הורד את ספר הקורס
מתמטיקה 5יחידות שאלון 807
1
תלמידים יקרים
ספר תרגילים זה הוא פרי שנות ניסיון רבות של המחבר בהגשה לבחינות
הבגרות במתמטיקה הן בבתי הספר התיכוניים ,הן בבתי הספר הפרטיים
והן במכינות האוניברסיטאיות.
שאלות תלמידים וטעויות נפוצות וחוזרות הולידו את הרצון להאיר את
הדרך הנכונה לעומדים בפני מקצוע חשוב זה.
הספר מסודר לפי נושאים ומכיל את כל חומר הלימוד על פי תכנית
הלימודים של משרד החינוך .כל פרק פותח בסיכום ההגדרות ,המשפטים
והמתכונים הקשורים לנושא הפרק ,לאחריו מופיעה טבלת הסרטונים
באתר ולבסוף קובץ תרגילים .הניסיון מלמד כי לתרגּול בקורס זה חשיבות
יוצאת דופן ,ולכן ספר זה בולט בהיקפו ובמגוון התרגילים המופיעים בו.
לכל התרגילים בספר פתרונות מלאים באתר www.GooL.co.il
הפתרונות מוגשים בסרטוני וידאו המלווים בהסבר קולי ,כך שאתם רואים
את התהליכים בצורה מובנית ,שיטתית ופשוטה ,ממש כפי שנעשה
בשיעור פרטי .הפתרון המלא של השאלה מכוון ומוביל לדרך חשיבה נכונה
בפתרון בעיות דומות מסוג זה.
תקוותי היא שספר זה ישמש מורה-דרך לכם התלמידים ויוביל אתכם
להצלחה.
2
תוכן העניינים:
פרק – 1גיאומטריה אנליטית7..................................................................................... :
נקודה וישר7 ...................................................................................................................... :
תשובות סופיות14 ...................................................................................................... :
המעגל15 ............................................................................................................................ :
תשובות סופיות22 ...................................................................................................... :
האליפסה24 ....................................................................................................................... :
תשובות סופיות27 ...................................................................................................... :
הפרבולה28 ........................................................................................................................ :
תשובות סופיות32 ...................................................................................................... :
מקומות גאומטריים33 ....................................................................................................... :
תשובות סופיות35 ...................................................................................................... :
תרגילי הוכחה36 ................................................................................................................ :
תרגול מבגרויות37 .............................................................................................................. :
תשובות סופיות43 ...................................................................................................... :
פרק - 2טריגונומטריה במרחב44 .................................................................................. :
הגדרות יסודיות44 ............................................................................................................. :
שאלות יסודיות – סימון זוויות במרחב45 ....................................................................... :
תזכורת – הגדרות טריגונומטריות במישור46 ....................................................................... :
התיבה והקובייה47 ............................................................................................................ :
תיבה שבסיסה ריבוע47 ............................................................................................... :
תיבה שבסיסה מלבן50 ................................................................................................ :
קובייה53 .................................................................................................................. :
מנסרה ישרה54 .................................................................................................................. :
מנסרה שבסיסה משולש שווה צלעות54 .......................................................................... :
מנסרה שבסיסה משולש שווה שוקיים55 ........................................................................ :
מנסרה שבסיסה משולש ישר זווית56 ............................................................................. :
פירמידה ישרה57 ............................................................................................................... :
פירמידה שבסיסה ריבוע58 ........................................................................................... :
פירמידה שבסיסה מלבן60 ........................................................................................... :
פירמידה שבסיסה משולש שווה צלעות65 ....................................................................... :
פירמידה שבסיסה משולש שווה שוקיים66 ...................................................................... :
פירמידה שבסיסה הוא משולש ישר זווית66 .................................................................... :
תשובות סופיות67 ...................................................................................................... :
תירגול נוסף69 ....................................................................................................................:
תיבה69 ..................................................................................................................... :
3
מנסרה ישרה71 .......................................................................................................... :
פירמידה73 ................................................................................................................ :
תשובות סופיות76 ...................................................................................................... :
תרגול מבגרויות77 .............................................................................................................. :
תשובות סופיות78 ...................................................................................................... :
פרק – 3ווקטורים79 .................................................................................................. :
ווקטורים גיאומטריים79 .................................................................................................... :
שאלות81 .................................................................................................................. :
תשובות סופיות88 ...................................................................................................... :
וקטורים אלגבריים89 ......................................................................................................... :
שאלות94 .................................................................................................................. :
תשובות סופיות105 .................................................................................................... :
תרגול מבגרויות107............................................................................................................. :
וקטורים גיאומטריים 107 ..............................................................................................
וקטורים אלגבריים 109 .................................................................................................
תשובות סופיות114 .................................................................................................... :
פרק – 4מספרים מרוכבים115 ..................................................................................... :
שאלות117.......................................................................................................................... :
תשובות סופיות122 .................................................................................................... :
תרגול מבגרויות123............................................................................................................. :
תשובות סופיות128 .................................................................................................... :
פרק – 5בעיות גדילה ודעיכה129 .................................................................................. :
שאלות חישוב יסודיות129 ........................................................................................... :
שאלות העוסקות במציאת הכמות הסופית130 ................................................................ :
שאלות העוסקות במציאת הכמות ההתחלתית130 ........................................................... :
שאלות העוסקות במציאת אחוז הגידול/הדעיכה או בסיס הגידול/דעיכה131 ........................ :
שאלות העוסקות במציאת הזמן132 .............................................................................. :
שאלות שונות (כל הנושאים יחד)133 .............................................................................. :
תשובות סופיות136 .................................................................................................... :
תירגול נוסף137...................................................................................................................:
תרגול מבגרויות141............................................................................................................. :
תשובות סופיות142 .................................................................................................... :
פרק –6חוקי חזקות ומשוואות מעריכיות ולוגריתמיות143 .................................................. :
חוקי חזקות143.................................................................................................................. :
שאלות יסודיות – חוקי חזקות ושורשים143 ................................................................... :
משוואות מעריכיות144........................................................................................................ :
שאלות יסודיות – משוואות מעריכיות144 ...................................................................... :
4
משוואות לוגריתמיות145.................................................................................................... :
שאלות יסודיות – חוקי הלוגריתמים ומשוואות לוגריתמיות146 ........................................ :
אי שוויונים מעריכיים149.................................................................................................... :
אי-שוויונים לוגריתמיים149................................................................................................ :
תירגול נוסף150...................................................................................................................:
חזרה על חוקי חזקות ושורשים150 ............................................................................... :
תשובות סופיות152 .................................................................................................... :
משוואות מעריכיות153 ............................................................................................... :
תשובות סופיות156 .................................................................................................... :
הגדרת הלוגריתם ומשוואות לוגריתמיות יסודיות157 ....................................................... :
תשובות סופיות160 .................................................................................................... :
חוקי הלוגריתמים ומשוואות לוגריתמיות161 .................................................................. :
תשובות סופיות165 .................................................................................................... :
מעבר מבסיס לבסיס ומשוואות לוגריתמיות166 .............................................................. :
תשובות סופיות 168 .................................................................................................... :
אי-שוויוניים לוגריתמיים169 ....................................................................................... :
תשובות סופיות169 .................................................................................................... :
פרק - 7חשבון דיפרנציאלי170 .................................................................................... :
פונקציות מעריכיות170....................................................................................................... :
הגדרות כלליות170 ..................................................................................................... :
שאלות יסודיות – חישובי נגזרות172 ............................................................................. :
שאלות העוסקות בשימושי הנגזרת172 ........................................................................... :
שאלות שונות העוסקות בחקירה של פונקציות מעריכיות173 ............................................. :
תשובות סופיות180 .................................................................................................... :
תירגול נוסף184...................................................................................................................:
תשובות סופיות189 .................................................................................................... :
פונקציות לוגריתמיות191.................................................................................................... :
הגדרות כלליות191 ..................................................................................................... :
שאלות יסודיות – חישובי נגזרות192 ............................................................................. :
שאלות העוסקות בשימושי הנגזרת194 ........................................................................... :
שאלות שונות העוסקות בחקירה194 ............................................................................. :
תשובות סופיות200 .................................................................................................... :
תירגול נוסף204...................................................................................................................:
תשובות סופיות209 .................................................................................................... :
פונקצית חזקה עם מעריך רציונאלי211.................................................................................:
הגדרות כלליות211 ..................................................................................................... :
שאלות שונות212 ....................................................................................................... :
5
תשובות סופיות215 .................................................................................................... :
תירגול נוסף216...................................................................................................................:
תשובות סופיות220 .................................................................................................... :
פרק - 8חשבון אינטגרלי222 ....................................................................................... :
פונקציות מעריכיות222....................................................................................................... :
שאלות יסודיות – אינטגרל כללי222 .............................................................................. :
שאלות יסודיות – אינטגרל מסוים223 ........................................................................... :
חישובי שטחים223 ..................................................................................................... :
חישובי נפחים225 ....................................................................................................... :
תירגול נוסף226...................................................................................................................:
תשובות סופיות231 .................................................................................................... :
פונקציות לוגריתמיות233.................................................................................................... :
שאלות יסודיות – אינטגרל כללי233 .............................................................................. :
שאלות יסודיות – אינטגרל מסוים233 ........................................................................... :
חישובי שטחים234 ..................................................................................................... :
חישובי נפחים236 ....................................................................................................... :
תירגול נוסף237...................................................................................................................:
תשובות סופיות241 .................................................................................................... :
פונקצית חזקה עם מעריך רציונאלי243.................................................................................:
שאלות כלליות243 ...................................................................................................... :
תירגול נוסף244...................................................................................................................:
תשובות סופיות248 .................................................................................................... :
תרגול מבגרויות (חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי יחד)249........................................................ :
תשובות סופיות263 .................................................................................................... :
הערות:
.1הסקיצות בשאלות החקירה מופיעות בצורה מרוכזת בסוף דפי התשובות.
.2כל פרק מכיל סרטוני תיאוריה ותרגול מלאים ומפורטים באתר ,למעט החלקים
"תירגול נוסף" והשאלות מהבגרויות.
.3קישור לחוברת בחינות חזרה.http://www.gool.co.il/Misc/807_exams_gool.pdf :
6
פרק – 1גיאומטריה אנליטית:
נקודה וישר:
נוסחאות כלליות:
.1המרחק בין הנקודות A x1 , y1 ו B x2 , y2 -יחושב לפי. d x2 x1 y2 y1 :
2
2
x1 x2
y y2
.2אמצע הקטע Mשקצוותיו הם A x1 , y1 :ו B x2 , y2 -הוא:
, yM 1
2
2
y y
y y
.3שיפוע ישר בין שתי נקודות A x1 , y1 ו B x2 , y2 -הוא. mAB 2 1 1 2 :
x2 x1 x1 x2
. xM
משוואת הישר:
.4משוואת ישר מפורשת היא מהצורה. y mx n :
כאשר m :הוא שיפוע הישר ו n -הוא ערך ה y -של נקודת החיתוך של הישר עם ציר ה. y -
.5נוסחה למציאת משוואת ישר. y y1 m x x1 :
מצב הדדי בין שני ישרים:
.6ישרים מקבילים מקיימים. m1 m2 , n1 n2 :
.7ישרים חותכים מקיימים. m1 m2 :
.8ישרים מתלכדים מקיימים. m1 m2 , n1 n2 :
שיפועים של ישרים:
.9שיפועי ישרים מאונכים מקיימים. m1 m2 1 :
.10הקשר בין שיפוע ישר לזווית שהוא יוצר עם הכיוון החיובי של ציר ה . m tan : x -
חלוקת קטע ביחס נתון:
.11שיעורי נקודה Pהמחלקת קטע שקצותיו A x1 , y1 ו B x2 , y2 -ביחס של k : l
k x1 l x2
k y1 l y2
הם:
; yP
k l
k l
( xP בהצלבה).
7
הצגה כללית של ישר ומרחקים:
.12הצגה כללית של ישר (צורה סתומה). Ax By C 0 :
.13מרחק הנקודה A x1 , y1 מהישר Ax By C 0הוא:
Ax1 By1 C
A 2 B2
.d
כאשר: B 0 :
אם הנקודה מעל הישר מורידים את הערך המוחלט.
אם הנקודה מתחת לישר מורידים את הערך המוחלט ומוסיפים
מינוס לאחד האגפים.
.14המרחק בין שני ישרים מקבילים Ax By C1 0 :ו Ax By C2 0 -כאשרB 0 :
הוא:
C1 - C2
A 2 B2
d ומתקיים בהעדר הערך המוחלט:
אם d 0 , C1 C2 :אז הישר Ax By C1 0מתחת ל. Ax By C2 0 -
אם d 0 , C1 C2 :אז הישר Ax By C1 0מעל ל. Ax By C2 0 -
שאלות:
)1הנקודות A 2, 7 , B 10, 4 ו C 6,11 -הן שלושה קדקודים של מקבילית.
מצא את שיעורי הקדקוד הרביעי.
yשלה גדול פי 3משיעור הx -
)2נתונה נקודה Bברביע השלישי ,ששיעור ה-
שלה ומרחקה מהנקודה A 4,1הוא .5מצא את שיעורי הנקודה .B
)3התאם בין משוואות הישרים הבאים לישרים בשרטוט:
ד. y x 1 .
א. y x 3 .
ב. y x 1 .
ג.
1
2
ה. y x .
. y 2x 3
)4במשולש ABCנתונים שיעורי הקדקודים. A 5, 1 , B 3,7 , C 5,5 :
הוכח שהמשולש ישר זווית ושווה שוקיים.
)5נתון מעוין ABCDשבו נתונים הקדקודים A 9,1ו. B 5, 7 -
משוואת הישר עליו מונח האלכסון ACהיא . x 3 y 6 0
א .מצא את משוואת הישר עליו מונח האלכסון .BD
ב .מצא את משוואת הישר עליו מונחת הצלע .BC
8
)6שלוש המשוואות הבאות מייצגות את הישרים המופיעים
בשרטוט. 2 x y 8 0 , x y 2 0 , x 4 y 4 0 :
א .חשב את שטח המשולש .DEF
ב .נתון .BC = 3 :חשב את אורך הקטע .AB
BD )7הוא התיכון לצלע ACבמשולש ABCשבו נתון הקדקוד . A 6,1
משוואת התיכון BDהיא x y 1ומשוואת הצלע BCהיא . 3x 5 y 67
מצא את שיעורי הקדקוד .C
)8הנקודה Pנמצאת על הקטע .ABנתון. A 2, 5 , B 12,16 :
AP 2
מצא את ערכי הנקודה ,Pאם נתון כי :
PB 5
.
)9קדקודי משולש ABCהם. A 1,3 , B 6,0 , C 4, 12 :
מצא את שיעורי מרכז הכובד של המשולש.
(מרכז כובד של משולש הוא מפגש תיכוני המשולש).
)10מצא את שיעורי מרכז הכובד של משולש ABC
שקדקודיו הם. A x1 , y1 , B x2 , y2 , C x3 , y3 :
)11קודקודי המשולש ABCהם. A 5,1 , B 7, 3 , C 1, 4 :
מצא א ת אורכו של חוצה הזווית היוצא מקדקוד .A
)12א .מצא את מרחק הנקודה 2, 4 מהישר . 4 x 3 y 11 0
ב .מצא את מרחק הנקודה 4,3מהישר . y 3x 1
ג .מצא את מרחק הנקודה 3, 11מהישר . x 5 0
)13מצא את שיעורי הנקודות על הישר x y 7 0שמרחקן
מהישר 2 x y 5 0הוא. 20 :
)14מצא את שטחו של משולש שקדקודיו הם. A 2, 2 , B 1,1 , C 5, 2 :
)15נתון משולש ABCשבו נתונים הקדקודים. A 1,1 , B 13,6 :
הקדקוד Cנמצא על הישר 2 x y 19 0ונמצא מתחת לצלע .AB
מצא את שיעורי הקדקוד Cאם ידוע ששטח המשולש הוא .13
9
)16נתון משולש שצלעותיו מונחות על הישרים:
I: x 2 y 1 0 , II: x 2 y 11 0 , III: 2 x y 6 0
מצא שיעורי נקודה הנמצאת בתוך המשולש ,שמרחקה מישר Iשווה למרחקה
מישר IIIושמרחקה מישר IIהוא מחצית מהמרחק משני ישרים אלה.
)17מצא משוואת ישר ששיפועו 3אם ידוע שהנקודה G 7, 3נמצאת מתחתיו
ובמרחק 2 10ממנו.
)18מצא משוואת ישר שעובר בנקודה A 2, 6 ומרחקו מהנקודה B 2,9 הוא . 5
)19מצא משוואת ישר שעובר בנקודה A 1, 2 ומרחקו מהנקודה B 3,10 הוא .4
)20מצא משוואת ישר שעובר בנקודה A 10,8ומרחקו מהנקודה B 7, 1הוא .3
)21מצא משוואת ישר שעובר בנקודה A 6,1ומרחקו מהנקודה B 2, 7 הוא .10
)22מצא משוואת ישר ,המקביל לישר 3x 4 y 8 0ונמצא במרחק 4ממנו.
)23נתון המלבן . ABCDמשוואותיהן של שתיים מצלעות המלבן הן AB : 3x y 0
ו . CD : 3x y 6 0 -הקדקוד Bנמצא בראשית הצירים .נתון כי הצלע AB
ארוכה פי 4מהצלע .BCמצא את שטח המלבן ואת מפגש אלכסוני המלבן ,אם
ידוע שהוא ברביע הרביעי.
)24צלע של ריבוע מונחת על הישר . 3x 2 y 5 0
אלכסוני הריבוע נפגשים בנקודה . B 1, 1
מצא את משוואות הישרים עליהם מונחות הצלעות האחרות של הריבוע.
)25נתון ישר שעובר בראשית הצירים ושיפועו חיובי.
מצא את משוואת הישר אם נתון שהוא נמצא מעל הנקודות P 4,1וQ 7, 2 -
וסכום המרחקים ממנו לנקודות אלה הוא . 3 10
)26במשולש BKPנתון כי הצלע BKמונחת על הישר x y 3 0והצלע BPמונחת
על הישר . x 2 y 3 0אורך הגובה לצלע BPהוא 3 5ואורך הגובה לצלע KP
הוא .5מצא את שיעורי קדקוד Pאם ידוע שראשית הצירים נמצאת בתוך
המשולש.
10
)27במרובע ABCDידוע כי שיפוע הצלע BCהוא 3ושיעורי הנקודה Aהם. 1, 4 :
א .איזה מרובע הוא המרובע ?ABCDהראה חישוב מתאים.
1
נתון גם, D 4,13 :
3
mCD ו -ס"מ . BC 90
ב .איזה מרובע הוא המרובע ABCDכעת?
הראה חישוב מתאים.
נתון גם. B 8, 7 :
ג .איזה מרובע הוא המרובע ABCDכעת?
הראה חישוב מתאים.
ד .חשב את שטח המרובע .ABCD
)28המרובע ABCDהוא מעוין.
ידוע כי שיעורי אחת הנקודות במעוין הם. 0, 6 :
כמו כן ,ידוע גם כי משוואת האלכסון AC
היא y 1.5x 6 :ואחת ממשואות הצלעות
היא. 5 y x 4 :
א .מצא את משוואת האלכסון השני.
ב .מצא את שאר קודקודי המעוין.
)29המשולש ABCהוא משולש שווה שוקיים . AB AC
מעבירים במשולש את הגובה לבסיס ADומסמנים נקודה Eעל הבסיס BC
כך שמתקיים.DE =BE :
קדקוד הראש Aנמצא בראשית הצירים ונתון
כי. D(5,7) , E(8.5, 2.5) :
א .מצא את שיעורי שאר קודקודי המשולש.
ב .כתוב את משוואת השוק .AC
)30נתון משולש .ABCהנקודה Dנמצאת על הצלע BCשל המשולש ABCכך
שהקטע ADמחלק אותו לשני משולשים שווי שטח ABDו.ACD-
הצלע BCמונחת על הישר y 4 :וידוע כי שיעור ה x -של הנקודה C
הוא . xC 1 :כמו כן נתון. mAB 2 , A(7,8) :
א .מצא את משוואת הצלע .AB
ב .1 .איזה קטע הוא ADבתוך המשולש ?ABC
.2מצא את שיעורי הנקודות Bו.D-
ג .1 .חשב את אורך הצלע BCואת אורך הקטע .AD
.2איזה משולש הוא המשולש ?ABC
11
)31המרובע ABCDהוא טרפז .הנקודה Eהיא אמצע הבסיס ABוידוע כי היא
נמצאת על ציר ה . x -שיעורי הנקודה Bהם 3, 2 והצלע ADמונחת על
הישר . x 5 :אורך הקטע DEהוא 80כך ש D-ברביע השלישי
וכןDEC 90 :
א .מצא את שיעורי הנקודות D , Aו.E-
ב .מצא את משוואת הקטע CE
ואת משוואת הבסיס .CD
ג .מצא את שיעורי הנקודה .C
ד .חשב את שטח המשולש .DEC
AD )32ו BE-הם בהתאמה גבהים לצלעות BCו AC-במשולש .ABC
ידוע כי שיעורי נקודת פגישת הגבהים Kהם. 1,3 :
שיעורי הנקודות Dו E-הם. D 2, 4 , E 3,5 :
א .מצא את משוואת הגובה AD
ואת משוואת הצלע .AC
ב .מצא את שיעורי הקדקוד .A
ג .מצא את משוואת הגובה BE
ואת משוואת הצלע .BC
ד .מצא את שיעורי הקדקוד .B
)33נתון מעוין .ABCDידוע כי הצלע CDמונחת על הישר . y 7
אלכסוני המעוין ACו BD-נפגשים בנקודה. M 0.5, 3 :
שיפוע האלכסון ACהוא .-4
א .מצא את משוואת האלכסון .AC
ב .מצא את שיעורי הנקודה .C
ג .חשב את שטח המשולש .BMC
y
A
B
x
M
C
)34נתון מרובע ABCDשקדקודיו הם. A(3,13) , B(2, 4) , C(9,3) , D(8,14) :
מורידים גבהים AEו CF-לאלכסון .BD
א .מצא את משוואת האלכסון BDואת אורכו.
ב .מצא את שיעורי הנקודות Eו .F-
ג .מצא את אורכי הגבהים AEו.CF-
ד .חשב את שטח המרובע .ABCD
12
D
)35על הישר y 5מסמנים את הנקודות. A 7, 5 ; B 2, 5 :
הנקודה Cנמצאת על הישר. y x 5 :
C
y
נסמן את שיעור ה x -של הנקודה Cב . t -
א .הבע באמצעות tאת שיעור ה y -של הנקודה .C
x
ב .ידוע כי אורך הצלע ACהוא 17ס"מ.
x
A
.1הבע באמצעות tאת המרחקים של Cמ A-ומ .B-
.2מצא את tואת אורך הצלע .BC
ג .מסמנים נקודה Dעל המשך הצלע .ABידוע כי Dנמצאת ברביע השלישי.
מצא את שיעורי הנקודה Dהמקיימת ששטח המשולש DACיהיה גדול ב 16-
יחידות משטח המשולש .ABC
)36המשולש ABCהוא שווה שוקיים AB BC
ובו נתון B x, 6 , A 4,12 :ו-ו. C 4,8 -
א.
ב.
ג.
ד.
A
מצא את . x
הוכח כי המשולש הוא ישר זווית.
x
C
.1מצא את משוואת הצלע .AC
.2מסמנים את נקודת החיתוך של הצלע ACעם ציר ה y -ב.D-
מצא את שיעורי הנקודה .D
.1מצא נקודה Eברביע הראשון xE 5כך שהמשולש DCEיהיה גם
שווה שוקיים וישר זווית . C 90
S DCE
.2חשב את יחס השטחים בין המשולשים:
S ABC
.
)37באיור שלפניך נתונה מקבילית .ABCD
ידועים קדקודי המקבילית הבאים A 1, y :ו x ( . B x, 4 -ו y -נעלמים).
שיפוע הצלע CDהוא 0.2ואורכה הוא. dCD 104 :
א .מצא את xו y -אם ידוע כי Bברביע הראשון.
ב .נתון גם כי הקדקוד Cנמצא על ציר ה x -בחלקו החיובי
וכי . dBC 17 :מצא את שיעורי הקדקוד C
(מצא שתי אפשרויות).
ג .סמן את נקודת החיתוך של הצלע ABעם ציר
ה y -ב.E-שטח המרובע EOCBהוא 25.9יח"ש.
מצא את האפשרות הנכונה עבור הנקודה C
מבין אלו שמצאת בסעיף הקודם.
13
:תשובות סופיות
. B 1, 3 )2 D 18, 0 )1
.IV . ה.III . ד.I . ג.V . ב.II .) א3
1
8
3
8
. lBC : y x 6 . ב. lBD : y 3x 22 .) א5
. C 14,5 )7
.AB = יחידות אורך3 . ב. SDEF יח"ש18 .) א6
x1 x2 x3 y1 y2 y3
,
)10 . M 3, 3 )9 . P 2,1 )8
3
3
. יחידות אורך1.697 )11 .
. S ABC יח"ש2.5 )14 . 4,3 , 2 ,9 )13 .2 . ג.
