‫בס"ד‬ ‫מדריך למורה‬ ‫‪73‬‬ ‫בס"ד‬ ‫שיעור ‪ -16‬גופים ומידותיהם‬ ‫פעילות המבט‬ ‫מטרת פעילות זו היא להכיר מאפיינים שונים של גופים המתקבלים כתוצאה ממדידות שונות‪:‬‬ ‫מדידות אורך‪ -‬אורכי הצלעות; מדידות שטח‪ -‬שטח בסיס הגוף ושטח המעטפת; מדידת נפח הגוף‪.‬‬ ‫בנוסף‪ ,‬יכירו התלמידים בצורה אינטואיטיבית את המושגים "גובה החרוט" ו‪"-‬גובה הפירמידה"‪.‬‬ ‫מטרה נוספת של פעילות זו היא להראות את המשמעות הפיסיקלית של כל אחד מהמאפיינים‪.‬‬ ‫חשובה‪ ,‬לדעתנו‪ ,‬ההתייחסות להיגדים המופיעים במשימה זו‪ ,‬שמאפשרת לקשר בין המושגים‬ ‫מביאות למושגים אלה‪.‬‬ ‫הפיסיקליים לבין המאפיינים הרלוונטיים של הגופים‪.‬‬ ‫בסיום פרק זה של הספר יקבלו התלמידים רקע מספיק על מת לענות על השאלות האלו‪.‬‬ ‫נתייחס כאן לכל אחד מההיגדים‪:‬‬ ‫‪ ‬אלון‪ :‬נתון בשאלה ששטח הרצפה של כל האוהלים הוא ‪ 6‬מ"ר‪ .‬מכאן ששטחי הרצפות של‬ ‫כל האוהלים שווים זה לזה‪ .‬טענה זו של אלון באה להתמודד עם תפיסה אינטואיטיבית‬ ‫הלא נכונה המסתמכת על "הנראה לעין‪ .,‬בין היתר‪ ,‬היא מתמודדת עם ההתרשמות‬ ‫הויזואלית המטעה שגורמת לטעון שבסיס אשר היקפו גדול ביותר מבין שלושת הגופים‪,‬‬ ‫גדול גם בשטחיו מבין השלושה‪.‬‬ ‫‪ ‬בועז‪ :‬טענה זו טענה לא נכונה‪ .‬הנקודה בה מעמדים את מוט התמיכה היא נקודת חיתוך‬ ‫אלכסונים של הריבוע‪ .‬כדאי להדגים זאת לילדים על מודל של פירמידה )על המודל להיות‬ ‫מורכב מצלעות בלבד ולהיות חלול(‪.‬‬ ‫‪ ‬גלעד וגדעון‪ :‬כדי להחליט איפה יהיה מחניק יותר‪ ,‬צריך לחשב את כמות האוויר שתהיה‬ ‫בכל אחד מהאוהלים‪.‬לשם כך יש לחשב את הנפח של כל אוהל‪.‬‬ ‫‪ ‬אורי‪ :‬נאמר שהמוטות למתיחת הבד קלים ולא מחשיבים את משקלם‪ ,‬ולכן צריך לחשב‬ ‫רק את כמות הבד של שלושת האוהלים כדי לדעת איזה מהם כבד יותר ואיזה‪ -‬קל יותר‪.‬‬ ‫לשם כך צריך לחשב את השטח הכולל של הבד בדרוש לכל אחד מהאוהלים‪ .‬כדאי לחשב‬ ‫כיצד כדאי להשוות את האוהלים לפי כמות הבד‪ :‬האם יש צורך לחשב את השטח הכולל‬ ‫של הבד הדרוש לכל אחד מהאוהלים כולל הרצפות או שאין צורך בכך‪ .‬למרות שבשלושת‬ ‫האוהלים יש גם מוטות תומכים התורמים למשקל משום שעליהם לא נאמר שהם קלים‪,‬‬ ‫אך הם לא מוסיפים על התשובה לשאלת ההשוואה משום שלשלושתם יש את אותו גובה‬ ‫ולכן אינם משפיעים על ההשוואה‪ .‬דבר דומה נכון גם לשטחי הרצפות‪ :‬אפשר לא‬ ‫להתייחס אליהם לצורך השוואת משקל האוהלים‪ ,‬שכן לשלושתם אותו שטח‪ ,‬על כן‬ ‫משקליהם שווים ביניהם‪ ,‬ויהיה חומר שממנו הם עשויים אשר יהיה‪ ,‬כל עוד זה אותו‬ ‫חומר בשלושת האוהלים‪ .‬שאלה זו חשובה מאד כשאלה של חשיבה מתמטית‪ ,‬חשיבה‬ ‫כמותית‪ ,‬פיתוח תובנה של תכונות החיבור‪ ,‬וכדומה‪.‬‬ ‫‪74‬‬ ‫‪ ‬גדי ובני‪ :‬כדי למתוח את האוהלים א' ו‪ -‬ג' צריכים מוטות נוספים לאורך המקצועות של‬ ‫כל אחת מהפירמידות‪ .