מעגל החוסם משולש
מעגל החוסם משולש מעגל החוסם משולש הוא מעגל העובר דרך שלושת קדקודי המשולש . קיים משפט ש לפיו :כל משולש אפשר לחסום במעגל . A במילים אחרות ,אם נתון משולש ABC אז קיים תמיד מעגל העובר דרך הקדקודים B , Aו C -של המשולש . מעגל זה נקרא המעגל החוסם את המשולש . הערות ( 1 ) :כאשר המעגל חסום חוסם C B את המשולש ,אפשר לומר שהמשולש במעגל . ) ( 2לכל משולש קיים רק מעגל אחד החוסם אותו . משפט :נקודת מפגש האנכים האמצ עיים לצלעות המשולש היא מרכז המעגל החוסם את המשולש . בציור מתואר משולש . ABC A שלושת האנכים האמצעיים O לצלעות המשולש נפגשים בנקודה , Oשהיא מרכז C המעגל החוסם את המשולש . B הערות : A א .אם המשולש הוא חד -זווית , אז מרכז המעגל החוסם את המשולש נמצא בתוך המשולש ,ולהיפך . C B A ב .אם המשולש הוא ישר -זווית , אז מרכז המעגל החוסם B C את המשולש נמצא באמצע היתר ,ולהיפך . ג .אם המשולש הוא קהה זווית , אז מרכז המעגל החוסם A C B את המשולש נמצא מחוץ למשולש ,ולהיפך . 66 שים לב ! קיימות כמה דרכים ש בעזרתן נוכל להוכיח שנקודה מסוימת היא מרכז של מעגל החוסם משולש .נדגיש שתיים מהן : א .נוכיח שהנקודה היא בנקודת המפגש של האנכים האמצעיים במשולש . ב .נוכיח שהנקודה נמצאת במרחקים שווים משלושת קדקודי המשולש . תרגילים .1 A הנקודה Oהיא מרכז המעגל החוסם את המשולש . ABC נתון . AOB 110 , OAC 28 : א .חשב את הזווית . BAC O ב .חשב את הזווית . BOC תשובה : .2 א . 63 .ב . 126 . B C הנקודה Oהיא מרכז המעגל החוסם את המשולש . ABC נתון . ABO 32 , ACO 25 : א .חשב את הזווית . BAC ב .חשב את הזווית . OBC תשובה : א . 57 . ב . 33 . A .3 B , Aו C -הן נקודות הנמצאות על מעגל . ה נקודה Oנמצאת בתוך המעגל O כך ש. AO BO CO - הוכח . BOC 2 BAC : .4 B C במשולש ABCנתון . ACB 60 , ABC 40 : A הנקודה Mנמצאת במרחקים שווים מקדקודי המשולש . א .חשב את הזווית . AMB M ב .חשב את הזווית . BMC תשובה : א . 120 . B ב . 160 . 67 C .5 A הנקודה Mנמצאת בתוך משולש . ABC נתון . AM BM CM : א .הוכח . BMC 2 BAC : ב .הוכח . BAM ACB 90 : M B C .6 המשולש ABCהוא משולש שוו ה שוקיים A ) (AB ACהחסום במעגל . ADהוא הגובה לבסיס . BC נקודה Oנמצאת על הקטע AD כך ש. AO BO - הוכח שנקודה Oהיא מרכז המעגל . .7 O C B D המשולש ABCהוא משולש שווה שוקיים A ) (AB ACהחסום במעגל . ADהוא הגובה לבסיס . BC נקודה Oנמ צאת על הקטע AD כך ש. AO CO - א .הוכח שנקודה Oהיא מרכז המעגל . ב .הוכח . ACB ACO 90 : .8 O C B D A B , Aו C -הן נקודות על מעגל . Dו E -הן אמצעי המיתרים ABו. AC - E נתון . OE AC , OD AB : D O א .הסבר מדוע נקודה Oהיא מרכז C המעגל החוסם את המשולש . ABC B ב .הוכח . AOC 2 ABC : .9 הנקודה Oהיא נקודת מפגש האנכים A האמצעיים במשולש . ABC נתון . BOC 120 , AOB 114 : א .חשב את הזווית . ABC O ב .חשב את הזווית . BAC תשובה : B א . 63 .ב . 60 . 68 C A . 10 במשולש , ABCהקטעים ODוOE - הם אנכים אמצעיים לצלעות BCו. AB - א .הוכח . OA OB : ב .הוכח :האנך מ O -לצלע AC חוצה את הצלע . AC . 11 D O C B E A המשולש ABCהוא משולש שווה שוקיים ) (AB ACהחסום במעגל . ADהוא גובה לבסיס . BC E Oהיא נקודה על הקטע . AD O נתון . OE AC , AE CE : הוכח שנקודה Oהיא מרכז המעגל . . 12 C B D A ADהוא גובה לבסיס BCבמשולש שווה -שוקיים . (AB AC) ABC Eהיא נקודה על ADכך שהמרובע AEBF הוא דלתון ). (AF BF , AE BE הוכח :הנקודה Eהיא מרכז המעגל החוסם את המשולש . ABC . 13 F G E D C B המשולש ABCהוא שווה -צלעות G .היא נקודת מפגש התיכונים במשולש . הוכח :הנקודה Gהיא מרכז המעגל החוסם את המשולש . ABC . 14 המשולש ABCהוא ישר -זווית ) . (ABC 90 C Dהיא נקודה על היתר . BC נתון . BDC 112 , C 34 : B א .הוכח . AD CD : D ב .הוכח :הנקודה Dהיא מרכז המעגל החוסם את המשולש . ABC A 69 . 