1. No category

Vektorgeometri f¨
or gymnasister
Per-Anders Svensson
http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html
Fakulteten f¨
or teknik
Linn´
euniversitetet
R¨ata linjens och planets ekvationer III
Inneh˚
all
Repetition: R¨ata linjer och plan i rummet
Sk¨
arningspunkt mellan r¨
at linje och plan
Sk¨
arning mellan plan
Avst˚
and mellan punkt och plan
Avst˚
and mellan r¨ata linjer
 januari 
2(23)
Repetition: R¨
ata linjer och plan i rummet
I ett givet koordinatsystem (O , e x , e y , e z )
f¨
or rummet s˚
a beskrivs den r¨
ata linje, som
g˚
ar genom punkten P0 = (x0 , y0 , z0 ) och
som har v = (α, β, γ) 6= 0 som riktningsvektor, av ekvationen

x = x 0 + t α
y = y0 + t β

z = z0 + t γ.
v
P0
b
H¨
ar ¨
ar t en parameter, som kan anta vilket v¨
arde som helst (bland de
reella talen); n¨ar t varierar, s˚
a varierar x , y och z p˚
a s˚
a vis, att
punkten P = (x , y, z ) hela tiden ligger p˚
a linjen ifr˚
aga.
 januari 
3(23)
Det plan som inneh˚
aller punkten P0 = (x0 , y0 , z0 ) och som sp¨anns upp
av vektorerna v 1 = (α1 , β1 , γ1 ) och v 2 = (α2 , β2 , γ2 ) har p˚
a
parameterform ekvationen

x = x0 + α1 t1 + α2 t2
y = y0 + β1 t1 + β2 t2

z = z0 + γ1 t1 + γ2 t2 .
N¨
ar parametrarna t1 och t2 varierar bland alla reella tal, kommer x , y
och z variera p˚
a s˚
a vis, att punkten P = (x , y, z ) hela tiden kommer
att ligga i planet.
v2
P0
b
v1
 januari 
4(23)
Ekvationen f¨or ett plan kan ocks˚
a skrivas p˚
a normalform
Ax + By + Cz + D = 0,
(1)
f¨
or n˚
agra reella tal A, B, C och D , d¨
ar minst ett av talen A, B och C
ar skilt fr˚
an noll.
¨
Om det koordinatsystem som anv¨
ands ¨
ar ortonormerat, s˚
a har
vektorn n = (A, B, C ) egenskapen att vara normalvektor till ett plan
med ekvationen (1). Med detta menas att n ¨
ar ortogonal mot varje
vektor som ¨ar parallell med planet. (Litet slarvigt uttryckt: n ¨ar
vinkelr¨
at mot planet.)
n = (A, B , C )
Ax + By + Cz + D = 0
 januari 
5(23)
Vi kommer n¨armast att titta p˚
a n˚
agra typiska r¨
akneexempel p˚
a r¨ata
linjens och planets ekvationer. N¨
armare best¨
amt ska vi kika p˚
a hur
man kan
(i) best¨amma en eventuell sk¨
arningspunkt mellan en r¨at linje och
ett plan
(ii) best¨amma sk¨arningen mellan tv˚
a (eller flera) plan
(iii) best¨amma kortaste avst˚
andet mellan en punkt och ett plan
(iv) best¨amma kortaste avst˚
andet mellan tv˚
a r¨
ata linjer.
F¨
or att kunna l¨osa problem av typen (iii) och (iv) avkr¨avs att
koordinatsystemet ¨ar ortonormerat. Problem av typen (i) och (ii) kan
l¨
osas ¨
aven n¨ar s˚
a inte ¨ar fallet.
 januari 
6(23)
Sk¨arningspunkt mellan r¨
at linje och plan
Exempel
Vi s¨
oker en eventuell sk¨
arningspunkt mellan det plan Π, som p˚
a
normalform
har ekvationen x − 2y + 3z − 5 = 0, och den r¨ata linjen

