‫קבלת החלטות בתנאי אי וודאות‬ ‫גישת תוחלת התועלת‬ ‫‪1‬‬ ‫נושאי השיעור‬ ‫•‬ ‫•‬ ‫•‬ ‫•‬ ‫הגרלות ותכניות תצרוכת מותנות‬ ‫העדפות על הגרלות‬ ‫גישת תוחלת התועלת ופונקצית תועלת ‪VNM‬‬ ‫תרחיש הביטוח‬ ‫– מישור העושר‬ ‫– מישור מצבי הטבע‬ ‫‪2‬‬ ‫הגרלות‬ ‫•‬ ‫•‬ ‫בחירות של פרטים מתבצעות בדרך כלל תחת תנאים של אי‬ ‫וודאות‪.‬‬ ‫לעיתים קרובות אנו בוחרים בין הגרלות שונות‪ ,‬או באופן יותר מדויק‬ ‫בין משתנים מקריים שונים‪.‬‬ ‫דוגמאות‪:‬‬ ‫לבעלי תואר ראשון בכלכלה יש‪:‬‬ ‫הסתברות ‪ 20%‬לקבל משרה של ‪₪ 5,000‬‬ ‫והסתברות ‪ 80%‬לקבל משרה של ‪₪ 9,000‬‬ ‫לבעלי תואר ראשון במדעי המחשב יש‪:‬‬ ‫הסתברות ‪ 30%‬לקבל משרה של ‪₪ 3,000‬‬ ‫והסתברות ‪ 70%‬לקבל משרה של ‪₪ 11,000‬‬ ‫•‬ ‫רכישת כל תואר כזה הינה למעשה רכישת הגרלה‪.‬‬ ‫‪3‬‬ ‫תרחיש הביטוח‬ ‫דוגמתביטוח‬ ‫נניחכילפרט יש‬ ‫רכוששל‬ ‫‪₪‬‬ ‫‪. 40 ,000‬‬ ‫כירכושו ירדל –‬ ‫ישנההסתברותשל ‪0.01‬‬ ‫‪₪‬‬ ‫‪. 30 ,000‬‬ ‫כלומרהפרטעומדבפניהגרלה‬ ‫) ‪, 0.99‬‬ ‫‪; 0.01‬‬ ‫נניחכעת‬ ‫תשלום ‪γK‬‬ ‫למשלאם‬ ‫‪₪ 5,000‬‬ ‫‪₪‬‬ ‫‪. 100‬‬ ‫‪, 40 ,000‬‬ ‫‪. (30 ,000‬‬ ‫כיהפרט יכוללקנותביטוחב סך ‪K‬‬ ‫על ידי‬ ‫כפרמיה ‪.‬‬ ‫‪,γ=0.02‬‬ ‫להשיגפיצוישל‬ ‫הפרט יכול‬ ‫במקרהשהרכוש ירדתמורתתשלוםשל‬ ‫יעשהזאתהוא יעמודבפניההגרלה‬ ‫אםה פרט‬ ‫) ‪(34 ,900 , 39 ,900 ; 0.01 ,0 .99‬‬ ‫‪₪‬‬ ‫תמורתתשלוםשל ‪. 100‬‬ ‫הפרט יכוללהשיגהגרלותמהצורה ‪:‬‬ ‫ובאופןכללי‬ ‫) ‪(30 ,000 +K-γK , 40 ,000 -γK ; 0.01 ,0 .99‬‬ ‫החלטתו‬ ‫משתנה‬ ‫כמהביטוח יקנהפרט ו איך‬ ‫כפונקציהשל ‪?γ‬‬ ‫‪4‬‬ ‫העדפות על הגרלות‬ ‫אי‬ ‫תנ‬ ‫םב‬ ‫תהפרטי‬ ‫תהעדפו‬ ‫כיצדנראו‬ ‫תלגבי‬ ‫תסבירו‬ ‫הנחו‬ ‫מהן‬ ‫ת ?‬ ‫או‬ ‫איווד‬ ‫ת?‬ ‫תעלהגרלו‬ ‫העדפו‬ ‫ת‬ ‫שונו‬ ‫תה‬ ‫תוצאו‬ ‫תןלהניחשה‬ ‫מדנומולהגרלהני‬ ‫בע‬ ‫ם‪.