‪K‬‬
‫‪H‬‬
‫‪N‬‬
‫‪D‬‬
‫‪M‬‬
‫‪B‬‬
‫‪A‬‬
‫‪. 30‬‬
‫במשולש ‪ ABC‬חסומה מקבילית‬
‫‪E‬‬
‫‪ . DEFG‬נתון‪. AD  DB :‬‬
‫‪D‬‬
‫הוכח‪. BG  CF  GF :‬‬
‫‪C‬‬
‫‪. 31‬‬
‫‪F‬‬
‫‪G‬‬
‫‪B‬‬
‫המרובע ‪ ABCD‬הוא מקבילית‪.‬‬
‫‪E‬‬
‫הנקודות ‪ G , F , E‬ו‪H -‬‬
‫‪F‬‬
‫הן בהתאמה אמצעי הצלעות‬
‫‪A‬‬
‫‪O‬‬
‫‪P‬‬
‫‪H‬‬
‫‪R‬‬
‫‪ CD , BC , AB‬ו‪. AD -‬‬
‫‪C‬‬
‫הוכח‪. OP  OR :‬‬
‫‪. 32‬‬
‫‪D‬‬
‫‪G‬‬
‫הנקודה ‪ D‬נמצאת על הצלע ‪ BC‬של משולש ‪. ABC‬‬
‫‪A‬‬
‫הנקודה ‪ F‬נמצאת על הצלע ‪. AC‬‬
‫נתון‪ 4 , AF  FC , DC  2BD :‬ס"מ ‪. DG ‬‬
‫‪F‬‬
‫חשב את אורך הקטע ‪. AG‬‬
‫‪. 33 ‬‬
‫‪B‬‬
‫הדרכה‪:‬‬
‫דרך ‪ F‬העבר מקביל ל‪. AD -‬‬
‫תשובה‪:‬‬
‫‪ 12‬ס"מ‪.‬‬
‫‪G‬‬
‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫‪D‬‬
‫‪A‬‬
‫‪ CE‬הוא תיכון לצלע ‪ AB‬במשולש ‪. ABC‬‬
‫‪ D‬היא נקודה על הצלע ‪. BC‬‬
‫‪E‬‬
‫‪ AD‬ו‪ CE -‬נחתכים בנקודה ‪. F‬‬
‫‪F‬‬
‫נתון‪. AF  3DF :‬‬
‫הוכח‪. BD  2DC :‬‬
‫‪. 34‬‬
‫‪B‬‬
‫‪D‬‬
‫‪C‬‬
‫במשולש ‪ , ABC‬הנקודות ‪ D‬ו‪ E -‬נמצאות על הצלעות ‪ AB‬ו‪. AC -‬‬
‫נתון‪ . AE  CE , AD  BD :‬הוכח‪. AED  C :‬‬
‫‪A‬‬
‫‪. 35‬‬
‫‪ AD‬הוא הגובה לצלע ‪ BC‬של משולש ‪. ABC‬‬
‫‪F‬‬
‫‪‬‬
‫נתון‪, AF  CF , B  60 :‬‬
‫‪. BE  CE‬‬
‫הוכח‪. BD  EF :‬‬
‫‪C‬‬
‫‪E‬‬
‫‪B‬‬
‫‪D‬‬
‫‪A‬‬
‫‪. 36‬‬
‫‪ EF‬הוא קטע אמצעים במשולש ‪. ABC‬‬
‫הנקודה ‪ G‬נמצאת על המשך הקטע ‪, EF‬‬
‫‪G‬‬
‫כך ש‪. AG  BG -‬‬
‫‪F‬‬
‫‪E‬‬
‫א‪ .‬הוכח‪. GE  BE :‬‬
‫ב‪ .‬הוכח‪ BG :‬חוצה את הזווית ‪. ABC‬‬
‫‪C‬‬
‫כל הזכויות שמורות ליואל גבע ואריק דז'לדטי‬
‫‪62‬‬
‫‪B‬‬
‫‪A‬‬
‫‪. 37‬‬
‫‪ DE‬הוא קטע אמצעים במשולש ‪. ABC‬‬
‫‪ AF‬חותך את ‪ DE‬בנקודה ‪. G‬‬
‫‪E‬‬
‫‪G‬‬
‫נתון‪. BD  DG :‬‬
‫הוכח‪. AF  BG :‬‬
