1. No category

‫חוברת מבחני מחצית י'‬
‫"נוער מוכשר במתמטיקה"‬
‫‪------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------‬‬
‫מבחן מחצית ‪ -‬כיתה י' ‪ -‬מועד א' – תש"ע‬
‫חלק א'‬
‫יש לכתוב את הפתרונות בעט רגיל בלבד‪ .‬בחינה שתרשם בעפרון ‪ -‬לא יהיה ניתן‬
‫לערער עליה‪ .‬שימוש בעט מחיק יגרום לאי בדיקת הבחינה‪.‬‬
‫חומר עזר מותר בשימוש ‪ :‬מחשבון )לא גרפי(‪ ,‬דפי נוסחאות מצורפים‪.‬‬
‫משך המבחן ‪ :‬שלוש שעות‬
‫מבנה השאלון ‪ :‬במבחן ‪ 3‬פרקים‪.‬‬
‫בפרק א' עליך לבחור שתי שאלות מתוך שאלות ‪.1-3‬‬
‫בפרק ב' עליך לבחור שתי שאלות מתוך שאלות ‪.4-6‬‬
‫בפרק ג' עליך לבחור שתי שאלות מתוך שאלות ‪.7-9‬‬
‫מפתח ההערכה ‪ :‬הניקוד על כל השאלות שווה‪.‬‬
‫תשובות ללא דרך )חישוב ‪ /‬הסבר( לא תקבלנה ניקוד‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫פרק א' – אלגברה ובעיות מילוליות‪ ,‬סדרות ואינדוקציה ) ‪ 33‬נקודות(‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫עליך לענות על שתיים מהשאלות ‪) .1-3‬לכל שאלה‬
‫‪3‬‬
‫‪ 16‬נקודות(‬
‫שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות‪ ,‬ייבדקו רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך‪.‬‬
‫‪ .1‬רומיאו רכב על סוסו בחשכה‪ ,‬לפתע הבחין ביוליה רצה בכיוון הנגדי‪ .‬רומיאו החליט ברגע בו חלף‬
‫בצמוד ליוליה לעצור את סוסו‪ ,‬מיד הוא פקד על הסוס "עצור" )בהחלטיות( והסוס נעצר לאחר ‪5‬‬
‫שניות‪ .‬רומיאו קפץ מיד מהסוס ורץ חזרה לכיוון יוליה בזרועות פתוחות‪ .‬בינתיים‪ ,‬יוליה שהבחינה‬
‫ברומיאו ברגע בו חלפה על פניו החליטה שאין זה יאה לבחורה לרוץ ביער ולכן שתי שניות מאוחר‬
‫יותר עברה להליכה חזרה לכיוונו של רומיאו‪ .‬רומיאו ויוליה רצים פי ‪ 1.5‬מהר יותר ממהירות‬
‫ההליכה של יוליה והסוס של רומיאו דוהר פי שלוש מהר יותר ממהירות הריצה של רומיאו‪.‬‬
‫מצא כעבור כמה שניות מאז הבחין רומיאו ביוליה הם יפגשו‪.‬‬
‫‪ .2‬הוכח באינדוקציה שהביטוי‬
‫)‪(4n + 1) + (4n + 2) + (4n + 3) + ... + (6n‬‬
‫מתחלק ב‪ 10 -‬עם שארית ‪ , n‬לכל ‪ n‬טבעי‪.‬‬
‫‪ .3‬סדרה מוגדרת ע"י כלל הנסיגה‪= 4a + 4 , a = 2 :‬‬
‫‪n‬‬
‫‪1‬‬
‫‪.a‬‬
‫‪n +1‬‬
‫‪ b = a‬היא סדרה הנדסית‪.‬‬
‫א‪.‬‬
‫הוכח שהסדרה המוגדרת ע"י‬
‫ב‪.‬‬
‫הבע באמצעות ‪ n‬בלבד את הנוסחה לסכום ‪. a + a + ... + a‬‬
‫ג‪.‬‬
‫נתון ש‪ . b = 640 -‬חשב את הסכום ‪. a + a + ... + a‬‬
‫‪-a‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n +1‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫‪- 70 -‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫חוברת מבחני מחצית י'‬
‫"נוער מוכשר במתמטיקה"‬
‫‪------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------‬‬
‫פרק ב' – טריגונומטריה במישור‪ ,‬גיאומטריה )ניתן לפתור בשיטות של גאומטרייה אוקלידית או בכל דרך‬
‫‪1‬‬
‫אחרת(‪ 33 ) .‬נקודות(‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫עליך לענות על שתיים מהשאלות ‪) .4-6‬לכל שאלה‬
‫‪3‬‬
‫‪ 16‬נקודות(‬
‫שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות‪ ,‬ייבדקו רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך‪.‬‬
‫‪H‬‬
‫‪ .4‬הנקודות ‪ C , B‬ו‪ E -‬הן אמצעי המיתרים ‪ AD , GH‬ו‪-‬‬
‫‪ DG‬בהתאמה‪.‬‬
‫‪A‬‬
‫הקטעים ‪ BF , AG‬ו‪ CE -‬מקבילים זה לזה‪.‬‬
‫‪o‬‬
‫‪B‬‬
‫נתון‪ AB = BC :‬ו‪. ∡BFE = 90 -‬‬
‫‪C‬‬
‫הוכח‪ :‬א‪△CDE ∼△ AHB .‬‬
‫ב‪ .‬חשב את היחס‪:‬‬
‫‪∆CDE‬‬
‫‪∆AHB‬‬
‫‪S‬‬
‫‪G‬‬
‫‪S‬‬
‫‪F‬‬
‫‪D‬‬
‫‪E‬‬
‫‪ .5‬במעגל ‪ O‬חסום משולש ‪ △ ABC‬שווה שוקיים ) ‪. ( AB = AC‬‬
‫‪A‬‬
‫אורך בסיס המשולש הוא ‪ 2a‬וזווית הבסיס ‪. α‬‬
‫במעגל חסום גם טרפז ‪ KLMN‬ששוקיו מקבילות לשוקי‬
‫‪N‬‬
‫‪K‬‬
‫המשולש ובסיסו הגדול המונח על קוטר המעגל‪ ,‬מקביל לבסיס‬
‫המשולש‪.‬‬
‫א‪ .‬הבע בעזרת ‪ α‬ו‪ α -‬את שטח המשולש ‪. △ ABC‬‬
‫•‬
‫‪M‬‬
‫ב‪ .‬הבע בעזרת ‪ α‬ו‪ α -‬את שטח הטרפז ‪. KLMN‬‬
‫‪O‬‬
‫‪L‬‬
‫ג‪ .‬הוכח ששטח המשולש ‪ △ ABC‬שווה לשטח‬
‫‪2a‬‬
‫הטרפז ‪. KLMN‬‬
‫‪α‬‬
‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫‬
‫‪A‬‬
‫‪ .6‬במשולש ישר זווית ‪ D , (∢ABC = 90 ) △ ABC‬היא אמצע היתר‪.‬‬
‫‪ E‬מחלקת את הניצב ‪ BC‬ביחס ‪. ∢BAC = ∢ADB . BE : EC = 1 : 2‬‬
‫‪ F‬היא נקודת המפגש של הישרים ‪ AE‬ו‪. BD -‬‬
‫‪D‬‬
‫א‪ .‬הוכח כי ‪ AE‬חוצה את הזווית ‪. ∢BAC‬‬
‫‪F‬‬
‫ב‪ .‬הוכח כי המשולש ‪ △ AFB‬דומה למשולש ‪. △ DFE‬‬
‫‪S‬‬
‫ג‪ .‬חשב את היחס ‪∆ABF‬‬
‫‪S‬‬
‫‪∆BEF‬‬
‫‪C‬‬
‫‪- 71 -‬‬
‫‪E‬‬
‫‪B‬‬
‫חוברת מבחני מחצית י'‬
‫"נוער מוכשר במתמטיקה"‬
‫‪------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------‬‬
‫פרק ג' – חדו"א של פונקציות טריגונומטריות‪ ,‬פולינומים‪ ,‬רציונאליות ושורש ריבועי‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫) ‪ 33‬נקודות(‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫עליך לענות על שתיים מהשאלות ‪) .7-9‬לכל שאלה‬
‫‪3‬‬
‫‪ 16‬נקודות(‬
‫שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות‪ ,‬ייבדקו רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך‪.‬‬
‫‪ .7‬נתון משולש שווה צלעות‪ .‬אורך כל צלע ‪ 18 3‬סנטימטר‪.‬‬
‫בתוך המשולש קודחים ארבע קדחים‪ .‬שלושה בעלי קוטר‬
‫זהה‪ .‬כל אחד מהם משיק לשתי צלעות המשולש הנתון וקדח‬
‫נוסף )הרביעי( אשר משיק לשלושת הקדחים הראשונים )ראה‬
‫ציור(‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא את קוטר הקדח הרביעי )האמצעי( כדי‬
‫שהשטח שנותר מהמשולש הנתון יהיה מקסימלי‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא את קוטר הקדח הרביעי )האמצעי(‬
‫כדי שהשטח של ארבעת הקדחים יהיה מקסימלי‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪x + 2x - 8x‬‬
‫= ) ‪ f ( x‬חותכת את ציר ה‪ x -‬בנקודות ‪ A‬ו‪. B -‬‬
‫‪ .8‬הפונקציה‬
‫‪x+4‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪- x - 3 x + 4 x + 12‬‬
‫= ) ‪ g ( x‬חותכת את ציר ה‪ x -‬בנקודות ‪ A‬ו‪. C -‬‬
‫הפונקציה‬
‫‪x+3‬‬
‫א‪.‬‬
‫מצא את השטח המוגבל ע"י הגרפים של הפונקציות )‪ f ( x‬ו‪g ( x ) -‬‬
‫והקטע ‪. BC‬‬
‫ב‪.‬‬
‫הפונקציה ) ‪ g ( x‬חותכת את ציר ה‪ y -‬בנקודה ‪ . D‬מצא את השטח ברביע השני‬
‫המוגבל ע"י הגרפים של הפונקציות )‪ g ( x ) , f ( x‬והקטע ‪. BD‬‬
‫‪- 72 -‬‬
‫חוברת מבחני מחצית י'‬
‫"נוער מוכשר במתמטיקה"‬
‫‪------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------‬‬
‫‪ .9‬נתונה הפונקציה‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪+b-‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x-a‬‬
‫‪2‬‬
‫=‪.y‬‬
‫‪x - ax‬‬
‫א‪ .‬מצא את הפרמטר ‪ (b > 0) , b‬אם נתון שהאסימפטוטה האופקית של הפונקציה‬
‫חותכת את הפונקציה בנקודה מסויימת‪ .‬בנקודה זו מעבירים משיק לפונקציה אשר‬
‫חותך את הפונקציה בנקודת החיתוך שלו עם ציר ה‪. x -‬‬
‫ב‪ .‬הצב את ה‪ b -‬שמצאת וחקור את הפונקציה הנתונה לפי הסעיפים הבאים‪:‬‬
‫)הבע באמצעות הפרמטר ‪ a‬אם נחוץ‪ ,‬בהינתן כי ‪( 2 < a < 3‬‬
‫‪ .1‬תחום הגדרה‪.‬‬
‫‪.2‬‬
‫‪.3‬‬
‫‪.4‬‬
‫‪.5‬‬
‫אסמפטוטות מקבילות לצירים ונקודות אי רציפות סליקה )"חור"( )אם יש(‪.‬‬
‫נקודות קיצון‪.‬‬
‫נקודות חיתוך עם הצירים‪.‬‬
‫נקודות פיתול‪.‬‬
‫‪ .6‬שרטט סקיצה של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫בהצלחה!!!‬
‫‪- 73 -‬‬
‫חוברת מבחני מחצית י'‬
‫"נוער מוכשר במתמטיקה"‬
‫‪------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------‬‬
‫תשובות סופיות‬
‫‪.1‬‬
‫‪ 14‬שניות‬
‫‪ .2‬הוכחה‬
‫‪n‬‬
‫‪ .3‬הוכחה ‪ q = 4‬ב‪ S = 10 ⋅ 4 - 4 n - 10 .‬ג‪S4 = 278 .‬‬
‫‪9‬‬
‫‪3‬‬
‫‪9‬‬
‫‪n‬‬
‫‪ .4‬א‪ .‬הוכחה ב‪1 .‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ .5‬א‪= a tan α .‬‬
‫‪ .6‬א‪ .‬הוכחה‬
‫‪2‬‬
‫‪∆ABC‬‬
‫‪ S‬ב‪= a tan α .‬‬
‫ב‪ .‬הוכחה‬
‫‪S‬‬
‫‪□KLMN‬‬
‫‪3‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ .7‬א‪ 9 .‬ב‪18 .‬‬
‫‪7‬‬
‫‪ .8‬א‪ 3 .‬ב‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ .9‬א‪ b = 2 .‬ב‪( 2,2.25 )max .3 x = 0; y = 2 .2 x ≠ 0,a .1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪( 3,2 ) .5 ( ,0 );( −1,0 ) .4‬‬
‫‪9‬‬
‫‪2‬‬
‫‪.6‬‬
‫‪- 74 -‬‬
‫חוברת מבחני מחצית י'‬
‫"נוער מוכשר במתמטיקה"‬
‫‪------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------‬‬
‫מבחן מחצית ‪ -‬כיתה י' ‪ -‬מועד א – תש"ע‬
‫חלק ב'‬
‫יש לכתוב את הפתרונות בעט רגיל בלבד‪ .‬בחינה שתרשם בעפרון ‪ -‬לא יהיה ניתן‬
‫לערער עליה‪ .‬שימוש בעט מחיק יגרום לאי בדיקת הבחינה‪.‬‬
‫חומר עזר מותר בשימוש‪ :‬מחשבון )לא גרפי(‪ ,‬דפי נוסחאות מצורפים‪.‬‬
‫משך המבחן ‪ :‬שעה ושלושת רבעי‬
‫מבנה השאלון ‪ :‬במבחן ‪ 2‬פרקים‪.‬‬
‫בפרק א' עליך לבחור שתי שאלות מתוך שאלות ‪.1-3‬‬
‫בפרק ב' עליך לבחור שאלה אחת מתוך שאלות ‪.4-5‬‬
‫מפתח ההערכה ‪ :‬ניקוד שווה לכל שאלה‪.‬‬
‫תשובות ללא דרך )חישוב ‪ /‬הסבר( לא תקבלנה ניקוד‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫חלק א' – וקטורים‪ ,‬גיאומטריה אנליטית‪ ,‬מספרים מרוכבים ) ‪ 66‬נקודות(‬
‫‪3‬‬
‫‪1‬‬
‫עליך לענות על שתיים מהשאלות ‪) .1-3‬לכל שאלה ‪ 33‬נקודות(‬
‫‪3‬‬
‫שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות‪ ,‬ייבדקו רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך‪.‬‬
‫‪ .1‬נתונה ההיפרבולה ‪ . x 2 - y 2 = 1‬מנקודת החיתוך של ההיפרבולה עם החלק החיובי של‬
‫ציר ה‪ x -‬העבירו ישר בעל שיפוע ‪ , m‬ומנקודת החיתוך של ההיפרבולה עם החלק השלילי של‬
‫ציר ה‪ x -‬העבירו ישר בעל שיפוע ‪ . −m‬ישרים אלו חותכים קטעים מענפי ההיפרבולה‪.‬‬
‫מנקודת האמצע של קטעים אלו העלו אנכים אמצעיים הנפגשים בנקודה ‪. H‬‬
‫א‪ .‬הראה שהנקודה ‪ H‬נמצאת על ציר ה‪. y -‬‬
‫ב‪ .‬הבע באמצעות ‪ m‬את שטח המחומש שנוצר ע"י ציר ה‪ , x -‬חצאי הקטעים‬
‫והאנכים האמצעיים‪.‬‬
‫‪.2‬‬
‫‪ Z1 ,Z 2 ,Z 3 ,Z 4 ,Z 5‬הם פתרונות של המשוואה ‪. Z 5 = −16 − 16 3i :‬‬
‫א‪ .‬מצא את הפתרונות של המשוואה )הצג את הפתרונות בצורה אלגברית(‪.‬‬
‫ב‪ .‬במישור של גאוס ‪ Z1‬נמצא ברביע הראשון‪ Z 2 ,‬ברביע השני‪ Z 5 ,‬ברביע הרביעי‪.‬‬
‫‪Z5‬‬
‫נסמן‪:‬‬
‫‪Z2‬‬
‫‪ m‬הוא הישר העובר דרך ראשית הצירים ודרך הנקודה ‪. A‬‬
‫= ‪. B = ( Z1 ) 2 , A‬‬
‫‪ n‬הוא הישר העובר דרך ראשית הצירים ודרך הנקודה ‪. B‬‬
‫מצא את גודל הזווית שבין הישרים ‪ m‬ו‪. n -‬‬
‫‪- 75 -‬‬
‫חוברת מבחני מחצית י'‬
‫"נוער מוכשר במתמטיקה"‬
‫‪------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------‬‬
‫‪ ABCA' B' C' .3‬היא מנסרה משולשת וישרה‪.‬‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫נסמן‪. AB = u, AC = v, AA' = w :‬‬
‫נתון כי‪. ∢BAC = α , u = v = w = 1 :‬‬
‫הנקודה ‪ D‬היא אמצע האלכסון '‪. CB‬‬
‫‬
‫א‪ .‬הבע את ‪ CD‬באמצעות ‪ v,u‬ו‪. w -‬‬
‫‬
‫‪3 − 2 cos α‬‬
‫= ‪. CD‬‬
‫ב‪ .‬הוכח כי‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫ ‬
‫ג‪ .‬נתון כי‪ . CD = AD :‬מצא את גודל הזווית ‪. α‬‬
‫‪B‬‬
‫‪1‬‬
‫חלק ב' – חדו"א ואלגברה של מעריכיות לוגריתמיות ) ‪ 33‬נקודות(‬
‫‪3‬‬
‫עליך לענות על שאלה אחת מתוך שאלות ‪.4-5‬‬
‫שים לב! אם תענה על יותר משאלה אחת‪ ,‬תיבדק רק התשובה הראשונה שבמחברתך‪.‬‬
‫‪ .4‬נתונה הפונקציה‬
‫‪+1‬‬
‫‪n‬‬
‫‪ ( n ≠ 0 ) f ( x) = nx n −1e x‬נפח גוף הסיבוב הנוצר מסיבוב השטח המוגבל בין גרף‬
‫)‬
‫(‬
‫‪4‬‬
‫הפונקציה לציר ה‪ x -‬בתחום ‪ , 0 ≤ x ≤ 2‬סביב ציר ה‪ x -‬שווה ל ‪ . πe e − 1 -‬חשב את ‪. n‬‬
‫‪ .5‬נתונה הפונקציה הבאה המוגדרת בתחום‪. − π ≤ x ≤ π :‬‬
‫‪π x‬‬
‫‪π x‬‬
‫‪b cos 2  −  −b sin 2  − ‬‬
‫‪ 4 2‬‬
‫‪ 4 2‬‬
‫‪3‬‬
‫ידוע כי ערך הפונקציה בנקודה שבה‬
‫‪5‬‬
‫‪e‬‬
‫‪3a‬‬
‫= )‪f ( x‬‬
‫)‪(a > 0‬‬
‫‪5‬‬
‫= ‪ sin x‬הוא ‪. e‬‬
‫‪ .1‬הוכח ללא שימוש מחשבון כי‪. a = b :‬‬
‫‪ .2‬חקור את הפונקציה על פי הסעיפים הבאים‪:‬‬
‫חיתוך עם הצירים )אם יש(‪ ,‬נקודות קיצון‪ ,‬תחומי עלייה וירידה‪ ,‬נקודות פיתול‪ ,‬תחומי קמירות‬
‫וקעירות‪ ,‬שרטוט‪.‬‬
‫בהצלחה!!!‬
‫‪- 76 -‬‬
‫חוברת מבחני מחצית י'‬
‫"נוער מוכשר במתמטיקה"‬
‫‪------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------‬‬
‫תשובות סופיות‬
‫‪3m3 − m‬‬
‫‪ .1‬א‪ .‬הוכחה ב‪.‬‬
‫‪(m 2 − 1) 2‬‬
‫‪ .2‬א‪.‬‬
‫‪Z1 = 2cis 48 = 1.338 + 1.486i, Z 2 = 2cis120 = −1 + 1.732i‬‬
‫‪Z 3 = 2cis192 = −1.956 − 0.415i, Z 4 = 2cis 264 = −0.209 − 1.989i‬‬
‫‪Z 5 = 2cis336 = 1.827 − 0.813i‬‬
‫ב‪600 ,1200 .‬‬
‫‪ 1‬‬
‫‪ .3‬א‪ CD = (u − v + w) .‬ב‪ .‬הוכחה ג‪α = 90 0 .‬‬
‫‪2‬‬
‫‪n=2‬‬
‫‪.4‬‬
‫‪.1 .5‬הוכחה ‪. 2‬א‪(0,1) .‬‬
‫‪π‬‬
‫‪1‬‬
‫‪π‬‬
‫ב‪, 3 ) min, ( , 3 e ) max, (−π ,1) max, (π , −1) min .‬‬
‫‪2 e‬‬
‫‪2‬‬
‫ג‪ .‬תחומי עלייה‪:‬‬
‫‪π‬‬
‫‪2‬‬
‫<‪<x‬‬
‫‪π‬‬
‫‪2‬‬
‫‪−‬‬
‫‪π π‬‬
‫תחומי ירידה‪, < x < π :‬‬
‫‪2 2‬‬
‫‪−π < x < −‬‬
‫ד‪(0.9π ,1.1), (0.1π ,1.1) .‬‬
‫ה‪.‬‬
‫‪∪ : −π < x < 0.1π , 0.9π < x < π‬‬
‫‪∩ : 0.1π < x < 0.9π‬‬
‫ו‪.‬‬
‫‪- 77 -‬‬
‫‪(−‬‬
‫חוברת מבחני מחצית י'‬
‫"נוער מוכשר במתמטיקה"‬
‫‪------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------‬‬
‫מבחן מחצית ‪ -‬כיתה י' ‪ -‬מועד ב' – תש"ע‬
‫חלק א'‬
‫יש לכתוב את הפתרונות בעט רגיל בלבד‪ .‬בחינה שתרשם בעפרון ‪ -‬לא יהיה ניתן‬
‫לערער עליה‪ .‬שימוש בעט מחיק יגרום לאי בדיקת הבחינה‪.‬‬
‫חומר עזר מותר בשימוש ‪ :‬מחשבון )לא גרפי(‪ ,‬דפי נוסחאות מצורפים‪.‬‬
‫משך המבחן ‪ :‬שלוש שעות‬
