פתרון בעיות תנועה - מתמטיקה-המדריך המלא לפתרון תרגילים
פתרונות בעיות מילוליות -בעיות תנועה בעיות מילוליות -בעיות תנועה 1.37פתרון: א .נסמן x :קמ"ש ) ( x + 12קמ"ש 27 x 27 שעות x + 12 שעות – – – – מהירותו של הולך הרגל. מהירותו של רוכב האופניים. משך זמן הליכתו של הולך הרגל מקיבוץ א' לקיבוץ ב'. משך זמן רכיבתו של רוכב האופניים מקיבוץ א' לקיבוץ ב'. נרכז את הנתונים בטבלה: מהירות V זמן t דרך S )קמ"ש( )שעות( )ק"מ( הולך הרגל x רוכב האופניים ) ( x + 12 27 x 27 x + 12 27 27 ידוע שהולך הרגל יצא לדרך בשעה 6:00בבוקר ורוכב האופניים יצא לדרך בשעה 9:00בבוקר. הם הגיעו בו-זמנית לקיבוץ ב' ,לכן הולך הרגל היה בדרך 3שעות יותר מרוכב האופניים .נפתור את המשוואה הבאה: ⇒ ⇒ ) x ⋅ ( x + 12 9 9 = +1 x x + 12 9x + 108 = 9x + x 2 + 12x x1 = 6, x 2 = −18 ⇒ −12 ± 24 2 ⇒ = x1,2 ⇒ :3 27 27 = +3 x x + 12 ) 9 ⋅ ( x + 12 ) = 9x + x ( x + 12 ⇒ x 2 + 12x − 108 = 0 ⇒ ⇒ נפסול את התוצאה , x = −18מכיוון שמהירות היא ערך אי שלילי ,לכן . x = 6כלומר, מהירותו של הולך הרגל היא 6קמ"ש. ב. 27 הולך הרגל יצא לדרך בשעה 6:00בבוקר והיה בדרך במשך 4.5שעות = 6 כלומר ,הוא הגיע לקיבוץ ב' בשעה . 6 + 4.5 = 10.5 :מכאן שהולך הרגל ורוכב האופניים הגיעו )בו-זמנית( לקיבוץ ב' בשעה 10:30בבוקר. תשובה: . א 6 .קמ"ש. ב 10:30 .בבוקר. © כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים 52 בעיות מילוליות -בעיות תנועה 1.38פתרון: נסמן x :קמ"ש ) ( x + 15קמ"ש 225 x 225 שעות x + 15 שעות פתרונות – – מהירות המכונית. מהירות רוכב האופנוע. – משך זמן נסיעתה של המכונית. – משך זמן נסיעתו של רוכב האופנוע. נרכז את הנתונים בטבלה הבאה: מהירות V זמן t דרך S )קמ"ש( )שעות( )ק"מ( המכונית x רוכב האופנוע ) ( x + 15 225 x 225 x + 15 225 225 ידוע שרוכב האופנוע יצא לדרך ב 40 -דקות מאוחר יותר מהמכונית והגיע ליעדו ב 10 -דקות מאוחר יותר ממנה .כלומר ,רוכב האופנוע היה בדרך במשך 30דקות פחות מהמכונית .לכן נקבל את המשוואה הבאה: ⇒ 3375 1 = x + 15x 2 2 x1 = 75, x 2 = −90 ⇒ ⇒ 225 ( x + 15 ) − 225x 1 = ) x ( x + 15 2 x 2 + 15x − 6750 = 0 ⇒ ⇒ 225 225 30 − = x x + 15 60 x 2 + 15x = 6750 ⇒ נפסול את התוצאה , x = −90מכיוון שמהירות היא ערך אי שלילי ,לכן מהירות המכונית היא 75קמ"ש ומהירות רוכב האופנוע היא 90 :קמ"ש = . 75 + 15 תשובה 75 :קמ"ש 90 ,קמ"ש. 1.39פתרון: נסמן x :קמ"ש ) ( x + 5קמ"ש 64 x 34 שעות x +5 שעות – מהירות המכונית בחלק הראשון של הדרך. – מהירות המכונית בחלק השני של הדרך. – משך זמן הנסיעה בחלק הראשון. – משך זמן הנסיעה בחלק השני. © כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים 53 פתרונות בעיות מילוליות -בעיות תנועה 3 18 המכונית נעצרה למשך 18דקות ,כלומר 18 :דקות = = 10 60 שעות. נרכז את הנתונים בטבלה: מהירות V זמן t דרך S )קמ"ש( )שעות( )ק"מ( החלק הראשון x שלב העצירה − החלק השני )( x + 5 ⇒ ⇒ 64 x 3 10 34 x +5 ) ⋅5x ( x + 5 10 3 10 נפסול את התוצאה 3 − 34 64 34 6 + = x x+5 5 6x 2 − 460x − 1600 = 0 :2 64 ⇒ ⇒ 64 3 34 1 + + =1 2 x 10 x + 5 ) 320 ( x + 5 ) + 170x = 6x ( x + 5 ⇒ 3x 2 − 230x − 800 = 0 ⇒ x1 = 80, x 2 = − ⇒ , x = −כי מהירות היא ערך חיובי ,לכן מהירות המכונית היא 80קמ"ש. תשובה 80 :קמ"ש. 1.40פתרון: נסמן x :קמ"ש – 162 x שעות מהירות המונית בנסיעה מעיר Aלעיר . B – משך זמן נסיעתה של המונית מעיר Aלעיר . B 1 3 בדרך חזרה :תחילה ,המונית נסעה 20דקות ) = מכן ,היא נעצרה למשך 10דקות ) 1 6 20 60 שעה ( ועברה מרחק של 1 x 3 ק"מ .לאחר שעה( .לבסוף ,עברה את המרחק הנותר ) ( 162 − 13 xק"מ, ⎞ ⎛ 162 − 1 x במהירות של x + 9קמ"ש – כלומר ,המונית עברה את החלק הנותר תוך ⎟ 3 ⎜⎜ שעות. ( ) ⎟ ⎠ ⎝ x+9 נרכז את הנתונים בטבלה הבאה: © כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים 54 פתרונות בעיות מילוליות -בעיות תנועה מהירות V זמן t דרך S )קמ"ש( )שעות( )ק"מ( x 162 x 162 x 1 3 1 x 3 − 1 6 − הלוך חזור 1 x 3 x+9 162 − 1 x 3 x +9 162 − ידוע שזמן נסיעתה של המונית הלוך ,שווה לזמן נסיעתה חזור .