תכנית הלימודים – קורס ההכנה במתמטיקה

‫תכנית הלימודים‪-‬‬
‫‪ ‬הקורס מורכב משני חלקים אשר ילמדו במקביל‪ :‬חלק ‪ – I‬אלגברה‪ ,‬חלק ‪ – II‬נושאים‬
‫בגיאומטריה אנליטית וטריגונומטריה‪.‬‬
‫חלק ‪ – I‬אלגברה ופונקציות‬
‫שבוע‬
‫‪1‬‬
‫נושאים‬
‫תרגילים‬
‫א) חזקות ושורשים‪ .‬נוסחאות הכפל המקוצר בצורות שונות‪.‬‬
‫תרגיל ‪1‬‬
‫מושג המשוואה ‪ .‬משוואות שקולות‪ .‬משוואה ליניארית ומשוואה ריבועית‪ .‬פיתוח‬
‫נוסחה לפתרון משוואה ריבועית‪ .‬נוסחת וייטה‪ .‬השלמה לריבוע שלם‪ .‬פירוק לגורמים‬
‫‪2‬‬
‫של תלת איבר ריבועי‪. ax  bx  c  a  x  x1  x  x2  :‬‬
‫ב) פתרון מערכות משוואות (ממעלה ראשונה וממעלה שנייה)‬
‫הוכחת זהויות אלגבריות‪ .‬המכנה המשותף ( תוך הדגשת מושג המכנה המשותף‬
‫המינימלי )‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫הערך המוחלט ‪ .‬הנוסחה‪. x 2  x :‬‬
‫תרגיל ‪2‬‬
‫א) הכרת מושג הפונקציה ‪ .‬גרף של פונקציה ליניארית‪ .‬גרף של פונקציה ריבועית‬
‫(באמצעות השלמה לריבוע שלם) ‪ .‬גרפים עם ערכים מוחלטים‪.‬‬
‫תרגיל ‪3‬‬
‫ב) מוסג של קבוצה‪ .‬איחוד חיתוך והפרש קבוצות‪ .‬קבוצה ריקה‪ .‬קבוצות זרות‪ .‬סוגים‬
‫שונים של קטעים‪ ,‬קטעים זרים‪ .‬אי שוויוניים ותכונותיהם‪ .‬פתרון אי‪ -‬שוויונים‬
‫ליניאריים וריבועיים ‪ .‬מערכות אי‪ -‬שוויונים ‪ .‬אי שוויונים עם ערכים מוחלטים‪ .‬הוכחת‬
‫תרגיל ‪4‬‬
‫אי השוויון ‪  x  x  x‬ושימוש בו‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫א) חקירת משוואה ריבועית‪ .‬בעיות עם פרמטרים‪.‬‬
‫תרגיל ‪5‬‬
‫ב) פולינומים‪ :‬מעלת פולינום‪ ,‬שוויון פולינומים‪ ,‬סכום ומכפלה‪ .‬חילוק פולינום בפולינום‪,‬‬
‫מנה ושארית‪ .‬אלגוריתם לחילוק הפולינומים ("החילוק הארוך"‪ ,‬ללא הוכחה)‪ .‬משפט‬
‫השארית (חילוק ב‪ ,) ( x  a) -‬שורש הפולינום‪ .‬מציאת שורשים שלמים של פולינום‬
‫בעל מקדמים שלמים‪ .‬פרוק לגורמים ממשיים במקרים מיוחדים‪.‬‬
‫הכרת פונקציה מעריקת ופונקציה לוגריתמית‪ .‬גרפים ותכונת המונוטוניות עבור ערכים‬
‫שונים של בסיס‪ .‬משוואות מעריריות ולוגריתמיות בסיסיות‪.‬‬
‫תרגיל ‪6‬‬
‫פונקציות מעריכות ולוגריתמיות (המשך)‪ .‬פיתוח תכונות‪ .‬הוכחת זהויות לוגריתמיות‪.‬‬
‫מעבר מבסיס לבסיס‪ .‬משוואות מעריכות ולוגריתמיות‪.‬‬
‫‪4‬‬
‫פתרון אי שוויונים מעריכיים ולוגריתמיים‪.‬‬
‫תרגיל ‪7‬‬
‫תרגיל ‪8‬‬
‫מערכות משוואות מעריכיות ולוגריתמיות‪.‬‬
‫פונקציות‪ ,‬דרכי הגדרה שונות‪ ,‬פונקציות מוגדרות למקוטעין‪,‬תחום הגדרה טבעי‪,‬‬
‫תחום הגדרה‪ ,‬טווח‪ ,‬גרף‪ ,‬תמונה‪.‬‬
‫תרגיל ‪9‬‬
‫‪5‬‬
‫פונקציות חשובות וגרפים שלהן‪ .‬פונקציות זוגיות ואי‪-‬זוגיות‪ ,‬פונקציות עולות ויורדות‪.‬‬
‫פונקציות חד ערכיות פונקציות על‪.‬‬
‫טרנספורמציות של גרפים‪, y  f ( x  a), y  a  f ( x), y  f ( x)  a :‬‬
‫)‪y  f ( x ), y  f ( x‬‬
‫פתרון גרפי של משוואות מן הצורה‬
‫) ‪f ( x)  g ( x‬‬
‫ואי שוויונים מהצורה )‪f ( x)  g ( x‬‬
