דוגמא לפתרון מבחן C

‫פתרון למבחן ‪( C‬שנערך בספטמבר ‪)4102‬‬
‫‪ .0‬מצאו את השארית שמתקבלת כאשר מחלקים פולינום ‪ x5   x  1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪7‬‬
‫‪ x  1‬‬
‫בפולינום ‪. x  2‬‬
‫פתרון‪ .‬ידוע‪ ,‬שכל פולינום ‪ p  x ‬ניתן להציג באמצעות חלוקה עם שארית בצורה‬
‫‪p  x    x  2 q  x   r‬‬
‫כאשר ‪ r‬הוא שארית של ‪ p‬בחלוקה ל‪ , x  2 -‬וזה בהכרח פולינום שדרגתו נמוכה מ‪,1-‬‬
‫כלומר קבוע‪ .‬אם מציב ‪ , 2‬אז המחובר שמכיל ‪ x  2‬יתאפס‪ .‬לכן ‪. p  2   r‬‬
‫במקרה ש‪ , p  x    x  1  x5   x  1 -‬השארית היא‬
‫‪3‬‬
‫‪7‬‬
‫‪. r   2  1   2    2  1  17  25  33  1  32  27  60‬‬
‫‪5‬‬
‫‪3‬‬
‫‪7‬‬
‫‪sin x  tan x‬‬
‫‪ .4‬חשבו את‬
‫‪x 0‬‬
‫‪x3‬‬
‫‪. lim‬‬
‫פתרון‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪sin x  tan x‬‬
‫‪sin x‬‬
‫‪cos x  lim sin x  lim 1  cos x  1 ‬‬
‫‪lim‬‬
‫‪‬‬
‫‪lim‬‬
‫‪‬‬
‫‪x 0‬‬
‫‪x 0‬‬
‫‪x 0‬‬
‫‪x3‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x2‬‬
‫‪x x0 cos x‬‬
‫‪x2‬‬
‫‪cos 2 2x  sin 2 2x   cos 2 2x  sin 2 2x ‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2sin 2 2x‬‬
‫‪ 1  lim‬‬
‫‪ lim‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪lim‬‬
‫‪‬‬
‫‪x 0 cos x x 0‬‬
‫‪x 0‬‬
‫‪x2‬‬
‫‪x2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ sin y ‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪  lim ‬‬
‫‪  1  ‬‬
‫‪‬‬
‫‪2 y 0  y ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪ y  2x ‬‬
‫‪1‬‬
‫‪sin 2 2x‬‬
‫‪   lim‬‬
‫‪2 x0  2x 2‬‬
‫‪ .3‬מה יותר גדול‪sin1  sin3  sin5  ...  sin175  sin177 :‬‬
‫או ‪? sin 2  sin 4  sin 6  ...  sin176  sin178‬‬
‫פתרון‪ .‬בתחום ‪ ,  0,  ‬שזה בעצם ‪ 0 ,180 ‬סינוס היא פונקציה קעורה ממש (בוכה)‪,‬‬
‫ולכן לכל ‪ 1  n  179‬מתקיים ‪ n ‬‬
‫‪  sin‬‬
‫‪sin  n  1   sin  n  1‬‬
‫‪2‬‬
‫נחבר אי‪-‬שוויונים כאלה עבור כל מספרים אי‪-‬זוגיים מ‪ 1-‬עד ‪ 171‬ונקבל‪:‬‬
‫‪.‬‬
‫‪sin1  sin 3  sin 5  ...  sin175  sin177 ‬‬
‫‪ 12 sin 0  sin 2  sin 4  sin 6  ...  sin176  sin178  12 sin180 ‬‬
‫‪ sin 2  sin 4  sin 6  ...  sin176  sin178‬‬
‫הרי ‪. sin 0  0  sin180‬‬
‫הערה‪ .‬ניתן לקבל את אי‪-‬השוויון הזה גם בלי שיקולי קמירות‪ ,‬הרי‬
‫‪ ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ ‬‬
‫והרי בדרך כלל ‪ 1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪cos‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪, sin   sin   2sin‬‬