לכן נקבל את המשוואה הבאה: ⇒ ) ⋅2x ( x + 9 1 162 162 − 3 x 1 − − =0 x x+9 2 ⇒ ⇒ ) ( 1 x ⋅ 2x − x ( x + 9 ) = 0 3 ⇒ ⇒ 1 x 2 + 27x − 8748 = 0 162 1 1 162 − 3 x = + + x 3 6 x+9 162 ⋅ 2 ( x + 9 ) − 162 − ⇒ 324x + 2916 − 324x + x 2 − x 2 − 9x = 0 ⇒ − ⇒ = x1,2 ⇒ 2 3 ⇒ ) ⋅ ( −3 x1 = 81, x 2 = −108 1 2 x − 9x + 2916 = 0 3 ⇒ −27 ± 189 2 נפסול את התוצאה , x = −108כי מהירות המונית אינה שלילית ,לכן מהירותה היא 81קמ"ש. תשובה 81 :קמ"ש. 1.41פתרון: נסמן x :קמ"ש – 300 x שעות – המהירות ההתחלתית של המשאית. הזמן הדרוש למשאית כדי לעבור את כל הדרך. בפרק זמן של שעה ועשר דקות )כלומר 76שעה( ,המשאית עברה מרחק של 76 xק"מ .לאחר מכן, ) ( היא נעצרה למשך 20דקות )כלומר 13שעה( ואת המרחק הנותר 300 − 76 xק"מ ,היא עברה במהירות של ) ( x + 9קמ"ש. © כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים 55 פתרונות בעיות מילוליות -בעיות תנועה ⎞ ⎛ 300 − 7 x מכאן שהמשאית עברה את המרחק הנותר ,בפרק זמן של ⎟ 6 ⎜⎜ שעות. ⎟ ⎠ ⎝ x +9 נרכז את הנתונים בטבלה: מהירות ) Vקמ"ש( זמן ) tשעות( דרך ) Sק"מ( x 300 x 300 x 7 6 7 x 6 − 1 3 − מתוכנן בפועל 7 6 300 − x x+9 7 6 300 − x x +9 לפי הנתונים ,המשאית הגיעה לנמל בזמן כמתוכנן .לכן נקבל את המשוואה הבאה: ⇒ )2x(x + 9 7 300 300 − 6 x 3 − = 2 x x +9 7 )x) ⋅ 2x = 3x(x + 9 6 ⇒ ⇒ 2 2 x + 27x − 5400 = 0 ⋅3 3 x1 = 72 , x 2 = −112.5 ⇒ ⇒ ⇒ 7 300 7 1 300 − 6 x = + + x 6 3 x +9 300 ⋅ 2(x + 9) − (300 − ⇒ 600x + 5400 − 600x + x 2 = 3x 2 + 27x ⇒ 2x 2 + 81x − 16200 = 0 ⇒ −81 ± 369 4 7 3 = x1,2 ⇒ נפסול את התוצאה , x = − 112.5כי מהירות המשאית אינה שלילית ולכן . x = 72 1 . 300 המשאית הגיעה לנמל כמתוכנן כעבור 4שעות = 72 6 תשובה 4 16 :שעות. © כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים 56 בעיות מילוליות -בעיות תנועה 1.42פתרון: א .נסמן x :קמ"ש – ) ( x + 14קמ"ש – 196 x 196 שעות x+14 שעות פתרונות מהירותו של האוטובוס. מהירותה של המונית. משך זמן נסיעתו של האוטובוס. – – משך זמן נסיעתה של המונית. ידוע כי האוטובוס נעצר ל 15 -דקות ) ) (196x + 14 שעות. המונית נעצרה ל 30 -דקות ) ⎞1 1 4 שעה( ,לכן משך הזמן שהאוטובוס שהה בדרך הוא 1 2 שעה( ,לכן משך הזמן שהמונית שהתה בדרך הוא ⎛ 196 ⎜ שעות. ⎟ + ⎠ ⎝ x + 14 2 האוטובוס יצא ב ,7:00 -המונית יצאה ב 7:05 -והם הגיעו ליעדם בו-זמנית .כלומר ,האוטובוס שהה בדרך במשך 5דקות ) 1שעות( יותר מהמונית .נקבל את המשוואה הבאה: 12 ⇒ ⇒ 196 196 1 1 1 − = + − x x + 14 12 2 4 )3 ⋅ 2744 = x(x + 14 x1 = 84 , x 2 = −98 ⇒ ⇒ ⇒ 2744 1 = x(x + 14) 3 −14 ± 182 2 ⇒ = x1,2 1⎞ 1 ⎛ 196 1 ⎞ ⎛ 196 ⎜+ ⎟− =⎟ + ⎜ 4 ⎠ ⎝ x + 14 2 ⎠ 12 ⎝ x 196(x + 14) − 196x 1 ⇒ = )x(x + 14 3 ⇒ x 2 + 14x − 8232 = 0 ⇒ נפסול את התוצאה , x = −98כי מהירות היא ערך אי שלילי ,לכן . x = 84כלומר ,מהירות האוטובוס היא 84קמ"ש ומהירותה של המונית היא 98קמ"ש = . 84 + 14 ב. 198 1 7 האוטובוס שהה בדרך במשך 2שעות = + 12 84 4 7 7 ⋅ 60 שעות ,לכן האוטובוס שהה בדרך במשך שעתיים = שימו לב 35 ,דקות = 12 12 . ו 35 -דקות .כלומר ,הוא הגיע ליעדו ב 9:35 -בבוקר ,בו-זמנית עם המונית. ב.9:35 . תשובה :א 84 .קמ"ש 98 ,קמ"ש. © כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים 57 פתרונות בעיות מילוליות -בעיות תנועה 1.43פתרון: נסמן x :קמ"ש המהירות ההתחלתית של המונית. – 360 x – 1.5xק"מ – ) ( 360 − 1.5xק"מ 360 − 1.5x שעות – x + 16 שעות – משך זמן הנסיעה מעיר א' לעיר ב'. המרחק שעברה המונית מעיר ב' ועד העצירה. המרחק הנותר לעיר א'. משך הזמן שנסעה המונית אחרי העצירה עד שהגיעה לעיר א'. נרכז את הנתונים בטבלה: הלוך חזור מהירות ) Vקמ"ש( זמן ) tשעות( דרך ) Sק"מ( x 360 x 360 x 1.5 1.5x − 0.5 − x + 16 360 − 1.5x x + 16 360 − 1.5x ידוע שמשך זמן הנסיעה מעיר ב' לעיר א' ,אינו עולה על משך זמן הנסיעה מעיר א' לעיר ב' .לכן נקבל את אי השוויון הבא: 360 − 1.5x 360 − +2≤0 x + 16 x ⇒ 360 − 1.5x 360 ≤ x + 16 x 1.5 + 0.5 + מאחר ו , x > 0 -ניתן להכפיל את שני אגפי אי השוויון ב: x ( x + 16 ) - ( 360 − 1.5x ) x − 360 ( x + 16 ) + 2 ⋅ x ( x + 16 ) ≤ 0 ⇒ 0.5x 2 + 32x − 5760 ≤ 0 ⋅2 ⇒ x 2 + 64x − 11520 ≤ 0 ⇒ הפתרון של אי השוויון הוא , −144 ≤ x ≤ 80 :אך ידוע כי , x > 0לכן התחום האפשרי למהירות המונית הוא. 0 < x ≤ 80 : תשובה. 0 < x ≤ 80 : 1.44פתרון: נסמן x :ק"מ ) ( x + 24ק"מ vקמ"ש – – – המרחק שעבר האוטובוס בחלק הראשון. המרחק שעבר האוטובוס בחלק השני. מהירותו של האוטובוס בחלק הראשון. © כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים 58 בעיות מילוליות -בעיות תנועה ) ( v + 6קמ"ש x v x + 24 שעות v+6 שעות פתרונות – מהירותו של האוטובוס בחלק השני. – משך זמן נסיעתו של האוטובוס בחלק הראשון. – משך זמן נסיעתו של האוטובוס בחלק השני. נרכז את הנתונים בטבלה: מהירות ) Vקמ"ש( זמן ) tשעות( דרך ) Sק"מ( חלק ראשון v x v x חלק שני v+6 x + 24 v+6 x + 24 על-פי הנתונים ,המרחק בין שתי הערים הוא 264ק"מ .