‫פתרונות‬ ‫בעיות מילוליות ‪ -‬בעיות הספק‬ ‫בעיות מילוליות ‪ -‬בעיות הספק‬ ‫‪ 1.61‬פתרון‪:‬‬ ‫נסמן‪ – x :‬מספר המכשירים שתיקן טכנאי א' בשעה אחת )קצב עבודתו(‪.‬‬ ‫) ‪ – ( x − 2‬מספר המכשירים שתיקן טכנאי ב' בשעה אחת )קצב עבודתו(‪.‬‬ ‫כל אחד מהטכנאים תיקן ‪ 30‬מכשירים‪ ,‬לכן‪:‬‬ ‫⎞ ‪⎛ 30‬‬ ‫⎟ ⎜ שעות – משך זמן עבודתו של טכנאי א'‪.‬‬ ‫⎠ ‪⎝ x‬‬ ‫⎞ ‪⎛ 30‬‬ ‫⎜ שעות – משך זמן עבודתו של טכנאי ב'‪.‬‬ ‫⎟‬ ‫⎠‪⎝ x−2‬‬ ‫נרכז את הנתונים בטבלה‪:‬‬ ‫קצב )הספק(‬ ‫זמן‬ ‫העבודה‬ ‫‪30‬‬ ‫טכנאי א'‬ ‫‪x‬‬ ‫‪30‬‬ ‫טכנאי ב'‬ ‫‪30‬‬ ‫‪x−2‬‬ ‫‪x−2‬‬ ‫על‪-‬פי הנתונים‪ ,‬טכנאי ב' עבד ב‪ 4 -‬שעות יותר מטכנאי א'‪ ,‬לכן נקבל את המשוואה הבאה‪:‬‬ ‫‪30 30‬‬ ‫‪−‬‬ ‫) ‪= 4 ⋅x ( x − 2‬‬ ‫⇒‬ ‫) ‪30x − 30 ( x − 2 ) = 4x ( x − 2‬‬ ‫⇒‬ ‫‪x−2 x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x1 = 5, x 2 = −3‬‬ ‫⇒‬ ‫‪x 2 − 2x − 15 − 0‬‬ ‫⇒‬ ‫‪30‬‬ ‫‪4x 2 − 8x − 60 = 0 / : 4‬‬ ‫⇒‬ ‫נפסול את התוצאה ‪ , x = −3‬כי קצב העבודה הוא ערך חיובי‪ ,‬לכן ‪ . x = 5‬קיבלנו כי טכנאי א'‬ ‫תיקן ‪ 5‬מכשירים בשעה אחת וטכנאי ב' תיקן ‪ 3‬מכשירים בשעה אחת‪.‬‬ ‫תשובה‪. 3, 5 :‬‬ ‫‪ 1.62‬פתרון‪:‬‬ ‫נסמן‪ – x :‬מספר המ"ר שריצף פועל א' ביום עבודה אחד )קצב עבודתו של פועל א' (‪.‬‬ ‫)‪ – ( x + 3‬מספר המ"ר שריצף פועל ב' ביום עבודה אחד )קצב עבודתו של פועל ב' (‪.‬‬ ‫⎞ ‪⎛ 84‬‬ ‫⎟ ⎜ ימים – משך זמן עבודתו של פועל א'‪.‬‬ ‫⎠ ‪⎝ x‬‬ ‫© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים‬ ‫‪79‬‬ ‫פתרונות‬ ‫בעיות מילוליות ‪ -‬בעיות הספק‬ ‫⎞ ‪⎛ 85‬‬ ‫⎜ ימים – משך זמן עבודתו של פועל ב'‪.‬‬ ‫⎟‬ ‫⎠‪⎝ x +3‬‬ ‫נרכז את הנתונים בטבלה‪:‬‬ ‫זמן‬ ‫‪84‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪85‬‬ ‫‪x +3‬‬ ‫פועל א'‬ ‫פועל ב'‬ ‫קצב )הספק(‬ ‫העבודה‬ ‫‪x‬‬ ‫‪84‬‬ ‫‪x+3‬‬ ‫‪85‬‬ ‫על‪-‬פי הנתונים‪ ,‬פועל א' עבד ביום אחד יותר מפועל ב'‪ ,‬לכן נקבל את המשוואה הבאה‪:‬‬ ‫⇒‬ ‫‪x1 = 14, x 2 = −18‬‬ ‫⇒‬ ‫)‪84 ( x + 3) − 85x = x ( x + 3‬‬ ‫‪x 2 + 4x − 252 = 0‬‬ ‫⇒‬ ‫⇒‬ ‫) ‪⋅x ( x + 3‬‬ ‫‪84 85‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪=1‬‬ ‫‪x x+3‬‬ ‫‪84x + 252 − 85x = x 2 + 3x‬‬ ‫⇒‬ ‫נפסול את התוצאה ‪ , x = −18‬כי קצב העבודה הוא ערך חיובי‪ ,‬לכן ‪ . x = 14‬כלומר‪ ,‬הפועל‬ ‫הראשון ריצף ‪ 14‬מ"ר ליום עבודה אחד והפועל השני ריצף ‪ 17‬מ"ר ליום‪.‬‬ ‫תשובה‪ 14 :‬מ"ר‪ 17 ,‬מ"ר‪.‬‬ ‫‪ 1.63‬פתרון‪:‬‬ ‫נסמן‪ – x :‬מספר חלקי חילוף מסוג א' שהפועל מכין ביום עבודה אחד‬ ‫‪ – y‬מספר חלקי חילוף מסוג ב' שהפועל מכין ביום עבודה אחד‬ ‫‪42‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪30‬‬ ‫ימים – הזמן הדרוש לפועל להכין את כל חלקי החילוף מסוג ב'‬ ‫‪y‬‬ ‫ימים – הזמן הדרוש לפועל להכין את כל חלקי החילוף מסוג א'‬ ‫לפי הנתונים‪ ,‬הזמן הדרוש לפועל להכין את כל חלקי החילוף הוא ‪ 6‬ימים‪ ,‬לכן נקבל את‬ ‫המשוואה הראשונה‪:‬‬ ‫‪42 30‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪=6‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪y‬‬ ‫נוסף על כך‪ ,‬נתון כי לאחר שהפועל הכין במשך יומיים חלקי חילוף מסוג א' ובמשך יום אחד‬ ‫הכין חלקי חילוף מסוג ב'‪ ,‬הוא סיים להכין ‪ 38‬חלקי חילוף‪ .‬לכן המשוואה השנייה היא‪:‬‬ ‫‪2x + y = 38‬‬ ‫נפתור את מערכת המשוואות הבאה‪:‬‬ ‫© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים‬ ‫‪80‬‬ ‫בעיות מילוליות ‪ -‬בעיות הספק‬ ‫) ‪⋅x ( 38 − 2x‬‬ ‫⇒‬ ‫⇒‬ ‫פתרונות‬ ‫‪7‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪=1‬‬ ‫‪x 38 − 2x‬‬ ‫‪⎧7 5‬‬ ‫‪⎪ + =1‬‬ ‫‪⎨x y‬‬ ‫‪⎪ y = 38 − 2x‬‬ ‫⎩‬ ‫⇒‬ ‫‪266 − 14x + 5x = 38x − 2x 2‬‬ ‫‪x 2 = 9.5‬‬ ‫‪x1 = 14,‬‬ ‫⇒‬ ‫⇒‬ ‫‪47 ± 9‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪:6‬‬ ‫⇒‬ ‫‪⎧ 42 30‬‬ ‫‪=6‬‬ ‫‪⎪ +‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪⎨x‬‬ ‫‪⎪2x + y = 38‬‬ ‫⎩‬ ‫) ‪7 ( 38 − 2x ) + 5x = x ( 38 − 2x‬‬ ‫⇒‬ ‫‪2x 2 − 47x + 266 = 0‬‬ ‫⇒‬ ‫= ‪x1,2‬‬ ‫⇒‬ ‫נפסול את התוצאה ‪ , x = 9.5‬כי מספר חלקי החילוף הוא מספר טבעי‪ ,‬לכן ‪ . x = 14‬נציב את‬ ‫‪ x = 14‬במשוואה ‪ 2x + y = 38‬ונקבל‪ . y = 10 :‬כלומר‪ ,‬הפועל מכין ‪ 14‬חלקי חילוף מסוג א' או‬ ‫‪ 10‬חלקי חילוף מסוג ב' ביום עבודה אחד‪.‬‬ ‫תשובה‪. 10 , 14 :‬‬ ‫‪ 1.64‬פתרון‪:‬‬ ‫נסמן‪ – x :‬מספר העמודים שהקלדנית תכננה להקליד ביום אחד )הקצב המתוכנן(‪.‬‬ ‫‪360‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪ – 3x‬מספר העמודים שהקלדנית הקלידה ב‪ 3 -‬הימים הראשונים‪.‬‬ ‫ימים – משך הזמן המתוכנן לסיום העבודה‪.‬‬ ‫) ‪( 360 − 3x‬‬ ‫)‪ – ( x − 1‬מספר העמודים שהקלדנית הקלידה ביום אחד בשלב השני )הקצב החדש(‪.‬‬ ‫– מספר העמודים שנותרו להקליד‪.‬‬ ‫‪360 − 3x‬‬ ‫‪x −1‬‬ ‫ימים – משך זמן העבודה של הקלדנית בשלב השני‪.‬‬ ‫נרכז את הנתונים בטבלה‪:‬‬ ‫זמן‬ ‫מתוכנן‬ ‫שלב א'‬ ‫בפועל‬ ‫שלב ב'‬ ‫קצב )הספק(‬ ‫העבודה‬ ‫‪x‬‬ ‫‪360‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪3x‬‬ ‫‪x −1‬‬ ‫‪360 − 3x‬‬ ‫‪360‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪360 − 3x‬‬ ‫‪x −1‬‬ ‫על‪-‬פי הנתונים‪ ,‬הקלדנית סיימה את העבודה יום אחד מאוחר יותר מהמתוכנן‪ .‬לכן‪ ,‬נקבל את‬ ‫המשוואה הבאה‪:‬‬ ‫⇒‬ ‫)‪⋅x ( x − 1‬‬ ‫⇒ ‪360x − 360 − 360x + 3x 2 = 2x 2 − 2x‬‬ ‫‪360 360 − 3x‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪=2‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x −1‬‬ ‫⇒‬ ‫⇒‬ ‫‪360‬‬ ‫‪360 − 3x‬‬ ‫‪= 3+‬‬ ‫‪−1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x −1‬‬ ‫)‪360 ( x − 1) − ( 360 − 3x ) ⋅ x = 2x ( x − 1‬‬ ‫© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים‬ ‫⇒‬ ‫‪81‬‬ ‫פתרונות‬ ‫בעיות מילוליות ‪ -‬בעיות הספק‬ ‫‪x1 = 18 , x 2 = −20‬‬ ‫‪−2 ± 38‬‬ ‫‪2‬‬ ‫⇒‬ ‫⇒‬ ‫= ‪x1,2‬‬ ‫‪x 2 + 2x − 360 = 0‬‬ ‫⇒‬ ‫נפסול את התוצאה ‪ , x = −20‬כי מספר העמודים הוא ערך חיובי‪ ,‬לכן ‪ . x = 18‬הקלדנית תכננה‬ ‫‪360‬‬ ‫לסיים את העבודה תוך ‪ 20‬ימים =‬ ‫‪18‬‬ ‫תשובה‪. 