1. No category

17 ‫הרצאה‬
‫פתרון של משוואת לפלס‬
‫במלבן אינסופי‬
‫ של משוואת לפלאס‬u( x, y ) ‫מצא פתרון‬
(2 )
( 3)
 2u  2u

 0,
x 2 y 2
‫ שמקיים את התנאים‬0  x  a , y  0 ‫בתחום‬
u (0, y )  0, u (a, y )  0, y  0
. lim u(x , y )  0 ‫וגם את התנאי‬
(4 )
u  x,0   f  x ,0  x  a
(1 )
y 
.‫פתרון‬
:‫הפרדת משתנים‬
u  x, y   X  x Y  y , 0  x  a, 0  y,
u ′′yy x, y  Xx Y′′ y, u ′′xx x, y  X ′′ x Yy,
X  x Y  y   X  x Y  y   0, X  x Y  y   0 , 0  x  a, 0  y  b 
X   x 
X x
  YY yy

X  x 
Y  y 

 
X x 
Y y
 
 
u 0, y  0, u a, y  0, 0  y,  X  0   0 -‫ ו‬X a   0
X   X
X 0  0
X a   0
X  x   X x   0, X x   C1 cos  x  C2 sin  x,
Y  y   Y  y   0, Y  y   C3 e
y
y
.
n 2 2
n
, X n  x   C1n sin
x,
2
a
a
n 

u n  x, y   X n x Yn  y   C3n e a  C 4 n e
(5)
 C4e 
n
y
 na y
sin na x
n  1, 2,...,.
:‫( הוא‬2) ‫פתרון של משוואת לפלס המקיים את תנאי שפה‬

n
n
y
 n y
u  x, y    C3n e a  C4 n e a sin
x,
a
n 1
0  x  a, 0  y.


:‫ידי‬-‫( מתקבל על‬3) ‫פתרון פרטי המקיים את תנאי שפה‬

y   : lim u x, y     C3n lim e a  C4 n lim e
y 
y 
y 
n 1 
n
n
y
 na y
 sin n x  0.
a

– ‫ מכאן‬,‫ והטור מתבדר‬, C3n lim e a   ‫ אזי‬, C3n  0 -‫ הזה ש‬n ‫אם קיים‬
y
y  
, C3n  0, n  1, 2,...,
:‫( מקבלים‬6)-‫( ו‬5) ‫ידי‬-‫ועל‬

n
 n y
u  x, y    C4 n e a sin
x
a
n 1
(6)
(7)
:‫ מקבלים‬.(7)-‫ ל‬y  0 ‫מציבים את‬

(8)
u  x, 0   C4 n sin na x  f  x , 0  x  a
n 1
- ‫ לכן‬.‫ לטור פורייה לפי סינוסים‬f  x , 0  x  a ‫( מייצגת פתוח של הפונקציה‬8) ‫זאת אומרת‬
a
C4 n 
2
a
 f x sin
n
a
xdx, n  1, 2,....
0
:‫תשובה‬
a
 
  n y
2
n
n
u  x, y      f  x  sin
xdx  e a sin
x
a
a
n 1  a 0
