‫תורת הקבוצות — תרגיל בית ‪5‬‬ ‫פתרונות‬ ‫חיים שרגא רוזנר‬ ‫י"ג בניסן תשע"ד‬ ‫תקציר‬ ‫הגדרה ברקורסיה‪ ,‬אקסיומת הבחירה‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫הגדרה ברקורסיה‬ ‫תרגיל ‪ ON 1‬היא מחלקת כל הסודרים‪ ,‬ו־ ‪ V‬היא מחלקת כל הקבוצות‪ .‬נסמן = ‪P‬‬ ‫) ‪ ,P AR (ON, V‬מחלקת פונקציות המחלקה החלקיות מ־ ‪ ON‬ל־ ‪ .V‬תהי פונקציית‬ ‫מחלקה ‪,F : ON × P AR (ON, V ) → V‬‬ ‫(‬ ‫‪y ∪ {y} x is ordered by ∈, and it has a last element y‬‬ ‫= )‪F (α, x‬‬ ‫‪∪x‬‬ ‫‪Otherwise‬‬ ‫נגדיר‪ ,‬ברקורסיה בעזרת ‪ F‬את פונקציית המחלקה המתאימה ‪.G : ON → V‬‬ ‫‪ .1‬חשבו את ))‪ ,F (15, (1, 3, 7‬את ))‪ F (3, (0, 1, 2‬ואת ))‪.F (6, (0, 1, 2‬‬ ‫‪ .2‬הראו כי ‪ G (α) = α‬לכל סודר ‪.α‬‬ ‫פתרון‬ ‫‪ .1‬בחישוב ))‪ x ,F (15, (1, 3, 7‬סדור על ידי ∈‪ ,‬והאיבר האחרון שלו הוא ‪ .7‬לכן‬ ‫‪.F (15, (1, 3, 7)) = 7 ∪ {7} = 8‬‬ ‫בשני החישובים הבאים‪ x ,‬סדור על ידי ∈‪ ,‬והאיבר האחרון שלו הוא ‪ .2‬לכן‬ ‫‪.F (6, (0, 1, 2)) = F (3, (0, 1, 2)) = 2 ∪ {2} = 3‬‬ ‫‪ .2‬נראה באינדוקציה על ‪:α‬‬ ‫• ‪:α = 0‬‬ ‫‪0=0‬‬ ‫[‬ ‫= )‪G (0) = F (0, 0‬‬ ‫• ‪:α = β + 1‬‬ ‫‪G (β + 1) = F (β + 1, (0, 1, . . . , β)) = β ∪ {β} = β + 1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫• ‪ α‬גבולי‪:‬‬ ‫‪α=α‬‬ ‫[‬ ‫= }‪{γ : γ < α‬‬ ‫[‬ ‫= ))‪G (α) = F (α, (γ : γ < α‬‬ ‫‬ ‫תרגיל ‪ 2‬נסחו פונקצייה ‪ F‬שתוכיח קיום פונקציה ‪ G : ω + ω → Z‬חח"ע ועל‪.‬‬ ‫פתרון ננסח פונקציה ‪F : (ω + ω) × P AR (ω + ω, Z) → Z‬כדלהלן‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪sup domx < ω‬‬ ‫‪sup domx + 1‬‬ ‫‪F (α, x) = − (sup domx − ω) ω ≤ sup domx < ω + ω‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪Otherwise‬‬ ‫‪ G‬המתאימה היא הפונקציה‬ ‫‪α<ω‬‬ ‫‪α≥ω‬‬ ‫‪α+1‬‬ ‫‪α−ω‬‬ ‫(‬ ‫= )‪G (α‬‬ ‫וכמובן ניתן להראות זאת ברקורסיה‪ .‬ברור ש־‪ G‬זו היא ח"ע ועל‪ ,‬כנדרש‪ .‬‬ ‫‪2‬‬ ‫אקסיומת הבחירה‬ ‫הגדרה תהי ‪ F‬קבוצה של קבוצות לא ריקות‪ .