‬‬ ‫תמצביטבעשוני‬ ‫שלההגרלהמייצגו‬ ‫ת‬ ‫תתצרוכ‬ ‫אתכני‬ ‫םהי‬ ‫תהפרסי‬ ‫מ‬ ‫שי‬ ‫תןלהגידשר‬ ‫ני‬ ‫‪. (co‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪tin‬‬ ‫‪g‬‬ ‫‪en‬‬ ‫‪tco‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪su‬‬ ‫‪m‬‬ ‫‪p‬‬ ‫‪tio‬‬ ‫‪np‬‬ ‫‪lan‬‬ ‫ת)‬ ‫תני‬ ‫מו‬ ‫שור ‪:‬‬ ‫מי‬ ‫תב‬ ‫תגראפי‬ ‫ארזא‬ ‫ת‬ ‫תןל‬ ‫יטוחני‬ ‫םנחזורלב‬ ‫א‬ ‫מצבטבע ‪ ) 1‬רע ( )‬ ‫מצבטבע ‪ ) 2‬טוב ()‬ ‫ם ‪) K≥0‬‬ ‫( א‬ ‫צירה – ‪) X‬‬ ‫צירה –‪) Y‬‬ ‫תשהפרטיכוללבחורביניהן‬ ‫תצרוכ‬ ‫תה‬ ‫אוסףתכניו‬ ‫תןעלידי ‪:‬‬ ‫ני‬ ‫‪, 4‬‬ ‫‪0 ,0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫תחילמהנקודה )‬ ‫מ‬ ‫שרה‬ ‫קוי‬ ‫םשיפוע )‪. γ/( 1-γ‬‬ ‫אלהע‬ ‫מ‬ ‫שךש‬ ‫מ‬ ‫ונ‬ ‫הפרט‬ ‫תביטוח ‪.‬‬ ‫קניי‬ ‫‪(3‬‬ ‫‪4 ,9‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪, 3‬‬ ‫‪9 ,9‬‬ ‫‪0‬‬ ‫) ‪0‬‬ ‫מצבטבע ‪ 1‬ו –‬ ‫ב‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4 ,9‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪(3‬‬ ‫‪0 ,0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫מצבהטובלרעעלידי‬ ‫יכוללהעבירכסףמה‬ ‫תמצבבוהפרטצורך‬ ‫תאר‬ ‫מ‬ ‫מצבטבע ‪.2‬‬ ‫ב‬ ‫‪3‬‬ ‫‪9 ,9‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪5‬‬ ‫העדפות על הגרלות ‪1 -‬‬ ‫תצרוכתמותנית(‬ ‫נתארהגרלהאו ) תכנית‬ ‫על ידי ‪:‬‬ ‫)‪(c1,…cn;p 1,…,p n‬‬ ‫מהגרלהכזו ?‬ ‫מהיהתועלת ‪V‬‬ ‫יתכן ו ‪...‬‬ ‫)‪1,c 2) (P>0‬‬ ‫)‪(1‬‬ ‫)‪1,c 2‬‬ ‫)‪(2‬‬ ‫‪in(c‬‬ ‫‪1,c 2;p 1,p 2)=m‬‬ ‫‪V(c‬‬ ‫‪p1‬‬ ‫‪c2p2‬‬ ‫‪1,c 2;p 1,p 2)=c 1‬‬ ‫‪V(c‬‬ ‫)‪(4‬‬ ‫‪1,c 2;p 1,p 2)=p 1c1+p 2c2‬‬ ‫‪V(c‬‬ ‫)‪2‬‬ ‫‪n(c‬‬ ‫‪1,c 2;p 1,p 2)=p 1ln(c 1)+p 2L‬‬ ‫‪V(c‬‬ ‫)‪(3‬‬ ‫)‪(5‬‬ ‫)‪(6‬‬ ‫אם ‪V‬‬ ‫נאמר‬ ‫ה תועלת ‪.