‫סוג הבחינה‪:‬‬
‫‬
‫‬
‫מועד הבחינה‪:‬‬
‫‬
‫מספר השאלון‪:‬‬
‫‬
‫מדינת ישראל‬
‫משרד החינוך‬
‫‬
‫א‪ .‬בגרות לבתי ספר על־יסודיים‬
‫ב‪ .‬בגרות לנבחנים אקסטרניים‬
‫קיץ תשע"ד‪ ,‬מועד ב‬
‫‪313 ,035803‬‬
‫‬
‫הצעת תשובות לשאלות בחינת הבגרות‬
‫מתמטיקה‬
‫‪ 3‬יחידות לימוד — שאלון שלישי‬
‫הוראות לנבחן‬
‫א‪.‬‬
‫משך הבחינה‪ :‬שעתיים‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫מבנה השאלון ומפתח ההערכה‪ :‬בשאלון זה שש שאלות בנושאים‪:‬‬
‫אלגברה‪ ,‬חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי‪.‬‬
‫עליך לענות על ארבע שאלות — ‪ 100 = 25x4‬נקודות‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫חומר עזר מותר בשימוש‪:‬‬
‫(‪)1‬‬
‫מחשבון לא גרפי‪ .‬אין להשתמש באפשרויות התכנות במחשבון הניתן לתכנות‪.‬‬
‫‬
‫שימוש במחשבון גרפי או באפשרויות התכנות במחשבון עלול לגרום לפסילת הבחינה‪.‬‬
‫(‪)2‬‬
‫דפי נוסחאות (מצורפים)‪.‬‬
‫הוראות מיוחדות‪:‬‬
‫(‪)1‬‬
‫אל תעתיק את השאלה; סמן את מספרה בלבד‪.‬‬
‫(‪)2‬‬
‫התחל כל שאלה בעמוד חדש‪ .‬רשום במחברת את שלבי הפתרון‪ ,‬גם כאשר‬
‫‬
‫החישובים מתבצעים בעזרת מחשבון‪.‬‬
‫‬
‫הסבר את כל פעולותיך‪ ,‬כולל חישובים‪ ,‬בפירוט ובצורה ברורה ומסודרת‪.‬‬
‫‬
‫חוסר פירוט עלול לגרום לפגיעה בציון או לפסילת הבחינה‪.‬‬
‫(‪)3‬‬
‫לטיוטה יש להשתמש במחברת הבחינה או בדפים שקיבלת מהמשגיחים‪.‬‬
‫‬
‫שימוש בטיוטה אחרת עלול לגרום לפסילת הבחינה‪.‬‬
‫ההנחיות בשאלון זה מנוסחות בלשון זכר ומכוונות לנבחנות ולנבחנים כאחד‪.‬‬
‫בהצלחה!‬
‫‪/‬המשך מעבר לדף‪/‬‬
‫חוסר פירוט עלול לגרום לפגיעה בציון או לפסילת הבחינה‪.‬‬
‫ענה על ארבע מהשאלות ‪( 6-1‬לכל שאלה — ‪ 25‬נקודות)‪.‬‬
‫‬‫‪2‬‬
‫‬‫מתמטיקה‪ ,‬קיץ תשע"ד‪ ,‬מועד ב‪ ,‬מס' ‪313 ,035803‬‬
‫פתרון‪,‬‬
‫שים לב! אם תענה על יותר מארבע שאלות‪ ,‬ייבדקו רק ארבע התשובות הראשונות שבמחברתך‪.‬‬
‫שאלה ‪1‬‬
‫אלגברה‬
‫‪.1‬‬
‫מסעדה הציעה שני תפריטים של ארוחות עסקיות קבוצתיות‪.‬‬
‫תפריט צמחוני במחיר של ‪ 34‬שקלים לסועד‪.‬‬
‫תפריט בשרי במחיר של ‪ 68‬שקלים לסועד‪.‬‬
‫למסעדה הגיעו שתי קבוצות‪ :‬קבוצה א' וקבוצה ב'‪.‬‬
‫קבוצה א' בחרה בתפריט צמחוני‪ ,‬וקבוצה ב' בחרה בתפריט בשרי‪.‬‬
‫מספר הסועדים בקבוצה ב' היה קטן ב־ ‪ 10‬ממספר הסועדים בקבוצה א'‪.‬‬
‫המחיר הכולל ששילמה קבוצה ב' היה ‪ 75%‬מן המחיר הכולל ששילמה קבוצה א'‪.‬‬
‫א‪.‬‬
‫מצא כמה סועדים היו בכל קבוצה‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫מצא את המחיר הכולל שהייתה קבוצה ב' משלמת‪ ,‬אילו מספר הסועדים בה היה‬
‫כמספר הסועדים בקבוצה א'‪.‬‬
