‫המעגל‬ ‫הגדרת המעגל‬ ‫הגדרה ‪:‬‬ ‫המעגל הוא אוסף של כל הנקודות הנמצאות במרחק שווה‬ ‫מנקודה קבועה הנקראת מרכז המעגל ‪.‬‬ ‫‪A‬‬ ‫למשל ‪ ,‬בציור מתואר מעגל ‪ .‬מרכז המעגל‬ ‫הוא בנקודה ‪ . O‬הנקודות ‪ B , A‬ו‪C -‬‬ ‫‪O‬‬ ‫נמצאות על המעגל ולכן הן נמצאות במרחק‬ ‫שווה ממרכז המעגל ‪ , O‬כלומר ‪. AO  BO  CO‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪B‬‬ ‫נגדיר מספר מושגים הקשורים במעגל ‪:‬‬ ‫רדיוס ) מחוג (‬ ‫– קטע המחבר את מרכז המעגל עם נקודה על המעגל ‪.‬‬ ‫מהגדרת המעגל ו מהגדרת הרדיוס‬ ‫רדיוס‬ ‫נובע שכל הרדיוסים של מעגל‬ ‫נתון שווים זה לזה ‪.‬‬ ‫קוטר‬ ‫הערה ‪ :‬נהוג לסמן את רדיוס המעגל באות ‪. R‬‬ ‫מיתר‬ ‫– קטע המחבר שתי נקודות על המעגל ‪.‬‬ ‫קוטר‬ ‫– מיתר העובר דרך מרכז המעגל ‪.‬‬ ‫מיתר‬ ‫הקוטר שווה לפעמיים הרדיוס ולכן כל הקטרים שווים זה לזה ‪.‬‬ ‫קשת‬ ‫– חלק המעגל המוגבל על ידי שתי נקודות הנמצאות על המעגל ‪.‬‬ ‫אם הנקודות ‪ A‬ו‪ B -‬נמצאות על מעגל ‪,‬‬ ‫הן יוצרות שתי קשתות ‪ .‬אם שתי הקשתות‬ ‫אינן שוות ‪ ,‬הכוונה תהיה לקשת הקטנה‬ ‫מבין השתיים ‪ ,‬אלא אם נאמר אחרת ‪.‬‬ ‫את הק שת ‪ AB‬מסמנים ‪‬‬ ‫‪. AB‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪A‬‬ ‫דוגמה ‪:‬‬ ‫הנקודות ‪ B , A‬ו‪ C -‬נמצאות‬ ‫‪C‬‬ ‫על מעגל שמרכזו בנקודה ‪. O‬‬ ‫‪O‬‬ ‫נתון ‪ AC :‬חוצה את הזווית ‪. OAB‬‬ ‫הוכח ‪. OC  AB :‬‬ ‫‪B‬‬ ‫פתרון ‪:‬‬ ‫‪A‬‬ ‫על פי הנתון ‪ AC ,‬חוצה את הזווית ‪, OAB‬‬ ‫כלומר ‪. BAC  OAC‬‬ ‫הנקודה ‪ O‬היא מרכז המעגל ‪ ,‬כלומר ‪ OA‬ו‪ OC -‬הם רדיוסים‬ ‫במעגל ולכן ‪ ) OA  OC‬במעגל ‪ ,‬כל הרדיוסים שווים זה לזה (‪.‬‬ ‫נתבונן במשולש ‪ . AOC‬ידוע כי ‪ , OA  OC‬כלומר המ שולש ‪ AOC‬הוא‬ ‫שווה‪ -‬שוקיים ומכאן נקבל ‪ ) OCA  OAC‬במשולש שווה‪ -‬שוקיים‬ ‫זוויות הבסיס שוות זו לזו (‪ .‬קיבלנו ‪OCA  OAC , BAC  OAC :‬‬ ‫ולכן ‪ ) OCA  BAC‬שתי הזוויות שוות ל‪.( OAC -‬‬ ‫קיבלנו ‪ OCA  BAC :‬ולכן ‪ ) OC  AB‬אם שני ישרים נחתכים על ידי‬ ‫ישר שלישי ונוצרות זוויות מתחלפות שוות ‪ ,‬אז שני הישרים מקבילים (‪.‬‬ ‫‪.1‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪C‬‬ ‫הנקודות ‪ C , B , A‬ו‪ D -‬נמצא ו ת‬ ‫על מעגל שמרכז ו בנקודה ‪. O‬‬ ‫‪D‬‬ ‫נתון ‪. AB  DC :‬‬ ‫‪O‬‬ ‫הוכח ‪. B  C :‬‬ ‫‪.2‬‬ ‫‪A‬‬ ‫הנקודות ‪ B , A‬ו‪ C -‬נמצאות‬ ‫על מעגל שמרכזו בנקודה ‪. O‬‬ ‫‪O‬‬ ‫הרדיוס ‪ OC‬חוצה את הזווית ‪. AOB‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪B‬‬ ‫הוכח ‪ OC :‬חוצה את הזווית ‪. ACB‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪.3‬‬ ‫הנקודות ‪ A‬ו‪ C -‬נמצאות‬ ‫‪A‬‬ ‫על מעגל שמרכזו בנקודה ‪. O‬‬ ‫‪ BO‬חוצה את הזווית ‪. AOC‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪O‬‬ ‫א ‪ .‬הוכח ‪ :‬המרובע ‪ ABCO‬הוא דלתון ‪.‬‬ ‫ב ‪ .‬הוכח ‪. AC  BO :‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪.4‬‬ ‫‪A‬‬ ‫הנקודות ‪ B , A‬ו‪ C -‬נמצאות‬ ‫על מעגל שמרכזו בנקודה ‪. O‬‬ ‫נתון ‪. BAC  68 , ABO  31 :‬‬ ‫א ‪ .‬חשב את הזווית ‪. CAO‬‬ ‫‪C‬‬ ‫ב ‪ .‬חשב את הזווית ‪. BCO‬‬ ‫תשובה ‪:‬‬ ‫‪.5‬‬ ‫‪B‬‬ ‫ב ‪. 22 .‬‬ ‫‪A‬‬ ‫בציור מתואר מעגל שמרכזו ‪O‬‬ ‫נמצא על ה קטע ‪. BC‬‬ ‫נתון ‪. ACB  58 , AB  AC :‬‬ ‫חשב את הזווית ‪. CAO‬‬ ‫תשובה ‪:‬‬ ‫‪.6‬‬ ‫א ‪. 37 .‬‬ ‫‪O‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪O‬‬ ‫‪. 6‬‬ ‫הנקודות ‪ B , A‬ו‪ C -‬נמצאות‬ ‫‪C‬‬ ‫על מעגל שמרכזו בנקודה ‪. O‬‬ ‫‪O‬‬ ‫נתון ‪. OC  AB :‬‬ ‫הוכח ‪ AC :‬חוצה את הזווית ‪. OAB‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪.7‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪ AB‬הוא קוטר במעגל שמרכזו בנקודה ‪. O‬‬ ‫הנקודה ‪ E‬נמצאת על המעגל ‪.