בעיות הספק - בעיות מילוליות

‫פתרונות‬
‫בעיות מילוליות ‪ -‬בעיות הספק‬
‫בעיות מילוליות ‪ -‬בעיות הספק‬
‫‪ 1.61‬פתרון‪:‬‬
‫נסמן‪ – x :‬מספר המכשירים שתיקן טכנאי א' בשעה אחת )קצב עבודתו(‪.‬‬
‫) ‪ – ( x − 2‬מספר המכשירים שתיקן טכנאי ב' בשעה אחת )קצב עבודתו(‪.‬‬
‫כל אחד מהטכנאים תיקן ‪ 30‬מכשירים‪ ,‬לכן‪:‬‬
‫⎞ ‪⎛ 30‬‬
‫⎟ ⎜ שעות – משך זמן עבודתו של טכנאי א'‪.‬‬
‫⎠ ‪⎝ x‬‬
‫⎞ ‪⎛ 30‬‬
‫⎜ שעות – משך זמן עבודתו של טכנאי ב'‪.‬‬
‫⎟‬
‫⎠‪⎝ x−2‬‬
‫נרכז את הנתונים בטבלה‪:‬‬
‫קצב )הספק(‬
‫זמן‬
‫העבודה‬
‫‪30‬‬
‫טכנאי א'‬
‫‪x‬‬
‫‪30‬‬
‫טכנאי ב'‬
‫‪30‬‬
‫‪x−2‬‬
‫‪x−2‬‬
‫על‪-‬פי הנתונים‪ ,‬טכנאי ב' עבד ב‪ 4 -‬שעות יותר מטכנאי א'‪ ,‬לכן נקבל את המשוואה הבאה‪:‬‬
‫‪30 30‬‬
‫‪−‬‬
‫) ‪= 4 ⋅x ( x − 2‬‬
‫⇒‬
‫) ‪30x − 30 ( x − 2 ) = 4x ( x − 2‬‬
‫⇒‬
‫‪x−2 x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x1 = 5, x 2 = −3‬‬
‫⇒‬
‫‪x 2 − 2x − 15 − 0‬‬
‫⇒‬
‫‪30‬‬
‫‪4x 2 − 8x − 60 = 0 / : 4‬‬
‫⇒‬
‫נפסול את התוצאה ‪ , x = −3‬כי קצב העבודה הוא ערך חיובי‪ ,‬לכן ‪ . x = 5‬קיבלנו כי טכנאי א'‬
‫תיקן ‪ 5‬מכשירים בשעה אחת וטכנאי ב' תיקן ‪ 3‬מכשירים בשעה אחת‪.‬‬
‫תשובה‪. 3, 5 :‬‬
‫‪ 1.62‬פתרון‪:‬‬
‫נסמן‪ – x :‬מספר המ"ר שריצף פועל א' ביום עבודה אחד )קצב עבודתו של פועל א' (‪.‬‬
‫)‪ – ( x + 3‬מספר המ"ר שריצף פועל ב' ביום עבודה אחד )קצב עבודתו של פועל ב' (‪.‬‬
‫⎞ ‪⎛ 84‬‬
‫⎟ ⎜ ימים – משך זמן עבודתו של פועל א'‪.‬‬
‫⎠ ‪⎝ x‬‬
‫© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים‬
‫‪79‬‬
‫פתרונות‬
‫בעיות מילוליות ‪ -‬בעיות הספק‬
‫⎞ ‪⎛ 85‬‬
‫⎜ ימים – משך זמן עבודתו של פועל ב'‪.‬‬
‫⎟‬
‫⎠‪⎝ x +3‬‬
‫נרכז את הנתונים בטבלה‪:‬‬
‫זמן‬
‫‪84‬‬
‫‪x‬‬
‫‪85‬‬
‫‪x +3‬‬
‫פועל א'‬
‫פועל ב'‬
‫קצב )הספק(‬
‫העבודה‬
‫‪x‬‬
‫‪84‬‬
‫‪x+3‬‬
‫‪85‬‬
‫על‪-‬פי הנתונים‪ ,‬פועל א' עבד ביום אחד יותר מפועל ב'‪ ,‬לכן נקבל את המשוואה הבאה‪:‬‬
‫⇒‬
‫‪x1 = 14, x 2 = −18‬‬
‫⇒‬
‫)‪84 ( x + 3) − 85x = x ( x + 3‬‬
‫‪x 2 + 4x − 252 = 0‬‬
‫⇒‬
‫⇒‬
‫) ‪⋅x ( x + 3‬‬
‫‪84 85‬‬
‫‪−‬‬
‫‪=1‬‬
‫‪x x+3‬‬
‫‪84x + 252 − 85x = x 2 + 3x‬‬
‫⇒‬
‫נפסול את התוצאה ‪ , x = −18‬כי קצב העבודה הוא ערך חיובי‪ ,‬לכן ‪ . x = 14‬כלומר‪ ,‬הפועל‬
‫הראשון ריצף ‪ 14‬מ"ר ליום עבודה אחד והפועל השני ריצף ‪ 17‬מ"ר ליום‪.‬‬
‫תשובה‪ 14 :‬מ"ר‪ 17 ,‬מ"ר‪.‬‬
‫‪ 1.63‬פתרון‪:‬‬
‫נסמן‪ – x :‬מספר חלקי חילוף מסוג א' שהפועל מכין ביום עבודה אחד‬
‫‪ – y‬מספר חלקי חילוף מסוג ב' שהפועל מכין ביום עבודה אחד‬
‫‪42‬‬
‫‪x‬‬
‫‪30‬‬
‫ימים – הזמן הדרוש לפועל להכין את כל חלקי החילוף מסוג ב'‬
‫‪y‬‬
‫ימים – הזמן הדרוש לפועל להכין את כל חלקי החילוף מסוג א'‬
‫לפי הנתונים‪ ,‬הזמן הדרוש לפועל להכין את כל חלקי החילוף הוא ‪ 6‬ימים‪ ,‬לכן נקבל את‬
‫המשוואה הראשונה‪:‬‬
‫‪42 30‬‬
‫‪+‬‬
‫‪=6‬‬
‫‪x‬‬
‫‪y‬‬
‫נוסף על כך‪ ,‬נתון כי לאחר שהפועל הכין במשך יומיים חלקי חילוף מסוג א' ובמשך יום אחד‬
‫הכין חלקי חילוף מסוג ב'‪ ,‬הוא סיים להכין ‪ 38‬חלקי חילוף‪ .‬לכן המשוואה השנייה היא‪:‬‬
‫‪2x + y = 38‬‬
‫נפתור את מערכת המשוואות הבאה‪:‬‬
‫© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים‬
‫‪80‬‬
‫בעיות מילוליות ‪ -‬בעיות הספק‬
‫) ‪⋅x ( 38 − 2x‬‬
‫⇒‬
‫⇒‬
‫פתרונות‬
‫‪7‬‬
‫‪5‬‬
‫‪+‬‬
‫‪=1‬‬
‫‪x 38 − 2x‬‬
‫‪⎧7 5‬‬
‫‪⎪ + =1‬‬
‫‪⎨x y‬‬
‫‪⎪ y = 38 − 2x‬‬
‫⎩‬
‫⇒‬
‫‪266 − 14x + 5x = 38x − 2x 2‬‬
‫‪x 2 = 9.5‬‬
‫‪x1 = 14,‬‬
‫⇒‬
‫⇒‬
‫‪47 ± 9‬‬
‫‪4‬‬
‫‪:6‬‬
‫⇒‬
‫‪⎧ 42 30‬‬
‫‪=6‬‬
‫‪⎪ +‬‬
‫‪y‬‬
‫‪⎨x‬‬
‫‪⎪2x + y = 38‬‬
‫⎩‬
‫) ‪7 ( 38 − 2x ) + 5x = x ( 38 − 2x‬‬
‫⇒‬
‫‪2x 2 − 47x + 266 = 0‬‬
‫⇒‬
‫= ‪x1,2‬‬
‫⇒‬
‫נפסול את התוצאה ‪ , x = 9.5‬כי מספר חלקי החילוף הוא מספר טבעי‪ ,‬לכן ‪ . x = 14‬נציב את‬
‫‪ x = 14‬במשוואה ‪ 2x + y = 38‬ונקבל‪ . y = 10 :‬כלומר‪ ,‬הפועל מכין ‪ 14‬חלקי חילוף מסוג א' או‬
‫‪ 10‬חלקי חילוף מסוג ב' ביום עבודה אחד‪.‬‬
‫תשובה‪. 10 , 14 :‬‬
‫‪ 1.64‬פתרון‪:‬‬
‫נסמן‪ – x :‬מספר העמודים שהקלדנית תכננה להקליד ביום אחד )הקצב המתוכנן(‪.‬‬
‫‪360‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ – 3x‬מספר העמודים שהקלדנית הקלידה ב‪ 3 -‬הימים הראשונים‪.‬‬
‫ימים – משך הזמן המתוכנן לסיום העבודה‪.‬‬
‫) ‪( 360 − 3x‬‬
‫)‪ – ( x − 1‬מספר העמודים שהקלדנית הקלידה ביום אחד בשלב השני )הקצב החדש(‪.‬‬
‫– מספר העמודים שנותרו להקליד‪.‬‬
‫‪360 − 3x‬‬
‫‪x −1‬‬
‫ימים – משך זמן העבודה של הקלדנית בשלב השני‪.‬‬
‫נרכז את הנתונים בטבלה‪:‬‬
‫זמן‬
‫מתוכנן‬
‫שלב א'‬
‫בפועל‬
‫שלב ב'‬
‫קצב )הספק(‬
‫העבודה‬
‫‪x‬‬
‫‪360‬‬
‫‪x‬‬
‫‪3x‬‬
‫‪x −1‬‬
‫‪360 − 3x‬‬
‫‪360‬‬
‫‪x‬‬
‫‪3‬‬
‫‪360 − 3x‬‬
‫‪x −1‬‬
‫על‪-‬פי הנתונים‪ ,‬הקלדנית סיימה את העבודה יום אחד מאוחר יותר מהמתוכנן‪ .‬לכן‪ ,‬נקבל את‬
‫המשוואה הבאה‪:‬‬
‫⇒‬
‫)‪⋅x ( x − 1‬‬
‫⇒ ‪360x − 360 − 360x + 3x 2 = 2x 2 − 2x‬‬
‫‪360 360 − 3x‬‬
‫‪−‬‬
‫‪=2‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x −1‬‬
‫⇒‬
‫⇒‬
‫‪360‬‬
‫‪360 − 3x‬‬
‫‪= 3+‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x −1‬‬
‫)‪360 ( x − 1) − ( 360 − 3x ) ⋅ x = 2x ( x − 1‬‬
‫© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים‬
‫⇒‬
‫‪81‬‬
‫פתרונות‬
‫בעיות מילוליות ‪ -‬בעיות הספק‬
‫‪x1 = 18 , x 2 = −20‬‬
‫‪−2 ± 38‬‬
‫‪2‬‬
‫⇒‬
‫⇒‬
‫= ‪x1,2‬‬
‫‪x 2 + 2x − 360 = 0‬‬
‫⇒‬
‫נפסול את התוצאה ‪ , x = −20‬כי מספר העמודים הוא ערך חיובי‪ ,‬לכן ‪ . x = 18‬הקלדנית תכננה‬
‫‪360‬‬
‫לסיים את העבודה תוך ‪ 20‬ימים =‬
‫‪18‬‬
‫תשובה‪. 20 :‬‬
‫‪.‬‬
‫‪ 1.65‬פתרון‪:‬‬
‫נסמן‪ x :‬ק"מ – אורך הכביש שקבוצה א' סללה במשך שבוע אחד ) קצב העבודה של קבוצה א'(‪.‬‬
