קבלת החלטות בתנאי אי וודאות גישת תוחלת התועלת

‫קבלת החלטות בתנאי אי וודאות‬
‫גישת תוחלת התועלת‬
‫‪1‬‬
‫נושאי השיעור‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫הגרלות ותכניות תצרוכת מותנות‬
‫העדפות על הגרלות‬
‫גישת תוחלת התועלת ופונקצית תועלת ‪VNM‬‬
‫תרחיש הביטוח‬
‫– מישור העושר‬
‫– מישור מצבי הטבע‬
‫‪2‬‬
‫הגרלות‬
‫•‬
‫•‬
‫בחירות של פרטים מתבצעות בדרך כלל תחת תנאים של אי‬
‫וודאות‪.‬‬
‫לעיתים קרובות אנו בוחרים בין הגרלות שונות‪ ,‬או באופן יותר מדויק‬
‫בין משתנים מקריים שונים‪.‬‬
‫דוגמאות‪:‬‬
‫לבעלי תואר ראשון בכלכלה יש‪:‬‬
‫הסתברות ‪ 20%‬לקבל משרה של ‪₪ 5,000‬‬
‫והסתברות ‪ 80%‬לקבל משרה של ‪₪ 9,000‬‬
‫לבעלי תואר ראשון במדעי המחשב יש‪:‬‬
‫הסתברות ‪ 30%‬לקבל משרה של ‪₪ 3,000‬‬
‫והסתברות ‪ 70%‬לקבל משרה של ‪₪ 11,000‬‬
‫•‬
‫רכישת כל תואר כזה הינה למעשה רכישת הגרלה‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫תרחיש הביטוח‬
‫דוגמתביטוח‬
‫נניחכילפרט יש‬
‫רכוששל‬
‫‪₪‬‬
‫‪. 40 ,000‬‬
‫כירכושו ירדל –‬
‫ישנההסתברותשל ‪0.01‬‬
‫‪₪‬‬
‫‪. 30 ,000‬‬
‫כלומרהפרטעומדבפניהגרלה‬
‫) ‪, 0.99‬‬
‫‪; 0.01‬‬
‫נניחכעת‬
‫תשלום ‪γK‬‬
‫למשלאם‬
‫‪₪ 5,000‬‬
‫‪₪‬‬
‫‪. 100‬‬
‫‪, 40 ,000‬‬
‫‪. (30 ,000‬‬
‫כיהפרט יכוללקנותביטוחב סך ‪K‬‬
‫על ידי‬
‫כפרמיה ‪.‬‬
‫‪,γ=0.02‬‬
‫להשיגפיצוישל‬
‫הפרט יכול‬
‫במקרהשהרכוש ירדתמורתתשלוםשל‬
‫יעשהזאתהוא יעמודבפניההגרלה‬
‫אםה פרט‬
‫) ‪(34 ,900 , 39 ,900 ; 0.01 ,0 .99‬‬
‫‪₪‬‬
‫תמורתתשלוםשל ‪. 100‬‬
‫הפרט יכוללהשיגהגרלותמהצורה ‪:‬‬
‫ובאופןכללי‬
‫) ‪(30 ,000 +K-γK , 40 ,000 -γK ; 0.01 ,0 .99‬‬
‫החלטתו‬
‫משתנה‬
‫כמהביטוח יקנהפרט ו איך‬
‫כפונקציהשל ‪?γ‬‬
‫‪4‬‬
‫העדפות על הגרלות‬
‫אי‬
‫תנ‬
‫םב‬
‫תהפרטי‬
‫תהעדפו‬
‫כיצדנראו‬
‫תלגבי‬
‫תסבירו‬
‫הנחו‬
‫מהן‬
‫ת ?‬
‫או‬
‫איווד‬
‫ת?‬
‫תעלהגרלו‬
‫העדפו‬
‫ת‬
‫שונו‬
‫תה‬
‫תוצאו‬
‫תןלהניחשה‬
‫מדנומולהגרלהני‬
‫בע‬
‫ם‪.‬‬
‫תמצביטבעשוני‬
‫שלההגרלהמייצגו‬
‫ת‬
‫תתצרוכ‬
‫אתכני‬
‫םהי‬
‫תהפרסי‬
‫מ‬
‫שי‬
‫תןלהגידשר‬
‫ני‬
