1. No category

‫תכנית לימודים ‪ 4 -‬יח"ל‬
‫י‪ ,‬יא‪ ,‬יב‬
‫פירוט לכיתה י‬
‫תכנית לימודים ‪ 4‬יחידות ‪ -‬פברואר ‪5102‬‬
‫תוכן העניינים‬
‫מבוא ‪1................................................................................‬‬
‫רציונל התכנית‪1....................................................................‬‬
‫מטרות‪-‬העל של התכנית ‪2......................................................‬‬
‫עקרונות ‪2.............................................................................‬‬
‫תכנית חדשה לכיתות י – ‪ 4‬יח"ל‪5............................................‬‬
‫אלגברה‪ ,‬מבוא לפונקציות ואנליזה – כיתה י‪11..........................‬‬
‫סטטיסטיקה‪22.......................................................................‬‬
‫הסתברות (ככלי בלבד) והסקה סטטיסטית – כיתה י"א‪03..........‬‬
‫נספח ‪ :1‬גאומטריה וטריגונומטריה – בסיס לתכנית כיתות י"א‪-‬י"ב ‪00.......‬‬
‫נספח ‪ :2‬אנליזה ‪ -‬בסיס לתכנית כיתות י"א‪-‬י"ב ‪44....................‬‬
‫תכנית לימודים ‪ 4‬יחידות ‪ -‬פברואר ‪5102‬‬
‫מבוא‬
‫תכנית הלימודים החדשה במתמטיקה לחטיבה העליונה בכל רמות הלימוד‪ ,‬ובפרט ברמה של ‪ 4‬יחידות‬
‫לימוד‪ ,‬באה להחליף את תכנית ההיבחנות הקודמת שפורסמה בשנת תש"ע ‪ .2313‬יותר משלושה עשורים‬
‫חלפו מאז פורסמה תכנית לימודים הקודמת במתמטיקה‪ ,‬ובמהלכם חלו שינויים רבים בתכנים הנלמדים‪,‬‬
‫בגישות להוראת המתמטיקה ובדרכי ההוראה של מקצוע זה בארץ ובעולם‪ .‬השינוי המשמעותי הוא מעבר‬
‫מדגש על טכניקה לדגש על רלוונטיות המתמטיקה למגוון תחומי חיים ועל יכולות הבנה‪ ,‬אוריינות‬
‫וקישוריות בין תחומים אלה‪ .‬תכנית זו בנויה על פי גישה זו‪.‬‬
‫המטרה המרכזית של מערכת החינוך היא הקניית ידע ויכולות לבוגריה‪ ,‬כך שיוכלו להתמודד עם אתגרים‬
‫בחייהם בעתיד‪ .‬על מנת להשיג את מטרה זו תלמידים אמורים לרכוש ידע דיסציפלינרי ולפתח יכולות‬
‫חשיבה ולמידה‪ .‬מקצוע המתמטיקה הוא מרכיב חיוני בהכשרה זו‪ ,‬הן בידע והן במיומנויות הנדרשים‬
‫להתמודדות עִ מו‪ .‬הצורך של בוגרי התיכון במתמטיקה נגזר מהמשך דרכם המקצועית שכן למסלולי‬
‫ההמשך (מסלולים מדעיים או טכנולוגיים‪ ,‬מדעי החברה‪ ,‬מדעי הרוח וכו') דרישות מתמטיות שונות‪.‬‬
‫רוב תוכני המתמטיקה הבסיסיים משותפים לתכנית זו ולתכנית ‪ 5‬יח"ל‪ ,‬אולם היקף התכנים ורמת‬
‫ההעמקה שונים‪ .‬בשל השילוב של המרכיב הסטטיסטי עם החשבון הדיפרנציאלי‪ ,‬הגאומטריה והאלגברה‪,‬‬
‫תכנית זו כוללת תשתית מושגים בסיסית המתאימה במיוחד לתלמידים אשר ימשיכו את לימודיהם‬
‫במדעי הרוח‪ ,‬במדעי החברה‪ ,‬במדעי הבריאות והרפואה ובמגוון נוסף של מקצועות שלא כולם אקדמיים‪.‬‬
‫רציונל התכנית‬
‫האזרחים בחברה המודרנית מוצפים במידע בעל אופי מורכב‪ ,‬ולכן הם זקוקים לכלים שישפרו את יכולת‬
‫האבחנה והשיפוט שלהם באשר לאיכותו ולפרשנויות הנלוות אליו‪ .‬כיוון שההיבט הכמותי ומושגי‬
‫ההשתנות ואי־הוודאות הם מרכיבים חשובים במידע‪ ,‬נדרשות מיומנויות אורייניות ומתמטיות כדי‬
‫להתמודד ִאתם כראוי‪ .‬יש גם צורך בתובנות מתמטיות כדי להתמודד עם מידע המגיע בייצוגים שונים‪:‬‬
‫מספרי‪ ,‬אלגברי‪ ,‬חזותי ומילולי‪.‬‬
‫למתמטיקה תפקיד מרכזי בקליטת המידע‪ ,‬בניתוחו ובהסקת מסקנות ממנו‪ .‬המתמטיקה מציעה לנו‬
‫דרכים להסתכל על העולם‪ ,‬ולהבין תופעות תוך שימוש בכלים כמותיים ובחשיבה ביקורתית‪ .‬היא מספקת‬
‫אמצעים לתיאור החוקיות בעולם הסובב אותנו‪ ,‬ובכך מהווה בסיס למקצועות אחרים‪ ,‬לאו דווקא‬
‫מדעיים‪ .‬לפיכך לימודי המתמטיקה הם הכרח לכל תלמיד ותלמידה‪ ,‬גם אם בעתיד לא יעסקו במתמטיקה‪,‬‬
‫במדעים או בטכנולוגיה‪.‬‬
‫תכנית הלימודים ברמה של ‪ 4‬יח"ל מציגה בפני התלמידים את המתמטיקה כדיסציפלינה מדעית‪ .‬בתכנית‬
‫קיים איזון בין מספר נושאי הלימוד לבין רמת ההעמקה בהם‪ .‬תקופתנו מתאפיינת בקצב שינויים מהיר‬
‫בתחומים שונים‪ ,‬ולכן חשוב מאוד לטפח אוריינות מתמטית ומיומנויות למידה וחשיבה אשר יאפשרו‬
‫ללומדים למידה עצמאית‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫תכנית הלימודים מתמקדת בשלושה תחומי תוכן מתמטיים‪:‬‬
‫‪ ‬גאומטריה‪ :‬גאומטריה אוקלידית‪ ,‬הסקה דדוקטיבית‪ ,‬גאומטריה אנליטית‪ ,‬טריגונומטריה‪.‬‬
‫‪ ‬השתנות ויחסים‪ :‬חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של פונקציות עם משתנה אחד‪.‬‬
‫‪ ‬אי‪ -‬ודאות‪ :‬הסתברות קלאסית וסטטיסטיקה מורחבת‪.‬‬
‫מטרות‪-‬העל של התכנית‬
‫המטרות בלימוד מתמטיקה ברמת ‪ 4‬יח"ל הן‪:‬‬
‫ הכרת תפקידה של המתמטיקה בחיי היום‪-‬יום בתחומי החברה‪ ,‬הכלכלה והמדעים‪.‬‬‫ עיצוב תפיסת המתמטיקה כשפה אוניברסלית שניתן לתאר באמצעותה תהליכים כלכליים וחברתיים‬‫כאמצעי לבניית מודלים המתארים תופעות בתחומי חיים שונים של האדם‪.‬‬
‫ פיתוח חשיבה לוגית כהכרחית להבנת תופעות חברתיות וכלכליות והדגשת העקרונות של ביקורתיות‪,‬‬‫דיוק ודבקות במטרה‪.‬‬
‫ רכישת כלים שיתרמו ליכולת האבחנה והשיפוט של התלמידים כאזרחים באשר לאיכות המידע‬‫והפרשנויות הנלוות לו‪.‬‬
‫ הקניית כלים שיאפשרו לתלמידים הצלחה ברכישת השכלה גבוהה‪.‬‬‫ פיתוח יכולות טכניות בסיסיות בתחומי האנליזה‪ ,‬האלגברה‪ ,‬הגאומטריה והסטטיסטיקה‪.‬‬‫ פיתוח מיומנויות של אוריינות ושל תקשורת מתמטית דוגמת קריאה וכתיבה ביקורתית של טיעון‬‫והוכחת טיעון‪.‬‬
‫ פיתוח הרגלי למידה ותרגול מתמטיים ברמת קושי עולה‪.‬‬‫עקרונות‬
‫טיפוח חשיבה רציונלית וביקורתית‪ :‬התכנית נועדה להקנות לתלמיד דרך חשיבה רציונלית המבוססת על‬
‫הבנת המגבלות של מודל מתמטי ומסייעת לו לקבל החלטות על סמך עיבוד מתמטי של מידע‪.‬‬
‫גישה אוריינית‪ :‬טיפוח אוריינות מתמטית הכוללת שימוש ויכולת ביטוי באמצעות ייצוגים חזותיים‪,‬‬
‫כמותיים ומילוליים וכן שילוב ביניהם‪ ,‬כדרך לפיתוח יכולות של עיבוד מידע וקבלת החלטות מושכלות‪.‬‬
‫רלוונטיות לתלמידים ולאזרחים לעתיד‪ :‬אחת המטרות החשובות של התכנית היא ליצור בקרב התלמידים‬
‫מודעות לכך שלתובנות מתמטיות ערך חשוב בהבנת העולם הסובב אותם‪ ,‬ולציידם בכלים מתאימים‬
‫להבין עולם זה ולתפקד בו ביעילות‪ .‬הדגשת הרלוונטיות הופכת את הלמידה לאפקטיבית עבור התלמידים‪,‬‬
‫ועשויה לסייע ביצירת עניין ובהעלאת המוטיבציה ללמידה‪.‬‬
‫גישה ספירלית‪ :‬עולם המושגים והנושאים נבנה בהדרגה‪ .‬במהלך ההוראה‪-‬למידה שבים ועוסקים במושגי‬
‫היסוד לצורך הרחבה והעמקת הדיון בהם בהקשרים שונים‪ .‬בתהליך הבניית הידע‪ ,‬לימוד חומר חדש‬
‫מבוסס על חומר קודם ומתווספים לו היבטים שונים והבנה חדשה לעומק ולרוחב‪.‬‬
‫עידוד השיח המתמטי‪ :‬לשיח המתמטי תרומה חשובה בהבנת התכנים המתמטיים הנלמדים‪ ,‬ולכן חשוב‬
‫לאפשר פעילויות ודרכים לעידוד השיח‪ :‬שיח כיתתי בהנחיית המורה או שיח בקבוצות באמצעות פעילויות‬
‫מתאימות‪.‬‬
‫טיפוח היכולת לראייה רחבה ורב‪-‬ממדית‪ :‬פיתוח יכולת לאינטגרציה בין נושאי הלימוד שונים‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫גיוון דרכי הוראה‪ :‬חשוב לגוון את דרכי ההוראה על מנת לענות על צרכים שונים של הלומדים ועל סגנונות‬
‫למידה שונים‪ .‬הגיוון יבוא לידי ביטוי הן באמצעות עבודה בדרכים שונות (מליאת הכיתה‪ ,‬קבוצות קטנות‪,‬‬
‫עבודה יחידנית) והן באמצעות שימוש בהמחשות שונות (דוגמאות מהאקטואליה‪ ,‬אמצעי המחשה‪,‬‬
‫טכנולוגיה ‪ -‬ראו פירוט בסעיף הבא)‪.‬‬
‫טכנולוגיה‪ :‬התכנית משלבת את השימוש בכלים טכנולוגיים כאמצעי הוראה ולמידה‪ .‬שימוש מושכל‬
‫בכלים ממוחשבים שונים יכול לסייע בהבנת המושגים והתהליכים המתמטיים הנלמדים‪ ,‬ליצור עניין אצל‬
‫התלמיד ולתרום לגיוון הלמידה‪.‬‬
‫הערה‪ :‬הנחת המוצא היא שתלמידים שיבחרו בתכנית זו אינם שולטים באופן מלא בתוכני הלימוד של‬
‫חטיבת הביניים במתמטיקה‪.‬‬
‫חלוקה של תוכני הלימוד בכיתות י‪-‬י"ב‬
‫להלן חלוקת שעות הלימוד בחטיבה העליונה לפי נושאים‪.‬‬
‫נושא‬
‫י‬
‫י"א‬
‫י"ב‬
‫‪120‬‬
‫‪120‬‬
‫‪120‬‬
‫גאומטריה‬
‫וטריגונומטריה‬
‫‪40‬‬
‫‪30‬‬
‫‪30‬‬
‫‪100‬‬
‫סטטיסטיקה‬
‫והסתברות‬
‫‪30‬‬
‫‪45‬‬
‫‪--‬‬
‫‪75‬‬
‫אלגברה‬
‫ואנליזה‬
‫‪50‬‬
‫*‪45‬‬
‫**‪70‬‬
‫‪165‬‬
‫‪20‬‬
‫‪20‬‬
‫העשרה‬
‫סה"כ‬
‫* אלגברה כולל סדרה חשבונית והנדסית‬
‫** אלגברה כולל משוואות מעריכיות ולוגריתמיות‪ ,‬גדילה ודעיכה‬
‫הערה‪ :‬בשלב זה מובא להלן פירוט מלא עבור כיתה י‪ ,‬אך כאשר תוצע התכנית המפורטת גם לכיתות י"א‪-‬י"ב ניתן‬
‫להניח שיחולו בה שינויים קלים‪.‬‬
‫גאומטריה וטריגונומטריה – כיתה י‬
‫‪ ‬כיתה י (‪ 43‬שעות) ‪ -‬טריגונומטריה של משולש ישר זווית וצורות הבנויות ממנו (מלבן‪ ,‬דלתון וכיו"ב);‬
‫גאומטריה אנליטית של נקודות במישור ושל קו ישר ונושאים נלווים; גאומטריה סינתטית הקשורה‬
‫לנושאים הנלמדים בגאומטריה אנליטית (ראו הרחבה בהמשך)‪.‬‬
‫‪ ‬כיתה י"א (‪ 03‬שעות) ‪ -‬גאומטריה סינתטית וגאומטריה אנליטית של מעגל ועיגול; משולש חסום‬
‫במעגל וחוסם מעגל; מצולעים משוכללים חסומים במעגל וחוסמים מעגל; חישוב שטח עיגול וחלקיו;‬
‫חישוב היקף מעגל וחלקיו; שאלות אינטגרטיביות ויישומיות‪.‬‬
‫‪ ‬כיתה י"ב (‪ 03‬שעות) ‪ -‬גאומטריה וטריגונומטריה במרחב‪ .‬חישובי נפח ושטח פנים של פירמידות‬
‫וחרוטים; חישובי נפח ושטח פנים של גלילים ומנסרות (לגבי שתי קבוצות הגופים ‪ -‬בהתבסס על‬
‫עיקרון קווליארי); נפח כדור ושטח פנים של כדור; שאלות אינטגרטיביות ויישומיות‪.‬‬
‫‪0‬‬
‫פירוט רחב יותר (כאמור‪ ,‬עדיין לא סופי) של תכנית הגאומטריה‪-‬טריגונומטריה לכיתות י"א‪-‬י"ב מופיע‬
‫במסמך זה בנספח ‪ :1‬גאומטריה וטריגונומטריה – בסיס לתכנית לכיתות י"א‪-‬י"ב‪.‬‬
‫פירוט מלא של תכנית סטטיסטיקה והסתברות מוצג בהמשך‪.‬‬
‫התכנית באלגברה ואנליזה כוללת‪:‬‬
‫‪ ‬כיתה י (‪ 53‬שעות) ‪ -‬חזרה על פתרון משוואות לינאריות‪ ,‬כולל שתי משוואות בשני נעלמים;‬
‫טרנספורמציות לינאריות של פונקציות; חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי לגבי פונקציות פולינומיות‬
‫בלבד (ראו הרחבה בהמשך)‪.‬‬
‫‪ ‬כיתה י"א (‪ 45‬שעות) ‪ -‬סדרות חשבוניות והנדסיות; חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי לגבי פונקציות‬
‫רציונליות; מושג הגבול; אסימפטוטה;‬
‫‪ ‬כיתה י"ב (‪ 23‬שעות) ‪ -‬משוואות מעריכיות ולוגריתמיות; גדילה ודעיכה; חשבון דיפרנציאלי‬
‫ואינטגרלי לגבי פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות‪.‬‬
‫פירוט רחב יותר‪ ,‬עדיין לא סופי‪ ,‬של תכנית האנליזה לכיתות י"א‪-‬י"ב מופיע בנספח ‪ :2‬אנליזה – בסיס‬
‫לתכנית לכיתות י"א‪-‬י"ב ‪.‬‬
‫‪4‬‬
‫תכנית חדשה לכיתות י ‪ 4 -‬יח"ל‬
‫התכנית כוללת לפחות ‪ 123‬שעות לימוד בכיתה י לפי חלוקה זו‪ :‬גאומטריה וטריגונומטריה ‪ 43 -‬שעות‬
‫לפחות; אלגברה ואנליזה ‪ 53 -‬שעות לפחות; סטטיסטיקה ‪ 03 -‬שעות לפחות‪.‬‬
‫גאומטריה וטריגונומטריה‬
‫התכנית התלת‪-‬שנתית בתחומי הגאומטריה השונים מושתתת על מספר יסודות מארגנים‪:‬‬
‫א‪ .‬שילוב תחומי גאומטריה זה בזה‪ :‬הוראת תחומי הגאומטריה תבוצע תוך שילוב גאומטריה במישור‬
‫ובמרחב עם טריגונומטריה של משולש ישר זווית‪ ,‬גאומטריה חישובית עם הנמקות המבוססת על‬
‫תכונות של צורות גאומטריות‪ ,‬גאומטריה אנליטית עם וידוא התכונות שמוכחות בעזרת גאומטריה‬
‫סינתטית‪.‬‬
‫ב‪ .‬הצורך בהוכחות גאומטריות עקביות (אם כי לא ארוכות ומסובכות מדי)‪ :‬התלמידים יידרשו לכתוב‬
‫הוכחות גאומטריות קצרות (בנות כשני שלבים) כחלק מהתרת בעיות‪ ,‬לצורך העמקה בהבנה של מבנה‬
‫הדעת של גאומטריה‪ .‬בנספח מופיעים משפטים שבוגר התכנית אמור לשלוט בהם‪.‬‬
‫במסגרת טיעון גאומטרי עקבי‪ ,‬ייעשה שימוש נרחב בטיעון אינדוקטיבי‪ :‬העלאת השערות לגבי תכונות‬
‫של צורות גאומטריות על סמך התנסות באמצעות גאומטריה אנליטית (תוך שימוש במחשב או‬
‫בלעדיו) והוכחת ההשערות על בסיס ידע מהגאומטריה הסינתטית‪.‬‬
‫ג‪ .‬הורדת סיבוכיות השאלות‪ :‬הבניית שאלות הדורשות פתרונות מורכבים‪ /‬הוכחות ארוכות ו‪ /‬או‬
‫מסועפות כמשימה מובנית מתפתחת המורכבת ממשימות פשוטות יותר המבוססות על קודמותיהן‬
