‫מתמטיקה‪ ,‬חורף תשע"א‪ ,‬שאלון ‪35003‬‬ ‫השאלות עם פתרונות מלאים ‪ -‬כתב עפר ילין‪ ,‬ערך עזריאל לוי‬ ‫שאלה‬ ‫‪ .1‬קוסמטיקאית קנתה ‪ 60‬קופסאות קרם במחיר ‪ x‬שקלים לקופסה אחת‪.‬‬ ‫הקוסמטיקאית מכרה ‪ 30‬מהקופסאות באותו מחיר‪ x ,‬שקלים לקופסה‪.‬‬ ‫‪ 25‬קופסאות היא מכרה ברווח של ‪. 18%‬‬ ‫את יתר הקופסאות היא מכרה ברווח של ‪. 6%‬‬ ‫הקוסמטיקאית מכרה את כל הקופסאות בסכום כולל של ‪ 6480‬שקל‪.‬‬ ‫א‪ .‬מצא את המחיר ‪ x‬ששילמה הקוסמטיקאית תמורת קופסת קרם אחת‪.‬‬ ‫ב‪ .‬מה היה הרווח הכולל של הקוסמטיקאית ?‬ ‫פתרון‪ .‬נכניס את הנתונים לטבלה מתאימה‪.‬‬ ‫‪ - x‬מחיר קופסת קרם אחת בשקלים‪.‬‬ ‫המחיר עם רווח של ‪ 18%‬הוא ‪ , 1.18x‬והמחיר עם רווח של ‪ 6%‬הוא ‪1.06x‬‬ ‫כמות‬ ‫עלות ותקבול ‪₪‬‬ ‫מחיר ליחידה ‪₪‬‬ ‫הקנייה‬ ‫‪60‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪60x‬‬ ‫מכירה )‪(1‬‬ ‫‪30‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪30x‬‬ ‫מכירה )‪(2‬‬ ‫‪25‬‬ ‫‪1.18x‬‬ ‫‪25 ⋅1.18 x = 29.5 x‬‬ ‫מכירה )‪(3‬‬ ‫‪60 − (30 + 25) = 5‬‬ ‫‪1.06x‬‬ ‫‪5 ⋅1.06 x = 5.3 x‬‬ ‫לפי הטבלה‪ ,‬התקבול הכולל של הקוסמטיקאית היה ‪. 30 x + 29.5 x + 5.3 x = 64.8 x‬‬ ‫נתון כי הקוסמטיקאית מכרה את כל הקופסאות בסכום כולל של ‪.₪ 6, 480‬‬ ‫השוואת שני הביטויים לתקבול נותנת ‪ , 64.8 x = 6, 480‬ומכאן ‪. x = 100‬‬ ‫תשובה המחיר לקוסמטיקאית של קופסת קרם אחת היה ‪.₪ 100‬‬ ‫ב‪ .‬עלות כל הקופסאות לקוסמטיקאית ‪ ,₪ 60 ⋅100 = 6, 000‬ולכן הרווח הכולל שלה היה‬ ‫‪.₪ 6, 480 − 6, 000 = 480‬‬ ‫שאלה ‪ .2‬הנקודה ‪ M‬היא מרכז המעגל ‪. ( x + 1) 2 + ( y − 3) 2 = 25‬‬ ‫הנקודה ‪ A‬היא נקודת החיתוך של הישר ‪y = 7‬‬ ‫עם המעגל )ראה ציור(‪.‬‬ ‫ידוע שהנקודה ‪ A‬נמצאת ברביע הראשון‪.‬‬ ‫א‪ .‬מצא את השיעורים של הנקודה ‪. A‬‬ ‫ב‪ .‬מצא את שיפוע הישר ‪. MA‬‬ ‫ג‪ .‬מצא את משוואת המשיק למעגל בנקודה ‪. A‬‬ ‫ד‪ .‬המשיק שאת משוואתו מצאת בסעיף ג‪ ,‬חותך את ציר ה‪y -‬‬ ‫בנקודה ‪. B‬‬ ‫מצא את שטח המשולש ‪ - O ) ABO‬ראשית הצירים(‪.‬‬ ‫פתרון‪ .‬א‪ .‬הנקודה ‪ M‬היא מרכז המעגל ‪. ( x + 1) 2 + ( y − 3) 2 = 25‬‬ ‫מכאן ששיעורי מרכז המעגל )‪ M(−1, 3‬ורדיוסו ‪. 5‬‬ ‫‪ A‬היא נקודת חיתוך של הישר ‪ y = 7‬עם המעגל‪.‬‬ ‫נציב את שעור ה‪ y -‬של ‪ , A‬שהוא ‪ , 7‬עבור ‪y‬‬ ‫במשוואת המעגל ונקבל את המשוואה‬ ‫‪ ( x + 1)2 + (7 − 3) 2 = 25‬עבור שעורי ה‪ x -‬של נקודות‬ ‫החיתוך‪ .‬משיוויון זה נובע ‪ , (x + 1)2 = 9‬ולכן‬ ‫‪ , x + 1 = ±3‬ו‪ x -‬הוא ‪ 2‬או ‪ . −4‬מכיוון ש‪ A -‬נמצאת ברביע הראשון‬ ‫ברביע הראשון שעור ה‪ x -‬שלה הוא ‪ 2‬והיא הנקודה‬ ‫)‪. (2, 7‬‬ ‫ב‪ .‬נמצא את שיפוע הישר ‪. MA‬‬ ‫‪3 − 7 −4 4‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪−1 − 2 −3 3‬‬ ‫= ‪mMA‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ג‪ .