‫אולימפיאדה ‪ 2013‬שאלות שלב הגמר‬ ‫שלב ראשון‬ ‫זמן כולל למענה ‪ 15 :‬דקות‬ ‫‪ .1‬בוחרים באקראי פולינדרום בטווח מ‪ 1000-‬עד‪) 9999‬כולל(‪.‬‬ ‫מהו הסיכוי שיתחלק ב‪?7-‬‬ ‫* פולינדרום הוא מספר הנשאר זהה בקריאה משמאל לימין ומימין לשמאל‪ .‬למשל‪36763 :‬‬ ‫‪ .2‬ברשותכם ‪ 7‬ממתקים שונים ושלושה תיקים‪ :‬אדום‪ ,‬כחול‪ ,‬לבן‪.‬‬ ‫בכמה דרכים אפשר לפזר את הממתקים לתיקים‪ ,‬אם מוכרחים להכניס לפחות ממתק אחד‬ ‫לתיק האדום וממתק אחד לתיק הכחול? )התיק הלבן יכול להשאר ריק(‪.‬‬ ‫‪ .3‬בשרטוט נתון ריבוע עם צלע באורך ‪ 40‬ס"מ‪ .‬בתוכו ריבוע עם צלע באורך‬ ‫‪ 15‬ס"מ שצלעותיו מקבילות לצלעות הריבוע הגדול‪ .‬לשני הריבועים מרכז‬ ‫משותף‪.‬‬ ‫חיברו בקטע כל קודקוד של הריבוע הקטן עם אמצעי שתי הצלעות‬ ‫הסמוכות של הריבוע הגדול‪ ,‬כמו בציור‪ .‬חותכים את הצורה דמויית הכוכב‬ ‫שהתקבלה‪ ,‬ומקפלים אותה לפירמידה שבסיסה הוא הריבוע הקטן‪.‬‬ ‫חשבו את נפח הפירמידה‪.‬‬ ‫‪ .4‬חרק נע מנקודה ‪ A‬לנקודה ‪ B‬דרך הקטעים שבתרשים‪ .‬הקטעים שמסומנים בהם חיצים‬ ‫ניתנים למעבר רק בכיוון החיצים וכן לחרק אסור לנוע דרך אותו קטע יותר מפעם אחת‪ .‬כמה‬ ‫דרכים שונות קיימות להגיע באופן הזה מנק' ‪ A‬לנקודה ‪? B‬‬ ‫בהצלחה ☺‬ ‫שלב ‪ - 2‬זמן מענה לכל שאלה שתי דקות‬ ‫‪ .1‬מהו המספר הראשוני הקטן ביותר‪ ,‬שהוא ‪ -‬גם סכום של שני מספרים ראשוניים וגם סכום‬ ‫של שלושה מספרים ראשוניים?‬ ‫‪ .2‬לשני מעגלים עם אותו מרכז יש רדיוס של ‪ 10‬מטר ורדיוס של ‪ 20‬מטר )ראו ציור(‪.‬‬ ‫ברווזן הולך דרך המסלול שבציור‪ ,‬כאשר הוא מתחיל מנקודה ‪ A‬ומסיים בנקודה ‪K‬‬ ‫כמה מטרים עובר הברווזן?‬ ‫‪22014 + 22012‬‬ ‫‪ .3‬חשבו את הערך של הביטוי הבא‪:‬‬ ‫‪22014 − 22012‬‬ ‫שאלות נוספות‪:‬‬ ‫מצא ארבעה מספרים שלמים שהקטן ביניהם הוא אפס‪ ,‬כך שההפרשים בין זוגות המספרים‬ ‫‪.1‬‬ ‫הם ‪) 1,3,4,5,6,9‬יש שני פתרונות(‬ ‫‪ . 2‬מעגל בעל רדיוס ‪ 5‬משורטט בתוך מלבן )ראו שרטוט(‪.‬‬ ‫היחס בין אורך המלבן לרוחבו הוא ‪ .2:1‬מהו שטח המלבן?‬ ‫שלב ‪ 3 – 3‬שאלות מהירות במסגרת "ראש בראש" ‪ -‬מי שעונה ראשון‪.‬‬ ‫‪ .1‬בכמה אפסים נגמר המספר‬ ‫‪? 