מכפלה פנימית
גרסת 12.5.2015
מרחבי מכפלה פנימית
p
אורך הווקטור ) v = (v1 , v2 , v3הוא v12 + v22 + v32
2
הווקטור .kvk = v12 + v22 + v32
אורך הצלע השלישית של המשולש שצלעותיו u, vשהיא v − uנתון ע"י
2
2
2
= .kvkנרבה לעבוד עם ריבוע אורך
2
2
kv − uk = k(v1 − u1 , v2 − u2 , v3 −
) u3 )k = (v1 − u1 ) + (v2 − u2 ) + (v3 − u3
) = u21 + u22 + u23 + v12 + v22 + v32 − 2 (u1 v1 + u2 v2 + u3 v3
2
2
) = kuk + kvk − 2 (u1 v1 + u2 v2 + u3 v3
2
2
2
מצד שני ,לפי משפט הקוסינוסים קיים ,kv − uk = kuk + kvk − 2 kuk kvk cos α
היכן ש־ αהיא הזווית בין שני הווקטורים ולכן .u1 v1 + u2 v2 + u3 v3 = kuk kvk cos αכך
אנו רואים שהביטוי u1 v1 + u2 v2 + u3 v3נותן לנו מידע גיאומטרי על המצב ההדדי של שני
הווקטורים uו־ vוכאשר v = uהוא גם נותן את המידע על אורך הווקטור .תכונותיו של
ביטוי זה הן שהוא בילינארי ,כלומר לינארי גם ב־ uוגם ב־ ,vהוא סימטרי ,ועבור v 6= 0הוא
חיובי .נצא מתכונות אלו ונגדיר את המושג המופשט של מכפלה פנימית במרחב ווקטורי V
מעל לממשיים.
המכפלה הפנימית במרחב ווקטורי מעל לממשיים תבנית דו־מקומית ) (u, vנקראת מכפלה
וחיובית ,כלומר לכל v 6= 0
פנימית אם היא בילינארית ,סימטרית ,כלומר )p ,(u, v) = (v, u
קיים .(v, v) > 0בשם האורך ,או הנורמה ,של vנקרא ל־).kvk = (v, v
כתוצאה מן החיוביות אם v 6= 0אז ,kvk > 0וכתוצאה מן הבילינאריות .k0k = 0ברור
שלכל סקלר .ktvk = |t| kvk t
הווקטורי ) , <(nל־ ,n ≥ 1נגדיר עבור
דוגמאות למכפלה פנימית .א .במרחב
Pn
) u = (u1 , . . . , unו־ ) .(u, v) = i=1 ui vi v = (v1 , . . . , vnברור שמכפלת ווקטורים
זאת ממלאת אחר כל הדרישות של המכפלה הפנימית.
במרחב הפונקציות הרציפות בקטע ] [0, 1נגדיר לכל שתי הפונקציות fו־g
ב.
´1
.(f, g) = 0 f (x)g(x)dxברור שמכפלת פונקציות זאת ממלאת אחר כל הדרישות של
´1
2
המכפלה הפנימית .במרחב זה קיים kf k = c > 0 .kf k = 0 f (x)2 dxאומר שבממוצע
הערך ) f (xשווה ל־ ,cכאשר בחישוב ממוצע זה ערכי ) f (xהגדולים יותר בערכם המוחלט
מקבלים משקל גדול יותר .אם לכל |f (x)| ≤ c| 0 ≤ x ≤ 1אז .kf k ≤ c
ניצבות ווקטורים .נצא ממושג האורך כדי ללמוד על התכונות של המכפלה הפנימית.
סביר לקבוע ש־ vניצב ל־ ,uולסמן u ⊥ vאם ,k−u + vk = ku + vkוע"י מעבר לריבועים
של שני האגפים נקבל שזה שקול ל־ .(u, v) = 0נבחר בשוויון (u, v) = 0כהגדרת הניצבות
של uו־ .vברור שווקטור האפס ניצב לכל ווקטור.
