‫בחינה באלגברה לינארית להנדסת חשמל‬ ‫סמסטר ב' תשע"א (מועד ג)‬ ‫מרצה‪ :‬פרופ' גריגורי משביצקי‪,‬‬ ‫הנחיות‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫משך הבחינה‪ 3 :‬שעות‬ ‫אין להשתמש בכל חומר עזר שהו לרבות מחשבונים‪.‬‬ ‫במבחן יש שני חלקים‪ :‬חלק א' וחלק ב'‪.‬‬ ‫בחלק א' יש ארבע שאלות‪ .‬שלוש שאלות ראשונות חישוביות ושאלה אחרונה תיאורטית‪.‬‬ ‫תשובה מלאה ונכונה על כל אחת מהשאלות תזכה אותך בעשרים נקודות‪.‬‬ ‫בחלק א' נא לכתוב פתרונות מלאים ומנומקים היטב ובכתב יד ברור במקומות המיועדים לכך‬ ‫בטופס הבחינה‪ .‬מחברות הטיוטא לא תיבדקנה! אחרי כל שאלה יש די והותר מקום על מנת‬ ‫לכתוב פתרון מלא ומנומק היטב‪ .‬אך אם בכל זאת הנכם זקוקים למקום נוסף אתם רשאים‬ ‫לכתוב את הפתרונות גם בשני הדפים האחרונים המצורפים לטופס הבחינה‪.‬‬ ‫בחלק ב' יש חמש שאלות בחירה מרובה (שאלות "אמריקאיות")‪ .‬תשובה נכונה על כל שאלה‬ ‫בחלק ב' תזכה אותך בחמש נקודות‪ ,‬תשובה "לא יודע" תזכה בנקודה אחת‪ ,‬ותשובה לא נכונה‬ ‫תוריד נקודה אחת‪.‬‬ ‫את התשובות לשאלות של חלק ב' יש למלא בטופס התשובות בעמוד הראשי‪.‬‬ ‫הניקוד המקסימאלי במבחן הוא ‪ .505‬מי שיצבור ‪ 500‬נקודות או יותר ציונו הסופי יהיה ‪.500‬‬ ‫בהצלחה!‬ ‫מספר נבחן‪:‬‬ ‫טופס התשובות לחלק ב'‬ ‫נא לסמן ‪ X‬במשבצות של התשובות הנכונות שבחרתם (‪ X‬אחד בלבד בכל עמודה!)‬ ‫שאלה ‪4‬‬ ‫שאלה ‪3‬‬ ‫שאלה ‪2‬‬ ‫שאלה ‪1‬‬ ‫תשובה א'‬ ‫תשובה ב'‬ ‫תשובה ג'‬ ‫תשובה ד'‬ ‫"לא יודע"‬ ‫‪-5-‬‬ ‫שאלה ‪5‬‬ ‫שאלה ‪ ):1‬כל אחד מסעיפים הבאים שווה ‪ 7‬נקודות‪.‬‬ ‫נתון מרחב ווקטורי )‪ U (a‬של פתרונות של מערכת משוואות ליניאריות מעל ‪R‬‬ ‫‪ x1  x2  (a 2  1) x3  2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 2 x1  x2  ax3  1‬‬ ‫‪ x  2 x  3 x  1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ 1‬‬ ‫א‪ .‬עבור כל ערך של פרמטר ‪ a‬מצאו בסיס ומימד של )‪. U (a‬‬ ‫ב‪ .‬עבור אילו ערכים של פרמטר ‪ a‬ווקטור )‪ (1,5,3‬שייך ל‪. U (a) -‬‬ ‫ג‪ .‬עבור אילו זוגות ) ‪ (a1 , a2‬של ערכים של פרמטר ‪ a‬מתקיים ‪. U (a1 )  U (a2 )  R3‬‬ ‫פתרון‪:‬‬ ‫שאלה ‪( :2‬סעיף א) ‪ 3‬נק‪ ,.‬סעיף ב) ‪ 5‬נק‪ ,.‬סעיף ג) ‪ 9‬נק‪ ,.‬סעיף ד) ‪ 3‬נק‪).‬‬ ‫ידוע כי ) ‪ e  (e1 , e2 , e3‬הוא בסיס אורטונורמלי במרחב ווקטורי ‪. U‬‬ ‫) ‪ U  Span(e1  2e2  e3‬ו‪ W  Span(e2  e3 ) -‬תתי מרחבים של ‪. V‬‬ ‫א‪ .‬מצאו בסיס של ‪. U ‬‬ ‫ב‪ .‬מצאו בסיס של ‪. U   W ‬‬ ‫ג‪ .‬מצאו את המטריצה המייצגת של ‪: V  V‬‬ ‫‪ - PU  W ‬אופרטור ההטלה האורתוגונאלית‬ ‫על ‪ U   W ‬ביחס לבסיס ) ‪. e  (e1 , e2 , e3‬‬ ‫ד‪ .‬מצאו את המטריצה המייצגת של ‪ - P *U  W  : V  V‬האופרטור הצמוד לאופרטור‬ ‫‪ PU  W ‬ביחס לבסיס ) ‪ . e  (e1 , e2 , e3‬האם האופרטור ‪ PU  W ‬צמוד לעצמו?