בחינה - GOOL
מתמטיקה 4יח"ל שאלון 804בחינות חזרה 1 תוכן העניינים: בחינה מספר 4 ..................................................................................................................................... 1 בחינה מספר 6 ..................................................................................................................................... 2 בחינה מספר 8 ..................................................................................................................................... 3 בחינה מספר 10.................................................................................................................................... 4 בחינה מספר 12.................................................................................................................................... 5 בחינה מספר 14.................................................................................................................................... 6 בחינה מספר 17.................................................................................................................................... 7 בחינה מספר 20.................................................................................................................................... 8 בחינה מספר 23.................................................................................................................................... 9 בחינה מספר 26.................................................................................................................................. 10 בחינה מספר 29.................................................................................................................................. 11 בחינה מספר 32.................................................................................................................................. 12 בחינה מספר 35.................................................................................................................................. 13 בחינה מספר 38.................................................................................................................................. 14 בחינה מספר 41.................................................................................................................................. 15 בחינה מספר 43.................................................................................................................................. 16 בחינה מספר 46.................................................................................................................................. 17 בחינה מספר 49.................................................................................................................................. 18 בחינה מספר 52.................................................................................................................................. 19 בחינה מספר 55.................................................................................................................................. 20 בחינה מספר 58.................................................................................................................................. 21 בחינה מספר 61.................................................................................................................................. 22 בחינה מספר 64.................................................................................................................................. 23 בחינה מספר 67.................................................................................................................................. 24 בחינה מספר 70.................................................................................................................................. 25 בחינה מספר 73.................................................................................................................................. 26 בחינה מספר 76.................................................................................................................................. 27 בחינה מספר 79.................................................................................................................................. 28 בחינה מספר 82.................................................................................................................................. 29 בחינה מספר 85.................................................................................................................................. 30 2 תשובות סופיות88................................................................................................................................ : בחינה 88........................................................................................................................................ :1 בחינה 88........................................................................................................................................ :2 בחינה 88........................................................................................................................................ :3 בחינה 89........................................................................................................................................ :4 בחינה 89........................................................................................................................................ :5 בחינה 89........................................................................................................................................ :6 בחינה 90........................................................................................................................................ :7 בחינה 90........................................................................................................................................ :8 בחינה 90........................................................................................................................................ :9 בחינה 90...................................................................................................................................... :10 בחינה 91...................................................................................................................................... :11 בחינה 91...................................................................................................................................... :12 בחינה 91...................................................................................................................................... :13 בחינה 92...................................................................................................................................... :14 בחינה 92...................................................................................................................................... :15 בחינה 93...................................................................................................................................... :16 בחינה 93...................................................................................................................................... :17 בחינה 93...................................................................................................................................... :18 בחינה 94...................................................................................................................................... :19 בחינה 94...................................................................................................................................... :20 בחינה 94...................................................................................................................................... :21 בחינה 95...................................................................................................................................... :22 בחינה 95...................................................................................................................................... :23 בחינה 95...................................................................................................................................... :24 בחינה 96...................................................................................................................................... :25 בחינה 96...................................................................................................................................... :26 בחינה 97...................................................................................................................................... :27 בחינה 97...................................................................................................................................... :28 בחינה 98...................................................................................................................................... :29 בחינה 99........................................................................................................................................30 3 בחינה מספר 1 שים לב! הסבר את כל פעולותיך ,כולל חישובים ,בפירוט ובצורה ברורה. חוסר פירוט עלול לגרום לפגיעה בציון או לפסילת הבחינה. פרק ראשון – אלגברה ,גיאומטריה אנליטית ,הסתברות ( 40נקודות) ענה על שתיים מבין השאלות ( 1-3לכל שאלה – 20נקודות). שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות ,תיבדקנה רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך. .1אופנוע עובר מרחק של 200ק"מ במהירות מסוימת. לאחר מכן מאיץ האופנוע ומגדיל את מהירותו ב.40%- הוא נוסע במהירות זו ועובר מרחק של 280ק"מ. המהירות הממוצעת של האופנוע היא 96קמ"ש. א .כמה זמן נסע האופנוע? ב .באיזו מהירות התחיל האופנוע את נסיעתו? .2נתון ישר שמשוואתו . y 2 x 10הישר חותך את ציר ה x -בנקודה Aואת ציר הy - בנקודה .Bבנקודה Aמעבירים משיק למעגל שהקטע ABהוא קוטרו. המשיק חותך את ציר ה y -בנקודה .Cמצא את אורך הקטע .BC 70% .3מאוהדי מכבי ת"א הם גברים והשאר נשים 40% .מהאוהדים מעשנים. נתון כי 45%מהאוהדים הם גברים שאינם מעשנים. א .מהו אחוז הנשים המעשנות מבין אוהדי מכבי? ב .בוחרים באקראי אוהד מכבי .מה ההסתברות שהוא גבר או שהוא מעשן? ג .בוחרים באקראי אישה שאוהדת מכבי .מה ההסתברות שהיא מעשנת? ד .האם מין האוהד והעובדה שהוא מעשן הם מאורעות תלויים? פרק שני – גיאומטריה וטריגונומטריה במישור ( 20נקודות) ענה על שאלה אחת מבין השאלות .4-5 שים לב! אם תענה על שתי השאלות ,תיבדקנה רק התשובה הראשונה שבמחברתך. DE .4הוא קוטר במעגל .בנקודה Dמעבירים משיק למעגל. מנקודה ,Aשעל המעגל ,מעבירים ישר המקביל לקוטר .DE הישר חותך את המשיק למעגל בנקודה ( Fראה ציור). א .הוכח כי. AD2 AF DE : ב .נתון 4 :ס"מ = 9 , AFס"מ = .DE חשב את שטח הטרפז .AFDE 4 A E F D .5במחומש משוכלל ( ABCDEראה איור) ידוע כי אורך האלכסון ACהוא 15ס"מ. חשב את שטח המחומש. פרק שלישי – חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של פונקציות פולינום, פונקציות רציונאליות ושל פונקצית שורש ( 40נקודות) ענה על שתיים מבין השאלות ( 6-8לכל שאלה – 20נקודות). שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות ,תיבדקנה רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך. 9 x2 .6נתונה הפונקציה: x א .תחום הגדרה. ב .נקודות קיצון. ג .תחומי עלייה וירידה. ד .נקודות חיתוך עם הצירים. ה .אסימפטוטות המקבילות לצירים. ו .סרטוט סקיצה של גרף הפונקציה. . f x חקור את הפונקציה לפי הסעיפים הבאים: .7נתונה הפונקציה( y x 2 6 x 5 :ראה ציור). א .מצא את השיעורים של נקודת המקסימום של הפונקציה. ב .מהי משוואת הישר המשיק לגרף הפונקציה בנקודת המקסימום שלה? ג .מצא את השטח המוגבל על ידי המשיק בנקודת המקסימום ,הצירים וגרף הפונקציה (השטח המקווקו בציור). .8במשולש ישר זווית ( C 90 ) ABCסכום אורכי הניצבים הוא 8ס"מ. על היתר ABבונים ריבוע .ABDEמה צריכים להיות אורכי הניצבים, כדי ששטח המחומש AEDBCיהיה מינימלי. E A D B C בהצלחה! 5 בחינה מספר 2 שים לב! הסבר את כל פעולותיך ,כולל חישובים ,בפירוט ובצורה ברורה. חוסר פירוט עלול לגרום לפגיעה בציון או לפסילת הבחינה. פרק ראשון – אלגברה ,גיאומטריה אנליטית ,הסתברות ( 40נקודות) ענה על שתיים מבין השאלות ( 1-3לכל שאלה – 20נקודות). שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות ,תיבדקנה רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך. .1סוחר קנה שולחנות במחיר כולל של .₪ 18,000 10שולחנות הוא מכר ברווח של 60%לשולחן 20 ,שולחנות הוא מכר בלי רווח ואת שאר השולחנות הוא מכר בהפסד של 15%לשולחן. סה"כ הרוויח הסוחר בעסקאות אלו .₪ 450 א .כמה שולחנות קנה הסוחר? ב .מה המחיר ששים הסוחר בעבור כל שולחן? .2נתון מעוין ABCDשבו נתונים הקדקודים A 9,1ו. B 5, 7 - משוואת הישר עליו מונח האלכסון ACהיא. x 3 y 6 0 : א .מצא את משוואת הישר עליו מונח האלכסון .BD ב .מצא את משוואת הישר עליו מונחת הצלע .BC .3בכד יש 12כדורים חלקם אדומים וחלקם שחורים .מוציאים עם החזרה שני כדורים מהכד. א .מצא את מספר הכדורים האדומים שבכד אם ידוע כי ההסתברות ששני הכדורים שהוצאו הם שחורים היא.4/9 : ב .חלק מהכדורים עשויים מעץ והשאר עשויים מפלסטיק .ידוע כי 25%מהכדורים האדומים עשויים מעץ וכי 50%מהכדורים העשויים מעץ הם אדומים. מצא את ההסתברות לבחור כדור שחור העשוי מפלסטיק. ג .מוציאים מהכד 5כדורים בזה אחר זה עם החזרה. מה ההסתברות להוציא 4כדורים אדומים העשויים מפלסטיק? פרק שני – גיאומטריה וטריגונומטריה במישור ( 20נקודות) ענה על שאלה אחת מבין השאלות .4-5 שים לב! אם תענה על שתי השאלות ,תיבדקנה רק התשובה הראשונה שבמחברתך. .4במשולש ABCהנקודות Dו E-נמצאות על הצלעות BCו AB-בהתאמה. נתון כי. ADC BED , DE AC : א .הוכח כי המשולשים ADCו BED-דומים. ב .הוכח. AD BD AB DE : ג .ידוע כי הנקודה Dמחלקת את הצלע BCבאופן BD 4 וכי. AD BD 16 : הבא : DC 5 חשב את המכפלה. AB AC : 6 B .5נתון טרפז ABCDשאורכי צלעותיו נתונים בשרטוט. א .חשב את שטח הטרפז. ב .חשב את זוויות הטרפז. 5cm 20cm A 13cm D C 26cm פרק שלישי – חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של פונקציות פולינום, פונקציות רציונאליות ושל פונקצית שורש ( 40נקודות) ענה על שתיים מבין השאלות ( 6-8לכל שאלה – 20נקודות). שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות ,תיבדקנה רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך. .6נתון גרף של פונקציה. צייר על אותה מערכת צירים את גרף הנגזרת. נמק את שיקוליך בשרטוט. .7נתונה הפונקציה. f x x2 ax : הפונקציה עוברת דרך הנקודה ( A 2,8ראה ציור). א .מצא את ערך הפרמטר . a ב .הפונקציה חותכת את ציר ה x -בנקודה O 0, 0 ובנקודה .Bמצא את שיעורי הנקודה .B ג .חשב את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה, המיתר ABוציר ה. x - .5נתונה הפונקציה: A 2 2 x A A) , f x פרמטר חיובי). y 1 ידוע כי שיפוע הפונקציה בנקודת החיתוך שלה עם ציר ה y -הוא: 9 א .מצא את ערך הפרמטר . A ב .כתוב את משוואת המשיק לגרף הפונקציה בנקודת החיתוך עם ציר ה. y - f x x ג .הראה כי המשיק חותך את גרף הפונקציה בנקודה שבה. x 4.5 : ד .העבר ישר אופקי מנקודת החיתוך של המשיק וגרף הפונקציה מהסעיף הקודם. מצא את נקודת החיתוך הנוספת של ישר זה עם גרף הפונקציה. ה .חשב את השטח כלוא בין המשיק ,הישר וגרף הפונקציה (היעזר באיור). . בהצלחה! 7 בחינה מספר 3 שים לב! הסבר את כל פעולותיך ,כולל חישובים ,בפירוט ובצורה ברורה. חוסר פירוט עלול לגרום לפגיעה בציון או לפסילת הבחינה. פרק ראשון – אלגברה ,גיאומטריה אנליטית ,הסתברות ( 40נקודות) ענה על שתיים מבין השאלות ( 1-3לכל שאלה – 20נקודות). שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות ,תיבדקנה רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך. .1סירה שטה בנהר שבו מהירות הזרם היא 3קמ"ש עם כיוון זרם המים. לאחר חצי שעה החליטו אנשי הסירה לשנות את כיוונם וחזרו במשך שעתיים לנקודת המוצא שלהם .מהירות הסירה במים עומדים קבועה במשך כל השייט. א .מצא את מהירות הסירה. ב .מהו המרחק הכולל ששטה הסירה? .2נתון מעגל שמשוואתו . x 3 y 4 25 2 2 א .מצא את נקודות החיתוך של המעגל עם הצירים. ב .העבירו קוטר במעגל ,המאונך לציר ה . x -מצא את שטח המרובע הנוצר על ידי נקודות החיתוך שמצאת בסעיף א' ונקודת החיתוך של הקוטר עם המעגל הנמצאת ברביע הראשון. .3בית ספר תיכון מציע לתלמידיו 3מגמות ריאליות לבחירה :פיזיקה ,כימיה ומחשבים. 5 2 מתלמידי הכימיה 40%מתלמידי מגמות אלה הם בנים .הבנים מהווים מתלמידי הפיזיקה, 12 5 1 1 ו -מתלמידי המחשבים .מהבנים הם תלמידי פיזיקה. 4 3 א .האם יש תלות בין העובדה שתלמיד לומד פיזיקה למין התלמיד? ב .מהו אחוז לומדי המחשבים מקרב הבנים? פרק שני – גיאומטריה וטריגונומטריה במישור ( 20נקודות) ענה על שאלה אחת מבין השאלות .4-5 שים לב! אם תענה על שתי השאלות ,תיבדקנה רק התשובה הראשונה שבמחברתך. MN .4הוא קטע במעגל שמרכזו ב PK .O-משיק למעגל בנקודה Pומאונך ל .NQ-הנקודה Qנמצאת על המשך המיתר ( MPראה ציור). א .הוכח כי. MP KN PK PN : ב .הוכח כי. MP PQ : 8 Q P K N O M .5מהנקודה Oמעבירים את הקטעים OC , OB , OAו.OD- ידוע כי זווית AOBשווה לזווית CODוהיא מסומנת ב. - המשולש CODהוא ישר זווית . CDO 90 נתונים האורכים. AO 8 , BO 9 , DO 10 : מסמנים. BC 1.4m , CD 1.5m : א .הבע באמצעות mאת . sin (העזר במשולש CODובטא תחילה את .)CO ב .נתון גם כי . AB m :מצא את mאם ידוע כי 2 רדיוס המעגל החוסם את המשולש AOBהוא . 8 3 ג .חשב את זווית .BOC פרק שלישי – חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של פונקציות פולינום, פונקציות רציונאליות ושל פונקצית שורש ( 40נקודות) ענה על שתיים מבין השאלות ( 6-8לכל שאלה – 20נקודות). שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות ,תיבדקנה רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך. .6מצא וסווג את נקודות הקיצון של הפונקציה. f x x3 3b2 x : שרטט סקיצה של גרף הפונקציה אם ידוע כי. b 0 : 1 1 .7נתונות שתי פונקציות f x x 2 :ו. g x - x 2 מסמנים נקודה Aעל גרף הפונקציה f x ונקודה Bעל גרף הפונקציה g x כך שהקטע ABמקביל לציר ה. y - מצא את שיעורי הנקודות Aו B-עבורן אורך הקטע ABמינימלי. .8נתונה הפונקציה( f x 3x 2 6 x 9 :ראה איור). א .מצא את נקודות החיתוך של הפונקציה עם הצירים. ב .מסמנים ב A-את נקודת החיתוך של גרף הפונקציה עם ציר הy - וב B-את נקודת החיתוך החיובית של גרף הפונקציה עם ציר ה. x - מעבירים את הישר .AB חשב את השטח המוגבל בין גרף הפונקציה והישר .AB בהצלחה! 9 בחינה מספר 4 שים לב! הסבר את כל פעולותיך ,כולל חישובים ,בפירוט ובצורה ברורה. חוסר פירוט עלול לגרום לפגיעה בציון או לפסילת הבחינה. פרק ראשון – אלגברה ,גיאומטריה אנליטית ,הסתברות ( 40נקודות) ענה על שתיים מבין השאלות ( 1-3לכל שאלה – 20נקודות). שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות ,תיבדקנה רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך. .1בריבוע שלפניך חסומים שני חצאי עיגולים הפוכים זה לזה. ידוע כי סכום ההיקפים של שני החצאים יחדיו הוא .10 א .מצא את אורך צלע הריבוע. ב .i .מצא את סכום השטחים של שני חצאי העיגולים (השטח המקווקו). .iiמצא את השטח הכלוא בין העיגולים והריבוע (השטח הלבן). .2באיור שלפניך נתון מעגל שמשוואתו a, x a y 1 5 :פרמטר. 2 2 ידוע כי המעגל חותך את ציר ה x -בנקודה. A 10,0 : א .מצא את aאם ידוע כי. a 10 : C ב .מצא את הנקודה - Bנקודת החיתוך השנייה של המעגל M עם ציר ה. x - x ג .כתוב את משוואת הקוטר העובר דרך הנקודה B B A ומרכז המעגל .M ד .מצא את נקודת החיתוך השנייה של הקוטר עם המעגל. ה .מעבירים אנך מנקודת החיתוך שמצאת בסעיף הקודם לציר ה y -בנקודה .D הנקודה Eהיא הנקודה בעלת שיעור ה y -הגדול ביותר על המעגל. מחברים את הנקודות Eו D-כך שנוצר המחומש .DECBOחשב את שטחו. y E .3בחדר xגברים ו 3x -נשים .מוציאים באקראי שני אנשים מהחדר. ההסתברות שהם יהיו מאותו מין היא .0.6 א .מצא את גודלו של . x ב .חוזרים על התהליך 4פעמים .מה הסיכוי שבשלוש מתוך 4הפעמים ייצאו מהחדר שתי נשים? 10 D O פרק שני – גיאומטריה וטריגונומטריה במישור ( 20נקודות) ענה על שאלה אחת מבין השאלות .4-5 שים לב! אם תענה על שתי השאלות ,תיבדקנה רק התשובה הראשונה שבמחברתך. .4 ABCDהוא טרפז . BC AD הצלעות BCו CD-הן מיתרים במעגל. הצלע ABמשיקה למעגל בנקודה ( Bראה ציור). א .הוכח כי. ABD DCB : ב .נתון כי 5 :ס"מ = 12.8 , BCס"מ = .AD חשב את אורך האלכסון .BD C B D A .5משולש שווה שוקיים BC BE , BCEחסום במעגל שרדיוסו . R זווית הבסיס של המשולש BCEהיא . F בנקודה Eהעבירו משיק למעגל החותך את המשך השוק BCבנקודה ( Fראה ציור). א .בטא את שטח המשולש BEFבאמצעות Rו. - B ב .מצא את הערך של שבעבורו שטח המשולש BCEשווה לשטח המשולש . BEF E C פרק שלישי – חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של פונקציות פולינום, פונקציות רציונאליות ושל פונקצית שורש ( 40נקודות) ענה על שתיים מבין השאלות ( 6-8לכל שאלה – 20נקודות). שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות ,תיבדקנה רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך. .6נתון גרף הנגזרת של פונקציה. צייר על אותה מערכת צירים את גרף הפונקציה אם ידוע שהיא עוברת בראשית הצירים. נמק את שיקוליך בשרטוט. .7נתונה נגזרת של פונקציה. f ' x 2 x 6 : ערך הפונקציה בנקודת הקיצון שלה הוא .5 מצא את הפונקציה. 10 .8מבין כל החרוטים שאורך הקו היוצר שלהם הוא 10ס"מ (ראה ציור), מהו נפח החרוט שנפחו מקסימלי? בהצלחה! 11 בחינה מספר 5 שים לב! הסבר את כל פעולותיך ,כולל חישובים ,בפירוט ובצורה ברורה. חוסר פירוט עלול לגרום לפגיעה בציון או לפסילת הבחינה. פרק ראשון – אלגברה ,גיאומטריה אנליטית ,הסתברות ( 40נקודות) ענה על שתיים מבין השאלות ( 1-3לכל שאלה – 20נקודות). שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות ,תיבדקנה רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך. .1סוחר קנה 450תיקים .הוא מכר 150מהם ברווח של 15%ואת השאר בהפסד של .₪ 5 בסה"כ הפסיד הסוחר בעסקה .₪ 600 א .בכמה כסף קנה הסוחר כל תיק? ב .אם הסוחר היה מוכר את שאר התיקים בהפסד של 2שקלים במקום 5שקלים, האם עדיין הוא היה מפסיד מהעסקה? .2מצא את משוואות המשיקים למעגל x 1 y 2 25בנקודות על המעגל שבהן . y 5 2 2 65% .3מהפחיות המיוצרות במפעל משקאות הן רגילות והשאר דיאט. 80%מהפחיות המיוצרות תקינות והשאר פגומות. נתון כי 7%מהפחיות הן פחיות דיאט פגומות. א .בוחרים באקראי פחית .מה ההסתברות שהיא פחית רגילה ותקינה? ב .בוחרים באקראי פחית דיאט .מה ההסתברות שהיא פגומה? ג .בוחרים באקראי פחית פגומה .מה ההסתברות שהיא דיאט? ד .האם סוג הפחית ותקינותה הם מאורעות תלויים? פרק שני – גיאומטריה וטריגונומטריה במישור ( 20נקודות) ענה על שאלה אחת מבין השאלות .4-5 שים לב! אם תענה על שתי השאלות ,תיבדקנה רק התשובה הראשונה שבמחברתך. .4בין המשיקים המקבילים mו n -מעבירים מעגל כך שAB- הוא הקוטר היוצא משתי נקודות ההשקה שלהם. הנקודות Dו C-נמצאות על המשכי המשיקים כך שהמרובע ABCDהוא טרפז. אלכסוני הטרפז נפגשים בנקודה Eשנמצאת על היקף המעגל. ידוע כי . SABC 3 SDAB :שטח המשולש ADEיסומן ב. S - בטא באמצעות Sאת שטח הטרפז .ABCD 12 .5משולש שווה שוקיים AD AE ,ADEחסום במעגל שרדיוסו . R ישר המשיק למעגל בנקודה Dחותך את המשך הצלע AE בנקודה ( Fראה ציור). נתון. 60 180 , DAE : F A D E א .הבע את שטח המשולש ADFבאמצעות Rו. - ב .הבע באמצעות את היחס שבין שטח המשולש ADEובין שטח המשולש .ADF ג .חשב את אם שטח המשולש ADEשווה לשטח המשולש .ADF פרק שלישי – חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של פונקציות פולינום, פונקציות רציונאליות ושל פונקצית שורש ( 40נקודות) ענה על שתיים מבין השאלות ( 6-8לכל שאלה – 20נקודות). שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות ,תיבדקנה רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך. 2x .6נתונה הפונקציה: a x2 חקור את הפונקציה לפי הסעיפים הבאים: א .תחום הגדרה. ב .נקודות קיצון. ג .תחומי עלייה וירידה. ד .נקודות חיתוך עם הצירים. ה .אסימפטוטות המקבילות לצירים. ו .סרטוט סקיצה של גרף הפונקציה. 2 . a 0 , f x 1 .7נתונות שתי פונקציות, g x x : x2 חשב את גודל השטח הכלוא בין הפונקציות, הישר x 2וציר ה. x - f x .8טרפז ABCDחסום בין גרף הפרבולה y 9 x 2לבין ציר ה( x -ראה ציור). א .מה צריכים להיות שיעורי הנקודה Aכדי ששטח הטרפז ABCDיהיה מקסימלי? ב .חשב את השטח המקסימלי של טרפז .ABCD בהצלחה! 13 בחינה מספר 6 שים לב! הסבר את כל פעולותיך ,כולל חישובים ,בפירוט ובצורה ברורה. חוסר פירוט עלול לגרום לפגיעה בציון או לפסילת הבחינה. פרק ראשון – אלגברה ,גיאומטריה אנליטית ,הסתברות ( 40נקודות) ענה על שתיים מבין השאלות ( 1-3לכל שאלה – 20נקודות). שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות ,תיבדקנה רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך. .1מחירו של מוצר א' גדול ב 20-שקלים ממחירו של מוצר ב'. מוצר א' התייקר ב 5%-ומוצר ב' התייקר ב.50%- המחיר הכולל של שני המוצרים לאחר ההתייקרות גדול ב 25%-מהמחיר המקורי של שני המוצרים. מהו המחיר המקורי של כל מוצר? .2הישרים 9 y 11x 94 :ו y 3x 14 -נחתכים בנקודה .B דרך נקודה זו עובר מעגל שמרכזו הוא. M 9,1 : ידוע כי מעגל זה חותך את הישרים (חוץ מהנקודה )Bבשתי נקודות Aו( C-ראה איור). א .מצא את שיעורי הנקודה .B ב .מצא את משוואת המעגל. ג .מצא את שיעורי הנקודה – Aנקודת החיתוך של הישר שמשוואתו y 3x 14 :עם המעגל. .3בבית ספר בעיר מסוימת נערכו שני מבחנים 80% .מהתלמידים עברו את המבחן הראשון. 1 1 מבין התלמידים שעברו את המבחן הראשון עברו גם את השני ו -מהתלמידים שנכשלו 2 4 במבחן הראשון נכשלו גם בשני. א .בוחרים באקראי תלמיד .מה ההסתברות שהוא עבר את אחד המבחנים בלבד? ב .בוחרים באקראי 4תלמידים. מה ההסתברות שבדיוק אחד מהם עבר את אחד המבחנים בלבד? ג .איזה חלק מבין התלמידים שנכשלו במבחן השני מהווה קבוצת התלמידים שנכשלו גם במבחן הראשון? 14 פרק שני – גיאומטריה וטריגונומטריה במישור ( 20נקודות) ענה על שאלה אחת מבין השאלות .4-5 שים לב! אם תענה על שתי השאלות ,תיבדקנה רק התשובה הראשונה שבמחברתך. .4מעבירים משיק AEלמעגל הנתון באיור .מנקודת ההשקה מעבירים את המיתרים ABו AC-כך שנוצר המשולש .ABCידוע כי. AC BC : המשך המיתר BCנפגש עם המשיק בנקודה E המיתר ABחוצה את זווית . CBD א .הוכח כי הקטע BDמקביל למיתר .AC ב .הוכח ABD CBA :וכתוב את יחס הדמיון. DE BD . ג .הוכח: BE AB .5במשולש ABCאורך הצלע ACהוא 8ס"מ ואורך הצלע ABהוא 10ס"מ. הנקודה Eהיא אמצע הצלע ACוהנקודה Dמקיימת 3 :ס"מ = .AD DE 2 ידוע כי : . BC 5 א .מצא את אורך הקטע .DE ב .חשב את רדיוס המעגל החוסם את המשולש .ADE ג .חשב את שטח המרובע .BCED פרק שלישי – חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של פונקציות פולינום, פונקציות רציונאליות ושל פונקצית שורש ( 40נקודות) ענה על שתיים מבין השאלות ( 6-8לכל שאלה – 20נקודות). שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות ,תיבדקנה רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך. kx k , f ( x) פרמטר חיובי. .6נתונה הפונקציה הבאה: k x2 א .i .מהו תחום ההגדרה של הפונקציה? (בטא באמצעות .) k .iiמהן האסימפטוטות האנכיות של הפונקציה? ב .הראה כי הפונקציה עולה עבור כל ערך של kבתחום הגדרתה. ג .כתוב את משוואת המשיק לגרף הפונקציה בנקודת החיתוך שלה עם ציר ה. x - (בטא באמצעות .) k ד .המשיק אשר מצאת בסעיף הקודם חותך את אחת האסימפטוטות של הפונקציה בנקודה . A ידוע כי שטח המשולש הכלוא בין המשיק ,ציר ה x -והאסימפטוטה הנ"ל הוא 4 :סמ"ר . S מצא את . k 15 .7נתון מלבן שאורכי צלעותיו הם 8ס"מ ו 12 -ס"מ כמתואר באיור. מקצים קטעים באורכים של xו 4x -על צלעות המלבן כך שנוצרים המלבנים המקווקווים. מצא את xעבורו סכום שטחי המלבנים הוא מינימלי. .8נתונות הפונקציות f ( x) x 2 :ו g ( x) x 2 -כמתואר באיור. 2 א. ב. 2 התאם בין הפונקציות לגרפים Iו.II- מסמנים את השטחים שבין כל פונקציה והצירים ב S1 -ו S 2 -כמתואר באיור. הראה כי השטחים S1ו S 2 -שווים זה לזה. בהצלחה! 16 בחינה מספר 7 שים לב! הסבר את כל פעולותיך ,כולל חישובים ,בפירוט ובצורה ברורה. חוסר פירוט עלול לגרום לפגיעה בציון או לפסילת הבחינה. פרק ראשון – אלגברה ,גיאומטריה אנליטית ,הסתברות ( 40נקודות) ענה על שתיים מבין השאלות ( 1-3לכל שאלה – 20נקודות). שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות ,תיבדקנה רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך. .1רכבת נוסעים נוסעת מדי יום מעיר א' לעיר ב' ,שהמרחק בניהן הוא 360ק"מ. רכבת משא יוצאת מעיר ב' לעיר א' גם היא על בסיס יומי ובאותן שעות היציאה של רכבת הנוסעים. ידוע כי מהירות רכבת הנוסעים גדולה ב 20%-ממהירות רכבת המשא. יום אחד ,רכבת הנוסעים התעכבה ויצאה מהתחנה שבעיר א' לאחר 40דקות אך הגיעה לתחנה שבעיר ב' 20דקות לפני רכבת המשא. א .מה הן המהירויות של שתי הרכבות? ב .כמה זמן נסעה רכבת הנוסעים מעיר א' לעיר ב'? .2באיור שלפניך נתונה מקבילית .ABCD ידועים קדקודי המקבילית הבאים A 1, y :ו x ( . B x, 4 -ו y -נעלמים). שיפוע הצלע CDהוא 0.2ואורכה הוא. dCD 104 : א .