משרד החינוך - Cast-TV
סוג הבחינה: מועד הבחינה: מספר השאלון: מדינת ישראל משרד החינוך א .בגרות לבתי ספר על־יסודיים ב .בגרות לנבחנים אקסטרניים קיץ תשע"ד ,מועד ב 313 ,035803 הצעת תשובות לשאלות בחינת הבגרות מתמטיקה 3יחידות לימוד — שאלון שלישי הוראות לנבחן א. משך הבחינה :שעתיים. ב. מבנה השאלון ומפתח ההערכה :בשאלון זה שש שאלות בנושאים: אלגברה ,חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי. עליך לענות על ארבע שאלות — 100 = 25x4נקודות. ג. ד. חומר עזר מותר בשימוש: ()1 מחשבון לא גרפי .אין להשתמש באפשרויות התכנות במחשבון הניתן לתכנות. שימוש במחשבון גרפי או באפשרויות התכנות במחשבון עלול לגרום לפסילת הבחינה. ()2 דפי נוסחאות (מצורפים). הוראות מיוחדות: ()1 אל תעתיק את השאלה; סמן את מספרה בלבד. ()2 התחל כל שאלה בעמוד חדש .רשום במחברת את שלבי הפתרון ,גם כאשר החישובים מתבצעים בעזרת מחשבון. הסבר את כל פעולותיך ,כולל חישובים ,בפירוט ובצורה ברורה ומסודרת. חוסר פירוט עלול לגרום לפגיעה בציון או לפסילת הבחינה. ()3 לטיוטה יש להשתמש במחברת הבחינה או בדפים שקיבלת מהמשגיחים. שימוש בטיוטה אחרת עלול לגרום לפסילת הבחינה. ההנחיות בשאלון זה מנוסחות בלשון זכר ומכוונות לנבחנות ולנבחנים כאחד. בהצלחה! /המשך מעבר לדף/ חוסר פירוט עלול לגרום לפגיעה בציון או לפסילת הבחינה. ענה על ארבע מהשאלות ( 6-1לכל שאלה — 25נקודות). 2 מתמטיקה ,קיץ תשע"ד ,מועד ב ,מס' 313 ,035803 פתרון, שים לב! אם תענה על יותר מארבע שאלות ,ייבדקו רק ארבע התשובות הראשונות שבמחברתך. שאלה 1 אלגברה .1 מסעדה הציעה שני תפריטים של ארוחות עסקיות קבוצתיות. תפריט צמחוני במחיר של 34שקלים לסועד. תפריט בשרי במחיר של 68שקלים לסועד. למסעדה הגיעו שתי קבוצות :קבוצה א' וקבוצה ב'. קבוצה א' בחרה בתפריט צמחוני ,וקבוצה ב' בחרה בתפריט בשרי. מספר הסועדים בקבוצה ב' היה קטן ב־ 10ממספר הסועדים בקבוצה א'. המחיר הכולל ששילמה קבוצה ב' היה 75%מן המחיר הכולל ששילמה קבוצה א'. א. מצא כמה סועדים היו בכל קבוצה. ב. מצא את המחיר הכולל שהייתה קבוצה ב' משלמת ,אילו מספר הסועדים בה היה כמספר הסועדים בקבוצה א'. הנקודות ) A(4 , 1ו־ ) B(8 , 3הם שני קדקודים .2 תשובה לשאלה 1 במשולש שווה־שוקיים .) AB = AC ( ABC =- x + הישר 11 מונחת על בקבוצה. y א'. הסועדים מספר — x :BC א.הצלענסמן הסועדיםלצלע הורידו גובה לכן A מנקודה BCב' .הוא: בקבוצה מספר הגובה חותך את BCבנקודה D המחיר הכולל ששילמה קבוצה א' הוא: ואת ציר ה־ xבנקודה ( Eראה ציור). ששילמההישר הכוללאת שיפוע המחירמצא א)1( . . ADהוא: קבוצה ב' B D y C x - 10 34x x A )68 (x - 10 E ( )2מצא את משוואת הישר . AD המחיר הכולל ששילמה קבוצה ב' ב .מצא את שיעורי הנקודות D , Eו־ . C היה 75%מהמחיר הכולל ששילמה קבוצה א', ג .הסבר מדוע המשולש CEBהוא שווה־שוקיים. 