‫הנקודות )‪ A(4 , 1‬ו־ )‪ B(8 , 3‬הם שני קדקודים‬
‫‪.2‬‬
‫תשובה לשאלה ‪1‬‬
‫במשולש שווה־שוקיים ‪.) AB = AC ( ABC‬‬
‫‪=- x +‬‬
‫הישר ‪11‬‬
‫מונחת על‬
‫בקבוצה‪. y‬‬
‫א'‪.‬‬
‫הסועדים‬
‫מספר‬
‫‪— x :BC‬‬
‫א‪.‬הצלענסמן‬
‫הסועדיםלצלע‬
‫הורידו גובה‬
‫לכן ‪A‬‬
‫ מנקודה‬
‫‪BC‬ב'‪ .‬הוא‪:‬‬
‫בקבוצה‬
‫מספר‬
‫הגובה חותך את ‪ BC‬בנקודה ‪D‬‬
‫המחיר הכולל ששילמה קבוצה א' הוא‪:‬‬
‫‬
‫ואת ציר ה־ ‪ x‬בנקודה ‪( E‬ראה ציור)‪.‬‬
‫ששילמההישר‬
‫הכוללאת שיפוע‬
‫המחירמצא‬
‫ א‪)1( .‬‬
‫‪. AD‬הוא‪:‬‬
‫קבוצה ב'‬
‫‪B‬‬
‫‪D‬‬
‫‪y‬‬
‫‪C‬‬
‫‪x - 10‬‬
‫‪34x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪A‬‬
‫)‪68 (x - 10‬‬
‫‪E‬‬
‫(‪ )2‬מצא את משוואת הישר ‪. AD‬‬
‫המחיר הכולל ששילמה קבוצה ב'‬
‫‬
‫ב‪ .‬מצא את שיעורי הנקודות ‪ D , E‬ו־ ‪. C‬‬
‫היה ‪ 75%‬מהמחיר הכולל ששילמה קבוצה א'‪,‬‬
‫‬
‫ג‪ .‬הסבר מדוע המשולש ‪ CEB‬הוא שווה־שוקיים‪.‬‬
‫‪68 (x - 10) = 0.75 $ 34x‬‬
‫לכן מתקיים‪:‬‬
‫‬
‫‪/‬המשך בעמוד ‪/3‬‬
‫‪0‬‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‪68x - 680 = 25.5x‬‬
‫‪0‬‬
‫‪x = 16‬‬
‫‬
‫מספר הסועדים בקבוצה א' הוא‪:‬‬
‫‪ 16‬סועדים‬
‫‬
‫מספר הסועדים בקבוצה ב' הוא‪:‬‬
‫‪ 6‬סועדים‬
‫ב‪.‬‬
‫המחיר הכולל שהיתה משלמת קבוצה ב'‬
‫‬
‫אילו מספר הסועדים בה היה ‪ 16‬הוא‪:‬‬
‫‪ 1088‬שקלים = ‪16 $ 68‬‬
‫‪/‬המשך בעמוד ‪/3‬‬
‫המחיר הכולל ששילמה קבוצה ב' היה ‪ 75%‬מן המחיר הכולל ששילמה קבוצה א'‪.‬‬
‫א‪.‬‬
‫מצא כמה סועדים היו בכל קבוצה‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫אילו‪- 3‬‬
‫מצא את המחיר הכולל שהייתה קבוצה ב' משלמת‪- ,‬‬
‫בה היה‬
‫מספר הסועדים‬
‫מתמטיקה‪ ,‬קיץ תשע"ד‪ ,‬מועד ב‪ ,‬מס' ‪313 ,035803‬‬
‫פתרון‪,‬‬
‫כמספר הסועדים בקבוצה א'‪.‬‬
‫‪.2‬‬
‫שאלה ‪2‬‬
‫הנקודות )‪ A(4 , 1‬ו־ )‪ B(8 , 3‬הם שני קדקודים‬
‫במשולש שווה־שוקיים ‪.) AB = AC ( ABC‬‬
‫הצלע ‪ BC‬מונחת על הישר ‪. y = - x + 11‬‬
‫מנקודה ‪ A‬הורידו גובה לצלע ‪. BC‬‬
‫הגובה חותך את ‪ BC‬בנקודה ‪D‬‬
‫‪B‬‬
‫‪D‬‬
‫‪y‬‬
‫‪C‬‬
‫ואת ציר ה־ ‪ x‬בנקודה ‪( E‬ראה ציור)‪.‬‬
‫א‪.‬‬
‫(‪ )1‬מצא את שיפוע הישר ‪. AD‬‬
‫(‪ )2‬מצא את משוואת הישר ‪. AD‬‬
‫ב‪.‬‬
‫מצא את שיעורי הנקודות ‪ D , E‬ו־ ‪. C‬‬
‫ג‪.‬‬
‫הסבר מדוע המשולש ‪ CEB‬הוא שווה־שוקיים‪.‬‬
‫‪A‬‬
‫‪x‬‬
‫‪E‬‬
‫‪/‬המשך בעמוד ‪/3‬‬
‫תשובה לשאלה ‪2‬‬
‫א‪ ) 1( .‬הישר ‪ AD‬מאונך לצלע ‪, BC‬‬
‫הצלע ‪ BC‬מונחת על הישר שמשוואתו ‪, y = - x + 11‬‬
‫‬
‫לכן ‪. m BC = - 1‬‬
‫‬
‫מכפלת השיפועים של ישרים מאונכים היא ‪, - 1‬‬