‬‬ ‫‪V(c 1,c 2;p 1,p 2)=max(c‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2c2‬‬ ‫‪V(c 1,c 2;p 1,p 2)=p 1c12 +p‬‬ ‫כלומרקיימתפונקציה‬ ‫היאמהצורה ‪ 4‬עד ‪,6‬‬ ‫שלתועלתמפרסיםשלוקחיםאתהממוצעשלה‬ ‫שהעדפותהפרטמקיימותאת גישת תוחלת‬ ‫‪6‬‬ 7 John Louis von Neumann 1903-1957 Oskar Morgenstern 1902-1976 ‫העדפות ‪ -‬גישת תוחלת התועלת‬ ‫נסמן את הפונקציה שלוקחים את הממוצע שלה ב –‬ ‫‪.u‬‬ ‫במקרה ‪u(c)=c 4‬‬ ‫במקרה ‪u(c)=Ln(c) 5‬‬ ‫במקרה ‪u(c)=c2 6‬‬ ‫‪ u‬תיקרא פונקצית תועלת ‪.VNM‬‬ ‫כלומר אם אומרים שלפרט פונקצית תועלת ‪VNM‬‬ ‫‪ u‬על מרחב הפרסים‪ ,‬פירושו שהתועלת מהגרלה‬ ‫ניתנת על ידי תוחלת התועלת לפי ‪.u‬‬ ‫יש הנחות סבירות שמבטיחות שהעדפות על פרסים‬ ‫ניתנות על ידי תוחלת תועלת‪.‬‬ ‫‪8‬‬ ‫גישת תוחלת התועלת ‪ -‬האקסיומות‬ ‫העדפותיושלהפרטמקיימות‬ ‫תחתההנחותהבאות ‪,‬‬ ‫כלומרקיימתפונקצית‬ ‫את גישתתוחלתהתועלת ‪,‬‬ ‫עלהפרסיםכךשההגרלותמדורגותעל ידי‬ ‫תועלת ‪u‬‬ ‫תוחלתהתועלתלפי ‪. u‬‬ ‫)‪( i‬‬ ‫קיים י‬ ‫) ‪( ii‬‬ ‫חסהעדפהשלם וטרנזיטיביעלההגרלות ‪.‬‬ ‫הפרטיםמעונייניםרקב "‬ ‫שורההתחתונה"‬ ‫ביןשתיהגרלותשבסיכומושלדבר נותנות‬ ‫כלומרהפרטאדיש‬ ‫אותםפרסיםבאותןהסתברויות ‪.‬‬ ‫ה הג ר לה ) ‪(c1,c 2;0.3 ,0 .7‬‬ ‫זוההגרלה ) ‪(120 ,100 ;0.4 ,0 .6‬‬ ‫כאשר ‪ c1=100‬ו – ‪c2‬‬ ‫שקולה‬ ‫להגרלה ) ‪.(100 ,120 ;0.72 ,0 .28‬‬ ‫) ‪( iii‬‬ ‫רציפות‬ ‫כלשלושהגרלות‬ ‫עבור‬ ‫ששקולהל ‪. Q‬‬ ‫)‪( iv‬‬ ‫‪P>R‬‬ ‫‪P>Q>R‬‬ ‫ישנההגרלה )‪(P,R; α,1-α‬‬ ‫איתלותבאלטרנטיבותלארלוונטיות‬ ‫אמ" מ )‪(Q,P; α,1-α)>(Q,R, α,1-α‬‬ ‫‪9‬‬ ‫גישת תוחלת התועלת ‪-‬הערות‬ ‫האםפונקציותהתועלתהבאות )‬ ‫אתגישתתוחלתהתועלת ?‬ ‫מקיימות‬ ‫מהגרלות (‬ ‫‪V(c1,c 2;p 1,p 2)= c1p1c2p2‬‬ ‫‪V(c1,c 2;p 1,p 2)= p1Ln (c1)+ p2c20.5‬‬ ‫במיליםאחרות ‪,‬‬ ‫כתוצאה‬ ‫האםהן יכולותלהתקבל‬ ‫מתוחלתהתועלתשלאיזושהיפונקציתתועלתעל‬ ‫פרסים ?