‫‪D‬‬
‫‪F‬‬
‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫‪A‬‬
‫‪. 38‬‬
‫‪ AD‬הוא גובה לצלע ‪ BC‬במשולש ‪. ABC‬‬
‫הנקודות ‪ F , E‬ו‪ G -‬הן אמצעי‬
‫‪F‬‬
‫הצלעות ‪ AC , AB‬ו‪ BC -‬בהתאמה‪.‬‬
‫‪E‬‬
‫הוכח‪. GF  GE  DF  DE :‬‬
‫‪C‬‬
‫‪G‬‬
‫‪. 39‬‬
‫‪ ABC‬הוא משולש שווה‪ -‬שוקיים )‪ (AB  AC‬שבו ‪AD‬‬
‫הוא גובה לבסיס‪ .‬מנקודה ‪ B‬מעלים אנך ל‪. BC -‬‬
‫מסמנים על אנך זה את הנקודה ‪, E‬‬
‫כך שהקטעים ‪ EC‬ו‪ AD -‬נחתכים בנקודה ‪, F‬‬
‫הנמצאת בתוך המשולש ‪. ABC‬‬
‫א‪ .‬הוכח‪. EF  FC :‬‬
‫ב‪ .‬נתון‪. ED  AC :‬‬
‫הוכ ח‪ :‬המרובע ‪ ACDE‬הוא מקבילית‪.‬‬
‫‪. 40‬‬
‫אלכסוני המלבן ‪ ABCD‬נפגשים‬
‫‪D‬‬
‫‪B‬‬
‫‪E‬‬
‫‪A‬‬
‫‪F‬‬
‫‪C‬‬
‫‪D‬‬
‫‪B‬‬
‫‪H‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫בנקודה ‪ . E‬הנקודות ‪ G‬ו‪ F -‬הן אמצעי‬
‫‪G‬‬
‫‪F‬‬
‫הקטעים ‪ AE‬ו‪ BE -‬בהתאמה‪.‬‬
‫‪E‬‬
‫הוכח‪ :‬המרובע ‪ GEFH‬הוא דלתון‪.‬‬
‫‪C‬‬
‫‪. 41‬‬
‫‪D‬‬
‫הנקודות ‪ D‬ו‪ E -‬נמצאות על הצלעות‬
‫‪A‬‬
‫‪ AB‬ו‪ AC -‬של משולש ‪. ABC‬‬
‫נתון‪ 4 , DE  BC :‬ס"מ ‪, DE ‬‬
‫‪D‬‬
‫‪E‬‬
‫‪ 8‬ס"מ ‪. BC ‬‬
‫הוכח‪. AD  BD :‬‬
‫‪B‬‬
‫‪C‬‬
‫‪A‬‬
‫‪. 42‬‬
‫הנקודות ‪ D‬ו‪ E -‬נמצאות על הצלעות‬
‫‪ AC‬ו‪ BC -‬של משולש ‪. ABC‬‬
‫‪D‬‬
‫נתון‪. AB  2  DE , BAC  EDC :‬‬
‫הוכח‪ BD :‬הוא תיכון לצלע ‪. AC‬‬
‫‪. 43‬‬
‫‪C‬‬
‫‪E‬‬
‫הוכח את המשפט‪ :‬קטע אמצעים במשולש המחבר את האמצעים‬
‫של שתי צלעות במשולש מקביל לצלע השלישית ושווה למחציתה‪.‬‬
‫כל הזכויות שמורות ליואל גבע ואריק דז'לדטי‬
‫‪63‬‬
‫‪B‬‬
‫קטע אמצעים בטרפז‬
‫‪.1‬‬
‫המרובע ‪ ABCD‬הוא טרפז )‪. (AB  DC‬‬
‫‪B‬‬
‫‪A‬‬
‫‪ EF‬הוא קטע אמצעים בטרפז ‪.‬‬
‫נתון‪ 5 :‬ס"מ ‪ 9 , AB ‬ס"מ ‪. DC ‬‬
‫‪E‬‬
‫‪F‬‬