3 3
2
. y 2 x 10 , y
4
3
2
4
x 6 )18
11
11
. y x 7 )21
2
. y 3x 4 )17 . 1, 4 )16
1
3
1
3
8
. ב.3 .) א12
10
. C 11,3 )15
3
4
. x 10 אוy 1 x 5 )20 . x 1 אוy x 2
. 2.1, 3.3 , S יח"ש14.4 )23
1
. P 2, 2 )26
2
. y 3x )25
3
)19
4
. 3x 4 y 28 0 , 3x 4 y 12 0 )22
2
3
2
3
2
3
. 3x 2 y 15 0 , y x 3 , y x 3 )24
. לא ניתן להצביע על אף תכונה. מרובע כללי כלשהו.) א27
. ניתן להראות כי יש למרובע שני זוגות צלעות נגדיות מקבילות ושוות וזווית ישרה. מלבן.ב
.S = יח"ש90 . ד. ניתן להראות כי קיימות זוג צלעות סמוכות שוות. ריבוע.ג
2
2
.) א28
3
3
קטע במשולש שחוצה אותו לשני משולשים- תיכון.1 . ב. y 2 x 22 .) א30
. y 8x . ב. B(12, 2) , C(2,16) .) א29 . 5,5 , 4,0 , 1,1 . ב. y x 1
. AD 5 , BC 10 .1 . ג. B(9, 4) , D(4, 4) .2 .שווי שטח הוא תיכון
משולש ישר זווית – אם במשולש יש תיכון לצלע ששווה למחציתה אז.2
.המשולש הוא ישר זווית
1
2
1
1
1
, CD : y x 5 . ב. D 5, 8 , A 5, 2 , E 1,0 .) א31
2
2
2
1
1
. AD : y x 3 , AC : y x 8 .) א32 . SDEC = יח"ש30 . ד. C 5, 3 .ג
3
3
. CE : y x
. B 4, 2 . ד. BE : y x 2 , BC : y 3x 10 . ג. A 7,1 .ב
. SBMC SDMC סמ"ר34 .ג
C 0.5, 7 . בy 4 x 5 .) א33
. dCF 72 , dAE 8 . ג. E(5,11) , F(3,9) . ב. dBD 200 , y x 6 .) א34
. AC 2t 2 14t 49 ; BC 2t 2 4t 4 .1 . ב. C t , t 5 .) א35 . SABCD 80 .ד
. D 20, 5 .ג
.
SDCE 1
.2 . E 2, 4 .1 .ד
SABC 2
. t 8 ; BC ס"מ10 .2
D 0,10 .2 y 0.5x 10 .1 . ג. x 2 .) א36
. C 8, 0 . ג. C 8,0 , C 10,0 . ב. x 9 ; y 2 .) א37
14
המעגל:
הגדרה:
המקום הגאומטרי של כל הנקודות ,הנמצאות במרחק קבוע מנקודה קבועה במישור
נקרא מעגל.
משוואת מעגל:
משוואת מעגל שמרכזו בנקודה M a, b ורדיוסו Rהיא. x a y b R2 :
2
2
משוואת מעגל קנוני:
משוואת מעגל קנוני (שמרכזו בראשית הצירים ) M 0, 0 ורדיוסו Rהיא. x y R :
2
2
2
משיק למעגל:
2
2
משוואת המשיק למעגל x a y b R2בנקודה A x1 , y1 שעליו
היא. x a x1 a y b y1 b R2 :
מיתר המחבר שתי נקודות השקה:
משוואת המיתר ,המחבר את שתי נקודות ההשקה של שני המשיקים
2
2
למעגל x a y b R2היוצאים מהנקודה A x1 , y1 שמחוץ
למעגל היא. x a x1 a y b y1 b R2 :
שאלות:
)1מצא את מרכזם ורדיוסם של המעגלים הבאים:
א.
. x 3 y 5 49
2
2
2
ב.
1
. x y 2 10
2
ג.
. x m y n m2 n 2
2
2
)2מצא את משוואתו של מעגל שעובר בנקודה A 4,5ומרכזו בנקודה . O 2, 1
)3מצא את משוואתו של מעגל שעובר בנקודה , A 11, 2 רדיוסו 13ומרכזו נמצא על
הישר . y 2 x 1
)4מצא את משוואתו של מעגל שהנקודות A 2,3ו B 4, 3 -הן קצות הקוטר שלו.
15
)5מצא את משוואתו של מעגל שמרכזו נמצא על הישר , x 4רדיוסו 10והוא חותך
מציר ה x -מיתר שאורכו .12
)6מצא את משוואת ו של מעגל החוסם משולש שקדקודיו
הם. A 22, 24 , B 10, 40 , C 30, 28 :
)7מצא את משוואתו של מעגל המשיק לשני הצירים ורדיוסו .4
)8מצא את משוואתו של מעגל שמשיק לציר ה y -ולישר y 6ומרכזו
על הישר y 3x 2ברביע הראשון.
)9מצא את משוואות המשיקים למעגל x 12 y 2 2 25בנקודות על המעגל
שבהן . y 5
)10נתון מעגל שמשוואתו . x 32 y 4 2 25
א .מצא את נקודות החיתוך של המעגל עם הצירים.
ב .העבירו קוטר במעגל ,המאונך לציר ה . x -מצא את שטח המרובע הנוצר על
ידי נקודות החיתוך שמצאת בסעיף א' ונקודת החיתוך של הקוטר עם
המעגל הנמצאת ברביע הראשון.
)11נתון ישר שמשוואתו . y 2 x 10הישר חותך את ציר ה x -בנקודה Aואת
ציר ה y -בנקודה .Bבנקודה Aמעבירים משיק למעגל שהקטע ABהוא קוטרו.
המשיק חותך את ציר ה y -בנקודה .Cמצא את אורך הקטע .BC
)12נתון ישר שמשוואתו . y xהישר חותך מעגל קנוני שמשוואתו x2 y 2 32בשתי
נקודות A ,ו , B -כאשר Aברביע הראשון .בנקודה Aעובר מעגל נוסף ,המשיק
למעגל הקנוני ובעל אותו רדיוס .מצא את משוואת המעגל הנוסף ואת משוואת
המשיק המשותף לשני המעגלים העובר בנקודה . A
)13בטרפז שווה שוקיים ABCDנתון כי הבסיס הגדול , DC ,מונח על הישר
3x y 9 0והשוק ADמונחת על הישר . x y 3 0
שיעורי קדקוד Bהם . 3, 8
מצא את משוואת המעגל החוסם את הטרפז . ABCD
16
)14מצא את מרכזם ורדיוסם של המעגלים הבאים:
בx 2 x y 20 y 1 0 .
אx2 10 x y 2 6 y 2 0 .
גx2 8x y 2 14 y 0 .
דx 2 y 2 2 y 0 .
2
3
הx 2 x y 2 3 0 .
4
ו.
2
x2 2mx y 2 6my m2 0
)15משוואתו של מעגל היא . x2 y 2 6mx 2 m 2 y 4m 4 0
מצא את ערכו של mאם ידוע שמרכז המעגל נמצא על הישר . y 2 x 7
)16משוואתו של מעגל היא . x2 y 2 8x 12 y 48 0
מצא את אורכו של המיתר שחותך הישר y 2 x 4מהמעגל בלי למצוא את
נקודות הקצה של המיתר.
)17מצא משוואת מעגל העובר בנקודה 1,8המשיק לשני הצירים.
)18מצא את אורך המשיק למעגל שמשוואתו x2 y 2 4 x 14 y 37 0היוצא
מהנקודה . A 10, 3
)19מצא את משוואת המשיק ואת משוואת הנורמל למעגל
שמשוואתו x2 y 2 4 x 6 y 3 0בנקודה . A 5, 4
)20מצא את נקודת החיתוך של המשיקים למעגל שמשוואתו
בנקודות שבהן . x 1
x 2 y 1 5
2
)21נתון מעגל שמרכזו בנקודה 2, 6 והוא עובר בראשית הצירים .המעגל חותך את
הצירים בשתי נקודות נוספות A ,ו . B -
א .הוכח כי המשיקים למעגל בנקודות Aו B -מקבילים זה לזה.
ב .הוכח את סעיף א' בל י למצוא את משוואות המשיקים או את שיפועיהם.
)22נתון המעגל x 12 y 32 20והישר . y 2 x m
לאלו ערכים של הפרמטר mהישר משיק למעגל ולאלו ערכים של mהישר חותך
את המעגל?
)23א .מצא את משוואת המיתר במעגל שמשוואתו , x2 y 2 2 x 19 0
המחבר את נקודות ההשקה של המשיקים היוצאים מהנקודה . A 3,8
ב .מצא את משוואת המיתר במעגל שמשוואתו , x2 y 12 5המחבר את
נקודות ההשקה של המשיקים היוצאים מהנקודה . A 5,1
17
)24נתון מעגל שמשוואתו x2 y 2 16 x 48 0ונקודה , Pשנמצאת על החלק החיובי
של ציר ה . y -הישר המחבר את נקודות ההשקה של המשיקים היוצאים למעגל
מנקודה Pחותך את ציר ה y -בנקודה . Qנתון. PQ 14 :
מצא את שיעורי הנקודה . Q
)25נתון מעגל שמשוואתו . x2 y 2 16 x 12 y 64 0המעגל משיק מבחוץ למעגל
קנוני .מצא את משוואת המעגל הקנוני ,את נקודת ההשקה בין המעגלים ואת
משוואת המשיק המשותף העובר בנקודה זו.
)26המעגלים x2 y 2 22 x 6 y mו x2 y 2 26 -נחתכים בזווית ישרה.
מצא את ערכו של . m
)27מצא את משווא תו של מעגל החוסם ריבוע ,שאחד מקדקודיו נמצא בראשית
הצירים ומשוואת אחד מאלכסוניו היא . 3x y 10 0
)28הישרים 9 y 11x 94 :ו y 3x 14 -נחתכים בנקודה .B
דרך נקודה זו עובר מעגל שמרכזו הוא. M 9,1 :
ידוע כי מעגל זה חותך את הישרים (חוץ מהנקודה )B
בשתי נקודות Aו( C-ראה איור).
א .מצא את שיעורי הנקודה .B
ב .מצא את משוואת המעגל.
ג .מצא את שיעורי הנקודה – Aנקודת החיתוך
של הישר שמשוואתו y 3x 14 :עם המעגל.
)29נתון מעגל המשיק לציר ה x -בנקודה .A
מהנקודה Eשעל ציר ה x -מעלים אנך המשיק למעגל בנקודה ( Bראה איור).
הקטע BCמקביל לציר ה x -ו O-היא נקודת ראשית הצירים.
יוצרים טרפז ישר זווית ABCOששטחו הוא 170סמ"ר.
ידוע כי C 0,10 :ו 10 -ס"מ . AE
א .1 .מצא את שיעורי הנקודה .B
.2מצא את שיעורי הנקודה .A
ב .כתוב את משוואת המעגל.
)30הנקודה ) A(17, 4נמצאת על המעגל שמשוואתו. ( x 7)2 ( y 4)2 R 2 :
הישר x 1חותך את המעגל בשתי נקודות Bו C-כך
ש B-נמצאת ברביע הרביעי .מעבירים את הקטע AD
המאונך לישר BCוידוע כי הנקודה Dהיא אמצע .BC
א .מצא את רדיוס המעגל.
ב .מצא את שיעורי הנקודות Bו.C-
ג .1 .חשב את מרחק הנקודה Aמהישרx 1 :
.2חשב את שטח המשולש .ABC
18
)31נתון משולש .ABCמשוואות הצלעות ABו BC-במשולש ABCהן
בהתאמה 2 y x 56 :ו . 8 y x 104 -מעבירים גבהים לצלעות ABוBC-
אשר נחתכים בנקודה ) M(0, 2שבתוך המשולש.
א .מצא את משוואות הגבהים.
ב .מצא את שיעורי הנקודה .B
ג .מצא את משוואת המעגל שמרכזו
בנקודה Mורדיוסו הוא הקטע .BM
)32באיור שלפניך מתואר המעגל. x 4 y 3 25 :
2
2
המעגל חותך את הצירים בנקודות B , Aו.O-
א .מצא את נקודות החיתוך של המעגל עם הצירים.
ב .מצא נקודה Cהנמצאת על היקף המעגל ברביע
הראשון כך שהמרובע ABCOיהיה מלבן.
ג .חשב את היקף המלבן.
)33המעגל a 0 , x a y 1 a 4 :חותך את ציר ה x -בנקודה שבה. x 1 :
2
2
א .מצא את . a
ב .מצא את נקודות החיתוך של המעגל הנתון עם המעגל. x 1 y 2 10 :
2
2
ג .כתוב את משוואת הישר העובר דרך נקודות החיתוך של שני המעגלים.
ד .חשב את שטח המשולש שיוצר הישר שמצאת בסעיף הקודם עם הצירים.
)34הנקודות Mו D-נמצאות על הישר. y 12 :
ידוע כי שיעור ה x -של הנקודה Mהוא 9וכי המרחק של הנקודה M
מראשית הצירים גדול ב 6 -מהמרחק בין הנקודות Dו( M-ראה איור).
בונים מעגל שמרכזו נמצא בנקודה Mורדיוסו והוא האורך .DM
א .1 .מצא את מרחק הנקודה Mמראשית הצירים.
M
D
.2מצא את שיעור ה x -של הנקודה .D
ב .כתוב את משוואת המעגל.
ג .האם המעגל הזה חותך את הצירים?
x
הראה חישוב מתאים לטענתך.
)35מעגל שמרכזו בנקודה M 15,12 משיק לציר ה y -
בנקודה Bוחותך את ציר ה x -בשתי נקודות AוC-
כמתואר באיור.
א .כתוב את משוואת המעגל.
19
y
y 12
מהנקודה Cמעלים אנך לציר ה x -שחותך את המעגל בנקודה נוספת .D
דרך הנקודה Dעובר משיק למעגל.
ב .מצא את שיעורי הנקודות Cו.D-
ג .מצא את משוואת המשיק למעגל בנקודה .D
)36באיור שלפניך נתון מעגל שמרכזו בנקודה .M
המעגל חותך את ציר ה y -בנקודות Aו.B-
y
מעבירים משיק למעגל 6 x 7 y 191 :דרך הנקודה . C 12,17 :
C
א .כתוב את משוואת הרדיוס .MC
ב .ידוע כי הנקודה Mנמצאת על הישר. y 10 :
x
.1מצא את שיעורי הנקודה .M
.2מצא את אורך רדיוס המעגל.
.3כתוב את משוואת המעגל.
ג .מצא את נקודות החיתוך של המעגל עם ציר ה. y -
ד .חשב את שטח המשולש .AMB
A
M
B
)37באיור שלפניך נתון מעגל שמרכזו בנקודה Mהנמצאת על ציר ה. x -
המעגל חותך את ציר ה x -בנקודה .Aמסמנים את ראשית הצירים ב.O-
ידוע כי Aהיא אמצע הקטע MOושיעוריה הם. A 5, 0 :
א.
ב.
ג.
ד.
מצא את משוואת המעגל.
כתוב את משוואת הישר שעובר דרך הנקודה A
ושיפועו הוא .0.5
מצא את נקודת החיתוך הנוספת של הישר
שמצאת עם המעגל.
סמן את הנקודה שמצאת בסעיף הקודם בB-
וחשב את שטח המשולש .AMB
)38באיור שלפניך נתון מעגל שמשוואתו היא. x 4 y 2 8 :
2
2
מסמנים את נקודות החיתוך של המעגל עם ציר ה x -ב A-ו( B-ראה איור).
א .מצא את שיעורי הנקודות Aו .B-
y
מעבירים אנך לציר ה y -מנקודת מרכז המעגל M
Q
A
ומסמנים את חיתוכם ב.P-
x
ב .מצא נקודה Qכך שהמרובע AMPQ
M
P
יהיה מקבילית .נמק.
ג .כתוב את משוואת הישר .PQ
ד .הוכח כי הישר שמצאת בסעיף הקודם משיק למעגל בנקודה . 2, 4
20
B
)39נתון מעגל שרדיוסו R 16 , Rומשיק לציר ה x -בנקודה שבה. x 16 :
א .הבע באמצעות Rאת משוואת המעגל וציין האם הוא חותך
את ציר ה y -או לא .נמק.
A
מהנקודה A 22,18שעל המעגל מעבירים משיק.
ב .מצא את Rוכתוב את משוואת המעגל.
ג .כתוב את משוואת המשיק למעגל בנקודה .A
x
ד .מצא את משוואת המשיק למעגל בנקודה B
שבה xB xM :אם ידוע כי הוא המאונך למשיק הקודם.
y
C
B
M
16, 0
ה .המשיקים נחתכים בנקודה .C
.1מצא את שיעורי הנקודה .C
.2מצא את שטח המשולש .ABC
)40באיור שלפניך נתון מעגל שמשוואתו a, x a y 1 5 :פרמטר.
2
2
ידוע כי המעגל חותך את ציר ה x -בנקודה. A 10,0 :
א.
ב.
ג.
ד.
ה.
מצא את aאם ידוע כי. a 10 :
מצא את הנקודה - Bנקודת החיתוך השנייה
C
M
של המעגל עם ציר ה. x -
x
B
A
כתוב את משוואת הקוטר העובר דרך
הנקודה Bומרכז המעגל .M
מצא את נקודת החיתוך השנייה של הקוטר עם המעגל.
מעבירים אנך מנקודת החיתוך שמצאת בסעיף הקודם לציר הy -
בנקודה .Dהנקודה Eהיא הנקודה בעלת שיעור ה y -הגדול ביותר על
המעגל .מחברים את הנקודות Eו D-כך שנוצר המחומש .DECBO
חשב את שטחו.
y
E
)41באיור שלפניך נתון מעגל שמשוואתו R, x 5 y 3 R2 :רדיוס המעגל.
ידוע כי המעגל עובר בראשית הצירים.
א .מצא את רדיוס המעגל וכתוב את משוואת המעגל.
ב .מצא את הנקודות Aו - B -החיתוך
של המעגל עם הצירים (ראה איור).
ג .מסמנים נקודה Cעל ציר ה x -כך
ש A-היא אמצע הקטע .CO
x
C
A
.1מצא את שיעורי הנקודה .C
.2חשב את שטח המשולש .ABC
2
21
D
O
2
y
B
O
:תשובות סופיות
. M m, n , R m2 n2 . גM 0.5,0 , R 10 . בM 3, 5 , R 7 .) א1
. M (3, 3) x 2 y 1 72 )2
2
2
. x 1 y 2 18 )4 . x 7.8 y 14.6 169 או x 1 y 3 169 )3
2
2
x 2 y 4
2
2
x 4 y 8
1360 )6
2
2
2
2
x 2 y 4
2
2
100 או x 4 y 8 100 )5
2
2
4 )8
2
. x 4 y 4 16 )7
2
2
. יח"ש27 . ב 0,0 , 6,0 , 0, 8 .) א10 4 x 3 y 27 - ו4 x 3 y 35 0 )9
. y x 8 , ( x 8)2 ( y 8)2 32 )12 . יחידות אורך12.5 )11
. ( x 1)2 ( y 4)2 20 )13
. M (4,7) , R 65 . ג. M (1, 10) , R 10 . ב. M (5, 3) , R 6 .) א14
. M m, 3m , R 3m . ו. M 0.5,0 , R 2 . ה. M 0, 1 , R 1 .ד
. ( x 13)2 ( y 13)2 169 ( אוx 5)2 ( y 5)2 25 )17 . 2 80 )16 . m 1 )15
. (5,1) )20 . x 3 y 7 0 : נורמל, y 3x 19 :) משיק19 . 8 )18
. x 1 . ב. x 4 y 11 0 .) א23 . 9 m 11 : חותך, m 9,11 :) משיק22
. x2 y 2 16 , A(3.2, 2.4) , 4 x 3 y 20 0 )25 . Q(0, 6) אוQ(0, 8) )24
. ( x 3)2 ( y 1)2 10 )27 . m 26 )26
. 4, 2 . ( גx 9)2 ( y 1)2 170 . ב 2,8 .) א28
. x 22 y 10 100 . ב. A 22, 0 .2 . B 12,10 .1 .) א29
2
2
. S 128 .2 d 16 .1 . ג. C(1,12) , B(1, 4) . ב. R 10 .) א30
. x2 ( y 2)2 900 . ג 24,16 . ב. y 8x 2 , y 2 x 2 .) א31
.S = יח"ש28 . גC 8, 6 . בO 0,0 , A 0,6 , B 8,0 .) א32
.S
1
. דy 2 x 1 . ג 0, 1 , 2,3 . בa 1 .) א33
4
. ( x 9)2 ( y 12)2 81 . ב. x 18 .2 d 15 .1 .) א34
אפס מתקבלת משוואהy - – כאשר מציבים בx - המעגל אינו חותך את ציר ה.ג
.(12,0) – בנקודה אחתx - המעגל חותך את ציר ה.ריבועית ללא פתרון
3
4
. y x 42 . ג. C 24,0 , D 24, 24 . ב. x 15 y 12 225 .) א35
2
22
2
7
6
; B 0,3 .ג
. x 6 y 10 85 .3 . 85 .2 . M 6,10 .1 . ב. y x 3 .) א36
2
2
. יח"ש42 .ד
A 0,17
. SAMB יח"ש10 . ד. B 13, 4 . ג. y 0.5x 2.5 . ב. x 10 y 2 25 .) א37
2
. y x 2 . ג. Q 2, 0 . ב. A 2,0 ; B 6,0 .) א38
. y - המעגל אינו חותך את ציר ה, x 16 y R R2 .) א39
2
y 43 x 5 13 .ד
y 34 x 34 12 .ג
x 16 y 10
2
2
2
100 , R 10 .ב
. יח"ש50 .2 . C 14, 24 .1 .ה
.10, 2 . ד. y 0.5x 3 . ג. B 6,0 . ב. a 8 .) א40
. SDECBO יח"ש11 5 5 .ה
2
2
. A 10,0 ; B 0,6 . ב. x 5 y 3 34 , R יחידות אורך34 .) א41
. SABC יח"ש30 .2 . C 20,0 .1 .ג
23
האליפסה:
הגדרה:
המקום הגאומטרי של כל הנקודות ,שסכום מרחקיהן משתי נקודות קבועות
במישור קבוע ,נקרא אליפסה .הנקודות הקבועות נקראות מוקדי האליפסה.
מושגים באליפסה:
.1הציר הגדול :הקטע שהאליפסה חותכת מציר ה( x -ראה איור).
.2הציר הקטן :הקטע שהאליפסה חותכת מציר ה( y -ראה איור).
.3מרכז האליפסה :מפגש צירי האליפסה (ראה איור).
באליפסה קנונית מרכז האליפסה נמצא בראשית הצירים.
.4מוקדי האליפסה :שתי נקודות קבועות שבעבורך סכום המרחקים מכל נקודה על
האליפסה הוא גודל קבוע השווה ל . 2a -המוקדים יסומנו ב F1 -ו F2 -ושיעוריהם
הם. F2 c,0 , F1 c,0 :
.5רדיוסי ווקטור :המרחקים של כל נקודה על האליפסה משני המוקדים.
cx
אורך הרדיוס מנקודה x, y שעל האליפסה למוקד הימני הוא:
a
cx
אורך הרדיוס מנקודה x, y שעל האליפסה למוקד הימני הוא. r2 a :
a
. r1 a
.6מיתר :קטע המחבר שתי נקודות שעל האליפסה.
.7קוטר :מיתר העובר דרך מרכז האליפסה.
משוואות וקשרים:
2
2
x
y
.8משוואת אליפסה קנונית היא 2 1 :
2
a
b
או. b2 x2 a 2 y 2 a 2b2 :
.9הקשר בין הפרמטרים של האליפסה הוא. a2 b2 c2 :
b2
.10מכפלת שיפועי מיתר באליפסה והקוטר החוצה אותו היא קבועה ושווה ל. 2 -
a
24
שאלות:
)1מצא את אורך צירי אליפסה שמשוואתה . x2 4 y 2 36
)2מצא את משוואתה של אליפסה שאורך צירה הגדול הוא 18ואורך
צירה הקטן הוא . 2 3
)3מצא את משוואתה של אליפסה שאורך צירה הגדול הוא 12
והמרחק בין מוקדיה . 8 2
)4מצא את משוואתה של אליפסה שאורך צירה הקטן הוא 8
והיא עוברת בנקודה . 3 3, 2
)5מצא את משוואתה של אליפסה שחסומה במעגל שמשוואתו
ומוקד אחד שלה הוא בנקודה . 10, 0
)6מצא את משוואתה של אליפסה שחותכת את ציר ה y -
x 2 y 2 16
בנקודה 0, 2 5
והמרחק בין המוקד הימני לקדקוד הימני בה הוא .2
)7מצא את משוואתה של אליפסה שעוברת בנקודות 2, 6 ו. 14,1 -
)8מצא על האליפסה 3x2 4 y 2 144את הנקודות שהפרש מרחקיהן
מהמוקדים הוא .4
)9מצא את משוואתה של אליפסה שעוברת בנקודה 3,1ומכפלת
המרחקים מנקודה זו למוקדים הוא .6
)10מצא על האליפסה x2 3 y 2 12את הנקודות שמהן רואים את הקטע
שבין שני המוקדים בזווית ישרה.
)11מצא את משוואתו של קוטר באליפסה x2 4 y 2 50ששיפועו חיובי ואורכו . 56
x2 y 2
)12נתונים האליפסה 1והישר . y 2 x kמצא לאלו ערכים של
30 24
הפרמטר kהישר משיק לאליפסה ולאלו ערכים של הפרמטר
חותך את האליפסה.
k
הישר
)13מצא את שטחו של ריבוע החסום באליפסה 3x2 5 y 2 120כך שצלעותיו
מקבילות לצירים.
25
)14מצא את שטחו של ריבוע החסום באליפסה
כך שצלעותיו מקבילות לצירים.
b2 x 2 a 2 y 2 a 2b2
)15באליפסה 5x2 9 y 2 90חסום מלבן שצלעותיו מקבילות לצירים.
מצא את שטח המלבן אם שתיים מצלעותיו עוברות במוקדי האליפסה.
)16באליפסה x2 5 y 2 16חסום משולש שווה צלעות כך שקדקוד אחד שלו הוא
הקדקוד הימני של האליפסה .מצא את שיעורי קדקודיו האחרים.
)17באלי פסה חסום משולש שווה צלעות כך שקדקוד אחד שלו הוא הקדקוד הימני של
האליפסה וק דקודיו האחרים הם נקודות החיתוך של האליפסה עם ציר ה . y -
מצא את משוואת האליפסה אם אחד ממוקדיה נמצא בנקודה . 4 2, 0
)18מצא באליפסה 2 x2 3 y 2 12משוואת מיתר שנקודת האמצע שלו היא . 1.5,1
)19ישר שמשוואתו x y 3 0חותך מאליפסה מיתר שאמצעו בנקודה . 2, 1
מצא את משוואת האליפסה אם ידוע שהיא עוברת בנקודה . 2 2, 2
x2
y2
)20נתונה המשוואה 1
a 2 a 2 25
. 0 a 5
א .1 .לאיזה ערך של aהמשוואה מייצגת מעגל?
