אלגברה לינארית 1

‫אלגברה לינארית ‪1‬‬
‫יובל קפלן‬
‫סיכום הרצאות ד"ר אלי בגנו בקורס "אלגברה לינארית ‪(80134) "1‬‬
‫באוניברסיטה העברית‪.2006–7 ,‬‬
‫תוכן מחברת זו הוקלד ונערך על‪-‬ידי יובל קפלן‪ .‬אין המרצה אחראי לכל‬
‫טעות שנפלה בו‪ .‬סודר באמצעות ‪ LATEX 2ε‬ב‪ 4-‬בפברואר ‪.2008‬‬
‫עדכונים ותיקונים יופיעו ב‪ .http://www.limsoup.net/-‬לתגובות‪,‬‬
‫לתיקונים ובכל עניין אחר‪ ,‬אנא כתבו ל‪[email protected]‬‬
‫סיכומים נוספים בסדרה‪:‬‬
‫‪2006–7‬‬
‫חשבון אינפיניטסימלי ‪1‬‬
‫אלגברה לינארית ‪1‬‬
‫חשבון אינפיניטסימלי ‪2‬‬
‫אלגברה לינארית ‪2‬‬
‫תורת הקבוצות‬
‫‪2007–8‬‬
‫מבנים אלגבריים ‪1‬‬
‫תורת ההסתברות ‪1‬‬
‫תוכן עניינים‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪4‬‬
‫שדות ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪5‬‬
‫‪1.1‬‬
‫‪ Z‬ו‪ – Q-‬המספרים השלמים והרציונאליים ‪. . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪5‬‬
‫‪1.2‬‬
‫שדות ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪5‬‬
‫‪1.3‬‬
‫תכונות שדה ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪7‬‬
‫‪1.4‬‬
‫‪ – Zn‬שדה השאריות מודולו ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . n‬‬
‫‪7‬‬
‫‪1.5‬‬
‫המציין של שדה ‪10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪1.6‬‬
‫‪ R‬ו‪ – C-‬המספרים הממשיים והמרוכבים ‪11 . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫מרחבים וקטוריים ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪13‬‬
‫‪2.1‬‬
‫הגדרת מרחב וקטורי ‪13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪2.2‬‬
‫תכונות מרחב וקטורי ‪14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2.3‬‬
‫המודל הגיאומטרי של ‪ R‬ושל ‪14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . R‬‬
‫‪2.4‬‬
‫תת‪-‬מרחבים ‪16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪2.5‬‬
‫צירופים לינאריים ‪18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪2.6‬‬
‫בסיסים ‪21 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪2.7‬‬
‫מרחב הפולינומים ‪24 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪2.8‬‬
‫סכום תת‪-‬מרחבים ‪26 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫העתקות לינאריות ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪28‬‬
‫‪3.1‬‬
‫הגדרת העתקה לינארית ‪28 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪3.2‬‬
‫קריטריון ללינאריות העתקה ‪29 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪3.3‬‬
‫העתקות מיוחדות ‪29 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪3.4‬‬
‫מציאת העתקות לינאריות ‪29 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪3.5‬‬
‫גרעין של העתקה לינארית ‪30 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪3.6‬‬
‫תמונה של העתקה לינארית ‪31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪3.7‬‬
‫כמה מילים על פונקציות ‪32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪3.8‬‬
‫הרכבת העתקות לינאריות ‪33 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪3.9‬‬
‫עוד אודות איזומורפיזמים ‪35 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪3.10‬‬
‫וקטור הקואורדינטות ‪35 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪3.11‬‬
‫מרחב ההעתקות ‪36 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪3.12‬‬
‫מרחב המטריצות ‪37 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪3.13‬‬
‫תכונות של כפל מטריצות ‪40 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪3.14‬‬
‫מטריצות מעבר ‪41 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫מערכות משוואות לינאריות ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪4.1‬‬
‫‪43‬‬
‫מערכות משוואות ‪43 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪3‬‬
‫תוכן עניינים‬
‫תוכן עניינים‬
‫‪4.2‬‬
‫דירוג מטריצות – פתרון משוואות ‪45 . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪4.3‬‬
‫מטריצת מדרגות קנונית ‪47 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪4.4‬‬
‫מטריצות אלמנטריות ‪48 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪4.5‬‬
‫טיפ לחיים ‪49 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪4‬‬
‫שדות‬
‫‪1‬‬
‫שדות‬
‫‪1‬‬
‫‪ Z 1.1‬ו‪ – Q-‬המספרים השלמים והרציונאליים‬
‫‪22.10.2006‬‬
‫מוגדרת ב‪ Z = {. . . , −1, 0, 1, . . .}-‬פעולת חיבור‪ .‬מתקיימות התכונות‪:‬‬
‫ח‪ .1-‬לכל ‪ a, b ∈ Z‬קיים ‪ c ∈ Z‬יחיד כך ש‪) a + b = c-‬סגירות(‬
‫ח‪ .2-‬לכל ‪,a, b ∈ Z‬‬
‫‪1‬‬
‫‪) a + b = b + a‬קומוטטיביות – חילוף(‬
‫ח‪ .3-‬לכל ‪,a, b, c ∈ Z‬‬
‫)‪) (a + b) + c = a + (b + c‬אסוציאטיביות – קיבוץ(‬
‫ח‪ .4-‬קיים איבר ‪ 0 ∈ Z‬כך שלכל ‪,a ∈ Z‬‬
‫‪) a + 0 = a‬קיום איבר אפס(‬
‫ח‪ .5-‬לכל ‪ a ∈ Z‬קיים ‪ b ∈ Z‬כך ש‪) a + b = 0-‬קיום איברים נגדיים(‬
‫מוגדרת גם פעולת כפל‪ .‬מתקיימות התכונות הבאות‪:‬‬
‫כ‪ .1-‬לכל ‪ a, b ∈ Z‬קיים ‪ c ∈ Z‬יחיד כך ש‪) a · b = c-‬סגירות(‬
‫‪) a · b = b · a‬קומוטטיביות(‬
‫כ‪ .2-‬לכל ‪,a, b ∈ Z‬‬
‫כ‪ .3-‬לכל ‪,a, b, c ∈ Z‬‬
‫)‪) (a · b)c = a(b · c‬אסוציאטיביות(‬
‫כ‪ .4-‬קיים איבר ‪ 1 ∈ Z‬כך שלכל ‪,a ∈ Z‬‬
‫כ‪-‬ח‪ .‬לכל ‪,a, b, c ∈ Z‬‬
‫‪) a · 1 = a‬קיום איבר יחידה(‬
‫‪) a(b + c) = ab + ac‬דיסטריבוטיביות – פילוג(‬
‫תכונה מקבילה לח‪ 5-‬אינה מתקיימת ב‪ Z-‬עבור כפל‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫נגדיר }‪ – Q = { ab | a, b ∈ Z, b 6= 0‬קבוצת המספרים הרציונאליים‪ .Z ⊆ Q .‬מתקיימות‬
‫כל התכונות הנ"ל‪ ,‬ובנוסף‬
‫כ‪ .5-‬לכל ‪ 0 6= a ∈ Q‬קיים ‪ b ∈ Q‬כך ש‪) a · b = 1-‬קיום איברים הפכיים(‬
‫‪1.2‬‬
‫שדות‬
‫הגדרה‪ .‬קבוצה ‪ F‬עליה מוגדרות פעולות "חיבור" ו"כפל" נקראת שדה אם מתקיימות התכונות‬
‫הבאות‪:‬‬
‫ח‪∃!c ∈ F : a + b = c .1-‬‬
‫ח‪a + b = b + c .2-‬‬
‫‪∀a, b ∈ F‬‬
‫‪∀a, b ∈ F‬‬
‫ח‪(a + b) + c = a + (b + c) .3-‬‬
‫ח‪a + 0F = a .4-‬‬
‫‪∃0F ∈ F : ∀a ∈ F‬‬
‫ח‪∃b ∈ F : a + b = 0F .5-‬‬
‫כ‪∃!c ∈ F : a · b = c .1-‬‬
‫כ‪a · b = b · a .2-‬‬
‫‪∀a ∈ F‬‬
‫‪∀a, b ∈ F‬‬
‫‪∀a, b ∈ F‬‬
‫כ‪(ab)c = a(bc) .3-‬‬
‫כ‪a · 1F = a .4-‬‬
‫‪∀a, b, c ∈ F‬‬
‫‪∀a, b, c ∈ F‬‬
‫‪∃1F ∈ F : ∀a ∈ F‬‬
‫‪1‬קיום תכונות אלו ב‪ Z-‬ניתן להוכחה; אלו אינן אקסיומות‪.‬‬
‫‪2‬קבוצה שמקיימת את התכונות דלעיל נקראת חוג‪.‬‬
‫‪5‬‬
‫שדה‬
‫‪1.2‬‬
‫‪1‬‬
‫שדות‬
‫כ‪a 6= 0 =⇒ ∃b ∈ F : ab = 1F .5-‬‬
‫כ‪-‬ח‪a(b + c) = ab + ac .‬‬
‫שדות‬
‫‪∀a ∈ F‬‬
‫‪∀a, b, c ∈ F‬‬
‫דוגמה )שדה הדיאז והבמול(‪ .‬תהי קבוצה }[ ‪ .F = {],‬נגדיר פעולות‪:‬‬
‫[‬
‫]‬
‫·‬
‫[‬
‫]‬
‫‪+‬‬
‫]‬
‫]‬
‫]‬
‫[‬
‫]‬
‫]‬
‫[‬
‫]‬
‫[‬
‫]‬
‫[‬
‫[‬
‫זהו אכן שדה‪ :‬סגירות )ח‪ ,1-‬כ‪ (1-‬מתקיימת‪ ,‬לפי הגדרת הפעולות; קומוטטיביות )ח‪,2-‬‬
‫כ‪ (2-‬מתקיימת‪ ,‬לפי סימטריות הטבלאות; איבר האפס )ח‪ (4-‬הוא ] ואיבר היחידה )כ‪ (4-‬הוא‬
‫[‪ ,‬לפי הטבלאות; קיימים איברים נגדיים )ח‪ – −[ = [ ,−] = ] – (5-‬ואיבר הפכי )כ‪– (5-‬‬
‫[ = ‪ ]) [−1‬הוא איבר האפס‪ ,‬לכן לא מוגדר לו הפכי(‪ .‬את קיום תכונות האסוציאטיביות )ח‪,3-‬‬
‫כ‪ (3-‬והדיסטריבוטיביות )כ‪-‬ח( ניתן להראות לפי בדיקת כל האפשרויות‪.‬‬
‫הגדרת שדה זו אינה רנדומאלית‪ :‬ישנה רק דרך אחת להגדיר שדה בעל מספר שהוא‬
‫חזקת‪-‬ראשוני של איברים‪ ,‬על‪-‬פי משפט מתורת השדות )ואין שדה בעל מספר איברים שאינו‬
‫חזקת‪-‬ראשוני(; ניתן לנסות ולראות שאם ] =‪ [ + [ 6‬לא יתקבל שדה‪.‬‬
‫משפט ‪ :1‬איבר האפס ואיבר היחידה בשדה יחידים‪.‬‬
‫הוכחה )יחידות האפס(‪ .‬נניח ש‪ 0F ,00F -‬האפסים של השדה ‪ .F‬לכל ‪ a ∈ F‬מתקיים ‪a + 0F = a‬‬
‫ו‪ ;a + 00F = a-‬לכן בפרט‪ ,‬עבור ‪ ,a = 0F‬מתקיים ‪) 0F = 0F + 00F = 00F + 0F = 00F‬בהסתמך‬
‫על נייטרליות ‪ 00F‬ו‪ – (0F -‬כלומר‪.0F = 00F ,‬‬
‫משפט ‪ :2‬לכל ‪ a ∈ F‬יש נגדי )איבר ‪ b‬המקיים ‪ (a + b = 0F‬יחיד ולכל ‪ 0 6= a ∈ F‬יש הפכי‬
‫)איבר ‪ b‬המקיים ‪ (ab = 1F‬יחיד‪.‬‬
‫‪0‬‬
‫הוכחה )יחידות הנגדי(‪ .‬יהי ‪ .a ∈ F‬נניח שיש שני איברים ‪ b, b ∈ F‬כך שמתקיים ‪a + b = 0F‬‬
‫ו‪ .a + b0 = 0F -‬נוסיף ‪ 3 b‬לשני האגפים‪ .b + (a + b) = b + (a + b0 ) :‬מהאסוציאטיביות‪,‬‬
‫‪ ;(b + a) + b = (b + a) + b0‬מהקומוטטיביות‪ ;(a + b) + b = (a + b) + b0 ,‬מתכונת הנגדי‪,‬‬
‫‪ ,0F + b = 0F + b0‬ומנייטרליות האפס‪.b = b0 ,‬‬
‫נוסיף לדרישות השדה את הדרישה ‪ .1F 6= 0F‬דרישה זו אינה בגדר חובה‪ ,‬אבל‬
‫טענה ‪ :3‬אם בשדה ‪ ,1F = 0F F‬אז לכל ‪.a = 0 ,a ∈ F‬‬
‫הוכחה‪ .‬למה ‪ :1.3‬יהי ‪ F‬שדה‪ .‬אז לכל ‪.a · 0F = 0 ,a ∈ F‬‬
‫‪4‬‬
‫הוכחה‪ .‬יהי ‪ .a ∈ F‬מנייטרליות האפס ומהפילוג‪.a · 0F = a · (0F + 0F ) = a · 0F + a · 0F ,‬‬
‫נחבר לשני האגפים ‪ ;−a · 0F‬נקבל )) ‪.a · 0F + (−(a · 0F )) = a · 0F + a · 0F + (−(a · 0F‬‬
‫‪3‬לא ניתן‪ ,‬בשלב זה‪ ,‬לכתוב ‪ – −a‬סימון זה כרוך ביחידות‪ ,‬והרי זה מה שעלינו להוכיח‪.‬‬
‫‪4‬זו אינה טענה טריוויאלית – ‪ a‬לא חייב להיות מספר‪.‬‬
‫‪6‬‬
‫‪25.10.2006‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1.3‬‬
‫שדות‬
‫תכונות שדה‬
‫מהאסוציאטיביות‪ a · 0F + (−(a · 0F )) = a · 0F + (a · 0F + (−a · 0F )) ,‬ולכן‪ ,‬מתכונת‬
‫הנגדי‪.0F = a · 0F ,‬‬
‫כעת‪ ,‬נניח שבשדה ‪ .1F = 0F ,F‬יהי ‪ .a ∈ F‬אז ‪ ,a = a · 1F = a · 0F = 0‬כנדרש‪.‬‬
‫‪1.3‬‬
‫תכונות שדה‬
‫יהי ‪ F‬שדה ויהיו ‪.a, b, c ∈ F‬‬
‫א‪a · 0F = 0F .‬‬
‫ב‪(−1F )a = −a .‬‬
‫הוכחה‪ .‬צריך להוכיח ‪ .(−1F )a = −a‬על‪-‬פי יחידות הנגדי‪ ,‬כיוון ש‪ −a-‬הוא הנגדי של‬
‫‪ ,a‬אם נוכיח ש‪ (−1F )a-‬אף הוא נגדי של ‪ a‬נקבל שמתקיים ‪ .(−1F )a = −a‬לכן מספיק‬
‫להוכיח ‪ ,a + (−1F )a = 0F‬כלומר ‪.a + (−1F )a = a(1F + (−1F )) = a · 0F = 0F‬‬
‫ג‪a(−b) = (−a)b = −(ab) .‬‬
‫ד‪−(−a) = a .‬‬
‫ה‪(−a)(−b) = ab .‬‬
‫ו‪−(a + b) = −a − b .‬‬
‫‪5‬‬
‫ז‪a(b − c) = ab − ac .‬‬
‫ח‪(a 6= 0F ) (a−1 )−1 = a .‬‬
‫‪6‬‬
‫ט‪(a, b 6= 0F ) (ab)−1 = a−1 b−1 .‬‬
‫י‪a + c = b + c =⇒ a = b .‬‬
‫יא‪(a 6= 0F ) ab = ac =⇒ b = c .‬‬
‫יב‪ab = 0F =⇒ a = 0F ∨ b = 0F .‬‬
‫‪1.4‬‬
‫‪29.10.2006‬‬
‫‪ – Zn‬שדה השאריות מודולו ‪n‬‬
‫משפט ‪) 4‬חילוק עם שארית(‪ :‬יהי ‪ .1 < n ∈ N‬ניתן לחלק כל מספר טבעי ‪ m‬ב‪ n-‬עם שארית‪:‬‬
‫קיימים ‪ r ,q‬יחיד כך ש‪.m = qn + r ∧ 0 ≤ r < n-‬‬
‫דוגמה‪ .‬למשל‪,‬‬
‫‪r‬‬
‫‪n‬‬
‫‪m‬‬
‫‪q‬‬
‫‪1‬‬
‫‪+‬‬
‫‪3‬‬
‫·‬
‫‪4‬‬
‫=‬
‫‪13‬‬
‫‪2‬‬
‫‪+‬‬
‫‪3‬‬
‫·‬
‫‪4‬‬
‫=‬
‫‪14‬‬
‫‪0‬‬
‫‪+‬‬
‫‪3‬‬
‫·‬
‫‪5‬‬
‫=‬
‫‪15‬‬
‫‪5‬כאשר כותבים ‪ ,a − b‬מתכוונים ל‪.a + (−b)-‬‬
‫‪6‬כאשר כותבים ‪ ,a−1‬מתכוונים להפכי של ‪ ,a‬אם קיים‪.‬‬
‫‪7‬‬
‫‪1.4‬‬
‫‪ – Zn‬שדה השאריות מודולו ‪n‬‬
‫‪1‬‬
‫שדות‬
‫נגדיר }‪ .Zn = {0, 1, . . . , n − 1‬אם נבחר שני מספרים מ‪ ,Z-‬נחבר אותם‪ ,‬נחלק ב‪ n-‬וניקח‬
‫את השארית‪ ,‬נקבל מספר ב‪ .Zn -‬נגדיר חיבור מודולו ‪ :n‬אם ‪ ,a, b ∈ Z‬נכתוב ‪a + b = qn + r‬‬
‫ונגדיר ‪ .a +n b = r‬באופן דומה‪ ,‬נגדיר כפל ב‪ :Zn -‬עבור ‪ ,a, b ∈ Z‬נכתוב ‪ a · b = qn + r‬ואז‬
‫‪.a ·n b = r‬‬
‫דוגמה‪ .‬עבור ‪,n = 2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪·2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪+2‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫אם נסמן ] = ‪ 1 = [ ,0‬נקבל שוב את דוגמת הדיאז והבמול‪ ,‬בה כבר ראינו שמתקבל שדה‪.‬‬
‫דוגמה‪ .‬עבור ‪,n = 4‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪·4‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪+4‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪0‬‬
‫‪2‬‬
‫‪0‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪0‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫זהו אינו שדה – לא קיים ‪ :2−1‬נניח בשלילה ש‪ 0 6= a ∈ Z4 -‬הוא ההפכי של ‪ .2‬על‪-‬פי‬
‫הטבלה‪ .0 = 2·4 2 ,‬נכפיל ב‪ a-‬ונקבל )‪ ;a·4 0 = a·4 (2·4 2‬מחוק הקיבוץ‪a·4 0 = (a·4 2)·4 2 ,‬‬
‫ועל‪-‬פי ההנחה ש‪ a-‬ההפכי של ‪ – 0 = 1 ·4 2 ,2‬סתירה‪.‬‬
‫הגדרה‪ .‬יהי ‪ .a ∈ N‬נסמן ב‪ [a]n -‬את השארית המתקבלת על‪-‬ידי חלוקה של ‪ a‬ב‪ ;n-‬כלומר‪ ,‬אם‬
‫‪ .[a]n = r ,a = qn + r‬אם ‪ a0 ,a‬נבדלים בכפולת ‪ ,(a − a0 = qn) n‬נכתוב )‪.a ≡ a0 (mod n‬‬
‫טענה ‪ a ≡ a0 (mod n) :5‬אם"ם ‪.[a]n = [a0 ]n‬‬
‫דוגמה‪ 31 ≡ 16 (mod 5) .‬כי ‪ .31 − 16 = 15 = 3 · 5‬אפשר לראות זאת גם על‪-‬פי כך‬
‫ש‪ 31 = 6 · 5 + 1-‬ו‪.16 = 3 · 5 + 1-‬‬
‫הוכחה‪ .‬נניח ש‪ .a ≡ a0 (mod n)-‬אז ‪ a − a0 = qn‬ולכן ‪ .a = a0 + qn‬נחלק את ‪ a‬ב‪:n-‬‬
‫‪ .a0 + qn = a = kn + [a]n‬מכאן‪ – a0 = (k − q)n + [a]n ,‬כלומר‪ ,‬שארית החלוקה של ‪a0‬‬
‫ב‪ n-‬היא ‪ ,[a]n‬ולכן ‪) .[a]n = [a0 ]n‬הכיוון השני – כתרגיל‪(.‬‬
‫טענה ‪ :6‬לכל ‪.a ≡ [a]n (mod n) ,a ∈ N‬‬
‫הוכחה‪ .‬יהי ‪ .a ∈ N‬נכתוב ‪ .a = qn + [a]n‬אז ‪ ,a − [a]n = qn‬ולכן )‪.a ≡ [a]n (mod n‬‬
‫טענה ‪ :7‬אם )‪ a ≡ a0 (mod n‬ו‪ ,b ≡ b0 (mod n)-‬זא )‪.(a + b) ≡ (a0 + b0 ) (mod n‬‬
‫‪8‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1.4‬‬
‫שדות‬
‫‪ – Zn‬שדה השאריות מודולו ‪n‬‬
‫הוכחה‪ .‬נניח ‪ .b ≡ b0 ,a ≡ a0‬לכן ‪ a − a0 = k1 n‬ו‪ ;b − b0 = k2 n-‬נחבר את המשוואות ונקבל‬
‫‪ .(a + b) − (a0 + b0 ) = (k1 + k2 )n‬אז )‪.(a + b) ≡ (a0 + b0 ) (mod n‬‬
‫‪1.11.2006‬‬
‫משפט ‪ :8‬לכל ‪ Zn ,1 < n ∈ N‬מקיים את כל תכונות השדה פרט )אולי( לקיום הפכי לכפל )כ‪.(5-‬‬
‫הוכחה‪ .‬נבדוק את קיום התכונות‪:‬‬
‫ח‪ .1-‬סגירות‪ :‬אם ‪ ,a, b ∈ Zn‬משפט החילוק עם שארית מבטיח ששארית החלוקה ב‪ n-‬של ‪a + b‬‬
‫היא מספר ב‪.Zn -‬‬
‫ח‪ .2-‬קומוטטיביות‪ ,a + b = b + a :‬לכן ‪.a +n b = [a + b]n = [b + a]n = b +n a‬‬
‫ח‪ .3-‬אסוציאטיביות‪ :‬צ"ל )‪.(a +n b) +n c = a +n (b +n c‬‬
‫מהגדרת הפעולה ‪ +n‬נקבל ‪ .(a +n b) +n c = [[a + b]n + c]n‬מטענות ‪ 7‬ו‪ ,6-‬מתקיים‬
‫‪ ,[a + b]n + c ≡ (a + b) + c‬לכן על‪-‬פי טענה ‪.[[a + b]n + c]n = [(a + b) + c]n ,5‬‬
‫מאסוציאטיביות ‪Z‬נקבל ‪ ,[(a + b) + c]n = [a + (b + c)]n‬ועל‪-‬פי טענות ‪ 7‬ו‪,6-‬‬
