א. אינטגרלים 1 הקדמה.
סיכומים בחדו"א 2
שירי ארטשטיין וירון אוסטרובר
2013
כל הזכויות שמורות לשירי ארטשטיין.
אין להעתיק ,לשכפל ,לצלם ,לתרגם ,להקליט ,לשדר,
לקלוט ו/או לאכסן במאגר מידע בכל דרך ו/או אמצעי מכני ,דיגיטלי ,אופטי ,מגנטי ו/או אחר – חלק
במסמך זה ,בין אם לשימוש פנימי ו/או לשימוש מסחרי.
כלשהו מן המידע ו/או המאמרים ו/או התמונות ו/או האיורים ו/או כל תוכן אחר שצורף ו/או נכלל
א .אינטגרלים
1
הקדמה.
שטח של מלבן בעל צלעות הוא כמובן
.
נאמר שרוצים לחשב את השטח מתחת לגרף של f : [0, 1] → R, f (x) = x2
נבחר נקודות 0 = x0 < x1 < · · · < xn = 1ונסמן .∆xi = xi − xi−1כאן .i = 1, . . . , n
נביט בשני הסכומים
x2i ∆xi
n
X
x2i−1 ∆xi
= An
i=1
n
X
= An
i=1
אשר מייצגים את השטח של איחוד של מלבנים ,במקרה אחד החוסמים את הגרף מבחוץ ,ובמקרה
השני אשר חסומים בתוך הגרף.
השטח ה"אמיתי" Aמקיים ,אינטואיטיבית לפחות≤ A ≤ An ,
נבצע בחירה קונקרטית של הנקודות xi = ni :ועבורן נחשב את הסדרות הללו
.A n
n
n−1
1 X 2
1 X
2
(i
−
)1
=
i
n3 i=1
n3 i=0
=
n
X
(i − 1)2 1
n2
n
= An
i=1
n
n
X
1 X 2
i2 1
= An
i
= 3
2n
n
n
i=1
i=1
אפילו לפני שניגש לחישוב הסכום ,אנו רואים כי → 0
הגבולות יהיו שווים ל־.A
1
n
= An − An
כך שלפי כלל הסנדוויץ ,שני
את החישוב עצמו נבצע על פי נוסחא לסכום סופי של ריבועי המספרים הטבעיים ,נוסחא שנלמדה
בתיכון ושניתן להוכיח בקלות באינדוקציה ,או בהוכחה הגרפית המצורפת באיור
)m(m + 1)(2m + 1
6
= i2
m
X
i=1
.
איור :1השטח מתחת ל x2ב ][0, 1
הערה 1.1את הנסחא לסכום של חזקות שלישיות אתם זוכרים?
m2 (m + 1)2
4
נקבל אם כך כי
1
3
→ )+ 1)(2n + 1
1
(n
6n2
= An
= i3
m
X
i=1
וכך גם הגבול השני.
תרגיל 1.2ביצוע תהליך זהה עבור הפונקציה f (x) = x3
חזקות שלישיות תתן את הערך . 14
f : [0, 1] → R,
בצירוף עם הנסחא לסכום
דברים אלה נעשו על ידי פרמה בשנת ,1636אבל כבר ארכימדס השתמש בשיטה של "מיצוי" כדי לחשב
שטח של מעגל בקירוב טוב כרצוננו )אפילו המושג של "טוב כרצוננו" קיים אצל ארכימדס( ,כך שהרעיון
הבסיסי היה קיים .כמובן שמושג הגבול כהלכתו היה צריך לחכות אי אלו שנים ,כפי שלמדנו בחדוא .1
שימו לב שהיינו צריכים להשתמש בנוסחאות מדוייקות לסכום ריבועים וסכום חזקות אחרות .אם
רוצים לבצע תהליך דומה עבור f (x) = xα
f : [0, 1] → R,כאשר > −1
,αואין לנו נסחאות כאלה,
יש בכל זאת משהו שאפשר לעשות ־ מסתבר שיותר קל לעבוד עם סדרת נקודות אחרת ,שאיננה שוות
1
.( α+1
מרחקים) .התוצאה ,כפי שניתן לנחש ,היא תמיד
הבה נדגים זאת.
,0כאשר עליכם לחשוב עליו כעל קרוב ל־.1
לשם יצירת סדרת הנקודות ,נבחר מספר < θ < 1
נגדיר את yi = θ iכאשר i = 0, 1, . . . , n − 1ואז את xiנגדיר להיות אותה סדרה אבל בסדר הפוך
זאת אומרת .x0 = 0, x1 = yn−1 , x2 = yn−2 , · · · , xn−1 = y1 , xn = 1
2
איור :2הוכחה גיאומטרית ־ סכום ריבועים
3
איור :3השטח מתחת לגרף של xα
שימו לב שאף על פי שהסדרה סופית ,על ידי בחירה של n
הסדרה האינסופית yi = θ iואז הסדרה יורדת מ 1ועד ל 0ואין דרך "לסדר" אותה כעולה .הדבר לא
הולך ועולה ,ניתן למעשה לעבוד עם
צריך להפריע לכם כהוא זה ,מה גם שעוד לא הגדרנו דברים במדויק אלא אנו עוסקים בדוגמא בלבד.
עבור כל מספר 0 < θ < 1
נחשב שני סכומים
(θi − θi+1 )θiα
∞
X
= Aθ
i=0
(θi − θi+1 )θ(i+1)α
∞
X
= Aθ
i=0
שני הביטויים ניתנים בקלות לחישוב ,שכן המדובר בסדרות הנדסיות .למשל
1−θ
1 − θα+1
= )θi(α+1) (1 − θ
∞
X
i=0
=
iα
)θ
i+1
i
(θ − θ
∞
X
= Aθ
i=0
כעת ניקח את הגבול כאשר θ → 1
ביותר כאן הוא הראשון ,שאורכו .1 − θנקבל ששני הגבולות שווים ל
נעיר שהשיטה עובדת לכל α > −1אבל צריך הרבה "אומץ" כדי לעבור מתחום חסום ,כמו של
√
α ≥ 0לתחום לא־חסום ,כמו של .−1 < α < 0למשל ,עבור הפונקציה f (x) = 1/ xנקבל שני
דהיינו המרווחים שואפים לגודל אפסי .שימו לב ־ המרווח הגדול
1
. α+1
שטחים ־ ריבוע ששטחו אחד ,וצורה לא חסומה שעל פי החישוב גם ה"שטח" שלה הוא .1
4
איור :4השטח מתחת לגרף של 1/x
√
איור :5השטח מתחת לגרף של 1/ x
5
כאשר מיישמים את השיטה עבור הפונקציה f (x) = 1/xאו חזקות אחרות הקטנות מ־)(−1
שהגבול הוא ∞.
כל האמור מעלה היה הקדמה אינטואיטיבית )עם מעט חישובים לא קשים( .בפרק
מקבלים
נגדיר במדוייק
מהו שטח מתחת לגרף של פונקציה ,וגם נסביר כיצד ניתן לחשב אותו .אולם לשם כך צריך לדעת לעשות
פעולה "הפוכה" לנגזרת .בהנתן פונקציה ,fלמצוא פונקציה אחרת F
הפונקציה המקורית .F 0 = f ,על כך נסוב הפרק )הקצר( הבא.
2
שכשגוזרים אותה מקבלים את
פונקציה קדומה
עבור ,α = −1גם השטח מתחת לגרף של f (t) = 1/tבקטע )∞ [1,
באותו השטח עליו דיברנו בסעיף הקודם ,מסובב ב־ ◦.90
אבל אם נחשב את השטח הכלוא מתחת לגרף ומעל לקטע ] ,[1, xנאמר ,כאשר ,x > 1נקבל מספר
סופי .המספר הזה ,מפתיע ־ או לא ־ יוצא בדיוק ) .ln(xאיך יוצא דבר כזה? נסמן את השטח הנ"ל
ב־) .A(xנחשב את
יוצא אינסופי ,שכן מדובר בדיוק
1
)+ o(∆x
x
· A(x + ∆x) = A(x) + ∆x
כאשר את החישוב הזה מראים באופן גיאומטרי שכן הפונקציה יורדת לכן השטח יותר קטן מאשר
1
x
· A(x) + ∆x
ויותר גדול מאשר
1
1
(∆x)2
1 (∆x)2
] = A(x) + ∆x · −
≥ A(x) + ∆x · −
x + ∆x
)x x(x + ∆x
x
x2
[ · A(x) + ∆x
לכן A0 (x) = 1/xוזה אומר ש A(x) = ln(x) + cשכן כבר יש לנו בנמצא פונקציה שנגזרתה 1/x
וכל שתי פונקציות כאלה )בעלות נגזרת זהה( נבדלות בקבוע .משום שעל פי בחירתנו ,A(1) = 0 ,אנו
רואים כי .c = 0זה כמובן חלק של עקרון יותר כללי שנלמד אותו בהקדם ,ושנקרא משפט ניוטון לייבניץ
)סוף המאה ה־ .(17הוא אומר שלפונקציה Fשמוגדרת להיות השטח תחת גרף של פונקציה אחרת f
)בעלת תכונות מסוימות( יש נגזרת ,ונגזרת זו היא ערך הפונקציה בנקודה .F 0 = fלכן אנו רואים
שכדאי לפתח שיטות למציאת פונקציה כך שנגזרתה שווה לפונקציה נתונה .התהליך הזה נקרא "מציאת
פונקציה קדומה" .רוב השיטות הנ"ל נלמדות ,בקורס הזה ,בשיעורי התירגול בלבד .החלק התיאורטי
נלמד בשיעור.
הגדרה 2.1תהיינה .F, f : (a, b) → Rנאמר ש Fהיא קדומה של fאם F
) F 0 (x) = f (xלכל ) .x ∈ (a, bבקטע סגור ] [a, bנדרוש גם ש )= f (a
גזירה בכל ) ,(a, bומתקיים
)F+0 (a
וכן ש )= f (b
לאוסף כל הקדומות של פונקציה קוראים לפעמים "האינטגרל הלא מסויים שלה".
6
).F−0 (b
הערות .1 2.2כל שתי קדומות נבדלות בקבוע )חדו"א (1ולהפך ־ אם Fקדומה של fאז גם F + c
קדומה שלה לכל .c ∈ R
.2למצוא פונקציה קדומה לפונקציה נתונה זו משימה קשה יותר מלגזור! אין כללי אצבע אלא
מספר שיטות קיימות שתלמדו בתירגולים ושצריך לנסות ולראות האם הן מניבות תוצה .מה שכן ־ ברגע
שמצאתם מועמדת להיות קדומה ,קל מאוד לוודא האם תשובתכם נכונה על ידי גזירה.
.3יש פונקציות אלמנטריות )ולמעשה ־ לרובן ,במובן מסויים שלא יילמד אצלנו( כך שהפונקציה
הקדומה שלהן איננה אלמנטרית .אחת הדוגמאות החשובות היא הקדומה של הגאוסיין
אותה )מנורמלת(
dt
2 /2
x
e−t
∞−
2 /2
e−x
.מסמנים
1
√ = )Φ(x
2π
שזהו סימון לאינטגרל מסויים )שנלמד עוד מעט( אבל אפשר להוכיח שלא ניתן להציג אותה באמצעות
הפונקציות האלמנטריות ללא שימוש בגבולות.
3
אינטגרל רימן בקטע סופי וסגור
בפרק זה נדון באופן פורמלי במושג האינטגרל המסויים.
3.1
הגדרות וסימונים
הגדרה ] 3.1חלוקה[ בהנתן קטע ] ,[a, bקבוצה סופית של נקודות } Π = {x0 , . . . , xn
הקטע אם .a = x0 < x1 < · · · < xn−1 < xn = bשימו לב שהקבוצה מראש איננה מסודרת ,אבל
אנחנו רושמים אותה לפי סדר עולה וללא כפילויות כדי להקל על הכתיבה .לקטע ] [xi−1 , xiנקרא תת
הקטע הi־י ,כך שמדובר ב־ nתת קטעים כאלה ,כל שניים עוקבים נחתכים בנקודה ,והם ממצים את
הקטע כולו .מדד העדינות של החלוקה ,Πהמסומן על ידי ) ,λ(Πמוגדר להיות אורך תת הקטע הגדול
ביותר ,דהיינו ,אם נסמן ∆xi = xi − xi−1אזי
תקרא חלוקה של
| λ(Π) = max |∆xi
i=1,...,n
∞} {θi
שימו לב שהחלוקות שלנו תמיד סופיות .בפרט ,המצה שתואר בפרק 1בו בחרנו עם i=0
{θ i }Nזוהי חלוקה חוקית( .כעת נגדיר מהו עידון של חלוקה
שכן מספר האיברים איננו סופי )אולם i=0
איננו חלוקה
הגדרה ] 3.2עידון[ בהנתן שתי חלוקות של הקטע ] ,Π1 , Π2 ,[a, bנאמר ש Π2היא עידון של Π1
מתקיים שכקבוצות של נקודות .Π1 ⊆ Π2בפרט מכאן נובע שמדד העדינות של Π1גדול יותר משל ,Π2
זאת אומרת ) .λ(Π2 ) ≤ λ(Π1באופן שקול ניתן לומר כי Π2מתקבלת מ Π1על ידי תוספת של מספר
אם
סופי של נקודות.
7
איור :6סכום רימן
הגדרה ] 3.3נקודות מתאימות[ בהנתן חלוקה } Π = {x0 , . . . , xnנאמר שהנקודות } {t1 , · · · , tn
נקודות מתאימות לחלוקה אם מתקיים ש ] ti ∈ [xi−1 , xiלכל .i = 1, . . . , n
למשל ,ניתן לבחור ti = xiאו ti = xi−1
או
xi−1 +xi
2
=
הן
,tiאו כל דבר אחר בתוך הקטע )ולא צריכה
להיות "חוקיות" או "תבנית" בבחירה(.
הגדרה ] 3.4סכום רימן[ בהנתן f : [a, b] → Rחלוקה Πונקודות מתאימות ti
נגדיר את סכום רימן
שלהם להיות
f (ti )∆xi
X
i
= )} S(f, Π, {ti
גרפית ניתן לצייר זאת כך
ונראה לנו )אנטואיטיבית( שכאשר העדינות תשאף ל־ ,0הסכום הנ"ל יתקרב בערכו לשטח שמתחת
לגרף .כאשר זה המקרה ,נאמר שהפונקציה אינטגרבילית לפי רימן )"אינטגרבילית רימן"(:
הגדרה ] 3.5אינטגרביליות רימן[ תהי .f : [a, b] → Rנאמר שהיא אינטגרבילית רימן בקטע ][a, b
והאינטגרל שלה שווה למספר Iאם לכל ε > 0קיימת δ > 0כך שלכל חלוקה Πהמקיימת λ(Π) < δ
ולכל בחירה של נקודות המתאימות ל ,{ti } ,Πמתקיים
|S(f, Π, {ti }) − I| < ε
במקרה כזה נסמן
f (t)dt = f
b
b
a
=I
a
את אוסף כל הפונקציות שהן אינטגרביליות רימן בקטע ][a, b
8
נסמן )].R([a, b
הערה 3.6שימו לב :לעיתים תראו את הסימון הבא
b
)} f (t)dt = lim S(f, Π, {ti
λ(Π)→0
a
שהוא אמור להביע את כל אוסף הכמתים שרשמנו בהגדרה )שהרי לא למדנו בחדוא 1מה פירוש לעשות
גבול כאשר "העדינות של החלוקה המשתתפת בגבול שואפת לאפס"( .היזהרו משימוש לא מושכל בסימון
כזה ־ הוא אמור להכיל את העובדה שזה לכל חלוקה מעדינות מספיק קטנה ולכל בחירה של נקודות
מתאימות.
לכל חלוקה ולכל נקודות מתאימות הסכום תמיד יוצא ).c(b − a
דוגמאות f (x) = c .1 3.7
f (x) = D(x) .2פונקציית דיריכלה
0
x∈Q
x 6∈ Q
אז עבור ,נאמר ε = (b − a)/2 ,לא קיימת אף δ
= )D(x
1
מתאימה כי תמיד תהיינה נקודות מתאימות )לכל
חלוקה( רציונליות ,וגם נקודות מתאימות אירציונאליות ,כך שסכומי רימן יצאו 0ו־)(b − a
ובפרט לא יהיו ε־קרובים לאותו מספר.
סוף שיעור 1
9
בהתאמה,
אינטגרביליות
3.2
3.2.1
אינטגרביליות גוררת חסימות
משפט 3.8תהי .f : [a, b] → Rאם )] f ∈ R([a, bאזי f
פונקציה חסומה.
הוכחה :נשתמש בהגדרת האינטגרל עבור .ε = 1נקבל כי קיימת δ > 0כך שלכל חלוקה עם λ(Π) < δ
מתקיים שלכל בחירה של נקודות מתאימות } .I − 1 < S(f, Π, {ti }) < I + 1 ,{tiנבחר חלוקה אחת
כזו .אילו הפונקציה לא חסומה ,יש תת קטע מן החלוקה ] [xi0 −1 , xi0כך שעליו הפונקציה אינה חסומה.
מצד שני ,נבחר נקודות מתאימות {ti }i6=i0בכל שאר תת הקטעים .לכל נקודה tבתת הקטע הזה
מתקיים ש
|f (ti )|∆xi
X
i6=i0
|f (ti )|∆xi < f (t)∆xi0 < I + 1 +
X
i6=i0
I −1−
כך שקיבלנו חסימות ,וזו סתירה.
הערה 3.9הדבר לכאורה לא מתיישב עם החישוב שלנו של אינטגרל של הפונקציה הלא חסומה = )f (x
√
1/ xבקטע ] .[0, 1אכן ,לשם כך נידרש להגדרה יותר כללית של אינטגרל ,האינטגרל הלא אמיתי,
שיופיע בפרק
3.2.2
.
סכומי דרבו
ראינו בסעיף הקודם שיש המון כמתים )לכל חלוקה ,לכל נקודות( וזה מקשה על הבדיקה של האם
פונקציה מסויימת אינטגרבילית או לא .הנה הגדרה נוספת ושקולה לאינטגרביליות רימן.
הגדרה ] 3.10סכום דרבו עליון ותחתון[ תהי f : [a, b] → Rחסומה ותהי } Π = {x0 , . . . , xn
נסמן Mi = sup[xi−1 ,xi ] fו־ .mi = inf [xi−1 ,xi ] fונגדיר את סכום דרבו העליון להיות
Mi · ∆xi
n
X
= )Σ(f, Π
i=1
ואת התחתון להיות
mi · ∆xi
n
X
= )Σ(f, Π
i=1
כמובן ,כאן מדובר במלבנים חוסמים וחסומים ,כמו בדוגמא הראשונה שראינו בפרק .1
נובע מהגדרת אינפימום וסופרמום שלכל בחירה של נקודות מתאימות יתקיים
)Σ(f, Π) ≤ S(f, Π, {ti }) ≤ Σ(f, Π
ולמעשה עובדה זאת מתארת אותם במדוייק ,כפי שמסבירה הלמה הבאה
חלוקה.
למה 3.11תהי f : [a, b] → Rחסומה ו } Π = {x0 , . . . , xn
חלוקה .אזי
)} Σ(f, Π) = sup S(f, Π, {ti
} {ti
)} Σ(f, Π) = inf S(f, Π, {ti
} {ti
כאשר ה־ infוה־ sup
הם ביחס לכל האופנים של בחירת נקודות מתאימות לחלוקה .Π
הוכחה :אכן ,אי שוויון אחד ברור בכל שוויון ,למשל ראינו Σ ≥ S
ε
f (ti ) ≥ Mi − b−aואז הסכום יקיים
יהי ε > 0ונבחר בכל קטע נקודה tiכך ש
לכל בחירת נקודות מתאימות .כעת
ε
∆xi = Σ(f, Π) − ε
b−a
n
X
i=1
Mi ∆xi −
n
X
i=1
≥ f (ti )∆xi
n
X
i=1
= )} S(f, Π, {ti
לכן על פי תכונה שקולה להיותך סופרמום ,מתקיים השוויון הראשון .ההוכחה של השוויון השני ־ באופן
דומה.
למה ] 3.12מונוטוניות[ תהי f : [a, b] → Rחסומה ו Π1 ⊆ Π2
) Σ(f, Π1 ) ≤ Σ(f, Π2
שתי חלוקות .אזי
Σ(f, Π1 ) ≥ Σ(f, Π2 ),
הוכחה :נראה את אי השוויון השמאלי .מספיק להראות שתוספת של נקודה אחת אינה מגדילה את
.Π0תת
.Σנניח שהחלוקה הנתונה היא } Π = {x0 , . . . , xnותהי ) .p ∈ (xi−1 , xiנסמן }= Π ∪ {p
הקטעים שהחלוקות מגדירות הם זהים ,למעט הקטע ] [xi−1 , xiשמוחלף בזוג הקטעים ] .[xi−1 , p], [p, xi
לכן ההפרש בין סכומי דרבו העליונים המתאימים הוא
= ] Σ(f, Π) − Σ(f, Π0 ) = [∆xi sup f ] − [(xi − p) sup f ] − [(p − xi−1 ) sup f
][xi−1 ,p
] [xi−1 ,xi
] [p,xi
= (xi − p)[ sup f − sup f ] + (p − xi−1 )[ sup f − sup f ] ≥ 0
][xi−1 ,p
] [p,xi
] [xi−1 ,xi
] [xi−1 ,xi
באינדוקציה על פני הוספת נקודות ,ההוכחה הושלמה .הוכחת אי השוויון השני מאד דומה.
ניתן גם לתאר את ההוכחה בצורה גרפית ,בכל שלב השטח הכחול גדול מהשטח האדום בציור הבא
והנה מסקנה יפה שנובעת מהלמה הקודמת:
מסקנה 3.13תהי f : [a, b] → Rחסומה ו Π1 , Π2
שתי חלוקות כלשהן ,אזי
) Σ(f, Π1 ) ≤ Σ(f, Π2
איור :7השטח של סכום עליון קטן בעידון
הוכחה :אכן ,ניקח חלוקה שלישית Π3 = Π1 ∪ Π2
שהיא עידון של שתיהן ועבורה יתקיים
) Σ(f, Π1 ) ≤ Σ(f, Π3 ) ≤ Σ(f, Π3 ) ≤ Σ(f, Π2
.
מהמסקנה נובע שניתן להגדיר את המספרים
)I(f ) = sup Σ(f, Π
Π
)I(f ) = inf Σ(f, Π
Π
ולכל חלוקה יתקיים
)Σ(f, Π) ≤ I(f ) ≤ I(f ) ≤ Σ(f, Π
מספר דקות ,במסקנה
כעת ניתן להגדיר אינטגרביליות באופן ישיר יותר ,שבעצם דורש ש ) = I(f
) .I(fזאת נעשה בעוד
.לפני כן נסח את קריטריון דרבו הראשון לאניטגרביליות.
משפט ] 3.14קריטריון דרבו לאינטגרביליות רימן[ תהי f : [a, b] → Rחסומהf ∈ R([a, b]) .
אם לכל ε > 0קיימת δ > 0כך שלכל Πהמקיימת λ(Π) < δמתקיים .Σ(f, Π) − Σ(f, Π) < ε
אם ורק
הערה 3.15היתרון כאן הוא כמובן שאין צורך לדעת את ערכו של I
על מנת לוודא את התנאי הנ"ל.
הוכחה :נניח אם כן כי )] f ∈ R([a, bויהי .ε > 0נבחר ,על פי ההגדרה של אינטגרביליות ,את δ > 0
שלכל חלוקה המקיימת λ(Π) < δיתקיים שלכל בחירה של נקודות מתאימות .|I −S(f, Π, {ti })| < ε/2
שלכל Πהמקיימת λ(Π) < δמתקיים
נובע לכן על פי למה
כך
Σ(f, Π) = sup S(f, Π, {ti }) ≤ I + ε/2
וכן
Σ(f, Π) = inf S(f, Π, {ti }) ≥ I − ε/2
ובפרט ,לכל חלוקה המקיימת λ(Π) < δיתקיים < ε
).Σ(f, Π) − Σ(f, Π
איור :8קריטריון דרבו
להוכחת הכיוון השני נניח ש fמקיימת את קריטריון דרבו .לכן בהכרח מתקיים כי לכל ε > 0
חלוקה ) Π0ולמעשה ־ לכל חלוקה מעדינות קטנה מספיק( כך ש .Σ(f, Π0 ) ≤ Σ(f, Π0 ) ≤ Σ(f, Π0 ) + ε
בפרט .0 ≤ I(f ) − I(f ) ≤ ε ,משום ש εהוא שרירותי ,נקבל ) .I(f ) = I(fנסמן מספר זה ב־ .I
יהי ε > 0ו δ > 0הנתון על פי הקריטריון .לכל חלוקה Πהמקיימת λ(Π) < δולכל בחירת נקודות
קיימת
מתאימות מתקיים
I − ε ≤ Σ(f, Π) − ε ≤ Σ(f, Π) ≤ S(f, Π, {ti }) ≤ Σ(f, Π) ≤ Σ(f, Π) + ε ≤ I + ε
הערה 3.16ברגע שיודעים ש )] f ∈ R([a, bאפשר לבחור כל סדרת חלוקות שמקיימת λ(Πn ) → 0
(n) Mn
סדרת נקודות מתאימות )לכל חלוקה ־ נקודות מתאימות לה ־
{ti }i=1כאשר Mnמספר הנקודות
b
(n) Mn
בחלוקה( ובהכרח יתקיים .S(f, Πn , {ti }i=1 ) → a fהערה תמימה זו תסייע לנו מאוד בהוכחת כללי
וכל
אינטגרציה.
גרפית ,המובן של קריטריון דרבו מאוד פשוט:
מכסים את הגרף עם מלבנים )מאוזנים( ומבקשים שסכום שטחי המלבנים הללו יהיה קטן כרצוננו
( sup f − inf f )∆xi < ε
] [xi−1 ,xi
n
X
] i=1 [xi−1 ,xi
= )Σ(f, Π) − Σ(f, Π
הגובה של כל מלבן כזה הוא ההפרש בין הערך הסופרימלי של הפונקציה בקטע לבןי הערך האינפימלי.
נוח לשימוש בעתיד יהיה להגדיר מספר זה כתנודת הפונקציה בקטע:
הגדרה ] 3.17תנודה[ התנודה של fעל קטע J
מוגדרת להיות
))ω(f, J) = sup f − inf f = sup (f (x) − f (y
J
x,y∈J
13
J
למשלω(D, J) = 1 ,
ω(f, J) → 0כאשר אורך הקטע שואף ל־) 0ללא תלות במיקום שלו(.
Pn
= ) .Σ(f, Π) − Σ(f, Πזה גורם לנו להגדיר
נשים לב גם ש i=1 ω(f, [xi−1 , xi ])∆xi
לפונקציית דיריכלה ,לכל קטע שאיננו נקודה .לפונקציה רציפה במ"ש מתקיים ש
הגדרה ] 3.18תנודה של פונקציה ביחס לחלוקה[ תהי f : [a, b] → Rחסומה ו} Π = {x0 , · · · , xn
Pn
= ).ω(f, Π
חלוקה .נגדיר i=1 ω(f, [xi−1 , xi ])∆xi
בשפה זו אפשר לנסח את קריטריון דרבו כך :לכל ε > 0קיימת δ > 0כך שלכל Πהמקיימת λ(Π) < δ
מתקיים .ω(f, Π) < ε
לפני שנמשיך נציין עוד שתי עובדות לגבי חלוקות ,עידון ,וקריטריון דרבו .המסקנה היא שימושית
ביותר.
למה 3.19תהי f : [a, b] → Rחסומה ותהייינה Π ∪ {p} = Π0
שתי חלוקות )כך שהאחת מתקבלת
מהשנייה על ידי הוספת נקודה( .אזי
)]Σ(f, Π) ≥ Σ(f, Π0 ) − λ(Π)ω(f, [a, b
ואם Π ∪ {p1 , . . . , pm } = Π00
Σ(f, Π) ≤ Σ(f, Π0 ) + λ(Π)ω(f, [a, b]),
אזי
Σ(f, Π) ≤ Σ(f, Π00 ) + mλ(Π)ω(f, [a, b]),
)]Σ(f, Π) ≥ Σ(f, Π00 ) − mλ(Π)ω(f, [a, b
הוכחה :מספיק להוכיח את הא"ש העליונים ואז להשתמש באינדוקציה על פני הוספת נקודות )נשים לב
שהעדינות רק קטנה בכל שלב אינדוקטיבי( .נוכיח את השמאלי
] Σ(f, Π) − Σ(f, Π0 ) = (xi − p)[ sup f − sup f ] + (p − xi−1 )[ sup f − sup f
][xi−1 ,p
] [xi−1 ,xi
] [p,xi
] [xi−1 ,xi
)]≤ ω(f, [xi−1 , xi ]){(xi − p) + (p − xi−1 )} ≤ λ(Π)ω(f, [a, b
טענה 3.20תהי f : [a, b] → Rחסומה אזי לכל ε > 0קיימת δ > 0כך שלכל חלוקה Π
λ(Π) < δיתקיים
Σ(f, Π) ≥ I(f ) ≥ Σ(f, Π) − ε,
Σ(f, Π) ≤ I(f ) ≤ Σ(f, Π) + ε
המקיימת
הוכחה :שוב ,נוכיח רק אחד מהם .מהגדרת ) I(f
Π0כך ש .I(f ) ≥ Σ(f, Π0 ) − ε/2לחלוקה זו יש מספר סופי של נקודות ,נאמר m0נקודות .נבחר
ε
.δ = 2m λ(Πכעת תהי חלוקה כלשהי עם עדינות .λ(Π) < δלקבלת חלוקה חדשה ,עדינה יותר
את
0
)0
משתיהן ,נגדיר .Π0 = Π ∪ Π0בחלוקה החדשה יש לכל היותר m0נקודות יותר מאשר ב Πולכן מתקיים
כי )] .Σ(f, Π) ≤ Σ(f, Π0 ) + m0 λ(Π)ω(f, [a, bמצד שני ,משום ש Π0היא עידון של
על פי למה
,Π0אנו יודעים גם כי ) Σ(f, Π0 ) ≤ Σ(f, Π0ומבחירת δנקבל:
כאינפימום נובע שקיימת חלוקה כלשהי ,נסמן אותה
Σ(f, Π) ≤ Σ(f, Π0 ) + m0 λ(Π)ω(f, [a, b]) ≤ I(f ) + ε/2 + ε/2 = I(f ) + ε
מסקנה 3.21תהי f : [a, b] → Rחסומה ונניח ש ) .I(f ) = I(fאזי )]∈ R([a, b
הוכחה :אכן ,נשתמש בטענה
.f
על מנת לבחור δכך שלכל חלוקה עם λ(Π) < δ
יתקיים
Σ(f, Π) − ε/2 ≤ I(f ) = I(f ) ≤ Σ(f, Π) + ε/2
ולכן יתקיים קריטריון דרבו < ε
).Σ(f, Π) − Σ(f, Π
מסקנה ] 3.22קריטריון דרבו משופר[ תהי f : [a, b] → Rחסומה ונניח שלכל ε > 0קיימת Π
.Σ(f, Π) − Σ(f, Π) < εאזי )].f ∈ R([a, b
הוכחה:
אכן ,הנתון הנ"ל מבטיח ש ) I(f ) = I(fכמו בהוכחת משפט
הקודמת.
סוף שיעור 2
15
.
המקיימת
כעת נשתמש בטענה
איור :9מונוטוניות גוררת אינטגרביליות
3.2.3
רציפות גוררת אינטגרביליות
משפט 3.23תהי f : [a, b] → Rרציפה .אזי )]∈ R([a, b
.f
הוכחה :ממשפט קנטור של חדו"א f ,1רציפה במ"ש .יהי .ε > 0לכן קיים δ > 0כך ש |x − y| < δ
גורר ) .|f (x) − f (y)| < ε/(b − aלכן ,אם ) |J| < δכאן | |Jמסמל את אורך הקטע( מתקיים
) ,ω(f, J) ≤ ε/(b − aולכן לכל חלוקה המקיימת λ(Π) < δיתקיים
ε
∆xi = ε
b−a
n
X
i=1
≤ ω(f, [xi−1 , xi ])∆xi
n
X
= )ω(f, Π
i=1
ולכן מתקיים קריטריום דרבו לאינטגרביליות.
שרציפות איננה תנאי הכרחי לאינטגרביליות ,שכן קל לבדוק ישירות שהפונקציה הבאה:
נעיר שכמובן
]x ∈ [0, 1
]x ∈ [1, 2
3.2.4
1
= )f (x
,אינטגרבילית רימן על תחום הגדרתה ואיננה רציפה.
0
מונוטוניות גוררת אינטגרביליות
משפט 3.24תהי f : [a, b] → Rמונוטונית .אזי )]∈ R([a, b
.f
ההסבר האינטואיטיבי הוא כדלהלן:
היזכרו בקריטריון דרבו המנוסח בצורה גרפית .כשהפונקציה מונוטונית ,ניתן להזיז את כל המלבנים
החוסמים כך שיהיו זה מעל זה ,ללא חפיפות למעט בקצוותיהם .מתקבל אם כן מגדל אשר מוכל במלבן
גבוה שגובהו כהפרש ערכי הפונקציה בקצוות ,ואילו רוחבו הוא עדינות החלוקה.
הוכחה :נניח שהפונקציה עולה ואת המקרה היורד נשאיר לכם .קל לוודא שההשתנות של הפונקציה
בקטע ] [x, yכלשהו נתונה על ידי ) ω(f, [x, y]) = f (y) − f (xולכן בחירה של ))δ = ε/(f (b) − f (a
תבטיח שלכל חלוקה המקיימת λ(Π) < δ
(f (xi ) − f (xi−1 ))∆xi
יתקיים
n
X
= ω(f, [xi−1 , xi ])∆xi
i=1
ε
=ε
)f (b) − f (a
i=1
)) (f (xi ) − f (xi−1
זאת אומרת מתקיים קריטריון דרבו ,ועל פי משפט!
3.2.5
n
X
= )ω(f, Π
n
X
<
i=1
,הפונקציה אינטגרבילית.
כמה משפטים מבניים
שלושת המשפטים בסעיף זה מתאימים לאיחוד קטעים זרים ,להכלה בין שני קטעים ,ולאיחוד של כל
תת־הקטעים השמאליים המוכלים בקטע נתון .במשפט הבא ,כדי להיות ממש פורמאליים ,צריך להניח
ש )] f |[a,b] ∈ R([a, bוש־ )] ,f |[b,c] ∈ R([b, cאבל אנחנו מסכימים שכאשר אומרים על f : [a, c] → R
שהיא מקיימת )] f ∈ R([a, bעבור ) , b ∈ (a, cהכוונה היא ש )]. f |[a,b] ∈ R([a, b
משפט ] 3.25איחוד קטעים זרים[ תהיינה a < b < cותהי f : [a, c] → R
)] f ∈ R([a, bוכן )] .f ∈ R([b, cאזי מתקיים )].f ∈ R([a, c
חסומה .נניח שמתקיים
הוכחה :יהי ε > 0ונבחר חלוקה Π1של ] [a, bכך ש ω(f |[a,b] , Π1 ) < ε/2וחלוקה Π2של ][b, c
.ω(f |[b,c] , [b, c]) < ε/2נסמן .Π = Π1 ∪ Π2זוהי חלוקה של ] [a, cומקיים
על פי מסקנה""
כך ש
ω(f, Π) = ω(f |[a,b] , Π1 ) + ω(f |[b,c] , Π2 ) ≤ ε
∈ R([a, c]) ,
.f
משפט ] 3.26תת קטע[ תהיינה a < b < cותהי f : [a, c] → Rחסומה .נניח שמתקיים )]f ∈ R([a, c
אזי מתקיים )] .f ∈ R([a, bבאופן דומה מתקיים )].f ∈ R([b, c
) .ω(f, Π0נוסיף
הוכחה :תהי פונקציה חסומה כנ"ל .יהי .ε > 0נבחר חלוקה Π0של ] [a, cכך ש < ε
לה נקודה Π1 = Π0 ∪ {b} ,ועדיין ω(f, Π1 ) < εכי זה עידון שלה .כעת נצמצם את החלוקה לקטע
] [a, bונסמן .Π2 = [a, b] ∩ Π1מתקיים ש
על פי מסקנה""
ω(f |[a,b] , Π2 ) ≤ ω(f, Π1 ) ≤ ε
∈ R([a, b]) ,
].f |[a,b
משפט ] 3.27כל תת הקטעים השמאליים[ תהי f : [a, c] → Rחסומה .נניח שמתקיים )]f ∈ R([a, b
לכל .a < b < cאזי מתקיים )].f ∈ R([a, c
#
הוכחה :אכן ,יהי ε > 0ונבחר את ))]= c − ε/(2ω(f, [a, c
בקטע זה ,קיימת חלוקה Π1של ] [a, bכך ש . ω(f |[a,b] , Π1 ) < ε/2
נביט בחלוקה } Π = Π1 ∪ {cשל הקטע ] .[a, cמתקיים
.bעל פי הנתון ,מאינטגרביליות הפונקציה
ε
ω(f, [b, c]) ≤ ε/2 + ε/2 = ε
)]2ω(f, [a, c
ושוב לפי מסקנה&&$%
∈ R([a, c]) ,
ω(f, Π) = ω(f |[a,b] , Π1 ) +
.f
הערה 3.28משפט זהה כמובן תקף עבור כל תת הקטעים הימניים.
טענה 3.29שינוי פונקציה בנקודה בודדת אינו משפיע על האינטגרביליות שלה.
הוכחה :אכן ,נניח שהפונקציה fהיא אינטגרבילית בקטע ] ,[a, cתהי a < b < cונגדיר את g
אותה הפונקציה ,למעט בנקודה bשם ניתן לה ערך אחר .החסימות נשמרת כמובן .הפונקציה gהיא
( ולכן על פי
אינטגרבילית בכל קטע ] [a, xעבור ) x < bכי היא זהה ל fשאינטגרבילית שם לפי
עבור תת
גם על ] [a, bכולו ,ובדומה עבור ]) [b, cשם משתמשים בטענה הזהה למשפט
משפט
g ,אינטגרבילית על כל ].[a, b
קטעים ימניים( ולכן ,על פי משפט
להיות
(&$%
'&%
$
(&$%
)&$%
מסקנה 3.30באופן דומה ,הפונקציה
sin 1
x 6= 0
x
x=0
= )f (x
בקטע ] ,[−1, 1אף שאיננה רציפה
0
)ולא משנה איזה ערך היינו נותנים לה בראשית( ,עודנה אינטגרבילית רימן.
לבסוף ,כמסקנה מטענה $%&+ממשפט)& $%וממשפטים $%&$ו*&$%
נקבל קריטריון התקף למשפחה
גדולה יחסית של פונקציות
מסקנה 3.31כל f : [a, b] → R
שהיא חסומה וכן מונוטונית למקוטעין או רציפה למקוטעין )ז"א פרט
למספר סופי של נקודות( היא אינטגרבילית.
3.2.6
עוד משפטים מבניים
בסעיף זה נראה שתכונת האינטגרביליות סגורה תחת סכום ,כפל בסקלר ,ומכפלה.
משפט 3.32תהיינה )] f, g ∈ R([a, bו c ∈ R
)cf ∈ R([a, b]) ,f + g ∈ R([a, b]) (1
)|f | ∈ R([a, b]) (2
)f 2 ∈ R([a, b]) (3
)f · g ∈ R([a, b]) (4
אזי
הוכחה (1) :אכן נשים לב לשתי עובדות פשוטות :לכל חלוקה Πמתקיים )ω(cf, Π) = |c|ω(f, Π
) .ω(f + g, Π) ≤ ω(f, Π) + ω(g, Πהעובדה הראשונה מיידית והשנייה מתקיימת משום שלכל תת קטע,
supJ (f + g) ≤ supJ f + supJ gובדומה .inf J (f + g) ≥ inf J f + inf J g
וגם
18
) (2מתקיים )ω(|f |, Π) ≤ ω(f, Π
).ω(|f |, J) = supx,y∈J (|f (x)| − |f (y)|) ≤ supJ (|f (x) − f (y)|) = ω(f, J
) (3כעת נניח שהפונקציה חסומה על ידי ,Mאזי
).ω(f 2 , J) = supJ (f 2 (x) − f 2 (y)) = supJ [(f (x) − f (y))(f (x) + f (y))] ≤ 2M ω(f, J
) (4לבסוף ,נשים לב ש ] f · g = 14 [(f + g)2 − (f − g)2ומהסעיפים הקודמים ,סיימנו.
שכן לכל תת קטע
הערה 3.33למעשה ,בסעיף ) (3העובדה היא כללית יותר ־ לכל H : R → Rרציפה )]◦ f ∈ R([a, b
אבל לזה לא נתנו כרגע הוכחה .ההוכחה שנתנו בסעיף ) (3מתאימה למקרה של ,למשל H ,שהיא גזירה
ברציפות ,שכן אז ניתן לחסום את )) H(f (x)) − H(f (yעל ידי קבוע כפול )) f (x) − f (yתוך שימוש
בכך שהטווח של fחסום( .את העובדה שהרכבה של רציפה על אינטרגבילית נותרת אינטגרבילית אתם
,H
מוכיחים בתירגול .ישנו עקרון כללי יותר שאומר שפונקציה היא אינטגרבילית רימן אם ורק אם המידה
של נקודות אי הרציפות שלה היא אפס .קבוצה A ⊂ Rנקראת ממידה אפס אם לכל ε > 0
P
= | i |Ai
)אולי אינסופית( של קטעים פתוחים ) Ai = (ai , biכך ש A ⊂ ∪i Aiוכן i (bi − ai ) < ε
קיימת סדרה
P
.
כל קבוצה סופית או בת מניה היא ממידה אפס ,אבל יש גם דוגמאות )כמו קבוצת קנטור( לקבוצות
מעוצמה ℵ
שהן ממידה אפס .לא נדון בו כעת ,אך בעזרתו )כאשר מכירים את מושג המידה( ההוכחות
של ארבעת הסעיפים נעשות קלות מאוד ,וגם של עובדות נוספות .המשפט הנ"ל ומושג ה"מידה אפס"
יילמד בקורס חדוא 3וכן בקורס "פונקציות ממשיות".
הערה 3.34הערה נוספת היא שכדאי לכם לנסות להראות ישירות את ) (4ללא ה"טריק" ,פשוט על ידי
שימוש בחסמים שלהן והפרדת ))f (x)g(x) − f (y)g(y) = (f (x) − f (y))g(x) + f (y)(g(x) − g(y
.
הערה 3.35הערה אחרונה ־ שוב כדאי לבדוק שאתם יכולים להראות שאם |g| ≥ c > 0
אז גם 1/gאינטגרבילית .שוב ,חיסמו את ההשתנות של 1/gבקטע אחד על ידי מספר התלוי ב c
ובהשתנות של gוסכמו על פני הקטעים.
אינטגרבילית
3.3
על ערך האינטגרל
שימו לב ,במשפט,-./
למשל ,רק הראינו שהפונקציה המוגדרת על איחוד קטעים ,שהיא אינטגרבילית בכל
אחד מהם ,היא אינטגרבילית גם על האיחוד .לא הראינו ,אף על פי שזו התכונה המרכזית והשימושית,
שהאינטגרל על האיחוד הינו סכום האינטגרלים .תכונות דומות קשורות לאינטגרל של סכום ,ולכפל
בסקלר .בסעיף זה נדון בתכונות המתייחסות לערך המיספרי עצמו של האינטגרל.
3.3.1
שתי פונקציות שמזדהות על קבוצה צפופה
ניזכר במושג הצפיפות אותו למדנו בחדוא :1יהי I ⊂ Rקטע כלשהו )סופי או לא( .קבוצה A ⊂ I
תקרא צפופה ב־ Iאם לכל קטע פתוח J ⊆ Iמתקיים ∅ =.A ∩ J 6
19
למשל :הרציונאליים צפופים בממשיים .גם }{ 2pi : p ∈ Z, i ∈ N
טענה 3.36תהיינה f, g : [a, b] → Rהמקיימות )]f, g ∈ R([a, b
ב ]) .[a, bדהיינו :קיימת ] A ⊆ [a, bצפופה כך ש ( f |A = g|Aאזי
0
ונניח שהן מזדהות על קבוצה צפופה
0
b
g(x)dx
צפופה בממשיים.
b
= f (x)dx
a
a
)(n
n
{ti }M
הוכחה :נבחר חלוקות Πnכך ש .λ(Πn ) → 0לכל חלוקה כזו נבחר נקודות מתאימות i=1
בתוך הקבוצה .Aזה אפשרי מצפיפות .על פי הנתון מתקיים
)(n
שהן
)(n
)} S(f, Π, {ti }) = S(g, Π, {ti
ועל פי הגדרת אינטגרביליות )ראו הערה (2345מתקיים 1 f (x)dx
b
a
עבור .g
סוף שיעור 3
20
)(n
∞→S(f, Π, {ti }) →n
ובדומה
3.3.2
כמה משפטים פשוטים
מסקנה 3.37שינוי פונקציה במספר סופי של נקודות אינו משפיע על אינטגרביליות ,וגם לא על ערך
האינטגרל שלה.
הוכחה:
אכן ,העובדה שהיא נשארת אינטגרבילית נובעת מטענה6789
ואילו העובדה שערך האינטגרל
נשמר היא בדיוק הטענה הקודמת .למעשה ,אם משנים פונקציה במספר בן־מניה של נקודות ,עדיין ערך
האינטגרל נשמר ,אבל רק בהנחה שהפונקציה החדשה גם היא אינטגרבילית ,דבר שלא בהכרח נכון )כמו
בפונקציית דיריכלה ,ששונה מהפונקציה הזהותית אפס רק במספר בן מניה של נקודות(.
משפט ] 3.38ליניאריות האינטגרל באינטגרנד[ תהיינה f, g : [a, b] → Rהמקיימות )]f, g ∈ R([a, b
b
b
b
ויהיו .α, β ∈ Rמתקיים . a αf + βg = α a f + β a g
:
:
:
הוכחה :אכן ,אנו כבר יודעים שהפונקציה הנ"ל אינטגרבילית .נבחר סדרת חלוקות עם עדינות שואפת
גם בגבול ,שהוא האינטגרל )שוב ,ראו הערה<;67
לאפס ,סכומי רימן המתאימים מקיימים )} S(αf + βg, Π, {ti }) = αS(f, Π, {ti }) + βS(g, Π, {ti
ולכן
( ־ יישמר השוויון.
הערה 3.39שימו לב לעובדה שיש נסחא לאינטגרל של סכום במונחי האינטגרלים המקוריים ,אין כזו
בחלקים" ,סעיף=6767
נסחא לאינטגרל של מכפלה ,יש רק שיטות לקבל ביטויים שקולים אליו ,וזה נלמד בפרק "אינטגרציה
3.3.3
.
האינטגרל כשטח
כאשר עוסקים בפונקציה חיובית ,אנו חושבים על האינטגרל כעל השטח התחום מתחת לגרף) .זו למעשה
דרך להגדיר למה אנו מתכוונים במילה "שטח"( .המשפט הפשוט הבא מראה שכמצופה ,שטח הוא אי
שלילי.
משפט ] 3.40חיוביות[ תהי f : [a, b] → Rאינטגרבילית המקיימת .f ≥ 0אזי : f (x)dx ≥ 0
b
a
הוכחה :לכל סכום רימן שנחשב יתקיים S(f, Π, {ti }) ≥ 0
ולכן גם בגבול.
