‫תורת הקבוצות — תרגיל בית ‪5‬‬ ‫חיים שרגא רוזנר‬ ‫י"ג בניסן תשע"ד‬ ‫תקציר‬ ‫הגדרה ברקורסיה‪ ,‬אקסיומת הבחירה‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫הגדרה ברקורסיה‬ ‫תרגיל ‪ ON 1‬היא מחלקת כל הסודרים‪ ,‬ו־ ‪ V‬היא מחלקת כל הקבוצות‪ .‬נסמן = ‪P‬‬ ‫) ‪ ,P AR (ON, V‬מחלקת פונקציות המחלקה החלקיות מ־ ‪ ON‬ל־ ‪ .V‬תהי פונקציית‬ ‫מחלקה ‪,F : ON × P AR (ON, V ) → V‬‬ ‫(‬ ‫‪y ∪ {y} x is ordered by ∈, and it has a last element y‬‬ ‫= )‪F (α, x‬‬ ‫‪∪x‬‬ ‫‪Otherwise‬‬ ‫נגדיר‪ ,‬ברקורסיה בעזרת ‪ F‬את פונקציית המחלקה המתאימה ‪.G : ON → V‬‬ ‫‪ .1‬חשבו את ))‪ ,F (15, (1, 3, 7‬את ))‪ F (3, (0, 1, 2‬ואת ))‪.F (6, (0, 1, 2‬‬ ‫‪ .2‬הראו כי ‪ G (α) = α‬לכל סודר ‪.α‬‬ ‫תרגיל ‪ 2‬נסחו פונקצייה ‪ F‬שתוכיח קיום פונקציה ‪ G : ω + ω → Z‬חח"ע ועל‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫אקסיומת הבחירה‬ ‫הגדרה תהי ‪ F‬קבוצה של קבוצות לא ריקות‪ .‬פונקציה )‪(F‬‬ ‫בחירה ב־‪ F‬אם לכל ‪ A ∈ F‬מתקיים ‪.f (A) ∈ A‬‬ ‫‪S‬‬ ‫→ ‪ f : F‬תיקרא פונקצית‬ ‫תרגיל ‪ 3‬תהי ‪ A‬קבוצה לא ריקה של קבוצות לא ריקות של מספרים טבעיים הזרות בזוגות‪.‬‬ ‫הוכיחו‪ ,‬מבלי להסתמך על אקסיומת הבחירה‪ ,‬כי קיימת פונקציית בחירה ב־‪.A‬‬ ‫‪1‬‬ ‫תרגיל ‪ 4‬תהיינה ‪ A, B‬קבוצות זרות )∅ = ‪ ,(A ∩ B‬שכל איבריהן הם קבוצות לא ריקות‪.‬‬ ‫תהי ‪ f‬פונקציית בחירה ב־‪ A‬ותהי ‪ g‬פונקציית בחירה ב־‪ .B‬נסמן ‪ .h = f ∪g‬הוכיחו‪:‬‬ ‫‪S‬‬ ‫‪S‬‬ ‫‪ h .1‬היא פונקציה מ־‪ A ∪ B‬ל־‪. A ∪ B‬‬ ‫‪ h .2‬היא פונקציית בחירה ב־‪.A ∪ B‬‬ ‫‪ 1‬לדוגמא‪ .A = {{0, 3, 6, . . .} , {1, 4, 7, . . .} , {2, 8}} :‬בקבוצה ‪ A‬יש שלושה איברים‪ ,‬כל אחד מהם הוא‬ ‫קבוצה של טבעיים‪ ,‬ולכל שני איברים שונים‪ ,‬חיתוכם הוא ריק‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ .3‬בסעיף זה‪ ,‬נניח כי ‪ A‬ו־‪ B‬אינן זרות‪ .‬נסחו תנאי על ‪ f‬ועל ‪ g‬כדי ש־‪ h‬תהיה פונקציית‬ ‫בחירה ב־‪.A ∪ B‬‬ ‫תרגיל ‪ 5‬תהי ‪ F‬קבוצה שכל איבריה הם קבוצות לא ריקות וזרות זו לזו‪ .‬הוכיחו כי קיימת‬ ‫קבוצה ‪ S‬המכילה בדיוק איבר אחד מכל איבר של ‪.F‬‬ ‫הדרכה השתמשו בתמונת פונקציית בחירה ב־‪.F‬‬ ‫תרגיל ‪ 6‬הטענה "לכל קבוצה ‪ A‬קיים סדר טוב ‪ R‬עליה" נקראת עקרון הסדר הטוב‪ .‬עקרון‬ ‫הסדר הטוב שקול לאקסיומת הבחירה‪ .‬בנוסף‪ ,‬עקרון זה שקול גם לכל אחת מן‬ ‫הטענות הבאות‪:‬‬ ‫‪ .1‬כל שדה ‪ F‬ניתן לסידור טוב‪.‬‬ ‫‪ .2‬כל חוג ‪ R‬ניתן לסידור טוב‪.‬‬ ‫‪ .3‬כל חבורה ‪ G‬ניתנת לסידור טוב‪.‬‬ ‫הוכיחו‪ ,‬לפחות עבור אחד מסעיפים אלו‪ ,‬את השקילות של הסעיף עם עקרון הסדר‬ ‫הטוב‪.‬‬ ‫הדרכה כיוון אחד טריוויאלי‪ .‬בכיוון השני‪ ,‬מצאו דרך לשכן את הקבוצה ‪ A‬במבנה‬ ‫האלגברי הנתון‪ .‬אני ממליץ להשתמש בחבורות סימטריה‪ ,‬בחוגי פולינומים או‬ ‫בשדה הפונקציות הרציונליות‪.‬‬ ‫תרגיל ‪ 7‬הוכיחו את הלמה של טוקי )‪ :(Tukey 1915-2000‬תהי ‪ D‬קבוצה לא ריקה של‬ ‫קבוצות המקיימת ‪ B ∈ D‬א‪.‬ם‪.‬ם‪ .‬כל תת־קבוצה סופית של ‪ B‬נמצאת ב־‪ .D‬אזי יש‬ ‫ב־‪ D‬איבר מקסימלי ביחס להכלה‪.‬‬ ‫‪2‬‬