‬המשיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה‪ ,‬ולכן שיפועו הוא ‪= − = −‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪mMA‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫משוואת המשיק דרך הנקודה ‪ , A‬ששיפועו ‪ , −‬היא )‪ , y − 7 = − ( x − 2‬והעברתו לצורה התקנית‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪17‬‬ ‫‪. y =− x+‬‬ ‫נותנת‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ד‪ .‬הנקודה ‪ B‬נמצאת על ציר ה‪ y -‬ולכן שיעור ה‪ y -‬שלה מתקבל ע"י הצבת ‪ 0‬ל‪ x -‬במשוואת המשיק‬ ‫‪m=−‬‬ ‫‪17‬‬ ‫‪ 17 ‬‬ ‫ולכן היא הנקודה ‪ .  0, ‬במשולש ‪ AOB‬אורך הצלע ‪ OB‬הוא‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ 2‬‬ ‫והגובה של ‪ A‬מעל צלע זאת הוא ‪ , 2‬כי זהו‬ ‫‪17‬‬ ‫שיעור ה‪ x-‬שלה‪ .‬שטח המשולש ‪ AOB‬הוא חצי המכפלה שלהם‪ ,‬ולכן הוא‬ ‫‪2‬‬ ‫‪.‬‬ ‫שאלה‬ ‫‪.3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫נתונה הפונקציה‬ ‫‪3x + a‬‬ ‫= )‪ a , f ( x‬הוא פרמטר‪ .‬הפונקציה אינה מוגדרת עבור ‪ x = −4‬בלבד‪.‬‬ ‫א‪ .‬מצא את הערך של ‪. a‬‬ ‫הצב ‪ a = 12‬וענה על הסעיפים ב‪-‬ד ‪:‬‬ ‫ב‪ (1) .‬מצא את נקודת החיתוך של גרף הפונקציה עם ציר ה‪. y -‬‬ ‫)‪ (2‬האם לגרף הפונקציה יש נקודת חיתוך עם ציר ה‪? x -‬‬ ‫אם כן – מצא אותה‪ ,‬אם לא – נמק‪.‬‬ ‫ג‪ .‬הראה כי הפונקציה יורדת בכל תחום שהיא מוגדרת בו‪.‬‬ ‫ד‪ .‬לפניך שלושה גרפים‪. III , II , I ,‬‬ ‫איזה מבין הגרפים ‪ III , II , I‬הוא הגרף של הפונקציה הנתונה )‪ ? f ( x‬נמק‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫פתרון‪ .‬א‪ .‬נתונה הפונקציה‬ ‫‪3x + a‬‬ ‫כלומר ‪ x = −4‬מאפס את המכנה‪.‬‬ ‫= )‪ , f ( x‬שאינה מוגדרת עבור ‪ x = −4‬בלבד‪.‬‬ ‫‪3 ⋅ (−4) + a = 0‬‬ ‫‪a = 12‬‬ ‫תשובה‪a = 12 :‬‬ ‫‪1‬‬ ‫נציב ‪ a = 12‬ונקבל‪:‬‬ ‫‪3x + 12‬‬ ‫ב‪ (1) .‬בנקודת החיתוך עם ציר ה‪ y -‬מתקיים ‪x = 0‬‬ ‫= )‪f ( x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫) ‪→ (0,‬‬ ‫‪3 ⋅ 0 + 12 12‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪1‬‬ ‫תשובה‪) :‬‬ ‫‪12‬‬ ‫= )‪f (0‬‬ ‫‪(0,‬‬ ‫‪1‬‬ ‫)‪ (2‬בנקודת החיתוך עם ציר ה‪ , x -‬אם היא קיימת‪ ,‬מתקיים ‪ y = 0‬ולכן ‪= 0‬‬ ‫‪3x + 12‬‬ ‫אולם חילוק של מספר שאינו ‪ 0‬במספר כלשהו אינו ‪ 0‬ולכן אין לגרף נקודת חיתוך עם ציר ה‪. x -‬‬ ‫ג‪ .‬נראה שהפונקציה יורדת בכל תחום שהיא מוגדרת בו‬ ‫‪−3‬‬ ‫‪(3 x + 12) 2‬‬ ‫= )‪f '( x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3 x + 12‬‬ ‫= )‪f ( x‬‬ ‫כיוון שמכנה הנגזרת חיובי‪ ,‬והמונה שלילי לכל ‪ x‬עבורו הפונקציה מוגדרת‪ ,‬לכן הנגזרת שלילית בכל תחום‬ ‫ההגדרה של הפונקציה‪ ,‬והפונקציה יורדת בכל התחום‪.