‫מעגל – שטחים ומשפט פיתגורס‬ ‫‪C‬‬ ‫‪.1‬‬ ‫המשולש ‪ ABC‬חסום במעגל שמרכזו ‪O‬‬ ‫כך ש‪ AB -‬הוא קוטר במעגל ‪.‬‬ ‫הוכח ‪. SAOC  SBOC :‬‬ ‫‪.2‬‬ ‫המשולש ‪ ABC‬חסום במעגל שמ רכזו ‪O‬‬ ‫כך ש‪ BC -‬הוא קוטר המעגל ‪.‬‬ ‫‪ D‬היא נקודה על הרדיוס ‪. OB‬‬ ‫נתון ‪. BD  2  OD :‬‬ ‫הוכח ‪. SADC  2  SABC :‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪.3‬‬ ‫‪ AC‬הוא קוטר ו‪ BD -‬הוא מיתר‬ ‫‪B‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪O‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪O‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪B‬‬ ‫במעגל שמרכזו ‪. O‬‬ ‫נתון ‪. BD  AC :‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪O‬‬ ‫הוכח ‪. SABO  SDOC :‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪.4‬‬ ‫‪ AC‬הוא קוטר במעגל שמרכזו ‪. O‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪ BD‬משיק למעגל בנקודה ‪. B‬‬ ‫נתון ‪. D  30 :‬‬ ‫‪D‬‬ ‫א ‪ .‬הוכח ‪. AD  3  AO :‬‬ ‫ב ‪ .‬הוכח ‪. SAOB  1 SBOD :‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪.5‬‬ ‫הנקודות ‪ B , A‬ו‪ D -‬נמצאות על מעגל‬ ‫שמרכזו ‪ O‬כך ש‪ AD -‬הוא קוטר במעגל ‪.‬‬ ‫הנקודה ‪ C‬נמצאת על המשך המיתר ‪AB‬‬ ‫כך ש‪ CD -‬משי ק למעגל בנקודה ‪. D‬‬ ‫נתון ‪. AB  BC :‬‬ ‫א ‪ .‬הוכח ‪ :‬המרובע ‪ CDOB‬הוא טרפז ‪.‬‬ ‫ב ‪ .‬הוכח ‪ :‬שטח הטרפז ‪ CDOB‬גדול‬ ‫פי ‪ 3‬משטח המשולש ‪. AOB‬‬ ‫‪98‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪O‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪O‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪.6‬‬ ‫‪ AB‬הוא מיתר במעגל שמרכזו‬ ‫בנקודה ‪ . O‬נתון ‪ 16 :‬ס " מ ‪, AB ‬‬ ‫‪O‬‬ ‫‪ 10‬ס " מ ‪. OD  AB , OA ‬‬ ‫חשב את אורך הקטע ‪. OD‬‬ ‫תשובה ‪:‬‬ ‫‪.7‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪ 6‬ס"מ‪.‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪P‬‬ ‫לפניך חצי עיגול שרדיוסו ‪ 6‬ס " מ ‪,‬‬ ‫ומרכזו בנקודה ‪. O‬‬ ‫נתון ‪ 8 :‬ס " מ ‪. PQ  AB , AQ ‬‬ ‫חשב את שטח המשולש ‪. AOP‬‬ ‫תשובה ‪:‬‬ ‫‪.8‬‬ ‫‪Q‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪O‬‬ ‫‪ 3 32‬סמ " ר ‪.‬‬ ‫‪A‬‬ ‫משולש ‪ ABC‬חסום במעגל שרדיוסו ‪ 5‬ס " מ ‪.‬‬ ‫‪ BC‬הוא קוטר במעגל ‪ .‬הנקודה ‪ D‬נמצאת‬ ‫על המשך המיתר ‪. AC‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪B‬‬ ‫נתון ‪ 8 :‬ס " מ ‪. AB  DC , AC ‬‬ ‫‪D‬‬ ‫חשב את אורך הקטע ‪. BD‬‬ ‫תשובה ‪232 :‬‬ ‫‪.9‬‬ ‫ס"מ‪.‬‬ ‫המשולש ‪ ABC‬הוא ישר זווית )‪. (AB  BC‬‬ ‫נתון ‪ 7 :‬ס " מ ‪ 8 , CD ‬ס " מ ‪. DB ‬‬ ‫‪A‬‬ ‫רדיוס המעגל הוא ‪ 5‬ס " מ ‪.‬‬ ‫‪E‬‬ ‫א ‪ .‬חשב את אורך המיתר ‪. AB‬‬ ‫ב ‪ .‬חשב את היקף המשולש ‪. ADC‬‬ ‫תשובה ‪:‬‬ ‫‪. 10‬‬ ‫א‪ 6 .‬ס"מ‪.‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪B‬‬ ‫ב ‪ 33.155 .‬ס " מ ‪.‬‬ ‫משולש חד זוו ית ‪ ABC‬חסום במעגל ‪. O‬‬ ‫‪A‬‬ ‫אורך הצלע ‪ AC‬הוא ‪ 21‬ס " מ ומרחקה‬ ‫ממרכז המעגל הוא ‪ 8‬ס " מ ‪ .‬מרחק הצלע‬ ‫‪D‬‬ ‫‪ BC‬ממרכז המעגל הו א ‪ 4.5‬ס " מ ‪.‬‬ ‫א ‪ .‬חשב את רדיוס המעגל ‪.‬‬ ‫א ‪ 13.2 .‬ס " מ ‪.‬‬ ‫‪O‬‬ ‫‪C‬‬ ‫ב ‪ .‬חשב את אורך הצלע ‪. BC‬‬ ‫תשובה ‪:‬‬ ‫‪C‬‬ ‫ב ‪ 24.82 .‬ס " מ ‪.‬‬ ‫‪99‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪. 11‬‬ ‫‪ AB‬הוא מיתר במעגל ‪ . O‬המשכי המיתר ‪AB‬‬ ‫והרדיוס ‪ OC‬נפגשים בנקודה ‪. D‬‬ ‫נתון ‪ 16 :‬ס " מ ‪ 10 , AB ‬ס " מ ‪. BD  OC ‬‬ ‫א ‪ .‬חשב את מרחק הנקודה ‪O‬‬ ‫מהמיתר ‪. AB‬‬ ‫ב ‪ .‬חשב את אורך הקטע ‪. CD‬‬ ‫תשובה ‪:‬‬ ‫‪. 12‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪O‬‬ ‫‪C‬‬ ‫ב ‪ 8.974 .‬ס " מ ‪.‬‬ ‫‪ ABC‬הוא משולש שווה‪ -‬שוקיים )‪(AB  AC‬‬ ‫החסום במעגל שרדיוסו ‪ 13‬ס " מ ומרכזו ‪. O‬‬ ‫המשך הרדיוס ‪ AO‬חותך את הצלע ‪BC‬‬ ‫בנקודה ‪ . D‬נתון ‪ 5 :‬ס " מ ‪. OD ‬‬ ‫חשב את היקף המשולש ‪. ABC‬‬ ‫תשובה ‪:‬‬ ‫‪. 13‬‬ ‫א‪ 6 .‬ס"מ‪.‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪O‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪ 67.27‬ס " מ ‪.‬‬ ‫בחצי עיגול שקוטרו ‪ 18‬ס " מ חוסמים‬ ‫‪A‬‬ ‫‪B‬‬ ‫טרפז שווה‪ -‬שוקיים ‪. ABCD‬‬ ‫‪ BP‬הוא אנך לקוטר ‪ – O . CD‬מרכז המעגל ‪.‬‬ ‫נתון ‪ 3 :‬ס " מ ‪ 10 , OP ‬ס " מ ‪. BC ‬‬ ‫חשב את שטח הטרפז ‪.‬‬ ‫תשובה ‪:‬‬ ‫‪. 14‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪P‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪O‬‬ ‫‪ 96‬סמ " ר ‪.‬‬ ‫במעגל שרדיוסו ‪ 12‬ס " מ עובר מיתר‬ ‫‪B‬‬ ‫במקטע שנוצר חסום מלבן ‪. ABCD‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪A‬‬ ‫במרחק ‪ 2‬ס " מ מהמרכז ‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪O‬‬ ‫נתון ‪ 16 :‬ס " מ ‪. AB ‬‬ ‫‪D‬‬ ‫חשב את שטח המלבן ‪. ABCD‬‬ ‫תשובה ‪:‬‬ ‫‪. 15‬‬ ‫‪ 111.11‬סמ " ר ‪.‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪B‬‬ ‫ה טרפז ‪ (AB  DC) ABCD‬חסום במעגל‬ ‫שמרכזו בנקודה ‪ O‬ורדיוסו ‪ 10‬ס " מ ‪.‬‬ ‫נתון ‪ 12 :‬ס " מ ‪ 16 , AB ‬ס " מ ‪. DC ‬‬ ‫חשב את גובה הטרפז ‪.‬‬ ‫תשובה ‪:‬‬ ‫‪O‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪ 14‬ס " מ ‪.‬‬ ‫‪100‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪. 16‬‬ ‫‪ AB‬משיק למעגל שמרכזו בנקודה ‪. O‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪A‬‬ ‫נתון ‪ 12 :‬ס " מ ‪ 6 , AB ‬ס " מ ‪. AC ‬‬ ‫‪C‬‬ ‫חשב את רדיוס המעגל ‪.‬‬ ‫‪O‬‬ ‫תשובה ‪:‬‬ ‫‪. 17‬‬ ‫‪ 9‬ס"מ‪.‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪ BC‬הוא קוטר במעגל ‪.‬‬ ‫‪ AB‬משיק למעגל בקודה ‪. B‬‬ ‫‪D‬‬ ‫ס " מ ‪. BC ‬‬ ‫נתון ‪ 6 :‬ס " מ ‪45 , AB ‬‬ ‫חשב את אורך הקטע ‪. AD‬‬ ‫תשובה ‪:‬‬ ‫‪. 18‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪ 4‬ס"מ‪.‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪ BC‬משיק למעגל ‪ O‬בנקודה ‪. C‬‬ ‫‪ AB‬משיק למעגל בנקודה ‪. D‬‬ ‫‪E‬‬ ‫נתון ‪ 2 :‬ס " מ ‪ 6 , AE ‬ס " מ ‪. CE ‬‬ ‫‪D‬‬ ‫חשב את אורך הקטע ‪. AB‬‬ ‫תשובה ‪:‬‬ ‫‪O‬‬ ‫‪ 10‬ס " מ ‪.‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪. 19‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪ ABC‬הוא משולש שווה‪ -‬צלעות שצלעו ‪ 30‬ס " מ ‪.‬‬ ‫א ‪ .‬חשב את רדיוס המעגל החסום‬ ‫במשולש ‪. ABC‬‬ ‫ב ‪ .‬חשב את רדיוס המעגל החוסם‬ ‫את המשולש ‪. ABC‬‬ ‫תשובה ‪ :‬א ‪75 .‬‬ ‫‪. 20‬‬ ‫‪C‬‬ ‫ס " מ ‪ .‬ב ‪300 .‬‬ ‫‪B‬‬ ‫ס"מ‪.‬‬ ‫‪B‬‬ ‫המרובע ‪ ABCD‬הוא טרפז שווה‪ -‬שוקיים‬ ‫‪A‬‬ ‫)‪ (AD  BC , AB  DC‬החוסם מעגל ‪.‬‬ ‫נתון ‪ 6 :‬ס " מ ‪ 10 , AB ‬ס " מ ‪. DC ‬‬ ‫א ‪ .‬חשב את אורך השוק ‪. AD‬‬ ‫ב ‪ .‬חשב את שטח הטרפז ‪.‬‬ ‫תשובה ‪:‬‬ ‫א‪ 8 .‬ס"מ‪.‬‬ ‫ב ‪ 61.97 .‬ס מ " ר ‪.‬‬ ‫‪101‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪. 21‬‬ ‫‪A‬‬ ‫במשולש שווה‪ -‬שוקיים ‪(AB  AC) ABC‬‬ ‫נתון ‪ 39 :‬ס " מ ‪ 30 , AB ‬ס " מ ‪. BC ‬‬ ‫בתוך המשולש חסום מעגל שמרכזו ‪. O‬‬ ‫א ‪ .‬מהו אורך הקטע ‪? AE‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪O‬‬ ‫ב ‪ .‬חשב את רדיוס המעגל ‪.‬‬ ‫תשובה ‪:‬‬ ‫‪. 22‬‬ ‫א ‪ 24 .‬ס " מ ‪ .‬ב ‪ 10 .‬ס " מ ‪.‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪B‬‬ ‫בתוך משולש ‪ ABC‬ישר‪ -‬זווית‬ ‫‪C‬‬ ‫ושווה‪ -‬שוקיים )‪ (AC  BC‬חסום מעגל ‪.‬‬ ‫‪ D‬ו‪ E -‬הן נקוד ו ת השקה ‪.‬‬ ‫‪E‬‬ ‫נתון ‪ 10 :‬ס " מ ‪. BC ‬‬ ‫‪O‬‬ ‫מצא את רדיוס המעגל ‪.‬‬ ‫‪B‬‬ ‫תשובה ‪:‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪ 2.929‬ס " מ ‪.‬‬ ‫‪102‬‬ ‫‪A‬‬ ‫דמיון משולשים – תרגילים עם מעגל‬ ‫‪.1‬‬ ‫המיתרים ‪ AB‬ו‪ CD -‬נ חתכים בנקודה ‪. E‬‬ ‫‪A‬‬ ‫א ‪ .‬הוכח ‪. EBC  EDA :‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪D‬‬ ‫ב ‪ .‬נתון ‪ 4 :‬ס " מ ‪ 6 , CE ‬ס " מ ‪, BE ‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪ 3‬ס " מ ‪. AE ‬‬ ‫חשב את אורך הקטע ‪. DE‬‬ ‫תשובה ‪:‬‬ ‫‪.2‬‬ ‫ב ‪ 4.5 .‬ס " מ ‪.‬‬ ‫במעגל שלפניך המשכי המיתרים ‪ BC‬ו‪AD -‬‬ ‫נפגשים בנקודה ‪. E‬‬ ‫א ‪ .‬הוכח ‪. ACE  BDE :‬‬ ‫ב ‪ .‬נתון ‪ 12 :‬ס " מ ‪ 10 , AE ‬ס " מ ‪, BE ‬‬ ‫‪ 9‬ס " מ ‪. AC ‬‬ ‫‪E‬‬ ‫מהו אורך המיתר ‪? BD‬‬ ‫תשובה ‪:‬‬ ‫‪.3‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪C‬‬ ‫ב ‪ 7.5 .‬ס " מ ‪.‬‬ ‫‪A‬‬ ‫הנקודות ‪ C , B , A‬ו‪ E -‬נמצאות על מעגל‬ ‫כך ש‪ BE -‬חוצה את הזווית ‪. ABC‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪ AC‬ו‪ BE -‬נפגשים בנקודה ‪. D‬‬ ‫‪D‬‬ ‫א ‪ .‬הוכח ‪. EBC  ABD :‬‬ ‫ב ‪ .‬נתון ‪ 6 :‬ס " מ ‪ 8 , BC ‬ס " מ ‪, AB ‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪ 9‬ס " מ ‪ . BE ‬חשב את אורך הקטע ‪. DE‬‬ ‫תשובה ‪:‬‬ ‫‪.4‬‬ ‫‪B‬‬ ‫ב‪ 3 2 .