‫‬
‫‪m AD $ m BC = - 1‬‬
‫לכן מתקיים‪:‬‬
‫‬
‫‬
‫השיפוע של הישר ‪ AD‬הוא‪:‬‬
‫‬
‫ (‪ )2‬הישר ‪ AD‬עובר דרך הנקודה )‪A (4 , 1‬‬
‫ושיפועו ‪ , 1‬לכן משוואתו‪:‬‬
‫‬
‫‬
‫המשוואה של הישר ‪ AD‬היא‪:‬‬
‫‬
‫‪0‬‬
‫‪m AD = 1‬‬
‫)‪y - 1 = 1$ (x - 4‬‬
‫‪0‬‬
‫‪y=x-3‬‬
‫‪/‬המשך בעמוד ‪/4‬‬
‫‪-4-‬‬
‫פתרון‪ ,‬מתמטיקה‪ ,‬קיץ תשע"ד‪ ,‬מועד ב‪ ,‬מס' ‪313 ,035803‬‬
‫המשך תשובה לשאלה ‪.2‬‬
‫חיתוך הישר ‪ y = x - 3‬עם ציר ה־ ‪x‬‬
‫ב‪.‬‬
‫הוא בנקודה שבה ‪ , y = 0‬לכן‪:‬‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫השיעורים של הנקודה ‪ E‬הם‪:‬‬
‫‪0=x-3‬‬
‫‪0‬‬
‫‪x=3‬‬
‫)‪E (3 , 0‬‬
‫בנקודה ‪ , D‬הישר שמשוואתו ‪y = x - 3‬‬
‫‬
‫נחתך עם הישר שמשוואתו ‪. y = - x + 11‬‬
‫‬
‫לכן מתקיים‪:‬‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‪x - 3 = - x + 11‬‬
‫‪0‬‬
‫‪2x = 14‬‬
‫‬
‫‬
‫‪0‬‬
‫‬
‫‬
‫‪0‬‬
‫‬
‫השיעורים של הנקודה ‪ D‬הם‪:‬‬
‫‬
‫‬
‫במשולש שווה־שוקיים ‪ ABC‬שבו ‪AB = AC‬‬
‫הגובה ‪ AD‬הוא גם תיכון לצלע ‪, BC‬‬
‫‬
‫לכן הנקודה ‪ C‬היא אמצע הצלע ‪ BC‬ומתקיים‪:‬‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫השיעורים של הנקודה ‪ C‬הם‪:‬‬
‫‬
‫‪x=7‬‬
‫‪y=4‬‬
‫)‪D (7 , 4‬‬
‫‪xC + xB‬‬
‫‪yC + yB‬‬
‫=‬
‫‪x‬‬
‫‪,‬‬
‫‪= yD‬‬
‫‪D‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪0‬‬
‫‬
‫‪yC + 3‬‬
‫‪2 =4‬‬
‫‪0‬‬
‫‪xC + 8‬‬
‫‪2 =7‬‬
‫‪,‬‬
‫‪0‬‬
‫‬
‫‪yC = 5‬‬
‫‪0‬‬
‫‪,‬‬
‫‪xC = 6‬‬
‫‪0‬‬
‫)‪C(6 , 5‬‬
‫‪/‬המשך בעמוד ‪/5‬‬
‫‪-5-‬‬
‫פתרון‪ ,‬מתמטיקה‪ ,‬קיץ תשע"ד‪ ,‬מועד ב‪ ,‬מס' ‪313 ,035803‬‬
‫המשך תשובה לשאלה ‪.2‬‬
‫ג‪.‬‬
‫דרך ‪:I‬‬
‫‬
‫משולש ‪ CEB‬הוא שווה־שוקיים אם מתקיים ‪. EB = EC‬‬
‫‬
‫נמצא את האורכים של הקטעים ‪ EB‬ו־ ‪: EC‬‬
‫)‪E (3 , 0) , B (8 , 3) , C (6 , 5‬‬
‫‬
‫‪EB2 = (3 - 8) 2 + (0 - 3) 2 = 34‬‬
‫‬
‫‪EC2 = (3 - 6) 2 + (0 - 5) 2 = 34‬‬
‫‬
‫‬
‫‪0‬‬
‫‬
‫‬
‫‪0‬‬
‫‬
‫‪EB2 = EC2‬‬
‫‪EB = EC = 34‬‬
‫אם במשולש שתי צלעות שוות אז המשולש הוא שווה־שוקיים‬
‫‬
‫דרך ‪:II‬‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‪ ED‬מאונך ל־ ‪ , BC‬כלומר הוא גובה במשולש ‪. CEB‬‬
‫‪ ED‬הוא גם תיכון לצלע ‪ BC‬במשולש ‪. CEB‬‬
‫אם במשולש הגובה לצלע הוא גם התיכון לצלע אז המשולש הוא שווה־שוקיים‪.‬‬
‫לכן משולש ‪ CEB‬הוא שווה־שוקיים‪.‬‬
‫‪/‬המשך בעמוד ‪/6‬‬
‫‪-3‬‬‫‪.3‬‬
‫‪-6‬‬‫פתרון‪ ,‬מתמטיקה‪ ,‬קיץ תשע"ד‪ ,‬מועד ב‪ ,‬מס' ‪313 ,035803‬‬
‫מתמטיקה‪ ,‬קיץ תשע"ד‪ ,‬מועד ב‪ ,‬מס' ‪ + 313 ,035803‬נספח‬
‫שאלה ‪3‬‬