‫‪ y‬ק"מ – אורך הכביש שקבוצה ב' סללה במשך שבוע אחד ) קצב העבודה של קבוצה ב'(‪.‬‬
‫‪36‬‬
‫‪x‬‬
‫‪36‬‬
‫שבועות – הזמן הדרוש לקבוצה ב' לסלול ‪ 36‬ק"מ של כביש‪.‬‬
‫‪y‬‬
‫שבועות – הזמן הדרוש לקבוצה א' לסלול ‪ 36‬ק"מ של כביש‪.‬‬
‫קבוצה א' עבדה במשך ‪ 3‬שבועות שבמהלכם סללה ‪ 3x‬ק"מ מהכביש‪.‬‬
‫קבוצה ב' עבדה במשך ‪ 4‬שבועות שבמהלכם סללה ‪ 4y‬ק"מ מהכביש ובכך סיימה את סלילתו‪.‬‬
‫לכן‪ ,‬המשוואה הראשונה היא‪:‬‬
‫‪3x + 4y = 72‬‬
‫הזמן הדרוש לקבוצה ב' לסלול ‪ 36‬ק"מ של כביש‪ ,‬גדול בשבוע מהזמן הדרוש לקבוצה א' לסלול‬
‫‪36 36‬‬
‫‪−‬‬
‫‪=1‬‬
‫‪y‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ 36‬ק"מ של כביש‪ .‬לכן המשוואה השנייה היא‪:‬‬
‫נפתור את מערכת המשוואות הבאה‪:‬‬
‫⇒‬
‫‪72 − 3x‬‬
‫⎧‬
‫‪⎪⎪ y = 4‬‬
‫⎨‬
‫⎟⎞ ‪⎪ 36x − 36 ⋅ 72 − 3x = x ⎛⎜ 72 − 3x‬‬
‫⎩⎪‬
‫‪4‬‬
‫⎠ ‪⎝ 4‬‬
‫⇒‬
‫⇒‬
‫‪144x − 2592 + 108x = 72x − 3x 2‬‬
‫‪x1 = 12 , x 2 = −72‬‬
‫⇒‬
‫‪⎧4y = 72 − 3x‬‬
‫⎨‬
‫‪⎩ 36x − 36y = xy‬‬
‫⇒‬
‫‪⋅4‬‬
‫‪x 2 + 60x − 864 = 0‬‬
‫⇒‬
‫‪72 − 3x 2‬‬
‫‪4‬‬
‫‪:3‬‬
‫⇒‬
‫‪⎧3x + 4y = 72‬‬
‫⎪‬
‫‪⎨ 36 36‬‬
‫‪⎪ y − x = 1 ⋅xy‬‬
‫⎩‬
‫= ) ‪36x − 9 ( 72 − 3x‬‬
‫⇒‬
‫‪3x 2 + 180x − 2592 = 0‬‬
‫⇒‬
‫נפסול את התוצאה ‪ , x = −72‬כי אורך הכביש הוא ערך חיובי‪ ,‬לכן ‪ . x = 12‬נציב את ‪x = 12‬‬
‫‪72 − 3x‬‬
‫= ‪ y‬ונקבל כי ‪ . y = 9‬הקבוצה הראשונה סללה ‪ 12‬ק"מ במשך שבוע אחד‬
‫במשוואה‪:‬‬
‫‪4‬‬
‫של עבודה והקבוצה השנייה סללה ‪ 9‬ק"מ במשך שבוע אחד של עבודה‪.‬‬
‫תשובה‪ 12 :‬ק"מ‪ 9 ,‬ק"מ‪.‬‬
‫© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים‬
‫‪82‬‬
‫פתרונות‬
‫בעיות מילוליות ‪ -‬בעיות הספק‬
‫‪ 1.66‬פתרון‪:‬‬
‫נסמן‪ x :‬מ' – אורך התעלה שהטרקטור הראשון חפר במשך שעה אחת‪.‬‬
‫) ‪ ( x + 2‬מ' – אורך התעלה שהטרקטור השני חפר במשך שעה אחת‪.‬‬
‫‪42‬‬
‫‪x‬‬
‫‪48‬‬
‫שעות – הזמן הדרוש לטרקטור ב' לסיים את עבודתו‪.‬‬
‫‪x+2‬‬
‫שעות‬
‫– הזמן הדרוש לטרקטור א' לסיים את עבודתו‪.‬‬
‫בסיום עבודתם‪ ,‬טרקטור ב' הקדים את טרקטור א' ביותר משעה אחת‪ .‬לכן נקבל את אי השוויון‬
‫הבא‪:‬‬
‫‪42‬‬
‫‪48‬‬
‫‪−‬‬
‫‪>1‬‬
‫‪x x+2‬‬
‫לפי הנתונים‪ , x > 0 ,‬לכן נכפיל את שני אגפי אי השוויון ב‪ x ( x + 2 ) -‬ונקבל‪:‬‬
‫‪x 2 + 8x − 84 < 0‬‬
‫⇒‬
‫⇒‬
‫‪42x + 84 − 48x > x 2 + 2x‬‬
‫) ‪42 ( x + 2 ) − 48x > x ( x + 2‬‬
‫פתרונות המשוואה הריבועית ‪ x 2 + 8x − 84 = 0‬הם‪ x1 = −14 :‬ו‪ . x 2 = 6 -‬מכאן שהפתרון‬
‫של אי השוויון הוא‪. −14 < x < 6 :‬‬
‫תשובה‪. 0 < x < 6 :‬‬
‫אך כאמור לעיל‪ ,‬מתקיים ‪ x > 0‬ולכן ‪. 0 < x < 6‬‬
‫‪ 1.67‬פתרון‪:‬‬
‫נסמן‪ – x :‬מספר הפריטים שמכין פועל א' בשעה אחת‬
‫‪ – y‬מספר הפריטים שמכין פועל ב' בשעה אחת‬
‫‪40‬‬
‫‪x‬‬
‫‪40‬‬
‫שעות – הזמן הדרוש לפועל ב' להכין מחצית מכמות הפריטים‬
‫‪y‬‬
‫שעות – הזמן הדרוש לפועל א' להכין מחצית מכמות הפריטים‬
‫לפי הנתונים‪ ,‬הזמן הדרוש לפועל א' להכין ‪ 40‬פריטים גדול בשעתיים מהזמן הדרוש לפועל ב'‬
‫להכין ‪ 40‬פריטים‪ .‬לכן נקבל את המשוואה הראשונה‪:‬‬
‫‪40 40‬‬
‫‪−‬‬
‫‪=2‬‬
‫‪x‬‬
‫‪y‬‬
‫‪.‬‬
‫נוסף על כך‪ ,‬נתון שאם שני הפועלים יעבדו ביחד‪ ,‬כעבור ‪ 6‬שעות של עבודה הם יכינו‬
‫‪ 54‬פריטים‪ .‬לכן המשוואה השנייה היא‪. 6 ( x + y ) = 54 :‬‬
‫נפתור את מערכת המשוואות הבאה‪:‬‬
‫⇒‬
‫‪⎧20y − 20x = xy‬‬
‫⎨‬
‫‪⎩x = 9 − y‬‬
‫⇒‬
‫‪⋅xy‬‬
‫‪⎧ 20 20‬‬
‫‪=1‬‬
‫‪⎪ −‬‬
‫‪y‬‬
‫‪⎨x‬‬
‫‪⎪x + y = 9‬‬
‫⎩‬
‫© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים‬
‫⇒‬
‫‪⎧ 40 40‬‬
‫‪⎪ x − y = 2 :2‬‬
‫⎨‬
‫‪⎪6 ( x + y ) = 54 : 6‬‬
‫⎩‬
‫‪83‬‬
‫בעיות מילוליות ‪ -‬בעיות הספק‬
‫⇒‬
‫פתרונות‬
‫‪20y − 180 + 20y = 9y − y 2‬‬
‫⇒‬
‫‪y1 = 5, y 2 = −36‬‬
‫‪−31 ± 41‬‬
‫‪2‬‬
‫⇒‬
‫‪20y − 20 ( 9 − y ) = ( 9 − y ) ⋅ y‬‬
‫⇒‬
‫‪y 2 + 31y − 180 = 0‬‬
‫⇒‬
‫⇒‬
‫= ‪y1,2‬‬
‫נפסול את התוצאה ‪ , y = −36‬כי מספר הפריטים הוא ערך חיובי‪ ,‬לכן ‪ y = 5‬ו‪. x = 9 − 5 = 4 -‬‬
‫קיבלנו כי פועל א' מכין ‪ 4‬פריטים בשעה‪ ,‬לכן הזמן הדרוש לו להכין לבד ‪ 80‬פריטים הוא‪:‬‬
‫‪80‬‬
‫‪ 20‬שעות =‬
‫‪4‬‬
‫‪ .‬פועל ב' מכין ‪ 5‬פריטים בשעה‪ ,‬לכן הזמן הדרוש לו להכין לבד ‪ 80‬פריטים‬
‫‪80‬‬
‫הוא‪ 16 :‬שעות =‬
‫‪5‬‬
‫תשובה‪ 20 :‬שעות‪ 16 ,‬שעות‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪ 1.68‬פתרון‪:‬‬
‫נסמן‪ – x :‬מספר המדפים שהכין נגר ב' ביום אחד של עבודתו‪.‬‬
‫‪ – y‬מספר הפריטים שהכינו שני הנגרים בכל פעם )כל העבודה(‪.‬‬
‫בפעם הראשונה‪ ,‬נגר א' עבד במשך ‪ 7‬ימים‪ ,‬בקצב של ‪ 8‬מדפים ליום‪ ,‬ולכן הוא הספיק להכין‬
‫לבדו ‪ 56‬מדפים‪.‬‬
‫) ‪ – ( y − 56‬מספר המדפים הנותרים שהכינו שני הנגרים ביחד בפעם הראשונה‪.‬‬
‫) ‪(8 + x‬‬
‫– מספר המדפים שהכינו שני הנגרים ביחד ביום אחד של עבודתם‪.‬‬
‫‪y − 56‬‬
‫‪8+ x‬‬
‫‪y‬‬
‫– מספר הימים ששני הנגרים עבדו ביחד בפעם השנייה‪.‬‬
‫‪8+ x‬‬
‫⎞ ‪y − 56‬‬
‫⎛‬
‫‪ ⎜ 7 +‬ימים ובפעם השנייה‬
‫לפי הנתונים‪ ,‬בפעם הראשונה העבודה בוצעה במשך ⎟‬
‫⎠ ‪8+ x‬‬
‫⎝‬
‫‪y‬‬
‫ימים‪ .‬ידוע כי בפעם השנייה‪ ,‬העבודה בוצעה ב‪ 3 -‬ימים פחות‬
‫העבודה בוצעה במשך‬
‫‪8+ x‬‬
‫– מספר הימים ששני הנגרים עבדו ביחד בפעם הראשונה‪.‬‬
‫מאשר בפעם הראשונה‪ .‬לכן נקבל את המשוואה הבאה‪:‬‬
‫⇒‬
‫‪56‬‬
‫‪=3‬‬
‫‪8+ x‬‬
‫‪x=6‬‬
‫‪7−‬‬
‫⇒‬
‫⇒‬
‫‪y‬‬
‫‪56‬‬
‫‪y‬‬
‫‪−‬‬
‫‪−‬‬
‫‪=3‬‬
‫‪8+ x 8+ x 8+ x‬‬
‫‪14 = 8 + x‬‬
‫⇒‬
‫‪:4‬‬
‫‪7+‬‬
‫⇒‬
‫) ‪56 = 4 ( 8 + x‬‬
‫‪y − 56‬‬
‫‪y‬‬
‫‪−‬‬
‫‪=3‬‬
‫‪8+ x 8+ x‬‬
‫‪56‬‬
‫⇒‬
‫‪=4‬‬
‫⇒‬
‫‪8+ x‬‬
‫‪7+‬‬
‫קיבלנו כי נגר ב' מכין ‪ 6‬מדפים ביום‪.‬‬
‫תשובה‪. 6 :‬‬
‫© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים‬
‫‪84‬‬
‫פתרונות‬
‫בעיות מילוליות ‪ -‬בעיות הספק‬
‫‪ 1.69‬פתרון‪:‬‬