2
2
2
משפט פיתגורס .אם u ⊥ vאז .ku + vk = kuk + kvkלכן אם u ⊥ vאז
,ku + vk ≥ kukוקיים כאן שיוויון בדיוק אז כאשר .v = 0
2
2
2
הוכחה .מכיוון ש־ ) ku + vk = (u + v, u + v) = kuk + kvk + 2 (u, vאז אם u ⊥ v
אז .(u, v) = 0
ההיטל של וקטור על וקטור .משפט .לווקטורים vו־ uקיים וקטור } w ∈ Span {uיחיד
כך ש־ .v − w ⊥ uלווקטור זה נקרא ההיטל של vעל uוהוא הווקטור u
) (v,uכאשר
kuk2
u 6= 0ו־ 0כאשר .u = 0
1
הוכחה .נניח u 6= 0כי המקרה u = 0הוא טריביאלי .יהי } w ∈ Span {uואז w = tu
עבור סקלר v − tu ⊥ u .tבדיוק אז כאשר ,(v, u) − t (u, u) = (v − tu, u) = 0וזה
) w = (v,uהוא האיבר היחיד ב־} Span {uכך ש־ .v − w ⊥ u
) t = (v,uלכן u
קורה אםם
kuk2
kuk2
אי השיוויון של קושי שוורץ .לווקטורים u, v ∈ Vקיים ,|(v, u)| ≤ kvk kukוקיים כאן
שיוויון אםם אחד הווקטורים u, vהוא כפולה בסקלר של חברו )כלומר ,אם אחד מהם הוא
0או שכל אחד מהם הוא כפולה בסקלר של חברו(.
הוכחה .לשני ווקטורים ,u, vאם wהוא ההיטל של vעל uאז v − w ⊥ uוזה אומר
ש־ v = (v − w) + wלכן ,לפי משפט פיתגורס
ש־ .v − w ⊥ wמכיוון
) (v,u
|) , |(v,uולכן . |(v, u)| ≤ kvk kukכפי שנאמר בניסוח
=
kuk2 u = kwk ≤ kvk
kuk
משפט פיתגורס ,קיים כאן שיוויון בדיוק אז כאשר v − w = 0ולפי הגדרת ההיטל זה קורה
בדיוק אז כאשר vהוא כפולה של .u
אי שיוויון המשולש .לכל u, v ∈ Vקיים ,ku + vk ≤ kuk + kvkוהשיוויון קיים אםם
אחד משני הווקטורים הוא כפולה בסקלר אי שלילי של חברו.
הוכחה .לפי אי השיוויון של קושי שוורץ קיים
2
2
2
2
2
2
)ku + vk = kuk + kvk + 2(u, v) ≤ kuk + kvk + 2 kuk kvk = (kuk + kvk
ולכן .ku + vk ≤ kuk + kvkקיים כאן שיוויון בדיוק אז כאשר .(u, v) = kuk kvkלפי
מה שנאמר באי השוויון של קושי שוורץ אם קיים שיוויון זה אז אחד הוקטורים u, vהוא
כפולה בסקלר של חברו .נניח כעת u = svונראה מתי קיים .(u, v) = kuk kvkאם s
אי שלילי אז (u, v) = (sv, v) = s kvk kvk = ksvk kvk = kuk kvkוהשיוויון קיים .אם s
שלילי אז (u, v) = (sv, v) = s(v, v) = −|s| kvk kvk = − ksvk kvk = − kuk kvkואז
(u, v) < kuk kvkאלא אם כן u = 0או .v = 0
המכפלה הפנימית במרחב ווקטורי מעל לממשיים או מעל למרוכבים .אפשר להרחיב את
מושג המכפלה הפנימית גם למרחבים וקטוריים מעל למספרים המרוכבים .כאן ההגדרה
תהיה שונה מעט מן ההגדרה שהבאנו כאשר דובר רק על מרחב וקטורי מעל לממשיים ,אבל
למקרה של מרחב מעל לממשיים היא תהיה שקולה לגמרי להגדרה שהבאנו לממשיים בלבד.
