דוגמא לפתרון מבחן C
פתרון למבחן ( Cשנערך בספטמבר )4102 .0מצאו את השארית שמתקבלת כאשר מחלקים פולינום x5 x 1 3 7 x 1 בפולינום . x 2 פתרון .ידוע ,שכל פולינום p x ניתן להציג באמצעות חלוקה עם שארית בצורה p x x 2 q x r כאשר rהוא שארית של pבחלוקה ל , x 2 -וזה בהכרח פולינום שדרגתו נמוכה מ,1- כלומר קבוע .אם מציב , 2אז המחובר שמכיל x 2יתאפס .לכן . p 2 r במקרה ש , p x x 1 x5 x 1 -השארית היא 3 7 . r 2 1 2 2 1 17 25 33 1 32 27 60 5 3 7 sin x tan x .4חשבו את x 0 x3 . lim פתרון. 1 sin x tan x sin x cos x lim sin x lim 1 cos x 1 lim lim x 0 x 0 x 0 x3 x x2 x x0 cos x x2 cos 2 2x sin 2 2x cos 2 2x sin 2 2x 1 2sin 2 2x 1 lim lim 1 lim x 0 cos x x 0 x 0 x2 x2 1 2 sin y 1 1 1 lim 1 2 y 0 y 2 2 y 2x 1 sin 2 2x lim 2 x0 2x 2 .3מה יותר גדולsin1 sin3 sin5 ... sin175 sin177 : או ? sin 2 sin 4 sin 6 ... sin176 sin178 פתרון .בתחום , 0, שזה בעצם 0 ,180 סינוס היא פונקציה קעורה ממש (בוכה), ולכן לכל 1 n 179מתקיים n sin sin n 1 sin n 1 2 נחבר אי-שוויונים כאלה עבור כל מספרים אי-זוגיים מ 1-עד 171ונקבל: . sin1 sin 3 sin 5 ... sin175 sin177 12 sin 0 sin 2 sin 4 sin 6 ... sin176 sin178 12 sin180 sin 2 sin 4 sin 6 ... sin176 sin178 הרי . sin 0 0 sin180 הערה .ניתן לקבל את אי-השוויון הזה גם בלי שיקולי קמירות ,הרי 2 והרי בדרך כלל 1 2 cos 2 , sin sin 2sin , cosלכן כל עוד כל הסינוסים בנוסחה אי-שליליים מקבלים אי-שוויון בכיוון הנכון. 1 n .2חשב את . lim 2 n 2 k 2 n n k 0 2 1 1 n k 1 n 2 2 פתרוןlim 2 n k lim 1 1 x 2 dx . n n 4 n 0 k 0 n n k 0 הרי המשמעות הגיאומטרית של האינטגרל זה רבע עיגול של רדיוס .1 .5שני ישרים 2 , שני ישרים אחרים 1 4 שמקבילים זה לזה ,משיקים לאליפסה Eבנקודות שונות Aו.B- , 3 שמקבילים לישר ,ABמשיקים לאותה לאליפסה Eבנקודות שונות Cו .D-הוכח כי הישר CDמקביל לישרים 2 . 1, x2 y 2 פתרון .אליפסה ניתן להציג במערכת צירים מסוימת בתור . 2 2 1מכאן קל a b לראות ,שאם מגדילים את האליפסה בציר אחד ,כלומר מכפילים את קואורדינאטה yב- a b בקבוע) הופכת קו ישר לקו ישרה ושומרת על השקה בין ישר לאליפסה ,וגם על מקבילות הישרים .לכן מספיק להראות שהטענה מתקיימת לאחר המתיחה. ,אז האליפסה הופכת למעגל .העתקה זו (להכפיל קואורדינאטה שנייה של כל נקודה ובכן ,מספיק לפתור את השאלה עבור מעגל .שני משיקים , 2 משיקים בקצוות של אותו הקוטר ,הרי הרדיוסים שעוברים בנקודות ההשקה מאונכים למשיקים ,ולכן גם הם חייבים להיות בכיוונים מקבילים ,כלומר אלה שני רדיוסים 1 שמקבילים זה לזה הם שנמצאים על אותו קוטר . dכל התמונה סימטרית ביחס לישר של , dלכן גם Cסימטרי ל D-ביחס לישר של , dולכן CDמאונך ל D-ומקביל לישרים . 