1. No category

LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA
Inst. för Elektro- och Informationsteknik
Tentamen 2015-01-14
DIGITAL SIGNALBEHANDLING, ESS040
Tid: 14.00–19.00
Sal: Sparta B, D
Hjälpmedel:
Miniräknare, formelsamling i signalbehandling.
Observandum: För att underlätta rättningen:
-Lös endast en uppgift per blad.
-Skriv namn på samtliga blad.
Påståenden måste motiveras via resonemang och/eller ekvationer.
Poäng från inlämningsuppgifterna adderas till tentamensresultatet.
Max Tot. poäng (tentamen + båda inl.uppg) = 5.0 + 0.5 +0.5 = 6.0
Betygsgränser för kursen: 3 (≥3.0p), 4 (≥4.0p), 5 (≥5.0p).
1. Ett hjul till en hästkärra har 4 jämnt fördelade ekrar och snurrar med varvtalet 562.5 varv/min motsols, (OBS! varv/min). Hjulet filmas med en digital videokamera som tar 50 bilder/sekund. Vilken rotationshastighet (i varv/min)
kommer hjulet att uppfattas ha, genom att betrakta den inspelade sekvensen? Vilken rotationsriktning kommer att uppfattas, medsols eller motsols?
(0.5)
[We have a rotating wheel with FOUR spokes which rotates with 562.5 revolutions/min counterclockwise,
(OBS! revolutions/min). The wheel is recorded by a digital video camera using 50 frames/sec. Determine
the perceived rotational speed and also determine the direction of rotation.]
2. Följande differensekvation är given:
[The following difference equation is given:]
1
y(n) − y(n − 1) + y(n − 2) = x(n) + x(n − 1)
2
a) Bestäm systemfunktionen H(z) samt bestäm systemets poler och nollställen
och rita upp dessa i ett pol-/nollställe diagram. Avgör om systemet är
stabilt, motivera ditt svar.
(0.2)
[Determine the system function H(z), the system poles and zeroes and plot them in a pole-zero
diagram. Determine whether the system is stable or not. Motivate your answer.]
b) Bestäm impulssvaret h(n) till differensekvationen!
[Determine the correponding impulse response h(n).]
(0.3)
3. I figur 1 illustreras ett system, där insignalen x(t) = cos(2π1000t + π/4) +
cos(2π6000t) för −∞ ≤ t ≤ ∞ och där A/D- och D/A-omvandlarna är ideala
1
och arbetar med sampelfrekvensen Fs = 8000 Hz.
[Figure 1 illustrates our system where the input signal is given by x(t) = cos(2π1000t+π/4)+cos(2π6000t)
för −∞ ≤ t ≤ ∞ and where the A/D- and D/A converters are assumed ideal operating with sample
frequency Fs = 8000 Hz.]
x(t)
A/D
x(n)
1
2
z-1
z-1
-1
1
2 y(n)
D/A
y(t)
Figur 1: Systemet i uppgift 3.
a) Bestäm det digitala systemets impulssvar h(n), systemfunktion H(z)
och frekvenssvaret H(ω) samt skissa dess beloppsfunktion och fasfunktion för −π ≤ ω ≤ π!
(0.5p)
[Determine the impulse response h(n), the system function H(z) and the frequency response H(ω)
and also sketch the amplitude and phase spectrum!]
b) Bestäm utsignalen y(t)!
[Determine the output signal y(t)!]
(0.5p)
4. Ett LTI-system beskrivs av följande differens-ekvation;
[The following difference equation is given;]
3
2
1
y(n) = y(n − 1) − y(n − 2) + x(n − 1) + x(n − 2)
5
25
2
a) Lös differensekvationen då insignalen är steget (dvs x(n) = u(n)) och
systemet är i vila (Zero-state).
(0.5p)
[Determine the step response when the system is at rest.]
b) Lös differensekvationen då insignalen är noll med begynnelsevärdena
y(−1) = 1, y(−2) = 2, (Zero-input).