‬ס"מ‪.‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪A‬‬ ‫הנקודות ‪ C , B , A‬ו‪ D -‬נמצאות על מעגל ‪.‬‬ ‫‪ D‬היא אמצע הקשת ‪. E  1 ABE , AC‬‬ ‫‪2‬‬ ‫א ‪ .‬הוכח ‪. ADB  ABE :‬‬ ‫‪D‬‬ ‫ב ‪ .‬נתון ‪ 4 :‬ס " מ ‪ 5 , AD ‬ס " מ ‪. DE ‬‬ ‫חשב את אורכי הקטעים ‪ AB‬ו‪. BE -‬‬ ‫תשובה ‪:‬‬ ‫ב ‪ 6 .‬ס " מ ‪ 7.5 ,‬ס " מ ‪.‬‬ ‫‪103‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪.5‬‬ ‫המיתרים ‪ AC‬ו‪ BD -‬נפגשים בנקודה ‪. P‬‬ ‫הנק ודה ‪ C‬היא אמצע הקשת ‪. BD‬‬ ‫א ‪ .‬הוכח ‪. ADC  DPC :‬‬ ‫ב ‪ .‬הוכח ‪. CP  AC  CD 2 :‬‬ ‫‪P‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪.6‬‬ ‫‪ AB‬הוא קוטר במעגל שמרכזו ‪. O‬‬ ‫‪C‬‬ ‫נתון ‪ 18 , PQ  AB :‬ס " מ ‪, AC ‬‬ ‫‪Q‬‬ ‫‪ 8‬ס " מ ‪ 10 , PB ‬ס " מ ‪. BQ ‬‬ ‫‪B‬‬ ‫חשב את רדיוס המעגל ‪.‬‬ ‫תשובה ‪:‬‬ ‫‪.7‬‬ ‫‪P‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪O‬‬ ‫‪ 15‬ס " מ ‪.‬‬ ‫‪ AB‬הוא קוטר במעגל שמרכזו ‪. O‬‬ ‫נתון ‪. OQ  AB :‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪Q‬‬ ‫א ‪ .‬הוכח ‪. OQ  BC  AO  AC :‬‬ ‫ב ‪ .‬נתון ‪ 8 :‬ס " מ ‪ 1 , BQ ‬ס " מ ‪. CQ ‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪O‬‬ ‫חשב את רדיוס המעגל ‪.‬‬ ‫תשובה ‪:‬‬ ‫‪.8‬‬ ‫‪A‬‬ ‫ב‪ 6 .‬ס"מ‪.‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪ AP‬הוא קוטר במעגל ‪.‬‬ ‫נתון ‪ 13 , AD  BC :‬ס " מ ‪, AB ‬‬ ‫‪ 12‬ס " מ ‪ 10 , AD ‬ס " מ ‪. PC ‬‬ ‫חשב את רדיוס המעגל ‪.‬‬ ‫תשובה ‪:‬‬ ‫‪.9‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪ 13‬ס " מ ‪.‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪P‬‬ ‫המשולש ‪ ABC‬חסום במעגל שמרכזו ‪. O‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪ AB‬הוא קוטר במעגל ‪ .‬נתון ‪, DE  AC :‬‬ ‫‪ 9‬ס " מ ‪ 4 , DE ‬ס " מ ‪. AD  BC , DC ‬‬ ‫א ‪ .‬חש ב את רדיוס המעגל ‪.‬‬ ‫‪O‬‬ ‫ב ‪ .‬הנקודה ‪ F‬היא אמצע הקטע ‪. AE‬‬ ‫חשב את היקף המשולש ‪. DEF‬‬ ‫תשובה ‪:‬‬ ‫א ‪ 10 .‬ס " מ ‪.‬‬ ‫ב ‪ 24 .‬ס " מ ‪.‬‬ ‫‪104‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪. 10‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪ AB‬הוא קוטר במעגל ‪ O‬שרדיוסו ‪. R‬‬ ‫נתון ‪. DC  AB , OC  BC :‬‬ ‫הבע באמצעות ‪ R‬את אורך‬ ‫‪B‬‬ ‫הקטע ‪. DC‬‬ ‫תשובה ‪R 3 :‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪. 11‬‬ ‫‪O‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫המשולש ‪ ABC‬הוא ישר‪ -‬זווית ) ‪. (ABD  90‬‬ ‫הצלע ‪ BC‬היא קוטר במעגל ‪.‬‬ ‫‪B‬‬ ‫א ‪ .‬הוכח ‪. BDE  ADB :‬‬ ‫‪A‬‬ ‫ב ‪ .‬נתון ‪ . AB  d , BD  a :‬הבע את אורך‬ ‫הקטע ‪ ED‬באמצעות ‪ a‬ו‪. d -‬‬ ‫תשובה ‪:‬‬ ‫‪. 12‬‬ ‫‪A‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫‪a2‬‬ ‫‪a 2  d2‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪ BC‬הוא קוטר במעגל שמרכזו ‪. O‬‬ ‫‪A‬‬ ‫נתון ‪ 8 , AQ  PC :‬ס " מ ‪, AQ ‬‬ ‫‪ 12‬ס " מ ‪ 16 , AC ‬ס " מ ‪. AP ‬‬ ‫‪Q‬‬ ‫‪C‬‬ ‫א ‪ .‬חשב את רדיוס המעגל ‪.‬‬ ‫‪P‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪O‬‬ ‫ב ‪ .‬מהו גודל הזוו ית ‪? ABC‬‬ ‫תשובה ‪:‬‬ ‫‪. 13‬‬ ‫א ‪ 12 .‬ס " מ ‪.‬‬ ‫ב ‪. 30 .‬‬ ‫הנקודות ‪ C , B , A‬ו‪ D -‬נמצאות‬ ‫‪B‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪E‬‬ ‫על מעגל שמרכזו ‪ . O‬המיתרים‬ ‫‪ AC‬ו‪ BD -‬נפגשים בנקודה ‪. E‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪  2  CD‬‬ ‫נתון ‪ :‬‬ ‫‪. BC‬‬ ‫‪O‬‬ ‫הוכח ‪. ABE  OCD :‬‬ ‫‪. 14‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪C‬‬ ‫המשולש ‪ ABC‬חסום במעגל שמרכזו ‪. O‬‬ ‫‪ AB‬הוא קוטר במעגל ‪.‬‬ ‫‪  2  BE‬‬ ‫נתון ‪ :‬‬ ‫‪. OD  DF , BC‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪B‬‬ ‫א ‪ .‬הוכח ‪. ACB  ODF :‬‬ ‫‪O‬‬ ‫ב ‪ .‬נתון ‪ 6 :‬ס " מ ‪ 8 , BC ‬ס " מ ‪, AC ‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪ 13‬ס " מ ‪ . AD ‬הוכח ‪. ACB  ODF :‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪105‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪. 15‬‬ ‫במעגל שמרכזו בנקודה ‪ , O‬הנקודה ‪C‬‬ ‫היא אמצע המיתר ‪ , AB‬והנקודה ‪E‬‬ ‫היא אמצע המיתר ‪. BD‬‬ ‫הוכח ‪. DOE  DBC :‬‬ ‫‪. 