68 (x - 10) = 0.75 $ 34x לכן מתקיים: /המשך בעמוד /3 0 68x - 680 = 25.5x 0 x = 16 מספר הסועדים בקבוצה א' הוא: 16סועדים מספר הסועדים בקבוצה ב' הוא: 6סועדים ב. המחיר הכולל שהיתה משלמת קבוצה ב' אילו מספר הסועדים בה היה 16הוא: 1088שקלים = 16 $ 68 /המשך בעמוד /3 המחיר הכולל ששילמה קבוצה ב' היה 75%מן המחיר הכולל ששילמה קבוצה א'. א. מצא כמה סועדים היו בכל קבוצה. ב. אילו- 3 מצא את המחיר הכולל שהייתה קבוצה ב' משלמת- , בה היה מספר הסועדים מתמטיקה ,קיץ תשע"ד ,מועד ב ,מס' 313 ,035803 פתרון, כמספר הסועדים בקבוצה א'. .2 שאלה 2 הנקודות ) A(4 , 1ו־ ) B(8 , 3הם שני קדקודים במשולש שווה־שוקיים .) AB = AC ( ABC הצלע BCמונחת על הישר . y = - x + 11 מנקודה Aהורידו גובה לצלע . BC הגובה חותך את BCבנקודה D B D y C ואת ציר ה־ xבנקודה ( Eראה ציור). א. ( )1מצא את שיפוע הישר . AD ( )2מצא את משוואת הישר . AD ב. מצא את שיעורי הנקודות D , Eו־ . C ג. הסבר מדוע המשולש CEBהוא שווה־שוקיים. A x E /המשך בעמוד /3 תשובה לשאלה 2 א ) 1( .הישר ADמאונך לצלע , BC הצלע BCמונחת על הישר שמשוואתו , y = - x + 11 לכן . m BC = - 1 מכפלת השיפועים של ישרים מאונכים היא , - 1 m AD $ m BC = - 1 לכן מתקיים: השיפוע של הישר ADהוא: ( )2הישר ADעובר דרך הנקודה )A (4 , 1 ושיפועו , 1לכן משוואתו: המשוואה של הישר ADהיא: 0 m AD = 1 )y - 1 = 1$ (x - 4 0 y=x-3 /המשך בעמוד /4 -4- פתרון ,מתמטיקה ,קיץ תשע"ד ,מועד ב ,מס' 313 ,035803 המשך תשובה לשאלה .2 חיתוך הישר y = x - 3עם ציר ה־ x ב. הוא בנקודה שבה , y = 0לכן: השיעורים של הנקודה Eהם: 0=x-3 0 x=3 )E (3 , 0 בנקודה , Dהישר שמשוואתו y = x - 3 נחתך עם הישר שמשוואתו . y = - x + 11 לכן מתקיים: x - 3 = - x + 11 0 2x = 14 0 0 השיעורים של הנקודה Dהם: במשולש שווה־שוקיים ABCשבו AB = AC הגובה ADהוא גם תיכון לצלע , BC לכן הנקודה Cהיא אמצע הצלע BCומתקיים: השיעורים של הנקודה Cהם: x=7 y=4 )D (7 , 4 xC + xB yC + yB = x , = yD D 2 2 0 yC + 3 2 =4 0 xC + 8 2 =7 , 0 yC = 5 0 , xC = 6 0 )C(6 , 5 /המשך בעמוד /5 -5- פתרון ,מתמטיקה ,קיץ תשע"ד ,מועד ב ,מס' 313 ,035803 המשך תשובה לשאלה .2 ג. דרך :I משולש CEBהוא שווה־שוקיים אם מתקיים . EB = EC נמצא את האורכים של הקטעים EBו־ : EC )E (3 , 0) , B (8 , 3) , C (6 , 5 EB2 = (3 - 8) 2 + (0 - 3) 2 = 34 EC2 = (3 - 6) 2 + (0 - 5) 2 = 34 0 0 EB2 = EC2 EB = EC = 34 אם במשולש שתי צלעות שוות אז המשולש הוא שווה־שוקיים דרך :II EDמאונך ל־ , BCכלומר הוא גובה במשולש . CEB EDהוא גם תיכון לצלע BCבמשולש . CEB אם במשולש הגובה לצלע הוא גם התיכון לצלע אז המשולש הוא שווה־שוקיים. לכן משולש CEBהוא שווה־שוקיים. /המשך בעמוד /6 -3.3 -6פתרון ,מתמטיקה ,קיץ תשע"ד ,מועד ב ,מס' 313 ,035803 מתמטיקה ,קיץ תשע"ד ,מועד ב ,מס' + 313 ,035803נספח שאלה 3 נתון מעגל שמרכזו , Mומשוואתו . (x - 6) 2 + (y - 3) 2 = 125 y B בנקודה Aשעל המעגל העבירו משיק ששיפועו . - 2 שיעור ה־ xשל הנקודה Aהוא 16 (ראה ציור). א. ( )1מצא את שיעור ה־ yשל נקודה . A ( )2מצא את משוואת המשיק למעגל בנקודה . A ב. הישר x = 6חותך את המשיק שמצאת בסעיף א בנקודה , Bכמתואר בציור. מצא את שיעורי הנקודה . B ג. A M x מצא את שטח המשולש . AMB תשובה לשאלה 3 א )1( .דרך :I חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי הנקודה Aנמצאת על המעגל. .4נתונה הפונקציה . f (x) = 2x - 8 x לכן השיעורים של הנקודה Aמקיימים את משוואת המעגל. א .מהו תחום ההגדרה של הפונקציה? 2 2 נציב את שיעור ה־ xשל הנקודה Aבמשוואת המעגל ונקבל: (16 - 6) + (y - 3) = 125 ב .מצא את נקודת הקיצון הפנימית של הפונקציה ,וקבע את סוגה .נמק. 0 ג .מצא את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה .נמק את תשובתך. 2 (y - 3) = 25 ד .מצא את נקודת החיתוך של גרף הפונקציה ) f(xעם ציר ה־ . y 0 ה .קבע איזה מן הגרפים IV-Iשלפניך הוא גרף הפונקציה ). f(x y = 8 , y =- 2 הנקודה Aנמצאת ברביע הראשון לכן שיעור ה־ yהוא חיובי. II I III IV A (16 , 8) y השיעורים של הנקודה Aהם:y y y x דרך :II למעגל מאונך לרדיוס בנקודת x משיק x ההשקה. לכן הקטע AMמאונך למשיק למעגל בנקודה . A שיפועו של המשיק הוא , - 2 1 לכן שיפוע הקטע AMהוא , 2ומתקיים: השיעורים של הנקודה Aהם: ( )2משוואת המשיק למעגל בנקודה Aהיא: x y -y 1 m AM = x A - x M = 2 M A /המשך בעמוד /4 0 yA - 3 1 16 - 6 = 2 0 yA = 8 )A (16 , 8 )y - 8 = - 2 (x - 16 0 y = - 2x + 40 /המשך בעמוד /7 פתרון ,מתמטיקה ,קיץ תשע"ד ,מועד ב ,מס' 313 ,035803 -7המשך תשובה לשאלה .3 ב. הנקודה Bהיא נקודת החיתוך של הישר x = 6 y = - 2 $ 6 + 40 עם הישר המשיק , y = - 2x + 40לכן מתקיים: 0 y = 28 )B (6 , 28 השיעורים של הנקודה Bהם: ג. דרך :I משיק למעגל מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה .לכן שטח המשולש AMBשווה למחצית מכפלת הניצבים ,ומתקיים: . BMAB = 90o AM $ AB 2 = SiAMB AM = R = 125 AB = (16 - 6) 2 + (28 - 8) 2 = 500 0 125 $ 500 = 125 2 שטח המשולש AMBהוא: דרך :II שטח המשולש AMBשווה למחצית מכפלת הצלע MB בגובה ADהיורד אליה (ראה ציור). MB $ AD = SiAMB לכן מתקיים: 2 AD = x A - x D xD = 6 AD = 16 - 6 = 10 MB = y B - y M 0 y B 0 = SiAMB A x D M MB = 28 - 3 = 25 25 $10 2 = 125 0 = SiAMB /המשך בעמוד /8 פתרון ,מתמטיקה ,קיץ תשע"ד ,מועד ב ,מס' 313 ,035803 -8- שאלה 4 נתונה הפונקציה . f (x) = 2x - 8 x א. מהו תחום ההגדרה של הפונקציה? ב. מצא את נקודת הקיצון הפנימית של הפונקציה ,וקבע את סוגה. ג. מצא את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה .נמק את תשובתך. ד. מצא את נקודת החיתוך של גרף הפונקציה ) f(xעם ציר ה־ . y ה. קבע איזה מן הגרפים IV-Iשלפניך הוא גרף הפונקציה ) . f(xנמק. I II y x III y x IV y x y x תשובה לשאלה 4 א. תחום ההגדרה הוא: ב. הנגזרת של הפונקציה ) f(xהיא: x $ 0הביטוי בתוך השורש הריבועי חייב להיות אי־שלילי 8 2 x f' (x) = 2f' (x) = 0 0 0 שיעור ה־ xשעבורו f' (x) = 0הוא: בדיקת סימן הנגזרת ): f'(x השיעורים של נקודת הקיצון הפנימית הם: 4 2=0 x 4 x =2 0 x=4 x24 x=4 01 x 1 4 התחומים x=9 x=4 x =1 x + 0 - )f'(x 4 )f(x 3 נקודת מינימום ) (4 , - 8נקודת מינימום /המשך בעמוד /9 פתרון ,מתמטיקה ,קיץ תשע"ד ,מועד ב ,מס' 313 ,035803 -9המשך תשובה לשאלה .4 ג. נקבע את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה )f(x על פי סימן הנגזרת ): f'(x f' (x) 2 0בתחום x 2 4 f' (x) 1 0בתחום 0 1 x 1 4 0 הפונקציה ) f(xעולה בתחום: x24 הפונקציה ) f(xיורדת בתחום: ד. בנקודת החיתוך של הפונקציה ) f(xעם ציר ה־ y שיעור ה־ xהוא , x = 0לכן מתקיים: 01x1 4 f (0) = 2 $ 0 - 8 0 נקודת החיתוך של הפונקציה ) f(xעם ציר ה־ yהיא: 0 f (0) = 0 0 )(0 , 0 IIIהוא גרף הפונקציה ) , f(xכי מתקיים: תחום ההגדרה . x $ 0 נקודת קיצון פנימית ) (4 , - 8שהיא נקודת מינימום. הפונקציה עולה בתחום x 2 4ויורדת בתחום . 0 1 x 1 4 נקודת חיתוך עם ציר ה־ .(0 , 0) y ה. גרף )1 )2 )3 )4 בגרף Iהפונקציה מוגדרת לכל , xלכן הגרף אינו מתאים. בגרף IIלפונקציה יש נקודת קיצון מקסימום ,לכן הגרף אינו מתאים. בגרף IVהפונקציה מוגדרת לכל xולפונקציה יש נקודת מקסימום ,לכן הגרף אינו מתאים. /המשך בעמוד /10 פתרון ,מתמטיקה ,קיץ תשע"ד ,מועד ב ,מס' 313 ,035803 - 10-4.5 שאלה5 ,מס' + 313 ,035803נספח מתמטיקה ,קיץ תשע"ד ,מועד ב בציור שלפניך מתוארת סקיצה של גרף הפונקציה A x3 2 . f (x) = - 3 + 2x2 + 5x + 6 3 y Aו־ Bהן נקודות הקיצון של הפונקציה ). f(x א. מצא את השיעורים של הנקודות Aו־ . B ב. בנקודה Bהעבירו משיק לגרף הפונקציה ). f(x מצא את משוואת המשיק. ג. חשב את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה ), f(x על ידי הישר x = 1ועל ידי המשיק שאת משוואתו מצאת בסעיף ב B x 1 (השטח האפור בציור). תשובה לשאלה 5 א. f' (x) = - x2 + 4x + 5 הנגזרת של הפונקציה ) f(xהיא: שלפניך מתואר גרף הפונקציה .6בציור f' (x) = 0 1 1 f (x) = x + 2בתחום . x 2 0 $x +5 מנקודה , Kהנמצאת על גרף הפונקציה, אנכים לצירים כך שנוצר מלבן AKBO מעבירים 0 - x2 + 4x + 5 = 0 )f(x K y A 0 הצירים). (— O הנקודות שעבורן f' (x) = 0הוא: ראשית xשל שיעור ה־ א .הבע את האורכים של צלעות המלבן AKו־ KB x השיעורים של הנקודה Aהם) : A (. 5K, 40נקודת מקסימום הנקודה באמצעות שיעור ה־ xשל x =- 1 , x = 5 B O Kנקודת מינימום הנקודה צריך של השיעורים הנקודה( B הם:של)- 1 , 4 שיעורBה־ x להיות ב .