‫מבנה השאלון ‪ :‬במבחן ‪ 3‬פרקים‪.‬‬
‫בפרק א' עליך לבחור שתי שאלות מתוך שאלות ‪.1-3‬‬
‫בפרק ב' עליך לבחור שתי שאלות מתוך שאלות ‪.4-6‬‬
‫בפרק ג' עליך לבחור שתי שאלות מתוך שאלות ‪.7-9‬‬
‫מפתח ההערכה ‪ :‬הניקוד על כל השאלות שווה‪.‬‬
‫תשובות ללא דרך )חישוב ‪ /‬הסבר( לא תקבלנה ניקוד‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫פרק א' – אלגברה ובעיות מילוליות‪ ,‬סדרות ואינדוקציה ) ‪ 33‬נקודות(‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫עליך לענות על שתיים מהשאלות ‪) .1-3‬לכל שאלה‬
‫‪3‬‬
‫‪ 16‬נקודות(‬
‫שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות‪ ,‬ייבדקו רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך‪.‬‬
‫‪ .1‬שלושה הולכי רגל יצאו זה אחר זה ברווחי זמן שווים מרחוב כלנית לרחוב חרצית‬
‫ומשם לרחוב ורד‪ .‬המרחק בין רחוב חרצית לרחוב ורד הוא ‪ 6‬ק"מ‪ .‬כל השלושה‬
‫הגיעו ביחד לרחוב חרצית‪ .‬הולך הרגל שיצא ראשון הגיע לרחוב ורד חצי שעה אחרי‬
‫שהולך הרגל שיצא שני הגיע לשם‪ .‬הולך הרגל השלישי הגיע לרחוב ורד והחל מייד‬
‫לחזור‪ .‬הוא פגש את הולך הרגל הראשון במרחק ‪ 2‬ק"מ מרחוב ורד‪.‬‬
‫מצא את מהירויותיהם של שלושת הולכי הרגל‪.‬‬
‫‪ .2‬נתונות הסדרות‪:‬‬
‫‪a1 = 1 , a2 = 4 , a3 = 7...‬‬
‫‪b1 = 20 , b2 = 21 , b3 = 22 ...‬‬
‫יוצרים את הסדרה ‪c1 = a1 ⋅ b1 , c2 = a2 ⋅ b2 , c3 = a3 ⋅ b3 ... :‬‬
‫א‪ .‬הוכח באינדוקציה כי הטענה הבאה נכונה לכל ‪ n‬טבעי‪:‬‬
‫‪c1 + c2 + c3 + ...+ c2n = (6n - 5)⋅ 2 2n + 5‬‬
‫ב‪ .‬היעזר בסעיף א' וחשב ללא מחשבון את הסכום ‪:‬‬
‫‪1⋅ 2+ 4 ⋅ 3+7 ⋅ 5 +10 ⋅ 9 + ...+ 46 ⋅ 32769‬‬
‫‪- 78 -‬‬
‫חוברת מבחני מחצית י'‬
‫"נוער מוכשר במתמטיקה"‬
‫‪------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------‬‬
‫‪ .3‬בסדרה הנדסית יש ‪ 20‬איברים‪ .‬אם מחליפים את הסימנים של האיברים שבמקומות הזוגיים‬
‫מתקבלת סדרה שסכומה הוא רבע מסכום הסדרה המקורית‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא את מנת הסדרה המקורית‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא את סכום האיברים שבמקומות האי זוגיים של הסדרה המקורית אם נתון‬
‫כי סכום שלושת האיברים הראשונים של הסדרה המקורית הוא ‪. 49‬‬
‫פרק ב' – טריגונומטריה במישור‪ ,‬גיאומטריה )ניתן לפתור בשיטות של גאומטרייה אוקלידית או בכל דרך‬
‫‪1‬‬
‫אחרת(‪ 33 ) .‬נקודות(‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫עליך לענות על שתיים מהשאלות ‪) .4-6‬לכל שאלה‬
‫‪3‬‬
‫‪ 16‬נקודות(‬
‫שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות‪ ,‬ייבדקו רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך‪.‬‬
‫‪ .4‬הנקודה ‪ M‬היא מרכזם של שני המעגלים שבציור‪.‬‬
‫‪ □ ABCD‬הוא מעוין החוסם את המעגל הקטן‪,‬‬
‫כאשר הנקודות ‪ A‬ו‪ C -‬נמצאות על המעגל הגדול‪.‬‬
‫הבע את שטחו של המעוין באמצעות ‪ - R‬רדיוס‬
‫המעגל הגדול‪ ,‬ו‪ - r -‬רדיוס המעגל הקטן‪.‬‬
‫‪ .5‬הנקודה ‪ O‬היא מרכז המעגל החסום במשולש ‪. △ ABC‬‬
‫נתון כי‪. ∢ABC = β , ∢BAC = α :‬‬
‫‪AE‬‬
‫א‪ .‬הבע באמצעות ‪ α‬ו‪ β -‬את היחס‬
‫‪CF‬‬
‫‪.‬‬
‫‪E‬‬
‫ב‪ .‬נתון כי המרובע ‪ □OEBF‬בר חסימה במעגל‪,‬‬
‫‪AE‬‬
‫‪3‬‬
‫=‬
‫ו‪-‬‬
‫‪CF‬‬
‫‪2‬‬
‫‪O‬‬
‫‪B‬‬
‫‪ .‬מצא את ‪ α‬ו‪. β -‬‬
‫‪F‬‬
‫‬
‫‪ .6‬במשולש ישר זווית ‪ ∢C = 90 , ABC‬ו‪. ∢A = 2α -‬‬
‫‪C‬‬
‫‪D‬‬
‫מעגל שמרכזו בנקודה ‪ M‬ואורך הרדיוס שלו ‪ R‬חסום‬
‫במשולש‪ .‬המעגל משיק למשולש בנקודות ‪. D, G, H‬‬
‫מעגל שמרכזו ‪ N‬משיק לצלעות המשולש ‪AC , AB‬‬
‫‪H‬‬
‫‪E‬‬
‫‪M‬‬
‫בנקודות ‪ E , F‬בהתאמה‪ ,‬ומשיק למעגל ‪ M‬בנקודה ‪. O‬‬
‫א‪ .‬הבע באמצעות ‪ α‬ו‪ R -‬את שטח המשולש ‪B . △ ABC‬‬
‫‪G‬‬
‫‪O‬‬
‫‪N‬‬
‫‪F‬‬
‫ב‪ .‬נתון בנוסף כי ‪ E‬היא אמצע ‪ . AD‬הבע באמצעות ‪ α‬ו‪ R -‬את שטח המרובע ‪. DENM‬‬
‫‪- 79 -‬‬
‫‪A‬‬
‫‪A‬‬
‫חוברת מבחני מחצית י'‬
‫"נוער מוכשר במתמטיקה"‬
‫‪------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------‬‬
‫פרק ג' – חדו"א של פונקציות טריגונומטריות‪ ,‬פולינומים‪ ,‬רציונאליות ושורש ריבועי‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫) ‪ 33‬נקודות(‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫עליך לענות על שתיים מהשאלות ‪) .7-9‬לכל שאלה‬
‫‪3‬‬
‫‪ 16‬נקודות(‬
‫שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות‪ ,‬ייבדקו רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך‪.‬‬
‫‬
‫‪A‬‬
‫‪ .7‬נתונה גזרת עיגול שרדיוסה ‪. ∢ ABC = 60 . R‬‬
‫נקודה ‪ P‬נעה על הקשת ‪. AC‬‬
‫‪P‬‬
‫נקודה ‪ L‬נעה על הקטע ‪ BC‬כך ש‪ PL -‬מקביל ל‪. AB -‬‬
‫א‪ .‬מצא את הזווית ‪ ∢ BPL‬בה שטח המשולש ‪BPL‬‬
‫)השטח המקווקו( מקסימלי‪.‬‬
‫ב‪ .‬האם ההיקף המקסימלי של המשולש ‪ BPL‬מתקבל‬
‫גם הוא עבור אותה זווית שקבלת בסעיף א'‪ .‬נמק‪.‬‬
‫‪C‬‬
‫‪ .8‬נתונה הפונקציה‪:‬‬
‫‪x+1‬‬
‫‪x + 2x - 3‬‬
‫מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫=)‪F(x‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫מצא אסימפטוטות מקבילות לצירים‪.‬‬
‫מצא את נקודות הקיצון ותחומי העלייה והירידה‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫סרטט סקיצה של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫ה‪.‬‬
‫נתונה הפונקציה )‪ T(x‬שמקיימת ))‪. T(x)= ( F(x‬‬
‫‪2‬‬
‫מצא את השטח המוגבל בין גרף הפונקציה )‪ , T(x‬ציר ה‪ , x -‬הישר ‪x = 1.5‬‬
‫והישר ‪. x = 2‬‬
‫‪- 80 -‬‬
‫‪L‬‬
‫‪B‬‬
‫חוברת מבחני מחצית י'‬
‫"נוער מוכשר במתמטיקה"‬
‫‪------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------‬‬
‫‪ .9‬נתונה הפונקציה ‪+ 1‬‬
‫‪x -b‬‬
‫‪2‬‬
‫=‪.y‬‬
‫‪x -4‬‬
‫א‪ .‬מצא את הפרמטר ‪b‬‬
‫אם נתון שלפונקציה קיימת נקודת אי רציפות סליקה אחת בתחום‬
‫החיובי של ציר ה‪. x -‬‬
‫ב‪ .‬הצב את ה‪ b -‬שמצאת וחקור את הפונקציה הנתונה לפי הסעיפים הבאים‪:‬‬
‫‪ .1‬תחום הגדרה‪.‬‬
‫‪ .2‬אסמפטוטות מקבילות לצירים ‪.‬‬
‫‪ .3‬נקודות קיצון ‪.‬‬
‫‪ .4‬תחומי עלייה וירידה‪.‬‬
‫‪ .5‬נקודות חיתוך עם הצירים‪.‬‬
‫‪ .6‬שרטט סקיצה של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫ג‪ .‬מצא עבור אילו ערכי ‪ k‬הישר ‪ y = k‬לא חותך את הפונקציה‪.‬‬
‫בהצלחה!!!‬
‫‪- 81 -‬‬
‫חוברת מבחני מחצית י'‬
‫"נוער מוכשר במתמטיקה"‬
‫‪------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------‬‬
‫תשובות סופיות‬
‫‪.1‬‬
‫‪3,4,6‬‬
‫‪ .2‬א‪ .‬הוכחה ב‪ .‬תשובה‪2818429 :‬‬
‫‪0.6‬‬
‫‪ .3‬א‪.‬‬
‫‪∼ 39.06‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪.4‬‬
‫‪2R 2 r‬‬
‫‪R2 − r 2‬‬
‫‪α‬‬
‫)‬
‫‪ .5‬א‪2 .‬‬
‫‪−‬‬
‫‪β‬‬
‫‪2‬‬
‫(‪sin(α + β ) cos‬‬
‫ב‪α = 67.08 , β = 60 .‬‬
‫‬
‫‬
‫‪) sin α‬‬
‫‪α‬‬
‫‪2‬‬
‫‪sin( β +‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ 1 + tan α ‬‬
‫‪3R‬‬
‫‪ S‬ב‪.‬‬
‫‪= 1R‬‬
‫‪ .6‬א‪ tan 2α .‬‬
‫‪ABC 2 ‬‬
‫‪8 tan α‬‬
‫‪tan α ‬‬
‫‪π‬‬
‫‪ .7‬א‪.‬‬
‫‪6‬‬
‫‪ .8‬א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫=‬
‫‪DENM‬‬
‫‪S‬‬
‫= ‪ 30 0‬ב‪ .‬כן‬
‫‪x ≠ 1 , x ≥ −1‬‬
‫‪x =1 , y = 0‬‬
‫אין נקודות קיצון מוחלט‪ .‬הנקודה )‪ (−1, 0‬מקסימום מקומי‪.‬‬
‫הפונקציה יורדת בכל תחום הגדרתה‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫ה‪.‬‬
‫‪11‬‬
‫‪90‬‬
‫‪ .9‬א‪) b = 2 .‬נקודת אי רציפות סליקה ) ‪( ( 2,1‬‬
‫ב‪ x < −2 .1 .‬או ‪ .3 x = −2, y = 2 .2 x > 2‬אין ‪ .4‬עולה‪ , x > 2 :‬יורדת‪x < −2 :‬‬
‫‪- 82 -‬‬
‫חוברת מבחני מחצית י'‬
‫"נוער מוכשר במתמטיקה"‬
‫‪------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------‬‬
‫‪ .5‬אין ‪.6‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪2 < k ,0 ≤ k ≤ 1‬‬
‫‪- 83 -‬‬
‫חוברת מבחני מחצית י'‬
‫"נוער מוכשר במתמטיקה"‬
‫‪------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------‬‬
‫מבחן מחצית ‪ -‬כיתה י' ‪ -‬מועד ב – תש"ע‬
‫חלק ב'‬
‫יש לכתוב את הפתרונות בעט רגיל בלבד‪ .‬בחינה שתרשם בעפרון ‪ -‬לא יהיה ניתן‬
‫לערער עליה‪ .‬שימוש בעט מחיק יגרום לאי בדיקת הבחינה‪.‬‬
‫חומר עזר מותר בשימוש‪ :‬מחשבון )לא גרפי(‪ ,‬דפי נוסחאות מצורפים‪.‬‬
‫משך המבחן ‪ :‬שעה ושלושת רבעי‬
‫מבנה השאלון ‪ :‬במבחן ‪ 2‬פרקים‪.‬‬
‫בפרק א' עליך לבחור שתי שאלות מתוך שאלות ‪.1-3‬‬
‫בפרק ב' עליך לבחור שאלה אחת מתוך שאלות ‪.4-5‬‬
‫מפתח ההערכה ‪ :‬ניקוד שווה לכל שאלה‪.‬‬
‫תשובות ללא דרך )חישוב ‪ /‬הסבר( לא תקבלנה ניקוד‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫חלק א' – וקטורים‪ ,‬גיאומטריה אנליטית‪ ,‬מספרים מרוכבים ) ‪ 66‬נקודות(‬
‫‪3‬‬
‫‪1‬‬
‫עליך לענות על שתיים מהשאלות ‪) .1-3‬לכל שאלה ‪ 33‬נקודות(‬
‫‪3‬‬
‫שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות‪ ,‬ייבדקו רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך‪.‬‬
‫‪ .1‬היקף משולש הוא ‪ . 18‬שניים מקודקודי המשולש הינם בנקודות )‪ (4, 0‬ו‪. (−4, 0) -‬‬
‫א‪ .‬מצא ואפיין את המקום הגיאומטרי של הקודקוד השלישי‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא את משוואות המשיקים לעקומה שהתקבלה בסעיף א' החותכים מציר ה‪x -‬‬
‫קטע שהוא ארוך פי ‪ 1.25‬מהקטע שהם חותכים מציר ה‪. y -‬‬
‫‪z − 3i‬‬
‫‪ .2‬א‪ .‬זהה את המקום הגיאומטרי במישור גאוס הנוצר על ידי המשוואה ‪= 2 :‬‬
‫‪z −3‬‬
‫‪x x +5‬‬
‫‪x 2 − 1 3 x− x 2‬‬
‫(= )‬
‫)‬
‫‪.x∈ℝ ( 2‬‬
‫ב‪ .‬פתור את המשוואה הבאה‪:‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x −1‬‬
‫הערה‪ :‬אין קשר בין הסעיפים‪.‬‬
‫‪ ABCDA' B' C' D' .3‬היא קוביה‪.‬‬
‫ ‬
‫הנקודה ‪ F‬מקיימת ‪. BF = t BC‬‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫נסמן‪. AB = u, AD = v, AA' = w :‬‬
‫‬
‫‬
‫ד‪ .‬הבע את '‪ AC‬ואת ‪ AF‬באמצעות ‪ v,u,w‬ו‪. t -‬‬
‫ה‪ .‬חשב את ‪ t‬עבורו זוית ‪ ∢C' AF‬היא מינימלית והסבר היכן‬
‫נמצאת ‪ F‬במקרה זה‪.‬‬
‫ו‪ .‬חשב את גודל הזוית המינימלית‪.‬‬
‫‪- 84 -‬‬
‫חוברת מבחני מחצית י'‬
‫"נוער מוכשר במתמטיקה"‬
‫‪------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------‬‬
‫‪1‬‬
‫חלק ב' – חדו"א ואלגברה של מעריכיות לוגריתמיות ) ‪ 33‬נקודות(‬
‫‪3‬‬
‫עליך לענות על שאלה אחת מתוך שאלות ‪.4-5‬‬
‫שים לב! אם תענה על יותר משאלה אחת‪ ,‬תיבדק רק התשובה הראשונה שבמחברתך‪.‬‬
‫‪6x 3 +13x 2 +6x + 3+ c‬‬
‫‪ .4‬א‪ .‬נתונה הפונקציה‬
‫‪2x+ 3‬‬
‫=)‪ c ) f(x‬פרמטר( ‪.‬‬
‫השטח המוגבל על ידי הפונקציה ) ‪, f ( x‬‬
‫על ידי הישר‪ x = 2 :‬ועל ידי הצירים‬
‫‪7‬‬
‫הוא‪:‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ . 12 + 2 ln‬חשב את ערך הפרמטר ‪. c‬‬
‫ב‪ .‬ללא קשר לסעיף הקודם ‪ ,‬פתור את אי השיוויון‪:‬‬
‫‪1 2 2‬‬
‫<‬
‫‪9‬‬
‫‪3‬‬
‫‪−‬‬
‫‪−3 x‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3x‬‬
‫‪ .5‬נתונה הפונקציה ‪:‬‬
‫‪f(x)= ln(3x) - 2ax 2‬‬
‫א‪ .‬מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה‪.‬‬
‫ב‪ .1 .‬הבע באמצעות ‪ a‬את שיעורי ה‪ x -‬של נקודות הקיצון של הפונקציה )אם ישנן( וקבע את סוגן‪.‬‬
‫‪ .2‬מצא עבור אילו ערכי ‪ a‬אין לפונקציה נקודות קיצון‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫עבור‬
‫‪4‬‬
‫‪:a = −‬‬
‫‪ .1‬מצא את תחומי עלייה וירידה של הפונקציה‪.‬‬
‫‪ .2‬מצא את נקודות הפיתול של הפונקציה )אם ישנן(‪.‬‬
‫‪ .3‬שרטט סקיצה של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫בהצלחה!!!‬
‫‪- 85 -‬‬
‫חוברת מבחני מחצית י'‬
‫"נוער מוכשר במתמטיקה"‬
‫‪------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------‬‬
‫תשובות סופיות‬
‫‪9x 2 + 25y 2 = 225‬‬
‫‪ .1‬א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪4‬‬
‫‪4‬‬
‫‪ y = - x ± 5‬או ‪x ± 5‬‬
‫‪5‬‬
‫‪5‬‬
‫=‪y‬‬
‫‪ .2‬א‪ .‬המקום הגיאומטרי הוא מעגל שמרכזו ב )‪ (4,-1‬ורדיוסו ‪8‬‬
‫ב‪ .‬הפתרונות הם‪1.618,-0.618,5 :‬‬
‫‪ .3‬א‪ u + tv , u + v + w .‬ב‪ 1 .‬ג‪35.26 0 .‬‬
‫‪ .4‬א‪c = 1 .‬‬
‫ב‪ 2 ≤ x < 3 .‬או ‪0 < x ≤ 1‬‬
‫‪ .5‬א‪ x > 0 .‬ב‪ .1 .‬עבור ‪;max : a > 0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2 a‬‬
‫= ‪a ≤ 0 .2 x‬‬
‫ג‪ .1 .‬הפונקציה עולה בכל תחום הגדרתה‪( 1,1.6 ) .2 .‬‬
‫‪.3‬‬
‫‪- 86 -‬‬
‫חוברת מבחני מחצית י'‬
‫"נוער מוכשר במתמטיקה"‬
‫‪------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------‬‬
‫מבחן מחצית ‪ -‬כיתה י' ‪ -‬מועד א' – תשע"א‬
‫חלק א'‬
‫יש לכתוב את הפתרונות בעט רגיל בלבד‪ .‬בחינה שתרשם בעפרון ‪ -‬לא יהיה ניתן‬
‫לערער עליה‪ .‬שימוש בעט מחיק יגרום לאי בדיקת הבחינה‪.‬‬
‫חומר עזר מותר בשימוש ‪ :‬מחשבון )לא גרפי(‪ ,‬דפי נוסחאות מצורפים‪.‬‬
‫משך המבחן ‪ :‬שלוש שעות‬
‫מבנה השאלון ‪ :‬במבחן ‪ 3‬פרקים‪.‬‬
‫בפרק א' עליך לבחור שתי שאלות מתוך שאלות ‪.1-3‬‬
‫בפרק ב' עליך לבחור שתי שאלות מתוך שאלות ‪.4-6‬‬
‫בפרק ג' עליך לבחור שתי שאלות מתוך שאלות ‪.7-9‬‬
‫מפתח ההערכה ‪ :‬הניקוד על כל השאלות שווה‪.‬‬
‫תשובות ללא דרך )חישוב ‪ /‬הסבר( לא תקבלנה ניקוד‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫פרק א' – אלגברה ובעיות מילוליות‪ ,‬סדרות ואינדוקציה ) ‪ 33‬נקודות(‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫עליך לענות על שתי שאלות מתוך שאלות ‪) .1-3‬לכל שאלה‬
‫‪3‬‬
‫‪ 16‬נקודות(‬
‫שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות‪ ,‬תיבדקנה רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך‪.‬‬
