‫מבחן בגרות מספר ‪6‬‬ ‫חורף תשע"א‪2011 ,‬‬ ‫פרק ראשון – אלגברה והסתברות‬ ‫ענה על שתיים מבין השאלות ‪. 3-1‬‬ ‫‪.1‬‬ ‫נהג יצא מעיר ‪ A‬לכיוון עיר ‪ . B‬המרחק בין שתי הערים הוא ‪ 120‬ק"מ‪.‬‬ ‫בהתחלה נסע הנהג במהירות קבועה כפי שתכנן‪ ,‬אבל כעבור ‪ 3‬שעה‬ ‫‪4‬‬ ‫מתחילת נסיעתו הייתה תקלה ברכבו‪.‬‬ ‫הנהג חזר מיד לכיוון ‪ , A‬ונסע ‪ 10‬ק"מ במהירות של ‪ 50‬קמ"ש עד‬ ‫למוסך הנמצא בדרך ל‪. A -‬‬ ‫המוסך טיפל בתקלה במשך ‪ 33‬דקות‪ ,‬ומיד לאחר הטיפול יצא הנהג‬ ‫לכיוון ‪ B‬במהירות הקטנה ב‪ 10 -‬קמ"ש ממהירות נסיעתו עד התקלה‪.‬‬ ‫הוא הגיע ל‪ B -‬באי חור של שעה אחת לעומת השעה המתוכננת‪.‬‬ ‫מה הייתה מהירות הנסיעה של הנהג עד התקלה?‬ ‫‪.2‬‬ ‫בסדרה שכל איבריה שונים מאפס ומאחד נתון כי סכום של כל שני‬ ‫איברים עוקבים שווה למכפלתם‪.‬‬ ‫א‪ .‬מצא נוסחת נסיגה המביעה את ‪ a n 1‬באמצעות ‪. a n‬‬ ‫ב‪ .‬הוכח כי עבור כל ‪ n‬טבעי מתקיים‪. a n  2  a n :‬‬ ‫ג‪ .‬נתון כי ‪ n , a 31  3‬הוא מספר זוגי‪.‬‬ ‫מצא נוסחה לסכום ‪ n‬האיברים הראשונים בסדרה‪.‬‬ ‫‪.3‬‬ ‫משפחה יצאה לטיול במכונית הנוסעת על ‪ 4‬גלגלים חדשים‪.‬‬ ‫בתא המטען של המכונית יש גלגל רזרבי אחד‪.‬‬ ‫ההסתברות שיהיה נקר )פנצ'ר( בגלגל חדש בזמן הטיול היא ‪. 0.05‬‬ ‫ההסתברות שיהיה נקר בגלגל הרזרבי בזמן הטיול היא ‪. 0.25‬‬ ‫א‪ .‬מהי ההסתברות שיהיה נקר בדיוק בגלגל אחד מבין ארבעת הגלגלים‬ ‫החדשים?‬ ‫‪22‬‬ ‫ב‪ .‬בתחילת הטיול היה נקר בגלגל אחד‪ ,‬והמשפחה החליפה את הגלגל‬ ‫בגלגל הרזרבי‪.‬‬ ‫) ‪ ( 1‬מהי ההסתברות שאחרי ההחלפה יהיה נקר רק בגלגל הרזרב י‬ ‫מבין ארבעת הגלגלים?‬ ‫) ‪ ( 2‬מהי ההסתברות שאחרי ההחלפה יהיה נקר רק בגלגל אחד מבין‬ ‫ארבעת הגלגלים?‬ ‫) ‪ ( 3‬ידוע כי אחרי ההחלפה היה נקר רק בגלגל אחד מבין ארבעת‬ ‫הגלגלים‪.‬‬ ‫מהי ההסתברו ת שהנקר היה בגלגל הרזרבי?‬ ‫פרק שני – גאומטריה וטריגונומטריה במישור‬ ‫ענה על אחת מבין השאלות ‪. 5-4‬‬ ‫‪.4‬‬ ‫מנקודה ‪ A‬יוצאים למעגל חותך ‪AF‬‬ ‫וישר המשיק למעגל בנקודה ‪. N‬‬ ‫החותך נפגש עם המע גל בנקודות ‪ D‬ו‪. E -‬‬ ‫מנקודה ‪ F‬יוצא ישר המשיק למעגל‬ ‫‪E‬‬ ‫בנקודה ‪ , M‬ונפגש עם המשך המשיק ‪AN‬‬ ‫בנקודה ‪) B‬ראה ציור(‪ .‬נת ון‪. AD  DE  EF :‬‬ ‫‪F‬‬ ‫א‪ .‬הוכח‪. AN  MF :‬‬ ‫ב‪ .‬הוכח‪. ADN  FEM :‬‬ ‫ג‪ .