‫‪. (co‬‬
‫‪n‬‬
‫‪tin‬‬
‫‪g‬‬
‫‪en‬‬
‫‪tco‬‬
‫‪n‬‬
‫‪su‬‬
‫‪m‬‬
‫‪p‬‬
‫‪tio‬‬
‫‪np‬‬
‫‪lan‬‬
‫ת)‬
‫תני‬
‫מו‬
‫שור ‪:‬‬
‫מי‬
‫תב‬
‫תגראפי‬
‫ארזא‬
‫ת‬
‫תןל‬
‫יטוחני‬
‫םנחזורלב‬
‫א‬
‫מצבטבע ‪ ) 1‬רע ( )‬
‫מצבטבע ‪ ) 2‬טוב ()‬
‫ם ‪) K≥0‬‬
‫( א‬
‫צירה – ‪) X‬‬
‫צירה –‪) Y‬‬
‫תשהפרטיכוללבחורביניהן‬
‫תצרוכ‬
‫תה‬
‫אוסףתכניו‬
‫תןעלידי ‪:‬‬
‫ני‬
‫‪, 4‬‬
‫‪0 ,0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫תחילמהנקודה )‬
‫מ‬
‫שרה‬
‫קוי‬
‫םשיפוע )‪. γ/( 1-γ‬‬
‫אלהע‬
‫מ‬
‫שךש‬
‫מ‬
‫ונ‬
‫הפרט‬
‫תביטוח ‪.‬‬
‫קניי‬
‫‪(3‬‬
‫‪4 ,9‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪, 3‬‬
‫‪9 ,9‬‬
‫‪0‬‬
‫) ‪0‬‬
‫מצבטבע ‪ 1‬ו –‬
‫ב‬
‫‪3‬‬
‫‪4 ,9‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪(3‬‬
‫‪0 ,0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫מצבהטובלרעעלידי‬
‫יכוללהעבירכסףמה‬
‫תמצבבוהפרטצורך‬
‫תאר‬
‫מ‬
‫מצבטבע ‪.2‬‬
‫ב‬
‫‪3‬‬
‫‪9 ,9‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪5‬‬
‫העדפות על הגרלות ‪1 -‬‬
‫תצרוכתמותנית(‬
‫נתארהגרלהאו ) תכנית‬
‫על ידי ‪:‬‬
‫)‪(c1,…cn;p 1,…,p n‬‬
‫מהגרלהכזו ?‬
‫מהיהתועלת ‪V‬‬
‫יתכן ו ‪...‬‬
‫)‪1,c 2) (P>0‬‬
‫)‪(1‬‬
‫)‪1,c 2‬‬
‫)‪(2‬‬
‫‪in(c‬‬
‫‪1,c 2;p 1,p 2)=m‬‬
‫‪V(c‬‬
‫‪p1‬‬
‫‪c2p2‬‬
‫‪1,c 2;p 1,p 2)=c 1‬‬
‫‪V(c‬‬
‫)‪(4‬‬
‫‪1,c 2;p 1,p 2)=p 1c1+p 2c2‬‬
‫‪V(c‬‬
‫)‪2‬‬
‫‪n(c‬‬
‫‪1,c 2;p 1,p 2)=p 1ln(c 1)+p 2L‬‬
‫‪V(c‬‬
‫)‪(3‬‬
‫)‪(5‬‬
‫)‪(6‬‬
‫אם ‪V‬‬
‫נאמר‬
‫ה תועלת ‪.‬‬
‫‪V(c 1,c 2;p 1,p 2)=max(c‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2c2‬‬
‫‪V(c 1,c 2;p 1,p 2)=p 1c12 +p‬‬
‫כלומרקיימתפונקציה‬
‫היאמהצורה ‪ 4‬עד ‪,6‬‬
‫שלתועלתמפרסיםשלוקחיםאתהממוצעשלה‬
‫שהעדפותהפרטמקיימותאת גישת תוחלת‬
‫‪6‬‬
7
John Louis von Neumann
1903-1957
Oskar Morgenstern
1902-1976
‫העדפות ‪ -‬גישת תוחלת התועלת‬
‫נסמן את הפונקציה שלוקחים את הממוצע שלה ב –‬
‫‪.u‬‬
‫במקרה ‪u(c)=c 4‬‬
‫במקרה ‪u(c)=Ln(c) 5‬‬
‫במקרה ‪u(c)=c2 6‬‬