למה 3.41תהי .g ≥ 0אזי : g = 0
הוכחה :אכן ,אם : g = 0עבור g ≥ 0נובע שבכל תת קטע ] J ⊂ [a, bמתקיים g = 0
b
a
.
אם ורק אם לכל תת קטע ] J ⊂ [a, bמתקיים g = 0
b
a
.inf J
inf J
שכן כל
סכומי דרבו התחתונים חוסמים מלמטה את האינטגרל .כדי להראות שהתנאי מספיק ,בהנתן פונקציה
שמקיימת שלכל תת קטע ] J ⊂ [a, bמתקיים inf J g = 0
ניתן לבנות סכומי רימן עם חלוקות מעדינות
קטנה כרצוננו שיהיו קטנים כרצוננו ,על ידי בחירת נקודות מתאימות בעלות ערך ) g(xi
שאלה )לא קלה( למחשבה :האם ייתכן f < g
קטן כרצוננו.
ושוויון באינטגרל?
מסקנה ] 3.42מונוטוניות האינטגרל[ תהיינה f, g : [a, b] → Rאינטגרביליות המקיימות ≥ g
b
b
. a f (x)dx ≥ a g(x)dx
:
:
21
.fאזי
הוכחה :מהמשפט הקודם נובע A(f − g) ≥ 0וממשפט@>?>
. A f (x)dx − A g(x)dx ≥ 0
b
a
b
a
b
a
ניתן להסיק כי
הערה 3.43את השטח הכלוא בין שני גרפים של פונקציות f, gאינטגרביליות נגדיר להיות A |f −g| ≥ 0
b
a
.
זה מאפשר ,כעקרון ,להגדיר מושג של "שטח" כללי יותר במישור ,אבל בקורס הזה אנחנו לא מעמיקים
בנושא זה ,ולא מראים שההגדרה הזו לשטח תחום הכלוא בין שני גרפים מקיימת תכונות טבעיות
הנדרשות משטח )אם כי תלמדו בחדו"א 3שזו ההגדרה היחידה שמקיימת כמה תכונות פשוטות כמו
אינוריאנטיות להזזות ,סיבובים וכדומה(.
משפט ] 3.44ליניאריות האינטגרל בתחום האיטגרציה[ תהי )] f ∈ R([a, cויהי )∈ (a, c
B
c
f
B
c
=f
a
B
.bאזי
b
f+
a
b
.
| fנובעת ממשפט>?CD
הוכחה :העובדה ש )] f |[a,b] ∈ R([a, bוש )]∈ R([b, c
Πnשל הקטע כולו המקיימת λ(Πn ) → 0ונדרוש בנוסף ש b ∈ Πnלכל .nנבחר עבורה סדרת נקודות
(n) Mn
.{ti }i=1נצמצם את החלוקה לתת הקטעים ,ואת הנקודות המתאימות גם כן.
מתאימות
(n),2
(n),1
2
1
.{tiעדיין העדינות שואפת לאפס,
נסמן את הצימצומים הנ"ל ב {ti } , Πnוב־ } , Πn
)(n
(n),1
(n),2
S(f, Πn , {ti }) = S(f |[a,b] , Π1n , {tiולכן גם
וסכומי רימן מקיימים )} }) + S(f |[b,c] , Π2n , {ti
][b,c
.נבחר סדרת חלוקות
בגבול השוויון נשמר.
הערה 3.45עבור a < bנגדיר את A fלהיות A f
a
b
תלות בסדר של a, b, c
3.3.4
b
a
.
.−
כך יתקיים השוויון A f + A f = A f
c
a
c
b
b
a
ללא
רציפות האינטגרל המסויים
משפט ] 3.46רציפות האינטגרל המסויים[ תהי f : [a, b] → Rאינטגרבילית .אזי הפונקציה = )F (x
x
a f (t)dtהמוגדרת בקטע ] ,[a, bהיא רציפה.
A
הוכחה :הפונקציה fאינטגרבילית ולכן חסומה ,נאמר |f | ≤ M
B
.נחשב את
x+h
f (t)dt| ≤ hM →h→0 0
3.3.5
x
משפטי ערך ביניים
תכונה ראשונה פשוטה הנובעת ממסקנה>?EC
היא
22
| = |)|F (x + h) − F (x
טענה ] 3.47אי שוויון שימושי[ תהי )] f ∈ R([a, bונניח m ≤ f ≤ Mאזי )F f ≤ M (b−a
.| F f | ≤ F |f | ≤ sup
וכמו כן )|f |(b − a
הוכחה :העובדה הראשונה נובעת מאינטגרציה של אי השוויון על פי מסקנהHIJ
Gוהחלק השני נובע כי
b
a
][a,b
| ≤ f ≤ |f | ≤ sup |f
b
a
b
a
≤ )m(b−a
| .−|f
F f ≤ max
b
a
1
b−a
≤ min[a,b] f
הערה 3.48אם הפונקציה רציפה ,מאי השוויון f
b
1
, b−aוזה הקשר של הטענה לכותרת תת־הפרק.
] x0 ∈ [a, bכך ש ) f = f (x0
a
][a,b
F
משפט ] 3.49ערך ביניים ראשון[ תהי f : [a, b] → Rרציפה ותהי )]g ∈ R([a, b
] x0 ∈ [a, bכך ש
K
אי שלילית .אזי קיים
K
b
g(x)dx
נובע שקיימת נקודה
b
) f (x)g(x)dx = f (x0
a
a
GHIJ
הוכחה :נסמן max[a,b] f = Mו־ .min[a,b] f = mמחיוביות gמתקיים mg ≤ f g ≤ M g
b
b
b
גם אחרי אינטגרל מתקיים אי שוויון .נקבל ש m a g ≤ a f g ≤ M a gולכן ,אחרי
מסקנה
F
F
F
ולכן לפי
חלוקה באינטגרל של gותוך שימוש ברציפות ,fקיימת נקודה בה מתקיים ) L = f (x
L
מקרה קצה שצריך לדון בו ־ מה קורה אם F g = 0אבל אז האי שוויון לפני החלוקה יוצא פשוט
0 ≤ F f g ≤ 0וסיימנו.
b
a fg
b
a g
0
b
a
b
a
כרצוי .יש
משפט ] 3.50הלמה של בונה ־ גרסא [1תהיינה f, g : [a, b] → Rונניח כי fמונוטונית וכן ∈ 0 ≤ g
)] . R([a, bאזי קיימת ] x0 ∈ [a, bכך ש
K
b
g(x)dx
K
x0
)g(x)dx + f (b
הוכחה:
b
)f (x)g(x)dx = f (a
a
x0
a
כמו בהוכחת משפט ערך הביניים הראשון )משפטGHIM
למשל,
K
b
g(x)dx
a
K
K
( אנו רואים שאם f
b
)f (x)g(x)dx ≤ f (b
a
מונוטונית עולה,
K
b
≤ g(x)dx
)f (a
a
בכל מצב בו יש לנו שלושה מספרים ו x ≤ y ≤ zמתקיים ש yהוא צירוף קמור של xו־ z
] λ ∈ [0, 1כך ש ) . y = (1 − λ)x + λzחשבו את ערכה של λזו!( .במקרה שלנו נקבל
K
K
b
g(x)dx
b
)g(x)dx + λf (b
a
אנו נבחר את
0
a
xכך שיתקיים F g(x)dx
b
a
K
b
)f (x)g(x)dx = (1 − λ)f (a
)g(x)dx = (1 − λ
23
F
x0
a
.
a
דהיינו קיימת
איור :10הלמה של בונה
נסביר מדוע זה אפשרי :נגדיר את
N g(x)dx
z
= )G(z
a
PQRS
O
O
O
PQRR
O
b
b
b
ומתקיים G(b) = a g(x)dx ≥ (1 − λ) a g(x)dx ,G(a) = 0 ≤ (1 − λ) a g(x)dx
הפונקציה Gרציפה .לכן לפי משפט ערך הביניים של חדו"א ,1קיימת ] x0 ∈ [a, bכך ש
x0
b
. a g(x)dx = (1 − λ) a g(x)dx
b
b
( גם ש . x g(x)dx = λ a g(x)dxלכן
נקבל כמובן על פי ליניאריות האינטגרל )משפט
0
O
O
וכן לפי משפט
O
יתקיים כרצוי
N g(x)dx
b
N
x0
)g(x)dx + f (b
x0
N f (x)g(x)dx
b
)= f (a
a
a
הוכחה אחרת של משפט : PQTUנגדיר את O g(x)dx
הערה 3.51הנה
R
S
רציפה על פי משפט Q
Pומקיימת
t
a
)N (f (b) − f (x))g(x)dx ≤ G(b
))G(t) = (f (b) − f (a
.היא
b
a
≤ G(a) = 0
כאשר השתמשנו חזק מאוד במונוטוניות fובחיוביות .gלכן מרציפות G
b
1קיימת x0כך ש G(x0 ) = a (f (b) − f (x))g(x)dxונעביר אגפים לקבלת המשפט.
ומשפט ערך הביניים של חדו"א
O
שעדיין אין לנו ,אבל יהיו לנו בקרוב .נוכיח אותו בסעיףPQPQV
לשם שלמות נצטט כאן גם את הגרסא השנייה של הלמה של בונה .ההוכחה שלה דורשת עוד כלים
WR
.
איור :11משפט ניוטון לייבניץ והמשפט היסודי
משפט ] 3.52הלמה של בונה ־ גרסא [2תהיינה f, g : [a, b] → Rונניח כי g
)) f ∈ C 1 (a, bגזירה ברציפות( ורציפה ב ] [a, bומתקיים שלכל )) .f 0 (x) ≥ 0 ,x ∈ (a, bאו :לכל
) (.f 0 (x) ≤ 0 ,x ∈ (a, bאזי קיימת ] x0 ∈ [a, bכך ש
רציפה בקטע וכן
X
b
g(x)dx
X
x0
)g(x)dx + f (b
x0
X
b
)f (x)g(x)dx = f (a
a
a
כאמור ,ההוכחה של המשפט האחרון תופיע בהמשך ,בסעיף\ .[Z[Zנשתמש בו בפרקYZ[ZY
3.3.6
.
המשפטים היסודיים
בפרק זה נמצאים המשפטים החשובים ביותר בנושא אינטגרציה ,המקשרי את מושג הפונקציה הקדומה
שלמדנו בתחילת הסמסטר ושתירגלתם בתירגולים עם מושג אינטגרל רימן )האינטגרל המסויים( אותו
למדנו באופן מפורט בשיעורים.
משפט ] 3.53המשפט היסודי של החדו"א[ תהי )] ,f ∈ R([a, bותהי ] x0 ∈ [a, bנקודה שבה f
x
רציפה .אזי הפונקציה F (x) = a f (t)dtהיא גזירה בנקודה x0ומתקיים ) .F 0 (x0 ) = f (x0
]
היא
המשפט הבא הוא אולי השימושי ביותר עבורנו מבחינת חישובי אינטגרלים .הוא מאוד דומה למשפט
הקודם ,אך איננו זהה לו.
משפט ] 3.54משפט ניוטון ולייבניץ[ תהי )] ,f ∈ R([a, bותהי F : [a, b] → Rקדומה של fבקטע ][a, b
כולו .אזי
X
b
)f (x)dx = F (b) − F (a
25
a
לפני ההוכחות ,נעיר על הדמיון בין המשפטים .כאשר fהיא אינטגרבילית ורציפה ,הפונקציה = )F (x
x
a f (t)dtהיא תמיד קדומה שלה ,וכל שתי קדומות שלה נבדלות בקבוע .הענין הוא שפונקציה לא רציפה
עדיין יכולה להיות אינטגרבילית .במקרה כזה יתכן שלמשל Fהנ"ל איננה גזירה )ולכן איננה קדומה
0 x < 1/2
= ) f (xלמשל ,שכמובן אינטגרבילית
של ,fעל פי הגדרתנו( .דוגמה פשוטה לכך היא
1 x ≥ 1/2
אבל האינטגרל שלה אינו גזיר ב־) 1/2זאת אומרת ,אין לה קדומה( .ייתכן גם שיש לפונקציה לא רציפה
^
פונקציה קדומה ,אבל זה רק אם אי הרציפות שלה היא מסוג שני ,שכן אנו יודעים שפונקציה שהיא נגזרת
של פונקציה אחרת ,מקיימת תמיד את תכונת דרבו )חדו"א .(1זה מקרה )נדיר( בו המשפט השני שימושי
והראשון לא רלוונטי כי אין רציפות .לבסוף ,במשפט הראשון ניתן להשתמש גם בנקודה בודדת ,זאת
אומרת גם אם אין רציפות של f
בכל הקטע.
_`ab
אין צורך ש F
הערה 3.55עוד הערה חשובה היא שלמעשה כדי להשתמש במשפט
ל־ fבכל הקטע הסגור ,מספיק שהיא תהיה קדומה ב־) (a, bורציפה ב־] .[a, bזאת משום שניתן לעבור
לתת קטע ,ואז להשאיף את הגבולות לצדדים .באופן דומה ,מספיק ש F 0 = fפרט למספר סופי של
0 x < 1/2
t
= ) f (xתוך שימוש
נקודות ,וכן Fרציפה .כך נוכל לדעת גם את 0 f (x)dxעבור
1 x ≥ 1/2
0
x < 1/2
0
= ) F (xשמקיימת F = fלמעט בנקודה אחת ,והיא רציפה .ננסח
ב"קדומה"
(x − 1/2) x ≥ 1/2
תהיה קדומה
^
זאת במסקנה הבאה.
מסקנה ] 3.56משפט ניוטון ולייבניץ ־ כללי יותר[ תהי )] ,f ∈ R([a, bותהי F : [a, b] → R
המקיימת שלמעט מספר סופי של נקודות בקטע .F 0 (x) = f (x) ,אזי
רציפה,
c
b
)f (x)dx = F (b) − F (a
a
נעבור להוכחות של המשפטים המרכזיים הללו.
הוכחה] :הוכחת המשפט היסודי[ נחשב את הביטוי שמופיע בחישוב נגזרת )שימו לב שאין צורך
:(h
להניח בחישוב הנ"ל כי > 0
x0 +h
) F (x0 + h) − F (x0
) f (t) − f (x0
1 x0 +h
f (x)dx = f (x0 ) +
dt
=
h
h x0
h
x0
c
c
משום שבנקודה x0הפונקציה רציפה ,בהנתן ε > 0קיימת δ > 0כך שאם |t − x0 | < δ
. |f (t) − f (x0 )| < εנניח ש . |h| < δאזי מתקיים
|) |f (t) − f (x0
dt ≤ ε
h
c
x0 +h
x0
) F (x0 + h) − F (x0
≤ |) − f (x0
|
h
26
מתקיים ש
נשים לב ששמנו ערך מוחלט רק על החלק העליון בשבר כדי שגם אם h < 0
גבולות האינטרל הם בסדר יורד ־ . x0 > x0 + hקיבלנו על פי הגדרת נגזרת ש ) .F 0 (x0 ) = f (x0
הביטוי יצא חיובי ־ שכן אז
הערה 3.57נעיר שכאשר הפונקציה f
בתוך האינטגרל איננה רציפה ,אין שום הכרח שיתקיים האמור,
שכן אינטגרציה אינה מבחינה בין פונקציות ששונות למשל רק בנקודה אחת.
הוכחה] :הוכחת משפט ניוטון לייבניץ[ נתונה )] .f ∈ R([a, bבהנתן חלוקה כלשהי Π
במשפט ערך הביניים של לגרנז מחדו"א 1על מנת למצוא נקודות מתאימות ] ti ∈ [xi−1 , xiשתקיימנה
) F (xi )−F (xi−1
)במדוייק!(
= ) . F 0 (tiעבור נקודות אלה נחשב את סכום רימן של החלוקה ונקבל
xi −xi−1
נוכל להשתמש
)(F (xi ) − F (xi−1 )) = F (b) − F (a
ומשום ש f
n
X
= F 0 (ti )∆xi
i=1
i=1
i=1
אינטגרבילית ,סכום רימן זה )שהוא קבוע( צריך להתכנס ,כשעדינות החלוקה שואפת לאפס,
לאינטגרל של f
והמשפט הוכח.
תרגילים למחשבה )שייעשו בתירגול(:
איך גוזרים את הפונקציות d f (t)dt
b
x
g, h
n
X
= f (ti )∆xi
n
X
= )} S(f, Π, {ti
= ) G(xו־ f (t)dt
שתיהן גזירות(?
סוף שיעור 4
27
d
)h(x
)g(x
= )) H(xתניחו נאמר ש f
רציפה וש
3.3.7
שיטות אינטגרציה )בחלקים ושינוי משתנה(
השיטות שנדון בהן בפרק זה תתורגלנה ,והרבה ,בתירגולים ובתרגילי הבית .שם גם תכירו שיטות נוספות.
כאן אנו רק נותנים את הבסיס התיאורטי לשימושים הללו ,שניתן לבצע אותם גם )כפי שעושים בקורסי
חדו"א אחרים ,לא לתלמידי מתמטיקה( ללא הידע התיאורטי .יתר על כן ,אנו לרוב נניח תנאים יחסית
מחמירים על מנת להוכיח את הטענות בצורה מדוייקת ולא ארוכה מידי .הרבה פעמים הן תקפות גם
בהנחות מחמירות הרבה פחות.
כאשר התנאים שהנחנו לא מתקיימים ,עדיין ניתן לנסות ולהשתמש
בשיטה ,אבל אז כשמתקבלת התוצאה יש למצוא צידוק לנכונותה )למשל ־ אם החישוב מייצר לכם
מועמדת לפונקציה קדומה ־ ניתן פשוט לגזור את התוצאה!(.
משפט ] 3.58אינטגרציה בחלקים[ תהיינה f, g : [a, b] → Rגזירות ,ונניח ש )]f 0 , g 0 ∈ R([a, b
e
b
f g0
a
e
b
−
g]|ba
0
· f g = [f
a
וביתר דיוק ,הסימון למעלה אומר ש f f (t)g(t)dt = f (b)g(b) − f (a)g(a) − f f (t)g (t)dt
b
a
0
הוכחה :מהנתון ,הפונקציות f, g
.אזי
0
b
a
.
הן גזירות ובפרט רציפות ולכן אינטגרביליות רימן בקטע ,וכך גם
מכפלתן .מחוק גזירה של חדו"א 1מתקיים (f · g)0 = f 0 g + f g 0
לפונקציה , f 0 g + f g 0שגם היא ־ על פי הנתונים ־ מכפלה וסכום של אינטגרביליות ולכן אינטגרבילית
זאת אומרת מצאנו פונקציה קדומה
)נשים לב שלא נתון שהיא רציפה( .כעת נפעיל את משפט ניוטון לייבניץ )משפטghij
ונקבל כי ) . f (f g + f g ) = f (b)g(b) − f (a)g(aעל פי שימוש בליניאריות האינטגרל והעברת אגפים,
( שתנאיו מתקיימים,
0
0
b
a
המשפט הוכח.
הערה 3.59נזכיר את הסימון )] f ∈ C 1 ([a, bשאומר כי f
)] C n ([a, bיאמר שהיא גזירה nפעמים והנגזרת ה n־ית רציפה( .נובע בפרט שהמשפט האחרון תקף
כאשר )].f, g ∈ C 1 ([a, b
גזירה ונגזרתה רציפה.
כעת אנו יכולים להוכיח את משפטghik
]הלמה של בונה :גרסא .[2
)הסימון ∈ f
נזכיר את המשפט :תהיינה
f, g : [a, b] → Rונניח כי gרציפה ו )) f ∈ C 1 (a, bגזירה ברציפות( ורציפה ומתקיים שלכל )∈ (a, b
) .f 0 (t) ≥ 0או :לכל ) (.f 0 (t) ≤ 0 ,t ∈ (a, bאזי קיימת ] x0 ∈ [a, bכך ש
e
e
b
g(t)dt
x0
e
x0
)g(t)dt + f (b
ghik
,t
b
)f (t)g(t)dx = f (a
a
a
f
x
[ :נסמן G(x) = a g(t)dt
הוכחה] :של הלמה של בונה גרסא ,2משפט
) G0 (x) = g(xלכל ) .x ∈ (a, bלפי נוסחת אינטגרציה בחלקים מתקיים )שכן Gגזירה ברציפות וגם (f
e
b
G(t)f 0 (t)dt
a
ואז ,מרציפות ,gמתקים
e
e
b
0
G (t)f (t)dt = G(b)f (b) − G(a)f (a) −
kl
b
= f (t)g(t)dt
a
a
כעת ממשפט ערך הביניים הראשון ,משפט ,nopqהאינטגרל הימני ביותר ניתן לכתיבה כ m f (t)dt
0
שכן Gרציפה ו )f 0 (t
אי שלילית .קיבלנו ,על פי ניוטון לייבניץ,
r
b
f 0 (t)dt
a
b
a
) G(x0
r
b
) f (t)g(t)dt = G(b)f (b) − G(a)f (a) − G(x0
a
))= G(b)f (b) − G(a)f (a) − G(x0 )(f (b) − f (a
כעת נשים לב ש G(a) = 0וגם ש m g(t)dt
r
r
b
x0
b
x0
)g(t)dt + f (b
g(t)dt
= ) G(b) − G(x0
וכשנציב זאת במשוואה נקבל בדיוק
x0
a
r
b
)f (t)g(t)dt = (G(b) − G(x0 ))f (b) + G(x0 )f (a) = f (a
a
כעת נציג שימוש אחר למשפט על אינטגרציה בחלקים ,והוא נסחא אינטגראלית לשארית בטור טיילור.
טענה ] 3.60שארית אינטגראלית בטיילור[ תהי f : [a, b] → Rונניח שהיא גזירה ברציפות )(n + 1
פעמים .יהי ] . x ∈ [a, bאזי
)f 00 (a
)f (n) (a
(x − a)2 + · · · +
)(x − a)n + Rn (a, x
!2
!n
כאשר
r
1
f (x) = f (a) + f 0 (a)(x − a) +
x
f (n+1) (t)(x − t)n dt
הוכחה :נבצע אינדוקציה על .nעבור n = 0
a
!n
= )Rn (a, x
r
הנוסחא גורסת
x
f 0 (t)dt
f (x) = f (a) +
a
0
שאכן נכון על פי משפט ניוטון לייבניץ שכן נתונה רציפות .fכעת נניח נכונות עבור .nנחשב את
השארית הבאה:
1
!k
1
!)(n + 1
f (k) (a)(x − a)k
n+1
X
k=0
Rn+1 (a, x) = f (x) −
= Rn (a, x) − f (n+1) (a)(x − a)n+1
r
x
1
f (n+1) (t)(x − t)n dt − f (n+1) (a)(x − a)n+1
!)(n + 1
a
!
d
n+1
x
) )(−(x − t
1
1
=
f (n+1) (t) dt
dt − f (n+1) (a)(x − a)n+1
n! a
n+1
!)(n + 1
x
x
f (n+2) (t)(x − t)n+1 dt
)1 (n+1
−(x − t)n+1
(x − a)n+1
f
)− f (n+1) (a
=
)(t
+ a
!n
n+1
)(n + 1
!)(n + 1
a
x
1
f (n+2) (t)(x − t)n+1 dt
=
(n + 1)! a
r
m
r
29
1
=
!n
ובזאת הסתיימה ההוכחה.
בתרגיל או בתירגול :הראו מדוע נסחא זאת גוררת את הנוסחא לשארית לגרנז במקרה שבו הפונקציה
מקיימת )]f ∈ C n+1 ([a, b
.
בהמשך הסעיף נציג שימוש נוסף של אינטגרציה בחלקים ,להוכחת משפט ואליס ) (Wallisאך ראשית
נדון בשיטה השניה העיקרית לחישוב אינטגרלים.
משפט ] 3.61שינוי משתנה[ תהי f : [a, b] → Rרציפה ותהי ] ϕ : [α, β] → [a, bהמקיימת ϕ(α) = a
.ϕ(β) = bנניח גם ש־ ϕגזירה ברציפות .אזי
s
s
β
f (ϕ(t))ϕ0 (t)dt
b
= f (x)dx
α
על פי רוב משתמשים ב ϕ
ו
a
שהיא מונוטונית ,ובפרט שהיא חח"ע ועל בקטע .לפונקציה הזו קוראים "שינוי
המשתנה".
t
x
הוכחה :תהי F (x) = a f (t)dtקדומה של f
היסודי מתקיים ) F 0 (x) = f (xלכל ] .x ∈ [a, bנסמן G = F ◦ ϕזאת אומרת )).G(y) = F (ϕ(y
מכלל השרשרת )שכן כולן גזירות( מתקיים ) G0 (y) = F 0 (ϕ(y))ϕ0 (y) = f (ϕ(y))ϕ0 (yולכן לאחר ביצוע
אינטגרל נקבל
s
)שקיימת מהנחת הרציפות( כך שעל פי המשפט
b
f
a
s
β
0
= )(f ◦ ϕ) ϕ = G(β) − G(α) = F (b) − F (a
הערות 3.62כמובן ,אף על פי שמבחינתנו הסימונים dxו־ dt
α
הם רק הגדרה או סימון של אינטגרל רימן,
מאחוריהם מסתתר משהו שהוא מעבר לסימון הדבר יילמד באופן מעמיק יותר בקורס "תורת המידה",
שם תדברו על נגזרת של מידה אחת ביחס לאחרת .בכל זאת ,נוכל לומר כמה מילים שתפרשנה את
ה"אינטואיציה" העומדת מאחורי שינוי המשתנה
dx = ϕ0 (t)dt
→
)x = ϕ(t
ובכן ,הניחו לשם פשטות ששינוי המשתנה שלכם )ϕ(t
Pn
b
ישאף ל a fכל עוד החלוקה מעדינות שואפת לאפס והנקודות x̃iמקיימות ∈ x̃i
i=1 f (x̃i )∆xi
] .[xi−1 , xiנרשום את סכום רימן של הפונקציה באופן אחר :כל נקודה xiבחלוקה נציג כ ־ ) xi = ϕ(ti
וכל נקודה ) .x̃i = ϕ(t̃iסכום רימן הקודם שרשמנו הינו ,בסימונים החדשים
הוא מונוטוני עולה.
t
)) f (ϕ(t̃i )) (ϕ(ti ) − ϕ(ti−1
uv
n
X
i=1
= f (x̃i )∆xi
n
X
i=1
מהגדרת האינטגרל,
איור :12חישוב שטח רבע מעגל
ומשום שהנחנו גזירות ניתן לרשום
) f (ϕ(t̃i ))ϕ0 (t̃˜i ) (ti − ti−1
n
X
i=1
= )) f (ϕ(t̃i )) (ϕ(ti ) − ϕ(ti−1
n
X
i=1
כל שנותר להסביר הוא שניתן לבחור מראש נקודות מתאימות xiכך שיתקיים = t̃˜i
כמובן אפשרי שכן הבחירה של x̃iהייתה שרירותית .כעת אנו רואים בצורה מעט בהירה יותר מדוע
,∆xi ' ϕ0 (ti )∆tiדבר שניתן לכתוב באופן לא ממש פורמלי כ ) dx = ϕ0 (t)dtהדבר אינו פורמלי רק
משום שלא הגדרנו את האובייקט " "dxכעומד בפני עצמו ־ אם מדובר בשימוש במשפט הקודם ־ זה
,t̃iוהדבר
כמובן מאוד פורמלי( .נדגיש כי יש להזהר מחילופי משתנה שהם פורמליים בלבד שכן זהו מתכון לבלבול
וטעויות ,ודוגמאות תובאנה בתירגול ובתרגילי הבית.
נמשיך בדוגמא )אחת! בתרגילים ־ המון( לשימוש בשינוי משתנה לשם חישוב אינטגרל מסויים .נחשב
את שטחו של רבע מעגל היחידה.
√
זה השטח הכלוא תחת הגרף f (x) = 1 − x2מעל הקטע ][0, 1
√1
. 0 1 − x2 dxנשתמש בשינוי המשתנה ϕ(t) = sin tכאשר ] ϕ : [0, π/2] → [0, 1גזירה ברציפות
כמובן ו . ϕ0 (t) = cos tממשפט שינוי המשתנה נקבל
w
π
4
x
π/2
= cos2 tdt
0
ולכן נתון על ידי האינטגרל
p
= 1 − sin2 t cos tdt
x
π/2
√x
1
=
x2 dx
0
1−
0
כאשר את השוויון האחרון ניתן לקבל או בעזרת נוסחא וביצוע אינטגרציה
)1 + cos(2t
t 1
π/2
dt = [ + sin(2t)]|0 = π/4
2
2 4
y
x
π/2
π/2
2
= cos tdt
0
0
y
או ,מה שיותר אלגנטי ,השתכנעות )על ידי שינוי משתנה דומה( שמתקיים sin2 tdt
π/2
π/2
ואז סכימה של שניהם לקבלת . 0 cos2 t + sin2 tdt = 0 1dt = π/2
31
x
y
π/2
0
= cos2 tdt
y
π/2
0
כעת נראה שימוש נוסף לאינטגרציה בחלקים ,יותר "תיאורטי" ,שהוא גם רמז לדברים שנראה בהמשך
בהקשר של טורי פונקציות וטורי פורייה.
טענה ] 3.63דעיכת מקדמי פורייה בהנתן גזירות[ תהי )] f ∈ C 1 ([0, 2πונסמן | = sup[0,2π] |f 0
לכל nטבעי יתקיים
2πM
n
z
.Mאזי
2π
≤ |f (x) cos(nx)dx
0
|
הוכחה :נשתמש בנסחא לאינטגרציה בחלקים על מנת לחשב
)sin(nx
n
z
2π
)f 0 (x
0
)sin(nx
=−
n
z
2π
)f 0 (x
0
sin(nx) 2π
]|0 −
n
z
2π
)f (x) cos(nx)dx = [f (x
0
וכעת נעריך את האינטגרל על פי ערך הפונקציה המקסימלי בקטע כפול אורך הקטע.
3.3.8נסחת Wallis
נציג שימוש נוסף לאינטגרציה בחלקים.
הנסחא עצמה היא כדלהלן
π
2 · 2 · 4 · 4 · 6 · 6 · · · (2n − 2) · (2n − 2) · 2n
=
∞→n
)1 · 3 · 3 · 5 · 5 · · · (2n − 1) · (2n − 1
2
lim
על מנת להוכיח אותה נצטרך טענת עזר
טענה 3.64נסמן
z
π/2
(cos(x))m dx = Im
z
π/2
= (sin(x))m dx
0
0
מתקיים
m even
m odd
!!) π · (m−1
!!m
Im = 2
!!)(m−1
!!m
כאן השתמשנו בסימון !! kלמכפלה · · · ) k(k − 2)(k − 4שיש בה ][k/2
איברים.
הוכחה :ראשית נמצא נסחא רקורסיבית לאינטגרל ,תוך שימוש באינטגרציה בחלקים.
z
π/2
(− cos(x))0 (sin(x))m−1 dx
m
= (sin(x)) dx
0
"
0
(− cos(x)) (sin(x))m−1 dx
dx = (m − 1) z
{
|
z
π/2
0
−
(1 − (sin(x))2 )(sin(x))m−2 dx
0
=
0
π/2
= [ (− cos(x))(sin(x))m−1 ]0
0 + (m − 1) z
=
(m − 1)Im−2 − (m − 1)Im
=
π/2
m−2
z
π/2
π/2
2
))(cos(x)) (sin(x
0
Im
וקיבלנו לכן את הנסחא
=1
m−1
I
m m−2
= .Imנחשב את I0 , I1
}
ישירות
π/2
π/2
sin(x)dx = [− cos(x)]0
}
π/2
(sin(x))0 dx = π/2
= I1
0
0
ונקבל לכן באינדוקציה את הנסח הכללית :כשאר m = 2n
)זוגי(,
m−1
m−1m−3
!!)(m − 1
(m − 1)!! π
= Im−2
= · · · = Im−4
= I0
m
m m−2
!!m
m!! 2
וכאשר ) m = 2n − 1איזוגי(,
m−1
m−1m−3
!!)(m − 1
!!)(m − 1
= Im−2
= · · · = Im−4
= I1
m
m m−2
!!m
!!m
כעת נפנה להוכחת נסחת Wallis
= I0
= Im
= Im
עצמה.
הוכחה] :של נסחת ואליס[ עבור 0 ≤ x ≤ π/2
מתקיים
(sin(x))2n+1 ≤ (sin(x))2n ≤ (sin(x))2n−1
ולכן גם לאחר אינטגרציה
}
π/2
(sin(x))2n−1 dx
0
לכל > 1
}
π/2
≤ (sin(x))2n dx
0
}
π/2
≤ (sin(x))2n+1 dx
0
.nיש לנו ערכים מדוייקים לאינטגרלים אלה ,נציב אותם ונקבל אי שוויון
נחלק במקדם של π/2
ונקבל
!!)(2n
(2n − 1)!! π
!!)(2n − 2
≤
≤
!!)(2n + 1
(2n)!! 2
!!)(2n − 1
π
≤ bn
2
≤ an
כאשר
!!)(2n
1
!!)(2n
!!)(2n
=
!!)(2n − 1)!! (2n + 1
!!)2n + 1 (2n − 1
2
!!)(2n
1
!!)(2n)!! (2n − 2
=
=
!!)(2n − 1)!! (2n − 1
(2n − 1)!! 2n
= an
bn
נשים לב שההפרש בין אגף שמאל לאגף ימין מתקיים )תוך שמוש בנסחא הקודמת(
2
1
!!)(2n
1
1 π
1
−
≤
=
2n 2n + 1
)(2n − 1)!! 2n(2n + 1
2n 2
2
ולכן הסדרות שתיהן מתכנסות ל . π/2כעת נשים לב שהסדרה bn
בניסוח נסחת ואליס.
סוף שיעור 5
33
!!)(2n
!!)(2n − 1
= b n − an
היא בדיוק הסדרה עליה הצהרנו
אינטגרל לא אמיתי
4
הקדמה והגדרה
4.1
√
ראינו כבר שבמובן מסוים "שטחי המלבנים מתחת ל "1/ xבקטע ][0, 1
חסומים ,אבל הדבר לא מתאים
להגדרה שלנו של אינטגרל רימן בקטע סגור )גם אם נמשיך את הפונקציה שרירותית ב־ 0היא לעולם לא
תהיה אינטגרבילית לפי הגדרתנו ,שכן היא איננה חסומה( .באופן דומה ,אם נביט בפונקציה 1/x2
√
האינסופי )∞ [1,אף על פי שגיאומטרית מדובר באותו שטח כמו מתחת ל 1/ xבקטע ] (0, 1ולכן ,שוב
בקטע
לפי שיעור ההקדמה ,השטח "אמור" להיות סופי ,ההגדרות שלנו לא מאפשרות אינטגרציה של פונקציה
על קטע אינסופי .את העוול הקטן הזה נתקן בפרק זה .הרעיון הוא פשוט .נצמצם את הפונקציה לקטע
סופי )או ־ במקרה הלא חסום ־ לקטע סגור בו היא חסומה( ,נחשב את האינטגרל ,ואז נשאיף את קצוות
הקטע לאינסוף )או ,לקצה התחום שלה( .כמובן ,משום שמדובר בגבולות ,יש לדרוש התכנסות ,ולהזהר
קמעה.
הגדרה ] 4.1כשהקטע אינסופי מצד אחד[ תהי . f : [a, ∞) → Rנניח שלכל )∞ b ∈ (a,
b
)] . f ∈ R([a, bאם קיים הגבול limb→∞ a fאז הוא נקרא האינטגרל הלא אמיתי של fבקטע )∞ [a,
מתקיים
~
ומסמנים
f
∞
= f (x)dx
a
∞
a
אם הגבול הוא סופי נאמר שהאינטגרל מתכנס.
הערה 4.2בדומה ,נגדיר את g(x)dx
~
a
∞−
עבור : (−∞, a] → R
.g
דוגמאות:
N
−N
e−x dx = lim [−e−x ]N
=1
0 = lim 1 − e
∞→ N
e dx = lim
∞→ N
0
∞→ N
עבור α 6= 1
∞+
α<1
x−α+1 N
1
1
N 1−α
dx
=
lim
[
=
lim
−
]
=
1
N →∞ −α + 1
N →∞ 1 − α
xα
1−α 1
α>1
α−1
עבור α = 1
1
dx = lim [ln x]N
∞1 = lim ln(N ) = +
∞→ N
∞→ N
x
−x
N
1
∞
0
N
1
1
dx = lim
∞→ N
xα
1
dx = lim
∞→ N
x
∞
1
∞
1
הגדרה ] 4.3כשהקטע דו־אינסופי[ תהי . f : R → Rנניח שלכל a < b ∈ Rמתקיים )]f ∈ R([a, b
נאמר שהאינטגרל הדו־אינסופי מתכנס אם יש לפונקציה אינטגרל לא־אמיתי בקטעים )∞ [0,ו־ ](−∞, 0
והם סופיים ,או אינסופיים אך לא אחד ∞ +והשני ∞ .−נגדיר
.
f (x)dx
∞
0
f (x)dx +
0
= f (x)dx
∞−
∞
∞−
N
−M
הערה 4.4שימו לב שהדבר שקול לדרוש את קיום הגבול f (x)dx
N
לקיום limN →∞ −N f (x)dxשיכול להתכנס גם אם הגבול הכפול איננו מתכנס )חישבו על סינוס!(
דוגמא:
0
∞→ limN →∞,M
∞+
1
1
dx
+
dx
2
1 + x2
−∞ 1 + x
0
0
M
1
1
dx
+
lim
dx
= lim
2
N →∞ −N 1 + x
M →∞ 0
1 + x2
= lim [arctan x]0−N + lim [arctan x]M
0
∞→ N
∞→ M
lim − arctan(−N ) + lim arctan M = π
∞→ N
∞→ M
1
= dx
1 + x2
וזה אינו שקול
∞
∞−
=
שאלות למחשבה :האם כדי שהאינטגרל יתכנס צריך שהפונקציה תשאף ל־ ?0תהיה חסומה?
הגדרה ] 4.5כשהקטע פתוח ו/או הפונקציה לא חסומה[ תהי f : (a, b] → Rונניח שלכל a < c < b
מתקיים )] .f ∈ R([c, bנגדיר ,במידה והגבול קיים,
b
f (x)dx
r
b
f (x)dx = lim+
r→a
a+ε
b
f (x)dx = lim+
ε→0
a
אם הגבול סופי ,נאמר שהאינטגרל מתכנס .בדומה נגדיר עבור : [a, b) → R
.f
דוגמאות:
1
ln(x)dx = lim+ [x ln x − x]1r = −1 − lim+ (r ln r − r) = −1
r→0
r→0
r
1
ln(x)dx = lim+
r→0
עבור α 6= 1
α<1
α>1
1
1−α
x
1
1
= ]1r
[1 − lim+ r1−α ] = 1−α
[ dx = lim+
α
∞+
r→0 1 − α
r→0
x
1−α
35
1
r
lim+
r→0
0
1
= dx
xα
1
0
ועבור α = 1
1
∞dx = lim+ [ln x]1r = lim+ − ln r = +
r→0
r→0
x
במשפט
1
r
1
dx = lim+
r→0
x
1
0
הערה 4.6נעיר שכאשר הפונקציה אינטגרבילית ,המושגים מזדהים בגלל רציפות האינטגרל שהוכחה
.לכן אנחנו משתמשים גם באותו סימון עבור האינטגרל הרגיל ועבור הלא אמיתי.
הערה נוספת היא שעל מנת להיות אינטגרבילית במובן "לא אמיתי" )ואפילו שהאינטגרל יתכנס למספר
סופי( אין צורך להיות חסומה ,כפי שמעידות הדוגמאות .למעשה ,זה המקרה היחיד שבו האינטגרל הלא
רגילה בקטע כולו לפי משפט
אמיתי הזה רלוונטי שכן אם יש חסימות ויש אינטגרביליות על כל תת קטע ,ממילא יש אינטגרביליות
4.2
.
משפטים בסיסיים
רב המשפטים שתקפים לאינטגרלים רגילים תקפים גם כאן ,וההוכחות זה סה"כ לקחת גבול במשפטים
שכבר הוכחנו .לשם פשטות בכתיבה ,נביט ב f : [a, ω) → Rכאשר ω
יכול להיות מספר סופי או ∞.+
.1ניוטון לייבניץ f, F : [a, ω) → R :ונניח שלכל b < ωמתקיים )]∈ R([a, b
a ≤ x < ωמתקיים ) .F 0 (x) = f (xאזי
.fנניח גם שלכל
ω
)f (x)dx = lim F (b) − F (a
b→ω
a
ההוכחה היא פשוט לעבור על ההגדרות ולהשתמש במשפט ניוטון לייבניץ על כל קטע ].[a, b
.2ליניאריות :באותו אופן ,יהיו f, g : [a, ω) → Rו α, β ∈ Rונניח )] f, g ∈ R([a, bלכל )∈ (a, ω
נניח גם ששני האינטגרלים הלא אמיתיים )הן של fוהן של (gבקטע ] [a, ωמתכנסים .אזי
ω
g
ω
f +β
a
ω
(αf + βg) = α
a
a
.3ליניאריות נוספת :תהי f : [a, ω) → Rונניח שלכל b < ωמתקיים )]f ∈ R([a, b
) c ∈ (a, ωמתקיים
ω
f+
f
.אזי לכל
c
c
.b
ω
=f
a
a
במובן החזק ,זאת אומרת שאגף ימין קיים אם ורק אם אגף שמאל קיים ,והוא מתכנס אם ורק
אם אגף שמאל מתכנס .ההוכחה ,שוב ,מיידית על פי ההגדרות והמשפט על איחד של קטעים
לאינטגרלים רגילים.
36
.4מונוטוניות :תהיינה f ≤ g : [a, ω) → Rונניח )] f, g ∈ R([a, bלכל )∈ (a, ω
האינטגרלים קיימים ,מתקיים
ω
g
a
.bאזי ,אם שני
ω
≤f
a
.5אינטגרציה בחלקים :גם שיטות האינטגרציה הרגילות עובדות ,רק צריך לשים לב שהכל מוגדר
באמת כמו שצריך .נניח ש , f, g : [a, ω) → Rהן גזירות ,ונגזרותיהם אינטגרביליות ב ][a, b
) .b ∈ (a, ωאז לכל bכזה יתקיים
b
f 0g
a
לכל
b
−
f g|ba
0
= fg
a
ולכן בגבול נקבל שאם בביטוי הבא שני האינטגרלים והגבול כולם מתכנסים מתקיים
ω
f 0g
a
ω
0
f g = lim f (b)g(b) − f (a)g(a) −
b→ω
a
.6שינוי משתנה :כעת נניח לשם פשטות ששינוי המשתנה ϕ
של אוסילאציות כל מיני .תהי f : [a, ω) → Rונניח שלכל b < ωמתקיים )] . f ∈ R([a, bתהי
) ϕ : [a, ω) → [c, ηגזירה ברציפות ,עולה ,וכך ש .limb→ω ϕ(b) = η ,ϕ(a) = cמתקיים ,אם שני
הוא עולה ,להימנע ממצבים פתולוגיים
הצדדים מתכנסים ,אז
)ϕ(b
f (t)dt
b
0
f (ϕ(s))ϕ (s)ds = lim
c
b→ω
η
f (t)dt
a
ω
b→ω
= lim
c
c
יתר על כן ,אם צד אחד מתכנס ,אז גם השני.
סוף שיעור 6
37
0
f (ϕ(s))ϕ (s)ds = lim
d
= f (t)dt
d→η
a
קריטריונים להתכנסות
4.3
כאן הטענות מזכירות מאוד טענות שראיתם על טורים מספריים .משום שנעסוק בקרוב בטורי פונקציות,
התזכורת חשובה לנו .חלק מתוצאות הפרק מסוכמות בטבלה הבאה
אינטגרלים לא אמיתיים
טורים מספריים
בהחלט
P
∀ε∃M ∀n > m > M, | nm ak | < ε
P
P
∞ < an
⇒= ∞ < | |an
שינוי מקומי
שינוי מספר סופי של אברים לא משנה
קושי
f (x)| < ε
∃ f
b2
b1
| ∀ε∃B∀ω > b2 > b1 > B,
⇒=
∞ < | |f
∃
שינוי בתחום סופי וסגור לא משנה
לחיוביים:
חסימות ה"קדומה"
התכנסות שקולה לחסימות של
PN
an
P
P
≤ 0 ≤ an ≤ bn =⇒ an
bn
P 1 < ∞ s > 1
P1
=
∞
n
ns
=∞ s≤1
n=1
השוואה
דוגמאות דומות
אבל\דיריכלה
ועוד...
4.3.1
התכנסות שקולה לחסימות של
הפונקציה f (t)dt
⇒= 0 ≤ f ≤ g
f ≤ g
∞ < dx = ∞ dx
x
a
= SN
s>1
s≤1
∞=
∞ 1
1 xs
= )F (x
∞ 1
1 x
קושי
טענה ] 4.7קריטריון קושי להתכנסות אינטגרל לא אמיתי[ תהי f : [a, ω) → Rונניח שלכל )b ∈ (a, ω
ω
מתקיים )] . f ∈ R([a, bאזי a fמתכנס )למספר סופי( אם ורק אם לכל ε > 0קיים ) B ∈ (a, ωכך
b2
שלכל ) b1 , b2 ∈ [B, ωמתקיים .| b f (x)dx| < ε
1
הוכחה :זה פשוט קריטריון קושי לקיום גבול של פונקציה כאשר b → ωשל הפונקציה = )F (b
b
. a f (x)dxאם הדבר מבלבל אתכם ־ הפרידו לשני מקרים ω < ∞ ,ואז מדובר בגבול משמאל של F
בנקודה ωכך שאתם כנראה רגילים לסמן ,B = ω − δוהמקרה האינסופי ,גבול של פונקציה Fכאשר
∞ → .xאם לא נתקלתם בקריטריון קושי לגבולות של פונקציות ־ חישבו על הגבול לפי סדרות ואז
נסחו והוכיחו קריטריון שכזה.
4.3.2
התכנסות בהחלט
הגדרה ] 4.8התכנסות בהחלט[ תהי f : [a, ω) → Rונניח שלכל b < ωמתקיים )]f ∈ R([a, b
ω
ω
ש a fמתכנס בהחלט אם | a |fמתכנס )לערך סופי( .כאשר האינטגרל מתכנס אבל לא בהחלט,
.נאמר
אומרים שהוא "מתכנס בתנאי".
38
טענה ] 4.9התכנסות בהחלט גוררת התכנסות[ תהי f : [a, ω) → Rונניח שלכל b < ω
ω
ω
ω
)] . f ∈ R([a, bנניח ש a fמתכנס בהחלט .אזי הוא מתכנס ומתקיים | .| a f | ≤ a |f
הוכחה :נשתמש בקריטריון קושי של טענה ,ובאי השוויון מטענה
Bעל פי קריטריון קושי עבור | |f
.אכן ,בהנתן ε > 0
מתקיים
נבחר את
ואז יתקיים
b2
)∀b1 , b2 ∈ [B, ω
|f | ≤ ε
b1
b2
≤ |f
b1
|
ומקריטריון קושי גם האינטגרל ללא ערך מוחלט מתכנס .כעת את אי השיוויון נקבל לכל b < ω
וניקח
גבול של אי שוויונים.