‫בבעיות הספק המבוססות על ביצוע חלקים מהעבודה נסמן ב‪ 1 -‬את העבודה השלמה‪.‬‬
‫התוצאה שתתקבל אינה תלויה בכמות העבודה ולכן אין צורך לסמן את כמות העבודה במשתנה‪.‬‬
‫נסמן‪ – 1 :‬העבודה השלמה‪.‬‬
‫‪ x‬ימים – הזמן הדרוש לפועל א' לבצע לבדו את כל העבודה‪.‬‬
‫)‪ ( x + 3‬ימים – הזמן הדרוש לפועל ב' לבצע לבדו את כל העבודה‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪x‬‬
‫– קצב העבודה )ההספק( של פועל א'‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪x +3‬‬
‫‪8‬‬
‫– החלק מהעבודה שמבוצע על‪-‬ידי פועל א' במשך ‪ 8‬ימים‪.‬‬
‫‪x‬‬
‫‪5‬‬
‫– החלק מהעבודה שמבוצע על‪-‬ידי פועל ב' במשך ‪ 5‬ימים‪.‬‬
‫‪x +3‬‬
‫– קצב העבודה )ההספק( של פועל ב'‪.‬‬
‫נרכז את הנתונים בטבלה‪:‬‬
‫זמן‬
‫לבד‬
‫פועל א'‬
‫‪x‬‬
‫פועל ב'‬
‫)‪( x + 3‬‬
‫פועל א'‬
‫‪8‬‬
‫קצב )הספק(‬
‫‪1‬‬
‫‪x‬‬
‫‪1‬‬
‫‪x +3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪x‬‬
‫‪1‬‬
‫‪x +3‬‬
‫בפועל‬
‫פועל ב'‬
‫‪5‬‬
‫העבודה‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪8‬‬
‫‪x‬‬
‫‪5‬‬
‫‪x +3‬‬
‫לפי הנתונים‪ ,‬אם פועל א' יעבוד לבדו במשך ‪ 8‬ימים ואחריו פועל ב' יעבוד לבדו במשך ‪ 5‬ימים‪,‬‬
‫ביחד‪ ,‬הם יסיימו את כל העבודה‪ .‬המשוואה המתקבלת היא‪:‬‬
‫)‪8 ( x + 3) + 5x = x ( x + 3‬‬
‫⇒‬
‫‪x1 = 12, x 2 = −2‬‬
‫⇒‬
‫‪x 2 − 10x − 24 = 0‬‬
‫⇒‬
‫⇒‬
‫) ‪⋅x ( x + 3‬‬
‫‪8‬‬
‫‪5‬‬
‫‪+‬‬
‫‪=1‬‬
‫‪x x+3‬‬
‫‪8x + 24 + 5x = x 2 + 3x‬‬
‫⇒‬
‫נפסול את התוצאה ‪ , x = −2‬כי זמן הוא ערך חיובי‪ ,‬לכן ‪ . x = 12‬פועל א' מבצע לבדו את כל‬
‫העבודה תוך ‪ 12‬ימים ופועל ב' מבצע לבדו את כל העבודה תוך ‪ 15‬ימים = ‪.12 + 3‬‬
‫תשובה‪ 12 :‬ימים‪ 15 ,‬ימים‪.‬‬
‫© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים‬
‫‪85‬‬
‫פתרונות‬
‫בעיות מילוליות ‪ -‬בעיות הספק‬
‫‪ 1.70‬פתרון‪:‬‬
‫נסמן‪ – 1 :‬העבודה השלמה )נפח המכלית(‪.‬‬
‫‪ x‬דקות – הזמן הדרוש לברז ב' למלא את המכלית לבדו‪.‬‬
‫) ‪ ( x + 10‬דקות – הזמן הדרוש לברז א' למלא את המכלית לבדו‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪x‬‬
‫– קצב העבודה של ברז ב'‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪x + 10‬‬
‫‪12‬‬
‫– החלק מהעבודה שבוצע על‪-‬ידי ברז ב' תוך ‪ 12‬דקות‪.‬‬
‫‪x‬‬
‫‪12‬‬
‫– החלק מהעבודה שבוצע על‪-‬ידי ברז א' תוך ‪ 12‬דקות‪.‬‬
‫‪x + 10‬‬
‫– קצב העבודה של ברז א'‪.‬‬
‫נרכז את הנתונים בטבלה‪:‬‬
‫לבד‬
‫זמן‬
‫קצב )הספק(‬
‫ברז א'‬
‫‪x + 10‬‬
‫ברז ב'‬
‫‪x‬‬
‫ברז א'‬
‫‪12‬‬
‫‪1‬‬
‫‪x + 10‬‬
‫‪1‬‬
‫‪x‬‬
‫‪1‬‬
‫‪x + 10‬‬
‫‪1‬‬
‫‪x‬‬
‫בפועל‬
‫ברז ב'‬
‫‪12‬‬
‫העבודה‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪12‬‬
‫‪x + 10‬‬
‫‪12‬‬
‫‪x‬‬
‫לפי הנתונים‪ ,‬שני הברזים מילאו ביחד את המכלית תוך ‪ 12‬דקות‪ .‬לכן נקבל את המשוואה‬
‫הבאה‪:‬‬
‫⇒‬
‫⇒‬
‫‪14 ± 26‬‬
‫‪2‬‬
‫= ‪x1,2‬‬
‫) ‪12x + 12 ( x + 10 ) = x ( x + 10‬‬
‫⇒‬
‫‪x 2 − 14x − 120 = 0‬‬
‫⇒‬
‫⇒‬
‫) ‪x ( x + 10‬‬
‫‪12‬‬
‫‪12‬‬
‫‪+ =1‬‬
‫‪x + 10 x‬‬
‫‪12x + 12x + 120 = x 2 + 10x‬‬
‫⇒‬
‫‪x1 = 20 , x 2 = −6‬‬
‫⇒‬
‫נפסול את התוצאה ‪ , x = −6‬כי זמן הוא ערך חיובי‪ ,‬לכן ‪ . x = 20‬ברז ב' ממלא לבדו את המכלית‬
‫תוך ‪ 20‬דקות‪ .‬ברז א' ממלא לבדו את המכלית תוך ‪ 30‬דקות = ‪. 20 + 10‬‬
‫תשובה‪ 30 :‬דקות‪ 20 ,‬דקות‪.‬‬
‫© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים‬
‫‪86‬‬
‫פתרונות‬
‫בעיות מילוליות ‪ -‬בעיות הספק‬
‫‪ 1.71‬פתרון‪:‬‬
‫נסמן‪ – 1 :‬העבודה השלמה )כמות המים בבריכה מלאה(‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪12‬‬
‫‪5‬‬
‫– החלק מהעבודה שבוצע על‪-‬ידי ברז א' תוך ‪ 5‬שעות‪.‬‬
‫‪12‬‬
‫‪1‬‬
‫– קצב העבודה של ברז ב'‪.‬‬
‫‪9‬‬
‫⎞‪⎛ 1 1‬‬
‫⎟ ‪ – ⎜ +‬קצב העבודה של שני הברזים יחד‪.‬‬
‫⎠ ‪⎝ 12 9‬‬
‫‪ x‬שעות – משך הזמן בו שני הברזים היו פתוחים יחד‪.‬‬
‫– קצב העבודה של ברז א'‪.‬‬
‫⎞‪1‬‬
‫‪⎛1‬‬
‫⎟ ‪ – x ⎜ +‬החלק מהעבודה שבוצע על‪-‬ידי שני הברזים יחד‪.‬‬
‫⎠ ‪⎝ 12 9‬‬
‫בהתאם לכך‪ ,‬נקבל את המשוואה הבאה‪:‬‬
‫‪x=3‬‬
‫⇒‬
‫‪15 + 7x = 36‬‬
‫⇒‬
‫‪⋅36‬‬
‫‪5 7‬‬
‫‪+ x =1‬‬
‫‪12 36‬‬
‫⇒‬
‫‪5‬‬
‫⎞‪⎛ 1 1‬‬
‫‪+ x⎜ + ⎟ =1‬‬
‫‪12‬‬
‫⎠ ‪⎝ 12 9‬‬
‫תחילה‪ ,‬ברז א' מילא את הבריכה לבדו במשך ‪ 5‬שעות‪ .‬לאחר מכן‪ ,‬שני הברזים מילאו יחד את‬
‫הבריכה במשך ‪ 3‬שעות נוספות‪ .‬לכן הבריכה התמלאה תוך ‪ 8‬שעות‪.‬‬
‫תשובה‪ 8 :‬שעות‪.‬‬
‫‪ 1.72‬פתרון‪:‬‬
‫נסמן‪ – 1 :‬העבודה השלמה‪.‬‬
‫‪ x‬שעות – הזמן הדרוש לטרקטור א' לחרוש לבד את השדה‪.‬‬
‫) ‪ ( x + 2‬שעות – הזמן הדרוש לטרקטור ב' לחרוש לבד את השדה‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪x‬‬
‫– קצב העבודה של טרקטור א'‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪x+2‬‬
‫‪3‬‬
‫– החלק מהעבודה שבוצע על‪-‬ידי טרקטור א' במשך ‪ 3‬שעות‪.‬‬
‫‪x‬‬
‫‪4‬‬
‫– החלק מהעבודה שבוצע על‪-‬ידי טרקטור ב' במשך ‪ 4‬שעות‪.‬‬
‫‪x+2‬‬
‫לפי הנתונים‪ ,‬שני הטרקטורים חרשו ‪ 77.5%‬מהשדה‪ .‬לכן נקבל את המשוואה הבאה‪:‬‬
‫– קצב העבודה של טרקטור ב'‪.‬‬
‫© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים‬
‫‪87‬‬
‫פתרונות‬
‫בעיות מילוליות ‪ -‬בעיות הספק‬
‫) ‪⋅40x ( x + 2‬‬
‫⇒‬
‫⇒‬
‫‪120x + 240 + 160x = 31x 2 + 62x‬‬
‫‪30‬‬
‫‪31‬‬
‫‪x1 = 8, x 2 = −‬‬
‫‪3‬‬
‫‪4‬‬
‫‪31‬‬
‫‪+‬‬
‫=‬
‫‪x x + 2 40‬‬
‫⇒‬
‫‪218 ± 278‬‬
‫‪62‬‬
‫⇒‬
‫⇒‬
‫‪3‬‬
‫‪4‬‬
‫‪+‬‬
‫‪= 0.775‬‬
‫‪x x+2‬‬
‫) ‪120 ( x + 2 ) + 160x = 31x ( x + 2‬‬
‫⇒‬
‫‪31x 2 − 218x − 240 = 0‬‬
‫⇒‬
‫⇒‬
‫= ‪x1,2‬‬
‫‪30‬‬
‫נפסול את התוצאה‪:‬‬
‫‪31‬‬
‫את כל השדה במשך ‪ 8‬שעות‪ .‬טרקטור ב' יכול לחרוש לבד את כל השדה במשך‬
‫‪ 10‬שעות = ‪. 8 + 2‬‬
‫תשובה‪ 8 :‬שעות‪ 10 ,‬שעות‪.‬‬
‫‪ , x = −‬כי זמן הוא ערך חיובי‪ ,‬לכן ‪ . x = 8‬טרקטור א' יכול לחרוש לבד‬