במרחב ווקטורי Vמעל לשדה המספרים המרוכבים תבנית דו מקומית ) (u, vנקראת מכפלה
פנימית אם היא מקיימת את התנאים הבאים:
לינאריות במשתנה הראשון (u + v, w) = (u, w) + (v, w) :ו־ ),(cu, v) = c(u, v
סימטריה צמודה ,(v, u) = (u, v) :וחיוביות :עבור .(v, v) > 0 v 6= 0
מתנאים אלו נובעת הלינאריות הצמודה במשתנה השני:
)(u, v + w) = (v + w, u) = (v, u) + (w, u) = (v, u) + (w, u) = (u, v) + (u, w
ו־ ).(u, cv) = (cv, u) = c(v, u) = c(v, u) = c(u, v
תכונות המכפלה הפנימית הכללית .גם כאן אנו מגדירים כי u ⊥ vכאשר .(u, v) = 0
הוכחת משפט פיתגורס למקרה הממשי תקפה גם כאן .ישנו הבדל בכך שבמקרה הממשי
2
2
2
קיים גם המשפט ההפוך למשפט פיתגורס והוא שאם ku + vk = kuk + kvkאז ,u ⊥ v
2
2
ואילו במרחב המרוכב החד מימדי ) C(1לווקטורים 1ו־ iקיים kik = 1 ,k1k = 1
2
k1 + ik = 2אבל לא קיים 1 ⊥ iכי .(1, i) = −i
) (v,uתקפים גם במקרה המרוכב ,וכן גם
הגדרת ההיטל של vעל uוזיהוי ההיטל כ־ u
kuk2
אי־השיוויון של קושי שוורץ .במקרה המרוכב קיים השיוויון
2
)ku + vk = (u + v, u + v) = (u, u) + (u, v) + (v, u) + (v, v
2
2
2
2
)= kuk + kvk + (u, v) + (u, v) = kuk + kvk + 2Re(u, v
2
בהוכחת אי שיוויון המשולש במקרה המרוכב אנו משתמשים בשיוויון זה כדי לקבל את
אי השיוויון
2
2
2
2
2
|)ku + vk = kuk + kvk + 2Re(u, v) ≤ kuk + kvk + 2|(u, v
2
2
2
)≤ kuk + kvk + 2 kuk kvk = (kuk + kvk
וזה אומר ש־ .ku + vk ≤ kuk + kvkכדי שיתקיים שיוויון באי שיוויון המשולש דרוש
כי .Re(u, v) = kuk kvkמכיוון שלפי אי השיוויון של קושי שוורץ
.Re(u, v) ≤ |(u, v)| ≤ kuk kvkלכן לצורך השיוויון דרוש גם |)Re(u, v) = |(u, v
וגם . |(u, v)| = kuk kvkהשיוויון |(u, v)| = kuk kvkגורר שיוויון באי השוויון של
קושי שוורץ ולכן אחד הווקטורים צריך להיות כפולה של השני ,ונניח כי .u = svמכיוון
ש־ |) (u, v) Re(u, v) = |(u, vהוא מספר ממשי אי שלילי ומכיוון
ש־ ) (u, v) = (sv, v) = s(v, vאז v = 0או ש־ sהוא מספר ממשי אי שלילי.
ההיטל של וקטור והמרחק שלו מתת מרחב.