הערה 4.10נשים לב שאם f ≥ 0
אינטגרבילית בכל תת קטע של ) ,[a, ωאז האינטגרל הלא אמיתי
קיים ,והשאלה היחידה היא האם השאיםה שלו היא למספר סופי או ל ∞+
־ בדיוק כמו בעולם הטורים
החיוביים .זאת אומרת שהתכנסות בהחלט היא עניין של סופיות ,ולא של "קיום גבול כשייתכנו ביטולים"
־ עניין פשוט יותר ־ קונספטואלית ויישומית כאחד.
4.3.3
פונקציות חיוביות :חסימות הקדומה ,השוואה ,השוואה לטורים
טענה 4.11תהי 0 ≤ f : [a, ω) → Rונניח שלכל b < ωמתקיים )]f ∈ R([a, b
b
ורק אם הפונקציה F (b) = a f (x)dxחסומה על ).[a, ω
.
אזי ∞ < f
ω
a
אם
הוכחה :זו פונקציה עולה ,ולכן יש לה גבול סופי אם ורק אם היא חסומה.
מסקנה ] 4.12השוואת אינטגרלים[ תהיינה f, g : [a, ω) → Rונניח שלכל b < ωמתקיים ∈ f, g
ω
ω
ω
)] . R([a, bנניח גם .0 ≤ f ≤ gאם ∞ < a gאז גם ∞ < a fולהפך ,אם ∞ = a fאז גם
ω
∞=. a g
הוכחה:
זה נובע ישירות מהעובדה ש F ≤ Gעבור F (b) = f (x)dxו g(x)dx
b
a
b
a
= )G(b
והטענה
הקודמת.
דוגמא :מתקיים
2
מתקיים > e−x
√
)למעשה יש לו ערך יפה.( π/2 :
∞
1
1
1
√ 1
≤ √1+x
1+xולכן ∞ = dx
2 ≤ x
1
1+x2
∞ −x2
e−xבקטע )∞ [1,ולכן ∞ < e dx
0
.
משפט ] 4.13השוואה לטורים[ תהי f : [1, ∞) → Rיורדת≥ 0 ,
∞P
∞
מתכנס .יתר על כן ,מתקיים
∞ < 1 fאם ורק אם הטור )n=1 f (n
.f
)f (n
∞
X
n=1
≤f
∞
1
≤ )f (n
∞
X
n=2
אזי האינטגרל הלא אמיתי
איור :13השוואת טור ואינטגרל
הוכחה :מהנתונים f
n+1
) f (n + 1) ≤ nמשום שלכל tבקטע ) f (n + 1) ≤ f (t) ≤ f (nואז עושים אינטגרל על
)f ≤ f (n
הקטע שהוא מאורך (1ולסכום על פני .nמדובר בטורים חיוביים ולכן יש קריטריון השוואה לטורים.
קיבלנו שלכל N ∈ Nמתקיים
אינטגרבילית בכל תת קטע סגור .אפשר להסתכל גרפית ,ואפשר פשוט לרשום
)f (n
N
X
n=1
N +1
≤ f (t)dt
1
≤ )f (n
N
X
n=2
N
1
P
∞ מתכנס ,משום שהטורים חיוביים ,גם הגבול f (t)dt
במילים אחרות אם הטור )n=1 f (n
x
מתכנס )כאן הגבול רץ רק על טבעיים( ובפרט הפונקציה העולה F (x) = 1 f (t)dtחסומה ולכן
∞→ limN
האינטגרל הלא אמיתי מתכנס .להפך ,אם האינטגרל הלא אמיתי מתכנס אז בפרט הסכומים החלקיים
)f (n
PN
n=1
= SN
חסומים על ידי אותו חסם ולכן הטור מתכנס.
המשפט הזה מאוד שימושי ,למשל זו דרך ישירה לראות ש ∞ =
הבה נשחק מעט עם הדוגמא של פונקציית זטה של רימן.
הגדרה 4.14עבור s > 1
∞P
1
n=1 n
שכן ∞ =
∞ 1
dx
1 x
.
נגדיר את
∞
X
1
ns
n=1
= )ζ(s
זהו מספר סופי מהקריטריון הקודם) .רימן מגדיר המשכה שלה לכל המישור המרוכב ,אבל בזה לא
נעסוק בקורס שלנו ־ אם כי מי שימצא את כל האפסים של המשכה זו יזכה במיליון דולרים ובתהילת
עולם(.
טענה 4.15הגבול של הפונקציה מימין ב s = 1
מתבדר כמו
1
s−1
lim ζ(s)(s − 1) = 1
s→1+
דהיינו
הוכחה :יהי s > 1
אזי על פי קריטריון ההשוואה
1
s−1
x−s dx = 1 +
∞
1
n−s ≤ 1 +
∞
X
n=1
≤ x−s dx
∞
1
1
=
s−1
ונכפול את שני הצדדים ב s − 1כדי לקבל 1 ≤ (s − 1)ζ(s) ≤ sוכעת נשאיף את → 1
.s
תרגיל למחשבה:
!
N
X
1
1
lim+ [ζ(s) −
] = γ = lim
) − ln(N
∞→ N
s→1
s−1
n
n=1
)ואם סיימתם לחשוב( פתרון התרגיל :נבצע השוואה דומה לכל Nונקבל שעבור s > 1
N 1−s
s−1
= x−s dx
∞
N
≤ n−s
∞
X
n=N +1
−s
≤ x dx
∞
N +1
מתקיים
(N + 1)1−s
=
s−1
כעת נביט בהפרש בין הטור האינסופי לסופי על מנת להעריך
!
1
−
s−1
−s
n
∞
X
n=N +1
N
X
1
=
n−s +
ζ(s) −
s − 1 n=1
לפי האי שוויון למעלה נקבל
N 1−s − 1
1−s
N
X
1
≤ ζ(s) −
n−s +
≤
s − 1 n=1
(N + 1)1−s − 1
1−s
+
−s
n
N
X
n=1
וניקח בנפרד )עבור Nקבוע( limו limשל החסם העליון והתחתון כאשר s → 1+
1
1
lims→1+ [ s−1שכן זו הנגזרת של הפונקציה N −xבנקודה .0נקבל
( N s−1
) − 1)] = − ln(N
.נשתמש בכך ש
1−s
X
N
N
X
−1
1
N
−s
≤ lim sup
n +
=
n−1 − ln(N ) =: aN
lim sup ζ(s) −
s−1
1−s
s→1+
s→1+ n=1
n=1
X
N
N
X
(N + 1)1−s − 1
1
−s
lim inf
≥ lim inf
n +
=
n−1 − ln(N + 1) =: bN
ζ(s) −
+
+
s→1
s→1
s−1
1−s
n=1
n=1
לאחר מכן ניקח גבול כאשר ∞ → .nנקבל bN ≤ C1 ≤ C2 ≤ aN ≤ bN + ln NN+1
מתכנסות ,לאותו גבול ,השווה גם ל .C1 = C2
4.3.4
ובפרט שתי הסדרות
למכפלה :קריטריון אבל ודיריכלה
בתת פרק זה אנו דנים בהתכנסות של האינטגרל הלא אמיתי f g
בהחלט ,אז למשל התנאים ש fחסומה ו ∞ < | |gמספיקים כמובן.
ω
a
מסובכת ,כמו במקרה של טורים מספריים .הנה מקרה לדוגמא
)sin(x
dx
x
41
∞
1
.אם היינו דנים "רק" בהתכנסות
התכנסות בתנאי היא יותר
)∞ sin(x
| x |dx
1
כאן ברור ש ∞ =
חלקי בו ) sin(xחסומה מלמטה על ידי ,נאמר ,1/2 ,ואז להשתמש בכך ש
משום שניתן להעריך את האינטגרל מלמטה על ידי אינטגרל על תחום
−1
x
מתבדר גם בתחום
חלקי זה.
מצד שני ,אינטגרציה בחלקים מראה שהאינטגרל כן מתכנס בתנאי
1
dx
x2
)cos(x
∞
1
sin x
1
−
∞|) )dx = (− cos(x
x
x 1
∞
1
שכן הביטוי הראשון מתכנס בהחלט ,ולביטוי הראשון יש משמעות )הגבול סופי( .העובדה שמותר לעשות
"בחלקים" מיידית ,שכן את החישוב כולו ניתן לבצע עבור אינטגרל עד N
ורק אז להשאיף אותו ל ∞.
המקרה הפרטי הזה עובד גם באופן כללי יותר ,וזה נקרא קריטריון אבל דיריכלה ,שאת המקביל
אליו בטורים מספריים למדנו בסמסטר א )טוב להיזכר(.
משפט ] 4.16משפט אבל[ תהיינה . f, g : [a, ω) → Rנניח ש fמונוטונית ו g
)) f ∈ C 1 [a, ωגזירה ברציפות(.
ω
ω
נניח גם ש fחסומה ,ו ∞ < . a gאזי ∞ < . a f g
רציפה .נניח גם ש
המשפט השני דומה מאוד ,רק "מחליפים בו את התפקידים".
משפט ] 4.17משפט דיריכלה[ תהיינה .f, g : [a, ω) → Rנניח ש fמונוטונית ו g
)) f ∈ C 1 [a, ωגזירה ברציפות(.
ω
x
נניח גם ש a gחסום כפונקציה של xוש . limx→ω f (x) = 0אזי ∞ < . a f g
לפני ההוכחה נציין שלמשל מקבלים )נאמר על פי דיריכלה( התכנסות של
רציפה .נניח גם ש
)∞ sin(x
dx
x
1
ושל
)∞ sin(x
dx
)1 ln(x
,
מיידית.
הוכחה] :הוכחת משפט אבל[ מהנתונים כולן אינטגרביליות בכל תת קטע סגור .נראה שמתקיים
קריטריון קושי .משימוש בקריטריון קושי עבור האינטגרל של gנקבל שיש B < ωכך שלכל ∈ b1 , b2
b2
ε
) [B, ωמתקיים
| b g| < 2Mכאשר Mהוא החסם של | .|fנשתמש בלמה של בונה גרסא ) 2משפט
1
( שמבטיח קיום x0בין b1לבין ) b2ובפרט ,גם הוא גדול מ (Bכך ש
¡¢
b2
g| ≤ ε
x0
x0
| g| + M
b1
b2
| g| ≤ M
x0
) g + f (b2
b1
x0
b2
) f g| = |f (b1
b1
|
הוכחה] :הוכחת משפט דיריכלה[ מהנתונים כולן אינטגרביליות בכל תת קטע סגור .נשים לב ש g
חסומה גם היא כי אם נסמן ב ) G(xאת gוהיא חסומה על ידי Mאז הביטוי הקודם הוא פשוט
y
x
x
a
) G(y) − G(xוחסום על ידי 2M
.שוב לפי הלמה של בונה נרשום
b2
g| ≤ [|f (b1 )| + |f (b2 )|]2M
x0
) g + f (b2
b1
x0
42
b2
) f g| = |f (b1
b1
|
כעת נבחר את Bכך שלכל b > B
יתקיים
ε
4M
< |)|f (b
סוף שיעור 7
43
,ולכן קריטריון קושי יתקיים.
4.3.5
סטירלינג ] העשרה ־ בינתיים ־ אולי נשוב אליו [
נוסחת סטרילינג היא אחת הנוסחאות השימושיות ביותר שתלמדו בקורס.
1
להערכה של המספר ! nעל ידי הביטוי 2πnn+ 2 e−n
√
היא משמשת על פי רוב
.כשאומרים "הערכה" אז מתעניינים למשל בשגיאה.
הבה נראה מה מקבלים בפשטות מהשוואת טורים ואינטגרלים .אחר כך נעבוד קצת יותר כדי לקבל
הערכה טובה יותר .נשים לב שממונוטוניות ln
£
מתקיים
£
j+1
ln(x)dx
j
ולכן הסכום מקיים
£
j
≤ )ln(x)dx ≤ ln(j
n+1
ln(x)dx = [x ln(x) − x]n+1
1
1
≤ )ln(j
n
X
= )ln(j
j=1
n
X
j=2
j−1
£
n
≤ ln(x)dx
=
1
x]n1
[x ln(x) −
וקיבלנו
n ln(n) − n + 1 ≤ ln(n!) ≤ (n + 1) ln(n + 1) − n
בעצם כאן מסתיים החלק שבגללו הראינו עכשיו את סטירלינג .זו כמובן הערכה לא מי יודע מה ,רק
nn e−n+1 ≤ n! ≤ (n + 1)n+1 e−n
הנה הטענה המדויקת שאנחנו מראים
טענה ] 4.18נסחת סטירלינג[ מתקיים שלכל n
1
1
2πnn+ 2 e−n e 12n
טבעי
√
1
≤ !2πnn+ 2 e−n ≤ n
√
ובפרט
2π
√
=
n!en
n+ 12
n
lim
∞→n
ניקח לוגריתם כדי לכתוב זאת יותר בפשטות .רוצים להראות
n
X
√
1
1
1
≤ ln( 2π) + (n + ) ln(n) − n
ln(j) ≤ ln( 2π) + (n + ) ln(n) − n +
2
2
12n
j=1
את ההוכחה עצמה נבצע בשיטות של חדו"א 1דווקא.
¤¤
√
הוכחה :נגדיר את הסדרה dn = ln(n!) − (n + 12 ) ln(n) + n
√
√
1
.ln( 2π) ≤ dn ≤ ln( 2π) + 12nנראה זאת בשלושה שלבים :ראשית נראה ש
1 1
1
≤ 0 ≤ dn − dn+1
−
12 n n + 1
שזו הסדרה שאנו טוענים מקיימת
1
dn − 12n
הדבר יוכיח שהסדרה מונוטונית יורדת ואילו
θn
dn = C + 12nעבור איזשהו ] .θn ∈ [0, 1כל שנותר יהיה לבדוק ־
שנסמן אותו .Cזה בפרט יראה ש
וזאת נעשה על ידי נסחת ואליס ־ מהו .Cנתחיל בהוכחת ההערכה ל .dn − dn+1נשתמש בטור טיילור
של ) ln(1 + tכפי שמדתם בחדו"א t ∈ (−1, 1] .1
עולה ,ובפרט לכן שתיהן מתכנסות לגבול משותף
t2 t3 t4
··· + − +
2
3
4
ln(1 + t) = t −
ועבור כל )t ∈ (−1, 1
t2 t3 t4
··· − − −
2
3
4
ln(1 − t) = −t −
לכן
1
1+t
t3 t5
(ln
··· ) = t + + +
2
1−t
3
5
כעת נחשב
3
1
dn − dn+1 = ln(n!) − (n + ) ln(n) + n − ln((n + 1)!) + (n + ) ln(n + 1) − n − 1
2
2
1
1
n+1
(= (n + )[− ln(n) + ln(n + 1)] − 1 = (n + )[ln
)] − 1
2
2
n
1
1 + 2n+1
1
2n + 1 + 1
1
(= (n + )[ln
()] − 1 = (n + )[ln
1 )] − 1
2
2n + 1 − 1
2
1 − 2n+1
ונשתמש בנוסחא שלנו כדי לקבל
1
1
1
1
1
( +
( )3 +
)5 + · · · ] − 1
2n + 1 3 2n + 1
5 2n + 1
[)dn − dn+1 = (2n + 1
כך רואים כי dn − dn+1 ≥ 0
∞
1
1
1 1
1
1X
1
1 ( 2n+1 )2
1
2j
= )
=
−
≤
(
=
1
3 j=1 2n + 1
3 1 − ( 2n+1
3 4n2 + 4n
12 n n + 1
)2
וגם
כך קיבלנו את השלב הראשון .כעת נסיק ,כמוסבר מעלה ,שלסדרה dn
dn − dn+1
יש גבול .Cכדי לחשב אותו
נשתמש בנוסחת ואליס .הנוסחא היא כזכור
[(2n)!!]2
[2n n!]2
[2n n!]4
π
= lim
= lim
= lim
)2 n→∞ [(2n − 1)!!]2 (2n + 1) n→∞ [(2n)!/(2n)!!]2 (2n + 1) n→∞ [(2n)!]2 (2n + 1
¦¥
ולכן ,היות שאנו יודעים שלכל nקיים ]θn ∈ [0, 1
θn
עבורו
1
n! = eC nn+ 2 e−n e 12n
אפשר פשוט להציב אותו בנסחת ואליס ולקבל
i4
θn
n C n+ 12 −n 12n
2
e
n
e
e
π
]![2 n
= lim
= lim h
i
θ2n 2
1
)n→∞ [(2n)!]2 (2n + 1
∞→n
2
)eC (2n)2n+ 2 e−2n e 24n (2n + 1
h
4
n
e2C 24n n4n+2 4θn −θ2n
e2C
12n
e
=
n→∞ 2n + 1 24n+1 n4n+1
4
lim
√
זאת אומרת )= ln( 2π
.Cקיבלנו את אי השוויון הרצוי
√
√
1
1
ln( 2π) ≤ ln(n!) − (n + ) ln(n) + n ≤ ln( 2π) +
2
12n
סוף העשרה
46
=
ב .סדרות וטורי פונקציות
סדרות וטורי פונקציות כלליים
5
5.1
הקדמה ומוטיבציה
עד היום עסקנו בנפרד בסדרות ,ובפונקציות .כעת עוברים לדבר על סדרות של פונקציות.
fn : [a, b] → R,
n = 0, 1, 2, . . .
)כמובן התחום לא חייב להיות קטע סגור( .למשל,
.1הקטע ] [0, 1הסדרה fn (x) = xn
.2קטע לבחירתכם
.3על R
הסדרה
xn
!n
)sin(nx
n
= )fn (x
+ ··· +
x3
!3
+
x2
2
fn (x) = 1 + x +
.4הקטע ] [0, 1הסדרה fn (x) = nx(1 − x2 )n
הגדרה 5.1יהיה I ⊆ Rקטע )מוכלל( ותהיינה fn : I → R
לפונקציה f : I → Rנקודתית ב־ Iאם לכל x ∈ Iמתקיים
סדרת פונקציות .נאמר שהסדרה שואפת
)lim fn (x) = f (x
∞→n
שאלות טבעיות שצצות הן למשל
)א( האם גבול נקודתי של רציפות הוא רציף?
)ב( האם גבול נקודתי של אינטגרביליות רימן הוא אינטגרבילי רימן?
)ג( האם האינטגרל של הגבול נקודתי )אם הוא אינטגרבילי( הוא גבול האינטגרלים?
)ד( מה הקשר בין נגזרת הגבול וגבול הנגזרות?
התשובות שנביא מייד לכל השאלות הללו מעידות שמושג הגבול הנקודתי הוא חלש מידי כדי להסיק
משהו על הפונקציה הגבולית .לכן נעבור ,מייד אחרי התשובות לשאלות ,למושג חזק יותר של התכנסות
סדרת פונקציות.
תשובות:
)א( לא .הגבול של הסדרה בדוגמא ) 1שכולה פונקציות רציפות( הוא הפונקציה הלא רציפה
)x ∈ [0, 1
x=1
0
1
47
= )f (x
איור :14הסדרה xnעבור n = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
)ב( לא.
אפשר בקלות ליצור סדרה של פונקציות שכולן אינטגרביליות והן מתכנסות נקודתית
לפונקציית דיריכלה .כדי לבנות אותן ניקח מנייה של הרציונלים בקטע ] ,[0, 1נאמר
}Q ∩ [0, 1] = {r1 , r2 , . . .
} 1 x ∈ {r , . . . , r
1
n
= ) . fn (xכולן רציפות למקוטעין ולכן
ונגדיר את fn : [0, 1] → Rלהיות
0 otherwise
אינטגרביליות ,קל לראות שיש שאיפה נקודתית לפונקציית דיריכלה ,אך פונקציית דיריכלה כמובן אינה
אינטגרבילית רימן.
ג( לא .נביט בדוגמא 4למשל ,קל לראות ש fn → 0
1
n (1 − y)n+1 1
n
[−
= ]0
→
2
n+1
)2(n + 1
2
נקודתית .מצד שני
§
1
= (1 − y)n dy
0
n
= nx(1 − x ) dx
2
2 n
§
§
1
1
= fn (x)dx
0
0
)ד( אין קשר מיידי ,כמו שמעידה דוגמא 2נאמר בקטע ] ,[0, 1הסדרה שואפת נקודתית ל־0
סדרת הנגזרות היא ) fn0 (x) = cos(nxשאיננה מתכנסת לשום דבר ב ־ xכללי.
אבל
נעיר כאן שסעיף ד' הוא העיקרי שבו אין התנהגות טובה גם אם ההתכנסות שמניחים היא חזקה
יותר כמו בסעיף הבא.
5.2
5.2.1
התכנסות במ"ש
הגדרה ועובדות פשוטות
הגדרה 5.2יהיה I ⊆ Rקטע )מוכלל( ותהיינה fn : I → Rסדרת פונקציות .נאמר ש fn → f
שווה )במ"ש( על )או ב־( Iאם מתקיים
במידה
lim sup |fn (x) − f (x)| = 0
n→∞ x∈I
u
ומסמנים גם על ידי ) fn → fהאות u
לכל ε > 0קיים Nכך שלכל x ∈ Iולכל ,n > Nמתקיים .|fn (x) − f (x)| < ε
מעל החץ( או המילה "במ"ש" מעל החץ .באופן שקול ניתן לומר:
48
איור :15הסדרה nx(1 − x2 )nעבור n = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
איור :16הסדרה xn − x2nעבור n = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
נעיר שאין הדבר דומה לרציפות במ"ש ,ובפרט ההגדרה תקפה גם לכל קבוצה אבסטרקטית במקום I
)אין שימוש ב"מרחק" על .(Iהמילה במ"ש מתייחסת לכך שעבור εנתון ,אותו Nצריך להתאים לכל
xבקבוצה .נשים לב שהתכנסות במ"ש גוררת התכנסות נקודתית )לאותה פונקציה( ,אך להפך לא נכון.
הנקודתי.
לכן תמיד המועמדת להיות גבול במ"ש של סדרה מסויימת זו הפונקציה שהיא הגבול
דוגמא :נחזור לקטע ] [0, 1ולסדרה fn (x) = xn
.יש התכנסות נקודתית ל
)x ∈ [0, 1
0
= )f (x
,
1
x=1
אבל לכל nקיימת נקודה ) xn ∈ (0, 1בה fn (xn ) = 1/2ובפרט supx |fn (x) − f (x)| ≥ 1/2לכל .n
אם נדמה לכם שהבעיה היתה בעובדה שפונקציית הגבול לא הייתה רציפה ־ אין זה נכון .קל לוודא
שבדוגמא של הקטע ] [0, 1והסדרה fn (x) = nx(1 − x2 )n
הפונקציה הגבולית היא זהותית אפס ובפרט
רציפה ,אבל הפונקציות אינן חסומות ולכן התנאי של התכנסות במ"ש לא מתקיים .אפשר ממש לבחור
√1
n
= xn
ולראות זאת.
עוד דוגמא נחמדה היא = xn − x2n
לרבע( לכל ,nובפרט לא שואפת לאפס במ"ש.
)sin(nx
במ"ש? כמובן.
האם → 0
n
) .fn (xשואפת לאפס נקודתית ,אבל יש לה מקסימום )השווה
איור :17הסדרה
)sin(nx
n
עבור n = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
49
איור :18הסדרה xj
האם
)[0, 1
1
1−x
)לא(.
→ xj
Pn
j=0
j=0
9
במ"ש? תלוי באיזה תחום שואלים .בקטע סגור ,למשל ]
[0, 10
ההפרש בין הסדרה לפונקציה הוא
אבל בקטע הפתוח )[0, 1
Pn
עבור ∞ n = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,
xn+1
1−x
ולכן בכל קטע סגור המוכל ב )[0, 1
)כן( ,או בתחום
שואף במ"ש לאפס,
אינו חסום.
נוסיף כאן מספר הערות והגדרות שיהיו בשימוש בהמשך.
u
u
הערה 5.3תהי fn : I → Rסדרת פונקציות ונניח fn → fאזי גם לכל תת סדרה מתקיים fnj → f
ובפרט לתת סדרה שהיא הזזה באינדקסים .בדומה ,הוספת ,השמטת או שינוי של מספר סופי של איברים
מתוך סדרת הפונקציות לא משפיעה על התכנסות .ההסבר הוא שפשוט מדובר על התכנסות לאפס של
סדרת המספרים |)= supx∈I |fn (x) − f (x
. an
הגדרה ] 5.4חסימות במידה אחידה[ סדרת פונקציות fnתיקרא חסומה במידה אחידה אם קיים M
שלכל nולכל xמתקיים .|fn (x)| ≤ M
כך
הערות 5.5ראשית נשים לב שגבול נקודתי )ולכן גם גבול במ"ש( של חסומות במידה אחידה יהיה גם
u
חסום על ידי אותו .Mנשים לב גם שאם fn → fוהפונקציה f
הסדרה {fn }n≥N0חסומה במידה אחידה.
u
שנית ,אם fn → fו fאיננה חסומה ,נובע שקיים N0כך שלכל n ≥ N0גם fnאיננה חסומה) .כי
הן במרחק נקודתי קטן ממנה ,בכל הנקודות בו זמנית (.לכן ,אם נתון ש fnחסומות )ולא נתון "במידה
חסומה אז החל מאינדקס מסוים ,N0
אחידה"( והן שואפות במ"ש לפונקציה אז נובע שהפונקציה חסומה ,ולכן שהן חסומות במידה אחידה.
זאת אומרת ,חסימות יחד עם התכנסות במ"ש למשהו גורר חסימות במידה אחידה.
u
u
u
של פונקציות :נשים לב שאם fn → fו gn → gזה לא גורר fn gn → f g
לעניין מכפלה
1
x 6= 0
x
= ) fn (xסדרה קבועה ו gn = n1סדרה בה כל איבר הוא פונקציה קבועה )אחרת
0
x=0
לאינדקסים שונים( ששואפת כמובן ל 0במ"ש .המכפלה שואפת לאפס נקודתית אך לא במ"ש.
u
u
למה 5.6תהיינה fn , gn , f, g : I → Rפונקציות ונניח ש fn → fו → g
u
הפונקציות חסומות במידה אחידה על ידי .Mאזי .fn gn → f g
©¨
.gn
למשל
כמו כן נניח שכל
הוכחה :אכן ,הטריק הרגיל של מכפלות עובד
|)sup |fn (x)gn (x) − f (x)g(x)| ≤ sup |fn (x)gn (x) − f (x)gn (x)| + sup |f (x)gn (x) − f (x)g(x
x
x
x
≤ M sup |fn (x) − f (x)| + sup |gn (x) − g(x)| →n→∞ 0
x
x
כמובן שעל פי ההערה מעלה מספיק היה להניח חסימות של f, g
והחסימות במידה אחידה נובעת
מהתכנסות במ"ש.
5.2.2
קריטריון קושי להתכנסות במ"ש
משפט ] 5.7קריטריון קושי[ תהיינה .fn : I → Rהן מתכנסות במ"ש אם ורק אם לכל ε > 0קיים Nε
כך שלכל n, m > Nεמתקיים שלכל x ∈ I
|fn (x) − fm (x)| < ε
u
הוכחה :הכיוון הקל :נניח שיש התכנסות במ"ש זאת אומרת שקיימת f : I → Rכך ש → f
ε > 0ונבחר את Nכך שלכל n > Nולכל xיתקיים
.fnיהיה
|fn (x) − f (x)| < ε/2
לכן לכל n, m > Nיתקיים שלכל x
בקטע
|fn (x) − fm (x)| ≤ |fn (x) − f (x)| + |f (x) − fm (x)| < ε
בכיוון שני :נניח שתנאי קושי מתקיים .בפרט לכל xמתקיים ש )fn (x
u
שאותו נסמן ב ) .f (xכעת עלינו להראות ש . fn → fיהיה ε > 0ונבחר את Nעל פי קריטריון קושי
כך שלכל n > Nולכל m > Nמתקיים שלכל xבקטע .fm (x) − /2ε < fn (x) < fm (x) + ε/2לכן
כשניקח ∞ → mאי השוויון עדיין יתקיים )אם כי אולי חלש( ,זאת אומרת שעבור n > Nמתקיים לכל
x
סדרת קושי ,ולכן יש לה גבול
f (x) − ε < f (x) − ε/2 ≤ fn (x) ≤ f (x) + ε/2 < f (x) + ε
וזו בדיוק התכנסות במ"ש.
5.2.3
גבול במ"ש של רציפות
ראינו דוגמאות של התכנסות נקודתית של פונקציות רציפות לפונקציה שאינה רציפה .כאשר ההתכנסות
היא במ"ש זה דווקא כן עובד.
ǻ
u
משפט ] 5.8גבול במ"ש של רציפות הוא רציף[ תהיינה fn : I → Rרציפות ונניח ש . fn → fאזי f
רציפה.
הוכחה :תהי x0 ∈ Iיהי .ε > 0מהתכנסות במ"ש קיים Nכך שלכל n > Nולכל y
. |fn (y) − f (y)| < ε/3נבחר איזשהו n > Nומרציפות fnמתקיים שקיים δכך שאם |x − x0 | < δ
אז .|fn (x) − fn (x0 )| < ε/3נרשום
מתקיים
|f (x) − f (x0 )| ≤ |f (x) − fn (x)| + |fn (x) − fn (x0 )| + |fn (x0 ) − f (x0 )| ≤ ε
וקיבלנו את הגדרת רציפות בנקודה.
u
הערה 5.9נעיר שניתן להוכיח משפט כללי יותר על נקודה בודדת .נניח שנתונה סדרה fn → fונקודה x0
כך שקיים limx→x0 fn (x) = αnלכל nונניח כי .limn→∞ αn = αאזי קיים הגבול ).α = limx→x0 f (x
ההוכחה זהה למה שכתוב מעלה .יתר על כן ־ ההוכחה תקפה גם עבור x0שהוא ∞ .±בידקו זאת
בעצמכם.
סוף שיעור 8
52
5.2.4
משפט דיני
משפט Dini
שימושי מאוד כדי להראות שיש התכנסות במ"ש.
משפט ] 5.10דיני[ תהיינה fn : [a, b] → Rרציפות ונניח ש fn → f
)א( ) fn (xסדרה יורדת לכל xנתון
)ב( fרציפה
u
אזי . fn → f
נקודתית .נניח גם ש
בהוכחה נעשה שימוש בלמה של היינה ובורל .למה זאת ניתן ללמוד בחדו"א ,1אם כי השנה לא עשינו
זאת .אנו נוכיח גרסא מוכללת שלה בפרק ג של חדו"א .2אנו ממליצים לכם לנסות ולהוכיח אותה
בעצמכם לפי שאתם מביטים בהוכחה הרשומה מטה .נזכיר שקבוצה U ⊂ R
x ∈ Uקיימת δ > 0כך ש ,(x − δ, x + δ) ⊂ Uאם כי לצורך השימוש שלנו מספיק היה לעסוק בקבוצות
נקראת "פתוחה" אם לכל
פתוחות הכי פשוטות ־ קטעים פתוחים.
למה ] 5.11הלמה של היינה ובורל[ יהיו a < b ∈ Rותהיינה קבוצות פתוחות על הישר {Uα }α∈A
Aקבוצת אינדקסים כלשהי )לאו דווקא בת מנייה( .נניח כי הן כיסוי של הקטע ] [a, bדהיינו
כאשר
[a, b] ⊂ ∪α∈A Uα
אזי קיים תת כיסוי סופי ,זאת אומרת קיימים M ∈ Nו ־ α1 , . . . , αM
כך ש
[a, b] ⊂ ∪M
i=1 Uαi
הוכחה] :רעיון ההוכחה של הלמה של היינה ובורל[ נניח בשלילה שאין לקטע תת כיסוי סופי ,ונגדיר
באינדוקציה סדרה של קטעים מקוננים ] [ai , bi
שלאף אחד מהם אין תת כיסוי סופי ,ואורכם שואף לאפס,
פשוט על ידי חלוקת הקטע לשני חלקים שווים בכל שלב ,ושכל שלב לפחות לאחד מהחצאים אין תת כיסוי
סופי .בפרט
b−a
2i
= | − ai
.|biלפי הלמה של קנטור על קטעים מקוננים ישנה נקודה יחידה בחיתוך של
כל הקטעים הללו ,נסמן אותה .x0משום ש } {Uαהינו כיסוי ,קיימת α0כך ש x0 ∈ Uα0ומשום ש Uα0
, x0 + b−a
פתוחה ,קיימת δ > 0כך ש (x0 − δ, x0 + δ) ⊂ Uα0ולכן גם קיים Nכך ש ] ⊂ Uα0
[x0 − b−a
2N
2N
ובפרט ,משום ש ] x0 ∈ [aN , bNוכן
|bN − aN | = b−aנקבל כי [aN , bN ] ⊂ Uα0בסתירה לבנייה בה לא
2N
היה לתת קטע הנ"ל תת כיסוי סופי.
כעת נפנה להוכחת משפט דיני.
הוכחה] :הוכחת משפט דיני[ כמובן לכל nולכל xמתקיים )f (x) ≤ fn (x
שלכל ε > 0קיים N0כך שלכל n > N0ולכל xמתקיים .fn (x) < f (x) + εהשאיפה הנקודתית גוררת
כי לכל xב־ ] [a, bקיים מספר ) n(xכך ש
לכן צריך להוכיח רק
fn(x) (x) − f (x) < ε
¬
)למעשה יכולנו לדעת שהדבר מתקיים מ־)n(x
משום ש ) fn (xרציפה וגם fרציפה ,אי השוויון הנ"ל נכון לא רק ב־ xאלא גם בסביבה פתוחה
כלשהי שלו ,שנסמן ] Ux ⊂ [a, bהמקיימת .x ∈ Uxמשום שהסדרה יורדת ,נסיק שלכל y ∈ Uxולכל
) n > n(xמתקיים
ואילך ,אך כרגע זה לא נחוץ(.
0 ≤ fn (y) − f (y) ≤ fn(x) (y) − f (y) < ε
הקבוצות Uxהן כיסוי פתוח של ][a, b
∪Mולכן אם נסמן )) n0 = max(n(x1 ), . . . , n(xMנקבל שלכל
x1 , . . . , xMכך ש ]j=1 Uxj ⊃ [a, b
] y ∈ [a, bולכל n > n0
ומהלמה של היינה ובורל קיים תת כיסוי סופי ,דהיינו קיימים
0 ≤ fn (y) − f (y) < ε
וזו התכנסות במ"ש )מלמעלה(.
הערה 5.12כמובן ניתן לנסח משפט דומה עבור התכנסות של סדרה עולה של רציפות המתכנסות
לפונקציה רציפה .למעשה מספיק להניח שכל )fn (x
היא מונוטונית )ז"א חלקן יכולות לעלות וחלקן
לרדת( ־ הראו זאת.
השימוש הסטנדרטי למשפט דיני הוא להתכנסות במ"ש של טור של פונקציות חיוביות .נתונות פונקציות
Pn
רציפות un (x) ≥ 0ובונים את סדרת הסכומים החלקיים )uj (x
של ) ,Sn (xונניח כי הוא מתכנס לפונקציה נתונה ) .S(xנניח שפונקציה זו היא רציפה .אזי ההתכנסות
n
של הטור חייבת להיות במ"ש .למשל ! un (x) = xnבקטע הסגור ] [0, 1יתן התכנסות במ"ש של הסדרה
P n xj
לפונקציה .ex
!j=0 j
j=1
=
) .Sn (xנביט בגבול הנקודתי
מדוע זה שימושי לדעת שגבול הוא במ"ש? למשל אם אנחנו מעוניינים לבצע מה שנקרא "אינטגרל
איבר איבר" ,דהיינו להחליף אינטגרל עם סכום אינסופי ,או עם גבול )זה אותו הדבר( .על כך הסעיף
הבא.
5.2.5
גבול תחת האינטגרל ומזורנטה
u
משפט ] 5.13החלפת גבול ואינטגרל[ תהיינה ] fn ∈ R[a, bותהי f : [a, b] → Rונניח שמתקיים → f
אזי ] f ∈ R[a, bויתר על כן
®
®
b
fn (x)dx
.f n
b
f (x)dx = lim
a
∞→n
a
הוכחה :על מנת להראות אינטגרביליות ,נוכיח שמתקיים קריטריון דרבו ,זאת אומרת שלכל ε > 0
קיימת חלוקה המקיימת .ω(f, Π) = Σ(f, Π) − Σ(f, Π) < εנשתמש בהתכנסות במ"ש על מנת
לבחור את nמספיק גדול כך ש )) |fn (x) − f (x)| < ε/(4(b − aלכל .xבפרט לכל קטע Jיתקיים
¯°
)) .|ω(f, J) − ω(fn , J)| ≤ ε/(2(b − aמשום ש fn
ויש לה חלוקה עבורה . Σ(fn , Π) − Σ(fn , Π) < ε/2כעת נחשב
היא אינטגרבילית ,היא מקיימת את קריטריון דרבו
ω(fn , [xi−1 , xi ])∆xi + ε/2 < ε
X
≤ ω(f, [xi−1 , xi ])∆xi
וסיימנו .כדי להראות התכנסות של סדרת האינטגרלים עצמה פשוט נחשב
X
= )ω(f, Π
→ |)± f (x)dx − ± f (x)dx| ≤ ± |f (x) − f (x)|dx ≤ (b − a) sup |f (x) − f (x
b
0
n
∞→n
b
n
x
b
n
a
a
a
|
הערה 5.14כשמדובר באינטגרל לא אמיתי ,אפילו אם יש התכנסות במ"ש עדיין יכול להיות שלא תהיה
u
התכנסות של האינטגרלים .אפשר לקרוא לתופעה זו "מאסה בורחת לאינסוף" ,והנה דוגמא של fn → 0
בה זה קורה עבור האינטגרל בין 0ל־∞:
1/n
]x ∈ [0, n
= )fn (x
0
o/w
זה לא אומר שאין מה לעשות עבור אינטגרלים לא אמיתיים ,המשפט הבא אומר שאם יש גם "שליטה"
על כל הפונקציות בו זמנית ,הדבר אפשרי .נסמן כרגיל ω
גם להיות ∞.+
להיות הקצה הימני של הקטע הפתוח ,שיכול
משפט ] 5.15מזורנטה[ תהיינה fn : [a, ω) → Rונניח שהן אינטגרביליות בכל תת קטע סגור ושלכל n
u
ω
מתקיים ∞ < ) a fnובפרט ־ קיים( .תהי f : [a, ω) → Rונניח שמתקיים fn → fבכל תת קטע סגור
] [a, bעם .b < ωנניח שבנוסף קיימת Ψ : [a, ω) → Rאינטגרבילית על כל תת קטע סגור ,כך שלכל
ω
nמתקיים ,|fn | ≤ Ψוכך ש ∞ < . a Ψאזי ] f ∈ R[a, bלכל תת קטע סגור ,האינטגרל הלא אמיתי
שלה בקטע ) [a, ωמתכנס ויתר על כן
²
²
±
ω
Ψ(x)dx
a
±
ω
≤ fn (x)dx
a
ω
f (x)dx = lim
∞→n
)זאת אומרת ,אין "בריחה של מאסה לאינסוף"( .לפונקציה Ψ
a
קוראים "מז'ורנטה" של הסדרה .(fn )n∈N
הוכחה :מהמשפט הקודם לכל ) b ∈ (a, ωמתקיים ש ]∈ R[a, b
±f
b
a
כמו כן² f ,
ω
a
קיים וסופי שכן |f | ≤ Ψ
±
,fויתר על כן,
±f
b
∞→→
n
a
על פי לקיחת גבול נקודתי ויש משפט השוואה לפונקציות חיוביות,
לכן האינטגרל הלא אמיתי מתכנס ,ובהחלט .כדי לקבל את גבול האינטגרלים יהי ε > 0ונבחר x0
55
מספיק
איור :19הסדרה
גדול כך ש ³ Ψ < ε/4
ω
x0
לכל > n0
.nכעת נחשב
x2 −n
)
n
(1 +עבור ∞ n = 1, 2, 3, 4, 10, 100,
.נבחר את n0מספיק גדול כך ש )supx∈[a,x0 ] |fn (x) − f (x)| < ε/2(x0 − a
|f
´
´
|fn | +
ω
´
ω
Ψ≤ε
x0
ε
+2
2
ω
≤ | |f
x0
x0
´
ω
fn −
x0
´
ω
x0
´
x0
| f| +
a
´
x0
fn −
a
´
ω
| ≤ |f
a
´
ω
fn −
a
|
≤ (x0 − a) sup |fn − f | +
] [0,x0
ולפי הגדרת הגבול סיימנו.
נראה דוגמא לשימוש במשפט האחרון .חישוב האינטגרל =: I
³
∞ −x2
e dx
0
.זה חישוב שמופיע בצורה
מודרכת בשיעורי הבית על ידי שימוש באי שוויון ,כעת אפשר בעזרת המשפט האחרון להסתפק בחישוב
יחיד ובהתכנסות סדרת אינטגרלים.
נביט בסדרת הפונקציות
x2 −n
2
) → e−x
n
הגבול הזה הוא יורד ) ≤ fn
n+1
fn (x) = (1 +
(fוהפונקציה הגבולית רציפה לכן על פי משפט דיני )משפט¸·¶µ
( הגבול
הוא במ"ש על כל אינטרואל חסום ] .[0, aיתר על כן ,משום שהסדרה יורדת היא כולה חסומה על ידי
1
1+x2
האיבר הראשון
·
מתכנס( .על פי המשפט האחרון )משפט¶ µ
( µמתקיים
שיכול לשמש לה מזורנטה )ושחישבנו לו כבר את האינטגרל הלא אמיתי ,והוא
x2 −n
) dx = I
n
(1 +
´
∞
0
lim
∞→n
כדי לחשב את הסדרה המספרית של האינטגרלים ומצוא את גבולה ,נבצע שינוי משתנה קלאסי = x
√
√
2
dx
dϕשרושמים גם כ
x(ϕ) = n tan ϕשמקיים .(1 + xn ) = 1 + tan2 ϕ = cos12 ϕכמובן = n cos12 ϕ
√
dx = n cos12 ϕ dϕונקבל
√
cos2n−2 ϕ ndϕ
´
π/2
0
x2 −n
) dx = lim
∞→n
n
(1 +
´
∞
0
I = lim
∞→n
על פי הטענה המקדימה לנוסחת ואליס והנוסחא עצמה ניתן לרשום
s
r
2
π
√ 2
n
!!)π (2n − 3
!!)(2n − 3
π 1
n
= lim
)(2n − 1
√ =
= π/2
n→∞ 2
!!)2 (2n − 2
!!)(2n − 2
2n − 1
2 2 π
סוף שיעור 9
56
√
I = lim
∞→n
5.2.6
על גזירה וגבול
נחזור על כמה דוגמאות המדגימות את הבעייתיות בהחלפת נגזרת וגבול.
¹
¹
)sin(nx
n
u
= ) fn (xבכל קטע fn → 0 .אבל )fn0 (x) = cos(nx
u
2−2n2 x2
(1+n2 x2 )2
אין לו גבול נקודתי ברוב הנקודות
fn (x) = 1+n2x2 x2בכל קטעfn → 0 .
fn0 (x) → 0לכל xאחר כאשר ∞ → .nבפרט אין שאיפה במ"ש של הנגזרות.
אבל
המשפט העיקרי על החלפת גבול ונגזרת )) = lim(fn0
= ) fn0 (xולכן fn0 (0) = 2לכל n
ואילו
((lim fn )0לכן דורש הרבה תנאים .נוכל להחליף
אם הנגזרות בעצמן מתכנסות במ"ש )למשהו ־ ואז ינבע שזו נגזרתה של הפונקציה הגבולית( ובנוסף
הדרישה היא שהן רציפות ושיש נקודה בה הסדרה המקורית מתכנסת .לרב ההתכנסות הנקודתית ידועה
בכל הנקודות ולא רק באחת ,אבל משום שאחת מספיקה אנו מנסחים זאת כך.
משפט ] 5.16על החלפת נגזרת וגבול[ תהיינה g, fn : [a, b] → Rכך ש ]fn ∈ C 1 [a, b
)א( קיימת נקודה ] x0 ∈ [a, bכך ש ) fn (x0מתכנסת )לגבול סופי(
u
)ב( מתקיים fn0 → g
u
אזי קיימת f : [a, b] → Rכך ש f 0 = gוכן . fn → f
Pn
1
k
= ) .fn (xסדרת הנגזרות היא
נראה דוגמא לשימוש לפני ההוכחה :נביט בקטע ] [0, 2בסדרה k=0 x
Pn−1
. k=0 kxkהמשפט יאמר לנו מדוע השוויון האמצעי בשורה הבאה תקף ,ויתר על כן ,ההתכנסות של
ונניח שמתקיים
הטור משמאל לפנקציה מימין היא במ"ש.
1 0
1
= )
1−x
(1 − x)2
( = kxk = lim fn0 = (lim fn )0
∞
X
k=0
1
1−xלכן תנאי )א( מתקיים בכל נקודה בקטע .כמוכן ,קיימת g
הסדרה fnמתכנסת נקודתית לפונקציה
u
1
n 0
כך ש fn0 → gמשום שסדרת הנגזרות מקיימת |(x ) | ≤ n 2n−1וכעת ניץן להראות שמתקיים קריטריון
קושי במ"ש:
→n>m→∞ 0
1
2k−1
k
n
X
k=m
≤|
k−1
kx
n
X
| = sup
x∈[0,1/2] k=m
מכאן נובע על פי המשפט האחרון השוויון lim fn0 = (lim fn )0
הוכחה] :של משפט½¼»º
0
fm
|)(x
−
)|fn0 (x
sup
]x∈[0,1/2
ויתר על כן ,הגבול הזה הוא במ"ש.
[ נסמן ) . c = limn→∞ fn (x0נגדיר את f : [a, b] → R
¾ g(t)dt
באופן הבא:
x
f (x) = c +
fומשפט ניוטון לייבניץ לשיוויון השמאלי ,משפט¿¼»
ºעל
x0
נראה ראשית שנקודתית → f
.fnמרציפות
0
n
החלפת גבול ואינטגרל לגבול השני ,והגדרת fנקבל שלכל x
נתון
) ¾ f (t)dt → ¾ g(t)dt = f (x) − f (x
ºÀ
x
0
x
∞→n
x0
0
n
x0
= ) fn (x) − fn (x0
ÁÂÃ
משום שידוע ) fn (x0 ) → f (x0נקבל שנקודתית )fn (x) → f (x
מראש( .משום שכל fn0רציפות ,לפי )ב( ומשפט
גם gרציפה ולכן על פי המשפט היסודי של החדו"א
u
] f 0 = gזה היה החלק המרכזי .[(lim fn )0 = lim(fn0 ) ,כל שנותר לראות הוא כי .fn → fואכן לכל x
לכל ) .xזה החלק שעל פי רוב ידוע
מתקיים
|) |fn (x) − f (x)| ≤ |fn (x) − fn (x0 ) − (f (x) − f (x0 ))| + |fn (x0 ) − f (x0
|) Ä [f (t) − f (t)]dt| + |f (x ) − f (x
x
0
0
0
n
0
n
x0
| =
|) ≤ |x − x0 | sup |fn0 − g| + |fn (x0 ) − f (x0
][a,b
|) ≤ (b − a) sup |fn0 − g| + |fn (x0 ) − f (x0
][a,b
צד ימין של אי השוויון איננו תלוי ב־ xולכן ניתן לקחת ] supx∈[a,bולהסיק שעבור n0
האברים קטנים כרצוננו ,נאמר יהיה ε > 0אז ניתן לבחור את n0כל שלכל n > n0שניהם קטנים מ
ε/2וסיימנו.
