1. No category

‫תרגיל מספר ‪ 4‬בהסתברות ותהליכים סטוכסטיים‪.‬‬
‫לא חובה אבל יכול לתת בונוס לציון התרגילים ולשמש חזרה טובה‪ .‬הבונוס נתון לשיקול דעתי‪.‬‬
‫‪ * ‬מסמל תרגיל שלטעמי יותר קשה‪ .‬לא חייבים לעשות (שום דבר בכל מקרה לא חובה‬
‫כאן)‬
‫נא להגיש לכל היותר פתרונות ל ‪ 4‬שאלות‪ ,‬ולא יאוחר מה ‪10.2‬‬
‫‪ .1‬א‪ .‬תהי ‪ 〈𝑋𝑘 〉𝑘≥1‬סדרת משתנים מקריים חסומים‪ ,‬בלתי תלויים ושווי התפלגות בעלי תוחלת‬
‫∞ < 𝑚 = ] 𝑘𝑋[‪ .E‬נסמן 𝑘𝑋 ‪ .) 𝑆0 = 0( 𝑆𝑛 = ∑𝑛𝑘=1‬יהי ‪ T‬זמן עצירה המקיים ∞ < ]𝑇[𝐸‪.‬‬
‫הוכיחו כי ]𝑇[𝐸𝑚 = ] 𝑇𝑆[‪E‬‬
‫את ההוכחה)‬
‫(זאת נקראת נוסחת ‪( ) Wald‬רמז –מרטינגלים יכולים לפשט‬
‫ב*‪ .‬הראו שהמשפט נכון גם ללא דרישת החסימות‪.‬‬
‫‪ . .2‬נתונה מטריצת מעבר מסדר ‪: 7  7‬‬
‫‪1/ 3 0 1/ 3 0 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0 ‬‬
‫‪1/ 2 0‬‬
‫‪0 1/ 2 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪0 3/ 4 0‬‬
‫‪0 ‬‬
‫‪1/ 2 0‬‬
‫‪0 1/ 2 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪1/ 7 1/ 7 1/ 7 1/ 7 ‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0 ‬‬
‫‪ 0 1/ 3 0‬‬
‫‪‬‬
‫‪1 / 2 0 1 / 2‬‬
‫‪ 0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪‬‬
‫‪0 1/ 4‬‬
‫‪ 0‬‬
‫‪ 0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪‬‬
‫‪1 / 7 1 / 7 1 / 7‬‬
‫‪ 0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪4‬‬
‫‪5‬‬
‫‪6‬‬
‫‪7‬‬
‫(א) מיינו את מצבי השרשרת‪.‬‬
‫(ב) מצאו וקטור הסתברויות סטציונרי‪.‬‬
‫‪ .3‬תהי ‪ {𝑋𝑛 }𝑛≥1‬סדרה של משתנים מקריים עם ערכים ממשיים‪ .‬הוכיחו או הפריכו על ידי‬
‫מתן דוגמה נגדית‪:‬‬
‫א‪ .‬כל סדרה ‪ {𝑋𝑛 }𝑛≥1‬עם ערכים שלמים שהיא תהליך מרטינגל‪ ,‬היא גם שרשרת מרקוב?‬
‫ב‪ .‬כל סדרה ‪ {𝑋𝑛 }𝑛≥1‬שהיא שרשרת מרקוב בלתי פריקה ונשנית עם מספר סופי גדול מ‬
‫‪ 1‬של מצבים איננה תהליך מרטינגל?‬
‫ג‪ .‬כל סדרה ‪ {𝑋𝑛 }𝑛≥1‬שהיא שרשרת מרקוב בלתי פריקה ונשנית עם מספר אינסופי של‬
‫מצבים איננה תהליך מרטינגל‬
‫ד‪ * .‬כל סדרה ‪ {𝑋𝑛 }𝑛≥1‬שהיא שרשרת מרקוב בלתי פריקה וחולפת עם מספר אינסופי של‬
‫מצבים איננה תהליך מרטינגל?‬
‫‪ * .4‬הגלדיאטורים הקניבלים‪ :‬שני גנרלים עורכים קרב גלדיאטורים‪.‬‬
‫לכל אחד מהם "צבא" משלו‪ .‬לגנרל ‪ A‬צבא המורכב מחיילים עם כוח 𝑘𝑎 ‪𝑎1 , 𝑎2 , 𝑎3 … ,‬‬
‫ולגנרל ‪ B‬יש חיילים עם כוח 𝑛𝑏 … ‪ .𝑏1 , 𝑏2 , 𝑏3,‬בכל שלב בקרב כל אחד מהגנרלים בוחר חייל‬
‫𝑎‬
‫מצבאו‪ ,‬ושני החיילים נלחמים כשהסיכוי של חייל עם כוח ‪ a‬לנצח חייל עם כוח ‪ b‬הוא 𝑏‪.𝑎+‬‬
‫בלאחר הקרב ביניהם "אוכל" המנצח את יריבו ומקבל כתוספת את כוחו (אם ‪ a‬ניצח הכוח‬
‫שלו נהיה ‪ .)a+b‬כעת המפסיד בוחר חייל חדש לשלוח לקרב וכן הלאה עד שאחד הצבאות‬
‫מפסיד כליל‪.‬‬
‫הראו שלא משנה כלל מה האסטרטגיה שכל גנרל בוחר‪( .‬כלומר את מי לשלוח לקרב ומתי)‬
‫גם אם ידועה לחלוטין האסטרטגיה של השני (רמז – אפשר להשתמש במרטינגל)‬