‫‪ .1‬כדור פורח מרחף בגובה של ‪ 10,840‬מ' מעל פני הקרקע‪ .‬ברגע מסוים מפילים מהכדור פורח פצצה‬
‫אשר נופלת אנכית לקרקע באופן בו בשנייה הראשונה לנפילתה היא עוברת דרך של ‪ 5‬מ' ובכל שנייה‬
‫נוספת‪ 10 ,‬מ' יותר מבשנייה שקדמה לה‪ .‬באותו הרגע בה מפילים את הפצצה משגרים מהקרקע‬
‫טיל לכיוון הפצצה‪ .‬המשגר של הטיל ממוקם בדיוק מתחת לכדור הפורח כך שהטיל נמצא בדיוק‬
‫בפני הקרקע‪ .‬הטיל עובר דרך של ‪ 5‬מ' בשנייה הראשונה ובכל שנייה נוספת הוא עובר דרך ארוכה פי‬
‫ ‪ 2‬מבשנייה שקדמה לה‪.‬‬‫א‪ .‬הבע את המרחק בין הפצצה לטיל כפונקציה של הזמן מרגע נפילת הפצצה‪.‬‬
‫ב‪ .‬תוך כמה שניות מרגע נפילת הפצצה‪ ,‬המרחק שלה מפני הקרקע יהיה ‪ 10, 235‬מ'?‬
‫ג‪ .‬בהנחה שהטיל לא מתפוצץ במפגש עם הפצצה‪ ,‬תוך כמה שניות מרגע השיגור יפגוש את הכדור‬
‫פורח?‬
‫)במידת הצורך דייק ‪ 3‬ספרות אחרי הנקודה העשרונית(‬
‫‪ .2‬מיכל בנפח ‪ 200‬ליטר מחובר לשלושה ברזים‪ .‬ברז א' המספק מים חמים‪ ,‬ברז ב' המספק מים‬
‫קרים וברז ג' המשמש לריקון המיכל‪ .‬פעולת ריקון המיכל כאשר הוא מלא ע"י ברז ג' נמשכת ‪2‬‬
‫דקות יותר ממילוי המיכל כאשר הוא ריק ע"י ברז א' וברז ב' יחדיו‪ .‬הזמן הדרוש למילוי המיכל ע"י‬
‫ברז א' ארוך ב‪ 50% -‬מהזמן הדרוש למילוי המיכל ע"י ברז ב'‪ .‬פעם אחת‪ ,‬כאשר המיכל היה ריק‪,‬‬
‫פתחו את שלושת הברזים בו זמנית‪ .‬המיכל התמלא תוך ‪ 40‬דקות‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא את כמות המים שזורמת דרך כל אחד משלושת הברזים במשך דקה אחת‪.‬‬
‫‪- 87 -‬‬
‫חוברת מבחני מחצית י'‬
‫"נוער מוכשר במתמטיקה"‬
‫‪------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------‬‬
‫ב‪ .‬טמפרטורת המים החמים המסופקים ע"י ברז א' היא ‪) 60‬צלזיוס(‪ .‬טמפרטורת המים‬
‫המסופקים ע"י ברז ב' היא ‪) 30‬צלזיוס(‪ .‬פתחו את ברז א' ואת ברז ב' למשך ‪ 8‬דקות‪ .‬מצא‬
‫את הטמפרטורה של המים במיכל‪.‬‬
‫)הנח כי המיכל מבודד לחלוטין ואין איבוד אנרגיה(‬
‫‪ .3‬א‪ .‬הוכח באינדוקציה כי לכל ‪ n‬טבעי מתקיים‪:‬‬
‫‪2 2‬‬
‫‪2 2‬‬
‫)‪4 − 2 + 7 − 5 + ... + ( 3n + 1)2 − ( 3n − 1)2 = 6n ( n + 1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫ב‪ .‬חשב את הסכום הבא )היעזר בסעיף א'(‪22 − 20 + 25 − 23 + ... + 67 − 65 :‬‬
‫פרק ב' – טריגונומטריה במישור‪ ,‬גיאומטריה )ניתן לפתור בשיטות של גיאומטריה אוקלידית או בכל דרך‬
‫‪1‬‬
‫אחרת(‪ 33 ) .‬נקודות(‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫עליך לענות על שתי שאלות מתוך שאלות ‪) .4-6‬לכל שאלה‬
‫‪3‬‬
‫‪ 16‬נקודות(‬
‫שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות‪ ,‬תיבדקנה רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך‪.‬‬
‫‪B‬‬
‫‪ .4‬משולש ‪ △ ABC‬חסום במעגל ש‪ AC -‬הוא הקוטר שלו‪.‬‬
‫מנקודה ‪ B‬הורידו גובה אל ‪. AC -‬‬
‫בתוך המשולש חסמו ריבוע )ראה ציור(‪.‬‬
‫‪A‬‬
‫‪D‬‬
‫נתון‪ 35 :‬ס"מ = ‪. CD = 1 AD , AC‬‬
‫‪4‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫חשב את האורך של ‪. BD‬‬
‫חשב את שטח הריבוע‪.‬‬
‫‪A‬‬
‫‪ .5‬נתונים שני חצאי מעגלים המשיקים זה לזה שמרכזיהם בנקודות ‪ B‬ו‪. C -‬‬
‫‪ AD‬משיק לשני חצאי המעגלים בנקודות ‪ E‬ו‪. D -‬‬
‫נתון‪) . AB = BC :‬ראה ציור(‬
‫א‪.‬‬
‫‪S△ ABE‬‬
‫חשב את היחס בין השטחים ‪:‬‬
‫‪S□ BCDE‬‬
‫ב‪.‬‬
‫נגדיר ‪ , R‬רדיוס חצי המעגל הגדול‪.‬‬
‫‪B‬‬
‫‪E‬‬
‫‪D‬‬
‫‪C‬‬
‫הוכח כי ‪. S△ ACD = 2 R 2‬‬
‫‪- 88 -‬‬
‫‪C‬‬
‫חוברת מבחני מחצית י'‬
‫"נוער מוכשר במתמטיקה"‬
‫‪------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------‬‬
‫‪ .6‬משולש שווה שוקיים ‪ , ( AB = BC ) △ ABC‬חסום במעגל ‪ O‬שאורך הרדיוס שלו הוא ‪. R‬‬
‫המשך הקטע ‪ AB‬פוגש את המשך הקטע ‪ CO‬בנקודה ‪. D‬‬
‫זווית ‪ ∢ADE‬שווה ל‪. 3α -‬‬
‫א‪ .‬הוכח כי ‪. ∢BCD = α‬‬
‫‪C‬‬
‫ב‪ .‬הבע באמצעות ‪ α‬ו‪ R -‬את ‪. BC‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪RSin 4α‬‬
‫הוכח כי‬
‫‪Sin3α‬‬
‫‪O‬‬
‫‪. AD = −‬‬
‫‪D‬‬
‫‪B‬‬
‫ד‪ .‬נתון‪. Sinα = 5 :‬‬
‫‪8‬‬
‫הוכח כי ‪ AC‬תיכון ל‪. BD -‬‬
‫‪- 89 -‬‬
‫‪A‬‬
‫‪E‬‬
‫חוברת מבחני מחצית י'‬
‫"נוער מוכשר במתמטיקה"‬
‫‪------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------‬‬
‫פרק ג' – חדו"א של פונקציות טריגונומטריות‪ ,‬פולינומים‪ ,‬רציונאליות ושורש ריבועי‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫) ‪ 33‬נקודות(‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫עליך לענות על שתי שאלות מתוך שאלות ‪) .7-9‬לכל שאלה‬
‫‪3‬‬
‫‪ 16‬נקודות(‬
‫שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות‪ ,‬תיבדקנה רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך‪.‬‬
‫‪y‬‬
‫‪ .7‬הנקודה ‪ A‬נמצאת על ציר ה‪ . y -‬מנקודה זו יוצאים שני משיקים‬
‫‪A‬‬
‫אל הפונקציה ‪ . y = 9 − x 2‬משיקים אלו‪ ,‬חותכים את ציר ה‪x -‬‬
‫בנקודות ‪ B‬ו‪) C -‬ראה שרטוט(‪.‬‬
‫א‪ .‬חשב את האורך המינימלי של הצלע ‪. AC‬‬
‫‪x‬‬
‫ב‪ .‬חשב את השטח המקווקו המתקבל כאשר אורך הצלע ‪ AC‬הוא מינימלי‪.‬‬
‫‪x+a‬‬
‫‪ .8‬נתונה הפונקציה‬
‫‪bx‬‬
‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫= ‪ . y‬משוואת הנורמל )נורמל‪ :‬האנך למשיק בנקודת ההשקה( לפונקציה‬
‫בנקודה שבה ‪ x = −2‬היא ‪. y = 2 x + 3.5‬‬
‫א‪ .‬חשב את הפרמטרים ‪ a‬ו‪. b -‬‬
‫ב‪ .‬מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה‪.‬‬
‫ג‪ .‬מצא את תחומי העלייה וירידה של הפונקציה‪.‬‬
‫ד‪ .‬מצא את נקודת הקיצון של הפונקציה‪.‬‬
‫ה‪ .‬מצא את האסימפטוטות המקבילות לצירים‪.‬‬
‫ו‪ .‬מצא את משוואת המשיק לפונקציה בנקודת הקיצון שלה‪.‬‬
‫ז‪ .‬שרטט את גרף הפונקציה‪.‬‬
‫‪y‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ .9‬נתונה הפונקציה‬
‫‪2x − 3‬‬
‫= ‪ . y‬מהנקודה )‪ A ( 0,1‬יוצאים‬
‫) ‪(0 , 1‬‬
‫‪S2‬‬
‫שני משיקים לפונקציה‪ .‬כמו כן נתון הישר ‪) y = 1‬ראה ציור(‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא את משוואות המשיקים הנ"ל‪.‬‬
‫‪x‬‬
‫ב‪ .‬חשב את השטח ‪ , S1‬המוגבל ע"י הפונקציה‪ ,‬המשיק והצירים‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫חשב את השטח ‪ , S2‬המוגבל ע"י הפונקציה‪ ,‬המשיק והישר ‪. y = 1‬‬
‫)במידת הצורך דייק ‪ 3‬ספרות אחרי הנקודה העשרונית(‬
‫בהצלחה!!!‬
‫‪- 90 -‬‬
‫‪A‬‬
‫‪S1‬‬
‫חוברת מבחני מחצית י'‬
‫"נוער מוכשר במתמטיקה"‬
‫‪------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------‬‬
‫תשובות סופיות‬
‫‪ .1‬א‪− 5 ⋅ 2 n − 5 ⋅ n 2 .‬‬
‫‪(n ) = 1 0 , 8 4 5‬‬
‫‪f‬‬
‫ב‪ 11 .‬שניות ג‪ 11.083 .‬שניות‬
‫‪ .2‬א‪ .‬א' ‪ 10 -‬ליטר לדקה; ב' ‪ 15 -‬ליטר לדקה; ג' ‪ 20 -‬ליטר לדקה‪.‬‬
‫ב‪ .‬הטמפרטורה היא ‪42 C‬‬
‫‪ .3‬א‪ .‬הוכחה‪ .‬ב‪2784 .‬‬
‫‪ .4‬א‪ 14 .‬ס"מ‬
‫ב‪ 100 .‬סמ"ר‬
‫‪S ABE‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ .5‬א‪= .‬‬
‫‪S BCDE 3‬‬
‫ב‪ .‬הוכחה‬
‫‪ .6‬א‪ .‬הוכחה ב‪BC = 2 RCosα .‬‬
‫ג‪ .‬הוכחה‬
‫‪ .7‬א‪ 6 .‬ב‪Smin 18 − 4.5π .‬‬
‫‪ .8‬א‪a = 3 , b = 1 .‬‬
‫ד‪.‬‬
‫ב‪−3 ≤ x < 0 or 0 < x .‬‬
‫‪( −3, 0 ) max‬‬
‫ה‪x = 0 , y = 0 .‬‬
‫ו‪x = −3 .‬‬
‫ז‪.‬‬
‫‪y‬‬
‫)‪(−3; 0‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ .9‬א‪y = −2 x + 1 , y = − 2 x + 1 .‬‬
‫‪9‬‬
‫ב‪S1 = 1 ln 3 − 1 ≈ 0.299 .‬‬
‫‪2‬‬
‫‪4‬‬
‫ג‪S2 = 1 ln 3 ≈ 0.549 .‬‬
‫‪2‬‬
‫‪- 91 -‬‬
‫ג‪ .‬יורדת בכל תחום הגדרתה‬
‫חוברת מבחני מחצית י'‬
‫"נוער מוכשר במתמטיקה"‬
‫‪------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------‬‬
‫מבחן מחצית ‪ -‬כיתה י' ‪ -‬מועד א – תשע"א‬
‫חלק ב'‬
‫יש לכתוב את הפתרונות בעט רגיל בלבד‪ .‬בחינה שתרשם בעפרון ‪ -‬לא יהיה ניתן‬
‫לערער עליה‪ .‬שימוש בעט מחיק יגרום לאי בדיקת הבחינה‪.‬‬
‫חומר עזר מותר בשימוש‪ :‬מחשבון )לא גרפי(‪ ,‬דפי נוסחאות מצורפים‪.‬‬
‫משך המבחן ‪ :‬שעה ושלושת רבעי‬
‫מבנה השאלון ‪ :‬במבחן ‪ 2‬פרקים‪.‬‬
‫בפרק א' עליך לבחור שתי שאלות מתוך שאלות ‪.1-3‬‬
‫בפרק ב' עליך לבחור שאלה אחת מתוך שאלות ‪.4-5‬‬
‫מפתח ההערכה ‪ :‬ניקוד שווה לכל שאלה‪.‬‬
‫תשובות ללא דרך )חישוב ‪ /‬הסבר( לא תקבלנה ניקוד‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫חלק א' – וקטורים‪ ,‬גיאומטריה אנליטית‪ ,‬מספרים מרוכבים ) ‪ 66‬נקודות(‬
‫‪3‬‬
‫‪1‬‬
‫עליך לענות על שתיים מהשאלות ‪) .1-3‬לכל שאלה ‪ 33‬נקודות(‬
‫‪3‬‬
‫שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות‪ ,‬תיבדקנה רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך‪.‬‬
‫‪ .1‬נתונה האליפסה ‪ , 7 x 2 + 8 y 2 = 112‬החותכת את ציר ה‪ x -‬בנקודות ‪. A, B‬‬
‫נסמן נקודה נוספת ‪ C‬על האליפסה‪ .‬מצא את המקום הגיאומטרי של כל הנקודות ‪P‬‬
‫המקיימות את שני התנאים הבאים‪ AP ⊥ AC :‬וגם ‪. BP ⊥ BC‬‬
‫‪ .2‬א‪ .‬נתון‪ z :‬מספר מרוכב‪ .‬שרטט במישור המרוכב את המקום הגיאומטרי של כל הנקודות‬
‫המקיימות את המערכת הבאה‪ z − 5 + z + 5 = 6 :‬וגם ‪. 1 ≤ z − 3i < 5‬‬
‫ב‪ .‬פתור את המשוואה‬
‫‪.3‬‬
‫‪7‬‬
‫)‬
‫(‬
‫‪. z 3 = 1 + 3i‬‬
‫' ‪ ABCA ' B ' C‬היא מנסרה משולשת וישרה‪.‬‬
‫נתון‪. ∡B = ∡B ' = 90° , AA ' = AB = 4 , AC = 5 :‬‬
‫הנקודה ‪ X‬נמצאת על הפאה ' ‪. BCC ' B‬‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫נסמן‪. AB = u , AC = v , AA ' = w :‬‬
‫ ‬
‫ ‬
‫ ‬
‫א‪ .‬נתון‪. ∡ AX , AB = ∡ AX , AC = ∡ AX , AA ' = θ :‬‬
‫)‬
‫(‬
‫)‬
‫(‬
‫)‬
‫‬
‫הבע את ‪ AX‬באמצעות ‪. u, v, w‬‬
‫ב‪ .‬חשב את הזווית ‪. θ‬‬
‫‪- 92 -‬‬
‫(‬
‫חוברת מבחני מחצית י'‬
‫"נוער מוכשר במתמטיקה"‬
‫‪------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------‬‬
‫‪1‬‬
‫חלק ב' – חדו"א ואלגברה של מעריכיות לוגריתמיות ) ‪ 33‬נקודות(‬
‫‪3‬‬
‫עליך לענות על שאלה אחת מתוך שאלות ‪.4-5‬‬
‫שים לב! אם תענה על יותר משאלה אחת‪ ,‬תיבדק רק התשובה הראשונה שבמחברתך‪.‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ .4‬נתונה הפונקציה ‪ f ( x) = ∫ sin(4t )e 2sin 2t dt‬בתחום ‪. 0 < x‬‬
‫‪2‬‬
‫‪0‬‬
‫חקור את הפונקציה לפי הסעיפים הבאים בתחום‬
‫‪π‬‬
‫‪2‬‬
‫< ‪:0 ≤ x‬‬
‫)‪ (1‬תחום הגדרה‪.‬‬
‫)‪ (2‬חיתוך עם הצירים‪.‬‬
‫)‪ (3‬נקודות קיצון‪.‬‬
‫)‪ (4‬נקודות פיתול‪.‬‬
‫)‪ (5‬שרטט סקיצה של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫‪ .5‬נתונה הפונקציה )‪f ( x) = ( x + 1) ln 2 ( x + 1‬‬
‫א‪ .‬חקור את הפונקציה לפי הסעיפים הבאים‪:‬‬
‫)‪ (2‬חיתוך עם הצירים )‪ (3‬נקודות קיצון‬
‫)‪ (1‬תחום הגדרה‬
‫ב‪ .‬האם לפונקציה יש אסימפטוטות המאונכות לציר ‪ ? x‬נמק‪.‬‬
‫ג‪ .‬שרטט סקיצה של הפונקציה‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫ד‪ .‬חשב את ערך הביטוי‪∫ ( ln( x + 1) + 3)( ln( x + 1) − 1) dx :‬‬
‫‪0‬‬
‫בהצלחה!!!‬
‫‪- 93 -‬‬
‫חוברת מבחני מחצית י'‬
‫"נוער מוכשר במתמטיקה"‬
‫‪------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------‬‬
‫תשובות סופיות‬
‫‪ .1‬אליפסה ‪) 8 x 2 + 7 y 2 = 128‬למעט הנקודות ) ‪.( ( ±4, 0‬‬
‫‪ .2‬א‪ .‬האליפסה ‪ 4 x 2 + 9 y 2 = 36‬למעט הנקודה ) ‪. ( 0, −2‬‬
‫ב‪z0 = 4 3 2cis 20 ; z1 = 4 3 2cis140 ; z2 = 4 3 2cis 260 .‬‬
‫‪ 1‬‬
‫‪ .3‬א‪; AX = ( 5u + 4v + 9 w ) .‬‬
‫‪9‬‬
‫‪(1) .4‬‬
‫‪π‬‬
‫‪2‬‬
‫< ‪;0 ≤ x‬‬
‫ב‪. θ = 46.5° .‬‬
‫‪ π e2 − 1 ‬‬
‫‪ ( 0, 0 ) min ,  ,‬מוחלטות;‬
‫)‪ max (3‬‬
‫‪4 4 ‬‬
‫)‪; ( 0, 0 ) (2‬‬
‫)‪(5) ; ( 0.559,1.011) , (1.012,1.011) (4‬‬
‫‪.5‬‬
‫א‪; ( 0, 0 ) (2) ; −1 < x (1) .‬‬
‫)‪; ( e −2 − 1, 4e −2 ) max , ( 0, 0 ) min (3‬‬
‫ב‪ .‬אין אסימפטוטות ‪ -‬הנקודה ) ‪ ( −1, 0‬היא אי רציפות סליקה )מתקיים ‪.( lim+ f ( x) = 0‬‬
‫‪x →−1‬‬
‫ג‪ .‬שרטוט‪:‬‬
‫ד‪2 ln 2 2 − 3 = −2.039 .‬‬
‫‪- 94 -‬‬
‫חוברת מבחני מחצית י'‬
‫"נוער מוכשר במתמטיקה"‬
‫‪------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------‬‬
‫מבחן מחצית ‪ -‬כיתה י' ‪ -‬מועד ב' – תשע"א‬
‫חלק א'‬
‫יש לכתוב את הפתרונות בעט רגיל בלבד‪ .‬בחינה שתרשם בעפרון ‪ -‬לא יהיה ניתן‬
‫לערער עליה‪ .‬שימוש בעט מחיק יגרום לאי בדיקת הבחינה‪.‬‬
‫חומר עזר מותר בשימוש ‪ :‬מחשבון )לא גרפי(‪ ,‬דפי נוסחאות מצורפים‪.‬‬
‫משך המבחן ‪ :‬שלוש שעות‬
‫מבנה השאלון ‪ :‬במבחן ‪ 3‬פרקים‪.‬‬
‫בפרק א' עליך לבחור שתי שאלות מתוך שאלות ‪.1-3‬‬
‫בפרק ב' עליך לבחור שתי שאלות מתוך שאלות ‪.4-6‬‬
‫בפרק ג' עליך לבחור שתי שאלות מתוך שאלות ‪.7-9‬‬
‫מפתח ההערכה ‪ :‬הניקוד על כל השאלות שווה‪.‬‬
‫תשובות ללא דרך )חישוב ‪ /‬הסבר( לא תקבלנה ניקוד‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫פרק א' – אלגברה ובעיות מילוליות‪ ,‬סדרות ואינדוקציה ) ‪ 33‬נקודות(‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫עליך לענות על שתי שאלות מתוך שאלות ‪) .1-3‬לכל שאלה‬
‫‪3‬‬
‫‪ 16‬נקודות(‬
‫שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות‪ ,‬תיבדקנה רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך‪.‬‬
‫‪ .1‬עכבר העיר רץ על גבי מסלול בצורת משולש ישר זווית‬
‫‪A‬‬
‫ושווה שוקיים ‪ ( AB = BC ) ABC‬ששטחו חצי מטר מרובע‪.‬‬
‫עכבר הכפר רץ על גבי מסלול בצורת מעגל החוסם את המשולש‬
‫של עכבר העיר )ראה שרטוט(‪ .‬בכל קטע‪ ,‬מהירותם קבועה‪.‬‬
‫שני העכברים התחילו לרוץ בו זמנית מנקודה ‪ A‬לנקודה ‪ , B‬נגד‬
‫‪C‬‬
‫כיוון השעון‪ ,‬כל אחד על גבי המסלול שלו‪ .‬שני העכברים הגיעו לאחר‬
‫‪ 5‬שניות לנקודה ‪ . B‬משם המשיכו לרוץ אל נקודה ‪ C‬ונפגשו שם באותו הזמן‪ .‬לאחר מכן יצאו ביחד‬