מספיק גדול ,שני
5.2.7
ועכשיו ־ טורי פונקציות .הבוחן של וירשטראס.
אולי כבר שמתם לב שחלק המהדוגמאות שימושיות הן של סדרות שהן בעצם סכומים חלקיים של טורים
של פונקציות .כל מה שעשינו כמובן תקף גם שם משום שבסה"כ מדובר על סדרות ־ סדרות הסכומים
החלקיים .לומר שטור מתכנס במ"ש לפונקציה מסויימת משמעו שסדרת הסכומים החלקיים מתכנסת
אליה במ"ש .מבחינת סימון יש בעיה כי אין לנו "מעל מה" לרשום את האות .uלכן פשוט נרשום במקרה
כזה " un = f
P
במ"ש" .הנה הגרסאות הטוריות של משפטים נבחרים שראינו עד כה .כל ההוכחות הן
תירגום של טור לגבול של סדרה ,והחלת המשפט המתאים על סדרות של פונקציות.
החלפת סכום אינסופי ואינטגרל )משפט ÁÂÃומשפטÁÂÅÆ
Çרציפות,
P
un = f
∞
n=0
במ"ש .אז ]f ∈ C[a, b
ומתקיים
Ä u (t)dt
b
n
a
Ç
Ç
∞
X
( תהיינה ]un ∈ C[a, b
ונניח ש
= Ä f (t)dt
n=0
b
a
ÁÂÅÈ
( תהיינה ] f, un ∈ C[a, bכך ש un ≥ 0
משפט דיני לטורים )משפט
P
P
= fבמ"ש) .משום שהסדרה Snמונוטונית עולה(.
= .fאזי un
un
ונניח שנקודתית
ÁÂÅÉ
( .נניח כי ]un ∈ C 0 [a, b
החלפת נגזרת וסכום אינסופי ־ נקרא גם "גזירה איבר איבר" )משפט
P
P
P 0
= ,f
מתכנס .אזי קיימת un
= gבמ"ש וכן שקיימת נקודה בה ∞ < ) un (x0
ונניח כי un
P 0
P
0
0
במ"ש ,וכן un
= .( u n ) = f
משפט שייחודי לטורים הוא ה M
בוחן של ויירשטראס )ניתן לנסח אותו לסדרות אך הדבר אינו טבעי
שכן הוא עוסק בסדרת ההפרשים ,שבטורים זה פשוט אברי הטור(.
58
משפט ] 5.17ה Mבוחן של וירשטראס[ תהיינה un : [a, b] → Rונניח שקיימת סדרת מספרים Mn
P
P
מתכנס בהחלט
∞ כך שלכל xולכל nמתקיים .|un (x)| ≤ Mnאזי un
המקיימת ∞ < n=1 Mn
ובמ"ש.
Pn
ÊËÌ
= )) Sn (xוגם הסדרה |)|uj (x
הוכחה :נשים לב שהסדרה )uj (x
.אכן קיים n0כך ש
ונשתמש במשפט
j=1
n, m > n0
Mj < ε
m
X
j=n
5.2.8
≤ |)|uj (x
m
X
Pn
j=1
uj (x)| ≤ sup
x∈[a,b] j=n
( היא סדרת קושי במ"ש,
m
X
j=n
| sup
]x∈[a,b
אבל ודיריכלה לטורי פונקציות
זהו סעיף שידונו בו איתכם בתירגול שכן הדמיון להוכחת המשפטים המתאימים בטורי מספרים הוא גדול
מאוד .נעיר שאנו נזדקק לתוצאות האלה בפרק הבא של טורי חזקות .המלצה ־ אל תמתינו לתירגול,
נסו להיזכר בהוכחות מחדו"א 1ולהתאים אותן לטורי פונקציות ולהתכנסות במ"ש.
משפט ] 5.18קריטריון אבל[ תהיינה ak (x), bk (x) : [a, b] → R
∞P
מתכנסת במ"ש ב ] [a, bוכן כי הסדרה }) {an (xמונוטונית ב nלכל xקבוע ,וחסומה
)n=1 bn (x
P
מתכנס במ"ש בקטע ].[a, b
( .אזי הטור )an (x)bn (x
במידה אחידה )הזכרו בהגדרה
סדרות של פונקציות.
נניח כי
ÊËÍ
משפט ] 5.19קריטריון דיריכלה[ תהיינה ak (x), bk (x) : [a, b] → R
P
SN (x) = Nחסומה במידה אחידה ב ] [a, bוכן כי הסדרה }) {an (xמונוטונית ב nלכל x
)n=1 bn (x
P
מתכנס במ"ש בקטע ].[a, b
קבוע ,ושואפת ל 0במ"ש .אזי הטור )an (x)bn (x
P
כאשר an → 0מונוטונית .כדי להשתמש בקריטריון דיריכלה,
כדוגמא ,נרצה לדון בטור )an sin(nx
P
Nחסום .אכן ,תוך שימוש בכך ש ])sin(α) sin(β) = 12 [cos(α − β) − cos(α + β
נבדוק כי )n=1 sin(nx
סדרות של פונקציות.
נקבל
x
x
x
x
) (BN (x) sin( ) = sin(x) sin( ) + sin(2x) sin( ) + · · · sin(N x) sin
2
2
2
2
1
x
3x
3x
5x
=
[cos( ) − cos( ) + cos( ) − cos( ) +
2
2
2
2
2
2N − 1
2N + 1
(. . . + cos
(x) − cos
])x
2
2
1
x
2N + 1
=
([cos( ) − cos
])x
2
2
2
ולכן
)sin( N 2+1 x) sin( N2 x
)cos( x2 ) − cos( 2N2+1 x
=
) 2 sin( x2
) sin( x2
59
= )BN (x
נניח כי
ובכל תת קבוצה בה BN
חסומה )למשל ב ] ([π/4, 3π/4יש התכנסות במ"ש .שאלה למחשבה :האם יש
התכנסות במ"ש בקטע שמכיל אפסים של )?sin(x/2
סוף שיעור 10
60
5.3
בניית פונקציה רציפה ולא גזירה באף נקודה
בסעיף זה נבנה פונקציה שהיא רציפה אך איננה גזירה באף נקודה.
הערות 5.20ראשית נעיר כמה הערות היסטוריות על בנייה שכזו 1861 .רימן מנחש את הדוגמא
∞
X
)sin(n2 x
n2
= )R(x
n=1
ללא הוכחה.
1872ויירשטראסס נתן דוגמא אחרת של פונקציה בעלת התכונות הללו ,כולל הוכחה .הוא בחר )a ∈ (0, 1
ab > 1 + 3πולקח את
ו 1 < b ∈ Nכך ש
2
)ak cos(bk πx
X
= )W (x
1916הארדי מוכיח ש ) R(xאיננה גזירה בכפולות אירציונליות של π
p
Grever 1969מוכיח ש ) R(xגזירה רק ב q πעבור p, q ∈ Zאי זוגיים .לא נדון בדוגמאות אלה לעומק,
ובכפולות מסוימות רציונלאיות שלו.
אך מאנליזת פורייה כן נוכל להראות כי
)2−αn cos(2n x
איננה גזירה באף נקודה עבור < α < 1
.0
X
נפנה לבניית הפונקצייה "שלנו" .לשם כך נגדיר פונקציית מסור חיובית בעלת מחזור 1
1
2
ובעלת אמפליטודה
על ידי
0 ≤ x ≤ 1/2
x
1 − x 1/2 ≤ x ≤ 1
= )u0 (x
)u0 (x + 1) = u0 (x
ונגדיר פונקציות מסור נוספות על ידי
uk (x) = u0 (4k x)/4k
שהן חיוביות ,בעלות מחזור
∞P
1
4k
1
. 2·4
ובעלות אמפליטודה k
נביט בטור ) . j=0 uj (xעל פי הבוחן של וירשטראסס הוא מתכנס במ"ש בכל R
פונקציה רציפה על .Rנסמן אותה ב .f
משפט 5.21הפונקציה f : R → R
שהוגדרה מעלה איננה גזירה באף נקודה.
ÎÏ
ובפרט מגדיר
איור :20הפונקציות u0 , u1 , u2בקטע ][0, 1
הוכחה :נקבע נקודה x0 ∈ Rונראה שלא קיימת ) .f 0 (x0נשים לב שכל פונקציה uj
m
1
2·4ל .m ∈ Nנסמן את המספר הטבעי המשוייך
אינטרואלים מאורך 4j ·2שמתחילים במספר מהצורה j
mn
mn +1
. 2·4נסמן גם את תת הקטע
לפונקציה unב ,mnדהיינו ] mn = [2 · 4n x0ומקיים
≤ n ≤ x0
2·4n
mn mn +1
. ∆n = [ 2·4מתקיים |∆n | = 2·41 nוכן
המתאים ב ] n , 2·4n
היא ליניארית על
} ∩ ∆j = {x0
and
· · · ⊃ ∆0 ⊃ ∆1 ⊃ ∆2 ⊃ · · · ⊃ ∆n
1
| |∆n
2
כעת נבנה סדרה xn → x0באופן הבא :ניתן לבחור בכל ∆nנקודה xn
מהנקודה .x0ממחזוריות של ujעבור j > nיתקיים לכל j > nש ) uj (xn ) = uj (x0כי |∆n |/2הוא
כפולה שלמה של מחזור של ujכזו .לכן
שנמצאת במרחק
n
) f (xn ) − f (x0 ) X uj (xn ) − uj (x0
=
xn − x0
xn − x0
j=0
אבל עבור j ≤ nמתקיים כי xnו־ x0נמצאים באותו אינטרואל ∆jולכן השיפוע של הגרף של uj
או +1או . −1מדובר אם כן בכל שלב בסדרה בסכום סופי שאיבריו הם .±1סכום כזה נותן מספר
זוגי כאשר nאיזוגי ומספר איזוגי כאשר nזוגי ,ובפרט הסדרה לא יכולה להתכנס כאשר ∞ → .nאולם,
xn → x0כאשר ∞ → nולכן אילו fהייתה גזירה ב־ x0צריך היה להתקיים
הוא
) f (xn ) − f (x0
∞→n
xn − x0
f 0 (x0 ) = lim
ובפרט הגבול צריך היה להיות קיים .לכן אין גזירות בנקודה .x0
5.4
משפט ויירשטראסס על צפיפות הפולינומים ברציפות
משפט ] 5.22ויירשטראסס[ לכל ] f ∈ C[a, bולכל ε > 0קיים פולינום )P (x
כך ש
max |f (x) − P (x)| < ε
][a,b
u
הערות 5.23באופן שקול ניתן לומר שלכל פונקציה רציפה יש סדרה של פולינומים Pnכך ש → f
.P n
לכן ברור שלא כל תכונה טובה כמו גזירות למשל תעבור תחת לקיחת גבול במ"ש ,אחרת לא היתה
62
אפשרות לדוגמא שבנינו בפרק האחרון.
נעיר גם שהפולינומים הללו לא תמיד יהיו טור טיילור של
הפונקציה ,ובפרט ישנם מקרים בהם טור טילור סביב נקודה מסויימת יוצא כל הזמן 0
אף כי הפונקציה
רציפה וניתן לקרב אותה עם פולינומים .זה אפילו לא מבטיח שהקירוב הוא "טור חזקות" שכן ייתכן
שצריך לשנות את האיברים בכל שלב ,נדון על כך בפרק הבא עלינו לטובה של טורי חזקות .הערה נוספת
היא שהמקרה ] [a, b] = [0, 1הוא כללי שכן ניתן לבצע שינוי משתנה ליניארי ))= f (a + t(a − b
t−a
.P (x) = Q( b−a
לקרב את Fעל ידי Qפולינום ואז להגדיר )
הוכחה :על פי ההערה ,מספיק להוכיח עבור f : [0, 1] → R
),F (t
רציפה .נגדיר את
n
X
k n k
x (1 − x)n−k
= )Bn (x
) (f
k
n
k=0
זו כמובן נוסחה שצריכה להזכיר לכם את הבינום מהסתברות .ליתר דיוק ,אם )Xi ∼ B(0, x
n
תלויים זאת אומרת כל אחד מקבל ערך 1בהסתברות xו־ 0אחרת ומסמנים
X = X1 +···+Xאז אז
n
) .Ef (X) = Bn (xנזדקק לשתי נוסחאות פשוטות שודאי נתקלתם גם בהן במבוא להסתברות:
בלתי
xk (1 − x)n−k = (x + (1 − x))n = 1
כעת נחשב את
n
X
n
k
k=0
n
X
)x(1 − x
n k
1
= ( − x)2 xk (1 − x)n−k
≤
k n
n
4n
k=0
n k
x (1 − x)n−k
k
ונפרק לשני גורמים כתלות בפרמטר δ
n k
k
) ( f (x) − f
x (1 − x)n−k
n
k
k
) ( f (x) − f
n
n
X
k=0
= )f (x) − Bn (x
שנבחר מייד:
X
k
{k:| n
}−x|≥δ
n k
x (1 − x)n−k +
k
k
) ( f (x) − f
n
X
k
{k:| n
}−x|<δ
מרציפות במ"ש קיימת δ > 0כך שאם |x − nk | < δאז − f ( nk )| < ε/2
חסום על ידי .ε/2הסכום השני מקיים ,עבור Mהחסם של | ,|f
X ( k − x)2 n
n k
k
2M 1
n−k
n
)x (1 − x
) ( f (x) − f
≤ 2M
xk (1 − x)n−k ≤ 2
2
k
n
δ
k
δ 4n
) ,|f (xולכן הסכום הראשון
כך שעבור n
X
k
{k:| n
}−x|≥δ
גדולים מספיק ,גם סכום זה חסום על ידי .ε/2
את ההוכחה של הנוסחאות ,מי שלא מכיר ־ הראשונה זה פשוט הבינום והשנייה נובעת או מהסתברות
סטנדרטית )שונות של סכום של משתנים בינומיים בלתי תלויים( או מחשבון פשוט של סכומים .הנה
תקציר ההוכחות הללו X ∼ B(0, x) :אז EX = xו )V ar(X) = E(X − EX) = x(1 − x
ÐÑ
ולכן אם
P
Sn = n1 n1 Xiסכום עותקים בת"ל יתקיים ESn = x
P "n k
( − x)2 xk (1 − x)n−k
= ) .V ar(Sn
k n
ו
)x(1−x
n
=
) .V ar(Snמצד שני חישוב ישיר יתן
ללא ידע בהסתברות :הבינום הרגיל נותן
pk q n−k = (p + q)n
ונגזור לפי pואז נכפול ב p
n
X
n
k
0
ונקבל
d
(p + q)n ) = np(p + q)n−1
dp
(kpk q n−k = p
n
X
n
k
0
נעשה זאת שנית ונקבל
d
) np(p + q)n−1
dp
(k 2 pk q n−k = p
]= n(n − 1)p2 (p + q)n−2 + np(p + q)n−1 = np(p + q)n−2 [np + q
ולאחר הצבת p = xו q = 1 − x
n
X
n
k
0
נקבל
n
X
n
kxk (1 − x)n−k = nx
k
0
n
X
n 2 k
)k x (1 − x)n−k = nx(1 + (n − 1)x
k
0
n
X n
)(k − nx)2 xk (1 − x)n−k = nx(1 + (n − 1)x) − 2nx(nx) + n2 x2 = nx(1 − x
k
0
6
טורי חזקות
טורי חזקות נידונו במידה מסויימת בחדוא 1א ,אך כעת אנו שבים אליהם בפרספקטיבה יותר רחבה של
טורי פונקציות .נחזור על חלק מהמשפטים וההוכחות עם תוספות חדשות )אך לא יזיק לקרוא שוב בעיון
את הפרק הרלוונטי מהקורס של סמסטר א(.
6.1
הגדרה
טור חזקות סביב x0 = 0
זהו הסכום הפורמאלי
ak x k
∞
X
k=0
64
וטור חזקות סביב נקודה x0
כללית זהו הסכום הפורמאלי
ak (x − x0 )k
∞
X
k=0
על פי רוב ,משום שניתן לבצע שינוי משתנה ,x0 = x − x0נדון בטורי חזקות סביב = 0
כזה הוא סדרת מספרים .המעניין הוא לברר עבור אילו xים הטור הזה מתכנס ,ולכן איננו סתם סכום
פורמאלי .נציין את העובדה הטריויאלית שבנקודה x = x0הטור תמיד מתכנס ,שכן מדובר בסכום של
אפסים .נציין גם שקל לייצר טור שלא מתכנס באף נקודה אחרת ,למשל אם נבחר ! ,ak = kמקרה בו
האיבר הכללי לא שואף ל .0נעיר גם שקל לבנות טור שיתכנס בכל ,Rלמשל על ידי בחירת ak = k!1
שנותן את טור טיילור של .ex
.x0בעצם טור
6.2
רדיוס התכנסות של טור חזקות
כבר ראינו בחדו"א 1כי קבוצת כל ה x
ים עבורם טור חזקות מסויים )סביב 0נאמר( מתכנס היא קטע
סימטרי ,למעט ההתנהגות בקצוות הקטע שלא חייבת להיות זהה) .למעשה כשמדובר במשתנה מרוכב,
קבוצת ההתכנסות תהיה "דיסק" ,אך בקורס אנחנו דנים בעיקר בתחום ממשי (.נחזור על ההוכחה בצירוף
הטענה שההתכנסות הינה במ"ש.
P
k
∞ .אם הטור מתכנס בנקודה x0כך ש = r
למה ] 6.1התכנסות בדיסק[ נביט בטור k=0 ak x
לכל r 0 < rהטור מתכנס בהחלט ובמ"ש בקטע ] .[−r 0 , r 0
∞P
k
מתכנס ,האיבר הכללי שלו שואף לאפס ובפרט חסום .נאמר
הוכחה :משום שהטור k=0 ak x0
0
∞ < .supk |ak xk0 | = Mיהי | r 0 < r = |x0ונסמן q = rrאז |q| < 1ומתקיים עבור xכך ש
|x| ≤ r0
| ,|x0אז
| ≤ M qk
משום שהטור ∞ < M q k
] .[−r 0 , r 0
P
k
x
x0
|·
| |ak xk0
k
= | |ak x
מהבוחן של ויירשטראסס הטור המקורי מתכנס בהחלט ובמ"ש על הקטע
נעיר שבפרט מקבלים שהגבול רציף בקטע ) ,(−r, rושניתן לבצע אינטגרציה איבר איבר בתחום ] [−r0 , r0
לכל r 0 < rולכן גם בתחום כולו ־ אם האינטגרלים מתכנסים.
מסקנה ] 6.2משפט אבל[ לכל טור חזקות ak xk
}Rהטור מתכנס ובתחום } {x : |x| > Rהטור מתבדר.
P
R = sup{|x| :ועל פי הלמה סיימנו.
הוכחה :נסמן }∞ < ak xk
P
קיים מספר ]∞ R ∈ [0,כך שבתחום < |{x : |x
שוב ,כבר נוכחנו בחדו"א 1שיש נוסחא סגורה למספר הזה )שנקרא רדיוס ההתכנסות של הטור( במונחים
של המקדמים .הנוסחא נתונה במשפט הבא.
ÒÓ
משפט ] 6.3משפט קושי הדמרד[ נביט בטור ak xk
∞P
k=0
הבאה:
.רדיוס ההתכנסות שלו נתון על ידי הנסחא
1
= lim sup |ak |1/k
R
∞→k
כאשר = 0
1
∞
הוכחה :נסמן
הסגור.
ו∞=
1/k −1
. 10
"
| R = lim supk→∞ |akונראה התכנסות ב )(−R, R
והתבדרות מחוץ לקטע
q lim sup1|ak |1/k
< ||x
)א( נניח ש .|x| < Rלכן קיים q < 1כך ש .|x| < qRלכן
q
q
| .lim supk→∞ |ak |1/k < |xלפי הגדרת lim supקיים k0כך שלכל k ≥ k0מתקיים | .|ak |1/k ≤ |xלכן
"
k
|ak xk | ≤ |ak |1/k |x| ≤ q k
זאת אומרת
ומשום ש q < 1אנו עומדים בבוחן של ויירשטראס ויש התכנסות ∞ < | |ak xk
Q
)ב( נניח ש . |x| > Rאזי לאיזשהו Q > 1מתקיים .|x| > QRולכן | . lim supk→∞ |ak |1/k > |xלפי
הגדרת lim supקיימת תת"ס (nj )j∈Nכך ש | |akj |1/kj ≥ Q/|xלכל ,jולכן האיבר הכללי של הטור לא
P
.
ישאף לאפס שכן על תת סדרה זו
∞ → |akj xkj | ≥ (Q)kj
ובפרט לא תיתכן התכנסות .לכן ,על פי המסקנה הקודמת= R ,
.R
הדיון עד כה לא נתן לנו כלים להחליט מה קורה בקצות תחום ההתכנסות ,דהיינו ב ±
רדיוס ההתכנסות.
ראשית שימו לב שעבור טור חזקות קונקרטי ניתן לרשום במפורש את הטור בקצוות ולהשתמש בכלים
של טורים מספריים על מנת לחקור התכנסות .נפתח בכמה דוגמאות:
Ô
Ô
Ô
הטור
P xk
!k
הטור k!xk
כאן
P
1
!k
= akולכן = 0
1/k
lim sup akולכן ∞ =
כאן ! ak = kולכן ∞ =
P1 k
כאן ak = k1ולכן = 1
הטור x
k
הטור מתבדר וב x = −1מתכנס.
1/k
.R
lim sup akולכן = 0
.R
1/k
lim sup akולכן .R = 1מה קורה בקצוות? ב־ x = 1
ניתן לשאול ,למשל ,האם במידה ונתון )או גיליתם על פי קריטריון מסוים( שבקצה הטור יש התכנסות,
האם נובע שהגבול יהיה רציף? מסתבר שכן ,ונדון בכך עוד מעט.
6.3
גזירות של טור חזקות
העובדה שאפשר לעשות אנטגרציה איבר איבר נובעת מהתכנסות במ"ש בכל תת קטע .מה שיותר מפתיע
הוא שניתן לגזור גם איבר איבר ,דבר שלא נובע ישירות מהתכנסות במ"ש כפי שכבר ראינו.
66
נשים לב שלטור ak xk
P
יש טור של נגזרות kak xk−1
P
אם כי בשלב זה הוא עדיין רק טור פורמלי
־ כי עוד לא אמרנו כלום על התכנסות ועל גזירות איבר איבר ,זאת אומרת האם הטור הזה מתכנס
לפונקציה שהיא אכן הנגזרת של הפונקציה אליה מתכנס הטור השני .העובדה שאכן כך ,תנבע בעזרת
המשפט שכבר יש לנו על גזירות איבר איבר בתוספת של העובדה הבאה
טענה ] 6.4רדיוס התכנסות של נגזרת טור חזקות[ לטור ak xk
אותו רדיוס התכנסות.
P
ולטור הנגזרות kak xk−1
P
יש את
הוכחה :מיידי:
lim sup ((k + 1)|ak+1 |)1/k = lim sup (k|ak |)1/k = lim sup |ak |1/k
נעיר מיד שההתכנסות בקצוות יכולה להיות שונה בין טור לטור הנגזרות ,למשל הטור
) [−1, 1ואילו הנגזרות xn−1
P
מתכנס ב )] .(−1, 1רדיוס
P xn
n
מתכנס ב
∞P
מסקנה ] 6.5טורי חזקות ניתן לגזור איבר איבר[ נביט בטור ak xk
שלו ב ,Rואת הפונקציה אליה הוא מתכנס ב ) .f (xבכל נקודה בקטע ) (−R, Rמתקיים
k=0
)kak xk−1 = f 0 (x
,ונסמן את רדיוס ההתכנסות
∞
X
k=0
ÕÖ×Ø
הוכחה :לפי הטענה הקודמת יש לטורים את אותו רדיוס התכנסות .לכן בכל תת קטע סגור ⊂ ][−r, r
על
) (−R, Rיש התכנסות במ"ש הן של הטור והן של טור הנגזרות .לכן ניתן להפעיל את משפט
גזירות איבר איבר .אכן ,כל תנאיו מתקיימים )בידקו זאת(.
באינדוקציה ,הדבר נכון גם לנגזרות מסדר יותר גבוה ,ונקבל את המשפט הבא:
P
k
∞ ,ונניח שהוא מתכנס ל )f (x
משפט ] 6.6טור טיילור של סכום טור חזקות[ נביט בטור k=0 ak x
) .(−R, Rאזי לכל m ∈ Nולכל ) x ∈ (−R, Rמתקיים ש
aj+m xj
∞
X
!)(j + m
!j
j=0
=
k−m
ak k(k − 1) · · · (k − m + 1)x
ובפרט ,טור טיילור של fסביב 0הוא ak xk
∞P
k=0
כי = m!am
∞
X
= )(x
)(m
בקטע
f
k=m
).f (m) (0
מסקנה מעניינת שנובעת מכאן היא שלא כל פונקציה ניתן להציג כטור של חזקות ,כי טורי חזקות יוצאים
גזירים אינסוף פעמים בפנים של תחום ההתכנסות שלהם .אפילו פונקציות שהן כן גזירות אינסוף פעמים
ייתכן שלא ניתן להציג אותן כטור חזקות ,למשל אפשר לראות ש
x 6= 0
x=0
e− x12
0
67
= )f (x
היא בעלת טור טיילור ששווה לאפס זהותית ,ובפרט לא מקיימת את המסקנה של המשפט האחרון ,ולכן
בהכרח לא עומדת בתנאים שלו.
עוד דוגמא יכולה להיות
]x ∈ [−1, 1
]x 6∈ [−1, 1
)sin(x
= )f (x
)g(x
כאשר ) g(xלבחירתכם ,שונה מ ) sin(xאפשר לבחור את gכך ש f
שטור טיילור של ) fסביב אפס( יהיה כמו זה של ) sin(xולכן לא יהיה שווה לה בכל תחום ההגדרה.
תהיה גזירה אינסוף פעמים .ברור
רואים אם כן שטורי חזקות ניתנים יחסית למניפולציות בקלות ,וחלק מהדברים שעשיתם בטור טיילור
בחדו"א 1הם עכשיו יותר מדוייקים ופורמליים.
Ù
Ù
Ù
xk
∞P
k=0
kxk−1
=
1
1−x
∞P
k=0
∞P
1 k
k=1 k x
=
מתכנס ב )(−1, 1
1
(1−x)2
נגזור:
מתכנס ב )(−1, 1
ln(1 − x) = −מתכנס ב )[−1, 1
)הנגזרת שלו ־ עד כדי סימן ־ זוהי דוגמא ,1נחזור
אליו בקרוב(
Ù
Ù
k 2k
x
∞P
)k=0 (−1
2 k
= )
][−1, 1
k=0 (−x
∞P
k 1
2k+1
k=0 (−1) 2k+1 x
∞P
=
1
1+x2
מתכנס ב )(−1, 1
נעשה אינטגרציה:
= ) arctan(xהשוויון נכון מיידית ב )(−1, 1
ואילו הטור מתכנס בכל
נחזור אליו בקרוב כדי להראות שהשוויון נשמר גם בקצוות הקטע.
סוף שיעור 11
68
6.4
קצה רדיוס ההתכנסות.
ראינו דוגמאות להתנהגות בקצוות .כעת נדון בכמה תכונות שימושיות הקשורות בהתכנסות בקצוות.
ראשית טענה פשוטה.
טענה 6.7נביט בטור ak xk
.x0 = Rאזי אין התכנסות במ"ש של הטור ב ).[0, R
P
,ונסמן את רדיוס ההתכנסות שלו ב .R
הוכחה :אילו הייתה התכנסות במ"ש בקטע )[0, R
אומרת לכל ε > 0היה n0כך שלכל m, n > n0
ak x k | < ε
נניח שהטור לא מתכנס ב
אז קריטריון קושי במ"ש היה מתקיים בקטע זה זאת
m
X
sup
x∈(−R,R) k=n
|
ומרציפות )מדובר בסכום סופי של רציפות( היינו מקבלים שגם
ak R k | ≤ ε
ולכן בנקודה Rהטור )המספרי( ak Rk
P
m
X
k=n
|
היה מקיים את קריטריון קושי ובפרט מתכנס ,בסתירה להנחה.
המשפט היותר מעניין ושימושי הוא בכיוון ההפוך ,זאת אומרת שאם יש התכנסות בקצה התחום של
ההתכנסות נאמר ב ,+Rיש התכנסות במ"ש בקטע ][0, R
הטור רציפה .משפט דומה תוכלו לנסח ולהוכיח עבור ].[−R, 0
כולו ,ובפרט נובע שהפונקציה שהיא סכום
משפט ] 6.8משפט אבל על קצה תחום ההתכנסות[ תהי ak xk
אזי הטור מתכנס במ"ש ב ].[0, R
P
= ) f (xונניח שיש התכנסות ב = R
הוכחה :נשתמש במשפט של אבל למכפלת טורי פונקציות ,משפטÚÛÜÝ
x k
R
k
ak R
∞
X
k
= ak x
k=0
∞
X
.x 0
.נשכתב
= )f (x
k=0
P
כאשר ck (x) = ak Rk
מדובר בטור שהוא מכפלה )ck (x)dk (x
x k
dk (x) = ( Rחסומה במידה אחידה )על ידי (1מונוטונית יורדת ל .0לכן מקריטריון אבל
ואילו )
להתכנסות במ"ש של טורים שהם מכפלות ,הטור מתכנס בהחלט ובמ"ש ב ].[0, R
)לא תלוי ב־ ,xומתכנס ,בפרט במ"ש(
טענה ] 6.9תחום ההתכנסות לא גדל כשגוזרים[ נניח שלטורים kak xk−1
Rונניח שטור הנגזרות מתכנס ב x0כך ש .|x0 | = Rאזי הטור המקורי מתכנס גם הוא ב .x0
P
69
ak x k ,
P
רדיוס התכנסות
הוכחה :משפטÞßà
מבטיח שיש התכנסות במ"ש של הטור kak xk−1
P
בקטע ][0, R
)בפרט האינטגרציה
היא לפונקציה רציפה ,ולכן אינטגרבילית( .לכן ניתן לבצע אינטגרציה איבר איבר בקטע זה ולקבל
ak R k
∞
X
á
R
= dx
k−1
kak x
0
k=1
∞
X
= dx
k−1
á
kak x
k=1
∞
RX
k=1
á
R
= f (x)dx
0
0
וקיבלנו התכנסות של הטור המקורי בנקודה .R
מסקנה ] 6.10טור סכים הוא גם סכים לפי אבל והסכומים שווים[ נניח שנתונה סדרת מספרים המקיימת
∞ < ak
∞P
k=0
.אזי השוויון הבא מתקיים
ak
∞
X
= ak r k
k=0
Þßà
הוכחה :יש שני מקרים R = 1 ,ו R > 1
∞
X
lim−
k=0
r→1
אך בשניהם )או סתם מהלמה על התכנסות בדיסק או ממשפט
של אבל על קצה רדיוס ההתכנסות( מכך שגבול במ"ש של רציפות הוא רציף ,נקבל אחרי סימון
)ak rk = f (r
∞P
k=0
שפונקציה זו רציפה ב r = 1משמאל ולכן ניתן להציב r = 1
בגבול דלעיל.
לדוגמא ,נדון בטור טיילור של ) .ln(1 + xכולכם יודעים לחשב אותו ולקבל
∞
X
xk
x2 x3 x4
+
−
= ··· +
x−
(−1)k+1
2
3
4
k
k=1
| .|xעל פי לייבניץ יודעים
על פי משפטי שארית ניתן לראות שהוא מתכנס ,ל ) , ln(1 + xלכל < 1
∞P
k+1
גם שהטור /k
מתכנס .כעת ,לפי המשפט האחרון ,יש התכנסות במ"ש בקטע ] [0, 1ולכן
)k=1 (−1
מתקיים
)(−1)k+1 /k = lim− ln(1 + x) = ln(2
r→1
בדומה נוכל לחשב עבור )arctan(x
∞
k=1
שראינו קודם ,משום שיש התכנסות בקצוות נקבל ש
∞
X
X
1
1
lim−
= x2k+1
)(−1
(−1)k
x→1
2k + 1
2k + 1
k=0
k=0
6.5
∞
X
k
π
= )= arctan(1
4
סוגי סכימות
המסקנה האחרונה מאפשרת לנו להגדיר שיטה אחרת לסכום טור חזקות ,שיכולה להתכנס גם כשהשיטה
הרגילה מתבדרת .למעשה ,יש שיטה שלישית נוספת.
âã
P
הגדרה 6.11נביט בטור המספרי ak
∞P
k
) limr→1−ובפרט נדרוש כי .(R ≥ 1נסמן
k=0 ak r
.נאמר שהוא מתכנס לפי אבל )סכים לפי אבל( אם קיים הגבול
ak
מסקנהäåæç
∞
X
k
)ak r = (A
k=0
∞
X
lim
r→1−
k=0
משמעה שאם טור מתכנס ,אז הוא מתכנס גם לפי אבל ,ולאותו המספר .נשים לב שטור
יכול להתכנס לפי אבל ולא להתכנס "רגיל" ,למשל הטור
(−1)k
X
כמובן לא מתכנס )שכן האיבר הכללי לא שואף ל־ (0אבל
1
1
=
1+r
2
(−1)k rk = lim−
r→1
∞
X
k=0
(−1)k = lim−
r→1
∞
X
)(A
k=0
זאת אומרת ,הטור כן מתכנס לפי אבל.
ישנה הגדרה לגבול של סדרה לפי צזארו ,שהיא יותר כללית מהגדרת הגבול הרגילה) ,אך פחות כללית
מההגדרה לפי אבל ,כפי שנראה מייד( ובהתאמה יש גם הגדרה של סכימות של טור לפי צזארו.
הגדרה 6.12תהי cn
יהי טור החזקות ak xk
סדרה .נאמר שיש לה גבול לפי צזארו אם קיים
P
PN
n=0 cn
N +1
∞→ .limN
.נאמר שהוא מתכנס לפי צזארו )סכים לפי צזארו( אם לסדרת הסכומים
חלקיים יש גבול לפי צזארו ,זאת אומרת אם קיים הגבול Sn
PN
n=0
נסמן
1
N +1
∞→ ,limNשזה כמו ak
N
n
PN Pn
k=0
n=0
1
N +1
∞→ .limN
∞
X
1 XX
)(C
ak = lim
ak
N →∞ N + 1
n=0 k=0
k=0
נגדיר גם סימון עבור האיבר הכללי בגבול זה ,סימון שיהיה לנו שמושי בהמשך:
n
N
1 XX
ak
N + 1 n=0 k=0
שימו לב שאם מסמנים ,כרגילak ,
Pn
k=0
= ) ak
= Snאז Sn
∞
X
( σN
k=0
PN
n=0
1
N +1
=
.σNדבר אחרון שכדאי לשים לב
אליו שכן הוא שימושי בתרגילים )ונידרש שנוסחא דומה באנליזת פורייה בקרוב( הוא ש
X
N
n
N
N
X
1 XX
k
N +1−k
= σN
= ak
ak
=
ak 1 −
N + 1 n=0 k=0
N
+
1
N +1
k=0
k=0
כמובן שלא היה טעם בסכימה כזו ללא הלמה הבאה אותה למדנו בחדו"א 1
71
Pn
למה 6.13תהי (an )n∈Nסדרה ונניח כי .limn→∞ an = lאזי גם עבור j=1 aj
P
∞P
∞
אזי גם .(C) k=0 ak = L
.bn →n→∞ lבאופן שקול ,עבור טורים ,אם k=0 ak = L
1
n
=bn :
מתקיים
שוב ,כמו במקרה של אבל ,גבול על פי צזארו הוא מושג כללי יותר ,ויש סדרות ללא גבול אבל עם גבול על
פי צזארו ,ובדומה טורים .דוגמא טובה היא שוב הטור
k
∞P
)k=0 (−1
,שסכים על פי צזארו )ל
1
2
כמובן(
וכמובן אינו מתכנס .אפשר לעשות קורס שלם על שיטות סכימה ,ולכן רק נראה שני דברים נוספים:
דוגמא של טור שסכים על פי אבל ולא על פי צזארו ,ומשפט שאומר שכל טור שסכים על פי צזארו הוא
סכים גם על פי אבל.
הדוגמא היא:
)(−1)k (k + 1
∞
X
k=0
= ··· 1 − 2 + 3 − 4 +
כמובן שהטור לא מתכנס שכן האיבר הכללי לא שואף לאפס .גם לפי צזארו הוא לא מתכנס שכן האיבר
הכללי בסדרת הסכומים החלקיים הוא
n even
n odd
n + 1
k
(−1) (k + 1) = 2
− n+1
2
n
X
= Sn
k=0
)(Sn )n∈N = (1, −1, 2, −2, 3, −3, 4, −4, . . .
PN
PN
ואילו עבור Nזוגי = n=0 Sn
בפרט Sn = Sn+1כאשר nהוא זוגי ,ולכן עבור Nאיזוגי n=0 Sn = 0
SNולכן כאשר נמצע )נחלק בנוסף ב (N + 1נקבל,
0
N odd
0
N odd
S0 + S1 + · · · + SN −1 + SN
→
=
1
k+1 N = 2k even
N +1
N = 2k even
2k+1
2
ולכן אין לסדרה גבול .לעומת זאת ,כדי לבדוק סכימות לפי אבל נחשב
1 0
1
1
] = lim−
=
2
)r→1 (1 + r
1+r
4
[[(−r)k+1 ]0 = lim− −
r→1
∞
X
k=0
(−1)k (k + 1)rk = lim− −
r→1
∞
X
k=0
lim−
r→1
כאשר השוויון האמצעי נכון על פי גזירה איבר איבר של טור חזקות.
משפט ] 6.14סכימות על פי צזארו גוררת סכימות על פי אבל[ יהי טור החזקות ak xk
מתכנס לפי צזארו .אזי הוא סכים על פי אבל ומתקיים
ak
∞
X
)ak = (A
k=0
∞
X
k=0
èé
)(C
P
ונניח שהוא
הוכחה :ראשית שימושי לשים אליו לב שכשנסמן ak
Sk x k + SN0 x N0
N
0 −1
X
k=0
)= (1 − x
k+1
N
0 −1
X
Sk x
k=0
Pn
k=0
k
Sk x −
= S−1 = 0, Snאז עבור N0
N0
X
k=0
k
= (Sk − Sk−1 )x
N0
X
כלשהו מתקיים
=
k
ak x
k=0
מצד שני משום ש ,Sn = (n + 1)σn − nσn−1בהנתן שקיים הגבול של limN →∞ σN = C
שעבור |x| < 1הגבול הבא הינו אפס
N0
X
k=0
בהכרח מתקיים
lim SN0 xN0 = lim (n + 1)σn xn − lim nσn−1 xn = 0 · c − 0 · c = 0
∞→n
∞→n
∞→ N0
על כן נוכל בשוויון הראשון לקחת גבולות ולהסיק כי
Sk x k
∞
X
k=0
)= (1 − x
k
ak x
∞
X
k=0
בדומה )ואף ביתר קלות ,שכן ברור כי (n + 1)σn xn → 0עבור |x| < 1ו־∞ →
(k + 1)σk xk
∞
X
k=0
(nמתקיים
∞
X
k
)Sk x = (1 − x
k=0
.limN →∞ σNנעיר גם שעל פי
ההנחה שלנו היא שהטור סכים על פי צזארו זאת אומרת שקיים = C
|(n + 1)σn |1/n → 1נובע כי רדיוס ההתכסנות של הטור מימין הינו .1ראשית נניתן להניח בה"כ ש
C = 0על ידי שינוי של ] a0דבר שכמובן לא משפיע על התכנסות הטור[ .אכן ,אם מחליפים a0 → a0 +d
קל לבדוק כי עבור כל nמתקיים .σn → σn + dתחת הנחה זו ,בהנתן ε > 0אפשר למצוא N0כך
שלכל N > N0יתקיים .|σN | < εלכן
(k + 1)σk xk
∞
X
k=0
(k + 1)σk xk
∞
X
k=N
2
Sk xk = (1 − x)2
k
)(k + 1)σk x + (1 − x
∞
X
k=0
N
−1
X
2
k=0
)ak xk = (1 − x
∞
X
k=0
)= (1 − x
נשים לב שכאשר Nקבוע ו x % 1
הכופל את ) .((1 − xלכן לכל Nקבוע
הגורם הראשון שואף כמובן לאפס )שכן מדובר בפולינום ,סופי,
(k + 1)σk xk
∞
X
k=N
2
k
)ak x = lim sup(1 − x
x%1
וכעת נשתמש בנתון ונאמר כי עבטר כל N > N0
(k + 1)xk
∞
X
k=N
2
∞
X
k=0
lim sup
x%1
קבוע
k
)ak x ≤ ε lim sup(1 − x
x%1
∞
X
k=0
lim sup
x%1
∞P
2
על מנת לסיים מספיק לשים לב כי לכל Nןלכל |x| < 1מתקיים + 1)xk ≤ 1
∞P
1
k
כבר בדקנו )על ידי גזירה איבר איבר של הטור
מדובר בטור חיובי ואילו k=0 (k + 1)x = (1−x)2
P k
למשל(.
x
k=N (k
êë
)(1 − x
שהלא
העשרה :משפט מסוג הפוך ,שנקרה "משפט טאובריאני" ,שאומר שאם בנוסף יש תנאי דעיכה על המקדמים,
אז סכימות על פי אבל גוררת את התכנסות הטור במובן הרגיל.
∞P
ונניח שהוא סכים על פי אבל ,דהיינו קיים עבור = )f (r
משפט ] 6.15טאובר[ נביט בטור k=0 ak
∞P
k
הגבול .limr→1− f (r) = ρנניח בנוסף כי ) . ak = o(1/kאזי מתקיים
k=0 ak r
ak = ρ
∞
X
k=0
הוכחה :נסמן
1
m
xm = 1 −כך ש % 1
.xmנביט בסדרה
ak xkN
∞
X
k=0
ak −
N
X
= BN
k=0
ונראה שכאשר ∞ → Nהיא מתכנסת לאפס .משום שהאיבר הימני הוא ) f (xN
,ρזה יסיים את ההוכחה .אכן,
ak xkN := AN + BN
∞
X
k=N +1
−
) xkN
ak (1 −
N
X
=
ak xkN
k=0
∞
X
k=0
ואנו יודעים ששואף ל
ak −
N
X
k=0
ומתקיים
k−1
|ak | 1 + xN + x2N + · · · + xN
N
X
k=1
) = (1 − xN
) xkN
|ak |(1 −
k|ak | →N →∞ 0
והשאיפה לאפס הנ"ל נובעת מכך ש kak → 0
N
X
k=0
N
X
k=1
1
N
≤ | |AN
≤
)ובפרט ממוצעי צזארו שלהם( .בנוסף נחשב
∞
X
∞
X
1 k
1
≤ | |BN
≤ k|ak | xN
· | sup k|ak
= xkN
k
N
+
1
k≥N +1
k=N +1
k=N +1
N +1
xN
1
=
| sup k|ak
≤
sup k|ak | →N →∞ 0
N + 1 1 − xN
k≥N +1
k≥N +1
ולכן שני הגורמים אכן שואפים לאפס כרצוי ,והטור המקורי מתכנס ל .ρ
נעיר שיש משפט חזק יותר של ליטלווד האומר כי מספיק לדרוש חסימות של kak
סוף שיעור 12
74
אך הוכחתו קשה יותר.
6.6
כפל של טורי חזקות
ראשית נדון מעט בכפל של טורים מספריים )נושא זה מקומו יכירנו דווקא בקורס חדו"א 1א( .ראיתם
את משפט רימן שאומר ששינוי בסדר הסכימה יכול לשנות את ההתכנסות ואת הסכום .כאשר כופלים
P
P
P
a
b
המכפלות
כל
את
שמכיל
טור
למעשה
מקבלים
,
b
ו
שני טורים an
n
k
k
k,n
נבחר לסכום את הזוגות הללו )האינדקס הוא ב (N × Nיכול להשפיע על הסכום .מצד שני ,כאשר נתונה
,אך הסדר לפיו
התכנסות בהחלט של הטור )עם סדר סכימה מסויים( ,אין זה משנה אם נשנה את סדר הסכימה .ראיתם
בתירגול את המשפט הבא:
∞P
משפט 6.16בהנתן טור מספרים
j=1 rj
לכן מתקיים שאם שני הטורים an
rjעם · · · j = 1, 2,יתקיים
P
שמתכנס בהחלט ,לכל p : N → N
)rp(j
∞
X
= rj
j=1
∞ < | |bk
לכן הטור rj
P
∞
X
k=1
| |an
ו bk
∞
X
P
≤ | |bk
n=1
חח"ע ועל יתקיים
∞
X
j=1
מתכנסים בהחלט ,אז לכל סידור של האברים an bk
mN
X
k=1
| |ak
nN
X
k=1
|rj | ≤ lim
∞→ N
N
X
j=1
|rj | = lim
∞→ N
כסדרה
∞
X
j=1
מתכנס בהחלט ולכן סדר הסכימה לא חשוב ולכן אפשר למשל לסדר לפי ריבועים )ראו
ציור מטה( .במקרה כזה קל לכתוב נוסחא לתת הסדרה SN 2
bk
∞
X
k=1
an
∞
X
n=1
→ bk
N
X
an
N
X
2
= rj
n=1
k=1
שהרי
N
X
= SN 2
j=1
ומשום שאנו יודעים שיש התכנסות של הטור כולו ,הוא מתכנס לאותו הגבול כמו תת הסדרה הזו ,דהיינו
) bk
∞
X
k=1
() an
∞
X
( = aj b k
n=1
∞
X
j,k=1
איור :21סידור של המכפלות } {aj · bk
75
לפי ריבועים
כעת נעבור לדון בכפל של טורי חזקות .נזכור שממילא בתוך רדיוס ההתכנסות יש התכנסות בהחלט
ובמ"ש.
יש דרך טבעית לבחור סדר על פיו סוכמים את טור החזקות ,כך שהמכפלה מסודרת גם היא כטור
חזקות .זו נקראת מכפלת קושי:
ak bl−k xl
∞ X
l
X
k
= bk x
l=0 k=0
∞
X
j
aj x
∞
X
j=0
k=0
P
k
∞ = )f (x
טענה ] 6.17מכפלות קושי[ יהיו k=0 ak x
P
= ) h(xכאשר
מתכנסים בהחלט בתחום .Iאזי גם טור החזקות ck xk
בהחלט בתחום זה ומתקיים ).h(x) = f (x)g(x
ו
k
∞P
k=0 bk x
= )g(x
טורי חזקות ונניח ששניהם
aj bk−j
Pk
j=0
= ck
מתכנס
ההוכחה מיידית על פי המשפט האחרון ,ברגע ששמנו לב שאכן הסכימה הנ"ל עוברת על כל הזוגות )(i, j
וכל אחד נסכם בדיוק פעם אחת )ראו ציור ־ זו איננה הסכימה בסדר שעשינו לפני כמה רגעים(.
איור :22סידור קושי של המכפלות } {aj · bk
זו לא הייתה סתם הערה ,ניתן להשתמש במכפלת קושי על מנת לחשב סכומים של טורים .לדוגמא,
נכפול את טור החזקות של
(l + 1)xl
∞
X
l=0
1
1−x
l
בעצמו .נקבל
!