משפט .יהי wההיטל של vעל .uאז לכל וקטור } w0 ∈ Span {uהשונה מ־ wקיים
.kv − w0 k > kv − wkזה אומר ש־ v − wהוא הווקטור הקצר ביותר המוביל מווקטור ב־
} Span {uל־ .vאורך ווקטור זה נקרא המרחק של vמ־} .Span {uברור כי}v ∈ Span {u
אםם המרחק של vמ־} Span {uהוא .0
0
הוכחה .לפי הגדרת ההיטל ,wקיים .v − w ⊥ uמכיוון שגם wוגם wהם כפולות של
uגם הפרשם w0 − wהוא כפולה של uולכן קיים גם .v − w ⊥ w0 − wלכן ,לפי משפט
פיתגורס.kv − w0 k > kv − wk ,
הגדרה .יהי Uתת מרחב של מרחב מכפלה פנימית .Vוקטור v ∈ Vנקרא ניצב ל־ ,U
ואנו כותבים ,v ⊥ Uאם v ⊥ uלכל .u ∈ U
ברור כי תמיד 0 ⊥ Uולכל u 6= 0ב־ u Uאינו ניצב על Uכי uאינו ניצב לעצמו .כמו כן
ברור שאם לכל v ⊥ uk 1 ≤ k ≤ nאז } .v ⊥ Span {u1 , . . . , un
משפט .יהי Uתת מרחב של מרחב מכפלה פנימית .Vלכל v ∈ Vקיים לכל היותר
ווקטור w ∈ Uאחד כך ש־ ) v − w ⊥ Uאם v ∈ Uאז .(w = vאם קיים ווקטור wכזה
אז wנקרא ההיטל של vעל ,Uוהאורך של v − wקטן מן האורך של כל וקטור v − uעם
.v 6= u ∈ Uאם קיים וקטור wכזה אז kv − wkנקרא המרחק של vמ־ Uוהוא חיובי
∈ .v
אםם / U
הוכחה .משפט זה דומה לגמרי למשפט שהוכחנו על הווקטור הניצב ל־} ,Span {uוכן גם
הוכחתו .יהי wכמו במשפט ,ואז אם w 6= u ∈ Uאז ,0 6= w −u ∈ Uולכן .v −w ⊥ w −u
מכיוון ש־ ) v − u = (v − w) + (w − uלכן ,לפי משפט פיתגורס.kv − wk < kv − uk ,
מזה נובעת גם יחידות v − wכי אילו היה גם v − u ⊥ Uהיה קיים ,כפי שראינו ,גם
.kv − uk < kv − wk
משפט הפוך למשפט הקודם הוא:
משפט .יהי Uתת מרחב של מרחב .Vאם v ∈ Vו־ w ∈ Uהוא כזה ש־ < kv − wk
kv − ukלכל u ∈ Uאז .v − w ⊥ U
הוכחה .נוכיח כי v − w ⊥ Uע"י שנוכיח כי לכל .v − w ⊥ p 0 6= p ∈ Uיהי qההיטל
של v − wעל ,pואז .v − w − q ⊥ pמכיוון ש־ qהוא כפולה של pקיים גם v − w − q ⊥ q
ולכן ,לפי משפט פיתגורס ,אם q 6= 0אז kv − wk > kv − w − qkומכיוון ש־ w + q ∈ U
זה סותר את הנחת המשפט .לכן q = 0ואז .v − w ⊥ p
שני המשפטים האחרונים מותירים עדיין את השאלה אם לתת מרחב Uולווקטור
∈ vקיים בכלל w ∈ Uכך ש־ .v − w ⊥ Uהתשובה היא שלא תמיד קיים w
/ U
3
1
1
2, 2
כזה .נבחר ב־ Vלהיות מרחב הפונקציות הרציפות בקטע
´1
,(f, g) = −2 1 f (x)g(x)dxנבחר ב־ Uלהיות תת המרחב של הפולינומים וב־) v(xלהיות
עם המכפלה הפנימית
2
1
הפונקציה
) v(xאינה פולינום כי אילו היתה פולינום אז אגף ימין של
. 1−x
) 1 = (1 − x)v(xהיה פולינום ממעלה חיובית השווה לפולינום ממעלה .0לכל nטבעי קיים
n
Pn
n+1
n+1
1
1
.0 < 1−xכך לכל מספר חיובי יש ב־ U
− k=0 xk = 1−x
− 1−x
= x1−x ≤ 12
1−x
איבר שמרחקו מ־) v(xקטן מ־.
