‫א‪ .‬בגרות לבתי ספר על־יסודיים‬ ‫ סוג הבחינה‪:‬‬ ‫ב‪ .‬בגרות לנבחנים אקסטרניים‬ ‫‬ ‫ מועד הבחינה‪ :‬תשע"ד‪ ,‬מועד ב‬ ‫ מספר השאלון‪314 ,035804 :‬‬ ‫מדינת ישראל‬ ‫משרד החינוך‬ ‫‬ ‫הצעת תשובות לשאלות בחינת הבגרות‬ ‫מתמטיקה‬ ‫‪ 4‬יחידות לימוד — שאלון ראשון‬ ‫הוראות לנבחן‬ ‫א‪.‬‬ ‫משך הבחינה‪ :‬שלוש שעות וחצי‪.‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫מבנה השאלון ומפתח ההערכה‪ :‬בשאלון זה שלושה פרקים‪.‬‬ ‫פרק ראשון‬ ‫—‬ ‫‬ ‫‬ ‫פרק שני‬ ‫— ‬ ‫‬ ‫פרק שלישי — ‬ ‫‬ ‫‬ ‫ג‪.‬‬ ‫ד‪.‬‬ ‫אלגברה‪ ,‬גאומטריה אנליטית‪,‬‬ ‫הסתברות‬ ‫‬ ‫‪20#2‬‬ ‫—‬ ‫—‬ ‫‪ 40‬נקודות‬ ‫גאומטריה וטריגונומטריה‬ ‫במישור‬ ‫‬ ‫חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי‬ ‫‬ ‫—‬ ‫‪20#1‬‬ ‫—‬ ‫‪ 20‬נקודות‬ ‫—‬ ‫‬ ‫‪2 0#2‬‬ ‫סה"כ‬ ‫—‬ ‫—‬ ‫‪ 40‬נקודות‬ ‫‪ 100‬נקודות‬ ‫חומר עזר מותר בשימוש‪:‬‬ ‫(‪)1‬‬ ‫מחשבון לא גרפי‪ .‬אין להשתמש באפשרויות התכנות במחשבון הניתן לתכנות‪.‬‬ ‫‬ ‫שימוש במחשבון גרפי או באפשרויות התכנות במחשבון עלול לגרום לפסילת הבחינה‪.‬‬ ‫(‪)2‬‬ ‫דפי נוסחאות (מצורפים)‪.‬‬ ‫הוראות מיוחדות‪:‬‬ ‫(‪)1‬‬ ‫אל תעתיק את השאלה; סמן את מספרה בלבד‪.‬‬ ‫(‪)2‬‬ ‫התחל כל שאלה בעמוד חדש‪ .‬רשום במחברת את שלבי הפתרון‪ ,‬גם כאשר‬ ‫‬ ‫החישובים מתבצעים בעזרת מחשבון‪.‬‬ ‫‬ ‫הסבר את כל פעולותיך‪ ,‬כולל חישובים‪ ,‬בפירוט ובצורה ברורה ומסודרת‪.‬‬ ‫‬ ‫חוסר פירוט עלול לגרום לפגיעה בציון או לפסילת הבחינה‪.‬‬ ‫(‪)3‬‬ ‫לטיוטה יש להשתמש במחברת הבחינה או בדפים שקיבלת מהמשגיחים‪.‬‬ ‫‬ ‫שימוש בטיוטה אחרת עלול לגרום לפסילת הבחינה‪.‬‬ ‫ההנחיות בשאלון זה מנוסחות בלשון זכר ומכוונות לנבחנות ולנבחנים כאחד‪.‬‬ ‫בהצלחה!‬ ‫‪/‬המשך מעבר לדף‪/‬‬ ‫פרק ראשון — אלגברה‪ ,‬גאומטריה אנליטית‪ ,‬הסתברות‬ ‫(‪ 40‬נקודות)‬ ‫ענה על שתיים מהשאלות ‪( 3-1‬לכל שאלה — ‪ 20‬נקודות)‪.‬‬ ‫‪-2‬‬‫פתרון‪ ,‬מתמטיקה‪ ,‬קיץ תשע"ד‪ ,‬מועד ב‪ ,‬מס' ‪314 ,035804‬‬ ‫שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות‪ ,‬ייבדקו רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך‪.‬‬ ‫שאלה ‪1‬‬ ‫רוכב אופניים יצא מיישוב ‪ , A‬ורכב במהירות קבועה ליישוב ‪. B‬‬ ‫‪.1‬‬ ‫הרוכב הגיע ליישוב ‪ , B‬וחזר מיד ליישוב ‪. A‬‬ ‫המרחק בין יישוב ‪ A‬ליישוב ‪ B‬הוא ‪ 30‬ק"מ‪.‬‬ ‫מהירות הרוכב בדרכו חזרה ליישוב ‪ A‬הייתה קטנה ב־ ‪ 3‬קמ"ש מהמהירות שלו בדרכו ליישוב ‪. B‬‬ ‫זמן הרכיבה בחזרה ליישוב ‪ A‬היה ארוך ב־ ‪ 50‬דקות מזמן הרכיבה ליישוב ‪. B‬‬ ‫א‪.‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫מצא את המהירות של רוכב האופניים בדרכו ליישוב ‪. B‬‬ ‫‪1‬‬ ‫מצא באיזה מרחק מיישוב ‪ B‬היה הרוכב כעבור ‪ 3 2‬שעות מרגע היציאה מיישוב ‪. A‬‬ ‫תשובה לשאלה ‪1‬‬ ‫חותך מעגל בנקודות ‪ A‬ו־ ‪( B‬ראה ציור)‪.‬‬ ‫‪ .2‬הישר ‪y = - 3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫הנקודה ‪ A‬נמצאת גם על הישר ‪. y = - 3 x + 3‬‬ ‫בדרכו מ־ ‪ A‬עד ‪B‬‬ ‫נסמן‪ — v :‬מהירות הרוכב בקמ"ש‬ ‫א‪ .‬מצא את השיעורים של הנקודה ‪. A‬‬ ‫‬ ‫ב‪ .‬נתון כי מרכז המעגל הוא )‪. M (3 , - 6‬‬ ‫מהירות‬ ‫מצא את משוואת המעגל‪.‬‬ ‫(קמ"ש)‬ ‫ג‪ .‬מצא את שטח המרובע ‪OAMB‬‬ ‫‪v‬‬ ‫— עד ‪B‬‬ ‫מ־ ‪A‬‬ ‫בדרך( ‪O‬‬ ‫ראשית הצירים)‪.‬‬ ‫בדרך מ־ ‪ B‬עד ‪A‬‬ ‫א‪.