.2לאלו ערכים של aהמשוואה מייצגת אליפסה?
ב .הוכח כי בעבור a 4אין אף נקודה על האליפסה שממנה רואים את
הקטע שבין המוקדים בזווית ישרה.
26
:תשובות סופיות
.
x2 y 2
1 )4
36 16
.
x2 y 2
1 )3
36 4
.
.
.S
x2 y 2
1 )7
16 8
x2 y 2
1 )9
12 4
. y 6 x )11
4a 2b2
)14
a 2 b2
. y x 2.5 )18
.
.
x2 y 2
1 )6
36 20
. 2a 12 , 2b 6 )1
.
x2 y 2
1 )5
16 6
. (4, 24) , (4, 24) , (4, 24) , (4, 24) )8
. ( 6, 2) , ( 6, 2) , ( 6, 2) , ( 6, 2) )10
. S יח"ש60 )13
.
x2 y 2
1 )2
81 3
x2 y 2
1 )17
48 16
. 12 k 12 : חותך, k 12 :) משיק12
. (1, 3) , (1, 3) )16
. a 12.5 .2 . a 12.5 .1 .) א20
27
. S יח"ש26
2
)15
3
x2 y 2
. 1 )19
16 8
הפרבולה:
הגדרה:
המקום הגאומטרי של כל הנקודות ,שמרחקן מנקודה קבועה שווה למרחקן מישר
קבוע נקרא פרבולה .הנקודה הקבועה נקראת מוקד הפרבולה והישר הקבוע נקרא
מדריך הפרבולה.
מושגים בפרבולה:
.1מוקד :נקודה קבועה שמרחק כל נקודה על הפרבולה ממנה שווה
למרחק הנקודה מהמדריך.
.2מדריך :ישר קבוע שמרחק כל נקודה על הפרבולה אליו שווה
למרחק הנקודה מהמוקד.
.3קדקוד הפרבולה :ראשית הצירים.
p
.4רדיוס :מרחק בין המוקד לנקודה שעל הפרבולה:
2
.r x
.5מיתר :קטע המחבר בין שתי נקודות על הפרבולה.
.6קוטר (לא בחומר) :ישר המקביל לציר הסימטריה של הפרבולה
(ציר ה x -אצלנו).
משוואת הפרבולה:
.7משוואת הפרבולה הקנונית היא y 2 2 px :כאשר pהוא פרמטר הפרבולה.
משיק לפרבולה:
.8משוואת המשיק לפרבולה y 2 2 pxבנקודה A x0 , y0 שעליה
היא. y y0 p x x0 :
.9שיפוע המשיק לפרבולה y 2 2 pxבנקודה A x0 , y0 שעליה הוא. m p :
y0
28
מיתר המחבר שתי נקודות השקה:
.10משוואת המיתר ,המחבר את שתי נקודות ההשקה של שני המשיקים
לפרבולה y 2 2 pxהיוצאים מהנקודה A x0 , y0 שמחוץ לפרבולה
היא. y y0 p x x0 :
תיאורים גרפיים:
פרבולה שמשוואתה : y 2 2 px
פרבולה שמשוואתה : y 2 2 px
29
שאלות:
)1נתונה הפרבולה . y 2 18 xמצא מהו הפרמטר ,המוקד והמדריך שלה.
)2
מצא את משוואתה של פרבולה שהישר x 3
הוא המדריך שלה.
)3מצא את משוואתה של פרבולה שהמרחק בין המוקד שלה למדריך שלה הוא .5
)4מצא את משוואתה של פרבולה שעוברת בנקודה . 9, 6
)5מצא את משוואתה של פרבולה שמוקדה מתלכד עם המוקד הימני
של האליפסה . x2 2 y 2 18
)6מצא נקודות על הפרבולה y 2 6 xשמרחקן מהמוקד הוא .4
)7מצא נקודות על הפרבולה y 2 8xשמרחקן מהמוקד שווה למרחקן מהקדקוד.
)8מצא נקודות על הפרבולה y 2 2 pxשמרחקן מהמוקד שווה למרחקן מהקדקוד.
)9מצא את שטחו של משולש שווה צלעות שקדקוד אחד שלו נמצא בראשית הצירים
ושני קדקודיו האחרים מונחים על הפרבולה . y 2 10 x
)10הבע באמצעות pאת שטחו של משולש שווה צלעות שקדקוד אחד שלו נמצא
בראשית הצירים ושני קדקודיו האחרים מונחים על הפרבולה . y 2 2 px
)11נתונה הפרבולה . y 2 2 pxהבע באמצעות pאת שטחו של משולש שווה צלעות
שקדקוד אחד שלו מונח על ציר ה , x -וקדקודיו האחרים מונחים על מדריך
הפרבולה אם ידוע שמפגש תיכוני המשולש הוא מוקד הפרבולה.
)12את נקודה Aשעל הפרבולה y 2 20 xחיברו עם המוקד Fוגם העבירו ממנה
אנך למדריך .היקף הטרפז ,שבסיסיו הם האנך והקטע על ציר ה x -שבין מוקד
הפרבולה למדריך שלה ,שוק אחת שלו היא AFוהשוק השנייה שלו מונחת על
המדריך ,הוא . 27.5חשב את שטח הטרפז.
)13קצות מיתר בפרבולה y 2 4 xהם Aו . B -מצא את שיעורי הנקודה Bאם ידוע
שהמיתר עובר במוקד הפרבולה ושערך ה x -של נקודה Aהוא . 4
)14מצא משוואת מיתר בפרבולה , y 2 16 xשעובר בראשית הצירים ומרחקו מהמוקד
8
הוא
5
.
30
)15מצא משוואת מיתר בפרבולה , y 2 2 xשאמצעו בנקודה . 1 ,
4 2
1 1
)16נתונה הפרבולה y 2 4 xוהישר , y 2 x kלאיזה ערך של
לפרבולה?
k
הישר משיק
)17נתונה הפרבולה . y 2 6 x
1
2
א .מצא את משוואות המשיקים לפרבולה בנקודות שבהן . x 1
ב .הוכח שנקודת החיתוך של הנורמלים בנקודות אלה נמצאת על ציר ה . x -
)18הנקודות Aו B -נמצאות על הפרבולה . y 2 12 xנתון כי . y A 4מצא את שיעורי
נקודה Bאם ידוע שהמשיקים לפרבולה בנקודות הנתונות יוצרים זווית ישרה.
)19נקודה Aנמצאת על הפרבולה y 2 28xברביע הרביעי .אורך הנורמל לפרבולה
מנקודה Aעד לציר ה x -הוא . 7 5מצא את משוואת הנורמל.
)20מרחק המוקד של הפרבולה y 2 8xממשיק לה ששיפועו חיובי הוא . 8
מצא את משוואת המשיק.
)21נתונה הפרבולה . y 2 2 pxהבע באמצעות pאת שיעורי הנקודה שעל
הפרבולה ברביע הראשון ,שמרחק המשיק בה ממוקד הפרבולה הוא . p
I . y 2 6 x , II . y 2 12 x
)22נתונות שתי פרבולות:
ישר שעובר בראשית הצירים חותך את הפרבולות בנקודות Aו . B -
הראה כי המשיקים בנקודות Aו B -מקבילים.
)23נתונה הפרבולה y 2 14 xוהנקודה , 1, 3ממנה יוצאים שני משיקים לפרבולה.
מצא את משוואת המיתר המחבר בין נקודות ההשקה.
)24נתונה הפרבולה y 2 18xונקודה ברביע השלישי ,ששיעור ה x -שלה קטן ב1 -
משיעור ה y -שלה .מהנקודה יוצאים שני משיקים לפרבולה .המיתר המחבר בין
נקודות ההשקה יוצר עם הצירים משולש ששטחו .18
מצא את משוואת המיתר.
)25מצא את משוואתו של מעגל שמרכזו במוקד הפרבולה y 2 24 xוהוא משיק
למדריך שלה.
)26מצא את משוואתו של מעגל שמרכזו בנקודה 8, 0 והוא משיק לפרבולה
בשתי נקודות.
31
y 2 10 x
)27נתונה הפרבולה y 2 2 pxומעגל שמרכזו על ציר ה x -והוא משיק לפרבולה
מבפנים בשתי נקוד ות .הישר המחבר בין נקודות ההשקה יוצר עם המשיקים
בנקודות אלה משולש שווה צלעות .הבע באמצעות pאת משוואת המעגל.
)28הנקודה A 2,3נמצאת על פרבולה .מצא את משוואתו של מעגל שמשיק לפרבולה
בנקודה Aומשיק לציר ה . y -
)29נתונה הפרבולה y 2 2 pxשבה . p 4
הישר x 2חותך את הפרבולה בנקודות Aו . B -מצא את שיעורי קדקוד C
של משולש ABCשמוקד הפרבולה הוא מפגש האנכים האמצעיים בו.
)30אליפסה שמשוואתה x2 4 y 2 16חותכת את הפרבולה y 2 2 pxבשתי נקודות.
המרובע שקדקודיו הם נקודות החיתוך ,מרכז האליפסה וקדקודה הימני של
האליפסה הוא מעוין .מצא את משוואת הפרבולה.
תשובות סופיות:
1
2
. y 2 12 x )5 . y 2 4 x )4 . y 2 10 x )3 . y 2 12 x )2 . p 9, F (4 , 0) )1
1
1
p
p
p
) , ( ,
) )8 . (1, 8) , (1, 8) )7 . (2 , 15) , (2 , 15) )6
2
2
4
2
2
300 3 )9יח"ש 12 3p 2 )10 . SOAB יח"ש 3 3p 2 )11 . S ABO יח"ש . S ABC
1
1
5
40 )12יח"ש B( , 1) )13 . S ABCF או ) y 2 x )14 . B( ,1או . y 2 x
4
4
8
3
1
1
1
)17 . k )16 . y 2 x 2 )15א. B(6 , 9) )18 . y x 1 , y x 1 .
4
2
2
2
3
1
7
. 7 x 3 y 7 0 )23 . A( p, 3 p) )21 . y x 2 )20 . y x 7 )19
2
2
8
2
2
2
2
. ( x 8) y 55 )26 . ( x 6) y 144 )25 . y 9 x 18 )24
1
25
1
. C ( p 2,0) )29 . ( x 1 )2 ( y 4)2
)28 . ( x 2 p)2 y 2 4 p 2 )27
4
16
2
1
. y 2 1 x )30
2
p
4
.( ,
32
מקומות גאומטריים:
הגדרה:
מקום גאומטרי הוא אוסף נקודות בעלות תכונה מסוימת.
מקום גאומטרי הוא משוואה המקשרת בין xל. y -
טכניקות מרכזיות במציאת מקומות גיאומטריים:
בשאלות של מקום גאומטרי נפוץ השימוש בדברים הבאים:
.1שיפועים:
שיפועי ישרים מקבילים (שווים זה לזה).
שיפועי ישרים מאונכים (מכפלתם היא .)- 1
שלוש נקודות שעל אותו ישר שומרות על אותו שיפוע.
.2משפט פיתגורס.
.3אמצע קטע /חלוקת קטע ביחס נתון.
.4משיק למעגל – המשיק מאונך לרדיוס – רמז לשימוש במשפט פיתגורס.
.5קטע מרכזים:
במעגלים המשיקים מבחוץ – סכום הרדיוסים.
במעגלים המשיקים מבפנים – הפרש הרדיוסים.
.6משפטים מגאומטריה (תאלס ,משפט חוצה הזווית ,דמיון משולשים)
.7אם נתונה משוואה בשאלה – ניתן להשתמש בה על ידי הצבת נקודה
שעליה במשוואה.
33
שאלות:
)1מצא את המקום הגאומטרי של כל הנקודות שמרחקן מהנקודה A 7, 6
שווה למרחקן מהנקודה . B 9, 2
)2מצא את המקום הגאומטרי של כל הנקודות שמרחקן מהנקודה A 3, 6
גדול פי 3ממרחקן מהנקודה . B 1,10
)3מצא את המקום הגאומטרי של כל הנקודות שמרחקן מהנקודה 1, 0
קטן פי 3ממרחקן מהישר . x 9
)4מצא את המקום הגאומטרי של מרכזי כל המעגלים שעוברים בנקודה 6, 0
ומשיקים לישר . x 6
)5נתונים שני ישרים I . 3x y 6 0 , II . 2 x 6 y 1 0 :מצא את המקום
הגאומטרי של כל הנקודות שמרחקן מישר Iגדול פי 4ממרחקן מישר . II
)6מצא את המקום הגאומטרי של מרכזי כל המעגלים שמשיקים לציר ה y -
ומשיקים מבפנים למעגל קנוני שרדיוסו .4מהן ההגבלות?
)7מצא את המקום הגאומטרי של אמצעי כל הקטעים ,המחברים את
הנקודה 4, 10 עם נקודות על הישר . y 6 x 2
)8נתון מעגל שמשוואתו . x2 y 2 12 x 16 y 0מצא את המקום הגאומטרי
של אמצעי כל המיתרים במעגל שעוברים בראשית הצירים.
)9נתון מעגל שמשוואתו . x2 y 2 36הכפילו את שיעורי ה y -של כל הנקודות
2
3
על המעגל ב . -מצא את המקום הגאומטרי שמתקבל באופן הזה.
)10נתונות הנקודות A 2, 0 ו . B 10, 0 -מצא את המקום הגאומטרי של מרכזי
הכובד של כל המשולשים ABCאם ידוע שקדקוד Cמונח על הישר . y 3x 12
מהי ההגבלה?
)11נתון המעגל . x2 y 2 4 x 10 y 11 0מצא את המקום הגאומטרי של כל
הנקודות שאורך המשיק מהן למעגל שווה למרחקן מהנקודה . 7, 2
)12מצא את המקום הגאומטרי של כל הנקודות שמהן רואים את
המעגל x 22 y 12 9בזווית של .120o
34
)13מצא את המקום הגאומטרי של כל הנקודות שמהן רואים את המעגל
x a 2 y b 2 R2בזווית של . 60o
)14נתון מעגל שמרכזו Mומשוואתו . x2 y 2 12 x 64 0מנקודה Aשעל המעגל
העבירו אנך לציר ה x -שחותך את ציר ה x -בנקודה Bוהמשכו חותך את המעגל
בנקודה . Cבנקודה Bהעבירו מקביל לישר AMובנקודה Cהעבירו מקביל
לציר ה . x -המקביל ל AM -והמקביל לציר ה x -נפגשים בנקודה . Dמצא את
המקום הגאומטרי של נקודה . Dמהן ההגבלות?
x2 y 2
)15האליפסה 1
16 9
החיובי של ציר ה y -בנקודה . Bמנקודה Cשעל ציר ה x -בין OלA -
( Oראשית הצירים) העלו אנך לציר ה x -שחותך את הישר ABבנקודה . D
חותכת את חלקו החיובי של ציר ה x -בנקודה Aואת חלקו
מצא את המקום הגאומטרי של נקודת מפגש הישרים
BC
ו . OD -
)16נתון מעגל קנוני שרדיוסו .3מנקודה Aשעל המעגל הורידו אנך לציר ה x -שחותך
את ציר ה x -בנקודה . Cנסמן ב B -את אמצע הקטע . ACמנקודה Cהעבירו
מקביל ל O ( AO -ראשית הצירים) .מצא את המקום הגאומטרי של מפגש
הישרים BOוהמקביל ל. AO -
)17נתונות הנקודות A 4, 0 ו . B 2, 0 -מצא את המקום הגאומטרי של כל הנקודות
Cכך שהקטע O ( COראשית הצירים) הוא חוצה זווית Cבמשולש . ABC
)18נתון מעגל קנוני שרדיוסו . Rאת נקודה Aשעל המעגל חיברו עם ראשית הצירים
ועל הקטע O ( AOראשית הצירים) סימנו נקודה Bכך שמתקיים . AB : BO a : b
מנקודה Aהעבירו אנך לציר ה x -ומנקודה Bהעבירו אנך לציר ה . y -
א .מצא את המקום הגאומטרי של מפגש האנכים הללו.
ב .המקום הגאומטרי שמצאת בסעיף א' חותך את ציר ה y -בנקודות Pו. Q -
מצא את אורך הקטע . PQ
תשובות סופיות:
1
1
x2 y 2
1 )3 . ( x 1 )2 ( y 12)2 38 )2 . y 2 x )1
2
4
9
8
2
. y 6 x 16 )7 . y 16 8x , 4 x, y 4 )6 . x 11y 4 0 , 7 x 13 y 8 0 )5
. y 2 24 x )4 .
2
2
1
3
x
y
. y 3x 7 )11 . y 3x 16 , x 5 )10 . 1 )9 . ( x 3)2 ( y 4)2 25 )8
36 16
. x 6, 10 y 10 )14 . ( x a) ( y b)2 4R2 )13 . ( x 2)2 ( y 1)2 12 )12
2
x2 y 2
1 )16 . 3x 8 y 12 0 , 0 x 4 , 0 y 3 )15
36 9
2bR
. PQ
)18א . b2 x2 (a b)2 y 2 R2b2 .ב.
ab
35
. ( x 4)2 y 2 16 )17 .
תרגילי הוכחה:
)1הנקודה Pנמצאת על המעגל . x2 y 2 R2בנקודה Pמעבירים משיק למעגל
שחותך את הישרים x Rו x R -בנקודות Aו . B -הוכח. yA yB R2 :
)2הנקודה Pנמצאת על המעגל , x2 y 2 R2שחותך את ציר ה y -בנקודות
A 0, R ו . B 0, R -בנקודה Pמעבירים משיק למעגל שחותך את הישר y R
בנקודה . Tהוכח. OT BP :
)3הנקודה Pנמצאת על האליפסה , b2 x2 a 2 y 2 a 2b2ש F1 -ו F2 -הם מוקדיה.
הוכח O ( PO2 PF1 PF2 a2 b2 :ראשית הצירים).
)4הנקודה Pנמצאת על האליפסה , b2 x 2 a 2 y 2 a 2b2שקדקודה הימני הוא A
וקדקודה השמאלי הוא . Bהישר APחותך את הישר x aבנקודה K
והישר BPחותך את הישר x aבנקודה . Lהוכח. yK yL 4b2 :
)5הנקודה Pנמצאת על האליפסה . b2 x2 a 2 y 2 a 2b2
הוכח :היחס בין ריבוע אורך האנך ,היורד מנקודה Pלציר הגדול ,ובין מכפלת
שני קטעי הציר הגדול שמשני צידי האנך הוא גודל קבוע.
)6הנקודה Pנמצאת על האליפסה , b2 x2 a 2 y 2 a 2b2שקדקודה הימני הוא , A
קדקודה השמאלי הוא Bומוקדה הימני הוא . F1הישר APחותך את
a2
a2
BP
M
x בנקודה . N
חותך את הישר
והישר
x בנקודה
הישר
c
c
הוכח. MF1 N 90o :
)7נתונה האליפסה . b2 x2 a 2 y 2 a 2b2
b2
הוכח כי מכפלת שיפועי מיתר וקוטר החוצה אותו היא
a2
.
)8בפרבולה y 2 2 pxמעבירים נורמל.
הוכח כי היטלו של הנורמל על ציר ה x -הוא גודל קבוע.
)9בפרבולה y 2 2 pxמעבירים משיקים משתי נקודות שעליה A ,ו . B -
המשיקים נפגשים בנקודה . Cהוכח. yA yB 2 yC :
)10בנקודה , Aשעל הפרבולה y 2 2 pxמעבירים משיק לפרבולה שחותך את המדריך
שלה בנקודה . Bממוקד הפרבולה מעלים אנך לציר ה x -שחותך את המשיק
בנקודה . Cהוכח - F ( FB FC :מוקד הפרבולה).
)11בפרבולה y 2 2 pxמעבירים מיתר ,החותך את הפרבולה בנקודות Aו. B -
המיתר חותך את ציר ה x -בנקודה . Cהוכח. xA xB xC 2 :
36
תרגול מבגרויות:
)1נתון מעגל שמשוואתו x2 y 2 4 x 6 y 887
בנקודה A 20, 21שעל המעגל העבירו משיק למעגל.
נקודה Cנמצאת על קוטר המעגל AB
1
3
כך ש . AC AB -
נקודה Eנמצאת על המשיק ,ונקודה Pנמצאת
על הקטע ECכך ש ( CE=5CP -ראה ציור).
א .מצא את שיעורי הנקודה .C
ב .הבע את השיעורים של הנקודה Eבאמצעות השיעורים
של הנקודה ,Pומצא את משוואת המקום הגיאומטרי
של כל הנקודות Pהנוצרות באופן שתואר.
)2נתונות הנקודות A 0, 0 וE 3,6 -
נקודה Bנמצאת על המשך AEכך
ש( AB=AC -ראה ציור) ,ושטח המשולש CAE
גדול פי 3משטח המשולש .CEB
א .מצא את שיעורי הקדקוד .B
ב .נקודה Pנמצאת על המשך BCכך ש .PC=2BC -
מצא את משוואת המקום הגאומטרי של הנקודות Pהנוצרות באופן זה.
ג .הנקודה 4, 40 נמצאת על המקום הגיאומטרי שאת משוואתו מצאת בסעיף ב.
מצא עבור נקודה זו את משוואת האנך ל BC-העובר דרך .C
)3נתון מעגל ,שמרכזו Mנמצא ברביע רביעי.
המעגל משיק לציר ה . y -
במקבילית ABCDהצלע DCמשיקה למעגל זה
בנקודה ,Dכמתואר בציור.
נתון . A 3,5 , B 7,8 :רדיוס המעגל הוא .5
שטח המקבילית ABCDהוא .13
א .מצא את משוואת הישר .DC
ב .מצא את השיעורים של הנקודה שבה המעגל
משיק לציר ה . y -
37
)4נקודה Eנמצאת על אליפסה שמשוואתה . x2 4 y 2 36
האליפסה חותכת את ציר ה x -בנקודות Aו.B -
א .מצא את משוואת העקום שעליו נמצא המקום הגיאומטרי של
מפגשי התיכונים במשולש .ABE
ב .הנקודות 2, y נמצאות על המקום הגיאומטרי שאת משוואתו מצאת
בסעיף א .חיברו נקודות אלו עם הנקודות Aו ,B -ונוצר מצולע.
מצא את שטח המצולע.
ג .האליפסה הנתונה התקבלה ממעגל על ידי הכפלת שיעורי ה y -של כל אחת
מהנקודות על המעגל בקבוע ,בלי לשנות את שיעורי ה x -שלהן.
( )1מהי משוואת המעגל?
( )2האם למעגל ולמקום הגיאומטרי שמצאת בסעיף א יש נקודות חיתוך? נמק.
x2
y2
)5נתונה המשוואה 1
a 2 a 2 16
א .עבור אילו ערכים של aמייצגת המשוואה:
.a 0 ,a 4 ,
( )1אליפסה?
( )2מעגל?
ב .ידוע כי המשוואה הנתונה מייצגת אליפסה.
באליפסה חסומים :עיגול הנוגע באליפסה
בנקודות החיתוך שלה עם ציר ה, y -
וריבוע שצלעותיו מקבילות לצירים (ראה ציור).
היחס בין שטח העיגול החסום לבין שטח
4
הריבוע החסום הוא
9
.מצא את הערך של . a 2
הערה :פתרון סעיף ב אינו תלוי בפתרון סעיף א.
A )6ו B -הן נקודות כלשהן על
הפרבולה p 0 , y 2 2 px
כך שהמיתר ABמקביל לציר
ה . y -ישר ,המשיק לפרבולה
בנקודה ,Aחותך בנקודה C
את הישר שעובר דרך הנקודה B
ומקביל לציר ה( x -ראה ציור).
א )1( .הבע באמצעות pאת משוואת המקום הגיאומטרי של הנקודות Cהנוצרות
באופן שתואר.
( ) 2סרטט במערכת צירים סקיצה של המקום הגיאומטרי שאת משוואתו מצאת.
ב .נתון כי שיעור ה y -של נקודה ,Cהנמצאת על המקום הגיאומטרי שאת
משוואתו מצאת ,הוא . y 2 p
חשב במקרה זה את הזווית שבין המשיק לפרבולה ,CA ,ובין ציר ה . x -
38
1
)7נתון משולש ABCששטחו
2
קדקודי המשולש Bו C -מונחים על הישר . y x 1
שיעורי הקדקוד Aהם . 12,3
.12
1
Pהיא נקודת החיתוך של התיכונים במשולש .שיעור ה y -של Pהוא
2
א .מצא את השיעורים של שני הקדקודים האחרים במשולש .ABC
ב .מעבירים ישר המקביל לצלע ,BCוחותך את הצלעות האחרות (ולא את
המשכיהן) בנקודות Dו .E -האורך של DEהוא . 8
מצא את משוואת הישר .DE
.5
)8נתונה הפרבולה . y 2 2 x
ישר המשיק לפרבולה בנקודה Aנפגש
בנקודה Eעם ישר המשיק לפרבולה
בנקודה A( .Bברביע הראשון ו B -ברביע הרביעי).
דרך הנקודה Aהעבירו ישר החותך את
המשך EBבנקודה Cכך ש,CE=EB -
כמתואר בציור.
א .הראה כי . yE yA yB xA xB
ב .הראה כי CAמקביל לציר ה. x -
x2 y 2
)9האליפסה 1
a 2 b2
בנקודות Aו ,A' -ואת ציר ה y -היא חותכת
בנקודות Bו ,B' -כמתואר בציור.
5
א .נתון כי הישר y xמאונך לישר ,A'B
4
והמרחק בין הנקודה Bלאחד המוקדים של
האליפסה הוא .5
חותכת את ציר ה y -
מצא את משוואת האליפסה.
