גיאומטריה דדוקטיבית לכתה ח
1 גיאומטריה דדוקטיבית בחטיבת הבינים עמוס ארליך בכתוב להלן חלק לכל חברי ועדת התוכנית במתמטיקה לחט"ב ,ובמיוחד יש להדגיש את חלקם של מיכאל קורן ושל דן עמיר ,עם זאת יש כאן פרטים שלא תואמו איתם והאחריות על הנוסח הנוכחי היא עלי. אנו מלמדים גיאומטריה הן בגלל שימושיה המעשיים והן בגלל היותה דוגמת-מופת למבנה מחשבתי שיטתי ומבוסס היטב. אילו היו השימושים המעשיים עיקר הייתי מציע שרוב התלמידים יסתפקו בדרך לחישוב שטח מלבן. אולי גם בזה ששטח עיגול שווה ,עד כדי דיוק של חצי פרומיל ,לשטח הריבוע החוסם כפול ב11/14 - והיקף המעגל שווה לקוטר כפול ב .22/7 -למען הגילוי הנאות אני מקדים ומצהיר שהצד הפרקטי של הגיאומטריה הוא ,בעיני ,בעיקר מכשיר המסיע להכנסת חשיבה מתמטית. אין אני סבור שמה שנקרא "חשיבה מתמטית" היא צורת חשיבה עליונה המתאימה לכל נושא .למשל, אי הבהירות והסתירות הפנימיות שבספר "שיר השירים" הם כלי ביטוי חיוני בספר זה .אך הרשימה הנוכחית מתכוונת לטפל בחלק קטן אחד של אגף אחד בלבד של התרבות האנושית. מהו החלק החיוני לכלל התלמידים אם נוותר על רכיבים פחות חיוניים של תוכניות הלימודים הישנות בגיאומטריה ,ניתן לבנות תוכנית לימודים )וספרי לימוד מתאימים( לכתות ז ח ,שיביאו את חלק הארי של התלמידים לידי הכרה פסיבית של מערכת הכוללת הנחות-יסוד )אכסיומות( ברורות ומערכת היסקים חד משמעיים המוליכים מהם אל מסקנות שיש בהן עניין. ב"הכרה פסיבית" אני כולל עיון בשאלה האם ההנחות באמת מחייבות את המסקנות .גם מי שאין לו הצירוף המתאים של רצון ויכולת הדרושים לגילוי משפטים או למציאת הוכחות ,יכול להקדיש מחשבה מספקת לשאלה אם יש ממש במה שמציגים לפניו. אינני מזלזל בפעילות של גילוי והוכחה בגיאומטריה אלמנטרית .כל בני דורי שפנו למתמטיקה וששאלתי אותם מה היה המניע העיקרי שלהם לבחירת כיוון זה ,הצביעו על בעיות ההוכחה בגיאומטריה .חבל למנוע מתלמידים את ההזדמנות להתנסות בזה ,אך לא הייתי רוצה שכשלונות בתחום זה ימנעו מתלמידים רבים את האפשרות לראות מקרוב מערכת דדוקטיבית מסודרת .לדעתי זהו החלק החשוב ביותר של תרומתה של המתמטיקה לתרבות האנושית הכללית. האם אני טוען שאנשי החינוך המתמטי שקדמו לנו לא היו שותפים למטרה המוצהרת שלנו? הם היו שותפים! מחברים רבים הצהירו על מטרה זאת ,אך אחר-כך הציעו תכנים שאינם מתיישבים איתה .המטרה הוחטאה בגלל דבקות במסורת-הוראה שנבנתה בתנאים מתמטיים ופדגוגיים שונים משלנו. כבר בשנות ה 60-עלתה ההכרה בכך שתיקון הכשלים אשר הביאו להנמכת קומתה של הגיאומטריה הדדוקטיבית בבתי הספר ,מחייב סטיה ממסורת ההוראה הישנה .כבר אז הוצע לוותר על הגישה המפתחת חלק גדול ככל האפשר של הגיאומטריה לפני הכנסת נוסח זה או אחר של אכסיומת המקבילים .דובר במפורש על זה שלא כל מה שקסם לאוקלידס ושימש בסיס לפיתוחים מלהיבים בעת החדשה ,חייב או יכול להיות חלק מההשכלה המתמטית המוצעת לכלל התלמידים. אוירת ההקשבה ההדדית ושיתוף הפעולה שהיתה בוועדת התוכנית ,אפשרה לנו להעיז ולצעוד את הצעדים הנוספים הנדרשים .להערכתי היו קודמינו מקבלים בברכה את מה שבנינו. על מה נוותר למען המטרה הראשית. א .נוותר על "תורת הגדרות" .נסתמך במפורש על מושגים המוכרים מלימודי גיאומטריה בשלבים מוקדמים .לא נטרח להראות שכל המושגים שלנו מוגדרים תוך יציאה מרשימה מפורשת של מושגי הוא יסוד .לא נגדיר משולש .לא נגדיר מרובע למרות שהדבר משאיר אי בהירות בשאלה האם 2 מרובע )כי לא נעסוק בצורה כזאת( .לעומת זאת נגדיר מלבן כדי שההוכחות הקשורות במושג זה תהיינה בהירות ומלאות. ב .נותר על מינימליות של האכסיומות. במסגרת הנוסחים הקלסיים של הגיאומטריה האוקלידית ניתן ,למשל ,להחליף את אכסיומת המקבילים בטענה "יש מלבן" ,כלומר ,קיים לפחות מרובע אחד שכל זויותיו ישרות .הנוסח "אם במרובע שלוש זויות ישרות גם הרביעית ישרה" מכיל יותר מהמינימום הנדרש .הנוסח המוסיף לזה את המלים "וצלעותיו הנגדיות שוות זו לזו" חורג מן המינימליות הרבה מעבר למקובל .