20 :‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪ 1.65‬פתרון‪:‬‬ ‫נסמן‪ x :‬ק"מ – אורך הכביש שקבוצה א' סללה במשך שבוע אחד ) קצב העבודה של קבוצה א'(‪.‬‬ ‫‪ y‬ק"מ – אורך הכביש שקבוצה ב' סללה במשך שבוע אחד ) קצב העבודה של קבוצה ב'(‪.‬‬ ‫‪36‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪36‬‬ ‫שבועות – הזמן הדרוש לקבוצה ב' לסלול ‪ 36‬ק"מ של כביש‪.‬‬ ‫‪y‬‬ ‫שבועות – הזמן הדרוש לקבוצה א' לסלול ‪ 36‬ק"מ של כביש‪.‬‬ ‫קבוצה א' עבדה במשך ‪ 3‬שבועות שבמהלכם סללה ‪ 3x‬ק"מ מהכביש‪.‬‬ ‫קבוצה ב' עבדה במשך ‪ 4‬שבועות שבמהלכם סללה ‪ 4y‬ק"מ מהכביש ובכך סיימה את סלילתו‪.‬‬ ‫לכן‪ ,‬המשוואה הראשונה היא‪:‬‬ ‫‪3x + 4y = 72‬‬ ‫הזמן הדרוש לקבוצה ב' לסלול ‪ 36‬ק"מ של כביש‪ ,‬גדול בשבוע מהזמן הדרוש לקבוצה א' לסלול‬ ‫‪36 36‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪=1‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪ 36‬ק"מ של כביש‪ .‬לכן המשוואה השנייה היא‪:‬‬ ‫נפתור את מערכת המשוואות הבאה‪:‬‬ ‫⇒‬ ‫‪72 − 3x‬‬ ‫⎧‬ ‫‪⎪⎪ y = 4‬‬ ‫⎨‬ ‫⎟⎞ ‪⎪ 36x − 36 ⋅ 72 − 3x = x ⎛⎜ 72 − 3x‬‬ ‫⎩⎪‬ ‫‪4‬‬ ‫⎠ ‪⎝ 4‬‬ ‫⇒‬ ‫⇒‬ ‫‪144x − 2592 + 108x = 72x − 3x 2‬‬ ‫‪x1 = 12 , x 2 = −72‬‬ ‫⇒‬ ‫‪⎧4y = 72 − 3x‬‬ ‫⎨‬ ‫‪⎩ 36x − 36y = xy‬‬ ‫⇒‬ ‫‪⋅4‬‬ ‫‪x 2 + 60x − 864 = 0‬‬ ‫⇒‬ ‫‪72 − 3x 2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪:3‬‬ ‫⇒‬ ‫‪⎧3x + 4y = 72‬‬ ‫⎪‬ ‫‪⎨ 36 36‬‬ ‫‪⎪ y − x = 1 ⋅xy‬‬ ‫⎩‬ ‫= ) ‪36x − 9 ( 72 − 3x‬‬ ‫⇒‬ ‫‪3x 2 + 180x − 2592 = 0‬‬ ‫⇒‬ ‫נפסול את התוצאה ‪ , x = −72‬כי אורך הכביש הוא ערך חיובי‪ ,‬לכן ‪ . x = 12‬נציב את ‪x = 12‬‬ ‫‪72 − 3x‬‬ ‫= ‪ y‬ונקבל כי ‪ . y = 9‬הקבוצה הראשונה סללה ‪ 12‬ק"מ במשך שבוע אחד‬ ‫במשוואה‪:‬‬ ‫‪4‬‬ ‫של עבודה והקבוצה השנייה סללה ‪ 9‬ק"מ במשך שבוע אחד של עבודה‪.‬‬ ‫תשובה‪ 12 :‬ק"מ‪ 9 ,‬ק"מ‪.‬‬ ‫© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים‬ ‫‪82‬‬ ‫פתרונות‬ ‫בעיות מילוליות ‪ -‬בעיות הספק‬ ‫‪ 1.66‬פתרון‪:‬‬ ‫נסמן‪ x :‬מ' – אורך התעלה שהטרקטור הראשון חפר במשך שעה אחת‪.‬‬ ‫) ‪ ( x + 2‬מ' – אורך התעלה שהטרקטור השני חפר במשך שעה אחת‪.‬‬ ‫‪42‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪48‬‬ ‫שעות – הזמן הדרוש לטרקטור ב' לסיים את עבודתו‪.‬‬ ‫‪x+2‬‬ ‫שעות‬ ‫– הזמן הדרוש לטרקטור א' לסיים את עבודתו‪.‬‬ ‫בסיום עבודתם‪ ,‬טרקטור ב' הקדים את טרקטור א' ביותר משעה אחת‪ .‬לכן נקבל את אי השוויון‬ ‫הבא‪:‬‬ ‫‪42‬‬ ‫‪48‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪>1‬‬ ‫‪x x+2‬‬ ‫לפי הנתונים‪ , x > 0 ,‬לכן נכפיל את שני אגפי אי השוויון ב‪ x ( x + 2 ) -‬ונקבל‪:‬‬ ‫‪x 2 + 8x − 84 < 0‬‬ ‫⇒‬ ‫⇒‬ ‫‪42x + 84 − 48x > x 2 + 2x‬‬ ‫) ‪42 ( x + 2 ) − 48x > x ( x + 2‬‬ ‫פתרונות המשוואה הריבועית ‪ x 2 + 8x − 84 = 0‬הם‪ x1 = −14 :‬ו‪ . x 2 = 6 -‬מכאן שהפתרון‬ ‫של אי השוויון הוא‪. −14 < x < 6 :‬‬ ‫תשובה‪. 0 < x < 6 :‬‬ ‫אך כאמור לעיל‪ ,‬מתקיים ‪ x > 0‬ולכן ‪. 0 < x < 6‬‬ ‫‪ 1.67‬פתרון‪:‬‬ ‫נסמן‪ – x :‬מספר הפריטים שמכין פועל א' בשעה אחת‬ ‫‪ – y‬מספר הפריטים שמכין פועל ב' בשעה אחת‬ ‫‪40‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪40‬‬ ‫שעות – הזמן הדרוש לפועל ב' להכין מחצית מכמות הפריטים‬ ‫‪y‬‬ ‫שעות – הזמן הדרוש לפועל א' להכין מחצית מכמות הפריטים‬ ‫לפי הנתונים‪ ,‬הזמן הדרוש לפועל א' להכין ‪ 40‬פריטים גדול בשעתיים מהזמן הדרוש לפועל ב'‬ ‫להכין ‪ 40‬פריטים‪ .‬לכן נקבל את המשוואה הראשונה‪:‬‬ ‫‪40 40‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪=2‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪.‬‬ ‫נוסף על כך‪ ,‬נתון שאם שני הפועלים יעבדו ביחד‪ ,‬כעבור ‪ 6‬שעות של עבודה הם יכינו‬ ‫‪ 54‬פריטים‪ .‬לכן המשוואה השנייה היא‪. 6 ( x + y ) = 54 :‬‬ ‫נפתור את מערכת המשוואות הבאה‪:‬‬ ‫⇒‬ ‫‪⎧20y − 20x = xy‬‬ ‫⎨‬ ‫‪⎩x = 9 − y‬‬ ‫⇒‬ ‫‪⋅xy‬‬ ‫‪⎧ 20 20‬‬ ‫‪=1‬‬ ‫‪⎪ −‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪⎨x‬‬ ‫‪⎪x + y = 9‬‬ ‫⎩‬ ‫© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים‬ ‫⇒‬ ‫‪⎧ 40 40‬‬ ‫‪⎪ x − y = 2 :2‬‬ ‫⎨‬ ‫‪⎪6 ( x + y ) = 54 : 6‬‬ ‫⎩‬ ‫‪83‬‬ ‫בעיות מילוליות ‪ -‬בעיות הספק‬ ‫⇒‬ ‫פתרונות‬ ‫‪20y − 180 + 20y = 9y − y 2‬‬ ‫⇒‬ ‫‪y1 = 5, y 2 = −36‬‬ ‫‪−31 ± 41‬‬ ‫‪2‬‬ ‫⇒‬ ‫‪20y − 20 ( 9 − y ) = ( 9 − y ) ⋅ y‬‬ ‫⇒‬ ‫‪y 2 + 31y − 180 = 0‬‬ ‫⇒‬ ‫⇒‬ ‫= ‪y1,2‬‬ ‫נפסול את התוצאה ‪ , y = −36‬כי מספר הפריטים הוא ערך חיובי‪ ,‬לכן ‪ y = 5‬ו‪. x = 9 − 5 = 4 -‬‬ ‫קיבלנו כי פועל א' מכין ‪ 4‬פריטים בשעה‪ ,‬לכן הזמן הדרוש לו להכין לבד ‪ 80‬פריטים הוא‪:‬‬ ‫‪80‬‬ ‫‪ 20‬שעות =‬ ‫‪4‬‬ ‫‪ .‬פועל ב' מכין ‪ 5‬פריטים בשעה‪ ,‬לכן הזמן הדרוש לו להכין לבד ‪ 80‬פריטים‬ ‫‪80‬‬ ‫הוא‪ 16 :‬שעות =‬ ‫‪5‬‬ ‫תשובה‪ 20 :‬שעות‪ 16 ,‬שעות‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪ 1.68‬פתרון‪:‬‬ ‫נסמן‪ – x :‬מספר המדפים שהכין נגר ב' ביום אחד של עבודתו‪.‬‬ ‫‪ – y‬מספר הפריטים שהכינו שני הנגרים בכל פעם )כל העבודה(‪.‬‬ ‫בפעם הראשונה‪ ,‬נגר א' עבד במשך ‪ 7‬ימים‪ ,‬בקצב של ‪ 8‬מדפים ליום‪ ,‬ולכן הוא הספיק להכין‬ ‫לבדו ‪ 56‬מדפים‪.‬‬ ‫) ‪ – ( y − 56‬מספר המדפים הנותרים שהכינו שני הנגרים ביחד בפעם הראשונה‪.‬‬ ‫) ‪(8 + x‬‬ ‫– מספר המדפים שהכינו שני הנגרים ביחד ביום אחד של עבודתם‪.‬‬ ‫‪y − 56‬‬ ‫‪8+ x‬‬ ‫‪y‬‬ ‫– מספר הימים ששני הנגרים עבדו ביחד בפעם השנייה‪.‬‬ ‫‪8+ x‬‬ ‫⎞ ‪y − 56‬‬ ‫⎛‬ ‫‪ ⎜ 7 +‬ימים ובפעם השנייה‬ ‫לפי הנתונים‪ ,‬בפעם הראשונה העבודה בוצעה במשך ⎟‬ ‫⎠ ‪8+ x‬‬ ‫⎝‬ ‫‪y‬‬ ‫ימים‪ .‬ידוע כי בפעם השנייה‪ ,‬העבודה בוצעה ב‪ 3 -‬ימים פחות‬ ‫העבודה בוצעה במשך‬ ‫‪8+ x‬‬ ‫– מספר הימים ששני הנגרים עבדו ביחד בפעם הראשונה‪.‬‬ ‫מאשר בפעם הראשונה‪ .‬לכן נקבל את המשוואה הבאה‪:‬‬ ‫⇒‬ ‫‪56‬‬ ‫‪=3‬‬ ‫‪8+ x‬‬ ‫‪x=6‬‬ ‫‪7−‬‬ ‫⇒‬ ‫⇒‬ ‫‪y‬‬ ‫‪56‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪=3‬‬ ‫‪8+ x 8+ x 8+ x‬‬ ‫‪14 = 8 + x‬‬ ‫⇒‬ ‫‪:4‬‬ ‫‪7+‬‬ ‫⇒‬ ‫) ‪56 = 4 ( 8 + x‬‬ ‫‪y − 56‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪=3‬‬ ‫‪8+ x 8+ x‬‬ ‫‪56‬‬ ‫⇒‬ ‫‪=4‬‬ ‫⇒‬ ‫‪8+ x‬‬ ‫‪7+‬‬ ‫קיבלנו כי נגר ב' מכין ‪ 6‬מדפים ביום‪.