‬פונקציה )‪(F‬‬ ‫בחירה ב־‪ F‬אם לכל ‪ A ∈ F‬מתקיים ‪.f (A) ∈ A‬‬ ‫‪S‬‬ ‫→ ‪ f : F‬תיקרא פונקצית‬ ‫תרגיל ‪ 3‬תהי ‪ A‬קבוצה לא ריקה של קבוצות לא ריקות של מספרים טבעיים הזרות בזוגות‪.‬‬ ‫הוכיחו‪ ,‬מבלי להסתמך על אקסיומת הבחירה‪ ,‬כי קיימת פונקציית בחירה ב־‪.A‬‬ ‫‪1‬‬ ‫פתרון פונקציית המינימום מוגדרת על איברי ‪ ,A‬מכיוון שהקבוצה ‪ N‬סדורה היטב‪ ,‬ואיברי ‪A‬‬ ‫בחירה‪ .‬ואכן‪min : A → ,‬‬ ‫הם‪S‬תת־קבוצות לא־ריקות שלה‪ .‬נראה כי היא פונקציית ‪S‬‬ ‫‪ A‬היא פונקצייה המתאימה לכל איבר ב־‪ A‬איבר ב־‪ , A‬ומקיימת‬ ‫‪∀X ∈ A, min (X) ∈ X‬‬ ‫‬ ‫תרגיל ‪ 4‬תהיינה ‪ A, B‬קבוצות זרות )∅ = ‪ ,(A ∩ B‬שכל איבריהן הם קבוצות לא ריקות‪.‬‬ ‫תהי ‪ f‬פונקציית בחירה ב־‪ A‬ותהי ‪ g‬פונקציית בחירה ב־‪ .B‬נסמן ‪ .h = f ∪g‬הוכיחו‪:‬‬ ‫‪S‬‬ ‫‪S‬‬ ‫‪ h .1‬היא פונקציה מ־‪ A ∪ B‬ל־‪. A ∪ B‬‬ ‫‪ h .2‬היא פונקציית בחירה ב־‪.A ∪ B‬‬ ‫‪ .3‬בסעיף זה‪ ,‬נניח כי ‪ A‬ו־‪ B‬אינן זרות‪ .‬נסחו תנאי על ‪ f‬ועל ‪ g‬כדי ש־‪ h‬תהיה פונקציית‬ ‫בחירה ב־‪.A ∪ B‬‬ ‫‪ 1‬לדוגמא‪ .A = {{0, 3, 6, . . .} , {1, 4, 7, . . .} , {2, 8}} :‬בקבוצה ‪ A‬יש שלושה איברים‪ ,‬כל אחד מהם הוא‬ ‫קבוצה של טבעיים‪ ,‬ולכל שני איברים שונים‪ ,‬חיתוכם הוא ריק‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫פתרון‬ ‫‪ .1‬לפי ההגדרה‪A ,‬‬ ‫‪S‬‬ ‫‪S‬‬ ‫→ ‪ .g : B‬לפיכך‬ ‫→ ‪ ,f : A‬וכן ‪B‬‬ ‫[‬ ‫[‬ ‫→ ‪h = f ∪ g: A ∪ B‬‬ ‫‪A∪ B‬‬ ‫‪S‬‬ ‫‪ .2‬פונקציית בחירה ב־‪ A ∪ B‬היא פונקציה )‪ .A ∪ B → (A ∪ B‬מכיוון שהאיחוד‬ ‫הוא אסוציטיבי‪ h ,‬עומדת בתנאי זה‪ ,‬כפי שראינו בסעיף ‪ .1‬כל שנותר הוא להראות‬ ‫ש־‪ h‬אכן בוחרת‪ .‬יהי ‪ x ∈ A ∪ B‬נתון‪ .‬מכיוון ש־‪ A, B‬זרות‪ ,‬מתקיים בדיוק אחד‬ ‫∈ ‪ .x ∈ A ∧ x‬אזי‬ ‫מהשניים‪ .x ∈ A xor x ∈ B :‬נניח בה"כ ‪/ B‬‬ ‫‪x∈B‬‬ ‫‪/‬‬ ‫‪h (x) = (f ∪ g) (x) ===== f (x) ∈ x‬‬ ‫המעבר האחרון נובע מכך ש־ ‪ f‬היא פונקציית בחירה‪.‬‬ ‫‪ .3‬ראשית עלינו לוודא ש־‪ h = f ∪ g‬היא פונקציה‪ ,‬כלומר נותרת יחס חד־ערכי‪ .