‫‪ . .5‬האם קיים צימוד של ‪ 2‬קוביות הוגנות כך שהראשונה מנצחת את השנייה בסיכוי‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ . .6‬האם ניתן למצוא צימוד )‪ (X,Y‬של שני הילוכים אקראיים עצלנים על ‪ Z‬שמתחילים מ ‪ 0‬כך‬
‫שהראשון תמיד יפגע ב ‪ 10‬לפני השני?‬
‫‪ .7‬תהי )‪ (P,S‬שרשרת מרקוב אי פריקה‪ .‬תהי ‪ Q = αP + (1 − α)I‬הגרסה העצלנית של 𝑃‪.‬‬
‫(כלומר הוספנו סיכוי ‪ 1 − α‬להשאר במקום בכל צעד)‪ .‬הראו ש )𝑆 ‪ (𝑄,‬שרשרת מרקוב אי‪-‬‬
‫פריקה וא‪-‬מחזורית‪.‬‬
‫מהמר משחק במשחק הבא‪ :‬זורקים מטבע הוגן עד שהוא נופל ‪ 3‬פעמים רצוף על‬
‫‪ .8‬א‪.‬‬
‫עץ‪ .‬כשזה קורה‪ ,‬המהמר מרוויח ‪ .₪ 12‬כל הטלת מטבע (כולל ההטלה בה הוא זוכה) עולה‬
‫למהמר ‪ 1‬שח‪ .‬האם המשחק מאוזן? מה תוחלת הרווח או הפסד של המהמר? (השתמשו‬
‫בשרשראות מרקוב)‬
‫ב‪ .‬כעת ניתנת למהמר גם אפשרות להפסיק באיזה שלב שירצה‪ .‬האם הוא יכול‬
‫להגדיל את תוחלת הרווח?‬
‫‪ .9‬תהי ‪ Xn‬שרשרת מרקוב סופית עם מטריצת מעבר דו‪-‬סטוכסטית (סכום של כל עמודה וגם‬
‫של כל שורה הוא ‪ .)1‬הראו שההתפלגות האחידה היא סטציונרית עבור השרשרת‪.‬‬
‫‪ .10‬בכד יש ‪N‬כדורים בכל רגע‪ .‬בכל שלב לוקחים כדור באקראי מהכד ואז‬
‫זורקים מטבע –‪ p‬עבור ‪ 0<p<1‬נתון מראש( קבוע לכל השלבים) ‪.‬אם יוצא עץ‬
‫מכניסיםלכד כדור לבן במקום הכדור שנלקח‪ ,‬ואם יוצא פלי מכניסים במקומו כדור‬
‫שחור‪ .‬יהי }‪ {Xn‬מספר הכדורים הלבנים שבכד לאחר השלב ה ‪.n‬‬
‫א‪ .‬האם ‪ Xn‬שרשרת מרקוב?‬
‫ב‪ .‬מה מחלקות הקשירות שלה‪ ,‬איזה מצבים הם נשנים ואיזה חולפים‪ .‬האם יש‬
‫מחזור גדול מ ‪ 1‬לאחד המצבים?‬
‫ג‪ .‬מה הסתברויות המעבר?‬
‫ד‪ .‬חשבו את ההתפלגות הסטציונרית עבור ‪.N=2‬‬
‫ה‪ .‬נחשו את ההתפלגות הסטציונרית עבור ‪N‬כללי והוכיחו שהיא אכן סטציונרית‪.‬‬
‫ו‪ .‬אם נקח ‪ ,p=1‬מה תוחלת הזמן עד שכל הכדורים בכד יהיו לבנים‪ ,‬אם בתחילה‬
‫היו רק כדורים שחורים בכד‪.‬‬
‫‪ .11‬זורקים מטבע מוטה שיוצא עץ בסיכוי ‪ p‬ופלי בסיכוי ‪ 1-p‬שוב שוב (סדרה אינסופית של ע ו‬
‫פ)‬
‫בהנתן מחרוזת ‪ X‬כלשהיא (סופית) של ע ו פ‪ ,‬נסמן ב 𝑋‪ τ‬את הזמן הראשון בו מסתיים רצף ‪X‬‬
‫בסדרת ההטלות שלנו‪ .‬כך למשל אם סדרת ההטלות (מימין לשמאל) היא עעפעפפ‪ ,...‬אז‬
‫‪} = 4‬עפע{𝜏‪.‬‬
‫א‪ .‬מה תוחלת הזמן עד שיופיע פעם ראשונה הרצף פפפ?‬
‫ב‪ .‬מה תוחלת הזמן עד שיופיע פעם ראשונה הרצף פעע?‬
‫שימו לב כי ניתן לפתור זאת בשתי דרכים – בעזרת הסתברויות פגיעה בשרשראות מרקוב‬
‫(וניתן לצמצם את מספר המצבים מתחת ל ‪ )8‬או בעזרת מרטינגלים‪.‬‬
‫כדי לפתור עם מרטינגלים תחשבו על מהמר שמתחיל בזמן ה ‪ i‬ומהמר תחילה מטבע על כך‬
‫שתופיע האות הראשונה ברצף בהטלה הקרובה‪ .‬אם הוא מפסיד – הוא עוזב ואם הוא זוכה‬
‫– הוא לוקח את הזכיות שלו עד כה על כך שהרצף ימשיך |(יש להטות את סכום הזכייה‬
‫לקבלת מרטינגל בהתאם ל ‪) p‬‬
‫כעת חשבו על כך שבכל שלב מצטרף מהמר חדש והתהליך מפסיק שהרצף מופיע וחשבו‬
‫את תוחלת סך כל הרווח של כל המהמרים יחד‪.‬‬