x = 1 + t
t
L: y =

z = 2 − 3t .
L¨osning.
N¨
ar t varierar, f¨orflyttar sig punkten
P = (1 + t , t , 2 − 3t ) utmed L. Vi s¨
oker
det v¨
arde p˚
a t som ¨ar s˚
adant att P ligger i Π, d.v.s. dess koordinater uppfyller
planets ekvation:
L
Π
(1 + t ) − 2t + 3(2 − 3t ) − 5 = 0 ⇐⇒ −10t + 2 = 0 ⇐⇒ t =
1
.
5
F¨
or t = 1/5 blir P = (1 + t , t , 2 − 3t ) = (6/5, 1/5, 7/5), vilket ¨ar den
s¨
okta sk¨arningspunkten.
 januari 
7(23)
Exempel
Vi ska best¨amma den eventuella sk¨
arningspunkten mellan f¨oljande
r¨
ata linje och plan:


t1 + t2
x = −1 + 3t
x =
L : y = 2 + 3t
Π : y = 4 + 2t1 − t2


z = −1 − 3t1 + 7t2 .
z = 3 + 2t
En godtycklig punkt p˚
aL¨
ar p˚
a formen P = (−1 + 3t , 2 + 3t , 3 + 2t )
f¨
or n˚
agot t , medan en godtycklig punkt i Π ¨
ar p˚
a formen
Q = (t1 + t2 , 4 + 2t1 − t2 , −1 − 3t1 + 7t2 ) f¨
or n˚
agot val av t1 och t2 . Vi
s¨
oker v¨arden p˚
a t , t1 och t2 s˚
a att P = Q . Detta leder till


t1 + t2
−1 + 3t =
3t − t1 − t2 = 1
2 + 3t = 4 + 2t1 − t2 ⇐⇒ 3t − 2t1 + t2 = 2


3 + 2t = −1 − 3t1 + 7t2
2t + 3t1 − 7t2 = −4

 t = −1
⇐⇒ t1 = −3

t2 = −1.
 januari 
8(23)

