‫קיץ תשע"ג‬ ‫עבודת קיץ במתמטיקה לבוגרי כיתה ח'‬ ‫תלמידים יקרים‪,‬‬ ‫כמידי סוף שנה אנו מציידים אתכם בעבודת קיץ במתמטיקה לחזרה וריענון בנושאים השונים שנלמדו‬ ‫השנה‪.‬‬ ‫בתחילת שנת הלימודים תשע"ד ייערך מבחן במתמטיקה שייכלול את הנושאים שנלמדו בכיתה ח' ומופיעים‬ ‫בעבודה זו‪:‬‬ ‫ יחס‪ ,‬פרופורציה וקנה מידה‬‫ פונקציה קוית‬‫ דימיון משולשים‬‫ משוואות‪ ,‬אי שיוויונות ובעיות מילוליות‬‫ אחוזים‬‫ סטטיסטיקה והסתברות‬‫ משפט פיתגורס‬‫ מערכת של שתי משוואות בשני נעלמים‬‫ טכניקה אלגברית (חוק הפילוג המורחב‪ ,‬הוצאת גורם משותף‪ ,‬צמצום שברים אלגבריים)‬‫ גיאומטריה (חפיפת משולשים‪ ,‬ישרים מקבילים‪ ,‬משולש שווה שוקיים‪ ,‬משפט חפיפה רביעי‪ ,‬משולש ישר‬‫זוית‪ ,‬התיכון ליתר שווה למחציתו‪ ,‬שטחים והיקפים ‪ ‬דגש על כתיבת הוכחות)‬ ‫אנו מקווים שתדעו לנצל את החופשה היטב‪ ,‬תהנו ‪ ,‬תנוחו ותאזרו כוחות לקראת השנה הבאה‪.‬‬ ‫בברכת חופשה נעימה‪,‬‬ ‫צוות המתמטיקה‬ ‫‪1‬‬ ‫יחס‪ ,‬פרופורציה וקנה מידה‬ ‫‪ .0‬במבחן במתמטיקה שנערך בכיתות ח'‪ 0‬ו‪ -‬ח'‪ ,2‬היחס בין מספר הנכשלים לבין מספר העוברים‬ ‫הוא ‪ 2:7‬בכל אחת מהכיתות‪.‬‬ ‫א‪ .‬ידוע כי ‪ 8‬תלמידים בכיתה ח'‪ 0‬נכשלו במבחן‪ .‬כמה תלמידים עברו את המבחן?‬ ‫ב‪ .‬כמה התלמידים לומדים בכיתה ח'‪?0‬‬ ‫ג‪ .‬בכיתה ח'‪ 2‬עברו את המבחן ‪ 20‬תלמידים‪ .‬כמה תלמידים נכשלו?‬ ‫ד‪ .‬כמה תלמידים לומדים בכיתה ח'‪?2‬‬ ‫ה‪ .‬האם ייתכן שבכיתה ח'‪ 0‬נכשלו ‪ 9‬תלמידים? נמקו‪.‬‬ ‫‪ .2‬אייל וארז קנו ביחד חבילה אחת של סוכריות‪ .‬אייל שילם ‪ 03‬ש"ח וארז שילם ‪ 21‬ש"ח‪.‬‬ ‫א‪ .‬מה היחס בין הסכום ששילם אייל לבין הסכום ששילם ארז?‬ ‫ב‪ .‬בחבילה היו ‪ 28‬סוכריות והן חולקו בהתאם ליחס בין הסכומים ששילמו אייל וארז‪.‬‬ ‫כמה סוכריות קיבל כל אחד מהם?‬ ‫‪ .5‬נתון משולש ישר זווית שאורכי ניצביו הם ‪ 7‬ס"מ ו‪ 01 -‬ס"מ‪.‬‬ ‫הקטינו את אורכי הניצבים בצורה פרופורציונלית‪,‬‬ ‫וקיבלו משולש ישר זווית‪ ,‬שאחד מניצביו הוא‬ ‫‪ 7‬ס"מ‬ ‫‪ 5.3‬ס"מ‬ ‫‪ 5.3‬ס"מ (ראה שרטוט)‪ .‬חשבו את היקף המשולש החדש‪.‬‬ ‫‪ 01‬ס"מ‬ ‫‪ .4‬לפניכם תרשים של דירה (‪.)ABCD‬‬ ‫התרשים משורטט בקנה מידה של ‪.0:231‬‬ ‫א‪ .‬מהן מידותיו של חדר המגורים במציאות?‬ ‫ב‪ .‬מהו שטח הדירה במציאות?‬ ‫ג‪ .‬מהו אורך הטפט לו ההורים זקוקים‪,‬‬ ‫אם הם רוצים לתלות אותו מסביב לכל חדר המשחקים?‬ ‫אחוזים‬ ‫‪ .0‬בשקית יש סוכריות חמוצות וסוכריות מתוקות‪ 41% .‬מהסוכריות בשקית הן מתוקות‪ .‬מהו מספר‬ ‫הסוכריות החמוצות‪ ,‬אם ידוע שמספר הסוכריות המתוקות הוא ‪?08‬‬ ‫‪ .2‬חקלאים בקיבוץ ארזו תפוזים בקופסאות קרטון‪ 21% .