‬‬ ‫דרך שניה )ללא גזירה(‪ .‬בתחום ‪ x > −4‬הפונקציה ‪ 3x + 12‬היא פונקציה חיובית עולה‪ ,‬ולכן מספר חיובי מחולק‬ ‫‪1‬‬ ‫בפונקציה זאת‪ ,‬כמו‬ ‫‪3x + 12‬‬ ‫‪ ,‬נותן פונקציה חיובית יורדת‪ .‬בתחום ‪ x < −4‬הפונקציה ‪ 3x + 12‬היא פונקציה‬ ‫‪1‬‬ ‫שלילית עולה‪ ,‬ולכן מספר חיובי מחולק בפונקציה זאת‪ ,‬כמו‬ ‫‪3 x + 12‬‬ ‫ד‪ 3x + 12 .‬חיובי עבור ‪ x > −4‬ושלילי עבור ‪ x < −4‬ולכן גם‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3 x + 12‬‬ ‫= )‪ f ( x‬חיובי עבור ‪ x > −4‬ושלילי עבור ‪. x < −4‬‬ ‫הגרף היחיד מבין שלושת הגרפים המקיים תנאי זה הוא הגרף ‪.II‬‬ ‫‪ ,‬נותן פונקציה שלילית יורדת‪.‬‬ ‫שאלה‬ ‫‪.4‬‬ ‫נתונה הפונקציה ‪, f ( x) = − x 2 − 6 x + a‬‬ ‫‪ a‬הוא פרמטר‪.‬‬ ‫א‪ (1) .‬מצא את שיעור ה‪ x -‬של נקודת המקסימום של הפונקציה‪.‬‬ ‫)‪ (2‬נתון כי בנקודת המקסימום של הפונקציה ‪. y = 4‬‬ ‫מצא את הערך של ‪. a‬‬ ‫הצב ‪ a = −5‬וענה על סעיף ב'‪.‬‬ ‫ב‪ .‬דרך נקודת המקסימום של הפונקציה העבירו אנך לציר ה‪x -‬‬ ‫)ראה ציור(‪.‬‬ ‫חשב את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה‪ ,‬על ידי הצירים‬ ‫ועל ידי האנך )השטח המקווקו בציור(‪.‬‬ ‫פתרון‪ .‬א‪ (1) .‬נתונה הפונקציה ‪. y = − x 2 − 6 x + a‬‬ ‫בנקודת המקסימום שווה ערך הנגזרת ל‪0 -‬‬ ‫‪y ' = −2 x − 6‬‬ ‫‪0 = −2 x − 6‬‬ ‫‪2 x = −6 / : 2‬‬ ‫‪x = −3‬‬ ‫תשובה‪x = −3 :‬‬ ‫)‪ (2‬בנקודת המקסימום של הפונקציה ‪ , y = 4‬לכן‪:‬‬ ‫‪4 = −(−3) 2 − 6 ⋅ (−3) + a‬‬ ‫‪a = −5‬‬ ‫נציב ‪ a = −5‬ונקבל שהפונקציה היא‬ ‫‪y = − x2 − 6x − 5‬‬ ‫ב‪ .‬נחשב שני שטחים‪:‬‬ ‫בנקודות החיתוך עם ציר ה‪ x -‬מתקיים ‪y = 0‬‬ ‫‪6±4‬‬ ‫‪→ x1,2 = −5, −1‬‬ ‫‪−2‬‬ ‫= ‪0 = − x 2 − 6 x − 5 → x1,2‬‬ ‫פונקציה‬ ‫ולכן ‪ x = −1‬מפריד בין שני השטחים‬ ‫‪0‬‬ ‫‪+ 6 x + 5) dx‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪∫ (x‬‬ ‫‪−1‬‬ ‫פונקציה‬ ‫‪0‬‬ ‫= ‪− 6 x − 5)) dx‬‬ ‫‪y=0‬‬ ‫‪y = − x2 − 6x − 5‬‬ ‫‪y = −x − 6x − 5‬‬ ‫‪y=0‬‬ ‫עליונה‬ ‫אפשר להשתמש‪ ,‬אוטומטית‪ ,‬בטבלה שמשמאל ולכתוב‬ ‫‪2‬‬ ‫‪S1‬‬ ‫‪S2‬‬ ‫‪∫ (0 − (− x‬‬ ‫‪−1‬‬ ‫= ‪S1‬‬ ‫תחתונה‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ x‬גדול‬ ‫‪x=0‬‬ ‫‪x = −1‬‬ ‫‪ x‬קטן‬ ‫‪x = −1‬‬ ‫‪x = −3‬‬ ‫ואפשר גם לשים לב שהשטח בין ציר ה‪ x -‬לבין גרף פונקציה הנמצא מתחת לציר ה‪ x -‬הוא מינוס האינטגרל‪,‬‬ ‫‪0‬‬ ‫ואז ‪+ 6 x + 5) dx‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪∫ (x‬‬ ‫‪−1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫= ‪S1 = − ∫ (− x 2 − 6 x − 5) dx‬‬ ‫‪−1‬‬ ‫לכן‪ ,‬בכל אחת משתי דרכים אלו‬ ‫‪0‬‬ ‫‪x3 6 x 2‬‬ ‫‪S1 = +‬‬ ‫] ‪+ 5x‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪−1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪0 