‫‪ a + (b + c) ≡ a + [b + n]n‬ולכן‪ ,‬מטענה ‪ .[a + (b + c)]n = [a + [b + c]n ]n ,5‬אז‬
‫)‪.(a +n b) +n c = a +n (b +n c‬‬
‫ח‪ .4-‬קיום איבר אפס‪a +n 0 = [a + 0]n = [a]n = a :‬‬
‫‪7‬‬
‫ח‪ .5-‬קיום איברים נגדיים‪ :‬יהי ‪ ;0 6= a ∈ Zn‬ניקח ‪ .−a = n−a‬אז מתקיים = )‪a+n (n−a‬‬
‫‪ .[a + (n − a)]n = [n]n = 0‬אם ‪ ,a = 0‬ניקח ‪.−a = 0‬‬
‫כ‪ .1-‬סגירות‪ :‬אם ‪ ,a, b ∈ Zn‬משפט החילוק עם שארית מבטיח ששארית החלוקה ב‪ n-‬של ‪a · b‬‬
‫היא מספר ב‪.Zn -‬‬
‫כ‪ .2-‬קומוטטיביות‪a ·n b = [ab]n = [ba]n = b ·n a :‬‬
‫כ‪ .3-‬אסוציאטיביות‪:‬‬
‫למה ‪ :1.8‬יהיו ‪ .a, a0 , b, b0 ∈ Zn‬אם )‪ a ≡ a0 (mod n‬ו‪ b ≡ b0 (mod n)-‬אז‬
‫‪.ab ≡ a0 b0‬‬
‫הוכחה‪ .‬נניח ‪ a ≡ a0‬ו‪ .b ≡ b0 -‬אז ‪ a − a0 = k1 n‬ו‪ .b − b0 = k2 n-‬אז –‬
‫‪= ab − a0 b + a0 b − a0 b0‬‬
‫‪ab − a0 b0‬‬
‫) ‪= b(a − a0 ) + a0 (b − b0‬‬
‫‪= b · k1 n + a0 · k2 n‬‬
‫‪(b · k1 + a0 · k2 )n‬‬
‫=‬
‫ולכן ‪.ab ≡ a0 b0‬‬
‫ממשיכים באופן דומה להוכחת אסוציאטיביות החיבור‪.‬‬
‫כ‪ .4-‬קיום איבר יחידה‪a ·n 1 = [a · 1]n = [a]n = a :‬‬
‫‪∀a ∈ Zn‬‬
‫כ‪-‬ח‪ .‬דיסטריבוטיביות הכפל מעל החיבור‪ :‬צ"ל ‪ .a ·n 1 = [a · 1]n = [a]n = a‬כתרגיל‪.‬‬
‫כ‪ .5-‬קיום איברים הפכיים‪ :‬לא תמיד מתקיימת‬
‫‪7‬אי‪-‬אפשר להגדיר ‪ −a = [n − a]n‬כי פעולה זו אינה מוגדרת מחוץ ל‪.Zn -‬‬
‫‪9‬‬
‫‪1.5‬‬
‫‪1‬‬
‫המציין של שדה‬
‫שדות‬
‫הגדרה‪ 1 < p ∈ N .‬נקרא ראשוני אם אין ‪ (k, l ∈ N) 1 < k ,l < p‬כך ש‪.kl = p-‬‬
‫אחרת‪ p ,‬נקרא פריק‪.‬‬
‫משפט ‪) 9‬המשפט היסודי של האריתמטיקה(‪ :‬כל מספר ‪ 1 < n ∈ N‬ניתן להצגה באופן‬
‫יחיד )עד‪-‬כדי סדר הגורמים( כמכפלת גורמים ראשוניים‪.‬‬
‫טענה ‪ :10‬יהי ‪ p‬מספר ראשוני‪ .m, n ∈ N ,‬אם ‪ p‬גורם של ‪ mn‬אז ‪ p‬גורם של ‪ m‬או של ‪.n‬‬
‫הוכחה‪ .‬נניח ש‪ p-‬גורם של ‪ .mn‬נציג את ‪ m‬ו‪ n-‬כמכפלת ראשוניים‪,m = pt11 . . . ptkk :‬‬
‫‪ .n = q1r1 . . . qlrl‬אז ‪ .mn = pt11 . . . ptkk q1r1 . . . qlrl‬אם ‪ p‬גורם של ‪ ,mn‬הוא מתלכד עם‬
‫אחד המספרים הראשוניים ב‪ – mn-‬כלומר‪ p = pi ,‬או ‪ .p = qj‬במקרה הראשון‪ p ,‬גורם‬
‫של ‪ ;m‬בשני‪ ,‬של ‪.n‬‬
‫טענה ‪ :11‬אם ‪ n ∈ N‬אינו ראשוני‪ Zn ,‬אינו שדה‪.‬‬
‫הוכחה‪ n = kl .‬כאשר ‪ .1 < k ,l < n‬אז ‪ ,k, l ∈ Zn‬ו‪.l ·n k = [lk]n = [n]n = 0-‬‬
‫נניח בשלילה כי ‪ x‬הוא ההפכי של ‪ k‬ב‪ .Zn -‬אז ‪ ,k ·n x = 1‬ו‪ .l ·n (k ·n x) = l-‬אבל לפי‬
‫האסוציאטיביות ‪ .l ·n (k ·n x) = (l ·n k) ·n x = 0 ·n x = 0‬קיבלנו ש‪ – 0 = l-‬סתירה‪.‬‬
‫‪8‬‬
‫טענה ‪ :12‬אם ‪ n ∈ N‬ראשוני‪ Zn ,‬שדה‪.‬‬
‫הוכחה‪ .‬הוכחנו את כל התכונות‪ ,‬פרט לקיום איברים הפיכים‪ .‬יהי ‪ ;0 6= k ∈ Zn‬נוכיח‬
‫ש‪ k-‬הפיך‪ .‬נתבונן במספרים הבאים‪ .k ·n 0, k ·n 1, . . . , k ·n (n − 1) :‬אם בקבוצה זו אין‬
‫שני מספרים שווים‪ ,‬כל איברי ‪ Zn‬בקבוצה‪ ,‬וביניהם ‪ – 1‬כלומר‪ ,‬קיים ‪ l‬כך ש‪.k ·n l = 1-‬‬
‫נניח בשלילה שקיימים ‪ 0 ≤ l1 < l2 ≤ n − 1‬כך ש‪ .k ·n l1 = k ·n l2 -‬אם כן‪ ,‬מתקיים‬
‫‪ [kl1 ]n = [kl2 ]n‬ולכן ‪ .kl1 ≡ kl2‬לכן ‪ .k(l2 − l1 ) = kl2 − kl1 = qn‬כיוון ש‪ n-‬ראשוני‪,‬‬
‫אם ‪ n‬גורם של ) ‪ k(l2 − l1‬אז ‪ n‬גורם של ‪ l2 − l1‬או של ‪ – k‬סתירה‪ ,‬כי ‪0 < l2 − l1 < n‬‬
‫ו‪) 0 < k < n-‬כלומר‪ n ,‬גדול משניהם(‪.‬‬
‫‪1.5‬‬
‫המציין של שדה‬
‫יהי ‪ F‬שדה‪ .‬אז ‪ .0F , 1F ∈ F‬נתבונן באיברים ‪ .0F , 1F , 1F + 1F , 1F + 1F + 1F , . . .‬ישנן‬
‫שתי אפשרויות‪ :‬כל האיברים שונים זה מזה‪ ,‬או קיימים ‪ m 6= n‬טבעיים שעבורם מתקיים‬
‫‪.1F + . . . + 1F = 1F + . . . + 1F‬‬
‫‪{z‬‬
‫| }‬
‫‪{z‬‬
‫}‬
‫|‬
‫‪ n‬פעמים‬
‫‪ m‬פעמים‬
‫נתמקד במקרה השני‪ .‬נניח ‪ .m > n‬נוסיף ‪ −1F‬לשני צידי המשוואה‪:‬‬
‫) ‪1 + . . . + 1F +(−1F ) = 1F + . . . + 1F +(−1F‬‬
‫‪| F {z‬‬
‫}‬
‫|‬
‫‪{z‬‬
‫}‬
‫‪ m‬פעמים‬
‫‪ n‬פעמים‬
‫‪8‬אין זה אומר שכלל לא יהיו מספרים הפיכים‪ :‬אם ‪ t‬זר ל‪ ,n-‬מתקיים ‪[st]n 6= 0‬‬
‫‪ ∀s ∈ N‬ו‪ t-‬הפיך‪ .‬אולם מספיק‬
‫שיש בלתי‪-‬הפיך אחד כדי ש‪ Zn -‬לא יהיה שדה‪ ,‬והראינו שלכל ‪ k‬שמחלק את ‪ n‬לא קיים הפכי‪.‬‬
‫‪10‬‬
‫‪5.11.2006‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1.6‬‬
‫שדות‬
‫‪ R‬ו‪ – C-‬המספרים הממשיים והמרוכבים‬
‫כלומר‪ .1F + . . . + 1F = 1F + . . . + 1F ,‬לאחר ‪ n‬חיסורים‪ ,‬נקבל ‪.1F + . . . + 1F = 0F‬‬
‫‪{z‬‬
‫}‬
‫|‬
‫‪{z‬‬
‫| }‬
‫‪{z‬‬
‫}‬
‫|‬
‫‪ n − 1‬פעמים‬
‫‪ m − n‬פעמים‬
‫‪ m − 1‬פעמים‬
‫הגדרה‪ .‬המספר הטבעי המינימלי ‪ k‬עבורו ‪ 1F + . . . + 1F = 0F‬ייקרא המציין של השדה‪.‬‬
‫|‬
‫‪{z‬‬
‫}‬
‫‪ k‬פעמים‬
‫מסמנים ‪ .char F = k‬אם לא קיים ‪ k‬כזה )כלומר‪ ,‬אם מתקיים המקרה הראשון(‪ ,‬אומרים‬
‫‪.char F = 0‬‬
‫דוגמה‪.char Zn = n 9 ;char Q = 0 .‬‬
‫משפט ‪ :13‬אם ‪ n ,char F = n > 0‬ראשוני‪.‬‬
‫הוכחה‪ .‬נניח ש‪ n-‬אינו ראשוני‪ .‬אז יש ‪ 1 < k, l < n‬כך ש‪ .n = kl-‬אז‬
‫‪ k‬פעמים‬
‫‪z‬‬
‫|}‬
‫{‬
‫) ‪(1F + . . . + 1F )(1F + . . . + 1F ) = 1F (1F + . . . + 1F ) + . . . + 1F (1F + . . . + 1F‬‬
‫|‬
‫‪{z‬‬
‫| }‬
‫‪{z‬‬
‫}‬
‫‪{z‬‬
‫}‬
‫|‬
‫‪{z‬‬
‫}‬
‫|‬
‫‪ l‬פעמים‬
‫‪ l‬פעמים‬
‫‪ l‬פעמים‬
‫‪1 + . . . + 1F = 0F‬‬
‫‪| F {z‬‬
‫}‬
‫‪ k‬פעמים‬
‫=‬
‫‪ kl = n‬פעמים‬
‫לפי תכונות השדה‪ ,‬אם ‪ ab = 0F‬אז ‪ a = 0F‬או ‪ .b = 0F‬אז ‪ 1F + . . . + 1F = 0F‬או‬
‫|‬
‫‪{z‬‬
‫}‬
‫‪ k‬פעמים‬
‫‪ ,1F + . . . + 1F = 0F‬בסתירה למינימליות ‪.n‬‬
‫|‬
‫‪{z‬‬
‫}‬
‫‪ l‬פעמים‬
‫‪1.6‬‬
‫‪ R‬ו‪ – C-‬המספרים הממשיים והמרוכבים‬
‫באופן לא‪-‬פורמאלי‪ ,‬נאמר שכל מספר ממשי ‪ x‬ניתן לייצוג כ‪ ,x = n.d1 d2 . . .-‬כאשר ‪n ∈ N‬‬
‫¯‪¯ = 0.‬‬
‫‪.1.0‬‬
‫ו‪ .di ∈ {0, . . . , 9}-‬זה נקרא פיתוח עשרוני‪ .‬ההצגה אינה יחידה – למשל‪9 ,‬‬
‫)· ‪ (R, +,‬שדה‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫לא קיים מספר ממשי המקיים ‪ .x = −1‬נניח שיש שדה שמכיל את ‪ R‬ובו יש מספר שהוא‬
‫√‬
‫‪ ; −1‬נקרא לאיבר זה ‪ .i‬שדה כזה יהיה חייב להיות סגור לכפל ולחיבור )אם ‪ ,x, y ∈ R‬גם ‪x + iy‬‬
‫יהיה בשדה החדש(‪ .‬כמו‪-‬כן‪ ,‬החיבור חייב לקיים ) ‪(x + iy) + (x0 + iy 0 ) = (x + x0 ) + i(y + y 0‬‬
‫והכפל חייב לקיים ‪(x + iy) · (x0 + iy 0 ) = xx0 + ixy 0 + ix0 y + i2 yy 0 = (xx0 − yy 0 ) +‬‬
‫)‪.i(xy 0 + x0 y‬‬
‫הגדרה‪ ,C = {(x, y) | x, y ∈ R} .‬כך ש‪.x = x0 , y = y 0 ⇐⇒ (x, y) = (x0 , y 0 )-‬‬
‫נגדיר חיבור )רכיב‪-‬רכיב(‪(x, y) ⊕ (x0 , y 0 ) = (x + x0 , y + y 0 ) :‬‬
‫נגדיר כפל‪.(x, y) (x0 , y 0 ) = (xx0 − yy 0 , xy 0 + x0 y) :‬‬
‫‪10‬‬
‫טענה ‪ :14‬הקבוצה ‪ C‬עם פעולות הכפל והחיבור שהגדרנו מהווה שדה‪.‬‬
‫הוכחה‪ .‬מתבססת על תכונות ‪ .R‬כתרגיל‪ .‬מספר נקודות חשובות‪:‬‬
‫‪9‬למעשה‪ ,‬המציין של כל שדה שמכיל את ‪ Z‬הוא ‪.0‬‬
‫‪10‬כפי שמיד נראה‪ ;0C = (0, 0) ,‬אילו היינו מגדירים כפל רכיב‪-‬רכיב‪ ,‬היינו מקבלים‪ ,‬גם אם )‪,(x, 0), (0, y) 6= (0, 0‬‬
‫)‪.(x, 0) (0, y) = (0, 0‬‬
‫‪11‬‬
‫מציין של שדה‬
‫‪1.6‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ R‬ו‪ – C-‬המספרים הממשיים והמרוכבים‬
‫שדות‬
‫ח‪ .4-‬איבר אפס‪(x, y) + (0, 0) = (x, y) :‬‬
‫ח‪ .5-‬איברים נגדיים‪(x, y) + (−x, −y) = (0, 0) :‬‬
‫כ‪ .4-‬איבר יחידה‪(x, y) · (1, 0) = (x − 0, 0 + y) = (x, y) :‬‬
‫כ‪ .5-‬איברים הפכיים‪ :‬אם )‪ ,(x, y) 6= (0, 0‬נסמן‬
‫‪−y‬‬
‫‪x‬‬
‫‪( x2 +y‬‬
‫) ‪2 , x2 +y 2‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫= ) ‪ .(x , y‬קל לראות‬
‫ש‪.(x, y) · (x0 , y 0 ) = (1, 0)-‬‬
‫‪ .R‬ונגדיר העתקה ¯‬
‫נתבונן בקבוצה החלקית ‪¯ = {(x, 0) | x ∈ R} ⊆ C‬‬
‫‪ f : R → R‬על‪-‬ידי‬
‫)‪ f .f (x) = (x, 0‬היא העתקה חד‪-‬חד ערכית )כלומר‪ ,‬לכל איבר ¯‬
‫ב‪ R-‬יש לכל היותר מקור אחד‬
‫ב‪ .(R-‬הפונקציה ‪ f‬שומרת על הפעולות ב‪:R-‬‬
‫‪0‬‬
‫) ‪(x + x , 0) = (x, 0) ⊕ (x0 , 0) = f (x) ⊕ f (x0‬‬
‫=‬
‫) ‪f (x + x‬‬
‫) ‪(xx0 , 0) = (x, 0) (x0 , 0) = f (x) f (x0‬‬
‫=‬
‫) ‪f (x · x0‬‬
‫‪ f‬היא העתקת שיכון; אז ‪ R‬משוכן ב‪.C-‬‬
‫‪0‬‬
‫‪11‬‬
‫‪8.11.2006‬‬
‫טענה ‪ :15‬האיבר ‪ i = (0, 1) ∈ C‬הוא שורש של ‪) 12 .−1‬כלומר‪(.i2 = (−1, 0) ,‬‬
‫הוכחה‪i2 = (0, 1)2 = (0, 1) (0, 1) = (−1, 0) .‬‬
‫יהי ‪ .(x, y) ∈ C‬אז ‪.(x, y) = (x, 0) ⊕ (0, y) = x ⊕ ((0, 1) (y, 0)) = x ⊕ iy‬‬
‫לכן כל מספר מרוכב ניתן להציג כ‪ x ⊕ iy-‬כאשר ‪ – x, y ∈ R‬כלומר‪ ,‬נוכל לכתוב אחרת‪:‬‬
‫‬
‫‬
‫‪.C = x + iy | x, y ∈ R, i2 = −1‬‬
‫הגדרה‪ .‬עבור ‪ x ,z = x + iy ∈ C‬נקרא החלק הממשי של ‪ y ;(x = Re z) z‬נקרא החלק‬
‫המדומה של ‪(.y = Im z) z‬‬
‫לפי הכתיב החדש‪:‬‬
‫= ) ‪(x, y) + (x0 , y 0 ) = (x + x0 , y + y 0‬‬
‫=‬
‫) ‪(x + x0 ) + i(y + y 0‬‬
‫=‬
‫= )‪(x, y) · (x0 , y 0 ) = (xx0 − yy 0 , xy 0 + x0 y‬‬
‫=‬
‫)‪(xx0 − yy 0 ) + i(xy 0 + x0 y‬‬
‫=‬
‫כפי שהיה ניתן לצפות‪ ,‬על‪-‬פי כללי החשבון הרגילים‪.‬‬
‫) ‪(x + iy) + (x0 + iy 0‬‬
‫) ‪(x + iy) · (x0 + iy 0‬‬
‫‪13‬‬
‫‪11‬לא ניתן להגיד ‪ R ⊆ C‬מכיוון של‪ R-‬ול‪ C-‬מבנים שונים‪.‬‬
‫‪12‬למעשה‪ ,‬יש עוד שורש – )‪.(0, −1‬‬
‫‪13‬אם ‪ i‬קבוע‪.(x + iy)(x0 + iy 0 ) = xx0 + ixy 0 + iyx0 + i2 yy 0 = (xx0 − yy 0 ) + i(xy 0 + x0 y) ,‬‬
‫‪12‬‬
‫‪2‬‬
‫מרחבים וקטוריים‬
‫מרחבים וקטוריים‬
‫‪2‬‬
‫‪2.1‬‬
‫הגדרת מרחב וקטורי‬
‫הגדרה‪ .‬יהי ‪ F‬שדה‪ .‬קבוצה ‪ V 14‬נקראת מרחב וקטורי מעל ‪ F‬אם‬
‫א‪ .‬מוגדרת בתוך ‪ V‬פעולת "חיבור" )מסומנת ‪ (+‬המקיימת‪:‬‬
‫מרחב וקטורי‬
‫ח‪ .1-‬לכל ‪ v1 , v2 ∈ V‬יש ‪ v3 ∈ V‬יחיד כך ש‪) v1 + v2 = v3 -‬סגירות(‬
‫ח‪ .2-‬לכל ‪) v1 + v2 = v2 + v1 ,v1 , v2 ∈ V‬קומוטטיביות(‬
‫ח‪ .3-‬לכל ‪) (v1 + v2 ) + v3 = v1 + (v2 + v3 ) ,v1 , v2 , v3 ∈ V‬אסוציאטיביות(‬
‫ח‪ .4-‬קיים איבר ‪ 0V ∈ V‬כך שלכל ‪) v + 0V = v ,v ∈ V‬קיום איבר אפס(‬
‫ח‪ .5-‬לכל ‪ v ∈ V‬קיים איבר שנסמנו ‪ −v ∈ V‬כך ש‪) v + (−v) = 0V -‬קיום נגדיים(‬
‫ב‪ .‬לכל ‪ v ∈ V‬ולכל ‪ α ∈ F‬מוגדר ‪ .a · v ∈ V‬פעולה זו נקראת כפל בסקלר‪ ,‬ומתקיים‪ ,‬לכל‬
‫‪:α, β ∈ F ,v1 , v2 ∈ V‬‬
‫כ‪) αv1 ∈ V .1-‬סגירות(‬
‫כ‪α(v1 + v2 ) = αv1 + αv2 .2-‬‬
‫כ‪) (α + β)v1 = αv1 + βv1 .3-‬דיסטריבוטיביות(‬
‫כ‪) 1F · v1 = v1 .4-‬קיום סקלר יחידה(‬
‫כ‪) (αβ) · v1 = α(β · v1 ) .5-‬אסוציאטיביות(‬
‫דוגמה‪ .‬ניקח ‪xi ∈ R} ,F = R‬‬
‫‪) V = Rn = {(x1 , . . . , xn ) | ∀i = 1 . . . n‬אוסף‬
‫ה‪-n-‬יות(‪.‬‬
‫נגדיר חיבור רכיב‪-‬רכיב‪ .‬ניתן לראות שח‪ ,1-‬ח‪ ,2-‬ח‪ 3-‬מתקיימות‪ ,‬על‪-‬פי קיומן ב‪ .R-‬איבר‬
‫האפס‪ .(0, . . . , 0) :‬איבר נגדי‪.−(x1 , . . . , xn ) = (−x1 , . . . , −xn ) :‬‬
‫נגדיר כפל בסקלר רכיב‪-‬רכיב‪ .‬נבדוק‪ ,‬למשל‪ ,‬את כ‪) 2-‬השאר כתרגיל(‪ :‬יהיו ‪,α ∈ R‬‬
‫) ‪ .v2 = (y1 , . . . , yn ) ,v1 = (x1 , . . . , xn‬אז‬
‫) ‪= α(x1 + y1 , . . . , xn + yn‬‬
‫)) ‪(α(x1 + y1 ), . . . , α(xn + yn‬‬
‫=‬
‫) ‪(αx1 + αy1 , . . . , αxn + αyn‬‬
‫=‬
‫) ‪(αx1 , . . . , αxn ) + (αy1 , . . . , αyn‬‬
‫=‬
‫) ‪α(v1 + v2‬‬
‫‪= α(x1 , . . . , xn ) + α(y1 , . . . , yn ) = αv1 + αv2‬‬
‫ניתן להכליל דוגמה זו עבור ‪ F‬שדה כלשהו ו‪ ,V = Fn -‬כאשר החיבור והכפל בסקלר‬
‫מוגדרים רכיב‪-‬רכיב‪ ,‬בדיוק כמו ב‪ .Rn -‬בפרט‪ ,‬על כל שדה ניתן להסתכל כמרחב וקטורי מעל‬
‫עצמו‪ ,‬כאשר החיבור הוקטורי הוא החיבור של השדה והכפל בסקלר הוא הכפל בשדה )למשל‪,‬‬
‫‪.(F = V = R‬‬
‫‪14‬לא בהכרח שדה‪.‬‬
‫‪13‬‬
‫תכונות מרחב וקטורי‬
‫‪2.2‬‬
‫מרחבים וקטוריים‬
‫‪2‬‬
‫דוגמה‪.‬‬
‫דוגמה‪ C .‬הוא מרחב וקטורי מעל ‪ .R‬החיבור – החיבור הרגיל ב‪ ;C-‬הכפל בסקלר – כפל‬
‫מתוך ‪.(α(x + iy) = αx + iαy) R‬‬
‫דוגמה‪(.char V = 2) .F = Z2 = {0, 1} ,V = {0, 1, a, a + 1} .‬‬
‫‪1‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a+1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪+‬‬
‫‪a+1‬‬
‫‪a‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫·‬
‫‪a+1‬‬
‫‪a‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a+1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪a+1‬‬
‫‪a‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪a+1‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a+1‬‬
‫‪a+1‬‬
‫‪12.11.2006‬‬
‫דוגמה‪ V = R3 = {(α1 , α2 , α3 ) | α1 , α2 , α3 ∈ R} .‬עם פעולת חיבור חדשה ⊕) ‪(α1 , α2 , α3‬‬
‫) ‪ (β1 , β2 , β3 ) = (α1 β1 , α2 β2 , α3 β3‬ופעולת הכפל בסקלר ) ‪λ(α1 , α2 , α3 ) = (α1λ , α2λ , α3λ‬‬
‫)‪.(λ ∈ R‬‬
‫דוגמה‪ .‬אוסף כל הפונקציות }‪ L = {f | f : R → R‬עם פעולת החיבור = )‪(f1 + f2 )(x‬‬
‫)‪ f1 (x) + f2 (x‬ופעולת הכפל בסקלר )‪.(λ ∈ R) (λf )(x) = λf (x‬‬
‫‪2.2‬‬
‫תכונות מרחב וקטורי‬
‫תכונות מרחב וקטורי‬
‫יהי ‪ V‬מרחב וקטורי מעל שדה ‪.F‬‬
‫א‪ .‬ב‪ V -‬יש איבר אפס יחיד; סימונו ‪ 0V‬או ‪.~0‬‬
‫ב‪ .‬לכל ‪ ~v ∈ V‬יש איבר נגדי יחיד‪.‬‬
‫ג‪ .‬לכל ‪.λ · ~0 = ~0 ,λ ∈ F‬‬
‫ד‪ .‬לכל ‪.0 · ~v = ~0 ,~v ∈ V‬‬
‫ה‪ .‬לכל ‪.−1 · ~v = −~v ,~v ∈ V‬‬
‫ו‪ .‬לכל ‪−(~u + ~v ) = (−~u) + (−~v ) ,~u, ~v ∈ V‬‬
‫ז‪ .‬לכל ‪.−(−~v ) = ~v ,~v ∈ V‬‬
‫הוכחה )ג’(‪ .‬יהי ‪.λ ∈ F‬‬
‫‪λ·~0 = λ(~0+~0) = λ·~0+λ·~0 ⇐⇒ λ·~0+(−λ·~0) = λ·~0+λ·~0+(−λ·~0) ⇐⇒ ~0 = λ·~0‬‬
‫פעולת החיסור במרחב וקטורי מוגדרת על‪-‬ידי )‪.~v − ~u = ~v + (−~u‬‬
‫‪2.3‬‬
‫המודל הגיאומטרי של ‪ R2‬ושל ‪R3‬‬
‫את איברי ‪ R2‬ניתן לזהות כאוסף הנקודות במישור אם נבחר מערכת צירים קרטזית‪ ,‬או אם נזהה‬
‫כל נקודה ‪ (x, y) ∈ R2‬עם החץ היוצא מהראשית ומסתיים באותה נקודה‪ .‬חץ כזה נקרא וקטור‬
‫גיאומטרי‪ .‬באותו אופן‪ ,‬איברי ‪ R3‬יותאמו לוקטורים גיאומטריים במרחב‪.‬‬
‫‪14‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2.3‬‬
‫מרחבים וקטוריים‬
‫המודל הגיאומטרי של ‪ R2‬ושל ‪R3‬‬
‫כפל בסקלר‬
‫יהי ) ‪ ~a = (α1 , α2‬וקטור גיאומטרי ב‪ .R2 -‬אם )‪ ~a ,~a 6= (0, 0‬מגדיר ישר אחד ויחיד במישור –‬
‫הישר שעובר דרך הראשית ודרך ) ‪ .(α1 , α2‬ישר זה נקרא הישר הנקבע על‪-‬ידי ‪.~a‬‬
‫טענה ‪ :16‬יהי ‪ .~b = λ~a ,λ ∈ R‬הנקודה ‪ ~b‬נמצאת על הישר הנקבע על‪-‬ידי ‪.~a‬‬
‫הוכחה‪ .‬אם ‪ .~b = 0 · ~a = ~0 ,λ = 0‬כלומר‪ ~b ,‬היא הראשית ולכן נמצאת על הישר שקובע ‪.~a‬‬