16‬‬ ‫המשולש ‪ ABC‬חסום במעגל שמרכזו ‪. O‬‬ ‫‪O‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪B‬‬ ‫הקוטר ‪ AC‬חוצה את המיתר ‪ BD‬בנקודה ‪. E‬‬ ‫נתון ‪ 8 :‬ס " מ ‪ 15 , BE ‬ס " מ ‪. CE ‬‬ ‫א ‪ .‬חשב את אור ך הקטע ‪. AE‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪O‬‬ ‫א ‪ .‬חשב את אורך הקטע ‪. OE‬‬ ‫‪D‬‬ ‫תשובה ‪:‬‬ ‫א ‪ 4 4 .‬ס " מ ‪ .‬ב ‪ 5 11 .‬ס " מ ‪.‬‬ ‫‪30‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪. 17‬‬ ‫הנקודה ‪ P‬היא אמצע המיתר ‪AB‬‬ ‫במעגל שמרכזו בנקודה ‪. O‬‬ ‫הקטע ‪ BM‬מאונך לקטע ‪. AM‬‬ ‫הוכח ‪. BCM  AOP :‬‬ ‫‪. 18‬‬ ‫המשולש ‪ ABC‬חסום במעגל שמרכזו ‪. O‬‬ ‫‪O‬‬ ‫‪P‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪M‬‬ ‫‪C‬‬ ‫הרדיוס ‪ OC‬מאונך למיתר ‪. AB‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪B‬‬ ‫המיתרים ‪ AB‬ו‪ DC -‬נפגשים בנקודה ‪. E‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪O‬‬ ‫הוכח ‪. DCA  DBE :‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪. 19‬‬ ‫הקוטר ‪ AB‬של מעגל שמרכזו בנקודה ‪O‬‬ ‫חוצה את המיתר ‪ CD‬בנקודה ‪. E‬‬ ‫א ‪ .‬הוכח ‪. DBC  AOC :‬‬ ‫ב ‪ .‬נתון גם ‪. AC  AO :‬‬ ‫הוכח ‪. AE  OE :‬‬ ‫‪106‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪O‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪. 20‬‬ ‫‪A‬‬ ‫המשולש ‪ ABC‬חסום במעגל שמרכזו ‪. O‬‬ ‫הקוטר ‪ AE‬חוצה את המיתר ‪BC‬‬ ‫בנקודה ‪ . F‬נתון ‪. OD  AC :‬‬ ‫א ‪ .‬הוכח ‪. ADO  AFC :‬‬ ‫ב ‪ .‬הוכח ‪. AC2  2  AF  AO :‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪O‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪. 21‬‬ ‫‪ AB‬הוא קוטר במעגל שמרכזו ‪ O‬ורדיוסו ‪. R‬‬ ‫‪ D‬היא נקודת החית וך של הרדיוס ‪EO‬‬ ‫עם המיתר ‪ . BC‬נתון ‪. EO  AB :‬‬ ‫א ‪ .‬הוכח ‪BD  BC :‬‬ ‫‪. R2 ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ב ‪ .‬נתון גם ‪. OD  DE‬‬ ‫הבע באמצעות ‪ R‬את אורך הקטע ‪. DC‬‬ ‫תשובה ‪:‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪O‬‬ ‫ב ‪. 0.6708R .‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪. 22‬‬ ‫‪ BC‬הוא קוטר במעגל שמרכזו בנקודה ‪. O‬‬ ‫המשולש ‪ ABC‬הוא משולש‬ ‫‪P‬‬ ‫שווה‪ -‬שוקיים )‪. (AB  AC‬‬ ‫הוכח ‪. 2  AB  PC  BC 2 :‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪O‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪. 23‬‬ ‫‪ AB‬הוא קוטר במעגל שמרכזו ‪, O‬‬ ‫ו‪ AC -‬משיק למעגל בנקודה ‪. A‬‬ ‫א ‪ .‬הוכח ‪. ADB  CDA :‬‬ ‫‪D‬‬ ‫ב ‪ .‬הוכח ‪. AD 2  BD  DC :‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪. 24‬‬ ‫‪D‬‬ ‫המשולש ‪ ABC‬חסום במעגל ‪ AD .‬משיק‬ ‫למעגל בנקודה ‪ . A‬נתון ‪ 6 :‬ס " מ ‪, AD ‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪ 4.5‬ס " מ ‪ 7 , AB ‬ס " מ ‪. AC ‬‬ ‫א ‪ .‬הוכח ‪. DAB  DCA :‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪A‬‬ ‫ב ‪ .‬חשב את אורך הקטע ‪. BD‬‬ ‫‪C‬‬ ‫תשובה ‪:‬‬ ‫ב ‪ 3 76 .‬ס " מ ‪.‬‬ ‫‪107‬‬ ‫‪. 25‬‬ ‫המשולש ‪ ABC‬חס ום במעגל כך ש‪BC -‬‬ ‫הוא קוטר במעגל ‪ AD .‬משיק למעגל‬ ‫בנקודה ‪ . A‬נתון ‪, AD  DC :‬‬ ‫‪ 5‬ס " מ ‪ 13 , AD ‬ס " מ ‪. AC ‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪C‬‬ ‫חשב את רדיוס המעגל ‪.‬‬ ‫תשובה ‪:‬‬ ‫‪. 26‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪ 7 1‬ס"מ‪.‬‬ ‫‪24‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪ AC‬הוא קוטר במעגל שמרכזו ‪. O‬‬ ‫‪ AB‬משיק למעגל בנקודה ‪. A‬‬ ‫‪D‬‬ ‫נתון ‪ 4 :‬ס " מ ‪ 5 , CD ‬ס " מ ‪. BD ‬‬ ‫חשב את אורך הקטע ‪. AC‬‬ ‫‪A‬‬ ‫תשובה ‪:‬‬ ‫‪. 27‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪O‬‬ ‫‪ 6‬ס"מ‪.‬‬ ‫המשולש ‪ APO‬הוא ישר‪ -‬זווית ) ‪. (POA  90‬‬ ‫‪P‬‬ ‫‪ AP‬משיק בנקודה ‪ B‬למעגל‬ ‫‪B‬‬ ‫שמרכזו בנקודה ‪. O‬‬ ‫נתון ‪ 16 :‬ס " מ ‪ 9 , AB ‬ס " מ ‪. PB ‬‬ ‫חשב את אורך הקטע ‪. AC‬‬ ‫תשובה ‪:‬‬ ‫‪. 28‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪O‬‬ ‫‪ 8‬ס"מ‪.‬‬ ‫המשולש ‪ ABC‬חסום במעגל ‪.‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪ AP‬משיק למעגל בנקודה ‪. A‬‬ ‫‪P‬‬ ‫‪ CP‬מקביל לצלע ‪. AB‬‬ ‫הוכח ‪. AC 2  AB  PC :‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪. 29‬‬ ‫‪ PQ‬הוא קוטר של מעגל שמרכזו ‪. O‬‬ ‫‪ CP‬הוא משיק למעגל ‪ .