15 המשולש ABCהוא משולש ישר -זווית A ) (AB BCהחסום במעגל O .היא נקודה על היתר . ACנתון . AO BO : O הוכח :הנקודה Oהיא מרכז המעגל C החוסם את המשולש . ABC B C . 16 ABהוא מיתר במעגל .הנקודות CוD - נמצאות על היקף המעגל כך שCD - חוצה את המיתר ABומאונך לו . א .הוכח CD :הוא קוטר במעגל . ב O .היא נקודה על CDכך ש. OC OB - הוכח – O :מרכז המעגל . . 17 המיתרים ABו CD -מאונכים זה לזה A B D C ונפגשים בנקודה - O . Eאמצע . AB נקודה Fנמצאת על הקטע . BE נתון . CFE DFE : B O F E הוכח :הנקו דה Oהיא מרכז המעגל . D . 18 הנקודות B , Aו C -נמצאות על מעגל . A נקודה Eנמצאת על הקוטר AB ונקודה Dנמצאת על המיתר . BC נתון . ED BC , BD DC : הוכח :הנקודה Eהיא מרכז המעגל . E D C 70 B A . 19 A המיתרים ABו CD -של מעגל נחתכים C בנקודה Fומאונכים זה לזה . D F Eנקודה על הקשת ) BDראה ציור (. נתון . ABE ABC DCE : E הוכח AB :הוא קוטר במעגל . B . 20 הוכ ח את המשפט :נקודת מפגש האנכים האמצעיים במשולש היא מרכז המעגל החוסם את המשולש . מעגל החסום במשולש מעגל החסום במשולש הוא מעגל ששלוש צלעותיו של המשולש משיקות לו . קיים משפט ש לפיו בכל משולש אפשר לחסום מעגל . A במילים אחרות ,אם נתון משולש , ABC אז קיים תמיד מעגל המשיק לשלוש צלעותיו של המשולש . מעגל זה נקרא המעגל החסום במשולש . C B הערות : ) ( 1כאשר המעגל חסום במשולש ,ניתן לומר שהמשולש חוסם את המעגל . ) ( 2לכל משולש קיים רק מעגל אחד החסום בו . ) ( 3מרכז המעגל החסום במשולש נמצא תמיד בתוך המשולש . משפט :נקודת מפגש חוצי הזוויות במשולש היא מרכז המעגל החסום במשולש . A אם BE , ADו CF -הם חוצי הזוויות E במשולש , ABCאז נקודת החיתוך שלהם F היא מרכז המעגל החסו ם במשולש . ABC O C 71 D B אם נתון כי הנקודה Oהיא מרכז A המעגל החסום במשולש , ABCאזי : F ) BO , AO ( 1ו CO -הם חוצי זוויות המשולש . E ) ( 2מרחקה של הנקודה Oמכל אחת מצלעות המשולש שווה לרדיוס המעגל ). (OD OE OF r הערה : O C B D במשולש שווה צלעות מרכז המעגל החוסם ומרכז המעגל החסום נמצאים באותה נקודה .במשולש שאינו שווה צלעות מרכ ז המעגל החוסם ומרכז המעגל החסום לא נמצאים באותה נקודה . שים לב ! קיימות כמה דרכים ש בעזרתן נוכל להוכיח שנקודה מסוימת היא מרכז של מעגל החסום במשולש .נדגיש שתיים מהן : א .נוכיח שהנקודה היא נקודת המפגש של חוצי הזוויות במשולש . ב .נוכיח שהנקודה נמצאת במרחקים שוו ים משלוש צלעות המשולש . . 21 A בתוך משולש ABCחסום מעגל שמרכזו בנקודה . Oנתון . BAC 72 , ABC 64 : א .חשב את הזווית . ABO ב .חשב את הזווית . AOB תשובה : . 22 א . 32 . O ב . 112 . C B A הנקודה Oהיא מרכז המעגל החסום במשולש . ABC נתון . ACO 20 , ABC 68 : א .חשב את הזווית . BAO O ב .חשב את הזווית . AOC תשובה : . 23 B C א . 36 .ב . 124 . A המשולש ABCהוא שווה -שוקיים ). (AB AC בתוך המשולש חסום מעגל שמרכזו בנקודה . O הוכח . OB OC : O C 72 B . 24 מעגל שמרכזו Oחסום במשולש . ABCהמשך A הקטע AOחותך את הצלע BCבנקודה . E נתון . BAC 72 , ABC 68 : א .חשב את הזווית . BOE O ב .חשב את הזווית . COE תשובה : . 25 א . 70 .ב . 56 . C B E A הנקודה Oהיא מרכז המעגל החסום בתוך משולש . ABCנתון . ACB 56 : א .חשב את הזווית . AOB ב .הוכח :מרחקה של הנקודה O מהצלע ACשווה למרחקה מהצלע . AB תשובה : . 26 O B C א . 118 . A המשולש ABCהוא ישר -זווית ). (AC BC הנקו דה Oהיא מרכז המעגל החסום בתוך המשולש . O הוכח . AOB 135 : B C A . 27 ADהוא גובה לצלע BCבמשולש . ABC נקודה Oהיא מ רכז המעגל החסום בתוך המשולש . ABC O הוכח . AB AC : C B D A . 28 המשולש ABCהוא שווה -שוקיים ). (AB AC ADהוא תיכון לבסיס . BC נתון . EF CF , EF BC : הוכח :הנקודה Oהיא מרכז F המעגל החסום בתוך המשולש . ABC C 73 O D E B . 