‬‬ ‫תשובה‪. 6 :‬‬ ‫© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים‬ ‫‪84‬‬ ‫פתרונות‬ ‫בעיות מילוליות ‪ -‬בעיות הספק‬ ‫‪ 1.69‬פתרון‪:‬‬ ‫בבעיות הספק המבוססות על ביצוע חלקים מהעבודה נסמן ב‪ 1 -‬את העבודה השלמה‪.‬‬ ‫התוצאה שתתקבל אינה תלויה בכמות העבודה ולכן אין צורך לסמן את כמות העבודה במשתנה‪.‬‬ ‫נסמן‪ – 1 :‬העבודה השלמה‪.‬‬ ‫‪ x‬ימים – הזמן הדרוש לפועל א' לבצע לבדו את כל העבודה‪.‬‬ ‫)‪ ( x + 3‬ימים – הזמן הדרוש לפועל ב' לבצע לבדו את כל העבודה‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫– קצב העבודה )ההספק( של פועל א'‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x +3‬‬ ‫‪8‬‬ ‫– החלק מהעבודה שמבוצע על‪-‬ידי פועל א' במשך ‪ 8‬ימים‪.‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪5‬‬ ‫– החלק מהעבודה שמבוצע על‪-‬ידי פועל ב' במשך ‪ 5‬ימים‪.‬‬ ‫‪x +3‬‬ ‫– קצב העבודה )ההספק( של פועל ב'‪.‬‬ ‫נרכז את הנתונים בטבלה‪:‬‬ ‫זמן‬ ‫לבד‬ ‫פועל א'‬ ‫‪x‬‬ ‫פועל ב'‬ ‫)‪( x + 3‬‬ ‫פועל א'‬ ‫‪8‬‬ ‫קצב )הספק(‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x +3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x +3‬‬ ‫בפועל‬ ‫פועל ב'‬ ‫‪5‬‬ ‫העבודה‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪x +3‬‬ ‫לפי הנתונים‪ ,‬אם פועל א' יעבוד לבדו במשך ‪ 8‬ימים ואחריו פועל ב' יעבוד לבדו במשך ‪ 5‬ימים‪,‬‬ ‫ביחד‪ ,‬הם יסיימו את כל העבודה‪ .‬המשוואה המתקבלת היא‪:‬‬ ‫)‪8 ( x + 3) + 5x = x ( x + 3‬‬ ‫⇒‬ ‫‪x1 = 12, x 2 = −2‬‬ ‫⇒‬ ‫‪x 2 − 10x − 24 = 0‬‬ ‫⇒‬ ‫⇒‬ ‫) ‪⋅x ( x + 3‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪=1‬‬ ‫‪x x+3‬‬ ‫‪8x + 24 + 5x = x 2 + 3x‬‬ ‫⇒‬ ‫נפסול את התוצאה ‪ , x = −2‬כי זמן הוא ערך חיובי‪ ,‬לכן ‪ . x = 12‬פועל א' מבצע לבדו את כל‬ ‫העבודה תוך ‪ 12‬ימים ופועל ב' מבצע לבדו את כל העבודה תוך ‪ 15‬ימים = ‪.12 + 3‬‬ ‫תשובה‪ 12 :‬ימים‪ 15 ,‬ימים‪.‬‬ ‫© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים‬ ‫‪85‬‬ ‫פתרונות‬ ‫בעיות מילוליות ‪ -‬בעיות הספק‬ ‫‪ 1.70‬פתרון‪:‬‬ ‫נסמן‪ – 1 :‬העבודה השלמה )נפח המכלית(‪.‬‬ ‫‪ x‬דקות – הזמן הדרוש לברז ב' למלא את המכלית לבדו‪.‬‬ ‫) ‪ ( x + 10‬דקות – הזמן הדרוש לברז א' למלא את המכלית לבדו‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫– קצב העבודה של ברז ב'‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x + 10‬‬ ‫‪12‬‬ ‫– החלק מהעבודה שבוצע על‪-‬ידי ברז ב' תוך ‪ 12‬דקות‪.‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪12‬‬ ‫– החלק מהעבודה שבוצע על‪-‬ידי ברז א' תוך ‪ 12‬דקות‪.‬‬ ‫‪x + 10‬‬ ‫– קצב העבודה של ברז א'‪.‬‬ ‫נרכז את הנתונים בטבלה‪:‬‬ ‫לבד‬ ‫זמן‬ ‫קצב )הספק(‬ ‫ברז א'‬ ‫‪x + 10‬‬ ‫ברז ב'‬ ‫‪x‬‬ ‫ברז א'‬ ‫‪12‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x + 10‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x + 10‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫בפועל‬ ‫ברז ב'‬ ‫‪12‬‬ ‫העבודה‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪x + 10‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪x‬‬ ‫לפי הנתונים‪ ,‬שני הברזים מילאו ביחד את המכלית תוך ‪ 12‬דקות‪ .‬לכן נקבל את המשוואה‬ ‫הבאה‪:‬‬ ‫⇒‬ ‫⇒‬ ‫‪14 ± 26‬‬ ‫‪2‬‬ ‫= ‪x1,2‬‬ ‫) ‪12x + 12 ( x + 10 ) = x ( x + 10‬‬ ‫⇒‬ ‫‪x 2 − 14x − 120 = 0‬‬ ‫⇒‬ ‫⇒‬ ‫) ‪x ( x + 10‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪+ =1‬‬ ‫‪x + 10 x‬‬ ‫‪12x + 12x + 120 = x 2 + 10x‬‬ ‫⇒‬ ‫‪x1 = 20 , x 2 = −6‬‬ ‫⇒‬ ‫נפסול את התוצאה ‪ , x = −6‬כי זמן הוא ערך חיובי‪ ,‬לכן ‪ . x = 20‬ברז ב' ממלא לבדו את המכלית‬ ‫תוך ‪ 20‬דקות‪ .‬ברז א' ממלא לבדו את המכלית תוך ‪ 30‬דקות = ‪. 20 + 10‬‬ ‫תשובה‪ 30 :‬דקות‪ 20 ,‬דקות‪.‬‬ ‫© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים‬ ‫‪86‬‬ ‫פתרונות‬ ‫בעיות מילוליות ‪ -‬בעיות הספק‬ ‫‪ 1.71‬פתרון‪:‬‬ ‫נסמן‪ – 1 :‬העבודה השלמה )כמות המים בבריכה מלאה(‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪5‬‬ ‫– החלק מהעבודה שבוצע על‪-‬ידי ברז א' תוך ‪ 5‬שעות‪.‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪1‬‬ ‫– קצב העבודה של ברז ב'‪.‬‬ ‫‪9‬‬ ‫⎞‪⎛ 1 1‬‬ ‫⎟ ‪ – ⎜ +‬קצב העבודה של שני הברזים יחד‪.‬‬ ‫⎠ ‪⎝ 12 9‬‬ ‫‪ x‬שעות – משך הזמן בו שני הברזים היו פתוחים יחד‪.‬‬ ‫– קצב העבודה של ברז א'‪.‬‬ ‫⎞‪1‬‬ ‫‪⎛1‬‬ ‫⎟ ‪ – x ⎜ +‬החלק מהעבודה שבוצע על‪-‬ידי שני הברזים יחד‪.‬‬ ‫⎠ ‪⎝ 12 9‬‬ ‫בהתאם לכך‪ ,‬נקבל את המשוואה הבאה‪:‬‬ ‫‪x=3‬‬ ‫⇒‬ ‫‪15 + 7x = 36‬‬ ‫⇒‬ ‫‪⋅36‬‬ ‫‪5 7‬‬ ‫‪+ x =1‬‬ ‫‪12 36‬‬ ‫⇒‬ ‫‪5‬‬ ‫⎞‪⎛ 1 1‬‬ ‫‪+ x⎜ + ⎟ =1‬‬ ‫‪12‬‬ ‫⎠ ‪⎝ 12 9‬‬ ‫תחילה‪ ,‬ברז א' מילא את הבריכה לבדו במשך ‪ 5‬שעות‪ .‬לאחר מכן‪ ,‬שני הברזים מילאו יחד את‬ ‫הבריכה במשך ‪ 3‬שעות נוספות‪ .‬לכן הבריכה התמלאה תוך ‪ 8‬שעות‪.‬‬ ‫תשובה‪ 8 :‬שעות‪.‬‬ ‫‪ 1.72‬פתרון‪:‬‬ ‫נסמן‪ – 1 :‬העבודה השלמה‪.‬‬ ‫‪ x‬שעות – הזמן הדרוש לטרקטור א' לחרוש לבד את השדה‪.‬‬ ‫) ‪ ( x + 2‬שעות – הזמן הדרוש לטרקטור ב' לחרוש לבד את השדה‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫– קצב העבודה של טרקטור א'‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x+2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫– החלק מהעבודה שבוצע על‪-‬ידי טרקטור א' במשך ‪ 3‬שעות‪.‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪4‬‬ ‫– החלק מהעבודה שבוצע על‪-‬ידי טרקטור ב' במשך ‪ 4‬שעות‪.‬‬ ‫‪x+2‬‬ ‫לפי הנתונים‪ ,‬שני הטרקטורים חרשו ‪ 77.5%‬מהשדה‪ .‬לכן נקבל את המשוואה הבאה‪:‬‬ ‫– קצב העבודה של טרקטור ב'‪.‬‬ ‫© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים‬ ‫‪87‬‬ ‫פתרונות‬ ‫בעיות מילוליות ‪ -‬בעיות הספק‬ ‫) ‪⋅40x ( x + 2‬‬ ‫⇒‬ ‫⇒‬ ‫‪120x + 240 + 160x = 31x 2 + 62x‬‬ ‫‪30‬‬ ‫‪31‬‬ ‫‪x1 = 8, x 2 = −‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪31‬‬ ‫‪+‬‬ ‫=‬ ‫‪x x + 2 40‬‬ ‫⇒‬ ‫‪218 ± 278‬‬ ‫‪62‬‬ ‫⇒‬ ‫⇒‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪= 0.775‬‬ ‫‪x x+2‬‬ ‫) ‪120 ( x + 2 ) + 160x = 31x ( x + 2‬‬ ‫⇒‬ ‫‪31x 2 − 218x − 240 = 0‬‬ ‫⇒‬ ‫⇒‬ ‫= ‪x1,2‬‬ ‫‪30‬‬ ‫נפסול את התוצאה‪:‬‬ ‫‪31‬‬ ‫את כל השדה במשך ‪ 8‬שעות‪ .