א. אינטגרלים 1 הקדמה.

‫סיכומים בחדו"א ‪2‬‬
‫שירי ארטשטיין וירון אוסטרובר‬
‫‬
‫‪2013‬‬
‫כל הזכויות שמורות לשירי ארטשטיין‪.‬‬
‫אין להעתיק‪ ,‬לשכפל‪ ,‬לצלם‪ ,‬לתרגם‪ ,‬להקליט‪ ,‬לשדר‪,‬‬
‫לקלוט ו‪/‬או לאכסן במאגר מידע בכל דרך ו‪/‬או אמצעי מכני‪ ,‬דיגיטלי‪ ,‬אופטי‪ ,‬מגנטי ו‪/‬או אחר – חלק‬
‫במסמך זה‪ ,‬בין אם לשימוש פנימי ו‪/‬או לשימוש מסחרי‪.‬‬
‫כלשהו מן המידע ו‪/‬או המאמרים ו‪/‬או התמונות ו‪/‬או האיורים ו‪/‬או כל תוכן אחר שצורף ו‪/‬או נכלל‬
‫א‪ .‬אינטגרלים‬
‫‪1‬‬
‫הקדמה‪.‬‬
‫שטח של מלבן בעל צלעות הוא כמובן‬
‫‪.‬‬
‫נאמר שרוצים לחשב את השטח מתחת לגרף של ‪f : [0, 1] → R, f (x) = x2‬‬
‫נבחר נקודות ‪ 0 = x0 < x1 < · · · < xn = 1‬ונסמן ‪ .∆xi = xi − xi−1‬כאן ‪.i = 1, . . . , n‬‬
‫נביט בשני הסכומים‬
‫‪x2i ∆xi‬‬
‫‪n‬‬
‫‪X‬‬
‫‪x2i−1 ∆xi‬‬
‫= ‪An‬‬
‫‪i=1‬‬
‫‪n‬‬
‫‪X‬‬
‫= ‪An‬‬
‫‪i=1‬‬
‫אשר מייצגים את השטח של איחוד של מלבנים‪ ,‬במקרה אחד החוסמים את הגרף מבחוץ‪ ,‬ובמקרה‬
‫השני אשר חסומים בתוך הגרף‪.‬‬
‫השטח ה"אמיתי" ‪ A‬מקיים‪ ,‬אינטואיטיבית לפחות‪≤ A ≤ An ,‬‬
‫נבצע בחירה קונקרטית של הנקודות‪ xi = ni :‬ועבורן נחשב את הסדרות הללו‬
‫‪.A n‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n−1‬‬
‫‪1 X 2‬‬
‫‪1 X‬‬
‫‪2‬‬
‫‪(i‬‬
‫‪−‬‬
‫)‪1‬‬
‫=‬
‫‪i‬‬
‫‪n3 i=1‬‬
‫‪n3 i=0‬‬
‫=‬
‫‪n‬‬
‫‪X‬‬
‫‪(i − 1)2 1‬‬
‫‪n2‬‬
‫‪n‬‬
‫= ‪An‬‬
‫‪i=1‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫‪X‬‬
‫‪1 X 2‬‬
‫‪i2 1‬‬
‫= ‪An‬‬
‫‪i‬‬
‫‪= 3‬‬
‫‪2n‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫‪i=1‬‬
‫‪i=1‬‬
‫אפילו לפני שניגש לחישוב הסכום‪ ,‬אנו רואים כי ‪→ 0‬‬
‫הגבולות יהיו שווים ל־‪.A‬‬
‫‪1‬‬
‫‪n‬‬
‫= ‪An − An‬‬
‫כך שלפי כלל הסנדוויץ‪ ,‬שני‬
‫את החישוב עצמו נבצע על פי נוסחא לסכום סופי של ריבועי המספרים הטבעיים‪ ,‬נוסחא שנלמדה‬
‫בתיכון ושניתן להוכיח בקלות באינדוקציה‪ ,‬או בהוכחה הגרפית המצורפת באיור‬
‫)‪m(m + 1)(2m + 1‬‬
‫‪6‬‬
‫‬
‫= ‪i2‬‬
‫‪m‬‬
‫‪X‬‬
‫‪i=1‬‬
‫‪.‬‬
‫איור ‪ :1‬השטח מתחת ל ‪ x2‬ב ]‪[0, 1‬‬
‫הערה ‪ 1.1‬את הנסחא לסכום של חזקות שלישיות אתם זוכרים?‬
‫‪m2 (m + 1)2‬‬
‫‪4‬‬
‫נקבל אם כך כי‬
‫‪1‬‬
‫‪3‬‬
‫→ )‪+ 1)(2n + 1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪(n‬‬
‫‪6n2‬‬
‫= ‪An‬‬
‫= ‪i3‬‬
‫‪m‬‬
‫‪X‬‬
‫‪i=1‬‬
‫וכך גם הגבול השני‪.‬‬
‫תרגיל ‪ 1.2‬ביצוע תהליך זהה עבור הפונקציה ‪f (x) = x3‬‬
‫חזקות שלישיות תתן את הערך ‪. 14‬‬
‫‪f : [0, 1] → R,‬‬
‫בצירוף עם הנסחא לסכום‬
‫דברים אלה נעשו על ידי פרמה בשנת ‪ ,1636‬אבל כבר ארכימדס השתמש בשיטה של "מיצוי" כדי לחשב‬
‫שטח של מעגל בקירוב טוב כרצוננו )אפילו המושג של "טוב כרצוננו" קיים אצל ארכימדס(‪ ,‬כך שהרעיון‬
‫הבסיסי היה קיים‪ .‬כמובן שמושג הגבול כהלכתו היה צריך לחכות אי אלו שנים‪ ,‬כפי שלמדנו בחדוא ‪.1‬‬
‫שימו לב שהיינו צריכים להשתמש בנוסחאות מדוייקות לסכום ריבועים וסכום חזקות אחרות‪ .‬אם‬
‫רוצים לבצע תהליך דומה עבור ‪f (x) = xα‬‬
‫‪ f : [0, 1] → R,‬כאשר ‪> −1‬‬
‫‪ ,α‬ואין לנו נסחאות כאלה‪,‬‬
‫יש בכל זאת משהו שאפשר לעשות ־ מסתבר שיותר קל לעבוד עם סדרת נקודות אחרת‪ ,‬שאיננה שוות‬
‫‪1‬‬
‫‪.( α+1‬‬
‫מרחקים‪) .‬התוצאה‪ ,‬כפי שניתן לנחש‪ ,‬היא תמיד‬
‫הבה נדגים זאת‪.‬‬
‫‪ ,0‬כאשר עליכם לחשוב עליו כעל קרוב ל־‪.1‬‬
‫לשם יצירת סדרת הנקודות‪ ,‬נבחר מספר ‪< θ < 1‬‬
‫נגדיר את ‪ yi = θ i‬כאשר ‪ i = 0, 1, . . . , n − 1‬ואז את ‪ xi‬נגדיר להיות אותה סדרה אבל בסדר הפוך‬
‫זאת אומרת ‪.x0 = 0, x1 = yn−1 , x2 = yn−2 , · · · , xn−1 = y1 , xn = 1‬‬
‫‪2‬‬
‫איור ‪ :2‬הוכחה גיאומטרית ־ סכום ריבועים‬
‫‪3‬‬
‫איור ‪ :3‬השטח מתחת לגרף של ‪xα‬‬
‫שימו לב שאף על פי שהסדרה סופית‪ ,‬על ידי בחירה של ‪n‬‬
‫הסדרה האינסופית ‪ yi = θ i‬ואז הסדרה יורדת מ ‪ 1‬ועד ל ‪ 0‬ואין דרך "לסדר" אותה כעולה‪ .‬הדבר לא‬
‫הולך ועולה‪ ,‬ניתן למעשה לעבוד עם‬
‫צריך להפריע לכם כהוא זה‪ ,‬מה גם שעוד לא הגדרנו דברים במדויק אלא אנו עוסקים בדוגמא בלבד‪.‬‬
‫עבור כל מספר ‪0 < θ < 1‬‬
‫נחשב שני סכומים‬
‫‪(θi − θi+1 )θiα‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫= ‪Aθ‬‬
‫‪i=0‬‬
‫‪(θi − θi+1 )θ(i+1)α‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫= ‪Aθ‬‬
‫‪i=0‬‬
‫שני הביטויים ניתנים בקלות לחישוב‪ ,‬שכן המדובר בסדרות הנדסיות‪ .‬למשל‬
‫‪1−θ‬‬
‫‪1 − θα+1‬‬
‫= )‪θi(α+1) (1 − θ‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫‪i=0‬‬
‫=‬
‫‪iα‬‬
‫‪)θ‬‬
‫‪i+1‬‬
‫‪i‬‬
‫‪(θ − θ‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫= ‪Aθ‬‬
‫‪i=0‬‬
‫כעת ניקח את הגבול כאשר ‪θ → 1‬‬
‫ביותר כאן הוא הראשון‪ ,‬שאורכו ‪ .1 − θ‬נקבל ששני הגבולות שווים ל‬
‫נעיר שהשיטה עובדת לכל ‪ α > −1‬אבל צריך הרבה "אומץ" כדי לעבור מתחום חסום‪ ,‬כמו של‬
‫√‬
‫‪ α ≥ 0‬לתחום לא־חסום‪ ,‬כמו של ‪ .−1 < α < 0‬למשל‪ ,‬עבור הפונקציה ‪ f (x) = 1/ x‬נקבל שני‬
‫דהיינו המרווחים שואפים לגודל אפסי‪ .‬שימו לב ־ המרווח הגדול‬
‫‪1‬‬
‫‪. α+1‬‬
‫שטחים ־ ריבוע ששטחו אחד‪ ,‬וצורה לא חסומה שעל פי החישוב גם ה"שטח" שלה הוא ‪.1‬‬
‫‪4‬‬
‫איור ‪ :4‬השטח מתחת לגרף של ‪1/x‬‬
‫√‬
‫איור ‪ :5‬השטח מתחת לגרף של ‪1/ x‬‬
‫‪5‬‬
‫כאשר מיישמים את השיטה עבור הפונקציה ‪ f (x) = 1/x‬או חזקות אחרות הקטנות מ־)‪(−1‬‬
‫שהגבול הוא ∞‪.‬‬
‫כל האמור מעלה היה הקדמה אינטואיטיבית )עם מעט חישובים לא קשים(‪ .‬בפרק‬
‫מקבלים‬
‫נגדיר במדוייק‬
‫מהו שטח מתחת לגרף של פונקציה‪ ,‬וגם נסביר כיצד ניתן לחשב אותו‪ .‬אולם לשם כך צריך לדעת לעשות‬
‫פעולה "הפוכה" לנגזרת‪ .‬בהנתן פונקציה ‪ ,f‬למצוא פונקציה אחרת ‪F‬‬
‫הפונקציה המקורית‪ .F 0 = f ,‬על כך נסוב הפרק )הקצר( הבא‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫שכשגוזרים אותה מקבלים את‬
‫פונקציה קדומה‬
‫עבור ‪ ,α = −1‬גם השטח מתחת לגרף של ‪ f (t) = 1/t‬בקטע )∞ ‪[1,‬‬
‫באותו השטח עליו דיברנו בסעיף הקודם‪ ,‬מסובב ב־ ◦‪.90‬‬
‫אבל אם נחשב את השטח הכלוא מתחת לגרף ומעל לקטע ]‪ ,[1, x‬נאמר‪ ,‬כאשר ‪ ,x > 1‬נקבל מספר‬
‫סופי‪ .‬המספר הזה‪ ,‬מפתיע ־ או לא ־ יוצא בדיוק )‪ .ln(x‬איך יוצא דבר כזה? נסמן את השטח הנ"ל‬
‫ב־)‪ .A(x‬נחשב את‬
‫יוצא אינסופי‪ ,‬שכן מדובר בדיוק‬
‫‪1‬‬
‫)‪+ o(∆x‬‬
‫‪x‬‬
‫· ‪A(x + ∆x) = A(x) + ∆x‬‬
‫כאשר את החישוב הזה מראים באופן גיאומטרי שכן הפונקציה יורדת לכן השטח יותר קטן מאשר‬
‫‪1‬‬
‫‪x‬‬
‫· ‪A(x) + ∆x‬‬
‫ויותר גדול מאשר‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪(∆x)2‬‬
‫‪1 (∆x)2‬‬
‫‪] = A(x) + ∆x · −‬‬
‫‪≥ A(x) + ∆x · −‬‬
‫‪x + ∆x‬‬
‫)‪x x(x + ∆x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x2‬‬
‫[ · ‪A(x) + ∆x‬‬
‫לכן ‪ A0 (x) = 1/x‬וזה אומר ש ‪ A(x) = ln(x) + c‬שכן כבר יש לנו בנמצא פונקציה שנגזרתה ‪1/x‬‬
‫וכל שתי פונקציות כאלה )בעלות נגזרת זהה( נבדלות בקבוע‪ .‬משום שעל פי בחירתנו‪ ,A(1) = 0 ,‬אנו‬
‫רואים כי ‪ .c = 0‬זה כמובן חלק של עקרון יותר כללי שנלמד אותו בהקדם‪ ,‬ושנקרא משפט ניוטון לייבניץ‬
‫)סוף המאה ה־‪ .(17‬הוא אומר שלפונקציה ‪ F‬שמוגדרת להיות השטח תחת גרף של פונקציה אחרת ‪f‬‬
‫)בעלת תכונות מסוימות( יש נגזרת‪ ,‬ונגזרת זו היא ערך הפונקציה בנקודה ‪ .F 0 = f‬לכן אנו רואים‬
‫שכדאי לפתח שיטות למציאת פונקציה כך שנגזרתה שווה לפונקציה נתונה‪ .‬התהליך הזה נקרא "מציאת‬
‫פונקציה קדומה"‪ .‬רוב השיטות הנ"ל נלמדות‪ ,‬בקורס הזה‪ ,‬בשיעורי התירגול בלבד‪ .‬החלק התיאורטי‬
‫נלמד בשיעור‪.‬‬
‫הגדרה ‪ 2.1‬תהיינה ‪ .F, f : (a, b) → R‬נאמר ש ‪ F‬היא קדומה של ‪ f‬אם ‪F‬‬
‫)‪ F 0 (x) = f (x‬לכל )‪ .x ∈ (a, b‬בקטע סגור ]‪ [a, b‬נדרוש גם ש )‪= f (a‬‬
‫גזירה בכל )‪ ,(a, b‬ומתקיים‬
‫)‪F+0 (a‬‬
‫וכן ש )‪= f (b‬‬
‫לאוסף כל הקדומות של פונקציה קוראים לפעמים "האינטגרל הלא מסויים שלה"‪.‬‬
‫‪6‬‬
‫)‪.F−0 (b‬‬
‫הערות ‪ .1 2.2‬כל שתי קדומות נבדלות בקבוע )חדו"א ‪ (1‬ולהפך ־ אם ‪ F‬קדומה של ‪ f‬אז גם ‪F + c‬‬
‫קדומה שלה לכל ‪.c ∈ R‬‬
‫‪ .2‬למצוא פונקציה קדומה לפונקציה נתונה זו משימה קשה יותר מלגזור! אין כללי אצבע אלא‬
‫מספר שיטות קיימות שתלמדו בתירגולים ושצריך לנסות ולראות האם הן מניבות תוצה‪ .‬מה שכן ־ ברגע‬
‫שמצאתם מועמדת להיות קדומה‪ ,‬קל מאוד לוודא האם תשובתכם נכונה על ידי גזירה‪.‬‬
‫‪ .3‬יש פונקציות אלמנטריות )ולמעשה ־ לרובן‪ ,‬במובן מסויים שלא יילמד אצלנו( כך שהפונקציה‬
‫הקדומה שלהן איננה אלמנטרית‪ .‬אחת הדוגמאות החשובות היא הקדומה של הגאוסיין‬
‫אותה )מנורמלת(‬
‫‪dt‬‬
‫‪2 /2‬‬
‫‬
‫‪x‬‬
‫‪e−t‬‬
‫∞‪−‬‬
‫‪2 /2‬‬
‫‪e−x‬‬
‫‪ .‬מסמנים‬
‫‪1‬‬
‫√ = )‪Φ(x‬‬
‫‪2π‬‬
‫שזהו סימון לאינטגרל מסויים )שנלמד עוד מעט( אבל אפשר להוכיח שלא ניתן להציג אותה באמצעות‬
‫הפונקציות האלמנטריות ללא שימוש בגבולות‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫אינטגרל רימן בקטע סופי וסגור‬
‫בפרק זה נדון באופן פורמלי במושג האינטגרל המסויים‪.‬‬
‫‪3.1‬‬
‫הגדרות וסימונים‬
‫הגדרה ‪] 3.1‬חלוקה[ בהנתן קטע ]‪ ,[a, b‬קבוצה סופית של נקודות } ‪Π = {x0 , . . . , xn‬‬
‫הקטע אם ‪ .a = x0 < x1 < · · · < xn−1 < xn = b‬שימו לב שהקבוצה מראש איננה מסודרת‪ ,‬אבל‬
‫אנחנו רושמים אותה לפי סדר עולה וללא כפילויות כדי להקל על הכתיבה‪ .‬לקטע ] ‪ [xi−1 , xi‬נקרא תת‬
‫הקטע ה‪i‬־י‪ ,‬כך שמדובר ב־‪ n‬תת קטעים כאלה‪ ,‬כל שניים עוקבים נחתכים בנקודה‪ ,‬והם ממצים את‬
‫הקטע כולו‪ .‬מדד העדינות של החלוקה ‪ ,Π‬המסומן על ידי )‪ ,λ(Π‬מוגדר להיות אורך תת הקטע הגדול‬
‫ביותר‪ ,‬דהיינו‪ ,‬אם נסמן ‪ ∆xi = xi − xi−1‬אזי‬
‫תקרא חלוקה של‬
‫| ‪λ(Π) = max |∆xi‬‬
‫‪i=1,...,n‬‬
‫∞} ‪{θi‬‬
‫שימו לב שהחלוקות שלנו תמיד סופיות‪ .‬בפרט‪ ,‬המצה שתואר בפרק ‪ 1‬בו בחרנו עם ‪i=0‬‬
‫‪ {θ i }N‬זוהי חלוקה חוקית(‪ .‬כעת נגדיר מהו עידון של חלוקה‬
‫שכן מספר האיברים איננו סופי )אולם ‪i=0‬‬
‫איננו חלוקה‬
‫הגדרה ‪] 3.2‬עידון[ בהנתן שתי חלוקות של הקטע ]‪ ,Π1 , Π2 ,[a, b‬נאמר ש ‪ Π2‬היא עידון של ‪Π1‬‬
‫מתקיים שכקבוצות של נקודות ‪ .Π1 ⊆ Π2‬בפרט מכאן נובע שמדד העדינות של ‪ Π1‬גדול יותר משל ‪,Π2‬‬
‫זאת אומרת ) ‪ .λ(Π2 ) ≤ λ(Π1‬באופן שקול ניתן לומר כי ‪ Π2‬מתקבלת מ ‪ Π1‬על ידי תוספת של מספר‬
‫אם‬
‫סופי של נקודות‪.‬‬
‫‪7‬‬
‫איור ‪ :6‬סכום רימן‬
‫הגדרה ‪] 3.3‬נקודות מתאימות[ בהנתן חלוקה } ‪ Π = {x0 , . . . , xn‬נאמר שהנקודות } ‪{t1 , · · · , tn‬‬
‫נקודות מתאימות לחלוקה אם מתקיים ש ] ‪ ti ∈ [xi−1 , xi‬לכל ‪.i = 1, . . . , n‬‬
‫למשל‪ ,‬ניתן לבחור ‪ ti = xi‬או ‪ti = xi−1‬‬
‫או‬
‫‪xi−1 +xi‬‬
‫‪2‬‬
‫=‬
‫הן‬
‫‪ ,ti‬או כל דבר אחר בתוך הקטע )ולא צריכה‬
‫להיות "חוקיות" או "תבנית" בבחירה(‪.‬‬
‫הגדרה ‪] 3.4‬סכום רימן[ בהנתן ‪ f : [a, b] → R‬חלוקה ‪ Π‬ונקודות מתאימות ‪ti‬‬
‫נגדיר את סכום רימן‬
‫שלהם להיות‬
‫‪f (ti )∆xi‬‬
‫‪X‬‬
‫‪i‬‬
‫= )} ‪S(f, Π, {ti‬‬
‫גרפית ניתן לצייר זאת כך‬
‫ונראה לנו )אנטואיטיבית( שכאשר העדינות תשאף ל־‪ ,0‬הסכום הנ"ל יתקרב בערכו לשטח שמתחת‬
‫לגרף‪ .‬כאשר זה המקרה‪ ,‬נאמר שהפונקציה אינטגרבילית לפי רימן )"אינטגרבילית רימן"(‪:‬‬
‫הגדרה ‪] 3.5‬אינטגרביליות רימן[ תהי ‪ .f : [a, b] → R‬נאמר שהיא אינטגרבילית רימן בקטע ]‪[a, b‬‬
‫והאינטגרל שלה שווה למספר ‪ I‬אם לכל ‪ ε > 0‬קיימת ‪ δ > 0‬כך שלכל חלוקה ‪ Π‬המקיימת ‪λ(Π) < δ‬‬
‫ולכל בחירה של נקודות המתאימות ל ‪ ,{ti } ,Π‬מתקיים‬
‫‪|S(f, Π, {ti }) − I| < ε‬‬
‫במקרה כזה נסמן‬
‫‪ f (t)dt = f‬‬
‫‪b‬‬
‫‪b‬‬
‫‪a‬‬
‫=‪I‬‬
‫‪a‬‬
‫את אוסף כל הפונקציות שהן אינטגרביליות רימן בקטע ]‪[a, b‬‬
‫‪8‬‬
‫נסמן )]‪.R([a, b‬‬
‫הערה ‪ 3.6‬שימו לב‪ :‬לעיתים תראו את הסימון הבא‬
‫‬
‫‪b‬‬
‫)} ‪f (t)dt = lim S(f, Π, {ti‬‬
‫‪λ(Π)→0‬‬
‫‪a‬‬
‫שהוא אמור להביע את כל אוסף הכמתים שרשמנו בהגדרה )שהרי לא למדנו בחדוא ‪ 1‬מה פירוש לעשות‬
‫גבול כאשר "העדינות של החלוקה המשתתפת בגבול שואפת לאפס"(‪ .‬היזהרו משימוש לא מושכל בסימון‬
‫כזה ־ הוא אמור להכיל את העובדה שזה לכל חלוקה מעדינות מספיק קטנה ולכל בחירה של נקודות‬
‫מתאימות‪.‬‬
‫לכל חלוקה ולכל נקודות מתאימות הסכום תמיד יוצא )‪.c(b − a‬‬
‫דוגמאות ‪f (x) = c .1 3.7‬‬
‫‪ f (x) = D(x) .2‬פונקציית דיריכלה‬
‫‪‬‬
‫‪0‬‬
‫‪x∈Q‬‬
‫‪x 6∈ Q‬‬
‫אז עבור‪ ,‬נאמר‪ ε = (b − a)/2 ,‬לא קיימת אף ‪δ‬‬
‫= )‪D(x‬‬
‫‪1‬‬
‫מתאימה כי תמיד תהיינה נקודות מתאימות )לכל‬
‫חלוקה( רציונליות‪ ,‬וגם נקודות מתאימות אירציונאליות‪ ,‬כך שסכומי רימן יצאו ‪ 0‬ו־)‪(b − a‬‬
‫ובפרט לא יהיו ‪ε‬־קרובים לאותו מספר‪.‬‬
‫סוף שיעור ‪1‬‬
‫‪9‬‬
‫בהתאמה‪,‬‬
‫אינטגרביליות‬
‫‪3.2‬‬
‫‪3.2.1‬‬
‫אינטגרביליות גוררת חסימות‬
‫משפט ‪ 3.8‬תהי ‪ .f : [a, b] → R‬אם )]‪ f ∈ R([a, b‬אזי ‪f‬‬
‫פונקציה חסומה‪.‬‬
‫הוכחה‪ :‬נשתמש בהגדרת האינטגרל עבור ‪ .ε = 1‬נקבל כי קיימת ‪ δ > 0‬כך שלכל חלוקה עם ‪λ(Π) < δ‬‬
‫מתקיים שלכל בחירה של נקודות מתאימות } ‪ .I − 1 < S(f, Π, {ti }) < I + 1 ,{ti‬נבחר חלוקה אחת‬
‫כזו‪ .‬אילו הפונקציה לא חסומה‪ ,‬יש תת קטע מן החלוקה ] ‪ [xi0 −1 , xi0‬כך שעליו הפונקציה אינה חסומה‪.‬‬
‫מצד שני‪ ,‬נבחר נקודות מתאימות ‪ {ti }i6=i0‬בכל שאר תת הקטעים‪ .‬לכל נקודה ‪ t‬בתת הקטע הזה‬
‫מתקיים ש‬
‫‪|f (ti )|∆xi‬‬
‫‪X‬‬
‫‪i6=i0‬‬
‫‪|f (ti )|∆xi < f (t)∆xi0 < I + 1 +‬‬
‫‪X‬‬
‫‪i6=i0‬‬
‫‪I −1−‬‬
‫כך שקיבלנו חסימות‪ ,‬וזו סתירה‪.‬‬
‫הערה ‪ 3.9‬הדבר לכאורה לא מתיישב עם החישוב שלנו של אינטגרל של הפונקציה הלא חסומה = )‪f (x‬‬
‫√‬
‫‪ 1/ x‬בקטע ]‪ .[0, 1‬אכן‪ ,‬לשם כך נידרש להגדרה יותר כללית של אינטגרל‪ ,‬האינטגרל הלא אמיתי‪,‬‬
‫שיופיע בפרק
‬
‫‪3.2.2‬‬
‫‪.‬‬
‫סכומי דרבו‬
‫ראינו בסעיף הקודם שיש המון כמתים )לכל חלוקה‪ ,‬לכל נקודות( וזה מקשה על הבדיקה של האם‬
‫פונקציה מסויימת אינטגרבילית או לא‪ .‬הנה הגדרה נוספת ושקולה לאינטגרביליות רימן‪.‬‬
‫הגדרה ‪] 3.10‬סכום דרבו עליון ותחתון[ תהי ‪ f : [a, b] → R‬חסומה ותהי } ‪Π = {x0 , . . . , xn‬‬
‫נסמן ‪ Mi = sup[xi−1 ,xi ] f‬ו־ ‪ .mi = inf [xi−1 ,xi ] f‬ונגדיר את סכום דרבו העליון להיות‬
‫‪Mi · ∆xi‬‬
‫‪n‬‬
‫‪X‬‬
‫= )‪Σ(f, Π‬‬
‫‪i=1‬‬
‫ואת התחתון להיות‬
‫‪mi · ∆xi‬‬
‫‪n‬‬
‫‪X‬‬
‫= )‪Σ(f, Π‬‬
‫‪i=1‬‬
‫כמובן‪ ,‬כאן מדובר במלבנים חוסמים וחסומים‪ ,‬כמו בדוגמא הראשונה שראינו בפרק ‪.1‬‬
‫נובע מהגדרת אינפימום וסופרמום שלכל בחירה של נקודות מתאימות יתקיים‬
‫)‪Σ(f, Π) ≤ S(f, Π, {ti }) ≤ Σ(f, Π‬‬
‫ולמעשה עובדה זאת מתארת אותם במדוייק‪ ,‬כפי שמסבירה הלמה הבאה‬
‫‬
‫חלוקה‪.‬‬
‫למה ‪ 3.11‬תהי ‪ f : [a, b] → R‬חסומה ו } ‪Π = {x0 , . . . , xn‬‬
‫חלוקה‪ .‬אזי‬
‫)} ‪Σ(f, Π) = sup S(f, Π, {ti‬‬
‫} ‪{ti‬‬
‫)} ‪Σ(f, Π) = inf S(f, Π, {ti‬‬
‫} ‪{ti‬‬
‫כאשר ה־ ‪ inf‬וה־ ‪sup‬‬
‫הם ביחס לכל האופנים של בחירת נקודות מתאימות לחלוקה ‪.Π‬‬
‫הוכחה‪ :‬אכן‪ ,‬אי שוויון אחד ברור בכל שוויון‪ ,‬למשל ראינו ‪Σ ≥ S‬‬
‫‪ε‬‬
‫‪ f (ti ) ≥ Mi − b−a‬ואז הסכום יקיים‬
‫יהי ‪ ε > 0‬ונבחר בכל קטע נקודה ‪ ti‬כך ש‬
‫לכל בחירת נקודות מתאימות‪ .‬כעת‬
‫‪ε‬‬
‫‪∆xi = Σ(f, Π) − ε‬‬
‫‪b−a‬‬
‫‪n‬‬
‫‪X‬‬
‫‪i=1‬‬
‫‪Mi ∆xi −‬‬
‫‪n‬‬
‫‪X‬‬
‫‪i=1‬‬
‫≥ ‪f (ti )∆xi‬‬
‫‪n‬‬
‫‪X‬‬
‫‪i=1‬‬
‫= )} ‪S(f, Π, {ti‬‬
‫לכן על פי תכונה שקולה להיותך סופרמום‪ ,‬מתקיים השוויון הראשון‪ .‬ההוכחה של השוויון השני ־ באופן‬
‫דומה‪.‬‬
‫למה ‪] 3.12‬מונוטוניות[ תהי ‪ f : [a, b] → R‬חסומה ו ‪Π1 ⊆ Π2‬‬
‫) ‪Σ(f, Π1 ) ≤ Σ(f, Π2‬‬
‫שתי חלוקות‪ .‬אזי‬
‫‪Σ(f, Π1 ) ≥ Σ(f, Π2 ),‬‬
‫הוכחה‪ :‬נראה את אי השוויון השמאלי‪ .‬מספיק להראות שתוספת של נקודה אחת אינה מגדילה את‬
‫‪ .Π0‬תת‬
‫‪ .Σ‬נניח שהחלוקה הנתונה היא } ‪ Π = {x0 , . . . , xn‬ותהי ) ‪ .p ∈ (xi−1 , xi‬נסמן }‪= Π ∪ {p‬‬
‫הקטעים שהחלוקות מגדירות הם זהים‪ ,‬למעט הקטע ] ‪ [xi−1 , xi‬שמוחלף בזוג הקטעים ] ‪.[xi−1 , p], [p, xi‬‬
‫לכן ההפרש בין סכומי דרבו העליונים המתאימים הוא‬
‫= ] ‪Σ(f, Π) − Σ(f, Π0 ) = [∆xi sup f ] − [(xi − p) sup f ] − [(p − xi−1 ) sup f‬‬
‫]‪[xi−1 ,p‬‬
‫] ‪[xi−1 ,xi‬‬
‫] ‪[p,xi‬‬
‫‪= (xi − p)[ sup f − sup f ] + (p − xi−1 )[ sup f − sup f ] ≥ 0‬‬
‫]‪[xi−1 ,p‬‬
‫] ‪[p,xi‬‬
‫] ‪[xi−1 ,xi‬‬
‫] ‪[xi−1 ,xi‬‬
‫באינדוקציה על פני הוספת נקודות‪ ,‬ההוכחה הושלמה‪ .‬הוכחת אי השוויון השני מאד דומה‪.‬‬
‫ניתן גם לתאר את ההוכחה בצורה גרפית‪ ,‬בכל שלב השטח הכחול גדול מהשטח האדום בציור הבא‬
‫והנה מסקנה יפה שנובעת מהלמה הקודמת‪:‬‬
‫מסקנה ‪ 3.13‬תהי ‪ f : [a, b] → R‬חסומה ו ‪Π1 , Π2‬‬
‫שתי חלוקות כלשהן‪ ,‬אזי‬
‫) ‪Σ(f, Π1 ) ≤ Σ(f, Π2‬‬
‫‬
‫איור ‪ :7‬השטח של סכום עליון קטן בעידון‬
‫הוכחה‪ :‬אכן‪ ,‬ניקח חלוקה שלישית ‪Π3 = Π1 ∪ Π2‬‬
‫שהיא עידון של שתיהן ועבורה יתקיים‬
‫) ‪Σ(f, Π1 ) ≤ Σ(f, Π3 ) ≤ Σ(f, Π3 ) ≤ Σ(f, Π2‬‬
‫‪.‬‬
‫מהמסקנה נובע שניתן להגדיר את המספרים‬
‫)‪I(f ) = sup Σ(f, Π‬‬
‫‪Π‬‬
‫)‪I(f ) = inf Σ(f, Π‬‬
‫‪Π‬‬
‫ולכל חלוקה יתקיים‬
‫)‪Σ(f, Π) ≤ I(f ) ≤ I(f ) ≤ Σ(f, Π‬‬
‫מספר דקות‪ ,‬במסקנה‬
‫כעת ניתן להגדיר אינטגרביליות באופן ישיר יותר‪ ,‬שבעצם דורש ש ) ‪= I(f‬‬
‫) ‪ .I(f‬זאת נעשה בעוד‬
‫‪ .‬לפני כן נסח את קריטריון דרבו הראשון לאניטגרביליות‪.‬‬
‫משפט ‪] 3.14‬קריטריון דרבו לאינטגרביליות רימן[ תהי ‪ f : [a, b] → R‬חסומה‪f ∈ R([a, b]) .‬‬
‫אם לכל ‪ ε > 0‬קיימת ‪ δ > 0‬כך שלכל ‪ Π‬המקיימת ‪ λ(Π) < δ‬מתקיים ‪.Σ(f, Π) − Σ(f, Π) < ε‬‬
‫אם ורק‬
‫הערה ‪ 3.15‬היתרון כאן הוא כמובן שאין צורך לדעת את ערכו של ‪I‬‬
‫על מנת לוודא את התנאי הנ"ל‪.‬‬
‫הוכחה‪ :‬נניח אם כן כי )]‪ f ∈ R([a, b‬ויהי ‪ .ε > 0‬נבחר‪ ,‬על פי ההגדרה של אינטגרביליות‪ ,‬את ‪δ > 0‬‬
‫שלכל חלוקה המקיימת ‪ λ(Π) < δ‬יתקיים שלכל בחירה של נקודות מתאימות ‪.|I −S(f, Π, {ti })| < ε/2‬‬
‫שלכל ‪Π‬המקיימת ‪ λ(Π) < δ‬מתקיים‬
‫נובע לכן על פי למה‬
‫כך‬
‫‬
‫‪Σ(f, Π) = sup S(f, Π, {ti }) ≤ I + ε/2‬‬
‫וכן‬
‫‪Σ(f, Π) = inf S(f, Π, {ti }) ≥ I − ε/2‬‬
‫ובפרט‪ ,‬לכל חלוקה המקיימת ‪ λ(Π) < δ‬יתקיים ‪< ε‬‬
‫‬
‫)‪.Σ(f, Π) − Σ(f, Π‬‬
‫איור ‪ :8‬קריטריון דרבו‬
‫להוכחת הכיוון השני נניח ש ‪ f‬מקיימת את קריטריון דרבו‪ .‬לכן בהכרח מתקיים כי לכל ‪ε > 0‬‬
‫חלוקה ‪) Π0‬ולמעשה ־ לכל חלוקה מעדינות קטנה מספיק( כך ש ‪.Σ(f, Π0 ) ≤ Σ(f, Π0 ) ≤ Σ(f, Π0 ) + ε‬‬
‫בפרט‪ .0 ≤ I(f ) − I(f ) ≤ ε ,‬משום ש ‪ ε‬הוא שרירותי‪ ,‬נקבל ) ‪ .I(f ) = I(f‬נסמן מספר זה ב־ ‪.I‬‬
‫יהי ‪ ε > 0‬ו ‪ δ > 0‬הנתון על פי הקריטריון‪ .‬לכל חלוקה ‪ Π‬המקיימת ‪ λ(Π) < δ‬ולכל בחירת נקודות‬
‫קיימת‬
‫מתאימות מתקיים‬
‫‪I − ε ≤ Σ(f, Π) − ε ≤ Σ(f, Π) ≤ S(f, Π, {ti }) ≤ Σ(f, Π) ≤ Σ(f, Π) + ε ≤ I + ε‬‬
‫הערה ‪ 3.16‬ברגע שיודעים ש )]‪ f ∈ R([a, b‬אפשר לבחור כל סדרת חלוקות שמקיימת ‪λ(Πn ) → 0‬‬
‫‪(n) Mn‬‬
‫סדרת נקודות מתאימות )לכל חלוקה ־ נקודות מתאימות לה ־‬
‫‪ {ti }i=1‬כאשר ‪ Mn‬מספר הנקודות‬
‫‪b‬‬
‫‪(n) Mn‬‬
‫בחלוקה( ובהכרח יתקיים ‪ .S(f, Πn , {ti }i=1 ) → a f‬הערה תמימה זו תסייע לנו מאוד בהוכחת כללי‬
‫וכל‬
‫‬
‫אינטגרציה‪.‬‬
‫גרפית‪ ,‬המובן של קריטריון דרבו מאוד פשוט‪:‬‬
‫מכסים את הגרף עם מלבנים )מאוזנים( ומבקשים שסכום שטחי המלבנים הללו יהיה קטן כרצוננו‬
‫‪( sup f − inf f )∆xi < ε‬‬
‫] ‪[xi−1 ,xi‬‬
‫‪n‬‬
‫‪X‬‬
‫] ‪i=1 [xi−1 ,xi‬‬
‫= )‪Σ(f, Π) − Σ(f, Π‬‬
‫הגובה של כל מלבן כזה הוא ההפרש בין הערך הסופרימלי של הפונקציה בקטע לבןי הערך האינפימלי‪.‬‬
‫נוח לשימוש בעתיד יהיה להגדיר מספר זה כתנודת הפונקציה בקטע‪:‬‬
‫הגדרה ‪] 3.17‬תנודה[ התנודה של ‪ f‬על קטע ‪J‬‬
‫מוגדרת להיות‬
‫))‪ω(f, J) = sup f − inf f = sup (f (x) − f (y‬‬
‫‪J‬‬
‫‪x,y∈J‬‬
‫‪13‬‬
‫‪J‬‬
‫למשל‪ω(D, J) = 1 ,‬‬
‫‪ ω(f, J) → 0‬כאשר אורך הקטע שואף ל־‪) 0‬ללא תלות במיקום שלו(‪.‬‬
‫‪Pn‬‬
‫= )‪ .Σ(f, Π) − Σ(f, Π‬זה גורם לנו להגדיר‬
‫נשים לב גם ש ‪i=1 ω(f, [xi−1 , xi ])∆xi‬‬
‫לפונקציית דיריכלה‪ ,‬לכל קטע שאיננו נקודה‪ .‬לפונקציה רציפה במ"ש מתקיים ש‬
‫הגדרה ‪] 3.18‬תנודה של פונקציה ביחס לחלוקה[ תהי ‪ f : [a, b] → R‬חסומה ו} ‪Π = {x0 , · · · , xn‬‬
‫‪Pn‬‬
‫= )‪.ω(f, Π‬‬
‫חלוקה‪ .‬נגדיר ‪i=1 ω(f, [xi−1 , xi ])∆xi‬‬
‫בשפה זו אפשר לנסח את קריטריון דרבו כך‪ :‬לכל ‪ ε > 0‬קיימת ‪ δ > 0‬כך שלכל ‪ Π‬המקיימת ‪λ(Π) < δ‬‬
‫מתקיים ‪.ω(f, Π) < ε‬‬
‫לפני שנמשיך נציין עוד שתי עובדות לגבי חלוקות‪ ,‬עידון‪ ,‬וקריטריון דרבו‪ .‬המסקנה היא שימושית‬
‫ביותר‪.‬‬
‫למה ‪ 3.19‬תהי ‪ f : [a, b] → R‬חסומה ותהייינה ‪Π ∪ {p} = Π0‬‬
‫שתי חלוקות )כך שהאחת מתקבלת‬
‫מהשנייה על ידי הוספת נקודה(‪ .‬אזי‬
‫)]‪Σ(f, Π) ≥ Σ(f, Π0 ) − λ(Π)ω(f, [a, b‬‬
‫ואם ‪Π ∪ {p1 , . . . , pm } = Π00‬‬
‫‪Σ(f, Π) ≤ Σ(f, Π0 ) + λ(Π)ω(f, [a, b]),‬‬
‫אזי‬
‫‪Σ(f, Π) ≤ Σ(f, Π00 ) + mλ(Π)ω(f, [a, b]),‬‬
‫)]‪Σ(f, Π) ≥ Σ(f, Π00 ) − mλ(Π)ω(f, [a, b‬‬
‫הוכחה‪ :‬מספיק להוכיח את הא"ש העליונים ואז להשתמש באינדוקציה על פני הוספת נקודות )נשים לב‬
‫שהעדינות רק קטנה בכל שלב אינדוקטיבי(‪ .‬נוכיח את השמאלי‬
‫] ‪Σ(f, Π) − Σ(f, Π0 ) = (xi − p)[ sup f − sup f ] + (p − xi−1 )[ sup f − sup f‬‬
‫]‪[xi−1 ,p‬‬
‫] ‪[xi−1 ,xi‬‬
‫] ‪[p,xi‬‬
‫] ‪[xi−1 ,xi‬‬
‫)]‪≤ ω(f, [xi−1 , xi ]){(xi − p) + (p − xi−1 )} ≤ λ(Π)ω(f, [a, b‬‬
‫טענה ‪ 3.20‬תהי ‪ f : [a, b] → R‬חסומה אזי לכל ‪ ε > 0‬קיימת ‪ δ > 0‬כך שלכל חלוקה ‪Π‬‬
‫‪ λ(Π) < δ‬יתקיים‬
‫‪Σ(f, Π) ≥ I(f ) ≥ Σ(f, Π) − ε,‬‬
‫‪Σ(f, Π) ≤ I(f ) ≤ Σ(f, Π) + ε‬‬
‫‬
‫המקיימת‬
‫הוכחה‪ :‬שוב‪ ,‬נוכיח רק אחד מהם‪ .‬מהגדרת ) ‪I(f‬‬
‫‪ Π0‬כך ש ‪ .I(f ) ≥ Σ(f, Π0 ) − ε/2‬לחלוקה זו יש מספר סופי של נקודות‪ ,‬נאמר ‪ m0‬נקודות‪ .‬נבחר‬
‫‪ε‬‬
‫‪ .δ = 2m λ(Π‬כעת תהי חלוקה כלשהי עם עדינות ‪ .λ(Π) < δ‬לקבלת חלוקה חדשה‪ ,‬עדינה יותר‬
‫את‬
‫‪0‬‬
‫)‪0‬‬
‫משתיהן‪ ,‬נגדיר ‪ .Π0 = Π ∪ Π0‬בחלוקה החדשה יש לכל היותר ‪ m0‬נקודות יותר מאשר ב ‪ Π‬ולכן מתקיים‬
‫כי )]‪ .Σ(f, Π) ≤ Σ(f, Π0 ) + m0 λ(Π)ω(f, [a, b‬מצד שני‪ ,‬משום ש ‪ Π0‬היא עידון של‬
‫על פי למה‬
‫‪ ,Π0‬אנו יודעים גם כי ) ‪ Σ(f, Π0 ) ≤ Σ(f, Π0‬ומבחירת ‪ δ‬נקבל‪:‬‬
‫כאינפימום נובע שקיימת חלוקה כלשהי‪ ,‬נסמן אותה‬
‫‬
‫‪Σ(f, Π) ≤ Σ(f, Π0 ) + m0 λ(Π)ω(f, [a, b]) ≤ I(f ) + ε/2 + ε/2 = I(f ) + ε‬‬
‫מסקנה ‪ 3.21‬תהי ‪ f : [a, b] → R‬חסומה ונניח ש ) ‪ .I(f ) = I(f‬אזי )]‪∈ R([a, b‬‬
‫הוכחה‪ :‬אכן‪ ,‬נשתמש בטענה‬
‫‪.f‬‬
‫על מנת לבחור ‪ δ‬כך שלכל חלוקה עם ‪λ(Π) < δ‬‬
‫יתקיים‬
‫‪Σ(f, Π) − ε/2 ≤ I(f ) = I(f ) ≤ Σ(f, Π) + ε/2‬‬
‫ולכן יתקיים קריטריון דרבו ‪< ε‬‬
‫)‪.Σ(f, Π) − Σ(f, Π‬‬
‫מסקנה ‪] 3.22‬קריטריון דרבו משופר[ תהי ‪ f : [a, b] → R‬חסומה ונניח שלכל ‪ ε > 0‬קיימת ‪Π‬‬
‫‪ .Σ(f, Π) − Σ(f, Π) < ε‬אזי )]‪.f ∈ R([a, b‬‬
‫הוכחה‪:‬‬
‫אכן‪ ,‬הנתון הנ"ל מבטיח ש ) ‪ I(f ) = I(f‬כמו בהוכחת משפט‬
‫הקודמת‪.‬‬
‫סוף שיעור ‪2‬‬
‫‪15‬‬
‫‪.‬‬
‫המקיימת‬
‫כעת נשתמש בטענה‬
‫איור ‪ :9‬מונוטוניות גוררת אינטגרביליות‬
‫‪3.2.3‬‬
‫רציפות גוררת אינטגרביליות‬
‫משפט ‪ 3.23‬תהי ‪ f : [a, b] → R‬רציפה‪ .‬אזי )]‪∈ R([a, b‬‬
‫‪.f‬‬
‫הוכחה‪ :‬ממשפט קנטור של חדו"א ‪ f ,1‬רציפה במ"ש‪ .‬יהי ‪ .ε > 0‬לכן קיים ‪ δ > 0‬כך ש ‪|x − y| < δ‬‬
‫גורר )‪ .|f (x) − f (y)| < ε/(b − a‬לכן‪ ,‬אם ‪) |J| < δ‬כאן |‪ |J‬מסמל את אורך הקטע( מתקיים‬
‫)‪ ,ω(f, J) ≤ ε/(b − a‬ולכן לכל חלוקה המקיימת ‪ λ(Π) < δ‬יתקיים‬
‫‪ε‬‬
‫‪∆xi = ε‬‬
‫‪b−a‬‬
‫‪n‬‬
‫‪X‬‬
‫‪i=1‬‬
‫≤ ‪ω(f, [xi−1 , xi ])∆xi‬‬
‫‪n‬‬
‫‪X‬‬
‫= )‪ω(f, Π‬‬
‫‪i=1‬‬
‫ולכן מתקיים קריטריום דרבו לאינטגרביליות‪.‬‬
‫שרציפות איננה תנאי הכרחי לאינטגרביליות‪ ,‬שכן קל לבדוק ישירות שהפונקציה הבאה‪:‬‬
‫נעיר שכמובן‬
‫‪‬‬
‫]‪x ∈ [0, 1‬‬
‫]‪x ∈ [1, 2‬‬
‫‪3.2.4‬‬
‫‪1‬‬
‫= )‪f (x‬‬
‫‪ ,‬אינטגרבילית רימן על תחום הגדרתה ואיננה רציפה‪.‬‬
‫‪0‬‬
‫מונוטוניות גוררת אינטגרביליות‬
‫משפט ‪ 3.24‬תהי ‪ f : [a, b] → R‬מונוטונית‪ .‬אזי )]‪∈ R([a, b‬‬
‫‪.f‬‬
‫ההסבר האינטואיטיבי הוא כדלהלן‪:‬‬
‫היזכרו בקריטריון דרבו המנוסח בצורה גרפית‪ .‬כשהפונקציה מונוטונית‪ ,‬ניתן להזיז את כל המלבנים‬
‫החוסמים כך שיהיו זה מעל זה‪ ,‬ללא חפיפות למעט בקצוותיהם‪ .‬מתקבל אם כן מגדל אשר מוכל במלבן‬
‫גבוה שגובהו כהפרש ערכי הפונקציה בקצוות‪ ,‬ואילו רוחבו הוא עדינות החלוקה‪.‬‬
‫הוכחה‪ :‬נניח שהפונקציה עולה ואת המקרה היורד נשאיר לכם‪ .‬קל לוודא שההשתנות של הפונקציה‬
‫בקטע ]‪ [x, y‬כלשהו נתונה על ידי )‪ ω(f, [x, y]) = f (y) − f (x‬ולכן בחירה של ))‪δ = ε/(f (b) − f (a‬‬
‫‬
‫תבטיח שלכל חלוקה המקיימת ‪λ(Π) < δ‬‬
‫‪(f (xi ) − f (xi−1 ))∆xi‬‬
‫יתקיים‬
‫‪n‬‬
‫‪X‬‬
‫= ‪ω(f, [xi−1 , xi ])∆xi‬‬
‫‪i=1‬‬
‫‪ε‬‬
‫‪=ε‬‬
‫)‪f (b) − f (a‬‬
‫‪i=1‬‬
‫)) ‪(f (xi ) − f (xi−1‬‬
‫זאת אומרת מתקיים קריטריון דרבו‪ ,‬ועל פי משפט! ‬
‫‪3.2.5‬‬
‫‪n‬‬
‫‪X‬‬
‫= )‪ω(f, Π‬‬
‫‪n‬‬
‫‪X‬‬
‫<‬
‫‪i=1‬‬
‫‪ ,‬הפונקציה אינטגרבילית‪.‬‬
‫כמה משפטים מבניים‬
‫שלושת המשפטים בסעיף זה מתאימים לאיחוד קטעים זרים‪ ,‬להכלה בין שני קטעים‪ ,‬ולאיחוד של כל‬
‫תת־הקטעים השמאליים המוכלים בקטע נתון‪ .‬במשפט הבא‪ ,‬כדי להיות ממש פורמאליים‪ ,‬צריך להניח‬
‫ש )]‪ f |[a,b] ∈ R([a, b‬וש־ )]‪ ,f |[b,c] ∈ R([b, c‬אבל אנחנו מסכימים שכאשר אומרים על ‪f : [a, c] → R‬‬
‫שהיא מקיימת )]‪ f ∈ R([a, b‬עבור )‪ , b ∈ (a, c‬הכוונה היא ש )]‪. f |[a,b] ∈ R([a, b‬‬
‫משפט ‪] 3.25‬איחוד קטעים זרים[ תהיינה ‪ a < b < c‬ותהי ‪f : [a, c] → R‬‬
‫)]‪ f ∈ R([a, b‬וכן )]‪ .f ∈ R([b, c‬אזי מתקיים )]‪.f ∈ R([a, c‬‬
‫חסומה‪ .‬נניח שמתקיים‬
‫הוכחה‪ :‬יהי ‪ ε > 0‬ונבחר חלוקה ‪ Π1‬של ]‪ [a, b‬כך ש ‪ ω(f |[a,b] , Π1 ) < ε/2‬וחלוקה ‪ Π2‬של ]‪[b, c‬‬
‫‪ .ω(f |[b,c] , [b, c]) < ε/2‬נסמן ‪ .Π = Π1 ∪ Π2‬זוהי חלוקה של ]‪ [a, c‬ומקיים‬
‫על פי מסקנה""‬
‫כך ש‬
‫‪ω(f, Π) = ω(f |[a,b] , Π1 ) + ω(f |[b,c] , Π2 ) ≤ ε‬‬
‫‪∈ R([a, c]) ,‬‬
‫‪.f‬‬
‫משפט ‪] 3.26‬תת קטע[ תהיינה ‪ a < b < c‬ותהי ‪ f : [a, c] → R‬חסומה‪ .‬נניח שמתקיים )]‪f ∈ R([a, c‬‬
‫אזי מתקיים )]‪ .f ∈ R([a, b‬באופן דומה מתקיים )]‪.f ∈ R([b, c‬‬
‫) ‪ .ω(f, Π0‬נוסיף‬
‫הוכחה‪ :‬תהי פונקציה חסומה כנ"ל‪ .‬יהי ‪ .ε > 0‬נבחר חלוקה ‪ Π0‬של ]‪ [a, c‬כך ש ‪< ε‬‬
‫לה נקודה‪ Π1 = Π0 ∪ {b} ,‬ועדיין ‪ ω(f, Π1 ) < ε‬כי זה עידון שלה‪ .‬כעת נצמצם את החלוקה לקטע‬
‫]‪ [a, b‬ונסמן ‪ .Π2 = [a, b] ∩ Π1‬מתקיים ש‬
‫על פי מסקנה""‬
‫‪ω(f |[a,b] , Π2 ) ≤ ω(f, Π1 ) ≤ ε‬‬
‫‪∈ R([a, b]) ,‬‬
‫]‪.f |[a,b‬‬
‫משפט ‪] 3.27‬כל תת הקטעים השמאליים[ תהי ‪ f : [a, c] → R‬חסומה‪ .‬נניח שמתקיים )]‪f ∈ R([a, b‬‬
‫לכל ‪ .a < b < c‬אזי מתקיים )]‪.f ∈ R([a, c‬‬
‫‪#‬‬
‫הוכחה‪ :‬אכן‪ ,‬יהי ‪ ε > 0‬ונבחר את ))]‪= c − ε/(2ω(f, [a, c‬‬
‫בקטע זה‪ ,‬קיימת חלוקה ‪ Π1‬של ]‪ [a, b‬כך ש ‪. ω(f |[a,b] , Π1 ) < ε/2‬‬
‫נביט בחלוקה }‪ Π = Π1 ∪ {c‬של הקטע ]‪ .[a, c‬מתקיים‬
‫‪ .b‬על פי הנתון‪ ,‬מאינטגרביליות הפונקציה‬
‫‪ε‬‬
‫‪ω(f, [b, c]) ≤ ε/2 + ε/2 = ε‬‬
‫)]‪2ω(f, [a, c‬‬
‫ושוב לפי מסקנה&&‪$%‬‬
‫‪∈ R([a, c]) ,‬‬
‫‪ω(f, Π) = ω(f |[a,b] , Π1 ) +‬‬
‫‪.f‬‬
‫הערה ‪ 3.28‬משפט זהה כמובן תקף עבור כל תת הקטעים הימניים‪.‬‬
‫טענה ‪ 3.29‬שינוי פונקציה בנקודה בודדת אינו משפיע על האינטגרביליות שלה‪.‬‬
‫הוכחה‪ :‬אכן‪ ,‬נניח שהפונקציה ‪ f‬היא אינטגרבילית בקטע ]‪ ,[a, c‬תהי ‪ a < b < c‬ונגדיר את ‪g‬‬
‫אותה הפונקציה‪ ,‬למעט בנקודה ‪ b‬שם ניתן לה ערך אחר‪ .‬החסימות נשמרת כמובן‪ .‬הפונקציה ‪ g‬היא‬
‫( ולכן על פי‬
‫אינטגרבילית בכל קטע ]‪ [a, x‬עבור ‪) x < b‬כי היא זהה ל ‪ f‬שאינטגרבילית שם לפי‬
‫עבור תת‬
‫גם על ]‪ [a, b‬כולו‪ ,‬ובדומה עבור ]‪) [b, c‬שם משתמשים בטענה הזהה למשפט‬
‫משפט‬
‫‪ g ,‬אינטגרבילית על כל ]‪.[a, b‬‬
‫קטעים ימניים( ולכן‪ ,‬על פי משפט‬
‫להיות‬
‫(&‪$%‬‬
‫'&‪%‬‬
‫‪$‬‬
‫(&‪$%‬‬
‫)&‪$%‬‬
‫מסקנה ‪ 3.30‬באופן דומה‪ ,‬הפונקציה‬
‫‪‬‬
‫‪sin 1‬‬
‫‪x 6= 0‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x=0‬‬
‫= )‪f (x‬‬
‫בקטע ]‪ ,[−1, 1‬אף שאיננה רציפה‬
‫‪0‬‬
‫)ולא משנה איזה ערך היינו נותנים לה בראשית(‪ ,‬עודנה אינטגרבילית רימן‪.‬‬
‫לבסוף‪ ,‬כמסקנה מטענה‪ $%&+‬ממשפט)&‪ $%‬וממשפטים‪ $%&$‬ו*&‪$%‬‬
‫נקבל קריטריון התקף למשפחה‬
‫גדולה יחסית של פונקציות‬
‫מסקנה ‪ 3.31‬כל ‪f : [a, b] → R‬‬
‫שהיא חסומה וכן מונוטונית למקוטעין או רציפה למקוטעין )ז"א פרט‬
‫למספר סופי של נקודות( היא אינטגרבילית‪.‬‬
‫‪3.2.6‬‬
‫עוד משפטים מבניים‬
‫בסעיף זה נראה שתכונת האינטגרביליות סגורה תחת סכום‪ ,‬כפל בסקלר‪ ,‬ומכפלה‪.‬‬
‫משפט ‪ 3.32‬תהיינה )]‪ f, g ∈ R([a, b‬ו ‪c ∈ R‬‬
‫)‪cf ∈ R([a, b]) ,f + g ∈ R([a, b]) (1‬‬
‫)‪|f | ∈ R([a, b]) (2‬‬
‫)‪f 2 ∈ R([a, b]) (3‬‬
‫)‪f · g ∈ R([a, b]) (4‬‬
‫אזי‬
‫הוכחה‪ (1) :‬אכן נשים לב לשתי עובדות פשוטות‪ :‬לכל חלוקה ‪ Π‬מתקיים )‪ω(cf, Π) = |c|ω(f, Π‬‬
‫)‪ .ω(f + g, Π) ≤ ω(f, Π) + ω(g, Π‬העובדה הראשונה מיידית והשנייה מתקיימת משום שלכל תת קטע‪,‬‬
‫‪ supJ (f + g) ≤ supJ f + supJ g‬ובדומה ‪.inf J (f + g) ≥ inf J f + inf J g‬‬
‫וגם‬
‫‪18‬‬
‫)‪ (2‬מתקיים )‪ω(|f |, Π) ≤ ω(f, Π‬‬
‫)‪.ω(|f |, J) = supx,y∈J (|f (x)| − |f (y)|) ≤ supJ (|f (x) − f (y)|) = ω(f, J‬‬
‫)‪ (3‬כעת נניח שהפונקציה חסומה על ידי ‪ ,M‬אזי‬
‫)‪.ω(f 2 , J) = supJ (f 2 (x) − f 2 (y)) = supJ [(f (x) − f (y))(f (x) + f (y))] ≤ 2M ω(f, J‬‬
‫)‪ (4‬לבסוף‪ ,‬נשים לב ש ] ‪ f · g = 14 [(f + g)2 − (f − g)2‬ומהסעיפים הקודמים‪ ,‬סיימנו‪.‬‬
‫שכן לכל תת קטע‬
‫הערה ‪ 3.33‬למעשה‪ ,‬בסעיף )‪ (3‬העובדה היא כללית יותר ־ לכל ‪ H : R → R‬רציפה )]‪◦ f ∈ R([a, b‬‬
‫אבל לזה לא נתנו כרגע הוכחה‪ .‬ההוכחה שנתנו בסעיף )‪ (3‬מתאימה למקרה של‪ ,‬למשל‪ H ,‬שהיא גזירה‬
‫ברציפות‪ ,‬שכן אז ניתן לחסום את ))‪ H(f (x)) − H(f (y‬על ידי קבוע כפול )‪) f (x) − f (y‬תוך שימוש‬
‫בכך שהטווח של ‪ f‬חסום(‪ .‬את העובדה שהרכבה של רציפה על אינטרגבילית נותרת אינטגרבילית אתם‬
‫‪,H‬‬
‫מוכיחים בתירגול‪ .‬ישנו עקרון כללי יותר שאומר שפונקציה היא אינטגרבילית רימן אם ורק אם המידה‬
‫של נקודות אי הרציפות שלה היא אפס‪ .‬קבוצה ‪ A ⊂ R‬נקראת ממידה אפס אם לכל ‪ε > 0‬‬
‫‪P‬‬
‫= | ‪i |Ai‬‬
‫)אולי אינסופית( של קטעים פתוחים ) ‪ Ai = (ai , bi‬כך ש ‪ A ⊂ ∪i Ai‬וכן ‪i (bi − ai ) < ε‬‬
‫קיימת סדרה‬
‫‪P‬‬
‫‪.‬‬
‫כל קבוצה סופית או בת מניה היא ממידה אפס‪ ,‬אבל יש גם דוגמאות )כמו קבוצת קנטור( לקבוצות‬
‫מעוצמה ‪ℵ‬‬
‫שהן ממידה אפס‪ .‬לא נדון בו כעת‪ ,‬אך בעזרתו )כאשר מכירים את מושג המידה( ההוכחות‬
‫של ארבעת הסעיפים נעשות קלות מאוד‪ ,‬וגם של עובדות נוספות‪ .‬המשפט הנ"ל ומושג ה"מידה אפס"‬
‫יילמד בקורס חדוא ‪ 3‬וכן בקורס "פונקציות ממשיות"‪.‬‬
‫הערה ‪ 3.34‬הערה נוספת היא שכדאי לכם לנסות להראות ישירות את )‪ (4‬ללא ה"טריק"‪ ,‬פשוט על ידי‬
‫שימוש בחסמים שלהן והפרדת ))‪f (x)g(x) − f (y)g(y) = (f (x) − f (y))g(x) + f (y)(g(x) − g(y‬‬
‫‪.‬‬
‫הערה ‪ 3.35‬הערה אחרונה ־ שוב כדאי לבדוק שאתם יכולים להראות שאם ‪|g| ≥ c > 0‬‬
‫אז גם ‪ 1/g‬אינטגרבילית‪ .‬שוב‪ ,‬חיסמו את ההשתנות של ‪ 1/g‬בקטע אחד על ידי מספר התלוי ב ‪c‬‬
‫ובהשתנות של ‪ g‬וסכמו על פני הקטעים‪.‬‬
‫אינטגרבילית‬
‫‪3.3‬‬
‫על ערך האינטגרל‬
‫שימו לב‪ ,‬במשפט‪,-./‬‬
‫למשל‪ ,‬רק הראינו שהפונקציה המוגדרת על איחוד קטעים‪ ,‬שהיא אינטגרבילית בכל‬
‫אחד מהם‪ ,‬היא אינטגרבילית גם על האיחוד‪ .‬לא הראינו‪ ,‬אף על פי שזו התכונה המרכזית והשימושית‪,‬‬
‫שהאינטגרל על האיחוד הינו סכום האינטגרלים‪ .‬תכונות דומות קשורות לאינטגרל של סכום‪ ,‬ולכפל‬
‫בסקלר‪ .‬בסעיף זה נדון בתכונות המתייחסות לערך המיספרי עצמו של האינטגרל‪.‬‬
‫‪3.3.1‬‬
‫שתי פונקציות שמזדהות על קבוצה צפופה‬
‫ניזכר במושג הצפיפות אותו למדנו בחדוא ‪ :1‬יהי ‪ I ⊂ R‬קטע כלשהו )סופי או לא(‪ .‬קבוצה ‪A ⊂ I‬‬
‫תקרא צפופה ב־ ‪ I‬אם לכל קטע פתוח ‪ J ⊆ I‬מתקיים ∅ =‪.A ∩ J 6‬‬
‫‪19‬‬
‫למשל‪ :‬הרציונאליים צפופים בממשיים‪ .‬גם }‪{ 2pi : p ∈ Z, i ∈ N‬‬
‫טענה ‪ 3.36‬תהיינה ‪ f, g : [a, b] → R‬המקיימות )]‪f, g ∈ R([a, b‬‬
‫ב ]‪) .[a, b‬דהיינו‪ :‬קיימת ]‪ A ⊆ [a, b‬צפופה כך ש ‪ ( f |A = g|A‬אזי‬
‫‪0‬‬
‫ונניח שהן מזדהות על קבוצה צפופה‬
‫‪0‬‬
‫‪b‬‬
‫‪g(x)dx‬‬
‫צפופה בממשיים‪.‬‬
‫‪b‬‬
‫= ‪f (x)dx‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a‬‬
‫)‪(n‬‬
‫‪n‬‬
‫‪{ti }M‬‬
‫הוכחה‪ :‬נבחר חלוקות ‪ Πn‬כך ש ‪ .λ(Πn ) → 0‬לכל חלוקה כזו נבחר נקודות מתאימות ‪i=1‬‬
‫בתוך הקבוצה ‪ .A‬זה אפשרי מצפיפות‪ .‬על פי הנתון מתקיים‬
‫)‪(n‬‬
‫שהן‬
‫)‪(n‬‬
‫)} ‪S(f, Π, {ti }) = S(g, Π, {ti‬‬
‫ועל פי הגדרת אינטגרביליות )ראו הערה‪ (2345‬מתקיים ‪1 f (x)dx‬‬
‫‪b‬‬
‫‪a‬‬
‫עבור ‪.g‬‬
‫סוף שיעור ‪3‬‬
‫‪20‬‬
‫)‪(n‬‬
‫∞→‪S(f, Π, {ti }) →n‬‬
‫ובדומה‬
‫‪3.3.2‬‬
‫כמה משפטים פשוטים‬
‫מסקנה ‪ 3.37‬שינוי פונקציה במספר סופי של נקודות אינו משפיע על אינטגרביליות‪ ,‬וגם לא על ערך‬
‫האינטגרל שלה‪.‬‬
‫הוכחה‪:‬‬
‫אכן‪ ,‬העובדה שהיא נשארת אינטגרבילית נובעת מטענה‪6789‬‬
‫ואילו העובדה שערך האינטגרל‬
‫נשמר היא בדיוק הטענה הקודמת‪ .‬למעשה‪ ,‬אם משנים פונקציה במספר בן־מניה של נקודות‪ ,‬עדיין ערך‬
‫האינטגרל נשמר‪ ,‬אבל רק בהנחה שהפונקציה החדשה גם היא אינטגרבילית‪ ,‬דבר שלא בהכרח נכון )כמו‬
‫בפונקציית דיריכלה‪ ,‬ששונה מהפונקציה הזהותית אפס רק במספר בן מניה של נקודות(‪.‬‬
‫משפט ‪] 3.38‬ליניאריות האינטגרל באינטגרנד[ תהיינה ‪ f, g : [a, b] → R‬המקיימות )]‪f, g ∈ R([a, b‬‬
‫‪b‬‬
‫‪b‬‬
‫‪b‬‬
‫ויהיו ‪ .α, β ∈ R‬מתקיים ‪. a αf + βg = α a f + β a g‬‬
‫‪:‬‬
‫‪:‬‬
‫‪:‬‬
‫הוכחה‪ :‬אכן‪ ,‬אנו כבר יודעים שהפונקציה הנ"ל אינטגרבילית‪ .‬נבחר סדרת חלוקות עם עדינות שואפת‬
‫גם בגבול‪ ,‬שהוא האינטגרל )שוב‪ ,‬ראו הערה<;‪67‬‬
‫לאפס‪ ,‬סכומי רימן המתאימים מקיימים )} ‪S(αf + βg, Π, {ti }) = αS(f, Π, {ti }) + βS(g, Π, {ti‬‬
‫ולכן‬
‫( ־ יישמר השוויון‪.‬‬
‫הערה ‪ 3.39‬שימו לב לעובדה שיש נסחא לאינטגרל של סכום במונחי האינטגרלים המקוריים‪ ,‬אין כזו‬
‫בחלקים"‪ ,‬סעיף=‪6767‬‬
‫נסחא לאינטגרל של מכפלה‪ ,‬יש רק שיטות לקבל ביטויים שקולים אליו‪ ,‬וזה נלמד בפרק "אינטגרציה‬
‫‪3.3.3‬‬
‫‪.‬‬
‫האינטגרל כשטח‬
‫כאשר עוסקים בפונקציה חיובית‪ ,‬אנו חושבים על האינטגרל כעל השטח התחום מתחת לגרף‪) .‬זו למעשה‬
‫דרך להגדיר למה אנו מתכוונים במילה "שטח"(‪ .‬המשפט הפשוט הבא מראה שכמצופה‪ ,‬שטח הוא אי‬
‫שלילי‪.‬‬
‫משפט ‪] 3.40‬חיוביות[ תהי ‪ f : [a, b] → R‬אינטגרבילית המקיימת ‪ .f ≥ 0‬אזי ‪: f (x)dx ≥ 0‬‬
‫‪b‬‬
‫‪a‬‬
‫הוכחה‪ :‬לכל סכום רימן שנחשב יתקיים ‪S(f, Π, {ti }) ≥ 0‬‬
‫ולכן גם בגבול‪.‬‬
‫למה ‪ 3.41‬תהי ‪ .g ≥ 0‬אזי ‪: g = 0‬‬
‫הוכחה‪ :‬אכן‪ ,‬אם ‪ : g = 0‬עבור ‪ g ≥ 0‬נובע שבכל תת קטע ]‪ J ⊂ [a, b‬מתקיים ‪g = 0‬‬
‫‪b‬‬
‫‪a‬‬
‫‪.‬‬
‫אם ורק אם לכל תת קטע ]‪ J ⊂ [a, b‬מתקיים ‪g = 0‬‬
‫‪b‬‬
‫‪a‬‬
‫‪.inf J‬‬
‫‪inf J‬‬
‫שכן כל‬
‫סכומי דרבו התחתונים חוסמים מלמטה את האינטגרל‪ .‬כדי להראות שהתנאי מספיק‪ ,‬בהנתן פונקציה‬
‫שמקיימת שלכל תת קטע ]‪ J ⊂ [a, b‬מתקיים ‪inf J g = 0‬‬
‫ניתן לבנות סכומי רימן עם חלוקות מעדינות‬
‫קטנה כרצוננו שיהיו קטנים כרצוננו‪ ,‬על ידי בחירת נקודות מתאימות בעלות ערך ) ‪g(xi‬‬
‫שאלה )לא קלה( למחשבה‪ :‬האם ייתכן ‪f < g‬‬
‫קטן כרצוננו‪.‬‬
‫ושוויון באינטגרל?‬
‫מסקנה ‪] 3.42‬מונוטוניות האינטגרל[ תהיינה ‪ f, g : [a, b] → R‬אינטגרביליות המקיימות ‪≥ g‬‬
‫‪b‬‬
‫‪b‬‬
‫‪. a f (x)dx ≥ a g(x)dx‬‬
‫‪:‬‬
‫‪:‬‬
‫‪21‬‬
‫‪ .f‬אזי‬
‫הוכחה‪ :‬מהמשפט הקודם נובע ‪ A(f − g) ≥ 0‬וממשפט@>?>‬
‫‪. A f (x)dx − A g(x)dx ≥ 0‬‬
‫‪b‬‬
‫‪a‬‬
‫‪b‬‬
‫‪a‬‬
‫‪b‬‬
‫‪a‬‬
‫ניתן להסיק כי‬
‫הערה ‪ 3.43‬את השטח הכלוא בין שני גרפים של פונקציות ‪ f, g‬אינטגרביליות נגדיר להיות ‪A |f −g| ≥ 0‬‬
‫‪b‬‬
‫‪a‬‬
‫‪.‬‬
‫זה מאפשר‪ ,‬כעקרון‪ ,‬להגדיר מושג של "שטח" כללי יותר במישור‪ ,‬אבל בקורס הזה אנחנו לא מעמיקים‬
‫בנושא זה‪ ,‬ולא מראים שההגדרה הזו לשטח תחום הכלוא בין שני גרפים מקיימת תכונות טבעיות‬
‫הנדרשות משטח )אם כי תלמדו בחדו"א ‪ 3‬שזו ההגדרה היחידה שמקיימת כמה תכונות פשוטות כמו‬
‫אינוריאנטיות להזזות‪ ,‬סיבובים וכדומה(‪.‬‬
‫משפט ‪] 3.44‬ליניאריות האינטגרל בתחום האיטגרציה[ תהי )]‪ f ∈ R([a, c‬ויהי )‪∈ (a, c‬‬
‫‪B‬‬
‫‪c‬‬
‫‪f‬‬
‫‪B‬‬
‫‪c‬‬
‫=‪f‬‬
‫‪a‬‬
‫‪B‬‬
‫‪ .b‬אזי‬
‫‪b‬‬
‫‪f+‬‬
‫‪a‬‬
‫‪b‬‬
‫‪.‬‬
‫| ‪ f‬נובעת ממשפט‪>?CD‬‬
‫הוכחה‪ :‬העובדה ש )]‪ f |[a,b] ∈ R([a, b‬וש )]‪∈ R([b, c‬‬
‫‪ Πn‬של הקטע כולו המקיימת ‪ λ(Πn ) → 0‬ונדרוש בנוסף ש ‪ b ∈ Πn‬לכל ‪ .n‬נבחר עבורה סדרת נקודות‬
‫‪(n) Mn‬‬
‫‪ .{ti }i=1‬נצמצם את החלוקה לתת הקטעים‪ ,‬ואת הנקודות המתאימות גם כן‪.‬‬
‫מתאימות‬
‫‪(n),2‬‬
‫‪(n),1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ .{ti‬עדיין העדינות שואפת לאפס‪,‬‬
‫נסמן את הצימצומים הנ"ל ב ‪ {ti } , Πn‬וב־ ‪} , Πn‬‬
‫)‪(n‬‬
‫‪(n),1‬‬
‫‪(n),2‬‬
‫‪ S(f, Πn , {ti }) = S(f |[a,b] , Π1n , {ti‬ולכן גם‬
‫וסכומי רימן מקיימים )} ‪}) + S(f |[b,c] , Π2n , {ti‬‬
‫]‪[b,c‬‬
‫‪ .‬נבחר סדרת חלוקות‬
‫בגבול השוויון נשמר‪.‬‬
‫הערה ‪ 3.45‬עבור ‪ a < b‬נגדיר את ‪ A f‬להיות ‪A f‬‬
‫‪a‬‬
‫‪b‬‬
‫תלות בסדר של ‪a, b, c‬‬
‫‪3.3.4‬‬
‫‪b‬‬
‫‪a‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.−‬‬
‫כך יתקיים השוויון ‪A f + A f = A f‬‬
‫‪c‬‬
‫‪a‬‬
‫‪c‬‬
‫‪b‬‬
‫‪b‬‬
‫‪a‬‬
‫ללא‬
‫רציפות האינטגרל המסויים‬
‫משפט ‪] 3.46‬רציפות האינטגרל המסויים[ תהי ‪ f : [a, b] → R‬אינטגרבילית‪ .‬אזי הפונקציה = )‪F (x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ a f (t)dt‬המוגדרת בקטע ]‪ ,[a, b‬היא רציפה‪.‬‬
‫‪A‬‬
‫הוכחה‪ :‬הפונקציה ‪ f‬אינטגרבילית ולכן חסומה‪ ,‬נאמר ‪|f | ≤ M‬‬
‫‪B‬‬
‫‪ .‬נחשב את‬
‫‪x+h‬‬
‫‪f (t)dt| ≤ hM →h→0 0‬‬
‫‪3.3.5‬‬
‫‪x‬‬
‫משפטי ערך ביניים‬
‫תכונה ראשונה פשוטה הנובעת ממסקנה‪>?EC‬‬