‬‬ ‫‪v-3‬‬ ‫הדרך מ־ ‪ B‬עד ‪ A‬מקיימת‪:‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪ , v 2 0‬לכן‪:‬‬ ‫‬ ‫דרך‬ ‫(ק"מ)‬ ‫‪y‬‬ ‫‪O‬‬ ‫‪x‬‬ ‫זמן ‪A‬‬ ‫‪B‬‬ ‫(שעות)‬ ‫‪30‬‬ ‫‪30‬‬ ‫‪v‬‬ ‫‪30‬‬ ‫‪30 50‬‬ ‫‪v + 60‬‬ ‫‪M‬‬ ‫‪30 5‬‬ ‫‪30 = (v - 3) $ b v + 6 l‬‬ ‫המשך בעמוד ‪3‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪v2 - 3v - 108 = 0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪ 12‬קמ"ש = ‪v‬‬ ‫‬ ‫ב‪.‬‬ ‫זמן הרכיבה מ־ ‪ A‬עד ‪ B‬הוא‪:‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫זמן הרכיבה מ־ ‪ B‬לכיוון ‪: A‬‬ ‫‬ ‫לכן המרחק שעבר הרוכב‬ ‫‬ ‫אחרי יציאתו מ־ ‪: B‬‬ ‫‬ ‫‪30 30‬‬ ‫‪ 2.5‬שעות = ‪v = 12‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪ 1‬שעה = ‪3.5 - 2.5‬‬ ‫‪ 9‬ק"מ = )‪1# (v - 3) = 1# (12 - 3‬‬ ‫‬ ‫‪/‬המשך בעמוד ‪/3‬‬ ‫א‪.‬‬ ‫מצא את המהירות של רוכב האופניים בדרכו ליישוב ‪. B‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫שעות‪ -‬מרגע היציאה‬ ‫מיישוב ‪. A‬‬ ‫מצא באיזה מרחק מיישוב ‪ B‬היה הרוכב כעבור ‪3 - 3 2‬‬ ‫מתמטיקה‪ ,‬קיץ תשע"ד‪ ,‬מועד ב‪ ,‬מס' ‪314 ,035804‬‬ ‫פתרון‪,‬‬ ‫‪1‬‬ ‫שאלה ‪2‬‬ ‫הישר ‪ y = - 3‬חותך מעגל בנקודות ‪ A‬ו־ ‪( B‬ראה ציור)‪.‬‬ ‫‪.2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫הנקודה ‪ A‬נמצאת גם על הישר ‪. y = - 3 x + 3‬‬ ‫א‪.‬‬ ‫מצא את השיעורים של הנקודה ‪. A‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫נתון כי מרכז המעגל הוא )‪. M (3 , - 6‬‬ ‫מצא את משוואת המעגל‪.‬‬ ‫מצא את שטח המרובע ‪OAMB‬‬ ‫ג‪.‬‬ ‫‪y‬‬ ‫( ‪ — O‬ראשית הצירים)‪.‬‬ ‫‪O‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪M‬‬ ‫תשובה לשאלה ‪2‬‬ ‫א‪.‬‬ ‫הישר ‪ y = - 3‬מקביל לציר ה־ ‪, x‬‬ ‫‬ ‫לכן שיעור ה־ ‪ y‬של ‪ A‬הוא‪:‬‬ ‫‬ ‫נציב ‪ y = - 3‬במשוואת הישר‪ ,‬ונקבל‪:‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫המשך בעמוד ‪3‬‬ ‫‪yA = - 3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪- 3 = - 3 xA + 3‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪xA = 5‬‬ ‫‬ ‫השיעורים של ‪ A‬הם‪:‬‬ ‫)‪A (5 , - 3‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫לפי הנתון שיעורי המרכז הם‪:‬‬ ‫)‪M (3 , - 6‬‬ ‫‬ ‫מכאן ריבוע הרדיוס הוא‪:‬‬ ‫‪R2 = MA2 = (5 - 3) 2 + (- 3 + 6) 2 = 13‬‬ ‫‬ ‫לכן‪ ,‬משוואת המעגל היא‪:‬‬ ‫‪(x - 3) 2 + (y + 6) 2 = 13‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪/‬המשך בעמוד ‪/4‬‬ ‫‪-4-‬‬ ‫פתרון‪ ,‬מתמטיקה‪ ,‬קיץ תשע"ד‪ ,‬מועד ב‪ ,‬מס' ‪314 ,035804‬‬ ‫המשך תשובה לשאלה ‪.2‬‬ ‫ג‪ .‬המרובע ‪ OABM‬מורכב משני משולשים‪:‬‬ ‫‬ ‫‪ iOAB‬ו־ ‪, iABM‬‬ ‫‬ ‫לכן שטח המרובע הוא‪:‬‬ ‫‬ ‫הגובה מ־ ‪ O‬ל־ ‪ AB‬הוא‪:‬‬ ‫‬ ‫הגובה מ־ )‪ M (3 , - 6‬ל־ ‪ AB‬הוא‪:‬‬ ‫‬ ‫לכן‪ ,‬למשולשים ‪ OAB‬ו־ ‪ABM‬‬ ‫‬ ‫בסיס משותף ‪ AB‬ואותו גובה לבסיס זה‪ ,‬לכן‪:‬‬ ‫‪SOABM = SiOAB + SiABM‬‬ ‫‪0 - (- 3) = 3‬‬ ‫‪- 3 - (- 6) = 3‬‬ ‫‪SiOAB = SiABM‬‬ ‫ ‪ B‬על הישר ‪ , y = - 3‬לכן ‪. y B = - 3‬‬ ‫ נציב ‪ y = - 3‬במשוואת המעגל‬ ‫ ונמצא את שיעור ה־ ‪ x‬של ‪: B‬‬ ‫‬ ‫ ‪ x B ! 5‬כי ‪ , B ! A‬לכן‪:‬‬ ‫‪(x B - 3) 2 + (- 3 + 6) 2 = 13‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪xB = 1‬‬ ‫‬ ‫ מכאן‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪SiOAB = 2 $ 3 $ (5 - 1) = 6‬‬ ‫‬ ‫‪S AOBM = 2 $ SiOAB = 2 $ 6 = 12‬‬ ‫‪/‬המשך בעמוד ‪/5‬‬ ‫‪-3‬‬‫‪.3‬‬ ‫‪-5‬‬‫פתרון‪ ,‬מתמטיקה‪ ,‬קיץ תשע"ד‪ ,‬מועד ב‪ ,‬מס' ‪314 ,035804‬‬ ‫מס' ‪ + 314 ,035804‬נספח‬ ‫מתמטיקה‪ ,‬קיץ תשע"ד‪ ,‬מועד ב‪,‬‬ ‫שאלה ‪3‬‬ ‫בעיר גדולה ערכה מחלקת החינוך סקר שהשתתפו בו כל המורים המלמדים במוסדות החינוך בעיר‪.