זווית היקפית
זווית היקפית זווית היקפית ו זווית מרכזית הנשענות על אותה קשת A זווית שקדקודה נמצא על המעגל ושוקיה הם שני מיתרים במעגל נקראת זווית היקפית . בציור שמשמאל ,הזווית BAC C היא זווית היקפית . B לכל זווית היקפית יש קשת ה מתאימה לה ומיתר ה מתא ים לה . נהוג לומר שזווית היקפית " נשענת " על הקשת המתאימה לה . למשל ,הזווית ההיקפית BACנשענת על הקשת . BC המיתר המתאים לזווית BACהוא המיתר . BC הערה :ניתן לראות בציור שקיימות שתי קשתות . BC הקשת המתאימה לזווית ההיקפית BACהיא הקשת שאינה מכילה את קדקוד הזווית ההיקפית ). (A משפט :זווית היקפית במעגל שווה למחצית הזווית המרכזית הנשענת על אותה הק שת . בשלושת הציורים שלפניך הנקודה Oהיא מרכז המעגל . הזווית AOBהיא זווית מרכזית במעגל הנשענת על הקשת , AB והזווית ACBהיא זווית היקפית הנשענת על אותה הקשת , AB ולכן מתקיים . ACB 1 AOB : 2 C C B O O O A B A 19 C B A תרגילים .1 מצא את הזווית בכל אחד מהתרגילים הבאים ) – Oמרכז המעגל ( : א. ב. ג. 50 O O 130 ד. ה. O 80 60 210 O O ח. 125 ט. 110 O O תשובה : O ו. ז. 32 62 86 O 94 א . 65 .ב . 100 .ג . 64 .ד . 40 .ה . 30 . ו . 75 . ז . 110 . ח . 31 .ט . 30 . .2 משולש ABCחסום במעגל שמרכזו . O A נתון . OBC 26 : א .חשב את הזווית . BOC O ב .חשב את הזווית . BAC תשובה : .3 C א . 128 .ב . 64 . משולש שווה -שוקיים (AB AC) ABC חסום במעגל שמרכזו . O נתון . ABC 65 : א .חשב את זוויות המשולש . AOC ב .חשב את זוויות המשולש . BOC תשובה : א , 25 , 25 . . 130 A O C ב . 100 , 40 , 40 . 20 B B .4 המשולש ABCחסום במעגל שמרכזו בנקודה . O נתון . BAO 30 , AOC 140 :חשב את זוויותיו של המשולש . תשובה : .5 . 60 , 70 , 50 ABהוא מיתר במעגל שמרכזו בנקודה . O נתון . AB OB : C O Cהיא נקודה על המעגל ) ראה ציור (. מהו גודל הזווית ? ACB תשובה : .6 . 30 B A המי תר ACוהרדיוס OBשל מעגל שמרכזו Oנפגשים בנקודה . E נתון . AEO 75 , C : O א .הבע באמצעות את הזווית . AOB A E ב .נתון גם . AO BC :חשב את . C תשובה : B א . 2 .ב . 35 . A .7 הנקודות B , Aו C -נמצאות על מעגל שמרכזו בנקודה . O נתון ) BOC 200 :ראה ציור ( . C חשב את הזווית . BAC תשובה : 200 O B . 160 B .8 הנקודות B , Aו C -נמצאות על מעגל C A שמרכזו בנקודה . Oנתון . AOC : א .הבע באמצעות את הזווית . ABC O ב .נתון . ABC AOC :מצא את . תשובה : א . 180 .ב . 120 . 2 C .9 המשולש ABCחסום במעגל . נתון . BAC 30 : B הוכח :אורך הצל ע BCשווה לרדיוס המעגל . 21 A A . 10 הנקודות B , Aו C -נמצאות על מעגל שמרכזו בנקודה . O נתון ABO ACO 58 : חשב את הזווית . BAC תשובה : O C B . 58 . 11 הנקודה Pהיא אמצע המיתר AB במעגל שמרכזו בנקודה . O הקטע BMמאונך לקטע . AM הוכח . BCM AOP : . 