‫א) אינדוקציה מתמטית‪ .‬הוכחת נוסחאות בעזרת אינדוקציה‪ .‬בעיות התחלקות‪.‬‬
‫‪6‬‬
‫ב) סדרות‪ .‬האיבר הכללי של הסדרה‪ .‬סדרה הנדסית וסדרה חשבונית‪ .‬הכרת סימן‬
‫‪ ‬ושימוש בו‪ .‬סכום של סדרה חשבונית וסדרה הנדסית‪.‬‬
‫‪7‬‬
‫מושג תמורה וצירוף ( בלי החזרות)‪ .‬בינום של ניוטון‪.‬‬
‫תרגיל ‪11‬‬
‫תרגיל ‪11‬‬
‫חלק ‪ – II‬נושאים בגיאומטריה אנליטית וטריגונומטריה‪.‬‬
‫שבוע‬
‫‪1-2‬‬
‫נושאים‬
‫תרגילים‬
‫א) מערכת צירים קרטזית ‪ .‬משוואת ישר( עפ"י שיפועו ונקודה עליו‪ ,‬עפ"י שתי נקודות‬
‫עליו)‪ .‬ישרים מתלכדים‪ ,‬מקבילים‪ ,‬נחתכים וניצבים‪.‬‬
‫תרגיל ‪1‬‬
‫ב) מרחק בין שתי נקודות במישור‪ .‬מעגלים ‪ .‬וקטורים גיאומטריים במישור (קטעים‬
‫מכוונים)‪ .‬וקטורים בסיסיים ‪ , i , j‬רכיבים של וקטור‪ .‬חיבור וכפל בסקלר בצורה‬
‫הגיאומטרית ובצורה האלגברית‪ .‬שימוש בוקטורים לפתרון בעיות של הנדסת מישור‪.‬‬
‫אמצע הקטע‪ .‬חלוקת קטע ביחס נתון‪.‬‬
‫תרגיל ‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫א) הגדרת הפונקציות הטריגונומטריות לזווית חדה‪ .‬הפונקציות הטריגונומטריות של‬
‫זוויות חדות מיוחדות‪ .‬זהויות בסיסיות‪.‬‬
‫תרגיל ‪3‬‬
‫ב) יישומים לפתרון בעיות גיאומטריות ( משולש ישר זווית)‪ .‬נוסחת שטח המשולש‬
‫‪1‬‬
‫‪ab sin ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪4‬‬
‫‪ , S ‬נוסחת שטח המקבילית‪ ,‬נוסחת שטח טרפז‪.‬‬
‫א) מעגל היחידה‪ .‬הרדיאן‪ .‬זווית כללית ( טריגונומטרית)‪ .‬שטח העיגול‪ ,‬היקף המעגל‪,‬‬
‫שטח גזרת העיגול‪ ,‬אורך קשת המעגל‪.‬‬
‫תרגיל ‪4‬‬
‫תרגיל ‪5‬‬
‫הגדרת הפונקציות הטריגונומטריות של זווית כלשהי באמצעות מעגל היחידה‪ .‬נוסחאות‬
‫המרה והוכחתן בעזרת מעגל היחידה‪.‬‬
‫‪5‬‬
‫ב) זהויות טריגונומטריות‪ :‬פונקציות טריגונומטריות של סכום והפרש הזוויות‪.‬‬
‫תרגיל ‪6‬‬
‫א) זהויות טריגונומטריות (המשך)‪ :‬זווית כפולה‪ ,‬נוסחאות לסכום והפרש של פונקציות‬
‫טריגונומטריות‪ .‬הוכחת זהויות ‪.‬‬
‫תרגיל ‪7‬‬
‫ב) משוואות טריגונומטריות בסיסיות ‪ctgx  a, tgx  a, cos x  a, sin x  a‬‬
‫ומציאת פתרון כללי בעזרת מעגל היחידה‪ .‬משוואות טריגונומטריות בשילוב עם זהויות‬
‫טריגונומטריות‪.‬‬
‫‪6‬‬
‫משוואות טריגונומטריות בשילוב עם זהויות טריגונומטריות – המשך‪.‬‬
‫תרגיל ‪8‬‬
‫תרגיל ‪9‬‬
‫פתרון המשוואה ‪. a cos x  b sin x  c‬‬
‫שיפוע ישר כטנגנס זווית עם ציר ה‪ . x -‬תנאי הניצבות של שני ישרים‬
‫תרגיל‬
‫‪11‬‬
‫פונקציות טריגונומטרית‪ .‬מושג של פונקציה מחזורית‪ .‬גרפים של פונקציות‬
‫טריגונומטריות‪.‬‬
‫‪7‬‬
‫משפט הסינוסים ומשפט הקוסינוסים‪.‬‬
‫ספרות מומלצת‪-‬‬
‫‪ ‬בני גורן‪ ,‬מתמטיקה ( ‪ 4‬ו‪ 5 -‬יחידות לימוד )‪ ,‬חלק ה'‪ ,‬שאלון ‪135115‬‬
‫‪ ‬בני גורן‪ ,‬מתמטיקה ( ‪ 5‬יחידות לימוד )‪ ,‬חלק ז'‪ ,‬שאלון ‪135117‬‬
‫‪ ‬הווארד אנטון‪ ,‬חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי א'‪ ( ,‬נספח ב' – טריגונומטריה)‪ ,‬האוניברסיטה‬
‫הפתוחה‪.1995 ,‬‬
‫תרגיל‬
‫‪11‬‬