‫היא‬
‫‪22‬‬
‫| = |)‪|F (x + h) − F (x‬‬
‫טענה ‪] 3.47‬אי שוויון שימושי[ תהי )]‪ f ∈ R([a, b‬ונניח ‪ m ≤ f ≤ M‬אזי )‪F f ≤ M (b−a‬‬
‫‪.| F f | ≤ F |f | ≤ sup‬‬
‫וכמו כן )‪|f |(b − a‬‬
‫הוכחה‪ :‬העובדה הראשונה נובעת מאינטגרציה של אי השוויון על פי מסקנה‪HIJ‬‬
‫‪ G‬והחלק השני נובע כי‬
‫‪b‬‬
‫‪a‬‬
‫]‪[a,b‬‬
‫| ‪≤ f ≤ |f | ≤ sup |f‬‬
‫‪b‬‬
‫‪a‬‬
‫‪b‬‬
‫‪a‬‬
‫≤ )‪m(b−a‬‬
‫| ‪.−|f‬‬
‫‪F f ≤ max‬‬
‫‪b‬‬
‫‪a‬‬
‫‪1‬‬
‫‪b−a‬‬
‫≤ ‪min[a,b] f‬‬
‫הערה ‪ 3.48‬אם הפונקציה רציפה‪ ,‬מאי השוויון ‪f‬‬
‫‪b‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ , b−a‬וזה הקשר של הטענה לכותרת תת־הפרק‪.‬‬
‫]‪ x0 ∈ [a, b‬כך ש ) ‪f = f (x0‬‬
‫‪a‬‬
‫]‪[a,b‬‬
‫‪F‬‬
‫משפט ‪] 3.49‬ערך ביניים ראשון[ תהי ‪ f : [a, b] → R‬רציפה ותהי )]‪g ∈ R([a, b‬‬
‫]‪ x0 ∈ [a, b‬כך ש‬
‫‪K‬‬
‫אי שלילית‪ .‬אזי קיים‬
‫‪K‬‬
‫‪b‬‬
‫‪g(x)dx‬‬
‫נובע שקיימת נקודה‬
‫‪b‬‬
‫) ‪f (x)g(x)dx = f (x0‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a‬‬
‫‪GHIJ‬‬
‫הוכחה‪ :‬נסמן ‪ max[a,b] f = M‬ו־ ‪ .min[a,b] f = m‬מחיוביות ‪ g‬מתקיים ‪mg ≤ f g ≤ M g‬‬
‫‪b‬‬
‫‪b‬‬
‫‪b‬‬
‫גם אחרי אינטגרל מתקיים אי שוויון‪ .‬נקבל ש ‪ m a g ≤ a f g ≤ M a g‬ולכן‪ ,‬אחרי‬
‫מסקנה‬
‫‪F‬‬
‫‪F‬‬
‫‪F‬‬
‫ולכן לפי‬
‫חלוקה באינטגרל של ‪ g‬ותוך שימוש ברציפות ‪ ,f‬קיימת נקודה בה מתקיים ) ‪L = f (x‬‬
‫‪L‬‬
‫מקרה קצה שצריך לדון בו ־ מה קורה אם ‪ F g = 0‬אבל אז האי שוויון לפני החלוקה יוצא פשוט‬
‫‪ 0 ≤ F f g ≤ 0‬וסיימנו‪.‬‬
‫‪b‬‬
‫‪a fg‬‬
‫‪b‬‬
‫‪a g‬‬
‫‪0‬‬
‫‪b‬‬
‫‪a‬‬
‫‪b‬‬
‫‪a‬‬
‫כרצוי‪ .‬יש‬
‫משפט ‪] 3.50‬הלמה של בונה ־ גרסא ‪ [1‬תהיינה ‪ f, g : [a, b] → R‬ונניח כי ‪ f‬מונוטונית וכן ∈ ‪0 ≤ g‬‬
‫)]‪ . R([a, b‬אזי קיימת ]‪ x0 ∈ [a, b‬כך ש‬
‫‪K‬‬
‫‪b‬‬
‫‪g(x)dx‬‬
‫‪K‬‬
‫‪x0‬‬
‫)‪g(x)dx + f (b‬‬
‫הוכחה‪:‬‬
‫‪b‬‬
‫)‪f (x)g(x)dx = f (a‬‬
‫‪a‬‬
‫‪x0‬‬
‫‪a‬‬
‫כמו בהוכחת משפט ערך הביניים הראשון )משפט‪GHIM‬‬
‫למשל‪,‬‬
‫‪K‬‬
‫‪b‬‬
‫‪g(x)dx‬‬
‫‪a‬‬
‫‪K‬‬
‫‪K‬‬
‫( אנו רואים שאם ‪f‬‬
‫‪b‬‬
‫)‪f (x)g(x)dx ≤ f (b‬‬
‫‪a‬‬
‫מונוטונית עולה‪,‬‬
‫‪K‬‬
‫‪b‬‬
‫≤ ‪g(x)dx‬‬
‫)‪f (a‬‬
‫‪a‬‬
‫בכל מצב בו יש לנו שלושה מספרים ו ‪ x ≤ y ≤ z‬מתקיים ש ‪ y‬הוא צירוף קמור של ‪ x‬ו־ ‪z‬‬
‫]‪ λ ∈ [0, 1‬כך ש ‪) . y = (1 − λ)x + λz‬חשבו את ערכה של ‪ λ‬זו!(‪ .‬במקרה שלנו נקבל‬
‫‪K‬‬
‫‪K‬‬
‫‪b‬‬
‫‪g(x)dx‬‬
‫‪b‬‬
‫)‪g(x)dx + λf (b‬‬
‫‪a‬‬
‫אנו נבחר את‬
‫‪0‬‬
‫‪a‬‬
‫‪ x‬כך שיתקיים ‪F g(x)dx‬‬
‫‪b‬‬
‫‪a‬‬
‫‪K‬‬
‫‪b‬‬
‫)‪f (x)g(x)dx = (1 − λ)f (a‬‬
‫)‪g(x)dx = (1 − λ‬‬
‫‪23‬‬
‫‪F‬‬
‫‪x0‬‬
‫‪a‬‬
‫‪.‬‬
‫‪a‬‬
‫דהיינו קיימת‬
‫איור ‪ :10‬הלמה של בונה‬
‫נסביר מדוע זה אפשרי‪ :‬נגדיר את‬
‫‪N g(x)dx‬‬
‫‪z‬‬
‫= )‪G(z‬‬
‫‪a‬‬
‫‪PQRS‬‬
‫‪O‬‬
‫‪O‬‬
‫‪O‬‬
‫‪PQRR‬‬
‫‪O‬‬
‫‪b‬‬
‫‪b‬‬
‫‪b‬‬
‫ומתקיים ‪G(b) = a g(x)dx ≥ (1 − λ) a g(x)dx ,G(a) = 0 ≤ (1 − λ) a g(x)dx‬‬
‫הפונקציה ‪ G‬רציפה‪ .‬לכן לפי משפט ערך הביניים של חדו"א ‪ ,1‬קיימת ]‪ x0 ∈ [a, b‬כך ש‬
‫‪x0‬‬
‫‪b‬‬
‫‪. a g(x)dx = (1 − λ) a g(x)dx‬‬
‫‪b‬‬
‫‪b‬‬
‫( גם ש ‪ . x g(x)dx = λ a g(x)dx‬לכן‬
‫נקבל כמובן על פי ליניאריות האינטגרל )משפט‬
‫‪0‬‬
‫‪O‬‬
‫‪O‬‬
‫וכן לפי משפט‬
‫‪O‬‬
‫יתקיים כרצוי‬
‫‪N g(x)dx‬‬
‫‪b‬‬
‫‪N‬‬
‫‪x0‬‬
‫)‪g(x)dx + f (b‬‬
‫‪x0‬‬
‫‪N f (x)g(x)dx‬‬
‫‪b‬‬
‫)‪= f (a‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a‬‬
‫הוכחה אחרת של משפט‪ : PQTU‬נגדיר את ‪O g(x)dx‬‬
‫הערה ‪ 3.51‬הנה‬
‫‪R‬‬
‫‪S‬‬
‫רציפה על פי משפט ‪Q‬‬
‫‪ P‬ומקיימת‬
‫‪t‬‬
‫‪a‬‬
‫)‪N (f (b) − f (x))g(x)dx ≤ G(b‬‬
‫))‪G(t) = (f (b) − f (a‬‬
‫‪ .‬היא‬
‫‪b‬‬
‫‪a‬‬
‫≤ ‪G(a) = 0‬‬
‫כאשר השתמשנו חזק מאוד במונוטוניות ‪ f‬ובחיוביות ‪ .g‬לכן מרציפות ‪G‬‬
‫‪b‬‬
‫‪ 1‬קיימת ‪ x0‬כך ש ‪ G(x0 ) = a (f (b) − f (x))g(x)dx‬ונעביר אגפים לקבלת המשפט‪.‬‬
‫ומשפט ערך הביניים של חדו"א‬
‫‪O‬‬
‫שעדיין אין לנו‪ ,‬אבל יהיו לנו בקרוב‪ .‬נוכיח אותו בסעיף‪PQPQV‬‬
‫לשם שלמות נצטט כאן גם את הגרסא השנייה של הלמה של בונה‪ .‬ההוכחה שלה דורשת עוד כלים‬
‫‪WR‬‬
‫‪.‬‬
‫איור ‪ :11‬משפט ניוטון לייבניץ והמשפט היסודי‬
‫משפט ‪] 3.52‬הלמה של בונה ־ גרסא ‪ [2‬תהיינה ‪ f, g : [a, b] → R‬ונניח כי ‪g‬‬
‫)‪) f ∈ C 1 (a, b‬גזירה ברציפות( ורציפה ב ]‪ [a, b‬ומתקיים שלכל )‪) .f 0 (x) ≥ 0 ,x ∈ (a, b‬או‪ :‬לכל‬
‫)‪ (.f 0 (x) ≤ 0 ,x ∈ (a, b‬אזי קיימת ]‪ x0 ∈ [a, b‬כך ש‬
‫רציפה בקטע וכן‬
‫‪X‬‬
‫‪b‬‬
‫‪g(x)dx‬‬
‫‪X‬‬
‫‪x0‬‬
‫)‪g(x)dx + f (b‬‬
‫‪x0‬‬
‫‪X‬‬
‫‪b‬‬
‫)‪f (x)g(x)dx = f (a‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a‬‬
‫כאמור‪ ,‬ההוכחה של המשפט האחרון תופיע בהמשך‪ ,‬בסעיף\‪ .[Z[Z‬נשתמש בו בפרק‪YZ[ZY‬‬
‫‪3.3.6‬‬
‫‪.‬‬
‫המשפטים היסודיים‬
‫בפרק זה נמצאים המשפטים החשובים ביותר בנושא אינטגרציה‪ ,‬המקשרי את מושג הפונקציה הקדומה‬
‫שלמדנו בתחילת הסמסטר ושתירגלתם בתירגולים עם מושג אינטגרל רימן )האינטגרל המסויים( אותו‬
‫למדנו באופן מפורט בשיעורים‪.‬‬
‫משפט ‪] 3.53‬המשפט היסודי של החדו"א[ תהי )]‪ ,f ∈ R([a, b‬ותהי ]‪ x0 ∈ [a, b‬נקודה שבה ‪f‬‬
‫‪x‬‬
‫רציפה‪ .‬אזי הפונקציה ‪ F (x) = a f (t)dt‬היא גזירה בנקודה ‪ x0‬ומתקיים ) ‪.F 0 (x0 ) = f (x0‬‬
‫]‬
‫היא‬
‫המשפט הבא הוא אולי השימושי ביותר עבורנו מבחינת חישובי אינטגרלים‪ .‬הוא מאוד דומה למשפט‬
‫הקודם‪ ,‬אך איננו זהה לו‪.‬‬
‫משפט ‪] 3.54‬משפט ניוטון ולייבניץ[ תהי )]‪ ,f ∈ R([a, b‬ותהי ‪ F : [a, b] → R‬קדומה של ‪ f‬בקטע ]‪[a, b‬‬
‫כולו‪ .‬אזי‬
‫‪X‬‬
‫‪b‬‬
‫)‪f (x)dx = F (b) − F (a‬‬
‫‪25‬‬
‫‪a‬‬
‫לפני ההוכחות‪ ,‬נעיר על הדמיון בין המשפטים‪ .‬כאשר ‪ f‬היא אינטגרבילית ורציפה‪ ,‬הפונקציה = )‪F (x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ a f (t)dt‬היא תמיד קדומה שלה‪ ,‬וכל שתי קדומות שלה נבדלות בקבוע‪ .‬הענין הוא שפונקציה לא רציפה‬
‫עדיין יכולה להיות אינטגרבילית‪ .‬במקרה כזה יתכן שלמשל ‪F‬הנ"ל איננה גזירה )ולכן איננה קדומה‬
‫‪0 x < 1/2‬‬
‫= )‪ f (x‬למשל‪ ,‬שכמובן אינטגרבילית‬
‫של ‪ ,f‬על פי הגדרתנו(‪ .‬דוגמה פשוטה לכך היא‬
‫‪1 x ≥ 1/2‬‬
‫אבל האינטגרל שלה אינו גזיר ב־‪) 1/2‬זאת אומרת‪ ,‬אין לה קדומה(‪ .‬ייתכן גם שיש לפונקציה לא רציפה‬
‫^‬
‫פונקציה קדומה‪ ,‬אבל זה רק אם אי הרציפות שלה היא מסוג שני‪ ,‬שכן אנו יודעים שפונקציה שהיא נגזרת‬
‫של פונקציה אחרת‪ ,‬מקיימת תמיד את תכונת דרבו )חדו"א ‪ .(1‬זה מקרה )נדיר( בו המשפט השני שימושי‬
‫והראשון לא רלוונטי כי אין רציפות‪ .‬לבסוף‪ ,‬במשפט הראשון ניתן להשתמש גם בנקודה בודדת‪ ,‬זאת‬
‫אומרת גם אם אין רציפות של ‪f‬‬
‫בכל הקטע‪.‬‬
‫‪_`ab‬‬
‫אין צורך ש ‪F‬‬
‫הערה ‪ 3.55‬עוד הערה חשובה היא שלמעשה כדי להשתמש במשפט‬
‫ל־ ‪ f‬בכל הקטע הסגור‪ ,‬מספיק שהיא תהיה קדומה ב־)‪ (a, b‬ורציפה ב־]‪ .[a, b‬זאת משום שניתן לעבור‬
‫לתת קטע‪ ,‬ואז להשאיף את הגבולות לצדדים‪ .‬באופן דומה‪ ,‬מספיק ש ‪F 0 = f‬פרט למספר סופי של‬
‫‪0 x < 1/2‬‬
‫‪t‬‬
‫= )‪ f (x‬תוך שימוש‬
‫נקודות‪ ,‬וכן ‪ F‬רציפה‪ .‬כך נוכל לדעת גם את ‪ 0 f (x)dx‬עבור‬
‫‪1 x ≥ 1/2‬‬
‫‪‬‬
‫‪0‬‬
‫‪x < 1/2‬‬
‫‪0‬‬
‫= )‪ F (x‬שמקיימת ‪ F = f‬למעט בנקודה אחת‪ ,‬והיא רציפה‪ .‬ננסח‬
‫ב"קדומה"‬
‫‪(x − 1/2) x ≥ 1/2‬‬
‫תהיה קדומה‬
‫^‬
‫זאת במסקנה הבאה‪.‬‬
‫מסקנה ‪] 3.56‬משפט ניוטון ולייבניץ ־ כללי יותר[ תהי )]‪ ,f ∈ R([a, b‬ותהי ‪F : [a, b] → R‬‬
‫המקיימת שלמעט מספר סופי של נקודות בקטע‪ .F 0 (x) = f (x) ,‬אזי‬
‫רציפה‪,‬‬
‫‪c‬‬
‫‪b‬‬
‫)‪f (x)dx = F (b) − F (a‬‬
‫‪a‬‬
‫נעבור להוכחות של המשפטים המרכזיים הללו‪.‬‬
‫הוכחה‪] :‬הוכחת המשפט היסודי[ נחשב את הביטוי שמופיע בחישוב נגזרת )שימו לב שאין צורך‬
‫‪:(h‬‬
‫להניח בחישוב הנ"ל כי ‪> 0‬‬
‫‬
‫ ‪x0 +h‬‬
‫) ‪F (x0 + h) − F (x0‬‬
‫) ‪f (t) − f (x0‬‬
‫‪1 x0 +h‬‬
‫‪f (x)dx = f (x0 ) +‬‬
‫‪dt‬‬
‫=‬
‫‪h‬‬
‫‪h x0‬‬
‫‪h‬‬
‫‪x0‬‬
‫‪c‬‬
‫‪c‬‬
‫משום שבנקודה ‪ x0‬הפונקציה רציפה‪ ,‬בהנתן ‪ ε > 0‬קיימת ‪ δ > 0‬כך שאם ‪|t − x0 | < δ‬‬
‫‪ . |f (t) − f (x0 )| < ε‬נניח ש ‪ . |h| < δ‬אזי מתקיים‬
‫|) ‪|f (t) − f (x0‬‬
‫‪dt ≤ ε‬‬
‫‪h‬‬
‫‪c‬‬
‫‪x0 +h‬‬
‫‪x0‬‬
‫) ‪F (x0 + h) − F (x0‬‬
‫≤ |) ‪− f (x0‬‬
‫|‬
‫‪h‬‬
‫‪26‬‬
‫מתקיים ש‬
‫נשים לב ששמנו ערך מוחלט רק על החלק העליון בשבר כדי שגם אם ‪h < 0‬‬
‫גבולות האינטרל הם בסדר יורד ־ ‪ . x0 > x0 + h‬קיבלנו על פי הגדרת נגזרת ש ) ‪.F 0 (x0 ) = f (x0‬‬
‫הביטוי יצא חיובי ־ שכן אז‬
‫הערה ‪ 3.57‬נעיר שכאשר הפונקציה ‪f‬‬
‫בתוך האינטגרל איננה רציפה‪ ,‬אין שום הכרח שיתקיים האמור‪,‬‬
‫שכן אינטגרציה אינה מבחינה בין פונקציות ששונות למשל רק בנקודה אחת‪.‬‬
‫הוכחה‪] :‬הוכחת משפט ניוטון לייבניץ[ נתונה )]‪ .f ∈ R([a, b‬בהנתן חלוקה כלשהי ‪Π‬‬
‫במשפט ערך הביניים של לגרנז מחדו"א ‪ 1‬על מנת למצוא נקודות מתאימות ] ‪ ti ∈ [xi−1 , xi‬שתקיימנה‬
‫) ‪F (xi )−F (xi−1‬‬
‫)במדוייק!(‬
‫= ) ‪ . F 0 (ti‬עבור נקודות אלה נחשב את סכום רימן של החלוקה ונקבל‬
‫‪xi −xi−1‬‬
‫נוכל להשתמש‬
‫)‪(F (xi ) − F (xi−1 )) = F (b) − F (a‬‬
‫ומשום ש ‪f‬‬
‫‪n‬‬
‫‪X‬‬
‫= ‪F 0 (ti )∆xi‬‬
‫‪i=1‬‬
‫‪i=1‬‬
‫‪i=1‬‬
‫אינטגרבילית‪ ,‬סכום רימן זה )שהוא קבוע( צריך להתכנס‪ ,‬כשעדינות החלוקה שואפת לאפס‪,‬‬
‫לאינטגרל של ‪f‬‬
‫והמשפט הוכח‪.‬‬
‫תרגילים למחשבה )שייעשו בתירגול(‪:‬‬
‫איך גוזרים את הפונקציות ‪d f (t)dt‬‬
‫‪b‬‬
‫‪x‬‬
‫‪g, h‬‬
‫‪n‬‬
‫‪X‬‬
‫= ‪f (ti )∆xi‬‬
‫‪n‬‬
‫‪X‬‬
‫= )} ‪S(f, Π, {ti‬‬
‫= )‪ G(x‬ו־ ‪f (t)dt‬‬
‫שתיהן גזירות(?‬
‫סוף שיעור ‪4‬‬
‫‪27‬‬
‫‪d‬‬
‫)‪h(x‬‬
‫)‪g(x‬‬
‫= )‪) H(x‬תניחו נאמר ש ‪f‬‬
‫רציפה וש‬
‫‪3.3.7‬‬
‫שיטות אינטגרציה )בחלקים ושינוי משתנה(‬
‫השיטות שנדון בהן בפרק זה תתורגלנה‪ ,‬והרבה‪ ,‬בתירגולים ובתרגילי הבית‪ .‬שם גם תכירו שיטות נוספות‪.‬‬
‫כאן אנו רק נותנים את הבסיס התיאורטי לשימושים הללו‪ ,‬שניתן לבצע אותם גם )כפי שעושים בקורסי‬
‫חדו"א אחרים‪ ,‬לא לתלמידי מתמטיקה( ללא הידע התיאורטי‪ .‬יתר על כן‪ ,‬אנו לרוב נניח תנאים יחסית‬
‫מחמירים על מנת להוכיח את הטענות בצורה מדוייקת ולא ארוכה מידי‪ .‬הרבה פעמים הן תקפות גם‬
‫בהנחות מחמירות הרבה פחות‪.‬‬
‫כאשר התנאים שהנחנו לא מתקיימים‪ ,‬עדיין ניתן לנסות ולהשתמש‬
‫בשיטה‪ ,‬אבל אז כשמתקבלת התוצאה יש למצוא צידוק לנכונותה )למשל ־ אם החישוב מייצר לכם‬
‫מועמדת לפונקציה קדומה ־ ניתן פשוט לגזור את התוצאה!(‪.‬‬
‫משפט ‪] 3.58‬אינטגרציה בחלקים[ תהיינה ‪ f, g : [a, b] → R‬גזירות‪ ,‬ונניח ש )]‪f 0 , g 0 ∈ R([a, b‬‬
‫‪e‬‬
‫‪b‬‬
‫‪f g0‬‬
‫‪a‬‬
‫‪e‬‬
‫‪b‬‬
‫‪−‬‬
‫‪g]|ba‬‬
‫‪0‬‬
‫· ‪f g = [f‬‬
‫‪a‬‬
‫וביתר דיוק‪ ,‬הסימון למעלה אומר ש ‪f f (t)g(t)dt = f (b)g(b) − f (a)g(a) − f f (t)g (t)dt‬‬
‫‪b‬‬
‫‪a‬‬
‫‪0‬‬
‫הוכחה‪ :‬מהנתון‪ ,‬הפונקציות ‪f, g‬‬
‫‪ .‬אזי‬
‫‪0‬‬
‫‪b‬‬
‫‪a‬‬
‫‪.‬‬
‫הן גזירות ובפרט רציפות ולכן אינטגרביליות רימן בקטע‪ ,‬וכך גם‬
‫מכפלתן‪ .‬מחוק גזירה של חדו"א ‪ 1‬מתקיים ‪(f · g)0 = f 0 g + f g 0‬‬
‫לפונקציה ‪ , f 0 g + f g 0‬שגם היא ־ על פי הנתונים ־ מכפלה וסכום של אינטגרביליות ולכן אינטגרבילית‬
‫זאת אומרת מצאנו פונקציה קדומה‬
‫)נשים לב שלא נתון שהיא רציפה(‪ .‬כעת נפעיל את משפט ניוטון לייבניץ )משפט‪ghij‬‬
‫ונקבל כי )‪ . f (f g + f g ) = f (b)g(b) − f (a)g(a‬על פי שימוש בליניאריות האינטגרל והעברת אגפים‪,‬‬
‫( שתנאיו מתקיימים‪,‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪b‬‬
‫‪a‬‬
‫המשפט הוכח‪.‬‬
‫הערה ‪ 3.59‬נזכיר את הסימון )]‪ f ∈ C 1 ([a, b‬שאומר כי ‪f‬‬
‫)]‪ C n ([a, b‬יאמר שהיא גזירה ‪ n‬פעמים והנגזרת ה ‪n‬־ית רציפה(‪ .‬נובע בפרט שהמשפט האחרון תקף‬
‫כאשר )]‪.f, g ∈ C 1 ([a, b‬‬
‫גזירה ונגזרתה רציפה‪.‬‬
‫כעת אנו יכולים להוכיח את משפט‪ghik‬‬
‫]הלמה של בונה‪ :‬גרסא ‪.[2‬‬
‫)הסימון ∈ ‪f‬‬
‫נזכיר את המשפט‪ :‬תהיינה‬
‫‪ f, g : [a, b] → R‬ונניח כי ‪ g‬רציפה ו )‪) f ∈ C 1 (a, b‬גזירה ברציפות( ורציפה ומתקיים שלכל )‪∈ (a, b‬‬
‫‪) .f 0 (t) ≥ 0‬או‪ :‬לכל )‪ (.f 0 (t) ≤ 0 ,t ∈ (a, b‬אזי קיימת ]‪ x0 ∈ [a, b‬כך ש‬
‫‪e‬‬
‫‪e‬‬
‫‪b‬‬
‫‪g(t)dt‬‬
‫‪x0‬‬
‫‪e‬‬
‫‪x0‬‬
‫)‪g(t)dt + f (b‬‬
‫‪ghik‬‬
‫‪,t‬‬
‫‪b‬‬
‫)‪f (t)g(t)dx = f (a‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a‬‬
‫‪f‬‬
‫‪x‬‬
‫[‪ :‬נסמן ‪G(x) = a g(t)dt‬‬
‫הוכחה‪] :‬של הלמה של בונה גרסא ‪ ,2‬משפט‬
‫)‪ G0 (x) = g(x‬לכל )‪ .x ∈ (a, b‬לפי נוסחת אינטגרציה בחלקים מתקיים )שכן ‪ G‬גזירה ברציפות וגם ‪(f‬‬
‫‪e‬‬
‫‪b‬‬
‫‪G(t)f 0 (t)dt‬‬
‫‪a‬‬
‫ואז‪ ,‬מרציפות ‪ ,g‬מתקים‬
‫‪e‬‬
‫‪e‬‬
‫‪b‬‬
‫‪0‬‬
‫‪G (t)f (t)dt = G(b)f (b) − G(a)f (a) −‬‬
‫‪kl‬‬
‫‪b‬‬
‫= ‪f (t)g(t)dt‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a‬‬
‫כעת ממשפט ערך הביניים הראשון‪ ,‬משפט‪ ,nopq‬האינטגרל הימני ביותר ניתן לכתיבה כ ‪m f (t)dt‬‬
‫‪0‬‬
‫שכן ‪ G‬רציפה ו )‪f 0 (t‬‬
‫אי שלילית‪ .‬קיבלנו‪ ,‬על פי ניוטון לייבניץ‪,‬‬
‫‪r‬‬
‫‪b‬‬
‫‪f 0 (t)dt‬‬
‫‪a‬‬
‫‪b‬‬
‫‪a‬‬
‫) ‪G(x0‬‬
‫‪r‬‬
‫‪b‬‬
‫) ‪f (t)g(t)dt = G(b)f (b) − G(a)f (a) − G(x0‬‬
‫‪a‬‬
‫))‪= G(b)f (b) − G(a)f (a) − G(x0 )(f (b) − f (a‬‬
‫כעת נשים לב ש ‪ G(a) = 0‬וגם ש ‪m g(t)dt‬‬
‫‪r‬‬
‫‪r‬‬
‫‪b‬‬
‫‪x0‬‬
‫‪b‬‬
‫‪x0‬‬
‫)‪g(t)dt + f (b‬‬
‫‪g(t)dt‬‬
‫= ) ‪G(b) − G(x0‬‬
‫וכשנציב זאת במשוואה נקבל בדיוק‬
‫‪x0‬‬
‫‪a‬‬
‫‪r‬‬
‫‪b‬‬
‫)‪f (t)g(t)dt = (G(b) − G(x0 ))f (b) + G(x0 )f (a) = f (a‬‬
‫‪a‬‬
‫כעת נציג שימוש אחר למשפט על אינטגרציה בחלקים‪ ,‬והוא נסחא אינטגראלית לשארית בטור טיילור‪.‬‬
‫טענה ‪] 3.60‬שארית אינטגראלית בטיילור[ תהי ‪ f : [a, b] → R‬ונניח שהיא גזירה ברציפות )‪(n + 1‬‬
‫פעמים‪ .‬יהי ]‪ . x ∈ [a, b‬אזי‬
‫)‪f 00 (a‬‬
‫)‪f (n) (a‬‬
‫‪(x − a)2 + · · · +‬‬
‫)‪(x − a)n + Rn (a, x‬‬
‫!‪2‬‬
‫!‪n‬‬
‫כאשר‬
‫‪r‬‬
‫‪1‬‬
‫‪f (x) = f (a) + f 0 (a)(x − a) +‬‬
‫‪x‬‬
‫‪f (n+1) (t)(x − t)n dt‬‬
‫הוכחה‪ :‬נבצע אינדוקציה על ‪ .n‬עבור ‪n = 0‬‬
‫‪a‬‬
‫!‪n‬‬
‫= )‪Rn (a, x‬‬
‫‪r‬‬
‫הנוסחא גורסת‬
‫‪x‬‬
‫‪f 0 (t)dt‬‬
‫‪f (x) = f (a) +‬‬
‫‪a‬‬
‫‪0‬‬
‫שאכן נכון על פי משפט ניוטון לייבניץ שכן נתונה רציפות ‪ .f‬כעת נניח נכונות עבור ‪ .n‬נחשב את‬
‫השארית הבאה‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫!‪k‬‬
‫‪1‬‬
‫!)‪(n + 1‬‬
‫‪f (k) (a)(x − a)k‬‬
‫‪n+1‬‬
‫‪X‬‬
‫‪k=0‬‬
‫‪Rn+1 (a, x) = f (x) −‬‬
‫‪= Rn (a, x) − f (n+1) (a)(x − a)n+1‬‬
‫‪r‬‬
‫‪x‬‬
‫‪1‬‬
‫‪f (n+1) (t)(x − t)n dt − f (n+1) (a)(x − a)n+1‬‬
‫!)‪(n + 1‬‬
‫‪a‬‬
‫!‬
‫‪d‬‬
‫‪n+1‬‬
‫‪x‬‬
‫) )‪(−(x − t‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫=‬
‫‪f (n+1) (t) dt‬‬
‫‪dt − f (n+1) (a)(x − a)n+1‬‬
‫‪n! a‬‬
‫‪n+1‬‬
‫!)‪(n + 1‬‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪f (n+2) (t)(x − t)n+1 dt‬‬
‫)‪1 (n+1‬‬
‫‪−(x − t)n+1‬‬
‫‪(x − a)n+1‬‬
‫‪f‬‬
‫)‪− f (n+1) (a‬‬
‫=‬
‫)‪(t‬‬
‫‪+ a‬‬
‫!‪n‬‬
‫‪n+1‬‬
‫)‪(n + 1‬‬
‫!)‪(n + 1‬‬
‫‪a‬‬
‫‪x‬‬
‫‪1‬‬
‫‪f (n+2) (t)(x − t)n+1 dt‬‬
‫=‬
‫‪(n + 1)! a‬‬
‫‪r‬‬
‫‪m‬‬
‫‪r‬‬
‫‪29‬‬
‫‪1‬‬
‫=‬
‫!‪n‬‬
‫ובזאת הסתיימה ההוכחה‪.‬‬
‫בתרגיל או בתירגול‪ :‬הראו מדוע נסחא זאת גוררת את הנוסחא לשארית לגרנז במקרה שבו הפונקציה‬
‫מקיימת )]‪f ∈ C n+1 ([a, b‬‬
‫‪.‬‬
‫בהמשך הסעיף נציג שימוש נוסף של אינטגרציה בחלקים‪ ,‬להוכחת משפט ואליס )‪ (Wallis‬אך ראשית‬
‫נדון בשיטה השניה העיקרית לחישוב אינטגרלים‪.‬‬
‫משפט ‪] 3.61‬שינוי משתנה[ תהי ‪ f : [a, b] → R‬רציפה ותהי ]‪ ϕ : [α, β] → [a, b‬המקיימת ‪ϕ(α) = a‬‬
‫‪ .ϕ(β) = b‬נניח גם ש־‪ ϕ‬גזירה ברציפות‪ .‬אזי‬
‫‪s‬‬
‫‪s‬‬
‫‪β‬‬
‫‪f (ϕ(t))ϕ0 (t)dt‬‬
‫‪b‬‬
‫= ‪f (x)dx‬‬
‫‪α‬‬
‫על פי רוב משתמשים ב ‪ϕ‬‬
‫ו‬
‫‪a‬‬
‫שהיא מונוטונית‪ ,‬ובפרט שהיא חח"ע ועל בקטע‪ .‬לפונקציה הזו קוראים "שינוי‬
‫המשתנה"‪.‬‬
‫‪t‬‬
‫‪x‬‬
‫הוכחה‪ :‬תהי ‪ F (x) = a f (t)dt‬קדומה של ‪f‬‬
‫היסודי מתקיים )‪ F 0 (x) = f (x‬לכל ]‪ .x ∈ [a, b‬נסמן ‪ G = F ◦ ϕ‬זאת אומרת ))‪.G(y) = F (ϕ(y‬‬
‫מכלל השרשרת )שכן כולן גזירות( מתקיים )‪ G0 (y) = F 0 (ϕ(y))ϕ0 (y) = f (ϕ(y))ϕ0 (y‬ולכן לאחר ביצוע‬
‫אינטגרל נקבל‬
‫‪s‬‬
‫)שקיימת מהנחת הרציפות( כך שעל פי המשפט‬
‫‪b‬‬
‫‪f‬‬
‫‪a‬‬
‫‪s‬‬
‫‪β‬‬
‫‪0‬‬
‫= )‪(f ◦ ϕ) ϕ = G(β) − G(α) = F (b) − F (a‬‬
‫הערות ‪ 3.62‬כמובן‪ ,‬אף על פי שמבחינתנו הסימונים ‪ dx‬ו־ ‪dt‬‬
‫‪α‬‬
‫הם רק הגדרה או סימון של אינטגרל רימן‪,‬‬
‫מאחוריהם מסתתר משהו שהוא מעבר לסימון הדבר יילמד באופן מעמיק יותר בקורס "תורת המידה"‪,‬‬
‫שם תדברו על נגזרת של מידה אחת ביחס לאחרת‪ .‬בכל זאת‪ ,‬נוכל לומר כמה מילים שתפרשנה את‬
‫ה"אינטואיציה" העומדת מאחורי שינוי המשתנה‬
‫‪dx = ϕ0 (t)dt‬‬
‫→‬
‫)‪x = ϕ(t‬‬
‫ובכן‪ ,‬הניחו לשם פשטות ששינוי המשתנה שלכם )‪ϕ(t‬‬
‫‪Pn‬‬
‫‪b‬‬
‫ישאף ל ‪ a f‬כל עוד החלוקה מעדינות שואפת לאפס והנקודות ‪ x̃i‬מקיימות ∈ ‪x̃i‬‬
‫‪i=1 f (x̃i )∆xi‬‬
‫] ‪ .[xi−1 , xi‬נרשום את סכום רימן של הפונקציה באופן אחר‪ :‬כל נקודה ‪ xi‬בחלוקה נציג כ ־ ) ‪xi = ϕ(ti‬‬
‫וכל נקודה ) ‪ .x̃i = ϕ(t̃i‬סכום רימן הקודם שרשמנו הינו‪ ,‬בסימונים החדשים‬
‫הוא מונוטוני עולה‪.‬‬
‫‪t‬‬
‫)) ‪f (ϕ(t̃i )) (ϕ(ti ) − ϕ(ti−1‬‬
‫‪uv‬‬
‫‪n‬‬
‫‪X‬‬
‫‪i=1‬‬
‫= ‪f (x̃i )∆xi‬‬
‫‪n‬‬
‫‪X‬‬
‫‪i=1‬‬
‫מהגדרת האינטגרל‪,‬‬
‫איור ‪ :12‬חישוב שטח רבע מעגל‬
‫ומשום שהנחנו גזירות ניתן לרשום‬
‫) ‪f (ϕ(t̃i ))ϕ0 (t̃˜i ) (ti − ti−1‬‬
‫‪n‬‬
‫‪X‬‬
‫‪i=1‬‬
‫= )) ‪f (ϕ(t̃i )) (ϕ(ti ) − ϕ(ti−1‬‬
‫‪n‬‬
‫‪X‬‬
‫‪i=1‬‬
‫כל שנותר להסביר הוא שניתן לבחור מראש נקודות מתאימות ‪ xi‬כך שיתקיים ‪= t̃˜i‬‬
‫כמובן אפשרי שכן הבחירה של ‪ x̃i‬הייתה שרירותית‪ .‬כעת אנו רואים בצורה מעט בהירה יותר מדוע‬
‫‪ ,∆xi ' ϕ0 (ti )∆ti‬דבר שניתן לכתוב באופן לא ממש פורמלי כ ‪) dx = ϕ0 (t)dt‬הדבר אינו פורמלי רק‬
‫משום שלא הגדרנו את האובייקט "‪ "dx‬כעומד בפני עצמו ־ אם מדובר בשימוש במשפט הקודם ־ זה‬
‫‪ ,t̃i‬והדבר‬
‫כמובן מאוד פורמלי(‪ .‬נדגיש כי יש להזהר מחילופי משתנה שהם פורמליים בלבד שכן זהו מתכון לבלבול‬
‫וטעויות‪ ,‬ודוגמאות תובאנה בתירגול ובתרגילי הבית‪.‬‬
‫נמשיך בדוגמא )אחת! בתרגילים ־ המון( לשימוש בשינוי משתנה לשם חישוב אינטגרל מסויים‪ .‬נחשב‬
‫את שטחו של רבע מעגל היחידה‪.‬‬
‫√‬
‫זה השטח הכלוא תחת הגרף ‪ f (x) = 1 − x2‬מעל הקטע ]‪[0, 1‬‬
‫√‪1‬‬
‫‪ . 0 1 − x2 dx‬נשתמש בשינוי המשתנה ‪ ϕ(t) = sin t‬כאשר ]‪ ϕ : [0, π/2] → [0, 1‬גזירה ברציפות‬
‫כמובן ו ‪ . ϕ0 (t) = cos t‬ממשפט שינוי המשתנה נקבל‬
‫‪w‬‬
‫‪π‬‬
‫‪4‬‬
‫‪x‬‬
‫‪π/2‬‬
‫= ‪cos2 tdt‬‬
‫‪0‬‬
‫ולכן נתון על ידי האינטגרל‬
‫‪p‬‬
‫= ‪1 − sin2 t cos tdt‬‬
‫‪x‬‬
‫‪π/2‬‬
‫√‪x‬‬
‫‪1‬‬
‫=‬
‫‪x2 dx‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1−‬‬
‫‪0‬‬
‫כאשר את השוויון האחרון ניתן לקבל או בעזרת נוסחא וביצוע אינטגרציה‬
‫)‪1 + cos(2t‬‬
‫‪t 1‬‬
‫‪π/2‬‬
‫‪dt = [ + sin(2t)]|0 = π/4‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2 4‬‬
‫‪y‬‬
‫‪x‬‬
‫‪π/2‬‬
‫‪π/2‬‬
‫‪2‬‬
‫= ‪cos tdt‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪y‬‬
‫או‪ ,‬מה שיותר אלגנטי‪ ,‬השתכנעות )על ידי שינוי משתנה דומה( שמתקיים ‪sin2 tdt‬‬
‫‪π/2‬‬
‫‪π/2‬‬
‫ואז סכימה של שניהם לקבלת ‪. 0 cos2 t + sin2 tdt = 0 1dt = π/2‬‬
‫‪31‬‬
‫‪x‬‬
‫‪y‬‬
‫‪π/2‬‬
‫‪0‬‬
‫= ‪cos2 tdt‬‬
‫‪y‬‬
‫‪π/2‬‬
‫‪0‬‬
‫כעת נראה שימוש נוסף לאינטגרציה בחלקים‪ ,‬יותר "תיאורטי"‪ ,‬שהוא גם רמז לדברים שנראה בהמשך‬
‫בהקשר של טורי פונקציות וטורי פורייה‪.‬‬
‫טענה ‪] 3.63‬דעיכת מקדמי פורייה בהנתן גזירות[ תהי )]‪ f ∈ C 1 ([0, 2π‬ונסמן | ‪= sup[0,2π] |f 0‬‬
‫לכל ‪ n‬טבעי יתקיים‬
‫‪2πM‬‬
‫‪n‬‬
‫‪z‬‬
‫‪ .M‬אזי‬
‫‪2π‬‬
‫≤ |‪f (x) cos(nx)dx‬‬
‫‪0‬‬
‫|‬
‫הוכחה‪ :‬נשתמש בנסחא לאינטגרציה בחלקים על מנת לחשב‬
‫)‪sin(nx‬‬
‫‪n‬‬
‫‪z‬‬
‫‪2π‬‬
‫)‪f 0 (x‬‬
‫‪0‬‬
‫)‪sin(nx‬‬
‫‪=−‬‬
‫‪n‬‬
‫‪z‬‬
‫‪2π‬‬
‫)‪f 0 (x‬‬
‫‪0‬‬
‫‪sin(nx) 2π‬‬
‫‪]|0 −‬‬
‫‪n‬‬
‫‪z‬‬
‫‪2π‬‬
‫)‪f (x) cos(nx)dx = [f (x‬‬
‫‪0‬‬
‫וכעת נעריך את האינטגרל על פי ערך הפונקציה המקסימלי בקטע כפול אורך הקטע‪.‬‬
‫‪ 3.3.8‬נסחת ‪Wallis‬‬
‫נציג שימוש נוסף לאינטגרציה בחלקים‪.‬‬
‫הנסחא עצמה היא כדלהלן‬
‫‪π‬‬
‫‪2 · 2 · 4 · 4 · 6 · 6 · · · (2n − 2) · (2n − 2) · 2n‬‬
‫=‬
‫∞→‪n‬‬
‫)‪1 · 3 · 3 · 5 · 5 · · · (2n − 1) · (2n − 1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪lim‬‬
‫על מנת להוכיח אותה נצטרך טענת עזר‬
‫טענה ‪ 3.64‬נסמן‬
‫‪z‬‬
‫‪π/2‬‬
‫‪(cos(x))m dx = Im‬‬
‫‪z‬‬
‫‪π/2‬‬
‫= ‪(sin(x))m dx‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫מתקיים‬
‫‪m even‬‬
‫‪m odd‬‬
‫‪‬‬
‫!!)‪ π · (m−1‬‬
‫!!‪m‬‬
‫‪Im = 2‬‬
‫!!)‪(m−1‬‬
‫‪‬‬
‫!!‪m‬‬
‫כאן השתמשנו בסימון !!‪ k‬למכפלה · · · )‪ k(k − 2)(k − 4‬שיש בה ]‪[k/2‬‬
‫איברים‪.‬‬
‫הוכחה‪ :‬ראשית נמצא נסחא רקורסיבית לאינטגרל‪ ,‬תוך שימוש באינטגרציה בחלקים‪.‬‬
‫‪z‬‬
‫‪π/2‬‬
‫‪(− cos(x))0 (sin(x))m−1 dx‬‬
‫‪m‬‬
‫= ‪(sin(x)) dx‬‬
‫‪0‬‬
‫"‬
‫‪0‬‬
‫‪(− cos(x)) (sin(x))m−1 dx‬‬
‫‪dx = (m − 1) z‬‬
‫{‬
‫|‬
‫‪z‬‬
‫‪π/2‬‬
‫‪0‬‬
‫‪−‬‬
‫‪(1 − (sin(x))2 )(sin(x))m−2 dx‬‬
‫‪0‬‬
‫=‬
‫‪0‬‬
‫‪π/2‬‬
‫‪= [ (− cos(x))(sin(x))m−1 ]0‬‬
‫‪0 + (m − 1) z‬‬
‫=‬
‫‪(m − 1)Im−2 − (m − 1)Im‬‬
‫=‬
‫‪π/2‬‬
‫‪m−2‬‬
‫‪z‬‬
‫‪π/2‬‬
‫‪π/2‬‬
‫‪2‬‬
‫))‪(cos(x)) (sin(x‬‬
‫‪0‬‬
‫‪Im‬‬
‫וקיבלנו לכן את הנסחא‬
‫‪=1‬‬
‫‪m−1‬‬
‫‪I‬‬
‫‪m m−2‬‬
‫= ‪ .Im‬נחשב את ‪I0 , I1‬‬
‫}‬
‫ישירות‬
‫‪π/2‬‬
‫‪π/2‬‬
‫‪sin(x)dx = [− cos(x)]0‬‬
‫}‬
‫‪π/2‬‬
‫‪(sin(x))0 dx = π/2‬‬
‫= ‪I1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫ונקבל לכן באינדוקציה את הנסח הכללית‪ :‬כשאר ‪m = 2n‬‬
‫)זוגי(‪,‬‬
‫‪m−1‬‬
‫‪m−1m−3‬‬
‫!!)‪(m − 1‬‬
‫‪(m − 1)!! π‬‬
‫= ‪Im−2‬‬
‫= · · · = ‪Im−4‬‬
‫= ‪I0‬‬
‫‪m‬‬
‫‪m m−2‬‬
‫!!‪m‬‬
‫‪m!! 2‬‬
‫וכאשר ‪) m = 2n − 1‬איזוגי(‪,‬‬
‫‪m−1‬‬
‫‪m−1m−3‬‬
‫!!)‪(m − 1‬‬
‫!!)‪(m − 1‬‬
‫= ‪Im−2‬‬
‫= · · · = ‪Im−4‬‬
‫= ‪I1‬‬
‫‪m‬‬
‫‪m m−2‬‬
‫!!‪m‬‬
‫!!‪m‬‬
‫כעת נפנה להוכחת נסחת ‪Wallis‬‬
‫= ‪I0‬‬
‫= ‪Im‬‬
‫= ‪Im‬‬
‫עצמה‪.‬‬
‫הוכחה‪] :‬של נסחת ואליס[ עבור ‪0 ≤ x ≤ π/2‬‬
‫מתקיים‬
‫‪(sin(x))2n+1 ≤ (sin(x))2n ≤ (sin(x))2n−1‬‬
‫ולכן גם לאחר אינטגרציה‬
‫}‬
‫‪π/2‬‬
‫‪(sin(x))2n−1 dx‬‬
‫‪0‬‬
‫לכל ‪> 1‬‬
‫}‬
‫‪π/2‬‬
‫≤ ‪(sin(x))2n dx‬‬
‫‪0‬‬
‫}‬
‫‪π/2‬‬
‫≤ ‪(sin(x))2n+1 dx‬‬
‫‪0‬‬
‫‪ .n‬יש לנו ערכים מדוייקים לאינטגרלים אלה‪ ,‬נציב אותם ונקבל אי שוויון‬
‫נחלק במקדם של ‪π/2‬‬
‫ונקבל‬
‫!!)‪(2n‬‬
‫‪(2n − 1)!! π‬‬
‫!!)‪(2n − 2‬‬
‫≤‬
‫≤‬
‫!!)‪(2n + 1‬‬
‫‪(2n)!! 2‬‬
‫!!)‪(2n − 1‬‬
‫‪π‬‬
‫‪≤ bn‬‬
‫‪2‬‬
‫≤ ‪an‬‬
‫כאשר‬
‫‬
‫‬
‫!!)‪(2n‬‬
‫‪1‬‬
‫!!)‪(2n‬‬
‫!!)‪(2n‬‬
‫=‬
‫!!)‪(2n − 1)!! (2n + 1‬‬
‫!!)‪2n + 1 (2n − 1‬‬
‫‬
‫‪2‬‬
‫!!)‪(2n‬‬
‫‪1‬‬
‫!!)‪(2n)!! (2n − 2‬‬
‫=‬
‫=‬
‫!!)‪(2n − 1)!! (2n − 1‬‬
‫‪(2n − 1)!! 2n‬‬
‫= ‪an‬‬
‫‪bn‬‬
‫נשים לב שההפרש בין אגף שמאל לאגף ימין מתקיים )תוך שמוש בנסחא הקודמת(‬
‫ ‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫!!)‪(2n‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1 π‬‬
‫‪1‬‬
‫‪−‬‬
‫≤‬
‫=‬
‫‪2n 2n + 1‬‬
‫)‪(2n − 1)!! 2n(2n + 1‬‬
‫‪2n 2‬‬
‫ ‪2‬‬
‫ולכן הסדרות שתיהן מתכנסות ל ‪ . π/2‬כעת נשים לב שהסדרה ‪bn‬‬
‫בניסוח נסחת ואליס‪.‬‬
‫סוף שיעור ‪5‬‬
‫‪33‬‬
‫!!)‪(2n‬‬
‫!!)‪(2n − 1‬‬
‫‬
‫= ‪b n − an‬‬
‫היא בדיוק הסדרה עליה הצהרנו‬
‫אינטגרל לא אמיתי‬
‫‪4‬‬
‫הקדמה והגדרה‬
‫‪4.1‬‬
‫√‬
‫ראינו כבר שבמובן מסוים "שטחי המלבנים מתחת ל ‪ "1/ x‬בקטע ]‪[0, 1‬‬
‫חסומים‪ ,‬אבל הדבר לא מתאים‬
‫להגדרה שלנו של אינטגרל רימן בקטע סגור )גם אם נמשיך את הפונקציה שרירותית ב־‪ 0‬היא לעולם לא‬
‫תהיה אינטגרבילית לפי הגדרתנו‪ ,‬שכן היא איננה חסומה(‪ .‬באופן דומה‪ ,‬אם נביט בפונקציה ‪1/x2‬‬
‫√‬
‫האינסופי )∞ ‪ [1,‬אף על פי שגיאומטרית מדובר באותו שטח כמו מתחת ל ‪ 1/ x‬בקטע ]‪ (0, 1‬ולכן‪ ,‬שוב‬
‫בקטע‬
‫לפי שיעור ההקדמה‪ ,‬השטח "אמור" להיות סופי‪ ,‬ההגדרות שלנו לא מאפשרות אינטגרציה של פונקציה‬
‫על קטע אינסופי‪ .‬את העוול הקטן הזה נתקן בפרק זה‪ .‬הרעיון הוא פשוט‪ .‬נצמצם את הפונקציה לקטע‬
‫סופי )או ־ במקרה הלא חסום ־ לקטע סגור בו היא חסומה(‪ ,‬נחשב את האינטגרל‪ ,‬ואז נשאיף את קצוות‬
‫הקטע לאינסוף )או‪ ,‬לקצה התחום שלה(‪ .‬כמובן‪ ,‬משום שמדובר בגבולות‪ ,‬יש לדרוש התכנסות‪ ,‬ולהזהר‬
‫קמעה‪.‬‬
‫הגדרה ‪] 4.1‬כשהקטע אינסופי מצד אחד[ תהי ‪ . f : [a, ∞) → R‬נניח שלכל )∞ ‪b ∈ (a,‬‬
‫‪b‬‬
‫)]‪ . f ∈ R([a, b‬אם קיים הגבול ‪ limb→∞ a f‬אז הוא נקרא האינטגרל הלא אמיתי של ‪ f‬בקטע )∞ ‪[a,‬‬
‫מתקיים‬
‫~‬
‫ומסמנים‬
‫‪f‬‬
‫‬
‫∞‬
‫= ‪f (x)dx‬‬
‫‪a‬‬
‫‬
‫∞‬
‫‪a‬‬
‫אם הגבול הוא סופי נאמר שהאינטגרל מתכנס‪.‬‬
‫הערה ‪ 4.2‬בדומה‪ ,‬נגדיר את ‪g(x)dx‬‬
‫~‬
‫‪a‬‬
‫∞‪−‬‬
‫עבור ‪: (−∞, a] → R‬‬
‫‪.g‬‬
‫דוגמאות‪:‬‬
‫€‬
‫‬
‫‬
‫‪N‬‬
‫‪−N‬‬
‫‪e−x dx = lim [−e−x ]N‬‬
‫‪=1‬‬
‫‪0 = lim 1 − e‬‬
‫∞→ ‪N‬‬
‫‪e dx = lim‬‬
‫∞→ ‪N‬‬
‫‪0‬‬
‫∞→ ‪N‬‬
‫עבור ‪α 6= 1‬‬
‫‪‬‬
‫‬
‫‬
‫∞‪+‬‬
‫‪α<1‬‬
‫‪x−α+1 N‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪N 1−α‬‬
‫‪dx‬‬
‫=‬
‫‪lim‬‬
‫[‬
‫=‬
‫‪lim‬‬
‫‪−‬‬
‫]‬
‫=‬
‫‪1‬‬
‫‪N →∞ −α + 1‬‬
‫‪N →∞ 1 − α‬‬
‫‪xα‬‬
‫‪1−α  1‬‬
‫‪α>1‬‬
‫‪α−1‬‬
‫€‬
‫עבור ‪α = 1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪dx = lim [ln x]N‬‬
‫∞‪1 = lim ln(N ) = +‬‬
‫∞→ ‪N‬‬
‫∞→ ‪N‬‬
‫‪x‬‬
‫‚‬
‫‪−x‬‬
‫‬
‫‪N‬‬
‫‪1‬‬
‫∞‬
‫‪0‬‬
‫‬
‫‪N‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪dx = lim‬‬
‫∞→ ‪N‬‬
‫‪xα‬‬
‫‪1‬‬
‫‪dx = lim‬‬
‫∞→ ‪N‬‬
‫‪x‬‬
‫‬
‫∞‬
‫‪1‬‬
‫‬
‫∞‬
‫‪1‬‬
‫הגדרה ‪] 4.3‬כשהקטע דו־אינסופי[ תהי ‪ . f : R → R‬נניח שלכל ‪ a < b ∈ R‬מתקיים )]‪f ∈ R([a, b‬‬
‫נאמר שהאינטגרל הדו־אינסופי מתכנס אם יש לפונקציה אינטגרל לא־אמיתי בקטעים )∞ ‪ [0,‬ו־ ]‪(−∞, 0‬‬
‫והם סופיים‪ ,‬או אינסופיים אך לא אחד ∞‪ +‬והשני ∞‪ .−‬נגדיר‬
‫‪.‬‬
‫ƒ‬
‫‪f (x)dx‬‬
‫∞‬
‫ƒ‬
‫ƒ‬
‫‪0‬‬
‫‪f (x)dx +‬‬
‫‪0‬‬
‫= ‪f (x)dx‬‬
‫∞‪−‬‬
‫∞‬
‫∞‪−‬‬
‫„‬
‫‪N‬‬
‫‪−M‬‬
‫הערה ‪ 4.4‬שימו לב שהדבר שקול לדרוש את קיום הגבול ‪f (x)dx‬‬
‫‪N‬‬
‫לקיום ‪ limN →∞ −N f (x)dx‬שיכול להתכנס גם אם הגבול הכפול איננו מתכנס )חישבו על סינוס!(‬
‫„‬
‫דוגמא‪:‬‬
‫ƒ‬
‫ƒ‬
‫‪0‬‬
‫∞→ ‪limN →∞,M‬‬
‫∞‪+‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪dx‬‬
‫‪+‬‬
‫‪dx‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1 + x2‬‬
‫‪−∞ 1 + x‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪M‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪dx‬‬
‫‪+‬‬
‫‪lim‬‬
‫‪dx‬‬
‫‪= lim‬‬
‫‪2‬‬
‫‪N →∞ −N 1 + x‬‬
‫‪M →∞ 0‬‬
‫‪1 + x2‬‬
‫‪= lim [arctan x]0−N + lim [arctan x]M‬‬
‫‪0‬‬
‫ƒ‬
‫ƒ‬
‫∞→ ‪N‬‬
‫∞→ ‪M‬‬
‫‪lim − arctan(−N ) + lim arctan M = π‬‬
‫∞→ ‪N‬‬
‫∞→ ‪M‬‬
‫‪1‬‬
‫= ‪dx‬‬
‫‪1 + x2‬‬
‫וזה אינו שקול‬
‫ƒ‬
‫∞‬
‫∞‪−‬‬
‫=‬
‫שאלות למחשבה‪ :‬האם כדי שהאינטגרל יתכנס צריך שהפונקציה תשאף ל־‪ ?0‬תהיה חסומה?‬
‫הגדרה ‪] 4.5‬כשהקטע פתוח ו‪/‬או הפונקציה לא חסומה[ תהי ‪ f : (a, b] → R‬ונניח שלכל ‪a < c < b‬‬
‫מתקיים )]‪ .f ∈ R([c, b‬נגדיר‪ ,‬במידה והגבול קיים‪,‬‬
‫ƒ‬
‫ƒ‬
‫‪b‬‬
‫‪f (x)dx‬‬
‫‪r‬‬
‫ƒ‬
‫‪b‬‬
‫‪f (x)dx = lim+‬‬
‫‪r→a‬‬
‫‪a+ε‬‬
‫‪b‬‬
‫‪f (x)dx = lim+‬‬
‫‪ε→0‬‬
‫‪a‬‬
‫אם הגבול סופי‪ ,‬נאמר שהאינטגרל מתכנס‪ .‬בדומה נגדיר עבור ‪: [a, b) → R‬‬
‫‪.f‬‬
‫דוגמאות‪:‬‬
‫ƒ‬
‫ƒ‬
‫‪1‬‬
‫‪ln(x)dx = lim+ [x ln x − x]1r = −1 − lim+ (r ln r − r) = −1‬‬
‫‪r→0‬‬
‫…‬
‫‪r→0‬‬
‫‪r‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ln(x)dx = lim+‬‬
‫‪r→0‬‬
‫עבור ‪α 6= 1‬‬
‫‪α<1‬‬
‫‪α>1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪1−α‬‬
‫‪x‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫= ‪]1r‬‬
‫‪[1 − lim+ r1−α ] = 1−α‬‬
‫[ ‪dx = lim+‬‬
‫‪α‬‬
‫∞‪+‬‬
‫‪r→0 1 − α‬‬
‫‪r→0‬‬
‫‪x‬‬
‫‪1−α‬‬
‫‪35‬‬
‫ƒ‬
‫‪1‬‬
‫‪r‬‬
‫‪lim+‬‬
‫‪r→0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫= ‪dx‬‬
‫‪xα‬‬
‫ƒ‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫†‬
‫ועבור ‪α = 1‬‬
‫‪1‬‬
‫∞‪dx = lim+ [ln x]1r = lim+ − ln r = +‬‬
‫‪r→0‬‬
‫‪r→0‬‬
‫‪x‬‬
‫במשפט‹Š‰ˆ‬
‫‡‬
‫‪1‬‬
‫‪r‬‬
‫‪1‬‬
‫‪dx = lim+‬‬
‫‪r→0‬‬
‫‪x‬‬
‫‡‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫הערה ‪ 4.6‬נעיר שכאשר הפונקציה אינטגרבילית‪ ,‬המושגים מזדהים בגלל רציפות האינטגרל שהוכחה‬
‫‪ .‬לכן אנחנו משתמשים גם באותו סימון עבור האינטגרל הרגיל ועבור הלא אמיתי‪.‬‬
‫הערה נוספת היא שעל מנת להיות אינטגרבילית במובן "לא אמיתי" )ואפילו שהאינטגרל יתכנס למספר‬
‫סופי( אין צורך להיות חסומה‪ ,‬כפי שמעידות הדוגמאות‪ .‬למעשה‪ ,‬זה המקרה היחיד שבו האינטגרל הלא‬
‫רגילה בקטע כולו לפי משפטŒ‰ˆ‬
‫אמיתי הזה רלוונטי שכן אם יש חסימות ויש אינטגרביליות על כל תת קטע‪ ,‬ממילא יש אינטגרביליות‬
‫‪4.2‬‬
‫‪.‬‬
‫משפטים בסיסיים‬
‫רב המשפטים שתקפים לאינטגרלים רגילים תקפים גם כאן‪ ,‬וההוכחות זה סה"כ לקחת גבול במשפטים‬
‫שכבר הוכחנו‪ .‬לשם פשטות בכתיבה‪ ,‬נביט ב ‪ f : [a, ω) → R‬כאשר ‪ω‬‬
‫יכול להיות מספר סופי או ∞‪.+‬‬
‫‪ .1‬ניוטון לייבניץ‪ f, F : [a, ω) → R :‬ונניח שלכל ‪ b < ω‬מתקיים )]‪∈ R([a, b‬‬
‫‪ a ≤ x < ω‬מתקיים )‪ .F 0 (x) = f (x‬אזי‬
‫‪ .f‬נניח גם שלכל‬
‫‡‬
‫‪ω‬‬
‫)‪f (x)dx = lim F (b) − F (a‬‬
‫‪b→ω‬‬
‫‪a‬‬
‫ההוכחה היא פשוט לעבור על ההגדרות ולהשתמש במשפט ניוטון לייבניץ על כל קטע ]‪.[a, b‬‬
‫‪ .2‬ליניאריות‪ :‬באותו אופן‪ ,‬יהיו ‪ f, g : [a, ω) → R‬ו ‪ α, β ∈ R‬ונניח )]‪ f, g ∈ R([a, b‬לכל )‪∈ (a, ω‬‬
‫נניח גם ששני האינטגרלים הלא אמיתיים )הן של ‪ f‬והן של ‪ (g‬בקטע ]‪ [a, ω‬מתכנסים‪ .‬אזי‬
‫‡‬
‫‪ω‬‬
‫‪g‬‬
‫‡‬
‫‪ω‬‬
‫‪f +β‬‬
‫‪a‬‬
‫‡‬
‫‪ω‬‬
‫‪(αf + βg) = α‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a‬‬
‫‪ .3‬ליניאריות נוספת‪ :‬תהי ‪ f : [a, ω) → R‬ונניח שלכל ‪ b < ω‬מתקיים )]‪f ∈ R([a, b‬‬
‫)‪ c ∈ (a, ω‬מתקיים‬
‫‡‬
‫‡‬
‫‪ω‬‬
‫‪f+‬‬
‫‪f‬‬
‫‪ .‬אזי לכל‬
‫‡‬
‫‪c‬‬
‫‪c‬‬
‫‪.b‬‬
‫‪ω‬‬
‫=‪f‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a‬‬
‫במובן החזק‪ ,‬זאת אומרת שאגף ימין קיים אם ורק אם אגף שמאל קיים‪ ,‬והוא מתכנס אם ורק‬
‫אם אגף שמאל מתכנס‪ .‬ההוכחה‪ ,‬שוב‪ ,‬מיידית על פי ההגדרות והמשפט על איחד של קטעים‬
‫לאינטגרלים רגילים‪.‬‬
‫‪36‬‬
‫‪ .4‬מונוטוניות‪ :‬תהיינה ‪ f ≤ g : [a, ω) → R‬ונניח )]‪ f, g ∈ R([a, b‬לכל )‪∈ (a, ω‬‬
‫האינטגרלים קיימים‪ ,‬מתקיים‬
‫Ž‬
‫‪ω‬‬
‫‪g‬‬
‫‪a‬‬
‫‪ .b‬אזי‪ ,‬אם שני‬
‫Ž‬
‫‪ω‬‬
‫≤‪f‬‬
‫‪a‬‬
‫‪ .5‬אינטגרציה בחלקים‪ :‬גם שיטות האינטגרציה הרגילות עובדות‪ ,‬רק צריך לשים לב שהכל מוגדר‬
‫באמת כמו שצריך‪ .‬נניח ש ‪ , f, g : [a, ω) → R‬הן גזירות‪ ,‬ונגזרותיהם אינטגרביליות ב ]‪[a, b‬‬
‫)‪ .b ∈ (a, ω‬אז לכל ‪ b‬כזה יתקיים‬
‫Ž‬
‫Ž‬
‫‪b‬‬
‫‪f 0g‬‬
‫‪a‬‬
‫לכל‬
‫‪b‬‬
‫‪−‬‬
‫‪f g|ba‬‬
‫‪0‬‬
‫= ‪fg‬‬
‫‪a‬‬
‫ולכן בגבול נקבל שאם בביטוי הבא שני האינטגרלים והגבול כולם מתכנסים מתקיים‬
‫Ž‬
‫‪ω‬‬
‫‪f 0g‬‬
‫‪a‬‬
‫Ž‬
‫‪ω‬‬
‫‪0‬‬
‫‪f g = lim f (b)g(b) − f (a)g(a) −‬‬
‫‪b→ω‬‬
‫‪a‬‬
‫‪ .6‬שינוי משתנה‪ :‬כעת נניח לשם פשטות ששינוי המשתנה ‪ϕ‬‬
‫של אוסילאציות כל מיני‪ .‬תהי ‪ f : [a, ω) → R‬ונניח שלכל ‪ b < ω‬מתקיים )]‪ . f ∈ R([a, b‬תהי‬
‫)‪ ϕ : [a, ω) → [c, η‬גזירה ברציפות‪ ,‬עולה‪ ,‬וכך ש ‪ .limb→ω ϕ(b) = η ,ϕ(a) = c‬מתקיים‪ ,‬אם שני‬
‫הוא עולה‪ ,‬להימנע ממצבים פתולוגיים‬
‫הצדדים מתכנסים‪ ,‬אז‬
‫Ž‬
‫Ž‬
‫)‪ϕ(b‬‬
‫‪f (t)dt‬‬
‫‪b‬‬
‫‪0‬‬
‫‪f (ϕ(s))ϕ (s)ds = lim‬‬
‫‪c‬‬
‫‪b→ω‬‬
‫Ž‬
‫‪η‬‬
‫‪f (t)dt‬‬
‫Ž‬
‫‪a‬‬
‫‪ω‬‬
‫‪b→ω‬‬
‫‪= lim‬‬
‫‪c‬‬
‫‪c‬‬
‫יתר על כן‪ ,‬אם צד אחד מתכנס‪ ,‬אז גם השני‪.‬‬
‫סוף שיעור ‪6‬‬
‫‪37‬‬
‫‪0‬‬
‫‪f (ϕ(s))ϕ (s)ds = lim‬‬
‫‪d‬‬
‫= ‪f (t)dt‬‬
‫Ž‬
‫‪d→η‬‬
‫‪a‬‬
‫קריטריונים להתכנסות‬
‫‪4.3‬‬
‫כאן הטענות מזכירות מאוד טענות שראיתם על טורים מספריים‪ .‬משום שנעסוק בקרוב בטורי פונקציות‪,‬‬
‫התזכורת חשובה לנו‪ .‬חלק מתוצאות הפרק מסוכמות בטבלה הבאה‬
‫אינטגרלים לא אמיתיים‬
‫טורים מספריים‬
‫בהחלט‬
‫‪P‬‬
‫‪∀ε∃M ∀n > m > M, | nm ak | < ε‬‬
‫‪P‬‬
‫‪P‬‬
‫∞ < ‪an‬‬
‫⇒= ∞ < | ‪|an‬‬
‫שינוי מקומי‬
‫שינוי מספר סופי של אברים לא משנה‬
‫קושי‬
‫‪ f (x)| < ε‬‬
‫‪∃ f‬‬
‫‪b2‬‬
‫‪b1‬‬
‫| ‪∀ε∃B∀ω > b2 > b1 > B,‬‬
‫⇒=‬
‫∞ < | ‪|f‬‬
‫∃‬
‫שינוי בתחום סופי וסגור לא משנה‬
‫לחיוביים‪:‬‬
‫חסימות ה"קדומה"‬
‫התכנסות שקולה לחסימות של‬
‫‪PN‬‬
‫‪an‬‬
‫‪P‬‬
‫‪P‬‬
‫≤ ‪0 ≤ an ≤ bn =⇒ an‬‬
‫‪bn‬‬
‫‪P 1 < ∞ s > 1‬‬
‫‪P1‬‬
‫=‬
‫∞‬
‫‪n‬‬
‫‪ns ‬‬
‫‪=∞ s≤1‬‬
‫‪n=1‬‬
‫השוואה‬
‫דוגמאות דומות‬
‫אבל\דיריכלה‬
‫ועוד‪...‬‬
‫‪4.3.1‬‬
‫התכנסות שקולה לחסימות של‬
‫הפונקציה ‪ f (t)dt‬‬
‫ ⇒= ‪0 ≤ f ≤ g‬‬
‫‪f ≤ g‬‬
‫‪‬‬
‫∞ <‪ dx = ∞  dx ‬‬
‫‪x‬‬
‫‪a‬‬
‫= ‪SN‬‬
‫‪s>1‬‬
‫‪s≤1‬‬
‫∞=‬
‫‪∞ 1‬‬
‫‪1 xs‬‬
‫= )‪F (x‬‬
‫‪∞ 1‬‬
‫‪1 x‬‬
‫קושי‬
‫טענה ‪] 4.7‬קריטריון קושי להתכנסות אינטגרל לא אמיתי[ תהי ‪ f : [a, ω) → R‬ונניח שלכל )‪b ∈ (a, ω‬‬
‫‪ω‬‬
‫מתקיים )]‪ . f ∈ R([a, b‬אזי ‪ a f‬מתכנס )למספר סופי( אם ורק אם לכל ‪ ε > 0‬קיים )‪ B ∈ (a, ω‬כך‬
‫‪b2‬‬
‫שלכל )‪ b1 , b2 ∈ [B, ω‬מתקיים ‪.| b f (x)dx| < ε‬‬
‫‪1‬‬
‫‬
‫‬
‫הוכחה‪ :‬זה פשוט קריטריון קושי לקיום גבול של פונקציה כאשר ‪ b → ω‬של הפונקציה = )‪F (b‬‬
‫‪b‬‬
‫‪ . a f (x)dx‬אם הדבר מבלבל אתכם ־ הפרידו לשני מקרים‪ ω < ∞ ,‬ואז מדובר בגבול משמאל של ‪F‬‬
‫בנקודה ‪ ω‬כך שאתם כנראה רגילים לסמן ‪ ,B = ω − δ‬והמקרה האינסופי‪ ,‬גבול של פונקציה ‪ F‬כאשר‬
‫∞ → ‪ .x‬אם לא נתקלתם בקריטריון קושי לגבולות של פונקציות ־ חישבו על הגבול לפי סדרות ואז‬
‫‬
‫נסחו והוכיחו קריטריון שכזה‪.‬‬
‫‪4.3.2‬‬
‫התכנסות בהחלט‬
‫הגדרה ‪] 4.8‬התכנסות בהחלט[ תהי ‪ f : [a, ω) → R‬ונניח שלכל ‪ b < ω‬מתקיים )]‪f ∈ R([a, b‬‬
‫‪ω‬‬
‫‪ω‬‬
‫ש ‪ a f‬מתכנס בהחלט אם | ‪ a |f‬מתכנס )לערך סופי(‪ .‬כאשר האינטגרל מתכנס אבל לא בהחלט‪,‬‬
‫‬
‫‪ .‬נאמר‬
‫‬
‫אומרים שהוא "מתכנס בתנאי"‪.‬‬
‫‪38‬‬
‫טענה ‪] 4.9‬התכנסות בהחלט גוררת התכנסות[ תהי ‪ f : [a, ω) → R‬ונניח שלכל ‪b < ω‬‬
‫‪ω‬‬
‫‪ω‬‬
‫‪ω‬‬
‫)]‪ . f ∈ R([a, b‬נניח ש ‪ a f‬מתכנס בהחלט‪ .‬אזי הוא מתכנס ומתקיים | ‪.| a f | ≤ a |f‬‬
‫‬
‫הוכחה‪ :‬נשתמש בקריטריון קושי של טענה”’“‪ ,‬ובאי השוויון מטענה”“’‘‬
‫‪ B‬על פי קריטריון קושי עבור | ‪|f‬‬
‫‬
‫‬
‫‪ .‬אכן‪ ,‬בהנתן ‪ε > 0‬‬
‫מתקיים‬
‫נבחר את‬
‫ואז יתקיים‬
‫•‬
‫‪b2‬‬
‫)‪∀b1 , b2 ∈ [B, ω‬‬
‫‪|f | ≤ ε‬‬
‫‪b1‬‬
‫•‬
‫‪b2‬‬
‫≤ |‪f‬‬
‫‪b1‬‬
‫|‬
‫ומקריטריון קושי גם האינטגרל ללא ערך מוחלט מתכנס‪ .‬כעת את אי השיוויון נקבל לכל ‪b < ω‬‬
‫וניקח‬
‫גבול של אי שוויונים‪.‬‬
‫הערה ‪ 4.10‬נשים לב שאם ‪f ≥ 0‬‬
‫אינטגרבילית בכל תת קטע של )‪ ,[a, ω‬אז האינטגרל הלא אמיתי‬
‫קיים‪ ,‬והשאלה היחידה היא האם השאיםה שלו היא למספר סופי או ל ∞‪+‬‬
‫־ בדיוק כמו בעולם הטורים‬
‫החיוביים‪ .‬זאת אומרת שהתכנסות בהחלט היא עניין של סופיות‪ ,‬ולא של "קיום גבול כשייתכנו ביטולים"‬
‫־ עניין פשוט יותר ־ קונספטואלית ויישומית כאחד‪.‬‬
‫‪4.3.3‬‬
‫פונקציות חיוביות ‪ :‬חסימות הקדומה‪ ,‬השוואה‪ ,‬השוואה לטורים‬
‫טענה ‪ 4.11‬תהי ‪ 0 ≤ f : [a, ω) → R‬ונניח שלכל ‪ b < ω‬מתקיים )]‪f ∈ R([a, b‬‬
‫‪b‬‬
‫ורק אם הפונקציה ‪ F (b) = a f (x)dx‬חסומה על )‪.[a, ω‬‬
‫‬
‫‪.‬‬
‫אזי ∞ < ‪ f‬‬
‫‪ω‬‬
‫‪a‬‬
‫אם‬
‫הוכחה‪ :‬זו פונקציה עולה‪ ,‬ולכן יש לה גבול סופי אם ורק אם היא חסומה‪.‬‬
‫מסקנה ‪] 4.12‬השוואת אינטגרלים[ תהיינה ‪ f, g : [a, ω) → R‬ונניח שלכל ‪ b < ω‬מתקיים ∈ ‪f, g‬‬
‫‪ω‬‬
‫‪ω‬‬
‫‪ω‬‬
‫)]‪ . R([a, b‬נניח גם ‪ .0 ≤ f ≤ g‬אם ∞ < ‪ a g‬אז גם ∞ < ‪ a f‬ולהפך‪ ,‬אם ∞ = ‪ a f‬אז גם‬
‫‪ω‬‬
‫∞=‪. a g‬‬
‫‬
‫‬
‫הוכחה‪:‬‬
‫‬
‫‬
‫זה נובע ישירות מהעובדה ש ‪ F ≤ G‬עבור ‪ F (b) =  f (x)dx‬ו ‪ g(x)dx‬‬
‫‪b‬‬
‫‪a‬‬
‫‪b‬‬
‫‪a‬‬
‫= )‪G(b‬‬
‫והטענה‬
‫הקודמת‪.‬‬
‫דוגמא‪ :‬מתקיים‬
‫‪2‬‬
‫מתקיים ‪> e−x‬‬
‫‬
‫√‬
‫ )למעשה יש לו ערך יפה‪.( π/2 :‬‬
‫∞‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪√ 1‬‬
‫‪≤ √1+x‬‬
‫‪ 1+x‬ולכן ∞ = ‪dx‬‬
‫‪2 ≤ x‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1+x2‬‬
‫‪∞ −x2‬‬
‫‪ e−x‬בקטע )∞ ‪ [1,‬ולכן ∞ < ‪e dx‬‬
‫‪0‬‬
‫‪.‬‬
‫משפט ‪] 4.13‬השוואה לטורים[ תהי ‪ f : [1, ∞) → R‬יורדת‪≥ 0 ,‬‬
‫∞‪P‬‬
‫∞‬
‫מתכנס‪ .‬יתר על כן‪ ,‬מתקיים‬
‫∞ < ‪ 1 f‬אם ורק אם הטור )‪n=1 f (n‬‬
‫‪.f‬‬
‫‬
‫)‪f (n‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫‪n=1‬‬
‫≤‪f‬‬
‫•‬
‫∞‬
‫‪1‬‬
‫–‘‬
‫≤ )‪f (n‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫‪n=2‬‬
‫אזי האינטגרל הלא אמיתי‬
‫איור ‪ :13‬השוואת טור ואינטגרל‬
‫הוכחה‪ :‬מהנתונים ‪f‬‬
‫‪n+1‬‬
‫‪) f (n + 1) ≤ n‬משום שלכל ‪ t‬בקטע )‪ f (n + 1) ≤ f (t) ≤ f (n‬ואז עושים אינטגרל על‬
‫)‪f ≤ f (n‬‬
‫הקטע שהוא מאורך ‪ (1‬ולסכום על פני ‪ .n‬מדובר בטורים חיוביים ולכן יש קריטריון השוואה לטורים‪.‬‬
‫קיבלנו שלכל ‪ N ∈ N‬מתקיים‬
‫—‬
‫אינטגרבילית בכל תת קטע סגור‪ .‬אפשר להסתכל גרפית‪ ,‬ואפשר פשוט לרשום‬
‫)‪f (n‬‬
‫‪N‬‬
‫‪X‬‬
‫‪n=1‬‬
‫˜‬
‫‪N +1‬‬
‫≤ ‪f (t)dt‬‬
‫‪1‬‬
‫≤ )‪f (n‬‬
‫‪N‬‬
‫‪X‬‬
‫‪n=2‬‬
‫—‬
‫‪N‬‬
‫‪1‬‬
‫‪P‬‬
‫∞ מתכנס‪ ,‬משום שהטורים חיוביים‪ ,‬גם הגבול ‪f (t)dt‬‬
‫במילים אחרות אם הטור )‪n=1 f (n‬‬
‫‪x‬‬
‫מתכנס )כאן הגבול רץ רק על טבעיים( ובפרט הפונקציה העולה ‪ F (x) = 1 f (t)dt‬חסומה ולכן‬
‫—‬
‫∞→ ‪limN‬‬
‫האינטגרל הלא אמיתי מתכנס‪ .‬להפך‪ ,‬אם האינטגרל הלא אמיתי מתכנס אז בפרט הסכומים החלקיים‬
‫)‪f (n‬‬
‫‪PN‬‬
‫‪n=1‬‬
‫= ‪SN‬‬
‫חסומים על ידי אותו חסם ולכן הטור מתכנס‪.‬‬
‫המשפט הזה מאוד שימושי‪ ,‬למשל זו דרך ישירה לראות ש ∞ =‬