29 A הנקודה Oהיא מרכז המעגל החסום במשולש . ABCנתון , AOB 114 : . BOC 124חשב את זוויותיו O של משולש . ABC תשובה : B C . 48 , 64 , 68 A . 30 המשולש ABCחוסם מעגל . נקודות ההשקה הן E , Dו. F - נתון . BF CF : E D א .הוכח :המשולש ABCהוא שווה -שוקיים . ב .הוכח . AF DE : C . 31 F המשולש ABCחוסם מעגל . B A נקודת ההשקה הן E , Dו. F - היקף המשולש ABCהוא 17ס " מ . נתון 5 :ס " מ . AB E D חשב את אורך הקטע . CF תשובה : . 32 C 3.5ס " מ . B F A משולש חד -זווית ABCחוסם מעגל . E , Dו F -הן נקודות ההשקה . D נתון . FEB , EFD : הבע באמצעות ו -את זוויות F המשולש . ABC תשובה : . 33 . 180 2 , 180 2 , 2 2 180 C E A במעגל שמרכזו בנקודה Oנתון : הרדיוס ODמאונך למיתר AB והרדיוס OEמאונך למיתר . BC הוכח :הנקודה Fהיא מרכז המעגל החסום בתוך המשולש . ABC F D O B C E 74 B . 34 במשולש ABCנתון . BAC 74 , ABC 72 : A Dהיא מרכז המעגל החוסם את המשולש . Eהיא מרכז המעגל החסום E בתוך המשולש . D חשב את הזווית . DAE C תשובה : B . 19 A . 35 הנקודה Dהיא מרכז המעגל החסום במשולש ABCוהנקודה Eהיא מרכז המעגל החוסם את המשולש . ABC E הוכח . AEC 4 ABD : D B C . 36 ABCהוא משולש חד -זווית שווה -שוק יים ) AD . (AB ACהוא הגובה לבסיס . BCנקודה Eהיא מרכז המעגל החוסם את המשולש ונקודה F היא מרכז המעגל החסום במשולש . הסבר מדוע הנקודות Eו F -נמצאות על הקטע . AD . 37 הוכח את המשפט :מרכז המעגל החסום בתוך משולש הוא נקודת המפגש של חוצי הזוויות במשולש . מרובע החסום במעגל מרובע החסום במעגל הוא מרובע שכל ארבעת קדקו דיו נמצאים על המעגל .מרובע כזה נקרא מרובע בר -חסימה במעגל . משפט :במרובע החסום במעגל סכום כל שתי זוויות נגדיות שווה ל. 180 - אם המרובע ABCDחסום במעגל , B A אזי מתקיים , A C 180 : D . B D 180 C משפט :אם במרובע יש זוג אחד של זוויות נגדיות שסכומן , 180אז ניתן לחסום את המרובע במעגל ,כלומר המרובע הוא בר חסימה במעגל . ממשפט זה נובע שלא כל מרובע אפשר לחסום במעגל . 75 תרגילים .1 חשב את הזוויות ו -בכל אחד מהציורים הבאים : א. תשובה : .2 ב. 120 108 75 70 2 10 א . 60 , 110 . ב . 36 , 95 . המרובע ABCDחסום במעגל . B נתון . ABD 36 , ADB 40 : A א .חשב את הזווית . BCD ב .נתון גם . ABC 75 : חשב את הזווית . BDC תשובה : .3 א . 76 . C ב . 65 . המרובע ABCDחסום במעגל . A המשכי המיתרים ABוCD - B נפגשים בנקודה ) Eראה ציור (. א .הוכח . BAD BCE : E ב .הוכח . ADC CBE : .4 D C המרובע ABCDחסום במעגל שמרכזו O כך שהצלע ABהיא קוטר במעגל . נתון . DAB 77 , ABC 56 : א .חשב את הזווית . DCA ב .חשב את הזווית . DOB תשובה : א . 13 . D C B D A O ב . 154 . E .5 המרובע ABCDחסום במעגל .המשכי הצלעות ABו DC -נחתכים בנקודה . E המשכי הצלעות BCו AD -נחתכים C F B בנקודה . Fנתון . F 34 , A 58 : D חשב את הזווית . E A 76 תשובה : .6 . 30 המרובע ABCDחסום במעגל . הנקודה Eנמצאת על הקשת . DC B המשכי המיתרים ADוCE - נפגשים בנקודה . Fנתון . AB CF : א .הוכח . AFC BCD : ב .נתון . DCF 21 , BAD 115 : חשב את הזווית . ABC תשובה : .7 D C F E ב . 94 . A המרובע ABCDחסום במעגל . המשכי המיתרים ADוBC - נפגשים בנקודה . E נתון . ACE ADC : הוכח . AB AC : .8 A D B E C המרובע ABCDחסום במעגל . א .הוכח . D BAC BCA : ב .הוכח :אם B 2 DACאז . AD CD A .9 המרובע ABCDחסום במעגל . האלכסון ACחוצה את הזווי ת BADו את הזווית . BCD הוכח AC :הוא קוטר במעגל . B D C . 10 B המרובע ABCDהוא טרפז )(AB DC A ה חסום במעגל . הוכח ABCD :הוא טרפז שווה -שוקיים . C 77 D . 11 המרובע ABCDהוא טרפז )(AB DC A B החסום במעגל . נתון . DAC 66 , BCD 74 : א .חשב את הזווית . BAC ב .הוכ ח . AD AB : תשובה : . 12 C D א . 40 . A B במעגל שמרכזו Oחסום טרפז . ABCD , DCבסיסו הגדול של הטרפז ,הוא קוט ר המעגל .נתון . ADC 62 : C חשב את הזווית . AOB תשובה : . 