‫‪ , cos‬לכן כל עוד כל הסינוסים בנוסחה אי‪-‬שליליים מקבלים‬
‫אי‪-‬שוויון בכיוון הנכון‪.‬‬
‫‪ 1 n‬‬
‫‪‬‬
‫‪ .2‬חשב את ‪. lim  2  n 2  k 2 ‬‬
‫‪n n‬‬
‫‪ k 0‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1 n‬‬
‫‪k ‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 1 n‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫פתרון‪lim  2  n  k   lim  1      1  x 2  dx  .‬‬
‫‪n n‬‬
‫‪4‬‬
‫‪ n   0‬‬
‫‪ k 0‬‬
‫‪ n  n k 0‬‬
‫הרי המשמעות הגיאומטרית של האינטגרל זה רבע עיגול של רדיוס ‪.1‬‬
‫‪ .5‬שני ישרים‬
‫‪2‬‬
‫‪,‬‬
‫שני ישרים אחרים‬
‫‪1‬‬
‫‪4‬‬
‫שמקבילים זה לזה‪ ,‬משיקים לאליפסה ‪ E‬בנקודות שונות ‪ A‬ו‪.B-‬‬
‫‪,‬‬
‫‪3‬‬
‫שמקבילים לישר ‪ ,AB‬משיקים לאותה לאליפסה ‪ E‬בנקודות‬
‫שונות ‪ C‬ו‪ .D-‬הוכח כי הישר ‪ CD‬מקביל לישרים‬
‫‪2‬‬
‫‪. 1,‬‬
‫‪x2 y 2‬‬
‫פתרון‪ .‬אליפסה ניתן להציג במערכת צירים מסוימת בתור ‪ . 2  2  1‬מכאן קל‬
‫‪a‬‬
‫‪b‬‬
‫לראות‪ ,‬שאם מגדילים את האליפסה בציר אחד‪ ,‬כלומר מכפילים את קואורדינאטה ‪ y‬ב‪-‬‬
‫‪a‬‬
‫‪b‬‬
‫בקבוע) הופכת קו ישר לקו ישרה ושומרת על השקה בין ישר לאליפסה‪ ,‬וגם על מקבילות‬
‫הישרים‪ .‬לכן מספיק להראות שהטענה מתקיימת לאחר המתיחה‪.‬‬
‫‪ ,‬אז האליפסה הופכת למעגל‪ .‬העתקה זו (להכפיל קואורדינאטה שנייה של כל נקודה‬
‫ובכן‪ ,‬מספיק לפתור את השאלה עבור מעגל‪ .‬שני משיקים ‪, 2‬‬
‫משיקים בקצוות של אותו הקוטר‪ ,‬הרי הרדיוסים שעוברים בנקודות ההשקה מאונכים‬
‫למשיקים‪ ,‬ולכן גם הם חייבים להיות בכיוונים מקבילים‪ ,‬כלומר אלה שני רדיוסים‬
‫‪1‬‬
‫שמקבילים זה לזה הם‬
‫שנמצאים על אותו קוטר ‪ . d‬כל התמונה סימטרית ביחס לישר של ‪ , d‬לכן גם ‪ C‬סימטרי‬
‫ל‪ D-‬ביחס לישר של ‪ , d‬ולכן ‪ CD‬מאונך ל‪ D-‬ומקביל לישרים ‪. 1 , 2‬‬
‫מתיחה בציר ‪ y‬הייתה חיונית להוכחה‪ :‬אחרת לא היינו מקבלים מאונכות של ישרים‪.‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫‪ .6‬הוכח כי ‪.    k 2  n  2n1  n  n  1 2n2‬‬
‫‪k 0  k ‬‬
‫פתרון ראשון‪.‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n 2 n n‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫‪k‬‬
‫‪‬‬
‫‪k‬‬
‫‪‬‬
‫‪k‬‬
‫‪k‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪k‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪k ‬‬
‫‪k ‬‬
‫‪k ‬‬
‫‪  k  k  1 ‬‬
‫‪k 0  ‬‬
‫‪k 1  ‬‬
‫‪k 1  ‬‬
‫‪k 1  k ‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫!‪n‬‬
‫!‪n‬‬
‫‪‬‬
‫‪k  ‬‬
‫‪ k  k  1 ‬‬
‫!‪k 1 k ! n  k ‬‬
‫!‪k  2 k ! n  k ‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫!‪n  1‬‬