‬‬ ‫‪E‬‬ ‫נתון ‪. OE  BC :‬‬ ‫‪O‬‬ ‫הוכח ‪. AB  BC :‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪.8‬‬ ‫‪ AB‬הוא מיתר במעגל שמרכזו בנקודה ‪. O‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪B‬‬ ‫הנקודה ‪ D‬נמצאת על המשך‬ ‫הרדיוס ‪ . OB‬נתון ‪. AOB  BAD :‬‬ ‫הוכח ‪. AB  AD :‬‬ ‫‪O‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪.9‬‬ ‫המשולש ‪ ABO‬הוא שווה שוקיים )‪. (AB  AO‬‬ ‫הנקודה ‪ O‬היא מרכז המעגל ‪.‬‬ ‫‪O‬‬ ‫הוכח ‪. BOD  BAO :‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪. 10‬‬ ‫‪B‬‬ ‫הקטרים ‪ AC‬ו‪ BD -‬של מעגל מאונכים זה לזה ‪.‬‬ ‫הוכח ‪ :‬המרובע ‪ ABCD‬הוא ריבוע ‪.‬‬ ‫‪. 11‬‬ ‫במעגל שמרכזו ‪ O‬ורדיוסו ‪ 6‬ס " מ המיתר ‪BD‬‬ ‫חותך את הקוטר ‪ AC‬בנקודה ‪. E‬‬ ‫מהנקודות ‪ A‬ו‪ C -‬מורידים אנכים ‪ AF‬ו‪CG -‬‬ ‫למיתר ‪ . BD‬נתון ‪. GCE  30 :‬‬ ‫חשב את אורך הקטע ‪. GF‬‬ ‫תשובה ‪:‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪G‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪ 6‬ס"מ‪.‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪. 12‬‬ ‫הנקודות ‪ B , A‬ו‪ C -‬נמצאות על‬ ‫מעגל שמרכזו בנקודה ‪. O‬‬ ‫נתון ‪. AB  AC :‬‬ ‫‪O‬‬ ‫הוכח ‪. BAO  CAO :‬‬ ‫‪. 13‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪B‬‬ ‫הנקודות ‪ C , B , A‬ו‪ D -‬נמצאות על מעגל‬ ‫שמרכזו ‪ O‬כך ש‪ DC -‬הוא קוטר במעגל ‪.‬‬ ‫נתון ‪ . AD  BC :‬הוכח ‪. AB  DC :‬‬ ‫הדרכה ‪:‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪O‬‬ ‫חבר את ‪ O‬עם ‪ A‬ואת ‪ O‬עם ‪. B‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪. 14‬‬ ‫‪ AB‬ו‪ AC -‬הם מיתרים במעגל שמרכזו ‪. O‬‬ ‫הקוטר ‪ TS‬חותך את המיתרים ‪ AB‬ו‪AC -‬‬ ‫בנקודות ‪ P‬ו‪ Q -‬בהתאמה ‪.‬‬ ‫נתון ‪. OP  OQ , AP  AQ :‬‬ ‫הוכח ‪. AB  AC :‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪S‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪Q‬‬ ‫‪O‬‬ ‫‪P‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪. 15‬‬ ‫‪ AB‬הוא קוטר ב מעגל שמרכזו בנקודה ‪. O‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪ CD‬הוא מיתר במעגל ‪.‬‬ ‫‪C‬‬ ‫הוכח ‪. AB  CD :‬‬ ‫הדרכה ‪ :‬חבר את נקודה ‪ O‬עם נקודה ‪C‬‬ ‫ועם נקודה ‪. D‬‬ ‫‪. 16‬‬ ‫במעגל שמרכזו ‪ , O‬המשכי הקוטר ‪AB‬‬ ‫והמיתר ‪ DC‬נפגשים בנקודה ‪. E‬‬ ‫א ‪ .‬הוכח ‪. DE  OE  OD :‬‬ ‫ב ‪ .‬הוכח ‪. DE  AE :‬‬ ‫‪. 17‬‬ ‫הנקודות ‪ A‬ו‪ B -‬נמצאות על מעגל‬ ‫‪O‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪O‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪C‬‬ ‫שמרכזו בנקודה ‪. O‬‬ ‫‪ C‬היא נקודה על הרדיוס ‪. OA‬‬ ‫‪O‬‬ ‫הוכח ‪. AC  BC :‬‬ ‫זווית מרכזית‪ ,‬קשתות‪ ,‬מיתרים‬ ‫זווית מרכזית היא זווית שקדקודה נמצא במרכז המעגל ושוקיה‬ ‫הם שני רדיוסים ‪.‬‬ ‫למשל ‪ ,‬אם הנקודה ‪ O‬היא מרכז‬ ‫‪O‬‬ ‫המעגל ‪ ,‬והנקודות ‪ A‬ו‪ B -‬על המעגל ‪,‬‬ ‫אז הזווית ‪ AOB‬היא זווית מרכזית ‪.‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪A‬‬ ‫לכל זווית מרכזית יש קשת ה מתאימה לה ומיתר ה מתאים לה ‪.‬‬ ‫למשל ‪ ,‬לזווית ‪ AOB‬מתאימה הקשת ‪‬‬ ‫‪ AB‬והמיתר המתאים לז ווית‬ ‫הוא המיתר ‪. AB‬‬ ‫נהוג לומר שזווית מרכזית נשענת על הקשת המתאימה לה ‪.‬‬ ‫למשל ‪ ,‬הזווית ‪ AOB‬נשענת על הקשת ‪‬‬ ‫‪. AB‬‬ ‫נהוג לומר שגודל הקשת‬ ‫במעלות‬ ‫שווה לזווית המרכזית הנשענת‬ ‫על אותה קשת ‪.‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪A‬‬ ‫למ של ‪ ,‬אם במעגל שמרכזו ‪O‬‬ ‫נתון ‪ , AOB  80 :‬אז הקשת ‪AB‬‬ ‫‪O‬‬ ‫‪B‬‬ ‫שווה אף היא ל‪ , 80 -‬כלומר ‪  80‬‬ ‫‪. AB‬‬ ‫‪‬‬ ‫הערה ‪:‬‬ ‫מדידת הקשת במעלות אינה מייצגת את אורך הקשת אלא רק‬ ‫א ת החלק של הקשת מתוך כל מעגל ‪.‬‬ ‫כדי להבין זאת טוב יותר נתבונן במעגל‬ ‫‪B‬‬ ‫‪C‬‬ ‫שמשמאל ונבנה כמה זוויות מרכזיות ‪.‬‬ ‫אפשר לראות שסכום ‪ 6‬הזוויות המרכזיות‬ ‫‪D‬‬ ‫הוא ‪ , 360‬ולכן גם סכום ‪ 6‬הקשתות‬ ‫‪  BC‬‬ ‫‪  CD‬‬ ‫‪  DE‬‬ ‫‪  EF‬‬ ‫‪  FA‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ AB‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪E‬‬ ‫הוא ‪. 360‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪ , AB‬אז החלק של הקשת ‪‬‬ ‫למעשה ‪ ,‬אם נתון ‪  80 :‬‬ ‫‪ AB‬הוא ‪80‬‬ ‫מתוך ‪ , 80  2 . 360‬כלומר החלק של הקשת ‪‬‬ ‫‪ AB‬הוא ‪ 2‬מהאורך‬ ‫‪360 9‬‬ ‫‪9‬‬ ‫של קשת המעגל ‪.‬‬ ‫בהמשך נראה כי אפשר ניתן לרשום גם ‪ 10‬ס " מ ‪ ‬‬ ‫‪ AB‬ואז הכוונה תהיה‬ ‫שאורך הקשת הוא ‪ 10‬ס " מ ‪.‬‬ ‫משפט ‪ :‬במעגל ‪ ,‬זו ויות מרכזיות שוות נשענות על קשתות שוות ‪,‬‬ ‫ולה י פך ‪ :‬על קשתות שוות נשענות זוויות מרכזיות שוות ‪.‬‬ ‫אם נתון ‪, AOB  COD :‬‬ ‫‪  CD‬‬ ‫אז ‪‬‬ ‫‪. AB‬‬ ‫‪O‬‬ ‫‪  CD‬‬ ‫אם נתון ‪ :‬‬ ‫‪, AB‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪D‬‬ ‫אז ‪. AOB  COD‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪B‬‬ ‫משפט ‪ :‬במעגל ‪ ,‬זוויו ת מרכזיות שוות נשענות על מיתרים שווים ‪,‬‬ ‫ולהיפך ‪ :‬למיתרים שווים מתאימות זוויות מרכזיות שוות ‪.‬‬ ‫אם נתון ‪ , AOB  COD :‬אז ‪. AB  CD‬‬ ‫אם נתון ‪ , AB  CD :‬אז ‪. AOB  COD‬‬ ‫משפט ‪ :‬במעגל ‪ ,‬למיתרים שו וים מתאימות קשתות שוות ‪,‬‬ ‫ולהיפך ‪ :‬על קשתות שוות נשענים מיתרים שווים ‪.‬‬ ‫‪  CD‬‬ ‫אם נתון ‪ , AB  CD :‬אז ‪‬‬ ‫‪. AB‬‬ ‫‪  CD‬‬ ‫אם נתון ‪ :‬‬ ‫‪ , AB‬אז ‪. AB  CD‬‬ ‫‪6‬‬ ‫משפט ‪ :‬לזוויות מרכזיות שונות מתאימות קשתות שונו ת ‪ ,‬כך שלזווית‬ ‫המרכזית הגדולה מבין השתיים מתאימה הקשת הגדולה מבין‬ ‫השתיים ‪ ,‬ולהיפך ‪.‬‬ ‫‪. 18‬‬ ‫מצא את גודלה של קשת במעלות אם ידוע שהיא מהווה ‪:‬‬ ‫ב ‪ 52 .‬מהיקף המעגל ‪.‬‬ ‫א ‪ 1 .‬מהיקף המעגל ‪.‬‬ ‫‪8‬‬ ‫א ‪ . 45 .‬ב ‪. 144 .‬‬ ‫תשובה ‪:‬‬ ‫‪. 19‬‬ ‫מצא איזה חלק מקשת המעגל מהווה קשת ‪:‬‬ ‫א ‪ .‬שגודלה ‪. 60‬‬ ‫א‪ . 1 .‬ב‪. 5 .‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪6‬‬ ‫תשובה ‪:‬‬ ‫‪. 20‬‬ ‫ב ‪ .‬שגודלה ‪. 225‬‬ ‫ג ‪ .‬שגודלה ‪. 288‬‬ ‫ג ‪. 54 .‬‬ ‫א ‪ .‬מחלקים מעגל ל‪ 9 -‬קשתות שוות ‪ .‬מהו גודלה של כל קשת במעלות ?‬ ‫‪‬‬ ‫ב ‪ .‬חילקו מעגל לקשתות שוות ‪ .‬גודלה של כל אחת מהקשתות הוא ‪. 72‬‬ ‫לכמה קש תות חילקו את המעגל ?‬ ‫ג ‪ .‬מחלקים מעגל ל‪ 3 -‬קשתות שהיחס בין אורכיהן הוא ‪. 1: 3 : 4‬‬ ‫מהו גודלה של כל קשת במעלות ?‬ ‫תשובה ‪:‬‬ ‫‪. 21‬‬ ‫א ‪. 40 .‬‬ ‫ב ‪ . 5 .‬ג ‪. 180 , 135 , 45 .‬‬ ‫הנקודות ‪ C , B , A‬ו‪ D -‬נמצאות‬ ‫‪A‬‬ ‫‪B‬‬ ‫על מעגל שמרכזו בנקודה ‪. O‬‬ ‫א ‪ .‬נתון ‪  110 :‬‬ ‫‪. AB‬‬ ‫‪O‬‬ ‫מהו גודל הזווית ‪? AOB‬‬ ‫ב ‪ .‬נתון ‪  50 :‬‬ ‫‪ . DC‬חשב את הזווית ‪. ODC‬‬ ‫‪‬‬ ‫תשובה ‪:‬‬ ‫‪. 22‬‬ ‫א ‪. 110 .‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪C‬‬ ‫ב ‪. 65 .‬‬ ‫הנקודות ‪ C , B , A‬ו‪ D -‬נמצאות‬ ‫על מעגל שמרכזו בנקודה ‪. O‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪  DC‬‬ ‫‪  BC‬‬ ‫‪ , AB‬‬ ‫נתון ‪  132 :‬‬ ‫‪. AD‬‬ ‫‪O‬‬ ‫א ‪ .‬חשב את הזווית ‪. AOD‬‬ ‫ב ‪ .‬חשב את הזווית ‪. OCD‬‬ ‫‪C‬‬ ‫ג ‪ .‬הוכח ‪. AB  DC :‬‬ ‫תשובה ‪:‬‬ ‫א ‪. 76 .‬‬ ‫ב ‪. 52 .‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪. 