‫בצורה עקבית והיררכית‪.‬‬
‫כל נושא חדש בגיאומטריה יילמד בשילוב עם טריגונומטריה של משולש ישר זווית או של צורות‬
‫בסיסיות הנגזרות ממנו (כגון מלבן‪ ,‬משולש שווה שוקיים)‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫למרות שמומלץ ללמד את כל הנושאים בשילוב מושכל של טכנולוגיה‪ ,‬התכנית מאפשרת הוראה גם‬
‫ללא שילוב טכנולוגיה‪.‬‬
‫ד‪ .‬חשוב לציין שכאשר משלבים תחומי גאומטריה שונים יש לתת את הדעת לתוצאות המתקבלות‬
‫באמצעות טריגונומטריה כבסיס להמשך הטיעון הגאומטרי‪ .‬בפרט כאשר רוצים להשתמש בתוצאות‬
‫אלה‪ ,‬הן חייבות להתבטא בתוצאות מדויקות ולא בקירובים‪ ,‬כך למשל ‪ sin 450‬ייכתב לצורך זה‬
‫‪2‬‬
‫כ‪-‬‬
‫‪2‬‬
‫לאור העובדה שתלמידי התכנית של ‪ 4‬יח"ל לא אמורים להיות רגילים לעבוד עם מספרים אי‬
‫ולא כ‪.3.232-‬‬
‫רציונליים‪ ,‬עדיף לא להציג בפניהם בעיות שהמסקנות הגאומטריות מבוססות בהן על תוצאות של‬
‫שלבים טריגונומטריים‪ .‬עם זאת אין לשלול דרך זו אם תלמידים מציעים אותה‪.‬‬
‫‪5‬‬
‫כיתה י‬
‫יחידה ‪ :1‬הכרת פונקציות טריגונומטריות של זווית חדה במשולש ישר זווית (‪ 6‬שעות לפחות)‬
‫נושאים מתמטיים‬
‫ הגדרת פונקציות טריגונומטריות (סינוס‪ ,‬קוסינוס‪ ,‬טנגנס) של זווית חדה בעזרת יחסי צלעות במשולש‬‫ישר זווית‪.‬‬
‫‪ -‬תכונות בסיסיות של הפונקציות הטריגונומטריות המבוססות על הגדרתן‪ :‬ערכי סינוס וקוסינוס בין ‪3‬‬
‫‪sin ‬‬
‫ל‪ ,1 -‬קשרים בין הפונקציות‪, cos(90   )  sin  , sin(90   )  cos  :‬‬
‫‪cos ‬‬
‫‪. tan  ‬‬
‫ ערכי פונקציות טריגונומטריות של זוויות מיוחדות ( ‪ ) 60,30,45‬בעזרת תכונות משולשים ישרי‬‫זווית מתאימים‪.‬‬
‫ שימוש בפונקציות טריגונומטריות לצורך חישוב זוויות‪ ,‬צלעות וקטעים מיוחדים במשולש ישר זווית‪.‬‬‫נושאים נלווים‬
‫ הגדרת משולשים דומים; קביעת דמיון לפי שוויון של שני זוגות שלזוויות‪.‬‬‫‪-‬‬
‫חישובי צלעות משולשים דומים בעזרת יחס דמיון‪.‬‬
‫ חישוב היקף ושטח של משולש‪.‬‬‫ תכונות משולשים ישרי זווית‪ :‬משפט פיתגורס‪ ,‬תכונת תיכון ליתר‪ ,‬תכונת משולש ישר זווית עם זווית‬‫חדה של ‪. 30‬‬
‫מטרות כלליות‬
‫‪ .1‬התלמיד יבין כי יחסי צלעות של משולשים ישרי זווית תלויים בזווית חדה של משולש‪ ,‬וכי בעזרת‬
‫יחסים אלו מוגדרות פונקציות טריגונומטריות של זווית חדה‪.‬‬
‫‪ .2‬התלמיד ידע לחשב זווית חדה או צלע במשולש ישר זווית בעזרת פונקציות טריגונומטריות תוך‬
‫שימוש במחשבון‪.‬‬
‫‪ .0‬התלמיד ידע להפעיל אמצעי בקרה על תוצאות חישובי זוויות ואורכי צלעות תוך שימוש בתכונות‬
‫הפונקציות הטריגונומטריות ובתכונות גאומטריות של משולשים‪.‬‬
‫‪ .4‬התלמיד ידע לנמק את שלבי הפתרון שהשתמש בהם בתכונות גאומטריות של משולשים‪.‬‬
‫‪ .5‬התלמיד יישם את הנלמד על בסיס ההתמודדות עם המשימות‪.‬‬
‫דגשים והבהרות‬
‫ החל מהיחידה הראשונה חשוב לפתח את הקשר בין מושגים ותכונות שנלמדו קודם בגאומטריה‬‫למושגים חדשים לפי העיקרון של שילוב תחומי גאומטריה זה בזה‪.‬‬
‫ ניתן לבנות משימות ותרגילים במתכונת של תרגילים בודדים‪ ,‬משימות מתפתחות קצרות‪ ,‬משימות‬‫חקר וכדומה‪.‬‬
‫ יש לבסס תכונות של פונקציות טריגונומטריות על הנמקה ולהעמיק את ההבנה בעזרת תרגול‪ .‬מומלץ‬‫שהתלמידים ישלטו בתכונות אלה ברמת הזיכרון וברמת היישום גם יחד‪.‬‬
‫‪6‬‬
‫ חישוב ערכי פונקציות טריגונומטריות של זוויות מיוחדות ( ‪ ) 60,30,45‬ייעשה תוך הישענות על‬‫דוגמאות קונקרטיות והסקת מסקנה בעזרת דמיון משולשים‪.‬‬
‫ ביחידה זו מושם דגש על מודעות לשגיאות הנובעות משימוש במחשבון (למשל‪ ,‬כתוצאה מהקלדה‬‫שגויה) ועל שימוש קבוע באמצעי בקרה לבחינת התוצאות‪ :‬למשל‪ ,‬האם התקבל יתר ארוך מניצב;‬
‫האם מתקיים משפט פיתגורס; האם מול ניצב גדול יותר נמצאת זווית גדולה יותר; אם זוויות קטנה‬
‫ה‪ sin-‬שלה אמור להיות קטן וה‪ cos-‬קרוב ל‪ ;1-‬ככל שזווית חדה גדלה ה‪ sin-‬שלה גדל וכך גם ‪,tan‬‬
‫בעוד שה‪ cos-‬שלה קטן; כאשר הזווית מתקרבת לזווית ישרה ה‪ sin-‬שלה מתקרב ל‪ 1-‬וה‪ cos-‬שלה‬
‫מתקרב ל‪ ;3-‬מסקנות מתאימות גם לגבי ‪ tan‬וכיו"ב‪.‬‬
‫דוגמאות‬
‫להלן דוגמה למשימה מתפתחת שבמהלכה התלמיד לומד חלק מהחומר המתוכנן וכן מתבקש להעלות‬
‫השערות‪ ,‬לנמקן או להפריכן‪ .‬זוהי דוגמה ללמידה אפשרית של הנושא‪.‬‬
‫מטרות אופרטיביות‬
‫ רענון הידע הסינתטי על‬‫משולש ישר זווית‪,‬‬
‫משולש שווה שוקיים‪,‬‬
‫דרכי סימון‪ ,‬תכונות‪.‬‬
‫ שימוש בתכונות אלה‬‫להסקת מסקנות לגבי‬
‫ערכי פונקציות‬
‫טריגונומטריות של ‪.450‬‬
‫דוגמאות‬
‫א‪ .‬חשבו זוויות במשולש ישר זווית שווה שוקיים‪.‬‬
‫ב‪ .‬נתון משולש ישר זווית שווה שוקיים ‪ ABC‬שבו ‪ .AB=BC‬איזו מזוויות‬
‫המשולש היא זווית ישרה‪ ,‬לדעתכם? תנו תשובה מנומקת‪ .‬שרטטו את‬
‫המשולש כך שאורך ניצביו יהיה ‪ 2‬ס"מ‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫במשולש ‪ ABC‬חשבו ‪.tanA, cot A, tan B, cot B‬‬
‫ִחשבו‪ :‬האם הייתם צריכים לחשב את כל הערכים הללו או שאפשר היה‬
‫לדעת חלק מהם על בסיס ערכים אחרים?‬
‫הנחיה‪ :‬מהו סכום הזוויות ‪ A‬ו‪ ?B-‬הסיקו מכך כי ‪,A=900-B‬‬
‫‪.B=900-A‬‬
‫ד‪ .‬שרטטו משולש ישר זווית שווה שוקיים ‪ NMP‬שאורך ניצביו ‪ 0‬ס"מ‬
‫(‪ .)P=900‬רשמו את ערכי ‪ tan‬ו‪ cot-‬של הזוויות החדות של המשולש‪.‬‬
‫האם צריך לערוך חישוב לשם כך? אם כן‪ –,‬ערכו את החישוב‪ .‬אם לא‪,‬‬
‫הסבירו על סמך מה ניתן לדעת את התשובה ללא עריכת חישוב‪.‬‬
‫מסקנה‪ :‬בכל משולש ישר זווית שווה שוקיים הזוויות החדות שוות ‪ .453‬היות ובכל‬
‫מש"ש ישר זווית הניצבים שווים ביניהם‪ tan450=1 ,‬וגם ‪.cot 450=1‬‬
‫ה‪ .‬מצאו את אורך היתר במשולש ‪ .ABC‬היעזרו בתוצאה על מנת לחשב‬
‫‪ sin450‬ו‪ .cos450-‬תזכורת‪ :‬השתמשו במשפט פיתגורס‪.‬‬
‫ו‪.‬‬
‫שערו‪ :‬האם יש צורך לחשב את ‪ cos M ,sin M‬במשולש ‪ .NMP‬אם‬
‫כן‪ ,‬ערכו חישוב‪ .‬אם לא‪ ,‬הסבירו מדוע ומלאו את הטבלה‪:‬‬
‫‪sin M‬‬
‫ז‪.‬‬
‫‪cos M‬‬
‫‪sin N‬‬
‫‪cos N‬‬
‫שימו לב‪ :‬בטבלה זו כל הערכים שווים ביניהם‪.‬‬
‫העלו השערה‪ :‬האם בכל משולש כל ארבעת הערכים שווים ביניהם? האם‬
‫במשולש אחר יהיו ערכים אלה שווים ביניהם?‬
‫‪2‬‬
‫ח‪ .‬האם ניתן להסיק שכל המשולשים ישרי הזווית שווי שוקיים דומים‬
‫ביניהם?‬
‫כיצד הדבר בא לידי ביטוי במשימה?‬
‫הנחיה‪ :‬במשולשים דומים היחסים בין הצלעות המתאימות שווים ביניהם‪.‬‬
‫רשמו את הזוויות של הצלעות המתאימות במשולשים ‪ NMP‬ו‪ ABC-‬ואת‬
‫היחסים בין הצלעות המתאימות בכל אחד מן המשולשים‪.‬‬
‫ יישום מיומנויות של‬‫שילוב תחומים והסקת‬
‫מסקנות אשר נרכשו‬
‫במשימה הקודמת‬
‫לצורך העמקתן‬
‫והטמעתן;‬
‫ היכרות עם ערכי‬‫פונקציות‬
‫טריגונומטריות של‬
‫הזוויות ה"מיוחדות";‬
‫ המשך למידת הקשר בין‬‫הפונקציות‬
‫הטריגונומטריות של‬
‫אותה זווית‬
‫ט‪ .‬משימה דומה עם משולש ‪ .033-633-133‬נקודת מוצא‪ :‬העובדה שהניצב‬
‫הקטן קצר פי שניים מהיתר‪ .‬המטרה‪ :‬חישוב בתרגיל והתנסות והסקת‬
‫מסקנות דומות לאלו של התרגיל הקודם‪ :‬שכל המשולשים ישרי זווית‬
‫בעלי זווית ‪ 033‬או ‪ 633‬דומים ביניהם‪.‬‬
‫ פיתוח מיומנות לשימוש‬‫במחשבון לחישוב ערכי‬
‫הפונקציות‬
‫הטריגונומטריות;‬
‫ פיתוח והטמעה של‬‫שימוש מבוקר במחשבון‪,‬‬
‫תוך התייחסות לערכים‬
‫הצפויים ובקרתם‬
‫מנקודת המבט של ידע‬
‫מתמטי נרכש‬
‫שימוש במחשבון לחישוב הערכים של פונקציות טריגונומטריות של זוויות (במעלות)‪.‬‬
‫ הכללת הנלמד על זוויות‬‫חדות שרירותיות;‬
‫הטמעת הקשר בין‬
‫הפונקציות‬
‫הטריגונומטריות של זווית‬
‫חדה‬
‫ באמצעות משולש ישר‬‫זווית ;‬
‫ ללא משולש ישר זווית‬‫כאמצעי לקישור בין‬
‫פונקציות אלה‪.‬‬
‫משימה דומה עם שני משולשים ישרי זווית בגדלים שונים ובעלי אותה זווית‪ .‬רצוי‬
‫לבצע את המשימה הזאת במחשב באמצעות ‪ .GeoGebra‬במקרה זה התלמידים‬
‫יתבקשו לבנות משולש ישר זווית בעל זווית נתונה או יקבלו קובץ מוכן עם משולש‬
‫כזה ועם יחסים המבטאים את הפונקציות הטריגונומטריות של שתי הזוויות שלו‪.‬‬
‫התלמידים יתבקשו לשנות‪:‬‬
‫יישום הנלמד על הקשרים‬
‫הכלליים בין פונקציות‬
‫טריגונומטריות של זווית‬
‫ישרה‪ .‬יש להציע מספר‬
‫ערכים עד השלב שהתרגול‬
‫יבהיר לתלמידים כי אין‬
‫צורך ב"תיווך" של משולש‬
‫ישר זווית‬
‫(יש להימנע מלייגע יתר על‬
‫המידה)‪.‬‬
‫‪ )1‬את אורך אחת הצלעות‪ ,‬ולעקוב אחר אורכים של צלעות אחרות תוך שימת לב‬
‫לעובדה שהפונקציות הטריגונומטריות אינן משתנות‪.‬‬
‫‪ )2‬את גודל הזווית מבלי לשנות את אורכי הצלעות‪ ,‬ולעקוב אחר ההשתנות של‬
‫הפונקציות הטריגונומטריות‪.‬‬
‫‪ )0‬הערכים שיש לרשום‪ . sin, cos, sin/cos, tan :‬סיכום פעילות (בין אם באמצעות‬
‫מחשב ובין אם באמצעות חישוב ידני) הזהויות הבסיסיות‪.‬‬
‫י‪ .‬תרגול – מילוי טבלאות מהסוג‪:‬‬
‫‪sin M‬‬
‫‪cos M‬‬
‫‪tan M‬‬
‫)‪(900-M‬‬
‫‪cos‬‬
‫…‬
‫…‬
‫…‬
‫‪1/3‬‬
‫ניתן לשאול שאלות מהסוג‪ :‬אילו זוויות הן זוויות במשולש ישר זווית? עבור אילו‬
‫זוויות אפשר להגדיר פונקציות טריגונומטריות בצורה שהגדרנו? מה ניתן לדעת‬
‫על ‪ sin, cos‬של זווית חדשה? האם זה נכון גם לגבי ‪ ?tan, cot‬תנו דוגמה לזווית‬
‫שה‪ tan-‬שלה גדול מ‪.1-‬‬
‫‪8‬‬
‫יחידה ‪ :2‬תכונות וחישובי אורכים‪ ,‬זוויות‪ ,‬היקפים ושטחים של צורות המורכבות ממשולשים‬
‫ישרי זווית‬
‫(לפחות ‪ 11‬שעות)‬
‫נושאים מתמטיים‬
‫ הרחבת היכרות עם תכונות של צורות גאומטריות שונות‪.‬‬‫ חישובי אורכים‪ ,‬זוויות‪ ,‬היקפים ושטחים של צורות גאומטריות שונות המורכבות ממשולשים ישרי‬‫זווית‪.‬‬
‫נושאים נלווים‬
‫ תכונות של הצורות הגאומטריות האלה‪:‬‬‫משולש שווה שוקיים‪ ,‬משולש כללי‪ ,‬דלתון‪ ,‬מלבן‪ ,‬מעוין‪ ,‬ריבוע‪ ,‬מקבילית כללית‪ ,‬טרפז‪ ,‬צורות שמורכבות‬
‫מהצורות הנ"ל‪.‬‬
‫מטרות כלליות‬
‫א‪ .‬העמקת ההבנה של התלמיד על מבנה הדעת של גאומטריה‪.‬‬
‫ב‪ .‬התלמיד ידע כיצד להוכיח תכונות של צורות גאומטריות שונות על בסיס ידע שרכש בנושא גאומטריה‬
‫סינתטית‪ .‬מדובר בבניית טיעון עקבי עם שני שלבי הסקה‪.‬‬
‫ג‪ .‬התלמיד ידע לשלב בין שימוש בפונקציות טריגונומטריות ובין תכונות של צורות גאומטריות שונות‬
‫לצורך חישוב אורכים‪ ,‬זוויות‪ ,‬היקפים ושטחי הצורות‪.‬‬
‫ד‪ .‬העמקת ההבנה של התלמיד לגבי תכונות‪ ,‬שטחים והיקפים של צורות גאומטריות שונות‪.‬‬
‫דגשים והבהרות‬
‫התרגול ישלב תכונות גאומטריות של צורות שונות עם חישוב אורכים וזוויות בעזרת שימוש בפונקציות‬
‫טריגונומטריות‪.‬‬
‫כדאי להתחיל מצורות שהקשר בינן לבין משולש ישר זווית הוא חד‪-‬שלבי‪ ,‬כמו מלבן‪ ,‬משולש שווה‬
‫שוקיים‪ ,‬דלתון‪ ,‬מעוין‪ .‬בהמשך הצורות צריכות להיות כלליות יותר‪ .‬תרגילים רב‪-‬שלביים יחולקו‬
‫למשימות פשוטות יותר‪.‬‬
‫בהוראה ישולבו תרגילים אינטגרטיביים (שילוב בין הוכחות קצרות לחישובים)‪.‬‬
‫דוגמאות‬
‫אפיון הדוגמאות כולל חישוב של אורכים‪ ,‬זוויות‪ ,‬היקפים ושטחים של צורות שונות‪ .‬החישוב מבוסס על‬
‫זיהוי משולש ישר זווית בצורות אלה ועל ביצוע של שניים‪-‬שלושה שלבים מנומקים‪.‬‬
‫מטרות אופרטיביות‬
‫ העמקה נוספת בנושא השילוב בין גאומטריה‬‫סינתטית לטריגונומטריה;‬
‫ פיתוח של הבנת הצורך בהנמקה גם בשאלות‬‫חישוב;‬
‫ ביסוס מיומנויות של שימוש בטריגונומטריית‬‫משולש ישר זווית‪ ,‬תוך שימוש גמיש בכל‬
‫תכונות הפונקציות הטריגונומטריות של זווית‬
‫דוגמאות‬
‫‪ .1‬נתון מלבן ‪ .ABCD‬נקודה ‪ F‬היא אמצע הצלע ‪DF .AB‬‬
‫נפגש עם המשך הצלע ‪ BC‬בנקודה ‪.E‬‬
‫א‪ .‬א‪ .‬נמק מדוע משולשים ‪ AFD‬ו‪ BFE -‬חופפים‪.‬‬
‫ב‪ .‬ידוע כי ‪ 1‬ס"מ=‪ .EC‬חשבו את שטח המלבן ‪.ABCD‬‬
‫‪ .2‬בטרפז ‪ ABCD‬הבסיסים הם ‪ AD‬ו‪ .)AD<BC( BC -‬השוק‬
‫‪1‬‬
‫חדה שנלמדו עד כה‪.‬‬
‫‪ AB‬שווה לבסיס ‪ .BC‬האלכסון ‪ AC‬שווה לשוק ‪.CD‬‬
‫א‪ .‬מדוע אלכסון ‪ AC‬חוצה את הזווית ‪? BAD‬‬
‫ב‪ .‬ידוע כי ‪ 5 , CAD  30‬ס"מ=‪.AB‬‬
‫ג‪ .‬חשבו את שטח הטרפז‪.‬‬
‫ד‪ .‬חשבו את היחס בין שטח המשולש ‪ ABC‬לשטח‬
‫‪2‬‬
‫‪ AC ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫המשולש ‪ ACD‬והראו שהוא שווה ל‪.  AD  -‬‬