‫חשב את אורך הקטע ‪. EF‬‬
‫תשובה‪:‬‬
‫‪.2‬‬
‫‪C‬‬
‫‪ 7‬ס"מ‪.‬‬
‫‪D‬‬
‫הנקודות ‪ E‬ו‪ F -‬הן בהתאמה אמצעי השוקיים ‪ AD‬ו‪ BC -‬ב טרפז ‪. ABCD‬‬
‫נתון‪ DC :‬גדול ב‪ 4 -‬ס"מ מ‪ 9 , AB -‬ס"מ ‪. EF ‬‬
‫חשב את בסיסי הטרפז‪.‬‬
‫תשובה‪:‬‬
‫‪.3‬‬
‫‪ 7‬ס"מ‪ 11 ,‬ס"מ‪.‬‬
‫היקפו של טרפז שווה‪ -‬שוקיים הוא ‪ 36‬ס"מ‪ .‬קטע האמצע ים בטרפז‬
‫גדול ב‪ 2 -‬ס"מ משוק הטרפז‪ .‬חשב את שוק הטרפז‪.‬‬
‫תשובה‪:‬‬
‫‪.4‬‬
‫‪ 8‬ס"מ‪.‬‬
‫הנקודות ‪ E‬ו‪ F -‬הן בהתאמה אמצעי השוקיים ‪ AD‬ו‪ BC -‬של טרפז ‪. ABCD‬‬
‫נתון‪ . DEF  3  EDC , ABF  2  BFE :‬חשב את זוויותיו של הטרפז‪.‬‬
‫תשובה‪:‬‬
‫‪.5‬‬
‫‪. 135 , 120 , 60 , 45‬‬
‫‪ EF‬הוא קטע אמצעים בטרפז ‪. ABCD‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫‪ BD‬ו‪ EF -‬נחתכים בנקודה ‪. G‬‬
‫נתון‪ 7 :‬ס"מ ‪ 4 , GF ‬ס"מ ‪. EG ‬‬
‫‪G‬‬
‫‪F‬‬
‫‪E‬‬
‫חשב את בסיסי הטרפז‪.‬‬
‫תשובה‪:‬‬
‫‪.6‬‬
‫‪C‬‬
‫‪ 8‬ס"מ ‪ 14 , AB ‬ס"מ ‪. DC ‬‬
‫‪ EF‬הוא קטע אמצעים בטרפז ‪. ABCD‬‬
‫‪B‬‬
‫‪ EF‬חותך את האלכסונים ‪ AC‬ו‪BD -‬‬
‫בנקודות ‪ R‬ו‪ P -‬בהתאמה‪.‬‬
‫נתון‪ 12 :‬ס"מ ‪ 18 , AB ‬ס"מ ‪. DC ‬‬
‫חשב את אורך הקטע ‪. PR‬‬
‫תשובה‪:‬‬
‫‪.7‬‬
‫‪D‬‬
‫‪A‬‬
‫‪R‬‬
‫‪F‬‬
‫‪P‬‬
‫‪E‬‬
‫‪C‬‬
‫‪D‬‬
‫‪ 3‬ס"מ‪.‬‬
‫‪ EF‬הוא קטע אמצעים בטרפז ‪. ABCD‬‬
‫‪ EF‬חותך את האלכסונים ‪ AC‬ו‪BD -‬‬
‫בנקודות ‪ R‬ו‪ P -‬בהתאמה‪.‬‬
‫א‪ .‬הוכח‪. EP  RF :‬‬
‫ב‪ .‬הוכח‪DC  AB :‬‬
‫‪. PR ‬‬
‫‪2‬‬
‫כל הזכויות שמורות ליואל גבע ואריק דז'לדטי‬
‫‪64‬‬
‫‪B‬‬
‫‪F‬‬
‫‪C‬‬
‫‪A‬‬
‫‪R‬‬
‫‪P‬‬
‫‪E‬‬
‫‪D‬‬
‫‪.8‬‬
‫‪ ABCD‬הוא טרפז )‪ (AB  DC‬שבו ‪. DC  2AB‬‬
‫‪ EF‬הוא קטע אמצעים בטרפז‪ AC .‬ו‪BD -‬‬
‫חותכים את ‪ EF‬בנקודות ‪ G‬ו‪. H -‬‬
‫א‪ .‬הוכח‪. EH  HG  GF :‬‬
