‫אוניברסיטת בן־גוריון בנגב ‪ -‬המחלקה למתמטיקה ‪ -‬סמסטר א' תשע"ד‬ ‫חדו"א להנדסת מכונות ‪ - (201-1-9711) 1‬מבחן מסכם‪ ,‬מועד ב'‬ ‫המרצים‪:‬‬ ‫ד"ר נעה איידלשטין‪ ,‬ד"ר תם מאירוביץ ‪ ,‬ד"ר דניאל מרקייביץ'‪ ,‬ד"ר רועי קרקובסקי‪,‬‬ ‫ד"ר אהובה שקופ‪.‬‬ ‫תאריך‪ 19 :‬בפברואר ‪2013‬‬ ‫משך הבחינה‪ 3 :‬שעות‬ ‫חומר עזר‪ :‬דף נוסחאות בגודל ‪ ,A4‬דו־צדדי )מודפס או בכתב יד(‪ .‬אין להשתמש במחשבון‪.‬‬ ‫יש לענות על כל השאלות‪ .‬מספר הנקודות הכולל במבחן הוא ‪ .100‬עליכם לענות בפירוט על‬ ‫השאלות במקום המוקצה לתשובה‪ .‬יש להסביר בעברית בצורה תמציתית וברורה מה אתם‬ ‫עושים ומדוע‪ .‬יינתן ניקוד חלקי במקרים מתאימים‪.‬‬ ‫אין להשתמש בעט אדום במבחן‪.‬‬ ‫שימו לב‪ :‬דפי הטיוטא ישלחו למגרסה‪.‬‬ ‫בהצלחה!‬ ‫‪ .1‬חשבו את הגבולות הבאים‪:‬‬ ‫‬ ‫)א( )‪ 7‬נק'( )‪− x tan(x‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪x→ 2 −‬‬ ‫פתרון‪:‬‬ ‫‬ ‫‪π‬‬ ‫‪−x‬‬ ‫‪2 −x‬‬ ‫‪= lim‬‬ ‫)‪cos(x‬‬ ‫)‪x→ π2 − cos(x‬‬ ‫‬ ‫על פי כלל לופיטל ''‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‬ ‫‪− x tan(x) = lim‬‬ ‫‪sin(x) lim‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪x→ 2 −‬‬ ‫‪x→ 2 −‬‬ ‫''‪:‬‬ ‫‪−1‬‬ ‫‪=1‬‬ ‫)‪x→ 2 − − sin(x‬‬ ‫‪= lim‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪x→ π2 −‬‬ ‫‬ ‫‪5‬‬ ‫‪an‬‬ ‫‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫= ‪.a1 = 4 ,an+1‬‬ ‫∞→‪ n‬כאשר הסידרה ‪ an‬מוגדרת על ידי‬ ‫)ב( )‪ 7‬נק'( ‪lim an‬‬ ‫)מותר להניח ללא הוכחה שהסידרה מתכנסת‪(.‬‬ ‫פתרון‪ :‬נסמן ‪ L = limn→∞ an‬אזי מכללי חשבון גבולות ומכך שכל תת סידרה‬ ‫מתכנסת לאותו הגבול נקבל ש־‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪5‬‬ ‫‪L+‬‬ ‫‪L‬‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫‪2‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪1‬‬ ‫‪= lim‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‬ ‫‪1‬‬ ‫=‪L‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪an +‬‬ ‫‪an‬‬ ‫‪an +‬‬ ‫‪L = lim an+1‬‬ ‫∞→‪n‬‬ ‫ולכן‬ ‫‬ ‫‪5‬‬ ‫‪L+‬‬ ‫‪L‬‬ ‫זאת אומרת הגבול ‪ L‬מקיים את המשוואה‬ ‫‪L2 − 5 = 0.‬‬ ‫√‬ ‫√‬ ‫הפתרונות של המשוואה הם‪ .L1 = 5, L2 = − 5√ :‬קל להראות באינדוקציה ש־‬ ‫‪ an ≥ 0‬ולכן ‪ L ≥ 0‬מכאן ש־ ‪.L = 5‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪) .2‬א( )‪ 7‬נק'( חשבו את האינטגרל הבא‪:‬‬ ‫‪(1 + cos(2x)) e−3x dx‬‬ ‫‪Z‬‬ ‫פתרון‪:‬‬ ‫‪cos(2x)e−3x dx‬‬ ‫‪Z‬‬ ‫‪e−3x dx +‬‬ ‫‪Z‬‬ ‫= ‪(1 + cos(2x)) e−3x dx‬‬ ‫‪Z‬‬ ‫באינטגרל הראשון נציב ‪t = −3x‬‬ ‫‪Z‬‬ ‫‪−1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪Z‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪et dt = − e−3x + C‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪R‬‬ ‫נסמן את האינטגרל ‪ I = cos(2x)e−3x dx‬בעזרת אינטגרציה בחלקים נקבל‬ ‫‪Z‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪−3x‬‬ ‫‪I = − cos(2x)e‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪sin(2x)e−3x dx‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫= ‪e−3x dx‬‬ ‫ושוב בעזרת אינטגרציה בחלקים‪:‬‬ ‫‪cos(2x)e−3x dx‬‬ ‫‪Z‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪dx = − sin(2x)e−3x +‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪−3x‬‬ ‫‪Z‬‬ ‫‪sin(2x)e‬‬ ‫ולכן‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪I = − cos(2x)e−3x + sin(2x))e−3x − I‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪9‬‬ ‫אחרי העברת אגפים ופישוט נקבל‬ ‫‪1‬‬ ‫‪(2 sin(2x) − 3 cos(2x)) e−3x + C‬‬ ‫‪13‬‬ ‫=‪I‬‬ ‫והתשובה הסופית היא‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪(2 sin(2x) − 3 cos(2x)) e−3x − e−3x + C‬‬ ‫‪13‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫= ‪(1 + cos(2x)) e−3x dx‬‬ ‫‪Z‬‬ :‫ נק'( חשבו את הגבול הבא‬9) (‫)ב‬ lim n π 2 Z 2 n→∞ sin2n (x) cos3 (x)dx. 0 :‫ נקבל‬sin(x) = t ‫ על ידי הצבה‬:‫פתרון‬ Z π 2 2n 3 1 Z 2n 0 = lim n2 n→∞ Z 0 π 2 1 t (1 − t )dt = sin (x) cos (x)dx = 0 Z 2 2n Z t dt − 0 1 t2n+2 dt = 0 1 1 2 − = 2n + 1 2n + 3 (2n + 1)(2n + 3) ‫לכן‬ 2n2 = sin2n (x) cos3 (x)dx = lim n→∞ (2n + 1)(2n + 3) lim n→∞ 2 (2 + 1 n )(2 + 3 n) 1 = , 2 .‫כאשר במעבר האחרון השתמשנו בכללי חשבון גבולות‬ 4 ‫)ג( )‪ 9‬נק'( תהי ‪ f : R → R‬פונקציה גזירה המקיימת ‪,f (2) = 3 ,f 0 (2) = 5‬‬ ‫)‪xf (x‬‬ ‫‪Z‬‬ ‫נגדיר‪f (t)dt :‬‬ ‫= )‪ .g(x‬חשבו את הנגזרת‬ ‫)‪g 0 (2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫= )‪.f (6‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪0‬‬ ‫על פי המשפט היסודי של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי וכלל‬ ‫פתרון‪:‬‬ ‫נקבל‬ ‫השרשרת‬ ‫‬ ‫)‪g 0 (x) = f (xf (x)) f (x) + xf 0 (x‬‬ ‫נציב ‪:x = 2‬‬ ‫‬ ‫)‪g 0 (2) = f (2f (2)) f (2) + 2f 0 (2‬‬ ‫נציב ‪f 0 (2) = 5 ,f (2) = 3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪13‬‬ ‫‪· 13 = .‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫= )‪g 0 (2) = f (6) (3 + 10‬‬ ‫‪5‬‬ ‫)ד( )‪ 10‬נק'( חשבו את הנפח של גוף הסיבוב המתקבל ע"י סיבוב של התחום הנתון‬ ‫סביב ציר ה ‪:X‬‬ ‫|‪.y ≥ x2 , y ≤ 2|x‬‬ ‫פתרון‪ :‬הגוף מחולק לשני חלקים סימטריים סביב ציר ‪ ,y‬משיקולי סימטריה‬ ‫‪2‬‬ ‫= ‪(2x)2 − (x2 )2 dx‬‬ ‫‪Z‬‬ ‫‪V =2·π‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪128π‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‬ ‫=‬ ‫‪32 32‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‬ ‫‪= 2π‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‬ ‫‪1‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4x − x dx = 2π x3 − x5‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪Z‬‬ ‫‪= 2π‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪) .3‬א( )‪ 8‬נק'( הוכיחו שלמשוואה ‪ 1 + x + ex = 0‬קיים פתרון ממשי יחיד ‪.‬‬ ‫פתרון‪:‬‬ ‫תהי ‪ f (x) = 1 + x + ex‬אזי מתקיים ∞ = )‪ ,limx→∞ f (x‬לכן בפרט קיים ‪ x1 > 0‬עבורו‬ ‫‪ .f (x1 ) > 0‬כמו כן‬ ‫‪lim f (x) = 1 + lim x + lim ex = 1 − ∞ + 0 = −∞.‬‬ ‫∞‪x→−‬‬ ‫∞‪x→−‬‬ ‫∞‪x→−‬‬ ‫ולכן גם קיים ‪ x2 < 0‬עבורו ‪.f (x2 ) < 0‬‬ ‫‪ f‬רציפה ולכן ממשפט ערך הבניים קיימת נקודה ‪ c‬בין ‪ x1‬ו־ ‪ x2‬עבורה ‪.f (c) = 0‬‬ ‫עכשיו נשים לב ש־ ‪ ,f 0 (x) = 1 + ex > 0‬לכן ‪ f‬מונוטונית עולה ממש‪ ,‬ולכן חד־חד‬ ‫ערכית‪ .‬מכאן שהנקודה ‪ c‬הנ"ל היא הפתרון היחיד למשוואה ‪.f (x) = 0‬‬ ‫‪7‬‬ ‫)ב( )‪ 8‬נק'( נסמן ב־ ‪ a‬את הפתרון היחיד של המשוואה מהסעיף הקודם‪ .‬תהי‬ ‫‪xex‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪1 + x + ex‬‬ ‫= )‪f (x‬‬ ‫מצאו את כל האסימפטוטות של ‪) f‬מותר להשתמש ב־ ‪ a‬כחלק מתשובתכם בלי‬ ‫לחשב את ערכו(‪.‬‬ ‫פתרון‪ :‬נחפש אסימפטוטה משופעת כאשר ∞ → ‪:x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫)‪f (x‬‬ ‫‪ex‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪= lim −x‬‬ ‫‪= lim‬‬ ‫=‬ ‫‪=1‬‬ ‫‪x→∞ e‬‬ ‫‪x→∞ x‬‬ ‫‪x→∞ 1 + x + ex‬‬ ‫‪+ exx + 1‬‬ ‫‪0+0+1‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫כאשר במעבר לפני האחרון השתמשנו בכללי חשבון גבולות ובגבול הבסיסי‬ ‫‪ .limx→∞ exx = 0‬באופן דומה‪:‬‬ ‫‪xex − x − x2 − xex‬‬ ‫‪−x − x2‬‬ ‫=‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪=0‬‬ ‫∞→‪x‬‬ ‫‪x→∞ 1 + x + ex‬‬ ‫‪1 + x + ex‬‬ ‫‪lim (f (x) − x) = lim‬‬ ‫∞→‪x‬‬ ‫לחילופין ניתן לחשב את הגבולות האחרונים בעזרת כלל לופיטל‪ .‬לכן ‪g(x) = x‬‬ ‫היא אסיפטוטה משופעת של ‪ f‬כאשר ∞ → ‪.x‬‬ ‫נחפש אסימפטוטה משופעת כאשר ∞‪:x → −‬‬ ‫‪ex‬‬ ‫)‪f (x‬‬ ‫‪= lim‬‬ ‫‪=0‬‬ ‫‪x→−∞ 1 + x + ex‬‬ ‫‪x→−∞ x‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫כאשר השתמשנו בגבול ‪ limx→−∞ = limt→∞ e−t = limt→∞ e1t = 0‬ןבכללי אריתמטיקה‬ ‫של גבולות‪ .‬עכשיו‪:‬‬ ‫‪(x + 1)ex‬‬ ‫‪xex‬‬ ‫‪L‬‬ ‫=‬ ‫‪lim‬‬ ‫=‬ ‫‪x→−∞ 1 + ex‬‬ ‫‪x→−∞ 1 + x + ex‬‬ ‫‪lim f (x) = lim‬‬ ‫‪x+1 L‬‬ ‫‪= 0‬‬ ‫‪e−x‬‬ ‫∞‪x→−‬‬ ‫‪= lim‬‬ ‫∞‪x→−‬‬ ‫כאשר השתמשנו פעמיים בכלל לופיטל ובכללי אריתמטיקה של גבולות‪ .