‫‪13‬‬
‫יחידה ‪ :3‬גאומטריה אנליטית של ישר‬
‫נושאים מתמטיים‬
‫ הקבלה וחיתוך של ישרים‬‫ משוואות ישר‪ :‬לפי שיפוע ונקודה‪ ,‬לפי שתי נקודות‬‫ ניצבּות של שני ישרים‬‫ מרחק בין שתי נקודות‬‫ אמצע קטע‬‫ וידוא תכונות גאומטריות‬‫נושאים נלווים‬
‫ מערכת צירים‪ ,‬שיעורי נקודה‬‫ משוואת ישר (מפורשת‪ ,‬כללית)‬‫ משמעות שיפוע ישר‬‫ נקודות חיתוך של הישר עם הצירים‬‫מטרות כלליות‬
‫א‪ .‬התלמיד יבין את הקשר בין ייצוג אלגברי של ישר לייצוגו הגרפי‪.‬‬
‫ב‪ .‬התלמיד יבין את הקשר בין מצב הדדי‪/‬ניצבּות בין ישרים לבין תכונות ייצוגם האלגברי‪.‬‬
‫ג‪ .‬התלמיד ידע לבחור בכלים האלגבריים המתאימים לצורך חישוב של שיעורי נקודות עם תכונות‬
‫מסוימות ואורכים‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫ה‪.‬‬
‫ו‪.‬‬
‫ז‪.‬‬
‫התלמיד ישלב בין תכונות של צורות גאומטריות לבין ביצוע חישובים אלגבריים לצורך מציאת‬
‫אורכים‪ ,‬היקפים ושטחים של הצורות ולצורך הוכחת תכונותיהן‪.‬‬
‫התלמיד יוודא תכונות גאומטריות של צורות שונות שנלמדו בגאומטריה סינתטית בעזרת כלים‬
‫אלגבריים של הנדסה אנליטית‪.‬‬
‫התלמיד יתנסה בהעלאת השערות לגבי תכונות של צורות גאומטריות על סמך חישובים באמצעות‬
‫הכלים של גאומטריה אנליטית; כן יתנסה בהוכחת התכונות על בסיס הידע מהגאומטריה הסינתטית‬
‫(הוכחות קצרות של כשני שלבים)‪.‬‬
‫התלמיד ייחשף להבניית הקשר בין שלושת ענפי הגאומטריה הנלמדים במקביל‪.‬‬
‫דגשים והבהרות‬
‫‪ .1‬כדי לבסס את הידע על המושגים הנלמדים אפשר וכדאי להתמקד בתרגילים המקשרים ומשלבים בין‬
‫הנושאים הנלמדים‪ .‬למשל‪ ,‬בהינתן שיעורי קדקודים של מעוין‪ ,‬מבלי לציין שזהו מעוין‪ ,‬לבקש לבצע‬
‫תרגיל רב שלבי‪:‬‬
‫א‪ .‬חישוב אורכי הצלעות כדי לזהות את סוג המרובע (אפשר ואף כדאי להשאיר חישוב זה דווקא‬
‫לסוף התרגיל על מנת לאמת את זיהוי המרובע לפי תכונת אלכסוניו);‬
‫ב‪ .‬חישוב שיעורי נקודת חיתוך האלכסונים; וידוא שנקודה זו חוצה כל אחד מהם;‬
‫ג‪ .‬חישוב שיפועי האלכסונים ווידוא שהם מאונכים זה לזה‪.‬‬
‫‪11‬‬
‫‪ .2‬בכל נושא נלמד יש לשלב וידוא תכונות גאומטריות של צורות‪ ,‬וידוא משפטים גאומטריים שנלמדו‬
‫קודם או הוכחות משפטים גאומטריים פשוטים אחרי העלאת ההשערה על סמך החישובים‪.‬‬
‫דוגמאות‬
‫אפיון‬
‫בדוגמאות הלומד נדרש לתת ביטוי אנליטי למושגים סינתטיים שרכש בחטיבת ביניים‪ ,‬כגון אמצע קטע;‬
‫אורך קטע ישר; ישרים מקבילים; תכונות מלבן (תידרשנה לשם חישוב אורכי קטעים המקבילים לצירים)‪.‬‬
‫בבניית ישר לפי שתי נקודות חשוב לציין שזהו יישום אקסיומה שלפיה דרך שתי נקודות עובר ישר יחיד;‬
‫בבניית ישר לפי נקודה ושיפוע חשוב לציין שכל הישרים בעלי אותו שיפוע מקבילים‪ ,‬ביניהם ולכן בעיה זו‬
‫דומה לבניית ישר דרך נקודה נתונה במקביל לישר נתון בהתאם לאקסיומת המקבילים‪ .‬אם יש צורך‪,‬‬
‫כמובן יש להכיר את שני פרקי הידע הסינתטי‪.‬‬
‫כל החישובים והפעולות בכלים של גאומטריה אנליטית אמורים להיות מנומקים על ידי תכונות מתאימות‬
‫מתוך הגאומטריה הסינתטית וההיפך‪ :‬מסקנות ממשימות בגאומטריה אנליטית יש לנסח כהכללה‬
‫סינתטית‪ ,‬גם במקרים שהמשפט ידוע לתלמידים מלימודים קודמים (למשל‪ ,‬משימות ‪.)2 ,6‬‬
‫במהלך המשימות המתפתחות המוצגות כאן יתבקשו הלומדים להעלות השערות שאמורות להובילם‬
‫לאותן תכונות של אנך אמצעי לקטע; למעשה תכונת האנך האמצעי כמקום גאומטרי בלי לציין במפורש‬
‫את המושג "מקום גאומטרי"‪.‬‬
‫חשוב להתעכב על ניסוח התכונות בשני "כיוונים"‪ :‬הכרחי והמספיק‪.‬‬
‫לפני ביצוע משימות של חישוב אורכי קטעים המקבילים לצירים‪ ,‬כדאי להזכיר את מושג הערך המוחלט‪.‬‬
‫בחלק מהמשימות מתבקשים התלמידים להסיק מסקנות מן הכלל אל הפרט‪.‬‬
‫מטרות אופרטיביות‬
‫ יכולת לתרגם מידע גאומטרי ומילולי‬‫לשפה אנליטית;‬
‫ ביסוס תובנות על שיעורי נקודת אמצע‬‫הקטע‪ ,‬הקשר שלה לשיעורים של‬
‫קצות הקטעים וכן לאורך הקטע‪,‬‬
‫בתחילה תוך התבססות על קטעים‬
‫המקבילים לצירים‪.‬‬
‫ חשוב להכליל את הנלמד בשלב זה על‬‫מנת להשתמש בהכללות אלה מאוחר‬
‫יותר עבור קטעים שרירותיים‪.‬‬
‫דוגמאות‬
‫‪ .1‬נתונות שתי נקודות ציר ‪.A(4,0), B(a,0) :x‬‬
‫א‪ .‬מצאו את הערך של ‪ a‬כך שראשית הצירים תהיה אמצע‬
‫הקטע ‪.AB‬‬
‫ב‪ .‬מהו אורך הקטע ‪ AB‬שמצאתם?‬
‫ג‪ .‬מצאו את ‪ a‬כך שאמצע הקטע ‪ AB‬יהיה בנקודה ___‪.‬‬
‫(נקודה אחרת על ציר ‪ ;x‬מומלץ לכלול תרגילים עם ערכים‬
‫שונים של הקצה השני‪ ,‬כולל ערכים שליליים ולא שלמים)‪.‬‬
‫מהו אורך הקטע החדש?‬
‫ד‪ .‬תרגילים דומים על ציר ‪ y‬ועל ישרים המקבילים לצירים‪.‬‬
‫‪ .2‬אורך קטע המקביל לציר ‪ x‬הוא ___ (תזכורת‪ :‬אם הקטע‬
‫מקביל לציר ‪ ,x‬שיעורי ה‪ y -‬של כל הנקודות שלו שווים)‪.‬‬
‫אורך קטע המקביל לציר ‪ y‬הוא ___ (תזכורת דומה)‪.‬‬
‫ חיזוק הקשר בין המבע האנליטי‬‫לוויזואלי של עצמים גאומטריים;‬
‫ פיתוח מנגנוני בקרה וויזואלית של‬‫תוצאות אנליטיות וההיפך; פיתוח‬
‫הצורך בבקרה זאת‪.‬‬
‫ ביסוס הקשר בין התוצאות הפרטיות‬‫שהתקבלו קודם‪ ,‬לנוסחאות הכלליות‬
‫אשר נלמדות כאן‪.‬‬
‫‪ .0‬נתון קטע )‪.P(3,5), Q(-1, -8‬‬
‫האם הקטע מקביל לאחד הצירים? ענו בלי לשרטט‬
‫א‪.‬‬
‫את הקטע במערכת הצירים‪ .‬לאחר שעניתם שרטטו את‬
‫הקטע ובדקו את עצמכם‪.‬‬
‫ב‪ .‬הקטע ‪ PQ‬הוא יתר במשולש ישר זווית שניצביו מקבילים‬
‫לצירים‪ .‬כמה משולשים כאלה יש? רשמו את שיעורי‬
‫הקדקוד השלישי של כל אחד מן המשולשים שמצאתם‪.‬‬
‫‪12‬‬
‫חשוב לבסס את התובנה שהנוסחאות‬
‫לאורך קטע ולשיעורי אמצע קטע‬
‫המקביל לאחד הצירים הם "מקרה‬
‫פרטי" של הנוסחה הכללית‪.‬‬
‫השתמשו במשפט פיתגורס כדי לחשב את אורך הקטע ‪.PQ‬‬
‫ג‪ .‬אותה שאלה עבור נקודות בעלות שיעורים כלליים‪ .‬נוסחת‬
‫המרחק הכללית‪.‬‬
‫ד‪ .‬השתמשו בנוסחה למרחק בין שתי נקודות למקרים שבהם‬
‫שני קצות הקטע מקבילים לאחד הצירים‪ .‬השוו את‬
‫התוצאה עם התוצאה של (‪ .)0‬האם קיבלתם את אותה‬
‫תוצאה?‬
‫ה‪ .‬בשאלות ‪ 1‬ו‪ 2-‬חישבתם את שיעורי אמצע הקטע שמקביל‬
‫לאחד צירים‪ .‬נוסחת אמצע קטע כללי היא ____‪.‬‬
‫השתמשו בנוסחה זו על מנת לחשב את שיעורי האמצע של‬
‫הקטע מהשאלות ‪ .2 ,1‬האם קיבלתם את אותה התשובה?‬
‫ו‪ .‬בשלב הזה יש לתת תרגילים מספריים למציאת שיעורי‬
‫אמצע קטע ובהמשך התרגיל לבקש לוודא שהנקודה‬
‫שנמצאה אכן נמצאת במרחקים שווים בקצות הקטע‪.‬‬
‫‬‫‬‫‬‫‪-‬‬
‫‬‫‬‫‬‫‪-‬‬
‫חיזוק מיומנויות למידה על בסיס‬
‫החומר הנלמד קודם תוך ביצוע עצמאי‬
‫של משימה מתפתחת;‬
‫שילוב פרקי ידע שונים אשר נלמדו‬
‫קודם במסגרת משימה אחת;‬
‫הנמקה של שלבים בעבודה ביותר‬
‫מאשר דרך אחת‪ :‬דרך אנליטית ודרך‬
‫גאומטרית‪-‬סינתטית;‬
‫הגעה אינדוקטיבית לתכונה של אנך‬
‫אמצעי כמקום גאומטרי על סמך‬
‫חישובים אנליטיים המתבססים על‬
‫הישר שנבנה;‬
‫העלאת השערה לגבי התכונה ההפוכה‪,‬‬
‫הכללת תוצאות חישוב;‬
‫חזרה לניסוחים של טענות הפוכות זו‬
‫לזו והבנת ההבדל בניסוחים;‬
‫חיזוק הצורך לוודא את נכונותה של כל‬
‫אחת מהטענות ההפוכות זו לזו‪.‬‬
‫חזרה לתפקיד הלוגי של אי‪-‬דוגמה‪.‬‬
‫הכללה של תכונות האנך האמצעי כמקום‬
‫גאומטרי;‬
‫כללי שימוש בצמד המילים "מקום‬
‫גאומטרי" תוך הדגשת האפשרות‬
‫להשתמש בטענות שהוכחו‪.‬‬
‫תרגיל המוביל לאנך אמצעי ‪ -‬ניתן להציעו כסיכום‬
‫‪.4‬‬
‫נושאים אלה‪ :‬מרחק בין שתי נקודות‪ ,‬שיפוע‪ ,‬שיפוע של ישר‬
‫המאונך לישר הנתון‪.‬‬
‫א‪ .‬נתון קטע )_‪ .A(_,_),B(_,‬מצאו את ‪ -C‬נקודת האמצע‬
‫שלו ואת שיפוע הישר ‪.AB‬‬
‫ב‪ .‬מצאו את משוואת הישר ‪ l‬אשר עובר דרך הנקודה ‪C‬‬
‫ומאונך ל‪ .AB-‬הישר ‪ l‬נקרא האנך האמצעי לקטע ‪:AB‬‬
‫הוא מאונך לקטע ועובר דרך נקודת אמצע שלו‪.‬‬
‫ג‪ .‬כמה אנכים אמצעיים לקטע קיימים לדעתכם? אפשר‬
‫להציע לנמק על סמך התהליך של חיפוש אנליטי לעיל‬
‫ולקשר למשמעות הגאומטרית של אנך אמצעי‪.‬‬
‫ד‪ .‬בחרו נקודה ‪ D‬כלשהי על ישר ‪ l‬וחשבו את אורכי הקטעים‬
‫‪ .BD ,AD‬מה קיבלתם? בחרו נקודה נוספת על אותו ישר‬
‫וחשבו גם הפעם את מהרחקים ממנה לקצות הקטע ‪.AB‬‬
‫האם קיבלתם תוצאה דומה?‬
‫מה דעתכם ‪ -‬האם נכון להסיק כי כל נקודה על אנך‬
‫אמצעי לקטע נמצאת במרחקים שווים מקצות הקטע‪.‬‬
‫ה‪ .‬נתונה נקודה )_‪( E(_,‬שיעורי הנקודה צריכים להיות‬
‫שונים משיעורי הנקודות מהתרגיל הקודם‪ ,‬אך הכוונה‬
‫לנקודה שנמצאת על האנך האמצעי)‪ .‬חשבו את ‪.EA ,EB‬‬
‫האם נראה לכם נכון לשער שנקודה זו נמצאת גם היא על‬
‫האנך האמצעי? כיצד נבדוק זאת? הנחיה על מנת לבדוק‬
‫שנקודה כלשהי נמצאת על ישר כלשהו ‪ :l‬יש לבדוק‬
‫ששיעוריה מקיימים את משוואת הישר‪.‬‬
‫ו‪ .‬עוד דוגמה או שתיים בדומה לסעיף ד וכן דוגמה לנקודה‬
‫שלא נמצאת על האנך האמצעי בשתי דרכים‪ :‬נקודה ‪M‬‬
‫כזו ש‪ MAMN-‬ולבדוק האם ‪ M‬נמצאת על ‪ ;l‬ונקודה ‪K‬‬
‫שלא נמצאת על ‪ l‬שלגביה יש לדבוק ש‪.KBKA-‬‬
‫האם נכון‪ ,‬לדעתכם‪ ,‬להסיק כי כל נקודה על שמרחקיה מקצות‬
‫קטע כלשהו שווים ביניהם‪ ,‬נמצאים על אנך אמצעי לקטע‬
‫זה?‬
‫מה ההבדל בין המסקנות שנוסחו בסעיפים ד ו‪-‬ו? מה נתון‬
‫בכל אחד מהניסוחים ומה מסיקים מהנתון?‬
‫ יישום הנלמד בתצורה גאומטרית‬‫מורכבת יותר (לא סתם קטע אלא צלע‬
‫‪.5‬‬
‫נתון משולש )_‪.A(_,_)B(_,_)C(_,‬‬
‫א‪ .‬רשמו את המשוואות של האנכים האמצעיים ל‪ AB -‬ול‪-‬‬
‫‪10‬‬
‫של משולש);‬
‫ שילוב כלים אנליטיים וסינתטיים‬‫בהגעה להכללה;‬
‫ שימוש בשני הכיוונים של תכונות האנך‬‫האמצעי כמקום גאומטרי‪ ,‬לצורך‬
‫המסקנה ששלושת האנכים האמצעיים‬
‫לצלעות המשולש נפגשים בנקודה אחת‬
‫המרוחקת במרחקים שווים מקדקודי‬
‫מהמשולש‪.‬‬
‫ משימה דו‪-‬שלבית בגאומטריה אנליטית‪:‬‬‫מציאת אמצע קטע והעברת ישר דרך‬
‫שתי נקודות;‬
‫ הבדיקה המבוקשת גם היא דו‪-‬שלבית‪:‬‬‫על התלמיד להבין שקודם יש למצוא‬
‫נקודת חיתוך של שניים מתוך שלושת‬
‫התיכונים ולאחר מכן לוודא שהיא‬
‫נמצאת על התיכון השלישי‪ .‬חשוב לבדוק‬
‫לא רק את שייכות הנקודה לישר המכיל‬
‫את התיכון אלא גם את שייכות הנקודה‬
‫לקטע שבין הקדקוד לאמצע הצלע ממול‪.‬‬
‫זאת לא חייבים לעשות באופן כללי אלא‬
‫בהסתמך על היחס שמוצע להוכיח‪.‬‬
‫ על התלמיד לנסח לעצמו את הבעיה‬‫שעליו לפתור בגאומטריה אנליטית‪:‬‬
‫לבנות ישר מאונך לישר נתון דרך נקודה‬
‫נתונה ואת נקודת החיתוך בין שני‬
‫הישרים‪ .‬משימה דו‪-‬שלבית בגאומטריה‬
‫אנליטית שהתלמיד ינסח באופן עצמאי‪.‬‬
‫ בשלב בניית הישרים המכילים את‬‫הגבהים יש להתעכב על כך שמדובר על‬
‫ישרים ולא על קטעים‪ ,‬שכן הקטעים‬
‫עלולים לא להיחתך‪ .‬חשוב להזכיר את‬
‫ההגדרה שקטעים מאונכים זה לזה אם‬
‫הם שייכים לישרים מאונכים‪ ,‬ולהימנע‬
‫מההגדרה הלא נכונה הדורשת שקטעים‬
‫מאונכים ייצרו זווית ישרה‪.‬‬
‫ כדאי להזכיר מלימודי גאומטריה‬‫קודמים שלעומת חוצי זוויות ותיכונים‬
‫במשולש הגבהים לא חייבים להיחתך‪,‬‬
‫אך ישרים המכילים אותם נחתכים‬
‫בנקודה אחת‪.‬‬
‫ חזרה על הביטוי לשטח של משולש‬‫בהקשר של גאומטריה אנליטית‪.‬‬
‫‪ .AC‬מצאו את ‪ –S‬נקודת החיתוך שלהם‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצאו את אורכי הקטעים ‪ .SC ,SB ,SA‬מה גיליתם? האם‬
‫תוכלו להסביר את התוצאה?‬
‫אפשרות אחרת‪ :‬מה תוכלו לשער לגבי אורכי הקטעים‬
‫‪ ?SA ,SC ,SC‬נמקו את השערתכם‪ .‬בדקו אותה על ידי‬
‫חישוב‪ .‬האם השערתכם התאמתה?‬
‫‪ .6‬נתון משולש )_‪.A(_,_)B(_,_)C(_,‬‬
‫א‪ .‬רשמו את משוואות הישרים המכילים את התיכונים שלו‪.‬‬
‫ב‪ .‬ודאו שהם נחתכים בנקודה אחת‪.‬‬
‫ג‪ .‬ודאו שנקודה זו מחלקת כל אחד מהתיכונים ביחס של‬
‫‪.2:1‬‬
‫‪ .2‬נתון משולש )_‪.A(_,_)B(_,_)C(_,‬‬
‫א‪ .‬רשמו את משוואות הישרים המכילים את הגבהים שלו‪.‬‬
‫ב‪ .‬ודאו ששלושת הישרים נחתכים בנקודה אחת‪.‬‬
‫ג‪ .‬מצאו את אורכי הגבהים‪.‬‬
‫ד‪ .‬ודאו שמכפלות הגבהים בצלעות המאונכות להם שוות‪.‬‬
‫ִחשבו על הסבר ופרטו מדוע זה כך‪.‬‬
‫דוגמה‬
‫חישוב שטחים והיקפים של מספר מצולעים משוכללים‪.‬‬
‫אפיון‬
‫זוהי דוגמה אינטגרטיבית המאחדת את שלושת הנושאים הנלמדים בכיתה י במסגרת לימודי הגאומטריה‪.‬‬
