‫ב' בשבט תשע"ד‬ ‫‪ 3‬בינו'‪14 ,‬‬ ‫בס"ד‬ ‫תחרות בר‪-‬אילן במתמטיקה לסטודנטים תשע"ד‬ ‫‪ .1‬מצא פתרון כללי‪ ,‬עבור ‪ , a  0‬למשוואה הפונקציונלית‬ ‫‪ .2‬הוכח‪ ,‬עבור ‪ n‬טבעי‪ ,‬את אי‪-‬השוויון‬ ‫‪2‬‬ ‫‪n‬‬ ‫)‪. f ( x  y)  a x y f ( x) f ( y‬‬ ‫‪. n n  1‬‬ ‫‪ .3‬הסדרה ‪ x n‬מוגדרת באמצעות נוסחת הנסיגה‬ ‫‪x1  2‬‬ ‫‪4 xn  1‬‬ ‫‪(n  1) ,‬‬ ‫‪2 xn  1‬‬ ‫‪. xn1 ‬‬ ‫האם הגבול ‪ lim x n‬קיים? נמק‪ .‬אם כן‪ ,‬מצא אותו‪.‬‬ ‫‪x ‬‬ ‫‪ .4‬מצא ותאר את המקום הגיאומטרי של כל הנקודות במישור שמהן רואים אליפסה נתונה‬ ‫בזווית ישרה‪.‬‬ ‫‪ .5‬מצא את כל הפונקציות הזוגיות ואת כל הפונקציות האי‪-‬זוגיות המקיימות את המשוואה‬ ‫הדיפרנציאלית ‪. y  sin  y   y  0‬‬ ‫‪ .6‬פתור את המשוואה ‪ m !  n 2‬‬ ‫‪ 1! 2!‬עבור מספרים טבעיים ‪. n , m‬‬ ‫)‪f ( x‬‬ ‫גזירה בקטע‬ ‫‪ .7‬מצא פונקציה‬ ‫‪0  x 1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ . f (sin x)  cos(2x)  tan 2 x‬צייר תרשים כללי של גרף הפונקציה‪.‬‬ ‫המקיימת‬ ‫שם‪:‬‬ ‫‪ .8‬יהי ‪ p( x)  a0 xn  a1 x n1   an‬פולינום שכל מקדמיו ממשיים וכל האפסים שלו‬ ‫מדומים טהורים‪ .‬הוכח‪ :‬כל האפסים‪ ,‬פרט לאחד‪ ,‬של הנגזרת )‪ p( x‬הם מדומים טהורים‪.‬‬ ‫‪ .9‬יהיו ‪, 2 , 1‬‬ ‫הוכח‪:‬‬ ‫‪n ,‬‬ ‫מספרים ממשיים שונים זה מזה ושונים מ‪, 2 , 1 , 0 -‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪. n  1 ,‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪n  1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2  1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1  1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪n  n  1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1  n  1 2  n  1‬‬ ‫‪ .11‬קטע באורך ‪ L‬מחולק לשלושה חלקים באופן אקראי‪ ,‬על ידי בחירת שתי נקודות בקטע (כל‬ ‫אחת בהתפלגות אחידה‪ ,‬באופן בלתי תלוי) ‪ .‬מה ההסתברות ששלושת החלקים יכולים להוות‬ ‫צלעות של משולש?‬ ‫ב ה צ ל ח ה !‬