‬טרקטור ב' יכול לחרוש לבד את כל השדה במשך‬ ‫‪ 10‬שעות = ‪. 8 + 2‬‬ ‫תשובה‪ 8 :‬שעות‪ 10 ,‬שעות‪.‬‬ ‫‪ , x = −‬כי זמן הוא ערך חיובי‪ ,‬לכן ‪ . x = 8‬טרקטור א' יכול לחרוש לבד‬ ‫‪ 1.73‬פתרון‪:‬‬ ‫נסמן‪ – 1 :‬העבודה השלמה )מספר הכיסאות בסך‪-‬הכל(‪.‬‬ ‫‪ x‬ימים – הזמן הדרוש לנגר ב' לבצע את כל העבודה‪.‬‬ ‫)‪ ( x + 3‬ימים – הזמן הדרוש לנגר א' לבצע את כל העבודה‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫– קצב העבודה של נגר ב'‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x +3‬‬ ‫– קצב העבודה של נגר א'‪.‬‬ ‫⎞ ‪1‬‬ ‫⎟‬ ‫⎠‪x +3‬‬ ‫‪⎛1‬‬ ‫‪⎝x‬‬ ‫‪ – 20 ⋅ ⎜ +‬החלק מהעבודה שמבוצע על‪-‬ידי שני הנגרים יחד במשך ‪ 20‬ימים‪.‬‬ ‫לפי הנתונים‪ ,‬שני הנגרים יחד‪ ,‬במשך ‪ 20‬ימים‪ ,‬יכולים להכין מספר כיסאות הגדול פי ‪3‬‬ ‫מהמספר המקורי‪ .‬לכן נקבל את המשוואה הבאה‪:‬‬ ‫⇒‬ ‫‪5‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪x1 = 12, x 2 = −‬‬ ‫⎞ ‪1‬‬ ‫‪⎛1‬‬ ‫‪20 ⋅ ⎜ +‬‬ ‫‪⎟=3‬‬ ‫⎠‪⎝ x x +3‬‬ ‫)‪20 ( x + 3) + 20x = 3x ( x + 3‬‬ ‫⇒‬ ‫) ‪⋅x ( x + 3‬‬ ‫‪3x 2 − 31x − 60 = 0‬‬ ‫⇒‬ ‫‪20x + 60 + 20x = 3x 2 + 9x‬‬ ‫⇒‬ ‫⇒‬ ‫‪5‬‬ ‫נפסול את התוצאה‬ ‫‪3‬‬ ‫תוך ‪ 12‬ימים ונגר א' מכין את כל הכיסאות תוך ‪ 15‬ימים = ‪. 12 + 3‬‬ ‫תשובה‪ 15 :‬ימים‪ 12 ,‬ימים‪.‬‬ ‫‪ , x = −‬כי זמן הוא ערך חיובי‪ ,‬לכן ‪ . x = 12‬נגר ב' מכין את כל הכיסאות‬ ‫© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים‬ ‫‪88‬‬ ‫פתרונות‬ ‫בעיות מילוליות ‪ -‬בעיות הספק‬ ‫‪ 1.74‬פתרון‪:‬‬ ‫נסמן‪ – 1 :‬העבודה השלמה ) נפח הבריכה(‪.‬‬ ‫‪ x‬שעות – הזמן הדרוש לצינור א' למלא את הבריכה‪.‬‬ ‫) ‪ ( x − 2‬שעות – הזמן הדרוש לצינור ב' לרוקן את הבריכה‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫– קצב העבודה של צינור א'‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x−2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫– החלק מהעבודה שבוצע על‪-‬ידי צינור א' במשך ‪ 3‬שעות‪.‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪3‬‬ ‫– החלק מהעבודה שבוצע על‪-‬ידי צינור ב' במשך ‪ 3‬שעות‪.‬‬ ‫‪x−2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫לפי הנתונים‪ ,‬כאשר הבריכה הייתה מלאה ב‪ -‬מנפחה‪ ,‬פתחו את שני הצינורות‪ .‬במשך‬ ‫‪4‬‬ ‫‪ 3‬שעות‪ ,‬צינור א' מילא את הבריכה וצינור ב' ריקן אותה‪ ,‬כתוצאה מכך הבריכה התרוקנה‪.‬‬ ‫– קצב העבודה של צינור ב'‪.‬‬ ‫לכן נקבל את המשוואה הבאה‪:‬‬ ‫⇒‬ ‫‪x1 = 6, x 2 = − 4‬‬ ‫‪x ( x − 2 ) + 12 ( x − 2 ) − 12x = 0‬‬ ‫⇒‬ ‫‪x 2 − 2x − 24 = 0‬‬ ‫) ‪⋅4x ( x − 2‬‬ ‫⇒‬ ‫⇒‬ ‫‪1 3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪+ −‬‬ ‫‪=0‬‬ ‫‪4 x x−2‬‬ ‫‪x 2 − 2x + 12x − 24 − 12x = 0‬‬ ‫⇒‬ ‫נפסול את התוצאה ‪ , x = −4‬כי זמן הוא ערך חיובי‪ ,‬לכן ‪ . x = 6‬צינור א' ממלא לבדו את‬ ‫הבריכה ב‪ 6 -‬שעות‪ .‬צינור א' מרוקן לבדו את הבריכה ב‪ 4 -‬שעות‪.‬‬ ‫תשובה‪ 6 :‬שעות‪ 4 ,‬שעות‪.‬‬ ‫‪ 1.75‬פתרון‪:‬‬ ‫נסמן‪ – 1 :‬העבודה השלמה )נפח הבריכה(‪.‬‬ ‫‪ x‬שעות – הזמן הדרוש לברז א' למלא לבדו את הבריכה‪.‬‬ ‫) ‪ ( x + 2‬שעות – הזמן הדרוש לברז ב' למלא לבדו את הבריכה‪.‬‬ ‫‪ 2x‬שעות –‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫הזמן הדרוש לברז ג' למלא לבדו את הבריכה‪.‬‬ ‫– קצב העבודה של ברז א'‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x+2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫– קצב העבודה של ברז ג'‪.‬‬ ‫‪2x‬‬ ‫– קצב העבודה של ברז ב'‪.‬‬ ‫© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים‬ ‫‪89‬‬ ‫פתרונות‬ ‫בעיות מילוליות ‪ -‬בעיות הספק‬ ‫נרכז את הנתונים בטבלה הבאה‪:‬‬ ‫זמן‬ ‫ברז א'‬ ‫‪x‬‬ ‫ברז ב'‬ ‫‪x+2‬‬ ‫ברז ג'‬ ‫‪2x‬‬ ‫ברז א'‬ ‫‪1‬‬ ‫ברז ב'‬ ‫‪2‬‬ ‫לבד‬ ‫בפועל‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ברז ג'‬ ‫העבודה‬ ‫קצב )הספק(‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x+2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x+2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x+2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2x‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ברז א' היה פתוח במשך שעה‪ ,‬פעל בקצב של‬ ‫ולכן מילא‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫מהבריכה‪ .‬ברז ג' היה פתוח במשך‬ ‫ומילא‬ ‫במשך שעתיים‪ ,‬פעל בקצב של‬ ‫‪x+2‬‬ ‫‪x+2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫מהבריכה‪ .‬ברז ב' היה פתוח‬ ‫שעות‪ ,‬פעל בקצב של‬ ‫‪2x‬‬ ‫ומילא‬ ‫⇒‬ ‫⇒‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2x‬‬ ‫מהבריכה‪ .‬מתקבלת המשוואה הבאה‪:‬‬ ‫‪3x + 6 + 6x + 5x + 10 = 3x 2 + 6x‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪=1‬‬ ‫‪x x + 2 3x‬‬ ‫) ‪⋅3x ( x + 2‬‬ ‫‪x1 = 4, x 2 = −‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫⇒‬ ‫⇒‬ ‫‪1‬‬ ‫⇒‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪+ 3 =1‬‬ ‫‪x x + 2 2x‬‬ ‫) ‪3 ( x + 2 ) + 6x + 5 ⋅ ( x + 2 ) = 3x ( x + 2‬‬ ‫⇒‬ ‫‪3x 2 − 8x − 16 = 0‬‬ ‫⇒‬ ‫‪8 ± 16‬‬ ‫‪6‬‬ ‫= ‪x1,2‬‬ ‫⇒‬ ‫נפסול את התוצאה ‪ , x = − 43‬כי זמן הוא ערך חיובי‪ ,‬לכן ‪ . x = 4‬ברז א' ממלא לבדו את הבריכה‬ ‫ב‪ 4 -‬שעות‪ .‬ברז ב' ממלא אותה ב‪ 6 -‬שעות‪ ,‬וברז ג' ב‪ 8 -‬שעות‪.‬‬ ‫תשובה‪ 4 :‬שעות‪ 6 ,‬שעות ‪ 8 ,‬שעות‪.‬‬ ‫© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים‬ ‫‪90‬‬ ‫פתרונות‬ ‫בעיות מילוליות ‪ -‬בעיות הספק‬ ‫‪ 1.76‬פתרון‪:‬‬ ‫נסמן‪ – 1 :‬העבודה השלמה )שטח השדה(‪.‬‬ ‫‪ x‬שעות – הזמן הדרוש לטרקטור א' לחרוש לבדו את כל השדה‪.‬‬ ‫‪ y‬שעות – הזמן הדרוש לטרקטור ב' לחרוש לבדו את כל השדה‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪y‬‬ ‫– קצב העבודה של טרקטור א'‪.‬‬ ‫– קצב העבודה של טרקטור ב'‪.