לכן נקבל את המשוואה הראשונה: x + x + 24 = 264 האוטובוס עבר את החלק השני במשך 10דקות נקבל את המשוואה השנייה: 1 ) 6 שעה( יותר מאשר את החלק הראשון .לכן x + 24 x 1 = − v+6 v 6 נפתור את מערכת המשוואות ונמצא את :v ⇒ ⇒ ⎧ x = 120 ⎪ ⎨120 + 24 120 1 ⎪⎩ v + 6 − v = 6 ) 6v ( v + 6 144v − 4320 = v 2 + 6v v1 = 48 , v 2 = 90 ⇒ ⇒ 138 ± 42 2 ⇒ ⎧ x + x + 24 = 264 ⎪ ⎨ x + 24 x 1 ⎪⎩ v + 6 − v = 6 ) 144 ⋅ 6v − 120 ⋅ 6 ( v + 6 ) = v ( v + 6 ⇒ 2 v − 138v + 4320 = 0 ⇒ = v1,2 ⇒ נפסול את התוצאה 48קמ"ש = , vמכיוון שבמקרה זה ,זמן תנועתו של האוטובוס יהיה: 120 144 1 + 5שעות = 6 48 48 + 6 עלה על 5שעות .לכן 90קמ"ש = . v תשובה 90 :קמ"ש. וזה סותר את הנתון שלפיו ,משך זמן נסיעתו של האוטובוס אינו © כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים 59 פתרונות בעיות מילוליות -בעיות תנועה 1.45פתרון: נסמן x :קמ"ש – מהירות המשאית. – מהירות המכונית. yקמ"ש 180 x 200 שעות y 252 שעות x 252 שעות y שעות – פרק הזמן הדרוש למשאית לעבור 180ק"מ. – פרק הזמן הדרוש למכונית לעבור 200ק"מ. – משך הזמן הדרוש למשאית בכדי לעבור את כל הדרך. – משך הזמן הדרוש למכונית בכדי לעבור את כל הדרך. לפי הנתונים ,פרק הזמן הדרוש למשאית בכדי לעבור 180ק"מ ,שווה לפרק הזמן הדרוש למכונית בכדי לעבור 200ק"מ .לכן נקבל את המשוואה הראשונה: 180 200 = x y המשאית הגיעה לעיר 21 ,Bדקות לאחר שהמכונית הגיעה לעיר .Aלכן נקבל את המשוואה 252 252 21 − = x y 60 השנייה: נפתור את מערכת המשוואות: ⇒ ⇒ ⎧ x = 0.9y ⎪ ⎨ 252 252 7 ⎪ 0.9y − y = 20 ⎩ y = 80 ⇒ 28 ⋅ 20 7 ⇒ =y 180y ⎧ ⎪⎪ x = 200 ⎨ 252 252 7 ⎪ − = y 20 ⎪⎩ x ⇒ 28 7 = y 20 ⇒ x = 72 ⇒ ⎧180 200 ⎪ x = y ⎪ ⎨ ⎪ 252 − 252 = 21 ⎪⎩ x y 60 280 252 7 − = y y 20 ⇒ x = 0.9 ⋅ 80 ⇒ ⇒ מהירות המשאית היא 72קמ"ש ומהירות המכונית היא 80קמ"ש. תשובה 72 :קמ"ש 80 ,קמ"ש. © כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים 60 פתרונות בעיות מילוליות -בעיות תנועה 1.46פתרון: 1 ידוע כי 60 שעה = 1דקה. לפיכך מתקיים: 1 הרכבת עוברת קילומטר אחד בתוך 100 3 1 1 ⋅ שעה = 100 5 60 3 5 = דקה שעה ,לכן מהירותה: 100קמ"ש 1 1 100 =V ⇒ S t =V קיבלנו שמהירות הרכבת בקטע הראשון היא 100קמ"ש ,לכן מהירותה בקטע השני 140קמ"ש = 100 ⋅ 1.4 )הגדולה ב ( 40% -היא: נסמן x :ק"מ – אורך הקטע הראשון. ) ( x + 88ק"מ – אורך הקטע השני. x 100 x + 88 שעות – 140 שעות ידוע כי: – משך זמן נסיעתה של הרכבת בקטע הראשון. משך זמן נסיעתה של הרכבת בקטע השני. סך כל הדרך מהירות ממוצעת = סך כל הזמן ⇒ ⇒ ⎞ x + 88 ⎛ x ⎜ 2x + 88 = 124 + ⎟ ⎠ ⎝ 100 140 ) 700 ( 2x + 88 ) = 124 (12x + 440 x = 80 ⇒ ,לכן נקבל את המשוואה הבאה: − 88x = −7040 ⇒ ⇒ ⇒ x + x + 88 = 124 x 88 x + + 140 ⎤ ) ⎡ 7x + 5 ( x + 88 ⎢ 2x + 88 = 124 ⎥ 700 ⎣ ⎦ 1400x + 61600 = 1488x + 54560 100 ⇒ ⇒ אורך החלק הראשון הוא 80ק"מ ואורך החלק השני הוא 168ק"מ ,לכן אורך כל הדרך הוא 248ק"מ. תשובה 248 :ק"מ. 1.47פתרון: נסמן x :קמ"ש – – yקמ"ש 1 x 1 שעות y שעות מהירותו של רוכב א' )המהיר יותר(. מהירותו של רוכב ב' )האיטי יותר(. – הזמן הדרוש לרוכב א' לעבור קילומטר אחד. – הזמן הדרוש לרוכב ב' לעבור קילומטר אחד. © כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים 61 פתרונות בעיות מילוליות -בעיות תנועה – המרחק שעבר רוכב א' תוך שעתיים. 2xק"מ – המרחק שעבר רוכב ב' תוך שעתיים. 2yק"מ נרכז את הנתונים בטבלה: מהירות ) Vקמ"ש( זמן ) tשעות( דרך ) Sק"מ( x 1 x 1 x 2 2x y 1 y 1 y 2 2y רוכב א' רוכב ב' לפי הנתונים ,רוכב ב' עבר כל קילומטר ,בדקה אחת ) 1שעות( יותר מרוכב א' .לכן נקבל את 60 1 1 1 המשוואה הראשונה: = − y x 60 . כמו כן ,לאחר שעתיים נסיעה ,רוכב ב' עבר מרחק של 20ק"מ פחות מרוכב א' )כלומר ,רוכב א' עבר ב 20 -ק"מ יותר מרוכב ב'( .