‬כדי למתוח את האוהל של קבוצה ב'‪ ,‬מספיק לחבר אותו למעגל‬ ‫היוצר את הבסיס ולקצה המוט התומך אותו מעמידים במרכז הרצפה העגולה של האוהל‪.‬‬ ‫לאוהל זה אין מקצועות צדדיים‪ .‬כל נקודה על המעגל התוחם את רצפת האוהל מחוברת‬ ‫בקטע אל הקצה העליון של המוט התומך‪ ,‬אבל אף אחד מהקטעים האלה הוא לא מקצוע‪,‬‬ ‫ובאף אחד מהם אין צורך לחבר מוט נוסף‪ .‬גם עובדה זו כדאי להדגים לתלמידים‬ ‫באמצעות מודל של חרוט‪.‬‬ ‫פעילות קבוצתית‬ ‫מטרת המשימה היא לחזור על המסקנות שהוסקו בפעילות הקודמת‪ ,‬כאשר הפעם מוצגים בפני‬ ‫הילדים שלושת הגופים‪-‬האוהלים‪ .‬ניתוח כזה של תכונות הגופים הנ"ל מאפשר למצוא את הדמיון‬ ‫בין פירמידות וחרוטים עליו נסתמך בהקניית הנוסחה לחישוב נפחיהם‪.‬‬ ‫‪75‬‬ ‫פעילות המורה‬ ‫מטרת הפעילות היא להתבונן במנסרות ובגלילים באופן הדומה לפעילות הראשונה בשיעור זה‪.‬‬ ‫הסיבה להצגת שתי קבוצות הגופים‪ -‬פירמידות וחרוטים‪ ,‬מנסרות וגלילים‪ -‬היא במבנה הגופים‬ ‫בתוך כל אחת מהקבוצות‪ .‬למרות שפירמידות ומנסרות הן פאונים‪ ,‬בעוד שחרוטים וגלילים הם‬ ‫גופי סיבוב‪ ,‬בכל מה שקשור בחישובי שטח פנים ונפח החשוב הוא המבנה המשותף של גופים בתוך‬ ‫כל אחת מהקבוצות‪.‬‬ ‫נתייחס להגדרה המתמטית של משטח גלילי‪ :‬משטח גליל נוצר על ידי ישרים מקבילים ביניהם‬ ‫העוברים כולם בדרך קו מישורי הנקרא הקו המדריך‪ ,‬והקווים הישרים נקראים קווים יוצרים‪.‬‬ ‫אם הקו המישורי הוא מעגל והקווים הישרים מאונכים למישור המעגל‪ ,‬מדובר במשטח גלילי‬ ‫מעגלי ישר‪ .‬אם חותכים את המשטח בשני מישורים המקבילים למישור הקו המדריך‪ ,‬מקבלים‬ ‫גוף סגור המוכר בדרך כלל כגליל‪:‬‬ ‫מכן ברור שאם הקו המדריך הוא מצולע‪ ,‬נקבל בדרך דומה מנסרה‪:‬‬ ‫הסתכלות זו על מנסרות כעל גלילים מובילה לדמיון בין דרכי החישוב של נפח ושטח פנים של שני‬ ‫הגופים הנ"ל‪.‬‬ ‫באופן דומה ניתן לראות פירמידות כחרוטים שהקו המדריך שלהם הוא לא מעגל אלא מצולע‪,‬‬ ‫ומכאן גם הדמיון בין הנוסחאות לחישוב נפח ושטח המעטפת של פירמידה וחרוט‪.‬‬ ‫פעילות עצמית‬ ‫סעיף ‪ :4‬מטרת הפעילות היא לחדד את ההבדל בין שני סוגי הגופים שנלמדו‪ :‬המשטח החרוטי‬ ‫)חרוט ופירמידה( והמשטח הגלילי )מנסרה וגליל(‪ .‬בנוסף יתבוננו התלמידים הגופים נוספים‬ ‫שאינם שייכים לשתי הקבוצות הנ"ל‪ .‬במקרה של קשיי התלמידים להליט לגבי גוף מסוים‪ ,‬כדאי‬ ‫להיעזר בקיסמים ופלסטלינה לבניית המודלים של הגופים‪.‬‬ ‫סעיף ‪ :5‬מטרת משימה זו היא להתייחס לחישוב שטח הפנים של הגופים‪ .‬כפי שאמרנו קודם לכך‪,‬‬ ‫כדי לדעת כמה בד צריך לכל אחד מהאוהלים‪ ,‬יש לחשב את שטח המעטפת של כל אחד מהגופים‪.‬‬ ‫לפני ביצוע המשימה כדאי לחזור על נוסחאות לחישוב שטח המשולש ושטח העיגול וגזרתו‪.