‫אם ‪ .~b 6= ~0 ,λ 6= 0‬נכתוב ) ‪ .~b = (β1 , β2 ) ,~a = (α1 , α2‬נניח ‪ .α1 6= 0‬נסמן את הזוית בין ‪~a‬‬
‫ל‪ θ (1, 0)-‬ואת הזוית בין ‪ ~b‬ל‪.ϕ (1, 0)-‬‬
‫=‬
‫=‬
‫) ‪ ~b = λ~a = (λα1 , λα2‬ולכן ‪= tan θ‬‬
‫= ‪ .tan ϕ‬מכאן‪ ϕ = θ ,‬או‬
‫‪ .ϕ = θ + π‬במקרה הראשון‪ ~b ,~a ,‬באותו צד של הראשית‪ ,‬על אותו ישר; במקרה השני‪~b ,~a ,‬‬
‫‪α2‬‬
‫‪α1‬‬
‫‪λα2‬‬
‫‪λα1‬‬
‫‪β2‬‬
‫‪β1‬‬
‫מצדדים שונים של הראשית‪ ,‬על אותו ישר‪) .‬אם ‪(.ϕ = θ + π ,λ < 0‬‬
‫במקרה ש‪ ~a ,α1 = 0-‬על ציר ה‪ ,y-‬ולכן ‪ ~b = λ~a‬גם‪-‬כן על ציר ה‪.y-‬‬
‫הראינו שכל נקודה מהצורה ‪ λ~a‬נמצאת על הישר ש‪ ~a-‬קובע‪ .‬ניתן להראות שגם ההיפך נכון‬
‫– כלומר‪ ,‬כל נקודה שנמצאת על הישר ש‪ ~a-‬קובע היא מהצורה ‪ {λ~a | λ ∈ R} .λ~a‬היא הצגה‬
‫פרמטרית של הישר הנקבע על‪-‬ידי ‪.~a‬‬
‫חיבור‬
‫יהיו ‪ .~a, ~b ∈ R2‬נניח ש‪ ~b-‬אינו נמצא על הישר הנקבע על‪-‬ידי ‪ .~a‬נצייר מקבילית אשר שתיים‬
‫מצלעותיה הן הקטעים המוגדרים על‪-‬ידי הוקטורים הגיאומטריים ‪ ~a‬ו‪ .~b-‬נתבונן באלכסון מקבילית‬
‫זו‪ ,‬שקצהו האחד בראשית ואת קצהו השני נסמן ב‪.~c-‬‬
‫טענה ‪.~a + ~b = ~c :17‬‬
‫הוכחה‪ .‬נסמן ) ‪ .~c = (γ1 , γ2 ) ,~b = (β1 , β2 ) ,~a = (α1 , α2‬צ"ל ‪.γ2 = α2 +β2 ,γ1 = α1 +β1‬‬
‫ש‪ 0a-‬מקביל ~‬
‫~‬
‫ל‪ bc-‬ושווה לו‪,‬‬
‫נניח שכל הנקודות ברביע הראשון )הכללת ההוכחה – כתרגיל(‪ .‬כיוון‬
‫הרי גם היטליהם על ציר ה‪ x-‬שווים‪ .‬כלומר‪ α1 = γ1 − β1 ,‬ומכאן ש‪ .γ1 = α1 + β1 -‬באופן‬
‫דומה נקבל ‪ .γ2 = α2 + β2‬לכן ‪.~c = ~a + ~b‬‬
‫אם ‪ ~a‬ו‪ ~b-‬קובעים אותו ישר‪ ,‬אז ‪ ~b = λ~a‬ולכן ‪ ,~a + ~b = ~a + λ~a = (1 + λ)~a‬ואז גם‬
‫‪ ~c = ~a + ~b‬נמצא על אותו ישר‪.‬‬
‫הצגה פרמטרית של ‪R2‬‬
‫‪15.11.2006‬‬
‫יהיו ‪ a1 , a2 ∈ R2‬שתי נקודות‪ .‬נניח כי ‪ a~2‬אינה על הישר הנקבע על‪-‬ידי ‪.a~1‬‬
‫טענה ‪ :18‬לכל ‪ ~b ∈ R2‬יש ‪ λ1 , λ2 ∈ R‬כך ש‪.~b = λ1 a~1 + λ2 a~2 -‬‬
‫הוכחה‪ .‬תהי ‪ ~b‬נקודה במישור‪ .‬נניח תחילה כי ‪ ~b‬אינה על הישרים הנקבעים על‪-‬ידי ‪.a~2 ,a~1‬‬
‫נעביר דרך ‪ ~b‬מקבילים לישרים הנקבעים על‪-‬ידי ‪ .a~2 ,a~1‬נסמן ‪ a~02 ,a~01‬את נקודות החיתוך של‬
‫‪15‬‬
‫‪2.4‬‬
‫‪2‬‬
‫תת‪-‬מרחבים‬
‫מרחבים וקטוריים‬
‫מקבילים אלה עם הישרים הנקבעים על‪-‬ידי ‪ .a~2 ,a~1‬כעת‪ ,‬על‪-‬פי כלל המקבילית‪.~b = a~01 + a~02 ,‬‬
‫‪ a~0‬נמצא על הישר הנקבע על‪-‬ידי ‪ a~0 ;a~1‬נמצא על הישר הנקבע על‪-‬ידי ‪ .a~2‬לכן יש ‪ λ1 , λ2 ∈ R‬כך‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫ש‪ .a~02 = λ2 a~2 ,a~01 = λ1 a~1 -‬לכן ‪.~b = λ1 a~1 + λ2 a~2‬‬
‫אם ‪ ~b‬נמצאת על הישר שקובע ‪ ,~b = λ1 a~1 + 0 · a~2 ,a~1‬ובאופן דומה אם ‪ ~b‬על הישר שקובע ‪.a~2‬‬
‫הצגה פרמטרית של ‪R3‬‬
‫יהיו ‪ a1 , a2 ∈ R3‬כך ש‪ a~2 ,a~1 -‬אינם קובעים אותו ישר; אז הישרים הנקבעים על‪-‬ידי ‪a~2 ,a~1‬‬
‫קובעים מישור ב‪ R3 -‬העובר דרך הראשית‪ .‬ניתן להראות כי כל נקודה ‪ ~c ∈ R3‬הנמצאת במישור‬
‫זה ניתנת להצגה כ‪.~c = λ1 a~1 + λ2 a~2 -‬‬
‫תת‪-‬מרחבים‬
‫‪2.4‬‬
‫‪2.4.1‬‬
‫תת‪-‬מרחב‬
‫הגדרת תת‪-‬מרחב‬
‫הגדרה‪ .‬יהי ‪ V‬מרחב וקטורי מעל שדה ‪ .F‬תהי ‪ U .U ⊆ V‬תת‪-‬מרחב של ‪ (U ≤ V ) V‬אם ‪U‬‬
‫מרחב וקטורי ביחס לפעולות של ‪.V‬‬
‫דוגמה )תת‪-‬מרחבים טריוויאליים(‪.V ≤ V ;{0V } ≤ V .‬‬
‫דוגמה‪.U ≤ V ⇐= V = R3 ,u = {(x1 , x2 , 0) | x1 , x2 ∈ R} .‬‬
‫הוכחה‪ .‬נראה את קיום התכונות‪.‬‬
‫ח‪ .1-‬סגירות‪ :‬צ"ל כי לכל ‪u2 = ,u1 = (x1 , x2 , 0) .u1 + u2 ∈ U ,u1 , u2 ∈ U‬‬
‫)‪ ,(y1 , y2 , 0‬ואכן ‪.u1 + u2 = (x1 + y1 , x2 + y2 , 0) ∈ U‬‬
‫ח‪ .2-‬קומוטטיביות‪ :‬נובעת בירושה מ‪.V -‬‬
‫ח‪ .3-‬אסוציאטיביות‪ :‬נובעת בירושה מ‪.V -‬‬
‫ח‪ .4-‬קיום איבר אפס‪.0 = (0, 0, 0) ∈ U :‬‬
‫ח‪ .5-‬קיום איברים נגדיים‪.−u = (−x1 , −x2 , 0) ∈ U ⇐ u = (x1 , x2 , 0) ∈ U :‬‬
‫כ‪ .1-‬סגירות‪ :‬אם ‪ ,λ ∈ R ,u = (x1 , x2 , 0) ∈ U‬אז ‪.λu = (λx1 , λx2 , 0) ∈ U‬‬
‫כ‪ .3,2-‬דיסטריבוטיביות‪ :‬נובעת בירושה מ‪.V -‬‬
‫כ‪ .4-‬קיום סקלר יחידה‪ .1F · u = u :‬נובע בירושה מ‪.V -‬‬
‫כ‪ .5-‬אסוציאטיביות‪ .(λα)u = λ(αu) :‬נובעת בירושה מ‪.V -‬‬
‫‪16‬‬
‫‪2‬‬
‫מרחבים וקטוריים‬
‫‪2.4.2‬‬
‫‪2.4‬‬
‫תת‪-‬מרחבים‬
‫קריטריון לקיום תת‪-‬מרחב‬
‫ניתן לראות‪ ,‬על‪-‬פי הדוגמה‪ ,‬שבהינתן מרחב וקטורי ‪ V‬מעל ‪ F‬וקבוצה ‪ U ⊆ V‬מספיק שיתקיימו‬
‫ארבעה תנאים בלבד על‪-‬מנת שיתקיים ‪:U ≤ V‬‬
‫ח‪∀u1 , u2 ∈ U u1 + u2 ∈ U .1-‬‬
‫כ‪∀u ∈ U, λ ∈ F λu ∈ U .1-‬‬
‫ח‪0V ∈ U .4-‬‬
‫ח‪∀u ∈ U − u ∈ U .5-‬‬
‫נוכל לצמצם את הדרישות האלו אם נשים לב שאם תנאי כ‪ 1-‬נתון‪ ,‬ח‪ 5-‬נובע ממנו – יהי‬
‫‪ .u ∈ U‬אז ‪ .−u = −1F · u ∈ U‬בנוסף‪ ,‬אם ∅ =‪ U 6‬וכ‪ 1-‬נתון‪ ,‬ח‪ 4-‬מתקיים‪ :‬יהי ‪) u ∈ U‬קיים‪,‬‬
‫כי ∅ =‪ .(U 6‬ניקח ‪ λ = 0‬ונקבל ‪ .λu = 0 · u = 0 ∈ U‬נסכם‪:‬‬
‫יהי ‪ V‬מרחב וקטורי מעל ‪ .F‬תהי ‪ .U ⊆ V‬אז ‪ U ≤ V‬אם‬
‫א‪U 6= ∅ .‬‬
‫קריטריון לקיום תת‪-‬מרחב‬
‫ב‪∀u1 , u2 ∈ U, u1 + u2 ∈ U .‬‬
‫ג‪∀u ∈ U, λ ∈ F λu ∈ U .‬‬
‫‬
‫‪xi ∈ R‬‬
‫‪P‬‬
‫דוגמה‪,V = Rn .‬‬
‫‪x =0‬‬
‫‪i‬‬
‫‬
‫| ) ‪.U = (x1 , . . . , xn‬‬
‫דוגמה‪.U = {λv0 | λ ∈ R} ,v0 ∈ V ,V = R3 .‬‬
‫דוגמה‪.U = {αv0 + βv1 | α, β ∈ R} ,v0 , v1 ∈ R3 ,V = R3 .‬‬
‫‪2.4.3‬‬
‫‪19.11.2006‬‬
‫תת‪-‬מרחב הנפרש על‪-‬ידי קבוצה‬
‫יהי ‪ V‬מרחב וקטורי מעל שדה ‪ .F‬תהי ‪ K .∅ 6= K ⊆ V‬אינה בהכרח תת‪-‬מרחב‪ :‬למשל‪,‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ .K = {(1, 2, 3)} ,V = R‬אבל }‪ K = {λ(1, 2, 3) | λ ∈ R‬תת‪-‬מרחב של ‪.R‬‬
‫הגדרה‪ .‬יהי ‪ V‬מרחב וקטורי מעל ‪ .15 ∅ 6= {v1 , . . . , vn } = K ⊆ V ,F‬נגדיר = ‪span K‬‬
‫}‪ – {λ1 v1 + . . . + λn vn | λi ∈ F‬הנפרש של ‪.K‬‬
‫מקובל להגדיר }‪.span ∅ = {0‬‬
‫דוגמה‪.K = {(1, 2), (2, 9)} .‬‬
‫)‪(1, 2) = 1(1, 2) + 0(2, 9‬‬
‫)‪(2, 9) = 0(1, 2) + 1(2, 9‬‬
‫)‪(7, 24) = 3(1, 2) + 2(2, 9‬‬
‫‪span K‬‬
‫‪...‬‬
‫‪15‬הנחנו ש‪ K-‬קבוצה סופית‪ ,‬לשם השפטות‪ .‬זה לא הכרח‪.‬‬
‫‪17‬‬
‫נפרש של קבוצה‬
‫צירופים לינאריים‬
‫‪2.5‬‬
‫מרחבים וקטוריים‬
‫‪2‬‬
‫משפט ‪ :19‬יהי ‪ V‬מרחב וקטורי מעל ‪ .F‬תהי ‪ .∅ 6= {v1 , . . . , vn } = K ⊆ V‬אז‪:‬‬
‫א‪span K ≤ V .‬‬
‫ב‪K ⊆ span K .‬‬
‫ג‪ .‬אם ‪ K ⊆ W ,W ≤ V‬אז ‪) span K ⊆ W‬כלומר‪ span K ,‬הוא המינימלי המקיים את‬
‫התכונות א’ וב’(‪.‬‬
‫ב‪ .‬אם ‪ ,v ∈ K‬יש ‪ i ∈ 1, . . . , n‬כך ש‪ ,v = vi -‬ואז ‪v = 0 · v1 + . . . + 0 · vi−1 +‬‬
‫הוכחה‪.‬‬
‫‪.1 · vi + 0 · vi+1 + . . . + 0 · vn‬‬
‫ב’‬
‫א‪ ,span K 6= ∅ .‬כי ‪ .∅ 6= K ⊆ span K‬סגירות לחיבור‪ :‬יהיו ‪.x1 , x2 ∈ span K‬‬
‫‪(αi , βi ∈ F) x1 = α1 v1 + . . . + αn vn ⇐= x1 ∈ span K‬‬
‫‪x2 = β1 v1 + . . . + βn vn ⇐= x2 ∈ span K‬‬
‫לכן ‪.x1 + x2 = (α1 + β1 )v1 + . . . + (αn + βn )vn ∈ span K‬‬
‫סגירות לכפל בסקלר‪ :‬יהי ‪ .λ ∈ F ,x ∈ span K‬ניתן לכתוב ‪αi vi‬‬
‫‪Pn‬‬
‫‪Pn‬‬
‫‪λx = λ i=1 αi vi = i=1 (λαi )vi ∈ span K‬‬
‫‪Pn‬‬
‫‪i=1‬‬
‫= ‪ .x‬כעת‪,‬‬
‫ג‪ .‬יהי ‪ .K ⊆ W ,W ≤ V‬נוכיח ‪.spnK ⊆ W‬‬
‫יהי ‪ .(αi ∈ F) x = α1 v1 + . . . + αn vn ⇐= x ∈ span K‬אבל הרי ∈ ‪v1 , . . . , vn‬‬
‫‪ ,K ⊆ W‬ו‪ W -‬תת‪-‬מרחב – סגור לחיבור ולכפל בסקלר‪ .‬מכאן‪.x ∈ W ,‬‬
‫קבוצה פורשת‬
‫הגדרה‪ .‬אם ‪ ,V = span K‬אומרים ש‪ K-‬פורשת את ‪.V‬‬
‫דוגמה‪ .‬כל קבוצה ‪ K‬פורשת את ‪.span K‬‬
‫דוגמה‪ .‬עבור } ‪.span K = R3 ,K = {e1 , e2 , e3‬‬
‫הוכחה‪ .‬נראה הכלה הדדית‪ .K ⊆ R3 :span K ⊆ R3 .‬על‪-‬פי משפט קודם‪ ,‬כיוון ש‪R3 -‬‬
‫מרחב וקטורי המכיל את ‪ ,K‬הוא מכיל גם את ‪.span K‬‬
‫‪ :R3 ⊆ span K‬יהי ‪ .x = (α1 , α2 , α3 ) ∈ R3‬אז ניתן לכתוב‬
‫‪.x = α1 (1, 0, 0) + α2 (0, 1, 0) + α3 (0, 0, 1) = α1 e1 + α2 e2 + α3 e3 ∈ span K‬‬
‫‪2.5‬‬
‫צירוף לינארי‬
‫צירופים לינאריים‬
‫הגדרה‪ .‬יהי ‪ V‬מרחב וקטורי מעל שדה ‪ .F‬יהיו ‪ .v1 , . . . , vk ∈ V‬סכום מהטיפוס = ‪αi vi‬‬
‫‪Pk‬‬
‫‪i=1‬‬
‫‪ (∀i ∈ N αi ∈ F) a1 v1 + . . . + ak vk‬נקרא צירוף לינארי של הוקטורים ‪.v1 , . . . , vk‬‬
‫דוגמה‪ 7v1 − πv2 = (14 − 3π, 28 − π) .v1 = (2, 4), v2 = (3, 1) ∈ R2 .‬צירוף לינארי‬
‫של ‪ v1‬ו‪.v2 -‬‬
‫דוגמה‪ .‬נסמן ‪ .e1 = (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0), e3 = (0, 0, 1) ∈ R3‬כל וקטור ב‪R3 -‬‬
‫הוא צירוף לינארי של ‪ ,e1 , e2 , e3‬כי אם ) ‪ v = (α1 , α2 , α3‬נקבל ‪v = α1 (1, 0, 0) +‬‬
‫‪.α2 (0, 1, 0) + α3 (0, 0, 1) = α1 e1 + α2 e2 + α3 e3‬‬
‫‪18‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2.5‬‬
‫מרחבים וקטוריים‬
‫צירופים לינאריים‬
‫יש לשים לב שצירוף לינארי הוא צירוף של מספר סופי של וקטורים‪.‬‬
‫וקטור האפס הוא צירוף לינארי של כל ‪ k‬וקטורים מתוך ‪) V‬ניתן לכתוב ‪.(0 = 0·v1 +. . .+0·vk‬‬
‫הגדרה‪ .‬יהי ‪ V‬מרחב וקטורי מעל ‪ .F‬אם ‪ v ∈ V‬צירוף לינארי של ‪ v ,v1 , . . . , vk‬תלוי לינארית‬
‫תלות לינארית‬
‫ב‪.v1 , . . . , vk -‬‬
‫הגדרה‪ .‬יהי ‪ V‬מרחב וקטורי מעל ‪ ∅ 6= K = {v1 , . . . , vk } .F‬תלויה לינארית אם אחד‬
‫מאיבריה תלוי לינארית בחבירו )כלומר‪ ,‬קיים ‪ vi ∈ K‬כך ש‪vi = α1 v1 + . . . + αi−1 vi−1 +-‬‬
‫‪.(αi ∈ F ,αi+1 vi+1 + . . . + αk vk‬‬
‫‪16‬‬
‫דוגמה‪ K = {(1, 2), (3, 4), (−5, −6)} .‬תלויה לינארית‪(−5, −6) = 1(1, 2) + :‬‬
‫)‪.(−2)(3, 4‬‬
‫נשים לב שוקטור האפס הופך כל קבוצה שהוא בתוכה לתלויה‪.‬‬
‫הגדרה‪ .‬הביטוי ‪ α1 v1 + . . . + αk vk = 0‬נקרא צירוף לינארי מתאפס‪ .‬אם כל המקדמים הם ‪,0‬‬
‫צירופים לינאריים מתאפסים‬
‫נאמר שזהו צירוף מתאפס טריוויאלי‪.‬‬
‫‪22.11.2006‬‬
‫משפט ‪ :20‬קבוצה } ‪ B = {v1 , . . . , vk‬תלויה לינארית אם ורק אם יש בה צירוף לינארי מתאפס‬
‫תלות לינארית‪ :‬הגדרה שקולה‬
‫שאינו טריוויאלי‪.‬‬
‫הוכחה‪ .‬נניח ש‪ B-‬תלויה לינארית‪ .‬אז יש וקטור ‪ vi ∈ B‬שהוא צירוף לינארי של חבריו‪ .‬כלומר‪,‬‬
‫‪ .vi = α1 v1 + . . . + αi−1 vi−1 + αi+1 vi+1 + . . . + αk vk‬לכן ‪α1 v1 + . . . + αi−1 vi−1 −‬‬
‫‪ .1vi + αi+1 vi+1 + . . . + αk vk = 0‬זהו צירוף לינארי מתאפס כאשר לא כל המקדמים הם ‪.0‬‬
‫כלומר‪ ,‬זהו צירוף לינארי שאינו טריוויאלי‪.‬‬
‫מצד שני‪ ,‬נניח שיש צירוף לינארי מתאפס שאינו טריוויאלי ‪ .α1 v1 + . . . + αk vk = 0‬בלי‬
‫הגבלת הכלליות‪ ,‬נניח ש‪ ,α1 6= 0-‬ואז‬
‫‪αk‬‬
‫‪α1 vk‬‬
‫‪α2‬‬
‫‪v2 − . . . −‬‬
‫‪ v1 .v1 = − α‬ניתן להצגה כצירוף‬
‫‪1‬‬
‫לינארי של חבריו‪ ,‬ולכן ‪ B‬תלויה‪.‬‬
‫הגדרה‪ .‬קבוצה ‪ B‬נקראת בלתי‪-‬תלויה לינארית אם היא אינה תלויה – כלומר‪ ,‬אם אין בה וקטור‬
‫שתלוי לינארית בחבריו – כלומר‪ ,‬אם כל צירוף לינארי מתאפס של איברי הקבוצה הוא טריוויאלי‬
‫)‪.(α1 = . . . = αk = 0 ⇐= α1 v1 + . . . + αk vk = 0‬‬
‫דוגמה‪ .‬הוכח כי })‪ B = {(1, 0, 1, 0), (0, 1, 0, 0), (0, 1, 1, 1), (0, 0, 0, 1‬בת"ל‪.‬‬
‫הוכחה‪ .‬נסמן את הוקטורים ב‪ B-‬ב‪ vi -‬לפי הסדר‪ .‬כעת נניח שמתקיים ‪α1 v1 + α2 v2 +‬‬
‫)‪ α3 v3 + α4 v4 = (0, 0, 0, 0‬ונוכיח ‪.α1 = α2 = α3 = α4 = 0‬‬
‫ובכן‪ ,‬נניח )‪.α1 (1, 0, 1, 0)+α2 (0, 1, 0, 0)+α3 (0, 1, 1, 1)+α4 (0, 0, 0, 1) = (0, 0, 0, 0‬‬
‫אז ‪(α1 , 0, α1 , 0)+(0, α2 , 0, 0)+(0, α3 , α3 , α3 )+(0, 0, 0, α4 ) = (α1 , α2 +α3 , α1 +‬‬
‫‪16‬מספיק שיהיה איבר אחד בקבוצה שתלוי בחבריו; לא תמיד כל איבר יהיה תלוי בחבריו‪.‬‬
‫‪19‬‬
‫אי‪-‬תלות לינארית‬
‫‪2.5‬‬
‫‪2‬‬
‫צירופים לינאריים‬
‫מרחבים וקטוריים‬
‫)‪ .α3 , α3 +α4 ) = (0, 0, 0, 0‬לכן‪ ,‬כנדרש‪.α4 = 0 ⇐= α2 = 0 ⇐= α3 = 0 ⇐= α1 = 0 :‬‬
‫‬
‫דוגמה‪ B = {(1, 0), (0, 1), (1, 1)} .‬תלויה לינארית‪.‬‬
‫הוכחה‪.α1 (1, 0) + α2 (0, 1) + α3 (1, 1) = (0, 0) =⇒ α1 + α3 = 0 ∧ α2 + α3 = 0 .‬‬
‫נבחר ‪ ;α3 = −1‬אז ‪ ,α1 = α2 = −α3 = −1‬ו‪.1(1, 0) − 1(0, 1) + 1(1, 1) = (0, 0)-‬‬
‫דוגמה‪ ∅ .‬בת"ל‪) .‬מתקיים‪ ,‬באופן ריק‪ ,‬שכל צירוף לינארי מתאפס של איברי ∅ טריוויאלי‪(.‬‬
‫למה ‪) 21‬סגירת הדלת ‪ :(17‬יהי ‪ V‬מרחב וקטורי מעל ‪ .F‬יהיו ‪ v1 , . . . , vk ∈ V‬כך שהקבוצה‬
‫} ‪ {v1 , . . . , vk−1‬בלתי‪-‬תלויה לינארית‪ .‬אז } ‪ {v1 , . . . , vk‬תלויה לינארית אם"ם ‪ vk‬הוא צירוף‬
‫לינארי של ‪.v1 , . . . , vk−1‬‬
‫‪18‬‬
‫דוגמה‪ :v1 = (1, 0), v2 = (0, 1), v3 = (1, 1) .‬הקבוצה } ‪ {v1 , v2‬בלתי‪-‬תלויה‪ ,‬אך‬
‫} ‪ {v1 , v2 , v3‬כבר תלויה‪.‬‬
‫הוכחה‪ .‬אם ‪ .{v1 , . . . , vk−1 } = ∅ ,k = 1‬אם ‪ ,vk = v1 = 0‬קיבלנו }‪ {0‬וזו קבוצה שתלויה‬
‫לינארית באיברי ∅ על‪-‬פי הגדרה )כי }‪ .(span ∅ = {0‬אם ‪ {v1 } ,v1 6= 0‬אינה תלויה לינארית‪.‬‬
‫כעת נוכל להניח ש‪ .k ≥ 2-‬נניח ש‪ vk -‬צירוף לינארי של ‪ .v1 , . . . , vk−1‬אז הקבוצה‬
‫} ‪ {v1 , . . . , vk‬בוודאי תלויה לינארית‪.‬‬
‫מצד שני‪ ,‬אם הקבוצה } ‪ {v1 , . . . , vk‬תלויה‪ ,‬יש ‪ α1 , . . . , αk ∈ F‬לא כולם אפסים כך‬
‫ש‪ .α1 v1 +. . .+αk vk = 0-‬נטען שבהכרח ‪ ;αk 6= 0‬אחרת‪ ,‬נקבל ‪α1 v1 +. . .+αk−1 vk−1 = 0‬‬
‫כשלא כל המקדמים אפסים‪ ,‬וזו סתירה לאי‪-‬תלות הוקטורים האלו‪ .‬אז נוכל לכתוב = ‪vk‬‬
‫‪αk−1‬‬
‫‪αk vk−1‬‬
‫‪ – − ααk1 v1 − . . . −‬כלומר‪ vk ,‬צירוף לינארי של חבריו‪ ,‬ולכן הקבוצה תלויה‪.‬‬
‫‪26.11.2006‬‬
‫למה ‪) 22‬למת הקודמים(‪ :‬יהי ‪ V‬מרחב וקטורי וכן ‪ v1 , . . . , vk .v1 , . . . , vk ∈ V‬תלויים לינארית‬
‫אם"ם קיים ‪ 1 ≤ j ≤ k‬כך ש‪ vj -‬צ"ל של קודמיו‪.‬‬
‫הוכחה‪ .‬נניח שקיים ‪ 1 ≤ j ≤ k‬כך ש‪ vj -‬צ"ל של קודמיו‪ .‬אז‪ ,‬לפי ההגדרה‪ v1 , . . . , vk ,‬ת"ל‪.‬‬
‫מצד שני‪ ,‬נניח ש‪ v1 , . . . , vk -‬תלויים לינארית‪ .‬נסמן ב‪ j-‬את האינדקס הקטן ביותר עבורו‬
‫‪ v1 , . . . , vj‬ת"ל‪) .‬בוודאי קיים ‪ j‬כזה‪ ,‬שהרי הוקטורים תלויים‪ (.‬כיוון ש‪ j-‬מינימלי‪ ,‬הרי‬
‫‪ v1 , . . . , vj−1‬בת"ל‪ .‬לכן‪ ,‬לפי למת סגירת הדלת‪ ,‬כיוון ש‪ v1 , . . . , vj−1 -‬בת"ל ו‪ v1 , . . . , vj -‬ת"ל‪,‬‬
‫‪ vj‬צירוף לינארי של ‪.v1 , . . . , vj−1‬‬
‫‬
‫‪18‬כלומר‪ ,‬אם ‪ k − 1‬הוקטורים הראשונים בקבוצה בלתי‪-‬תלויים‪ ,‬כדי שהקבוצה תהיה תלויה הוקטור האחרון חייב‬
‫להיות תלוי באחרים‪) .‬תלויות נוספות יכולות להיווצר במקרה זה‪ ,‬אבל זה לא רלוונטי‪(.‬‬
‫‪20‬‬
‫‪2‬‬
‫מרחבים וקטוריים‬