‬ ‫לא‪.‬‬ ‫השונים‪,‬‬ ‫בראשונה ישקשרביןתועלותשו ליות‬ ‫התועלתהשוליתבמצבטבע ‪1‬‬ ‫מהתועלתהשוליתבמצבטבע ‪. 2‬‬ ‫יהזולאאותהפונקציהבכלמצב‬ ‫בשני‬ ‫במצביהטבע‬ ‫מושפעת‬ ‫טבע ‪.‬‬ ‫אנותמידנניחשההעדפותעלהגרלותניתנותעל ידי‬ ‫תוחלתהתועלת ‪.‬‬ ‫הנתוניםהבסיסיים יהיוהסתברויותלמצביםהשונים‬ ‫ופונקציתתועלתהמוגדרתעלפרסים‪.‬‬ ‫‪10‬‬ ‫גישת תוחלת התועלת – פרסים כלליים‬ ‫באופן כללי פרסים לא חייבים להיות רק במונחים‬ ‫כספיים‪ ,‬וניתן לחשוב על תכניות תצרוכת מותנית‬ ‫של סלים שונים‪.‬‬ ‫למשל אם פרט יוצא מהבית עם מטריה ומעיל קל‬ ‫ומזג האוויר יכול לקבל אחד מארבעה ערכים‪:‬‬ ‫גשום וקר‬ ‫גשום וחם‬ ‫יבש וקר‬ ‫יבש וחם‬ ‫יש ארבעה מצבי טבע‬ ‫והפרט בוחר בעצם בהגרלה של ‪. ...‬‬ ‫‪11‬‬ ‫העדפות ופונקציית תועלת‪VNM‬‬ ‫• פרטים שיש להם אותה פונקציית תועלת ‪ ,VNM‬עד כדי‬ ‫טרנספורמציה אפינית עולה ממש‪ ,‬ידרגו הגרלות באותו‬ ‫אופן‪.‬‬ ‫• ‪ u‬הינה טרנספורמציה אפינית עולה ממש של ‪ v‬אם‬ ‫‪u=a*v+b a>0‬‬ ‫• לדוגמה אם לפרט ‪ 1‬יש פונקציית תועלת ‪u=c0.5‬‬ ‫ולפרט ‪ 2‬יש פונקציית תועלת ‪ ,v=3c0.5-10‬תהיינה לשני‬ ‫הפרטים אותן העדפות על הגרלות‪.‬‬ ‫• אם לפרט ‪ 2‬תהיה פונקציית תועלת ‪v=c0.8‬‬ ‫העדפות הפרטים על ההגרלות לא תתלכדנה‪.‬‬ ‫‪12‬‬ Maurice Allais 191113 Daniel Ellsberg 1931- ‫פרדוקס ‪ALLAIS‬‬ ‫בהינתן שתי ההגרלות הבאות‪:‬‬ ‫‪)A=(1,000,000,0;1,0‬‬ ‫)מיליון ‪ ₪‬בוודאות(‬ ‫או‬ ‫‪)B=(1,000,000,5,000,000,0;0.89,0.1, 0.01‬‬ ‫)מיליון ‪ ₪‬בהסתברות ‪ 5 , 89%‬מיליון ‪ ₪‬בהסתברות ‪10%‬‬ ‫ו ‪ ₪ 0 -‬בהסתברות ‪(.1%‬‬ ‫אחוז ניכר מהפרטים מעדיף את‬ ‫‪ A‬על ‪B‬‬ ‫‪14‬‬ ‫פרדוקס ‪ALLAIS - 1‬‬ ‫בהינתן שתי ההגרלות הבאות‪:‬‬ ‫‪)C=(5,000,000,0;0.1,0.9‬‬ ‫)‪ 5‬מיליון ‪ ₪‬בהסתברות ‪(10%‬‬ ‫או‬ ‫‪)D=(1,000,000,0;0.11,0.89‬‬ ‫)מיליון ‪ ₪‬בהסתברות ‪(11%‬‬ ‫אחוז ניכר מהפרטים מעדיף את‬ ‫‪ C‬על ‪D‬‬ ‫‪15‬‬ ‫פרדוקס ‪ALLAIS - 2‬‬ ‫אם הפרט מתנהג לפי אקסיומות תוחלת התועלת‬ ‫כלומר יש לו פונקציית תועלת ‪ u‬על פרסים והוא‬ ‫מדרג הגרלות על פי תוחלת התועלת לפי ‪ u‬אזי‪:‬‬ ‫‪ A‬עדיף על ‪ B‬גורר כי‪:‬‬ ‫‪)u(1)>0.1*u(5)+0.89*u(1)+0.01*u(o‬‬ ‫‪ C‬עדיף על ‪ D‬גורר כי‪:‬‬ ‫‪)u(5)+0.9*u(0)>0.11*u(1)+0.89*u(0*0.1‬‬ ‫לא יתכן !!!‬ ‫‪16‬‬ ‫פרדוקס אלסברג‬ ‫• ישנו כד המכיל ‪ 90‬כדורים‬ ‫– ‪ 30‬כדורים הינם צהובים‬ ‫– ‪ 60‬כדורים הינם אדומים או כחולים‬ ‫– אחוז הכדורים האדומים מתוך ‪ 60‬הכדורים יכול להיות‬ ‫בין ‪ 0‬ל ‪.100%‬‬ ‫• אנו נוציא כדור מהכד והפרט יוכל להמר על הצבע‬ ‫שלו‪.‬‬ ‫‪17‬‬ ‫• מצב ‪A‬‬ ‫פרדוקס אלסברג ‪1-‬‬ ‫– הפרט יכול להמר על צבע צהוב או צבע אדום‪ .‬הימור נכון יזכה‬ ‫אותו ב ‪ ₪ 100‬והימור מוטעה יזכה אותו ב – ‪.₪ 0‬‬ ‫• מטריצת התשלומים עבור שני ההימורים ניתנת על ידי‪:‬‬ ‫רוב הפרטים מעדיפים להמר ‪.Y‬‬ ‫‪18‬‬ ‫פרדוקס אלסברג ‪2 -‬‬ ‫• מצב ‪B‬‬ ‫– הפרט יכול להמר על צבע )אדום או כחול( או על צבע )צהוב או‬ ‫כחול(‪ .‬הימור נכון יזכה אותו ב ‪ ₪ 100‬והימור מוטעה יזכה אותו‬ ‫ב – ‪.₪ 0‬‬ ‫• מטריצת התשלומים עבור שני ההימורים ניתנת על ידי‪:‬‬ ‫רוב הפרטים מעדיפים להמר על )אדום או כחול(‬ ‫‪19‬‬ ‫פרדוקס אלסברג ‪3 -‬‬ ‫אם הפרט מתנהג לפי אקסיומות תוחלת התועלת‬ ‫כלומר יש לו פונקציית תועלת ‪ u‬על פרסים והוא‬ ‫מדרג הגרלות על פי תוחלת התועלת לפי ‪ u‬אזי‪:‬‬ ‫ההימור במצב ‪ A‬גורר כי‪:‬‬ ‫‪)>P(Y)*u(100)+P(R)*u(0)+p(B)*u(0‬‬ ‫‪)P(Y)*u(0)+P(R)*u(100)+p(B)*u(0‬‬ ‫ההימור במצב ‪ B‬גורר כי‪:‬‬ ‫‪)>P(Y)*u(0)+P(R)*u(100)+p(B)*u(100‬‬ ‫‪)P(Y)*u(100)+p(R)*u(0)+p(B)*u(100‬‬ ‫לא יתכן !!!