23‬‬ ‫הנקודות ‪ C , B , A‬ו‪ D -‬נמצאות‬ ‫על מעגל שמרכזו בנקודה ‪. O‬‬ ‫‪O‬‬ ‫נתון ‪. AOB  COD :‬‬ ‫‪  BD‬‬ ‫א ‪ .‬הוכח ‪ :‬‬ ‫‪. AC‬‬ ‫‪A‬‬ ‫ב ‪ .‬הוכח ‪. AC  BD :‬‬ ‫‪. 24‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪ AB‬הוא קוטר במעגל שמרכזו בנקודה ‪. O‬‬ ‫הנקודות ‪ C‬ו‪ D -‬נמצאות על הקשת ‪. AB‬‬ ‫‪  DC‬‬ ‫נתון ‪ :‬‬ ‫‪. AC‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪O‬‬ ‫הוכח ‪. CO  DB :‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪. 25‬‬ ‫מנקודה ‪ C‬הנמצאת על הקשת ‪AB‬‬ ‫של מעגל ‪ O‬מורידים אנכים ‪CD‬‬ ‫ו‪ CE -‬לרדיוסים ‪ OA‬ו‪. OB -‬‬ ‫נתון ‪. CD  CE :‬‬ ‫א ‪ .‬הוכח ‪. DOC  EOC :‬‬ ‫ב ‪ .‬הוכח ‪ :‬הנקודה ‪ C‬היא אמצע הקשת ‪. AB‬‬ ‫‪. 26‬‬ ‫הנקודות ‪ B , A‬ו‪ C -‬נמצאות‬ ‫‪A‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪O‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪B‬‬ ‫על מעגל שמרכזו ‪. O‬‬ ‫נתון ‪:‬‬ ‫‪O‬‬ ‫‪. AC  BC‬‬ ‫‪‬‬ ‫הוכח ‪. AOC  ACB  180 :‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪. 27‬‬ ‫‪ AB‬הוא קוטר במעגל שמרכזו ‪. O‬‬ ‫‪ C‬נקודה על הרדיוס ‪. OA‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪ D‬ו‪ E -‬הן נקודות על המעגל‬ ‫‪  BE‬‬ ‫כך ש‪ -‬‬ ‫‪ ) BD‬ראה ציור (‪.‬‬ ‫‪A‬‬ ‫הוכח ‪. CD  CE :‬‬ ‫הדרכה ‪ :‬חבר את נקודה ‪ O‬עם הנקודה ‪D‬‬ ‫ו עם הנקודה ‪. E‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪O‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪. 28‬‬ ‫הקטע ‪ AD‬חותך ממעגל שמרכזו ‪O‬‬ ‫מיתר ‪ . BC‬נתון ‪. OA  OD :‬‬ ‫הקטעים ‪ AO‬ו‪ DO -‬חותכים את המעגל‬ ‫בנקודות ‪ E‬ו‪ F -‬בהתאמה ‪.‬‬ ‫א ‪ .‬הוכח ‪. AB  CD :‬‬ ‫ב ‪ .‬הוכח ‪. BE  CF :‬‬ ‫‪. 29‬‬ ‫הנ קודות ‪ C , B , A‬ו‪D -‬‬ ‫‪O‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪C‬‬ ‫נמצאות על מעגל ‪.‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪  CD‬‬ ‫נתון ‪ :‬‬ ‫‪. AB‬‬ ‫‪B‬‬ ‫הוכח ‪. AC  BD :‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪. 30‬‬ ‫במרובע ‪ ABCD‬האלכ סון ‪AC‬‬ ‫חוצה את הזוויות ‪ BAD‬ו‪. BCD -‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪  AD‬‬ ‫א ‪ .‬הוכח ‪ :‬‬ ‫‪. AB‬‬ ‫ב ‪ .‬הוכח ‪ AC :‬הוא קוטר במעגל ‪.‬‬ ‫ג ‪ .‬הוכח ‪. AC  BD :‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪. 31‬‬ ‫‪F‬‬ ‫המרובע ‪ ABCD‬חסום במעגל ‪.‬‬ ‫‪ E‬ו‪ F -‬נקודות על קשת המעגל‬ ‫‪  DE‬‬ ‫‪ , BF‬‬ ‫‪  DF‬‬ ‫כך ש‪ -‬‬ ‫‪. BE‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪E‬‬ ‫הוכח ‪ EF :‬הוא קוטר במעגל ‪.‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪. 32‬‬ ‫הוכח את המשפט ‪ :‬אם שתי ז וויות מרכזיות שוות זו לזו ‪ ,‬אז המיתרים‬ ‫המתאימים להן שווים זה לזה ‪.‬‬ ‫‪. 33‬‬ ‫הוכח את המשפט ‪ :‬אם שני מיתרים שווים זה לזה ‪ ,‬אז הזוויות‬ ‫המרכזיות המתאימות להם שוות ז ו לז ו ‪.‬‬ ‫‪. 34‬‬ ‫הוכח את המשפט ‪ :‬אם שתי קשתות שוות זה לזו ‪ ,‬אז המיתרים‬ ‫המתאימים להן שווים זה לזה ‪.‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪. 35‬‬ ‫הוכ ח את המשפט ‪ :‬אם שני מיתרים שווים זה לזה ‪ ,‬אז הקשתות‬ ‫המתאימות להם שוות זו לזו ‪.‬‬ ‫‪. 36‬‬ ‫הוכח את המשפט ‪ :‬אם קשת אחת במעגל גדולה יותר מקשת שנייה ‪,‬‬ ‫אז הזווית המרכזית המתאימה לקשת האחת גדולה יותר מהזווית‬ ‫המרכזית המתאימה לקשת השנייה ‪ ,‬ולהיפך ‪.‬‬ ‫האנך ממרכז המעגל למית ר‬ ‫משפט ‪ :‬אנך ממרכז המעגל למיתר במעגל חוצה את המיתר ‪ ,‬חוצה‬ ‫את הזווית המרכזית הנשענת על המיתר וחוצה את הקשת המתאימה‬ ‫למיתר ‪.