‬‬ ‫– החלק מהעבודה שמבוצע על‪-‬ידי טרקטור א' ב‪ 4 -‬שעות‪.‬‬ ‫– החלק מהעבודה שמבוצע על‪-‬ידי טרקטור ב' ב‪ 3 -‬שעות‪.‬‬ ‫לפי הנתונים‪ ,‬אם הטרקטור הראשון יעבוד ‪ 4‬שעות והטרקטור השני יעבוד ‪ 3‬שעות‪ ,‬הם יחרשו‬ ‫את כל השדה‪.‬‬ ‫לכן המשוואה הראשונה היא‪:‬‬ ‫‪4 3‬‬ ‫‪+ =1‬‬ ‫‪x y‬‬ ‫‪5‬‬ ‫נוסף על כך‪ ,‬נתון שאם שני הטרקטורים יעבדו ביחד במשך שעתיים‪ ,‬הם יחרשו‬ ‫‪9‬‬ ‫‪2 2 5‬‬ ‫לכן המשוואה השנייה היא‪:‬‬ ‫= ‪+‬‬ ‫‪x y 9‬‬ ‫מהשדה‪.‬‬ ‫נפתור את מערכת המשוואות הבאה‪:‬‬ ‫‪⎧4 3‬‬ ‫‪⎪x + y =1‬‬ ‫⎪‬ ‫⎨‬ ‫‪⎪− 4 − 4 = − 10‬‬ ‫‪⎪⎩ x y‬‬ ‫‪9‬‬ ‫⇒‬ ‫) ‪⋅ ( −2‬‬ ‫‪⎧4 3‬‬ ‫‪⎪⎪ x + y = 1‬‬ ‫⎨‬ ‫‪⎪2 + 2 = 5‬‬ ‫‪⎪⎩ x y 9‬‬ ‫נחבר את שתי המשוואות ונקבל‪:‬‬ ‫‪y=9‬‬ ‫‪4 3‬‬ ‫נציב את ‪ y = 9‬במשוואה ‪+ = 1‬‬ ‫‪x y‬‬ ‫⇒‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪=−‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪−‬‬ ‫ונקבל‪:‬‬ ‫‪x=6‬‬ ‫⇒‬ ‫‪4 2‬‬ ‫=‬ ‫‪x 3‬‬ ‫⇒‬ ‫‪4 3‬‬ ‫‪+ =1‬‬ ‫‪x 9‬‬ ‫טרקטור א' יכול לחרוש לבדו את כל השדה ב‪ 6 -‬שעות‪ .‬טרקטור ב' יכול לחרוש לבדו את כל‬ ‫השדה ב‪ 9 -‬שעות‪.‬‬ ‫תשובה‪ 6 :‬שעות‪ 9 ,‬שעות‪.‬‬ ‫© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים‬ ‫‪91‬‬ ‫פתרונות‬ ‫בעיות מילוליות ‪ -‬בעיות הספק‬ ‫‪ 1.77‬פתרון‪:‬‬ ‫נסמן‪ – 1 :‬העבודה השלמה‪.‬‬ ‫‪ x‬שעות – הזמן הדרוש לפועל א' לבצע לבדו את כל העבודה‪.‬‬ ‫‪ y‬שעות – הזמן הדרוש לפועל ב' לבצע לבדו את כל העבודה‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪y‬‬ ‫– קצב העבודה של פועל א'‪.‬‬ ‫– קצב העבודה של פועל ב'‪.‬‬ ‫נרכז את הנתונים בטבלה הבאה‪:‬‬ ‫זמן‬ ‫פועל א'‬ ‫קצב )הספק(‬ ‫‪x‬‬ ‫לבד‬ ‫שלב ‪1‬‬ ‫פועל ב'‬ ‫‪y‬‬ ‫פועל א'‬ ‫‪6‬‬ ‫פועל ב'‬ ‫‪5‬‬ ‫פועל א'‬ ‫‪3‬‬ ‫שלב ‪2‬‬ ‫פועל ב'‬ ‫‪4‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪y‬‬ ‫העבודה‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪1‬‬ ‫וביצע‬ ‫לפי הנתונים‪ ,‬בשלב ‪ 1‬פועל א' עבד לבדו במשך ‪ 6‬שעות‪ ,‬בקצב של‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪1‬‬ ‫מהעבודה‪ .‬בסופו של שלב זה‪ ,‬שני‬ ‫וביצע‬ ‫פועל ב' עבד לבדו במשך ‪ 5‬שעות‪ ,‬בקצב של‬ ‫‪y‬‬ ‫‪y‬‬ ‫מהעבודה‪.‬‬ ‫הפועלים סיימו את כל העבודה‪ .‬לכן המשוואה הראשונה היא‪:‬‬ ‫‪6 5‬‬ ‫‪+ =1‬‬ ‫‪x y‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫וביצע‬ ‫בשלב ‪ 2‬פועל א' עבד לבדו במשך ‪ 3‬שעות‪ ,‬בקצב של‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪4‬‬ ‫לבדו במשך ‪ 4‬שעות וביצע‬ ‫‪y‬‬ ‫מהעבודה‪ .‬פועל ב' עבד‬ ‫מהעבודה‪ .‬הם ביצעו ביחד ‪ 65%‬מהעבודה‪ ,‬לכן המשוואה‬ ‫© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים‬ ‫‪92‬‬ ‫פתרונות‬ ‫בעיות מילוליות ‪ -‬בעיות הספק‬ ‫השנייה היא‪:‬‬ ‫‪3 4 65‬‬ ‫= ‪+‬‬ ‫‪x y 100‬‬ ‫נפתור את מערכת המשוואות הבאה‪:‬‬ ‫‪⎧6 5‬‬ ‫‪⎪ + =1‬‬ ‫‪⎪x y‬‬ ‫⎨‬ ‫‪⎪− 6 − 8 = − 13‬‬ ‫‪⎪⎩ x y‬‬ ‫‪10‬‬ ‫⇒‬ ‫‪⎧6 5‬‬ ‫‪⎪⎪ x + y = 1‬‬ ‫⎨‬ ‫‪⎪ 3 + 4 = 65‬‬ ‫‪⎪⎩ x y 100‬‬ ‫) ‪⋅ ( −2‬‬ ‫נחבר את שתי המשוואות ונקבל‪:‬‬ ‫‪x = 12‬‬ ‫⇒‬ ‫‪6 5‬‬ ‫‪+ =1‬‬ ‫‪x 10‬‬ ‫⇒‬ ‫‪y = 10‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪=−‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪10‬‬ ‫⇒‬ ‫‪−‬‬ ‫מצאנו כי פועל א' מבצע לבדו את כל העבודה במשך ‪ 12‬שעות ופועל ב' מבצע לבדו את כל‬ ‫העבודה במשך ‪ 10‬שעות‪ .‬קצב העבודה של שני הפועלים‪ ,‬כאשר הם עובדים יחד‪ ,‬הוא‪:‬‬ ‫‪1 1 11‬‬ ‫= ‪+‬‬ ‫‪12 10 60‬‬ ‫לכן הזמן הדרוש הוא‪:‬‬ ‫‪11 60‬‬ ‫‪5‬‬ ‫=‬ ‫‪ 5‬שעות =‬ ‫‪11‬‬ ‫‪60 11‬‬ ‫‪. 1:‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪ 5 11‬שעות‪.‬‬ ‫תשובה‪:‬‬ ‫‪ 1.78‬פתרון‪:‬‬ ‫נסמן‪ – 1 :‬העבודה השלמה‪.‬‬ ‫‪ x‬שעות – הזמן הדרוש לפועל א' לבצע לבדו את כל העבודה‪.‬‬ ‫‪ y‬שעות – הזמן הדרוש לפועל ב' לבצע לבדו את כל העבודה‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪y‬‬ ‫–‬ ‫קצב העבודה של פועל א'‪.‬‬ ‫– קצב העבודה של פועל ב'‪.‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪1‬‬ ‫לפי הנתונים‪ ,‬בשלב ‪ 1‬פועל א' עבד לבדו ‪ 8‬שעות‪ ,‬בקצב של וביצע‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪1‬‬ ‫וביצע מהעבודה‪ .‬בשלב ‪ , 1‬שני הפועלים ביצעו‬ ‫פועל ב' עבד לבדו ‪ 4‬שעות‪ ,‬בקצב של‬ ‫‪y‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪ 70%‬מהעבודה‪ .‬לכן המשוואה הראשונה היא‪:‬‬ ‫‪8 4 70‬‬ ‫= ‪+‬‬ ‫‪x y 100‬‬ ‫מהעבודה‪.‬‬ ‫© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים‬ ‫‪93‬‬ ‫פתרונות‬ ‫בעיות מילוליות ‪ -‬בעיות הספק‬ ‫בשלב ‪ , 2‬שני הפועלים עבדו יחד במשך שעתיים וביצעו ) ‪ ( 92.5% − 70% = 22.5%‬מהעבודה‪.‬‬ ‫לכן המשוואה השנייה היא‪:‬‬ ‫‪2 2 22.5‬‬ ‫= ‪+‬‬ ‫‪x y 100‬‬ ‫נפתור את מערכת המשוואות הבאה‪:‬‬ ‫‪⎧ 8 4 70‬‬ ‫= ‪⎪ +‬‬ ‫‪⎪ x y 100‬‬ ‫⎨‬ ‫‪⎪− 4 − 4 = − 9‬‬ ‫‪⎪⎩ x y‬‬ ‫‪20‬‬ ‫⇒‬ ‫) ‪⋅ ( −2‬‬ ‫‪⎧ 8 4 70‬‬ ‫‪⎪⎪ x + y = 100‬‬ ‫⎨‬ ‫‪⎪ 2 + 2 = 22.5‬‬ ‫‪⎪⎩ x y 100‬‬ ‫נחבר את שתי המשוואות ונקבל‪:‬‬ ‫⇒‬ ‫‪x = 16‬‬ ‫‪y = 20‬‬ ‫⇒‬ ‫‪4 1‬‬ ‫=‬ ‫‪x 4‬‬ ‫⇒‬ ‫‪4 1‬‬ ‫=‬ ‫‪y 5‬‬ ‫⇒‬ ‫‪4 7 9‬‬ ‫‪= −‬‬ ‫⇒‬ ‫‪x 10 20‬‬ ‫‪8 4 7‬‬ ‫⇒‬ ‫= ‪+‬‬ ‫‪16 y 10‬‬ ‫פועל א' יכול לבצע לבדו את כל העבודה במשך ‪ 16‬שעות ופועל ב' יכול לבצע לבדו את כל‬ ‫העבודה במשך ‪ 20‬שעות‪.‬‬ ‫תשובה‪ 16 :‬שעות‪ 20 ,‬שעות‪.‬‬ ‫‪ 1.79‬פתרון‪:‬‬ ‫נסמן‪ – 1 :‬העבודה השלמה‪.‬‬ ‫‪ x‬שעות – הזמן הדרוש לנגר א' לבצע לבדו את כל העבודה‪.‬‬ ‫‪ y‬שעות – הזמן הדרוש לנגר ב' לבצע לבדו את כל העבודה‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪y‬‬ ‫–‬ ‫קצב העבודה של נגר א'‪.‬‬ ‫– קצב העבודה של נגר ב'‪.‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ולכן ביצע‬ ‫לפי הנתונים‪ ,‬נגר א' עבד ‪ 3‬שעות בקצב של‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫שעה אחת אחרי נגר א'‪ ,‬לכן עבד שעתיים בקצב של וביצע מהעבודה‪ .‬בשלב הראשון‪,‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪11‬‬ ‫מהעבודה‪ .