‬‬ ‫המורים נשאלו באיזו שעה הם מעדיפים להתחיל את יום הלימודים‪:‬‬ ‫בשעה ‪ 8:00‬או בשעה ‪. 9:00‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ 5‬מן המשתתפים בסקר הן נשים שמעדיפות להתחיל את הלימודים בשעה ‪. 8:00‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ 4‬מן הנשים שהשתתפו בסקר מעדיפות להתחיל את הלימודים בשעה ‪. 8:00‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ 2‬מן הגברים שהשתתפו בסקר מעדיפים להתחיל את הלימודים בשעה ‪. 8:00‬‬ ‫א‪.‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫ג‪.‬‬ ‫מבין המשתתפים בסקר בוחרים באקראי מורה (גבר ‪ /‬אישה)‪.‬‬ ‫מהי ההסתברות שהוא מעדיף להתחיל את הלימודים בשעה ‪? 8:00‬‬ ‫מבין המשתתפים בסקר בוחרים באקראי מורה (גבר ‪ /‬אישה) שמעדיף להתחיל‬ ‫את הלימודים בשעה ‪. 9:00‬‬ ‫מהי ההסתברות שנבחרה אישה?‬ ‫מבין המשתתפים בסקר בוחרים באקראי ‪ 5‬מורים (גברים ‪ /‬נשים)‪.‬‬ ‫מהי ההסתברות שבדיוק אחד מהם מעדיף להתחיל את הלימודים בשעה ‪? 9:00‬‬ ‫תשובה לשאלה ‪3‬‬ ‫גאומטריה וטריגונומטריה במישור‬ ‫פרק—שני‬ ‫—הנשים‬ ‫קבוצת‬ ‫‪A‬‬ ‫‬ ‫נסמן‪:‬‬ ‫מהשאלות‬ ‫‪.5-4‬המעדיפים להתחיל ב־ ‪8:00‬‬ ‫קבוצת‬ ‫אחת ‪— B‬‬ ‫ענה על ‬ ‫(‪ 20‬נקודות)‬ ‫שים לב! אם תענה על יותר משאלה אחת‪ ,‬תיבדק רק התשובה הראשונה שבמחברתך‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪P (B/A) = 4‬‬ ‫‪P (B+ A) = 5‬‬ ‫א‪ .‬לפי הנתון‪:‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‬ ‫‪ .4‬משולש שווה־שוקיים (קהה־זווית) ‪) AB = BC ( ABC‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪B‬‬ ‫)‪P (B+ A‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪5‬‬ ‫במעגל‪.‬‬ ‫חסום‬ ‫‪P (A) = P (B/A) = 1 = 5‬‬ ‫‬ ‫‪4‬‬ ‫הישר ‪ CD‬משיק למעגל בנקודה ‪. C‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‬ ‫‪A‬‬ ‫‪C‬‬ ‫נתון כי ‪( AD z BC‬ראה ציור)‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪P (A) = 1 - P (A) = 5‬‬ ‫כי משולש ‪ ACD‬הוא משולש שווה־שוקיים‪.‬‬ ‫א‪ .‬הוכח‬ ‫‬ ‫‪ AD‬חותך את ‪1‬‬ ‫בנקודה‪. K, P‬‬ ‫לכן‪:‬‬ ‫המעגל)‪(B/A‬‬ ‫הנתון ‪= 2‬‬ ‫לפי‬ ‫‬ ‫הוכח‪:‬‬ ‫‪ABC‬‬ ‫‪. BCKD =B‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫‪. 3ABC ,3‬‬ ‫ג‪.‬‬ ‫‪CKD‬‬ ‫ההסתברות לבחור מורה‬ ‫‬ ‫המעדיף להתחיל ב־ ‪ 8:00‬היא‪:‬‬ ‫‬ ‫‪1 1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪P (B+ A) = P (B/A) $ P (A) = 2 $ 5 = 10‬‬ ‫‪K‬‬ ‫‪P (B) = P (B+ A) + PD‬‬ ‫)‪(B+ A‬‬ ‫‪0‬‬ ‫בעמוד ‪4‬‬ ‫המשך‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫= ‪P (B) = +‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪/‬המשך בעמוד ‪/6‬‬ ‫פתרון‪ ,‬מתמטיקה‪ ,‬קיץ תשע"ד‪ ,‬מועד ב‪ ,‬מס' ‪314 ,035804‬‬ ‫‪-6‬‬‫המשך תשובה לשאלה ‪.3‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫)‪P (A/B‬‬ ‫ההסתברות המבוקשת היא‪:‬‬ ‫‬ ‫)‪P (A + B‬‬ ‫)‪P (B‬‬ ‫= )‪P (A/B‬‬ ‫‬ ‫‪3‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪P (B) = 1 - P (B) = 1 - 10 = 10‬‬ ‫‬ ‫)‪P (A + B) = P (A) - P (A + B‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‬ ‫מכאן‪:‬‬ ‫‬ ‫ג‪.