‬ ‫פתרון‪:‬‬ -4 - ‫שאלה ‪( :3‬כל סעיף ‪ 11‬נקודות)‬ ‫יהא }‪. U  Span(x 3  x,x 3  x 2,x 2  x)  R 4[x] . R4 [ x]  {ax3  bx 2  cx  d | a, b, c, d  R‬‬ ‫נתבונן בבסיס )‪ f  (f1  x3  x,f2  x3  x 2,f3  x 2  x‬של מרחב ‪. U‬‬ ‫האופרטור הליניארי ‪ T‬מוגדר במרחב ‪ U‬על‪-‬ידי תנאים הבאים‪:‬‬ ‫‪. T(x3  x)  T(x3  x2 )  x3  2x2  x, T(x 2  x)  x 2  x‬‬ ‫א‪ .‬מצאו מטריצה ‪ [T]ff‬של ‪ T‬בבסיס ‪. f‬‬ ‫ב‪ .‬יהא ‪ S : R4 [ x]  U‬טרנספורמציה ליניארית מוגדרת על‪-‬ידי המטריצה‬ ‫‪ 1 1 0 0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ [S]   0 1 2 1 ‬כאשר הבסיס )‪f  (f1  x  x,f2  x  x ,f3  x  x‬‬ ‫‪ 0 1 0 1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪g‬‬ ‫‪f‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫)‪. g  (g1  x3  x  1,g2  x3  x 2  1,g3  x 2  x  1,g4  x  1‬‬ ‫מצאו את )‪. S(x3  2x2  1‬‬ ‫פתרון‪:‬‬ ‫‪-7 -‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ו‪-‬‬ ‫שאלה ‪( :4‬כל סעיף ‪ 11‬נקודות)‬ ‫א‪ . A, B  M 55 ( R) .‬הוכיחו כי )‪. rank ( AB)  rank ( A‬‬ ‫ב‪ .‬יהא ‪ T : C 2  C 2‬אופרטור ליניארי המקיים ‪ 0‬‬ ‫‪ . T‬הוכיחו כי‬ ‫ב‪ T (a ) .1‬ו‪ T (b) -‬תלוים ליניארית עבור כל ‪. a, b  C 2‬‬ ‫‪2011‬‬ ‫ב‪ .2‬הוכיחו כי ‪. T 2  0‬‬ ‫פתרון‪:‬‬ ‫חלק ב‪.‬‬ ‫שאלה ‪:1‬‬ ‫נתונה מערכת של ‪ m‬משוואות ליניאריות ב ‪ n‬נעלמים‬ ‫אז בהכרח מתקיים‪:‬‬ ‫א‪. n  m .‬‬ ‫‪Ax  b‬‬ ‫מעל שדה ‪ . R‬נתון שלמערכת זו קיים פתרון יחיד‪.‬‬ ‫ב‪ .‬קיים ‪ c  F m‬כך שלמערכת ‪Ax  c‬‬ ‫‪m‬‬ ‫ג‪ .‬לכל ‪ c  F‬למערכת ‪ Ax  c‬קיים פתרון יחיד‪.‬‬ ‫‪m‬‬ ‫ד‪ .‬לא קיים ‪ c  F‬כך שלמערכת ‪ Ax  c‬אין פתרון ‪.‬‬ ‫יש אין סוף פתרונות ‪.‬‬ ‫שאלה ‪:2‬‬ ‫יהי )‪V  M 22 ( R‬‬ ‫מרחב ווקטורי מעל ‪ U  V . R‬תת מרחב של ‪ . V‬ידוע כי ‪. dim(U )  3‬‬ ‫אילו מהקבוצות הבאות מתאימות להיות ‪U‬‬ ‫כנ"ל?‬ ‫‪a b‬‬ ‫‪t‬‬ ‫‪U  {‬‬ ‫א‪  V | A  A } .‬‬ ‫‪c d‬‬ ‫ב‪ U .‬תת מרחב של ‪ V‬אשר כולל את כל המטריצות האלכסוניות ורק אותן‪.‬‬ ‫ג‪ U .‬מכיל רק מטריצות בצורה קנונית‪.‬‬ ‫‪t‬‬ ‫( ‪ A‬מטריצה משוחלפת)‬ ‫‪a b ‬‬ ‫‪ {‬‬ ‫ד‪ V | a  b  d  b  c  d  c  d  0} .‬‬ ‫‪c d‬‬ ‫‪.U‬‬ ‫שאלה ‪:3‬‬ ‫אם ) ‪A  M nn ( F‬‬ ‫א‪ A  0 .‬או ‪A  I‬‬ ‫ב‪det( A)   det( A) .‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ג‪ .‬אם ‪ A‬הפיכה אז ‪. A  I‬‬ ‫ד‪ .‬אם ‪ A‬לא הפיכה אז ‪. A  0‬‬ ‫ו‪ A  A -‬אז בהכרח מתקיים ‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫שאלה ‪:4‬‬ ‫) ‪ T : M 33 (C )  M 33 (C‬האופרטור הליניארי שמכפיל את השורה הראשונה במטריצה ב‪i -‬‬ ‫אז הפולינום האופייני )‪ pT ( x‬של ‪ T‬שווה‬ ‫א‪( x  i)( x  1)2 .‬‬ ‫ב‪( x  i ) 3 .‬‬ ‫ג‪( x  1)6 ( x  i)3 .‬‬ ‫ד‪x 6 ( x  i ) 3 .‬‬ ‫שאלה ‪:5‬‬ ‫על אופרטור לינארי ‪ S : C  C‬ידוע כי ‪ I‬‬ ‫א‪Ker ( S )  Im( S ) .‬‬ ‫ב‪Ker ( S )  Im( S ) .‬‬ ‫ג‪Ker ( S )  Im( S ) .‬‬ ‫ד‪S  I .‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2011‬‬ ‫‪ . S‬אז בהכרח מתקיים‪:‬‬ ‫בהצלחה!‬