‫תרגילים‬ ‫הנדסת המישור ‪ -‬תרגילים הכנה לבגרות‬ ‫הנדסת המישור ‪ -‬תרגילים הכנה לבגרות‬ ‫תרגיל ‪1‬‬ ‫מעגל העובר דרך הקודקודים ‪ C‬ו‪ D -‬של המקבילית‬ ‫‪ ABCD‬חותך את האלכסונים שלה בנקודות ‪ E‬ו‪F -‬‬ ‫)ראה ציור(‪.‬‬ ‫א‪ .‬הוכח כי הנקודות ‪ E , F, B, A‬מונחות על‬ ‫מעגל אחד‪.‬‬ ‫ב‪ .‬הוכח‪. AMB ∼ FME :‬‬ ‫‪C‬‬ ‫ג‪ .‬נתון כי יחס הדמיון הוא ‪ , 1 : 3‬שטח המקבילית‬ ‫‪ ABCD‬שווה ל‪ .Q -‬הבע את שטח המשולש ‪ FME‬באמצעות ‪.Q‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪M‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪B‬‬ ‫תשובה‪ :‬ג‪. Q .‬‬ ‫‪36‬‬ ‫‪A‬‬ ‫תרגיל ‪2‬‬ ‫הקטעים ‪ CD , BF , AE‬הם גבהים במשולש ‪.ABC‬‬ ‫א‪ .‬הוכח‪. ABC ∼ AFD :‬‬ ‫ב‪ .‬הוכח‪. ABC ∼ EBD :‬‬ ‫ג‪ .‬הוכח‪ CD :‬חוצה את הזווית ‪.FDE‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪C‬‬ ‫תרגיל ‪3‬‬ ‫משולש שווה‪-‬צלעות ‪ ABC‬חסום במעגל‪ .‬נקודה ‪D‬‬ ‫נמצאת על המעגל בין ‪ A‬ל‪ C -‬כך ש‪. AD BF -‬‬ ‫‪ E‬היא נקודת החיתוך של ‪ BF‬ו‪) .CD -‬ראה ציור‪(.‬‬ ‫א‪ .‬הוכח‪. BED ∼ ABC :‬‬ ‫ב‪ .‬הוכח‪. AD + BD = CD :‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪C‬‬ ‫© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים הנדסת המישור‬ ‫‪E‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪1‬‬ ‫הנדסת המישור ‪ -‬תרגילים הכנה לבגרות‬ ‫תרגילים‬ ‫תרגיל ‪4‬‬ ‫במשולש ישר‪-‬זווית ‪ ( C = 90° ) ABC‬נתון‪, BD = DC :‬‬ ‫‪) FN ⊥ BC , DE ⊥ AB , BN = b , BF = FE = a‬ראה ציור(‪.‬‬ ‫א‪ .‬הוכח‪ :‬הבע את ‪ BD‬באמצעות ‪ a‬ו‪. b -‬‬ ‫ב‪ .‬הוכח‪. AD EN :‬‬ ‫תשובה‪ :‬א‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪. 2a‬‬ ‫‪b‬‬ ‫תשובה‪:‬‬ ‫‪a +b‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪C‬‬ ‫תרגיל ‪5‬‬ ‫במשולש ישר‪-‬זווית ‪ ( C = 90° ) ABC‬המשך הגובה‬ ‫‪ CD‬ליתר ‪ AB‬פוגש את האנך האמצעי ‪ FM‬לניצב ‪BC‬‬ ‫בנקודה ‪) E‬ראה ציור(‪ .‬נתון‪. AC = 2b , BC = 2a :‬‬ ‫א‪ .‬הבע את ‪ DF‬באמצעות ‪ a‬ו‪. b -‬‬ ‫ב‪ .‬הבע את שטח המשולש ‪ EFD‬באמצעות ‪ a‬ו‪. b -‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫א‪. a 2− b 2 .‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪F‬‬ ‫)‪( 2 2‬‬ ‫ב‪. a a 2− b 2 .‬‬ ‫) ‪2b ( a + b‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪C‬‬ ‫תרגיל ‪6‬‬ ‫משולש ‪ ABC‬חסום במעגל‪ .‬מנקודה כלשהי ‪ P‬שעל המעגל‬ ‫מורידים אנכים ‪ ,PN ,PL‬ו‪ PM -‬לצלעות ‪ ,AC ,BC‬ו‪AB -‬‬ ‫בהתאמה‪ .‬נתון‪, CPL = θ , ANM = β , APM = α :‬‬ ‫‪) LNC = ϕ‬ראה ציור(‪.‬‬ ‫א‪ .‬הוכח כי ‪. α = β‬‬ ‫ב‪ .‬הוכח כי המרובע ‪ PCLN‬הוא בר‪-‬חסימה במעגל‪.