‬‬ ‫מצאנו כי ההסתברות לבחור מורה‬ ‫‬ ‫המעדיף להתחיל ב־ ‪ 9:00‬היא‪:‬‬ ‫‬ ‫לכן ההסתברות המבוקשת היא‪:‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪4 1 3‬‬ ‫‪P (A + B) = 5 - 5 = 5‬‬ ‫‪3‬‬ ‫)‪P (A + B‬‬ ‫‪6‬‬ ‫= )‪P (A/B‬‬ ‫‪= 57 = 7‬‬ ‫)‪P (B‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪P (B) = 10‬‬ ‫‪3 4‬‬ ‫‪5 7‬‬ ‫‪P5 (1) = a 1 k $ 10 $ b 10 l = 0.02835‬‬ ‫‪/‬המשך בעמוד ‪/7‬‬ ‫פרק שני — גאומטריה וטריגונומטריה במישור‬ ‫(‪ 20‬נקודות)‬ ‫ענה על אחת מהשאלות ‪.5-4‬‬ ‫‪-7‬‬‫פתרון‪ ,‬מתמטיקה‪ ,‬קיץ תשע"ד‪ ,‬מועד ב‪ ,‬מס' ‪314 ,035804‬‬ ‫שים לב! אם תענה על יותר משאלה אחת‪ ,‬תיבדק רק התשובה הראשונה שבמחברתך‪.‬‬ ‫שאלה ‪4‬‬ ‫‪.4‬‬ ‫משולש שווה־שוקיים (קהה־זווית) ‪) AB = BC ( ABC‬‬ ‫חסום במעגל‪.‬‬ ‫הישר ‪ CD‬משיק למעגל בנקודה ‪. C‬‬ ‫נתון כי ‪( AD z BC‬ראה ציור)‪.‬‬ ‫א‪ .‬הוכח כי משולש ‪ ACD‬הוא משולש שווה־שוקיים‪.‬‬ ‫‪ AD‬חותך את המעגל בנקודה ‪. K‬‬ ‫הוכח‪:‬‬ ‫ב‪. BCKD =B ABC .‬‬ ‫ג‪. 3ABC ,3CKD .‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪K‬‬ ‫‪D‬‬ ‫המשך בעמוד ‪4‬‬ ‫תשובה לשאלה ‪4‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪ ABC =BACD‬‬ ‫‬ ‫א‪.‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫נסמן ‪ , BABC = a‬ונקבל‪:‬‬ ‫לפי הנתון‪:‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‬ ‫במשולש ‪ ADC‬מתקיים‪:‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‬ ‫‬ ‫‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪a‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪ BCA =BBAC = 90o - 2‬‬ ‫זווית בין משיק למיתר שווה לזווית ההיקפית‬ ‫הנשענת על מיתר זה מצדו השני‬ ‫‪ BCA‬הוא משולש שווה ־שוקיים‬ ‫‪AD z BC‬‬ ‫‬ ‫‪0‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪ BCA =BCAD = 90o - 2‬‬ ‫זוויות מתחלפות בין מקבילים הן שוות‬ ‫)‪BADC = 180 o - (BACD +BCAD‬‬ ‫‬ ‫‪0‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪BADC = 180 o - (a + 90 o - 2 ) = 90 o - 2‬‬ ‫‬ ‫‪0‬‬ ‫‪BADC =BCAD‬‬ ‫‬ ‫‪0‬‬ ‫‪AC = DC‬‬ ‫במשולש מול זוויות שוות יש צלעות שוות‬ ‫‬ ‫‪/‬המשך בעמוד ‪/8‬‬ ‫‪-8-‬‬ ‫פתרון‪ ,‬מתמטיקה‪ ,‬קיץ תשע"ד‪ ,‬מועד ב‪ ,‬מס' ‪314 ,035804‬‬ ‫המשך תשובה לשאלה ‪.4‬‬ ‫‪ AKC = 180o - a‬‬ ‫‪B‬‬ ‫ב‪ .‬המרובע ‪ AKCB‬חסום במעגל‪ ,‬לכן‪:‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪0‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪B‬‬ ‫‪ CKD = 180o -BAKC‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫מצאנו גם‪:‬‬ ‫‬ ‫מכאן‪:‬‬ ‫סכום זוויות צמודות הוא ‪180 o‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪ CKD = 180o - (180o - a) = a‬‬ ‫‬ ‫‪0‬‬ ‫‪B CKD =BABC = a‬‬ ‫‬ ‫ג‪.‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪a‬‬ ‫‪BKDC = 90 o - 2‬‬ ‫מצאנו בסעיף א‪:‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫הוא ‪180 o‬‬ ‫‬ ‫‪0‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪ KCD =BCAK = 90o - 2‬‬ ‫מכאן‪:‬‬ ‫סכום זוויות נגדיות במרובע חסום במעגל‬ ‫זווית בין משיק למיתר שווה לזווית ההיקפית‬ ‫הנשענת על מיתר זה מצדו השני‬ ‫‪BBCA =BBAC =BKCD =BKDC‬‬ ‫‪AC = DC‬‬ ‫‪iABC , iCKD‬‬ ‫על פי ז‪.‬צ‪.‬ז‪.