מרחבים דואלים
מרחבים דואלים
24בפברואר 2015
מרחב דואלי
יהי Vמרחב וקטורי מעל שדה .F
הגדרה V ∨ := HomF (V, F) = L (V, F) 0.1יקרא המרחב הדואלי של .V
איבר ב־ ∨ Vיקרא תבנית לינארית או פונקציונל לינארי על . V
דוגמאות:
.1יהי Vמרחב ממימד סופי מעל שדה Fו־ ) B = (b1 , . . . , bnבסיס סדור של . V
לכל v ∈ Vקיימת x1 , . . . , xnסדרה סופית ב־ Fעם
1
x
Pi=n
..
i
.v = i=1 bi x = (b1 , . . . , bn ) . = Bx
xn
li (v) := xiמגדירה פונקציונל על .V
.2יהי .V = Fncolתהי ) a = (a1 , . . . , anסדרה סופית ב־. F
1
x
..
1
n
la (x) := a1 x + · · · + an x = (a1 , . . . , an ) .
xn
מגדירה פונקציונל על . Fncol
הערה :ניתן לזהות את ) (a1 , . . . , anעם a1 . . . anהמטריצה של laבבסיסים
הסטנדרטים.
∨
טענה :כל פונקציונל על Fncolמוגדר בצורה כזו .על כן ניתן לזהות ) (Fncolעם .Fnrow
למעשה ההעתקה
∨
) (Fncol
la
ϕ
→−
→7
הינה איזומורפיזם לינארי מעל . F
∨
בצורה דומה ניתן להראות כי .(Fnrow ) ' Fncol
1
Fnrow
a
.3יהי ] V = F [Tמרחב הפולינומים במשתנה Tעם מקדמים ב־.F
יהי C = 1, T, T 2 , . . .הבסיס הסטנדרטי.
] a (T ) ∈ F [Tניתן לזיהוי עם סדרה ) (a0 , a1 , . . .מתאפסת כמעט תמיד .כמו קודם
ניתן להגדיר
li (a) := ai
Sלשדה
.4תהי Sקבוצה כלשהי ו־} V = F (S) := {f : S → Fמרחב הפונקציות מ־ ּ
.F
נוכל להתבונן בזיווג
F (S) × S −→ F
(l, s) 7→ l (s) = s (l) = evals (f ) =: hl, si
נניח כי נתונה פונקציה f : S → Tכאשר ) S = dom (f ) , T = codom (fהתחום והקו־
תחום )טווח( של fבהתאם .עבור איבר s ∈ Sאנו רגילים לחשוב על הביטוי ) f (sבמונחים
"מה עושה fל ."sלמעשה אנו חושבים על fעצמה דרך משפחת הערכים .(f (s))s∈S
נתבונן עתה על כל הפונקציות ) F (S, Tעם אותו זוג של תחום וקו־תחום .עבור איבר
s ∈ Sנוכל להתבונן בביטוי ) f (sבמונחים "מה עושה sל ."fמנקודת מבט זו מתאים
להשתמש בסימון ) .s (fלמעשה נוכל לחשוב על הזוג ) (f, sכבחירה אחת אפשרית ,איבר
אחד בקבוצה F (S) × Sולסמן ב ) f (s) =: hf, si := s (fאת הערך )ב (Tשמתקבל.
נמחיש את ההתבוננות הדואלית הזו במצב מוכר .נחשוב על כל הפונקציות הפולינומיאליות
שמוגדרות על הישר הממשי .עם נחשוב על פונקציה אחת כזו יש טעם לשאול מהי קבוצת
האפסים שלה .אם נחשוב על נקודה אחת על הישר יש טעם לשאול מהי קבוצת הפונקציות
שמתאפסות בה.
evals
לכל s0 ∈ Sההעתקה ) f 7−→0 f (s0מגדירה איבר ∨ .evals0 ∈ V
מקרים מיוחדים:
S = I ⊂ Rקטע ו־) V = C (Iמרחב הפונקציות הרציפות ב־.I
S = I ⊂ Rקטע ו־) V = B (Iמרחב הפונקציות החסומות ב־.I
S = I ⊂ Rקטע ו־) V = D (Iמרחב הפונקציות הגזירות ב־.I
) f 7→ f 0 (s0
S = [a, b] ⊂ Rקטע ו־)] V = R ([a, bמרחב הפונקציות אינטגרביליות ב־].[a, b
אז
b
ˆ
→f 7
f
a
מגדירה פונקציונל על . V
V = Mn (F) .5ו־) .A ∈ Mn (Fאז ) A 7→ tr (Aמגדירה פונקציונל על . V
אבל ) A 7→ det (Aאיננה מגדירה פונקציונל על Vעבור .1 < dimF V
2
בסיס דואלי
אם Vממימד סופי אזי .dim V ∨ = dim V
יהי ) B = (b1 , . . . , bnבסיס סדור של .Vיהיו x ∈ V , i = 1, . . . nמוגדרים על ידי
(
1 i=j
= ) xi (bj
0 i 6= j
∨
משפט 0.2
i
B ∨ = x1 , . . . , xnבסיס של ∨ .V
הוכחה) :אי תלות(
i
∨
a
x
=
0
∈
V
עם
ב־F
a
יהיו , . . . , an
i
1
i
)יוצרים(
∨
.a
=:
l
(b
)
יהיו
l
∈
V
בהינתן
j
j
P
P
i
i
.