25 × 25 × 25 × 25 × 25 × 25 × 25 × 8 × 8 × 8‬‬ ‫‪ .2‬יהיו ‪ a, b, c, d , e‬מספרים חיוביים‪ ,‬שלמים ושונים זה מזה‪,‬‬ ‫כך ש‪. (6 − a )(6 − b)(6 − c)(6 − d )(6 − e) = 45 :‬‬ ‫מהו ערך הביטוי‪? a + b + c + d + e :‬‬ ‫‪ .3‬מספר טבעות בעובי ‪ 1‬ס"מ אשר מחוברות זו לזו תלויות מהתקרה‪ .‬לטבעת העליונה קוטר‬ ‫חיצוני )קוטר חיצוני=כולל עובי הטבעת( השווה ל‪ 20-‬ס"מ‪.‬‬ ‫הקוטר החיצוני של כל אחת מהטבעות החיצוניות הוא ס"מ ‪ 1‬פחות מהטבעת שמעליה‪.‬‬ ‫לטבעת התחתונה יש קוטר חיצוני השווה ל‪ 3-‬ס"מ‪.‬‬ ‫מהו המרחק מהקצה של הטבעת העליונה ביותר לתחתית של הטבעת התחתונה ביותר?‬ ‫שאלות נוספות‪:‬‬ ‫‪ .1‬הממוצע של המספרים‪ 1, 2,3,...,98,99 :‬והמספר ‪ x‬הוא‪. 100x :‬‬ ‫מהו ערכו של ‪? x‬‬ ‫‪2 + 3 + 4 2011 + 2012 + 2013‬‬ ‫‪ .2‬נתון ש‪-‬‬ ‫=‬ ‫‪3‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪ .‬חשבו את ערכו של ‪. n‬‬ ‫פתרונות‪:‬‬ ‫שלב ‪:1‬‬ ‫‪ .1‬הפולינדרום יהיה מהצורה‪ . xyyx :‬אם כן‪ ,‬נוכל לרשום את המספר בהצגה העשרונית‬ ‫הבאה‪ . 1000 x + 100 y + 10 y + x = 1001x + 110 y :‬נשים לב כי ‪ 1001‬מתחלק ב‪,7-‬‬ ‫לכן ‪1001x + 110 y‬‬ ‫מתחלק ב‪ 7-‬אם ורק אם ‪ 110 y‬מתחלק ב‪ 110 .7-‬אינו מתחלק ב‪.7-‬‬ ‫מתחלק ב‪ 7-‬אם ורק אם ‪ y‬מתחלק ב‪ .7-‬מכיוון ש‪-‬‬ ‫מכיוון ש‪ 7-‬הוא מספר ראשוני‪110 y ,‬‬ ‫‪ y‬היא ספרה עשרונית‪ ,‬היא תתחלק ב‪ 7-‬אם ורק אם ‪ y = 0‬או ‪ y . y = 7‬יכולה להיות כל‬ ‫‪2 1‬‬ ‫אחת מ‪ 10-‬ספרות )‪ (0-9‬ולכן ההסתברות תהיה‪= :‬‬ ‫‪10 5‬‬ ‫‪ .2‬אם נחשב את מס' הצירופים ללא ההגבלות אז כל אחד מ‪ 7-‬הממתקים יכול להיות בכל אחד‬ ‫משלושת התיקים‪= 2187 :‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪ . 3‬נחסר את המקרים שאיננו מעוניינים בהם‪.‬‬ ‫אם התיק האדום ריק אז כל אחד מ‪ 7-‬הממתקים יכול להיות בתיק הכחול או בתיק הלבן‪.‬‬ ‫לכן לכל ממתק יש ‪ 2‬אפשרויות ומכיוון שיש ‪ 7‬ממתקים‪27 = 128 :‬‬ ‫באותו האופן גם במקרה שהתיק הכחול יהיה ריק‪= 128 :‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪.2‬‬ ‫אם התיק הכחול והתיק האדום ריקים אז כל הממתקים נמצאים בתיק הלבן‬ ‫לכן יש רק צירוף ‪ 1‬כזה‪ .