FYS2130 Svingninger og bølger, Obligatorisk oppgave F Nicolai Kristen Solheim Ukeoppgave, sett F FYS2130 Svingninger og bølger Nicolai Kristen Solheim Ukeoppgave, sett F Oppgavetype 1 a) Med utgangspunkt i ligning 6.1 er det i boka utledet to uttrykk for fasehastigheten til gravitasjonsdrevne overflatebølger på vann. De fysiske forholdene som ligger bak denne oppdelingen er henholdsvis skillet mellom grunt og dypt vann. tanh For grunt vann har vi at Altså har vi med et tilnærmet uttrykk . . tanh For dypt vann har vi 1.25 √ 1 hvor , altså er måltallet for uten benevning målt i antall meter. b) Videre kan vi angi gruppehastigheten for disse to tilfellene, gitt at løser først for . Videre løser vi for og . Vi . Fra dette har vi at gruppehastigheten for gravitasjonsdrevne overflatebølger på grunt vann er . Tilsvarende kan vi gjøre for overflatebølger på dypt vann. gitt ved , hvor 1 2 1 2 Side 1 av 2 FYS2130 Svingninger og bølger Ukeoppgave, sett F Nicolai Kristen Solheim Over ser vi at gruppehastigheten for gravitasjonsdrevne overflatebølger på dypt vann er . c) Det som kjennetegner dispersjon (spredning) er en endring i brytningsindeksen, som vil si at fasehastigheten er avhengig av bølgelengden. En dispersjonsrelasjonen er sammenhengen mellom og for et gitt medium. Vi kjenner er uavhengig av bølgelengden dette som for et medium når sammenhengen (frekvens) slik at vi får et lineært forhold dersom plottes mot . Forskjellige avvik fra dette lineære forholdet deles inn i anormal og normal dispersjon. På mange måter er det dispersjon det fenomenet som gjør at bølger ofte kommer inn tilnærmet parallelt med en sandstrand. Dette kan forklares ved at når bølger kommer inn fra havet, vil bølgene som beveger seg skrått inn mot en langgrunn strand bevege seg raskest i den delen hvor dybden er størst. Altså går bølgen som er ”lengst ute” raskere enn bølgen på ”innsiden” noe som vil gjøre at bølgefrontene etterhvert vil komme inn tilnærmet parallelt med strandkanten. Dette gjelder uansett hvilken retning bølgene kommer fra, da fasehastigheten avtar når dybden avtar. Fasehastigheten er videre gitt slik at den er avhengig av bølgelengden, noe vi kjenner igjen som dispersjon. d) Vi har i denne oppgaven tatt utgangspunkt i MATLAB-programmet funnet på side 177-178 i læreboka, og kontrollert at det gir samme resultater som i figur 6.15. Funksjonene som er brukt i dette programmet er hhv. likning 6.13 og 614 i læreboka, med 1 og gir initialbetingelsene. Likning 6.13 er en generell bølgelikning, mens tvershastigheten er den deriverte av dette. For verdier for andre har vi en for-løkke som beregner dette numerisk. Videre har vi brukt programmet til å gjøre oppgave 6.13. I denne oppgaven ser vi på endringer, og observerer hva som skjer. Dersom vi endrer tvershastighetene i startøyeblikket til det negative av hva det skulle ha vært vil vi se at bølgen beveger seg i motsatt retning av hva den ellers ville gjort. For en redusert tvershastighet observerer vi at bølgen deler seg i to forskjellige bølger som beveger seg fra hverandre med forskjellige amplituder. Det ser ut som om de har samme fasehastighet og at summen av amplitudene tilsvarer den originale amplituden . Dersom vi nå bruker den dobbelte tvershastigheten vil vi se at bølgen deler seg i to forskjellige bølger med forskjellige amplituder i hver sin retning. Den ene bølgen som beveger seg i positiv retning vil ha en amplitude , mens den reflekterte bølgen som beveger seg i | |, men 0. Det ser likevel ut som om disse bølgene negativ retning vil ha en amplitude har samme fasehastighet i begynnelsen, før bølgen med negativ amplitude rives løs og fortsetter med negativ fasehastighet (i forhold til den andre bølgen). Videre ser det ut som at summen av amplitudene tilsammen gir . For bølger står vi ikke like fritt til å velge fart og posisjon uavhengig av hverandre. Noe av problemet ligger i utgangspunktet for beregningene – det numeriske start-tidspunkt – som gjør at vi må ta utgangspunkt i en symmetrisk bølge som står i ro ved . Side 2 av 2 07.03.11 16:20 C:\Users\Nicolai Solheim\Desktop\Uni\FYS2...\bolgeanimasjon.m 1 of 1 function bolgeanimasjon % Genererer posisjonsarray delta_x = 0.1; x = -20:delta_x:20; n = length(x); % Genererer posisjoner ved t = 0 sigma = 2.0; y = exp(-(x./(2*sigma)).*(x./(2*sigma))); % plot(x,y,'r-'); % figure(); % Genererer tvershastigheter ved t = 0 v = 0.3 zp =(v/(2*sigma*sigma)).*x; z = zp.*y; %plot(x,z,'b-'); % Lager beskrivelsen for neste tidssteg delta_t = 0.1; faktor = (delta_t*v/delta_x)^2; uforrige = y - (delta_t*1.0).*z; unaa = y; for t = 1:300 uny(2:n-1) = (2*(1-faktor)).*unaa(2:n-1) - uforrige(2:n-1) + faktor.*(unaa(3:n) +unaa(1:n-2)); uny(1) = (2*(1-faktor)).*unaa(1) - uforrige(1) + faktor.*unaa(2); uny(n) = (2*(1-faktor)).*unaa(n) - uforrige(n) + faktor.*unaa(n-1); plot(unaa); axis([0 n+1 -1.2 1.2]); drawnow; uforrige = unaa; unaa = uny; end end