‫לנקודה ‪ . A‬עכבר העיר רץ במהירות הקבועה שלו לאורך כל הדרך‪ .‬עכבר הכפר הגדיל את מהירותו על‬
‫הקשת ‬
‫‪ CA‬כדי להגיע באותו הזמן עם עכבר העיר לנקודה ‪. A‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫חשב את מהירותו של עכבר הכפר על גבי הקשת ‪AB‬‬
‫חשב את מהירותו של עכבר הכפר על גבי הקשת ‬
‫‪. CA‬‬
‫‪- 95 -‬‬
‫‪B‬‬
‫חוברת מבחני מחצית י'‬
‫"נוער מוכשר במתמטיקה"‬
‫‪------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------‬‬
‫‪ .2‬יש לרצף שטח בצורת משולש ישר זווית ושווה שוקיים במרצפות ריבועיות‬
‫שאורך הצלע שלהן הוא ‪ 20‬ס"מ‪ .‬האדריכל דורש שכל שורה תתחיל ותסתיים‬
‫במשולש שנוצר על ידי חיתוך של מרצפת לאורך האלכסון שלה )ראה ציור(‪.‬‬
‫המשולש מתוכנן כך שמספר השורות יהיה שלם‪.‬‬
‫חשב את שטח המשולש‪ ,‬אם ידוע שמספר המרצפות שנחצו מהווה ‪5%‬‬
‫מהמרצפות השלמות שרוצפו )שים לב‪ ,‬מכל מרצפת מקבלים לאחר החיתוך שני‬
‫משולשים(‪.‬‬
‫‪ .3‬סדרה מוגדרת ע"י כלל הנסיגה‪= a + 10n − 5 , a = 7 :‬‬
‫‪1‬‬
‫א‪ .‬הוכח שהסדרה המוגדרת ע"י‬
‫‪n‬‬
‫‪.a‬‬
‫‪n +1‬‬
‫‪ b = a − a‬היא סדרה חשבונית ומצא ביטוי לאיבר‬
‫‪n +1‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫הכללי בה‪.‬‬
‫ב‪ .‬נסמן‪:‬‬
‫ג‪.‬‬
‫נסמן‪:‬‬
‫‪−a‬‬
‫‪20‬‬
‫‪ . T = a − a + a − a + ... + a‬מצא את ערכו של ‪. T‬‬
‫‪19‬‬
‫‪−a‬‬
‫‪n+9‬‬
‫‪n +8‬‬
‫‪4‬‬
‫‪+ ... + a‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪−a‬‬
‫‪n +3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪n+2‬‬
‫‪+a‬‬
‫‪ . R = a − a‬הבע את ‪ R‬באמצעות ‪. n‬‬
‫‪n +1‬‬
‫‪n‬‬
‫פרק ב' – טריגונומטריה במישור‪ ,‬גיאומטריה )ניתן לפתור בשיטות של גיאומטריה אוקלידית או בכל דרך‬
‫‪1‬‬
‫אחרת(‪ 33 ) .‬נקודות(‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫עליך לענות על שתי שאלות מתוך שאלות ‪) .4-6‬לכל שאלה‬
‫‪3‬‬
‫‪ 16‬נקודות(‬
‫שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות‪ ,‬תיבדקנה רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך‪.‬‬
‫‬
‫‪ ABC .4‬משולש ישר זווית ) ‪. (∢ABC = 90‬‬
‫‪A‬‬
‫נתון‪. BD ⊥ AC :‬‬
‫‪ FE‬הוא קטע אמצעים במשולש ‪. ABC‬‬
‫א‪ .‬הוכח‪∢EBD = ∢EFD :‬‬
‫‪FE 7‬‬
‫=‬
‫ב‪ .‬נתון היחס‬
‫‪BD 10‬‬
‫‪ .‬חשב את היחס‬
‫‪E‬‬
‫‪∆AEB‬‬
‫‪S‬‬
‫‪∆AFD‬‬
‫‪F‬‬
‫‪D‬‬
‫‪S‬‬
‫)רמז‪ :‬הורד גובה מ‪ F -‬אל ‪( AD‬‬
‫‪C‬‬
‫‪- 96 -‬‬
‫‪B‬‬
‫חוברת מבחני מחצית י'‬
‫"נוער מוכשר במתמטיקה"‬
‫‪-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------‬‬‫‬
‫‪A‬‬
‫‪ .5‬במשולש ישר זווית ) ‪ , ABC (∢ABC = 90‬נסמן‪. AC = c , ∡BAC =α :‬‬
‫‪α‬‬
‫הנקודה ‪ D‬נמצאת על היתר ‪ AC‬ומתקיים ‪. BD ⊥ AC‬‬
‫הנקודה ‪ E‬היא אמצע ‪ . BD‬דרך הנקודה ‪ E‬מעבירים ישר החותך את הניצב ‪AB‬‬
‫בנקודה ‪ F‬ואת הניצב ‪ BC‬בנקודה ‪ . G‬נסמן ‪. ( β ≤ 90 ) ∡DEG = β‬‬
‫‪c ⋅ sin 2α ⋅ sin β‬‬
‫א‪ .‬הוכח כי‬
‫) ) ‪2sin ( 2( β − α‬‬
‫= ‪. FG‬‬
‫ב‪ .‬נתון בנוסף‪= 3 c 2 , β = 90 :‬‬
‫‪32‬‬
‫‪.6‬‬
‫‪D‬‬
‫‪β‬‬
‫‪AFGC‬‬
‫‪ . S‬חשב את ‪. α‬‬
‫‪C‬‬
‫‪F‬‬
‫‪E‬‬
‫‪B‬‬
‫‪G‬‬
‫‬
‫במשולש ישר זווית ) ‪ . ABC (∢B = 90‬נסמן‪. AC = c :‬‬
‫‪B‬‬
‫נתון‪. AD = DC , DE ⊥ AB, FE AC :‬‬
‫א‪ .‬חשב את גודל הזווית ‪. ∢CFD‬‬
‫‪F‬‬
‫‪E‬‬
‫ב‪ .‬נסמן‪ G :‬אמצע ‪ H , CD‬אמצע ‪. AD‬‬
‫הוכח‪ EFGH :‬מקבילית‪.‬‬
‫ג‪ .‬הבע באמצעות ‪ c‬את היקף המקבילית ‪. EFGH‬‬
‫‪A‬‬
‫‪- 97 -‬‬
‫‪D‬‬
‫‪C‬‬
‫חוברת מבחני מחצית י'‬
‫"נוער מוכשר במתמטיקה"‬
‫‪------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------‬‬
‫פרק ג' – חדו"א של פונקציות טריגונומטריות‪ ,‬פולינומים‪ ,‬רציונאליות ושורש ריבועי‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫) ‪ 33‬נקודות(‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫עליך לענות על שתי שאלות מתוך שאלות ‪) .7-9‬לכל שאלה‬
‫‪3‬‬
‫‪ 16‬נקודות(‬
‫שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות‪ ,‬תיבדקנה רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך‪.‬‬
‫‪A‬‬
‫‪ .7‬בעיר אחת ניצבים שני מגדלים לקרקע‪ABC , EFH ,‬‬
‫שצורתם משולש שווה שוקיים‪.‬‬
‫נתון‪ . BD = DC , FG = GH :‬בנוסף‪ ,‬נתון‪:‬‬
‫‪E‬‬
‫‪) AD = 15 , EG = 9 , DG = 18‬המידות במטרים(‪.‬‬
‫לכבוד יום העצמאות החליטה העירייה לקשט את המגדלים עם‬
‫שרשרת נורות שתחובר לראשי המגדלים )בנקודות ‪( A, E‬‬
‫ולקרקע )בנקודה ‪ .( I‬מחיר מטר אחד של שרשרת נורות הוא‬
‫‪C‬‬
‫‪D‬‬
‫‪B‬‬
‫‪I‬‬
‫‪.₪ 100‬‬
‫א‪ .‬חשב את המרחק בין ‪ I‬ל‪ G -‬בו מתקבלת עלות מינימלית של שרשרת הנורות‪.‬‬
‫ב‪ .‬מהי העלות המינימלית של השרשרת?‬
‫‪ .8‬נתונה הפונקציה ) ‪ y = 2 cos x (1 − sin x‬בתחום‬
‫‪π‬‬
‫‪2‬‬
‫≤‪≤x‬‬
‫‪π‬‬
‫‪2‬‬
‫א‪ .‬חקור את הפונקציה ע"פ הסעיפים הבאים‪:‬‬
‫‪ .1‬חיתוך עם הצירים ‪ .2‬נקודות קיצון ‪ .3‬תחומי עליה וירידה‬
‫‪.−‬‬
‫‪ .4‬שרטט גרף פונקציה‪.‬‬
‫ב‪ .1.‬נסמן‪ A :‬הנקודה בה שיפוע הפונקציה הוא המקסימלי בתחום‪ .‬חשב את שיעורי הנקודה ‪. A‬‬
‫‪ .2‬מצא את משוואת המשיק לפונקציה בנקודה ‪. A‬‬
‫‪ .3‬חשב את השטח בין המשיק הנ"ל‪ ,‬גרף הפונקציה וציר ה‪. y -‬‬
‫‪- 98 -‬‬
‫‪F G H‬‬
‫חוברת מבחני מחצית י'‬
‫"נוער מוכשר במתמטיקה"‬
‫‪------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------‬‬
‫‪ .9‬א‪ .‬שרטט את גרף הפונקציה )‪ f ( x‬על פי הנתונים הבאים‪:‬‬
‫•‬
‫הפונקציה מוגדרת בתחום‪x ≠ 3, x ≠ −2 :‬‬
‫•‬
‫‪f (0) > 0‬‬
‫•‬
‫‪f (0.5) = 0‬‬
‫•‬
‫‪ f '( x) > 0‬עבור ‪ x > 3‬או ‪x < - 2‬‬
‫•‬
‫‪ f '( x) < 0‬עבור ‪-2 < x < 3‬‬
‫•‬
‫‪ f ''( x) > 0‬עבור ‪x ≠ -2 , x < 0.5‬‬
‫•‬
‫‪ f ''( x) < 0‬עבור ‪x ≠ 3 , x > 0.5‬‬
‫•‬
‫‪lim y = 0‬‬
‫∞‪x →±‬‬
‫‪a - 2x‬‬
‫ב‪ .‬הפונקציה הנתונה בסעיף א' מתוארת בתצורה הבאה‪:‬‬
‫‪( x - x + b) 2‬‬
‫‪2‬‬
‫= )‪. f ( x‬‬
‫חשב את ‪ a‬ואת ‪. b‬‬
‫ג‪ .‬חשב את השטח המוגבל בין גרף הפונקציה‪ ,‬ציר ה‪ x -‬והישרים ‪ x = 6‬ו‪. x = 4 -‬‬
‫בהצלחה!!!‬
‫‪- 99 -‬‬
‫חוברת מבחני מחצית י'‬
‫"נוער מוכשר במתמטיקה"‬
‫‪------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------‬‬
‫תשובות סופיות‬
‫‪ .1‬א‪ 22.214 .‬סנטימטר בשנייה‪.‬‬
‫‪.2‬‬
‫ב‪ 31.416 .‬סנטימטר בשנייה‪.‬‬
‫‪ 17.64‬מ"ר‪.‬‬
‫‪ .3‬א‪ bn = 5 − 10n .‬ב‪ −950 .‬ג‪R = −175 − 50n .‬‬
‫ב‪. 49 .‬‬
‫‪25‬‬
‫‪ .4‬א‪ .‬הוכחה‬
‫‪ .5‬א‪ .‬הוכחה‬
‫‬
‫‬
‫ב‪α = 15 , α = 75 .‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‬
‫‪ .6‬א‪∢CFD = 90 .‬‬
‫ב‪ .‬הוכחה‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫ג‪. c .‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ .7‬א‪ 6.75 .‬מטר ב‪₪ 3000 .‬‬
‫‪ π   π 3 3  π ‬‬
‫‪  ;0‬‬
‫‪ π  π ‬‬
‫; ‪ − ; 0  ,  −‬‬
‫‪ 2   6 2  ,  2  .2  − ; 0  ,  ; 0  , ( 0; 2 ) .1 .8‬‬
‫‪ 2  2 ‬‬
‫‪min‬‬
‫‪min‬‬
‫‪max‬‬
‫עולה‬
‫‪π‬‬
‫‪6‬‬
‫‪.3‬‬
‫יורדת‬
‫‪π‬‬
‫‪2‬‬
‫‪<x<−‬‬
‫<‪<x‬‬
‫‪π‬‬
‫‪2‬‬
‫‪π‬‬
‫‪6‬‬
‫‪−‬‬
‫‪.4‬‬
‫‪−‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ π ‬‬
‫ב‪S = 1 π − 3 .3 y = 4 x + 2π .2  − ; 0  .1 .‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ 2 ‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ .9‬א‪ .‬שרטוט ב‪ b = −6 , a = 1 .‬ג‪.‬‬
‫‪8‬‬
‫‪- 100 -‬‬
‫חוברת מבחני מחצית י'‬
‫"נוער מוכשר במתמטיקה"‬
‫‪------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------‬‬
‫מבחן מחצית ‪ -‬כיתה י' ‪ -‬מועד ב – תשע"א ‪ -‬חלק ב'‬
‫יש לכתוב את הפתרונות בעט רגיל בלבד‪ .‬בחינה שתרשם בעפרון ‪ -‬לא יהיה ניתן‬
‫לערער עליה‪ .‬שימוש בעט מחיק יגרום לאי בדיקת הבחינה‪.‬‬
‫חומר עזר מותר בשימוש‪ :‬מחשבון )לא גרפי(‪ ,‬דפי נוסחאות מצורפים‪.‬‬
‫משך המבחן ‪ :‬שעה ושלושת רבעי‬
‫מבנה השאלון ‪ :‬במבחן ‪ 2‬פרקים‪.‬‬
‫בפרק א' עליך לבחור שתי שאלות מתוך שאלות ‪.1-3‬‬
‫בפרק ב' עליך לבחור שאלה אחת מתוך שאלות ‪.4-5‬‬
‫מפתח ההערכה ‪ :‬ניקוד שווה לכל שאלה‪.‬‬
‫תשובות ללא דרך )חישוב ‪ /‬הסבר( לא תקבלנה ניקוד‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫חלק א' – וקטורים‪ ,‬גיאומטריה אנליטית‪ ,‬מספרים מרוכבים ) ‪ 66‬נקודות(‬
‫‪3‬‬
‫‪1‬‬
‫עליך לענות על שתיים מהשאלות ‪) .1-3‬לכל שאלה ‪ 33‬נקודות(‬
‫‪3‬‬
‫שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות‪ ,‬תיבדקנה רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪y‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ .1‬בתוך המלבן ‪ ABCD‬חסומה האליפסה ‪= 1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪b‬‬
‫אליפסה זו חוסמת את המלבן ‪) PQRS‬ראה ציור(‪.‬‬
‫‪+‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x‬‬
‫‪y‬‬
‫‪.‬‬
‫‪a‬‬
‫‪C‬‬
‫נתון כי צלעות שני המלבנים מקבילות לצירים‪.‬‬
‫הצלעות ‪ PQ‬ו‪ RS -‬עוברות דרך מוקדי האליפסה‪.‬‬
‫‪x‬‬
‫הבע באמצעות ‪ a‬ו‪ b -‬את השטח הכלוא בין שני המלבנים‪.‬‬
‫‪B‬‬
‫‪R‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪S‬‬
‫‪P‬‬
‫‪D‬‬
‫‪A‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ .2‬א‪ .‬פתור את המשוואה ‪ z ) z ⋅ (1 − i ) − z 2 − z + z = 0‬מספר מרוכב(‬
‫ב‪ .‬אחד הפתרונות שמצאת בסעיף א' הוא איבר בסדרה חשבונית ‪ an‬שכל איבריה שונים מאפס‪ .‬הפרש‬
‫הסדרה הוא ‪ . 0.125 − 2i‬האיבר הראשון בסדרה זו הוא מספר מדומה טהור‪ .‬חשב את האיבר הראשון‬
‫בסדרה‪.‬‬
‫ ‬
‫‪ ABCDA' B' C' D' .3‬היא קוביה‪ .‬הנקודה ‪ F‬מקיימת ‪. BF = t BC‬‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫נסמן‪. AB = u, AD = v, AA' = w :‬‬
‫‬
‫‬
‫א‪ .‬הבע את '‪ AC‬ואת ‪ AF‬באמצעות ‪ v,u,w‬ו‪. t -‬‬
‫ב‪ .‬חשב את ‪ t‬עבורו זוית ‪ ∢C' AF‬היא מינימלית והסבר היכן נמצאת ‪ F‬במקרה זה‪.‬‬
‫ג‪ .‬חשב את גודל הזוית המינימלית‪.‬‬
‫‪- 101 -‬‬
‫חוברת מבחני מחצית י'‬
‫"נוער מוכשר במתמטיקה"‬
‫‪------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------‬‬
‫‪1‬‬
‫חלק ב' – חדו"א ואלגברה של מעריכיות לוגריתמיות ) ‪ 33‬נקודות(‬
‫‪3‬‬
‫עליך לענות על שאלה אחת מתוך שאלות ‪.4-5‬‬
‫שים לב! אם תענה על יותר משאלה אחת‪ ,‬תיבדק רק התשובה הראשונה שבמחברתך‪.‬‬
‫‪e x + e− x‬‬
‫‪ .4‬נתונות הפונקציות‬
‫‪2‬‬
‫א( הוכח‪:‬‬
‫= )‪g ( x‬‬
‫)‪g (− x) = g ( x) (1‬‬
‫)‪g '( x) = f ( x) (3‬‬
‫‪,‬‬
‫‪e x − e− x‬‬
‫‪2‬‬
‫= )‪. f ( x‬‬
‫;‬
‫)‪; f (− x) = − f ( x) (2‬‬
‫;‬
‫)‪f '( x) = g ( x) (4‬‬
‫הערה‪ :‬הפונקציה )‪ f ( x‬נקראת סינוס ‪-‬היפרבולי ומסומנת )‪ , sinh( x‬והפונקציה )‪ g ( x‬נקראת קוסינוס‪-‬‬
‫היפרבולי ומסומנת )‪ cosh( x‬לאור הטענות שנתבקשתם להוכיח לעיל‪ ,‬תוכלו להבין מדוע‪.‬‬
‫ב( נסמן‪:‬‬
‫‪ S1‬השטח המוגבל על ידי הגרפים של הפונקציות הנתונות‪ ,‬הישר ‪ x = −a‬וציר ה‪. y -‬‬
‫‪ S2‬השטח המוגבל על ידי הגרפים של הפונקציות הנתונות‪ ,‬הישר ‪ x = a‬וציר ה‪. y -‬‬
‫‪S1‬‬
‫הבע את יחס השטחים‬
‫‪S2‬‬
‫‪ .5‬נתונה הפונקציה‬
‫‪x2 + 1 + x‬‬
‫‪x2 + 1 − x‬‬
‫בעזרת ‪) a‬נתון‪ 0 < a :‬מספר ממשי(‪.‬‬
‫‪. f ( x) = ln‬‬
‫א( חקור את הפונקציה )‪ f ( x‬על פי הסעיפים הבאים‪:‬‬
‫)‪ (2‬חיתוך עם הצירים; )‪ (3‬נקודות קיצון;‬
‫)‪ (1‬תחום הגדרה;‬
‫)‪ (6‬תחומי קעירות כלפי מעלה וקעירות כלפי מטה;‬
‫)‪ (5‬נקודות פיתול;‬
‫)‪ (7‬שרטוט גרף הפונקציה‪.‬‬
‫ב( נתונה הפונקציה‬
‫‪−6‬‬
‫‪x2 + 1‬‬
‫)‪ (4‬תחומי עלייה וירידה;‬
‫= )‪. g ( x‬‬
‫חשב את השטח המוגבל בין גרף הפונקציה )‪ , g ( x‬ציר ה‪ x -‬והישרים ‪. x = ± 8‬‬
‫בהצלחה!!!‬
‫‪- 102 -‬‬
‫חוברת מבחני מחצית י'‬
‫"נוער מוכשר במתמטיקה"‬
‫‪------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------‬‬
‫תשובות סופיות‬
‫‪4b 2 a 2 − b 2‬‬
‫‪.1‬‬
‫‪a‬‬
‫‪4ab −‬‬
‫‪ .2‬א‪z1 = 0 , z2 = 0.5 − 0.5i .‬‬
‫ב‪a1 = 7.5i .‬‬
‫‪ .3‬א‪ u + tv , u + v + w .‬ב‪ 1 .‬ג‪35.26 0 .‬‬
‫‪ .4‬א‪ .‬הוכחה‬
‫‪ .5‬א‪ (1) .‬כל ‪x‬‬
‫ב‪.‬‬
‫)‪( 0, 0 ) (2‬‬
‫‪ea‬‬
‫)‪ (3‬אין‬
‫)‪ (6‬קעירות כלפי מעלה ‪ x < 0‬קעירות כלפי מטה‪0 < x :‬‬
‫)‪(7‬‬
‫ב‪ 21.153 .‬יח"ר‬
‫‪- 103 -‬‬
‫)‪ (4‬עולה לכל ‪x‬‬
‫)‪( 0, 0 ) (5‬‬
‫חוברת מבחני מחצית י'‬
‫"נוער מוכשר במתמטיקה"‬
‫‪------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------‬‬
‫מבחן מחצית ‪ -‬כיתה י' ‪ -‬מועד א' – תשע"ב‬
‫חלק א'‬
‫יש לכתוב את הפתרונות בעט רגיל בלבד‪ .‬בחינה שתרשם בעפרון ‪ -‬לא יהיה ניתן‬
‫לערער עליה‪ .‬שימוש בעט מחיק יגרום לאי בדיקת הבחינה‪.‬‬
‫חומר עזר מותר בשימוש ‪ :‬מחשבון )לא גרפי(‪ ,‬דפי נוסחאות מצורפים‪.‬‬
‫משך המבחן ‪ :‬שלוש שעות‬
‫מבנה השאלון ‪ :‬במבחן ‪ 3‬פרקים‪.‬‬
‫בפרק א' עליך לבחור שתי שאלות מתוך שאלות ‪.1-3‬‬
‫בפרק ב' עליך לבחור שתי שאלות מתוך שאלות ‪.4-6‬‬
‫בפרק ג' עליך לבחור שתי שאלות מתוך שאלות ‪.7-9‬‬
‫מפתח ההערכה ‪ :‬הניקוד על כל השאלות שווה‪.‬‬
‫תשובות ללא דרך )חישוב ‪ /‬הסבר( לא תקבלנה ניקוד‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫פרק א' – אלגברה ובעיות מילוליות‪ ,‬סדרות ואינדוקציה ) ‪ 33‬נקודות(‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫עליך לענות על שתי שאלות מתוך שאלות ‪) .1-3‬לכל שאלה‬
‫‪3‬‬
‫‪ 16‬נקודות(‬
‫שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות‪ ,‬תיבדקנה רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך‪.‬‬
‫‪ .1‬לפי לוח הזמנים של תוכנית האימונים של מכון "קשרים"‪ ,‬איש הקשר הראשון צריך לצאת ממחנה‬