אנו נשתמש בנוסח "אם במרובע שלוש זויות ישרות אז הוא מלבן" ,כאשר מלבן מתואר מראש כמרובע שזויותיו ישרות וצלעותיו הנגדיות שוות .ההגדרה הלא-מינימלית תואמת את התמונה ההיסתכלותית והאכסיומה הלא-מינימלית מקצרת ומפשטת הוכחות. ג .נותר על פירוט הנחות נסתרות מסוימות הנראות ברורות מאליהן. נתיחס אל העצמים הגיאומטריים כאל בעלי קיום עצמאי ,ובני אדם יכולים ליצור לעצמם תמונות סבירות שלהם .כך נוכל להניח ,למשל ,שלכל קטע יש נקודת אמצע יחידה בלי לכתוב זאת כהנחה ובלי להסיק זאת מהנחות היסוד שפירטנו .כן נניח הנחה נסתרת יותר מרחיקת-לכת ,ולפיה יש לכל מצולע מידת-שטח ,ואם קטע מחלק מצולע לשני מצולעים אז סכום שטחיהם שווה לשטחו. ד .נדחה את ההתנסות במציאת הוכחות לשלב יותר מאוחר. לכתה ט ,לקבוצה יותר מצומצמת של תלמידים .גם זה יהיה יותר ממה שנעשה בשנים עברו. הבדלים נוספים מן הגיאומטריה הישנה הגיאומטריה המוצעת על ידינו היא גיאומטריה אוקלידית קלסית כי כל המשפטים והאכסיומות שלנו הם גם משפטים-או-אכסיומות של הגיאומטריה האוקלידית המוכרת .יותר מזה ,כל השיקולים שיועלו בפני התלמידים זהים או קרובים לאלה שהועלו בהצלחה גם בתוכניות הישנות .ההבדלים בדרך ההצגה נובעים לא רק מן הויתורים שסקרנו זה עתה אלא גם מזה שמושג הפַּשטוּת שלנו שונה מן המקובל ומתכוון להתאים לעולמם של תלמידי חט"ב. בעוד שסיפרי גיאומטריה מקובלים רואים במשולש מצולע פשוט ביותר )יש לו רק 3צלעות ,אין לו שום תכונה "מחייבת" אחרת ,כל מצולע מורכב ממשולשים( אנו מעדיפים את המלבן .המלבן מוכר מאד ,אנו מוקפים בצורות מלבניות ורגילים להשתמש בהן ,ותכונות המלבן מאפשרות הסקת מסקנות בקלות יחסית. ודוגמה אחרת :ישרים מקבילים הוגדרו בעבר ,בגיאומטרית המישור ,כישרים שאינם נפגשים )לא לנגד עינינו ולא רחוק רחוק( .מנקודת המבט של ניסוח לוגי זו הגדרה פשוטה .העדפנו להגדיר הקבלה על ידי קיומו של ניצב משותף .זו הגדרה קונקרטית המתייחסת למה שמונח לפנינו ,ומאפשרת הוכחה מיידית לכך שמקבילים שומרים על מרחק קבוע) .רפלקסיביות יחס ההקבלה ,שהיא תוצאה ישירה מהגדרתנו ,היא פחות חיונית מנקודת המבט של "מתמטיקה עכשיו" ,אך היא תוצאה נעימה .מצד שני, בגישתנו קצת קשה להוכיח שאם ישרים במישור אינם מקבילים אז הם נפגשים ,אך לא נזדקק למשפט זה(. הבדל נוסף נובע מזה שבימינו קל מאד לשלב טקסט ושרטוטים .זה מאפשר לנו ללוות את הצגת המבנה הדדוקטיבי בבניה הדרגתית של דיאגרמת היסקים הכוללת את האכסיומות ,את המשפטים ומערכת חיצים המראים מה נובע ממה .פירוט להלן. הכנה לפרק הדדוקטיבי והרי סיכום הנושאים שהכללתם בתוכנית ל-ז ולחצי הראשון של ח נדרשת לצורך הפרק הדדוקטיבי המסודר .זה כולל הן תכנים שנזדקק להם בפרק הדדוקטיבי הראשון והן היכרות ראשונה עם שיקולי הוכחה) .התוכנית שנוסחה בוועדה כוללת עוד נושאים .חלקם נכנסו בגלל היותם עיבוי למפורט כאן וחלקם בגלל חשיבותם העצמית(. 3 המלבן מלבן הוא מרובע בעל ארבע זויות ישרות ,אך אם נתון ששלוש מזויותיו של מרובע הן ישרות מובטח שגם הרביעית ישרה ולכן המרובע הוא מלבן. לבדיקה נייצר זוית ישרה על-ידי קיפול-נייר כפול כבציור ,ונשתמש בה הן לבנית מרובעים בעלי שלוש זויות ישרות והן לבדיקה שגם הזוית הרביעית ישרה. כשיעמדו לרשותנו מספר מלבנים נוכל לבדוק ולראות שצלעותיו הנגדיות של מלבן שוות זו לזו. הקבלה )עניין ההקבלה לא יופיע בפרק הדדוקטיבי הראשון .הוא משמש כאן הן חיזוק לעניין המלבן והן דוגמה ראשונה להיסקים שאינם נסיוניים אלא הגיוניים( שני ישרים הניצבים לישר אחד נקראים מקבילים. הערה :הגדרה זאת שונה מההגדרה הקלסית ,ולפי הגדרתנו כל ישר מקביל לעצמו. טענה :אם ישר ניצב לאחד משני מקבילים הוא ניצב גם לחברו. זו מסקנה מזה שאם שלוש זויות של מרובע הן ישרות גם הרביעית ישרה. טענה :ישרים מקבילים זה לזה שומרים על מרחק קבוע. )משפט פסי הרכבת( זו מסקנה מזה שצלעות נגדיות של מלבן שוות זו לזו. חפיפת מלבנים ,ריבוע שני מצולעים נקראים חופפים אם צלעותיהם וזויותיהם שוות על פי הסדר ,ולכן ניתן להעתיק את האחד באופן שיכסה בדיוק את חברו. בציור המצורף נתונים שני מלבנים C ABCDו EFGH-שצלעותיהם שוות, B ומודגמת העתקת ABעל EFבאופן G E D ששויון הזויות ושויון הצלעות האחרות A מחייבים שכל המלבן ABCDיפול בדיוק H על המלבן .EFGH בדרך זו נוכל לקבל שכל שני מלבנים השוים בצלעותיהם חופפים זה לזה. ריבוע הוא מלבן שכל צלעותיו שוות .