ב F1 .ו F2 -הם המוקדים של האליפסה E .היא נקודה על
האליפסה .מצא את ההיקף של המשולש .EF1F2
ג .מקרבים את מוקדי האליפסה זה לזה לאורך ציר ה . x -
נוצרת אליפסה קנונית חדשה העוברת גם היא דרך הנקודות Aו ,A' -ומוקדיה
הם ' F1ו E' . F2' -היא נקודה על האליפסה החדשה כך ש E'E -מקביל לציר ה . y -
הגובה לצלע ' F1' F2במשולש E'F'1 F'2גדול פי k 1 kמהגובה לצלע F1F2
במשולש . EF1F2
( )1הבע באמצעות kאת משוואת האליפסה החדשה.
( )2עבור איזה ערך של kהמוקדים ' F1ו F2' -יתלכדו לנקודה אחת
בראשית הצירים? נמק.
39
)10במשולש ABCמשוואת הצלע ABהיא , y x 1ומשוואת הצלע ACהיא . y x 3
הנקודה D 6,3נמצאת על הצלע .BC
BD 1
נתון כי
DC 3
.
א .מצא את משוואת המעגל החוסם את המשולש .ABC
ב .הנקודה D 6,3נמצאת על הפרבולה . y 2 2 px
ישר המשיק לפרבולה בנקודה Dנפגש בנקודה Fעם ישר העובר דרך Cכך
ש .FD=FC -מצא את שטח המשולש .FDC
)11במשולש ישר זווית ABCנתון, C 4, 2 , ACB 90 :
משוואת היתר ABהיא , 2 x y 3 0
שיעור ה x -של קדקוד Aגדול משיעור ה x -של קדקוד .B
א .מצא את השיעורים של קדקוד Aואת השיעורים של קדקוד ,Bשעבורם ניצבי
המשולש ABCמקבילים לצירים.
ב .נתון כי ניצבי המשולש ABCאינם מקבילים לצירים ,אך אורך היתר שלו זהה
לאורך היתר במשולש שבסעיף א.
מצא את השיעורים של קדקוד Aואת השיעורים של קדקוד Bבמקרה זה.
x2 y 2
)12נתונה האליפסה 1
a 2 b2
F1ו F2 -הם מוקדי האליפסה וקדקודיה
הם.B1 ,B ,A1 ,A :
נתון כי המוקד F1הוא אמצע הקטע .AF2
( a b ,ראה ציור).
דרך מרכז האליפסה ושניים מקדקודיה
העבירו מעגל .נתון כי קוטר המעגל . 17
א .מצא את משוואת האליפסה.
ב .העבירו עוד שלושה מעגלים אחרים דרך מרכז האליפסה
ושניים מקדקודיה .המרכזים של ארבעת המעגלים הם
קדקודים של מרובע.
המרובע הנמצא במישור x, y הוא בסיס של פירמידה שקדקודה הוא . S 0,3, 4
מצא את נפח הפירמידה.
40
)13שני מעגלים שמרכזיהם נמצאים ברביע השני ,משיקים
לציר ה y -בנקודות A 0,1ו. B 0,3 -
המעגלים משיקים זה לזה בנקודה ( Mראה ציור).
א .המשיק המשותף לשני המעגלים חותך את ציר ה y -
בנקודה .C
1
2
הראה כי . MC= AB
ב ) 1( .מצא את משוואת המקום הגיאומטרי של נקודות
ההשקה Mהנוצרות באופן שתואר.
( )2מהי הצורה של המקום הגיאומטרי של הנקודות ,M
ובאיזה רביע/רביעים הוא נמצא?
ג .המדריך של הפרבולה y 2 2 pxמשיק למקום הגיאומטרי שאת משוואתו
מצאת בסעיף ב.
מצא את השיעורים של הנקודות על הפרבולה שמרחקן מהמוקד שלה הוא .10
)14נתונות הנקודות. A 0,6 , B -8,0 :
דרך הנקודה Eשעל הקטע ABמעבירים ישר
המקביל לציר ה ( x -הנקודה Eשונה מ A-ומ.)B-
הישר חותך את ציר ה y -בנקודה .C
הישר BCחותך את הישר OEבנקודה .P
– Oראשית הצירים (ראה ציור).
א .הראה כי המקום הגיאומטרי שעליו
נמצאות הנקודות Pהנוצרות באופן שתואר,
נמצא על קו ישר.
ב .הנקודה P0נמצאת על המקום הגיאומטרי שמצאת בסעיף א ,כך שהנקודה E
היא מרכז המעגל החוסם את המשולש .ABOמצא את שטח המשולש . AP0O
)15הנקודות C x1 , y1 ו D x2 , y2 -נמצאות ברביע הראשון על הפרבולה . y 2 4 x
4
א )1( .הראה כי שיפוע המיתר CDהוא
y2 y1
.m
( )2הנקודה x,3היא אמצע המיתר .CD
מצא את . m
ב .נתון כי מרחק כל נקודה על הפרבולה הנתונה מהישר x aשווה למרחקה
מהנקודה . 1, 0
מרחק הנקודה Cמהישר x 2aהוא .6
( )1מהו הערך של ? aנמק.
( )2מצא את משוואת הישר .CD
41
)16ענה על הסעיפים הבאים:
א .מצא את המשוואה של המקום הגאומטרי של הנקודות ,שהמרחק של כל אחת מהן
מהישר , 5x 12 y 13 0הוא .3
ב .מהי משוואת המקום הגיאומטרי של מרכזי המעגלים המשיקים בשתי נקודות
למקום הגיאומטרי שמצאת בסעיף א?
ג .האם ציר ה y -יכול להשיק בנקודה 0, 0 לאחד המעגלים שבסעיף ב? נמק.
)17נקודה Aנמצאת ברביע הראשון על
הפרבולה שמשוואתה . y3 3x
ישר המשיק לפרבולה בנקודה B
מקביל למיתר – O( OAראשית הצירים).
דרך הנקודה Aהעבירו ישר המקביל לציר
ה . x -הישר חותך את המשיק בנקודה C
(ראה ציור).
נסמן - xC :שיעור ה x -של הנקודה .C
- xAשיעור ה x -של הנקודה .A
היעזר בעובדה שהנקודה Cנמצאת על הפרבולה שמשוואתה y 2 4 xוענה על
הסעיפים א ,ב ו-ג.
א .הבע באמצעות xCו. xA -
ב .הבע באמצעות xCאת השיפוע של הישר .OA
ג .נתון גם כי שטח המשולש BCAהוא .0.5625מצא את השיעורים של הנקודה .C
42
:תשובות סופיות
. y 0.7 x 16 , E 5s 32,5t 20 . ב. C 8,5 .) א1
2
2
. y 8 . ג. x 8 y 16 720 . ב. B 4,8 .) א2
. 0, 3 . ב. CD : y 0.75x 0.5 .) א3
2
x
.) אין נקודות חיתוך2( x2 y 2 36 )1( . ג. סמ"ר6 2 . ב. y 2 1 .) א4
4
. a 2 9 . ב. a 2 2 )2( . 0 a 4 , a 2 2 )1( .) א5
2
3
1 1
. y x 1 . ב 4 ,5 , 7,8 .) א7
2 2
. 26.565 . ב.) בצד2( y 2 px )1( .) א6
.k
5
x2
y2
x2 y 2
1
1 .) א9
)2(
)
1
(
.ג
16
.ב
4
25 16
25 16k 2
.36 . ב x 6 y 1 16 .) א10
2
2
. B 1.6, 0.2 , A 3.1, 3.2 . בB 2.5, 2 , A 4, 5 .) א11
x2 y 2
. 8 2 .ב
1 .) א12
9
8
. ברביע השניx y 2 1 ) קשת המעגל2( x y 2 1 )1( .) א13
2
2
2
2
. 9, 6 , 9, 6 .ג
. יח"ר8 .) ב14
2
1
2
)2( a 1 )1( . בm )2( .) א15
3
3
3
. לא. ג5x 12 y 13 0 . ב5x 12 y 52 0 , 5x 12 y 26 0 .) א16
. y x 1
4
1.5
1
. C 2 ,3 .ג
. בxA xC .) א17
4
43
xC
3
פרק - 2טריגונומטריה במרחב:
הגדרות יסודיות:
N
הגדרה :ישר המאונך לכל הישרים במישור העוברים
דרך עקבו נקרא אנך למישור.
באיור הסמוך הישר ONמאונך לישרים AO, BO COשעל המישור.
משפט :אם ישר מאונך לשני ישרים במישור העוברים
N
דרך עקבו אזי הוא מאונך למישור כולו.
באיור הסמוך הישר ONמאונך לישרים AO, COשעל המישור
ולכן מאונך למישור כולו.
משפט :בכל נקודה במישור אפשר להעלות אנך אחד בלבד.
משפט :מנקודה שמחוץ למישור אפשר להוריד אנך אחד בלבד למישור זה.
משפט :שני אנכים למישור אחד הם מקבילים.
באיור הסמוך ניתן לראות כי שני אנכים הם מקבילים.
הגדרה :ישר החותך מישור ואינו מאונך למישור זה נקרא משופע למישור.
הקטע המחבר את עקב האנך עם עקב המשופע נקרא היטל
המשופע על המישור.
באיור הסמוך הקטע ACהוא אנך למישור AB ,Pהוא משופע למישור
ו BC-הוא היטל המשופע.
הגדרה :אורך אנך המורד מנקודה שמחוץ למישור אל המישור נקרא
מרחק הנקודה מהמישור.
הגדרה :זווית בין ישר ומישור היא הזווית שבין הישר (המשופע)
ובין היטלו של הישר על המישור.
באיור הסמוך הזווית שבין הישר המשופע ABלבין המישור Pהיא. ABC :
הגדרה :שני מישורים שאינם נחתכים נקראים מישורים מקבילים.
הגדרה :אורך האנך המורד מנקודה שעל פ ני מישור אחד אל מישור המקביל לו
נקרא המרחק בין המישורים.
44
הגדרה :שני מישורים נחתכים יוצרים צורה גיאומטרית הנקראת פינה.
ישר החיתוך של שני המישורים נקרא מקצוע ,והמישורים היוצרים
את הפינה נקראים פאות.
B
באיור הסמוך הקטע ABהוא ישר החיתוך של שני
המישורים P1ו P2-הנקרא מקצוע.
P1
A
הצורות הסגורות של המישורים נקראות פאות וכל הצורה נקראת פינה.
שאלות יסודיות – סימון זוויות במרחב:
הערה :הגדרות מדויקות של הצורות המרחביות תופענּה בהמשך הפרק.
)1במנסרה ' ABCA'B'Cשבסיסה משולש שווה
שוקיים AB AC הנקודה Dהיא אמצע
המקצוע .BCסמן את הזווית בין הישר A'D
לבין הבסיס .ABC
)2נתונה תיבה ' .ABCDA'B'C'Dסמן את הזווית בין
האלכסון ' BDלבין הבסיס .ABCD
)3נתונה תיבה '( ABCDA'B'C'Dראה איור).
סמן את הזווית בין האלכסון ' ACלבין הפאה .D'C'CD
)4נתונה תיבה ' .ABCDA'B'C'Dסמן את הזוויות בין:
א .האלכסון B'Dלבין הפאה .B'C'CB
ב .האלכסון B'Dלבין הפאה .D'C'CD
SABCD )5היא פירמידה ישרה שבסיסה מלבן (ראה איור).
סמן את הזווית בין המקצוע SBלבין הבסיס .ABCD
SABC )6היא פירמידה ישרה שבסיסה משולש
שווה שוקיים . AB AC
סמן את הזווית בין המקצוע SAלבין הבסיס .ABC
תשובות סופיות:
A'DA )1
D'BD )2
AC'D )3
)4אDB'C .
45
בB'DC' .
SBE )5
. SAO )6
תזכורת – הגדרות טריגונומטריות במישור:
הגדרות הפונקציות הטריגונומטריות:
הניצב שמול הזווית
היתר
הניצב שליד הזווית
היתר
הניצב שמול הזווית
הניצב שליד הזווית
משפט פיתגורס. a2 b2 c2 :
משפט הסינוסים:
הגדרה:
במשולש ,צלע חלקי סינוס הזווית שמולה הוא גודל קבוע
והוא שווה לפעמיים רדיוס המעגל החוסם.
a
b
c
בצורה מתמטית 2 R :
sin sin sin
.
משפט הקוסינוסים:
c2 a 2 b2 2ab cos
או
a 2 b2 c 2
. cos
2ab
שטחים של משולשים ומרובעים:
a h ab sin a 2 sin sin
שטח משולש ניתן לחישוב ע"י:
2
2
2sin
k k sin
.S 1 2
שטח מרובע ניתן לחישוב ע"י אלכסוניו:
2
46
. S
התיבה והקובייה:
הגדרה:
גוף מרחבי הבנוי משני מלבנים זהים מקבילים במרחב ( ABCDו)A'B'C'D'-
הקרויים בסיסי התיבה .כל מקצוע צדדי (')AA' , BB' , CC' , DD
נקרא גובה התיבה .המקצועות הצדדיים שווים זה לזה
ומאונכים למישורי הבסיס של התיבה.
'D
'C
'A
'B
D
C
B
נוסחאות:
הנוסחה
S a b
V a b h
M 2h a b
P 2h a b 2ab
d a 2 b2 h2
A
תיאור מילולי
שטח בסיס התיבה
נפח התיבה
שטח מעטפת התיבה
שטח פנים
אלכסון ראשי בתיבה
.1תיבה שבסיסה ריבוע :תיבה שבסיסיה הם ריבועים.
מתקיים a b :בכל הנוסחאות.
.2קובייה :אם בסיסי התיבה הם ריבועים וגובה התיבה שווה לאורך מקצוע
הבסיס ,דהיינו a b h :אזי התיבה נקראת קובייה.
תיבה שבסיסה ריבוע:
)1בתיבה ' ABCDA'B'C'Dשבסיסה ריבוע ,אורך אלכסון הבסיס ACהוא 15.2ס"מ.
אורך המקצוע הצדדי ' AAהוא 10ס"מ.
'D
'C
א .חשב אורך מקצוע הבסיס.
ב .חשב נפח התיבה ושטח הפנים.
'A
'B
ג .חשב את ' ,BCאלכסון הפאה ,BB'C'Cואת
אלכסון התיבה '.AC
D
C
ד .חשב את זווית , AC'Bשבין האלכסון 'BC
בפאה BB'C'Cלבין אלכסון התיבה '.AC
B
47
A
)2נתונה תיבה ' ABCDA'BC'Dשבסיסה
ריבוע .אורך האלכסון ' ADשל הפאה הצדדית
' ADD'Aהוא 16.8ס"מ .הזווית שנוצרת בין שני
האלכסונים ' ADו AB' -היא בת . 58
א .חשב את אורך אלכסון הבסיס.B'D' ,
ב .חשב את אורך מקצוע הבסיס .AB
ג .חשב את גובה התיבה '.AA
ד .חשב את נפח התיבה.
'C
'D
'B
D
C
'D
D
C
B
הוא ריבוע .אורך האלכסון של הפאה הצדדית
הוא 10ס"מ .הזווית שבין אלכסוני
הפאות הצדדיות היא בת . 48
א .חשב את אורך האלכסון של הבסיס
העליון ' . B ' D
ב .חשב את שטח הבסיס של התיבה.
)5בתיבה ריבועית ' ABCDA'B'C'Dמעבירים את האלכסונים ' B'DוA'C'-
במישור הבסיס העליון .האלכסונים נפגשים בנקודה Oכך שנוצר
המשולש .BODנתון כי BOD 23 :וכי אורך מקצוע הבסיס
48
'A
'B
)4בתיבה ' ,ABCDA'B'C'Dשבסיסה ABCD
של התיבה הוא 6ס"מ.
א .חשב את היקף המשולש .BOD
ב .חשב את הזווית שנוצרת בין הצלע ODשל
המשולש BODומישור הפאה .AA'D'D
A
B
'C
)3נתונה תיבה ' ABCDA'BC'Dשבסיסה ריבוע.
אורך אלכסון הבסיס BDהוא 16ס"מ ונפח
התיבה הוא 1408סמ"ק .חשב:
א .גובה התיבה '.DD
ב .הזווית שבין אלכסון התיבה ' BDלבסיס .ABCD
ג .אורך מקצוע הבסיס .AB
'A
A
)6בתיבה ' ABCDA'B'C'Dשבסיסה ריבוע מעבירים את
האלכסונים ' ACו .B'D-האלכסונים נחתכים בנקודה Oשבתוך התיבה.
מהנקודה Oמעבירים את הקטע OEכך ש E-היא אמצע
המקצוע .ADידוע כי אורך מקצוע הבסיס של התיבה
הוא 8ס"מ ואורך אלכסון התיבה הוא 12ס"מ.
א .מצא את אורך גובה התיבה.
ב .מצא את אורך הקטע .OE
)7בתיבה ריבועית וישרה ' ABCDA'B'C'Dמסמנים את אורך הגובה ב. h -
מעבירים את הקטעים ' AC , ABו B'C-כך שנוצר
המשולש AB'Cכמתואר באיור .הזווית הנוצרת בין אנך
לצלע ACבמשולש AB'Cומישור הבסיס ABCDהיא .
א .הבע באמצעות hו -את אורך מקצוע
הבסיס של התיבה.
ב .הבע באמצעות hו -את נפח התיבה.
)8בתיבה הריבועית ' ABCDA'B'C'Dשלפניך מעבירים את אלכסון הבסיס
העליון ' .B'Dהנקודות Eו F-נמצאות על אמצעי המקצועות ' A'BוB'C'-
כך שהקטע EFחותך את האלכסון' B'Dבנקודה .O
מקצים נקודה נוספת – - Gהנמצאת על הגובה 'DD
כך ש . DG a :מעבירים את הקטעים GOו DO-כך
שנוצר המשולש .DOGאורך מקצוע הבסיס
הוא kוגובה התיבה הוא . h
א .הבע באמצעות kו a -את שטח המשולש .DOG
ב.
a
מצא את היחס:
h
עבורו מתקיים. SDOG SD'OG :
)9בתיבה ' ABCDA'B'C'Dהבסיס ABCDהוא ריבוע .גובה התיבה הוא . h
נתון. A'DC' :
1
2h sin
א .הראה כי אורך הצלע בבסיס התיבה הוא 2 :
.
cos
ב .לאלו ערכים של יש פתרון לבעיה?
49
תיבה שבסיסה מלבן:
'B
'C
)10בתיבה ' ABCDA'B'C'Dנתון:
7ס"מ 12 , AA' ס"מ 8 , AD ס"מ . AB
חשב את אורך האלכסון ' BDואת הזווית
בינו לבין בסיס התיבה.
'D
'A
B
C
A
D
)11בתיבה שלפניך אורכי צלעות הבסיס הם:
12ס"מ = 5 , ABס"מ = .BCהזווית בין 'BC
אלכסון הפאה ,BB'C'C ,לבסיס ABCDהיא . 40
'B
א .חשב את גובה התיבה '.CC
C
ב .חשב את אורך אלכסון הבסיס.AC ,
ג.
חשב את הזווית בין אלכסון התיבה ' ACלבסיס B .ABCD
ד .חשב את אורך אלכסון התיבה 'AC
ה .חשב את נפח התיבה.
ו .חשב את שטח מעטפת התיבה.
'C
'D
'C
)12נתונה תיבה '.ABCDA'B'C'D
אורך צלע הבסיס 9 :ס"מ . AB
אלכסון הפאה BB'C'Cהוא 15 :ס"מ . BC'
חשב את הזווית בין ' ,BCאלכסון
הפאה ,BB'C'Cלאלכסון התיבה '.AC
50
D
A
'D
'A
'B
C
D
A
B
'A
'B
D
C
8
ס"מ
65°
B
6ס"מ
A
'D
'C
C
'D
'C
)13נתונה תיבה ' ,ABCDA'B'C'Dבה מתקיים:
8ס"מ 6 , AD ס"מ . AB
הזווית בין אלכסון התיבה ' ACלבסיס ABCDהיא בת . 65
א .חשב את גובה התיבה '.CC
ב .חשב את נפח התיבה ושטח הפנים שלה.
)14נתונה תיבה ' ABCDA'B'C'Dשבסיסה
מלבן .גובה התיבה ' AAהוא 7.4ס"מ.
אורך אלכסון הפאה 13ס"מ . BC'
הזווית בין אלכסון הפאה A'Bלבסיס ABCD
היא בת . 37
א .חשב את אורכי צלעות הבסיס.
ב .חשב את שטח המעטפת ושטח
הפנים של התיבה.
'A
13
ס"מ
'A
'B
D
7.4
ס"מ
B
A
)15בתיבה ' ABCDA'B'C'Dנתון:
6.2ס"מ = 8 , BCס"מ = 10 , ABס"מ = ' .AAחשב:
א .אלכסון הבסיס ,AC :אלכסון הפאהAD' :
ואלכסון התיבה.AC' :
ב .חשב את הזווית בין ' ,ADאלכסון
הפאה ' ,ADD'Aלאלכסון התיבה '. D'AC' :AC
ג .חשב את נפח התיבה ושטח המעטפת.
)16נתונה תיבה ' 12 .ABCDA'B'C'Dס"מ . AB
אורך אלכסון הבסיס BDהוא 15ס"מ.
נפח התיבה הוא 864סמ"ק .חשב את:
א .רוחב הבסיס של התיבה.BC ,
C
ב .גובה התיבה.AA' ,
ג .הזווית בין אלכסון התיבה ' BDלבסיסה .ABCD
5ב
'C
)18בתיבה '( ABCDA'B'C'Dראה ציור) נתון:
12ס"מ 10 , AB ס"מ . AD הזווית שבין
אלכסון הפאה ' ABלבין הבסיס ABCD
היא בת . 35
א .חשב את גובה התיבה '.BB
ב .חשב את ' ,ADאלכסון הפאה '.ADD'A
ג .חשב את הזווית שבין ' ADלבין הבסיס .ABCD
)19נתונה תיבה ' ABCDA'B'C'Dשבסיסה מלבן
(ראה ציור) .אורך גובה התיבה ' AAהוא 10ס"מ.
א .אורך ' ,ABאלכסון הפאה ' ABB'Aהוא 14ס"מ.
חשב את אורך המקצוע .AB
ב .הזווית שבין ' ,ADאלכסון הפאה ',ADD'A
לבין הבסיס ABCDהיא בת . 40
חשב את נפח התיבה.
ג .חשב את שטח מעטפת התיבה.
51
'A
'B
D
C
10
ס"מ
6.2
ס"מ
B
8ס"מ
A
'D
'C
)17בתיבה '( ABCDA'B'C'Dראה ציור) ,נתון:
12ס"מ 8 , AD ס"מ 14 , DC ס"מ . CC'
א .חשב את האורך של אלכסון הבסיס.AC ,
ב .חשב את הזווית שבין אלכסון התיבה 'AC
לבין הבסיס .ABCD
ג .חשב את שטח המעטפת של התיבה.
ד .חשב את שטח הפנים של התיבה.
'D
'A
'B
D
B
A
)20נתונה תיבה ' ABCDA'B'C'Dשבה
10ס"מ 12 , AB ס"מ ( AD ראה ציור).
הזווית שבין אלכסון התיבהAC' ,
לבין הבסיס ABCDהיא בת . 38
א .חשב את אלכסון הבסיס.
ב .חשב את גובה התיבה.
ג .חשב את שטח פני התיבה.
)21נתונה תיבה '( ABCDA'B'C'Dראו סרטוט)
שבה 10 :ס"מ 12 , AB ס"מ 8 , AD ס"מ . AA'
א .חשב את אורך ,A'Dאלכסון
הפאה '.ADD'A
ב .חשב את אורך האלכסון של התיבה .B'D
)22נתונה תיבה ' ABCDA'B'C'Dשבסיסה מלבן.
מעבירים את האלכסונים BDו BD'-כך שמתקיים. DBD' ABD :
אורך האלכסון BDיסומן ב . a -
א .הבע באמצעות aו -את:
.1אורך התיבה – .AB
.2רוחב התיבה – .AD
.3גובה התיבה – '.AA
3
ב .מצא את אם ידוע כי נפח התיבה הוא . 0.64a
)23בתיבה ' ABCDA'B'C'Dשבסיסה מלבן מעבירים את האלכסון ' B'Dבבסיס
העליון .מאמצע האלכסון Mמעבירים את הקטעים DMו BM-כך שנוצר
המשולש ישר הזווית .BMD BMD 90
אורך מקצוע הבסיס ABהוא 5aואורך
הקטע DMהוא . 4a
א .הבע באמצעות aאת אורך המקצוע .AD
ב .מעבירים את הקטע .AMחשב את זווית .MAD
ג .מצא את aאם ידוע כי שטח המשולש MAD
הוא 125סמ"ר (עגל למספר שלם).
)24בתיבה ' ABCDA'B'C'Dנתון . BD' m :הזווית שבין האלכסון ' BDלבסיס
ABCDהיא והזווית שבין האלכסון ' BDלפאה צדדית ' ABB'Aהיא .
הבע באמצעות , mו -את נפח התיבה.
52
קובייה:
'C
)25בקובייה ' ABCDA'B'C'Dאורך המקצוע הוא 8ס"מ.
הנקודה Oהיא מפגש אלכסוני הבסיס התחתון.
מצא את הזווית שבין ' OAלפאה '.ABB'A
'D
'A
'B
D
C
O
B
)26נתונה קובייה '.ABCDA'B'C'D
מעבירים את האלכסון ' A'Cבבסיס העליון.
מהנקודה Eשעל האלכסון ' A'Cמותחים
את הקטע CEהשווה באורכו לקטע .A'E
כמו כן מורידים גובה EFממישור הבסיס העליון '.A'B'C'D
( EFמאונך ל .)A'C'-הנקודה Fנמצאת על האלכסון הראשי .A'C
נסמן . A'F m , A'CE :הבע באמצעות ו m -את נפח הקובייה.
)27נתונה קובייה ' .ABCDA'B'C'Dמעבירים את האלכסונים ' A'Cו B'D'-בבסיס
העליון ומסמנים ב E-את פגישתם .מהנקודה Eמעבירים את
הקטעים AE, BE, CEוDE-
כך שנוצרת הצורה המרחבית .ABCDE
א .איזו צורה היא ?ABCDEנמק.