‫הבה נשחק מעט עם הדוגמא של פונקציית זטה של רימן‪.‬‬
‫הגדרה ‪ 4.14‬עבור ‪s > 1‬‬
‫∞‪P‬‬
‫‪1‬‬
‫‪n=1 n‬‬
‫שכן ∞ =‬
‫—‬
‫‪∞ 1‬‬
‫‪dx‬‬
‫‪1 x‬‬
‫‪.‬‬
‫נגדיר את‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ns‬‬
‫‪n=1‬‬
‫= )‪ζ(s‬‬
‫זהו מספר סופי מהקריטריון הקודם‪) .‬רימן מגדיר המשכה שלה לכל המישור המרוכב‪ ,‬אבל בזה לא‬
‫נעסוק בקורס שלנו ־ אם כי מי שימצא את כל האפסים של המשכה זו יזכה במיליון דולרים ובתהילת‬
‫עולם(‪.‬‬
‫טענה ‪ 4.15‬הגבול של הפונקציה מימין ב ‪s = 1‬‬
‫מתבדר כמו‬
‫‪1‬‬
‫‪s−1‬‬
‫‪lim ζ(s)(s − 1) = 1‬‬
‫‪s→1+‬‬
‫š™‬
‫דהיינו‬
‫הוכחה‪ :‬יהי ‪s > 1‬‬
‫אזי על פי קריטריון ההשוואה‬
‫‪1‬‬
‫‪s−1‬‬
‫‪x−s dx = 1 +‬‬
‫›‬
‫∞‬
‫‪1‬‬
‫‪n−s ≤ 1 +‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫‪n=1‬‬
‫≤ ‪x−s dx‬‬
‫›‬
‫∞‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫=‬
‫‪s−1‬‬
‫ונכפול את שני הצדדים ב ‪ s − 1‬כדי לקבל ‪ 1 ≤ (s − 1)ζ(s) ≤ s‬וכעת נשאיף את ‪→ 1‬‬
‫‪.s‬‬
‫תרגיל למחשבה‪:‬‬
‫!‬
‫‪N‬‬
‫‪X‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪lim+ [ζ(s) −‬‬
‫‪] = γ = lim‬‬
‫) ‪− ln(N‬‬
‫∞→ ‪N‬‬
‫‪s→1‬‬
‫‪s−1‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n=1‬‬
‫)ואם סיימתם לחשוב( פתרון התרגיל‪ :‬נבצע השוואה דומה לכל ‪ N‬ונקבל שעבור ‪s > 1‬‬
‫‪N 1−s‬‬
‫‪s−1‬‬
‫= ‪x−s dx‬‬
‫›‬
‫∞‬
‫‪N‬‬
‫≤ ‪n−s‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫‪n=N +1‬‬
‫‪−s‬‬
‫≤ ‪x dx‬‬
‫›‬
‫∞‬
‫‪N +1‬‬
‫מתקיים‬
‫‪(N + 1)1−s‬‬
‫=‬
‫‪s−1‬‬
‫כעת נביט בהפרש בין הטור האינסופי לסופי על מנת להעריך‬
‫!‬
‫‪1‬‬
‫‪−‬‬
‫‪s−1‬‬
‫‪−s‬‬
‫‪n‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫‪n=N +1‬‬
‫‪N‬‬
‫‪X‬‬
‫‪1‬‬
‫=‬
‫‪n−s +‬‬
‫‪ζ(s) −‬‬
‫‪s − 1 n=1‬‬
‫לפי האי שוויון למעלה נקבל‬
‫‬
‫‪N 1−s − 1‬‬
‫‪1−s‬‬
‫‬
‫‪N‬‬
‫‪X‬‬
‫‪1‬‬
‫‪≤ ζ(s) −‬‬
‫‪n−s +‬‬
‫≤‬
‫‪s − 1 n=1‬‬
‫‬
‫‪(N + 1)1−s − 1‬‬
‫‪1−s‬‬
‫‬
‫‪+‬‬
‫‪−s‬‬
‫‪n‬‬
‫‪N‬‬
‫‪X‬‬
‫‪n=1‬‬
‫וניקח בנפרד )עבור ‪ N‬קבוע( ‪ lim‬ו ‪ lim‬של החסם העליון והתחתון כאשר ‪s → 1+‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ lims→1+ [ s−1‬שכן זו הנגזרת של הפונקציה ‪ N −x‬בנקודה ‪ .0‬נקבל‬
‫‪( N s−1‬‬
‫) ‪− 1)] = − ln(N‬‬
‫‪ .‬נשתמש בכך ש‬
‫‪ 1−s‬‬
‫‬
‫‪ X‬‬
‫‪N‬‬
‫‪N‬‬
‫‪X‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪N‬‬
‫‪−s‬‬
‫‪≤ lim sup‬‬
‫‪n +‬‬
‫=‬
‫‪n−1 − ln(N ) =: aN‬‬
‫‪lim sup ζ(s) −‬‬
‫‪s−1‬‬
‫‪1−s‬‬
‫‪s→1+‬‬
‫‪s→1+ n=1‬‬
‫‪n=1‬‬
‫‬
‫‬
‫‪ X‬‬
‫‬
‫‪N‬‬
‫‪N‬‬
‫‪X‬‬
‫‪(N + 1)1−s − 1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪−s‬‬
‫‪lim inf‬‬
‫‪≥ lim inf‬‬
‫‪n +‬‬
‫=‬
‫‪n−1 − ln(N + 1) =: bN‬‬
‫‪ζ(s) −‬‬
‫‪+‬‬
‫‪+‬‬
‫‪s→1‬‬
‫‪s→1‬‬
‫‪s−1‬‬
‫‪1−s‬‬
‫‪n=1‬‬
‫‪n=1‬‬
‫‬
‫לאחר מכן ניקח גבול כאשר ∞ → ‪ .n‬נקבל ‪bN ≤ C1 ≤ C2 ≤ aN ≤ bN + ln NN+1‬‬
‫מתכנסות‪ ,‬לאותו גבול‪ ,‬השווה גם ל ‪.C1 = C2‬‬
‫‪4.3.4‬‬
‫ובפרט שתי הסדרות‬
‫למכפלה‪ :‬קריטריון אבל ודיריכלה‬
‫בתת פרק זה אנו דנים בהתכנסות של האינטגרל הלא אמיתי ‪œ f g‬‬
‫בהחלט‪ ,‬אז למשל התנאים ש ‪ f‬חסומה ו ∞ < |‪ œ|g‬מספיקים כמובן‪.‬‬
‫‪ω‬‬
‫‪a‬‬
‫מסובכת‪ ,‬כמו במקרה של טורים מספריים‪ .‬הנה מקרה לדוגמא‬
‫)‪sin(x‬‬
‫‪dx‬‬
‫‪x‬‬
‫‪41‬‬
‫›‬
‫∞‬
‫‪1‬‬
‫‪ .‬אם היינו דנים "רק" בהתכנסות‬
‫התכנסות בתנאי היא יותר‬
‫‬
‫)‪∞ sin(x‬‬
‫‪| x |dx‬‬
‫‪1‬‬
‫כאן ברור ש ∞ =‬
‫חלקי בו )‪ sin(x‬חסומה מלמטה על ידי‪ ,‬נאמר‪ ,1/2 ,‬ואז להשתמש בכך ש‬
‫משום שניתן להעריך את האינטגרל מלמטה על ידי אינטגרל על תחום‬
‫‪−1‬‬
‫‪x‬‬
‫מתבדר גם בתחום‬
‫חלקי זה‪.‬‬
‫מצד שני‪ ,‬אינטגרציה בחלקים מראה שהאינטגרל כן מתכנס בתנאי‬
‫‪1‬‬
‫‪dx‬‬
‫‪x2‬‬
‫ž‬
‫)‪cos(x‬‬
‫∞‬
‫‪1‬‬
‫‪sin x‬‬
‫‪1‬‬
‫‪−‬‬
‫∞|) )‪dx = (− cos(x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x 1‬‬
‫ž‬
‫∞‬
‫‪1‬‬
‫שכן הביטוי הראשון מתכנס בהחלט‪ ,‬ולביטוי הראשון יש משמעות )הגבול סופי(‪ .‬העובדה שמותר לעשות‬
‫"בחלקים" מיידית‪ ,‬שכן את החישוב כולו ניתן לבצע עבור אינטגרל עד ‪N‬‬
‫ורק אז להשאיף אותו ל ∞‪.‬‬
‫המקרה הפרטי הזה עובד גם באופן כללי יותר‪ ,‬וזה נקרא קריטריון אבל דיריכלה‪ ,‬שאת המקביל‬
‫אליו בטורים מספריים למדנו בסמסטר א )טוב להיזכר(‪.‬‬
‫משפט ‪] 4.16‬משפט אבל[ תהיינה ‪ . f, g : [a, ω) → R‬נניח ש ‪ f‬מונוטונית ו ‪g‬‬
‫)‪) f ∈ C 1 [a, ω‬גזירה ברציפות(‪.‬‬
‫‪ω‬‬
‫‪ω‬‬
‫נניח גם ש ‪ f‬חסומה‪ ,‬ו ∞ < ‪ . a g‬אזי ∞ < ‪. a f g‬‬
‫‬
‫רציפה‪ .‬נניח גם ש‬
‫‬
‫המשפט השני דומה מאוד‪ ,‬רק "מחליפים בו את התפקידים"‪.‬‬
‫משפט ‪] 4.17‬משפט דיריכלה[ תהיינה ‪ .f, g : [a, ω) → R‬נניח ש ‪ f‬מונוטונית ו ‪g‬‬
‫)‪) f ∈ C 1 [a, ω‬גזירה ברציפות(‪.‬‬
‫‪ω‬‬
‫‪x‬‬
‫נניח גם ש ‪ a g‬חסום כפונקציה של ‪ x‬וש ‪ . limx→ω f (x) = 0‬אזי ∞ < ‪. a f g‬‬
‫‬
‫‬
‫לפני ההוכחה נציין שלמשל מקבלים )נאמר על פי דיריכלה( התכנסות של‬
‫רציפה‪ .‬נניח גם ש‬
‫‬
‫)‪∞ sin(x‬‬
‫‪dx‬‬
‫‪x‬‬
‫‪1‬‬
‫ושל‬
‫‬
‫)‪∞ sin(x‬‬
‫‪dx‬‬
‫)‪1 ln(x‬‬
‫‪,‬‬
‫מיידית‪.‬‬
‫הוכחה‪] :‬הוכחת משפט אבל[ מהנתונים כולן אינטגרביליות בכל תת קטע סגור‪ .‬נראה שמתקיים‬
‫קריטריון קושי‪ .‬משימוש בקריטריון קושי עבור האינטגרל של ‪ g‬נקבל שיש ‪ B < ω‬כך שלכל ∈ ‪b1 , b2‬‬
‫‪b2‬‬
‫‪ε‬‬
‫)‪ [B, ω‬מתקיים‬
‫‪ | b g| < 2M‬כאשר ‪ M‬הוא החסם של | ‪ .|f‬נשתמש בלמה של בונה גרסא ‪) 2‬משפט‬
‫‪1‬‬
‫( שמבטיח קיום ‪ x0‬בין ‪ b1‬לבין ‪) b2‬ובפרט‪ ,‬גם הוא גדול מ ‪ (B‬כך ש‬
‫‬
‫‪Ÿ ¡¢‬‬
‫ž‬
‫‪b2‬‬
‫‪g| ≤ ε‬‬
‫‪x0‬‬
‫ž‬
‫‪x0‬‬
‫| ‪g| + M‬‬
‫‪b1‬‬
‫ž‬
‫ž‬
‫‪b2‬‬
‫| ‪g| ≤ M‬‬
‫‪x0‬‬
‫) ‪g + f (b2‬‬
‫‪b1‬‬
‫‪x0‬‬
‫ž‬
‫‪b2‬‬
‫) ‪f g| = |f (b1‬‬
‫‪b1‬‬
‫|‬
‫הוכחה‪] :‬הוכחת משפט דיריכלה[ מהנתונים כולן אינטגרביליות בכל תת קטע סגור‪ .‬נשים לב ש ‪ g‬‬
‫חסומה גם היא כי אם נסמן ב )‪ G(x‬את ‪  g‬והיא חסומה על ידי ‪ M‬אז הביטוי הקודם הוא פשוט‬
‫‪y‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪a‬‬
‫)‪ G(y) − G(x‬וחסום על ידי ‪2M‬‬
‫‪ .‬שוב לפי הלמה של בונה נרשום‬
‫ž‬
‫ž‬
‫‪b2‬‬
‫‪g| ≤ [|f (b1 )| + |f (b2 )|]2M‬‬
‫‪x0‬‬
‫) ‪g + f (b2‬‬
‫‪b1‬‬
‫‪x0‬‬
‫‪42‬‬
‫ž‬
‫‪b2‬‬
‫) ‪f g| = |f (b1‬‬
‫‪b1‬‬
‫|‬
‫כעת נבחר את ‪ B‬כך שלכל ‪b > B‬‬
‫יתקיים‬
‫‪ε‬‬
‫‪4M‬‬
‫< |)‪|f (b‬‬
‫סוף שיעור ‪7‬‬
‫‪43‬‬
‫‪ ,‬ולכן קריטריון קושי יתקיים‪.‬‬
‫‪4.3.5‬‬
‫סטירלינג ] העשרה ־ בינתיים ־ אולי נשוב אליו [‬
‫נוסחת סטרילינג היא אחת הנוסחאות השימושיות ביותר שתלמדו בקורס‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫להערכה של המספר !‪ n‬על ידי הביטוי ‪2πnn+ 2 e−n‬‬
‫√‬
‫היא משמשת על פי רוב‬
‫‪ .‬כשאומרים "הערכה" אז מתעניינים למשל בשגיאה‪.‬‬
‫הבה נראה מה מקבלים בפשטות מהשוואת טורים ואינטגרלים‪ .‬אחר כך נעבוד קצת יותר כדי לקבל‬
‫הערכה טובה יותר‪ .‬נשים לב שממונוטוניות ‪ln‬‬
‫‪£‬‬
‫מתקיים‬
‫‪£‬‬
‫‪j+1‬‬
‫‪ln(x)dx‬‬
‫‪j‬‬
‫ולכן הסכום מקיים‬
‫‪£‬‬
‫‪j‬‬
‫≤ )‪ln(x)dx ≤ ln(j‬‬
‫‪n+1‬‬
‫‪ln(x)dx = [x ln(x) − x]n+1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫≤ )‪ln(j‬‬
‫‪n‬‬
‫‪X‬‬
‫= )‪ln(j‬‬
‫‪j=1‬‬
‫‪n‬‬
‫‪X‬‬
‫‪j=2‬‬
‫‪j−1‬‬
‫‪£‬‬
‫‪n‬‬
‫≤ ‪ln(x)dx‬‬
‫=‬
‫‪1‬‬
‫‪x]n1‬‬
‫‪[x ln(x) −‬‬
‫וקיבלנו‬
‫‪n ln(n) − n + 1 ≤ ln(n!) ≤ (n + 1) ln(n + 1) − n‬‬
‫בעצם כאן מסתיים החלק שבגללו הראינו עכשיו את סטירלינג‪ .‬זו כמובן הערכה לא מי יודע מה‪ ,‬רק‬
‫‪nn e−n+1 ≤ n! ≤ (n + 1)n+1 e−n‬‬
‫הנה הטענה המדויקת שאנחנו מראים‬
‫טענה ‪] 4.18‬נסחת סטירלינג[ מתקיים שלכל ‪n‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2πnn+ 2 e−n e 12n‬‬
‫טבעי‬
‫√‬
‫‪1‬‬
‫≤ !‪2πnn+ 2 e−n ≤ n‬‬
‫√‬
‫ובפרט‬
‫‪2π‬‬
‫√‬
‫=‬
‫‪n!en‬‬
‫‪n+ 12‬‬
‫‪n‬‬
‫‪lim‬‬
‫∞→‪n‬‬
‫ניקח לוגריתם כדי לכתוב זאת יותר בפשטות‪ .‬רוצים להראות‬
‫‪n‬‬
‫‪X‬‬
‫√‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫≤ ‪ln( 2π) + (n + ) ln(n) − n‬‬
‫‪ln(j) ≤ ln( 2π) + (n + ) ln(n) − n +‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪12n‬‬
‫‪j=1‬‬
‫את ההוכחה עצמה נבצע בשיטות של חדו"א ‪ 1‬דווקא‪.‬‬
‫‪¤¤‬‬
‫√‬
‫הוכחה‪ :‬נגדיר את הסדרה ‪dn = ln(n!) − (n + 12 ) ln(n) + n‬‬
‫√‬
‫√‬
‫‪1‬‬
‫‪ .ln( 2π) ≤ dn ≤ ln( 2π) + 12n‬נראה זאת בשלושה שלבים‪ :‬ראשית נראה ש‬
‫‬
‫‬
‫‪1 1‬‬
‫‪1‬‬
‫≤ ‪0 ≤ dn − dn+1‬‬
‫‪−‬‬
‫‪12 n n + 1‬‬
‫שזו הסדרה שאנו טוענים מקיימת‬
‫‪1‬‬
‫‪dn − 12n‬‬
‫הדבר יוכיח שהסדרה מונוטונית יורדת ואילו‬
‫‪θn‬‬
‫‪ dn = C + 12n‬עבור איזשהו ]‪ .θn ∈ [0, 1‬כל שנותר יהיה לבדוק ־‬
‫שנסמן אותו ‪ .C‬זה בפרט יראה ש‬
‫וזאת נעשה על ידי נסחת ואליס ־ מהו ‪ .C‬נתחיל בהוכחת ההערכה ל ‪ .dn − dn+1‬נשתמש בטור טיילור‬
‫של )‪ ln(1 + t‬כפי שמדתם בחדו"א ‪t ∈ (−1, 1] .1‬‬
‫עולה‪ ,‬ובפרט לכן שתיהן מתכנסות לגבול משותף‬
‫‪t2 t3 t4‬‬
‫··· ‪+ − +‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪4‬‬
‫‪ln(1 + t) = t −‬‬
‫ועבור כל )‪t ∈ (−1, 1‬‬
‫‪t2 t3 t4‬‬
‫··· ‪− − −‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪4‬‬
‫‪ln(1 − t) = −t −‬‬
‫לכן‬
‫‪1‬‬
‫‪1+t‬‬
‫‪t3 t5‬‬
‫(‪ln‬‬
‫··· ‪) = t + + +‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1−t‬‬
‫‪3‬‬
‫‪5‬‬
‫כעת נחשב‬
‫‪3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪dn − dn+1 = ln(n!) − (n + ) ln(n) + n − ln((n + 1)!) + (n + ) ln(n + 1) − n − 1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪n+1‬‬
‫(‪= (n + )[− ln(n) + ln(n + 1)] − 1 = (n + )[ln‬‬
‫‪)] − 1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪n‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1 + 2n+1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2n + 1 + 1‬‬
‫‪1‬‬
‫(‪= (n + )[ln‬‬
‫(‪)] − 1 = (n + )[ln‬‬
‫‪1 )] − 1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2n + 1 − 1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1 − 2n+1‬‬
‫ונשתמש בנוסחא שלנו כדי לקבל‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫( ‪+‬‬
‫( ‪)3 +‬‬
‫‪)5 + · · · ] − 1‬‬
‫‪2n + 1 3 2n + 1‬‬
‫‪5 2n + 1‬‬
‫[)‪dn − dn+1 = (2n + 1‬‬
‫כך רואים כי ‪dn − dn+1 ≥ 0‬‬
‫‬
‫‬
‫∞‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1 1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1X‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1 ( 2n+1 )2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2j‬‬
‫= )‬
‫=‬
‫‪−‬‬
‫≤‬
‫(‬
‫=‬
‫‪1‬‬
‫‪3 j=1 2n + 1‬‬
‫‪3 1 − ( 2n+1‬‬
‫‪3 4n2 + 4n‬‬
‫‪12 n n + 1‬‬
‫‪)2‬‬
‫וגם‬
‫כך קיבלנו את השלב הראשון‪ .‬כעת נסיק‪ ,‬כמוסבר מעלה‪ ,‬שלסדרה ‪dn‬‬
‫‪dn − dn+1‬‬
‫יש גבול ‪ .C‬כדי לחשב אותו‬
‫נשתמש בנוסחת ואליס‪ .‬הנוסחא היא כזכור‬
‫‪[(2n)!!]2‬‬
‫‪[2n n!]2‬‬
‫‪[2n n!]4‬‬
‫‪π‬‬
‫‪= lim‬‬
‫‪= lim‬‬
‫‪= lim‬‬
‫)‪2 n→∞ [(2n − 1)!!]2 (2n + 1) n→∞ [(2n)!/(2n)!!]2 (2n + 1) n→∞ [(2n)!]2 (2n + 1‬‬
‫¦‪¥‬‬
‫ולכן‪ ,‬היות שאנו יודעים שלכל ‪ n‬קיים ]‪θn ∈ [0, 1‬‬
‫‪θn‬‬
‫עבורו‬
‫‪1‬‬
‫‪n! = eC nn+ 2 e−n e 12n‬‬
‫אפשר פשוט להציב אותו בנסחת ואליס ולקבל‬
‫‪i4‬‬
‫‪θn‬‬
‫‪n C n+ 12 −n 12n‬‬
‫‪2‬‬
‫‪e‬‬
‫‪n‬‬
‫‪e‬‬
‫‪e‬‬
‫‪π‬‬
‫]!‪[2 n‬‬
‫‪= lim‬‬
‫‪= lim h‬‬
‫‪i‬‬
‫‪θ2n 2‬‬
‫‪1‬‬
‫)‪n→∞ [(2n)!]2 (2n + 1‬‬
‫∞→‪n‬‬
‫‪2‬‬
‫)‪eC (2n)2n+ 2 e−2n e 24n (2n + 1‬‬
‫‪h‬‬
‫‪4‬‬
‫‪n‬‬
‫‪e2C 24n n4n+2 4θn −θ2n‬‬
‫‪e2C‬‬
‫‪12n‬‬
‫‪e‬‬
‫=‬
‫‪n→∞ 2n + 1 24n+1 n4n+1‬‬
‫‪4‬‬
‫‪lim‬‬
‫√‬
‫זאת אומרת )‪= ln( 2π‬‬
‫‪ .C‬קיבלנו את אי השוויון הרצוי‬
‫√‬
‫√‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ln( 2π) ≤ ln(n!) − (n + ) ln(n) + n ≤ ln( 2π) +‬‬
‫‪2‬‬
‫‪12n‬‬
‫סוף העשרה‬
‫‪46‬‬
‫=‬
‫ב‪ .‬סדרות וטורי פונקציות‬
‫סדרות וטורי פונקציות כלליים‬
‫‪5‬‬
‫‪5.1‬‬
‫הקדמה ומוטיבציה‬
‫עד היום עסקנו בנפרד בסדרות‪ ,‬ובפונקציות‪ .‬כעת עוברים לדבר על סדרות של פונקציות‪.‬‬
‫‪fn : [a, b] → R,‬‬
‫‪n = 0, 1, 2, . . .‬‬
‫)כמובן התחום לא חייב להיות קטע סגור(‪ .‬למשל‪,‬‬
‫‪ .1‬הקטע ]‪ [0, 1‬הסדרה ‪fn (x) = xn‬‬
‫‪ .2‬קטע לבחירתכם‬
‫‪ .3‬על ‪R‬‬
‫הסדרה‬
‫‪xn‬‬
‫!‪n‬‬
‫)‪sin(nx‬‬
‫‪n‬‬
‫= )‪fn (x‬‬
‫‪+ ··· +‬‬
‫‪x3‬‬
‫!‪3‬‬
‫‪+‬‬
‫‪x2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪fn (x) = 1 + x +‬‬
‫‪ .4‬הקטע ]‪ [0, 1‬הסדרה ‪fn (x) = nx(1 − x2 )n‬‬
‫הגדרה ‪ 5.1‬יהיה ‪ I ⊆ R‬קטע )מוכלל( ותהיינה ‪fn : I → R‬‬
‫לפונקציה ‪ f : I → R‬נקודתית ב־ ‪ I‬אם לכל ‪ x ∈ I‬מתקיים‬
‫סדרת פונקציות‪ .‬נאמר שהסדרה שואפת‬
‫)‪lim fn (x) = f (x‬‬
‫∞→‪n‬‬
‫שאלות טבעיות שצצות הן למשל‬
‫)א( האם גבול נקודתי של רציפות הוא רציף?‬
‫)ב( האם גבול נקודתי של אינטגרביליות רימן הוא אינטגרבילי רימן?‬
‫)ג( האם האינטגרל של הגבול נקודתי )אם הוא אינטגרבילי( הוא גבול האינטגרלים?‬
‫)ד( מה הקשר בין נגזרת הגבול וגבול הנגזרות?‬
‫התשובות שנביא מייד לכל השאלות הללו מעידות שמושג הגבול הנקודתי הוא חלש מידי כדי להסיק‬
‫משהו על הפונקציה הגבולית‪ .‬לכן נעבור‪ ,‬מייד אחרי התשובות לשאלות‪ ,‬למושג חזק יותר של התכנסות‬
‫סדרת פונקציות‪.‬‬
‫תשובות‪:‬‬
‫)א( לא‪ .‬הגבול של הסדרה בדוגמא ‪) 1‬שכולה פונקציות רציפות( הוא הפונקציה הלא רציפה‬
‫)‪x ∈ [0, 1‬‬
‫‪x=1‬‬
‫‪‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪47‬‬
‫= )‪f (x‬‬
‫איור ‪ :14‬הסדרה ‪ xn‬עבור ‪n = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7‬‬
‫)ב( לא‪.‬‬
‫אפשר בקלות ליצור סדרה של פונקציות שכולן אינטגרביליות והן מתכנסות נקודתית‬
‫לפונקציית דיריכלה‪ .‬כדי לבנות אותן ניקח מנייה של הרציונלים בקטע ]‪ ,[0, 1‬נאמר‬
‫}‪Q ∩ [0, 1] = {r1 , r2 , . . .‬‬
‫‪‬‬
‫} ‪1 x ∈ {r , . . . , r‬‬
‫‪1‬‬
‫‪n‬‬
‫= )‪ . fn (x‬כולן רציפות למקוטעין ולכן‬
‫ונגדיר את ‪ fn : [0, 1] → R‬להיות‬
‫‪0 otherwise‬‬
‫אינטגרביליות‪ ,‬קל לראות שיש שאיפה נקודתית לפונקציית דיריכלה‪ ,‬אך פונקציית דיריכלה כמובן אינה‬
‫אינטגרבילית רימן‪.‬‬
‫ג( לא‪ .‬נביט בדוגמא ‪ 4‬למשל‪ ,‬קל לראות ש ‪fn → 0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪n (1 − y)n+1 1‬‬
‫‪n‬‬
‫‪[−‬‬
‫= ‪]0‬‬
‫→‬
‫‪2‬‬
‫‪n+1‬‬
‫)‪2(n + 1‬‬
‫‪2‬‬
‫נקודתית‪ .‬מצד שני‬
‫§‬
‫‪1‬‬
‫= ‪(1 − y)n dy‬‬
‫‪0‬‬
‫‪n‬‬
‫= ‪nx(1 − x ) dx‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2 n‬‬
‫§‬
‫§‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫= ‪fn (x)dx‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫)ד( אין קשר מיידי‪ ,‬כמו שמעידה דוגמא ‪ 2‬נאמר בקטע ]‪ ,[0, 1‬הסדרה שואפת נקודתית ל־‪0‬‬
‫סדרת הנגזרות היא )‪ fn0 (x) = cos(nx‬שאיננה מתכנסת לשום דבר ב ־ ‪ x‬כללי‪.‬‬
‫אבל‬
‫נעיר כאן שסעיף ד' הוא העיקרי שבו אין התנהגות טובה גם אם ההתכנסות שמניחים היא חזקה‬
‫יותר כמו בסעיף הבא‪.‬‬
‫‪5.2‬‬
‫‪5.2.1‬‬
‫התכנסות במ"ש‬
‫הגדרה ועובדות פשוטות‬
‫הגדרה ‪ 5.2‬יהיה ‪ I ⊆ R‬קטע )מוכלל( ותהיינה ‪ fn : I → R‬סדרת פונקציות‪ .‬נאמר ש ‪fn → f‬‬
‫שווה )במ"ש( על )או ב־( ‪ I‬אם מתקיים‬
‫במידה‬
‫‪lim sup |fn (x) − f (x)| = 0‬‬
‫‪n→∞ x∈I‬‬
‫‪u‬‬
‫ומסמנים גם על ידי ‪) fn → f‬האות ‪u‬‬
‫לכל ‪ ε > 0‬קיים ‪ N‬כך שלכל ‪ x ∈ I‬ולכל ‪ ,n > N‬מתקיים ‪.|fn (x) − f (x)| < ε‬‬
‫מעל החץ( או המילה "במ"ש" מעל החץ‪ .‬באופן שקול ניתן לומר‪:‬‬
‫‪48‬‬
‫איור ‪ :15‬הסדרה ‪ nx(1 − x2 )n‬עבור ‪n = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7‬‬
‫איור ‪ :16‬הסדרה ‪ xn − x2n‬עבור ‪n = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7‬‬
‫נעיר שאין הדבר דומה לרציפות במ"ש‪ ,‬ובפרט ההגדרה תקפה גם לכל קבוצה אבסטרקטית במקום ‪I‬‬
‫)אין שימוש ב"מרחק" על ‪ .(I‬המילה במ"ש מתייחסת לכך שעבור ‪ ε‬נתון‪ ,‬אותו ‪ N‬צריך להתאים לכל‬
‫‪ x‬בקבוצה‪ .‬נשים לב שהתכנסות במ"ש גוררת התכנסות נקודתית )לאותה פונקציה(‪ ,‬אך להפך לא נכון‪.‬‬
‫הנקודתי‪.‬‬
‫לכן תמיד המועמדת להיות גבול במ"ש של סדרה מסויימת זו הפונקציה שהיא הגבול‬
‫‪‬‬
‫דוגמא‪ :‬נחזור לקטע ]‪ [0, 1‬ולסדרה ‪fn (x) = xn‬‬
‫‪ .‬יש התכנסות נקודתית ל‬
‫)‪x ∈ [0, 1‬‬
‫‪0‬‬
‫= )‪f (x‬‬
‫‪,‬‬
‫‪1‬‬
‫‪x=1‬‬
‫אבל לכל ‪ n‬קיימת נקודה )‪ xn ∈ (0, 1‬בה ‪ fn (xn ) = 1/2‬ובפרט ‪ supx |fn (x) − f (x)| ≥ 1/2‬לכל ‪.n‬‬
‫אם נדמה לכם שהבעיה היתה בעובדה שפונקציית הגבול לא הייתה רציפה ־ אין זה נכון‪ .‬קל לוודא‬
‫שבדוגמא של הקטע ]‪ [0, 1‬והסדרה ‪fn (x) = nx(1 − x2 )n‬‬
‫הפונקציה הגבולית היא זהותית אפס ובפרט‬
‫רציפה‪ ,‬אבל הפונקציות אינן חסומות ולכן התנאי של התכנסות במ"ש לא מתקיים‪ .‬אפשר ממש לבחור‬
‫‪√1‬‬
‫‪n‬‬
‫= ‪xn‬‬
‫ולראות זאת‪.‬‬
‫עוד דוגמא נחמדה היא ‪= xn − x2n‬‬
‫לרבע( לכל ‪ ,n‬ובפרט לא שואפת לאפס במ"ש‪.‬‬
‫)‪sin(nx‬‬
‫במ"ש? כמובן‪.‬‬
‫האם ‪→ 0‬‬
‫‪n‬‬
‫)‪ .fn (x‬שואפת לאפס נקודתית‪ ,‬אבל יש לה מקסימום )השווה‬
‫איור ‪ :17‬הסדרה‬
‫)‪sin(nx‬‬
‫‪n‬‬
‫עבור ‪n = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7‬‬
‫‪49‬‬
‫איור ‪ :18‬הסדרה ‪xj‬‬
‫האם‬
‫)‪[0, 1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1−x‬‬
‫)לא(‪.‬‬
‫→ ‪xj‬‬
‫‪Pn‬‬
‫‪j=0‬‬
‫‪j=0‬‬
‫‪9‬‬
‫במ"ש? תלוי באיזה תחום שואלים‪ .‬בקטע סגור‪ ,‬למשל ]‬
‫‪[0, 10‬‬
‫ההפרש בין הסדרה לפונקציה הוא‬
‫אבל בקטע הפתוח )‪[0, 1‬‬
‫‪Pn‬‬
‫עבור ∞ ‪n = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,‬‬
‫‪xn+1‬‬
‫‪1−x‬‬
‫ולכן בכל קטע סגור המוכל ב )‪[0, 1‬‬
‫)כן(‪ ,‬או בתחום‬
‫שואף במ"ש לאפס‪,‬‬
‫אינו חסום‪.‬‬
‫נוסיף כאן מספר הערות והגדרות שיהיו בשימוש בהמשך‪.‬‬
‫‪u‬‬
‫‪u‬‬
‫הערה ‪ 5.3‬תהי ‪ fn : I → R‬סדרת פונקציות ונניח ‪ fn → f‬אזי גם לכל תת סדרה מתקיים ‪fnj → f‬‬
‫ובפרט לתת סדרה שהיא הזזה באינדקסים‪ .‬בדומה‪ ,‬הוספת‪ ,‬השמטת או שינוי של מספר סופי של איברים‬
‫מתוך סדרת הפונקציות לא משפיעה על התכנסות‪ .‬ההסבר הוא שפשוט מדובר על התכנסות לאפס של‬
‫סדרת המספרים |)‪= supx∈I |fn (x) − f (x‬‬
‫‪. an‬‬
‫הגדרה ‪] 5.4‬חסימות במידה אחידה[ סדרת פונקציות ‪ fn‬תיקרא חסומה במידה אחידה אם קיים ‪M‬‬
‫שלכל ‪ n‬ולכל ‪ x‬מתקיים ‪.|fn (x)| ≤ M‬‬
‫כך‬
‫הערות ‪ 5.5‬ראשית נשים לב שגבול נקודתי )ולכן גם גבול במ"ש( של חסומות במידה אחידה יהיה גם‬
‫‪u‬‬
‫חסום על ידי אותו ‪ .M‬נשים לב גם שאם ‪ fn → f‬והפונקציה ‪f‬‬
‫הסדרה ‪ {fn }n≥N0‬חסומה במידה אחידה‪.‬‬
‫‪u‬‬
‫שנית‪ ,‬אם ‪ fn → f‬ו ‪ f‬איננה חסומה‪ ,‬נובע שקיים ‪ N0‬כך שלכל ‪ n ≥ N0‬גם ‪ fn‬איננה חסומה‪) .‬כי‬
‫הן במרחק נקודתי קטן ממנה‪ ,‬בכל הנקודות בו זמנית‪ (.‬לכן‪ ,‬אם נתון ש ‪ fn‬חסומות )ולא נתון "במידה‬
‫חסומה אז החל מאינדקס מסוים ‪,N0‬‬
‫אחידה"( והן שואפות במ"ש לפונקציה אז נובע שהפונקציה חסומה‪ ,‬ולכן שהן חסומות במידה אחידה‪.‬‬
‫זאת אומרת‪ ,‬חסימות יחד עם התכנסות במ"ש למשהו גורר חסימות במידה אחידה‪.‬‬
‫‪u‬‬
‫‪u‬‬
‫‪u‬‬
‫‪ ‬של פונקציות‪ :‬נשים לב שאם ‪ fn → f‬ו ‪ gn → g‬זה לא גורר ‪fn gn → f g‬‬
‫לעניין מכפלה‬
‫‪1‬‬
‫‪x 6= 0‬‬
‫‪x‬‬
‫= )‪ fn (x‬סדרה קבועה ו ‪ gn = n1‬סדרה בה כל איבר הוא פונקציה קבועה )אחרת‬
‫‪0‬‬
‫‪x=0‬‬
‫לאינדקסים שונים( ששואפת כמובן ל ‪ 0‬במ"ש‪ .‬המכפלה שואפת לאפס נקודתית אך לא במ"ש‪.‬‬
‫‪u‬‬
‫‪u‬‬
‫למה ‪ 5.6‬תהיינה ‪ fn , gn , f, g : I → R‬פונקציות ונניח ש ‪ fn → f‬ו ‪→ g‬‬
‫‪u‬‬
‫הפונקציות חסומות במידה אחידה על ידי ‪ .M‬אזי ‪.fn gn → f g‬‬
‫©¨‬
‫‪.gn‬‬
‫למשל‬
‫כמו כן נניח שכל‬
‫הוכחה‪ :‬אכן‪ ,‬הטריק הרגיל של מכפלות עובד‬
‫|)‪sup |fn (x)gn (x) − f (x)g(x)| ≤ sup |fn (x)gn (x) − f (x)gn (x)| + sup |f (x)gn (x) − f (x)g(x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫‬
‫‬
‫‪≤ M sup |fn (x) − f (x)| + sup |gn (x) − g(x)| →n→∞ 0‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫כמובן שעל פי ההערה מעלה מספיק היה להניח חסימות של ‪f, g‬‬
‫והחסימות במידה אחידה נובעת‬
‫מהתכנסות במ"ש‪.‬‬
‫‪5.2.2‬‬
‫קריטריון קושי להתכנסות במ"ש‬
‫משפט ‪] 5.7‬קריטריון קושי[ תהיינה ‪ .fn : I → R‬הן מתכנסות במ"ש אם ורק אם לכל ‪ ε > 0‬קיים ‪Nε‬‬
‫כך שלכל ‪ n, m > Nε‬מתקיים שלכל ‪x ∈ I‬‬
‫‪|fn (x) − fm (x)| < ε‬‬
‫‪u‬‬
‫הוכחה‪ :‬הכיוון הקל‪ :‬נניח שיש התכנסות במ"ש זאת אומרת שקיימת ‪ f : I → R‬כך ש ‪→ f‬‬
‫‪ ε > 0‬ונבחר את ‪ N‬כך שלכל ‪ n > N‬ולכל ‪ x‬יתקיים‬
‫‪ .fn‬יהיה‬
‫‪|fn (x) − f (x)| < ε/2‬‬
‫לכן לכל ‪ n, m > N‬יתקיים שלכל ‪x‬‬
‫בקטע‬
‫‪|fn (x) − fm (x)| ≤ |fn (x) − f (x)| + |f (x) − fm (x)| < ε‬‬
‫בכיוון שני‪ :‬נניח שתנאי קושי מתקיים‪ .‬בפרט לכל ‪ x‬מתקיים ש )‪fn (x‬‬
‫‪u‬‬
‫שאותו נסמן ב )‪ .f (x‬כעת עלינו להראות ש ‪ . fn → f‬יהיה ‪ ε > 0‬ונבחר את ‪ N‬על פי קריטריון קושי‬
‫כך שלכל ‪ n > N‬ולכל ‪ m > N‬מתקיים שלכל ‪ x‬בקטע ‪ .fm (x) − /2ε < fn (x) < fm (x) + ε/2‬לכן‬
‫כשניקח ∞ → ‪ m‬אי השוויון עדיין יתקיים )אם כי אולי חלש(‪ ,‬זאת אומרת שעבור ‪ n > N‬מתקיים לכל‬
‫‪x‬‬
‫סדרת קושי‪ ,‬ולכן יש לה גבול‬
‫‪f (x) − ε < f (x) − ε/2 ≤ fn (x) ≤ f (x) + ε/2 < f (x) + ε‬‬
‫וזו בדיוק התכנסות במ"ש‪.‬‬
‫‪5.2.3‬‬
‫גבול במ"ש של רציפות‬
‫ראינו דוגמאות של התכנסות נקודתית של פונקציות רציפות לפונקציה שאינה רציפה‪ .‬כאשר ההתכנסות‬
‫היא במ"ש זה דווקא כן עובד‪.‬‬
‫«‪ª‬‬
‫‪u‬‬
‫משפט ‪] 5.8‬גבול במ"ש של רציפות הוא רציף[ תהיינה ‪ fn : I → R‬רציפות ונניח ש ‪ . fn → f‬אזי ‪f‬‬
‫רציפה‪.‬‬
‫הוכחה‪ :‬תהי ‪ x0 ∈ I‬יהי ‪ .ε > 0‬מהתכנסות במ"ש קיים ‪ N‬כך שלכל ‪ n > N‬ולכל ‪y‬‬
‫‪ . |fn (y) − f (y)| < ε/3‬נבחר איזשהו ‪ n > N‬ומרציפות ‪ fn‬מתקיים שקיים ‪ δ‬כך שאם ‪|x − x0 | < δ‬‬
‫אז ‪ .|fn (x) − fn (x0 )| < ε/3‬נרשום‬
‫מתקיים‬
‫‪|f (x) − f (x0 )| ≤ |f (x) − fn (x)| + |fn (x) − fn (x0 )| + |fn (x0 ) − f (x0 )| ≤ ε‬‬
‫וקיבלנו את הגדרת רציפות בנקודה‪.‬‬
‫‪u‬‬
‫הערה ‪ 5.9‬נעיר שניתן להוכיח משפט כללי יותר על נקודה בודדת‪ .‬נניח שנתונה סדרה ‪ fn → f‬ונקודה ‪x0‬‬
‫כך שקיים ‪ limx→x0 fn (x) = αn‬לכל ‪ n‬ונניח כי ‪ .limn→∞ αn = α‬אזי קיים הגבול )‪.α = limx→x0 f (x‬‬
‫ההוכחה זהה למה שכתוב מעלה‪ .‬יתר על כן ־ ההוכחה תקפה גם עבור ‪ x0‬שהוא ∞‪ .±‬בידקו זאת‬
‫בעצמכם‪.‬‬
‫סוף שיעור ‪8‬‬
‫‪52‬‬
‫‪5.2.4‬‬
‫משפט דיני‬
‫משפט ‪Dini‬‬
‫שימושי מאוד כדי להראות שיש התכנסות במ"ש‪.‬‬
‫משפט ‪] 5.10‬דיני[ תהיינה ‪ fn : [a, b] → R‬רציפות ונניח ש ‪fn → f‬‬
‫)א( )‪ fn (x‬סדרה יורדת לכל ‪ x‬נתון‬
‫)ב( ‪ f‬רציפה‬
‫‪u‬‬
‫אזי ‪. fn → f‬‬
‫נקודתית‪ .‬נניח גם ש‬
‫בהוכחה נעשה שימוש בלמה של היינה ובורל‪ .‬למה זאת ניתן ללמוד בחדו"א ‪ ,1‬אם כי השנה לא עשינו‬
‫זאת‪ .‬אנו נוכיח גרסא מוכללת שלה בפרק ג של חדו"א ‪ .2‬אנו ממליצים לכם לנסות ולהוכיח אותה‬
‫בעצמכם לפי שאתם מביטים בהוכחה הרשומה מטה‪ .‬נזכיר שקבוצה ‪U ⊂ R‬‬
‫‪ x ∈ U‬קיימת ‪ δ > 0‬כך ש ‪ ,(x − δ, x + δ) ⊂ U‬אם כי לצורך השימוש שלנו מספיק היה לעסוק בקבוצות‬
‫נקראת "פתוחה" אם לכל‬
‫פתוחות הכי פשוטות ־ קטעים פתוחים‪.‬‬
‫למה ‪] 5.11‬הלמה של היינה ובורל[ יהיו ‪ a < b ∈ R‬ותהיינה קבוצות פתוחות על הישר ‪{Uα }α∈A‬‬
‫‪ A‬קבוצת אינדקסים כלשהי )לאו דווקא בת מנייה(‪ .‬נניח כי הן כיסוי של הקטע ]‪ [a, b‬דהיינו‬
‫כאשר‬
‫‪[a, b] ⊂ ∪α∈A Uα‬‬
‫אזי קיים תת כיסוי סופי‪ ,‬זאת אומרת קיימים ‪ M ∈ N‬ו ־ ‪α1 , . . . , αM‬‬
‫כך ש‬
‫‪[a, b] ⊂ ∪M‬‬
‫‪i=1 Uαi‬‬
‫הוכחה‪] :‬רעיון ההוכחה של הלמה של היינה ובורל[ נניח בשלילה שאין לקטע תת כיסוי סופי‪ ,‬ונגדיר‬
‫באינדוקציה סדרה של קטעים מקוננים ] ‪[ai , bi‬‬
‫שלאף אחד מהם אין תת כיסוי סופי‪ ,‬ואורכם שואף לאפס‪,‬‬
‫פשוט על ידי חלוקת הקטע לשני חלקים שווים בכל שלב‪ ,‬ושכל שלב לפחות לאחד מהחצאים אין תת כיסוי‬
‫סופי‪ .‬בפרט‬
‫‪b−a‬‬
‫‪2i‬‬
‫= | ‪− ai‬‬
‫‪ .|bi‬לפי הלמה של קנטור על קטעים מקוננים ישנה נקודה יחידה בחיתוך של‬
‫כל הקטעים הללו‪ ,‬נסמן אותה ‪ .x0‬משום ש } ‪ {Uα‬הינו כיסוי‪ ,‬קיימת ‪ α0‬כך ש ‪ x0 ∈ Uα0‬ומשום ש ‪Uα0‬‬
‫‪, x0 + b−a‬‬
‫פתוחה‪ ,‬קיימת ‪ δ > 0‬כך ש ‪ (x0 − δ, x0 + δ) ⊂ Uα0‬ולכן גם קיים ‪ N‬כך ש ‪] ⊂ Uα0‬‬
‫‪[x0 − b−a‬‬
‫‪2N‬‬
‫‪2N‬‬
‫ובפרט‪ ,‬משום ש ] ‪ x0 ∈ [aN , bN‬וכן‬
‫‪ |bN − aN | = b−a‬נקבל כי ‪ [aN , bN ] ⊂ Uα0‬בסתירה לבנייה בה לא‬
‫‪2N‬‬
‫היה לתת קטע הנ"ל תת כיסוי סופי‪.‬‬
‫כעת נפנה להוכחת משפט דיני‪.‬‬
‫הוכחה‪] :‬הוכחת משפט דיני[ כמובן לכל ‪ n‬ולכל ‪ x‬מתקיים )‪f (x) ≤ fn (x‬‬
‫שלכל ‪ ε > 0‬קיים ‪ N0‬כך שלכל ‪ n > N0‬ולכל ‪ x‬מתקיים ‪ .fn (x) < f (x) + ε‬השאיפה הנקודתית גוררת‬
‫כי לכל ‪ x‬ב־ ]‪ [a, b‬קיים מספר )‪ n(x‬כך ש‬
‫לכן צריך להוכיח רק‬
‫‪fn(x) (x) − f (x) < ε‬‬
‫­¬‬
‫)למעשה יכולנו לדעת שהדבר מתקיים מ־)‪n(x‬‬
‫משום ש )‪ fn (x‬רציפה וגם ‪ f‬רציפה‪ ,‬אי השוויון הנ"ל נכון לא רק ב־‪ x‬אלא גם בסביבה פתוחה‬
‫כלשהי שלו‪ ,‬שנסמן ]‪ Ux ⊂ [a, b‬המקיימת ‪ .x ∈ Ux‬משום שהסדרה יורדת‪ ,‬נסיק שלכל ‪ y ∈ Ux‬ולכל‬
‫)‪ n > n(x‬מתקיים‬
‫ואילך‪ ,‬אך כרגע זה לא נחוץ(‪.‬‬
‫‪0 ≤ fn (y) − f (y) ≤ fn(x) (y) − f (y) < ε‬‬
‫הקבוצות ‪ Ux‬הן כיסוי פתוח של ]‪[a, b‬‬
‫‪ ∪M‬ולכן אם נסמן )) ‪ n0 = max(n(x1 ), . . . , n(xM‬נקבל שלכל‬
‫‪ x1 , . . . , xM‬כך ש ]‪j=1 Uxj ⊃ [a, b‬‬
‫]‪ y ∈ [a, b‬ולכל ‪n > n0‬‬
‫ומהלמה של היינה ובורל קיים תת כיסוי סופי‪ ,‬דהיינו קיימים‬
‫‪0 ≤ fn (y) − f (y) < ε‬‬
‫וזו התכנסות במ"ש )מלמעלה(‪.‬‬
‫הערה ‪ 5.12‬כמובן ניתן לנסח משפט דומה עבור התכנסות של סדרה עולה של רציפות המתכנסות‬
‫לפונקציה רציפה‪ .‬למעשה מספיק להניח שכל )‪fn (x‬‬
‫היא מונוטונית )ז"א חלקן יכולות לעלות וחלקן‬
‫לרדת( ־ הראו זאת‪.‬‬
‫השימוש הסטנדרטי למשפט דיני הוא להתכנסות במ"ש של טור של פונקציות חיוביות‪ .‬נתונות פונקציות‬
‫‪Pn‬‬
‫רציפות ‪ un (x) ≥ 0‬ובונים את סדרת הסכומים החלקיים )‪uj (x‬‬
‫של )‪ ,Sn (x‬ונניח כי הוא מתכנס לפונקציה נתונה )‪ .S(x‬נניח שפונקציה זו היא רציפה‪ .‬אזי ההתכנסות‬
‫‪n‬‬
‫של הטור חייבת להיות במ"ש‪ .‬למשל !‪ un (x) = xn‬בקטע הסגור ]‪ [0, 1‬יתן התכנסות במ"ש של הסדרה‬
‫‪P n xj‬‬
‫לפונקציה ‪.ex‬‬
‫!‪j=0 j‬‬
‫‪j=1‬‬
‫=‬
‫)‪ .Sn (x‬נביט בגבול הנקודתי‬
‫מדוע זה שימושי לדעת שגבול הוא במ"ש? למשל אם אנחנו מעוניינים לבצע מה שנקרא "אינטגרל‬
‫איבר איבר"‪ ,‬דהיינו להחליף אינטגרל עם סכום אינסופי‪ ,‬או עם גבול )זה אותו הדבר(‪ .‬על כך הסעיף‬
‫הבא‪.‬‬
‫‪5.2.5‬‬
‫גבול תחת האינטגרל ומזורנטה‬
‫‪u‬‬
‫משפט ‪] 5.13‬החלפת גבול ואינטגרל[ תהיינה ]‪ fn ∈ R[a, b‬ותהי ‪ f : [a, b] → R‬ונניח שמתקיים ‪→ f‬‬
‫אזי ]‪ f ∈ R[a, b‬ויתר על כן‬
‫®‬
‫®‬
‫‪b‬‬
‫‪fn (x)dx‬‬
‫‪.f n‬‬
‫‪b‬‬
‫‪f (x)dx = lim‬‬
‫‪a‬‬
‫∞→‪n‬‬
‫‪a‬‬
‫הוכחה‪ :‬על מנת להראות אינטגרביליות‪ ,‬נוכיח שמתקיים קריטריון דרבו‪ ,‬זאת אומרת שלכל ‪ε > 0‬‬
‫קיימת חלוקה המקיימת ‪ .ω(f, Π) = Σ(f, Π) − Σ(f, Π) < ε‬נשתמש בהתכנסות במ"ש על מנת‬
‫לבחור את ‪ n‬מספיק גדול כך ש ))‪ |fn (x) − f (x)| < ε/(4(b − a‬לכל ‪ .x‬בפרט לכל קטע ‪ J‬יתקיים‬
‫‪¯°‬‬
‫))‪ .|ω(f, J) − ω(fn , J)| ≤ ε/(2(b − a‬משום ש ‪fn‬‬
‫ויש לה חלוקה עבורה ‪ . Σ(fn , Π) − Σ(fn , Π) < ε/2‬כעת נחשב‬
‫היא אינטגרבילית‪ ,‬היא מקיימת את קריטריון דרבו‬
‫‪ω(fn , [xi−1 , xi ])∆xi + ε/2 < ε‬‬
‫‪X‬‬
‫≤ ‪ω(f, [xi−1 , xi ])∆xi‬‬
‫וסיימנו‪ .‬כדי להראות התכנסות של סדרת האינטגרלים עצמה פשוט נחשב‬
‫‪X‬‬
‫= )‪ω(f, Π‬‬
‫→ |)‪± f (x)dx − ± f (x)dx| ≤ ± |f (x) − f (x)|dx ≤ (b − a) sup |f (x) − f (x‬‬
‫‪b‬‬
‫‪0‬‬
‫‪n‬‬
‫∞→‪n‬‬
‫‪b‬‬
‫‪n‬‬
‫‪x‬‬
‫‪b‬‬
‫‪n‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a‬‬
‫|‬
‫הערה ‪ 5.14‬כשמדובר באינטגרל לא אמיתי‪ ,‬אפילו אם יש התכנסות במ"ש עדיין יכול להיות שלא תהיה‬
‫‪u‬‬
‫התכנסות של האינטגרלים‪ .‬אפשר לקרוא לתופעה זו "מאסה בורחת לאינסוף"‪ ,‬והנה דוגמא של ‪fn → 0‬‬
‫בה זה קורה עבור האינטגרל בין ‪ 0‬ל־∞‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪1/n‬‬
‫]‪x ∈ [0, n‬‬
‫= )‪fn (x‬‬
‫‪0‬‬
‫‪o/w‬‬
‫זה לא אומר שאין מה לעשות עבור אינטגרלים לא אמיתיים‪ ,‬המשפט הבא אומר שאם יש גם "שליטה"‬
‫על כל הפונקציות בו זמנית‪ ,‬הדבר אפשרי‪ .‬נסמן כרגיל ‪ω‬‬
‫גם להיות ∞‪.+‬‬
‫להיות הקצה הימני של הקטע הפתוח‪ ,‬שיכול‬
‫משפט ‪] 5.15‬מזורנטה[ תהיינה ‪ fn : [a, ω) → R‬ונניח שהן אינטגרביליות בכל תת קטע סגור ושלכל ‪n‬‬
‫‪u‬‬
‫‪ω‬‬
‫מתקיים ∞ < ‪) a fn‬ובפרט ־ קיים(‪ .‬תהי ‪ f : [a, ω) → R‬ונניח שמתקיים ‪ fn → f‬בכל תת קטע סגור‬
‫]‪ [a, b‬עם ‪ .b < ω‬נניח שבנוסף קיימת ‪ Ψ : [a, ω) → R‬אינטגרבילית על כל תת קטע סגור‪ ,‬כך שלכל‬
‫‪ω‬‬
‫‪ n‬מתקיים ‪ ,|fn | ≤ Ψ‬וכך ש ∞ < ‪ . a Ψ‬אזי ]‪ f ∈ R[a, b‬לכל תת קטע סגור‪ ,‬האינטגרל הלא אמיתי‬
‫שלה בקטע )‪ [a, ω‬מתכנס ויתר על כן‬
‫‪²‬‬
‫‪²‬‬
‫‪±‬‬
‫‪ω‬‬
‫‪Ψ(x)dx‬‬
‫‪a‬‬
‫‪±‬‬
‫‪ω‬‬
‫≤ ‪fn (x)dx‬‬
‫‪a‬‬
‫‪ω‬‬
‫‪f (x)dx = lim‬‬
‫∞→‪n‬‬
‫)זאת אומרת‪ ,‬אין "בריחה של מאסה לאינסוף"(‪ .‬לפונקציה ‪Ψ‬‬
‫‪a‬‬
‫קוראים "מז'ורנטה" של הסדרה ‪.(fn )n∈N‬‬
‫הוכחה‪ :‬מהמשפט הקודם לכל )‪ b ∈ (a, ω‬מתקיים ש ]‪∈ R[a, b‬‬
‫‪±f‬‬
‫‪b‬‬
‫‪a‬‬
‫כמו כן‪² f ,‬‬
‫‪ω‬‬
‫‪a‬‬
‫קיים וסופי שכן ‪|f | ≤ Ψ‬‬
‫‪±‬‬
‫‪ ,f‬ויתר על כן‪,‬‬
‫‪±f‬‬
‫‪b‬‬
‫∞→→‬
‫‪n‬‬
‫‪a‬‬
‫על פי לקיחת גבול נקודתי ויש משפט השוואה לפונקציות חיוביות‪,‬‬
‫לכן האינטגרל הלא אמיתי מתכנס‪ ,‬ובהחלט‪ .‬כדי לקבל את גבול האינטגרלים יהי ‪ ε > 0‬ונבחר ‪x0‬‬
‫‪55‬‬
‫מספיק‬
‫איור ‪ :19‬הסדרה‬
‫גדול כך ש ‪³ Ψ < ε/4‬‬
‫‪ω‬‬
‫‪x0‬‬
‫לכל ‪> n0‬‬
‫‪ .n‬כעת נחשב‬
‫‪x2 −n‬‬
‫)‬
‫‪n‬‬
‫‪ (1 +‬עבור ∞ ‪n = 1, 2, 3, 4, 10, 100,‬‬
‫‪ .‬נבחר את ‪ n0‬מספיק גדול כך ש )‪supx∈[a,x0 ] |fn (x) − f (x)| < ε/2(x0 − a‬‬
‫|‪f‬‬
‫´‬
‫´‬
‫‪|fn | +‬‬
‫‪ω‬‬
‫´‬
‫‪ω‬‬
‫‪Ψ≤ε‬‬
‫‪x0‬‬
‫‪ε‬‬
‫‪+2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ω‬‬
‫≤ | ‪|f‬‬
‫‪x0‬‬
‫‪x0‬‬
‫´‬
‫‪ω‬‬
‫‪fn −‬‬
‫‪x0‬‬
‫´‬
‫‪ω‬‬
‫‪x0‬‬
‫´‬
‫‪x0‬‬
‫| ‪f| +‬‬
‫‪a‬‬
‫´‬
‫‪x0‬‬
‫‪fn −‬‬
‫‪a‬‬
‫´‬
‫‪ω‬‬
‫| ≤ |‪f‬‬
‫‪a‬‬
‫´‬
‫‪ω‬‬
‫‪fn −‬‬
‫‪a‬‬
‫|‬
‫‪≤ (x0 − a) sup |fn − f | +‬‬
‫] ‪[0,x0‬‬
‫ולפי הגדרת הגבול סיימנו‪.‬‬
‫נראה דוגמא לשימוש במשפט האחרון‪ .‬חישוב האינטגרל ‪=: I‬‬
‫‪³‬‬
‫‪∞ −x2‬‬
‫‪e dx‬‬
‫‪0‬‬
‫‪ .‬זה חישוב שמופיע בצורה‬
‫מודרכת בשיעורי הבית על ידי שימוש באי שוויון‪ ,‬כעת אפשר בעזרת המשפט האחרון להסתפק בחישוב‬
‫יחיד ובהתכנסות סדרת אינטגרלים‪.‬‬
‫נביט בסדרת הפונקציות‬
‫‪x2 −n‬‬
‫‪2‬‬
‫‪) → e−x‬‬
‫‪n‬‬
‫הגבול הזה הוא יורד ) ‪≤ fn‬‬
‫‪n+1‬‬
‫‪fn (x) = (1 +‬‬
‫‪ (f‬והפונקציה הגבולית רציפה לכן על פי משפט דיני )משפט¸·¶‪µ‬‬
‫( הגבול‬
‫הוא במ"ש על כל אינטרואל חסום ]‪ .[0, a‬יתר על כן‪ ,‬משום שהסדרה יורדת היא כולה חסומה על ידי‬
‫‪1‬‬
‫‪1+x2‬‬
‫האיבר הראשון‬
‫·‬
‫מתכנס(‪ .‬על פי המשפט האחרון )משפט‪¶ µ‬‬
‫‪ ( µ‬מתקיים‬
‫שיכול לשמש לה מזורנטה )ושחישבנו לו כבר את האינטגרל הלא אמיתי‪ ,‬והוא‬
‫‪x2 −n‬‬
‫‪) dx = I‬‬
‫‪n‬‬
‫‪(1 +‬‬
‫´‬
‫∞‬
‫‪0‬‬
‫‪lim‬‬
‫∞→‪n‬‬
‫כדי לחשב את הסדרה המספרית של האינטגרלים ומצוא את גבולה‪ ,‬נבצע שינוי משתנה קלאסי = ‪x‬‬
‫√‬
‫√‬
‫‪2‬‬
‫‪dx‬‬
‫‪ dϕ‬שרושמים גם כ‬
‫‪ x(ϕ) = n tan ϕ‬שמקיים ‪ .(1 + xn ) = 1 + tan2 ϕ = cos12 ϕ‬כמובן ‪= n cos12 ϕ‬‬
‫√‬
‫‪ dx = n cos12 ϕ dϕ‬ונקבל‬
‫√‬
‫‪cos2n−2 ϕ ndϕ‬‬
‫´‬
‫‪π/2‬‬
‫‪0‬‬
‫‪x2 −n‬‬
‫‪) dx = lim‬‬
‫∞→‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫‪(1 +‬‬
‫´‬
‫∞‬
‫‪0‬‬
‫‪I = lim‬‬
‫∞→‪n‬‬
‫על פי הטענה המקדימה לנוסחת ואליס והנוסחא עצמה ניתן לרשום‬
‫‪s‬‬
‫‪r‬‬
‫‬
‫‪2‬‬
‫‪π‬‬
‫√ ‪2‬‬
‫‪n‬‬
‫!!)‪π (2n − 3‬‬
‫!!)‪(2n − 3‬‬
‫‪π 1‬‬
‫‪n‬‬
‫‪= lim‬‬
‫)‪(2n − 1‬‬
‫√ =‬
‫‪= π/2‬‬
‫‪n→∞ 2‬‬
‫!!)‪2 (2n − 2‬‬
‫!!)‪(2n − 2‬‬
‫‪2n − 1‬‬
‫‪2 2 π‬‬
‫‬
‫סוף שיעור ‪9‬‬
‫‪56‬‬
‫√‬
‫‪I = lim‬‬
‫∞→‪n‬‬
‫‪5.2.6‬‬
‫על גזירה וגבול‬
‫נחזור על כמה דוגמאות המדגימות את הבעייתיות בהחלפת נגזרת וגבול‪.‬‬
‫‪¹‬‬
‫‪¹‬‬
‫)‪sin(nx‬‬
‫‪n‬‬
‫‪u‬‬
‫= )‪ fn (x‬בכל קטע‪ fn → 0 .‬אבל )‪fn0 (x) = cos(nx‬‬
‫‪u‬‬
‫‪2−2n2 x2‬‬
‫‪(1+n2 x2 )2‬‬
‫אין לו גבול נקודתי ברוב הנקודות‬
‫‪ fn (x) = 1+n2x2 x2‬בכל קטע‪fn → 0 .‬‬
‫‪ fn0 (x) → 0‬לכל ‪ x‬אחר כאשר ∞ → ‪ .n‬בפרט אין שאיפה במ"ש של הנגזרות‪.‬‬
‫אבל‬
‫המשפט העיקרי על החלפת גבול ונגזרת )) ‪= lim(fn0‬‬
‫= )‪ fn0 (x‬ולכן ‪ fn0 (0) = 2‬לכל ‪n‬‬
‫ואילו‬
‫‪ ((lim fn )0‬לכן דורש הרבה תנאים‪ .‬נוכל להחליף‬
‫אם הנגזרות בעצמן מתכנסות במ"ש )למשהו ־ ואז ינבע שזו נגזרתה של הפונקציה הגבולית( ובנוסף‬
‫הדרישה היא שהן רציפות ושיש נקודה בה הסדרה המקורית מתכנסת‪ .‬לרב ההתכנסות הנקודתית ידועה‬
‫בכל הנקודות ולא רק באחת‪ ,‬אבל משום שאחת מספיקה אנו מנסחים זאת כך‪.‬‬
‫משפט ‪] 5.16‬על החלפת נגזרת וגבול[ תהיינה ‪ g, fn : [a, b] → R‬כך ש ]‪fn ∈ C 1 [a, b‬‬
‫)א( קיימת נקודה ]‪ x0 ∈ [a, b‬כך ש ) ‪ fn (x0‬מתכנסת )לגבול סופי(‬
‫‪u‬‬
‫)ב( מתקיים ‪fn0 → g‬‬
‫‪u‬‬
‫אזי קיימת ‪ f : [a, b] → R‬כך ש ‪ f 0 = g‬וכן ‪. fn → f‬‬
‫‪Pn‬‬
‫‪1‬‬
‫‪k‬‬
‫= )‪ .fn (x‬סדרת הנגזרות היא‬
‫נראה דוגמא לשימוש לפני ההוכחה‪ :‬נביט בקטע ] ‪ [0, 2‬בסדרה ‪k=0 x‬‬
‫‪Pn−1‬‬
‫‪ . k=0 kxk‬המשפט יאמר לנו מדוע השוויון האמצעי בשורה הבאה תקף‪ ,‬ויתר על כן‪ ,‬ההתכנסות של‬
‫ונניח שמתקיים‬
‫הטור משמאל לפנקציה מימין היא במ"ש‪.‬‬
‫‪1 0‬‬
‫‪1‬‬
‫= )‬
‫‪1−x‬‬
‫‪(1 − x)2‬‬
‫( = ‪kxk = lim fn0 = (lim fn )0‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫‪k=0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ 1−x‬לכן תנאי )א( מתקיים בכל נקודה בקטע‪ .‬כמוכן‪ ,‬קיימת ‪g‬‬
‫הסדרה ‪ fn‬מתכנסת נקודתית לפונקציה‬
‫‪u‬‬
‫‪1‬‬
‫‪n 0‬‬
‫כך ש ‪ fn0 → g‬משום שסדרת הנגזרות מקיימת ‪ |(x ) | ≤ n 2n−1‬וכעת ניץן להראות שמתקיים קריטריון‬
‫קושי במ"ש‪:‬‬
‫‪→n>m→∞ 0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2k−1‬‬
‫‪k‬‬
‫‪n‬‬
‫‪X‬‬
‫‪k=m‬‬
‫≤|‬
‫‪k−1‬‬
‫‪kx‬‬
‫‪n‬‬
‫‪X‬‬
‫| ‪= sup‬‬
‫‪x∈[0,1/2] k=m‬‬
‫מכאן נובע על פי המשפט האחרון השוויון ‪lim fn0 = (lim fn )0‬‬
‫הוכחה‪] :‬של משפט½¼»‪º‬‬
‫‪0‬‬
‫‪fm‬‬
‫|)‪(x‬‬
‫‪−‬‬
‫)‪|fn0 (x‬‬
‫‪sup‬‬
‫]‪x∈[0,1/2‬‬
‫ויתר על כן‪ ,‬הגבול הזה הוא במ"ש‪.‬‬
‫[ נסמן ) ‪ . c = limn→∞ fn (x0‬נגדיר את ‪f : [a, b] → R‬‬
‫‪¾ g(t)dt‬‬
‫באופן הבא‪:‬‬
‫‪x‬‬
‫‪f (x) = c +‬‬
‫‪ f‬ומשפט ניוטון לייבניץ לשיוויון השמאלי‪ ,‬משפט¿¼»‬
‫‪ º‬על‬
‫‪x0‬‬
‫נראה ראשית שנקודתית ‪→ f‬‬
‫‪ .fn‬מרציפות‬
‫‪0‬‬
‫‪n‬‬
‫החלפת גבול ואינטגרל לגבול השני‪ ,‬והגדרת ‪ f‬נקבל שלכל ‪x‬‬
‫נתון‬
‫) ‪¾ f (t)dt → ¾ g(t)dt = f (x) − f (x‬‬
‫‪ºÀ‬‬
‫‪x‬‬
‫‪0‬‬
‫‪x‬‬
‫∞→‪n‬‬
‫‪x0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪n‬‬
‫‪x0‬‬
‫= ) ‪fn (x) − fn (x0‬‬
‫‪ÁÂÃ‬‬
‫משום שידוע ) ‪ fn (x0 ) → f (x0‬נקבל שנקודתית )‪fn (x) → f (x‬‬
‫מראש(‪ .‬משום שכל ‪ fn0‬רציפות‪ ,‬לפי )ב( ומשפט‬
‫גם ‪ g‬רציפה ולכן על פי המשפט היסודי של החדו"א‬
‫‪u‬‬
‫‪] f 0 = g‬זה היה החלק המרכזי‪ .[(lim fn )0 = lim(fn0 ) ,‬כל שנותר לראות הוא כי ‪ .fn → f‬ואכן לכל ‪x‬‬
‫לכל ‪) .x‬זה החלק שעל פי רוב ידוע‬
‫מתקיים‬
‫|) ‪|fn (x) − f (x)| ≤ |fn (x) − fn (x0 ) − (f (x) − f (x0 ))| + |fn (x0 ) − f (x0‬‬
‫|) ‪Ä [f (t) − f (t)]dt| + |f (x ) − f (x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪n‬‬
‫‪0‬‬
‫‪n‬‬
‫‪x0‬‬
‫| =‬
‫|) ‪≤ |x − x0 | sup |fn0 − g| + |fn (x0 ) − f (x0‬‬
‫]‪[a,b‬‬
‫|) ‪≤ (b − a) sup |fn0 − g| + |fn (x0 ) − f (x0‬‬
‫]‪[a,b‬‬
‫צד ימין של אי השוויון איננו תלוי ב־‪ x‬ולכן ניתן לקחת ]‪ supx∈[a,b‬ולהסיק שעבור ‪n0‬‬
‫האברים קטנים כרצוננו‪ ,‬נאמר יהיה ‪ ε > 0‬אז ניתן לבחור את ‪ n0‬כל שלכל ‪ n > n0‬שניהם קטנים מ‬
‫‪ ε/2‬וסיימנו‪.‬‬
‫מספיק גדול‪ ,‬שני‬
‫‪5.2.7‬‬
‫ועכשיו ־ טורי פונקציות‪ .‬הבוחן של וירשטראס‪.‬‬
‫אולי כבר שמתם לב שחלק המהדוגמאות שימושיות הן של סדרות שהן בעצם סכומים חלקיים של טורים‬
‫של פונקציות‪ .‬כל מה שעשינו כמובן תקף גם שם משום שבסה"כ מדובר על סדרות ־ סדרות הסכומים‬
‫החלקיים‪ .‬לומר שטור מתכנס במ"ש לפונקציה מסויימת משמעו שסדרת הסכומים החלקיים מתכנסת‬
‫אליה במ"ש‪ .‬מבחינת סימון יש בעיה כי אין לנו "מעל מה" לרשום את האות ‪ .u‬לכן פשוט נרשום במקרה‬
‫כזה " ‪un = f‬‬
‫‪P‬‬
‫במ"ש"‪ .‬הנה הגרסאות הטוריות של משפטים נבחרים שראינו עד כה‪ .‬כל ההוכחות הן‬
‫תירגום של טור לגבול של סדרה‪ ,‬והחלת המשפט המתאים על סדרות של פונקציות‪.‬‬
‫החלפת סכום אינסופי ואינטגרל )משפט‪ ÁÂÃ‬ומשפט‪ÁÂÅÆ‬‬
‫‪ Ç‬רציפות‪,‬‬
‫‪P‬‬
‫‪un = f‬‬
‫∞‬
‫‪n=0‬‬
‫במ"ש‪ .‬אז ]‪f ∈ C[a, b‬‬
‫ומתקיים‬
‫‪Ä u (t)dt‬‬
‫‪b‬‬
‫‪n‬‬
‫‪a‬‬
‫‪Ç‬‬
‫‪Ç‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫( תהיינה ]‪un ∈ C[a, b‬‬
‫ונניח ש‬
‫= ‪Ä f (t)dt‬‬
‫‪n=0‬‬
‫‪b‬‬
‫‪a‬‬
‫‪ÁÂÅÈ‬‬
‫( תהיינה ]‪ f, un ∈ C[a, b‬כך ש ‪un ≥ 0‬‬
‫משפט דיני לטורים )משפט‬
‫‪P‬‬
‫‪P‬‬
‫= ‪ f‬במ"ש‪) .‬משום שהסדרה ‪ Sn‬מונוטונית עולה(‪.‬‬
‫= ‪ .f‬אזי ‪un‬‬
‫‪un‬‬
‫ונניח שנקודתית‬
‫‪ÁÂÅÉ‬‬
‫(‪ .‬נניח כי ]‪un ∈ C 0 [a, b‬‬
‫החלפת נגזרת וסכום אינסופי ־ נקרא גם "גזירה איבר איבר" )משפט‬
‫‪P‬‬
‫‪P‬‬
‫‪P 0‬‬
‫= ‪,f‬‬
‫מתכנס‪ .‬אזי קיימת ‪un‬‬
‫= ‪ g‬במ"ש וכן שקיימת נקודה בה ∞ < ) ‪un (x0‬‬
‫ונניח כי ‪un‬‬
‫‪P 0‬‬
‫‪P‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫במ"ש‪ ,‬וכן ‪un‬‬
‫= ‪.( u n ) = f‬‬
‫משפט שייחודי לטורים הוא ה ‪M‬‬
‫בוחן של ויירשטראס )ניתן לנסח אותו לסדרות אך הדבר אינו טבעי‬
‫שכן הוא עוסק בסדרת ההפרשים‪ ,‬שבטורים זה פשוט אברי הטור(‪.‬‬
‫‪58‬‬
‫משפט ‪] 5.17‬ה ‪ M‬בוחן של וירשטראס[ תהיינה ‪ un : [a, b] → R‬ונניח שקיימת סדרת מספרים ‪Mn‬‬