‫‪ 1.73‬פתרון‪:‬‬
‫נסמן‪ – 1 :‬העבודה השלמה )מספר הכיסאות בסך‪-‬הכל(‪.‬‬
‫‪ x‬ימים – הזמן הדרוש לנגר ב' לבצע את כל העבודה‪.‬‬
‫)‪ ( x + 3‬ימים – הזמן הדרוש לנגר א' לבצע את כל העבודה‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪x‬‬
‫– קצב העבודה של נגר ב'‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪x +3‬‬
‫– קצב העבודה של נגר א'‪.‬‬
‫⎞ ‪1‬‬
‫⎟‬
‫⎠‪x +3‬‬
‫‪⎛1‬‬
‫‪⎝x‬‬
‫‪ – 20 ⋅ ⎜ +‬החלק מהעבודה שמבוצע על‪-‬ידי שני הנגרים יחד במשך ‪ 20‬ימים‪.‬‬
‫לפי הנתונים‪ ,‬שני הנגרים יחד‪ ,‬במשך ‪ 20‬ימים‪ ,‬יכולים להכין מספר כיסאות הגדול פי ‪3‬‬
‫מהמספר המקורי‪ .‬לכן נקבל את המשוואה הבאה‪:‬‬
‫⇒‬
‫‪5‬‬
‫‪3‬‬
‫‪x1 = 12, x 2 = −‬‬
‫⎞ ‪1‬‬
‫‪⎛1‬‬
‫‪20 ⋅ ⎜ +‬‬
‫‪⎟=3‬‬
‫⎠‪⎝ x x +3‬‬
‫)‪20 ( x + 3) + 20x = 3x ( x + 3‬‬
‫⇒‬
‫) ‪⋅x ( x + 3‬‬
‫‪3x 2 − 31x − 60 = 0‬‬
‫⇒‬
‫‪20x + 60 + 20x = 3x 2 + 9x‬‬
‫⇒‬
‫⇒‬
‫‪5‬‬
‫נפסול את התוצאה‬
‫‪3‬‬
‫תוך ‪ 12‬ימים ונגר א' מכין את כל הכיסאות תוך ‪ 15‬ימים = ‪. 12 + 3‬‬
‫תשובה‪ 15 :‬ימים‪ 12 ,‬ימים‪.‬‬
‫‪ , x = −‬כי זמן הוא ערך חיובי‪ ,‬לכן ‪ . x = 12‬נגר ב' מכין את כל הכיסאות‬
‫© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים‬
‫‪88‬‬
‫פתרונות‬
‫בעיות מילוליות ‪ -‬בעיות הספק‬
‫‪ 1.74‬פתרון‪:‬‬
‫נסמן‪ – 1 :‬העבודה השלמה ) נפח הבריכה(‪.‬‬
‫‪ x‬שעות – הזמן הדרוש לצינור א' למלא את הבריכה‪.‬‬
‫) ‪ ( x − 2‬שעות – הזמן הדרוש לצינור ב' לרוקן את הבריכה‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪x‬‬
‫– קצב העבודה של צינור א'‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪x−2‬‬
‫‪3‬‬
‫– החלק מהעבודה שבוצע על‪-‬ידי צינור א' במשך ‪ 3‬שעות‪.‬‬
‫‪x‬‬
‫‪3‬‬
‫– החלק מהעבודה שבוצע על‪-‬ידי צינור ב' במשך ‪ 3‬שעות‪.‬‬
‫‪x−2‬‬
‫‪1‬‬
‫לפי הנתונים‪ ,‬כאשר הבריכה הייתה מלאה ב‪ -‬מנפחה‪ ,‬פתחו את שני הצינורות‪ .‬במשך‬
‫‪4‬‬
‫‪ 3‬שעות‪ ,‬צינור א' מילא את הבריכה וצינור ב' ריקן אותה‪ ,‬כתוצאה מכך הבריכה התרוקנה‪.‬‬
‫– קצב העבודה של צינור ב'‪.‬‬
‫לכן נקבל את המשוואה הבאה‪:‬‬
‫⇒‬
‫‪x1 = 6, x 2 = − 4‬‬
‫‪x ( x − 2 ) + 12 ( x − 2 ) − 12x = 0‬‬
‫⇒‬
‫‪x 2 − 2x − 24 = 0‬‬
‫) ‪⋅4x ( x − 2‬‬
‫⇒‬
‫⇒‬
‫‪1 3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪+ −‬‬
‫‪=0‬‬
‫‪4 x x−2‬‬
‫‪x 2 − 2x + 12x − 24 − 12x = 0‬‬
‫⇒‬
‫נפסול את התוצאה ‪ , x = −4‬כי זמן הוא ערך חיובי‪ ,‬לכן ‪ . x = 6‬צינור א' ממלא לבדו את‬
‫הבריכה ב‪ 6 -‬שעות‪ .‬צינור א' מרוקן לבדו את הבריכה ב‪ 4 -‬שעות‪.‬‬
‫תשובה‪ 6 :‬שעות‪ 4 ,‬שעות‪.‬‬
‫‪ 1.75‬פתרון‪:‬‬
‫נסמן‪ – 1 :‬העבודה השלמה )נפח הבריכה(‪.‬‬
‫‪ x‬שעות – הזמן הדרוש לברז א' למלא לבדו את הבריכה‪.‬‬
‫) ‪ ( x + 2‬שעות – הזמן הדרוש לברז ב' למלא לבדו את הבריכה‪.‬‬
‫‪ 2x‬שעות –‬
‫‪1‬‬
‫‪x‬‬
‫הזמן הדרוש לברז ג' למלא לבדו את הבריכה‪.‬‬
‫– קצב העבודה של ברז א'‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪x+2‬‬
‫‪1‬‬
‫– קצב העבודה של ברז ג'‪.‬‬
‫‪2x‬‬
‫– קצב העבודה של ברז ב'‪.‬‬
‫© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים‬
‫‪89‬‬
‫פתרונות‬
‫בעיות מילוליות ‪ -‬בעיות הספק‬
‫נרכז את הנתונים בטבלה הבאה‪:‬‬
‫זמן‬
‫ברז א'‬
‫‪x‬‬
‫ברז ב'‬
‫‪x+2‬‬
‫ברז ג'‬
‫‪2x‬‬
‫ברז א'‬
‫‪1‬‬
‫ברז ב'‬
‫‪2‬‬
‫לבד‬
‫בפועל‬
‫‪1‬‬
‫‪3‬‬
‫ברז ג'‬
‫העבודה‬
‫קצב )הספק(‬
‫‪1‬‬
‫‪x‬‬
‫‪1‬‬
‫‪x+2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2x‬‬
‫‪1‬‬
‫‪x‬‬
‫‪1‬‬
‫‪x+2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪x‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x+2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2x‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2x‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫ברז א' היה פתוח במשך שעה‪ ,‬פעל בקצב של‬
‫ולכן מילא‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫מהבריכה‪ .‬ברז ג' היה פתוח במשך‬
‫ומילא‬
‫במשך שעתיים‪ ,‬פעל בקצב של‬
‫‪x+2‬‬
‫‪x+2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪1‬‬
‫מהבריכה‪ .‬ברז ב' היה פתוח‬
‫שעות‪ ,‬פעל בקצב של‬
‫‪2x‬‬
‫ומילא‬
‫⇒‬
‫⇒‬
‫‪3‬‬
‫‪2x‬‬
‫מהבריכה‪ .‬מתקבלת המשוואה הבאה‪:‬‬
‫‪3x + 6 + 6x + 5x + 10 = 3x 2 + 6x‬‬
‫‪4‬‬
‫‪3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪5‬‬
‫‪+‬‬
‫‪+‬‬
‫‪=1‬‬
‫‪x x + 2 3x‬‬
‫) ‪⋅3x ( x + 2‬‬
‫‪x1 = 4, x 2 = −‬‬
‫‪1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫⇒‬
‫⇒‬
‫‪1‬‬
‫⇒‬
‫‪3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪+‬‬
‫‪+ 3 =1‬‬
‫‪x x + 2 2x‬‬
‫) ‪3 ( x + 2 ) + 6x + 5 ⋅ ( x + 2 ) = 3x ( x + 2‬‬
‫⇒‬
‫‪3x 2 − 8x − 16 = 0‬‬
‫⇒‬
‫‪8 ± 16‬‬
‫‪6‬‬
‫= ‪x1,2‬‬
‫⇒‬
‫נפסול את התוצאה ‪ , x = − 43‬כי זמן הוא ערך חיובי‪ ,‬לכן ‪ . x = 4‬ברז א' ממלא לבדו את הבריכה‬
‫ב‪ 4 -‬שעות‪ .‬ברז ב' ממלא אותה ב‪ 6 -‬שעות‪ ,‬וברז ג' ב‪ 8 -‬שעות‪.‬‬
‫תשובה‪ 4 :‬שעות‪ 6 ,‬שעות ‪ 8 ,‬שעות‪.‬‬
‫© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים‬
‫‪90‬‬
‫פתרונות‬
‫בעיות מילוליות ‪ -‬בעיות הספק‬
‫‪ 1.76‬פתרון‪:‬‬
‫נסמן‪ – 1 :‬העבודה השלמה )שטח השדה(‪.‬‬
‫‪ x‬שעות – הזמן הדרוש לטרקטור א' לחרוש לבדו את כל השדה‪.‬‬
‫‪ y‬שעות – הזמן הדרוש לטרקטור ב' לחרוש לבדו את כל השדה‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪x‬‬
‫‪1‬‬
‫‪y‬‬
‫‪4‬‬
‫‪x‬‬
‫‪3‬‬
‫‪y‬‬
‫– קצב העבודה של טרקטור א'‪.‬‬
‫– קצב העבודה של טרקטור ב'‪.‬‬
‫– החלק מהעבודה שמבוצע על‪-‬ידי טרקטור א' ב‪ 4 -‬שעות‪.‬‬
‫– החלק מהעבודה שמבוצע על‪-‬ידי טרקטור ב' ב‪ 3 -‬שעות‪.‬‬
‫לפי הנתונים‪ ,‬אם הטרקטור הראשון יעבוד ‪ 4‬שעות והטרקטור השני יעבוד ‪ 3‬שעות‪ ,‬הם יחרשו‬