a
x
(b
)
=
a
=
l
(b
)
אמנם
.l
=
a
x
טענה:
i
j
j
j
i
i
i
P
= .lאזי .l (bj ) = aj = 0
∨
מסקנה 0.3אם Vממימד סופי מעל Fאז .(V ) ' V
טענה 0.4לכל v ∈ Vולכל ∨ l ∈ Vמתקיים
bi xi , v
X
=
X
=
v
i
hl, bi i xi
l
i
מאפסים
בסעיף זה כל המרחבים יהיו ממימד סופי.
הגדרה 0.5תהי .S ⊂ Vהקבוצה ∨ S 0 = {l ∈ V ∨ : l (v) = 0, ∀v ∈ S} ⊂ Vתיקרא
המאפס של .S
משפט
.1
.2
.3
0.6יהי Vמרחב וקטורי ממימד סופי מעל Fו .S, T ⊂ Vאזי
∨ .S 0 C V
0
0
0
)).S = Span (S) := (Span (S
0
0
אם S ⊂ Tאז .T ⊂ S
הגדרה 0.7תהי ∨ .L ⊂ Vהקבוצה L0 = {v ∈ V : l (v) = 0, ∀l ∈ L} ⊂ Vתיקרא
המאפס או קבוצת האפסים של .L
משפט
.1
.2
.3
0.8יהי Vמרחב וקטורי ממימד סופי מעל Fו ∨ .L, M ⊂ Vאזי
.L0 C V
.L0 = Span0 (L) := (Span (L))0
אם L ⊂ Mאז .M0 ⊂ L0
3
הזיווג של Vעם ∨ V
נתבונן בזיווג
F
hl, vi
→−
×V
→7
)(l, v
∨
V
משפט 0.9אם Vמרחב וקטורי מעל שדה Fאז
לכל ∨ l ∈ Vההעתקה ) v 7→ l (vהינה לינארית במשתנה ,v ∈ V
לכל v ∈ Vההעתקה ) l 7→ v (lהינה לינארית במשתנה ∨ . l ∈ V
הוכחה) :מיידית(
∨
מסקנה 0.10אם Vמרחב וקטורי מעל שדה Fאז כל v ∈ Vמגדיר איבר ) ∨ evalv ∈ (V
במרחב הדואלי של ∨ .V
∨
זיהוי של Vעם ) ∨ V ∨∨ := (V
משפט 0.11יהי Vמרחב וקטורי ממימד סופי מעל .Fאזי ההעתקה
∨∨ V
→−
eval
V
evalv
→7
v
הינה איזומורפיזם לינארי מעל .F
הוכחה) :לינאריות(
יהיו v, w ∈ Vו . a, b ∈ Fצריך להראות כי .evalav+cw = a evalv + c evalw
לכל ∨ l ∈ Vמתקיים
)evalav+cw (l) = l (av + cw) = al (v) + cl (w) = (a evalv + c evalw ) (l
)איזומורפיזם(
משיקולי מימד )המרחבים הם בעלי אותו מימד סופי מעל השדה( מספיק להראות
שהגרעין שווה לאפס.
אם v ∈ Vמקיים evalv = 0אזי לכל ∨ l ∈ Vמתקיים .evalv (l) = l (v) = 0
בתנאים אלה v = 0 ∈ Vכי אחרת ניתן להגדיר תבנית לינארית על Vאשר אינה
מתאפסת על .v
מסקנה 0.12אם Vמרחב וקטורי ממימד סופי מעל שדה Fאזי לכל בסיס סדור = ∨ B
x1 , . . . , xnשל ∨ Vקיים בסיס סדור ) B = (b1 , . . . , bnשל Vכך ש ∨ Bהינו הבסיס
∨
הדואלי של .Bאכן מספיק לבנות את הבסיס הדואלי ) ∨ .(Bהזיהוי בין Vלבין ∨∨ V
מאפשר לזהות את האחרון עם בסיס סדור ) B = (b1 , . . . , bnשל Vעם התכונה
evalbj xi = xi (bj ) = δji
ומכאן המסקנה.