x = −1 + 3t
Genom att antingen s¨
atta t = −1 i ekvationen f¨
or L : y = 2 + 3t

z = 3 + 2t

x
=
t1 + t2

eller t1 = −3 och t2 = −1 i ekvationen f¨
or Π : y = 4 + 2t1 − t2

z = −1 − 3t2 + 7t2 ,
f˚
ar vi att den gemensamma sk¨
arningspunkten ges av
(x , y, z ) = (−4, −1, 1).
Alternativ l¨osning. Vi skriver f¨orst om ekvationen f¨or Π till
normalform. Planet sp¨anns upp av vektorerna v 1 = (1, 2, −3) och
v 2 = (1, −1, 7) och inneh˚
aller punkten P0 = (0, 4, −1). Punkten
R = (x , y, z ) ligger i Π, om och endast om vektorerna v 1 , v 2 och
−−→
P0 R = (x , y − 4, z + 1) a
art beroende, vilket i sin tur a¨r
¨r linj¨
ekvivalent med att
1
1
x 2 −1 y − 4 = 0 ⇐⇒ 11x − 10y − 3z + 37 = 0.
−3
7 z + 1
 januari 
9(23)
Vi s¨
oker sedan sk¨arningspunkten mellan L och Π p˚
a samma s¨att som i
f¨
oreg˚
aende exempel; punkten P = (−1 + 3t , 2 + 3t , 3 + 2t ) ligger i Π,
om och endast om P uppfyller ekvationen 11x − 10y − 3z + 37 = 0:
11(−1 + 3t ) − 10(2 + 3t ) − 3(3 + 2t ) + 37 = 0 ⇐⇒ t = −1.
Genom att s¨atta t = −1 i ekvationen f¨
or L f˚
ar vi p˚
a nytt
sk¨
arningspunkten (−4, −1, 1).
Exempel
N¨
ar vi p˚
a samma s¨att som tidigare f¨
ors¨
oker finna sk¨arningspunkten
mellan den r¨ata linjen (x , y, z ) = (3 + 4t , 1 − t , 2 + 2t ) och planet
x + 2y − z − 1 = 0, s˚
a leder detta till ekvationen
(3 + 4t ) + 2(1 − t ) − (2 + 2t ) − 1 = 0 ⇐⇒ 2 = 0.
Det finns inget v¨arde p˚
a t som ger en sk¨
arningspunkt; planet och
linjen saknar gemensamma punkter.
 januari 
10(23)
Om vi ist¨allet s¨oker sk¨arningspunkten mellan planet
3x + 2y − 5z − 1 = 0 och samma linje (x , y, z ) = (3 + 4t , 1 − t , 2 + 2t )
som ovan, s˚
a f˚
ar vi
3(3 + 4t ) + 2(1 − t ) − 5(2 + 2t ) − 1 = 0 ⇐⇒ 0 = 0.
Punkten (3 + 4t , 1 − t , 2 + 2t ) uppfyller planets ekvation, f¨or samtliga
v¨
arden p˚
a t . Allts˚
a ligger linjen i planet.
 januari 
11(23)
Sk¨arning mellan plan
N¨
ar vi l¨
oser ett ekvationssystem med tre variabler (och ett visst antal
ekvationer), kan man se varje ekvation som ekvationen f¨or ett plan
skrivet p˚
a normalform. Vi kan d¨
armed g¨
ora f¨
oljande geometriska
tolkningar av l¨osningen till ett s˚
adant ekvationssystem:
1. Om systemet har entydig l¨
osning, s˚
a har planen exakt en
gemensam sk¨arningspunkt
2. Om systemet saknar l¨
osning, finns det ingen punkt som ligger i
samtliga plan
3. Om systemet har o¨
andligt m˚
anga l¨
osningar, kan l¨osningen
antingen vara en-parametrig eller tv˚
a-parametrig (d.v.s. man
beh¨over antingen en eller tv˚
a parametrar f¨
or att skriva ner
l¨
osningen till ekvationssystemet):
• Om l¨
osningen ¨
ar en-parametrig, s˚
a kan man tolka den geometriskt
 januari 
som en r¨
at linje. De olika planen i ekvationssystemet sk¨
ar
varandra l¨
angs med denna r¨
ata linje, och l¨
osningen, skriven p˚
a
parameterform, ger en ekvation p˚
a parameterform f¨
or linjen.
• Om l¨
osningen ¨
ar tv˚
a-parametrig, kan den tolkas som ekvationen
f¨
or ett plan skrivet p˚
a parameterform. Eftersom samtliga
ekvationer i sig kan tolkas som plan, m˚
aste dessa plan vara
identiska och lika med det plan som beskrivs av systemets l¨
osning.
12(23)
Om ett ekvationssystem med tre ekvationer och tre obekanta x , y
och z , har en entydigt best¨
amd l¨
osning

x = x0
y = y0

z = z0 ,
s˚
a sk¨
ar de tre plan, som svarar mot var och en av ekvationerna, i en
enda punkt P = (x0 , y0 , z0 ).
P
 januari 
b
13(23)
Om det finns o¨andligt m˚
anga l¨
osningar till ekvationssystemet, och om
l¨
osningen ¨ar en-parametrig, s˚
a kan den skrivas p˚
a formen