‫דוגמאות להוכחות של חלק מהשלבים מופיעות בנספח ___‪// .‬להשלים‬
‫‪ .1‬פירוק משושה משוכלל לצורות (בדרכים שונות) לצורות מוכרות וחישוב שטחיהן והיקפיהן‪ :‬משולשים‬
‫שווי שוקיים ומלבן‪ ,‬שני טרפזים וכדומה‪ .‬בכל שלב יש לבדוק את סכום השטחים והסכום היקפים‬
‫כדי להעמיק את ההבנה בנושאים אלה ולחזק את התובנות הבאות‪:‬‬
‫‪14‬‬
‫א‪ .‬מהו שטח של צורה ומהו היקף‬
‫ב‪ .‬השטחים אדיטיביים; ההיקפים לא‪.‬‬
‫ג‪ .‬ניתן לחשב את שטחי הטרפזים לפי נוסחת שטח הטרפז או על ידי חלוקתם לצורות מוכרות‪.‬‬
‫ד‪ .‬באחת החלוקות של המשושה המשוכלל מתקבל מלבן שצלעותיו הארוכות יותר הן אלכסוני‬
‫המשושה‪ .‬יש בקש מהתלמידים לוודא שזהו אכן מלבן‪,‬‬
‫וכדומה‪.‬‬
‫‪15‬‬
‫נספח א‪ :‬משימה אינטגרטיבית (דוגמה ‪ )4‬מלווה בפתרונות חלקיים כדוגמה לרמת סיבוכיות ההוכחות‬
‫שיידרשו התלמידים לכתוב‪.‬‬
‫הגדרה‪ :‬מצולע משוכלל הוא מצולע שבו כל הצלעות שוות ביניהן וכל הזוויות שוות‬
‫ביניהן‪.‬‬
‫‪ .1‬נתון מצולע משוכלל ‪:ABCDEF‬‬
‫א‪ .‬הורידו אנך אמצעי לאחת מצלעות המצולע‪ ,‬למשל צלע ‪ ,AB‬ולצלע סמוכה‪,‬‬
‫למשל צלע ‪ .BC‬סמנו ב‪ G -‬את נקודת החיתוך בין שני האנכים האמצעיים (ראו‬
‫סרטוט)‪:‬‬
‫חברו את הנקודה ‪ G‬עם קדקודים ‪.C ,B ,A‬‬
‫השתמשו בתכונות של אנך אמצעי לקטע על מנת להוכיח ש‪.CG=BG=AG-‬‬
‫ב‪ .‬רשמו משולשים שווי שוקיים‪ ,‬בעלי קדקוד הראש ‪ G‬שנוצר כתוצאה‬
‫מהבנייה‪.‬‬
‫ג‪ .‬הסבירו מדוע מסומנות הזוויות שבסרטוט כשוות ומדוע מסומנים‬
‫הקטעים כשווים‪.‬‬
‫תזכורת‪ ABCDEF :‬הוא משושה משוכלל!‬
‫ד‪ .‬האם תוכלו להוכיח ש‪?GD=GC-‬‬
‫הנחיה‪ :‬הורידו אנך מ‪ G -‬ל‪ ,CD-‬והתבססו על מה שהוכחתם ב‪-‬ג‪.‬‬
‫פתרון לדוגמה ( סעיף ג) ‪:‬‬
‫א‪ .‬נתון ש‪ GH -‬הוא אנך אמצעי ל‪ ,AB-‬ולכן (לפי תכונות של אנך אמצעי) ‪ GB=GA‬ובאותו אופן ‪.GC=GB‬‬
‫זאת גם הסיבה לכך שהקטעים שבסרטוט מסומנים כשווים‪.‬‬
‫ב‪ .‬לפי (א) משולש ‪ ABG‬הוא משולש שווה שוקיים‪ ,‬ולכן זוויות הבסיס שלו שוות ביניהן‪.‬‬
‫ג‪ .‬המשולשים שווי השוקיים ‪ AGB‬ו‪ BGC -‬חופפים ביניהן לפי צצצ‪ ,‬ולכן זוויות הבסיס של שני‬
‫המשולשים שוות ביניהן‪ ,‬ולכן גם כל אחת מהן היא מחצית הזווית הפנימית של המשושה המשוכלל‪.‬‬
‫פתרון לדוגמה (סעיף ד)‪:‬‬
‫א‪ .‬המשולשים ישרי הזווית ‪ GKC‬ו‪ GJC-‬חופפים ביניהם לפי זצז‪ GC :‬צלע משותפת‪ ,‬הזווית ‪ GCK‬שווה‬
‫למחצית הזווית הפנימית של משושה משוכלל‪ ,‬ולכן הזווית ‪ GCJ‬היא המחצית השנייה של אותה‬
‫זווית; הזוויות החדות הנותרות משלימות אותן ל‪.133-‬‬
‫ב‪ .‬מ‪-‬א נובע ש‪=KC=JC-‬מחצית הצלע של משושה משוכלל‪ ,‬ולכן ‪ GJ‬הוא לא רק אנך אלא אנך אמצעי ל‪-‬‬
‫‪.CD‬‬
‫ג‪ .‬מ‪-‬ב נובע ש‪ .GC=GD-‬מ‪.‬ש‪.‬ל‪.‬‬
‫המסקנה הכתובה לאחר משימה זו נובעת מהמשך הורדת אנך לצלעות המשושה וכן מהוכחה שאנך הוא‬
‫אנך אמצעי בדרך דומה‪.‬‬
‫‪16‬‬
‫כאן למעשה מסתיימת ההוכחה שהתלמידים נדרשים לבצע בשלב זה של התרת המשימה המתפתחת‪.‬‬
‫מכאן אפשר להמשיך במשימה‪ ,‬או‪ ,‬כפי שנעשה כאן‪ ,‬להתחיל משימה חדשה המבוססת על הקודמת תוך‬
‫דיון במסקנה הבאה‪:‬‬
‫מסקנה‪ :‬אם נחזור על השלב הקודם‪ ,‬נוכל להוכיח שכל הקטעים המחברים את ‪ G‬לקדקודי המשושה‬
‫שווים ביניהם‪ .‬אם כן‪ ,‬בדרך זו המשושה המשוכלל מתחלק לשישה משולשים שווי שוקיים חופפים‪.‬‬
‫א‪ .‬מהם זוויות המשולשים האלה? האם יש להם תכונה נוספת בנוסף לכך‬
‫שהם שווי שוקיים?‬
‫‪ .2‬נתון שאורך צלע המשושה המשוכלל היא ‪ 6‬יחידות אורך‪ .‬מצאו את‬
‫היקפו ואת שטחו של על אחד מהמשולשים ושל המשושה כולו‪.‬‬
‫א‪ .‬במשושה משוכלל העבירו אלכסונים כמו בסרטוט‪ .‬הסבירו מדוע‬
‫מסומנות הזוויות בסרטוט באותה אות (‪ .)‬מצאו את גודל הזווית ‪.‬‬
‫ב‪ .‬מהו המרובע ‪?AEDB‬‬
‫ג‪ .‬המשושה המשוכלל ‪ ABCDEF‬התחלק למרובע ‪ AEDB‬ולשני‬
‫משולשים‪ AFE :‬ו‪ .BCD-‬מצאו את זוויותיהם‪ ,‬את היקפיהם ואת‬
‫שטחיהם של המרובע ושל המשולשים‪ ,‬כאשר גם הפעם צלע המשושה‬
‫שווה ל‪ 6-‬יחידות אורך‪.6‬‬
‫האם סכום השטחים של שלוש הצורות שווה לשטח המשושה? העלו‬
‫השערה ובדקו אותה בהתבסס על החישוב הקודם שביצעתם‪.‬‬
‫האם סכום היקפי הצורות שווה להיקף המשושה? נמקו את תשובתכם‬
‫ובדקו אותה בהתבסס על החישוב הקודם‪.‬‬
‫‪ .0‬במשושה המשוכלל ‪ ABCDEF‬חיברו את הנקודה ‪ G‬שנוצרה במהלך המשימה הראשונה עם‬
‫הקדקודים ‪( F ,D ,B‬ראו סרטוט)‪:‬‬
‫לאילו מרובעים התחלק המשושה? איזה חלק‪ ,‬לדעתכם‪ ,‬מהווה שטח של כל אחד מהם מתוך שטח‬
‫המשושה? נמקו את תשובתכם ובדקו אותה על ידי חישוב‪.‬‬
‫‪ .4‬הציעו דרך לחלק משושה משוכלל לשני טרפזים‪ .‬מצאו את שטחי שני‬
‫הטרפזים בשתי דרכים שונות והשוו בין תוצאותיהן‪.‬‬
‫‪ .5‬המשושה המשוכלל ‪ ABCDEF‬ממוקם במערכת צירים כך שהנקודה‬
‫‪ G‬מתלכדת עם ראשית הצירים (ראו סרטוט)‪:‬‬
‫א‪ .‬שיעורי הקדקוד ‪ A‬הם )‪ .(2,0‬מצאו את שיעורי שאר הקדקודים‬
‫של המשושה‪ ,‬את היקפו ואת שטחו‪.‬‬
‫ב‪ .‬האם נכון שלכל צלע של המשושה המשוכלל יש צלע המקבילה לה?‬
‫העלו השערה ובדקו אותה על ידי חישוב כאשר אתם מסתמכים על שיעורי הנקודות שמצאתם‪.‬‬
‫ג‪ .‬רשמו את משוואת האנך האמצעי לצלע ‪ .AB‬מה‪ ,‬לדעתכם‪ ,‬יהיה ישר זה ביחס ל‪?DE-‬‬
‫נמקו את תשובתכם בשתי דרכים שונות‪.‬‬
‫‪12‬‬
‫ד‪ .‬בעיר מסוימת מתכננים ערוגת פרחים בכיכר המרכזית‪.‬‬
‫צורת הערוגה משושה משכולל ובתוכו שני משושים משוכללים‬
‫נוספים (ראו הסרטוט)‪.‬‬
‫ידוע ש‪ :NO=AB:2 -‬כלומר‪ ,‬צלע הערוגה הפנימית קטנה פי‬
‫שניים מצלע הערוגה האמצעית‪.‬‬
‫מתכננים לשתול שלושה סוגי צמחים‪:‬‬
‫הראשון‪ ,‬צמחים רב‪-‬שנתיים שיישתלו בערוגה המרכזית ולא‬
‫יוחלפו באחרים‪.‬‬
‫השני‪ ,‬פרחים שיישתלו במשולשים של הערוגה החיצונית‪.‬‬
‫והשלישי‪ ,‬דשא בערוגה הנמצאת בין שני המשושים‪ ,‬בין המשושה ‪ ABCDEF‬לבין המשושה הפנימי‪.‬‬
‫מחיר ליחידת שטח של צמחים מהסוג הראשון קטן פי שניים ממחיר יחידת שטח של פרחים‬
‫מהסוג השני וגדול פי שלושה ממחיר ליחידת שטח של דשא‪.‬‬
‫רכישת אילו צמחים היא היקרה ביותר?‬
‫‪18‬‬
‫אלגברה‪ ,‬מבוא לפונקציות ואנליזה ‪ -‬כיתה י (לפחות ‪ 05‬שעות)‬
‫כללי‬
‫‪ .1‬חלק מהנושאים באלגברה נלמדו בחטיבת הביניים‪ ,‬כך שמדובר בחזרה על מה שנלמד והיכרות עם‬
‫נושאים נוספים‪.‬‬
‫‪ .2‬טרנספורמציות (הזזות‪ ,‬כיווצים ומתיחות) של פונקציה כללית‪ .‬נציין כי טרנספורמציות של פונקציה‬
‫ריבועית נלמדו בחטיבת הביניים‪ ,‬וכאן מדובר בחזרה שמטרתה להבהיר כי אותם עקרונות של‬
‫טרנספורמציה נכונים לגבי פונקציות בכלל‪.‬‬
‫‪ .0‬בתחום האנליזה (בכיתה י) מדובר על היכרות ראשונה עם חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של‬
‫פונקציות פולינומיות בלבד‪ .‬הרעיון העומד בבסיס הבחירה הוא לאפשר לתלמיד חוויה שלמה של‬
‫עיסוק באותה משפחה של פונקציות משני ההיבטים‪ .‬בסיכום הנושא ייתכנו שאלות אינטגרטיביות‬
‫לגבי פונקציות אלו‪ ,‬המשלבות בין יישומי נגזרת וחשבון אינטגרלי‪.‬‬
‫‪ .4‬לאור הבחירה בפונקציות פולינומיות בכיתה י‪ ,‬מושג הגבול יידחה לכיתה יא ולעיסוק גם בפונקציות‬
‫רציונליות; אז יהיה צורך משמעותי יותר במושג זה‪ .‬הטיפול במושג הגבול ברמה של ‪ 4‬יחידות צריך‬
‫להיות אינטואיטיבי‪ .‬ההבנה הראשונית בנושא מתחילה כבר בכיתה י כאשר נלמדים המושגים‬
‫משיק ונגזרת‪.‬‬
‫‪ .5‬בכיתות יא ו‪-‬יב יתבצע מהלך שלם של חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי לגבי משפחות מסוימות של‬
‫פונקציות (ראו פירוט בהמשך)‪ ,‬כאשר המגוון מתרחב בכל שנה‪ .‬יתווספו עוד כלים מתמטיים (מושגי‬
‫הגבול והאסימפטוטה יילמדו בתחילת כיתה יא)‪ .‬גם במקרה זה מדובר בגישה אינטואיטיבית לא‬
‫פורמלית‪.‬‬
‫‪11‬‬
‫יחידה ‪ :1‬חזרה על פתרון משוואות ואי‪-‬שוויון לינארי וריבועי‬
‫(לפחות ‪ 6‬שעות)‬
‫נושאים מתמטיים‬
‫‪-‬‬
‫פתרון משוואות לינאריות וריבועיות‬
‫‪-‬‬
‫פתרון אי‪-‬שוויון לינארי וריבועי‬
‫מטרות כלליות‬
‫א‪ .‬רענון ידע שנלמד בחטיבת הביניים וישמש בלימודי מתמטיקה בכיתות י‪-‬י"ב בחטיבה העליונה‪.‬‬
‫מטרות מעשיות‬
‫‪ .1‬כאשר ניתנת משוואה לינארית או ריבועית‪ ,‬התלמיד ידע לפתור אותה באופן אלגוריתמי כמקובל‪.‬‬
‫‪ .2‬כאשר ניתן אי‪-‬שוויון לינארי או ריבועי‪ ,‬התלמיד ידע לפתור זאת באופן אלגוריתמי כמקובל (כולל‬
‫שימוש בייצוג גרפי‪ ,‬למשל באי‪-‬שוויון ריבועי)‪.‬‬
‫דגשים והבהרות‬
‫‪-‬‬
‫נושא זה הוא חזרה על תכנים שנלמדו בעבר‪.‬‬
‫‪23‬‬
‫יחידה ‪ :2‬חזרה על טרנספורמציות (לינאריּות ‪ -‬הזזה‪ ,‬הרחבה וכיווץ) של פונקציות במישור‬
‫(לפחות ‪ 4‬שעות)‬
‫נושאים מתמטיים‬
‫‪-‬‬
‫הזזה של פונקציה ריבועית‬
‫‪-‬‬
‫הזזה של פונקציה כללית [שאינה לינארית או ריבועית]‬
‫‪-‬‬
‫הדגשת הקשר בין הביטוי הסימבולי ל"מקום" של גרף הפונקציה במערכת הצירים‬
‫מטרות כלליות‬
‫א‪ .‬רענון ידע שנלמד בחטיבת הביניים לגבי הזזה של פונקציה ריבועית‪.‬‬
‫ב‪ .‬יישום ידע זה עבור פונקציה שאינה ריבועית‪.‬‬
‫מטרות מעשיות‬
‫‪ .1‬בהינתן )‪ ,y=f(x‬התלמיד ידע כי ‪ y=f(x) + k‬מזיזה את הפונקציה ‪ k‬יחידות כלפי מעלה עבור ערכים‬
‫חיוביים או מזיזה את הפונקציה ‪ k‬יחידות כלפי מטה עבור ערכים שליליים‪.‬‬
‫‪ .2‬בהינתן )‪ ,y=f(x‬התלמיד ידע כי )‪ y=f(x-p‬מזיזה את הפונקציה ‪ p‬יחידות ימינה יחסית לראשית עבור‬
‫ערכי ‪ P‬חיוביים‪ ,‬או שמאלה אם ערכי ‪ P‬שליליים‪.‬‬
‫‪ .0‬התלמיד ידע כי עבור ערכי ‪ a>1‬הפונקציה )‪ y=a·f(x‬מכווצת יחסית לפונקציה )‪ y=f(x‬ומתרחבת עבור‬
‫ערכים של ‪ .0<a<1‬עבור ערכי ‪ a‬שליליים יש בנוסף שיקוף יחסית לציר ה‪.x-‬‬
‫‪ .4‬התלמיד ידע כי עבור ערכי ‪ q>1‬הפונקציה )‪ y= f(q·x‬מכווצת יחסית לפונקציה )‪ y=f(x‬ומתרחבת‬
‫עבור ערכים של ‪ .0<q<1‬עבור ערכי ‪ q‬שליליים‪ ,‬יש בנוסף שיקוף יחסית לציר ה‪.x-‬‬
‫דגשים והבהרות‬
‫‪-‬‬
‫באופן כללי התלמיד יבין את הקשר בין )‪ y=f(x‬לבין ‪.y=a·f(x-p)+k‬‬
‫המלצה‪ :‬ניתן להשתמש בפונקציית הערך המוחלט במקרה של עבודה ללא טכנולוגיה‪ .‬השימוש בטכנולוגיה‬
‫מאפשר שימוש בפונקציה כלשהי‪ ,‬למשל פונקציית חזקה ‪ g(x) = xn‬עבור ‪ n>2‬או ‪.n=0.5‬‬
‫‪21‬‬
‫יחידה ‪ :3‬חשבון דיפרנציאלי של פונקציות פולינומיות בלבד‬
‫(לפחות ‪ 20‬שעות)‬
‫נושאים מתמטיים‬
‫‪-‬‬
‫משיק לגרף הפונקציה בנקודה‬
‫‪-‬‬
‫שיפוע של גרף בנקודה‬
‫‪-‬‬
‫הפונקציה הנגזרת (מושג הנגזרת יוצג ככלי לחקירת פונקציות)‬
‫‪-‬‬
‫תחום הגדרה‬
‫‪-‬‬
‫נקודות חיתוך עם הצירים‬
‫‪-‬‬
‫עלייה וירידה‬
‫‪-‬‬
‫זוגיות ואי‪-‬זוגיות‬
‫‪-‬‬
‫המשמעות האלגברית והגרפית של נקודות חיתוך של פונקציות‪ ,‬של )‪, f ( x)  g ( x‬‬
‫)‪ f ( x)  g ( x‬וכד'‪.‬‬
‫‪k‬‬
‫‪-‬‬
‫הנגזרת של ‪ k( x‬טבעי או ‪)3‬‬
‫‪-‬‬
‫‪‬‬
‫נגזרת של פולינום‪ ,‬כולל נגזרת של סכום והפרש ‪  f ( x)  g ( x)‬ונגזרת במקרה של כפל בסקלר‬
‫‪‬‬
‫‪. c  f (x)‬‬
‫‪-‬‬
‫שימושי הנגזרת‪:‬‬
‫‪ o‬קישור בין גרף הפונקציה לגרף פונקציית הנגזרת‪.‬‬
‫‪ o‬פתרון שאלות שיש בהן צורך במציאת שיפוע משיק או במציאת משוואת משיק לגרף בנקודה‬
‫שעל גרף הפונקציה‪.‬‬
‫‪ o‬פתרון בעיות קיצון שיש בהן שימוש בפונקציות פולינומיות בתחום סגור‪.‬‬
‫‪ o‬חקירת פונקציה וסרטוט סקיצה של גרף הפונקציה‪ .‬החקירה תכלול‪ :‬תחום הגדרה‪ ,‬נקודות‬
‫חיתוך עם הצירים‪ ,‬תחומי עלייה וירידה‪ ,‬נקודות קיצון (מקומי ומוחלט)‪ ,‬הקשר בין‬
‫הפונקציות (‪ x(f‬ו‪.)x('f ( -‬‬
‫מטרות כלליות‬
‫א‪ .‬התלמיד יכיר את הנגזרת ככלי מתמטי לחקירת פונקציות פולינומיות‪.‬‬
‫ב‪ .‬התלמיד יוכל להשתמש בנגזרת לפתרון בעיות ערך קיצון (ראו דוגמה בנספח ג)‪.‬‬
‫מטרות מעשיות‬
‫‪ .1‬כאשר מוצגת פונקציה פולינומית התלמיד ידע לחקרה ולסרטט את הגרף‪.‬‬
‫‪ .2‬כאשר מוצג מצב המזמן בניית פונקציה פולינומית והמשך חקירתה בהקשר של מינימום‬
‫ומקסימום מוחלטים‪ ,‬התלמיד ידע לעשות זאת‪.‬‬
‫‪22‬‬
‫דגשים והבהרות‬
‫‪-‬‬
‫באופן כללי מושג הנגזרת יוצג באופן אינטואיטיבי ככלי מתמטי בעל שימושים שונים‪ .‬דוגמה‬
‫למהלך דידקטי המציג את מושג הנגזרת באופן אינטואיטיבי ניתן למצוא בספר מבוא לאנליזה‬