מה כדי שהיקף המלבן AKBOיהיה מינימלי? ב. שיפוע המשיק לגרף הפונקציה בנקודת המינימום הוא . 0 לכן משוואת המשיק לגרף הפונקציה ) f(xבנקודה Bהיא: ג. דרך :I y=4 בהצלחה! זכות היוצרים שמורה2למדינת ישראל2 + החינוך+ 2x 5x + אלא 2 משרד ברשות חישוב השטח האפור :אין להעתיק או לפרסם 3 ) dx x3 1 # (- 3 -1 1 = # (f (x) - 4) dx -1 = השטח האפור S 1 = - x 4 + 2 $ x 3 + 5 $ x 2 + 2 2 xהשטח האפור S 12 3 2 3 מציאת הפונקציה הקדומה: הצבה של הגבולות: ֿ השטח המבוקש (השטח האפור) הוא: -1 1 2 5 2 1 2 5 2 2 = b- 12 + 3 + 2 + 2 3 l - b- 12 - 3 + 2 - 2 3 l = 6 3השטח האפור S 2 = 6 3השטח האפור S /המשך בעמוד /11 - 11 דרך :II מלבן Sהוא השטח המוגבל על ידי המשיק בנקודת המינימום ועל ידי ציר ה־ x בגבולות - 1ו־ . 1לכן: פתרון ,מתמטיקה ,קיץ תשע"ד ,מועד ב ,מס' 313 ,035803 מלבן - S 1 # f (x) dx 3 -1 1 # (- x3 + 2x2 + 5x + 6 23 ) dx - 4 $ 2 -1 = השטח האפור S = השטח האפור S x4 x3 x2 2 1 = - 12 + 2 $ 3 + 5 $ 2 + 6 3 x ; - 8השטח האפור S 2 1 2 5 2 1 2 5 = (- 12 + 3 + 2 + 6 3 ) - (- 12 - 3 + 2 - 6 3 ) - 8השטח האפור S ֿ השטח המבוקש (השטח האפור) הוא: -1 2 = 6 3השטח האפור S /המשך בעמוד /12 שאת משוואתו מצאת בסעיף ב x 1 (השטח האפור בציור). פתרון ,מתמטיקה ,קיץ תשע"ד ,מועד ב ,מס' 313 ,035803 - 12 - שאלה 6 .6 )f(x בציור שלפניך מתואר גרף הפונקציה y 1 1 f (x) = x + 2 $ x + 5בתחום . x 2 0 K מנקודה , Kהנמצאת על גרף הפונקציה, A מעבירים אנכים לצירים כך שנוצר מלבן AKBO ( — Oראשית הצירים). א. הבע את האורכים של צלעות המלבן AKו־ KB x באמצעות שיעור ה־ xשל הנקודה . K ב. B O מה צריך להיות שיעור ה־ xשל הנקודה K כדי שהיקף המלבן AKBOיהיה מינימלי? תשובה לשאלה 6 א. השיעורים של הנקודה Kהם: אורך הקטע AKשווה לשיעור ה־ xשל הנקודה , K בהצלחה! זכות היוצרים שמורה למדינת ישראל אין להעתיק או לפרסם אלא ברשות משרד החינוך לכן מתקיים: אורך הקטע KBשווה לשיעור ה־ yשל הנקודה , K לכן מתקיים: 1 1 )K (x , x + 2 $ x + 5 x 2 0 , AK = x 1 1 x 2 0 , KB = x + 2 $ x + 5 /המשך בעמוד /13 פתרון ,מתמטיקה ,קיץ תשע"ד ,מועד ב ,מס' 313 ,035803 - 13 - המשך תשובה לשאלה .6 ב. היקף המלבן : AKOB הפונקציה של היקף המלבן AKBOהיא: הנגזרת היא: 1 AKBO = 2AK + 2KBהיקף AKBO = P (x) = 4x + x + 10 , x 2 0היקף 1 P' (x) = 4 - 2 x 0 P' (x) = 0 1 4- 2 =0 x 1 x2 = 4 1 x =! 2 , x 2 0 0 1 x= 2 בדיקת הסוג של נקודת הקיצון על פי הצבה בפונקציית הנגזרת: 1 x2 2 1 2 + 0 1 3 נקודת מינימום 1 x 1 4 - )P'(x 4 )P(x 0 x = 2נקודת מינימום 1 01x1 2 תחומים שיעור ה־ ,xשעבורו היקף המלבן AKBOהוא מינימלי ,הוא: 1 x= 2 זכות היוצרים שמורה למדינת ישראל אין להעתיק או לפרסם אלא ברשות משרד החינוך
© Copyright 2024