‫‪2.6‬‬
‫‪2.6‬‬
‫בסיסים‬
‫בסיסים‬
‫נתבונן בוקטורים })‪ B = {(1, 2), (2, 3), (3, 5‬ב‪ .R2 -‬כל וקטור במישור הוא צירוף לינארי של‬
‫)‪ ,(2, 3) ,(1, 2‬כיוון ששני אלה אינם על אותו ישר‪ .‬אולם })‪ ,(3, 5) ∈ span {(1, 2), (2, 3‬לכן גם‬
‫})‪ B \ {(3, 5‬פורשת את ‪ .R2‬אם נוותר גם על )‪ ,(2, 3‬למשל‪ ,‬ניוותר עם )‪ ,(1, 2‬שפורש את הישר‬
‫}‪ {t(1, 2) | t ∈ R‬ולא את ‪ – R2‬על )‪ (3, 5‬יכולנו לוותר כיוון שהוא צ"ל של איברי })‪.B \ {(3, 5‬‬
‫הגדרה‪ .‬יהי ‪ V‬מרחב וקטורי‪ B ⊆ V .‬נקראת בסיס של ‪ V‬אם‬
‫א‪ B .‬בת"ל;‬
‫ב‪ B .‬פורשת את ‪.(span B = V ) V‬‬
‫משפט ‪ V :23‬מרחב וקטורי; ‪ B ⊆ V‬היא בסיס של ‪ V‬אם"ם לכל ‪ v ∈ V‬יש הצגה‬
‫יחידה כצ"ל של איברי ‪) B‬כלומר‪ ,‬אם כאשר } ‪v = α1 v1 + . . . + αn vn B = {v1 , . . . , vn‬‬
‫ו‪ ,v = β1 v1 + . . . + βn vn -‬בהכרח ‪.(α1 = β1 , . . . , αn = βn‬‬
‫דוגמה‪ .V = R3 .‬נבחר })‪ .B = {e1 = (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0), e3 = (0, 0, 1‬ניקח‬
‫‪.v = (α1 , α2 , α3 ) ∈ R3‬‬
‫= ) ‪v = (α1 , α2 , α3 ) = (α1 , 0, 0) + (0, α2 , 0) + (0, 0, α3‬‬
‫‪= α1 (1, 0, 0) + α2 (0, 1, 0) + α3 (0, 0, 1) = α1 e1 + α2 e2 + α3 e3‬‬
‫= ‪(α1 , α2 , α3 ) = β1 e1 + β2 e2 + β3 e3‬‬
‫ההצגה יחידה‪:‬‬
‫= ) ‪= β1 (1, 0, 0) + β2 (0, 1, 0) + β3 (0, 0, 1) = (β1 , 0, 0) + (0, β2 , 0) + (0, 0, β3‬‬
‫‪= (β1 , β2 , β3 ) =⇒ α1 = β1 , α2 = β2 , α3 = β3‬‬
‫‬
‫הוכחה‪ .‬נניח ש‪ B-‬בסיס‪ .‬לכן ‪ B‬פורשת את ‪ .V‬מכאן‪ ,‬לכל וקטור ‪ v ∈ V‬יש הצגה כצ"ל של איברי‬
‫‪ .B‬נוכיח כי ההצגה יחידה‪ .‬ניקח ‪ v ∈ V‬כך ש‪.α1 v1 + . . . + αn vn = v = β1 v1 + . . . + βn vn -‬‬
‫לכן ‪ .0 = (α1 − β1 )v1 + . . . + (αn − βn )vn‬זה צ"ל מתאפס של איברי ‪ ;B‬כיוון ש‪ B-‬בת"ל‪,‬‬
‫הרי המקדמים מתאפסים – ‪.αi = βi ⇐= αi − βi = 0‬‬
‫מצד שני‪ ,‬נניח שלכל וקטור יש הצגה יחידה ונוכיח כי ‪ B‬בסיס‪ .‬על‪-‬פי ההנחה‪ ,‬לכל ‪ v ∈ V‬יש‬
‫הצגה כצ"ל של איברי ‪ ,B‬ולכן ‪ B‬פורשת‪ .‬נותר להראות ש‪ B-‬בת"ל‪ .‬יהי ‪α1 v1 + . . . + αn vn = 0‬‬
‫צ"ל מתאפס של איברי ‪ .B‬נכתוב ‪ .α1 v1 + . . . + αn vn = 0v1 + . . . + 0vn‬קיבלנו שתי‬
‫הצגות של ‪ 0‬כצ"ל של איברי ‪ ,B‬ולכן על‪-‬פי ההנחה ההצגות שוות והמקדמים שווים – כלומר‪,‬‬
‫‪.α1 = . . . = αn = 0‬‬
‫‬
‫משפט ‪) 24‬המשפט הכבד(‪ :‬יהיו } ‪ .w1 , . . . , wn ∈ span {v1 , . . . , vm‬אם ‪ ,n > m‬הקבוצה‬
‫} ‪ {w1 , . . . , wn‬תלויה לינארית‪.‬‬
‫הוכחה‪ .‬נוכיח באינדוקציה על ‪.m‬‬
‫‪ span ∅ = {0} :m = 0‬ולכן ‪ {0} ;w1 = . . . = wn = 0‬תלויה לינארית‪.‬‬
‫‪ :m > 0‬נניח את נכונות המשפט עבור ‪ m − 1‬ונוכיח עבור ‪ .m‬אם ∈ ‪w1 , . . . , wn‬‬
‫} ‪ ,span {v1 , . . . , vm−1‬לפי הנחת האינדוקציה ‪ w1 , . . . , wn‬תלויים לינארית וגמרנו‪ .‬לכן נניח‬
‫‪21‬‬
‫בסיס‬
‫‪2.6‬‬
‫‪2‬‬
‫בסיסים‬
‫מרחבים וקטוריים‬
‫שלפחות את אחד מהוקטורים ‪ wi‬לא ניתן להציג כצירוף לינארי של ‪ ;v1 , . . . , vm−1‬בלי הגבלת‬
‫הכלליות‪ ,‬נניח שזו ‪ .wn‬נציג את הוקטורים כ‪ (i = 1 . . . n) wi = ci1 v1 + . . . + cim vm -‬כאשר‬
‫‪) cnm 6= 0‬אחרת } ‪.(wn ∈ span {v1 , . . . , vm−1‬‬
‫נגדיר וקטורי עזר‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪cnm cim wn‬‬
‫‪ .(i = 1 . . . n − 1) ui = wi −‬אזי‬
‫‪1‬‬
‫‪cnm c1m wn‬‬
‫‪= w1 −‬‬
‫‪1‬‬
‫) ‪cnm c1m (cn1 v1 + . . . + cnm vm‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪c11 v1 + . . . + c1m vm − cnm‬‬
‫‪c1m cn1 v1 − . . . − cnm‬‬
‫‪c1m cnm vm‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪(c11 − cnm c1m cn1 )v1 + . . . + (c1m − cnm c1m cnm )vm‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪(c11 − cnm‬‬
‫‪c1m cn1 )v1 + . . . + (c1,m−1 − cnm‬‬
‫‪c1m cn,m−1 )vm1‬‬
‫=‬
‫} ‪span {v1 , . . . , vm−1‬‬
‫∈‬
‫‪u1‬‬
‫‪= c11 v1 + . . . + c1m vm −‬‬
‫=‬
‫=‬
‫זה נכון לכל ‪ .(i = 1 . . . n−1) ui‬מכאן‪ ,‬הוקטורים ‪ u1 , . . . , un−1‬כולם ב‪.span {v1 , . . . , vm−1 }-‬‬
‫כיוון ש‪ ,n > m-‬הרי ‪ n − 1 > m − 1‬ועל‪-‬פי הנחת האינדוקציה ‪ u1 , . . . , un−1‬תלויים לינארית‪.‬‬
‫לכן יש סקלרים ‪ b1 , . . . , bn−1‬לא כולם אפסים כך ש‪ .b1 u1 + . . . + bn−1 un−1 = 0-‬נציב ונקבל‬
‫‪= b1 u1 + . . . + bn−1 un−1‬‬
‫‪1‬‬
‫) ‪cnm cn−1,m wn‬‬
‫‪bn−1‬‬
‫‪b1‬‬
‫‪cnm c1m wn − . . . − cnm cn−1,m wn‬‬
‫‪b1‬‬
‫‪c1m − . . . − bcn−1‬‬
‫‪cn−1,m )wn‬‬
‫‪(− cnm‬‬
‫‪nm‬‬
‫‪+ . . . + bn−1 (wn−1 −‬‬
‫‪1‬‬
‫) ‪cnm c1m wn‬‬
‫‪0‬‬
‫‪= b1 (w1 −‬‬
‫‪= b1 w1 + . . . + bn−1 wn−1 −‬‬
‫‪= b1 w1 + . . . + bn−1 wn−1 +‬‬
‫זהו צירוף לינארי מתאפס של ‪ w1 , . . . , wn‬שלא כל מקדמיו אפסים‪ .‬מכאן‪{w1 , . . . , wn } ,‬‬
‫תלויה לינארית‪.‬‬
‫‬
‫משפט ‪ :25‬יהי ‪ V‬מרחב וקטורי‪ .‬נניח של‪ V -‬יש בסיס בעל ‪ n‬וקטורים‪ .‬אז‪:‬‬
‫א‪ .‬כל קבוצת וקטורים ב‪ V -‬שבה יותר מ‪ n-‬וקטורים תלויה לינארית‪.‬‬
‫ב‪ .‬אין קבוצה בעלת פחות מ‪ n-‬וקטורים מ‪ V -‬הפורשת את ‪.V‬‬
‫ג‪ .‬כל קבוצה בלתי‪-‬תלויה המכילה ‪ n‬וקטורים מ‪ V -‬היא בסיס של ‪.V‬‬
‫ד‪ .‬כל קבוצה פורשת של ‪ V‬המכילה בדיוק ‪ n‬איברים היא בסיס של ‪.V‬‬
‫ה‪ .‬בכל בסיס של ‪ V‬יש בדיוק ‪ n‬וקטורים‪.‬‬
‫הוכחה‪.‬‬
‫א‪ .‬אם ל‪ V -‬בסיס בעל ‪ n‬וקטורים‪ ,‬ודאי ש‪ V -‬נפרש על‪-‬ידי ‪ n‬וקטורים; לכן‪ ,‬על‪-‬פי‬
‫המשפט הכבד‪ ,‬כל קבוצה גדולה יותר של וקטורים תלויה לינארית‪.‬‬
‫ב‪ .‬נניח שיש קבוצה בעלת פחות מ‪ n-‬וקטורים שפורשת את ‪ .V‬אז על‪-‬פי המשפט הכבד‪ ,‬קבוצה‬
‫בעלת ‪ n‬איברים כבר תלויה לינארית ועל‪-‬כן אינה בסיס‪ ,‬בסתירה לנתון‪.‬‬
‫ג‪ .‬תהי ‪ K‬קבוצה בלתי‪-‬תלויה המכילה ‪ n‬איברים‪ .‬כדי לקבל ש‪ K-‬בסיס‪ ,‬יש להראות ש‪K-‬‬
‫פורשת‪ .‬ניקח ‪ ;v ∈ V‬צ"ל ‪ .v ∈ span K‬אם ‪ v ∈ K‬בוודאי ‪ v ∈ span K‬וגמרנו‪ .‬אחרת‪,‬‬
‫נוסיף אותו‪ .K ∪ {v} :‬זוהי קבוצה בעלת ‪ n + 1‬איברים‪ ,‬אבל ל‪ V -‬יש בסיס בעל ‪ n‬איברים‬
‫ולכן }‪ K ∪ {v‬ת"ל‪ .‬כיוון ש‪ K-‬בת"ל‪ ,‬הרי על‪-‬ידי למת סגירת הדלת ‪ v‬צ"ל של איברי ‪– K‬‬
‫כלומר‪.v ∈ span K ,‬‬
‫‪22‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2.6‬‬
‫מרחבים וקטוריים‬
‫בסיסים‬
‫ד‪ .‬תהי ‪ K‬קבוצה פורשת של ‪ V‬המכילה בדיוק ‪ n‬וקטורים‪ .‬נניח בשלילה ש‪ K-‬ת"ל‪ .‬אזי יש‬
‫‪ v ∈ K‬כך ש‪ v-‬צ"ל של חבריו‪ .‬לכן )}‪ .V = span K = span (K \ {v‬קיבלנו קבוצה‬
‫פורשת בת ‪ n − 1‬איברים‪ ,‬בסתירה לב’‪.‬‬
‫ה‪ .‬תהי } ‪ K = {v1 , . . . , vm‬בסיס של ‪ .V‬אם ‪ ,n > m‬על‪-‬פי א’ כל קבוצה בעלת ‪ n‬וקטורים‬
‫תלויה לינארית‪ ,‬וזאת בסתירה לנתון שקיימת עבור ‪ v‬קבוצת‪-‬בסיס בעלת ‪ n‬וקטורים‪ .‬אם‬
‫‪ ,n < m‬על‪-‬פי ב’ קבוצה בעלת ‪ n‬איברים אינה פורשת‪ .‬לכן ‪.n = m‬‬
‫‪29.11.2006‬‬
‫משפט ‪ :26‬יהי ‪ V‬מרחב וקטורי מעל ‪ B ⊆ V .F‬היא בסיס של ‪ V‬אם"ם ‪ B‬בת"ל מקסימלית‪.‬‬
‫‪19‬‬
‫הוכחה‪ .‬נניח כי ‪ B‬בסיס‪ .‬צ"ל כי ‪ B‬בת"ל מקסימלית‪ .‬ראשית‪ B ,‬בת"ל מתוקף היותה בסיס‪.‬‬
‫∈ ‪.v‬‬
‫נצטרך להוכיח שהיא בלתי‪-‬תלויה מקסימלית‪ .‬תהי ‪ – B ( T ( V‬אזי ישנו ‪ v ∈ T‬כך ש‪/ B-‬‬
‫כיוון ש‪ B-‬בסיס‪ ,‬הרי היא פורשת‪ ,‬ולכן ‪ .v ∈ span B‬לכן }‪ B ∪ {v‬היא קבוצה תלויה לינארית‪.‬‬
‫אבל ‪ ,B ∪ {v} ⊆ T‬ולכן ‪ T‬גם‪-‬כן תלויה לינארית‪.‬‬
‫מצד שני‪ ,‬נניח כי ‪ B‬בת"ל מקסימלית‪ .‬צ"ל כי ‪ B‬בסיס‪ .‬על‪-‬פי ההנחה‪ B ,‬כבר בת"ל; נותר‬
‫∈ ‪ .v‬הקבוצה }‪ B ∪ {v‬מכילה ממש‬
‫להוכיח כי היא פורשת‪ .‬נניח בשלילה כי ישנו ‪ v‬כך ש‪/ span B-‬‬
‫את ‪ ,B‬ולכן היא תלויה לינארית )שהרי ‪ B‬בת"ל מקסימלית(‪ .‬כיוון ש‪ B-‬בת"ל ו‪ B ∪ {v}-‬כבר‬
‫תלויה‪ v ,‬תלוי ב‪ – B-‬משמע ‪ v‬שייך ל‪ ,span B-‬בסתירה להנחה‪ .‬לכן ‪ B‬פורשת ולכן מהווה בסיס‪.‬‬
‫משפט ‪ :27‬יהי ‪ V‬מרחב וקטורי מעל ‪ B ⊆ V .F‬היא בסיס של ‪ V‬אם"ם ‪ B‬פורשת מינימלית‪.‬‬
‫‪20‬‬
‫הוכחה‪ .‬נניח כי ‪ B‬בסיס – אז בוודאי ‪ B‬פורשת‪ .‬נרצה להראות שהיא פורשת מינימלית‪ .‬תהי‬
‫‪ .T ( B‬יהי ‪ .v ∈ B \ T‬כלומר‪ v ,‬ב‪ B-‬אך לא ב‪ .T -‬אם ‪ T‬פורשת‪ ,‬בהכרח ‪ .v ∈ span T‬אבל‬
‫זה אומר שיש ב‪ B-‬וקטור שתלוי בחבריו‪ ,‬וזו סתירה לכך ש‪ ,B-‬בהיותה בסיס‪ ,‬בת"ל‪.‬‬
‫מצד שני‪ ,‬נניח כי ‪ B‬פורשת מינימלית‪ .‬צ"ל כי ‪ B‬בסיס‪ .‬נתון ש‪ B-‬פורשת; לכן מספיק להראות‬
‫ש‪ B-‬בת"ל‪ .‬אם ‪ B‬אינה בת"ל‪ ,‬יש בה וקטור ‪ v‬שהוא צ"ל של חבריו‪ .‬נסמן }‪T .T = B \ {v‬‬
‫בהכרח פורשת‪ ,‬כי כל וקטור פרט ל‪ v-‬ניתן להציג בעזרת ‪ ,v‬ו‪ v-‬עצמו צ"ל של השאר‪ .‬אבל על‪-‬פי‬
‫הנתון ‪ B‬פורשת מינימלית‪ ,‬ולכן ‪ T‬שמוכלת בה ממש לא יכולה להיות פורשת – סתירה לכך ש‪B-‬‬
‫תלויה‪.‬‬
‫‪3.12.2006‬‬
‫הגדרה‪ V .‬מרחב וקטורי מעל ‪ F‬נקרא נוצר סופית אם יש ‪ B ⊆ V‬סופית כך ש‪.V = span B-‬‬
‫על‪-‬פי משפט ‪25‬ה‪ ,‬אם ל‪ V -‬בסיס בעל ‪ n‬איברים‪ ,‬כל בסיס של ‪ V‬יכיל בדיוק ‪ n‬איברים‪ .‬לכן‬
‫נוכל להגדיר‪:‬‬
‫‪ B 19‬נקראת בת"ל מקסימלית אם כל ‪ T ⊆ V‬שמכילה את ‪ B‬ממש כבר אינה בת"ל – כלומר‪ ,‬אם נוסיף עוד וקטור‬
‫אחד ל‪ ,B-‬היא כבר תהיה תלויה‪.‬‬
‫‪ B 20‬נקראת פורשת מינימלית אם כל ‪ T ⊆ V‬שמוכלת ב‪ B-‬ממש כבר אינה פורשת – כלומר‪ ,‬אם נוריד וקטור מ‪,B-‬‬
‫היא כבר לא תפרוש‪.‬‬
‫‪23‬‬
‫מרחב וקטורי נוצר סופית‬
‫‪2.7‬‬
‫מימד‬
‫‪2‬‬
‫מרחב הפולינומים‬
‫מרחבים וקטוריים‬
‫הגדרה‪ V .‬מרחב וקטורי מעל ‪ .F‬נניח ש‪ V -‬נוצר סופית‪ .‬מספר האיברים בבסיס שלכהו של ‪V‬‬
‫נקרא המימד של ‪.(dim F) V‬‬
‫דוגמה‪ ,dim V = 2 ;V = R2 .‬כי })‪ B = {(1, 0), (0, 1‬בסיס של ‪.V‬‬
‫דוגמה‪ ,dim V = n ;V = Rn .‬כי } ‪ B = {e1 , . . . , en‬בסיס של ‪) V‬כאשר = ‪e1‬‬
‫)‪.((1, 0, . . . , 0), . . . , en = (0, . . . , 0, 1‬‬
‫‪2.7‬‬
‫פולינום‬
‫מעלת פולינום‬
‫שוויון פולינומים‬
‫מרחב הפולינומים‬
‫הגדרה‪ .‬פולינום מעל שדה ‪ F‬במשתנה ‪ x‬הוא ביטוי מהצורה )‪P (x) = a0 + a1 x + (ai ∈ F‬‬
‫‪n‬‬
‫‪ .. . . + an x‬מעלת )דרגת( הפולינום היא המספר הטבעי ‪ n‬הגדול ביותר כך ש‪.an 6= 0-‬‬
‫‪⇐⇒ a0 = b0 , . . . , an = bn‬‬
‫‪n‬‬
‫‪21‬‬
‫‪n‬‬
‫‪a0 + . . . + an x = b0 + . . . + bn x‬‬
‫נסמן ב‪ Fn [x]-‬את אוסף הפולינומים מדרגה ≥ ‪:n‬‬
‫}‪Fn [x] = {a0 + a1 x + . . . + an xn | a0 , . . . , an ∈ F‬‬
‫נגדיר פעולת חיבור בין פולינומים‪:‬‬
‫‪(a0 + . . . + an xn ) + (b0 + . . . + bn xn ) = (a0 + b0 ) + . . . + (an + bn )xn‬‬
‫נגדיר פעולת כפל בסקלר‪;λ ∈ F :‬‬
‫‪λ(a0 + . . . + an xn ) = λa0 + . . . + λan xn‬‬
‫]‪ Fn [x‬מרחב וקטורי מעל ‪) .F‬הוכחה – כתרגיל‪(.‬‬
‫נתבונן ב‪.R2 [x]-‬‬
‫‬
‫טענה ‪ :28‬הקבוצה ‪ B = 1, x, x2‬בסיס ל‪.R2 [x]-‬‬
‫‬
‫הוכחה‪ .‬מספיק להוכיח שלכל איבר ב‪ Re2 [x]-‬יש הצגה יחידה כצירוף לינארי של איברי ‪ .B‬ובכן‪,‬‬
‫ניקח ‪ .P (x) = a0 + a1 x + a2 x2 = a0 · 1 + a1 · x + a2 · x2‬זהו צירוף לינארי של איברי ‪.B‬‬
‫נניח שיש שתי הצגות‪ .a0 · 1 + a1 · x + a2 · x2 = b0 · 1 + b1 · x + b2 · x2 :‬על‪-‬פי הגדרת‬
‫שוויון פולינומים‪.a0 = b0 , a1 = b1 , a2 = b2 ,‬‬
‫לכן ‪ B‬בסיס של ]‪ ,R2 [x‬ולכן ‪.dim R2 [x] = 3‬‬
‫באופן דומה‪ B = {1, x, . . . , xn } ,‬בסיס של ]‪ ,Fn [x‬ולכן ‪.dim Fn [x] = n + 1‬‬
‫‬
‫‬
‫טענה ‪ C = 1 + x, 1 − x, x2 :29‬בסיס של ]‪.R2 [x‬‬
‫‪21‬המעלה של ‪ P (x) = 0‬מוגדרת להיות ∞‪.−‬‬
‫‪24‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2.7‬‬
‫מרחבים וקטוריים‬
‫מרחב הפולינומים‬
‫הוכחה‪ .‬כיוון ש‪ ,dim R2 [x] = 3-‬מספיק לראות ש‪ C-‬בלתי‪-‬תלויה לינארית‪ .‬ניקח צ"ל מתאפס‬
‫‪ α1 (1 + x) + α2 (1 − x) + α3 x2 = 0‬ונוכיח ש‪0 = α1 (1 + x) + :α1 = α2 = α3 = 0-‬‬
‫‪ .α2 (1 − x) + α3 x2 = (α1 + α2 )1 + (α1 − α2 )x + α3 x2‬זהו צירוף לינארי מתאפס של‬
‫וקטורי הבסיס ‪ ,B‬לכן מקדמיו מתאפסים‪α1 = 0 ⇐= α3 = 0 ,α1 − α2 = 0 ,a1 + a2 = 0 :‬‬
‫=⇐ ‪.α2 = 0‬‬
‫משפט ‪ :30‬יהי ‪ V‬מרחב וקטורי נוצר סופית מעל ‪ .F‬יהי ‪ .U ≤ V‬אז‬
‫א‪ U .‬נוצר סופית;‬
‫ב‪;dim U ≤ dim V .‬‬
‫ג‪.U = V ⇐⇒ dim U = dim V .‬‬
‫הוכחה‪ .‬א‪+‬ב‪ .‬תהי ‪ .U ≤ V‬אם }‪ U = span ∅ ,U = {0‬ולכן נוצר סופית ו‪0 = dim U ≤-‬‬
‫‪ .dim V‬לכן נניח }‪ .U 6= {0‬אז קיימת ב‪ U -‬קבוצה בלתי‪-‬תלויה לינארית‪ .‬כל קבוצה בת"ל‬
‫ב‪ U -‬גם בת"ל ב‪) V -‬כיוון שכל הוקטורים ב‪ U -‬נמצאים גם ב‪ .(V -‬אם נסמן ‪,dim V = n‬‬
‫ברור שבכל תת‪-‬קבוצה בת"ל של ‪ U‬יש לכל‪-‬היותר ‪ n‬איברים‪ ,‬לפי המשפט הכבד‪ .‬מתוך‬
‫כל תת‪-‬הקבוצות הבת"ל של ‪ U‬ניקח את ‪ B‬קבוצה שבה מספר מקסימלי של איברים )זה‬
‫אפשרי כי ‪ n‬הוא חסם עליון למספר האיברים הבת"ל(‪ .‬כל קבוצת וקטורים מ‪ U -‬המכילה‬
‫ממש את ‪ B‬תלויה )אחרת ‪ B‬אינה בעלת מספר מקסימלי של וקטורים בת"ל(‪ ,‬ולכן ‪B‬‬
‫בת"ל מקסימלית ב‪ U -‬ולכן בסיס‪ .‬ב‪ B-‬יש מספר סופי של איברים‪ ,‬ולכן ‪ U‬נוצר סופית‪.‬‬
‫‪.dim U = |B| ≤ n = dim V‬‬
‫ג’‪ .‬אם ‪ ,U = V‬ודאי ‪ .dim U = dim V‬מצד שני‪ ,‬נניח ‪ .n = dim U = dim V‬יהי‬
‫} ‪ B = {u1 , . . . , un‬בסיס של ‪ B ⊆ V .U‬קבוצה בלתי‪-‬תלויה בעלת ‪ n‬איברים; לכן היא‬
‫בסיס של ‪ .V‬כלומר‪.U = span B = V ,‬‬
‫משפט ‪ :31‬לכל מרחב וקטורי נוצר סופית ‪ V‬מעל ‪ F‬יש בסיס‪.‬‬
‫הוכחה‪ .‬יהי ‪ V‬מרחב וקטורי נוצר סופית‪ .‬אם }‪ V = span ∅ ,V = {0‬ו‪ ∅-‬הוא הבסיס‪.‬‬
‫לכן נניח ש‪ .v 6= {0}-‬תהי ‪ B‬קבוצת וקטורים יוצרים סופית של ‪ .V‬נוכל להניח ש‪;0 6= B-‬‬
‫אחרת‪ ,‬כיוון שאינו תורם לפרישה‪ ,‬נגרשו לאלתר )"לך מפה‪ ,‬יא אפס!"(‪ .‬נניח בנוסף ‪.|B| = n‬‬
‫אם ‪ B‬בלתי‪-‬תלויה‪ B ,‬בסיס וגמרנו‪ .‬אחרת‪ ,‬קיים ‪ u ∈ B‬שהוא צירוף לינארי של חבריו‪ .‬נסמן‬
‫}‪ .B1 = B \ {u‬כיוון ש‪ u-‬ת"ל ב‪ ,B-‬הרי ‪ .V = span B = span B1‬אם ‪ B1‬בת"ל‪ ,‬כיוון‬
‫ש‪ B1 ,span B1 = V -‬בסיס וגמרנו‪ .‬אחרת‪ ,‬קיים וקטור ב‪ B1 -‬שתלוי בחבריו‪ .‬נזרוק אותו וכו’‪.‬‬
‫אחרי לכל‪-‬היותר ‪ n − 1‬צעדים‪ ,‬ניוותר עם קבוצה בת"ל )שמכילה לפחות וקטור אחד שאינו ‪,(0‬‬
‫שמהווה בסיס‪.‬‬
‫‪6.12.2006‬‬
‫משפט ‪ :32‬יהי }‪ V 6= {0‬מרחב וקטורי מעל ‪ .F‬נניח ש‪ .dim V = n-‬תהי ‪{v1 , . . . , vk } ⊆ V‬‬
‫בלתי‪-‬תלויה לינארית‪ .‬אז יש קבוצה } ‪ {dk+1 , . . . , dn‬כך ש‪ {v1 , . . . , vk , dk+1 , . . . , dn }-‬בסיס‬
