‫אוניברסיטת בן־גוריון בנגב – המחלקה למתמטיקה – סמסטר א׳ תשע״ה‬ ‫חדו״א להנדסת מכונות ‪ – (201–1–9711) 1‬פתרון למבחן מועד א׳‬ ‫המרצים‪:‬‬ ‫ד״ר דניאל מרקייביץ‪ ,‬ד״ר נעה איידלשטין‪ ,‬ד״ר יוסף שטראוס‪ ,‬ד״ר אהובה שקופ‪.‬‬ ‫תאריך‪ 2 :‬בפברואר ‪2015‬‬ ‫משך הבחינה‪ 3 :‬שעות‬ ‫חומר עזר‪ :‬דף נוסחאות בגודל ‪ ,A4‬דו־צדדי )מודפס או בכתב יד(‪ .‬אין להשתמש במחשבון‪.‬‬ ‫מספר הנקודות הכולל במבחן הוא ‪ .100‬יש לענות על כל השאלות‪ .‬עליכם לענות בפירוט‬ ‫על השאלות במקום המוקצה לתשובה‪ .‬בכל סעיף עליכם לנמק היטב ולפרט את כל שלבי‬ ‫הפתרון‪ .‬יינתן ניקוד חלקי במקרים מתאימים‪.‬‬ ‫אין לכתוב בעט אדום‪.‬‬ ‫שימו לב‪ :‬דפי הטיוטא ישלחו למגרסה‪.‬‬ ‫בהצלחה!‬ ‫‪ .1‬חשבו את הגבולות הבאים‪.‬‬ ‫)א( )‪ 9‬נק׳(‬ ‫√‬ ‫‪n2 + n − n2 + 1‬‬ ‫=‬ ‫)) ‪cos(ln(1 + n1‬‬ ‫√‬ ‫‪lim‬‬ ‫∞→‪n‬‬ ‫√‬ ‫פתרון‪ :‬נובע ממשפט האלגברה של גבולות וגם מהרציפות של הפונקציות ‪, x‬‬ ‫)‪ cos(x) ,ln(x‬כי‬ ‫√‬ ‫√‬ ‫√‬ ‫‪n2 + n − n2 + 1‬‬ ‫‪n2 + n + n2 + 1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪n−1‬‬ ‫√‬ ‫√‬ ‫√·‬ ‫‪= lim‬‬ ‫√·‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫)) ‪cos(ln(1 + n‬‬ ‫)) ‪n2 + n + n2 + 1 n→∞ cos(ln(1 + n‬‬ ‫‪n2 + n + n2 + 1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫= ·‪· =1‬‬ ‫‪cos(ln(1)) 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪n2‬‬ ‫√‬ ‫‪lim‬‬ ‫∞→‪n‬‬ ‫‪1 − n1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪q‬‬ ‫‪q‬‬ ‫·‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪limn→∞ cos(ln(1 + n1 )) n→∞ 1 + 1 + 1 +‬‬ ‫‪n‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫)ב( )‪ 9‬נק׳(‬ ‫‪n‬‬ ‫=‬ ‫‪n2 + k 2‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪k=1‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫∞‪n→+‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ f (x) = 1+x‬ביחס לחלוקה של הקטע‬ ‫פתרון‪ :‬מדובר בסכום רימן של הפונקציה ‪2‬‬ ‫‪k‬‬ ‫]‪ [0, 1‬ל־ ‪ n‬חלקים שווים‪ ,‬כלומר }‪ {0 = x0 < x1 < . . . xn = 1‬כאשר ‪,xk = n‬‬ ‫‪:k = 0, 1, . . . n‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫‪1 + x2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪Z‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪= lim‬‬ ‫= ‪f (xk )∆xk‬‬ ‫∞→‪n n‬‬ ‫‪k=1‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪π‬‬ ‫=‪−0‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫·‬ ‫‪1‬‬ ‫‪k2‬‬ ‫‪n2‬‬ ‫‪1+‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪k=1‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫∞→‪n‬‬ ‫=‬ ‫= )‪= arctan(1) − arctan(0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n2 + k 2‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪k=1‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫∞→‪n‬‬ ‫‪) .2‬א( )‪ 9‬נק׳(‬ ‫‪5−x‬‬ ‫חשבו את משוואת הישר המשיק לפונקציה‬ ‫‪x2 + 3‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪3‬‬ ‫= )‪ f (x‬בנקודה‬ ‫‪.x = −2‬‬ ‫פתרון‪ :‬המשוואה של הישר המשיק לפונקציה )‪ f (x‬בנקודה ‪ x = −2‬נתונה ע״י‬ ‫)‪ .y = f (−2) + f 0 (−2)(x + 2‬מההצבה אנו מקבלים ש־ ‪ .f (−2) = 1‬בנוסף‪,‬‬ ‫ ‪− 2‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪ 2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪5 − x 0 1 5 − x − 3 x2 − 10x − 3‬‬ ‫·‬ ‫=‬ ‫·‬ ‫‪x2 + 3‬‬ ‫‪3 x2 + 3‬‬ ‫‪(x2 + 3)2‬‬ ‫אזי‬ ‫‪1‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪5−x‬‬ ‫‪x2 + 3‬‬ ‫‬ ‫‪1‬‬ ‫= )‪f (x‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x 9‬‬ ‫‪y = 1 + (x + 2) = +‬‬ ‫= )‪ f 0 (2‬ולכן אנו מקבלים‬ ‫‪7‬‬ ‫‪7 7‬‬ ‫)ב( )‪ 9‬נק׳( מצאו את כל נקודות האי־רציפות של הפונקציה הבאה ומיינו אותן‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪+ e x−2 , x 6= 1, 2‬‬ ‫‬ ‫‪1‬‬ ‫‪(x−1)2‬‬ ‫‬ ‫‪arctan‬‬ ‫‪x = 1, 2‬‬ ‫(‬ ‫= )‪f (x‬‬ ‫‪1,‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x−1 , x−2‬‬ ‫פתרון‪ :‬הפונקציות ‪ arctan(x), ex , x2‬רציפות לכל ‪ ,x ∈ R‬והפונקציות‬ ‫רציפות לכל ‪ .x 6= 1, 2‬לכן אנו מקבלים ש־ ‪ f‬רציפה בכל ‪ ,x 6= 1, 2‬כי היא‬ ‫‪1‬‬ ‫)‪,limx→1 (x−1‬‬ ‫הרכבה וחיבור של פונקציות רציפות בתחום זה‪.