13 D O . 68 C מעגל חוסם טרפז . (AB DC) ABCD אלכסון הטרפז יוצר עם שוקי הט רפז D 75 את הזוויות 75ו ) 25 -ראה ציור (. 25 חשב את הזווית . BAC תשובה : B . 40 A A . 14 המשכי המיתרים BDוCE - נחתכים בנק ודה . A נתון . DE BC : הוכח . AD AE : . 15 המרובע ABCDהוא טרפז )(AB DC החסום במעגל E .היא נקודת האמצע של הקשת . DC א .הוכח . AE BE : ב .הוכח . DF CG : D E B C A B C F G E 78 D . 16 המרובע ABCDחסום במעגל שמרכזו , O B C כך שהצלע ADעוברת דרך מרכז המעגל . הרדיוס OCחוצה את הזווית . BCD D DC א .הוכח : . BC A O ב .הוכח . AB OC : . 17 המרובע ABCDחסום במעגל B שמרכזו . Oבנקודה Aמעבירים O משיק למעגל החותך את המשך המיתר CDבנקודה . E A הוכח . BCD DAE 90 : C E . 18 טרפז (AB DC) ABCDחסום במעגל Eהיא נקודה על המשך הבסיס DC כך ש BE -משיק למעגל . א .הוכח . ABD CBE : ב .הוכח . AB CE : A B כך שהבסיס הקט ן ABשווה לשוק . AD . 19 D E D C A המרובע ABCDחסום במעגל . בנקודה Cמעבירים משיק למעגל החותך את המשכי המיתרים D ABו AD -בנקודות Eו. F - B א .הוכח . EBC CDF 180 : ב .הוכח . BAD BCE DCF : . 20 F C E הצלע ABשל המרובע ABCDהחסום במעגל היא קוטר באותו מעגל M .מרכז המעגל . 79 D C המשכי הצלעות ADו BC -נפגשים בנקודה . E א .הוכח . MDC AEB : ב .הוכח :הישר MDמשיק בנקודה D למעגל החוסם את המ שולש . DCE E B M A . 21 בשרטוטים הבאים נתון מרובע . קבע האם המרובע ניתן ל חס ימה במעגל . C א. 130 B ב. D 96 A B 50 תשובה : . 22 A C א .כן . 74 F ב .לא . A ADו BE -הם גבהים ב משולש . ABC E Fהיא נקודת מפגש הגבהים במשולש . F הוכח :המרובע CDFE ניתן לחסימה במעגל . C B D A . 23 הנקודות Dו E -נמצאות על הצלעות ABו AC -של משולש ABC E כך שמתקיים . ADE ACB D א .הוכח :המרובע DECB ניתן לחסימה במעגל . ב .הוכח . BDC BEC : . 24 C המשולש ABCהוא ישר -זווית ) . (ABC 90 B A מנקודה , Dהנמצאת על היתר , AC מעבירים ל AC -אנך החותך את AB בנקודה Eואת המשך CBבנקודה . F א .הוכח :המרובע BCDE D E ניתן לחסימה במעגל . ב .הוכח . DCE DBE : . 25 C הנקודות Eו F -נמצאות על הצלעות ABוAD - של מלבן . ABCDנתון . AE BC , AF BE : א .הוכח . AEF BCE : ב .הוכח :המרובע DFECניתן לחסימה במעגל . ג .הוכח . FCE FDE : 80 B B F E A F C D . 26 המשולש ABCהוא ישר -זווית ). (AB BC A הנקודות Dו E -נמצאות על הצלעות ACו AB -בהתאמה כך ש. AC DE - D א .הוכח :המרובע DCBE ניתן לחסימה במעגל . E ב .נתון 8 :ס " מ . CE חשב את הרדיוס של המעגל שבסעיף א ' . תשובה : . 27 C B ב 4 .ס"מ. הנקודות Eו F -נמצאות על הצלעות BC ו DC -של ריבוע . ABCDנתון . BE CF : א .הוכח :המרובע AGFD A B G E בר -חסימה במעגל . ב .נקודה Mהיא אמצע הקטע . AF הוכח . AMD 2AGD : . 28 C F D המשולשים ABCו AMN -הם ישרי -זווית N ושווי -שוקיים ). (AB AC , AM AN א .הוכח . BMA CNA : ב .המשך הצלע BMחותך את הצלע CN בנקודה . Pהוכח :המרובע AMPN הוא בר -חסימה במעגל . A P M C B ג .הוכח . BP CN : A . 29 המשולשים ABCו CDE -הם שווי -צלעות . א .הוכח . ACE BCD : ב .הי שר AEחותך את הקטע BD בנקודה . Hהוכח . AHB 60 : E C ג .הוכח כי המרובע EHDC הוא בר חסימה במעגל . H D 81 B . 30 המשולש ABCהוא שווה -צלעות . A הנקודות Dו E -נמצאות על הצלעות BCו AC -כך ש. AC DC BC AE - א .חשב את הזווית . DFE E ב .הוכח שהמרובע CDFE F בר -חסימה במעגל . תשובה : . 31 D C ג .הוכח . DFC DEC : B א . 120 . B במרובע ABCDהעבירו ארבעה חוצי -זווית : A G . DF , CH , BH , AF H א .הוכח :המעגל העובר דרך הנקודות F E F , Eו , G -עובר גם דרך הנקודה . H C ב .נתון . EH GH : D הוכח . GFH EFH : . 32 A ABDו BDC -הם משולשים ישרי -זווית בעלי יתר משותף ) .( BCD 90 , BAD 90 D B הוכח . ABD ACD : C . 