מצא את xו y -אם ידוע כי Bברביע הראשון. ב .נתון גם כי הקדקוד Cנמצא על ציר ה x -בחלקו החיובי וכי . dBC 17 :מצא את שיעורי הקדקוד C (תן שתי אפשרויות). ג .סמן את נקודת החיתוך של הצלע ABעם ציר ה y -ב.E- שטח המרובע EOCBהוא 25.9יחידות שטח. מצא את האפשרות הנכונה עבור הנקודה Cמבין אלו שמצאת בסעיף הקודם. .3בתוך כד ישנם 8כדורים ,חלקם אדומים וחלקם לבנים. מוציאים באקראי כדור ,מניחים אותו בצד ומוציאים כדור נוסף. א .מצא כמה כדורים יש בכד מכל צבע אם ידוע כי ההסתברות שהכדור 3 השני שהוצא הוא לבן היא . 8 ב .ידוע כי הכדור השני שהוצא הוא לבן. מה ההסתברות שהכדור הראשון שיצא הוא אדום? 17 פרק שני – גיאומטריה וטריגונומטריה במישור ( 20נקודות) ענה על שאלה אחת מבין השאלות .4-5 שים לב! אם תענה על שתי השאלות ,תיבדקנה רק התשובה הראשונה שבמחברתך. .4נתון משולש .ABCעל הצלע BCשל המשולש ABCבונים משולש נוסף .BDC הצלעות DCו AB-נחתכות בנקודה .M הצלע ABחוצה את זווית Bוידוע כי. 2 ACD B : א .הוכח. ACM DBM : AC AM . ב .הוכח: BC CM AM 8 וכי אורך הצלע BDהוא 6ס"מ. ג .נתון כי : CM 5 סכום הצלעות ACו BC-הוא 19.5ס"מ. S חשב את היחס. BDM : S BMC .5נתון משולש .ABCהקודקודים Bו C-של המשולש ABCנמצאים על מעגל שמרכזו .Oמרכז המעגל Oמונח על הצלע .AC אורך הצלע ABהוא 12ס"מ ואורך הקטע AOהוא 4.5ס"מ. זווית BACהיא . 60 א .חשב את רדיוס המעגל. ב .מעבירים את הקוטר BDואת הקטע ADכך שנוצר המשולש .ADBחשב את זווית .ADB פרק שלישי – חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של פונקציות פולינום, פונקציות רציונאליות ושל פונקצית שורש ( 40נקודות) ענה על שתיים מבין השאלות ( 6-8לכל שאלה – 20נקודות). שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות ,תיבדקנה רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך. x2 m .6נתונה הפונקציה: ax 4 ידוע כי אחת מנקודות הקיצון של הפונקציה נמצאת על ציר ה. y - א .מצא את הערך של הפרמטר . m ב .הצב את הערך של mשמצאת בסעיף א' והבע באמצעות aאת: .iתחום ההגדרה של הפונקציה. .iiנקודות הקיצון של הפונקציה וקבע את סוגן. .iiiהאסימפטוטות לגרף הפונקציה המקבילות לצירים. ג .סרטט סקיצה וסמן בה את נקודות הקיצון ואת משוואות האסימפטוטות שהבעת באמצעות aבסעיף הקודם. ד .ידוע כי נקודת הקיצון שאינה על ציר ה , y -נמצאת במרחקים שווים מהצירים. מצא את הערך של הפרמטר . a ה .נתון הישר . y k :מצא עבור אילו ערכים של kאין לישר ולגרף הפונקציה נקודות משותפות כלל. a, m , y פרמטרים קבועים כאשר. a 0 : 18 .7נתונים שלושה מספרים שסכומם הוא .36ידוע שמספר אחד זהה לשני. א .מה צריכים להיות שלושת המספרים כדי שמכפלתם תהיה מקסימלית? ב .כיצד תשתנה התוצאה אם מספר אחד יהיה גדול פי 2מהשני במקום זהה לו? ג .באיזה מקרה תהיה מכפלה גדולה יותר? 1 .8באיור שלפניך מתואר גרף הפונקציה: x מעבירים שני אנכים לציר ה x -והם x 4 :ו. t 4 , x t - נסמן: - S1השטח הכלוא בין גרף הפונקציה וציר ה. x - - S 2השטח הכלוא בין גרף הפונקציה ,ציר ה x -והאנכים. . f ( x) 1 ידוע כי . 8S1 S2 :מצא את . t בהצלחה! 19 בחינה מספר 8 שים לב! הסבר את כל פעולותיך ,כולל חישובים ,בפירוט ובצורה ברורה. חוסר פירוט עלול לגרום לפגיעה בציון או לפסילת הבחינה. פרק ראשון – אלגברה ,גיאומטריה אנליטית ,הסתברות ( 40נקודות) ענה על שתיים מבין השאלות ( 1-3לכל שאלה – 20נקודות). שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות ,תיבדקנה רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך. .1לרפי מטבח מלבני שמידותיו הם 12 X 18 :מטרים ריבועיים (מ"ר). רפי מחלק את המטבח לשני מלבנים כך ששטח אחד גדול פי 2מהשטח של השני כמתואר באיור. רפי רוצה לרצף את השטח הקטן ברצפת שיש יוקרתית (השטח הימני) לעומת השטח הגדול שאותו ירצף ברצפה רגילה (השטח השמאלי) .ידוע כי המחיר של מ"ר אחד מהרצפה הרגילה מהווה 60% מהמחיר של מ"ר אחד מרצפת השיש היוקרתית. רפי השקיע בריצוף המבטח סכום כולל של .₪ 3168 כמה עולה מ"ר מכל סוג? רצפת שיש יוקרתי .2המרובע ABCDהוא מעוין. ידוע כי שיעורי אחד מקדקודי המעוין הם. 0, 6 : כמו כן ,ידוע גם כי משוואת האלכסון ACהיאy 1.5x 6 : ואחת ממשואות הצלעות היא. 5 y x 4 : א .מצא את משוואת האלכסון השני. ב .מצא את שאר קדקודי המעוין. .3מפעל מייצר שולחנות וכיסאות .בוחרים 4רהיטים. ידוע כי ההסתברות שכולם יהיו כיסאות זהה להסתברות שיהיה שולחן אחד בדיוק בניהם. א .מצא את ההסתברות לבחור כיסא. במפעל צובעים את הרהיטים בשחור או לבן. רבע מהשולחנות נצבעים בשחור ורבע מהכיסאות נצבעים בלבן. ב .מה ההסתברות לבחור כיסא שחור? ג .איזה חלק מבין הרהיטים הלבנים מהווים השולחנות? 20 רצפה רגילה פרק שני – גיאומטריה וטריגונומטריה במישור ( 20נקודות) ענה על שאלה אחת מבין השאלות .4-5 שים לב! אם תענה על שתי השאלות ,תיבדקנה רק התשובה הראשונה שבמחברתך. .4נתון משולש .ABCעל הצלע ABשל המשולש ABCבונים משולש שווה צלעות .ABD הצלע ACחותכת את הצלע BDבנקודה Eאשר ממנה מעבירים ישר EFהמקביל לצלע .BC נתון כי. DCB 40 , DBC 80 : א .הוכח כי המשולשים ABEו CDE-דומים. ב .הוכח. FC CE AE DF : ג .נתון כי. BC 1.5 EF : AE 1 . .iהוכח : CE 2 S .iiחשב את יחס השטחים הבא. ABE : SCDE .5המשולש ABCהוא שווה שוקיים AB AC החסום במעגל שרדיוסו . R הנקודה Eהיא אמצע הבסיס BCוהנקודה Dהיא אמצע הקשת . AB ידוע כי זווית הבסיס של המשולש היא . 80 א .הבע באמצעות Rאת הקטעים CDו.DE- ב r .הוא רדיוס המעגל החוסם את המשולש .CED הבע באמצעות Rאת . r פרק שלישי – חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של פונקציות פולינום, פונקציות רציונאליות ושל פונקצית שורש (40נקודות) ענה על שתיים מבין השאלות ( 6-8לכל שאלה – 20נקודות). שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות ,תיבדקנה רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך. xa .6נתונה הפונקציה: x 1 א .מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה. ב .מצא את האסימפטוטות של הפונקציה המקבילות לצירים. ג .הבע באמצעות aאת השיעורים של נקודת החיתוך של גרף הפונקציה עם ציר ה x -ועם ציר ה. y - ד .i .מצא עבור אילו ערכים של aהפונקציה ) f ( xעולה לכל xבתחום ההגדרה. .iiישר המשיק לגרף הפונקציה ) f ( xבנקודה שבה x aמקביל לישר המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה. x 2 : מצא את הערך של aאם נתון כי הפונקציה עולה לכל . x . a 1 , f ( x) 21 .7במשולש ישר הזווית AD B 90 , ABCהוא תיכון לניצב .BC ידוע כי סכום אורכי הניצבים הוא 20ס"מ. מצא מה צריכים להיות אורכי הניצבים עבורם אורך התיכון ADיהיה מינימלי. .8נתונה פונקציה ) . f ( xמשוואת המשיק לפונקציה ) f ( xבנקודה שבה x 2 :היא. y x 13 : הנגזרת של הפונקציה היא. f '( x) 4 x 7 : א .מצא את הפונקציה ). f ( x ב .חשב את השטח הכלוא בין המשיק ,גרף הפונקציה וציר ה( y -ראה איור). בהצלחה! 22 בחינה מספר 9 שים לב! הסבר את כל פעולותיך ,כולל חישובים ,בפירוט ובצורה ברורה. חוסר פירוט עלול לגרום לפגיעה בציון או לפסילת הבחינה. פרק ראשון – אלגברה ,גיאומטריה אנליטית ,הסתברות ( 40נקודות) ענה על שתיים מבין השאלות ( 1-3לכל שאלה – 20נקודות). שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות ,תיבדקנה רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך. .1נתונה מנסרה שבסיסה הוא משולש שווה שוקיים .ידוע כי שטח הפאה הבנויה על מקצוע הבסיס של המשולש מהווה 80%משטח הפאה הסמוכה לה .כמו כן ידוע כי אורך מקצוע השוק במשולש הבסיס גדול ב 4-ס"מ מאורך מקצוע הבסיס במשולש זה. גובה המנסרה הוא 4ס"מ. א .מצא את מידות משולש הבסיס. ב .מה יהיה שטח המעטפת של המנסרה? ג .מה יהיה סכום כל מקצועות המנסרה? .2נתון מעגל המשיק לציר ה x -בנקודה .A מהנקודה Eשעל ציר ה x -מעלים אנך המשיק למעגל בנקודה ( Bראה איור). הקטע BCמקביל לציר ה x -ו O-היא נקודת ראשית הצירים. יוצרים טרפז ישר זווית ABCOששטחו הוא 170סמ"ר. ידוע כי C 0,10 :ו 10 -ס"מ . AE א. ב. .iמצא את שיעורי הנקודה .B .iiמצא את שיעורי הנקודה .A כתוב את משוואת המעגל. .3בחדר יש פי 4נשים מגברים .משחקים את המשחק הבא :בוחרים באקראי אדם מהחדר. אם נבחר גבר אז הוא יוצא מהחדר ואם נבחרה אישה אז היא נשארת. לאחר מכן בוחרים אדם נוסף. א .מצא כמה גברים יש בחדר אם ידוע כי ההסתברות שייבחרו 236 . שני אנשים שונים היא: 725 ב .ידוע כי בפעם השנייה נבחר גבר ,מה ההסתברות שגם בפעם הראשונה יבחר גבר? ג .משחקים את המשחק 4פעמים .ידוע כי בכל ארבעת הפעמים נבחר גבר בפעם השנייה. מה ההסתברות שברוב המקרים יצא גבר גם בפעם הראשונה? 23 פרק שני – גיאומטריה וטריגונומטריה במישור ( 20נקודות) ענה על שאלה אחת מבין השאלות .4-5 שים לב! אם תענה על שתי השאלות ,תיבדקנה רק התשובה הראשונה שבמחברתך. AB .4הוא קוטר במעגל שמרכזו .Oמהנקודה Cשעל היקף המעגל מעבירים את הרדיוס CO ואת המיתר CDהחותך את הקוטר בנקודה . E מהנקודה Dמעבירים את המיתרים BDו.AD- AD AE .נתון. AD DE : ידוע כי המיתר CDמקיים: BD BE א .הוכח כי הרדיוס COמאונך לקוטר .AB ב .הוכח. COE BDA : ג .נתון כי אורך המיתר BDהוא 16.2ס"מ ואורך הקטע CEהוא 10ס"מ. חשב את רדיוס המעגל. .5המרובע ABCDהוא מלבן .מעבירים את האלכסון BDוממשיכים אותו עד לנקודה Eשמחוץ למלבן. מחברים את הנקודה Eעם הקודקוד .C ידוע כי אורך הצלע ADשל המלבן הוא 6ס"מ וכי אורך הקטע BEהוא 9ס"מ .הזווית CBEהיא .115 א .מצא את אורך הקטע CE (בתשובתך כתוב עד לשני מספרים אחרי הנקודה). ב .מצא את אורך האלכסון .BD ג .חשב את שטח המשולש .DCE פרק שלישי – חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של פונקציות פולינום, פונקציות רציונאליות ושל פונקצית שורש ( 40נקודות) ענה על שתיים מבין השאלות ( 6-8לכל שאלה – 20נקודות). שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות ,תיבדקנה רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך. x2 3 .6נתונה הפונקציה: x א .מצא את נקודת החיתוך של הפונקציה והישר הנמצאת ברביע הראשון. ב .מצא את משוואות המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שמצאת בסעיף הקודם. ג .חשב את השטח שנוצר בין המשיק והצירים. f ( x) ונתון הישר. y 2 x : 24 .7נתונות הפונקציות f ( x) x 2 12 :ו g ( x) 2 x x 2 -כמתואר באיור הסמוך. הנקודות Aו B-נמצאות בהתאמה על הגרפים של הפונקציות f ( x) :ו g ( x) -כך שהקטע ABמקביל לציר ה. y - מצא מה צריכים להיות שיעורי הנקודה A כדי שאורך הקטע ABיהיה מינימלי. .8נתונה פונקציה ) f ( xשנגזרתּה היא. f '( x) 3x 2 6 x 9 : ישר ששיפועו 15משיק לפונקציה ברביע הרביעי בנקודה שבה. y 20 : )f ( x א .מצא את הפונקציה ). f ( x ב .האם יש עוד משיקים לגרף הפונקציה בעלי שיפוע ?15 x אם כן -מצא אותם. ג .i .הראה כי הנקודה שבה x 7משותפת למשיק שמצאת בסעיף הקודם ולפונקציה ). f ( x .iiמצא את השטח הכלוא בין גרף הפונקציה והמשיק שמצאת בסעיף הקודם (ראה איור). y בהצלחה! 25 בחינה מספר 10 שים לב! הסבר את כל פעולותיך ,כולל חישובים ,בפירוט ובצורה ברורה. חוסר פירוט עלול לגרום לפגיעה בציון או לפסילת הבחינה. פרק ראשון – אלגברה ,גיאומטריה אנליטית ,הסתברות ( 40נקודות) ענה על שתיים מבין השאלות ( 1-3לכל שאלה – 20נקודות). שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות ,תיבדקנה רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך. .1סוחר קנה שולחנות במחיר כולל של .₪ 18,000 10שולחנות הוא מכר ברווח של 60%לשולחן 20 ,שולחנות הוא מכר ללא רווח ואת שאר השולחנות הוא מכר בהפסד של 15%לשולחן .סה"כ הרוויח הסוחר בעסקאות אלו .₪ 450 א .כמה שולחנות קנה הסוחר? ב .מה המחיר ששילם הסוחר עבור כל שולחן? .2הנקודה ) A(17, 4נמצאת על המעגל שמשוואתו. ( x 7)2 ( y 4)2 R 2 : הישר x 1חותך את המעגל בשתי נקודות Bו C-כך ש B-נמצאת ברביע הרביעי .מעבירים את הקטע AD המאונך לישר BCוידוע כי הנקודה Dהיא אמצע .BC א .מצא את רדיוס המעגל. ב .מצא את שיעורי הנקודות Bו.C- ג .i .חשב את מרחק הנקודה Aמהישר. x 1 : .iiחשב את שטח המשולש .ABC .3בכד ישנם 12כדורים ,חלקם לבנים וחלקם שחורים. א .אם מוציאים עם החזרה שני כדורים מהכד ההסתברות ששניהם 13 . יהיו בעלי אותו הצבע היא 18 מה ההסתברות להוציא כדור שחור אם ידוע כי יש יותר כדורים שחורים? על 40%מהכדורים השחורים רשום מספר ועל מחצית הכדורים הלבנים רשום מספר. ב .מה ההסתברות להוציא מהכד כדור שחור שרשום עליו מספר? ג .איזה חלק מבין הכדורים שרשום עליהם מספר מהווים הכדורים הלבנים? 26 פרק שני – גיאומטריה וטריגונומטריה במישור ( 20נקודות) ענה על שאלה אחת מבין השאלות .4-5 שים לב! אם תענה על שתי השאלות ,תיבדקנה רק התשובה הראשונה שבמחברתך. .4המעגלים שמרכזם בנקודות Mו N-משיקים זה לזה מבפנים בנקודה A כך שהיקף המעגל הפנימי עובר בנקודה .M דרך הנקודה Aמעבירים משיק. ABהוא קוטר במעגלים ו C-היא נקודה הנמצאת על היקף המעגל הפנימי כך שהמיתר BDמשיק למעגל הפנימי בנקודה זו. א .הוכח ABD CBN :וחשב את יחס הדמיון. ב .נתון כי. AD 8 : חשב את רדיוס המעגל הגדול. ג .הוכח. 2CD BC : .5המרובע ABCDהוא טרפז . AB CD ממשיכים את השוקיים ADו BC-עד לפגישתם בנקודה .E ידוע כי. DE CE : מעבירים את האלכסון ACאשר חוצה את זווית .C מסמנים את הבסיס הגדול DCב k -ואת. ACD : א .הבע באמצעות kו -את הבסיס הקטן של הטרפז .AB ב .הבע באמצעות kו -את שטח המשולש .ABC ג .חשב את שטח המשולש ABCכאשר 12 , 15 :ס"מ . k פרק שלישי – חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של פונקציות פולינום, פונקציות רציונאליות ושל פונקצית שורש ( 40נקודות) ענה על שתיים מבין השאלות ( 6-8לכל שאלה – 20נקודות). שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות ,תיבדקנה רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך. .6נתונה הפונקציה d ) , y 3x3 6 x 2 4 x d :פרמטר). ידוע כי הפונקציה חותכת של ציר ה x -בנקודה שבה. x 2 : א .מצא את . d ב .האם יש לפונקציה נקודות קיצון? ג .כתוב את תחומי העלייה וירידה של הפונקציה. ד .מצא את נקודת החיתוך של הפונקציה עם ציר ה. y - ה .סרטט סקיצה של גרף הפונקציה. 27 .7ליוסי משטח פח אשר הוא רוצה לבנות תיבה ממנו שנפחה הכולל הוא 225סמ"ק .יוסי רוצה שאורך הבסיס יהיה גדול פי 5מרוחבו כמתואר באיור הסמוך .כמות הפח שיש בידי יוסי מוגבלת ולכן הוא רוצה לדעת מה היא הכמות המינימלית של פח שעליו להשתמש בכדי להשיג את מבוקשו. מצאו את כמות הפח המינימלית. 5x x a x2 .8גרף הפונקציה: x2 חותך את ציר ה x -בנקודה ).(6,0 א .מצא את aוכתוב את הפונקציה. ב .חשב את השטח המוגבל בין גרף הפונקציה, ציר ה x -והישר. x 2 : a) f ( x) קבוע) בהצלחה! 28 בחינה מספר 11 שים לב! הסבר את כל פעולותיך ,כולל חישובים ,בפירוט ובצורה ברורה. חוסר פירוט עלול לגרום לפגיעה בציון או לפסילת הבחינה. פרק ראשון – אלגברה ,גיאומטריה אנליטית ,הסתברות ( 40נקודות) ענה על שתיים מבין השאלות ( 1-3לכל שאלה – 20נקודות). שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות ,תיבדקנה רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך. .1שני הולכי רגל יוצאים משני יישובים Aו B-המרוחקים זה מזה 13ק"מ. היישוב Aממוקם בצפון מערב ביחס ליישוב Bכמתואר באיור ממול. הולך הרגל מיישוב Aהולך דרומה והולך הרגל מיישוב Bהולך מערבה. הולך הרגל מיישוב Aיוצא שעתיים לפני הולך הרגל השני. לאחר שלוש שעות מיציאתו של הולך הרגל מיישוב ,Aנפגשו שני הולכי הרגל. מהירות הולך הרגל מיישוב Bגדולה ב 25%-ממהירות הולך הרגל השני. באיזו מהירות הלך כל אחד משני הולכי הרגל? A 13ק"מ B .2המשולש ABCהוא משולש שווה שוקיים . AB AC מעבירים במשולש את הגובה לבסיס ADומסמנים נקודה Eעל הבסיס BC כך שמתקיים . BE DE :קדקוד הראש Aנמצא בראשית הצירים ונתון כי. D(5,7) , E(8.5, 2.5) : א .מצא את שיעורי שאר קדקודי המשולש. ב .כתוב את משוואת השוק .AC .3במפעל גדול ההסתברות שמתוך 4עובדים לפחות אחד ירכיב משקפיים היא .0.5904 א .מה ההסתברות לבחור עובד שלא מרכיב משקפיים? ידוע כי 40%מהפועלים שמרכיבים משקפיים הם מעשנים ו 20%-מבין העובדים המעשנים הם מרכיבים משקפיים. ב .מה ההסתברות לבחור עובד שמרכיב משקפיים בלבד או מעשן בלבד? ג .בוחרים באקראי 5עובדים .מה ההסתברות שרוב העובדים שנבחרו הם מעשנים? 29 פרק שני – גיאומטריה וטריגונומטריה במישור ( 20נקודות) ענה על שאלה אחת מבין השאלות .4-5 שים לב! אם תענה על שתי השאלות ,תיבדקנה רק התשובה הראשונה שבמחברתך. AB .4הוא קוטר במעגל .מהנקודה Aמעבירים מיתר .AC הנקודה Dנמצאת מחוץ למעגל וממנה מעבירים משיק CD וישר חותך .DEידוע כי הישר DEחותך את הקוטר ABבנקודה G ומאונך למיתר ACבנקודה .H א .הוכח. ACD BGE : S AH 4 . ב .נתון כי AHG :חשב את היחס: AC SGHCB 5 .5נתון משולש .ABCמעבירים את הקטע ADכך שנוצרת זווית. ADB 60 : ידוע כי 28ס"מ AB וכי הצלע ADבמשולש ABDגדולה פי 1.5מהצלע .BD א .מצא את אורך הצלע .BD ב .היקף המשולש ABCהוא 5 7 7 :ס"מ . P .i .ii סמן DC t :והבע באמצעות tאת אורך הצלע .AC מצא את . t פרק שלישי – חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של פונקציות פולינום, פונקציות רציונאליות ושל פונקצית שורש ( 40נקודות) ענה על שתיים מבין השאלות ( 6-8לכל שאלה – 20נקודות). שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות ,תיבדקנה רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך. a2 x 4 .6נתונה הפונקציה: 2x2 1 ידוע כי שיפוע המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה x 1 :הוא. m 4 : א .מצא את כל הערכים האפשריים עבור . a ב .מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים. ג .מצא את נקודת החיתוך בין המשיק הנתון ומשיק העובר דרך נקודת החיתוך של גרף הפונקציה עם ציר ה. y - a) , y קבוע). 30 .7במשולש ישר זווית סכום אורכי הניצבים הוא 12ס"מ. א .מה צריך להיות אורך כל ניצב ,כדי שטח המשולש יהיה מקסימלי? ב .מהו השטח המקסימלי? ג .מה יהיה אורך היתר במשולש במקרה זה? a .8באיור שלפניך מתוארים הגרפים של הפונקציות f ( x) 2 x 2 :ו- 2 x בתחום . x 0 :ידוע כי הגרפים נחתכים ברביע הראשון בנקודה הנמצאת על הישר. y 4 x : א .מצא את נקודת החיתוך של הגרפים ואת . a ב .חשב את השטח המוגבל בין שני הגרפים ,ציר הx - והישר. x 4 : a) , g ( x) קבוע) בהצלחה! 31 בחינה מספר 12 שים לב! הסבר את כל פעולותיך ,כולל חישובים ,בפירוט ובצורה ברורה. חוסר פירוט עלול לגרום לפגיעה בציון או לפסילת הבחינה. פרק ראשון – אלגברה ,גיאומטריה אנליטית ,הסתברות ( 40נקודות) ענה על שתיים מבין השאלות ( 1-3לכל שאלה – 20נקודות). שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות ,תיבדקנה רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך. .1במלבן ABCDידוע כי הצלע ADגדולה ב 6-ס"מ מהצלע .AB על הצלע ABמקצים נקודות Eו F-כך ששלושת הקטעים הנוצרים על צלע זו שווים.AF=EF=BE : מעבירים אנכים לצלע ABדרך הנקודות Eו F-עד לנקודות Gו H-שבתוך המלבן כך שנוצר מלבן פנימי .EFGHמרחק הצלע GHמהצלע DCהוא 3ס"מ. ידוע כי שטח המלבן הפנימי מהווה 30%משטח המלבן .ABCDנסמן ב x -את אורך הקטע .EF א .i .הבע באמצעות xאת צלעות המלבן .ABCD .iiהבע באמצעות xאת שטח המלבן ABCD ושטח המלבן הפנימי .EFGH ב .מצא את xואת צלעות המלבן .ABCD ג .עבור ה x -שמצאת מה יהיה שטח המלבן ?EFGH .2נתון משולש .ABCמשוואות הצלעות ABו BC-במשולש ABCהן בהתאמה2 y x 56 : ו . 8 y x 104 -מעבירים גבהים לצלעות ABו BC-אשר נחתכים בנקודה )M(0, 2 שבתוך המשולש (ראה איור). א .מצא את משוואות הגבהים. ב .מצא את שיעורי הנקודה .B ג .מצא את משוואת המעגל שמרכזו בנקודה Mורדיוסו הוא הקטע .BM .3במפעל לייצור ברגים פועלים שני פסי ייצור – פס ייצור א' ופס ייצור ב'. ידוע כי אם בוחרים 5ברגים אז ההסתברות ש 3-מהם מיוצרים ע"י פס הייצור השני גדולה פי 4.5מההסתברות שאחד מהם מיוצר ע"י פס הייצור הנ"ל. א .מצא את ההסתברות לבחור בורג המיוצר ע"י פס הייצור הראשון. מתוך כל 100ברגים שהמפעל מייצר 7פגומים ומתוך כל 10ברגים היוצאים מפס הייצור הראשון אחד הוא פגום. ב .מהו אחוז הברגים התקינים שמיוצרים ע"י פס הייצור השני? ג .איזה חלק מבין הברגים הפגומים מהווים אלו שיוצאים מפס הייצור הראשון? 32 פרק שני – גיאומטריה וטריגונומטריה במישור ( 20נקודות) ענה על שאלה אחת מבין השאלות .4-5 שים לב! אם תענה על שתי השאלות ,תיבדקנה רק התשובה הראשונה שבמחברתך. .4נתונים שני מעגלים בעלי רדיוס זהה Mו.N- מעבירים שני משיקים למעגלים ABו CD-הנחתכים בנקודה .K מעבירים את הרדיוסים ANו DN-במעגל השמאלי ו BM-ו CM-במעגל הימני. א .הוכח. KN KM : ב .הוכח כי המרובע ACMNהוא טרפז שווה שוקיים. ג .רדיוס המעגלים הוא Rוידוע כי המשולש BKC הוא שווה צלעות. הבע באמצעות Rאת היקף הטרפז .ACMN .5הקטע DEמקביל לצלע BCבמשולש ABCכמתואר באיור. נתון כי. BD 129 , BC 15 , CE 13 : ידוע כי זווית AEDהיא . 60 א .חשב את אורך הקטע DEאם ידוע כי הוא קטן מ 10-ס"מ. ב .חשב את שטח המשולש .ADE פרק שלישי – חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של פונקציות פולינום, פונקציות רציונאליות ושל פונקצית שורש ( 40נקודות) ענה על שתיים מבין השאלות ( 6-8לכל שאלה – 20נקודות). שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות ,תיבדקנה רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך. x xk , g ( x) .6נתונות שתי הפונקציות הבאות: x xk ידוע כי הפונקציות חותכות זו את זו בנקודה שבה. x 0.8 : א .מצא את . k ב .האם הפונקציות נחתכות בנקודה נוספת מלבד לנקודה הנתונה? אם כן – מצא אותה. ג .מצא את משוואת המשיק לגרף הפונקציה ) f ( xבנקודה שבה. x 0.52 : k ) , f ( x) פרמטר חיובי). 33 4 .7נתונה הפונקציה: x הנקודה Aנמצאת על גרף הפונקציה ) f ( xוהנקודה Bנמצאת על גרף הישר כך שהקטע ABמקביל לציר ה. y - מצא מה צריכים להיות שיעורי הנקודה Aכדי שאורך הקטע ABיהיה מינימלי. f ( x) ונתון הישר. y x 3 : .8באיור שלפניך חותך גרף הפונקציה f ( x) x 2 :את גרף הפונקציה ) g ( xבנקודה שבה . x 2 הנגזרת של הפונקציה ) g ( xהיא. g '( x) 2 x 8 : א .מצא את הפונקציה ). g ( x ב .חשב את השטח הכלוא בין שני הגרפים וציר ה( x -המסומן). בהצלחה! 34 בחינה מספר 13 שים לב! הסבר את כל פעולותיך ,כולל חישובים ,בפירוט ובצורה ברורה. חוסר פירוט עלול לגרום לפגיעה בציון או לפסילת הבחינה. פרק ראשון – אלגברה ,גיאומטריה אנליטית ,הסתברות ( 40נקודות) ענה על שתיים מבין השאלות ( 1-3לכל שאלה – 20נקודות). שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות ,תיבדקנה רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך. .1במלבן שלפניך חסומים שני עיגולים וחצי בעלי רדיוס זהה. השטח שנוצר בין העיגולים וצלעות המלבן הוא . 250 62.5 א .i .מצא את רדיוס העיגולים. .iiמצא את אורכי צלעות המלבן. ב .חשב את סכום שטחי העיגולים. .2באיור שלפניך נתון מעגל שמשוואתו R, x 5 y 3 R 2 :רדיוס המעגל. ידוע כי המעגל עובר בראשית הצירים. א .מצא את רדיוס המעגל וכתוב את משוואת המעגל. ב .מצא את הנקודות Aו - B -החיתוך של המעגל עם הצירים (ראה איור). ג .מסמנים נקודה Cעל ציר ה x -כך ש A-היא אמצע הקטע .CO .iמצא את שיעורי הנקודה .C x . ABC .iiחשב את שטח המשולש C A 2 2 .3רפי קנה במכולת חבילה של מסטיק "מנטוס". ידוע כי יש בחבילה 10סוכריות ,חלקן ורודות וחלקן צהובות. רפי מוציא באקראי (ללא החזרה) שתי סוכריות מהחבילה שקנה. ידוע כי ההסתברות ששתי הסוכריות תהיינה ורודות קטנה פי 4מההסתברות להוציא סוכריות בצבעים שונים. א .כמה סוכריות מכל צבע יש בכל חבילה? רפי מחזיר את הסוכריות לחבילה ומוציא באקראי 3סוכריות (ללא החזרה). ב .מה ההסתברות שכל הסוכריות שהוציא רפי הן צהובות? שלומי ,חברו הטוב של רפי ,קנה 3חבילות "מנטוס". ג .שלומי מוציא באקראי סוכרייה מכל חבילה. האם ההסתברות של שלומי להוציא 3סוכריות צהובות גבוהה או נמוכה מזו של רפי? ד .שלומי מוציא מכל חבילה שתי סוכריות. מה ההסתברות שלו להוציא מכל חבילה סוכרייה ורודה ואחר כך צהובה? 35 y B O פרק שני – גיאומטריה וטריגונומטריה במישור ( 20נקודות) ענה על שאלה אחת מבין השאלות .4-5 שים לב! אם תענה על שתי השאלות ,תיבדקנה רק התשובה הראשונה שבמחברתך. AB .4הוא קוטר במעגל שמרכזו .O מהנקודה Aמעבירים את המיתרים ACו AG-ואת המשיק AD כך שהמשולש ACDשווה שוקיים. הישר CDחותך את היקף המעגל בנקודה ,Eאת המיתר AGבנקודה Fועובר דרך מרכז המעגל .O המיתר BGמקביל לישר החותך .CD א .חשב את זוויות המשולש .ACD ב .הוכח כי. AF FG : DC 3R R . ג .רדיוס המעגל יסומן ב . -הוכח כי: .5במשולש ABCהקטע BEחוצה את זווית .B הנקודה Dהיא אמצע הצלע ABומקיימת. DE CE : ידוע כי. BC 6 , BE 8 , BD 9 : א .מצא את זווית .B ב .חשב את שטח המשולש .ADE פרק שלישי – חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של פונקציות פולינום, פונקציות רציונאליות ושל פונקצית שורש ( 40נקודות) ענה על שתיים מבין השאלות ( 6-8לכל שאלה – 20נקודות). שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות ,תיבדקנה רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך. x 2 ax 6 .6נתונה הפונקציה: x2 ידוע שאחת מנקודות הקיצון של הפונקציה נמצאת על ציר ה. y - א .מצא את הערך של . a ב .הצב את הערך של aשמצאת בסעיף א' ומצא: .iאת תחום ההגדרה של הפונקציה. .iiאת נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים (אם יש כאלה). .iiiאת השיעורים של נקודות הקיצון של הפונקציה ,וקבע את סוגן. .ivאת האסימפטוטות של הפונקציה המקבילות לצירים (אם יש כאלה). ג .עבור אלו ערכי xהפונקציה שלילית? ד .נתון הישר . y k :עבור אלו ערכי kאין נקודות משותפות לישר ולגרף הפונקציה? נמק. a) , f ( x) פרמטר). 36 .7נתונה הפונקציה . f ( x) 36 x 2 :על גרף הפונקציה ברביע הראשון מסמנים נקודה .A מהנקודה Aמעבירים ישר המקביל לציר ה x -שחותך את ציר ה y -בנקודה .C הנקודה Bהיא נקודת החיתוך של הפונקציה עם ציר ה x -ו O-ראשית הצירים. א .מה צריכים להיות שיעורי הנקודה Aכדי ששטח הטרפז ABCOיהיה מקסימלי? ב .מה יהיה שטח הטרפז במקרה זה? 3 3 f ( x) ו- .8באיור שלפניך מתוארים הגרפים של הפונקציות: x x מעבירים שני ישרים x k :ו x t -אשר חותכים של את הגרפים של הפונקציות ויוצרים את הקטעים ABו .CD-ידוע כי. AB 2CD : א .הראה כי. k 4t : ב .השטח הכלוא בין הגרפים של הפונקציות והישרים x k :ו x t -הוא. S 12 : מצא את .t . g ( x) בהצלחה! 37 בחינה מספר 14 שים לב! הסבר את כל פעולותיך ,כולל חישובים ,בפירוט ובצורה ברורה. חוסר פירוט עלול לגרום לפגיעה בציון או לפסילת הבחינה. פרק ראשון – אלגברה ,גיאומטריה אנליטית ,הסתברות ( 40נקודות) ענה על שתיים מבין השאלות ( 1-3לכל שאלה – 20נקודות). שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות ,תיבדקנה רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך. .1אוטובוס נוסע מעיר א' לעיר ב' הרחוקה ממנה 800ק"מ. לאחר שעבר האוטובוס 135ק"מ במהירות קבועה הוא עצר להתרעננות של חצי שעה. לאחר מכן המשיך האוטובוס את נסיעתו במהירות הגדולה ב 43-קמ"ש ממהירותו הקודמת עד לעיר ב' .סך כל הזמן שהיה האוטובוס על הדרך הוא 7שעות. א .מה הייתה המהירות ההתחלתית של האוטובוס? ב .מה היה המרחק שעבר האוטובוס אחרי ההתרעננות עד לעיר ב'? .2באיור שלפניך מתואר המעגל. x 4 y 3 25 : 2 2 המעגל חותך את הצירים בנקודות B , Aו.O- א .מצא את נקודות החיתוך של המעגל עם הצירים. ב .מצא נקודה Cהנמצאת על היקף המעגל ברביע הראשון כך שהמרובע ABCOיהיה מלבן. ג .חשב את היקף המלבן. .3בעיר מסוימת נערכות בחירות .ידוע כי אם בוחרים 4תושבים אז ההסתברות שלפחות אחד מהם 65 . יצביע למועמד ב' היא 81 א .איזה חלק מהתושבים הצביעו למועמד א'? בעיר יש תושבים מבוגרים וצעירים. 2 2 . ידוע כי מהצעירים הצביעו למועמד א' וכי ההסתברות לבחור מבוגר שהצביע למועמד ב' היא 15 3 ב .מהו אחוז התושבים הצעירים שהצביעו למועמד ב'? ג .איזה אחוז מהווים התושבים הצעירים מבין אלו שהצביעו למועמד א'? 38 פרק שני – גיאומטריה וטריגונומטריה במישור ( 20נקודות) ענה על שאלה אחת מבין השאלות .4-5 שים לב! אם תענה על שתי השאלות ,תיבדקנה רק התשובה הראשונה שבמחברתך. .4במעגל שרדיוסו הוא 10ס"מ המיתרים ABו BC-מאונכים זה לזה. הנקודה Dהיא אמצע הקשת . BCהקטע ADחותך את המיתר BC בנקודה .Eאורך המיתר ABהוא 12ס"מ. א .חשב את אורך הקטע .BE ב .מהנקודה Dמעבירים מיתר החותך את המיתר BC בנקודה Fומקביל למיתר .AB הוכח כי מיתר זה עובר דרך מרכז המעגל. ג .חשב את אורך הקטע .FE .5נתון המעוין .ABCD אורך האלכסון הגדול במעוין ACגדול פי 1.8מצלע המעוין. א .חשב את זוויות המעוין. מהקודקוד Dמעבירים את הקטע DEשאורכו הוא . m הקטע DEחותך את האלכסון ACבנקודה .G הזווית EDCתסומן ב. - ב .הבע באמצעות mו -את אורך הקטע .CE ג .הבע באמצעות mו -את שטח המשולש .EGC פרק שלישי – חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של פונקציות פולינום, פונקציות רציונאליות ושל פונקצית שורש ( 40נקודות) ענה על שתיים מבין השאלות ( 6-8לכל שאלה – 20נקודות). שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות ,תיבדקנה רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך. x2 2 x .6נתונה הפונקציה הבאה: x2 א .מה הוא תחום ההגדרה של הפונקציה? ב .מצא את נקודות קיצון של הפונקציה וקבע את סוגן. x ג .מצא את נקודת החיתוך של גרף הפונקציה עם ציר ה. - ד .סרטט סקיצה של גרף הפונקציה. . f ( x) 39 x 12 .7נתונה הפונקציה: x2 3 מקצים נקודה Aעל גרף הפונקציה וממנה מורידים אנכים לצירים כך שנוצר המלבן ABCOכמתואר באיור. א .מצא מה צריכים להיות שיעורי הנקודה Aעבורם שטח המלבן יהיה מקסימלי. ב .מה צריכים להיות שיעורי הנקודה Aעבורם שטח המלבן יהיה מינימלי בתחום הנ"ל. f ( x) בתחום. x 0 : .8נתונה הפונקציה. f ( x) x 2 : מנקודת החיתוך שלה עם ציר ה y -מעבירים משיק. א .מצא את משוואת המשיק. ב .מצא את נקודת החיתוך של המשיק עם ציר ה. x - ג .חשב את השטח הכלוא בין המשיק ,גרף הפונקציה וציר הx - (השטח המסומן). 2 בהצלחה! 40 בחינה מספר 15 שים לב! הסבר את כל פעולותיך ,כולל חישובים ,בפירוט ובצורה ברורה. חוסר פירוט עלול לגרום לפגיעה בציון או לפסילת הבחינה. פרק ראשון – אלגברה ,גיאומטריה אנליטית ,הסתברות ( 40נקודות) ענה על שתיים מבין השאלות ( 1-3לכל שאלה – 20נקודות). שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות ,תיבדקנה רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך. .1נתונה תיבה שבסיסה הוא מלבן .ידוע כי צלע אחת של המלבן גדול ב 50%-מהצלע הסמוכה לה. כמו כן גובה המלבן גדול ב 50%-מצלע המלבן הגדולה. סכום ארבעת הגבהים של המלבן גדול ב 32-ס"מ מהיקף בסיס המלבן. א .מצא את מידות המלבן. ב .חשב את שטח המעטפת של התיבה. ג .