‬‬ ‫שיעורי הבית‬ ‫משימה ‪ :6‬במשימה זו יתייחסו התלמידים לשטח המעטפת של מנסרות וגלילים‪ .‬חשוב להדגיש‬ ‫שחישוב כמות הבד הנדרשת מתייחס למעטפת ואינו מתייחס לרצפה העשויה מחומר אחר‪ ,‬ובכל‬ ‫מקרה בכל שאלות ההשוואה אין צורך‪ ,‬כפי שאמרנו כבר‪ ,‬בחישוב שטח הרצפה‪.‬‬ ‫משימה ‪ :7‬מטרת המשימה היא לסכם את מה שנעשה במשימות ‪ 5‬ו‪ 6 -‬ולכוון את התלמידים‬ ‫לחישובי נפחים‪.‬‬ ‫משימה ‪ :8‬מטרת המשימה היא לחזור על נושא הגופים‪ .‬הפעם יעסקו התלמידים בטיפוח‬ ‫מיומנות שרטוט על ידי העתקתם של הגופים הנתונים על דף משובץ‪.‬‬ ‫‪76‬‬ ‫שיעור ‪ -17‬מהו נפח‬ ‫פעילות המורה‬ ‫מטרת המשימה היא לחזור על כל מה מכירים כבר התלמידים על הגופים בלימודיהם של הפרק‬ ‫הקודם‪ .‬בנוסף‪ ,‬התבוננות בגופים המורכבים מקוביות עוזרת לתלמידים לחזור על מושג הנפח‪.‬‬ ‫פעילות קבוצתית‬ ‫גם במשימה זו יחזרו התלמידים על תכונות המנסרות ויבחנו אלו תכונות של המנסרות ישתנו עם‬ ‫שינוי מקומה של קוביה אחת ואלו תכונות תשמרנה‪.‬‬ ‫פעילות המורה‬ ‫במשימה זו יחזרו התלמידים על כללים לחישוב נפחים‪ .‬כללים אלו נלמדו כבר בכתה ד' בהרחבה‬ ‫והפעם זו רק חזרה עליהם‪ .‬נציין שבמקרה הצורך כדאי לקחת ספר של כתה ד' ולהיעזר בו‪ .‬כדאי‬ ‫גם לעשות הקבלה בין הכללים לחישובי נפחים לבין הכללים לחישובי שטחים‪ .‬בספר נעשה הדבר‬ ‫בצורה מפורשת מנקודת מבט של מדידות של אורך‪ ,‬שטח ונפח בגאומטריה‪.‬‬ ‫פעילות עצמית‬ ‫סעיף ‪ :4‬מטרת הפעילות היא לחזור על חישובי נפחים של גופים הבנויים מקוביות של סמ"ק‪.‬‬ ‫במקרה שהתלמידים יתקשו בביצוע המשימה‪ ,‬כדאי להציע להם להיעזר בקוביות של סמ"ק‬ ‫לצורך שחזור הגוף המצויר ומניית הקוביות הנדרשות לכך‪.‬‬ ‫סעיף ‪ :5‬מטרת המשימה היא לחזור על חישובי נפחים של תיבות‪ .‬דרך מניית הקוביות הנדרשות‬ ‫לבניית הגוף מוכרת היטב לתלמידים‪ ,‬הדרך השנייה‪ -‬השלמת הגוף לתיבה וחישוב נפחה אינה‬ ‫רגילה לתלמידים‪ .‬כאן כדאי לערוך דיון על אסטרטגיות בהן נקטו התלמידים במהלך פתרון‬ ‫המשימה‪.‬‬ ‫שיעורי בית‬ ‫סעיף ‪ :6‬מטרת המשימה היא לבסס את ההבנה שלגופים שונים יתכנו אותם נפחים‪ .‬בנוסף‪ ,‬עונה‬ ‫המטלה הזו על הדרישה של תכנית הלימודים‪ :‬התלמידים יתכננו גופים שונים בעלי נפח שווה‪.‬‬ ‫לתלמידים שיתקשו בביצוע המשימה אפשר להציע להיעזר בקוביות של סמ"ק‪ .‬לתלמידים‬ ‫מתקדמים אפשר להציע לבנות גופים שנפחם ‪ 5‬סמ"ק והם בנויים מקוביות שלמות וחצאי‬ ‫קוביות‪.‬‬ ‫‪77‬‬ ‫סעיף ‪ :7‬מטרת המשימה היא לחזור על חישובי נפחים של תיבות וגופים הבנויים מתיבות‪ .‬כדאי‬ ‫להתייחס כאן לדרכים שונות להגיע לפתרון בכל אחד מהסעיפים‪ .‬להלן מפורטות דרכים אלו‪:‬‬ ‫סעיף ‪ :8‬מטרת משימה זו היא לחזור על חישוב נפח התיבה‪ .