‫(‪ )1118‬בהוצאת המחלקה להוראת המדעים‪ ,‬מכון ויצמן למדע‪.‬‬
‫באופן כללי מתבססים על סרטוט של הפונקציה ‪ .y=x2‬על פי הסרטוט מכנים בשם שיפוע המשיק‬
‫לגרף הפונקציה בנקודות שונות‪ .‬בונים טבלת ערכים ושערים כי ערכי השיפועים מתאימים‬
‫לפונקציה ‪.2x‬‬
‫מסכמים כהשערה‪ :‬אם ‪ f(x)=x2‬אז ‪.f’(x)=2x‬‬
‫הגדרת הנגזרת תהיה‪ :‬הפונקציה הנגזרת מתאימה לכל מקור (‪ )x‬את שיפוע הפונקציה (המקורית)‬
‫בנקודה‪.‬‬
‫‪-‬‬
‫יושם דגש על קישור בין היבטים סימבוליים לגרפיים במידת האפשר‪.‬‬
‫‪20‬‬
‫יחידה ‪ :4‬חשבון אינטגרלי (של פונקציות פולינומיות בלבד) (לפחות ‪10‬שעות)‬
‫נושאים מתמטיים‬
‫‪-‬‬
‫אינטגרלים של פונקציות פולינום (עבור פונקציות אלו יידרש אינטגרל לא מסוים‪ ,‬פונקציה‬
‫קדומה‪ ,‬אינטגרלים מידיים‪ ,‬אינטגרל של סכום פונקציות ושל כפל פונקציה בקבוע)‪.‬‬
‫‪-‬‬
‫מציאת פונקציה על פי הנגזרת ונקודה על הפונקציה‪.‬‬
‫‪-‬‬
‫האינטגרל המסוים (דוגמה למהלך דידקטי אפשרי לקירוב מושג האינטגרל ראו בנספח ב)‪.‬‬
‫‪-‬‬
‫חישוב שטח בין גרף הפונקציה לציר ‪( x‬הפונקציה יכולה להיות חיובית‪ ,‬שלילית או לשנות סימן)‪.‬‬
‫‪-‬‬
‫רשות בכיתה י‪ :‬חישוב שטח בין גרפים של שתי פונקציות וחישוב שטחים מורכבים‪.‬‬
‫מטרות כלליות‬
‫א‪ .‬התלמיד יכיר את מושג האינטגרל כפעולה הפוכה לפעולת הנגזרת‪.‬‬
‫ב‪ .‬התלמיד יכיר את האינטגרל ככלי לחקירה מתמטית‪.‬‬
‫ג‪ .‬התלמיד יכיר את הקשר בין הפונקציה הקדומה‪ ,‬הפונקציה והפונקציה הנגזרת שלה‪.‬‬
‫מטרות מעשיות‬
‫‪ .1‬כאשר מוצגת פונקציה עם הסרטוט שלה‪ ,‬התלמיד ידע לחשב את השטח הכלוא בין גרף‬
‫הפונקציה לציר ה‪.X-‬‬
‫‪ .2‬כאשר מוצגת פונקציה עם תיאור מילולי של סרטוט‪ ,‬התלמיד ידע לסרטט את התחום ולחשב את‬
‫השטח הכלוא‪.‬‬
‫דגשים והבהרות‬
‫‪-‬‬
‫מושג האינטגרל יוצג באופן אינטואיטיבי‪ ,‬כ"משחק" מתמטי בעל שימושים שונים‪.‬‬
‫‪-‬‬
‫יושם דגש על קישור בין היבטים סימבוליים וגרפיים במידת האפשר‪.‬‬
‫‪24‬‬
‫נספח ב‪ :‬מהלך דידקטי אפשרי לקירוב מושג האינטגרל‬
‫נתבונן בגרף הפונקציה ‪.y=2x‬‬
‫הנקודות ‪ D ,C ,B ,A‬נמצאות על גרף הפונקציה ושיעוריהן שלמים‪.‬‬
‫ניתן להסתכל על השטחים הכלואים בין גרף הפונקציה ובין ציר ‪ X‬כאל סדרה של משולשים ישרי זווית‪.‬‬
‫נתייחס לסדרת משולשים שקדקודם בנקודה (‪ )0, 0‬ונחשב את שטחיהם‪:‬‬
‫המשולש‬
‫שטח‬
‫אורך ניצב‬
‫המשולש‬
‫הבסיס‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪OAE‬‬
‫‪4‬‬
‫‪2‬‬
‫‪OBF‬‬
‫‪9‬‬
‫‪3‬‬
‫‪OCG‬‬
‫‪16‬‬
‫‪4‬‬
‫‪ODH‬‬
‫נשים לב כי ערכי שטחי המשולשים מתאימים לכלל ‪.F(x)=x2‬‬
‫כיצד נוכל לחשב שטח של צורה אחרת הכלואה מתחת לגרף הפונקציה?‬
‫נדגים זאת למשל על שטח הטרפז ‪( FBDH‬הסבירו מדוע מדובר בטרפז)‪.‬‬
‫ניתן להתייחס לשטח המבוקש כהפרש בין שטחי שני משולשים‪ :‬שטח המשולש ‪ ODH‬שנפחית ממנו את‬
‫שטח משולש ‪ ,OBF‬כלומר ‪ 12‬יחידות שטח‪.‬‬
‫נשים לב כי חישוב זה הוא כמו החישוב ‪.F(4) – F(2) = 42 – 22 = 12‬‬
‫נוכל להציע השערה‪ :‬כדי לחשב שטח הכלוא בין גרף פונקציה )‪ f(x‬לבין ציר ה‪ x-‬בין שני ערכי ‪ ,x‬ניתן‬
‫להשתמש בחישוב ההפרש בין ערכי פונקציית האינטגרל באותן שתי נקודות‪.‬‬
‫‪25‬‬
‫נספח ג שימוש בנגזרת לפתרון בעיות קיצון‬
‫‪26‬‬
‫סטטיסטיקה‬
‫תחום זה יכלול שני נושאים מרכזיים ונושא משני אחד‪.‬‬
‫שני הנושאים המרכזיים הם‪:‬‬
‫א‪ .‬סטטיסטיקה תיאורית ‪ -‬הרחבה של תכנית ‪ 0‬יחידות והעמקת המתמטיקה שבה; רגרסיה ליניארית‪.‬‬
‫ג‪ .‬הסקה סטטיסטית שבמסגרתה נלמד איך לבדוק טענות על פרמטרים באוכלוסייה על סמך מדגם‪.‬‬
‫בין שני הנושאים המרכזיים יהיה דיון בנושא משני‪:‬‬
‫ב‪ .‬הסתברות‪ .‬ההסתברות תילמד רק ככלי לשימוש בסטטיסטיקה‪.‬‬
‫התוכנית בנויה כך שבכל שלב אפשרית הוראה ללא טכנולוגיה (ניתן לחלק דפי עבודה‪ ,‬למשל)‪ ,‬אך‬
‫טכנולוגיה מומלצת וכדאית בכל שלב בשל האינטראקטיביות‪.‬‬
‫הערה‪ :‬בתחום הסטטיסטיקה הדוגמאות לשאלות אינן בגוף הטקסט אלא בהפניות למראי מקומות‪.‬‬
‫רשימת מראי המקומות מופיעה בסוף תיאור התחום‪.‬‬
‫כיתה י‪:‬‬
‫נושא א‪ :‬סטטיסטיקה תיאורית (‪ 30-35‬ש')‬
‫פרט לרגרסיה‪ ,‬תוכני יחידה זו מוכרים ברובם מחטיבת הביניים‪ ,‬כך שבהתחלה מדובר בעיקר בחזרה‪.‬‬
‫עם זאת‪ ,‬בדוגמאות המילוליות מומלץ להשתמש בתכנים המתאימים לגיל התלמידים‪ ,‬למשל מנושאים‬
‫המופיעים בתקשורת‪.‬‬
‫מושגים בסיסיים (חזרה) (‪ 2‬ש')‬
‫ אוסף רשומות (למשל פרטים במרשם האוכלוסין)‬‫ מושג המשתנה וסוגיו‪ :‬משתנים שמיים (גברים‪ /‬נשים‪ ,‬סוגי מקצועות‪ ;)...‬משתנים כמותיים‬‫רציפים (טמפרטורה‪ )...‬או בדידים (מספר ילדים במשפחה‪ .)...‬ניתן להפוך משתנה רציף לבדיד על ידי‬
‫חלוקה למרווחים (אינטרוולים) (ציונים‪ ,‬משכורות‪.)...‬‬
‫‪ )1‬מושג ההתפלגות (‪ 6‬ש')‬
‫ המטרה‪ :‬לתאר את המשתנה באופן פשוט‪ ,‬חזותי או כמותי‪ ,‬המאפשר השוואה לאוסף רשומות אחר‬‫(דוגמה‪ :‬השוואת טמפרטורה בין שני מקומות)‪ .‬כמה יש מכל סוג? כמה גברים‪/‬נשים יש בישראל בכל‬
‫שכבת גיל?‬
‫ מושג המשתנה וסוגיו‪ :‬משתנים שמיים (גברים‪ /‬נשים‪ ,‬סוגי מקצועות‪ ;)...‬משתנים כמותיים‬‫רציפים (טמפרטורה‪ )...‬או בדידים (מספר ילדים במשפחה‪ .)...‬ניתן להפוך משתנה רציף לבדיד על ידי‬
‫חלוקה למרווחים (אינטרוולים) (ציונים‪ ,‬משכורות‪.)...‬‬
‫ סוגי תיאור‪ :‬טבלת שכיחויות (משתנה בדיד; משתנה רציף כמו הכנסה חודשית אפשר לחלק‬‫לקבוצות); דיאגרמות עוגה; דיאגרמות מקלות; טבלה‪.‬‬
‫ הסבר למורה‪ :‬ההתפלגות "שוכחת" מאיזה רשומה מגיע המידע ורק סופרת כמה יש מכל סוג‪.‬‬‫למרות זאת היא בדרך כלל עדיין מסובכת מדי להשוואות ישירות בין אוספים שונים של רשומות‪.‬‬
‫דוגמאות לשאלות‪ :‬רצפים רמה מוגברת א‪ ,‬ו; עמלנט ‪.0.4.2 ,0.4.1 0.1‬‬
‫‪22‬‬
‫ סוג נוסף לתיאור של משתנה רציף הוא ההיסטוגרמה (נשתמש באינטרוולים שווים); פרופורציה‬‫יחסית כשטח‪ .‬הסכם‪ :‬במקרה של פריט בגבול שבין שתי מחלקות‪ ,‬הגבול התחתון שייך למחלקה‬
‫והגבול העליון שייך למחלקה הבאה‪.‬‬
‫דוגמאות לשאלות‪ :‬עמלנט ‪0.4.0 0.1.0‬‬
‫ מעבר מהיסטוגרמת מקלות לרציפה (ולהיפך) לפי שטח‪ :‬רק עם אינטרוולים שווים‪.‬‬‫ התפלגויות סימטריות וא‪-‬סימטריות עם זנב לימין‪ /‬שמאל (משכורות‪)...‬‬‫דוגמה לשאלה‪ :‬עמלנט ‪0.4.5‬‬
‫בישראל‪)...‬‬
‫דוגמאות לשאלות‪ :‬רצפים רמה מוגברת ב‪ ,‬ז‪ ,‬ט; עמלנט‪ 0.2 :‬ללא ‪0.2.0‬‬
‫‪ -‬מדדי פיזור‪ :‬תחום (‪ ;)range‬דוגמת המיליונר בכפר גם כאן; עשירונים; שונות‬
‫וסטיית תקן‬
‫‪.‬‬
‫דוגמאות לשאלות‪ :‬עמלנט ‪ :0.0‬תחום‪ ,‬עשירונים במקום רבעונים; שונות וסטיית תקן‪.‬‬
‫‪ )2‬רגרסיה (‪ 16‬שעות)‬
‫ מבוא‪ :‬קשר בין שני משתנים כמותיים (‪ 2‬ש')‪:‬‬‫לפעמים מתואר בגרף אבל לפעמים כ"ענן" של אפשרויות;‬
‫קשר סיבתי מול קורלציה סטטיסטית (יעילות תרופות‪ ,‬רמת הפשיעה מול קיום שירותי רפואה‬
‫בערים שונות; מספר נעליים מול יכולת קריאה‪.)...‬‬
‫עקרונות‪ :‬הדגשת המשמעות הגאומטרית תוך ניצול התוכנה‪ .‬הצורך בתוכנה נובע גם מכך‬
‫שהנוסחאות אינן תמיד פשוטות וגם מכך שבדוגמאות מהמציאות יש בדרך כלל רשומות רבות‬
‫מאוד‪ .‬אם אין גישה לתוכנה יש לתת דפי עבודה עם גרפי הפיזור של ההתפלגויות (אפשר לבקש לתת‬
‫הסבר איכותי אם מודל הרגרסיה מתאים‪ ,‬לתת את מקדם הרגרסיה אם נחוץ‪ ,‬וכו')‬
‫המתאם (הקורלציה) הלינארי (‪ 6‬ש')‪:‬‬
‫ מקדם ִ‬‫המתאם לתיאור הגרפי); כיוון‬
‫ מתי ִמתאם לינארי אינו מתאים (לדון את הקשר בין מקדם ִ‬‫הקשר; עוצמת הקשר; (לעבוד עם התיאור הגרפי‪/‬ויזואלי ועם מקדם הרגרסיה ולא עם הנוסחה‬
‫החישובית המגדירה אותו)‪.‬‬
‫‪ -‬שינוי יחידת המדידה‪.‬‬‫דוגמה‪ :‬רצפים רמה מוגברת ג; עמלנט ‪ 0.2‬שאלת רשות ‪5‬‬
‫‪ )0‬מדדים (‪ 8‬ש')‬
‫מדדים הם כלי לתמצות המידע שבהתפלגות‪.‬‬
‫ מדדי מרכז‪ .‬במקרה הבדיד‪ :‬חישוב המדדים מתוך טבלה; במקרה הרציף‪ :‬זיהוי איכותי של‬‫מדדים (בגרף ההתפלגות החציון מאופיין על ידי שוויון שטחים מימין ומשמאל; הממוצע‬
‫הוא‬
‫מרכז הכובד‪ ,‬כלומר נקודת איזון של נדנדה)‪( .‬מדוע צריך חציון? המיליונר בכפר‪ ,‬קו העוני‬
‫המתאם אינו מושפע משינוי יחידות (הוא "מספר טהור"‪ ,‬ללא יחידות‬
‫הערה למורה‪ :‬מקדם ִ‬
‫ שימוש בקווי רגרסיה לצורכי ניבוי (‪ 3‬ש')‪.‬‬‫‪ -‬רגרסיה לכיוון הממוצע‪ 3( :‬ש')‪.‬‬
‫‪28‬‬
‫כדוגמא לגישה המומלצת לרגרסיה ראו המסמך (באנגלית) של פרופ' ‪" M. Wichura‬גישה לרגרסיה‬
‫לינארית"‪.‬‬
‫המתאם‬
‫‪ -‬את הנוסחה למקדם ִ‬
‫המתאם מקיים‬
‫אין צורך ללמד‪ ,‬אך יש להסביר כי מקדם ִ‬
‫‪ ,‬כאשר מתאם (קורלציה) של‬
‫אומר כי כל הנקודות נמצאות על קו ישר‪.‬‬
‫קורלציה (מתאם) ‪ 3‬אומרת כי אין קשר סטטיסטי לינארי בין המשתנים‪ .‬אם יש בין הגדלים קשר‬
‫המתאם אינו המדד המתאים‪.‬‬
‫שאינו לינארי (למשל ‪ Y‬הוא הריבוע של ‪ ,)X‬אזי מקדם ִ‬
‫ חשוב להדגיש שקו הרגרסיה הלינארית יעבור דרך הנקודה‬‫משוואת ישר עם שיפוע שיסומן ‪:β‬‬
‫‪.‬‬
‫המתאם‬
‫המתאם‪ .‬מקדם ִ‬
‫ השיפוע של קו הרגרסיה קשור למקדם ִ‬‫תלוי ביחידות)‪ .‬לשיפוע‬
‫‪ ,‬כאשר ‪ x‬ו‪ y-‬הם המשתנים וזו‬
‫הוא מספר טהור (לא‬
‫יש יחידות‪ :‬אלה של ‪ Y‬מחולקות באלה של ‪ . X‬הקשר ביניהם הוא‬
‫‪.‬‬
‫קשר זה חשוב מאוד‪ ,‬כפי שרואים אצל ויצ'ורה (גישה לרגרסיה לינארית עמ' ‪ .14–10‬התרגילים‬
‫בעמודים אלה חשובים)‪.‬‬
‫המתאם והשיפוע‪ ,‬יש לתת בנספח אך מומלץ שלא‬
‫לעומת זאת‪ ,‬את הנוסחאות הבאות‪ ,‬של מקדם ִ‬
‫המתאם ואת השיפוע באופן ידני‪,‬‬
‫ללמדן ולא לתרגל אותן‪ .‬המטרה אינה ללמד לחשב את מקדם ִ‬
‫אלא לקבל אותם מהתוכנה או כנתון על דפי עבודה ובספר‪.‬‬
‫‪ -‬השיפוע‬
‫של קו הרגרסיה נתון על ידי‪:‬‬
‫המתאם נתון על ידי‪:‬‬
‫‪ -‬מקדם ִ‬
‫הנוסחה לקשר של‬
‫עם נובעת מידית‪.‬‬
‫‪21‬‬
‫הסתברות והסקה סטטיסטית – כיתה י"א (‪ 40-45‬שעות)‬
‫ב‪ .‬הסתברות (חזרה על תכנים מחטיבת הביניים והרחבה) (‪ 25‬שעות)‬
‫תורת ההסתברות נועדה לטפל במצבים של אי‪-‬ודאות‪ .‬עבורנו היא אך ורק כלי לסטטיסטיקה‪ ,‬ובהקשר‬
‫זה רק מה שנחוץ יילמד (למשל‪ ,‬בלי קומבינטוריקה‪ ,‬ללא מקדמים בינומיאליים‪)...‬‬
‫‪ )1‬מרחב המדגם‪:‬‬
‫מרחב המדגם הוא עבורנו אוסף כל התוצאות האפשריות של ניסוי (לדוגמה‪ ,‬בהטלת קובייה מרחב‬
‫המדגם הוא המספרים מ‪ 1-‬עד ‪.)6‬‬
‫א‪ .‬תיאור גרפי של מרחב המדגם‪ :‬טבלאות‪ ,‬עצים‪.‬‬
‫ב‪ .‬נקודה במרחב המדגם היא תוצאה אפשרית של הניסוי‪.‬‬
‫ג‪ .‬מאורע הוא קבוצה חלקית של מרחב המדגם‪.‬‬
‫ד‪ .‬איחוד מאורעות‪ ,‬חיתוך‪ ,‬מאורעות זרים ומשלימים‪.‬‬
‫‪ )2‬מושג ההסתברות‪:‬‬
‫הסבר‪ :‬תופעת התייצבות השכיחות היחסית‬
‫‪:‬‬
‫מובילה למושג ההסתברות‬
‫כללים‪:‬‬
‫א‪.‬‬
‫;‬
‫ב‪.‬‬
‫כל מרחב המדגם ;‬
‫ג‪ .‬הסתברות איחוד מאורעות זרים היא סכום ההסתברויות‪.‬‬
‫(הסתברות המאורע המשלים; הנוסחה נובעת מכללים ב' ו‪-‬ג')‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫‪ )0‬הסתברות מותנית‪:‬‬
‫משתמשים באותה נוסחה אבל המספר הכולל ‪ n‬הצטמצם למדגם החלקי של הפריטים המקיימים‬
‫את הדרישות הנוספות‪ .‬להסביר זאת בעץ הסתברויות‪ :‬לכל עלה יש הסתברות‪ .‬נתונה קבוצה חלקית‬
‫של עלים כאלה המתארת מאורע ‪ A‬וקבוצה חלקית שלה המתארת מאורע‬
‫ההסתברויות של העלים הרלוונטיים כדי למצוא את‬
‫ואת‬
‫‪ .‬מחברים את‬
‫‪ ,‬ומחלקים כדי לקבל את‬
‫היחס‪ .‬בנוסחה‪,‬‬
‫‪.‬‬
‫דוגמה לשאלה בהסתברויות מותנות‪ :‬כשמסובבים סביבון (מספרים באקראי מ‪ 1-‬עד ‪ )4‬או כשמטילים‬
‫קובייה (מספרים באקראי מ‪ 1-‬עד ‪ :)6‬האם האמירה שהמספר שיצא ראשוני משנה את ההסתברות‬
‫שיהיה זוגי? ומה במצב הפוך?‬
‫; תנאי שקול‪:‬‬
‫מאורעות הם בלתי תלויים כאשר‬
‫‪.‬‬
‫‪ )4‬נוסחת באייס‬
‫הנוסחה תילמד בהקשר של מבחנים מאבחנים (דיאגנוסטיים)‪ .‬למשל‪ ,‬מה הסיכוי להיות חולה במחלה‬
‫מסוימת‪ .‬כאן מעניינות אותנו ההסתברויות המותנות‬
‫‪-‬‬
‫‪ :‬זו רגישות המבחן (תוצאה חיובית כשחולים‪.)Positive when Sick ,‬‬
‫‪03‬‬
‫‪ :‬זו ספציפיות (או סגוליות) המבחן (תוצאה שלילית כשבריאים‪Negative when ,‬‬
‫‬‫‪.)Healthy‬‬