33 B בציור מתואר המרובע . ABCD A נתון . DAC DBC : הוכח :המעגל החוסם את המשולש ADC עובר גם דרך ה נקודה . B D C C . 34 ADו BE -הם גבהים במשולש . ABC א .הוכח :המעגל העובר דרך הנקודות D B , Aו E -עובר גם דרך הנקודה . D E ב .הנק ודה Oהיא אמצע הצלע . AB הוכח . OD OE : B 82 A . 35 מנקודה Dהנמצאת מחוץ למשולש ABC מעבירים אנכים DF , DEוDG - לצלעות AC , ABו BC -בהתאמה . א .הוכח :המרובע AEDF A F E הוא בר -חסימה במעגל . G ב .הוכח :המרובע BEGD C הוא בר -חסימה במעגל . B D . 36 הוכח את המשפט :במרובע החסום במעגל סכום כל שתי זוויות נגדיות שווה ל. 180 - . 37 הוכח את המשפט :אם במרובע יש זוג אחד של זוויות נגדיות שסכומן , 180אז ניתן לחסום את המרוב ע בתוך מעגל . מרובע החוסם מעגל מרובע ה חוסם מעגל הוא מרובע שכל ארבע צלעותיו משיקות למעגל . מרובע כזה נקרא גם מרובע משיקים . משפט :במרובע החוסם מעגל סכום שתי צלעות נגדיות שווה לסכום B שתי הצלעות הנגדיות האחרות . A אם המרובע ABCDחוסם מעגל , אזי מתקיים . AB DC AD BC : C D משפט :אם סכום שתי צלעות נגדיות במרובע שווה לסכום שתי הצלעות הנגדיות האחרות ,אזי אפשר לחסום במרובע מעגל . ממשפט זה נובע שלא בכל מרובע אפשר לחסום מעגל . . 38 A המרובע ABCDחוסם מעגל . D נתון 7 :ס " מ 8 , AB ס " מ , BC 5ס " מ . DC חשב את אורך הצלע . AD תשובה : 4ס"מ. B 83 C . 39 A B המרובע ABCDהוא טרפז שווה -שוקיים ) (AD BC , AB DCהחוסם מעגל . נתון 6 :ס " מ 10 , AB ס " מ . DC חשב את אורך השוק . AD תשובה : . 40 8ס"מ. D C המרובע ABCDחוסם מעגל . B נקודות ההשקה הן G , F , Eו. H - E נתון 7 :ס " מ 4 , AB ס " מ , BE A F 9ס " מ 3 , BC ס " מ . DG א .חשב את אורך הצלע . DC H ב .חשב את אורך הצלע . AD תשובה : . 41 א 8 .ס"מ. ב 6 .ס"מ. C G D טרפז שווה -שוקיים חוס ם מעגל .אורך קטע האמצעים של הטרפז הוא 8ס " מ .מהו היקף הטרפז ? תשובה : . 42 32ס " מ . A B המרובע ABCDהוא טרפז שווה -שוקיים ) ( AD BC , AB DCהחו סם מעגל . נתון 12 :ס " מ . ADC 60 , AD חשב את אורכי הבסיסים ABו. DC - תשובה : 6ס " מ 18 ,ס " מ . D C A . 43 המרובע ABCDחוסם מעגל . E נקודות ההשקה הן G , F , Eו. H - נתון , ABC 120 , DAB 100 : . BCD 70 B D חשב את זוויותיו של המרובע . EFGH תשובה : H F G C . 85 , 70 , 95 , 110 84 A . 44 המרובע ABCDחוסם מעגל שמרכזו . O B נתון . ADC 80 , BCD 70 , ABC 120 : א .חשב את הזווית . BOC O ב .חשב את הזוית . AOD תשובה : . 45 א . 85 . ב . 95 . C D הוכח :נקודת מפגש האלכסונים של מעוין היא מרכז המעגל החסום בתוך המעוין . E B . 46 A לפניך מעגל ה חסום בתוך ריבוע . ABCD נקודות ההשקה הן G , F , Eו. H - H F הוכח :המרובע EFGHהוא ריבוע . C D G A . 47 המעוין ABCDחוסם מעגל . H E נקודות ההשקה הן G , F , Eו. H - B הוכח :המרובע EFGH D הוא מלבן . F G C . 48 B המרובע ABCDחוסם מעגל שמרכזו בנקודה . O א .הוכח . AOB COD 180 : A O ב .הוכח . BOC AOD 180 : C . 49 D טרפז שווה -שוקיים (AB DC) ABCD B חוסם מעגל . נקודות ההשקה הן G , F , Eו. H - E F א .הוכח . EF FG : A H ב .הוכח EG :הוא קוטר במעגל . ג .הוכח :המרובע EFGHהוא דלתון . 85 C G D . 50 א .במרובע ABCDנתון 9 :ס " מ 8 , AB ס " מ 6 , BC ס " מ , DC 7ס " מ . AD האם ניתן ל חס ום מעגל במרובע ? ABCD ב .ב מרובע ABCDנתון 6 :ס " מ 5 , AB ס " מ 8 , BC ס " מ , CD 10ס " מ . AD האם ניתן ל חס ום מעגל במרובע ? ABCD תשובה : א .כן . ב .לא . B . 51 x2 אורכי צלעותיו של מרובע ABCD רשומים בשרטוט .ידוע כי בתוך A 2x 1 המרובע ניתן לחסום מעגל . x 1 מצא את היקף המרובע . 30ס " מ . תשובה : . 52 C D x3 המשולש ABCהוא שווה -שוקיים ). (AB AC A BDחוצה את הזווית ABC ו CE -חוצה את הזווית . ACB BDו CE -נפגשים בנקודה . F D א .הוכח . DF EF : F E ב .הסבר מדוע אפשר לחסום מעגל בתוך המרובע . ADFE . 