‬לצורך‬ ‫כך‪ ,‬על הפונקציות ‪ f‬ו־‪ g‬להסכים על ערכיהן המשותפים‪ ,‬דהיינו‬ ‫)‪∀x ∈ A ∩ B, f (x) = g (x‬‬ ‫לאחר שניסחנו תנאי זה‪ h ,‬היא פונקציה‪ .‬המשך ההוכחה זהה להוכחה כסעיף ‪ .2‬אם‬ ‫כן‪ ,‬התנאי הוא שהפונקציות תסכמנה על ערכיהן בתחום ‪ .A ∩ B‬‬ ‫תרגיל ‪ 5‬תהי ‪ F‬קבוצה שכל איבריה הם קבוצות לא ריקות וזרות זו לזו‪ .‬הוכיחו כי קיימת‬ ‫קבוצה ‪ S‬המכילה בדיוק איבר אחד מכל איבר של ‪.F‬‬ ‫הדרכה השתמשו בתמונת פונקציית בחירה ב־‪.F‬‬ ‫פתרון תהי ‪ f‬פונקציית בחירה על ‪ .F‬נסמן ‪ .S = Imf‬נראה כי ב־‪ S‬יש איבר אחד‬ ‫ויחיד מכל איבר של ‪ .F‬יהי ‪ .A ∈ F‬אזי ‪ ,f (A) ∈ S‬ולכן יש נציג לכל איבר של‬ ‫‪ .F‬נניח כי עבור ‪ A‬זו מתקיים ‪ .a, b ∈ A ∩ S‬אזי קיימות ב־‪ F‬איברים ‪ B, C‬כך‬ ‫ש־)‪ .b = f (C) ,a = f (B‬אבל מכיוון שאיברי ‪ F‬זרים בזוגות והנחנו כי ‪,a, b ∈ A‬‬ ‫אז מצאנו ש־‪ ,B = A = C‬ולכן ‪ .a = f (B) = f (C) = b‬‬ ‫תרגיל ‪ 6‬הטענה "לכל קבוצה ‪ A‬קיים סדר טוב ‪ R‬עליה" נקראת עקרון הסדר הטוב‪ .‬עקרון‬ ‫הסדר הטוב שקול לאקסיומת הבחירה‪ .‬בנוסף‪ ,‬עקרון זה שקול גם לכל אחת מן‬ ‫הטענות הבאות‪:‬‬ ‫‪ .1‬כל שדה ‪ F‬ניתן לסידור טוב‪.‬‬ ‫‪ .2‬כל חוג ‪ R‬ניתן לסידור טוב‪.‬‬ ‫‪ .3‬כל חבורה ‪ G‬ניתנת לסידור טוב‪.‬‬ ‫הוכיחו‪ ,‬לפחות עבור אחד מסעיפים אלו‪ ,‬את השקילות של הסעיף עם עקרון הסדר‬ ‫הטוב‪.‬‬ ‫הדרכה כיוון אחד טריוויאלי‪ .‬בכיוון השני‪ ,‬מצאו דרך לשכן את הקבוצה ‪ A‬במבנה‬ ‫האלגברי הנתון‪ .‬אני ממליץ להשתמש בחבורות סימטריה‪ ,‬בחוגי פולינומים או‬ ‫בשדה הפונקציות הרציונליות‪.‬‬ ‫‪3‬‬ ‫פתרון נראה עבור חבורות‪ .‬הטענה שכל קבוצה ניתנת לסידור טוב גוררת בקלות את כל‬ ‫החבורות‪ ,‬באשר חבורה היא קבוצה‪ .‬נראה את הכיוון השני‪ .‬תהי ‪ X‬קבוצה‪ ,‬ונניח‬ ‫כי כל חבורה ניתנת לסידור טוב‪ ,‬ונבנה סדר טוב על ‪ .X‬אם ‪ X‬ריקה‪ ,‬אז ‪ X‬ניתנת‬ ‫לסידור טוב‪ .‬אחרת‪ ,‬נביט ב־)‪ ,S (X‬חבורת הסימטריה ‪ 2‬של ‪ ,X‬ונבחר איבר ‪.x ∈ X‬‬ ‫כאמור‪ ,‬לחבורה זו קיים סדר טוב‪ .