ב .חשב את הזווית שנוצרת בין הקטע AE
ומישור הפאה .AA'D'D
ג .חשב את הנפח הכלוא בתוך הקובייה ומחוץ
לצורה ABCDEאם ידוע כי שטח הפנים של הקובייה הוא 384סמ"ר.
53
A
מנסרה ישרה:
הגדרה:
גוף מרחבי הבנוי משני מצולעים זהים המקבילים זה לזה במרחב .המקצועות
הצדדיים המחברים את קדקודי הבסיסים המתאימים נקראים גובהי המנסרה.
כל גובה במנסרה ישרה מאונך למישורי הבסיס העליון והתחתון.
במסגרת שאלון 807נעסוק במנסרות הבאות:
א .מנסרה שבסיסה משולש שווה צלעות.
ב .מנסרה שבסיסה משולש שווה שוקיים.
ג .מנסרה שבסיסה משולש ישר זווית.
הערה :התיבה וקובייה הן מקרים פרטיים של מנסרות ישרות שבסיסן
מלבן וריבוע בהתאמה.
מנסרה שבסיסה משולש שווה צלעות:
)28במנסרה משולשת וישרה ' ABCA'B'Cשבסיסה משולש שווה
צלעות מעבירים את האלכסונים ' ABו AC'-כך שנוצר המשולש
' .AB'Cהזווית שבין האנך לצלע BCבמשולש ABC
והאנך לצלע ' B'Cבמשולש ' AB'Cהיא . 40
אורך גובה המנסרה הוא 14ס"מ.
א .חשב את שטח המשולש '.A'B'C
ב .חשב את נפח המנסרה.
)29במנסרה משולשת וישרה ' ABCA'B'Cשבסיסה משולש שווה צלעות מעבירים
בבסיס העליון ' A'B'Cאת התיכונים B'E , A'DוC'F-
אשר נחתכים בנקודה .Mמהנקודה Mמעבירים את
הקטעים MCו MB-כך שנוצר המשולש .MCB
גובה המנסרה שווה באורכו למקצוע בסיס המנסרה.
חשב את הזווית שבין האנך לצלע BC
במשולש MCBלמישור הבסיס .ABC
54
)30במנסרה משולשת וישרה ' ABCA'B'Cשבסיסה משולש שווה צלעות הנקודות E
ו F-הן בהתאמה אמצעי המקצועות ' A'Bו .A'C'-מעבירים את הקטעים AE
ו ,AF-כך שנוצר המשולש .AEFאורך מקצוע הבסיס של
המנסרה הוא 10ס"מ וגובה המנסרה הוא 12ס"מ.
א .חשב את אורכי הצלעות של המשולש .AEF
ב .חשב את הזווית שבין גובה המנסרה 'AA
למישור המשולש .AEF
)31במנסרה משולשת וישרה ' ABCA'B'Cשבסיסה משולש שווה צלעות מעבירים
בבסיס העליון ' A'B'Cאת התיכונים B'E , A'Dו C'F-אשר נחתכים ב.M-
מהנקודה Mמעבירים את הקטעים MAו MB-כך שנוצר המשולש .MAB
גובה המנסרה שווה באורכו למקצוע בסיס המנסרה ויסומן ב. 2a -
א .הבע באמצעות aאת אורך הקטע .MA
ב .חשב את הזווית שבין הקטע MAומישור
הבסיס .ABC
ג .חשב את הזווית שבין הגובה למקצוע AB
במישור MABלבין מישור הבסיס .ABC
ד .חשב את הזווית שבין MAוהפאה .AA'B'B
ה .הבע באמצעות aאת שטח הפנים של המנסרה.
מנסרה שבסיסה משולש שווה שוקיים:
)32נתונה מנסרה משולשת וישרה ' ABCA'B'Cשבסיסה הוא משולש שווה
שוקיים . AC BC מאמצעי המקצועות ' A'Bו AB-מעבירים את הקטע .EF
ידוע כי אורך מקצוע הבסיס ABהוא kס"מ והוא קטן
פי 2מאורך שוק הבסיס . ACנסמן. FCE :
א .הבע באמצעות kו -את נפח המנסרה.
ב .חשב את נפח המנסרה אם ידוע כי, 2EF CE :
וכי שטח הבסיס ABCהוא 15סמ"ר.
)33במנסרה משולשת וישרה ' ABCA'B'Cשבסיסה הוא משולש שווה שוקיים
AC BC מעבירים את האלכסונים ' ABו CB'-כך שנוצר המשולש .AB'C
ידוע כי הזווית שבין אנך למקצוע ACבמשולש ABC
ואנך למקצוע ACבמשולש AB'Cהיא 45
(האנכים נפגשים על המקצוע ACבנקודה .)Eזוויות
הבסיס ABCהן. ACB 30 , ABC CAB 75 :
גובה המנסרה הוא 5ס"מ.
א .מצא את אורך המקצוע .AC
ב .חשב את הזווית שבין האלכסון ' CBלמישור הבסיס.
55
)34נתונה מנסרה ' ABCA'B'Cשבה הבסיס הוא משולש שווה שוקיים , AC BC
אורך השוק היא kוזווית הראש היא . הזווית שבין המישור ABCלמישור 'ABC
היא . הבע באמצעות , kו -את נפח המנסרה.
מנסרה שבסיסה משולש ישר זווית:
)35במנסרה ' ABCA'B'Cשבסיסה הוא משולש ישר זווית ABC 90
הנקודות F ,Eו G-הן בהתאמה אמצעי המקצועות ' A'C' ,B'CוAB-
כמתואר באיור .מסמנים את מידות הבסיס . AB 5t , BC 12t :ABC
הזווית שבין הקטע GEלמישור הבסיס ABCהיא. 36.86 :
א .הבע באמצעות tאת גובה המנסרה.
ב .חשב את הזווית שבין הקטע GF
ולמישור הבסיס .ABC
ג .מצא את tאם ידוע כי אורך הקטע GF
הוא 3825 :ס"מ.
)36א .הוכח את הטענה :תיכון במשולש חוצה אותו לשני
משולשים שווי שטח.
כלומר ,הקטע ADהוא תיכון במשולש .ABC
הראה כי. SABD SACD :
במנסרה ' ABCA'B'Cשבסיסה הוא משולש ישר זווית ABC 90
הנקודות Fו G-מחלקות את מקצוע הבסיס BCלשלושה חלקים שווים.
הנקודה Eהיא אמצע המקצוע ' .B'Cידוע כי אורך הקטע EFהוא 10ס"מ
ואורך המקצוע BCהוא 24ס"מ .שטח המשולש AFGהוא 40סמ"ר.
ב .איזה משולש הוא המשולש ?EFGמצא את זוויותיו.
ג .מצא את גובה המנסרה.
ד .היעזר בטענה שהוכחת בסעיף א' ומצא את
אורך המקצוע ( .ABרמז :התבונן במשולש ABF
ומצא את הצלע ABבאמצעות שטחו).
ה .חשב את שטח המעטפת של המנסרה.
56
)37לפניך מנסרה ישרה שבסיסה משולש ישר זווית . ABC 90
ידוע כי הפאה הצדדית AA'B'Bהיא ריבוע וכי אורך המקצוע BC
גדול פי 3מ .AB-הנקודות Eו G-נמצאות על אמצעי
המקצועות ' B'Cו AB-בהתאמה.
מעבירים את הקטעים A'E ,A'Gו.GE-
א .חשב את הזווית הנוצרת בין הקטע GE
ומישור הבסיס.
ב .חשב את הזווית הנוצרת בין הקטע GE
ומישור הפאה .AA'B'B
ג .נתון כי . EGA' 69 :חשב את זווית .EA'G
פירמידה ישרה:
הגדרה:
גוף מרחבי הבנוי ממצולע כלשהו ,המהווה את בסיס הפירמידה ,ומקצועות היוצאים
מכל קדקודי המצולע ונפגשים בנקודה אחת הנקראת קדקוד הפירמידה .בפירמידה
ישרה כל המקצועות שווים.
במסגרת שאלון 807נעסוק בפירמידות הישרות הבאות:
א.
ב.
ג.
ד.
ה.
פירמידה שבסיסה מלבן.
פירמידה שבסיסה ריבוע.
פירמידה שבסיסה משולש שווה צלעות.
פירמידה שבסיסה משולש שווה שוקיים.
פירמידה שבסיסה משולש ישר זווית.
קדקוד הפירמידה
קדקוד הפירמידה
מישור
הבסיס
הגדרה :גובה הפירמידה הוא קטע היוצא מקדקוד הראש של הפירמידה
ומאונך למישור הבסיס.
משפט :בפירמידה ישרה ,ג ובה הפירמידה תמיד נופל בנקודת מרכז המעגל
החוסם את מצולע הבסיס.
57
מישור
הבסיס
באיורים הבאים מופיע חתך מישורי של בסיסי הפירמיד ות ובו מסומנת נקודת מרכז
המעגל החוסם את המצולעים.
S h
נפח פירמידה :נפח פירמידה ששטח בסיסה הוא Sוגובהה hהוא:
3
פירמידה שבסיסה ריבוע:
.V
S
)38נתונה פירמידה מרובעת משוכללת
(הבסיס הוא ריבוע) .SABCDאורך מקצוע
הבסיס הוא 25ס"מ .הזווית בין מקצוע
צדדי לבסיס היא זווית בת . 35
א .חשב את אלכסון הבסיס.
ב .חשב את גובה הפירמידה.
ג .סמן נקודה Eכאמצע BCוחשב את הזווית
שבין SEלבסיס הפירמידה.
)39נתונה פירמידה מרובעת משוכללת .SABCD
אורך מקצוע הבסיס הוא 12ס"מ.
אורך מקצוע צדדי הוא 20ס"מ.
א .חשב אורך גובה של פאה צדדית.
ב .חשב את שטח הפנים של הפירמידה.
ג .חשב זווית בין מקצוע צדדי לבסיס.
58
D
C
25
ס"מ
O
A
B
S
D
C
25
ס"מ
O
B
A
)40נתונה פירמידה ישרה SABCDשבסיסה ריבוע בעל אורך צלע . aאורך מקצועות
הפירמידה הוא . 3aמעבירים את האלכסון ACועליו מסמנים את הנקודה E
.
CE 1
המחלקת אותו ביחס של 1:3
AE 3
מהקדקוד Sמעבירים את הקטע .SE
א .הבע באמצעות aאת גובה הפירמידה.
ב .חשב את הזווית הנוצרת בין הקטע SE
לגובה הפירמידה.
ג .מצא את aאם ידוע כי שטח המעטפת של הפירמידה
הוא 560 :סמ"ר.
)41נתונו ת שתי פירמידות ריבועיות ישרות SABCD :ו.S'A'B'C'D'-
אורך מקצוע הבסיס בפירמידה הראשונה הוא aוגובהה הוא . 2a
אורך מקצוע הבסיס בפירמידה השנייה הוא 2aוגובהה הוא . a
א .קבע לאיזו פירמידה יש נפח גדול יותר.
ב .כעת משנים את הגובה של כל פירמידה כך שנפחן
יהיה זהה והוא . a 3 :מצא את יחס בין המקצוע
הצדדי של הפירמידה SABCDלמקצוע הצדדי
של הפירמידה '.S'A'B'C'D
ג .דנה טוענת כי מאחר שנפח שתי הפירמידות
זהה ,הרי גם שטח הפנים שלהן זהה.
האם דנה צודקת?
הוכח את טענתך באמצעות חישוב מתאים.
)42נתונה פירמידה מרובעת משוכללת וישרה.
אורכו של מקצוע הבסיס הוא 10ס"מ ואורכו של המקצוע הצדדי הוא 16ס"מ.
חשב את:
א .הזווית שבין המקצוע הצדדי והבסיס.
ב .גובה הפירמידה.
ג .הזווית שבין הפאה הצדדית והבסיס.
ד .נפח הפירמידה.
ה .שטח הפנים של הפירמידה.
)43נתונה פירמידה מרובעת ,משוכללת וישרה .אורך מקצוע הבסיס הוא bוהזווית
שבין המקצוע הצדדי לבסיס היא . הבע באמצעות bו -את נפח הפירמידה
ואת שטח המעטפת שלה.
59
)44נתונה פירמידה מרובעת ,משוכללת וישרה .אורכו של מקצוע הבסיס הוא a
והזווית שבין שתי פאות צדדיות סמוכות היא . זווית הבסיס של פאה צדדית
היא . הבע באמצעות את . sin
)45נתונה פירמידה מרובעת ,משוכללת וישרה .הזווית שבין שני מקצועות צדדיים
סמוכים היא 2והזווית שבין שני מקצועות צדדיים נגדיים היא . 2
sin
1
הוכח:
sin
2
.
)46נתונה פירמידה מרובעת ,משוכללת וישרה .גובה הפירמידה הוא hוהזווית שבין
שתי פאות צדדיות היא .
הראה כי מקצוע הבסיס של הפירמידה הוא 2 cos :
2
)47בקובייה ' ABCDA'B'C'Dחסומה פירמידה SABCDשבה
כל המקצועות שווים .בסיס הפירמידה מונח על בסיס
הקובייה .מצא את גודל הזווית שבין המקצוע הצדדי של
הפירמידה לפאה צדדית של הקובייה ,שלהם
קדקוד משותף.
h
.
cos
'B
'C
'A
'D
S
B
C
D
פירמידה שבסיסה מלבן:
A
S
)48נתונה פירמידה מרובעת וישרה SABCD
שבסיסה מלבן .אורכי צלעות הבסיס הם:
12ס"מ = 5 ,ABס"מ = .BCאורך גובה הפירמידה
הוא 15 :ס"מ = .SO
א .חשב את נפח הפירמידה.
ב .חשב את אורך אלכסון הבסיס.
ג .חשב את הזווית בין מקצוע צדדי לבסיס.
D
C
5
ס"מ
B
)49נתונה פירמידה מרובעת ישרה SABCD
שבסיסה מלבן .אורכי צלעות הבסיס הם:
12ס"מ = 5 ,ABס"מ = .BCאורך גובה הפירמידה
הוא 15 :ס"מ = .SH
C
א .חשב את גובה הפאה הצדדית .SBC
ב .חשב את גובה הפאה הצדדית .ABS
ג .חשב את שטח המעטפת של הפירמידה.
ד .הנקודה Eהיא אמצע .BC
חשב את הזווית שבין SEלבסיס .ABCD
60
O
12ס"מ
A
S
15
ס"מ
5
ס"מ
D
H
B
12ס"מ
A
)50נתונה פירמידה ישרה ומרובעת
שבסיסה ABCDהוא מלבן.
נתון :אורך אלכסון הבסיס ACהוא 10ס"מ.
גובה הפירמידה SOהוא 12ס"מ.
א .חשב את אורך המקצוע הצדדי.
C
ב .חשב את הזווית בין מקצוע צדדי לבסיס.
ג .נתון כי זווית הראש של הפאה הצדדית SBCהיא . 40
חשב את אורך מקצוע הבסיס .BC
ד .חשב את אורך המקצוע ABואת נפח הפירמידה.
)51נתונה פירמידה ,SABCDמרובעת וישרה
שבסיסה מלבן E .אמצע 16 .BCס"מ = .AB
גובה הפירמידה 10 :ס"מ = .SO
א .חשב את הזווית שבין הקטע SE
לבסיס הפירמידה .ABCD
C
ב .חשב את מקצוע BCאם נתון
E
כי נפח הפירמידה הוא 480סמ"ק.
ג .סמן ב F-את אמצע המקצוע .AB
חשב את הזווית שבין SFלבסיס הפירמידה.
S
D
O
A
B
S
D
O
A
B
)52נתונה פירמידה SABCDשבסיסה מלבן .זווית הראש של פאה צדדית SAB
היא . 56אורך מקצוע הבסיס ABשווה ל 12-ס"מ.
S
א.
ב.
ג.
ד.
ה.
ו.
חשב את אורך הגובה SEשל הפאה .SAB
חשב את אורך המקצוע הצדדי .SA
נתון כי אורך המקצוע ADהוא 8ס"מ.
חשב את גובה הפירמידה.
C
חשב את נפח הפירמידה.
חשב את הזווית בין הקטע SEלבסיס הפירמידה.
חשב זווית בין מקצוע צדדי לבסיס.
)53נתונה פירמידה SABCDמרובעת וישרה
שבסיסה מלבן .אורך המקצוע ABהוא 15ס"מ.
הגובה SEשל הפאה הצדדית SABהוא 20ס"מ.
גובה הפירמידה SOהוא 18ס"מ.
א .חשב את אורך מקצוע הבסיס .AD
ב .חשב את גובה הפאה הצדדית .SBC
ג .חשב את שטח המעטפת של הפירמידה.
61
D
B
A
E
S
D
C
O
B
E
A
S
)54נתונה פירמידה ישרה .SABCDהבסיס ABCDהוא
הוא מלבן שבו 8 :ס"מ = 6 ,ABס"מ = .BC
אורך מקצוע צדדי הוא 17ס"מ.
א .חשב את הזווית . CSA
ב .חשב את הזווית . CSB
ג .חשב את נפח הפירמידה.
)55נתונה פירמידה SABCDמרובעת וישרה
שבסיסה מלבן .גובה הפירמידה שווה
ל 24-ס"מ .הגובה SEבפאה הצדדית SBC
שווה ל 26-ס"מ .חשב את:
א .אורך המקצוע .AB
ב .הזווית בין הקטע SEלבסיס .ABCD
ג .נפח הפירמידה הוא 2400סמ"ק.
חשב את אורך המקצוע .BC
D
C
6
ס"מ
O
B
A
8ס"מ
S
24
ס"מ
26
ס"מ
D
C
O
E
A
B
S
)56נתונה פירמידה מרובעת וישרה .SABCD
בסיס הפירמידה הוא מלבן .אורכי
צלעות הבסיס הם 5 :ס"מ = 12 , BCס"מ = .AB
זווית הראש של הפאה הצדדית SBCהיא . 42
א .חשב אורך מקצוע צדדי.
ב .חשב את שטח הפאה .SBC
ג .חשב את גובה הפירמידה.SO ,
D
C
5
ס"מ
)57הבסיס ABCDשל פירמידה ישרה
ומרובעת SABCDהוא מלבן (ראה ציור).
נתון 17:ס"מ 25 , AD ס"מ 12 , AB ס"מ . SH
א .חשב את אלכסון הבסיס של הפירמידה.
ב .חשב את המקצוע הצדדי של הפירמידה.
ג .חשב את הזווית שבין מקצוע צדדי לבין
בסיס הפירמידה.
)58הבסיס ABCDשל פירמידה ישרה
ומרובעת SABCDהוא מלבן (ראה ציור).
נתון 15 :ס"מ 20 , AD ס"מ . AB הגובה
של הפאה הצדדית SABהוא 22ס"מ . SE
א .חשב את גובה הפירמידה.
ב .חשב את נפח הפירמידה.
ג .חשב את הזווית שבין הישר SEלבין בסיס הפירמידה.
62
O
B
12ס"מ
A
)59הבסיס ABCDשל פירמידה ישרה ומרובעת SABCD
הוא מלבן (ראה ציור).
נתון 16 :ס"מ 17 , AD ס"מ . AB
הגובה של הפאה הצדדית SABהוא 12ס"מ . SE
א .חשב את גובה הפירמידה.
ב .חשב את אורך המקצוע הצדדי של הפירמידה.
ג .חשב את הזווית שבין המקצוע הצדדי לבין
בסיס הפירמידה.
)60הבסיס ABCDשל פירמידה ישרה ומרובעת SABCD
הוא מלבן (ראה ציור).
נתון 20 :ס"מ 8 , AB ס"מ . SH
הגובה של הפאה הצדדית SABהוא 12ס"מ . SE
א .חשב את האורך .AD
ב .חשב את אורך .DH
ג .חשב את נפח הפירמידה.
)61הבסיס ABCDשל פירמידה ישרה ומרובעת SABCD
הוא מלבן (ראה ציור).
נתון 15 :ס"מ 20 , AB ס"מ E . BC היא האמצע
של .ABהזווית שבין הישר SEלבסיס היא בת . 55
א .חשב את גובה הפירמידה.
ב F .היא האמצע של .BCחשב את זווית
שבין הישר SFלבין בסיס הפירמידה.
ג .חשב את גובה הפאה הצדדית .SAB
ד .חשב את שטח הפאה .SAB
)62הבסיס ABCDשל פירמידה ישרה ומרובעת SABCD
הוא מלבן (ראה ציור) .גובה הפירמידה הוא 17ס"מ.
הגובה של הפאה הצדדית SABהוא 22ס"מ . SE
א .חשב את הזווית שבין הישר SEלבין
בסיס הפירמידה.
ב .חשב את מקצוע הבסיס.BC ,
ג .חשב את מקצוע הבסיס ,AB ,אם נפח
הפירמידה הוא 1000סמ"ק.
63
)63הבסיס ABCDשל פירמידה ישרה
ומרובעת SABCDהוא מלבן (ראה ציור).
נתון 15 :ס"מ 20 , AD ס"מ . AB
זווית הראש של הפאה הצדדית SABהיא בת . 38
א .חשב את הגובה של הפאה הצדדית .SAB
ב .חשב את הזווית שבין SFלבין בסיס הפירמידה.
ג .חשב את גובה הפירמידה.
)64הבסיס ABCDשל פירמידה ישרה
ומרובעת SABCDהוא מלבן (ראה ציור).
נתון 15 :ס"מ 20 , AD ס"מ . AB
זווית הראש של הפאה הצדדית SABהיא בת . 38
א .חשב את גובה הפאה .SAB
ב .חשב את גובה הפירמידה.
ג .חשב את זווית הראש של הפאה .SAD
)65נתונה פירמידה ישרה SABCDשבסיסה מלבן .מאמצעי המקצועות הצדדיים
מעבירים קטעים כך שנוצר המלבן .EFGH
ידוע כי שטח מלבן זה הוא 48סמ"ר וכי אורך
האלכסון שלו הוא 10ס"מ.
הזווית HSFהיא בת . 50
א .מצא את מידות הבסיס .ABCD
ב .מצא את גובה הפירמידה.
ג .חשב את שטח הפנים של הפירמידה.
)66נתונות שתי פירמידות ישרות שבסיסן מלבן :האחת SABCD -
והשנייה – ' .S'A'B'C'Dהקטעים SHו S'H'-הם בהתאמה הגבהים של שתי
הפירמידות .ידוע כיAB 2k , BC k , HS 3k :
וכי. A'B' 3k , B'C' k , H'S' 2k :
א .לפניך מספר טענות -קבע אלו נכונות ואלו שגויות .נמק.
.1לשתי הפירמידות אותו שטח פנים.
.2לשתי הפירמידות אותו הנפח.
.3בשתי הפירמידות הזווית שבין מקצוע צדדי
לבסיס הפירמידה שווה.
.4אורך מקצוע צדדי בפירמידה SABCDגדול יותר
מאורך מקצוע צדדי בפירמידה '.S'A'B'C'D
64
ב .מצא את הערך של kבעבורו סכום הנפחים של שתי
הפירמידות יהיה שווה לנפחה של קובייה בעלת אורך מקצוע של 4ס"מ.
)67נתונה פירמידה ישרה SABCDשבסיסה מלבן.
ידוע כי מקצוע הבסיס BCשווה באורכו לגובה הפירמידה ויסומן ב . t -
כמו כן נתון כי אלכסון הבסיס ACגדול פי 4מהמקצוע .BC
א .הבע באמצעות tאת אורך המקצוע .AB
ב .הורד גובה SHלמקצוע BCבמישור
הפאה SBCוחשב את הזווית הנוצרת
בינו לבין מישור הבסיס .ABCD
ג .חשב את הזויות שבין שני מקצועות צדדיים שאינם סמוכים.
ד .מסמנים את פגישת התיכונים בפאה SBCב .N-מעבירים קטע היוצא
מנקודת פגישת האלכסונים במישור הבסיס ABCDלנקודה .N
חשב את הזווית שהוא יוצר עם הבסיס.
פירמידה שבסיסה משולש שווה צלעות:
)68נתונה פירמידה ישרה SABCשבסיסה הוא משולש שווה צלעות.
מעבירים את הגובה SDבפאה הצדדית ASBוכן את הגובה CD
בבסיס . ABCזווית הבסיס של פאה צדדית במנסרה היא 50
ושטח המעטפת הוא 89.38 :סמ"ר.
א .מצא את אורך מקצוע הבסיס של המנסרה.
ב .מצא את גובה המנסרה.
ג .חשב את הזווית .SDC
ד .חשב את הזווית שבין המקצוע SCלבסיס הפירמידה.
)69נתונה פירמידה משולשת ,משוכללת וישרה.
אורכו של מקצוע הבסיס הוא 12ס"מ ואורכו של המקצוע הצדדי הוא 14ס"מ.
א .חשב את הזווית שבין המקצוע הצדדי ובסיס הפירמידה.
ב .חשב את גובה פירמידה.
ג .חשב את הזווית שבין הפאה הצדדית ובסיס הפירמידה.
ד .חשב את הזווית שבין שתי פאות צדדיות סמוכות בפירמידה.
)70נתונה פירמידה משולשת ,משוכללת וישרה .הזווית שבין שתי פאות צדדיות
1
סמוכות היא . זווית הבסיס של פאה צדדית היא . הוכח:
2
65
2
. sin sin
פירמידה שבסיסה משולש שווה שוקיים:
)71נתונה פירמידה ישרה SABCשבסיסה הוא משולש שווה שוקיים . AC BC
מעבירים גבהים למקצוע SCבמישורי הפאות SACו SBC-כך שהזווית הנוצרת
בין מישורים אלו היא . ADB 42ידוע כי אורך המקצוע ABהוא 8ס"מ.
DC 2
הגובה ADבפאה SACמחלק את המקצוע SCביחס :
SD 3
.
א .חשב את אורך הגובה .AD
ב .חשב את זווית הראש בפאה .SAC
ג .חשב את שטח משולש הבסיס .ABC
)72נתונה פירמידה משוכללת וישרה .SABC
הבסיס הוא משולש שווה שוקיים , AC BC
אורך שוקו kוזווית הראש שלו היא . 2אורך כל מקצוע צדדי בפירמידה
גם הוא . kהבע באמצעות kו -את נפח הפירמידה.