‬‬ ‫‪/‬המשך בעמוד ‪/9‬‬ ‫פתרון‪ ,‬מתמטיקה‪ ,‬קיץ תשע"ד‪ ,‬מועד ב‪ ,‬מס' ‪314 ,035804‬‬ ‫‪-9-‬‬ ‫‪-4‬‬‫‪.5‬‬ ‫מס' ‪ + 314 ,035804‬נספח‬ ‫מתמטיקה‪ ,‬קיץ תשע"ד‪ ,‬מועד ב‪,‬‬ ‫שאלה ‪5‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪ ABCD‬הוא טרפז שווה־שוקיים‬ ‫‪A‬‬ ‫( ‪) AB 1 DC , AB z DC‬‬ ‫(ראה ציור)‪.‬‬ ‫נתון‪AD = AB = BC = m :‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪BABD = a‬‬ ‫א‪.‬‬ ‫‪m2 3‬‬ ‫נתון כי שטח המשולש ‪ DAB‬הוא‬ ‫‪4‬‬ ‫מצא את ‪. a‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫נתון כי שטח הטרפז ‪ ABCD‬הוא ‪. 27 3‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪.‬‬ ‫מצא את ‪. m‬‬ ‫א‪.‬‬ ‫תשובהשללשאלה ‪5‬‬ ‫פולינומים‪,‬‬ ‫פרק שלישי — חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי‬ ‫נקודות)‬ ‫רציונליות ושל‬ ‫פונקציות‬ ‫במשולש של‬ ‫(‪B40‬‬ ‫שורש ‪BAD‬‬ ‫פונקציות‪= 180 o‬‬ ‫‪- 2a‬‬ ‫‪ ABD‬מתקיים‪:‬‬ ‫שוה־שוקיים‬ ‫שתיים מהשאלות ‪( 8-6‬לכל שאלה — ‪ 20‬נקודות)‪.‬‬ ‫ענה על‬ ‫‬ ‫הראשונות שבמחברתך‪.‬‬ ‫שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות‪ ,‬ייבדקו רק שתי התשובות‬ ‫‪1‬‬ ‫)‪SiDAB = 2 m2 sin (180 o - 2a‬‬ ‫‪ , AD = AB = m‬לכן‪:‬‬ ‫‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‬ ‫נתונה הפונקציה‬ ‫‪.6‬‬ ‫‪(x - 5) 2‬‬ ‫‪. f (x) = 1 -‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪m2 3 1 2‬‬ ‫מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה )‪4 = 2 m sin (2a) . f(x‬‬ ‫א‪)1( .‬‬ ‫‬ ‫ (‪ )2‬מצא את האסימפטוטות של הפונקציה )‪ f(x‬המקבילות ‪0‬‬ ‫לצירים‪.‬‬ ‫הצירים‪.‬‬ ‫(‪ )3‬מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה )‪ f(x‬עם ‪3‬‬ ‫‪sin (2a) = 2‬‬ ‫‬ ‫(‪ )4‬מצא את הסימן של פונקציית הנגזרת )‪ f'(x‬בתחום ‪, x 1 5‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫ב‪.‬‬ ‫‬ ‫)‪, f(x‬בנקודה שבה ‪0. x = 4‬‬ ‫הפונקציה‬ ‫זוויתלגרף‬ ‫המשיק‬ ‫ג‪.‬‬ ‫העבירו‪B‬‬ ‫‪DAB‬‬ ‫ישרהיא‬ ‫‬ ‫‪AB 1‬‬ ‫קהה כי ‪DC‬‬ ‫האסימפטוטות‬ ‫לכן‪:‬נקודות החיתוך של המשיק עם‬ ‫השיעורים‪,‬של‬ ‫ מצא‬ ‫‪a = 30 o‬‬ ‫את‪180 o - 2‬‬ ‫והיא ‪a‬‬ ‫ומצא את הסימן של פונקציית הנגזרת )‪ f'(x‬בתחום ‪. x 2 5‬‬ ‫‪, a = 60 o‬‬ ‫פתרונות המשוואה עבור ‪ 180o 1 a 1 0o‬הן‪:‬‬ ‫סרטט סקיצה של גרף הפונקציה )‪. f(x‬‬ ‫‪a = 30 o‬‬ ‫של הפונקציה )‪. f(x‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫המשך בעמוד ‪5‬‬ ‫‬ ‫‪/‬המשך בעמוד ‪/10‬‬ ‫פתרון‪ ,‬מתמטיקה‪ ,‬קיץ תשע"ד‪ ,‬מועד ב‪ ,‬מס' ‪314 ,035804‬‬ ‫ ‪- 10‬‬‫המשך תשובה לשאלה ‪.5‬‬ ‫‬ ‫ב‪.‬‬ ‫‪ = SiDAB + SiDBC‬טרפז‪S‬‬ ‫‬ ‫‪BDBC =BABC -BABD‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪0‬‬ ‫‪ , BABC =BDAB‬ומצאנו ‪ , a = 30o‬לכן‪:‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‬ ‫במשולש שווה־שוקיים ‪ ABD‬מתקיים‪:‬‬ ‫‪BDBC = (180 o - 2a) - a = 90 o‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪SiDBC = 2 $ DB $ BC‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2 DB = cos BABD = cos 30 o‬‬ ‫‪AD‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‬ ‫מכאן‪:‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪DB = 2 $ m $ cos 30 o = m 3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪m2 3‬‬ ‫‪S3 DBC = 2 $ m 3 $ m = 2‬‬ ‫‪m2 3 m2 3 m2 $ 3 3‬‬ ‫= ‪4 + 2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪m2 3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫= טרפז‪S‬‬ ‫‪0‬‬ ‫= ‪27 3‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪m=6‬‬ ‫‪/‬המשך בעמוד ‪/11‬‬ ‫של פונקציות רציונליות ושל פונקציות שורש‬ ‫(‪ 40‬נקודות)‬ ‫ענה על שתיים מהשאלות ‪( 8-6‬לכל שאלה — ‪ 20‬נקודות)‪.