x = x0 + αt
y = y0 + βt

z = z0 + γt ,
vilket vi kan se som ekvationen f¨
or en r¨
at linje p˚
a parameterform. De
tre planen sk¨ar varandra l¨
angs med denna linje.
 januari 
14(23)
Om slutligen l¨osningen saknas, finns det inga punkter som ¨ar
gemensamma f¨or alla tre planen. Ett troligt utseende p˚
a planen ¨ar d˚
a
att de sk¨ar varandra tv˚
a och tv˚
a som i nedanst˚
aende figur.
Men det kan ocks˚
a vara s˚
a att
• Tv˚
a av planen ¨ar parallella medan det tredje sk¨ar vart och ett av
dessa plan l¨angs med en r¨
at linje
• Alla tre planen ¨
ar parallella.
 januari 
15(23)
Exempel
F¨
or att best¨amma sk¨arningen mellan de tv˚
a planen


x = −1 + t1 − 3t2
x = 2 − 2t1 + t2
och Π2 : y = 4 + 3t1 − 2t2
Π1 : y = 1 + 3t1 − 3t2


z = −2 − 2t1 + 2t2
z=
−t1 + 2t2
skriver vi f¨orst om b˚
ada ekvationerna till normalform. Vi f˚
ar d˚
a
(¨
ovning!) att Π1 ges av
x + y + z − 3 = 0,
medan Π2 kan tecknas som
2x + 4y + 7z = 0.
 januari 
16(23)
En punkt P = (x , y, z ) ligger allts˚
a p˚
a sk¨
arningen mellan Π1 och Π2 ,
om och endast om
x+ y+ z= 3
x + y + z =3
⇐⇒
2y + 5z = −6.
2x + 4y + 7z = 0 −2
S¨
att z = 2t . D˚
a blir
2y + 5z = −6 ⇐⇒ 2y = −6 − 5z = −6 − 10t ⇐⇒ y = −3 − 5t ,
vilket i sin tur ger
x = 3 − y − z = 3 − (−3 − 5t ) − 2t = 6 + 3t .
Sammanfattningsvis ges sk¨
arningen mellan de tv˚
a planen av

x = 6 + 3t
y = −3 − 5t

z=
2t ,
d.v.s. den r¨ata linje som g˚
ar genom punkten P = (6, −3, 0) och har
v = (3, −5, 2) som riktningsvektor.
 januari 
17(23)
Avst˚
and mellan punkt och plan
F¨
or att kunna best¨amma (det kortaste) avst˚
andet mellan en punkt
och ett plan, ¨ar det en f¨
ordel om koordinatsystem ¨
ar ortonormerat,
vilket vi kommer att utg˚
a fr˚
an ¨
ar fallet.
Exempel
F¨
or att best¨amma avst˚
andet mellan punkten P = (1, 2, 3) och planet
med ekvationen x + y − 2z − 4 = 0, ska vi finna den punkt Q i planet
−→
som ¨
ar s˚
adan att |PQ | blir minimal.
P = (1, 2, 3)
b
x + y − 2z − 4 = 0
Q
 januari 
b
18(23)
Eftersom koordinatsystemet ¨
ar ortonormerat, och planets ekvation ges
av x + y − 2z − 4 = 0, s˚
a ges
 en normalvektor till planet av
x = 1 + t
n = (1, 1, −2). D¨armed ¨
ar y = 2 + t ekvationen f¨or den r¨ata