12 הנקודות B , Aו C -נמצאות על מעגל O P A B M שמרכזו בנקודה . Oהנקודה D נמצאת על המיתר . BC נתון . OD BC : הוכח . BAC BOD : C A O C B D זווית היקפית שווה חצי מה קשת שעליה היא נשענת שים לב ! ) ( 1הגדרנו כי זווית מרכזית שווה במעלות לקשת שעליה הי א נשענת . ) ( 2ראינו כי זווית היקפית שווה למחצית הזווית המרכזית הנשענת על אותה הקשת . מ ( 1 ) -ו ( 2 ) -ניתן להסיק : זווית היקפית שווה למחצית הקשת שעליה היא נשענת . למשל ,אם 64 , ACאז הזווית , ABC שהיא הזווית ההי קפית הנשענת על הקשת , AC שווה ל64 - 2 ,כלומר . ABC 32 22 A 64 C 32 B משפט :במעגל ,לזוויות היקפיות שוות מתאימות קשתות שוות . F A אם נתון , BAC FDE : FE אז מתקיים : ) BCקשתות שוות ( E B C D משפט :לקשתות שוות במעגל מתאימות זוויות היקפיות שוות . FE אם , BCאז מתקיים . BAC FDE : . 13 הנקודות B , Aו C -נמצאות על מעגל . A B נתון . ACB 36 : א .מהו גודל הקשת ABבמע לות ? 36 ב .איזה חלק מהווה הקשת ABמהיקף המעגל ? א . 72 . תשובה : . 14 C ב . 15 . A במעגל המתואר משמאל ,הקשת AB מהווה 3מהיקף המעגל . 10 א .מהו גודלה של הקשת ABבמעלות ? ב .חשב את הזווית . ACB B C א . 108 .ב . 54 . תשובה : B . 15 AC , ABו AD -הם מיתרים במעגל . A C נתון . BAD 80 , BAC 20 : א .חשב את גודל הקשת DCבמעל ות . 3 BC ב .הוכח : . DC א . 120 . תשובה : . 16 D AC , ABו AD -הם מיתרים במעגל . נתון , BAD 70 :והקשת DC גדולה ב 60 -מהקשת . BC חשב את הזווית . DAC תשובה : B A C . 50 D 23 . 17 A המשולש ABCהוא משולש שווה שוקיים ) (AB ACהחסום במעגל . 2 AC נתון : . BC 3 חשב את זוויותיו של המשולש . תשובה : C . 67.5 , 67.5 , 45 B B . 18 A ABו CD -הם מיתרים במעגל . נתון . AB CD : BC הוכח : . AD D C B . 19 ABו CD -הם מיתרים במעגל . C A BC נתון : . AD הוכח . AB DC : D . 20 B המשולש ABCחסום במעגל שמרכזו בנקודה . Oהנקודה Dנמצאת A על הקשת BCכך ש. OD BC - D O הוכח AD :חוצה את הזווית . BAC C A . 21 המשולש ABCחסום במעגל שמרכזו בנקודה D . Oהיא נקודה על הקשת , BC כך ש AD -חוצה את הזווית . BAC הוכח . OD BC : O C B D 24 A . 22 הנקודות C , B , Aו D -נמצאות על מעגל שמרכזו בנקודה BD . Oו OC -נחתכים O בנקודה . Eנתון . BAD COB : א .הוכח . BD OC : ב .נסמן – F :אמצע . OB D B הוכח . EF OF : . 23 C A הנקודות B , Aו C -נמצאות על מעגל שמרכזו בנקודה . Oהנקודה D נמצאת באמצע המיתר . BC נתון . OD 1 OB : 2 חשב את הזווית . A תשובה : . 24 O C D . 60 C המשולש ABCחסום במעגל שמרכזו בנקודה . O נתון . BAC BOD : E B 2 BD הוכח : . BC . 25 B A O D ACו BD -הם שני קטרים המאונכים A זה לזה במעגל שמרכזו . O E הנקודה Eנמצאת על הקשת . AB א .חשב את הזווי ו ת BECו. DEC - ב .נתון . EBD 62 : O D B חשב את הזווית . ACE תשובה : א . 45 , 45 . C ב . 17 . E . 