‫‪‬‬
‫‪ n  2 ! ‬‬
‫‪ n‬‬
‫‪ n  n  1  ‬‬
‫!‪k 1  k  1! n  k ‬‬
‫!‪k  2  k  2 ! n  k ‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n2 n  2‬‬
‫‪ n  1‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪n 1‬‬
‫‪n2‬‬
‫‪ n  ‬‬
‫‪ n  n  1   ‬‬
‫‪ n  1  1  n  n  1  1  1 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪j ‬‬
‫‪i 0  i ‬‬
‫‪j ‬‬
‫‪ n  2n1  n  n  1 2n2‬‬
‫‪n 1‬‬
‫פתרון שני‪ .‬נניח שמתוך ‪ n‬אנשים צריך לבחור מפלגה‪ ,‬ובמפלגה צריך למנות גם יושב‬
‫ראש ונשיא (יתכן שיושב ראש הוא הנשיא‪ ,‬אבל לאו דווקא)‪ .‬כמה דרכים יש לעשות זאת?‬
‫נפתור שאלה זו בשתי דרכים‪.‬‬
‫‪n‬‬
‫מצד אחד‪ ,‬לבחור מפלגה של ‪ k‬אנשים ניתן ב‪   -‬דרכים‪ ,‬אחר כך יש ‪ k‬דרכים לבחור‬
‫‪k ‬‬
‫‪n‬‬
‫יושב ראש ו‪ k -‬דרכים לבחור נשיא‪ .‬זה משאיר נותן לנו ‪   k 2‬אפשרויות‪ ,‬וצריך לסכם‬
‫‪k ‬‬
‫על ‪ , k‬וכך מקבלים את האגף השמאלי‪.‬‬
‫מצד שני‪ ,‬אפשר להפריד לשני מקרים‪ .‬יש ‪ n‬דרכים לבחור נשיא‪ .‬אם הוא גם יושב ראש‪,‬‬
‫אז מה שנשאר זה לצרף אליו תת‪-‬קבוצה כלשהי מתוך ‪ n  1‬האנשים האחרים‪ ,‬ואת זה‬
‫ניתן לעשות ב‪ 2n1 -‬דרכים‪ ,‬כלומר כאשר יושב ראש הוא הנשיא יש ‪ n  2n1‬אפשרויות‪.‬‬
‫אם יושב ראש הוא לא הנשיא‪ ,‬יש ‪ n  1‬דרכים לבחור אותו‪ ,‬ואז אפשר לצרף למפלגה כל‬
‫תת‪-‬קבוצה מתוך ‪ n  2‬האנשים האחרים‪ ,‬שלזה ‪ 2n2‬אפשרויות‪ .‬כלומר במקרה השני‬
‫‪ n  n  1 2n2‬אפשרויות‪ .‬ביחד משני המקרים מקבלים את האגף הימני של הזהות‪.‬‬
‫‪ .7‬מה יותר גדול‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ 1 100‬או ‪? e‬‬
‫‪‬‬
‫‪100‬‬
‫‪101‬‬
‫‪1‬‬
‫‪dx‬‬
‫‪101‬‬
‫‪101‬‬
‫פתרון ראשון‪.‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ ln x 100  ln101  ln100  ln‬‬
‫‪100 100 x‬‬
‫‪100‬‬
‫‪101‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫לכן אם נעלה ‪ e‬בחזקה של כל אחד מהאגפים נקבל‬
‫‪100‬‬
‫‪100‬‬
‫‪1‬‬
‫‪100‬‬
‫‪‬‬
‫‪,e‬‬
‫‪100‬‬
‫כלומר‬
‫‪1 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪. e  1 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 100 ‬‬
‫פתרון שני‪ .‬ידוע כי ‪ . e  lim 1  1x ‬נחקור את התנהגות הפונקציה ‪f  x   1  1x ‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫בתחום ‪ . 100, ‬בשביל זה נגזור את הפונקציה‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪'   ln1 1x x '  ln1 1x x‬‬
‫‪ e‬‬
‫‪ln 1  1x    x ' ‬‬
‫‪‬‬
‫‪ e‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪1 ‬‬