‬‬ ‫אם ‪ O‬הוא מרכז המעגל ‪ ,‬ונתון ‪:‬‬ ‫‪O‬‬ ‫‪ , OD  AB‬אז מתקיים ‪, AD  BD :‬‬ ‫‪  BC‬‬ ‫‪ , AOD  BOD‬‬ ‫‪. AC‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪C‬‬ ‫משפט ‪ :‬הקטע המחבר את מרכז המעגל עם אמצע מיתר – מאונך‬ ‫למיתר ‪.‬‬ ‫אם ‪ , AD  BD‬אז ‪. OD  AB‬‬ ‫משפט ‪ :‬קטע ממרכז המעגל החוצה את הזווית המרכזית ‪,‬‬ ‫חוצה את המיתר שעליו נשענת הז ווית ומאונך לו ‪.‬‬ ‫אם ‪ , AOC  BOC‬אז ‪. OD  AB , AD  BD‬‬ ‫משפט ‪ :‬אנך אמצעי למיתר במעגל עובר דרך מרכז המעגל ‪.‬‬ ‫‪C‬‬ ‫אם ‪ AB‬מיתר במעגל ‪ ,‬והישר ‪‬‬ ‫הוא אנך אמצעי למ יתר ‪ ,‬אז הישר ‪‬‬ ‫‪O‬‬ ‫‪B‬‬ ‫עובר דרך מרכז המעגל‬ ‫) נובע שהקטע ‪ CE‬הוא קוטר במעגל (‪.‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪‬‬ ‫דוגמה ‪:‬‬ ‫‪A‬‬ ‫המשולש ‪ ABC‬חסום במעגל‬ ‫‪E‬‬ ‫שמרכזו בנקודה ‪. O‬‬ ‫נתון ‪. DE  BC , OD  AB :‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪O‬‬ ‫הוכח ‪. OE  AC :‬‬ ‫‪B‬‬ ‫פתרון ‪:‬‬ ‫הנקודה ‪ O‬היא מרכז המעגל ‪ .‬נתון כי ‪ OD  AB‬ולכן ‪AD  DB‬‬ ‫) לפי המשפט ‪ :‬אנך ממרכז המעגל למיתר חוצה את המיתר (‪.‬‬ ‫נתבונן במשולש ‪ . ABC‬ידוע כי ‪ . AD  DB‬כמו כן ‪ ,‬על פי הנתון ‪, DE  BC‬‬ ‫ולכן נקבל ש‪ DE -‬הוא קטע אמצעים במשולש ‪ABC‬‬ ‫) לפי המשפט ‪ :‬קטע החוצה צלע אחת במשולש ומקביל לצלע שנייה הוא‬ ‫קטע אמצעים במשולש (‪ .‬מכיוון ש‪ DE -‬הוא קטע אמצעים במשולש ‪, ABC‬‬ ‫הרי הוא חוצה את הצלע השלישית ‪ , AC‬ונקבל ‪. AE  EC‬‬ ‫קיבלנו ש‪ OE -‬חוצה את המיתר ‪ AC‬ומכאן ש‪ ) OE  AC -‬לפי המשפט ‪:‬‬ ‫קטע המחבר את מרכז המעגל עם אמצע המיתר – מאונך למיתר (‪.‬‬ ‫‪. 37‬‬ ‫‪ AB‬הוא מיתר במעגל שמרכזו בנקודה ‪. O‬‬ ‫הנקודה ‪ D‬נמצאת על המיתר ‪. AB‬‬ ‫‪O‬‬ ‫נתון ‪. AD  BD :‬‬ ‫א ‪ .‬הוכח ‪. OD  AB :‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪  BC‬‬ ‫ב ‪ .‬הוכח ‪ :‬‬ ‫‪. AC‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪. 38‬‬ ‫‪ AB‬ו‪ CD -‬הם מיתרים במע גל שמרכזו‬ ‫‪C‬‬ ‫בנקודה ‪ . O‬הנקודות ‪ E‬ו‪F -‬‬ ‫הן אמצעי המיתרים ‪ AB‬ו‪CD -‬‬ ‫בהתאמה ‪ ,‬כך שהקטע ‪ EF‬נמצא‬ ‫על קו ישר ו עובר דרך הנקודה ‪. O‬‬ ‫הוכח ‪. AB  DC :‬‬ ‫‪. 39‬‬ ‫א ‪ .‬הוכח ‪. BC  DC :‬‬ ‫ב ‪ .‬הוכח ‪. AB  AD :‬‬ ‫‪O‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪ AC‬הוא קוטר ו‪ BD -‬הוא מיתר במעגל‬ ‫שמרכזו בנקודה ‪ . O‬נתון ‪. AC  BD :‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪O‬‬ ‫ג ‪ .‬האם בהכרח ‪? AE  OE‬‬ ‫תשובה ‪:‬‬ ‫ג ‪ .‬לא ‪.‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪. 40‬‬ ‫‪ AB‬ו‪ CD -‬הם מיתרים במעגל ‪ O‬המאונכים‬ ‫‪C‬‬ ‫זה לזה ‪ OE .‬ו‪ OF -‬הם אנכים ל‪ AB -‬ו ל‪. CD -‬‬ ‫נתון ‪ 16 :‬ס " מ ‪ 5 , AB ‬ס " מ ‪, GE ‬‬ ‫‪ 4‬ס " מ ‪ 3 , GC ‬ס " מ ‪. GF ‬‬ ‫‪G‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪O‬‬ ‫א ‪ .‬חשב את אורך הקטע ‪. AG‬‬ ‫ב ‪ .‬הוכח שהמרובע ‪ OEGF‬הוא מלבן ‪.‬‬ ‫‪D‬‬ ‫ג ‪ .‬חשב את אורך המיתר ‪. CD‬‬ ‫תשובה ‪:‬‬ ‫‪. 41‬‬ ‫א‪ 3 .‬ס"מ‪.‬‬ ‫ג ‪ 14 .‬ס " מ ‪.‬‬ ‫‪ AB‬ו‪ CD -‬הם מיתרים במעגל ‪ O‬המאונכים‬ ‫‪C‬‬ ‫זה לזה ‪ OE .‬ו‪ OF -‬הם אנכים ל‪ AB -‬ו ל‪. CD -‬‬ ‫נתון ‪ 10 :‬ס " מ ‪ 8 , AB ‬ס " מ ‪, CD ‬‬ ‫‪ 2‬ס " מ ‪ 1.5 , BG ‬ס " מ ‪. OE ‬‬ ‫‪G‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪F‬‬ ‫ב ‪ .‬חשב את אורך הקטע ‪. DG‬‬ ‫תשובה ‪:‬‬ ‫‪. 42‬‬ ‫ב ‪ 5.5 .‬ס " מ ‪.‬‬ ‫‪ BC‬הוא מיתר החוצה את הרדיוס ‪OE‬‬ ‫בנקודה ‪ D‬ומאונך לו ‪.‬‬ ‫הוכח שהמרו בע ‪ BOCE‬הוא מעוין‬ ‫‪B‬‬ ‫‪E‬‬ ‫וחשב את זוויותיו ‪.‬‬ ‫‪. 43‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪ AE‬הוא קוטר במעגל שמרכזו בנקודה ‪. O‬‬ ‫תשובה ‪:‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪O‬‬ ‫א ‪ .‬חשב את אורך הקטע ‪. OF‬‬ ‫א‪ 3 .‬ס"מ‪.‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪O‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪. 60 , 120 , 60 , 120‬‬ ‫‪ AB‬הוא מיתר במעגל שמרכזו בנקודה ‪. O‬‬ ‫רדיוס המעגל הוא ‪ 8‬ס " מ ‪.‬‬ ‫נתון ‪  120 :‬‬ ‫‪ D , AB‬אמצע המיתר ‪. AB‬‬ ‫המשך הקטע ‪ OD‬חותך את המעגל בנקודה ‪. E‬‬ ‫א ‪ .‬מהו מרחק הנקודה ‪ O‬מהמיתר ‪? AB‬‬ ‫ב ‪ .‬חשב את הזווית ‪. DAE‬‬ ‫תשובה ‪:‬‬ ‫א‪ 4 .‬ס"מ‪.‬‬ ‫‪O‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪E‬‬ ‫ב ‪. 30 .‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪. 44‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪ AB‬ו‪ AC -‬הם שני מיתרים שווים במעגל‬ ‫שמרכזו בנקודה ‪. O‬‬ ‫הנקודה ‪ D‬היא אמצע המיתר ‪. AB‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪O‬‬ ‫הקטע ‪ DC‬עובר דרך נקודה ‪. O‬‬ ‫‪C‬‬ ‫הוכח ‪ :‬המשולש ‪ ABC‬הוא שווה‪ -‬צלעות ‪.‬‬ ‫‪. 45‬‬ ‫‪B‬‬ ‫המשולש ‪ ABC‬חסום במעגל שמרכזו‬ ‫‪A‬‬ ‫בנקודה ‪ . O‬הנקודות ‪ D‬ו‪ E -‬נמצאות‬ ‫על הצלעות ‪ AB‬ו‪ AC -‬בהתאמה ‪.‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪D‬‬ ‫נתון ‪. OE  AC , OD  AB :‬‬ ‫‪O‬‬ ‫א ‪ .‬הוכח ‪. DE  BC :‬‬ ‫ב ‪ .‬הוכח ‪. DE  1 BC :‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪. 46‬‬ ‫המשולש ‪ ABC‬הוא משולש שווה‪ -‬צלעות‬ ‫החסום במעגל שמרכזו בנקודה ‪. O‬‬ ‫‪E‬‬ ‫נתון ‪. OF  BC , OE  AC , OD  AB :‬‬ ‫‪O‬‬ ‫הוכח ‪ :‬המשולש ‪ DEF‬הוא שווה‪ -‬צלעות ‪.‬‬ ‫‪. 47‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪ BC‬הוא קוטר במעגל שמרכזו ‪. N‬‬ ‫‪ A‬היא נקודה על מעגל זה ‪.‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪ ND‬הוא אנך ל‪ , AB -‬ו‪DE -‬‬ ‫מקביל לקוטר ‪. BC‬‬ ‫א ‪ .‬הוכח כי ‪. NE  AC‬‬ ‫ב ‪ .‬רדיוס המעגל הוא ‪ 16‬ס " מ ‪ .‬נקודה ‪ G‬היא‬ ‫אמצע ‪ . BN‬מצא את אורך הקטע ‪ . DG‬נמק ‪.‬‬ ‫תשובה ‪:‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪N‬‬ ‫ב‪ 8 .‬ס"מ‪.‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪. 48‬‬ ‫הנקודות ‪ B , A‬ו‪ C -‬נמצאות‬ ‫‪D‬‬ ‫על מעגל שמרכזו בנקודה ‪. O‬‬ ‫‪O‬‬ ‫נתון ‪. DE  AC , OD  AB :‬‬ ‫א ‪ .‬הוכח ‪. OE  BC :‬‬ ‫‪C‬‬ ‫ב ‪ .‬הוכח ‪. BF  CF :‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪13‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪. 49‬‬ ‫‪ AB‬הוא מיתר במעגל ‪ .‬הנקודות ‪ C‬ו‪D -‬‬ ‫נמצאות על היקף המעגל כך ש‪CD -‬‬ ‫חוצה את המיתר ‪ AB‬ומאונך לו ‪.‬‬ ‫הוכח ‪ CD :‬הוא קוטר במעגל ‪.‬‬ ‫‪. 50‬‬ ‫המשולש ‪ ABC‬חסום במעגל שמרכזו בנקודה ‪. O‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪A‬‬ ‫הנקודות ‪ D‬ו‪ E -‬נמצאות על המיתרים ‪ BC‬ו‪. AC -‬‬ ‫‪E‬‬ ‫נתון ‪. OE  AC , OD  BC :‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪O‬‬ ‫הקטעים ‪ AD‬ו‪ BE -‬נפגשים בנקודה ‪. F‬‬ ‫א ‪ .‬הוכח ‪. BF  2EF :‬‬ ‫ב ‪ .‬הוכח ‪. AF  2 AD :‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪. 51‬‬ ‫הנקודות ‪ A‬ו‪ B -‬נמצאות על מעגל‬ ‫שמרכזו בנקודה ‪. O‬‬ ‫‪D‬‬ ‫נתון ‪. AD  DB , AC  BC :‬‬ ‫‪O‬‬ ‫הוכח ‪. AOD  BCD :‬‬ ‫‪. 52‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪C‬‬ ‫הנקודות ‪ C , B , A‬ו‪ D -‬נמצאות‬ ‫על מעגל שמרכזו בנקודה ‪. O‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪C‬‬ ‫הרדיוסים ‪ OB‬ו‪ OC -‬חותכים‬ ‫‪F‬‬ ‫‪D‬‬ ‫את המיתר ‪ AD‬בנקודות ‪ E‬ו‪. F -‬‬ ‫‪E‬‬ ‫נתון ‪. AE  FD :‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪O‬‬ ‫א ‪ .