‬ ‫‪20‬‬ ‫מושגים שונים‬ ‫•‬ ‫נניח כי תצרוכתו )רכושו( של הפרט ניתנת על ידי ההגרלה‬ ‫)‪.(C1,C2;P1,P2‬‬ ‫•‬ ‫העדפות הפרט ניתנות על ידי פונקציית תועלת ‪.VNM, u‬‬ ‫•‬ ‫תוחלת התצרוכת ניתנת על ידי‪:‬‬ ‫‪Cbar= P1C1+P2C2‬‬ ‫•‬ ‫התועלת מההגרלה )תכנית התצרוכת המותנית( ניתנת על ידי‪:‬‬ ‫‪)P1u(C1)+P2u(C2‬‬ ‫•‬ ‫)זו למעשה תוחלת התועלת מההגרלה(‬ ‫•‬ ‫שווה הערך הוודאי להגרלה הינו רכוש ‪ Ce‬המקיים‪:‬‬ ‫‪21‬‬ ‫מושגים שונים – המשך‬ ‫תרחיש הביטוח ב"מישור העושר"‬ ‫• פרמיית סיכון – ‪Cbar-Ce‬‬ ‫– הפער בין תוחלת ההגרלה לשווה הערך הוודאי שלה‪.‬‬ ‫• פרמייה הוגנת )ביטוח הוגן( – ‪C2-Cbar‬‬ ‫– תוחלת התשלום של חברת הביטוח עבור ביטוח מלא‬ ‫ברמה ‪.C2‬‬ ‫• פרמייה מקסימלית – ‪C2-Ce‬‬ ‫– התשלום המקסימלי שהפרט מוכן לשלם תמורת ביטוח‬ ‫הסיכון‪.‬‬ ‫• ובאופן גראפי ‪...‬‬ ‫‪22‬‬ ‫הצגה גראפית במישור רכוש ‪ -‬תועלת‬ ‫‪U‬‬ ‫‪)U(C2‬‬ ‫‪)U(Cbar‬‬ ‫‪EU‬‬ ‫‪)U(C1‬‬ ‫‪W‬‬ ‫‪C2‬‬ ‫‪Cbar‬‬ ‫‪CE‬‬ ‫‪C1‬‬ ‫אדום – פרמיית סיכון ‪ ,‬כחול – פרמייה הוגנת ‪ ,‬ירוק – פרמיה מקסימלית‬ ‫‪23‬‬ ‫דוגמה מספרית‬ ‫•‬ ‫נניח כי תצרוכת הפרט ניתנת על ידי )‪(0.2,0.8;100,600‬‬ ‫והעדפותיו ניתנות על ידי ‪u=c0.6‬‬ ‫‪Cbar=500, u(500)=41.63‬‬ ‫התועלת מההגרלה(( ‪Eu=0.2*1000.6+0.8*6000.6=40.32‬‬ ‫)‪Ce=474.13 (474.130.6=40.32‬‬ ‫פרמיית הסיכון ‪25.87-‬‬ ‫פרמייה הוגנת(( )‪100 – ((600-100)*0.2‬‬ ‫אם העדפות הפרט ניתנות על ידי ‪ c0.3‬הן יותר קעורות ואכן‬ ‫מתקבל שווה ערך וודאי נמוך יותר‪ ,‬ולכן פרמיית סיכון גבוהה‬ ‫יותר‪.‬‬ ‫‪24‬‬ ‫התייחסות לסיכון‬ ‫•‬ ‫הפרט הינו שונא סיכון אם פרמיית הסיכון הינה חיובית‪.‬‬ ‫•‬ ‫הפרט אדיש לסיכון אם פרמיית הסיכון הינה אפס‪.‬‬ ‫•‬ ‫•‬ ‫הפרט אוהב סיכון אם פרמיית הסיכון שלילית‪.