= 1 x
l
X
m=0
∞
∞
∞
X X
X
1 2
1
1
= )
=
(
xk
= xj
1−x
1 − x 1 − x k=0
j=0
l=0
ואכן ,זה בדיוק מסתדר עם היותו טור הנגזרות ועם גזירה איבר איבר.
6.7
6.7.1
נגיעה ראשונה במרוכבים ־ טורי חזקות
טורים של מספרים מרוכבים
P
∞P
כאשר נתון טור zk
= k=0 uk + ivk
P
P
ממשיים שלאחד מהם מקדם ,iדהיינו uk + i vk
כאשר ) uk = Re(zk ), vk = Im(zkונאמר שהוא
של מספרים מרוכבים ,נתייחס אליו כאל סכום של שני טורים
76
מתכנס אם כל אחד מהטורים הממשיים יתכנס) .באופן שקול ,סדרה מרוכבת מתכנסת למספר מרוכב
אם הדבר מתקיים בנפרד לחלק הממשי בסדרה ולחלק המדומה בה( .מבחני התכנסות וכדומה אפשר
לעשות )למשל( לכל טור בנפרד.
P
נאמר שהטור מתכנס בהחלט אם הטור הממשי ∞ < | |zk
√
משום שמספר מרוכב z = a + ibמקיים ,|z| = a2 + b2ולכן | , |a|, |b| ≤ |z| ≤ |a| + |bמתקיים
.
שהטור מתכנס בהחלט אם ורק אם כל אחד משני הטורים מתכנס בהחלט .בפרט ,אם טור מרוכבים
מתכנס בהחלט אז הוא מתכנס .עוד עובדה שימושית הנובעת בקלות מאי שוויונים אלה היא שאיבר
כללי בטור מרוכב שמתכנס ,חייב לשאוף לאפס )גם החלק המדומה וגם החלק הממשי ,שזה כמו לומר
→0
| .(|zk
6.7.2
טורי חזקות מרוכבים
כאשר zמספר מרוכב ,החזקות שלו מוגדרות כרגיל כך z = a + ib :אז = )z 2 = (a + ib)(a + ib
) a2 − b2 + i(2abובאינדקוציה .z n = (a + ib)z n−1כאמור טור של מרוכבים זה פשוט לסכום בנפרד את
P
P
P
k
∞ כסכום של uk +i vk
החלק הממשי ואת החלק המדומה ,כך שלמעשה אם נציג את אברי k=0 ck z
יש צורך ששני הטורים יתכנסו .כמובן שכאן לא מדובר בשני טורי חזקות ממשיים ,כי ל ukול־ vkמבנה
יותר מעניין) .בנוסף ,במקרה כללי גם המקדמים ckעשויים להיות מרוכבים אבל בכך לא נדון כעת(.
המשפט על התכנסות בדיסק )למהìíî
מוחלטים ,ואכן |z n | = |z|n
( עובד גם כאן כלשונו ,שכן ההוכחה משתמשת בערכים
וזה מעביר אותנו לטורים ממשיים מייד .הבה ננסח אותו:
P
k
∞ כאשר נאפשר ל zלקבל ערכים ב .Cנניח שהטור מתכנס ב z0
משפט 6.18נביט בטור k=0 ck z
ש |z0 | = Rויהיה .r < Rאזי הטור מתכנס בהחלט ובמ"ש בתחום } .Dr = {x : |x| ≤ rדהיינו ,קיימת
f : Dr → Cולכל ε > 0קיים Nכך שלכל n > N
כך
sup |Sn (z) − f (z)| ≤ ε
|z|≤r
כאשר
k
Pn
k=0 ck z
=
).Sn (z
77
ההוכחה זהה להוכחה הממשית ,הדבר היחיד שדורש הסבר הוא העובדה שאיבר כללי בטור מרוכב
שמתכנס גם צריך לשאוף לאפס )וזה די ברור( וכן שטור מרוכב שמתכנס בהחלט ,מתכנס ,כפי שציינו.
בנוסף ,השימוש במשפט ויירשטראסס להתכנסות במ"ש ישמש כאן לפונקציות שערכיהן מרוכבים ,וגם
הוא תקף ־ שכן בהוכחתו משתמשים בקריטריון קושי במ"ש שתקף גם הוא במקרה המרוכב.
נדון עוד די לעומק במרוכבים הנחוצים לנו לטורי פורייה ,אבל אנו מציינים את המעט הזה כאן כי
יש פה הסבר לתופעות "מפתיעות" שראינו ,למשל ,בעוד שהיה ברור לנו מדוע הטור של
∞P
1
1+x2
1
1−x
)הנתון על
ידי xk
∞P
, k=0 (−1)n x2nלא מתכנס מעבר ל ) ? x ∈ (−1, 1התשובה היא שאמנם הפונקציה ללא קטבים ב ,R
אבל במרוכבים יש לה קוטב ב z = iשהוא מרדיוס .1לכן ,משום שההתכנסות היא תמיד בדיסק ,הטור
k=0
( מתבדר ב־ ,1מדוע הטור של
שזו פונקציה חביבה ,רציפה וחסומה ,הנתון של ידי
שלה לא יכול להתכנס באף נקודה הרחוקה מהראשית יותר מ־" . 1צילם של המרוכבים" ,כמו במערה
של אפלטון ,נראה גם בעולם הממשיים!
6.7.3הגדרת ez
ונסחת אוילר
גם רדיוס ההתכנסות של טור חזקות מרוכב נתון על ידי אותה נסחא של קושי הדמר )במקרה של
מקדמים מרוכבים יש לקחת כמובן lim sup |ak |1/k
למקדמים המרוכבים( וההוכחה עובדת כלשונה .לכן
למשל
יתכנס בכל .C
X 1
zk
!k
עכשיו זה אך טבעי להגדיר את הביטוי הזה כ .ez
כעת הנסחאות הבאות ברורות
מההגדרה )ומהאפשרות לכפול טורים המכנסים בהחלט(
∞
X
(iθ)2k
∞
X
(iθ)2k+1
+
!)(2k
!)(2k + 1
k=0
)= cos θ + i sin(θ
∞
X
(−1)k (θ)2k+1
!)(2k + 1
k=0
+i
k=0
=
∞
X
(iθ)k
!k
e
k=0
∞
X
(−1)k (θ)2k
!)(2k
=
iθ
=
k=0
זו נקראת נסחת אוילר .בנוסף
∞
∞
∞
l
X
1 k X 1 j XX 1
1
=
z
= w
z k wl−k
!k! j=0 j
!)k! (l − k
k=0
l=0 k=0
∞
l
∞
X
1 X l k l−k X 1
z w
=
=
(z + w)l = ez+w
k
!l
!l
l=0
k=0
l=0
z w
e e
ולכן למשל אם z = a + ibזאת אומרת ) ,a = Re(z), b = Im(zאז )ez = ea (cos b + i sin b
כמובן שגם מתקיימת הנוסחא .(ez )k = ekzאכן ,ניתן להוכיח זאת באינדוקציה על .kעבור k = 1
זה טריוויאלי .נניח נכונות עבור k − 1ונרשום
(ez )k = (ez )k−1 ez = e(k−1)z ez = e(k−1)z+z = ekz
ïð
ולכן גם מתקיים שאם
))(R = |z|, θ = arg(z
z = Reiθ
אז מקומוטטיביות הכפל
z k = Rk eikθ
וכמוכן
) z1 · z2 = R1 eiθ1 R2 eiθ2 = (R1 R2 )ei(θ1 +θ2
זאת אומרת ־ רדיוס נכפל וזויות נסכמות בכפל מרוכבים.
איור :23כפל מרוכבים
שימו לב שלמשל נקבל את השוויון
cos(2θ) + i sin(2θ) = ei2θ = eiθ eiθ = (cos θ + i sin θ)2 = cos2 θ − sin2 θ + 2i cos θ sin θ
וממנו הנסאות הטריגונומטריות
cos(2θ) = cos2 θ − sin2 θ
sin(2θ) = 2 cos θ sin θ
מי צריך דפי נוסחאות!
נזכיר גם את הפעולה המרוכבת של "צמוד" ,אם z = a + ibאז z̄ = a − ib
z = Reiθאז .z̄ = Re−iθכמובן
)z − z̄ = 2ib = 2iIm(z
ñò
כשבקואורדינטות פולריות
)z + z̄ = 2a = 2Re(z
k
כעת שוב נחזור לטורי חזקות :בכתיבה פולרית נקבל שהטור
ck Rk eikθ
∞P
k=0 ck z
∞
X
הוא למעשה הטור
k=0
P
לכן אם דנים בהתכנסות בהחלט עוסקים למעשה בטור הממשי . |ck |Rkהחלק eikθ
הגורם ה kי( ,והוא בסה"כ המספר המרוכב )בעל ערך מוחלט (1
נקרא הפאזה )של
)cos(kθ) + i sin(kθ
אלה היו הערות קטנות יחסית על מרוכבים ,כי הפרק הבא על טורי פורייה דורש עבודה צמודה איתם.
טורי פורייה
7
הקדמה על פונקציות עם ערכים מרוכבים
7.1
כל פונקציה f : [a, b] → Cניתן לרשום כ f = u + ivכאשר : [a, b] → R
.u, vמבחינות רבות אפשר
לעבוד כביכול עם "זוג פונקציות" ,אולם המבנה של כפל של מרוכבים מוסיף עניין .בתת פרקים הבאים
נעבור בקצרה על הפעולות הבסיסיות שעושים עם פונקציות )גזירה ,אינטגרציה וכו( כאשר הפונקציות
מחזירות ערכים מרוכבים.
7.1.1
אינטגרציה
תהי f : [a, b] → Cונרשום f = u + ivכאשר .u, v : [a, b] → Rנאמר ש )]f ∈ R([a, b
)] u, v ∈ R([a, bובמקרה כזה נגדיר את
ó
ó
b
v(x)dx
ó
b
u(x)dx + i
a
b
= f (x)dx
a
a
נשים לב שהתוצאה גם היא מספר מרוכב .נשים לב שהשתמשנו באותו סימון )]R([a, b
גם עבור פונקציות
ממשיות וגם עבור פונקציות עם ערכים מרוכבים.
דוגמא:
19
x2 3
x3
5
|2 + i |32 = + i
2
3
2
3
7.1.2
ó
ó
3
= x2 dx
כללים פשוטים
הכללים שלמדנו על אינטגרציה עובדים יפה .למשל
ôõ
ó
3
xdx + i
2
אם
3
= x(1 + ix)dx
2
2
÷ ö(f + g) = ö f + ö g
÷ öf = öf + öf
÷ ö cf = c ö f
ברור עבור c ∈ Rאבל גם תקף עבור c ∈ Cפשוט כי
)i ø(u + iv) = − øv + i øu = øi(u + iv
b
a
b
a
b
c
c
a
b
a
b
a
b
a
b
a
÷ ö f¯ = ö u − i ö v = ö f
b
a
7.1.3
b
a
b
a
b
a
גזירה
את הנגזרת של פונקציה עם ערכים מרוכבים נגדיר כרגיל כגבול ,אך נקבל מייד
)f (x + h) − f (x
)= u0 (x) + iv 0 (x
h→o
h
f 0 (x) = lim
כך שאין כאן משהו מיוחד) .לא לבלבל עם פונקציות שמוגדרות על תחום מרוכב ,ואז גם h
הרבה יותר מעניין( .לדוגמא f (t) = eit :אז ) f (t) = cos(t) + i sin(tולכן
מרוכב והמצב
f 0 (t) = − sin(t) + i cos(t) = i(cos(t) + i sin(t)) = ieit
גם הנוסחא של נגזרת של מכפלה עובדת שהרי
(f g)0 = [(u + iv)(q + ip)]0 = [uq − vp]0 + i[vq + up]0
] = u0 q + uq 0 − v 0 p − vp0 + i[v 0 q + vq 0 + u0 p + up0
= [u0 + iv 0 ](q + ip) + (u + iv)[q 0 + ip0 ] = f 0 g + f g 0
ניוטון לייבניץ והמשפט היסודי
7.1.4
גם כאן ,העובדה שהמשפטים נכונים עבור uו v
למשל ,אם f 0 = gאז )תחת ההנחה ש gאינטגרבילית למשל(
בנפרד וליניאריות האינטגרל גורמות להכל לעבוד.
)ø g(x)dx = f (b) − f (a
b
a
נשים לב שהמשפט שימושי כי הוא מונע את הצורך לפרק לחלק מדומה וחלק ממשי .לדוגמא ,משום ש
0
(eit ) = ieit
נוכל לבצע ישירות
ø ie
b
= −i[eit ]ba = −i[cos t + i sin t]ba
it
a
øe
b
dt = −i
it
a
ולמשל ־
ø
π/2
eit = −i[eiπ/2 − ei0 ] = −i(i − 1) = i + 1
0
ùú
øe
π
= −i[eiπ − ei0 ] = 2i,
it
0
ø
2π
eit dt = 0
0
7.1.5
בחלקים
כמובן שכשיש נסחא כמו (f g)0 = f 0 g + f g 0
û (f g) = û f g + û f g
b
0
ויש משפט ניוטון לייבניץ ,אז יש גם אינטגרציה בחלקים
b
b
0
a
0
a
a
= (f g)|ba
ואפשר להשתמש למשל
û
π int
e
eint π
eint π
π inπ
|
e + ein(−π) −
|−π −
= dt
in
in
(in)2 −π
−π in
1
π
π
= −i 2 cos(nπ) + 2 [einπ − e−inπ ] = 2i (−1)n+1
n
n
n
û
π
teint dt = t
−π
במקום זה כמובן שניתן היה להשתמש בפירוק לסינוס וקוסינוס ולכל אחד לעשות בנפרד אינטגרציה
בחלקים.
7.1.6
פשוט ושימושי
למה 7.1תהי f : [a, b] → Cונניח ] .f ∈ R[a, bאזי גם ]|f | ∈ R[a, b
û f (x)dx| ≤ û |f (x)|dx
b
ומתקיים
b
a
a
הוכחה :אינטגרביליות מיידית כי נשמרת תחת u2 + v 2
√
→7
|
.u, vכאשר הפונקציה מקבלת ערכים
ממשיים ,מדובר פשוט בהשוואת אינטגרלים .כעת הערכים מרוכבים ,וגם האינטגרל הוא מרוכב ,אז נסמן
ü f (x)dx = z ∈ C
b
a
.נסמן גם
אותו ,אם z = Reiθאז = e−iθ
̄z
||z
= λאז מתקיים |λ| = 1וכן λz ∈ Rכי |= |z
.λzזה פשוט לסובב
.λנקבל
| û f (x)dx| = |z| = λz = û λf = Re(û λf ) = û Re(λf ) ≤ û |λf | = û |f
b
b
a
b
a
b
a
b
a
סוף שיעור 13
82
b
a
a
|
7.2
פונקציות מחזוריות
נאמר שפונקציה f : R → Cהיא מחזורית בעלת מחזור Tאם )f (x + T ) = f (x
) f (xבעלת מחזור Tאז ) g(x) = f (T xהיא בעלת מחזור .1
לדוגמא ,הפונקציה en (t) = eintהיא בעלת מחזור | .2π/|nאבל בפרט ,אם ,n ∈ Nגם בעלת
מחזור .2πעל פי רוב נזהה פונקציות מחזוריות בעלות מחזור 2πנאמר ,עם פונקציות על ) , [0, 2πאו
עם פונקציות על ] [0, 2πכך ש ) .f (0) = f (2πמבחינת תורת הקבוצות מדובר באותו אובייקט ,אולם
לכל .xכמובן שאם
מבחינת חדו"א יש הבדלים מינוריים ,למשל כשנרצה לדבר על רציפות ,בהגדרה האמצעית יהיה צורך
לבקש ) .limt→2π f (t) = f (0בהגדרה האחרונה אם נרצה לדבר על גזירות בנקודה 2π “ = ” 0
צורך לדרוש שהנגזרת משמאל ב 2πתזדהה עם הנגזרת מימין ב ,0ולכן נוח יותר לעבוד עם פונקציות
2πמחזוריות על Rשזה כמו פונקציות על המעגל
יהיה
T = R/2πZ
כאשר הדבקנו בעצם את הנקודות 0ו 2π
את ) R(Tלהיות אוסף הפונקציות f : R → Rבעלות מחזור 2πשהן אינטגרביליות בקטע ].[0, 2π
יחדיו ליצירת מעגל )טורוס חד מימדי ־ מכאן האות .(Tנגדיר
הגדרה 7.2נסמן en (t) = eintעבור ∈ N
.nפולינום טריגונומטרי זהו צרוף ליניארי סופי של פונקציות
כאלה עם מקדמים מרוכבים,
)cn en (t
N
X
= )P (t
n=−N
והדרגה של הפולינום היא ) .Nאם cNאו c−N
לא מתאפסים(.
נשים לב שכל פולינום כזה ניתן להצגה כ
))cn (cos(nt) + i sin(nt
N
X
=
int
cn e
n=−N
N
X
= )P (t
n=−N
זאת אומרת כצרוף ליניארי של סינוסים וקוסינוסים .ואם cn = an + ibn
)(cn + c−n ) cos(nt) + i(cn − c−n ) sin(nt
)(an + a−n ) cos(nt) + (b−n − bn ) sin(nt
N
X
n=1
N
X
P (t) = c0 +
= c0 +
n=1
N
X
)(bn + b−n ) cos(nt) + (an − a−n ) sin(nt
נקבל
+i
n=1
כך שיש הצגה מפורשת של החלק הממשי והחלק המרוכב .גם את ההתאמה ההפוכה קל לבצע ,דהיינו
אם נתונה פונקציה מהצורה
)αk cos(nt) + iβk sin(nt
N
X
k=0
83
= )Q(t
אז קל למצוא את ההצגה המתאימה כפולינום טריגונומטרי ,זאת אומרת לפתור αk = ck +c−k ,α0 = c0
ו .βk = ck − c−k
7.3
מכפלה פנימית
על מרחב הפונקציות ]R[T
יש מבנה של מכפלה פנימית) .זהו כמובן מרחב וקטורי ,מעל המרוכבים ־ אם
כי די ברור שהמימד שלו כמרחב וקטורי הוא אינסוף ־ נדון בכך בקרוב( .נגדיר את המכפלה הפנימית
באופן הבא
2π
ý
f (x)g(x)dx
0
1
2π
=hf, gi :
לכל זוג פונקציות מותאם על כן מספר מרוכב באופן זה .זה כמובן צריך להזכיר לכם את המכפלה
הפנימית הסטנדרטית ב Rn
המוגדרת על ידי
xi yi
n
X
i=1
ומי שמכיר במרחב Cnמגדירים xi yi
1/2
Pn
i=1
2
|f (x)| dx
שכמובן מזכיר לנו אורך של וקטור |xi |2
7.3.1
תכונות פשוטות
=
~ .נגדיר גם את
x · ~y
2π
ý
0
pP n
i=1
= ~x · ~y
1
2π
=
=
1/2
kf k2 = hf, f i
|.|x
ישנן תכונות שהן האקסיומות של מרחב מכפלה פנימית ,וכדאי לוודא שמתקיימות
hg, f i = hf, gi .1
hf1 + f2 , gi = hf1 , gi + hf2 , gi .2
hλf, gi = λhf, gi .3
þ
2π
0
) hf, f i ≥ 0 .4ובפרט ממשי( ו (kf k = 0) hf, f i = 0אם ורק אם |f (x)|2 dx = 0
נדון בתכונה זו מעט :אילו ||f || = 0אז בכל נקודת רציפות קל לראות ש . f (x) = 0אם
מצטמצמים לפונקציות רציפות ,קיבלנו שפשוט .f ≡ 0לפונקציות כלליות לא דנו כל כך בנושא
.
של מידה אפס ,ולא הוכחנו שלפונקציה אינטגרבילית יש מידה אפס של נקודות אי רציפות ,אם
כי הדבר נכון .מה שעושים במקרה כללי הוא לקחת מרחב מנה תחת יחס השקילות f ∼ g
|f − g|2 = 0ולעבוד שם .אחרת החלק החסר של תכונה 4שאומר ש kf k = 0רק לפונקציית
אם
þ
האפס לא תקף .או שאפשר באמת להצטמצם לפונקציות רציפות .או להצטמצם לרציפות למקוטעין
ומשמאל ,או כל מיני אפשרויות אחרות.
84
ישנם דברים רבים שנובעים אוטומטית מהתכונות הללו ,ללא צורך בידע על ההגדרה המסויימת של
הממ"פ שלנו .נעיר שהעובדה ש hf, f i ∈ R
נובעת מהתכונה הראשונה מיידית .ליניאריות במשתנה השני
נובעת גם היא מתכונות 1ו־ ,2כמוכן מתכונות 1ו־ 3נובע כי = λhf, gi
.kλf k = |λ| · kf k
7.3.2
.hf, λgiקל לראות לכן גם ש
מושג האורתוגונליות
היתרון הגדול במבנה של מכפלה פנימית )שנקרא גם מבנה אוקלידי( הוא שיש מושג של להיות "מאונך".
כשנעבוד רק עם התכונות האבסטרקטיות ולא עם המרחב הקונקרטי שלנו ,נסמן את מרחב המכפלה
הפנימית ב .V
הגדרה 7.3תהיינה .f, g ∈ Vנאמר שהן אורתוגונליות אם hf, gi = 0ונסמן ⊥ g
.f
למה ] 7.4משפט פיתגורס[ יהיו f, g ∈ Vונניח .f ⊥ gאזי + gk2 = kf k2 + kgk2
.kf
הוכחה :אכן
kf + gk2 = hf + g, f + gi = hf, f i + hf, gi + hg, f i + hg, gi = kf k2 + kgk2
לדוגמא ,כשנסמן כרגיל en = eintעבור n ∈ Z
1 ei(n−m) 2π
2π
2π
|0 m 6= n 0 n 6= m
1
1
=
= hen , em i
= eint eimt dt
)ei(n−m)t dt = 2π i(n−m
1
2π 0
2π 0
m = n 1 n = m
בממ"פ שלנו,
ÿ
ÿ
זאת אומרת שמדובר במערכת אורתונורמלית של פונקציות .היא מזכירה במידה מסויימת את המערכת
האורתונורמלית הסופית {ei }ni=1ב Rnאו ב Cnהמוגדרת על ידי )= (0, · · · , 0, 1, 0, · · · , 0
הוא במקום ה iי.
~ כשהאחד
ei
אם נתרגם את העובדה האחרונה למונחים של סינוסים וקוסינוסים ,נראה שלמעשה
n 6= ±m
n = ±m 6= 0
n=m=0
n 6= ±m
n=m=0
n = +m 6= 0
n = −m 6= 0
0
= 1/2
1
0
0
=
1/2
−1/2
en + e−n em + e−m
2
2
en − e−n em − e−m
2i
2i
en + e−n em − e−m
=0
2
2i
2π
ÿ
0
2π
ÿ
0
2π
ÿ
0
1
= )cos(nt) cos(mt
2π
1
= )sin(nt) sin(mt
2π
1
2π
2π
ÿ
0
2π
ÿ
0
2π
= )cos(nt) sin(mt
ÿ
0
1
2π
1
2π
1
2π
7.3.3
אי שוויון קושי שוורץ
למה 7.5יהיו f, g ∈ V
אזי מתקיים
|hf, gi| ≤ kf k · kgk
לעיתים מגדירים את הזוית ביניהם על ידי
הוכחה :לכל λ ∈ C
||hf,gi
kf k·kgk
=
).cos(∠f, g
מתקיים
0 ≤ hf − λg, f − λgi = kf k2 − λhg, f i − λhf, gi + |λ|2 kgk2
כעת נציב את
hf,gi
kgk2
=λ
ונקבל
|hf, gi|2 |hf, gi|2
|hf, gi|2
2
+
=
kf
k
−
kgk2
kgk2
kgk2
0 ≤ kf k2 − 2
אפשר לתת עוד הרבה הוכחות )זה אי שוויון שימושי ביותר( למשל ניתן הוכחה לממ"פ הספציפי שלנו
הוכחה :מאי שויון הממוצעים
dx
C|f |2 + C1 |g|2
2
נבחר את C = kgk/kf k
7.3.4
1
CA2 + C
B2
2
2π
0
≤ A · Bלכל > 0
.A, B, Cלכן
2π
1
1
≤ |f (x)g(x)dx
≤ |f (x)||g(x)|dx
2π 0
2π
2
2
1 kgk
kf k
+
= C
2
C 2
2π
0
1
|
2π
וסיימנו.
אי שוויון המשולש
למה 7.6יהיו f, g ∈ V
אזי מתקיים
kf + gk ≤ kf k + kgk
הוכחה :מיידית מקושי שוורץ
kf + gk2 = kf k2 + kgk2 + hf, gi + hg, f i = kf k2 + kgk2 + hf, gi + hf, gi
|= kf k2 + kgk2 + 2Rehf, gi ≤ kf k2 + kgk2 + 2|hf, gi
≤ kf k2 + kgk2 + 2kf k · kgk = (kf k + kgk)2
וניקח שורשים בשני הצדדים.
פורייה למתחילים
7.4
נביט בפונקציות = eint
) .en (tהן פורשות את המרחב הוקטורי של פולינומים טריגונומטריים ־ צרופים
ליניאריים סופיים שלהן .אם נתונה
cn e n
N
X
=f
n=−N
מגדירים את מקדם פורייה ה mי של הפונקציה להיות hf, em i
cn hen , em i = cm
N
X
n=−N
ואז מתקיים
= fˆ(m) := hf, em i
ולכן יתקיים
fˆ(n)en
N
X
=f
n=−N
ובנוסף ,אילו dn en
PN
n=−N
= gאזי גם עבורה יתקיים ĝ(n)en
)fˆ(n)ĝ(n
N
X
PN
n=−N
2π
n=−N
= f g = hf, gi
0
1
2π
ובפרט
|fˆ(n)|2
N
X
n=−N
2π
= |f |2
סוף שיעור 14
87
0
1
2π
= kf k2
=g
וכן
פורייה למתקדמים
7.5
הגדרה ] 7.7מקדמי פורייה[ תהי )∈ R(T
.fנגדיר
2π
f (t)e−int dt
0
1
= fˆ(n) = hf, en i
2π
ונקרא למספר מרוכב זה "מקדם פורייה ה nי של ."fנגדיר את
fˆ(n)eint
N
X
=
)N f ) (t
n=−N
(S
N
X
fˆ(n)en
= SN f
n=−N
קצת היסטוריה :החבר'ה )אוילר ,ברנולי ,לגרנז'( ידעו באופן "ניסיוני" שלפונקציות פשוטות כאשר → N
∞ מתקיים
)SN f (t) → f (t
ופורייה היה הראשון שטען שהדבר מתקיים בצורה יותר כללית .מה שיותר חשוב ־ הוא הראה שעובדה זו
יכולה לפתור בעיות פיסיקליות המתוארות על ידי משוואות דיפרנציאליות ליניאריות שהיו נפוצות במאה
ה .19דיריכלה היה הראשון שהראה באופן ריגורוזי ומדוייק שאכן עבור למשל פונקציות גזירות ברציפות
ומחזוריות 2π
הדבר מתקיים .התנאי של הגזירות ברציפות היה נראה די עקרוני ,שכן היתה דוגמא )של
דו־בואה־ריימונד( של פונקציה רציפה בה ∞ =
אפשר לשחזר את ) f (tבעזרת מקדמי פורייה ,והתשובה לכך )במקרה הרציף( היא כן ־ כפי שהראה
) .lim supN →∞ SN f (0עדיין ניתן היה לשאול האם
פייר ,אבל במקום לקחת גבול צריך לקחת גבול במובן של צזארו ,ובכך נדון גם כן על קצה המזלג.
בשלב הראשון נדון בכלל לא בהתכנסות נקודתית אלא רק בהתכנסות בנורמה:
2π
|SN (x) − f (x)|2 dx → 0
0
ורק אחר כך נעבור לדון בהתכנסות נקודתית.
הערה 7.8הרבה פעמים אנחנו מצטמצמים ל : [0, 2π] → R
SN fשיכול להחזיר ערכים בכלל מרוכבים .דרך מלאכותית היא לומר פשוט שניקח את ) Re(SN fבתור
,fואז זה נשמע מצחיק לקרב אותן עם
הקירוב .אבל אין צורך בכך! נשים לב שלפונקציה ממשית
2π
f (t) sin(nt)dt
0
2π
f (t) sin(nt)dt
0
2π
i
2π
0
2π
i
f (t) cos(nt)dt +
2π
0
f (t) cos(nt)dt −
1
2π
1
= )fˆ(−n
2π
= )fˆ(n
ולכן
2π
1
f (t) cos(nt)dt cos(nt) +
)f (t) sin(nt)dt sin(nt
2π 0
0
2π
2π
1
f (t) cos(nt)dt sin(nt) − i
)f (t) sin(nt)dt cos(nt
2π 0
0
2π
1
2π
1
+ i
2π
= fˆ(n)eint
2π
1
f (t) cos(nt)dt cos(nt) +
)f (t) sin(nt)dt sin(nt
2π 0
0
2π
2π
1
f (t) cos(nt)dt sin(nt) + i
)f (t) sin(nt)dt cos(nt
2π 0
0
2π
1
2π
1
− i
2π
= fˆ(−n)e−int
כך שנקבל ממילא
2π
f (t) sin(nt)dt sin(nt) ∈ R
0
1
f (t) cos(nt)dt cos(nt) +
π
2π
0
1
= fˆ(n)eint + fˆ(−n)e−int
π
זו כמובן היתה דרך ארוכה ומסורבלת לומר ש )fˆ(−n) = hf, e−n i = hf, en i = hf, en i = fˆ(n
ולכן
fˆ(n)eint + fˆ(−n)e−int = fˆ(n)eint + fˆ(n)eint ∈ R
ולכן גם עבור הסכום כולו ,כאשר fמחזירה ערכים ממשיים ,גם SN f
7.5.1
מחזירה רק ערכים ממשיים.
הזנב מאונך לקירוב
טענה 7.9תהי )]f ∈ R([0, 2π
אזי מתקיים
SN − f ⊥ S N
וביתר כלליות SN − f ⊥ ekלכל ≤ N
|.|k
הוכחה :פשוט נחשב fˆ(n)en , ek i = fˆ(k) − fˆ(k) = 0
מסקנה 7.10תהי )]f ∈ R([0, 2π
PN
n=−N
− SN f, ek i = hf, ek i − h
אזי מתקיים
kf k2 = kSN f k2 + kf − SN f k2
7.5.2
אי שוויון בסל
טענה 7.11תהי )] f ∈ R([0, 2πאזי מתקיים kSN f k2 ≤ kf k2לכל N
|fˆ(n)|2 ≤ kf k2
∞
X
∞n=−
ובפרט הטור של ערך מוחלט של מקדמי פורייה בריבוע ,מתכנס.
וגם בגבול
.hf
הוכחה :הדבר מייד מהטענה הקודמת
|fˆ(n)|2
N
X
n=−N
2
2
= kf k = kSN f k + kf − SN f k ≥ kSN f k
ועל ידי לקיחת גבול כאשר ∞ → N
7.5.3
2
2
סיימנו.
הלמה של רימן ולבג
טענה 7.12תהי )]f ∈ R([0, 2π
אזי מתקיים
lim |fˆ(n)| = 0
∞n→±
הוכחה :זהו איבר כללי בטור מספרי שמתכנס לפי הטענה הקודמת.
7.5.4
התכנסות ב .L2
הגדרה 7.13תהי סדרת פונקציות ] fn ∈ R[0, 2πותהי ]∈ R[0, 2π
L2
בנורמת ,L2ונסמן fn → fאם מתקיים
.f
נאמר שהן מתכנסות אליה
lim kfn − f k → 0
∞→n
נשים לב שגבול במובן זה איננו יחיד ,שכן שינוי של f
למשל במספר סופי של נקודות לא משנה.
מטרתנו בסעיף זה להראות שעבור פונקציה אינטגרבילית ,טור פורייה שלה מתכנס אליה במובן .L2זו
טענה כללית דהיינו תקפה לכל הפונקציות האינטגרביליות .רעיון ההוכחה פשוט :מבין כל הפולינומים
)זו טענה
הטריגונומטריים הקיימים ,מדרגה מסויימת ,פולינום פורייה הוא הקרוב ביותר )בנורמה( לפונקציה
.L 2
מטה(.
לכן כל שצריך להראות זה צפיפות של הפולינומים הטריגונומטריים במובן
אנו כב יודעים צפיפות במ"ש של פולינומים רגילים ברציפות ,ואפשר להסיק מכאן צפיפות של
טריגונומטריים ברציפות ,במ"ש ,ובתוספת עם צפיפות L2
של רציפות באינטגרביליות ,לסיים .למעשה
יהיה לנו את הצפיפות של הטריגונומטריים ברציפות בהוכחה אחרת בהמשך ,ולכן נדלג על צפיפות במ"ש
של טריגונומטריים ברציפות ,אם כי דרך להסיק זאת ממשפט ויירשטראסס תינתן לכם בתירגול.
קודם כל נראה את העובדה שהתכנסות במ"ש גוררת התכנסות במובן .L2
u
L
למה 7.14תהי סדרת פונקציות ] fn ∈ R[0, 2πותהי ] f ∈ R[0, 2πונניח .fn → fאזי fn →2 f
2π
0
limוזה נובע מיידית משפט
.
הוכחה :עלינו להראות |fn (x) − f (x)|2 dx = 0
u
איטגרל וגבול יחד עם העובדה שגם ) |fn − f |2 → 0כי מדובר בפונקציות חסומות במידה אחידה שהרי
הן מתכנסות במ"ש לחסומה(.
∞→n
על החלפת
מסקנה 7.15פולינומים צפופים ברציפות גם במובן .L2לכל f : [a, b] → C
) Pn (x), Qn (xכך ש
רציפה קיימים פולינומים
lim kPn (x) + iQn (x) − f (x)k → 0
∞→n
אנו נזדקק למשפט דומה העוסק בפולינומים טריגונומטריים
משפט 7.16תהי f : [0, 2π] → Cרציפה עם ) f (0) = f (2πויהי ε > 0
Pn
= ) Pn (tכך ש
)k=−n ck ek (t
אזי קיים פולינום טריגונומטרי
sup |Pn (t) − f (t)| < ε
]x∈[0,2π
אנו נראה הוכחה ישירה של משפט זה בהמשך שתסתמך על גרעין פייר ,וכרגע רק נשתמש בו ללא
הוכחה.
הערה 7.17הוכחה נוספת שמתבססת על משפט ויירשטראס לפולינומים רגילים תראו בתרגיל הבית
]לאחר פרסום הפתרון נוסיף את ההוכחה גם ברשימות[.
משפט 7.18תהי ] f ∈ R[0, 2πאזי לכל ε > 0קיים פולינום טריגונומטרי Pכך ש kP − f k < ε
L2
קיימת סדרת פולינומים טריגונומטריים ) Pn (tכך ש .Pn → f
ובפרט
הוכחה :ראשית נראה שכל פונקציה אינטגרבילית ניתנת לקירוב L2
פונקציה אינטגרבילית ניתן להניח בלי הגבלת הכללית כי ) f (0) = f (2πכי שינוי פונקציה בנקודה בודדת
לא משפיע על אינטגרביליות ,וגם לא על נורמת L2של ההפרש שלה מכל פונקציה אחרת .נבחר חלוקה
שמקיימת ω(f, Π) ≤ ε/2ונגדיר פונקציה gשעל תת הקטע ה i־י של החלוקה היא ליניארית ומזדהה
עם fבנקודות xiשל החלוקה .נשים לב שבבניה זו gהיא רציפה .זו פונקציה רציפה שמקרבת את f
במובן הבא :בכך תת קטע ] [xi−1 , xiמתקיים |) .ω(f, [xi−1 , xi ]) ≥ |g(x) − f (xולכן אם נסמן את
החסם של fב Mאז
על ידי פונקציות רציפות .אכן ,בהנתן
M K
M
= Σi=1 ω(f, [xi−1 , xi ])∆xi
ω(f, Π) ≤ ε/3
π
π
2π
2M
2π
2π
1
2π
ומשום ש εהיה כלשהו ,קרבנו את fעל ידי רציפה בנורמה .כעת gמקיימת את תנאי משפט
לכן
≤ ||f − g
0
נוכל לקרב את gבמ"ש )ובפרט ב (L2על ידי פולינום טריגונומטרי P
0
עד כדי ,ε/2ונקבל את המשפט:
.kP − f k ≤ kP − gk + kg − f k < ε
≤ |f (x) − g(x)|2
משפט 7.19תהי )] f ∈ R([0, 2πאזי מתקיים limN →∞ kSN f − f k = 0
דהיינו
2π
|f (x) − SN (x)|2 dx = 0
0
lim
∞→ N
ובפרט מתקיים שוויון פרסבל
|fˆ(n)|2 = kf k2
∞
X
.
∞n=−
בשביל המשפט נראה טענת עזר שגם היא שימושית בתורת הקירובים:
טענה 7.20תהי ] .f ∈ R[0, 2πאזי הפולינום הטריגונומטרי מדרגה ≥ Nהקרוב ביותר L2ל f
P
ˆ
,SN f = Nזאת אומרת שמתקיים לכל ck ∈ C
n=−N f (n)en
fˆ(n)en − f k2
N
X
n=−N
הוכחה :נחשב ,תוך שימוש בכך ש − f ⊥ en
Nf
cn en − f k2 ≥ k
fˆ(n)en k2 + kSN f − f k2
n=−N
.k
n=−N
Sלכל ) n ≤ Nטענה
cn en − SN f + SN f − f k2
N
X
N
X
cn e n −
fˆ(n)en − f k2
N
X
n=−N
N
X
n=−N
N
X
n=−N
הוא
= k
2
( ומשפט פיתגורס
cn e n − f k
N
X
n=−N
k
= k
≥ k
כרצוי
הוכחה] :של טענה[ על פי משפט
L
הפולינום QNהוא מדרגה (Nכך ש →2 f
קיימת סדרה QN
של פולינומים טריגונומטריים )כאשר
,QNאך על פי הטענה האחרונה מתקיים
kSN f − f k ≤ kQN − f k →N →∞ 0
ולכן בפרט limN →∞ kSN f − f k = 0
.שוויון פרסבל נובע גם הוא שכן
|fˆ(n)|2 = kSN f k2 = kf k2 − kSN f − f k2 →N →∞ kf k2
סוף שיעור 15
92
N
X
n=−N
7.5.5
דוגמא חישובית
נרצה לקרב את f (t) = t
#
$
במ"ש )היא לא רציפה ,אז אי&&אפשר ממש( ,זה כיוון אחר לנסות ולהוכיח בעזרתו את משפט "
! בעזרת
משפט ויירשטראסס )משפט "
) ,( %ברגע שקירבת את ,tתוכלי לקרב גם חזקות על ידי חזקות של
)נדון דווקא בקטע ] ([−π, πעל ידי פולינומים טריגונומטריים ,עד כמה שאפשר
הקירוב( אך בגלל בעיית הרציפות זה לא עובד ישירות .בתת פרק זה נחשב בדיוק את טור פורייה של
פונקציה זו .נעיר שוב שהיא לא פונקציה רציפה על Tשכן יש לה ערכים שונים ב π
רק נקודת אי רציפות אחת כזו בכל קטע מאורך .2π
וב ,−πאולם יש לה
איור :24פונקציית המסור
כמובן שנמשיך אותה מחזורית ,כך שנקבל פונקצייה הדומה למסור.
למה 7.21תהי f : [−π, π) → Rמוגדרת על ידי = t
פורייה שלה נתונים על ידי fˆ(n) = i(−1)n /nעבור n 6= 0ו .fˆ(0) = 0פולינום פורייה מסדר Nשלה
PN
)n+1 sin(nt
נתון על ידי
= ) .SN f (tהוא מתכנס במ"ש בכל תת קטע סגור של ),(−π, π
)n=1 2(−1
n
לפונקציה .fבפרט הוא מתכנס נקודתית ל fבקטע הפתוח.
) ,f (tונמשיך אותה מחזורית לכל .Rמקדמי
הערה 7.22הבעייתיות בנקודות ±π
נובעת כמובן מחוסר הרציפות שם .הטור עצמו יתכנס כמובן לאפס
בנקודות אלה ,שכן זה פשוט טור אפסים .אבל ההתכנסות בקטע כולו לא תהיה במ"ש .נעיר גם שבקרוב
נראה משפטים כלליים על התכנסות נקודתית ,ולעיתים במ"ש ,של הטור לפונקציה.
הוכחה :משום שהפונקציה איזוגית ,ברור ש .fˆ(0) = 0נחשב עבור n 6= 0
i −int
e
dt
n
π
'
−π
π
1
1 i −int π
t e
= te−int dt
|−π −
2π −π
2π n
i
i
π2einπ = (−1)n
=
2πn
n
'
)(
= )fˆ(n
נסכום אותם לקבלת
N
X
i
i
n int
= (−1) e
])(−1)n [cos(nt) + i sin(nt
n
n
06=n=−N
N
X
= fˆ(n)eint
06=n=−N
N
N
X
= )SN f (t
06=n=−N
X2
1
= )(−1)n+1 sin(nt
)(−1)n+1 sin(nt
n
n
n=1
N
X
קוסינוס אפשר היה לבצע ללא מחשבה על פי הערה*+,
את הביטול של הגורם עם
P
=
06=n=−N
.את ההתכנסות של
2
n+1
הטור )sin(nt
∞ עבור eit 6= −1
)n=1 n (−1
בתת קטעים סגורים שלא מכילים את .(±πלשם כך נסמן an (t) = n1שהיא מונוטונית יורדת לאפס
)במ"ש ב tשכן היא איננה תלויה ב ,(tו ) .bn (t) = (−1)n sin(nt) = (−1)n Im(eintיש לבדוק שסדרת
PN
חסומה במידה אחידה .יותר נוח לסכום בהצגה המרוכבת .נשים לב
הסכומים החלקיים )n=1 bn (t
נסיק מקריטריון דיריכלה )שגם יתן לנו התכנסות במ"ש
שלא השתמשנו בנוסאות מיוחדות ,רק בטלסקופיות של הטור שהיא עובדה אלגברית.
(−eit ) − (−1)N +1 ei(N +1)t
1 + eit
PN
it n
[n=1 (−e ) ] = Im
[(−1)n sin(nt) = Im
N
X
n=1
אם אנו מצטמצמים לנקודות tעבורן נאמר |1 + eit | > δאז ניתן לחסום לכל N
2
δ
≤ | (−1)n eint
N
X
|
ובפרט הטור ) P b (tחסום במידה אחידה ולכן על פי משפט+./
,גם הטור כולו מתכנס במ"ש בכלn=1
n
קטע מהצורה ]+ δ, π − δ
.[−π
יש כמה דרכים פשוטות לראות שההתכנסות היא ל f
] .[−π + δ, π − δההתכנסות היא במ"ש ובפרט לפונקציה רציפה לכן ההתכנסות היא לפונקציה רציפה
בקטע ) ,(−π, πנסמן אותה ב .gמצד שני אנו יודעים שיש התכנסות במובן L2לפונקציה עצמה,
שגם היא רציפה .נקבל לכן שהפונקציה הגבולית מוכרחה להזדהות עם fבמובן .kf − gk2 = 0 ,L2
מכיוון ששתיהן רציפות ,נובע פשוט f ≡ gבקטע .בהמשך נראה הוכחה נוספת ללא שימוש במשפט על
עצמה.
ראשית נצטמצם לקטע מהצורה
התכנסות בנורמה.
הערה 7.23שוויון פרסבל עבור הפונקציה הספציפית הזו נותן לנו גם שוויון מספרי:
|fˆ(n)|2
∞
X
π
= t2 dt
∞n=−
0
−π
1
2π
ואת אחד משני הצדדים אנו יודעים לחשב
∞
X
1
1 1 3 1
3
= ]) [ π − (−π
2π 3
3
n2
∞06=n=−
94
כך שקיבלנו
∞
X
1
= π /6
n2
n=1
2
אם לא ידענו זאת קודם .המון חישובים מסוג זה בטורי פורייה מניבים נסחאות יפות לסכומי טורים
אינסופיים .אפילו ללא פרסבל ,מרגע שאנו יודעים התכנסות נקודתית אנו יכולים להציב בפונקציה ערכים
כלשהם ,נאמר נציב t = π/2
∞
X
(−1)k−1
2k − 1
זאת אומרת
k=1
π
4
=
k−1
=2
ונקבל
)(2k−1)+1 (−1
2k − 1
(−1)k−1
2k−1
)(−1
∞
X
=2
)n+1 sin(nπ/2
k=1
n
)2(−1
∞
X
= )π/2 = f (π/2
n=1
∞P
.זהו הטור ההרמוני האלטרננטי אבל רק על האיזוגיים.
k=1
למה 7.24תהי f : [0, 2π] → Rמוגדרת על ידי = 14 (π − t)2
2
מקדמי פורייה שלה נתונים על ידי fˆ(n) = 2n1 2עבור n 6= 0ו .fˆ(0) = π12פולינום פורייה מסדר N
)PN cos(nt
2
שלה נתון על ידי
.SN f (t) = π12 +הוא מתכנס נקודתית ובמ"ש ב] ,[0, 2πלפונקציה .f
n=1
n2
P 1
)P∞ cos(nt
π4
π2
.
טור פורייה שמתקבל הוא . 12 + n=1 n2שוויון פרסבל נותן = 90
n4
) ,f (tונמשיך אותה מחזורית לכל .R
הוכחה :החישוב פשוט ,שימוש באינטגרציה בחלקים= .
2
2π 3
24πוכן
= π12
= 1 (π − t) dt
3
1
)[− (π−t
]2π
0
8π
3
2π
0
2
2π
1
8π
= )fˆ(0
2π
e−int 2π
1
1
e−int
(π − t)2
|0 −
dt
))(−2(π − t
8π
−in
8π 0
−in
0
2π
2π −int
1
e
−i e−int 2π
i
1
−int
= 0−i
te
= dt
t
|0 +
dt = 2
4πn 0
4πn −in
4πn 0 −in
2n
2
= (π − t)2 e−int dt
2
2
1
8π
= )fˆ(n
2
וקיבלנו את מקמי פורייה האמורים .הסכימה והזוגיות של קוסינוס נותנת את הביטוי לפולינום פורייה,
ולטור .נשים לב שהטור מתכנס בהחלט )הפונקציה עצמה רציפה ,שזה שיפור לעומת הקודמת( ובמ"ש על
פי הבוחן של ויירשטראסס .בפרט ,הפונקציה הגבולית רציפה ,וגם fרציפה ,ומשום ש kf − SN f k → 0
π2
נקבל שהפונקציה הגבולית היא fעצמה .פרסבל ייתן לנו )נרשום את הטור באופן מלא כך +
12
P∞ eint +e−int
2n2
n=1
(
∞
X
π4
(π − t)4
1
= dt
+
2· 4
16
144 n=1
4n
∞
2π
2
0
1
2π
X 1
1
π4
1
1 (π − t)5 2π
−
]=−
|0 dt −
=
80 144
2π 5 · 16
144 n=1 2n4
P 1
4
זאת אומרת קיבלנו = π90
.
n4
95
[π4
מההתכנסות הנקודתית נובע שמותר להציב כל מיני tולקבל שוויונות .בנקודה 0
נציב ונקבל
∞
π2
π2 X 1
=
+
12 n=1 n2
4
שמסתדר עם החישוב הקודם.