‫‪ A‬ו‪ 6 -‬שעות לאחר מכן צריך לצאת איש הקשר השני באותו הכיוון במהירות כזאת שיצליח להשיג‬
‫את איש הקשר הראשון במרחק ‪ 180‬ק''מ ממחנה ‪ . A‬בפועל‪ ,‬איש הקשר הראשון קיבל הוראה‬
‫לנסוע במהירות הגדולה ב‪ a -‬קמ''ש מהמתוכנן‪ .‬על איש הקשר השני חל איסור לשנות את מהירות‬
‫הנסיעה המתוכננת‪ ,‬ולכן כדי לבצע את המשימה )כלומר‪ ,‬להיפגש עם איש הקשר הראשון במרחק‬
‫של ‪ 180‬ק''מ ממחנה ‪ ,( A‬הוא נדרש לצאת ‪ 3‬שעות מוקדם יותר מהתכנון‪.‬‬
‫א‪ .‬הבע באמצעות ‪ a‬את זמן הנסיעה בפועל של כל אחד מאנשי הקשר‪.‬‬
‫ב‪ .‬הוכח שיש משמעות לבעיה רק עבור ‪. 0 < a < 30‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ .2‬בבקבוק יש תמיסת מלח‪ .‬נסמן את ריכוז המלח ב‪ . q % -‬מעבירים‬
‫‪n‬‬
‫מכמות תמיסת המלח‬
‫למבחנה ואת שארית התמיסה בבקבוק מאיידים עד שריכוז המלח נהייה גבוה פי ‪ 2‬ממה שהיה‬
‫בתחילה‪ .‬לאחר מכן‪ ,‬מחזירים לבקבוק את התמיסה מהמבחנה‪ .‬כתוצאה מכך‪ ,‬ריכוז המלח‬
‫בתמיסה גדל ב‪ p % -‬ביחס לריכוז המלח שהיה בתמיסה המקורית )כלומר‪ ,‬כעת ריכוז המלח הינו‬
‫‪.( (q + p )%‬‬
‫א‪ .‬הבע באמצעות ‪ n‬ו‪ p -‬את אחוז המלח בתמיסה המקורית‪.‬‬
‫ב‪ .‬איזה חלק של התמיסה היה צריך להעביר למבחנה בתחילת התהליך‪ ,‬כדי שבסוף התהליך אחוז‬
‫המלח יגדל פי ‪? 1.5‬‬
‫‪- 104 -‬‬
‫חוברת מבחני מחצית י'‬
‫"נוער מוכשר במתמטיקה"‬
‫‪------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------‬‬
‫‪ .3‬א‪ .‬חשב את מנת הסדרה ההנדסית האינסופית היורדת )מתכנסת(‪ ,‬אם ידוע שכל איבר שלה גדול פי‬
‫‪ 4‬מסכום כל האיברים הבאים אחריו‪.‬‬
‫ב‪ .‬נתונה הסדרה‪:‬‬
‫‪3‬‬
‫‪a+x a−x a−x ‬‬
‫‪,‬‬
‫‪,‬‬
‫‪ ,...‬‬
‫‪a−x a+x a+x ‬‬
‫)‪(a > 0‬‬
‫קבע עבור אילו ערכים של ‪ x‬הסדרה הינה סדרה הנדסית מתכנסת יורדת והבע את סכומה‬
‫באמצעות ‪ a‬ו‪. x -‬‬
‫‪n3 n 2 n‬‬
‫ג‪ .‬הוכח באינדוקציה כי לכל ‪ n‬טבעי‪ ,‬הביטוי ‪+ +‬‬
‫‪6‬‬
‫‪2 3‬‬
‫שים לב ‪ -‬אין קשר בין הסעיפים‪.‬‬
‫‪- 105 -‬‬
‫מהווה מספר טבעי‪.‬‬
‫חוברת מבחני מחצית י'‬
‫"נוער מוכשר במתמטיקה"‬
‫‪------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------‬‬
‫פרק ב' – טריגונומטריה במישור‪ ,‬גיאומטריה )ניתן לפתור בשיטות של גיאומטריה אוקלידית או בכל דרך‬
‫‪1‬‬
‫אחרת(‪ 33 ) .‬נקודות(‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫עליך לענות על שתי שאלות מתוך שאלות ‪) .4-6‬לכל שאלה‬
‫‪3‬‬
‫‪ 16‬נקודות(‬
‫שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות‪ ,‬תיבדקנה רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך‪.‬‬
‫‪ .4‬במשולש ‪ CE , △ ABC‬חוצה זווית‪ .‬מאריכים את הצלע‬
‫‪B‬‬
‫‪ AC‬כך ש‪ . EA = AD -‬מסמנים על צלע ‪ BC‬נקודה ‪ F‬כך‬
‫‪E‬‬
‫‪F‬‬
‫ש‪ . BF = BE -‬מחברים את ‪ E‬עם ‪ F‬ואת ‪ E‬עם ‪. D‬‬
‫א‪ .‬הוכח כי ‪. △CFE ~△CED‬‬
‫‪D‬‬
‫‪C‬‬
‫‪A‬‬
‫ב‪ .‬נסמן‪:‬‬
‫‪. ,CE = m , EA = b1 , BE = a1 AC = b, BC = a‬‬
‫הוכח כי ‪. m 2 = ab − a1b1‬‬
‫‪ .5‬נתונים שני מעגלים המשיקים מבחוץ‪ .‬אורך קטע המרכזים הוא‬
‫‪ . d‬הזווית בין המשיקים המשותפים שלהם שווה ל‪α -‬‬
‫רדיאנים‪ .‬הוכח כי השטח בין הקטע של אחד מהמשיקים לבין‬
‫הקשתות המתאימות של המעגלים )התחום האפור( שווה ל‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪α‬‬
‫‪α‬‬
‫‪‬‬
‫‪2α ‬‬
‫‪ 4 cos 2 − π  1 + sin 2  + 2α sin 2 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪d2‬‬
‫‪.‬‬
‫‪8‬‬
‫רמז‪:‬העזרו בנוסחא לשטח גזרה‪.‬‬
‫‪ △ ABC .6‬הוא משולש שווה שוקיים ) ‪ MN . ( AB = BC‬משיק לחצי‬
‫המעגל החסום במשולש ‪ , △ ABC‬שמרכזו ‪ O‬הנמצא באמצע הקטע‬
‫‪ OL . AC‬ו‪ OQ -‬מחברים את מרכז חצי המעגל עם נקודות ההשקה‬
‫על השוקיים‪.‬‬
‫א‪ .‬הוכח כי ניתן לחסום במעגל את המרובע ‪. LOQB‬‬
‫ב‪ .‬הוכח כי ‪. ∡MON = ∡A‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ AC ‬‬
‫‪. AM ⋅ NC = ‬‬
‫ג‪ .‬הוכח כי ‪‬‬
‫‪ 2 ‬‬
‫‪O‬‬
‫‪- 106 -‬‬
‫חוברת מבחני מחצית י'‬
‫"נוער מוכשר במתמטיקה"‬
‫‪------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------‬‬
‫פרק ג' – חדו"א של פונקציות טריגונומטריות‪ ,‬פולינומים‪ ,‬רציונאליות ושורש ריבועי‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫) ‪ 33‬נקודות(‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫עליך לענות על שתי שאלות מתוך שאלות ‪) .7-9‬לכל שאלה‬
‫‪3‬‬
‫‪ 16‬נקודות(‬
‫שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות‪ ,‬תיבדקנה רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך‪.‬‬
‫‪ .7‬הגרף שבציור מייצג את הפונקציה ‪ y = 6 x − x 2‬עבור ‪. 0 ≤ x ≤ 6‬‬
‫‪y‬‬
‫‪y‬‬
‫הקטע ‪ OA‬מחלק את השטח שבין גרף הפונקציה לבין ציר ה‪ x -‬לשני חלקים‬
‫שווי שטח‪.‬‬
‫‪A‬‬
‫א‪ .‬מצא שיעורי הנקודה ‪. A‬‬
‫ב‪ .‬חשב את נפח גוף הסיבוב המתקבל ע''י סיבוב השטח החסום בין המשיק‬
‫לפונקציה בנקודה ‪ , A‬ציר ה‪ x -‬וגרף הפרבולה‪.‬‬
‫)עגל את המספרים בכל החישובים לשלוש ספרות אחרי הנקודה(‬
‫‪1‬‬
‫‪ .8‬נתונה הפונקציה‬
‫‪1 + tan x‬‬
‫‪B x‬‬
‫‪O‬‬
‫=‪.y‬‬
‫חקור את הפונקציה בתחום ] ‪ [ 0, π‬וקבע ‪:‬‬
‫א‪ .‬תחום ההגדרה של הפונקציה‪.‬‬
‫ב‪ .‬תחומי העלייה וירידה של הפונקציה‪.‬‬
‫ג‪ .‬נקודות הקיצון‬
‫ד‪ .‬נקודות הפיתול של הפונקציה )במקרה וישנן(‪.‬‬
‫ה‪ .‬תחומי קעירות כלפי מעלה ותחומי קעירות כלפי מטה‪.‬‬
‫ו‪ .‬אסימפטוטות‪.‬‬
‫ז‪.‬‬
‫שרטט את גרף הפונקציה בתחום ] ‪. [ 0, π‬‬
‫‪C‬‬
‫‪ .9‬נתון מעגל שמרכזו ‪ M‬ומחוגו ‪ PQ . R‬קוטר המעגל‪ C .‬ו‪ A -‬נקודות על‬
‫המעגל ו‪ B -‬ו‪ D -‬נקודות על הקוטר ‪. PQ‬‬
‫‪D‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪. AD ⊥ PQ, AD = BC , AD BC‬‬
‫‪B‬‬
‫‪P‬‬
‫‪M‬‬
‫הבע באמצעות ‪ R‬את שטחו המקסימלי של המרובע ‪. ABCD‬‬
‫‪A‬‬
‫בהצלחה!!!‬
‫‪- 107 -‬‬
‫חוברת מבחני מחצית י'‬
‫"נוער מוכשר במתמטיקה"‬
‫‪------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------‬‬
‫תשובות סופיות‬
‫‪ .1‬א‪a 2 + 2 4 0 a ) .‬‬
‫‪2a‬‬
‫‪a 2 + 2 4 0 a ) − 3(3 a −‬‬
‫‪,‬‬
‫‪2a‬‬
‫‪ 3 ( − a +‬שעות‬
‫ב‪ .‬הוכחה‬
‫‪n +1‬‬
‫‪ .2‬א‪p % .‬‬
‫‪n −1‬‬
‫‪1‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ .3‬א‪.‬‬
‫‪5‬‬
‫‪(a + x)3‬‬
‫ב‪, x ≠ a, x > 0 .‬‬
‫)‪4ax(a − x‬‬
‫‪ .4‬הוכחה‬
‫‪ .5‬הוכחה‬
‫‪ .6‬הוכחה‬
‫(‬
‫)‬
‫‪ .7‬א‪) A 3 3 4,18 3 4 − 9 3 16 .‬או ) ‪( A ( 4.76,5.89‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪π 3π‬‬
‫‪,‬‬
‫‪ .8‬א‪.‬‬
‫‪2 4‬‬
‫‪2.96π‬‬
‫≠‪x‬‬
‫‪3π 3π‬‬
‫∪‬
‫ב‪ .‬ישנם רק תחומי ירידה ‪< x < π‬‬
‫‪4‬‬
‫‪4‬‬
‫<‪<x‬‬
‫‪π‬‬
‫‪2‬‬
‫∪‬
‫‪π‬‬
‫‪2‬‬
‫<‪0< x‬‬
‫‪π 1‬‬
‫ג‪ .‬נקודות קיצון בקצוות‪ (0,1) max , (π ,1) min :‬ד‪  ,  .‬נקודת פיתול‬
‫‪ 4 2‬‬
‫‪3π‬‬
‫‪π‬‬
‫ה‪ .‬קעירות כלפי מעלה‪< x < π , 0 < x < :‬‬
‫‪4‬‬
‫‪4‬‬
‫‪3π π‬‬
‫‪π‬‬
‫קעירות כלפי מטה‪, < x < :‬‬
‫‪4 4‬‬
‫‪2‬‬
‫<‪<x‬‬
‫‪π‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3π‬‬
‫‪π ‬‬
‫= ‪ x‬אסימפטוטה אנכית ‪  , 0  ,‬חור‬
‫ו‪.‬‬
‫‪4‬‬
‫‪2 ‬‬
‫‪- 108 -‬‬
‫‪,‬‬
‫חוברת מבחני מחצית י'‬
‫"נוער מוכשר במתמטיקה"‬
‫‪------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------‬‬
‫ז‪.‬‬
‫‪π‬‬
‫‪3π‬‬
‫‪4‬‬
‫‪π‬‬
‫‪π‬‬
‫‪2‬‬
‫‪4‬‬
‫‪R 2 .9‬‬
‫‪- 109 -‬‬
‫חוברת מבחני מחצית י'‬
‫"נוער מוכשר במתמטיקה"‬
‫‪------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------‬‬
‫מבחן מחצית ‪ -‬כיתה י' ‪ -‬מועד א – תשע"ב‬
‫חלק ב'‬
‫יש לכתוב את הפתרונות בעט רגיל בלבד‪ .‬בחינה שתרשם בעפרון ‪ -‬לא יהיה ניתן‬
‫לערער עליה‪ .‬שימוש בעט מחיק יגרום לאי בדיקת הבחינה‪.‬‬
‫חומר עזר מותר בשימוש‪ :‬מחשבון )לא גרפי(‪ ,‬דפי נוסחאות מצורפים‪.‬‬
‫משך המבחן ‪ :‬שעה ושלושת רבעי‬
‫מבנה השאלון ‪ :‬במבחן ‪ 2‬פרקים‪.‬‬
‫בפרק א' עליך לבחור שתי שאלות מתוך שאלות ‪.1-3‬‬
‫בפרק ב' עליך לבחור שאלה אחת מתוך שאלות ‪.4-5‬‬
‫מפתח ההערכה ‪ :‬ניקוד שווה לכל שאלה‪.‬‬
‫תשובות ללא דרך )חישוב ‪ /‬הסבר( לא תקבלנה ניקוד‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫חלק א' – וקטורים‪ ,‬גיאומטריה אנליטית‪ ,‬מספרים מרוכבים ) ‪ 66‬נקודות(‬
‫‪3‬‬
‫‪1‬‬
‫עליך לענות על שתיים מהשאלות ‪) .1-3‬לכל שאלה‬
‫‪3‬‬
‫‪ 33‬נקודות(‬
‫שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות‪ ,‬תיבדקנה רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך‪.‬‬
‫‪ .1‬א‪ .‬נתונים שני מעגלים‪ :‬משוואת מעגל א' ‪ x 2 + y 2 = 25‬ומרכזו ‪ . O1‬משוואת מעגל ב'‬
‫‪ 5 y 2 − 48 x + 375 = 64 y − 5 x 2 + 60‬ומרכזו ‪ . O2‬נסמן נקודה ‪ O3‬כך שמתקיים ‪. O1O2 ⊥ O2O3‬‬
‫מצא את משוואות המעגלים שמרכזם ‪ O3‬ואשר משיקים מבחוץ למעגלים א' ו‪-‬ב'‪.‬‬
‫ב‪ .‬נסמן את שיעור ה‪ y -‬של ‪ O3‬על ידי ‪ . y0‬ממעגל א' קיבלו אליפסה ע"י כך שחילקו את שיעור ה‪ y -‬של‬
‫כל נקודה שלו ב‪ . y0 -‬מצא את משוואות האליפסה‪.‬‬
‫‪ .2‬נתונה פירמידה ‪ , OABCS‬שבסיסה ‪ OABC‬מלבן‪.‬‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫נסמן‪ X , OA = u , OC = v , OS = w :‬נקודה על המישור ‪. SAB‬‬
‫‬
‫‬
‫נתון‪. OC ⊥ OS , OA ⊥ OS , OA = OS = 1 , OC = 2 , SX = 1 , CX = 6 :‬‬
‫‬
‫הבע את הוקטור ‪ OX‬באמצעות ‪. u , v , w‬‬
‫‪- 110 -‬‬
‫חוברת מבחני מחצית י'‬
‫"נוער מוכשר במתמטיקה"‬
‫‪-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------‬‬‫‪4‬‬
‫‪4‬‬
‫‪ .3‬נתונים שני מספרים מרוכבים ‪ z, w ≠ 0‬המקיימים‪. z + = 4 sin θ , w + = 4 sin β :‬‬
‫‪z‬‬
‫‪w‬‬
‫א‪ .‬נניח כי המספרים נמצאים ברביע הראשון של מישור גאוס‪ .‬הוכח‪:‬‬
‫ב‪ .‬ללא ההנחה של סעיף א'‪ ,‬נתון‪:‬‬
‫‪π‬‬
‫‪2‬‬
‫=‪, β‬‬
‫‪π‬‬
‫‪6‬‬
‫‪16‬‬
‫) ‪= −8cos(θ + β‬‬
‫‪zw‬‬
‫‪zw +‬‬
‫= ‪ . θ‬מצא את כל הערכים האפשריים עבור ‪. z, w‬‬
‫ג‪ .‬מקם את הפתרונות שקיבלת במישור גאוס‪ .‬מהי הצורה הגיאומטרית שהתקבלה?‬
‫‪1‬‬
‫חלק ב' – חדו"א ואלגברה של מעריכיות לוגריתמיות ) ‪ 33‬נקודות(‬
‫‪3‬‬
‫עליך לענות על שאלה אחת מתוך שאלות ‪.4-5‬‬
‫שים לב! אם תענה על יותר משאלה אחת‪ ,‬תיבדק רק התשובה הראשונה שבמחברתך‪.‬‬
‫‪−3‬‬
‫‪ .4‬לפונקציה ‪ f ( x) = x 2 e ax‬יש נקודת קיצון בנקודה שבה ‪. y = 3 e 2‬‬
‫‪.i‬‬
‫חשב את ערכו של ‪. a > 0 a‬‬
‫‪ .ii‬חקור את הפונקציה על פי הסעיפים הבאים‪:‬‬
‫ג( נקודות קיצון ד( תחומי עליה וירידה‬
‫א( תחום הגדרה ב( חיתוך עם הצירים‬
‫ה( נקודות פיתול ו( תחומי קעירות כלפי מעלה וכלפי מטה ז( אסימפטוטות‪.‬‬
‫‪ .iii‬שרטט סקיצה של גרף הפונקציה‬
‫‪ .5‬נתונה הפונקציה‬
‫‪x+2‬‬
‫‪x‬‬
‫= )‪ . f ( x‬בשתי נקודות שעל גרף הפונקציה נעביר ישר המאונך לציר ‪ , x‬כך‬
‫שהמרחק בין הישרים הוא ‪ . 0 < a‬השטח הכלוא בין גרף הפונקציה לבין ציר ה‪ x -‬ולבין שני הישרים הנ"ל‪,‬‬
‫מסתובב סביב ציר ‪. x‬‬
‫א‪ .‬הבע באמצעות ‪ a‬את משוואות שני הישרים המאונכים‪ ,‬עבורם נפח גוף הסיבוב המתקבל הוא מינימלי‪.‬‬
‫ב‪ .‬נתון‪ . a = 3 :‬חשב את הנפח המינימלי‪.‬‬
‫בהצלחה!!!‬
‫‪- 111 -‬‬
‫חוברת מבחני מחצית י'‬
‫"נוער מוכשר במתמטיקה"‬
‫‪------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------‬‬
‫תשובות סופיות‬
‫‪2‬‬
‫‪ .1‬א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪.2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪48  ‬‬
‫‪14 ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ x −  +  y −  = 25 or x + ( y − 10 ) = 25‬‬
‫‪5  ‬‬
‫‪5‬‬
‫‪‬‬
‫‪x 2 + 100 y 2 = 25 or 25 x 2 + 196 y 2 = 625‬‬
‫‪ 1‬‬
‫‪ 1‬‬
‫) ‪OX = ( −4u + v + 10w ) or OX = ( 4u − v + 2w‬‬
‫‪6‬‬
‫‪6‬‬
‫ב‪z = 1 ± 3i , w = 2 .‬‬
‫‪ .3‬א‪ .‬הוכחה‬
‫‪2‬‬
‫‪. i .4‬‬
‫‪3‬‬
‫=‪a‬‬
‫‪ .ii‬א( ‪ x ≠ 0‬ב( אין‬
‫ג‪ .‬משולש שווה שוקיים‪.‬‬
‫ג( ‪(1, e ) min‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫ד( עולה‪ , 1 < x :‬יורדת‪( x < 0 ) ∨ ( 0 < x < 1) :‬‬
‫ה( אין‬
‫ו( קעורה כלפי מעלה בכל תחומה‬
‫ז( אנכית‪) x = 0 :‬מצד ימין‪ .‬משמאל זהו "חור"(‪.‬‬
‫‪ .iii‬גרף‪:‬‬
‫‪ .5‬א‪.‬‬
‫‪± a + a 2 + 16‬‬
‫‪2‬‬
‫=‪x‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪( 39 + 8ln 4 ) π‬‬
‫‪2‬‬
‫‪- 112 -‬‬
‫חוברת מבחני מחצית י'‬
‫"נוער מוכשר במתמטיקה"‬
‫‪------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------‬‬
‫מבחן מחצית ‪ -‬כיתה י' ‪ -‬מועד ב' – תשע"ב‬
‫חלק א'‬
‫יש לכתוב את הפתרונות בעט רגיל בלבד‪ .‬בחינה שתרשם בעפרון ‪ -‬לא יהיה ניתן‬
‫לערער עליה‪ .‬שימוש בעט מחיק יגרום לאי בדיקת הבחינה‪.‬‬
‫חומר עזר מותר בשימוש ‪ :‬מחשבון )לא גרפי(‪ ,‬דפי נוסחאות מצורפים‪.‬‬
‫משך המבחן ‪ :‬שלוש שעות‬
‫מבנה השאלון ‪ :‬במבחן ‪ 3‬פרקים‪.‬‬
‫בפרק א' עליך לבחור שתי שאלות מתוך שאלות ‪.1-3‬‬
‫בפרק ב' עליך לבחור שתי שאלות מתוך שאלות ‪.4-6‬‬
‫בפרק ג' עליך לבחור שתי שאלות מתוך שאלות ‪.7-9‬‬
‫מפתח ההערכה ‪ :‬הניקוד על כל השאלות שווה‪.‬‬
‫תשובות ללא דרך )חישוב ‪ /‬הסבר( לא תקבלנה ניקוד‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫פרק א' – אלגברה ובעיות מילוליות‪ ,‬סדרות ואינדוקציה ) ‪ 33‬נקודות(‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫עליך לענות על שתי שאלות מתוך שאלות ‪) .1-3‬לכל שאלה‬
‫‪3‬‬
‫‪ 16‬נקודות(‬
‫שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות‪ ,‬תיבדקנה רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך‪.‬‬
‫‪ .1‬רוכב אופניים יצא בשעה ‪ 6:00‬בבוקר לתל אביב ממושב המרוחק ממנו ‪ 35‬ק"מ‪.‬‬