‫של ‪.V‬‬
‫‪25‬‬
‫‪2.8‬‬
‫‪2‬‬
‫סכום תת‪-‬מרחבים‬
‫מרחבים וקטוריים‬
‫הוכחה‪ .‬אם ‪ {v1 , . . . , vk } ,k = n‬בסיס‪.‬‬
‫ש‪dk+1 ∈-‬‬
‫אם ‪ {v1 , . . . , vk } ,k < n‬אינה פורשת ואינה בסיס‪ .‬לכן יש ‪ dk+1 ∈ V‬כך ‪/‬‬
‫} ‪ – span {v1 , . . . , vk‬כלומר‪ dk+1 ,‬אינו ת"ל ב‪ .{v1 , . . . , vk }-‬על‪-‬פי למת סגירת הדלת‪ ,‬הקבוצה‬
‫} ‪ {v1 , . . . , vk , dk+1‬בלתי‪-‬תלויה לינארית )אחרת‪ ,‬בהכרח ‪ dk+1‬ת"ל ב‪ .({v1 , . . . , vk }-‬אם ‪k +‬‬
‫‪ {v1 , . . . , vk , dk+1 } ,1 = n‬מהווה בסיס‪ .‬אחרת‪ ,‬קיים ‪ dk+2‬שאינו ת"ל ב‪.{v1 , . . . , vk , dk+1 }-‬‬
‫נצרף אותו וכו’‪ .‬בדרך זו‪ ,‬נוסיף וקטורים לקבוצה עד שנגיע ל‪ n-‬וקטורים ונקבל בסיס‪.‬‬
‫דוגמה‪ .‬נשלים את })‪ {w1 = (1, 2, −1, 4), w2 = (3, −1, −2, 2‬לבסיס של ‪.R4‬‬
‫‪ w1‬ו‪ w2 -‬אינם ת"ל‪ .‬נוסיף לקבוצה את )‪ w3 .w3 = e3 = (0, 0, 1, 0‬אינו תלוי בקודמיו‪.‬‬
‫נוסיף גם את )‪ .w4 = e4 = (0, 0, 0, 1‬כעת‪ ,‬מכיוון ש‪ w1 , w2 , w3 , w4 -‬בת"ל‪ ,‬הקבוצה‬
‫} ‪ {w1 , w2 , w3 , w4‬מהווה בסיס ל‪.R4 -‬‬
‫‪2.8‬‬
‫סכום תת‪-‬מרחבים‬
‫משפט ‪ :33‬אם ‪ V ) U, W ≤ V‬מרחב וקטורי(‪.U ∩ W ≤ V ,‬‬
‫משפט ‪ U ∪ W ≤ V :34‬אם"ם ‪ U ⊆ W‬או ‪.W ⊆ U‬‬
‫‪∈U ⊆U ∪W‬‬
‫דוגמה‪ .‬נחבר ‪ .W = span {(0, 1)} ,U = span {(1, 0)} ,V = R2‬אבל נקבל‬
‫)‪(1, 0‬‬
‫‪∈W ⊆U ∪W‬‬
‫∈ )‪(0, 1) = (1, 1‬‬
‫‪/ U ∪W‬‬
‫‬
‫סכום תת‪-‬מרחבים‬
‫הגדרה‪ .‬יהיו ‪ .U, W ≤ V‬אז‬
‫‪.+‬‬
‫‪u∈U‬‬
‫‪w∈W‬‬
‫‬
‫| ‪.U + W = u + w‬‬
‫‬
‫דוגמה‪.‬‬
‫=‬
‫})‪u ∈ span {(1, 0‬‬
‫})‪w ∈ span {(0, 1‬‬
‫‬
‫| ‪U +W = u+w‬‬
‫‪= {λ1 (1, 0) + λ2 (0, 1) | λ1 , λ2 ∈ R} = span {(1, 0), (0, 1)} = R2‬‬
‫משפט ‪ V :35‬מרחב וקטורי‪ U + W ;U, W ≤ V ,‬הוא תת‪-‬המרחב המינימלי המכיל את ‪ U‬ואת‬
‫‪.W‬‬
‫הוכחה‪ .‬נוכיח רק ש‪ U + W -‬הוא המינימלי המכיל את ‪ .U, W‬כלומר‪ ,‬נניח ש‪ S ≤ V -‬כך‬
‫‪∈W‬‬
‫‪∈U‬‬
‫ש‪ U ⊆ S-‬ו‪ ,W ⊆ S-‬ונוכיח ‪ .U + W ⊆ S‬יהי ‪⇐= U ⊆ S .x = u + w ∈ U + W‬‬
‫‪) u ∈ S‬שהרי ‪) w ∈ S ⇐= W ⊆ S ;(u ∈ U‬שהרי ‪ .(w ∈ W‬לכן‪ ,‬כיוון ש‪ S-‬תת‪-‬מרחב‪ ,‬גם‬
‫‪) .x = u + w ∈ S‬ההוכחה ש‪ U + W -‬תת‪-‬מרחב – כתרגיל‪(.‬‬
‫משפט המימדים ‪1‬‬
‫משפט ‪) 36‬משפט המימדים ‪ :(1‬יהי ‪ V‬מרחב וקטורי מעל ‪ .U, W ≤ V ,F‬אז = ) ‪dim(U + W‬‬
‫) ‪.dim U + dim W − dim(U ∩ W‬‬
‫הוכחה‪ .‬בשלב הראשון נניח כי }‪ .U ∩W 6= {0‬נסמן ‪ ,dim(U ∩W ) = k‬ויהי } ‪ {d1 , . . . , dk‬בסיס‬
‫של ‪ .U ∩W‬נשלים לבסיסים‪ {d1 , . . . , dk , u1 , . . . , um } :‬בסיס של ‪{d1 , . . . , dk , w1 , . . . , wn } ;U‬‬
‫‪26‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2.8‬‬
‫מרחבים וקטוריים‬
‫סכום תת‪-‬מרחבים‬
‫בסיס של ‪ .W‬כעת‪,‬‬
‫‪dim(U ∩ W ) = k dim(U ) = k + m dim(W ) = k + n‬‬
‫ויש להוכיח ש‪.dim(U + W ) = (k + m) + (k + n) − k = k + m + n-‬‬
‫∈ ‪u1 , . . . , um‬‬
‫כל אחד מהוקטורים ‪ u1 , . . . , um‬בלתי‪-‬תלוי ב‪ .d1 , . . . , dk -‬לכן מתקיים ‪/‬‬
‫∈ ‪ .u1 , . . . , um‬באותו‬
‫‪ .span {d1 , . . . , dk } = U ∩ W‬עם זאת‪ ,u1 , . . . , um ∈ U ,‬ולכן ‪/ W‬‬
‫∈ ‪ .w1 , . . . , wn‬בפרט‪ ,‬כל אחד מהוקטורים ‪ (i = 1 . . . m) ui‬שונה מכל אחד מהוקטורים‬
‫אופן‪/ U ,‬‬
‫‪ .(j = 1 . . . n) wj‬לכן בקבוצה } ‪ B = {d1 , . . . , dk , u1 , . . . , um , w1 , . . . , wn‬יש ‪n + m + k‬‬
‫וקטורים‪ .‬נותר להוכיח כי ‪ B‬בסיס של ‪.U + W‬‬
‫נוכיח תחילה כי ‪ B‬פורשת ‪ .U +W‬יהי ‪ .x = u+w ∈ U +W‬כיוון ש‪{d1 , . . . , dk , u1 , . . . , um }-‬‬
‫פורשת את ‪ ,U‬הרי יש מקדמים ‪ (j = 1 . . . m ,i = 1 . . . k) βj ,αi‬כך שניתן לכתוב‬
‫‪ .u = α1 d1 + . . . + αk dk + β1 u1 + . . . + βn un‬באופן דומה‪ ,‬יש מקדמים ‪,t = 1 . . . k) εr ,δt‬‬
‫‪ (r = 1 . . . n‬כך שניתן לכתוב ‪ .w = δ1 d1 +. . .+δk dk +ε1 w1 +. . .+εn wn‬לכן = ‪x = u+w‬‬
‫= ) ‪= (α1 d1 +. . .+αk dk +β1 u1 +. . .+βn un )+(δ1 d1 +. . .+δk dk +ε1 w1 +. . .+εn wn‬‬
‫‪ = (α1 + δ1 )d1 + . . . + (αk + δk )dk + β1 u1 + . . . + βn un + ε1 w1 + . . . + εn wn‬צירוף‬
‫לינארי של איברי ‪ ,B‬ולכן ‪ B‬פורשת‪.‬‬
‫‪10.12.2006‬‬
‫כעת נוכיח אי‪-‬תלות לינארית‪ .‬נניח ש‪α1 d1 + . . . + αk dk + β1 u1 + . . . + βm um +-‬‬
‫‪ .γ1 w1 + . . . + γn wn = 0‬אז‬
‫‪U 3 α1 d1 + . . . + αk dk + β1 u1 + . . . + βm um = −γ1 w1 − . . . − γn wn ∈ W‬‬
‫כיוון שאגף שמאל הוא וקטור ב‪ U -‬ואגף ימין הוא וקטור ב‪ ,W -‬לפנינו וקטור ב‪.U ∩ W -‬‬
‫נסמנו ב‪ .v-‬כיוון ש‪ {d1 , . . . , dk }-‬בסיס של ‪ ,U ∩ W‬הרי קיימים סקלרים ‪ δ1 , . . . , δk ∈ F‬כך‬
‫ש‪.v = δ1 d1 + . . . + δk dk -‬‬
‫נשווה הצגה זו לאגף ימין‪δ1 d1 + . . . + δk dk = −γ1 w1 − . . . − γn wn ⇐⇒ δ1 d1 + :‬‬
‫‪ .. . . + δk dk + γ1 w1 + . . . − γn wn = 0‬זהו צ"ל מתאפס של איברי הבסיס של ‪ ,W‬שכבסיס‬
‫היא קבוצה בלתי‪-‬תלויה – לכן כל המקדמים מתאפסים‪ ,‬ובפרט ‪ .γ1 = . . . = γn = 0‬כעת‪ ,‬אם‬
‫נתבונן ב‪-‬‬
‫‪W 3 α1 d1 + . . . + αk dk + γ1 w1 + . . . + γn wn = −β1 u1 − . . . − βm um ∈ U‬‬
‫נקבל באותו אופן ש‪ .β1 = . . . = βm = 0-‬נציב ונקבל ‪ .α1 d1 + . . . + αk dk = 0‬זהו צ"ל‬
‫מתאפס של איברי הבסיס של ‪ ,U ∩ W‬ולכן ‪.α1 = . . . = αk = 0‬‬
‫אם }‪ ,U ∩ W = {0‬ההוכחה פועלת באותו אופן אחרי שמוציאים את ‪ d1 , . . . , dk‬מהתמונה‪.‬‬
‫‪27‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫העתקות לינאריות‬
‫‪3.1‬‬
‫העתקה לינארית‬
‫העתקות לינאריות‬
‫הגדרת העתקה לינארית‬
‫הגדרה‪ .‬יהיו ‪ V‬ו‪ W -‬מ"ו מעל אותו שדה ‪ .F‬פונקציה ‪ T : V → W‬תיקרא העתקה לינארית אם‬
‫‪ T‬מקיימת –‬
‫א‪∀v1 , v2 ∈ V T (v1 + v2 ) = T (v1 ) + T (v2 ) .‬‬
‫ב‪∀v ∈ V, λ ∈ F T (λv) = λT (v) .‬‬
‫דוגמה‪ T : R3 → R2 .‬מוגדרת על‪-‬ידי )‪ .T (x, y, z) = (x+y, y −z‬לדוגמה‪T (1, 2, 4) = ,‬‬
‫)‪ .(1 + 2, 2 − 4) = (3, −2‬נבדוק שזו אכן העתקה לינארית‪:‬‬
‫) ‪= T (x1 + x2 , y1 + y2 , z1 + z2‬‬
‫)) ‪(x1 + x2 + y1 + y2 , y1 + y2 − (z1 + z2‬‬
‫=‬
‫) ‪(x1 + y1 , y1 − z1 ) + (x2 + y2 , y2 − z2‬‬
‫=‬
‫)) ‪T ((x1 , y1 , z1 ) + (x2 , y2 , z2‬‬
‫) ‪= T (x1 , y1 , z1 ) + T (x2 , y2 , z2‬‬
‫)‪= T (λx, λy, λz‬‬
‫)‪(λx + λy, λy − λz‬‬
‫))‪T (λ(x, y, z‬‬
‫=‬
‫)‪= λ(x + y, y − z‬‬
‫)‪= λT (x, y, z‬‬
‫דוגמה‪ T (x + y) = sin(x + y) .T (x) = sin x ,T : R → R .‬לא תמיד שווה ל‪sin x +-‬‬
‫‪ T ;sin y‬אינה העתקה לינארית‪.‬‬
‫‪13.12.2006‬‬
‫דוגמה )העתקה ששומרת רק על חיבור(‪ V = C .‬כמ"ו מעל עצמו‪ T : V → V .‬מוגדרת‬
‫על‪-‬ידי ‪.T (α + βi) = α‬‬
‫חיבור‪T ((α1 + β1 i) + (α2 + β2 i)) = T ((α1 + α2 ) + (β1 + β2 )i) = α1 + α2 = :‬‬
‫)‪T (α1 + β1 i) + T (α2 + β2 i‬‬
‫‪λ‬‬
‫{ |} ‪z‬‬
‫כפל בסקלר‪T ((a + bi)(α + βi)) = T ((aα − bβ) + (aβ + bα)i) = aα − bβ 6= :‬‬
‫‪(a + bi)T (α + βi) = aα + bαi‬‬
‫משפט ‪ :37‬תהי ‪ T : V → W‬העתקה לינארית‪ .‬אז –‬
‫א‪T (0V ) = 0W .‬‬
‫ב‪∀v ∈ V T (−v) = −T (v) .‬‬
‫א‪ T (0V ) = T (0V + 0V ) = T (0V ) + T (0V ) .‬נוסיף לשני האגפים ) ‪−T (0V‬‬
‫הוכחה‪.‬‬
‫ונקבל ‪.T (0V ) = T (0V ) + (−T (0V )) = 0W‬‬
‫‪28‬‬
‫‪3‬‬
‫העתקות לינאריות‬
‫קריטריון ללינאריות העתקה‬
‫‪3.2‬‬
‫ב‪ .‬יהי ‪ .v ∈ V‬אז ‪ .v + (−v) = 0V‬מכיוון ש‪ T -‬העתקה לינארית‪ ,‬נקבל = )‪T (v) + T (−v‬‬
‫‪ .T (v + (−v)) = T (0V ) = 0W‬בשל יחידות האיבר הנגדי‪ ,‬כיוון ש‪ T (−v)-‬מתפקד‬
‫כנגדי של )‪ ,T (v‬הרי הוא הנגדי של )‪ ,T (v‬ולכן נוכל לכתוב )‪.T (−v) = −T (v‬‬
‫קריטריון ללינאריות העתקה‬
‫‪3.2‬‬
‫משפט ‪ W ,V :38‬מ"ו מעל ‪ .F‬אז ‪ T : V → W‬העתקה לינארית אם"ם ∈ ‪∀v1 , v2 ∈ V, λ1 , λ2‬‬
‫קריטריון ללינאריות העתקה‬
‫) ‪.F T (λ1 v1 + λ2 v2 ) = λ1 T (v1 ) + λ2 T (v2‬‬
‫הוכחה‪ .‬אם ‪ T‬העתקה לינארית‪ ,‬אז ‪T (λ1 v1 + λ2 v2 ) = T (λ1 v1 ) + T (λ2 v2 ) = λ1 T (v1 ) +‬‬
‫) ‪.λ2 T (v2‬‬
‫להיפך‪ ,‬נניח שהקריטריון מתקיים‪ .‬יהיו ‪ .v1 , v2 ∈ V‬אז נקבל שמתקיים = ) ‪T (v1 + v2‬‬
‫) ‪ .T (1F v1 + 1F v2 ) = 1F T (v1 ) + 1F T (v2 ) = T (v1 ) + T (v2‬כעת‪ ,‬יהיו ‪ .λ ∈ F ,v ∈ V‬אז‬
‫)‪.T (λv) = T (λv + 0F v) = λT (v) + 0F T (v) = λT (v‬‬
‫‬
‫מסקנה ‪ :39‬יהיו ‪ T : V → W ,λ1 , . . . , λn ∈ F ,v1 , . . . , vn ∈ V‬העתקה לינארית‪ .‬אז‬
‫‪Pn‬‬
‫‪Pn‬‬
‫) ‪.T ( i=1 λi vi ) = i=1 λi T (vi‬‬
‫הוכחה‪ .‬כתרגיל‪) .‬באינדוקציה‪(.‬‬
‫העתקות מיוחדות‬
‫‪3.3‬‬
‫‪3.3.1‬‬
‫העתקת האפס‬
‫‪ W ,V‬מ"ו מעל ‪ .F‬נגדיר ‪ 0 : V → W‬על‪-‬ידי ‪.∀v ∈ V 0(v) = 0W‬‬
‫העתקת האפס‬
‫למה זו ה"ל? ) ‪.0(λ1 v1 + λ2 v2 ) = 0W = λ1 0(v1 ) + λ2 0(v2‬‬
‫‪3.3.2‬‬
‫העתקת הזהות‬
‫‪ V‬מ"ו מעל ‪ .F‬נגדיר ‪ I : V → V‬על‪-‬ידי ‪.∀v ∈ V I(v) = v‬‬
‫העתקת הזהות‬
‫למה זו ה"ל? ) ‪.I(λ1 v1 + λ2 v2 ) = λ1 v1 + λ2 v2 = λ1 I(v1 ) + λ2 I(v2‬‬
‫‪3.4‬‬
‫מציאת העתקות לינאריות‬
‫משפט ‪ :40‬יהיו ‪ W ,V‬מ"ו מעל ‪ .F‬יהי } ‪ B = {v1 , . . . , vn‬בסיס של ‪ .V‬אם ‪S, T : V → W‬‬
‫כך שלכל ‪ S(vi ) = T (vi ) i = 1 . . . n‬אז )‪ S(v) = T (v‬לכל ‪ ;v ∈ V‬כלומר‪.S = T ,‬‬
‫הוכחה‪ .‬יהי ‪ .v ∈ V‬צ"ל )‪ .S(v) = T (v‬כיוון ש‪ B-‬בסיס‪ ,‬יש ‪) α1 , . . . , αn ∈ F‬הנקבעים באופן‬
‫יחיד( כך ש‪ .v = α1 v1 + . . . + αn vn -‬אז נקבל‬
‫‪29‬‬
‫יחידות העתקה לינארית‬
‫‪3.5‬‬
‫‪3‬‬
‫גרעין של העתקה לינארית‬
‫) ‪= S(α1 v1 + . . . + αn vn‬‬
‫העתקות לינאריות‬
‫)‪S(v‬‬
‫) ‪= α1 S(v1 ) + . . . + αn S(vn‬‬
‫) ‪= α1 T (v1 ) + . . . + αn T (vn‬‬
‫) ‪= T (α1 v1 + . . . + αn vn‬‬
‫)‪= T (v‬‬
‫משפט ‪ :41‬יהיו ‪ W ,V‬מ"ו מעל ‪ .F‬יהי } ‪ B = {v1 , . . . , vn‬בסיס של ‪ .V‬יהיו ‪.w1 , . . . , wn ∈ W‬‬
‫אז יש ‪ T‬אחת ויחידה שהיא העתקה לינארית מ‪ V -‬ל‪ W -‬ומקיימת ‪.(i = 1 . . . n) T (vi ) = wi‬‬
‫דוגמה‪ .‬כדי למצוא ה"ל ‪ T : R3 → R3‬שמקיימת )‪ ,T (1, 3, 5) = (1, 0, 1‬ניקח בסיס של ‪R3‬‬
‫שמכיל את )‪ – (1, 3, 5‬למשל })‪ – {(1, 3, 5), (0, 1, 0), (0, 0, 1‬ונגדיר )‪,T (1, 3, 5) = (1, 0, 1‬‬
‫)‪ .T (0, 0, 1) = (0, 0, 0) ,T (0, 1, 0) = (0, 0, 0‬כעת נוכל להסתמך על לינאריות ‪ T‬לשם‬
‫חישוב )‪:T (1, 4, 6‬‬
‫)‪.T (1, 4, 6) = T ((1, 3, 5)+(0, 1, 0)+(0, 0, 1)) = T (1, 3, 5)+T (0, 1, 0)+T (0, 0, 1‬‬
‫‪Pn‬‬
‫הוכחה‪ .‬לכל ‪ v ∈ V‬יש הצגה יחידה כצירוף לינארי של איברי ‪αi vi – B‬‬
‫‪Pn‬‬
‫‪ .T (v) = i=1 αi wi‬כיוון שמקדמי הצירוף הלינארי נקבעים באופן יחיד‪ ,‬הרי הנוסחה ל‪T (v)-‬‬
‫‪i=1‬‬
‫= ‪ .v‬נגדיר‬
‫מתאימה לכל ‪ T (v) v‬יחיד‪ ,T (vi ) = wi .‬כנדרש‪ ,‬כי ניתן לכתוב ‪vi = 0v1 + . . . + 0vi−1 +‬‬
‫‪ ,vi + 0vi+1 + . . . + 0vn‬ואז‪ ,‬על‪-‬פי ההגדרה‪T (vi ) = 0w1 + . . . + 0wi−1 + wi + 0wi+1 + ,‬‬
‫‪.. . . + 0wn = wi‬‬
‫נותר להראות ש‪ T -‬לינארית‪ .‬יהיו ‪ ;u1 , u2 ∈ V‬צ"ל ) ‪.T (u1 + u2 ) = T (u1 ) + T (u2‬‬
‫נכתוב ‪.u2 = β1 v1 + . . . + βn vn ,u1 = α1 v1 + . . . + αn vn‬‬
‫) ‪T ((α1 v1 + . . . + αn vn ) + (β1 v1 + . . . + βn vn‬‬
‫=‬
‫) ‪T ((α1 + β1 )v1 + . . . + (αn + βn )vn‬‬
‫=‬
‫) ‪T (u1 + u2‬‬
‫הגדרת ‪T‬‬
‫‪(α1 + β1 )w1 + . . . + (αn + βn )wn‬‬
‫=‬
‫‪α1 w1 + . . . + αn wn + β1 w1 + . . . + βn wn‬‬
‫=‬
‫) ‪T (α1 v1 + . . . + αn vn ) + T (β1 v1 + . . . + βn vn‬‬
‫=‬
‫) ‪T (u1 ) + T (u2‬‬
‫=‬
‫הוכחת שמירה על כפל בסקלר – כתרגיל‪.‬‬
‫יחידות ‪ T‬נובעת ממשפט ‪.40‬‬
‫לסיכום‪ ,‬אם ‪ T : V → W‬העתקה לינארית ו‪ B-‬בסיס של ‪ ,V‬מתוך הכרת ערכי ‪ T‬על וקטורי‬
‫‪ B‬נוכל לקבוע חד‪-‬משמעית מהו ערכה של ‪ T‬על כל ‪.v ∈ V‬‬
‫‪3.5‬‬
‫גרעין‬
‫גרעין של העתקה לינארית‬
‫הגדרה‪ .‬תהי ‪ T : V → W‬ה"ל‪ .‬נסמן } ‪ ker T .ker T = {v ∈ V | T (v) = 0W‬הוא הגרעין‬
‫של ‪.T‬‬
‫‪30‬‬
‫‪20.12.2006‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3.6‬‬
‫העתקות לינאריות‬
‫‪W‬‬
‫תמונה של העתקה לינארית‬
‫‪V‬‬
‫‪T‬‬
‫‪ker‬‬
‫‪0‬‬
‫דוגמה‪ T : R3 → R3 .‬מוגדרת על‪-‬ידי )‪.T (x, y, z) = (x, y, 0‬‬
‫‬
‫)‪(x, y, z) ∈ R3 | T (x, y, z) = (0, 0, 0‬‬
‫‬
‫‬
‫)‪(x, y, z) ∈ R3 | (x, y, 0) = (0, 0, 0‬‬
‫‬
‫‬
‫‪(x, y, z) ∈ R3 | x = y = 0‬‬
‫‬
‫ ‬
‫‬
‫})‪(0, 0, z) ∈ R3 = z(0, 0, 1) | z ∈ R3 = span {(0, 0, 1‬‬
‫‬
‫=‬
‫‪ker T‬‬
‫=‬
‫=‬
‫=‬
‫משפט ‪ :42‬תהי ‪ T : V → W‬ה"ל‪ .‬אז ‪.ker T ≤ V‬‬
‫הוכחה‪ .‬תחילה‪ ,0v ∈ ker T ,‬כי ‪ .T (0V ) = 0W‬יהיו ‪,T (v1 ) = 0W .v1 , v2 ∈ ker T‬‬
‫‪ ,T (v2 ) = 0W‬ולכן ‪ T (v1 + v2 ) = T (v1 ) + T (v2 ) = 0W‬ו‪ .v1 + v2 ∈ ker T -‬כעת‪ ,‬יהיו‬
‫‪ .λ ∈ F ,v ∈ ker T‬אז ‪ T (λv) = λT (v) = λ0W = 0W‬ו‪.λv ∈ ker T -‬‬
‫‬
‫‪ 3.6‬תמונה של העתקה לינארית‬
‫הגדרה‪ .‬תהי ‪ T : V → W‬ה"ל‪ .‬תהי ‪ .K ⊆ V‬נסמן }‪T (K) .T (K) = {T (v) | v ∈ K‬‬
‫תמונה של קבוצה‬
‫נקראת התמונה של ‪.K‬‬
‫דוגמה‪ T : R2 → R2 .‬מוגדרת על‪-‬ידי ‪) .T (x, y) = x‬הוכחה שזו ה"ל – כתרגיל‪(22 .‬‬
‫})‪ .K = {(1, 2), (1, 3), (2, 4‬אז }‪.T (K) = {1, 2‬‬
‫משפט ‪ :43‬תהי ‪ T : V → W‬העתקה לינארית‪ .‬אם ‪.T (K) ≤ W ,K ≤ V‬‬
‫הוכחה‪ .‬תחילה‪ .(0V ∈ K) T (K) 3 0W = T (0V ) ,‬לכן ∅ =‪ .T (K) 6‬יהיו )‪;w1 , w2 ∈ T (K‬‬
‫צ"ל )‪.w1 + w2 ∈ T (K‬‬
‫)‪∃v1 ∈ KT (v1 ) = w1 ⇐= w1 ∈ T (K‬‬
‫)‪ ∃v2 ∈ KT (v2 ) = w2 ⇐= w2 ∈ T (K‬ולכן ‪.T (v1 + v2 ) = T (v1 ) + T (v2 ) = w1 + w2‬‬
‫אבל ‪ ,v1 + v2 ∈ K‬שהרי ‪ .K ≤ V‬קיבלנו )‪ .w1 + w2 ∈ T (K‬הוכחת סגירות לכפל בסקלר –‬
‫כתרגיל‪.‬‬
‫הגדרה‪ .‬תהי ‪ T : V → W‬ה"ל‪ im T = {T (v) | v ∈ V } .‬נקראת התמונה של ‪.T‬‬
‫תמונה‬
‫על‪-‬פי המשפט הקודם‪.im T ≤ W ,‬‬
‫דוגמה‪ .‬נחשב את ‪ im T‬עבור ‪ T‬מהדוגמה הקודמת‪.‬‬
‫‬
‫‪3‬‬
‫‪T (x, y, z) | (x, y, z) ∈ R‬‬
‫‬
‫=‬
‫}‪= {(x, y, 0) | x, y ∈ R‬‬
‫}‪= {x(1, 0, 0) + y(0, 1, 0) | x, y ∈ R‬‬
‫})‪span {(1, 0, 0), (0, 1, 0‬‬
‫‪22‬בכל מקרה‪ ,‬זה לא משנה להגדרת התמונה‪.‬‬
‫‪31‬‬
‫=‬
‫‪im T‬‬
‫‪3.7‬‬
‫‪3‬‬
‫כמה מילים על פונקציות‬
‫העתקות לינאריות‬
‫נשים לב ש‪.1 + 2 = 3 ⇐⇒ dim ker T + dim im T = dim V -‬‬
‫איך מחשבים את ‪?im T‬‬