6⋅0‬‬ ‫‪(−1)3 6 ⋅ (−1) 2‬‬ ‫( ‪+ 5 ⋅ 0) −‬‬ ‫‪+‬‬ ‫))‪+ 5 ⋅ (−1‬‬ ‫‪S1 = ( +‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪S1 = 0 − (−2 ) → S1 = 2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ברור כי‬ ‫‪−1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪−1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪x 6x‬‬ ‫‪−‬‬ ‫] ‪− 5x‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪−3‬‬ ‫‪− 6 x − 5) dx = −‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪∫ (− x‬‬ ‫‪−3‬‬ ‫‪(−1)3 6 ⋅ (−1)2‬‬ ‫‪(−3)3 6 ⋅ (−3) 2‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪− 5 ⋅ (−1)) − (−‬‬ ‫‪−‬‬ ‫))‪− 5 ⋅ (−3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫= ‪S2‬‬ ‫‪S2 = (−‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪S 2 = −2 − (−3) → S 2 = 5‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫והשטח המבוקש הוא‪S = S1 + S 2 = 2 + 5 = 7 :‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫שאלה ‪.5‬‬ ‫א‪ .‬מבין כל המספרים החיוביים ‪ x‬ו‪ y -‬המקיימים ‪ y ( x + 2) = 9‬מצא את‬ ‫שני המספרים שעבורם הסכום ‪ x + y‬הוא מינימלי‪.‬‬ ‫ב‪ .‬מצא את הערך המינימלי של הסכום ‪. x + y‬‬ ‫‪9‬‬ ‫פתרון‪ .‬נתון כי ‪ x, y > 0‬וגם ‪ , y ( x + 2) = 9‬כלומר‬ ‫‪x+2‬‬ ‫הפונקציה שיש להביא למינימום היא הסכום ‪. x + y‬‬ ‫=‪.y‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪x+2‬‬ ‫‪f ( x) = x +‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪( x + 2)2 − 9 x 2 + 4 x − 5‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪( x + 2) 2‬‬ ‫‪( x + 2) 2‬‬ ‫‪( x + 2) 2‬‬ ‫‪f '( x) = 1 −‬‬ ‫הנגזרת מתאפסת כאשר ‪ . x 2 + 4 x − 5 = 0‬פתרונות משוואה זאת הם ‪ , −5,1‬והפתרון החיובי הוא ‪. x = 1‬‬ ‫נבדוק את האופי של הנקודה ‪ x = 1‬האמורה להיות נקודת קיצון בשתי דרכים‪.‬‬ ‫דרך א'‪ :‬נבנה טבלה לערכי הפונקציה‬ ‫‪x‬‬ ‫)‪f ( x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4.25‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0.5‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪4.1‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪Min‬‬ ‫מסקנה‬ ‫דרך ב'‪ :‬נבנה טבלה לזיהוי סימן הנגזרת )המכנה חיובי(‬ ‫‪f '(2) = 22 + 4 ⋅ 2 − 5 > 0‬‬ ‫‪f '(0.5) = 0.52 + 4 ⋅ 0.5 − 5 < 0,‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0.5‬‬ ‫'‪y‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪-‬‬ ‫מסקנה‬ ‫‪0‬‬ ‫‪Min‬‬ ‫תשובה‪ , x = 1, y = 3 :‬עבורם הסכום ‪ x + y‬הוא מינימלי‪ ,‬הסכום המינימלי הוא ‪. 4‬‬ ‫שאלה ‪.6‬‬ ‫)למבחן מותאם בלבד(‬ ‫‪4‬‬ ‫נתונה הפונקציה‬ ‫‪x‬‬ ‫‪. f ( x) = 16 x 2 +‬‬ ‫א‪ .