‫‪ u‬תיקרא פונקצית תועלת ‪.VNM‬‬
‫כלומר אם אומרים שלפרט פונקצית תועלת ‪VNM‬‬
‫‪ u‬על מרחב הפרסים‪ ,‬פירושו שהתועלת מהגרלה‬
‫ניתנת על ידי תוחלת התועלת לפי ‪.u‬‬
‫יש הנחות סבירות שמבטיחות שהעדפות על פרסים‬
‫ניתנות על ידי תוחלת תועלת‪.‬‬
‫‪8‬‬
‫גישת תוחלת התועלת ‪ -‬האקסיומות‬
‫העדפותיושלהפרטמקיימות‬
‫תחתההנחותהבאות ‪,‬‬
‫כלומרקיימתפונקצית‬
‫את גישתתוחלתהתועלת ‪,‬‬
‫עלהפרסיםכךשההגרלותמדורגותעל ידי‬
‫תועלת ‪u‬‬
‫תוחלתהתועלתלפי ‪. u‬‬
‫)‪( i‬‬
‫קיים י‬
‫) ‪( ii‬‬
‫חסהעדפהשלם וטרנזיטיביעלההגרלות ‪.‬‬
‫הפרטיםמעונייניםרקב "‬
‫שורההתחתונה"‬
‫ביןשתיהגרלותשבסיכומושלדבר נותנות‬
‫כלומרהפרטאדיש‬
‫אותםפרסיםבאותןהסתברויות ‪.‬‬
‫ה הג ר לה ) ‪(c1,c 2;0.3 ,0 .7‬‬
‫זוההגרלה ) ‪(120 ,100 ;0.4 ,0 .6‬‬
‫כאשר ‪ c1=100‬ו – ‪c2‬‬
‫שקולה‬
‫להגרלה ) ‪.(100 ,120 ;0.72 ,0 .28‬‬
‫) ‪( iii‬‬
‫רציפות‬
‫כלשלושהגרלות‬
‫עבור‬
‫ששקולהל ‪. Q‬‬
‫)‪( iv‬‬
‫‪P>R‬‬
‫‪P>Q>R‬‬
‫ישנההגרלה )‪(P,R; α,1-α‬‬
‫איתלותבאלטרנטיבותלארלוונטיות‬
‫אמ" מ )‪(Q,P; α,1-α)>(Q,R, α,1-α‬‬
‫‪9‬‬
‫גישת תוחלת התועלת ‪-‬הערות‬
‫האםפונקציותהתועלתהבאות )‬
‫אתגישתתוחלתהתועלת ?‬
‫מקיימות‬
‫מהגרלות (‬
‫‪V(c1,c 2;p 1,p 2)= c1p1c2p2‬‬
‫‪V(c1,c 2;p 1,p 2)= p1Ln (c1)+ p2c20.5‬‬
‫במיליםאחרות ‪,‬‬
‫כתוצאה‬
‫האםהן יכולותלהתקבל‬
‫מתוחלתהתועלתשלאיזושהיפונקציתתועלתעל‬
‫פרסים ?‬
‫לא‪.‬‬
‫השונים‪,‬‬
‫בראשונה ישקשרביןתועלותשו ליות‬
‫התועלתהשוליתבמצבטבע ‪1‬‬
‫מהתועלתהשוליתבמצבטבע ‪. 2‬‬
‫יהזולאאותהפונקציהבכלמצב‬
‫בשני‬
‫במצביהטבע‬
‫מושפעת‬
‫טבע ‪.‬‬
‫אנותמידנניחשההעדפותעלהגרלותניתנותעל ידי‬
‫תוחלתהתועלת ‪.‬‬
‫הנתוניםהבסיסיים יהיוהסתברויותלמצביםהשונים‬
‫ופונקציתתועלתהמוגדרתעלפרסים‪.‬‬
‫‪10‬‬
‫גישת תוחלת התועלת – פרסים כלליים‬
‫באופן כללי פרסים לא חייבים להיות רק במונחים‬
‫כספיים‪ ,‬וניתן לחשוב על תכניות תצרוכת מותנית‬
‫של סלים שונים‪.‬‬
‫למשל אם פרט יוצא מהבית עם מטריה ומעיל קל‬
‫ומזג האוויר יכול לקבל אחד מארבעה ערכים‪:‬‬
‫גשום וקר‬
‫גשום וחם‬
‫יבש וקר‬