‬נתון ‪, BO  PQ :‬‬ ‫‪ 30‬ס " מ ‪ 20 , AP ‬ס " מ ‪. PC ‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪Q‬‬ ‫‪O‬‬ ‫‪P‬‬ ‫חשב את רדיוס המעגל ‪.‬‬ ‫תשובה ‪:‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪ 12‬ס " מ ‪.‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪108‬‬ ‫‪. 30‬‬ ‫המשולש ‪ BCD‬חסום במעגל ‪.‬‬ ‫‪B‬‬ ‫ד רך קדקוד ‪ B‬עובר משיק למעגל ‪.‬‬ ‫‪C‬‬ ‫דרך קדקוד ‪ D‬עובר ישר המקביל‬ ‫לצלע ‪ BC‬וחותך את המשיק בנקודה ‪. A‬‬ ‫א ‪ .‬הוכח ‪. ABD  DCB :‬‬ ‫ב ‪ .‬נתון ‪ , AD  4  BC :‬הוכח ‪. BD  2  BC :‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪. 31‬‬ ‫‪ AB‬הוא קוטר במעגל שמרכזו ‪. O‬‬ ‫‪ PD‬משיק למעגל בנקודה ‪. D‬‬ ‫הקשת ‪ BC‬גדולה פי ‪ 2‬מהקשת ‪. BD‬‬ ‫‪O‬‬ ‫הוכח ‪. ACB  ODP :‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪P‬‬ ‫‪. 32‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪A‬‬ ‫המשכי המיתרים ‪ AP‬ו‪ BQ -‬נפגשים‬ ‫בנקודה ‪ BC . C‬מקביל לישר‬ ‫‪P‬‬ ‫המשיק למעגל בנקודה ‪. A‬‬ ‫הוכח ‪. AB2  AP  AC :‬‬ ‫‪Q‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪. 33‬‬ ‫‪ DE‬הוא קוטר במעגל ‪ .‬בנקודה ‪D‬‬ ‫מעבירים משיק למעגל ‪ .‬נתון ‪. AF  DE :‬‬ ‫א ‪ .‬הוכח ‪. AD 2  AF  DE :‬‬ ‫ב ‪ .‬נתון ‪ 4 :‬ס " מ ‪ 9 , AF ‬ס " מ ‪. DE ‬‬ ‫חשב את שטח הטרפז ‪. AFDE‬‬ ‫תשובה ‪:‬‬ ‫‪. 34‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪E‬‬ ‫ב ‪ 29.07 .‬סמ " ר ‪.‬‬ ‫‪ BC‬הוא קוטר במעגל שמרכזו ‪. O‬‬ ‫‪A‬‬ ‫הקטע ‪ AB‬משיק למעגל ואורכו‬ ‫שווה לרדיוס המעגל ‪ .‬הנקודה ‪D‬‬ ‫נמצאת באמצע הרדיוס ‪. OB‬‬ ‫א ‪ .‬הוכח ‪. ABD  CBA :‬‬ ‫ב ‪ .‬הוכח ‪. ADB  BAC :‬‬ ‫‪109‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪O‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪. 35‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪ AB‬הוא מיתר במעגל שמרכזו ‪. O‬‬ ‫‪ AP‬משיק למעגל בנקודה ‪. A‬‬ ‫הנקודה ‪ Q‬היא אמצע המיתר ‪. AB‬‬ ‫‪Q‬‬ ‫‪P‬‬ ‫‪O‬‬ ‫‪2‬‬ ‫א ‪ .‬הוכח ‪. BO  PO  QO :‬‬ ‫ב ‪ .‬הוכח ‪. BQ 2  QO  PQ :‬‬ ‫‪. 36‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪ B , A‬ו‪ C -‬הן נקודות על מעגל ‪ .‬הנקודות ‪ E‬ו‪ F -‬נמצאות על המיתרים‬ ‫‪ AB‬ו‪ AC -‬בהתאמה ‪ ,‬כך שהישר ‪ EF‬מקביל לישר המשיק למעגל‬ ‫בנקודה ‪ . A‬הוכח ‪. AB  AE  AC  AF :‬‬ ‫‪. 37‬‬ ‫‪ BP‬ו‪ BC -‬הם משיקים למעגל שמרכזו ‪. O‬‬ ‫המשכי המשיק ‪ BP‬והקוטר ‪CD‬‬ ‫נחתכים בנקודה ‪. A‬‬ ‫נתון ‪ 8 :‬ס " מ ‪ 9 , CB ‬ס " מ ‪. AP ‬‬ ‫‪O‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪A‬‬ ‫חשב את רדיוס המעגל ‪.‬‬ ‫תשובה ‪:‬‬ ‫‪. 38‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪P‬‬ ‫‪ 4.8‬ס " מ ‪.‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪ PA‬ו‪ PB -‬הם שני משיקים למעגל‬ ‫שמרכזו ‪ . O‬המשכי המשיק ‪BP‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪C‬‬ ‫והרדיוס ‪ OA‬נחתכים בנקודה ‪. C‬‬ ‫‪O‬‬ ‫נתון ‪ 12 :‬ס " מ ‪ 5 , AC ‬ס " מ ‪. BP ‬‬ ‫‪P‬‬ ‫חשב את רדיוס המעגל ‪.‬‬ ‫תשובה ‪:‬‬ ‫‪. 39‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪ 7.5‬ס " מ ‪.‬‬ ‫‪ AB‬ו‪ AC -‬הם שני משיקים למעגל ‪.‬‬ ‫‪B‬‬ ‫נתון ‪ 20 , BP  AC :‬ס " מ ‪, AB ‬‬ ‫‪P‬‬ ‫‪ 5‬ס " מ ‪. PB ‬‬ ‫‪A‬‬ ‫חשב את אורך הקטע ‪. PC‬‬ ‫תשובה ‪:‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪ 10‬ס " מ ‪.‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪. 40‬‬ ‫המשולש ‪ ABC‬הוא שווה‪ -‬שוקיים )‪. (AB  AC‬‬ ‫בתוך המשולש חסום מ עגל ‪.‬‬ ‫‪E‬‬ ‫נקודות ההשקה הן ‪ E , D‬ו‪. F -‬‬ ‫‪D‬‬ ‫א ‪ .‬הוכח ‪. ADE  ABC :‬‬ ‫ב ‪ .‬הוכח ‪. DBF  ECF :‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪110‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪P‬‬ ‫‪. 41‬‬ ‫‪ PA‬ו‪ PB -‬הם שנ י משיקים למעגל ‪.‬‬ ‫‪ BC‬מקביל למשיק ‪. AP‬‬ ‫הוכח ‪. AC 2  BC  AP :‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪. 42‬‬ ‫‪ CB‬הוא קוטר של מעגל ‪ CQ .‬משיק למעגל‬ ‫‪Q‬‬ ‫בנקודה ‪ AQ , C‬משיק למעגל בנקודה ‪D‬‬ ‫ו‪ BP -‬משיק למעגל בנקודה ‪. B‬‬ ‫נתון ‪ 10 :‬ס " מ ‪ 40 , AP ‬ס " מ ‪. AQ ‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪P‬‬ ‫חשב את רדיוס המעגל ‪.‬‬ ‫תשובה ‪:‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪. 