‫את כל השדה‪.‬‬
‫לכן המשוואה הראשונה היא‪:‬‬
‫‪4 3‬‬
‫‪+ =1‬‬
‫‪x y‬‬
‫‪5‬‬
‫נוסף על כך‪ ,‬נתון שאם שני הטרקטורים יעבדו ביחד במשך שעתיים‪ ,‬הם יחרשו‬
‫‪9‬‬
‫‪2 2 5‬‬
‫לכן המשוואה השנייה היא‪:‬‬
‫= ‪+‬‬
‫‪x y 9‬‬
‫מהשדה‪.‬‬
‫נפתור את מערכת המשוואות הבאה‪:‬‬
‫‪⎧4 3‬‬
‫‪⎪x + y =1‬‬
‫⎪‬
‫⎨‬
‫‪⎪− 4 − 4 = − 10‬‬
‫‪⎪⎩ x y‬‬
‫‪9‬‬
‫⇒‬
‫) ‪⋅ ( −2‬‬
‫‪⎧4 3‬‬
‫‪⎪⎪ x + y = 1‬‬
‫⎨‬
‫‪⎪2 + 2 = 5‬‬
‫‪⎪⎩ x y 9‬‬
‫נחבר את שתי המשוואות ונקבל‪:‬‬
‫‪y=9‬‬
‫‪4 3‬‬
‫נציב את ‪ y = 9‬במשוואה ‪+ = 1‬‬
‫‪x y‬‬
‫⇒‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪=−‬‬
‫‪y‬‬
‫‪9‬‬
‫‪−‬‬
‫ונקבל‪:‬‬
‫‪x=6‬‬
‫⇒‬
‫‪4 2‬‬
‫=‬
‫‪x 3‬‬
‫⇒‬
‫‪4 3‬‬
‫‪+ =1‬‬
‫‪x 9‬‬
‫טרקטור א' יכול לחרוש לבדו את כל השדה ב‪ 6 -‬שעות‪ .‬טרקטור ב' יכול לחרוש לבדו את כל‬
‫השדה ב‪ 9 -‬שעות‪.‬‬
‫תשובה‪ 6 :‬שעות‪ 9 ,‬שעות‪.‬‬
‫© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים‬
‫‪91‬‬
‫פתרונות‬
‫בעיות מילוליות ‪ -‬בעיות הספק‬
‫‪ 1.77‬פתרון‪:‬‬
‫נסמן‪ – 1 :‬העבודה השלמה‪.‬‬
‫‪ x‬שעות – הזמן הדרוש לפועל א' לבצע לבדו את כל העבודה‪.‬‬
‫‪ y‬שעות – הזמן הדרוש לפועל ב' לבצע לבדו את כל העבודה‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪x‬‬
‫‪1‬‬
‫‪y‬‬
‫– קצב העבודה של פועל א'‪.‬‬
‫– קצב העבודה של פועל ב'‪.‬‬
‫נרכז את הנתונים בטבלה הבאה‪:‬‬
‫זמן‬
‫פועל א'‬
‫קצב )הספק(‬
‫‪x‬‬
‫לבד‬
‫שלב ‪1‬‬
‫פועל ב'‬
‫‪y‬‬
‫פועל א'‬
‫‪6‬‬
‫פועל ב'‬
‫‪5‬‬
‫פועל א'‬
‫‪3‬‬
‫שלב ‪2‬‬
‫פועל ב'‬
‫‪4‬‬
‫‪1‬‬
‫‪x‬‬
‫‪1‬‬
‫‪y‬‬
‫‪1‬‬
‫‪x‬‬
‫‪1‬‬
‫‪y‬‬
‫‪1‬‬
‫‪x‬‬
‫‪1‬‬
‫‪y‬‬
‫העבודה‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪6‬‬
‫‪x‬‬
‫‪5‬‬
‫‪y‬‬
‫‪3‬‬
‫‪x‬‬
‫‪4‬‬
‫‪y‬‬
‫‪6‬‬
‫‪1‬‬
‫וביצע‬
‫לפי הנתונים‪ ,‬בשלב ‪ 1‬פועל א' עבד לבדו במשך ‪ 6‬שעות‪ ,‬בקצב של‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪5‬‬
‫‪1‬‬
‫מהעבודה‪ .‬בסופו של שלב זה‪ ,‬שני‬
‫וביצע‬
‫פועל ב' עבד לבדו במשך ‪ 5‬שעות‪ ,‬בקצב של‬
‫‪y‬‬
‫‪y‬‬
‫מהעבודה‪.‬‬
‫הפועלים סיימו את כל העבודה‪ .‬לכן המשוואה הראשונה היא‪:‬‬
‫‪6 5‬‬
‫‪+ =1‬‬
‫‪x y‬‬
‫‪3‬‬
‫‪1‬‬
‫וביצע‬
‫בשלב ‪ 2‬פועל א' עבד לבדו במשך ‪ 3‬שעות‪ ,‬בקצב של‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪4‬‬
‫לבדו במשך ‪ 4‬שעות וביצע‬
‫‪y‬‬
‫מהעבודה‪ .‬פועל ב' עבד‬
‫מהעבודה‪ .‬הם ביצעו ביחד ‪ 65%‬מהעבודה‪ ,‬לכן המשוואה‬
‫© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים‬
‫‪92‬‬
‫פתרונות‬
‫בעיות מילוליות ‪ -‬בעיות הספק‬
‫השנייה היא‪:‬‬
‫‪3 4 65‬‬
‫= ‪+‬‬
‫‪x y 100‬‬
‫נפתור את מערכת המשוואות הבאה‪:‬‬
‫‪⎧6 5‬‬
‫‪⎪ + =1‬‬
‫‪⎪x y‬‬
‫⎨‬
‫‪⎪− 6 − 8 = − 13‬‬
‫‪⎪⎩ x y‬‬
‫‪10‬‬
‫⇒‬
‫‪⎧6 5‬‬
‫‪⎪⎪ x + y = 1‬‬
‫⎨‬
‫‪⎪ 3 + 4 = 65‬‬
‫‪⎪⎩ x y 100‬‬
‫) ‪⋅ ( −2‬‬
‫נחבר את שתי המשוואות ונקבל‪:‬‬
‫‪x = 12‬‬
‫⇒‬
‫‪6 5‬‬
‫‪+ =1‬‬
‫‪x 10‬‬
‫⇒‬
‫‪y = 10‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪=−‬‬
‫‪y‬‬
‫‪10‬‬
‫⇒‬
‫‪−‬‬
‫מצאנו כי פועל א' מבצע לבדו את כל העבודה במשך ‪ 12‬שעות ופועל ב' מבצע לבדו את כל‬
‫העבודה במשך ‪ 10‬שעות‪ .‬קצב העבודה של שני הפועלים‪ ,‬כאשר הם עובדים יחד‪ ,‬הוא‪:‬‬
‫‪1 1 11‬‬
‫= ‪+‬‬
‫‪12 10 60‬‬
‫לכן הזמן הדרוש הוא‪:‬‬
‫‪11 60‬‬
‫‪5‬‬
‫=‬
‫‪ 5‬שעות =‬
‫‪11‬‬
‫‪60 11‬‬
‫‪. 1:‬‬
‫‪5‬‬
‫‪ 5 11‬שעות‪.‬‬
‫תשובה‪:‬‬
‫‪ 1.78‬פתרון‪:‬‬
‫נסמן‪ – 1 :‬העבודה השלמה‪.‬‬
‫‪ x‬שעות – הזמן הדרוש לפועל א' לבצע לבדו את כל העבודה‪.‬‬
‫‪ y‬שעות – הזמן הדרוש לפועל ב' לבצע לבדו את כל העבודה‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪x‬‬
‫‪1‬‬
‫‪y‬‬
‫–‬
‫קצב העבודה של פועל א'‪.‬‬
‫– קצב העבודה של פועל ב'‪.‬‬
‫‪8‬‬
‫‪1‬‬
‫לפי הנתונים‪ ,‬בשלב ‪ 1‬פועל א' עבד לבדו ‪ 8‬שעות‪ ,‬בקצב של וביצע‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪4‬‬
‫‪1‬‬
‫וביצע מהעבודה‪ .‬בשלב ‪ , 1‬שני הפועלים ביצעו‬
‫פועל ב' עבד לבדו ‪ 4‬שעות‪ ,‬בקצב של‬
‫‪y‬‬
‫‪y‬‬
‫‪ 70%‬מהעבודה‪ .‬לכן המשוואה הראשונה היא‪:‬‬
‫‪8 4 70‬‬
‫= ‪+‬‬
‫‪x y 100‬‬
‫מהעבודה‪.‬‬
‫© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים‬
‫‪93‬‬
‫פתרונות‬
‫בעיות מילוליות ‪ -‬בעיות הספק‬
‫בשלב ‪ , 2‬שני הפועלים עבדו יחד במשך שעתיים וביצעו ) ‪ ( 92.5% − 70% = 22.5%‬מהעבודה‪.‬‬
‫לכן המשוואה השנייה היא‪:‬‬
‫‪2 2 22.5‬‬
‫= ‪+‬‬
‫‪x y 100‬‬
‫נפתור את מערכת המשוואות הבאה‪:‬‬
‫‪⎧ 8 4 70‬‬
‫= ‪⎪ +‬‬
‫‪⎪ x y 100‬‬
‫⎨‬
‫‪⎪− 4 − 4 = − 9‬‬
‫‪⎪⎩ x y‬‬
‫‪20‬‬
‫⇒‬
‫) ‪⋅ ( −2‬‬
‫‪⎧ 8 4 70‬‬
‫‪⎪⎪ x + y = 100‬‬
‫⎨‬
‫‪⎪ 2 + 2 = 22.5‬‬
‫‪⎪⎩ x y 100‬‬
‫נחבר את שתי המשוואות ונקבל‪:‬‬
‫⇒‬
‫‪x = 16‬‬
‫‪y = 20‬‬
‫⇒‬
‫‪4 1‬‬
‫=‬
‫‪x 4‬‬
‫⇒‬
‫‪4 1‬‬
‫=‬
‫‪y 5‬‬
‫⇒‬
‫‪4 7 9‬‬
‫‪= −‬‬
‫⇒‬
‫‪x 10 20‬‬
‫‪8 4 7‬‬
‫⇒‬
‫= ‪+‬‬
‫‪16 y 10‬‬
‫פועל א' יכול לבצע לבדו את כל העבודה במשך ‪ 16‬שעות ופועל ב' יכול לבצע לבדו את כל‬
‫העבודה במשך ‪ 20‬שעות‪.‬‬
‫תשובה‪ 16 :‬שעות‪ 20 ,‬שעות‪.‬‬
‫‪ 1.79‬פתרון‪:‬‬
‫נסמן‪ – 1 :‬העבודה השלמה‪.‬‬
‫‪ x‬שעות – הזמן הדרוש לנגר א' לבצע לבדו את כל העבודה‪.‬‬
‫‪ y‬שעות – הזמן הדרוש לנגר ב' לבצע לבדו את כל העבודה‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪x‬‬
‫‪1‬‬
‫‪y‬‬
‫–‬
‫קצב העבודה של נגר א'‪.‬‬
‫– קצב העבודה של נגר ב'‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫‪1‬‬
‫ולכן ביצע‬
‫לפי הנתונים‪ ,‬נגר א' עבד ‪ 3‬שעות בקצב של‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫שעה אחת אחרי נגר א'‪ ,‬לכן עבד שעתיים בקצב של וביצע מהעבודה‪ .‬בשלב הראשון‪,‬‬
‫‪y‬‬
‫‪y‬‬
‫‪11‬‬
‫מהעבודה‪ .‬לכן המשוואה הראשונה היא‪:‬‬