1 , 2 מתיחה בציר yהייתה חיונית להוכחה :אחרת לא היינו מקבלים מאונכות של ישרים. n n .6הוכח כי . k 2 n 2n1 n n 1 2n2 k 0 k פתרון ראשון. n n n 2 n n n n k k k k 1 k k k k k k 1 k 0 k 1 k 1 k 1 k n n !n !n k k k 1 !k 1 k ! n k !k 2 k ! n k n n !n 1 n 2 ! n n n 1 !k 1 k 1! n k !k 2 k 2 ! n k n n2 n 2 n 1 n 1 n2 n n n 1 n 1 1 n n 1 1 1 j i 0 i j n 2n1 n n 1 2n2 n 1 פתרון שני .נניח שמתוך nאנשים צריך לבחור מפלגה ,ובמפלגה צריך למנות גם יושב ראש ונשיא (יתכן שיושב ראש הוא הנשיא ,אבל לאו דווקא) .כמה דרכים יש לעשות זאת? נפתור שאלה זו בשתי דרכים. n מצד אחד ,לבחור מפלגה של kאנשים ניתן ב -דרכים ,אחר כך יש kדרכים לבחור k n יושב ראש ו k -דרכים לבחור נשיא .זה משאיר נותן לנו k 2אפשרויות ,וצריך לסכם k על , kוכך מקבלים את האגף השמאלי. מצד שני ,אפשר להפריד לשני מקרים .יש nדרכים לבחור נשיא .אם הוא גם יושב ראש, אז מה שנשאר זה לצרף אליו תת-קבוצה כלשהי מתוך n 1האנשים האחרים ,ואת זה ניתן לעשות ב 2n1 -דרכים ,כלומר כאשר יושב ראש הוא הנשיא יש n 2n1אפשרויות. אם יושב ראש הוא לא הנשיא ,יש n 1דרכים לבחור אותו ,ואז אפשר לצרף למפלגה כל תת-קבוצה מתוך n 2האנשים האחרים ,שלזה 2n2אפשרויות .כלומר במקרה השני n n 1 2n2אפשרויות .ביחד משני המקרים מקבלים את האגף הימני של הזהות. .7מה יותר גדול: 1 1 100או ? e 100 101 1 dx 101 101 פתרון ראשון. ln x 100 ln101 ln100 ln 100 100 x 100 101 1 1 לכן אם נעלה eבחזקה של כל אחד מהאגפים נקבל 100 100 1 100 ,e 100 כלומר 1 . e 1 100 פתרון שני .ידוע כי . e lim 1 1x נחקור את התנהגות הפונקציה f x 1 1x x x x בתחום . 100, בשביל זה נגזור את הפונקציה: ' ln1 1x x ' ln1 1x x e ln 1 1x x ' e x x 1 x 1 1 x 1 1 1x ln 1 1x 1 ' 1 ln 1 x x x 2 1 1 1 1 x x x 1 x 1 1x ln xx1 x 1 x f ' x 1 1x השאלה החשובה היא האם פונקציה עולה או יורדת בתחום , 100, כלומר האם הנגזרת שלילית או חיובית .ברור שהגורם 1 1x חיובי .לגבי הגורם השני ,נשתמש x באי-שוויון ידוע ; ln 1 t tהשוויון מתקיים רק ב ,0-זה מתקבל מכך ש ln -היא פונקציה קעורה שנמצאת מתחת למשיק .אז 1 1 1 1 x 1 x ln ln ln 1 x x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 1 1 0 x 1 x 1 אי-שוויון לא הופך לשוויון עבור , x 100לכן הפונקציה עולה ממש ,לכן 1 e lim 1 1x 1 100 100 x x .8מתומן ABCDEFGHמשוכלל .AE = 2 ,על AEנבחרה נקודה ,Xשמחלקת את הקטע AEביחס .3:1מצא את . AX BX CX DX EX FX GX HX פתרון .נצייר את המתומן על המישור המרוכב ,כאשר מרכז המתומן הוא ,0ונקודה A היא .1אז הקודקודים הם שורשי הפולינום , z 8 1כלומר ניתן לרשום , z8 1 z a z b z c ... z h כאשר a, b, c,..., hהם המספרים המרוככבים שמתאימים לקודקודי המתומן .קל לראות כי Xמתאימה למספר המרוכב . x 12לכן AX BX CX DX EX FX GX HX x a x b x c ... x h 1 255 256 256 1 1 12 8 x a x b x c ... x h x8 1 .9פירמידה משולשת מוכלת בקוביית יחידה .