43‬‬ ‫‪. 44‬‬ ‫מעגל שמרכזו בנקודה ‪ O‬חסום בטרפז ‪ABCD‬‬ ‫)‪ . (AB  DC‬השוק ‪ BC‬של הטרפז‬ ‫נוגעת במעגל בנקודה ‪. E‬‬ ‫א ‪ .‬הוכח ‪. BOE  OCE :‬‬ ‫ב ‪ .‬נתון ‪ 4 :‬ס " מ ‪ 5 , BE ‬ס " מ ‪. CE ‬‬ ‫חשב את אורך הקטע ‪. OB‬‬ ‫תשובה ‪:‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪ 12‬ס " מ ‪.‬‬ ‫‪ AB‬ו‪ AC -‬משיקים בנקודות ‪ B‬ו‪C -‬‬ ‫למעגל שמרכזו ‪. O‬‬ ‫הנקודה ‪ E‬נמצאת על הקטע ‪DC‬‬ ‫כך ש‪. AO  OE -‬‬ ‫הוכח ‪. AO 2  AB  AE :‬‬ ‫‪. 45‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪O‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪O‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪C‬‬ ‫ב‪ 6 .‬ס"מ‪.‬‬ ‫המשולש ‪ ABC‬הוא שווה‪ -‬שוקיים )‪. (AB  AC‬‬ ‫‪A‬‬ ‫הנקודה ‪ O‬היא מרכז המעגל החסום במשולש ‪.‬‬ ‫א ‪ .‬הוכח ‪. APB  AQO :‬‬ ‫‪Q‬‬ ‫ב ‪ .‬נתון ‪ 10 :‬ס " מ ‪ 12 , AC ‬ס " מ ‪. BC ‬‬ ‫‪O‬‬ ‫חשב את רדיוס המעגל ‪.‬‬ ‫תשובה ‪:‬‬ ‫‪C‬‬ ‫ב‪ 3 .‬ס"מ‪.‬‬ ‫‪111‬‬ ‫‪P‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪. 46‬‬ ‫‪A‬‬ ‫מעגל שמרכזו ‪ O‬חסום במעוין ‪. ABCD‬‬ ‫א ‪ .‬הסבר מדוע אלכסוני המעוין‬ ‫נפגשים בנקודה ‪. O‬‬ ‫ב ‪ .‬נתון ‪ 3 , OE  BC :‬ס " מ ‪, BE ‬‬ ‫‪O‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪ 10‬ס " מ ‪. BD ‬‬ ‫‪E‬‬ ‫חשב את שטח המשולש ‪. ADC‬‬ ‫תשובה ‪:‬‬ ‫‪. 47‬‬ ‫‪C‬‬ ‫ב ‪ 33 1 .‬סמ " ר ‪.‬‬ ‫‪3‬‬ ‫מעגל ‪ O‬שרדיוסו ‪ 6‬ס " מ משיק לישר ‪‬‬ ‫בנקודה ‪ CD . E‬הוא קוטר במעגל ‪.‬‬ ‫‪ BC‬משיק למעגל בנקודה ‪C‬‬ ‫ו‪ AD -‬משיק למעגל בנקודה ‪. D‬‬ ‫נתון ‪ 13 :‬ס " מ ‪. BE  AE , AB ‬‬ ‫א ‪ .‬הוכח ‪. AOB  90 :‬‬ ‫ב ‪ .‬חשב את אורכי הקטעים ‪ BE‬ו‪. AE -‬‬ ‫תשובה ‪:‬‬ ‫‪. 48‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪O‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪E‬‬ ‫ב‪ 4 .‬ס"מ‪ 9 ,‬ס"מ‪.‬‬ ‫‪ AC‬משיק בנקודה ‪ C‬למעגל שמרכזו ‪. O‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪Q‬‬ ‫‪P‬‬ ‫‪ AQ‬משיק למעגל בנקודה ‪, B‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪S‬‬ ‫ו‪ QS -‬משיק למעגל בנקודה ‪. S‬‬ ‫‪O‬‬ ‫‪C‬‬ ‫הוכח ‪. PAO  POQ :‬‬ ‫‪. 49‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ AB‬הוא קוטר במעגל שמרכזו ‪. O‬‬ ‫‪ AD‬משיק למעגל בנקודה ‪, A‬‬ ‫‪ BC‬משיק למעגל בנקודה ‪B‬‬ ‫ו‪ DC -‬משיק למעגל בנקודה ‪. P‬‬ ‫א ‪ .‬הוכח ‪. DP  CP  OP 2 :‬‬ ‫ב ‪ .‬הוכח ‪. AD  BC  AO 2 :‬‬ ‫‪O‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪P‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪O‬‬ ‫‪. 50‬‬ ‫המרובע ‪ ABCD‬חסום במעגל ‪.‬‬ ‫המשכי המיתרים ‪ AB‬ו‪DC -‬‬ ‫נפגשים בנקודה ‪. O‬‬ ‫הוכח ‪. OAD  OCB :‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪112‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪P‬‬ ‫‪. 51‬‬ ‫המרובע ‪ ABCD‬חסום במעגל שמרכזו ‪O‬‬ ‫כך ש‪ AB -‬הוא קוטר במעגל ‪.‬‬ ‫נתון ‪ DP :‬מאונך ל‪. BP -‬‬ ‫הוכח ‪. ABD  CDP :‬‬ ‫‪. 52‬‬ ‫המשולש ‪ ABC‬הוא משולש שווה‪ -‬שוקיים‬ ‫‪C‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪O‬‬ ‫‪A‬‬ ‫החסום במעגל )‪. (AB  AC‬‬ ‫המשכי המיתרים ‪ AQ‬ו‪BC -‬‬ ‫נפגשים בנקודה ‪. P‬‬ ‫הוכח ‪. ACQ  APC :‬‬ ‫‪. 53‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪Q‬‬ ‫‪P‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪A‬‬ ‫המרובע ‪ ABCD‬חסום במעגל שמרכזו ‪. M‬‬ ‫‪ AE‬משיק למעגל בנקודה ‪. A‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪M‬‬ ‫נתון ‪. AE  BC :‬‬ ‫‪B‬‬ ‫הוכח ‪. AED  BAD :‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪. 54‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪B‬‬ ‫המרובע ‪ ABCD‬הוא טרפז החסום‬ ‫במעגל )‪ Q . (AB  CD‬היא נקודת‬ ‫החיתוך של המיתרים ‪ BP‬ו‪. CD -‬‬ ‫הוכח ‪. APC  BCQ :‬‬ ‫‪Q‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪. 55‬‬ ‫הקדקודים ‪ A‬ו‪ D -‬של ריבוע ‪ABCD‬‬ ‫נמצאים על מעגל ‪ .‬הצלע ‪ BC‬משיקה‬ ‫למעגל בנקודה ‪. E‬‬ ‫א ‪ .‬הוכח ‪. DEF  90 :‬‬ ‫ב ‪ .‬הוכח ‪. DEF  EBF :‬‬ ‫ג ‪ .‬נתון ‪ 3 :‬ס " מ ‪ 12 , BF ‬ס " מ ‪. DF ‬‬ ‫מצא את ‪. EF‬‬ ‫תשובה ‪:‬‬ ‫ג‪ 6 .‬ס"מ‪.‬‬ ‫‪113‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪P‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪. 