‬מכאן שמספר הצירופים כשהתיק האדום או התיק הכחול ריקים‬ ‫הוא‪. 128 + 128 − 1 = 255 :‬‬ ‫לכן‪ ,‬מס' האפשרויות שלנו לאחר הורדת הצירופים הלא רצויים‪2187 − 255 = 1932 :‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ .3‬נפח פירמידה ‪) bihi :‬שטח הבסיס כפול הגובה חלקי ‪ .(3‬הבסיס‪= 225 :‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪. b = 15‬‬ ‫נחשב את מרחק הקטע מקודקוד הפירמידה לנק' האמצע‪.‬‬ ‫‪25‬‬ ‫אם נסמן את המרחק ב‪ , x -‬אז‪= 12.5 :‬‬ ‫‪2‬‬ ‫= ‪. x + 15 x + = 40 ⇒ x‬‬ ‫נחשב את המרחק ממרכז הבסיס לנק' אמצע הצלע‪:‬‬ ‫‪15‬‬ ‫אורך הקטע המבוקש הוא חצי מאורך צלע הריבוע הקטן‪ ,‬לכן‪= 7.5 :‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪.‬‬ ‫נחשב את גובה הפירמידה‪:‬‬ ‫מדובר במשולש ישר זוית לכן לפי משפט פיתגורס נקבל כי הגובה שווה ל‪ 10-‬ס"מ‪.‬‬ ‫‪bih 225i10‬‬ ‫=‬ ‫מכאן‪ ,‬נפח הפרמידה‪= 750 :‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ .4‬נצייר קווי עזר‪:‬‬ ‫ניתן לראות כי יש ‪ 2‬דרכים לעבור את הקו הראשון )דרך הקצה העליון או דרך הקצה‬ ‫התחתון(‪ .‬לגבי הקו השני‪ ,‬עבור כל בחירה באחת מהדרכים לעבור את הקו הראשון ישנן ‪3‬‬ ‫דרכים לעבור את הקו השני‪ .‬מכיוון שלא ניתן לעבור דרך כל קצה יותר מפעם אחת קיימת‬ ‫בדיוק דרך אחת שמשתמשת באחד מהקצוות הראשוניים ובאחד מהקצוות השניים‪ ,‬לכן‬ ‫סה"כ ישנן ‪ 6 = 2i3‬דרכים לעבור את שני הקווים הראשוניים‪ .‬אם נסתכל על התרשים כולו‬ ‫נוכל לראות כי ישנן‪ 2880 = 2i3i4i5i4i3i2 :‬אפשרויות לעבור את התרשים‪.‬‬ ‫שלב ‪:2‬‬ ‫‪ 8 .1‬המספרים הראשוניים הם‪ . 2,3, 5, 7,11,13,17,19 :‬אם הסכום של ‪ 2‬מספרים‬ ‫ראשוניים הוא מספר ראשוני אז אחד מהם חייב להיות המספר ‪.2‬‬ ‫אם הסכום של ‪ 3‬מספרים ראשוניים שונים אז כולם חייבים להיות אי זוגיים‪.‬‬ ‫לכן‪ . 2 + 17 = 19;3 + 5 + 11 = 19 :‬המספר הראשוני הוא ‪.19‬‬ ‫‪ .2‬נפתור בחלקים לפי החצים‪:‬‬ ‫חלק ‪ :1‬נשים לב כי רבע היקף של המעגל הגדול הוא‪:‬‬ ‫‪2π r π r 20π‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪= 10π‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪.‬‬ ‫חלק ‪ :2‬רדיוס המעגל הגדול פחות רדיוס המעגל הקטן הוא‪. 20 − 10 = 10 :‬‬ ‫‪10π‬‬ ‫חלק ‪ :3‬רבע היקף המעגל הקטן הוא‪= 5π :‬‬ ‫‪2‬‬ ‫=‬ ‫‪πr‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪.‬‬ ‫חלק ‪ :4‬קוטר המעגל הקטן‪2i10 = 20 :‬‬ ‫חלק ‪ :5‬כמו חלק ‪.3‬‬ ‫חלק ‪ :6‬כמו חלק ‪.2‬‬ ‫לכן המטרים שהברווזן עבר‪10π + 10 + 5π + 20 + 5π + 10 = 20π + 40 :‬‬ ‫‪22012 (4 + 1) 5‬‬ ‫‪ .3‬לפי חוקי חזקות‪= :‬‬ ‫‪22012 (4 − 1) 3‬‬ ‫פתרון שאלות נוספות‪:‬‬ ‫‪ .1‬נגדיר מספרים בהתאם לתנאי השאלה כך ש‪ . a < b < c < d -‬נשים לב כי ההפרש‬ ‫החיובי הגדול ביותר הוא ‪ ,9‬לכן‪ . d − a = 9 ⇒ d = 9 :‬כאשר ההפרש הינו ‪ ;6‬מקרה א'‪:‬‬ ‫‪ d − b = 6‬מכאן‪ . a = 0, b = 3, d = 9 :‬נשארנו עם הפרש ‪ 1,4,5‬ואז‪b = 4 :‬‬ ‫מקרה ב'‪ c − a = 6 :‬מכאן‪ . a = 0, c = 6, d = 9 :‬נשארנו עם הפרש ‪ 1,4,5‬ואז‪. b = 5 :‬‬ ‫לכן הפתרונות יהיו‪(0, 3, 4,9), (0,5, 6,9) :‬‬ ‫‪ .2‬רוחב המלבן הוא ‪ 10‬מכיוון שהקוטר הינו פעמיים הרדיוס‪ . 2i5 = 10 :‬לפי היחס הנתון‪,‬‬ ‫אורך המלבן יהיה‪ . 2i10 = 20 :‬לכן‪ ,‬שטח המלבן‪10i20 = 200 :‬‬ ‫שלב ‪:3‬‬ ‫‪ .1‬נחשב‪:‬‬ ‫)‪99(100‬‬ ‫‪+x‬‬ ‫‪50‬‬ ‫‪2‬‬ ‫= ‪= 100 x ⇒ 99(50) + x = 10000 x ⇒ 9999 x = 99(50) ⇒ x‬‬ ‫‪100‬‬ ‫‪101‬‬ ‫‪ .2‬ניתן לראות כי ‪ a, b, c, d , e‬הינם מספרים אי זוגיים מכיוון שאגף ימין הוא אי זוגי‪ .‬לכן‪,‬‬ ‫הערכים היחידים שיכולים להתאים הם‪ 1,3,5,7,9 :‬ומכיוון שנתון כי המספרים שונים זה‬ ‫מזה‪a + b + c + d + e = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 :‬‬ ‫‪ .3‬לאחר חישוב הטבעת הראשונה )‪ 20‬ס"מ( אנו מוסיפים ‪ 17‬ס"מ עבור הטבעת השניה‪,‬‬ ‫‪ 16‬ס"מ עבור הטבעת השלישית‪ 15 ,‬ס"מ עבור הרביעית וכו'‪ .‬שכן יש להוריד ‪ 2‬ס"מ‬ ‫מהעובי בכל פעם‪ .‬לכן‪20 + 17 + 16 + 1 + ... + 1 = 173 :‬‬ ‫פתרון שאלות נוספות‪:‬‬ ‫‪ . (52 ) 7 × (23 )3 = 514 × 29 = 55 × 109 .1‬לכן קיימים ‪ 9‬אפסים בסוף תוצאת המכפלה‪.‬‬ ‫)‪(n − 1) + n + (n + 1‬‬ ‫‪ .2‬נשים לב כי עבור ‪ n ≠ 0‬מתקיים‪= 3 :‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪ .‬לכן‪n = 2012 :‬‬