‫אנו רוצים שההסתברויות המותנות האלה יהיו גבוהות‪.‬‬
‫המשלימים של ההסתברויות האלה ל‪ 1-‬הם ההסתברויות לתוצאה חיובית מדומה (‪)false positive‬‬
‫ולתוצאה שלילית מדומה (‪.)false negative‬‬
‫דוגמאות לשאלות‪ :‬רצפים רמה מוגברת ד‪ ,‬ה‪.‬‬
‫ לא לעבוד עם הנוסחה אלא עם עץ בעומק ‪ 2‬או עם טבלה‪.‬‬‫ להסביר כי במקרים של אחוז מחלה נמוך מאוד באוכלוסייה‪ ,‬המבחן נותן רק מעט מידע‪.‬‬‫‪ )5‬מושג המשתנה המקרי‪:‬‬
‫הקשר של נושא זה והנושא הבא (התפלגות נורמלית) לסטטיסטיקה יופיע בחלק ג'‪" ,‬הסקה‬
‫סטטיסטית"‪.‬‬
‫לכל תוצאה אפשרית של ניסוי מותאם מספר‪ .‬למשל‪ ,‬בחרנו אדם מישראל – מהו גובהו; הטלנו‬
‫קובייה ‪ 5‬פעמים – מה סכום התוצאות‪ .‬במקרה הכללי יש אוסף של אפשרויות לתוצאות הניסוי‪ ,‬ולכל‬
‫אחת מהן המשתנה מתאים מספר‪ .‬מושג ההתפלגות של משתנה מקרי ‪ -‬גרף או טבלה (אין ללמד‬
‫נוסחאות קומבינטוריות לצורך ספירה וחישוב; אין ללמד נוסחאות למשתנה בינומי – לא נשתמש‬
‫עמן‪ ,‬נעבוד תמיד עם טבלאות ועצים)‪.‬‬
‫‪ )6‬התפלגות נורמלית‪:‬‬
‫הפרמטרים ‪) μ‬תוחלת‪ ,‬תסומן גם‬
‫=‬
‫); ‪ μ‬שווה לחציון ולשכיח; ההתפלגות סימטרית; השונות‬
‫‪ ,‬סטיית התקן ‪ , σ‬המקרה הסטנדרטי‬
‫‪ μ‬ן‪-‬‬
‫‪ .‬שינוי לינארי של המשתנה מעביר‬
‫לסטנדרטי‪ .‬זה מאפשר לקרוא מטבלה את פונקציית השגיאה ‪ Erf‬המיוצגת בגרף כשטח‪ .‬ללמוד איך‬
‫לקבל מהטבלה את ההסברות להיות באינטרוול מצורות שונות‪ .‬ההתפלגות הנורמלית חשובה ביותר‪,‬‬
‫מופיעה במקומות רבים‪.‬‬
‫דוגמאות לשאלות‪ :‬תכנית ‪ 0‬יחידות‪.‬‬
‫ג‪ .‬הסקה סטטיסטית (‪ 20-25‬שעות)‬
‫בחלק זה אין עדיין פירוט מלא‪.‬‬
‫‪ )1‬מדגמים‪ :‬נתון לנו אוסף פריטים ("אוכלוסיה") ואנו רוצים לאסוף עליהם מידע‪ .‬מדובר בהערכת גודלו‬
‫(הלא ידוע) של פרמטר של התפלגות האוכלוסייה המעניין אותנו‪ .‬למשל‪ ,‬מה הגובה הממוצע‬
‫באוכלוסייה; מה אחוז המצביעים עבור מועמד מסוים‪ . ...‬לשם כך אנו בוחרים תת‪-‬אוסף קטן‪ִ ,‬מדגם‪,‬‬
‫ומנסים להסיק ממנו על הכלל‪.‬‬
‫יש לדון בקיצור בחשיבות הגדולה של בחירה מושכלת של המדגם‪ ,‬למשל לצורך ניבוי תוצאות בחירות‪.‬‬
‫נושא זה מסובך מאוד‪ ,‬ולכן נצטמצם למדגמים מקריים‪ ,‬כלומר מדגמים שבהם לכל פריט אותה‬
‫הסתברות להיכלל במדגם‪ ,‬וכל פריט נבחר ללא תלות באחרים‪.‬‬
‫‪01‬‬
‫ מושג ה"סטטיסטי"‪ :‬אנו רוצים להוציא מהמדגם ערך מספרי‪ ,‬כלומר הסטטיסטי הוא פונקציה על‬‫המדגם‪.‬‬
‫ אומד ואומדן‪ :‬אנו רוצים לאמוד פרופורציה של תכונה באוכלוסייה‪ ,‬או תוחלת של משתנה מקרי‪.‬‬‫האומד הוא הסטטיסטי שיבחר‪ ,‬והערך המספרי שלו הוא האומדן‪.‬‬
‫‪ )2‬נתרכז בשתי אומדים חשובים‪ :‬אומד התוחלת של משתנה מספרי; ואומד הפרופורציה באוכלוסייה‬
‫(יש גם אומדים אחרים‪ ,‬למשל אומד השונות)‪.‬‬
‫אומד הפרופורציה הוא מקרה פרטי של אומד התוחלת‪ :‬המשתנה בו הוא ‪ 1‬אם יש לפריט את התכונה‬
‫ו‪ 3-‬אחרת‪.‬‬
‫ אומדן התוחלת )‪E(X‬‬‫כאן ניקח‬
‫‪ .‬זהו ממוצע המדגם‪.‬‬
‫א‪ .‬הפונקציה הזו (ה"סטטיסטי") צריכה קודם כל לעניין אותנו; למשל‪ ,‬לעזור לנו לאמוד פרמטר לא ידוע‬
‫של האוכלוסייה‪.‬‬
‫ב‪ .‬לפונקציה הזו יש תכונות מועילות‪ ,‬כמו למשל‪ :‬א‪ .‬התוחלת שלה תהיה הפרמטר שאנו מנסים לאמוד‬
‫("אומד לא מוטה")‪ .‬ב‪ .‬יהיה לנו מושג על דיוק האומדן שקיבלנו (ככלל‪ ,‬ככל שהמדגם גדול יותר‪ ,‬כך‬
‫נקבל הערכה אמינה יותר)‪.‬‬
‫הסבר למורה‪ :‬תכונות א ו‪-‬ב נובעות ממשפט הגבול המרכזי‪ :‬אם לאוכלוסייה (שאינה בהכרח‬
‫נורמלית) יש פרמטרים ‪ μ‬ן‪-‬‬
‫‪ ,‬אזי‪ ,‬עבור ככל ש‪ n -‬גדל‪ ,‬יש לממוצע המדגם מגודל ‪ n‬התפלגות‬
‫שהיא קרובה יותר ויותר להתפלגות נורמלית עם פרמטרים ‪ μ‬ו‪-‬‬
‫‪ .‬זה אומר ש(עבור ‪ n‬מספיק‬
‫גדול) אנו יכולים להשתמש בטבלה של ההתפלגות הנורמלית כדי לאמוד את רמת האמינות של‬
‫המדגם‪.‬‬
‫בפועל בדיקת המדגם עולה לנו יותר ויותר ככל שהמדגם גדל‪ ,‬ולכן אנו רוצים לדעת איזה גודל יספיק‬
‫לנו‪ .‬מקובל לקחת "רווח בר סמך" של ‪ ,15%‬חד‪-‬צדדי או דו‪-‬צדדי‪.‬‬
‫אומדן הפרופורציה‪:‬‬
‫כאמור‪ ,‬זהו מקרה פרטי של הקודם‪ .‬יש להדגיש אותו לפי הקווים שצוינו במקרה הכללי יותר של‬
‫אומדן התוחלת‪.‬‬
‫ רווח בר סמך‬‫ בדיקת השערות‪ .‬ההשערה יכולה להיות חד‪-‬צדדית או דו‪-‬צדדית‪.‬‬‫דוגמאות לשאלות‪ :‬בהנחת התפלגות נורמלית של הסטטיסטי‪ ,‬האם השערת האפס מתקבלת או‬
‫נדחית?‬
‫מקורות לשאלות לדוגמה‪:‬‬
‫‪ .1‬עמלנט‪ :‬התכנית המקוונת של ‪ Amalnet‬עבור התכנית במנהל עסקים של משרד החינוך‪:‬‬
‫‪http://www1.amalnet.k12.il/sites/statistics/Pages/Default.aspx‬‬
‫‪02‬‬
‫‪ .2‬רצפים‪" :‬רצפים" רמה מוגברת לחטה"ב‪ .‬במסמך הנתון לעיל ובמסמכים דומים מוצגות שאלות על‬
‫סטטיסטיקה תיאורית ברמת חטיבת הביניים‪.‬‬
‫‪ .0‬תוכנית ‪ 0‬יחידות (הפרק על ההתפלגות הנורמלית)‪:‬‬
‫‪http://cms.education.gov.il/NR/rdonlyres/F50A4F16-23ED-4239-9AD4‬‬‫‪0AC3D58D6930/151415/hitpalgut1.pdf‬‬
‫‪ .4‬מאגר הנתונים ‪ http://wiener.math.csi.cuny.edu/UsingR/Data/‬של הספר‬
‫‪"Using R Introductory Statistics" , John Verzani, Department of Mathematic, CUNY,‬‬
‫‪College of Staten Island, Chapman & Hall, updated to 2 Nov. 2006‬‬
‫מכיל דוגמאות רבות לנתונים שאותם ניתן לנתח בשיטת הרגרסיה הליניארית‪.‬‬
‫‪ .5‬דוגמה לגישה לרגרסיה לינארית המדגישה את ההבנה ולא את הנוסחאות נמצאת בספר "‪"Statistics‬‬
‫של ‪ , D. Freedman, R. Pisani, R. Purves‬בהוצאת ‪( Norton‬מהדורה ‪ 0‬מ‪ 1112-‬או מהדורה ‪ 4‬מ‪-‬‬
‫‪ .)2332‬דוגמה קרובה נמצאת למשל בקורס ‪ Statistics 200‬של פרופ' ‪:M. Wichura‬‬
‫‪http://galton.uchicago.edu/~wichura/Stat200/Handouts/C10.pdf‬‬
‫‪00‬‬
‫נספח ‪ :1‬גאומטריה וטריגונומטריה – בסיס לתכנית כיתות י"א‪-‬י"ב‬
‫כיתה י"א ‪ 35 -‬ש"ש‬
‫נושא והיקף‬
‫‪ .1‬גאומטריה אנליטית של‬
‫מעגל;‬
‫משוואת מעגל‬
‫‪( x  a ) 2  ( y  b) 2  R 2‬‬
‫‪ ,‬צורות חסומות במעגל‪,‬‬
‫חישובי שטחים‪ ,‬וידוא‬
‫תכונות גאומטריות‬
‫באמצעים אנליטיים‪.‬‬
‫(‪ 14-12‬ש')‬
‫משימות מתפתחות כדרך הוראת הנושאים‪ ,‬דוגמאות לתרגילים‪ ,‬הנחיות ודגשים‬
‫במסגרת סיכום הנושא‪ ,‬אחרי לימוד משוואת המעגל (רצוי מאד ללוות את‬
‫ביצוע התרגיל בעבודה עם מחשב‪ .‬כמובן שבמקרה זה יש להתאים את נוסח‬
‫התרגיל‪ ,‬למעשה לכתוב אותו מחדש)‪ .‬יש ללוות את כל המשימות האנליטיות‬
‫לווידוא תכונות גאומטריות בסרטוט גאומטרי‪ ,‬רצוי באמצעות המחשב‪.‬‬
‫‪ .1‬נתון משולש )_‪.A(_,_)B(_,_)C(_,‬‬
‫א‪ .‬רשמו את המשוואות של האנכים האמצעיים ל‪ B -‬ול‪ .AC-‬מצאו את ‪–S‬‬
‫נקודת החיתוך שלהם (הערה‪ :‬חלק זה של התרגיל הוא חזרה על הנלמד‬
‫בכיתה י כדי לקשרו למושגים של מעגל חוסם)‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצאו את אורכי הקטעים ‪ .SC ,SB ,SA‬מה גיליתם? האם תוכלו להסביר‬
‫את התוצאה? אפשרות אחרת‪ :‬מה תוכלו לשער לגבי אורכי הקטעים‬
‫‪ ?SA ,SC ,SC‬נמקו‪/‬הוכיחו את שערתכם‪ .‬בדקו אותה על ידי חישוב‪.‬‬
‫ג‪ .‬רשמו את משוואת המעגל שמרכזו בנקודה ‪ S‬ומחוגו הוא אורך אחד‬
‫הקטעים ‪ .SC ,SB ,SA‬מעגל זה עובר דרך שלושת הקדקודים של‬
‫המשולש ‪ ABC‬ונקרא המעגל החוסם את המשולש ‪.ABC‬‬
‫ד‪ .‬בסעיף ב מצאתם את מרכז ‪ S‬של המעגל החוסם את המשולש ‪ABC‬‬
‫כנקודת חיתוך של שניים מהאנכים האמצעיים לצלעותיו‪ .‬שערו‪ :‬האם‬
‫האנך האמצעי לצלע השלישית יעבור גם דרך ‪ ?S‬הציעו דרך לבדוק זאת‪.‬‬
‫ה‪ .‬האם השערתכם מסעיף ד אוששה?‬
‫‪ .2‬נכליל את התוצאה שקיבלנו בתרגיל הקודם‪:‬‬
‫א‪ .‬כל שלוש נקודות ‪ C ,B ,A‬שאינן נמצאות על קו ישר אחד נמצאות על‬
‫מעגל כלשהו‪ .‬את מרכז המעגל אפשר למצוא כנקודת חיתוך של אנכים‬
‫אמצעיים לשניים מתוך שלושת הקטעים ‪.AC ,BC ,AB‬‬
‫‪.0‬‬
‫‪.4‬‬
‫‪.5‬‬
‫‪.6‬‬
‫‪ .2‬צורות חסומות במעגל‬
‫וחוסמות מעגל; תכונות‬
‫בסיסיות‪ :‬משולש‪,‬‬
‫מרובע‪,‬‬
‫מצולע משוכלל‪,‬‬
‫תכונותיו וחישוב שטח‬
‫של מצולע משוכלל‬
‫בהתבסס על רדיוס‬
‫המעגל החוסם ‪ /‬חסום‪.‬‬
‫ב‪ .‬ניתן לחסום כל משולש במעגל‪ ,‬כלומר לבנות מעגל ששלושת קדקודי‬
‫המשולש נמצאים עליו‪.‬‬
‫משימות אנליטיות המוודאות שישר העובר דרך מרכז המעגל ומאונך‬
‫למיתר חוצה אותו וההיפך‪.‬‬
‫א‪ .‬משימות אנליטיות המוודאות שלישר המאונך לרדיוס המעגל בנקודת‬
‫הקצה שלו בדיוק נקודה משותפת אחת עם המעגל; דבר זה נעשה על‬
‫ידי התרת מערכת משוואת ממעלה ראשונה וממעלה שנייה (בשתי‬
‫המשימות מתקבל אותו פתרון)‪ .‬מושג המשיק למעגל‪.‬‬
‫ב‪ .‬משימות המוודאות שאורכי שני משיקים למעגל מאותה נקודה שווים‪.‬‬
‫משימות אנליטיות המוודאות שמיתרים הנמצאים במרחקים שווים‬
‫ממרכז המעגל שווים‪.‬‬
‫משימות אנליטיות המוודאות שאם מרכז המעגל מרוחק מישר במרחק‬
‫הגדול מהרדיוס‪ ,‬למעגל ולישר אין נקודות משותפות‪.‬‬
‫משימות אנליטיות המוודאות שזווית היקפית הנשענת על קוטר המעגל‬
‫היא זווית ישרה‪ .‬אחת הדרכים שמומלץ להוביל אליה היא יישום אנליטי‬
‫של הוכחת משפט תאלס‪ :‬להעביר קוטר נוסף דרך קדקוד הזווית הנשענת‬
‫על קוטר המעגל ולוודא שמתקבל מלבן‪.‬‬
‫נקבל כעובדה שניתן לחסום כל מצולע משוכלל במעגל וכן אפשר לחסום בו‬
‫מעגל‪ .‬המרכזים של המעגלים‪ :‬החסום והחוסם – מתלכדים זה עם זה‪.‬‬
‫נקודת מוצא‪ :‬מצולע משוכלל החוסם מעגל ‪ /‬חסום במעגל‪ ,‬מתחלק למשולשים‬
‫‪360 0‬‬
‫שווי שוקיים חופפים שזווית הראש שלהם היא‬
‫‪n‬‬
‫‪ ,‬כאשר ‪ n‬הוא מספר‬
‫הצלעות של המצולע המשוכלל‪ ,‬ורדיוס המעגל הוא שוק המשולש שווה שוקיים‬
‫(במקרה של מעגל חוסם) והגובה לבסיס (במקרה של מעגול חסום)‪.‬‬
‫‪04‬‬
‫הבעת שטחים והיקפים‬
‫של מספר מצולעים‬
‫משוכללים מיוחדים‪:‬‬
‫משולש‪ ,‬ריבוע‪ ,‬מחומש‪,‬‬
‫משושה ‪ -‬באמצעות‬
‫רדיוס של מעגל חסום‬
‫וחוסם‪.‬‬
‫(‪14-12‬ש')‬
‫ג‪.‬‬
‫שטח עיגול והיקף מעגל‬
‫(פעילויות חישוב של‬
‫יחסים בין שטחי‬
‫מצולעים משוכללים‬
‫חסומים‪/‬חוסמים לריבוע‬
‫הרדיוס ולאחר מכן – בין‬
‫היקפיהם לקוטר)‬
‫בהתבסס על סדרות של‬
‫מצולעים משוכללים‬
‫חסומים ו‪/‬או חוסמים‬
‫המתחילים ממשולש‪,‬‬
‫מרובע‪ ,‬מחומש‪ ,‬משושה‪,‬‬
‫משובע וכו' ומתקבלים‬
‫על ידי הכפלת מספר‬
‫צלעות‪.‬‬
‫(‪ 6-4‬ש')‬
‫הסקת הנוסחאות לשטח העיגול ולהיקף המעגל תיעשה בשני שלבים‪:‬‬
‫שלב ראשון‬
‫כתוצאה של סדרות חישובי שטח של המצולעים המשוכללים החוסמים‬
‫והחסומים על ידי חישובי השטחים של המשולשים שווי השוקיים הנוצרים על‬
‫ידי שני רדיוסים וצלע המצולע (במקרה שהמצולע חסום במעגל) או על ידי צלע‬
‫המצולע ושני קטעים המחברים את קצותיו למרכז המעגל (במקרה של מצולע‬
‫חוסם מעגל)‪ .‬בשני המקרים ייעשה שימוש בידע הטריגונומטרי שנרכש בכיתה י‬
‫למציאת הקטעים הנחוצים למציאת שטח המשולש שווה השוקיים ועל בסיס‬
‫שטח זה – של מצולע משוכלל חסום‪.‬‬
‫‪Sn n‬‬
‫‪360 0‬‬
‫‪ 2  sin‬עבור מעגל חוסם‬
‫יש להגיע לנוסחה הכללית כגון‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪n‬‬
‫‪R‬‬
‫(ובאופן דומה גם עבור מעגל חסום במצולע)‪ ,‬כאשר המטרה הסופית היא הבנה‬
‫‪Sn‬‬
‫‪‬‬
‫אינטואיטיבית ש ערך קבוע ‪‬‬
‫כאשר ‪ n‬גדל ‪R 2‬‬
‫בין אם מדובר ברדיוס של‬
‫מעגל חוסם ובין אם ברדיוס מעגל חסום‪.‬‬
‫מומלץ לבצע חישובים אלה באמצעות מחשב‪ ,‬למשל באמצעות גיליון אלקטרוני‪.‬‬
‫אם לא ניתן‪ ,‬התלמידים יכולים להשתמש במחשבון‪ ,‬כאשר במקרה זה יחשבו‬
‫את היחס המבוקש עבור ערכים הולכים וגדלים של מספר צלעות ‪ n‬תוך דילוגים‬
‫גדולים ב‪.n-‬‬
‫חשוב ליצור סדרות שונות‪ ,‬למשל להתחיל ממצולעים משוכללים (חסומים‬
‫וחוסמים) עבור ‪ n=3,4,5,7‬ולהמשיך על ידי הכפלה חוזרת של מספר הצלעות ב‪-‬‬
‫‪ 4 ,0 ,2‬וכן הלאה‪ .‬אפשר לתת תרגיל כזה כתרגיל כיתתי‪ ,‬כך שקבוצות של‬
‫תלמידים יעבדו על סדרות שונות במטרה להגיע לתובנה (בדרך אינדוקטיבית)‬
‫שכל הסדרות הללו מובילות לאותו יחס בין שטח לריבוע רדיוס המעגל החוסם‬
‫והחסום; וכן שיחס זה מתקבל לאורך כל סדרות המצולעים‪ ,‬ללא תלות במספר‬
‫הצלעות ההתחלתי ובאופן הכפלת הצלעות וללא תלות באורך הרדיוס‪.‬‬