‬‬ ‫הוכח כי ‪. β = ϕ‬‬ ‫ג‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪M‬‬ ‫‪M‬‬ ‫‪P‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪q‬‬ ‫‪j‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪L‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‪B‬‬ ‫© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים הנדסת המישור‬ ‫תרגילים‬ ‫הנדסת המישור ‪ -‬תרגילים הכנה לבגרות‬ ‫‪K‬‬ ‫תרגיל ‪7‬‬ ‫נתון משולש ישר‪-‬זווית ‪ . ( C = 90° ) ABC‬מנקודה ‪ L‬שעל‬ ‫הצלע ‪ AB‬העלו אנך החותך את ‪ BC‬בנקודה ‪ F‬וחותך את‬ ‫המשכה של ‪ AC‬בנקודה ‪ .K‬מעגל החוסם את ‪KAB‬‬ ‫חותך את הישר ‪ BC‬בנקודה ‪ .D‬המעגל החוסם את ‪FAB‬‬ ‫חותך את הישר ‪ AK‬בנקודה ‪) E‬ראה ציור(‪.‬‬ ‫א‪ .‬הוכח‪. KDC = BFL :‬‬ ‫ב‪ .‬הוכח‪. BAE = EFC :‬‬ ‫ג‪ .‬הוכח‪ :‬המרובע ‪ KDEF‬הוא מעוין‪.‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪B‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫נתון‪. BK = 2 :‬‬ ‫‪AK 5‬‬ ‫תשובה‪ :‬ב‪. 16 .‬‬ ‫‪33‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪L‬‬ ‫‪E‬‬ ‫תרגיל ‪8‬‬ ‫במשולש ‪ AED‬נתון‪ O . BC AD :‬היא נקודת החיתוך של‬ ‫‪ AC‬ו‪ .BD -‬דרך ‪ O‬העבירו ‪ KL‬המקביל ל‪.AD -‬‬ ‫א‪ .‬הוכח כי ‪) EF‬העובר דרך ‪ (O‬הוא תיכון לצלע ‪.AD‬‬ ‫‪S KEL‬‬ ‫חשב את היחס‬ ‫‪SAKLD‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪L‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪O‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪D‬‬ ‫תרגיל ‪9‬‬ ‫במשולש ישר‪-‬זווית ‪ ( C = 90° ) ABC‬נתון‪CE :‬‬ ‫תיכון ליתר ‪ CF , AB‬גובה ליתר ‪. FD BC ,AB‬‬ ‫א‪ .‬הוכח‪. CD = BF :‬‬ ‫ב‪ .‬נתון כי ‪ M‬היא אמצע של ‪.BC‬‬ ‫הוכח כי ‪ CDM‬הוא משולש שווה‪-‬שוקיים‪.‬‬ ‫ג‪ .‬הוכח כי אם ‪ ECF = 30°‬אז ‪. MD AB‬‬ ‫‪K‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪M‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪F‬‬ ‫© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים הנדסת המישור‬ ‫‪E‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪3‬‬ ‫הנדסת המישור ‪ -‬תרגילים הכנה לבגרות‬ ‫תרגילים‬ ‫‪B‬‬ ‫תרגיל ‪10‬‬ ‫אלכסוני המקבילית ‪ ABCD‬נפגשים בנקודה ‪.M‬‬ ‫‪ N‬היא נקודה על האלכסון ‪ AC‬כך ש‪. CN = 1 AN -‬‬ ‫‪2‬‬ ‫המשך של ‪ DN‬חותך את ‪ BC‬בנקודה ‪ .F‬המשכי‬ ‫הקטעים ‪ BN‬ו‪ AD -‬נחתכים בנקודה ‪) E‬ראה ציור(‪.‬‬ ‫א‪ .‬מצא את היחס ‪. MN‬‬ ‫‪CN‬‬ ‫ב‪ .‬הוכח‪. BF = FC :‬‬ ‫ג‪.‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪M‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪L‬‬ ‫‪E‬‬ ‫נתון‪ . ADB = 90° :‬הוכח‪ AB = BE :‬ו‪. AD = DE -‬‬ ‫תשובה‪ :‬א‪. 