‫‪P‬‬
‫‪P‬‬
‫מתכנס בהחלט‬
‫∞ כך שלכל ‪ x‬ולכל ‪ n‬מתקיים ‪ .|un (x)| ≤ Mn‬אזי ‪un‬‬
‫המקיימת ∞ < ‪n=1 Mn‬‬
‫ובמ"ש‪.‬‬
‫‪Pn‬‬
‫‪ÊËÌ‬‬
‫= )‪) Sn (x‬וגם הסדרה |)‪|uj (x‬‬
‫הוכחה‪ :‬נשים לב שהסדרה )‪uj (x‬‬
‫‪ .‬אכן קיים ‪ n0‬כך ש‬
‫ונשתמש במשפט‬
‫‪j=1‬‬
‫‪n, m > n0‬‬
‫‪Mj < ε‬‬
‫‪m‬‬
‫‪X‬‬
‫‪j=n‬‬
‫‪5.2.8‬‬
‫≤ |)‪|uj (x‬‬
‫‪m‬‬
‫‪X‬‬
‫‪Pn‬‬
‫‪j=1‬‬
‫‪uj (x)| ≤ sup‬‬
‫‪x∈[a,b] j=n‬‬
‫( היא סדרת קושי במ"ש‪,‬‬
‫‪m‬‬
‫‪X‬‬
‫‪j=n‬‬
‫| ‪sup‬‬
‫]‪x∈[a,b‬‬
‫אבל ודיריכלה לטורי פונקציות‬
‫זהו סעיף שידונו בו איתכם בתירגול שכן הדמיון להוכחת המשפטים המתאימים בטורי מספרים הוא גדול‬
‫מאוד‪ .‬נעיר שאנו נזדקק לתוצאות האלה בפרק הבא של טורי חזקות‪ .‬המלצה ־ אל תמתינו לתירגול‪,‬‬
‫נסו להיזכר בהוכחות מחדו"א ‪ 1‬ולהתאים אותן לטורי פונקציות ולהתכנסות במ"ש‪.‬‬
‫משפט ‪] 5.18‬קריטריון אבל[ תהיינה ‪ak (x), bk (x) : [a, b] → R‬‬
‫∞‪P‬‬
‫מתכנסת במ"ש ב ]‪ [a, b‬וכן כי הסדרה })‪ {an (x‬מונוטונית ב ‪ n‬לכל ‪ x‬קבוע‪ ,‬וחסומה‬
‫)‪n=1 bn (x‬‬
‫‪P‬‬
‫מתכנס במ"ש בקטע ]‪.[a, b‬‬
‫(‪ .‬אזי הטור )‪an (x)bn (x‬‬
‫במידה אחידה )הזכרו בהגדרה‬
‫סדרות של פונקציות‪.‬‬
‫נניח כי‬
‫‪ÊËÍ‬‬
‫משפט ‪] 5.19‬קריטריון דיריכלה[ תהיינה ‪ak (x), bk (x) : [a, b] → R‬‬
‫‪P‬‬
‫‪ SN (x) = N‬חסומה במידה אחידה ב ]‪ [a, b‬וכן כי הסדרה })‪ {an (x‬מונוטונית ב ‪ n‬לכל ‪x‬‬
‫)‪n=1 bn (x‬‬
‫‪P‬‬
‫מתכנס במ"ש בקטע ]‪.[a, b‬‬
‫קבוע‪ ,‬ושואפת ל ‪ 0‬במ"ש‪ .‬אזי הטור )‪an (x)bn (x‬‬
‫‪P‬‬
‫כאשר ‪ an → 0‬מונוטונית‪ .‬כדי להשתמש בקריטריון דיריכלה‪,‬‬
‫כדוגמא‪ ,‬נרצה לדון בטור )‪an sin(nx‬‬
‫‪P‬‬
‫‪ N‬חסום‪ .‬אכן‪ ,‬תוך שימוש בכך ש ])‪sin(α) sin(β) = 12 [cos(α − β) − cos(α + β‬‬
‫נבדוק כי )‪n=1 sin(nx‬‬
‫סדרות של פונקציות‪.‬‬
‫נקבל‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫) (‪BN (x) sin( ) = sin(x) sin( ) + sin(2x) sin( ) + · · · sin(N x) sin‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪x‬‬
‫‪3x‬‬
‫‪3x‬‬
‫‪5x‬‬
‫=‬
‫‪[cos( ) − cos( ) + cos( ) − cos( ) +‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2N − 1‬‬
‫‪2N + 1‬‬
‫(‪. . . + cos‬‬
‫(‪x) − cos‬‬
‫])‪x‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪x‬‬
‫‪2N + 1‬‬
‫=‬
‫(‪[cos( ) − cos‬‬
‫])‪x‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫ולכן‬
‫)‪sin( N 2+1 x) sin( N2 x‬‬
‫)‪cos( x2 ) − cos( 2N2+1 x‬‬
‫=‬
‫) ‪2 sin( x2‬‬
‫) ‪sin( x2‬‬
‫‪59‬‬
‫= )‪BN (x‬‬
‫נניח כי‬
‫ובכל תת קבוצה בה ‪BN‬‬
‫חסומה )למשל ב ]‪ ([π/4, 3π/4‬יש התכנסות במ"ש‪ .‬שאלה למחשבה‪ :‬האם יש‬
‫התכנסות במ"ש בקטע שמכיל אפסים של )‪?sin(x/2‬‬
‫סוף שיעור ‪10‬‬
‫‪60‬‬
‫‪5.3‬‬
‫בניית פונקציה רציפה ולא גזירה באף נקודה‬
‫בסעיף זה נבנה פונקציה שהיא רציפה אך איננה גזירה באף נקודה‪.‬‬
‫הערות ‪ 5.20‬ראשית נעיר כמה הערות היסטוריות על בנייה שכזו‪ 1861 .‬רימן מנחש את הדוגמא‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫)‪sin(n2 x‬‬
‫‪n2‬‬
‫= )‪R(x‬‬
‫‪n=1‬‬
‫ללא הוכחה‪.‬‬
‫‪ 1872‬ויירשטראסס נתן דוגמא אחרת של פונקציה בעלת התכונות הללו‪ ,‬כולל הוכחה‪ .‬הוא בחר )‪a ∈ (0, 1‬‬
‫‪ ab > 1 + 3π‬ולקח את‬
‫ו ‪ 1 < b ∈ N‬כך ש‬
‫‪2‬‬
‫)‪ak cos(bk πx‬‬
‫‪X‬‬
‫= )‪W (x‬‬
‫‪ 1916‬הארדי מוכיח ש )‪ R(x‬איננה גזירה בכפולות אירציונליות של ‪π‬‬
‫‪p‬‬
‫‪ Grever 1969‬מוכיח ש )‪ R(x‬גזירה רק ב ‪ q π‬עבור ‪ p, q ∈ Z‬אי זוגיים‪ .‬לא נדון בדוגמאות אלה לעומק‪,‬‬
‫ובכפולות מסוימות רציונלאיות שלו‪.‬‬
‫אך מאנליזת פורייה כן נוכל להראות כי‬
‫)‪2−αn cos(2n x‬‬
‫איננה גזירה באף נקודה עבור ‪< α < 1‬‬
‫‪.0‬‬
‫‪X‬‬
‫נפנה לבניית הפונקצייה "שלנו"‪ .‬לשם כך נגדיר פונקציית מסור חיובית בעלת מחזור ‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫ובעלת אמפליטודה‬
‫על ידי‬
‫‪0 ≤ x ≤ 1/2‬‬
‫‪‬‬
‫‪x‬‬
‫‪1 − x 1/2 ≤ x ≤ 1‬‬
‫= )‪u0 (x‬‬
‫)‪u0 (x + 1) = u0 (x‬‬
‫ונגדיר פונקציות מסור נוספות על ידי‬
‫‪uk (x) = u0 (4k x)/4k‬‬
‫שהן חיוביות‪ ,‬בעלות מחזור‬
‫∞‪P‬‬
‫‪1‬‬
‫‪4k‬‬
‫‪1‬‬
‫‪. 2·4‬‬
‫ובעלות אמפליטודה ‪k‬‬
‫נביט בטור )‪ . j=0 uj (x‬על פי הבוחן של וירשטראסס הוא מתכנס במ"ש בכל ‪R‬‬
‫פונקציה רציפה על ‪ .R‬נסמן אותה ב ‪.f‬‬
‫משפט ‪ 5.21‬הפונקציה ‪f : R → R‬‬
‫שהוגדרה מעלה איננה גזירה באף נקודה‪.‬‬
‫‪ÎÏ‬‬
‫ובפרט מגדיר‬
‫איור ‪ :20‬הפונקציות ‪ u0 , u1 , u2‬בקטע ]‪[0, 1‬‬
‫הוכחה‪ :‬נקבע נקודה ‪ x0 ∈ R‬ונראה שלא קיימת ) ‪ .f 0 (x0‬נשים לב שכל פונקציה ‪uj‬‬
‫‪m‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ 2·4‬ל ‪ .m ∈ N‬נסמן את המספר הטבעי המשוייך‬
‫אינטרואלים מאורך ‪ 4j ·2‬שמתחילים במספר מהצורה ‪j‬‬
‫‪mn‬‬
‫‪mn +1‬‬
‫‪ . 2·4‬נסמן גם את תת הקטע‬
‫לפונקציה ‪ un‬ב ‪ ,mn‬דהיינו ] ‪ mn = [2 · 4n x0‬ומקיים‬
‫≤ ‪n ≤ x0‬‬
‫‪2·4n‬‬
‫‪mn mn +1‬‬
‫‪ . ∆n = [ 2·4‬מתקיים ‪ |∆n | = 2·41 n‬וכן‬
‫המתאים ב ] ‪n , 2·4n‬‬
‫היא ליניארית על‬
‫} ‪∩ ∆j = {x0‬‬
‫‪and‬‬
‫· · · ⊃ ‪∆0 ⊃ ∆1 ⊃ ∆2 ⊃ · · · ⊃ ∆n‬‬
‫‪1‬‬
‫| ‪|∆n‬‬
‫‪2‬‬
‫כעת נבנה סדרה ‪ xn → x0‬באופן הבא‪ :‬ניתן לבחור בכל ‪ ∆n‬נקודה ‪xn‬‬
‫מהנקודה ‪ .x0‬ממחזוריות של ‪ uj‬עבור ‪ j > n‬יתקיים לכל ‪ j > n‬ש ) ‪ uj (xn ) = uj (x0‬כי ‪ |∆n |/2‬הוא‬
‫כפולה שלמה של מחזור של ‪ uj‬כזו‪ .‬לכן‬
‫שנמצאת במרחק‬
‫‪n‬‬
‫) ‪f (xn ) − f (x0 ) X uj (xn ) − uj (x0‬‬
‫=‬
‫‪xn − x0‬‬
‫‪xn − x0‬‬
‫‪j=0‬‬
‫אבל עבור ‪ j ≤ n‬מתקיים כי ‪ xn‬ו־ ‪ x0‬נמצאים באותו אינטרואל ‪ ∆j‬ולכן השיפוע של הגרף של ‪uj‬‬
‫או ‪ +1‬או ‪ . −1‬מדובר אם כן בכל שלב בסדרה בסכום סופי שאיבריו הם ‪ .±1‬סכום כזה נותן מספר‬
‫זוגי כאשר ‪ n‬איזוגי ומספר איזוגי כאשר ‪ n‬זוגי‪ ,‬ובפרט הסדרה לא יכולה להתכנס כאשר ∞ → ‪ .n‬אולם‪,‬‬
‫‪ xn → x0‬כאשר ∞ → ‪ n‬ולכן אילו ‪ f‬הייתה גזירה ב־ ‪ x0‬צריך היה להתקיים‬
‫הוא‬
‫) ‪f (xn ) − f (x0‬‬
‫∞→‪n‬‬
‫‪xn − x0‬‬
‫‪f 0 (x0 ) = lim‬‬
‫ובפרט הגבול צריך היה להיות קיים‪ .‬לכן אין גזירות בנקודה ‪.x0‬‬
‫‪5.4‬‬
‫משפט ויירשטראסס על צפיפות הפולינומים ברציפות‬
‫משפט ‪] 5.22‬ויירשטראסס[ לכל ]‪ f ∈ C[a, b‬ולכל ‪ ε > 0‬קיים פולינום )‪P (x‬‬
‫כך ש‬
‫‪max |f (x) − P (x)| < ε‬‬
‫]‪[a,b‬‬
‫‪u‬‬
‫הערות ‪ 5.23‬באופן שקול ניתן לומר שלכל פונקציה רציפה יש סדרה של פולינומים ‪ Pn‬כך ש ‪→ f‬‬
‫‪.P n‬‬
‫לכן ברור שלא כל תכונה טובה כמו גזירות למשל תעבור תחת לקיחת גבול במ"ש‪ ,‬אחרת לא היתה‬
‫‪62‬‬
‫אפשרות לדוגמא שבנינו בפרק האחרון‪.‬‬
‫נעיר גם שהפולינומים הללו לא תמיד יהיו טור טיילור של‬
‫הפונקציה‪ ,‬ובפרט ישנם מקרים בהם טור טילור סביב נקודה מסויימת יוצא כל הזמן ‪0‬‬
‫אף כי הפונקציה‬
‫רציפה וניתן לקרב אותה עם פולינומים‪ .‬זה אפילו לא מבטיח שהקירוב הוא "טור חזקות" שכן ייתכן‬
‫שצריך לשנות את האיברים בכל שלב‪ ,‬נדון על כך בפרק הבא עלינו לטובה של טורי חזקות‪ .‬הערה נוספת‬
‫היא שהמקרה ]‪ [a, b] = [0, 1‬הוא כללי שכן ניתן לבצע שינוי משתנה ליניארי ))‪= f (a + t(a − b‬‬
‫‪t−a‬‬
‫‪.P (x) = Q( b−a‬‬
‫לקרב את ‪ F‬על ידי ‪ Q‬פולינום ואז להגדיר )‬
‫הוכחה‪ :‬על פי ההערה‪ ,‬מספיק להוכיח עבור ‪f : [0, 1] → R‬‬
‫)‪,F (t‬‬
‫רציפה‪ .‬נגדיר את‬
‫‪n‬‬
‫‪X‬‬
‫ ‬
‫‪k n k‬‬
‫‪x (1 − x)n−k‬‬
‫= )‪Bn (x‬‬
‫) (‪f‬‬
‫‪k‬‬
‫‪n‬‬
‫‪k=0‬‬
‫זו כמובן נוסחה שצריכה להזכיר לכם את הבינום מהסתברות‪ .‬ליתר דיוק‪ ,‬אם )‪Xi ∼ B(0, x‬‬
‫‪n‬‬
‫תלויים זאת אומרת כל אחד מקבל ערך ‪ 1‬בהסתברות ‪ x‬ו־‪ 0‬אחרת ומסמנים‬
‫‪ X = X1 +···+X‬אז אז‬
‫‪n‬‬
‫)‪ .Ef (X) = Bn (x‬נזדקק לשתי נוסחאות פשוטות שודאי נתקלתם גם בהן במבוא להסתברות‪:‬‬
‫בלתי‬
‫‪xk (1 − x)n−k = (x + (1 − x))n = 1‬‬
‫כעת נחשב את‬
‫ ‪n‬‬
‫‪X‬‬
‫‪n‬‬
‫‪k‬‬
‫‪k=0‬‬
‫ ‪n‬‬
‫‪X‬‬
‫)‪x(1 − x‬‬
‫‪n k‬‬
‫‪1‬‬
‫= ‪( − x)2 xk (1 − x)n−k‬‬
‫≤‬
‫‪k n‬‬
‫‪n‬‬
‫‪4n‬‬
‫‪k=0‬‬
‫ ‬
‫‪n k‬‬
‫‪x (1 − x)n−k‬‬
‫‪k‬‬
‫ונפרק לשני גורמים כתלות בפרמטר ‪δ‬‬
‫ ‬
‫‬
‫‪n k‬‬
‫‪k‬‬
‫) ( ‪f (x) − f‬‬
‫‪x (1 − x)n−k‬‬
‫‪n‬‬
‫‪k‬‬
‫‪k‬‬
‫) ( ‪f (x) − f‬‬
‫‪n‬‬
‫ ‪n‬‬
‫‪X‬‬
‫‪k=0‬‬
‫= )‪f (x) − Bn (x‬‬
‫שנבחר מייד‪:‬‬
‫‪X‬‬
‫‪k‬‬
‫‪{k:| n‬‬
‫}‪−x|≥δ‬‬
‫ ‬
‫‪n k‬‬
‫‪x (1 − x)n−k +‬‬
‫‪k‬‬
‫‪k‬‬
‫) ( ‪f (x) − f‬‬
‫‪n‬‬
‫‬
‫‪X‬‬
‫‪k‬‬
‫‪{k:| n‬‬
‫}‪−x|<δ‬‬
‫מרציפות במ"ש קיימת ‪ δ > 0‬כך שאם ‪ |x − nk | < δ‬אז ‪− f ( nk )| < ε/2‬‬
‫חסום על ידי ‪ .ε/2‬הסכום השני מקיים‪ ,‬עבור ‪ M‬החסם של | ‪,|f‬‬
‫ ‬
‫‬
‫‪X ( k − x)2 n‬‬
‫‪n k‬‬
‫‪k‬‬
‫‪2M 1‬‬
‫‪n−k‬‬
‫‪n‬‬
‫)‪x (1 − x‬‬
‫) ( ‪f (x) − f‬‬
‫‪≤ 2M‬‬
‫‪xk (1 − x)n−k ≤ 2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪k‬‬
‫‪n‬‬
‫‪δ‬‬
‫‪k‬‬
‫‪δ 4n‬‬
‫)‪ ,|f (x‬ולכן הסכום הראשון‬
‫כך שעבור ‪n‬‬
‫‪X‬‬
‫‪k‬‬
‫‪{k:| n‬‬
‫}‪−x|≥δ‬‬
‫גדולים מספיק‪ ,‬גם סכום זה חסום על ידי ‪.ε/2‬‬
‫את ההוכחה של הנוסחאות‪ ,‬מי שלא מכיר ־ הראשונה זה פשוט הבינום והשנייה נובעת או מהסתברות‬
‫סטנדרטית )שונות של סכום של משתנים בינומיים בלתי תלויים( או מחשבון פשוט של סכומים‪ .‬הנה‬
‫תקציר ההוכחות הללו‪ X ∼ B(0, x) :‬אז ‪ EX = x‬ו )‪V ar(X) = E(X − EX) = x(1 − x‬‬
‫‪ÐÑ‬‬
‫ולכן אם‬
‫‪P‬‬
‫‪ Sn = n1 n1 Xi‬סכום עותקים בת"ל יתקיים ‪ESn = x‬‬
‫‪P "n k‬‬
‫‪( − x)2 xk (1 − x)n−k‬‬
‫= ) ‪.V ar(Sn‬‬
‫‪k n‬‬
‫ו‬
‫)‪x(1−x‬‬
‫‪n‬‬
‫=‬
‫) ‪ .V ar(Sn‬מצד שני חישוב ישיר יתן‬
‫ללא ידע בהסתברות‪ :‬הבינום הרגיל נותן‬
‫‪pk q n−k = (p + q)n‬‬
‫ונגזור לפי ‪ p‬ואז נכפול ב ‪p‬‬
‫ ‪n‬‬
‫‪X‬‬
‫‪n‬‬
‫‪k‬‬
‫‪0‬‬
‫ונקבל‬
‫‪d‬‬
‫‪(p + q)n ) = np(p + q)n−1‬‬
‫‪dp‬‬
‫(‪kpk q n−k = p‬‬
‫ ‪n‬‬
‫‪X‬‬
‫‪n‬‬
‫‪k‬‬
‫‪0‬‬
‫נעשה זאת שנית ונקבל‬
‫‪d‬‬
‫) ‪np(p + q)n−1‬‬
‫‪dp‬‬
‫(‪k 2 pk q n−k = p‬‬
‫]‪= n(n − 1)p2 (p + q)n−2 + np(p + q)n−1 = np(p + q)n−2 [np + q‬‬
‫ולאחר הצבת ‪ p = x‬ו ‪q = 1 − x‬‬
‫ ‪n‬‬
‫‪X‬‬
‫‪n‬‬
‫‪k‬‬
‫‪0‬‬
‫נקבל‬
‫ ‪n‬‬
‫‪X‬‬
‫‪n‬‬
‫‪kxk (1 − x)n−k = nx‬‬
‫‪k‬‬
‫‪0‬‬
‫ ‪n‬‬
‫‪X‬‬
‫‪n 2 k‬‬
‫)‪k x (1 − x)n−k = nx(1 + (n − 1)x‬‬
‫‪k‬‬
‫‪0‬‬
‫‬
‫‬
‫‪n‬‬
‫‪X n‬‬
‫)‪(k − nx)2 xk (1 − x)n−k = nx(1 + (n − 1)x) − 2nx(nx) + n2 x2 = nx(1 − x‬‬
‫‪k‬‬
‫‪0‬‬
‫‪6‬‬
‫טורי חזקות‬
‫טורי חזקות נידונו במידה מסויימת בחדוא ‪ 1‬א‪ ,‬אך כעת אנו שבים אליהם בפרספקטיבה יותר רחבה של‬
‫טורי פונקציות‪ .‬נחזור על חלק מהמשפטים וההוכחות עם תוספות חדשות )אך לא יזיק לקרוא שוב בעיון‬
‫את הפרק הרלוונטי מהקורס של סמסטר א(‪.‬‬
‫‪6.1‬‬
‫הגדרה‬
‫טור חזקות סביב ‪x0 = 0‬‬
‫זהו הסכום הפורמאלי‬
‫‪ak x k‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫‪k=0‬‬
‫‪64‬‬
‫וטור חזקות סביב נקודה ‪x0‬‬
‫כללית זהו הסכום הפורמאלי‬
‫‪ak (x − x0 )k‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫‪k=0‬‬
‫על פי רוב‪ ,‬משום שניתן לבצע שינוי משתנה ‪ ,x0 = x − x0‬נדון בטורי חזקות סביב ‪= 0‬‬
‫כזה הוא סדרת מספרים‪ .‬המעניין הוא לברר עבור אילו ‪x‬ים הטור הזה מתכנס‪ ,‬ולכן איננו סתם סכום‬
‫פורמאלי‪ .‬נציין את העובדה הטריויאלית שבנקודה ‪ x = x0‬הטור תמיד מתכנס‪ ,‬שכן מדובר בסכום של‬
‫אפסים‪ .‬נציין גם שקל לייצר טור שלא מתכנס באף נקודה אחרת‪ ,‬למשל אם נבחר !‪ ,ak = k‬מקרה בו‬
‫האיבר הכללי לא שואף ל ‪ .0‬נעיר גם שקל לבנות טור שיתכנס בכל ‪ ,R‬למשל על ידי בחירת ‪ak = k!1‬‬
‫שנותן את טור טיילור של ‪.ex‬‬
‫‪ .x0‬בעצם טור‬
‫‪6.2‬‬
‫רדיוס התכנסות של טור חזקות‬
‫כבר ראינו בחדו"א ‪ 1‬כי קבוצת כל ה ‪x‬‬
‫ים עבורם טור חזקות מסויים )סביב ‪ 0‬נאמר( מתכנס היא קטע‬
‫סימטרי‪ ,‬למעט ההתנהגות בקצוות הקטע שלא חייבת להיות זהה‪) .‬למעשה כשמדובר במשתנה מרוכב‪,‬‬
‫קבוצת ההתכנסות תהיה "דיסק"‪ ,‬אך בקורס אנחנו דנים בעיקר בתחום ממשי‪ (.‬נחזור על ההוכחה בצירוף‬
‫הטענה שההתכנסות הינה במ"ש‪.‬‬
‫‪P‬‬
‫‪k‬‬
‫∞ ‪ .‬אם הטור מתכנס בנקודה ‪ x0‬כך ש ‪= r‬‬
‫למה ‪] 6.1‬התכנסות בדיסק[ נביט בטור ‪k=0 ak x‬‬
‫לכל ‪ r 0 < r‬הטור מתכנס בהחלט ובמ"ש בקטע ] ‪.[−r 0 , r 0‬‬
‫∞‪P‬‬
‫‪k‬‬
‫מתכנס‪ ,‬האיבר הכללי שלו שואף לאפס ובפרט חסום‪ .‬נאמר‬
‫הוכחה‪ :‬משום שהטור ‪k=0 ak x0‬‬
‫‪0‬‬
‫∞ < ‪ .supk |ak xk0 | = M‬יהי | ‪ r 0 < r = |x0‬ונסמן ‪ q = rr‬אז ‪ |q| < 1‬ומתקיים עבור ‪ x‬כך ש‬
‫‪|x| ≤ r0‬‬
‫| ‪ ,|x0‬אז‬
‫‪| ≤ M qk‬‬
‫משום שהטור ∞ < ‪M q k‬‬
‫] ‪.[−r 0 , r 0‬‬
‫‪P‬‬
‫‪k‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x0‬‬
‫‬
‫|·‬
‫| ‪|ak xk0‬‬
‫‪k‬‬
‫= | ‪|ak x‬‬
‫מהבוחן של ויירשטראסס הטור המקורי מתכנס בהחלט ובמ"ש על הקטע‬
‫נעיר שבפרט מקבלים שהגבול רציף בקטע )‪ ,(−r, r‬ושניתן לבצע אינטגרציה איבר איבר בתחום ] ‪[−r0 , r0‬‬
‫לכל ‪ r 0 < r‬ולכן גם בתחום כולו ־ אם האינטגרלים מתכנסים‪.‬‬
‫מסקנה ‪] 6.2‬משפט אבל[ לכל טור חזקות ‪ak xk‬‬
‫}‪R‬הטור מתכנס ובתחום }‪ {x : |x| > R‬הטור מתבדר‪.‬‬
‫‪P‬‬
‫‪ R = sup{|x| :‬ועל פי הלמה סיימנו‪.‬‬
‫הוכחה‪ :‬נסמן }∞ < ‪ak xk‬‬
‫‪P‬‬
‫קיים מספר ]∞ ‪ R ∈ [0,‬כך שבתחום < |‪{x : |x‬‬
‫שוב‪ ,‬כבר נוכחנו בחדו"א ‪ 1‬שיש נוסחא סגורה למספר הזה )שנקרא רדיוס ההתכנסות של הטור( במונחים‬
‫של המקדמים‪ .‬הנוסחא נתונה במשפט הבא‪.‬‬
‫‪ÒÓ‬‬
‫משפט ‪] 6.3‬משפט קושי הדמרד[ נביט בטור ‪ak xk‬‬
‫∞‪P‬‬
‫‪k=0‬‬
‫הבאה‪:‬‬
‫‪ .‬רדיוס ההתכנסות שלו נתון על ידי הנסחא‬
‫‪1‬‬
‫‪= lim sup |ak |1/k‬‬
‫‪R‬‬
‫∞→‪k‬‬
‫כאשר ‪= 0‬‬
‫‪1‬‬
‫∞‬
‫הוכחה‪ :‬נסמן‬
‫הסגור‪.‬‬
‫ו∞=‬
‫‬
‫‪1/k −1‬‬
‫‪. 10‬‬
‫"‬
‫| ‪ R = lim supk→∞ |ak‬ונראה התכנסות ב )‪(−R, R‬‬
‫והתבדרות מחוץ לקטע‬
‫‪q lim sup1|ak |1/k‬‬
‫< |‪|x‬‬
‫)א( נניח ש ‪ .|x| < R‬לכן קיים ‪ q < 1‬כך ש ‪ .|x| < qR‬לכן‬
‫‪q‬‬
‫‪q‬‬
‫|‪ .lim supk→∞ |ak |1/k < |x‬לפי הגדרת ‪ lim sup‬קיים ‪ k0‬כך שלכל ‪ k ≥ k0‬מתקיים |‪ .|ak |1/k ≤ |x‬לכן‬
‫"‬
‫‪k‬‬
‫‪|ak xk | ≤ |ak |1/k |x| ≤ q k‬‬
‫זאת אומרת‬
‫ומשום ש ‪ q < 1‬אנו עומדים בבוחן של ויירשטראס ויש התכנסות ∞ < | ‪|ak xk‬‬
‫‪Q‬‬
‫)ב( נניח ש ‪ . |x| > R‬אזי לאיזשהו ‪ Q > 1‬מתקיים ‪ .|x| > QR‬ולכן |‪ . lim supk→∞ |ak |1/k > |x‬לפי‬
‫הגדרת ‪ lim sup‬קיימת תת"ס ‪ (nj )j∈N‬כך ש |‪ |akj |1/kj ≥ Q/|x‬לכל ‪ ,j‬ולכן האיבר הכללי של הטור לא‬
‫‪P‬‬
‫‪.‬‬
‫ישאף לאפס שכן על תת סדרה זו‬
‫∞ → ‪|akj xkj | ≥ (Q)kj‬‬
‫ובפרט לא תיתכן התכנסות‪ .‬לכן‪ ,‬על פי המסקנה הקודמת‪= R ,‬‬
‫‪.R‬‬
‫הדיון עד כה לא נתן לנו כלים להחליט מה קורה בקצות תחום ההתכנסות‪ ,‬דהיינו ב ‪±‬‬
‫רדיוס ההתכנסות‪.‬‬
‫ראשית שימו לב שעבור טור חזקות קונקרטי ניתן לרשום במפורש את הטור בקצוות ולהשתמש בכלים‬
‫של טורים מספריים על מנת לחקור התכנסות‪ .‬נפתח בכמה דוגמאות‪:‬‬
‫‪Ô‬‬
‫‪Ô‬‬
‫‪Ô‬‬
‫הטור‬
‫‪P xk‬‬
‫!‪k‬‬
‫הטור ‪k!xk‬‬
‫כאן‬
‫‪P‬‬
‫‪1‬‬
‫!‪k‬‬
‫= ‪ ak‬ולכן ‪= 0‬‬
‫‪1/k‬‬
‫‪ lim sup ak‬ולכן ∞ =‬
‫כאן !‪ ak = k‬ולכן ∞ =‬
‫‪P1 k‬‬
‫כאן ‪ ak = k1‬ולכן ‪= 1‬‬
‫הטור ‪x‬‬
‫‪k‬‬
‫הטור מתבדר וב ‪ x = −1‬מתכנס‪.‬‬
‫‪1/k‬‬
‫‪.R‬‬
‫‪ lim sup ak‬ולכן ‪= 0‬‬
‫‪.R‬‬
‫‪1/k‬‬
‫‪ lim sup ak‬ולכן ‪ .R = 1‬מה קורה בקצוות? ב־ ‪x = 1‬‬
‫ניתן לשאול‪ ,‬למשל‪ ,‬האם במידה ונתון )או גיליתם על פי קריטריון מסוים( שבקצה הטור יש התכנסות‪,‬‬
‫האם נובע שהגבול יהיה רציף? מסתבר שכן‪ ,‬ונדון בכך עוד מעט‪.‬‬
‫‪6.3‬‬
‫גזירות של טור חזקות‬
‫העובדה שאפשר לעשות אנטגרציה איבר איבר נובעת מהתכנסות במ"ש בכל תת קטע‪ .‬מה שיותר מפתיע‬
‫הוא שניתן לגזור גם איבר איבר‪ ,‬דבר שלא נובע ישירות מהתכנסות במ"ש כפי שכבר ראינו‪.‬‬
‫‪66‬‬
‫נשים לב שלטור ‪ak xk‬‬
‫‪P‬‬
‫יש טור של נגזרות ‪kak xk−1‬‬
‫‪P‬‬
‫אם כי בשלב זה הוא עדיין רק טור פורמלי‬
‫־ כי עוד לא אמרנו כלום על התכנסות ועל גזירות איבר איבר‪ ,‬זאת אומרת האם הטור הזה מתכנס‬
‫לפונקציה שהיא אכן הנגזרת של הפונקציה אליה מתכנס הטור השני‪ .‬העובדה שאכן כך‪ ,‬תנבע בעזרת‬
‫המשפט שכבר יש לנו על גזירות איבר איבר בתוספת של העובדה הבאה‬
‫טענה ‪] 6.4‬רדיוס התכנסות של נגזרת טור חזקות[ לטור ‪ak xk‬‬
‫אותו רדיוס התכנסות‪.‬‬
‫‪P‬‬
‫ולטור הנגזרות ‪kak xk−1‬‬
‫‪P‬‬
‫יש את‬
‫הוכחה‪ :‬מיידי‪:‬‬
‫‪lim sup ((k + 1)|ak+1 |)1/k = lim sup (k|ak |)1/k = lim sup |ak |1/k‬‬
‫נעיר מיד שההתכנסות בקצוות יכולה להיות שונה בין טור לטור הנגזרות‪ ,‬למשל הטור‬
‫)‪ [−1, 1‬ואילו הנגזרות ‪xn−1‬‬
‫‪P‬‬
‫מתכנס ב )‪] .(−1, 1‬רדיוס‬
‫‪P xn‬‬
‫‪n‬‬
‫מתכנס ב‬
‫∞‪P‬‬
‫מסקנה ‪] 6.5‬טורי חזקות ניתן לגזור איבר איבר[ נביט בטור ‪ak xk‬‬
‫שלו ב ‪ ,R‬ואת הפונקציה אליה הוא מתכנס ב )‪ .f (x‬בכל נקודה בקטע )‪ (−R, R‬מתקיים‬
‫‪k=0‬‬
‫)‪kak xk−1 = f 0 (x‬‬
‫‪ ,‬ונסמן את רדיוס ההתכנסות‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫‪k=0‬‬
‫‪ÕÖ×Ø‬‬
‫הוכחה‪ :‬לפי הטענה הקודמת יש לטורים את אותו רדיוס התכנסות‪ .‬לכן בכל תת קטע סגור ⊂ ]‪[−r, r‬‬
‫על‬
‫)‪ (−R, R‬יש התכנסות במ"ש הן של הטור והן של טור הנגזרות‪ .‬לכן ניתן להפעיל את משפט‬
‫גזירות איבר איבר‪ .‬אכן‪ ,‬כל תנאיו מתקיימים )בידקו זאת(‪.‬‬
‫באינדוקציה‪ ,‬הדבר נכון גם לנגזרות מסדר יותר גבוה‪ ,‬ונקבל את המשפט הבא‪:‬‬
‫‪P‬‬
‫‪k‬‬
‫∞ ‪ ,‬ונניח שהוא מתכנס ל )‪f (x‬‬
‫משפט ‪] 6.6‬טור טיילור של סכום טור חזקות[ נביט בטור ‪k=0 ak x‬‬
‫)‪ .(−R, R‬אזי לכל ‪ m ∈ N‬ולכל )‪ x ∈ (−R, R‬מתקיים ש‬
‫‪aj+m xj‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫!)‪(j + m‬‬
‫!‪j‬‬
‫‪j=0‬‬
‫=‬
‫‪k−m‬‬
‫‪ak k(k − 1) · · · (k − m + 1)x‬‬
‫ובפרט‪ ,‬טור טיילור של ‪ f‬סביב ‪ 0‬הוא ‪ak xk‬‬
‫∞‪P‬‬
‫‪k=0‬‬
‫כי ‪= m!am‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫= )‪(x‬‬
‫)‪(m‬‬
‫בקטע‬
‫‪f‬‬
‫‪k=m‬‬
‫)‪.f (m) (0‬‬
‫מסקנה מעניינת שנובעת מכאן היא שלא כל פונקציה ניתן להציג כטור של חזקות‪ ,‬כי טורי חזקות יוצאים‬
‫גזירים אינסוף פעמים בפנים של תחום ההתכנסות שלהם‪ .‬אפילו פונקציות שהן כן גזירות אינסוף פעמים‬
‫ייתכן שלא ניתן להציג אותן כטור חזקות‪ ,‬למשל אפשר לראות ש‬
‫‪x 6= 0‬‬
‫‪x=0‬‬
‫‪‬‬
‫‪e− x12‬‬
‫‪0‬‬
‫‪67‬‬
‫= )‪f (x‬‬
‫היא בעלת טור טיילור ששווה לאפס זהותית‪ ,‬ובפרט לא מקיימת את המסקנה של המשפט האחרון‪ ,‬ולכן‬
‫בהכרח לא עומדת בתנאים שלו‪.‬‬
‫עוד דוגמא יכולה להיות‬
‫]‪x ∈ [−1, 1‬‬
‫]‪x 6∈ [−1, 1‬‬
‫‪‬‬
‫)‪sin(x‬‬
‫= )‪f (x‬‬
‫)‪g(x‬‬
‫כאשר )‪ g(x‬לבחירתכם‪ ,‬שונה מ )‪ sin(x‬אפשר לבחור את ‪ g‬כך ש ‪f‬‬
‫שטור טיילור של ‪) f‬סביב אפס( יהיה כמו זה של )‪ sin(x‬ולכן לא יהיה שווה לה בכל תחום ההגדרה‪.‬‬
‫תהיה גזירה אינסוף פעמים‪ .‬ברור‬
‫רואים אם כן שטורי חזקות ניתנים יחסית למניפולציות בקלות‪ ,‬וחלק מהדברים שעשיתם בטור טיילור‬
‫בחדו"א ‪ 1‬הם עכשיו יותר מדוייקים ופורמליים‪.‬‬
‫‪Ù‬‬
‫‪Ù‬‬
‫‪Ù‬‬
‫‪xk‬‬
‫∞‪P‬‬
‫‪k=0‬‬
‫‪kxk−1‬‬
‫=‬
‫‪1‬‬
‫‪1−x‬‬
‫∞‪P‬‬
‫‪k=0‬‬
‫∞‪P‬‬
‫‪1 k‬‬
‫‪k=1 k x‬‬
‫=‬
‫מתכנס ב )‪(−1, 1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪(1−x)2‬‬
‫נגזור‪:‬‬
‫מתכנס ב )‪(−1, 1‬‬
‫‪ ln(1 − x) = −‬מתכנס ב )‪[−1, 1‬‬
‫)הנגזרת שלו ־ עד כדי סימן ־ זוהי דוגמא ‪ ,1‬נחזור‬
‫אליו בקרוב(‬
‫‪Ù‬‬
‫‪Ù‬‬
‫‪k 2k‬‬
‫‪x‬‬
‫∞‪P‬‬
‫)‪k=0 (−1‬‬
‫‪2 k‬‬
‫= )‬
‫]‪[−1, 1‬‬
‫‪k=0 (−x‬‬
‫∞‪P‬‬
‫‪k 1‬‬
‫‪2k+1‬‬
‫‪k=0 (−1) 2k+1 x‬‬
‫∞‪P‬‬
‫=‬
‫‪1‬‬
‫‪1+x2‬‬
‫מתכנס ב )‪(−1, 1‬‬
‫נעשה אינטגרציה‪:‬‬
‫= )‪ arctan(x‬השוויון נכון מיידית ב )‪(−1, 1‬‬
‫ואילו הטור מתכנס בכל‬
‫נחזור אליו בקרוב כדי להראות שהשוויון נשמר גם בקצוות הקטע‪.‬‬
‫סוף שיעור ‪11‬‬
‫‪68‬‬
‫‪6.4‬‬
‫קצה רדיוס ההתכנסות‪.‬‬
‫ראינו דוגמאות להתנהגות בקצוות‪ .‬כעת נדון בכמה תכונות שימושיות הקשורות בהתכנסות בקצוות‪.‬‬
‫ראשית טענה פשוטה‪.‬‬
‫טענה ‪ 6.7‬נביט בטור ‪ak xk‬‬
‫‪ .x0 = R‬אזי אין התכנסות במ"ש של הטור ב )‪.[0, R‬‬
‫‪P‬‬
‫‪ ,‬ונסמן את רדיוס ההתכנסות שלו ב ‪.R‬‬
‫הוכחה‪ :‬אילו הייתה התכנסות במ"ש בקטע )‪[0, R‬‬
‫אומרת לכל ‪ ε > 0‬היה ‪ n0‬כך שלכל ‪m, n > n0‬‬
‫‪ak x k | < ε‬‬
‫נניח שהטור לא מתכנס ב‬
‫אז קריטריון קושי במ"ש היה מתקיים בקטע זה זאת‬
‫‪m‬‬
‫‪X‬‬
‫‪sup‬‬
‫‪x∈(−R,R) k=n‬‬
‫|‬
‫ומרציפות )מדובר בסכום סופי של רציפות( היינו מקבלים שגם‬
‫‪ak R k | ≤ ε‬‬
‫ולכן בנקודה ‪ R‬הטור )המספרי( ‪ak Rk‬‬
‫‪P‬‬
‫‪m‬‬
‫‪X‬‬
‫‪k=n‬‬
‫|‬
‫היה מקיים את קריטריון קושי ובפרט מתכנס‪ ,‬בסתירה להנחה‪.‬‬
‫המשפט היותר מעניין ושימושי הוא בכיוון ההפוך‪ ,‬זאת אומרת שאם יש התכנסות בקצה התחום של‬
‫ההתכנסות נאמר ב ‪ ,+R‬יש התכנסות במ"ש בקטע ]‪[0, R‬‬
‫הטור רציפה‪ .‬משפט דומה תוכלו לנסח ולהוכיח עבור ]‪.[−R, 0‬‬
‫כולו‪ ,‬ובפרט נובע שהפונקציה שהיא סכום‬
‫משפט ‪] 6.8‬משפט אבל על קצה תחום ההתכנסות[ תהי ‪ak xk‬‬
‫אזי הטור מתכנס במ"ש ב ]‪.[0, R‬‬
‫‪P‬‬
‫= )‪ f (x‬ונניח שיש התכנסות ב ‪= R‬‬
‫הוכחה‪ :‬נשתמש במשפט של אבל למכפלת טורי פונקציות‪ ,‬משפט‪ÚÛÜÝ‬‬
‫‪ x k‬‬
‫‪R‬‬
‫‪k‬‬
‫‪ak R‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫‪k‬‬
‫= ‪ak x‬‬
‫‪k=0‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫‪.x 0‬‬
‫‪ .‬נשכתב‬
‫= )‪f (x‬‬
‫‪k=0‬‬
‫‪P‬‬
‫כאשר ‪ck (x) = ak Rk‬‬
‫מדובר בטור שהוא מכפלה )‪ck (x)dk (x‬‬
‫‪x k‬‬
‫‪ dk (x) = ( R‬חסומה במידה אחידה )על ידי ‪ (1‬מונוטונית יורדת ל ‪ .0‬לכן מקריטריון אבל‬
‫ואילו )‬
‫להתכנסות במ"ש של טורים שהם מכפלות‪ ,‬הטור מתכנס בהחלט ובמ"ש ב ]‪.[0, R‬‬
‫)לא תלוי ב־‪ ,x‬ומתכנס‪ ,‬בפרט במ"ש(‬
‫טענה ‪] 6.9‬תחום ההתכנסות לא גדל כשגוזרים[ נניח שלטורים ‪kak xk−1‬‬
‫‪ R‬ונניח שטור הנגזרות מתכנס ב ‪ x0‬כך ש ‪ .|x0 | = R‬אזי הטור המקורי מתכנס גם הוא ב ‪.x0‬‬
‫‪P‬‬
‫‪69‬‬
‫‪ak x k ,‬‬
‫‪P‬‬
‫רדיוס התכנסות‬
‫הוכחה‪ :‬משפט‪Þßà‬‬
‫מבטיח שיש התכנסות במ"ש של הטור ‪kak xk−1‬‬
‫‪P‬‬
‫בקטע ]‪[0, R‬‬
‫)בפרט האינטגרציה‬
‫היא לפונקציה רציפה‪ ,‬ולכן אינטגרבילית(‪ .‬לכן ניתן לבצע אינטגרציה איבר איבר בקטע זה ולקבל‬
‫‪ak R k‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫‪á‬‬
‫‪R‬‬
‫= ‪dx‬‬
‫‪k−1‬‬
‫‪kak x‬‬
‫‪0‬‬
‫‪k=1‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫= ‪dx‬‬
‫‪k−1‬‬
‫‪á‬‬
‫‪kak x‬‬
‫‪k=1‬‬
‫∞‬
‫‪RX‬‬
‫‪k=1‬‬
‫‪á‬‬
‫‪R‬‬
‫= ‪f (x)dx‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫וקיבלנו התכנסות של הטור המקורי בנקודה ‪.R‬‬
‫מסקנה ‪] 6.10‬טור סכים הוא גם סכים לפי אבל והסכומים שווים[ נניח שנתונה סדרת מספרים המקיימת‬
‫∞ < ‪ak‬‬
‫∞‪P‬‬
‫‪k=0‬‬
‫‪ .‬אזי השוויון הבא מתקיים‬
‫‪ak‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫= ‪ak r k‬‬
‫‪k=0‬‬
‫‪Þßà‬‬
‫הוכחה‪ :‬יש שני מקרים‪ R = 1 ,‬ו ‪R > 1‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫‪lim−‬‬
‫‪k=0‬‬
‫‪r→1‬‬
‫אך בשניהם )או סתם מהלמה על התכנסות בדיסק או ממשפט‬
‫של אבל על קצה רדיוס ההתכנסות( מכך שגבול במ"ש של רציפות הוא רציף‪ ,‬נקבל אחרי סימון‬
‫)‪ak rk = f (r‬‬
‫∞‪P‬‬
‫‪k=0‬‬
‫שפונקציה זו רציפה ב ‪ r = 1‬משמאל ולכן ניתן להציב ‪r = 1‬‬
‫בגבול דלעיל‪.‬‬
‫לדוגמא‪ ,‬נדון בטור טיילור של )‪ .ln(1 + x‬כולכם יודעים לחשב אותו ולקבל‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫‪xk‬‬
‫‪x2 x3 x4‬‬
‫‪+‬‬
‫‪−‬‬
‫= ··· ‪+‬‬
‫‪x−‬‬
‫‪(−1)k+1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪4‬‬
‫‪k‬‬
‫‪k=1‬‬
‫|‪ .|x‬על פי לייבניץ יודעים‬
‫על פי משפטי שארית ניתן לראות שהוא מתכנס‪ ,‬ל )‪ , ln(1 + x‬לכל ‪< 1‬‬
‫∞‪P‬‬
‫‪k+1‬‬
‫גם שהטור ‪/k‬‬
‫מתכנס‪ .‬כעת‪ ,‬לפי המשפט האחרון‪ ,‬יש התכנסות במ"ש בקטע ]‪ [0, 1‬ולכן‬
‫)‪k=1 (−1‬‬
‫מתקיים‬
‫)‪(−1)k+1 /k = lim− ln(1 + x) = ln(2‬‬
‫‪r→1‬‬
‫בדומה נוכל לחשב עבור )‪arctan(x‬‬
‫∞‬
‫‪k=1‬‬
‫שראינו קודם‪ ,‬משום שיש התכנסות בקצוות נקבל ש‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫‪X‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪lim−‬‬
‫= ‪x2k+1‬‬
‫)‪(−1‬‬
‫‪(−1)k‬‬
‫‪x→1‬‬
‫‪2k + 1‬‬
‫‪2k + 1‬‬
‫‪k=0‬‬
‫‪k=0‬‬
‫‪6.5‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫‪k‬‬
‫‪π‬‬
‫= )‪= arctan(1‬‬
‫‪4‬‬
‫סוגי סכימות‬
‫המסקנה האחרונה מאפשרת לנו להגדיר שיטה אחרת לסכום טור חזקות‪ ,‬שיכולה להתכנס גם כשהשיטה‬
‫הרגילה מתבדרת‪ .‬למעשה‪ ,‬יש שיטה שלישית נוספת‪.‬‬
‫‪âã‬‬
‫‪P‬‬
‫הגדרה ‪ 6.11‬נביט בטור המספרי ‪ak‬‬
‫∞‪P‬‬
‫‪k‬‬
‫‪) limr→1−‬ובפרט נדרוש כי ‪ .(R ≥ 1‬נסמן‬
‫‪k=0 ak r‬‬
‫‪ .‬נאמר שהוא מתכנס לפי אבל )סכים לפי אבל( אם קיים הגבול‬
‫‪ak‬‬
‫מסקנה‪äåæç‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫‪k‬‬
‫)‪ak r = (A‬‬
‫‪k=0‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫‪lim‬‬
‫‪r→1−‬‬
‫‪k=0‬‬
‫משמעה שאם טור מתכנס‪ ,‬אז הוא מתכנס גם לפי אבל‪ ,‬ולאותו המספר‪ .‬נשים לב שטור‬
‫יכול להתכנס לפי אבל ולא להתכנס "רגיל"‪ ,‬למשל הטור‬
‫‪(−1)k‬‬
‫‪X‬‬
‫כמובן לא מתכנס )שכן האיבר הכללי לא שואף ל־‪ (0‬אבל‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫=‬
‫‪1+r‬‬
‫‪2‬‬
‫‪(−1)k rk = lim−‬‬
‫‪r→1‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫‪k=0‬‬
‫‪(−1)k = lim−‬‬
‫‪r→1‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫)‪(A‬‬
‫‪k=0‬‬
‫זאת אומרת‪ ,‬הטור כן מתכנס לפי אבל‪.‬‬
‫ישנה הגדרה לגבול של סדרה לפי צזארו‪ ,‬שהיא יותר כללית מהגדרת הגבול הרגילה‪) ,‬אך פחות כללית‬
‫מההגדרה לפי אבל‪ ,‬כפי שנראה מייד( ובהתאמה יש גם הגדרה של סכימות של טור לפי צזארו‪.‬‬
‫הגדרה ‪ 6.12‬תהי ‪cn‬‬
‫יהי טור החזקות ‪ak xk‬‬
‫סדרה‪ .‬נאמר שיש לה גבול לפי צזארו אם קיים‬
‫‪P‬‬
‫‪PN‬‬
‫‪n=0 cn‬‬
‫‪N +1‬‬
‫∞→ ‪.limN‬‬
‫‪ .‬נאמר שהוא מתכנס לפי צזארו )סכים לפי צזארו( אם לסדרת הסכומים‬
‫חלקיים יש גבול לפי צזארו‪ ,‬זאת אומרת אם קיים הגבול ‪Sn‬‬
‫‪PN‬‬
‫‪n=0‬‬
‫נסמן‬
‫‪1‬‬
‫‪N +1‬‬
‫∞→ ‪ ,limN‬שזה כמו ‪ak‬‬
‫‪N‬‬
‫‪n‬‬
‫‪PN Pn‬‬
‫‪k=0‬‬
‫‪n=0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪N +1‬‬
‫∞→ ‪.limN‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫‪1 XX‬‬
‫)‪(C‬‬
‫‪ak = lim‬‬
‫‪ak‬‬
‫‪N →∞ N + 1‬‬
‫‪n=0 k=0‬‬
‫‪k=0‬‬
‫נגדיר גם סימון עבור האיבר הכללי בגבול זה‪ ,‬סימון שיהיה לנו שמושי בהמשך‪:‬‬
‫‪n‬‬
‫‪N‬‬
‫‪1 XX‬‬
‫‪ak‬‬
‫‪N + 1 n=0 k=0‬‬
‫שימו לב שאם מסמנים‪ ,‬כרגיל‪ak ,‬‬
‫‪Pn‬‬
‫‪k=0‬‬
‫= ) ‪ak‬‬
‫= ‪ Sn‬אז ‪Sn‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫( ‪σN‬‬
‫‪k=0‬‬
‫‪PN‬‬
‫‪n=0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪N +1‬‬
‫=‬
‫‪ .σN‬דבר אחרון שכדאי לשים לב‬
‫אליו שכן הוא שימושי בתרגילים )ונידרש שנוסחא דומה באנליזת פורייה בקרוב( הוא ש‬
‫‬
‫‪ X‬‬
‫‬
‫‬
‫‪N‬‬
‫‪n‬‬
‫‪N‬‬
‫‪N‬‬
‫‪X‬‬
‫‪1 XX‬‬
‫‪k‬‬
‫‪N +1−k‬‬
‫= ‪σN‬‬
‫= ‪ak‬‬
‫‪ak‬‬
‫=‬
‫‪ak 1 −‬‬
‫‪N + 1 n=0 k=0‬‬
‫‪N‬‬
‫‪+‬‬
‫‪1‬‬
‫‪N +1‬‬
‫‪k=0‬‬
‫‪k=0‬‬
‫כמובן שלא היה טעם בסכימה כזו ללא הלמה הבאה אותה למדנו בחדו"א ‪1‬‬
‫‪71‬‬
‫‪Pn‬‬
‫למה ‪ 6.13‬תהי ‪ (an )n∈N‬סדרה ונניח כי ‪ .limn→∞ an = l‬אזי גם עבור ‪j=1 aj‬‬
‫‪P‬‬
‫∞‪P‬‬
‫∞‬
‫אזי גם ‪.(C) k=0 ak = L‬‬
‫‪ .bn →n→∞ l‬באופן שקול‪ ,‬עבור טורים‪ ,‬אם ‪k=0 ak = L‬‬
‫‪1‬‬
‫‪n‬‬
‫=‪bn :‬‬
‫מתקיים‬
‫שוב‪ ,‬כמו במקרה של אבל‪ ,‬גבול על פי צזארו הוא מושג כללי יותר‪ ,‬ויש סדרות ללא גבול אבל עם גבול על‬
‫פי צזארו‪ ,‬ובדומה טורים‪ .‬דוגמא טובה היא שוב הטור‬
‫‪k‬‬
‫∞‪P‬‬
‫)‪k=0 (−1‬‬
‫‪ ,‬שסכים על פי צזארו )ל‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫כמובן(‬
‫וכמובן אינו מתכנס‪ .‬אפשר לעשות קורס שלם על שיטות סכימה‪ ,‬ולכן רק נראה שני דברים נוספים‪:‬‬
‫דוגמא של טור שסכים על פי אבל ולא על פי צזארו‪ ,‬ומשפט שאומר שכל טור שסכים על פי צזארו הוא‬
‫סכים גם על פי אבל‪.‬‬
‫הדוגמא היא‪:‬‬
‫)‪(−1)k (k + 1‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫‪k=0‬‬
‫= ··· ‪1 − 2 + 3 − 4 +‬‬
‫כמובן שהטור לא מתכנס שכן האיבר הכללי לא שואף לאפס‪ .‬גם לפי צזארו הוא לא מתכנס שכן האיבר‬
‫הכללי בסדרת הסכומים החלקיים הוא‬
‫‪n even‬‬
‫‪n odd‬‬
‫‪‬‬
‫‪n + 1‬‬
‫‪k‬‬
‫‪(−1) (k + 1) = 2‬‬
‫‪− n+1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪n‬‬
‫‪X‬‬
‫= ‪Sn‬‬
‫‪k=0‬‬
‫)‪(Sn )n∈N = (1, −1, 2, −2, 3, −3, 4, −4, . . .‬‬
‫‪PN‬‬
‫‪PN‬‬
‫ואילו עבור ‪ N‬זוגי = ‪n=0 Sn‬‬
‫בפרט ‪ Sn = Sn+1‬כאשר ‪ n‬הוא זוגי‪ ,‬ולכן עבור ‪ N‬איזוגי ‪n=0 Sn = 0‬‬
‫‪ SN‬ולכן כאשר נמצע )נחלק בנוסף ב ‪ (N + 1‬נקבל‪,‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪0‬‬
‫‪‬‬
‫‪N odd‬‬
‫‪0‬‬
‫‪N odd‬‬
‫‪S0 + S1 + · · · + SN −1 + SN‬‬
‫→‬
‫=‬
‫‪1‬‬
‫‪ k+1 N = 2k even‬‬
‫‪N +1‬‬
‫‪N = 2k even‬‬
‫‪2k+1‬‬
‫‪2‬‬
‫ולכן אין לסדרה גבול‪ .‬לעומת זאת‪ ,‬כדי לבדוק סכימות לפי אבל נחשב‬
‫‪1 0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪] = lim−‬‬
‫=‬
‫‪2‬‬
‫)‪r→1 (1 + r‬‬
‫‪1+r‬‬
‫‪4‬‬
‫[‪[(−r)k+1 ]0 = lim− −‬‬
‫‪r→1‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫‪k=0‬‬
‫‪(−1)k (k + 1)rk = lim− −‬‬
‫‪r→1‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫‪k=0‬‬
‫‪lim−‬‬
‫‪r→1‬‬
‫כאשר השוויון האמצעי נכון על פי גזירה איבר איבר של טור חזקות‪.‬‬
‫משפט ‪] 6.14‬סכימות על פי צזארו גוררת סכימות על פי אבל[ יהי טור החזקות ‪ak xk‬‬
‫מתכנס לפי צזארו‪ .‬אזי הוא סכים על פי אבל ומתקיים‬
‫‪ak‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫)‪ak = (A‬‬
‫‪k=0‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫‪k=0‬‬
‫‪èé‬‬
‫)‪(C‬‬
‫‪P‬‬
‫ונניח שהוא‬
‫הוכחה‪ :‬ראשית שימושי לשים אליו לב שכשנסמן ‪ak‬‬
‫‪Sk x k + SN0 x N0‬‬
‫‪N‬‬
‫‪0 −1‬‬
‫‪X‬‬
‫‪k=0‬‬
‫)‪= (1 − x‬‬
‫‪k+1‬‬
‫‪N‬‬
‫‪0 −1‬‬
‫‪X‬‬
‫‪Sk x‬‬
‫‪k=0‬‬
‫‪Pn‬‬
‫‪k=0‬‬
‫‪k‬‬
‫‪Sk x −‬‬
‫= ‪ S−1 = 0, Sn‬אז עבור ‪N0‬‬
‫‪N0‬‬
‫‪X‬‬
‫‪k=0‬‬
‫‪k‬‬
‫= ‪(Sk − Sk−1 )x‬‬
‫‪N0‬‬
‫‪X‬‬
‫כלשהו מתקיים‬
‫=‬
‫‪k‬‬
‫‪ak x‬‬
‫‪k=0‬‬
‫מצד שני משום ש ‪ ,Sn = (n + 1)σn − nσn−1‬בהנתן שקיים הגבול של ‪limN →∞ σN = C‬‬
‫שעבור ‪ |x| < 1‬הגבול הבא הינו אפס‬
‫‪N0‬‬
‫‪X‬‬
‫‪k=0‬‬
‫בהכרח מתקיים‬
‫‪lim SN0 xN0 = lim (n + 1)σn xn − lim nσn−1 xn = 0 · c − 0 · c = 0‬‬
‫∞→‪n‬‬
‫∞→‪n‬‬
‫∞→ ‪N0‬‬
‫על כן נוכל בשוויון הראשון לקחת גבולות ולהסיק כי‬
‫‪Sk x k‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫‪k=0‬‬
‫)‪= (1 − x‬‬
‫‪k‬‬
‫‪ak x‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫‪k=0‬‬
‫בדומה )ואף ביתר קלות‪ ,‬שכן ברור כי ‪ (n + 1)σn xn → 0‬עבור ‪ |x| < 1‬ו־∞ →‬
‫‪(k + 1)σk xk‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫‪k=0‬‬
‫‪ (n‬מתקיים‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫‪k‬‬
‫)‪Sk x = (1 − x‬‬
‫‪k=0‬‬
‫‪ .limN →∞ σN‬נעיר גם שעל פי‬
‫ההנחה שלנו היא שהטור סכים על פי צזארו זאת אומרת שקיים ‪= C‬‬
‫‪ |(n + 1)σn |1/n → 1‬נובע כי רדיוס ההתכסנות של הטור מימין הינו ‪ .1‬ראשית נניתן להניח בה"כ ש‬
‫‪ C = 0‬על ידי שינוי של ‪] a0‬דבר שכמובן לא משפיע על התכנסות הטור[‪ .‬אכן‪ ,‬אם מחליפים ‪a0 → a0 +d‬‬
‫קל לבדוק כי עבור כל ‪ n‬מתקיים ‪ .σn → σn + d‬תחת הנחה זו‪ ,‬בהנתן ‪ ε > 0‬אפשר למצוא ‪ N0‬כך‬
‫שלכל ‪ N > N0‬יתקיים ‪ .|σN | < ε‬לכן‬
‫‪(k + 1)σk xk‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫‪k=0‬‬
‫‪(k + 1)σk xk‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫‪k=N‬‬
‫‪2‬‬
‫‪Sk xk = (1 − x)2‬‬
‫‪k‬‬
‫)‪(k + 1)σk x + (1 − x‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫‪k=0‬‬
‫‪N‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪X‬‬
‫‪2‬‬
‫‪k=0‬‬
‫)‪ak xk = (1 − x‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫‪k=0‬‬
‫)‪= (1 − x‬‬
‫נשים לב שכאשר ‪ N‬קבוע ו ‪x % 1‬‬
‫הכופל את )‪ .((1 − x‬לכן לכל ‪ N‬קבוע‬
‫הגורם הראשון שואף כמובן לאפס )שכן מדובר בפולינום‪ ,‬סופי‪,‬‬
‫‪(k + 1)σk xk‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫‪k=N‬‬
‫‪2‬‬
‫‪k‬‬
‫)‪ak x = lim sup(1 − x‬‬
‫‪x%1‬‬
‫וכעת נשתמש בנתון ונאמר כי עבטר כל ‪N > N0‬‬
‫‪(k + 1)xk‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫‪k=N‬‬
‫‪2‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫‪k=0‬‬
‫‪lim sup‬‬
‫‪x%1‬‬
‫קבוע‬
‫‪k‬‬
‫)‪ak x ≤ ε lim sup(1 − x‬‬
‫‪x%1‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫‪k=0‬‬
‫‪lim sup‬‬
‫‪x%1‬‬
‫∞‪P‬‬
‫‪2‬‬
‫על מנת לסיים מספיק לשים לב כי לכל ‪ N‬ןלכל ‪ |x| < 1‬מתקיים ‪+ 1)xk ≤ 1‬‬
‫∞‪P‬‬
‫‪1‬‬
‫‪k‬‬
‫כבר בדקנו )על ידי גזירה איבר איבר של הטור‬
‫מדובר בטור חיובי ואילו ‪k=0 (k + 1)x = (1−x)2‬‬
‫‪P k‬‬
‫למשל(‪.‬‬
‫‪x‬‬
‫‪k=N (k‬‬
‫‪êë‬‬
‫)‪(1 − x‬‬
‫שהלא‬
‫העשרה‪ :‬משפט מסוג הפוך‪ ,‬שנקרה "משפט טאובריאני"‪ ,‬שאומר שאם בנוסף יש תנאי דעיכה על המקדמים‪,‬‬
‫אז סכימות על פי אבל גוררת את התכנסות הטור במובן הרגיל‪.‬‬
‫∞‪P‬‬
‫ונניח שהוא סכים על פי אבל‪ ,‬דהיינו קיים עבור = )‪f (r‬‬
‫משפט ‪] 6.15‬טאובר[ נביט בטור ‪k=0 ak‬‬
‫∞‪P‬‬
‫‪k‬‬
‫הגבול ‪ .limr→1− f (r) = ρ‬נניח בנוסף כי )‪ . ak = o(1/k‬אזי מתקיים‬
‫‪k=0 ak r‬‬
‫‪ak = ρ‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫‪k=0‬‬
‫הוכחה‪ :‬נסמן‬
‫‪1‬‬
‫‪m‬‬
‫‪ xm = 1 −‬כך ש ‪% 1‬‬
‫‪ .xm‬נביט בסדרה‬
‫‪ak xkN‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫‪k=0‬‬
‫‪ak −‬‬
‫‪N‬‬
‫‪X‬‬
‫= ‪BN‬‬
‫‪k=0‬‬
‫ונראה שכאשר ∞ → ‪ N‬היא מתכנסת לאפס‪ .‬משום שהאיבר הימני הוא ) ‪f (xN‬‬
‫‪ ,ρ‬זה יסיים את ההוכחה‪ .‬אכן‪,‬‬
‫‪ak xkN := AN + BN‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫‪k=N +1‬‬
‫‪−‬‬
‫) ‪xkN‬‬
‫‪ak (1 −‬‬
‫‪N‬‬
‫‪X‬‬
‫=‬
‫‪ak xkN‬‬
‫‪k=0‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫‪k=0‬‬
‫ואנו יודעים ששואף ל‬
‫‪ak −‬‬
‫‪N‬‬
‫‪X‬‬
‫‪k=0‬‬
‫ומתקיים‬
‫‬
‫‬
‫‪k−1‬‬
‫‪|ak | 1 + xN + x2N + · · · + xN‬‬
‫‪N‬‬
‫‪X‬‬
‫‪k=1‬‬
‫) ‪= (1 − xN‬‬
‫) ‪xkN‬‬
‫‪|ak |(1 −‬‬
‫‪k|ak | →N →∞ 0‬‬
‫והשאיפה לאפס הנ"ל נובעת מכך ש ‪kak → 0‬‬
‫‪N‬‬
‫‪X‬‬
‫‪k=0‬‬
‫‪N‬‬
‫‪X‬‬
‫‪k=1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪N‬‬
‫≤ | ‪|AN‬‬
‫≤‬
‫)ובפרט ממוצעי צזארו שלהם(‪ .‬בנוסף נחשב‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫‬
‫‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫‪1 k‬‬
‫‪1‬‬
‫≤ | ‪|BN‬‬
‫≤ ‪k|ak | xN‬‬
‫· | ‪sup k|ak‬‬
‫= ‪xkN‬‬
‫‪k‬‬
‫‪N‬‬
‫‪+‬‬
‫‪1‬‬
‫‪k≥N +1‬‬
‫‪k=N +1‬‬
‫‪k=N +1‬‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‪N +1‬‬
‫‪xN‬‬
‫‪1‬‬
‫=‬
‫| ‪sup k|ak‬‬
‫≤‬
‫‪sup k|ak | →N →∞ 0‬‬
‫‪N + 1 1 − xN‬‬
‫‪k≥N +1‬‬
‫‪k≥N +1‬‬
‫ולכן שני הגורמים אכן שואפים לאפס כרצוי‪ ,‬והטור המקורי מתכנס ל ‪.ρ‬‬
‫נעיר שיש משפט חזק יותר של ליטלווד האומר כי מספיק לדרוש חסימות של ‪kak‬‬
‫סוף שיעור ‪12‬‬
‫‪74‬‬
‫אך הוכחתו קשה יותר‪.‬‬
‫‪6.6‬‬
‫כפל של טורי חזקות‬
‫ראשית נדון מעט בכפל של טורים מספריים )נושא זה מקומו יכירנו דווקא בקורס חדו"א ‪ 1‬א(‪ .‬ראיתם‬
‫את משפט רימן שאומר ששינוי בסדר הסכימה יכול לשנות את ההתכנסות ואת הסכום‪ .‬כאשר כופלים‬
‫‪P‬‬
‫‪P‬‬
‫‪P‬‬
‫‪a‬‬
‫‪b‬‬
‫המכפלות‬
‫כל‬
‫את‬
‫שמכיל‬
‫טור‬
‫למעשה‬
‫מקבלים‬
‫‪,‬‬
‫‪b‬‬
‫ו‬
‫שני טורים ‪an‬‬
‫‪n‬‬
‫‪k‬‬
‫‪k‬‬
‫‪k,n‬‬
‫נבחר לסכום את הזוגות הללו )האינדקס הוא ב ‪ (N × N‬יכול להשפיע על הסכום‪ .‬מצד שני‪ ,‬כאשר נתונה‬
‫‪ ,‬אך הסדר לפיו‬
‫התכנסות בהחלט של הטור )עם סדר סכימה מסויים(‪ ,‬אין זה משנה אם נשנה את סדר הסכימה‪ .‬ראיתם‬
‫בתירגול את המשפט הבא‪:‬‬
‫∞‪P‬‬
‫משפט ‪ 6.16‬בהנתן טור מספרים‬
‫‪j=1 rj‬‬
‫לכן מתקיים שאם שני הטורים ‪an‬‬
‫‪ rj‬עם · · · ‪ j = 1, 2,‬יתקיים‬
‫‪P‬‬
‫שמתכנס בהחלט‪ ,‬לכל ‪p : N → N‬‬
‫)‪rp(j‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫= ‪rj‬‬
‫‪j=1‬‬
‫∞ < | ‪|bk‬‬
‫לכן הטור ‪rj‬‬
‫‪P‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫‪k=1‬‬
‫| ‪|an‬‬
‫ו ‪bk‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫‪P‬‬
‫≤ | ‪|bk‬‬
‫‪n=1‬‬
‫חח"ע ועל יתקיים‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫‪j=1‬‬
‫מתכנסים בהחלט‪ ,‬אז לכל סידור של האברים ‪an bk‬‬
‫‪mN‬‬
‫‪X‬‬
‫‪k=1‬‬
‫| ‪|ak‬‬
‫‪nN‬‬
‫‪X‬‬
‫‪k=1‬‬
‫‪|rj | ≤ lim‬‬
‫∞→ ‪N‬‬
‫‪N‬‬
‫‪X‬‬
‫‪j=1‬‬
‫‪|rj | = lim‬‬
‫∞→ ‪N‬‬
‫כסדרה‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫‪j=1‬‬
‫מתכנס בהחלט ולכן סדר הסכימה לא חשוב ולכן אפשר למשל לסדר לפי ריבועים )ראו‬
‫ציור מטה(‪ .‬במקרה כזה קל לכתוב נוסחא לתת הסדרה ‪SN 2‬‬
‫‪bk‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫‪k=1‬‬
‫‪an‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫‪n=1‬‬
‫→ ‪bk‬‬
‫‪N‬‬
‫‪X‬‬
‫‪an‬‬
‫‪N‬‬
‫‪X‬‬
‫‪2‬‬
‫= ‪rj‬‬
‫‪n=1‬‬
‫‪k=1‬‬
‫שהרי‬
‫‪N‬‬
‫‪X‬‬
‫= ‪SN 2‬‬
‫‪j=1‬‬
‫ומשום שאנו יודעים שיש התכנסות של הטור כולו‪ ,‬הוא מתכנס לאותו הגבול כמו תת הסדרה הזו‪ ,‬דהיינו‬
‫) ‪bk‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫‪k=1‬‬
‫() ‪an‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫( = ‪aj b k‬‬
‫‪n=1‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫‪j,k=1‬‬
‫איור ‪ :21‬סידור של המכפלות } ‪{aj · bk‬‬
‫‪75‬‬
‫לפי ריבועים‬
‫כעת נעבור לדון בכפל של טורי חזקות‪ .‬נזכור שממילא בתוך רדיוס ההתכנסות יש התכנסות בהחלט‬
‫ובמ"ש‪.‬‬
‫יש דרך טבעית לבחור סדר על פיו סוכמים את טור החזקות‪ ,‬כך שהמכפלה מסודרת גם היא כטור‬
‫חזקות‪ .‬זו נקראת מכפלת קושי‪:‬‬
‫‪ak bl−k xl‬‬
‫‪∞ X‬‬
‫‪l‬‬
‫‪X‬‬
‫‪k‬‬
‫= ‪bk x‬‬
‫‪l=0 k=0‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫‪j‬‬
‫‪aj x‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫‪j=0‬‬
‫‪k=0‬‬
‫‪P‬‬
‫‪k‬‬
‫∞ = )‪f (x‬‬