פירמידה שבסיסה הוא משולש ישר זווית:
)73נתונה פירמידה ישרה SABCשבסיסה הוא משולש ישר זווית . ABC 90
בפירמידה זו מעבירים גובה SDבפאה הצדדית SBCכך שנוצר המשולש .SAD
ידוע כי משולש זה הוא שווה שוקיים ובו נסמן. SA AD 2m :
הזווית הנוצרת בין הגובה SDומישור הבסיס תסומן ב. SDA -
א .הראה כי הגובה SDבפאה SBCשווה באורכו
למקצוע הבסיס .AB
ב .מה ניתן לומר על המשולשים SABוSAD-
במקרה זה?
ג .הבע באמצעות m , את גובה הפירמידה.
)74נתונה פירמידה משולשת וישרה שבסיסה משולש ישר זווית.
אחד מהניצבים במשולש הוא cוהזווית שמולו היא . הזווית שבין המקצוע
הצדדי לבסיס היא . הבע באמצעות , cו -את נפח הפירמידה.
66
תשובות סופיות:
)1א 10.748 .ס"מ .ב 1155.2 .סמ"ק 660.959 , V סמ"ר . S
ג 14.68 .ס"מ 18.19 ,ס"מ .ד. AC'B 36.21 .
)2א 16.29 .ס"מ .ב 11.518 .ס"מ .ג 12.23 .ס"מ .ד 1622.485 .סמ"ק . V
)3א 11 .ס"מ .ב 34.51 .ג 11.313 .ס"מ )4 .א 8.13 .ס"מ .ב 33.09 .סמ"ר.
h 2
2h 3
ב.
)5א 51 .ס"מ .ב )6 . 8.1 .א 4 .ס"מ 4.47 .ס"מ )7 .א.
2
tan
tan
a 1
3ka
. SDOG ב )9 . .ב. 0 90 .
)8א.
h 2
4 2
.
16.031 )10ס"מ . D'BD 25.89 , BD'
)11א 4.195 .ס"מ CC ' ב13 .ס"מ AC ג 17.886 .ד13.66 .ס"מ AC '
. AC ' B 30.96 )12
ה 251.7 .סמ"ק V ו142.63 .סמ"ר . M
)13א 21.44 .ס"מ CC ' ב1029.36 .סמ"ק 696.46 ,V סמ"ר . P
)14א 9.82 .ס"מ 10.688 , AB ס"מ BC ב 303.5184 .סמ"ר 513.43 , M סמ"ר . P
)15א10.121 .ס"מ 11.766 , AC ס"מ 14.227 , AD ' ס"מ AC ' ב. 34.22 .
ג 496 .סמ"ק 284 ,V סמ"ר )16 . M א 9 .ס"מ= BCב8 .ס"מ h ג. 28.072 .
)17א14.42 .ס"מ AC ב 44.15 .ג 560 .סמ"ר ד 752 .סמ"ר.
)18א 8.4 .ס"מ BB ' ב13.06 .ס"מ AD ' ג. 40.03 .
)19א 9.8 .ס"מ AB ב 1,167.9 .סמ"ק V ג 434.4 .סמ"ר.
)20א15.62 .ס"מ .ב12.2 .ס"מ h ג 776.8 .סמ"ר . P
)21א14.42 .ס"מ A ' D ב17.55 .ס"מ . B ' D
)22א a tan .3 a sin .2 a cos .1 .ב. 53.13 .
)23א a 7 .ב 70.6 .ג. a 5 .
. V m3 sin sin cos2 sin 2 )24
. m sin 2 cos )26 . 24.095 )25
3
1
3
)27א .הצורה היא פירמידה ישרה שבסיסה ריבוע .ב 24.1 .ג 341 .סמ"ק.
)28א 160.68 .סמ"ר .ב 2250 .סמ"ק. 73.89 )29 .
)30א 13 .ס"מ 13 ,ס"מ 5 ,ס"מ .ב. 19.84 .
2
)31א MA 2.3a .ב 60 .ג 73.9 .ד 14.47 .ה. P 15.46a .
15
15k 3 tan
V ב.
)32א.
8
3
1
V k 3 sin cos tan )34
2
2
סמ"ק.
)33א 10 .ס"מ .ב. 26.56 .
)35א 4.875t .ב 39.1 .ג. t 8 .
)36ב .משולש שווה שוקיים66.42, 47.15 .
ג 84 .ס"מ .ד 10 .ס"מ.
בB'GE 53.3 .
ה 60 84 .סמ"ר )37 .אEGH 32.31 .
)38א 35.36 .ס"מ ב12.378 .ס"מ h ג. 44.72 .
)39א19.079 .ס"מ ב 601.89 .ס"מ P ג. 64.896 .
67
ג. GA'E 75.6 .
)40א a 8.5 .ב 6.9 .ג. a 2 .
19
4
2
)41א VS'A'B'C'D' a3 VSABCD a3 .ב .פי
82
3
3
.4
ג .דנה טועה . PS ' A' B 'C ' D ' 9a2 PSABCD 7a2
)42א 63.77 .ב 206 .ס"מ
ג70.79 .
3
b tan a
1
1
, M 2b2
tan 2 )43
2
4
3 2
.V
ד 478.42 .סמ"ק ה 402.65 .סמ"ר.
1
)44
1 cos
. 30 )47 . sin
)48א 300 .סמ"ק V ב13 .ס"מ ג. 66.57 .
)49א16.155 .ס"מ ב15.207 .ס"מ ג 263.26 .סמ"ר M ד. 68.2 .
)50א13 .ס"מ ב 67.38 .ג 8.89 .ס"מ BC ד 4.579 .ס"מ 162.83 , AB סמ"ק V
)51א 51.34 .ב 9 .ס"מ BC ג. 65.77 .
)52א11.284 .ס"מ SE ב12.78 .ס"מ SA ג10.551 .ס"מ h ד 337.632 .סמ"ק V
ה 69.24 .ו. 55.65 .
)53א17.435 .ס"מ AD ב19.5 .ס"מ SF ג 640 .סמ"ר . M
)54א 34.21 .ב 20.328 .ג 260 .סמ"ק .V
)55א 20 .ס"מ AB ב 67.38 .ג15 .ס"מ . BC
)56א 6.976 .ס"מ ב16.282 .סמ"ר SSBC ג 2.533 .ס"מ . h
)57א 30.23 .ס"מ ב19.3 .ס"מ ג. 38.44 .
)58א 20.68 .ס"מ h ב 2, 068.2 .סמ"ק V ג. 70.07 .
)59א 8.94 .ס"מ h ב14.7 .ס"מ ג. 37.45 .
)60א . AD = 17.89 .ב13.42 .ס"מ DH ג 954.1 .סמ"ק . V
)61א14.28 .ס"מ h ב 62.29 .ג17.43 .ס"מ ד130.7 .סמ"ר .
)62א 50.6 .ב 27.93 .ס"מ BC ג 6.32 .ס"מ . AB
)63א 29.04 .ס"מ ב 75.03 .ג 28.05 .ס"מ . h
)64א 29.04 .ס"מ ב 28.05 .ס"מ h ג. 28.27 .
)65א 12 .ס"מ ו 16-ס"מ .ב 21.44 .ס"מ .ג 823 .סמ"ר.
)66א .1 .נכון .הנפח הוא. V 2k 3 :
.2לא נכון .הזוויות המתקבלות הן. 69.56 , 51.67 :
.3נכון .מתקבל . k 10.25 k 6.5 :ב. k 3 16 .
גASC 126.86 .
)67א AB t 15 .בSHM 27.31 .
)68א 10 .ס"מ .ב 5.21 .ס"מ .ג . 61 .ד. 42 .
)69א 60.339 .ב 148 .ס"מ .ג 74.106 .ד. 67.2 .
)71א 11.16 .ס"מ .ב 53.13 .ג 47.27 .סמ"ר.
k 3 sin 2 4cos 2 1
)72
12cos
ד. NMH 14.47 .
.V
)73א SD AB 4mcos .ב .המשולשים חופפים .ג. 2 3m cos .
c3 tan
)74
12 tan sin
.V
68
תירגול נוסף:
תיבה:
)1בסיס התיבה ' ABCDA'B'C'Dהוא ריבוע שאורך צלעו 10ס"מ.
גובה התיבה הוא 24ס"מ .הנקודה Eנמצאת על אמצע
המקצוע ' A'Bוממנה מעבירים את הקטעים CEו.DE-
א .חשב את אורך הקטע .CE
ב .חשב את זווית .CED
ג .מורידים גובה EFבמישור המשולש .CDE
חשב את הזווית שהוא יוצר עם מישור הבסיס .ABCD
)2בתיבה ' ABCDA'B'C'Dשבסיסה ריבוע מעבירים את האלכסון .B'D
הזווית שבין אלכסון התיבה לבסיס התיבה ABCDהיא . 56
ידוע כי אורך אלכסון התיבה B'Dהוא 24ס"מ.
א .חשב את גובה התיבה.
ב .מצא את אורך בסיס הריבוע .ABCD
ג .חשב את נפח התיבה.
)3בתיבה ריבועית ' ABDCA'B'C'Dמעבירים אלכסונים בבסיס
העליון ' .A'B'C'Dהאלכסונים נפגשים בנקודה Oוממנה מעבירים
את הקטע AOשאורכו 10ס"מ .אורך גובה התיבה הוא 8ס"מ.
א .חשב את הזווית שבין הקטע AOלמישור הבסיס .ABCD
ב .חשב את אורך צלע הבסיס.
ג .חשב את נפח התיבה.
)4בתיבה ' ABCDA'B'C'Dשבסיסה ריבוע מקצים נקודה E
באמצע הגובה ' .CCמעבירים את הקטעים AB' , AEו.B'E-
ידוע כי שטח הפנים של התיבה הוא 264סמ"ר וסכום כל
מקצועותיה הוא 80ס"מ .חשב את היקף המשולש .AB'E
)5בתיבה ריבועית ' ABCDA'B'C'Dידוע כי גובה התיבה גדול
פי 2ממקצוע הבסיס .מעבירים את הקטעים ' AC , ABוB'C-
כך שנוצר המשולש AB'Cכמתואר באיור.
שטח המשולש AB'Cהוא 24סמ"ר.
א .חשב את הזווית הנוצרת בין הצלע ' ABשל
המשולש ומישור הבסיס .ABCD
ב .מצא את אורך מקצוע הבסיס של התיבה.
ג .חשב את נפח התיבה.
69
)6נתונה תיבה ' ABCDA'B'C'Dשבסיסה הוא ריבוע .מקצים נקודות Eו F-על
אמצעי המקצועות ' B'Cו A'B'-בהתאמה כך שנוצר המשולש .EDF
אורך גובה התיבה הוא 12ס"מ והזווית הנוצרת בין
הקטע FDלהיטלו על מישור הבסיס ABCDהיא . 50
א .מצא את האורך של מקצוע הבסיס בתיבה.
ב .מצא את הזווית הנוצרת בין הקטע FDלהיטלו על
הפאה הצדדית .AA'D'D
)7נתונה תיבה ' ABCDA'B'C'Dשבסיסה מלבן .רוחב המלבן גדול
פי 2מאורכו ושווה לגובה המלבן . 2AD 2AA' AB
מעבירים את האלכסון BDבבסיס ABCDואת
אלכסון התיבה '.BD
א .חשב את הזווית שבין האלכסון ' BDלמישור
הבסיס .ABCD
ב .מצא את שטח המעטפת של התיבה אם ידוע כי
נפחה הוא 432סמ"ק.
)8בתיבה ' ABCDA'B'C'Dשבסיסה מלבן מעבירים את האלכסונים
' ACו BD'-הנחתכים בנקודה .Mידוע כי המשולש AMBהוא ישר
זווית . AMB 90אורך אלכסון התיבה הוא 2aוגובה התיבה
שווה באורכו למקצוע הבסיס הקטן .BC
א .הבע באמצעות aאת אורכי מקצועות הבסיס.
ב .מצא את הזווית שבין אלכסון התיבה ' BDלבין
הפאה הצדדית '.ADD'A
ג .מצא את aאם ידוע כי נפח התיבה הוא 27 2סמ"ק.
)9בתיבה ' ABCDA'B'C'Dשבסיסה מלבן מקצים נקודה Eבאמצע
המקצוע ' .C'Dמהנקודה Eמעבירים את הקטעים BEו DE-כך
שנוצר המשולש .BEDמסמנים את אורכי מקצועות
התיבה . AB 3a , AD 2a :ידוע כי גובה התיבה שווה
באורכו למקצוע הבסיס .AD
א .מצא את הזווית הנוצרת בין הצלע BEלמישור
הפאה הצדדית .BB'C'C
ב .הבע באמצעות aאת היקף המשולש .BDE
ג .מצא את aאם ידוע כי היקף המשולש BDEקטן ב 14-ס"מ
מהיקף הבסיס .ABCD
70
)10נתונה קובייה ' .ABCDA'B'C'Dמעבירים את האלכסון בבסיס
העליון ' A'Cומקצים נקודה Mבאמצעו .מהנקודה Mמעבירים
את הקטעים AMו CM-כך שנוצר המשולש .AMC
נתון 6 :ס"מ . AMC 120 , AM
א .הסבר מדוע המשולש AMCהוא שווה שוקיים.
ב .חשב את אורך הגובה של הקובייה.
ג .חשב את נפח הקובייה.
מנסרה ישרה:
)11במנסרה משולשת וישרה ' ABCA'B'Cשבסיסה משולש שווה צלעות מעבירים את
האלכסונים ' ABו AC'-ואת הקטע D( ADאמצע ' .)B'Cהזווית שבין ADלמישור
הבסיס ABCהיא . 40אורך גובה המנסרה הוא 14ס"מ.
א .חשב את אורך מקצוע בסיס המנסרה.
ב .חשב את הזווית הנוצרת בין האלכסון 'AB
למישור הבסיס .ABC
ג .חשב את שטח המשולש '.AB'C
ד .חשב את נפח המנסרה.
)12במנסרה ישרה ומשולשת ' ABCA'B'Cשבסיסה משולש שווה צלעות מסמנים את
אמצע מקצוע הבסיס ABבנקודה Eוממנה מעבירים את הקטעים FE , CEו,C'E-
כך ש FE-הוא חוצה זווית במשולש ' .CECזווית ' FECתסומן ב . -מקצוע הבסיס
של המנסרה הוא . k
א .הבע באמצעות kו -את גובה המנסרה.
ב .הבע באמצעות kו -את שטח המשולש '.FEC
ג .נתון . k 6 , 30 :חשב את נפח המנסרה.
)13במנסרה משולשת וישרה ' ABCA'B'Cשבסיסה משולש שווה
צלעות מסמנים את אמצעי המקצועות ABו CC'-בנקודות Eו F-בהתאמה.
ידוע כי גובה המנסרה שווה למקצוע הבסיס ומסומן ב. 2x -
אורך הקטע FEהוא 16ס"מ והזווית EAFהיא . 63.434
א .הבע באמצעות xאת אורך הקטע AFממשולש .AFE
ב .מצא את ( xעגל למספר שלם).
(רמז :השתמש במשפט פיתגורס במשולש .)ACF
ג .חשב את נפח המנסרה.
71
)14במנסרה משולשת וישרה ' ABCA'B'Cשבסיסה משולש שווה צלעות מעבירים את
אלכסוני הפאות ' ABו AC'-ומסמנים. B'AC' 2 :
אורך כל אלכסון הוא . k
א .1 .הבע באמצעות kו -את אורך מקצוע הבסיס
של המנסרה.
.2הבע באמצעות kו -את אורך גובה המנסרה.
.3הבע באמצעות kו -את נפח המנסרה.
ב .חשב את נפח המנסרה כאשר. k 5 , 15 :
)15במנסרה משולשת וישרה ' ABCA'B'Cשבסיסה הוא משולש שווה
שוקיים AC BC אורך המקצוע ACהוא 8ס"מ .ידוע כי זווית
הראש ACBהיא בת 20וכי גובה המנסרה הוא 4ס"מ.
מעבירים את האלכסונים ' ACו .AB'-
א .חשב את אורכי האלכסונים ' ACו.AB'-
ב .חשב את הזווית שבין האלכסונים ' ABו AC'-
למישור הבסיס .ABC
ג .חשב את נפח המנסרה.
)16נתונה מנסרה משולשת וישרה ' ABCA'B'Cשבסיסה הוא משולש שווה
שוקיים . AC BC מאמצע הגובה ' AAמעבירים את הקטעים CEו,B'E-
כך שנוצר המשולש ' .CEBנתון. BB' 2t , AC 5t , ACB 40 :
א .חשב את הזוויות הנוצרות בין כל אחת מצלעות
המשולש ' CEBלמישור הבסיס .ABC
ב .חשב את היקף המשולש '.CEB
)17במנסרה ' ABCA'B'Cשבסיסה הוא משולש ישר
זווית ABC 90מעבירים את האלכסונים A'Bו BC'-כך
שנוצר המשולש ' .A'BCידוע כי 15.6 :ס"מ 10 , BC' ס"מ A'B
וכי 22.4 :ס"מ . AB BC
א .מצא את גובה המנסרה '.AA
ב .חשב את הזווית שבין האלכסון ' BCלמישור
הבסיס .ABC
ג .חשב את נפח המנסרה.
72
פירמידה:
)18נתונה פירמידה ישרה SABCDשבסיסה ריבוע .מידות גובה הפירמידה
ומקצוע הפירמידה הצדדי הם בהתאמה 14 :ס"מ ו 18-ס"מ.
א .חשב את אורך מקצוע הבסיס.
ב .חשב את נפח הפירמידה.
ג .חשב את שטח הפנים של הפירמידה.
ד .חשב את זווית הראש של פאה צדדית בפירמידה.
ה .חשב את הזווית שבין המקצועות SBו.SD-
)19בפירמידה ישרה SABCDשבסיסה ריבוע מעבירים את הגובה SOלמקצוע הבסיס
BCבפאה הצדדית SBCוידוע כי הזווית שהוא יוצר עם מישור
הבסיס ABCDהיא. 75 :
א .פי כמה גדול גובה הפירמידה מאורך מקצוע הבסיס שלה?
ידוע כי גובה הפירמידה הוא 18.66ס"מ.
ב .חשב את הזווית הנוצרת בין גובה הפירמידה
ובין אחד המקצועות הצדדיים.
ג .חשב את זווית הראש של אחת הפאות הצדדיות.
ד .חשב את הזווית הנוצרת שבין שני המקצועות SDו.SB-
)20נתונה פירמידה ישרה SABCDשבסיסה ריבוע .מאמצעי המקצועות ADוBC-
מעבירים את הקטע EFויוצרים את המשולש .SEFהנקודה Gנמצאת על אמצע SF
וידוע כי המשולש SEFהוא שווה צלעות .מסמנים. GE k :
א .הבע באמצעות kאת נפח הפירמידה.
ב .חשב את זווית הבסיס של פאה צדדית.
ג .חשב את הזווית שבין מקצוע צדדי לבסיס
הפירמידה.
ד .מעבירים את הקטעים BEו BG-כך שנוצר
המשולש .BEGידוע כי היקפו הוא 28.17 :ס"מ.
מצא את . k
)21נתונה פירמידה ישרה SABCDשבסיסה מלבן.
ידוע כי 8 :ס"מ 12 , BC ס"מ . AB
הזווית שבין המקצוע SBומישור הבסיס היא. 60 :
א .חשב את האורך של אלכסון בסיס הפירמידה.
ב .חשב את אורך גובה הפירמידה.
ג .חשב את שטח הפנים של הפירמידה.
ד .חשב את נפח הפירמידה.
73
)22נתונה פירמידה ישרה SABCDשבסיסה מלבן .ידוע כי אורך
המקצוע ABשל המלבן הגדול פי 2מאורך המקצוע .BC
הזווית הנוצרת בין מקצוע צדדי למישור בסיס הפירמידה
היא . 60נפח הפירמידה הוא 72 15 :סמ"ק.
א .מצא את מידות בסיס הפירמידה ( ABו.)BC-
ב .חשב את זווית הראש של הפאה הצדדית .SAB
ג .חשב את שטח הפנים של הפירמידה.
)23נתונה פירמידה ישרה SABCDשבסיסה מלבן.
מקצועות הפירמידה מקיימים. SB 3k , AB 2k , BC k :
א .מצא את זוויות הבסיס של הפאות SABו.SBC-
ב .הבע באמצעות kאת גובה הפירמידה.
ג .מצא את kבעבורו נפח הפירמידה יהיה
שווה ל 232-סמ"ק.
)24נתונה פירמידה ישרה SABCDשבסיסה מלבן.
מעבירים את האלכסון ACומורידים את הגובה .SH
אורך מקצוע צדדי הוא kומסמנים את הזוויתACB :
וכן זווית הראש של הפאה SBCהיא. 2 :
א .הבע באמצעות kו -את מידות הבסיס .ABCD
ב .הבע באמצעות kו -את גובה הפירמידה.
ג .מצא את אם ידוע כי אורך גובה הפירמידה שווה למחצית
מאורך האלכסון .AC
)25נתונה פירמידה ישרה SABCשבסיסה הוא משולש שווה צלעות .ידוע כי אורך
מקצוע הבסיס שלה הוא 12ס"מ וכי אורך מקצוע צדדי שלה הוא 14ס"מ.
א .חשב את שטח בסיס הפירמידה .ABC
ב .חשב את גובה הפירמידה.
ג .חשב את נפח הפירמידה.
ד .חשב את שטח הפנים של הפירמידה.
ה .חשב את הזווית שבין מקצוע צדדי למישור
הבסיס ABCבפירמידה.
)26נתונה פירמידה ישרה SABCשבסיסה הוא משולש
שווה שוקיים . AC BC ידוע כי משולש הפאה SACהוא שווה צלעות שאורך
צלעו היא 16ס"מ .זווית הראש של הפאה SABהיא. 30 :
74
א .מצא את אורך המקצוע .AB
ב .חשב את הזוויות שבין המקצוע SC
למישור הבסיס .ABC
ג .חשב את שטח המעטפת של הפירמידה.
ד .חשב את נפח הפירמידה.
)27נתונה פירמידה ישרה SABCשבסיסה הוא משולש שווה שוקיים . AC BC
מורידים גובה SDבפאה הצדדית SABואת גובה הפירמידה .SH
ידוע כי המשולש SCDהוא שווה שוקיים שבו 12:ס"מ SC CD
ו. SCD 50 -
א .מצא את אורך גובה הפירמידה.
ב .מצא את אורך המקצוע .AB
ג .חשב את הזווית שבין המקצועות ASו.CS-
ד .חשב את הזווית שבין המקצועות ASו.BS-
)28נתונה פירמידה ישרה SABCשבסיסה הוא משולש ישר זווית . ABC 90
ידוע כי אורך מקצוע צדדי בפירמידה הוא 8ס"מ וכי שטח משולש הבסיס
הוא 24סמ"ר .הפאה הצדדית SABהיא משולש שווה צלעות.
א .מצא את מידות מקצועות הבסיס.
ב .חשב את אורך גובה הפירמידה.
ג .חשב את הזווית שבין המקצוע SBלמישור
הבסיס .ABC
)29לפניך שתי הצורות המרחביות הבאות:
.1פירמידה ישרה שבסיסה משולש ישר זווית בעל מקצועות
ניצבים במידות a , 2aוגובה . 2a
.2פירמידה ישרה שבסיסה מלבן במידות a , 2aוגובה . 2a
א .לפניך מספר טענות ,קבע אלו מהן נכונות ואלו שגויות
ונמק את קביעותיך באמצעות חישוב מתאים.
.1הנפח של פירמידה 2גדול פי 2מהנפח של פירמידה .1
.2הזויות שיוצר גובה הפירמידה עם כל אחד מהמקצועות
הצדדיים בשתי הפירמידות שווה.
.3שטח המעטפת של פירמידה 2גדול פי 2משטח
המעטפת של פירמידה .1
ב .הבע באמצעות aאת אורך מקצוע קובייה שנפחה שווה
לסכום הנפחים של פירמידות 1ו.2-
75
תשובות סופיות:
)1א 26.476 .ס"מ .ב 21.771 .ג. 67.38 .
)2א 19.8 .ס"מ ב 9.48 .ס"מ ג 1791.22 .סמ"ק.
)3א 53.13 .ב 8.48 .ס"מ .ג 576 .סמ"ק.
26.6 )4ס"מ או 27.6ס"מ.
)5א . 63.43 .ב 4 .ס"מ .ג 128 .סמ"ק.
)6א 9 .ס"מ .ב.16.7 .
)7א 24.1 .ב 216 .סמ"ר.
)8א a , a 2 .ב 45 .ג. a 3 .
)9א 27.9 .ב 9.3a .ג. a 20 .
)10א .הקטעים AMו CM-שווים וזאת ניתן לראות בשני המשולשים AMOוCMO-
כאשר Oאמצע האלכסון .ACב 3 .ס"מ .ג 27 .סמ"ק.
)11א 19.26 .ס"מ .ב . 36 .ג 209.7 .סמ"ר .ד 2250 .סמ"ק.
3k 2
)12א 0.5k 3 tan 2 .ב tan 2 tan .
8
)13אx 2 256 .
ג 81 3 .סמ"ק.
ב x 8 .ג 1024 3 .סמ"ק.
)14א k 3 sin2 3 1 4sin2 )3( k 1 4sin 2 )2( 2k sin )1( .ב 12.4 .סמ"ק.
)15א 80 ,4.87 .ב 26.56 , 55.21 .ג 43.77 .סמ"ק.
)16א 11.3 , 16.29 , 21.8 .ב. 14.04t .
)17א 6 .ס"מ .ב 22.61 .ג 345.6 .סמ"ק.
)18א 16 .ס"מ .ב 1194.66 .סמ"ק .ג 772 .סמ"ר .ד 52.7 .ה. 77.88 .
)19א .פי .1.86ב 20.75 .ג 29 .ד. 41.5 .
4k 3
)20א.
9
ב 63.43 .ג 50.76 .ד. k 10 .