‬‬ ‫כאשר פונקציית התועלת ‪ VNM‬קעורה "ממש" הפרט שונא סיכון‪.‬‬ ‫)כאשר ‪(u’’<0‬‬ ‫• פונקציה ‪ U‬קעורה "ממש" אם‪:‬‬ ‫‪ )U(γx+(1-γ)y)> γU(x)+(1- γ)U(y‬עבור ‪γ<1<0‬‬ ‫• כאשר פונקציית התועלת ‪ VNM‬אפינית כלומר‬ ‫‪ U(x)=ax+b a>0‬הפרט אדיש לסיכון‪.‬‬ ‫• פרט אדיש לסיכון מדרג את ההגרלות לפי תוחלת ההגרלה‪.‬‬ ‫• כאשר פונקציית התועלת ‪ VNM‬קמורה "ממש" הפרט אוהב סיכון‪.‬‬ ‫)כאשר ‪(u’’>0‬‬ ‫‪25‬‬ ‫• באופן אינטואיטיבי ככל שפונקציית התועלת קעורה יותר הפרט‬ ‫תרחיש הביטוח במישור מצבי הטבע‬ ‫•‬ ‫נניח כי בהסתברות ‪ P1‬קורה "אסון" ורכושו של הפרט במקרה זה‬ ‫הינו ‪ ,C1‬ובהסתברות ‪ P2‬האסון אינו קורה ורכושו של הפרט הינו‬ ‫‪.C2‬‬ ‫•‬ ‫מצב ‪ 1‬יקרא המצב הרע ומצב ‪ 2‬יקרא המצב הטוב‪.‬‬ ‫תמורת פרמיה של ‪ K‬ניתן לקנות ביטוח בגובה ‪ ,K‬כך שאם יקרה‬ ‫מצב הטבע הרע יקבל הפרט ‪ .K‬נניח ש ‪K≤C2-C1≥0‬‬ ‫•‬ ‫הפרט יכול לכן להשיג כל תכנית תצרוכת )מותנית( מהצורה‪:‬‬ ‫•‬ ‫(‪)C1- γK+K,C2- γK;P1,P2‬‬ ‫במישור בו מודדים על הציר האופקי את התצרוכת במקרה הרע ועל‬ ‫הציר האנכי את התצרוכת במקרה הטוב נמצאות נקודות אלו על קו‬ ‫המתחיל בנקודה )‪ (C1,C2‬ששיפועו ‪ (γ/(1- γ -‬ומסתיים על קו ה ‪. 450‬‬ ‫‪26‬‬ ‫הצגה גראפית של ביטוח במישור‬ ‫"מצבי הטבע"‬ ‫‪GOOD‬‬ ‫‪)(X2‬‬ ‫‪K=C2-C1‬‬ ‫‪C2‬‬ ‫‪)γ/(1-γ-‬‬ ‫‪)BAD (X1‬‬ ‫‪C1‬‬ ‫‪27‬‬ ‫קו תקציב והעדפות במישור מצבי הטבע‬ ‫•‬ ‫קו התקציב של הפרט ניתן על ידי‪:‬‬ ‫(‪)X2-C2)=(- γ/(1- γ))*(X1-C1‬‬ ‫או‬ ‫‪(γ/(1- γ))*X1+X2=(γ/(1- γ))*C1+C2‬‬ ‫כל נקודה במישור מייצגת הגרלה‪ ,‬התועלת מכל נקודה‬ ‫ניתנת לכן על ידי תוחלת התועלת מההגרלה שהיא מייצגת‪.