שני ריבועים בעלי צלע שווה חופפים אפוא זה לזה .כל הריבועים שצלעם ס"מ אחד חופפים זה לזה ,וישמשו אצלנו יחידת מידה לשטח ,שתכונה סמ"ר. )נציין שאפשר למדוד שטחים גם ביחידת-מדה כגון מטר-רבוע או אינטש-רבוע ,אך כאן נסתפק בסמ"ר( שטחו של מלבן אם נתון מלבן שצלעו האחת בת 3ס"מ וצלעו הסמוכה בת 4 ס"מ )כמודגם משמאל בקו עבה( נוכל לחלק שתי צלעות אלה לקטעים בני ס"מ אחד ולהעביר אנכים בנקודות החלוקה ,ועל-פי תכונות המלבן שלעיל יחולק המלבן שלנו למלבנים שכולם ריבועים בני סמ"ר אחד .הם מסודרים ב 3שורות בנות 4ריבועים כל אחת ,ולכן מספרם הכולל הוא . 3 ⋅ 4 = 12המלבן כולל אפוא 12ריבועים בני סמ"ר אחד לכן שטחו 12סמ"ר. 4 באותה דרך אפשר לקבל בשביל כל aו b-שלמים ,שאם צלע אחת של מלבן היא בת aס"מ וצלעו השניה בת bס"מ אז שטחו abסמ"ר. הציור שמשמאל מראה ריבוע שצלעו ס"מ אחד והוא מחולק ל 2.3 -מלבנים חופפים שצלעותיהם 1/2ו. 1/3 -מכאן שלמלבן אחד כזה שטח של 1/6סמ"ר. בדרך דומה נקבל את שטחו של כל מלבן שצלעותיו 1/mו 1/n -ומכאן נעבור לשטחו של מלבן שצלעותיו ,למשל 2 ,ו 7 -כבציור הבא. 4 3 1 1 ⋅ 3 4 2 3 1 3 1 4 7 4 הערה :הפירוט המתייחס לשברים והתרגילים בנושא שטחים )שאיני מפרטם כאן( הם שימוש בנושא הגיאומטרי כבהזדמנות לחזור על שברים. משולש ישר זוית א .באותה דרך שבה קיבלנו שמלבנים בשוים בצלעותיהם חופפים נוכל לקבל שמשולשים ישרי זוית השוים בניצביהם חופפים .ראה ציור למטה משמאל .אמנם ,לפעמים נצטרך להפוך את אחד המשולשים תחילה ,כבציור שלמטה מימין. E B D C A F ב .בהנתן שתי צלעות aו b-ניתן ליצור מהן זוית ישרה ואחר-כך להעלות ניצבים בקצותיהן .למרובע שיתקבל שלוש זויות ישרות לכן הוא מלבן .מזה שצלעותיו הנגדיות שוות נובע שאלכסון מחלק אותו לשני משולשים ישרי זוית החופפים זה לזה ,וכל משולש ישר זוית שניצביו aו b-חופף גם הוא למשולשים אלה. a ⋅b לכן .1 :שטח משולש ישר זוית שוה למחצית מכפלת הניצבים ) 2 a b (. .2במשולש ישר זוית סכום הזויות האחרות הוא . 900 דוגמה לפעילות מקדימה להצגת משפט פיתגורס: שטח מרוצף במרצפות ריבועיות שאורך צלען אמה אחת .חלקן כהות ,חלקן בהירות וחלקן נחלקות לרבע כהה ושלושה רבעים בהירים ,או להיפך ,כבציור זה: ב א הריצןף מתואר בציור הבא . 5 א .נמקו את הטענה ששטח הריבוע הכהה הגדול שווה לסכום שטחי שני הריבועים הכהים הקטנים. )תשובה עוד כמה שורות( 1 ב .האם צלעו של הריבוע הכהה הגדול גדולה או קטנה מ 2 /4 -אמות ? מהפעילות המקדימה אל המשפט הכללי את שטח הריבוע הכהה הגדול שלעיל אפשר למצוא בדרכים הבאות. דרך א ,שהיא )לטעמי( הדרך הפשוטה ביותר :ריבוע זה מורכב ממרצפת שלמה אחת הנמצאת במרכזו ושטחה 1אמה-רבועה; ועוד ארבעה חלקי -מרצפות כמו השטח הכהה במרצפת א שלעיל ,ששטח כל חלק כזה הוא 1/4אמה-רבועה; ועוד ארבעה חלקי -מרצפות כמו השטח הכהה במרצפת ב שלעיל, 1 3 1+4 ⋅ + 4 ⋅ ששטח כל חלק כזה הוא 3/4אמה-רבועה; ובסך הכל = 1 + 1 + 3 = 5 אמות 4 4 רבועות. דרך ב ,שאת היתרון שלה נראה בהמשך ,היא כך: נעתיק )במחשבה בלבד( את הריבוע בן 9המרצפות המכיל את הריבוע "שלנו" ונסמן בקווקוים את המשולשים שבפינותיו ,כך שהריבוע "שלנו" ישאר לבן,כבציור השמאלי. אחר-כך נזיז את משולשי הפינות ונצרפם לשני מלבנים שיועמדו כבציור הימני .השטח הלבן החדש יכיל ריבוע בן 4 מרצפות ועוד מרצפת אחת ,והוא שווה ,כמובן ,לשטח הריבוע "שלנו". יתרונה של דרך ב הוא בזה שניתן להשתמש בה גם אצל אורכי-צלעות אחרים ,כמו בבעיה הבאה: על דף משובץ במשבצות שצלעותיהן ס"מ אחד שורטט משולש ישר זוית שניצביו באורך 5ס"מ ו 2 -ס"מ )קדקודיו מודגשים בציור המצורף( .