‬הוכח ‪. OE  OF :‬‬ ‫ב ‪ .‬הוכח ‪. AB  CD :‬‬ ‫‪. 53‬‬ ‫הנקודה ‪ C‬נמצאת על הקשת ‪‬‬ ‫‪AB‬‬ ‫של מעגל שמרכזו ‪. O‬‬ ‫המיתר ‪ AB‬והקוטר ‪ OC‬נחתכים‬ ‫בנקודה ‪ . D‬נתון ‪. AD  BD :‬‬ ‫‪  BC‬‬ ‫הוכח ‪ :‬‬ ‫‪. AC‬‬ ‫‪14‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪O‬‬ ‫‪. 54‬‬ ‫הוכח את המשפט ‪ :‬האנך ממרכז המעגל למיתר חוצה את המיתר ‪,‬‬ ‫חוצה את הזווית המרכזית המתאימה למיתר וחוצה את קשת‬ ‫המתאימה למיתר ‪.‬‬ ‫‪. 55‬‬ ‫הוכח את המשפט ‪ :‬קטע המחבר את מרכז המעגל עם אמצע מיתר‬ ‫– מאונך למי תר ‪.‬‬ ‫מרחק של מיתר ממרכז המעגל‬ ‫הגדרה ‪:‬‬ ‫מרחק של מיתר ממרכז המעגל הוא אורך האנך המורד ממרכז‬ ‫המעגל אל המיתר ‪.‬‬ ‫אם ‪ AB‬הוא מיתר ונתון ‪, OD  AB :‬‬ ‫‪O‬‬ ‫אז ‪ OD‬הוא מרחק המיתר ‪AB‬‬ ‫מהמרכז ‪. O‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪A‬‬ ‫משפט ‪ :‬מיתרים שווים במעגל נמצאים במרחקים שווים ממרכז‬ ‫המעגל ‪.‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪A‬‬ ‫אם נתון ‪ O :‬מרכז המעגל ‪, AB  DC ,‬‬ ‫‪, OF  DC , OE  AB‬‬ ‫‪F‬‬ ‫אז מתקיים ‪. OE  OF :‬‬ ‫‪O‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪B‬‬ ‫משפט ‪ :‬מיתרים הנמצאים במרחקים שווים ממרכז המעגל ‪ ,‬שווים‬ ‫זה לזה ‪.‬‬ ‫אם נתון ‪ , OF  DC , OE  AB , OE  OF :‬אז מתקיים ‪. AB  DC :‬‬ ‫‪. 56‬‬ ‫‪ AB‬ו‪ AC -‬הם שני מיתרים שווים במעגל‬ ‫‪B‬‬ ‫שמרכזו ‪ . O‬הנקודות ‪ D‬ו‪ E -‬הן אמצעי‬ ‫‪D‬‬ ‫המיתרים ‪ AB‬ו‪ AC -‬בהתאמה ‪.‬‬ ‫א ‪ .‬הוכח ‪. OD  OE :‬‬ ‫‪A‬‬ ‫ב ‪ .‬נתון ‪. DOE  122 :‬‬ ‫‪E‬‬ ‫חשב את הזווית ‪. DAE‬‬ ‫תשובה ‪:‬‬ ‫‪O‬‬ ‫‪C‬‬ ‫ב ‪. 58 .‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪. 57‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪ AB‬ו‪ AC -‬הם מיתרים במעגל ‪. O‬‬ ‫הנקודות ‪ D‬ו‪ E -‬הן אמצעי המיתרים‬ ‫‪E‬‬ ‫‪ AB‬ו‪ . AC -‬נתון ‪. OD  OE :‬‬ ‫‪O‬‬ ‫א ‪ .‬הוכח ‪ :‬המרובע ‪ ADOE‬הוא דלתון ‪.‬‬ ‫ב ‪ .‬הוכח ‪. ODE  1 A :‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪. 58‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪A‬‬ ‫המשולש ‪ ABC‬הוא משולש שווה צלעות‬ ‫החסום במעגל שמרכזו בנקודה ‪. O‬‬ ‫‪E‬‬ ‫הנקודות ‪ E , D‬ו‪ F -‬הן בהתאמה‬ ‫‪D‬‬ ‫‪O‬‬ ‫א מצעי המיתרים ‪ AC , AB‬ו‪. BC -‬‬ ‫הוכח ‪. OD  OE  OF :‬‬ ‫‪. 59‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪ AB‬ו‪ DC -‬הם שני מיתרים במעגל‬ ‫‪B‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪E‬‬ ‫שמרכזו ‪ E . O‬ו‪ F -‬הן אמצעי‬ ‫‪A‬‬ ‫המיתרים ‪ AB‬ו‪ CD -‬בהתאמה ‪.‬‬ ‫‪O‬‬ ‫נתון ‪. OEF  OFE :‬‬ ‫‪C‬‬ ‫הוכח ‪. AB  DC :‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪. 60‬‬ ‫‪ AC‬ו‪ BD -‬הם שני מיתרים במעגל ‪O‬‬ ‫הנחתכים בנקודה ‪ F . E‬ו‪ G -‬הן נקודות‬ ‫על המיתרים ‪ BD‬ו‪. AC -‬‬ ‫נתון ‪ :‬המרובע ‪ GEFO‬הוא ריבוע ‪.‬‬ ‫א ‪ .‬הוכח ‪. AC  BD :‬‬ ‫ב ‪ .‬הוכח ‪. BE  CE :‬‬ ‫‪. 61‬‬ ‫המשכי המיתרים ‪ AB‬ו‪ CD -‬של מעגל‬ ‫‪B‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪O‬‬ ‫‪D‬‬ ‫שמרכזו ‪ O‬נפגשים בנקודה ‪. E‬‬ ‫‪B‬‬ ‫נתון ‪. OG  CD , OF  AB , AB  CD :‬‬ ‫א ‪ .‬הוכח ‪. FE  GE :‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪G‬‬ ‫‪O‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪16‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪E‬‬ ‫ב ‪ .