בניגוד למה שראינו עתה אם Uהוא בעל מימד סופי נראה שעבור v ∈ Vקיים
w ∈ Uכך ש־ .v − w ⊥ Uיהי u1 , . . . , umבסיס ל־ .Uכדי לקבל ש־ w ⊥ Uדי בכך
ש־ v − w ⊥ ukלכל .1 ≤ k ≤ mננסה לקבל wכזה בשלבים .ראשית נקבל w1כך
ש־ w1 .v − w1 ⊥ u1כזה הוא ההיטל של vעל .u1בצעד השני נקח את ההיטל w20
של v − w1על u2והמועמד שלנו ל־ w2כך ש־ v − w2ניצב גם על u1וגם על u2הוא
.w2 = w1 + w20נבדוק אם הצלחנו .לפי בחירת w20 = tu2 ,w20עבור סקלר tמסויים
וקיים .v − w2 = (v − w1 ) − w20 ⊥ u2האם v − w2ניצב גם על ?u1לשם כך נחשב את
) (v − w2 , u1ונקבל
) (v − w2 , u1 ) = (v − (w1 + w20 ) , u1 ) = (v − w1 , u1 ) − (w20 , u1 ) = 0 − (tu2 , u1
) = −t (u2 , u1
זה אומר שאם התמזל מזלנו ו־ u2 ⊥ u1אז v − w2ניצב גם ל־ u1וגם ל־ ,u2ואנו
יכולים להמשיך ל־ .u3כדי שלא נאלץ לסמוך על המזל ,זה מביא אותנו לעיסוק בסדרות
u1 , . . . , umבהן כל אחד מן הווקטורים ניצב על כל האחרים ואת זה נעשה עתה.
הגדרה.סדרת וקטורים נקראת אורתוגונלית אם כל שני ווקטורים בסדרה ניצבים זה
לזה .הסדרה נקראת אורתונורמלית אם היא אורתוגונלית ,ואורכו של כל אחד מן הווקטורים
בסידרה הוא .1
משפט .כל סדרה אורתוגונלית של ווקטורים שונים מ־ 0היא בלתי תלויה.
Pm
הוכחה .תהי v1 , . . . , vmסדרה אורתוגונלית של ווקטורים .יהי k=1 ak vk = 0כאשר
מכיוון שלכל k 6= j
,a1 , . . . , am ∈ Cנוכיח כי .a1 , . . . , am = 0יהי
1 ≤ j ≤ mכלשהוPm .
Pm
(vk , vj ) = 0קיים .aj (vj , vj ) = k=1 ak (vk , vj ) = ( k=1 ak vk , vj ) = (0, vj ) = 0
מכיוון ש־ vj 6= 0לכן ,(vj , vj ) > 0ולכן .aj = 0
לעיל יצאנו מווקטור vותת מרחב Uשבסיסו u1 , . . . , umוניסינו למצוא w ∈ Uכך
ש־ v − w ⊥ Uע"י חיבור ההיטל של vעל u2להיטל של vעל u1ולהמשיך כך עד .umשם
נכשלנו כבר בשלב של u2כי היינו זקוקים לכך ש־ .u2 ⊥ u1כעת נצא מבסיס אורתוגונלי
של Uואז מכשלה זאת אינה קיימת.