מה יכול להיות הנפח המרבי שלה? פתרון .נפח שווה לשטח הבסיס כפול הגובה חלקי .3לכן אם מזיזים קודקוד אחד של פירמידה לאורך קטע ישר ,מקבלים נפח מכסימלי כאשר המרחק מהפאה הנגדית הוא גדול ביותר ,כלומר באחד מקצוות הקטע. אם אחד מקודקודי הפירמידה הוא נקודה פנימית של הקובייה ,אפשר להעביר דרכה ישר שיחתוך את הקובייה לאורך קטע .אפשר להחליף את הנקודה לנקודה קיצונית של הקטע והנפח לא יקטן .לכן מספיק לפתור את השאלה במקרה שכל הקודקודים נמצאים על פאות הקובייה. אם אחד מקודקודי הפירמידה נמצאת על נקודה פנימית של פאה של הקובייה ,ניתן להעביר ישר שנמצא במישור הפאה .ישר זה יחתוך את הקובייה לאורך קטע ,שנמצא בפאה של הקובייה .ניתן להחליף את הקודקוד הנוכחי באחד מקצוות הקטע ,כך שהקטע לא יקטן. לכן לכן מספיק לפתור את השאלה במקרה שכל הקודקודים נמצאים על מקצועות הקובייה. באופן דומה ,אם קודקוד של פירמידה נמצא על המקצוע של הקובייה ,ניתן להזיז אותו לאחד הקודקודים של אותו המקצוע ,והנפח לא יקטן .לכן מספיק לפתור את השאלה למקרה שכל קודקודי הפירמידה הם גם קודקודים של קוביה .זה משאיר לנו מספר סופי של מקרים. להמשך נניח שפאה אופקית הוא ריבוע ,ABCDומקצועות אנכיים הם ',CC' ,BB' ,AA ' .DDניתן מראש לפסול את האפשרות שבו כל הקודקודים באותה פאה ,הרי אז הנפח .0 יש מספר מקרים ,בהם 3קודקודים באותה פאה (למשל ' .)ABCBשלוש נקודות אלו יוצרות משולש ששטחו , 12וגובה ,1לכן הנפח . 16 נבדוק כעת מקרים ,שבהם אף 3נקודות לא בישר אחד .נפריד את המקרים האלה לשתי סוגים :כאשר לוקחים שני קודקודים סמוכים של קובייה וכאשר לא לוקחים. אם יש לנו שני קודקודים סמוכים של הקובייה ,נניח שאלה Aו( B-ואם לא – נסובב את הקובייה) .אז אסור לקחת את הקודקודים B' ,A' ,D ,Cכי אז חוזרים שוב למקרה של 3 קודקודים בפאה אחד .נשארים רק 2קודקודים C' :ו ,D'-ולכן אם רוצים 4קודקודים צריך לקחת את שניהם .אבל אז 4הקודקודים D' ,C' ,B ,Aבמישור אחד ,והנפח .0 ובכן ,נשאר המקרה שבו אין 3קודקודים בפאה אחד ,ואף שני קודקודי קוביה שלוקחים לא סמוכים .נוכל להניח שלוקחים את ( Aואם לא ,אפשר לסובב את הקובייה) .לכן לא לוקחים את ,A' ,D ,Bכי אמרנו שלא לוקחים קודקודים בסמוכים .אם ניקח גם את ' Cזה יפסול לנו את כל הקודקודים האחרים :את ' D' ,Bואת ,Cלכן אסור לקחת גם את '.C נשארים רק הקודקודים B' ,Cו ,D'-וחייבים לקחת את כולם ,על מנת שיהיו 4קודקודים. ובכן ACB'D' ,זה המקרה היחיד (עד כדי סיבוב) שנשאר לבדוק .אפשר לקבל את המקרה הזה כאשר מורידים מקוביית יחידה 4פירמידות ',ACBB' ,CC'B'D' ,AA'B'D ' ,ACDDשלכל אחד מהם 3קודקודים בפאה אחת ,כלומר הנפח 16כמו שחישבנו קודם. לכן לפירמידה ' ACB'Dהנפח הוא .1 4 16 1 32 13
© Copyright 2024