26 ABו CD -הם שני מיתרים B המקבילים זה לזה . נתון . AF FE : C BC הוכח : . BE 25 F A D . 27 A הנקודות C , B , Aו D -נמצאות D על מעגל שמרכזו בנקודה . O נתון . B 106 : B O חשב את הזווית . ADC תשובה : . 74 C A . 28 המיתרים ACו BD -נפגשים B בנקודה . E E DC נתון 180 : . AB הוכח . AC BD : . 29 C D C ABהוא קוטר במעגל שמרכזו . O E D Cהיא נקודה על המעגל כך ש. OC AB - Eהיא נ קודה על המשך המיתר . AD B O חשב את הזווית . CDE תשובה : A . 45 D . 30 המשולש ABCחסום במעגל C A שמרכזו בנקודה . O Dנקודה על המשך המיתר . AB O נתון . CBO ACD : B הוכח . AD DC : C . 31 המי תרים ABו CD -של מעגל O נחתכים בנקודה . E נתון . ADC OBD : הוכח . AB DC : . 32 הוכח את המשפט :במעגל ,ז ווית היקפית שווה למחצית הזווית המרכזית הנשענת על אותה הקשת . A B O D 26 . 33 הוכח את המשפט :במעגל ,לזוויות היקפיות שוות מתאימות קשתות שוות . . 34 הוכח את המשפט :במעגל ,לקשתות שוות מתאימות זוויות היקפיות שוות . זוויות היקפיות הנשענות על אותה קשת משפט :כל הזוויות ההיקפיות הנשענות על אותה הקשת שוות זו לזו . למשל ,בציור נתונות 3זוויות B היקפיות – EBD , EADו, ECD - וכולן נשענות על אותה הקשת , ED A C E ולכן הן שוות זו לזו . D דוגמה : המיתרים ACו BD -נחתכים A B בנקודה . Eנתון . AD BC : הוכח . AE BE : E פתרון : נפתור שאלה זו בשתי דרכים : דרך א ' C D – נוכיח . AED BEC ) ) AD BC ( 1נתון (. )(2 )(3 CBD DAC ADB BCA שתי זוויות היקפיות הנשענות על אותה הקשת שוות זו לזו . לפי טענות ) ( 2 ) , ( 1ו ( 3 ) -נקבל ) AED BEC :לפי משפט חפיפה ז .צ .ז (. מהחפיפה נקבל ) AE BEבמשולשים חו פפים ,הצלעות ה מתאימות שוות זו לזו ( . BC דרך ב ' – על פי הנתון AD BCולכן ) ADלמיתרים שווים מתאימות קשתות שוות (. הזווית ABDהיא זווית היקפית הנשענת על הקשת . AD הזו וית BACהיא זווית היקפית הנשענת על הקשת . BC מכיוון שהקשתות ADו BC -שוות זו לזו ,הרי הזוויות ההיקפיות המתאימות לקשתות אלה אף הן שוות . במילים אחרות ,נקבל . ABD BAC נתבונן במשולש . ABEקיבלנו ABE BAEולכן AE BE ) במשולש ,מול זוויות שוות מונחות צלעות שוות (. 27 . 35 מצא את הזוויות ו -בכל אחד מהתרגילים הבאים : א. ג. ב. 57 52 41 60 ו. ה. 31 46 תשובה : א . 62 , 57 . ד . 60 , 60 . 116 ב . 52 , 41 . ה . 46 , 31 . 96 ג . 50 , 70 . ו . 26 , 58 . A ה משולש ABCחסום במעגל .המיתר AD חוצה את הזווית ) BACראה ציור (. נתון . ACB 50 , BAC 70 : א .חשב את הזווית . BCD ב .חשב את הזווית . ADC תשובה : 70 50 62 ד. . 36 C B D א . 35 .ב . 60 . B . 37 A המיתרים ACו BD -נפגשים בנקודה . Eנתון . DE CE : E א .הוכח . AB DC : ב .הוכח . AE BE : . 38 C D B המיתרים ACו BD -נפגשים בנקודה . Eנתון . AD BC : A E א .הוכח . AED BEC : C ב .הוכח . AC BD : 28 D A . 39 הנקודות C , B , Aו D -נמצאות על מעגל .