בנקודה t = π/2נציב ,עבור nאיזוגי הקוסינוס יתאפס ,ועבור n = 2k
זוגי ,הסימן תלוי בזוגיות של
.kנקבל
∞
∞
)π 2 X cos(kπ
π 2 X (−1)k
π2
+
+
=
=
12 k=1 (2k)2
12 k=1 4k 2
16
2
שהופך לנוסחא = − π12
(−1)k
k2
∞P
k=1
.למעשה נוסחא זו יכולנו להסיק גם כן מהקודמות באופן הבא:
∞
∞
∞
X
X
1
1
1X 1
π2
+
=
2
=
=
k2
(2k)2
2 k=1 k 2
12
k=1
k=1
∞
X
(−1)k
k2
ועל ידי העברת אגפים נקבל את הנסחא מעלה .לדוגמה נוכל להציב t = π
k=1
ולקבל
∞
π 2 X (−1)n
=0
+
12 n=1 n2
שוב לא דבר חדש )אבל טוב שהכל מסתדר(.
7.6
7.6.1
התכנסות נקודתית של טור פורייה
דעיכת המקדמים
הלמה של רימן ולבג ,משפט3456
,אומרת שמקדמי פורייה תמיד דועכים ,שואפים לאפס ,פשוט משום
שהטור של הריבועים שלהם מתכנס .זה למעשה אומר קצת יותר מסתם שאיפה לאפס ,כי זה לא יכול
לשאוף יותר מידי לאט.
אולי שמתם לב לכך שכשהפונקציה לה עשינו פורייה הייתה לא רציפה ) f (t) = tב )[−π, π
(2πהמקדמים דעכו כמו 1/nואילו בפונקציה השנייה שכן הייתה רציפה ,הם דעכו מהר יותר ,בקצב של
,שאפילו קראנו לה "דעיכת
.1/n2הדבר איננו מקרי ,ואולי מזכיר לכם טענה מהעבר הרחוק :טענה
ומחזורית
7487
מקדמי פורייה" אם כי עוד לא עסקנו אז במרוכבים כך שניסחנו אותה רק על סינוסים וקוסינוסים.
למה 7.25תהי ) f ∈ C 1 (Tזאת אומרת ,f : R → Cמחזורית ,2πוגזירה ברציפות .אזי )fˆ0 (n) = infˆ(n
ובפרט .nfˆ(n) → 0
הוכחה :נחשב
)f (t)(−ine−int )dt = infˆ(n
2π
9
0
f (t)e−int 2π
1
|0 −
2π
2π
96
2π
= f 0 (t)e−int dt
9
0
1
2π
כרצוי .נעיר שלמעשה לא היה צורך ברציפות f 0כי אינטגרציה בחלקים אפשר לעשות גם אם ,נאמרf ,
רציפה ,גזירה למקוטעין ו־ f 0רציפה למקוטעין .לבסוף ,השאיפה לאפס נובעת מרימן לבג עבור .f 0
אפשר כמובן להכליל לנגזרות מסדר ,kולקבל באינדוקציה
למה 7.26תהי ) f ∈ C k (Tזאת אומרת ,f : R → Cמחזורית , 2πוגזירה ברציפות k
)(k) (n) = ik nk fˆ(n
ˆ fובפרט .nk fˆ(n) → 0
הוכחה :באינדוקציה .המקרה k = 1
פעמים .אזי
ראינו ,וכעת
2π
f (k−1) (t)e−int 2π
1
= dt
f (k−1) (t)(−ine−int )dt
|0 −
2π
2π 0
ˆ
)ˆ (n
)= inf (k−1) (n) = in(in)k−1 f (k−1
:
2π
−int
(t)e
)(k
f
:
0
1
2π
כרצוי .שוב השאיפה לאפס מרימן לבג ,הפעם עבור ).f (k
הערה 7.27משפט בכיוון הפוך )על כך שאם מקדמי פורייה דועכים בקצב מסויים נתון ,הפונקציה חייבת
להיות גזירה מספר פעמים מסויים( ינתן לכם בתירגול.
P
1
ˆ
∞ ובפרט SN f → f
מסקנה 7.28תהי ) f ∈ C (Tכמו בלמה .אזי ∞ < |)n=−∞ |f (n
∞P
הוכחה :לפי הלמה |fˆ0 (n)|2 = n2 |fˆ(n)|2ולכן לפי בסל ∞ < . n=−∞ n2 |fˆ(n)|2אולם מאי שוויון
הממוצעים לכל |fˆ(n)| = |fˆ(n)|n n1 ≤ 12 [|fˆ(n)|2 n2 + n12 ] n 6= 0ולכן אחרי סכימה נקבל
במ"ש.
∞
X
∞
ˆ 1 X 2
π2
ˆ
∞<
≤ |)|f (n
n |f (n)|2 + |fˆ(0)| +
∞2 n=−
6
∞n=−
כעת לפי הבוחן של ויירשטראסס ,הטור הרלוונטי של הפונקציות מתכנס בהחלט ובמ"ש .בפרט הוא
מתכנס לפונקציה רציפה ,ולכן ,כפי שראינו שנובע מהתכנסות במובן L2ל f
יחד עם התכנסות במ"ש
לאיזושהיא פונקציה ,שהפונקציה המקורית רציפה נובע כי ההתכנסות במ"ש היא בהכרח ל f
עצמה.
במסקנה האחרונה למעשה השתמשנו בטיעון מעט יותר כללי ושימושי
טענה 7.29תהי י ) f ∈ C(Tזאת אומרת f : R → Cרציפה ומחזורית .2πאם ∞ < |)|fˆ(n
אזי SN f → fבמ"ש על ] [0, 2πובפרט נקודתית.
∞P
∞n=−
הוכחה :לפי הבוחן של ויירשטראסס ,הטור הרלוונטי של הפונקציות מתכנס בהחלט ובמ"ש .בפרט הוא
מתכנס לפונקציה רציפה ,ולכן בהכרח ל f
עצמה.
סוף שיעור 16
97
קונבולוציה
7.6.2
הגדרה 7.30תהיינה ) f, g ∈ R(Tזאת אומרת f, g : R → Cמחזוריות 2π
ואינטגרביליות על ].[0, 2π
נגדיר את
2π
f (t)g(x − t)dt
;
0
1
= )(f ∗ g)(x
2π
הפעולה הזאת ,במובן מסויים ,שומרת את התכונות הטובות של שתי הפונקציות .הדרך העיקרית בה אנו
נשתמש בה היא כאשר gתנסה לקרב לנו את "הזהות" על ) .R(Tתראו בתרגיל שלא יקיימת g
"כמו הזהות" ,זאת אומרת ש f ∗ g = fלכל ,fאבל אפשר לנסות ולהתקרב לכך) .בידקו לעצמכם :מה
שפועלת
קבועה?(.
קורה כשעושים קונבולוציה עם פונקציה
לדוגמא ,אם
]x ∈ [−1/n, 1/n
4πn
]x ∈ T \ [−1/n, 1/n
x+1/n
)f (t)dt ' f (x
;
x−1/n
0
= )gn (x
π
;
f (t)g(x − t)dt = 2n
−π
1
= )(f ∗ gn )(x
2π
כאשר ה"בערך שוויון" האחרון הוא בגבול כאשר ∞ → ,nותקף למשל אם f
בקונבולוציות שלנו הוא על פי רב "להחליק" את ,fלמצע את ערכיה סביב xעל פי פונקציית "משקל"
המגולמת על ידי .gברור בדוגמא זו שהפונקציה gn ∗ fרציפה לכל .nלמעשה תמיד קונבולוציה יוצאת
רציפה ב .xהרעיון
רציפה.
עוד דוגמא שרלוונטית אלינו :נזכיר = eikt
) ,ek (tאזי
)f (t)eik(x−t) dt = eikx hf, ek i = eikx fˆ(k
π
;
−π
1
2π
= )(f ∗ ek ) (x
זאת אומרת שאת הסוכם ה kי בטור פורייה אפשר להציג כקונבולוציה עם המונומים הטריגונומטריים.
קונבולוציה היא כלי מאוד שימושי במתמטיקה ,ויש לה תכונות נהדרות שרק את חלקן נודא כאן.
<
∗f =f ∗g
,s(0) = x, s(2π) = x − 2π ,ds = −dt ,t = x − s ,s = x − t
:gאכן על ידי שינוי משתנה
x−2π
)g(x − s)f (s
;
= g(x − s)f (s)ds
;
x
2π
f (s)g(x − s)ds
0
2π
g(t)f (x − t) = −
;
;
0
= )2π(g ∗ f )(x
x
=
x−2π
כשהשתמשנו במחזוריות על מנת להזיז את תחום האינטגרציה.
<
< ): (cf ) ∗ g = c(f ∗ gקל לבדוק לפי הגדרות ותכונות האינטגרל
>=
f ∗ (g + h) = f ∗ g + f ∗ h
:קל לבדוק לפי ליניאריות האינטגרל.
?
)] (f ∗ g) ∗ h = f ∗ (g ∗ hלא בחומר[ :נסמן לכל sקבוע את r(t) = t − s
ונבצע שינוי משתנה.
בדרך גם החלפנו סדר אינטגרציה ללא תירוצים ,אותם תוכלו לקבל בקורס חדו"א .3
π
π
π
1
1
= (f ∗ g)(t)h(x − t)dt
[
f (s)g(t − s)ds]h(x − t)dt
2π −π
(2π)2 −π −π
π
π
1
=
[)f (s
g(t − s)h(x − t)dt]ds
(2π)2 −π
−π
π
π
1
=
f
[)(s
g(r)h(x − s − r)dt]ds
(2π)2 −π
−π
π
1
=
)f (s)[(g ∗ h)(x − s)]ds = (f ∗ (g ∗ h))(x
2π −π
@
@@
@
@
= )((f ∗ g) ∗ h) (x
@
@
@
?
ˆ ](fשוב לא בחומר ,אך נתאר זאת השיעור[:
? )∗ g)(n) = fˆ(n) · ĝ(n
f ∗g
תמיד רציפה :בתירגול.
אם נרשה החלפת סדר
אינטגרציה באינטגרל כפול )מותר למשל אם כולן רציפות ,ואח"כ ניתן לקרב על ידי רציפות( נקבל
זאת כי
π
f (s)g(t − s)ds]e−int dt
dsdt
@
−π
1
2π
π
[
@
−π
π
= (f ∗ g)(t)e−int dt
π
π
@
−π
@ @ f (s)g(t − s)e
@ f (s)[@ g(t − s)e
1
=
2π
1
=
2π
−in(t−s) −ins
e
π
dt]e−ins ds
)−in(t−s
−π
−π
−π
π
−π
)f (s)ĝ(n)e−ins ds = 2π fˆ(n)ĝ(n
= )2π (f ˆ∗ g)(n
π
@
=
−π
?
קונבולוציה עם פולינום ממעלה nתמיד מחזירה פולניום ממעלה ≥
ואת המקרה הכללי תעשו באינדוקציה :נסמן .g(t) = t2אזי
:nהבה נחשב דוגמא קלה
π
f (t)(x − t)2 dt
π
f (t)t2 dt
@
−π
1
2π
π
f (t)(−2t)dt] +
@
−π
1
2π
π
[f (t)dt] + x
−π
@
−π
@
1
2π
הרעיון הכללי בשימוש שלנו יהיה לעשות קונבולוציה עם משהו שמרוכז סביב 0
1
2π
= )(f ∗ g)(x
[ = x2
ולקבל קירוב של הפונקציה
עצמה .ראינו את זה בדוגמא הראשונה ,ובאופן כללי זה נעשה כך
f (x − t)g(t)dt
@
|x|>δ
1
2π
δ
f (x − t)g(t)dt +
99
@
−δ
1
2π
π
= f (x − t)g(t)dt
@
−π
1
2π
ועבור gהמרוכזת היטב סביב 0ובעלת אינטגרל כולל ,1הגורם הראשון הוא בערך )f (x
בערך ,0ל δקטן מספיק .למשל ,אפשר להוכיח את המשפט על קירוב כל פונקציה רציפה על ][−π, π
√
בעזרת פולינומים אם עושים קונבולוציה של הפונקציה עם ) CN ( π − x2 )Nמנורמל להיות מאינטגרל
כללי (1כאשר Nמאוד גדול .פרטים ־ בתירגול.
והגורם השני
7.6.3
גרעין דיריכלה
הגדרה 7.31נגדיר את הפונקציה המחזורית הבאה ,שנקראת גרעין דיריכלה:
en
N
X
= einx
n=−N
N
X
= )DN (x
n=−N
איור :25גרעין דיריכלה
למה ] 7.32תכונותיו של גרעין דיריכלה[
.1מתקיים לכל ) f ∈ R(Tכי DN ∗ f = SN f
|n| ≤ N
|n| > N
וכן
1
0
= )DˆN (n
.2לכל ] y ∈ [−π, πמתקיים |DN (y)|≤ 2N + 1
2N + 1
y=0
.3מתקיים
= ) DN (yובפרט ) DN (yזוהי פונקציה זוגית ,ממשית,
) sin((N +1/2)y
y
=
6
0
)sin(y/2
אך לא תמיד חיובית .כמו כן מתקיים DN (y) = 0אם ורק אם y = yk = 2N2π+1 kעבור = k
.±1, ±2, . . . , ±N
.4יש לפונקציה ) DN (yמינימום מקומי ב Nנקודות ומקסימום מקומי ב N + 1נקודות )שהאחת
מהן היא .(0
100
.5מתקיים |) |DN (y)| ≤ |1/ sin(y/2ובפרט |≤ π/|y
π
1
DN (y)dy = 1 .6
) 2πזו תכונה שמגדירה "גרעין"(
−π
A
|).|DN (y
הוכחה :ראינו כבר en ∗ f = fˆ(n)eintויש ליניאריות של קונבולוציה .מכאן ∗ f = SN f
.DNבנוסף
מהגדרה
|n| ≤ N
|n| > N
1
0
= hek , en i
N
X
k=−N
= DˆN (n) = hDN , en i
והראינו את ) .(1גם ) (6נובע מההגדרה כי האינטגרל המנורמל ב 2πזה פשוט )= DˆN (0
נובע מאי שוויון המשולש .את הנוסחא בסעיף ) (3נוכיח ישירות) :עבור y = 0זו ההגדרה(
e−iN y − ei(N +1)y
e−i(N +1/2)y − ei(N +1/2)y
)sin((N + 1/2)y
=
=
iy
−iy/2
iy/2
1−e
e
+e
)sin(y/2
.1סעיף )(2
= )DN (y
מכאן גם נובעות התכונות האחרות ,וגם אפסיו ,כאשר (N + 12 )y = kπעבור }∈ Z \ {0
.kכדי למצוא
נקודות קריטיות נגזור אותו:
)(N + 1) cos((N + 1)/2)y) sin(y/2) − sin((N + 1/2)y) cos(y/2
)2 sin2 (y/2
0
DN
= )(y
.(N
ונראה שהנגזרת מתאפסת כאשר )+ 1) cos((N + 1)/2)y) sin(y/2) = sin((N + 1/2)y) cos(y/2
עבור y 6= 0זה כאשר ) cot((N + 1/2)y) = N 1+1 cot(y/2ולפי משפט ערך הביניים )ציירו את שתי
הפונקציות הללו( הדבר קורה בדיוק 2N + 1פעמים בקטע ,כשספרנו גם את ההתאפסות ב־ .0תכונה
) (5מתקיימת מהנוסחא על ידי חסימת המונה ב־ 1וה"בפרט" נובע מכך שלמשל sin(y/2) ≥ π1 yבקטע
].[0, π
טענה ] 7.33בתירגול[ |DN (x)|dx ≫ 1
A
π
−π
שזה חיסרון )לא "גרעין טוב"( .לא נחשב זאת בשיעור ,אם
כי הדבר איננו מסובך ,וניתן כתרגיל מודרך בשיעורי הבית.
לסיכום ,את הסכומים שחקרנו SN f
אפשר להציג כקונבולוציות עם "גרעין" שמרוכז )במובן מסויים,
שלא ניתחנו כאן אבל נראה במשפט הבא( סביב 0
והאינטגרל הכללי שלו הוא אחד ,אבל לא מקבלים
משפט התכנסות טוב במיוחד )אם כי לא רע ,נראה מייד שתחת ליפשיץ מקומי וכולי הכל עובד( משום
שהגרעין איננו חיובי ומשום שהאינטגרל של הערך המוחלט של הגרעין גדל ומתבדר כאשר N
7.6.4
גדל.
התכנסות נקודתית תחת ליפשיץ מקומי
משפט 7.34תהי ) f ∈ R(Tותהי x0 ∈ Tונניח ש fמקיימת תנאי ליפשיץ מקומי ב x0
שקיים δ > 0וקיים Mכך שלכל ) x ∈ (x0 − δ, x0 + δמתקיים | .|f (x) − f (x0 )| ≤ M |x − x0אזי
זאת אומרת
מתקיים
) SN f (x0 ) →N →∞ f (x0
בפרט ,אם fגזירה ברציפות ברציפות בסביבת ,x0אז יש התכנסות נקודתית של SN f
BCB
ל .f
הערה 7.35
הוכחה :נחשב
= ) (SN f )(x0 ) − f (x0 ) = (DN ∗ f )(x0 ) − f (x0
π
1
=
[f (x0 − t) − f (x0 )]DN (t)dt
2π −π
π
)sin((N + 1/2)t
1
dt
]) [f (x0 − t) − f (x0
=
2π −π
)sin(t/2
π
1
)sin(N t) cos(t/2) + sin(t/2) cos(N t
=
dt
]) [f (x0 − t) − f (x0
2π −π
)sin(t/2
π
1
)cos(t/2
=
]) [f (x0 − t) − f (x0
sin(N t)dt
2π −π
)sin(t/2
π
1
[f (x0 − t) − f (x0 )] cos(N t)dt
+
2π −π
D
D
D
D
D
שני הביטויים הם מהצורה של מקדמי פורייה לפונקציות שונות .אכן ,נסמן את הראשונה
)cos(t/2
)sin(t/2
]) h1 (t) = [f (x0 − t) − f (x0
ואת השניה
]) h2 (t) = [f (x0 − t) − f (x0
נקבל כי
.(SN f )(x0 ) − f (x0 ) = hˆ1 (−N ) − hˆ1 (N ) /2 + hˆ2 (N ) + hˆ2 (−N ) /2
נתחיל ב־ h2שהיא פשוט הזזה ושיקוף של ,fבפרט היא אינטגרבילית ולכן מקדמי פורייה שלה על פי רימן
לבג שואפים לאפס .לגבי ,h1על פי ההנחות שלנו היא חסומה עבור t 6= 0
כי הגרעין מוגדר להיות ) (2N + 1ואילו הכופל שלו מתאפס( .אכן
]) [f (x0 − t) − f (x0
t
)cos(t/2
|≤|
||
| ≤ Mπ
)sin(t/2
t
)tan(t/2
)באפס היא מוגדרת להיות 0
]) |[f (x0 − t) − f (x0
ומכאן זוהי פונקציה אינטגרבילית ושוב על פי רימן לבג ,מקדמי פורייה שלה שואפים לאפס.
7.6.5
גרעין פייר
הגדרה 7.36תהי )f ∈ R(T
נגדיר את סכומי פייר שלה להיות ממוצעי צזארו של פולינומי פורייה שלה
N
N
n
1 X
ˆ 1 X X
= )Sn f (x
f (k)eikx
= )(σN f )(x
N + 1 n=0
N + 1 n=0 k=−n
EFG
ואת גרעין פייר להיות
N
1 X
= )FN (y
)Dn (y
N + 1 n=0
למה ] 7.37תכונות ראשונות של גרעין פייר[ מתקיים
!2
)sin( N 2+1 )y
)sin(y/2
ובפרט הוא חיובי )וממשי( .מתקיים FN = 2π
בנוסף,
n≤N
1
N +1
H
π
−π
||n
N +1
|n| > N
= )FN (y
,וכן עבור ) f ∈ R(Tמתקיים = f ∗ FN
1 −
0
.σ N f
= )FˆN (n
הוכחה :האינטגרל הכולל נובע מלינאריות האינטגרל ומהתכונה המקבילה לגרעין דיריכלה .ההוכחה של
המקדמים והנוסחא היא חישוב .אכן לפי הגדרה
N
N
n
1 X
1 X X iky
= )FN (y
= )Dn (y
e
N + 1 n=0
N + 1 n=0 k=−n
N
X
1
=
}]eimy #{k ∈ [0, N ] : m ∈ [−k, k
N + 1 m=−N
N
N
X
X
||m
1
= )|eimy (N + 1 − |m
eimy (1 −
)
N + 1 m=−N
N
+
1
m=−N
=
ומכאן מקדמי פורייה שלו הם כפי שנטען .מצד שני אם נכפול ונשנה אינדקסים m = k − N
!2
N
2N
N
X
X
X
iky
iky
e
=
= (N + 1 − |k − N |)e
(N + 1 − |m|)ei(m+N )y
m=−N
)(N + 1)FN (y
k=0
iN y
k=0
= e
נקבל ,אחרי סכימת טור הנדסי,
!2
)sin( N 2+1 y
)sin( 12 y
2
1
1 − ei(N +1)y
−iN y
= )FN (y
e
N +1
1 − eiy
2
−i(N +1)y/2
− ei(N +1)y/2
1
1
e
=
=
−iy/2
iy/2
N +1
e
−e
N +1
IJK
קונבולוציה היא דבר לינארי ולכן, לבסוף.כפי שטענו
N
f ∗ FN =
N
1 X
1 X
f ∗ Dn =
Sn f
N + 1 n=0
N + 1 n=0
את הסכימה של הגרעין אפשר לעשות גם בדרך נוספת
N
N
n
1 X
1 X X iky
FN (y) =
Dn (y) =
e
N + 1 n=0
N + 1 n=0 k=−n
N
=
=
=
=
=
=
1 X e−iny − ei(n+1)y
N + 1 n=0
1 − eiy
# N
%
N
+1
X"
X
1
1
−iy n
iy n
e
−
(e )
N + 1 1 − eiy n=0
n=1
1 − e−iy(N +1) eiy − eiy(N +2)
1
1
−
N + 1 1 − eiy
1 − e−iy
1 − eiy
1
1 − e−iy(N +1) 1 − eiy(N +1)
1
+
N + 1 1 − eiy
1 − e−iy
1 − e−iy
−1
1
[2 − e−iy(N +1) − e−iy(N +1) ]
−iy/2
N + 1 (e
− eiy/2 )2
1 [eiy(N +1)/2 − e−iy(N +1)/2 ]2
N +1
(e−iy/2 − eiy/2 )2
גרעין פייר:26 איור
N ≥ N0 כך שלכלN0 קייםε > 0 ולכלδ > 0 ]תכונה חשובה של גרעין דיריכלה[ לכל7.38 למה
מתקיים
−δ
−π
π
FN (x)dx +
δ
FN (x)dx ≤ ε
δ
−δ
FN (x)dx ≥ 2π − ε או באופן שקול
הוכחה :מהלמה הקודמת נובע
1
1
2
)N + 1 sin (x/2
ולכן על הקטעים ][−π, −δ] ∪ [δ, π
≤ )FN (x
מתקיים
1
1
2
)N + 1 sin (δ/2
≤ )FN (x
ובפרט FNשואפת במ"ש לאפס בקטעים אלה .כל שנותר הוא לבחור את N0כך ש )≥ 2π ε sin21(δ/2
.N0 +1
כמסקנה נקבל את המשפט המרכזי הבא של פייר:
u
משפט ] 7.39פייר[ תהי ) , f ∈ C(Tאזי → f
.σN f
הוכחה :משום ש fרציפה היא גם רציפה במ"ש .נניח שחסומה על ידי .Mיהי ε > 0אזי קיים δ > 0
כך שאם |x − y| < δאז .|f (x) − f (y)| < ε/2נבחר את N0כך שלכל N ≥ N0
L
π
FN (x)dx ≤ ε/M
ואז יתקיים לכל x ∈ T
L
π
|FN (y)[f (x − y) − f (x)]dy
L
π
]FN (y)dy
δ
FN (y) +
L
−δ
−π
−π
FN (x)dx +
L
−δ
−π
δ
1
| = | |σN f (x) − f (x)| = |FN ∗ f − f
2π
L
δ
1
2M
[
FN (y)[ε/2]dy| +
| ≤
2π −δ
2π
≤ ε/2 + ε/2 = ε
כרצוי.
באופן דומה ניתן להראות ,אם כי לא נבצע זאת בשיעור משיקולי זמן ,כי
משפט ] 7.40פייר[ תהי ) , f ∈ R(Tאזי בכל נקודה בה fרציפה מימין ומשמאל מתקיים → )σN f (x
) f (x+ )+f (x−
.בפרט יש שאיפה נקודתית ל fבכל נקודת רציפות.
2
הוכחה :משום ש fאינטגרבילית היא חסומה על ידי נאמר .Mיהי x ∈ T
החד צדדיים .יהי ε > 0אזי מקיום הגבולות נובע שקיים δ > 0כך שאם x < y < x + δאז
|f (x+ ) − f (y)| < ε/2ובדומה אם x − δ < y < xמתקיים . |f (x− ) − f (y)| < ε/2נבחר את N0
כך שלכל N ≥ N0
עבורו קיימים הגבולות
L
π
FN (x)dx ≤ ε/4M
δ
MNO
FN (x)dx +
L
−δ
−π
ואז יתקיים עבור x
שלנו
|P F (y)[f (x − y) − f (x2 ) ]dy
) f (x
+| P F (y)[f (x − y) −
|]dy
2
| P F (y)[ε/2]dy| + 2M [ P F (y) + P F
0
+
N
π
−
−π
) f (x+ ) + f (x−
| ≤ |
2
|σN f (x) −
N
0
π
]N (y)dy
δ
−δ
N
δ
≤
N
−δ
−π
≤ ε/2 + ε/2 = ε
והסתיימה ההוכחה.
הערות ] 7.41בתירגול[ ההוכחה תקפה עבור גרעין פייר ,אבל למעשה עבור גרעין כללי שמקיים את
התכונות של חיוביות ,של אינטגרל כללי אחד ושל שאיפה במ"ש לאפס על כל קטע סגור שלא מכיל את
הראשית .למשל ,כזה הוא גרעין פואסון הנתון על ידי
1 − r2
1 − 2r cos(y) + r2
= r|n| einy
∞
X
= )Pr (y
∞n=−
אכן,
1
re−it
1 − r2
+
=
1 − reit 1 − re−it
1 − r[e−it + eit ] + r2
= (re−it )n
∞
X
+
n=1
it n
re
∞
X
"
=
n=0
|n| int
r e
∞
X
∞n=−
קל לחשב כי
∞
X
|fˆ(n)einx r|n
∞n=−
= )(f ∗ Pr )(x
ולכן
fˆ(n)einx
∞
X
∞n=−
)lim (F ∗ Pr )(x) = (A
r→0+
וגם לא קשה לבדוק שהגרעין הזה הוא גרעין "טוב".
מסקנה 7.42תהי ) f ∈ R(Tעם גבולות חד צדדיים ב xונניח ש → c
) .SN f (xאזי
) f (x+ )+f (x−
2
=
.c
הוכחה :מכך שהסדרה מתכנסת נובע שגם סדרת הממוצעים שלה מתכנסת לאותו ,cאך ממשפט פייר
אנו יודעים כעת מהו .c
מסקנה 7.43הפולינומים הטריגונומטריים {einx }n∈Z
u
הוכחה :תהי ) ,f ∈ C(Tאזי σN f → fאך σN f
צפופים במ"ש ב ).C(T
הוא פולינום טריגונומטרי לכל .N
106
מסקנה ] 7.44יחידות[ תהינה ) f, g ∈ C(Tונניח שלכל n ∈ Zמתקיים ) .fˆ(n) = ĝ(nאזי = g
u
u
הוכחהg ← σN g = σN f → f :
.f
וחסל.
שני חישובים אחרונים לפני שנסיים את הפרק.
Q
טענה 7.45
∞
π
sin x
= dx
x
2
Q
הוכחה:
)sin((N + 1/2)t
= dt
)sin(t/2
1
1
−
]dt
sin(t/2) t/2
π
−π
1
2π
Q
π
[)sin((N + 1/2)t
−π
0
π
= DN (t)dt
−π
)sin(s
ds
s
Q
(N +1/2)π
−(N +1/2)π
כך שבגבול ∞ → N
1
2π
=1
1
)sin((N + 1/2)t
dt +
)(t/2
2π
כעת נעשה לאינטגרל הראשון שינוי משתנה s = (N + 1/2)t
1
)sin(s
= ds
s/2
π
Q
Q
(N +1/2)π
−(N +1/2)π
ונקבל
ds
s/2
=
dt
t/2
Q
π
−π
1
=
2π
ולכן
1
)sin((N + 1/2)t
= dt
)(t/2
2π
Q
π
−π
1
2π
נקבל כפולה של האינטגרל אותו רצינו לחשב .באשר לאינטגרל השני נשים לב
שהגורם בסוגריים המרובעים כפונקציה של t
מתנהג לא רע .נסמן
1
1
−
]
sin(t/2) t/2
[ = )h(t
רואים שהוא מסדר גודל
3
5
) t /48 + O(t
)t/2 − sin(t/2
]=[ 2
) ] = t/12 + O(t2
sin(t/2)t/2
) t /4 + O(t4
[ = )h(t
ובפרט הוא פונקציה אינטגרבילית )רציפה ־ למעט נקודת אי הגדרה אחת ־ וחסומה( ולכן האנטגרל
הרלוונטי שלה שואף לאפס .זה נובע מרימן לבג על אף שמדובר ב sin(N + 1/2)x
שהוא לא באמת
מקדם פורייה ,וזה משום שאפשר לפתוח אותו ולקבל )עד כדי כפל בעוד שתי פונקציות רציפות( את
הביטוי
Q
π
sin(N t)h(t) cos(t/2) + h(t) sin(t/2) cos(N t)dt
−π
כעת נציב ונקבל בגבול כאשר ∞ → N
כי
)sin(s
ds = 1
s
כרצוי.
RST
1
2π
Q
1
∞
∞−
π
Q
π
= sin((N + 1/2)t)h(t)dt
−π
1
2π
טענה 7.46יהי α 6∈ Z
אזי
∞
X
1
π2
=
(n + α)2
)sin2 (πα
∞n=−
הוכחה :נחשב את טור פורייה של = ei(π−t)α
) .f (xנקבל
U
2π
eiπα e−i(n+α)t 2π
[
]
2π −i(n + α) 0
0
i
i
= ] [1 − e−2πiα
)sin(πα
= eiπα
)2π(n + α
)2π(n + α
= e−i(n+α)t dt
1 iπα
e
2π
= )fˆ(n
כעת נשתמש בשוויון פרסבל ונקבל
U
2π
1dt = 1
0
)X sin2 (πα
1
=
2
2
)π (n + α
2π
n∈Z
וחסל.
הערה 7.47ישנם דברים רבים שלא נלמד אם כי יכלו להיות בחומר :לדוגמא תופעת גיבס ־ כשאין
רציפות אך יש גבולות חד צדדיים ,מובן שלא תיתכן התכנסות במ"ש )נאמר על הקטע הפתוח שאינו
מכיל את הנקודה הבעייתית( ,זאת אומרת שמתקיימת השלילה שלה ,דהיינו קיים ε > 0כך שלכל N
קיימת xעם .|SN f (x) − f (x)| > εלא קשה להשתכנע שלמשל אם הפונקציה גזירה למקוטעין אז זה
אותו εלכל הפונקציות הללו )אותו יחס מהקפיצה( כי שתיים שונות ניתן לקחת הפרש שיתאפס על פי
ליפשיץ מקומית או קריטריון אחר .לכן אפשר לחשב אותו על פונקציה ספציפית ־ נאמר מדרגה .ובאמת
מתקבל בערך 0.09
מהקפיצה בכל צד.
סוף שיעור 17
108
רקע ־ מה פתאום טורי פורייה? ]לא בחומר[
7.7
המשוואה ,עבור : [0, ∞) × [0, 1] → R
,yשמתארת תנועה של מיתר:
2
∂ 2y
2∂ y
=
c
∂t2
∂x2
מיתר מתנועע עם קצוות קבועים .מתקבל על ידי שימוש בחוקי ניוטון לשרשרת עם nחרוזים ואז ∞ → n
p
כאשר Tהוא המתח( .בידקו שהפונקציה הבא היא
והמאסה הכוללת קבועה) .הקבוע cהוא T /M
פתרון
)f (x + ct) + f (x − ct
2
= )y(x, t
כאשר fאיזוגית ובעלת מחזור .2כיוון שיש צורך בגזירות פעמיים של y
על מנת להגדיר את המשוואה,
נראה שתנאי ההתחלה צריך להיות גזיר פעמיים גם הוא ,וזה קצת חבל אם רוצים לנגן מה שנקרא
"פיציקאטו" .ברנולי חשב על מיתרים ,על טונים ואוברטונים ,והציע פתרון כללי מהצורה )כאן אורך
המיתר הוא (l
nπx
nπct
() cos
)
l
l
ואז בזמן 0
(An sin
∞
X
= )y(x, t
n=1
כמובן מתקבלת הפונקציה
nπx
)
l
(An sin
∞
X
= )y(x, 0) = f (x
n=1
אוילר ,שהיה אולי המתמטקאי החשוב של המאה ה ,18אמר שאין מצב שזו צורה כללית של תנאי התחלה,
ושזה יהיה פתרון של מקרה מאוד פרטי )שהוא כבר חשב עליו בעבר( ,ודלאמבר הסכים איתו ואמר
שפונקציות כאלה תמיד תצאנה גזירות למשל.
אז הגיע תורו של פורייה .הוא דווקא עבד על משוואת החום .בכלל הוא התעניין בפיזור של חום
)כדה"א כולו גם( הוא היה זה שהטביע את השם "אפקט החממה" .הוא התייחס לפלטה חצי אינסופית
שלה רצים ב ] .[−1, 1ששפה אחת שלה )השפה
ברוחב ,1נאמר שמרכזה על ציר xהחיובי ,וערכי y
הסופית ({0} × [−1, 1] ,בטמפרטורה קבועה 1ושאר השפה שלה בטמפרטורה קבועה ) ,0זו אי רציפות
קטנטונת בפינה( .הוא רצה לדעת מה המצב היציב שבו הטמפרטורה מפולגת כך שאיננה משתנה בזמן.
המשוואה שקיבל היא
∂ 2u ∂ 2u
+
=0
∂x2 ∂y 2
על מנת לפתור אותה הוא עשה הפרדת משתנים= ϕ(x)ψ(y) ,
) ,u(x, yוקיבל משוואות
)ψ(y
)ϕ(x
= − 00
=A
00
)ϕ (x
)ψ (y
VWX
והפתרונות שקיבל עם תנאי השפה הללו הם כמובן
)u(x, y) = enx cos(ny
1
n2
כאשר
=
.Aלכן גם כל קומבינציה ליניארית שלהם תתן פתרון .כדי לפתור עם תנאי ההתחלה שלו
הוא היה צריך לרשום את הפונקציה הקבועה 1
כטור
πy
3πy
5πy
7πy
+ a2 cos
+ a3 cos
+ a1 cos
··· +
2
2
2
2
וזה אמור להיות תקף לכל ]∈ [−1, 1
1 = a1 cos
.yהוא היה צריך לפתור משוואה כזו עם אינסוף משתנים .הוא
עשה זאת על ידי גזירה הרבה פעמים) .כיצד אתם יכולים לעשות זאת כעת?( .הוא הסביר לאן הפונקציה
מתכנסת לשאר ה yים )חישבו לאן?(.
הוא חישב את "טור פורייה" לעוד תנאי התחלה ,משפחות שלמות להן אוילר אמר שלא יוכל להימצא
פירוק כטור טריגונומטרי .ואז פנה למקרה הכללי והראה דברים רבים שתקפים גם עליו )למה התכוונו
ב"פונקציה כללית" אז גם אפשר לדון ,לא הייתה ההגדרה של "התאמה" כמו היום ,זו היתה הצעה של
דיריכלה ב־.(1837
לורד קלווין :בנה מכונה לחזות גאות ושפל בעזרת חישוב מקדמי פורייה של הפונקציה ) ,h(tהגובה
בזמן t
)נקרא "אנליזטור הרמוני"(.
מיכלסון בנה מכונה כזו ,וכדי לבדוק אותה הכניס לתוכה את 80
מקדמי פורייה הראשונים של
פונקציית המסור .להפתעתו הוא קיבל מסור כמעט מדוייק אבל ליד אי הרציפות היו בליטות ,שגובהן
כ 18%
מהקפיצה .כשהוסיף מקדמים המשיך לקבל בליטות צרות יותר ויותר אך באותו גובה .גיבס
הוא זה שהסביר תופעה זו )שנובעת כפי שהסברנו מכך שאין התכנסות במ"ש( .זה נקרא "אובר־שוט"
) (overshootוחשוב מאוד היום לחישובים ,אם כי כשזה התגלה עוד לא היה כזה כוח חישוב ולכן נחשב
לקוריוז.
המרתף של פורייה :באיזה עומק לבנות מרתף כך שהפרשי הטמפרטורה בו יהיו לא יותר מחמש
מעלות בין החורף לקיץ? גם את זה פותרים עם פורייה ויש גם "פאזה" כך שבעומק של 4.5
מטרים החורף
והקייץ מתחלפים )כמו שהמים בים התיכון שלנו חמים ביותר בספטמבר דווקא ולא ביולי אוגוסט( ויש
דעיכה של ההפרש )האמפליטודה( של בערך .1:16בשביל בכלל לחוש בהבדל )נאמר (1:16בין יום ללילה
המרתף צירך להיות בעומק 23cmבלבד )effect
.(skin
אם כבר בחישוב עסקינן ־ יש מושג דומה של טרנספורם פורייה דיסקרטי שהוא זה שמשתמשים בו
כיום ברוב המערכות.
יש נושא של כיצד לחשב אותו מהר ־ חישוב בסדר גודל N log Nבמקום N 2
Colley and Tuckeyממעבדות IBMשנת 1965שלאחר מכן הסתבר שגאוס בכלל המציא אותו
והשתמש בו על מנת לנבא את מיקומו של האסטרואיד Ceresבשנת .1801ועוד ועוד ועוד.
בעזרת טריק של
110
ג .פונקציות בכמה משתנים
8
8.1
טופולוגיה של Rn
מבנה כללי
אנחנו מדברים על המרחב Rn
שהוא מרחב וקטורי .יש לנו את כל הכלים של אלגברה ליניארית ־ מעברי
בסיס וכדומה ,אז נקבע לנו את הבסיס הסטנדרטי ונעבוד עם קואורדינטותx = (x1 , . . . , xn ) = ,
i
Pn
כאשר ) .ei = (0, · · · , 0, 1, 0, · · · , 0חיבור וכפל בסקלר מוגדים באופן טבעי וניתן לבצע
i=1 xi ei
אותם קואורדינטה קואורדינטה
) x + y = (x1 + y1 , · · · , xn + yn ) λx = (λx1 , · · · , λxn
בפרק זה נדון בפונקציות שתחום ההגדרה שלהן הוא Rn
עכשיו שם דנו בעצם במקרה .n = 1כאשר הטווח של הפונקציה הוא ,Rנאמר שמדובר בפונקציה
ממשית f : Rn → Rאו f : A → Rכש .A ⊂ Rnמושג כללי יותר הוא של פונקציה וקטורית ,דהיינו
או תת קבוצה שלו ,בשונה ממה שעשינו עד
f : Rn → Rm
או כשהתחום הוא ⊂ Rn
.Aאתם מכירים דוגמא מאוד חשובה של פונקציות כאלה :פונקציות ליניאריות
)המיוצגות למשל על ידי מטריצה( .כדאי כבר לשים לב שפונקציה כזו היא בסך הכל m־יה של פונקציות
ממשיות
f i : Rn → R
))f (x) = (f1 (x), . . . , fm (x
כך שלהרבה צרכים יספיק לנו לחקור את המקרה הפרטי .m = 1לעיתים נוח לכתוב דווקא את f
כווקטור עמודה ,או באופן שקול כ .(f1 (x), . . . , fm (x))T
יש מקרה נוסף דומה שנדון בו והוא כאשר .f : [a, b] → Rmלמשל אם מזהים את Cעם R2אז
אפשר לחשוב על הפונקציות עם הערכים המרוכבים מפרק ב כעל פונקציות מסוג זה .אם מדובר על
פונקציה f
כזו רציפה )וטרם הגדרנו מה זה אומר רציפה לתוך ,Rmאם כי תוכלו לנחש מה ההגדרה(
נאמר שזו "מסילה"" ,עקומה" )או "עקם"( ונצייר משהו כזה
111
איור :27למי קראת עקומה?
8.2
מרחק
את המכפלה הפנימית הסטנדרטית ב Rn
מסמנים
xi yi
n
X
i=1
= hx, yi
והיא לא משתנה תחת שינוי בסיס אורתונורמלי .היא מקיימת את כל התכונות הטובות של ממ"פ ,שהן
hx, yi = hy, xi .1
λhx, yi = hλx, yi = hx, λyi .2
hx + z, yi = hx, yi + hz, yi ,hx, y + zi = hx, yi + hx, zi .3
hx, xi = 1 ,hx, xi ≥ 0 .4אם ורק אם = 0
מייצרים בעזרתה את פונקציית הנורמה על Rn
.x
המוגדרת להיות
v
u n
uX
kxk = t
x2
i
i=1
שמקיימת
kxk = 0 ,kxk ≥ 0 .1אם ורק אם = 0
.x
kλxk = |λ|kxk .2
kx + yk ≤ kxk + kyk .3
)ההוכחה למשל מהעלאה בריבוע ואז אי שוויון קושי שוורץ שנראה מייד(
YYZ
וכן מתקיים אי שוויון קושי שוורץ
|hx, yi| ≤ kxk · kyk
כדי להוכיח אותו אפשר או להעלות בריבוע ולפתוח סוגריים ,או להעביר קצת אגפים באי השוויון
hx, yi
hx, yi
y, x −
yi ≥ 0
2
kyk
kyk2
hx −
או לכתוב שהדיסקרימיננטה של הביטוי הריבועי ב :λ
Q(λ) = hx − λy, x − λyi
חייבת להיות אי חיובית שכן אין לו ערכים שליליים.
n
בעזרת הנורמה מגדירים מרחק בין שני וקטורים ב R
על ידי
d(x, y) = kx − yk
והוא מקיים את האקסיומות של להיות מרחק )אבל הוא גם הומוגני שזה יתרון על פני פונקציית מרחק
כללית(
d(x, y) = 0 ,d(x, y) ≥ 0 .1אם ורק אם = y
.x
d(x, y) = d(y, x) .2
d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y) .3
)אי שוויון המשולש(
נשים לב שנובע מייד גם אי שוויון המשולש "ההפוך" הבא
)d(x, y) ≥ d(x, z) − d(y, z
ושניהם יחד שימושיים מאוד) .בכך שאומרים שאם zקרוב ל yאז לכל x
המרחק ) d(x, yדומה למרחק )(d(x, z
שלא קרוב מידי לשניהם,
אי השוויון הבא יהיה לנו שימושי
למה 8.1מתקים לכל x, y ∈ Rnולכל ]j ∈ [1, . . . , n
nkx − yk
√
≤ | |xi − yi
n
X
i=1
≤ |xj − yj | ≤ kx − yk
הוכחה :שני האי שוויונים השמאליים נובעים מיידית על ידי העלאה בריבוע של כל האגפים .אי השוויון
הימני ביותר נובע מקושי שוורץ על הוקטורים z = x − yוהווקטור w
1
xi ≥ yi
= wi
−1 x < y
i
שכן אורכו n
√
ואילו המכפלה שלו עם z
הנתון על ידי
i
נותנת את הביטוי השני מימין.
\[[
)(m
)(m
)(m
מסקנה 8.2תהינה סדרות xi ∈ Rכאשר i = 1, . . . nואילו m ∈ Nונסמן ∈ ) xm = (x1 , . . . , xn
)(m
.Rnאזי מתקיים = yi
limm→∞ xiלכל iאם ורק אם עבור ) y = (y1 , . . . , ynמתקיים
lim kxm − yk = 0
∞→m
)(m
הוכחה :אכן ,נניח ש limm→∞ kxm − yk = 0אז משום ש |xi − yi | ≤ kxm − yk
)(m
)(m
limm→∞ |xiאז גם
limm→∞ |xi − yi | = 0כרצוי .להפך ,אם לכל iמתקיים − yi | = 0
Pn
)(m
∞→ limmולכן על פי השוואת סדרות חיוביות )סנדוויץ( גם .limm→∞ kxm −yk = 0
i=1 |xi −yi | = 0
הערה 8.3למעשה כל שתי נורמות המוגדרות על Rn
נובע גם
הן שקולות במובן שקיימים שני קבועים כך ש
c1 kxk2 ≤ kxk1 ≤ c2 kxk2
,דבר שניתן להוכיח אך עוד אין לנו הכלים .הביטוי | |wi
Pn
i=1
גם הוא נורמה על .Rn
בשלב זה אנו כבר יכולים להתחיל לעשות קצת חדו"א ,לדבר על גבולות של סדרות ,להגדיר ש xm → y
אם kxm − yk = 0וכולי .אנחנו נמתין עם זה קצת מהסיבה הבאה :כשנרצה לדבר על רציפות ,נרצה
גם קריטריוני ε/δולא רק "רציפות סדרתית" ,ובשביל זה צריך לדעת מה האנלוג של "קטע פתוח" או
"סביבת אפסילון" של נקודה ,במקרה הרב מימדי.
8.3
קבוצה פתוחה ,פנים
הגדרה ] 8.4כדור פתוח ,כדור סגור וספירה[ תהיה x0 ∈ Rnו r > 0נגדיר כדור פתוח סביב x0
rכך
מרדיוס
}B(x0 , r) = {x ∈ Rn : kx − x0 k < r
כדור סגור יוגדר } B(x0 , r) = {x ∈ Rn : |x − x0 | ≤ rוספירה מרדיוס rסביב x0
תוגדר כך
)S(x0 , r) = {x ∈ Rn : kx − x0 k = r} = B(x0 , r) \ B(x0 , r
הגדרה ] 8.5נקודה פנימית ,פנים ,קבוצה פתוחה[ תהי A ∈ Rnונקודה ∈ A
פנימית של Aאם קיים r > 0כך ש .B(x0 , r) ⊂ Aאוסף כל הנקודות הפנימיות של Aנקרא ה"פנים"
שלה ,ומסומן ) .int(Aקבוצה נקראת "פתוחה" אם ) A = int(Aאו ,באופן שקול ,אם לכל x0 ∈ Aקיים
כדור קטן ) B(x0 , rשכולו בתוך .Aכמובן .int(A) ⊂ A
.x0נאמר שהיא נקודה
114
לדוגמא ,כדור פתוח הוא קבוצה פתוחה ,שכן אם ) y0 ∈ B(x0 , rאז |y0 − x0 | = s < r
ε = r − sאז ) .B(y0 , ε) ⊂ B(x0 , rאכן ,לכל ) z ∈ B(y0 , εמתקיים
ואם נבחר את
kz − x0 k ≤ kz − y0 k + ky0 − x0 k < ε + s = r
כרצוי .דוגמא זו חשובה שכן היא מראה ש )int(A
פתוח סביבה )נאמר מרדיוס (rשכולו ב ,Aולכן לכל נקודה בכדור זה יש כדור )קטן יותר( סביבה שכולו
ב Aולכן הכדור ) B(x0 , rכולו בעצם נמצא ב ) .int(Aקיבלנו את העובדה הבאה
בעצמה תמיד פתוחה ,כי כל נקודה בה מוכלת בכדור
למה 8.6לכל A ⊂ Rnמתקיים )= int(A
)).int(int(A
הערה 8.7אפשר להגדיר "פתוחה" עם קבוצה אחרת ,למשל קוביה ,במקום כדור.