‫שני הנגרים ביצעו‬
‫‪20‬‬
‫‪3 2 11‬‬
‫= ‪+‬‬
‫‪x y 20‬‬
‫מהעבודה‪ .‬נגר ב' ניגש לעבודה‬
‫© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים‬
‫‪94‬‬
‫פתרונות‬
‫בעיות מילוליות ‪ -‬בעיות הספק‬
‫לאחר גמר העבודה‪ ,‬התברר שכל אחד מהנגרים ביצע מחצית מהעבודה‪ .‬נגר א' מבצע את כל‬
‫‪1‬‬
‫העבודה במשך ‪ x‬שעות ולכן הוא מבצע מחצית מהעבודה במשך ‪x‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫נגר ב' מבצע מחצית מהעבודה במשך ‪ y‬שעות‪ .‬משך זמן העבודה של נגר א' היה גדול בשעה‬
‫‪2‬‬
‫שעות‪ .‬באופן דומה‪,‬‬
‫ממשך זמן העבודה של נגר ב'‪ .‬לכן המשוואה השנייה היא‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪x − y =1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫נפתור את מערכת המשוואות הבאה‪:‬‬
‫⇒‬
‫‪⎧60y + 40x = 11xy‬‬
‫⎨‬
‫‪⎩x = 2 + y‬‬
‫⇒‬
‫‪10‬‬
‫‪11‬‬
‫⇒‬
‫‪⎧60y + 40x = 11xy‬‬
‫⎨‬
‫‪⎩x − y = 2‬‬
‫‪60y + 80 + 40y = 22y + 11y 2‬‬
‫‪y1 = 8 , y 2 = −‬‬
‫‪10‬‬
‫נפסול את התוצאה‬
‫‪11‬‬
‫⇒‬
‫‪78 ± 98‬‬
‫‪22‬‬
‫⇒‬
‫‪⎧ 3 2 11‬‬
‫‪⎪⎪ x + y = 20 ⋅20xy‬‬
‫⎨‬
‫‪⎪ 1 x − 1 y = 1 ⋅2‬‬
‫‪⎪⎩ 2‬‬
‫‪2‬‬
‫⇒‬
‫) ‪60y + 40 ( 2 + y ) = 11y ( 2 + y‬‬
‫⇒‬
‫‪11y 2 − 78y − 80 = 0‬‬
‫⇒‬
‫= ‪y1,2‬‬
‫⇒‬
‫‪ , y = −‬כי זמן הוא ערך חיובי‪ ,‬לכן ‪ y = 8‬ו‪. x = 2 + 8 = 10 -‬‬
‫נגר א' יכול לבצע לבדו את העבודה ב‪ 10 -‬שעות‪ .‬נגר ב' יכול לבצע לבדו את העבודה ב ‪8 -‬‬
‫שעות‪.‬‬
‫תשובה‪ 10 :‬שעות‪ 8 ,‬שעות‪.‬‬
‫‪ 1.80‬פתרון‪:‬‬
‫נסמן‪ – 1 :‬העבודה השלמה )נפח הבריכה(‪.‬‬
‫‪ x‬שעות – הזמן הדרוש לברז א' למלא לבדו את הבריכה‪.‬‬
‫‪ y‬שעות – הזמן הדרוש לברז ב' למלא לבדו את הבריכה‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪x‬‬
‫‪1‬‬
‫‪y‬‬
‫– קצב העבודה של ברז א'‪.‬‬
‫– קצב העבודה של ברז ב'‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫וביצע‬
‫על‪-‬פי הנתונים‪ ,‬בשלב הראשון ברז א' פעל במשך שעתיים‪ ,‬בקצב של‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪1‬‬
‫⎞‪1‬‬
‫⎛‬
‫ברז ב' פעל במשך ⎟ ‪⎜ 2 + 2 = 4‬‬
‫‪2‬‬
‫⎠‪2‬‬
‫⎝‬
‫מהעבודה‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪4‬‬
‫‪1‬‬
‫‪9‬‬
‫= ‪ 2‬מהעבודה‪.‬‬
‫וביצע‬
‫שעות‪ ,‬בקצב של‬
‫‪y 2y‬‬
‫‪y‬‬
‫© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים‬
‫‪95‬‬
‫בעיות מילוליות ‪ -‬בעיות הספק‬
‫מכאן שהמשוואה הראשונה היא‪:‬‬
‫פתרונות‬
‫‪2 9‬‬
‫‪+‬‬
‫‪=1‬‬
‫‪x 2y‬‬
‫ברז א' ממלא לבדו את הבריכה במשך ‪ x‬שעות‪ .‬בשלב השני‪ ,‬הוא ביצע ‪ 40%‬מהעבודה במשך‬
‫‪ 0.4x‬שעות‪ .‬באופן דומה‪ ,‬ברז ב' ביצע ‪ 60%‬מהעבודה במשך ‪ 0.6y‬שעות‪ .‬בשלב השני‪ ,‬הבריכה‬
‫‪0.4x + 0.6y = 7‬‬
‫התמלאה תוך ‪ 7‬שעות‪ .‬לכן המשוואה השנייה היא‪:‬‬
‫נפתור את מערכת המשוואות הבאה‪:‬‬
‫⇒‬
‫⇒‬
‫‪5‬‬
‫‪6‬‬
‫‪⎧4y + 9x = 2xy‬‬
‫⎪‬
‫⎨‬
‫‪35 − 3y‬‬
‫‪⎪⎩ x = 2‬‬
‫‪315 − 27y‬‬
‫‪= 35y − 3y 2 ⋅2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪y1 = 9, y 2 = 5‬‬
‫⇒‬
‫⇒‬
‫‪4y +‬‬
‫‪⎧4y + 9x = 2xy‬‬
‫⎨‬
‫‪⎩2x + 3y = 35‬‬
‫⇒‬
‫‪6y 2 − 89y + 315 = 0‬‬
‫‪35 − 3y‬‬
‫נציב את הערכים של ‪ y1‬ו‪ y 2 -‬במשוואה‬
‫‪2‬‬
‫⇒‬
‫‪⎧2 9‬‬
‫‪= 1 ⋅2xy‬‬
‫‪⎪ +‬‬
‫‪⎨ x 2y‬‬
‫⎪‬
‫‪⎩0.4x + 0.6y = 7 ⋅5‬‬
‫⎞ ‪⎛ 35 − 3y‬‬
‫⎞ ‪⎛ 35 − 3y‬‬
‫⎜ ⋅ ‪4y + 9‬‬
‫⎜⋅‪⎟ = 2‬‬
‫‪⎟⋅ y‬‬
‫⎠ ‪⎝ 2‬‬
‫⎠ ‪⎝ 2‬‬
‫⇒‬
‫‪8y + 315 − 27y = 70y − 6y 2‬‬
‫⇒‬
‫⇒‬
‫= ‪ x‬ונקבל ‪:‬‬
‫‪5‬‬
‫‪35 − 3 ⋅ 5‬‬
‫‪35 − 3 ⋅ 9‬‬
‫‪6 =83‬‬
‫= ‪= 4, x 2‬‬
‫= ‪x1‬‬
‫‪4‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫ברז א' ממלא לבדו את הבריכה ב‪ 4 -‬שעות וברז ב' ב‪ 9 -‬שעות; או ברז א' ממלא לבדו את‬
‫הבריכה ב‪ 8 34 -‬שעות וברז ב' ב‪ 5 56 -‬שעות‪.‬‬
‫תשובה‪ 4 :‬שעות‪ 9 ,‬שעות או ‪ 8 34‬שעות‪ 5 56 ,‬שעות‪.‬‬
‫‪ 1.81‬פתרון‪:‬‬
‫נסמן‪ – 1 :‬העבודה השלמה‪.‬‬
‫‪ x‬שעות – הזמן הדרוש לפועל א' לבצע את כל העבודה לבדו‪.‬‬
‫‪ y‬שעות – הזמן הדרוש לפועל ב' לבצע את כל העבודה לבדו‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪x‬‬
‫‪1‬‬
‫‪y‬‬
‫– קצב העבודה של פועל א'‪.‬‬
‫– קצב העבודה של פועל ב'‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫‪1‬‬
‫ומבצע‬
‫בשלב הראשון‪ ,‬פועל א' עובד במשך ‪ 3‬שעות בקצב של‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪3‬‬
‫‪1‬‬
‫ומבצע מהעבודה‪ .‬שני הפועלים מספיקים לבצע‬
‫פועל ב' עובד במשך ‪ 3‬שעות בקצב של‬
‫‪y‬‬
‫‪y‬‬
‫מהעבודה‪ .‬באופן דומה‪,‬‬
‫© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים‬
‫‪96‬‬
‫פתרונות‬
‫בעיות מילוליות ‪ -‬בעיות הספק‬
‫‪ 62.5%‬מהעבודה ב‪ 3 -‬שעות‪ .‬לכן המשוואה הראשונה היא‪:‬‬
‫‪3 3 62.5‬‬
‫= ‪+‬‬
‫‪x y 100‬‬
‫פועל א' מבצע לבדו את כל העבודה במשך ‪ x‬שעות‪ .‬בשלב השני‪ ,‬הוא מבצע ‪ 75%‬מהעבודה‬
‫במשך ‪ 0.75x‬שעות‪ .‬ידוע שהזמן הדרוש לפועל ב' לבצע ‪ 75%‬מהעבודה‪ ,‬גדול בשעה מהזמן‬
‫הדרוש לפועל ב' לבצע את כל העבודה‪ .‬לכן המשוואה השנייה היא‪:‬‬
‫‪0.75x − y = 1‬‬
‫נפתור את מערכת המשוואות הבאה‪:‬‬
‫⇒‬
‫‪⎧24y + 24x = 5xy‬‬
‫⎪‬
‫⎨‬
‫‪3‬‬
‫‪⎪⎩ y = 4 x − 1‬‬
‫‪8xy‬‬
‫⇒‬
‫‪⎧3 3 5‬‬
‫= ‪+‬‬
‫‪⎪⎪ x y 8‬‬
‫⎨‬
‫‪⎪y = 3 x −1‬‬
‫⎩⎪‬
‫‪4‬‬
‫⇒‬
‫‪⎧ 3 3 62.5‬‬
‫= ‪⎪ +‬‬
‫‪⎨ x y 100‬‬
‫‪⎪0.75x − y = 1‬‬
‫⎩‬
‫‪15‬‬
‫‪⎛3‬‬
‫⎞‬
‫‪⎛3‬‬
‫⎞‬
‫⎟‪24 ⋅ ⎜ x − 1⎟ + 24x = 5x ⋅ ⎜ x − 1‬‬
‫⇒‬
‫‪18x − 24 + 24x = x 2 − 5x‬‬
‫⇒‬
‫‪4‬‬
‫‪⎝4‬‬
‫⎠‬
‫‪⎝4‬‬
‫⎠‬
‫‪8‬‬
‫‪15 2‬‬
‫⇒‬
‫‪x − 47x + 24 = 0 ⋅4‬‬
‫⇒‬
‫‪15x 2 − 188x + 96 = 0‬‬
‫⇒‬
‫= ‪x1 = 12, x 2‬‬
‫‪4‬‬
‫‪15‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪8‬‬
‫= ‪ x‬במשוואה ‪ y = x − 1‬ונקבל‪ , y = − < 0 :‬נפסול את התוצאה הנ"ל‪ ,‬מאחר‬
‫נציב את‬
‫‪5‬‬
‫‪4‬‬
‫‪15‬‬