‬לכן המשוואה הראשונה היא‪:‬‬ ‫שני הנגרים ביצעו‬ ‫‪20‬‬ ‫‪3 2 11‬‬ ‫= ‪+‬‬ ‫‪x y 20‬‬ ‫מהעבודה‪ .‬נגר ב' ניגש לעבודה‬ ‫© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים‬ ‫‪94‬‬ ‫פתרונות‬ ‫בעיות מילוליות ‪ -‬בעיות הספק‬ ‫לאחר גמר העבודה‪ ,‬התברר שכל אחד מהנגרים ביצע מחצית מהעבודה‪ .‬נגר א' מבצע את כל‬ ‫‪1‬‬ ‫העבודה במשך ‪ x‬שעות ולכן הוא מבצע מחצית מהעבודה במשך ‪x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫נגר ב' מבצע מחצית מהעבודה במשך ‪ y‬שעות‪ .‬משך זמן העבודה של נגר א' היה גדול בשעה‬ ‫‪2‬‬ ‫שעות‪ .‬באופן דומה‪,‬‬ ‫ממשך זמן העבודה של נגר ב'‪ .‬לכן המשוואה השנייה היא‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x − y =1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫נפתור את מערכת המשוואות הבאה‪:‬‬ ‫⇒‬ ‫‪⎧60y + 40x = 11xy‬‬ ‫⎨‬ ‫‪⎩x = 2 + y‬‬ ‫⇒‬ ‫‪10‬‬ ‫‪11‬‬ ‫⇒‬ ‫‪⎧60y + 40x = 11xy‬‬ ‫⎨‬ ‫‪⎩x − y = 2‬‬ ‫‪60y + 80 + 40y = 22y + 11y 2‬‬ ‫‪y1 = 8 , y 2 = −‬‬ ‫‪10‬‬ ‫נפסול את התוצאה‬ ‫‪11‬‬ ‫⇒‬ ‫‪78 ± 98‬‬ ‫‪22‬‬ ‫⇒‬ ‫‪⎧ 3 2 11‬‬ ‫‪⎪⎪ x + y = 20 ⋅20xy‬‬ ‫⎨‬ ‫‪⎪ 1 x − 1 y = 1 ⋅2‬‬ ‫‪⎪⎩ 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫⇒‬ ‫) ‪60y + 40 ( 2 + y ) = 11y ( 2 + y‬‬ ‫⇒‬ ‫‪11y 2 − 78y − 80 = 0‬‬ ‫⇒‬ ‫= ‪y1,2‬‬ ‫⇒‬ ‫‪ , y = −‬כי זמן הוא ערך חיובי‪ ,‬לכן ‪ y = 8‬ו‪. x = 2 + 8 = 10 -‬‬ ‫נגר א' יכול לבצע לבדו את העבודה ב‪ 10 -‬שעות‪ .‬נגר ב' יכול לבצע לבדו את העבודה ב ‪8 -‬‬ ‫שעות‪.‬‬ ‫תשובה‪ 10 :‬שעות‪ 8 ,‬שעות‪.‬‬ ‫‪ 1.80‬פתרון‪:‬‬ ‫נסמן‪ – 1 :‬העבודה השלמה )נפח הבריכה(‪.‬‬ ‫‪ x‬שעות – הזמן הדרוש לברז א' למלא לבדו את הבריכה‪.‬‬ ‫‪ y‬שעות – הזמן הדרוש לברז ב' למלא לבדו את הבריכה‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪y‬‬ ‫– קצב העבודה של ברז א'‪.‬‬ ‫– קצב העבודה של ברז ב'‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫וביצע‬ ‫על‪-‬פי הנתונים‪ ,‬בשלב הראשון ברז א' פעל במשך שעתיים‪ ,‬בקצב של‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫⎞‪1‬‬ ‫⎛‬ ‫ברז ב' פעל במשך ⎟ ‪⎜ 2 + 2 = 4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫⎠‪2‬‬ ‫⎝‬ ‫מהעבודה‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪9‬‬ ‫= ‪ 2‬מהעבודה‪.‬‬ ‫וביצע‬ ‫שעות‪ ,‬בקצב של‬ ‫‪y 2y‬‬ ‫‪y‬‬ ‫© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים‬ ‫‪95‬‬ ‫בעיות מילוליות ‪ -‬בעיות הספק‬ ‫מכאן שהמשוואה הראשונה היא‪:‬‬ ‫פתרונות‬ ‫‪2 9‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪=1‬‬ ‫‪x 2y‬‬ ‫ברז א' ממלא לבדו את הבריכה במשך ‪ x‬שעות‪ .‬בשלב השני‪ ,‬הוא ביצע ‪ 40%‬מהעבודה במשך‬ ‫‪ 0.4x‬שעות‪ .‬באופן דומה‪ ,‬ברז ב' ביצע ‪ 60%‬מהעבודה במשך ‪ 0.6y‬שעות‪ .‬בשלב השני‪ ,‬הבריכה‬ ‫‪0.4x + 0.6y = 7‬‬ ‫התמלאה תוך ‪ 7‬שעות‪ .‬לכן המשוואה השנייה היא‪:‬‬ ‫נפתור את מערכת המשוואות הבאה‪:‬‬ ‫⇒‬ ‫⇒‬ ‫‪5‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪⎧4y + 9x = 2xy‬‬ ‫⎪‬ ‫⎨‬ ‫‪35 − 3y‬‬ ‫‪⎪⎩ x = 2‬‬ ‫‪315 − 27y‬‬ ‫‪= 35y − 3y 2 ⋅2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪y1 = 9, y 2 = 5‬‬ ‫⇒‬ ‫⇒‬ ‫‪4y +‬‬ ‫‪⎧4y + 9x = 2xy‬‬ ‫⎨‬ ‫‪⎩2x + 3y = 35‬‬ ‫⇒‬ ‫‪6y 2 − 89y + 315 = 0‬‬ ‫‪35 − 3y‬‬ ‫נציב את הערכים של ‪ y1‬ו‪ y 2 -‬במשוואה‬ ‫‪2‬‬ ‫⇒‬ ‫‪⎧2 9‬‬ ‫‪= 1 ⋅2xy‬‬ ‫‪⎪ +‬‬ ‫‪⎨ x 2y‬‬ ‫⎪‬ ‫‪⎩0.4x + 0.6y = 7 ⋅5‬‬ ‫⎞ ‪⎛ 35 − 3y‬‬ ‫⎞ ‪⎛ 35 − 3y‬‬ ‫⎜ ⋅ ‪4y + 9‬‬ ‫⎜⋅‪⎟ = 2‬‬ ‫‪⎟⋅ y‬‬ ‫⎠ ‪⎝ 2‬‬ ‫⎠ ‪⎝ 2‬‬ ‫⇒‬ ‫‪8y + 315 − 27y = 70y − 6y 2‬‬ ‫⇒‬ ‫⇒‬ ‫= ‪ x‬ונקבל ‪:‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪35 − 3 ⋅ 5‬‬ ‫‪35 − 3 ⋅ 9‬‬ ‫‪6 =83‬‬ ‫= ‪= 4, x 2‬‬ ‫= ‪x1‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ברז א' ממלא לבדו את הבריכה ב‪ 4 -‬שעות וברז ב' ב‪ 9 -‬שעות; או ברז א' ממלא לבדו את‬ ‫הבריכה ב‪ 8 34 -‬שעות וברז ב' ב‪ 5 56 -‬שעות‪.‬‬ ‫תשובה‪ 4 :‬שעות‪ 9 ,‬שעות או ‪ 8 34‬שעות‪ 5 56 ,‬שעות‪.‬‬ ‫‪ 1.81‬פתרון‪:‬‬ ‫נסמן‪ – 1 :‬העבודה השלמה‪.‬‬ ‫‪ x‬שעות – הזמן הדרוש לפועל א' לבצע את כל העבודה לבדו‪.‬‬ ‫‪ y‬שעות – הזמן הדרוש לפועל ב' לבצע את כל העבודה לבדו‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪y‬‬ ‫– קצב העבודה של פועל א'‪.‬‬ ‫– קצב העבודה של פועל ב'‪.‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ומבצע‬ ‫בשלב הראשון‪ ,‬פועל א' עובד במשך ‪ 3‬שעות בקצב של‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ומבצע מהעבודה‪ .‬שני הפועלים מספיקים לבצע‬ ‫פועל ב' עובד במשך ‪ 3‬שעות בקצב של‬ ‫‪y‬‬ ‫‪y‬‬ ‫מהעבודה‪ .‬באופן דומה‪,‬‬ ‫© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים‬ ‫‪96‬‬ ‫פתרונות‬ ‫בעיות מילוליות ‪ -‬בעיות הספק‬ ‫‪ 62.5%‬מהעבודה ב‪ 3 -‬שעות‪ .‬לכן המשוואה הראשונה היא‪:‬‬ ‫‪3 3 62.5‬‬ ‫= ‪+‬‬ ‫‪x y 100‬‬ ‫פועל א' מבצע לבדו את כל העבודה במשך ‪ x‬שעות‪ .‬בשלב השני‪ ,‬הוא מבצע ‪ 75%‬מהעבודה‬ ‫במשך ‪ 0.75x‬שעות‪ .‬ידוע שהזמן הדרוש לפועל ב' לבצע ‪ 75%‬מהעבודה‪ ,‬גדול בשעה מהזמן‬ ‫הדרוש לפועל ב' לבצע את כל העבודה‪ .‬לכן המשוואה השנייה היא‪:‬‬ ‫‪0.75x − y = 1‬‬ ‫נפתור את מערכת המשוואות הבאה‪:‬‬ ‫⇒‬ ‫‪⎧24y + 24x = 5xy‬‬ ‫⎪‬ ‫⎨‬ ‫‪3‬‬ ‫‪⎪⎩ y = 4 x − 1‬‬ ‫‪8xy‬‬ ‫⇒‬ ‫‪⎧3 3 5‬‬ ‫= ‪+‬‬ ‫‪⎪⎪ x y 8‬‬ ‫⎨‬ ‫‪⎪y = 3 x −1‬‬ ‫⎩⎪‬ ‫‪4‬‬ ‫⇒‬ ‫‪⎧ 3 3 62.5‬‬ ‫= ‪⎪ +‬‬ ‫‪⎨ x y 100‬‬ ‫‪⎪0.75x − y = 1‬‬ ‫⎩‬ ‫‪15‬‬ ‫‪⎛3‬‬ ‫⎞‬ ‫‪⎛3‬‬ ‫⎞‬ ‫⎟‪24 ⋅ ⎜ x − 1⎟ + 24x = 5x ⋅ ⎜ x − 1‬‬ ‫⇒‬ ‫‪18x − 24 + 24x = x 2 − 5x‬‬ ‫⇒‬ ‫‪4‬‬ ‫‪⎝4‬‬ ‫⎠‬ ‫‪⎝4‬‬ ‫⎠‬ ‫‪8‬‬ ‫‪15 2‬‬ ‫⇒‬ ‫‪x − 47x + 24 = 0 ⋅4‬‬ ‫⇒‬ ‫‪15x 2 − 188x + 96 = 0‬‬ ‫⇒‬ ‫= ‪x1 = 12, x 2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪8‬‬ ‫= ‪ x‬במשוואה ‪ y = x − 1‬ונקבל‪ , y = − < 0 :‬נפסול את התוצאה הנ"ל‪ ,‬מאחר‬ ‫נציב את‬ ‫‪5‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪3‬‬ ‫וזמן הוא ערך חיובי‪ .‬נציב את ‪ x = 12‬במשוואה ‪ y = x − 1‬ונקבל‪ . y = 8 :‬פועל א' יכול לבצע‬ ‫‪4‬‬ ‫לבדו את כל העבודה ב‪ 12 -‬שעות ופועל ב' ב‪ 8 -‬שעות‪.‬‬ ‫תשובה‪ 12 :‬שעות‪ 8 ,‬שעות‪.