53 B C A BDו CE -הם גבהים לשוקיים במשולש שווה -שוקיים . (AB AC) ABC א .הוכח :אפשר לחסום את המרובע D ADFEבתוך מעגל . F E ב .הוכח :אפשר לחסום מעגל בתוך המרובע . ADFE . 54 B C קבע ב עבור כל אחד מהמרובעים הבאים אם ניתן לחסום בו מעגל : א .ריבוע . תשובה : ב .דלתון . א .כן .ב .כן . ג .מעוין . ג .כן . ד .מקבילית . ה .מלבן . ד .לא ,אלא אם כן המקבילית היא מעוין . ה .לא ,אלא אם כן המלבן הוא ריבוע . . 55 הוכח את המשפט :במרובע ה חוסם מעגל סכום זוג אחד של צלעות נגדיות שווה לסכום של זוג הצלעות הנגדיות האחרות . . 56 הוכח את המשפט :אם במרובע סכום זוג אחד של צלעות נגדיות שווה לסכום של זוג הצלעות הנגדיות האחרות ,אז אפשר לחסום מעגל במרובע . 86 שני מעגלים א .שני מעגלים החותכים זה את זה בשתי נקודות נקראים מעגלים נחתכים .למעגלים נחתכים יש מיתר משותף . ב .שני מעגלים שאינם חותכים זה את זה נקראים מעגלים זרים . אם מעגל אחד נמצא מחוץ למעגל השני ,המעגלים נקראים מע גלים חיצוניים . אם מעגל אחד נמצא בתוך המעגל השני ,המעגלים נקראים מעגלים פנימיים . ג .שני מעגלים שיש להם נקודה אחת משותפת נקראים מעגלים משיקים . הנקודה המשותפת נקראת נקודת ההשקה או נקודת המגע . מעגלים המשיקים מבפנים : מעגלים המשיקים מב חוץ : שים לב ! כאשר שני מעגלים משיקים מבחוץ או מבפנים אפשר לבצע בניית עזר על ידי כך שנעביר בנקודת ההשקה משיק משותף לשני המעגלים . הערות : א .שני מעגלים בעלי מרכז משותף נקראים מעגלים מרכזיים . ב .שני מעגלים בעלי רדיוסים שווים 87 נקראים מעגלים שווים . קטע מרכזים קטע המחבר את המרכזים של שני מעגלים נקרא קטע מרכזים . משפט :קטע המרכזים של שני מעגלים נחתכים ,חוצה את המיתר המשותף לשני המעגלים ומאונך לו . A אם המעגלים Mו N -נחתכים בנקודות AוB - כך ש AB -הוא המיתר המשותף N לשני המעגלים ,אזי AP BP , MN AB P M B ) Pהיא נקודת החי תוך של MNו.( AB - משפט :קטע המרכזים של שני מעגלים המשיקים זה לזה מבחוץ עובר דרך נקודת ההשקה שבין שני המעגלים . אם המעגלים Mו N -משיקים מבחוץ בנקודה , Aאזי הקטע MN עובר דרך הנקודה . A N M A משפט :כאשר שני מעגלים משיקים זה לזה מבפנים ,אז המשכו של קטע המרכזים עובר דרך נקודת ההשקה שבין שני המעגלים . אם המעגלים Mו N -משיקים מבפנים בנקודה , Aאז המשך הקטע MN עובר דרך הנקודה . A A N M שים לב ! א .כאשר שני מעגלים משיקים מבחוץ ,אזי קטע המרכזים שווה לסכום הרדיוסים של שני המעגלים . ב .כאשר שני מעגלים משיקים מבפנים ,אזי קטע המרכזים שווה להפרש בין הרדיוס של המעגל הגדול לרדיוס של המעגל הקטן . 88 תרגילים .1 בציור מתוארים מעגלים שמרכזיהם בנקודות Eו . F -נתון 4 :ס " מ , AE 2ס " מ 3 , DF ס " מ . BC א .חשב את אורך קטע המרכזים ). (EF D F C B A E ב .חשב את אורך הקטע . AD תשובה : .2 א 9 .ס"מ. ב 15 .ס " מ . בציור מתוארים מעגלים שמרכזיהם בנקודות Eו. F - נתון 18 :ס " מ 4 , AD ס " מ . BC D חשב את אורך קטע המרכזים ). (EF תשובה : C F B E A 8ס"מ. .3 מעגלים שמרכזיהם בנקודות MוN - נחתכים בנקודות Cו. D - א .הוכח :המרובע MDNCהוא דלתון . ב .הוכח :קטע המרכזים MNחוצה את המיתר המשותף CDומאונך לו . D .4 בציור מתוארים שני מעגלים שווים A C N M שמרכזיהם בנקודות Mו. N - ABהוא מיתר משותף לשני המעגלים . N M א .הוכח . AM BN : .5 ב .הוכח . AB MN : B נתונים שני מעגלים בעלי מרכז משותף . O B ACהוא קוטר במעגל החיצוני O ו BD -הוא קוטר במעגל הפנימי . הוכח :המרובע ABCDהוא מק בילית . 89 A D C .6 מעגלים שמרכזיהם בנקודות MוN - נחתכים בנקודות Cו . D -הקטע MN חותך את המעגלים בנקודות Aו. B - נתון . N , M : . ADB א .הוכח : 2 ב .נתון . ADB 32 :חשב את הזווית . MDN תשובה : C N A B M D ב . 116 . B .7 שני מעגלים נחתכים בנקודות Bו. D - הקטע ADCהוא קו ישר . נתון AB :הוא קוטר במעגל השמאלי . הוכח BC :הוא קוטר במעגל הימני . .8 C A D שני מעגלים שווים שמרכזיהם בנקודות A Mו N -נחתכים בנקודות Aו B -כך שהקטרים ACו AD -מאונכים זה לזה . א .