56‬‬ ‫בשרטוט ‪ AD ,‬הוא חוצה זווית ‪. BAC‬‬ ‫המעגל ‪ M‬נוגע בצלע ‪ BC‬בנקודה ‪. D‬‬ ‫‪M‬‬ ‫א ‪ .‬הוכח ‪. BDE  DAF :‬‬ ‫‪F‬‬ ‫ב ‪ .‬הוכח ‪. BE  AF  DF2 :‬‬ ‫‪. 57‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪E‬‬ ‫המרובע ‪ ABCD‬חסום במעגל ‪.‬‬ ‫המשיק למעגל בנקודה ‪ B‬נפגש‬ ‫עם המשך המיתר ‪ AD‬בנקודה ‪E‬‬ ‫) ראה ציור (‪ .‬נתון ‪. AB  BC :‬‬ ‫הוכח ‪. ABE  CDB :‬‬ ‫‪. 58‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪ ABCD‬הוא טרפז )‪ (AB  DC‬החסום במעגל‬ ‫‪A‬‬ ‫‪B‬‬ ‫כך שהבסיס ‪ DC‬הוא קוטר במעגל ‪.‬‬ ‫נתון ‪. BE  DC :‬‬ ‫‪C‬‬ ‫א ‪ .‬הוכח ‪. BEC  DBC :‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪E‬‬ ‫ב ‪ .‬הוכח ‪. BC  AD  CE  CD :‬‬ ‫‪. 59‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪B‬‬ ‫הטרפז ‪ (AB  DC) ABCD‬חסום במעגל ‪.‬‬ ‫הנקודה ‪ E‬נמצאת על הקשת ‪. CD‬‬ ‫‪ BE‬חותך את ‪ CD‬בנקודה ‪. F‬‬ ‫א ‪ .‬הוכח ‪. ADE  CFE :‬‬ ‫‪F‬‬ ‫ב ‪ .‬הוכח ‪. DEF  BCF :‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪. 60‬‬ ‫הטרפז ‪ (AB  DC) ABCD‬חסום במעגל ‪.‬‬ ‫המשיק למעגל בנקודה ‪ C‬נפגש בנקודה ‪E‬‬ ‫עם המשך האלכסון ‪. DB‬‬ ‫‪ CD‬הוא קוטר המעגל ‪.‬‬ ‫א ‪ .‬הוכח ‪. DAC  ECD :‬‬ ‫ב ‪ .‬נתון ‪ 25 :‬ס " מ ‪ 36 , AC ‬ס " מ ‪. DE ‬‬ ‫חשב א ת רדיוס המעגל ‪.‬‬ ‫תשובה ‪:‬‬ ‫ב ‪ 15 .‬ס " מ ‪.‬‬ ‫‪114‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪. 61‬‬ ‫‪B‬‬ ‫המרובע ‪ ABCD‬הוא טרפז )‪(AB  CD‬‬ ‫‪A‬‬ ‫החסום במעגל ‪.‬‬ ‫‪ BP‬משיק למעגל בנקודה ‪. B‬‬ ‫הוכח ‪. AD 2  AB  CP :‬‬ ‫‪. 62‬‬ ‫‪P‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪D‬‬ ‫בציור נתון ‪ 10 :‬ס " מ ‪ 8 , AQ ‬ס " מ ‪, AP ‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪ 25‬ס " מ ‪ 20 , AB ‬ס " מ ‪. AC ‬‬ ‫‪P‬‬ ‫א ‪ .‬הוכח ‪. APQ  ACB :‬‬ ‫‪Q‬‬ ‫ב ‪ .‬הוכח כי ניתן לחסום במעגל‬ ‫את המרובע ‪. BPQC‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪. 63‬‬ ‫בציור שלפניך נתון ‪. AP  AB  AQ  AC :‬‬ ‫‪B‬‬ ‫א ‪ .‬הוכח ‪. APQ  ACB :‬‬ ‫‪P‬‬ ‫ב ‪ .‬הוכח כי ניתן לחסום במעגל‬ ‫א ת המרובע ‪. BPQC‬‬ ‫ג ‪ .‬הוכח ‪. BPC  BQC :‬‬ ‫‪. 64‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪Q‬‬ ‫המרובע ‪ ABQD‬חסום במעגל ‪.‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪B‬‬ ‫המרובע ‪ ABCD‬הוא מקבילית ‪.‬‬ ‫‪A‬‬ ‫א ‪ .‬הוכח ‪. DPC  DMQ :‬‬ ‫ב ‪ .‬הוכח ‪ :‬המרובע ‪PQMC‬‬ ‫הוא בר‪ -‬חסימה במעגל ‪.‬‬ ‫‪M‬‬ ‫ג ‪ .‬הוכח ‪. MCQ  MPQ :‬‬ ‫‪. 65‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪P‬‬ ‫‪Q‬‬ ‫טרפז שווה‪ -‬שוקיים ‪(AB  DC) ABCD‬‬ ‫חוסם מעגל שמרכזו ‪. O‬‬ ‫השוק ‪ AD‬נוגעת במעגל בנקודה ‪. P‬‬ ‫נתון ‪ 6 :‬ס " מ ‪ 4.8 , AO ‬ס " מ ‪. PO ‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪P‬‬ ‫‪O‬‬ ‫חשב את היקף הטרפז ‪.‬‬ ‫תשובה ‪:‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪ 40‬ס " מ ‪.‬‬ ‫‪115‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪. 66‬‬ ‫משולש ‪ ABC‬חסום במעגל ‪ .‬דרך נקודה ‪B‬‬ ‫מעבירים משיק למעגל ‪ .‬מנקודות ‪ A‬ו‪C -‬‬ ‫‪M‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪N‬‬ ‫מורידים אנכים למשיק ‪ ,‬החותכים אותו‬ ‫בנקודות ‪ M‬ו‪ . N -‬מנקודה ‪ B‬מורידים‬ ‫אנך ‪ BD‬לצלע ‪ . AC‬הוכח ‪:‬‬ ‫‪BD‬‬ ‫א ‪ . AM  AB .‬ב ‪ AB .‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪CN BC‬‬ ‫‪BD BC‬‬ ‫‪. 67‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪C‬‬ ‫ג ‪AM  BD .‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪BD CN‬‬ ‫‪ CD‬משיק למעגל בנקוד ה ‪ , P‬ו‪AB -‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪A‬‬ ‫הוא מיתר במעגל זה ‪ BD .‬ו‪ AC -‬הם‬ ‫אנכים למשיק ‪ PE .‬הוא אנך מנקודת‬ ‫ההשקה ‪ P‬למיתר ‪. AB‬‬ ‫‪E‬‬ ‫א ‪ .‬הוכח ‪. ACP  PEB :‬‬ ‫‪B‬‬ ‫ב ‪ .‬הוכח ‪. BDP  PEA :‬‬ ‫ג ‪ .‬הוכח ‪. AC  BD  PE 2 :‬‬ ‫‪. 68‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪P‬‬ ‫‪ PA‬ו‪ PB -‬הם שני משיקים למעגל ‪.‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪ C‬היא נקודה על המעגל ‪ .‬נתון ‪:‬‬ ‫‪. CE  AB , CF  BP , CD  AP‬‬ ‫א ‪ .‬הוכח ‪. ADC  BEC :‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪P‬‬ ‫‪C‬‬ ‫ב ‪ .