קוביה זו קבוצה
מהצורה
}Q(x0 , r) = {x : |xi − (x0 )i | < r ∀i = 1, . . . , n
ומשום שמתקיים )בידקו( )nB(x0 , r
√
⊂ )⊂ Q(x0 , r
) ,B(x0 , rלהיות "פתוחה לפי קוביות" או "פתוחה
לפי כדורים" זה בדיוק אותו הדבר .כדורים מעט יותר נוחים לנו כי הם כל כך סימטריים )לא אכפת
להם משינוי קואורדינטות אורתונורמלי(.
משפט (1) 8.8איחוד של קבוצות פתוחות הוא פתוח.
) (2חיתוך של מספר סופי של פתוחות הוא פתוח
) ∅ (3ו Rn
הן פתוחות
הוכחה :מיידי לפי ההגדרות ,כשב) (2נבחר את הרדיוס המינימלי מבין מספר סופי.
נשים לב ש ) (2לא נכון עבור חיתוך אינסופי ,ניתן בקלות לבנות חיתוך אינסופי של פתוחות שאיננו פתוח,
למשל
1
)
n
.(− n1 ,
טענה 8.9תהי A ⊂ Rn
אזי
int(A) = ∪A0
כאשר האיחוד הוא על פני כל A0 ⊂ Aכך ש A0
פתוחה.
הוכחה :אגף ימין מוכל כמובן באגף שמאל שכן כל A0 ⊂ A
בפנים של A0ובפרט בפנים של .Aלכן גם האיחוד כולו מוכל .מצד שני ) int(Aבעצמה היא קבוצה
שהיא פתוחה מקיימת שכל נקודה בה היא
פתוחה ולכן משתתפת באיחוד ,כך שאגף שמאל מוכל באגף ימין וסיימנו.
באופן דומה קל להראות )בתרגיל( שכל קבוצה פתוחה ניתן לכתוב כאיחוד של כדורים ,וגם ,לכל ,r0
כאיחוד של כדורים מרדיוסים קטנים מ ) .r0איננו טוענים כמובן שהאיחוד הוא של מספר סופי של
כדורים ,אם כי לא קשה להראות שניתן לכתוב אותה כאיחוד בן מניה של כדורים(.
^]]
8.4
קבוצה סגורה ,סגר
הגדרה 8.10נאמר ש A ⊂ Rnהיא סגורה אם Rn \ A
היא קבוצה פתוחה.
לדוגמא בידקו שכדור סגור הוא אכן קבוצה סגורה ,וגם ספירה היא קבוצה סגורה .גם ה"אלכסון"
D = {(x, x) : x ∈ R} ⊂ R2
קבוצה סגורה .כל קבוצה סופית היא גם סגורה .נעיר שישנן )המון( קבוצות שאינן פתוחות ואינן סגורות.
ההגדרה לעיל של "סגירות" היא לא בהכרח ההגדרה שתמצאו בספרות ,ואותה נביא כמשפט ממש
מיד .לשם כך עלינו להגדיר
הגדרה ] 8.11נקודת סגור ,סגור[ תהי A ∈ Rnונקודה .x0 ∈ Rnנאמר שהיא נקודת סגור של A
לכל r > 0מתקיים
אם
∅ =B(x0 , r) ∩ A 6
ונסמן Aאת אוסף כל נקודות הסגור של .Aמתקיים כמובן ⊂ A
.A
) .B(x0 , rכיוון שכבר הגדרנו מעלה מהי קבוצה סגורה ,התכונה
לדוגמא ,קל לוודא ש )= B(x0 , r
שלקבוצה סגורה A = Aהיא כבר משפט
משפט A ⊂ Rn 8.12היא סגורה אם ורק אם = A
.A
הוכחה :נניח ש Aסגורה ותהי .x ∈ Aנניח בשלילה ש x 6∈ Aאז x ∈ Rn \ A
B(x, r) ⊂ Rn \ Aולכן ∅ = B(x, r) ∩ Aבסתירה להנחה .כעת נניח ש A = Aונראה ש Rn \ A
פתוחה .אכן ,כל x 6∈ Aמקיימת x 6∈ Aזאת אומרת יש כדור כך ש ∅ = B(x, r) ∩ Aוזאת אומרת
B(x, r) ⊂ Rn \ Aכרצוי.
ואז יש כדור שלם
למה 8.13תהי A ∈ Rnאזי ) A = Rn \ int(Rn \ Aוכן )int(A) = Rn \ (Rn \ A
הוכחה :בתרגיל.
כמובן שבקרוב נאמר שנקודות סגור הן גבולות של סדרות של אברים ב .A
8.5
שפה
הגדרה ] 8.14שפה[ תהי A ∈ Rn
ונגדיר
)∂A = A ∩ Rn \ A = A \ int(A
116
כאשר השיוויון מתקיים בגלל הלמה שציטטנו כרגע.
זאת אומרת שבכל סביבה של Aיש הן נקודה מ־ Aוהן נקודה מ .Rn \ Aדוגמאות :האלכסון ב R2
הוא השפה של עצמו )כך גם כל קבוצה סגורה ללא פנים( .הספירה היא השפה של הכדור = ))∂(B(x0 , r
) .S(x0 , rהשפה של אינטרואל ב Rהיא שתי נקודות } .∂[a, b] = {a} ∪ {bנשים לב שכששולאים מהי
השפה של קבוצה ,מאוד חשוב לציין מהו "העולם" ביחס אליו לוקחים "פנים" ,כי למשל אם לוקחים שתי
נקודות a, b ∈ Rnעבור n > 1ומגדירים את הקטע }]= {(1 − λ)a + λb : λ ∈ [0, 1
קבוצה של Rnיתקיים ] ∂[a, b] = [a, bבשונה מהמקרה החד מימדי.
8.6
] ,[a, bאז כתת
קבוצה קמורה וקבוצה קשירה פוליגונלית
נסמן עבור x, y ∈ Rn
את הקטע המחבר אותן
}][x, y] = {(1 − λ)x + λy : λ ∈ [0, 1
נשים לב שאפשר לחשוב על הקטע גם כעל התמונה של הפונקציה הפשוטה הבאה: [0, 1] → Rn :
המוגדרת על ידי . f (t) = (1 − t)x + ty
הגדרה 8.15קבוצה A ⊂ Rnנקראת קמורה אם לכל x, y ∈ Aגם ⊂ A
,f
].[x, y
למשל ,כדור הוא קמור אבל ספירה לא .האדומות קמורות )כל אחת בנפרד ,האיחוד של שתיים כבר
לא( ,הכחולות לא קמורות.
איור :28מי מאיתנו קמור ומי לא?
הגדרה ] 8.16קו פוליגונלי[ בהנתן שתי נקודות x, y ∈ Rn
)הקדקדים( ,xN = y ,x1 , . . . , xN −1 ,x0 = xונגדיר את
Γ = ∪N
] i=1 [xi−1 , xi
`__
נגדיר קו פוליגונלי המחבר אותן :יהיו
נעיר גם שיש דרך שימושית לבנות העתקה ש Γהוא התמונה שלה .נביט בפונקציה γ : [0, 1] → Rn
המוגדרת באופן הבא .בוחרים t0 = 0 < t1 < · · · < tN −1 < tN = 1חלוקה של הקטע ואז
n
−t
t−ti
γ(t) = tti+1−t
xi + ti+1
x
] t ∈ [ti , ti+1
−ti i+1
i+1
i
הקו הפוליגונלי עצמו מוגדר להיות )] γ([0, 1זאת אומרת התמונה של γ
זאת אומרת שבקטע ה"זמן" ] [ti , ti+1
כתת קבוצה של .Rn
הפונקציה עוברת על הקטע ] .[xi , xi+1אפילו שעוד לא הגדרנו
רציפות ,קל להשתכנע שההגדרה שנתנו משרטטת קו ללא "קפיצות" ב .Rnמשהו כזה למשל
איור :29קו פוליגונלי
הגדרה ] 8.17קבוצה קשירה פוליגונלית[ נאמר שקבוצה A ⊂ Rn
x, y ∈ Aקיים קו פוליגונלי המחבר את xו yשכולו נמצא ב .A
היא קשירה פוליגונלית אם לכל
בפרט ,כל קבוצה קמורה היא קשירה פוליגונלית .גם איחוד של שתי קבוצות קשירות פוליגונלית שנחתכות,
נותן קבוצה קשירה פוליגונלית .בקרוב נגדיר מושג של קשירות מסילתית )שזו האפשרות להעביר קו
"כללי" שיחבר את שתי הנקודות וישאר בקבוצה ,לא דווקא קו פוליגונלי( ונראה שבמקרה של קבוצה
פתוחה ,המושגים מזדהים.
סוף שיעור 18
118
8.7
סדרות ב Rn
∞} {xkסדרה של וקטורים .נאמר ש x ∈ Rnהוא הגבול שלה ונסמן x = limk→∞ xk
הגדרה 8.18תהי k=1
אם
lim kx − xk k = 0
∞→k
באופן שקול ,אם לכל ε > 0קיים k0כך שלכל k ≥ k0מתקיים )xk ∈ B(x, ε
ראינו כבר במסקנהabc
.
שמתקיים
טענה xk → x 8.19אם ורק אם (xk )i → xiלכל = 1, . . . , n
.i
מכאן נסיק ישירות את העובדות הבאות
טענה 8.20אם xk → xוגם xk → yאז x = y
)אפשר גם להוכיח זאת ישירות כי ≤ kx − xk k + kxk − yk → 0
(kx − yk
טענה ] 8.21ליניאריות הגבול[ אם {xk }, {yk } ⊂ Rnו {αk } ⊂ Rומתקיים yk → y , xk → x
αk → αאזי מתקיים .αk xk + yk → αx + y
ו
הוכחה :קואורדינטה קואורדינטה.
טענה 8.22אם {xk }, {yk } ⊂ Rnומתקיים yk → y , xk → xאזי מתקיים → hx, yi
אח"כ שמשמעות הדבר הוא שהפונקציה h·, ·i : Rn × Rn → Rהיא רציפה(.
P
P
→ . (xk )i (yk )i
הוכחה :לפי הגדרה וטענות קודמות (xk )i → xi ,וגם (yk )i → yiולכן גם xi yi
) .hxk , yk iנאמר
הגדרה ] 8.23סדרת קושי[ סדרה {xk } ⊂ Rnנקראת סדרת קושי אם לכל ε > 0קיים N0
k, m ≥ N0מתקיים .kxk − xm k ≤ ε
טענה 8.24סדרה {xk } ⊂ Rnהיא סדרת קושי אם ורק אם קיים x ∈ Rnכך ש = x
כך שלכל
.limk→∞ xk
הוכחה :אי שוויון מלמהabd
היא סדרת קושי וזה אם ורק אם כל סדרה ממשית כזו מתכנסת )ממשפט קושי חדו"א (1וזה ,ממסקנה
bc
, aאם ורק אם הסדרה הוקטורית מתכנסת .כמובן שניתן גם להוכיח ישירות אך אין צורך.
גורר ש } {xkהיא סדרת קושי אם ורק אם לכל iהסדרה {(xk )i } ⊂ R
119
8.8
נקודות הצטברות
הגדרה ] 8.25נקודת הצטברות[ תהי A ∈ Rnונקודה .x0 ∈ Rnנאמר שהיא נקודת הצטברות של A
אם לכל r > 0מתקיים
∅ =(B(x0 , r) \ {x0 }) ∩ A 6
זאת אומרת יש נקודה הקרובה rל x0בתוך Aשאיננה x0
עצמו.
כמובן שכל נקודת הצטברות היא גם נקודת סגור ,אך להפך לא נכון ,ונקודת סגור שאיננה נקודת
הצטברות חייבת להיות ב A
של Aהן נקודות הצטברות.
בעצמה ,והיא נקראת נקודה מבודדת של .Aברור גם שכל נקודות הפנים
טענה 8.26תהי .A ⊂ Rnנקודה x ∈ Rnהיא נקודת הצטברות של A
} xk ∈ A \ {xכך ש . xk → xיתר על כן ,ניתן לבחור את } {xkכך שכל איבריה שונים זה מזה .בפרט,
Aאינסופית.
אם ורק אם קיימת סדרה
הוכחה :זו כמעט ההגדרה .אכן ,בכל סביבה של xקיימות נקודות מ }\ {x
) B(x, 1/kונבחר נקודה ממנו שהיא ב Aואיננה .x, x1 , . . . , xk−1אילו אין כזו ,בכדור מרדיוס
) r = min(kxi − xk; i = 1, . . . , k − 1לא היתה אף נקודה בסתירה לבגדרת נקודת הצטברות .כך
בנינו סדרה שלפי הגדרתה מתכנסת ל .xלהפך ,אם xהוא גבול של סדרה כזו ,אז בכל כדור סביב A
נמצאים כל אברי הסדרה החל ממקום מסוים ,ובפרט xהיא נקודת הצטברות.
,Aאז נביט בכדור
מסקנה 8.27תהי .A ⊂ Rnאזי x ∈ Aאם ורק אם קיימת סדרה {xn } ⊂ Aכך ש .xn → xבפרט A
סגורה אם ורק אם לכל xעבורו קיימת סדרה {xn } ⊂ Aהמתכנסת אליו מתקיים .x ∈ A
8.9
קבוצה חסומה ,וקבוצה קומפקטית
הגדרה ] 8.28חסימות[ תהי A ∈ Rnנאמר שהיא חסומה אם קיים Rכך ש )⊂ B(0, R
.A
למשל ,כל קבוצה סופית היא חסומה .נוח גם להגדיר קוטר של קבוצה על ידי
}diam(A) = sup {kx − yk : x, y ∈ A
ולא קשה לבדוק שקבוצה היא חסומה אם ורק אם הקוטר שלה סופי.
טענה 8.29תהי {xk } ⊂ Rn
סדרה חסומה .אזי יש לה תת סדרה מתכנסת.
הוכחה :תהי סדרה חסןמה } .{xkכל קואורדינטה שלה היא סדרה ממשית חסומה .נבנה ראשית תת
סדרה עבורה הקואורדינטה הראשונה מתכנסת ,לתת סדרה זו נבנה תת סדרה עבורה הקואורדינטה
השניה מתכנסת ,וכן הלאה .אחרי מספר סופי )n
המקורית עבורה כל הקואורדינטות מתכנסות.
120
בדיוק( של שלבים ,נקבל תת סדרה של הסדרה
מסקנה 8.30לקבוצה חסומה ואינסופית יש נקודת הצטברות.
הוכחה :מאינסופיות הקבוצה נבנה סדרה של איברים שכולם שונים זה מזה .מהטענה הקודמת ניקח
לסדרה תת"ס מתכנסת .הגבול שלה הוא נקודת הצטברות )שכן האיבר הגבולי מופיע כאיבר בסדרה
לכל היותר פעם אחת(.
הגדרה ] 8.31קומפקטיות[ תהי A ∈ Rn
נאמר שהיא קומפקטית אם היא סגורה וחסומה.
הערה 8.32ההגדרה ה"אמיתית" של קבוצה קומפקטית היא "אם לכל כיסוי פתוח יש תת כיסוי סופי".
ההגדרה של "קומפקטית סדרתית" היא "אם לכל סדרה יש תת"ס מתכנסת" .במקרה של Rn
ההגדרות
הללו מזדהות עם ההגדרה הפשוטה שניתנה למעלה.כפי שנוכיח בקרוב .גם ההוכחות עם הכיסויים אינן
קשות )ודומות למשפט של קנטור מחדו"א 1על חיתוך של קטעים סגורים הולכים וקטנים( .בכל מקרה
לצרכים שלנו ההגדרה שנבחרה היא זו שכתובה מעלה ,אך כדאי לזכור שזו לא ההגדרה של קבוצה
קומפקטית במקרה כללי של מרחב טופולוגי.
משפט ] 8.33קומפקטיות זו שקולה לקומפקטיות סדרתית[ קבוצה היא קומפקטית אם ורק אם לכל
סדרה של איברים בקבוצה יש תת סדרה מתכנסת לאיבר בקבוצה )זו נקראת "קומפקטיות סדרתית"(.
הוכחה:
]של משפטefgg
[ תהי קבוצה בה לכל סדרה יש תת"ס מתכנסת לאבר בקבוצה .ברור לכן
שהיא סגורה וחסומה ,אחרת אפשר לבנות סדרה שתתכנס לנקודת סגור שאיננה בקבוצה במקרה הלא
סגור )זה מהגדרת נקודת סגור ־ כשהיא איננה בקבוצה היא בהכרח נקודת הצטברות( ,או סדרה שלא
efhi
efhj
} .{xk
תתכנס כלל במקרה הלא חסום .להפך ־ תהי קבוצה סגורה וחסומה .Aתהיה סדרה כלשהי ⊂ A
יש לה תת סדרה מתכנסת ,נאמר מתכנסת ל .yמטענה
לפי טענה
y ,נמצא בסגור של A
ומסגירות הקבוצה , Aגם ,y ∈ Aוסיימנו.
המשפט הבא הוא הכללה של השמפט במימד אחד בו השתמשנו על מנת להוכיח את משפט דיני.
משפט 8.34קבוצה Aהיא קומפקטית אם ורק אם לכל כיסוי של Aעל ידי קבוצות פתוחות {Uα }α∈I
) .A ⊂ ∪Nזו ההגדרה הטופולוגית
)זאת אומרת (A ⊂ ∪α∈I Uαקיים Nוקיימות α1 , . . . , αNכך ש i=1 Uαi
של קבוצה קומפקטית(.
משפט עזר ששימושי באופן כללי הוא האקוויולנט של הלמה של קנטור על קטעים מקוננים במימד גבוה:
∞} ) {Kiדהיינו שלכל iמתקיים ⊂ Ki
טענה 8.35סדרה יורדת של קבוצות קומפקטיות i=1
∅ =.∩Ki 6
הוכחה] :של טענהefgk
(Ki+iמקיימת
[ תהי סדרה כנ"ל .נבנה סדרת נקודות על ידי בחירה של נקודה מכל קבוצה.
הסדרה היא חסומה שכן הקבוצה K1
,Kiומשום שכל אברי הסדרה החל מהמקום ה iי שייכים ל ,Kiנקבל שגם האיבר הגבולי שייך ל .Ki
היות ש iהיה כללי ,קיבלנו שהאיבר הגבולי נמצא בחיתוך לכן החיתוך איננו ריק.
בעצמה חסומה .לכן יש לה תת סדרה מתכנסת .כעת מסגירות
121
הוכחה] :של משפטlmno
[ נניח ש A
איננה קומפקטית ,ונמצא לה כיסוי אינסופי ללא תת כיסוי סופי.
אם היא איננה קומפקטית ,או שהיא לא חסומה או שהיא לא סגורה )או שניהם( .נניח שאיננה חסומה.
נכסה אותה על ידי כדורים פתוחים ברדיוס B(x, 1) ,1הממורכזים בנקודות של A
שכן לקחנו כדור לכל נקודה ב .(Aברור שזה כיסוי פתוח .אבל כל אוסף סופי שלו )נאמר עם מרכזים
({xi }Nבהכרח יהיה חסום בכדור מרדיוס ) maxi=1,...,N (kxi k + 1ולכן לא יכול לכסות את Aכולה
i=1
שאיננה חסומה .נניח שאיננה סגורה לכן יש נקודת סגור של Aשאיננה איבר של . Aנניח שזו הנקודה
.x0נביט בכיסוי הפתוח הבא של .Aלכל נקודה x ∈ Aניקח כדור פתוח ברדיוס .r(x) = kx − x0 k/2
,∪Nהוא לא היה מכיל
כמובן שזה כיסוי פתוח .אילו היה לו תת כיסוי סופי ,נאמר על ידי ) i=1 B(xi , ri
סביבה מרדיוס min riשל .x0זו סתירה לכך ש x0נקודת סגור של . A
כעת נוכיח את הכיוון החשוב ־ אם Aקומפקטית אז לכל כיסוי פתוח שלה יש תת כיסוי סופי .נעשה
זאת על דרך השלילה .משום ש Aחסומה ניתן לחסום אותה בתוך קוביה מאורך צלע סופי כלשהו .R
נבנה סדרה של קבוצות קומפקטיות Aiכך ש Ai+1 ⊂ Aiוכך שכל אחת מהקבוצות אי אפשר לכסות
על ידי מספר סופי של איברי ,Uαויתר על כן ,נדאג ש . diam(Ai ) → 0קל לעשות זאת על ידי חלוקה
חוזרת של הקוביה ל 2nתת קוביות שאורך צלע מחצית מהקודם ,נסמן אותן ,Qjונביט ב .Ai ∩ Qjאילו
)זה אוסף ענקי,
לכולן היה תת כיסוי סופי היה גם תת כיסוי סופי לכיסוי כולו .לכן לפחות לאחת אין תת כיסוי סופי,
.∩Ai
ואותה נגדיר כ .Ai+1היא גם קומפקטית כחיתוך של שתי קומפקטיות .אנו טוענים כי }= {x
אכן ,החיתוך איננו ריק מטענת העזר ,אך הקוטר שלו קטן שווה לקוטרה של Aiלכל iוזה בתורו שואף
ל 0ולכן קוטר החיתוך אפס ,זאת אומרת הוא נקודה אחת בלבד .כעת ,משום שנקודה זו היא איבר של
,Aישנה קבוצה פתוחה Uα0אליה xשייך .מפתיחות ,קיים כדור קטן .B(x, r0 ) ⊂ Uα0נבחר iמספיק
גדול כך ש diam(Ai ) ≤ r0אז מתקיים ,Ai ⊂ B(x0 , r0 ) ⊂ Uα0וזאת בסתירה לכך שאין תת כיסוי
סופי של Aiלאף .i
סוף שיעור 19
122
9
פונקציות וקטוריות של משתנה וקטורי
בפרק זה נדון בפונקציות מהצורה
f : Rn → Rm
או ביתר כלליות f : A → Rmכאשר .A ⊂ Rnעל פי רוב נוכל להצטמצם למקרה m = 1
) .f = (f1 , . . . , fm
9.1
אם נסמן
הגדרת רציפות ,גבולות ,דוגמאות
נשים לב שאם ננסה להשתמש בהגדרות שלנו של גבול במשתנה אחד ללא מחשבה על ידי לקיחת גבול
ביחס למשתנה אחד ואז ביחס לשני ,נקבל דברים "לא כל כך הגיוניים" למשל
x2
x2 +y 2
)(x, y) 6= (0, 0
∗
)(0, 0
= )f (x
)אין זה משנה כיצד נגדיר אותה בראשית כי כמו במשתנה אחד ,כשמחשבים גבול בנקודה אף פעם לא
דורכים על הנקודה עצמה( מתקיים
lim lim f (x, y) = lim 1 = 1
x→0 y→0
x→0
lim lim f (x, y) = lim 0 = 0
y→0 x→0
y→0
זאת אומרת שינוי סדר הגבולות משפיע על התוצאה .זה כמובן לא דבר רצוי .במקרה כזה הגבול לא
קיים .אנו רוצים מגבול שכאשר הוקטור )(x, y
קרוב לוקטור ) ,(x0 , y0ערך הפונקציה יהיה קרוב למספר
)או לוקטור ,תלוי מה מימד הטווח( ,שהוא הגבול.
הגדרה ] 9.1גבול של פונקציה[ תהי x0 ∈ Rn ,f : Rn → Rmו ∈ Rm
.lנאמר כי
lim f (x) = l
x→x0
אם לכל סדרה xk → xכך ש xk 6= xלכל ,kמתקיים .f (xk ) → lבאופן יותר כללי ,עבור A ⊂ Rn
f : A → Rmועבור x0שהיא נקודת הצטברות של Aנגדיר את
ו
lim f (x) = l
x→x0
x∈A
אם לכל סדרה {xk } ⊂ Aכך ש xk → xוכן xk 6= xלכל ,kמתקיים → l
) .f (xk
הגדרה 9.2תהי A ⊂ Rnו ,f : A → Rmנאמר ש fרציפה בנקודה x0 ∈ Aאם x0
ש x0נקודת הצטברות וכן
) lim f (x) = f (x0
x→x0
x∈A
נאמר ש fפונקציה רציפה אם היא רציפה בכל ∈ A
123
.x0
נקודה מבודדת או
דוגמאות פשוטות לפונקציות רציפות ,למשל ): R3 → R6 ,f (x, y, z) = (cos(x), xyz, ez x, y, y, y
.f
כמו במשתנה אחד ,גם כאן לעיתים נוח לעבוד עם רציפות אפסילון־דלתא במקום רציפות סדרתית .לכן
נוכיח
משפט 9.3תהי A ⊂ Rnו .f : A → Rmמתקיים ש fרציפה בנקודה x0 ∈ Aאם לכל ε > 0
δ > 0כך שלכל x ∈ B(x0 , δ) ∩ Aמתקיים
קיים
)f (x) ∈ B(f (x0 ), ε
)ובאופן שקול kx − x0 k < δ ,גורר < ε
.(kf (x) − f (x0 )k
הוכחה :נניח רציפות סדרתית ונניח בשלילה שהתנאי של המשפט לא מתקיים.
זאת אומרת שעבור
ε0מסוים אין δמתאים .לכן לכל kהמספר δ = k1לא יתאים ,זאת אומרת שניתן למצוא ∈ xk
B(x0 , 1/k) ∩ Aכך ש .kf (xk ) − f (x0 )k ≥ ε0מתקיים xk → xאבל לא מתקיים ) f (xk ) → f (x0
בסתירה .בכיוון השני ,נניח שמתקיים התנאי במשפט ותהי סדרה ב Aעם .xk → x0נביט בסדרה
) f (xkויהי .ε > 0עלינו למצוא N0כך שלכל k > N0מתקיים .kf (xk ) − f (x0 )k < εנשתמש בתנאי
המשפט על מנת למצוא δכך שלכל ,x ∈ B(x, δ) ∩ Aמתקיים ) .f (x) ∈ B(f (x0 ), εמשום ש ,xk → x0
קיים N0כך שלכל k ≥ N0מתקיים xk ∈ B(x0 , δ) ∩ Aולכן בפרט ) f (xk ) ∈ B(f (x0 ), εכרצוי.
טענה 9.4תהי A ⊂ Rnופונקציה f : A → Rmונניח ) . f = (f1 , . . . , fmהיא רציפה אם ורק אם fi
רציפה לכל .i = 1, . . . , m
הוכחה :מיידית מאי השוויון שראינו בלמהpqr
|) |fi (x) − fi (x0
והשאפת xל x0
)בתוך .(A
m
X
i=1
≤ |fi (x) − fi (x0 )| ≤ kf (x) − f (x0 )k
הגדרה ] 9.5רציפות במ"ש[ נאמר שפונקציה f : A → Rmרציפה במ"ש ב Aאם לכל ε > 0
δ > 0כך שלכל x, y ∈ Aהמקיימים kx − yk < δמתקיים .kf (x) − f (y)k < ε
קיים
דוגמא נחמדה לפונקציה רציפה )במ"ְש( זו פשוט הפונקציה
f : Rn → R
f (x) = kxk
כי מתקיים
|f (x) − f (y)| ≤ kx − yk
מאי שוויון המשולש ,לכן אם kx − yk < εאז |f (x) − f (y)| < ε
וזו אפילו רציפות במ"ש .למעשה כל
פונקציה שמקיימת את התכונות של נורמה תהיה רציפה שכן יתקיים
√
|xi | ≤ max |||ei ||| nkxk = ckxk
i=1,...,n
n
X
i=1
· ||| |xi | · |||ei ||| ≤ max |||ei
i=1,...,n
rst
n
X
i=1
≤ ||| xi ei
n
X
i=1
||| = ||||||x
ומהומוגניות
|||x − y||| ≤ ckx − yk
זאת אומרת שוב יש רציפות ואפילו במ"ש) .שנגדיר עוד רגע(
9.2
משפטים בסיסיים ־ סגירות לחיבור ,כפל ,הרכבה
משפט 9.6תהי A ⊂ Rnו f, g : A → Rmרציפות ויהיו α, β ∈ Rאזי αf + βg : A → Rm
וגם hf, gi : A → Rרציפה.
רציפה
הוכחה :חוקי גבולות של סדרות ,אין קל מזה.
משפט 9.7תהי x0 ∈ A ⊂ Rnו f : A → Rmותהי B ⊂ Rmכך ש .f (A) ⊂ Bתהי : B → Rl
נניח ש fרציפה ב x0ונניח ש gרציפה ב ) .y0 = f (x0אזי h = g ◦ f : A → Rlרציפה ב .x0
.g
הוכחה :שוב מדובר בחוקי גבולות של סדרות ,ושוב אין קל מזה.
9.3
9.3.1
תכונות גלובאליות
קנטור :על קומפקט – רציף במ"ש
משפט ] 9.8משפט קנטור[ תהי A ⊂ Rnקומפקטית ו f : A → Rmרציפה .אזי f
רציפה במ"ש.
הוכחה :ניתן לשחזר בקלות את ההוכחה של משפט קנטור המקורי .אכן ,אם נניח בשלילה ש f
רציפה במ"ש אז קיים ε0שמעיד על כך ,לכן לכל δk = 1/kקיימים xk , ykכך ש kxk − yk k ≤ δk
ואילו .kf (xk ) − f (yk )k > ε0מקומפקטיות Aיש ל } {xkתת"ס מתכנסת ,נאמר xkj → x0ולכן גם
ykj → x0אבל מרציפות נקבל ) f (xkj ) → f (x0וגם ) f (ykj ) → f (x0וזו כבר סתירה כי עבור jמספיק
גדול נקבל .kf (xkj ) − f (ykj )k < ε0
איננה
9.3.2
ויירשטראסס :חסום ,מקביל מינ ומקס
משפט 9.9תהי K ⊂ Rnקבוצה קומפקטית ותהי f : K → Rפונקציה ממשית רציפה .אזי f
ומשיגה את חסמיה ,דהיינו קיימים xM ∈ Kו xm ∈ Kכך שלכל x ∈ Kמתקיים ≤ )f (xmin ) ≤ f (x
) .f (xM AX
חסומה
הוכחה :ראשית היא חסומה שכן אילו היינו יכולים למצוא |f (xk )| > k
,xkנאמר xkj → x ∈ Kומרציפות f (xkj ) → f (x) ∈ Rבסתירה לאי חסימות ) .f (xkjכעת נסמן
) M = supx∈K f (xונבנה סדרה xkעבורה .f (xk ) > M −1/kניקח לה תת"ס מתכנסת xkj → xM AX
ומרציפות M ≥ f (xM AX ) = lim f (xkj ) ≥ lim M − 1/k = Mוקיבלנו את הדרוש .בדומה נמצא את
.xmin
היינו בונים תת"ס מתכנסת של
125
הערה 9.10ניתן להראות באופן דומה :אם f : A → Rmרציפה כאשר A ⊂ Rn
B = f (A) ⊂ Rmגם היא קומפקטית.
קומפקטית ,אזי
לדוגמא ,נוכל להשתמש במשפט זה על מנת להראות שכל נורמה )פונקציה )∞ ||| · ||| : Rn → [0,
שמקיימת את אי שוויון המשולש |||λx||| = |λ| · |||x||| ,ומתאפסת רק ב (0שקולה לנורמה הרגילה,
זאת אומרת קיימים c, Cכך ש ckxk ≤ |||x||| ≤ Ckxkלכל .xזה יעשה בתרגיל .הרעיון הוא ראשית
שמספיק להראות זאת על הספירה בגלל ההומוגניות ,שנית שראינו כבר רציפות ,לכן על הספירה שהיא
קומפקטית יש חסם מלעיל ומלרע ,ולבסוך החסם מלרע מתקבל על הספירה ולכן איננו אפס.
תכונת דרבו על קשירה פוליגונלית
9.3.3
משפט ] 9.11תכונת דרבו על קשירה פוליגונלית[ תהי f : A → Rונניח כי A
וכי fרציפה .יהיו x, y ∈ Aו c ∈ Rכך ש ) .f (x) < c < f (yאזי קיים z ∈ Aכך ש . f (z) = c
קבוצה קשירה פוליגונלית
הוכחה :הרעיון הוא לבנות עקום פוליגונלי המחבר את הנקודות ,וכך להפוך את השאלה לחד מימדית.
אכן ,אם נסמן γ(t) : [0, 1] → Aאת העקום ,הוא רציף ומקיים = y ,γ(0) = x
g = f ◦ γ : [0, 1] → Rזו פונקציה רציפה ולכן מקיימת את משפט ערך הביניים מחדו"א ,1ולכן קיים t
כך ש ,g(t) = cועבור ) z = γ(tנקבל f (z) = cכרצוי.
) ,γ(1וכעת נרכיב
9.4
עקום רציף ,עקום פוליגונלי ,קשירות מסילתית
הגדרה ] 9.12מסילה[ פונקציה רציפה γ : [a, b] → Rm
) .γ(a) = γ(bהיא נקראת פשוטה אם היא חח"ע על ] [a, bאו אם היא סגורה וחח"ע על ].(a, b
נקראת מסילה.
הגדרה 9.13בהנתן מסילה γ : [0, 1] → Rmנגדיר את −γ : [0, 1] → Rm
היא נקראת סגורה אם
על ידי
)−γ(t) = γ(1 − t
כל העתקה רציפה חח"ע ועל ] ϕ : [a, b] → [c, dמגדירה מסילה חדשה = γ ◦ ϕ−1
.γ2זהו יחס שקילות
על מסילות שנקרא גם רה־פרמטריזציה .דוגמאות חשובות למסילות אלה למשל הפוליגונליות שראינו,
אבל גם
3
γ : [0, π] → R2
2
))γ(t) = (cos(t), sin(t
126
איור :30עקומה אחת
או
γ : [0, 25] → R3
)γ(t) = (cos(t), sin(t), t
איור :31ועוד אחת
הגדרה ] 9.14קשירות מסילתית[ תהי A ⊂ Rn
x, y ∈ Aקיימת עקומה )רציפה( γ : [0, 1] → Aכך ש γ(0) = xו .γ(1) = y
קבוצה כלשהי .נאמר שהיא קשירה מסילתית אם לכל
הגדרה ] 9.15תחום[ קבוצה A ⊂ Rn
נקראת תחום אם היא פתוחה וקשירה מסילתית.
טענה 9.16כל קבוצה פתוחה וקשירה מסילתית היא גם קשירה פוליגונלית.
uvw
הוכחה :נניח ש Aקשירה מסילתית ופתוחה ,יהיו ,x, y ∈ Aנביט בעקום המחבר אותן : [0, 1] → A
ונביט בקבוצה . γ([0, 1]) ⊂ Aז אנו טוענים שקיים ε > 0כך שלכל ] ,t ∈ [0, 1ולכל z 6∈ Aמתקיים
. kγ(t) − zk ≥ εאכן ,אם נניח בשלילה שלא זה המקרה נוכל למצוא סדרות מתאימות tkו z kעם
kγ(tk ) − zk k → 0ולהן תת"ס מתכנסות ,ובגבול נקבל ] t ∈ [0, 1ו ) z 6∈ Aשכן Aפתוחה( עם γ(t) = z
וזו סתירה .מרציפות γוממשפט קנטור היא גם רציפה במ"ש .נבחר עבור εשלנו את δכך שאם
|t − s| < δמתקיים .kγ(t) − γ(s)k < εיהיה N > 1δונביט ב .tj = Njנתייחס לנקודות ) xj = γ(tj
אז B(xj ε) ⊂ Aומתקיים ) [xj−1 , xj ] ⊂ B(xj−1 , εובפרט
,γ
∪N
j=1 [xj−1 , xj ] ⊂ A
כך שמצאנו עקום פוליגונלי המחבר את xעם yוכולו בתוך A
מסקנה 9.17קבוצה A ⊂ Rnהיא קשירה אם ורק אם כל f
ורק אם כל fרציפה עליה מקיימת את תכונת דרבו.
9.5
כרצוי.
קבועה מקומית עליה היא קבועה ממש ,אם
גבול בשני משתנים לעומת גבול חוזר
כמו שבפרקים קודמים עסקנו לא מעט בשאלות כמו החלפת גבול ואינטגרל ,החלפת גבול ונגזרת ,החלפת
גבול וסכום אינסופי ,כאשר אנו עוסקים בשני משתנים אפשר לעשות גבול ביחס למשתנה אחד וגבול
ביחס למשתנה אחר ,וניתן לשאול מתי הדבר זהה ללקחת גבול ביחס לשני המשתנים גם יחד .יהיה קל
להבין את ההבדלים על ידי דוגמאות.
דוגמא ראשונה:
xy
x2 +y 2
)(x, y) 6= (0, 0
)(x, y) = (0, 0
= )f (x, y
0
נחשב את
xy
0x
=
lim
=0
x→0 y→0 x2 + y 2
x→0 x2 + 0
lim lim f (x, y) = lim lim
x→0 y→0
ובאופן דומה
lim lim f (x, y) = 0
y→0 x→0
ומצד שני לא קיים
)f (x, y
lim
)(x,y)→(0,0
משום שלמשל אם ניקח את ) (x, y) = (t, tאז לכל tיתקיים f (t, t) = t2 /(2t2 ) = 1/2 6= 0
הפונקציה לא רציפה כפונקציה של שני משתנים.
xyz
זאת אומרת
דוגמא שנייה:
) x + y sin( 1
x 6= 0
x
x=0
= )f (x, y
0
נשים לב שיש דווקא רציפות ב ) (0, 0שכן אם )(xk , yk ) → (0, 0
מתקיים
|f (xk , yk )| ≤ |xk | + |yk | → 0
מצד שני לכל y 6= 0
לא קיים הגבול
1
) (lim f (x, y) = lim x + y sin
x→0
x→0
x
ובפרט לא קיים הגבול החוזר .limy→0 limx→0מצד שני כן קיים הגבול
lim lim f (x, y) = lim x = 0
x→0 y→0
x→0
דוגמא שלישית:
)(x, y) 6= (0, 0
x2 y
x4 +y 2
)(0, 0
כאן קל לבדוק שלכל t
= )f (x, y
0
מתקיים
tx3
=0
x→0 x4 + t2 x2
lim f (x, tx) = lim
זאת אומרת בכל כיוון "ליניארי" בו נתקדם לעבר )(0, 0
x→0
הגבול יהיה קיים ושווה לאפס .האם זה גורר
רציפות? לא ולא .למשלת
1
2
= ) f (x, x2
לכל xוגם כאשר ,x → 0לכן אין רציפות ,שהרי בכל סביבה של )(0, 0
יש נקודה מצורה זו .כאן אנו
למדים שגבול בשני משתנים הוא מורכב הרבה יותר מגבול במשתנה אחד ,ובמילים אחרות אי אפשר
לעבוד תמיד "קואורדינטה קואורדינטה" ,אפילו לא "כיוון כיוון" ,לפעמים צריך עקומות יותר כלליות כדי
להבין מה קורה .נזכיר שאם לכל סדרה xk
השואפת לנקודה יש גבול ל ) ) ,f (xkהשווה ל ) (f (x0אז יש
רציפות ,כך שאם נלך על "כל המסילות" )דבר שעוד לא ממש הגדרנו( ונקבל שעל כל אחת מהן יש גבול,
יהיה גם גבול בנקודה.
סוף שיעור 20
129
9.6
העתקות ליניאריות ומטריצות
מושג הנגזרת אליו נגיע בקרוב ידרוש מאיתנו הבנה בסיסית של העתקות ליניאריות .משום שהן בעצמן
גם פונקציות מ Rnל Rm
העתקה )פונקציה( A : Rn → Rmנקראית ליניארית אם היא מקיימת לכל λ, µ ∈ R ,x, y ∈ Rn
כדאי שנדון בהן קצת.
)A(λx + µy) = λA(x) + µA(y
ואז מסמנים = Ax
) .A(xאוסף כל ההעתקות הליניאריות הללו מסומן ) ,L(Rn , Rmוהוא בעצמו מרחב
לינארי עם חיבור )של פונקציות( וכפל בסקלר .מרגע שקבענו בסיסים e1 , . . . , enשל Rnו f1 , . . . fm
P
P
m
Aej = mשכן אז לכל x = nj=1 xj ej
Rיש לנו ייצוג מטריציוני של Aכזו על ידי כך שנסמן j=1 ai,j fi
של
נקבל
m X
n
X
= xj aij fi
(
aij xj )fi
i=1 j=1
לכן בעצם יש התאמה חח"ע ועל בין ) L(Rn , Rm
n X
m
X
= xj Aej
j=1 i=1
n
X
= Ax
j=1
לבין .Rnmנהוג לרשום התאמה זו באופן של מטריצה,
עם הגדרת כפל מטריצה בווקטור המתאימה:
{{
{{ {{
a1n
···
amn
· · · am1 am2
a12
a11
M at(A) =
)לצורך זה יש להתייחס לוקטור כוקטור עמודה( .כמובן ,הרכבה של העתקות )נאמר ) A ∈ L(Rn , Rm
עם ) (B ∈ L(Rm , Rkמתאימה לכפל מטריצות )כאן ,(BAכפי שלומדים בליניארית .1
טענה 9.18תהי ) ∈ L(Rn , Rm
,Aאזי היא רציפה.
}{|
הוכחה :נסמן את עמודותיה בוקטורים = 1, . . . , m ,vi ∈ Rn
כי .fi (x) = (Ax)iהרציפות של פונקציה כזו )שנקראת גם
fi (x) = hx, vi iהיא רציפה לפי טענה
,iאז מספיק להראות שההעתקה
"פונקציונל ליניארי"( נובעת ישירות משום ש
|fi (x) − fi (y)| = |hx − y, vi i| ≤ kx − yk · kvi k
לכן יש רציפות במ"ש .השתמשנו בקושי שוורץ כמובן.
הערות 9.19על ) L(Rn , Rmיש כמה נורמות טבעיות )שכולן שקולות כי כולן נורמות על Rnm
בתרגיל תראו כי
kAxk
kxk
N (A) = kAkop = sup
x6=0
היא נורמה )שנקראת הנורמה האופרטורית( ותשוו אותה לנורמה ה"רגילה" על Rnm
130
שהיא
למעשה(.
v
uX
n
u m X
=t
a2ij
kA|| = kAkHS
i=1 j=1
נשתמש בנורמה זו מייד.
משפט 9.20לכל ) A ∈ L(Rn , Rnמוגדרת העתקה ליניארית eA : Rn → Rn
∞
X
1 k
A x
= )eA (x
!k
k=0
על ידי הגבול
והיא רציפה.
נזדקק לטענת העזר הבאה
טענה 9.21יהיו ) A, B ∈ L(Rn , Rnאזי .kABk ≤ kAk · kBkבפרט kAk k ≤ kAkkלכל ∈ N
הוכחה :נסמן ב ujאת וקטורי העמודות של Bוב viאת וקטורי השורות של .Aלכן = hvi , uj i
Pn
Pn
2
2
2
= .kBk2נקבל
= kAkובדומה j=1 kuj k
כמובן i=1 kvi k
kvi k2 kuj k2 = kAk2 kBk2
n X
n
X
j=1 i=1
כרצוי .כעת באינדוקציה ≤ kAk−1 k · kAk ≤ kAkk
מסקנה 9.22תהי ) A ∈ L(Rn , Rn
2
≤ ||hvi , uj i
.kAk k
n X
n
X
j=1 i=1
הוכחה:
∞ "P
1 k
k=0 k! A i
שמתכנס.
אי
.(AB)i,j
2
= kABk
ונגדיר את המטריצה
∞
X
1 k
A
!k
k=0
= eA
אזי כל קואורדינטה )מבין ה (n2מתכנסת ומתקיים עבור המטריצה הגבולית eA
∞
X
1
A
≤ ke k
kAkk ≤ ekAk
!k
k=0
]של המסקנה,
.k
ושל משפט~
ש
[ אכן ,על פי אי שוויון המשולש והטענה הקודמת ,הטור
∞P
1
k
מתכנס בהחלט כי אפשר לעשות לו את מבחן ההשוואה עם הטור k=0 k! kAk
PN 1 k
השוויון נובע על פי אי השויון הסופי ולקיחת גבול שהרי k k=0 k! A k ≤ ekAkלכל
A
.Nבפרט קיבלנו שהמטריצה e
מוגדרת .לכן ההעתקה המשוייכת אליה היא רציפה ,כי היא ליניארית
וכל העתקה ליניארית היא רציפה.
הערות ] 9.23יעשה בתירגול כנראה[ חשבו לעצמכם את eA
המצויה בצורת זורדן .בידקו כיצד ההתאמה A 7→ eAמתנהגת עם הצמדה .נסו להראות שההתאמה
2
A 7→ eAהיא העתקה רציפה בין Rnלעצמו .המקרה n = 1זו כמובן ההעתקה .x → exהדבר יהיה
לכם קל יותר כאשר תעריכו את keA − eB kכשהן מתחלפות ,אך לא קשה מידי גם במקרה כללי.
עבור מטריצה אלכסונית ,ועבור מטריצה
9.7
עקום פיאנו ]העשרה :לא בחומר[
נגדיר את
]γpeano : [0, 1] → [0, 1] × [0, 1
שיהיה עקומה רציפה הממלאת את הריבוע כולו .לשם כך נגדיר איטראציות של עקומה נתונה באופן
הבא .תהי
]γ(t) = (x(t), y(t)) : [0, 1] → [0, 1] × [0, 1
ונגדיר את
t1 = 4t
1
4
t2 = 4t − 1
1
2
t3 = 4t − 2
3
4
≤0≤t
≤≤t
≤≤t
≤ t ≤ 1 t4 = 4t − 3
1
4
1
2
3
4
1
)) (y(t1 ), x(t1
2
1
) (x(t2 ), y(t2 )) + (0, 12
2
= )(Φγ) (t
1
) (x(t3 ), y(t3 )) + ( 12 , 12
2
) 1 (−y(t ), −x(t )) + (1, 1
4
4
2
2
זו תהיה איטראציה אחת של העקומה המקורית .נגדיר סדרת עקומות על ידי γn = Ψγn−1
.נצייר
לדוגמא מה קורה כשמתחילים עם עקומה
t
0 ≤ t ≤ 1/2
1/2 ≤ t ≤ 1
1 − t
= )γ0 (t
איור :32דוגמא לעקום פאנו
יפה ,לא? תעשו גוגל "עקום פיאנו" )curve
(Peanoותקבלו תמונות יותר יפות ממה שאני ייצרתי כאן.