‫בשעה ‪ 6:30‬בבוקר יצא רוכב שני מאותו המושב לתל אביב‪ .‬הרוכב השני נע במהירות הגדולה מזו של‬
‫הראשון ב‪ 2-‬קמ"ש‪ ,‬ופגש את הרוכב הראשון לפני שהגיע לתל אביב‪.‬‬
‫חצי שעה לאחר הפגישה הגיע הרוכב הראשון לתל אביב‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא את מהירותו של כל אחד מהרוכבים‪.‬‬
‫ב‪ .‬לאחר שהותם בתל אביב יצאו בו זמנית חזרה לכיוון המושב‪ .‬לאחר ‪ m‬שעות‪ ,‬כאשר היה המרחק‬
‫ביניהם ‪ a‬ק"מ ‪,‬הגביר הרוכב הראשון את מהירותו ב‪ 4-‬קמ"ש והרוכבים נפגשו‪.‬‬
‫לאחר זמן מה מרגע פגישתם סכום הדרך אותה עברו היה ‪ a 2‬ק"מ‪.‬‬
‫לאילו ערכי ‪ m‬זמן זה יהיה קטן מ‪ 10-‬דקות? )דייק ‪ 3‬ספרות אחרי הנקודה העשרונית(‬
‫‪ .2‬א‪ .‬הוכח באינדוקציה או בדרך אחרת כי לכל ‪ n‬טבעי מתקיים‪:‬‬
‫‪2n‬‬
‫‪n+1 +1‬‬
‫>‬
‫‪1‬‬
‫‪n‬‬
‫‪+ ⋅⋅⋅ +‬‬
‫‪1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪+‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1+‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫ב‪ .‬היעזר בסעיף הקודם והוכח כי‪+⋅⋅⋅ + > 8 :‬‬
‫‪6‬‬
‫‪5‬‬
‫‪- 113 -‬‬
‫‪+‬‬
‫‪1‬‬
‫‪4‬‬
‫‪+‬‬
‫‪1‬‬
‫‪3‬‬
‫חוברת מבחני מחצית י'‬
‫"נוער מוכשר במתמטיקה"‬
‫‪------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------‬‬
‫‪ .3‬לווין משוגר מהקרקע כלפי מעלה בצורה אנכית ואינו מושפע ממזג האוויר‪.‬‬
‫הלווין מתרומם בשנייה הראשונה ‪ 5‬מטרים‪ ,‬בשנייה הבאה ‪ 7‬מ'‪ ,‬ובזו שלאחריה‬
‫‪ 9‬מ' וכו' עד שהוא‬
‫מתרומם ‪ 125‬מ' בשנייה וברגע זה מכבה מנועיו‪ .‬מרגע זה הלווין מתרומם במטר ‪ 1‬פחות בכל שנייה עד‬
‫שהוא מפסיק לצבור גובה‪ ,‬כלומר ‪ 124‬מ'‪ 123 ,‬מ'‪ 0 ,...,‬מ'‪.‬‬
‫מרגע שהפסיק לצבור גובה‪ ,‬יורד הלוויין בצורה אנכית לקרקע בחזרה בקצב אחיד של ‪ 5‬מ' כל שנייה עד‬
‫שהוא נוחת על הקרקע‪.‬‬
‫מצא את הגובה המקסימלי אליו הגיע הלווין‪.‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫מצא כמה זמן הלויין שהה באוויר‪.‬‬
‫‪- 114 -‬‬
‫חוברת מבחני מחצית י'‬
‫"נוער מוכשר במתמטיקה"‬
‫‪------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------‬‬
‫פרק ב' – טריגונומטריה במישור‪ ,‬גיאומטריה )ניתן לפתור בשיטות של גיאומטריה אוקלידית או בכל דרך‬
‫‪1‬‬
‫אחרת(‪ 33 ) .‬נקודות(‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫עליך לענות על שתי שאלות מתוך שאלות ‪) .4-6‬לכל שאלה‬
‫‪3‬‬
‫‪ 16‬נקודות(‬
‫שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות‪ ,‬תיבדקנה רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך‪.‬‬
‫‪.4‬‬
‫‪ ABC‬משולש שווה צלעות‪.‬‬
‫‪ BCDE‬מקבילית‪.‬‬
‫‪A‬‬
‫‪ CE‬תיכון ל‪ AB -‬ו‪ DG -‬חוצה זווית ‪. ∢CDE‬‬
‫‪S ∆AEF‬‬
‫א‪.‬‬
‫מצא את היחס‪:‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪S‬‬
‫מצא את היחס‪. ∆CBE :‬‬
‫‪S ∆CDF‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪S‬‬
‫מצא את היחס‪. ∆CGD :‬‬
‫‪S ∆CDF‬‬
‫‪S ∆CDF‬‬
‫‪D‬‬
‫‪E‬‬
‫‪F‬‬
‫‪G‬‬
‫‪B‬‬
‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫‪A‬‬
‫‪ .5‬המרובע ‪ ABCD‬ריבוע‪.‬‬
‫‪ EF‬ניצב ל‪AD -‬‬
‫נתון‪. BF = CF = EF :‬‬
‫א‪.‬‬
‫‪EF‬‬
‫מצא את היחס‪:‬‬
‫‪AB‬‬
‫‪∆BCF‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪E‬‬
‫מצא את היחס‪:‬‬
‫‪F‬‬
‫‪S‬‬
‫‪S‬‬
‫‪.‬‬
‫‪D‬‬
‫‪∆DEF‬‬
‫‪- 115 -‬‬
‫‪C‬‬
‫חוברת מבחני מחצית י'‬
‫"נוער מוכשר במתמטיקה"‬
‫‪------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------‬‬
‫‪C‬‬
‫‬
‫‪ .6‬במשולש ישר זווית ‪ ∢C = 90 , ABC‬ו‪. ∢A = 2α -‬‬
‫מעגל שמרכזו בנקודה ‪ M‬ואורך הרדיוס שלו ‪ R‬חסום במשולש‪ .‬המעגל‬
‫משיק למשולש בנקודות ‪. D, G , H‬‬
‫‪D‬‬
‫‪H‬‬
‫‪E‬‬
‫‪M‬‬
‫מעגל שמרכזו ‪ N‬משיק לצלעות המשולש ‪ AC , AB‬בנקודות ‪E , F‬‬
‫‪O‬‬
‫בהתאמה‪ ,‬ומשיק למעגל ‪ M‬בנקודה ‪. O‬‬
‫‪B‬‬
‫א‪ .‬הבע באמצעות ‪ α‬ו‪ R -‬את שטח המשולש ‪. △ ABC‬‬
‫‪G‬‬
‫‪N‬‬
‫‪F‬‬
‫ב‪ .‬נתון בנוסף כי ‪ E‬היא אמצע ‪ . AD‬הבע באמצעות ‪ α‬ו‪ R -‬את שטח המרובע ‪. DENM‬‬
‫פרק ג' – חדו"א של פונקציות טריגונומטריות‪ ,‬פולינומים‪ ,‬רציונאליות ושורש ריבועי‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫) ‪ 33‬נקודות(‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫עליך לענות על שתי שאלות מתוך שאלות ‪) .7-9‬לכל שאלה‬
‫‪3‬‬
‫‪ 16‬נקודות(‬
‫שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות‪ ,‬תיבדקנה רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך‪.‬‬
‫‪ .7‬אוניה מפליגה בין שני נמלים המרוחקים ‪ 5, 000‬ק"מ אחד מהשני‪ .‬עלות התפעול של האוניה‬
‫מורכבות משני גורמים‪ :‬עלויות שכר בסך ‪ ₪ 2,160‬לכל יממה )העלות קבועה בכל שעה( ועלויות הדלק‬
‫לתפעול המנוע‪ .‬נגדיר את מהירות האוניה ב‪ v -‬קמ"ש ואת עלות הדלק ב‪ c -‬ש"ח לכל שעת הפלגה‪ .‬כמו כן‬
‫‪2‬‬
‫ידוע כי ‪. c = 0.0625v + 10‬‬
‫א‪ .‬חשב את המהירות אשר תאפשר לאוניה להפליג בעלות מינימלית‪.‬‬
‫ב‪ .‬חשב את העלות המינימלית להפלגה בין שני הנמלים‪.‬‬
‫‪- 116 -‬‬
‫‪A‬‬
‫חוברת מבחני מחצית י'‬
‫"נוער מוכשר במתמטיקה"‬
‫‪------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------‬‬
‫‪.8‬‬
‫א‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫נתונה הפונקציה ‪. y = 2sin x − 8 sin x‬‬
‫‪3‬‬
‫חשב את נקודות החיתוך של הפונקציה עם ציר ‪ x‬בתחום ‪− π < x < 5π‬‬
‫‪4‬‬
‫‪4‬‬
‫וסמנן ‪) A, B, C , D‬משמאל לימין(‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫בנקודות ‪ A , D‬העבירו משיקים לגרף הפונקציה‪ .‬מצא את משוואות המשיקים‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫המשיקים הנ"ל נחתכים בנקודה ‪ . E‬חשב את שיעורי הנקודה ‪. E‬‬
‫ד‪.‬‬
‫ה‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫הוכח כי הנגזרת הראשונה של ‪ 1 cos x − cos x‬היא ‪. sin x‬‬
‫‪3‬‬
‫חשב את השטח המוגבל בין גרף הפונקציה הנתונה‪ ,‬המשיקים וציר ה‪. x -‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ax − x + 8‬‬
‫= ‪ a ) y‬ו‪ b -‬פרמטרים חיוביים(‬
‫‪ .9‬נתונה הפונקציה‬
‫‪2‬‬
‫‪x + bx + b‬‬
‫א‪ .‬נתון שהאסימפטוטה האופקית של הפונקציה חותכת את הפונקציה על ציר ה‪ . y -‬בנוסף‬
‫נתון שלפונקציה יש אסימפטוטה אנכית אחת בלבד )לפונקצייה אין נקודות אי רציפות(‪.‬‬
‫חשב את הפרמטרים ‪ a‬ו‪. b -‬‬
‫ב‪ .‬חקור את הפונקציה ע"פ הסעיפים הבאים‪:‬‬
‫‪ .3‬תחומי עליה וירידה‪.‬‬
‫‪ .1‬תחום הגדרה‪ .2 .‬נקודות קיצון‪.‬‬
‫‪ .5‬אסימפטוטות המקבילות לצירים‪.6 .‬סקיצה‬
‫‪ .4‬נקודות חיתוך עם הצירים‪.‬‬
‫ג‪ .‬מצא לאילו ערכי ‪ , k‬הישר ‪ y = k‬חותך את הפונקציה הנתונה בדיוק פעמיים‪.‬‬
‫בהצלחה!!!‬
‫‪- 117 -‬‬
‫חוברת מבחני מחצית י'‬
‫"נוער מוכשר במתמטיקה"‬
‫‪------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------‬‬
‫תשובות סופיות‬
‫‪13‬‬
‫‪ .1‬א‪ 10,12 .‬ב‪.‬‬
‫‪12‬‬
‫<‪0<m‬‬
‫‪ .2‬הוכחה‬
‫‪ .3‬א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪11,715 m‬‬
‫‪2529‬‬
‫‪ .4‬א‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ .5‬א‪.‬‬
‫‪5‬‬
‫‪8‬‬
‫‪6‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪5‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ 1 + tan α ‬‬
‫‪3R‬‬
‫‪1‬‬
‫=‬
‫‪ S‬ב‪.‬‬
‫‪R‬‬
‫‪S‬‬
‫=‬
‫‪ .6‬א‪ tan 2α .‬‬
‫‪ABC 2 ‬‬
‫‪DENM 8 tan α‬‬
‫‪tan α ‬‬
‫‪ .7‬א‪ 40 .‬קמ"ש ב‪₪ 25, 000 .‬‬
‫‪π ‬‬
‫‪ 2π ‬‬
‫‪; A ( 0, 0 ) , B  , 0  , C ‬ב‪; y = 2 x , y = −2 x + 2π .‬‬
‫‪ .8‬א‪, 0  , D (π , 0 ) .‬‬
‫‪3 ‬‬
‫‪ 3 ‬‬
‫‪π ‬‬
‫ה‪ 4.046 .‬יח"ר‬
‫ג‪ E  , π  .‬ד‪ .‬הוכחה‬
‫‪2 ‬‬
‫‪.9‬‬
‫א‪ a = 2 , b = 4 .‬ב‪.1.‬‬
‫‪( 2, 78 ) min .2 x ≠ −2‬‬
‫‪ .3‬עולה‪ , x < −2 ∪ x > 2 :‬יורדת ‪−2 < x < 2‬‬
‫‪.6‬‬
‫ג‪7 < k < 2 ∪ 2 < k .‬‬
‫‪8‬‬
‫‪- 118 -‬‬
‫‪y = 2, x = −2 .5 (0, 2) .4‬‬
‫חוברת מבחני מחצית י'‬
‫"נוער מוכשר במתמטיקה"‬
‫‪------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------‬‬
‫מבחן מחצית ‪ -‬כיתה י' ‪ -‬מועד ב' – תשע"ב‬
‫חלק ב'‬
‫יש לכתוב את הפתרונות בעט רגיל בלבד‪ .‬בחינה שתרשם בעפרון ‪ -‬לא יהיה ניתן‬
‫לערער עליה‪ .‬שימוש בעט מחיק יגרום לאי בדיקת הבחינה‪.‬‬
‫חומר עזר מותר בשימוש‪ :‬מחשבון )לא גרפי(‪ ,‬דפי נוסחאות מצורפים‪.‬‬
‫משך המבחן ‪ :‬שעה ושלושת רבעי‬
‫מבנה השאלון ‪ :‬במבחן ‪ 2‬פרקים‪.‬‬
‫בפרק א' עליך לבחור שתי שאלות מתוך שאלות ‪.1-3‬‬
‫בפרק ב' עליך לבחור שאלה אחת מתוך שאלות ‪.4-5‬‬
‫מפתח ההערכה ‪ :‬ניקוד שווה לכל שאלה‪.‬‬
‫תשובות ללא דרך )חישוב ‪ /‬הסבר( לא תקבלנה ניקוד‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫חלק א' – וקטורים‪ ,‬גיאומטריה אנליטית‪ ,‬מספרים מרוכבים ) ‪ 66‬נקודות(‬
‫‪3‬‬
‫‪1‬‬
‫עליך לענות על שתיים מהשאלות ‪) .1-3‬לכל שאלה‬
‫‪3‬‬
‫‪ 33‬נקודות(‬
‫שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות‪ ,‬תיבדקנה רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך‪.‬‬
‫‪ .1‬נתון ריבוע ‪ ABCD‬שאחד מקודקודיו הוא )‪. A(3,5‬‬
‫משוואת הצלע ‪ . 5x+ 3y + 4 = 0 : CD‬נקודה ‪ E‬מחלקת את הצלע ‪ BC‬ביחס ‪. BE : EC = 3 : 5‬‬
‫נקודה ‪ F‬נמצאת על הצלע ‪ . CD‬קודקוד ‪ C‬נמצא ברביע הרביעי‪.‬‬
‫א‪ .‬חשב את שיעורי הנקודה ‪ F‬שעבורה המרובע ‪ AECF‬יהיה דלתון‪.‬‬
‫ב‪ .‬חשב את שטח הדלתון‪.‬‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‪ .2‬נתון טטראדר ‪ . ABCD‬נסמן ‪. AC = u , BC = v , CD = w‬‬
‫נתון כי ‪. w ⊥ v , w ⊥ u‬‬
‫‬
‫‬
‫‪ – F‬נקודה על מקצוע ‪ AD‬המקיימת ‪. FD = t AD‬‬
‫ ‪3‬‬
‫‪8‬‬
‫ ‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‬
‫נקודה ‪ G‬מקיימת ‪. BG = BC + BA‬‬
‫‬
‫א‪ .‬הבע את ‪ FG‬באמצעות ‪. t,u ,v ,w‬‬
‫ב‪ .‬נתון בנוסף כי ‪. ∢ACB = 600 , u = 8 , v = 4 , w = 1‬‬
‫‬
‫‬
‫מצא את האורך של ‪ DG‬ושל ‪. AB‬‬
‫ג‪ .‬נתון בנוסף לסעיפים הקודמים כי ‪. ∢FDG = 120 ,∢DFG = 450‬‬
‫חשב את הערך של ‪. t‬‬
‫‪- 119 -‬‬
‫חוברת מבחני מחצית י'‬
‫"נוער מוכשר במתמטיקה"‬
‫‪------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------‬‬
‫‪ .3‬א‪ .‬סמן במישור המרוכב את התחום המוגבל על ידי העקומות הבאות ‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪z ≥1‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ Im( z ) < 4‬‬
‫‪ 2‬‬
‫‪ z − 5 Re(2 z ) < 0‬‬
‫כאשר ‪ , z = x + iy‬החלק המדומה= ) ‪ , Im( Z‬החלק הממשי= ) ‪. Re( Z‬‬
‫ב‪ .‬מצא את שורשי המשוואה ‪z 3 + 4 2 − 4 2 ⋅ i = 0‬‬
‫‪1‬‬
‫חלק ב' – חדו"א ואלגברה של מעריכיות לוגריתמיות ) ‪ 33‬נקודות(‬
‫‪3‬‬
‫עליך לענות על שאלה אחת מתוך שאלות ‪.4-5‬‬
‫שים לב! אם תענה על יותר משאלה אחת‪ ,‬תיבדק רק התשובה הראשונה שבמחברתך‪.‬‬
‫‪.4‬‬
‫נתונה הפונקציה ‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪x+a‬‬
‫‪f(x)= ( x+ 2) e‬‬
‫א‪ .‬חקור את הפונקציה עבור ‪ a = 0‬לפי הסעיפים הבאים‪:‬‬
‫‪ (1‬תחום ההגדרה‪.‬‬
‫‪ (2‬נקודות חיתוך עם הצירים‪.‬‬
‫‪ (3‬אסימפטוטות‪.‬‬
‫‪ (4‬נקודות קיצון ותחומי עליה‪-‬ירידה‪.‬‬
‫‪ (5‬סקיצה‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא את ערכו של ‪ a ) a‬פרמטר שלם( עבורו שיפוע המשיק בנקודה ‪ x = 0‬שווה לשמינית מערך‬
‫הפונקציה בנקודת המינימום שמצאת בסעיף א'‪.‬‬
‫‪1 ‬‬
‫‪1 ‬‬
‫ ])‪ ln [ f(x‬‬‫תהי ‪‬‬
‫‪x+ 2 ‬‬
‫‪x+2 ‬‬
‫=)‪ . g(x‬עבור הערך של ‪ a‬שמצאת‪ ,‬חשב את השטח‬
‫החסום על ידי הפונקציה )‪ , g ( x‬הקו הישר ‪ x = 2‬והצירים‪.‬‬
‫‪- 120 -‬‬
‫חוברת מבחני מחצית י'‬
‫"נוער מוכשר במתמטיקה"‬
‫‪------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪‬‬
‫‪ .5‬נתונה הפונקציה ‪ . f ( x) = ln  cos  + 4 sin 2‬ידוע כי נקודת החיתוך היחידה של הפונקציה עם ציר‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫ה‪ x -‬בתחום ‪ 0 < x < 2π‬היא ‪. x ≈ 0.988π‬‬
‫א‪ .‬האם הפונקציה זוגית‪/‬אי‪-‬זוגית‪/‬לא זוגית ולא אי‪-‬זוגית‪.‬‬
‫‪3π‬‬
‫‪3π‬‬
‫≤‪≤x‬‬
‫ב‪ .‬חקור את הפונקציה בתחום‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫)‪ (1‬תחום הגדרה‬
‫‪ −‬על פי הסעיפים הבאים‪:‬‬
‫)‪ (2‬חיתוך עם הצירים‬
‫)‪ (3‬נקודות קיצון‬
‫)‪ (4‬תחומי עליה וירידה‬
‫)‪ (5‬אסימפטוטות‬
‫)‪ (6‬שרטוט סקיצה‪.‬‬
‫בהצלחה!!!‬
‫‪- 121 -‬‬
‫חוברת מבחני מחצית י'‬
‫"נוער מוכשר במתמטיקה"‬
‫‪------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------‬‬
‫תשובות סופיות‬
‫‪7 1‬‬
‫‪ .6‬א‪ F( − , ) .‬ב‪21.25 .‬‬
‫‪8 8‬‬
‫‬
‫‪3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ .7‬א‪FG = ( t − )u + ( t − 1 )w − v .‬‬
‫‪8‬‬
‫‪8‬‬
‫‬
‫‬
‫ב‪DG = 11.75 , AB = 48 .‬‬
‫ג‪t ≈ 0.5 .‬‬
‫‪π‬‬
‫‪11π‬‬
‫‪19π‬‬
‫(‪),z1 = 2cis‬‬
‫(‪),z2 = 2cis‬‬
‫‪ .3‬א‪ .‬שרטוט ב‪) .‬‬
‫‪4‬‬
‫‪12‬‬
‫‪12‬‬
‫(‪z0 = 2cis‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ .4‬א‪ x = 0 .3 ( −2,0 ) .2 x ≠ 0 .1 .‬אין אופקית ‪( −1, )max;( 2,4 e )min .4‬‬
‫‪e‬‬
‫עלייה‪ x < −1 ∪ x > 2 :‬ירידה ‪ .5 −1 < x < 2, x ≠ 0‬שירטוט‬
‫‪3‬‬
‫ב‪ a = 2 .‬השטח החסום‪∼ 0.721 = ln 2 2 :‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ .5‬א‪ .‬הפונקציה זוגית‬
‫ב‪abs max ( ±0.77π , 2.364 ) ; min ( 0, 0 ) (3) ( ±0.988π , 0 ) ( 0, 0 ) (2) −π < x < π (1) .‬‬
‫)‪ (4‬עליה‪−π < x < −0.77π or 0 < x < 0.77π :‬‬
‫ירידה‪−0.77π < x < 0 or 0.77π < x < π :‬‬
‫)‪. x = ±π (5‬‬
‫)‪(6‬‬
‫‪- 122 -‬‬
‫חוברת מבחני מחצית י'‬
‫"נוער מוכשר במתמטיקה"‬