(0.5p)
[Determine the zero-input solution to the difference equation with initial conditions according to
y(−1) = 1, y(−2) = 2.]
5. Vi får som uppgift att bygga en trådlös kommunikationslänk i en korridor
som består av två väggar, ett tak och ett golv (se figur nedan). På grund av
att signalen reflekteras av ytorna (en gång på vardera yta), så tar mottagaren
emot en signal som inte ser exakt likadan ut som den skickade signalen. För
att kunna kompensera för detta behöver vi ta reda på hur kanalen (vägen
mellan sändaren och mottagaren) påverkar signalen.
Samplingsfrekvensen i vårt system är Fs = 1 kHz och tiden det tar för signalkomponenterna att ta sig från sändaren till mottagaren är angivna i figuren.
Reflektion på en yta innebär en dämpning i amplitud. Väggarna är gjorda
√
av ett material som gör att signalens amplitud dämpas med faktor 1/ 2.
2
1/2
1.5ms
1.5ms
1/√2
1ms
1ms
1ms
1ms
1.5ms
Sändare
1ms
1/√2
1/2
1.5ms
Mottagare
Golvet och taket är gjorda av ett material som gör att amplituden dämpas
med faktor 1/2.
[Our task is to build a wireless communication system in a hall in accordance with the figure below. The
reflections are modelled as given in the figure and we need to establish the propagation channel. The
sampling rate is Fs = 1 kHz and the time delays for each path, together with the attenuation caused by
each relection is given in the figure.]
a) Utnyttja informationen ovan och i figuren, samt samplingsfrekvensen Fs,
för att bestämma kanalens impulssvar h(n) och differensekvation. (0.2)
[Determine the impuls response and the corresponding difference equation.]
b) Bestäm kanalens överföringsfunktion, H(z) och frekvensfunktion H(ω).
(0.2)
[Determine the channel transfer function, H(z) and the frequency function H(ω).]
c) Bestäm kanalens nollställen och avgör huruvida någon frekvens helt
stoppas av kanalen och i så fall bestäm vilken verklig frekvens (Hz)
detta motsvarar.
(0.2)
[Determine the zeros of the channel and list, if any, the frequency components (in Hz) that are
completely cancelled by the channel.]
d) Vi skickar signalen x(t) = 2 sin(2π125t). Bestäm den mottagna signalen
y(t) efter ideal rekonstruktion (med Fs = 1000 Hz).
(0.2)
[Determine the output signal given the above input signal. Assume ideal reconstruction.]
e) Bestäm ett filter, G(z), som filtrerar den mottagna signalen så att utsignalen efter G(z) ger y(n) = x(n) (dvs bestäm ett filter som utjämnar
kanalen). Är detta filter stabilt?
(0.2)
[Determine an equalizing filter, G(z), which will cancel the effects of the room channel. Is this filter
stable?]
6. Insignalen x(n) till systemet y(n) = ay(n − 1) + x(n), 0 < a < 1 är periodisk
med perioden N . Bestäm impulssvaret till ett FIR-filter av längd N som ger
samma stationära lösning som systemet ovan för insignalen x(n).
(1.0)
[The input signal to the above system is periodic with period, N . Determine an FIR filter, of lenght N ,
which provides the same output as the above filter.]
Lycka till!
3
Lösningar till Tentamen 2015-01-14
SVAR 1. Hjulet snurrar med 562.5 varv/min motsols, vilket ger 562.5/60 = 9.375
varv/s dvs +9.375 Hz. Sampeltakten är Fs = 50 Hz vilket ger den normerade
frekvensen f0 = 9.375/50 = 3/16. Det betyder att varje eker kommer att
förflytta sig 3/16 varv motsols mellan varje sampel. Om en eker befinner sig
i viss position i ett visst sampel kommer den att förflytta sig +3/16 varv
motsols, dvs intilliggande eker kommer att befinna sig 3/16 − 1/4 = −1/16
varv från intilliggande eker, vid nästa sampel. Eftersom 1/16 < 3/16 kommer vi att uppfatta en rörelse medsols på 1/16 varv/sampel, dvs normerad frekvens f0 = −1/16, vilket motsvarar en verklig rotationshastighet på
−1/16 · 50 = −25/8 Hz. Det motsvarar i sin tur 187.5 varv/min medsols.