‬‬ ‫⇒‬ ‫‪ 1.82‬פתרון‪:‬‬ ‫נסמן‪ – 1 :‬העבודה השלמה‪.‬‬ ‫‪ x‬שעות – הזמן הדרוש למכונה א' לבצע לבדה את כל העבודה‪.‬‬ ‫‪ y‬שעות – הזמן הדרוש למכונה ב' לבצע לבדה את כל העבודה‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪y‬‬ ‫– קצב העבודה של מכונה א'‪.‬‬ ‫– קצב העבודה של מכונה ב'‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫בשלב הראשון‪ ,‬מכונה א' ייצרה מחלקי החילוף במשך ‪ x‬שעות ומכונה ב' יצרה‬ ‫‪6‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫החילוף במשך ‪ y‬שעות‪ .‬המכונות עבדו במשך ‪ 20‬שעות‪ ,‬לכן המשוואה הראשונה היא‪:‬‬ ‫‪6‬‬ ‫© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים‬ ‫מחלקי‬ ‫‪97‬‬ ‫פתרונות‬ ‫בעיות מילוליות ‪ -‬בעיות הספק‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x + y = 20‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪1‬‬ ‫וביצעה‬ ‫בשלב השני‪ ,‬מכונה א' עבדה במשך ‪ 9‬שעות‪ ,‬בקצב של‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪1‬‬ ‫מהעבודה‪ .‬החלק מהעבודה שבוצע על‪-‬‬ ‫וביצעה‬ ‫מכונה ב' עבדה במשך ‪ 9‬שעות בקצב של‬ ‫‪y‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪1 1 1‬‬ ‫ידי שתי המכונות‪ ,‬בשלב השני‪ ,‬הוא‪ . 1 − − = :‬לכן המשוואה השנייה היא‪:‬‬ ‫‪3 6 2‬‬ ‫‪9 9 1‬‬ ‫= ‪+‬‬ ‫‪x y 2‬‬ ‫מהעבודה‪ .‬באופן דומה‪,‬‬ ‫נפתור את מערכת המשוואות הבאה‪:‬‬ ‫⇒‬ ‫⇒‬ ‫‪⎧ y = 120 − 2x‬‬ ‫⎨‬ ‫‪⎩18y + 18x = xy‬‬ ‫⇒‬ ‫⇒‬ ‫) ‪18 (120 − 2x ) + 18x = x (120 − 2x‬‬ ‫⇒‬ ‫‪x 2 − 69x + 1080 = 0‬‬ ‫‪2x 2 − 138x + 2160 = 0‬‬ ‫⇒‬ ‫‪2160 − 36x + 18x = 120x − 2x 2‬‬ ‫‪x1 = 24, x 2 = 45‬‬ ‫⇒‬ ‫‪⎧2x + y = 120‬‬ ‫⎨‬ ‫‪⎩18y + 18x = xy‬‬ ‫⇒‬ ‫‪1‬‬ ‫‪⎧1‬‬ ‫‪⎪⎪ 3 x + 6 y = 20 ⋅6‬‬ ‫‪⎨9 9 1‬‬ ‫= ‪⎪ +‬‬ ‫‪⋅2xy‬‬ ‫‪⎪⎩ x y 2‬‬ ‫⇒‬ ‫‪:2‬‬ ‫נציב את ערכי ‪ x1‬ו‪ x 2 -‬במשוואה ‪ y = 120 − 2x‬ונקבל‪:‬‬ ‫‪y 2 = 120 − 2 ⋅ 45 = 30‬‬ ‫‪y1 = 120 − 2 ⋅ 24 = 72,‬‬ ‫מכונה א' יכולה לבצע לבדה את כל העבודה ב‪ 24 -‬שעות ומכונה ב' ב‪ 72 -‬שעות; או מכונה א'‬ ‫יכולה לבצע לבדה את כל העבודה ב‪ 45 -‬שעות ומכונה ב' ב‪ 30 -‬שעות‪.‬‬ ‫תשובה‪ 24 :‬שעות‪ 72 ,‬שעות או ‪ 45‬שעות‪ 30 ,‬שעות‪.‬‬ ‫‪ 1.83‬פתרון‪:‬‬ ‫נסמן‪ – 1 :‬העבודה השלמה‪.‬‬ ‫‪ – x‬מספר הפועלים בקבוצה‪.‬‬ ‫‪ y‬שעות – הזמן הדרוש לקבוצת הפועלים לבצע את כל העבודה‪.‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪ ,‬לכן הקבוצה יכולה לבצע ב‪ y -‬שעות ‪⋅ y‬‬ ‫קצב העבודה של ‪ x‬פועלים הוא‬ ‫‪30‬‬ ‫‪30‬‬ ‫מהעבודה‪,‬‬ ‫כלומר לבצע את כל העבודה‪ .‬לכן המשוואה הראשונה היא‪:‬‬ ‫‪xy‬‬ ‫‪=1‬‬ ‫‪30‬‬ ‫‪2x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫וביצעה‬ ‫על‪-‬פי הנתון‪ ,‬הקבוצה עבדה במשך שעתיים כמתוכנן‪ ,‬בקצב של‬ ‫‪30‬‬ ‫‪30‬‬ ‫© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים‬ ‫מהעבודה‪.‬‬ ‫‪98‬‬ ‫פתרונות‬ ‫בעיות מילוליות ‪ -‬בעיות הספק‬ ‫לאחר שעזבו שני פועלים‪ ,‬נותרו בקבוצה ) ‪ ( x − 2‬פועלים‪ ,‬אשר סיימו את העבודה שעה וחצי‬ ‫⎞‪1‬‬ ‫⎛‬ ‫⎝‬ ‫‪1‬‬ ‫מאוחר יותר מהמתוכנן‪ ,‬כלומר שאר הפועלים עבדו במשך ⎟ ‪ ⎜ y − 2 + 1 = y −‬שעות‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫⎠‬ ‫לכן המשוואה השנייה היא‪:‬‬ ‫⎛ ‪2x x − 2‬‬ ‫⎞‪1‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪⋅⎜ y − ⎟ = 1‬‬ ‫‪30‬‬ ‫⎝ ‪30‬‬ ‫⎠‪2‬‬ ‫קיבלנו מערכת של שתי משוואות‪:‬‬ ‫⇒‬ ‫⇒‬ ‫⇒‬ ‫‪⎧ xy = 30‬‬ ‫⎪‬ ‫⎞‪1‬‬ ‫⎨‬ ‫⎛‬ ‫‪⎪2x + ( x − 2 ) ⋅ ⎜ y − 2 ⎟ = 30‬‬ ‫⎝‬ ‫⎠‬ ‫⎩‬ ‫‪⎧ xy = 30‬‬ ‫⎨‬ ‫‪⎩1.5x − 2y + 30 + 1 = 30‬‬ ‫‪1.5x 2 + x = 60‬‬ ‫⇒‬ ‫‪⋅2‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪3‬‬ ‫⇒‬ ‫‪⋅30‬‬ ‫⇒‬ ‫‪⎧ xy = 30‬‬ ‫⎪‬ ‫⎨‬ ‫‪1‬‬ ‫‪⎪⎩2x + xy − 2 x − 2y + 1 = 30‬‬ ‫⇒‬ ‫‪⎧ xy = 30‬‬ ‫⎪‬ ‫⎨‬ ‫‪1.5x + 1‬‬ ‫= ‪⎪⎩ y‬‬ ‫‪2‬‬ ‫⇒‬ ‫‪1.5x 2 + x − 60 = 0‬‬ ‫⇒‬ ‫‪(1.5x + 1) = 30‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x1 = 6 , x 2 = −‬‬ ‫‪⎧ xy‬‬ ‫‪⎪⎪ 30 = 1 ⋅30‬‬ ‫⎨‬ ‫‪⎪ 2x + x − 2 ⋅ ⎛⎜ y − 1 ⎞⎟ = 1‬‬ ‫‪⎪⎩ 30‬‬ ‫⎝ ‪30‬‬ ‫⎠‪2‬‬ ‫⋅‪x‬‬ ‫⇒‬ ‫⇒‬ ‫‪20‬‬ ‫נפסול את התוצאה‬ ‫‪3‬‬ ‫בהתחלה היו בקבוצה ‪ 6‬פועלים‪.‬‬ ‫תשובה‪ 6 :‬פועלים‪.‬‬ ‫‪ , x = −‬משום שמספר הפועלים הוא מספר טבעי ולכן ‪ . x = 6‬כלומר‬ ‫‪ 1.84‬פתרון‪:‬‬ ‫נסמן‪ – 1 :‬העבודה השלמה )כמות הברגים שהוזמנה(‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪45‬‬ ‫‪ – x‬מספר המכונות שביצעו את ההזמנה בהתחלה‪.‬‬ ‫– קצב העבודה )ההספק( של כל אחת מהמכונות שבמפעל‪.‬‬ ‫)‪( x + 5‬‬ ‫– מספר המכונות שסיימו את העבודה‪.‬‬ ‫‪ y‬ימים – הזמן המתוכנן לביצוע הזמנה בהתחלה‪.‬‬ ‫)‪ ( y − 3‬ימים – משך זמן ביצוע ההזמנה בפועל‪.‬‬ ‫© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים‬ ‫‪99‬‬ ‫פתרונות‬ ‫בעיות מילוליות ‪ -‬בעיות הספק‬ ‫‪x‬‬ ‫קצב העבודה של ‪ x‬מכונות הוא‬ ‫‪45‬‬ ‫⎞‬ ‫‪ ,‬לכן ב‪ y -‬ימים )כמתוכנן( המפעל יכול לבצע‬ ‫‪⎛ x‬‬ ‫⎟ ‪ ⎜ ⋅ y‬מהעבודה‪ ,‬כלומר לבצע את כל ההזמנה‪ .‬מכאן שהמשוואה הראשונה היא‪:‬‬ ‫⎠ ‪⎝ 45‬‬ ‫‪xy‬‬ ‫‪=1‬‬ ‫‪45‬‬ ‫‪3x‬‬ ‫על‪-‬פי הנתון‪ x ,‬מכונות עבדו במשך ‪ 3‬ימים כמתוכנן ולכן ביצעו‬ ‫‪45‬‬ ‫מספר המכונות ב‪ 5 -‬וכתוצאה מכך‪ ,‬העבודה הסתיימה ב‪ 3 -‬ימים מוקדם מהמתוכנן‪ ,‬כלומר‬ ‫) ‪ ( x + 5‬מכונות סיימו את ביצוע ההזמנה תוך ) ‪ ( y − 3 − 3 = y − 6‬ימים‪.‬‬ ‫מההזמנה‪ .‬לאחר מכן‪ ,‬גדל‬ ‫מכאן שהמשוואה השנייה היא‪:‬‬ ‫) ‪3x ( x + 5 )( y − 6‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪=1‬‬ ‫‪45‬‬ ‫‪45‬‬ ‫נפתור מערכת המשוואות הבאה‪:‬‬ ‫⇒‬ ‫⇒‬ ‫⇒‬ ‫‪⋅5‬‬ ‫‪⎪⎧ xy = 45‬‬ ‫⎨‬ ‫‪⎪⎩3x + ( x + 5 )( y − 6 ) = 45‬‬ ‫‪⎧ xy = 45‬‬ ‫⎨‬ ‫‪⎩−3x + 5y + 45 − 30 = 45‬‬ ‫⎞ ‪⎛ 3x + 30‬‬ ‫⎜⋅ ‪x‬‬ ‫‪⎟ = 45‬‬ ‫⎠ ‪⎝ 5‬‬ ‫‪x1 = 5, x 2 = −15‬‬ ‫⇒‬ ‫⇒‬ ‫⇒‬ ‫‪⋅45‬‬ ‫⇒‬ ‫‪⎧ xy‬‬ ‫‪⎪⎪ 45 = 1 ⋅45‬‬ ‫⎨‬ ‫‪⎪ 3x + ( x + 5 )( y − 6 ) = 1‬‬ ‫‪⎪⎩ 45‬‬ ‫‪45‬‬ ‫‪⎧ xy = 45‬‬ ‫⎨‬ ‫‪⎩3x + xy − 6x + 5y − 30 = 45‬‬ ‫⇒‬ ‫‪⎧ xy = 45‬‬ ‫⎨‬ ‫‪⎩−3x + 5y = 30‬‬ ‫⇒‬ ‫‪3x 2 + 30x = 225‬‬ ‫⇒‬ ‫‪⎧ xy = 45‬‬ ‫⎪‬ ‫‪3x + 30‬‬ ‫⎨‬ ‫‪⎪⎩ y = 5‬‬ ‫‪3x 2 + 30x − 225 = 0‬‬ ‫⇒‬ ‫⇒‬ ‫נפסול את התוצאה ‪ , x = −15‬משום שמספר הפועלים הוא מספר טבעי ולכן ‪. x = 5‬‬ ‫‪y=9‬‬ ‫⇒‬ ‫‪5y = 45‬‬ ‫⇒‬ ‫‪x =5‬‬ ‫קיבלנו שבהתחלה עבדו ‪ 5‬מכונות ושבפועל העבודה נמשכה ) ‪ ( 9 − 3 = 6‬ימים‪.