‬הפעם המשימה מורכבת במקצת‪ :‬על‬ ‫התלמידים לחשב נפח תיבה שגדולה מהתיבה הנתונה ב‪ 2 -‬ס"מ בכל מימד‪.‬‬ ‫‪78‬‬ ‫שיעור ‪ -18‬יחידות מדידת נפח‬ ‫פעילות המבט‬ ‫חלק זה של השיעור אינו פעילות רגילה כמו בכל הספר‪ .‬החלטנו להציג את הנושא של מדידות‬ ‫והיכרות עם יחידות נפח כטקסט מתמטי‪ .‬בהתאם לכך אנו מציעים הפעם לשנות את השיגרה של‬ ‫שיעורי הגאומטריה ולעסוק בקריאת הטקסט הנתון‪ .‬במקרה זה כדאי להציע לתלמידים קודם כל‬ ‫להתייחס לנושא הטקסט ולשאול מה הם מצפים לקרוא בו‪ .‬לאחר מכן לאפשר לתלמידים לקרוא‬ ‫את הטקסט עם עפרון ולסמן את כל המילים הלא ברורות‪ .‬ובשלב האחרון לעבור על כל המילים‬ ‫הלא ברורות עם התייחסות לפירושם‪ .‬בנוסף לכך כדאי גם להתייחס לרעיונות מרכזיים המופיעים‬ ‫בטקסט‪ .‬כמובן שאת כל הדיון הזה כדאי ללוות בהדגמת היחידות להן מתייחסים בטקסט‪1 :‬‬ ‫סמ"ר‪ 1 ,‬מ"ר‪ 1 ,‬סמ"ק‪ 1 ,‬ליטר ועוד‪.‬‬ ‫פעילות קבוצתית‬ ‫בפעילות זו יחזרו התלמידים על שתי תכונות חשובות של מדידה פיסיקלית‪:‬‬ ‫‪ ‬ככל שיחידת המדידה גדולה יותר‪ ,‬כך תוצאות המדידה באמצעות יחידה זאת קטנה יותר‪.‬‬ ‫וההיפך‪ ,‬ככל שיחידת המדידה קטנה יותר‪ ,‬כך תוצאת המדידה באמצעות יחידה זאת‬ ‫גדולה יותר‪.‬‬ ‫‪ ‬חישובי נפח אפשר לבצע רק כאשר כל המדידות הנחוצות מחושבות באותן יחידות‪.‬‬ ‫כדי להתייחס לכל אחת מהתכונות הנ"ל כדאי לחשב את נפחה של התיבה הנתונה בשלוש דרכים‪:‬‬ ‫פעם בסמ"ק‪ ,‬פעם בליטרים ופעם במ"ק‪ ,‬ולהתבונן בשלוש התוצאות הנ"ל במטרה לזהות את‬ ‫התכונה האמורה לעיל‪.‬‬ ‫פעילות מורה‬ ‫סעיף ‪ :3‬מטרת הפעילות היא לאפשר לתלמידים לעסוק במעברים בין יחידות נפח שונות ולחזק‬ ‫את התובנה שמחשבים שטח או נפח רק על סמך מדידות אורך באותן יחידות‪ .‬אם היחידות בהן‬ ‫השתמשנו במדידת גדלים שונים‪ ,‬שונות זו מזו‪ ,‬לא ניתן לבצע את חישובי שטח או נפח לפני‬ ‫שמביאים את כל האורכים לידי אותה יחידת מדידה‪ .‬כדי להקל על התלמידים בפתרון שאלות מן‬ ‫הסוג הזה כדאי לרשום אתם את הטבלה הבאה‪:‬‬ ‫‪ 1‬מ'‬ ‫‪ 100‬ס"מ‬ ‫‪ 1‬מ"ר‬ ‫‪ 10,000‬סמ"ר‬ ‫‪ 1‬מ"ק‬ ‫‪ 1,000,000‬סמ"ק‬ ‫‪79‬‬ ‫פעילות עצמית‬ ‫סעיף ‪ :4‬מטרת התרגיל היא להראות לתלמידים את השימוש הרחב בליטרים לצורך מדידת נפחי‬ ‫הנוזלים‪ .‬בתום ביצוע המשימה אפשר לערוך רשימה כיתתית ולהיווכח ששימוש זה הוא רחב‬ ‫מאד‪.‬‬ ‫סעיף ‪ :5‬משימה זו עוסקת בקשר שבין ליטר לסמ"ק‪ ,‬ובין תוצאות המדידה באמצעות שתי‬ ‫היחידות האלו‪.‬‬ ‫כדאי לנצל משימה זו על מנת לחזק את הנלמד בפעילות הקבוצתית‪.‬‬ ‫שיעורי בית‬ ‫סעיף ‪ :6‬מטרת הפעילות היא לעסוק בזיהוי גופים ומיכלים שונים מסביבתם של תלמידים שאת‬ ‫נפחם מודדים בליטרים‪.‬‬ ‫סעיף ‪ :7‬מטרת המשימה היא לעסוק באומדן נפחים‪ .