‫טענה ‪] 6.17‬מכפלות קושי[ יהיו ‪k=0 ak x‬‬
‫‪P‬‬
‫= )‪ h(x‬כאשר‬
‫מתכנסים בהחלט בתחום ‪ .I‬אזי גם טור החזקות ‪ck xk‬‬
‫בהחלט בתחום זה ומתקיים )‪.h(x) = f (x)g(x‬‬
‫ו‬
‫‪k‬‬
‫∞‪P‬‬
‫‪k=0 bk x‬‬
‫= )‪g(x‬‬
‫טורי חזקות ונניח ששניהם‬
‫‪aj bk−j‬‬
‫‪Pk‬‬
‫‪j=0‬‬
‫= ‪ck‬‬
‫מתכנס‬
‫ההוכחה מיידית על פי המשפט האחרון‪ ,‬ברגע ששמנו לב שאכן הסכימה הנ"ל עוברת על כל הזוגות )‪(i, j‬‬
‫וכל אחד נסכם בדיוק פעם אחת )ראו ציור ־ זו איננה הסכימה בסדר שעשינו לפני כמה רגעים(‪.‬‬
‫איור ‪ :22‬סידור קושי של המכפלות } ‪{aj · bk‬‬
‫זו לא הייתה סתם הערה‪ ,‬ניתן להשתמש במכפלת קושי על מנת לחשב סכומים של טורים‪ .‬לדוגמא‪,‬‬
‫נכפול את טור החזקות של‬
‫‪(l + 1)xl‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫‪l=0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1−x‬‬
‫‪l‬‬
‫בעצמו‪ .‬נקבל‬
‫!‬
‫= ‪1 x‬‬
‫‪l‬‬
‫‪X‬‬
‫‪m=0‬‬
‫∞‬
‫∞‬
‫∞‬
‫‪X X‬‬
‫‪X‬‬
‫‪1 2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫= )‬
‫=‬
‫(‬
‫‪xk‬‬
‫= ‪xj‬‬
‫‪1−x‬‬
‫‪1 − x 1 − x k=0‬‬
‫‪j=0‬‬
‫‪l=0‬‬
‫ואכן‪ ,‬זה בדיוק מסתדר עם היותו טור הנגזרות ועם גזירה איבר איבר‪.‬‬
‫‪6.7‬‬
‫‪6.7.1‬‬
‫נגיעה ראשונה במרוכבים ־ טורי חזקות‬
‫טורים של מספרים מרוכבים‬
‫‪P‬‬
‫∞‪P‬‬
‫כאשר נתון טור ‪zk‬‬
‫= ‪k=0 uk + ivk‬‬
‫‪P‬‬
‫‪P‬‬
‫ממשיים שלאחד מהם מקדם ‪ ,i‬דהיינו ‪uk + i vk‬‬
‫כאשר ) ‪ uk = Re(zk ), vk = Im(zk‬ונאמר שהוא‬
‫של מספרים מרוכבים‪ ,‬נתייחס אליו כאל סכום של שני טורים‬
‫‪76‬‬
‫מתכנס אם כל אחד מהטורים הממשיים יתכנס‪) .‬באופן שקול‪ ,‬סדרה מרוכבת מתכנסת למספר מרוכב‬
‫אם הדבר מתקיים בנפרד לחלק הממשי בסדרה ולחלק המדומה בה(‪ .‬מבחני התכנסות וכדומה אפשר‬
‫לעשות )למשל( לכל טור בנפרד‪.‬‬
‫‪P‬‬
‫נאמר שהטור מתכנס בהחלט אם הטור הממשי ∞ < | ‪|zk‬‬
‫√‬
‫משום שמספר מרוכב ‪ z = a + ib‬מקיים ‪ ,|z| = a2 + b2‬ולכן |‪ , |a|, |b| ≤ |z| ≤ |a| + |b‬מתקיים‬
‫‪.‬‬
‫שהטור מתכנס בהחלט אם ורק אם כל אחד משני הטורים מתכנס בהחלט‪ .‬בפרט‪ ,‬אם טור מרוכבים‬
‫מתכנס בהחלט אז הוא מתכנס‪ .‬עוד עובדה שימושית הנובעת בקלות מאי שוויונים אלה היא שאיבר‬
‫כללי בטור מרוכב שמתכנס‪ ,‬חייב לשאוף לאפס )גם החלק המדומה וגם החלק הממשי‪ ,‬שזה כמו לומר‬
‫‪→0‬‬
‫| ‪.(|zk‬‬
‫‪6.7.2‬‬
‫טורי חזקות מרוכבים‬
‫כאשר ‪ z‬מספר מרוכב‪ ,‬החזקות שלו מוגדרות כרגיל כך‪ z = a + ib :‬אז = )‪z 2 = (a + ib)(a + ib‬‬
‫)‪ a2 − b2 + i(2ab‬ובאינדקוציה ‪ .z n = (a + ib)z n−1‬כאמור טור של מרוכבים זה פשוט לסכום בנפרד את‬
‫‪P‬‬
‫‪P‬‬
‫‪P‬‬
‫‪k‬‬
‫∞ כסכום של ‪uk +i vk‬‬
‫החלק הממשי ואת החלק המדומה‪ ,‬כך שלמעשה אם נציג את אברי ‪k=0 ck z‬‬
‫יש צורך ששני הטורים יתכנסו‪ .‬כמובן שכאן לא מדובר בשני טורי חזקות ממשיים‪ ,‬כי ל ‪ uk‬ול־ ‪ vk‬מבנה‬
‫יותר מעניין‪) .‬בנוסף‪ ,‬במקרה כללי גם המקדמים ‪ ck‬עשויים להיות מרוכבים אבל בכך לא נדון כעת(‪.‬‬
‫המשפט על התכנסות בדיסק )למה‪ìíî‬‬
‫מוחלטים‪ ,‬ואכן ‪|z n | = |z|n‬‬
‫( עובד גם כאן כלשונו‪ ,‬שכן ההוכחה משתמשת בערכים‬
‫וזה מעביר אותנו לטורים ממשיים מייד‪ .‬הבה ננסח אותו‪:‬‬
‫‪P‬‬
‫‪k‬‬
‫∞ כאשר נאפשר ל ‪ z‬לקבל ערכים ב ‪ .C‬נניח שהטור מתכנס ב ‪z0‬‬
‫משפט ‪ 6.18‬נביט בטור ‪k=0 ck z‬‬
‫ש ‪ |z0 | = R‬ויהיה ‪ .r < R‬אזי הטור מתכנס בהחלט ובמ"ש בתחום }‪ .Dr = {x : |x| ≤ r‬דהיינו‪ ,‬קיימת‬
‫‪ f : Dr → C‬ולכל ‪ ε > 0‬קיים ‪ N‬כך שלכל ‪n > N‬‬
‫כך‬
‫‪sup |Sn (z) − f (z)| ≤ ε‬‬
‫‪|z|≤r‬‬
‫כאשר‬
‫‪k‬‬
‫‪Pn‬‬
‫‪k=0 ck z‬‬
‫=‬
‫)‪.Sn (z‬‬
‫‪77‬‬
‫ההוכחה זהה להוכחה הממשית‪ ,‬הדבר היחיד שדורש הסבר הוא העובדה שאיבר כללי בטור מרוכב‬
‫שמתכנס גם צריך לשאוף לאפס )וזה די ברור( וכן שטור מרוכב שמתכנס בהחלט‪ ,‬מתכנס‪ ,‬כפי שציינו‪.‬‬
‫בנוסף‪ ,‬השימוש במשפט ויירשטראסס להתכנסות במ"ש ישמש כאן לפונקציות שערכיהן מרוכבים‪ ,‬וגם‬
‫הוא תקף ־ שכן בהוכחתו משתמשים בקריטריון קושי במ"ש שתקף גם הוא במקרה המרוכב‪.‬‬
‫נדון עוד די לעומק במרוכבים הנחוצים לנו לטורי פורייה‪ ,‬אבל אנו מציינים את המעט הזה כאן כי‬
‫יש פה הסבר לתופעות "מפתיעות" שראינו‪ ,‬למשל‪ ,‬בעוד שהיה ברור לנו מדוע הטור של‬
‫∞‪P‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1+x2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1−x‬‬
‫)הנתון על‬
‫ידי ‪xk‬‬
‫∞‪P‬‬
‫‪ , k=0 (−1)n x2n‬לא מתכנס מעבר ל )‪ ? x ∈ (−1, 1‬התשובה היא שאמנם הפונקציה ללא קטבים ב ‪,R‬‬
‫אבל במרוכבים יש לה קוטב ב ‪ z = i‬שהוא מרדיוס ‪ .1‬לכן‪ ,‬משום שההתכנסות היא תמיד בדיסק‪ ,‬הטור‬
‫‪k=0‬‬
‫( מתבדר ב־‪ ,1‬מדוע הטור של‬
‫שזו פונקציה חביבה‪ ,‬רציפה וחסומה‪ ,‬הנתון של ידי‬
‫שלה לא יכול להתכנס באף נקודה הרחוקה מהראשית יותר מ־‪" . 1‬צילם של המרוכבים"‪ ,‬כמו במערה‬
‫של אפלטון‪ ,‬נראה גם בעולם הממשיים!‬
‫‪ 6.7.3‬הגדרת ‪ez‬‬
‫ונסחת אוילר‬
‫גם רדיוס ההתכנסות של טור חזקות מרוכב נתון על ידי אותה נסחא של קושי הדמר )במקרה של‬
‫מקדמים מרוכבים יש לקחת כמובן ‪lim sup |ak |1/k‬‬
‫למקדמים המרוכבים( וההוכחה עובדת כלשונה‪ .‬לכן‬
‫למשל‬
‫יתכנס בכל ‪.C‬‬
‫‪X 1‬‬
‫‪zk‬‬
‫!‪k‬‬
‫עכשיו זה אך טבעי להגדיר את הביטוי הזה כ ‪.ez‬‬
‫כעת הנסחאות הבאות ברורות‬
‫מההגדרה )ומהאפשרות לכפול טורים המכנסים בהחלט(‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫‪(iθ)2k‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫‪(iθ)2k+1‬‬
‫‪+‬‬
‫!)‪(2k‬‬
‫!)‪(2k + 1‬‬
‫‪k=0‬‬
‫)‪= cos θ + i sin(θ‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫‪(−1)k (θ)2k+1‬‬
‫!)‪(2k + 1‬‬
‫‪k=0‬‬
‫‪+i‬‬
‫‪k=0‬‬
‫=‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫‪(iθ)k‬‬
‫!‪k‬‬
‫‪e‬‬
‫‪k=0‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫‪(−1)k (θ)2k‬‬
‫!)‪(2k‬‬
‫=‬
‫‪iθ‬‬
‫=‬
‫‪k=0‬‬
‫זו נקראת נסחת אוילר‪ .‬בנוסף‬
‫∞‬
‫∞‬
‫∞‬
‫‪l‬‬
‫‪X‬‬
‫‪1 k X 1 j XX 1‬‬
‫‪1‬‬
‫=‬
‫‪z‬‬
‫= ‪w‬‬
‫‪z k wl−k‬‬
‫!‪k! j=0 j‬‬
‫!)‪k! (l − k‬‬
‫‪k=0‬‬
‫‪l=0 k=0‬‬
‫∞‬
‫ ‪l‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫‪1 X l k l−k X 1‬‬
‫‪z w‬‬
‫=‬
‫=‬
‫‪(z + w)l = ez+w‬‬
‫‪k‬‬
‫!‪l‬‬
‫!‪l‬‬
‫‪l=0‬‬
‫‪k=0‬‬
‫‪l=0‬‬
‫‪z w‬‬
‫‪e e‬‬
‫ולכן למשל אם ‪ z = a + ib‬זאת אומרת )‪ ,a = Re(z), b = Im(z‬אז )‪ez = ea (cos b + i sin b‬‬
‫כמובן שגם מתקיימת הנוסחא ‪ .(ez )k = ekz‬אכן‪ ,‬ניתן להוכיח זאת באינדוקציה על ‪ .k‬עבור ‪k = 1‬‬
‫זה טריוויאלי‪ .‬נניח נכונות עבור ‪ k − 1‬ונרשום‬
‫‪(ez )k = (ez )k−1 ez = e(k−1)z ez = e(k−1)z+z = ekz‬‬
‫‪ïð‬‬
‫ולכן גם מתקיים שאם‬
‫))‪(R = |z|, θ = arg(z‬‬
‫‪z = Reiθ‬‬
‫אז מקומוטטיביות הכפל‬
‫‪z k = Rk eikθ‬‬
‫וכמוכן‬
‫) ‪z1 · z2 = R1 eiθ1 R2 eiθ2 = (R1 R2 )ei(θ1 +θ2‬‬
‫זאת אומרת ־ רדיוס נכפל וזויות נסכמות בכפל מרוכבים‪.‬‬
‫איור ‪ :23‬כפל מרוכבים‬
‫שימו לב שלמשל נקבל את השוויון‬
‫‪cos(2θ) + i sin(2θ) = ei2θ = eiθ eiθ = (cos θ + i sin θ)2 = cos2 θ − sin2 θ + 2i cos θ sin θ‬‬
‫וממנו הנסאות הטריגונומטריות‬
‫‪cos(2θ) = cos2 θ − sin2 θ‬‬
‫‪sin(2θ) = 2 cos θ sin θ‬‬
‫מי צריך דפי נוסחאות!‬
‫נזכיר גם את הפעולה המרוכבת של "צמוד"‪ ,‬אם ‪ z = a + ib‬אז ‪z̄ = a − ib‬‬
‫‪ z = Reiθ‬אז ‪ .z̄ = Re−iθ‬כמובן‬
‫)‪z − z̄ = 2ib = 2iIm(z‬‬
‫‪ñò‬‬
‫כשבקואורדינטות פולריות‬
‫)‪z + z̄ = 2a = 2Re(z‬‬
‫‪k‬‬
‫כעת שוב נחזור לטורי חזקות‪ :‬בכתיבה פולרית נקבל שהטור‬
‫‪ck Rk eikθ‬‬
‫∞‪P‬‬
‫‪k=0 ck z‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫הוא למעשה הטור‬
‫‪k=0‬‬
‫‪P‬‬
‫לכן אם דנים בהתכנסות בהחלט עוסקים למעשה בטור הממשי ‪ . |ck |Rk‬החלק ‪eikθ‬‬
‫הגורם ה ‪k‬י( ‪ ,‬והוא בסה"כ המספר המרוכב )בעל ערך מוחלט ‪(1‬‬
‫נקרא הפאזה )של‬
‫)‪cos(kθ) + i sin(kθ‬‬
‫אלה היו הערות קטנות יחסית על מרוכבים‪ ,‬כי הפרק הבא על טורי פורייה דורש עבודה צמודה איתם‪.‬‬
‫טורי פורייה‬
‫‪7‬‬
‫הקדמה על פונקציות עם ערכים מרוכבים‬
‫‪7.1‬‬
‫כל פונקציה ‪ f : [a, b] → C‬ניתן לרשום כ ‪ f = u + iv‬כאשר ‪: [a, b] → R‬‬
‫‪ .u, v‬מבחינות רבות אפשר‬
‫לעבוד כביכול עם "זוג פונקציות"‪ ,‬אולם המבנה של כפל של מרוכבים מוסיף עניין‪ .‬בתת פרקים הבאים‬
‫נעבור בקצרה על הפעולות הבסיסיות שעושים עם פונקציות )גזירה‪ ,‬אינטגרציה וכו( כאשר הפונקציות‬
‫מחזירות ערכים מרוכבים‪.‬‬
‫‪7.1.1‬‬
‫אינטגרציה‬
‫תהי ‪ f : [a, b] → C‬ונרשום ‪ f = u + iv‬כאשר ‪ .u, v : [a, b] → R‬נאמר ש )]‪f ∈ R([a, b‬‬
‫)]‪ u, v ∈ R([a, b‬ובמקרה כזה נגדיר את‬
‫‪ó‬‬
‫‪ó‬‬
‫‪b‬‬
‫‪v(x)dx‬‬
‫‪ó‬‬
‫‪b‬‬
‫‪u(x)dx + i‬‬
‫‪a‬‬
‫‪b‬‬
‫= ‪f (x)dx‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a‬‬
‫נשים לב שהתוצאה גם היא מספר מרוכב‪ .‬נשים לב שהשתמשנו באותו סימון )]‪R([a, b‬‬
‫גם עבור פונקציות‬
‫ממשיות וגם עבור פונקציות עם ערכים מרוכבים‪.‬‬
‫דוגמא‪:‬‬
‫‪19‬‬
‫‪x2 3‬‬
‫‪x3‬‬
‫‪5‬‬
‫‪|2 + i |32 = + i‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪7.1.2‬‬
‫‪ó‬‬
‫‪ó‬‬
‫‪3‬‬
‫= ‪x2 dx‬‬
‫כללים פשוטים‬
‫הכללים שלמדנו על אינטגרציה עובדים יפה‪ .‬למשל‬
‫‪ôõ‬‬
‫‪ó‬‬
‫‪3‬‬
‫‪xdx + i‬‬
‫‪2‬‬
‫אם‬
‫‪3‬‬
‫= ‪x(1 + ix)dx‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫÷ ‪ö(f + g) = ö f + ö g‬‬
‫÷ ‪öf = öf + öf‬‬
‫÷ ‪ö cf = c ö f‬‬
‫ברור עבור ‪ c ∈ R‬אבל גם תקף עבור ‪ c ∈ C‬פשוט כי‬
‫)‪i ø(u + iv) = − øv + i øu = øi(u + iv‬‬
‫‪b‬‬
‫‪a‬‬
‫‪b‬‬
‫‪a‬‬
‫‪b‬‬
‫‪c‬‬
‫‪c‬‬
‫‪a‬‬
‫‪b‬‬
‫‪a‬‬
‫‪b‬‬
‫‪a‬‬
‫‪b‬‬
‫‪a‬‬
‫‪b‬‬
‫‪a‬‬
‫÷ ‪ö f¯ = ö u − i ö v = ö f‬‬
‫‪b‬‬
‫‪a‬‬
‫‪7.1.3‬‬
‫‪b‬‬
‫‪a‬‬
‫‪b‬‬
‫‪a‬‬
‫‪b‬‬
‫‪a‬‬
‫גזירה‬
‫את הנגזרת של פונקציה עם ערכים מרוכבים נגדיר כרגיל כגבול‪ ,‬אך נקבל מייד‬
‫)‪f (x + h) − f (x‬‬
‫)‪= u0 (x) + iv 0 (x‬‬
‫‪h→o‬‬
‫‪h‬‬
‫‪f 0 (x) = lim‬‬
‫כך שאין כאן משהו מיוחד‪) .‬לא לבלבל עם פונקציות שמוגדרות על תחום מרוכב‪ ,‬ואז גם ‪h‬‬
‫הרבה יותר מעניין(‪ .‬לדוגמא‪ f (t) = eit :‬אז )‪ f (t) = cos(t) + i sin(t‬ולכן‬
‫מרוכב והמצב‬
‫‪f 0 (t) = − sin(t) + i cos(t) = i(cos(t) + i sin(t)) = ieit‬‬
‫גם הנוסחא של נגזרת של מכפלה עובדת שהרי‬
‫‪(f g)0 = [(u + iv)(q + ip)]0 = [uq − vp]0 + i[vq + up]0‬‬
‫] ‪= u0 q + uq 0 − v 0 p − vp0 + i[v 0 q + vq 0 + u0 p + up0‬‬
‫‪= [u0 + iv 0 ](q + ip) + (u + iv)[q 0 + ip0 ] = f 0 g + f g 0‬‬
‫ניוטון לייבניץ והמשפט היסודי‬
‫‪7.1.4‬‬
‫גם כאן‪ ,‬העובדה שהמשפטים נכונים עבור ‪ u‬ו ‪v‬‬
‫למשל‪ ,‬אם ‪ f 0 = g‬אז )תחת ההנחה ש ‪ g‬אינטגרבילית למשל(‬
‫בנפרד וליניאריות האינטגרל גורמות להכל לעבוד‪.‬‬
‫)‪ø g(x)dx = f (b) − f (a‬‬
‫‪b‬‬
‫‪a‬‬
‫נשים לב שהמשפט שימושי כי הוא מונע את הצורך לפרק לחלק מדומה וחלק ממשי‪ .‬לדוגמא‪ ,‬משום ש‬
‫‪0‬‬
‫‪(eit ) = ieit‬‬
‫נוכל לבצע ישירות‬
‫‪ø ie‬‬
‫‪b‬‬
‫‪= −i[eit ]ba = −i[cos t + i sin t]ba‬‬
‫‪it‬‬
‫‪a‬‬
‫‪øe‬‬
‫‪b‬‬
‫‪dt = −i‬‬
‫‪it‬‬
‫‪a‬‬
‫ולמשל ־‬
‫‪ø‬‬
‫‪π/2‬‬
‫‪eit = −i[eiπ/2 − ei0 ] = −i(i − 1) = i + 1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪ùú‬‬
‫‪øe‬‬
‫‪π‬‬
‫‪= −i[eiπ − ei0 ] = 2i,‬‬
‫‪it‬‬
‫‪0‬‬
‫‪ø‬‬
‫‪2π‬‬
‫‪eit dt = 0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪7.1.5‬‬
‫בחלקים‬
‫כמובן שכשיש נסחא כמו ‪(f g)0 = f 0 g + f g 0‬‬
‫‪û (f g) = û f g + û f g‬‬
‫‪b‬‬
‫‪0‬‬
‫ויש משפט ניוטון לייבניץ‪ ,‬אז יש גם אינטגרציה בחלקים‬
‫‪b‬‬
‫‪b‬‬
‫‪0‬‬
‫‪a‬‬
‫‪0‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a‬‬
‫= ‪(f g)|ba‬‬
‫ואפשר להשתמש למשל‬
‫‪û‬‬
‫‪π int‬‬
‫‬
‫‪e‬‬
‫‪eint π‬‬
‫‪eint π‬‬
‫‪π inπ‬‬
‫|‬
‫‪e + ein(−π) −‬‬
‫‪|−π −‬‬
‫= ‪dt‬‬
‫‪in‬‬
‫‪in‬‬
‫‪(in)2 −π‬‬
‫‪−π in‬‬
‫‪1‬‬
‫‪π‬‬
‫‪π‬‬
‫‪= −i 2 cos(nπ) + 2 [einπ − e−inπ ] = 2i (−1)n+1‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫‪û‬‬
‫‪π‬‬
‫‪teint dt = t‬‬
‫‪−π‬‬
‫במקום זה כמובן שניתן היה להשתמש בפירוק לסינוס וקוסינוס ולכל אחד לעשות בנפרד אינטגרציה‬
‫בחלקים‪.‬‬
‫‪7.1.6‬‬
‫פשוט ושימושי‬
‫למה ‪ 7.1‬תהי ‪ f : [a, b] → C‬ונניח ]‪ .f ∈ R[a, b‬אזי גם ]‪|f | ∈ R[a, b‬‬
‫‪û f (x)dx| ≤ û |f (x)|dx‬‬
‫‪b‬‬
‫ומתקיים‬
‫‪b‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a‬‬
‫הוכחה‪ :‬אינטגרביליות מיידית כי נשמרת תחת ‪u2 + v 2‬‬
‫√‬
‫→‪7‬‬
‫|‬
‫‪ .u, v‬כאשר הפונקציה מקבלת ערכים‬
‫ממשיים‪ ,‬מדובר פשוט בהשוואת אינטגרלים‪ .‬כעת הערכים מרוכבים‪ ,‬וגם האינטגרל הוא מרוכב‪ ,‬אז נסמן‬
‫‪ü f (x)dx = z ∈ C‬‬
‫‪b‬‬
‫‪a‬‬
‫‪ .‬נסמן גם‬
‫אותו‪ ,‬אם ‪ z = Reiθ‬אז ‪= e−iθ‬‬
‫̄‪z‬‬
‫|‪|z‬‬
‫= ‪ λ‬אז מתקיים ‪ |λ| = 1‬וכן ‪ λz ∈ R‬כי |‪= |z‬‬
‫‪ .λz‬זה פשוט לסובב‬
‫‪ .λ‬נקבל‬
‫| ‪û f (x)dx| = |z| = λz = û λf = Re(û λf ) = û Re(λf ) ≤ û |λf | = û |f‬‬
‫‪b‬‬
‫‪b‬‬
‫‪a‬‬
‫‪b‬‬
‫‪a‬‬
‫‪b‬‬
‫‪a‬‬
‫‪b‬‬
‫‪a‬‬
‫סוף שיעור ‪13‬‬
‫‪82‬‬
‫‪b‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a‬‬
‫|‬
‫‪7.2‬‬
‫פונקציות מחזוריות‬
‫נאמר שפונקציה ‪ f : R → C‬היא מחזורית בעלת מחזור ‪ T‬אם )‪f (x + T ) = f (x‬‬
‫)‪ f (x‬בעלת מחזור ‪ T‬אז )‪ g(x) = f (T x‬היא בעלת מחזור ‪.1‬‬
‫לדוגמא‪ ,‬הפונקציה ‪ en (t) = eint‬היא בעלת מחזור |‪ .2π/|n‬אבל בפרט‪ ,‬אם ‪ ,n ∈ N‬גם בעלת‬
‫מחזור ‪ .2π‬על פי רוב נזהה פונקציות מחזוריות בעלות מחזור ‪ 2π‬נאמר‪ ,‬עם פונקציות על )‪ , [0, 2π‬או‬
‫עם פונקציות על ]‪ [0, 2π‬כך ש )‪ .f (0) = f (2π‬מבחינת תורת הקבוצות מדובר באותו אובייקט‪ ,‬אולם‬
‫לכל ‪ .x‬כמובן שאם‬
‫מבחינת חדו"א יש הבדלים מינוריים‪ ,‬למשל כשנרצה לדבר על רציפות‪ ,‬בהגדרה האמצעית יהיה צורך‬
‫לבקש )‪ .limt→2π f (t) = f (0‬בהגדרה האחרונה אם נרצה לדבר על גזירות בנקודה ‪2π “ = ” 0‬‬
‫צורך לדרוש שהנגזרת משמאל ב ‪ 2π‬תזדהה עם הנגזרת מימין ב ‪ ,0‬ולכן נוח יותר לעבוד עם פונקציות‬
‫‪ 2π‬מחזוריות על ‪ R‬שזה כמו פונקציות על המעגל‬
‫יהיה‬
‫‪T = R/2πZ‬‬
‫כאשר הדבקנו בעצם את הנקודות ‪ 0‬ו ‪2π‬‬
‫את )‪ R(T‬להיות אוסף הפונקציות ‪ f : R → R‬בעלות מחזור ‪ 2π‬שהן אינטגרביליות בקטע ]‪.[0, 2π‬‬
‫יחדיו ליצירת מעגל )טורוס חד מימדי ־ מכאן האות ‪ .(T‬נגדיר‬
‫הגדרה ‪ 7.2‬נסמן ‪ en (t) = eint‬עבור ‪∈ N‬‬
‫‪ .n‬פולינום טריגונומטרי זהו צרוף ליניארי סופי של פונקציות‬
‫כאלה עם מקדמים מרוכבים‪,‬‬
‫)‪cn en (t‬‬
‫‪N‬‬
‫‪X‬‬
‫= )‪P (t‬‬
‫‪n=−N‬‬
‫והדרגה של הפולינום היא ‪) .N‬אם ‪ cN‬או ‪c−N‬‬
‫לא מתאפסים‪(.‬‬
‫נשים לב שכל פולינום כזה ניתן להצגה כ‬
‫))‪cn (cos(nt) + i sin(nt‬‬
‫‪N‬‬
‫‪X‬‬
‫=‬
‫‪int‬‬
‫‪cn e‬‬
‫‪n=−N‬‬
‫‪N‬‬
‫‪X‬‬
‫= )‪P (t‬‬
‫‪n=−N‬‬
‫זאת אומרת כצרוף ליניארי של סינוסים וקוסינוסים‪ .‬ואם ‪cn = an + ibn‬‬
‫)‪(cn + c−n ) cos(nt) + i(cn − c−n ) sin(nt‬‬
‫)‪(an + a−n ) cos(nt) + (b−n − bn ) sin(nt‬‬
‫‪N‬‬
‫‪X‬‬
‫‪n=1‬‬
‫‪N‬‬
‫‪X‬‬
‫‪P (t) = c0 +‬‬
‫‪= c0 +‬‬
‫‪n=1‬‬
‫‪N‬‬
‫‪X‬‬
‫)‪(bn + b−n ) cos(nt) + (an − a−n ) sin(nt‬‬
‫נקבל‬
‫‪+i‬‬
‫‪n=1‬‬
‫כך שיש הצגה מפורשת של החלק הממשי והחלק המרוכב‪ .‬גם את ההתאמה ההפוכה קל לבצע‪ ,‬דהיינו‬
‫אם נתונה פונקציה מהצורה‬
‫)‪αk cos(nt) + iβk sin(nt‬‬
‫‪N‬‬
‫‪X‬‬
‫‪k=0‬‬
‫‪83‬‬
‫= )‪Q(t‬‬
‫אז קל למצוא את ההצגה המתאימה כפולינום טריגונומטרי‪ ,‬זאת אומרת לפתור ‪αk = ck +c−k ,α0 = c0‬‬
‫ו ‪.βk = ck − c−k‬‬
‫‪7.3‬‬
‫מכפלה פנימית‬
‫על מרחב הפונקציות ]‪R[T‬‬
‫יש מבנה של מכפלה פנימית‪) .‬זהו כמובן מרחב וקטורי‪ ,‬מעל המרוכבים ־ אם‬
‫כי די ברור שהמימד שלו כמרחב וקטורי הוא אינסוף ־ נדון בכך בקרוב(‪ .‬נגדיר את המכפלה הפנימית‬
‫באופן הבא‬
‫‪2π‬‬
‫‪ý‬‬
‫‪f (x)g(x)dx‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2π‬‬
‫=‪hf, gi :‬‬
‫לכל זוג פונקציות מותאם על כן מספר מרוכב באופן זה‪ .‬זה כמובן צריך להזכיר לכם את המכפלה‬
‫הפנימית הסטנדרטית ב ‪Rn‬‬
‫המוגדרת על ידי‬
‫‪xi yi‬‬
‫‪n‬‬
‫‪X‬‬
‫‪i=1‬‬
‫ומי שמכיר במרחב ‪ Cn‬מגדירים ‪xi yi‬‬
‫‪1/2‬‬
‫‪Pn‬‬
‫‪i=1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪|f (x)| dx‬‬
‫שכמובן מזכיר לנו אורך של וקטור ‪|xi |2‬‬
‫‪7.3.1‬‬
‫תכונות פשוטות‬
‫=‬
‫~‪ .‬נגדיר גם את‬
‫‪x · ~y‬‬
‫‪2π‬‬
‫‪ý‬‬
‫‪0‬‬
‫‪pP n‬‬
‫‪i=1‬‬
‫= ‪~x · ~y‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2π‬‬
‫=‬
‫‬
‫=‬
‫‪1/2‬‬
‫‪kf k2 = hf, f i‬‬
‫|‪.|x‬‬
‫ישנן תכונות שהן האקסיומות של מרחב מכפלה פנימית‪ ,‬וכדאי לוודא שמתקיימות‬
‫‪hg, f i = hf, gi .1‬‬
‫‪hf1 + f2 , gi = hf1 , gi + hf2 , gi .2‬‬
‫‪hλf, gi = λhf, gi .3‬‬
‫‪þ‬‬
‫‪2π‬‬
‫‪0‬‬
‫‪) hf, f i ≥ 0 .4‬ובפרט ממשי( ו ‪ (kf k = 0) hf, f i = 0‬אם ורק אם ‪|f (x)|2 dx = 0‬‬
‫נדון בתכונה זו מעט‪ :‬אילו ‪ ||f || = 0‬אז בכל נקודת רציפות קל לראות ש ‪ . f (x) = 0‬אם‬
‫מצטמצמים לפונקציות רציפות‪ ,‬קיבלנו שפשוט ‪ .f ≡ 0‬לפונקציות כלליות לא דנו כל כך בנושא‬
‫‪.‬‬
‫של מידה אפס‪ ,‬ולא הוכחנו שלפונקציה אינטגרבילית יש מידה אפס של נקודות אי רציפות‪ ,‬אם‬
‫כי הדבר נכון‪ .‬מה שעושים במקרה כללי הוא לקחת מרחב מנה תחת יחס השקילות ‪f ∼ g‬‬
‫‪ |f − g|2 = 0‬ולעבוד שם‪ .‬אחרת החלק החסר של תכונה ‪ 4‬שאומר ש ‪ kf k = 0‬רק לפונקציית‬
‫אם‬
‫‪þ‬‬
‫האפס לא תקף‪ .‬או שאפשר באמת להצטמצם לפונקציות רציפות‪ .‬או להצטמצם לרציפות למקוטעין‬
‫ומשמאל‪ ,‬או כל מיני אפשרויות אחרות‪.‬‬
‫‪84‬‬
‫ישנם דברים רבים שנובעים אוטומטית מהתכונות הללו‪ ,‬ללא צורך בידע על ההגדרה המסויימת של‬
‫הממ"פ שלנו‪ .‬נעיר שהעובדה ש ‪hf, f i ∈ R‬‬
‫נובעת מהתכונה הראשונה מיידית‪ .‬ליניאריות במשתנה השני‬
‫נובעת גם היא מתכונות ‪ 1‬ו־‪ ,2‬כמוכן מתכונות ‪ 1‬ו־‪ 3‬נובע כי ‪= λhf, gi‬‬
‫‪.kλf k = |λ| · kf k‬‬
‫‪7.3.2‬‬
‫‪ .hf, λgi‬קל לראות לכן גם ש‬
‫מושג האורתוגונליות‬
‫היתרון הגדול במבנה של מכפלה פנימית )שנקרא גם מבנה אוקלידי( הוא שיש מושג של להיות "מאונך"‪.‬‬
‫כשנעבוד רק עם התכונות האבסטרקטיות ולא עם המרחב הקונקרטי שלנו‪ ,‬נסמן את מרחב המכפלה‬
‫הפנימית ב ‪.V‬‬
‫הגדרה ‪ 7.3‬תהיינה ‪ .f, g ∈ V‬נאמר שהן אורתוגונליות אם ‪ hf, gi = 0‬ונסמן ‪⊥ g‬‬
‫‪.f‬‬
‫למה ‪] 7.4‬משפט פיתגורס[ יהיו ‪ f, g ∈ V‬ונניח ‪ .f ⊥ g‬אזי ‪+ gk2 = kf k2 + kgk2‬‬
‫‪.kf‬‬
‫הוכחה‪ :‬אכן‬
‫‪kf + gk2 = hf + g, f + gi = hf, f i + hf, gi + hg, f i + hg, gi = kf k2 + kgk2‬‬
‫לדוגמא‪ ,‬כשנסמן כרגיל ‪ en = eint‬עבור ‪n ∈ Z‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪1 ei(n−m) 2π‬‬
‫‪‬‬
‫‪2π‬‬
‫‪2π‬‬
‫‪|0 m 6= n 0 n 6= m‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫=‬
‫= ‪hen , em i‬‬
‫= ‪eint eimt dt‬‬
‫)‪ei(n−m)t dt = 2π i(n−m‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2π 0‬‬
‫‪2π 0‬‬
‫‪m = n 1 n = m‬‬
‫בממ"פ שלנו‪,‬‬
‫‪ÿ‬‬
‫‪ÿ‬‬
‫זאת אומרת שמדובר במערכת אורתונורמלית של פונקציות‪ .‬היא מזכירה במידה מסויימת את המערכת‬
‫האורתונורמלית הסופית ‪ {ei }ni=1‬ב ‪ Rn‬או ב ‪ Cn‬המוגדרת על ידי )‪= (0, · · · , 0, 1, 0, · · · , 0‬‬
‫הוא במקום ה ‪i‬י‪.‬‬
‫~ כשהאחד‬
‫‪ei‬‬
‫אם נתרגם את העובדה האחרונה למונחים של סינוסים וקוסינוסים‪ ,‬נראה שלמעשה‬
‫‪n 6= ±m‬‬
‫‪n = ±m 6= 0‬‬
‫‪n=m=0‬‬
‫‪n 6= ±m‬‬
‫‪n=m=0‬‬
‫‪n = +m 6= 0‬‬
‫‪n = −m 6= 0‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪0‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪= 1/2‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪0‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪0‬‬
‫=‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪1/2‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪−1/2‬‬
‫‪en + e−n em + e−m‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪en − e−n em − e−m‬‬
‫‪2i‬‬
‫‪2i‬‬
‫‪en + e−n em − e−m‬‬
‫‪=0‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2i‬‬
‫‬
‫‪2π‬‬
‫‪ÿ‬‬
‫‪0‬‬
‫‪2π‬‬
‫‪ÿ‬‬
‫‪0‬‬
‫‪2π‬‬
‫‪ÿ‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫= )‪cos(nt) cos(mt‬‬
‫‪2π‬‬
‫‪1‬‬
‫= )‪sin(nt) sin(mt‬‬
‫‪2π‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2π‬‬
‫‪2π‬‬
‫‪ÿ‬‬
‫‪0‬‬
‫‪2π‬‬
‫‪ÿ‬‬
‫‪0‬‬
‫‪2π‬‬
‫= )‪cos(nt) sin(mt‬‬
‫‪ÿ‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2π‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2π‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2π‬‬
‫‪7.3.3‬‬
‫אי שוויון קושי שוורץ‬
‫למה ‪ 7.5‬יהיו ‪f, g ∈ V‬‬
‫אזי מתקיים‬
‫‪|hf, gi| ≤ kf k · kgk‬‬
‫לעיתים מגדירים את הזוית ביניהם על ידי‬
‫הוכחה‪ :‬לכל ‪λ ∈ C‬‬
‫|‪|hf,gi‬‬
‫‪kf k·kgk‬‬
‫=‬
‫)‪.cos(∠f, g‬‬
‫מתקיים‬
‫‪0 ≤ hf − λg, f − λgi = kf k2 − λhg, f i − λhf, gi + |λ|2 kgk2‬‬
‫כעת נציב את‬
‫‪hf,gi‬‬
‫‪kgk2‬‬
‫=‪λ‬‬
‫ונקבל‬
‫‪|hf, gi|2 |hf, gi|2‬‬
‫‪|hf, gi|2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪+‬‬
‫=‬
‫‪kf‬‬
‫‪k‬‬
‫‪−‬‬
‫‪kgk2‬‬
‫‪kgk2‬‬
‫‪kgk2‬‬
‫‪0 ≤ kf k2 − 2‬‬
‫אפשר לתת עוד הרבה הוכחות )זה אי שוויון שימושי ביותר( למשל ניתן הוכחה לממ"פ הספציפי שלנו‬
‫הוכחה‪ :‬מאי שויון הממוצעים‬
‫‪dx‬‬
‫‬
‫‪C|f |2 + C1 |g|2‬‬
‫‪2‬‬
‫נבחר את ‪C = kgk/kf k‬‬
‫‪7.3.4‬‬
‫‬
‫‪1‬‬
‫‪CA2 + C‬‬
‫‪B2‬‬
‫‪2‬‬
‫‬
‫‪2π‬‬
‫‪0‬‬
‫≤ ‪ A · B‬לכל ‪> 0‬‬
‫‪ .A, B, C‬לכן‬
‫‬
‫‪2π‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫≤ |‪f (x)g(x)dx‬‬
‫≤ ‪|f (x)||g(x)|dx‬‬
‫‪2π 0‬‬
‫‪2π‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1 kgk‬‬
‫‪kf k‬‬
‫‪+‬‬
‫‪= C‬‬
‫‪2‬‬
‫‪C 2‬‬
‫‬
‫‪2π‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫|‬
‫‪2π‬‬
‫וסיימנו‪.‬‬
‫אי שוויון המשולש‬
‫למה ‪ 7.6‬יהיו ‪f, g ∈ V‬‬
‫אזי מתקיים‬
‫‪kf + gk ≤ kf k + kgk‬‬
‫הוכחה‪ :‬מיידית מקושי שוורץ‬
‫‪kf + gk2 = kf k2 + kgk2 + hf, gi + hg, f i = kf k2 + kgk2 + hf, gi + hf, gi‬‬
‫|‪= kf k2 + kgk2 + 2Rehf, gi ≤ kf k2 + kgk2 + 2|hf, gi‬‬
‫‪≤ kf k2 + kgk2 + 2kf k · kgk = (kf k + kgk)2‬‬
‫וניקח שורשים בשני הצדדים‪.‬‬
‫‬
‫פורייה למתחילים‬
‫‪7.4‬‬
‫נביט בפונקציות ‪= eint‬‬
‫)‪ .en (t‬הן פורשות את המרחב הוקטורי של פולינומים טריגונומטריים ־ צרופים‬
‫ליניאריים סופיים שלהן‪ .‬אם נתונה‬
‫‪cn e n‬‬
‫‪N‬‬
‫‪X‬‬
‫=‪f‬‬
‫‪n=−N‬‬
‫מגדירים את מקדם פורייה ה ‪m‬י של הפונקציה להיות ‪hf, em i‬‬
‫‪cn hen , em i = cm‬‬
‫‪N‬‬
‫‪X‬‬
‫‪n=−N‬‬
‫ואז מתקיים‬
‫= ‪fˆ(m) := hf, em i‬‬
‫ולכן יתקיים‬
‫‪fˆ(n)en‬‬
‫‪N‬‬
‫‪X‬‬
‫=‪f‬‬
‫‪n=−N‬‬
‫ובנוסף‪ ,‬אילו ‪dn en‬‬
‫‪PN‬‬
‫‪n=−N‬‬
‫= ‪ g‬אזי גם עבורה יתקיים ‪ĝ(n)en‬‬
‫)‪fˆ(n)ĝ(n‬‬
‫‪N‬‬
‫‪X‬‬
‫‪PN‬‬
‫‪n=−N‬‬
‫‪2π‬‬
‫‪n=−N‬‬
‫= ‪f g = hf, gi‬‬
‫‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2π‬‬
‫ובפרט‬
‫‪|fˆ(n)|2‬‬
‫‪N‬‬
‫‪X‬‬
‫‪n=−N‬‬
‫‪2π‬‬
‫= ‪|f |2‬‬
‫סוף שיעור ‪14‬‬
‫‪87‬‬
‫‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2π‬‬
‫= ‪kf k2‬‬
‫=‪g‬‬
‫וכן‬
‫פורייה למתקדמים‬
‫‪7.5‬‬
‫הגדרה ‪] 7.7‬מקדמי פורייה[ תהי )‪∈ R(T‬‬
‫‪ .f‬נגדיר‬
‫‪2π‬‬
‫‪f (t)e−int dt‬‬
‫‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫= ‪fˆ(n) = hf, en i‬‬
‫‪2π‬‬
‫ונקרא למספר מרוכב זה "מקדם פורייה ה ‪n‬י של ‪ ."f‬נגדיר את‬
‫‪fˆ(n)eint‬‬
‫‪N‬‬
‫‪X‬‬
‫=‬
‫)‪N f ) (t‬‬
‫‪n=−N‬‬
‫‪ (S‬‬
‫‪N‬‬
‫‪X‬‬
‫‪fˆ(n)en‬‬
‫= ‪SN f‬‬
‫‪n=−N‬‬
‫קצת היסטוריה‪ :‬החבר'ה )אוילר‪ ,‬ברנולי‪ ,‬לגרנז'( ידעו באופן "ניסיוני" שלפונקציות פשוטות כאשר → ‪N‬‬
‫∞ מתקיים‬
‫)‪SN f (t) → f (t‬‬
‫ופורייה היה הראשון שטען שהדבר מתקיים בצורה יותר כללית‪ .‬מה שיותר חשוב ־ הוא הראה שעובדה זו‬
‫יכולה לפתור בעיות פיסיקליות המתוארות על ידי משוואות דיפרנציאליות ליניאריות שהיו נפוצות במאה‬
‫ה ‪ .19‬דיריכלה היה הראשון שהראה באופן ריגורוזי ומדוייק שאכן עבור למשל פונקציות גזירות ברציפות‬
‫ומחזוריות ‪2π‬‬
‫הדבר מתקיים‪ .‬התנאי של הגזירות ברציפות היה נראה די עקרוני‪ ,‬שכן היתה דוגמא )של‬
‫דו־בואה־ריימונד( של פונקציה רציפה בה ∞ =‬
‫אפשר לשחזר את )‪ f (t‬בעזרת מקדמי פורייה‪ ,‬והתשובה לכך )במקרה הרציף( היא כן ־ כפי שהראה‬
‫)‪ .lim supN →∞ SN f (0‬עדיין ניתן היה לשאול האם‬
‫פייר‪ ,‬אבל במקום לקחת גבול צריך לקחת גבול במובן של צזארו‪ ,‬ובכך נדון גם כן על קצה המזלג‪.‬‬
‫בשלב הראשון נדון בכלל לא בהתכנסות נקודתית אלא רק בהתכנסות בנורמה‪:‬‬
‫‪2π‬‬
‫‬
‫‪|SN (x) − f (x)|2 dx → 0‬‬
‫‪0‬‬
‫ורק אחר כך נעבור לדון בהתכנסות נקודתית‪.‬‬
‫הערה ‪ 7.8‬הרבה פעמים אנחנו מצטמצמים ל ‪: [0, 2π] → R‬‬
‫‪ SN f‬שיכול להחזיר ערכים בכלל מרוכבים‪ .‬דרך מלאכותית היא לומר פשוט שניקח את ) ‪ Re(SN f‬בתור‬
‫‪ ,f‬ואז זה נשמע מצחיק לקרב אותן עם‬
‫הקירוב‪ .‬אבל אין צורך בכך! נשים לב שלפונקציה ממשית‬
‫‪2π‬‬
‫‪f (t) sin(nt)dt‬‬
‫‬
‫‬
‫‪0‬‬
‫‪2π‬‬
‫‪f (t) sin(nt)dt‬‬
‫‪0‬‬
‫‪2π‬‬
‫‪i‬‬
‫‪2π‬‬
‫‪0‬‬
‫‪2π‬‬
‫‪i‬‬
‫‪f (t) cos(nt)dt +‬‬
‫‪2π‬‬
‫‪0‬‬
‫‪f (t) cos(nt)dt −‬‬
‫‬
‫‬
‫‪1‬‬
‫‪2π‬‬
‫‪1‬‬
‫= )‪fˆ(−n‬‬
‫‪2π‬‬
‫= )‪fˆ(n‬‬
‫ולכן‬
‫‬
‫‪2π‬‬
‫‪1‬‬
‫‪f (t) cos(nt)dt cos(nt) +‬‬
‫)‪f (t) sin(nt)dt sin(nt‬‬
‫‪2π 0‬‬
‫‪0‬‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‪2π‬‬
‫‪2π‬‬
‫‪1‬‬
‫‪f (t) cos(nt)dt sin(nt) − i‬‬
‫)‪f (t) sin(nt)dt cos(nt‬‬
‫‪2π 0‬‬
‫‪0‬‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‪2π‬‬
‫‬
‫‪1‬‬
‫‪2π‬‬
‫‬
‫‪1‬‬
‫‪+ i‬‬
‫‪2π‬‬
‫‬
‫‬
‫= ‪fˆ(n)eint‬‬
‫‬
‫‪2π‬‬
‫‪1‬‬
‫‪f (t) cos(nt)dt cos(nt) +‬‬
‫)‪f (t) sin(nt)dt sin(nt‬‬
‫‪2π 0‬‬
‫‪0‬‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‪2π‬‬
‫‪2π‬‬
‫‪1‬‬
‫‪f (t) cos(nt)dt sin(nt) + i‬‬
‫)‪f (t) sin(nt)dt cos(nt‬‬
‫‪2π 0‬‬
‫‪0‬‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‪2π‬‬
‫‬
‫‬
‫‪1‬‬
‫‪2π‬‬
‫‬
‫‪1‬‬
‫‪− i‬‬
‫‪2π‬‬
‫‬
‫‬
‫= ‪fˆ(−n)e−int‬‬
‫כך שנקבל ממילא‬
‫‪2π‬‬
‫‬
‫‪f (t) sin(nt)dt sin(nt) ∈ R‬‬
‫‬
‫‪0‬‬
‫‬
‫‬
‫‪1‬‬
‫‪f (t) cos(nt)dt cos(nt) +‬‬
‫‪π‬‬
‫‪2π‬‬
‫‬
‫‪0‬‬
‫‬
‫‪1‬‬
‫= ‪fˆ(n)eint + fˆ(−n)e−int‬‬
‫‪π‬‬
‫זו כמובן היתה דרך ארוכה ומסורבלת לומר ש )‪fˆ(−n) = hf, e−n i = hf, en i = hf, en i = fˆ(n‬‬
‫ולכן‬
‫‪fˆ(n)eint + fˆ(−n)e−int = fˆ(n)eint + fˆ(n)eint ∈ R‬‬
‫ולכן גם עבור הסכום כולו‪ ,‬כאשר ‪ f‬מחזירה ערכים ממשיים‪ ,‬גם ‪SN f‬‬
‫‪7.5.1‬‬
‫מחזירה רק ערכים ממשיים‪.‬‬
‫הזנב מאונך לקירוב‬
‫טענה ‪ 7.9‬תהי )]‪f ∈ R([0, 2π‬‬
‫אזי מתקיים‬
‫‪SN − f ⊥ S N‬‬
‫וביתר כלליות ‪ SN − f ⊥ ek‬לכל ‪≤ N‬‬
‫|‪.|k‬‬
‫הוכחה‪ :‬פשוט נחשב ‪fˆ(n)en , ek i = fˆ(k) − fˆ(k) = 0‬‬
‫מסקנה ‪ 7.10‬תהי )]‪f ∈ R([0, 2π‬‬
‫‪PN‬‬
‫‪n=−N‬‬
‫‪− SN f, ek i = hf, ek i − h‬‬
‫אזי מתקיים‬
‫‪kf k2 = kSN f k2 + kf − SN f k2‬‬
‫‪7.5.2‬‬
‫אי שוויון בסל‬
‫טענה ‪ 7.11‬תהי )]‪ f ∈ R([0, 2π‬אזי מתקיים ‪ kSN f k2 ≤ kf k2‬לכל ‪N‬‬
‫‪|fˆ(n)|2 ≤ kf k2‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫∞‪n=−‬‬
‫ובפרט הטור של ערך מוחלט של מקדמי פורייה בריבוע‪ ,‬מתכנס‪.‬‬
‫
‬
‫וגם בגבול‬
‫‪.hf‬‬
‫הוכחה‪ :‬הדבר מייד מהטענה הקודמת‬
‫‪|fˆ(n)|2‬‬
‫‪N‬‬
‫‪X‬‬
‫‪n=−N‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫= ‪kf k = kSN f k + kf − SN f k ≥ kSN f k‬‬
‫ועל ידי לקיחת גבול כאשר ∞ → ‪N‬‬
‫‪7.5.3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫סיימנו‪.‬‬
‫הלמה של רימן ולבג‬
‫טענה ‪ 7.12‬תהי )]‪f ∈ R([0, 2π‬‬
‫אזי מתקיים‬
‫‪lim |fˆ(n)| = 0‬‬
‫∞‪n→±‬‬
‫הוכחה‪ :‬זהו איבר כללי בטור מספרי שמתכנס לפי הטענה הקודמת‪.‬‬
‫‪7.5.4‬‬
‫התכנסות ב ‪.L2‬‬
‫הגדרה ‪ 7.13‬תהי סדרת פונקציות ]‪ fn ∈ R[0, 2π‬ותהי ]‪∈ R[0, 2π‬‬
‫‪L2‬‬
‫בנורמת ‪ ,L2‬ונסמן ‪ fn → f‬אם מתקיים‬
‫‪.f‬‬
‫נאמר שהן מתכנסות אליה‬
‫‪lim kfn − f k → 0‬‬
‫∞→‪n‬‬
‫נשים לב שגבול במובן זה איננו יחיד‪ ,‬שכן שינוי של ‪f‬‬
‫למשל במספר סופי של נקודות לא משנה‪.‬‬
‫מטרתנו בסעיף זה להראות שעבור פונקציה אינטגרבילית‪ ,‬טור פורייה שלה מתכנס אליה במובן ‪ .L2‬זו‬
‫טענה כללית דהיינו תקפה לכל הפונקציות האינטגרביליות‪ .‬רעיון ההוכחה פשוט‪ :‬מבין כל הפולינומים‬
‫)זו טענה‬
‫הטריגונומטריים הקיימים‪ ,‬מדרגה מסויימת‪ ,‬פולינום פורייה הוא הקרוב ביותר )בנורמה( לפונקציה‬
‫‪.L 2‬‬
‫מטה(‪.‬‬
‫לכן כל שצריך להראות זה צפיפות של הפולינומים הטריגונומטריים במובן‬
‫אנו כב יודעים צפיפות במ"ש של פולינומים רגילים ברציפות‪ ,‬ואפשר להסיק מכאן צפיפות של‬
‫טריגונומטריים ברציפות‪ ,‬במ"ש‪ ,‬ובתוספת עם צפיפות ‪L2‬‬
‫של רציפות באינטגרביליות‪ ,‬לסיים‪ .‬למעשה‬
‫יהיה לנו את הצפיפות של הטריגונומטריים ברציפות בהוכחה אחרת בהמשך‪ ,‬ולכן נדלג על צפיפות במ"ש‬
‫של טריגונומטריים ברציפות‪ ,‬אם כי דרך להסיק זאת ממשפט ויירשטראסס תינתן לכם בתירגול‪.‬‬
‫קודם כל נראה את העובדה שהתכנסות במ"ש גוררת התכנסות במובן ‪.L2‬‬
‫‪u‬‬
‫‪L‬‬
‫למה ‪ 7.14‬תהי סדרת פונקציות ]‪ fn ∈ R[0, 2π‬ותהי ]‪ f ∈ R[0, 2π‬ונניח ‪ .fn → f‬אזי ‪fn →2 f‬‬
‫‬
‫‪2π‬‬
‫‪0‬‬
‫‪ lim‬וזה נובע מיידית משפט‬
‫‪.‬‬
‫הוכחה‪ :‬עלינו להראות ‪|fn (x) − f (x)|2 dx = 0‬‬
‫‪u‬‬
‫איטגרל וגבול יחד עם העובדה שגם ‪) |fn − f |2 → 0‬כי מדובר בפונקציות חסומות במידה אחידה שהרי‬
‫הן מתכנסות במ"ש לחסומה(‪.‬‬
‫‬
‫∞→‪n‬‬
‫על החלפת‬
‫מסקנה ‪ 7.15‬פולינומים צפופים ברציפות גם במובן ‪ .L2‬לכל ‪f : [a, b] → C‬‬
‫)‪ Pn (x), Qn (x‬כך ש‬
‫רציפה קיימים פולינומים‬
‫‪lim kPn (x) + iQn (x) − f (x)k → 0‬‬
‫∞→‪n‬‬
‫אנו נזדקק למשפט דומה העוסק בפולינומים טריגונומטריים‬
‫משפט ‪ 7.16‬תהי ‪ f : [0, 2π] → C‬רציפה עם )‪ f (0) = f (2π‬ויהי ‪ε > 0‬‬
‫‪Pn‬‬
‫= )‪ Pn (t‬כך ש‬
‫)‪k=−n ck ek (t‬‬
‫אזי קיים פולינום טריגונומטרי‬
‫‪sup |Pn (t) − f (t)| < ε‬‬
‫]‪x∈[0,2π‬‬
‫אנו נראה הוכחה ישירה של משפט זה בהמשך שתסתמך על גרעין פייר‪ ,‬וכרגע רק נשתמש בו ללא‬
‫הוכחה‪.‬‬
‫הערה ‪ 7.17‬הוכחה נוספת שמתבססת על משפט ויירשטראס לפולינומים רגילים תראו בתרגיל הבית‬
‫]לאחר פרסום הפתרון נוסיף את ההוכחה גם ברשימות[‪.‬‬
‫משפט ‪ 7.18‬תהי ]‪ f ∈ R[0, 2π‬אזי לכל ‪ ε > 0‬קיים פולינום טריגונומטרי ‪ P‬כך ש ‪kP − f k < ε‬‬
‫‪L2‬‬
‫קיימת סדרת פולינומים טריגונומטריים )‪ Pn (t‬כך ש ‪.Pn → f‬‬
‫ובפרט‬
‫הוכחה‪ :‬ראשית נראה שכל פונקציה אינטגרבילית ניתנת לקירוב ‪L2‬‬
‫פונקציה אינטגרבילית ניתן להניח בלי הגבלת הכללית כי )‪ f (0) = f (2π‬כי שינוי פונקציה בנקודה בודדת‬
‫לא משפיע על אינטגרביליות‪ ,‬וגם לא על נורמת ‪ L2‬של ההפרש שלה מכל פונקציה אחרת‪ .‬נבחר חלוקה‬
‫שמקיימת ‪ ω(f, Π) ≤ ε/2‬ונגדיר פונקציה ‪ g‬שעל תת הקטע ה ‪i‬־י של החלוקה היא ליניארית ומזדהה‬
‫עם ‪ f‬בנקודות ‪ xi‬של החלוקה‪ .‬נשים לב שבבניה זו ‪ g‬היא רציפה‪ .‬זו פונקציה רציפה שמקרבת את ‪f‬‬
‫במובן הבא‪ :‬בכך תת קטע ] ‪ [xi−1 , xi‬מתקיים |)‪ .ω(f, [xi−1 , xi ]) ≥ |g(x) − f (x‬ולכן אם נסמן את‬
‫החסם של ‪ f‬ב ‪ M‬אז‬
‫על ידי פונקציות רציפות‪ .‬אכן‪ ,‬בהנתן‬
‫‪M K‬‬
‫‪M‬‬
‫= ‪Σi=1 ω(f, [xi−1 , xi ])∆xi‬‬
‫‪ω(f, Π) ≤ ε/3‬‬
‫‪π‬‬
‫‪π‬‬
‫‪2π‬‬
‫‪2M‬‬
‫‪2π‬‬
‫‪2π‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2π‬‬
‫‬
‫‬
‫ומשום ש ‪ ε‬היה כלשהו‪ ,‬קרבנו את ‪ f‬על ידי רציפה בנורמה‪ .‬כעת ‪ g‬מקיימת את תנאי משפט‬
‫ לכן‬
‫≤ |‪|f − g‬‬
‫‪0‬‬
‫נוכל לקרב את ‪ g‬במ"ש )ובפרט ב ‪ (L2‬על ידי פולינום טריגונומטרי ‪P‬‬
‫‪0‬‬
‫עד כדי ‪ ,ε/2‬ונקבל את המשפט‪:‬‬
‫‪.kP − f k ≤ kP − gk + kg − f k < ε‬‬
‫‬
‫≤ ‪|f (x) − g(x)|2‬‬
‫משפט ‪ 7.19‬תהי )]‪ f ∈ R([0, 2π‬אזי מתקיים ‪limN →∞ kSN f − f k = 0‬‬
‫דהיינו‬
‫‪2π‬‬
‫‪|f (x) − SN (x)|2 dx = 0‬‬
‫‬
‫‪0‬‬
‫‪lim‬‬
‫∞→ ‪N‬‬
‫ובפרט מתקיים שוויון פרסבל‬
‫‪|fˆ(n)|2 = kf k2‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫‪.‬‬
‫∞‪n=−‬‬
‫בשביל המשפט נראה טענת עזר שגם היא שימושית בתורת הקירובים‪:‬‬
‫טענה ‪ 7.20‬תהי ]‪ .f ∈ R[0, 2π‬אזי הפולינום הטריגונומטרי מדרגה ≥ ‪ N‬הקרוב ביותר ‪ L2‬ל ‪f‬‬
‫‪P‬‬
‫ˆ‬
‫‪ ,SN f = N‬זאת אומרת שמתקיים לכל ‪ck ∈ C‬‬
‫‪n=−N f (n)en‬‬
‫‪fˆ(n)en − f k2‬‬
‫‪N‬‬
‫‪X‬‬
‫‪n=−N‬‬
‫הוכחה‪ :‬נחשב‪ ,‬תוך שימוש בכך ש ‪− f ⊥ en‬‬
‫‪Nf‬‬
‫‪cn en − f k2 ≥ k‬‬
‫‪fˆ(n)en k2 + kSN f − f k2‬‬
‫‪n=−N‬‬
‫‪.k‬‬
‫‪n=−N‬‬
‫‪ S‬לכל ‪) n ≤ N‬טענה‬
‫‪cn en − SN f + SN f − f k2‬‬
‫‪N‬‬
‫‪X‬‬
‫‪N‬‬
‫‪X‬‬
‫‪cn e n −‬‬
‫‪fˆ(n)en − f k2‬‬
‫‪N‬‬
‫‪X‬‬
‫‪n=−N‬‬
‫‪N‬‬
‫‪X‬‬
‫‪n=−N‬‬
‫‪N‬‬
‫‪X‬‬
‫‪n=−N‬‬
‫הוא‬
‫‪= k‬‬
‫‪2‬‬
‫( ומשפט פיתגורס‬
‫‪cn e n − f k‬‬
‫‪N‬‬
‫‪X‬‬
‫‪n=−N‬‬
‫‪k‬‬
‫‪= k‬‬
‫‪≥ k‬‬
‫כרצוי‬
‫הוכחה‪] :‬של טענה[ על פי משפט ‬
‫‪L‬‬
‫הפולינום ‪ QN‬הוא מדרגה ‪ (N‬כך ש ‪→2 f‬‬
‫קיימת סדרה ‪QN‬‬
‫של פולינומים טריגונומטריים )כאשר‬
‫‪ ,QN‬אך על פי הטענה האחרונה מתקיים‬
‫‪kSN f − f k ≤ kQN − f k →N →∞ 0‬‬
‫ולכן בפרט ‪limN →∞ kSN f − f k = 0‬‬
‫‪ .‬שוויון פרסבל נובע גם הוא שכן‬
‫‪|fˆ(n)|2 = kSN f k2 = kf k2 − kSN f − f k2 →N →∞ kf k2‬‬
‫סוף שיעור ‪15‬‬
‫‪92‬‬
‫‪N‬‬
‫‪X‬‬
‫‪n=−N‬‬
‫‪7.5.5‬‬
‫דוגמא חישובית‬
‫נרצה לקרב את ‪f (t) = t‬‬
‫‪#‬‬
‫‪$‬‬
‫במ"ש )היא לא רציפה‪ ,‬אז אי&&אפשר ממש(‪ ,‬זה כיוון אחר לנסות ולהוכיח בעזרתו את משפט "‬
‫! בעזרת‬
‫משפט ויירשטראסס )משפט "‬
‫‪) ,( %‬ברגע שקירבת את ‪ ,t‬תוכלי לקרב גם חזקות על ידי חזקות של‬
‫)נדון דווקא בקטע ]‪ ([−π, π‬על ידי פולינומים טריגונומטריים‪ ,‬עד כמה שאפשר‬
‫הקירוב( אך בגלל בעיית הרציפות זה לא עובד ישירות‪ .‬בתת פרק זה נחשב בדיוק את טור פורייה של‬
‫פונקציה זו‪ .‬נעיר שוב שהיא לא פונקציה רציפה על ‪ T‬שכן יש לה ערכים שונים ב ‪π‬‬
‫רק נקודת אי רציפות אחת כזו בכל קטע מאורך ‪.2π‬‬
‫וב ‪ ,−π‬אולם יש לה‬
‫איור ‪ :24‬פונקציית המסור‬
‫כמובן שנמשיך אותה מחזורית‪ ,‬כך שנקבל פונקצייה הדומה למסור‪.‬‬
‫למה ‪ 7.21‬תהי ‪ f : [−π, π) → R‬מוגדרת על ידי ‪= t‬‬
‫פורייה שלה נתונים על ידי ‪ fˆ(n) = i(−1)n /n‬עבור ‪ n 6= 0‬ו ‪ .fˆ(0) = 0‬פולינום פורייה מסדר ‪ N‬שלה‬
‫‪PN‬‬
‫)‪n+1 sin(nt‬‬
‫נתון על ידי‬
‫= )‪ .SN f (t‬הוא מתכנס במ"ש בכל תת קטע סגור של )‪,(−π, π‬‬
‫)‪n=1 2(−1‬‬
‫‪n‬‬
‫לפונקציה ‪ .f‬בפרט הוא מתכנס נקודתית ל ‪ f‬בקטע הפתוח‪.‬‬
‫)‪ ,f (t‬ונמשיך אותה מחזורית לכל ‪ .R‬מקדמי‬
‫הערה ‪ 7.22‬הבעייתיות בנקודות ‪±π‬‬
‫נובעת כמובן מחוסר הרציפות שם‪ .‬הטור עצמו יתכנס כמובן לאפס‬
‫בנקודות אלה‪ ,‬שכן זה פשוט טור אפסים‪ .‬אבל ההתכנסות בקטע כולו לא תהיה במ"ש‪ .‬נעיר גם שבקרוב‬
‫נראה משפטים כלליים על התכנסות נקודתית‪ ,‬ולעיתים במ"ש‪ ,‬של הטור לפונקציה‪.‬‬
‫הוכחה‪ :‬משום שהפונקציה איזוגית‪ ,‬ברור ש ‪ .fˆ(0) = 0‬נחשב עבור ‪n 6= 0‬‬
‫‪i −int‬‬
‫‪e‬‬
‫‪dt‬‬
‫‪n‬‬
‫‪π‬‬
‫'‬
‫‪−π‬‬
‫‪π‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1 i −int π‬‬
‫‪t e‬‬
‫= ‪te−int dt‬‬
‫‪|−π −‬‬
‫‪2π −π‬‬
‫‪2π n‬‬
‫‪i‬‬
‫‪i‬‬
‫‪π2einπ = (−1)n‬‬
‫=‬
‫‪2πn‬‬
‫‪n‬‬
‫'‬
‫)(‬
‫= )‪fˆ(n‬‬
‫נסכום אותם לקבלת‬
‫‪N‬‬
‫‪X‬‬
‫‪i‬‬
‫‪i‬‬
‫‪n int‬‬
‫= ‪(−1) e‬‬
‫])‪(−1)n [cos(nt) + i sin(nt‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫‪06=n=−N‬‬
‫‪N‬‬
‫‪X‬‬
‫= ‪fˆ(n)eint‬‬
‫‪06=n=−N‬‬
‫‪N‬‬
‫‪N‬‬
‫‪X‬‬
‫= )‪SN f (t‬‬
‫‪06=n=−N‬‬
‫‪X2‬‬
‫‪1‬‬
‫= )‪(−1)n+1 sin(nt‬‬
‫)‪(−1)n+1 sin(nt‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n=1‬‬
‫‪N‬‬
‫‪X‬‬
‫קוסינוס אפשר היה לבצע ללא מחשבה על פי הערה‪*+,‬‬
‫את הביטול של הגורם עם‬
‫‪P‬‬
‫=‬
‫‪06=n=−N‬‬
‫‪ .‬את ההתכנסות של‬
‫‪2‬‬
‫‪n+1‬‬
‫הטור )‪sin(nt‬‬
‫∞ עבור ‪eit 6= −1‬‬
‫)‪n=1 n (−1‬‬
‫בתת קטעים סגורים שלא מכילים את ‪ .(±π‬לשם כך נסמן ‪ an (t) = n1‬שהיא מונוטונית יורדת לאפס‬
‫)במ"ש ב ‪ t‬שכן היא איננה תלויה ב ‪ ,(t‬ו ) ‪ .bn (t) = (−1)n sin(nt) = (−1)n Im(eint‬יש לבדוק שסדרת‬
‫‪PN‬‬
‫חסומה במידה אחידה‪ .‬יותר נוח לסכום בהצגה המרוכבת‪ .‬נשים לב‬
‫הסכומים החלקיים )‪n=1 bn (t‬‬
‫נסיק מקריטריון דיריכלה )שגם יתן לנו התכנסות במ"ש‬
‫שלא השתמשנו בנוסאות מיוחדות‪ ,‬רק בטלסקופיות של הטור שהיא עובדה אלגברית‪.‬‬
‫‪(−eit ) − (−1)N +1 ei(N +1)t‬‬
‫‪1 + eit‬‬
‫‪PN‬‬
‫‪it n‬‬
‫[‪n=1 (−e ) ] = Im‬‬
‫[‪(−1)n sin(nt) = Im‬‬
‫‪N‬‬
‫‪X‬‬
‫‪n=1‬‬
‫אם אנו מצטמצמים לנקודות ‪ t‬עבורן נאמר ‪ |1 + eit | > δ‬אז ניתן לחסום לכל ‪N‬‬
‫‪2‬‬
‫‪δ‬‬
‫≤ | ‪(−1)n eint‬‬
‫‪N‬‬
‫‪X‬‬
‫|‬
‫ובפרט הטור )‪ P b (t‬חסום במידה אחידה ולכן על פי משפט‪+./‬‬
‫ ‪ ,‬גם הטור כולו מתכנס במ"ש בכל‬‫‪n=1‬‬
‫‪n‬‬
‫קטע מהצורה ]‪+ δ, π − δ‬‬
‫‪.[−π‬‬
‫יש כמה דרכים פשוטות לראות שההתכנסות היא ל ‪f‬‬
‫]‪ .[−π + δ, π − δ‬ההתכנסות היא במ"ש ובפרט לפונקציה רציפה לכן ההתכנסות היא לפונקציה רציפה‬
‫בקטע )‪ ,(−π, π‬נסמן אותה ב ‪ .g‬מצד שני אנו יודעים שיש התכנסות במובן ‪ L2‬לפונקציה עצמה‪,‬‬
‫שגם היא רציפה‪ .‬נקבל לכן שהפונקציה הגבולית מוכרחה להזדהות עם ‪ f‬במובן ‪.kf − gk2 = 0 ,L2‬‬
‫מכיוון ששתיהן רציפות‪ ,‬נובע פשוט ‪ f ≡ g‬בקטע‪ .‬בהמשך נראה הוכחה נוספת ללא שימוש במשפט על‬
‫עצמה‪.‬‬
‫ראשית נצטמצם לקטע מהצורה‬
‫התכנסות בנורמה‪.‬‬
‫הערה ‪ 7.23‬שוויון פרסבל עבור הפונקציה הספציפית הזו נותן לנו גם שוויון מספרי‪:‬‬
‫‪|fˆ(n)|2‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫‪π‬‬
‫= ‪t2 dt‬‬
‫∞‪n=−‬‬
‫‪0‬‬
‫‪−π‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2π‬‬
‫ואת אחד משני הצדדים אנו יודעים לחשב‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1 1 3 1‬‬
‫‪3‬‬
‫= ]) ‪[ π − (−π‬‬
‫‪2π 3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪n2‬‬
‫∞‪06=n=−‬‬
‫‪94‬‬
‫כך שקיבלנו‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫‪1‬‬
‫= ‪π /6‬‬
‫‪n2‬‬
‫‪n=1‬‬
‫‪2‬‬
‫אם לא ידענו זאת קודם‪ .‬המון חישובים מסוג זה בטורי פורייה מניבים נסחאות יפות לסכומי טורים‬