‫‪3‬‬
‫וזמן הוא ערך חיובי‪ .‬נציב את ‪ x = 12‬במשוואה ‪ y = x − 1‬ונקבל‪ . y = 8 :‬פועל א' יכול לבצע‬
‫‪4‬‬
‫לבדו את כל העבודה ב‪ 12 -‬שעות ופועל ב' ב‪ 8 -‬שעות‪.‬‬
‫תשובה‪ 12 :‬שעות‪ 8 ,‬שעות‪.‬‬
‫⇒‬
‫‪ 1.82‬פתרון‪:‬‬
‫נסמן‪ – 1 :‬העבודה השלמה‪.‬‬
‫‪ x‬שעות – הזמן הדרוש למכונה א' לבצע לבדה את כל העבודה‪.‬‬
‫‪ y‬שעות – הזמן הדרוש למכונה ב' לבצע לבדה את כל העבודה‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪x‬‬
‫‪1‬‬
‫‪y‬‬
‫– קצב העבודה של מכונה א'‪.‬‬
‫– קצב העבודה של מכונה ב'‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫בשלב הראשון‪ ,‬מכונה א' ייצרה מחלקי החילוף במשך ‪ x‬שעות ומכונה ב' יצרה‬
‫‪6‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪1‬‬
‫החילוף במשך ‪ y‬שעות‪ .‬המכונות עבדו במשך ‪ 20‬שעות‪ ,‬לכן המשוואה הראשונה היא‪:‬‬
‫‪6‬‬
‫© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים‬
‫מחלקי‬
‫‪97‬‬
‫פתרונות‬
‫בעיות מילוליות ‪ -‬בעיות הספק‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪x + y = 20‬‬
‫‪3‬‬
‫‪6‬‬
‫‪9‬‬
‫‪1‬‬
‫וביצעה‬
‫בשלב השני‪ ,‬מכונה א' עבדה במשך ‪ 9‬שעות‪ ,‬בקצב של‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪9‬‬
‫‪1‬‬
‫מהעבודה‪ .‬החלק מהעבודה שבוצע על‪-‬‬
‫וביצעה‬
‫מכונה ב' עבדה במשך ‪ 9‬שעות בקצב של‬
‫‪y‬‬
‫‪y‬‬
‫‪1 1 1‬‬
‫ידי שתי המכונות‪ ,‬בשלב השני‪ ,‬הוא‪ . 1 − − = :‬לכן המשוואה השנייה היא‪:‬‬
‫‪3 6 2‬‬
‫‪9 9 1‬‬
‫= ‪+‬‬
‫‪x y 2‬‬
‫מהעבודה‪ .‬באופן דומה‪,‬‬
‫נפתור את מערכת המשוואות הבאה‪:‬‬
‫⇒‬
‫⇒‬
‫‪⎧ y = 120 − 2x‬‬
‫⎨‬
‫‪⎩18y + 18x = xy‬‬
‫⇒‬
‫⇒‬
‫) ‪18 (120 − 2x ) + 18x = x (120 − 2x‬‬
‫⇒‬
‫‪x 2 − 69x + 1080 = 0‬‬
‫‪2x 2 − 138x + 2160 = 0‬‬
‫⇒‬
‫‪2160 − 36x + 18x = 120x − 2x 2‬‬
‫‪x1 = 24, x 2 = 45‬‬
‫⇒‬
‫‪⎧2x + y = 120‬‬
‫⎨‬
‫‪⎩18y + 18x = xy‬‬
‫⇒‬
‫‪1‬‬
‫‪⎧1‬‬
‫‪⎪⎪ 3 x + 6 y = 20 ⋅6‬‬
‫‪⎨9 9 1‬‬
‫= ‪⎪ +‬‬
‫‪⋅2xy‬‬
‫‪⎪⎩ x y 2‬‬
‫⇒‬
‫‪:2‬‬
‫נציב את ערכי ‪ x1‬ו‪ x 2 -‬במשוואה ‪ y = 120 − 2x‬ונקבל‪:‬‬
‫‪y 2 = 120 − 2 ⋅ 45 = 30‬‬
‫‪y1 = 120 − 2 ⋅ 24 = 72,‬‬
‫מכונה א' יכולה לבצע לבדה את כל העבודה ב‪ 24 -‬שעות ומכונה ב' ב‪ 72 -‬שעות; או מכונה א'‬
‫יכולה לבצע לבדה את כל העבודה ב‪ 45 -‬שעות ומכונה ב' ב‪ 30 -‬שעות‪.‬‬
‫תשובה‪ 24 :‬שעות‪ 72 ,‬שעות או ‪ 45‬שעות‪ 30 ,‬שעות‪.‬‬
‫‪ 1.83‬פתרון‪:‬‬
‫נסמן‪ – 1 :‬העבודה השלמה‪.‬‬
‫‪ – x‬מספר הפועלים בקבוצה‪.‬‬
‫‪ y‬שעות – הזמן הדרוש לקבוצת הפועלים לבצע את כל העבודה‪.‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ ,‬לכן הקבוצה יכולה לבצע ב‪ y -‬שעות ‪⋅ y‬‬
‫קצב העבודה של ‪ x‬פועלים הוא‬
‫‪30‬‬
‫‪30‬‬
‫מהעבודה‪,‬‬
‫כלומר לבצע את כל העבודה‪ .‬לכן המשוואה הראשונה היא‪:‬‬
‫‪xy‬‬
‫‪=1‬‬
‫‪30‬‬
‫‪2x‬‬
‫‪x‬‬
‫וביצעה‬
‫על‪-‬פי הנתון‪ ,‬הקבוצה עבדה במשך שעתיים כמתוכנן‪ ,‬בקצב של‬
‫‪30‬‬
‫‪30‬‬
‫© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים‬
‫מהעבודה‪.‬‬
‫‪98‬‬
‫פתרונות‬
‫בעיות מילוליות ‪ -‬בעיות הספק‬
‫לאחר שעזבו שני פועלים‪ ,‬נותרו בקבוצה ) ‪ ( x − 2‬פועלים‪ ,‬אשר סיימו את העבודה שעה וחצי‬
‫⎞‪1‬‬
‫⎛‬
‫⎝‬
‫‪1‬‬
‫מאוחר יותר מהמתוכנן‪ ,‬כלומר שאר הפועלים עבדו במשך ⎟ ‪ ⎜ y − 2 + 1 = y −‬שעות‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫⎠‬
‫לכן המשוואה השנייה היא‪:‬‬
‫⎛ ‪2x x − 2‬‬
‫⎞‪1‬‬
‫‪+‬‬
‫‪⋅⎜ y − ⎟ = 1‬‬
‫‪30‬‬
‫⎝ ‪30‬‬
‫⎠‪2‬‬
‫קיבלנו מערכת של שתי משוואות‪:‬‬
‫⇒‬
‫⇒‬
‫⇒‬
‫‪⎧ xy = 30‬‬
‫⎪‬
‫⎞‪1‬‬
‫⎨‬
‫⎛‬
‫‪⎪2x + ( x − 2 ) ⋅ ⎜ y − 2 ⎟ = 30‬‬
‫⎝‬
‫⎠‬
‫⎩‬
‫‪⎧ xy = 30‬‬
‫⎨‬
‫‪⎩1.5x − 2y + 30 + 1 = 30‬‬
‫‪1.5x 2 + x = 60‬‬
‫⇒‬
‫‪⋅2‬‬
‫‪20‬‬
‫‪3‬‬
‫⇒‬
‫‪⋅30‬‬
‫⇒‬
‫‪⎧ xy = 30‬‬
‫⎪‬
‫⎨‬
‫‪1‬‬
‫‪⎪⎩2x + xy − 2 x − 2y + 1 = 30‬‬
‫⇒‬
‫‪⎧ xy = 30‬‬
‫⎪‬
‫⎨‬
‫‪1.5x + 1‬‬
‫= ‪⎪⎩ y‬‬
‫‪2‬‬
‫⇒‬
‫‪1.5x 2 + x − 60 = 0‬‬
‫⇒‬
‫‪(1.5x + 1) = 30‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x1 = 6 , x 2 = −‬‬
‫‪⎧ xy‬‬
‫‪⎪⎪ 30 = 1 ⋅30‬‬
‫⎨‬
‫‪⎪ 2x + x − 2 ⋅ ⎛⎜ y − 1 ⎞⎟ = 1‬‬
‫‪⎪⎩ 30‬‬
‫⎝ ‪30‬‬
‫⎠‪2‬‬
‫⋅‪x‬‬
‫⇒‬
‫⇒‬
‫‪20‬‬
‫נפסול את התוצאה‬
‫‪3‬‬
‫בהתחלה היו בקבוצה ‪ 6‬פועלים‪.‬‬
‫תשובה‪ 6 :‬פועלים‪.‬‬
‫‪ , x = −‬משום שמספר הפועלים הוא מספר טבעי ולכן ‪ . x = 6‬כלומר‬
‫‪ 1.84‬פתרון‪:‬‬
‫נסמן‪ – 1 :‬העבודה השלמה )כמות הברגים שהוזמנה(‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪45‬‬
‫‪ – x‬מספר המכונות שביצעו את ההזמנה בהתחלה‪.‬‬
‫– קצב העבודה )ההספק( של כל אחת מהמכונות שבמפעל‪.‬‬
‫)‪( x + 5‬‬
‫– מספר המכונות שסיימו את העבודה‪.‬‬
‫‪ y‬ימים – הזמן המתוכנן לביצוע הזמנה בהתחלה‪.‬‬
‫)‪ ( y − 3‬ימים – משך זמן ביצוע ההזמנה בפועל‪.‬‬
‫© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים‬
‫‪99‬‬
‫פתרונות‬
‫בעיות מילוליות ‪ -‬בעיות הספק‬
‫‪x‬‬
‫קצב העבודה של ‪ x‬מכונות הוא‬
‫‪45‬‬
‫⎞‬
‫‪ ,‬לכן ב‪ y -‬ימים )כמתוכנן( המפעל יכול לבצע‬
‫‪⎛ x‬‬
‫⎟ ‪ ⎜ ⋅ y‬מהעבודה‪ ,‬כלומר לבצע את כל ההזמנה‪ .‬מכאן שהמשוואה הראשונה היא‪:‬‬
‫⎠ ‪⎝ 45‬‬
‫‪xy‬‬
‫‪=1‬‬
‫‪45‬‬
‫‪3x‬‬
‫על‪-‬פי הנתון‪ x ,‬מכונות עבדו במשך ‪ 3‬ימים כמתוכנן ולכן ביצעו‬
‫‪45‬‬
‫מספר המכונות ב‪ 5 -‬וכתוצאה מכך‪ ,‬העבודה הסתיימה ב‪ 3 -‬ימים מוקדם מהמתוכנן‪ ,‬כלומר‬
‫) ‪ ( x + 5‬מכונות סיימו את ביצוע ההזמנה תוך ) ‪ ( y − 3 − 3 = y − 6‬ימים‪.‬‬
‫מההזמנה‪ .‬לאחר מכן‪ ,‬גדל‬
‫מכאן שהמשוואה השנייה היא‪:‬‬
‫) ‪3x ( x + 5 )( y − 6‬‬
‫‪+‬‬
‫‪=1‬‬
‫‪45‬‬
‫‪45‬‬
‫נפתור מערכת המשוואות הבאה‪:‬‬
‫⇒‬
‫⇒‬
‫⇒‬
‫‪⋅5‬‬
‫‪⎪⎧ xy = 45‬‬
‫⎨‬
‫‪⎪⎩3x + ( x + 5 )( y − 6 ) = 45‬‬
‫‪⎧ xy = 45‬‬
‫⎨‬
‫‪⎩−3x + 5y + 45 − 30 = 45‬‬
‫⎞ ‪⎛ 3x + 30‬‬
‫⎜⋅ ‪x‬‬
‫‪⎟ = 45‬‬