)21א 208 .ס"מ .ב 12.48 .ס"מ .ג 364.23 .סמ"ר .ד 399.36 .סמ"ק.
)22א 12 .ס"מ 6 ,ס"מ .ב . 53.13 .ג 294.46 .סמ"ר.
)23א 70.52 , 80.4 .ב k 7.75 .ג. k 5 .
)24א 2k sin , 2 k sin tan .ב . k 1 tan 2 .ג. 35.26 .
)25א 36 3 .סמ"ר .ב 148 .ס"מ .ג 24 111 .סמ"ק .ד 290 .סמ"ר .ה. 60.33 .
)26א 8.28 .ס"מ .ב 70.52 .ג 285.7 .סמ"ר .ד 321.27 .סמ"ק.
)27א 9.19 .ס"מ .ב 12.83 .ס"מ .ג 69 .ד. 64.6 .
)28א 10 8 6 .ס"מ .ב 39 .ס"מ .ג. 51.31 .
)29א .1 .הטענה נכונה .2 .הטענה נכונה .3 .הטענה אינה נכונה .ב. a 3 2 .
76
תרגול מבגרויות:
)1במשולש ABCנתון, CAB , AB a :
( CBA ראה ציור).
הבע באמצעות , aו -את נפח הגוף שנוצר
כאשר המשולש מסתובב סביב הצלע .AB
)2נתונה פירמידה ישרה SABCD
שבסיסה ABCDהוא ריבוע.
H ,G ,F ,Eהן נקודות האמצע של
צלעות הבסיס (ראה ציור).
נתון כי גובה הפירמידה שווה לצלע
הבסיס .חשב את גודל הזווית שבין
המישור SHGלמישור .SFE
)3נתון חרוט ישר שקדקודו ,Sומרכז הבסיס שלו הוא .O
,D ,Bו C -הן נקודות על ההיקף של בסיס החרוט.
DCהוא קוטר.
נתון, BOC 40 :
הזווית בין המישור SBCלמישור של בסיס
החרוט היא . 55
חשב את גודל הזווית .DSC
)4נתונה פירמידה ישרה SABCDשבסיסה ABCDהוא ריבוע.
Mהיא נקודה על המקצוע SCכך ש DMB -היא הזווית
שבין שתי פאות סמוכות (ראה ציור).
נתון. DMB 2 :
זווית הבסיס בפאה צדדית היא .
א .מצא את הערך של המכפלה . sin sin
ב .האם ייתכן ש ? 45 -נמק.
77
)5נתונה פירמידה ישרה ABCDE
שבסיסה ריבוע (ראה ציור).
הזווית בין פאה צדדית בפירמידה
לבסיס הפירמידה היא . 70
א .מצא את גודל זווית הראש בפאה צדדית.
ב .נפח הפירמידה הוא 11סמ"ק.
מצא את האורך של צלע הבסיס של הפירמידה.
)6נתונה פירמידה ישרה EABCDשבסיסה ABCDהוא ריבוע.
Fהיא נקודה על המקצוע ,ECו G-היא נקודה על
המקצוע EDכך שנוצר המישור .GFBA
,ELהגובה ל DC-בפאה ,EDCחותך את GFבנקודה .K
KMהוא אנך אמצעי ל ( AB-ראה ציור).
הזווית בין פאה צדדית של הפירמידה לבסיס
הפירמידה היא . 70הזווית בין המישור GFBA
לבסיס הפירמידה . 40גובה הפירמידה הוא 2.75ס"מ.
מצא את האורך של הקטע .KL
תשובות סופיות:
)1
tan 2 tan 2
2
tan tan
a3
3
.V
. 38.94 )2
. 73.37 )3
2
)4א.
2
)5א 37.76 .ב 2.89 .ס"מ.
ב .לא.
1.369 )6ס"מ.
78
פרק – 3ווקטורים:
ווקטורים גיאומטריים:
A
הגדרה כללית:
להלן תיאור של ווקטור גיאומטרי:
ווקטור שמוצאו בנקודה Aומסתיים בנקודה Bיסומן באופן הבא. AB :
ניתן לסמן ווקטור באות קטנה באופן הבא( u :אותיות מקובלות לסימון הן.) u, v , w :
B
מהאיור לעיל מתקיים. AB u :
קשרים בין ווקטורים:
.1ווקטורים שווים :שני ווקטורים נקראים שווים אם הם זהים בגודלם ובכיוונם.
דוגמא לווקטורים שווים:
מתקיים. AB CD :
C
D
A
B
.2ווקטורים מקבילים :שני ווקטורים שכיוונם זהה נקראים מקבילים.
ניתן להביע את האחד באמצעות השני ע"י כפל בסקלר.
ווקטורים מקבילים נקראים גם "ווקטורים תלויים ליניארית".
דוגמא לתלות בין ווקטורים מקבילים:
עבור 1מתקיים, v u :
A
D
B
או. AB CD :
C
.3אם זוג ווקטורים במרחב AB u v w :ו CD au bv c w -מקבילים
אז מתקיים. :
c
b
a
A
ווקטור המסומן BAהוא בעל גודל זהה לווקטור AB
וכיוון הפוך לו .במקרה זה מתקיים. BA u :
B
A
B
*הערה:
שני ווקטורים uו v -יקראו מקבילים אם מתקיים v u :כאשר הגודל יכול
לקבל כל ערך מספרי בתחום . 0בפרט עבור 0כיוונם הפוך ב. 180 -
79
ווקטורים הפורשים מישור:
כל שני ווקטורים שאינם מקבילים ,כלומר ,בלתי תלויים זה בזה ,פורשים מישור.
דוגמא:
הווקטורים uו v -בעלי כוונים שונים ולכן פורשים
את המישור .
קומבינציה לינארית של ווקטורים:
.1כל ווקטור שנמצא במישור (או מקביל למישור זה) ניתן להצגה ע"י קומבינציה
ליניארית של שני ווקטורים הפורשים את המישור.
.2כל ווקטור שהוא קומבינציה ליניארית של שני ווקטורים הפורשים את המישור,
מקביל למישור.
.3אם ניתן להביע ווקטור שקומבינציה לינארית של שני ווקטורים אחרים (או יותר)
אז שלושת הווקטורים נקראים תלויים ליניארית (ניתן לבטא כל ווקטור
באמצעות האחרים).
דוגמא:
עבור המישור הנפרש לעיל ,ניתן להציג כל ווקטור wהמוכל ,או מקביל
למישור באופן הבא w u v :כאשר , :מספרים ממשיים כלשהם.
במקרה זה שלושת הווקטורים u , vו w -נקראים תלויים ליניארית.
המכפלה הסקלרית וגודל של ווקטור:
מכפלה סקלרית של שני ווקטורים uו v -תסומן u v :ותחושב ע"י הנוסחה הבאה:
u v u v cos
כאשר :היא הזווית הנוצרת בין נקודת חיבור מוצאי הווקטורים ובין כיווני
הווקטורים כמתואר באיור.
uv
ניתן למצוא את הזווית שבין שני ווקטורים ע"י:
uv
. cos
גודל של ווקטור נתון ע"י , u u 2 :או. u u 2 :
2
*הערה:
המכפלה הסקלרית u vבין שני ווקטורים מקבלת ערך מספרי בלבד! היא יכולה
להיות חיובית ,שלילית או אפס כפי שנראה בהמשך.
80
שאלות:
)1במקבילית ABCDנתוןAB u , AD v :
מצא את כל הווקטורים במקבילית ששווים
ל u -או . v
'D
'C
)2בתיבה 'ABCDA'B'C'D
נתון. AB u , AD v , AA' w :
מצא את כל הווקטורים בתיבה
ששווים ל v , u -או . w
'A
'B
D
C
A
B
S
)3בפירמידה SABCDשבסיסה ריבוע
נתון. AB u , AD v , AS w :
מצא את כל הווקטורים שבפירמידה
השווים ל v , u -או . w
C
B
D
)4בטרפז ABCDשבשרטוט
נתון. AB u , AD v , AD 3BC :
מצא את כל הווקטורים בטרפז שניתן
להביעם באמצעות uאו . v
A
B
C
D
)5בטרפז ABCDשבשרטוט
נתון. AB u , AD v , AD 3BC :
A
א .הבע באמצעות uו v -את הווקטורים ACו. DC -
ב .הנקודה Eהיא אמצע הצלע .AD
הבע באמצעות uו v -את הווקטור . BE
ג .הנקודה Fהיא אמצע הצלע .CD
D
הבע באמצעות uו v -את הווקטור . AF
B
C
A
S
)6בפירמידה SABCDשבסיסה ריבוע
נתון. AB u , AD v , AS w :
א .הבע באמצעות v , uו w -את
C
הווקטורים ACו . SC -
ב .הנקודה Nהיא אמצע המקצוע .SD
הבע באמצעות v , uו w -את הווקטור . BN
81
B
D
A
)7הנקודה Pנמצאת על הקטע ABכך ש . AP : PB 2 : 3 :נתון. AB u :
הבע באמצעות uאת הווקטורים APו. PB -
)8הנקודה Pנמצאת על הקטע ABכך ש . AP : PB 3: 5 :נתון. AP u :
הבע באמצעות uאת הווקטורים PBו. AB -
AP
)9הנקודה Pנמצאת על הקטע ABכך ש :
AB
.נתון. AB u :
הבע באמצעות uאת הווקטורים APו. PB -
AP
)10הנקודה Pנמצאת על הקטע ABכך ש :
PB
הבע באמצעות uאת הווקטורים APו. PB -
.נתון. AB u :
)11בטרפז ABCDשבשרטוט
נתון. AB u , AD v , AD 3BC :
B
C
DF
הנקודה Fנמצאת על הצלע CDומקיימת :
FC
הבע באמצעות v , uו -את הווקטור . AF
D
.
A
)12בתיבה ' ABCDA'B'C'Dנתון. AB u , AD v , AA' w :
'D
'C
A'P
הנקודה Pנמצאת על המקצוע ' A'Bומקיימת :
'A'B
CQ
והנקודה Qנמצאת על המקצוע ' CCומקיימת :
C .
'QC
הבע באמצעות , w , v , uו -את הווקטור. PQ :
)13בטרפז ABCDשבשרטוט נתון. AB u , AD v , AD 3BC :
הנקודה Eנמצאת באמצע הצלע .CD
C
AF
הנקודה Fנמצאת על הצלע ADומקיימת :
FD
מצא את ערכו של שבעבורו מתקיים . FE AB
82
'A
'B
D
A
B
B
.
D
A
)14בטרפז ABCDשבשרטוט נתון. AB u , AD v , AD 3BC :
C
הנקודה Eנמצאת באמצע הצלע .CD
AF
הנקודה Fנמצאת על הצלע ADומקיימת :
FD
מצא את ערכו של שבעבורו מתקיים. FE AC :
B
.
A
D
)15בתיבה ' ABCDA'B'C'Dנתון. AB u , AD v , AA' w :
A'P
הנקודה Pנמצאת על המקצוע ' A'Bומקיימת :
'A'B
CQ
והנקודה Qנמצאת על המקצוע ' CCומקיימת :
.
'QC
א .הבע באמצעות , w , v , uו -את הווקטור . PQ
ב .האם קיימים ערכי ו -שבעבורם ? PQ ACנמק.
ג .הנקודה Eהיא מפגש אלכסוני הפאה '.ABB'A
מצא את ערכי ו -אם נתון כי . PQ EC
)16בתיבה ' ABCDA'B'C'Dנתון. AB u , AD v , AA' w :
A'P
הנקודה Pנמצאת על המקצוע ' A'Bומקיימת :
'A'B
CQ
והנקודה Qנמצאת על המקצוע ' CCומקיימת :
.
'QC
'D
'C
'A
'B
D
C
A
B
'D
'C
'A
'B
D
C
א .הבע באמצעות , w , v , uו -את הווקטור . PQ
ב .מהו ערכו של שבעבורו הווקטור PQמקביל לפאה '?ADD'A
A
B
ג .האם קיים ערך של שבעבורו הווקטור PQמקביל לבסיס ?ABCD
)17נתונה מנסרה משולשת 'ABCA'B'C
ובה נתון. AB u , AC v , AA' w :
'C
A'M
הנקודה Mנמצאת על המקצוע ' A'Cומקיימת :
'MC
BN
.
והנקודה Nנמצאת על המקצוע BCומקיימת :
BC
'A
'B
A
C
א .הבע באמצעות , w , v , uו -את הווקטור . NM
B
ב .מהו ערכו של שבעבורו הווקטור NMמקביל לפאה'?ACC'A
ג .נתון כי הווקטור NMמקביל לפאה ' .ABB'Aהבע את באמצעות .
83
B
)18במשולש ABCהנקודה Dהיא אמצע הצלע BCוהנקודה E
AE
נמצאת על הצלע ACכך שמתקיים 2 :
CE
D
P
.
הנקודה Pהיא מפגש הקטעים ADו.BE-
נגדיר , AB u , AC v :וכן. BP s BE , AP t AD :
א .הבע באמצעות t , v , uו s -את הווקטור APבשתי דרכים שונות.
ב .מצא באיזה יחס מחלקת הנקודה Pאת הקטע ADואת הקטע .BE
C
)19בטרפז ABCDשבשרטוט נתון. AD 3BC :
הנקודה Eנמצאת באמצע הצלע CDוהנקודה Fנמצאת
באמצע הצלע .ADהנקודה Pהיא מפגש
הקטעים AEו .CF-מצא באיזה יחס מחלקת
D
הנקודה Pאת הקטע AEואת הקטע .CF
E
B
C
E
P
ב .חשב את היחס :
QPE
DPB
S
A
F
)20במשולש ABCהנקודה Dהיא אמצע הצלע ABוהנקודה E
נמצאת על הצלע ACכך שמתקיים. DE BC :
הנקודה Pהיא אמצע הקטע DEוהמשך הקטע BP
חותך את הצלע ACבנקודה .Q
א .מצא באיזה יחס מחלקת הנקודה Qאת הצלע .AC
S
A
A
Q
E
P
C
.
)21במקבילון ' ABCDA'B'C'Dנתון. DA u , DC v , DD' w :
הנקודה Fנמצאת באמצע המקצוע ',CC
'C
הנקודה Eנמצאת על המקצוע 'AA
ומקיימת A'E 2AE :והנקודה Pנמצאת
F
על המקצוע ' BBומקיימת. B'P k B'B :
'D
נתון. DP t DE s DF :
C
א .הבע באמצעות w , v , uו k -את הווקטור . DP
ב .מצא באיזה יחס מחלקת הנקודה Pאת המקצוע '.BB
ג .האם הנקודות F ,E , Dו P-נמצאות על אותו מישור? נמק.
84
D
B
'B
P
'A
B
E
D
A
)22חשב את המכפלה הסקלרית של הווקטורים uו v -על פי הנתונים על גודלם
והזווית שביניהם:
ב 120o , v 5 , u 4 .
א 60o , v 2 , u 3 .
ד 180o , v 3 , u 8 .
ג 30o , v 6 , u 2 .
ו 90o , v 4 , u 7 .
ה 0o , v 5 , u 3 .
)23חשב את הזווית בין הווקטורים uו v -על פי הנתונים על גודלם והמכפלה
הסקלרית שלהם:
אu v 6 , v 4 , u 3 .
בu v 4 3 , v 2 , u 4 .
דu v 12 , v 6 , u 2 .
גu v 0 , v 5 , u 9 .
)24נתונים שני וקטורים uו v -שאורכם . u 6 , v 3 :הזווית ביניהם היא .120o
חשב את גודלו של הווקטור PQשמוגדר. PQ 2u 3v :
)25נתונים שני וקטורים uו v -המאונכים זה לזה שאורכם. u 4 , v 5 :
חשב את גודלו של הווקטור MNשמוגדר. MN 0.5u v :
)26נתונים שני וקטורים uו v -שאורכם . u 6 , v 3 :הזווית ביניהם היא .120o
חשב את גודל הזווית QPM
אם נתון. PQ 2u 3v , PM 4u v :
)27המשולש ABCהוא משולש ישר זווית ( .) BAC 90o
הנקודה Dהיא אמצע היתר BCוהנקודה Eנמצאת על הניצב .AC
הנקודה Pהיא מפגש הקטעים ADו.BE-
AP
נתון 3 :
PD
B
D
P
. AC 12 , AB 8 ,
חשב את גודל הזווית . DPC
C
)28נתונה מנסרה משולשת וישרה ' ABCA'B'Cשבסיסה משולש שווה
צלע ות שאורך כל אחת מצלעותיו הוא .6גובה המנסרה הוא .8
'C
הנקודה Mהיא אמצע המקצוע ' A'Cוהנקודה Nנמצאת על
המקצוע BCומקיימת. BN 2CN :
נסמן. AB u , AC v , AA' w :
C
חשב את גודל הזווית. MAN :
A
E
'A
'B
A
B
85
)29בפירמידה SABCDשבסיסה ריבוע המקצוע SAהוא גובה הפירמידה.
S
1
2
נתון . AB AD AS k :נסמן. AB u , AD v , AS w :
הנקודה Qהיא אמצע המקצוע SC
והנקודה Pהיא אמצע המקצוע .SB
חשב את גודל הזווית. PAQ :
B
C
)30בתיבה 'ABCDA'B'C'D
D
1
נתוןAD AA' , AB u , AD v , AA' w :
2
. AB
A
'D
'C
'A
'B
A'P
הנקודה Pנמצאת על המקצוע ' A'Bומקיימת :
'A'B
C
והנקודה Qהיא אמצע המקצוע '.DD
D
5
6
א .מהו ערכו של שבעבורו מתקיים? AP AQ :
B
ב .הבע באמצעות את cos PAQוהראה כי לכל ערך
של הזווית PAQחדה.
ג .מהו ערכו של שבעבורו הזווית PAQ
מקיימת:
2
3 5
? cos PAQ
)31הוכח כי בכל מרובע ABCDמתקיים. AC BD AB CD AD BC :
)32נתון מלבן .ABCDהוכח כי לכל נקודה כלשהי Pמתקיים. PA PC PB PD :
)33נתון ריבוע .ABCDהנקודה Pהיא אמצע הצלע BCוהנקודה Qהיא
אמצע הצלע .CDהוכח כי מתקיים. SABCD AP AQ :
)34נתון מרובע .ABCDהנקודה Pהיא אמצע הצלע ABוהנקודה Qהיא
AD BC
אמצע הצלע .CDהוכח כי מתקיים:
2
. PQ
)35נתונה פירמידה משולשת SABCשבה AS BCו. BS AC -
הוכח. CS AB :
)36הוכח :וקטור המאונך לשני וקטורים בלתי תלויים במישור מאונך
לכל הווקטורים שבמישור.
86
A
)37א .הנקודה Mהיא מפגש התיכונים במשולש .ABCהוכח. MA MB MC 0 :
ב .נתונה פירמידה משולשת .SABC
1
הנקודה Pהיא מפגש התיכונים בפאה .SBCהוכחAB AC AS :
3
. AP
ג .נתון בנוסף כי ASו AP -מאונכים ל. BC -
הוכח כי ( . AB ACהדרכה :סמן .) AB u , AC v , AS w
)38הנקודה Pנמצאת בתוך מרובע כלשהו ABCD
כך שהמשולשים APDו BPC-הם משולשים
ישרי זווית וש"ש ( .) AP PD , BP PC
הנקודה Eהיא אמצע הצלע .CDהוכח. PE AB :
(הדרכה :סמן .) PB a , PC b , PA c , PD d
B
C
P
E
D
A
)39בטטראדר SABCנתון. AB u , AC v , AS w :
הנקודה Pנמצאת על המקצוע ASומקיימת. AP AS :
הנקודה Qנמצאת על הפאה SBCומקיימת. SQ SB SC :
א .מצא את הקשר בין ו -שבעבורו PQמקביל למישור .ABC
1
ב .נתון:
3
. PQ BC , הוכח. AB AC :
)40נתונה פירמידה שבסיסה מלבן.
הוכח כי אם שלושה המקצועות הצדדיים שבה שווים,
אז גם המקצוע הצדדי הרביעי שווה להם.
87
:תשובות סופיות
. u DC , v BC )1
, u DC D ' C ' A ' B ' AB , v AD BC A ' D ' B ' C ' )2
. u DC AB , v AD BC , w AS )3
. w AA ' DD ' CC ' BB '
1
3
2
3
2
1
. AF v u . ב. AC u v , DC u v .)א5
3
1
2
2
1
2
. BN u v w .ב
. AC v u , SC u v w .) א6
8
3
. AP u , PB (1 )u )9
5
3
1
3
. BC v )4
1
2
. AF v u .ג
2
5
3
5
. AB u , PB u )8 . AP u , BP u )7
1
u , PB
u )10
1
1
1
1
w )12
. 1 )14 . 2 )13 . PQ (1 )u v
1
1
1
. , 1 . ג. לא. ב. PQ (1 )u v
w .) א15
2
1
1
w .) א16
. לא. ג. 1 . ב. PQ (1 )u v
1
) v w .) א17
.
. ג. 1 . ב. NM ( 1)u (
1
1
. AF
u
3
v )11
3 3
1
2
. AP
1
2
2
3
. BP : PE 3 : 2 , AP : PD 4 :1 . ב. AP tu tv , AP (1 s)u sv .) א18
.
SQPE
S DPB
1
. ב. AQ : QC 1: 2 .) א20
3
. CF : PF 2 :1 )19
. כן. ג. B ' P : PB 1: 5 . ב. DP u v (1 k )w .) א21
. 0 . ו.15 . ה. 24 . ד. 6 3 . ג. 10 . ב. 3 .) א22
. MN 29 )25 . PQ 18.248 )24 . 0 . ד. 90 . ג.150 . ב. 60 .) א23
. 24.095 )29 . 70.623 )28 . 55.49 )27 . 31.87 )26
. 2 1 .) א39 .
1
2
1
3
. ג. cos( PAQ)
. ב. .) א30
1
2
4
1 1 2
2
88
וקטורים אלגבריים:
הגדרה כללית:
וקטור שמוצאו בראשית הצירים 0, 0 וסופו בנקודה x, y :במישור ייכתב בצורתו
האלגברית באופן הבא. u x, y :
דוגמאות:
הווקטור u 4, 2 נמצא במישור , xy
מוצאו בנקודה A 0, 0 וסופו בנקודה . B 4, 2
הווקטור u 2, 4,5 :נמצא במרחב הקרטזי.
מוצאו בראשית הצירים A 0,0,0
5
B
וסופו בנקודה. B 2, 4,5 :
4
A
2
ווקטור שמוצאו אינו בראשית הצירים:
ווקטור שמוצאו בנקודה A x1 , y1 , z1 וסופו בנקודה B x2 , y2 , z2 :ייכתב ע"י חישוב
הפרש נקודת סופו ממוצאו באופן הבא:
u AB B A x2 x1 , y2 y1 , z2 z1
אמצע קטע וחלוקת קטע ביחס נתון:
.1אמצע הקטע Mשקצוותיו הם A x1 , y1 , z1 :וB x2 , y2 , z2 -
x1 x2
y y2
z z
, yM 1
הוא, zM 1 2 :
2
2
2
. xM
.2שיעורי נקודה Pהמחלקת קטע שקצותיו A x1 , y1 , z1 ו B x2 , y2 , z2 -ביחס של k : lהם:
k x1 l x2
k y1 l y2
k z1 l z2
; yP
; zP
k l
k l
k l
. xP
מכפלה סקלרית וגודל של ווקטור בהצגה אלגברית:
מכפלה סקלרית של שני ווקטורים ו v -תסומן u v :ותחושב ע"י הנוסחה הבאה:
u v u v cos
כאשר היא הזווית הנוצרת בין נקודת חיבור מוצאי הווקטורים ובין כיווני הווקטורים.
89
מכפלה סקלרית של ווקטורים u x1 , y1 , z1 , v x2 , y2 , z2 :תחושב באופן הבא:
. u v x1 , y1 , z1 x2 , y2 , z2 x1x2 y1 y2 z1z2
גודלו של ווקטור u x1 , y1 , z1 נתון ע"י. u u 2 x12 y12 z12 :
הצגה פרמטרית של ישר:
ישר כללי במרחב ניתן להצגה ע"י שני ווקטורים.
הווקטור aנקרא ווקטור ההעתקה.
מוצאו תמיד בראשית הצירים וסופו על נקודה כלשהי על הישר הנתון.
הווקטור uנקרא ווקטור הכיוון של הישר.
זה הוא ווקטור שנמצא על הישר עצמו מוצאו בנקודה אחת וסופו
בנקודה אחרת לאורך הישר.
B
C
A
הקשר בין שני הווקטורים נתון ע"י: x a tu :
כאשר tהוא מספר ממשי כלשהו ו x -הוא ווקטור המתקבל ע"י בחירה של tשמוצאו
בראשית הצירים וסופו על נקודה על הישר . l
דוגמא:
עבור הנקודות B 5,3,1 , A 0,0,0 :ו C 7, 0,10 -נקבל את הווקטורים הבאים:
a AB B A 5,3,1 ; u BC C B 7,0,10 5,3,1 2, 3,9
לכן הצגה פרמטרית של הישר היא. l : x 5,3,1 t 2, 3,9 :
*הערות:
.1לישר יש אינסוף הצגות פרמטרים הנבדלות זו מזו בבחירת ווקטור ההעתקה
ווקטור הכיוון .ההצגה הבאה גם מתאימה לישר שבדוגמא:
l : x 7,0,10 t 6,9, 27
.2הווקטור xהמתקבל ע"י הצבת t0בהצגה פרמטרית אחת של ישר ,יתקבל ע"י
הצבת t1בהצגה פרמטרית אחרת של אותו הישר.
.3הנקודה Bבאיור לעיל אינה בהכרח סופו של הווקטור aומוצאו של הווקטור . u
כדי לכתוב הצגה פרמטרית של ישר מספיק לקחת שתי נקודות כלשהן למציאת
הווקטור ( uלמשל הנקודה Cיחד עם נקודה Dהנמצאת על המשך הישר)
ונקודה נוספת למציאת הווקטור . a
.4הצגה פרמטרית של ישר היא למעשה חיבור של שני ווקטורים גיאומטריים
במרחב הנותן ווקטור שמוצאו בראשית הצירים וסופו על הישר הנתון.