‬ולכן ‪y = 0‬‬ ‫היא אסימפטוטה כאשר ∞ → ‪.x‬‬ ‫בנוסף‪ ,‬על פי הסעיף הקודם המכנה מתאפס אך ורק בנקודה ‪,x = a‬‬ ‫כאשר ‪ .a < 0‬עבור ‪ x < a‬המכנה שלילי ועבור ‪ x > a‬המכנה חיובי והמכנה שואף‬ ‫לאפס כאשר ‪ x → a‬ואילו המונה שואף ל־ ‪ aea < 0‬כאשר ‪ .x → a‬לכן‪:‬‬ ‫∞‪lim f (x) = +‬‬ ‫‪x→a−‬‬ ‫∞‪lim f (x) = −‬‬ ‫‪x→a+‬‬ ‫ומכאן ש־ ‪x = a‬‬ ‫היא אסימפטוטה אנכית‪ ,‬ואין אסימפטוטות נוספות‪.‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪ 10) .4‬נק'( מבין כל זוגות המספרים הממשיים החיובים ‪ a, b‬שמכפלתם ‪ 16‬מצא את הזוג‬ ‫עבור הערך של ‪ a + b2‬הוא הקטן ביותר‪.‬‬ ‫‪a = 16‬‬ ‫פתרון‪ :‬נסמן ‪ x = b‬אזי ‪x‬‬ ‫ואנחנו רוצים למצוא את המינימום של הפונקציה‬ ‫‪16‬‬ ‫‪+ x2 ,‬‬ ‫‪x‬‬ ‫= )‪f (x‬‬ ‫כאשר‬ ‫‪) x > 0‬מכפלת המספרים חיובית ולכן לזוג המספרים יש אותו סימן(‬ ‫‪2x3 − 16‬‬ ‫‪16‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪2x‬‬ ‫=‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪f 0 (x) = −‬‬ ‫ולכן ‪ f 0 (x) = 0‬רק כאשר ‪ .x = 8‬בקטע ‪ ,f 0 (x) < 0 0 < x < 8‬ואילו עבור ‪,x > 8‬‬ ‫‪ .f 0 (x) > 0‬ולכן ‪ x = 8‬הוא המינימום של הפונקציה‪ ,‬והתשובה הסופית היא הזוג )‪.(8, 2‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪ 15) .5‬נק'( עבור אילו ערכים של ‪ a‬ממשי הפונקציה‬ ‫‪+ x2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪f (x) = eax+1 + 1‬‬ ‫קמורה כלפי מעלה?‬ ‫פתרון‪ :‬למדנו בכיתה שפווקציה גזירה פעמיים בעלת נגזרת שנייה חיובית היא קמורה‬ ‫כלפי מעלה‪.‬‬ ‫נגזור את הפונקציה‪:‬‬ ‫‬ ‫‪f 0 (x) = 2 eax+1 + 1 · a · eax+1 + 2x = 2ae2(ax+1) + aeax+1 + 2x‬‬ ‫ונגזור שוב על מנת למצוא את הנגזרת השנייה‪:‬‬ ‫‪f 00 (x) = 4a2 eax+1 + a2 eax+1 + 2‬‬ ‫נשים לב ש ‪ f 00 (x) ≥ 2 > 0‬לכל ‪ a‬ממשי ולכל ‪ x‬ממשי‪ ,‬ולכן ‪ f‬קמורה כלפי מעלה לכל‬ ‫‪ a‬ממשי‪.‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪ 10) .6‬נק'( מצאו את נקודות הקיצון המקומיות של הפונקציה‬ ‫(‬ ‫‪x2‬‬ ‫= )‪f (x‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪x∈Q‬‬ ‫‪x 6∈ Q‬‬ ‫כאשר ‪ Q‬היא קבוצת הרציונליים‪.‬‬ ‫פתרון‪:‬‬ ‫מתקיים ש־ ‪ f (x) ≥ 0‬לכל ‪ x‬ממשי ‪ ,‬ולכן כל המספרים האי־רציונליים וגם המספר אפס‬ ‫הם נקודות מינימום מוחלט של ‪ ,f‬כי אילו המקומות שבהן ‪ f‬מתאפסת‪.‬‬ ‫אין ל־ ‪ f‬נקודות מקסימום )מקומי או מוחלט(‪ ,‬מכיווון שבכל קטע פתוח המכיל את ‪x0‬‬ ‫קיים מספר רציונלי ‪ x1‬גדול מ־ ‪ x0‬ומספר רציונלי ‪ x2‬קטן מ־ ‪f (x0 ) ≤ x20 .x0‬‬ ‫בהתאם לסימן של ‪ .x0‬או ש־ ) ‪x20 < x21 = f (x1‬‬ ‫או ש־ ) ‪.x20 < x22 = f (x2‬‬ ‫‪11‬‬ 12 13