הוכח שהקטע CBDהוא קו ישר . ב .חשב את הזווית . BAD D B ג .הוכח . MN DC : תשובה : .9 C ב . 45 . שני מעגלים בעלי אותו רדיוס נחתכים בנקודות Aו . B -הקטע CDעובר דרך A D C הנקודה . Aנתון . AB CD : א .הוכח . AC AD : ב .הוכח שקטע המרכזים המחבר את מרכזי B שני המעגלים שווה למיתר . AD . 10 שני מעגלים בעלי אותו רדיוס נחתכים D A בנקודות Aו. B - ACהוא קוטר במעגל אחד , ו BD -הוא קוטר במעגל האחר ) ראה ציור (. הוכח כי המר ובע ACBDהוא מקבילית . B 90 C . 11 נתונים שני מעגלים בעלי מרכז משותף . O ADהוא מיתר במעגל החיצוני O ו BC -הוא מיתר במעגל הפנימי . הוכח . AB CD : . 12 D C נתונים שני מעגלים בעלי מרכז משותף . O B ABו DC -הם מיתרים במעגל החיצוני , EFו GH -הם מיתרים במעגל הפנימי . C O G H נתון . EF GH :הוכח . AB CD : . 13 A E F B A D נתונים שני מעגלים בעלי מרכז משותף . O B ABהוא מיתר במעגל הגדול החותך את המעגל O הקטן ו CD -הוא מיתר במעגל הגדול שאינו ח ותך את המעגל הקטן ) ראה ציור (. הוכח . AB CD : . 14 A D בציור מתוארים שני מעגלים הנחתכים C E בנקודות Aו . B -הנקודות Cו D -נמצאות A על המעגל השמאלי E ,היא נקודה על המעגל הימני – C ,מרכז המעגל הימני . C א .הוכח . ADB 2 AEB : D ב .הוכח :אם , AEB 45אז ABהוא קוטר B במעגל השמאלי . . 15 נתונים מעגלים שמרכזיהם בנקודות Fו. E - D המעגלים נחתכים בנקודות Bו. C - הנקודה Aנמצאת על המעגל Fו הנקודה D נמצאת על המעגל AB . Eחותך את מעגל E בנקודה . Gנתון . A 48 : א .חשב את הזווית . BDC ב .הוכח . AG CG : תשובה : א . 84 . C E F A 91 B . 16 בציור מתוארים שני מעגלים הנחתכים B בנקודות Bו. C - המרובע ABCDחסום במע גל השמאלי . A E הנקודות Eו F -נמצאות על המשכי הקטעים ABו DC -כך שהמרובע BEFC חסום במעגל הימני .הוכח . AD EF : . 17 D C F B המרובע ABCDחסום במעגל . A המרובע ABGDהוא מקבילית . הוכח :המרובע CEGF בר חסימה במעגל . . 18 E G C F D ABו AC -הם מיתרים במעגל שמרכזו . O C המשכי הרדיוסים BOו CO -חותכים B את המיתרים ACו AB -בנקודות Dו. E - O נתון . BAC 60 : E D א .הוכח :המרובע ADOEהוא בר -חסימה במעגל . ב .הוכח . OAE ODE : . 19 A הקדקודים Bו C -של מקבילית ABCD נמצאים על מ עגל . A B E א .הוכח :המרובע AEFD F הוא בר -חסימה במעגל . . 20 ב .הוכח . AED AFD : C המשולש ABCחסום במעגל כך שBC - הוא קוטר במעגל .המיתר DE חותך את הצלע ACבנקודה G ואת הקוטר BCבנקודה . F נתון כי המרובע ABFGניתן לחסימה במעגל .הוכח . DF EF : C 92 D D A G F E B . 21 בציורים שלפניך מתוארים שני A F מעגלים ) Mו (N -בעלי רדיוסים שווים .הוכח :אם , A D E אז . BC EF B C D . 22 A F בציורים שלפניך מתוארים שני מעגלים ) Mו (N -בעלי רדיוסים שווים .הוכח :אם , BC EF E B אז . A D C D . 23 בציורים מתוארים שני מעגלים שווים הנחתכים בנקודות Aו. B - D A המשכי המי תרים CAו CB -של המעגל השמאלי חותכים את המעגל הימני בנקודות C Dו E -בהתאמה . א .הוכח . BC BD : E ב .הוכח . AC AE : . 24 B בציור מתוארים שני מעגלים .מנקודה A D יוצאים שני משיקים למעגלים . B D , C , Bו E -הן נקודות השקה . A א .הוכח . BD CE : ב .הוכח . BC DE : C E . 25 בציור מתוארים שני מעגלים שמרכזיהם בנקודות Fו . G -מנקודה Aיוצאים D B שני משיקים למעגלים . D , C , Bו E -הן נקודות השקה . רדיוסו של מעגל Fהוא 4ס " מ G ורדיוסו של מעגל Gהוא 7ס " מ . נתון . BAC 60 : 93 F C E מהו אורך קטע המרכזים ? FG A תשובה : . 26 6ס"מ. בציור מתוארים שני מעגלים . D DCמשיק למעגל הימני בנקודה D ולמעגל הש מאלי בנקודה . C BEמשיק למעגל הימני בנקודה E ולמעגל השמאלי בנקודה . B הוכח . BE CD , BC DE : . 