‫יבש וחם‬
‫יש ארבעה מצבי טבע‬
‫והפרט בוחר בעצם בהגרלה של ‪. ...‬‬
‫‪11‬‬
‫העדפות ופונקציית תועלת‪VNM‬‬
‫• פרטים שיש להם אותה פונקציית תועלת ‪ ,VNM‬עד כדי‬
‫טרנספורמציה אפינית עולה ממש‪ ,‬ידרגו הגרלות באותו‬
‫אופן‪.‬‬
‫• ‪ u‬הינה טרנספורמציה אפינית עולה ממש של ‪ v‬אם‬
‫‪u=a*v+b a>0‬‬
‫• לדוגמה אם לפרט ‪ 1‬יש פונקציית תועלת ‪u=c0.5‬‬
‫ולפרט ‪ 2‬יש פונקציית תועלת ‪ ,v=3c0.5-10‬תהיינה לשני‬
‫הפרטים אותן העדפות על הגרלות‪.‬‬
‫• אם לפרט ‪ 2‬תהיה פונקציית תועלת ‪v=c0.8‬‬
‫העדפות הפרטים על ההגרלות לא תתלכדנה‪.‬‬
‫‪12‬‬
Maurice Allais 191113
Daniel Ellsberg 1931-
‫פרדוקס ‪ALLAIS‬‬
‫בהינתן שתי ההגרלות הבאות‪:‬‬
‫‪)A=(1,000,000,0;1,0‬‬
‫)מיליון ‪ ₪‬בוודאות(‬
‫או‬
‫‪)B=(1,000,000,5,000,000,0;0.89,0.1, 0.01‬‬
‫)מיליון ‪ ₪‬בהסתברות ‪ 5 , 89%‬מיליון ‪ ₪‬בהסתברות ‪10%‬‬
‫ו ‪ ₪ 0 -‬בהסתברות ‪(.1%‬‬
‫אחוז ניכר מהפרטים מעדיף את‬
‫‪ A‬על ‪B‬‬
‫‪14‬‬
‫פרדוקס ‪ALLAIS - 1‬‬
‫בהינתן שתי ההגרלות הבאות‪:‬‬
‫‪)C=(5,000,000,0;0.1,0.9‬‬
‫)‪ 5‬מיליון ‪ ₪‬בהסתברות ‪(10%‬‬
‫או‬
‫‪)D=(1,000,000,0;0.11,0.89‬‬
‫)מיליון ‪ ₪‬בהסתברות ‪(11%‬‬
‫אחוז ניכר מהפרטים מעדיף את‬
‫‪ C‬על ‪D‬‬
‫‪15‬‬
‫פרדוקס ‪ALLAIS - 2‬‬
‫אם הפרט מתנהג לפי אקסיומות תוחלת התועלת‬
‫כלומר יש לו פונקציית תועלת ‪ u‬על פרסים והוא‬
‫מדרג הגרלות על פי תוחלת התועלת לפי ‪ u‬אזי‪:‬‬
‫‪ A‬עדיף על ‪ B‬גורר כי‪:‬‬
‫‪)u(1)>0.1*u(5)+0.89*u(1)+0.01*u(o‬‬
‫‪ C‬עדיף על ‪ D‬גורר כי‪:‬‬
‫‪)u(5)+0.9*u(0)>0.11*u(1)+0.89*u(0*0.1‬‬
‫לא יתכן !!!‬
‫‪16‬‬
‫פרדוקס אלסברג‬
‫• ישנו כד המכיל ‪ 90‬כדורים‬
‫– ‪ 30‬כדורים הינם צהובים‬
‫– ‪ 60‬כדורים הינם אדומים או כחולים‬
‫– אחוז הכדורים האדומים מתוך ‪ 60‬הכדורים יכול להיות‬
‫בין ‪ 0‬ל ‪.100%‬‬
‫• אנו נוציא כדור מהכד והפרט יוכל להמר על הצבע‬
‫שלו‪.‬‬
‫‪17‬‬
‫• מצב ‪A‬‬
‫פרדוקס אלסברג ‪1-‬‬
‫– הפרט יכול להמר על צבע צהוב או צבע אדום‪ .‬הימור נכון יזכה‬
‫אותו ב ‪ ₪ 100‬והימור מוטעה יזכה אותו ב – ‪.₪ 0‬‬