‫משפט ‪ :44‬תהי ‪ T : V → W‬ה"ל‪ .‬יהי } ‪ B = {v1 , . . . , vn‬בסיס של ‪ .V‬אז = ‪im T‬‬
‫}) ‪.span {T (v1 ), . . . , T (vn‬‬
‫דוגמה‪ .‬נחזור לדוגמה הקודמת‪ .‬ניקח })‪ B = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1‬בסיס של‬
‫‪ .V = R3‬ואכן‪,‬‬
‫= })‪span {T (1, 0, 0), T (0, 1, 0), T (0, 0, 1‬‬
‫‪.= span {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 0)} = span {(1, 0, 0), (0, 1, 0)} = im T‬‬
‫הוכחה‪ .‬נראה הכלה הדדית‪ .‬יהי }) ‪ .x ∈ span {T (v1 ), . . . , T (vn‬אז‬
‫‪n‬‬
‫‪X‬‬
‫( ‪T (λi vi ) = T‬‬
‫‪λi vi ) ∈ im T‬‬
‫‪n‬‬
‫‪X‬‬
‫‪i=1‬‬
‫‪i=1‬‬
‫= ) ‪λi T (vi‬‬
‫‪n‬‬
‫‪X‬‬
‫=‪x‬‬
‫‪i=1‬‬
‫כעת‪ ,‬יהי ‪ .x ∈ im T‬אז יש ‪ v ∈ V‬כך ש‪ .x = T (v)-‬כיוון ש‪ B-‬בסיס‪ ,‬ניתן לכתוב‬
‫‪Pn‬‬
‫‪ ,v = i=1 αi vi‬ואז‬
‫‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫‪X‬‬
‫‪X‬‬
‫( ‪x = T (v) = T‬‬
‫= ) ‪αi vi‬‬
‫}) ‪αi T (vi ) ∈ span {T (v1 ), . . . , T (vn‬‬
‫‪i=1‬‬
‫‪i=1‬‬
‫‬
‫‪3.7‬‬
‫כמה מילים על פונקציות‬
‫נניח ש‪ .f2 : A2 → B2 ,f1 : A1 → B1 -‬רוצים להגדיר את הפונקציה המורכבת ‪ .f2 ◦ f1‬אם‬
‫התמונה של ‪ f1‬מוכלת בתחום של ‪ ,f2‬נוכל להגדיר את ‪ f2 ◦ f1‬כ‪.(f2 ◦ f1 )(x) = f2 (f1 (x))-‬‬
‫‪A2‬‬
‫‪B2‬‬
‫פונקציה חד‪-‬חד ערכית‬
‫‪B1‬‬
‫‪A1‬‬
‫הגדרה‪ .‬פונקציה ‪ f : A → B‬נקראת חד‪-‬חד ערכית אם לכל ‪⇐= a1 6= a2 a1 , a2 ∈ A‬‬
‫) ‪ f (a1 ) 6= f (a2‬או‪ ,‬באופן שקול‪ ,‬אם ) ‪.a1 = a2 ⇐= f (a1 ) = f (a2‬‬
‫פונקציה על‬
‫פונקציית הזהות‬
‫הגדרה‪ .‬פונקציה ‪ f : A → B‬נקראת על אם לכל ‪ b ∈ B‬יש ‪ a ∈ A‬כך ש‪.f (a) = b-‬‬
‫הגדרה‪ .‬פונקציית הזהות ‪ IA : A → A‬מוגדרת כך ש‪.∀a ∈ A IA (a) = a-‬‬
‫פונקציה הפיכה‬
‫הגדרה‪ .‬תהי ‪ f : A → B‬פונקציה‪ .‬אם קיימת ‪ g : B → A‬כך ש‪ f ◦ g = IA -‬ו‪g ◦ f = IB -‬‬
‫פונקציה הופכית‬
‫נאמר ש‪ f -‬הפיכה; ‪ g‬נקראת הפונקציה ההופכית של ‪ .f‬ניתן להראות שאם קיימת ‪ g‬כזו היא‬
‫יחידה‪ ,‬ולכן ניתן לסמן ‪.g = f −1‬‬
‫‪32‬‬
‫‪24.12.2006‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3.8‬‬
‫העתקות לינאריות‬
‫הרכבת העתקות לינאריות‬
‫משפט ‪ f : A → B :45‬הפיכה ⇒⇐ ‪ f‬חח"ע ועל‪.‬‬
‫הגדרה‪ W ,V .‬מ"ו מעל ‪ T : V → W .F‬ה"ל נקראת מונומורפיזם אם היא חח"ע; אפימורפיזם‬
‫אם היא על; איזומורפיזם אם היא חח"ע ועל‪.‬‬
‫משפט ‪ W ,V :46‬מ"ו מעל ‪ T : V → W .F‬ה"ל‪ T .‬חח"ע ⇔ } ‪.ker T = {0V‬‬
‫הוכחה‪ (⇐=) .‬נניח ‪ T‬חח"ע‪ .‬נניח בשלילה ש‪ .ker T 6= {0V }-‬אז יש ‪ .0V 6= v ∈ ker T‬לכן‬
‫‪ ,T (v) = T (0V ) = 0W‬ומכאן ‪ T‬אינה חח"ע‪ ,‬בסתירה להנחה‪.‬‬
‫)⇒=( נניח } ‪ ker T = {0V‬ונוכיח ש‪ T -‬חח"ע‪ .‬נניח ש‪ .T (v1 ) = T (v2 )-‬מכאן‪T (v1 −v2 ) = ,‬‬
‫‪ ,T (v1 ) − T (v2 ) = 0W‬ולכן ‪ .v1 − v2 ∈ ker T‬אבל } ‪ ,ker T = {0V‬ולכן ‪.v1 − v2 = 0V‬‬
‫מכאן‪.v1 = v2 ,‬‬
‫) ‪ T : V → W‬על ⇒⇐ ‪(.im T = W‬‬
‫הרכבת העתקות לינאריות‬
‫‪3.8‬‬
‫דוגמה‪S(x, y) = ,S : R2 → R2 ;T (x, y) = (x − y, 2x + y) ,T : R2 → R2 .‬‬
‫)‪ .(x + 2y, x + y‬ההעתקה ‪ T ◦ S : R2 → R2‬מוגדרת כך‪ .(T ◦ S)(v) = T (S(v)) :‬עבור‬
‫= )‪(T ◦ S)(v) = T (S(x, y)) = T (x + 2y, x + y‬‬
‫)‪,v = (x, y‬‬
‫)‪.= ((x + 2y) − (x + y), 2(x + 2y) + (x + y) = (y, 3x + 5y‬‬
‫‪ – S ◦ T 6= T ◦ S‬כתרגיל‪.‬‬
‫משפט ‪ :47‬יהיו ‪ W1 ,V1‬ו‪ W2 ,V2 -‬מ"ו מעל שדה ‪ .F‬יהיו ‪T : V2 → W2 ,S : V1 → W1‬‬
‫העתקות לינאריות‪ .‬אז אם ‪ T ◦ S : V1 → W2 ,im S ⊆ V2‬מוגדרת והיא העתקה לינארית‪.‬‬
‫הוכחה‪ .‬נסמן ‪ .T ◦ S = L‬צ"ל כי לכל ‪L(λ1 v1 + λ2 v2 ) = ,λ1 , λ2 ∈ F ,v1 , v2 ∈ V1‬‬
‫) ‪ .λ1 L(v1 ) + λ2 L(v2‬ואכן‪:‬‬
‫) ‪(T ◦ S)(λ1 v1 + λ2 v2‬‬
‫=‬
‫) ‪L(λ1 v1 + λ2 v2‬‬
‫)) ‪= T (S(λ1 v1 + λ2 v2‬‬
‫)) ‪= T (λ1 S(v1 ) + λ2 S(v2‬‬
‫) ‪= λ1 T (S(v1 )) + λ2 T (S(v2 )) = λ1 L(v1 ) + λ2 L(v2‬‬
‫כפי שראינו‪ ,‬אם ‪ T : V → W‬ה"ל חח"ע ועל‪ ,‬יש ‪ S : W → V‬כך ש‪,T ◦ S = IV -‬‬
‫‪ .S ◦ T = IW‬כלומר‪ S = T −1 ,‬היא ההופכית של ‪.T‬‬
‫משפט ‪ W ,V :48‬מ"ו מעל ‪ .F‬אם ‪ T : V → W‬ה"ל חח"ע ועל‪ ,‬אז ‪ T −1 : W → V‬אף היא‬
‫ה"ל‪.‬‬
‫הוכחה‪ .‬יהיו ‪ .λ1 , λ2 ∈ F ,w1 , w2 ∈ W‬צריך להוכיח כי‬
‫) ‪T −1 (λ1 w1 + λ2 w2 ) = λ1 T −1 (w1 ) + λ2 T −1 (w2‬‬
‫‪33‬‬
‫)מונו|אפי|איזו(מורפיזם‬
‫‪3.8‬‬
‫‪3‬‬
‫הרכבת העתקות לינאריות‬
‫העתקות לינאריות‬
‫נבחר ‪ v1 , v2 ∈ V‬כך ש‪) T (v2 ) = w2 ,T (v1 ) = w1 -‬נוכל לעשות זאת‪ ,‬כי ‪ T‬על(‪ .‬אז‬
‫‪ .T −1 (w2 ) = v2 ,T −1 (w1 ) = v1‬כעת‪T (λ1 v1 + λ2 v2 ) = λ1 T (v1 ) + λ2 T (v2 ) = ,‬‬
‫‪ ,λ1 w1 + λ2 w2‬ולכן‬
‫) ‪T −1 (λ1 w1 + λ2 w2 ) = λ1 v1 + λ2 v2 = λ1 T −1 (w1 ) + λ2 T −1 (w2‬‬
‫‬
‫‪27.12.2006‬‬
‫משפט ‪ W ,V :49‬מ"ו מעל ‪ T : V → W .F‬העתקה לינארית‪ K ⊆ V .‬קבוצת וקטורים בת"ל‪.‬‬
‫אם ‪ T‬חח"ע‪ ,‬אז )‪ T (K‬בת"ל‪.‬‬
‫הוכחה‪) .‬לשם הפשטות‪ ,‬נניח } ‪ K = {v1 , . . . , vn‬סופית‪ (.‬ניקח צ"ל מתאפס של איברי )‪T (K‬‬
‫ונוכיח שהוא טריוויאלי‪ .‬נניח ‪ .α1 T (v1 ) + . . . + αn T (vn ) = 0‬אז ‪T (α1 v1 ) + . . . +‬‬
‫‪ T (αn vn ) = 0‬ולכן ‪ .T (α1 v1 + . . . + αn vn ) = 0‬כיוון ש‪ T -‬חח"ע‪ ,‬הרי }‪.ker T = {0‬‬
‫מכאן‪ .α1 v1 + . . . + αn vn = 0 ,‬מכיוון שזהו צ"ל מתאפס של איברי הקבוצה הבת"ל ‪,K‬‬
‫‪.α1 = . . . = αn = 0‬‬
‫משפט המימדים‪ :‬הקאמבק‬
‫‬
‫משפט ‪) 50‬משפט המימדים ‪ W ,V :(2‬מ"ו מעל שדה ‪ T : V → W .dim ker T = n ,F‬ה"ל‪.‬‬
‫אז ‪.dim ker T + dim im T = dim V‬‬
‫דוגמה‪ .‬כבר ראינו אחת כזאת )ב‪ ,(21.02-‬כשדנו בגרעין ובתמונה‪.‬‬
‫הוכחה‪ .‬נפריד לשלושה מקרים‪:‬‬
‫א‪ .ker T = V .‬כלומר‪ T ,‬העתקת האפס‪ .∀v ∈ V T (v) = 0W :‬לכן } ‪⇐= im T = {0W‬‬
‫‪ .dim ker T = n ⇐= ker T = V .dim im T = 0‬כעת‪dim ker T + dim im T = ,‬‬
‫‪.n + 0 = n‬‬
‫ב‪ .{0} ( ker T ( V .‬נסמן ‪ .dim ker T = k‬ניקח בסיס ל‪.{u1 , . . . , uk } :ker T -‬‬
‫נשלים בסיס זה לבסיס של ‪ .{u1 , . . . , uk , v1 , . . . , vn−k } :V‬ראינו כבר כי ‪im T‬‬
‫נפרשת על‪-‬ידי }) ‪ .{T (u1 ), . . . , T (uk ), T (v1 ), . . . , T (vn−k‬אבל כיוון ש‪u1 , . . . , uk ∈-‬‬
‫‪ ,T (u1 ) = . . . = T (uk ) = 0 ,ker T‬ולכן מספיק לכתוב }) ‪.im T = span {T (v1 ), . . . , T (vn−k‬‬
‫אם נראה ש‪ {T (v1 ), . . . , T (vn−k )}-‬בת"ל‪ ,‬נקבל ‪ ,dim im T = n−k‬ואז ‪dim ker T +‬‬
‫‪ dim im T = k + (n − k) = n‬וגמרנו‪ .‬אם כן‪ ,‬נוכיח אי‪-‬תלות‪ .‬נניח ‪α1 T (v1 ) +‬‬
‫‪ .. . . + αn−k T (vn−k ) = 0‬לכן ‪ T (α1 v1 + . . . + αn−k vn−k ) = 0‬ו‪α1 v1 + . . . +-‬‬
‫‪ .αn−k vn−k ∈ ker T‬לכן יש ‪ β1 , . . . , βk ∈ F‬כך ש‪α1 v1 + . . . + αn−k vn−k =-‬‬
‫‪ .β1 u1 + . . . + βk uk‬לכן ‪.−β1 u1 − . . . − βk uk + α1 v1 + . . . + αn−k vn−k = 0‬‬
‫זהו צ"ל מתאפס של איברי בסיס של ‪ ,V‬ולכן ‪ α1 = . . . = αn−k = 0‬וגמרנו‪.‬‬
‫ג‪ .ker T = {0} .‬יהי } ‪ {v1 , . . . , vn‬בסיס של ‪ .V‬ראינו כבר ש‪.im T = span {T (v1 ), . . . , T (vn )}-‬‬
‫כיוון ש‪ T -‬חח"ע ו‪ {v1 , . . . , vn }-‬בת"ל‪ ,‬הרי גם }) ‪ {T (v1 ), . . . , T (vn‬בת"ל‪ .‬לכן זהו בסיס‬
‫‪34‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3.9‬‬
‫העתקות לינאריות‬
‫עוד אודות איזומורפיזמים‬
‫עבור ‪ ,im T‬ו‪ .dim im T = n-‬בנוסף‪ ,dim ker T = 0 ,‬ולכן = ‪dim ker T + dim im T‬‬
‫‪.0 + n = n‬‬
‫‬
‫‪31.12.2006‬‬
‫מסקנה ‪ :51‬יהיו ‪ W ,V‬מ"ו נ"ס מעל שדה ‪ .F‬אם ‪ T : V → W‬ה"ל ואם ‪,dim V = dim W‬‬
‫הבאים שקולים‪:‬‬
‫א‪ T .‬איזומורפיזם )כלומר‪ T ,‬חח"ע ועל(;‬
‫ב‪) ker T = {0} .‬כלומר‪ T ,‬חח"ע(;‬
‫ג‪) im T = W .‬כלומר‪ T ,‬על(‪.‬‬
‫הוכחה‪) .‬א’⇐ב’( טריוויאלי‪ :‬אם ‪ T‬איזומורפיזם‪ ,‬בפרט ‪ T‬חח"ע ו‪.ker T = {0}-‬‬
‫)ב’⇐ג’( אם }‪ ker T = {0‬אז ‪ ,dim ker T = 0‬ולכן‪ ,‬על‪-‬פי משפט המימדים‪dim im T = ,‬‬
‫‪ .dim V‬על‪-‬פי הנתון‪ ,dim V = dim W ,‬ולכן ‪ .dim im T = dim W‬כיוון ש‪ ,im T ≤ W -‬הרי‬
‫‪.im T = W‬‬
‫)ג’⇐א’( נניח ‪ .im T = W‬אז ‪ ,dim im T = dim W = dim V‬ושוב‪ ,‬על‪-‬פי משפט‬
‫המימדים‪ dim ker T = 0 ,‬ולכן }‪ ker T = {0‬ו‪ T -‬חח"ע; כיוון ש‪ T -‬על‪ ,‬הרי ‪ T‬איזומורפיזם‪.‬‬
‫‪3.9‬‬
‫עוד אודות איזומורפיזמים‬
‫הגדרה‪ .‬אם יש ‪ T : V → W‬איזומורפיזם‪ ,‬אזי ‪ V‬איזומורפי ל‪ .W -‬מסמנים ‪.V ≈ W‬‬
‫מרחבים איזומורפיים‬
‫משפט ‪ :52‬אם ‪ V ≈ W‬אזי ‪.W ≈ V‬‬
‫הוכחה‪ .‬אם ‪ V ≈ W‬אז יש איזומורפיזם ‪) T : V → W‬ה"ל חח"ע ועל(‪ .‬לכן קיימת‬
‫‪ .T −1 : W → V‬הוכחנו ש‪ T −1 -‬לינארית‪ .‬מדוע ‪ T −1‬הפיכה? )כלומר‪ ,‬מדוע ‪ T −1‬אף היא‬
‫איזומורפיזם?( כיוון ש‪ T -‬הפיכה‪ ,‬הרי ‪ ,T ◦ T −1 = IW ,T −1 ◦ T = IV‬ולכן ‪ T −1‬הפיכה‪.‬‬
‫משפט ‪ :53‬יהיו ‪ W ,V ,U‬מ"ו מעל ‪ .F‬אם ‪ V ≈ W‬ו‪ U ≈ V -‬אז ‪.U ≈ W‬‬
‫הוכחה‪ U ≈ V .‬פירושו שיש ‪ T : U → V‬איזומורפיזם‪ V ≈ W .‬פירושו יש ‪S : V → W‬‬
‫איזומורפיזם‪ S ◦T : U → W .‬היא ה"ל‪ .‬כדי להראות שהיא איזומורפיזם‪ ,‬מספיק להראות שהיא‬
‫הפיכה‪ .‬ואכן‪ S ,‬הפיכה =⇐ ‪ S −1‬קיימת; ‪ T‬הפיכה =⇐ ‪ T −1‬קיימת‪ .‬נתבונן ב‪T −1 ◦S −1 : W →-‬‬
‫‪ .U‬כעת‪,(T −1 ◦S −1 )◦(S ◦T ) = T −1 ◦(S −1 ◦S)◦T = T −1 ◦IV ◦T = T −1 ◦T = IV ,‬‬
‫ובאותו אופן‪ ;(S ◦ T ) ◦ (T −1 ◦ S −1 ) = IW ,‬לכן ‪.(S ◦ T )−1 = T −1 ◦ S −1‬‬
‫‪ 3.10‬וקטור הקואורדינטות‬
‫‪ ‬‬
‫‪‬‬
‫‪ α1‬‬
‫‪‬‬
‫)הוכיחו‪ ,‬כתרגיל‪ ,‬כי ‪ Fn =  ...  | α1 , . . . , αn ∈ F‬מ"ו ממימד ‪ n‬מעל ‪(.F‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪αn‬‬
‫‪23‬יש לשים לב שהשתמשנו באסוציאטיביות העתקות לינאריות בלי להוכיח‪.‬‬
‫‪35‬‬
‫‪23‬‬
‫‪3.11‬‬
‫וקטור הקואורדינטות‬
‫‪3‬‬
‫מרחב ההעתקות‬
‫העתקות לינאריות‬
‫הגדרה‪ .‬יהי ‪ V‬מ"ו מעל ‪ .dim V = n ,F‬יהי } ‪ B = {v1 , . . . , vn‬בסיס של ‪ 24 .V‬אז לכל ‪v ∈ V‬‬
‫‪Pn‬‬
‫יש הצגה יחידה ‪ .v = i=1 αi vi‬וקטור הקואורדינטות של ‪ v‬לפי הבסיס ‪ B‬הוא הוקטור‬
‫‪‬‬
‫‪ ∈ Fn‬‬
‫‪‬‬
‫‪α1‬‬
‫‪ ...‬‬
‫‪αn‬‬
‫= ‪[v]B‬‬
‫דוגמה‪ V = R2 .‬מעל ‪⇐= v = (2, 3) = 2(1, 0) + 3(0, 1) .E = {(1, 0), (0, 1)} .R‬‬
‫ ‬
‫‪2‬‬
‫‪.[v]E = 3‬‬
‫משפט ‪ :54‬יהי ‪ V‬מ"ו מעל ‪ .dim V = n ,F‬יהי } ‪ B = {v1 , . . . , vn‬בסיס של ‪ .V‬נגדיר‬
‫‪ T : V → Fn‬על‪-‬ידי ‪ .T (v) = [v]B‬אז ‪ T‬איזומורפיזם מ‪ V -‬ל‪.F n -‬‬
‫‪Pn‬‬
‫‪Pn‬‬
‫= ‪.u2‬‬
‫הוכחה‪ .‬מדוע ‪ T‬ה"ל? ניקח ‪ .u1 , u2 ∈ V‬נכתוב ‪i=1 αi vi‬‬
‫= ‪i=1 βi vi ,u1‬‬
‫‪Pn‬‬
‫‪Pn‬‬
‫‪Pn‬‬
‫‪ .u1 + u2 ‬כעת‪T (u1 + u2 ) = ,‬‬
‫=‬
‫לכן ‪i =  i=1 (αi + βi )vi‬‬
‫‪i=1 α‬‬
‫‪i vi + i=1‬‬
‫‪βi v‬‬
‫) ‪ = T (u1 ) + T (u2‬‬
‫‪β1‬‬
‫‪..‬‬
‫‪.‬‬
‫‪βn‬‬
‫‪+‬‬
‫‪α1‬‬
‫‪..‬‬
‫‪.‬‬
‫‪αn‬‬
‫‪=‬‬
‫‪α1 + β1‬‬
‫‪..‬‬
‫‪.‬‬
‫‪αn + βn‬‬
‫‪ .[u1 + u2 ]B = ‬הוכחת הסגירות‬
‫לכפל בסקלר – כתרגיל‪.‬‬
‫‪n‬‬
‫איזומורפיזם מספיק להוכיח שהיא‬
‫כיוון ש‪ V -‬ו‪ F -‬‬
‫בעלי מימד זהה‪ ,‬הרי כדי להוכיח ש‪  T -‬‬
‫על‪ .‬ניקח ‪ ∈ Fn‬‬
‫‪α1‬‬
‫‪..‬‬
‫‪.‬‬
‫‪αn‬‬
‫‪ .‬נגדיר ‪ .v = α1 v1 + . . . + αn vn‬אז ‪‬‬
‫‪α1‬‬
‫‪..‬‬
‫‪.‬‬
‫‪αn‬‬
‫‪ ,T (v) = ‬ולכן ‪ T‬על‪.‬‬
‫משפט ‪ :55‬יהיו ‪ W ,V‬מ"ו מעל ‪ .F‬אם ‪.V ≈ W ,dim V = dim W = n‬‬
‫הוכחה‪ .‬על‪-‬פי המשפט הקודם‪ V ≈ Fn ,‬ו‪ .Fn ≈ W ⇐= W ≈ Fn -‬מכך ש‪V ≈ Fn -‬‬
‫ו‪ Fn ≈ W -‬נובע‪ ,‬על‪-‬פי משפט ‪ ,53‬ש‪.V ≈ W -‬‬
‫‪3.11‬‬
‫מרחב ההעתקות‬
‫‪7.1.2007‬‬
‫מרחב ההעתקות‬
‫חיבור העתקות‬
‫הגדרה‪ .‬יהיו ‪ W ,V‬מ"ו מעל ‪ .F‬נגדיר } ‪ T‬ה"ל | ‪.hom(V, W ) = {T : V → W‬‬
‫הגדרה‪ .‬אם ) ‪ ,T, S ∈ hom(V, W‬נגדיר את סכומן ‪ T + S : V → W‬על‪-‬ידי = )‪(T + S)(v‬‬
‫)‪.T (v) + S(v‬‬
‫משפט ‪ :56‬אם ) ‪ T, S ∈ hom(V, W‬אז ) ‪ T + S) T + S ∈ hom(V + W‬ה"ל(‪.‬‬
‫הוכחה‪ .‬נסמן ‪ .K = T + S‬יהיו ‪.α1 , α2 ∈ F ,u1 , u2 ∈ V‬‬
‫‪24‬נתייחס לבסיס כאל קבוצה סדורה‪ .‬כלומר‪ ,‬הבסיס })‪ {(1, 0), (0, 1‬של ‪ R2‬שונה מהבסיס })‪ {(0, 1), (1, 0‬של ‪.R2‬‬
‫‪36‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3.12‬‬
‫העתקות לינאריות‬
‫) ‪(T + S)(α1 v1 + α2 v2‬‬
‫=‬
‫מרחב המטריצות‬
‫) ‪K(α1 v1 + α2 v2‬‬
‫‬
‫) ‪= T (α1 v1 + α2 v2 ) + S(α1 v1 + α2 v2‬‬
‫) ‪= α1 T (v1 ) + α2 T (v2 ) + α1 S(v1 ) + α2 S(v2‬‬
‫)) ‪= α1 (T (v1 ) + S(v1 )) + α2 (T (v2 ) + S(v2‬‬
‫) ‪= α1 (T + S)(v1 ) + α2 (T + S)(v2‬‬
‫) ‪= α1 K(v1 ) + α2 K(v2‬‬
‫הגדרה‪ .λ ∈ F ,T ∈ hom(V, W ) .‬נגדיר ‪ λT : V → W‬על‪-‬ידי )‪.(λT )(v) = λT (v‬‬
‫כפל העתקות בסקלר‬
‫משפט ‪ :57‬אם ) ‪ λ ∈ F ,T ∈ hom(V, W‬אז ) ‪.λT ∈ hom(V, W‬‬
‫) ‪(λT )(α1 v1 + α2 v2‬‬
‫הוכחה‪ .‬נסמן ‪.K = λT‬‬
‫=‬
‫) ‪K(α1 v1 + α2 v2‬‬
‫‬
‫) ‪= λT (α1 v1 + α2 v2‬‬
‫)) ‪= λ (α1 T (v1 ) + α2 T (v2‬‬
‫) ‪= α1 λT (v1 ) + α2 λT (v2‬‬
‫) ‪= α1 (λT )(v1 ) + α2 (λT )(v2‬‬
‫) ‪= α1 K(v1 ) + α2 K(v2‬‬
‫משפט ‪ W ,V :58‬מ"ו מעל ‪) F‬לא בהכרח נ"ס(‪ .‬אז ) ‪ hom(V, W‬הוא מ"ו מעל ‪.F‬‬
‫הוכחה‪ .‬כתרגיל‪ .‬רק נעיר שאיבר האפס ב‪ hom(V, W )-‬הוא העתקת האפס ואיבר נגדי ל‪T -‬‬
‫ב‪ hom(V, W )-‬הוא העתקה המוגדרת )‪.(−T )(v) = −T (v‬‬
‫‪3.12‬‬
‫‪3.12.1‬‬
‫מרחב המטריצות‬
‫פעולות על מטריצות‬
‫יהיו ‪ W ,V‬מ"ו מעל ‪ B = {v1 , . . . , vn } ,F‬בסיס של ‪ C = {w1 , . . . , wm } ,V‬בסיס של ‪,W‬‬
‫‪ T, S : V → W‬העתקות לינאריות‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪b1n‬‬
‫‪.. ‬‬
‫‪‬‬
‫‪. ‬‬
‫‪bmn‬‬
‫‪...‬‬
‫‪...‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪a1n‬‬
‫‪b11‬‬
‫‪‬‬
‫‪.. ‬‬
‫‪B‬‬
‫‪‬‬
‫‪ .‬‬
‫‪.  [S]C =  ..‬‬
‫‪amn‬‬
‫‪bm1‬‬
‫‪...‬‬
‫‪...‬‬
‫‪‬‬
‫‪a11‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ..‬‬
‫‪[T ]B‬‬
‫‪C = .‬‬
‫‪am1‬‬
‫‪B‬‬
‫‪ .[T + S]B‬נסמן‬
‫נמצא את ‪ .[T + S]C‬כדי לעשות זאת‪ ,‬נחשב את העמודה הראשונה של ‪C‬‬
‫‪Pm‬‬
‫‪Pm‬‬
‫‪⇐= S(v1 ) = k=1 bk1 wk ,T (v1 ) = k=1 ak1 wk‬‬
‫‪(ak1 bk1 )wk‬‬
‫‪m‬‬
‫‪X‬‬
‫= ) ‪(T + S)(v1 ) = T (v1 ) + S(v1‬‬
‫‪k=1‬‬
‫‪37‬‬
‫חיבור מטריצות‬
‫‪3.12‬‬
‫מרחב המטריצות‬
‫‪‬‬
‫כלומר‪ ,‬‬
‫‪3‬‬
‫העתקות לינאריות‬
‫‪‬‬
‫‪a11 + b11‬‬
‫‪..‬‬
‫‪‬‬
‫‪.‬‬
‫‪am1 + bm1‬‬
‫‪ [T + S]B‬היא‬