‬‬ ‫ ‪- 11‬‬‫פתרון‪ ,‬מתמטיקה‪ ,‬קיץ תשע"ד‪ ,‬מועד ב‪ ,‬מס' ‪314 ,035804‬‬ ‫שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות‪ ,‬ייבדקו רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך‪.‬‬ ‫שאלה ‪6‬‬ ‫‪.6‬‬ ‫‪1‬‬ ‫נתונה הפונקציה‬ ‫‪(x - 5) 2‬‬ ‫א‪.‬‬ ‫‪. f (x) = 1 -‬‬ ‫(‪ )1‬מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה )‪. f(x‬‬ ‫(‪ )2‬מצא את האסימפטוטות של הפונקציה )‪ f(x‬המקבילות לצירים‪.‬‬ ‫(‪ )3‬מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה )‪ f(x‬עם הצירים‪.‬‬ ‫(‪ )4‬מצא את הסימן של פונקציית הנגזרת )‪ f'(x‬בתחום ‪, x 1 5‬‬ ‫ומצא את הסימן של פונקציית הנגזרת )‪ f'(x‬בתחום ‪. x 2 5‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫סרטט סקיצה של גרף הפונקציה )‪. f(x‬‬ ‫ג‪.‬‬ ‫העבירו ישר המשיק לגרף הפונקציה )‪ f(x‬בנקודה שבה ‪. x = 4‬‬ ‫מצא את השיעורים של נקודות החיתוך של המשיק עם האסימפטוטות‬ ‫של הפונקציה )‪. f(x‬‬ ‫תשובה לשאלה ‪6‬‬ ‫(‪)1‬‬ ‫א‪.‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫(‪)2‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‬ ‫‬ ‫‬ ‫‬ ‫צריך להתקיים‪:‬‬ ‫תחום ההגדרה של )‪: f(x‬‬ ‫עבור ערכי ‪ x‬רחוקים מאוד מהראשית (שליליים או חיוביים)‪,‬‬ ‫הערך של )‪ f(x‬מתקרב ל־ ‪, 1‬‬ ‫לכן האסימפטוטה של )‪ f(x‬המקבילה לציר ה־‪ x‬היא‪:‬‬ ‫‪y =1‬‬ ‫עבור ערכי ‪ x‬המתקרבים ל־ ‪, 5‬‬ ‫)‪ f(x‬מקבלת ערכים מאוד שליליים‬ ‫(גדולים מאוד בערכם המוחלט)‪,‬‬ ‫לכן האסימפטוטה של )‪ f(x‬המקבילה לציר ה־ ‪ y‬היא‪:‬‬ ‫‪x=5‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫נקודות החיתוך של )‪ f(x‬עם ציר ה־ ‪ x‬הן‪:‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪0‬‬ ‫‪x!5‬‬ ‫‬ ‫(‪)3‬‬ ‫‬ ‫המשך‪x -‬בעמוד ‪5‬‬ ‫‪5! 0‬‬ ‫נקודת החיתוך של )‪ f(x‬עם ציר ה־ ‪ y‬היא‪:‬‬ ‫‪x - 5 =! 1‬‬ ‫&‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪(x - 5) 2‬‬ ‫=‪1‬‬ ‫&‬ ‫‪f (x) = 0‬‬ ‫‪x=6 , x=4‬‬ ‫)‪(6 , 0) , (4 , 0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪24‬‬ ‫‪f (0) = 1 - 25 = 25‬‬ ‫&‬ ‫‪x=0‬‬ ‫‪24‬‬ ‫‪b 0 , 25 l‬‬ ‫‪/‬המשך בעמוד ‪/12‬‬ ‫פתרון‪ ,‬מתמטיקה‪ ,‬קיץ תשע"ד‪ ,‬מועד ב‪ ,‬מס' ‪314 ,035804‬‬ ‫ ‪- 12‬‬‫המשך תשובה לשאלה ‪.6‬‬ ‫‪f (x) = 1 - (x - 5) -2‬‬ ‫‬ ‫א‪)4( .‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪2‬‬ ‫‪(x - 5) 3‬‬ ‫‪0‬‬ ‫= ‪f' (x) = - (- 2) $ (x - 5)-3‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫עבור ‪ x 1 5‬מקבלים כי ‪ , (x - 5) 1 0‬לכן‪:‬‬ ‫‪ f' (x) 1 0‬עבור ‪x 1 5‬‬ ‫‬ ‫עבור ‪ x 2 5‬מקבלים כי ‪ , (x - 5) 2 0‬לכן‪:‬‬ ‫‪ f' (x) 2 0‬עבור ‪x 2 5‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫‪x25‬‬ ‫על פי תת־סעיף א (‪ )4‬מקבלים‪:‬‬ ‫‬ ‫‪+‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‬ ‫לפי נקודות החיתוך של )‪ f(x‬עם הצירים‪,‬‬ ‫‬ ‫לפי האסימפטוטות ולפי תחומי העלייה והירידה‬ ‫‬ ‫של )‪ f(x‬הגרף הוא‪:‬‬ ‫ג‪.