‫• מטריצת התשלומים עבור שני ההימורים ניתנת על ידי‪:‬‬
‫רוב הפרטים מעדיפים להמר ‪.Y‬‬
‫‪18‬‬
‫פרדוקס אלסברג ‪2 -‬‬
‫• מצב ‪B‬‬
‫– הפרט יכול להמר על צבע )אדום או כחול( או על צבע )צהוב או‬
‫כחול(‪ .‬הימור נכון יזכה אותו ב ‪ ₪ 100‬והימור מוטעה יזכה אותו‬
‫ב – ‪.₪ 0‬‬
‫• מטריצת התשלומים עבור שני ההימורים ניתנת על ידי‪:‬‬
‫רוב הפרטים מעדיפים להמר על )אדום או כחול(‬
‫‪19‬‬
‫פרדוקס אלסברג ‪3 -‬‬
‫אם הפרט מתנהג לפי אקסיומות תוחלת התועלת‬
‫כלומר יש לו פונקציית תועלת ‪ u‬על פרסים והוא‬
‫מדרג הגרלות על פי תוחלת התועלת לפי ‪ u‬אזי‪:‬‬
‫ההימור במצב ‪ A‬גורר כי‪:‬‬
‫‪)>P(Y)*u(100)+P(R)*u(0)+p(B)*u(0‬‬
‫‪)P(Y)*u(0)+P(R)*u(100)+p(B)*u(0‬‬
‫ההימור במצב ‪ B‬גורר כי‪:‬‬
‫‪)>P(Y)*u(0)+P(R)*u(100)+p(B)*u(100‬‬
‫‪)P(Y)*u(100)+p(R)*u(0)+p(B)*u(100‬‬
‫לא יתכן !!!‬
‫‪20‬‬
‫מושגים שונים‬
‫•‬
‫נניח כי תצרוכתו )רכושו( של הפרט ניתנת על ידי ההגרלה‬
‫)‪.(C1,C2;P1,P2‬‬
‫•‬
‫העדפות הפרט ניתנות על ידי פונקציית תועלת ‪.VNM, u‬‬
‫•‬
‫תוחלת התצרוכת ניתנת על ידי‪:‬‬
‫‪Cbar= P1C1+P2C2‬‬
‫•‬
‫התועלת מההגרלה )תכנית התצרוכת המותנית( ניתנת על ידי‪:‬‬
‫‪)P1u(C1)+P2u(C2‬‬
‫•‬
‫)זו למעשה תוחלת התועלת מההגרלה(‬
‫•‬
‫שווה הערך הוודאי להגרלה הינו רכוש ‪ Ce‬המקיים‪:‬‬
‫‪21‬‬
‫מושגים שונים – המשך‬
‫תרחיש הביטוח ב"מישור העושר"‬
‫• פרמיית סיכון – ‪Cbar-Ce‬‬
‫– הפער בין תוחלת ההגרלה לשווה הערך הוודאי שלה‪.‬‬
‫• פרמייה הוגנת )ביטוח הוגן( – ‪C2-Cbar‬‬
‫– תוחלת התשלום של חברת הביטוח עבור ביטוח מלא‬
‫ברמה ‪.C2‬‬
‫• פרמייה מקסימלית – ‪C2-Ce‬‬
‫– התשלום המקסימלי שהפרט מוכן לשלם תמורת ביטוח‬
‫הסיכון‪.‬‬
‫• ובאופן גראפי ‪...‬‬
‫‪22‬‬
‫הצגה גראפית במישור רכוש ‪ -‬תועלת‬
‫‪U‬‬
‫‪)U(C2‬‬
‫‪)U(Cbar‬‬
‫‪EU‬‬
‫‪)U(C1‬‬
‫‪W‬‬
‫‪C2‬‬
‫‪Cbar‬‬
‫‪CE‬‬
‫‪C1‬‬
‫אדום – פרמיית סיכון ‪ ,‬כחול – פרמייה הוגנת ‪ ,‬ירוק – פרמיה מקסימלית‬
‫‪23‬‬
‫דוגמה מספרית‬
‫•‬
‫נניח כי תצרוכת הפרט ניתנת על ידי )‪(0.2,0.8;100,600‬‬
‫והעדפותיו ניתנות על ידי ‪u=c0.6‬‬