נתון . BAC DBC : הוכח AC :חוצה את הזווית . BAD B D C B . 40 A הנקודות C , B , Aו D -נמצאות על מעגל .נתון . DAC BDC : א .הוכח . BC DC : ב .הוכח AC :חוצה את הזווית . BAD . 41 C D A B C , B , Aו D -הן נקודות ה נמצאות על מעגל . נתון . AD DC : הוכח . ABC 2DAC : D C . 42 A המיתרים ACו BD -נפגשים בנקודה . Eנתון , AD DC : D . BCD 3 DAC E הוכח :המשולש ABC הוא שווה -שוקיים . . 43 B C הנקודות C , B , Aו D -נמצאות על מעגל שמרכזו בנקודה . O B C נתון . ODA 27 : O א .חשב את הזווית . ABD D ב .חשב את הזווית . CBD תשובה : א . 63 . ב . 27 . 29 A . 44 A המשולש ABCהוא משולש שווה -שוקי ים ) (AB ACהחסום במעגל שמרכזו . O נקודה Dנמצאת על הקשת BC כך ש AD -הוא קוטר במעגל . א .הוכח . OBD ACB : ב .הוכח . AD BC : . 45 O C B E D A המשולש ABCהוא משולש שווה -שוקיים ) (AB ACהחסום במעגל . E הנקודה Eנמצאת באמצע הקשת ) ACראה ציור (. הוכח . AC CD : . 46 D C המיתרים ACו BD -נחתכים בנקודה . E B A B הנקודה Fנמצאת על המשך המיתר . DC E נתון . BD BF , AB DC : הוכח :המרובע ABFCהוא מקבילית . . 47 F D C B הנקודות C , B , Aו D -נמצאות על מעגל . המיתרים ACו BD -נחתכים בנקודה . E המשולש ABEהוא שווה -צלעות . א .הוכח . ADE BCE : E C A ב .הוכח . ADC BCD : D . 48 A הנקודות C , B , Aו E -נמצאות על מעגל כך ש BE -חוצה את הזווית . ABC E D ACו BE -נפגשים בנקודה . D הוכח . ECB ADB : C 30 B C . 49 המשולש ABCחסום במעגל שמרכזו . O הרדיוס OCמאונך למיתר . AB E B המיתרים ABו DC -נפגשים בנקודה . E A O הוכח . DAC BED : D D . 50 המיתרים ACו BD -נחתכים בנקודה F ומאונכים זה לזה .הנקודה Eנמצאת על המיתר DCכך ש. AE DC - BDו AE -נחתכים בנקודה . G הוכח . BF GF : . 51 המשולש ABCהוא משולש שווה -צלעות E G F C A B A החסום במעגל .הנקודות Dו E -נמצאות D DC על היקף המעגל כך ש - . AE E BDו CE -נחתכים בנקודה . F F הוכח :המשולש CDF C הוא שווה -צלעות . . 52 B A משולש שווה -שוקיים (AB AC) ABC חסום במעגל .חוצי זוויות הבסיס במשולש זה נפגשים בנקודה , M K L וחותכים את המעגל בנקודות Kו. L - M LA AK KC א .הוכח : . BL C ב .הוכח :המרובע AKMLהוא מעוין . . 53 B A המיתרים ACו BE -נחתכים בנקודה . D נקודה Eהיא אמצע הקשת . AC E D נתון . AB BE : א .הוכח . AD CE : ב .הוכח . AD AE : C 31 B E . 54 המשכי המיתרים ABוDC - נפגשים בנקודה . E נתון . AB DC : הוכח . AE DE : . 55 הוכח את המשפט :כל הזוויות ההיקפיות הנשענות על אותה קשת שוות זו לזו . B C A D משפט :במעגל ,לז וויות היקפיות שוות מתאימים מיתרים שווים . A F אם נתון , BAC FDE : אז מתקיים . BC FE : E B C D משפט :למיתרים שווים במעגל מתאימות זוויות היקפיות שוות . אם , BC FEאז מתקיים . BAC FDE : . 