‬‬ ‫תשובה‪ 5 :‬מכונות‪ 6 ,‬ימים‪.‬‬ ‫© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים‬ ‫‪100‬‬ ‫פתרונות‬ ‫בעיות מילוליות ‪ -‬בעיות הספק‬ ‫‪ 1.85‬פתרון‪:‬‬ ‫נסמן‪ – 1 :‬העבודה השלמה ) המרחק בין ‪ A‬ל‪.( B -‬‬ ‫‪ x‬שעות – הזמן הדרוש לרכבת א' להגיע מ‪ A -‬ל‪. B -‬‬ ‫‪ y‬שעות – הזמן הדרוש לרכבת ב' להגיע מ‪ B -‬ל‪. A -‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪y‬‬ ‫– מהירותה של רכבת א'‪.‬‬ ‫– מהירותה של רכבת ב'‪.‬‬ ‫‪1.5‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ולכן עברה‬ ‫בשלב הראשון‪ ,‬רכבת א' נסעה במשך ‪ 1.5‬שעות‪ ,‬במהירות‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪1.5‬‬ ‫מהמרחק שבין ‪ A‬ל‪. B -‬‬ ‫‪ A‬ל‪ . B -‬באופן דומה‪ ,‬רכבת ב' עברה‬ ‫‪y‬‬ ‫‪3‬‬ ‫לפי הנתונים‪ ,‬כעבור ‪ 1.5‬שעות‪ ,‬המרחק בין שתי הרכבות היה‬ ‫‪8‬‬ ‫)‬ ‫‪3 5‬‬ ‫הרכבות עברו ביחד =‬ ‫‪8 8‬‬ ‫(‬ ‫‪ 1 −‬מהדרך‪.‬‬ ‫מהמרחק שבין‬ ‫מהמרחק כולו ולכן שתי‬ ‫המשוואה הראשונה היא‪:‬‬ ‫‪1.5 1.5 5‬‬ ‫‪+‬‬ ‫=‬ ‫‪x‬‬ ‫‪y 8‬‬ ‫נוסף על כך‪ ,‬נתון שרכבת א' הגיעה ל‪ B -‬שעתיים לפני שרכבת ב' הגיעה ל‪ . A -‬כלומר‪ ,‬הזמן‬ ‫הדרוש לרכבת ב' להגיע ליעדה‪ ,‬גדול בשעתיים מהזמן הדרוש לרכבת א' להגיע ליעדה‪.‬‬ ‫לכן המשוואה השנייה היא‪:‬‬ ‫‪y−x = 2‬‬ ‫נפתור את מערכת המשוואות הבאה‪:‬‬ ‫) ‪12 ( 2 + x ) + 12x = 5x ( 2 + x‬‬ ‫⇒‬ ‫‪6‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪x1 = 4, x 2 = −‬‬ ‫⇒‬ ‫⇒‬ ‫‪⎧12y + 12x = 5xy‬‬ ‫⎨‬ ‫‪⎩y = 2 + x‬‬ ‫‪5x 2 − 14x − 24 = 0‬‬ ‫⇒‬ ‫⇒‬ ‫‪⋅8xy‬‬ ‫‪⎧1.5 1.5 5‬‬ ‫=‬ ‫‪⎪ +‬‬ ‫‪y 8‬‬ ‫‪⎨ x‬‬ ‫‪⎪y − x = 2‬‬ ‫⎩‬ ‫‪24 + 12x + 12x = 10x + 5x 2‬‬ ‫⇒‬ ‫‪6‬‬ ‫נפסול את התוצאה‬ ‫‪5‬‬ ‫דרושות ‪ 4‬שעות בכדי לעבור את המרחק בין ‪ A‬ל‪ B -‬ולרכבת ב' דרושות ‪ 6‬שעות בכדי לעבור‬ ‫‪ , x = −‬כי זמן הוא ערך חיובי‪ ,‬לכן ‪ x = 4‬ומכאן‪ . y = 2 + 4 = 6 :‬לרכבת א'‬ ‫את המרחק הנ"ל‪.‬‬ ‫תשובה‪ 4 :‬שעות‪ 6 ,‬שעות‪.‬‬ ‫© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים‬ ‫‪101‬‬ ‫פתרונות‬ ‫בעיות מילוליות ‪ -‬בעיות הספק‬ ‫‪ 1.86‬פתרון‪:‬‬ ‫נשרטט סקיצה‪:‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪C‬‬ ‫נסמן‪ – C :‬נקודת המפגש של שני הרוכבים‪.‬‬ ‫‪ – 1‬העבודה השלמה ) המרחק בין ‪ A‬ל‪.( B -‬‬ ‫‪ x‬שעות – הזמן הדרוש לרוכב א' להגיע מ‪ A -‬ל‪. B -‬‬ ‫‪ y‬שעות – הזמן הדרוש לרוכב ב' להגיע מ‪ B -‬ל‪. A -‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪y‬‬ ‫– מהירותו של רוכב א'‪.‬‬ ‫– מהירותו של רוכב ב'‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫לפי הנתונים‪ ,‬רוכב א' עבר את הקטע ‪ CB‬במשך‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ 2‬שעות‪ ,‬לכן את הקטע ‪ AC‬הוא עבר‬ ‫⎞‪2‬‬ ‫⎛‬ ‫במשך ⎟ ‪⎜ x − 2‬‬ ‫⎠‪3‬‬ ‫⎝‬ ‫⎞‪1‬‬ ‫⎛‬ ‫עבר במשך ⎟ ‪ ⎜ y − 1‬שעות‪ .‬שני הרוכבים יצאו בו‪-‬זמנית זה לקראת זה ועד הפגישה הם היו‬ ‫⎠‪2‬‬ ‫⎝‬ ‫‪1‬‬ ‫שעות‪ .‬רוכב ב' עבר את הקטע ‪ AC‬במשך‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ 1‬שעות‪ ,‬לכן את הקטע ‪ BC‬הוא‬ ‫בדרך במשך פרק זמן שווה‪ .‬לכן המשוואה הראשונה היא‪:‬‬ ‫רוכב א' עבר את הדרך ‪ AC‬במהירות קבועה של ‪ 1x‬במשך )‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x − 2 = y −1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫(‬ ‫‪ x − 2‬שעות‪ ,‬לכן המרחק ‪AC‬‬ ‫‪x−2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫הוא‪3 :‬‬ ‫במשך‬ ‫‪ .‬רוכב ב' עבר את הדרך ‪ BC‬במהירות קבועה של‬ ‫‪y‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫המרחק ‪ AC‬הוא‪3 :‬‬ ‫‪y −1‬‬ ‫‪y‬‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫‪ y − 1 12‬שעות‪ ,‬לכן‬ ‫‪ .‬המשוואה השנייה היא‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪y −1‬‬ ‫‪3 +‬‬ ‫‪2 =1‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪x−2‬‬ ‫‪x‬‬ ‫נפתור את מערכת המשוואות הבאה‪:‬‬ ‫© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים‬ ‫‪102‬‬ ‫בעיות מילוליות ‪ -‬בעיות הספק‬ ‫‪7‬‬ ‫⎧‬ ‫‪x‬‬ ‫‪y‬‬ ‫=‬ ‫‪+‬‬ ‫‪6‬‬ ‫⎪⎪‬ ‫⎨‬ ‫‪8‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪⎪1 −‬‬ ‫‪+1−‬‬ ‫‪=1‬‬ ‫‪2y‬‬ ‫‪⎪⎩ 3x‬‬ ‫⇒‬ ‫⎞‪7‬‬ ‫⎞‪7‬‬ ‫⎛‬ ‫⎛‬ ‫⎟ ‪16y + 9 ⎜ y + ⎟ = 6y ⎜ y +‬‬ ‫⎠‪6‬‬ ‫⎠‪6‬‬ ‫⎝‬ ‫⎝‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫⇒‬ ‫‪y1 = 3 , y 2 = −‬‬ ‫פתרונות‬ ‫⇒‬ ‫⇒‬ ‫‪21‬‬ ‫‪=0‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪7‬‬ ‫⎧‬ ‫‪⎪x = y + 6‬‬ ‫⎪‬ ‫‪8‬‬ ‫‪3‬‬ ‫⎨‬ ‫‪⎪x 3 y 2‬‬ ‫‪⎪x − x + y − y =1‬‬ ‫⎩‬ ‫‪7‬‬ ‫⎧‬ ‫‪⎪x = y +‬‬ ‫‪6‬‬ ‫⎨‬ ‫‪⎪⎩16y + 9x = 6xy‬‬ ‫‪6y 2 − 18y −‬‬ ‫⇒‬ ‫⇒‬ ‫⇒‬ ‫‪⋅6xy‬‬ ‫‪⎧x − 2 2 = y − 1 1‬‬ ‫⎪‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫⎪‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪⎨x − 2‬‬ ‫‪y −1‬‬ ‫⎪‬ ‫‪3+‬‬ ‫‪2 =1‬‬ ‫‪⎪⎩ x‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪7‬‬ ‫⎧‬ ‫‪x‬‬ ‫‪y‬‬ ‫=‬ ‫‪+‬‬ ‫⎪⎪‬ ‫‪6‬‬ ‫⎨‬ ‫‪8‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪⎪ −‬‬ ‫‪=1‬‬ ‫‪⎩⎪ 3x 2y‬‬ ‫‪21‬‬ ‫‪= 6y 2 + 7y‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪16y + 9y +‬‬ ‫⇒‬ ‫⇒‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫נפסול את התוצאה ‪ , y = −‬כי זמן הוא ערך חיובי‪ ,‬לכן ‪ . y = 3‬נציב את‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪ x = y +‬ונקבל‪ . x = 4 :‬רוכב א' עובר את המרחק בין ‪ A‬ל‪ B -‬במשך ‪ 4‬שעות‪ ,‬רוכב ב'‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪1‬‬ ‫עובר את המרחק הנ"ל ב‪ 3 -‬שעות ‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ y = 3‬במשוואה‬ ‫תשובה‪ 4 2 :‬שעות ‪ 3 1 ,‬שעות‪.‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים‬ ‫‪103‬‬