‬מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה‪.‬‬ ‫ב‪ .‬מצא את השיעורים של נקודת הקיצון של הפונקציה‪ ,‬וקבע את סוגה‪.‬‬ ‫ג‪ .‬מצא את משוואת המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה ‪. x = 1‬‬ ‫ד‪ .‬מצא אם הפונקציה עולה או יורדת בנקודות שבהן‪:‬‬ ‫)‪ . x = −1 (2) , x = 2 (1‬נמק‪.‬‬ ‫פתרון‪.‬‬ ‫‪4‬‬ ‫א‪ .‬נתונה הפונקציה‬ ‫‪x‬‬ ‫‪. f ( x) = 16 x 2 +‬‬ ‫תחום ההגדרה של הפונקציה ‪ , x ≠ 0‬כי ‪ x = 0‬מאפס את המכנה‪.‬‬ ‫ב‪ .‬נמצא את שיעורי נקודות הקיצון‪:‬‬ ‫‪4 32 x3 − 4‬‬ ‫=‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪f '( x) = 32 x −‬‬ ‫‪4 31‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫המונה מתאפס כאשר = ‪= 3‬‬ ‫‪ , x = 3‬ומתקיים ‪f   = 12‬‬ ‫‪32‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪8 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1 1‬‬ ‫כדי לקבל את סוג נקודת הקיצון נבחד מספרים‬ ‫< < ‪ 0‬ו‪1 > -‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4 2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪32 ⋅13 − 4‬‬ ‫‪= 28 > 0‬‬ ‫‪12‬‬ ‫= )‪f '(1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫)‪f '( x‬‬ ‫אופי ‪f‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪32 ⋅   − 4‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪4‬‬ ‫= ‪f ' ‬‬ ‫‪= −56 < 0,‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪1/ 2‬‬ ‫‪1/ 4‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪Min‬‬ ‫‬ ‫דרך חלופית לבדיקת הקיצון‪ :‬הפונקציה ‪ x 3‬היא פונקציה עולה ולכן גם ‪ 32 x3 − 4‬פונקציה עולה‪ ,‬ולכן בנקודת האפס‬ ‫‪32 x 3 − 4‬‬ ‫שלה היא עוברת מערכים שליליים לחיוביים‪ .‬מכיוון שהמכנה של‬ ‫‪x2‬‬ ‫= )‪ f '( x‬חיובי הנגזרת ) ‪ f '( x‬עוברת‬ ‫בנקודת האפס מערכים שליליים לחיוביים והפונקציה עוברת מירידה לעליה‪ ,‬ולכן הנקודה היא נקודת מינימום‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫תשובה‪  ,12  :‬מינימום‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪4‬‬ ‫ג‪ .‬נמצא את נקודת ההשקה‪= 20 → (1, 20) :‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪f (1) = 16 ⋅12 +‬‬ ‫שיפוע המשיק הוא )‪ , f '(1‬וחישבנו לעיל שהוא ‪ . 28‬לכן משוואת המשיק היא )‪, y − 20 = 28( x − 1‬‬ ‫ובצורה התיקנית ‪. y = 28 x − 8‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ד‪ .‬ע"י חישוב ישיר של הנגזרת בנקודות ‪ x = 2‬ו‪ x = −1 -‬או ע"י שימוש בנאמר לעיל שבנקודה‬ ‫‪2‬‬ ‫= ‪ x‬עוברים‬ ‫ערכי הנגזרת משליליים לחיוביים אנו מקבלים שהנגזרת חיובית ב‪ x = 2 -‬ושלילית ב‪ , x = −1 -‬ולכן הפונקציה‬ ‫עולה ב‪ x = 2 -‬ויורדת ב‪. x = −1 -‬‬