56 B המרובע ABCDהוא טרפז )(AB DC A החסום במעגל . הוכח :הטרפז ABCD הוא שווה שוקיים . C הדרכה :העבר אלכסון . BD . 57 D A המשולשים ABCוADE - חסומים במעגל ) ראה ציור (. E B נתון . AB AE , BC DE : הוכח :המשולש ADC הוא שווה -שוקיים . D 32 C A . 58 הנקודות A , B , D , Eו F -נמצאות על מעגל . נתון . ABC ACB , BAD EAF : א .הוכח . ABD ACF ב .הוכח . FE CF F C B E . 59 D C , B , Aו D -הן נקודות על מעגל , כמתואר בציור E .היא נקודה על , AD A כך ש . AE DC -נתון . AB BC : E א .הוכח . ABE CBD : C ב .המשך הקטע BEחותך את המעגל בנקודה . Mהוכח . AM DC : . 60 B D A המשולש ABCחסום במ עגל . Mהיא נקודה על הקשת BCו Q -היא נקודה על המיתר , BCכך ש, BQ CQ - Q C . MQ BCהוכח . BAM CAM : B P M A . 61 המשולש ABCחסום במעגל . הנקודה Dהיא אמצע המיתר . BC נתון . DE BC : הוכח . BAE CAE : D C B E . 62 המשולש ABCהוא משולש שווה -שוקיים A ) (AB ACהחסום במעגל . המרובע BCDEהוא מלבן . D נתון . AD DC : G F E א .חשב את הזווית . ABC ב .הוכח . AE BD : C תשובה : א . 60 . 33 B . 63 ABCהוא משולש שווה -צלעות החסום במעגל . Pו N -הן נקודות על המעגל BN .וAP - נפגשים בנקודה . Sנתון . PC BN : א .הוכח :המשולש BSPהוא שווה -צלעות . ב .הוכח . AN PC : ג .הוכח :המרובע SPCNהוא מקבילית . . 64 הוכח את A N S C B P המשפט :במעגל ,זוויות היקפיות שוות נשענות על מיתרים שווים . זווית היקפית הנשענת על קוטר משפט :זווית היקפית הנשענת על קוטר היא זווית ישרה . B אם ACהוא קוטר במעגל , ונקודה Bנמצאת על המעגל , A C אז מתקיים . ABC 90 : משפט :אם זוו ית היקפית שווה ל , 90 -אז היא נשענת על קוטר . אם ACהוא מיתר במעגל , B ונקודה Bנמצאת על המעגל כך ש , ABC 90 -אזי AC C A הוא קוטר במעגל . . 65 מצא את הזווי ו ת ו -בכל אחד מהתרגילים הבאים ) - Oמרכז המעגל ( : ב. א. 34 O O תשובה : א . 56 , 90 . 64 ב . 90 , 26 . 34 . 66 המשולש ABCחסום במעגל שמרכזו O כך ש BC -הוא קוטר ב מעגל . Dהיא נקודה על הרדיוס . OB נ תון . ACB 25 , AD AB : חשב את הזווית . DAC תשובה : . 67 A B C O D . 40 B ACהוא קוטר ו BD -הוא מיתר במעגל שמרכזו . O נתון . ACB 58 : C O חשב את הזווית . BDC תשובה : . 68 A . 32 D A ACהוא קוטר ו BD -הוא מיתר במעגל שמרכזו בנקודה . Oנתון . BDC 26 : א .חשב את הזווית . ACB O ב .חשב את הזווית . AOB תשובה : . 69 א . 64 . D ב . 128 . C ABהוא ק וטר במעגל שמרכזו בנקודה . O הנקודה Dנמצאת על הרדיוס OA והנקודה Cנמצאת על המעגל . נתון , BC DC :והזווית ACDקטנה ב 32 -מהזווית . ABCחשב את הזווית . ADC תשובה : B . 122 35 C B D O A . 70 המשולש ABCחסום בחצי מעגל כך שAB - E ה וא קוטר של חצי המעגל .מנקודה Dהנמצאת על הקוטר ABמעלים אנך החותך את המשך המיתר BCבנקודה . Eנתון . AD CE : C א .הוכח . AC DE : ב .הוכח . AB BE : ג .