על הניצבים בנו ריבועים .סכום שטחי הריבועים האלה הוא 2 2 52 5 + 2 = 25 + 4 = 29סמ"ר .מה שטחו של הריבוע שצלעו הוא היתר של המשולש? הנחייה :הריבוע המבוקש מוכל בתוך ריבוע שצלעו 5+2=7ס"מ ,כבציור ,ובפינותיו המשולש הנתון ועוד שלושה משולשים החופפים לו. 22 בשלב עתידי נוותר על רשת הריבועים הקטנים ונקודת המוצא תהיה משולש ישר זוית שניצביו אינם מפורשים אלא מסומנים באותיות aו , b-ונקבל שניצבים אלה והיתר cממלאים את השוויון 2 2 2 a +b =cאך לפני ההוכחה המלאה נתאמן בשימוש במשפט זה) .תרגילים יכללו גם שימוש במקש השורש שבמחשבון( 6 מבנה היסקי לגיאומטריה לאמצע כתה ח א .ממשפט פיתגורס אחורנית אל הנחות יסוד משפט פיתגורס הוא משפט מפתיע שאינו ברור מאליו .כדי להיות בטוחים בנכונותו היה עלינו להוכיח אותו על סמך ידע קודם .הבה נסתכל בשלבי ההוכחה של משפט פיתגורס ,ובכל שלב נזכיר באיזה ידע קודם השתמשנו) .בהמשך נבחן גם את הידע הקודם וגם את המשפטים הקודמים לקודמים ,עד שנגיע להנחות יסוד שסביר להניחן ללא פקפוק(. c ובכן ,נתון משולש ישר זווית שניצביו aוb- b a א .נבנה )במחשבה בלבד( זוית ישרה שכל אחד השני ניצביה הוא באורך ) a+bכבקוים העבים שבציור א( ובקצה כל אחד נעלה אנך )כמסומן בחיצים( .כך נקבל ריבוע שכל צלע שלו שוה . a+b a זאת על סמך הכלל האומר שאם במרובע יש שלוש זוויות ישרות אז הוא מלבן. ריבוע זה מופיע גם בציורים ב ו-ג שלהלן. b a ב" .נרצף" 4משולשים החופפים למשולש הנתון סביב היקף המרובע )מבפנים( כמתואר בציור ב .המרובע שנותר הוא ריבוע שצלעו .c b b c c c ציור ב c b ג .נעתיק שנים ממשולשי הפינה ונצמידם לחבריהם ליצירת מלבנים ,ונעמיד את המלבנים בפינות הריבוע הגדול ,כבציור ג .השטח הלא מרוצף יהיה מורכב כעת משני ריבועים שצלע האחד aוצלע חברו .b a c a השתמשנו בזה שניתן להעתיק מצולע ממקום למקום לסובבו ולהפכו ,בלי לשנות את צלעותיו ,זויותיו ושטחו ,וכן בזה שסכום הזוויות החדות במשולש ישר זווית הוא ) 900לכן כל זווית של המרובע הפנימי היא (900=1800-900 a b b a b a a גם כאן השתמשנו בכלל ההעתקות שהזכרנו קודם .קבלת המלבנים נבעה מזה שסכום הזוויות החדות במשולש ישר זווית ציור ג הוא ) 900גם כלל זה נזכר כבר בשלב הקודם(. ד .מהשוואת השטחים הלא מרוצפים בשני הריבועים נקבל ששטח הריבוע הבנוי על היתר cשוה לסכום שטחי הריבועים הבנויים על הניצבים aו. b- כך מוכח משפט פיתגורס בנוסח המדבר על שטחי הריבועים ,בלי להזכיר את הנוסחה a2+b2=c2 הדרושה לצורך חישובים מספריים .כדי לקבל את הנוסח הכולל את הנוסחה נזדקק גם למשפט על שטח מלבן ) ,(S=a.bובזה נטפל בהמשך. 7 ]ההערה הבאה מיועדת למורים ,והיא במפורש שלא על דעת דן עמיר: עקרונית ניתן להשתמש כאן כאן במשפט החפיפה הראשון במקום כלל ההעתקות .זה מאריך במקצת את ההוכחה ,ובשלב זה יש חשיבות מכרעת לעניין הקיצור ולחיסכון בשיקולים .אם נזכור שגם עצם מושג החפיפה וגם שני משפטי החפיפה הראשונים וגם ההנחה שלמצולעים חופפים שטחים שווים, מוצגים לרוב דרך עניין ההעתקות; נמצא שההעדפה שלנו להשתמש בהעתקות באופן ישיר היא צעד טבעי ביותר .בעתיד נפגוש עוד מקומות שבהם נחסוך בשיקולים בעזרת העתקת משולשים שלמים[. לקראת צעדינו הבאים נשרטט תרשים המסכם את הטענות שעליהם מתבסס משפט פיתגורס ונפרט את הוכחותינו לחלק מטענות אלה .והרי התרשים : ניתן להעתיק מצולע ממקום למקום ,לסובבו ולהפכו ,בלי לשנות את צלעותיו ,זוויותיו ושטחו. במשולש ישר זווית, סכום שתי הזוויות האחרות הוא .900 אם במרובע יש שלוש זוויות ישרות אז הוא מלבן משפט פיתגורס הטענה על דבר האפשרות להעתיק מצולע נחשבת פשוטה וברורה .לא נהוג לבסס אותה על טענות קודמות אלא לראות בה הנחת יסוד ,והיא נקראת "אכסיומת ההעתקות". גם הטענה על מרובע שיש לו שלוש זוויות ישרות תיחשב הנחת יסוד )כלומר ,לא נוכיח אותה על סמך משהו קודם( .