ואם נתחיל מעקומה אחרת ,נקבל למשל את הציור
132
איור :33ועוד אחת
אנו רואים שככל שמתקדמים באיטראציות ,העקומות "מכסות" יותר ויותר מהריבוע .בכל שלב ,עדיין,
מדובר באיחוד סופי של עקומות שאנחנו מבינים )במקרה הראשון ־ ממש של אינטרואלים( ולכן בשום
שלב סופי לא נוכל לומר שכיסינו את כל הריבוע .לשם כך עלינו לקחת גבול של ההעתקות הללו .כדי
לעשות זאת נגדיר נורמה על עקומות
|)kγk∞ := max |γ(t
]t∈[0,1
וכך נוכל גם למדוד מרחק בין שתי עקומות
|)kγ − µk∞ = max |γ(t) − µ(t
]t∈[0,1
נשים לב שמתקיים עבור ההעתקה שלנו Φ
)שמתאימה לעקומה עקומה חדשה( כי
1
∞kΦγ − Φµk∞ = kγ − µk
2
לכן מתקיים שלכל m > k
המרחק
1
√1
kγ
−
γ
k
≤
2
m−k
0
∞
2k
2k
≤ ∞kγm − γk k
כך שמדובר בסדרת קושי במ"ש של עקומות .לכן ברור שנקודתית היא מתכנסת ,ומכך שהקושי הוא במ"ש
גם הפונקציות הגבוליות )מדובר בעקומה גבולית ,זאת אומרת זוג פונקציות ))(x∞ (t), y∞ (t
על ] ([0, 1הן רציפות .התמונה של ∞ γהיא קבוצה קומפקטית ,והיא גם קרובה כרצוננו לכל נקודה
בריבוע שכן העקומה ה jית מבקרת בכל תת־ריבוע מבין ה 4jתת־ריבועים ,ולכן גם ∞ γמבקרת בכל
תת ריבוע כנ"ל ,וזה לכל .jלכן התמונה של ∞ γהיא קבוצה צפופה בריבוע ,וגם סגורה ,אז היא מוכרחה
המוגדרות
להיות הריבוע כולו .מדהים לא?
ניתן להראות )ולא נעשה זאת( כי הפונקציות הגבוליות הללו לא תלויות בעקומה ההתחלתית ,והן
אינן גזירות באף נקודה .נעיר גם ש ∞γ
איננה חח"ע ,וגם לא יכולה להיות )כי אז ,ממשפטים מחדו"א
,3ההפוכה גם היתה רציפה אבל אין פונקציה רציפה שהפוכתה רציפה בין קו לקוביה שכן יש מכשולים
טופולוגיים של קשירות(.
חשבון דיפרנציאלי בכמה משתנים
10
10.1
נגזרת של עקומה
כשנתונה γ : [0, 1] → Rm
) γ = (γ1 , · · · , γmכך שניתן ,אילו כולן גזירות ,לגזור כל אחת בנפרד ולקבל את הוקטור = γ 0
0
,(γ10 , γ20 , . . . , γmשניתן לכתוב גם כ
)
עקומה ,ורוצים לגזור אותה ,בסה"כ מדובר ב m־יה של פונקציות ממשיות
)γ(t + h) − γ(t
h→0
h
γ 0 (t) = lim
נעיר שעל פי רוב עדיף לעבוד דווקא עם וקטורי עמודות ,הן בתור γ
והן בתור .γ 0לוקטור הנגזרת
יש משמעות גיאומטרית ברורה :אם נצייר את העקומה במרחב הדו או התלת מימדי ,זה יהיה וקטור
בכיוון המשיק לה בנקודה .אורכו מודד את "מהירות" ההתקדמות לאורך העקומה כתלות ב"זמן" שהוא
הפרמטר .tבציור:
איור :34משיק למסילה
מדוע וקטור זה "משיק" לעקומה?
הסיבה דומה לסיבה שהנגזרת במימד אחד היא השיפוע של
0
המשיק .מכל הקווים הישרים העוברים דרך הנקודה ) ,γ(tהקו הישר בכיוון )γ (t
מקרב את הפונקציה
"טוב ביותר" ,במובן ש
h→0
)γ(t + h) − [γ(t) + hγ 0 (t)] = o(h
וזה ממש על פי הגדרת הגבול .כמובן כאן הנחתי שהגבול קיים דהיינו שהעקומה היא עקומה גזירה.
10.2
נגזרות חלקיות ודוגמאות
בהינתן פונקציה f : U ⊂ Rn → Rונקודה x0 ∈ Uאפשר לצמצם אותה לישר או קטע ב A
,x0נאמר } .{x0 + tv : −1 ≤ t ≤ 1נקבל g : [−1, 1] → Rשהיא ידידה שלנו מחדו"א 1ואפשר לדבר
על הנגזרת שלה .זו נקראת הנגזרת הכיוונית של .fכאשר הוקטור vהוא וקטור בסיס ,eiזו נקראת
הנגזרת החלקית ה iית .נגדיר זאת באופן מדויק
המכיל את
הגדרה 10.1תהי U ⊂ Rnפתוחה ו ,x ∈ Uותהי .f : U → Rmעבור 1 ≤ i ≤ n
החלקית ה iית של fלהיות
נגדיר את הנגזרת
∂f
)f (x + hei ) − f (x
(x) = lim
h→0
∂xi
h
זאת אומרת ,אם ) = (x1 , . . . , xn
,x
∂f
) f (x1 , . . . , xi−1 , xi + h, xi+1 , . . . , xn ) − f (x1, . . . , xn
(x) = lim
h→0
∂xi
h
נגדיר באופן כללי יותר עבור וקטור vמאורך יחידה kvk = 1
את
∂f
)f (x + hv) − f (x
(x) = lim
h→0
∂v
h
כך שלמעשה
∂f
)(x
∂ei
= )(x
∂f
i
. ∂x
הערה 10.2ההנחה ש kvk = 1לא רלוונטית ,קל לבדוק כי עבור = αv
,uאם נרחיב את ההגדרה נקבל
)f (x + hu) − f (x
)f (x + hαv) − f (x
= lim
α
h→0
h→0
h
hα
∂f
)f (x + h0 v) − f (x
)= α (x
= α lim
0
h→0
h
∂v
lim
=
∂f
)(x
∂u
פשוט וקטור "כיוון" מוגדר במתמטיקה להיות וקטור מאורך אחד.
קל יחסית לחשב גדלים אלה שכן זה מחזיר אותנו למצב של משתנה אחד .אכן ,אם נגדיר את
)g(t) = f (x0 + tv
אזי
∂f
) (x0
∂v
=
).g 0 (0
דוגמא:
1
f : B(0, 1) → R
− y2 − z2
p
∂fנסמן את ) 1 − (x2 + y 2
אז כדי לחשב את )(x, y, z
= Rונשים לב שכפונקציה של zמתקיים
∂z
x2
ולכן
1−
f (x, y, z) = p
"
−1/2
g(z) = f (x, y, z) = R2 − z 2
−3/2
"1
z
∂f
(x, y, z) = g 0 (z) = − R2 − z 2
= )(−2z
∂z
2
(1 − x2 − y 2 )3/2
דוגמא נוספת קצת יותר מעניינת :נביט ב det : R2 → R
שלוקחת מטריצה ומחזירה את הדטרמיננטה
שלה .כאן הבסיס הסטנדרטי ניתן לייצוג כמטריצות בסיסיות עם 1
.Ei,jמהי הנגזרת החלקית של detבכיוון ?E1,1נחשב אותה:
x11 + h x12 · · · x1n
x11 x12 · · · x1n
x21 x22 · · · x2n
x21
x22 · · · x2n
1
− det
= lim
det
h→0 h
xn1
···
xnn
· · · xn1
xnn
x22 x21 · · · x2n
x32
x3n
= det
· · · xn2
xnn
במקום ה ,i, jנסמן מטריצה כזו ב
∂det
∂E1,1
נשים לב שאך ורק גזירות לפי כווני הבסיס כלל לא גוררת גזירות ואפילו לא רציפות ,כפי שמוכיחה
הדוגמא שכבר ראינו
)(x, y) 6= (0, 0
x2 y
x4 +y 2
)(0, 0
בה אין רציפות ב )(0, 0
= )f (x, y
0
אף שיש נגזרות חלקיות )הפונקציות על הצירים מתאפסות זהותית( .מה שחמור
אף יותר :יש לה נגזרות כיווניות בכל כיוון! אכן ,נסמן ) v = (v1 , v2אזי בכל מקרה ,אילו 6= 0
,v2
1 (hv1 )2 hv2
∂f
v12
(0, 0) = lim
=
h→0 h (hv1 )4 + (hv2 )2
∂v
v2
רואים גם שזו לא פונקציה ליניארית בוקטור ) ,(v1 , v2שזה סימן לחוסר דיפרנציאביליות )שתיכף נגדיר(.
זאת אומרת שהנגזרות הכיווניות בנקודה לא נותנות את כל האינפורציה הנחוצה.
המצב מעט יותר טוב אם נדע משהו על הנגזרות החלקיות בסביבה של הנקודה ,ואז לעיתים נוכל
בהמשך )משפט
להסיק מכך דברים על הפונקציה כולה .דוגמא פשוטה היא הלמה הבאה ,ודוגמא חשובה יותר היא משפט
( שאומר שאם הנגזרות החלקיות קיימות ורציפות ,אז הפונקציה דיפרנציאבילית
)נגדיר בקרוב מאוד(.
למה 10.3תהי U ⊂ Rnפתוחה ותהי .f : U → Rנניח ש f
)בכל התחום( ונניח כי הנגזרות החלקיות חסומות .אזי fרציפה.
גזירה חלקית לפי כל משתנה ,x1, . . . , xn
הוכחה :נכתוב את ההוכחה עבור n = 2
כי ההכללה תהיה ברורה .נשתמש במשפט הערך ביניים של
לגראנז.
|) |f (x, y) − f (x0 , y0 )| ≤ |f (x, y) − f (x, y0 )| + |f (x, y0 ) − f (x0 , y0
∂f
∂f
|) = | (x, y 0 )(y − y0 )| + | (x0 , y0 )(x − x0
∂y
∂x
≤ M [|y − y0 | + |x − x0 |] →(x,y)→(x0 ,y0 ) 0
136
ברגע שיש לנו נגזרות חלקיות או כיווניות אפשר להמשיך ולגזור פעם שנייה
∂ ∂
f
∂xi ∂xj
ושלישית,
∂ ∂
f
∂xi ∂xj
k
∂
. ∂x
אחד המשפטים העיקרים בפרק זה יהיה על החלפת סדר הגזירה .אבך כמו שהדוגמא מעלה מראה לנו,
מושג הנגזרת הכיוונית הוא קצת חלש מידי ונרצה מושג שגם גורר נגזרות אלה ,אבל גם נגזרות לאורך
מסילות כלליות העוברות ב ,x0לאו דווקא "ישרות" .מושג זה ,בו עוסק הפרק הבא ,הוא טבעי וגיאומטרי
וגורר את כל אלה גם יחד.
10.3
דיפרנציאביליות כללית
ניזכר בחדו"א f : R → R , 1גזירה ב x0אם ורק אם קים ישר l(x) = ax + b
)) (x0 , f (x0כך ש
x → x0
העובר בנקודה
)| f (x) = l(x) + o(|x − x0
אכן ,כדי לעבור בנקודה בוחרים את ) ,l(x) = a(x − x0 ) + f (x0ואז את השיפוע a
שהשוויון מעלה יתקיים .לפעמים אין aכזה ,ואז אומרים שהפונקציה לא גזירה בנקודה.
בוחרים בדיוק כך
מנקודת מבט כזו ,ברור מה צריכה להיות ההכללה למימדים גדולים יותר .את מקומו של הישר
l : R → Rתתפוס העתקה ליניארית .A : Rn → Rmעדיין נדרוש שהיא תקרב את f
המקרה היחסית פשוט של m = 1הוא מקרה בו ההעתקה הליניארית Aהיא A : Rn → Rולכן בעצם
"כמה שניתן".
מיוצגת על ידי וקטור יחיד .כרגע אין צורך להתייחס למקרה זה באופן מיוחד ,אך הוא המקרה העיקרי
שלנו .באופן יותר מדויק:
הגדרה 10.4תהי U ⊂ Rnפתוחה .f : U → Rm ,תהי . x0 ∈ Uנאמר ש f
x0אם קיימת העתקה ליניארית ) A ∈ L(Rn , Rmכך שמתקיים
גזירה )דיפרנציאבילית( ב
)f (x) = f (x0 ) + A(x − x0 ) + o(kx − x0 k
כאשר כאן המושג oהוא סימון לפונקציה )עם ערכים ב (Rmהשואפת לאפס אחרי חילוק ב kx − x0 k
כאשר . x → x0דהיינו מתקיים
kf (x) − f (x0 ) − A(x − x0 )k
=0
kx − x0 k
lim
x→x0
כאשר קיימת כזו Aנסמן אותה ) Df (x0או ) [Df ](x0ובמקרה של m = 1
נסמן גם ) .(∇f )(x0
טענה 10.5תהי U ⊂ Rnפתוחה f : U → Rm ,ותהי . x0 ∈ Uנניח ש f
∂f
לכל vקיים ) ∂v (x0ומתקיים
דיפרנציאבילית ב .x0אזי
∂f
(x0 ) = Df (x0 )v
∂v
בפרט אנו רואים שהנגזרת הכיוונית היא פונקציה ליניארית של הכיוון! )ולכן ברור גם שלא היה צורך
להצטמצם לכיוונים מאורך אחד דווקא(.
הוכחה :אכן,
∂f
) f (x0 + hv) − f (x0
)Df (x0 )(hv) + o(khvk
(x0 ) = lim
= lim
= Df (x0 ) · v
h→0
h→0
∂v
h
h
נשים לב שזה מאפשר לנו גם לחשב את ,Dfאם אנחנו יודעים ש f
iית של המטריצה המייצגת את ) Df (x0זה פשוט הנגזרת הכיוונית
דיפרציאבילית .אכן ,העמודה ה
∂f
) . ∂x (x0
i
נשים לב גם שאם f
דיפרנציאבילית ,הדיפרנציאל מוגדר ביחידות.
הערה 10.6אם f : U ⊂ Rn → Rmהיא , f = (f1 , . . . , fm )Tהיא דיפרנציאבילית אם ורק אם כל fi
דיפרנציאבילית ומתקיים
הדבר נובע ישירות מההגדרה:
···
· · ·
···
∇f1
∇f2
∇fm
···
· · ·
Df =
···
f (x) = (f1 , . . . , fm )T (x) = (· · · , fi (x0 ) + ∇fi (x0 )(x − x0 ) + o(kx − x0 k), · · · )T
)= f (x0 ) + Df (x0 )(x − x0 ) + o(kx − x0 k
עובדות פשוטות על Df
שכדאי לשים אליהן לב מיד:
אם f (x) = Axליניארית ,אז D (x) = Aלכל .x
→
−
אם Uקבוצה פתוחה וקשירה פוליגונלית וכן D (x) = 0לכל ,x ∈ Uאז f ≡ cעל ,Uכי
אם −c ∈ Rm
→ ≡ fעל Uאז Df (x) = 0לכל ∈ U
.x
f
f
נראה בקלות שבין כל שתי נקודות המחוברות בקו ישר בתחום ,ההפרש ב f
הביניים של לגרנז יחד עם העובדה שכל הנגזרות הכיווניות הן .0
)Df +g (x) = Df (x) + Dg (x
הוא ,0ממשפט ערך
נובע מההגדרות
)(f + g)(x) = f (x0 ) + Df (x − x0 ) + o(kx − x0 k) + g(x0 ) + Dg (x − x0 ) + o(kx − x0 k
) D = A ∈ L(Rn , Rmעל Uפתוחה וקשירה פוליגונלית ,אזי על Uמתקיים −c
→ f (x) = Ax +
f
על ידי כך שנביט ב .f − Ax
טענה 10.7תהי U ⊂ Rnפתוחה f : U → Rm ,דיפרנציאבילית ב .x0 ∈ Uאזי f
רציפה ב .x0
הוכחה :מיידי
f (x) − f (x0 ) = A(x − x0 ) + o(kx − x0 k) →x→x0 0
10.4
גזירה ברציפות אם"ם החלקיות קיימות ורציפות
הגדרה 10.8נסמן עבור תחום Uאת ) C 1 (U, Rmלהיות כל הפונקציות f : U → Rm
)בכל (x ∈ Uכך שההעתקה ) x 7→ Df (xרציפה )זוהי העתקה מ Uל ) .(L(Rn , Rmבדומה נסמן את
) .C 1 (U ) = C 1 (U, R1
הדיפרנציאביליות
רציפות של )x 7→ Df (x
משמעה
lim kDf (x) − Df (x0 )k = 0
x→x0
כשמדובר כאן בנורמות על מטריצות .זה שקול למשל לכך שלכל i, j
יתקיים
lim [Df (x)]i,j = [Df (x0 )]i,j
x→x0
וזה שקול גם ,כמובן ,שעבור כל עמודה יתקיים
∂f
∂f
(x) −
(x0 )k → 0
∂xi
∂xi
בפרט קיבלנו שאם f
lim k
x→x0
דיפרנציאבילית ברציפות ,גם הנגזרות החלקיות שלה קיימות רציפות .ראינו כבר
שקיום של נגזרות חלקיות לא גורר דיפרנציאביליות .מסתבר ,שאם בנוסף הן גם רציפות ,המצב טוב
יותר ויש דיפרנציאביליות ואפילו ברציפות.
משפט 10.9תהי f : U → Rכאשר Uפתוחה .מתקיים ) f ∈ C 1 (Uאם ורק אם ) ∈ C(U
.i = 1, . . . , n
הוכחה :כיוון אחד ⇐ ראינו כרגע .הכיוון השני :נשים לב שברגע שנדע כי f
∂f
∂xi
לכל
היא דיפרנציאבילית,
החלקיות ,ולכן הדיפרנציאל יהיה רציף .כדי
בדיוק הנגזרות
יתקיים שעמודות הדיפרנציאל שלה אלה
∂f
∂f
A = ∂x
להראות דיפרנציאביליות ,נראה שהמטריצה
· · · ∂x
n
1
את הדרוש מהדיפרנציאל .שוב לשם פשטות נעשה זאת ל n = 2וההכללה תהיה ברורה .ממשפט ערך
הביניים של לגראנז קיימים ] θ1 , θ2 ∈ [0, 1כך ש
)היא בעצם וקטור כמובן( מקיימת
) f (x0 + h1 , y0 + h2 ) − f (x0 , y0 ) = f (x0 + h1 , y0 + h2 ) − f (x0 , y0 + h2 ) + f (x0 , y0 + h2 ) − f (x0 , y0
∂f
∂f
(x0 + θ1 h1 , y0 + h2 )h1 +
(x0 , y0 + θ2 h2 )h2
=
∂x
∂y
∂f
∂f
= [ (x0 , y0 ) + oh1 (1)]h1 + [ (x0 , y0 ) + oh2 (1)]h2
∂x
∂y
!
h1
+ oh1 (1)h1 + oh2 (1)h2
= A
h2
)f (x
x
כאשר השתמשנו בסימון ) f (x) = ox (1לסמן פונקציה שמקיימת ש = 0
!
h1
kf (x0 + h1 , y0 + h2 ) − f (x0 , y0 ) − A
k
h2
koh1 (1)h1 + oh2 (1)h2 k
p
p
lim
=
lim
2
2
)(h1 ,h2 )→(0,0
)(h1 ,h2 )→(0,0
h1 + h2
h21 + h22
.limx→0כעת נחשב
| |h1
koh1 (1)k p 2
+ koh2 (1)kp
)(h1 ,h2 )→(0,0
h1 + h22
h
≤
lim
(koh1 (1)k + koh2 (1)k) = 0
≤
lim
)(h1 ,h2 )→(0,0
כרצוי .כאמור ,מרגע שיודעים דיפרנציאביליות ,הרציפות מיידית.
איור :35ציור נלווה להוכחת משפט
אותה הוכחה תקפה עבור nכללי ,וגם עבור m
כללי ,ולכן המשפט הבא מתקיים
משפט 10.10תהי f : U → Rmכאשר Uפתוחה .מתקיים ) f ∈ C 1 (U, Rmאם ורק אם ∈
) C(U, Rmלכל .i = 1, . . . , n
140
∂f
∂xi
10.5
כלל השרשרת ושימושיו
10.5.1
המשפט
אחד הכללים השימושיים ביותר ,גם עבור פונקציות במשתנה אחד שלומדים בחדו"א ,1וגם בפונקציות
וקטוריות של משתנה וקטורי ,הוא כלל השרשרת.
משפט 10.11יהיו U ⊂ Rnו V ⊂ Rmפתוחות ,ונניח כי f : U → Vו .g : V → Rkנניח כי f
דיפרנציאבילית ב x0ו gדיפרנציאבילית ב ) .y0 = f (x0אזי h : U → Rkההרכבה, h = g ◦ f ,
דיפרנציאבילית ב x0ומתקיים
) Dh (x0 ) = Dg (f (x0 ))Df (x0
כאשר כאן מדובר בהרכבת העתקות ליניאריות או באופן שקול בכפל מטריצות.
הערה 10.12מקרה פרטי חשוב כאשר k = 1
)שהיא אולי השימושית ביותר( ואז מקבלים
) ∇h(x0 ) = ∇g(f (x0 ))Df (x0
− ∇f1 −
ואם נסמן f = (f1 , . . . , fm )Tמתקיים
Df = זאת אומרת שקיבלנו
− ∇fm −
−
− ∇f1
− ∇fm −
∇h(x0 ) = ∇g(f (x0 ))
כדאי לשים לב מה המסקנה לגבי נגזרות חלקיות .הנגזרת החלקית הi־ית של h
זה פשוט האיבר ה i־י
בוקטור הנ"ל ,ונקבל
m
X ∂g
∂h
∂fj
= ) (x0
· )) (f (x0
) (x0
∂xi
∂x
∂x
j
i
j=1
וזו נוסחא שימושית לגזור את )) h(x) = g(f1 (x), · · · , fm (xכאשר ∈ Rn
אינטרפרטציה "גיאומטרית" :אם נרצה להבין כמה hמשתנה כשמשנים את xליד x0בכיוון ,eiנראה
כמה כל fjמשתנה ,וכיצד שינוי זה )שהוא שינוי בקואורדינטה ה jית של (gמשפיע על .gתוכלו לבדוק
בקלות שנסחא זו עודנה תקפה גם כשאר ,k 6= 1ואז שני האגפים הם וקטורים מאורך .k
.xשימו לב שקל לתת לה
דוגמאות
f : Rn → Rו g : R → Rאזי עבור h = g ◦ f : Rn → R
נקבל
) ∇h(x0 ) = Dh (x0 ) = Dg (f (x0 ))Df (x0 ) = g 0 (f (x0 ))∇f (x0
¡¡¢
למשל נביט בדוגמא המספרית f (x) = kxkזאת אומרת f : Rn → R
P 2
P
√
.f (x1 , . . . , xn ) = ( ni=1 x2i )1/2נגדיר את xi
= ) a(xואת b(y) = yכך ש . f = b ◦ a
קל לראות ש ∇a(x) = 2xוכן b0 (y) = 12 y −1/2ולכן
מוגדרת על ידי
£
1
x0
x0
∇f (x0 ) = Df (x0 ) = (a(x0 ))−1/2 2x0 = pP
=
2
kx0 k
(x0 )2i
γ : R → R nו f : Rn → Rו h = f ◦ γ : R → R
אז
) h0 (x0 ) = Dh (x0 ) = Df (x0 )Dγ (x0 ) = ∇f (x0 )γ 0 (x0
נראה גם על דוגמא חישובית :נאמר h(t) = k(cos t, sin t, t)kאז h = f ◦ γעבור f
הראשונה ועבור ) γ(t) = (cos t, sin t, tולכן
γ(t) 0
h(cos t, sin t, t), (− sin t, cos t, 1)i
t
√
√=
= )γ (t
2
kγ(t)k
1 + t2
cos2 t + sin t + t2
= )h0 (t) = ∇f (γ(t))γ 0 (t
כמובן שבדוגמא פשוטה זו ניתן לחשב זאת גם ישירות על ידי כתיבת cos2 t + sin2 t + t2
£
מהדוגמא
√
= )h(t
וגזירה ישירה.
A ∈ L(Rk , Rn ) ,f : Rn → Rmונסמן h = f ◦ A : Rk → Rm
אזי
Dh = Df ◦ A
ובדומה ) B ∈ L(Rm , Rlונסמן g = B ◦ f : Rn → Rlאזי = B ◦ Df
10.5.2
.Dg
הוכחת המשפט
§¦¤¥
כדי להוכיח את כלל השרשרת נזדקק לטענת עזר פשוטה לגבי מטריצות ,שבעצם הוכחנו בהוכחת טענה
למה 10.13תהי ) C ∈ L(Rn , Rmו יהיה x ∈ Rnאזי ≤ kCkHS kxk
של Cב v1 , . . . , vmאזי מקושי שוורץ
a2i,j = kCk2HS kxk2
m X
n
X
i=1 j=1
2
2
2
kvi k kxk = kxk
m
X
i=1
.kCxkהוכחה :נסמן את שורותיה
2
≤ ||hvi , xi
m
X
i=1
הוכחה] :הוכחת כלל השרשרת[ נסמן לשם פשטות ) A = Df (x0ו ) = Dg (y0
fב־ x0מתקיים
)f (x) = f (x0 ) + A(x − x0 ) + o(kx − x0 k
©¨¦
2
= ||Cxk
.Bמדיפרנציאביליות של
כאשר
ka(x)k/kx − x0 k → 0 מתקיים,a(x) = f (x) − [f (x0 ) + A(x − x0 )] שזה אומר שאם נסמן את
. x → x0
מתקייםy0 בg מדיפנרציאביליות של,בדומה
g(y) = g(y0 ) + B(y − y0 ) + o(ky − y0 k)
→ y0 כאשרkb(y)k/ky − y0 k → 0 מקייםb(y) = g(y) − [g(y0 ) + B(y − y0 )] זאת אומרת ש
kb(f (x))k
עלינו להראות,h(x) = g(f (x)) נביט בהרכבה. kf (x)−f (x )k →x→x0 0 רציפה מתקיים גםf משום ש
0
ולכן,y
כי
h(x) = h(x0 ) + BA(x − x0 ) + o(kx − x0 k)
,נביט על כן בהפרש
w(x) = h(x) − h(x0 ) − BA(x − x0 ) = g(f (x)) − g(f (x0 )) − BA(x − x0 )
= B(f (x) − f (x0 )) + b(f (x)) − BA(x − x0 )
= B(A(x − x0 ) + a(x)) + b(f (x)) − BA(x − x0 )
= B(a(x)) + b(f (x))
כעת עלינו להסביר מדוע
B(o(kx − x0 k)) = o(kx − x0 k)
ומדוע
o(kf (x) − f (x0 )k) = o(kx − x0 k)
אכן.x
→ x0 ולקחת גבול כאשרkx − x0 k לשם כך עלינו לחלק את הביטויים ב
ka(x)k
kB(a(x))k
≤ kBk
→x→x0 0
kx − x0 k
kx − x0 k
וגם
kb(f (x))k
kb(f (x))k kf (x) − f (x0 )k
kb(f (x))k kA(x − x0 ) + a(x)k
=
=
kx − x0 k
kf (x) − f (x0 )k
kx − x0 k
kf (x) − f (x0 )k
kx − x0 k
kb(f (x))k
kA(x − x0 )k + ka(x)k
≤
≤ o(1)[kAk + o(1)] →x→x0 0
kf (x) − f (x0 )k
kx − x0 k
ª«¬
10.5.3
דוגמא לשימוש
נניח שנתונה f : Rn → Rשהיא גזירה ברציפות ,ושמקיימת עבור k ∈ Rמסויים כי לכל t ∈ R
)f (tx) = tk f (x
.h∇f (x), xi
אזי נובע k ≥ 1ונסחת אוילר מתקיימת )= kf (x
אכן ,מרציפות וגזירות של ) f (xנקבל בפרט שלכל xהפונקציה ) g(t) = f (txגזירה ברציפות אבל
tkגזירה ברציפות ב־ 0רק עבור .k ≥ 1כעת נגזור את gבשתי דרכים ,לפי כלל השרשרת ולפי צד ימין
של המשוואה וגזירה רגילה .נסמן γ(t) = txזו מסילה ,γ 0 (t) = x ,ומתקיים ,g = f ◦ γולכן
)∇f (tx) · x = g 0 (t) = ktk−1 f (x
כך שעבור t = 1נקבל את הנוסחא הנדרשת .נעיר שאם יודעים הומוגניות מסוג זה עבור f
על תת קבוצה של ,Rnוגזירה שם ברציפות ,עדיין החלק השני של ההוכחה תקף ,רק החלק של k ≥ 1
דרש כי fתהיה גזירה ברציפות בראשית.
המוגדרת
הערה 10.14השנה לא נכנסנו לעומק לדוגמאות של פונקציות על מטריצות .ועדיין ,כדאי לשאול את
עצמנו למשל מהו הדיפרנציאל של det
הפועלת על מטריצות ריבועיות? קל להשתכנע בדיפרנציאביליות
שכן חישבנו את הנגזרות החלקיות
∂ det
) = (−1)i−j det(Aij
∂Eij
וכולן יצאו רציפות )פולינומים מסדר n − 1באברי המטריצה ־ כמובן שזה משום ש det
∂
פולינום( .אבל איך נראית ההעתקה det
) ?H → ∂Hזו העתקה ליניארית ,שונה בכל נקודה ,Aשנקראת
העתקת הדיפרנציאל( .נעשה זאת בנקודה A = Idכי שם יותר קל לחשב.
1 + εh11
εh12
···
εh1n
εh21
· · · 1 + εh22
)det(Id + εH) − det(Id
1
lim
−
1
= lim det
ε→0
ε→0 ε
ε
εhn1
1 + εhnn
n
X
=
)hii = trace(H
בעצמה היא
i=1
במקרה קצת יותר כללי שבו A
הפיכה ,אפשר לחשב כי
)det(A + εH) − det(A
)det(Id + εA−1 H) − det(Id
lim
= det(A) lim
)= det(A)trace(A−1 H
ε→0
ε→0
ε
ε
לגזור אותה בנקודות בהן det = 0זאת אומרת בנקודות בהן A
כך בשלב זה.
144
איננה הפיכה גם אפשרי אבל נוותר על
עוד שאלה מסוג כזה היא מה הדיפרנציאל של ההעתקה H : M atn×n → M atn×n
.H(A) = A−1שוב ,עדיף קודם לגזור בנקודה פשוטה A = Idואח"כ לעבור למקרה כללי .כאן תחום
ההגדרה הוא כמובן רק הפונקציות ההפיכות .זיכרו שהמקרה n = 1צריך להזדהות עם הנגזרת של
.H(x) = x−1
הנתונה על ידי
10.5.4
הגרדיאנט
המקרה של f : U → Rכאשר U ⊂ Rn
)פתוחה ,על פי רוב( חשוב לנו במיוחד .הדיפרנציאל במקרה
כזה נקרא "הגרדיאנט" והוא בעצם וקטור )שורה( .יש לו את התכונה הגיאומטרית החשובה והיא שהוא
"מאונך לקווי הגובה של הפונקציה" .לא הגדרנו מה פירוש הדבר להיות מאונך למשטח )ולמעשה גם לא
הגדרנו משטח( אז כל שנאמר על כך יהיה הלמה הבאה ,שהיא מסקנה ישירה מכלל השרשרת:
איור :36הגרדיאנט מאונך לקווי הגובה
למה 10.15תהי f : U → Rדיפרנציאבילית בנקודה .x0נסמן }) = {x : f (x) = f (x0
עקומה γ : [−1, 1] → Sהמקיימת γ(0) = x0מתקיים
.Sאזי לכל
)∇f (x0 ) ⊥ γ 0 (0
הוכחה :משום ש ) f (γ(t)) = f (x0מספר קבוע ,הנגזרת לפי t
מתאפסת .לפי כלל השרשרת
∇f (γ(t))γ 0 (t) = 0
ובפרט עבור = 0
.t
אבחנה זו תהיה מאוד משמעותית כאשר )בחדו"א 3למשל( תרצו למצוא מינימום ומקסימום של פונקציה
תתחת אילוץ .הדבר יבטיח את קיומם של "כופלי לגרנז'" שאומרים שבנקודת מקסימום של פונקציה,
תחת אילוץ ,הגרדיאנט של האילוץ והגרדיאנט של הפונקציה אותה ממקסמים ,מקבילים.
הגרדיאנט גם עוזר לנו למצוא מועמדים להיות מינימום ומקסימום.
145
הגדרה 10.16תהי f : U → Rכאשר U ⊂ Rnפתוחה .נניח ש fגזירה ברציפות ,ותהי ∈ U
שהיא נקודה קריטית של fאם מתקיים .∇f (x) = 0
.xנאמר
כמובן שיש לזה משמעות משום שמתקיים
טענה 10.17תהי f : U → Rכאשר U ⊂ Rnפתוחה .נניח ש fגזירה ברציפות ,אזי עבור x0 ∈ U
שהיא נקודת מקסימום מקומי או מינימום מקומי מתקיים .∇f (x0 ) = 0
הוכחה :נניח בשלילה שמתקיים .∇f (x0 ) 6= 0אזי קיים v ∈ Rnעם kvk = 1כך ש ∇f (x0 )·v = c > 0
)למשל v = (∇f (x0 ))Tיתאים( .נביט בפונקציה ) h(x0 + tvולשים לב שיש לה מקסימום או מינימום ב
t = 0אבל הנגזרת שלה ב t = 0היא .∇f (x0 )v 6= 0
כדי להחליט האם נקודה חשודה היא באמת מינימום או מקסימום ,בחדו"א 1עוברים לנגזרת השנייה.
גם כאן יש צורך לעשות זאת ,רק שימו לב שכשגוזרים פעמיים ,זאת אומרת מחשבים את הדיפרנציאל של
,∇fאנחנו כבר גוזרים פונקציה שהיא : Rn → Rn
∂ ∂
.n × nאיבריו יהיו הנגזרות המעורבות f
. ∂xמטריצה זו נקראת ההסיאן של ,fומסתבר שתחת
i ∂xj
,∇fזאת אומרת הדיפרנציאל עכשיו יהיה מטריצה
תנאים די חלשים ,היא מטריצה סימטרית .זה נושאו של הפרק הבא.
נשים לב לעוד הבדל חשוב ־ במימדים גבוהים ייתכן שנקודה היא "אוכף" דהיינו מינימום בכיוונים
מסויימים ומקסימום בכיוונים אחרים.
איור :37אוכף
עוד לפני שנעבור לפרק על ההסיאן ,נשים לב כיצד הוא יצטרף לתמונה בחיפוש אחרי מינימום
ומקסימום )וגם בטיילור(.
בהנתן ) f : Rn → Rאו f : A → Rכאשר A ⊂ Rnפתוחה למשל( ,ברור למשל שנקודה x0
מקסימום מקומי אם ורק אם לכל vמתקיים עבור ) g(t) = f (x0 + tvשהנקודה t = 0היא מקסימום
מקומי .לכך יש לנו כבר תנאים מן המוכן ,ולשם כך למשל צריך ראשית כל לבדוק האם g 0 (0) = 0ואם
כן ,לבדוק את )) g 00 (0אם גם הוא ,0יש לעבור לנגזרות מסדר יותר גבוה( .כבר ראינו מכלל השרשרת
היא
כי
g 0 (0) = ∇f (x0 ) · v
וכדי שיתאפס לכל vכמובן צריך = 0
) .∇f (x0כדי לבדוק מה הנגזרת השנייה נחשב
g 00 (t) = (∇f (x0 + tv) · v)0 = (∇f (x0 + tv))0 · v
0
∂f
∂f
=
···
)(x0 + tv
(x0 + tv) · v
∂x1
∂x1
n
n
0
X
X
∂f
∂f
=
= (x0 + tv) vj
(∇[
(x0 + tv)) · v]vj
∂x
∂x
j
j
j=1
j=1
n X
n
X
∂ ∂
(
f )(x0 + tv)vi vj
∂x
∂x
i
j
j=1 i=1
=
ובפרט
g 00 (0) = v T (∇2 f )(x0 )v
וכעת צריך לגעת קצת אלגברה ליניארית כדי להבין ,על ידי הבנת מהי המטריצה ) ,∇2 f (x0האם מדובר
בנקודת מינימום ,מקסימום ,אוכף ,או שמא יש לעבור לנגזרות גבוהות יותר על מנת לדעת .כדי שנוכל
להפעיל אלגברה ליניארית ,כדאי שנדע למשל שמדובר במטריצה לכסינה.
ואכן ,מדובר על פי רוב
במטריצה סימטרית ,וזה ממש הנושא של תת הפרק הבא.
10.6
גזירות מסדר גבוה ,שוויון המעורבות כשרציפות
חוזרים לנושא של נגזרות חלקיות .תהי f : U → Rכאשר ⊂ Rn
1
פונקציה ממשית ,במשתנה וקטורי .נזכיר כי ])[f (x + hei ) − f (x
h
,Uזאת אומרת אנו מדברים על
= limh→0
∂
)f (x
∂ei
n
= )f (x
i
∂
. ∂x
התוצאה )כמו בכל פעולת גזירה( היא פונקציה חדשה ,שתחום ההגדרה שלה הוא עדיין R
שלו ,U ,והיא מחזירה מספר )המודד עד כמה הפוקציה משתנה בכיוון .(eiכמובן אפשר לבצע גזירה
חוזרת של הפונקציה שקיבלנו ,לפי אותו משתנה או לפי משתנה אחר.
דוגמאf (x, y) = x3 y − y sin(yx) :
נחשב
∂ 3
∂ ∂
)x − sin(yx) − yx cos(yx
= )f (x, y
∂x ∂y
∂x
)= 3x2 − cos(yx)y − y cos(yx) + y 2 x sin(yx
)= 3x2 − 2y cos(xy) + y 2 x sin(xy
∂ 2
∂ ∂
)3x y − y 2 cos(yx
= )f (x, y
∂y ∂x
∂y
)= 3x2 − 2y cos(yx) + y 2 x sin(yx
מקרה? ממש לא .הפעם ננסח ונוכיח ב R2
אך ההוכחה עוברת כלשונה למימד כללי.
®¯°
או תת קבוצה
∂
)f (x, y
∂x
משפט 10.18תהי f : U → Rכאשר U ⊂ Rnפתוחה ותהי (x0 , y0 ) ∈ U
∂
)f (x, y
∂yבסביבה של ) ,(x0 , y0ונניח כי שתיהן גזירות ברציפות בנקודה ) .(x0 , y0אזי מתקיים
כך שקיימות
,
∂ ∂
∂ ∂
= ) f (x0 , y0
) f (x0 , y0
∂x ∂y
∂y ∂x
)זאת אומרת המטריצה ∇2 f = DDf = D2 f
היא סימטרית(.
הערה 10.19
הוכחה :נתחיל בכך שנשים לב שהשוויון הבא מתקיים לכל :k, h
=
]) [f (x0 +k,y0 +h)−f (x0 +k,y0 )]−[f (x0 ,y0 +h)−f (x0 ,y0
hk
]) [f (x0 +k,y0 +h)−f (x0 ,y0 +h)]−[f (x0 +k,y0 )−f (x0 ,y0
hk
אם נשתמש באופן נאיבי כעת במשפט ערך הביניים של לגרנז לכל אחד מארבעת הביטויים נקבל שקיימים
]θ1 , θ2 , θ3 , θ4 ∈ [0, 1
)התלויים ב (k, hכך ש
∂
∂ 1
∂
∂ 1
f (x0 + k, y0 + θ1 h) −
= )f (x0 , y0 + θ2 h
f (x0 + θ3 k, y0 + h) −
) f (x0 + θ4 k, y0
k ∂y
∂y
h ∂x
∂x
אבל אנחנו רוצים קצת יותר ־ רוצים ש θ1 = θ2וכן = θ4
.θ3זה קל ,למשל עבור הביטוי התחתון
נשתמש במשפט ערך הביניים לפונקציה
)g(y) = f (x0 + k, y) − f (x0 , y
שהרי מדובר ב ) + h) − g(y0
.g(y0עבור הביטוי העליון נשתמש במשפט לגרנז עבור
) g(x) = f (x, y0 + h) − f (x, y0
קיבלנו למעשה שקיימים ]θ, θ0 ∈ [0, 1
עבורן
∂
∂ 1
∂
∂ 1
0
0
f (x0 + k, y0 + θh) −
= )f (x0 , y0 + θh
f (x0 + θ k, y0 + h) −
) f (x0 + θ k, y0
k ∂y
∂y
h ∂x
∂x
וכעת ניתן להשתמש במשפט ערך הביניים פעם נוספת ,עבור הפונקציות הנ"ל .נקבל שקיימים η, η 0
ש
∂ ∂
∂ ∂
= )f (x0 + ηk, y0 + θh
)f (x0 + θ0 k, y0 + η 0 h
∂x ∂y
∂y ∂x
כעת על פי רציפות נוכל לקחת את h, k → 0
בשני הצדדים ,ונקבל את השוויון הרצוי.
±²³
כך
כמסקנה נקבל על ידי הפעלה באינדוקציה ,שאם לפונקציה קיימות כל הנגזרות החלקיות מסדר k
)"סדר"
פירושו מספר הפעמים שגוזרים( והן רציפות ,אז אפשר להחליף את סדר הגזירה .מסמנים את הגזירה k
פעמים ביחס למשתנה מסוים כך
∂kf
∂
∂
=
···
f
k
∂xi
∂xi
∂xi
P
= Mמסמנים את
ועבור וקטור α = (k1 , . . . , kn ) ∈ Nnעם ki
∂M
∂ k1 ∂ k2
∂ kn
=f
· · · kn f
∂xα
∂xn
∂xk11 ∂xk22
כאשר סדר הגזירה איננו חשוב )תחת ההנחה שהפונקציה גזירה ברציפות kiפעמים לפי xi
הערה 10.20תהי f : Rn → Rויהיה u ∈ Rn
לכל .(i
ונניח שאנו רוצים לגזור פעמיים את
)g(t) = f (v0 + tu
למשל כי ברור שאם יש לפונקציה מקסימום מקומי ב x0אז גם ל g
שמתקיים . g 00 (0) ≤ 0חישוב הנגזרת השנייה הוא דבר פשוט שכן יש לנו את כלל השרשרת
יהיה ולכן ברור שתנאי הכרחי יהיה
n
d
d X ∂f
= )g (t
ui
])(v0 + tu
[ = ][∇f (v0 + tu) · u
dt
dt i=1 ∂xi
00
n
n
X X ∂ ∂f
d ∂f
[
= ])(v0 + tu
ui
[
](v0 + tu)uj
dt ∂xi
∂x
∂x
j
i
i=1
j=1
∂ 2f
(v0 + tu)ui uj = uT ∇2 f (v0 + tu)u
∂xi ∂xj
ui
n
X
i=1
n X
n
X
=
=
i=1 j=1
ובפרט g 00 (0) = uT ∇2 f (v0 )uזאת אומרת שאם לכל uמתקיים gu00 (0) ≤ 0המטריצה ) ∇2 f (x0
צריכה
להיות מוגדרת אי חיובית .בתת הפרק הבא נשעה את טיילור כמו שצריך ,ונראה גם את גורם השגיאה,
למשל
) f (v0 + hu) = f (v0 ) + h∇f (v0 )u + h2 uT ∇2 f (v0 )u + o(h2
וכך נסיק שאם באמת היא מוגדרת שלילית ממש )בנקודה קריטית( אז בהכרח זו נקודת מקסימום.
באופן כללי בנקודה קריטית צריך לבחון את המטריצה ∇2 f
ולבדוק איזה ערכים עצמיים יש לה ,ולפי זה
להחליט )אם אין לה ע"ע 0שאז צריך לעבור לנגזרות מהסדר הבא( האם היא נקודת מינימום ,מקסימום
או אוכף.
¶´µ
10.7
טור טיילור בהרבה משתנים
משפט 10.21תהי f : A → Rעבור A ⊂ Rnפתוחה ונניח כי היא גזירה m + 1
.x0 ∈ Aאזי עבור kuk = 1מתקיים
n
X
∂kf
)(x0 )ui1 · · · uik + Rm,u (x0 , h
∂x
·
·
·
∂x
i
i
1
k
=1
כאשר ) = o(|h|m
ik
···
m
n
X
hk X
i1 =1
!k
פעמים ברציפות ליד
= )f (x0 + hu
k=0
) .Rm,u (x0 , hיתר על כן ,השארית נתונה על פי לגרנז על ידי
n
n
X
X
∂ m+1 f
1
···
(v0 + h0 u)ui1 · · · uim+1
= )Rm,u (x0 , h
(m + 1)! i =1
∂xim+1 · · · ∂xi1
i
=1
m+1
עבור h0בין 0
1
לבין .h
הוכחה :ההוכחה היא פשוט ההוכחה של חדו"א 1שכן כאשר מחשבים את ההפרש ) f (x0 + hu) − f (x0
למעשה חוקרים פונקציה במשתנה אחד ,h ,ואפשר להתמש בכלים של חדו"א .1אכן ,כל שעלינו לחשב
זה
n
n
X
X
∂kf
dk
(f
(x
+
)hu
−
f
(x
))
=
·
·
·
(x0 + hu)ui1 · · · uik
0
0
dhk
∂xik · · · ∂xi1
i =1
i =1
1
k
ואת זה נעשה באינדוקציה .המקרה k = 1
הוא ברור ,ואז
n
X
∂
∂kf
=
(x0 + hu)ui1 · · · uik ui
∂x
∂x
·
·
·
∂x
i
i
i
1
k
i=1
n
X
∂ k+1 f
(x0 + hu)ui1 · · · uik+1
∂xik+1 · · · ∂xi1
=1
ik
···
n
X
∂kf
(x0 + hu)ui1 · · · uik
∂xik · · · ∂xi1
d
dh
=
i1 =1
כעת נשתמש במשפט טיילור למשתנה אחד.
10.8
בעיות מיניום ומקסימום בכמה משתנים
כבר דנו בכך על קצה המזלג בשני הפרקים הקודמים ,כעת ננסח את המשפטים המרכזיים.
משפט 10.22תהי f : A → Rכאשר A ⊂ Rnפתוחה ותהי .x0 ∈ Aנניח כי f
בכל Aונניח כי .∇f (x0 ) = 0אז אם כל הערכים העצמיים של ) ∇2 f (x0חיוביים אז x0מינימום מקומי,
אם כל הערכים העצמיים של ) ∇2 f (x0שליליים אז x0מקסימום מקומי ,אם יש ל ) ∇2 f (x0ערך עצמי
חיובי וערך עצמי שלילי אז x0אוכף.
גזירה ברציפות פעמיים
הוכחה :מיידית )להשלים(
150
משפט 10.23הי f : A → Rכאשר A ⊂ R2פתוחה ותהי .(x0 , y0 ) ∈ Aנניח כי f
2
∂2f
פעמיים בכל Aונניח כי .∇f (x0 , y0 ) = 0נסמן ) (x0 , y0 ) ,A = ∂∂xf2 (x0 , y0
B = ∂x∂yו־= C
∂2f
) . ∂y2 (x0 , y0אזי אם AC − B 2 < 0הנקודה היא אוכף ,אם AC − B 2 > 0וגם A > 0הנקודה היא
מינימום מקומי ,ואם AC − B 2 > 0וגם A < 0הנקודה היא מקסימום מקומי.
גזירה ברציפות
הוכחה :נובעת מהמשפט הקודם יחד עם כלים בסיסיים מאלגברה לינארית על ערכים עצמיים של מטריצה
Mסימטרית × 2
a11כי זה פשוט .hM e1 , e1 i
:2מכפלתם היא הדטרמיננטה ,ובפרט אם הם שווי סימן אז סימנם זהה לסימן של
151
© Copyright 2024