‬במידת הצורך אפשר להציג את כמות המים‬ ‫בכל אחד מהכלים כמספר ליטרים‪ ,‬לחבר את המספרים ולראות לאיזה מספר מבין המספרים‬ ‫הנתונים קרוב המספר שיתקבל‪:‬‬ ‫סעיף ‪ :9‬מטרת המשימה היא לחזור על נושא הגופים על ידי טיפוח של ראיה מרחבית‪ :‬על‬ ‫התלמידים לשרטט צורות שהם יראו אם יתבוננו בגוף מסוים מלמעלה‪ ,‬מהצד או מקדימה‪.‬‬ ‫‪80‬‬ ‫שיעור ‪ -19‬חישוב נפחי מנסרות‬ ‫פעילות המורה‬ ‫משימה ‪ :1‬מטרת המשימה היא לחזור על חישוב נפח התיבה בכל הדרכים האפשריות והתייחסות‬ ‫מיוחדת לשתי דרכים המקובלות‪ :‬על ידי הכפלת שלושת המימדים או על ידי הכפלת שטח הבסיס‬ ‫)כל אחת מהפאות יכולה להיות בסיס התיבה( בגובה של התיבה לבסיס זה‪.‬‬ ‫משימה ‪ :2‬בכיתות ד' ו‪ -‬ה' במהלך לימודיהם של הנושא "חישובי שטחים" הכירו התלמידים‬ ‫דרכים לחישוב שטח המשולש‪ .‬אחת מהדרכים הנ"ל היתה השלמת המשולש למלבן ומציאת שטח‬ ‫המשולש בהסתמך על שטח המלבן )לפירוט נוסף ראו ספר של כיתה ד'(‪ .‬הקניית הנוסחה לחישוב‬ ‫נפח המנסרה החלטנו גם לעשות בדרך זו‪:‬‬ ‫‪ ‬קודם כל נראה כיצד אפשר לחשב את שטחה של מנסרה משולשת שבסיסה משולש‬ ‫ישר‪ -‬זווית‪.‬‬ ‫‪ ‬בשלב השני נראה כיצד אפשר לחשב את נפחה של כל מנסרה משולשת על ידי‬ ‫חלוקתה לשתי מנסרות שבסיסיהן משולשים ישרי זווית‪ .‬מכאן נלמד כיצד לחשב‬ ‫את נפחה של כל מנרה משולשת‪.‬‬ ‫‪ ‬ובשלב האחרון נראה שכל מנסרה ניתן לחלקה למנסרות משולשות ומכאן נגיע‬ ‫לנוסחה של חישוב נפח מנסרה כלשהי‪.‬‬ ‫במהלך ביצוע משימה זו ייווכחו התלמידים שנפחה של מנסרה משולשת שבסיסה משולש ישר‪-‬‬ ‫זווית אפשר לחשב כמכפלת שטח הבסיס בגובה של המנסרה‪.‬‬ ‫פעילות קבוצתית‬ ‫מטרת הפעילות היא לחזור על חישובי נפחים של תיבות ושל מנסרות משולשות שבסיסיהן הם‬ ‫משולשים ישרי‪ -‬זווית‪.‬‬ ‫פעילות המורה‬ ‫משימה ‪ :5‬מטרת המשימה היא להראות לתלמידים שנפח מנסרה משולשת כלשהי שווה למכפלת‬ ‫שטח הבסיס של מנסרה זו בגובה לבסיס זה‪ .‬לצורך כך אנו מציגים שתי דרכים להשתכנע בנכונות‬ ‫הנוסחה‪:‬‬ ‫‪ ‬דרך אחת‪ -‬על ידי חלוקתה של מנסרה משולשת לשתי מנסרות שבסיסיהן הם משולשים‬ ‫ישרי‪ -‬זווית‪ .‬לצורך כך אנו נעביר במשולש כלשהו את אחד הגבהים הפנימיים שלו )הרי‬ ‫תמיד אפשר למצוא גובה כזה(‪ ,‬ואז נבצע חתך של המנסרה על פי קטע זה‪.‬‬ ‫‪ ‬דרך נוספת היא לבצע חתך כמו שהוצג קודם וגם להשלים כל אחד מהחלקים שהתקבלו‬ ‫לתיבה‪.‬‬ ‫‪81‬‬ ‫חשוב להדגיש את הדמיון הקיים של כל אחת מדרכי חישוב אלה‪ ,‬לדרך חישוב של שטח של‬ ‫משולש על ידי הפיכתו למשולשים ישרי‪ -‬זווית או למלבן‪ .‬בכך יש להוביל את התלמידים להבנה‬ ‫שלכל המנסרות למעשה אותה שיטה לחישוב נפח משום שאת כולם אפשר "להפוך" לתיבות‪ ,‬אם‬ ‫כי אין שום צורך לעשות זאת בכל פעם שמחשבים את הנפח‪ ,‬אלא משתמשים בנוסחה המבוססת‬ ‫על מסקנה זו‪.