‫‪x‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1 x‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ 1  1x   ln 1  1x  ‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫'‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪ln‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪2 ‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪1 ‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ 1  1x   ln  xx1  ‬‬
‫‪‬‬
‫‪x 1‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪x‬‬
‫‪f '  x   1  1x ‬‬
‫השאלה החשובה היא האם פונקציה עולה או יורדת בתחום ‪ , 100, ‬כלומר האם‬
‫הנגזרת שלילית או חיובית‪ .‬ברור שהגורם ‪ 1  1x ‬חיובי‪ .‬לגבי הגורם השני‪ ,‬נשתמש‬
‫‪x‬‬
‫באי‪-‬שוויון ידוע ‪ ; ln 1  t   t‬השוויון מתקיים רק ב‪ ,0-‬זה מתקבל מכך ש‪ ln -‬היא‬
‫פונקציה קעורה שנמצאת מתחת למשיק‪ .‬אז‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1 ‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ x 1‬‬
‫‪ x ‬‬
‫‪‬‬
‫‪ln ‬‬
‫‪  ln ‬‬
‫‪  ln 1 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ x  x 1‬‬
‫‪ x 1 x 1‬‬
‫‪ x 1 x 1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪0‬‬
‫‪x 1 x 1‬‬
‫אי‪-‬שוויון לא הופך לשוויון עבור ‪ , x  100‬לכן הפונקציה עולה ממש‪ ,‬לכן‬
‫‪1‬‬
‫‪e  lim 1  1x   1  100‬‬
‫‪‬‬
‫‪100‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ .8‬מתומן ‪ ABCDEFGH‬משוכלל‪ .AE = 2 ,‬על ‪ AE‬נבחרה נקודה ‪ ,X‬שמחלקת את‬
‫הקטע ‪ AE‬ביחס ‪ .3:1‬מצא את ‪. AX  BX  CX  DX  EX  FX  GX  HX‬‬
‫פתרון‪ .‬נצייר את המתומן על המישור המרוכב‪ ,‬כאשר מרכז המתומן הוא ‪ ,0‬ונקודה ‪A‬‬
‫היא ‪ .1‬אז הקודקודים הם שורשי הפולינום ‪ , z 8  1‬כלומר ניתן לרשום‬
‫‪, z8  1   z  a  z  b  z  c   ...   z  h ‬‬
‫כאשר ‪ a, b, c,..., h‬הם המספרים המרוככבים שמתאימים לקודקודי המתומן‪ .‬קל לראות‬
‫כי ‪ X‬מתאימה למספר המרוכב ‪ . x   12‬לכן‬
‫‪AX  BX  CX  DX  EX  FX  GX  HX  x  a  x  b  x  c  ...  x  h ‬‬
‫‪1‬‬
‫‪255‬‬
‫‪‬‬
‫‪256 256‬‬
‫‪1  1‬‬
‫‪ 12 ‬‬
‫‪8‬‬
‫‪  x  a  x  b  x  c   ...   x  h   x8  1 ‬‬
‫‪ .9‬פירמידה משולשת מוכלת בקוביית יחידה‪ .‬מה יכול להיות הנפח המרבי שלה?‬
‫פתרון‪ .‬נפח שווה לשטח הבסיס כפול הגובה חלקי ‪ .3‬לכן אם מזיזים קודקוד אחד של‬
‫פירמידה לאורך קטע ישר‪ ,‬מקבלים נפח מכסימלי כאשר המרחק מהפאה הנגדית הוא גדול‬
‫ביותר‪ ,‬כלומר באחד מקצוות הקטע‪.‬‬
‫אם אחד מקודקודי הפירמידה הוא נקודה פנימית של הקובייה‪ ,‬אפשר להעביר דרכה ישר‬