נתון 6 :ס " מ 4 , CE ס " מ . BC A D B חשב את רדיוס המעגל . תשובה : ג 5 .ס"מ. . 71 המשולש ABCחסום במעגל שמרכזו O כך שהצלע BCהיא קוטר במעגל . הנקודות Dו E -הן אמצעי הצלעות ABו AC -בהתאמה . הוכח :המרובע ADOEהוא מלבן . . 72 הנקודות C , B , Aו D -נמצאות על מעגל שמרכזו בנקודה . O A E C A B O נתון . AB DC : הוכח :המרובע ABCDהוא מלבן . D C המשולש ABCחסום במעגל שמרכזו . O A הנקודה Dנמצאת על המיתר . AC נתון . OD AC : D C א .הוכח . OD AB : ב .הוכח . OD 1 AB : 2 . 74 B O BDהוא קוטר במעגל . . 73 D B O A ABהוא קוטר במעגל שמרכזו . O הנקודות Dו C -נמצאות על הקשת . ABנתון . OD BC : D א .הוכח . AE CE : E O ב .הנקודה Fהיא אמצע הרדיוס . AO הוכח AF EF : C 36 B . 75 E הנקודות C , B , Aו D -נמצאות על מעגל AD .הוא קוטר במעגל . C ה נקודה Eנמצאת על המשך B F המיתר ACכך ש. DE AD - ACו BD -נפגשים בנקודה . F D A נתון . CE CF :הו כח . BAC DAC : . 76 ACהוא קוטר במעגל שמרכזו בנקודה . O B הנקודה Bנמצאת על המעגל . הקטע ABשווה לרדיוס המעגל . C א .חשב את הזווית . C O ב .חשב את הזווית . BDC תשובה : . 77 א . 30 . A ב . 60 . D ACהוא קוטר במעגל B .היא נקודה B על המעגל ו D -היא נקודה על הקוטר . AC E נתון . ABD C : C א .הוכח . BD AC : A D ב .הנקודה Eהיא אמצע המיתר . BC הוכח :המשולש DCEהוא שווה -שוקיים . . 78 ABהוא קוטר במעגל שמרכזו . O B המשכי המיתרים ADו BC -נפגשים C בנקודה . Eנתון . AD DE : O א .הוכח . AB BE : ב .הוכח . DO BE : . 79 E ABהוא קוטר במעגל שמרכזו בנקודה . O נקודה Dנמצאת על המשך המיתר AC כך ש. ABC DBC - א .הוכח . AC DC : ב .נקודה Eנמצאת באמצע הקטע . BD הוכח . CE AB : 37 D A D C B O A . 80 A המשולש ABCחסום במעגל AP .הוא קוטר במעגל BE .הוא גובה לצלע ACוCD - הוא גובה לצלע BE . ABו CD -נחתכים בנקודה Hשעל הקוטר . AP א .הוכח . DC BP : ב .הוכח שהמרובע BHCPהוא מקבילית . D E H C B P A . 81 המשולש ABCהוא ישר זווית ) . (ABC 90 הנקודות D , C , Bו E -נמצאות על מעגל שמרכזו . Oנתון . OD AB : D א .הוכח . AD CD : E ב .הוכח . AE 2EO : ג .הוכח . BD 1 AC : 2 O C . 82 ABהוא קוטר של מעגל . B A E הנקודות D , Cו E -נמצאות DC על המע גל כך ש - . AE C הוכח . DE BC : D B . 83 E המשולש ABCחסום במעגל . הזוויות Aו B -הן חדות . A D CDהוא קוטר במעגל . נתון . CE AB : B א .הוכח . ED AB : ב .הוכח . ACE BCD : 38 C A . 84 הצלע BCשבמשולש ABCהיא קוטר במעגל שמרכזו . Mהצלעות ABוAC - חותכות את המעגל בנקודות Eו. D - BDו CE -נפגשים בנקודה . K נתון . EKB 60 : א .הוכח :המשולש EMDהוא שווה -צלעות . ב .הוכח . CK CD : . 85 D E K C B M A המשולש ABCחסום במעגל שמרכזו בנקודה . Oנתון . ACB 68 : D המשך הרדיוס OBחותך את AC O בנקודה . Dחשב את הזווית . ABD תשובה : . 