טענה זאת היא צירוף של שתי טענות מוכרות שנוסח מאוחד שלהן הוא כך :אם במרובע יש שלוש זוויות ישרות גם הרביעית ישרה ,והצלעות הנגדיות שוות זו לזו .נוסח זה יקרא "אכסיומת המלבן". נעבור לטפל בטענה השלישית ששימשה בהוכחת משפט פיתגורס ,ונראה שהיא יכולה להתקבל כמסקנה מאכסיומת המלבן וממשפט מוכר נוסף ,כמתואר בתרשים הבא: משולשים ישרי זווית בעלי ניצבים שווים – חופפים אכסיומת המלבן במשולש ישר זווית ,סכום שתי הזוויות האחרות הוא .900 ובכן ,יהי נתון משולש ישר זווית ) ABCמיוצג על ידי המשולש הנקוד שבציור שלהלן( .לניצביו של משולש זה נעלה אנכים בנקודות Aו B-ונסמן את נקודת פגישתם ב.D - מאכסיומת המלבן נובע שהמרובע ACBDהוא מלבן )כי זוויותיו A D בקדקודים B ,C ,Aהן ישרות( .ומכאן נקבל שהזוויות CוD- שוות ,שהרי גם זוית Dישרה AC = DBכי הן צלעות נגדיות במלבן C B CB = ADכי הן צלעות נגדיות במלבן A וממשפט האומר שמשולשים ישרי זווית בעלי ניצבים שווים הם חופפים זה לזה נובע שהמשולשים ACBו ADB -חופפים . 0 מהחפיפה נובע שסכום זוויות האחד שוה לסכום זוויות השני ,ומכיוון שסכומם הכולל הוא 360יהיה סכום זוויות האחד שווה ל .1800 -כשנפחית את הזווית הישרה ישארו לשתי הזוויות האחרות . 900 8 כעת נלך צעד נוסף אחורנית ונוכיח את המשפט על חפיפת משולשים ישרי זווית שניצביהם שווים על סמך אכסיומת ההזזות בתוספת אכסיומה האומרת שדרך שתי נקודות שונות עובר ישר אחד בלבד )זו נקראת "אכסיומת הישר"(. פירוט :אם נתון משולש ישר זווית C ) ABCכמשולש הנקוד שבימין הציור( C ומשולש ישר זווית ) DEFכמשולש F B D A המצויר בקו עבה( ,נוכל להעתיק את B המשולש ABCבאופן שהזווית הישרה A E Cתונח בדיוק על הזווית הישרה F )כבציור(. אם בנוסף על שוויון הזוויות הישרות יהיה נתון שהצלע CAשווה בדיוק לצלע FDוהצלע CBשווה בדיוק ל) FE-לא כמו בציור( ,אז Aתונח בדיוק על Dו B-תונח על .E מכיוון שדרך שתי נקודות עובר ישר אחד תהיה הצלע ABמונחת על ,DEוזה אומר שהמשולשים ABCו DEF -חופפים. נסכם בתרשים קטן שיצורף בהמשך לתרשימים הקודמים: אכסיומת ההעתקות אכסיומת הישר משולשים ישרי זווית בעלי ניצבים שווים – חופפים כעת נצרף את התרשימים באופן שהנחות היסוד ,שלושת האכסיומות ,תעמודנה בראש: אכסיומת ההעתקות אכסיומת הישר משולשים ישרי זווית בעלי ניצבים שוים – חופפים במשולש ישר זווית ,סכום שתי הזוויות האחרות הוא .900 משפט פיתגורס אכסיומת המלבן 9 ב .קדימה אל קבוצה ראשונה של משפטים נוספים -שטחים הליכתנו אחורנית ממשפט פיתגורס אל הנחות היסוד נועדה למציאת בסיס לא רק למשפט פיתגורס אלא לכל הגיאומטריה .בסעיף זה נַראה כיצד מצטרפים משפטים נוספים למערכת שבנינו .תחילה נצרף משפטים מוכרים ובהמשך נצרף גם משפטים חדשים .המשפט הראשון שנצרפו יהיה המשפט על שטח מלבן שהזכרנוהו לעיל. משפט :שטח מלבן שווה למכפלת אורכי צלעות שכנות שלו. אכסיומת המלבן ).(S=a.b כבר הוכחנו משפט זה בעבר ,וההוכחה הסתמכה על שתי הטענות שאוחדו כאן תחת השם "אכסיומת המלבן" .נרשום לעצמנו המשפט על שטח מלבן תזכורת בצורת התרשים הקטן שמשמאל ונעבור למשפט הבא: S=a.b משפט :שטחו של משולש ישר זווית שווה לחצי מכפלת הניצבים. הוכחה :יהי נתון משולש ישר זווית ABCשניצביו באורכים a A D ו) b-מיוצג על ידי המשולש הנקוד שבציור המצורף( .לניצבים b אלה נעלה אנכים בנקודות Aו B-ונסמן את נקודת פגישתם ב- .Dוכמו בהוכחת המשפט על זוויותיו של משולש ישר זווית C B a נקבל מאכסיומת המלבן וממשפט החפיפה של משולשים ישרי זווית ,שהמרובע ACBDהוא מלבן והמשולשים ACBו ADB -חופפים )ראה פירוט שם(. שטח כל אחד מהמשולשים האלה שווה אפוא לחצי שטח המלבן ,לכן שטחו של המשולש ישר הזוית ABCהוא , a.b/2וזה מה שרצינו להוכיח. נרשום לפנינו שהוכחת המשפט התבססה על אכסיומת המלבן ,על משפט החפיפה של משולשים ישרי זווית ועל המשפט על שטח המלבן .