לכן נקבל את המשוואה השנייה2x − 2y = 20 : נפתור את מערכת המשוואות הבאה: ⇒ ⎧60 ( x − y ) = xy ⎨ ⎩ x = 10 + y y1 = 20 , y 2 = −30 ⇒ ⇒ ⎧60x − 60y = xy ⎨ ⎩ x − y = 10 2 y + 10y − 600 = 0 ⇒ ⋅60xy :2 ⇒ ⎧1 1 1 = ⎪ − ⎨ y x 60 ⎪2x − 2y = 20 ⎩ 60 ⋅10 = (10 + y ) ⋅ y ⇒ נפסול את התוצאה , y = −30כי מהירות היא ערך אי שלילי ,לכן y = 20ומכאן ש: . x = 10 + 20 = 30 לסיכום :מהירותו של רוכב א' היא 30קמ"ש. מהירותו של רוכב ב' היא 20קמ"ש. תשובה 30 :קמ"ש 20 ,קמ"ש. 1.48פתרון: נסמן x :קמ"ש – – yקמ"ש ) ( x − yקמ"ש מהירות הסירה במים עומדים. מהירות הזרם. – מהירות הסירה השטה נגד הזרם. ) ( x + yקמ"ש – מהירות הסירה השטה עם הזרם. © כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים 62 בעיות מילוליות -בעיות תנועה ⎞ ⎛ 60 ⎜ שעות – ⎟ ⎠⎝x−y ⎞ ⎛ 60 פתרונות משך זמן השיוט הלוך )נגד הזרם(. ⎜ שעות – ⎟ ⎠⎝x + y משך זמן השיוט חזור )עם הזרם( ⎜ שעות – ⎟ ⎠⎝x−y הזמן הדרוש לסירה לעבור 36ק"מ נגד הזרם. ⎜ שעות ⎟ ⎠⎝x + y – הזמן הדרוש לסירה לעבור 48ק"מ עם הזרם. ⎞ ⎛ 36 ⎞ ⎛ 48 משך זמן השיוט הלוך וחזור היה 5שעות ו 50 -דקות .לכן נקבל את המשוואה הראשונה: 60 60 50 + =5 60 x−y x+y הזמן הדרוש לסירה לעבור 36ק"מ נגד הזרם ,שווה לזמן הדרוש לסירה לעבור 48ק"מ עם 36 48 הזרם .לכן נקבל את המשוואה השנייה: = x−y x+y . נפתור את מערכת המשוואות הבאה: 60 35 ⎧ 60 ⎪x − y + x + y = 6 ⎪ ⎨ ⎪ 3 = 4 ⎩⎪ x − y x + y :5 ⇒ 12 7 ⎧ 12 ) ⎪ x − y + x + y = 6 6 ( x − y )( x + y ⎨ ) ⎪3 ( x + y ) = 4 ( x − y ⎩ ⇒ ) ⎧⎪12 ⋅ 6 ( x + y ) + 12 ⋅ 6 ( x − y ) = 7 ( x 2 − y 2 ⎨ ⎪⎩3x + 3y = 4x − 4y ⇒ 2 2 ⎪⎧72x + 72y + 72x − 72y = 7x − 7 y ⎨ ⎩⎪ x = 7y ⇒ 7 ⋅ 49 y 2 − 7 y 2 − 144 ⋅ 7y = 0 ⇒ 336y ( y − 3) = 0 ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ 2 2 ⎪⎧7x − 7 y − 144x = 0 ⎨ ⎩⎪ x = 7y ⇒ ⇒ 60 ⎧ 60 50 ⎪ x − y + x + y = 5 60 ⎪ ⎨ ⎪ 36 = 48 :12 ⎩⎪ x − y x + y ⇒ 336 y 2 − 1008y = 0 y=3 ⇒ y=0 , ⇒ נפסול את התוצאה , y = 0שכן תוצאה זו סותרת את הנתונים )כי אם , y = 0אז .( x = 7 ⋅ 0 = 0 לכן y = 3ומכאן ש. x = 7 ⋅ 3 = 21 - מהירות הסירה במים עומדים היא 21קמ"ש ומהירות הזרם היא 3קמ"ש. תשובה 21 :קמ"ש 3 ,קמ"ש. © כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים 63 פתרונות בעיות מילוליות -בעיות תנועה 1.49פתרון: נשרטט סקיצה: B C A הסירה יצאה מנקודה ,Aהגיעה לנקודה ,Bהסתובבה ופגשה את הרפסודה בנקודה .Cלפי הנתונים ,מתקיים 54 :ק"מ = 21.6 , ABק"מ = , ACלכן 32.4ק"מ = . BC נסמן x :קמ"ש – מהירות סירת המנוע במים עומדים. – מהירות הזרם )מהירותה של הרפסודה(. yקמ"ש ) ( x + yקמ"ש – מהירות הסירה השטה עם כיוון הזרם. ) ( x − yקמ"ש – מהירות הסירה השטה נגד כיוון הזרם. ⎜ שעות – ⎟ ⎠⎝x + y הזמן הדרוש לסירה להגיע מ A -ל.B - ⎜ שעות – ⎟ ⎠⎝x−y הזמן הדרוש לסירה להגיע מ B -ל.A - ⎞ ⎛ 54 ⎞ ⎛ 54 ⎞ ⎛ 32.4 ⎜ שעות – הזמן הדרוש לסירה להגיע מהנקודה Bלנקודת המפגש .C ⎟ ⎠⎝x−y ⎞ ⎛ 21.6 – הזמן הדרוש לרפסודה להגיע מ A -ל.C - ⎜ שעות ⎟ ⎠ ⎝ y נרכז את הנתונים בטבלה: מהירות V זמן ) tשעות( דרך ) Sק"מ( מ A -לB - x+y 54 x+y 54 מ B -לA - x−y 54 x−y 54 מ B -לC - x−y 32.4 x−y 32.4 מ A -לC - y 21.6 y 21.6 )קמ"ש( סירת מנוע רפסודה משך זמן השיוט הלוך וחזור של הסירה היה 4.8שעות .לכן נקבל את המשוואה הראשונה: © כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים 64 פתרונות בעיות מילוליות -בעיות תנועה 54 54 + = 4.8 x+y x−y עד הפגישה בנקודה ,Cהסירה והרפסודה שטו במשך פרק זמן שווה .לכן נקבל את המשוואה השנייה: 54 32.4 21.6 + = x+y x−y y נפתור את מערכת המשוואות הבאה: 45 ⎧ 45 ⎪x + y + x − y = 4 ⎪ ⎨ ⎪ 5 + 3 =2 ⎪⎩ x + y x − y y ) ⋅ ( x 2 − y2 ⇒ ) 2 ⋅y ( x − y 2 2 2 :2 ⎪⎧90x = 4x − 4 y ⎨ 2 2 2 ⎩⎪8yx − 2 y = 2x − 2 y ⇒ x = 4yאו x=0 ⇒ ⇒ 5 ⋅ 54 ) ⎧⎪45 ( x − y ) + 45 ( x + y ) = 4 ( x 2 − y 2 ⎨ 2 2 ) ⎪⎩5y ( x − y ) + 3y ( x + y ) = 2 ( x − y ⇒ 2 2 ⎪⎧ 45x = 2x − 2 y ⎨ 2 ⎪⎩8yx − 2x = 0 ⇒ 2 2 ⎪⎧2x − 2 y − 45x = 0 ⎨ ⎪⎩2x ( 4y − x ) = 0 ⇒ 5 6 ⋅ 54 ⎧ 54 ⎪ x + y + x − y = 4.8 ⎪ ⎨ ⎪ 54 + 32.4 = 21.6 ⎪⎩ x + y x − y y ⇒ נפסול את התוצאה , x = 0כי מהירותה של הסירה גדולה מאפס ,לכן נציב את התוצאה x = 4y במשוואה העליונה ונקבל: ⇒ 30y ( y − 6 ) = 0 ⇒ 30 y 2 − 180y = 0 ⇒ 2 ⋅ 16 y 2 − 2 y 2 − 45 ⋅ 4y = 0 y=6 y=0 , ⇒ נפסול את התוצאה , y = 0כי מהירות הזרם גדולה מאפס .לכן מהירות הזרם היא 6קמ"ש = yומהירות הסירה היא 24קמ"ש = . x = 4 ⋅ 6 תשובה 24 :קמ"ש 6 ,קמ"ש. 1.50פתרון: נשרטט סקיצה: 504-x B x C A נסמן ב C -את נקודת המפגש של האוטובוס והמשאית .