‬הוכח‪ :‬במרובע ‪ MNDE‬יש שתי צלעות מקבילות זו לזו‪.‬‬ ‫‪.5‬‬ ‫משולש חד‪ -‬זוויות ‪ ABC‬חסום במעגל‬ ‫שמרכזו ‪ CF . O‬הוא קוטר במעגל‪,‬‬ ‫והמשך הרדיוס ‪ BO‬חותך את הצלע ‪AC‬‬ ‫בנקודה ‪ , D‬כמתואר בציור‪ .‬נתון‪. ABD   :‬‬ ‫‪ BC‬ארוכה פי ‪ 2‬מהקשת ‪‬‬ ‫הקשת ‪‬‬ ‫‪. FB‬‬ ‫א‪ .‬חשב את גודל הזווית ‪. BAC‬‬ ‫ב‪ .‬הבע באמצעות ‪ ‬את היחס בין שטח‬ ‫המשולש ‪ BAD‬לשטח המשולש ‪. BAC‬‬ ‫ג‪ .‬נתון גם כי‪AD  2 :‬‬ ‫‪ .‬מצא את ‪. ‬‬ ‫‪AB 3‬‬ ‫‪23‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‪M‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪O‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪B‬‬ ‫פרק שלישי – חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של פולינומים‪,‬‬ ‫של פונקציות רציונליות‪ ,‬של פונקציות שורש ושל פונקציות‬ ‫טריגונומטריות‬ ‫ענה על שתיים מבין השאלות ‪. 8-6‬‬ ‫‪.6‬‬ ‫‪x2  a‬‬ ‫נתונה ה פונקציה ‪ 1‬‬ ‫‪x 2  3a‬‬ ‫א‪ .‬מצא )הבע באמצעות ‪ a‬במידת הצורך(‪:‬‬ ‫‪ a . f (x) ‬הוא פרמטר‪. a  0 ,‬‬ ‫) ‪ ( 1‬את תחום ההגדרה של הפונקציה‪.‬‬ ‫) ‪ ( 2‬תחומי עלייה וירידה של הפונקציה‪.‬‬ ‫) ‪ ( 3‬את שי עורי ה‪ x -‬של נקודות הפיתול של הפונקציה‪ .‬נמק‪.‬‬ ‫) ‪ ( 4‬נקודות חיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים )אם יש כאלה(‪.‬‬ ‫) ‪ ( 5‬אסימפטוטות של הפונקציה המאונכות לצירים )אם יש כאלה(‪.‬‬ ‫ב‪ .‬שרטט סקיצה של גרף הפונקציה )‪. f (x‬‬ ‫ג‪ .‬הסבר את השינויים בגרף הפונקציה )‪ f (x‬עבור ‪a  0‬‬ ‫לעומת גרף הפונקציה עבור ‪: a  0‬‬ ‫) ‪ ( 1‬בתחום ההגדרה של הפונקציה‪.‬‬ ‫) ‪ ( 2‬בנקודות הפיתול של הפונקציה‪.‬‬ ‫‪.7‬‬ ‫נתונות הפונקציות ‪ x  4‬‬ ‫‪, f (x) ‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪) g(x)   x  4‬ראה ציור(‪.‬‬ ‫א‪ .‬מצא את תחום ההגדרה של‬ ‫‪x‬‬ ‫כל אחת מהפונקציות הנתונות‪.‬‬ ‫לפונקציות יש משיק משותף‪ ,‬המשיק‬ ‫לגרף הפונקציה )‪ f (x‬בנקודה שבה ‪. x  x 0‬‬ ‫ב‪ ( 1 ) .‬הבע באמצעות ‪ x 0‬את השיעורים של הנקודה שבה המשיק‬ ‫המשותף משיק לגרף הפונקציה )‪. g(x‬‬ ‫) ‪ ( 2‬מצא את השיעורים של נקודת ההשקה שהבעת בתת‪ -‬סעיף ב' ) ‪( 1‬‬ ‫)ערכים מספריים(‪.‬‬ ‫ג‪ .‬השטח המוגבל על ידי המשיק המשותף‪ ,‬על ידי הגרף של‬ ‫הפונקציה )‪ g(x‬ועל ידי ציר ה‪ , x -‬מסתובב סביב ציר ה‪. x -‬‬ ‫מצא את הנפח של גוף הסיבוב שנוצר‪.