חשב את נפח התיבה. .2המעגל a 4 : 2 x a y 1 2 a 0 ,חותך את ציר ה x -בנקודה שבה. x 1 : א. ב. מצא את ערך הפרמטר . a מצא את נקודות החיתוך של המעגל הנתון עם המעגל 10 : ג. ד. כתוב את משוואת הישר העובר דרך נקודות החיתוך של שני המעגלים. חשב את שטח המשולש שיוצר הישר שמצאת בסעיף הקודם עם הצירים. 2 . x 1 y 2 2 .3בכד יש 9כדורים ,חלקם כחולים והשאר לבנים. מוציאים כדור מהכד ,אם הוא כחול אז מחזירים אותו לכד ומוסיפים 4כדורים לבנים ואם הוא לבן אז מחזירים אותו לכד ומוסיפים 4כדורים כחולים .לאחר מכן מוציאים כדור נוסף. 6 . ידוע כי ההסתברות שהכדור הראשון שיצא הוא כחול אם ידוע כי הכדור השני כחול היא 11 א .מצא כמה כדורים כחולים יש בכד. ב .חוזרים על התהליך 6פעמים ,כלומר בכל פעם מחזירים את המצב לקדמותו, מוציאים באקראי כדור ופועלים בהתאם לחוקים. מצא את ההסתברות שלפחות פעם אחת יבחרו שני כדורים כחולים בזה אחר זה. פרק שני – גיאומטריה וטריגונומטריה במישור ( 20נקודות) ענה על שאלה אחת מבין השאלות .4-5 שים לב! אם תענה על שתי השאלות ,תיבדקנה רק התשובה הראשונה שבמחברתך. .4המשולש ABCחסום במעגל. Aגובה לצלע BCו AE-קוטר במעגל. א .הוכח. BAD EAC : נתון גם כיCE 21 , AD 6 , CD 8 : ב .חשב את רדיוס המעגל. 41 .5המרובע ABCDחסום במעגל כמתואר באיור. ידוע כי. AB b , BC a , CD a , AD 3b : א .הבע באמצעות aו b -את . cos BCD ב .הוכח כי אם BDקוטר אז מתקיים. a b 5 : ג .נתון כי רדיוס המעגל הוא 3ס"מ. הסתמך על סעיף ב' וחשב את שטח המרובע .ABCD פרק שלישי – חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של פונקציות פולינום, פונקציות רציונאליות ושל פונקצית שורש ( 40נקודות) ענה על שתיים מבין השאלות ( 6-8לכל שאלה – 20נקודות). שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות ,תיבדקנה רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך. kx k 0 , f ( x) פרמטר. .6נתונה הפונקציה הבאה: k x2 א .i .מהו תחום ההגדרה של הפונקציה? (בטא באמצעות .) k .iiמהן האסימפטוטות האנכיות של הפונקציה? ב .הראה כי הפונקציה עולה עבור כל ערך של kבתחום הגדרתה. ג .כתוב את משוואת המשיק לגרף הפונקציה בנקודת החיתוך שלה עם ציר ה. x - (בטא באמצעות .) k ד .המשיק אשר מצאת בסעיף הקודם חותך את האסימפטוטה החיובית של הפונקציה בנקודה . A ידוע כי שטח המשולש הכלוא בין המשיק ,ציר ה x -והאסימפטוטה הנ"ל הוא. S 4 : מצא את . k .7חיים הוא אחד מעובדי חברת "דפוס יהלום בע"מ". תפקידו של חיים הוא להדביק גלויות על משטחי קרטון בעלי שטח מינימלי כך שיישארו רווחים של 3ס"מ מקצות הקרטון העליון והתחתון ,ו 5-ס"מ מצידי הקרטון (ראה איור). יום אחד קיבל חיים שיחת טלפון מלקוח אנונימי ששאל אותו את השאלה הבאה" :יש לי מגוון גדול של גלויות במידות שונות אשר שטחן זהה והוא 60סמ"ר .מה הן המידות של גלויה אשר שטח משטח הקרטון שלה יהיה מינימלי?" א .עזור לחיים לענות ללקוח על שאלתו והראה דרך חישוב. ב .מה יהיו מידות הקרטון עבור הגלויה המסוימת? 3 5 5 3 .8נתונה הפונקציה . f ( x) x 2 6 x 12 :ישר העובר בראשית הצירים חותך את גרף הפונקציה בנקודה שבה x 4כמתואר באיור. א .מצא את משוואת הישר. ב .מצא את נקודת החיתוך השנייה של הישר והפונקציה. ג .מצא את השטח המוגבל בין הישר ,גרף הפונקציה, ציר ה x -והישר . x 4 בהצלחה! 42 בחינה מספר 16 שים לב! הסבר את כל פעולותיך ,כולל חישובים ,בפירוט ובצורה ברורה. חוסר פירוט עלול לגרום לפגיעה בציון או לפסילת הבחינה. פרק ראשון – אלגברה ,גיאומטריה אנליטית ,הסתברות ( 40נקודות) ענה על שתיים מבין השאלות ( 1-3לכל שאלה – 20נקודות). שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות ,תיבדקנה רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך. .1סוחר קנה כיסאות ב .₪ 7,200-הסוחר השקיע ₪ 1,000בשיפוץ כל הכיסאות ואז מכר אותם. 20כיסאות הוא מכר ברווח של ₪ 70לכיסא .את שאר הכיסאות הוא מכר בהפסד של ₪ 15לכיסא. הסוחר הפסיד בעסקה .₪ 650 א .כמה כיסאות קנה הסוחר? ב .כמה שילם הסוחר עבור כל כיסא? .2המרובע ABCDהוא טרפז .הנקודה Eהיא אמצע הבסיס ABוידוע כי היא נמצאת על ציר ה .x -שיעורי הנקודה Bהם 3, 2 והצלע ADמונחת על הישר.x 5 : אורך הקטע DEהוא 80כך ש D-ברביע השלישי וכן. DEC 90 : א .מצא את שיעורי הנקודות D , Aו.E- ב .מצא את משוואת הקטע CE ואת משוואת הבסיס .CD ג .מצא את שיעורי הנקודה .C ד .חשב את שטח המשולש .DEC .3בסיטונאות מזון ידוע כי 40%מתוך הסכו"ם החד-פעמי הוא תוצרת חו"ל והשאר תוצרת הארץ. 40%מבין הסכו"ם המיובא מחו"ל הם צבעוניים והשאר שקופים. א .מה ההסתברות לבחור בסיטונאות המזון סכו"ם שקוף המיובא מחו"ל? ב .i .בוחרים 5כלים בחנות באופן אקראי. מה ההסתברות שלכל היותר כלי אחד הוא כלי שקוף תוצרת חו"ל? .iiמה ההסתברות שבדיוק אחד מחמשת הכלים הוא כלי שקוף תוצרת חו"ל, אם ידוע כי לכל היותר כלי אחד הוא שקוף תוצרת חו"ל? ג .בוחרים שני כלים באופן אקראי וידוע כי ההסתברות ששניהם שקופים היא .0.4096 איזה חלק מהווים כלי הסכו"ם השקופים מבין כלי הסכו"ם תוצרת הארץ? 43 פרק שני – גיאומטריה וטריגונומטריה במישור ( 40נקודות) ענה על שאלה אחת מבין השאלות .4-5 שים לב! אם תענה על שתי השאלות ,תיבדקנה רק התשובה הראשונה שבמחברתך. .4מהקדקוד Cשל המשולש BCDמעבירים את הקטע ACכך שהמשולש ACD הוא שווה שוקיים . AC AD הנקודה Fנמצאת על הצלע CD כך שמתקיים. D CBF , 3 ACD BEC : א .הוכח כי הקטע BFחוצה את זווית . B ב .הוכח כי.AEB FEC : BE AE . ג .הוכח כי: BC FC .5המשולש ABCחסום במעגל כמתואר באיור. מעבירים את המיתר ADהחוצה את זווית .BAC ידוע כי . BAC 40 , ACB 60 :מסמנים. AD k : א .הבע באמצעות kאת אורך המיתר .BD ב .ידוע כי שטח המשולש ABDהוא 7.368סמ"ר. מצא את ( kעגל למספר שלם). פרק שלישי – חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של פונקציות פולינום, פונקציות רציונאליות ושל פונקצית שורש ( 40נקודות) ענה על שתיים מבין השאלות ( 6-8לכל שאלה – 20נקודות). שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות ,תיבדקנה רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך. .6 א. ב. ג. ד. ה. 9 x2 f ( x) 2יש נקודת קיצון שנמצאת על ציר ה. y - הוכח כי לגרף הפונקציה: x k הוכח כי הפונקציה ) f ( xמוגדרת לכל xאם ידוע כי שיעור ה y -של נקודת הקיצון הוא .3 מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם ציר ה. x - מצא את האסימפטוטה האופקית של הפונקציה. סרטט סקיצה של גרף הפונקציה וקבע בכמה נקודות יחתוך אותו הישר . y 1 נמק את תשובתך. 44 .7באיור שלפניך מתוארים תיבה שבסיסה ריבוע וגליל החסום בתוך התיבה. רדיוס הגליל יסומן ב x -וגובהו ב . h -ידוע כי הסכום של xו h -הוא 12ס"מ. א .הבע באמצעות xאת אורך מקצוע הבסיס של התיבה. ב .i .הבע באמצעות xאת נפח הגליל. .iiהבע באמצעות xאת נפח התיבה. ג .מצא את xעבורו הנפח הכלוא בין התיבה לגליל יהיה מינימלי. h x 16 .8באיור שלפניך מתוארים הגרפים של הפונקציות: x א .מצא את נקודת החיתוך של הגרפים. ב .חשב את השטח המוגבל בין שני הגרפים ,ציר ה x -והישר. x 9 : f ( x ) ו . g ( x) 2 x - בהצלחה! 45 בחינה מספר 17 שים לב! הסבר את כל פעולותיך ,כולל חישובים ,בפירוט ובצורה ברורה. חוסר פירוט עלול לגרום לפגיעה בציון או לפסילת הבחינה. פרק ראשון – אלגברה ,גיאומטריה אנליטית ,הסתברות ( 40נקודות) ענה על שתיים מבין השאלות ( 1-3לכל שאלה – 20נקודות). שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות ,תיבדקנה רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך. .1משאית מביאה סחורה מידי יום מיישוב א' ליישוב ב' המרוחק ממנו 630ק"מ. המשאית נוסעת במהירות קבועה בכל יום. יום אחד נסעה המשאית במהירות הנמוכה ממהירותה הרגילה ב.20%- לאחר 3שעות ראה נהג המשאית כי הוא עומד לאחר ולכן הגביר את מהירותו ב 21-קמ"ש ממהירותו הנוכחית .המשאית הגיעה ליעדה בדיוק באותו הזמן שהיא מגיעה בכל יום. באיזו מהירות נוסעת המשאית בכל יום? .2הנקודות Mו D-נמצאות על הישר. y 12 : ידוע כי שיעור ה x -של הנקודה Mהוא 9וכי המרחק של הנקודה Mמראשית הצירים גדול ב6 - מהמרחק בין הנקודות Dו( M-ראה איור). y בונים מעגל שמרכזו נמצא בנקודה Mורדיוסו והוא האורך .DM א .i .מצא את מרחק הנקודה Mמראשית הצירים. y 12 M D .iiמצא את שיעור ה x -של הנקודה .D ב .כתוב את משוואת המעגל. ג .האם המעגל הזה חותך את הצירים? הראה חישוב מתאים לטענתך. x .3בכד יש פי 5כדורים כחולים מאדומים .מוציאים מהכד כדור. אם הוא כחול אז משאירים אותו בחוץ ואם הוא אדום אז מחזירים אותו לכד. לאחר מכן מוציאים כדור נוסף מהכד. 175 . ידוע כי ההסתברות להוציא שני כדורים בצבעים שונים היא: 612 א .כמה כדורים מכל צבע יש בכד? ב .ידוע כי הכדור השני שנבחר הוא כחול ,מה ההסתברות שהכדור הראשון שנבחר היה אדום? ג .חוזרים על התהליך 5פעמים. ידוע כי בכל הפעמים הכדור השני שהוצא הוא כחול. מה ההסתברות שברוב הפעמים הכדור הראשון שיצא הוא אדום? 46 פרק שני – גיאומטריה וטריגונומטריה במישור ( 20נקודות) ענה על שאלה אחת מבין השאלות .4-5 שים לב! אם תענה על שתי השאלות ,תיבדקנה רק התשובה הראשונה שבמחברתך. .4המרובע ABCDחסום במעגל .המשכי המיתרים ABו ED-נפגשים בנקודה .F הקטע FDחותך את היקף המעגל בנקודה Eכך שמתקיים. AB AE : נתון כי הזווית BCDהיא ישרה. א .הוכח כי הקטע DFשווה לקוטר המעגל. נתון כי DF BF :וכי רדיוס המעגל הוא 12ס"מ. ב .הוכח כי המרובע AEDBהוא טרפז. ג .חשב את היקף הטרפז .AEDB .5המשולש ABCהוא שווה שוקיים . AB AC ממשיכים את הצלע ACעד לנקודה Dכך שאורך שוק המשולש גדולה פי 3.8מהקטע .AD ידוע כי . D 60 :אורך הקטע BDהוא 21ס"מ. א .מצא את אורך הקטע .AD ב .חשב את שטח המשולש .ABC פרק שלישי – חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של פונקציות פולינום, פונקציות רציונאליות ושל פונקצית שורש ( 40נקודות) ענה על שתיים מבין השאלות ( 6-8לכל שאלה – 16 23נקודות). שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות ,תיבדקנה רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך. ax 6 a , f ( x) פרמטר. .6נתונה הפונקציה הבאה: 9 x2 מעבירים משיק לגרף הפונקציה בנקודת החיתוך שלה עם ציר ה. y - ידוע כי הוא מקביל לישר. 3 y x 0 : א .מצא את ערך הפרמטר . a ב .כתוב את תחום ההגדרה של הפונקציה. ג .מצא את נקודת הקיצון של הפונקציה. ד .כתוב את התחומי העלייה והירידה של הפונקציה. 47 9x x 8 f ( x) והישר: .7באיור שלפניך מתוארים הגרפים של הפונקציה: 25 x 1 הנקודות Aו B-נמצאות על הגרפים של הפונקציות כך שהקטע ABמקביל לציר ה. y - מהנקודות Aו B-מותחים אנכים לציר ה y -כך שנוצר המלבן .ABCD y נסמן את שיעור ה x -של הנקודה Aב. t - A א .הבע באמצעות tאת היקף המלבן .ABCD מינימלי. ב .מצא את tעבורו היקף המלבן הוא )f ( x B ג .מה יהיה ההיקף במקרה זה? .y y D C x .8באיור שלפניך מתוארים גרף הפונקציה ) f ( xוהישר. y 2 x : נגזרת הפונקציה ) f ( xהיא f '( x) 2 x 6 :וידוע הישר חותך את הפונקציה בנקודה שבה ערך ה y -הוא .16 א .מצא את הפונקציה ). f ( x ב .האם יש לגרף הפונקציה ולישר עוד נקודות חיתוך? אם כן מצא אותן. ג .חשב את השטח המוגבל בין גרף הפונקציה והישר. y )f ( x x בהצלחה! 48 בחינה מספר 18 שים לב! הסבר את כל פעולותיך ,כולל חישובים ,בפירוט ובצורה ברורה. חוסר פירוט עלול לגרום לפגיעה בציון או לפסילת הבחינה. פרק ראשון – אלגברה ,גיאומטריה אנליטית ,הסתברות ( 40נקודות) ענה על שתיים מבין השאלות ( 1-3לכל שאלה – 16 23נקודות). שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות ,תיבדקנה רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך. .1בעל חנות כלי נגינה קנה גיטרות ב ,₪ 50,000-מחיר כל הגיטרות זהה. בשבוע הראשון מכר בעל החנות 3גיטרות ברווח של .85% בשבוע השני מכר בעל החנות גיטרה אחת במחיר שקנה אותה ובשבוע השלישי והרביעי מכר בעל החנות את שאר הגיטרות בהפסד של .5% סה"כ הרוויח בעל החנות מעסקי הגיטרות .₪ 11,250 כמה גיטרות קנה בעל החנות ובאיזה מחיר לגיטרה? .2מעגל שמרכזו בנקודה M 15,12 משיק לציר ה y -בנקודה Bוחותך את ציר ה x -בשתי נקודות Aו C-כמתואר באיור. א .כתוב את משוואת המעגל. מהנקודה Cמעלים אנך לציר ה x -שחותך את המעגל בנקודה נוספת .D דרך הנקודה Dעובר משיק למעגל. ב .מצא את שיעורי הנקודות Cו.D- ג .מצא את משוואת המשיק למעגל בנקודה .D .3לכבוד חנוכה קנתה סבתא תקווה לשתי נכדותיה ,שני ושרון ,סביבונים עם סוכריות בתוכם. בכל סביבון יש 7סוכריות שוקולד ו 4-סוכריות מנטה. שרון לקחה סביבון אחד והוציאה ממנו באקראי (ללא החזרה) 4סוכריות. א .מה ההסתברות שכל הסוכריות שהוציאה שרון הן סוכריות מנטה? שני לקחה 4סביבונים (אחרים) והוציאה באקראי מכל סביבון סוכרייה אחת. ב .האם ההסתברות ששני תוציא 4סוכריות מנטה גבוהה יותר או נמוכה יותר מההסתברות שחשבת בסעיף א'? נמק. ג .שני הוציאה באקראי סוכרייה אחת מכל סביבון מתוך ארבעת הסביבונים שברשותה. ידוע שבין הסוכריות שבידה יש יותר סוכריות מנטה. מה ההסתברות שכל הסוכריות שיש לשני ביד יהיו בטעם מנטה? 49 פרק שני – גיאומטריה וטריגונומטריה במישור ( 20נקודות) ענה על שאלה אחת מבין השאלות .4-5 שים לב! אם תענה על שתי השאלות ,תיבדקנה רק התשובה הראשונה שבמחברתך. .4המרובע ABCDהוא מלבן .הקטע DFחותך את הצלע BCבנקודה Eכך שהקטע CEגדול פי 2מהקטע F .BEנמצאת על המשך הצלע ABשל המלבן. מעבירים את הקטע MNהמקביל לצלעות ADו BC-של המלבן ואת הקטע MG AM 3 . המאונך לקטע .DFנתון : BM 5 א .פי כמה גדול הקטע MNמהקטע ?BE ב .הוכח כי המשולשים MGNו FAD-דומים . DF GN 3 . ג .נתון כי: .הוכח 90 : BE DF 40 .5המשולש ABCהוא ישר זווית C 90 ובו. B 2 : מעבירים מעגל שרדיוסו Rדרך הקדקודים Bו C-אשר חותך את צלעות המשולש בנקודות Dו .E-המיתר BEחוצה את זווית .B א .הבע באמצעות Rו -את שטח המשולש .ABE ב .ידוע כי המשולש ABEהוא שווה שוקיים וכי אורך המיתר CEהוא 6ס"מ. חשב את שטח המשולש .ABE פרק שלישי – חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של פונקציות פולינום, פונקציות רציונאליות ושל פונקצית שורש ( 40נקודות) ענה על שתיים מבין השאלות ( 6-8לכל שאלה – 20נקודות). שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות ,תיבדקנה רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך. x3 .6נתונה הפונקציה הבאה: x 1 א .מהו תחום הגדרה של הפונקציה? ב .כמה נקו דות יש לגרף הפונקציה שהמשיק העובר דרכן מקביל לציר ה ? x -מצא אותן. ג .כתוב את משוואות המשיקים בנקודות שמצאת בסעיף הקודם. . f ( x) 50 .7המרובע ABCDהוא ריבוע .הנקודה Eנמצאת על הצלע ADשל הריבוע והנקודה G נמצאת על המשך הצלע .ADמעבירים את הקטעים BEו BG-ומוסיפים את הנקודה F כך שהמרובע BEFGהוא מלבן כמתואר באיור .הקטע AGגדול פי 2מהצלע BEשל המלבן והסכום של הצלע BEוהאלכסון GEהוא 16ס"מ .הקטע BEיסומן ב. x - א .הבע באמצעות xאת אורך הקטע .AE ב .מצא את xעבורו אורך צלע הריבוע תהיה מקסימלית. (העזר במשולש .)ABE .8נתונה הפונקציה . f ( x) kx x 2 :הישר y 9חותך את גרף הפונקציה בשתי נקודות. ידוע כי שיעור ה x -של אחת מנקודות החיתוך הוא . x 9 א .מצא את ערך הפרמטר . k ב .מצא את נקודת החיתוך השנייה בין שני הגרפים. ג .חשב את השטח המוגבל בין גרף הפונקציה ,הישר וציר ה( x -השטח המסומן). y x )f ( x בהצלחה! 51 בחינה מספר 19 שים לב! הסבר את כל פעולותיך ,כולל חישובים ,בפירוט ובצורה ברורה. חוסר פירוט עלול לגרום לפגיעה בציון או לפסילת הבחינה. פרק ראשון – אלגברה ,גיאומטריה אנליטית ,הסתברות ( 40נקודות) ענה על שתיים מבין השאלות ( 1-3לכל שאלה – 20נקודות). שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות ,תיבדקנה רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך. .1נתון ריבוע .ABCDבונים משולש ישר זווית EFCכך ש E-ו F-הן נקודות על המשכי הצלעות BCו DC-של הריבוע בהתאמה. הנקודה Aנמצאת על יתר המשולש .EF הקטע BEמהווה 50%מצלע הריבוע והקטע FDגדול פי 2מצלע הריבוע. ידוע כי שטח המשולש EFCהוא 81סמ"ר. מצא את אורך צלע הריבוע. AD .2ו BE-הם בהתאמה גבהים לצלעות BCו AC-במשולש .ABC ידוע כי שיעורי נקודת פגישת הגבהים Kהם. 1,3 : שיעורי הנקודות Dו E-הם. D 2, 4 , E 3,5 : א. ב. ג. ד. מצא את משוואת הגובה ADואת משוואת הצלע .AC מצא את שיעורי הקדקוד .A מצא את משוואת הגובה BEואת משוואת הצלע .BC מצא את שיעורי הקדקוד .B .3בחדר יש xגברים ו 3x -נשים .משחקים את המשחק הבא :בוחרים באקראי שני אנשים מהחדר בזה אחר זה (ללא החזרה). 13 . ידוע כי ההסתברות לבחור שני אנשים מאותו המין היא 22 א .מצא כמה נשים יש בחדר. ב .ידוע כי האדם השני שנבחר הוא גבר ,מה ההסתברות שגם הראשון שנבחר הוא גבר? ג .משחקים את המשחק 4פעמים. ידוע כי בכל הפעמים נבחר גבר בפעם השנייה. מה ההסתברות שבדיוק ב 3-פעמים יבחר גבר גם בפעם הראשונה? 52 פרק שני – גיאומטריה וטריגונומטריה במישור ( 20נקודות) ענה על שאלה אחת מבין השאלות .4-5 שים לב! אם תענה על שתי השאלות ,תיבדקנה רק התשובה הראשונה שבמחברתך. .4הטרפז ABCDהוא שווה שוקיים. חוסמים מעגל בתוך הטרפז אשר משיק לו בנקודות F ,Eו G-כמתואר באיור. הקטעים DFו CE-חוצים את זוויות הטרפז ונחתכים בנקודה .M א .הוכח כי הנקודה Mהיא מרכז המעגל החסום. B ב .חשב את זוויות הטרפז. F ממשיכים את GFואת ADכך שהם נפגשים בנקודה .H EM . ג .חשב את היחס FH H G A E M C .5במקבילית ABCDאורך האלכסון ACהוא 79ס"מ. היקף המקבילית הוא 20ס"מ וידוע כי. B 120 : א .מצא את אורכי צלעות המקבילית. ב .חשב את שטח המקבילית. ג .מסמנים נקודה Eעל האלכסון ACכך שהמרובע CBEDהוא בר חסימה. חשב את רדיוס המעגל החוסם את המרובע .CBED פרק שלישי – חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של פונקציות פולינום, פונקציות רציונאליות ושל פונקצית שורש ( 40נקודות) ענה על שתיים מבין השאלות ( 6-8לכל שאלה – 20נקודות). שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות ,תיבדקנה רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך. ax 2 20 x 28 .6נתונה הפונקציה: x 2 2a ידוע כי גרף הפונקציה חותך את האסימפטוטה האופקית שלו בנקודה . 0.5,3 א .מצא את ערך הפרמטר aוכתוב את הפונקציה ואת תחום הגדרתה. ב .מצא את נקודות הקיצון של הפונקציה וקבע את סוגן. ג .כתוב את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה. ד .מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים. ה .סרטט סקיצה של גרף הפונקציה. ו .העזר בגרף הפונקציה וקבע עבור אלו ערכים של kהישר y k :יחתוך את גרף הפונקציה בנקודה אחת בלבד. . f ( x) 53 D .7נתון ריבוע בעל אורך צלע של 16ס"מ. מקצים קטע שאורכו xעל הצלע העליונה ושני קטעים שאורכם 2x על הצלעות הצדדיות כמתואר באיור כך שנוצר המחומש המקווקו. מצא מה צריך להיות ערכו של xעבורו שטח המחומש יהיה מקסימלי. x 2x 2x 1 .8באיור שלפניך נתונה הפונקציה x : 2x א .מצא את נקודת המינימום שלה. ב .מנקודת המינימום של הפונקציה מעבירים ישר x לנקודה 2, 0 :שעל ציר ה. x - מצא את השטח הכלוא בין גרף הפונקציה ,הישר ואנך לציר הx - היוצא מהנקודה 2, 0 עד לנקודת החיתוך עם גרף הפונקציה. . f ( x) y )f ( x בהצלחה! 54 בחינה מספר 20 שים לב! הסבר את כל פעולותיך ,כולל חישובים ,בפירוט ובצורה ברורה. חוסר פירוט עלול לגרום לפגיעה בציון או לפסילת הבחינה. פרק ראשון – אלגברה ,גיאומטריה אנליטית ,הסתברות ( 40נקודות) ענה על שתיים מבין השאלות ( 1-3לכל שאלה – 16 23נקודות). שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות ,תיבדקנה רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך. .1נתונה מנסרה שבסיסה הוא משולש ישר זווית. הניצב הגדול ארוך ב 4 -ס"מ מהניצב הקטן ,וקצר ב 4-ס"מ מהיתר. נפח המנסרה הוא 2880סמ"ק. א .מצא את מידות משולש הבסיס. ב .מצא את גובה המנסרה. ג .מצא את שטח המעטפת של המנסרה. .2נתון מעוין .ABCDידוע כי הצלע CDמונחת על הישר . y 7 y אלכסוני המעוין ACו BD-נפגשים בנקודה. M 0.5, 3 : B שיפוע האלכסון ACהוא .-4 א .מצא את משוואת האלכסון .AC M ב .מצא את שיעורי הנקודה .C C ג .חשב את שטח המשולש .BMC (היעזר בתכונה כי אלכסוני המעוין מחלקים אותו ל 4-משולשים שווי-שטח). A x .3בעיר מסוימת נערכו בחירות מקומיות .ידוע כי אם בוחרים באקראי 4אזרחים ההסתברות שתמַ צא אישה אחת ביניהם קטנה פי 16מההסתברות להיתקל באישה באופן אקראי. ִ א .מה הוא אחוז הגברים בעיר? 1 בעיר שלושה מועמדים. 11 מהמצביעים למועמד א' הם גברים 60% ,מהמצביעים למועמד ב' הם גברים ו 25%-מהמצביעים למועמד ג' הם גברים .אחוז המצביעים למועמד ג' הוא .20% ב .איזה מועמד קיבל את רוב הקולות? ג .איזה חלק מבין כל הנשים מהווה קבוצת הנשים שהצביעו למועמד המנצח? 55 D פרק שני – גיאומטריה וטריגונומטריה במישור ( 20נקודות) ענה על שאלה אחת מבין השאלות .4-5 שים לב! אם תענה על שתי השאלות ,תיבדקנה רק התשובה הראשונה שבמחברתך. .4במשולש ABCהזווית Cהיא. 60 : מעבירים את הקטע ADכך שנוצרים המשולשים ACDו.ABD- ידוע כי רדיוס המעגל החוסם את המשולש ACDהוא 3 :ס"מ . R1 כמו כן רדיוס המעגל החוסם את המשולש ABDהוא 3 :ס"מ . R2 א .הוכח כי המשולש ABCהוא ישר זווית. ב .היקף המשולש ABCהוא 12 4 3 :ס"מ . P חשב את שטח המשולש. .5דרך הקדקודים C , Aו D-של המקבילית ABCDמעבירים מעגל. היקף המעגל חוצה את הצלע ABבנקודה . AE BE , E נתון כי DCהוא קוטר במעגל וכי המיתר DEחוצה את זווית .D א .הוכח כי המיתר CEחוצה את זוויות .C ב .רדיוס המעגל יסומן ב. R - הבע באמצעות Rאת היקף המקבילית. ג .מצא את רדיוס המעגל אם ידוע כי שטח המקבילית הוא 16 3סמ"ר. פרק שלישי – חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של פונקציות פולינום, פונקציות רציונאליות ושל פונקצית שורש ( 40נקודות) ענה על שתיים מבין השאלות ( 6-8לכל שאלה – 20נקודות). שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות ,תיבדקנה רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך. 5x 1 .6נתונה הפונקציה הבאה: x5 א .תחום הגדרה. ב .נקודות קיצון וסוגן. ג .תחומי עלייה וירידה. ד .חיתוך עם הצירים. ה .מציאת אסימפטוטות המקבילות לצירים. ו .סרטוט סקיצה. . f ( x) 1.5 x חקור לפי הסעיפים הבאים: .7 xו y -הם שני מספרים חיוביים המקיימים. x 6 y 60 : א .הבע את yבאמצעות . x ב .מה צריכים להיות המספרים xו y -כדי שמכפלת ריבועיהם תהיה מקסימלית? ג .מהי המכפלה הנ"ל? 56 32 .8באיור שלפניך מתוארים הגרפים של הפונקציות f ( x) x 2 :ו- x מעבירים ישר x aהחותך את גרף הפונקציה ) g ( xויוצר את השטח הכלוא בין שני הגרפים, g ( x) ברביע הראשון. 1 ציר ה x -והישר (השטח המסומן) .ידוע כי שטח זה שווה ל. S 85 - 3 מצא את . a y )f ( x )g ( x x x a בהצלחה! 57 בחינה מספר 21 שים לב! הסבר את כל פעולותיך ,כולל חישובים ,בפירוט ובצורה ברורה. חוסר פירוט עלול לגרום לפגיעה בציון או לפסילת הבחינה. פרק ראשון – אלגברה ,גיאומטריה אנליטית ,הסתברות ( 40נקודות) ענה על שתיים מבין השאלות ( 1-3לכל שאלה – 20נקודות). שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות ,תיבדקנה רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך. .1המחיר של 3מקלדות ו 5-עכברים הוא .₪ 490 לאחר חצי שנה חנות המחשבים יצאה למבצע והכריזה כי כל המקלדות בהנחה מיוחדת של 50% וכל העכברים בהנחה של .10%כעת ניתן לקנות 4עכברים ו 8-מקלדות במחיר של .₪ 500 א .מה היו המחירים של מקלדת ושל עכבר לפני ההנחה? ב .מה הם המחירים של מקלדת ושל עכבר לאחר ההנחה? ג .בכמה אחוזים גדול המחיר הראשוני של מקלדת מהמחיר הראשוני של עכבר? .2באיור שלפניך נתון מעגל שמרכזו בנקודה .M המעגל חותך את ציר ה y -בנקודות Aו.B- מעבירים משיק למעגל 6 x 7 y 191:דרך הנקודה . C 12,17 : א. ב. ג. ד. כתוב את משוואת הרדיוס .MC ידוע כי הנקודה Mנמצאת על הישר. y 10 : .iמצא את שיעורי הנקודה .M .iiמצא את אורך רדיוס המעגל. .iiiכתוב את משוואת המעגל. מצא את נקודות החיתוך של המעגל עם ציר ה. y - חשב את שטח המשולש .AMB y C A M B x .3כדי להתקבל לעבודה בחברת "קוקה-קולה" יש לעבור שלושה ראיונות ע"י שלושה בעלי תפקידים בסדר הבא: אחראי משמרת ,מנהל ראשי ומנכ"ל החברה .כל בעל מקצוע נותן חוות דעת חיובית או שלילית בלבד. כדי שמועמד יקבל עבודה בחברה עליו לעבור בהצלחה לפחות את אחד מהראיונות עם אחראי המשמרת והמנהל הראשי אך הראיון עם המנכ"ל חייב לעבור בהצלחה (כדי שמועמד יקבל עבודה המנכ"ל צריך 1 לתת לו חוות דעת חיובית) .ידוע כי אחראי המשמרת נותן חוות דעת חיובית ל- 6 2 המנהל הראשי קורא את חוות הדעת של אחראי המשמרת וב -מהמקרים נותן חוות דעת הפוכה מזו 3 מהמועמדים. של אחראי המשמרת .מנכ"ל החברה נותן חוות דעת חיובית ל 80%-מהמועמדים ללא קשר לחוות הדעת הקודמות. א .מה ההסתברות לקבל חוות דעת חיובית מהמנהל הראשי? ב .ידוע כי המנהל הראשי נתן חוות דעת חיובית ,מה ההסתברות שגם אחראי המשמרת נתן חוות דעת חיובית? ג .מה ההסתברות להתקבל לחברה? 58 פרק שני – גיאומטריה וטריגונומטריה במישור ( 20נקודות) ענה על שאלה אחת מבין השאלות .4-5 שים לב! אם תענה על שתי השאלות ,תיבדקנה רק התשובה הראשונה שבמחברתך. .4הקטע ABמשיק למעגל בנקודה .A מהנקודה Bמעבירים ישר חותך למעגל החותך אותו בנקודות Cו.D- Eהיא נקודה על המעגל כך ש. AEC 90 - נתון כי המיתר ACחוצה את זווית .BCE א .הוכח. ABC EAC : ב .נסמן ב R -את רדיוס המעגל. BC CE .R הוכח: 2 ג .איזה מרובע יהיה המרובע ADCEאם יתקיים . 2CE BC :נמק. .5באיור שלפניך נתון משושה משוכלל ששטחו הכולל הוא. S : א .הבע באמצעות Sאת אורך צלע המשושה. מעבירים אלכסונים במשושה כך שנוצר המלבן .BFEC ב .הבע באמצעות Sאת שטח המלבן. פרק שלישי – חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של פונקציות פולינום, פונקציות רציונאליות ושל פונקצית שורש ( 40נקודות) ענה על שתיים מבין השאלות ( 6-8לכל שאלה – 20נקודות). שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות ,תיבדקנה רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך. .6באיור שלפניך מתוארים הגרפים של הפונקציות f ( x) x :ו. g ( x) x 2 - א .מצא את נקודות החיתוך של הגרפים. ב .מצא את משוואת המשיק לגרף הפונקציה ) f ( xהעובר )g ( x דרך נקודת החיתוך שמצאת הנמצאת ברביע הראשון. )f ( x ג .מצא את נקודת החיתוך הנוספת של המשיק שמצאת עם גרף הפונקציה ). g ( x x 59 y x 10 .7נתונה הפונקציה: x2 מעבירים משיק לגרף הפונקציה דרך נקודת החיתוך שלה עם ציר ה . y - א .מצא את משוואת המשיק. . f ( x) מסמנים נקודה Aעל גרף הפונקציה ) f ( xברביע הראשון ו B-על גרף המשיק כך שהקטע ABמקביל לציר ה. y - ב .מצא את שיעורי הנקודה Aעבורן אורך הקטע ABהוא מינימלי. ג .מה יהיה אורך הקטע ABבמקרה זה? .8נגזרת הפונקציה ) f ( xהיא. f '( x) 3x 2 8x 12 : הישר y 5חותך את גרף הפונקציה ) f ( xעל ציר ה. y - א .מצא את הפונקציה ). f ( x ב .מצא את השטח המוגבל בין הישר והפונקציה (ראה איור). בהצלחה! 60 בחינה מספר 22 שים לב! הסבר את כל פעולותיך ,כולל חישובים ,בפירוט ובצורה ברורה. חוסר פירוט עלול לגרום לפגיעה בציון או לפסילת הבחינה. פרק ראשון – אלגברה ,גיאומטריה אנליטית ,הסתברות ( 40נקודות) ענה על שתיים מבין השאלות ( 1-3לכל שאלה – 20נקודות). שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות ,תיבדקנה רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך. .1סוחר קנה שני סוגי בד במחיר כולל של .₪ 900 את הבד מהסוג הראשון הוא מכר בהצלחה רבה ברווח של 72% אך את הבד השני הוא מכר בהפסד של .15% הסוחר מכר את הבדים במחיר כולל של .₪ 1,113 כמה שילם הסוחר עבור שני סוגי הבדים? .2נתון מרובע ABCDשקדקודיו הם. A(3,13) , B(2, 4) , C(9,3) , D(8,14) : מורידים גבהים AEו CF-לאלכסון .BD א .מצא את משוואת האלכסון BDואת אורכו. ב .מצא את שיעורי הנקודות Eו.F- ג .מצא את אורכי הגבהים AEו.CF- ד .חשב את שטח המרובע .ABCD .3במדינה מסוימת 41 19 מהאזרחים הם גברים ו- 60 60 הן נשים. 30%מבין מרכיבי המשקפיים במדינה זו הם גברים ו 40%-מבין אלו שלא מרכיבים משקפיים הם גברים. א .מה ההסתברות למצוא אישה במדינה זו שלא מרכיבה משקפיים? ב .בוחרים 4אנשים .מה ההסתברות שבדיוק שניים מהם הם נשים שלא מרכיבות משקפיים? ג .בוחרים אזרח .ידוע כי הוא גבר .מה ההסתברות שהוא מרכיב משקפיים? 61 פרק שני – גיאומטריה וטריגונומטריה במישור ( 20נקודות) ענה על שאלה אחת מבין השאלות .4-5 שים לב! אם תענה על שתי השאלות ,תיבדקנה רק התשובה הראשונה שבמחברתך. .4במעגל שמרכזו Oמעבירים את הקטרים ABו CD-המאונכים זה לזה. Eהיא נקודה על היקף המעגל המקיימת 15 :ס"מ . BE DE מעבירים את המיתר .AEהקטע OMמאונך למיתר AE ושווה למיתר .DE א .הוכח כי המרובע OMEBהוא טרפז ישר זווית. ב .מצא את אורך המיתר .BE ג .נתון כי שטח הטרפז הוא 90סמ"ר. מצא את רדיוס המעגל. .5המשולש ABCהוא ישר זווית . A 90 הקטעים ADו AE-הם בהתאמה גובה ליתר וחוצה זווית. מסמנים. DAE , DE k : א .הבע באמצעות kו -את שטח המשולש .ABC ב .חשב את שטח המשולש ABC אם ידוע כי 30 :ו k 2 -ס"מ. פרק שלישי – חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של פונקציות פולינום, פונקציות רציונאליות ושל פונקצית שורש ( 40נקודות) ענה על שתיים מבין השאלות ( 6-8לכל שאלה – 20נקודות). שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות ,תיבדקנה רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך. ax 4 .6לגרף הפונקציה: x2 א .מצא את aוכתוב את הפונקציה. ב .כתוב את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה. ג .מצא את נקודות החיתוך של הפונקציה עם הצירים. ד .סרטט סקיצה של גרף הפונקציה. f ( x) יש נקודת קיצון שבה . x 8 62 .7הנקודות K , L , M , Nמקצות קטעים שווים במלבן ABCD כך ש. BK BL DM DN x : צלעותיו של המלבן הן 20ס"מ ו 12-ס"מ. א .הבע באמצעות xאת סכום שטחי המשולשים: . AKN BKL CLM DNM ב .מצא מה צריך להיות xכדי ששטח המרובע LKNMיהיה מקסימלי. ג .מה הוא השטח של המרובע LKNMבמקרה זה? a x2 .8גרף הפונקציה: x2 א .מצא את aוכתוב את הפונקציה. ב .חשב את השטח המוגבל בין גרף הפונקציה, ציר ה x -והישר. x 2 : f ( x) חותך את ציר ה x -בנקודה . 6, 0 בהצלחה! 63 בחינה מספר 23 שים לב! הסבר את כל פעולותיך ,כולל חישובים ,בפירוט ובצורה ברורה. חוסר פירוט עלול לגרום לפגיעה בציון או לפסילת הבחינה. פרק ראשון – אלגברה ,גיאומטריה אנליטית ,הסתברות ( 40נקודות) ענה על שתיים מבין השאלות ( 1-3לכל שאלה – 20נקודות). שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות ,תיבדקנה רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך. .1מכונית ומונית יוצאות בו זמנית מנקודה Aלנקודה .Bהמכונית נוסעת במהירות קבועה ומגיעה לנקודה Bכעבור 4שעות .המונית נוסעת במשך 3שעות במהירות הקטנה ב 10-קמ"ש ממהירות המכונית ולאחר מכן מגבירה את מהירותה ב 50%-ומגיעה לנקודה Bיחד עם המכונית. א .מהי מהירות המכונית? ב .מה המרחק בין הנקודה Aלנקודה ?B .2באיור שלפניך נתון מעגל שמרכזו בנקודה Mהנמצאת על ציר ה. x - המעגל חותך את ציר ה x -בנקודה .Aמסמנים את ראשית הצירים ב.O- ידוע כי Aהיא אמצע הקטע MOושיעוריה הם. A 5, 0 : א. ב. ג. ד. y B x מצא את משוואת המעגל. כתוב את משוואת הישר שעובר דרך הנקודה Aושיפועו הוא .0.5 מצא את נקודת החיתוך הנוספת של הישר שמצאת עם המעגל. סמן את הנקודה שמצאת בסעיף הקודם ב B-וחשב את שטח המשולש .AMB M A .3כדי להתקבל לחברת היי-טק יש לעבור ראיונות משלושה בעלי תפקידים בסדר הבא: מהנדס ראשי ,אחראי משמרת ומנכ"ל החברה .כל אחד מבעלי התפקידים נותן חוות דעת חיובית או שלילית על המועמד לעבודה. מועמד שמתקבל לחברה חייב לקבל חוות דעת חיובית משלושת בעלי התפקידים. ידוע כי המהנדס הראשי נותן חוות דעת חיובית ל 3/5-מהמועמדים. אחראי המשמרת קורא את חוות הדעת של המהנדס הראשי וב 1/6-מהמקרים נותן חוות דעת הפוכה מזו של המהנדס הראשי .מנכ"ל החברה קורא את חוות הדעת של אחראי המשמרת וב7/10- נותן חוות דעת זהה לשלו. א .i .מה ההסתברות שמועמד יקבל חוות דעת חיובית מאחראי המשמרת? .iiידוע כי אחראי המשמרת נתן חוות חיובית. מה ההסתברות שהמהנדס הראשי נתן חוות דעת שלילית. ב .מה ההסתברות שמועמד יקבל עבודה בחברה? ג .מה ההסתברות שמועמד יקבל חוות דעת שלילית מהמנכ"ל? ד .לאחר העדר עובדים שינתה החברה את מדיניותה וקבעה כי כדי להתקבל לעבודה יש לעבור לפחות שני ראיונות בהצלחה ,אך חוות הדעת של המנכ"ל חייבת להיות חיובית. מה ההסתברות כעת לקבל עבודה בחברה? 64 O פרק שני – גיאומטריה וטריגונומטריה במישור ( 20נקודות) ענה על שאלה אחת מבין השאלות .4-5 שים לב! אם תענה על שתי השאלות ,תיבדקנה רק התשובה הראשונה שבמחברתך. .4המרובע ABCDהוא טרפז. AB CD , מעבירים את קטע האמצעים EFהחותך את אלכסון הטרפז BD בנקודה .Kידוע כי הקטע AKמקביל לשוק BCשל הטרפז. א .הוכח כי המרובע ABFKהוא מקבילית. ב .נסמן. SBKF S : הבע באמצעות Sאת שטח הטרפז .ABCD .5המיתר ABהוא קוטר במעגל שרדיוסו Rו AD-הוא מיתר. ממשיכים את המיתר BDומעבירים משיק מהנקודה .A המשיק והמשך המיתר נפגשים בנקודה .C מסמנים. BAD : א .הבע באמצעות ו R-את שטח המשולש .ABD ב .הבע באמצעות ו R-את שטח המשולש .ACD ג .מצא את אם ידוע כי שטח המשולש ABDקטן פי 4משטח המשולש .ACD פרק שלישי – חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של פונקציות פולינום, פונקציות רציונאליות ושל פונקצית שורש ( 40נקודות) ענה על שתיים מבין השאלות ( 6-8לכל שאלה – 20נקודות). שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות ,תיבדקנה רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך. x2 4 .6נתונה הפונקציה הבאה: x א .מצא את נקודת החיתוך של הפונקציה עם ציר ה. x - ב .האם ניתן להעביר משיק לגרף הפונקציה המקביל לציר ה ? x -נמק והראה חישוב מתאים. ג .כתוב את משוואת המשיק לגרף הפונקציה העובר דרך נקודת החיתוך שלה עם ציר ה. x - ד .חשב את שטח המשולש הכלוא בין המשיק והצירים. . f ( x) 65 .7המרובע ABCDהוא מקבילית .מהקדקוד Bמעבירים את הצלע EFהנפגשת עם המשכי הצלעות DCו.AD- ידוע כי מידות המקבילית הן 2 :ס"מ 8 , AB ס"מ . AD מסמנים את אורך הצלע DEב. x - א .הבע באמצעות xאת אורך הצלע .DF ב .מצא את xעבורו סכום הצלעות DEו DF-הוא מינימלי. ג .מה הוא הסכום המינימלי? .8הנגזרת של הפונקציה ) f ( xהמתוארת באיור שלפניך היא. f '( x) 3 2 x : ישר ABשמשוואתו y 6 :חותך את גרף הפונקציה ) f ( xבנקודות Aו.B- מנקודות אלו מורידים אנכים לציר ה x -כך שנוצר מלבן .ABCD ידוע ששיעור ה x -של הנקודה Aהוא .4 א .מצא את הפונקציה ). f ( x ב .חשב את השטח הכלוא בין גרף הפונקציה ,המלבן וציר ה. x - בהצלחה! 66 בחינה מספר 24 שים לב! הסבר את כל פעולותיך ,כולל חישובים ,בפירוט ובצורה ברורה. חוסר פירוט עלול לגרום לפגיעה בציון או לפסילת הבחינה. פרק ראשון – אלגברה ,גיאומטריה אנליטית ,הסתברות ( 40נקודות) ענה על שתיים מבין השאלות ( 1-3לכל שאלה – 20נקודות). שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות ,תיבדקנה רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך. AH .1הוא גובה לצלע BCבמשולש .ABCעל הגובה AHמקצים נקודה Dכך שהקטע DHמהווה 40%מהקטע .ADכמוכן המשולש BDCהוא ישר זווית D 90והניצב BDגדול ב 2-ס"מ מהניצב .CD אורך הצלע BCהוא 10ס"מ ושטח המשולש ABCהוא 84סמ"ר. א .מצא את אורכי הקטעים ADו.DH- ב .מצא את הניצבים CDו.BC- ג .העזר בשטחי המשולשים ABCו BCD-ומצא את שטח המרובע .ABDC .2באיור שלפניך נתון מעגל שמשוואתו היא. x 4 y 2 8 : 2 2 מסמנים את נקודות החיתוך של המעגל עם ציר ה x -ב A-ו( B-ראה איור). א .מצא את שיעורי הנקודות Aו.B- x y Q מעבירים אנך לציר ה y -מנקודת מרכז המעגל Mומסמנים את חיתוכם ב.P- ב .מצא נקודה Qכך שהמרובע AMPQיהיה מקבילית .נמק. ג .כתוב את משוואת הישר .PQ ד .הוכח כי הישר שמצאת בסעיף הקודם משיק למעגל בנקודה . 2, 4 נמק את שיקוליך באמצעות חישוב מתאים. A P B M .3בעיר מסוימת ההסתברות לבחור אדם מעשן גדולה פי 3מההסתברות לבחור אדם המרכיב משקפיים. 1 . ידוע כי החלק של התושבים שמרכיבים משקפיים מבין כל התושבים המעשנים הוא 12 א .מצא מהי ההסתברות לבחור מעשן מתוך כל מרכיבי המשקפיים. ב .ידוע כי 15%מהתושבים הם מרכיבים משקפיים בלבד. מצא את ההסתברות לבחור תושב שלא מרכיב משקפיים. ג .בוחרים 6תושבים באופן אקראי .מה ההסתברות שמחצית מהם אינם מרכיבים משקפיים ואינם מעשנים? 67 פרק שני – גיאומטריה וטריגונומטריה במישור ( 20נקודות) ענה על שאלה אחת מבין השאלות .4-5 שים לב! אם תענה על שתי השאלות ,תיבדקנה רק התשובה הראשונה שבמחברתך. .4המשולש ABCהוא שווה צלעות. הקטע DEעובר דרך הקדקוד Aכך שנוצרים שני משולשים ABDו.ACE- ידוע כי ACחוצה את זווית DCEבמשולש .DCE א .הוכח. AB CE : ב .הוכח. BC DE DC AE : ג .נתון 8 :ס"מ DC וכי. AC DE : .iחשב את שטח המשולש .DCE .iiחשב את שטח המשולש .ABD .5המשולש ABCהוא שווה שוקיים AB AC בעל זווית ראש . 36 ידוע כי המשולש חסום במעגל בעל קוטר של 16ס"מ. מעבירים את התיכון BDלשוק .AC א .מצא את אורך הבסיס BCבמשולש. ב .חשב את אורך התיכון .BD ג .מסמנים - r1 :רדיוס המעגל החוסם את המשולש .ABD - r2רדיוס המעגל החוסם את המשולש .BCD r הוכח את היחס הבא. 1 2 cos 36 : r2 פרק שלישי – חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של פונקציות פולינום, פונקציות רציונאליות ושל פונקצית שורש ( 40נקודות) ענה על שתיים מבין השאלות ( 6-8לכל שאלה – 20נקודות). שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות ,תיבדקנה רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך. 2 x2 5x 2 .6נתונה הפונקציה הבאה: 4x א .תחום הגדרה. ב .נקודות קיצון. ג .קביעת סוג הקיצון ותחומי עלייה וירידה. ד .חיתוך עם הצירים. ה .מציאת אסימפטוטה אנכית. ו .סרטוט סקיצה. . y חקור לפי הסעיפים הבאים: 68 .7באיור שלפניך מתואר גרף הפונקציה. f ( x) 6 3 x : הנקודה Aנמצאת על גרף הפונקציה ברביע הראשון. מהנקודה Aמותחים אנכים לצירים אשר חותכים אותם בנקודות Bו C-כמתואר באיור. נסמן את שיעור ה x -של הנקודה Aב. t - א .הבע באמצעות tאת סכום הקטעים .AC+AB ב .מצא את ערכו של tעבורו סכום הקטעים הנ"ל יהיה מינימלי. .8 2 1 א .מבין כל המשיקים לגרף הפונקציה: x 2 x3 מצא את משוואת המשיק ששיפועו מינימלי. ב .באיור שלפניך מתוארים הגרפים של הפונקציה והמשיק שמצאת בסעיף א'. חשב את השטח הכלוא בין גרף הפונקציה ,המשיק ואנך לציר הx - היוצא מנקודת החיתוך של המשיק עם ציר ה. x - )f ( x f ( x) y x בהצלחה! 69 בחינה מספר 25 שים לב! הסבר את כל פעולותיך ,כולל חישובים ,בפירוט ובצורה ברורה. חוסר פירוט עלול לגרום לפגיעה בציון או לפסילת הבחינה. פרק ראשון – אלגברה ,גיאומטריה אנליטית ,הסתברות ( 40נקודות) ענה על שתיים מבין השאלות ( 1-3לכל שאלה – 20נקודות). שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות ,תיבדקנה רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך. .1סוחר קנה שולחנות במחיר כולל של .₪ 18,000 10שולחנות הוא מכר ברווח של 60%לשולחן 20 ,שולחנות הוא מכר ללא רווח ואת שאר השולחנות הוא מכר בהפסד של 15%לשולחן .סה"כ הרוויח הסוחר בעסקאות אלו .₪ 450 א .כמה שולחנות קנה הסוחר? ב .מה המחיר ששילם הסוחר עבור כל שולחן? ג .השולחנות שמכר הסוחר במחיר שונה מזה שרכש נמכרו לשני בתי עסק. בית העסק הראשון רכש כמות שולחנות במחיר הזול וכמות שולחנות במחיר היקר. סך כל השולחנות שרכש בית העסק הראשון הוא 10שולחנות. בית העסק השני רכש את שאר השולחנות ,חלקם במחיר הזול וחלקם במחיר היקר. ידוע כי בית העסק השני שילם ₪ 4650יותר מאשר בית העסק הראשון עבור הקנייה הנ"ל. מצא כמה שולחנות קנה בית העסק הראשון במחיר היקר. .2על הישר y 5מסמנים את הנקודות. A 7, 5 ; B 2, 5 : C y הנקודה Cנמצאת על הישר. y x 5 : נסמן את שיעור ה x -של הנקודה Cב. t - x א .הבע באמצעות tאת שיעור ה y -של הנקודה .C ב .ידוע כי אורך הצלע ACהוא 17ס"מ. B .iהבע באמצעות tאת המרחקים של Cמ A-ומ.B- .iiמצא את tואת אורך הצלע .BC ג .מסמנים נקודה Dעל המשך הצלע .ABידוע כי Dנמצאת ברביע השלישי. מצא את שיעורי הנקודה Dהמקיימת ששטח המשולש DACיהיה גדול ב16- יחידות משטח המשולש .ABC .3בבית ספר מסוים ישנם תלמידים המרכיבים משקפיים. ידוע כי אם בוחרים 3תלמידים אז ההסתברות ששלושתם מרכיבים משקפיים היא .0.027 א .מצא את אחוז מרכיבי המשקפיים בבית הספר. בבית הספר ההסתברות להיתקל בבן גדולה ב 0.1-מההסתברות להיתקל בבת ומספר הבנים שמרכיבים משקפיים זהה למספר הבנות שמרכיבות משקפיים. ב .מה ההסתברות להיתקל בתלמיד (בן) שאינו מרכיב משקפיים? ג .איזה חלק מכלל הבנות בבית הספר מהוות מרכיבות המשקפיים? ד .בוחרים 4תלמידים .ידוע כי כולן בנות .מה ההסתברות כי אחת מהן תרכיב משקפיים? 70 A פרק שני – גיאומטריה וטריגונומטריה במישור ( 20נקודות) ענה על שאלה אחת מבין השאלות .4-5 שים לב! אם תענה על שתי השאלות ,תיבדקנה רק התשובה הראשונה שבמחברתך. AB .4ו CD-הם קטרים במעגל שמרכזו .O מעבירים מיתר החותך את ABבנקודה Mכך שמתקיים2AM BM : ואת CDבנקודה Fכך שמתקיים. FM CD : ידוע כי זווית BMFהיא . 30 מעבירים את המיתרים ACו AD-כך שנוצר המשולש .ACD א .הוכח. CAB BMF : ב .i .הוכח כי המשולשים ADCו FOM-דומים. .iiפי כמה קטן הקטע FOמרדיוס המעגל? ג .מעבירים מהקדקוד Dשל המשולש ACDקטע העובר דרך הנקודה Mוחותך את המיתר ACבנקודה .G חשב פי כמה גדול שטח המשולש DGCמשטח המשולש .MOF .5המרובע ABCDהוא מקבילית. 3CE DE . הקטע AEמקצה על הצלע DCקטעים המקיימים: מעבירים תיכון DFלצלע AEבמשולש .ADE ידוע כי . ADF CDF :מסמנים. CE k : א .הבע באמצעות kו -את אורך הקטע .AE ב .מעבירים את האלכסון .AC הבע באמצעות kו -את היקף המשולש .ACE ג .היקף המשולש ACEהוא . 4.5kמצא את . פרק שלישי – חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של פונקציות פולינום, פונקציות רציונאליות ושל פונקצית שורש ( 40נקודות) ענה על שתיים מבין השאלות ( 6-8לכל שאלה – 20נקודות). שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות ,תיבדקנה רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך. 3x 2 .6נתונה הפונקציה: 2 x2 8 א .מהו תחום הגדרה של הפונקציה? ב .מצא את נקודת הקיצון של הפונקציה וקבע את סוגה. ג .מהם תחומי העלייה והירידה של הפונקציה? ד .מצא את נקודות החיתוך עם הצירים של הפונקציה. ה .מצא את האסימפטוטות המקבילות לצירים של הפונקציה. ו .שרטט סקיצה של גרף הפונקציה. . f ( x) 71 .7נתונה תיבה שבסיסה הוא מלבן שבו צלע אחת גדולה פי 2מהצלע הסמוכה לה כמתואר באיור. ידוע כי גובה התיבה hוצלע המלבן הקטנה xמקיימים. x h 9 : מצא מה צריכים להיות מידות בסיס התיבה כדי שנפחּה יהיה מקסימלי. h x 2x 9 .8באיור שלפניך מתוארת הפונקציה: 2x 1 מעבירים את הישרים המקבילים לציריםx 13 : ו y 3 -כך שנוצר המלבן ABCDכמתואר באיור. הישר y 3חותך את גרף הפונקציה בנקודה .M א .מצא את שיעורי הנקודה .M ב .מסמנים את השטח הכלוא בין גרף הפונקציה והישרים ב S1 -ואת שטח המלבן ב. S 2 - S 2 . 1 הראה כי: S2 13 . f x בהצלחה! 72 בחינה מספר 26 שים לב! הסבר את כל פעולותיך ,כולל חישובים ,בפירוט ובצורה ברורה. חוסר פירוט עלול לגרום לפגיעה בציון או לפסילת הבחינה. פרק ראשון – אלגברה ,גיאומטריה אנליטית ,הסתברות ( 40נקודות) ענה על שתיים מבין השאלות ( 1-3לכל שאלה – 20נקודות). שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות ,תיבדקנה רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך. .1מכונת כביסה עולה .₪ 4,000 לאחר שנה עלה מחיר מכונת הכביסה ב 20%-ושנה לאחר מכן עלה מחירה בעוד .20% א .מה מחיר מכונת הכביסה לאחר שנתיים? ב .בכמה אחוזים מהמחיר המקורי התייקרה מכונת הכביסה? ג .בחנות למוצרי חשמל מוכרים מכונות כביסה במחיר מסוים. רפי קנה 3מכונות כביסה למכבסה שברשותו .ידוע כי לאחר שנה חלה התייקרות ב p -אחוזים וכך גם בשנה שאחריה .בתום השנתיים ,החליט רפי לקנות 2מכונות כביסה נוספות .מבדיקה שערך רפי ,גילה כי המחיר הכולל ששילם בקנייה השנייה שווה למחיר ששילם בקנייה הראשונה .מהו ? p .2נתון מעגל שרדיוסו R 16 , Rומשיק לציר ה x -בנקודה שבה. x 16 : א .הבע באמצעות Rאת משוואת המעגל וציין האם הוא חותך את ציר ה y -או לא .נמק. מהנקודה A 22,18שעל המעגל מעבירים משיק. ב. ג. ד. ה. מצא את Rוכתוב את משוואת המעגל. כתוב את משוואת המשיק למעגל בנקודה .A מצא את משוואת המשיק למעגל בנקודה BשבהxB xM : אם ידוע כי הוא מאונך למשיק הקודם. המשיקים נחתכים בנקודה .C .iמצא את שיעורי הנקודה .C x .iiמצא את שטח המשולש .ABC y C A B M 16, 0 .3כדי לקבל עבודה בחברת Makidoיש לעבור ראיונות משני בעלי מקצוע :מהנדס ראשי ומנכ"ל החברה. המהנדס הראשי נותן חוות דעת חיובית ברבע מהמקרים ,בשליש מהמקרים הוא נמנע מלתת חוות דעת ובשאר המקרים הוא נותן חוות דעת שלילית .מנכ"ל החברה קורא את חוות הדעת של המהנדס וקובע את חוות דעתו באופן הבא: אם המהנדס נתן חוות דעת חיובית אז הוא נותן חוות דעת חיובית ב 90%-מהמקרים וב 10%-מהמקרים הוא נמנע מלתת חוות דעת. אם המהנדס נמנע מלקבוע אז המנכ"ל נותן חוות דעת שלילית במחצית המקרים או חיובית במחצית המקרים .אם המהנדס נותן חוות דעת שלילית אז ההסתברות שהמנכ"ל ייתן חוות דעת חיובית גדולה פי 2מההסתברות שימנע מלתת חוות דעת וההסתברות שימנע מלתת חוות דעת גדולה פי 2מההסתברות שייתן חוות דעת שלילית. א .מה ההסתברות שמועמד יקבל חוות דעת חיובית לפחות באחד הראיונות? ב .אם ידוע כי מועמד קיבל חוות דעת חיובית אחת לפחות,מה ההסתברות שהמהנדס ימנע מלתת לו חוות דעת? ג .i .מה ההסתברות שמתוך 5מועמדים לפחות אחד יקבל עבודה אם ידוע כי כדי להתקבל לעבודה יש לקבל שתי חוות דעת חיוביות? .iiכיצד תשתנה התוצאה של חלק iאם כדי לקבל עבודה יש לקבל לפחות חוות דעת חיובית אחת אך אף חוות דעת שלילית? 73 פרק שני – גיאומטריה וטריגונומטריה במישור ( 20נקודות) ענה על שאלה אחת מבין השאלות .4-5 שים לב! אם תענה על שתי השאלות ,תיבדקנה רק התשובה הראשונה שבמחברתך. .4מהנקודה Aשעל היקף המעגל מעבירים את המיתרים AC , ABו.AD- הקטע BEחותך את המיתר ADבנקודה Eכך שהקטעים DEו BC-שווים .המיתרים ACו BD-שווים זה לזה. א .הוכח. ABC BED : .iהוכח כי המשולש ABEהוא שווה שוקיים. ב. .iiהוכח כי. BAE CBA 180 : .5במלבן ABCDמסמנים את הנקודות Eו F-הנמצאות על הצלעות ABוBC- בהתאמה כך ש E-מקיימת 3AE BE :ו F-היא אמצע הצלע .BC אורך הצלע ADשווה לאורך הקטע .BE מעבירים את הקטעים DF , EFו DE-כך שנוצר במשולש .DEF א .סמן ב t -את אורך הקטע AEוהבע באמצעות tאת אורכי צלעות המשולש .DEF ב .חשב את זוויות המשולש .EDF פרק שלישי – חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של פונקציות פולינום, פונקציות רציונאליות ושל פונקצית שורש ( 40נקודות) ענה על שתיים מבין השאלות ( 6-8לכל שאלה – 20נקודות). שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות ,תיבדקנה רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך. .6נתונה הפונקציה A . f ( x) 3x A x :פרמטר. שיפוע המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה x 25 :הוא .0 א .i .מה תחום ההגדרה של הפונקציה? .iiמצא את ערך הפרמטר . A באיור שלפניך מתואר גרף הפונקציה ). f ( x מעבירים משיק לגרף הפונקציה מנקודת החיתוך שלו עם ציר ה. x - 1 350 כמו כן ,מעבירים פרבולה g x x 2 Bx )f ( x 15 3 כך שקדקודּה הוא נקודת הקיצון של ). f ( x x ב .מצא את משוואת המשיק לגרף הפונקציה. ג .מצא את ערך הפרמטר . B ד .חשב את השטח הכלוא בין המשיק ,הפרבולה וציר ה. y - 74 y )g ( x .7אלינה קיבלה משימה בשיעור מלאכה: יש להכין מסגרת לתמונה מלוח עץ ששטחו הכולל הוא 242סמ"ר כך שעובי המסגרת בצדדים יהיה 2ס"מ ובקצוות העליון והתחתון – 4ס"מ (ראה איור). כדי לבחור את מידות לוח העץ ,אלינה צריכה לדעת את השטח המקסימלי שעליה לנסר עבור המקום לתמונה (השטח המסומן). א .מה יהיו מידות לוח העץ שאלינה צריכה להזמין עבור המשימה? ב .מה יהיה השטח המקסימלי לתמונה עבור המידות שאלינה בחרה? .8באיור שלפניך מתוארות הפונקציות שנגזרותיהן. f '( x) 4 2 x , g '( x) 2 x 1 : ידוע ששתי הפונקציות חותכות את ציר ה x -בנקודה שבה . x 4 א .מצא את הפונקציות. ב .חשב את השטח המוגבל בין הגרפים של שתי הפונקציות וציר ה( x -המסומן). בהצלחה! 75 בחינה מספר 27 שים לב! הסבר את כל פעולותיך ,כולל חישובים ,בפירוט ובצורה ברורה. חוסר פירוט עלול לגרום לפגיעה בציון או לפסילת הבחינה. פרק ראשון – אלגברה ,גיאומטריה אנליטית ,הסתברות ( 40נקודות) ענה על שתיים מבין השאלות ( 1-3לכל שאלה – 20נקודות). שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות ,תיבדקנה רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך. .1אופנוע יוצא מהעיר בשעה 7:00דרומה .לאחר שעה יוצאת מכונית מעיר לכיוון מזרח. מהירות האופנוע היא 50קמ"ש ומהירות המכונית היא 100קמ"ש. לאחר פרק זמן מסוים המרחק בין המכונית לאופנוע הוא 250ק"מ. א .באיזו שעה המרחק בין המכונית והאופנוע הוא 250ק"מ ? ב .באיזה מרחק הייתה המכונית מהעיר כאשר היא הייתה במרחק של 250ק"מ מהאופנוע? .2המשולש ABCהוא שווה שוקיים AB BC ובו נתון B x, 6 , A 4,12 :ו-ו. C 4,8 - א .מצא את . x ב .הוכח כי המשולש הוא ישר זווית. ג .i .מצא את משוואת הצלע .AC A .iiמסמנים את נקודת החיתוך של הצלע ACעם ציר ה y -ב.D- מצא את שיעורי הנקודה .D ד .i .מצא נקודה Eברביע הראשון xE 5כך שהמשולש DCE יהיה גם שווה שוקיים וישר זווית . C 90 .ii S DCE חשב את יחס השטחים בין המשולשים: S ABC . C B .3כדי להתקבל לעבוד בחברת ההיי-טק Technoיש לעבור שני ראיונות משני בעלי מקצוע ,תחילה ע"י המהנדס הראשי ואחריו ע"י מנכ"ל החברה. כל בעל מקצוע נותן חוות דעת חיובית ,שלילית או שנמנע מלקבוע. כדי שמועמד יתקבל לחברה עליו לעבור לפחות ראיון אחד עם חוות דעת חיובית. ידוע כי המהנדס הראשי נותן חוות דעת חיובית ל 1/5-מהמועמדים ו 2/7-מהם הוא משאיר ללא קביעה. המנכ"ל קורא את חוות הדעת של המהנדס הראשי וקובע את חוות הדעת שלו בצורה הבאה: אם המהנדס נתן חוות דעת חיובית אז המנכ"ל ייתן גם חוות דעת חיובית ב 60%-מהמקרים. אם המהנדס נתן חוות דעת שלילית אז המנכ"ל נמנע מלקבוע ב 60%-מהמקרים ובשאר המקרים הוא נותן חוות דעת חיובית .אם המהנדס נמנע מלקבוע אז המנכ"ל ייתן חוות דעת חיובית או שלילית בלבד. הסיכוי שהמנכ"ל ייתן במקרה זה חוות דעת חיובית גדול פי 3מהסיכוי שייתן חוות דעת שלילית. א .מה ההסתברות לקבל חוות דעת חיובית מהמנכ"ל? ב .ידוע כי המנכ"ל נתן חוות דעת חיובית ,מה ההסתברות שגם המהנדס נתן חוות דעת חיובית? ג .מה ההסתברות להתקבל לחברה? ד .ביום מסוים הגיעו 5מועמדים .מה ההסתברות שבדיוק 3מהם קיבלו עבודה באותו היום? 76 פרק שני – גיאומטריה וטריגונומטריה במישור ( 20נקודות) ענה על שאלה אחת מבין השאלות .4-5 שים לב! אם תענה על שתי השאלות ,תיבדקנה רק התשובה הראשונה שבמחברתך. .4במשולש ABCמעבירים את התיכונים BDו CE-אשר נפגשים בנקודה .M במשולש BDCמעבירים את התיכונים CLו BK-הנפגשים בנקודה .O א .הוכח כי. 3LM BL : ב .הוכח כי. AC MO : ג .נתון 27 :סמ"ר . SBLC חשב את שטח המשולש .MOL .5באיור שלפניך נתון המרובע .ABCDידוע כי. D 90 : נסמן את הצלעות באופן הבא. AB 6 x , BC 5x , CD 8x , AD 3x : א .חשב את זווית .BCD Eהיא נקודה הנמצאת על אמצע הצלע .BC מעבירים את הקטעים AEו.DE- S ABE . ב .חשב את היחס הבא: S ECD פרק שלישי – חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של פונקציות פולינום, פונקציות רציונאליות ושל פונקצית שורש ( 40נקודות) ענה על שתיים מבין השאלות ( 6-8לכל שאלה – 20נקודות). שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות ,תיבדקנה רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך. x3 .6נתונה הפונקציה A : x2 א .מצא את ערך הפרמטר . A ב .כתוב את תחום ההגדרה של הפונקציה. ג .הוכח כי גרף הפונקציה יורד לכל . x ד .מצא את נקודת החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים. ה .סרטט סקיצה של גרף הפונקציה. ו .נתון הישר . y k :האם קיים ערך של kעבורו הישר חותך את גרף הפונקציה בשתי נקודות שונות? נמק. A ( , y פרמטר) .גרף הפונקציה עובר בנקודה. 3 A, A : 77 .7נתונה תיבה שגובהה הוא hובסיסה הוא ריבוע שאורך צלעו היא . x נתון כי צלע הריבוע וגובה התיבה מקיימים. 4 x h 63 : א .הבע את hבאמצעות . x ב .הבע את שטח הפנים של התיבה באמצעות . x ג .מה צריך להיות ערכו של xכדי ששטח הפנים יהיה מקסימלי? x x 8 .8נתונה הפונקציה: x א .ענה על הסעיפים הבאים: .iמצא את תחום ההגדרה של הפונקציה. .iiמצא את נקודת החיתוך של הפונקציה עם ציר ה. x - .iiiהראה כי הפונקציה עולה בכל תחום הגדרתה. 17 . m מצא את נקודת ההשקה. ב .מעבירים משיק לגרף הפונקציה ששיפועו הוא: 16 ג .חשב את השטח הכלוא בין גרף הפונקציה ,ציר ה x -ואנך לציר ה x -מנקודת ההשקה שמצאת בסעיף הקודם. . f ( x) בהצלחה! 78 בחינה מספר 28 שים לב! הסבר את כל פעולותיך ,כולל חישובים ,בפירוט ובצורה ברורה. חוסר פירוט עלול לגרום לפגיעה בציון או לפסילת הבחינה. פרק ראשון – אלגברה ,גיאומטריה אנליטית ,הסתברות ( 40נקודות) ענה על שתיים מבין השאלות ( 1-3לכל שאלה – 20נקודות). שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות ,תיבדקנה רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך. .1המרובע ABCDהוא מלבן שמידותיו הם.AB=12 , AD=20 : על הצלע ABשל המלבן ABCDמקצים את הנקודות Eו F-כך שנוצרים שלושה קטעים שווים .AF=EF=BE מותחים אנכים לצלע ABמהנקודות Eו F-עד לנקודות GוH- שבתוך המלבן כך שנוצר מלבן פנימי .EFGH מרחק הצלע GHמצלע המלבן DCהוא Lס"מ. א .i .חשב את שטח המלבן .ABCD .iiהבע באמצעות Lאת שטח המלבן הפנימי .EFGH ב .מצא את Lאם ידוע כי שטח המלבן הפנימי EFGHמהווה 20%משטח המלבן .ABCD BD .2הוא התיכון לצלע ACבמשולש ABCשבו נתון הקודקוד . A 6,1 משוואת התיכון BDהיא x y 1ומשוואת הצלע BCהיא. 3x 5 y 67 : מצא את שיעורי הקודקוד .C .3במבחן רב ברירה עם 5שאלות שוות ניקוד ,לכל שאלה יש nתשובות מהן רק אחת נכונה. ישנו סיכוי של 50%ששי יידע את התשובה הנכונה לשאלה במבחן. 1 אם שי לא יודע את התשובה לשאלה הוא מנחש .ההסתברות ששי יקבל במבחן 60גדולה פי 3 מההסתברות שיקבל .80מצא את ערכו של . n 79 1 פרק שני – גיאומטריה וטריגונומטריה במישור ( 20נקודות) ענה על שאלה אחת מבין השאלות .4-5 שים לב! אם תענה על שתי השאלות ,תיבדקנה רק התשובה הראשונה שבמחברתך. A .4במשולש ABCנתון כי15 :ס"מ = 18 ,AC = ABס"מ = .BC דרך מרכז המעגל Oהחסום במשולש עובר הקטע EF המקביל לבסיס FN .BCו EM-הם אנכים לבסיס .BC חשב את שטח המלבן .EFNM F B O N E M .5נתון משולש שצלעותיו . t , 2t , kt א .לאיזה ערכים של הקבוע kהמשולש הוא קהה זווית? ב .נתון . k 7חשב את אורך חוצה הזווית הקהה. פרק שלישי – חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של פונקציות פולינום, פונקציות רציונאליות ושל פונקצית שורש ( 40נקודות) ענה על שתיים מבין השאלות ( 6-8לכל שאלה – 20נקודות). שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות ,תיבדקנה רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך. x x ; g ( x) .6לפניך הפונקציות הבאות: x 1 x 1 א .קבע אילו מהטענות הבאות נכונות ואלו אינן נכונות. הצדק את קביעותיך באמצעות חישוב מתאים: .iלשתי הפונקציות יש את אותו תחום ההגדרה. .iiלשתי הפונקציות יש נקודות קיצון הנמצאות על הישר. y x : .iiiהפונקציות לא חותכות זו את זו. 2 מגדירים פונקציה נוספת והיא. h( x) g ( x) : . f ( x) ב. ג. ד. כתוב באופן מפורש את הפונקציה החדשה. h( x) : האם תחום ההגדרה של הפונקציה h( x) :זהה לשל ? g ( x) :נמק. באיור הסמוך ישנם שני גרפים. קבע על סמך הסעיפים הקודמים איזו פונקציה כל גרף מתאר מבין הפונקציות . f ( x) , g ( x) , h( x) :נמק את בחירותיך. .7הפונקציות y 2 x 2ו a 0 , y ax 2 bx -נחתכות בנקודות 0, 0 :ו . 1, 2 -ידוע כי השטח הכלוא בין הגרפים של שתי הפונקציות הוא 0.5יחידות שטח. מצא את ערכי הפרמטרים . b , a 80 C 2 .8נקודה Bנמצאת על גרף הפונקציה y xברביע הראשון. Aהיא הנקודה 0, a כאשר ידוע כי ( a 0.5ראה ציור). א .בטא באמצעות aאת שיעורי הנקודה ,B שעבורה המרחק ABהוא מינימלי. ב .מצא עבור איזה ערך של aהמרחק המינימלי הוא .2 y A B x בהצלחה! 81 בחינה מספר 29 שים לב! הסבר את כל פעולותיך ,כולל חישובים ,בפירוט ובצורה ברורה. חוסר פירוט עלול לגרום לפגיעה בציון או לפסילת הבחינה. פרק ראשון – אלגברה ,גיאומטריה אנליטית ,הסתברות ( 40נקודות) ענה על שתיים מבין השאלות ( 1-3לכל שאלה – 20נקודות). שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות ,תיבדקנה רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך. .1נתונים שלושה ריבועים ,אחד בתוך השני כך שצלע כל אחד מהם גדולה ב 2-ס"מ מצלע הריבוע שבתוכו (ראה איור) .ידוע כי השטח של הקטן (המקווקו הפנימי) שווה לשטח הכלוא בין שני הריבועים האמצעי והגדול (המקווקו בצורה 'מסגרת'). א .מצא את מידות הצלעות של שלושת הריבועים. ב .כמה אחוזים מתוך השטח הכללי מהווה השטח הלבן? .2במרובע ABCDידוע כי שיפוע הצלע BCהוא 3 ושיעורי הנקודה Aהם. 1, 4 : א .הסבר מדוע לא ניתן להסיק דבר על סוג המרובע .ABCD 1 נתון גם, D 4,13 : 3 ב .איזה מרובע הוא המרובע ABCDכעת? הראה חישוב מתאים. mCD ו -ס"מ . BC 90 נתון גם. B 8, 7 : ג .איזה מרובע הוא המרובע ABCDכעת? הראה חישוב מתאים. ד .חשב את שטח המרובע .ABCD .3באוניברסיטה מסוימת ידוע כי חלק מהסטודנטים נעזרים בספרי לימוד חיצוניים להעשרת הידע שלהם. ידוע כי ההסתברות לבחור 2סטודנטים הנעזרים בספרי לימוד חיצוניים קטנה ב 0.1-מההסתברות לבחור שני סטודנטים שלא נעזרים בספרי לימוד חיצוניים. א .מהו אחוז הסטודנטים שנעזרים בספרי לימוד חיצוניים? האוניברסיטה מוכרת ספרי לימוד ב 3-מקצועות לכלל הסטודנטים :ספר א' ,ספר ב' וספר ג'. חלק מהסטודנטים נעזרים בנוסף בספרי לימוד חיצוניים. ידוע כי כמות הסטודנטים שקנו את ספר א' וכמות הסטודנטים שקנו את ספר ג' זהות. כמו כן 6/7 ,מאלו שקנו את ספר ג' נעזרים גם בספרים חיצוניים. 1/3מהסטודנטים שקנו את ספר ב' נעזרים בספרי לימוד חיצוניים והסטודנטים שקנו את ספר א' מהווים 1/9מכלל הסטודנטים שנעזרים בספרי לימוד חיצוניים. ב .מהו אחוז הסטודנטים שקנו את ספר ב' ולא נעזרים בספרי לימוד חיצוניים? ג .איזה חלק מהווים הסטודנטים שקנו את ספר ג' מכלל הסטודנטים שלא נעזרים בספרי לימוד חיצוניים? ד .בוחרים 4סטודנטים שלא נעזרים בספרי לימוד חיצוניים. מה ההסתברות שאחד מהם קנה את ספר ג'? 82 פרק שני – גיאומטריה וטריגונומטריה במישור ( 20נקודות) ענה על שאלה אחת מבין השאלות .4-5 שים לב! אם תענה על שתי השאלות ,תיבדקנה רק התשובה הראשונה שבמחברתך. .4במשולש שווה שוקיים BD , AB AC ,ABCהוא תיכון לשוק .ACנתון גם כי. CBD 30 : א .הוכח כי משולש ABCהוא משולש שווה צלעות. (הדרכה :הורד אנכים AFו DE-לבסיס BC 1 1 והוכח כי.) DE AF BD : 2 2 ב .אם נתון כי אורך התיכון BDהוא aס"מ, חשב אם אורך צלע המשולש ואת שטחו. A D B .5נתונה מקבילית ABCDובה מעבירים את האלכסונים ACוBD- אשר נחתכים בנקודה Mכמתואר באיור .מסמניםBDC , ACD : AC sin . א .הוכח כי אלכסוני המקבילית מקיימים: BD sin ב .i .הבע באמצעות , ו k -את שטח המשולש .DMC .iiהבע באמצעות , ו k -את שטח המקבילית .ABCD AC .הראה כי שטח המקבילית ג .נתון כי 2 : BD 4k 2 sin 2 . הוא: sin 83 C . AB k , פרק שלישי – חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של פונקציות פולינום, פונקציות רציונאליות ושל פונקצית שורש ( 40נקודות) ענה על שתיים מבין השאלות ( 6-8לכל שאלה – 20נקודות). שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות ,תיבדקנה רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך. x2 .6נתונה הפונקציה: x4 א .כתוב בצורה מפורשת את הפונקציה ). g ( x ב .לפניך מספר טענות המתייחסות לפונקציות ) f ( xו. g ( x) - קבע אילו מהטענות הבאות נכונות ואלו אינן נכונות. הצדק את קביעותיך באמצעות חישוב מתאים: .iלפונקציות תחום הגדרה זהה. .iiשתי הפונקציות עולות בכל תחום הגדרתן. .iiiשתי הפונקציות חותכות את ציר ה x -באותה נקודה. .ivלשתי הפונקציות יש אסימפטוטה משותפת. y ג .מצא את נקודות החיתוך של כל פונקציה עם ציר ה. - ד .אסף פתר את סעיפים א' ו-ב' והחליט לטעון את הטענה הבאה: היות והפונקציה ) g ( xמוגדרת להיות g ( x) f ( x) :אזי ניתן למצוא את שיעור ה y -של כל נקודה שעל גרף הפונקציה ) f ( xע"י כך שנמצא תחילה את שיעור הy - של הנקודה בעלת אותו שיעור xעל הגרף של ) g ( xונעלה אותה בריבוע. האם אסף צודק? נמק בצורה איכותית (חישובים אינם נדרשים) את שיקולך. . f ( x) מגדירים פונקציה נוספתf ( x) : . g ( x) .7חשב את גודל השטח הכלוא בין הפונקציות. f x x3 , g x x : .8מחוט שאורכו aס"מ יש לבנות מנסרה משולשת ישרה, שבסיסה הוא משולש שווה צלעות. מצא איזה חלק מאורך החוט יש להקצות לצלע הבסיס x ואיזה חלק לגובה yכדי שיתקיים: א .שטח המעטפת של המנסרה יהיה מקסימלי. ב .נפח המנסרה יהיה מקסימלי. בהצלחה! 84 בחינה מספר 30 שים לב! הסבר את כל פעולותיך ,כולל חישובים ,בפירוט ובצורה ברורה. חוסר פירוט עלול לגרום לפגיעה בציון או לפסילת הבחינה. פרק ראשון – אלגברה ,גיאומטריה אנליטית ,הסתברות ( 40נקודות) ענה על שתיים מבין השאלות ( 1-3לכל שאלה – 20נקודות). שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות ,תיבדקנה רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך. .1סוחר קנה 60כיסאות זהים במחיר זהה לכיסא. 5כיסאות נשברו לו ואת שאר הכיסאות הוא מכר במחיר הגדול ב ₪ 40-מהמחיר שקנה אותם. בסה"כ הרוויח הסוחר בעסקה .₪ 1950 א .באיזה מחיר קנה הסוחר כל כיסא? ב .בעסקה אחרת ,קנה הסוחר 60כיסאות אחרים במחיר זהה לכיסא. ידוע כי המחיר של כיסא בודד גדול ב 30%-מהמחיר של כיסא בודד שרכש הסוחר בעסקה הראשונה .במהלך ההובלה נגנבו 8כיסאות. הסוחר רוצה להרוויח ממכירת הכיסאות הנותרים לפחות ₪ 2000בעסקה זו. נסמן ב p -את אחוז ההתייקרות שבו צריך למכור הסוחר כיסא בודד. מצא את pהמינימלי עבורו יעמוד הסוחר ביעדו. .2נתון משולש .ABCהנקודה Dנמצאת על הצלע BCשל המשולש ABCכך שהקטע ADמחלק אותו לשני משולשים שווי שטח ABDו.ACD- הצלע BCמונחת על הישר y 4 :וידוע כי שיעור ה x -של הנקודה Cהוא. xC 1 : כמו כן נתון. mAB 2 , A(7,8) : א .