‫ב‪ .‬הוכח‪. AH  BF :‬‬
‫‪.9‬‬
‫‪B‬‬
‫‪F‬‬
‫‪G‬‬
‫‪C‬‬
‫‪ EF‬הוא קטע אמצעים בטרפז ‪. ABCD‬‬
‫‪ G‬היא נקודה על הקטע ‪. EF‬‬
‫‪A‬‬
‫‪G‬‬
‫‪F‬‬
‫‪E‬‬
‫‪C‬‬
‫‪D‬‬
‫‪B‬‬
‫המרובע ‪ ABCD‬הוא טרפז שווה שוקיים‬
‫)‪ EF . (AD  BC‬הוא קטע אמצעים בטרפז‪.‬‬
‫הוכח‪ :‬המרובע ‪ EFCH‬הוא מקבילית‪.‬‬
‫הוא קטע אמצעים בטרפז ‪. ABCD‬‬
‫‪E‬‬
‫‪C‬‬
‫בטרפז ‪ (AB  DC) ABCD‬חוצה‪ -‬זווית ‪ABC‬‬
‫חותך את חוצה‪ -‬זווית ‪ BCD‬בנקודה ‪, K‬‬
‫ואת הבסיס ‪ DC‬בנקודה ‪. E‬‬
‫א‪ .‬הוכח‪. BKC  90 :‬‬
‫ב‪ .‬דרך הנקודה ‪ K‬מעבירים מקביל‬
‫לבסיסי הטרפז‪ .‬הוכח כי המקביל‬
‫‪A‬‬
‫‪F‬‬
‫‪ AH‬הוא גובה בטרפז ‪.‬‬
‫‪. 11‬‬
‫‪H‬‬
‫‪B‬‬
‫הוכח‪. BG  CG :‬‬
‫‪E‬‬
‫‪D‬‬
‫הקטע ‪ BG‬חוצה את הזווית ‪. ABC‬‬
‫‪. 10‬‬
‫‪A‬‬
‫‪D‬‬
‫‪H‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫‪K‬‬
‫‪C‬‬
‫‪D‬‬
‫‪E‬‬
‫ג‪ .‬נתון‪ 6 :‬ס"מ ‪ 2 , BC ‬ס"מ ‪ 8 , AB ‬ס"מ ‪. DE ‬‬
‫חשב את האורך של קטע האמצעים בטרפז ‪ . ABCD‬נמק‪.‬‬
‫תשובה‪:‬‬
‫‪. 12‬‬
‫ג‪ 8 .‬ס"מ‪.‬‬
‫‪ EF‬הוא קטע אמצעים בטרפז ‪. ABCD‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫‪ BD‬ו‪ EF -‬נחתכים בנקודה ‪. G‬‬
‫המשך הקטע ‪ AG‬חותך‬
‫‪G‬‬
‫‪F‬‬
‫‪E‬‬
‫את הבסיס ‪ DC‬בנקודה ‪. H‬‬
‫הוכח‪. AD  BH , AD  BH :‬‬
‫‪. 13‬‬
‫‪C‬‬
‫‪H‬‬
‫‪B‬‬
‫המרובע ‪ ABCD‬הוא טרפז שווה‪ -‬שוקיים‬
‫‪D‬‬
‫‪A‬‬
‫)‪ . (AB  DC‬אלכסוני הטרפז מאונכים זה לזה‪.‬‬
‫הוכח שגובה הטרפז שווה לקטע‬
‫אמצעים של הטרפז‪.‬‬
‫‪C‬‬
‫כל הזכויות שמורות ליואל גבע ואריק דז'לדטי‬
‫‪65‬‬
‫‪D‬‬
‫‪. 14‬‬
‫המרובע ‪ ABCD‬הוא טרפז )‪. (AB  DC‬‬
‫‪B‬‬
‫הנקודות ‪ E‬ו‪ F -‬נמצאות על השוקיים‬
‫‪ AD‬ו‪ BC -‬בהתאמה‪ .‬נתון‪, EF  DC :‬‬
‫‪F‬‬
‫‪ 8 , AE  ED‬ס"מ ‪ 11 , AB ‬ס"מ ‪. EF ‬‬