את המרחק ACנסמן ב , x -לכן המרחק BCהוא ) ( 504 − xק"מ .ידוע כי את המרחק ,CBהאוטובוס עבר תוך 2 1שעות ,לכן 4 © כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים 65 פתרונות בעיות מילוליות -בעיות תנועה ⎞ ⎛ 504 − x מהירותו היא ⎟ 1 2 ⎝ ⎠ 4 ⎜ קמ"ש .את המרחק ,ACהמשאית עברה תוך 4שעות ,לכן מהירותה ⎛ x ⎞ 2 14 x x היא = ⎜ 504 − xשעות. קמ"ש .משך זמן נסיעתו של האוטובוס עד לפגישה הוא⎟ : ⎟ 504 − x 4 ⎜ ⎜ 21 ⎟ ⎝ 4 ⎠ ⎞ ) ⎛ 504 − x 4 ( 504 − x = משך זמן נסיעתה של המשאית עד לפגישה הוא⎟ : x x ⎟ ⎝ 4 ⎠ ⎜ שעות. ⎜ מהנתונים נובע כי לפני הפגישה ,האוטובוס והמשאית נסעו במשך פרק זמן שווה .לכן נקבל את המשוואה הבאה: 1 4 2 x ) 4 ( 504 − x 2 ) 4x ( 504 − x ) 9x 2 = 16 ( 504 − x ⇒ ⇒ x 504 − x ) ⎡3x = 4 ( 504 − x ⎡3x = 2016 − 4x ⎡ 7x = 2016 ⇒ ⎢ או ⇒ ⇒ ⎢ או ⇒ ⎢ או ⎣3x = −2016 + 4x ⎣ − x = −2016 ) ⎣3x = −4 ( 504 − x ⇒ x = 288 או x = 2016 נפסול את התוצאה , x = 2016כי 0 < x < 504ולכן . x = 288קיבלנו שהאוטובוס והמשאית = נפגשו במרחק של 288ק"מ מיישוב .A תשובה 288 :ק"מ. 1.51פתרון: נשרטט סקיצה C) :נקודת המפגש(. x+30 x B נסמן x :ק"מ ) ( x + 30ק"מ – – C המרחק שעברה המכונית עד הפגישה ) ( BC = x המרחק שעבר האוטובוס עד הפגישה ) .( AC = x + 30 5 לפי הנתונים ,את המרחק ,BCעבר האוטובוס תוך שעה ו 40 -דקות )כלומר 3 ⎞ ⎛x 3 ⎟ ⎜ 5 = xקמ"ש – מהירותו של האוטובוס. ⎟ 5 ⎜ ⎝3 ⎠ את המרחק ,ACעברה המכונית תוך שעתיים ו 24-דקות )כלומר ⎞ ) 5 ( x + 30 ⎟ 12 ⎟ ⎠ = ⎛ x + 30 ⎜ 12קמ"ש – ⎜ 5 A 12 5 שעה( .לכן: שעה( .לכן: מהירותה של המכונית. ⎝ © כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים 66 פתרונות בעיות מילוליות -בעיות תנועה עד הפגישה ,האוטובוס עבר ) ( x + 30ק"מ ,במהירות של x + 30 3 x 5 שעות 3 x 5 קמ"ש .לכן: – משך זמן נסיעתו של האוטובוס עד לפגישה. ) 5 ( x + 30 עד הפגישה ,המכונית עברה xק"מ ,במהירות של 12 x – משך זמן נסיעתה של המכונית עד הפגישה. 5 x + 30שעות ( ) קמ"ש .לכן: 12 האוטובוס והמכונית יצאו בו-זמנית זה לקראת זה ,לכן משך זמן נסיעתו של האוטובוס עד לפגישה ,זהה למשך זמן נסיעתה של המכונית עד הפגישה .נקבל את המשוואה הבאה: ⇒ ( x + 30 )2 = 36 x 2 25 12 5 ⇒ ⋅ 2 5 3 ⋅ ( x + 30 ) = x 2 12 5 ⎡ x = 150 ⎢ או ⎢ x = −13 2 ⎣ 11 ⇒ ⇒ x ) 5( x + 30 12 = x + 30 6 ⎡ x + 30 = x ⎢ 5 ⎢ או ⎢ x + 30 = − 6 x ⎣⎢ 5 3x 5 ⇒ נפסול את התוצאה , x = −13 2כי מרחק אינו ערך שלילי ,לכן . x = 150המרחק בין AלB - 11 הוא: 330קמ"ש = . 150 + 30 + 150 הביטוי המייצג את מהירותו של האוטובוס הוא , 3 xלכן מהירות האוטובוס היא: 5 3 5 90קמ"ש = . ⋅150 ) 5 ( x + 30 הביטוי המייצג את מהירותה של המכונית הוא 12 ) 5 (150 + 30 . 75קמ"ש = 12 תשובה 330 :ק"מ; 90קמ"ש ו 75 -קמ"ש. ,לכן מהירות המכונית היא: 1.52פתרון: נסמן x :קמ"ש – מהירותה של רכבת א'. yקמ"ש – מהירותה של רכבת ב'. על-פי הנתון ,הרכבות נפגשו בשעה 8:30בבוקר .כלומר ,רכבת א' ,שיצאה בשעה 7:00בבוקר, הייתה בדרך במשך 1.5שעות עד הפגישה ורכבת ב' ,שיצאה ב 7:18 -בבוקר ,הייתה בדרך במשך שעה ו 12 -דקות עד הפגישה ) .( 1 12 = 1.2מכאן נקבל: 60 © כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים 67 פתרונות בעיות מילוליות -בעיות תנועה 1.5xק"מ – המרחק שעברה רכבת א' עד הפגישה. 1.2yק"מ – המרחק שעברה רכבת ב' עד הפגישה. ) (1.5x + 1.2yק"מ – אורך כל הדרך. ⎞ ⎛ 1.5x + 1.2y ⎟ x ⎝ ⎠ ⎜ שעות – הזמן הדרוש לרכבת א' לעבור את כל הדרך. ⎞ ⎛ 1.5x + 1.2y ⎟ y ⎝ ⎠ ⎜ שעות – הזמן הדרוש לרכבת ב' לעבור את כל הדרך. נרכז את הנתונים בטבלה: מהירות v זמן ) tשעות( דרך ) sק"מ( רכבת א' רכבת ב' x y 1.5 1.2 1.5x רכבת א' x 1.5x + 1.2y x 1.5x + 1.2y y 1.5x + 1.2y y 1.5x + 1.2y )קמ"ש( לפני הפגישה כל הדרך רכבת ב' 1.2y על-פי הנתון ,רכבת ב' יצאה לדרך 18דקות מוקדם יותר מרכבת א' וגם הגיעה ליעדה 18דקות מוקדם יותר מרכבת א' .כלומר ,רכבת ב' עברה את כל הדרך ב 36 -דקות פחות מרכבת א' .