‬‬ ‫שיעורי נקודת ההשקה‪:‬‬ ‫‬ ‫שיפוע המשיק‪:‬‬ ‫‬ ‫משוואת המשיק‪:‬‬ ‫)‪f'(x‬‬ ‫)‪f(x‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪4 5 6‬‬ ‫)‪(4 , 0‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪=- 2‬‬ ‫‪(4 - 5) 3‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‬ ‫נציב ‪ x = 5‬במשוואת המשיק ונקבל‪:‬‬ ‫‬ ‫לכן נקודת החיתוך עם האסימפטוטה ‪ x = 5‬היא‪:‬‬ ‫‬ ‫נציב ‪ y = 1‬במשוואת המשיק ונקבל‪:‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪5‬‬ ‫‪x15‬‬ ‫‪x‬‬ ‫לכן נקודת החיתוך עם האסימפטוטה ‪ y = 1‬היא‪:‬‬ ‫= )‪f' (4‬‬ ‫)‪y - 0 = - 2 (x - 4‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪y = - 2x + 8‬‬ ‫‪y =- 2$5 + 8 =- 2‬‬ ‫)‪(5 , - 2‬‬ ‫‪1 = - 2x + 8‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪x = 3.5‬‬ ‫)‪(3.5 , 1‬‬ ‫‪/‬המשך בעמוד ‪/13‬‬ ‫פתרון‪ ,‬מתמטיקה‪ ,‬קיץ תשע"ד‪ ,‬מועד ב‪ ,‬מס' ‪314 ,035804‬‬ ‫‪- 13 -‬‬ ‫‪-5‬‬‫‪.7‬‬ ‫מס' ‪ + 314 ,035804‬נספח‬ ‫מתמטיקה‪ ,‬קיץ תשע"ד‪ ,‬מועד ב‪,‬‬ ‫שאלה ‪7‬‬ ‫בציור שלפניך מוצג גרף של פונקציית הנגזרת‪:‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫א‪.‬‬ ‫מצא את שיעור ה־ ‪ x‬של נקודת החיתוך‬ ‫ב‪.‬‬ ‫מצא את שיעור ה־ ‪ x‬של נקודת הקיצון הפנימית‬ ‫‪y‬‬ ‫= )‪. x 2 0 , f'(x‬‬ ‫של )‪ f'(x‬עם ציר ה־ ‪. x‬‬ ‫של הפונקציה )‪ , f(x‬וקבע את סוגה‪ .‬נמק‪.‬‬ ‫ג‪.‬‬ ‫‪x‬‬ ‫ידוע כי שיעור ה־ ‪ y‬של נקודת הקיצון הפנימית של )‪ f(x‬הוא ‪. 0‬‬ ‫מצא את )‪. f(x‬‬ ‫ד‪.‬‬ ‫חשב את השטח המוגבל על ידי גרף פונקציית הנגזרת )‪, f'(x‬‬ ‫על ידי הישר ‪ , x = 4‬על ידי הישר ‪ x = 25‬ועל ידי ציר ה־ ‪. x‬‬ ‫‪ .8‬בציור שלפניך מוצגים הגרפים של הפונקציות‬ ‫= )‪&. g (xx‬‬ ‫= )‪ f (x‬ו־ ‪= 4(x - 3) 2‬‬ ‫א‪- x2 + .‬‬ ‫‪9‬‬ ‫נקודה ‪A‬‬ ‫‬ ‫תשובה לשאלה ‪7‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪=1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫&‬ ‫‪y f' (x) = 0‬‬ ‫נמצאת ברביע הראשון על ‪0‬‬ ‫גרף הפונקציה )‪. f(x‬‬ ‫‬ ‫מנקודה ‪ A‬העבירו שני ישרים‪:‬‬ ‫‪x = 16‬‬ ‫‪A‬‬ ‫ישר אחד‪ ,‬המקביל לציר ה־ ‪y‬‬ ‫‪C‬‬ ‫וחותך את גרף הפונקציה )‪ g(x‬בנקודה ‪, B‬‬ ‫לציר‪f‬ה־ ‪x‬‬ ‫ב‪.‬וישר אחר‪,‬‬ ‫המקביל)‪' (16‬‬ ‫מצאנו ‪= 0‬‬ ‫ולפי הגרף של )‪ f'(x‬נקבל‪:‬‬ ‫וחותך את גרף הפונקציה )‪ f(x‬בנקודה ‪C‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‬ ‫(ראה ציור)‪.‬‬ ‫‪16B x 216‬‬ ‫‬‫‪0‬‬ ‫‪0 1 x 116‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪x‬‬ ‫)‪f'(x‬‬ ‫)‪f(x‬‬ ‫‬ ‫נסמן את שיעור ה־ ‪ x‬של הנקודה ‪ A‬ב־ ‪. t‬‬ ‫‬ ‫א‪ .‬הבע באמצעות ‪ t‬את השיעורים של הנקודות ‪ B , A‬ו־ ‪. C‬‬ ‫ל־ )‪ f(x‬מקסימום ב־ ‪x = 16‬‬ ‫‬ ‫ב‪ .‬מצא את הערך של ‪ t‬שעבורו שטח המשולש ‪ ABC‬הוא מקסימלי‪.‬‬ ‫‪0‬‬ ‫בהצלחה!‬ ‫זכות היוצרים שמורה למדינת ישראל‬ ‫אין להעתיק או לפרסם אלא ברשות משרד החינוך‬ ‫‪/‬המשך בעמוד ‪/14‬‬ ‫‪- 14 -‬‬ ‫פתרון‪ ,‬מתמטיקה‪ ,‬קיץ תשע"ד‪ ,‬מועד ב‪ ,‬מס' ‪314 ,035804‬‬ ‫המשך תשובה לשאלה ‪.7‬‬ ‫ג‪.‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫)‪ f(x‬היא פונקציה קדומה של )‪ , f ' (x‬לכן‪:‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪- 1m dx = 2 $ 4 x - x + C‬‬ ‫‪x‬‬ ‫)‪(16 , 0‬‬ ‫שיעורי נקודת הקיצון של )‪ f(x‬הם‪:‬‬ ‫נציב את הנקודה )‪ (16 , 0‬במשוואת )‪ , f(x‬ונקבל‪:‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‬ ‫מכאן הפונקציה )‪ f(x‬היא‪:‬‬ ‫ד‪.