‫חשב את אורך הבסיס ‪. DC‬‬
‫תשובה‪:‬‬
‫‪. 15‬‬
‫‪A‬‬
‫‪E‬‬
‫‪C‬‬
‫‪D‬‬
‫‪ 14‬ס"מ‪.‬‬
‫‪ EF‬הוא קטע אמצעים בטרפז ‪. ABCD‬‬
‫‪A G‬‬
‫‪B‬‬
‫‪ G‬ו‪ H -‬הן נקודות על הבסיסים‬
‫‪ AB‬ו‪ DC -‬בהתאמה‪.‬‬
‫‪P‬‬
‫‪F‬‬
‫‪E‬‬
‫‪ GH‬ו‪ EF -‬נחתכים בנקודה ‪. P‬‬
‫הוכ ח‪. GP  PH :‬‬
‫‪C‬‬
‫‪D‬‬
‫‪H‬‬
‫‪A K‬‬
‫‪L B‬‬
‫‪. 16‬‬
‫‪ EF‬הוא קטע אמצעים בטרפז ‪. ABCD‬‬
‫הקטעים ‪ KM‬ו‪ LN -‬נחתכים בנקודה ‪G‬‬
‫הנמצאת על הקטע ‪. EF‬‬
‫הוכח‪ :‬המרובע ‪ KLMN‬הוא מקבילית‪.‬‬
‫‪. 17‬‬
‫בטרפז ‪ , (AB  DC) ABCD‬הנקודות ‪ E‬ו‪ F -‬נמצאות בהתאמה על השוקיים‬
‫‪G‬‬
‫‪E‬‬
‫‪F‬‬
‫‪C‬‬
‫‪M‬‬
‫‪N‬‬
‫‪D‬‬
‫‪ AD‬ו‪ . BC -‬נתון‪ 7 :‬ס"מ ‪ 13 , AB ‬ס"מ ‪ 10 , DC ‬ס"מ ‪. EF  DC , EF ‬‬
‫א‪ .‬הוכח‪ – E :‬אמצע השוק ‪. AD‬‬
‫ב‪ .‬הקטעים ‪ AC‬ו‪ EF -‬נחתכים בנקודה ‪ . G‬חשב את אורך הקטע ‪. GF‬‬
‫תשובה‪:‬‬
‫‪. 18 ‬‬
‫ב‪ 3.5 .‬ס"מ‪.‬‬
‫‪A‬‬
‫במשולש ‪ , ABC‬הנקודות ‪ D‬ו‪ E -‬נמצאות‬
‫על הצלעות ‪ AB‬ו‪ , AC -‬בהתאמה‪.‬‬
‫נתון‪ 6 :‬ס"מ ‪. AD  2BD , DE ‬‬
‫חשב את אורך הצלע ‪. BC‬‬
‫תשובה‪:‬‬
‫‪. 19‬‬
‫‪E‬‬
‫‪ 9‬ס"מ‪.‬‬
‫‪C‬‬
‫בטרפז ‪ (AB  DC) ABCD‬הנקודות ‪ E‬ו‪F -‬‬
‫נמצאות על השוקיים ‪ AD‬ו‪BC -‬‬
‫בהתאמה‪ ,‬כך ש‪. EF  DC -‬‬
‫נתון‪ 6 :‬ס"מ ‪ 12 , AB ‬ס"מ ‪, DC ‬‬
‫‪ . AE  2DE‬חשב את אורך הקטע ‪. EF‬‬
‫‪B‬‬
‫‪B‬‬
‫‪F‬‬
‫‪C‬‬
‫תשובה‪:‬‬
‫‪ 10‬ס"מ‪.‬‬
‫כל הזכויות שמורות ליואל גבע ואריק דז'לדטי‬
‫‪D‬‬
‫‪66‬‬
‫‪A‬‬
‫‪E‬‬
‫‪D‬‬
‫‪. 20‬‬
‫הוכח את המשפט‪ :‬קטע אמצעים בטרפז מקביל לבסיסי הטרפז ושווה‬
‫למחצית סכומם‪.‬‬
‫‪. 21‬‬
‫הוכח את המשפט‪ :‬קטע היוצא מאמצע שוק אחת של טרפז ומקב יל‬
‫לבסיסי הטרפז הוא קטע אמצעים בטרפז‪.‬‬
‫כל הזכויות שמורות ליואל גבע ואריק דז'לדטי‬
‫‪67‬‬