‬הוכח ‪. BCF  ACE :‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪F‬‬ ‫ג ‪ .‬הוכח ‪. CE 2  CD  CF :‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪P‬‬ ‫‪. 69‬‬ ‫‪ PA‬הוא משיק למעגל ו‪PC -‬‬ ‫‪B‬‬ ‫חותך את המעגל בנקודות ‪ B‬ו‪. C -‬‬ ‫‪2‬‬ ‫הוכח ‪:‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪PC  AC‬‬ ‫‪PB‬‬ ‫‪AB‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪. 70‬‬ ‫שני מעגלים נחתכים בנקודות ‪ A‬ו‪. B -‬‬ ‫‪A‬‬ ‫ה קטרים ‪ AC‬ו‪ AD -‬מאונכים זה לזה ‪.‬‬ ‫ישר העובר דרך ‪ , A‬חותך את המעגל‬ ‫האחד בנקודה ‪ M‬ואת המעגל‬ ‫‪D‬‬ ‫האחר בנקודה ‪. N‬‬ ‫‪B‬‬ ‫הוכח ‪. AM  AN  CN  DM :‬‬ ‫‪M‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‪116‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪. 71‬‬ ‫המעגלים ‪ M‬ו‪ N -‬נחתכים בנקודות‬ ‫‪B‬‬ ‫‪ A‬ו‪ BC . B -‬הוא קוטר במעגל ‪, M‬‬ ‫‪ BN‬משיק למעגל ‪ . M‬נתון ‪, DN  AB :‬‬ ‫‪ 9‬ס " מ ‪ 32 , DN ‬ס " מ ‪. AC ‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪N‬‬ ‫חשב את אורך הקטע ‪. AB‬‬ ‫תשובה ‪:‬‬ ‫‪. 72‬‬ ‫‪ 24‬ס " מ ‪.‬‬ ‫‪B‬‬ ‫בשרטוט ‪ BP :‬משיק למעגל ‪, O‬‬ ‫‪Q‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪ AP‬משיק למעגל ‪ M‬ו‪PQ -‬‬ ‫‪M‬‬ ‫‪O‬‬ ‫הוכח ‪. PQ2  AQ  BQ :‬‬ ‫‪. 74‬‬ ‫‪P‬‬ ‫שני מעגלים שמרכזיהם בנקודות ‪ O‬ו‪M -‬‬ ‫נחתכים בנקודות ‪ A‬ו‪. B -‬‬ ‫הרדיוס ‪ AO‬משיק למעגל ‪. M‬‬ ‫א ‪ .‬הוכח ‪. MO  AB :‬‬ ‫ב ‪ .‬נתון ‪ 8 :‬ס " מ ‪ 5 , AB ‬ס " מ ‪. AO ‬‬ ‫חשב את אורך הרדיוס ‪. AM‬‬ ‫תשובה ‪:‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪A‬‬ ‫הוא מיתר משותף לשני המעגלים ‪.‬‬ ‫‪. 73‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪O‬‬ ‫‪M‬‬ ‫‪B‬‬ ‫ב‪ 6 2 .‬ס"מ‪.‬‬ ‫‪3‬‬ ‫הוכח ‪ :‬אם שני מעגלים אינם נחתכים ‪,‬‬ ‫‪P‬‬ ‫אז המשיק הפנימי המשותף לשניהם )‪, (PQ‬‬ ‫מחלק את קטע המרכזים )‪ (MN‬ביחס‬ ‫השווה ליחס בין רדיוסים של המעגלים ‪.‬‬ ‫‪. 75‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‪M‬‬ ‫‪Q‬‬ ‫מעגלים שמרכזיהם ‪ M‬ו‪ O -‬משיקים‬ ‫‪A‬‬ ‫זה לזה ‪ AB .‬משיק חיצוני המשותף‬ ‫לשני המעגלים ‪.‬‬ ‫נתון ‪ 15 :‬ס " מ ‪ 30 , MO ‬ס " מ ‪. MP ‬‬ ‫‪P‬‬ ‫חשב את הרדיוס של כל אחד מהמעגלים ‪.‬‬ ‫תשובה ‪:‬‬ ‫‪M‬‬ ‫‪ 6‬ס"מ‪ 9 ,‬ס"מ‪.‬‬ ‫‪117‬‬ ‫‪M‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪O‬‬ ‫‪. 76‬‬ ‫בתוך זווית שקודקודה ‪ A‬חסומים שני מעגלים המשיקים זה לזה ‪.‬‬ ‫המעגל הקטן משיק לאחת משוקי הזווית בנקודה ‪, B‬‬ ‫והמעגל הגדול משיק לאותה שוק בנקודה ‪. C‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪B‬‬ ‫נתון ‪ 4 :‬ס " מ ‪ 12 , AB ‬ס " מ ‪. BC ‬‬ ‫‪A‬‬ ‫א ‪ .‬חשב את רדיוס המעגל הגדול ‪,‬‬ ‫אם רדיוס המעגל הקטן הוא ‪ 3‬ס " מ ‪.‬‬ ‫ב ‪ .‬חשב את המרחק מ‪ A -‬למרכז המעגל הגדול ‪.‬‬ ‫תשובה ‪:‬‬ ‫‪. 77‬‬ ‫א ‪ 12 .‬ס " מ ‪ .‬ב ‪ 20 .‬ס " מ ‪.‬‬ ‫שני המעגלים שבציור משיקים זה לזה‬ ‫‪D‬‬ ‫בנקודה ‪ AB . E‬הוא מיתר במעגל השמאלי ‪.‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪E‬‬ ‫המשכי הקטעים ‪ AE‬ו‪ BE -‬חותכים‬ ‫את המעגל הימני בנקודות ‪ C‬ו‪. D -‬‬ ‫הוכח ‪. ABE  CDE :‬‬ ‫‪. 78‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪A‬‬ ‫שני מעגלים משיקים מבפנים בנקודה ‪. A‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪ BC‬הוא מיתר במעגל הגדול המשיק‬ ‫למעגל הקטן ‪ .‬המיתרים ‪ AB‬ו‪AC -‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪D‬‬ ‫חותכים את המעגל הקטן בנקודות ‪ E‬ו‪. F -‬‬ ‫א ‪ .‬הוכח ‪ AD :‬חוצה את הזווית ‪. BAC‬‬ ‫ב ‪ .‬הוכח ‪. DF2  BE  AF :‬‬ ‫‪. 79‬‬ ‫‪A‬‬ ‫המשולש ‪ ABC‬הוא משולש שווה‪ -‬שוקיים‬ ‫)‪ (AB  AC‬החסום במעגל ‪ AD .‬הוא גובה‬ ‫לבסיס ‪ O . BC‬היא נקודה על הקטע ‪. AD‬‬ ‫‪E‬‬ ‫נתון ‪. OE  AC , AE  CE :‬‬ ‫‪O‬‬ ‫א ‪ .‬הוכח שנקודה ‪ O‬היא מרכז המעגל ‪.‬‬ ‫ב ‪ .‬הוכח ‪. AE  BC  2  AD  OE :‬‬ ‫‪. 80‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪A‬‬ ‫בציור שלפניך הנקודה ‪ M‬היא מרכז‬ ‫המעגל החוסם את המשולש ‪ADE‬‬ ‫והנקודה ‪ N‬היא מרכז המעגל‬ ‫החוסם את המשולש ‪. ABC‬‬ ‫הוכח ‪. ADM  ABN :‬‬ ‫‪118‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪M‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪B‬‬