‬‬ ‫משימה ‪ :6‬כפי שכבר צוין‪ ,‬מטרת המשימה היא להראות שנפח של מנסרה כלשהי אפשר לחשב‬ ‫באמצעות חלוקתה למנסרות משולשות‪ .‬מכאן פח המנסרה הוא מכפלת שטח הבסיס של המנסרה‬ ‫בגובה לבסיס זה‪.‬‬ ‫פעילות עצמית‬ ‫סעיף ‪ :7‬מטרת הפעילות היא לתרגל שימוש בנוסחה לחישוב נפח מנסרה‪ .‬שתי מנסרות נתונות הן‬ ‫מנסרות שניתן לחשב את נפחן על ידי שימוש בנוסחה החדשה או על ידי שימוש בנוסחה לחישוב‬ ‫נפח התיבה‪ .‬כדאי להציג בפני התלמידים את שתי האלטרנטיבות ולהשוות את התוצאות על מנת‬ ‫לוודא שבכל אחת מהדרכים מגיעים לאותה תוצאה‪.‬‬ ‫סעיף ‪ :8‬מטרת המשימה היא לחזור על תכונות המנסרות כגופים ולהיווכח שחלוקת התיבה על‬ ‫ידי חתך אלכסוני או על ידי חתך המקביל לשתי פאותיה של התיבה יוצרת ארבעה גופים שווי נפח‬ ‫שאינם חופפים ביניהם‪ .‬משימה זו באה להראות שלגופים שונים יתכנו נפחים שווים‪.‬‬ ‫סעיף ‪ :9‬מטרת המשימה היא לתרגל חישוב נפח של המנסרות‪.‬‬ ‫שיעורי בית‬ ‫סעיף ‪ :10‬מטרת המשימה היא לתרגל חישוב נפח של המנסרה‪.‬‬ ‫סעיף ‪ :11‬מטרת המשימה היא לחזור על חישוב נפח התיבה על פי שלושת מימדיה או על פי‬ ‫מכפלת שטח של כל פאה במקצוע המאונך לפאה זו‪ .‬כדאי להדגיש שבשיטה הראשונה‪ ,‬דהיינו זו‬ ‫המתבססת על כל שלושת מימדי התיבה משימה אך ורק לתיבות‪ ,‬בעוד שחישוב הנפח על פי שטח‬ ‫הבסיס ואורך הצלע המאונכת לו ישימה לכל מנסרה ישרה‪ ,‬וגם לנפח גליל ישר‪ ,‬כאשר במקום‬ ‫הצלע המאונכת לבסיס משתמשים באורך של הקו היוצר של גליל ישר השווה לגובה שלו‪.‬‬ ‫סעיף ‪ :12‬מטרת המשימה היא לחזור על חישוב נפח המנסרה‪.‬‬ ‫סעיף ‪ :13‬מטרת המשימה היא לחזור על העובדה שלגופים שונים יתכנו נפחים שווים‪.‬‬ ‫‪82‬‬ ‫שיעור ‪ -20‬נפח הגליל‬ ‫פעילות המבט‬ ‫בפרק "מעגל ועיגול" הגענו למסקנה הבאה‪:‬‬ ‫כדי לחשב שטח העיגול ניעזר בחישוב שטחי מצולעים משוכללים ונזכור שככל שהמצולע‬ ‫המשוכלל החוסם את העיגול בעל מספר צלעות גדול יותר‪ ,‬כך השטח של המצולע קרוב יותר‬ ‫לשטח העיגול‪.‬‬ ‫חיזוק תובנה זו בשלב לימוד זה עוזר לקשר בין נפח הגליל לנפח המנסרה שבסיסה‪ -‬מצולע‬ ‫משוכלל‪.‬‬ ‫פעילות קבוצתית‬ ‫למשימה זו יש שתי מטרות מרכזיות‪:‬‬ ‫א‪ .‬להבין שממלבן ושני עיגולים אפשר ליצור פריסה של גליל כאשר היקף המעגל ואורך צלע‬ ‫המלבן שווים זה לזה‪.‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫לעסוק במושג "שימור נפח"‪ .‬הפעם ייווכחו התלמידים ששוויון בין נפחי הגלילים אינו‬ ‫נובע משוויון בין שטחי הפנים של הגלילים‪ ,‬וההיפך‪ .‬תובנה זו מקבילה לתובנה במישור על‬ ‫כך ששוויון היקפי מלבנים אינו מבטיח שוויון שטחיהם‪ ,‬וההיפך‪ :‬שוויון שטחי המלבנים‬ ‫אינו מבטיח שוויון של היקפים‪.‬‬ ‫פעילות המורה‬ ‫מטרת המשימה היא להכיר לתלמידים את הנוסחה לחישוב נפח הכדור‪ .‬ההסבר המתמטי לנוסחה‬ ‫זו הוא סבוך ואינו מתאים לגיל התלמידים‪ .