‬נביט על תת הקבוצה הבאה של )‪:S (X‬‬ ‫}‪A = {π ∈ S (X) : ∃y ∈ X, π (x) = y, π (y) = x, ∀z ∈ X \ {x, y} , π (z) = z‬‬ ‫בקבוצה זו נמצאות כל התמורות שמחליפות בין ‪ x‬לבין איבר ‪ y‬כלשהו‪ ,‬ומשאירות‬ ‫את כל שאר האיברים במקומם‪ .‬זו תת־קבוצה של )‪ ,S (X‬ולכן היא סדורה היטב‪.‬‬ ‫נתאים לכל איבר ‪ y ∈ X‬את התמורה ‪ π ∈ A‬המקיימת ‪ ,π (x) = y‬ובכך נשרה סדר‬ ‫טוב על ‪ .X‬‬ ‫תרגיל ‪ 7‬הוכיחו את הלמה של טוקי )‪ :(Tukey 1915-2000‬תהי ‪ D‬קבוצה לא ריקה של‬ ‫קבוצות המקיימת ‪ B ∈ D‬א‪.‬ם‪.‬ם‪ .‬כל תת־קבוצה סופית של ‪ B‬נמצאת ב־‪ .D‬אזי יש‬ ‫ב־‪ D‬איבר מקסימלי ביחס להכלה‪.‬‬ ‫‪S‬‬ ‫ב־‪. E‬‬ ‫פתרון נראה כי )⊂ ‪ (D,‬מקיימת את הלמה של צורן‪ .‬תהי ‪ E ⊆ D‬שרשרת‪ .‬נביט ‪S‬‬ ‫שמתקיים ‪ . E ∈ D‬לפי‬ ‫ברור שהוא חוסם מלמעלה את השרשרת‪ ,‬ונותר רק להראות‬ ‫‪S‬‬ ‫‪ S‬סופית של ‪ E‬היא איבר של ‪.D‬‬ ‫לעיל‪ ,‬זה קורה רק אם כל תת־קבוצה‬ ‫התכונה הנתונה‪S‬‬ ‫תת־קבוצה סופית של ‪ . E‬נסמן } ‪.B = {x1 , x2 , . . . , xn‬‬ ‫‪B‬‬ ‫⊆‬ ‫אם כן‪ ,‬תהי ‪E‬‬ ‫‪S‬‬ ‫אז לכל ‪ i ≤ n‬מתקיים ‪ .xi ∈ E‬לפי הגדרת איחוד‪ ,‬קיימים ‪ Ci ∈ E‬כך ש־‬ ‫‪ .xi ∈ Ci‬כל ה־ ‪ Ci‬שייכים לשרשרת ‪ ,E‬ולכן ניתנים להשוואה‪ .‬הקבוצה } ‪{Ci‬‬ ‫היא קבוצה סופית )עוצמתה חסומה על ידי ‪ (n‬סדורה בסדר מלא )כי היא מוכלת‬ ‫בשרשרת(‪ ,‬ולכן יש לה איבר מקסימלי ‪ .C‬אם כך‪ ,‬לכל ‪ i ≤ n‬מתקיים ‪.xi ∈ C‬‬ ‫⊇ ‪ .D‬מהגדרת‬ ‫למעשה‪ ,‬הראנו כי ‪ B .B ⊆ C‬היא‪ ,‬אם כן‪ ,‬תת־קבוצה סופית של ‪SC‬‬ ‫של ‪ E‬מוכלת ב־‪,D‬‬ ‫‪ D‬עולה ש־‪ .B ∈ D‬הראנו אם כן כי‪S‬כל תת־קבוצה סופית ‪S‬‬ ‫ולפי הגדרת ‪ D‬נובע מכך שגם ‪ . E ∈ D‬הראנו עד כה ש־‪ E‬הוא חסם מלעיל של‬ ‫‪ E‬ב־‪ .D‬זה נכון לכל שרשרת‪ ,‬ולכן )⊂ ‪ (D,‬מקיימת את תנאי הלמה של צורן‪ .‬כך‪,‬‬ ‫לפי הלמה של צורן‪ ,‬קיים ב־‪ D‬איבר מקסימלי )ביחס ל־⊂(‪ .‬זהו האיבר המבוקש‪ ,‬כי‬ ‫הוא אינו מוכל באף איבר אחר‪ .‬‬ ‫‪ 2‬חבורת הסימטריה של ‪ X‬היא חבורת כל הפונקציות ההפיכות מ־‪ X‬לעצמה‪ .‬פעולת החבורה היא הרכבת‬ ‫פונקציות‪.‬‬ ‫‪4‬‬