Pווקטורים ויהי .v ∈ Vלכל 1 ≤ k ≤ m
משפט .תהי u1 , . . . , umסדרה אורתוגונלית של
m
יהי wkההיטל של vעל .ukאז הסכום w = k=1 wkשל היטלים אלו הוא ההיטל של vעל
} ,Span {u1 , . . . , umכלומר } ,v−w ⊥ Span {u1 , . . . , umואז הסדרה u1 , . . . , um , v−w
∈ v−w
היא אורתוגונלית ו־ }/ .Span {u1 , . . . , um , v − w} = Span {u1 , . . . , um , v
∈ .v
} Span {u1 , . . . , umאםם } / Span {u1 , . . . , um
להראות כי לכל 1 ≤ j ≤ m
הוכחה .כדי להראות כי } {u1 , . . . , um
v − w ⊥PSpanדי Pm
m
.v − w ⊥ ujקיים ) (w, uj ) = ( k=1 wk , uj ) = k−1 (wk , uj ) = (wj , ujכי לכל
uk ⊥ uj k 6= jומכיוון ש־ wkהוא כפולה של ukגם wk ⊥ ujואז .(wk , uj ) = 0לכן
) ,(v − w, uj ) = (v, uj ) − (w, uj ) = (v, uj ) − (wj , uj ) = (v − wj , ujוהביטוי הימני
בשוויון זה הוא 0כי v − wj ⊥ ujכי wjהוא ההיטל של vעל .uj
מכיוון ש־} w ∈ Span {u1 , . . . , umכל אחד מ־ vו־ v − wהוא צרוף לינארי של הווקטורים
4
u1 , . . . , umוהווקטור השני ,ולכן }.Span {u1 , . . . , um , v − w} = Span {u1 , . . . , um , v
∈ .v
∈ v − wאםם } / Span {u1 , . . . , um
מכן ברור כי } / Span {u1 , . . . , um
תהליך גרם שמיט .זהו התהליך המשתמש במשפט הקודם לבנית סדרות אורתוגונליות
ואורתונורמליות של ווקטורים.
משפט .תהי v1 , . . . , vmסדרת וקטורים בלתי תלויה .אז קיימת סדרה אורתוגונלית
u1 , . . . , umללא אפסים כך שלכל .Span (u1 , . . . , ul ) = Span (v1 , . . . , vl ) 0 ≤ l ≤ m
הוכחה .באינדוקציה על האורך mשל הסדרה.
ל־ m = 0טענת המשפט מיידית כי המרחב הנפרש ע"י הסדרה הריקה הוא מרחב האפס.
שלב האינדוקציה :תהי v1 , . . . , vm , vm+1סדרת ווקטורים בלתי תלויה .לפי הנחת
האינדוקציה קיימת סדרת אורתוגונלית u1 , . . . , umללא אפסים כך שלכל 0 ≤ l ≤ m
) .Span (u1 , . . . , ul ) = Span (v1 , . . . , vlלפי המשפט הקודם קיים ווקטור um+1כך
שהסדרה u1 , . . . , um , um+1היא אורתוגונלית
ו־ ) .Span (u1 , . . . , um , um+1 ) = Span (u1 , . . . , um , vm+1
מכיוון ש־ ) Span (u1 , . . . , um ) = Span (v1 , . . . , vm
קיים ) ,Span (u1 , . . . , um , vm+1 ) = Span (v1 , . . . , vm , vm+1
ולכן ) .Span (u1 , . . . , um , um+1 ) = Span (v1 , . . . , vm , vm+1מכיוון שהסדרה
∈ vm+1ואז,
v1 , . . . , vm+1בלתי תלויה ) / Span (v1 , . . . , vm ) = Span (u1 , . . . , um
כאמור במשפט הקודם.um+1 6= 0 ,
מסקנות .א .תהי v1 , . . . , vmסדרת וקטורים בלתי תלויה .אז קיימת סדרה אורתונורמלית
e1 , . . . , emכך שלכל .Span (e1 , . . . , el ) = Span (v1 , . . . , vl ) 0 ≤ l ≤ m
ב .בכל מרחב ווקטורי בעל מימד סופי כל סדרה אורתונורמלית ניתנת להשלמה לבסיס
אורתונורמלי .במיוחד ,לכל מרחב וקורי בעל מימד סופי ישנו בסיס אורתונורמלי.
5
© Copyright 2024