‫אפשר להמליץ על דרך זו‪ ,‬לא לחייב‪.‬‬
‫שלב שני‬
‫אפשר לפעול עם ההיקפים בדומה לשטחים‪ :‬הדגמת העובדה שהיקף המעגל‬
‫‪2‬‬
‫מתקבל משטחו על ידי כפל ב‪-‬‬
‫‪R‬‬
‫‪ ,‬למשל מתוך שטח ה"מלבן" שווה השטח‬
‫לעיגול שאחת מצלעותיו היא מחצית המעגל והצלע השנייה רדיוס‪:‬‬
‫‪https://www.youtube.com/watch?v=YokKp3pwVFc#t=17‬‬
‫הערה‪:‬‬
‫חשיבותו של סדר זה בפיתוח הנוסחאות לשטח ולהיקף של עיגול‪/‬מעגל נובעת‬
‫מהעובדה ששאיפת סדרת קווים לגבול אינה מבטיחה שאיפת אורכיהם לאורך‬
‫‪05‬‬
‫הקו הגבולי‪ ,‬למשל‪:‬‬
‫ההערה מיועדת למורים כדי להבהיר את הסיבות לסדר הקניה זה ולא אחר‪.‬‬
‫סדר הקניה זה נראה לנו טבעי וקל יותר להבנה מאשר ההתבססות על אורכים‪/‬‬
‫היקפים‪.‬‬
‫‪06‬‬
‫כיתה י"ב – ‪ 35‬ש"ש‬
‫המלצות לגבי תכנית גאומטריה לכיתה י"ב (מפורטות גם בגוף התכנית)‬
‫‪.i‬‬
‫הלמידה תיבנה באופן עקבי בהתבסס על אנלוגיה‪ :‬ראיית הדמיון והבנת השוני בין מישור למרחב‪.‬‬
‫‪.ii‬‬
‫הלמידה תתבצע בדרך אינדוקטיבית; משימות חישוב ייבנו בדרך שתאפשר להכלילן בצורה מושכלת‪,‬‬
‫גם אם ההכללות לא ילוו בהוכחות של ממש‪.‬‬
‫‪.iii‬‬
‫הנוסחאות‪ ,‬החישובים והתרגילים בטריגונומטריה של מרחב ייבנו בהתאם לצורכי הוראה‪ /‬הבנה של‬
‫הנושאים של התכנית‪.‬‬
‫‪.iv‬‬
‫שימוש מושכל בתוכנות מחשב להדגמת חתכים‪ ,‬פרישות וגופים מזוויות ראייה שונות הוא כלי‬
‫עוצמתי ויש להשתמש בו כחלק מהלמידה‪.‬‬
‫‪ .1‬מושגים בסיסיים בטריגונומטריה במרחב הקשורים לחישובי נפחים ושטחי פנים (‪ 15‬ש') ‪-‬‬
‫מושגים (ניצבות של ישר ומישור‪ ,‬זווית בין ישר למישור‪ ,‬מישורים מקבילים ומושגים נוספים לפי‬
‫הצרכים בהמשך) ומשפטים עיקריים (ללא הוכחה) הנחוצים לצורך זיהוי של זוויות ישרות‬
‫ומשולשים ישרי זווית במרחב‪ .‬הכרת תכונות הגופים האלה‪ :‬תיבה‪ ,‬קובייה‪ ,‬מנסרה ישרה‪,‬‬
‫פירמידה ישרה‪ .‬חישוב של אורכי קטעים וזוויות עם שימוש בפונקציות טריגונומטריות במשולש‬
‫ישר זווית‪.‬‬
‫‪ .2‬חישובי נפח ושטח פנים של גופים מרחב (‪ 25-10‬ש') ‪ -‬מתוך הבנה אינטואיטיבית של המושג‬
‫נפח; דרכי הגעה לנוסחאות המבוססות על תכונות הגופים ועל תהליכים מתמטיים רלוונטיים‪,‬‬
‫שהחשוב בהם הוא עקרון קווליארי‪.‬‬
‫חישובי נפח יילמדו תוך כדי רענון של גישה כללית לחישובי נפחים‪ ,‬בניית אנלוגיה עם חישובי שטחים‬
‫ואורכים‪.‬‬
‫רצוי ומומלץ לשלב תוכנות מחשב כגון ‪ GeoGebra‬ו‪ Excel -‬לצורך הדגמות‪ ,‬חתכי גופים‪ ,‬פרישות וביצוע‬
‫חישובים שמטרתם הסקת מסקנות אינדוקטיבית ברוח התכנית בגאומטריה במישור ובמרחב‪ ,‬גאומטריה‬
‫אנלטית וטריגונומטריה בתכנית זו‪.‬‬
‫הדגשים‬
‫מדידות גאומטריות‬
‫במישור ובמרחב‪.‬‬
‫אנלוגיה בין מישור‬
‫למרחב ככלי עזר‬
‫בהבנת מושגים;‬
‫הגרסה‬
‫התלת‪-‬ממדית של‬
‫בעיות שומרות היקף‬
‫ברמה‬
‫אינדוקטיבית‪:‬‬
‫בעיות חישוביות או‬
‫משימות חישוביות‬
‫מן הסוג‪ :‬נתון שטח‬
‫פנים של‪ ,...‬מהו‬
‫הנפח המקסימלי‬
‫האפשרי? או נתון‬
‫נפח של‪ ,...‬מה שטח‬
‫הפנים המינימלי‬
‫האפשרי? בסוף כל‬
‫עקרונות‬
‫יש להבטיח את קיום התובנות שלהלן ברמה אינטואיטיבית תוך כדי הוראת נושא חישוב‬
‫נפחים ושטח פנים במרחב‪.‬‬
‫‪ .1‬אורך והיקף‪ ,‬שטח ונפח הם תוצאות מדידה של צורות גאומטריות‪.‬‬
‫אורך הוא תוצאת מדידה של קווים‪.‬‬
‫היקף הוא אורך של קו סגור (ברמה של ‪ 4‬יח"ל נתמקד בקווים סגורים פשוטים)‪.‬‬
‫שטח של צורה (במישור או על משטח) מודד את התחום בתוך קו פשוט סגור‪.‬‬
‫נפח של גוף במרחב מודד תחום פנימי בתוך משטח סגור‪.‬‬
‫דוגמאות‪ :‬קו סגור במישור‪ :‬מצולע; מעגל; אליפסה‪ .‬קו סגור על משטח‪ :‬מעגל על פני‬
‫כדור; מצולע היוצר פאה של פאון‪ .‬אנחנו מודדים את היקפי הקווים האלה ואת‬
‫השטחים שבתוכם‪.‬‬
‫גופים המוגדרים על ידי משטחים במרחב‪ :‬גליל; פאון כלשהו‪ ,‬למשל‪ ,‬פירמידה;‬
‫כדור‪.‬‬
‫אנחנו מודדים שטחים של משטחים אלה (הנקראים שטחי פנים) ואת הנפחים‬
‫בתוכם‪ .‬במידת הצורך נרצה למדוד או לחשב גם היקפים או אורכים של קווים על‬
‫צורות אלה (למשל‪ ,‬אורכי מקצועות של פאונים)‪.‬‬
‫מודדים אורך‪ ,‬שטח ונפח לפי כללים דומים‪:‬‬
‫א‪ .‬תוצאת המדידה (אורך‪ ,‬שטח‪ ,‬נפח) היא מספר אי‪-‬שלילי‪.‬‬
‫ב‪ .‬לצורות חופפות תוצאות מדידה שוות (אורכים שווים לקווים חופפים‪ ,‬שטחים‬
‫‪02‬‬
‫קבוצת שאלות‬
‫מובנית יש להגיע‬
‫למסקנה המתאימה‬
‫ולנסח אותה‪.‬‬
‫בסופו של דבר יש‬
‫לנסח כמסקנת‪-‬על‬
‫את העובדה שמבין‬
‫כל הגופים במרחב‬
‫בעלי שטח פנים נתון‬
‫לכדור יש את הנפח‬
‫הגדול ביותר; וכן‪,‬‬
‫מבין כל הגופים‬
‫בעלי נפח נתון לכדור‬
‫שטח הפנים הקטן‬
‫ביותר‪.‬‬
‫מומלץ‪:‬‬
‫א‪ .‬להבנות זאת‬
‫באנלוגיה למקרה‬
‫המישורי עם‬
‫ניסוחים מתאימים‪.‬‬
‫ב‪ .‬לבנות את‬
‫הלמידה כמשימה‬
‫מתוקשבת שתאפשר‬
‫את ביצוע הפעילות‬
‫ברמה אינדוקטיבית‬
‫בלבד אך משמעותית‬
‫הרבה יותר‪.‬‬
‫שווים בתוך קווים חופפים סוגרים‪ ,‬נפחים שווים בתוך משטחים חופפים סגורים)‪.‬‬
‫ג‪ .‬אם מחלקים את העצם הנמדד (קו‪ ,‬תחום במישור או במרחב) לחלקים‪ ,‬סכום‬
‫מדידות החלקים (אורכים‪ ,‬שטחים‪ ,‬נפחים‪ ,‬בהתאם לעצם הנמדד) שווה לתוצאת‬
‫המדידה של העצם המקורי‪.‬‬
‫חשוב‪ :‬הדבר נכון לגבי אורך אך לא לגבי היקף ‪ -‬כאשר מחלקים צורה לחלקים‪ ,‬סכום‬
‫ההיקפים שלהם אינו שווה להיקף הצורה המקורית! כנ"ל לגבי שטח לעומת שטח‬
‫פנים‪ .‬חוסר האדיטיביות של היקפים הוזכר בתכנית גם קודם‪.‬‬
‫ד‪ .‬לכל אחת ממדידות אלה קיימת "לבנת בסיס" שתוצאת המדידה שלה מוגדרת על‬
‫ידי כללים אלה כ"מדידת יסוד"‪:‬‬
‫ מדידת אורך‪ :‬כל קטע יכול לשמש כיחידת מדידה‪.‬‬‫ מדידת שטח‪ :‬שטח של מלבן שאורכי הצלעות שלו הם ‪ a, b‬יחידות אורך שווה ל‪-‬‬‫‪ ab‬יחידות שטח‪ .‬לפיכך‪ ,‬שטח של ריבוע היחידה שווה ל‪ ,1-‬וריבוע היחידה משמש‬
‫כיחידת שטח‪.‬‬
‫ מדידת נפח‪ :‬נפח של תיבה שאורכי המקצועות שלה הם ‪ a, b, c‬יחידות אורך‪ ,‬שווה‬‫ל‪ ab с -‬יחידות נפח‪ .‬לפיכך‪ ,‬נפח של קוביית היחידה שווה ל‪ 1-‬והיא משמשת‬
‫יחידת נפח‪.‬‬
‫חשוב‪:‬‬
‫ כמובן שיש למדוד את צלעות המלבן (ואת מקצועות התיבה) באותה יחידת אורך‬‫לפני חישוב השטח (הנפח)‪.‬‬
‫ה‪ .‬השוואה ישירה עם יחידות מדידה יכולה לתת תוצאת מדידה מדויקת אך ורק‬
‫עבור צורות היסוד המיוחדות‪ :‬אורך של קטע בן השוואה עם קטע היחידה (כלומר‬
‫קטע שהיחס בין אורכו לבין אורך קטע היחידה הוא מספר רציונלי) ; שטח של מלבן‬
‫שצלעותיו הן קטעים בני השוואה עם יחיד מדידת אורך; נפח של תיבה שמקצועותיה‬
‫קטעים בני השוואה עם קטע היחידה‪ .‬אך ורק במקרים אלה אפשר להשתמש‬
‫ב"ריצוף" הצורה המאפשר השוואה ישירה על ידי "בניית בסיס"‪ ,‬כאשר במקרה‬
‫הצורך ניתן להשתמש ביחידות אורך המתקבלות על ידי חלוקת קטע היחידה הבסיסי‬
‫במספר שלם‪ .‬לפי מערכת מטרית מודרנית‪ ,‬בדרך כלל מדובר בחלוקה בחזקות של ‪.13‬‬
‫לכן‪ ,‬כאשר מדובר במדידות של תחומים השונים מאלה‪ ,‬אין לדבר על "ריצוף" או‬
‫"כיסוי" מכל סוג שהוא‪ ,‬אלא להנחיל את הצורך בדרכי מדידה עקיפות שעיקרן‬
‫פיתוח נוסחאות לחישוב היקף‪ ,‬שטח ונפח והן מושתתות על הכללים שלעיל‪.‬‬
‫‪ .2‬במקרים מסוימים משטח ניתן לפריסה‪ ,‬ואז שטח הפריסה הוא שטח הפנים של הגוף‪.‬‬
‫דוגמאות‪ :‬גליל‪ ,‬חרוט‪ ,‬פירמידה ובאופן כללי פאונים למיניהם‪ .‬עם זאת‪ ,‬לא כל‬
‫משטח ניתן לפריסה תוך שמירה של שטח‪ .‬למשל‪ ,‬פני הכדור‪ .‬במקרים אלה השיטות‬
‫לחישוב שטח הפנים הן שיטות מיוחדות‪ .‬אפשר לא להראות את שיטת החישוב של‬
‫פני הכדור‪ ,‬אך נוסחה זו תיכלל בתכנית‪.‬‬
‫חישובי נפחים של גופים בעלי תכונות דומות‪ :‬מנסרות ישרות וגלילים‪ ,‬פירמידות‬
‫ישרות וחרוטים‪ .‬הסבר אינטואיטיבי לקיום נוסחאות זהות לחישובי נפחים)‪.‬‬
‫‪ .0‬על מנת להבנות את מושג הנפח תוך הבנה מעמיקה של משמעותו‪ ,‬יש להתחיל‬
‫מנוסחה של תיבה ‪ V  a  b  c‬תוך ראייתה כמנסרה מרובעת ישרה; לפיכך‬
‫אפשר להביע את הנפח כך ‪ , V  (a  b)  c‬כאשר כמובן בחירת‬
‫הגובה‬
‫לפאה‬
‫‪‬‬
‫שטח אחת הפאות‬
‫הבסיס והגובה שרירותית לחלוטין‪.‬‬
‫שמשטח מלבן מתקבלות נוסחאות לשטח של צורות מישוריות אחרות‬
‫‪ .4‬מכאן‪ ,‬כפי ִ‬
‫(בהתבסס על כללי מדידת שטח)‪ ,‬למשל‪ ,‬לפי השרשרת‪,‬‬
‫מצולע כללי;‬
‫בפרט מצולע‬
‫משוכלל בעל ‪n‬‬
‫‪mkgu,‬‬
‫משולש ישר זווית‬
‫משולש כללי‬
‫עיגול‬
‫מלבן‬
‫מצולע כללי;‬
‫בפרט‪ ,‬מצולע‬
‫משוכלל בעל ‪n‬‬
‫‪mkgu,‬‬
‫מנוסחת נפח התיבה מתקבלות הנוסחאות לחישוב נפח הגופים האלה על ידי חלוקת בסיסם‬
‫בהתאם לשרשרת הצורות הגאומטריות לעיל‪:‬‬
‫‪08‬‬
‫מנסרה ישרה שבסיסה‬
‫מצולע כללי; בפרט‬
‫מצולע משוכלל בעל ‪n‬‬
‫צלעות‬
‫מנסרה משולשת‬
‫ישרה שבסיסה‬
‫משולש כללי‬
‫מנסרה משולשת‬
‫ישרה שבסיסה‬
‫משולש ישר זווית‬
‫גליל מעגלי כתוצאה ממעבר גבולי של‬
‫נפחי מנסרות ישרות‪ ,‬שבסיסיהן‬
‫מצולעים משוכללים החסומים‪ /‬חוסמים‬
‫את בסיס הגליל‬
‫מיוני גופים כהכנה‬
‫לחישובי נפח ושטח‬
‫פנים‪ /‬מעטפת‬
‫תיבה‬
‫מנסרה ישרה שבסיסה‬
‫מצולע כללי; בפרט‬
‫מצולע משוכלל בעל ‪n‬‬
‫צלעות‬
‫‪ .5‬באופן דומה הנוסחה לנפח של פירמידה ‪ /‬חרוט תיבנה על ידי שרשרת דומה‪ ,‬כאשר‬
‫בבסיסה נפח של פירמידה משולשת ישרה; על דרך קבלתה של נוסחה לנפח פירמידה‬
‫משולשת ישרה – ראו פירוט בהמשך‪.‬‬
‫‪.6‬‬
‫פירמידה ישרה שבסיסה‬
‫מצולע כללי; בפרט‬
‫מצולע משוכלל בעל ‪n‬‬
‫צלעות‬
‫פירמידה משולשת‬
‫ישרה שבסיסה ‪-‬‬
‫משולש כללי‬
‫פירמידה משולשת‬
‫ישרה שבסיסה‬
‫משולש ישר זווית‬
‫חרוט מעגלי– כתוצאה ממעבר גבולי של‬
‫נפחי מנסרות ישרות שבסיסיהן מצולעים‬
‫משוכללים החסומים‪ /‬חוסמים בסיס‬
‫הגליל‬
‫פירמידה‬
‫משולשת ישרה‬
‫פירמידה ישרה שבסיסה‬
‫מצולע כללי; בפרט‬
‫מצולע משוכלל בעל ‪n‬‬
‫צלעות‬
‫‪ .2‬חישוב נפח של פירמידה משולשת ישרה‬
‫ניתן לחלק כל קובייה לשלוש פירמידות מרובעות חופפות‪ ,‬ומכאן שנפח כל אחת מהן‬
‫שווה ‪ 1/0‬מנפח הקובייה‪ ,‬ואפשר להציג זאת גם כ‪ 1/0-‬ממכפלת הבסיס שלה (שהוא‬
‫בגובה)‪:‬‬
‫מתוך‪http://www.ck12.org/book/CK-12-Geometry-Honors- :‬‬
‫‪/Concepts/section/9.2‬‬
‫חשוב‪ :‬פירמידות אלה אינן פירמידות ישרות; הגובה שלהן שווה לאורך מקצוע הבסיס‪.‬‬
‫על כן‪ ,‬לגבי סוג כזה של פירמידה ניתן לכתוב שנפחה ‪ V‬שווה לשליש מכפלת שטח בסיסה‬
‫בגובהה‪.‬‬
‫סדרת המשימות שלהלן עוסקת בהעמקת ההבנה שנפח כל פירמידה שווה לשליש מכפלת‬
‫הגובה בשטח בסיסה‪ .‬למרות שהמשימות כתובות באופן כללי‪ ,‬יש להציען כ ִסדרה של‬
‫תרגילי חישוב‪ .‬עם זאת‪ ,‬יש להבנות סדרה זו כך שאחרי כל כמה תרגילי חישוב ניתן יהיה‬
‫להגיע למסקנה כללית יותר‪ .‬הסעיפים הכלליים כאן הם המסקנות שמומלץ להגיע אליהן‬
‫כתוצאה מכל סדרת משימות חישוב‪.‬‬
‫המשימות חייבות להיות מלוות בהדגמות של גופים או בהדגמות ממוחשבות‬
‫אינטראקטיביות‪ ,‬המאפשרות פיתוח ראייה מרחבית הנחוצה להתמודדות עִ מן‪ .‬ברשת‬
‫קיימים היום יישומונים רבים המאפשרים למידה כזאת‪.‬‬
‫נתונה קובייה (כלומר‪ ,‬אורך המקצוע שלה)‪ .‬בפירמידה (כמתואר לעיל) יש‬
‫א‪.‬‬
‫למצוא את אורכי הצלעות‪ ,‬הצורה‪ ,‬ההיקף והשטח של הפאה המשופעת‪.‬‬
‫נתונה קובייה‪ .‬ניתן לחלק אותה ל‪ 6-‬פירמידות חופפות‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪01‬‬
:‫למשל כך‬
:‫מתוך‬
https://www.google.co.il/search?q=decom
position+of+a+cube+into+6+pyramids&tbm
=isch&imgil=oSe2d045PytnQM%253A%253
Bhttps%253A%252F%252Fencryptedtbn2.gstatic.com%252Fimages%253Fq%253
Dtbn%253AANd9GcS4GGU62kI7mhaeFV8r3vKVd6IPfXNoBdrhA4Jrx5361COphijTw
%253B300%253B200%253Bb2aVhZWDOTuCM%253Bhttp%25253A%252
52F%25252Fwww1.zetosa.com.pl%25252F
burczyk%25252Forigami%25252Fg2-02en.htm&source=iu&usg=__DCkvq64geTA99x2YDDXkk_5XCg%3D&sa=X&e
i=c1ePU-1HOqR0AW_34H4Ag&ved=0CDkQ9QEwBg
&biw=1010&bih=427#facrc=_&imgdii=oSe2
d045PytnQM%3A%3BLwwrjHpFGG7KM%3A%3BoSe2d045PytnQM%
3A&imgrc=oSe2d045PytnQM%253A%3Bb2aVhZWDOTuCM%3Bhttp%253A%252F%25
2Fwww1.zetosa.com.pl%252Fburczyk%252
Forigami%252Ff202a.jpg%3Bhttp%253A%252F%252Fwww1.