86 C . 22 B A במעגל שמרכזו בנקודה Oחסום משולש שווה -שוקיים . (AB AC) ABC הקוטר העובר דרך קדקוד Bחותך את D הצלע ACבנקודה . Dנתון . BAC : O הבע באמצעות את הזווית . BDC תשובה : C . 11 2 . 87 ABהוא קוטר במעגל . CEהוא מיתר במעגל .הנקודה D נמצאת על המ יתר AE כך ש. CD AB - הוכח . ACD AEC : . 88 הנקודות B , Aו C -נמצאות על מעגל . B C A B D E B נתון . C 55 , A 35 : A הוכח AC :הוא קוטר במעגל . 39 C A . 89 המיתרים ACו BD -נפגשים בנקודה . E נתון . CDB 34 , ACB 56 : א .הוכח AC :הוא קוטר במעגל . D E ב .הוכח . AD DC : B C . 90 A B הנקודות B , Aו C -נמצאות על מעגל . הנקודה Dנמצאת על המיתר . AC D נתון . A DBC , BD AC : הוכח AC :הוא קוטר במעגל . C . 91 במעגל שבשרטוט חסום משולש . ABC A גובה המשולש ADיוצר זווית עם הצלע , ABואילו המיתר AE יוצר זווית עם הצלע . AC הוכח שהקטע AEהוא קוטר במעג ל . D C B E . 92 המשולש ABCהוא ישר -זווית ) . (ABC 90 הנקודות D , B , Aו E -נמצאות A על מעגל שמרכזו . O א .הסבר מדוע הקטע AD עובר דרך נקודה . O ב .נתון . AD DC :הוכח . AE CE : E C O D B A . 93 הנקודות E , D , C , B , AוF - F הוכח :המרובע ACDFהוא מלבן . E נמצאות על היקפו של מעגל . B נתון . CE EF , AB BD : C D 40 . 94 המלבן ABCDחסום במעגל . A B Eהיא נקודה על הקשת DC כך ש. ABD EBD - א .הוכח . AB BE : ב .הוכח . DE BC : C D F E . 95 מלבן ABCDחסום במעגל . הנקודה Eנמצאת על הקשת AB כך ש ) DE DC -ראה ציור (. א .הוכח . EB BC : ב .הוכח . EDB DBA : C D B A E . 96 הוכח את המשפט :זווית היקפית הנשענת על קוטר היא זווית ישרה . . 97 הוכח את המשפט :זווית היקפית בת 90נשענת על קוטר . זווית פנימית וזווית חיצונית זווית פנימית במעגל זווית הנוצרת בין שני מיתרים הנחתכים בתוך מעגל נקראת זווית פנימית במעגל . B למש ל ,המיתרים ACוBD - C נחתכים בנקודה . E E A הזווית BECנקראת זווית D פנימית במעגל וכך גם נקראות הזוויות AEB , AEDו. DEC - משפט :זווית פנימית במעגל שווה למחצית סכום שתי הקשתות הכלואות בין שוקי הזווית ובין המשכיהן . AD BC אם BECהיא זווית פנימית במעגל ,אזי מתקיים : 2 41 . BEC זווית חיצונית למעגל זווית הנוצר ת בין המשכי שני מיתרים הנפגשים מחוץ למעגל נקראת זווית חיצונית למעגל . A למשל ,המשכי המיתרים ABוDC - B נפגשים בנקודה . E E C הזווית AEDהיא זווית חיצונית למעגל . D משפט :זווית חיצונית למעגל שווה למחצית הפרש שתי הקשתות הכלואות בין שוקי הזווית ובין המשכיהן . BC AD אם AECהיא זווית חיצונית למעגל ,אזי מתקיים : 2 . AED הערה :כאשר אומרים " הפרש שתי הקשתות " ,הכוונה היא להפרש בין הקשת הרחוקה מקדקוד הזווית החיצונית ) (ADלבין הקשת הקרובה לקדקוד הזווית החיצונית ). (BC תרגילים . 98 המיתרים ACו BD -נחתכים בנקודה . E 107 , AB נ תון 69 : . DC חשב את הזווית . DEC E . 