בתרשים הגדול הבא יופיע משפטנו מתחת למשפט על שטח מלבן, וחיצי-היסק יקשרו אותו גם עם האכסיומה והמשפט הנוסף ששמשו בהוכחתו. נשתמש במשפטנו להוכחת המשפט הבא. משפט :אם aהוא אורך אחת מצלעותיו של משולש ו h-הוא הגובה אל צלע זאת אז שטח המשולש הוא a⋅h 2 =S ההוכחה תתחלק לשני חלקים .בחלק הראשון נוכיח את המשפט בשביל גובה פנימי ובחלק השני נו ִכחו בשביל גובה חיצוני. כאשר הגובה הוא פנימי הוא מחלק את הבסיס aלשני חלקים שנסמנם pו.q - a המשולש כולו מתחלק על-ידי הגובה לשני משולשים ישרי-זווית, qh ph .מכאן ששטח המשולש כולו הוא ו- ועל-פי המשפט הקודם שטחיהם 2 2 h q ph qh ph+qh (p+q)h ah = + = = 2 2 2 2 2 p . נעבור למקרה שבו הגובה הוא חיצוני למשולש. במקרה זה יהיה המשולש הנתון חלק ממשולש ישר זווית גדול ,שהגובה hהוא ניצב שלו והניצב האחר יסומן . p חלקו האחר של המשולש הגדול אף הוא משולש ישר-זווית ו h-הוא ניצב אחד שלו .הניצב השני יסומן . q h q a p 10 ph qh ph-qh (p-q)h ah = - = = הפעם יהיה , a = p-qושטח המשולש הנתון הוא 2 2 2 2 2 ■ )הנקודה העבה שלעיל היא סימון מקובל בשביל המלים "סוף ההוכחה"( משפטנו התקבל אפוא מן המשפט הקודם לבדו ,וזה מיוצג על ידי חץ אחד בתרשים הגדול שלהלן. נצרף אפוא את שלושת משפטי השטחים האלה לתרשים שלנו ,ובהזדמנות זאת נוסיף למשפט פיתגורס גם את הנוסחה המתקבלת בעזרת המשפט על שטח מלבן. אכסיומת ההעתקות אכסיומת המלבן אכסיומת הישר משולשים ישרי זווית בעלי ניצבים שוים – חופפים במשולש ישר זווית, סכום שתי הזוויות האחרות הוא .900 משפט פיתגורס המשפט על שטח מלבן. S=a.b a2+b2=c2 שטחו של משולש ישר זוית שוה לחצי מכפלת הניצבים שטח של משולש שוה לחצי מכפלת צלע בגובה הניצב לה ג .משולש שווה שוקיים הראשון שבמשפטינו על משולשים שוי שוקיים יתקבל ממשפט פיתגורס יחד עם משפט החפיפה של משולשים ישרי זווית בעלי ניצבים שווים. משפט :הגובה אל הבסיס במשולש שווה שוקים מחלק אותו לשני משולשים חופפים. הוכחה :נסמן קטעים באותיות כבציור )מכיוון שהשוקיים שוות סימננו את שתיהן באותה אות (cוכן נציין את הזויות הישרות שיוצר הגובה. לפי משפט פיתגורס יהיה p2+h2=c2וגם q2+h2=c2לכן p2=q2לכן .p=q לכן שני המשולשים ישרי הזוית שקבלנו שוים בניצביהם לכן הם חופפים ■ c h c במש q p מהחפיפה שהוכחנו זה עתה נובע שהגובה hמחלק את זוית הראש של המשולש שוה השוקיים ,וגם את הבסיס ,לחלקים שווים. 11 נכתוב זאת כמשפט :במשולש שווה שוקיים ,הגובה לבסיס ,התיכון לבסיס וחוצה זוית הראש – מתלכדים )כלומר הם אותו קטע עצמו(. מאותה חפיפה נובע גם שהזויות שיוצר הבסיס עם שתי השוקיים שוות זו לזו. נכתוב גם זאת כמשפט :במשולש שוה שוקיים שוות זויות הבסיס. נצרף לתרשימנו גם את שלושת המשפטים על משולש שווה שוקיים .כן נצרף לתרשים את המשפט על סכום הזויות בכל משולש. תרגיל :התוכל לפרט הוכחה למשפט האחרון? רמז :שים לב לחץ הקישור שבתרשים .חלק את המשולש לשני משולשים ישרי זוית על-ידי גובה פנימי. אכסיומת ההעתקות אכסיומת הישר אכסיומת המלבן משולשים ישרי זווית בעלי ניצבים שוים – חופפים במשולש ישר זווית, סכום שתי הזוויות האחרות הוא .900 סכום הזויות בכל משולש הוא 1800 משפט פיתגורס המשפט על שטח מלבן. S=a.b a2+b2=c2 שטחו של משולש ישר זוית שוה לחצי מכפלת הניצבים הגובה אל הבסיס במשולש שווה שוקים מחלק אותו לשני משולשים חופפים. במשולש שווה שוקיים מתלכדים הגובה לבסיס ,התיכון לבסיס וחוצה זוית הראש. במשולש שווה שוקיים שוות זויות הבסיס. שטח של משולש שוה לחצי מכפלת צלע בגובה הניצב לה ג .משפטי החפיפה משפט החפיפה הראשון :אם שני משולשים שווים בשתי צלעות ובזוית שביניהם – המשולשים חופפים. לא נפרט כאן את ההוכחה במלואה ,ובמקום זה נסביר מדוע אין צורך לעשות זאת. ובכן ,את המשפט האומר שמשולשים ישרי זווית בעלי ניצבים שווים – חופפים ,ניתן לנסח גם כך: אם שני משולשים שווים בשתי צלעות ואם בשניהם יש בין צלעות אלה זווית ישרה – אז המשולשים חופפים .