‫נתון מעגל שמרכזו ‪ , M‬ומשוואתו ‪. (x - 6) 2 + (y - 3) 2 = 125‬‬
‫‪y‬‬
‫‪B‬‬
‫בנקודה ‪ A‬שעל המעגל העבירו משיק ששיפועו ‪. - 2‬‬
‫שיעור ה־ ‪ x‬של הנקודה ‪ A‬הוא ‪16‬‬
‫(ראה ציור)‪.‬‬
‫א‪.‬‬
‫(‪ )1‬מצא את שיעור ה־ ‪ y‬של נקודה ‪. A‬‬
‫(‪ )2‬מצא את משוואת המשיק למעגל בנקודה ‪. A‬‬
‫ב‪.‬‬
‫הישר ‪ x = 6‬חותך את המשיק שמצאת בסעיף א‬
‫בנקודה ‪ , B‬כמתואר בציור‪.‬‬
‫מצא את שיעורי הנקודה ‪. B‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪A‬‬
‫‪M‬‬
‫‪x‬‬
‫מצא את שטח המשולש ‪. AMB‬‬
‫תשובה לשאלה ‪3‬‬
‫א‪ )1( .‬דרך ‪:I‬‬
‫חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי‬
‫הנקודה ‪ A‬נמצאת על המעגל‪.‬‬
‫‬
‫‪ .4‬נתונה הפונקציה ‪. f (x) = 2x - 8 x‬‬
‫לכן השיעורים של הנקודה ‪ A‬מקיימים את משוואת המעגל‪.‬‬
‫‬
‫א‪ .‬מהו תחום ההגדרה של הפונקציה?‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫נציב את שיעור ה־ ‪ x‬של הנקודה ‪ A‬במשוואת המעגל ונקבל‪:‬‬
‫‬
‫‪(16 - 6) + (y - 3) = 125‬‬
‫ב‪ .‬מצא את נקודת הקיצון הפנימית של הפונקציה‪ ,‬וקבע את סוגה‪ .‬נמק‪.‬‬
‫‪0‬‬
‫‬
‫ג‪ .‬מצא את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה‪ .‬נמק את תשובתך‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‬
‫‪(y - 3) = 25‬‬
‫ד‪ .‬מצא את נקודת החיתוך של גרף הפונקציה )‪ f(x‬עם ציר ה־ ‪. y‬‬
‫‪0‬‬
‫‬
‫ה‪ .‬קבע איזה מן הגרפים ‪ IV-I‬שלפניך הוא גרף הפונקציה )‪. f(x‬‬
‫‪y = 8 , y =- 2‬‬
‫‬
‫הנקודה ‪ A‬נמצאת ברביע הראשון לכן שיעור ה־ ‪ y‬הוא חיובי‪.‬‬
‫‬
‫‪II‬‬
‫‪I‬‬
‫‪III‬‬
‫‪IV‬‬
‫‪A (16 , 8) y‬‬
‫השיעורים של הנקודה ‪ A‬הם‪:y‬‬
‫‬
‫‪y‬‬
‫‪y‬‬
‫‬
‫‪ x‬‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫דרך ‪:II‬‬
‫למעגל מאונך לרדיוס בנקודת ‪x‬‬
‫משיק ‪x‬‬
‫ההשקה‪.‬‬
‫לכן הקטע ‪ AM‬מאונך למשיק למעגל בנקודה ‪. A‬‬
‫שיפועו של המשיק הוא ‪, - 2‬‬
‫‪1‬‬
‫לכן שיפוע הקטע ‪ AM‬הוא ‪ , 2‬ומתקיים‪:‬‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫השיעורים של הנקודה ‪ A‬הם‪:‬‬
‫ (‪ )2‬משוואת המשיק למעגל בנקודה ‪ A‬היא‪:‬‬
‫‬
‫‬
‫‪x‬‬
‫‪y -y‬‬
‫‪1‬‬
‫‪m AM = x A - x M = 2‬‬
‫‪M‬‬
‫‪A‬‬
‫‪/‬המשך בעמוד ‪/4‬‬
‫‪0‬‬
‫‪yA - 3 1‬‬
‫‪16 - 6 = 2‬‬
‫‪0‬‬
‫‪yA = 8‬‬
‫)‪A (16 , 8‬‬
‫)‪y - 8 = - 2 (x - 16‬‬
‫‪0‬‬
‫‪y = - 2x + 40‬‬
‫‪/‬המשך בעמוד ‪/7‬‬
‫פתרון‪ ,‬מתמטיקה‪ ,‬קיץ תשע"ד‪ ,‬מועד ב‪ ,‬מס' ‪313 ,035803‬‬
‫‪-7‬‬‫המשך תשובה לשאלה ‪.3‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‬
‫הנקודה ‪ B‬היא נקודת החיתוך של הישר ‪x = 6‬‬
‫‪y = - 2 $ 6 + 40‬‬