מצא את משוואת הצלע .AB ב .i .איזה קטע הוא ADבתוך המשולש ?ABC .iiמצא את שיעורי הנקודות Bו.D- ג .i .חשב את אורך הצלע BCואת אורך הקטע .AD .iiאיזה משולש הוא המשולש ?ABC .3בחדר xגברים ו x 2 -נשים .זורקים קוביית משחק מאוזנת. אם מתקבל מספר הגדול מ 4-אז מוסיפים לחדר xגברים ואם מתקבל מספר הקטן או שווה ל 4-אז מוסיפים לחדר xנשים .לאחר מכן מוציאים אדם מהחדר. 21 . א .מצא כמה נשים יש בחדר אם ידוע כי ההסתברות לבחור אישה היא: 33 ב .ידוע כי יצאה אישה מהחדר .מה ההסתברות שהמספר בקובייה היה קטן או שווה ל?4- אנשי החדר הנמצאים בו במקור (לפני זריקת הקובייה) לובשים חולצות אדומות או לבנות בלבד. ידוע כי החלק היחסי של האנשים הלובשים חולצות לבנות בחדר גדול פי 16מהחלק היחסי של הגברים הלובשים חולצות אדומות .כמו כן ,פרופורציית הגברים מבין כל אלו שלובשים חולצות אדומות היא .0.25 ג .מצא מה ההסתברות לבחור גבר הלובש חולצה אדומה בחדר. ד .בוחרים 5אנשים מהחדר (עם החזרה) וידוע כי כולם לובשים חולצות אדומות. מה ההסתברות שרובם נשים? 85 פרק שני – גיאומטריה וטריגונומטריה במישור ( 20נקודות) ענה על שאלה אחת מבין השאלות .4-5 שים לב! אם תענה על שתי השאלות ,תיבדקנה רק התשובה הראשונה שבמחברתך. .4הישרים ABו AC-חותכים את המעגל בנקודות Dו E-בהתאמה כך שהמיתרים BDוBC- מאונכים זה לזה .הקטע CGחוצה את הקשת הקטנה BGDוחותך את המיתר BDבנקודה .F AC 13 .נסמן. AB t : נתון: AB 12 א .הבע באמצעות tאת אורך המיתר .BC BF 3 . ב .נתון כי רדיוס המעגל הוא 5ס"מ וכי: DF 5 חשב את אורך הקטע .AB .5המרובע ABCDהוא טרפז . AB CD מעבירים את האלכסון BDהמקיים. BCD ADB : נתון כי 20 :ס"מ 10 , CD ס"מ 5 , AD ס"מ . AB כמוכן ידוע כי השוק BCגדולה פי 2מהאלכסון .BD א .הראה כי השוק BCשווה לבסיס .CD ב .חשב את זווית .C ג .ממשיכים את שוקי הטרפז ADו BC-עד לנקודה Eשמחוץ לטרפז. חשב את רדיוס המעגל החוסם את המשולש .CDE 86 פרק שלישי – חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של פונקציות פולינום, פונקציות רציונאליות ושל פונקצית שורש ( 40נקודות) ענה על שתיים מבין השאלות ( 6-8לכל שאלה – 20נקודות). שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות ,תיבדקנה רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך. k x2 .6לפניך שלוש פונקציות: x2 k x2 א .קבע אילו מהטענות הבאות נכונות ואלו אינן נכונות. הצדק את קביעותיך באמצעות חישוב מתאים: .iלפונקציות ) f ( xו g ( x) -תחום הגדרה זהה ,השונה מתחום ההגדרה של ). h( x .iiקיימת פונקציה אשר אינה חותכת את ציר ה x -כלל. .iiiהפונקציות ) h( xו g ( x) -הפוכות זו מזו בתחומי העלייה והירידה שלהן (כאשר אחת עולה השנייה יורדת). .ivלפונקציה ) f ( xיש נקודת קיצון אחת בלבד. ; h( x ) x2 . k 0 ; f ( x) x 2 k x 2 ; g ( x ) מסמנים נקודה A 0, 12על ציר ה. y - ידוע כי מרחקה מאחת מנקודות החיתוך של גרף הפונקציה )f ( x עם ציר ה x -שאינה בראשית הוא. d 6 : ב .מצא את . k ג .מצא את נקודות הקיצון של גרף הפונקציה ) f ( xוקבע את סוגן. ד .לפניך איור ובו משורטטות הסקיצות של שלושת הפונקציות. קבע עפ"י הסעיפים הקודמים איזה גרף שייך לכל פונקציה. .7נתונה תיבה שבסיסה ריבוע ושטח פניה (ללא המכסה) הוא 75סמ"ר. מצא את אורך צלע הבסיס של התיבה שנפחּה הוא מקסימלי. 3 א .מצא עבור איזה ערך של aיתקיים 1dx 0 : אם ידוע ש. a 1 - 2x 1 1 3 באיור שלפניך מתואר גרף הפונקציה 1 : . f ( x) 2x 1 מעבירים שני אנכים לציר ה x -והם x 1 :וx 13 - S1 S2 כך שנוצרים השטחים S1 :ו. S 2 - ב .מצא את נקודת החיתוך של הפונקציה עם ציר ה. x - x x ג .i .חשב את השטח הכלוא בין גרף הפונקציה ,ציר ה )f ( x והאנך . S1 , x 1 a .8 y .iiהיעזר בתוצאה שקיבלת ובסעיף א' ומצא את השטח . S 2נמק את טענתך. בהצלחה! 87 תשובות סופיות: בחינה :1 .12.5 .2 .1א 5 .שעות .ב 80 .קמ"ש. .3א .15% .ב . 0.85 .ג . 0.5 .ד .כן. .4ב 29.07 .סמ"ר .6א 3 x 3 .וגם x 0 ב max 3,0 .קצה min 3,0 ,קצה ג .תחומי עלייה :אף , x תחומי ירידה 3 x 0 , 0 x 3 :ד. ה . x 0 .ו .סקיצה בצד. 2 .7א 3, 4 .ב y 4 .ג 6 .יח"ש.8 . 3 147.86 .5 . S AFDEסמ"ר. 3,0 , 3,0 . AC BC 4cm בחינה :2 1 3 .2א . lBD : y 3x 22 .ב. lBC : y x 6 . .1א 60 .ב₪ 300 . 8 8 15 7 ג 0.0146 . . .3א 4 .כדורים .ב. 1024 12 .4ג.36 . .6 .5א S 186cm2 .ב36.86,143.13,67.38,112.6 . 1 .7א . a 6 .ב . B 6, 0 .ג. 3 2 5 1 1 .8א . A 6 .ב y x .ד 1.5, .ה .יח"ש . S 3 9 6 8 25יח"ש. בחינה :3 .2א 0,0 , 6,0 , 0, 8 .ב 27 .יח"ש. .1א 5 .קמ"ש .ב 8 .ק"מ. 1.5m .3א .בלתי תלויים .ב.12.5% . min b, 2b3 , max b,2b3 .6 .8א. 1,0 , 3,0 , 0, 9 sin ב m 16 .ג. 56.95 . .5א. 100 2.25m2 1 . A 1, , B 1, 1 .7 2 ב 13.5 .יח"ר. 88 :4 בחינה . SDECBO . S 100 25 21.4 .ii . S 25 .i . ב. ס"מ10 . א.1 סמ"ר11 5 5 . ה. 10, 2 . ד. y 0.5x 3 . ג. B 6,0 . ב. a 8 . א.2 . 0.299 . ב. x 4 . א.3 2 R sin 3 sin 2 . 45 . בSBEF . א.5 sin 3 2 . סמ"ק403.1 .8 f ( x) x 6 x 14 .7 .6 .BD = ס"מ8 . ב.4 :5 בחינה . לא. ב.₪ 40 . א.1 4 x 3 y 27 - ו4 x 3 y 35 0 .2 . בלתי תלויים. ד. 0.35 . ג. 0.2 . ב. 0.52 . א.3 .16S .4 2 R 2 cos3 sin SADE cos(1.5 ) 2 . 90 .ג . בSADF S ADF cos(0.5 ) cos(1.5 ) 1 1 . max a, , min a, . בx כל a a . x a אוx a : תחומי ירידה, a x a :תחומי עלייה y 0 . ה 0,0 .32 . ב. A(1,8) . א.8 . א.5 . א.6 .ג .ד . S יח"ש1 .7 :6 בחינה . 4, 2 . ( גx 9)2 ( y 1)2 170 . ב 2,8 . א.2 . סמ"ר21.48 . ג. ס"מ2 . ב.DE = ס"מ2.53 . א.5 . k 4 . ד. y k x . ג. f '( x) k2 k x 2 1.5 . .₪ 80 - ו₪ 100 .1 1 189 . גP . בP 0.7 . א.3 7 2500 0 : הנגזרת היא. ב. x k .ii . k x k .i . א.6 . II g ( x) , I f ( x) . א.8 89 x 2.75 .7 בחינה :7 .1א 60 .קמ"ש 72 ,קמ"ש .ב 5 .שעות. .2א . x 9 ; y 2 .ב . C 8,0 , C 10,0 .ג. C 8,0 . 5 .3א 5 .אדומים ו 3-לבנים .ב. 7 ג. .6א( m 0 .מתקבל am 0 :וידוע כי a 0 :לכן נותרנו עם הפתרון הנ"ל). 4 4 8 16 ב . x .iii . Max 0, 0 , Min , 2 .ii . x .i .ד . a 2 .ה. 0 k 4 . a a a a x . t 16 .8 .7א .12 , 12 , 12 .ב .16 , 12 , 8 .ג .מקרה א'. . .4ג.0.8 . .5א 10.5 .ס"מ = Rב. 24.32 . y 16 a2 8 a 4 a בחינה :8 2 2 ₪ 20 .1ו.₪ 12- .2אx 1 . 3 3 3 .4ג.0.25 .ii . .3א P 0.8 .ב P 0.6 .ג. . 7 .5א DE 1.48R CD R 3 .ב. r 1.15R . .6א x 1 .ב x 1 , y 1 .ג a,0 , 0, a .ד. a 2 .ii a 1 .i . . y ב. (5,5) , (4,0) , (1,1) . 4 .7ס"מ 16 ,ס"מ. 1 .8א . f ( x) 2 x2 7 x 5 .ב. 3 .S 5 בחינה :9 .1א 16 .ס"מ ו 20-ס"מ .ב S 224 .ג 124 .ס"מ. 2 .2א . A 22, 0 .ii . B 12,10 .i .ב. x 22 y 10 100 . 2 25 ב. .3א .בחדר יש 6גברים (ו 24-נשים). 141 .5א 12.75 .ס"מ ב 14.19 .ס"מ ג 63.05 .סמ"ר. .4ג 9 .ס"מ. 1 . A 0.5,12.25 .7 .6א 1, 2 .ב . y 1.5x 3.5 .ג 4 .יח"ש . S 12 .8א . f ( x) x3 3x 2 9 x .ב . y 15x 28 .ג 546.75 .ii . 7,133 .i .יח"ש . S .ג.0.0193 . בחינה :10 .2א . R 10 .ב . C(1,12) , B(1, 4) .ג 128 .ii . d 16 .i .יח"ש . S .1א 60 .ב.₪ 300 . 1 1 5 .3א P .ב P .ג .4 . .א 2 .ב 4 .ס"מ. y 5 3 6 2 2 k tan sin 2 k tan ג 7.754 .יח"ש . S ב. .5א. 2 2 tan 2 tan 2 .6א . d 8 .ב .לא .ג .יורדת בכל תחום הגדרתה .ד (0,8) .הx . 270 .7סמ"ר 3( .ס"מ 15 ,ס"מ ו 5 -ס"מ). 36 x 2 .8א, a 36 . f ( x) ב. S 8 . x2 90 x :11 בחינה . y 8 x . ב. B(12, 2) , C(2,16) . א.2 . קמ"ש5- קמ"ש ו4 . א.1 2 . . ב.4 . P 0.31744 . גP 0.44 . בP 0.8 . א.3 3 .3 .ii .1.5 28 3 t .i. ב.4 . א.5 . 1, 0 אשר עובר בנקודהy 4 x 4 : המשיק. ג1,0 , 0, 4 . ב. a 2 . א.6 . ס"מ6 2 8.48 .ג . סמ"ר18 . ב. ס"מ6- ס"מ ו6 . א.7 1 . S יח"ש13 . ב 2,8 , a 32 . א.8 3 :12 בחינה . S יח"ש216 . ג. ס"מ24- ס"מ ו30 , x 8 . ב. 9 x2 18x , 3x 2 3x .ii 3x , 3x 6 .i . א.1 . x2 ( y 2)2 900 . ג 24,16 . ב. y 8x 2 ; y 2 x 2 . א.2 4 . ג95% . ב. P 0.4 . א.3 7 . y 0.74 x 0.1352 . ג 0.6,0.57 . כן. בk 0.48 . א.6 . סמ"ר34.48 . ס"מ ב7 . א.5 . A 2, 2 .7 . 9R . ג.4 . 1 . S יח"ש5 . ב. g ( x) ( x 4)2 . א.8 3 :13 בחינה . S סמ"ר62.5 . ב. ס"מ50- ס"מ ו10 .ii . ס"מ5 .i . א.1 2 2 . A 10,0 ; B 0,6 . ב. x 5 y 3 34 , R ס"מ34 . א.2 . SABC סמ"ר30 .ii . C 20, 0 .i .ג 1 27 1 גבוהה. ג. ב. צהובות6- ורודות ו4 . א.3 . P 0.0189. ד 6 125 6 . S 12.52 . ב40.72 . א.5 . 30,30,120 . א.4 . 3 k 5 . ד. x 2 . ג. x 2 .iv Max 3,0 , Min 4,5 .iii 0, 3 .ii . t 1 . ב.8 91 x 2 .i . ב. a 3 . א.6 . S יח"ש128 . ב. A(2,32) . א.7 :14 בחינה . S יח"ש28 . גC 8, 6 . בO 0,0 , A 0,6 , B 8,0 . א.2 . ק"מ665 . ב. קמ"ש90 . א.1 . ס"מ2 . ג. ס"מ6 . א.4 .60% . ג20% .ב . 0.35m2 sin 2 sin 128.32 . ג1.27m sin . ב128.32 ; 51.68 . א.5 sin 25.84 y .ד x 2 . א.3 3 2, 0 . S יח"ש 1 Min(2,0) . Max 3, .ב 27 .ג 2 . ג. 1, 0 . ב. y 4 x 4 . א.8 3 . x 0 , x 2 . א.6 .A(0,4) . בA 2, 2 . א.7 :15 בחינה . V סמ"ק1728 . גS 720 . ב. ס"מ8X12X18 . א.1 . S יח"ש0.25 . דy 2 x 1 . ג 0, 1 , 2,3 . בa 1 . א.2 a 2 5b2 . א.5 . יח"א5.5 . ב.4 .0.88989 . ב. כדורים כחולים6 . א.3 a 2 3b2 k2 . k 4 . ד. y k x . ג. f '( x) 0 : הנגזרת היא. ב. x k .ii . k x k .i . א.6 2 1.5 k x . S סמ"ר14.4 . גcos BCD . S יח"ש7 5 . ג. 3,3 . ב. y x . א.8 6 92 . ס"מ20 X ס"מ12 . ב. ס"מ10 X ס"מ6 . א.7 בחינה :16 .1א .90 .ב.₪ 80 . .2א. D 5, 8 , A 5, 2 , E 1,0 . 1 1 1 1 ב . CE : y x , CD : y x 5 .ג. C 5, 3 . 2 2 2 2 k sin 20 2 30 . BD ב. k 7 . .5א. ג. . .3א 0.24 .ב0.61224 .ii 0.65389 .i . sin100 3 49 y .6ג . 3, 0 , 3, 0 .ד . y 1 .ה .באף נקודה .הגרף שואף לישר ואינו חותך אותו. ד 30 .יח"ש = . SDEC .7א . 2x .ב. V 12 x2 x3 .i . .8א 4,8 .ב 48 .יח"ש . S . V 48x2 4 x3 .ii ג. x 8 . x בחינה :17 70 .1קמ"ש. .2א . x 18 .ii d 15 .i .ב. ( x 9) ( y 12) 81 . ג .המעגל אינו חותך את ציר ה – x -כאשר מציבים ב y -אפס מתקבלת משוואה ריבועית ללא פתרון. המעגל חותך את ציר ה x -בנקודה אחת – ).(12,0 17 ג. 0.03645 . .3א 15 .כחולים ו 3-אדומים .ב. 101 .4ג 60 .ס"מ .5 .א 5 .ס"מ .ב 172.77 .סמ"ר . S 2 2 .6א .a 1 .ב . 3 x 3 .ג . 1.5, 3 .ד .יורדת . 3 x 1.5 :עולה. 1.5 x 3 : 1.28t 2 0.72t 16 3 P ב t 4 .ג P 12.88 .ס"מ. .7א. t 1 4 1 .8א f ( x) x2 6 x .ב . 0,0 .ג 85 .סמ"ר . S 3 בחינה :18 10 .1גיטרות ב.₪ 5,000- 3 2 2 .2א . x 15 y 12 225 .ב . C 24,0 , D 24, 24 .ג. y x 42 . 4 1 1 1 256 ג .4 . .א .פי .2.25 .3א. ב .גבוהה יותר 8 330 14641 330 .5א S R 2 tan 2 .ב 36 .סמ"ר . S .6א x 0 , x 1 .ב 9, 6 .ג. y 6 . .7א . AE 16 3x .ב. x 6 . 1 .8א . k 10 .ב . 1,9 .ג 81 .סמ"ר . S 3 93 :19 בחינה 1 1 . AD : y x 3 , AC : y x 8 . א.2 . ס"מ6 .1 3 3 . B 4, 2 . ד. BE : y x 2 , BC : y 3x 10 . ג. A 7,1 .ב . .R : סקיצה.ה 2 . ג120,60 . ב.4 . 0.0196 .ג 3 37 ס"מ3.511 . ג. S סמ"ר18.18 .ב 3 . Max 2,8 , Min 3, y 1 3 2 . ב. נשים9 . א.3 11 .AB= ס"מ7 - וBC = ס"מ3 . א.5 3x 2 20 x 28 , a 3 . א.6 . ב. x כל, f ( x) x2 6 . 2 x 3 : יורדתx 2 , x 3 : עולה.ג . k 8, 13 ,3 . ו. 2,0 , 0, 4 23 , 4 23 ,0 .ד . S סמ"ר1.75 . בMin 0.5,1.5 . א.8 x . x 6 .7 :20 בחינה . סמ"רS 1440 . ג. ס"מ30 . ב. ס"מ20- ס"מ ו16 , ס"מ12 . א.1 . SBMC SDMC סמ"ר34 . גC 0.5, 7 . בy 4 x 5 . א.2 2 . ג.' מועמד א. ב25% . א.3 3 . ס"מ4 . ג. 6R . ב.5 Min 1, 0.5 , Max 9, 24.5 . בx 5 . א.6 . x 5 , 9 x 1 : יורדת. x 9 , x 1 : עולה.ג . S 8 3 . ב.4 y x . . סקיצה בצד. ו. x 5 . ה 2,0 , . a 9 .8 ,0 , 0, 0.2 .ד 1 3 . M 22500 . ג. x 30 , y 5 . ב. y 10 x . א.7 6 :21 בחינה .42 . דA 0,17 .60%. ג₪ 45- ו₪ 40 . ב₪50- ו₪ 80 . א.1 7 2 2 ; B 0,3 . ג. x 6 y 10 85 .iii . 85 .ii . M 6,10 .i . ב. y x 3 . א.2 6 2 26 1 11 2S . S .ב .ג .ב . א.3 0.62S . א.5 . ריבוע. ג.4 . 3 45 11 18 27 . 0.5,0.25 . גy 0.5 x 0.5 . ב 0, 0 , 1,1 . א.6 . AB 24 . גA 4, 7 . בy 3x 5 . א.7 . S יח"ש189 94 1 . בf ( x) x3 4 x 2 12 x 5 . א.8 3 :22 בחינה .₪ 500 – ו₪ 400 .1 200 , y x 6 . א.2 . SABCD 80 . ד. dCF 72 , dAE 8 . ג. E(5,11) , F(3,9) . ב. dBD 15 .13 . ג.BE = 10 . ב.4 . . גP 0.0486 . בP 0.1 . א.3 19 2 k k2 . S סמ"ר24 . בS . א.5 2sin 45 sin 45 tan 2 cos 2 tan 2 x4 : סקיצה. ד. 4, 0 . ג. x 8 , x 0 : יורדת, 8 x 0 : עולה. ב. f ( x) 2 , a 1 . א.6 x y 2 . S סמ"ר128 . ג. x 8 . ב. 2 x 32 x 240 . א.7 36 x 2 . S סמ"ר8 . בf ( x) , a 36 . א.8 x x2 :23 בחינה . SAMB . ק"מ360 . קמ"ש ב90 . א.1 2 יח"ש10 . ד. B 13, 4 . ג. y 0.5x 2.5 . ב. x 10 y 2 25 . א.2 17 32 71 7 2 .ד .ג .ב .ii .i . א.3 30 150 20 17 75 2R 2 cos3 . 26.56 . גS . בS R 2 sin 2 . א.5 sin . S יח"ש4 2 . דy 2 2 x 4 2 . ג. f '( x) 0 : היות ואין פתרון למשוואה, לא. ב 2, 0 . א.6 . SABCD 6S . ב.4 . L 18 . ג. x 6 : הפתרון הוא. L . x2 6 x 8x : מתקבלת הפונקציה. בDF . א.7 x2 x2 1 . S יח"ש27 . ב. f ( x) x2 3x 10 . א.8 6 :24 בחינה . S סמ"ר60 . ג. ס"מ6- ס"מ ו8 . ב. ס"מ12- ס"מ ו4.8 .1 . y x 2 . ג. Q 2, 0 . ב. A 2,0 ; B 6,0 . א.2 . SABD יח"ש4 3 .i SCDE יח"ש16 3 .i . ג.4 .0.1318 . ג.0.8 . ב.0.25 . א.3 . ס"מ10.1 . ב. ס"מ9.4 . א.5 . x 0 , 1 x 1 : יורדתx 1 , x 1 : עולה. גMax 1, 2.25 , Min 1, 0.25 . בx 0 . א.6 . סקיצה בצד. ו. x 0 . ה 0.5,0 , 2,0 .ד y . t 2.25 . ב. l t 6 3 t . א.7 1 . S יח"ש. בy x 2 . א.8 8 x 95 :25 בחינה .)₪ 480( שולחנות במחיר היקר6 בית העסק הראשון רכש. ג.₪ 300 . ב60 . א.1 . t 8 ; BC ס"מ10 .ii . AC 2t 2 14t 49 ; BC 2t 2 4t 4 .i . ב. C t , t 5 . א.2 32 1 . ד. ג. P 0.4 . ב30% . א.3 . D 20, 5 .ג 81 3 .18 פי. ג.6 פי.ii . ב.4 k 6k sin k 25 24cos 2 . בAE 6k sin . א.5 .P . 14.47 .ג PACE . x 0 , x 2 : יורדת. x 0 , x 2 : עולה. גMax 0, 0 . בx 2 . א.6 . סקיצה בצד. ו. x 2 , y 1.5 . ה 0, 0 .ד . ס"מ3 , ס"מ12 , ס"מ6 .7 . M 5,3 . א.8 :26 בחינה x 16 y 10 2 2 .22.4% . ג.44% . ב₪ 5760 . א.1 2 2 100 , R 10 . ב. y - המעגל אינו חותך את ציר ה, x 16 y R R 2 . א.2 . יחידות שטח50 .ii . C 14, 24 .i .ה y 43 x 5 13 .ד y 34 x 34 12 .ג 14 55 . ב. . א.3 55 84 . 81.86 , 51 , 47.14 . בDE t 10 , EF t 11.25 , DF t 18.25. א.5 7 10 . S יח"ש1377 . ד. B . ג. y 1.5x 150 . ב. A 30 .ii x 0 .i . א.6 3 9 . S סמ"ר98 . ב. ס"מ22 ס"מ על11 . א.7 . S יח"ש46.5 . ב. f ( x) 4 x x2 , g ( x) x2 x 12 . א.8 .0.9324 .ii 96 0.7204 .i .ג בחינה :27 .1א .10:00 .ב 200 .ק"מ. .2א . x 2 .גD 0,10 .ii . y 0.5x 10 .i . SDCE 1 ד .ii . E 2, 4 .i . SABC 2 . 31 2 27 SABE ג. ב. .3א. ד .4 . P 0.34414 .ג 3 .סמ"ר .5 .א 64.04 .ב 0.817 . 9 50 50 SECD .6א . A 1 .ב . x 2 .ג .הנגזרת בנויה ממנה של מספר שלילי בחיובי ולכן תמיד שלילית: ( ) 5 y ה .סקיצה: . y ' ד. 0, 2.5 . שלילי 2 x 2 () ו .לא .אין נקודות על גרף הפונקציה בעלות שיעור yזהה. . x .7א . h 63 4 x .ב . p 14 x 2 252 x .ג. x 9 . .8א .iii (4, 0) .ii x 0 .i .הנגזרת תמיד חיובית ב (16,14) .ג 88 .יח"ש. בחינה :28 .1א 240 .i .סמ"ר . 4 20 L .ii .ב. L 8 . . C 14,5 .2 n 5 .3 50.625 .4סמ"ר . S EFNM 2 .5א 5 k 3 .או . 1 k 3ב. t 0.667 . 3 .6א .i .הטענה אינה נכונה .תחומי ההגדרה הם. f ( x) : x 0 , x 1 ; g ( x) : x 1 : .iiהטענה נכונה .ל f ( x) -יש נקודת קיצון 4, 4 וב 0, 0 -ול g ( x) -יש קיצון . 2, 2 שתיהן נמצאות על הישר . y x .iiiהטענה נכונה .מתקבלים x 0,1 :אשר שניהם נפסלים מחמת תחום ההגדרה של הפונקציות. x2 . h( x) ג .לא . h( x) : x 1 .ד. I h( x) , II f ( x) . ב. x 1 . a 1 , b 3 .7 1 1 .8א . B a , a .ב. 4.25 . 2 2 97 בחינה :29 .1א 10 .ס"מ 8 ,ס"מ ו 6-ס"מ .ב.28% . .2א .לא ניתן להצביע על אף תכונה של מרובע מוגדר כלשהו. ב .מלבן .ניתן להראות כי יש למרובע שני זוגות צלעות נגדיות מקבילות ושוות וזווית ישרה. ג .ריבוע .ניתן להראות כי קיימות זוג צלעות סמוכות שוות. ד 90 .יח"ש . S 1 ד. P 0.2732 . .3א 45% .ב 20% .ג. 11 1 2 .4אורך צלע המשולש , 3 a :שטח המשולש. 3 a 2 : 3 3 2 2k sin sin k 2 sin sin . .ii .5ב.i . sin 2sin x2 .6א. x4 ב .i .הטענה אינה נכונה .תחומי ההגדרה הם. f ( x) : x 4 ; g ( x) : x 4 , x 2 : 1 1 f ( x ) ו 0 - .iiהטענה נכונה .הנגזרות חיוביות 0 : . g ( x) 2 x2 2 x 4 x4 x 4 . g ( x) .iiiהטענה נכונה .הנקודה היא. 2, 0 : .ivהטענה נכונה .לפונקציות שתי אסימפטוטות משותפות x 4 :ו. y 1- ג . 1 2 ; g ( x) : 0, . f ( x) : 0, 12 ד .אסף צודק שכן מכוח ההגדרהf ( x) : g ( x) ניתן לראות כי עבור כל ערך של x0בחיתוך תחום ההגדרה המשותף קיימות שתי נקודות A x0 , f ( x0 ) :ו( B x0 , g ( x0 ) -אחת על כל גרף כמובן) ושיעורי ה y -שלהן מקיימיםf ( x0 ) : . g ( x0 ) 1 1 1 0.5 .7יח"ש .8 . S א . x a , y a .ב. x y a . 9 12 6 98 בחינה :30 .1א .₪ 50 .ב.74.55% . .2א . y 2 x 22 .ב .i .תיכון -קטע במשולש שחוצה אותו לשני משולשים שווי שטח הוא תיכון . B(9, 4) , D(4, 4) .ii ג. AD 5 , BC 10 .i . .iiמשולש ישר זווית – אם במשולש יש תיכון לצלע ששווה למחציתה אז המשולש הוא ישר זווית. 459 16 . ג 0.05 .ד. .3א 5 .נשים .ב. 512 21 5 .4א BC t .ב 14.4 .ס"מ = .AB 12 .5ב C 28.9 .ג. R 13.77 . .6א .iהטענה אינה נכונה .תחומי ההגדרה: f ( x) : - k x k ; g ( x) : - k x k ; h( x) : - k x k , x 0 .iiהטענה אינה נכונה .נקודות החיתוך הן. f x : k ,0 , 0,0 ; g x : 0,0 ; h x : k ,0 : .iiiהטענה נכונה .עבור ) g ( xנקבל: 2 kx x3 k x2 1.5 g '( x) ולכן x 0 :נקודת מינימום. (הנקודות x 2kנפסלות) .עבור ) h( xנקבל: x3 2 kx k x2 1.5 h '( x) ולכן x 0 :נקודת מקסימום. (הנקודות x 2kנפסלות). 2 .ivהטענה אינה נכונה .לפונקציה יש 3נקודות קיצוןk : 3 ב . k 24 .ג . 0,0 Min , 4,32 2 Max, ( 24,0) Min .ד. I g ( x) , II f ( x) , III h( x) . .x 0 , x 5 .7ס"מ. 3 .8א . a 13 .ב 5, 0 .ג .ii . S1 2 .i .לפי 1dx 0 נקבל כיS1 S2 0 : 2x 1 1 ולכן. S2 S1 2 : 13 99 מתמטיקה 4יח"ל שאלון 805בחינות חזרה 1 תוכן עניינים בחינה מספר 4 ........................................................................................................................1 בחינה מספר 6 ........................................................................................................................2 בחינה מספר 8 ........................................................................................................................3 בחינה מספר 10 ......................................................................................................................4 בחינה מספר 12 ......................................................................................................................5 בחינה מספר 14 ......................................................................................................................6 בחינה מספר 16 ......................................................................................................................7 בחינה מספר 18 ......................................................................................................................8 בחינה מספר 20 ......................................................................................................................9 בחינה מספר 22 .................................................................................................................... 10 בחינה מספר 24 .................................................................................................................... 11 בחינה מספר 26 .................................................................................................................... 12 בחינה מספר 28 .................................................................................................................... 13 בחינה מספר 30 .................................................................................................................... 14 בחינה מספר 32 .................................................................................................................... 15 בחינה מספר 34 .................................................................................................................... 16 בחינה מספר 36 .................................................................................................................... 17 בחינה מספר 38 .................................................................................................................... 18 בחינה מספר 40 .................................................................................................................... 19 בחינה מספר 42 .................................................................................................................... 20 בחינה מספר 44 .................................................................................................................... 21 בחינה מספר 46 .................................................................................................................... 22 בחינה מספר 48 .................................................................................................................... 23 בחינה מספר 50 .................................................................................................................... 24 בחינה מספר 52 .................................................................................................................... 25 בחינה מספר 54 .................................................................................................................... 26 בחינה מספר 56 .................................................................................................................... 27 בחינה מספר 58 .................................................................................................................... 28 בחינה מספר 60 .................................................................................................................... 29 בחינה מספר 62 .................................................................................................................... 30 2 תשובות סופיות64 .................................................................................................................. : בחינה 64 .......................................................................................................................... :1 בחינה 64 .......................................................................................................................... :2 בחינה 64 .......................................................................................................................... :3 בחינה 65 .......................................................................................................................... :4 בחינה 65 .......................................................................................................................... :5 בחינה 65 .......................................................................................................................... :6 בחינה 66 .......................................................................................................................... :7 בחינה 66 .......................................................................................................................... :8 בחינה 67 .......................................................................................................................... :9 בחינה 67 ........................................................................................................................ :10 בחינה 68 ........................................................................................................................ :11 בחינה 68 ........................................................................................................................ :12 בחינה 69 ........................................................................................................................ :13 בחינה 69 ........................................................................................................................ :14 בחינה 70 ........................................................................................................................ :15 בחינה 70 ........................................................................................................................ :16 בחינה 71 ........................................................................................................................ :17 בחינה 72 ........................................................................................................................ :18 בחינה 72 ........................................................................................................................ :19 בחינה 72 ........................................................................................................................ :20 בחינה 73 ........................................................................................................................ :21 בחינה 73 ........................................................................................................................ :22 בחינה 74 ........................................................................................................................ :23 בחינה 74 ........................................................................................................................ :24 בחינה 75 ........................................................................................................................ :25 בחינה 76 ........................................................................................................................ :26 בחינה 78 ........................................................................................................................ :27 בחינה 79 ........................................................................................................................ :28 בחינה 79 ........................................................................................................................ :29 בחינה 81 ........................................................................................................................ :30 3 בחינה מספר 1 שים לב! הסבר את כל פעולותיך ,כולל חישובים ,בפירוט ובצורה ברורה. חוסר פירוט עלול לגרום לפגיעה בציון או לפסילת הבחינה. פרק ראשון –סדרות וטריגונומטריה במרחב( 33 13נקודות) ענה על שאלה אחת מבין השאלות 33 13 ( 1-2נקודות). שים לב! אם תענה על יותר משאלה אחת ,תיבדקנה רק התשובה הראשונה שבמחברתך. .1נתונה סדרה המוגדרת באמצעות כלל הנסיגה הבא: a 2an . n 1 a1 3 הוכח שהסדרה הנדסית ומצא מהו האיבר השמיני בה. S .2הבסיס ABCDשל פירמידה ישרה ומרובעת SABCDהוא מלבן (ראה ציור). נתון 15 :ס"מ 20 , AD ס"מ . AB זווית הראש של הפאה הצדדית SABהיא בת . 38 א .חשב את הגובה של הפאה . SAB C D ב .חשב את גובה הפירמידה. ג .חשב את זווית הראש של הפאה . SAD B A פרק שני – חדו"א של פונקציות טריגונומטריות ,פונקציות חזקה עם מעריך רציונאלי ,פונקציות מעריכיות ופונקציות לוגריתמיות( 66 23נקודות) ענה על שתיים מבין השאלות ( 3-5לכל שאלה – 33 13נקודות). שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות ,תיבדקנה רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך. .3ענה על שני החלקים הבאים: א .נתונה הפונקציה . f x 2 x ln 2 xחקור את הפונקציה על פי הסעיפים הבאים: ב. ( )1תחום הגדרה ( )2נקודות קיצון ( )4נקודות חיתוך עם הצירים ( )5שרטוט בנק א' נותן ריבית של 3%כל שנתיים בתוכנית חיסכון מסוימת. בנק ב' נותן ריבית של 4.5%כל 3שנים בתוכנית חיסכון אחרת. אדם מתכוון להפקיד סכום כסף מסוים לתקופה של 18שנה. באיזה בנק כדאי לו להשקיע את כספו? 4 ( )3תחומי עלייה וירידה .4נתונות הפונקציותf x sin x , g x cos x : חשב את גודל השטח הכלוא בין הפונקציות לציר הy - ברביע הראשון. .5נתונה הפונקציה. f x 5 e x : העבירו לפונקציה משיק ששיפועו . e חשב את גודל השטח הכלוא בין הפונקציה ,המשיק וציר ה. x - ניתן להשאיר eו ln -בתשובה. בהצלחה! 5 בחינה מספר 2 שים לב! הסבר את כל פעולותיך ,כולל חישובים ,בפירוט ובצורה ברורה. חוסר פירוט עלול לגרום לפגיעה בציון או לפסילת הבחינה. פרק ראשון –סדרות וטריגונומטריה במרחב( 33 13נקודות) ענה על שאלה אחת מבין השאלות 33 13 ( 1-2נקודות). שים לב! אם תענה על יותר משאלה אחת ,תיבדקנה רק התשובה הראשונה שבמחברתך. .1בסדרה הנדסית שבה 2n 1איברים ,סכום nהאיברים הראשונים קטן פי 9מסכום n האיברים הבאים אחריהם .האיבר האחרון בסדרה גדול ב 30-מהאיבר הראשון שבה. מצא את האיבר הראשון בסדרה. .2בסיסה של מנסרה ישרה ' ABCA ' B ' Cהוא משולש ישר-זווית ושווה-שוקיים שבו: BAC 90 4 ,ס"מ . AC AB נתון כי. CB ' A 25 : הסבר מדוע CAמאונך ל ' , ABוחשב את נפח המנסרה. פרק שני – חדו"א של פונקציות טריגונומטריות ,פונקציות חזקה עם מעריך רציונאלי ,פונקציות מעריכיות ופונקציות לוגריתמיות( 66 23נקודות) ענה על שתיים מבין השאלות ( 3-5לכל שאלה – 33 13נקודות). שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות ,תיבדקנה רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך. .3ענה על שני החלקים הבאים: א .