88 תשובה : . 99 B A C D חשב את הזווית בכל אחד מהשרטוטים הבאים ) - Oמרכז המ עגל ( א. ג. ב. 52 80 O א . 47 . ב . 110 . ג . 82 . 42 24 42 תשובה : 116 70 A . 100המיתרים ACו BD -נפגשים B בנקודה . E נתון . AB DC 180 : הוכח . AC BD : E C D A . 101המשולש ABCהוא משולש שווה -צלעות החסום במעגל .הנקודות Dו E -הן אמצעי G E F D הקשתות ABו AC -בהתאמה . א .הוכח :המשולש AFGהוא שווה צלעות . ב .הוכח . DF FG GE : C B A . 102הנקודות E , D , C , B , AוF - נמצאות על מעגל . G B BC CD DE EF FA נתון : . AB H א .הוכח :המשולש . ACE C הוא שווה -צלעות . E ב .הוכח :המשולש BGHהוא שווה -צלעות . . 103המיתרים ACו BD -נחתכים בנקודה . E נתון 96 : . BEC 86 , BC D A B E חשב את גודל הקשת . AD תשובה : F D . 76 C 43 A . 104 ACו BD -הם מיתרים במעגל . נתון . AC BD : CD BC AD א .הוכח : . AB B ב .הוכח . ADB DBC 90 : D C D . 105הנ קודות D , C , B , AוE - C נמצאות על מעגל . BC נתון : . AF AG , AB F G B DE הוכח : . AE E A A . 106הנקודות C , B , Aו E -נמצאות על מעגל . E המיתרים ACו BE -נפגשים בנקודה . D D נתון . BCE CDE : הוכח BE :חוצה את הזווית . ABC B C A . 107מנקודה Aיוצאים למעגל שני חותכים : חותך ABCוחותך . ADE D 130 , BD נתון 54 : . CE B חשב את הזווית . A תשובה : C . 38 E A . 108 ABהוא קוטר של מעגל שמרכזו . M M ה משכי המיתרים BDו AE -נפגשים בנקודה . Cנתון 52 : . DE E חשב את הזווית . C תשובה : C . 69 44 D B . 109מנקודה Aיוצאים למעגל חותך ABC וחותך . ADEנתון 112 , A 35 : . CE C א .חשב את גודל הקשת הקטנה . BD B ב .חשב את הזווית הפנימית . CFE תשובה : . 110 א . 42 . F A D ב . 77 . E E ABהוא קוטר של מעגל שמרכזו בנקודה . O המשכי המיתרים ADוBC - נפגשים בנקודה . E נתון . DOC 56 : חשב את הזווית . E תשובה : C B A O . 62 . 111מנקודה Pיוצאים אל מעגל חותך PAB וחותך . PCD המיתרים ABו EF -נחתכים בנקודה . Q , AC נתון , P : . BQF , DF חשב את ABבמעלות . D E B A Q P C F D תשובה : . 112מנקודה Aיוצאים למעגל :חותך ABCוחותך . ADE CDו BE -נחתכים בנקודה . F C נתון . BFD 60 , A 18 : B א .חשב את הקשת . BD F ב .חשב את הזווית . CDE תשובה : א . 42 . D A E ב . 39 . . 113המשכי המיתרים CBו ED -של מעגל C נחתכים בנקודה . A המיתרים BEו CD -נחתכים בנקודה . F נתון A 12 BFD : 3 BD הוכח : . CE 45 B F E D A C . 114מנקודה Aיוצאים למעגל B חותך ABCוחותך . ADE Fנקודה על הקשת . DE E הוכח . A CFE : D F . 115 הוכח את המשפט :זווית פנימית במעגל שווה למחצית סכום שתי ה קשתות הכלואות בין שוקי הזווית ובין המשכיהן . . 116 הוכח את המשפט :זווית חיצונית במעגל שווה למחצ ית הפרש שתי הקשתות הכלואות בין שוקי הזווית ובין המשכיהן . 46 A
© Copyright 2024