אך בהוכחת המשפט לא השתמשנו בזה שהזויות ישרות אלא רק בזה שאפשר להניחן זו על זו ,כלומר ,בזה שהן שוות; לכן טובה ההוכחה גם בשביל זוויות שוות שאינן ישרות. משפט החפיפה הראשון נקרא גם משפט החפיפה צלע-זווית-צלע ונכתב בקצרה צז"צ. 12 אם נחזור ונעיין בהוכחה נמצא שהיא מסתמכת רק על שתי הנחות יסוד :אכסיומת ההעתקות ואכסיומת הישר .על סמך שתי הנחות יסוד אלה נוכיח גם את משפט החפיפה השני :אם שני משולשים שווים בשתי זוויות ובצלע שביניהן – המשולשים חופפים. משפט חפיפה זה נכתב בקצרה זצ"ז )זווית-צלע-זווית(. הוכחה : :אם נתון משולש ABC )כמשולש הנקוד שבימין הציור( B F C ומשולש ) DEFכמשולש המצויר בקו עבה( ,ואם הצלע ABשווה C לצלע ) DEהצלעות השוות סומנו E B בציור בצמד קווקווים ( ,נוכל A להעתיק את המשולש ABCבאופן שצלע ABתונח בדיוק על הצלע DE D A )כבציור .הצלעות השוות סומנו בצמדי קווקווים והצלעות האחרות סומנו בחיצים (. אם בנוסף על שוויון הזויות האלה יהיה נתון שהזוית Aשווה בדיוק לזווית Dוהזוית Bשווה בדיוק לזווית ) Eלא כמו בציור( ,אז החיצים המתאימים יפלו זה על זה ,כלומר ,הקרן מ A-לכיוון Cתונח בדיוק על הקרן מ D-לכיוון Fוהקרן מ B-לכיוון Cתונח על הקרן מ E-לכיוון . F שני ישרים שונים אינם יכולים להיפגש בשתי נקודות שונות כי דרך שתי נקודות עובר ישר אחד בלבד ,לכן ) Cבמקומה החדש( ו F-הן אותה נקודה )נקודת המפגש( וזה אומר שהמשולשים ABCו- CEFחופפים נרשום אפוא את התרשים הבא: ) הסיבה לצורה המיוחדת בה שרטטנו כאן את חיצי הקישור קשורה באופן שבו ישולב תרשים זה בהמשך בתרשים הגדול( אכסיומת ההעתקות אכסיומת הישר משפט החפיפה זצ"ז משפט החפיפה צז"צ משפט החפיפה השלישי ,צצ"צ ,אומר שאם שני משולשים שווים בשלושת צלעותיהם אז הם חופפים. המשפט יוכח בעזרת אכסיומת ההעתקות ,המשפט על שוויון זוויות הבסיס במשולש שווה-שוקיים ומשפט החפיפה הראשון. ההוכחה :יהיו נתונים שני משולשים ) DEFמצויר להלן בקו עבה( ו) ABC -המשולש הנקוד המצויר בנפרד מהמשולש ( DEF ויהי נתון ש EF =BC , DE=AB -ו- A ) FD=CAהקווקווים שבציור מציינים מי F D שווה למי(. A נעתיק את המשולש ABCבאופן שהצלע C ABתיפול על DEוהקדקוד Cייפול מול B C ) Fלא באותו צד של .DEזה עשוי לחייב היפוך של המשולש המועתק(. BE 13 נחבר את ) Cבמקומו החדש( אל ,Fואז נקבל בשני צדדיו של CFשני משולשים שוי שוקיים ש- CFבסיס שלהם. זוויות הבסיס בכל צד תהיינה שוות )כמסומן בציור( ,לכן הזוית המצורפת שעל-יד Fתהיה שווה לזווית המצורפת שליד ,Cוממשפט החפיפה צז"צ נקבל שהמשולש ABCחופף לDEF - נצרף את שלושת משפטי החפיפה לתרשים : אכסיומת ההעתקות אכסיומת הישר אכסיומת המלבן משולשים ישרי זווית בעלי ניצבים שוים – חופפים במשולש ישר זווית, סכום שתי הזוויות האחרות הוא .900 סכום הזויות בכל משולש הוא 1800 משפט פיתגורס המשפט על שטח מלבן. S=a.b a2+b2=c2 שטחו של משולש ישר זוית שוה לחצי מכפלת הניצבים הגובה אל הבסיס במשולש שווה שוקים מחלק אותו לשני משולשים חופפים. במשולש שווה שוקיים מתלכדים הגובה לבסיס ,התיכון לבסיס וחוצה זוית הראש. במשולש שווה שוקיים שוות זויות הבסיס. שטח של משולש שוה לחצי מכפלת צלע בגובה הניצב לה משפט החפיפה צז"צ משפט החפיפה זצ"ז משפט החפיפה צצ"צ תרשים זה יוכל להיות התרשים האחרון שלנו .להלכה ,אחרי שנוכיח כל משפט חדש נוכל לצרף אותו לתרשים ,כי כל המשפטים שנוכיח בעתיד ינבעו ,דרך משפטי בינים ,משלושת הנחות היסוד שלנו .לא נטרח לעשות זאת משתי סיבות .האחת היא החשש שבדרך זו נגיע די מהר לתרשים עם קווי קישור צפופים שקשה לעקוב אחריהם ,והשנייה היא זה שהתרשים הנוכחי מספיק כדי להציג את הרעיון של מערכת היסקים מסודרת היוצאת ממספר קטן של הנחות יסוד ברורות. והערה אחרונה :לא כל ספר גיאומטריה יוצא דווקא מהנחות היסוד שלנו ומוכיח משפטים בסדר שבו הלכנו כאן .יש הרבה דרכים סבירות לארגון הגיאומטריה כמערכת היסקים מסודרת .