נתונה נגזרת של פונקציה. f ' x cos x 4sin 2 x : 1 מצא את הפונקציה אם ידוע שהיא עוברת בנקודה. ,1 : 6 2 ב. חומר רדיואקטיבי מתפרק בצורה מעריכית .אם בתוך 4שעות הוא מאבד 20%ממשקלו, תוך כמה זמן יאבד 60%ממשקלו? 1 .4נתונה נגזרת שנייה של פונקציה: x2 . f '' x 6 x מצא את הפונקציה אם ידוע שהיא עוברת בנקודה 1, 2 וששיפועה בנקודה זו הוא .3 6 2 .5באיור שלפניך מתוארים הגרפים של הפונקציה: 3x 1 א .מצא את נקודת החיתוך של הפונקציות הנמצאת ברביע הראשון. ב .מעבירים אנך לציר ה x a - x -הנמצאת מימין לנקודת החיתוך שמצאת בסעיף הקודם. f ( x) והישר. y x : האנך החותך את הגרפים ויוצר את השטחים S1ו S 2 -המתוארים האיור. 1 2 ג .מצא את הערך של aעבורו השטח S 2יהיה שווה ל. ln 7 - 2 3 S ד .עבור ערך ה a -שמצאת בסעיף הקודם חשב את יחס השטחים. 1 : S2 y S1 xa x S2 בהצלחה! 7 בחינה מספר 3 שים לב! הסבר את כל פעולותיך ,כולל חישובים ,בפירוט ובצורה ברורה. חוסר פירוט עלול לגרום לפגיעה בציון או לפסילת הבחינה. פרק ראשון –סדרות וטריגונומטריה במרחב( 33 13נקודות) ענה על שאלה אחת מבין השאלות 33 13 ( 1-2נקודות). שים לב! אם תענה על יותר משאלה אחת ,תיבדקנה רק התשובה הראשונה שבמחברתך. 1 14מסכום .1בסדרה חשבונית ,שבה מספר אי -זוגי של איברים ,גדול סכום כל איברי הסדרה פי 15 איברי הסדרה הנמצאים במקומות האי-זוגיים. כמה איברים יש בסדרה? .2נתונה תיבה ' ABCDA ' B ' C ' Dשבסיסה מלבן . ABCD נתון , ABD 60 :האלכסון , D ' B dהזווית בין האלכסון D ' Bלבסיס התיבה היא . 30 בטא באמצעות dאת נפח התיבה. פרק שני – חדו"א של פונקציות טריגונומטריות ,פונקציות חזקה עם מעריך רציונאלי ,פונקציות מעריכיות ופונקציות לוגריתמיות( 66 23נקודות) ענה על שתיים מבין השאלות ( 3-5לכל שאלה – 33 13נקודות). שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות ,תיבדקנה רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך. .3נתונה הפונקציה . f x e2 x 8e x 6 x 10חקור את הפונקציה על פי הסעיפים הבאים: ג .תחומי עלייה וירידה ב .נקודות קיצון א .תחום הגדרה ד .נקודות חיתוך עם ציר הy - ה .שרטוט .4נתונה הפונקציה הבאה. f ( x) e2 x ae x b : גוזרים את הפונקציה פעמיים וידוע כי כאשר x ln 23הנגזרות מקיימות. f '( x) f ''( x) 12 : א. מצא את . a משוואת המשיק לגרף הפונקציה בנקודה מסוימת היא. y 22 x 28 22ln 2 : ב .מצא את שיעור ה x -של נקודת ההשקה. ג .מצא את . b ד .האם הפונקציה חותכת את ציר ה ? x -אם כן מצא את הנקודות. 8 .5בשעה 08:00נלקחו שני חומרים רדיואקטיביים. מחומר א' נלקחו 150גרם וזמן מחצית החיים שלו הוא 10שעות. מחומר ב' נלקחו 117.4גרם וזמן מחצית החיים שלו הוא 18שעות. באיזו שעה משקל החומרים יהיה זהה? בהצלחה! 9 בחינה מספר 4 שים לב! הסבר את כל פעולותיך ,כולל חישובים ,בפירוט ובצורה ברורה. חוסר פירוט עלול לגרום לפגיעה בציון או לפסילת הבחינה. פרק ראשון –סדרות וטריגונומטריה במרחב( 33 13נקודות) ענה על שאלה אחת מבין השאלות 33 13 ( 1-2נקודות). שים לב! אם תענה על יותר משאלה אחת ,תיבדקנה רק התשובה הראשונה שבמחברתך. .1סדרה מוגדרת ע"י הכלל. a1 3 , an1 3an 10n 5 : מגדירים סדרה חדשה המקיימת לכל nטבעי. bn an 5n : א .הוכח כי הסדרה bnהיא סדרה הנדסית. ב .חשב את האיבר . b5 ג .חשב את הסכום. b2 b4 b6 ..... b12 : .2נתונה קובייה ' ABCDA ' B ' C ' Dשאורך המקצוע שלה הוא . a הנקודות , Q , Pו R -נמצאות על המקצועות ' A ' D ' , AA 'C 2 ו A ' B ' -בהתאמה (ראה ציור) כך ש. A ' P A ' R A ' Q a - 3 בטא באמצעות aאת נפח הגוף שיתקבל לאחר שיחתכו מהקובייה את הפירמידה . A ' PQR 'D Q 'B R C D B פרק שני – חדו"א של פונקציות טריגונומטריות ,פונקציות חזקה עם מעריך רציונאלי ,פונקציות מעריכיות ופונקציות לוגריתמיות( 66 23נקודות) ענה על שתיים מבין השאלות ( 3-5לכל שאלה – 33 13נקודות). שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות ,תיבדקנה רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך. .3נתונה הפונקציה: f x 8x p 2 x q לפונקציה יש נקודת קיצון בנקודה . log 2 3, 19 מצא את ערכי הפרמטרים pו. q - 10 'A P A x .4נתונה הפונקציה ln x 1 . f x חקור את הפונקציה על פי הסעיפים הבאים: א .תחום הגדרה ב .נקודות קיצון ד .נקודות חיתוך עם הצירים ה .שרטוט ג .תחומי עלייה וירידה ו .לאלו ערכי kהישר y kחותך את הפונקציה בשתי נקודות? .5אוכלוסיית הדובים בקוטב הצפוני מכפילה את עצמה כל 18שנה. אם היום יש בקוטב הצפוני 6,000דובים ,בעוד כמה שנים יהיו 8,000דובים? בהצלחה! 11 בחינה מספר 5 שים לב! הסבר את כל פעולותיך ,כולל חישובים ,בפירוט ובצורה ברורה. חוסר פירוט עלול לגרום לפגיעה בציון או לפסילת הבחינה. פרק ראשון –סדרות וטריגונומטריה במרחב( 33 13נקודות) ענה על שאלה אחת מבין השאלות 33 13 ( 1-2נקודות). שים לב! אם תענה על יותר משאלה אחת ,תיבדקנה רק התשובה הראשונה שבמחברתך. an 1 an 3 .1נתונה סדרה המוגדרת באמצעות כלל הנסיגה הבא: a1 5 הוכח שהסדרה חשבונית ומצא מהו האיבר התשעה-עשר שלה. .2נתונה פירמידה ישרה . SABCDבסיס הפירמידה הוא ריבוע ,שאורך צלעו 8ס"מ .הזווית בין מקצוע הפירמידה לבסיס היא . 52מצא את הגובה לצלע הבסיס בפאה הצדדית של הפירמידה. פרק שני – חדו"א של פונקציות טריגונומטריות ,פונקציות חזקה עם מעריך רציונאלי ,פונקציות מעריכיות ופונקציות לוגריתמיות( 66 23נקודות) ענה על שתיים מבין השאלות ( 3-5לכל שאלה – 33 13נקודות). שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות ,תיבדקנה רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך. .3ענה על שני החלקים של השאלה: א .אדם מפקיד kשקלים בתוכנית חיסכון לפי ריבית שנתית של .p%לאחר 5שנים הוא מושך מהחיסכון kשקלים ולאחר 5שנים נוספות מתברר כי הצטבר בפיקדון שלו סך הכול .₪ 2.5kמצא את .p 1 ב .נתונה הפונקציה הבאה. y ln x : x .i )1מהו תחום ההגדרה של הפונקציה? .iiיש לגרף הפונקציה אסימפטוטה מקבילה לציר ? yאם כן מצא אותה. )2מצא את נקודת הקיצון של גרף הפונקציה וקבע את סוגה. )3כתוב את תחומי העלייה והירידה של גרף הפונקציה. *הערה :אין קשר בין סעיפים א' ו-ב'. 12 2ln x 1 .4מצא את נקודות הקיצון של הפונקציה הבאה: x . f x .5נתונה הפונקציה. f x x 2sin x : בתחום שבין ראשית הצירים לנקודת המקסימום הראשונה מימינה העבירו לפונקציה משיק ששיפועו .1 א .מצא את משוואת המשיק. ב .חשב את גודל השטח הכלוא בין הפונקציה ,המשיק וציר ה x -ברביעים הראשון והשני. בהצלחה! 13 בחינה מספר 6 שים לב! הסבר את כל פעולותיך ,כולל חישובים ,בפירוט ובצורה ברורה. חוסר פירוט עלול לגרום לפגיעה בציון או לפסילת הבחינה. פרק ראשון –סדרות וטריגונומטריה במרחב( 33 13נקודות) ענה על שאלה אחת מבין השאלות 33 13 ( 1-2נקודות). שים לב! אם תענה על יותר משאלה אחת ,תיבדקנה רק התשובה הראשונה שבמחברתך. .1בסדרה חשבונית ידוע כי סכום האיברים העומדים במקומות ה , 5-ה 7-וה 16 -הוא אפס. כמו כן ידוע כי סכום שלושת האיברים הראשונים הוא .132 א. מצא את האיבר הראשון בסדרה ואת הפרש הסדרה. ב. מצא את האיבר השלילי הראשון בסדרה. ג. מצא כמה איברים יש לחבר (החל מהאיבר הראשון) כדי לקבל סכום .210 .2בתיבה ריבועית ' ABCDA'B'C'Dמעבירים את האלכסונים ' B'Dו.A'C'- האלכסונים נפגשים בנקודה Oכך שנוצר המשולש .BOD נתון כיBOD 23 : וכי אורך מקצוע הבסיס של התיבה הוא 6ס"מ. א. חשב את היקף המשולש .BOD ב. חשב את הזווית שנוצרת בין הצלע ODשל המשולש BOD ומישור הפאה .AA'D'D פרק שני – חדו"א של פונקציות טריגונומטריות ,פונקציות חזקה עם מעריך רציונאלי ,פונקציות מעריכיות ופונקציות לוגריתמיות( 66 23נקודות) ענה על שתיים מבין השאלות ( 3-5לכל שאלה – 33 13נקודות). שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות ,תיבדקנה רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך. .3כמות עצים ביער גדלה בצורה מעריכית לפי אחוז ריבוי של 15%לשנה. בשנת 1990נספרו כמות עצים מסוימת ביער. בשנת 2000כרתו 30,000עצים ולאחר 5שנים נוספות ,בשנת ,2005נספרו ביער 753365עצים. מצא כמה עצים היו ביער בשנת .1990 14 .4נתונה הפונקציה. f ( x) ln x : א. מהו תחום ההגדרה של הפונקציה? ב. הוכח כי גרף הפונקציה עולה בכל תחום הגדרתו. מגדירים פונקציה נוספת. g ( x) ln x : ג .מצא את נקודות החיתוך של שני הגרפים. ד. הנקודה Aנמצאת על גרף הפונקציה ) f ( xוהנקודה Bנמצאת על גרף הפונקציה ) . g ( xידוע כי לנקודות Aו B-אותו שיעור . xA xB , x מצא את שיעור ה x -של שתי הנקודות אם ידוע כי המשיקים לגרפים של הפונקציות בנקודות אלו מקבילים. .5באיור שלפניך מתוארים הגרפים של הפונקציות f x e2x :ו. g x e2x - מעבירים אנך לציר ה x -את הישר a 0 x aכמתואר באיור. y )g ( x )f ( x אנך זה יוצר את השטחים S1ו. S 2 - S1 ידוע כי השטח S1גדול פי 3מהשטח . S 2מצא את . a xa x S2 בהצלחה! 15 בחינה מספר 7 שים לב! הסבר את כל פעולותיך ,כולל חישובים ,בפירוט ובצורה ברורה. חוסר פירוט עלול לגרום לפגיעה בציון או לפסילת הבחינה. פרק ראשון –סדרות וטריגונומטריה במרחב( 33 13נקודות) ענה על שאלה אחת מבין השאלות 33 13 ( 1-2נקודות). שים לב! אם תענה על יותר משאלה אחת ,תיבדקנה רק התשובה הראשונה שבמחברתך. .1 א .הראה כי בסדרה הנדסית שבה 2nאיברים היחס בין סכום האיברים העומדים במקומות האי-זוגיים לבין סכום כל איברי הסדרה תלוי במנת בסדרה. בסדרה הנדסית שבה מספר זוגי של איברים ידוע כי סכום כי האיברים העומדים במקומות האי-זוגיים קטן פי 4מסכום כל איברי הסדרה .האיבר הראשון בסדרה זו קטן ב 2-ממנת הסדרה. ב .כתוב נוסחה לאיבר כללי של סדרה זו. ג .מצא שני איברים סמוכים בסדרה שסכומם הוא .324 .2במנסרה משולשת וישרה ' ABCA'B'Cשבסיסה משולש שווה צלעות מעבירים את האלכסונים ' ABו AC'-כך שנוצר המשולש '.AB'C הזווית שבין האנך לצלע BCבמשולש ABCוהאנך לצלע 'B'C במשולש ' AB'Cהיא . 40אורך גובה המנסרה הוא 14ס"מ. א. חשב את שטח המשולש '.A'B'C ב. חשב את נפח המנסרה. פרק שני – חדו"א של פונקציות טריגונומטריות ,פונקציות חזקה עם מעריך רציונאלי ,פונקציות מעריכיות ופונקציות לוגריתמיות( 66 23נקודות) ענה על שתיים מבין השאלות ( 3-5לכל שאלה – 33 13נקודות). שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות ,תיבדקנה רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך. e3 x .3נתונה הפונקציה: 12 x 2 1 . f ( x) א. מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה. ב. מצא את נקודות הקיצון של הפונקציה וקבע את סוגן. ג. כתוב את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה. ד. מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים. ה. סרטט סקיצה של גרף הפונקציה. 16 .4נתונה הפונקציה f ( x) a sin 2 x 5sin x ax :בתחום. 0 x : ידוע כי הישר y ax 2 :חותך את גרף הפונקציה בנקודה שבה 6 .x א. מצא את aוכתוב את הפונקציה ). f ( x ב. מצא נקודה על גרף הפונקציה בתחום הנתון שבה שיפוע המשיק הוא. m 2 : ג. האם קיימות נקודות נוספות בתחום הנתון ששיפוע המשיק דרכן הוא ? 2 נמק את תשובתך. ד. כתוב את משוואת המשיק העובר דרך הנקודה שמצאת. a 1 a f ( x) ו - .5באיור שלפניך נתונות הפונקציות: x2 x 1 g ( x) בתחום. x 0 : ידוע כי הגרפים של הפונקציות נחתכים בנקודה שבה . x 3 (שימו לב – נקודת החיתוך אינה מופיעה באיור הסמוך). א. מצא את aוכתוב את שתי הפונקציות. ב. חשב את השטח המוגבל ע"י הגרפים של שתי הפונקציות ,ציר ה y -והישר . x e בהצלחה! 17 בחינה מספר 8 שים לב! הסבר את כל פעולותיך ,כולל חישובים ,בפירוט ובצורה ברורה. חוסר פירוט עלול לגרום לפגיעה בציון או לפסילת הבחינה. פרק ראשון –סדרות וטריגונומטריה במרחב( 33 13נקודות) ענה על שאלה אחת מבין השאלות 33 13 ( 1-2נקודות). שים לב! אם תענה על יותר משאלה אחת ,תיבדקנה רק התשובה הראשונה שבמחברתך. .1ההפרש של סדרה חשבונית שווה למנה של סדרה הנדסית עולה. האיבר הראשון בסדרה ההנדסית הוא 6וידוע כי סכום 2האיברים הראשונים בסדרה החשבונית שווה לסכום שני האיברים הראשונים בסדרה ההנדסית .האיבר השלישי בסדרה ההנדסית גדול פי 2מהאיבר השלישי בסדרה החשבונית. א. מצא את שלושת האיברים של הסדרה החשבונית. ב. מצא כמה איברים יש לחבר בסדרה החשבונית החל מהאיבר הראשון כדי לקבל את הסכום.60 : ג. מצא את מיקומו הסידורי של איבר בסדרה ההנדסית הגדול פי 12מהאיבר האחרון שחּובר בסכום הסדרה החשבונית שחישבת בסעיף הקודם. .2נתונה פירמידה ישרה SABCDשבסיסה ריבוע בעל אורך צלע . a אורך מקצועות הפירמידה הוא . 3aמעבירים את האלכסון ACועליו מסמנים CE 1 את הנקודה Eהמחלקת אותו ביחס של 1:3 : . AE 3 מהקדקוד Sמעבירים את הקטע .SE א. הבע באמצעות aאת גובה הפירמידה. ב. חשב את הזווית הנוצרת בין הקטע SEוגובה הפירמידה. ג. מצא את aאם ידוע כי שטח המעטפת של הפירמידה הוא560 : סמ"ר. 18 פרק שני – חדו"א של פונקציות טריגונומטריות ,פונקציות חזקה עם מעריך רציונאלי ,פונקציות מעריכיות ופונקציות לוגריתמיות( 66 23נקודות) ענה על שתיים מבין השאלות ( 3-5לכל שאלה – 33 13נקודות). שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות ,תיבדקנה רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך. ln x x f ( x) ו- .3נתונה שתי הפונקציות הבאות: x ln x א .קבע אילו מהמשפטים הבאים נכונים ואלו שגויים .נמק זאת ע"י חישוב מתאים ותקן במשפטים השגויים את הטעות. ( )1לשתי הפונקציות אותו תחום הגדרה. ( )2לשתי הפונקציות יש נקודת קיצון מאותו סוג ובעלות שיעור xזהה. ( )3לשתי הפונקציות תחומי עלייה וירידה זהים. ( )4לשתי הפונקציות יש אסימפטוטות אנכיות. ב .בוחרים באקראי שתי נקודות ,אחת על כל גרף ,כך ששיעור ה x -שלהן זהה. הוכח כי מכפלת שיעורי ה y -של כל זוג נקודות כאלו שווה ל.1- . g ( x) .4נתונה הפונקציה f x 4sin 2 x 2 :בתחום 0 x א. מצא את נקודות החיתוך של הפונקציה עם הצירים בתחום הנתון. ב. מצא את נקודות הקיצון של הפונקציה בתחום הנתון וקבע את סוגן. ג. סרטט סקיצה של גרף הפונקציה. ד. מעבירים את הישר . y kהיעזר בסקיצה ומצא לאילו ערכי kהישר יחתוך את גרף הפונקציה בשתי נקודות בדיוק. ה. העבירו ישר המשיק לפונקציה בנקודת המקסימום המוחלט שלה .כמו כן העבירו מנקודה זו אנך לציר . x מצא את שטח המלבן הנוצר על ידי הצירים ,המשיק והאנך. .5נתונה הפונקציה. f ( x) e2 x1 2ex 2 : y )f ( x הנקודה Aהיא נקודת המינימום של הפונקציה. א. מצא את שיעורי הנקודה .A מחברים את הנקודה Aעם ראשית הצירים. ב .כתוב את משוואת הישר המחבר את הנקודה Aעם הראשית. ג. x A חשב את השטח הכלוא בין גרף הפונקציה ,הישר וציר ה x -אם ידוע כי גרף הפונקציה חותך את ציר ה x -בנקודה שבה . x 1.7 בהצלחה! 19 בחינה מספר 9 שים לב! הסבר את כל פעולותיך ,כולל חישובים ,בפירוט ובצורה ברורה. חוסר פירוט עלול לגרום לפגיעה בציון או לפסילת הבחינה. פרק ראשון –סדרות וטריגונומטריה במרחב( 33 13נקודות) ענה על שאלה אחת מבין השאלות 33 13 ( 1-2נקודות). שים לב! אם תענה על יותר משאלה אחת ,תיבדקנה רק התשובה הראשונה שבמחברתך. .1לפניך שלושה איברים סמוכים בסדרה חשבונית. 2 x 23 , x 16 , x 5 : א (i) .מצא את . x ) (iiמצא את הפרש הסדרה. ב .ידוע כי . a12 0 :מצא את . a1 ג .האיבר האחרון בסדרה הוא. an 308 : מצא את סכום כל האיברים החיוביים העומדים במקומות האי-זוגיים. .2נתונה תיבה '.ABCDA'B'C'D מעבירים את האלכסונים BDו BD'-כך שמתקיים. DBD' ABD : אורך האלכסון BDיסומן ב. a - א .הבע באמצעות aו -את: ( )1אורך התיבה – .AB ( )2רוחב התיבה – .AD ( )3גובה התיבה – '.AA ב .מצא את אם ידוע כי נפח התיבה הוא . 0.64a3 פרק שני – חדו"א של פונקציות טריגונומטריות ,פונקציות חזקה עם מעריך רציונאלי ,פונקציות מעריכיות ופונקציות לוגריתמיות( 66 23נקודות) ענה על שתיים מבין השאלות ( 3-5לכל שאלה – 33 13נקודות). שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות ,תיבדקנה רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך. .3ערכה של דירה יורד מדי שנה באחוז קבוע של .6% ידוע כי ערך הדירה לאחר 10שנים מיום מכירתה נמוך ב ₪ 35,000-ממחירה המקורי. א. מצא את המחיר ההתחלתי של הדירה. ב. מצא לאחר כמה שנים ערך הדירה ירד מתחת ל.₪ 30,000- 20 1 .4נתונה הפונקציהsin mx : m m) , 1 m 3 , y cos x פרמטר). הנגזרת של הפונקציה מתאפסת כאשר: א. מצא את . m ב. האם הנקודה שבה: 2 2 .x x היא נקודת קיצון? אם כן קבע את סוגה. אם לא נמק מדוע. ג. מצא כמה נקודות קיצון מקומיות יש לגרף הפונקציה בתחום. 0 x 2 : ד. מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם ציר ה x -בתחום הנתון. .5נתונה הפונקציה a ) , f x 4 5x 6 ax :פרמטר) . y ידוע כי גרף הפונקציה חותך את ציר ה x -בנקודה שבה . x 2 א. מצא את הפרמטר aוכתוב את הפונקציה. ב. מהו תחום ההגדרה של הפונקציה? ג. מצא את נקודת קיצון הקצה של הפונקציה. ד. מצא את משוואת המשיק לגרף הפונקציה העובר דרך נקודת החיתוך שלה עם ציר ה. x - ה. באיור שלפניך מתואר גרף הפונקציה f x והמשיק שמצאת בסעיף הקודם. x f x מורידים אנך מהמשיק אל נקודת קיצון הקצה של הפונקציה שמצאת בסעיף ג'. חשב את השטח הנוצר בין גרף הפונקציה f x והמשיק. בהצלחה! 21 בחינה מספר 10 שים לב! הסבר את כל פעולותיך ,כולל חישובים ,בפירוט ובצורה ברורה. חוסר פירוט עלול לגרום לפגיעה בציון או לפסילת הבחינה. פרק ראשון –סדרות וטריגונומטריה במרחב( 33 13נקודות) ענה על שאלה אחת מבין השאלות 33 13 ( 1-2נקודות). שים לב! אם תענה על יותר משאלה אחת ,תיבדקנה רק התשובה הראשונה שבמחברתך. .1באחת ממדינות המזרח היה מלך שאהב משחקי חשיבה .לכבוד יום הולדתו הכין לו השר הבכיר שבממלכתו משחק מיוחד המכיל 25משבצות ו 2-חיילי משחק .המלך ,מרוב התלהבות ושמחה לא ידע כיצד לגמול לשר החכם ושאל אותו מה ירצה בתמורה. השר סרב לקבל דבר על מתנתו עד שלבסוף החליט המלך לתת לשר מחצית מכל אוצרות הממלכה המונים כ 40-מיליון אבנים יקרות .לאחר ששמע על כך השר ,הוא החליט לאתגר את המלך והעלה את ההצעה הבאה :תן לי אבן יקרה אחת והכפל אותה בכל משבצת שבמשבצות המשחק באופן הבא :כנגד המשבצת הראשונה -אבן אחת ,כנגד השנייה -שתי אבנים ,כנגד השלישית -ארבע אבנים וכן הלאה ...המלך הסכים להצעה. א. כמה אבנים המלך ייתן לשר כנגד המשבצת האחרונה במשחק? ב. העזר בכמות האבנים שברשותו של השר וקבע האם הצעתו שוות-ערך יותר מהחלטת המלך לתת לו מחצית מאוצרות הממלכה. ג. סמוך לפני שנתן המלך את האבנים לשר ,הציעה בתו של המלך הצעה נוספת והיא: תן עבור כל משבצת זוגית 2nאבנים ,כאשר nהוא מספר המשבצת .האם כדאי למלך לקבל את הצעת בתו או להישאר עם ההצעה המקורית של השר? .2נתונה פירמידה ישרה SABCשבסיסה הוא משולש שווה צלעות. מעבירים את הגובה SDבפאה הצדדית ASBוכן את הגובה CDבבסיס .ABC זווית הבסיס של פאה צדדית היא 50ושטח המעטפת הוא 89.38 :סמ"ר. א. מצא את אורך מקצוע הבסיס של המנסרה. ב. מצא את גובה המנסרה. ג. חשב את הזווית שבין הקטע SDומישור בסיס הפירמידה .ABC ד. חשב את הזווית שבין המקצוע SCובסיס הפירמידה. 22 פרק שני – חדו"א של פונקציות טריגונומטריות ,פונקציות חזקה עם מעריך רציונאלי ,פונקציות מעריכיות ופונקציות לוגריתמיות( 66 23נקודות) ענה על שתיים מבין השאלות ( 3-5לכל שאלה – 33 13נקודות). שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות ,תיבדקנה רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך. .3נתונה הפונקציה f ( x) tan 2 x 8sin 2 x :בתחום. 0.25 x 0.25 : א. מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים בתחום הנתון. ב. כתוב את האסימפטוטות האנכיות של גרף הפונקציה. ג. מצא את נקודות הקיצון של גרף הפונקציה בתחום הנתון. ד. סרטט סקיצה של גרף הפונקציה בתחום הנתון. .4נתונה הפונקציה. f x 3 x 6 x 6 : א. מהו תחום ההגדרה של הפונקציה? ב. מצא את נקודות החיתוך של הפונקציה עם הצירים. ג. הוכח כי הפונקציה עולה בכל תחום הגדרתה. ד. סרטט סקיצה של גרף הפונקציה. ה. מגדירים פונקציה נוספת . g x f x :קבע לגבי כל טענה האם היא נכונה או שגויה .נמק. .iלשתי הפונקציות אותו תחום הגדרה. .iiשתי הפונקציות חותכות את הצירים באותן הנקודות. .iiiשתי הפונקציות עולות בכל תחום הגדרתן. .5 b נתונה הפונקציה: x ידוע כי משוואת המשיק לגרף הפונקציה בנקודת החיתוך שלה . f ( x) 7 ax עם ציר ה x -היא. y 18x 9 : א. מצא את aו b -וכתוב את הפונקציה. מעבירים ישר המקביל לציר ה y -שחותך את גרף הפונקציה בנקודה Aואת משוואת המשיק בנקודה Bכמתואר באיור .אורך הקטע ABהוא .18 ב. מצא את משוואת הישר הנ"ל אם ידוע כי הנקודה Aנמצאת מימין לנקודת החיתוך של גרף הפונקציה עם ציר ה. x - ג. חשב את השטח המוגבל בין גרף הפונקציה ,המשיק והישר. בהצלחה! 23 בחינה מספר 11 שים לב! הסבר את כל פעולותיך ,כולל חישובים ,בפירוט ובצורה ברורה. חוסר פירוט עלול לגרום לפגיעה בציון או לפסילת הבחינה. פרק ראשון –סדרות וטריגונומטריה במרחב( 33 13נקודות) ענה על שאלה אחת מבין השאלות 33 13 ( 1-2נקודות). שים לב! אם תענה על יותר משאלה אחת ,תיבדקנה רק התשובה הראשונה שבמחברתך. .1בסדרה הנדסית אינסופית יורדת anידוע כי סכום האיברים העומדים במקומות האי-זוגיים 2 גדול פי 3 א. 1מסכום האיברים העומדים במקומות הזוגיים. מצא את מנת הסדרה. מחברים כל שני איברים בסדרה הנתונה ויוצרים סדרה חדשה . bn ב .הוכח כי הסדרה bnגם היא הנדסית יורדת ומצא את מנתה. ג. הראה כי סכום הסדרה bnשווה לסכום הסדרה . an ד. סכום שתי הסדרות יחד הוא .1000מצא את האיבר הראשון בסדרה . an .2בתיבה ' ABCDA'B'C'Dשבסיסה ריבוע מעבירים את האלכסונים ' ACו.B'D- האלכסונים נחתכים בנקודה Oשבתוך התיבה. מהנקודה Oמעבירים את הקטע OEכך ש E-היא אמצע המקצוע .AD ידוע כי אורך מקצוע הבסיס של התיבה הוא 8ס"מ ואורך אלכסון התיבה הוא 12ס"מ. א. מצא את אורך גובה התיבה. ב. מצא את אורך הקטע .OE 24 פרק שני – חדו"א של פונקציות טריגונומטריות ,פונקציות חזקה עם מעריך רציונאלי ,פונקציות מעריכיות ופונקציות לוגריתמיות( 66 23נקודות) ענה על שתיים מבין השאלות ( 3-5לכל שאלה – 33 13נקודות). שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות ,תיבדקנה רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך. .3שני בנקים מציעים שתי תכניות חיסכון כלהלן: בנק א' מציע תכנית חיסכון ל 8-שנים שבסופה סכום הקרן יגדל ב.80%- בנק ב' מציע תכנית חיסכון ל 6-שנים שבסופה סכום הקרן יגדל ב.60%- א. באיזה בנק אחוז הריבית השנתית גבוה יותר? ב. דני משקיע סכום כסף kלפי תכנית חיסכון של בנק א' ובתום התוכנית הוא מעביר את הסכום שעומד לרשותו לתכנית החיסכון של בנק ב' .רפי משקיע סכום כסף זהה k לפי תכנית חיסכון של בנק ב' ובתום התכנית הוא מעביר את הסכום שעומד לרשותו לתכנית החיסכון של בנק א'. למי יהיה סכום גדול יותר בתום שתי התכניות? נמק את תשובתך והראה חישוב מתאים. .4נתונה הפונקציה k , f x x3 k 3 x 8 :פרמטר. ידוע כי הפונקציה חותכת את ציר ה x -בנקודה שבה . x 2.741 א. מצא את ערך הפרמטר , kעגל למספר שלם. ב. הראה כי אחת מנקודות הקיצון של הפונקציה נמצאת גם היא על ציר ה. x - ג. כתוב את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה. ד. סרטט סקיצה של גרף הפונקציה. ה. העזר בסקיצה וקבע כמה פתרונות יהיו למשוואה הבאה. x3 9 3 x 8 : e x eax .5נתונה הפונקציה: 4 y . f ( x) )f ( x e3 1 . 1 , ידוע כי הפונקציה עוברת דרך הנקודה : 4e2 x א. מצא את aוכתוב את הפונקציה. ב. באיור שלפניך מתואר גרף הפונקציה ) f ( xוהישר. y 0.1x : חשב את השטח המוגבל בין גרף הפונקציה ,הישר ,ציר yוהאנך. x 2 : בהצלחה! 25 בחינה מספר 12 שים לב! הסבר את כל פעולותיך ,כולל חישובים ,בפירוט ובצורה ברורה. חוסר פירוט עלול לגרום לפגיעה בציון או לפסילת הבחינה. פרק ראשון –סדרות וטריגונומטריה במרחב( 33 13נקודות) ענה על שאלה אחת מבין השאלות 33 13 ( 1-2נקודות). שים לב! אם תענה על יותר משאלה אחת ,תיבדקנה רק התשובה הראשונה שבמחברתך. .1סדרה מקיימת את כלל הנסיגה. a1 1 , an1 3n an 7 : א. חשב את 5האיברים הראשונים וקבע האם הסדרה היא חשבונית. ב. הוכח כי לכל nטבעי מתקיים. an 2 an 3 : ג. כתוב נוסחה לסכום nהאיברים הראשונים העומדים במקומות האי-זוגיים בסדרה. ד. חשב את הסכום הבא. a1 a3 a5 ....... a17 : .2במנסרה משולשת וישרה ' ABCA'B'Cשבסיסה משולש שווה צלעות מעבירים בבסיס העליון ' A'B'Cאת התיכונים B'E , A'Dו C'F-אשר נחתכים בנקודה .M מהנקודה Mמעבירים את הקטעים MCו MB-כך שנוצר המשולש .MCB גובה המנסרה שווה באורכו למקצוע בסיס המנסרה. חשב את הזווית שבין האנך לצלע BCבמשולש MCBלמישור הבסיס .ABC פרק שני – חדו"א של פונקציות טריגונומטריות ,פונקציות חזקה עם מעריך רציונאלי ,פונקציות מעריכיות ופונקציות לוגריתמיות( 66 23נקודות) ענה על שתיים מבין השאלות ( 3-5לכל שאלה – 33 13נקודות). שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות ,תיבדקנה רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך. .3שתי מכוניות המוצעות למכירה עולות :מכונית א' ₪ 60,000 -ומכונית ב'.₪ 85,000- ידוע כי ערך מכונית ב' יורד ב 4%-בכל שנה וערך מכונית א' יורד ב 2.5%-בכל שנה. א. מצא בעוד כמה שנים יהיו המחירים של שתי המכוניות זהים. ב. סיגל רוצה לקנות מכונית ולרשותה עומד סכום של .₪ 40,000 איזו מכונית תוכל לקנות סיגל קודם ולאחר כמה שנים מיום הצעתן? 26 1 12 .4שיפוע המשיק לגרף הפונקציה f ( x) 3 x2 6 x k :בנקודה שבה x 1 :הוא: 10 e e א. מצא את ערך הפרמטר kוכתוב את הפונקציה. ב. מצא את נקודת הקיצון של הפונקציה. ג. סרטט סקיצה של גרף הפונקציה. ד. הוכח על סמך הסקיצה את אי-השוויון הבא e2 : sin 2 x 1 .5באיור שלפניך מתואר גרף הפונקציה: 2 1 3 x 2 6 x 1 e . . 0 f ( x) בתחום. 0.25 x 1.75 : מעבירים משיק ABדרך נקודת המקסימום של הפונקציה ומעלים אנך לציר הx - מנקודת החיתוך הראשונה של גרף הפונקציה עם ציר ה x -בתחום הנתון המסומנת ב C -כך שנוצר המלבן .ABCO השטח הכלוא בין גרף הפונקציה וציר ה x -יסומן ב( S1 -המקווקו). השטח הכלוא בין צלעות המלבן ,גרף הפונקציה וציר ה y -יסומן ב. S 2 - א. מצא את משוואת הצלע ABשל המלבן. ב. S1 חשב את היחס: S2 . בהצלחה! 27 בחינה מספר 13 שים לב! הסבר את כל פעולותיך ,כולל חישובים ,בפירוט ובצורה ברורה. חוסר פירוט עלול לגרום לפגיעה בציון או לפסילת הבחינה. פרק ראשון –סדרות וטריגונומטריה במרחב( 33 13נקודות) ענה על שאלה אחת מבין השאלות 33 13 ( 1-2נקודות). שים לב! אם תענה על יותר משאלה אחת ,תיבדקנה רק התשובה הראשונה שבמחברתך. .1בסדרה חשבונית a1 , a2 , a3 ..anידוע כי סכום ארבעת האיברים הראשונים וסכום האיברים ה 6-עד ה 9-הם מספרים נגדיים. א. הוכח. a5 0 : ב. נתון . a3 a11 24 :מצא את a1 :ואת . d מגדירים סדרה חשבונית חדשה bnהמקיימת. bn 2an 3 : ג .מצא את ערך האיבר השלילי הראשון בסדרה ואת מיקומו הסידורי. .2נתונות שתי פירמידות ריבועיות ישרות SABCD :ו.S'A'B'C'D'- אורך מקצוע הבסיס בפירמידה הראשונה הוא aוגובהה הוא . 2a אורך מקצוע הבסיס בפירמידה השנייה הוא 2aוגובהה הוא . a א. קבע לאיזו פירמידה יש נפח גדול יותר. כעת משנים את הגובה של כל פירמידה כך שנפחן יהיה זהה והוא. a 3 : ב. מצא את יחס בין המקצוע הצדדי של הפירמידה SABCD ובין המקצוע הצדדי של הפירמידה '.S'A'B'C'D ג. דנה טוענת כי היות ונפח שתי הפירמידות זהה אזי גם שטח הפנים שלהן זהה .האם דנה צודקת? הוכח את טענתך באמצעות חישוב מתאים. 28 פרק שני – חדו"א של פונקציות טריגונומטריות ,פונקציות חזקה עם מעריך רציונאלי ,פונקציות מעריכיות ופונקציות לוגריתמיות( 66 23נקודות) ענה על שתיים מבין השאלות ( 3-5לכל שאלה – 33 13נקודות). שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות ,תיבדקנה רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך. .3נתונה הפונקציה הבאה. f ( x) e2 x ae x b : גוזרים את הפונקציה פעמיים וידוע כי כאשר x ln 23הנגזרות מקיימות. f '( x) f ''( x) 8 : א. מצא את . a משוואת המשיק לגרף הפונקציה בנקודה מסוימת היא. y 16 x 7 16ln 2 : ב .מצא את שיעור ה x -של נקודת ההשקה. ג. מצא את . b ד. מצא את נקודת החיתוך של הפונקציה עם ציר ה. x - .4נתונה הפונקציה הבאה. y ln x 2 6 x 7 : א. מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה. ב. מהן האסימפטוטות של הפונקציה המקבילות לציר ה? y - ג. מצא את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה. ד. לפניך 4גרפים , III , II , I :ו .IV-איזה מהגרפים מתאים לפונקציה הנתונה .נמק. .5באיור שלפניך נתונים הגרפים של הפונקציות. f ( x) 3 x , g ( x) 2 6 x : א. מצא את נקודת החיתוך של הגרפים. ב. חשב את השטח הכלוא בין שני הגרפים וציר ה. y - y )f ( x )g ( x x בהצלחה! 29 בחינה מספר 14 שים לב! הסבר את כל פעולותיך ,כולל חישובים ,בפירוט ובצורה ברורה. חוסר פירוט עלול לגרום לפגיעה בציון או לפסילת הבחינה. פרק ראשון –סדרות וטריגונומטריה במרחב( 33 13נקודות) ענה על שאלה אחת מבין השאלות 33 13 ( 1-2נקודות). שים לב! אם תענה על יותר משאלה אחת ,תיבדקנה רק התשובה הראשונה שבמחברתך. .1המספרים x 13 , x 9 , 2x 3 :הם שלושת האיברים הראשונים בסדרה הנדסית עולה שכל איבריה חיוביים. א. מצא את . x ב. ) (iכתוב את נוסחת האיבר הכללי בסדרה זו. ) (iiמצא שני איברים סמוכים בסדרה שסכומם הוא .18750 ג. ידוע כי האיבר האחרון בסדרה הוא . an 511מצא את סכום 7האיברים האחרונים בסדרה. .2בתיבה ' ABCDA'B'C'Dשבסיסה מלבן מעבירים את האלכסון ' B'Dבבסיס העליון. מאמצע האלכסון Mמעבירים את הקטעים DMו BM-כך שנוצר המשולש ישר הזווית BMD 90 BMD . אורך מקצוע הבסיס ABהוא 5aואורך הקטע DMהוא . 4a א. הבע באמצעות aאת אורך המקצוע .AD ב. מעבירים את הקטע .AMחשב את זווית .MAD ג. מצא את aאם ידוע כי שטח המשולש MADהוא 125סמ"ר (עגל למספר שלם). פרק שני – חדו"א של פונקציות טריגונומטריות ,פונקציות חזקה עם מעריך רציונאלי ,פונקציות מעריכיות ופונקציות לוגריתמיות( 66 23נקודות) ענה על שתיים מבין השאלות ( 3-5לכל שאלה – 33 13נקודות). שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות ,תיבדקנה רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך. .3כמות אצות בים מתרבה בצורה מעריכית .ידוע כי לאחר 40שנים כמות אצות מכפילה את עצמה .כדי לצמצם את כמות האצות מבצעים עבודות ניקיון מדי שנה ובהן מנקים כ 200-ק"ג אצות .בחוף מסוים היו בשנת 1990כ 1200-ק"ג אצות. א. מצא את קצב גידול האצות השנתי. ב. מצא כמה אצות יהיו בחוף המסוים בשנת 1993לאחר הניקיון באותה שנה. 30 .4נתונה הפונקציה f ( x) cos2 x cos x 2 :בתחום. 0 x 2 : א. מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים. ב. מצא את נקודות הקיצון של גרף הפונקציה וקבע את סוגן. ג. כתוב את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה. ד. סרטט סקיצה של גרף הפונקציה. .5הנגזרת של הפונקציה ) f ( xהיא. f ' x 4e2 x 9e x 2 : ידוע כי שיעור ה y -של נקודת המינימום הוא. y ln 4 10 : א. מצא את הפונקציה ). f ( x ב. מצא את נקודת הקיצון השנייה של הפונקציה וקבע את סוגה. y )f ( x x מעבירים מנקודת המינימום אנך לציר ה x -ומנקודת הקיצון השנייה ישר המקביל לציר ה. x - ג .