‬‬ ‫נסמן את התועלת מכל נקודה ב – ‪ ,V‬ונקבל כי העדפות‬ ‫הפרט ניתנות על ידי‪:‬‬ ‫‪)V(X1,X2)=p1U(X1)+p2U(X2‬‬ ‫לאור זאת שיפוע עקומות האדישות ניתן על ידי‪:‬‬ ‫‪28‬‬ ‫קו הוודאות במישור מצבי הטבע‬ ‫• קו הוודאות הינו הקו שלאורכו ‪. X1=X2‬‬ ‫• זהו קו ה ‪.450‬‬ ‫• שיפוע עקומות האדישות לאורך קו זה )למעשה‬ ‫אינו תלוי בפונקציית התועלת ‪ VNM‬של הפרט(‬ ‫ניתן על ידי‪.p1/p2 :‬‬ ‫‪29‬‬ ‫בחירה אופטימאלית במקרה של פרמייה הוגנת‬ ‫• תוחלת התשלום של חברת הביטוח הינה ‪p1K‬‬ ‫• הפרמייה שהחברה מקבלת הינה ‪K‬‬ ‫• כאשר הפרמייה הוגנת ‪p1= γ‬‬ ‫• שיפוע קו התקציב במקרה זה הינו‪p1/p2 :‬‬ ‫• לכן ההשקה לעקומת האדישות מתרחשת על קו ה‬ ‫– ‪.450‬‬ ‫• כאשר הפרמייה הוגנת בוחר הפרט לקנות ביטוח‬ ‫מלא )‪.(K=C2-C1‬‬ ‫‪30‬‬ ‫הבחירה האופטימאלית במקרה של‬ ‫פרמייה הוגנת‬ ‫‪good‬‬ ‫‪K=C2-C1‬‬ ‫‪C2‬‬ ‫‪)γ/(1-γ-‬‬ ‫‪bad‬‬ ‫‪C1‬‬ ‫‪31‬‬ ‫בעיית הביטוח – פתרון אלגברי ב "מישור העושר"‬ ‫בעייתהמקסימיזציהשהפרטפותרהינה ‪:‬‬ ‫‪(10 -γK‬‬ ‫‪+K‬‬ ‫‪)+p‬‬ ‫‪(40 -γK‬‬ ‫)‬ ‫‪1u‬‬ ‫‪2u‬‬ ‫‪M‬‬ ‫‪ax p‬‬ ‫‪K‬‬ ‫שוואה‬ ‫וה‬ ‫שוןמתקבלמגזירהלפי ‪K‬‬ ‫תנאיהסדרהרא‬ ‫וכןהלאה ‪.‬‬ ‫במצבטבע ‪1‬‬ ‫נסמןב– ‪ X1‬תצ '‬ ‫‪(1‬‬ ‫‪-γ)p 1u'( X1)- γp2u'( X2)=0‬‬ ‫לאפס ( ‪.‬‬ ‫) ‪u ' ( X1‬‬ ‫) ‪γ ( p2‬‬ ‫=‬ ‫) ‪u' ( X 2‬‬ ‫‪(1 − γ ) p1‬‬ ‫‪or‬‬ ‫) ‪p1u ' ( X 1‬‬ ‫‪γ‬‬ ‫=‬ ‫) ‪p2 u ' ( X 2‬‬ ‫) ‪(1 − γ‬‬ ‫אנושוברואיםכי ‪γ=p1‬‬ ‫מכיווןש – ‪p2=1-p1‬‬ ‫ש ‪. c1=c2 -‬‬ ‫שותיותרתלולהמקו‬ ‫אזיעקומתהאדי‬ ‫אם‪γ<p 1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫שובקונים‬ ‫ו‬ ‫התקציבבנקודתהחיתוךעםקוה ‪, 45‬‬ ‫ביטוחמלא ‪.‬‬ ‫שותיותרשטוחהמקו‬ ‫אזיעקומתהאדי‬ ‫אם‪γ>p 1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫במקרהזה‬ ‫התקציבבנקודתהחיתוךעםקוה ‪, 45‬‬ ‫גדולמספיקכלללאנקנה‬ ‫קוניםכיסויחלקי ‪ .‬אם‪γ‬‬ ‫קטןמ‬ ‫‪ M‬בנק ' ה – ‪C‬‬ ‫‪R‬‬ ‫שרה ‪S‬‬ ‫זהיקרהכא‬ ‫ביטוח ( ‪.‬‬ ‫‪γ‬‬ ‫) ‪(1 − γ‬‬ ‫(‪.‬‬ ‫גורר‬ ‫‪32‬‬