‫‪Cbar=500, u(500)=41.63‬‬
‫התועלת מההגרלה(( ‪Eu=0.2*1000.6+0.8*6000.6=40.32‬‬
‫)‪Ce=474.13 (474.130.6=40.32‬‬
‫פרמיית הסיכון ‪25.87-‬‬
‫פרמייה הוגנת(( )‪100 – ((600-100)*0.2‬‬
‫אם העדפות הפרט ניתנות על ידי ‪ c0.3‬הן יותר קעורות ואכן‬
‫מתקבל שווה ערך וודאי נמוך יותר‪ ,‬ולכן פרמיית סיכון גבוהה‬
‫יותר‪.‬‬
‫‪24‬‬
‫התייחסות לסיכון‬
‫•‬
‫הפרט הינו שונא סיכון אם פרמיית הסיכון הינה חיובית‪.‬‬
‫•‬
‫הפרט אדיש לסיכון אם פרמיית הסיכון הינה אפס‪.‬‬
‫•‬
‫•‬
‫הפרט אוהב סיכון אם פרמיית הסיכון שלילית‪.‬‬
‫כאשר פונקציית התועלת ‪ VNM‬קעורה "ממש" הפרט שונא סיכון‪.‬‬
‫)כאשר ‪(u’’<0‬‬
‫• פונקציה ‪ U‬קעורה "ממש" אם‪:‬‬
‫‪ )U(γx+(1-γ)y)> γU(x)+(1- γ)U(y‬עבור ‪γ<1<0‬‬
‫• כאשר פונקציית התועלת ‪ VNM‬אפינית כלומר‬
‫‪ U(x)=ax+b a>0‬הפרט אדיש לסיכון‪.‬‬
‫• פרט אדיש לסיכון מדרג את ההגרלות לפי תוחלת ההגרלה‪.‬‬
‫• כאשר פונקציית התועלת ‪ VNM‬קמורה "ממש" הפרט אוהב סיכון‪.‬‬
‫)כאשר ‪(u’’>0‬‬
‫‪25‬‬
‫• באופן אינטואיטיבי ככל שפונקציית התועלת קעורה יותר הפרט‬
‫תרחיש הביטוח במישור מצבי הטבע‬
‫•‬
‫נניח כי בהסתברות ‪ P1‬קורה "אסון" ורכושו של הפרט במקרה זה‬
‫הינו ‪ ,C1‬ובהסתברות ‪ P2‬האסון אינו קורה ורכושו של הפרט הינו‬
‫‪.C2‬‬
‫•‬
‫מצב ‪ 1‬יקרא המצב הרע ומצב ‪ 2‬יקרא המצב הטוב‪.‬‬
‫תמורת פרמיה של ‪ K‬ניתן לקנות ביטוח בגובה ‪ ,K‬כך שאם יקרה‬
‫מצב הטבע הרע יקבל הפרט ‪ .K‬נניח ש ‪K≤C2-C1≥0‬‬
‫•‬
‫הפרט יכול לכן להשיג כל תכנית תצרוכת )מותנית( מהצורה‪:‬‬
‫•‬
‫(‪)C1- γK+K,C2- γK;P1,P2‬‬
‫במישור בו מודדים על הציר האופקי את התצרוכת במקרה הרע ועל‬
‫הציר האנכי את התצרוכת במקרה הטוב נמצאות נקודות אלו על קו‬
‫המתחיל בנקודה )‪ (C1,C2‬ששיפועו ‪ (γ/(1- γ -‬ומסתיים על קו ה ‪. 450‬‬
‫‪26‬‬
‫הצגה גראפית של ביטוח במישור‬
‫"מצבי הטבע"‬
‫‪GOOD‬‬
‫‪)(X2‬‬
‫‪K=C2-C1‬‬
‫‪C2‬‬
‫‪)γ/(1-γ-‬‬
‫‪)BAD (X1‬‬
‫‪C1‬‬
‫‪27‬‬
‫קו תקציב והעדפות במישור מצבי הטבע‬
‫•‬
‫קו התקציב של הפרט ניתן על ידי‪:‬‬
‫(‪)X2-C2)=(- γ/(1- γ))*(X1-C1‬‬
‫או‬