4
תרגיל )חשוב(:
אם Vמרחב וקטורי ממימד סופי מעל שדה Fאזי
.1עבור ,(∀l ∈ V ∨ ) hl, vi = 0 ⇔ v = 0 ,v ∈ V
.2עבור ∨ .(∀v ∈ V ) hl, vi = 0 ⇔ l = 0 ,l ∈ V
הערה :המשפט הינו נכון ללא ההנחה על המימד אך ההוכחה יותר מסובכת )אתגר !(.
סופי מעל .Fאזי
משפט 0.13יהי Vמרחב וקטורי ממימד
.1לכל S ⊂ Vמתקיים ), S 0 0 = Span (S
.2יתר על כן S C Vאם ורק אם . S 0 0 = S
0
.3לכל ∨ L ⊂ Vמתקיים ),(L0 ) = Span (L
0
.4יתר על כן ∨ L C Vאם ורק אם .(L0 ) = L
הוכחה S ⊂ S 0 0 .1 :לכן .Span (S) ⊂ S 0 0
של Vעם ) .Span (S) = Span (b1 , . . . , br
יהי ) B = (b1 ,∨. . . , br ,1 br+1 , . .n.bnבסיס סדור
אז :S 0 = Span xr+1 , . . . , xn
אם B = x , . . . , x
הבסיס הדואלי
P
Pr
אם v = i bi xi , v ∈ S 0 0אז .v = i=1 bi xi , v ∈ S
.2אם S C Vאז ) S = Span (Sולכן .S = S 0 0
בכיוון השני ,אם נניח את השויון האחרון נקבל ).S = S 0 0 = Span (S
) .3תרגיל(
) .4עוד תרגיל(
אם Vממימד סופי הזיווג V ∨ × V −→ Fמעמיד את שני המרחבים במעמד סימטרי כאשר
האחד הינו הדואלי של השני .בסיסים דואלים באים בזוגות במעמד סימטרי .תתי מרחב אף
הם באים בזוגות כאשר האחד הינו המאפס או קבוצת האפסים של השני.
הערה :אם זיהוי זה ,עבור ∨ L ⊂ Vניתן לכתוב . L0 = L0
דוגמה חשובה :פולינומים לינארים הומוגנים
נסמן ב־] F1 [T1 , . . . , Tnאת מרחב הפולינומים ההומוגנים הלינארים במשתנים T1 , . . . , Tn
יחד עם הפולינום אפס.
לכל ] l(T1 , . . . , Tn ) ∈ F1 [T1 , . . . , Tnקיימת ) (a1 , . . . , anסדרה סופית ב־ Fnעם
l(T1 , . . . , Tn ) = a1 T1 + · · · + an Tn
∨
n
n
איזומורפיזם של מרחבים לינארים מעל .F
טענה 1F1[T1 , . . . , Tn ] ' Frow ' (Fcol ) :
x
תהי ] L ⊂ F1 [T1 , . . . , Tnויהי x = ... ∈ Fncolונכתוב . l (x) = l x1 , . . . , xn
xn
נוכל לומר
x ∈ L0 ⇔ (∀l ∈ L) (l (x) = 0 = x (l)) ⇔ x ∈ L0
5
משפט 0.14יהי Vמרחב וקטורי ממימד סופי מעל .Fאזי לכל W C Vמתקיים
dimF (W ) + dimF W 0 = dimF V
הוכחה :יהי ) B = (b1 , . . . , br , br+1 , . . . bnבסיס סדור של Vעם ) .W = Span (b1 , . . . , br
יהי B ∨ = x1 , . . . , xnהבסיס הדואלי.
אזי : W 0 = Span xr+1 , . . . ,xn
Span Pזה מובן.
xr+1 , . . . , xn ⊂ W 0
l (bi ) = hl, bi i = 0,P
אם l = i hl, bi i xi ∈ W 0אז ∀i = 1, . . . , r
n
לכן . l = i=r+1 hl, bi i xi ∈ Span xr+1 , . . . , xn
מסקנה 0.15לכל ∨ W C Vמתקיים
dimF (W ) + dimF (W0 ) = dimF V
משפט 0.16יהי Vמרחב וקטורי ממימד סופי מעל .Fיהיו S1 , S2 C Vו ∨ . L1 , L2 C V
אזי
0
(S1 + S2 ) = S10 ∩ S20 .1
0
(S1 ∩ S2 ) = S10 + S20 .2
0
(L1 + L2 ) = L01 ∩ L02 .3
0
(L1 + L2 ) = L01 ∩ L02 .4
הוכחה) :תרגיל(
ההעתקה הדואלית
תהי f : V → Wהעתקה לינארית בין מרחבים וקטורים מעל שדה .Fלכל
ההרכבה
f
l
l◦f :V →W →F
שייכת ל ∨ .Vנקבל בצורה זו ההעתקה
∨V
→−
f ∨ (l) := l ◦ f
→7
עם )) f ∨ (l) (v) = l (f (vלכל .v ∈ V
6
∨f∨ : W
l
∨
l ∈ W
משפט f ∨ : W ∨ −→ V ∨ 0.17אשר נקראת ההעתקה הדואלית של fהינה לינארית ויחידה
עם התכונה
hf ∨ (l) , vi=hf, l (v)i
לכל .l ∈ V ∨ , v ∈ V
הוכחה) :מיידית(
מרחבים וקטורים באים בזוגות והעתקות ליניאריות ביניהם גם הן באות בזוגות.