‫עם הישר המשיק ‪ , y = - 2x + 40‬לכן מתקיים‪:‬‬
‫‪0‬‬
‫‬
‫‬
‫‪y = 28‬‬
‫)‪B (6 , 28‬‬
‫‬
‫השיעורים של הנקודה ‪ B‬הם‪:‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‬
‫‬
‫דרך ‪:I‬‬
‫משיק למעגל מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה‪ .‬לכן‬
‫שטח המשולש ‪ AMB‬שווה למחצית מכפלת הניצבים‪ ,‬ומתקיים‪:‬‬
‫‪. BMAB = 90o‬‬
‫‪AM $ AB‬‬
‫‪2‬‬
‫= ‪SiAMB‬‬
‫‬
‫‪AM = R = 125‬‬
‫‬
‫‪AB = (16 - 6) 2 + (28 - 8) 2 = 500‬‬
‫‪0‬‬
‫‬
‫‪125 $ 500‬‬
‫‪= 125‬‬
‫‪2‬‬
‫‬
‫שטח המשולש ‪ AMB‬הוא‪:‬‬
‫‬
‫‬
‫דרך ‪:II‬‬
‫שטח המשולש ‪ AMB‬שווה למחצית מכפלת הצלע ‪MB‬‬
‫בגובה ‪ AD‬היורד אליה (ראה ציור)‪.‬‬
‫‪MB $ AD‬‬
‫= ‪SiAMB‬‬
‫לכן מתקיים‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‬
‫‬
‫‪AD = x A - x D‬‬
‫‬
‫‪xD = 6‬‬
‫‪AD = 16 - 6 = 10‬‬
‫‬
‫‪MB = y B - y M‬‬
‫‪0‬‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‪y‬‬
‫‪B‬‬
‫‪0‬‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫= ‪SiAMB‬‬
‫‪A‬‬
‫‪x‬‬
‫‪D‬‬
‫‪M‬‬
‫‪MB = 28 - 3 = 25‬‬
‫‪25 $10‬‬
‫‪2 = 125‬‬
‫‪0‬‬
‫= ‪SiAMB‬‬
‫‪/‬המשך בעמוד ‪/8‬‬
‫פתרון‪ ,‬מתמטיקה‪ ,‬קיץ תשע"ד‪ ,‬מועד ב‪ ,‬מס' ‪313 ,035803‬‬
‫‪-8-‬‬
‫שאלה ‪4‬‬
‫נתונה הפונקציה ‪. f (x) = 2x - 8 x‬‬
‫א‪.‬‬
‫מהו תחום ההגדרה של הפונקציה?‬
‫ב‪.‬‬
‫מצא את נקודת הקיצון הפנימית של הפונקציה‪ ,‬וקבע את סוגה‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫מצא את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה‪ .‬נמק את תשובתך‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫מצא את נקודת החיתוך של גרף הפונקציה )‪ f(x‬עם ציר ה־ ‪. y‬‬
‫ה‪.‬‬
‫קבע איזה מן הגרפים ‪ IV-I‬שלפניך הוא גרף הפונקציה )‪ . f(x‬נמק‪.‬‬
‫‪I‬‬
‫‪II‬‬
‫‪y‬‬
‫‪x‬‬
‫‪III‬‬
‫‪y‬‬
‫‪x‬‬
‫‪IV‬‬
‫‪y‬‬
‫‪x‬‬
‫‪y‬‬
‫‪x‬‬
‫תשובה לשאלה ‪4‬‬
‫א‪.‬‬
‫תחום ההגדרה הוא‪:‬‬
‫ב‪.‬‬
‫הנגזרת של הפונקציה )‪ f(x‬היא‪:‬‬
‫‪ x $ 0‬הביטוי בתוך השורש הריבועי חייב להיות אי־שלילי‬
‫‪8‬‬
‫‪2 x‬‬
‫‬
‫ ‪f' (x) = 2‬‬‫‪f' (x) = 0‬‬
‫‬
‫‬
‫‪0‬‬
‫‬
‫‪0‬‬
‫‬
‫‬
‫שיעור ה־ ‪ x‬שעבורו ‪ f' (x) = 0‬הוא‪:‬‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫בדיקת סימן הנגזרת )‪: f'(x‬‬
‫‬
‫השיעורים של נקודת הקיצון הפנימית הם‪:‬‬
‫‪4‬‬
‫‪2‬‬‫‪=0‬‬
‫‪x‬‬
‫‪4‬‬
‫‪x‬‬
‫=‪2‬‬
‫‪0‬‬
‫‪x=4‬‬
‫‪x24‬‬
‫‪x=4‬‬
‫‪01 x 1 4‬‬
‫התחומים‬
‫‪x=9‬‬
‫‪x=4‬‬
‫‪x =1‬‬
‫‪x‬‬
‫‪+‬‬
‫‪0‬‬
‫‪-‬‬
‫)‪f'(x‬‬
‫‪4‬‬
‫)‪f(x‬‬
‫‪3‬‬
‫נקודת‬
‫מינימום‬
‫)‪ (4 , - 8‬נקודת מינימום‬