אך כל ספר גיאומטריה ראוי לשמו צריך להציג את הנחות היסוד שבחר ,ולתת היסקים שאפשר לערוך אותם בתרשים כמו שלנו. 14 תרגילים. חלקם מנוסחים כאן במונחים העשויים שלא להיות מוכרים לתלמידים. התרגילים מיועדים למתקדמים בלבד .בשלב זה אין הכוונה אלא לתת לכלל התלמידים תמונה של עניינו של המבנה הדדוקטיבי המסודר ,אך אין לעכב את המעוניינים ביותר מזה. אכסיומת ההעתקות אכסיומת הישר אכסיומת המלבן ישרים מקבילים שומרים על מרחק קבוע משולשים ישרי זווית בעלי ניצבים שוים – חופפים במשולש ישר זווית ,סכום שתי הזוויות האחרות הוא .900 מנקודה לישר רק אנך אחד סכום הזויות בכל מרובע הוא 3600 סכום הזויות בכל משולש הוא 1800 משפט פיתגורס המשפט על שטח מלבן. S=a.b a2+b2=c2 הגובה אל הבסיס במשולש שווה שוקים מחלק אותו לשני משולשים חופפים. היתר ארוך מהניצבים במשולש שווה שוקיים מתלכדים הגובה לבסיס ,התיכון לבסיס וחוצה זוית הראש. במשולש שווה שוקיים שוות זויות הבסיס. אם ישר ניצב למחוג בקצהו שאר נקודותיו מחוץ למעגל. סכום שתי צלעות במשולש גדול מהצלע השלישית שטחו של משולש ישר זוית שוה לחצי מכפלת הניצבים שטח של משולש שוה לחצי מכפלת צלע בגובה הניצב לה משפט החפיפה צז"צ במשולש שוה צלעות זויות 600 זוית הנשענת על קוטר היא ישרה אנך אמצעי לצלע מלבן הוא גם אנך אמצעי לצלע שמולה משפט החפיפה זצ"ז משפט החפיפה צצ"צ תיכון מחלק משולש למשולשים שווי שטח הגדול שבשני גבהים של משולש הוא זה הניצב לצלע הקטנה. האלכסון הראשי של מעוין חוצה זויות. אחרי משפטי החפיפה אפשר לתת תרגילי חפיפה קלסיים .שויון זויות קדקודיות הנדרש אצל כמה מתרגילים אלה ,יחשב עובדה אריתמטית .הוא יוכלל מתוך דוגמה מספרית ומההבחנה שהדוגמה מנומקת ללא זיקה אל שום תכונה מיוחדת של המספר המעורב בה. מה אחרי פירמידה ריבועית ישרה תתואר בעזרת פריסה שלה ,הבנויה מריבוע שצלעותיו בסיסים למשולשים שווי-שוקיים חופפים .הפריסה תשמש לבניית דגם )שקוף( .נבקש מן התלמידים למצוא בציור או בדגם משולשים שוי שוקיים וגבהים של משולשים כאלה ,ובין השאר נצביע על זה ש) EF = BE = AB /2 -לא נתעכב על הוכחות( .בתרגילים יחושבו קטעים המסורטטים בציור המצורף על פי נתונים על אורכי קטעים אחרים שם. 15 C E D B A דוגמה )מסכמת( :גובהה של הפירמידה הגדולה שבגיזה )במצרים( ,שהיא משוכללת וישרה ,הוא 146מטר וצלע הבסיס 230מטר בקירוב .בעבר היו פאותיה הצדדיות מצופות אבן חלקה .מה היה שטחו הכולל של הציפוי? מסלול פתרון אחד :נמצא את DEואחריו את ECומכאן את שטחה של פאה צדדית. ולכתות ט מתקדמות בלבד. אחרי התנסות בהוכחות ,תורת המקבילית וכדומה ,נוכל לחזור אל מערכת האכסיומות דרך הכנסת הרעיון החדש )לתלמידים( הבא: מערכת האכסיומות שלנו הניחה משהו שניתן להוכיחו מתוק חלק של המערכת .הגדרנו מלבן כמרובע שזויותיו ישרות וצלעותיו הנגדיות שוות ,ואכסיומת המלבן שלנו אמרה שאם למרובע שלש זויות ישרות אז הוא מלבן ,בזאת נכללה הטענה שצלעוציו הנגדיות שוות .אם נגדיר מלבן בהגדרה מינימלית הדורשת רק את היות כל הזויות ישרות ,לא תאמר אכסיומת המלבן במפורש שהצלעות הנגדיות שוות אבל ניתן יהיה להוכיח זאת . והרי ההוכחה: את משפטי החפיפה צז"צ ו-זצ"ז הוכחנו בעבר רק על סמך אכסיומת ההעתקות ואכסיומת הישר ,לכן נוכל להשתמש בהם גם כאן. יהי נתון מרובע ABCDששלוש מזויותיו ישרות .גם לפי הצורה "החלשה" של אכסיומת המלבן )שאינה מדברת אלא על הזוית הרביעית ולא על הצלעות( נקבל שגם הרביעית ישרה. C נסמן ב E-את אמצע הצלע ABונעלה שם אנך לצלע זאת .את נקודת פגישתו ב CD -נסמן , Fאת Fנחבר אל Aואל ,Bונסמן את הזויות F 1 4 23 2 B D 1 12 E 2 1 A שנוצרו במספרים כבציור. הזויות E1ו E2-ישרות לפי הבניה .הזויות F1+2ו F3+4 -ישרות כי כל אחת היא רביעית במרובע בעל שלש זויות ישרות. 16 ) ) ) ) המשולשים AEFו BEF -חופפים לפי צז"צ ,לכן A1 = B1 , FB = FAו. F2 = F3 - ) ) ) ) לכן A2 = B2ו F1 = F4 -ומכאן שהמשולשים AFDו BFC-חופפים לפי זצ"ז ,לכן .BC = AD באופן דומה ,ע"י אנך מאמצע ,ADנוכל להוכיח ש.DF = AB -
© Copyright 2024