‫= ‪ .[(T + S)(v1 )]C‬לכן העמודה הראשונה של ‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫‪ ,[S]B‬ועבור העמודה ה‪ i-‬נקבל אותו דבר באמצעות אותו‬
‫סכום העמודות הראשונות של ‪ [T ]C‬ו‪C -‬‬
‫‪B‬‬
‫‪B‬‬
‫‪ [S]B‬רכיב‪-‬רכיב‪ .‬נוכל להגדיר‪ ,‬לכל‬
‫חישוב‪ .‬לכן המטריצה ‪ [T + S]C‬מתקבלת כסכום של ‪ [T ]C‬ו‪C -‬‬
‫מטריצות כלשהן‪:‬‬
‫!‬
‫‪a11 +b11 ... a1n +b1n‬‬
‫‪..‬‬
‫‪..‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪am1 +bm1 ... amn +bmn‬‬
‫!‬
‫= ‪A+B‬‬
‫‪b11 ... b1n‬‬
‫‪..‬‬
‫‪..‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪bm1 ... bmn‬‬
‫‬
‫=‪B‬‬
‫‪a11 ... a1n‬‬
‫‪..‬‬
‫‪..‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪am1 ... amn‬‬
‫‬
‫=‪A‬‬
‫יהיו ‪ W ,V‬מ"ו מעל ‪ .F‬תהי ‪ T : V → W‬ה"ל‪ .‬הגדרנו עבור ‪ λT : V → W λ ∈ F‬על‪-‬ידי‬
‫))‪ .(λT )(v) = λ(T (v‬אם‬
‫‬
‫כפל מטריצה בסקלר‬
‫‪a11 ... a1n‬‬
‫‪..‬‬
‫‪..‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪am1 ... amn‬‬
‫‬
‫‪[T ]B‬‬
‫= ‪C‬‬
‫מטריצת הייצוג של ‪ ,T‬אז מטריצת הייצוג של ‪ λT‬היא‬
‫!‬
‫‪λa11 ... λa1n‬‬
‫‪..‬‬
‫‪..‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪λam1 ... λamn‬‬
‫=‬
‫‪[λT ]B‬‬
‫‪C‬‬
‫מכאן‪ ,‬מגדירים עבור מטריצה כלשהי כפל בסקלר רכיב‪-‬רכיב‪.‬‬
‫‪3.12.2‬‬
‫מרחב המטריצות‬
‫הגדרת מרחב המטריצות‬
‫נסמן ב‪ Mm×n (F)-‬את קבוצת המטריצות בעלות ‪ m‬שורות ו‪ n-‬עמודות עם רכיבים מהשדה ‪.F‬‬
‫משפט ‪ Mm×n (F) :59‬מ"ו ביחס לפעולות חיבור מטריצות וכפל מטריצה בסקלר‪.‬‬
‫משפט ‪ ,hom(V, W ) ≈ Mm×n (F) :60‬כאשר ‪ W ,V‬מ"ו מעל ‪.dim W = m ,dim V = n ,F‬‬
‫הוכחה‪ .‬נבחר בסיסים‪ B = {v1 , . . . , vn } :‬עבור ‪ C = {w1 , . . . , wm } ,V‬עבור ‪ .W‬נגדיר‬
‫‪.ϕ(T ) = [T ]B‬‬
‫)‪ ϕ : hom(V, W ) → Mm×n (F‬על‪-‬ידי ‪C‬‬
‫מדוע ‪ ϕ‬לינארית? יהיו ) ‪ ;T, S ∈ hom(V, W‬לפי הגדרת חיבור מטריצות‪ϕ(T + S) = ,‬‬
‫‪B‬‬
‫‪B‬‬
‫‪ .[T + S]B‬יהיו ) ‪ ;α ∈ F ,T ∈ hom(V, W‬לפי הגדרת‬
‫)‪C = [T ]C + [S]C = ϕ(T ) + ϕ(S‬‬
‫‪B‬‬
‫‪.ϕ(αT ) = [αT ]B‬‬
‫כפל מטריצה בסקלר‪C = α[T ]C ,‬‬
‫‪B‬‬
‫‪ .[T1 ]B‬לכל ‪ j‬העמודה ה‪j-‬‬
‫‪C‬‬
‫‪ = [T‬‬
‫אז ‪2 ]C‬‬
‫‪ .ϕ(T‬‬
‫מדוע ‪ ϕ‬חח"ע? נניח ש‪1 ) = ϕ(T2 )-‬‬
‫‪a1j‬‬
‫‪b1j‬‬
‫‪Pm‬‬
‫‪B‬‬
‫‪ ...  =  ...  :[T2 ]B‬‬
‫= ) ‪,T1 (vj‬‬
‫של ‪ [T1 ]C‬שווה לעמודה ה‪ j-‬של ‪C‬‬
‫‪i=1 aij wi .‬‬
‫‪bmj‬‬
‫‪Pm‬‬
‫‪i=1 bij wi‬‬
‫‪amj‬‬
‫= ) ‪ .T2 (vj‬מכיוון ש‪ T1 ,(j = 1 . . . n ,i = 1 . . . m) aij = bij -‬ו‪ T2 -‬משתוות על‬
‫הבסיס‪ ,‬ולכן‪ ,‬לפי משפט ‪.T1 = T2 ,40‬‬
‫‪38‬‬
‫‪10.1.2007‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3.12‬‬
‫העתקות לינאריות‬
‫‬
‫‪a11 ... a1n‬‬
‫‪..‬‬
‫‪..‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪am1 ... amn‬‬
‫מרחב המטריצות‬
‫‬
‫‪ .‬נגדיר בעזרתה ‪ .T : V → W‬לכל ‪,j‬‬
‫מדוע ‪ ϕ‬על? ניקח )‪= A ∈ Mm×n (F‬‬
‫‪Pm‬‬
‫‪ .T (vj ) = i=1 aij wi‬זו הגדרת ‪ T‬על הבסיס‪ .‬נרחיב אותה לה"ל על כל המרחב‪ ,‬ולפי ההגדרה‪,‬‬
‫‪.ϕ(T ) = A‬‬
‫‪3.12.3‬‬
‫מטריצות ייצוג של הרכבת העתקות‬
‫יהיו ‪ W ,V ,U‬מ"ו מעל ‪ B = {u1 , . . . , un } ,F‬בסיס של ‪ C = {v1 , . . . , vm } ,U‬בסיס של ‪,V‬‬
‫של ‪.T : V → W ,S : U → V ,W‬‬
‫} ‪ D = {w1 , . . . , wk‬בסיס !‬
‫‪b11 ... b1n‬‬
‫‪..‬‬
‫‪..‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪bm1 ... bmn‬‬
‫ל‪ S-‬יש מטריצת ייצוג‪:‬‬
‫‪.(n‬‬
‫‬
‫ל‪ T -‬יש מטריצת ייצוג‪:‬‬
‫ ‪ c11 ... c1n‬‬
‫‪..‬‬
‫‪..‬‬
‫=‬
‫נסמן‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪ck1 ... ckn‬‬
‫‪... a1m‬‬
‫‪..‬‬
‫‪.‬‬
‫‪... akm‬‬
‫‪Pm‬‬
‫‪B‬‬
‫= ‪ .[S]C‬לכל ‪l=1 blj vl ,j‬‬
‫‪ a11‬‬
‫‪..‬‬
‫‪.‬‬
‫=‬
‫‪ak1‬‬
‫‪Pk‬‬
‫‪C‬‬
‫‪ .[T ]D‬לכל ‪i=1 ail wi ,l‬‬
‫= ) ‪1 ≤ j ≤) S(uj‬‬
‫= ) ‪.(1 ≤ l ≤ k) T (vl‬‬
‫‪ .[T ◦ S]B‬ניקח ‪ .1 ≤ j ≤ n‬נחשב‪:‬‬
‫‪D‬‬
‫‪m‬‬
‫‪k‬‬
‫‪m‬‬
‫‪m‬‬
‫‪X‬‬
‫‪X‬‬
‫‪X‬‬
‫‪X‬‬
‫‪blj‬‬
‫= ‪ail wi‬‬
‫= ) ‪blj T (vl‬‬
‫= ) ‪blj vl‬‬
‫( ‪(T ◦ S)(uj ) = T (S(uj )) = T‬‬
‫‪i1‬‬
‫‪l=1‬‬
‫‪l=1‬‬
‫‪l=1‬‬
‫‪k X‬‬
‫‪m‬‬
‫‪X‬‬
‫(‬
‫‪ail blj )wi‬‬
‫= ‪ail blj wi‬‬
‫‪i=1 l=1‬‬
‫קיבלנו‪ ,‬לכל‪1 . . . n‬‬
‫‪ [T ◦ S]B‬היא ‪‬‬
‫‪D‬‬
‫‪ail blj‬‬
‫‪Pm‬‬
‫‪l=1‬‬
‫‪m X‬‬
‫‪k‬‬
‫‪X‬‬
‫=‬
‫‪l=1 i=1‬‬
‫‪Pm‬‬
‫= ‪i ,j‬‬
‫‪l=1 (ail blj )w‬‬
‫‪‬‬
‫‪P‬‬
‫‪Pk‬‬
‫‪i=1‬‬
‫= ) ‪ .(T ◦ S)(uj‬לכן העמודה ה‪ j-‬של‬
‫‪m‬‬
‫‪l=1‬‬
‫‪a1l blj‬‬
‫‪...‬‬
‫‪Pm‬‬
‫‪l=1 akl blj‬‬
‫‪‬‬
‫‪ [T ◦ S]B‬הוא‬
‫= ‪ .[(T ◦ S)(uj )]D‬מכאן‪ ,‬המקום ה‪ (i, j)-‬ב‪D -‬‬
‫= ‪.cij‬‬
‫כעת‪ ,‬בהינתן שתי מטריצות כלשהן ‪ ,Bm×n ,Ak×m‬נגדיר ‪ AB = C‬כאשר האיבר ה‪(i, j)-‬‬
‫‪Pm‬‬
‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫‪(.[T ◦ S]B‬‬
‫ב‪ C-‬מוגדר על‪-‬ידי ‪ail blj‬‬
‫= ‪) .cij‬ובפרט‪ ,‬נקבל שמתקיים ‪D = [T ]D [S]C‬‬
‫‪ 5 1 l=1‬‬
‫‪4‬‬
‫‪00‬‬
‫‪ ,AB = ( 11‬לפי החישובים = ‪c11‬‬
‫דוגמה‪,A = ( 24 32 10 ) .‬‬
‫= ‪ .B‬נקבל ) ‪20 4‬‬
‫‪12‬‬
‫‪P3‬‬
‫‪ l=1 a1l bl1 = a11 b11 + a12 b21 + a13 b31‬וכו’‪.‬‬
‫‪‬‬
‫בהינתן שורה‬
‫‬
‫‪an‬‬
‫‪...‬‬
‫‪a1‬‬
‫‬
‫= ‪ a‬ועמודה ‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪b1‬‬
‫‪ ...‬‬
‫‪bn‬‬
‫= ‪ ,b‬נגדיר פעולה חדשה = ‪a · b‬‬
‫‪ .a1 b1 + . . . + an bn‬כעת‪ ,‬אם ‪ A‬ו‪ B-‬מטריצות‪ ,‬איברי ‪ AB = C‬יהיו עמודה ‪ j‬של ‪ · B‬שורה ‪ i‬של ‪.cij = A‬‬
‫נשים לב שמכפלת המטריצות ‪ Am×p ,Bn×k‬מוגדרת רק כאשר ‪ ,p = n‬ואז המכפלה תהיה‬
‫מסדר ‪.m × k‬‬
‫‪14.1.2007‬‬
‫‪39‬‬
‫כפל מטריצות‬
‫‪3.13‬‬
‫‪3‬‬
‫תכונות של כפל מטריצות‬
‫העתקות לינאריות‬
‫משפט ‪ W ,V :61‬מ"ו מעל ‪ B = {v1 , . . . , vn } ,T : V → W ,F‬בסיס של ‪C = ,V‬‬
‫‪.[T (v)]C = [T ]B‬‬
‫} ‪ {w1 , . . . , wm‬בסיס של ‪ .W‬אז ‪C [v]B‬‬
‫‬
‫‬
‫דוגמה‪ .C = {1, x} ,W = R1 [x] ,B = 1, x, x2 ,V = R2 [x] .‬נגדיר העתקה‬
‫‪0‬‬
‫‪.[D]B‬‬
‫]‪ D : R2 [x] → R1 [x‬על‪-‬ידי )‪ .D (P (x)) = P (x‬קל לראות ש‪ D-‬ה"ל‪ .‬נמצא את ‪C‬‬
‫‬
‫!‬
‫‪[D(1)]C = 00‬‬
‫‪ D(1) = 0‬ולכן‬
‫‬
‫‪0 1 0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪[D]B‬‬
‫=‬
‫=⇐‬
‫‪[D(x)]C = 0‬‬
‫‪D(x) = 1‬‬
‫‪C‬‬
‫‬
‫‪0 0 2‬‬
‫‪0‬‬
‫‪2‬‬
‫‪[D(x )]C = 2‬‬
‫‪D(x2 ) = 2x‬‬
‫‪2‬‬
‫! לפני שנזרוק את הסיכומים באינפי‪ ,‬נבדוק שזה אכן עובד‪ :‬נבחר ‪,P (x) = 3 + x + 7x‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ 0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ .[P 0 (x)]B = 14‬ואכן‪:‬‬
‫‪ .[P (x)]B = 1‬אזי ‪,P (x) = 1 + 14x‬‬
‫‪7‬‬
‫‬
‫‬
‫הוכחה‪ .‬נסמן‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫נסמן‬
‫‪γ1 1‬‬
‫‪.. ‬‬
‫‪.‬‬
‫‪γn 1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪14‬‬
‫!‬
‫‬
‫=‬
‫‪a11 ... a1n‬‬
‫‪..‬‬
‫‪..‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪am1 ... amn‬‬
‫‪3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪7‬‬
‫!‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪2‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‬
‫=‬
‫‪[D(P (x))]C = [D]B‬‬
‫= ‪C [P (x)]B‬‬
‫‪ .[T ]B‬אז לכל‬
‫‪C‬‬
‫‪Pn‬‬
‫‪‬‬
‫= ‪ ;[v]B‬אז ‪j=1 γj1 vj‬‬
‫‪ j‬מתקיים ‪aij wi‬‬
‫‪Pm‬‬
‫‪i=1‬‬
‫= ) ‪ .T (vj‬יהי ‪.v ∈ V‬‬
‫= ‪.v‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫‪m‬‬
‫‪m X‬‬
‫‪n‬‬
‫‪X‬‬
‫‪X‬‬
‫‪X‬‬
‫‪X‬‬
‫‪X‬‬
‫( ‪T (v) = T‬‬
‫= ) ‪γj1 vj‬‬
‫= ) ‪γj1 T (vj‬‬
‫‪γj1‬‬
‫= ‪aij wi‬‬
‫(‬
‫‪aij γj1 )wi‬‬
‫‪i=1 j=1‬‬
‫‪j=1‬‬
‫‪i=1‬‬
‫‪‬‬
‫לכן וקטור הקואורדינטות של )‪ T (v‬הוא ‪‬‬
‫‪j=1‬‬
‫‪Pn‬‬
‫‪a1j γj1‬‬
‫‪..‬‬
‫‪.‬‬
‫‪Pn‬‬
‫‪j=1 amj γj1‬‬
‫‪j=1‬‬
‫‪j=1‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ,[T (v)]C = ‬והאיבר בשורה ה‪ i-‬של‬
‫‪Pn‬‬
‫‪ .[T ]B‬על‪-‬פי הנוסחה של‬
‫‪ .‬כעת נחשב את האיבר בשורה ה‪ i-‬של ‪C [v]B‬‬
‫‪ [T (v)]C‬הוא ‪j=1 aij γj1‬‬
‫‪Pn‬‬
‫‬
‫‪ [T ]B‬וקטור עמודה; האיבר במיקום ה‪ (i, 1)-‬הוא ‪. j=1 aij γj1‬‬
‫כפל מטריצות‪C [v]B ,‬‬
‫‪3.13‬‬
‫תכונות של כפל מטריצות‬
‫תכונות כפל מטריצות‬
‫אסוציאטיביות‬
‫טענה ‪ :62‬כפל מטריצות אסוציאטיבי‪ .‬כלומר‪ ,‬אם )‪C ∈ ,B ∈ Mn×p (F) ,A ∈ Mm×n (F‬‬
‫)‪.(AB)C = A(BC) ,Mp×q (F‬‬
‫הוכחה‪ .‬נבחר בסיסים סטנדרטיים ‪ Em , En , Ep , Eq‬למרחבים ‪ .Fm , Fn , Fp , Fq‬נגדיר ‪TC :‬‬
‫‪ Fq → Fp‬על‪-‬ידי‬
‫‪E‬‬
‫עמודה ‪ j‬של ‪C‬‬
‫‪ ,TA : Fn → Fm‬ו‪= B-‬‬
‫= ) ‪ .T (ej‬נקבל ‪ .[TC ]Eqp = c‬באופן דומה‪ ,‬נגדיר ‪,TB : Fp → Fn‬‬
‫‪E‬‬
‫‪,[TB ]Epn‬‬
‫‪n‬‬
‫‪ .[TA ]E‬מכאן‪,[TB ◦ TC ] = [TB ][TC ] = BC ,‬‬
‫‪Em = A‬‬
‫‪ .[TA ◦ TB ] = [TA ][TB ] = AB‬כעת‪,‬‬
‫)‪[TA ◦ (TB ◦ TC )] = [TA ][TB ◦ TC ] = A(BC‬‬
‫‪40‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3.14‬‬
‫העתקות לינאריות‬
‫מטריצות מעבר‬
‫‪[(TA ◦ TB ) ◦ TC ] = [TA ◦ TB ][TC ] = (AB)C‬‬
‫ובשל אסוציאטיביות הרכבת העתקות נקבל שוויון‪.‬‬
‫למה ‪ :63‬אם ‪ T, S : V → W‬ה"ל ו‪ K : W → U -‬ה"ל‪ ,‬אז ‪.K ◦ (T + S) = K ◦ T + K ◦ S‬‬
‫דיסטריבוטיביות‬
‫הוכחה‪ .‬כתרגיל‪.‬‬
‫התכונה נובעת מיידית מהלמה‪.‬‬
‫נניח ‪ V‬מ"ו מעל ‪ B = {v1 , . . . , vn } ,F‬בסיס של ‪ IV : V → V .V‬העתקת הזהות‪:‬‬
‫מטריצת היחידה‬
‫‪∀v ∈ V IV (v) = v‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪ .[IV (v1 )]B =  ..  ⇐= IV (v1 ) = v1 = 1v1 + 0v2 + . . . + 0vn‬לכן המטריצה‬
‫‪.‬‬
‫‪0‬‬
‫!‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪..‬‬
‫‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪..‬‬
‫‪.‬‬
‫‪0‬‬
‫‪...‬‬
‫‪...‬‬
‫‪..‬‬
‫‪.‬‬
‫‪...‬‬
‫‪B‬‬
‫‪[T ]B‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪..‬‬
‫‪.‬‬
‫‪0‬‬
‫‪ In = [IV ]B‬היא מטריצת היחידה‪.‬‬
‫= ‪B‬‬
‫מטריצת הייצוג של ‪ .T = T ◦ IV : V → V ,T = IV ◦ T : V → V .T‬לכן‬
‫‪B‬‬
‫‪B‬‬
‫‪B‬‬
‫‪B‬‬
‫‪B‬‬
‫‪ .[T ]B‬בהינתן מטריצה ‪n × n‬‬
‫‪B = [T ◦ IV ]B = [T ]B In ,[T ]B = [IV ◦ T ]B = In [T ]B‬‬
‫כלשהי ‪ ,A‬נוכל לראותה כמטריצת ייצוג של העתקה כלשהי ‪ TA : Fn → Fn‬המוגדרת על‪-‬ידי‬
‫עמודה ‪ i‬של ‪ ,TA (ei ) · A‬ונקבל ‪.AIV = IV A = A‬‬
‫תהי ‪ A‬מטריצה מסדר ‪ .n × n‬נגדיר העתקה ‪ TA : Fn → Fn‬על‪-‬ידי‬
‫עמודה ‪ i‬של ‪A‬‬
‫= ) ‪.TA (ei‬‬
‫מטריצות הפיכות‬
‫אם ‪ TA‬העתקה הפיכה – כלומר‪ ,‬אם קיימת העתקה ‪ TA−1 : V → V‬כך ש‪,TA ◦ TA−1 = IV -‬‬
‫‪ – TA−1 ◦ TA = IV‬אז מתקיימים התנאים ‪ .[TA−1 ][TA ] = In ,[TA ][TA−1 ] = In‬למטריצה‬
‫] ‪ [TA−1‬קוראים המטריצה ההופכית של ‪ ;A‬מסמנים ‪ ,A−1‬ו‪.[TA−1 ] = A−1 = [TA ]−1 -‬‬
‫‬
‫‪2 −1‬‬
‫‪21‬‬
‫‪:A−1 = 31 −1‬‬
‫דוגמה‪ .‬תהי ) ‪ .A = ( 1 2‬נראה ש‪2 -‬‬
‫!‬
‫!‬
‫!‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫= ‪AA−1‬‬
‫=‬
‫‪= I2‬‬
‫‪3 1 2‬‬
‫‪3 0 3‬‬
‫‪−1 2‬‬
‫כמו‪-‬כן‪.A−1 A = I2 ,‬‬
‫לא כל מטריצה היא הפיכה‪ .‬מכאן‪ ,‬המטריצות הן חוג‪ ,‬לא שדה‪.‬‬
‫‪3.14‬‬
‫מטריצות מעבר‬
‫הגדרה‪ .‬יהי ‪ V‬מ"ו מעל ‪ ,F‬ויהיו } ‪ C = {v10 , . . . , vn0 } ,B = {v1 , . . . , vn‬שני בסיסים עבור ‪.V‬‬
‫‪ [IV ]B‬של העתקת הזהות ‪ .IV : V → V‬יהי ‪ .v ∈ V‬אז על‪-‬פי משפט‬
‫נתבונן במטריצת הייצוג ‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫‪ [IV ]B‬נקראת מטריצת המעבר מהבסיס ‪ B‬לבסיס ‪.C‬‬
‫‪C .[v]C = [IV (v)]C = [IV ]C [v]B ,61‬‬
‫העמודה ה‪ j-‬של מטריצת המעבר‪.[I(vj )]C = [vj ]C :‬‬
‫‪41‬‬
‫מטריצת מעבר‬
‫‪3.14‬‬
‫מטריצות מעבר‬
‫דוגמה‪} ,V = R2 .‬‬
‫‪.[I]B‬‬
‫את ‪C‬‬
‫‬
‫‪1‬‬
‫‪3‬‬
‫‬
‫‪−1‬‬
‫‪−1‬‬
‫= ‪, v2‬‬
‫‪o‬‬
‫‬
‫‪3‬‬
‫‪5‬‬
‫= ‪} ,B = {v1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‬
‫‪1‬‬
‫‪−1‬‬
‫‬
‫‬
‫= ‪[v1 ]C‬‬
‫‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫⇒‬
‫= ‪, v20‬‬
‫‪v20‬‬
‫‪v20‬‬
‫‬
‫‪+‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪v10‬‬
‫‪v10‬‬
‫העתקות לינאריות‬
‫= ‪ .C = {v10‬נמצא‬
‫=‬
‫‪v1 = 35‬‬
‫‬
‫‪v2 = −1‬‬
‫‪−1‬‬
‫‬
‫‪1‬‬
‫‪=⇒ [I]B‬‬
‫‪C = 1 −1‬‬
‫‪−‬‬
‫= ‪⇒ [v2 ]C‬‬
‫‬
‫ניקח ‪ .v = 35 = 1v1 + 0v2‬אז ‪ .[v]B = 10‬כדי למצוא את ‪ ,[v]C‬צריך לפתור‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‪3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ – [ 35 ]C = α‬או‪ ,‬בעזרת מטריצת המעבר‪ ,‬ניתן פשוט‬
‫‪ 5 = α1 2 + α2 3‬ולקבל ‪α2‬‬
‫‪ 1‬‬
‫‬
‫‪1‬‬
‫‪1 1‬‬
‫‪.[v]C = [I]B‬‬
‫‪C [v]B = 1 −1‬‬
‫לחשב ‪0 = 1‬‬
‫‪42‬‬
‫=‬
‫‪4‬‬
‫מערכות משוואות לינאריות‬
‫‪4‬‬
‫‪4.1‬‬
‫‪17.1.2007‬‬
‫מערכות משוואות לינאריות‬
‫מערכות משוואות‬
‫נתבונן במערכת המשוואות הבאה‪:‬‬
‫‪b1‬‬
‫=‬
‫‪a1n xn‬‬
‫‪+ ... +‬‬
‫‪a12 x2‬‬
‫‪+‬‬
‫‪a11 x1‬‬
‫‪b2‬‬
‫‪..‬‬
‫‪.‬‬
‫=‬
‫‪a2n xn‬‬
‫‪..‬‬
‫‪.‬‬
‫‪+ ... +‬‬
‫‪..‬‬
‫‪.‬‬
‫‪a22 x2‬‬
‫‪..‬‬
‫‪.‬‬
‫‪+‬‬
‫‪a21 x1‬‬
‫‪..‬‬
‫‪.‬‬
‫‪+ an2 x2 + . . . + ann xn = bn‬‬
‫או‪ ,‬בכתיב אחר‪ :‬עלינו לפתור ‪ ,Ax = b‬כאשר‬
‫‪‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪. . . a1n‬‬
‫‪b1‬‬
‫‪x1‬‬
‫‪‬‬
‫‪.. ‬‬
‫‪.. ‬‬
‫‪.. ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪b‬‬
‫=‬
‫‪x‬‬
‫=‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪. ‬‬
‫‪bm‬‬
‫‪xn‬‬
‫‪. . . amn‬‬
‫‪an1 x1‬‬
‫וקטור המקדמים החופשיים‬
‫וקטור הנעלמים‬
‫‪‬‬
‫‪a11‬‬
‫‪ .‬‬
‫‪‬‬
‫‪A =  ..‬‬
‫‪am1‬‬
‫‪aij ∈ F‬‬
‫‪1≤i≤m‬‬
‫‪1≤j≤n‬‬
‫מטריצת המקדמים‬
‫הגדרה‪ .‬אם ‪ b = 0Fm‬המערכת נקראת הומוגנית‪ .‬אחרת‪ ,‬המערכת נקראת אי‪-‬הומוגנית‪.‬‬
‫מערכת )אי‪(-‬הומוגנית‬
‫הגדרה‪ .‬וקטור ‪ c ∈ Fn‬שאם נציב אותו במקום ‪ x‬ישמור על השוויון נקרא וקטור פתרון‪ .‬מתקיים‬
‫וקטור פתרון‬
‫‪.Ac = b‬‬
‫מקרה פרטי‪m = n :‬‬
‫אם ‪ – m = n‬כלומר‪ A ,‬ריבועית – ו‪ A-‬הפיכה‪ ,‬נקבל ‪ c = A−1 b‬פתרון‪:‬‬
‫‪A−1 (AX) = A−1 b ⇐⇒ (A−1 A)x = A−1 b ⇐⇒ x = A−1 b‬‬
‫בהינתן המערכת ‪ ,Ax = b‬נתאים למטריצה ‪ A‬העתקה ‪ Ta : Fn → Fm‬המוגדרת על‪-‬ידי‬
‫‪ TA .TA (x) = Ax‬היא העתקה לינארית‪ :‬היא שומרת על חיבור – = )‪TA (x + y) = A(x + y‬‬