נקבל את המשוואה: ⇒ 1.5x 1.2y 1.5x 1.2y 3 + − − = x x y y 5 y x − 1.5 ⋅ − 0.3 = 0 x y y נסמן = z x ⋅ 1.2 ⇒ 1.5x + 1.2y 1.5x + 1.2y 36 − = x y 60 ⇒ y x − 1.5 ⋅ − 1.2 = 0.6 x y ⋅ 1.5 + 1.2 ⇒ ונקבל: 5 , z 2 = −1 4 ⇒ = z1 5 נפסול את התוצאה , z = −1ולכן 4 4z 2 − z − 5 = 0 ⇒ 10 z 3 1.5 − 0.3 = 0 z 1.2z − = . zכאמור לעיל ,רכבת א' הייתה בדרך: 1.5x + 1.2y y 5 3שעות = ⋅ = 1.5 + 1.2 ⋅ = 1.5 + 1.2z = 1.5 + 1.2 x x 4 רכבת א' יצאה לדרכה בשעה 7:00בבוקר והייתה 3שעות בדרך ,לכן היא הגיעה ליעדה בשעה 10:00בבוקר. תשובה 10:00 :בבוקר. © כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים 68 פתרונות בעיות מילוליות -בעיות תנועה 1.53פתרון: א. נסמן v :קמ"ש – המהירות הרגילה של המכונית. tשעות – משך זמן הנסיעה הרגיל של המכונית. ) ( v + aקמ"ש – מהירות המכונית ביום המסוים. ) ( t − 1שעות – ) ( v − 0.6aקמ"ש – מהירות המכונית ביום למחרת. ) ( t + 1שעות – משך זמן הנסיעה של המכונית ביום למחרת. נרכז את הנתונים בטבלה: משך זמן הנסיעה של המכונית ביום המסוים. מהירות ) vקמ"ש( זמן ) tשעות( דרך ) sק"מ( יום רגיל היום המסוים v t v+a t −1 vt )( v + a ) ⋅ ( t − 1 היום שלמחרת v − 0.6a t +1 )( v − 0.6a ) ⋅ ( t + 1 ביום המסוים ,המכונית עברה את אותו המרחק כמו בכל יום רגיל .לכן נקבל את המשוואה הראשונה: )v ⋅ t = ( v + a )( t − 1 גם ביום שלמחרת ,המכונית עברה את אותו המרחק .לכן נקבל את המשוואה השנייה: )v ⋅ t = ( v − 0.6a )( t + 1 נפתור את מערכת המשוואות הבאה: ⇒ ⎧ v = at − a ⎨ ⎩ v = 0.6at + 0.6a t=4 ⇒ ⇒ ⎧ vt = vt − v + at − a ⎨ ⎩ vt = vt + v − 0.6at − 0.6a ) : 0.4a ( a ≠ 0 04at = 1.6a ⇒ ⇒ )⎧ v ⋅ t = ( v + a )( t − 1 ⎨ )⎩ v ⋅ t = ( v − 0.6a )( t + 1 at − a = 0.6at + 0.6a ⇒ משך זמן הנסיעה הרגיל של המכונית הוא 4שעות. ב. נביע את המהירות הרגילה של המכונית באמצעות : a v = at − a ⇒ 3aקמ"ש = v = 4a − a המרחק בין שני היישובים הוא: S = V⋅t ⇒ 12aק"מ = S תשובה :א 4 .שעות .ב 12a .ק"מ. © כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים 69 פתרונות בעיות מילוליות -בעיות תנועה 1.54פתרון: נסמן ב x -את מהירות רוכב האופנוע ונסמן ב t -את הזמן שחלף מאז שהמשאית יצאה לדרך ועד שרוכב האופנוע השיג אותה .המרחק שעברה המשאית תוך tשעות הוא 72tק"מ .רוכב 1 האופנוע יצא לדרכו 1שעה מאוחר יותר מהמשאית ,לכן המרחק שעבר תוך ) ( t −שעות הוא 2 ⎞1 ⎠2 2 ⎛ ⎝ ⎟ x ⋅ ⎜ t −ק"מ .נשים לב לכך שהמרחקים שווים זה לזה ונקבל את המשוואה הראשונה: )(1 ⎞⎛ 1 x ⋅ ⎜ t − ⎟ = 72t ⎠⎝ 2 ) ( t + 1שעות הוא הזמן שחלף מהרגע שבו המכונית יצאה לדרך ועד הרגע שבו רוכב האופנוע השיג אותה .במשך הזמן הזה ,המכונית עברה ) 80 ( t + 1ק"מ .רוכב האופנוע עבר את אותו 1 2 המרחק תוך ) ( t − + 1שעות ,במהירות קבועה של xקמ"ש .לכן נקבל את המשוואה השנייה: )(2 ⎞ ⎛ 1 )x ⋅ ⎜ t − + 1⎟ = 80 ( t + 1 ⎠ ⎝ 2 נפתור את מערכת המשוואות ) (1ו:(2) - )80 ( t + 1 ⇒ 1 2 ⇒ t 2 = −2.5 t+ = 72t ⇒ 1 t− 2 72t ⎧ = x ⎪ t − 12 ⎪ ⎨ )80 ( t + 1 = ⎪x 1 ⎪ t+ ⎩ 2 72t 2 + 36t = 80t 2 + 40t − 40 t1 = 2 , ⇒ ⇒ 2t 2 + t − 10 = 0 ⎞⎧ ⎛ 1 ⎪⎪ x ⋅ ⎝⎜ t − 2 ⎠⎟ = 72t ⎨ )⎪ x ⋅ ⎛⎜ t − 1 + 1⎞⎟ = 80 ( t + 1 ⎠ ⎪⎩ ⎝ 2 ⇒ ⎠⎟⎞ ( 12 ) = 80 ( t + 1) ⎛⎜⎝ t − 12 ⇒ :4 72t ⋅ t + ⇒ 8t 2 + 4t − 40 = 0 ⇒ נפסול את התוצאה , t = −2.5מכיוון שזמן הוא ערך אי שלילי ,לכן נציב את t = 2במשוואה )(1 ונקבל: x = 96 ⇒ ⎞1 ⎛ x ⋅ ⎜ 2 − ⎟ = 72 ⎝ ⎠2 קיבלנו שמהירותו של רוכב האופנוע היא 96קמ"ש. תשובה 96 :קמ"ש. © כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים 70 פתרונות בעיות מילוליות -בעיות תנועה 1.55פתרון: נסמן v :קמ"ש – מהירות המשאית. Sק"מ – המרחק שעברו כל כלי הרכב עד לפגישה. 1.2vקמ"ש – מהירות המכונית. 1.4vקמ"ש – מהירות המונית. S v שעות – משך זמן הנסיעה של המשאית עד לפגישה. S 1.2v S שעות – משך זמן הנסיעה של המונית עד לפגישה. 1.4v xשעות – הזמן שחלף מאז שהמשאית יצאה לדרך ועד שהמונית יצאה לדרכה. 42 7 על-פי הנתון ,המשאית שהתה בדרך במשך 42דקות ) שעות = = 42דקות( יותר 60 10 שעות – משך זמן הנסיעה של המכונית עד לפגישה. מהמכונית .לכן נקבל את המשוואה הראשונה: S S 7 − = v 1.2v 10 )(1 המשאית שהתה בדרך במשך xשעות יותר מהמונית .לכן נקבל את המשוואה השנייה: )(2 S S − =x v 1.4v נפתור את מערכת המשוואות ) (1ו:(2) - ⇒ ⎧S 1 7 = ⋅ ⎪⎪ v 6 10 ⎨ ⎪S ⋅ 2 = x ⎪⎩ v 7 ⇒ ⎛ ⎧S 1 ⎞ 7 ⎪⎪ v ⎝⎜1 − 1.2 ⎠⎟ = 10 ⎨ ⎪ S ⎛1 − 1 ⎞ = x ⎜ ⎟ ⎠ ⎩⎪ v ⎝ 1.4 6 5 6 קיבלנו שהמונית יצאה לדרך ,כעבור 5 =x ⇒ ⇒ S 7 ⎧S ⎪⎪ v − 1.2v = 10 ⎨ ⎪S − S = x ⎪⎩ v 1.4v ⎧ S 21 ⎪⎪ v = 5 ⎨ ⎪ 21 ⋅ 2 = x ⎪⎩ 5 7 ⇒ שעה )שעה ו 12 -דקות( ,מרגע יציאתה של המשאית. תשובה :שעה ו 12 -דקות. © כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים 71 פתרונות בעיות מילוליות -בעיות תנועה 1.56פתרון: B C A מהנתונים עולה כי המרחק בין יישוב Aליישוב Cהוא (240+60=300) :ק"מ. נסמן x :קמ"ש – מהירותה של המונית. ) ( x − 15קמ"ש – מהירותה של המשאית. 