‫אינסופיים‪ .‬אפילו ללא פרסבל‪ ,‬מרגע שאנו יודעים התכנסות נקודתית אנו יכולים להציב בפונקציה ערכים‬
‫כלשהם‪ ,‬נאמר נציב ‪t = π/2‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫‪(−1)k−1‬‬
‫‪2k − 1‬‬
‫זאת אומרת‬
‫‪k=1‬‬
‫‪π‬‬
‫‪4‬‬
‫=‬
‫‪k−1‬‬
‫‪=2‬‬
‫ונקבל‬
‫)‪(2k−1)+1 (−1‬‬
‫‪2k − 1‬‬
‫‪(−1)k−1‬‬
‫‪2k−1‬‬
‫)‪(−1‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫‪=2‬‬
‫)‪n+1 sin(nπ/2‬‬
‫‪k=1‬‬
‫‪n‬‬
‫)‪2(−1‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫= )‪π/2 = f (π/2‬‬
‫‪n=1‬‬
‫∞‪P‬‬
‫‪ .‬זהו הטור ההרמוני האלטרננטי אבל רק על האיזוגיים‪.‬‬
‫‪k=1‬‬
‫למה ‪ 7.24‬תהי ‪ f : [0, 2π] → R‬מוגדרת על ידי ‪= 14 (π − t)2‬‬
‫‪2‬‬
‫מקדמי פורייה שלה נתונים על ידי ‪ fˆ(n) = 2n1 2‬עבור ‪ n 6= 0‬ו ‪ .fˆ(0) = π12‬פולינום פורייה מסדר ‪N‬‬
‫)‪PN cos(nt‬‬
‫‪2‬‬
‫שלה נתון על ידי‬
‫‪ .SN f (t) = π12 +‬הוא מתכנס נקודתית ובמ"ש ב]‪ ,[0, 2π‬לפונקציה ‪.f‬‬
‫‪n=1‬‬
‫‪n2‬‬
‫‪P 1‬‬
‫)‪P∞ cos(nt‬‬
‫‪π4‬‬
‫‪π2‬‬
‫‪.‬‬
‫טור פורייה שמתקבל הוא ‪ . 12 + n=1 n2‬שוויון פרסבל נותן ‪= 90‬‬
‫‪n4‬‬
‫)‪ ,f (t‬ונמשיך אותה מחזורית לכל ‪.R‬‬
‫הוכחה‪ :‬החישוב פשוט‪ ,‬שימוש באינטגרציה בחלקים‪= .‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2π 3‬‬
‫‪ 24π‬וכן‬
‫‪= π12‬‬
‫= ‪1 (π − t) dt‬‬
‫‪3‬‬
‫‪1‬‬
‫)‪[− (π−t‬‬
‫‪]2π‬‬
‫‪0‬‬
‫‪8π‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2π‬‬
‫‪0‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2π‬‬
‫‪1‬‬
‫‪8π‬‬
‫= )‪fˆ(0‬‬
‫‪2π‬‬
‫‪e−int 2π‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪e−int‬‬
‫‪(π − t)2‬‬
‫‪|0 −‬‬
‫‪dt‬‬
‫))‪(−2(π − t‬‬
‫‪8π‬‬
‫‪−in‬‬
‫‪8π 0‬‬
‫‪−in‬‬
‫‪0‬‬
‫‪2π‬‬
‫‪2π −int‬‬
‫‪1‬‬
‫‪e‬‬
‫‪−i e−int 2π‬‬
‫‪i‬‬
‫‪1‬‬
‫‪−int‬‬
‫‪= 0−i‬‬
‫‪te‬‬
‫= ‪dt‬‬
‫‪t‬‬
‫‪|0 +‬‬
‫‪dt = 2‬‬
‫‪4πn 0‬‬
‫‪4πn −in‬‬
‫‪4πn 0 −in‬‬
‫‪2n‬‬
‫‪2‬‬
‫= ‪(π − t)2 e−int dt‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪8π‬‬
‫= )‪fˆ(n‬‬
‫‪2‬‬
‫וקיבלנו את מקמי פורייה האמורים‪ .‬הסכימה והזוגיות של קוסינוס נותנת את הביטוי לפולינום פורייה‪,‬‬
‫ולטור‪ .‬נשים לב שהטור מתכנס בהחלט )הפונקציה עצמה רציפה‪ ,‬שזה שיפור לעומת הקודמת( ובמ"ש על‬
‫פי הבוחן של ויירשטראסס‪ .‬בפרט‪ ,‬הפונקציה הגבולית רציפה‪ ,‬וגם ‪ f‬רציפה‪ ,‬ומשום ש ‪kf − SN f k → 0‬‬
‫‪π2‬‬
‫נקבל שהפונקציה הגבולית היא ‪ f‬עצמה‪ .‬פרסבל ייתן לנו )נרשום את הטור באופן מלא כך ‪+‬‬
‫‪12‬‬
‫‪P∞ eint +e−int‬‬
‫‪2n2‬‬
‫‪n=1‬‬
‫(‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫‪π4‬‬
‫‪(π − t)4‬‬
‫‪1‬‬
‫= ‪dt‬‬
‫‪+‬‬
‫‪2· 4‬‬
‫‪16‬‬
‫‪144 n=1‬‬
‫‪4n‬‬
‫∞‬
‫‪2π‬‬
‫‪2‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2π‬‬
‫‪X 1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪π4‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1 (π − t)5 2π‬‬
‫‪−‬‬
‫‪]=−‬‬
‫‪|0 dt −‬‬
‫=‬
‫‪80 144‬‬
‫‪2π 5 · 16‬‬
‫‪144 n=1 2n4‬‬
‫‪P 1‬‬
‫‪4‬‬
‫זאת אומרת קיבלנו ‪= π90‬‬
‫‪.‬‬
‫‪n4‬‬
‫‪95‬‬
‫[‪π4‬‬
‫מההתכנסות הנקודתית נובע שמותר להציב כל מיני ‪ t‬ולקבל שוויונות‪ .‬בנקודה ‪0‬‬
‫נציב ונקבל‬
‫∞‬
‫‪π2‬‬
‫‪π2 X 1‬‬
‫=‬
‫‪+‬‬
‫‪12 n=1 n2‬‬
‫‪4‬‬
‫שמסתדר עם החישוב הקודם‪.‬‬
‫בנקודה ‪ t = π/2‬נציב‪ ,‬עבור ‪ n‬איזוגי הקוסינוס יתאפס‪ ,‬ועבור ‪n = 2k‬‬
‫זוגי‪ ,‬הסימן תלוי בזוגיות של‬
‫‪ .k‬נקבל‬
‫∞‬
‫∞‬
‫)‪π 2 X cos(kπ‬‬
‫‪π 2 X (−1)k‬‬
‫‪π2‬‬
‫‪+‬‬
‫‪+‬‬
‫=‬
‫=‬
‫‪12 k=1 (2k)2‬‬
‫‪12 k=1 4k 2‬‬
‫‪16‬‬
‫‪2‬‬
‫שהופך לנוסחא ‪= − π12‬‬
‫‪(−1)k‬‬
‫‪k2‬‬
‫∞‪P‬‬
‫‪k=1‬‬
‫‪ .‬למעשה נוסחא זו יכולנו להסיק גם כן מהקודמות באופן הבא‪:‬‬
‫∞‬
‫∞‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫‪X‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1X 1‬‬
‫‪π2‬‬
‫‪+‬‬
‫=‬
‫‪2‬‬
‫=‬
‫=‬
‫‪k2‬‬
‫‪(2k)2‬‬
‫‪2 k=1 k 2‬‬
‫‪12‬‬
‫‪k=1‬‬
‫‪k=1‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫‪(−1)k‬‬
‫‪k2‬‬
‫ועל ידי העברת אגפים נקבל את הנסחא מעלה‪ .‬לדוגמה נוכל להציב ‪t = π‬‬
‫‪k=1‬‬
‫ולקבל‬
‫∞‬
‫‪π 2 X (−1)n‬‬
‫‪=0‬‬
‫‪+‬‬
‫‪12 n=1 n2‬‬
‫שוב לא דבר חדש )אבל טוב שהכל מסתדר(‪.‬‬
‫‪7.6‬‬
‫‪7.6.1‬‬
‫התכנסות נקודתית של טור פורייה‬
‫דעיכת המקדמים‬
‫הלמה של רימן ולבג‪ ,‬משפט‪3456‬‬
‫‪ ,‬אומרת שמקדמי פורייה תמיד דועכים‪ ,‬שואפים לאפס‪ ,‬פשוט משום‬
‫שהטור של הריבועים שלהם מתכנס‪ .‬זה למעשה אומר קצת יותר מסתם שאיפה לאפס‪ ,‬כי זה לא יכול‬
‫לשאוף יותר מידי לאט‪.‬‬
‫אולי שמתם לב לכך שכשהפונקציה לה עשינו פורייה הייתה לא רציפה )‪ f (t) = t‬ב )‪[−π, π‬‬
‫‪ (2π‬המקדמים דעכו כמו ‪ 1/n‬ואילו בפונקציה השנייה שכן הייתה רציפה‪ ,‬הם דעכו מהר יותר‪ ,‬בקצב של‬
‫‪ ,‬שאפילו קראנו לה "דעיכת‬
‫‪ .1/n2‬הדבר איננו מקרי‪ ,‬ואולי מזכיר לכם טענה מהעבר הרחוק‪ :‬טענה‬
‫ומחזורית‬
‫‪7487‬‬
‫מקדמי פורייה" אם כי עוד לא עסקנו אז במרוכבים כך שניסחנו אותה רק על סינוסים וקוסינוסים‪.‬‬
‫למה ‪ 7.25‬תהי )‪ f ∈ C 1 (T‬זאת אומרת ‪ ,f : R → C‬מחזורית ‪ ,2π‬וגזירה ברציפות‪ .‬אזי )‪fˆ0 (n) = infˆ(n‬‬
‫ובפרט ‪.nfˆ(n) → 0‬‬
‫הוכחה‪ :‬נחשב‬
‫)‪f (t)(−ine−int )dt = infˆ(n‬‬
‫‪2π‬‬
‫‪9‬‬
‫‪0‬‬
‫‪f (t)e−int 2π‬‬
‫‪1‬‬
‫‪|0 −‬‬
‫‪2π‬‬
‫‪2π‬‬
‫‪96‬‬
‫‪2π‬‬
‫= ‪f 0 (t)e−int dt‬‬
‫‪9‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2π‬‬
‫כרצוי‪ .‬נעיר שלמעשה לא היה צורך ברציפות ‪ f 0‬כי אינטגרציה בחלקים אפשר לעשות גם אם‪ ,‬נאמר‪f ,‬‬
‫רציפה‪ ,‬גזירה למקוטעין ו־ ‪ f 0‬רציפה למקוטעין‪ .‬לבסוף‪ ,‬השאיפה לאפס נובעת מרימן לבג עבור ‪.f 0‬‬
‫אפשר כמובן להכליל לנגזרות מסדר ‪ ,k‬ולקבל באינדוקציה‬
‫למה ‪ 7.26‬תהי )‪ f ∈ C k (T‬זאת אומרת ‪ ,f : R → C‬מחזורית ‪ , 2π‬וגזירה ברציפות ‪k‬‬
‫)‪(k) (n) = ik nk fˆ(n‬‬
‫ˆ ‪ f‬ובפרט ‪.nk fˆ(n) → 0‬‬
‫הוכחה‪ :‬באינדוקציה‪ .‬המקרה ‪k = 1‬‬
‫פעמים‪ .‬אזי‬
‫ראינו‪ ,‬וכעת‬
‫‪2π‬‬
‫‪f (k−1) (t)e−int 2π‬‬
‫‪1‬‬
‫= ‪dt‬‬
‫‪f (k−1) (t)(−ine−int )dt‬‬
‫‪|0 −‬‬
‫‪2π‬‬
‫‪2π 0‬‬
‫ˆ‬
‫)‪ˆ (n‬‬
‫)‪= inf (k−1) (n) = in(in)k−1 f (k−1‬‬
‫‪:‬‬
‫‪2π‬‬
‫‪−int‬‬
‫‪(t)e‬‬
‫)‪(k‬‬
‫‪f‬‬
‫‪:‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2π‬‬
‫כרצוי‪ .‬שוב השאיפה לאפס מרימן לבג‪ ,‬הפעם עבור )‪.f (k‬‬
‫הערה ‪ 7.27‬משפט בכיוון הפוך )על כך שאם מקדמי פורייה דועכים בקצב מסויים נתון‪ ,‬הפונקציה חייבת‬
‫להיות גזירה מספר פעמים מסויים( ינתן לכם בתירגול‪.‬‬
‫‪P‬‬
‫‪1‬‬
‫ˆ‬
‫∞ ובפרט ‪SN f → f‬‬
‫מסקנה ‪ 7.28‬תהי )‪ f ∈ C (T‬כמו בלמה‪ .‬אזי ∞ < |)‪n=−∞ |f (n‬‬
‫∞‪P‬‬
‫הוכחה‪ :‬לפי הלמה ‪ |fˆ0 (n)|2 = n2 |fˆ(n)|2‬ולכן לפי בסל ∞ < ‪ . n=−∞ n2 |fˆ(n)|2‬אולם מאי שוויון‬
‫הממוצעים לכל ‪ |fˆ(n)| = |fˆ(n)|n n1 ≤ 12 [|fˆ(n)|2 n2 + n12 ] n 6= 0‬ולכן אחרי סכימה נקבל‬
‫במ"ש‪.‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫∞‬
‫ˆ ‪1 X 2‬‬
‫‪π2‬‬
‫ˆ‬
‫∞<‬
‫≤ |)‪|f (n‬‬
‫‪n |f (n)|2 + |fˆ(0)| +‬‬
‫∞‪2 n=−‬‬
‫‪6‬‬
‫∞‪n=−‬‬
‫כעת לפי הבוחן של ויירשטראסס‪ ,‬הטור הרלוונטי של הפונקציות מתכנס בהחלט ובמ"ש‪ .‬בפרט הוא‬
‫מתכנס לפונקציה רציפה‪ ,‬ולכן‪ ,‬כפי שראינו שנובע מהתכנסות במובן ‪ L2‬ל ‪f‬‬
‫יחד עם התכנסות במ"ש‬
‫לאיזושהיא פונקציה‪ ,‬שהפונקציה המקורית רציפה נובע כי ההתכנסות במ"ש היא בהכרח ל ‪f‬‬
‫עצמה‪.‬‬
‫במסקנה האחרונה למעשה השתמשנו בטיעון מעט יותר כללי ושימושי‬
‫טענה ‪ 7.29‬תהי י )‪ f ∈ C(T‬זאת אומרת ‪ f : R → C‬רציפה ומחזורית ‪ .2π‬אם ∞ < |)‪|fˆ(n‬‬
‫אזי ‪ SN f → f‬במ"ש על ]‪ [0, 2π‬ובפרט נקודתית‪.‬‬
‫∞‪P‬‬
‫∞‪n=−‬‬
‫הוכחה‪ :‬לפי הבוחן של ויירשטראסס‪ ,‬הטור הרלוונטי של הפונקציות מתכנס בהחלט ובמ"ש‪ .‬בפרט הוא‬
‫מתכנס לפונקציה רציפה‪ ,‬ולכן בהכרח ל ‪f‬‬
‫עצמה‪.‬‬
‫סוף שיעור ‪16‬‬
‫‪97‬‬
‫קונבולוציה‬
‫‪7.6.2‬‬
‫הגדרה ‪ 7.30‬תהיינה )‪ f, g ∈ R(T‬זאת אומרת ‪ f, g : R → C‬מחזוריות ‪2π‬‬
‫ואינטגרביליות על ]‪.[0, 2π‬‬
‫נגדיר את‬
‫‪2π‬‬
‫‪f (t)g(x − t)dt‬‬
‫;‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫= )‪(f ∗ g)(x‬‬
‫‪2π‬‬
‫הפעולה הזאת‪ ,‬במובן מסויים‪ ,‬שומרת את התכונות הטובות של שתי הפונקציות‪ .‬הדרך העיקרית בה אנו‬
‫נשתמש בה היא כאשר ‪ g‬תנסה לקרב לנו את "הזהות" על )‪ .R(T‬תראו בתרגיל שלא יקיימת ‪g‬‬
‫"כמו הזהות"‪ ,‬זאת אומרת ש ‪ f ∗ g = f‬לכל ‪ ,f‬אבל אפשר לנסות ולהתקרב לכך‪) .‬בידקו לעצמכם‪ :‬מה‬
‫שפועלת‬
‫קבועה?(‪.‬‬
‫קורה כשעושים קונבולוציה עם פונקציה‬
‫‪‬‬
‫לדוגמא‪ ,‬אם‬
‫]‪x ∈ [−1/n, 1/n‬‬
‫‪4πn‬‬
‫]‪x ∈ T \ [−1/n, 1/n‬‬
‫‪x+1/n‬‬
‫)‪f (t)dt ' f (x‬‬
‫;‬
‫‪x−1/n‬‬
‫‪0‬‬
‫= )‪gn (x‬‬
‫‪π‬‬
‫;‬
‫‪f (t)g(x − t)dt = 2n‬‬
‫‪−π‬‬
‫‪1‬‬
‫= )‪(f ∗ gn )(x‬‬
‫‪2π‬‬
‫כאשר ה"בערך שוויון" האחרון הוא בגבול כאשר ∞ → ‪ ,n‬ותקף למשל אם ‪f‬‬
‫בקונבולוציות שלנו הוא על פי רב "להחליק" את ‪ ,f‬למצע את ערכיה סביב ‪ x‬על פי פונקציית "משקל"‬
‫המגולמת על ידי ‪ .g‬ברור בדוגמא זו שהפונקציה ‪ gn ∗ f‬רציפה לכל ‪ .n‬למעשה תמיד קונבולוציה יוצאת‬
‫רציפה ב ‪ .x‬הרעיון‬
‫רציפה‪.‬‬
‫עוד דוגמא שרלוונטית אלינו‪ :‬נזכיר ‪= eikt‬‬
‫)‪ ,ek (t‬אזי‬
‫)‪f (t)eik(x−t) dt = eikx hf, ek i = eikx fˆ(k‬‬
‫‪π‬‬
‫;‬
‫‪−π‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2π‬‬
‫= )‪(f ∗ ek ) (x‬‬
‫זאת אומרת שאת הסוכם ה ‪k‬י בטור פורייה אפשר להציג כקונבולוציה עם המונומים הטריגונומטריים‪.‬‬
‫קונבולוציה היא כלי מאוד שימושי במתמטיקה‪ ,‬ויש לה תכונות נהדרות שרק את חלקן נודא כאן‪.‬‬
‫<‬
‫‪∗f =f ∗g‬‬
‫‪,s(0) = x, s(2π) = x − 2π ,ds = −dt ,t = x − s ,s = x − t‬‬
‫‪ :g‬אכן על ידי שינוי משתנה‬
‫‪x−2π‬‬
‫)‪g(x − s)f (s‬‬
‫;‬
‫= ‪g(x − s)f (s)ds‬‬
‫;‬
‫‪x‬‬
‫‪2π‬‬
‫‪f (s)g(x − s)ds‬‬
‫‪0‬‬
‫‪2π‬‬
‫‪g(t)f (x − t) = −‬‬
‫;‬
‫;‬
‫‪0‬‬
‫= )‪2π(g ∗ f )(x‬‬
‫‪x‬‬
‫=‬
‫‪x−2π‬‬
‫כשהשתמשנו במחזוריות על מנת להזיז את תחום האינטגרציה‪.‬‬
‫<‬
‫< )‪: (cf ) ∗ g = c(f ∗ g‬קל לבדוק לפי הגדרות ותכונות האינטגרל‬
‫>=‬
‫‪f ∗ (g + h) = f ∗ g + f ∗ h‬‬
‫‪:‬קל לבדוק לפי ליניאריות האינטגרל‪.‬‬
‫?‬
‫)‪] (f ∗ g) ∗ h = f ∗ (g ∗ h‬לא בחומר[‪ :‬נסמן לכל ‪ s‬קבוע את ‪r(t) = t − s‬‬
‫ונבצע שינוי משתנה‪.‬‬
‫בדרך גם החלפנו סדר אינטגרציה ללא תירוצים‪ ,‬אותם תוכלו לקבל בקורס חדו"א ‪.3‬‬
‫‪π‬‬
‫‪π‬‬
‫‪π‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫= ‪(f ∗ g)(t)h(x − t)dt‬‬
‫[‬
‫‪f (s)g(t − s)ds]h(x − t)dt‬‬
‫‪2π −π‬‬
‫‪(2π)2 −π −π‬‬
‫‪π‬‬
‫‪π‬‬
‫‪1‬‬
‫=‬
‫[)‪f (s‬‬
‫‪g(t − s)h(x − t)dt]ds‬‬
‫‪(2π)2 −π‬‬
‫‪−π‬‬
‫‪π‬‬
‫‪π‬‬
‫‪1‬‬
‫=‬
‫‪f‬‬
‫[)‪(s‬‬
‫‪g(r)h(x − s − r)dt]ds‬‬
‫‪(2π)2 −π‬‬
‫‪−π‬‬
‫‪π‬‬
‫‪1‬‬
‫=‬
‫)‪f (s)[(g ∗ h)(x − s)]ds = (f ∗ (g ∗ h))(x‬‬
‫‪2π −π‬‬
‫@‬
‫@@‬
‫@‬
‫@‬
‫= )‪((f ∗ g) ∗ h) (x‬‬
‫@‬
‫@‬
‫@‬
‫?‬
‫ˆ ‪](f‬שוב לא בחומר‪ ,‬אך נתאר זאת השיעור[‪:‬‬
‫? )‪∗ g)(n) = fˆ(n) · ĝ(n‬‬
‫‪f ∗g‬‬
‫תמיד רציפה ‪ :‬בתירגול‪.‬‬
‫אם נרשה החלפת סדר‬
‫אינטגרציה באינטגרל כפול )מותר למשל אם כולן רציפות‪ ,‬ואח"כ ניתן לקרב על ידי רציפות( נקבל‬
‫זאת כי‬
‫‪π‬‬
‫‪f (s)g(t − s)ds]e−int dt‬‬
‫‪dsdt‬‬
‫@‬
‫‪−π‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2π‬‬
‫‪π‬‬
‫[‬
‫@‬
‫‪−π‬‬
‫‪π‬‬
‫= ‪(f ∗ g)(t)e−int dt‬‬
‫‪π‬‬
‫‪π‬‬
‫@‬
‫‪−π‬‬
‫‪@ @ f (s)g(t − s)e‬‬
‫‪@ f (s)[@ g(t − s)e‬‬
‫‪1‬‬
‫=‬
‫‪2π‬‬
‫‪1‬‬
‫=‬
‫‪2π‬‬
‫‪−in(t−s) −ins‬‬
‫‪e‬‬
‫‪π‬‬
‫‪dt]e−ins ds‬‬
‫)‪−in(t−s‬‬
‫‪−π‬‬
‫‪−π‬‬
‫‪−π‬‬
‫‪π‬‬
‫‪−π‬‬
‫)‪f (s)ĝ(n)e−ins ds = 2π fˆ(n)ĝ(n‬‬
‫= )‪2π (f ˆ∗ g)(n‬‬
‫‪π‬‬
‫@‬
‫=‬
‫‪−π‬‬
‫?‬
‫קונבולוציה עם פולינום ממעלה ‪ n‬תמיד מחזירה פולניום ממעלה ≥‬
‫ואת המקרה הכללי תעשו באינדוקציה‪ :‬נסמן ‪ .g(t) = t2‬אזי‬
‫‪ :n‬הבה נחשב דוגמא קלה‬
‫‪π‬‬
‫‪f (t)(x − t)2 dt‬‬
‫‪π‬‬
‫‪f (t)t2 dt‬‬
‫@‬
‫‪−π‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2π‬‬
‫‪π‬‬
‫‪f (t)(−2t)dt] +‬‬
‫@‬
‫‪−π‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2π‬‬
‫‪π‬‬
‫[‪f (t)dt] + x‬‬
‫‪−π‬‬
‫@‬
‫‪−π‬‬
‫@‬
‫‪1‬‬
‫‪2π‬‬
‫הרעיון הכללי בשימוש שלנו יהיה לעשות קונבולוציה עם משהו שמרוכז סביב ‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2π‬‬
‫= )‪(f ∗ g)(x‬‬
‫[ ‪= x2‬‬
‫ולקבל קירוב של הפונקציה‬
‫עצמה‪ .‬ראינו את זה בדוגמא הראשונה‪ ,‬ובאופן כללי זה נעשה כך‬
‫‪f (x − t)g(t)dt‬‬
‫@‬
‫‪|x|>δ‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2π‬‬
‫‪δ‬‬
‫‪f (x − t)g(t)dt +‬‬
‫‪99‬‬
‫@‬
‫‪−δ‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2π‬‬
‫‪π‬‬
‫= ‪f (x − t)g(t)dt‬‬
‫@‬
‫‪−π‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2π‬‬
‫ועבור ‪ g‬המרוכזת היטב סביב ‪ 0‬ובעלת אינטגרל כולל ‪ ,1‬הגורם הראשון הוא בערך )‪f (x‬‬
‫בערך ‪ ,0‬ל ‪ δ‬קטן מספיק‪ .‬למשל‪ ,‬אפשר להוכיח את המשפט על קירוב כל פונקציה רציפה על ]‪[−π, π‬‬
‫√‬
‫בעזרת פולינומים אם עושים קונבולוציה של הפונקציה עם ‪) CN ( π − x2 )N‬מנורמל להיות מאינטגרל‬
‫כללי ‪ (1‬כאשר ‪ N‬מאוד גדול‪ .‬פרטים ־ בתירגול‪.‬‬
‫והגורם השני‬
‫‪7.6.3‬‬
‫גרעין דיריכלה‬
‫הגדרה ‪ 7.31‬נגדיר את הפונקציה המחזורית הבאה‪ ,‬שנקראת גרעין דיריכלה‪:‬‬
‫‪en‬‬
‫‪N‬‬
‫‪X‬‬
‫= ‪einx‬‬
‫‪n=−N‬‬
‫‪N‬‬
‫‪X‬‬
‫= )‪DN (x‬‬
‫‪n=−N‬‬
‫איור ‪ :25‬גרעין דיריכלה‬
‫למה ‪] 7.32‬תכונותיו של גרעין דיריכלה[‬
‫‪ .1‬מתקיים לכל )‪ f ∈ R(T‬כי ‪DN ∗ f = SN f‬‬
‫‪|n| ≤ N‬‬
‫‪|n| > N‬‬
‫וכן‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫= )‪DˆN (n‬‬
‫‪ .2‬לכל ]‪ y ∈ [−π, π‬מתקיים ‪|DN (y)|≤ 2N + 1‬‬
‫‪2N + 1‬‬
‫‪y=0‬‬
‫‪ .3‬מתקיים‬
‫= )‪ DN (y‬ובפרט )‪ DN (y‬זוהי פונקציה זוגית‪ ,‬ממשית‪,‬‬
‫)‪ sin((N +1/2)y‬‬
‫‪y‬‬
‫=‬
‫‪6‬‬
‫‪0‬‬
‫)‪sin(y/2‬‬
‫אך לא תמיד חיובית‪ .‬כמו כן מתקיים ‪ DN (y) = 0‬אם ורק אם ‪ y = yk = 2N2π+1 k‬עבור = ‪k‬‬
‫‪.±1, ±2, . . . , ±N‬‬
‫‪ .4‬יש לפונקציה )‪ DN (y‬מינימום מקומי ב ‪ N‬נקודות ומקסימום מקומי ב ‪ N + 1‬נקודות )שהאחת‬
‫מהן היא ‪.(0‬‬
‫‪100‬‬
‫‪ .5‬מתקיים |)‪ |DN (y)| ≤ |1/ sin(y/2‬ובפרט |‪≤ π/|y‬‬
‫‪π‬‬
‫‪1‬‬
‫‪DN (y)dy = 1 .6‬‬
‫‪) 2π‬זו תכונה שמגדירה "גרעין"(‬
‫‪−π‬‬
‫‪A‬‬
‫|)‪.|DN (y‬‬
‫הוכחה‪ :‬ראינו כבר ‪ en ∗ f = fˆ(n)eint‬ויש ליניאריות של קונבולוציה‪ .‬מכאן ‪∗ f = SN f‬‬
‫‪ .DN‬בנוסף‬
‫מהגדרה‬
‫‪|n| ≤ N‬‬
‫‪|n| > N‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫= ‪hek , en i‬‬
‫‪N‬‬
‫‪X‬‬
‫‪k=−N‬‬
‫= ‪DˆN (n) = hDN , en i‬‬
‫והראינו את )‪ .(1‬גם )‪ (6‬נובע מההגדרה כי האינטגרל המנורמל ב ‪ 2π‬זה פשוט )‪= DˆN (0‬‬
‫נובע מאי שוויון המשולש‪ .‬את הנוסחא בסעיף )‪ (3‬נוכיח ישירות‪) :‬עבור ‪ y = 0‬זו ההגדרה(‬
‫‪e−iN y − ei(N +1)y‬‬
‫‪e−i(N +1/2)y − ei(N +1/2)y‬‬
‫)‪sin((N + 1/2)y‬‬
‫=‬
‫=‬
‫‪iy‬‬
‫‪−iy/2‬‬
‫‪iy/2‬‬
‫‪1−e‬‬
‫‪e‬‬
‫‪+e‬‬
‫)‪sin(y/2‬‬
‫‪ .1‬סעיף )‪(2‬‬
‫= )‪DN (y‬‬
‫מכאן גם נובעות התכונות האחרות‪ ,‬וגם אפסיו‪ ,‬כאשר ‪ (N + 12 )y = kπ‬עבור }‪∈ Z \ {0‬‬
‫‪ .k‬כדי למצוא‬
‫נקודות קריטיות נגזור אותו‪:‬‬
‫)‪(N + 1) cos((N + 1)/2)y) sin(y/2) − sin((N + 1/2)y) cos(y/2‬‬
‫)‪2 sin2 (y/2‬‬
‫‪0‬‬
‫‪DN‬‬
‫= )‪(y‬‬
‫‪.(N‬‬
‫ונראה שהנגזרת מתאפסת כאשר )‪+ 1) cos((N + 1)/2)y) sin(y/2) = sin((N + 1/2)y) cos(y/2‬‬
‫עבור ‪ y 6= 0‬זה כאשר )‪ cot((N + 1/2)y) = N 1+1 cot(y/2‬ולפי משפט ערך הביניים )ציירו את שתי‬
‫הפונקציות הללו( הדבר קורה בדיוק ‪ 2N + 1‬פעמים בקטע‪ ,‬כשספרנו גם את ההתאפסות ב־‪ .0‬תכונה‬
‫)‪ (5‬מתקיימת מהנוסחא על ידי חסימת המונה ב־‪ 1‬וה"בפרט" נובע מכך שלמשל ‪ sin(y/2) ≥ π1 y‬בקטע‬
‫]‪.[0, π‬‬
‫טענה ‪] 7.33‬בתירגול[ ‪|DN (x)|dx ≫ 1‬‬
‫‪A‬‬
‫‪π‬‬
‫‪−π‬‬
‫שזה חיסרון )לא "גרעין טוב"(‪ .‬לא נחשב זאת בשיעור‪ ,‬אם‬
‫כי הדבר איננו מסובך‪ ,‬וניתן כתרגיל מודרך בשיעורי הבית‪.‬‬
‫לסיכום‪ ,‬את הסכומים שחקרנו ‪SN f‬‬
‫אפשר להציג כקונבולוציות עם "גרעין" שמרוכז )במובן מסויים‪,‬‬
‫שלא ניתחנו כאן אבל נראה במשפט הבא( סביב ‪0‬‬
‫והאינטגרל הכללי שלו הוא אחד‪ ,‬אבל לא מקבלים‬
‫משפט התכנסות טוב במיוחד )אם כי לא רע‪ ,‬נראה מייד שתחת ליפשיץ מקומי וכולי הכל עובד( משום‬
‫שהגרעין איננו חיובי ומשום שהאינטגרל של הערך המוחלט של הגרעין גדל ומתבדר כאשר ‪N‬‬
‫‪7.6.4‬‬
‫גדל‪.‬‬
‫התכנסות נקודתית תחת ליפשיץ מקומי‬
‫משפט ‪ 7.34‬תהי )‪ f ∈ R(T‬ותהי ‪ x0 ∈ T‬ונניח ש ‪ f‬מקיימת תנאי ליפשיץ מקומי ב ‪x0‬‬
‫שקיים ‪ δ > 0‬וקיים ‪ M‬כך שלכל )‪ x ∈ (x0 − δ, x0 + δ‬מתקיים | ‪ .|f (x) − f (x0 )| ≤ M |x − x0‬אזי‬
‫זאת אומרת‬
‫מתקיים‬
‫) ‪SN f (x0 ) →N →∞ f (x0‬‬
‫בפרט‪ ,‬אם ‪ f‬גזירה ברציפות ברציפות בסביבת ‪ ,x0‬אז יש התכנסות נקודתית של ‪SN f‬‬
‫‪BCB‬‬
‫ל ‪.f‬‬
‫הערה ‪7.35‬‬
‫הוכחה‪ :‬נחשב‬
‫= ) ‪(SN f )(x0 ) − f (x0 ) = (DN ∗ f )(x0 ) − f (x0‬‬
‫‪π‬‬
‫‪1‬‬
‫=‬
‫‪[f (x0 − t) − f (x0 )]DN (t)dt‬‬
‫‪2π −π‬‬
‫‪π‬‬
‫)‪sin((N + 1/2)t‬‬
‫‪1‬‬
‫‪dt‬‬
‫]) ‪[f (x0 − t) − f (x0‬‬
‫=‬
‫‪2π −π‬‬
‫)‪sin(t/2‬‬
‫‪π‬‬
‫‪1‬‬
‫)‪sin(N t) cos(t/2) + sin(t/2) cos(N t‬‬
‫=‬
‫‪dt‬‬
‫]) ‪[f (x0 − t) − f (x0‬‬
‫‪2π −π‬‬
‫)‪sin(t/2‬‬
‫‬
‫ ‪π‬‬
‫‪1‬‬
‫)‪cos(t/2‬‬
‫=‬
‫]) ‪[f (x0 − t) − f (x0‬‬
‫‪sin(N t)dt‬‬
‫‪2π −π‬‬
‫)‪sin(t/2‬‬
‫‪π‬‬
‫‪1‬‬
‫‪[f (x0 − t) − f (x0 )] cos(N t)dt‬‬
‫‪+‬‬
‫‪2π −π‬‬
‫‪D‬‬
‫‪D‬‬
‫‪D‬‬
‫‪D‬‬
‫‪D‬‬
‫שני הביטויים הם מהצורה של מקדמי פורייה לפונקציות שונות‪ .‬אכן‪ ,‬נסמן את הראשונה‬
‫)‪cos(t/2‬‬
‫)‪sin(t/2‬‬
‫]) ‪h1 (t) = [f (x0 − t) − f (x0‬‬
‫ואת השניה‬
‫]) ‪h2 (t) = [f (x0 − t) − f (x0‬‬
‫נקבל כי‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‪.(SN f )(x0 ) − f (x0 ) = hˆ1 (−N ) − hˆ1 (N ) /2 + hˆ2 (N ) + hˆ2 (−N ) /2‬‬
‫נתחיל ב־ ‪h2‬שהיא פשוט הזזה ושיקוף של ‪ ,f‬בפרט היא אינטגרבילית ולכן מקדמי פורייה שלה על פי רימן‬
‫לבג שואפים לאפס‪ .‬לגבי ‪ ,h1‬על פי ההנחות שלנו היא חסומה עבור ‪t 6= 0‬‬
‫כי הגרעין מוגדר להיות )‪ (2N + 1‬ואילו הכופל שלו מתאפס(‪ .‬אכן‬
‫]) ‪[f (x0 − t) − f (x0‬‬
‫‪t‬‬
‫)‪cos(t/2‬‬
‫|≤|‬
‫||‬
‫‪| ≤ Mπ‬‬
‫)‪sin(t/2‬‬
‫‪t‬‬
‫)‪tan(t/2‬‬
‫)באפס היא מוגדרת להיות ‪0‬‬
‫]) ‪|[f (x0 − t) − f (x0‬‬
‫ומכאן זוהי פונקציה אינטגרבילית ושוב על פי רימן לבג‪ ,‬מקדמי פורייה שלה שואפים לאפס‪.‬‬
‫‪7.6.5‬‬
‫גרעין פייר‬
‫הגדרה ‪ 7.36‬תהי )‪f ∈ R(T‬‬
‫נגדיר את סכומי פייר שלה להיות ממוצעי צזארו של פולינומי פורייה שלה‬
‫‪N‬‬
‫‪N‬‬
‫‪n‬‬
‫‪1 X‬‬
‫ˆ ‪1 X X‬‬
‫= )‪Sn f (x‬‬
‫‪f (k)eikx‬‬
‫= )‪(σN f )(x‬‬
‫‪N + 1 n=0‬‬
‫‪N + 1 n=0 k=−n‬‬
‫‪EFG‬‬
‫ואת גרעין פייר להיות‬
‫‪N‬‬
‫‪1 X‬‬
‫= )‪FN (y‬‬
‫)‪Dn (y‬‬
‫‪N + 1 n=0‬‬
‫למה ‪] 7.37‬תכונות ראשונות של גרעין פייר[ מתקיים‬
‫‪!2‬‬
‫)‪sin( N 2+1 )y‬‬
‫)‪sin(y/2‬‬
‫ובפרט הוא חיובי )וממשי(‪ .‬מתקיים ‪FN = 2π‬‬
‫בנוסף‪,‬‬
‫‪n≤N‬‬
‫‪1‬‬
‫‪N +1‬‬
‫‪H‬‬
‫‪π‬‬
‫‪−π‬‬
‫|‪|n‬‬
‫‪N +1‬‬
‫‪|n| > N‬‬
‫= )‪FN (y‬‬
‫‪ ,‬וכן עבור )‪ f ∈ R(T‬מתקיים ‪= f ∗ FN‬‬
‫‪‬‬
‫‪1 −‬‬
‫‪0‬‬
‫‪.σ N f‬‬
‫= )‪FˆN (n‬‬
‫הוכחה‪ :‬האינטגרל הכולל נובע מלינאריות האינטגרל ומהתכונה המקבילה לגרעין דיריכלה‪ .‬ההוכחה של‬
‫המקדמים והנוסחא היא חישוב‪ .‬אכן לפי הגדרה‬
‫‪N‬‬
‫‪N‬‬
‫‪n‬‬
‫‪1 X‬‬
‫‪1 X X iky‬‬
‫= )‪FN (y‬‬
‫= )‪Dn (y‬‬
‫‪e‬‬
‫‪N + 1 n=0‬‬
‫‪N + 1 n=0 k=−n‬‬
‫‪N‬‬
‫‪X‬‬
‫‪1‬‬
‫=‬
‫}]‪eimy #{k ∈ [0, N ] : m ∈ [−k, k‬‬
‫‪N + 1 m=−N‬‬
‫‪N‬‬
‫‪N‬‬
‫‪X‬‬
‫‪X‬‬
‫|‪|m‬‬
‫‪1‬‬
‫= )|‪eimy (N + 1 − |m‬‬
‫‪eimy (1 −‬‬
‫)‬
‫‪N + 1 m=−N‬‬
‫‪N‬‬
‫‪+‬‬
‫‪1‬‬
‫‪m=−N‬‬
‫=‬
‫ומכאן מקדמי פורייה שלו הם כפי שנטען‪ .‬מצד שני אם נכפול ונשנה אינדקסים ‪m = k − N‬‬
‫‪!2‬‬
‫‪N‬‬
‫‪2N‬‬
‫‪N‬‬
‫‪X‬‬
‫‪X‬‬
‫‪X‬‬
‫‪iky‬‬
‫‪iky‬‬
‫‪e‬‬
‫=‬
‫= ‪(N + 1 − |k − N |)e‬‬
‫‪(N + 1 − |m|)ei(m+N )y‬‬
‫‪m=−N‬‬
‫)‪(N + 1)FN (y‬‬
‫‪k=0‬‬
‫‪iN y‬‬
‫‪k=0‬‬
‫‪= e‬‬
‫נקבל‪ ,‬אחרי סכימת טור הנדסי‪,‬‬
‫‪!2‬‬
‫)‪sin( N 2+1 y‬‬
‫)‪sin( 12 y‬‬
‫‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1 − ei(N +1)y‬‬
‫‪−iN y‬‬
‫= )‪FN (y‬‬
‫‪e‬‬
‫‪N +1‬‬
‫‪1 − eiy‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ −i(N +1)y/2‬‬
‫‪− ei(N +1)y/2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪e‬‬
‫=‬
‫=‬
‫‪−iy/2‬‬
‫‪iy/2‬‬
‫‪N +1‬‬
‫‪e‬‬
‫‪−e‬‬
‫‪N +1‬‬
‫‪IJK‬‬
‫ קונבולוציה היא דבר לינארי ולכן‬,‫ לבסוף‬.‫כפי שטענו‬
N
f ∗ FN =
N
1 X
1 X
f ∗ Dn =
Sn f
N + 1 n=0
N + 1 n=0
‫את הסכימה של הגרעין אפשר לעשות גם בדרך נוספת‬
N
N
n
1 X
1 X X iky
FN (y) =
Dn (y) =
e
N + 1 n=0
N + 1 n=0 k=−n
N
=
=
=
=
=
=
1 X e−iny − ei(n+1)y
N + 1 n=0
1 − eiy
# N
%
N
+1
X"
X
1
1
−iy n
iy n
e
−
(e )
N + 1 1 − eiy n=0
n=1
1 − e−iy(N +1) eiy − eiy(N +2)
1
1
−
N + 1 1 − eiy
1 − e−iy
1 − eiy
1
1 − e−iy(N +1) 1 − eiy(N +1)
1
+
N + 1 1 − eiy
1 − e−iy
1 − e−iy
−1
1
[2 − e−iy(N +1) − e−iy(N +1) ]
−iy/2
N + 1 (e
− eiy/2 )2
1 [eiy(N +1)/2 − e−iy(N +1)/2 ]2
N +1
(e−iy/2 − eiy/2 )2
‫ גרעין פייר‬:26 ‫איור‬
N ≥ N0 ‫ כך שלכל‬N0 ‫ קיים‬ε > 0 ‫ ולכל‬δ > 0 ‫ ]תכונה חשובה של גרעין דיריכלה[ לכל‬7.38 ‫למה‬
‫מתקיים‬
−δ
−π
π
FN (x)dx +
δ
FN (x)dx ≤ ε
δ
−δ
FN (x)dx ≥ 2π − ε ‫או באופן שקול‬
‫הוכחה‪ :‬מהלמה הקודמת נובע‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫)‪N + 1 sin (x/2‬‬
‫ולכן על הקטעים ]‪[−π, −δ] ∪ [δ, π‬‬
‫≤ )‪FN (x‬‬
‫מתקיים‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫)‪N + 1 sin (δ/2‬‬
‫≤ )‪FN (x‬‬
‫ובפרט ‪ FN‬שואפת במ"ש לאפס בקטעים אלה‪ .‬כל שנותר הוא לבחור את ‪ N0‬כך ש )‪≥ 2π ε sin21(δ/2‬‬
‫‪.N0 +1‬‬
‫כמסקנה נקבל את המשפט המרכזי הבא של פייר‪:‬‬
‫‪u‬‬
‫משפט ‪] 7.39‬פייר[ תהי )‪ , f ∈ C(T‬אזי ‪→ f‬‬
‫‪.σN f‬‬
‫הוכחה‪ :‬משום ש ‪ f‬רציפה היא גם רציפה במ"ש‪ .‬נניח שחסומה על ידי ‪ .M‬יהי ‪ ε > 0‬אזי קיים ‪δ > 0‬‬
‫כך שאם ‪ |x − y| < δ‬אז ‪ .|f (x) − f (y)| < ε/2‬נבחר את ‪ N0‬כך שלכל ‪N ≥ N0‬‬
‫‪L‬‬
‫‪π‬‬
‫‪FN (x)dx ≤ ε/M‬‬
‫ואז יתקיים לכל ‪x ∈ T‬‬
‫‪L‬‬
‫‪π‬‬
‫|‪FN (y)[f (x − y) − f (x)]dy‬‬
‫‪L‬‬
‫‪π‬‬
‫]‪FN (y)dy‬‬
‫‪δ‬‬
‫‪FN (y) +‬‬
‫‪L‬‬
‫‪−δ‬‬
‫‪−π‬‬
‫‪−π‬‬
‫‪FN (x)dx +‬‬
‫‪L‬‬
‫‪−δ‬‬
‫‪−π‬‬
‫‪δ‬‬
‫‪1‬‬
‫| = | ‪|σN f (x) − f (x)| = |FN ∗ f − f‬‬
‫‪2π‬‬
‫‪L‬‬
‫‪δ‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2M‬‬
‫[‬
‫‪FN (y)[ε/2]dy| +‬‬
‫| ≤‬
‫‪2π −δ‬‬
‫‪2π‬‬
‫‪≤ ε/2 + ε/2 = ε‬‬
‫כרצוי‪.‬‬
‫באופן דומה ניתן להראות‪ ,‬אם כי לא נבצע זאת בשיעור משיקולי זמן‪ ,‬כי‬
‫משפט ‪] 7.40‬פייר[ תהי )‪ , f ∈ R(T‬אזי בכל נקודה בה ‪ f‬רציפה מימין ומשמאל מתקיים → )‪σN f (x‬‬
‫) ‪f (x+ )+f (x−‬‬
‫‪ .‬בפרט יש שאיפה נקודתית ל ‪ f‬בכל נקודת רציפות‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫הוכחה‪ :‬משום ש ‪ f‬אינטגרבילית היא חסומה על ידי נאמר ‪ .M‬יהי ‪x ∈ T‬‬
‫החד צדדיים‪ .‬יהי ‪ ε > 0‬אזי מקיום הגבולות נובע שקיים ‪ δ > 0‬כך שאם ‪ x < y < x + δ‬אז‬
‫‪ |f (x+ ) − f (y)| < ε/2‬ובדומה אם ‪ x − δ < y < x‬מתקיים ‪ . |f (x− ) − f (y)| < ε/2‬נבחר את ‪N0‬‬
‫כך שלכל ‪N ≥ N0‬‬
‫עבורו קיימים הגבולות‬
‫‪L‬‬
‫‪π‬‬
‫‪FN (x)dx ≤ ε/4M‬‬
‫‪δ‬‬
‫‪MNO‬‬
‫‪FN (x)dx +‬‬
‫‪L‬‬
‫‪−δ‬‬
‫‪−π‬‬
‫ואז יתקיים עבור ‪x‬‬
‫שלנו‬
‫|‪P F (y)[f (x − y) − f (x2 ) ]dy‬‬
‫) ‪f (x‬‬
‫‪+| P F (y)[f (x − y) −‬‬
‫|‪]dy‬‬
‫‪2‬‬
‫‪| P F (y)[ε/2]dy| + 2M [ P F (y) + P F‬‬
‫‪0‬‬
‫‪+‬‬
‫‪N‬‬
‫‪π‬‬
‫‪−‬‬
‫‪−π‬‬
‫) ‪f (x+ ) + f (x−‬‬
‫| ≤ |‬
‫‪2‬‬
‫‪|σN f (x) −‬‬
‫‪N‬‬
‫‪0‬‬
‫‪π‬‬
‫]‪N (y)dy‬‬
‫‪δ‬‬
‫‪−δ‬‬
‫‪N‬‬
‫‪δ‬‬
‫≤‬
‫‪N‬‬
‫‪−δ‬‬
‫‪−π‬‬
‫‪≤ ε/2 + ε/2 = ε‬‬
‫והסתיימה ההוכחה‪.‬‬
‫הערות ‪] 7.41‬בתירגול[ ההוכחה תקפה עבור גרעין פייר‪ ,‬אבל למעשה עבור גרעין כללי שמקיים את‬
‫התכונות של חיוביות‪ ,‬של אינטגרל כללי אחד ושל שאיפה במ"ש לאפס על כל קטע סגור שלא מכיל את‬
‫הראשית‪ .‬למשל‪ ,‬כזה הוא גרעין פואסון הנתון על ידי‬
‫‪1 − r2‬‬
‫‪1 − 2r cos(y) + r2‬‬
‫= ‪r|n| einy‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫= )‪Pr (y‬‬
‫∞‪n=−‬‬
‫אכן‪,‬‬
‫‪1‬‬
‫‪re−it‬‬
‫‪1 − r2‬‬
‫‪+‬‬
‫=‬
‫‪1 − reit 1 − re−it‬‬
‫‪1 − r[e−it + eit ] + r2‬‬
‫= ‪(re−it )n‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫‪+‬‬
‫‪n=1‬‬
‫‬
‫‪it n‬‬
‫‪re‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫"‬
‫=‬
‫‪n=0‬‬
‫‪|n| int‬‬
‫‪r e‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫∞‪n=−‬‬
‫קל לחשב כי‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫|‪fˆ(n)einx r|n‬‬
‫∞‪n=−‬‬
‫= )‪(f ∗ Pr )(x‬‬
‫ולכן‬
‫‪fˆ(n)einx‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫∞‪n=−‬‬
‫)‪lim (F ∗ Pr )(x) = (A‬‬
‫‪r→0+‬‬
‫וגם לא קשה לבדוק שהגרעין הזה הוא גרעין "טוב"‪.‬‬
‫מסקנה ‪ 7.42‬תהי )‪ f ∈ R(T‬עם גבולות חד צדדיים ב ‪ x‬ונניח ש ‪→ c‬‬
‫)‪ .SN f (x‬אזי‬
‫) ‪f (x+ )+f (x−‬‬
‫‪2‬‬
‫=‬
‫‪.c‬‬
‫הוכחה‪ :‬מכך שהסדרה מתכנסת נובע שגם סדרת הממוצעים שלה מתכנסת לאותו ‪ ,c‬אך ממשפט פייר‬
‫אנו יודעים כעת מהו ‪.c‬‬
‫מסקנה ‪ 7.43‬הפולינומים הטריגונומטריים ‪{einx }n∈Z‬‬
‫‪u‬‬
‫הוכחה‪ :‬תהי )‪ ,f ∈ C(T‬אזי ‪σN f → f‬אך ‪σN f‬‬
‫צפופים במ"ש ב )‪.C(T‬‬
‫הוא פולינום טריגונומטרי לכל ‪.N‬‬
‫‪106‬‬
‫מסקנה ‪] 7.44‬יחידות[ תהינה )‪ f, g ∈ C(T‬ונניח שלכל ‪ n ∈ Z‬מתקיים )‪ .fˆ(n) = ĝ(n‬אזי ‪= g‬‬
‫‪u‬‬
‫‪u‬‬
‫הוכחה‪g ← σN g = σN f → f :‬‬
‫‪.f‬‬
‫וחסל‪.‬‬
‫שני חישובים אחרונים לפני שנסיים את הפרק‪.‬‬
‫‪Q‬‬
‫טענה ‪7.45‬‬
‫∞‬
‫‪π‬‬
‫‪sin x‬‬
‫= ‪dx‬‬
‫‪x‬‬
‫‪2‬‬
‫‪Q‬‬
‫הוכחה‪:‬‬
‫)‪sin((N + 1/2)t‬‬
‫= ‪dt‬‬
‫)‪sin(t/2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪−‬‬
‫‪]dt‬‬
‫‪sin(t/2) t/2‬‬
‫‪π‬‬
‫‪−π‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2π‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪π‬‬
‫[)‪sin((N + 1/2)t‬‬
‫‪−π‬‬
‫‪0‬‬
‫‪π‬‬
‫= ‪DN (t)dt‬‬
‫‪−π‬‬
‫)‪sin(s‬‬
‫‪ds‬‬
‫‪s‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪(N +1/2)π‬‬
‫‪−(N +1/2)π‬‬
‫כך שבגבול ∞ → ‪N‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2π‬‬
‫=‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫)‪sin((N + 1/2)t‬‬
‫‪dt +‬‬
‫)‪(t/2‬‬
‫‪2π‬‬
‫כעת נעשה לאינטגרל הראשון שינוי משתנה ‪s = (N + 1/2)t‬‬
‫‪1‬‬
‫)‪sin(s‬‬
‫= ‪ds‬‬
‫‪s/2‬‬
‫‪π‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪(N +1/2)π‬‬
‫‪−(N +1/2)π‬‬
‫ונקבל‬
‫‪ds‬‬
‫‪s/2‬‬
‫=‬
‫‪dt‬‬
‫‪t/2‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪π‬‬
‫‪−π‬‬
‫‪1‬‬
‫=‬
‫‪2π‬‬
‫ולכן‬
‫‪1‬‬
‫)‪sin((N + 1/2)t‬‬
‫= ‪dt‬‬
‫)‪(t/2‬‬
‫‪2π‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪π‬‬
‫‪−π‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2π‬‬
‫נקבל כפולה של האינטגרל אותו רצינו לחשב‪ .‬באשר לאינטגרל השני נשים לב‬
‫שהגורם בסוגריים המרובעים כפונקציה של ‪t‬‬
‫מתנהג לא רע‪ .‬נסמן‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪−‬‬
‫]‬
‫‪sin(t/2) t/2‬‬
‫[ = )‪h(t‬‬
‫רואים שהוא מסדר גודל‬
‫‪3‬‬
‫‪5‬‬
‫) ‪t /48 + O(t‬‬
‫)‪t/2 − sin(t/2‬‬
‫‪]=[ 2‬‬
‫) ‪] = t/12 + O(t2‬‬
‫‪sin(t/2)t/2‬‬
‫) ‪t /4 + O(t4‬‬
‫[ = )‪h(t‬‬
‫ובפרט הוא פונקציה אינטגרבילית )רציפה ־ למעט נקודת אי הגדרה אחת ־ וחסומה( ולכן האנטגרל‬
‫הרלוונטי שלה שואף לאפס‪ .‬זה נובע מרימן לבג על אף שמדובר ב ‪sin(N + 1/2)x‬‬
‫שהוא לא באמת‬
‫מקדם פורייה‪ ,‬וזה משום שאפשר לפתוח אותו ולקבל )עד כדי כפל בעוד שתי פונקציות רציפות( את‬
‫הביטוי‬
‫‪Q‬‬
‫‪π‬‬
‫‪sin(N t)h(t) cos(t/2) + h(t) sin(t/2) cos(N t)dt‬‬
‫‪−π‬‬
‫כעת נציב ונקבל בגבול כאשר ∞ → ‪N‬‬
‫כי‬
‫)‪sin(s‬‬
‫‪ds = 1‬‬
‫‪s‬‬
‫כרצוי‪.‬‬
‫‪RST‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2π‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪1‬‬
‫∞‬
‫∞‪−‬‬
‫‪π‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪π‬‬
‫= ‪sin((N + 1/2)t)h(t)dt‬‬
‫‪−π‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2π‬‬
‫טענה ‪ 7.46‬יהי ‪α 6∈ Z‬‬
‫אזי‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫‪1‬‬
‫‪π2‬‬
‫=‬
‫‪(n + α)2‬‬
‫)‪sin2 (πα‬‬
‫∞‪n=−‬‬
‫הוכחה‪ :‬נחשב את טור פורייה של ‪= ei(π−t)α‬‬
‫)‪ .f (x‬נקבל‬
‫‪U‬‬
‫‪2π‬‬
‫‪eiπα e−i(n+α)t 2π‬‬
‫[‬
‫]‬
‫‪2π −i(n + α) 0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪i‬‬
‫‪i‬‬
‫= ] ‪[1 − e−2πiα‬‬
‫)‪sin(πα‬‬
‫‪= eiπα‬‬
‫)‪2π(n + α‬‬
‫)‪2π(n + α‬‬
‫= ‪e−i(n+α)t dt‬‬
‫‪1 iπα‬‬
‫‪e‬‬
‫‪2π‬‬
‫= )‪fˆ(n‬‬
‫כעת נשתמש בשוויון פרסבל ונקבל‬
‫‪U‬‬
‫‪2π‬‬
‫‪1dt = 1‬‬
‫‪0‬‬
‫)‪X sin2 (πα‬‬
‫‪1‬‬
‫=‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫)‪π (n + α‬‬
‫‪2π‬‬
‫‪n∈Z‬‬
‫וחסל‪.‬‬
‫הערה ‪ 7.47‬ישנם דברים רבים שלא נלמד אם כי יכלו להיות בחומר‪ :‬לדוגמא תופעת גיבס ־ כשאין‬
‫רציפות אך יש גבולות חד צדדיים‪ ,‬מובן שלא תיתכן התכנסות במ"ש )נאמר על הקטע הפתוח שאינו‬
‫מכיל את הנקודה הבעייתית(‪ ,‬זאת אומרת שמתקיימת השלילה שלה‪ ,‬דהיינו קיים ‪ ε > 0‬כך שלכל ‪N‬‬
‫קיימת ‪ x‬עם ‪ .|SN f (x) − f (x)| > ε‬לא קשה להשתכנע שלמשל אם הפונקציה גזירה למקוטעין אז זה‬
‫אותו ‪ ε‬לכל הפונקציות הללו )אותו יחס מהקפיצה( כי שתיים שונות ניתן לקחת הפרש שיתאפס על פי‬
‫ליפשיץ מקומית או קריטריון אחר‪ .‬לכן אפשר לחשב אותו על פונקציה ספציפית ־ נאמר מדרגה‪ .‬ובאמת‬
‫מתקבל בערך ‪0.09‬‬
‫מהקפיצה בכל צד‪.‬‬
‫סוף שיעור ‪17‬‬
‫‪108‬‬
‫רקע ־ מה פתאום טורי פורייה? ]לא בחומר[‬
‫‪7.7‬‬
‫המשוואה‪ ,‬עבור ‪: [0, ∞) × [0, 1] → R‬‬
‫‪ ,y‬שמתארת תנועה של מיתר‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪∂ 2y‬‬
‫‪2∂ y‬‬
‫=‬
‫‪c‬‬
‫‪∂t2‬‬
‫‪∂x2‬‬
‫מיתר מתנועע עם קצוות קבועים‪ .‬מתקבל על ידי שימוש בחוקי ניוטון לשרשרת עם ‪ n‬חרוזים ואז ∞ → ‪n‬‬
‫‪p‬‬
‫כאשר ‪ T‬הוא המתח(‪ .‬בידקו שהפונקציה הבא היא‬
‫והמאסה הכוללת קבועה‪) .‬הקבוע ‪ c‬הוא ‪T /M‬‬
‫פתרון‬
‫)‪f (x + ct) + f (x − ct‬‬
‫‪2‬‬
‫= )‪y(x, t‬‬
‫כאשר ‪ f‬איזוגית ובעלת מחזור ‪ .2‬כיוון שיש צורך בגזירות פעמיים של ‪y‬‬
‫על מנת להגדיר את המשוואה‪,‬‬
‫נראה שתנאי ההתחלה צריך להיות גזיר פעמיים גם הוא‪ ,‬וזה קצת חבל אם רוצים לנגן מה שנקרא‬
‫"פיציקאטו"‪ .‬ברנולי חשב על מיתרים‪ ,‬על טונים ואוברטונים‪ ,‬והציע פתרון כללי מהצורה )כאן אורך‬
‫המיתר הוא ‪(l‬‬
‫‪nπx‬‬
‫‪nπct‬‬
‫(‪) cos‬‬
‫)‬
‫‪l‬‬
‫‪l‬‬
‫ואז בזמן ‪0‬‬
‫(‪An sin‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫= )‪y(x, t‬‬
‫‪n=1‬‬
‫כמובן מתקבלת הפונקציה‬
‫‪nπx‬‬
‫)‬
‫‪l‬‬
‫(‪An sin‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫= )‪y(x, 0) = f (x‬‬
‫‪n=1‬‬
‫אוילר‪ ,‬שהיה אולי המתמטקאי החשוב של המאה ה‪ ,18‬אמר שאין מצב שזו צורה כללית של תנאי התחלה‪,‬‬
‫ושזה יהיה פתרון של מקרה מאוד פרטי )שהוא כבר חשב עליו בעבר(‪ ,‬ודלאמבר הסכים איתו ואמר‬
‫שפונקציות כאלה תמיד תצאנה גזירות למשל‪.‬‬
‫אז הגיע תורו של פורייה‪ .‬הוא דווקא עבד על משוואת החום‪ .‬בכלל הוא התעניין בפיזור של חום‬
‫)כדה"א כולו גם( הוא היה זה שהטביע את השם "אפקט החממה"‪ .‬הוא התייחס לפלטה חצי אינסופית‬
‫שלה רצים ב ]‪ .[−1, 1‬ששפה אחת שלה )השפה‬
‫ברוחב ‪ ,1‬נאמר שמרכזה על ציר ‪ x‬החיובי‪ ,‬וערכי ‪y‬‬
‫הסופית‪ ({0} × [−1, 1] ,‬בטמפרטורה קבועה ‪ 1‬ושאר השפה שלה בטמפרטורה קבועה ‪) ,0‬זו אי רציפות‬
‫קטנטונת בפינה( ‪ .‬הוא רצה לדעת מה המצב היציב שבו הטמפרטורה מפולגת כך שאיננה משתנה בזמן‪.‬‬
‫המשוואה שקיבל היא‬
‫‪∂ 2u ∂ 2u‬‬
‫‪+‬‬
‫‪=0‬‬
‫‪∂x2 ∂y 2‬‬
‫על מנת לפתור אותה הוא עשה הפרדת משתנים‪= ϕ(x)ψ(y) ,‬‬
‫)‪ ,u(x, y‬וקיבל משוואות‬
‫)‪ψ(y‬‬
‫)‪ϕ(x‬‬
‫‪= − 00‬‬
‫‪=A‬‬
‫‪00‬‬
‫)‪ϕ (x‬‬
‫)‪ψ (y‬‬
‫‪VWX‬‬
‫והפתרונות שקיבל עם תנאי השפה הללו הם כמובן‬
‫)‪u(x, y) = enx cos(ny‬‬
‫‪1‬‬
‫‪n2‬‬
‫כאשר‬
‫=‬
‫‪ .A‬לכן גם כל קומבינציה ליניארית שלהם תתן פתרון‪ .‬כדי לפתור עם תנאי ההתחלה שלו‬
‫הוא היה צריך לרשום את הפונקציה הקבועה ‪1‬‬
‫כטור‬
‫‪πy‬‬
‫‪3πy‬‬
‫‪5πy‬‬
‫‪7πy‬‬
‫‪+ a2 cos‬‬
‫‪+ a3 cos‬‬
‫‪+ a1 cos‬‬
‫··· ‪+‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫וזה אמור להיות תקף לכל ]‪∈ [−1, 1‬‬
‫‪1 = a1 cos‬‬
‫‪ .y‬הוא היה צריך לפתור משוואה כזו עם אינסוף משתנים‪ .‬הוא‬
‫עשה זאת על ידי גזירה הרבה פעמים‪) .‬כיצד אתם יכולים לעשות זאת כעת?(‪ .‬הוא הסביר לאן הפונקציה‬
‫מתכנסת לשאר ה ‪y‬ים )חישבו לאן?(‪.‬‬
‫הוא חישב את "טור פורייה" לעוד תנאי התחלה‪ ,‬משפחות שלמות להן אוילר אמר שלא יוכל להימצא‬
‫פירוק כטור טריגונומטרי‪ .‬ואז פנה למקרה הכללי והראה דברים רבים שתקפים גם עליו )למה התכוונו‬
‫ב"פונקציה כללית" אז גם אפשר לדון‪ ,‬לא הייתה ההגדרה של "התאמה" כמו היום‪ ,‬זו היתה הצעה של‬
‫דיריכלה ב־‪.(1837‬‬
‫לורד קלווין‪ :‬בנה מכונה לחזות גאות ושפל בעזרת חישוב מקדמי פורייה של הפונקציה )‪ ,h(t‬הגובה‬
‫בזמן ‪t‬‬
‫)נקרא "אנליזטור הרמוני"(‪.‬‬
‫מיכלסון בנה מכונה כזו‪ ,‬וכדי לבדוק אותה הכניס לתוכה את ‪80‬‬
‫מקדמי פורייה הראשונים של‬
‫פונקציית המסור‪ .‬להפתעתו הוא קיבל מסור כמעט מדוייק אבל ליד אי הרציפות היו בליטות‪ ,‬שגובהן‬
‫כ ‪18%‬‬
‫מהקפיצה‪ .‬כשהוסיף מקדמים המשיך לקבל בליטות צרות יותר ויותר אך באותו גובה‪ .‬גיבס‬
‫הוא זה שהסביר תופעה זו )שנובעת כפי שהסברנו מכך שאין התכנסות במ"ש(‪ .‬זה נקרא "אובר־שוט"‬
‫)‪ (overshoot‬וחשוב מאוד היום לחישובים‪ ,‬אם כי כשזה התגלה עוד לא היה כזה כוח חישוב ולכן נחשב‬
‫לקוריוז‪.‬‬
‫המרתף של פורייה‪ :‬באיזה עומק לבנות מרתף כך שהפרשי הטמפרטורה בו יהיו לא יותר מחמש‬
‫מעלות בין החורף לקיץ? גם את זה פותרים עם פורייה ויש גם "פאזה" כך שבעומק של ‪4.5‬‬
‫מטרים החורף‬
‫והקייץ מתחלפים )כמו שהמים בים התיכון שלנו חמים ביותר בספטמבר דווקא ולא ביולי אוגוסט( ויש‬
‫דעיכה של ההפרש )האמפליטודה( של בערך ‪ .1:16‬בשביל בכלל לחוש בהבדל )נאמר ‪ (1:16‬בין יום ללילה‬
‫המרתף צירך להיות בעומק ‪ 23cm‬בלבד )‪effect‬‬
‫‪.(skin‬‬
‫אם כבר בחישוב עסקינן ־ יש מושג דומה של טרנספורם פורייה דיסקרטי שהוא זה שמשתמשים בו‬
‫כיום ברוב המערכות‪.‬‬
‫יש נושא של כיצד לחשב אותו מהר ־ חישוב בסדר גודל ‪ N log N‬במקום ‪N 2‬‬
‫‪ Colley and Tuckey‬ממעבדות ‪ IBM‬שנת ‪ 1965‬שלאחר מכן הסתבר שגאוס בכלל המציא אותו‬
‫והשתמש בו על מנת לנבא את מיקומו של האסטרואיד ‪ Ceres‬בשנת ‪ .1801‬ועוד ועוד ועוד‪.‬‬
‫בעזרת טריק של‬
‫‪110‬‬
‫ג‪ .‬פונקציות בכמה משתנים‬
‫‪8‬‬
‫‪8.1‬‬
‫טופולוגיה של ‪Rn‬‬
‫מבנה כללי‬
‫אנחנו מדברים על המרחב ‪Rn‬‬
‫שהוא מרחב וקטורי‪ .‬יש לנו את כל הכלים של אלגברה ליניארית ־ מעברי‬
‫בסיס וכדומה‪ ,‬אז נקבע לנו את הבסיס הסטנדרטי ונעבוד עם קואורדינטות‪x = (x1 , . . . , xn ) = ,‬‬
‫‪i‬‬
‫‪Pn‬‬
‫כאשר )‪ .ei = (0, · · · , 0, 1, 0, · · · , 0‬חיבור וכפל בסקלר מוגדים באופן טבעי וניתן לבצע‬
‫‪i=1 xi ei‬‬
‫אותם קואורדינטה קואורדינטה‬
‫) ‪x + y = (x1 + y1 , · · · , xn + yn ) λx = (λx1 , · · · , λxn‬‬
‫בפרק זה נדון בפונקציות שתחום ההגדרה שלהן הוא ‪Rn‬‬
‫עכשיו שם דנו בעצם במקרה ‪ .n = 1‬כאשר הטווח של הפונקציה הוא ‪ ,R‬נאמר שמדובר בפונקציה‬
‫ממשית ‪ f : Rn → R‬או ‪ f : A → R‬כש ‪ .A ⊂ Rn‬מושג כללי יותר הוא של פונקציה וקטורית‪ ,‬דהיינו‬
‫או תת קבוצה שלו‪ ,‬בשונה ממה שעשינו עד‬
‫‪f : Rn → Rm‬‬
‫או כשהתחום הוא ‪⊂ Rn‬‬
‫‪ .A‬אתם מכירים דוגמא מאוד חשובה של פונקציות כאלה‪ :‬פונקציות ליניאריות‬
‫)המיוצגות למשל על ידי מטריצה(‪ .‬כדאי כבר לשים לב שפונקציה כזו היא בסך הכל ‪m‬־יה של פונקציות‬
‫ממשיות‬
‫‪f i : Rn → R‬‬
‫))‪f (x) = (f1 (x), . . . , fm (x‬‬
‫כך שלהרבה צרכים יספיק לנו לחקור את המקרה הפרטי ‪ .m = 1‬לעיתים נוח לכתוב דווקא את ‪f‬‬
‫כווקטור עמודה‪ ,‬או באופן שקול כ ‪.(f1 (x), . . . , fm (x))T‬‬
‫יש מקרה נוסף דומה שנדון בו והוא כאשר ‪ .f : [a, b] → Rm‬למשל אם מזהים את ‪ C‬עם ‪ R2‬אז‬
‫אפשר לחשוב על הפונקציות עם הערכים המרוכבים מפרק ב כעל פונקציות מסוג זה‪ .‬אם מדובר על‬
‫פונקציה ‪f‬‬
‫כזו רציפה )וטרם הגדרנו מה זה אומר רציפה לתוך ‪ ,Rm‬אם כי תוכלו לנחש מה ההגדרה(‬
‫נאמר שזו "מסילה"‪" ,‬עקומה" )או "עקם"( ונצייר משהו כזה‬
‫‪111‬‬
‫איור ‪ :27‬למי קראת עקומה?‬
‫‪8.2‬‬
‫מרחק‬
‫את המכפלה הפנימית הסטנדרטית ב ‪Rn‬‬
‫מסמנים‬
‫‪xi yi‬‬
‫‪n‬‬
‫‪X‬‬
‫‪i=1‬‬
‫= ‪hx, yi‬‬
‫והיא לא משתנה תחת שינוי בסיס אורתונורמלי‪ .‬היא מקיימת את כל התכונות הטובות של ממ"פ‪ ,‬שהן‬
‫‪hx, yi = hy, xi .1‬‬
‫‪λhx, yi = hλx, yi = hx, λyi .2‬‬
‫‪hx + z, yi = hx, yi + hz, yi ,hx, y + zi = hx, yi + hx, zi .3‬‬
‫‪ hx, xi = 1 ,hx, xi ≥ 0 .4‬אם ורק אם ‪= 0‬‬
‫מייצרים בעזרתה את פונקציית הנורמה על ‪Rn‬‬
‫‪.x‬‬
‫המוגדרת להיות‬
‫‪v‬‬
‫‪u n‬‬
‫‪uX‬‬
‫‪kxk = t‬‬
‫‪x2‬‬
‫‪i‬‬
‫‪i=1‬‬
‫שמקיימת‬
‫‪ kxk = 0 ,kxk ≥ 0 .1‬אם ורק אם ‪= 0‬‬
‫‪.x‬‬
‫‪kλxk = |λ|kxk .2‬‬
‫‪kx + yk ≤ kxk + kyk .3‬‬
‫)ההוכחה למשל מהעלאה בריבוע ואז אי שוויון קושי שוורץ שנראה מייד(‬
‫‪YYZ‬‬
‫וכן מתקיים אי שוויון קושי שוורץ‬
‫‪|hx, yi| ≤ kxk · kyk‬‬
‫כדי להוכיח אותו אפשר או להעלות בריבוע ולפתוח סוגריים‪ ,‬או להעביר קצת אגפים באי השוויון‬
‫‪hx, yi‬‬
‫‪hx, yi‬‬
‫‪y, x −‬‬
‫‪yi ≥ 0‬‬
‫‪2‬‬
‫‪kyk‬‬
‫‪kyk2‬‬
‫‪hx −‬‬
‫או לכתוב שהדיסקרימיננטה של הביטוי הריבועי ב ‪:λ‬‬
‫‪Q(λ) = hx − λy, x − λyi‬‬
‫חייבת להיות אי חיובית שכן אין לו ערכים שליליים‪.‬‬
‫‪n‬‬
‫בעזרת הנורמה מגדירים מרחק בין שני וקטורים ב ‪R‬‬
‫על ידי‬
‫‪d(x, y) = kx − yk‬‬