27 C E המעגלים Mו N -הם בעלי אותו רדיוס . הקטע ABמשיק למעגל Mבנקודה A ולמעגל Nבנקודה . B א .הוכח . AN BM : ב E .היא אמצע הקטע . AN הוכח . AE BE : A N . 28 בשרטוט מתוארים מעגל Oומעגל . M BPמשיק למעגל AP , Oמשיק למעגל M ו PQ -הוא מיתר משותף לשני המעגלים . הוכח . AQP PQB : . 29 בשרטוט מתוארים מעגל Oומעגל . M BDמשיק למעגל Mבנקודה B ו AC -משיק למעגל Oבנקודה . A הוכח . AD BC : M C B B . 30 B Q A M O P A C M O B D נתונים שני מעגלים בעלי מרכז משותף . O B ABו DC -הם מיתרים במעגל E הגדול המשיקים למעגל הקטן A O בנקודות Eו F -בהתאמה . א .הוכח . AE BE : D ב .הוכח . AB DC : 94 F C . 31 נתונים שני מעגלים הנחתכים בנקודות Aו. B - המשיק למעגל השמאלי בנקודה Aחותך את A D המעגל השמאלי בנקודה . C Dנקודה על המעגל הימני כך ש. AB DC - הוכח BD :משיק למעגל השמאלי בנקודה . B . 32 C B שני מעגלים לא שווים חותכים את זה בנקודות Aו. B - המשיק לאחד המעגלים בנקודה A חותך את המעגל האחר בנקודה . C המשיק למעגל האחר בנקודה A E C G B חותך את המעגל האחר בנקודה . D A א .הוכח . ABC ABD : D ב .ישר העובר דרך הנקודה Aחותך את אחד המעגלים בנקודה Fואת המעגל האחר – בנקודה . E F הישרים ECו FD -נפגשים בנקודה . G הוכח :המשולש EFGהוא שווה -שוקיים . . 33 על הרדיוס OBשל רבע מעגל AOB בנו מעגל Dשקוטרו הוא הקטע . OB א .הוכח AO :משיק למעגל . D ב AB .חותך את המעגל Dבנקודה . E הוכח . AE BE : . 34 בציור שלפניך הנקודה Mהיא מרכז A E B O D A המעגל החוסם את המשולש ADE והנקודה Nהיא מרכז המעגל החוסם את המשולש . ABC הוכח . DM BN : M E D N C . 35 B בציור מתוארים שני מעגלים המשיקים זה לזה מבחוץ בנקודה – D . Bמרכז המעגל השמאלי – E ,מרכז המעגל הימני .נתון 6 :ס " מ 8 , AB ס " מ . BC חשב את אורך קטע המרכזים ). (DE 95 C E B D A תשובה : . 36 7ס"מ. שני מעגלים משיקים זה לזה מבפנים .קוט ר המעגל הגדול הוא 12ס " מ ואורך קטע המרכזים הוא 4ס " מ .מהו אורך רדיוס המעגל הקטן ? תשובה : . 37 2ס"מ. נתונים שני מעגלים שרדיוסיהם R1ו . (R1 R 2 ) R 2 -כאשר המעגלים משיקים זה לזה מבפנים ,אורך קטע המרכזים הוא 7ס " מ ,וכאשר המעגלים משיקים זה לזה מבחוץ ,אורך קטע המרכזים הוא 15ס " מ . מצא את R1ו. R 2 - תשובה : . 38 11ס " מ 4 , R1 ס " מ . R 2 המעגלים Mו N -המתוארים בציור משיק ים A זה לזה בנקודה . Cהמשיק המשותף לשני המעגלים ,העובר דרך נקודה , D נוגע במעגל Nבנקודה B ובמעגל Mבנקודה . A א .הוכח . ACB 90 : ב .הוכח . DBC DCA : D B C N M D . 39 שני מעגלים משיקים זה לזה בנקודה . A E ABו AC -הם מיתרים במעגל הקטן . B ADו AE -הם מיתרים במעגל הגדול . C הוכח . BC DE : A . 40 שני מעגלים משיקים מבפנים בנקודה . A A BCהוא מיתר במעגל הגדול המשיק למעגל הקטן בנקודה . D F המיתרים ABו AC -חותכים את המעגל הקטן בנקודות Eו F -בהתאמה . א .הוכח . ADF ABC : ב .הוכח . EAF BDE CDF : 96 C E D B . 41 בציור מתוארים שני מעגלים המשיקים D זה לזה מבפנים בנקודה . A B – Cמרכז המעגל הגדול . E ACהוא קוטר ב מעגל ה קטן . A C א .הוכח . BC DE : ב .הוכח . AB BD : . 42 בציור מתוארים שני מעגלים המשיקים A B זה לזה מבחוץ בנקודה . E Aו D -הן נקודות על המעגל השמאלי . E המשכי הקטעים AEו DE -חותכי ם את המעגל הימני בנקודות Cו. B - D א .הוכח . AD BC : C ב .הוכח :המשיק למעגל הימני בנקודה B מקביל למשיק למעגל השמאלי בנקודה . D . 43 המעגלים Mו N -הם בעלי אותו רדיוס .המעגלים משיקים זה לזה בנקודה . A B N A M הוכח . AB AC : C . 44 הוכח את המשפט :קטע המרכזים של שני מעגלים נחתכים חוצה את המיתר המשותף ומאונך לו . . 45 הוכח את המשפט :נקודות ההשקה של שני מעגלים המשיקים מבחוץ נמצאת על קטע המרכזים . . 46 הוכח את המשפט :נקודת ההשקה של שני מעגלים המשיקים מב פ נים נמצאת על המשכ ו של קטע המרכזים . 97
© Copyright 2024