240 x 300 שעות – משך זמן הנסיעה של המשאית. x − 15 שעות – משך זמן הנסיעה של המונית. על-פי הנתון ,המונית יצאה לדרכה 40דקות לאחר שהמשאית יצאה .כמו כן ,המונית הקדימה את המשאית ,בהגעתה ליישוב ,Cביותר מ 40 -דקות .כלומר ,משך זמן נסיעתה של המשאית היה גדול ביותר מ 80 -דקות ) 1 1שעות( ,מזמן נסיעתה של המונית .לכן נקבל את אי השוויון הבא: 3 ⇒ 300 240 4 − − > 0 :2 ⇒ 3 x − 15 x ) 3 ⋅150x − 3 ⋅120 ( x − 15 ) − 2x ( x − 15 ⇒ ) ⋅3x ( x − 15 >0 ) 3x ( x − 15 x 2 − 60x − 2700 <0 ) 3x ( x − 15 ) : ( −2 ⇒ 300 240 1 > +1 ⇒ x − 15 x 3 150 120 2 ⇒ − − >0 x − 15 x 3 −2x 2 + 120x + 5400 >0 ) 3x ( x − 15 ⇒ נמצא את נקודות האיפוס של המונה: ⇒ x1 = 90 , x 2 = −30 ⇒ x 2 − 60x − 2700 = 0 )x 2 − 60x − 2700 = ( x + 30 ) (x − 90 ⇒ נקודות האיפוס של המכנה הן: x 4 = 15או x 3 = 0 ⇒ 3x ( x − 15 ) = 0 נחזור לאי השוויון שלנו ונקבל: x ( x + 30 )( x − 15 )( x − 90 ) < 0 2 ⇒ ) ⋅3x 2 ( x − 15 ) ( x + 30 )( x − 90 <0 ) 3x ( x − 15 על פי שיטת ה"נחש" נקבל: - + x 90 - + 15 0 + -30 אי השוויון מתקיים כאשר 15 < x < 90או , −30 < x < 0אך מהירות היא ערך אי שלילי ,לכן נפסול את התוצאה . −30 < x < 0כלומר ,התחום המספרי בו נמצאת מהירותה של המונית הוא .15 < x < 90 תשובה :בין 15קמ"ש לבין 90קמ"ש. © כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים 72 פתרונות בעיות מילוליות -בעיות תנועה 1.57פתרון: C B A ב נסמן x :ק"מ – המרחק שעברה המונית עד לפגישה )המרחק .( AC ) ( 220 − xק"מ – המרחק שעברה המשאית עד לפגישה )המרחק .( BC 20 1 4 המונית והמשאית נפגשו כעבור שעה ו 20 -דקות ,כלומר ) = = 1 60 3 3 ⎞ 3x ⎛ x ⎜ קמ"ש – מהירות המונית עד לפגישה. = 4 ⎟⎟ 4 ⎜ ⎝ 3 ⎠ ⎤ ) 3 ( 220 − x ⎥ 4 ⎦⎥ ⎞ 3x − 40 ⎟ ⎠ 4 = א ( 1שעות. ⎡ 220 − x ⎢ קמ"ש – מהירות המשאית עד לפגישה. 4 3 ⎣⎢ ⎛ 3x = ⎜ − 10קמ"ש – מהירות המונית לאחר הפגישה )בדרכה חזרה(. ⎝ 4 ) ⎡ 3 ( 220 − x ⎤ 600 − 3x = − 15 ⎥ 4 4 ⎣ ⎦ ⎢ קמ"ש – מהירות המשאית לאחר הפגישה )בהמשך דרכה לעיר א( ⎞ 4x x ⎛ 4 ⎝ ⎜ שעות – משך זמן הנסיעה של המונית בחזרה )מ C -ל.(A - = ⎟ ⎟ ⎜ 3x − 40 3x − 40 ⎠ ⎞ 4x x ⎛ 4 ⎝ = ⎜ שעות – משך זמן הנסיעה של המשאית לאחר הפגישה )מ C -ל.(A - ⎟ 600 − 3x 600 − 3x ⎜ ⎟ ⎠ נרכז את הנתונים בטבלה: מהירות v זמן ) tשעות( דרך ) sק"מ( 3x 4 4 3 x ) 3 ( 220 − x 4 3x − 40 4 4 3 4x 3x − 40 600 − 3x 4 4x 600 − 3x )קמ"ש( לפני הפגישה לאחר הפגישה מונית משאית מונית משאית © כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים 220 − x x x 73 פתרונות בעיות מילוליות -בעיות תנועה ידוע שהמונית הגיעה ל ,A -חצי שעה לפני המשאית .לכן נקבל את המשוואה הבאה: ) 2 ⋅ ( 600 − 3x )( 3x − 40 ⇒ ⇒ 4x 4x 1 4x 4x 1 = + ⇒ − = 600 − 3x 3x − 40 2 600 − 3x 3x − 40 2 ⇒ ) 8x ( 3x − 40 ) − 8x ( 600 − 3x ) = ( 600 − 3x )( 3x − 40 ⇒ 24x 2 − 320x − 4800x + 24x 2 = 1800x − 24000 − 9x 2 + 120x ⇒ 7040 ± 6640 ⇒ ⇒ ⇒ 57x 2 − 7040x + 24000 = 0 = x1,2 x1 = 120 , x 2 ≈ 3.5 114 3 ⋅ 3.5 נפסול את התוצאה ) x ≈ 3.5כי אז מהירות המונית היא ) = 2.65 ( קמ"ש ומהירות 4 600 − 3 ⋅ 3.5 המשאית היא ) = 147.375 ( קמ"ש וזה סותר את נתוני השאלה( ,לכן . x = 120 4 600 − 3 ⋅ 120 3 ⋅ 120 ( כלומר ,מהירות המונית היא ) = 90 ( קמ"ש ומהירות המשאית היא ) = 60 4 4 קמ"ש. תשובה 90 :קמ"ש ו 60 -קמ"ש. 1.58פתרון: B C A נסמן x :ק"מ – המרחק שעבר רוכב א' עד לפגישה עם רוכב ב' )המרחק .( AC ) ( 78 − xק"מ – המרחק שעבר רוכב ב' עד לפגישה עם רוכב א' )המרחק .( BC x 2 78 − x קמ"ש – מהירותו של רוכב ב' עד לפגישה. 