‫‪------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------‬‬
‫מבחן מחצית ‪ -‬כיתה י' ‪ -‬מועד א' – תשע"ג‬
‫חלק א'‬
‫יש לכתוב את הפתרונות בעט רגיל בלבד‪ .‬בחינה שתרשם בעפרון ‪ -‬לא יהיה ניתן‬
‫לערער עליה‪ .‬שימוש בעט מחיק יגרום לאי בדיקת הבחינה‪.‬‬
‫חומר עזר מותר בשימוש ‪ :‬מחשבון )לא גרפי(‪ ,‬דפי נוסחאות מצורפים‪.‬‬
‫משך המבחן ‪ :‬שלוש שעות וחצי‬
‫מבנה השאלון ‪ :‬במבחן ‪ 3‬פרקים‪.‬‬
‫בפרק א' עליך לבחור שתי שאלות מתוך שאלות ‪.1-3‬‬
‫בפרק ב' עליך לבחור שאלה אחת מתוך שאלות ‪.4-5‬‬
‫בפרק ג' עליך לבחור שתי שאלות מתוך שאלות ‪.6-8‬‬
‫מפתח ההערכה ‪ :‬הניקוד על כל השאלות שווה‪.‬‬
‫תשובות ללא דרך )חישוב ‪ /‬הסבר( לא תקבלנה ניקוד‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫פרק א' – אלגברה ובעיות מילוליות‪ ,‬סדרות ) ‪ 33‬נקודות(‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫עליך לענות על שתי שאלות מתוך שאלות ‪) .1-3‬לכל שאלה‬
‫‪3‬‬
‫‪ 16‬נקודות(‬
‫שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות‪ ,‬תיבדקנה רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך‪.‬‬
‫‪ .1‬א‪ .‬שני ברזים ממלאים בריכה באופן הבא‪:‬‬
‫בתחילה פועל הברז הראשון למשך רבע הזמן שלוקח לברז השני למלא לבדו את הבריכה‪ ,‬ואז סוגרים‬
‫את הברז הראשון ופותחים את הברז השני למשך רבע הזמן שלוקח לברז הראשון למלא לבדו את‬
‫‪11‬‬
‫הבריכה‪ .‬לאחר מכן מתברר שנותרה עוד‬
‫‪24‬‬
‫מתכולת הבריכה למלא‪.‬‬
‫)‪ (1‬מצאו את היחס בין שני הספקי הברזים‪.‬‬
‫)‪ (2‬בנוסף נתון כי שני הברזים יחד ממלאים את הבריכה בשעתיים ועשרים וארבע דקות‪ .‬מצאו את‬
‫הספקי הברזים‪.‬‬
‫ב‪ .‬תייר יוצא למסע אופניים‪ .‬מסעו התחלק לשני חלקים כאשר אורכו של החלק הראשון ‪ 246‬ק"מ‪,‬‬
‫ואורכו של החלק השני ‪ 276‬ק"מ‪ .‬בחלקו הראשון של המסע‪ ,‬עבר בממוצע בכל יום ‪ 15‬ק"מ פחות‬
‫מאשר עבר בכל יום בממוצע בחלקו השני של המסע‪.‬‬
‫ידוע‪ ,‬שלקח לתייר יום אחד יותר לעבור את חלקו הראשון של המסע מאשר מחצית מספר הימים‬
‫שלקח לו חלקו השני של המסע‪ .‬כמה ימים נמשך מסעו?‬
‫הערה‪ :‬אין קשר בין שני הסעיפים‬
‫‪- 123 -‬‬
‫חוברת מבחני מחצית י'‬
‫"נוער מוכשר במתמטיקה"‬
‫‪------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------‬‬
‫‪ .2‬המרחק בין גשר ‪ A‬לגשר ‪ B‬הוא ‪ , m‬כאשר זרימת המים היא מכיוון גשר ‪ A‬לגשר ‪. B‬‬
‫בידיו של ספורטאי שני כדורים‪ .‬הספורטאי חותר מגשר ‪ A‬לכיוון גשר ‪ B‬עם כדור אחד בידיו )את הכדור‬
‫השני הותיר מתחת לגשר ‪ A‬והכדור החל להיסחף עם הזרם( ובשלב כלשהו עוזב את הכדור ונותן לו‬
‫להמשיך עם הזרם‪ ,‬כאשר הוא מיידית חוזר לכיוון גשר ‪. A‬‬
‫כשהספורטאי פוגש את הכדור השני הוא לוקח לידיו את הכדור וחותר יחד איתו לעבר גשר ‪. B‬‬
‫הספורטאי והכדור השני מגיעים באותו הזמן עם הכדור הראשון לגשר ‪. B‬‬
‫מהירותו של הספורטאי גדולה פי ‪ k‬ממהירות הזרם‪) .‬הניחו כי הנהר הינו צר וכי החתירה של הספורטאי‬
‫והסחיפה של הכדור הינם בקו ישר בלבד וללא סחף לצידי הנהר(‪.‬‬
‫הביעו באמצעות ‪ m, k‬את המרחק הכללי שחתר הספורטאי‪.‬‬
‫‪ .3‬בזווית בת ‪ 60‬כלואים ‪ 9‬מעגלים‬
‫המשיקים זה לזה ולשוקי הזווית‪.‬‬
‫חשבו את היחס בין סכום שטחי כל המעגלים לשטח‬
‫המעגל הראשון )הקטן( הכלוא בזווית‪.‬‬
‫‪....‬‬
‫‪- 124 -‬‬
‫חוברת מבחני מחצית י'‬
‫"נוער מוכשר במתמטיקה"‬
‫‪------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------‬‬
‫פרק ב' – טריגונומטריה במישור‪ ,‬גיאומטריה )ניתן לפתור בשיטות של גיאומטריה אוקלידית או בכל דרך‬
‫‪2‬‬
‫אחרת(‪ 16 ) .‬נקודות(‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫עליך לענות על שאלה אחת מתוך שאלות ‪) .4-5‬לכל שאלה‬
‫‪3‬‬
‫‪ 16‬נקודות(‬
‫שים לב! אם תענה על יותר משאלה אחת‪ ,‬תיבדק רק התשובה הראשונה שבמחברתך‪.‬‬
‫‪ .4‬קצה אחד של קוטר חצי מעגל מתלכד עם קדקוד‬
‫זווית משולש שווה שוקיים‪.‬‬
‫הקצה השני עובר בבסיס המשולש‪) .‬ראו שרטוט(‬
‫כמו‪-‬כן נתון כי השוק ‪ BC‬משיקה לחצי המעגל בנקודה ‪. K‬‬
‫א‪ .‬הוכיחו כי ‪. BK 2 = BD ⋅ BA‬‬
‫ב‪ .‬נתון שהנקודה‬
‫‪ D‬מחלקת‬
‫את ‪AB‬‬
‫כך ש‪-‬‬
‫‪. AD = 4a , DB = 5a‬‬
‫הביעו באמצעות ‪ a‬את רדיוס חצי המעגל‪.‬‬
‫במידת הצורך דייק ‪ 3‬ספרות אחרי הנקודה העשרונית‬
‫‪ .5‬א‪ .‬משני קודקודי הבסיס של משולש שווה צלעות בעל אורך‬
‫צלע ‪ , a‬העבירו גבהים ‪ BD‬ו‪ CE -‬ל‪ AC -‬ול‪AB -‬‬
‫בהתאמה‪ BF .‬ו‪ CG -‬הם חוצי הזוויות ‪ ∢DBC‬ו‪-‬‬
‫‪ ∢ECB‬בהתאמה‪) .‬ראו שרטוט(‪ .‬הביעו באמצעות ‪a‬‬
‫את שטח המרובע המוגבל בין ארבע נקודות החיתוך של‬
‫הישרים הללו )מרובע ‪.( IJKH‬‬
‫ב‪ .‬ישר חותך מעגל בעל רדיוס ‪ R‬בנקודות ‪ A, B‬כך ש‪-‬‬
‫‪.‬‬
‫‪AB = 45‬‬
‫אותו הישר חותך בנקודה ‪ D‬את הישר המאונך לקוטר‬
‫‪ AM‬והעובר דרך מרכזו ‪. O‬‬
‫מהנקודה‬
‫‪ B‬הנמצאת על המעגל הורידו אנך לקוטר‬
‫החותך אותו בנקודה ‪. C‬‬
‫הביעו באמצעות ‪ R‬את שטח הטרפז ‪. OCBD‬‬
‫הערה‪ :‬אין קשר בין שני הסעיפים‬
‫‪- 125 -‬‬
‫חוברת מבחני מחצית י'‬
‫"נוער מוכשר במתמטיקה"‬
‫‪------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------‬‬
‫פרק ג' – חדו"א של פונקציות טריגונומטריות‪ ,‬פולינומים‪ ,‬רציונאליות ושורש ריבועי‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫) ‪ 33‬נקודות(‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫עליך לענות על שתי שאלות מתוך שאלות ‪) .7-9‬לכל שאלה‬
‫‪3‬‬
‫‪ 16‬נקודות(‬
‫שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות‪ ,‬תיבדקנה רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך‪.‬‬
‫‪ .6‬נתונה הפונקציה‪:‬‬
‫‪mx 3‬‬
‫‪m + x2‬‬
‫= )‪f ( x‬‬
‫א‪ .‬המשיק לגרף הפונקציה בנקודה בה ‪ , x = 3‬מקביל לציר ה‪ , x -‬מצאו את ‪. m‬‬
‫ב‪ .‬הציבו את ה‪ m -‬שמצאתם וחקרו את הפונקציה לפי הסעיפים הבאים‪:‬‬
‫‪ (1‬תחום הגדרה‬
‫‪ (2‬נקודות חיתוך עם הצירים‬
‫‪ (3‬נקודות חשודות לקיצון וסיווגן‬
‫‪ (4‬תחומי עליה וירידה‬
‫‪ (5‬אסימפטוטות‬
‫‪ (6‬שרטוט‬
‫‪4‬‬
‫ג‪ .‬חשבו את ערך האינטגרל‪) I = ∫ f ( x)dx :‬הדרכה‪ :‬הציבו ‪( t = m + x 2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪sin x‬‬
‫‪ .7‬נתונה הפונקציה‬
‫‪(1 + cos x) 2‬‬
‫= ‪ , y‬בתחום‪[−2π , 2π ] :‬‬
‫א‪ .‬חקרו את הפונקציה לפי הסעיפים הבאים‪:‬‬
‫‪ (1‬נקודות חיתוך עם הצירים‬
‫‪ (2‬נקודות קיצון‬
‫‪ (3‬תחומי עליה וירידה‬
‫‪ (4‬אסימפטוטות‬
‫ב‪ .‬שרטטו את גרף הפונקציה אם ידוע כי לפונקציה נקודת פיתול ) ‪. ( 0, 0‬‬
‫‪π‬‬
‫= ‪ x‬מעבירים משיק לגרף הפונקציה‪ .‬מצאו את השטח המוגבל ע"י גרף הפונקציה‪,‬‬
‫ג‪ .‬בנקודה בה‬
‫‪2‬‬
‫המשיק וציר ה‪. x -‬‬
‫‪- 126 -‬‬
‫חוברת מבחני מחצית י'‬
‫"נוער מוכשר במתמטיקה"‬
‫‪------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------‬‬
‫‪ .8‬א‪ .‬רותי קנתה בד מלבני )המלבן הגדול( באורך של ‪ 5‬מטרים‬
‫ורוחב של ‪ 2‬מטרים‪ .‬בבד ישנו חור מלבני בגודל של ‪5‬‬
‫ס"מ על ‪ 2‬ס"מ הממוקם בפינת הבד )ראו שרטוט(‪ .‬רותי‬
‫החליטה שעליה לחתוך את פינת הבד דרך החור‪ ,‬כך‬
‫שיתאים לצרכיה‪ .‬נסמן ב‪ α -‬את זווית החיתוך‪.‬‬
‫)‪ (1‬הראו ששטח משולש הבד המתקבל מחיתוך הפינה‬
‫‪1‬‬
‫שווה ל‪( 2 cot α + 5)( 5 tan α + 2 ) -‬‬
‫‪2‬‬
‫)‪ (2‬חשבו את שטח משולש הבד המינימלי אותו תצטרך‬
‫‪5‬‬
‫‪2‬‬
‫רותי לגזור‪.‬‬
‫ב‪ .‬טרפז חסום בתוך חצי מעגל שרדיוסו ‪ , R‬כך שהבסיס הגדול של הטרפז מתלכד עם קוטר המעגל‪.‬‬
‫הביעו באמצעות ‪ R‬את שטח הטרפז המקסימלי המתקבל‪.‬‬
‫הערה‪ :‬אין קשר בין שני הסעיפים‬
‫בהצלחה!!!‬
‫‪- 127 -‬‬
‫חוברת מבחני מחצית י'‬
‫"נוער מוכשר במתמטיקה"‬
‫‪------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------‬‬
‫תשובות סופיות‪:‬‬
‫‪1 1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ .1‬א‪ (1) .‬או )‪, (2‬‬
‫‪4 6‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫ב‪ 4 .‬ימים‪.‬‬
‫)‪m(3k + 1‬‬
‫‪.2‬‬
‫‪k +3‬‬
‫‪48, 427,561 .3‬‬
‫‪ .4‬א‪ .‬הוכחה ב‪R = 4.0958a .‬‬
‫‪3+ 2 2‬‬
‫)‪a 2 (9 − 5 3‬‬
‫= ‪ S‬ב‪R .‬‬
‫‪ .5‬א‪.‬‬
‫‪4‬‬
‫‪12‬‬
‫=‪S‬‬
‫‪ −162 ‬‬
‫‪ 162 ‬‬
‫‪ , max  3,‬תחומי עליה‪:‬‬
‫‪ , min  −3,‬‬
‫‪ .6‬א‪ m = −6 .‬ב‪ (2) x < − 6 ∪ x > 6 (1) .‬אין )‪ (3‬‬
‫‪3 ‬‬
‫‪3‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ −3 < x < − 6 ∪ 6 < x < 3‬תחומי ירידה‪ (5) x = ± 6 (4) x < −3 ∪ x > 3 :‬שרטוט מטה ג‪.‬‬
‫‪I = 42 3 − 56 10 ~ −104.34‬‬
‫‪- 128 -‬‬
‫חוברת מבחני מחצית י'‬
‫"נוער מוכשר במתמטיקה"‬
‫‪------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------‬‬
‫‪ .7‬א‪ (−2π , 0) (2) (0, 0), (±2π , 0) (1) .‬מינימום קצה ‪ (2π , 0) ,‬מקסימום קצה‪ ,‬אין נקודות קיצון פנימיות‬
‫)‪ (3‬הפונקציה עולה בכל תחום הגדרתה )‪x = ±π (4‬‬
‫*לא התבקשנו‪ :‬קעירות כלפי מעלה‪ , −2π < x < −π ∪ 0 < x < π :‬קעירות כלפי מטה‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ −π < x < 0 ∪ π < x < 2π‬ג‪.‬‬
‫‪4‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ .8‬א‪ (1) .‬הוכחה )‪ 20 (2‬ב‪3R 2 .‬‬
‫‪4‬‬
‫‪- 129 -‬‬
‫חוברת מבחני מחצית י'‬
‫"נוער מוכשר במתמטיקה"‬
‫‪------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------‬‬
‫מבחן מחצית ‪ -‬כיתה י' ‪ -‬מועד א – תשע"ג ‪ -‬חלק ב'‬
‫יש לכתוב את הפתרונות בעט רגיל בלבד‪ .‬בחינה שתרשם בעפרון ‪ -‬לא יהיה ניתן‬
‫לערער עליה‪ .‬שימוש בעט מחיק יגרום לאי בדיקת הבחינה‪.‬‬
‫חומר עזר מותר בשימוש‪ :‬מחשבון )לא גרפי(‪ ,‬דפי נוסחאות מצורפים‪.‬‬
‫משך המבחן ‪ :‬שעתיים‬
‫מבנה השאלון ‪ :‬במבחן ‪ 2‬פרקים‪.‬‬
‫בפרק א' עליך לבחור שתי שאלות מתוך שאלות ‪.1-3‬‬
‫בפרק ב' עליך לבחור שאלה אחת מתוך שאלות ‪.4-5‬‬
‫מפתח ההערכה ‪ :‬ניקוד שווה לכל שאלה‪.‬‬
‫תשובות ללא דרך )חישוב ‪ /‬הסבר( לא תקבלנה ניקוד‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫חלק א' – וקטורים‪ ,‬גיאומטריה אנליטית‪ ,‬מספרים מרוכבים ) ‪ 66‬נקודות(‬
‫‪3‬‬
‫‪1‬‬
‫עליך לענות על שתיים מהשאלות ‪) .1-3‬לכל שאלה ‪ 33‬נקודות(‬
‫‪3‬‬
‫שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות‪ ,‬תיבדקנה רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך‪.‬‬
‫‪ .1‬א‪ .‬מצאו ואפיינו את המקום הגיאומטרי במישור של גאוס המיוצג ע"י המשוואה‪:‬‬
‫‪ , | z − 3 | + | z + 3 |= 10‬כאשר ‪. z ∈ ℂ‬‬
‫ב‪ .‬המקום הגיאומטרי שמצאתם בסעיף הקודם חותך את הפרבולה )‪ y 2 = 2 px , ( p > 0‬בשתי נקודות‬
‫‪ , A, B‬המקיימות ‪. y = ±2 3‬‬
‫)‪ (1‬מצאו את ‪. p‬‬
‫)‪ (2‬בנקודה ‪) A‬הנקודה הנמצאת ברביע הראשון( מעבירים משיק לפרבולה החותך את‬
‫המקום הגיאומטרי הנ"ל בנקודה ‪ , C‬מצאו את שטח‬
‫המשולש ‪ O ) ACO‬ראשית הצירים(‪.‬‬
‫דייקו ‪ 3‬ספרות אחרי הנקודה העשרונית‬
‫‪ .2‬בטטראדר ‪ , SABC‬הבסיס ‪ ABC‬משולש ישר זווית ) ‪( ∢B = 90‬‬
‫והמקצוע ‪ AS‬מאונך לבסיס‪ .‬הנקודה ‪ D‬נמצאת על ‪BS‬‬
‫ ‬
‫כך ש‪ , 0 < t < 1 ) BD = t BS -‬ראו שרטוט(‪.‬‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫נסמן‪AS = w, AB = u , AC = v :‬‬
‫ ‬
‫א‪ .‬הביעו באמצעות ‪ u, v, w‬ו‪ t -‬את ‪. AD, CD‬‬
‫ב‪ .‬בנוסף נתון‪. 1.5 | v |=| w |= 3 | u | :‬‬
‫)‪ (1‬מצאו את ערכי ‪ t‬עבורם הזווית ‪ ∢ADC‬חדה‪.‬‬
‫)‪ (2‬מצאו את ערך ‪ t‬עבורו יהיה שטח המשולש‬
‫‪ ADC‬מינימלי‪ .‬דייקו ‪ 3‬ספרות אחרי הנקודה העשרונית‬
‫‪- 130 -‬‬
‫חוברת מבחני מחצית י'‬
‫"נוער מוכשר במתמטיקה"‬
‫‪------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------‬‬
‫‪ .3‬א‪ .‬פתרו את המשוואה הבאה‪:‬‬
‫‪zz + 3 z + | z |2 + Re ( z 2 ) = 9 − 3 3i , z ∈ ℂ‬‬
‫ב‪ .‬אחד מפתרונות המשוואה ‪ ,‬הנמצא ברביע הראשון ) נסמנו ב‪ ,( w -‬מהווה גם אחד מפתרונות‬
‫המשוואה‪ w6 = wɶ :‬כאשר ‪w, wɶ ∈ ℂ‬‬
‫)‪ (1‬נסמן ב‪ w0 .....w5 -‬את פתרונות המשוואה הנ"ל‪ ,‬חשבו את הסכומים‪:‬‬
‫)‪(Ι‬‬
‫‪| w0 |3 + | w1 |3 + | w2 |3 + | w3 |3 + | w4 |3 + | w5 |3‬‬
‫) ‪( ΙΙ‬‬
‫‪wo + w1 + w2 + w3 + w4 + w5‬‬
‫)‪ (2‬פתרונות המשוואה ‪ , w0 .....w5‬מהווים קדקודים של מצולע משוכלל החסום במעגל שמרכזו‬
‫בראשית הצירים‪ .‬חשבו את היקף המצולע‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫חלק ב' – חדו"א ואלגברה של מעריכיות לוגריתמיות ) ‪ 33‬נקודות(‬
‫‪3‬‬
‫עליך לענות על שאלה אחת מתוך שאלות ‪.4-5‬‬
‫שים לב! אם תענה על יותר משאלה אחת‪ ,‬תיבדק רק התשובה הראשונה שבמחברתך‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪x2‬‬
‫‪ .4‬נתונה הפונקציה‪:‬‬
‫‪xe‬‬
‫‪x2 + A‬‬
‫= )‪. ( A < 0) , f ( x‬‬
‫א‪ .‬האם הפונקציה זוגית‪/‬אי‪-‬זוגית? נמקו‪.‬‬
‫ב‪ .‬הביעו באמצעות ‪ A‬את‪:‬‬
‫)‪ (1‬תחום ההגדרה של הפונקציה‬
‫)‪ (2‬נקודות הקיצון של הפונקציה )אם ישנן( ‪ ,‬תחומי עליה וירידה‬
‫)‪ (3‬נקודות חיתוך עם הצירים‬
‫)‪ (4‬אסימפטוטות‬
‫ג‪ .‬שרטטו את גרף הפונקציה‪.‬‬
‫‪- 131 -‬‬
‫חוברת מבחני מחצית י'‬
‫"נוער מוכשר במתמטיקה"‬
‫‪------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------‬‬
‫‪1‬‬
‫)‪ln m ( x + 1‬‬
‫‪, g ( x) = m‬‬
‫‪ .5‬נתונה הפונקציה‬
‫‪2‬‬
‫‪x +1‬‬
‫≥ ‪.m‬‬
‫א‪ .‬הביעו באמצעות ‪ m‬את‪:‬‬
‫)‪ (1‬תחום ההגדרה של הפונקציה‪.‬‬
‫)‪ (2‬נקודות החיתוך של הפונקציה עם הצירים )אם ישנן(‪.‬‬
‫)‪ (3‬נקודות הקיצון של הפונקציה ואת תחומי העליה והירידה‪.‬‬
‫)‪ (4‬האסימפטוטות המקבילות לצירים של הפונקציה‪.‬‬
‫ב‪ .‬שרטטו את גרף הפונקציה‪.‬‬