חשב את השטח הכלוא בין שני הישרים וגרף הפונקציה. בהצלחה! 31 בחינה מספר 15 שים לב! הסבר את כל פעולותיך ,כולל חישובים ,בפירוט ובצורה ברורה. חוסר פירוט עלול לגרום לפגיעה בציון או לפסילת הבחינה. פרק ראשון –סדרות וטריגונומטריה במרחב( 33 13נקודות) ענה על שאלה אחת מבין השאלות 33 13 ( 1-2נקודות). שים לב! אם תענה על יותר משאלה אחת ,תיבדקנה רק התשובה הראשונה שבמחברתך. .1בסדרה חשבונית שבה 2nאיברים ידוע כי סכום כל האיברים גדול ב 66-מפעמיים סכום האיברים העומדים במקומות האי-זוגיים. א. הוכח כי . dn 66 ב. ידוע כי הפרש הסדרה הוא .3הבע באמצעות a1את סכום nהאיברים הראשונים. ג. סכום nהאיברים הראשונים הוא .187מצא את האיבר החיובי הקטן ביותר בסדרה ואת מיקומו הסידורי בסדרה. .2נתונה פירמידה ישרה SABCDשבסיסה מלבן. ידוע כי מקצוע הבסיס BCשווה באורכו לגובה הפירמידה ויסומן ב. t - כמו כן נתון כי אלכסון הבסיס ACגדול פי 4מהמקצוע .BC א. הבע באמצעות tאת אורך המקצוע .AB ב. הורד גובה SHלמקצוע BCבמישור הפאה SBCוחשב את הזווית הנוצרת בינו לבין מישור הבסיס .ABCD ג. חשב את הזויות שבין שני מקצועות צדדיים שאינם סמוכים. ד. מעבירים גובה SHבפאה SBCלבסיס .BC מסמנים את פגישת התיכונים בפאה ב N-מעבירים קטע היוצא מנקודת פגישת האלכסונים שבמישור הבסיס ABCDלנקודה .N חשב את הזווית שהוא יוצר עם הבסיס. 32 פרק שני – חדו"א של פונקציות טריגונומטריות ,פונקציות חזקה עם מעריך רציונאלי ,פונקציות מעריכיות ופונקציות לוגריתמיות( 66 23נקודות) ענה על שתיים מבין השאלות ( 3-5לכל שאלה – 33 13נקודות). שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות ,תיבדקנה רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך. .3נתונה הפונקציה הבאה y sin x 1 cos x :בתחום. 0 x 1.5 : א .מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים. ב .מצא את נקודות הקיצון של גרף הפונקציה. ג .סרטט סקיצה של גרף הפונקציה. ד .כמה פתרונות יש למשוואה sin x 1 cos x 1 :בתחום הנתון? .4נתונות הפונקציות הבאות: 2 . g x 5 2 x 2.6 , f x x 2 א .מצא את נקודות החיתוך של הפונקציות עם ציר ה. x - ב .מגדירים פונקציה חדשה. h x f x g x : כתוב מפורשות את הפונקציה ) h( xואת תחום הגדרתה. ג .מצא את נקודות הקיצון של הפונקציה . h x ד .סרטט סקיצה של גרף הפונקציה . h x ה .מצא עבור אלו ערכים של kיחתוך הישר y kאת גרף הפונקציה ב 3-נקודות שונות. 4 .5הנגזרת של הפונקציה ) f ( xהיא: x2 . f '( x) משוואת המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה x 2 :היא. y 4 x : א .מצא את הפונקציה ). f ( x באיור שלפניך מתוארים גרף הפונקציה ) f ( xוהמשיק בתחום. x 0 : ב .חשב את השטח המוגבל בין גרף הפונקציה ,המשיק ,ציר ה x -והישר . x e 2 בהצלחה! 33 בחינה מספר 16 שים לב! הסבר את כל פעולותיך ,כולל חישובים ,בפירוט ובצורה ברורה. חוסר פירוט עלול לגרום לפגיעה בציון או לפסילת הבחינה. פרק ראשון –סדרות וטריגונומטריה במרחב( 33 13נקודות) ענה על שאלה אחת מבין השאלות 33 13 ( 1-2נקודות). שים לב! אם תענה על יותר משאלה אחת ,תיבדקנה רק התשובה הראשונה שבמחברתך. .1נתונות שתי הסדרות הבאות :סדרה חשבונית a1 , a2 , a3 , .... :וסדרה הנדסית. b1 , b2 , b3 , ... : ידוע כי האיבר הראשון בשתי הסדרות שווה. האיבר השלישי בסדרה ההנדסית גדול פי 4מהאיבר הראשון בסדרה החשבונית. א .מצא את מנת הסדרה ההנדסית אם ידוע כי היא אינה עולה. ב .נתון גם כי האיבר החמישי בסדרה ההנדסית שווה לאיבר הרביעי בסדרה החשבונית. הוכח כי הפרש הסדרה החשבונית גדול פי 5מהאיבר הראשון. ג .בכל סדרה יש 10איברים .הסכום של כל האיברים של שתי הסדרות יחד הוא .-212 מצא את האיבר הראשון של שתי הסדרות. .2נתונה קובייה ' .ABCDA'B'C'Dמעבירים את האלכסונים ' A'Cו B'D'-בבסיס העליון ומסמנים ב E-את פגישתם .מהנקודה Eמעבירים את הקטעים AE, BE, CEוDE- כך שנוצרת הצורה המרחבית .ABCDE א .איזו צורה היא ? ABCDEנמק. ב .חשב את הזווית שנוצרת בין הקטע AEומישור הפאה .AA'D'D ג .חשב את הנפח הכלוא בתוך הקובייה ומחוץ לצורה .ABCDE אם ידוע כי שטח הפנים של הקובייה הוא 384סמ"ר. 34 פרק שני – חדו"א של פונקציות טריגונומטריות ,פונקציות חזקה עם מעריך רציונאלי ,פונקציות מעריכיות ופונקציות לוגריתמיות( 66 23נקודות) ענה על שתיים מבין השאלות ( 3-5לכל שאלה – 33 13נקודות). שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות ,תיבדקנה רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך. .3נתונה הפונקציהf ( x) x a x : 1 ) . (a 0לפונקציה יש נקודת קיצון שבה: ln 2 .x א .מצא את . a ב .כתוב את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה. הנקודה שבה x 2היא נקודת החיתוך של גרף הפונקציה ) f ( xעם גרף הפונקציה. g ( x) x 2 2x kx 2x : ג .מצא את . k ד .מצא נקודה נוספת שבה הגרפים נחתכים. .4נתונה הפונקציה. y ln x 2 2 x 1 : א .מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה. ב .מהי האסימפטוטה של הפונקציה המקבילה לציר ה? y - ג .מצא את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה. ד .לפניך 4גרפים , III , II , I :ו .IV-איזה מהגרפים מתאים לפונקציה הנתונה .נמק. ה .העזר בגרף שבחרת וכתוב את תחומי השליליות של הפונקציה. .5באיור שלפניך נתונה הפונקציה y sin x x :בתחום. 0 x 2 : א .האם יש לפונקציה נקודות קיצון פנימיות בתחום הנתון? הוכח. ב .מורידים אנך מגרף הפונקציה לציר ה x -בנקודה שבה. x 2 : מעבירים ישר המקביל לציר ה x -מהנקודה שמאפסת את הנגזרת. הראה כי השטחים S1ו S 2 -המסומנים בסרטוט שווים. בהצלחה! 35 בחינה מספר 17 שים לב! הסבר את כל פעולותיך ,כולל חישובים ,בפירוט ובצורה ברורה. חוסר פירוט עלול לגרום לפגיעה בציון או לפסילת הבחינה. פרק ראשון –סדרות וטריגונומטריה במרחב( 33 13נקודות) ענה על שאלה אחת מבין השאלות 33 13 ( 1-2נקודות). שים לב! אם תענה על יותר משאלה אחת ,תיבדקנה רק התשובה הראשונה שבמחברתך. 150 , 144 , 138 , ..... .1נתונים שני טורים חשבוניים: 90 , 93 , 96 , ..... .לשני הטורים אותו מספר איברים. ידוע כי סכום האיברים האחרונים של שני הטורים (האיבר האחרון מהטור הראשון והאיבר אחרון מהטור השני) הוא אפס. א .מצא את מספר האיברים שבכל טור. מחברים את nהאיברים הראשונים מהטור הראשון יחד עם nהאיברים הראשונים מהטור השני .ידוע כי חיבור הסכומים הוא .3480 ב .מצא את nאם ידוע שהוא קטן מ.20- .2נתונה קובייה '.ABCDA'B'C'D מעבירים את האלכסון ' A'Cבבסיס העליון .מהנקודה Eשעל האלכסון ' A'Cמותחים את הקטע CEהשווה באורכו לקטע .A'E כמו כן מורידים גובה EFממישור הבסיס העליון '.A'B'C'D ( EFמאונך ל .)A'C'-הנקודה Fנמצאת על האלכסון הראשי .A'CנסמןA'CE : . A'F m , הבע באמצעות ו m -את נפח הקובייה. פרק שני – חדו"א של פונקציות טריגונומטריות ,פונקציות חזקה עם מעריך רציונאלי ,פונקציות מעריכיות ופונקציות לוגריתמיות( 66 23נקודות) ענה על שתיים מבין השאלות ( 3-5לכל שאלה – 33 13נקודות). שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות ,תיבדקנה רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך. .3ענה על שני הסעיפים הבלתי תלויים הבאים: א .ערך מנייה מסוימת גדל בצורה מעריכית .ידוע כי בשנת 1995הייתה המנייה שווה kשקלים. המנייה גדלה באחוז קבוע של 5%לשנה עד לשנת 2000ושם צנחה בקצב של 8%לשנה במשך 6 שנים נוספות .לאחר מכן גדלה המנייה בקצב שנתי קבוע עד לשנת .2010 אדם הרוצה לקנות את המנייה בשנת 2010נוכח לדעת כי מחירה הוא . k מצא באיזה אחוז עלתה המנייה לאחר צניחתה. 36 ב .נתונה הפונקציה. f ( x) 32 x 2 31 x : )1מצא את משוואת המשיק לגרף הפונקציה בנקודת החיתוך שלה עם ציר ה. y - )2הוכח כי גרף הפונקציה אינו חותך את ציר ה. x - )3מצא את נקודת הקיצון של הפונקציה וקבע את סוגה. .4נתונה הפונקציה f ( x) x cos x x :בתחום. 3 x 3 : א .מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם ציר ה. x - ב (i) .הראה כי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם ציר ה x -מאפסות את הנגזרת של הפונקציה. ) (iiקבע אלו נקודות מנקודות החיתוך הן נקודות קיצון ואלו אינן נקודות קיצון ומצא את סוג הקיצון בכל מקרה. y .5הנגזרת של הפונקציה ) f ( xהיא: 1 4 6 5x . f '( x) 5 ידוע כי הפונקציה חותכת את ציר ה x -בנקודה שבה. x 1.2 : א .מצא את הפונקציה ). f ( x )g ( x x )f ( x ב .חשב את השטח הכלוא בין גרף הפונקציה ) , f ( xגרף הפונקציה g ( x) 10 x :וציר ה. x - בהצלחה! 37 בחינה מספר 18 שים לב! הסבר את כל פעולותיך ,כולל חישובים ,בפירוט ובצורה ברורה. חוסר פירוט עלול לגרום לפגיעה בציון או לפסילת הבחינה. פרק ראשון –סדרות וטריגונומטריה במרחב( 33 13נקודות) ענה על שאלה אחת מבין השאלות 33 13 ( 1-2נקודות). שים לב! אם תענה על יותר משאלה אחת ,תיבדקנה רק התשובה הראשונה שבמחברתך. .1בסדרה הנדסית שבה 12איברים סכום כל איברי הסדרה גדול פי 3מסכום האיברים כאשר מחליפים את סימני כל האיברים העומדים במקומות האי-זוגיים. א .מצא את מנת הסדרה. ידוע כי ההפרש בין האיבר החמישי לאיבר הרביעי בסדרה הוא .8 ב .מצא את האיבר הראשון בסדרה. ג .חשב את סכום כל האיברים העומדים במקומות הזוגיים בסדרה. .2במנסרה משולשת וישרה ' ABCA'B'Cשבסיסה משולש שווה צלעות מעבירים בבסיס העליון ' A'B'Cאת התיכונים B'E , A'Dו C'F-אשר נחתכים ב.M- מהנקודה Mמעבירים את הקטעים MAו MB-כך שנוצר המשולש .MAB גובה המנסרה שווה באורכו למקצוע בסיס המנסרה ויסומן ב. 2a - א .הבע באמצעות aאת אורך הקטע .MA ב .חשב את הזווית שבין הקטע MAומישור הבסיס .ABC ג .חשב את הזווית שבין הגובה למקצוע ABבמישור MAB לבין מישור הבסיס .ABC ד .חשב את הזווית שבין MAוהפאה .AA'B'B ה .הבע באמצעות aאת שטח הפנים של המנסרה. פרק שני – חדו"א של פונקציות טריגונומטריות ,פונקציות חזקה עם מעריך רציונאלי ,פונקציות מעריכיות ופונקציות לוגריתמיות( 66 23נקודות) ענה על שתיים מבין השאלות ( 3-5לכל שאלה – 33 13נקודות). שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות ,תיבדקנה רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך. .3כמות חומר רדיואקטיבי קטנה בצורה מעריכית לפי אחוז קבוע pמדי שעה. ביום מסוים היו kגרם מהחומר .לאחר 3שעות הוסיפו עוד kגרם לכמות שנותרה ולאחר 3 שעות נוספות מתברר שנשארו kגרם מהחומר .מצא את .p 38 .4נתונות הפונקציות הבאות f ( x) 6 x e x :ו. g ( x) ae x e2 x b - ידוע כי לשתי הפונקציות נקודת קיצון שבה אותו שיעור xוכי שתיהן נפגשות על ציר ה. y - א .מצא את ערכי הפרמטרים aו. b - ב .הראה כי לשתי הפונקציות תחומי עלייה וירידה משותפים. 2 .5באיור שלפניך נתונה הפונקציה: x f ( x) בתחום. x 0 : מעבירים את הישרים x 4 , x k , x k 2 , x k 3 :כמתואר ). (k 4 א .הבע באמצעות kאת השטחים S1 :ו. S 2 - ב .הראה כי ההפרש S2 S1 :אינו תלוי ב k -וחשב את ערכו. ג .נתון כי השטח S 2גדול פי 3מהשטח . S1מצא את . k בהצלחה! 39 בחינה מספר 19 שים לב! הסבר את כל פעולותיך ,כולל חישובים ,בפירוט ובצורה ברורה. חוסר פירוט עלול לגרום לפגיעה בציון או לפסילת הבחינה. פרק ראשון –סדרות וטריגונומטריה במרחב( 33 13נקודות) ענה על שאלה אחת מבין השאלות 33 13 ( 1-2נקודות). שים לב! אם תענה על יותר משאלה אחת ,תיבדקנה רק התשובה הראשונה שבמחברתך. .1סדרה מוגדרת לפי כלל הנסיגה הבא. an1 an 2 3n 2 : א. ) (iהבע את an 2באמצעות . an ב. ) (iiמצא את מיקומו הסידורי של איבר הגדול ב 652-מהאיבר העומד שני מקומות לפניו. הנוסחה לסכום nהאיברים הראשונים של אחת מהסדרות המיוצגות ע"י כלל הנסיגה הנ"ל היא. Sn 1.5 3 n n 1.5 : 2 n חשב את הסכום הבא. a6 a7 a8 .... a11 : ג. מהו האיבר הראשון של הסדרה המיוצגת ע"י כלל הנסיגה ונוסחת הסכום הנ"ל? .2בתיבה ריבועית וישרה ' ABCDA'B'C'Dמסמנים את אורך הגובה ב. h - מעבירים את הקטעים ' AC , ABו B'C-כך שנוצר המשולש AB'C כמתואר באיור .הזווית הנוצרת בין אנך לצלע ACבמשולש AB'Cומישור הבסיס ABCDהיא . א .הבע באמצעות hו -את אורך מקצוע הבסיס של התיבה. ב .הבע באמצעות hו -את נפח התיבה. פרק שני – חדו"א של פונקציות טריגונומטריות ,פונקציות חזקה עם מעריך רציונאלי ,פונקציות מעריכיות ופונקציות לוגריתמיות( 66 23נקודות) ענה על שתיים מבין השאלות ( 3-5לכל שאלה – 33 13נקודות). שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות ,תיבדקנה רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך. 2x 1 .3נתונה הפונקציה הבאה: x 1 א. ב. ג. ד. ה. . y ln מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה. כתוב את האסימפטוטות האנכיות של גרף הפונקציה. מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם ציר ה. x - הראה כי גרף הפונקציה יורד בכל תחום הגדרתו. סרטט סקיצה של גרף הפונקציה. 40 5 x 2 66 x 440 . f x .4נתונה הפונקציה הבאה: 6 x א .מהו תחום ההגדרה של הפונקציה? האם יש לפונקציה אסימפטוטה אנכית? ב .האם הפונקציה חותכת את הצירים בתחום ? 0 :18 :נמק ע"י חישוב. ג .מצא את נקודות הקיצון של הפונקציה. ד .סרטט סקיצה של גרף הפונקציה. ה .מגדירים פונקציה נוספת g x :המקיימת . g x f x :לפניך מספר טענות המתייחסות לפונקציה g x קבע אלו מהטענות הבאות נכונות ואלו שגויות .נמק ע"י הסבר או חישוב מתאים. g x .iחיובית בכל התחום . 0 :18 .iiל g x -אותן נקודות קיצון (אותם שיעורים ואותו סוג) כמו . f x .iiiל g x -אותו תחום הגדרה כמו ל. f x - .5הנגזרת של הפונקציה ) f ( xהיא. f '( x) cos 2 x sin x : א .מצא את שיעורי ה x -של הנקודות המקיימות f '( x) 0 :בתחום. 0 x 2 : ידוע כי הנקודה המקיימת f '( x) 0אשר אינה קיצון נמצאת על ציר ה. x - ב .מצא את הפונקציה ). f ( x ג .באיור שלפניך מתואר גרף הפונקציה בתחום הנתון. חשב את השטח הכלוא בין גרף הפונקציה והצירים. y )f ( x x בהצלחה! 41 בחינה מספר 20 שים לב! הסבר את כל פעולותיך ,כולל חישובים ,בפירוט ובצורה ברורה. חוסר פירוט עלול לגרום לפגיעה בציון או לפסילת הבחינה. פרק ראשון –סדרות וטריגונומטריה במרחב( 33 13נקודות) ענה על שאלה אחת מבין השאלות 33 13 ( 1-2נקודות). שים לב! אם תענה על יותר משאלה אחת ,תיבדקנה רק התשובה הראשונה שבמחברתך. .1נתונה סדרה הנדסית אינסופית a1 , a2 , a3 , .....שמנתה היא . 0 q 1 , q נגדיר את הסכומים הבאים. T a1 a2 a5 a6 a9 a10 , ..... . V a3 a7 a11 ..... : נתון כי. T 6V : א .מצא את מנת הסדרה . q ב .פי כמה קטן Vמסכום כל האיברים העומדים במקומות האי-זוגיים בסדרה? 1 ג .מצא את האיבר הראשון אם ידוע כי סכום האיברים העומדים במקומות האי-זוגיים הוא 3 .2נתונה פירמידה ישרה SABCDשבסיסה מלבן. מאמצעי המקצועות הצדדיים מעבירים קטעים כך שנוצר המלבן .EFGH ידוע כי שטח מלבן זה הוא 48סמ"ר וכי אורך האלכסון שלו הוא 10ס"מ. הזווית HSFהיא בת . 50 א .מצא את מידות הבסיס .ABCD ב .מצא את גובה הפירמידה. ג .חשב את שטח הפנים של הפירמידה. 42 . 1365 פרק שני – חדו"א של פונקציות טריגונומטריות ,פונקציות חזקה עם מעריך רציונאלי ,פונקציות מעריכיות ופונקציות לוגריתמיות( 66 23נקודות) ענה על שתיים מבין השאלות ( 3-5לכל שאלה – 33 13נקודות). שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות ,תיבדקנה רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך. .3ערך מנייה מסוימת גדל בצורה מעריכית .ידוע כי בשנת 1980הייתה המנייה שווה kשקלים. המנייה גדלה באחוז קבוע של 2%לשנה עד לשנת 1992ומשם צנחה בקצב של 5%לשנה במשך 8שנים נוספות .לאחר מכן גדלה המנייה בקצב שנתי קבוע עד לשנת .2010 אדם הרוצה לקנות את המנייה שנת 2010נוכח לדעת כי מחירה הוא . 1.5k מצא באיזה אחוז עלתה המנייה לאחר הצניחה שלה. .4נתונה הפונקציה. f ( x) m sin x k cos2 x : מעבירים משיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה x שמשוואתו היא. y 6 x 6 7 : א .מצא את ערכי הפרמטרים kו. m - ב .מצא את נקודות הקיצון בתחום. 0.5 x 1.5 : ג .סרטט סקיצה של גרף הפונקציה וקבע עפ"י הסקיצה בכמה נקודות גרף הפונקציה חותך את ציר ה x -בתחום הנ"ל. 4 .5נתונות הפונקציות: x f x k ו- 2x 5 . g x y גרף הפונקציה ) g ( xחותך את ציר ה y -בנקודה שבה . y 0.4 א .מצא את הפונקציה ). g ( x ב .מצא את נקודת החיתוך של שני הגרפים. ג .חשב את השטח המוגבל ע"י שני הגרפים והישר . x 1 x בהצלחה! 43 בחינה מספר 21 שים לב! הסבר את כל פעולותיך ,כולל חישובים ,בפירוט ובצורה ברורה. חוסר פירוט עלול לגרום לפגיעה בציון או לפסילת הבחינה. פרק ראשון –סדרות וטריגונומטריה במרחב( 33 13נקודות) ענה על שאלה אחת מבין השאלות 33 13 ( 1-2נקודות). שים לב! אם תענה על יותר משאלה אחת ,תיבדקנה רק התשובה הראשונה שבמחברתך. .1בסדרה חשבונית שבה מספר זוגי של איברים נתון כי סכום ריבועי האיברים העומדים במקומות ה 4-וה 5-שווה לריבוע האיבר העומד במקום ה .6-האיבר הראשון אינו אפס. א .הוכח את הטענות הבאות: . a1 4d .i . S9 0 .ii האיבר העומד במקום ה 6-גדול ב 2-מהאיבר העומד במקום ה.5- ב .מצא את a1ואת . d ג .מצא את מספר איברי הסדרה אם ידוע כי סכום האיברים העומדים במקומות הזוגיים הוא .504 .2 נתונה מנסרה משולשת וישרה ' ABCA'B'Cשבסיסה הוא משולש שווה שוקיים . AC BC מאמצעי המקצועות ' A'Bו AB-מעבירים את הקטע .EF ידוע כי מקצוע הבסיס ABהוא kוהוא קטן פי 2משוק הבסיס .AC נסמן. FCE : א .הבע באמצעות kו -את נפח המנסרה. ב .חשב את נפח המנסרה אם ידוע כי2EF CE : וכי שטח הבסיס ABCהוא. 15 : 44 פרק שני – חדו"א של פונקציות טריגונומטריות ,פונקציות חזקה עם מעריך רציונאלי ,פונקציות מעריכיות ופונקציות לוגריתמיות( 66 23נקודות) ענה על שתיים מבין השאלות ( 3-5לכל שאלה – 33 13נקודות). שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות ,תיבדקנה רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך. .3לגרף הפונקציה f ( x) ax 2 ebx :יש נקודת קיצוןa, b 0 . 2, 4e : 2 א .מצא את ערכי הפרמטרים aו b -וכתוב את הפונקציה. ב .מצא את נקודות הקיצון הנוספות של הפונקציה וקבע את סוגן. ג .מצא את נקודות החיתוך של הפונקציה עם הצירים. ד .סרטט סקיצה של גרף הפונקציה. ה .מעבירים ישר . y k :באיזה תחום ערכים צריך להימצא kכדי שהישר יחתוך את גרף הפונקציה ב 4-נקודות שונות? .4נתונה הפונקציה הבאה. f x x 4 9 x : א .מה הוא תחום ההגדרה של הפונקציה? ב .מצא את נקודות הקיצון של הפונקציה (מקומיות וקצה) וקבע את סוגן. ג .כתוב את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה. ד .על סמך הסעיפים הקודמים קבע כמה פתרונות יש למשוואה הבאהx 4 9 x k : כאשר: . k 2 .i . k 1 .ii ה .קבע איזה מבין הגרפים הבאים מתאר את הנגזרת של הפונקציה .נמק. y .5באיור שלפניך מתוארים הגרפים של הפונקציה הבאות: )f ( x f ( x) cos2 xו g ( x) sin 2 x cos x -בתחום. 0 x : א .מצא את נקודות החיתוך של הגרפים בתחום הנתון. ב .חשב את השטח הכלוא בין שני הגרפים. x )g ( x השתמש בזהותcos 2 cos2 sin 2 : בהצלחה! 45 בחינה מספר 22 שים לב! הסבר את כל פעולותיך ,כולל חישובים ,בפירוט ובצורה ברורה. חוסר פירוט עלול לגרום לפגיעה בציון או לפסילת הבחינה. פרק ראשון –סדרות וטריגונומטריה במרחב( 33 13נקודות) ענה על שאלה אחת מבין השאלות 33 13 ( 1-2נקודות). שים לב! אם תענה על יותר משאלה אחת ,תיבדקנה רק התשובה הראשונה שבמחברתך. .1נתונה הסדרה הבאה . 4 , 12 , 36 ,...., an :מוסיפים לכל איבר בסדרה זו שישית מהאיבר הבא אחריו ויוצרים סדרה חדשה bnכך: a a a2 a , b2 a2 3 , b3 a3 4 , ...... , bn an n1 6 6 6 6 . b1 a1 א .הוכח כי הסדרה bnהיא סדרה הנדסית ומצא את מנתה. ב .הראה כי היחס בין סכום nהאיברים הראשונים של הסדרה anובין סכום nהאיברים 2 הראשונים של הסדרה bnהוא 3 . 2 ג .מצא שני איברים סמוכים בסדרה bnשסכומם מהווה 9 מ. a8 - .2נתונה פירמידה ישרה SABCשבסיסה הוא משולש ישר זווית . ABC 90 בפירמידה זו מעבירים גובה SDבפאה הצדדית SBCכך שנוצר המשולש .SAD ידוע כי משולש זה הוא שווה שוקיים ובו נסמן. SA AD 2m : הזווית הנוצרת בין הגובה SDומישור הבסיס תסומן ב. SDA - א .הראה כי הגובה SDבפאה SBCשווה באורכו למקצוע הבסיס .AB ב .מה ניתן לומר על המשולשים SABו SAD-במקרה זה? ג .הבע באמצעות m , את גובה הפירמידה. 46 פרק שני – חדו"א של פונקציות טריגונומטריות ,פונקציות חזקה עם מעריך רציונאלי ,פונקציות מעריכיות ופונקציות לוגריתמיות( 66 23נקודות) ענה על שתיים מבין השאלות ( 3-5לכל שאלה – 33 13נקודות). שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות ,תיבדקנה רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך. .3מספר העופות בשמורת טבע גדל לפי אחוז קבוע של 3%לשנה. בשנה מסוימת נספרו 2300עופות בשמורה ,לאחר 5שנים הוסיפו לשמורת הטבע 1000עופות נוספים. א .מצא כמה עופות יהיו בשמורה לאחר 5שנים נוספות. ב .מצא תוך כמה שנים יהיה מספר העופות בשמורה זהה לזה שמצאת בסעיף א' אילולא היו מוסיפים את 1000העופות הנוספים ,אלא אם הייתה גדילה רציפה. .4נתונה הפונקציה f ( x) tan x kx :בתחום. 0 x : א .מצא את האסימפטוטה האנכית של הפונקציה בתחום הנתון. הפונקציה g ( x) tan 2 x kx :חותכת את הפונקציה ) f ( xבשתי נקודות החיתוך שלה עם ציר ה x -בתחום הנתון. ב .מצא את . k ג .מצא את נקודות הקיצון של הפונקציה ) f ( xבתחום הנתון וקבע את סוגן. ד .סרטט סקיצה של גרף הפונקציה ). f ( x .5באיור שלפניך מתוארים הגרפים של שלוש פונקציות: . g x 4 x .II . f x 2 x .I . h x 242 x .III א .סרטט את הסקיצה וקבע איזה גרף מתאר כל פונקציה. ב .מצא את שיעורי הנקודות B , Aו( C-נקודות החיתוך שבין הגרפים). ג .חשב את השטח המסומן באיור. בהצלחה! 47 בחינה מספר 23 שים לב! הסבר את כל פעולותיך ,כולל חישובים ,בפירוט ובצורה ברורה. חוסר פירוט עלול לגרום לפגיעה בציון או לפסילת הבחינה. פרק ראשון –סדרות וטריגונומטריה במרחב( 33 13נקודות) ענה על שאלה אחת מבין השאלות 33 13 ( 1-2נקודות). שים לב! אם תענה על יותר משאלה אחת ,תיבדקנה רק התשובה הראשונה שבמחברתך. .1נתונות שתי סדרות החשבוניות הבאות an :שהפרשה הוא d1ו bn -שהפרשה הוא . d 2ידוע כי. d1 2d2 : סכום 50האיברים הראשונים של שתי הסדרות שווה והאיבר העומד במקום ה 20-בסדרה an גדול ב 1-מהאיבר העומד במקום ה 37-בסדרה . bn א. מצא את הפרש הסדרה . d1 - an ב. ידוע כי האיבר a10קטן ב 1-מ 5-פעמים האיבר . b50 מצא את a1ואת . b1 .2במנסרה משולשת וישרה ' ABCA'B'Cשבסיסה הוא משולש שווה שוקיים AC BC מעבירים את האלכסונים ' ABו CB'-כך שנוצר המשולש .AB'C ידוע כי הזווית שבין אנך למקצוע ACבמשולש ABCואנך למקצוע AC במשולש AB'Cהיא ( 45האנכים נפגשים על המקצוע ACבנקודה .)E זוויות הבסיס ABCהןABC CAB 75 : . ACB 30 , גובה המנסרה הוא 5ס"מ. א .מצא את אורך המקצוע .AC ב .חשב את הזווית שבין האלכסון ' CBלמישור הבסיס. 48 פרק שני – חדו"א של פונקציות טריגונומטריות ,פונקציות חזקה עם מעריך רציונאלי ,פונקציות מעריכיות ופונקציות לוגריתמיות( 66 23נקודות) ענה על שתיים מבין השאלות ( 3-5לכל שאלה – 33 13נקודות). שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות ,תיבדקנה רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך. .3נתונה הפונקציה הבאה. f ( x) x ln 3 x 2ln 2 x : א .הראה כי נגזרת הפונקציה היא. f '( x) ln3 x 5ln 2 x 4ln x : ב .מצא את התחום בו הפונקציה עולה. ג (i) .מצא את נקודות החיתוך של הפונקציה עם ציר ה. x - ) (iiמצא את התחום בו הפונקציה חיובית. ד .לפניך 4גרפים .קבע איזה מהם מתאר את הפונקציה ) f ( xונמק את בחירתך .שים לב: תשובה ללא נימוק לא תחשב. .4נתונה הפונקציה y cos x k :בתחום. 0 x 2 : 2 2 הפונקציה חותכת את ציר ה x -בנקודה שבה 3 .x א .מצא את kוכתוב את הפונקציה. ב .מצא את נקודת המקסימום שאיננה מוחלטת בתחום הנתון. ג .האם יש לגרף הפונקציה נקודות מינימום שאינן מוחלטות? אם כן מהן? 3 1 .5נתונה הפונקציה x 2 : 5 x 2 3 . f x f x y א .מצא את משוואת המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה . x 3 ב .חשב את השטח הכלוא בין גרף הפונקציה , f x המשיק וציר ה. y - x בהצלחה! 49 בחינה מספר 24 שים לב! הסבר את כל פעולותיך ,כולל חישובים ,בפירוט ובצורה ברורה. חוסר פירוט עלול לגרום לפגיעה בציון או לפסילת הבחינה. פרק ראשון –סדרות וטריגונומטריה במרחב( 33 13נקודות) ענה על שאלה אחת מבין השאלות 33 13 ( 1-2נקודות). שים לב! אם תענה על יותר משאלה אחת ,תיבדק רק התשובה הראשונה שבמחברתך. .1אדם המעוניין לקנות רכב קיבל שתי הצעות מחיר. ההצעה הראשונה :לשלם בתשלום הראשון ₪ 1000ובכל תשלום שאחריו סכום הגדול ב ₪ 500-מהתשלום הקודם. ההצעה השנייה :לשלם בתשלום הראשון ₪ 7200ובכל תשלום שאחריו סכום הקטן ב₪ 450- מהתשלום הקודם. ידוע כי מספר התשלומים בהצעה השנייה קטן ב 4-ממספר התשלומים שבהצעה הראשונה. א. כמה תשלומים יצטרך לשלם לפי כל הצעה. ב. מה מחיר הרכב? .2ענה על הסעיפים הבאים: א .הוכח את הטענה :תיכון במשולש חוצה אותו לשני משולשים שווי שטח. כלומר ,הקטע ADהוא תיכון במשולש .ABCהראה כי. SABD SACD : ב .במנסרה ' ABCA'B'Cשבסיסה הוא משולש ישר זווית ABC 90 הנקודות Fו G-מחלקות את מקצוע הבסיס BCלשלושה חלקים שווים. הנקודה Eהיא אמצע המקצוע ' .B'Cידוע כי אורך הקטע EFהוא 10ס"מ ואורך המקצוע BCהוא 24ס"מ .שטח המשולש AFGהוא 40סמ"ר. איזה משולש הוא המשולש ?EFGמצא את זוויותיו. ג .מצא את גובה המנסרה. ד .היעזר בטענה שהוכחת בסעיף א' ומצא את אורך המקצוע .AB (רמז :התבונן במשולש ABFומצא את הצלע ABבאמצעות שטחו). ה .חשב את שטח המעטפת של המנסרה. 50 פרק שני – חדו"א של פונקציות טריגונומטריות ,פונקציות חזקה עם מעריך רציונאלי ,פונקציות מעריכיות ופונקציות לוגריתמיות( 66 23נקודות) ענה על שתיים מבין השאלות ( 3-5לכל שאלה – 33 13נקודות). שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות ,תיבדקנה רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך. .3אדם מפקיד סכום של ₪ 120,000לפי ריבית דריבית של 12%בשנה. כעבור tשנים הוא משך את כל הסכום שעמד לרשותו והפקיד אותו ל t -שנים נוספות בתכנית חיסכון חדשה לפי ריבית דריבית של .15%בתום תקופה זו עמד לרשותו סכום של .₪ 330,252 א .מצא את . t לאחר תקופה זו הוא מפקיד את סכום הכסף הסופי בתכנית לפי ריבית דריבית מסוימת. לאחר 5שנים עמד לרשותו סכום של .₪ 821,772 ב. מצא את אחוז הריבית החדש. .4נתונה הפונקציה. f ( x) ln 3 x 3ln x : א. מה הוא תחום ההגדרה של הפונקציה. ב. מצא את נקודות החיתוך של הפונקציה עם ציר ה. x - ג. מצא את נקודות הקיצון של הפונקציה וקבע את סוגן. ד. סרטט סקיצה של גרף הפונקציה. ה. מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה ) f ( xעם הפונקציה. g ( x) ln x : .5נתונה הפונקציה. f x 3 x 4 x : y א. מהו תחום ההגדרה של הפונקציה? ב. מצא את נקודות החיתוך של הפונקציה עם ציר ה. x - ג. באיור שלפניך מתואר גרף הפונקציה ברביע הראשון. S1 S2 x השטח הכלוא בין גרף הפונקציה וציר ה x -יסומן ב. S1 - מעבירים ישר x kאשר יוצר את השטח S 2כמתואר. f x מצא את kאם ידוע כי. S1 S2 : בהצלחה! 51 בחינה מספר 25 שים לב! הסבר את כל פעולותיך ,כולל חישובים ,בפירוט ובצורה ברורה. חוסר פירוט עלול לגרום לפגיעה בציון או לפסילת הבחינה. פרק ראשון –סדרות וטריגונומטריה במרחב( 33 13נקודות) ענה על שאלה אחת מבין השאלות 33 13 ( 1-2נקודות). שים לב! אם תענה על יותר משאלה אחת ,תיבדקנה רק התשובה הראשונה שבמחברתך. .1סדרה מוגדרת לכל nטבעי ע"י הנוסחה. a1 k , an1 8n an 3 : א. הבע באמצעות kאת ארבעת האיברים הראשונים בסדרה. ב. הוכח כי סדרת האיברים העומדים במקומות האי-זוגיים וסדרת האיברים העומדים במקומות הזוגיים הן חשבוניות ומצא את הפרשן. ג. חשב את סכום 20האיברים הראשונים בסדרה. .2נתונות שתי פירמידות ישרות שבסיסן מלבן SABCD :ו.S'A'B'C'D' - הקטעים SHו S'H'-הם בהתאמה הגבהים של שתי הפירמידות. ידוע כי AB 2k , BC k , HS 3k :וכי. A'B' 3k , B'C' k , H'S' 2k : א. לפניך מספר טענות ,קבע אלו מהן נכונות ואלו שגויות ,נמק את קביעותיך. ( )1לשתי הפירמידות אותו הנפח. ( )2בשתי הפירמידות הזווית שבין מקצוע צדדי לבסיס הפירמידה שווה. ( )3אורך מקצוע צדדי בפירמידה SABCDגדול יותר מאורך מקצוע צדדי בפירמידה '.S'A'B'C'D ב. מצא את הערך של kעבורו סכום הנפחים של שתי הפירמידות יהיה שווה לנפחה של קובייה בעלת אורך מקצוע של 4ס"מ. 52 פרק שני – חדו"א של פונקציות טריגונומטריות ,פונקציות חזקה עם מעריך רציונאלי ,פונקציות מעריכיות ופונקציות לוגריתמיות( 66 23נקודות) ענה על שתיים מבין השאלות ( 3-5לכל שאלה – 33 13נקודות). שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות ,תיבדקנה רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך. .3ערכן של שתי חלקות אדמה יורד בצורה מעריכית. ידוע כי בזמן שערכה של אדמה א' מגיע למחצית מערכה המקורי ,ערכה של אדמה ב' מגיע ל- 30%מערכה המקורי .לאחר 50שנים אדמה א' מאבדת 60%מערכה. א .מצא את אחוז הדעיכה של אדמה ב'. ב .ידוע כי לאחר 100שנים ערכן של שתי האדמות שווה. ערכה המקורי של אדמה ב' הוא .₪ 100,000 מצא את ערכה המקורי של אדמה א'. x2 6 x 7 f ( x) יש קיצון בנקודה שבה. x 1 : .4לפונקציה: eax 1 א .מצא את ערך הפרמטר . a ב .האם יש לגרף הפונקציה נקודות קיצון נוספות? אם כן מצא אותן. ג .כתוב את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה. ד .מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים. ה .סרטט סקיצה של גרף הפונקציה. .5נתונות הנגזרות הבאות. g '( x) sin 2 x , f '( x) sin 2 x cos x k : ידוע כי לפונקציות ) f ( xו g ( x) -יש משיק משותף בנקודה שבה. x 1.5 : א .מצא את ערך הפרמטר . k y ב .ידוע כי משוואת המשיק המשותף היא. y 1 : הראה כי f x cos2 x sin x :ו. g x sin 2 x - )g ( x )f ( x x באיור שלפניך מתוארים הגרפים של שתי הפונקציות בתחום. 0 x 1.5 : ג .חשב את השטח הכלוא בין שני הגרפים בתחום הנתון. בהצלחה! 53 בחינה מספר 26 שים לב! הסבר את כל פעולותיך ,כולל חישובים ,בפירוט ובצורה ברורה. חוסר פירוט עלול לגרום לפגיעה בציון או לפסילת הבחינה. פרק ראשון –סדרות וטריגונומטריה במרחב( 33 13נקודות) ענה על שאלה אחת מבין השאלות 33 13 ( 1-2נקודות). שים לב! אם תענה על יותר משאלה אחת ,תיבדק רק התשובה הראשונה שבמחברתך. 2an .1סדרה מוגדרת ע"י כלל הנסיגה: an 5 . a1 6 , an 1 an 3 מגדירים סדרה חדשה bnהמקיימת לכל nטבעי: an א .הוכח כי הסדרה bnהיא הנדסית ומצא את מנתה. ב .כתוב נוסחה ל bn -באמצעות nבלבד. ג .חשב את הסכום הבא. b1 b2 b3 b4 ..... b10 : . bn .2בתיבה הריבועית ' ABCDA'B'C'Dשלפניך מעבירים את אלכסון הבסיס העליון '.B'D הנקודות Eו F-נמצאות על אמצעי המקצועות ' A'Bו B'C'-כך שהקטע EFחותך את האלכסון' B'Dבנקודה .O מקצים נקודה נוספת – - Gהנמצאת על הגובה ' DDכך ש. DG a : מעבירים את הקטעים GOו DO-כך שנוצר המשולש .DOG אורך מקצוע הבסיס הוא kוגובה התיבה הוא . h א .הבע באמצעות kו a -את שטח המשולש .DOG a עבורו מתקיים. SDOG SD'OG : ב .