‫‪/‬המשך בעמוד ‪/9‬‬
‫פתרון‪ ,‬מתמטיקה‪ ,‬קיץ תשע"ד‪ ,‬מועד ב‪ ,‬מס' ‪313 ,035803‬‬
‫‪-9‬‬‫המשך תשובה לשאלה ‪.4‬‬
‫ג‪.‬‬
‫נקבע את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה )‪f(x‬‬
‫‬
‫על פי סימן הנגזרת )‪: f'(x‬‬
‫‪ f' (x) 2 0‬בתחום ‪x 2 4‬‬
‫‪ f' (x) 1 0‬בתחום ‪0 1 x 1 4‬‬
‫‬
‫‪0‬‬
‫‬
‫הפונקציה )‪ f(x‬עולה בתחום‪:‬‬
‫‬
‫‪x24‬‬
‫הפונקציה )‪ f(x‬יורדת בתחום‪:‬‬
‫‬
‫ד‪.‬‬
‫‬
‫בנקודת החיתוך של הפונקציה )‪ f(x‬עם ציר ה־ ‪y‬‬
‫שיעור ה־ ‪ x‬הוא ‪ , x = 0‬לכן מתקיים‪:‬‬
‫‪01x1 4‬‬
‫‪f (0) = 2 $ 0 - 8 0‬‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫נקודת החיתוך של הפונקציה )‪ f(x‬עם ציר ה־ ‪ y‬היא‪:‬‬
‫‬
‫‪0‬‬
‫‪f (0) = 0‬‬
‫‪0‬‬
‫)‪(0 , 0‬‬
‫‪ III‬הוא גרף הפונקציה )‪ , f(x‬כי מתקיים‪:‬‬
‫תחום ההגדרה ‪. x $ 0‬‬
‫נקודת קיצון פנימית )‪ (4 , - 8‬שהיא נקודת מינימום‪.‬‬
‫הפונקציה עולה בתחום ‪ x 2 4‬ויורדת בתחום ‪. 0 1 x 1 4‬‬
‫נקודת חיתוך עם ציר ה־ ‪.(0 , 0) y‬‬
‫ה‪.‬‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫גרף‬
‫‪)1‬‬
‫‪)2‬‬
‫‪)3‬‬
‫‪)4‬‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫בגרף ‪ I‬הפונקציה מוגדרת לכל ‪ , x‬לכן הגרף אינו מתאים‪.‬‬
‫בגרף ‪ II‬לפונקציה יש נקודת קיצון מקסימום‪ ,‬לכן הגרף אינו מתאים‪.‬‬
‫בגרף ‪ IV‬הפונקציה מוגדרת לכל ‪ x‬ולפונקציה יש נקודת מקסימום‪ ,‬לכן הגרף אינו מתאים‪.‬‬
‫‬
‫‪/‬המשך בעמוד ‪/10‬‬
‫‬
‫פתרון‪ ,‬מתמטיקה‪ ,‬קיץ תשע"ד‪ ,‬מועד ב‪ ,‬מס' ‪313 ,035803‬‬
‫ ‪- 10‬‬‫‪-4‬‬‫‪.5‬‬
‫שאלה‪5 ,‬מס' ‪ + 313 ,035803‬נספח‬
‫מתמטיקה‪ ,‬קיץ תשע"ד‪ ,‬מועד ב‬
‫בציור שלפניך מתוארת סקיצה של גרף הפונקציה‬
‫‪A‬‬
‫‪x3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪. f (x) = - 3 + 2x2 + 5x + 6 3‬‬
‫‪y‬‬
‫‪ A‬ו־ ‪ B‬הן נקודות הקיצון של הפונקציה )‪. f(x‬‬
‫א‪.‬‬
‫מצא את השיעורים של הנקודות ‪ A‬ו־ ‪. B‬‬
‫ב‪.‬‬
‫בנקודה ‪ B‬העבירו משיק לגרף הפונקציה )‪. f(x‬‬
‫מצא את משוואת המשיק‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫חשב את השטח המוגבל‬
‫על ידי גרף הפונקציה )‪, f(x‬‬
‫על ידי הישר ‪ x = 1‬ועל ידי המשיק‬
‫שאת משוואתו מצאת בסעיף ב‬
‫‪B‬‬
‫‪x‬‬
‫‪1‬‬
‫(השטח האפור בציור)‪.‬‬
‫תשובה לשאלה ‪5‬‬
‫א‪.‬‬
‫‪f' (x) = - x2 + 4x + 5‬‬
‫הנגזרת של הפונקציה )‪ f(x‬היא‪:‬‬
‫שלפניך מתואר גרף הפונקציה‬
‫‪ .6‬בציור‬
‫‬
‫‪f' (x) = 0‬‬
‫‪1 1‬‬
‫‪ f (x) = x + 2‬בתחום ‪. x 2 0‬‬
‫‪$x +5‬‬
‫מנקודה‬
‫‪ , K‬הנמצאת על גרף הפונקציה‪,‬‬
‫אנכים לצירים כך שנוצר מלבן ‪AKBO‬‬
‫מעבירים‬