‫ג‪ .‬הבע באמצעות ‪ m‬את נפח גוף הסיבוב המתקבל מסיבוב גרף הפונקציה )‪ g ( x‬סביב ציר ה‪ , x -‬בין‬
‫‪1‬‬
‫הישרים ‪. x = 0, x = e 2 − 1‬‬
‫בהצלחה!!!‬
‫‪- 132 -‬‬
‫חוברת מבחני מחצית י'‬
‫"נוער מוכשר במתמטיקה"‬
‫‪------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------‬‬
‫תשובות סופיות‬
‫‪25‬‬
‫‪x2 y 2‬‬
‫ב‪3 ~ 6.186 (2) p = 2.4 (1) .‬‬
‫‪+‬‬
‫‪ .1‬א‪ .‬אליפסה ‪= 1 :‬‬
‫‪7‬‬
‫‪25 16‬‬
‫‬
‫‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫=‪t‬‬
‫)‪(2‬‬
‫‪ .2‬א‪ , AD = (1 − t )u + tw , CD = −v + (1 − t )u + tw .‬ב‪< t < 1 (1) .‬‬
‫‪13‬‬
‫‪10‬‬
‫= ‪S AOC‬‬
‫‪ .3‬א‪ z1 = 1 + 3i, z2 = −2 + 3i .‬ב‪.12 (2) 0 ( ΙΙ ) 48 ( Ι ) (1) .‬‬
‫‪ .4‬א‪ .‬הפונקציה אי זוגית ב‪ (1) .‬תחום הגדרה‪ (2) x < − − A ∪ x > − A :‬אין נקודות קיצון‪,‬‬
‫הפונקציה יורדת בתחום הגדרתה )‪ (3‬אין נקודות חיתוך עם הצירים )‪(4‬אסימפטוטות‬
‫‪. x = ± − A , y = ±1‬‬
‫ג‪ .‬שרטוט‪:‬‬
‫‪m‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 2m  ‬‬
‫‪ (0, 0) min ,  e2 m − 1, m ‬תחומי עלייה‪0 < x < e 2 m −1 :‬‬
‫‪ .5‬א‪  max (3) (0, 0) (2) x ≥ 0 (1) .‬‬
‫‪‬‬
‫‪e‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫תחומי ירידה‪ y = 0 (4) x > e 2 m −1 :‬ב‪ .‬שרטוט‬
‫ג‪.‬‬
‫‪π m2‬‬
‫‪(2m + 1)22 m +1‬‬
‫‪.‬‬
‫‪- 133 -‬‬
‫חוברת מבחני מחצית י'‬
‫"נוער מוכשר במתמטיקה"‬
‫‪------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------‬‬
‫מבחן מחצית י' מועד ב' תשע"ג‬
‫חלק א' שאלון ‪035806‬‬
‫יש לכתוב את הפתרונות בעט רגיל בלבד‪ .‬בחינה שתרשם בעפרון ‪ -‬לא יהיה ניתן‬
‫לערער עליה‪ .‬שימוש בעט מחיק יגרום לאי בדיקת הבחינה‪.‬‬
‫חומר עזר מותר בשימוש ‪ :‬מחשבון )לא גרפי(‪ ,‬דפי נוסחאות מצורפים‪.‬‬
‫משך המבחן ‪ :‬שלוש שעות וחצי‬
‫מבנה השאלון ‪ :‬במבחן ‪ 3‬פרקים‪.‬‬
‫בפרק א' עליך לבחור שתי שאלות מתוך שאלות ‪.1-3‬‬
‫בפרק ב' עליך לבחור שאלה אחת מתוך שאלות ‪.4-5‬‬
‫בפרק ג' עליך לבחור שתי שאלות מתוך שאלות ‪.6-8‬‬
‫מפתח ההערכה ‪ :‬הניקוד על כל השאלות שווה‪ .‬תשובות ללא דרך )חישוב ‪ /‬הסבר( לא תקבלנה ניקוד‪.‬‬
‫פרק ראשון – בעיות מילוליות וסדרות ) ‪ 33 1 3‬נקודות(‬
‫ענה על שתיים מהשאלות ‪) .1-3‬לכל שאלה ‪ 16 2‬נקודות(‬
‫‪3‬‬
‫שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות‪ ,‬תבדקנה רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך‪.‬‬
‫‪ .1‬נתונה סדרה חשבונית שבה ‪ 194‬איברים‪ .‬האיבר השמיני קטן ב‪ 16 -‬מהאיבר הרביעי והאיבר‬
‫הראשון שווה ל‪. 1 -‬‬
‫א‪ .‬חשב את סכום ‪ 15‬האיברים האחרונים בסדרה הנתונה‪.‬‬
‫ב‪ .‬מהסדרה הנתונה התקבלה סדרה חדשה כך שהפכו את סימני האיברים העומדים במקומות הזוגיים‬
‫בסדרה הנתונה‪.‬‬
‫חשב את סכום הסדרה החדשה‪.‬‬
‫‪ .2‬המרחק בין עיר א' לעיר ב' הוא ‪ 4‬ק"מ‪.‬‬
‫מכונית והולך רגל יצאו באותה השעה מעיר א' אל עיר ב'‪ .‬כעבור ‪ 10‬דקות פגש הולך הרגל את המכונית‪,‬‬
‫שעשתה דרכה בחזרה‪ ,‬לאחר שהגיעה לעיר ב'‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫כשהולך הרגל עבר‬
‫‪14‬‬
‫מהירות המכונית והולך הרגל אינן משתנות בזמן תנועתם וכמו כן לא עצרו בתנועתם‪.‬‬
‫ק"מ נוספים‪ ,‬שוב נפגש עם המכונית שיצאה לעיר ב' מיד לאחר שהגיעה לעיר א'‪.‬‬
‫מצא את מהירותו של הולך הרגל ואת מהירות המכונית‪.‬‬
‫‪- 134 -‬‬
‫חוברת מבחני מחצית י'‬
‫"נוער מוכשר במתמטיקה"‬
‫‪------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------‬‬
‫‪ .3‬המרחק בין אשדוד לבאר‪-‬שבע הוא ‪ 72‬ק"מ‪ .‬ביום ראשון בשעה ‪ 10 : 00‬בבוקר יוצא אבי רכוב על‬
‫אופניו מאשדוד לכיוון באר‪-‬שבע‪ .‬לאחר שאבי עובר ‪ 1‬מהדרך יוצא בני על אופניו מבאר‪-‬שבע לכיוון‬
‫‪8‬‬
‫אשדוד‪ .‬שלוש שעות לאחר שבני יצא לקראת אבי‪ ,‬נפגשו השניים‪ .‬ביום שני בשעה ‪ 9 : 00‬בבוקר יוצאים‬
‫אבי ובני בו‪-‬זמנית זה לקראת זה מאשדוד ומבאר‪-‬שבע )בהתאמה( באותה המהירות בה רכבו ביום‬
‫הקודם‪ .‬לאחר שבני עבר את מחצית הדרך מבאר‪-‬שבע אל אשדוד הוא עוצר וממתין שעה עד שאבי פוגש‬
‫אותו‪ .‬מהירות כל אחד מהם קבועה בכל קטע דרך‪.‬‬
‫חשב באיזו שעה יצא בני לכיוון אשדוד ביום ראשון‪.‬‬
‫פרק שני – גאומטריה וטריגונומטריה במישור ) ‪ 16 2 3‬נקודות(‬
‫ענה על שאלה אחת מהשאלות ‪) .4-5‬לכל שאלה ‪ 16 2‬נקודות(‬
‫‪3‬‬
‫שים לב! אם תענה על יותר משאלה אחת‪ ,‬תיבדק השאלה הראשונה שבמחברתך‪.‬‬
‫‪ .4‬במשולש ישר זווית ‪ (∢ACB = 900 ) △ ABC‬חסום מעגל שמרכזו בנקודה ‪. O‬‬
‫הצלע ‪ BC‬משיקה למעגל בנקודה ‪ . E‬המשך הקטע ‪ AO‬חותך את‬
‫השוק ‪ BC‬בנקודה ‪. F‬‬
‫נתון‪ 15 :‬ס"מ = ‪ 25 , AC‬ס"מ = ‪. AB‬‬
‫א‪ .‬חשב את אורך הקטע ‪. CF‬‬
‫ב‪ .‬חשב את אורך הקטע ‪. EF‬‬
‫‪ .5‬נתון משולש שווה שוקיים ‪ . DE BC , ( AB = BC ) △ ABC‬נסמן‪:‬‬
‫‪. BC = a, ∢DBC = β , ∢C = γ‬‬
‫א‪ .‬הבע את ‪ DE‬בעזרת ‪. a, β , γ‬‬
‫ב‪ .‬נתון‪ . β = γ , 3AD = AC :‬חשב את ‪. β‬‬
‫‪- 135 -‬‬
‫חוברת מבחני מחצית י'‬
‫"נוער מוכשר במתמטיקה"‬
‫‪------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------‬‬
‫‪1‬‬
‫פרק שלישי‪ :‬חדו"א בפונקציות פולינום‪ ,‬שורש‪ ,‬רציונליות וטריגונומטריות ) ‪ 33‬נקודות(‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫ענה על שתיים מהשאלות ‪) .7-9‬לכל שאלה‬
‫‪3‬‬
‫‪ 16‬נקודות(‬
‫שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות‪ ,‬תבדקנה רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך‪.‬‬
‫‪ .6‬בשרטוט שלפניך מוצגת סקיצת גרף של הפונקציה )‪. f ( x‬‬
‫נסמן )‪ F ( x‬פונקציה קדומה של )‪. ( F '( x) = f ( x) ) f ( x‬‬
‫נתון‪. F (0) = 2 , F (2) = 0 :‬‬
‫א‪ .‬שרטט סקיצה של )‪ F ( x), F ''( x‬בתחום ‪. −5 ≤ x ≤ 4‬‬
‫נמק את דרך עבודתך‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪0‬‬
‫‪−2‬‬
‫ב‪ .‬חשב‪. ∫ F ''( x)dx − ∫ f ( x)dx :‬‬
‫‪2− x‬‬
‫‪ .7‬נתונה הפונקציה ‪:‬‬
‫‪x2 + 4‬‬
‫‪. f ( x) = 4 +‬‬
‫א‪ .‬חקור את הפונקציה ומצא את תחום ההגדרה‪ ,‬נקודות חיתוך עם הצירים‪ ,‬נקודות קיצון‪ ,‬תחומי העלייה‬
‫והירידה ואת האסימפטוטות של הפונקציה המקבילות לצירים‪.‬‬
‫ב‪ .‬שרטט סקיצה של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫ג‪ .‬העבר משיק לגרף )‪ f ( x‬בנקודת החיתוך שלה עם ציר ‪ , y‬מצא את נקודות החיתוך של המשיק עם גרף‬
‫הפונקציה והורד אנכים מנקודות אלו לציר ‪. x‬‬
‫ד‪ .‬נסמן‬
‫‪2‬‬
‫‪x2 + 4‬‬
‫= )‪ . g ( x‬נתון‪ :‬הגרפים של הפונקציות )‪ f ( x), g ( x‬אינם נחתכים‪ .‬מבלי לחקור את‬
‫)‪ , g ( x‬חשב את השטח המוגבל בין הגרפים של הפונקציות )‪ f ( x), g ( x‬ובין האנכים שמצאת בסעיף ג'‪.‬‬
‫‪ .8‬נתונות שתי פונקציות‪:‬‬
‫‪f ( x) = 16 cos 4 ( 2 x ) − 24cos 2 ( 2 x ) + 9‬‬
‫א‪ .‬מצא את נקודת האפס של )‪ f ( x‬בתחום‬
‫)‪g ( x) = −8sin(4 x‬‬
‫‪π‬‬
‫‪3‬‬
‫‪.‬‬
‫< ‪.0 ≤ x‬‬
‫ב‪ .‬נסמן את הנקודה שמצאת בסעיף א' ) ‪ ( x0 , 0‬ונגדיר פונקציה )‪. h( x) = f ( x) ⋅ g ( x‬‬
‫‪3‬‬
‫‪π‬‬
‫חשב‪π ⋅ ∫ h 2 ( x)dx = ? :‬‬
‫‪x0‬‬
‫בהצלחה!‬
‫‪- 136 -‬‬
‫חוברת מבחני מחצית י'‬
‫"נוער מוכשר במתמטיקה"‬
‫‪------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------‬‬
‫תשובות סופיות‬
‫‪ .1‬א‪ −11,145 .‬ב‪388 .‬‬
‫‪ .2‬מהירות הולך רגל ‪ 3‬קמ"ש‪ ,‬מהירות המכונית ‪ 45‬קמ"ש‬
‫‪ .3‬בשעה ‪11: 00‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ .4‬א‪ 7 .‬ב‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪a sin β‬‬
‫‪ .5‬א‪.‬‬
‫) ‪2 cos γ sin( β + γ‬‬
‫‪.6‬‬
‫‪DE = a −‬‬
‫ב‪β = 52.239° .‬‬
‫א‪ .‬שרטוט‪:‬‬
‫ב‪2 .‬‬
‫‪ .7‬א‪ .‬תחום‪ , ℝ :‬חיתוך‪ , (0, 5) :‬קיצון‪ (−2,5.414) :‬מקס'‪ ,‬עלייה‪ , x < −2 :‬ירידה‪, −2 < x :‬‬
‫אסימפטוטות‪. y = 3, 5 :‬‬
‫ב‪ .‬שרטוט‪:‬‬
‫ג‪ (0, 5) , (2, 4) .‬ד‪ 7.172 .‬יח"ר‬
‫‪8π‬‬
‫‪π ‬‬
‫‪ .8‬א‪  , 0  .‬ב‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ 12 ‬‬
‫‪−8.378 = −‬‬
‫‪- 137 -‬‬
‫חוברת מבחני מחצית י'‬
‫"נוער מוכשר במתמטיקה"‬
‫‪------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------‬‬
‫מבחן מחצית י' מועד ב'‬
‫חלק ב' שאלון ‪035807‬‬
‫יש לכתוב את הפתרונות בעט רגיל בלבד‪ .‬בחינה שתרשם בעפרון ‪ -‬לא יהיה ניתן‬
‫לערער עליה‪ .‬שימוש בעט מחיק יגרום לאי בדיקת הבחינה‪.‬‬
‫חומר עזר מותר בשימוש ‪ :‬מחשבון )לא גרפי(‪ ,‬דפי נוסחאות מצורפים‪.‬‬
‫מבנה השאלון ‪ :‬במבחן ‪ 2‬פרקים‪.‬‬
‫משך המבחן ‪ :‬שעתיים‬
‫בפרק א' עליך לבחור שתי שאלות מתוך שאלות ‪.1-3‬‬
‫בפרק ב' עליך לבחור שאלה אחת מתוך שאלות ‪.4-5‬‬
‫מפתח ההערכה ‪ :‬הניקוד על כל השאלות שווה‪.‬‬
‫תשובות ללא דרך )חישוב ‪ /‬הסבר( לא תקבלנה ניקוד‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫חלק א' – וקטורים‪ ,‬גיאומטריה אנליטית ומספרים מרוכבים ) ‪ 66‬נקודות(‬
‫‪3‬‬
‫‪1‬‬
‫עליך לענות על שתיים מהשאלות ‪) .1-3‬לכל שאלה ‪ 33‬נקודות(‬
‫‪3‬‬
‫שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות‪ ,‬ייבדקו רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך‪.‬‬
‫‪ .1‬על המעגל ‪ x 2 + y 2 = R 2‬נסמן נקודה כלשהי ‪ . A‬מהנקודה ‪ A‬נעביר מקביל לציר ‪ . x‬על המקביל נקצה‬
‫מנקודה ‪ A‬קטע באורך ‪ 2R‬יחידות בכיוון החיובי של ציר ‪ x‬ונקבל את הנקודה )‪. P(x, y‬‬
‫א‪ .‬הוכח כי המקום הגיאומטרי של כל הנקודות )‪ P(x, y‬המתקבלות בדרך זו הוא מעגל‪ .‬רשום את‬
‫שיעורי מרכז המעגל ואת רדיוסו‪.‬‬
‫ב‪ .‬המקום הגיאומטרי של מרכזי כל המעגלים המשיקים למעגל שקיבלת בסעיף א' ולישר ‪ x = -t‬הוא‬
‫פרבולה קנונית‪ .‬הבע את ‪ t‬ואת משוואת הפרבולה באמצעות ‪. R‬‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‪ .2‬נתון טטראדר ‪ . ABCD‬נסמן ‪. AC = u , BC = v , CD = w‬‬
‫נתון כי ‪. w ⊥ v , w ⊥ u‬‬
‫‪ – F‬נקודה על מקצוע ‪ AD‬המקיימת‬
‫ ‪3‬‬
‫‪8‬‬
‫ ‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫ ‬
‫‪FD = t AD‬‬
‫‪.‬‬
‫‬
‫נקודה ‪ G‬מקיימת ‪. BG = BC + BA‬‬
‫‬
‫א‪ .‬הבע את ‪ FG‬באמצעות ‪. t,u ,v ,w‬‬
‫ב‪ .‬נתון בנוסף כי ‪. ∢ACB = 600 , u = 8 , v = 4 , w = 1‬‬
‫‬
‫‬
‫מצא את האורך של ‪ DG‬ושל ‪. AB‬‬
‫א‪.‬‬
‫נתון בנוסף לסעיפים הקודמים כי ‪. ∢FDG = 120 ,∢DFG = 450‬‬
‫חשב את הערך של ‪. t‬‬
‫‪ z = cos α + i sin α .3‬הוא מספר מרוכב ‪.‬‬
‫א‪ .‬פתור את המשוואה‪. z ⋅ z = z + z :‬‬
‫‪- 138 -‬‬
‫חוברת מבחני מחצית י'‬
‫"נוער מוכשר במתמטיקה"‬
‫‪------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------‬‬
‫ב‪ .‬שני הפתרונות שמצאת בסעיף א' הם קודקודי הבסיס של משולש שווה שוקיים החסום במעגל‬
‫שמרכזו בראשית הצירים‪ .‬מצא את הקודקוד השלישי של המשולש )מצא את כל האפשרויות(‪.‬‬
‫ג‪ .‬נתון‪ z 3 = w4 :‬כאשר ‪ z‬הוא הפתרון הנמצא ברביע הראשון מסעיף א'‪ .‬חשב את ‪. w‬‬
‫‪1‬‬
‫חלק ב' – חדו"א ואלגברה של מעריכיות לוגריתמיות‪ ,‬בעיות גדילה ודעיכה ) ‪ 33‬נקודות(‬
‫‪3‬‬
‫עליך לענות על שאלה אחת מתוך שאלות ‪.4-5‬‬
‫שים לב! אם תענה על יותר משאלה אחת‪ ,‬תיבדק רק התשובה הראשונה שבמחברתך‪.‬‬
‫‪ 1− x ‬‬
‫‪. f ( x) = ln ‬‬
‫‪ .4‬א‪ .‬נתונה הפונקציה ‪‬‬
‫‪ 1+ x ‬‬
‫‪ .1‬מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה‪.‬‬
‫‪ .2‬מצא את נקודות הקיצון של הפונקציה )אם ישנן(‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫ב‪ .‬נתונה הפונקציה‬
‫‪x −1‬‬
‫‪2‬‬
‫= )‪. g ( x‬‬
‫‪ .1‬מצא את נקודות הקיצון של )‪ g ( x‬וקבע את סוגן‪.‬‬
‫‪ .2‬שרטט סקיצה של )‪. g ( x‬‬
‫‪1‬‬
‫ג‪ .‬חשב את השטח ברביע הרביעי המוגבל על ידי הישר ‪ , y = 2 x − 2‬הישר‬
‫‪2‬‬
‫= ‪ x‬ועל ידי‬
‫הגרף של )‪. g ( x‬‬
‫‪a‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ .5‬נתונה הפונקציה ‪ a > 0 ) f ( x) = x e‬פרמטר(‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫לגרף הפונקציה יש נקודת קיצון כאשר ‪. y = e2‬‬
‫א‪ .‬חשב את ‪. a‬‬
‫הצב את ה‪ a -‬שמצאת וענה על הסעיפים הבאים‪:‬‬
‫ב‪ .‬מצא את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה‪.‬‬
‫ג‪ .‬מצא את תחומי הקעירות כלפי מעלה ואת תחומי הקעירות כלפי מטה של )‪. f ( x‬‬
‫ד‪ .‬מצא את האסימפטוטות המקבילות לצירים )אם ישנן(‪.‬‬
‫ה‪ .‬שרטט את גרף הפונקציה )‪. f ( x‬‬
‫בהצלחה!!!‬
‫ו‪ .‬שרטט את גרף הפונקציה )‪. g ( x) = f '( x‬‬
‫‪- 139 -‬‬
‫חוברת מבחני מחצית י'‬
‫"נוער מוכשר במתמטיקה"‬
‫‪------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------‬‬
‫תשובות סופיות‬
‫‪ .1‬א‪ ( 2R,0 ) .‬רדיוס ‪ R‬ב‪t = R , y 2 = 8RX .‬‬
‫‬
‫‪3‬‬
‫‪1‬‬
‫א‪FG = ( t − )u + ( t − 1 )w − v .‬‬
‫‪8‬‬
‫‪8‬‬
‫‪.2‬‬
‫‬
‫‬
‫ב‪DG = 11.75 , AB = 48 .‬‬
‫‪1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪π‬‬
‫‪π‬‬
‫‪5π‬‬
‫‪π‬‬
‫‪+‬‬
‫‪i , z2 = −‬‬
‫‪ cos + i sin , cos‬או ‪i‬‬
‫‪ .3‬א‪+ i sin .‬‬
‫‪2 2‬‬
‫‪2 2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫ב‪ (1, 0) .‬או‬
‫ג‪t ≈ 0.5 .‬‬
‫= ‪z1‬‬
‫) ‪( −1, 0‬‬
‫‪π π ‬‬
‫‪π π ‬‬
‫ג‪wk = cos  + k  + i sin  + k  k = 0,1, 2,3 .‬‬
‫‪4 2 ‬‬
‫‪4 2 ‬‬
‫‪ .4‬א‪ −1 < x < 1 .1‬א‪ .2‬לפונקציה אין נקודות קיצון‬
‫‪3‬‬
‫‪1‬‬
‫ג‪−   − ln   = 0.3486 .‬‬
‫‪4‬‬
‫‪ 3‬‬
‫ב‪ (0, −2) max .1‬ב‪.2‬‬
‫‪ .5‬א‪ a = 2 .‬ב‪ .‬עלייה‪ , x > 2 :‬ירידה‪0 < x < 2 or x < 0 :‬‬
‫ג‪ .‬הפונקציה קעורה כלפי מעלה בכל ת"ה‪.‬‬
‫ד‪ .‬אין אסימפטוטה אופקית‪.‬‬
‫כאשר ‪ x → 0 −‬יש "חור" בגרף בנקודה )‪ , (0, 0‬כאשר ‪ x → 0 +‬יש אסימפטוטה אנכית ‪x = 0‬‬
‫ה‪.‬‬
‫ו‪.‬‬
‫‪- 140 -‬‬