‬מהקופסאות נמכרו לחנויות בצפון‪ ,‬ו‪061 -‬‬ ‫הקופסאות הנותרות נמכרו לחנויות במרכז הארץ‪ .‬כמה קופסאות ארזו בקיבוץ בסה"כ?‬ ‫‪ .5‬קופסת קורנפלקס במבצע מכילה ‪ 21%‬יותר מאשר קופסת קורנפלקס רגילה‪ .‬בקופסא במבצע יש ‪841‬‬ ‫גרם קורנפלקס‪ .‬כמה גרם יש בקפסא רגילה?‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ .4‬נתון מלבן שאורכי צלעותיו הם ‪ 4‬ס"מ ו‪ 8 -‬ס"מ‪ .‬הגדילו את שתי הצלעות הנגדיות הקצרות של‬ ‫המלבן ב‪ ,23% -‬והקטינו את שתי הצלעות הנגדיות הארוכות של המלבן ב‪.73% -‬‬ ‫א‪ .‬חשב את השטח וההיקף של המלבן המקורי‪.‬‬ ‫ב‪ .‬חשב את שטח וההיקף של המלבן החדש‪.‬‬ ‫ג‪ .‬בכמה אחוזים קטן שטח המלבן החדש משטח המלבן המקורי?‬ ‫פונקציה קוית‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ .0‬נתונות הפונקציות הבאות‪g ( x)  2 x  8 :‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪f ( x)   x  4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪,‬‬ ‫א‪ .‬התאם לכל פונקציה את הגרף שלה‪.‬‬ ‫ב‪ .‬מצא את שיעורי הנקודות ‪ C ,B ,A‬ו‪.D -‬‬ ‫ג‪ .‬הראה כי ‪. S1  S 2‬‬ ‫ד‪ .‬חשב את משוואת הישר ‪.BD‬‬ ‫ה‪ .‬האם הישר ‪ AC‬מקביל לישר ‪ ?BD‬נמק‪.‬‬ ‫‪.2‬‬ ‫‪.5‬‬ ‫ו‪ .‬מהו התחום עבורו )‪? g ( x)  f ( x‬‬ ‫‪ .4‬א‪ .‬מצא את משוואת הישר ששיפועו ‪ 3‬ועובר דרך נקודת החיתוך של הישר ‪ y  4 x  10‬עם ציר ‪.y‬‬ ‫ב‪ )i .‬מצא את משוואת הישר ששיפועו ‪ -5‬ועובר דרך הנקודה (‪.)-5 ; 8‬‬ ‫‪ )ii‬אילו מבין הנקודות הבאות נמצאות על הישר מסעיף (ב‪)-0 ; 2( ,)-4 ; 3( ,)-2 ; 0(, )0 ; -4( :)i -‬‬ ‫‪3‬‬ ‫משוואות‪ ,‬אי שיוויונות ושאלות מילוליות‬ ‫‪ .0‬פתרו את המשוואות הבאות‪ ,‬רשמו קבוצת הצבה במשוואות המתאימות ובדקו את תשובותכם‪.‬‬ ‫‪5 x  6 3x  6‬‬ ‫‪‬‬ ‫א‪ 0 .‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ה‪.‬‬ ‫‪3  5x 2  7 x 5  x‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2x‬‬ ‫‪3x‬‬ ‫‪6x‬‬ ‫‪3x  1 11x  1 5 x  11‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ו‪.‬‬ ‫‪20 25‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x 1 x‬‬ ‫‪3x  4 5 x  3 2 x  4‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫ג‪.‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪6‬‬ ‫ז‪.‬‬ ‫‪3x  6‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪6 3 4 1‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫ד‪.‬‬ ‫‪x 4 x 12‬‬ ‫ח‪.