‫⎠ ‪⎝ 5‬‬
‫‪x1 = 5, x 2 = −15‬‬
‫⇒‬
‫⇒‬
‫⇒‬
‫‪⋅45‬‬
‫⇒‬
‫‪⎧ xy‬‬
‫‪⎪⎪ 45 = 1 ⋅45‬‬
‫⎨‬
‫‪⎪ 3x + ( x + 5 )( y − 6 ) = 1‬‬
‫‪⎪⎩ 45‬‬
‫‪45‬‬
‫‪⎧ xy = 45‬‬
‫⎨‬
‫‪⎩3x + xy − 6x + 5y − 30 = 45‬‬
‫⇒‬
‫‪⎧ xy = 45‬‬
‫⎨‬
‫‪⎩−3x + 5y = 30‬‬
‫⇒‬
‫‪3x 2 + 30x = 225‬‬
‫⇒‬
‫‪⎧ xy = 45‬‬
‫⎪‬
‫‪3x + 30‬‬
‫⎨‬
‫‪⎪⎩ y = 5‬‬
‫‪3x 2 + 30x − 225 = 0‬‬
‫⇒‬
‫⇒‬
‫נפסול את התוצאה ‪ , x = −15‬משום שמספר הפועלים הוא מספר טבעי ולכן ‪. x = 5‬‬
‫‪y=9‬‬
‫⇒‬
‫‪5y = 45‬‬
‫⇒‬
‫‪x =5‬‬
‫קיבלנו שבהתחלה עבדו ‪ 5‬מכונות ושבפועל העבודה נמשכה ) ‪ ( 9 − 3 = 6‬ימים‪.‬‬
‫תשובה‪ 5 :‬מכונות‪ 6 ,‬ימים‪.‬‬
‫© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים‬
‫‪100‬‬
‫פתרונות‬
‫בעיות מילוליות ‪ -‬בעיות הספק‬
‫‪ 1.85‬פתרון‪:‬‬
‫נסמן‪ – 1 :‬העבודה השלמה ) המרחק בין ‪ A‬ל‪.( B -‬‬
‫‪ x‬שעות – הזמן הדרוש לרכבת א' להגיע מ‪ A -‬ל‪. B -‬‬
‫‪ y‬שעות – הזמן הדרוש לרכבת ב' להגיע מ‪ B -‬ל‪. A -‬‬
‫‪1‬‬
‫‪x‬‬
‫‪1‬‬
‫‪y‬‬
‫– מהירותה של רכבת א'‪.‬‬
‫– מהירותה של רכבת ב'‪.‬‬
‫‪1.5‬‬
‫‪1‬‬
‫ולכן עברה‬
‫בשלב הראשון‪ ,‬רכבת א' נסעה במשך ‪ 1.5‬שעות‪ ,‬במהירות‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪1.5‬‬
‫מהמרחק שבין ‪ A‬ל‪. B -‬‬
‫‪ A‬ל‪ . B -‬באופן דומה‪ ,‬רכבת ב' עברה‬
‫‪y‬‬
‫‪3‬‬
‫לפי הנתונים‪ ,‬כעבור ‪ 1.5‬שעות‪ ,‬המרחק בין שתי הרכבות היה‬
‫‪8‬‬
‫)‬
‫‪3 5‬‬
‫הרכבות עברו ביחד =‬
‫‪8 8‬‬
‫(‬
‫‪ 1 −‬מהדרך‪.‬‬
‫מהמרחק שבין‬
‫מהמרחק כולו ולכן שתי‬
‫המשוואה הראשונה היא‪:‬‬
‫‪1.5 1.5 5‬‬
‫‪+‬‬
‫=‬
‫‪x‬‬
‫‪y 8‬‬
‫נוסף על כך‪ ,‬נתון שרכבת א' הגיעה ל‪ B -‬שעתיים לפני שרכבת ב' הגיעה ל‪ . A -‬כלומר‪ ,‬הזמן‬
‫הדרוש לרכבת ב' להגיע ליעדה‪ ,‬גדול בשעתיים מהזמן הדרוש לרכבת א' להגיע ליעדה‪.‬‬
‫לכן המשוואה השנייה היא‪:‬‬
‫‪y−x = 2‬‬
‫נפתור את מערכת המשוואות הבאה‪:‬‬
‫) ‪12 ( 2 + x ) + 12x = 5x ( 2 + x‬‬
‫⇒‬
‫‪6‬‬
‫‪5‬‬
‫‪x1 = 4, x 2 = −‬‬
‫⇒‬
‫⇒‬
‫‪⎧12y + 12x = 5xy‬‬
‫⎨‬
‫‪⎩y = 2 + x‬‬
‫‪5x 2 − 14x − 24 = 0‬‬
‫⇒‬
‫⇒‬
‫‪⋅8xy‬‬
‫‪⎧1.5 1.5 5‬‬
‫=‬
‫‪⎪ +‬‬
‫‪y 8‬‬
‫‪⎨ x‬‬
‫‪⎪y − x = 2‬‬
‫⎩‬
‫‪24 + 12x + 12x = 10x + 5x 2‬‬
‫⇒‬
‫‪6‬‬
‫נפסול את התוצאה‬
‫‪5‬‬
‫דרושות ‪ 4‬שעות בכדי לעבור את המרחק בין ‪ A‬ל‪ B -‬ולרכבת ב' דרושות ‪ 6‬שעות בכדי לעבור‬
‫‪ , x = −‬כי זמן הוא ערך חיובי‪ ,‬לכן ‪ x = 4‬ומכאן‪ . y = 2 + 4 = 6 :‬לרכבת א'‬
‫את המרחק הנ"ל‪.‬‬
‫תשובה‪ 4 :‬שעות‪ 6 ,‬שעות‪.‬‬
‫© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים‬
‫‪101‬‬
‫פתרונות‬
‫בעיות מילוליות ‪ -‬בעיות הספק‬
‫‪ 1.86‬פתרון‪:‬‬
‫נשרטט סקיצה‪:‬‬
‫‪B‬‬
‫‪A‬‬
‫‪C‬‬
‫נסמן‪ – C :‬נקודת המפגש של שני הרוכבים‪.‬‬
‫‪ – 1‬העבודה השלמה ) המרחק בין ‪ A‬ל‪.( B -‬‬
‫‪ x‬שעות – הזמן הדרוש לרוכב א' להגיע מ‪ A -‬ל‪. B -‬‬
‫‪ y‬שעות – הזמן הדרוש לרוכב ב' להגיע מ‪ B -‬ל‪. A -‬‬
‫‪1‬‬
‫‪x‬‬
‫‪1‬‬
‫‪y‬‬
‫– מהירותו של רוכב א'‪.‬‬
‫– מהירותו של רוכב ב'‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫לפי הנתונים‪ ,‬רוכב א' עבר את הקטע ‪ CB‬במשך‬
‫‪3‬‬
‫‪ 2‬שעות‪ ,‬לכן את הקטע ‪ AC‬הוא עבר‬
‫⎞‪2‬‬
‫⎛‬
‫במשך ⎟ ‪⎜ x − 2‬‬
‫⎠‪3‬‬
‫⎝‬
‫⎞‪1‬‬
‫⎛‬
‫עבר במשך ⎟ ‪ ⎜ y − 1‬שעות‪ .‬שני הרוכבים יצאו בו‪-‬זמנית זה לקראת זה ועד הפגישה הם היו‬
‫⎠‪2‬‬
‫⎝‬
‫‪1‬‬
‫שעות‪ .‬רוכב ב' עבר את הקטע ‪ AC‬במשך‬
‫‪2‬‬
‫‪ 1‬שעות‪ ,‬לכן את הקטע ‪ BC‬הוא‬
‫בדרך במשך פרק זמן שווה‪ .‬לכן המשוואה הראשונה היא‪:‬‬
‫רוכב א' עבר את הדרך ‪ AC‬במהירות קבועה של ‪ 1x‬במשך )‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪x − 2 = y −1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫(‬
‫‪ x − 2‬שעות‪ ,‬לכן המרחק ‪AC‬‬
‫‪x−2‬‬
‫‪1‬‬
‫הוא‪3 :‬‬
‫במשך‬
‫‪ .‬רוכב ב' עבר את הדרך ‪ BC‬במהירות קבועה של‬
‫‪y‬‬
‫‪x‬‬
‫‪2‬‬
‫המרחק ‪ AC‬הוא‪3 :‬‬
‫‪y −1‬‬
‫‪y‬‬
‫)‬
‫(‬
‫‪ y − 1 12‬שעות‪ ,‬לכן‬
‫‪ .‬המשוואה השנייה היא‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪y −1‬‬
‫‪3 +‬‬
‫‪2 =1‬‬
‫‪y‬‬
‫‪x−2‬‬
‫‪x‬‬
‫נפתור את מערכת המשוואות הבאה‪:‬‬
‫© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים‬
‫‪102‬‬
‫בעיות מילוליות ‪ -‬בעיות הספק‬
‫‪7‬‬
‫⎧‬
‫‪x‬‬
‫‪y‬‬
‫=‬
‫‪+‬‬
‫‪6‬‬
‫⎪⎪‬
‫⎨‬
‫‪8‬‬
‫‪3‬‬
‫‪⎪1 −‬‬
‫‪+1−‬‬
‫‪=1‬‬
‫‪2y‬‬
‫‪⎪⎩ 3x‬‬
‫⇒‬
‫⎞‪7‬‬
‫⎞‪7‬‬
‫⎛‬
‫⎛‬
‫⎟ ‪16y + 9 ⎜ y + ⎟ = 6y ⎜ y +‬‬
‫⎠‪6‬‬
‫⎠‪6‬‬
‫⎝‬
‫⎝‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫⇒‬
‫‪y1 = 3 , y 2 = −‬‬
‫פתרונות‬
‫⇒‬
‫⇒‬
‫‪21‬‬
‫‪=0‬‬
‫‪2‬‬
‫‪7‬‬
‫⎧‬
‫‪⎪x = y + 6‬‬
‫⎪‬
‫‪8‬‬
‫‪3‬‬
‫⎨‬
‫‪⎪x 3 y 2‬‬
‫‪⎪x − x + y − y =1‬‬
‫⎩‬
‫‪7‬‬
‫⎧‬
‫‪⎪x = y +‬‬
‫‪6‬‬
‫⎨‬
‫‪⎪⎩16y + 9x = 6xy‬‬
‫‪6y 2 − 18y −‬‬
‫⇒‬
‫⇒‬
‫⇒‬
‫‪⋅6xy‬‬
‫‪⎧x − 2 2 = y − 1 1‬‬
‫⎪‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫⎪‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪⎨x − 2‬‬
‫‪y −1‬‬
‫⎪‬
‫‪3+‬‬
‫‪2 =1‬‬
‫‪⎪⎩ x‬‬
‫‪y‬‬
‫‪7‬‬
‫⎧‬
‫‪x‬‬
‫‪y‬‬
‫=‬
‫‪+‬‬
‫⎪⎪‬
‫‪6‬‬
‫⎨‬
‫‪8‬‬
‫‪3‬‬
‫‪⎪ −‬‬
‫‪=1‬‬
‫‪⎩⎪ 3x 2y‬‬
‫‪21‬‬
‫‪= 6y 2 + 7y‬‬
‫‪2‬‬
‫‪16y + 9y +‬‬
‫⇒‬
‫⇒‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫נפסול את התוצאה ‪ , y = −‬כי זמן הוא ערך חיובי‪ ,‬לכן ‪ . y = 3‬נציב את‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪7‬‬
‫‪ x = y +‬ונקבל‪ . x = 4 :‬רוכב א' עובר את המרחק בין ‪ A‬ל‪ B -‬במשך ‪ 4‬שעות‪ ,‬רוכב ב'‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪6‬‬
‫‪1‬‬
‫עובר את המרחק הנ"ל ב‪ 3 -‬שעות ‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ y = 3‬במשוואה‬
‫תשובה‪ 4 2 :‬שעות ‪ 3 1 ,‬שעות‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים‬
‫‪103‬‬