‫והוא מקיים את האקסיומות של להיות מרחק )אבל הוא גם הומוגני שזה יתרון על פני פונקציית מרחק‬
‫כללית(‬
‫‪ d(x, y) = 0 ,d(x, y) ≥ 0 .1‬אם ורק אם ‪= y‬‬
‫‪.x‬‬
‫‪d(x, y) = d(y, x) .2‬‬
‫‪d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y) .3‬‬
‫)אי שוויון המשולש(‬
‫נשים לב שנובע מייד גם אי שוויון המשולש "ההפוך" הבא‬
‫)‪d(x, y) ≥ d(x, z) − d(y, z‬‬
‫ושניהם יחד שימושיים מאוד‪) .‬בכך שאומרים שאם ‪ z‬קרוב ל ‪ y‬אז לכל ‪x‬‬
‫המרחק )‪ d(x, y‬דומה למרחק )‪(d(x, z‬‬
‫שלא קרוב מידי לשניהם‪,‬‬
‫אי השוויון הבא יהיה לנו שימושי‬
‫למה ‪ 8.1‬מתקים לכל ‪ x, y ∈ Rn‬ולכל ]‪j ∈ [1, . . . , n‬‬
‫‪nkx − yk‬‬
‫√‬
‫≤ | ‪|xi − yi‬‬
‫‪n‬‬
‫‪X‬‬
‫‪i=1‬‬
‫≤ ‪|xj − yj | ≤ kx − yk‬‬
‫הוכחה‪ :‬שני האי שוויונים השמאליים נובעים מיידית על ידי העלאה בריבוע של כל האגפים‪ .‬אי השוויון‬
‫הימני ביותר נובע מקושי שוורץ על הוקטורים ‪ z = x − y‬והווקטור ‪w‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪xi ≥ yi‬‬
‫= ‪wi‬‬
‫‪−1 x < y‬‬
‫‪i‬‬
‫שכן אורכו ‪n‬‬
‫√‬
‫ואילו המכפלה שלו עם ‪z‬‬
‫הנתון על ידי‬
‫‪i‬‬
‫נותנת את הביטוי השני מימין‪.‬‬
‫\[[‬
‫)‪(m‬‬
‫)‪(m‬‬
‫)‪(m‬‬
‫מסקנה ‪ 8.2‬תהינה סדרות ‪ xi ∈ R‬כאשר ‪ i = 1, . . . n‬ואילו ‪ m ∈ N‬ונסמן ∈ ) ‪xm = (x1 , . . . , xn‬‬
‫)‪(m‬‬
‫‪ .Rn‬אזי מתקיים ‪= yi‬‬
‫‪ limm→∞ xi‬לכל ‪ i‬אם ורק אם עבור ) ‪ y = (y1 , . . . , yn‬מתקיים‬
‫‪lim kxm − yk = 0‬‬
‫∞→‪m‬‬
‫)‪(m‬‬
‫הוכחה‪ :‬אכן‪ ,‬נניח ש ‪ limm→∞ kxm − yk = 0‬אז משום ש ‪|xi − yi | ≤ kxm − yk‬‬
‫)‪(m‬‬
‫)‪(m‬‬
‫‪ limm→∞ |xi‬אז גם‬
‫‪ limm→∞ |xi − yi | = 0‬כרצוי‪ .‬להפך‪ ,‬אם לכל ‪ i‬מתקיים ‪− yi | = 0‬‬
‫‪Pn‬‬
‫)‪(m‬‬
‫∞→‪ limm‬ולכן על פי השוואת סדרות חיוביות )סנדוויץ( גם ‪.limm→∞ kxm −yk = 0‬‬
‫‪i=1 |xi −yi | = 0‬‬
‫הערה ‪ 8.3‬למעשה כל שתי נורמות המוגדרות על ‪Rn‬‬
‫נובע גם‬
‫הן שקולות במובן שקיימים שני קבועים כך ש‬
‫‪c1 kxk2 ≤ kxk1 ≤ c2 kxk2‬‬
‫‪ ,‬דבר שניתן להוכיח אך עוד אין לנו הכלים‪ .‬הביטוי | ‪|wi‬‬
‫‪Pn‬‬
‫‪i=1‬‬
‫גם הוא נורמה על ‪.Rn‬‬
‫בשלב זה אנו כבר יכולים להתחיל לעשות קצת חדו"א‪ ,‬לדבר על גבולות של סדרות‪ ,‬להגדיר ש ‪xm → y‬‬
‫אם ‪ kxm − yk = 0‬וכולי‪ .‬אנחנו נמתין עם זה קצת מהסיבה הבאה‪ :‬כשנרצה לדבר על רציפות‪ ,‬נרצה‬
‫גם קריטריוני ‪ ε/δ‬ולא רק "רציפות סדרתית"‪ ,‬ובשביל זה צריך לדעת מה האנלוג של "קטע פתוח" או‬
‫"סביבת אפסילון" של נקודה‪ ,‬במקרה הרב מימדי‪.‬‬
‫‪8.3‬‬
‫קבוצה פתוחה‪ ,‬פנים‬
‫הגדרה ‪] 8.4‬כדור פתוח‪ ,‬כדור סגור וספירה[ תהיה ‪ x0 ∈ Rn‬ו ‪ r > 0‬נגדיר כדור פתוח סביב ‪x0‬‬
‫‪ r‬כך‬
‫מרדיוס‬
‫}‪B(x0 , r) = {x ∈ Rn : kx − x0 k < r‬‬
‫כדור סגור יוגדר }‪ B(x0 , r) = {x ∈ Rn : |x − x0 | ≤ r‬וספירה מרדיוס ‪ r‬סביב ‪x0‬‬
‫תוגדר כך‬
‫)‪S(x0 , r) = {x ∈ Rn : kx − x0 k = r} = B(x0 , r) \ B(x0 , r‬‬
‫הגדרה ‪] 8.5‬נקודה פנימית‪ ,‬פנים‪ ,‬קבוצה פתוחה[ תהי ‪ A ∈ Rn‬ונקודה ‪∈ A‬‬
‫פנימית של ‪ A‬אם קיים ‪ r > 0‬כך ש ‪ .B(x0 , r) ⊂ A‬אוסף כל הנקודות הפנימיות של ‪ A‬נקרא ה"פנים"‬
‫שלה‪ ,‬ומסומן )‪ .int(A‬קבוצה נקראת "פתוחה" אם )‪ A = int(A‬או‪ ,‬באופן שקול‪ ,‬אם לכל ‪ x0 ∈ A‬קיים‬
‫כדור קטן )‪ B(x0 , r‬שכולו בתוך ‪ .A‬כמובן ‪.int(A) ⊂ A‬‬
‫‪ .x0‬נאמר שהיא נקודה‬
‫‪114‬‬
‫לדוגמא‪ ,‬כדור פתוח הוא קבוצה פתוחה‪ ,‬שכן אם )‪ y0 ∈ B(x0 , r‬אז ‪|y0 − x0 | = s < r‬‬
‫‪ ε = r − s‬אז )‪ .B(y0 , ε) ⊂ B(x0 , r‬אכן‪ ,‬לכל )‪ z ∈ B(y0 , ε‬מתקיים‬
‫ואם נבחר את‬
‫‪kz − x0 k ≤ kz − y0 k + ky0 − x0 k < ε + s = r‬‬
‫כרצוי‪ .‬דוגמא זו חשובה שכן היא מראה ש )‪int(A‬‬
‫פתוח סביבה )נאמר מרדיוס ‪ (r‬שכולו ב ‪ ,A‬ולכן לכל נקודה בכדור זה יש כדור )קטן יותר( סביבה שכולו‬
‫ב ‪ A‬ולכן הכדור )‪ B(x0 , r‬כולו בעצם נמצא ב )‪ .int(A‬קיבלנו את העובדה הבאה‬
‫בעצמה תמיד פתוחה‪ ,‬כי כל נקודה בה מוכלת בכדור‬
‫למה ‪ 8.6‬לכל ‪ A ⊂ Rn‬מתקיים )‪= int(A‬‬
‫))‪.int(int(A‬‬
‫הערה ‪ 8.7‬אפשר להגדיר "פתוחה" עם קבוצה אחרת‪ ,‬למשל קוביה‪ ,‬במקום כדור‪.‬‬
‫קוביה זו קבוצה‬
‫מהצורה‬
‫}‪Q(x0 , r) = {x : |xi − (x0 )i | < r ∀i = 1, . . . , n‬‬
‫ומשום שמתקיים )בידקו( )‪nB(x0 , r‬‬
‫√‬
‫⊂ )‪⊂ Q(x0 , r‬‬
‫)‪ ,B(x0 , r‬להיות "פתוחה לפי קוביות" או "פתוחה‬
‫לפי כדורים" זה בדיוק אותו הדבר‪ .‬כדורים מעט יותר נוחים לנו כי הם כל כך סימטריים )לא אכפת‬
‫להם משינוי קואורדינטות אורתונורמלי(‪.‬‬
‫משפט ‪ (1) 8.8‬איחוד של קבוצות פתוחות הוא פתוח‪.‬‬
‫)‪ (2‬חיתוך של מספר סופי של פתוחות הוא פתוח‬
‫)‪ ∅ (3‬ו ‪Rn‬‬
‫הן פתוחות‬
‫הוכחה‪ :‬מיידי לפי ההגדרות‪ ,‬כשב)‪ (2‬נבחר את הרדיוס המינימלי מבין מספר סופי‪.‬‬
‫נשים לב ש )‪ (2‬לא נכון עבור חיתוך אינסופי‪ ,‬ניתן בקלות לבנות חיתוך אינסופי של פתוחות שאיננו פתוח‪,‬‬
‫למשל‬
‫‪1‬‬
‫)‬
‫‪n‬‬
‫‪.(− n1 ,‬‬
‫טענה ‪ 8.9‬תהי ‪A ⊂ Rn‬‬
‫אזי‬
‫‪int(A) = ∪A0‬‬
‫כאשר האיחוד הוא על פני כל ‪ A0 ⊂ A‬כך ש ‪A0‬‬
‫פתוחה‪.‬‬
‫הוכחה‪ :‬אגף ימין מוכל כמובן באגף שמאל שכן כל ‪A0 ⊂ A‬‬
‫בפנים של ‪ A0‬ובפרט בפנים של ‪ .A‬לכן גם האיחוד כולו מוכל‪ .‬מצד שני )‪ int(A‬בעצמה היא קבוצה‬
‫שהיא פתוחה מקיימת שכל נקודה בה היא‬
‫פתוחה ולכן משתתפת באיחוד‪ ,‬כך שאגף שמאל מוכל באגף ימין וסיימנו‪.‬‬
‫באופן דומה קל להראות )בתרגיל( שכל קבוצה פתוחה ניתן לכתוב כאיחוד של כדורים‪ ,‬וגם‪ ,‬לכל ‪,r0‬‬
‫כאיחוד של כדורים מרדיוסים קטנים מ ‪) .r0‬איננו טוענים כמובן שהאיחוד הוא של מספר סופי של‬
‫כדורים‪ ,‬אם כי לא קשה להראות שניתן לכתוב אותה כאיחוד בן מניה של כדורים(‪.‬‬
‫^]]‬
‫‪8.4‬‬
‫קבוצה סגורה‪ ,‬סג‪‬ר‬
‫הגדרה ‪ 8.10‬נאמר ש ‪ A ⊂ Rn‬היא סגורה אם ‪Rn \ A‬‬
‫היא קבוצה פתוחה‪.‬‬
‫לדוגמא בידקו שכדור סגור הוא אכן קבוצה סגורה‪ ,‬וגם ספירה היא קבוצה סגורה‪ .‬גם ה"אלכסון"‬
‫‪D = {(x, x) : x ∈ R} ⊂ R2‬‬
‫קבוצה סגורה‪ .‬כל קבוצה סופית היא גם סגורה‪ .‬נעיר שישנן )המון( קבוצות שאינן פתוחות ואינן סגורות‪.‬‬
‫ההגדרה לעיל של "סגירות" היא לא בהכרח ההגדרה שתמצאו בספרות‪ ,‬ואותה נביא כמשפט ממש‬
‫מיד‪ .‬לשם כך עלינו להגדיר‬
‫הגדרה ‪] 8.11‬נקודת סגור‪ ,‬סגור[ תהי ‪ A ∈ Rn‬ונקודה ‪ .x0 ∈ Rn‬נאמר שהיא נקודת סגור של ‪A‬‬
‫לכל ‪ r > 0‬מתקיים‬
‫אם‬
‫∅ =‪B(x0 , r) ∩ A 6‬‬
‫ונסמן ‪ A‬את אוסף כל נקודות הסגור של ‪ .A‬מתקיים כמובן ‪⊂ A‬‬
‫‪.A‬‬
‫)‪ .B(x0 , r‬כיוון שכבר הגדרנו מעלה מהי קבוצה סגורה‪ ,‬התכונה‬
‫לדוגמא‪ ,‬קל לוודא ש )‪= B(x0 , r‬‬
‫שלקבוצה סגורה ‪ A = A‬היא כבר משפט‬
‫משפט ‪ A ⊂ Rn 8.12‬היא סגורה אם ורק אם ‪= A‬‬
‫‪.A‬‬
‫הוכחה‪ :‬נניח ש ‪ A‬סגורה ותהי ‪ .x ∈ A‬נניח בשלילה ש ‪ x 6∈ A‬אז ‪x ∈ Rn \ A‬‬
‫‪ B(x, r) ⊂ Rn \ A‬ולכן ∅ = ‪ B(x, r) ∩ A‬בסתירה להנחה‪ .‬כעת נניח ש ‪ A = A‬ונראה ש ‪Rn \ A‬‬
‫פתוחה‪ .‬אכן‪ ,‬כל ‪ x 6∈ A‬מקיימת ‪ x 6∈ A‬זאת אומרת יש כדור כך ש ∅ = ‪ B(x, r) ∩ A‬וזאת אומרת‬
‫‪ B(x, r) ⊂ Rn \ A‬כרצוי‪.‬‬
‫ואז יש כדור שלם‬
‫למה ‪ 8.13‬תהי ‪ A ∈ Rn‬אזי )‪ A = Rn \ int(Rn \ A‬וכן )‪int(A) = Rn \ (Rn \ A‬‬
‫הוכחה‪ :‬בתרגיל‪.‬‬
‫כמובן שבקרוב נאמר שנקודות סגור הן גבולות של סדרות של אברים ב ‪.A‬‬
‫‪8.5‬‬
‫שפה‬
‫הגדרה ‪] 8.14‬שפה[ תהי ‪A ∈ Rn‬‬
‫ונגדיר‬
‫)‪∂A = A ∩ Rn \ A = A \ int(A‬‬
‫‪116‬‬
‫כאשר השיוויון מתקיים בגלל הלמה שציטטנו כרגע‪.‬‬
‫זאת אומרת שבכל סביבה של ‪ A‬יש הן נקודה מ־‪ A‬והן נקודה מ ‪ .Rn \ A‬דוגמאות‪ :‬האלכסון ב ‪R2‬‬
‫הוא השפה של עצמו )כך גם כל קבוצה סגורה ללא פנים(‪ .‬הספירה היא השפה של הכדור = ))‪∂(B(x0 , r‬‬
‫)‪ .S(x0 , r‬השפה של אינטרואל ב ‪ R‬היא שתי נקודות }‪ .∂[a, b] = {a} ∪ {b‬נשים לב שכששולאים מהי‬
‫השפה של קבוצה‪ ,‬מאוד חשוב לציין מהו "העולם" ביחס אליו לוקחים "פנים"‪ ,‬כי למשל אם לוקחים שתי‬
‫נקודות ‪ a, b ∈ Rn‬עבור ‪ n > 1‬ומגדירים את הקטע }]‪= {(1 − λ)a + λb : λ ∈ [0, 1‬‬
‫קבוצה של ‪ Rn‬יתקיים ]‪ ∂[a, b] = [a, b‬בשונה מהמקרה החד מימדי‪.‬‬
‫‪8.6‬‬
‫]‪ ,[a, b‬אז כתת‬
‫קבוצה קמורה וקבוצה קשירה פוליגונלית‬
‫נסמן עבור ‪x, y ∈ Rn‬‬
‫את הקטע המחבר אותן‬
‫}]‪[x, y] = {(1 − λ)x + λy : λ ∈ [0, 1‬‬
‫נשים לב שאפשר לחשוב על הקטע גם כעל התמונה של הפונקציה הפשוטה הבאה‪: [0, 1] → Rn :‬‬
‫המוגדרת על ידי ‪. f (t) = (1 − t)x + ty‬‬
‫הגדרה ‪ 8.15‬קבוצה ‪ A ⊂ Rn‬נקראת קמורה אם לכל ‪ x, y ∈ A‬גם ‪⊂ A‬‬
‫‪,f‬‬
‫]‪.[x, y‬‬
‫למשל‪ ,‬כדור הוא קמור אבל ספירה לא‪ .‬האדומות קמורות )כל אחת בנפרד‪ ,‬האיחוד של שתיים כבר‬
‫לא(‪ ,‬הכחולות לא קמורות‪.‬‬
‫איור ‪ :28‬מי מאיתנו קמור ומי לא?‬
‫הגדרה ‪] 8.16‬קו פוליגונלי[ בהנתן שתי נקודות ‪x, y ∈ Rn‬‬
‫)הקדקדים( ‪ ,xN = y ,x1 , . . . , xN −1 ,x0 = x‬ונגדיר את‬
‫‪Γ = ∪N‬‬
‫] ‪i=1 [xi−1 , xi‬‬
‫`__‬
‫נגדיר קו פוליגונלי המחבר אותן‪ :‬יהיו‬
‫נעיר גם שיש דרך שימושית לבנות העתקה ש ‪ Γ‬הוא התמונה שלה‪ .‬נביט בפונקציה ‪γ : [0, 1] → Rn‬‬
‫המוגדרת באופן הבא‪ .‬בוחרים ‪ t0 = 0 < t1 < · · · < tN −1 < tN = 1‬חלוקה של הקטע ואז‬
‫‪n‬‬
‫‪−t‬‬
‫‪t−ti‬‬
‫‪γ(t) = tti+1−t‬‬
‫‪xi + ti+1‬‬
‫‪x‬‬
‫] ‪t ∈ [ti , ti+1‬‬
‫‪−ti i+1‬‬
‫‪i+1‬‬
‫‪i‬‬
‫הקו הפוליגונלי עצמו מוגדר להיות )]‪ γ([0, 1‬זאת אומרת התמונה של ‪γ‬‬
‫זאת אומרת שבקטע ה"זמן" ] ‪[ti , ti+1‬‬
‫כתת קבוצה של ‪.Rn‬‬
‫הפונקציה עוברת על הקטע ] ‪ .[xi , xi+1‬אפילו שעוד לא הגדרנו‬
‫רציפות‪ ,‬קל להשתכנע שההגדרה שנתנו משרטטת קו ללא "קפיצות" ב ‪ .Rn‬משהו כזה למשל‬
‫איור ‪ :29‬קו פוליגונלי‬
‫הגדרה ‪] 8.17‬קבוצה קשירה פוליגונלית[ נאמר שקבוצה ‪A ⊂ Rn‬‬
‫‪ x, y ∈ A‬קיים קו פוליגונלי המחבר את ‪ x‬ו ‪ y‬שכולו נמצא ב ‪.A‬‬
‫היא קשירה פוליגונלית אם לכל‬
‫בפרט‪ ,‬כל קבוצה קמורה היא קשירה פוליגונלית‪ .‬גם איחוד של שתי קבוצות קשירות פוליגונלית שנחתכות‪,‬‬
‫נותן קבוצה קשירה פוליגונלית‪ .‬בקרוב נגדיר מושג של קשירות מסילתית )שזו האפשרות להעביר קו‬
‫"כללי" שיחבר את שתי הנקודות וישאר בקבוצה‪ ,‬לא דווקא קו פוליגונלי( ונראה שבמקרה של קבוצה‬
‫פתוחה‪ ,‬המושגים מזדהים‪.‬‬
‫סוף שיעור ‪18‬‬
‫‪118‬‬
‫‪8.7‬‬
‫סדרות ב ‪Rn‬‬
‫∞} ‪ {xk‬סדרה של וקטורים‪ .‬נאמר ש ‪ x ∈ Rn‬הוא הגבול שלה ונסמן ‪x = limk→∞ xk‬‬
‫הגדרה ‪ 8.18‬תהי ‪k=1‬‬
‫אם‬
‫‪lim kx − xk k = 0‬‬
‫∞→‪k‬‬
‫באופן שקול‪ ,‬אם לכל ‪ ε > 0‬קיים ‪ k0‬כך שלכל ‪ k ≥ k0‬מתקיים )‪xk ∈ B(x, ε‬‬
‫ראינו כבר במסקנה‪abc‬‬
‫‪.‬‬
‫שמתקיים‬
‫טענה ‪ xk → x 8.19‬אם ורק אם ‪ (xk )i → xi‬לכל ‪= 1, . . . , n‬‬
‫‪.i‬‬
‫מכאן נסיק ישירות את העובדות הבאות‬
‫טענה ‪ 8.20‬אם ‪ xk → x‬וגם ‪ xk → y‬אז ‪x = y‬‬
‫)אפשר גם להוכיח זאת ישירות כי ‪≤ kx − xk k + kxk − yk → 0‬‬
‫‪(kx − yk‬‬
‫טענה ‪] 8.21‬ליניאריות הגבול[ אם ‪ {xk }, {yk } ⊂ Rn‬ו ‪ {αk } ⊂ R‬ומתקיים ‪yk → y , xk → x‬‬
‫‪ αk → α‬אזי מתקיים ‪.αk xk + yk → αx + y‬‬
‫ו‬
‫הוכחה‪ :‬קואורדינטה קואורדינטה‪.‬‬
‫טענה ‪ 8.22‬אם ‪ {xk }, {yk } ⊂ Rn‬ומתקיים ‪ yk → y , xk → x‬אזי מתקיים ‪→ hx, yi‬‬
‫אח"כ שמשמעות הדבר הוא שהפונקציה ‪ h·, ·i : Rn × Rn → R‬היא רציפה‪(.‬‬
‫‪P‬‬
‫‪P‬‬
‫→ ‪. (xk )i (yk )i‬‬
‫הוכחה‪ :‬לפי הגדרה וטענות קודמות‪ (xk )i → xi ,‬וגם ‪ (yk )i → yi‬ולכן גם ‪xi yi‬‬
‫‪) .hxk , yk i‬נאמר‬
‫הגדרה ‪] 8.23‬סדרת קושי[ סדרה ‪ {xk } ⊂ Rn‬נקראת סדרת קושי אם לכל ‪ ε > 0‬קיים ‪N0‬‬
‫‪ k, m ≥ N0‬מתקיים ‪.kxk − xm k ≤ ε‬‬
‫טענה ‪ 8.24‬סדרה ‪ {xk } ⊂ Rn‬היא סדרת קושי אם ורק אם קיים ‪ x ∈ Rn‬כך ש ‪= x‬‬
‫כך שלכל‬
‫‪.limk→∞ xk‬‬
‫הוכחה‪ :‬אי שוויון מלמה‪abd‬‬
‫היא סדרת קושי וזה אם ורק אם כל סדרה ממשית כזו מתכנסת )ממשפט קושי חדו"א ‪ (1‬וזה‪ ,‬ממסקנה‬
‫‪bc‬‬
‫‪ , a‬אם ורק אם הסדרה הוקטורית מתכנסת‪ .‬כמובן שניתן גם להוכיח ישירות אך אין צורך‪.‬‬
‫גורר ש } ‪ {xk‬היא סדרת קושי אם ורק אם לכל ‪ i‬הסדרה ‪{(xk )i } ⊂ R‬‬
‫‪119‬‬
‫‪8.8‬‬
‫נקודות הצטברות‬
‫הגדרה ‪] 8.25‬נקודת הצטברות[ תהי ‪ A ∈ Rn‬ונקודה ‪ .x0 ∈ Rn‬נאמר שהיא נקודת הצטברות של ‪A‬‬
‫אם לכל ‪ r > 0‬מתקיים‬
‫∅ =‪(B(x0 , r) \ {x0 }) ∩ A 6‬‬
‫זאת אומרת יש נקודה הקרובה ‪ r‬ל ‪ x0‬בתוך ‪ A‬שאיננה ‪x0‬‬
‫עצמו‪.‬‬
‫כמובן שכל נקודת הצטברות היא גם נקודת סגור‪ ,‬אך להפך לא נכון‪ ,‬ונקודת סגור שאיננה נקודת‬
‫הצטברות חייבת להיות ב ‪A‬‬
‫של ‪ A‬הן נקודות הצטברות‪.‬‬
‫בעצמה‪ ,‬והיא נקראת נקודה מבודדת של ‪ .A‬ברור גם שכל נקודות הפנים‬
‫טענה ‪ 8.26‬תהי ‪ .A ⊂ Rn‬נקודה ‪ x ∈ Rn‬היא נקודת הצטברות של ‪A‬‬
‫}‪ xk ∈ A \ {x‬כך ש ‪ . xk → x‬יתר על כן‪ ,‬ניתן לבחור את } ‪ {xk‬כך שכל איבריה שונים זה מזה‪ .‬בפרט‪,‬‬
‫‪ A‬אינסופית‪.‬‬
‫אם ורק אם קיימת סדרה‬
‫הוכחה‪ :‬זו כמעט ההגדרה‪ .‬אכן‪ ,‬בכל סביבה של ‪ x‬קיימות נקודות מ }‪\ {x‬‬
‫)‪ B(x, 1/k‬ונבחר נקודה ממנו שהיא ב ‪ A‬ואיננה ‪ .x, x1 , . . . , xk−1‬אילו אין כזו‪ ,‬בכדור מרדיוס‬
‫)‪ r = min(kxi − xk; i = 1, . . . , k − 1‬לא היתה אף נקודה בסתירה לבגדרת נקודת הצטברות‪ .‬כך‬
‫בנינו סדרה שלפי הגדרתה מתכנסת ל ‪ .x‬להפך‪ ,‬אם ‪ x‬הוא גבול של סדרה כזו‪ ,‬אז בכל כדור סביב ‪A‬‬
‫נמצאים כל אברי הסדרה החל ממקום מסוים‪ ,‬ובפרט ‪ x‬היא נקודת הצטברות‪.‬‬
‫‪ ,A‬אז נביט בכדור‬
‫מסקנה ‪ 8.27‬תהי ‪ .A ⊂ Rn‬אזי ‪ x ∈ A‬אם ורק אם קיימת סדרה ‪ {xn } ⊂ A‬כך ש ‪ .xn → x‬בפרט ‪A‬‬
‫סגורה אם ורק אם לכל ‪ x‬עבורו קיימת סדרה ‪ {xn } ⊂ A‬המתכנסת אליו מתקיים ‪.x ∈ A‬‬
‫‪8.9‬‬
‫קבוצה חסומה‪ ,‬וקבוצה קומפקטית‬
‫הגדרה ‪] 8.28‬חסימות[ תהי ‪ A ∈ Rn‬נאמר שהיא חסומה אם קיים ‪ R‬כך ש )‪⊂ B(0, R‬‬
‫‪.A‬‬
‫למשל‪ ,‬כל קבוצה סופית היא חסומה‪ .‬נוח גם להגדיר קוטר של קבוצה על ידי‬
‫}‪diam(A) = sup {kx − yk : x, y ∈ A‬‬
‫ולא קשה לבדוק שקבוצה היא חסומה אם ורק אם הקוטר שלה סופי‪.‬‬
‫טענה ‪ 8.29‬תהי ‪{xk } ⊂ Rn‬‬
‫סדרה חסומה‪ .‬אזי יש לה תת סדרה מתכנסת‪.‬‬
‫הוכחה‪ :‬תהי סדרה חסןמה } ‪ .{xk‬כל קואורדינטה שלה היא סדרה ממשית חסומה‪ .‬נבנה ראשית תת‬
‫סדרה עבורה הקואורדינטה הראשונה מתכנסת‪ ,‬לתת סדרה זו נבנה תת סדרה עבורה הקואורדינטה‬
‫השניה מתכנסת‪ ,‬וכן הלאה‪ .‬אחרי מספר סופי )‪n‬‬
‫המקורית עבורה כל הקואורדינטות מתכנסות‪.‬‬
‫‪120‬‬
‫בדיוק( של שלבים‪ ,‬נקבל תת סדרה של הסדרה‬
‫מסקנה ‪ 8.30‬לקבוצה חסומה ואינסופית יש נקודת הצטברות‪.‬‬
‫הוכחה‪ :‬מאינסופיות הקבוצה נבנה סדרה של איברים שכולם שונים זה מזה‪ .‬מהטענה הקודמת ניקח‬
‫לסדרה תת"ס מתכנסת‪ .‬הגבול שלה הוא נקודת הצטברות )שכן האיבר הגבולי מופיע כאיבר בסדרה‬
‫לכל היותר פעם אחת(‪.‬‬
‫הגדרה ‪] 8.31‬קומפקטיות[ תהי ‪A ∈ Rn‬‬
‫נאמר שהיא קומפקטית אם היא סגורה וחסומה‪.‬‬
‫הערה ‪ 8.32‬ההגדרה ה"אמיתית" של קבוצה קומפקטית היא "אם לכל כיסוי פתוח יש תת כיסוי סופי"‪.‬‬
‫ההגדרה של "קומפקטית סדרתית" היא "אם לכל סדרה יש תת"ס מתכנסת"‪ .‬במקרה של ‪Rn‬‬
‫ההגדרות‬
‫הללו מזדהות עם ההגדרה הפשוטה שניתנה למעלה‪.‬כפי שנוכיח בקרוב‪ .‬גם ההוכחות עם הכיסויים אינן‬
‫קשות )ודומות למשפט של קנטור מחדו"א ‪ 1‬על חיתוך של קטעים סגורים הולכים וקטנים(‪ .‬בכל מקרה‬
‫לצרכים שלנו ההגדרה שנבחרה היא זו שכתובה מעלה‪ ,‬אך כדאי לזכור שזו לא ההגדרה של קבוצה‬
‫קומפקטית במקרה כללי של מרחב טופולוגי‪.‬‬
‫משפט ‪] 8.33‬קומפקטיות זו שקולה לקומפקטיות סדרתית[ קבוצה היא קומפקטית אם ורק אם לכל‬
‫סדרה של איברים בקבוצה יש תת סדרה מתכנסת לאיבר בקבוצה )זו נקראת "קומפקטיות סדרתית"(‪.‬‬
‫הוכחה‪:‬‬
‫]של משפט‪efgg‬‬
‫[ תהי קבוצה בה לכל סדרה יש תת"ס מתכנסת לאבר בקבוצה‪ .‬ברור לכן‬
‫שהיא סגורה וחסומה‪ ,‬אחרת אפשר לבנות סדרה שתתכנס לנקודת סגור שאיננה בקבוצה במקרה הלא‬
‫סגור )זה מהגדרת נקודת סגור ־ כשהיא איננה בקבוצה היא בהכרח נקודת הצטברות(‪ ,‬או סדרה שלא‬
‫‪efhi‬‬
‫‪efhj‬‬
‫} ‪.{xk‬‬
‫תתכנס כלל במקרה הלא חסום‪ .‬להפך ־ תהי קבוצה סגורה וחסומה ‪ .A‬תהיה סדרה כלשהי ‪⊂ A‬‬
‫יש לה תת סדרה מתכנסת‪ ,‬נאמר מתכנסת ל ‪ .y‬מטענה‬
‫לפי טענה‬
‫‪ y ,‬נמצא בסגור של ‪A‬‬
‫ומסגירות הקבוצה ‪ , A‬גם ‪ ,y ∈ A‬וסיימנו‪.‬‬
‫המשפט הבא הוא הכללה של השמפט במימד אחד בו השתמשנו על מנת להוכיח את משפט דיני‪.‬‬
‫משפט ‪ 8.34‬קבוצה ‪ A‬היא קומפקטית אם ורק אם לכל כיסוי של ‪ A‬על ידי קבוצות פתוחות ‪{Uα }α∈I‬‬
‫‪) .A ⊂ ∪N‬זו ההגדרה הטופולוגית‬
‫)זאת אומרת ‪ (A ⊂ ∪α∈I Uα‬קיים ‪ N‬וקיימות ‪ α1 , . . . , αN‬כך ש ‪i=1 Uαi‬‬
‫של קבוצה קומפקטית(‪.‬‬
‫משפט עזר ששימושי באופן כללי הוא האקוויולנט של הלמה של קנטור על קטעים מקוננים במימד גבוה‪:‬‬
‫∞} ‪) {Ki‬דהיינו שלכל ‪ i‬מתקיים ‪⊂ Ki‬‬
‫טענה ‪ 8.35‬סדרה יורדת של קבוצות קומפקטיות ‪i=1‬‬
‫∅ =‪.∩Ki 6‬‬
‫הוכחה‪] :‬של טענה‪efgk‬‬
‫‪ (Ki+i‬מקיימת‬
‫[ תהי סדרה כנ"ל‪ .‬נבנה סדרת נקודות על ידי בחירה של נקודה מכל קבוצה‪.‬‬
‫הסדרה היא חסומה שכן הקבוצה ‪K1‬‬
‫‪ ,Ki‬ומשום שכל אברי הסדרה החל מהמקום ה ‪i‬י שייכים ל ‪ ,Ki‬נקבל שגם האיבר הגבולי שייך ל ‪.Ki‬‬
‫היות ש ‪ i‬היה כללי‪ ,‬קיבלנו שהאיבר הגבולי נמצא בחיתוך לכן החיתוך איננו ריק‪.‬‬
‫בעצמה חסומה‪ .‬לכן יש לה תת סדרה מתכנסת‪ .‬כעת מסגירות‬
‫‪121‬‬
‫הוכחה‪] :‬של משפט‪lmno‬‬
‫[ נניח ש ‪A‬‬
‫איננה קומפקטית‪ ,‬ונמצא לה כיסוי אינסופי ללא תת כיסוי סופי‪.‬‬
‫אם היא איננה קומפקטית‪ ,‬או שהיא לא חסומה או שהיא לא סגורה )או שניהם(‪ .‬נניח שאיננה חסומה‪.‬‬
‫נכסה אותה על ידי כדורים פתוחים ברדיוס ‪ B(x, 1) ,1‬הממורכזים בנקודות של ‪A‬‬
‫שכן לקחנו כדור לכל נקודה ב ‪ .(A‬ברור שזה כיסוי פתוח‪ .‬אבל כל אוסף סופי שלו )נאמר עם מרכזים‬
‫‪ ({xi }N‬בהכרח יהיה חסום בכדור מרדיוס )‪ maxi=1,...,N (kxi k + 1‬ולכן לא יכול לכסות את ‪ A‬כולה‬
‫‪i=1‬‬
‫שאיננה חסומה‪ .‬נניח שאיננה סגורה לכן יש נקודת סגור של ‪ A‬שאיננה איבר של ‪ . A‬נניח שזו הנקודה‬
‫‪ .x0‬נביט בכיסוי הפתוח הבא של ‪ .A‬לכל נקודה ‪ x ∈ A‬ניקח כדור פתוח ברדיוס ‪.r(x) = kx − x0 k/2‬‬
‫‪ ,∪N‬הוא לא היה מכיל‬
‫כמובן שזה כיסוי פתוח‪ .‬אילו היה לו תת כיסוי סופי‪ ,‬נאמר על ידי ) ‪i=1 B(xi , ri‬‬
‫סביבה מרדיוס ‪ min ri‬של ‪ .x0‬זו סתירה לכך ש ‪ x0‬נקודת סגור של ‪. A‬‬
‫כעת נוכיח את הכיוון החשוב ־ אם ‪ A‬קומפקטית אז לכל כיסוי פתוח שלה יש תת כיסוי סופי‪ .‬נעשה‬
‫זאת על דרך השלילה‪ .‬משום ש ‪ A‬חסומה ניתן לחסום אותה בתוך קוביה מאורך צלע סופי כלשהו ‪.R‬‬
‫נבנה סדרה של קבוצות קומפקטיות ‪ Ai‬כך ש ‪ Ai+1 ⊂ Ai‬וכך שכל אחת מהקבוצות אי אפשר לכסות‬
‫על ידי מספר סופי של איברי ‪ ,Uα‬ויתר על כן‪ ,‬נדאג ש ‪ . diam(Ai ) → 0‬קל לעשות זאת על ידי חלוקה‬
‫חוזרת של הקוביה ל ‪ 2n‬תת קוביות שאורך צלע מחצית מהקודם‪ ,‬נסמן אותן ‪ ,Qj‬ונביט ב ‪ .Ai ∩ Qj‬אילו‬
‫)זה אוסף ענקי‪,‬‬
‫לכולן היה תת כיסוי סופי היה גם תת כיסוי סופי לכיסוי כולו‪ .‬לכן לפחות לאחת אין תת כיסוי סופי‪,‬‬
‫‪.∩Ai‬‬
‫ואותה נגדיר כ ‪ .Ai+1‬היא גם קומפקטית כחיתוך של שתי קומפקטיות‪ .‬אנו טוענים כי }‪= {x‬‬
‫אכן‪ ,‬החיתוך איננו ריק מטענת העזר‪ ,‬אך הקוטר שלו קטן שווה לקוטרה של ‪ Ai‬לכל ‪ i‬וזה בתורו שואף‬
‫ל ‪ 0‬ולכן קוטר החיתוך אפס‪ ,‬זאת אומרת הוא נקודה אחת בלבד‪ .‬כעת‪ ,‬משום שנקודה זו היא איבר של‬
‫‪ ,A‬ישנה קבוצה פתוחה ‪ Uα0‬אליה ‪ x‬שייך‪ .‬מפתיחות‪ ,‬קיים כדור קטן ‪ .B(x, r0 ) ⊂ Uα0‬נבחר ‪ i‬מספיק‬
‫גדול כך ש ‪ diam(Ai ) ≤ r0‬אז מתקיים ‪ ,Ai ⊂ B(x0 , r0 ) ⊂ Uα0‬וזאת בסתירה לכך שאין תת כיסוי‬
‫סופי של ‪ Ai‬לאף ‪.i‬‬
‫סוף שיעור ‪19‬‬
‫‪122‬‬
‫‪9‬‬
‫פונקציות וקטוריות של משתנה וקטורי‬
‫בפרק זה נדון בפונקציות מהצורה‬
‫‪f : Rn → Rm‬‬
‫או ביתר כלליות ‪ f : A → Rm‬כאשר ‪ .A ⊂ Rn‬על פי רוב נוכל להצטמצם למקרה ‪m = 1‬‬
‫) ‪.f = (f1 , . . . , fm‬‬
‫‪9.1‬‬
‫אם נסמן‬
‫הגדרת רציפות‪ ,‬גבולות‪ ,‬דוגמאות‬
‫נשים לב שאם ננסה להשתמש בהגדרות שלנו של גבול במשתנה אחד ללא מחשבה על ידי לקיחת גבול‬
‫ביחס למשתנה אחד ואז ביחס לשני‪ ,‬נקבל דברים "לא כל כך הגיוניים" למשל‬
‫‪x2‬‬
‫‪x2 +y 2‬‬
‫)‪(x, y) 6= (0, 0‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫∗‪‬‬
‫)‪(0, 0‬‬
‫= )‪f (x‬‬
‫)אין זה משנה כיצד נגדיר אותה בראשית כי כמו במשתנה אחד‪ ,‬כשמחשבים גבול בנקודה אף פעם לא‬
‫דורכים על הנקודה עצמה( מתקיים‬
‫‪lim lim f (x, y) = lim 1 = 1‬‬
‫‪x→0 y→0‬‬
‫‪x→0‬‬
‫‪lim lim f (x, y) = lim 0 = 0‬‬
‫‪y→0 x→0‬‬
‫‪y→0‬‬
‫זאת אומרת שינוי סדר הגבולות משפיע על התוצאה‪ .‬זה כמובן לא דבר רצוי‪ .‬במקרה כזה הגבול לא‬
‫קיים‪ .‬אנו רוצים מגבול שכאשר הוקטור )‪(x, y‬‬
‫קרוב לוקטור ) ‪ ,(x0 , y0‬ערך הפונקציה יהיה קרוב למספר‬
‫)או לוקטור‪ ,‬תלוי מה מימד הטווח(‪ ,‬שהוא הגבול‪.‬‬
‫הגדרה ‪] 9.1‬גבול של פונקציה[ תהי ‪ x0 ∈ Rn ,f : Rn → Rm‬ו ‪∈ Rm‬‬
‫‪ .l‬נאמר כי‬
‫‪lim f (x) = l‬‬
‫‪x→x0‬‬
‫אם לכל סדרה ‪ xk → x‬כך ש ‪ xk 6= x‬לכל ‪ ,k‬מתקיים ‪ .f (xk ) → l‬באופן יותר כללי‪ ,‬עבור ‪A ⊂ Rn‬‬
‫‪ f : A → Rm‬ועבור ‪ x0‬שהיא נקודת הצטברות של ‪ A‬נגדיר את‬
‫ו‬
‫‪lim f (x) = l‬‬
‫‪x→x0‬‬
‫‪x∈A‬‬
‫אם לכל סדרה ‪ {xk } ⊂ A‬כך ש ‪ xk → x‬וכן ‪ xk 6= x‬לכל ‪ ,k‬מתקיים ‪→ l‬‬
‫) ‪.f (xk‬‬
‫הגדרה ‪ 9.2‬תהי ‪ A ⊂ Rn‬ו ‪ ,f : A → Rm‬נאמר ש ‪ f‬רציפה בנקודה ‪ x0 ∈ A‬אם ‪x0‬‬
‫ש ‪ x0‬נקודת הצטברות וכן‬
‫) ‪lim f (x) = f (x0‬‬
‫‪x→x0‬‬
‫‪x∈A‬‬
‫נאמר ש ‪ f‬פונקציה רציפה אם היא רציפה בכל ‪∈ A‬‬
‫‪123‬‬
‫‪.x0‬‬
‫נקודה מבודדת או‬
‫דוגמאות פשוטות לפונקציות רציפות‪ ,‬למשל )‪: R3 → R6 ,f (x, y, z) = (cos(x), xyz, ez x, y, y, y‬‬
‫‪.f‬‬
‫כמו במשתנה אחד‪ ,‬גם כאן לעיתים נוח לעבוד עם רציפות אפסילון־דלתא במקום רציפות סדרתית‪ .‬לכן‬
‫נוכיח‬
‫משפט ‪ 9.3‬תהי ‪ A ⊂ Rn‬ו ‪ .f : A → Rm‬מתקיים ש ‪ f‬רציפה בנקודה ‪ x0 ∈ A‬אם לכל ‪ε > 0‬‬
‫‪ δ > 0‬כך שלכל ‪ x ∈ B(x0 , δ) ∩ A‬מתקיים‬
‫קיים‬
‫)‪f (x) ∈ B(f (x0 ), ε‬‬
‫)ובאופן שקול‪ kx − x0 k < δ ,‬גורר ‪< ε‬‬
‫‪.(kf (x) − f (x0 )k‬‬
‫הוכחה‪ :‬נניח רציפות סדרתית ונניח בשלילה שהתנאי של המשפט לא מתקיים‪.‬‬
‫זאת אומרת שעבור‬
‫‪ ε0‬מסוים אין ‪ δ‬מתאים‪ .‬לכן לכל ‪ k‬המספר ‪ δ = k1‬לא יתאים‪ ,‬זאת אומרת שניתן למצוא ∈ ‪xk‬‬
‫‪ B(x0 , 1/k) ∩ A‬כך ש ‪ .kf (xk ) − f (x0 )k ≥ ε0‬מתקיים ‪ xk → x‬אבל לא מתקיים ) ‪f (xk ) → f (x0‬‬
‫בסתירה‪ .‬בכיוון השני‪ ,‬נניח שמתקיים התנאי במשפט ותהי סדרה ב ‪ A‬עם ‪ .xk → x0‬נביט בסדרה‬
‫) ‪ f (xk‬ויהי ‪ .ε > 0‬עלינו למצוא ‪ N0‬כך שלכל ‪ k > N0‬מתקיים ‪ .kf (xk ) − f (x0 )k < ε‬נשתמש בתנאי‬
‫המשפט על מנת למצוא ‪ δ‬כך שלכל ‪ ,x ∈ B(x, δ) ∩ A‬מתקיים )‪ .f (x) ∈ B(f (x0 ), ε‬משום ש ‪,xk → x0‬‬
‫קיים ‪ N0‬כך שלכל ‪ k ≥ N0‬מתקיים ‪ xk ∈ B(x0 , δ) ∩ A‬ולכן בפרט )‪ f (xk ) ∈ B(f (x0 ), ε‬כרצוי‪.‬‬
‫טענה ‪ 9.4‬תהי ‪ A ⊂ Rn‬ופונקציה ‪ f : A → Rm‬ונניח ) ‪ . f = (f1 , . . . , fm‬היא רציפה אם ורק אם ‪fi‬‬
‫רציפה לכל ‪.i = 1, . . . , m‬‬
‫הוכחה‪ :‬מיידית מאי השוויון שראינו בלמה‪pqr‬‬
‫|) ‪|fi (x) − fi (x0‬‬
‫והשאפת ‪ x‬ל ‪x0‬‬
‫)בתוך ‪.(A‬‬
‫‪m‬‬
‫‪X‬‬
‫‪i=1‬‬
‫≤ ‪|fi (x) − fi (x0 )| ≤ kf (x) − f (x0 )k‬‬
‫הגדרה ‪] 9.5‬רציפות במ"ש[ נאמר שפונקציה ‪ f : A → Rm‬רציפה במ"ש ב ‪ A‬אם לכל ‪ε > 0‬‬
‫‪ δ > 0‬כך שלכל ‪ x, y ∈ A‬המקיימים ‪ kx − yk < δ‬מתקיים ‪.kf (x) − f (y)k < ε‬‬
‫קיים‬
‫דוגמא נחמדה לפונקציה רציפה )במ"ְש( זו פשוט הפונקציה‬
‫‪f : Rn → R‬‬
‫‪f (x) = kxk‬‬
‫כי מתקיים‬
‫‪|f (x) − f (y)| ≤ kx − yk‬‬
‫מאי שוויון המשולש‪ ,‬לכן אם ‪ kx − yk < ε‬אז ‪|f (x) − f (y)| < ε‬‬
‫וזו אפילו רציפות במ"ש‪ .‬למעשה כל‬
‫פונקציה שמקיימת את התכונות של נורמה תהיה רציפה שכן יתקיים‬
‫√‬
‫‪|xi | ≤ max |||ei ||| nkxk = ckxk‬‬
‫‪i=1,...,n‬‬
‫‪n‬‬
‫‪X‬‬
‫‪i=1‬‬
‫· ||| ‪|xi | · |||ei ||| ≤ max |||ei‬‬
‫‪i=1,...,n‬‬
‫‪rst‬‬
‫‪n‬‬
‫‪X‬‬
‫‪i=1‬‬
‫≤ ||| ‪xi ei‬‬
‫‪n‬‬
‫‪X‬‬
‫‪i=1‬‬
‫||| = |||‪|||x‬‬
‫ומהומוגניות‬
‫‪|||x − y||| ≤ ckx − yk‬‬
‫זאת אומרת שוב יש רציפות ואפילו במ"ש‪) .‬שנגדיר עוד רגע(‬
‫‪9.2‬‬
‫משפטים בסיסיים ־ סגירות לחיבור‪ ,‬כפל‪ ,‬הרכבה‬
‫משפט ‪ 9.6‬תהי ‪ A ⊂ Rn‬ו ‪ f, g : A → Rm‬רציפות ויהיו ‪ α, β ∈ R‬אזי ‪αf + βg : A → Rm‬‬
‫וגם ‪ hf, gi : A → R‬רציפה‪.‬‬
‫רציפה‬
‫הוכחה‪ :‬חוקי גבולות של סדרות‪ ,‬אין קל מזה‪.‬‬
‫משפט ‪ 9.7‬תהי ‪ x0 ∈ A ⊂ Rn‬ו ‪ f : A → Rm‬ותהי ‪ B ⊂ Rm‬כך ש ‪ .f (A) ⊂ B‬תהי ‪: B → Rl‬‬
‫נניח ש ‪ f‬רציפה ב ‪ x0‬ונניח ש ‪ g‬רציפה ב ) ‪ .y0 = f (x0‬אזי ‪ h = g ◦ f : A → Rl‬רציפה ב ‪.x0‬‬
‫‪.g‬‬
‫הוכחה‪ :‬שוב מדובר בחוקי גבולות של סדרות‪ ,‬ושוב אין קל מזה‪.‬‬
‫‪9.3‬‬
‫‪9.3.1‬‬
‫תכונות גלובאליות‬
‫קנטור‪ :‬על קומפקט – רציף במ"ש‬
‫משפט ‪] 9.8‬משפט קנטור[ תהי ‪ A ⊂ Rn‬קומפקטית ו ‪ f : A → Rm‬רציפה‪ .‬אזי ‪f‬‬
‫רציפה במ"ש‪.‬‬
‫הוכחה‪ :‬ניתן לשחזר בקלות את ההוכחה של משפט קנטור המקורי‪ .‬אכן‪ ,‬אם נניח בשלילה ש ‪f‬‬
‫רציפה במ"ש אז קיים ‪ ε0‬שמעיד על כך‪ ,‬לכן לכל ‪ δk = 1/k‬קיימים ‪ xk , yk‬כך ש ‪kxk − yk k ≤ δk‬‬
‫ואילו ‪ .kf (xk ) − f (yk )k > ε0‬מקומפקטיות ‪ A‬יש ל } ‪ {xk‬תת"ס מתכנסת‪ ,‬נאמר ‪ xkj → x0‬ולכן גם‬
‫‪ ykj → x0‬אבל מרציפות נקבל ) ‪ f (xkj ) → f (x0‬וגם ) ‪ f (ykj ) → f (x0‬וזו כבר סתירה כי עבור ‪ j‬מספיק‬
‫גדול נקבל ‪.kf (xkj ) − f (ykj )k < ε0‬‬
‫איננה‬
‫‪9.3.2‬‬
‫ויירשטראסס‪ :‬חסום‪ ,‬מקביל מינ ומקס‬
‫משפט ‪ 9.9‬תהי ‪ K ⊂ Rn‬קבוצה קומפקטית ותהי ‪ f : K → R‬פונקציה ממשית רציפה‪ .‬אזי ‪f‬‬
‫ומשיגה את חסמיה‪ ,‬דהיינו קיימים ‪ xM ∈ K‬ו ‪ xm ∈ K‬כך שלכל ‪ x ∈ K‬מתקיים ≤ )‪f (xmin ) ≤ f (x‬‬
‫) ‪.f (xM AX‬‬
‫חסומה‬
‫הוכחה‪ :‬ראשית היא חסומה שכן אילו היינו יכולים למצוא ‪|f (xk )| > k‬‬
‫‪ ,xk‬נאמר ‪ xkj → x ∈ K‬ומרציפות ‪ f (xkj ) → f (x) ∈ R‬בסתירה לאי חסימות ) ‪ .f (xkj‬כעת נסמן‬
‫)‪ M = supx∈K f (x‬ונבנה סדרה ‪ xk‬עבורה ‪ .f (xk ) > M −1/k‬ניקח לה תת"ס מתכנסת ‪xkj → xM AX‬‬
‫ומרציפות ‪ M ≥ f (xM AX ) = lim f (xkj ) ≥ lim M − 1/k = M‬וקיבלנו את הדרוש‪ .‬בדומה נמצא את‬
‫‪.xmin‬‬
‫היינו בונים תת"ס מתכנסת של‬
‫‪125‬‬
‫הערה ‪ 9.10‬ניתן להראות באופן דומה‪ :‬אם ‪ f : A → Rm‬רציפה כאשר ‪A ⊂ Rn‬‬
‫‪ B = f (A) ⊂ Rm‬גם היא קומפקטית‪.‬‬
‫קומפקטית‪ ,‬אזי‬
‫לדוגמא‪ ,‬נוכל להשתמש במשפט זה על מנת להראות שכל נורמה )פונקציה )∞ ‪||| · ||| : Rn → [0,‬‬
‫שמקיימת את אי שוויון המשולש‪ |||λx||| = |λ| · |||x||| ,‬ומתאפסת רק ב ‪ (0‬שקולה לנורמה הרגילה‪,‬‬
‫זאת אומרת קיימים ‪ c, C‬כך ש ‪ ckxk ≤ |||x||| ≤ Ckxk‬לכל ‪ .x‬זה יעשה בתרגיל‪ .‬הרעיון הוא ראשית‬
‫שמספיק להראות זאת על הספירה בגלל ההומוגניות‪ ,‬שנית שראינו כבר רציפות‪ ,‬לכן על הספירה שהיא‬
‫קומפקטית יש חסם מלעיל ומלרע‪ ,‬ולבסוך החסם מלרע מתקבל על הספירה ולכן איננו אפס‪.‬‬
‫תכונת דרבו על קשירה פוליגונלית‬
‫‪9.3.3‬‬
‫משפט ‪] 9.11‬תכונת דרבו על קשירה פוליגונלית[ תהי ‪ f : A → R‬ונניח כי ‪A‬‬
‫וכי ‪ f‬רציפה‪ .‬יהיו ‪ x, y ∈ A‬ו‪ c ∈ R‬כך ש )‪ .f (x) < c < f (y‬אזי קיים ‪ z ∈ A‬כך ש ‪. f (z) = c‬‬
‫קבוצה קשירה פוליגונלית‬
‫הוכחה‪ :‬הרעיון הוא לבנות עקום פוליגונלי המחבר את הנקודות‪ ,‬וכך להפוך את השאלה לחד מימדית‪.‬‬
‫אכן‪ ,‬אם נסמן ‪ γ(t) : [0, 1] → A‬את העקום‪ ,‬הוא רציף ומקיים ‪= y ,γ(0) = x‬‬
‫‪ g = f ◦ γ : [0, 1] → R‬זו פונקציה רציפה ולכן מקיימת את משפט ערך הביניים מחדו"א ‪ ,1‬ולכן קיים ‪t‬‬
‫כך ש ‪ ,g(t) = c‬ועבור )‪ z = γ(t‬נקבל ‪ f (z) = c‬כרצוי‪.‬‬
‫)‪ ,γ(1‬וכעת נרכיב‬
‫‪9.4‬‬
‫עקום רציף‪ ,‬עקום פוליגונלי‪ ,‬קשירות מסילתית‬
‫הגדרה ‪] 9.12‬מסילה[ פונקציה רציפה ‪γ : [a, b] → Rm‬‬
‫)‪ .γ(a) = γ(b‬היא נקראת פשוטה אם היא חח"ע על ]‪ [a, b‬או אם היא סגורה וחח"ע על ]‪.(a, b‬‬
‫נקראת מסילה‪.‬‬
‫הגדרה ‪ 9.13‬בהנתן מסילה ‪ γ : [0, 1] → Rm‬נגדיר את ‪−γ : [0, 1] → Rm‬‬
‫היא נקראת סגורה אם‬
‫על ידי‬
‫)‪−γ(t) = γ(1 − t‬‬
‫כל העתקה רציפה חח"ע ועל ]‪ ϕ : [a, b] → [c, d‬מגדירה מסילה חדשה ‪= γ ◦ ϕ−1‬‬
‫‪ .γ2‬זהו יחס שקילות‬
‫על מסילות שנקרא גם רה־פרמטריזציה‪ .‬דוגמאות חשובות למסילות אלה למשל הפוליגונליות שראינו‪,‬‬
‫אבל גם‬
‫‪3‬‬
‫‪γ : [0, π] → R2‬‬
‫‪2‬‬
‫))‪γ(t) = (cos(t), sin(t‬‬
‫‪126‬‬
‫איור ‪ :30‬עקומה אחת‬
‫או‬
‫‪γ : [0, 25] → R3‬‬
‫)‪γ(t) = (cos(t), sin(t), t‬‬
‫איור ‪ :31‬ועוד אחת‬
‫הגדרה ‪] 9.14‬קשירות מסילתית[ תהי ‪A ⊂ Rn‬‬
‫‪ x, y ∈ A‬קיימת עקומה )רציפה( ‪ γ : [0, 1] → A‬כך ש ‪ γ(0) = x‬ו ‪.γ(1) = y‬‬
‫קבוצה כלשהי‪ .‬נאמר שהיא קשירה מסילתית אם לכל‬
‫הגדרה ‪] 9.15‬תחום[ קבוצה ‪A ⊂ Rn‬‬
‫נקראת תחום אם היא פתוחה וקשירה מסילתית‪.‬‬
‫טענה ‪ 9.16‬כל קבוצה פתוחה וקשירה מסילתית היא גם קשירה פוליגונלית‪.‬‬
‫‪uvw‬‬
‫הוכחה‪ :‬נניח ש ‪ A‬קשירה מסילתית ופתוחה‪ ,‬יהיו ‪ ,x, y ∈ A‬נביט בעקום המחבר אותן ‪: [0, 1] → A‬‬
‫ונביט בקבוצה ‪ . γ([0, 1]) ⊂ A‬ז אנו טוענים שקיים ‪ ε > 0‬כך שלכל ]‪ ,t ∈ [0, 1‬ולכל ‪ z 6∈ A‬מתקיים‬
‫‪ . kγ(t) − zk ≥ ε‬אכן‪ ,‬אם נניח בשלילה שלא זה המקרה נוכל למצוא סדרות מתאימות ‪ tk‬ו ‪ z k‬עם‬
‫‪ kγ(tk ) − zk k → 0‬ולהן תת"ס מתכנסות‪ ,‬ובגבול נקבל ]‪ t ∈ [0, 1‬ו ‪) z 6∈ A‬שכן ‪ A‬פתוחה( עם ‪γ(t) = z‬‬
‫וזו סתירה‪ .‬מרציפות ‪ γ‬וממשפט קנטור היא גם רציפה במ"ש‪ .‬נבחר עבור ‪ ε‬שלנו את ‪ δ‬כך שאם‬
‫‪ |t − s| < δ‬מתקיים ‪ .kγ(t) − γ(s)k < ε‬יהיה ‪ N > 1δ‬ונביט ב ‪ .tj = Nj‬נתייחס לנקודות ) ‪xj = γ(tj‬‬
‫אז ‪ B(xj ε) ⊂ A‬ומתקיים )‪ [xj−1 , xj ] ⊂ B(xj−1 , ε‬ובפרט‬
‫‪,γ‬‬
‫‪∪N‬‬
‫‪j=1 [xj−1 , xj ] ⊂ A‬‬
‫כך שמצאנו עקום פוליגונלי המחבר את ‪ x‬עם ‪ y‬וכולו בתוך ‪A‬‬
‫מסקנה ‪ 9.17‬קבוצה ‪ A ⊂ Rn‬היא קשירה אם ורק אם כל ‪f‬‬
‫ורק אם כל ‪ f‬רציפה עליה מקיימת את תכונת דרבו‪.‬‬
‫‪9.5‬‬
‫כרצוי‪.‬‬
‫קבועה מקומית עליה היא קבועה ממש‪ ,‬אם‬
‫גבול בשני משתנים לעומת גבול חוזר‬
‫כמו שבפרקים קודמים עסקנו לא מעט בשאלות כמו החלפת גבול ואינטגרל‪ ,‬החלפת גבול ונגזרת‪ ,‬החלפת‬
‫גבול וסכום אינסופי‪ ,‬כאשר אנו עוסקים בשני משתנים אפשר לעשות גבול ביחס למשתנה אחד וגבול‬
‫ביחס למשתנה אחר‪ ,‬וניתן לשאול מתי הדבר זהה ללקחת גבול ביחס לשני המשתנים גם יחד‪ .‬יהיה קל‬
‫להבין את ההבדלים על ידי דוגמאות‪.‬‬
‫דוגמא ראשונה‪:‬‬
‫‪xy‬‬
‫‪x2 +y 2‬‬
‫)‪(x, y) 6= (0, 0‬‬
‫)‪(x, y) = (0, 0‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫= )‪f (x, y‬‬
‫‪0‬‬
‫נחשב את‬
‫‪xy‬‬
‫‪0x‬‬
‫=‬
‫‪lim‬‬
‫‪=0‬‬
‫‪x→0 y→0 x2 + y 2‬‬
‫‪x→0 x2 + 0‬‬
‫‪lim lim f (x, y) = lim lim‬‬
‫‪x→0 y→0‬‬
‫ובאופן דומה‬
‫‪lim lim f (x, y) = 0‬‬
‫‪y→0 x→0‬‬
‫ומצד שני לא קיים‬
‫)‪f (x, y‬‬
‫‪lim‬‬
‫)‪(x,y)→(0,0‬‬
‫משום שלמשל אם ניקח את )‪ (x, y) = (t, t‬אז לכל ‪ t‬יתקיים ‪f (t, t) = t2 /(2t2 ) = 1/2 6= 0‬‬
‫הפונקציה לא רציפה כפונקציה של שני משתנים‪.‬‬
‫‪xyz‬‬
‫זאת אומרת‬
‫דוגמא שנייה‪:‬‬
‫‪‬‬
‫) ‪x + y sin( 1‬‬
‫‪x 6= 0‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x=0‬‬
‫= )‪f (x, y‬‬
‫‪0‬‬
‫נשים לב שיש דווקא רציפות ב )‪ (0, 0‬שכן אם )‪(xk , yk ) → (0, 0‬‬
‫מתקיים‬
‫‪|f (xk , yk )| ≤ |xk | + |yk | → 0‬‬
‫מצד שני לכל ‪y 6= 0‬‬
‫לא קיים הגבול‬
‫‪1‬‬
‫) (‪lim f (x, y) = lim x + y sin‬‬
‫‪x→0‬‬
‫‪x→0‬‬
‫‪x‬‬
‫ובפרט לא קיים הגבול החוזר ‪ .limy→0 limx→0‬מצד שני כן קיים הגבול‬
‫‪lim lim f (x, y) = lim x = 0‬‬
‫‪x→0 y→0‬‬
‫‪x→0‬‬
‫דוגמא שלישית‪:‬‬
‫)‪(x, y) 6= (0, 0‬‬
‫‪x2 y‬‬
‫‪x4 +y 2‬‬
‫)‪(0, 0‬‬
‫כאן קל לבדוק שלכל ‪t‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫= )‪f (x, y‬‬
‫‪0‬‬
‫מתקיים‬
‫‪tx3‬‬
‫‪=0‬‬
‫‪x→0 x4 + t2 x2‬‬
‫‪lim f (x, tx) = lim‬‬
‫זאת אומרת בכל כיוון "ליניארי" בו נתקדם לעבר )‪(0, 0‬‬
‫‪x→0‬‬
‫הגבול יהיה קיים ושווה לאפס‪ .‬האם זה גורר‬
‫רציפות? לא ולא‪ .‬למשלת‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫= ) ‪f (x, x2‬‬
‫לכל ‪ x‬וגם כאשר ‪ ,x → 0‬לכן אין רציפות‪ ,‬שהרי בכל סביבה של )‪(0, 0‬‬
‫יש נקודה מצורה זו‪ .‬כאן אנו‬
‫למדים שגבול בשני משתנים הוא מורכב הרבה יותר מגבול במשתנה אחד‪ ,‬ובמילים אחרות אי אפשר‬
‫לעבוד תמיד "קואורדינטה קואורדינטה"‪ ,‬אפילו לא "כיוון כיוון"‪ ,‬לפעמים צריך עקומות יותר כלליות כדי‬
‫להבין מה קורה‪ .‬נזכיר שאם לכל סדרה ‪xk‬‬
‫השואפת לנקודה יש גבול ל ) ‪) ,f (xk‬השווה ל ) ‪ (f (x0‬אז יש‬
‫רציפות‪ ,‬כך שאם נלך על "כל המסילות" )דבר שעוד לא ממש הגדרנו( ונקבל שעל כל אחת מהן יש גבול‪,‬‬
‫יהיה גם גבול בנקודה‪.‬‬
‫סוף שיעור ‪20‬‬
‫‪129‬‬
‫‪9.6‬‬
‫העתקות ליניאריות ומטריצות‬
‫מושג הנגזרת אליו נגיע בקרוב ידרוש מאיתנו הבנה בסיסית של העתקות ליניאריות‪ .‬משום שהן בעצמן‬
‫גם פונקציות מ ‪ Rn‬ל ‪Rm‬‬
‫העתקה )פונקציה( ‪ A : Rn → Rm‬נקראית ליניארית אם היא מקיימת לכל ‪λ, µ ∈ R ,x, y ∈ Rn‬‬
‫כדאי שנדון בהן קצת‪.‬‬
‫)‪A(λx + µy) = λA(x) + µA(y‬‬
‫ואז מסמנים ‪= Ax‬‬
‫)‪ .A(x‬אוסף כל ההעתקות הליניאריות הללו מסומן ) ‪ ,L(Rn , Rm‬והוא בעצמו מרחב‬
‫לינארי עם חיבור )של פונקציות( וכפל בסקלר‪ .‬מרגע שקבענו בסיסים ‪ e1 , . . . , en‬של ‪ Rn‬ו ‪f1 , . . . fm‬‬
‫‪P‬‬
‫‪P‬‬
‫‪m‬‬
‫‪ Aej = m‬שכן אז לכל ‪x = nj=1 xj ej‬‬
‫‪ R‬יש לנו ייצוג מטריציוני של ‪ A‬כזו על ידי כך שנסמן ‪j=1 ai,j fi‬‬
‫של‬
‫נקבל‬
‫‪m X‬‬
‫‪n‬‬
‫‪X‬‬
‫= ‪xj aij fi‬‬
‫(‬
‫‪aij xj )fi‬‬
‫‪i=1 j=1‬‬
‫לכן בעצם יש התאמה חח"ע ועל בין ) ‪L(Rn , Rm‬‬
‫‪n X‬‬
‫‪m‬‬
‫‪X‬‬
‫= ‪xj Aej‬‬
‫‪j=1 i=1‬‬
‫‪n‬‬
‫‪X‬‬
‫= ‪Ax‬‬
‫‪j=1‬‬
‫לבין ‪ .Rnm‬נהוג לרשום התאמה זו באופן של מטריצה‪,‬‬
‫עם הגדרת כפל מטריצה בווקטור המתאימה‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪{{ ‬‬
‫‪‬‬
‫{{ {{‬
‫‪‬‬
‫‪a1n‬‬
‫···‬
‫‪amn‬‬
‫· · · ‪am1 am2‬‬
‫‪a12‬‬
‫‪a11‬‬
‫‪‬‬
‫‪M at(A) = ‬‬
‫‪‬‬
‫)לצורך זה יש להתייחס לוקטור כוקטור עמודה(‪ .‬כמובן‪ ,‬הרכבה של העתקות )נאמר ) ‪A ∈ L(Rn , Rm‬‬
‫עם ) ‪ (B ∈ L(Rm , Rk‬מתאימה לכפל מטריצות )כאן ‪ ,(BA‬כפי שלומדים בליניארית ‪.1‬‬
‫טענה ‪ 9.18‬תהי ) ‪∈ L(Rn , Rm‬‬
‫‪ ,A‬אזי היא רציפה‪.‬‬
‫}{|‬
‫הוכחה‪ :‬נסמן את עמודותיה בוקטורים ‪= 1, . . . , m ,vi ∈ Rn‬‬
‫כי ‪ .fi (x) = (Ax)i‬הרציפות של פונקציה כזו )שנקראת גם‬
‫‪ fi (x) = hx, vi i‬היא רציפה לפי טענה‬
‫‪ ,i‬אז מספיק להראות שההעתקה‬
‫"פונקציונל ליניארי"( נובעת ישירות משום ש‬
‫‪|fi (x) − fi (y)| = |hx − y, vi i| ≤ kx − yk · kvi k‬‬
‫לכן יש רציפות במ"ש‪ .‬השתמשנו בקושי שוורץ כמובן‪.‬‬
‫הערות ‪ 9.19‬על ) ‪ L(Rn , Rm‬יש כמה נורמות טבעיות )שכולן שקולות כי כולן נורמות על ‪Rnm‬‬
‫בתרגיל תראו כי‬
‫‪kAxk‬‬
‫‪kxk‬‬
‫‪N (A) = kAkop = sup‬‬
‫‪x6=0‬‬
‫היא נורמה )שנקראת הנורמה האופרטורית( ותשוו אותה לנורמה ה"רגילה" על ‪Rnm‬‬
‫‪130‬‬
‫שהיא‬
‫למעשה(‪.‬‬
‫‪v‬‬
‫‪uX‬‬
‫‪n‬‬
‫‪u m X‬‬
‫‪=t‬‬
‫‪a2ij‬‬
‫‪kA|| = kAkHS‬‬
‫‪i=1 j=1‬‬
‫נשתמש בנורמה זו מייד‪.‬‬
‫משפט ‪ 9.20‬לכל ) ‪ A ∈ L(Rn , Rn‬מוגדרת העתקה ליניארית ‪eA : Rn → Rn‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫‪1 k‬‬
‫‪A x‬‬
‫= )‪eA (x‬‬
‫!‪k‬‬
‫‪k=0‬‬
‫על ידי הגבול‬
‫והיא רציפה‪.‬‬
‫נזדקק לטענת העזר הבאה‬
‫טענה ‪ 9.21‬יהיו ) ‪ A, B ∈ L(Rn , Rn‬אזי ‪ .kABk ≤ kAk · kBk‬בפרט ‪ kAk k ≤ kAkk‬לכל ‪∈ N‬‬
‫הוכחה‪ :‬נסמן ב ‪ uj‬את וקטורי העמודות של ‪ B‬וב ‪ vi‬את וקטורי השורות של ‪ .A‬לכן ‪= hvi , uj i‬‬
‫‪Pn‬‬
‫‪Pn‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫= ‪ .kBk2‬נקבל‬
‫= ‪ kAk‬ובדומה ‪j=1 kuj k‬‬
‫כמובן ‪i=1 kvi k‬‬
‫‪kvi k2 kuj k2 = kAk2 kBk2‬‬
‫‪n X‬‬
‫‪n‬‬
‫‪X‬‬
‫‪j=1 i=1‬‬
‫כרצוי‪ .‬כעת באינדוקציה ‪≤ kAk−1 k · kAk ≤ kAkk‬‬
‫מסקנה ‪ 9.22‬תהי ) ‪A ∈ L(Rn , Rn‬‬
‫‪2‬‬
‫≤ |‪|hvi , uj i‬‬
‫‪.kAk k‬‬
‫‪n X‬‬
‫‪n‬‬
‫‪X‬‬
‫‪j=1 i=1‬‬
‫הוכחה‪:‬‬
‫∞ ‪"P‬‬
‫‪1 k‬‬
‫‪k=0 k! A i‬‬
‫‬
‫שמתכנס‪.‬‬
‫אי‬
‫‪.(AB)i,j‬‬
‫‪2‬‬
‫= ‪kABk‬‬
‫ונגדיר את המטריצה‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫‪1 k‬‬
‫‪A‬‬
‫!‪k‬‬
‫‪k=0‬‬
‫= ‪eA‬‬
‫אזי כל קואורדינטה )מבין ה ‪ (n2‬מתכנסת ומתקיים עבור המטריצה הגבולית ‪eA‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫‪1‬‬
‫‪A‬‬
‫≤ ‪ke k‬‬
‫‪kAkk ≤ ekAk‬‬
‫!‪k‬‬
‫‪k=0‬‬
‫]של המסקנה‪,‬‬
‫‪.k‬‬
‫ושל משפט€~‬
‫ש‬
‫[ אכן‪ ,‬על פי אי שוויון המשולש והטענה הקודמת‪ ,‬הטור‬
‫∞‪P‬‬
‫‪1‬‬
‫‪k‬‬
‫מתכנס בהחלט כי אפשר לעשות לו את מבחן ההשוואה עם הטור ‪k=0 k! kAk‬‬
‫‪PN 1 k‬‬
‫השוויון נובע על פי אי השויון הסופי ולקיחת גבול שהרי ‪ k k=0 k! A k ≤ ekAk‬לכל‬
‫‪A‬‬
‫‪ .N‬בפרט קיבלנו שהמטריצה ‪e‬‬
‫מוגדרת‪ .‬לכן ההעתקה המשוייכת אליה היא רציפה‪ ,‬כי היא ליניארית‬
‫וכל העתקה ליניארית היא רציפה‪.‬‬
‫הערות ‪] 9.23‬יעשה בתירגול כנראה[ חשבו לעצמכם את ‪eA‬‬
‫המצויה בצורת זורדן‪ .‬בידקו כיצד ההתאמה ‪ A 7→ eA‬מתנהגת עם הצמדה‪ .‬נסו להראות שההתאמה‬
‫‪2‬‬
‫‪ A 7→ eA‬היא העתקה רציפה בין ‪ Rn‬לעצמו‪ .‬המקרה ‪ n = 1‬זו כמובן ההעתקה ‪ .x → ex‬הדבר יהיה‬
‫לכם קל יותר כאשר תעריכו את ‪ keA − eB k‬כשהן מתחלפות‪ ,‬אך לא קשה מידי גם במקרה כללי‪.‬‬
‫עבור מטריצה אלכסונית‪ ,‬ועבור מטריצה‬
‫‚ƒ‚‬
‫‪9.7‬‬
‫עקום פיאנו ]העשרה‪ :‬לא בחומר[‬
‫נגדיר את‬
‫]‪γpeano : [0, 1] → [0, 1] × [0, 1‬‬
‫שיהיה עקומה רציפה הממלאת את הריבוע כולו‪ .‬לשם כך נגדיר איטראציות של עקומה נתונה באופן‬
‫הבא‪ .‬תהי‬
‫]‪γ(t) = (x(t), y(t)) : [0, 1] → [0, 1] × [0, 1‬‬
‫ונגדיר את‬
‫‪t1 = 4t‬‬
‫‪1‬‬
‫‪4‬‬
‫‪t2 = 4t − 1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪t3 = 4t − 2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪4‬‬
‫≤‪0≤t‬‬
‫≤‪≤t‬‬
‫≤‪≤t‬‬
‫‪≤ t ≤ 1 t4 = 4t − 3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪4‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪4‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫)) ‪(y(t1 ), x(t1‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫) ‪(x(t2 ), y(t2 )) + (0, 12‬‬
‫‪2‬‬