‬‬ ‫‪4x 1‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪5 ‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪ .2‬פתרו את אי השיוויונות הבאים‪ ,‬שרטטו את הפיתרון על ציר המספרים‪.‬‬ ‫א‪ 33x  1  7 x  5 .‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫‪x  7x  2  xx  9‬‬ ‫ג‪ 35  x   4 x  3  47 .‬‬ ‫‪x  3 4 x  12‬‬ ‫‪‬‬ ‫ד‪ 0 .‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪ .5‬סכום הגילאים של אב ובנו הוא ‪.31‬‬ ‫לפני ‪ 3‬שנים גיל האב היה פי ‪ 7‬מגיל הבן‪.‬‬ ‫בני כמה האב והבן היום?‬ ‫‪ .4‬בעל חנות גלידה קנה סוכריות צבעוניות ופתיתי שוקולד לקישוט כדורי הגלידה שנמכרים בחנותו‪.‬‬ ‫מחיר ק"ג אחד של סוכריות צבעוניות הוא ‪ 23‬ש"ח‪ ,‬ומחיר ק"ג אחד של פתיתי שוקולד הוא ‪ 53‬ש"ח‪.‬‬ ‫בסך הכל קנה בעל החנות ‪ 8‬ק"ג‪ ,‬ושילם עבור הקנייה ‪ 221‬ש"ח‪.‬‬ ‫כמה ק"ג סוכריות צבעוניות וכמה ק"ג פתיתי שוקולד קנה בעל חנות הגלידה?‬ ‫‪ .3‬מונית ומשאית יצאו באותו הזמן מעיר א' לעיר ב'‪.‬‬ ‫מהירות המשאית הייתה ‪ 31‬קמ"ש‪ ,‬ומהירות המונית הייתה ‪ 73‬קמ"ש‪.‬‬ ‫המשאית הגיעה לעיר ב' ‪ 5‬שעות אחרי המונית‪.‬‬ ‫חשב את זמן הנסיעה של כל אחד מהרכבים ואת המרחק בין הערים‪.‬‬ ‫‪ .6‬משני מקומות שהמרחק בינהם הוא ‪ 052‬ק"מ יצאו בשעה ‪ 6:11‬שני רוכבי אופניים ורכבו זה לקראת‬ ‫זה‪ .‬מהירותו של רוכב אחד הייתה קטנה ב‪ 5 -‬קמ"ש ממהירותו של הרכב השני‪.‬‬ ‫שני הרוכבים נפגשו בשעה ‪.01:11‬‬ ‫מצא את המהירות של כל אחד מהרוכבים ואת המרחק שכל אחד מהם עבר עד הפגישה‪.‬‬ ‫‪4‬‬ ‫מערכת של שתי משוואות בשני נעלמים‬ ‫‪ .0‬פתור את מערכות המשוואות הבאות‪:‬‬ ‫א‪.‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫‪2 x  y  7‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪7 x  2 y  19‬‬ ‫ג‪.‬‬ ‫‪ 2x  y 9 y  2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪ 3‬‬ ‫‪5 x  4 y  33‬‬ ‫ד‪.‬‬ ‫‪ 2x y‬‬ ‫‪ 3  2  5‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪5x  3 y  4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ 3‬‬ ‫‪7  2x y  8‬‬ ‫‪ 5  10  2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ x 1  4  5y  2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ 3‬‬ ‫‪ .2‬מחירם של ‪ 7‬ק"ג אפרסקים ו‪ 5 -‬ק"ג ענבים הוא ‪ 21‬ש"ח‪.‬‬ ‫המחיר של ‪ 3‬ק"ג אפרסקים גבוה ב‪ 6 -‬ש"ח מהמחיר של ‪ 2‬ק"ג ענבים‪.‬‬ ‫א‪ .‬סמנו ב‪ x -‬את מחיר ק"ג האפרסקים וב‪ y -‬את מחיר ק"ג הענבים‪ ,‬ורשמו מערכת משוואות‬ ‫המתאימה לבעיה זו‪.‬‬ ‫ב‪ .‬מהו המחיר של ק"ג אפרסקים? ומהו המחיר של ק"ג ענבים?