z = 3 − 2t
linje L som g˚
ar genom P = (1, 2, 3) och har n som riktningsvektor.
Den punkt Q i planet som l¨
agger n¨
armast P kommer att vara
−→
sk¨
arningspunkten mellan L och planet. Vi vill ber¨
akna |PQ|.
P
b
n = (1, 1, −2)
Q
b
L
−→
−→
L¨
agg m¨arke till att PQ och n p
ar parallella, s˚
a PQ = t n f¨or n˚
agot t ,
¨
√
−→
vilket ger |PQ| = |t | · |n| = |t | 12 + 12 + (−2)2 = |t | 6. Vi beh¨over
allts˚
a best¨amma t .
 januari 
19(23)
F¨
or att finna t , utnyttjar vi att Q = (x , y, z ) = (1 + t , 2 + t , 3 − 2t )
ligger i planet precis n¨
ar dess koordinater uppfyller dess ekvation
x + y − 2z − 4 = 0:
(1 + t ) + (2 + t ) − 2(3 − 2t ) − 4 = 0 ⇐⇒ t =
7
.
6
Vi f˚
ar att det kortaste avst˚
andet mellan planet och P blir
√
7 √
7
−→
|PQ | = |t | 6 = · 6 = √ .
6
6
 januari 
20(23)
Avst˚
and mellan r¨
ata linjer
Tv˚
a icke-parallella r¨ata linjer i rummet beh¨
over ju inte ha en
gemensam sk¨arningspunkt; de kan mycket v¨
al ”missa” varandra. En
naturlig fr˚
aga i sammanhanget ¨
ar hur pass tv˚
a icke-sk¨arande linjer
kan komma varandra. F¨
or att kunna r¨
akna ut detta, beh¨over vi utg˚
a
fr˚
an det koordinatsystem som anv¨
ands ¨
ar ortonormerat.
Vi kallar linjerna f¨or L1 och L2 . L˚
at P1 vara en godtycklig punkt
−−−→
p˚
a L1 och P2 en godtycklig punkt p˚
a L2 . Vi undrar ¨over n¨ar P1 P2 ¨ar
som kortast.
• F¨
or att P1 ska ligga s˚
a n¨
ara L2
−−−→
som m¨ojligt, kr¨avs det att P1 P2
a
¨r ortogonal mot L2 :s
riktningsvektor v 2 .
L1
P1
b
v1
• Samtidigt m˚
aste P2 ligga s˚
a
−−−→
n¨
ara L1 som m¨ojligt, d.v.s. P1 P2
v2
ska ocks˚
a vara ortogonal mot L1 :s
P2
L2
riktningsvektor v 1 .
−−−→
−−−→
−−−→
Detta leder till att v 1 · P1 P2 = v 2 · P1 P2 = 0, med vars hj¨alp P1 P2 ,
och d¨
armed ocks˚
a dess l¨
angd, kan best¨
ammas.
b
 januari 
21(23)
Exempel
Vi ska best¨amma det kortaste avst˚
andet mellan linjerna


x = 1
x = 1 + 2t
L1 : y = 2 + t
och L2 : y = 1 + 3t


z =3+t
z = 1 + t.
V¨
alj P1 = (1, 2 + t , 3 + t ) p˚
a L1 och P2 = (1 + 2s, 1 + 3s, 1 + s) p˚
a L2 .
−−−→
D˚
a blir P1 P2 = (2s, 3s − t − 1, s − t − 2), som vi vill vi ska vara
ortogonal mot linjernas riktningsvektorer v 1 = (0, 1, 1) respektive
v 2 = (2, 3, 1), d.v.s. vi vill att
−−−→
v 1 · P1 P2 = 0 · 2s + 1 · (3s − t − 1) + 1 · (s − t − 2)
= 4s − 2t − 3 = 0
−−−→
v 2 · P1 P2 = 2 · 2s + 3 · (3s − t − 1) + 1 · (s − t − 2)
= 14s − 4t − 5 = 0.
 januari 
22(23)
Vi f˚
ar ekvationssystemet
4s − 2t = 3
14s − 4t = 5
som visar sig ha l¨osningen
s = −1/6
t = −11/6.
F¨
or dessa v¨arden p˚
a s och t blir
−−−→
1
P1 P2 = (2s, 3s − t − 1, s − t − 2) = (−1/3, 1/3, −1/3) = (−1, 1, −1).
3
L¨
angden av denna vektor ¨
ar
1 √
1
−−−→
1p
(−1)2 + 12 + (−1)2 = · 3 = √ .
|P1 P2 | =
3
3
3
√
ar allts˚
a 1/ 3 l¨angdenheter.
Det kortaste avst˚
andet mellan L1 och L2 ¨
 januari 
23(23)