SVAR 2a. Z-transformera differens-ekvationen, det ger
1
Y (z)(1 − z −1 + z −2 ) = X(z)(1 + z −1 )
2
H(z) får enligt,
H(z) =
1 + z −1
Y (z)
=
X(z)
1 − z −1 + 12 z −2
, vilket medför
H(z) har nollställen i z = 0 och z = −1 och poler i z = 1±j
2
stabilitet (innanför enhetscirkeln). Figur pol-/nollställe diagram se nedan.
SVAR 2b. Genom att invers-transformera H(z) erhålls impulssvaret h(n), dvs vi beräknar
utsignalen då insignalen X(z) = 1. Då vi har komplexkonjugerande poler vet
vi att vi får en linjärkombination av cosinus resp. sinus-termer. H(z) skrivs
då som,
Y (z) = H(z) =
=
=
1−
√1
2
1 + z −1
1 − 0.5z −1 + 1.5z −1
=
1 − z −1 + 12 z −2
1 − z −1 + 21 z −2
cos (π/4)z −1 + 3 √12 sin (π/4)z −1
1 − 2 √12 cos (π/4)z −1 + ( √12 )2 z −2
1−
√1
2
cos (π/4)z −1
1 − 2 √12 cos (π/4)z −1 + ( √12 )2 z −2
+3
√1
2
sin (π/4)z −1
1 − 2 √12 cos (π/4)z −1 + ( √12 )2 z −2
Från tabell (ur tex formelsamlingen) fås att impulssvaret blir;
π
π i
1 nh
√
) cos ( n) + 3 sin ( n) u(n)
h(n) = (
4
4
2
4
1
0.8
0.6
Imaginary Part
0.4
0.2
0
−0.2
−0.4
−0.6
−0.8
−1
−1
−0.5
0
Real Part
0.5
1
Figur 2: Pol-nollställediagram i uppgift 2a).
SVAR 3.
a) Impulssvaret fås direkt ut figuren, då systemet är ett FIR-filter, enligt
1
1
h(n) = √ δ(n) − δ(n − 1) + √ δ(n − 2)
2
2
Systemfunktionen är Z-transformen av h(n), enligt
H(z) =
∞
X
1
1
h(n) = √ − z −1 + √ z −2
2
2
n=−∞
Frekvenssvaret är givet enligt (ty FIR och alltid stabilt),
1
1
H(ω) = H(z)|z−>ejω = √ − e−jω + √ e−j2ω
2
2
µ
¶
2
= e−jω √ cos(ω) − 1
2
b) Insignalen samplas med Fs = 8000 Hz, vilket ger följande digitala insignal;
x(n) =
=
=
=
cos(2π1000/8000n + π/4) + cos(2π6000/8000n), −∞ ≤ n ≤ ∞
cos(2π1/8n + π/4) + cos(2π(1 − 2/8)n), −∞ ≤ n ≤ ∞
cos(2π1/8n + π/4) + cos(2π(−2/8)n), −∞ ≤ n ≤ ∞
cos(2π1/8n + π/4) + cos(2π(2/8)n), −∞ ≤ n ≤ ∞
5
Magnitude |H(ω)|
1
0.8
0.6
0.4
0.2
Phase of (H(ω)) [radians]
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
Normalized angular frequency [ω]
1
1.5
−1
−0.5
0
0.5
Normalized angular frequency [ω]
1
1.5
2
1
0
−1
−2
−1.5
Figur 3: Magnitud och fasfunktion i uppgift 3.