‫= )‪(Φγ) (t‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫) ‪(x(t3 ), y(t3 )) + ( 12 , 12‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫) ‪ 1 (−y(t ), −x(t )) + (1, 1‬‬
‫‪4‬‬
‫‪4‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫זו תהיה איטראציה אחת של העקומה המקורית‪ .‬נגדיר סדרת עקומות על ידי ‪γn = Ψγn−1‬‬
‫‪ .‬נצייר‬
‫לדוגמא מה קורה כשמתחילים עם עקומה‬
‫‪‬‬
‫‪t‬‬
‫‪0 ≤ t ≤ 1/2‬‬
‫‪1/2 ≤ t ≤ 1‬‬
‫‪1 − t‬‬
‫= )‪γ0 (t‬‬
‫איור ‪ :32‬דוגמא לעקום פאנו‬
‫יפה‪ ,‬לא? תעשו גוגל "עקום פיאנו" )‪curve‬‬
‫‪ (Peano‬ותקבלו תמונות יותר יפות ממה שאני ייצרתי כאן‪.‬‬
‫ואם נתחיל מעקומה אחרת‪ ,‬נקבל למשל את הציור‬
‫‪132‬‬
‫איור ‪ :33‬ועוד אחת‬
‫אנו רואים שככל שמתקדמים באיטראציות‪ ,‬העקומות "מכסות" יותר ויותר מהריבוע‪ .‬בכל שלב‪ ,‬עדיין‪,‬‬
‫מדובר באיחוד סופי של עקומות שאנחנו מבינים )במקרה הראשון ־ ממש של אינטרואלים( ולכן בשום‬
‫שלב סופי לא נוכל לומר שכיסינו את כל הריבוע‪ .‬לשם כך עלינו לקחת גבול של ההעתקות הללו‪ .‬כדי‬
‫לעשות זאת נגדיר נורמה על עקומות‬
‫|)‪kγk∞ := max |γ(t‬‬
‫]‪t∈[0,1‬‬
‫וכך נוכל גם למדוד מרחק בין שתי עקומות‬
‫|)‪kγ − µk∞ = max |γ(t) − µ(t‬‬
‫]‪t∈[0,1‬‬
‫נשים לב שמתקיים עבור ההעתקה שלנו ‪Φ‬‬
‫)שמתאימה לעקומה עקומה חדשה( כי‬
‫‪1‬‬
‫∞‪kΦγ − Φµk∞ = kγ − µk‬‬
‫‪2‬‬
‫לכן מתקיים שלכל ‪m > k‬‬
‫המרחק‬
‫‪1‬‬
‫√‪1‬‬
‫‪kγ‬‬
‫‪−‬‬
‫‪γ‬‬
‫‪k‬‬
‫≤‬
‫‪2‬‬
‫‪m−k‬‬
‫‪0‬‬
‫∞‬
‫‪2k‬‬
‫‪2k‬‬
‫≤ ∞‪kγm − γk k‬‬
‫כך שמדובר בסדרת קושי במ"ש של עקומות‪ .‬לכן ברור שנקודתית היא מתכנסת‪ ,‬ומכך שהקושי הוא במ"ש‬
‫גם הפונקציות הגבוליות )מדובר בעקומה גבולית‪ ,‬זאת אומרת זוג פונקציות ))‪(x∞ (t), y∞ (t‬‬
‫על ]‪ ([0, 1‬הן רציפות‪ .‬התמונה של ∞‪ γ‬היא קבוצה קומפקטית‪ ,‬והיא גם קרובה כרצוננו לכל נקודה‬
‫בריבוע שכן העקומה ה ‪j‬ית מבקרת בכל תת־ריבוע מבין ה ‪ 4j‬תת־ריבועים‪ ,‬ולכן גם ∞‪ γ‬מבקרת בכל‬
‫תת ריבוע כנ"ל‪ ,‬וזה לכל ‪ .j‬לכן התמונה של ∞‪ γ‬היא קבוצה צפופה בריבוע‪ ,‬וגם סגורה‪ ,‬אז היא מוכרחה‬
‫המוגדרות‬
‫להיות הריבוע כולו‪ .‬מדהים לא?‬
‫ניתן להראות )ולא נעשה זאת( כי הפונקציות הגבוליות הללו לא תלויות בעקומה ההתחלתית‪ ,‬והן‬
‫אינן גזירות באף נקודה‪ .‬נעיר גם ש ∞‪γ‬‬
‫איננה חח"ע‪ ,‬וגם לא יכולה להיות )כי אז‪ ,‬ממשפטים מחדו"א‬
‫‪ ,3‬ההפוכה גם היתה רציפה אבל אין פונקציה רציפה שהפוכתה רציפה בין קו לקוביה שכן יש מכשולים‬
‫טופולוגיים של קשירות(‪.‬‬
‫……„‬
‫חשבון דיפרנציאלי בכמה משתנים‬
‫‪10‬‬
‫‪10.1‬‬
‫נגזרת של עקומה‬
‫כשנתונה ‪γ : [0, 1] → Rm‬‬
‫) ‪ γ = (γ1 , · · · , γm‬כך שניתן‪ ,‬אילו כולן גזירות‪ ,‬לגזור כל אחת בנפרד ולקבל את הוקטור = ‪γ 0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪ ,(γ10 , γ20 , . . . , γm‬שניתן לכתוב גם כ‬
‫)‬
‫עקומה‪ ,‬ורוצים לגזור אותה‪ ,‬בסה"כ מדובר ב ‪m‬־יה של פונקציות ממשיות‬
‫)‪γ(t + h) − γ(t‬‬
‫‪h→0‬‬
‫‪h‬‬
‫‪γ 0 (t) = lim‬‬
‫נעיר שעל פי רוב עדיף לעבוד דווקא עם וקטורי עמודות‪ ,‬הן בתור ‪γ‬‬
‫והן בתור ‪ .γ 0‬לוקטור הנגזרת‬
‫יש משמעות גיאומטרית ברורה‪ :‬אם נצייר את העקומה במרחב הדו או התלת מימדי‪ ,‬זה יהיה וקטור‬
‫בכיוון המשיק לה בנקודה‪ .‬אורכו מודד את "מהירות" ההתקדמות לאורך העקומה כתלות ב"זמן" שהוא‬
‫הפרמטר ‪ .t‬בציור‪:‬‬
‫איור ‪ :34‬משיק למסילה‬
‫מדוע וקטור זה "משיק" לעקומה?‬
‫הסיבה דומה לסיבה שהנגזרת במימד אחד היא השיפוע של‬
‫‪0‬‬
‫המשיק‪ .‬מכל הקווים הישרים העוברים דרך הנקודה )‪ ,γ(t‬הקו הישר בכיוון )‪γ (t‬‬
‫מקרב את הפונקציה‬
‫"טוב ביותר"‪ ,‬במובן ש‬
‫‪h→0‬‬
‫)‪γ(t + h) − [γ(t) + hγ 0 (t)] = o(h‬‬
‫וזה ממש על פי הגדרת הגבול‪ .‬כמובן כאן הנחתי שהגבול קיים דהיינו שהעקומה היא עקומה גזירה‪.‬‬
‫‪10.2‬‬
‫נגזרות חלקיות ודוגמאות‬
‫בהינתן פונקציה ‪ f : U ⊂ Rn → R‬ונקודה ‪ x0 ∈ U‬אפשר לצמצם אותה לישר או קטע ב ‪A‬‬
‫‪ ,x0‬נאמר }‪ .{x0 + tv : −1 ≤ t ≤ 1‬נקבל ‪ g : [−1, 1] → R‬שהיא ידידה שלנו מחדו"א ‪ 1‬ואפשר לדבר‬
‫על הנגזרת שלה‪ .‬זו נקראת הנגזרת הכיוונית של ‪ .f‬כאשר הוקטור ‪ v‬הוא וקטור בסיס ‪ ,ei‬זו נקראת‬
‫הנגזרת החלקית ה ‪i‬ית‪ .‬נגדיר זאת באופן מדויק‬
‫המכיל את‬
‫ˆ‡†‬
‫הגדרה ‪ 10.1‬תהי ‪ U ⊂ Rn‬פתוחה ו ‪ ,x ∈ U‬ותהי ‪ .f : U → Rm‬עבור ‪1 ≤ i ≤ n‬‬
‫החלקית ה ‪i‬ית של ‪ f‬להיות‬
‫נגדיר את הנגזרת‬
‫‪∂f‬‬
‫)‪f (x + hei ) − f (x‬‬
‫‪(x) = lim‬‬
‫‪h→0‬‬
‫‪∂xi‬‬
‫‪h‬‬
‫זאת אומרת‪ ,‬אם ) ‪= (x1 , . . . , xn‬‬
‫‪,x‬‬
‫‪∂f‬‬
‫) ‪f (x1 , . . . , xi−1 , xi + h, xi+1 , . . . , xn ) − f (x1, . . . , xn‬‬
‫‪(x) = lim‬‬
‫‪h→0‬‬
‫‪∂xi‬‬
‫‪h‬‬
‫נגדיר באופן כללי יותר עבור וקטור ‪ v‬מאורך יחידה ‪kvk = 1‬‬
‫את‬
‫‪∂f‬‬
‫)‪f (x + hv) − f (x‬‬
‫‪(x) = lim‬‬
‫‪h→0‬‬
‫‪∂v‬‬
‫‪h‬‬
‫כך שלמעשה‬
‫‪∂f‬‬
‫)‪(x‬‬
‫‪∂ei‬‬
‫= )‪(x‬‬
‫‪∂f‬‬
‫‪i‬‬
‫‪. ∂x‬‬
‫הערה ‪ 10.2‬ההנחה ש ‪ kvk = 1‬לא רלוונטית‪ ,‬קל לבדוק כי עבור ‪= αv‬‬
‫‪ ,u‬אם נרחיב את ההגדרה נקבל‬
‫)‪f (x + hu) − f (x‬‬
‫)‪f (x + hαv) − f (x‬‬
‫‪= lim‬‬
‫‪α‬‬
‫‪h→0‬‬
‫‪h→0‬‬
‫‪h‬‬
‫‪hα‬‬
‫‪∂f‬‬
‫)‪f (x + h0 v) − f (x‬‬
‫)‪= α (x‬‬
‫‪= α lim‬‬
‫‪0‬‬
‫‪h→0‬‬
‫‪h‬‬
‫‪∂v‬‬
‫‪lim‬‬
‫=‬
‫‪∂f‬‬
‫)‪(x‬‬
‫‪∂u‬‬
‫פשוט וקטור "כיוון" מוגדר במתמטיקה להיות וקטור מאורך אחד‪.‬‬
‫קל יחסית לחשב גדלים אלה שכן זה מחזיר אותנו למצב של משתנה אחד‪ .‬אכן‪ ,‬אם נגדיר את‬
‫)‪g(t) = f (x0 + tv‬‬
‫אזי‬
‫‪∂f‬‬
‫) ‪(x0‬‬
‫‪∂v‬‬
‫=‬
‫)‪.g 0 (0‬‬
‫דוגמא‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪f : B(0, 1) → R‬‬
‫‪− y2 − z2‬‬
‫‪p‬‬
‫‪ ∂f‬נסמן את ) ‪1 − (x2 + y 2‬‬
‫אז כדי לחשב את )‪(x, y, z‬‬
‫= ‪ R‬ונשים לב שכפונקציה של ‪ z‬מתקיים‬
‫‪∂z‬‬
‫‪x2‬‬
‫ולכן‬
‫‪1−‬‬
‫‪f (x, y, z) = p‬‬
‫"‬
‫‪−1/2‬‬
‫‪g(z) = f (x, y, z) = R2 − z 2‬‬
‫‪−3/2‬‬
‫"‪1‬‬
‫‪z‬‬
‫‪∂f‬‬
‫‪(x, y, z) = g 0 (z) = − R2 − z 2‬‬
‫= )‪(−2z‬‬
‫‪∂z‬‬
‫‪2‬‬
‫‪(1 − x2 − y 2 )3/2‬‬
‫‹Š‰‬
‫דוגמא נוספת קצת יותר מעניינת‪ :‬נביט ב ‪det : R2 → R‬‬
‫שלוקחת מטריצה ומחזירה את הדטרמיננטה‬
‫שלה‪ .‬כאן הבסיס הסטנדרטי ניתן לייצוג כמטריצות בסיסיות עם ‪1‬‬
‫‪ .Ei,j‬מהי הנגזרת החלקית של ‪ det‬בכיוון ‪ ?E1,1‬נחשב אותה‪:‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪x11 + h x12 · · · x1n‬‬
‫‪x11 x12 · · · x1n‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ x21 x22 · · · x2n ‬‬
‫‪x21‬‬
‫‪x22 · · · x2n ‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ − det ‬‬
‫‪‬‬
‫‪= lim ‬‬
‫‪det ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪h→0 h ‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪xn1‬‬
‫···‬
‫‪xnn‬‬
‫· · · ‪xn1‬‬
‫‪xnn‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪x22 x21 · · · x2n‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ x32‬‬
‫‪x3n ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪= det ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫· · · ‪xn2‬‬
‫‪xnn‬‬
‫ŒŒ‬
‫ŒŒ‬
‫במקום ה ‪ ,i, j‬נסמן מטריצה כזו ב‬
‫ŒŒ‬
‫ŒŒ‬
‫ŒŒ‬
‫‪∂det‬‬
‫‪∂E1,1‬‬
‫ŒŒ‬
‫נשים לב שאך ורק גזירות לפי כווני הבסיס כלל לא גוררת גזירות ואפילו לא רציפות‪ ,‬כפי שמוכיחה‬
‫הדוגמא שכבר ראינו‬
‫)‪(x, y) 6= (0, 0‬‬
‫‪x2 y‬‬
‫‪x4 +y 2‬‬
‫)‪(0, 0‬‬
‫בה אין רציפות ב )‪(0, 0‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫= )‪f (x, y‬‬
‫‪0‬‬
‫אף שיש נגזרות חלקיות )הפונקציות על הצירים מתאפסות זהותית(‪ .‬מה שחמור‬
‫אף יותר‪ :‬יש לה נגזרות כיווניות בכל כיוון! אכן‪ ,‬נסמן ) ‪ v = (v1 , v2‬אזי בכל מקרה‪ ,‬אילו ‪6= 0‬‬
‫‪,v2‬‬
‫‪1 (hv1 )2 hv2‬‬
‫‪∂f‬‬
‫‪v12‬‬
‫‪(0, 0) = lim‬‬
‫=‬
‫‪h→0 h (hv1 )4 + (hv2 )2‬‬
‫‪∂v‬‬
‫‪v2‬‬
‫רואים גם שזו לא פונקציה ליניארית בוקטור ) ‪ ,(v1 , v2‬שזה סימן לחוסר דיפרנציאביליות )שתיכף נגדיר(‪.‬‬
‫זאת אומרת שהנגזרות הכיווניות בנקודה לא נותנות את כל האינפורציה הנחוצה‪.‬‬
‫המצב מעט יותר טוב אם נדע משהו על הנגזרות החלקיות בסביבה של הנקודה‪ ,‬ואז לעיתים נוכל‬
‫בהמשך )משפטŒŽ‬
‫להסיק מכך דברים על הפונקציה כולה‪ .‬דוגמא פשוטה היא הלמה הבאה‪ ,‬ודוגמא חשובה יותר היא משפט‬
‫( שאומר שאם הנגזרות החלקיות קיימות ורציפות‪ ,‬אז הפונקציה דיפרנציאבילית‬
‫)נגדיר בקרוב מאוד(‪.‬‬
‫למה ‪ 10.3‬תהי ‪ U ⊂ Rn‬פתוחה ותהי ‪ .f : U → R‬נניח ש ‪f‬‬
‫)בכל התחום( ונניח כי הנגזרות החלקיות חסומות‪ .‬אזי ‪ f‬רציפה‪.‬‬
‫גזירה חלקית לפי כל משתנה ‪,x1, . . . , xn‬‬
‫הוכחה‪ :‬נכתוב את ההוכחה עבור ‪n = 2‬‬
‫כי ההכללה תהיה ברורה‪ .‬נשתמש במשפט הערך ביניים של‬
‫לגראנז‪.‬‬
‫|) ‪|f (x, y) − f (x0 , y0 )| ≤ |f (x, y) − f (x, y0 )| + |f (x, y0 ) − f (x0 , y0‬‬
‫‪∂f‬‬
‫‪∂f‬‬
‫|) ‪= | (x, y 0 )(y − y0 )| + | (x0 , y0 )(x − x0‬‬
‫‪∂y‬‬
‫‪∂x‬‬
‫‪≤ M [|y − y0 | + |x − x0 |] →(x,y)→(x0 ,y0 ) 0‬‬
‫‪136‬‬
‫ברגע שיש לנו נגזרות חלקיות או כיווניות אפשר להמשיך ולגזור פעם שנייה‬
‫∂ ∂‬
‫‪f‬‬
‫‪∂xi ∂xj‬‬
‫ושלישית‪,‬‬
‫∂ ∂‬
‫‪f‬‬
‫‪∂xi ∂xj‬‬
‫‪k‬‬
‫∂‬
‫‪. ∂x‬‬
‫אחד המשפטים העיקרים בפרק זה יהיה על החלפת סדר הגזירה‪ .‬אבך כמו שהדוגמא מעלה מראה לנו‪,‬‬
‫מושג הנגזרת הכיוונית הוא קצת חלש מידי ונרצה מושג שגם גורר נגזרות אלה‪ ,‬אבל גם נגזרות לאורך‬
‫מסילות כלליות העוברות ב ‪ ,x0‬לאו דווקא "ישרות"‪ .‬מושג זה‪ ,‬בו עוסק הפרק הבא‪ ,‬הוא טבעי וגיאומטרי‬
‫וגורר את כל אלה גם יחד‪.‬‬
‫‪10.3‬‬
‫דיפרנציאביליות כללית‬
‫ניזכר בחדו"א ‪ f : R → R , 1‬גזירה ב ‪ x0‬אם ורק אם קים ישר ‪l(x) = ax + b‬‬
‫)) ‪ (x0 , f (x0‬כך ש‬
‫‪x → x0‬‬
‫העובר בנקודה‬
‫)| ‪f (x) = l(x) + o(|x − x0‬‬
‫אכן‪ ,‬כדי לעבור בנקודה בוחרים את ) ‪ ,l(x) = a(x − x0 ) + f (x0‬ואז את השיפוע ‪a‬‬
‫שהשוויון מעלה יתקיים‪ .‬לפעמים אין ‪ a‬כזה‪ ,‬ואז אומרים שהפונקציה לא גזירה בנקודה‪.‬‬
‫בוחרים בדיוק כך‬
‫מנקודת מבט כזו‪ ,‬ברור מה צריכה להיות ההכללה למימדים גדולים יותר‪ .‬את מקומו של הישר‬
‫‪ l : R → R‬תתפוס העתקה ליניארית ‪ .A : Rn → Rm‬עדיין נדרוש שהיא תקרב את ‪f‬‬
‫המקרה היחסית פשוט של ‪ m = 1‬הוא מקרה בו ההעתקה הליניארית ‪ A‬היא ‪ A : Rn → R‬ולכן בעצם‬
‫"כמה שניתן"‪.‬‬
‫מיוצגת על ידי וקטור יחיד‪ .‬כרגע אין צורך להתייחס למקרה זה באופן מיוחד‪ ,‬אך הוא המקרה העיקרי‬
‫שלנו‪ .‬באופן יותר מדויק‪:‬‬
‫הגדרה ‪ 10.4‬תהי ‪ U ⊂ Rn‬פתוחה‪ .f : U → Rm ,‬תהי ‪ . x0 ∈ U‬נאמר ש ‪f‬‬
‫‪ x0‬אם קיימת העתקה ליניארית ) ‪ A ∈ L(Rn , Rm‬כך שמתקיים‬
‫גזירה )דיפרנציאבילית( ב‬
‫)‪f (x) = f (x0 ) + A(x − x0 ) + o(kx − x0 k‬‬
‫כאשר כאן המושג ‪ o‬הוא סימון לפונקציה )עם ערכים ב ‪ (Rm‬השואפת לאפס אחרי חילוק ב ‪kx − x0 k‬‬
‫כאשר ‪ . x → x0‬דהיינו מתקיים‬
‫‪kf (x) − f (x0 ) − A(x − x0 )k‬‬
‫‪=0‬‬
‫‪kx − x0 k‬‬
‫‪lim‬‬
‫‪x→x0‬‬
‫כאשר קיימת כזו ‪ A‬נסמן אותה ) ‪ Df (x0‬או ) ‪ [Df ](x0‬ובמקרה של ‪m = 1‬‬
‫נסמן גם ) ‪.(∇f )(x0‬‬
‫טענה ‪ 10.5‬תהי ‪ U ⊂ Rn‬פתוחה‪ f : U → Rm ,‬ותהי ‪ . x0 ∈ U‬נניח ש ‪f‬‬
‫‪∂f‬‬
‫לכל ‪ v‬קיים ) ‪ ∂v (x0‬ומתקיים‬
‫דיפרנציאבילית ב ‪ .x0‬אזי‬
‫‪∂f‬‬
‫‪(x0 ) = Df (x0 )v‬‬
‫‪∂v‬‬
‫בפרט אנו רואים שהנגזרת הכיוונית היא פונקציה ליניארית של הכיוון! )ולכן ברור גם שלא היה צורך‬
‫להצטמצם לכיוונים מאורך אחד דווקא(‪.‬‬
‫’‘‬
‫הוכחה‪ :‬אכן‪,‬‬
‫‪∂f‬‬
‫) ‪f (x0 + hv) − f (x0‬‬
‫)‪Df (x0 )(hv) + o(khvk‬‬
‫‪(x0 ) = lim‬‬
‫‪= lim‬‬
‫‪= Df (x0 ) · v‬‬
‫‪h→0‬‬
‫‪h→0‬‬
‫‪∂v‬‬
‫‪h‬‬
‫‪h‬‬
‫נשים לב שזה מאפשר לנו גם לחשב את ‪ ,Df‬אם אנחנו יודעים ש ‪f‬‬
‫‪ i‬ית של המטריצה המייצגת את ) ‪ Df (x0‬זה פשוט הנגזרת הכיוונית‬
‫דיפרציאבילית‪ .‬אכן‪ ,‬העמודה ה‬
‫‪∂f‬‬
‫) ‪. ∂x (x0‬‬
‫‪i‬‬
‫נשים לב גם שאם ‪f‬‬
‫דיפרנציאבילית‪ ,‬הדיפרנציאל מוגדר ביחידות‪.‬‬
‫הערה ‪ 10.6‬אם ‪ f : U ⊂ Rn → Rm‬היא ‪ , f = (f1 , . . . , fm )T‬היא דיפרנציאבילית אם ורק אם כל ‪fi‬‬
‫דיפרנציאבילית ומתקיים‬
‫הדבר נובע ישירות מההגדרה‪:‬‬
‫‪‬‬
‫···‬
‫‪‬‬
‫‪· · ·‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫···‬
‫‪∇f1‬‬
‫‪∇f2‬‬
‫““‬
‫‪∇fm‬‬
‫‪‬‬
‫···‬
‫‪‬‬
‫· · ·‪‬‬
‫‪Df = ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫···‬
‫‪f (x) = (f1 , . . . , fm )T (x) = (· · · , fi (x0 ) + ∇fi (x0 )(x − x0 ) + o(kx − x0 k), · · · )T‬‬
‫)‪= f (x0 ) + Df (x0 )(x − x0 ) + o(kx − x0 k‬‬
‫עובדות פשוטות על ‪Df‬‬
‫שכדאי לשים אליהן לב מיד‪:‬‬
‫”‬
‫” אם ‪ f (x) = Ax‬ליניארית‪ ,‬אז ‪ D (x) = A‬לכל ‪.x‬‬
‫→‬
‫‪−‬‬
‫” אם ‪ U‬קבוצה פתוחה וקשירה פוליגונלית וכן ‪ D (x) = 0‬לכל ‪ ,x ∈ U‬אז ‪ f ≡ c‬על ‪ ,U‬כי‬
‫אם ‪−c ∈ Rm‬‬
‫→ ≡ ‪ f‬על ‪ U‬אז ‪ Df (x) = 0‬לכל ‪∈ U‬‬
‫‪.x‬‬
‫‪f‬‬
‫‪f‬‬
‫נראה בקלות שבין כל שתי נקודות המחוברות בקו ישר בתחום‪ ,‬ההפרש ב ‪f‬‬
‫הביניים של לגרנז יחד עם העובדה שכל הנגזרות הכיווניות הן ‪.0‬‬
‫”‬
‫)‪Df +g (x) = Df (x) + Dg (x‬‬
‫הוא ‪ ,0‬ממשפט ערך‬
‫נובע מההגדרות‬
‫)‪(f + g)(x) = f (x0 ) + Df (x − x0 ) + o(kx − x0 k) + g(x0 ) + Dg (x − x0 ) + o(kx − x0 k‬‬
‫”‬
‫) ‪ D = A ∈ L(Rn , Rm‬על ‪ U‬פתוחה וקשירה פוליגונלית‪ ,‬אזי על ‪ U‬מתקיים ‪−c‬‬
‫→ ‪f (x) = Ax +‬‬
‫‪f‬‬
‫על ידי כך שנביט ב ‪.f − Ax‬‬
‫—–•‬
‫טענה ‪ 10.7‬תהי ‪ U ⊂ Rn‬פתוחה‪ f : U → Rm ,‬דיפרנציאבילית ב ‪ .x0 ∈ U‬אזי ‪f‬‬
‫רציפה ב ‪.x0‬‬
‫הוכחה‪ :‬מיידי‬
‫‪f (x) − f (x0 ) = A(x − x0 ) + o(kx − x0 k) →x→x0 0‬‬
‫‪10.4‬‬
‫גזירה ברציפות אם"ם החלקיות קיימות ורציפות‬
‫הגדרה ‪ 10.8‬נסמן עבור תחום ‪ U‬את ) ‪ C 1 (U, Rm‬להיות כל הפונקציות ‪f : U → Rm‬‬
‫)בכל ‪ (x ∈ U‬כך שההעתקה )‪ x 7→ Df (x‬רציפה )זוהי העתקה מ ‪ U‬ל ) ‪ .(L(Rn , Rm‬בדומה נסמן את‬
‫) ‪.C 1 (U ) = C 1 (U, R1‬‬
‫הדיפרנציאביליות‬
‫רציפות של )‪x 7→ Df (x‬‬
‫משמעה‬
‫‪lim kDf (x) − Df (x0 )k = 0‬‬
‫‪x→x0‬‬
‫כשמדובר כאן בנורמות על מטריצות‪ .‬זה שקול למשל לכך שלכל ‪i, j‬‬
‫יתקיים‬
‫‪lim [Df (x)]i,j = [Df (x0 )]i,j‬‬
‫‪x→x0‬‬
‫וזה שקול גם‪ ,‬כמובן‪ ,‬שעבור כל עמודה יתקיים‬
‫‪∂f‬‬
‫‪∂f‬‬
‫‪(x) −‬‬
‫‪(x0 )k → 0‬‬
‫‪∂xi‬‬
‫‪∂xi‬‬
‫בפרט קיבלנו שאם ‪f‬‬
‫‪lim k‬‬
‫‪x→x0‬‬
‫דיפרנציאבילית ברציפות‪ ,‬גם הנגזרות החלקיות שלה קיימות רציפות‪ .‬ראינו כבר‬
‫שקיום של נגזרות חלקיות לא גורר דיפרנציאביליות‪ .‬מסתבר‪ ,‬שאם בנוסף הן גם רציפות‪ ,‬המצב טוב‬
‫יותר ויש דיפרנציאביליות ואפילו ברציפות‪.‬‬
‫משפט ‪ 10.9‬תהי ‪ f : U → R‬כאשר ‪ U‬פתוחה‪ .‬מתקיים ) ‪ f ∈ C 1 (U‬אם ורק אם ) ‪∈ C(U‬‬
‫‪.i = 1, . . . , n‬‬
‫הוכחה‪ :‬כיוון אחד ⇐ ראינו כרגע‪ .‬הכיוון השני‪ :‬נשים לב שברגע שנדע כי ‪f‬‬
‫‪∂f‬‬
‫‪∂xi‬‬
‫לכל‬
‫היא דיפרנציאבילית‪,‬‬
‫החלקיות‪ ,‬ולכן הדיפרנציאל יהיה רציף‪ .‬כדי‬
‫בדיוק הנגזרות‬
‫‬
‫יתקיים שעמודות הדיפרנציאל שלה אלה ‬
‫‪∂f‬‬
‫‪∂f‬‬
‫‪A = ∂x‬‬
‫להראות דיפרנציאביליות‪ ,‬נראה שהמטריצה‬
‫‪· · · ∂x‬‬
‫‪n‬‬
‫‪1‬‬
‫את הדרוש מהדיפרנציאל‪ .‬שוב לשם פשטות נעשה זאת ל ‪ n = 2‬וההכללה תהיה ברורה‪ .‬ממשפט ערך‬
‫הביניים של לגראנז קיימים ]‪ θ1 , θ2 ∈ [0, 1‬כך ש‬
‫)היא בעצם וקטור כמובן( מקיימת‬
‫š™˜‬
‫) ‪f (x0 + h1 , y0 + h2 ) − f (x0 , y0 ) = f (x0 + h1 , y0 + h2 ) − f (x0 , y0 + h2 ) + f (x0 , y0 + h2 ) − f (x0 , y0‬‬
‫‪∂f‬‬
‫‪∂f‬‬
‫‪(x0 + θ1 h1 , y0 + h2 )h1 +‬‬
‫‪(x0 , y0 + θ2 h2 )h2‬‬
‫=‬
‫‪∂x‬‬
‫‪∂y‬‬
‫‪∂f‬‬
‫‪∂f‬‬
‫‪= [ (x0 , y0 ) + oh1 (1)]h1 + [ (x0 , y0 ) + oh2 (1)]h2‬‬
‫‪∂x‬‬
‫‪∂y‬‬
‫!‬
‫‪h1‬‬
‫‪+ oh1 (1)h1 + oh2 (1)h2‬‬
‫‪= A‬‬
‫‪h2‬‬
‫)‪f (x‬‬
‫‪x‬‬
‫כאשר השתמשנו בסימון )‪ f (x) = ox (1‬לסמן פונקציה שמקיימת ש ‪= 0‬‬
‫!‬
‫‪h1‬‬
‫‪kf (x0 + h1 , y0 + h2 ) − f (x0 , y0 ) − A‬‬
‫‪k‬‬
‫‪h2‬‬
‫‪koh1 (1)h1 + oh2 (1)h2 k‬‬
‫‪p‬‬
‫‪p‬‬
‫‪lim‬‬
‫=‬
‫‪lim‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫)‪(h1 ,h2 )→(0,0‬‬
‫)‪(h1 ,h2 )→(0,0‬‬
‫‪h1 + h2‬‬
‫‪h21 + h22‬‬
‫‪ .limx→0‬כעת נחשב‬
‫| ‪|h1‬‬
‫‪koh1 (1)k p 2‬‬
‫‪+ koh2 (1)kp‬‬
‫)‪(h1 ,h2 )→(0,0‬‬
‫‪h1 + h22‬‬
‫‪h‬‬
‫≤‬
‫‪lim‬‬
‫‪(koh1 (1)k + koh2 (1)k) = 0‬‬
‫≤‬
‫‪lim‬‬
‫)‪(h1 ,h2 )→(0,0‬‬
‫כרצוי‪ .‬כאמור‪ ,‬מרגע שיודעים דיפרנציאביליות‪ ,‬הרציפות מיידית‪.‬‬
‫איור ‪ :35‬ציור נלווה להוכחת משפטžœ›‬
‫אותה הוכחה תקפה עבור ‪ n‬כללי‪ ,‬וגם עבור ‪m‬‬
‫כללי‪ ,‬ולכן המשפט הבא מתקיים‬
‫משפט ‪ 10.10‬תהי ‪ f : U → Rm‬כאשר ‪ U‬פתוחה‪ .‬מתקיים ) ‪ f ∈ C 1 (U, Rm‬אם ורק אם ∈‬
‫) ‪ C(U, Rm‬לכל ‪.i = 1, . . . , n‬‬
‫‪140‬‬
‫‪∂f‬‬
‫‪∂xi‬‬
‫‪10.5‬‬
‫כלל השרשרת ושימושיו‬
‫‪10.5.1‬‬
‫המשפט‬
‫אחד הכללים השימושיים ביותר‪ ,‬גם עבור פונקציות במשתנה אחד שלומדים בחדו"א ‪ ,1‬וגם בפונקציות‬
‫וקטוריות של משתנה וקטורי‪ ,‬הוא כלל השרשרת‪.‬‬
‫משפט ‪ 10.11‬יהיו ‪ U ⊂ Rn‬ו ‪ V ⊂ Rm‬פתוחות‪ ,‬ונניח כי ‪ f : U → V‬ו ‪ .g : V → Rk‬נניח כי ‪f‬‬
‫דיפרנציאבילית ב ‪ x0‬ו ‪ g‬דיפרנציאבילית ב ) ‪ .y0 = f (x0‬אזי ‪ h : U → Rk‬ההרכבה‪, h = g ◦ f ,‬‬
‫דיפרנציאבילית ב ‪ x0‬ומתקיים‬
‫) ‪Dh (x0 ) = Dg (f (x0 ))Df (x0‬‬
‫כאשר כאן מדובר בהרכבת העתקות ליניאריות או באופן שקול בכפל מטריצות‪.‬‬
‫הערה ‪ 10.12‬מקרה פרטי חשוב כאשר ‪k = 1‬‬
‫)שהיא אולי השימושית ביותר( ואז מקבלים‬
‫) ‪∇h(x0 ) = ∇g(f (x0 ))Df (x0‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪− ∇f1 −‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫ואם נסמן ‪ f = (f1 , . . . , fm )T‬מתקיים ‪‬‬
‫‪ Df = ‬זאת אומרת שקיבלנו‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪− ∇fm −‬‬
‫ŸŸ‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪−‬‬
‫ŸŸ‬
‫‪− ∇f1‬‬
‫‪− ∇fm −‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪∇h(x0 ) = ∇g(f (x0 )) ‬‬
‫‪‬‬
‫כדאי לשים לב מה המסקנה לגבי נגזרות חלקיות‪ .‬הנגזרת החלקית ה‪i‬־ית של ‪h‬‬
‫זה פשוט האיבר ה ‪i‬־י‬
‫בוקטור הנ"ל‪ ,‬ונקבל‬
‫‪m‬‬
‫‪X ∂g‬‬
‫‪∂h‬‬
‫‪∂fj‬‬
‫= ) ‪(x0‬‬
‫· )) ‪(f (x0‬‬
‫) ‪(x0‬‬
‫‪∂xi‬‬
‫‪∂x‬‬
‫‪∂x‬‬
‫‪j‬‬
‫‪i‬‬
‫‪j=1‬‬
‫וזו נוסחא שימושית לגזור את ))‪ h(x) = g(f1 (x), · · · , fm (x‬כאשר ‪∈ Rn‬‬
‫אינטרפרטציה "גיאומטרית"‪ :‬אם נרצה להבין כמה ‪ h‬משתנה כשמשנים את ‪ x‬ליד ‪ x0‬בכיוון ‪ ,ei‬נראה‬
‫כמה כל ‪ fj‬משתנה‪ ,‬וכיצד שינוי זה )שהוא שינוי בקואורדינטה ה ‪j‬ית של ‪ (g‬משפיע על ‪ .g‬תוכלו לבדוק‬
‫בקלות שנסחא זו עודנה תקפה גם כשאר ‪ ,k 6= 1‬ואז שני האגפים הם וקטורים מאורך ‪.k‬‬
‫‪ .x‬שימו לב שקל לתת לה‬
‫דוגמאות‬
‫‪ ‬‬
‫‪ f : Rn → R‬ו ‪ g : R → R‬אזי עבור ‪h = g ◦ f : Rn → R‬‬
‫נקבל‬
‫) ‪∇h(x0 ) = Dh (x0 ) = Dg (f (x0 ))Df (x0 ) = g 0 (f (x0 ))∇f (x0‬‬
‫¡‪¡¢‬‬
‫למשל נביט בדוגמא המספרית ‪ f (x) = kxk‬זאת אומרת ‪f : Rn → R‬‬
‫‪P 2‬‬
‫‪P‬‬
‫√‬
‫‪ .f (x1 , . . . , xn ) = ( ni=1 x2i )1/2‬נגדיר את ‪xi‬‬
‫= )‪ a(x‬ואת ‪ b(y) = y‬כך ש ‪. f = b ◦ a‬‬
‫קל לראות ש ‪ ∇a(x) = 2x‬וכן ‪ b0 (y) = 12 y −1/2‬ולכן‬
‫מוגדרת על ידי‬
‫‪£‬‬
‫‪1‬‬
‫‪x0‬‬
‫‪x0‬‬
‫‪∇f (x0 ) = Df (x0 ) = (a(x0 ))−1/2 2x0 = pP‬‬
‫=‬
‫‪2‬‬
‫‪kx0 k‬‬
‫‪(x0 )2i‬‬
‫‪ γ : R → R n‬ו ‪ f : Rn → R‬ו ‪h = f ◦ γ : R → R‬‬
‫אז‬
‫) ‪h0 (x0 ) = Dh (x0 ) = Df (x0 )Dγ (x0 ) = ∇f (x0 )γ 0 (x0‬‬
‫נראה גם על דוגמא חישובית‪ :‬נאמר ‪ h(t) = k(cos t, sin t, t)k‬אז ‪ h = f ◦ γ‬עבור ‪f‬‬
‫הראשונה ועבור )‪ γ(t) = (cos t, sin t, t‬ולכן‬
‫‪γ(t) 0‬‬
‫‪h(cos t, sin t, t), (− sin t, cos t, 1)i‬‬
‫‪t‬‬
‫√‬
‫√=‬
‫= )‪γ (t‬‬
‫‪2‬‬
‫‪kγ(t)k‬‬
‫‪1 + t2‬‬
‫‪cos2 t + sin t + t2‬‬
‫= )‪h0 (t) = ∇f (γ(t))γ 0 (t‬‬
‫כמובן שבדוגמא פשוטה זו ניתן לחשב זאת גם ישירות על ידי כתיבת ‪cos2 t + sin2 t + t2‬‬
‫‪£‬‬
‫מהדוגמא‬
‫√‬
‫= )‪h(t‬‬
‫וגזירה ישירה‪.‬‬
‫‪ A ∈ L(Rk , Rn ) ,f : Rn → Rm‬ונסמן ‪h = f ◦ A : Rk → Rm‬‬
‫אזי‬
‫‪Dh = Df ◦ A‬‬
‫ובדומה ) ‪ B ∈ L(Rm , Rl‬ונסמן ‪ g = B ◦ f : Rn → Rl‬אזי ‪= B ◦ Df‬‬
‫‪10.5.2‬‬
‫‪.Dg‬‬
‫הוכחת המשפט‬
‫§¦‪¤¥‬‬
‫כדי להוכיח את כלל השרשרת נזדקק לטענת עזר פשוטה לגבי מטריצות‪ ,‬שבעצם הוכחנו בהוכחת טענה‬
‫למה ‪ 10.13‬תהי ) ‪ C ∈ L(Rn , Rm‬ו יהיה ‪ x ∈ Rn‬אזי ‪≤ kCkHS kxk‬‬
‫של ‪ C‬ב ‪ v1 , . . . , vm‬אזי מקושי שוורץ‬
‫‪a2i,j = kCk2HS kxk2‬‬
‫‪m X‬‬
‫‪n‬‬
‫‪X‬‬
‫‪i=1 j=1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪kvi k kxk = kxk‬‬
‫‪m‬‬
‫‪X‬‬
‫‪i=1‬‬
‫‪ .kCxk‬הוכחה‪ :‬נסמן את שורותיה‬
‫‪2‬‬
‫≤ |‪|hvi , xi‬‬
‫‪m‬‬
‫‪X‬‬
‫‪i=1‬‬
‫הוכחה‪] :‬הוכחת כלל השרשרת[ נסמן לשם פשטות ) ‪ A = Df (x0‬ו ) ‪= Dg (y0‬‬
‫‪ f‬ב־ ‪ x0‬מתקיים‬
‫)‪f (x) = f (x0 ) + A(x − x0 ) + o(kx − x0 k‬‬
‫©¨¦‬
‫‪2‬‬
‫= ‪||Cxk‬‬
‫‪ .B‬מדיפרנציאביליות של‬
‫כאשר‬
ka(x)k/kx − x0 k → 0 ‫ מתקיים‬,a(x) = f (x) − [f (x0 ) + A(x − x0 )] ‫שזה אומר שאם נסמן את‬
. x → x0
‫ מתקיים‬y0 ‫ ב‬g ‫ מדיפנרציאביליות של‬,‫בדומה‬
g(y) = g(y0 ) + B(y − y0 ) + o(ky − y0 k)
→ y0 ‫ כאשר‬kb(y)k/ky − y0 k → 0 ‫ מקיים‬b(y) = g(y) − [g(y0 ) + B(y − y0 )] ‫זאת אומרת ש‬
kb(f (x))k
‫ עלינו להראות‬,h(x) = g(f (x)) ‫ נביט בהרכבה‬. kf (x)−f (x )k →x→x0 0 ‫ רציפה מתקיים גם‬f ‫משום ש‬
0
‫ ולכן‬,y
‫כי‬
h(x) = h(x0 ) + BA(x − x0 ) + o(kx − x0 k)
,‫נביט על כן בהפרש‬
w(x) = h(x) − h(x0 ) − BA(x − x0 ) = g(f (x)) − g(f (x0 )) − BA(x − x0 )
= B(f (x) − f (x0 )) + b(f (x)) − BA(x − x0 )
= B(A(x − x0 ) + a(x)) + b(f (x)) − BA(x − x0 )
= B(a(x)) + b(f (x))
‫כעת עלינו להסביר מדוע‬
B(o(kx − x0 k)) = o(kx − x0 k)
‫ומדוע‬
o(kf (x) − f (x0 )k) = o(kx − x0 k)
‫ אכן‬.x
→ x0 ‫ ולקחת גבול כאשר‬kx − x0 k ‫לשם כך עלינו לחלק את הביטויים ב‬
ka(x)k
kB(a(x))k
≤ kBk
→x→x0 0
kx − x0 k
kx − x0 k
‫וגם‬
kb(f (x))k
kb(f (x))k kf (x) − f (x0 )k
kb(f (x))k kA(x − x0 ) + a(x)k
=
=
kx − x0 k
kf (x) − f (x0 )k
kx − x0 k
kf (x) − f (x0 )k
kx − x0 k
kb(f (x))k
kA(x − x0 )k + ka(x)k
≤
≤ o(1)[kAk + o(1)] →x→x0 0
kf (x) − f (x0 )k
kx − x0 k
ª«¬
‫‪10.5.3‬‬
‫דוגמא לשימוש‬
‫נניח שנתונה ‪ f : Rn → R‬שהיא גזירה ברציפות‪ ,‬ושמקיימת עבור ‪ k ∈ R‬מסויים כי לכל ‪t ∈ R‬‬
‫)‪f (tx) = tk f (x‬‬
‫‪.h∇f (x), xi‬‬
‫אזי נובע ‪ k ≥ 1‬ונסחת אוילר מתקיימת )‪= kf (x‬‬
‫אכן‪ ,‬מרציפות וגזירות של )‪ f (x‬נקבל בפרט שלכל ‪ x‬הפונקציה )‪ g(t) = f (tx‬גזירה ברציפות אבל‬
‫‪ tk‬גזירה ברציפות ב־‪ 0‬רק עבור ‪ .k ≥ 1‬כעת נגזור את ‪ g‬בשתי דרכים‪ ,‬לפי כלל השרשרת ולפי צד ימין‬
‫של המשוואה וגזירה רגילה‪ .‬נסמן ‪ γ(t) = tx‬זו מסילה‪ ,γ 0 (t) = x ,‬ומתקיים ‪ ,g = f ◦ γ‬ולכן‬
‫)‪∇f (tx) · x = g 0 (t) = ktk−1 f (x‬‬
‫כך שעבור ‪ t = 1‬נקבל את הנוסחא הנדרשת‪ .‬נעיר שאם יודעים הומוגניות מסוג זה עבור ‪f‬‬
‫על תת קבוצה של ‪ ,Rn‬וגזירה שם ברציפות‪ ,‬עדיין החלק השני של ההוכחה תקף‪ ,‬רק החלק של ‪k ≥ 1‬‬
‫דרש כי ‪ f‬תהיה גזירה ברציפות בראשית‪.‬‬
‫המוגדרת‬
‫הערה ‪ 10.14‬השנה לא נכנסנו לעומק לדוגמאות של פונקציות על מטריצות‪ .‬ועדיין‪ ,‬כדאי לשאול את‬
‫עצמנו למשל מהו הדיפרנציאל של ‪det‬‬
‫הפועלת על מטריצות ריבועיות? קל להשתכנע בדיפרנציאביליות‬
‫שכן חישבנו את הנגזרות החלקיות‬
‫‪∂ det‬‬
‫) ‪= (−1)i−j det(Aij‬‬
‫‪∂Eij‬‬
‫וכולן יצאו רציפות )פולינומים מסדר ‪ n − 1‬באברי המטריצה ־ כמובן שזה משום ש ‪det‬‬
‫∂‬
‫פולינום(‪ .‬אבל איך נראית ההעתקה ‪det‬‬
‫‪) ?H → ∂H‬זו העתקה ליניארית‪ ,‬שונה בכל נקודה ‪ ,A‬שנקראת‬
‫העתקת הדיפרנציאל(‪ .‬נעשה זאת בנקודה ‪ A = Id‬כי שם יותר קל לחשב‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪1 + εh11‬‬
‫‪εh12‬‬
‫···‬
‫‪εh1n‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ εh21‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫· · · ‪1 + εh22‬‬
‫)‪det(Id + εH) − det(Id‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪lim‬‬
‫‪−‬‬
‫‪1‬‬
‫‪= lim det ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ε→0‬‬
‫‪ε→0 ε‬‬
‫‪ε‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪εhn1‬‬
‫‪1 + εhnn‬‬
‫‪n‬‬
‫‪X‬‬
‫=‬
‫)‪hii = trace(H‬‬
‫בעצמה היא‬
‫­­­‬
‫­­‬
‫‪i=1‬‬
‫במקרה קצת יותר כללי שבו ‪A‬‬
‫הפיכה‪ ,‬אפשר לחשב כי‬
‫)‪det(A + εH) − det(A‬‬
‫)‪det(Id + εA−1 H) − det(Id‬‬
‫‪lim‬‬
‫‪= det(A) lim‬‬
‫)‪= det(A)trace(A−1 H‬‬
‫‪ε→0‬‬
‫‪ε→0‬‬
‫‪ε‬‬
‫‪ε‬‬
‫לגזור אותה בנקודות בהן ‪ det = 0‬זאת אומרת בנקודות בהן ‪A‬‬
‫כך בשלב זה‪.‬‬
‫‪144‬‬
‫איננה הפיכה גם אפשרי אבל נוותר על‬
‫עוד שאלה מסוג כזה היא מה הדיפרנציאל של ההעתקה ‪H : M atn×n → M atn×n‬‬
‫‪ .H(A) = A−1‬שוב‪ ,‬עדיף קודם לגזור בנקודה פשוטה ‪ A = Id‬ואח"כ לעבור למקרה כללי‪ .‬כאן תחום‬
‫ההגדרה הוא כמובן רק הפונקציות ההפיכות‪ .‬זיכרו שהמקרה ‪ n = 1‬צריך להזדהות עם הנגזרת של‬
‫‪.H(x) = x−1‬‬
‫הנתונה על ידי‬
‫‪10.5.4‬‬
‫הגרדיאנט‬
‫המקרה של ‪ f : U → R‬כאשר ‪U ⊂ Rn‬‬
‫)פתוחה‪ ,‬על פי רוב( חשוב לנו במיוחד‪ .‬הדיפרנציאל במקרה‬
‫כזה נקרא "הגרדיאנט" והוא בעצם וקטור )שורה(‪ .‬יש לו את התכונה הגיאומטרית החשובה והיא שהוא‬
‫"מאונך לקווי הגובה של הפונקציה"‪ .‬לא הגדרנו מה פירוש הדבר להיות מאונך למשטח )ולמעשה גם לא‬
‫הגדרנו משטח( אז כל שנאמר על כך יהיה הלמה הבאה‪ ,‬שהיא מסקנה ישירה מכלל השרשרת‪:‬‬
‫איור ‪ :36‬הגרדיאנט מאונך לקווי הגובה‬
‫למה ‪ 10.15‬תהי ‪ f : U → R‬דיפרנציאבילית בנקודה ‪ .x0‬נסמן }) ‪= {x : f (x) = f (x0‬‬
‫עקומה ‪ γ : [−1, 1] → S‬המקיימת ‪ γ(0) = x0‬מתקיים‬
‫‪ .S‬אזי לכל‬
‫)‪∇f (x0 ) ⊥ γ 0 (0‬‬
‫הוכחה‪ :‬משום ש ) ‪ f (γ(t)) = f (x0‬מספר קבוע‪ ,‬הנגזרת לפי ‪t‬‬
‫מתאפסת‪ .‬לפי כלל השרשרת‬
‫‪∇f (γ(t))γ 0 (t) = 0‬‬
‫ובפרט עבור ‪= 0‬‬
‫‪.t‬‬
‫אבחנה זו תהיה מאוד משמעותית כאשר )בחדו"א ‪ 3‬למשל( תרצו למצוא מינימום ומקסימום של פונקציה‬
‫תתחת אילוץ‪ .‬הדבר יבטיח את קיומם של "כופלי לגרנז'" שאומרים שבנקודת מקסימום של פונקציה‪,‬‬
‫תחת אילוץ‪ ,‬הגרדיאנט של האילוץ והגרדיאנט של הפונקציה אותה ממקסמים‪ ,‬מקבילים‪.‬‬
‫הגרדיאנט גם עוזר לנו למצוא מועמדים להיות מינימום ומקסימום‪.‬‬
‫‪145‬‬
‫הגדרה ‪ 10.16‬תהי ‪ f : U → R‬כאשר ‪ U ⊂ Rn‬פתוחה‪ .‬נניח ש ‪ f‬גזירה ברציפות‪ ,‬ותהי ‪∈ U‬‬
‫שהיא נקודה קריטית של ‪ f‬אם מתקיים ‪.∇f (x) = 0‬‬
‫‪ .x‬נאמר‬
‫כמובן שיש לזה משמעות משום שמתקיים‬
‫טענה ‪ 10.17‬תהי ‪ f : U → R‬כאשר ‪ U ⊂ Rn‬פתוחה‪ .‬נניח ש ‪ f‬גזירה ברציפות‪ ,‬אזי עבור ‪x0 ∈ U‬‬
‫שהיא נקודת מקסימום מקומי או מינימום מקומי מתקיים ‪.∇f (x0 ) = 0‬‬
‫הוכחה‪ :‬נניח בשלילה שמתקיים ‪ .∇f (x0 ) 6= 0‬אזי קיים ‪ v ∈ Rn‬עם ‪ kvk = 1‬כך ש ‪∇f (x0 )·v = c > 0‬‬
‫)למשל ‪ v = (∇f (x0 ))T‬יתאים(‪ .‬נביט בפונקציה )‪ h(x0 + tv‬ולשים לב שיש לה מקסימום או מינימום ב‬
‫‪ t = 0‬אבל הנגזרת שלה ב ‪ t = 0‬היא ‪.∇f (x0 )v 6= 0‬‬
‫כדי להחליט האם נקודה חשודה היא באמת מינימום או מקסימום‪ ,‬בחדו"א ‪ 1‬עוברים לנגזרת השנייה‪.‬‬
‫גם כאן יש צורך לעשות זאת‪ ,‬רק שימו לב שכשגוזרים פעמיים‪ ,‬זאת אומרת מחשבים את הדיפרנציאל של‬
‫‪ ,∇f‬אנחנו כבר גוזרים פונקציה שהיא ‪: Rn → Rn‬‬
‫∂ ∂‬
‫‪ .n × n‬איבריו יהיו הנגזרות המעורבות ‪f‬‬
‫‪ . ∂x‬מטריצה זו נקראת ההסיאן של ‪ ,f‬ומסתבר שתחת‬
‫‪i ∂xj‬‬
‫‪ ,∇f‬זאת אומרת הדיפרנציאל עכשיו יהיה מטריצה‬
‫תנאים די חלשים‪ ,‬היא מטריצה סימטרית‪ .‬זה נושאו של הפרק הבא‪.‬‬
‫נשים לב לעוד הבדל חשוב ־ במימדים גבוהים ייתכן שנקודה היא "אוכף" דהיינו מינימום בכיוונים‬
‫מסויימים ומקסימום בכיוונים אחרים‪.‬‬
‫איור ‪ :37‬אוכף‬
‫עוד לפני שנעבור לפרק על ההסיאן‪ ,‬נשים לב כיצד הוא יצטרף לתמונה בחיפוש אחרי מינימום‬
‫ומקסימום )וגם בטיילור(‪.‬‬
‫בהנתן ‪) f : Rn → R‬או ‪ f : A → R‬כאשר ‪ A ⊂ Rn‬פתוחה למשל(‪ ,‬ברור למשל שנקודה ‪x0‬‬
‫מקסימום מקומי אם ורק אם לכל ‪ v‬מתקיים עבור )‪ g(t) = f (x0 + tv‬שהנקודה ‪ t = 0‬היא מקסימום‬
‫מקומי‪ .‬לכך יש לנו כבר תנאים מן המוכן‪ ,‬ולשם כך למשל צריך ראשית כל לבדוק האם ‪ g 0 (0) = 0‬ואם‬
‫כן‪ ,‬לבדוק את )‪) g 00 (0‬אם גם הוא ‪ ,0‬יש לעבור לנגזרות מסדר יותר גבוה(‪ .‬כבר ראינו מכלל השרשרת‬
‫היא‬
‫כי‬
‫‪g 0 (0) = ∇f (x0 ) · v‬‬
‫וכדי שיתאפס לכל ‪ v‬כמובן צריך ‪= 0‬‬
‫) ‪ .∇f (x0‬כדי לבדוק מה הנגזרת השנייה נחשב‬
‫‪g 00 (t) = (∇f (x0 + tv) · v)0 = (∇f (x0 + tv))0 · v‬‬
‫‬
‫‪0‬‬
‫‪∂f‬‬
‫‪∂f‬‬
‫=‬
‫···‬
‫)‪(x0 + tv‬‬
‫‪(x0 + tv) · v‬‬
‫‪∂x1‬‬
‫‪∂x1‬‬
‫‬
‫‬
‫‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫‪0‬‬
‫‪X‬‬
‫‪X‬‬
‫‪∂f‬‬
‫‪∂f‬‬
‫=‬
‫= ‪(x0 + tv) vj‬‬
‫(∇[‬
‫‪(x0 + tv)) · v]vj‬‬
‫‪∂x‬‬
‫‪∂x‬‬
‫‪j‬‬
‫‪j‬‬
‫‪j=1‬‬
‫‪j=1‬‬
‫‪n X‬‬
‫‪n‬‬
‫‪X‬‬
‫∂ ∂‬
‫(‬
‫‪f )(x0 + tv)vi vj‬‬
‫‪∂x‬‬
‫‪∂x‬‬
‫‪i‬‬
‫‪j‬‬
‫‪j=1 i=1‬‬
‫=‬
‫ובפרט‬
‫‪g 00 (0) = v T (∇2 f )(x0 )v‬‬
‫וכעת צריך לגעת קצת אלגברה ליניארית כדי להבין‪ ,‬על ידי הבנת מהי המטריצה ) ‪ ,∇2 f (x0‬האם מדובר‬
‫בנקודת מינימום‪ ,‬מקסימום‪ ,‬אוכף‪ ,‬או שמא יש לעבור לנגזרות גבוהות יותר על מנת לדעת‪ .‬כדי שנוכל‬
‫להפעיל אלגברה ליניארית‪ ,‬כדאי שנדע למשל שמדובר במטריצה לכסינה‪.‬‬
‫ואכן‪ ,‬מדובר על פי רוב‬
‫במטריצה סימטרית‪ ,‬וזה ממש הנושא של תת הפרק הבא‪.‬‬
‫‪10.6‬‬
‫גזירות מסדר גבוה‪ ,‬שוויון המעורבות כשרציפות‬
‫חוזרים לנושא של נגזרות חלקיות‪ .‬תהי ‪ f : U → R‬כאשר ‪⊂ Rn‬‬
‫‪1‬‬
‫פונקציה ממשית‪ ,‬במשתנה וקטורי ‪ .‬נזכיר כי ])‪[f (x + hei ) − f (x‬‬
‫‪h‬‬
‫‪ ,U‬זאת אומרת אנו מדברים על‬
‫‪= limh→0‬‬
‫∂‬
‫)‪f (x‬‬
‫‪∂ei‬‬
‫‪n‬‬
‫= )‪f (x‬‬
‫‪i‬‬
‫∂‬
‫‪. ∂x‬‬
‫התוצאה )כמו בכל פעולת גזירה( היא פונקציה חדשה‪ ,‬שתחום ההגדרה שלה הוא עדיין ‪R‬‬
‫שלו‪ ,U ,‬והיא מחזירה מספר )המודד עד כמה הפוקציה משתנה בכיוון ‪ .(ei‬כמובן אפשר לבצע גזירה‬
‫חוזרת של הפונקציה שקיבלנו‪ ,‬לפי אותו משתנה או לפי משתנה אחר‪.‬‬
‫דוגמא‪f (x, y) = x3 y − y sin(yx) :‬‬
‫נחשב‬
‫‬
‫‪∂ 3‬‬
‫∂ ∂‬
‫)‪x − sin(yx) − yx cos(yx‬‬
‫= )‪f (x, y‬‬
‫‪∂x ∂y‬‬
‫‪∂x‬‬
‫)‪= 3x2 − cos(yx)y − y cos(yx) + y 2 x sin(yx‬‬
‫)‪= 3x2 − 2y cos(xy) + y 2 x sin(xy‬‬
‫‬
‫‪∂ 2‬‬
‫∂ ∂‬
‫)‪3x y − y 2 cos(yx‬‬
‫= )‪f (x, y‬‬
‫‪∂y ∂x‬‬
‫‪∂y‬‬
‫)‪= 3x2 − 2y cos(yx) + y 2 x sin(yx‬‬
‫מקרה? ממש לא‪ .‬הפעם ננסח ונוכיח ב ‪R2‬‬
‫אך ההוכחה עוברת כלשונה למימד כללי‪.‬‬
‫‪®¯°‬‬
‫או תת קבוצה‬
‫∂‬
‫)‪f (x, y‬‬
‫‪∂x‬‬
‫משפט ‪ 10.18‬תהי ‪ f : U → R‬כאשר ‪ U ⊂ Rn‬פתוחה ותהי ‪(x0 , y0 ) ∈ U‬‬
‫∂‬
‫)‪f (x, y‬‬
‫‪ ∂y‬בסביבה של ) ‪ ,(x0 , y0‬ונניח כי שתיהן גזירות ברציפות בנקודה ) ‪ .(x0 , y0‬אזי מתקיים‬
‫כך שקיימות‬
‫‪,‬‬
‫∂ ∂‬
‫∂ ∂‬
‫= ) ‪f (x0 , y0‬‬
‫) ‪f (x0 , y0‬‬
‫‪∂x ∂y‬‬
‫‪∂y ∂x‬‬
‫)זאת אומרת המטריצה ‪∇2 f = DDf = D2 f‬‬
‫היא סימטרית(‪.‬‬
‫הערה ‪10.19‬‬
‫הוכחה‪ :‬נתחיל בכך שנשים לב שהשוויון הבא מתקיים לכל ‪:k, h‬‬
‫=‬
‫]) ‪[f (x0 +k,y0 +h)−f (x0 +k,y0 )]−[f (x0 ,y0 +h)−f (x0 ,y0‬‬
‫‪hk‬‬
‫]) ‪[f (x0 +k,y0 +h)−f (x0 ,y0 +h)]−[f (x0 +k,y0 )−f (x0 ,y0‬‬
‫‪hk‬‬
‫אם נשתמש באופן נאיבי כעת במשפט ערך הביניים של לגרנז לכל אחד מארבעת הביטויים נקבל שקיימים‬
‫]‪θ1 , θ2 , θ3 , θ4 ∈ [0, 1‬‬
‫)התלויים ב ‪ (k, h‬כך ש‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫∂‬
‫∂ ‪1‬‬
‫∂‬
‫∂ ‪1‬‬
‫‪f (x0 + k, y0 + θ1 h) −‬‬
‫= )‪f (x0 , y0 + θ2 h‬‬
‫‪f (x0 + θ3 k, y0 + h) −‬‬
‫) ‪f (x0 + θ4 k, y0‬‬
‫‪k ∂y‬‬
‫‪∂y‬‬
‫‪h ∂x‬‬
‫‪∂x‬‬
‫אבל אנחנו רוצים קצת יותר ־ רוצים ש ‪ θ1 = θ2‬וכן ‪= θ4‬‬
‫‪ .θ3‬זה קל‪ ,‬למשל עבור הביטוי התחתון‬
‫נשתמש במשפט ערך הביניים לפונקציה‬
‫)‪g(y) = f (x0 + k, y) − f (x0 , y‬‬
‫שהרי מדובר ב ) ‪+ h) − g(y0‬‬
‫‪ .g(y0‬עבור הביטוי העליון נשתמש במשפט לגרנז עבור‬
‫) ‪g(x) = f (x, y0 + h) − f (x, y0‬‬
‫קיבלנו למעשה שקיימים ]‪θ, θ0 ∈ [0, 1‬‬
‫עבורן‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫∂‬
‫∂ ‪1‬‬
‫∂‬
‫∂ ‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪f (x0 + k, y0 + θh) −‬‬
‫= )‪f (x0 , y0 + θh‬‬
‫‪f (x0 + θ k, y0 + h) −‬‬
‫) ‪f (x0 + θ k, y0‬‬
‫‪k ∂y‬‬
‫‪∂y‬‬
‫‪h ∂x‬‬
‫‪∂x‬‬
‫וכעת ניתן להשתמש במשפט ערך הביניים פעם נוספת‪ ,‬עבור הפונקציות הנ"ל‪ .‬נקבל שקיימים ‪η, η 0‬‬
‫ש‬
‫∂ ∂‬
‫∂ ∂‬
‫= )‪f (x0 + ηk, y0 + θh‬‬
‫)‪f (x0 + θ0 k, y0 + η 0 h‬‬
‫‪∂x ∂y‬‬
‫‪∂y ∂x‬‬
‫כעת על פי רציפות נוכל לקחת את ‪h, k → 0‬‬
‫בשני הצדדים‪ ,‬ונקבל את השוויון הרצוי‪.‬‬
‫‪±²³‬‬
‫כך‬
‫כמסקנה נקבל על ידי הפעלה באינדוקציה‪ ,‬שאם לפונקציה קיימות כל הנגזרות החלקיות מסדר ‪k‬‬
‫)"סדר"‬
‫פירושו מספר הפעמים שגוזרים( והן רציפות‪ ,‬אז אפשר להחליף את סדר הגזירה‪ .‬מסמנים את הגזירה ‪k‬‬
‫פעמים ביחס למשתנה מסוים כך‬
‫‪∂kf‬‬
‫∂‬
‫∂‬
‫=‬
‫···‬
‫‪f‬‬
‫‪k‬‬
‫‪∂xi‬‬
‫‪∂xi‬‬
‫‪∂xi‬‬
‫‪P‬‬
‫= ‪ M‬מסמנים את‬
‫ועבור וקטור ‪ α = (k1 , . . . , kn ) ∈ Nn‬עם ‪ki‬‬
‫‪∂M‬‬
‫‪∂ k1 ∂ k2‬‬
‫‪∂ kn‬‬
‫=‪f‬‬
‫‪· · · kn f‬‬
‫‪∂xα‬‬
‫‪∂xn‬‬
‫‪∂xk11 ∂xk22‬‬
‫כאשר סדר הגזירה איננו חשוב )תחת ההנחה שהפונקציה גזירה ברציפות ‪ ki‬פעמים לפי ‪xi‬‬
‫הערה ‪ 10.20‬תהי ‪ f : Rn → R‬ויהיה ‪u ∈ Rn‬‬
‫לכל ‪.(i‬‬
‫ונניח שאנו רוצים לגזור פעמיים את‬
‫)‪g(t) = f (v0 + tu‬‬
‫למשל כי ברור שאם יש לפונקציה מקסימום מקומי ב ‪ x0‬אז גם ל ‪g‬‬
‫שמתקיים ‪ . g 00 (0) ≤ 0‬חישוב הנגזרת השנייה הוא דבר פשוט שכן יש לנו את כלל השרשרת‬
‫יהיה ולכן ברור שתנאי הכרחי יהיה‬
‫‪n‬‬
‫‪d‬‬
‫‪d X ∂f‬‬
‫= )‪g (t‬‬
‫‪ui‬‬
‫])‪(v0 + tu‬‬
‫[ = ]‪[∇f (v0 + tu) · u‬‬
‫‪dt‬‬
‫‪dt i=1 ∂xi‬‬
‫‪00‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫‪X X ∂ ∂f‬‬
‫‪d ∂f‬‬
‫[‬
‫= ])‪(v0 + tu‬‬
‫‪ui‬‬
‫[‬
‫‪](v0 + tu)uj‬‬
‫‪dt ∂xi‬‬
‫‪∂x‬‬
‫‪∂x‬‬
‫‪j‬‬
‫‪i‬‬
‫‪i=1‬‬
‫‪j=1‬‬
‫‪∂ 2f‬‬
‫‪(v0 + tu)ui uj = uT ∇2 f (v0 + tu)u‬‬
‫‪∂xi ∂xj‬‬
‫‪ui‬‬
‫‪n‬‬
‫‪X‬‬
‫‪i=1‬‬
‫‪n X‬‬
‫‪n‬‬
‫‪X‬‬
‫=‬
‫=‬
‫‪i=1 j=1‬‬
‫ובפרט ‪ g 00 (0) = uT ∇2 f (v0 )u‬זאת אומרת שאם לכל ‪ u‬מתקיים ‪ gu00 (0) ≤ 0‬המטריצה ) ‪∇2 f (x0‬‬
‫צריכה‬
‫להיות מוגדרת אי חיובית‪ .‬בתת הפרק הבא נשעה את טיילור כמו שצריך‪ ,‬ונראה גם את גורם השגיאה‪,‬‬
‫למשל‬
‫) ‪f (v0 + hu) = f (v0 ) + h∇f (v0 )u + h2 uT ∇2 f (v0 )u + o(h2‬‬
‫וכך נסיק שאם באמת היא מוגדרת שלילית ממש )בנקודה קריטית( אז בהכרח זו נקודת מקסימום‪.‬‬
‫באופן כללי בנקודה קריטית צריך לבחון את המטריצה ‪∇2 f‬‬
‫ולבדוק איזה ערכים עצמיים יש לה‪ ,‬ולפי זה‬
‫להחליט )אם אין לה ע"ע ‪ 0‬שאז צריך לעבור לנגזרות מהסדר הבא( האם היא נקודת מינימום‪ ,‬מקסימום‬
‫או אוכף‪.‬‬
‫¶‪´µ‬‬
‫‪10.7‬‬
‫טור טיילור בהרבה משתנים‬
‫משפט ‪ 10.21‬תהי ‪ f : A → R‬עבור ‪ A ⊂ Rn‬פתוחה ונניח כי היא גזירה ‪m + 1‬‬
‫‪ .x0 ∈ A‬אזי עבור ‪ kuk = 1‬מתקיים‬
‫‪n‬‬
‫‪X‬‬
‫‪∂kf‬‬
‫)‪(x0 )ui1 · · · uik + Rm,u (x0 , h‬‬
‫‪∂x‬‬
‫·‬
‫·‬
‫·‬
‫‪∂x‬‬
‫‪i‬‬
‫‪i‬‬
‫‪1‬‬
‫‪k‬‬
‫‪=1‬‬
‫כאשר ) ‪= o(|h|m‬‬
‫‪ik‬‬
‫···‬
‫‪m‬‬
‫‪n‬‬
‫‪X‬‬
‫‪hk X‬‬
‫‪i1 =1‬‬
‫!‪k‬‬
‫פעמים ברציפות ליד‬
‫= )‪f (x0 + hu‬‬
‫‪k=0‬‬
‫)‪ .Rm,u (x0 , h‬יתר על כן‪ ,‬השארית נתונה על פי לגרנז על ידי‬
‫‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫‪X‬‬
‫‪X‬‬
‫‪∂ m+1 f‬‬
‫‪1‬‬
‫···‬
‫‪(v0 + h0 u)ui1 · · · uim+1‬‬
‫= )‪Rm,u (x0 , h‬‬
‫‪(m + 1)! i =1‬‬
‫‪∂xim+1 · · · ∂xi1‬‬
‫‪i‬‬
‫‪=1‬‬
‫‪m+1‬‬
‫עבור ‪ h0‬בין ‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫לבין ‪.h‬‬
‫הוכחה‪ :‬ההוכחה היא פשוט ההוכחה של חדו"א ‪ 1‬שכן כאשר מחשבים את ההפרש ) ‪f (x0 + hu) − f (x0‬‬
‫למעשה חוקרים פונקציה במשתנה אחד‪ ,h ,‬ואפשר להתמש בכלים של חדו"א ‪ .1‬אכן‪ ,‬כל שעלינו לחשב‬
‫זה‬
‫‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫‪X‬‬
‫‪X‬‬
‫‪∂kf‬‬
‫‪dk‬‬
‫‪(f‬‬
‫‪(x‬‬
‫‪+‬‬
‫)‪hu‬‬
‫‪−‬‬
‫‪f‬‬
‫‪(x‬‬
‫))‬
‫=‬
‫·‬
‫·‬
‫·‬
‫‪(x0 + hu)ui1 · · · uik‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪dhk‬‬
‫‪∂xik · · · ∂xi1‬‬
‫‪i =1‬‬
‫‪i =1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪k‬‬
‫ואת זה נעשה באינדוקציה‪ .‬המקרה ‪k = 1‬‬
‫הוא ברור‪ ,‬ואז‬
‫‪n‬‬
‫‪X‬‬
‫∂‬
‫‪∂kf‬‬
‫=‬
‫‪(x0 + hu)ui1 · · · uik ui‬‬
‫‪∂x‬‬
‫‪∂x‬‬
‫·‬
‫·‬
‫·‬
‫‪∂x‬‬
‫‪i‬‬
‫‪i‬‬
‫‪i‬‬
‫‪1‬‬
‫‪k‬‬
‫‪i=1‬‬
‫‪n‬‬
‫‪X‬‬
‫‪∂ k+1 f‬‬
‫‪(x0 + hu)ui1 · · · uik+1‬‬
‫‪∂xik+1 · · · ∂xi1‬‬
‫‪=1‬‬
‫‪ik‬‬
‫···‬
‫‪n‬‬
‫‪X‬‬
‫‬
‫‪∂kf‬‬
‫‪(x0 + hu)ui1 · · · uik‬‬
‫‪∂xik · · · ∂xi1‬‬
‫‬
‫‪d‬‬
‫‪dh‬‬
‫=‬
‫‪i1 =1‬‬
‫כעת נשתמש במשפט טיילור למשתנה אחד‪.‬‬
‫‪10.8‬‬
‫בעיות מיניום ומקסימום בכמה משתנים‬
‫כבר דנו בכך על קצה המזלג בשני הפרקים הקודמים‪ ,‬כעת ננסח את המשפטים המרכזיים‪.‬‬
‫משפט ‪ 10.22‬תהי ‪ f : A → R‬כאשר ‪ A ⊂ Rn‬פתוחה ותהי ‪ .x0 ∈ A‬נניח כי ‪f‬‬
‫בכל ‪ A‬ונניח כי ‪ .∇f (x0 ) = 0‬אז אם כל הערכים העצמיים של ) ‪ ∇2 f (x0‬חיוביים אז ‪ x0‬מינימום מקומי‪,‬‬
‫אם כל הערכים העצמיים של ) ‪ ∇2 f (x0‬שליליים אז ‪ x0‬מקסימום מקומי‪ ,‬אם יש ל ) ‪ ∇2 f (x0‬ערך עצמי‬
‫חיובי וערך עצמי שלילי אז ‪ x0‬אוכף‪.‬‬
‫גזירה ברציפות פעמיים‬
‫הוכחה‪ :‬מיידית )להשלים(‬
‫‪150‬‬
‫משפט ‪ 10.23‬הי ‪ f : A → R‬כאשר ‪ A ⊂ R2‬פתוחה ותהי ‪ .(x0 , y0 ) ∈ A‬נניח כי ‪f‬‬
‫‪2‬‬
‫‪∂2f‬‬
‫פעמיים בכל ‪ A‬ונניח כי ‪ .∇f (x0 , y0 ) = 0‬נסמן ) ‪(x0 , y0 ) ,A = ∂∂xf2 (x0 , y0‬‬
‫‪ B = ∂x∂y‬ו־= ‪C‬‬
‫‪∂2f‬‬
‫) ‪ . ∂y2 (x0 , y0‬אזי אם ‪ AC − B 2 < 0‬הנקודה היא אוכף‪ ,‬אם ‪ AC − B 2 > 0‬וגם ‪ A > 0‬הנקודה היא‬
‫מינימום מקומי‪ ,‬ואם ‪ AC − B 2 > 0‬וגם ‪ A < 0‬הנקודה היא מקסימום מקומי‪.‬‬
‫גזירה ברציפות‬
‫הוכחה‪ :‬נובעת מהמשפט הקודם יחד עם כלים בסיסיים מאלגברה לינארית על ערכים עצמיים של מטריצה‬
‫‪ M‬סימטרית ‪× 2‬‬
‫‪ a11‬כי זה פשוט ‪.hM e1 , e1 i‬‬
‫‪ :2‬מכפלתם היא הדטרמיננטה‪ ,‬ובפרט אם הם שווי סימן אז סימנם זהה לסימן של‬
‫‪151‬‬