‬מסיבה זו החלטנו רק להציג את הנוסחה ללא‬ ‫התייחסות להסברים אפשריים לכך‪ .‬בנוסף לכך‪ ,‬חשוב שהתלמידים יכירו את העובדה שלא‬ ‫קיימת פריסה של פני הכדור )למרות שקיימת‪ ,‬כפי שילמדו בעתיד‪ ,‬נוסחה לחישוב שטח פני‬ ‫הכדור(‪.‬‬ ‫משימה ‪ :4‬מטרת המשימה היא להיווכח שוב שלגופים שונים ייתכנו נפחים שווים‪ .‬אם עד עכשיו‬ ‫גופים כאלו היו לפחות מאותה משפחה‪,‬הפעם נציג לתלמידים שני גופים שונים‪ -‬מנסרה וגליל‪-‬‬ ‫ונראה שנפחיהם בתנאים מסוימים יכולים להיות שווים‪.‬‬ ‫פעילות עצמית‬ ‫סעיף ‪ :5‬מטרת המשימה היא לתרגל חישוב נפח הגליל על פי הנוסחה אותה למדו התלמידים‬ ‫בשיעור זה‪.‬‬ ‫‪83‬‬ ‫סעיף ‪ :6‬מטרת המשימה היא לתרגל חישוב נפח הגליל‪ ,‬אך המשימה הפעם היא קצת יותר‬ ‫מורכבת‪.‬‬ ‫סעיף ‪ :7‬מטרת שמשימה היא לעסוק ב"חוק הפיצוי" בכפל באמצעות התייחסות לנפח הגליל‪.‬‬ ‫אפשר להציע לתלמידים מתקשים לבחור גליל מסוים‪ ,‬לרשום נוסחה לחישוב נפחו ומשם להסיק‬ ‫את המסקנות הנדרשות‪ .‬את התלמידים המתקדמים כדאי לעודד לעסוק בנוסחה באופן כללי‪.‬‬ ‫שיעורי בית‬ ‫סעיף ‪ :8‬מטרת המשימה היא לתרגל חישוב נפח הגליל והכדור על פי הנוסחאות שנלמדו בשיעור‬ ‫זה‪.‬‬ ‫סעיף ‪ :9‬מטרת המשימה היא לראות את השפעתה של חזקה שלישית על המכפלה הכוללת‪,‬‬ ‫במקרה זה על נפח הכדור‪.‬‬ ‫סעיף ‪ :10‬מטרת המשימה היא לתרגל חישוב נפח הכדור במשימה מורכבת‪.‬‬ ‫‪84‬‬ ‫שיעור ‪-21‬נפח הפירמידה ונפח החרוט‬ ‫פעילות המבט‬ ‫מטרת פעילות זו היא להקנות לתלמידים את הנוסחה המשותפת לחישוב נפח הפירמידה ונפח‬ ‫החרוט‪ .‬העקורות המתמטיים שעומדים מאחרי נוסחה זו ילמדו בכיתות גבוהות יותר‪.‬‬ ‫חשוב להסב את תשומת ליבם של התלמידים אל המושגים הבאים‪ :‬בסיס הפירמידה‪,‬בסיס‬ ‫החרוט‪ ,‬גובה הפירמידה‪ ,‬גובה החרוט והנפח‪ .‬כדאי לשוחח עם התלמידים על הדמיון והשוני בין‬ ‫שני הגופים‪ .‬בשיחה זו יושם דגש על המבנה הדומה של שני הגופים‪:‬קדקוד הראש שמחובר לקו‬ ‫התוחם את הבסיס באמצעות קטעים המחברים את הקדקוד לכל נקודה על הקו הזה‪ .‬השוני בין‬ ‫שני הגופים הוא בצורת הבסיס שלהם‪:‬לפירמידה הבסיס הוא מצולע ולחרוט הבסיס הוא עיגול‪.‬‬ ‫שוני זה לא משמעותי לחישוב הנפח‪ ,‬הוא משפיע על דרך לחישוב שטח הבסיס של הגוף‪.‬‬ ‫בפעילויות הבאות ייווכחו התלמידים הנכונות הנוסחה לחישוב נפח הפירמידה והחרוט באמצעות‬ ‫מספר דוגמאות אמפיריות‪.‬‬ ‫פעילות קבוצתית‬ ‫פעילות זו היא אחת הדוגמאות המצדיקות את הנוסחה לחישוב נפח הפירמידה‪ .‬חישוב זה מבוסס‬ ‫על חלוקת הקוביה לשלש פירמידות חופפות‪ .‬במהלך הפעילות התלמידים ייווכחו שנפח הקוביה‬ ‫גדול פי ‪ 3‬מכל אחת מהפירמידות המרכיבות אותה‪.