1 .‬‬ ‫‪2‬‬ ‫תרגיל ‪11‬‬ ‫בטרפז ‪ ABCD‬החסום במעגל‪ ,‬נתון‪, AB CD :‬‬ ‫‪ AE . AB = BC = AD‬הוא קוטר במעגל החותך‬ ‫את ‪ CD‬בנקודה ‪.K‬‬ ‫א‪ .‬הוכח‪ ADK :‬הוא משולש שווה‪-‬שוקיים‪.‬‬ ‫ב‪ .‬המשיכו את הבסיס ‪ CD‬כך ש‪. DK = KL -‬‬ ‫‪ BL‬חותך את המעגל בנקודה ‪.M‬‬ ‫הראה כי ‪. DM = AE‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪M‬‬ ‫‪K‬‬ ‫‪L‬‬ ‫תרגיל ‪12‬‬ ‫בריבוע ‪ ABCD‬נתון‪. BN ⊥ AM , DM = MC :‬‬ ‫א‪ .‬הוכח‪ BCN :‬הוא משולש שווה‪-‬שוקיים‪.‬‬ ‫ב‪ .‬נתון ‪ . AN = a‬הבע את היקף המשולש ‪ BCN‬באמצעות ‪. a‬‬ ‫תשובה‪ :‬ב‪. 2a( 5 + 1) .‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪M‬‬ ‫‪D‬‬ ‫© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים הנדסת המישור‬ ‫תרגילים‬ ‫הנדסת המישור ‪ -‬תרגילים הכנה לבגרות‬ ‫תרגיל ‪13‬‬ ‫נתון מעגל שמרכזו ‪ O‬ורדיוסו ‪ AD .R‬הוא קוטר במעגל‪.‬‬ ‫נקודה ‪ E‬שעל מעגל זה היא מרכז של מעגל שני המשיק‬ ‫לקוטר ‪ AD‬בנקודה ‪ .F‬העבירו שני משיקים ‪ AB‬ו‪DC -‬‬ ‫למעגל השני‪.‬‬ ‫א‪ .‬הוכח כי הנקודות ‪ C , E , B‬נמצאות על ישר אחד‪.‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪O‬‬ ‫נתון‪ . AF = 1 DF :‬הבע את שטח המרובע ‪ABCD‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪3‬‬ ‫באמצעות ‪.R‬‬ ‫תשובה‪ :‬ב‪. R ⋅ 3 .‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪N‬‬ ‫תרגיל ‪14‬‬ ‫על צלעות ‪ AB‬ו‪ BC -‬של משולש ‪ ABC‬בנו‬ ‫ריבועים ‪ ABKL‬ו‪ .BCMN -‬העבירו ישרים ‪,AN‬‬ ‫‪ ,KC‬ו‪ .LM -‬נקודה ‪ E‬היא נקודת החיתוך של ‪AN‬‬ ‫ו‪ O1 .KC -‬ו‪ O 2 -‬הם מרכזי המעגלים שחוסמים‬ ‫‪M‬‬ ‫את הריבועים ‪ ABKL‬ו‪.BCMN -‬‬ ‫א‪ .‬הוכח‪. AN = KC :‬‬ ‫ב‪ .‬הוכח כי נקודה ‪ E‬היא נקודת חיתוך )נוספת‬ ‫ל‪ (B -‬של שני המעגלים‪.‬‬ ‫ג‪ .‬הוכח‪. AN ⊥ KC :‬‬ ‫ד‪ .‬הוכח כי הנקודות ‪ M , E , L‬נמצאות על ישר אחד‪.‬‬ ‫תרגיל ‪15‬‬ ‫‪ CD‬הוא קוטר במעגל שמרכזו ‪ AB . O1‬הוא קוטר במעגל‬ ‫קטן שמרכזו ‪ . O 2‬המעגל הקטן משיק ל‪ CD -‬וגם משיק‬ ‫למעגל הגדול בנקודה ‪ .E‬נתון‪) AB CD :‬ראה ציור(‪.‬‬ ‫א‪ .‬הוכח כי המשכי הקטעים ‪ AD‬ו‪ BC -‬נפגשים‬ ‫בנקודה ‪.E‬‬ ‫ב‪ .‬נתון כי רדיוס המעגל הקטן הוא ‪. ADC = 60° , r‬‬ ‫הבע את שטח המרובע ‪ ABCD‬באמצעות ‪. r‬‬ ‫תשובה‪ :‬ב‪⋅ r 2 .‬‬ ‫) ‪(6 + 2 3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪K‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪O2‬‬ ‫‪O1‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪L‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪O2‬‬ ‫‪O1‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪.‬‬ ‫© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים הנדסת המישור‬ ‫‪5‬‬ ‫הנדסת המישור ‪ -‬תרגילים הכנה לבגרות‬ ‫תרגילים‬ ‫תרגיל ‪16‬‬ ‫במשולש ישר‪-‬זווית ‪ ( C = 90° ) ABC‬נתון‪, AD = DC :‬‬ ‫‪) GF ⊥ AD , DE ⊥ AB , AG = GE‬ראה ציור(‪.‬‬ ‫א‪ .‬הוכח‪. BD EF :‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫‪p‬‬ ‫נתון‪:‬‬ ‫‪q‬‬ ‫= ‪ . AC‬הבע את היחס‬ ‫‪AB‬‬ ‫באמצעות ‪ p‬ו‪. q -‬‬ ‫‪AFG‬‬ ‫‪ACB‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪S‬‬ ‫‪S‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪E‬‬ ‫תרגיל ‪17‬‬ ‫משולש ‪ ABC‬חסום במעגל‪ CF , BE , AD .‬הם חוצי‬ ‫הזוויות הפנימיות של המשולש‪ ,‬הנפגשים בנקודה ‪.K‬‬ ‫א‪ .‬הוכח‪. CF ⊥ ED , BE ⊥ FD , AD ⊥ EF :‬‬ ‫ב‪ .‬נתון‪ . ACB = 44° :‬חשב את זוויות המשולש ‪. BDK‬‬ ‫תשובה‪ :‬ב‪. 68° , 68° , 44° .‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪p4‬‬ ‫‪.‬‬ ‫תשובה‪ :‬ב‪.‬‬ ‫‪16q 4‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪G‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪K‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪A‬‬ ‫תרגיל ‪18‬‬ ‫במשולש שווה‪-‬שוקיים ‪ ( AB = AC ) ABC‬נתון‪, BE ⊥ AC :‬‬ ‫‪AF = FB , BD = DC‬‬ ‫א‪ .‬הוכח‪. CDE ∼ DFE :‬‬ ‫ב‪ .‬נסמן ב‪ K -‬את נקודת החיתוך של הישר ‪ EF‬עם הישר ‪, BC‬‬ ‫נסמן ב‪ L -‬את נקודת החיתוך של הישר ‪ ED‬עם הישר ‪. AB‬‬ ‫הוכח‪ BEKL :‬הוא טרפז שווה‪-‬שוקיים‪.‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪K‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪L‬‬ ‫‪6‬‬ ‫© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים הנדסת המישור‬ ‫תרגילים‬ ‫הנדסת המישור ‪ -‬תרגילים הכנה לבגרות‬ ‫‪A‬‬ ‫תרגיל ‪19‬‬ ‫‪ BD , AG‬ו‪ CN -‬הם גבהים במשולש ‪ ABC‬הנפגשים‬ ‫בנקודה ‪ L , K . E‬ו‪ M -‬הם אמצעי הצלעות ‪AC , AB‬‬ ‫ו‪ BC -‬בהתאמה‪ .‬נתון‪) AF = FE :‬ראה ציור(‪.‬‬ ‫א‪ .‬הוכח כי נקודה ‪ F‬נמצאת על המעגל החוסם‬ ‫את ‪. KLM‬‬ ‫ב‪ .‬הוכח‪. GFM = GLM :‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪L‬‬ ‫‪C‬‬ ‫תרגיל ‪20‬‬ ‫במעגל שמרכזו ‪ O‬ורדיוסו ‪ R‬המיתר ‪ CD‬מאונך‬ ‫לקוטר ‪ .AB‬הקוטר והמיתר נחתכים בנקודה ‪.F‬‬ ‫המשיקים למעגל בנקודות ‪ C‬ו‪ D -‬נחתכים בנקודה ‪E‬‬ ‫)ראה ציור(‪.‬‬ ‫א‪.‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫הוכח‪. OF ⋅ OE = R 2 :‬‬ ‫הוכח‪:‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‪K‬‬ ‫‪G M‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪O‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪. AE = AF‬‬ ‫‪BF‬‬ ‫‪BE‬‬ ‫‪D‬‬ ‫תרגיל ‪21‬‬ ‫משולש שווה‪-‬צלעות ‪ ABC‬חסום במעגל‪ D .