‫)‪ – Ax + Ay = TA (x) + TA (y‬ועל כפל בסקלר – )‪.TA (λx) = A(λx) = λ(Ax) = λTA (x‬‬
‫אם ‪ c‬פתרון של המערכת‪ ,‬מתקיים ‪.TA (c) = Ac = b‬‬
‫‪m‬‬
‫‪ Aei = TA (ei ) = [TA (ei )]Em :[TA ]E‬זו העמודה ה‪ i-‬של ‪.A‬‬
‫נעיר ש‪En = A-‬‬
‫עבור כל פונקציה ‪ b ∈ L ,f : K → L‬נגדיר את קבובצת המקור של }‪f −1 ({b}) = :{b‬‬
‫}‪ .{a ∈ K | f (a) = b‬אם ‪ T : V → W‬העתקה לינארית‪ .ker T = T −1 ({0}) ,‬מכאן נוכל‬
‫לומר ש‪ TA−1 {b}-‬היא קבוצת הפתרונות של המערכת ‪.Ax = b‬‬
‫למה ‪ :64‬למערכת ‪ Ax = b‬יש פתרון אם"ם ‪.b ∈ im TA‬‬
‫הוכחה‪ .‬יש פתרון ‪ c‬למערכת ⇒⇐ ‪b ∈ im TA ⇐⇒ TA (c) = b ⇐⇒ Ac = b‬‬
‫‪43‬‬
‫‪4.1‬‬
‫מערכות משוואות‬
‫מערכות משוואות לינאריות‬
‫‪4‬‬
‫נניח ש‪ A-‬מערכת הומוגנית‪ .‬כלומר‪ .Ax = 0 ,‬קבוצת הפתרונות של המערכת היא ‪.ker TA‬‬
‫במקרה זה‪ 0 ,‬תמיד פתרון; זהו פתרון יחיד אם"ם ‪ TA‬חח"ע )}‪.(ker TA = {0‬‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‪1 +3x2‬‬
‫‪A = ( 24 36 ) TA xx12 = A xx12 = 2x‬‬
‫דוגמה‪.‬‬
‫‪4x1 +6x2‬‬
‫‬
‫‬
‫ ‪n‬‬
‫‪o‬‬
‫‪ 2x + 3x = 0‬‬
‫‬
‫‬
‫‪ker TA = xx12 | TA xx12 = 00 = xx12 | 4x1 + 6x2 = 0‬‬
‫‪2x1 + 3x2 = 0‬‬
‫‪4x1 + 6x2 = 0‬‬
‫‪2‬‬
‫לכן‬
‫‪o‬‬
‫‬
‫‪1‬‬
‫‪−3x2‬‬
‫ונקבל‬
‫נסמן ‪x2 = t‬‬
‫נפתור את‬
‫המערכת‪o .2x1 + 3x2 = 0 =⇒ x1 = 2 3t:‬‬
‫‪n‬‬
‫‬
‫‪3‬‬
‫‪−2‬‬
‫‪−2‬‬
‫וקטור מהצורה ‪ t‬פותר את המערכת‪ .‬ואכן‪t 1 | t ∈ R = ,‬‬
‫‪− 32‬‬
‫‪1‬‬
‫‪n‬‬
‫‪−3t‬‬
‫‪2‬‬
‫= ‪.x1‬‬
‫= ‪ker TA‬‬
‫‪.span‬‬
‫קבוצת הפתרונות של מערכת הומוגנית ‪ Ax = 0‬היא מ"ו‪ 25 .‬מצד שני‪ ,‬קבוצת הפתרונות של‬
‫מערכת אי‪-‬הומוגנית אינה מרחב וקטורי‪ :‬אם קבוצת הפתרונות היא מרחב וקטורי‪ 0 ,‬נמצא בה –‬
‫אולם אז נקבל ‪ ,A0 = b 6= 0‬בסתירה לאי‪-‬הומוגניות המערכת‪.‬‬
‫‪ x1 + x2 = 1‬‬
‫‬
‫‪1‬‬
‫‪ .‬נפתור ונקבל ‪.x1 = x2 = 12‬‬
‫‪A = 11 −1‬‬
‫דוגמה‪.‬‬
‫‪x −x =0‬‬
‫‪2‬‬
‫ישרייה‬
‫‪1‬‬
‫הגדרה‪ .‬יהיו ‪ W ≤ V‬ו‪ .v ∈ V -‬אז } ‪ v + W = {v + w | w ∈ W‬נקראת ישרייה‪ W .‬נקרא‬
‫תת‪-‬המרחב המכוון של הישרייה‪ .‬מימד הישרייה ‪ v + W‬מוגדר להיות המימד של ‪.W‬‬
‫משפט ‪ :65‬תהי ‪ Ax = b‬מערכת משוואות לינאריות‪ .‬נניח כי ‪) b ∈ im TA‬כלומר‪ ,‬ישנו פתרון‬
‫למערכת(‪ .‬יהי ‪ s ∈ Fn‬פתרון‪ .‬קבוצת כל הפתרונות תהיה הישרייה ‪.TA−1 (b) = s + ker TA‬‬
‫מערכת הומוגנית‬
‫‪ 2x1 + x2 = 0‬‬
‫דוגמה‪.‬‬
‫מערכת אי‪-‬הומוגנית‬
‫‪ 2x1 + x2 = 2‬‬
‫‪4x1 + 2x2 = 0‬‬
‫‪2x1 + x2 = 0‬‬
‫‪0+0=0‬‬
‫‪4x1 + 2x2 = 4‬‬
‫‪2x1 + x2 = 2‬‬
‫‪0+0=0‬‬
‫‬
‫‪x2 = t‬‬
‫‪x2 = t‬‬
‫‪2x1 = −t =⇒ x1 = − 2t‬‬
‫‪o‬‬
‫‪|t∈R‬‬
‫‬
‫‪− 2t‬‬
‫‪t‬‬
‫‪n‬‬
‫‬
‫‪t‬‬
‫‪2‬‬
‫‪o‬‬
‫= }‪TA−1 {b‬‬
‫‪= ker TA‬‬
‫‪=1−‬‬
‫‪|t∈R‬‬
‫‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‬
‫‪2−t‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1− 2t‬‬
‫‪t‬‬
‫‪n‬‬
‫= ‪x1‬‬
‫= }‪TA−1 {b‬‬
‫‪= ker TA +‬‬
‫הוכחה‪ .‬יהי ‪ .v ∈ ker TA‬צ"ל ש‪ .s + v ∈ TA−1 {b}-‬ואכן‪TA (s + v) = TA (s) + TA (v) = ,‬‬
‫‪ b + 0 = b‬ו‪ s + v ∈ TA−1 {b}-‬פתרון‪.‬‬
‫מצד שני‪ ,‬נניח כי }‪ .c ∈ TA−1 {b‬נתבונן בוקטור ‪TA (c − s) = TA (c) − TA (s) = :c − s‬‬
‫‪ ,b − b = 0‬ולכן ‪ .c − s ∈ ker TA‬נסמן ‪ ,v = c − s‬ואז‬
‫‪25‬ניזכר שהגרעין הוא מ"ו‪.‬‬
‫‪44‬‬
‫‪∈ ker TA‬‬
‫‪v‬‬
‫פתרון‬
‫‪.c = s +‬‬
‫‪4‬‬
‫‪21.1.2007‬‬
‫‪4.2‬‬
‫מערכות משוואות לינאריות‬
‫דירוג מטריצות – פתרון משוואות‬
‫משפט ‪ :66‬למערכת ‪ Ax + b‬יש פתרון )יחיד( אם"ם ‪ b ∈ im TA‬ו‪.ker TA = {0}-‬‬
‫הוכחה‪ .‬נניח שהתנאים מתקיימים‪ .‬כיוון ש‪ ,b ∈ im TA -‬קיים ‪ v ∈ Fn‬כך ש‪.Av = TA (v) = b-‬‬
‫מכאן‪ v ,‬פתרון‪ .‬כעת‪ ,‬יהיו ‪ v2 ,v1‬שני פתרונות‪ .‬אז ) ‪ .TA (v1 ) = TA (v2‬לכן ‪,TA (v1 − v2 ) = 0‬‬
‫ומכאן }‪ .v1 − v2 = ker TA = {0‬מכאן‪.v1 − v2 = 0 ⇐⇒ v1 = v2 ,‬‬
‫מצד שני‪ ,‬נניח שיש פתרון יחיד ‪ ,Av = TA (v) = b .v‬ולכן ‪ .b ∈ im TA‬כעת ניקח‬
‫‪ .u ∈ ker TA‬אז ‪ .TA (u + v) = TA (u) + TA (v) = 0 + b = b‬לכן ‪ ,TA (u + v) = b‬ומכאן‬
‫‪ u + v‬אף הוא פתרון של המערכת‪ .‬אולם הנחנו שהפתרון יחיד‪ ,‬ולכן ‪.u + v = v ⇐⇒ u = 0‬‬
‫מכאן }‪ .ker TA ⊆ {0‬ודאי מתקיים ‪ ,{0} ⊆ ker TA‬ולכן }‪.ker TA = {0‬‬
‫‬
‫אם ‪ Ax = b‬מערכת משוואות ))‪ ,(A ∈ Mm×n (F‬מוגדרת העתקה לינארית → ‪TA : Fn‬‬
‫‪ .Fm‬על‪-‬פי משפט המימדים‪ .n = dim ker TA + dim im TA ,‬כלומר‪n − dim im TA = ,‬‬
‫מרחב הפתרונות ‪ .dim‬אך מהו ‪ ?dim imTA‬איךמחשבים את ‪?im TA‬‬
‫נסמן‪ ,‬עבור מטריצה‬
‫‪‬‬
‫אז ) ↓‪ = ( a1↓ ... an‬‬
‫‪a~1‬‬
‫‪..‬‬
‫‪.‬‬
‫‪a~n‬‬
‫‪a11 ... a1n‬‬
‫‪..‬‬
‫‪..‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪am1 ... amn ‬‬
‫= ‪ a~i ,A‬השורה ה‪ i-‬של ‪ A‬ו‪ ai ↓-‬העמודה ה‪ i-‬של ‪.A‬‬
‫‪.A = ‬‬
‫טענה ‪im TA = span {a1 ↓, . . . , an ↓} :67‬‬
‫הוכחה‪ .‬נשים לב ש‪ A-‬היא מטריצת הייצוג של ההעתקה ‪ TA‬לפי הבסיסים הסטנדרטיים של ‪,Fn‬‬
‫‪1‬‬
‫מ‪En -‬‬
‫‪0‬‬
‫= ‪TA ( e1 ) = [TA (e1 )]Em = TA  .. ‬‬
‫‪ – Fm‬כלומר‪,‬‬
‫‪‬‬
‫↓ ‪ = a1‬‬
‫‪a11‬‬
‫‪..‬‬
‫‪.‬‬
‫‪am1‬‬
‫‪.‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪0 ‬‬
‫= ‪ .. ‬‬
‫‬
‫‪.‬‬
‫‪0‬‬
‫‪a11 ... a1n‬‬
‫‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪am1 ... amn‬‬
‫‪0‬‬
‫= ‪ .= A  .. ‬זה נכון לכל ‪ ;i = 1 . . . n‬כלומר‪,‬‬
‫‪.‬‬
‫‪0‬‬
‫↓ ‪.∀i = 1 . . . nTA (ei ) = ai‬‬
‫מכאן‪.im TA = span {TA (e1 ), . . . , TA (en )} = span {a1 ↓, . . . , an ↓} ,‬‬
‫הגדרה‪ span {a1 ↓, . . . , an ↓} .‬נקרא מרחב העמודות של ‪ .A‬המימד שלו‪ ,‬דרגת העמודות של‬
‫‪ ,A‬מסומן )‪.rc (A‬‬
‫‪4.2‬‬
‫דירוג מטריצות – פתרון משוואות‬
‫דוגמה‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫=‬
‫‪2x5‬‬
‫‪+‬‬
‫‪5x4‬‬
‫‪+‬‬
‫‪2x3‬‬
‫‪4‬‬
‫=‬
‫‪4x5‬‬
‫‪+‬‬
‫‪2x4‬‬
‫‪+‬‬
‫‪2x3‬‬
‫‪2‬‬
‫=‬
‫‪x5‬‬
‫‪−‬‬
‫‪x4‬‬
‫‪+‬‬
‫‪6‬‬
‫=‬
‫‪6x5‬‬
‫‪+‬‬
‫‪7x4‬‬
‫‪+‬‬
‫‪45‬‬
‫‪4x3‬‬
‫‪+‬‬
‫‪+‬‬
‫‪3x2‬‬
‫‪+‬‬
‫‪3x1‬‬
‫‪x2‬‬
‫‪+‬‬
‫‪x1‬‬
‫‪3x2‬‬
‫‪+‬‬
‫‪3x1‬‬
‫דרגת העמודות ‪,‬מרחב העמודות‬
‫‪4.2‬‬
‫‪4‬‬
‫דירוג מטריצות – פתרון משוואות‬
‫מערכות משוואות לינאריות‬
‫נכתוב את המערכת כמטריצת מקדמים‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪5‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪4‬‬
‫‪4‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1 −1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪6‬‬
‫‪7‬‬
‫‪4‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪6‬‬
‫בשלב א’‪ ,‬נרצה לחלץ את ‪ x1‬מכל המשוואות פרט לראשונה‪ .‬לשם כך‪ ,‬נחליף בין שורה ‪1‬‬
‫ו‪R1 ↔ R3 :3-‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1 −1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪4‬‬
‫‪4‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪5‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪6‬‬
‫‪6‬‬
‫‪7‬‬
‫‪4‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪R4 → R4 − 3R1 ,R3 → R3 − 3R1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1 −1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪4‬‬
‫‪4‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪5‬‬
‫‪5‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪9‬‬
‫‪9‬‬
‫‪4‬‬
‫‪4‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫בשלב ב’‪ ,‬נרצה לחלץ את ‪ x2‬מכל המשוואות פרט לשנייה‪ .‬לא נוכל לעשות זאת מבלי לפגוע‬
‫בהישגים הקודמים‪ ,‬לכן נעבור לשלב ג’‪.‬‬
‫בשלב ג’‪ ,‬נרצה לחלץ את ‪ x3‬מכל המשוואות פרט לשנייה )כי שלב ב’ נכשל(‪.‬‬
‫‪R4 → R4 − 3R1 ,R3 → R3 − 3R1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1 −1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪5‬‬
‫‪5‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪9‬‬
‫‪9‬‬
‫‪4‬‬
‫‪4‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪R4 → R4 − 4R2 ,R3 → R3 − 2R2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1 −1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪46‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2 R2‬‬
‫→ ‪R2‬‬
‫‪4‬‬
‫‪4.3‬‬
‫מערכות משוואות לינאריות‬
‫מטריצת מדרגות קנונית‬
‫בשלב ד’‪ ,‬נרצה לחלץ את ‪ x3‬מכל המשוואות פרט לשלישית‪ .‬לא נוכל לעשות זאת מבלי‬
‫לפגוע בהישגים הקודמים‪ ,‬לכן נעבור לשלב ה’‪.‬‬
‫בשלב ה’‪ ,‬נרצה לחלץ את ‪ x4‬מכל המשוואות פרט לשלישית )כי שלב ד’ נכשל(‪R1 → .‬‬
‫‪R4 → R4 − R3 ,R2 → R2 − 2R3 ,R1 + R3‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫כעת נפתור‪ ;x5 = 1 :‬לגבי ‪ x4‬אין מספיק נתונים‪ ,‬וכל בחירה שלו תשפיע על המשתנים‬
‫האחרים‪ .‬לכן נסמן ‪ .x4 = t‬כנ"ל לגבי ‪ .x2 = s‬בסוף נקבל שפתרון המערכת הוא‬
‫)‪ .(−t − s, s, −t, t, 1‬כלומר‪ ,‬קבוצת הפתרונות היא הישרייה‬
‫‪     ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪0‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪−t − s‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 0‬‬
‫‪ 0   1 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪ s ‬‬
‫‪ −t  | t, s ∈ R = span  −1  ,  0  +  0 ‬‬
‫‪     ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪t‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 1‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ x4 ,x2‬נקראים משתנים חופשיים‪ x5 ,x3 ,x1 .‬נקראים משתנים מובילים )פותחים(‪ .‬מימד‬
‫מרחב הפתרונות זהה למספר המשתנים החופשיים; כזכור‪ ,‬מרחב הפתרונות ‪ ,n − rc = dim‬וכיוון שמספר‬
‫המשתנים בסך‪-‬הכל הוא ‪ ,n‬הרי מספר המשתנים המובילים = מספר המשתנים החופשיים ‪.rc = n −‬‬
‫‪4.3‬‬
‫מטריצת מדרגות קנונית‬
‫‪24.1.2007‬‬
‫הגדרה‪ .‬מטריצה ‪ B‬מסדר ‪ m × n‬נקראת מטריצת מדרגות קנונית אם ‪ B = 0‬או ‪ k ≤ n‬כך ש‪-‬‬
‫א‪ .‬העמודות הסטנדרטיות ‪ e1 , . . . , ek‬מופיעות לפי הסדר‪ ,‬אך לא בהכרח ברצף‪ ,‬כעמודות ‪;B‬‬
‫ב‪ .‬אם ניצור קו מדרגות – כלומר‪ ,‬קו שמתחיל מעל האיבר הראשון של ‪ B‬ומתקדם ימינה עד‬
‫שפוגש את האיבר ‪ 1‬של העמודה הסטנדרטית הראשונה‪ ,‬אז הוא יורד שורה למטה‪ ,‬וכן‬
‫הלאה עד שעבר על כל העמודות‪.‬‬
‫בניסוח אחר‪ :‬מטריצה ‪ B‬נקראת מטריצת מדרגות קנונית אם –‬
‫א‪ .‬כל שורות האפס נמצאות מתחת לשורות שאינן אפס;‬
‫ב‪ .‬האיבר הפותח של כל שורה נמצא מימין לאיבר הפותח של השורה שלפניה;‬
‫ג‪ .‬האיבר הפותח של כל שורה שאינה אפס הוא ‪ ,1‬ויתר האיברים בעמודתו הם אפסים‪.‬‬
‫‪47‬‬
‫מטריצת מדרגות קנונית‬
‫מטריצות אלמנטריות‬
‫‪4.4‬‬
‫מערכות משוואות לינאריות‬
‫‪4‬‬
‫כל איבר פותח מתאים למשתנה פותח )משתנה שנקבע על‪-‬ידי משתנים אחרים(‪.‬‬
‫משפט ‪ :68‬נתבונן במערכת ‪ .Ax = b‬ניתן לדרג את ‪ A‬כך שבסיום הדירוג נקבל מטריצת מדרגות‬
‫קנונית במקום ‪ c .A‬פתרון של ‪ c ⇐⇒ Ax = b‬פתרון של המערכת המדורגת‪.‬‬
‫‪4.4‬‬
‫מטריצות אלמנטריות‬
‫‪ .1‬נסמן ב‪ (α 6= 0 ,i 6= j) Eij (α)-‬את המטריצה מסדר ‪ m × m‬שבאלכסון שלה ‪-1‬ים‪,‬‬
‫במקום ה‪ (i, j)-‬מופיע ‪ α‬וכל השאר אפסים‪.‬‬
‫המטריצה ‪ Eij (α)A‬מתקבלת מ‪ A-‬על‪-‬ידי הפעולת ‪.Ri → Ri + αRj‬‬
‫‪ 1 0 0 a11 a12 a13 a11‬‬
‫‬
‫‪a12‬‬
‫‪a13‬‬
‫‪a21 a22 a23‬‬
‫‪a21 +αa31 a22 +αa32 a23 +αa33‬‬
‫‪01α‬‬
‫דוגמה‪.‬‬
‫=‬
‫‪a a a‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a‬‬
‫‪32‬‬
‫‪33‬‬
‫‪33‬‬
‫‪31‬‬
‫‪32‬‬
‫‪00 1‬‬
‫‪31‬‬
‫‪ .2‬נסמן ב‪ (α 6= 0) Ei (α)-‬את המטריצה מסדר ‪ m × m‬שבאלכסון שלה ‪-1‬ים פרט למקום‬
‫ה‪ (i, i)-‬בו מופיע ‪ α‬וכל השאר אפסים‪.‬‬
‫המטריצה )‪ Ei (α‬מתקבלת מ‪ A-‬על‪-‬ידי הפעולה ‪.Ri → αRi‬‬
‫ ‪ 1 0 0 a11 a12 a13 a11 a12 a13‬‬
‫‪a21 a22 a23‬‬
‫‪21 αa22 αa23‬‬
‫‪0α0‬‬
‫‪= αa‬‬
‫דוגמה‪.‬‬
‫‪a a a‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a‬‬
‫‪32‬‬
‫‪33‬‬
‫‪31‬‬
‫‪32‬‬
‫‪33‬‬
‫‪0 0 1‬‬
‫‪31‬‬
‫‪ .3‬נסמן ב‪ (i 6= j) Pij -‬את מטריצת היחידה מסדר ‪ m × m‬שהפכו בה שורה ‪ i‬עם שורה ‪.j‬‬
‫המטריצה ‪ Pij A‬מתקבלת מ‪ A-‬על‪-‬ידי הפעולה ‪.Ri ↔ Rj‬‬
‫ ‪ 0 1 0 a11 a12 a13 a21 a22 a23‬‬
‫‪a21 a22 a23‬‬
‫‪100‬‬
‫דוגמה‪= aa11 aa12 aa13 .‬‬
‫‪a a a‬‬
‫‪33‬‬
‫‪32‬‬
‫‪31‬‬
‫‪33‬‬
‫‪31‬‬
‫‪32‬‬
‫‪001‬‬
‫כעת‪ ,‬אם במקום לדרג את המטריצה ‪ A‬נכפיל בכל פעם במטריצה אלמנטרית‪ ,‬נקבל‬
‫‪ K = Et . . . E1 A‬כאשר ‪ K‬מטריצת מדרגות ‪ E1 , . . . , Et‬מטריצות אלמנטריות מהסוגים‬
‫שהוגדרו לעיל‪.‬‬
‫נשים לב כי )‬
‫‪−1‬‬
‫‪= Eij (α‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪,Eij‬‬
‫)‪(α‬‬
‫)‬
‫‪−1‬‬
‫‪= Ei (α‬‬
‫)‪Pij ,Ei−1 (α‬‬
‫=‬
‫‪.Pij−1‬‬
‫)הוכחה –‬
‫כתרגיל‪(.‬‬
‫ניתן להוכיח כי מכפלה של מטריצות הפיכות היא מטריצה הפיכה )‬
‫‪−1‬‬
‫‪A‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪=B‬‬
‫‪−1‬‬
‫)‪.((AB‬‬
‫לכן ‪ Et . . . E1 = C‬היא מטריצה הפיכה‪ .‬כדי להגיע מ‪ A-‬למטריצת המדרגות ‪ ,K‬הכפלנו את ‪A‬‬
‫במטריצה ההפיכה ‪.K = CA :C‬‬
‫משפט ‪ :69‬תהי ‪ Ax = b‬מערכת לינארית‪ .A ∈ Mm×n (F) ,‬תהי ‪ C‬מטריצה הפיכה מסדר ‪.m‬‬
‫אז למערכת ‪ (CA)x = Cb‬ולמערכת ‪ Ax = b‬אותם פתרונות‪.‬‬
‫הוכחה‪ .‬יהי ‪ d‬פתרון של המערכת ‪ .Ax = b‬אז ‪ .Ad = b‬לכן = ‪C(Ad) = Cb ⇐⇒ (CA)d‬‬
‫‪ ,Cb‬ומכאן ‪ d‬פתרון של המערכת ‪.(CA)x = Cb‬‬
‫כעת‪ ,‬נניח ש‪ d-‬הוא פתרון של המערכת ‪ .(CA)x = Cb‬אז ‪ d‬מקיים ‪.(CA)d = Cb‬‬
‫לכן ‪ ,C −1 ((CA)d) = C −1 (Cb) ⇐⇒ ((C −1 C)A)d = (C −1 C)b‬ומכאן ‪ d‬פתרון של‬
‫‪.Ax = b‬‬
‫‪48‬‬
‫‪4‬‬
‫‪4.5‬‬
‫מערכות משוואות לינאריות‬
‫טיפ לחיים‬
‫מסקנה ‪ :70‬אם ‪ Ax = b‬ו‪ K-‬מטריצה שהתקבלה מ‪ A-‬על‪-‬ידי פעולות דירוג‪ ,‬אז ל‪ A-‬ול‪K-‬‬
‫אותם פתרונות‪.‬‬
‫‪4.5‬‬
‫טיפ לחיים‬
‫נעיר כי דירוג שומר על מרחב השורות‪ .‬לכן‪ ,‬אם רוצים למצוא בסיס למרחב וקטורי כלשהו‪,‬‬
‫מסדרים וקטורים מקבוצה פורשת‪ ,‬כותבים כשורות מטריצה ומדרגים‪ .‬מרחב השורות האלו זהה‬
‫למרחב הוקטורים המקוריים‪ ,‬ושורות אלו בת"ל‪ .‬הקץ לבדיקות מייגעות! בהצלחה במבחן!‬
‫‪49‬‬