‫‪0‬‬
‫‪- x2 + 4x + 5 = 0‬‬
‫)‪f(x‬‬
‫‪K‬‬
‫‪y‬‬
‫‪A‬‬
‫‪0‬‬
‫הצירים)‪.‬‬
‫ (‪— O‬‬
‫הנקודות שעבורן ‪ f' (x) = 0‬הוא‪:‬‬
‫ראשית‪ x‬של‬
‫שיעור ה־‬
‫א‪ .‬הבע את האורכים של צלעות המלבן ‪ AK‬ו־ ‪KB‬‬
‫‪x‬‬
‫השיעורים של הנקודה ‪ A‬הם‪) :‬‬
‫‬
‫‪ A (. 5K, 40‬נקודת מקסימום‬
‫הנקודה‬
‫באמצעות שיעור ה־ ‪ x‬של‬
‫‪x =- 1 , x = 5‬‬
‫‪B‬‬
‫‪O‬‬
‫‪ K‬נקודת מינימום‬
‫הנקודה‬
‫צריך של‬
‫השיעורים‬
‫הנקודה( ‪B‬‬
‫הם‪:‬של)‪- 1 , 4‬‬
‫שיעור‪B‬ה־ ‪x‬‬
‫להיות‬
‫ ב‪ .‬מה‬
‫כדי שהיקף המלבן ‪ AKBO‬יהיה מינימלי?‬
‫ב‪.‬‬
‫שיפוע המשיק לגרף הפונקציה בנקודת המינימום הוא ‪. 0‬‬
‫לכן משוואת המשיק לגרף הפונקציה )‪ f(x‬בנקודה ‪ B‬היא‪:‬‬
‫ג‪.‬‬
‫דרך ‪:I‬‬
‫‬
‫‬
‫‪y=4‬‬
‫בהצלחה!‬
‫זכות היוצרים שמורה‪2‬למדינת‬
‫ישראל‪2 +‬‬
‫החינוך‪+ 2x‬‬
‫‪5x +‬‬
‫אלא ‪2‬‬
‫משרד‬
‫ברשות‬
‫חישוב השטח האפור‪ :‬אין להעתיק או לפרסם‬
‫‪3 ) dx‬‬
‫‪x3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪# (- 3‬‬
‫‪-1‬‬
‫‪1‬‬
‫=‬
‫‪# (f (x) - 4) dx‬‬
‫‪-1‬‬
‫= השטח האפור ‪S‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ = - x 4 + 2 $ x 3 + 5 $ x 2 + 2 2 x‬השטח האפור ‪S‬‬
‫‪12‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‬
‫מציאת הפונקציה הקדומה‪:‬‬
‫‬
‫הצבה של הגבולות‪:‬‬
‫ֿ‬
‫השטח המבוקש (השטח האפור) הוא‪:‬‬
‫‪-1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2 5‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2 5‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ = b- 12 + 3 + 2 + 2 3 l - b- 12 - 3 + 2 - 2 3 l = 6 3‬השטח האפור ‪S‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ = 6 3‬השטח האפור ‪S‬‬
‫‪/‬המשך בעמוד ‪/11‬‬
‫ ‪- 11‬‬‫‬
‫דרך ‪:II‬‬
‫‬
‫מלבן ‪ S‬הוא השטח המוגבל על ידי‬
‫‬
‫המשיק בנקודת המינימום ועל ידי ציר ה־ ‪x‬‬
‫‬
‫בגבולות ‪ - 1‬ו־ ‪ . 1‬לכן‪:‬‬
‫‬
‫‬
‫פתרון‪ ,‬מתמטיקה‪ ,‬קיץ תשע"ד‪ ,‬מועד ב‪ ,‬מס' ‪313 ,035803‬‬
‫מלבן ‪- S‬‬
‫‪1‬‬
‫‪# f (x) dx‬‬
‫‪3‬‬
‫‪-1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪# (- x3 + 2x2 + 5x + 6 23 ) dx - 4 $ 2‬‬
‫‪-1‬‬
‫= השטח האפור ‪S‬‬
‫= השטח האפור ‪S‬‬
‫‬
‫‬
‫‪x4‬‬
‫‪x3‬‬
‫‪x2‬‬
‫‪2 1‬‬
‫‪ = - 12 + 2 $ 3 + 5 $ 2 + 6 3 x ; - 8‬השטח האפור ‪S‬‬
‫‬
‫‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2 5‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2 5‬‬
‫‪ = (- 12 + 3 + 2 + 6 3 ) - (- 12 - 3 + 2 - 6 3 ) - 8‬השטח האפור ‪S‬‬
‫ֿ‬
‫השטח המבוקש (השטח האפור) הוא‪:‬‬