zetosa.com.pl%252Fburczyk%252Forigami
%252Fg2-02-en.htm%3B300%3B200
.‫ מנפח הקובייה‬1/6-‫ נפח כל אחת מהפירמידות המתקבלות שווה ל‬,‫על כן‬
?‫האם פירמידות אלה הן פירמידות ישרות‬
‫ ִמצאו את גובה הפירמידה‬,‫עבור פירמידה המתקבלת מחלוקה כזו של קובייה‬
.V 
1
S‫ בסיס‬ h ‫ובדקו האם גם עבורה ניתן לחשב את נפחה באמצעות הנוסחה‬
3
:‫ניקח תיבה שאינה קובייה ונחלק באותה באופן דומה לשלוש פירמידות‬
.‫ג‬
‫ נפחיהן יהיו‬,‫ כלומר חופפות זו לזו? אם כן‬,‫האם פירמידות אלה תהיינה זהות‬
‫ האם ייתכן שהן עדיין בעלות נפחים‬,‫ אם לא‬.‫שווים וכן שווים לשליש נפח התיבה‬
‫שווים? הסתכלו על הפירמידות שמתקבלות וזהו בהן את פאת הבסיס ואת הפאות‬
.‫הצדדיות‬
43
‫מהו גובה בכל אחת מן הפירמידות הללו ומהן מקצועות הבסיס?‬
‫אם נחתוך את התיבה במישורים המקבילים לכל אחת מהפאות‪ ,‬האם החתכים עם‬
‫כל אחת מהפירמידות יהיו שווי שטח? מהן צורות החתכים הללו?‬
‫ד‪ .‬בדומה לחלוקת הקובייה לשש פירמידות‪ ,‬ניתן לחלק גם תיבה לשש פירמידות על‬
‫ידי העברת כל האלכסונים שלה‪:‬‬
‫‪.8‬‬
‫האם החתכים של פירמידות אלה על ידי מישורים מקבילים לבסיסן הם שווי‬
‫שטח?‬
‫ה‪ .‬נתונה פירמידה ישרה שבסיסה הוא מלבן בעל צלעות ‪ a, b‬וגובה ‪.h‬‬
‫הראו שאפשר לבנות תיבה שפירמידה זו היא חלק ממנה כמו בסרטוט לעיל‪.‬‬
‫עקרון קווליארי מאפשר לקבל נפחים של גופים וניתן לנסחו כך‪:‬‬
‫אם לשני גופים גבהים שווים ושטחי כל החתכים שביניהם לבין מישורים מקבילים‬
‫שווים‪ ,‬אזי נפחיהם שווים‪.‬‬
‫ניתן כמובן להוכיח עיקרון זה בעזרת חשבון דיפרציאלי ואינטגרלי; לא נכלול בתכנית‬
‫הוכחה זו‪.‬‬
‫לעומת זאת‪ ,‬כדאי להדגים את העיקרון על ידי האנלוגיה המישורית שלו‪ .‬כך למשל‪,‬‬
‫בסרטוט הבא הצורה המקווקת שוות שטח למשולש ‪( TZ1W1‬הישרים המקווקווים‬
‫מקבילים זה לזה‪ ,‬כל קטעי החיתוך שביניהם לבין המצולע המקווקו שווים לקטעי‬
‫החיתוך שלהם עם המשולש ‪.( TZ1W1‬‬
‫מידע מפורט יותר לגבי מקרים במישור וכן האיורים להלן של העיקרון במרחב לקוחים מ‪:-‬‬
‫‪: http://www.math.washington.edu/nwmi/materials/Cavalieri.pptx.pdf‬‬
‫‪41‬‬
‫מעיקרון זה נובע שכל שתי פירמידות שאחת מהן התקבלה על ידי חלוקת קובייה לשלושה חלקים‬
‫חופפים והשנייה באותו גובה וחתכים שווי שטחים במישורים המקבילים לבסיס‪ ,‬הן שוות נפח‪.‬‬
‫על מנת להשלים את הבניית הנוסחה לא ברמה פורמלית‪ ,‬נבצע סדרת תרגילים‪ .‬בתרגילים אלה הנתונים‬
‫המופיעים כאן בצורה כללית אמורים להיות מספריים‪ .‬עם זאת‪ ,‬לאחר כל כמה תרגילים יש לנסח‬
‫מסקנה מתאימה כדי לבסס את ההבנה שנפח כל הפירמידה שווה לשליש מכפלת גובה בשטח הבסיס‪.‬‬
‫א‪ .‬ניקח פירמידה ישרה כלשהי ששטח בסיסה הוא ‪ S‬וגובהה ‪ ,h‬ונבנה לידה פירמידה שבסיסּה הוא‬
‫ריבוע בעל צלע ‪ S‬וגובהה שווה ל‪ - h -‬גובה הפירמידה הנתונה‪ .‬ודאו שמתקיים עקרון‬
‫קווליארי‪ ,‬והיעזרו בו כדי לוודא שגם עבור הפירמידה המקורית ניתן לרשום את נוסחת הנפח‬
‫כשליש מכפלת גובה בשטח בסיס‪.‬‬
‫ב‪ .‬חלוקת תיבה ל‪ 6-‬פירמידות מרובעות ישרות ו"שחזור" תיבה לפי אחת משש הפירמידות (סעיף‬
‫‪12‬ה) והשימוש בעקרון קווליארי מאפשרים להסיק שנפח כל פירמידה ישרה שבסיסה מלבן‬
‫מתקבל באמצעות אותה נוסחה‪.‬‬
‫ג‪ .‬כל פירמידה מהצורה‬
‫‪ /http://demonstrations.wolfram.com/ThreePyramidsThatFormACube‬ניתן לחלק‬
‫לשתי פירמידות משולשות שוות נפח‪ ,‬וזאת על ידי חלוקת הבסיס שלה לשני משולשים ישרי‬
‫זווית‪ .‬נפחה של כל אחת מהן גם הוא יתקבל באמצעות אותה נוסחה‪.‬‬
‫ד‪ .‬ניתן לחלק כל פירמידה משולשת לשתי פירמידות בעלות בסיס בצורת משולשים ישרי זווית‪,‬‬
‫בדומה לאפשרות לחלק כל משולש לשני משולשים ישרי זווית‪ .‬לכן אפשר למצוא נפח של כל‬
‫פירמידה משולשת לפי הנוסחה שתקפה לפירמידות בעלות בסיס שצורתו משולש ישר זווית‪.‬‬
‫סדרת המשימות שלהלן לקוחה מ‪-‬‬
‫‪http://www.math.washington.edu/nwmi/materials/Cavalieri.pptx.pdf‬‬
‫הסדרה מציעה תמונה נוספת על התפתחות התובנה הלא‪-‬פורמלית המכוונת לנפח פירמידה משולשת‪,‬‬
‫ומשלימה את הבניית היחידה העוסקת בחישוב נפחים של פירמידות וחרוטים‪ ,‬מנסרות וגלילים‪.‬‬
‫‪Example A‬‬
‫‪The two square pyramids below are each constructed within cubes of the same size. The‬‬
‫‪pyramid on the left has a vertex at the center of a face of the cube. The pyramid on the right‬‬
‫?‪has a vertex at one of the vertices of the cube. Is the volume of each pyramid the same‬‬
‫‪42‬‬
Solution: Because each pyramid is constructed within the same cube, the heights of the
pyramids are the same and the areas of their bases are the same. When a plane parallel to the
base of the pyramid is constructed through the center of each cube, the cross sections of
each pyramid are the same.
Each cross section is a square. The length of the side of the square is half the length of an
edge of the original cube, since the plane was constructed through the middle of the cube.
Because cross sections are the same area, heights are the same, and bases are the same, these
pyramids must have the same volume due to Cavalieri's principle.
Example B
How many square based pyramids congruent to the one below would it take to fill the cube?
Can you visualize this?
Solution: It will take exactly 3 congruent pyramids to fill the cube. The image below shows
each pyramid being added to the cube.
Example C
Use the answers to Example A and Example B to explain why the volume of a pyramid is
.
Solution: The volume of a rectangular prism is
. This is because
gives
the volume of one “layer”, and multiplying by the height scales that base volume by the
number of “layers” of the prism.
40
Three congruent pyramids fit inside the cube in Example B, so the volume of each pyramid
must be the volume of the cube. Therefore, the volume of a pyramid is
.
Remember that pyramids with the same base area and height will have the same volume due
to Cavalieri's principle, so both of the pyramids below will have a volume of
.
:‫הערות‬
‫ עם דגש על הסקת מסקנות‬,‫ במהלך הלמידה יש לתת דוגמאות יישומיות לכל אחד מהנושאים‬.1
‫ וזאת ברוח הסקת המסקנות על הגרסה המרחבית של בעיות‬,‫במהלך ביצוע סדרות של תרגילים‬
.‫שומרות היקף כפי שמופיע בתכנית‬
‫ יש לכוון את החישובים הטריגונומטריים ואת היקף הנוסחאות והתרגילים לנושאים הנלמדים‬.2
.‫בתכנית‬
44
‫נספח ‪ :2‬אנליזה ‪ -‬בסיס לתכנית לכיתות י"א‪-‬י"ב‬
‫בכל שנת לימודים ניתן לשלב את משפחות הפונקציות שנלמדו בשנים הקודמות‪.‬‬
‫הערה‪ :‬עמדתנו הנוכחית היא לא לכלול פונקציות טריגונומטריות בפרק העוסק באנליזה ברמה של ‪ 4‬יח"ל‪.‬‬
‫לאחר התייעצויות שקיימנו עם מורים להלן מסקנותינו‪:‬‬
‫‪ .1‬צפוי קושי רב בהוראת הנושא הן כשמדובר בתלמידים מצטיינים ברמה של ‪ 0‬יח"ל והן כשמדובר‬
‫בתלמידים מתקשים ברמה של ‪ 4‬יח"ל‪.‬‬
‫‪ .2‬הנושא אינו נחוץ ללימודי כלכלה‪.‬‬
‫‪ .0‬שילוב הנושא בתכנית הלימודים יגזול שעות רבות מהוראת נושאים אחרים שהוגדרו כמועדפים‬
‫בתכנית הלימודים של ‪ 4‬יח"ל‪.‬‬
‫חלוקה לשעות תבוצע במהלך עדכון התכנית‪.‬‬
‫מספר‬
‫שעות‬
‫חשבון דיפרנציאלי‬
‫חשבון אינטגרלי‬
‫חשבון דיפרנציאלי‬
‫משיק בנקודה‪ ,‬שיפוע של גרף בנקודה‪ ,‬הפונקציה הנגזרת‪ .‬מושג‬
‫אינטואיטיבי של גבול‪.‬‬
‫תידרש שליטה בחשבון דיפרנציאלי של הפונקציות האלה‪:‬‬
‫פונקציות רציונליות (מנה של פולינומים)‪ ,‬פונקציית שורש ריבועי‪.‬‬
‫נגזרת של סכום‪ ,‬הפרש‪ ,‬מכפלה‪ ,‬מנה‪ ,‬פונקציה מורכבת (שני שלבים‬
‫בלבד) של כל הפונקציות‪.‬‬
‫שימושי הנגזרת‪:‬‬
‫• לפתרון בעיות שיש בהן צורך במציאת שיפוע משיק או מציאת‬
‫משוואת משיק לגרף בנקודה שעל גרף הפונקציה‪.‬‬
‫• לפתרון בעיות קיצון בתחום סגור (בכל סוגי הפונקציות ‪ -‬כולל‬
‫בעיות נפח‪ ,‬שטח פנים ומעטפת של גופים פשוטים‪ :‬קובייה‪,‬‬
‫תיבה‪ ,‬מנסרה ישרה שבסיסה משולש‪ ,‬גליל ישר וחרוט‬
‫ישר‪,‬וכולל קיצון בקצה קטע סגור)‪.‬‬
‫• לחקירת פונקציה וסרטוט סקיצה של גרף הפונקציה‪ .‬החקירה‬
‫תכלול‪ :‬תחום הגדרה‪ ,‬נקודות חיתוך עם הצירים‪ ,‬תחומי עלייה‬
‫וירידה‪ ,‬נקודות קיצון (מקומי ומוחלט)‪ ,‬התנהגות בסביבת‬
‫נקודת אי‪-‬הגדרה‪ ,‬אסימפטוטות מאונכות לציר ‪x‬‬
‫ואסימפטוטות מאונכות לציר ‪( y‬רק בפונקציות רציונליות)‪.‬‬
‫הקשר בין הפונקציות (‪ x(f‬ו‪x('f ( -‬‬
‫כיתה יא‬
‫פונקציות שורש כאשר מתחת לשורש יכולה להיות פונקציה לינארית‬
‫בלבד‪ .‬עבור פונקציות אלו יידרש אינטגרל לא מסוים‪ ,‬פונקציה‬
‫קדומה‪ ,‬קבוע האינטגרציה‪ ,‬אינטגרלים מידיים‪ ,‬אינטגרל של סכום‬
‫פונקציות ושל כפל פונקציה בקבוע‪ ,‬אינטגרל של פונקציה מורכבת רק‬
‫כאשר הפונקציה הפנימית היא לינארית‪ .‬מציאת פונקציה על פי‬
‫הנגזרת ונקודה על הפונקציה‪ .‬האינטגרל המסוים‪ .‬חישוב שטח בין‬
‫גרף הפונקציה לציר ‪( x‬הפונקציה יכולה להיות חיובית‪ ,‬שלילית או‬
‫לשנות סימן)‪ ,‬חישוב שטח בין גרפים של שתי פונקציות‪ ,‬חישוב‬
‫שטחים מורכבים‪.‬‬
‫כיתה יא‬
‫נגזרות של פונקציות מעריכיות ופונקציות לוגריתמיות‪.‬‬
‫עבור כל הפונקציות‪ :‬נגזרת של סכום‪ ,‬הפרש‪ ,‬מכפלה‪ ,‬מנה‪ .‬נגזרת‬
‫של פונקציה מורכבת‪.‬‬
‫עבור כל הפונקציות‪ ,‬שימושי הנגזרת‪:‬‬
‫• לפתרון בעיות שיש בהן צורך במציאת שיפוע משיק‪ ,‬או במציאת‬
‫משוואת משיק לגרף בנקודה שעל גרף הפונקציה‪.‬‬
‫• לחקירת פונקציה וסרטוט סקיצה של גרף הפונקציה‪ .‬החקירה‬
‫תכלול‪ :‬תחום הגדרה‪ ,‬נקודות חיתוך עם הצירים‪ ,‬תחומי עלייה‬
‫כיתה יב‬
‫‪45‬‬
‫וירידה‪ ,‬נקודות קיצון (מקומי ומוחלט)‪ ,‬התנהגות בסביבת נקודת‬
‫אי‪-‬הגדרה‪ ,‬אסימפטוטות מקבילות לצירים‪.‬‬
‫• אסימפטוטות מקבילות לצירים בפונקציות הבאות‪:‬‬
‫(‪.a(mx+b), e(mx+b) ,loga (mx+b), ln (mx+b‬‬
‫לא יידרשו אסימפטוטות עבור מכפלות או מנות של פונקציית חזקה‬
‫עם אחת הפונקציות הללו‪.‬‬
‫הקשר בין הפונקציות (‪ f(x‬ו‪f '(x( -‬‬
‫חשבון אינטגרלי‬
‫חשבון אינטגרלי של פונקציות מעריכיות ושל פונקציות אשר‬
‫הקדומה שלהן היא לוגריתמית )‪. a(mx+b) ,e(mx+b‬‬
‫אינטגרלים מידיים ‪ -‬אינטגרל של סכום פונקציות ושל כפל פונקציה‬
‫בקבוע‪ .‬אינטגרל של פונקציה שקודמתה מורכבת כאשר הפונקציה‬
‫הפנימית היא לינארית‪.‬‬
‫אינטגרל לא מסוים‪ ,‬פונקציה קדומה‪ ,‬קבוע האינטגרציה‪ ,‬מציאת‬
‫פונקציה על פי הנגזרת ונקודה על הפונקציה‪ .‬האינטגרל המסוים‪.‬‬
‫חישוב שטח בין גרף הפונקציה לציר ‪( x‬הפונקציה יכולה להיות‬
‫חיובית‪ ,‬שלילית או לשנות סימן)‪ ,‬חישוב שטח בין גרפים של שתי‬
‫פונקציות‪ ,‬חישוב שטחים מורכבים‪.‬‬
‫‪46‬‬
‫כיתה יב‬