‬‬ ‫בנוסף‪2 = ∞ ,‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ ,limx→2+ x−2‬לכן‬ ‫‪= +∞ ,limx→2− x−2‬‬ ‫∞‪= −‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪lim f (x) = lim arctan‬‬ ‫)‪+ e x−2 = + e−1 6= 1 = f (1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x→1‬‬ ‫‪x→1‬‬ ‫)‪(x − 1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪lim f (x) = lim arctan‬‬ ‫= ‪+ e x−2 = arctan(1) + 0‬‬ ‫‪x→2−‬‬ ‫‪x→2−‬‬ ‫‪(x − 1)2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫∞ = ‪+ e x−2‬‬ ‫‪lim f (x) = lim arctan‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x→2+‬‬ ‫‪x→2+‬‬ ‫)‪(x − 1‬‬ ‫אזי ‪ x = 1‬היא נקודת אי־רציפות סליקה‪ ,‬ו־ ‪ x = 2‬היא נקודת אי־רציפות‬ ‫עיקרית‪/‬מסוג שני‪.‬‬ ‫)ג( )‪√9‬נק׳( הוכיחו או הפריכו את הטענה‪ :‬הפונקציה |) ‪ f (x) = | sin(x2‬גזירה בנקודה‬ ‫‪.x = π‬‬ ‫פתרון‪ :‬נשים לב כי‬ ‫√‬ ‫‪<x< π‬‬ ‫√‬ ‫‪x= π‬‬ ‫‪q‬‬ ‫√‬ ‫‪π < x < 3π‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪pπ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪sin(x ),‬‬ ‫‪f (x) = | sin(x2 )| = 0,‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪− sin(x2 ),‬‬ ‫אזי‬ ‫√‬ ‫√‬ ‫)‪f (x) − f ( π‬‬ ‫‪sin(x2 ) − 0 L0 Hopital‬‬ ‫‪cos(x2 )2x‬‬ ‫√‬ ‫√‬ ‫‪lim‬‬ ‫=‬ ‫‪lim‬‬ ‫=‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪= −2 π‬‬ ‫√‬ ‫√‬ ‫√‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪x→ π−‬‬ ‫‪x→ π−‬‬ ‫‪x→ π−‬‬ ‫√‬ ‫‪2‬‬ ‫‪0‬‬ ‫√‬ ‫)‪f (x) − f ( π‬‬ ‫‪− sin(x ) − 0 L Hopital‬‬ ‫‪− cos(x2 )2x‬‬ ‫√‬ ‫√‬ ‫‪lim‬‬ ‫=‬ ‫‪lim‬‬ ‫=‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪=2 π‬‬ ‫√‬ ‫√‬ ‫√‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x− π‬‬ ‫‪x− π‬‬ ‫‪x→ π+‬‬ ‫‪x→ π+‬‬ ‫‪x→ π+‬‬ ‫√‬ ‫אנו מקבלים שהגבולות החד־צדדיים שונים‪ ,‬ולכן ‪ f‬אינה גזירה בנקודה ‪.x = π‬‬ ‫‪2‬‬ .‫ חשבו את האינטגרלים הבאים‬.3 (‫ נק׳‬9) (‫)א‬ π Z x2 sin(x) dx = 0 :‫ נשתמש באיטגרציה בחלקים‬:‫פתרון‬ Z π 2 x sin(x) dx = 2 −x cos(x) 0 −x2 cos(x) x=π x=0 x=π π Z − 2x(− cos x) dx Z0 π 2x cos(x) dx Z π x=π 2 sin(x) dx = −x2 cos(x) + 2x sin(x) x=0 − 0 x=π = −x2 cos(x) + 2x sin(x) + 2 cos(x) x=0 = x=0 + 0 = (−π 2 cos(π) + 0 + 2) − (0 + 0 + 2) = π 2 − 4 (‫ נק׳‬10) (‫)ב‬ Z 12x3 + 11x2 + 8x + 12 dx = x4 + 4x2 ‫ כלומר יש למצוא‬,‫ קודם כל יש לחשב את הפירוק לשברים חלקיים‬:‫פתרון‬ ‫ המקיימים‬A, B, C, D ∈ R 12x3 + 11x2 + 8x + 12 12x3 + 11x2 + 8x + 12 A B Cx + D = = + 2+ 2 x4 + 4x2 x2 (x2 + 4) x x x +4 ‫ אנו מקבלים‬,x2 (x2 + 4) ‫אחרי הכפלת שני הצדדים במכנה המשותף‬ 12x3 +11x2 +8x+12 = Ax(x2 +4)+B(x2 +4)+(Cx+D)x2 = (A+C)x3 +(B+D)x2 +4Ax+4B ‫לכן יש לפתור את המשוואות‬ A + C = 12, B + D = 11, 4A = 8, 4B = 12 ‫ נשאר לנו לחשב‬,‫ כלומר‬.A = 2, B = 3, C = 10, D = 8 ‫אזי‬ Z 2 3 10x + 8 + + 2 x x2 x +4 = 3 +5 x Z 3 2x dx + 8 x2 + 4 Z 1 dx x2 + 4 x 3 2 ln |x| − + 5 ln(x2 + 4) + 4 arctan +C x 2 dx = 2 ln |x| − ‫‪ .4‬תהי‬ ‫)‪ln(x‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫= )‪.f (x‬‬ ‫)א( )‪ 9‬נק׳( חשבו את כל האסימפטוטות של ‪.f‬‬ ‫פתרון‪ :‬הפונקציה )‪ ln(x‬מוגדרת כאשר ‪ x > 0‬בלבד‪ ,‬ולכן תחום ההגדרה של ‪f‬‬ ‫הוא הקטע )∞ ‪ .(0,‬יתר על כן‪ x ,ln(x) ,‬רציפות בקטע )∞ ‪ (0,‬והפונקציה ‪ x‬אינה‬ ‫מתאפסת בו‪ ,‬לכן נובע ממשפט האלגברה של הפונקציות הרציפות כי ‪ f‬רציפה‪.‬‬ ‫אזי יש לברר האם יש ל־ ‪ f‬אסימפטוטות כאשר ∞ → ‪ x‬ו־ ‪ x → 0+‬בלבד‪.‬‬ ‫נשים לב כי ∞‪ limx→0+ x12 = ∞ ,limx→0+ ln(x) = −‬לכן‬ ‫)‪ln(x‬‬ ‫∞‪= −‬‬ ‫‪x→0+ x2‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫לכן יש לפונקציה ‪ f‬אסימפטוטה אנכית ‪ x = 0‬כאשר ‪.x → 0+‬‬ ‫∞‬ ‫∞ ״ ( כי‬ ‫בנוסף‪ ,‬נובע מכלל לופיטל )מקרה ״‬ ‫‪1‬‬ ‫)‪ln(x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫=‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪=0‬‬ ‫‪= lim‬‬ ‫‪x→∞ 2x‬‬ ‫‪x→∞ x2‬‬ ‫‪x→∞ 2x2‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫לכן יש לפונקציה ‪ f‬אסימפטוטה אופקית ‪ y = 0‬כאשר ∞ → ‪.x‬‬ ‫)ב( )‪ 9‬נק׳( האם יש לפונקציה ‪ f‬נקודות מקסימום ומינימום גלובאלי? אם כן‪ ,‬מצאו‬ ‫אותם ואם לא‪ ,‬נמקו‪.‬‬ ‫פתרון‪ :‬נשים לב כי ‪ f‬גזירה ובנוסף‬ ‫‪· x2 − ln(x) · 2x‬‬ ‫)‪1 − 2 ln(x‬‬ ‫=‬ ‫‪4‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫= )‪f 0 (x‬‬ ‫יתר על כן המכנה חיובי כאשר ‪ .x > 0‬לכן סימן המונה קובע את הסימן של‬ ‫המנה‪ .