‬ ‫‪ .5‬התאם בין הייצוג האלגברי לייצוג הגרפי והסבר‪:‬‬ ‫‪6 x  9 y  12‬‬ ‫א‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2 x  3 y  4‬‬ ‫‪6 x  9 y  4‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2 x  3 y  12‬‬ ‫‪9 x  3 y  12‬‬ ‫ג‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 3 x  2 y  8‬‬ ‫‪.4‬‬ ‫‪5‬‬ ‫טכניקה אלגברית (חוק הפילוג המורחב)‬ ‫‪.0‬‬ ‫‪ .2‬נתון ריבוע שאורך צלעו ‪ x‬ס"מ‪.‬‬ ‫האריכו את צלעות הריבוע כמתואר בשרטוט וקיבלו מלבן‪.‬‬ ‫ידוע כי שטח המלבן שהתקבל גדול ב‪ 47 -‬סמ"ר משטח הריבוע‪.‬‬ ‫א‪ .‬רשום משוואה מתאימה ומצא את אורך צלע הריבוע‪.‬‬ ‫ב‪ .‬חשב את היקף המלבן‪.‬‬ ‫‪ .5‬היקפו של המלבן משמאל הוא ‪ 06‬ס"מ‪.‬‬ ‫אם מגדילים את הצלע האחת שלו ב‪ 5 -‬ס"מ ואת הצלע השנייה ב‪ 4 -‬ס"מ‪,‬‬ ‫מקבלים מלבן חדש ששטחו גדול ב‪ 40 -‬סמ"ר משטח המלבן המקורי‪.‬‬ ‫חשב את צלעות המלבן המקורי‪.‬‬ ‫פירוק לגורמים‬ ‫‪ .0‬פרקו לגורמים את הביטויים הבאים‪:‬‬ ‫א‪ 5x  15 .‬‬ ‫ב‪ 3x 2  9 x .‬‬ ‫ג‪5 x  x 2 .‬‬ ‫ד‪4 x 3  16 x .‬‬ ‫‪ .2‬פתרו את המשוואות הבאות‪ ,‬העזרו בפירוק לגורמים‪:‬‬ ‫ב‪6 x 2  18x  0 .‬‬ ‫א‪x 2  7 x  0 .‬‬ ‫ג‪5x 2  3x  4 x 2  x .‬‬ ‫‪ .5‬פתרו את המשוואות הבאות (העזרו בפירוק לגורמים)‪ ,‬רשמו קבוצת הצבה ובדקו את הפתרון‪.‬‬ ‫‪x2  7x‬‬ ‫א‪ 0 .‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪.4‬‬ ‫‪x 2  4x‬‬ ‫ב‪ 0 .‬‬ ‫‪3x  12‬‬ ‫‪x 2  8x‬‬ ‫ג‪ 15  6 x .‬‬ ‫‪x 8‬‬ ‫‪x 2  6x‬‬ ‫ד‪ 2 .‬‬ ‫‪3x  18‬‬ ‫א‪ .‬השלימו מספרים או ביטויים כך שאפשר יהיה לצמצם את השבר‪.‬‬ ‫)‪)( x  1‬‬ ‫‪x  x2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫(‬ ‫)‪iii‬‬ ‫(‪5 x‬‬ ‫)‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4x  4x‬‬ ‫)‪ii‬‬ ‫ב‪ .‬צמצמו את השברים האלגבריים (רשום את קבוצת ההצבה)‪.‬‬ ‫‪6‬‬ ‫)‪)( x  1‬‬ ‫(‬ ‫‪2‬‬ ‫‪6 x  18x‬‬ ‫)‪i‬‬ ‫סטטיסטיקה והסתברות‬ ‫‪ .0‬הציון הממוצע של תלמיד בחמישה מבחנים הוא ‪.72‬‬ ‫התלמיד נבחן במבחן נוסף (שישי) וקיבל בו את הציון ‪.91‬‬ ‫א‪ .‬מהו ממוצע הציונים של התלמיד בששת המבחנים?‬ ‫ב‪ .‬התלמיד נבחן במבחן נוסף (שביעי)‪ ,‬וציונו הממוצע בשבעת המבחנים גדל ל‪.78 -‬‬ ‫מהו הציון של התלמיד במבחן השביעי?‬ ‫ג‪ .‬בחישוב חמשת הציונים הראשונים של התלמיד התגלתה טעות‪ .‬כדי לתקן אותה הוסיף המורה‬ ‫‪ 2‬נקודות לכל אחד מחמשת הציונים הראשונים‪ .‬מהו ממוצע הציונים של התלמיד בשבעת המבחנים‬ ‫לאחר תיקון הטעות?‬ ‫‪.2‬‬ ‫‪ .5‬במסיבה נמכרו ‪ 511‬כרטיסי הגרלה‪ .