Systemet har följande överföring för frekvenserna f0 = 1/8 och f1 = 2/8,
1
H(2π ) = 0
8
2
H(2π ) = ejπ/2
8
Dvs systemet släcker helt frekvensen 1/8 och förstärker frekvensen 2/8
med faktor 1 och fasförskjuter med π/2. Efter ideal rekonstruktion har
vi följande utsignal;
y(t) = y(n)|n−>Fs t = cos(2π1/4 ∗ 8000t + π/2) = cos(2π2000t + π/2)
4a. SVAR
1
1 − z −1
z −1 + 12 z −2
H(z) =
2 −2
1 − 35 z −1 + 25
z
Y (z) = H(z)X(z)
X(z) =
(1)
− 15
2
1 − z −1 1
1 − 25 z −1
·
¸
25 35 1 n 15 2 n
=> y(n) =
+ ( ) − ( ) u(n)
8
8 5
2 5
=> Y (z) =
25
8
+
6
35
8
− 15 z −1
+
4b. SVAR Vi har följande differens-ekvation,
2
3
y(n) − y(n − 1) + y(n − 2) = 0
5
25
y(−1) = 1, y(−2) = 2
Vi Z + -transformerar diff. ekv,
Y + (z) −
¤
¤
3£ +
2 £ +
Y (z)z −1 + y(−1) +
Y (z)z −2 + z −1 y(−1) + y(−2) = 0
5
25
Insättning av begynnelsevärden ger,
Y + (z) =
=
11
2 −1
− 25
z
25
1 −1
(1 − 5 z )(1 − 25 z −1 )
12
1
− 25
25
+
1 − 25 z −1 1 − 15 z −1
·
¸
1
2 n
1 n
y(n) =
12( ) − ( ) u(n)
25
5
5
5. SVAR
5a. Direkt ur figur fås impulssvaret enligt, (OBS att vi har fördröjningarna 1, 2
resp 3ms som motsvarar ett, två samt tre sampel)
1
1
1 1
h(n) = δ(n − 1) + ( p
+ p )δ(n − 2) + ( + )δ(n − 3)
2 2
(2)
(2)
p
= δ(n − 1) + (2)δ(n − 2) + δ(n − 3)
och motsvarande diff. ekvation enligt,
p
y(n) = x(n − 1) + (2)x(n − 2) + x(n − 3)
5b. Systemfunktionen ges av,
H(z) = z −1 +
p
(2)z −2 + z −3
5c. Nollställen till H(z) ges av,
1
1
n1 = − p
+ p i = ej2π3/8 ≈ −0.7071 + 0.7071i
(2)
(2)
1
1
n2 = − p
− p i = e−j2π3/8 ≈ −0.7071 − 0.7071i
(2)
(2)
Dvs frekvenserna ±3/8 · Fs = ±375 Hz släcks ut.
7
5d. Utsignalen ges av
√
y(t) = 2 · |H(2π/8)| sin (2π125t + arg(H(2π/8)) = 4 2 sin(2π125t + π/2)
≈ 5.6569 sin(2π125t + π/2)
5e. Genom att skapa ett filter vars poler placeras på samma ställe som kanalens
nollställe utjämnar vi kanalen, dvs
G(z) =
z −1 +
1
p
(2)z −2 + z −3
Och från uppg. 5c ser vi att polerna hamnar på enhetscirkeln, dvs systemet
är villkorligt stabilt (så länge inte insignalen har en ton på frekvenserna f =
±3/8 så kommer utsignalen att vara begränsad).
6. SVAR IIR filtret har ett impulssvar enligt,
hIIR (n) = an u(n)
FIR filtret skall producera samma utsignal som det periodiserade IIR filtret
över alla n, dvs
hF IR (n) =
0
X
l=−∞
hIIR (n − lN ) =
0
X
l=−∞
8
a(n−lN ) = an
1
[u(n) − u(n − N )]
1 − aN