‬‬ ‫השטח המבוקש מורכב משני שטחים‪:‬‬ ‫‬ ‫אחד מעל ציר ה־ ‪ x‬והאחר מתחת לציר ה־ ‪, x‬‬ ‫‬ ‫לכן השטח המבוקש הוא‪:‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪#c‬‬ ‫= )‪f (x‬‬ ‫‪2 $ 4 16 - 16 + C = 0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪C = - 16‬‬ ‫‪f (x) = 8 x - x - 16‬‬ ‫@)‪f' (x) dx = 6f (16) - f (4)@ - 6f (25) - f (16‬‬ ‫‪25‬‬ ‫‪#‬‬ ‫‪16‬‬ ‫‪f' (x) dx -‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪16‬‬ ‫‪#‬‬ ‫‪4‬‬ ‫=‪S‬‬ ‫‪S = (0 + 4) - (- 1 - 0) = 5‬‬ ‫‪/‬המשך בעמוד ‪/15‬‬ ‫ד‪.‬‬ ‫חשב את השטח המוגבל על ידי גרף פונקציית הנגזרת )‪, f'(x‬‬ ‫על ידי הישר ‪ , x = 4‬על ידי הישר ‪ x = 25‬ועל ידי ציר ה־ ‪. x‬‬ ‫‪- 15 -‬‬ ‫פתרון‪ ,‬מתמטיקה‪ ,‬קיץ תשע"ד‪ ,‬מועד ב‪ ,‬מס' ‪314 ,035804‬‬ ‫שאלה ‪8‬‬ ‫‪.8‬‬ ‫בציור שלפניך מוצגים הגרפים של הפונקציות‬ ‫‪y‬‬ ‫‪ f (x) = - x2 + 9‬ו־ ‪. g (x) = (x - 3) 2‬‬ ‫נקודה ‪ A‬נמצאת ברביע הראשון על‬ ‫גרף הפונקציה )‪. f(x‬‬ ‫מנקודה ‪ A‬העבירו שני ישרים‪:‬‬ ‫‪A‬‬ ‫ישר אחד‪ ,‬המקביל לציר ה־ ‪y‬‬ ‫‪C‬‬ ‫וחותך את גרף הפונקציה )‪ g(x‬בנקודה ‪, B‬‬ ‫וישר אחר‪ ,‬המקביל לציר ה־ ‪x‬‬ ‫וחותך את גרף הפונקציה )‪ f(x‬בנקודה ‪C‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪x‬‬ ‫(ראה ציור)‪.‬‬ ‫נסמן את שיעור ה־ ‪ x‬של הנקודה ‪ A‬ב־ ‪. t‬‬ ‫א‪.‬‬ ‫הבע באמצעות ‪ t‬את השיעורים של הנקודות ‪ B , A‬ו־ ‪. C‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫מצא את הערך של ‪ t‬שעבורו שטח המשולש ‪ ABC‬הוא מקסימלי‪.‬‬ ‫תשובה לשאלה ‪8‬‬ ‫א‪.‬‬ ‫בהצלחה!‬ ‫‪ A‬על גרף הפונקציה )‪ f(x‬ברביע הראשון‪,‬‬ ‫זכות היוצרים שמורה למדינת ישראל‬ ‫אין להעתיק או לפרסם אלא ברשות משרד החינוך‬ ‫)‪A (t , - t2 + 9‬‬ ‫‬ ‫לכן שיעורי ‪ A‬הם‪:‬‬ ‫‬ ‫‪ AC‬מקביל לציר ה־ ‪ , x‬לכן‪:‬‬ ‫‬ ‫והפרבולה סימטרית ביחס לציר ה־ ‪ , y‬לכן‪:‬‬ ‫‬ ‫מכאן שיעורי הנקודה ‪ C‬הם‪:‬‬ ‫‬ ‫‪ B‬על גרף הפנקציה )‪ g(x‬ברביע הראשון‬ ‫‬ ‫כך ש־ ‪ AB‬מקביל לציר ה־ ‪ , x‬לכן‪:‬‬ ‫‬ ‫נציב ‪ x B = t‬בפונקציה )‪ g(x‬ונקבל‪:‬‬ ‫‪y B = (t - 3) 2‬‬ ‫‬ ‫לכן שיעורי הנקודה ‪ B‬הם‪:‬‬ ‫)‪B (t , (t - 3) 2‬‬ ‫‪y A = yC‬‬ ‫‪x A = - xC‬‬ ‫)‪C (- t , - t2 + 9‬‬ ‫‪xA = xB = t‬‬ ‫‪/‬המשך בעמוד ‪/16‬‬ ‫פתרון‪ ,‬מתמטיקה‪ ,‬קיץ תשע"ד‪ ,‬מועד ב‪ ,‬מס' ‪314 ,035804‬‬ ‫ ‪- 16‬‬‫המשך תשובה לשאלה ‪.8‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪SiABC = 2 $ AC $ AB‬‬ ‫שטח המשולש ‪ ABC‬שבו ‪ AC = AB‬הוא‪:‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‬ ‫‪1‬‬ ‫) ‪SiABC = 2 (x A - x C ) $ (y A - y B‬‬ ‫‬ ‫‪0‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪1‬‬ ‫)‪SiABC = 2 (t - (- t)) $ (- t2 + 9 - (t - 3) 2‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‬ ‫)‪= - 2t3 + 6t2 = S (t‬‬ ‫‬ ‫‪SiABC‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪S' (t) = - 6t2 + 12t‬‬ ‫‬ ‫‪S' (t) = 0‬‬ ‫‪6t (2 - t) = 0‬‬ ‫&‬ ‫‪0‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪ A‬ברביע הראשון‪ ,‬לכן ‪ , t ! 0‬ולכן‪:‬‬ ‫‬ ‫בדיקת מקסימום ‪:‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪t=2‬‬ ‫‪S'' (t) = - 12t + 12‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪S'' (2) = - 12 $ 2 + 12 1 0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫מקסימום ב־ ‪t = 2‬‬ ‫זכות היוצרים שמורה למדינת ישראל‬ ‫אין להעתיק או לפרסם אלא ברשות משרד החינוך‬