‫‪(γ/(1- γ))*X1+X2=(γ/(1- γ))*C1+C2‬‬
‫כל נקודה במישור מייצגת הגרלה‪ ,‬התועלת מכל נקודה‬
‫ניתנת לכן על ידי תוחלת התועלת מההגרלה שהיא מייצגת‪.‬‬
‫נסמן את התועלת מכל נקודה ב – ‪ ,V‬ונקבל כי העדפות‬
‫הפרט ניתנות על ידי‪:‬‬
‫‪)V(X1,X2)=p1U(X1)+p2U(X2‬‬
‫לאור זאת שיפוע עקומות האדישות ניתן על ידי‪:‬‬
‫‪28‬‬
‫קו הוודאות במישור מצבי הטבע‬
‫• קו הוודאות הינו הקו שלאורכו ‪. X1=X2‬‬
‫• זהו קו ה ‪.450‬‬
‫• שיפוע עקומות האדישות לאורך קו זה )למעשה‬
‫אינו תלוי בפונקציית התועלת ‪ VNM‬של הפרט(‬
‫ניתן על ידי‪.p1/p2 :‬‬
‫‪29‬‬
‫בחירה אופטימאלית במקרה של פרמייה הוגנת‬
‫• תוחלת התשלום של חברת הביטוח הינה ‪p1K‬‬
‫• הפרמייה שהחברה מקבלת הינה ‪K‬‬
‫• כאשר הפרמייה הוגנת ‪p1= γ‬‬
‫• שיפוע קו התקציב במקרה זה הינו‪p1/p2 :‬‬
‫• לכן ההשקה לעקומת האדישות מתרחשת על קו ה‬
‫– ‪.450‬‬
‫• כאשר הפרמייה הוגנת בוחר הפרט לקנות ביטוח‬
‫מלא )‪.(K=C2-C1‬‬
‫‪30‬‬
‫הבחירה האופטימאלית במקרה של‬
‫פרמייה הוגנת‬
‫‪good‬‬
‫‪K=C2-C1‬‬
‫‪C2‬‬
‫‪)γ/(1-γ-‬‬
‫‪bad‬‬
‫‪C1‬‬
‫‪31‬‬
‫בעיית הביטוח – פתרון אלגברי ב "מישור העושר"‬
‫בעייתהמקסימיזציהשהפרטפותרהינה ‪:‬‬
‫‪(10 -γK‬‬
‫‪+K‬‬
‫‪)+p‬‬
‫‪(40 -γK‬‬
‫)‬
‫‪1u‬‬
‫‪2u‬‬
‫‪M‬‬
‫‪ax p‬‬
‫‪K‬‬
‫שוואה‬
‫וה‬
‫שוןמתקבלמגזירהלפי ‪K‬‬
‫תנאיהסדרהרא‬
‫וכןהלאה ‪.‬‬
‫במצבטבע ‪1‬‬
‫נסמןב– ‪ X1‬תצ '‬
‫‪(1‬‬
‫‪-γ)p 1u'( X1)- γp2u'( X2)=0‬‬
‫לאפס ( ‪.‬‬
‫) ‪u ' ( X1‬‬
‫) ‪γ ( p2‬‬
‫=‬
‫) ‪u' ( X 2‬‬
‫‪(1 − γ ) p1‬‬
‫‪or‬‬
‫) ‪p1u ' ( X 1‬‬
‫‪γ‬‬
‫=‬
‫) ‪p2 u ' ( X 2‬‬
‫) ‪(1 − γ‬‬
‫אנושוברואיםכי ‪γ=p1‬‬
‫מכיווןש – ‪p2=1-p1‬‬
‫ש ‪. c1=c2 -‬‬
‫שותיותרתלולהמקו‬
‫אזיעקומתהאדי‬
‫אם‪γ<p 1‬‬
‫‪0‬‬
‫שובקונים‬
‫ו‬
‫התקציבבנקודתהחיתוךעםקוה ‪, 45‬‬
‫ביטוחמלא ‪.‬‬
‫שותיותרשטוחהמקו‬
‫אזיעקומתהאדי‬
‫אם‪γ>p 1‬‬
‫‪0‬‬
‫במקרהזה‬
‫התקציבבנקודתהחיתוךעםקוה ‪, 45‬‬
‫גדולמספיקכלללאנקנה‬
‫קוניםכיסויחלקי ‪ .‬אם‪γ‬‬
‫קטןמ‬
‫‪ M‬בנק ' ה – ‪C‬‬
‫‪R‬‬
‫שרה ‪S‬‬
‫זהיקרהכא‬
‫ביטוח ( ‪.‬‬
‫‪γ‬‬
‫) ‪(1 − γ‬‬
‫(‪.‬‬
‫גורר‬
‫‪32‬‬