‬הוכח ‪. BD  FG :‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪G‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪. 62‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪ AB‬ה וא קוטר במעגל ‪ AC . O‬ו‪CD -‬‬ ‫הם מיתרים שווים במעגל ‪.‬‬ ‫‪P‬‬ ‫נתון ‪ P :‬אמצע המיתר ‪, AC‬‬ ‫‪O‬‬ ‫‪ Q‬אמצע המיתר ‪. CD‬‬ ‫א ‪ .‬הוכח ‪. APO  DQB :‬‬ ‫‪Q‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪C‬‬ ‫ב ‪ .‬הוכח ‪. OQ  BQ :‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪. 63‬‬ ‫המשכי המיתרים ‪ AB‬ו‪ CD -‬של מעגל‬ ‫‪B‬‬ ‫שמרכזו ‪ O‬נפגשים בנקודה ‪. E‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪O‬‬ ‫נ תון ‪. AB  CD :‬‬ ‫‪D‬‬ ‫הוכח ‪. AE  CE :‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪. 64‬‬ ‫‪ AC‬ו‪ BD -‬הם שני מיתרים שווים הנפגשים‬ ‫‪B‬‬ ‫א ‪ .‬הוכח ‪ OE :‬חוצה את הזווית ‪. AED‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪E‬‬ ‫בנקודה ‪ – O . E‬מרכז המעגל ‪.‬‬ ‫ב ‪ .‬הוכח ‪ :‬המשך הקטע ‪ OE‬מאונך למיתר ‪. AD‬‬ ‫‪O‬‬ ‫‪D‬‬ ‫משפט ‪ :‬שני מיתרים במעגל שאינם שווים זה לזה ‪ ,‬נמצאים‬ ‫במרחקים שונים ממרכז המעגל ‪ ,‬כך שהמיתר הגדול מבין השניים‬ ‫קרוב יותר למרכז המעגל ‪.‬‬ ‫‪A‬‬ ‫אם נתון ‪ O :‬מרכז המעגל ‪, AB  DC ,‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪, OF  DC , OE  AB‬‬ ‫‪F‬‬ ‫אז מתקיים ‪. OE  OF :‬‬ ‫‪O‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪C‬‬ ‫משפט ‪ :‬שני מיתרים שנמצאים במרחקים שונים ממר כז המעגל‬ ‫אינם שווים זה לזה ‪ .‬המיתר הקרוב יותר למרכז הוא המיתר הגדול‬ ‫מבין השניים ‪.‬‬ ‫אם נתון ‪ O :‬מרכז המעגל ‪, OE  OF , OF  DC , OE  AB ,‬‬ ‫אז מתקיים ‪. AB  DC :‬‬ ‫‪17‬‬ ‫‪. 65‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪ AB‬ו‪ CD -‬הם מיתרים במעגל שמרכזו‬ ‫בנקודה ‪ . O‬נתון ‪, AB  DC :‬‬ ‫‪. OF  DC , OE  AB‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪O‬‬ ‫א ‪ .‬הוכח ‪. OE  OF :‬‬ ‫ב ‪ .‬הוכח ‪. OFE  OEF :‬‬ ‫‪. 66‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪A‬‬ ‫הנקודות ‪ B , A‬ו‪ C -‬נמצאות על מעגל‬ ‫שמרכזו בנקודה ‪ . O‬הנקודות ‪ D‬ו‪E -‬‬ ‫הן אמצעי המיתרים ‪ AB‬ו‪. AC -‬‬ ‫נתון ‪. OD  OE :‬‬ ‫א ‪ .‬הוכח ‪. AC  AB :‬‬ ‫ב ‪ .‬הוכח ‪. ACB  ABC :‬‬ ‫‪. 67‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪O‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪C‬‬ ‫הנקודות ‪ D‬ו‪ E -‬הן אמצעי המיתרים‬ ‫‪ AB‬ו‪ AC -‬במעגל שמרכזו בנקודה ‪. O‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪O‬‬ ‫נתון ‪. AB  AC :‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪E‬‬ ‫הוכח ‪. DF  EG :‬‬ ‫‪G‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪. 68‬‬ ‫הנקודות ‪ D‬ו‪ E -‬הן אמצעי המיתרים‬ ‫‪ AB‬ו‪ AC -‬במעגל שמרכזו בנקודה ‪. O‬‬ ‫נתון ‪. ADE  AED :‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪O‬‬ ‫א ‪ .‬הוכח ‪. BD  CE :‬‬ ‫‪E‬‬ ‫ב ‪ .‬הוכח ‪. OD  OE :‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪. 69‬‬ ‫הוכח את המשפט ‪:‬‬ ‫מיתרים השווים זה לזה נמצאים במרחקים שווים‬ ‫ממרכז המעגל ‪.‬‬ ‫‪. 70‬‬ ‫הוכח את המשפט ‪ :‬מיתרים במעגל אחד הנמצאים במרחקים שווים‬ ‫ממרכזו שווים זה לזה ‪.‬‬ ‫‪. 71‬‬ ‫הוכח את המשפט ‪ :‬במעגל ‪ ,‬אם מרחקו של מיתר ממרכז המעגל קטן‬ ‫יותר ממרחקו של מיתר אחר ‪ ,‬אז מיתר זה ארוך יותר מהמיתר האחר ‪.‬‬ ‫‪. 72‬‬ ‫הוכח את המשפט ‪ :‬במעגל ‪ ,‬אם מיתר אחד גדול יותר ממיתר אחר ‪,‬‬ ‫אז מרחקו ממרכז המעגל קטן יותר ממרחקו של המיתר האחר ‪.‬‬ ‫‪18‬‬