אלגברה 2מח 11020 - מבחן מועד א׳ ,תשע׳׳ה 9.2.2015 - שאלה 15) 1נק׳( א 7) .נק׳( תן דוגמה של מטריצת הטלה Aב R3×3 -כך ש- .dim(ColA) = 1הסבר היטב איך בנית את המטריצה המבוקשת. 2 ב 8) .נק׳( נתון וקטור .x = 2 מצא מטריצת שיקוף Bב R3×3 -כך −1 ש־ Bx = xו By = −y -לכל yאורתוגונלי ל.x - שאלה 15) 2נק׳( יהי ] V = P2 [xהמרחב של פולינומים ממעלה 2או פחות עם מכפלה פנימית ) .hf, gi = f (0)g(0) + f (1)g(1) + f (2)g(2יהי h(x) = x ויהי }.U = sp{x2 − 2x, x − 1 א 3) .נק׳( הראה ש x2 −2x -אורתוגונלי ל x−1 -ביחס למכפלה הפנימית הנתונה. ב 9) .נק׳( מצא את ההיטל האורתוגונלי ) p(xשל ) h(xעל Uביחס למכפלה הפנימית הנתונה. ג 3) .נק׳( חשב את מינימום של kh(x) − f (x)kביחס למכפלה הפנימית הנתונה כאשר .f (x) ∈ U שאלה √10) 3נק׳( 3 1 . 2 + i 2 bמצא את המספרים ) b, c, dכל האפשרויות( כך שהמטריצה c d הנתונה תהיה יוניטרית. שאלה 15) 4נק׳( נתון u, v, wבסיס אורתונורמלי של R3ומטריצה A שמקיימת .Au = v + w, Av = w + u, Aw = u + v א 3) .נק׳( מצא וקטורים x, y, zכך ש) A = xuT + yvT + zwT -בטא את x, y, zלפי .(u, v, w ב 5) .נק׳( הוכח כי Aסימטרית. ג 7) .נק׳( הראה ש u − v, v − w -ו u + v + w -הם וקטורים עצמיים של AT Aומצא את כל הערכים הסינגולריים של .A שאלה 15) 5נק׳( תהי Aמטריצה ריבועית .n × n א 7) .נק׳( הוכח שאם קיימים x, y ∈ Rnכך ש Ax = y -ו,kxk > kyk - אז Aאיננה אורתוגונלית. ב 8) .נק׳( אם ,A(Sn−1 ) = Sn−1כלומר ,התמונה תחת Aשל ספרת היחידה היא ספרת היחידה עצמה ,הוכח ש A -אורתוגונלית. תזכורת.Sn−1 = {x ∈ Rn | kxk = 1} : 1 שאלה 15) 6נק׳( 1 תהי Aמטריצת שיקוף כלפי תת-מרחב .U = sp 2 −2 א 5) .נק׳( מצא את .A ב 5) .נק׳( נרכיב תבנית ריבועית .q(x) = xT Axהראה ש־ ) q(xאיננה מוגדרת. ג 5) .נק׳( מצא את המקסימום של ) q(xעם האילוץ .||x|| = 1 שאלה 15) 7נק׳( יהי Uתת-מרחב של Rnכאשר .dim U < nתיינה P מטריצת ההטלה ו R -מטריצת השיקוף ביחס ל .U -הוכח או הפרך את הטענות הבאות: א 8) .נק׳( לכל x ∈ Rnמתקיים .P x · x ≥ 0 ב 7) .נק׳( לכל x ∈ Rnמתקיים .Rx · x ≥ 0 הערה :אין להשתמש בגיאומטריה של R2או R3ואין להניח ש U -היפר מישור. 2
© Copyright 2024