‬הפונקציה )‪ g(x) = 1 − 2 ln(x‬יורדת ממש משום ש־ ‪ g0 (x) = − x2 < 0‬לכל‬ ‫‪ .x > 0‬יתר על כן‬ ‫√‬ ‫‪1‬‬ ‫‪⇐⇒ x = e‬‬ ‫‪2‬‬ ‫= )‪1 − 2 ln(x) = 0 ⇐⇒ ln(x‬‬ ‫√‬ ‫√‬ ‫לכן אנו מקבלים ש־ ‪ f 0 (x) >√0‬כאשר ‪ ,x < e‬ו־ ‪ f 0 (x)√< 0‬כאשר ‪ .x > e‬כלומר‪,‬‬ ‫‪ f‬עולה ממש בקטע )‪ (0, e‬ויורדת ממש בקטע )∞ ‪.( e,‬‬ ‫√‬ ‫לכן ‪ f‬מקבלת מקסימום גלובאלי בנקודה ‪ .x = e‬בנוסף‪ ,‬מכיוון ש־‬ ‫∞‪ ,limx→0+ f (x) = −‬אין לפונקציה ‪ f‬מינימום גלובאלי‪.‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪ 9) .5‬נק׳( קופסת מתכת ללא מכסה נבנית מלוח מתכת ריבועי בעל אורך צלע ‪ L‬על־ידי‬ ‫חיתוך רבועי מתכת בעלי אורך צלע ‪ x‬מארבע הפינות של לוח המתכת וקיפול הדפנות‬ ‫המתקבלות בדרך זו‪ .‬מהו הנפח המקסימלי האפשרי של קופסאות המתכת המתקבלות‬ ‫בדרך זו‪.‬‬ ‫פתרון‪ :‬נפח הקופסה נתון ע״י הפונקציה‬ ‫‪f (x) = x(L − 2x)2 ,‬‬ ‫כאשר ] ‪ .x ∈ [0, L2‬הפונקציה ‪ f‬רציפה בקטע סגור וחסום ] ‪ [0, L2‬ולכן נובע ממשפט‬ ‫ויירשטראס שישנה נקודות מקסימום מוחלט בקטע זה‪ .‬נשים לב כי הפונקציה חיובית‬ ‫כאשר ‪ 0 < x < L2‬ובנוסף ‪ .f (0) = f ( L2 ) = 0‬לכן נקודת המקסימום המוחלט נמצאת‬ ‫בקטע ) ‪ ,(0, L2‬והפונקציה גזירה בו‪ ,‬לכן נובע ממשפט פרמה שבנקודה הזו הנגזרת‬ ‫מתאפסת‪.‬‬ ‫‪f 0 (x) = (L − 2x)2 + x2(L − 2x) · (−2) = 4x2 − 4Lx + L2 − 4Lx + 8x2 = 12x2 − 8LX + L2‬‬ ‫‪L L‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪2 6‬‬ ‫= ‪f 0 (x) = 0 ⇐⇒ 12x2 − 8LX + L2 = 0 ⇐⇒ x‬‬ ‫לכן אנו מקבלים הנפח המקסימלי כאשר‬ ‫‪L‬‬ ‫‪L‬‬ ‫‪2L3‬‬ ‫= ) ( ‪=⇒ f‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪27‬‬ ‫=‪x‬‬ ‫‪ 9) .6‬נק׳( תהי ‪ f : R → R‬פונקציה גזירה המקיימת ‪ f (n) = (−π)n‬כאשר ‪ .n ∈ Z‬הוכיחו‬ ‫כי ‪ f 0‬אינה חסומה‪.‬‬ ‫פתרון‪ :‬נובע ממשפט הערך הממוצע של לגרנג׳ שלכל ‪ 1 ≤ n ∈ N‬קיים )‪cn ∈ (0, 2n‬‬ ‫המקיים‬ ‫)‪f (2n) − f (0‬‬ ‫‪(−π)2n − 1‬‬ ‫‪π 2n − 1‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪2n − 0‬‬ ‫‪2n‬‬ ‫‪2n‬‬ ‫נשים לב שנובע למשל ממשפט לופיטל )מקרה ״‬ ‫∞‬ ‫∞‬ ‫= ) ‪f 0 (cn‬‬ ‫״( כי‬ ‫‪π 2x − 1‬‬ ‫‪2 ln(π)π 2x‬‬ ‫‪= lim‬‬ ‫∞=‬ ‫∞→‪x‬‬ ‫∞→‪x‬‬ ‫‪2x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫אזי אנו מקבלים כי‬ ‫‪π 2n − 1‬‬ ‫‪lim f 0 (cn ) = lim‬‬ ‫‪= ∞.‬‬ ‫∞→‪n‬‬ ‫∞→‪n‬‬ ‫‪2n‬‬ ‫לכן ‪ f 0‬אינה חסומה‪.‬‬ ‫‪5‬‬