מצא את היחס: h פרק שני –חדו"א של פונקציות טריגונומטריות ,פונקציות חזקה עם מעריך רציונאלי, פונקציות מעריכיות ופונקציות לוגריתמיות( 33 13נקודות) ענה על שתיים מבין השאלות ( 3-5לכל שאלה – 33 13נקודות). שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות ,תיבדקנה רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך. .3ענה על שני הסעיפים הבאים: א .מספר העופות בשמורת טבע גדל לפי אחוז קבוע של pאחוזים לשנה .בשנה מסוימת נספרו 3000עופות בשמורה ,לאחר 4שנים הוסיפו לשמורה 1000עופות נוספים. )1מצא את אחוז הגידול השנתי pאם ידוע כי לאחר 4שנים נוספות היו בשמורת 5647עופות. )2מצא לאחר כמה שנים יהיו 5647עופות אילולא היו מוסיפים את 1000העופות הנוספים. 54 e2 x ב .הישר x 6הוא אסימפטוטה אנכית של הפונקציה: x2 m )1מצא את ערך הפרמטר mוכתוב את הפונקציה. )2מצא את נקודות הקיצון של הפונקציה וקבע את סוגן. )3מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים. )4סרטט סקיצה של גרף הפונקציה. . f ( x) *הערה :אין קשר בין סעיפים א' ו-ב'. .4 א .פתור את המשוואה הבאה. ln x e ln x e ln 2 0.5 : נתונה הפונקציה. f ( x) ln x e ln x e : ב .הראה כי הפונקציה יורדת בכל תחום הגדרתה. ג .מצא את משוואת המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה. x e : .5הנגזרת של הפונקציה ) f ( xהיא. f '( x) cos x sin x : א .ידוע כי הפונקציה המקורית עוברת בראשית הצירים. הוכח כי הנגזרת ) f '( xוהפונקציה המקורית ) f ( xמקיימות את המשוואה: . f ( x) f '( x) 2sin x 1 ב .מגדירים פונקציה חדשה ) g ( xבאופן הבא. g ( x) f ( x) f '( x) : .i מצא את נקודת המקסימום הנמצאת ברביע הראשון והקרובה ביותר לציר הy - של הפונקציה ). g ( x .ii מצא את נקודת המקסימום הנמצאת ברביע הראשון והקרובה ביותר לציר הy - של הפונקציה ). f ( x כתוב את משוואת הישר העובר דרך שתי הנקודות שמצאת. .iii בהצלחה! 55 בחינה מספר 27 שים לב! הסבר את כל פעולותיך ,כולל חישובים ,בפירוט ובצורה ברורה. חוסר פירוט עלול לגרום לפגיעה בציון או לפסילת הבחינה. פרק ראשון –סדרות וטריגונומטריה במרחב( 33 13נקודות) ענה על שאלה אחת מבין השאלות 33 13 ( 1-2נקודות). שים לב! אם תענה על יותר משאלה אחת ,תיבדקנה רק התשובה הראשונה שבמחברתך. .1נתונה סדרה הנדסית אינסופית a1 , a2 , a3 , .....שמנתה היא . q 0 , q 1 , q נגדיר את הסכומים הבאים. T a1 a3 a6 a8 a11 a13 , ..... . V a2 a7 a12 ..... : נתון כי. V 0.3T : א .מצא את מנת הסדרה . q מחליפים את הסימנים של כל האיברים העומדים במקומות האי-זוגיים ומתקבלת סדרה חדשה שסכומה הוא .12 ב .מצא את האיבר הראשון בסדרה המקורית. ג .מעלים את כל איברי הסדרה בריבוע .חשב את סכום הסדרה כעת. .2לפניך מנסרה ישרה שבסיסה משולש ישר זווית . ABC 90 ידוע כי הפאה הצדדית AA'B'Bהיא ריבוע וכי אורך המקצוע BCגדול פי 3מ.AB- הנקודות Eו G-נמצאות על אמצעי המקצועות ' B'Cו AB-בהתאמה. מעבירים את הקטעים A'E ,A'Gו.GE- א .חשב את הזווית הנוצרת בין הקטע GEומישור הבסיס. ב .חשב את הזויות הנוצרת בין הקטע GEומישור הפאה .AA'B'B ג .נתון כי . EGA' 69 :חשב את זווית .EA'G 56 פרק שני –חדו"א של פונקציות טריגונומטריות ,פונקציות חזקה עם מעריך רציונאלי ,פונקציות מעריכיות ופונקציות לוגריתמיות( 33 13נקודות) ענה על שתיים מבין השאלות ( 3-5לכל שאלה – 33 13נקודות). שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות ,תיבדקנה רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך. .3 א .כוורת דבורים ידוע כי בכל 10שעות כמות הדבורים גדלה פי .1.5 )1מצא באיזה אחוז גדלה כמות הדבורים בכל שעה. )2מוציאים לאחר 10שעות 3000דבורים וידוע כי נשארו 1500דבורים. חשב כמה דבורים היו בתחילה בכוורת. ב .נתונה הפונקציה. f ( x) x3 e2 x : )1מצא את הנקודות המקיימות f '( x) 0 :וקבע כמה מהן הן נקודות קיצון. )2מצא את נקודות החיתוך עם הצירים וקבע מהי האסימפטוטה האופקית. )3סרטט סקיצה של גרף הפונקציה. )4בכמה נקודות חותך הישר y 0.01את גרף הפונקציה? *הערה :אין קשר בין סעיפים א' ו-ב'. xa .4נתונה הפונקציה הבאה: ln x a א .הבע באמצעות aאת: .iתחום ההגדרה של הפונקציה. .iiהנקודה המקיימת . y ' 0 .iiiנקודת החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים. .ivהאסימפטוטה האנכית של הפונקציה. ב .ידוע כי גרף הפונקציה עולה רק בתחום . x e 2 :מצא את . a ג .סרטט סקיצה של גרף הפונקציה בתחום . x 1 ד .נתון הישר . y k :מצא בסקיצה את תחום הערכים של kעבורו לישר ולגרף הפונקציה לא תהיה אף נקודה משותפת. a , y פרמטר חיובי. a 1 , .5 א .גזור את הפונקציה הבאה. y e x 1 : x ב .באיור שלפניך מתוארים הגרפים של הפונקציות. f ( x) xe , g ( x) -e : מעבירים ישר a 0 , x aהחותך את הגרפים של שתי )f ( x הפונקציות ויוצר את השטח המתואר הכלוא בין הגרפים של שניהם ,ציר ה y -והישר. S 2e2 ידוע כי שטח זה שווה ל . 2e 2 -מצא את . a x x y x )g( x בהצלחה! 57 בחינה מספר 28 שים לב! הסבר את כל פעולותיך ,כולל חישובים ,בפירוט ובצורה ברורה. חוסר פירוט עלול לגרום לפגיעה בציון או לפסילת הבחינה. פרק ראשון -סדרות וטריגונומטריה במרחב( 33 13נקודות) ענה על שאלה אחת מבין השאלות 33 13 ( 1-2נקודות). שים לב! אם תענה על יותר משאלה אחת ,תיבדק רק התשובה הראשונה שבמחברתך. .1נתונה סדרה הנדסית אינסופית יורדת שסכומה .24מאיברי הסדרה הנתונה יצרו את סדרה חדשה באופן הבא. a1 a2 , a2 a3 , a3 a4 , a4 a5 , ... : א .הוכח שהסדרה החדשה היא הנדסית אינסופית יורדת. ב .ידוע שסכום כל איברי הסדרה החדשה הוא .32מצא את האיבר הראשון והמנה של הסדרה המקורית. .2במנסרה משולשת וישרה ' ABCA'B'Cשבסיסה משולש שווה צלעות הנקודות Eו F-הן בהתאמה אמצעי המקצועות ' A'Bו.A'C'- מעבירים את הקטעים AEו AF-כך שנוצר המשולש .AEF אורך מקצוע הבסיס של המנסרה הוא 10ס"מ וגובה המנסרה הוא 12ס"מ. א .חשב את אורכי הצלעות של המשולש .AEF ב .חשב את הזווית שבין גובה המנסרה ' AAלבין מישור המשולש .AEF פרק שני –חדו"א של פונקציות טריגונומטריות ,פונקציות חזקה עם מעריך רציונאלי ,פונקציות מעריכיות ופונקציות לוגריתמיות( 33 13נקודות) ענה על שתיים מבין השאלות ( 3-5לכל שאלה – 33 13נקודות). שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות ,תיבדקנה רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך. .3ענה על שני הסעיפים הבלתי תלויים הבאים: א. ב. ax 2 bx 9 נתונה הפונקציה: ex הפונקציה משיקה לציר ה x -בנקודה שבה . x 1.5מצא את ערכי הפרמטרים aוb - ואת נקודות הקיצון של הפונקציה. f x זמן מחצית החיים של חומר רדיואקטיבי הוא 16ימים. תוך כמה ימים יאבד שליש ממשקלו? 58 .4נתונה הפונקציה . f x log 24 x log 2 xחקור את הפונקציה על פי הסעיפים הבאים: א .תחום הגדרה ב .נקודות קיצון ד .נקודות חיתוך עם הצירים ה .שרטוט ג .תחומי עלייה וירידה .5 א .נתונה הפונקציה. y x cos x 2 x sin x 2cos x : הוכח כי הנגזרת של הפונקציה היא. y ' x 2 sin x : 2 באיור שלפניך נתונה הפונקציה f ( x) x 2 sin x :בתחום. x : ב .הראה כי גרף הפונקציה עובר בראשית הצירים. ג .חשב את השטח הכלוא בין גרף הפונקציה וציר ה x -בתחום הנתון. y )f ( x x בהצלחה! 59 בחינה מספר 29 שים לב! הסבר את כל פעולותיך ,כולל חישובים ,בפירוט ובצורה ברורה. חוסר פירוט עלול לגרום לפגיעה בציון או לפסילת הבחינה. פרק ראשון –סדרות וטריגונומטריה במרחב( 33 13נקודות) ענה על שאלה אחת מבין השאלות 33 13 ( 1-2נקודות). שים לב! אם תענה על יותר משאלה אחת ,תיבדק רק התשובה הראשונה שבמחברתך. 3an .1סדרה מוגדרת ע"י כלל הנסיגה הבא: 2an 3 4 7an . bn מגדירים סדרה חדשה לפי: an א .הוכח כי הסדרה bnהיא חשבונית ומצא את הפרשּה. ב .חשב את הסכום הבא. b2 b4 b6 ..... b22 : . a1 2 , an 1 .2נתונה פירמידה ישרה SABCשבסיסה הוא משולש שווה שוקיים . AC BC מעבירים גבהים למקצוע SCבמישורי הפאות SACו SBC-כך שהזווית הנוצרת בין מישורים אלו היא . ADB 42ידוע כי אורך המקצוע ABהוא 8ס"מ. DC 2 הגובה ADבפאה SACמחלק את המקצוע SCביחס : SD 3 א .חשב את אורך הגובה .AD ב .חשב את זווית הראש בפאה .SAC ג .חשב את שטח משולש הבסיס .ABC 60 . פרק שני –חדו"א של פונקציות טריגונומטריות ,פונקציות חזקה עם מעריך רציונאלי ,פונקציות מעריכיות ופונקציות לוגריתמיות( 33 13נקודות) ענה על שתיים מבין השאלות ( 3-5לכל שאלה – 33 13נקודות). שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות ,תיבדקנה רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך. .3נתונות שתי כמויות התחלתיות זהות ,האחת גדלה בצורה מעריכית והשנייה קטנה בצורה מעריכית .לשתי הכמויות אחוז גדילה/דעיכה קבוע והוא .5% א .האם הזמן שבו הכמות הראשונה תגדל לכמות הכפולה מהכמות ההתחלתית שלה שווה לזמן שבו תקטן הכמות השנייה למחצית מהכמות ההתחלתית שלה? נמק והראה חישוב מתאים. ב .ללא קשר לנתון הקודם ,הראה כי כדי ששתי הכמויות יגיעו ליעדיהן באותו הזמן אז הבסיסים שלהן q1 , q 2 צריכים להיות מספרים הופכיים. .4נתונות הפונקציות הבאות f ( x) x 2 cos2 x :ו. g ( x) x 2 sin 2 x - א .היעזר בזהות ל cos 2 -הנמצאת בעמוד 2למטה בנוסחאון הוכח כי ההפרש f ( x) g ( x) :שווה ל. cos 2x - ב .מצא את נקודות החיתוך של הפונקציות בתחום. x : ג .ישר 0 t 1 , x tחותך את הגרפים בנקודות Aו B-ומהן מעבירים משיקים לפונקציות .ידוע כי ההפרש בין שיפוע המשיק של גרף הפונקציה ) g ( xלשיפוע המשיק של גרף הפונקציה ) f ( xהוא .1מצא את כל הערכים האפשריים עבור . t .5באיור מתוארים הגרפים של הפונקציות f ( x) ln e x 1 :וg ( x) ln e2 x e3 x - בתחום. x 0 : א .הראה כי הגרפים נחתכים על ציר ה. y - מעבירים ישר a 1 , x aהמאונך לציר ה x -אשר חותך את הגרפים של שתי הפונקציות ויוצר את השטח ( Sראה איור). ב .מצא את ערכו של aעבורו מתקיים. S 4 : y S )f ( x x xa )g ( x בהצלחה! 61 בחינה מספר 30 שים לב! הסבר את כל פעולותיך ,כולל חישובים ,בפירוט ובצורה ברורה. חוסר פירוט עלול לגרום לפגיעה בציון או לפסילת הבחינה. פרק ראשון –סדרות וטריגונומטריה במרחב( 33 13נקודות) ענה על שאלה אחת מבין השאלות 33 13 ( 1-2נקודות). שים לב! אם תענה על יותר משאלה אחת ,תיבדק רק התשובה הראשונה שבמחברתך. .1נתונה הסדרה ההנדסית הבאה a1 , a2 , a3 , ..... , a2n :שמנתה היא . q בונים סדרה חדשה מריבועי כל האיברים הסדרה באופן הבא. a12 , a22 , a32 , ..... , a22n : א .הוכח כי היחס בין סכום nהאיברים הראשונים בסדרת הריבועים ובין סכום כל האיברים העומדים במקומות האי-זוגיים בסדרה הנתונה תלוי רק באיבר הראשון של הסדרה. בסדרה הנדסית אינסופית יורדת שסכומה 640ידוע כי סכום 10האיברים הראשונים כאשר מעלים אותם בריבוע גדול פי 320מסכום 10האיברים הראשונים העומדים במקומות האי- זוגיים בסדרה. ב .מצא את מנת הסדרה. מחברים את כל איברי הסדרה החל מאיבר anכלשהו .ידוע כי סכום זה קטן פי 16מסכום הסדרה המקורי. ג .מצא את האיבר . an .2במנסרה ' ABCA'B'Cשבסיסה הוא משולש ישר זווית ABC 90 הנקודות F ,Eו G-הן בהתאמה אמצעי המקצועות ' A'C' ,B'Cו AB-כמתואר באיור. מסמנים את מידות הבסיס . AB 5t , BC 12 t :ABC הזווית שבין הקטע GEובין מישור הבסיס ABCהיא. 36.86 : א .הבע באמצעות tאת גובה המנסרה. ב .חשב את הזווית שבין הקטע GFובין מישור הבסיס .ABC ג .מצא את tאם ידוע כי אורך הקטע GFהוא 3825 :ס"מ. 62 פרק שני –חדו"א של פונקציות טריגונומטריות ,פונקציות חזקה עם מעריך רציונאלי ,פונקציות מעריכיות ופונקציות לוגריתמיות( 33 13נקודות) ענה על שתיים מבין השאלות ( 3-5לכל שאלה – 33 13נקודות). שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות ,תיבדקנה רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך. .3לפניך הפונקציה הבאה. f ( x) ln 1 ln x : א .מה הוא תחום ההגדרה של הפונקציה? ב .הוכח כי הפונקציה יורדת בכל תחום הגדרתה. ג .מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם ציר ה. x - ד .סרטט סקיצה של גרף הפונקציה. .4לפניך הפונקציות הבאות f ( x) cos x :ו. g ( x) cos x 1 - הפונקציה ) f ( xמוגדרת בתחום 0.5 x 1.5והפונקציה ) g ( xמוגדרת בתחום . 0 x 2 א .האם הגרפים חותכים את ציר ה x -בתחום הנתון? הראה חישוב מתאים. ב .האם הגרפים חותכים זה את בתחום הנתון? אם כן מצא את נקודות החיתוך. ג .מצא את נקודת הקיצון של הפונקציה ) f ( xבתחום הנתון וקבע את סוגה. ד .לפניך ארבעה איורים III , II , I :ו.IV- קבע על סמך הסעיפים הקודמים איזה איור מתאר את הגרף של ) f ( xואיזה מתאר את הגרף של ) . g ( xנמק. x3 .5נתונה הפונקציה ex . f x חקור את הפונקציה על פי הסעיפים הבאים: א .תחום הגדרה ב .נקודות קיצון ד .נקודות חיתוך עם הצירים ה .שרטוט ג .תחומי עלייה וירידה בהצלחה! 63 תשובות סופיות: בחינה :1 . a8 384 .1 .2 .3 .4 .5 א 29.04 .ס"מ ב 28.05 .ס"מ ג. 28.27 . 1 8 אmax 2 , 2 , min 1, 0 )2( . 0 x )1( . e e 1 1 ( )3עלייה 1 x :או , 0 x 2ירידה. 1, 0 )4( . 2 x 1 : e e ב .בנק א'. 0.41יח"ש . S 0.192יח"ש . S בחינה :2 3 .1 8 60.706 .2סמ"ק . V .3א f ( x) sin x 2cos2 x 2 .ב 16.43 .שעות. . a1 3 . f ( x) x ln | x | x 2 .4 .5א 1,1 .ב. a 5 . S1 ג 5.955 . S2 . בחינה :3 29 .1איברים. . V 0.162d 3 .2 .3א .כל xבmax 0,3 , min ln 3,1.59 . ג .תחומי עלייה x ln 3 :או x 0תחומי ירידה. 0 x ln3 : ד. 0,3 . .4א a 7 .ב x ln 2 .ג b 10 .ד .לא. . 16 : 00 .5 64 :4 בחינה . S 1594320 .ג b5 648 .ב bn1 3bn . א.1 .V 77 3 a .2 81 p 27 , q 35 .3 2 2 . min(e , e ) . ב. 0 x e . א.4 . k e2 . ו. אין. ד. x e וגם0 x e2 : ירידה, e2 x : עלייה.ג . שנים7.47 .5 :5 בחינה . a19 59 .1 . ס"מ8.271 .2 . 14.47 . ד126.86 . ג27.31 . בAB t 15 . א.3 . min(4, 1) .4 . . בy x 2 . א.5 :6 בחינה . n 6 . גa10 4 . בa1 50 , d 6 . א.1 8.1 . ב. ס"מ51 . א.2 . עצים100,000 .3 . x 4 e . ד. 1, 0 , e,1 . ג. f '( x) 1 0 : מתקבל. ב. x 1 . א.4 2 x ln x . a ln 2 .5 65 בחינה :7 1 .1א. q 1 a1 q 2 n 1 q 2 1 a1 q 2 n 1 q 1 .2א 160.68 .סמ"ר. ) Sn ( o S2 n ב. n 1 an 3ג. a5 , a6 . ב 2250 .סמ"ק. 1 3 e 1 e1.5 1 1 . Max ,ג .עולהx , x : , Min , .3א .כל . xב . 6 2 2 4 6 4 ד. 0,1 . 1 1 יורדת. x : 6 2 y ה .סקיצה בצד. 2 .4א f ( x) 2sin x 5sin x 2 x , a 2 .ב , 3 . 2 x ג .לא .אין פתרונות נוספים למשוואה בתחום הנתון .ד. y 2 x 3 . 2 1 .5א. , g ( x) x 1 x2 a 2 , f ( x) ב 1.76 .יחידות שטח . S בחינה :8 .1א .8 , 10 , 12 .ב 5 .ג.6 . .2א a 8.5 .ב 6.9 .ג. a 2 . .3להלן הפתרון: א. )1לא נכון .תחום ההגדה של ) f ( xהוא x 0 , x 1 :ותחום ההגדרה של )g ( x הוא. x 0 : )2לא נכון .לשתי הפונקציות נקודת קיצון שבה x eאך עבור ) f ( xמדובר במינימום ועבור ) g ( xמדובר במקסימום. )3לא נכון .עבור ) : f ( xעולה x e :יורדת. x 1 , 0 x e : ועבור ) : g ( xעולה 0 x e :יורדת. x e : )4נכון. ln x x .y y ו- ב .לגבי כל נקודה נאמר כי שיעור ה y -שלה הוא: x ln x x ln x נכפול 1 : .y ln x x 66 5 .4א. 0, 2 ; , 0 ; , 0 . 12 12 3 ב. min 0, 2 ; max , 2 ; min , 6 ; max , 2 . 4 4 ג .סקיצה בצד ד 6 k 2 .וגם . k 2ה. 2 .5א A 1, e 2 .ב y e 2 x .ג4.744 . . Sיחידות שטח. בחינה :9 .1א d 11 (ii) x 50 )i( .ב a1 121 .ג. S 2156 . .2א a tan )3( a sin )2( a cos )1( .ב. 53.13 . .3א ₪ 75,858.5 .ב .לאחר 15שנים. .4א m 2 .ב .פיתול .הנגזרת חיובית לפניה ואחריה .ג 2 .נקודות .ד. 0.5 ,0 , 1.5 ,0 . .5אf x 4 5x 6 x , a 1 . ב. x 1.2 . 27 54 ג . 1.2,1.2 .ד. x 32 32 .y ה 0.48 .יחידות שטח . S בחינה :10 .1א a25 16,777, 216 .ב .לפי הצעת השר יהיו לו 33,554,431אבנים ולפי הצעת המלך יהיו לו 20,000,000אבנים. 24 ג .הסדרה שתתקבל לפי הצעת הבת היא 4,16,64,..., 2 :וסכומה הוא.22,369,620 : כדאי למלך לקבל את הצעת בתו. .2א 10 .ס"מ .ב 5.21 .ס"מ .ג . 61 .ד. 42 . .3א . 0,0 , 0.23 ,0 .ב. Min , 27 , Max , 27 . 6 6 ג . x 0.25 .ד .סקיצה בצד. 1 26 x .4א . x 0 .ב . 64,0 ; 6,0 .ג .הנגזרת 0 : 6 x5/6 ד .סקיצה בצד .ה .i .נכון .ii .לא נכון .החיתוך עם ציר ה y -שונה .iii .לא נכון. x f ' x בת.ה. 4 .5א, a 2 , b 4 . x f ( x) 7 2 x y x ב x 2 .ג 11.54 .יחידות שטח . S 6 ln 256 67 y :11 בחינה a1q 2 n 1 q bn1 a2 n1 a2 n 2 a1q 2 n a1q 2 n1 q 2 . בq 0.6 . א.1 2n2 2 n 1 2 n2 bn a2 n 1 a2 n a1q a1q a1q 1 q . a1 200 .ד S(bn ) a1 1 q b1 a a a 1 22 1 S( an ) .ג 2 1 q 1 q 1 q 1 q 1 q . ס"מ4.47 . ב. ס"מ4 . א.2 לשניהם אותו הסכום שכן אין משמעות. ב.' בנק ב. א.3 . k a18 a26 k 1.8 1.6 k 1.6 1.8 2.88k :לסדר . 1 x 1 : יורדת, x 1 , x 1 : עולה. ג. Max 1,16 ; Min 1,0 . ב. k 9 . א.4 .2 . ה. סקיצה בצד.ד y x . S יחידות שטח1.52 . בf ( x) e x e2 x , a 2 . א.5 4 :12 בחינה . S9( o ) 117 .ד Sn ( o ) 1.5n2 0.5n . גa1 1 , a2 -5 , a3 4 , a4 -2 , a5 7 . א.1 . 73.89 .2 . שנים16 מכונית א' ולאחר. ב. שנים22.46 לאחר. א.3 y x . סקיצה בצד.ג 1, e .ב 2 1 f ( x) e 3 x 2 6 x 1 , k 1 . א.4 . 0 f ( x) e2 נמצא בתחוםf ( x) ניתן לראות עפ"י הגרף כי ערך הפונקציה.ד . 68 S1 3 2 1.538 . בy 1 . א.5 S2 3 2 :13 בחינה . b5 3 . גa1 12 , d 3 . ב.1 . PSA' B 'C ' D ' 9a 2 PSABCD 7a 2 דנה טועה. ג4 19 4 2 פי. בVS'A'B'C'D' a3 VSABCD a3 . א.2 82 3 3 . 0,0 . דb 5 .ג x ln 2 . בa 4 . א.3 . x 1 : יורדתx 7 : עולה. ג. x 7, 1 . בx 1 , x 7 . א.4 . תחומי העלייה והירידה הפוכיםIV באיור. גרף הפונקציה לא בתחוםII- וI באיורים: הסבר.III .ד .יח"ש 11 .ב 28 1,1 . א.5 :14 בחינה . S7* 61,034,375 .( גi)(ii) an 5n1 a6 , a7 . בx 14 . א.1 . a 5 . ג70.6 . בa 7 . א.2 . ק"ג אצות653.48 . בa 1.017 . א.3 . ,0 , 0, 2 . א.4 . Max 0, 2 , Min , 2.25 , Max , 0 , Min 1 23 , 2.25 , Max 2 , 2 .ב 3 y .ד x .0 x 2 2 , x 1 :יורדת x , 1 x 2 : עולה.ג 3 3 3 3 1 1 . S יח"ש3.07 . גMax ln , ln16 2 . בf ( x) 2e2 x 9e x 2 x . א.5 8 4 69 בחינה :15 .1ב S 22a1 693 .ג. a9 1 . 1 .2ב. 3 . a1 16, q y .3א. 0.5 ,0 , 1.5 ,0 . 5 ב. 0,1 , ,1.29 , , 1.29 , 1.5 , 0 . 6 6 x ג .סקיצה בצד .ד 2 .פתרונות. .4א 1.3,0 . . 2,0 ,ב2 x 2.6 . 2 5 , h x x 2 כל . x ג . Max 1,9 ; Min 2,0 .ד .סקיצה בצד .ה. 0 k 9 . 4 .5א. x f ( x) ב 6 4ln 2 .יחידות שטח. y x בחינה :16 .1א q 2 .ג. a1 2 . .2א .הצורה היא פירמידה ישרה שבסיסה ריבוע .כל הקטעים AE , BE , CE :וDE- שווים והבסיס ABCDהוא ריבוע לפי הנתון. 1 ב . GAE 24.1 .ג 341 .סמ"ק. 3 1 1 x ג k 1 .ד. 0, 0 . x יורדת: .3א a 2 .ב .עולה: ln 2 ln 2 .4א x 1 .ב x 1 .ג .עולה x 1 :יורדתx 1 : ד .I .הסבר :באיור IIתחומי העלייה והירידה הפוכים .באיורים IIIו IV-יש אסימפטוטה מיותרת .ה. x 1 , 2 x 0 . .5א .אין נקודות קיצון ,הנקודה , :היא נקודת פיתול. ב .השטח המתקבל הוא S 0.5 2 2 2.934 :יחידות שטח. 70 בחינה :17 .1א n 81.ב. n 16 . . m sin 2 cos .2 3 1 . Min , 3 243 .3 3 .3א .ב 6.6%-בy x ln81 7 .1 . ב(ii) 0,0 , Max 2 ,0 , Min 2 ,0 .פיתול. .4א 0,0 , 2 ,0 , 2 ,0 . .5א .נעזר באינטגרל הכללי ונקבל: 4 1 4 1 5 6 5 x dx 6 5 x 5 dx 5 c c 6 5 x 5 54 1 1 . f ( x) 5 6 5x 4 1 נציב את הנקודה 1.2, 0 :ונקבל. 0 6 5 1.2 5 c c 0 : 1 לכן הפונקציה היא. f ( x) 6 5 x 5 : ב .יש לחלק את השטח לשני חלקים. החלק הראשון כלוא בין גרף הפונקציה ) g ( xוציר ה x -והחלק השני כלוא בין גרף הפונקציה ) f ( xוציר ה . x -נמצא תחילה את נקודת החיתוך של הגרפים: 1 1 נשווה 6 5x 5 x10 :ונעלה בחזקת 10את המשוואה x : 10 2 6 5x 1 1 . 6 5 x 5 x10 10 פתרון המשוואה הוא( x 1 :בדקו!) וזה הוא הגבול עבור כל שטח .נחשב כל שטח בנפרד: נמצא את הגבול התחתון של שטח זה ע"י. 10 x 0 x 0 : נקבל: 1 1 11 11 10 10 x 10 x 10 0 10 . S1 g ( x)dx x dx 11 11 11 11 0 0 10 0 0 1 10 1 1 הגבול העליון של שטח זה נתון בגוף התרגיל ולכן נקבל: 1.2 1.2 6 6 5 5 6 5 x 6 5 x 0 1 1 f ( x)dx 6 5 x dx 6 5 5 6 6 6 1 1 1 1 5 10 1 5 1 השטח המבוקש הוא: 11 6 66 S S1 S2 יחידות שטח. 71 1.2 1.2 1 S2 :18 בחינה . S6( p) 2730 . גa1 1 . בq 2 . א.1 4a 2.3a . א.2 3 .14.82% .3 . x ln 6 : יורדותx ln 6 : עולות. ב. a 12 , b 12 . א.4 . P 15.46a 2 .ה 14.47 . ד73.9 . ג60 .ב . k 8 .ג MA S2 S1 ln16 . בS1 2ln k ln16 , S2 2ln k . א.5 :19 בחינה . a1 5 .ג . S611 265458 . בan2 an 8 3n 4 )ii( a4 )i( . א.1 2h 3 h 2 .ב . א.2 2 tan tan 1 1 3 . y' 0 : מתקבל.ד. 2, 0 .ג. x ,1 . ב. x , x 1 . א.3 2 2 2 x 1 x 1 . y . סקיצה בצד.ה . לא.ב x y . אסימפטוטה אנכיתx 0 , x 0 . א.4 . Min 4, 495.27 ; Max 2, 491.77 .ג x . נכון.iii . יחידות שטחS . לא נכון.ii . נכון.i .ה . סקיצה בצד.ד 1 1 7 11 , . גf ( x) sin 2 x cos x . בx , . א.5 2 2 2 6 6 :20 בחינה 1 . א.1 2 . סמ"ר823 . ג. ס"מ21.44 . ב. ס"מ16- ס"מ ו12 . א.2 . a1 1024 . ג.5 פי. בq y . 5.95%- ב.3 x . 0.5 , 6 , 0.5 ,6 , 1.5 , 6 . ב. m 6 , k 7 . א.4 . בשתי נקודות. סקיצה בצד.ג 2 . יחידות שטחln 5 13 1.674 . ג 2, 2 . בg ( x) . א.5 2x 5 72 :21 בחינה . n 36 . גa1 8 , d 2 . ב.1 .סמ"ק 15 15k 3 tan . בV . א.2 8 3 x2 4 . Max 2, , Min 0, 0 . בf ( x) x 2e 4 , a 1 , b 0.25 . א.3 e 1 y x .0 k 4 . ה. סקיצה בצד. ד 0, 0 .ג e . קצהMin 9, 0 , קצהMin 0,0 ; Max 6,3.22 .ב . 0 x 9 . א.4 .B . ה. שני פתרונותk 1 . אין פתרוןk 2 . ד. 6 x 9 : יורדת, 0 x 6 : עולה.ג . יחידות שטחS 1.5 3 1.299 .ב 2 2 1 , . א.5 3 4 0,1 , :22 בחינה . S( an ) n S(bn ) n 4 3n 1 1 1 n n 1 a1q n 1 q6 bn1 an 1 6 an 2 a1q 6 a1q 2 q 3 . א.1 .ב 3 bn an 16 an 1 a1q n1 16 a1q n a1q n 1 1 q6 31 6 3n 1 31 . b5 , b6 .ג . 2 3m cos . ג. המשולשים חופפים. בSD AB 4m cos . א.2 . שנים20.77 . ב. עופות4250 . א.3 . x 0.5 . א.4 .ד y .k x 4 1.27 .ב . Max 0,0 , Min 0.15 , 0.07 , Max 0.84 , 3.9 , Min , 4 .ג 1 . יחידות שטחS 1.03 . גA 1, 4 , B 1 , 2.52 , C 0,1 . ב.5 3 73 בחינה :23 .1א d1 4 .ב. a1 52 , b1 95 . .2א 10 .ס"מ .ב. 26.56 . .3ב. x 1 , e4 x e1 . ג 2 (i) .נקודות והן . 1, 0 , e2 , 0 :הנקודה שבה x 0 :לא קיימת עקב ת.ה. (. x 1 , x e2 )ii ד – III .בראשית הצירים יש חור ולא אסימפטוטה .שאר הנתונים כפי שהתקבלו בסעיפים הקודמים. .4א y cos x 0.5 , k 0.5 .ב. ,0.25 . 2 ג .לא – כל נקודות המינימום הן מוחלטות. 15 45 x .5א. 16 16 y 2ב 4.56 .יחידות שטח . S בחינה :24 .1א 12 .לפי הראשונה ו 8-לפי השנייה ב.₪ 45000. .2ב .משולש שווה שוקיים 66.42, 47.15 .ג84 . ס"מ .ד 10 .ס"מ .ה 60 84 .סמ"ר. .3א t 4 .ב. p 20% . .4א. x 0 . ב,0 . 3 e ,0 , e 3 . 1,0 ,ג. y 1.5 . x ד .סקיצה בצד .ה. 1,0 , e2 , 2 , e2 , 2 . .5א .כל . x 1 1 ב. 0, 0 , , 0 , , 0 . 8 8 74 1.5 ג 0.2296.. . 3 .k 8 בחינה :25 .1 א .האיבר הראשון הוא . a1 k :נציב n 1בכלל הנסיגה ונקבל. a2 8 1 k 3 11 k : נציב n 2בכלל הנסיגה ונקבל. a3 8 2 11 k 3 k 8 : נציב n 3בכלל הנסיגה ונקבל. a4 8 3 k 8 3 19 k : ב .נכתוב כלל נסיגה המקשר בין anל an 2 -ונראה כי הוא קבוע .נציב n 1בכלל הנסיגה הנתון ונקבל. an 2 8 n 1 an1 3 :נציב את an1 8n an 3ונפשט: . an2 8 n 1 8n an 3 3 an 8 קיבלנו את הכלל . an 2 an 8 :לכן . an2 an 8 :ההפרש בין שני איברים העומדים במקומות הזוגיים בסדרה הוא גודל קבוע ( )8וכן ההפרש בין שני איברים העומדים במקומות האי-זוגיים בסדרה .לכן שתי סדרות אלו הן חשבוניות והפרשן הוא .8 ג .נחלק את הסכום של 20האיברים לסכום של 10איברים העומדים במקומות הזוגיים וסכום של 10איברים העומדים במקומות האי-זוגיים .נכתוב סכום לכל קבוצה. סדרת האיברים העומדים במקומות האי-זוגיים היא חשבונית שבה . a1 k , d 8 :סכומה 10 הוא . S10 2k 8 9 10k 360 :סדרת האיברים העומדים במקומות הזוגיים היא 2 חשבונית שבה . a2 11 k , d 8 :סכומה הוא: 10 . S10 2 11 k 8 9 470 10kנחבר את הסכומים ונקבל: 2 . S20 470 10k 10k 360 830 סכום 20האיברים הראשונים בסדרה הוא .830 .2א )1( .נכון .הנפח הוא )2( . V 2k 3 :לא נכון .הזוויות המתקבלות הן. 69.56 , 51.67 : ( )3נכון .מתקבל . k 10.25 k 6.5 :ב. k 3 16 . .3א .3.13% .ב.₪ 25,909 . .4א . a 1 .ב .כן : 3 48 . 11, 2ג .עולה 1 x 11 :יורדת. x 1 , x 11 : 2 e3 ד . 1,0 , 7,0 , 0, 7e .ה .סקיצה בצד. .5א k 0 .ג S 1.5 1 .יחידות שטח. x 75 y בחינה :26 .1 bn 1 א .כדי להוכיח כי סדרה היא הנדסית יש להראות :קבוע bn .לשם כך נבטא תחילה את an 1 3 bn 1באמצעות anע"י הצבת n 1בנוסחה הנתונה עבור : bn an 1 . bn 1 2an 3 an 5 2an . bn 1 an 1 ולכן: מכלל הנסיגה נאמר כי: 2an an 5 an 5 נצמצם את הביטוי ע"י מכנה משותף במונה ונקבל: 2an 2an 3an 15 3 a 5 an 5 5a 15 . bn 1 nכעת יש להראות כי המנה n 2an 2an 2an an 5 an 5 גודל קבוע שאינו תלוי ב. n - 5an 15 an 5an 15 5 an 3 b 2an . n 1 נחבר את הביטוי 2.5 : an 3 bn 2 an an 3 2 an 3 an bn 1 bn היא קיבלנו כי המנה היא קבועה ולכן הסדרה הנדסית .מנת הסדרה היא. q 2.5 : ב .לאחר שגילינו כי הסדרה bnהיא הנדסית נוכל לכתוב את נוסחת האיבר הכללי שלה. מנת הסדרה היא q 2.5 :ואת האיבר הראשון נמצא ע"י הצבה של n 1 :בכלל הנתון: a1 3 6 3 1.5 a1 6 . b1 נוסחת האיבר הכללי תהיה. bn 1.5 2.5n1 : ג .כדי לחשב את הסכום המבוקש נעזר בעובדה שהסדרה bnהיא הנדסית .יש לחשב את סכום 10האיברים הראשונים בסדרה ההנדסית הנ"ל כאשר מחליפים את הסימנים של כל האיברים העומדים במקומות הזוגיים ולכן. b1 1.5 , q* 2.5 , n 10 : נמצא את הסכום 4086.74 : 1.5 2.5 1 10 2.5 1 . S10* .2 א .המשולש DOGאינו ישר זווית ואינו שווה שוקיים .ניתן לחשב את שטחו בשתי דרכים: .1נבטא את האורכים של שתיים מצלעותיו ,נמצא את הזווית שבניהן ונעזר בנוסחה: . S 12 ab sin .2נמצא את השטח של המשולשים ' ODDו D'OG-ונחסר את שטחיהם. היות ומציאת הזויות שבין כל זוג צלעות במשולש אינה מלאכה פשוטה, נבחר בדרך השנייה .ידוע כי. DD' h : נמצא את אורך הקטע ' ODבריבוע הבסיס העליון. לפי הנתונים נבחין כי EFהוא קטע אמצעים במשולש '.A'B'C נסמן ב M-את פגישת האלכסונים בריבוע ונשים לב כי. B'O MO : נמצא את האלכסון ' B'Dונחלק אותו ל 4-חלקים .הקטע D'Oהוא 0.75 76 .0.25 הואB'O מהאלכסון והקטע . B'D' A'D'2 D'C'2 k 2 k 2 k 2 : ע"י משפט פיתגורסB'D' נחשב את 3 3 k :לכן . D'O k 2 4 2 2 D'O D'D 3 h 3kh k . SODD' : הוא ישר זווית ושטחו הואODD' המשולש 2 2 2 2 4 2 : הוא גם ישר זווית ושטחו הואOGD' המשולש D'O D'G 3 h a 3k h a k . SOGD' 2 2 2 2 4 2 . SDOG SODD' SOGD' . : מתקבל ע"י החיסורDOG שטח המשולש 3kh 3k h a 3ka 4 2 4 2 4 2 : נחבר משוואה לפי הנתון ונקבל.ב a 1 a h a 2a h h 2 . שנים12.96 .2 .5% .1 . א.3 3ka 3k h a 4 2 4 2 y . f ( x) x .y 1 .4 0, .3 6 e2 x , m 6 .1 .ב x2 6 e6 1 Max 2, 4 , Min 3, .2 2e 3 1 e x ln 2 . ג. y ' 0 : מתקבל. ב. x e . א.4 2e x x e . y 0.746 x 4.172 .iii 77 0.75 , 2 1 .ii 0.5 ,3 .i . ב.5 בחינה :27 1 .1א q .ב a1 16 .ג. S 288 . 3 .2 א .ניצור משולש שבו נמצאת הזווית הנדרשת .נוריד גובה EHונתבונן במשולש .EGH המשולש הוא ישר זווית כי EHמאונך למישור הבסיס. כדי למצוא את הזווית הנדרשת ) (EGHיש למצוא יחס בין שתי צלעות בתוך משולש זה .מהנתון כי BCגדול פי 3 מ AB-נבחר לסמן AB x :ואז. BC 3x : נבטא את היתר בבסיס ABCע"י פיתגורס: . AC AB2 BC2 9 x2 x2 x 10 נשים לב כי הנקודות Gו H-הן אמצעי המקצועות ABו ,BC-מה שגורר כי GHהוא 1 1 קטע אמצעים במשולש הבסיס ולכן. GH AC x 10 x 2.5 : 2 2 עד כה ביטאנו צלע אחת במשולש GHEבאמצעות . xאת הצלע הנוספת נבטא ע"י היעזרות בנתון כי ABB'A' :ריבוע .לפי הסימון שלנו נקבל כי. AB BB' x : הקטע המורד EHשווה בגודלו לגובה המנסרה. EH x : לאחר שמצאנו קשר בין שתי צלעות ניתן לחשב את הזווית הנדרשת: EH x 1 tan EGH EGH 32.31 GH x 2.5 2.5 ב .נטיל את GEעל מישור הפאה .AA'B'Bנשים לב כי היות ובסיס המנסרה הוא משולש ישר זווית אז המקצוע ' B'Cמאונך למישור הפאה AA'B'Bולכן גם הקטע .B'Eנתבונן במשולש .EB'Gיש למצוא את זווית B'GEוזאת נבצע ע"י מציאת יחסים בשתי צלעות שבו .הנקודה Eהיא אמצע ' B'Cולכן( B'E 1.5x :לפי הסימון שלעיל). את אורך הקטע B'Gנמצא ע"י משפט פיתגורס בפאה AA'B'Bכאשר: . BG 0.5x , BB' x נקבל. B'G BG 2 BB'2 0.25x2 x2 x 1.25 : B'E 1.5 x 1.5 כעת נחשב את הזווית B'GE 53.3 : . tan B'GE B'G x 1.25 1.25 ג .המשולש ' EGAהוא משולש כללי .כדי למצוא את הזווית המבוקשת נוריד גובה A'MלEG- ונפצל את החיפוש לשני משולשים .נמשיך בעיקרון של ביטוי צלעות במשולש זה ע"י xונחשב את שני חלקי הזווית .נשים לב כי( GA'M 21 :המשולש A'MGישר זווית). את הצלע A'Eנבטא ממשולש A'B'Eשבבסיס העליון באמצעות פיתגורס ונקבל: . A'E A'B'2 B'E2 x2 2.25x2 x 3.25 במישור הפאה AA'B'Bמתקיים. B'G A'G x 1.25 : נבטא את A'Mבמשולש שלנו. A'M x 1.25 sin 69 1.04 x : 78 . cos EA'M A'M 1.04 x 1.04 EA'M 54.62 :EA'M נמצא את זווית A'E x 3.25 3.25 . GA'E 75.6 :לכן הזווית המבוקשת היא y . דבורים3000 .2 .4.1%- ב.1 . א.3 3 . Min 1.5, 3 e3 : נקודת הקיצון היא. x 0, 1.5 .1 .ב 8 . שתי נקודות.4 y 0 .2 .3 x a . x 1 a .iv. 0, .iii. e a, e .ii ln a : סקיצה.ג y . x a , x 1 a .i . א.4 k e .ד a 2 .ב . a 2 . בy ' xe x . א.5 x :28 בחינה . 19.84 . ב. ס"מ5 , ס"מ13 , ס"מ13 . א.1 1 1 . ימים9.36 . בmin 1 ,0 , max 3 ,0.483 , b 12 , a 4 . א.2 2 2 . 0 x 1 :יורדת x 1 :עולה3 Min 1,1 .2 x 0 .ii x 0 .i.1 .ב 16.63% . א.3 . min(4, 1) . ב. 0 x . א.4 . (1,0) , (16,0) . ד. 0 x 4 : ירידה, 4 x : עלייה.ג . יחידות שטחS 2 2 4 11.74 .5 :29 בחינה .1 . הוא גודל קבועbn1 bn יש להראות כי ההפרש.א : an באמצעותbn 1 נבטא את . bn 1 4 7an 1 an 1 7 3an 8an 12 21an 2an 3 2an 3 8a 12 21an 12 13an n 3an 3an 3an 3an 2an 3 2an 3 4 79 נראה כי החיסור קבוע: 12-13an 4-7an 12 13an 3 4 7an 12 13an 12 21an 8an 2 2 3an an 3an 3an 3an 3 2 קיבלנו גודל קבוע שאינו תלוי ב n -ולכן הסדרה bnהיא חשבונית והפרשה הוא . d 2 3 ב .יש לחשב את סכום 11האיברים העומדים במקומות הזוגיים של הסדרה החשבונית . bn bn1 -bn 11 1 1 2 נקבל2 2 5 10 267 : 2 3 3 3 . S11 p .2א 11.16 .ס"מ .ב 53.13 .ג 47.27 .סמ"ר. .3א .הכמות השנייה תגיע ליעדה לפני הראשונה . 13.5 14.2 ב .נשווה את שני הביטויים של ln 0.5 ln 2 זמן ונקבל: ln a1 ln a2 או. ln a1 ln a2 : ע"י הוצאת lnנקבל a1 a2 1 :והרי שמכפלת מספרים הופכיים היא .1 5 3 3 .4ב . , 6.05 , ,1.11 , ,1.11 , , 6.05 .ג. 12 12 4 4 4 4 , .5ב. a 2 . 80 . t1,2 בחינה :30 a12 q 2 n 1 q2 1 .1א a1 . a1 q 2 n 1 ) Sn ( s ) Sn ( o ב q 0.5 .ג. a5 20 . q2 1 .2א 4.875t .ב 39.1 .ג. t 8 . .3א( . 0 x e .שימו לב כי תנאי ת.ה .הם 1 ln x 0 :וגם .) x 0 1 ב 0 . x 1 ln x 1x 1 ln x y - f '( x) ולכן הפונקציה יורדת בת.ה. ג . 1, 0 .ד .סקיצה בצד. x .4א .כן. g ( x) : , 0 , f ( x) : 0.5 ,0 , 1.5 ,0 . 2 1 4 1 . ג. Max ,1 . , , , ב .כן . 2 3 2 3 ד .איור . g ( x) - Iאיור . f ( x) - IIניתן לאמת זאת עפ"י הסעיפים הקודמים. 27 .5א .כל xב. max 3, 3 . e ג .תחומי עלייה , x 3 :תחומי ירידה x 3 :ד. 0,0 . 81
© Copyright 2024