‬‬ ‫בשיחת סיכום כדאי להביע את היחס בין נפח הקוביה לנפח הפירמידה באמצעות משפטים‬ ‫הפוכים‪:‬‬ ‫‪ ‬נפח הקוביה גדול פי שלושה מנפח הפירמידה שבסיסה חופף לאחת מפאותיה של הקוביה‬ ‫וגובהה של הפירמידה שווה למקצוע של הקוביה‪.‬‬ ‫‪ ‬נפח הפירמידה שבסיסה חופף לאחת מפאותיה של הקוביה וגובהה שווה למקצוע של‬ ‫הקוביה‪ ,‬קטן פי ‪ 3‬מנפחה של קוביה זו‪.‬‬ ‫פעילות המורה‬ ‫הגופים שירכיבו הילדים מפריסותיהם הם גופים בעלי שטח בסיס וגובה שווים‪ .‬לאור כך ייווכחו‬ ‫התלמידים שנפח הפירמידות השונות ונפח החרוט שווים זה לזה ושווים גם לשליש מנפח התיבה‪.‬‬ ‫מהלך הפעילות כדאי לתכנן על פי השאלות המנחות שבספר‪ .‬לאחר כל מילוי של גוף כדאי לעצור‬ ‫ולהתבונן בתוצאות שהתקבלו‪.‬‬ ‫פעילות עצמית‬ ‫סעיף ‪ :4‬מטרת הפעילות היא לחזור ולתרגל נוסחאות לחישובי נפחים שנלמדו עד כה‪.‬‬ ‫‪85‬‬ ‫סעיף ‪ :5‬שאלות המופיעות במשימה זו הן שאלות הפוכות לשאלות שבמשימה הקודמת‪ .‬הפעם על‬ ‫התלמידים למצוא את המידה החסרה כאשר הנפח כבר נתון‪.‬‬ ‫פתרון‬ ‫סעיף ‪ :6‬מטרת השאלה היא להראות לתלמידים שהיחס בין רדיוס שבבסיס החרוט לבין נפח‬ ‫החרוט אינו יחס ישיר‪ .‬לעומת זאת היחס בין גובה החרוט לנפחו אכן יחס ישיר‪.‬‬ ‫סעיף ‪ :7‬מטרת השאלה היא לחזור על חישובי נפח הפירמידה והיחסים בין המרכיבים השונים‬ ‫שמופיעים בנוסחה‪.‬‬ ‫שיעורי בית‬ ‫סעיף ‪ :8‬במשימה זו יחזרו התלמידים על העקרונות המשותפים לחישוב נפח המנסרה ונפח הגליל‬ ‫לעומת העקרונות המשותפים לחישוב נפח הפירמידה והגליל‪.‬‬ ‫סעיף ‪ :9‬מטרת המשימה היא לחזור על נוסחאות לחישוב נפח החרוט ונפח הפירמידה‪.‬‬ ‫פתרון‬ ‫סעיף ‪ :10‬מטרת המשימה היא לחזור ולתרגל חישובי נפחים של גופים שונים‪ .‬הקושי של המשימה‬ ‫הוא במורכבות של כל אחד מהגופים‪ ,‬מורכבות זו מאפשרת להדגיש את אחד הכללים לחישוב‬ ‫הנפחים‪:‬‬ ‫אם מחלקים את הגוף למספר חלקים‪ ,‬סכום נפחי החלקים שווה לנפחו של הגוף המקורי‪.‬‬ ‫פתרון‬ ‫‪86‬‬ ‫שיעור ‪-22‬בעיות שונות‬ ‫מטרת השיעור היא לחזור ולתרגל את כל הנוסחאות והמושגים הקשורים לחישובי הנפחים של‬ ‫גופים שונים‪ .‬חזרה זו כדאי‪ ,‬לדעתנו‪ ,‬לבצע באמצעות התמודדות עם משימות שונות‪ .‬בשיעור זה‬ ‫משימות שונות שעוברות בקפידה על כל החומר הנלמד‪ .‬את העבודה עם שיעור זה‬ ‫יש‬ ‫אפשר לבצע במהלך שניים‪ -‬שלושה שיעורי כתה‪ ,‬אפשר גם לתת כל פעם שעוסקים בנושא כלשהו‬ ‫משימה הקשורה בו‪ .‬הדרך הראשונה נראית טובה יותר ומכינה טוב יותר את התלמידים למבחן‬ ‫מסכם בנושא‪.‬‬ ‫בעיות‬ ‫שיעור ‪22‬‬ ‫שונות‬ ‫‪ .2‬לפניכם פריסות של קוביות ועליהן מסומנים קטעים אשר התקבלו מחיתוך הקוביות על ידי‬ ‫מישור‪ .‬מצאו מהי צורת החתך )אפשר להעתיק את הפריסות על ניר העתקה‪ ,‬לגזור ולבנות קוביה‪.‬‬ ‫א‪.‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫מלבן‬ ‫ג‪.‬‬ ‫ריבוע‬ ‫‪87‬‬ ‫ריבוע‬