f
W
→−
V
∨W
←−
∨
∨
f
V
דוגמה :תהי ).A ∈ Mm×n (F
מטריתה זו מגדירה את ההעתקות
l
Fm
col
A
→−
Fncol
Fm
row
←−
Fnrow
rA
∨
∨
.rA
lAובאופן סימטרי = lA
נראה כי = rA
n
m
צריך לוודא כי לכל x ∈ Fcol , w ∈ Frowמתקיים
hrA (w) , xi = hw, lA (x)i
קרי ) ,(wA) x = w (Axזהות שהינה תוצאה של תכונת האסוציאטיביות של מכפלת
מטריצות.
נשים לב שבהקשר זה מתקיים
) im (lA
=
)C (A
) im (rA
=
)R (A
x ∈ Fncol , w ∈ Fmמתקיים
כמו כן לכל row
) x ∈ R0 (A) ⇔ Ax = 0 ⇔ x ∈ ker (lA
) w ∈ C 0 (A) ⇔ wA = 0 ⇔ w ∈ ker (rA
קרי
) ker (lA
=
) ker (rA
=
7
)R0 (A
0
)C (A
נמצא את המטריצה של ההעתקה rAבבסיסים הסטלדרטים .לרגע התשובה נראית מובנת
מאליה והשאלה מיותרת .אך כדי להגדיר את המטריצה של העתקה בין מרחבים וקטורים
ממימד סופי אנו בוחרים בסיסים סדורים עבור התחום והטווח אשר מאפשרים לזהות
אותם עם מרחבי עמודות )!( של קואורדינטות .במקרה שלפנינו זיהו זה נעשה באמצעות
איזומורפיזם ההחלפה ):(transposition
t
Fm
col
→−
wt
→7
Fncol
zt
Fm
row
w
t
→−
→7
Fnrow
z
אשר מזהה אף הוא את הבסיסים הסטנדרטיים )לפי שורות ולפי עמודות( בהתאמה.
אם כך מתקיים
w
r
A
←
↓t
wt
wA
↓t
←−
t
t
t
(wA) = A w
] [rA
מכאן מתקבל ,[rA ] = Atקרי המטריצה של ההעתקה דואלית היא המוחלפת של המטריצה
של ההעתקה המקורית.
נראה כי תכונות אלה מתקיימות באופן כללי.
משפט 0.18תהי f : V → Wהעתקה לינארית בין מרחבים וקטורים ממימד סופי מעל
שדה .F
אם ∨ f ∨ : W ∨ −→ Vההעתקה הדואלית אז מתקיים:
) ∨ ker (f
=
) (im f
0
) ker (f
=
(im f ∨ )0
הוכחה :עבור ∨ l ∈ V
0
) ∨ l ∈ (im f ) ⇔ (∀v ∈ V ) (l (f (v)) = 0 = f ∨ (l) (v)) ⇔ l ∈ ker (f
עבור v ∈ V
) v ∈ (im f ∨ )0 ⇔ (∀l ∈ V ∨ ) (f ∨ (l) (v) = 0 = l (f (v))) ⇔ v ∈ ker (f
8
משפט 0.19תהי f : V → Wהעתקה לינארית בין מרחבים וקטורים ממימד סופי מעל
שדה .F
יהיו ) B = (b1 , . . . , bnו B ∨ = x1 , . . . , xnבסיס סדור של Vוהבסיס הדואלי של
∨ Vבהתאמה,
∨
1
m
D = y , . . . , yבסיס סדור של Wוהבסיס הדואלי
יהיו ) D = (d1 , . . . , dmו
של ∨ W
בהתאמה ,
i
ותהי ] A = aj = [fהמטריצה של fבבסיסים Bו .D
h i
j
t
∨
אזי המטריצה של ∨ fבבסיסים ∨ Dו ∨ Bבהתאמה נתונה על ידי ] A = ai = [f
המטריצה המוחלפת של . A
הוכחה :מתקיים .f (B) = DAנראה כי .f ∨ (D∨ ) = B ∨ At
)) f ∨ y j (v) = y j (f (vלכל . v ∈ Vבפרט
f ∨ y j (bi ) = y j (f (bi )) = y j (DAi ) = aji
9
© Copyright 2024