‫שיחתוך את הקובייה לאורך קטע‪ .‬אפשר להחליף את הנקודה לנקודה קיצונית של הקטע‬
‫והנפח לא יקטן‪ .‬לכן מספיק לפתור את השאלה במקרה שכל הקודקודים נמצאים על פאות‬
‫הקובייה‪.‬‬
‫אם אחד מקודקודי הפירמידה נמצאת על נקודה פנימית של פאה של הקובייה‪ ,‬ניתן להעביר‬
‫ישר שנמצא במישור הפאה‪ .‬ישר זה יחתוך את הקובייה לאורך קטע‪ ,‬שנמצא בפאה של‬
‫הקובייה‪ .‬ניתן להחליף את הקודקוד הנוכחי באחד מקצוות הקטע‪ ,‬כך שהקטע לא יקטן‪.‬‬
‫לכן לכן מספיק לפתור את השאלה במקרה שכל הקודקודים נמצאים על מקצועות הקובייה‪.‬‬
‫באופן דומה‪ ,‬אם קודקוד של פירמידה נמצא על המקצוע של הקובייה‪ ,‬ניתן להזיז אותו‬
‫לאחד הקודקודים של אותו המקצוע‪ ,‬והנפח לא יקטן‪ .‬לכן מספיק לפתור את השאלה‬
‫למקרה שכל קודקודי הפירמידה הם גם קודקודים של קוביה‪ .‬זה משאיר לנו מספר סופי‬
‫של מקרים‪.‬‬
‫להמשך נניח שפאה אופקית הוא ריבוע ‪ ,ABCD‬ומקצועות אנכיים הם '‪,CC' ,BB' ,AA‬‬
‫'‪ .DD‬ניתן מראש לפסול את האפשרות שבו כל הקודקודים באותה פאה‪ ,‬הרי אז הנפח ‪.0‬‬
‫יש מספר מקרים‪ ,‬בהם ‪ 3‬קודקודים באותה פאה (למשל '‪ .)ABCB‬שלוש נקודות אלו‬
‫יוצרות משולש ששטחו ‪ , 12‬וגובה ‪ ,1‬לכן הנפח ‪. 16‬‬
‫נבדוק כעת מקרים‪ ,‬שבהם אף ‪ 3‬נקודות לא בישר אחד‪ .‬נפריד את המקרים האלה לשתי‬
‫סוגים‪ :‬כאשר לוקחים שני קודקודים סמוכים של קובייה וכאשר לא לוקחים‪.‬‬
‫אם יש לנו שני קודקודים סמוכים של הקובייה‪ ,‬נניח שאלה ‪ A‬ו‪( B-‬ואם לא – נסובב את‬
‫הקובייה)‪ .‬אז אסור לקחת את הקודקודים ‪ B' ,A' ,D ,C‬כי אז חוזרים שוב למקרה של ‪3‬‬
‫קודקודים בפאה אחד‪ .‬נשארים רק ‪ 2‬קודקודים ‪ C' :‬ו‪ ,D'-‬ולכן אם רוצים ‪ 4‬קודקודים‬
‫צריך לקחת את שניהם‪ .‬אבל אז ‪ 4‬הקודקודים ‪ D' ,C' ,B ,A‬במישור אחד‪ ,‬והנפח ‪.0‬‬
‫ובכן‪ ,‬נשאר המקרה שבו אין ‪ 3‬קודקודים בפאה אחד‪ ,‬ואף שני קודקודי קוביה שלוקחים‬
‫לא סמוכים‪ .‬נוכל להניח שלוקחים את ‪( A‬ואם לא‪ ,‬אפשר לסובב את הקובייה)‪ .‬לכן לא‬
‫לוקחים את ‪ ,A' ,D ,B‬כי אמרנו שלא לוקחים קודקודים בסמוכים‪ .‬אם ניקח גם את '‪ C‬זה‬
‫יפסול לנו את כל הקודקודים האחרים‪ :‬את '‪ D' ,B‬ואת ‪ ,C‬לכן אסור לקחת גם את '‪.C‬‬
‫נשארים רק הקודקודים ‪ B' ,C‬ו‪ ,D'-‬וחייבים לקחת את כולם‪ ,‬על מנת שיהיו ‪ 4‬קודקודים‪.‬‬
‫ובכן‪ ACB'D' ,‬זה המקרה היחיד (עד כדי סיבוב) שנשאר לבדוק‪ .‬אפשר לקבל את המקרה‬
‫הזה כאשר מורידים מקוביית יחידה ‪ 4‬פירמידות '‪,ACBB' ,CC'B'D' ,AA'B'D‬‬
‫'‪ ,ACDD‬שלכל אחד מהם ‪ 3‬קודקודים בפאה אחת‪ ,‬כלומר הנפח ‪ 16‬כמו שחישבנו קודם‪.‬‬
‫לכן לפירמידה '‪ ACB'D‬הנפח הוא ‪.1  4  16  1  32  13‬‬