‬הפרסים שחולקו בהגרלה הם‪:‬‬ ‫‪ 0‬אופניים‪ 5 ,‬מערכות סטריאו‪ 02 ,‬משחקי מחשב‪ ,‬ו‪ 51 -‬תקליטורי מוזיקה‪.‬‬ ‫א‪ .‬מה ההסתברות לזכות במערכת סטריאו?‬ ‫ב‪ .‬מה ההסתברות לזכות בתקליטור מוזיקה?‬ ‫ג‪ .‬מה ההסתברות לזכות בפרס כלשהו?‬ ‫ד‪ .‬מה ההסתברות לא לזכות כלל בפרס?‬ ‫‪.4‬‬ ‫‪7‬‬ ‫הצבות‬ ‫‪ .0‬נתונה הפונקציה ‪y = x2 - 2x +1 :‬‬ ‫מהו הערך של ‪ y‬אם נתון ‪x = -1 , x = 0 , x = 5 :‬‬ ‫‪ .2‬נתונה הפונקציה ‪y = - x2 - 2x +1 :‬‬ ‫הצבות – תזכורת‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ , x‬הציבו ‪x = -2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪(-2) = 4‬‬ ‫הצבה של מספר שלילי תמיד בתוך סוגריים!‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x = -2‬‬ ‫‪ , - x‬הציבו ‪x = 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪-( -2 ) = -4‬‬ ‫‪-2 = - 4‬‬ ‫מהו הערך של ‪ y‬אם נתון ‪x = -2 , x = -1 , x = 0 :‬‬ ‫‪ .5‬נתונה הפונקציה ‪y = -2x2 - 4x +4 :‬‬ ‫מהו הערך של ‪ y‬אם נתון ‪x = -3 , x = -3 , x = 5 :‬‬ ‫משפט פיתגורס ודימיון משולשים‬ ‫‪ .0‬בשרטוט משמאל נתונים מלבן ‪ CBED‬ומשולש ‪.BEA‬‬ ‫נתון כי‪ 9 :‬ס"מ = ‪ 40 ,AE‬ס"מ = ‪ 59 ,AB‬ס"מ = ‪.AD‬‬ ‫א‪ .‬חשב את אורך צלע ‪.BE‬‬ ‫ב‪ .‬חשב את אורך צלע ‪.BC‬‬ ‫ג‪ .‬חשב את היקף מרובע ‪.ABCD‬‬ ‫ד‪ .‬חשב את אורך אלכסון ‪ CE‬במלבן ‪.BCDE‬‬ ‫‪ .2‬מצאו על פי הנתונים שבשרטוט את אורך הקטע ‪.x‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫א‪.‬‬ ‫‪ .5‬בשרטוט שלפניך נתון כי ‪DE‬‬ ‫‪. AB‬‬ ‫א‪ .‬הסבר מדוע המשולשים שבשרטוט דומים וכתוב את הדימיון בכתיב אלגברי‪.‬‬ ‫ב‪ .‬מהו יחס הדימיון בין המשולש הקטן למשולש הגדול?‬ ‫ג‪ .‬חשב על פי הנתונים שבשרטוט את אורכי הצלעות ‪ DE‬ו‪.CE -‬‬ ‫ד‪ .‬מהו יחס השטחים בין המשולש הקטן למשולש הגדול?‬ ‫ה‪ .‬ידוע כי שטח המשולש הגדול הוא ‪ 093‬סמ"ר‪.‬‬ ‫חשבו את שטח המשולש הקטן‪.‬‬ ‫‪8‬‬ ‫גיאומטריה‬ ‫‪.0‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪.4‬‬ ‫‪.3‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪ .6‬משולש ‪ ABC‬הוא שווה שוקיים (‪)AB = AC‬‬ ‫הנקודה ‪ D‬נמצאת על המשך הצלע ‪.AB‬‬ ‫הנקודה ‪ E‬נמצאת על המשך הצלע ‪.AC‬‬ ‫א‪ .‬הסבר מדוע‬ ‫ב‪ .‬נתון גם‪BD = CE :‬‬ ‫הנקודה ‪ F‬היא אמצע ‪BC‬‬ ‫הוכח כי ‪BDF  CEF‬‬ ‫(פרט את החפיפה ואת משפט החפיפה בו השתמשת)‬ ‫‪.7‬‬ ‫פתרו בשתי דרכים שונות‬ ‫‪.8‬‬ ‫א‪ .‬משולש ‪ DEC‬הוא שווה שוקיים‪.‬‬ ‫ב‪A  C .‬‬ ‫ג‪BE + ED = AB .‬‬ ‫‪.9‬‬ ‫‪.01‬‬ ‫‪11‬‬