‫‪-1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ = 6 3‬השטח האפור ‪S‬‬
‫‪/‬המשך בעמוד ‪/12‬‬
‫שאת משוואתו מצאת בסעיף ב‬
‫‪x‬‬
‫‪1‬‬
‫(השטח האפור בציור)‪.‬‬
‫פתרון‪ ,‬מתמטיקה‪ ,‬קיץ תשע"ד‪ ,‬מועד ב‪ ,‬מס' ‪313 ,035803‬‬
‫‪- 12 -‬‬
‫שאלה ‪6‬‬
‫‪.6‬‬
‫)‪f(x‬‬
‫בציור שלפניך מתואר גרף הפונקציה‬
‫‪y‬‬
‫‪1 1‬‬
‫‪ f (x) = x + 2 $ x + 5‬בתחום ‪. x 2 0‬‬
‫‪K‬‬
‫מנקודה ‪ , K‬הנמצאת על גרף הפונקציה‪,‬‬
‫‪A‬‬
‫מעבירים אנכים לצירים כך שנוצר מלבן ‪AKBO‬‬
‫(‪ — O‬ראשית הצירים)‪.‬‬
‫א‪.‬‬
‫הבע את האורכים של צלעות המלבן ‪ AK‬ו־ ‪KB‬‬
‫‪x‬‬
‫באמצעות שיעור ה־ ‪ x‬של הנקודה ‪. K‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪B‬‬
‫‪O‬‬
‫מה צריך להיות שיעור ה־ ‪ x‬של הנקודה ‪K‬‬
‫כדי שהיקף המלבן ‪ AKBO‬יהיה מינימלי?‬
‫תשובה לשאלה ‪6‬‬
‫א‪.‬‬
‫‬
‫השיעורים של הנקודה ‪ K‬הם‪:‬‬
‫אורך הקטע ‪ AK‬שווה לשיעור ה־ ‪ x‬של‬
‫הנקודה ‪, K‬‬
‫בהצלחה!‬
‫זכות היוצרים שמורה למדינת ישראל‬
‫אין להעתיק או לפרסם אלא ברשות משרד החינוך‬
‫‬
‫לכן מתקיים‪:‬‬
‫‬
‫אורך הקטע ‪ KB‬שווה לשיעור ה־ ‪ y‬של הנקודה ‪, K‬‬
‫‬
‫לכן מתקיים‪:‬‬
‫‪1 1‬‬
‫)‪K (x , x + 2 $ x + 5‬‬
‫‪x 2 0 , AK = x‬‬
‫‪1 1‬‬
‫‪x 2 0 , KB = x + 2 $ x + 5‬‬
‫‪/‬המשך בעמוד ‪/13‬‬
‫פתרון‪ ,‬מתמטיקה‪ ,‬קיץ תשע"ד‪ ,‬מועד ב‪ ,‬מס' ‪313 ,035803‬‬
‫‪- 13 -‬‬
‫המשך תשובה לשאלה ‪.6‬‬
‫ב‪.‬‬
‫היקף המלבן ‪: AKOB‬‬
‫‬
‫הפונקציה של היקף המלבן ‪ AKBO‬היא‪:‬‬
‫‬
‫הנגזרת היא‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ AKBO = 2AK + 2KB‬היקף‬
‫‪ AKBO = P (x) = 4x + x + 10 , x 2 0‬היקף‬
‫‪1‬‬
‫‪P' (x) = 4 - 2‬‬
‫‪x‬‬
‫‪0‬‬
‫‬
‫‬
‫‪P' (x) = 0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪4- 2 =0‬‬
‫‪x‬‬
‫‬
‫‬
‫‪1‬‬
‫‪x2 = 4‬‬
‫‬
‫‪1‬‬
‫‪x =! 2 , x 2 0‬‬
‫‪0‬‬
‫‬
‫‪1‬‬
‫‪x= 2‬‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫בדיקת הסוג של נקודת הקיצון‬
‫על פי הצבה בפונקציית הנגזרת‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪x2 2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪+‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‬
‫‪3‬‬
‫נקודת‬
‫מינימום‬
‫‬
‫‪1‬‬
‫‪x‬‬
‫‪1‬‬
‫‪4‬‬
‫‪-‬‬
‫)‪P'(x‬‬
‫‪4‬‬
‫)‪P(x‬‬
‫‪0‬‬
‫‪ x = 2‬נקודת מינימום‬
‫‬
‫‬
‫‪1‬‬
‫‪01x1 2‬‬
‫תחומים‬
‫שיעור ה־ ‪ ,x‬שעבורו היקף המלבן ‪ AKBO‬הוא מינימלי‪ ,‬הוא‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪x= 2‬‬
‫זכות היוצרים שמורה למדינת ישראל‬
‫אין להעתיק או לפרסם אלא ברשות משרד החינוך‬