‬‬ ‫‪24‬‬ ‫‪.8‬‬ ‫נתונה הפונקציה ‪ f (x)  2 tan 2 x‬בתחום ‪.  3  x  3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫א‪ .‬בתחום הנתון‪:‬‬ ‫) ‪ ( 1‬מצא את ערכי ה‪ x -‬שעבורם הפונקציה )‪ f (x‬אינה מוגדרת‪.‬‬ ‫) ‪ ( 2‬מצא את האסימפטוטות של הפונקציה )‪ f (x‬המקבילות לצירים‬ ‫)אם יש כאלה(‪.‬‬ ‫) ‪ ( 3‬מצא את השיעורים של נקודות הקיצון ש ל הפונקציה )‪, f (x‬‬ ‫וקבע את סוגן‪.‬‬ ‫) ‪ ( 4‬שרטט סקיצה של גרף הפונקציה )‪. f (x‬‬ ‫ב‪ ( 1 ) .‬מצא את פונקציית הנגזרת של הפונקציה ‪. g(x)  tan x  x‬‬ ‫‪ 0  x  ‬מצא את השטח המוגבל על ידי הישר ‪, y  2‬‬ ‫) ‪ ( 2‬בתחום ‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪‬‬ ‫על ידי הישר ‪ , x  2‬על ידי הגרף של הפונקציה )‪f (x‬‬ ‫ועל ידי ציר ה‪ . x -‬היעזר בפונקציית הנגזרת של )‪. g(x‬‬ ‫תשובות ל מ בחן בגרות מספר ‪ – 6‬חורף תשע"א‪: 2011 ,‬‬ ‫‪an‬‬ ‫‪ 80 . 1‬קמ"ש‪ . 2 .‬א‪.‬‬ ‫‪an 1‬‬ ‫‪. a n 1 ‬‬ ‫ג‪. 2.25n .‬‬ ‫‪ . 3‬א‪ . 6859 .‬ב‪. 19 ( 3 ) . 2527 ( 2 ) . 6859 ( 1 ) .‬‬ ‫‪28‬‬ ‫‪8000‬‬ ‫‪32000‬‬ ‫‪40000‬‬ ‫‪sin  cos ‬‬ ‫‪ . 5‬א‪ . 60 .‬ב‪.‬‬ ‫)‪sin(30  )sin(120  ‬‬ ‫ג‪. 40.89 .‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪ . 6‬א‪ ( 1 ) .‬כל ‪. x‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫) ‪ ( 2‬עלייה‪ ; x  0 :‬ירידה‪. x  0 :‬‬ ‫) ‪. (0; 1 1 ) ( 4 ) . x   a , x  a ( 3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫)‪. y  0 (5‬‬ ‫ג‪3a ( 1 ) .‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪ ( 2 ) . x   3a , x ‬אין נקודות פיתול‪.‬‬ ‫‪ . 7‬א‪. x  4 : g(x) . x  4 : f (x) .‬‬ ‫ב‪ ( 1) .‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪. x0 ;  x0  4‬‬ ‫) ‪ . (8; 2) ( 2‬ג‪. 2 2  .‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪. x   3 , x   ‬‬ ‫‪ . 8‬א‪2 , x  2 , x  2 ( 2 ) . x   2 , x   2 , x  2 , x  2 ( 1 ) .‬‬ ‫‪2‬‬ ‫) ‪ ( ;0) ( 3‬מינימום‪ (0;0) ,‬מינימום‪ ( ;0) ,‬מינימום‪.‬‬ ‫‪y‬‬ ‫)‪(4‬‬ ‫ב‪2    0.8056 ( 2 ) . g '(x)  tan 2 x ( 1 ) .‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪3 9‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪25‬‬