2 קמ"ש – מהירותו של רוכב א' עד לפגישה. ⎞ ⎠ ⎛x ⎝2 ⎟ ⎜ − 2קמ"ש – מהירותו של רוכב א' בדרכו חזרה ליישוב .A ⎛ 78 − x ⎞ ⎟+ 3 ⎝ 2 ⎠ ⎜ קמ"ש – מהירותו של רוכב ב' בדרכו חזרה ליישוב .B ⎞ ⎛ x ⎟ ⎟⎜ −2 ⎝2 ⎠ ⎜ xשעות – משך זמן הרכיבה של רוכב א' בדרכו חזרה ליישוב .A ⎞ ⎛ 78 − x ⎟ ⎜ 78 − xשעות – משך זמן הרכיבה של רוכב ב' בדרכו חזרה ליישוב .B ⎜ ⎟+3 ⎠ 2 ⎝ נרכז את הנתונים בטבלה: © כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים 74 פתרונות בעיות מילוליות -בעיות תנועה מהירות v )קמ"ש( לפני הפגישה דרך s זמן ) tשעות( )ק"מ( רוכב א' x 2 2 x רוכב ב' 78 − x 2 2 78 − x רוכב א' x −2 2 רוכב ב' 78 − x +3 2 בדרך חזרה x x −2 2 x 78 − x 78 − x 2 +3 78 − x לפי הנתונים ,רוכב א' חזר ל 1 ,A -שעה אחרי שרוכב ב' חזר ל .B -לכן נקבל את המשוואה 2 הבאה: 78 − x 1 = 78 − x + 2 2 −2 2 +3 x x נכפול ב 2 -את המונה ואת המכנה ,של כל אחד מהשברים )פרט ל:( 1 - 2x 156 − 2x 1 = + x − 4 78 − x + 6 2 ⇒ ⇒ 2 x 78 − x 1 = + 78 − x x 2 2 −2 2 2 +3 2 ⇒ ( ) ) ( 2x 156 − 2x 1 − = ) ⋅2 ⋅ ( x − 4 ) ( 84 − x ⇒ x−4 84 − x 2 ) 4x ( 84 − x ) − 2 ( x − 4 ) (156 − 2x ) = ( x − 4 ) ( 84 − x 336x − 4x − 312x + 4x + 1248 − 16x = 84x − x − 336 + 4x ⇒ 80 ± 8 x 2 − 80x + 1584 = 0 = x1,2 x1 = 36 , x 2 = 44 ⇒ ⇒ 2 2 2 2 ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ נמצא את המהירויות: 36 78 − 36 = = 18 , v 2 = 21 2 2 44 78 − 44 = v1 = = 22 , v 2 = 17 2 2 = v1 x = 36 : x = 44 : תשובה 18 :קמ"ש ו 21 -קמ"ש או 22קמ"ש ו 17 -קמ"ש. © כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים 75 פתרונות בעיות מילוליות -בעיות תנועה 1.59פתרון: נסמן v1 :קמ"ש – מהירותו של רוכב א'. v 2קמ"ש – מהירותו של רוכב ב'. 1 v1 שעות – פרק הזמן שבו רוכב א' עובר קילומטר אחד. 1 v2 שעות – פרק הזמן שבו רוכב ב' עובר קילומטר אחד. xק"מ – המרחק בין Aל) B -המרחק שעבר רוכב א'( ⎞ 3 ⎠ 2 1 4 ⎛1 ⎝4 ⎟ ⎜ x + x + x = xק"מ – המרחק שעבר רוכב ב'. x v1 שעות – משך זמן הרכיבה של רוכב א'. ⎛ 3x ⎞ ⎟ 3x 2 ⎜ ⎜ שעות – משך זמן הרכיבה של רוכב ב'. = ⎟ ⎠ ⎝ v 2 2v 2 1 1 לפי הנתון ,רוכב ב' עבר כל קילומטר ב -דקה ) 120 2 שעה( פחות מאשר רוכב א'. לכן נקבל את המשוואה הבאה: 1 1 1 = + v1 v 2 120 משך זמן הרכיבה של רוכב א' היה שעתיים .לכן מתקיים: x =2 v1 משך זמן הרכיבה של רוכב ב' היה שעתיים וחצי )כי רוכב ב' הגיע ל ,B -חצי שעה מאוחר יותר מרוכב א'( .לכן מתקיים: 3x 1 =2 2 2v 2 נפתור את מערכת המשוואות הבאה: ⇒ 1 1 1 − = x 3 x 120 2 5 ⇒ 1 ⎧1 1 ⎪ v − v = 120 2 ⎪ 1 x ⎪ = ⎨ v1 2 ⎪ ⎪v = 3 x ⎪ 2 5 ⎩ © כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים ⇒ ⎧1 1 1 + = ⎪ ⎪ v1 v 2 120 ⎪x ⎨ =2 ⎪ v1 ⎪ 3x 1 =2 ⎪ 2 ⎩ 2v 2 76 בעיות מילוליות -בעיות תנועה ⇒ x = 40 פתרונות ⇒ 240 − 200 = x 2 5 1 − = ⋅120x ⇒ x 3x 120 40 3 = v1 = 20 , v 2 = ⋅ 40 = 24 2 5 ⇒ ⇒ קיבלנו שמהירותו של רוכב א' היא 20קמ"ש ומהירותו של רוכב ב' היא 24קמ"ש. תשובה 20 :קמ"ש ו 24 -קמ"ש. 1.60פתרון: C ת"א B מקום המפגש A קיבוץ נסמן x :ק"מ – המרחק בין הקיבוץ לת"א. vקמ"ש – מהירותו של רוכב האופניים. ) ( v + 30קמ"ש – מהירותו של רוכב הקטנוע. tשעות – משך זמן הרכיבה של כל רוכב עד לפגישה. t ⋅ vק"מ – המרחק שעבר רוכב האופניים מהקיבוץ עד שהגיע למקום המפגש )מרחק .( AB ) t ⋅ ( v + 30ק"מ – המרחק שעבר רוכב הקטנוע מת"א עד שהגיע למקום המפגש )מרחק .( CB על-פי הנתון ,שעה אחת לאחר ששני הרוכבים יצאו לדרכם )בטרם נפגשו( ,היה ביניהם מרחק של 14ק"מ .מאחר ובמשך שעה אחת ,רוכב האופניים עבר vק"מ ורוכב הקטנוע עבר ) ( v + 30ק"מ ,המשוואה הראשונה המתקבלת היא: x = v + ( v + 30 ) + 14 כאמור לעיל ,שני הרוכבים נפגשו כעבור tשעות .כלומר ,הם עברו ביחד את כל המרחק בין הקיבוץ לת"א )המרחק .( AC לכן המשוואה השנייה היא: ) x = tv + t ( v + 30 tv את המרחק בין מקום המפגש לבין הקיבוץ ,עבר רוכב הקטנוע במשך v + 30 12 שעות .לכן המשוואה השלישית היא: הנתון ,הזמן הנ"ל שווה ל- 25 שעות ועל-פי tv 12 = v + 30 25 קיבלנו מערכת של 3משוואות: © כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים 77 בעיות מילוליות -בעיות תנועה ⇒ :2 ⇒ ⇒ פתרונות ⎧ ⎪ x = 2v + 44 ⎪ ) ⎨2v + 44 = 2t ( v + 15 ) ⎪ 12 ( v + 30 = ⎪t 25v ⎩ ⎧ ⎪ x = 2v + 44 ⎪ ⎨ x = 2tv + 30t ) ⎪ 12 ( v + 30 = ⎪t 25v ⎩ ⇒ ⎧ x = 2v + 44 ⎪ ⎨ ) 12 ( v + 30 )( v + 15 ⋅25v = ⎪⎩ v + 22 25v ⇒ 25v 2 + 550v = 12v 2 + 180v + 360v + 5400 ⇒ = v1,2 ⇒ ) 25v ( v + 22 ) = (12v + 360 )( v + 15 13v 2 + 10v − 5400 = 0 ⇒ 10 13 נפסול את התוצאה המרחק: 10 13 ⇒ ⎧ ⎪ x = v + ( v + 30 ) + 14 ⎪ ) ⎨ x = tv + t ( v + 30 ⎪ tv 12 ⎪ = ⎩ v + 30 25 ⇒ v 2 = −20 v1 = 20 , ⇒ −10 ± 530 26 , v = −20מכיוון שמהירות היא ערך אי שלילי ,לכן . v = 20נמצא את x = 2 ⋅ 20 + 44 = 84 כלומר ,המרחק בין הקיבוץ לת"א הוא 84ק"מ. תשובה 84 :ק"מ. © כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים 78
© Copyright 2024