‬היא נקודה‬ ‫כלשהי על קשת ‪) BC‬ראה ציור(‪.‬‬ ‫א‪ .‬הוכח‪. BD + CD = AD :‬‬ ‫ב‪ .‬נתון‪ , BD = CD :‬רדיוס המעגל שווה ל‪. R -‬‬ ‫הבע באמצעות ‪ R‬את שטח המרובע ‪. ABDC‬‬ ‫תשובה‪ :‬ב‪. R 2 3 .‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪A‬‬ ‫© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים הנדסת המישור‬ ‫‪B‬‬ ‫‪7‬‬ ‫הנדסת המישור ‪ -‬תרגילים הכנה לבגרות‬ ‫תרגילים‬ ‫תרגיל ‪22‬‬ ‫נתון מעגל שמרכזו ‪ O‬ורדיוסו ‪ .R‬מנקודה ‪E‬‬ ‫הנמצאת מחוץ למעגל העבירו משיקים ‪ EA‬ו‪. EB -‬‬ ‫המשך הקוטר ‪ AC‬פוגש את המשך המשיק ‪EB‬‬ ‫בנקודה ‪) F‬ראה ציור(‪.‬‬ ‫א‪ .‬הוכח‪. AEO = CBF :‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫‪S FBC‬‬ ‫נתון‪ . OK = KE :‬מצא את היחס‬ ‫‪SBEOC‬‬ ‫תשובה‪ :‬ב‪. 1 .‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪O‬‬ ‫‪K‬‬ ‫‪A‬‬ ‫תרגיל ‪23‬‬ ‫מעגל שמרכזו ‪ O‬ורדיוסו ‪ R‬ומעגל שמרכזו ‪ E‬ורדיוסו ‪r‬‬ ‫משיקים מבפנים בנקודה ‪ .D‬רדיוסים ‪ OA‬ו‪ OB -‬משיקים‬ ‫למעגל שמרכזו ‪) E‬ראה ציור(‪ .‬נתון‪. R = 3r :‬‬ ‫א‪ .‬הוכח כי ‪ AOB‬הוא משולש שווה‪-‬צלעות‪.‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪C E‬‬ ‫‪O‬‬ ‫מצא את היחס ‪. EC‬‬ ‫‪OE‬‬ ‫תשובה‪ :‬ב‪. 3 3 − 4 .‬‬ ‫‪4‬‬ ‫תרגיל ‪24‬‬ ‫‪ K‬היא נקודה כלשהי על היתר ‪ AB‬במשולש ישר‪-‬זווית ‪.ABC‬‬ ‫מ‪ K -‬הורידו אנך ל‪ AB -‬החותך את המשכו של ‪ AC‬בנקודה ‪,D‬‬ ‫וחותך את ‪ BC‬בנקודה ‪ .N‬הישר ‪ AN‬חותך את ‪ BD‬בנקודה ‪.L‬‬ ‫נתון‪. DF = FN , AE = EB :‬‬ ‫א‪ .‬הוכח‪. BAL = BCL :‬‬ ‫ב‪ .‬הוכח כי ‪ EF‬אנך אמצעי ל‪.CL -‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪K‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‪L‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪8‬‬ ‫© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים הנדסת המישור‬ ‫תרגילים‬ ‫הנדסת המישור ‪ -‬תרגילים הכנה לבגרות‬ ‫תרגיל ‪25‬‬ ‫שני מעגלים שמרכזיהם ‪ O1‬ו‪ O 2 -‬ורדיוסיהם ‪ R‬ו‪( R > r ) r -‬‬ ‫בהתאמה‪ ,‬משיקים חיצונית בנקודה ‪ AB . E‬ו‪ EF -‬הם‬ ‫משיקים לשני המעגלים הנ"ל‪ .‬הישר ‪ AE‬חותך את המעגל‬ ‫הקטן בנקודה ‪ . C‬הישר ‪ BE‬חותך את המעגל הגדול‬ ‫בנקודה ‪) D‬ראה ציור(‪.‬‬ ‫א‪ .‬הוכח‪ AD :‬עובר דרך ‪ O1‬ו‪ BC -‬עובר דרך ‪. O 2‬‬ ‫ב‪ .‬הבע את אורכו של ‪ AB‬באמצעות ‪ R‬ו‪. r -‬‬ ‫ג‪ .‬הבע את שטח המרובע ‪ ABCD‬באמצעות ‪ R‬ו‪. r -‬‬ ‫תשובה‪ :‬ב‪ . 2 R ⋅ r .‬ג‪. 2 Rr ⋅ ( R + r ) .‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪O2‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪O1‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪D‬‬ ‫תרגיל ‪26‬‬ ‫נקודה ‪ K‬היא נקודת מפגש גבהים ‪ BN ,AM‬ו‪ CL -‬במשולש‬ ‫חד זווית ‪ KE .ABC‬הוא רדיוס במעגל החוסם את ‪. AKC‬‬ ‫‪ KF‬הוא רדיוס במעגל החוסם את ‪. AKB‬‬ ‫א‪ .‬הוכח‪. KE = KF :‬‬ ‫ב‪ .‬הוכח‪. ABC ∼ MNC :‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‪M‬‬ ‫‪K‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪L‬‬ ‫‪F‬‬ ‫תרגיל ‪27‬‬ ‫חצי מעגל שמרכזו ‪ O‬חסום במשולש שווה‪-‬שוקיים ‪ABC‬‬ ‫)‪ . (AB = AC‬קוטר המעגל מונח על בסיס ‪.BC‬‬ ‫השוקיים ‪ AB‬ו‪ AC -‬משיקים לחצי המעגל בנקודות‬ ‫‪ E‬ו‪ F -‬בהתאמה‪ .‬העבירו משיק נוסף החותך את ‪AB‬‬ ‫ו‪ AC -‬בנקודות ‪ L‬ו‪ K -‬בהתאמה )ראה ציור(‪.‬‬ ‫א‪ .‬הוכח‪. B = LOK :‬‬ ‫ב‪ .‬הוכח‪. BC2 = 4BL ⋅ CK :‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪L‬‬ ‫‪K‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪C‬‬ ‫© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים הנדסת המישור‬ ‫‪O‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪9‬‬ ‫הנדסת המישור ‪ -‬תרגילים הכנה לבגרות‬ ‫תרגילים‬ ‫‪A‬‬ ‫תרגיל ‪28‬‬ ‫במשולש ‪ ABC‬העבירו קטע ‪ ,EF‬כך ש‪. B = AFE -‬‬ ‫נתון‪ , GF ⊥ AC , GE ⊥ AB :‬המשך הקטע ‪ AG‬חותך‬ ‫את ‪ BC‬בנקודה ‪) K‬ראה ציור(‪.‬‬ ‫א‪ .‬הוכח‪. AK ⊥ BC :‬‬ ‫ב‪ .‬הוכח‪. AE ⋅ AB = AF ⋅ AC = AG ⋅ AK :‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪G‬‬ ‫‪C‬‬ ‫תרגיל ‪29‬‬ ‫משולש ‪ ABC‬חסום במעגל שמרכזו ‪ AL .O‬קוטר במעגל‪.‬‬ ‫המשך הגובה ‪ AF‬חותך את המעגל בנקודה ‪ E .K‬היא נקודת‬ ‫מפגש של גבהים ב‪ N . ABC -‬היא אמצע הצלע ‪BC‬‬ ‫)ראה ציור(‪.‬‬ ‫א‪ .‬הוכח‪. EF = FK :‬‬ ‫ב‪ .‬הוכח‪. BE CL , BE = CL :‬‬ ‫ג‪.‬‬ ‫הוכח‪:‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪K‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪L‬‬ ‫‪O‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‪K‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪. ON = 1 AE‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪A‬‬ ‫תרגיל ‪30‬‬ ‫במשולש ‪ ABC‬נתון‪ :‬נקודה ‪ E‬היא נקודת מפגש גבהים‬ ‫במשולש‪ ,‬נקודה ‪ G‬היא מרכז המעגל החוסם את ‪, ABC‬‬ ‫‪) GL ⊥ AC , GK ⊥ AB‬ראה ציור(‪.‬‬ ‫א‪ .‬הוכח‪. BEC ∼ LGK :‬‬ ‫ב‪ .‬הוכח‪ :‬נקודת מפגש תיכונים ב‪ ABC -‬מונחת על קטע ‪EG‬‬ ‫‪L‬‬ ‫‪K‬‬ ‫‪G‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪B‬‬ ‫© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים הנדסת המישור‬