90
מצב הדדי בין ישרים:
ישנם 4מצבים הדדים בין זוג ישרים במרחב:
ישרים מתלכדים :שני הישרים הם למעשה ישר אחד.
ישרים מקבילים :שני הישרים בעלי אותו כיוון ולעולם אינם נפגשים במרחב.
ישרים נחתכים :שני ישרים במרחב עם כיוונים שונים הנחתכים בנקודה כלשהי.
ישרים מצטלבים :שני ישרים במרחב עם כיוונים שונים שאינם נפגשים במרחב.
כדי לקבוע את המצב ההדדי בין שני ישרים נבצע את הבדיקה הדו-שלבית הבאה:
האם הישרים באותו כיוון (האם וקטורי
הכיוון שלהם שומרים על אותו יחס)?
כן
לא
האם לישרים נקודה משותפת
(האם נקודה מישר אחד
נמצאת על הישר השני)?
כן
מתלכדים
האם לישרים יש נקודת חיתוך
כלשהי?
כן
לא
נחתכים
מקבילים
לא
מצטלבים
הצגה פרמטרית של מישור:
מישור כלשהו במרחב ניתן להצגה ע"י שלושה ווקטורים.
הווקטור aהוא ווקטור ההעתקה.
מוצאו תמיד בראשית הצירים וסופו בנקודה כלשהי על המישור.
הווקטורים uו v -הם וקטורי הכיוון של המישור.
אלו הווקטורים הפורשים את המישור.
הקשר בין שלושת הווקטורים נתון ע"י : x a tu sv :
כאשר t , sהם מספרים ממשיים כלשהם ו x -הוא ווקטור המתקבל ע"י בחירתם אשר
מוצאו בראשית הצירים וסופו על נקודה על המישור .
91
משוואת מישור:
ניתן להציג מישור ע"י משוואה באופן הבא, : ax by cz d 0 :
כאשר x, y, z :היא נקודה על המישור והמקדמים a, b, cהם שיעורי ווקטור הנורמל
של המישור המסומן. h a, b, c :
מצב הדדי בין ישר למישור:
ישנם 3מצבים הדדיים בין ישר ומישור במרחב:
הישר חותך את המישור.
הישר מקביל למישור.
הישר מוכל במישור.
מוכל
מקביל
חותך
כדי לדעת מהו המצב ההדדי בין ישר ומישור יש להציב נקודה כללית של הישר
במשוואת המישור ולבדוק:
אם למשוואה המתקבלת יש פתרון יחיד אז הישר חותך את המישור.
אם למשוואה אין אף פתרון אז הישר מקביל למישור.
אם למשוואה יש אינסוף פתרונות אז הישר מוכל במישור.
מצב הדדי בין מישורים:
בין שני מישורים ישנם 3מצבים הדדיים:
המישורים נחתכים -במקרה זה יש להם ישר משותף הנקרא ישר החיתוך.
המישורים מקבילים – לשני המישורים וקטורים פורשים זהים אך ווקטור
העתקה שונה.
המישור מתלכדים -במקרה זה שני המישורים מייצגים את אותו המישור.
עבור שני מישורים כלליים 1 : a1 x b1 y c1 z d1 0 :ו 2 : a2 x b2 y c2 z d2 0 -
נקבע את המצב ההדדי ביניהם באופן הבא:
מתלכדים
מקבילים
נחתכים
a1 b1 c1 d1
a2 b2 c2 d 2
a1 b1 c1 d1
a2 b2 c2 d 2
כל מצב אחר
92
חישובי זוויות ונוסחאות:
u v
.1זווית בין שני וקטורים u , vתחושב ע"י:
uv
. cos
u1 u2
.2זווית חדה בין שני ישרים l1 a1 tu1ו l2 a2 su2 -תחושב:
u1 u2
. cos
.3זווית חדה בין ישר l a tuומישור : ax by cz d 0 :
uh
תחושב ע"י הנוסחה הבאה:
uh
. sin
.4זווית חדה בין שני מישורים1 : a1 x b1 y c1 z d1 0 :
h1 h2
ו 2 : a2 x b2 y c2 z d2 0 -תחושב ע"י:
h1 h2
. cos
חישובי מרחקים ונוסחאות:
.1מרחק בין שתי נקודות A x1 , y1 , z1 ו B x2 , y2 , z2 -במרחב יחושב באופן הבא:
2
. dAB x2 x1 y2 y1 z2 z1
2
2
.2מרחק בין נקודה A x1 , y1 , z1 לישר הנתון בהצגה פרמטרית l : x a tu :יחושב
ע"י העברת אנך מהנקודה לישר וחישוב אורכו .כדי למצוא את נקודת החיתוך יש
להשוות את מכפלת הווקטור האנך בווקטור הכיוון של הישר לאפס.
.3מרחק בין נקודה A x1 , y1 , z1 למישור : ax by cz d 0 :יחושב ע"י:
ax1 by1 cz1 d
a 2 b2 c2
.d
.4מרחק בין שני ישרים מקבילים יחושב ע"י שימוש בנקודה מאחד הישרים
ומציאת מרחקּה מהישר השני כמתואר בסעיף .2
.5מרחק בין ישר ומישור (המקביל לו) יחושב ע"י שימוש בנקודה שעל הישר ומציאה
מרחקּה מהמישור כמתואר בסעיף .3
.6מרחק בין שני מישורים מקבילים יחושב לפי אחת מהאפשרויות הבאות:
שימוש בנקודה שעל מישור אחד ומציאת מרחקּה מהמישור השני.
שימוש בנוסחה:
d1 d 2
a 2 b2 c 2
.d
.7מרחק בין ישרים מצטלבים יחושב ע"י כתיבת משוואת מישור של אחד הישרים
ומציאת מרחקו מהישר השני כמתואר בסעיף .5
93
שאלות:
)1שרטט את הווקטורים הבאים:
אu 4, 2 .
בv 5,1 .
ג.
w 3, 4
דa 0,3 .
הb 5, 0 .
)2נתונה תיבה שמידותיה נתונות במערכת הצירים שלפניך.
מצא מהו הווקטור uומהו הווקטור vעל פי השרטוט:
6
8
5
)3בשרטוט נתונה מקבילית ששיעורי
שלושה מקדקודיה נתונים (ראה איור).
מצא את שיעורי הקדקוד .D
10
)4נתונה תיבה שמידותיה נתונות במערכת הצירים שלפניך.
מצא מהו הווקטור uעל פי השרטוט:
11
8
)5בשרטוט נתון משולש ששיעורי קדקודיו נתונים.
מצא את שיעורי מפגש התיכונים במשולש.
)6
א .מצא את הווקטור ABאם נתונות הנקודות A 3,5ו. B 6,1 -
ב.
מצא את שיעורי הנקודה Qאם נתונה הנקודה P 8,11
והווקטור . PQ 4, 3
94
)7א .מצא את הווקטור EFאם נתונות הנקודות E 2,0, 3ו. F 7, 1, 3 -
ב.
מצא את שיעורי הנקודה Nאם נתונה הנקודה M 0, 4,1
והווקטור . MN 1, 1,9
)8בשרטוט נתונה מקבילית ששיעורי
שלושה מקדקודיה נתונים.
מצא את שיעורי הקדקוד .D
6
)9נתונה תיבה שמידותיה נתונות במערכת הצירים שלפניך.
מצא מהו הווקטור uומהו הווקטור : v
7
4
)10נתונים שני וקטורים . u 3,7,1 , v 2, 3,5 :חשב:
אu v .
בu v .
ג2u .
ד3u v .
הu v .
)11חשב את גודלו של הווקטור . u 1, 2, 4
)12נתונים ארבעת קדקודי המרובע :ABCD
. D 7, 5, 2 , C 3, 5, 0 , B 0, 2, 1 , A 4, 2,1
הוכח כי המרובע הוא מקבילית.
)13נתונים ארבעת קודקודי המרובע :ABCD
. D 4,3, 1 , C 1,8, 4 , B 2,5,3 , A 1, 2, 0
א .הוכח כי המרובע הוא טרפז.
ב .האם הטרפז שווה שוקיים?
)14חשב את הזווית שבין הווקטורים u 3, 7,1ו. v 2, 3,5 -
)15חשב את הזווית שבין הווקטורים uו: v -
אu 2, 2,5 , v 4,0,1 .
ב.
u 6, 3,1 , v 2,5,3
ג.
u 2,1,3 , v 4, 2, 6
)16מצא את שטחו של משולש ABCשקדקודיו הם. C 5, 1, 0 , B 0,3, 2 , A 3, 2,1 :
95
)17נתונים הווקטורים. u 2, 1,0 , v 5,0,3 :
מצא וקטור wשמכפלתו ב u -היא 0ומכפלתו ב v -היא 0אם ידוע שגודלו הוא . 70
)18האם הנקודה A 7,0,3נמצאת על הישר ? : x 4,3,0 t 1, 1,1
)19האם הנקודה B 4, 2, 10 נמצאת על הישר ? : x t 2, 1,5
)20מצא את הצגתו הפרמטרית של ישר במישור שעובר בנקודות A 5, 2 ו . B 1, 6 -
)21מצא את הצגתו הפרמטרית של ישר במרחב שעובר בנקודות C 3, 0, 2 ו. D 4,1,1 -
)22מצא את הצגתו הפרמטרית של ישר במרחב שעובר בנקודה G 2, 7,1
ומקביל לישר . : x 0,3, 1 t 4, 2,1
)23מצא את הצגתו הפרמטרית של ציר ה y -במרחב.
)24מצא את הצגתו הפרמטרית של ישר במרחב שעובר בנקודה M 3, 1, 4
ומקביל לציר ה. z -
)25מצא את נקודת החיתוך של הישר : x 1, 2,6 t 2,1, 2 עם המישור . x y
)26מצא את המצב ההדדי בין הישרים הבאים.
אם הם נחתכים מצא גם את נקודת החיתוך ביניהם.
. 2 : x 12, 5, 4 s 10, 2, 4 , 1 : x 2, 3,0 t 5, 1, 2
)27מצא את המצב ההדדי בין הישרים הבאים.
אם הם נחתכים מצא גם את נקודת החיתוך ביניהם.
. 4 : x 2,0, 6 s 6, 3, 3 , 3 : x 0,1, 7 t 2,1,1
)28מצא את המצב ההדדי בין הישרים הבאים.
אם הם נחתכים מצא גם את נקודת החיתוך ביניהם.
. 5 : x 3,5,1 t 4,0, 1 , 6 : x 1,7, 4 s 1,1, 2
)29מצא את המצב ההדדי בין הישרים הבאים.
אם הם נחתכים מצא גם את נקודת החיתוך ביניהם.
. 7 : x 3,0,0 t 2, 2,5 , 8 : x 0,1, 5 s 3,1, 2
96
)30מצא את המצב ההדדי בין הישרים הבאים.
אם הם נחתכים מצא גם את נקודת החיתוך ביניהם.
. 9 : x 4,1, 1 t 3,0, 1 , 10 : x s 6,0, 2
)31מצא את המצב ההדדי בין הישרים הבאים.
אם הם נחתכים מצא גם את נקודת החיתוך ביניהם.
, 11 : x 2,8, 1 t 1,0,0
12 : x 5,8, 2 s 2,0, 1
)32מצא את ערכו של הפרמטר kשבעבורו הישרים הבאים:
x k 1, 7, k s 1 k 2 , k 2 2, 6 , 1 : x k 1,1 k ,6 t 1, 2, 2
:
2
א .מקבילים.
ב .מתלכדים.
)33נתונות הנקודות. A 3, 1,5 , B k , 1,3 , C 6,3, 1 , D 2,3, k :
הראה כי לכל ערך של kהישרים ABו CD -מצטלבים.
)34מצא את הצגתו הפרמטרית של מישור שעובר בנקודות הבא:
. C 0, 3,1 , B 3,6, 2 , A 1, 4, 0
)35מצא את הצגתו הפרמטרית של מישור שעובר בנקודה , Q 6, 7, 1
ומכיל את הישר . : x 2, 2,5 t 1,0, 4
)36נתונים שני ישרים: x 0,1, 1 t 1,9, 3 :
1
: x 2,16,11 s 0,1, 6 ,
2
.
הראה שהישרים נחתכים ומצא הצגה פרמטרית של המישור המכיל אותם.
)37מצא את הצגתו הפרמטרית של מישור שעובר בנקודה D 5, 2, 1
ומכיל את ציר ה. x -
)38מצא את הצגתו הפרמטרית של המישור . xz
z
)39נתונה תיבה שמידותיה נתונות במערכת הצירים שלפניך.
מצא את הצגתו הפרמטרית של המישור המקווקו
y
x
97
)40קבע האם הנקודות הבאות נמצאות על המישור : : 2 x y 3z 6 0
א . D 5,7,1 .ב. E 2, 1,1 .
)41מצא את ערכו של
k
שבעבורו הנקודה A 1, k , 1נמצאת על
המישור. : k x 2 y k 1 z 7 0 :
)42נתונה משוואת מישור. : 3x 2 y z 9 0 :
מצא את נקודות החיתוך של המישור עם שלושת הצירים.
)43נתונה משוואת מישור. : 4 x y 2 z 8 0 :
מצא הצגה פרמטרית של הישר שהמישור חותך מהמישור . y z
)44נתונה משוואת מישור . : x 4 y z 8 0 :כתוב הצגה פרמטרית של המישור.
)45נתונה משוואת מישור . : 2 x 3 z 12 0 :כתוב הצגה פרמטרית של המישור.
)46נתונה הצגה פרמטרית של מישור. : x 2, 5,0 t 1,0, 2 s 0, 1,3 :
מצא את משוואת המישור.
)47נתונה הצגה פרמטרית של מישור. : x t 2, 2,1 s 3,1,0 :
מצא את משוואת המישור.
)48המישור עובר בנקודות. C 4, 1, 0 , B 2, 0, 0 , A 1, 0, 3 :
מצא את משוואת המישור.
)49נתונים שני ישרים: x 5, 4,1 t 0, 2, 1 :
1
: x 0, 6, 2 s 0, 2,1 ,
2
.
הראה שהישרים מקבילים ומצא את משוואת המישור המכיל אותם.
)50נתונים שני ישרים: x 1,1,3 t 3, 2, 4 :
1
: x 7,1,0 s 4, 3,0 ,
הראה שהישרים מצטלבים ומצא את משוואת המישור המכיל את הישר
ומקביל לישר . 2
)51מצא משוואת מישור שעובר בנקודה A 6, 0, 1ומכיל את ציר ה . z -
)52נתונה משוואת מישור. : k 2 x k 2 2k 3 y 3z k 2 1 0 :
לאיזה ערך של kהמישור מקביל לציר ה( y -ולא מכיל אותו)?
98
1
2
.
)53פאותיו של טטראדר נמצאות על המישורים , y 0 , x 0
ו . x 3 y 2 z 6 0 -מצא את נפח הטטראדר.
z0
)54נתונים הישר והמישור הבאים:
. : 2 x y 3z 6 0 , : x 5,0,1 t 4,1, 2
קבע את המצב ההדדי שביניהם.
אם הישר חותך א ת המישור מצא גם את נקודת החיתוך.
)55נתונים הישר והמישור הבאים:
. : x 3 y 2 z 11 0 , : x 2, 1,6 t 1,1, 2
קבע את המצב ההדדי שביניהם.
אם הישר חותך א ת המישור מצא גם את נקודת החיתוך.
)56נתונים הישר והמישור הבאים:
. : 2 x y 6 z 11 0 , : x 6,1,0 t 3,0, 1
קבע את המצב ההדדי שביניהם.
אם הישר חותך א ת המישור מצא גם את נקודת החיתוך.
)57נתונים הישר והמישור הבאים:
. : x 1,0, 2 s 1,0, 2 r 3,0, 1 , : x 0,3, 2 t 1, 1, 2
קבע את המצב ההדדי שביניהם.
אם הישר חותך א ת המישור מצא גם את נקודת החיתוך.
)58נתונים הישר והמישור הבאים:
. : 2 x y z 4 0 , : x 1, a,3 t 4,1 b,0
מצא את ערכי aו b -בעבורם הישר מוכל במישור.
)59נתונים שני המישורים הבאים. 2 : 4 x y z 6 0 , 1 : x 3 y 2 z 1 0 :
מצא הצגה פרמטרית של ישר המקביל לשני המישורים ועובר בראשית.
)60נתונים שני מישורים .קבע את המצב ההדדי ביניהם:
א. 2 : 4 x 2 y 8z 10 0 , 1 : 2 x y 4 z 5 0 .
ב . 4 : 3x 9 y 3z 8 0 , 3 : x 3 y z 1 0 .
ג. 6 : 2 x 3 y z 5 0 , 5 : 5 x 2 y z 3 0 .
99
)61נתונים שני המישורים הבאים:
. 1 : 2 x k k y 2 z 1 0 , 2 : 4 x 12 y 4 z k 2 2 0
2
מצא את ערכי
א .נחתכים
k
עבורם המישורים:
ב .מקבילים
ג .מתלכדים
)62במקבילון ' ABCDA'B'C'Dנתונים שלוש הקדקודים הבאים:
. C 5, 2, 2 , B 9, 0, 2 , A 1, 1, 4
מצא את משוואת המישור עליו מונחת הפאה ' A'B'C'Dאם ידוע
שהנקודה 2, 1, 0 נמצאת עליו.
)63נתונים שני מישורים נחתכים. 2 : 2 x y z 10 0 , 1 : 4 x y 2 z 2 0 :
מצא הצגה פרמטרית של ישר החיתוך שבין המישורים.
)64נתונים שני מישורים נחתכים. 4 : 2 x 3 y z 4 0 , 3 : 8x 2 y 3z 2 0 :
מצא הצגה פרמטרית של ישר החיתוך שבין המישורים.
)65נתונים שני מישורים נחתכים. 6 : 5x 2 z 20 0 , 5 : 3x 3 y z 2 0 :
מצא הצגה פרמטרית של ישר החיתוך שבין המישורים.
)66נתונים שני מישורים נחתכים. 8 : z 2 0 , 7 : x 2 y z 6 0 :
מצא הצגה פרמטרית של ישר החיתוך שבין המישורים.
)67מצא הצגה פרמטרית של ישר החיתוך של המישור : 6 x 5 y z 18 0
עם המישור . xz
)68נתונים שני מישורים. 2 : 4 x y z 6 0 , 1 : x 3 y 2 z 1 0 :
מצא הצגה פרמטרית של ישר המקביל לשני המישורים ועובר בראשית.
)69המישורים 1ו 2 -מאונכים זה לזה.
הישר : x 4,1, 1 t 2, 1,1הוא ישר החיתוך שבין המישורים.
מצא את משוואות המישורים אם ידוע שהמישור 1עובר בראשית.
)70נתונים ישר ומישור. : 4 x 2 y 3z 6 0 , : x 2,0,5 t 3,1, 1 :
מצא הצגה פרמטרית של הישר שהוא היטלו של הישר על המישור.
100
)71מצא את הזווית שבין הישרים הבאים:
2 : x 7,0, 1 s 0,5, 1 ,
1 : x 3, 11, 2 t 2, 4, 1
)72מצא את הזווית שבין הישר והמישור הבאים:
: 2 x y 3z 5 0 , : x 1,0,3 t 3,1, 5
)73מצא את הזווית שבין הישר והמישור הבאים:
: 3x 2 y 2 z 9 0 , : x 2,0,5 t 2,1, 2
)74מצא את הזווית שבין המישורים הבאים:
2 : 5x y z 10 0 , 1 : 3x 2 y z 8 0
)75מצא את הזווית שבין המישורים הבאים:
2 : 4 x 7 y 5z 3 0 , 1 : 4 x 3 y z 12 0
)76מצא את המרחק שבין הנקודות A 1,3, 2 ו. B 9,1,0 -
)77מצא את המרחק שבין הנקודה A 4,12, 5לישר . : x 1,1, 4 t 3, 1, 2
)78מצא את המרחק שבין הנקודה A 13, 1, 19 לישר . : x t 2,0, 7
)79נתונות הנקודות. C 6, 4, 0 , B 2, 1, 0 , A 1, 6, 1 :
חשב את שטח המשולש .ABC
)80על הישר : x 5, 2,0 t 0,1, 1מונחת הצלע ABשל ריבוע .ABCD
אחד מקודקודי הריבוע הוא . D 5, 4, 2
מצא את שיעורי הקדקוד ( Bשתי אפשרויות).
)81מצא את המרחק שבין הנקודה A 5,3, 1למישור . x 2 y 2 z 12 0
)82מצא את מרחקו של המישור 4x 2 y 4z 15 0מראשית הצירים.
)83מצא משוואת מישור המאונך לישר : x 1, 8,3 t 3, 2,1
ונמצא במרחק 14מהנקודה . A 4,5, 9
101
)84נתונים ישר ומישור. : 2 x 4 y 4 z 15 0 , : x 7,19, 3 t 3,14, 4 :
מצא את הנקודות שעל הישר שמרחקן מהמישור הוא .6.5
)85חשב את נפחה של פירמידה משולשת SABCשקדקודיה הם:
. S 11, 2, 4 , C 6, 4, 0 , B 2, 1, 0 , A 1, 6, 1
)86בפירמידה משולשת SABCהמקצועות SB ,SAו SC-מאונכים זה לזה.
נתון. SA 6 , SB 8 , SC 12 :
חשב את אורכו של גובה הפירמידה היורד מהקדקוד Sלבסיס .ABC
)87נתונים שני ישרים: x 4,6, 4 t 2,3,0 :
1
: x 1,7,1 s 2,3,0 ,
2
.
הראה שהישרים מקבילים ומצא את המרחק ביניהם.
)88נתונים ישר ומישור. : 2 x 6 y z 6 0 , : x 2, 4,1 t 5,1, 4 :
הראה שהישר מקביל למישור ומצא את המרחק שבין הישר למישור.
)89נתונים שני מישורים. 2 : 2 x 2 y z 5 0 , 1 : 2 x 2 y z 7 0 :
הראה שהמישורים מקבילים ומצא את המרחק שביניהם.
)90נתונה משוואת מישור. : 3x 4 y 5z 10 0 :
מצא משוואת מישור המקביל למישור הנתון והנמצא במרחק 8ממנו.
)91נתונים שני מישורים מקבילים. 2 : x 2 y 2 z 12 0 , 1 : x 2 y 2 z 6 0 :
מצא את משוואת המישור המקביל לשני המישורים הנתונים והנמצא במרחק
שווה משניהם.
)92נתונים שני הישרים הבאים:
. l1 : x 3, 2,6 t 4,1, 2 , l2 : x 0, 2, 7 s 1,0, 1
הראה שהישרים מצטלבים ומצא את המרחק שביניהם.
)93נתונים שני הישרים המצטלבים הבאים:
. 4 : x 2, 1,9 s 6, 1,0 , 3 : x 1,0,5 t 1,1, 2
מצא את המרחק שביניהם.
)94מצא את מרחק הישר : x 4, 2, 1 t 1,1,6 מציר ה. z -
102
)95נתונה קובייה ' ABCDA'B'C'Dשנפחה הוא .8משוואת המישור שעליו מונח
הבסיס ABCDהיא. 1 : 4 x y 3z 28 0 :
משוואת המישור שעליו מונחת הפאה ' ABB'Aהיא. 2 : x 2 y 2 z 6 0 :
מצא הצגה פרמטרית של הישר שעליו מונח המקצוע 2( CDאפשרויות).
)96נתונים שני ישרים: x 2,1,5 t 5, 4, 2 :
1
: x 7,3, 1 s 5, 4, 2 ,
א .מצא את המצב ההדדי שבין הישרים.
ב .המישור 1מכיל את שני הישרים והמישור 2נמצא בין שני הישרים
במרחק שווה מכל אחד מהם ,מקביל לשני הישרים ומאונך למישור . 1
מצא את משוואות המישורים 1ו. 2 -
)97נתונים שני מישורים. 2 : x y 2 z 4 0 , 1 : 2 x y 4 z 8 0 :
המישור 3מכיל את ישר החיתוך של שני המישורים וחותך את ציר ה y -
בנקודה Aכך שמתקיים
OA m
( Oראשית הצירים).
הזווית שבין המישור 2למישור 3היא ונתון כי. cos 2 :
3
מצא את הערכים האפשריים של הפרמטר . m
)98נתונות שלוש נקודות. O 3,1,0 , B 2, 1, 0 , A 3, 1,1 :
הנקודות Aו B-נמצאות על היקפו של מעגל שהנקודה Oהיא מרכזו.
מצא הצגה פרמטרית של הישר המשיק למעגל בנקודה A
(הישר נמצא במישור המעגל).
)99הנקודה A 4, 0, 1נמצאת על כדור שמרכזו . O 1,1, 2
מצא את משוואת המישור המשיק לכדור בנקודה .A
)100נתונים מישור וישר. : x 1,5,5 t 1,1,0 , : 2 x y 2 z 1 0 :
מצא נקודה על חלקו החיובי של ציר ה z -הנמצאת במרחקים שווים
מהמישור ומהישר.
)101נתונים שני מישורים. 2 : 4 x 2 y 4 z 1 0 , 1 : 2 x 4 y 4 z 5 0 :
מצא הצגה פרמטרית של ישר ,שנמצא במרחק 2ממישור 1ובמרחק 6
ממישור ( 2מצא הצגה של ישר אחד מתוך 4אפשריים).
103
2
.
)102נתונים ישר ומישור: x 0, 3,0 t 1,1, 8 :
ישר נוסף,
2
1
. : 6x 2 y z 5 0 ,
,המקביל למישור , עובר בנקודה P 1, 0, 4 וחותך את הישר
בנקודה .Qמבין הנקודות שבמישור , הנקודה ' Pהיא הקרובה ביותר
לנקודה Pוהנקודה ' Qהיא הקרובה ביותר לנקודה .Q
מצא את שטח המלבן '.PQQ'P
(הדרכה :הבע באמצעות tאת וקטור הכיוון של .) 2
)103נתונים שני מישורים. 2 : 3x y 2 z 11 0 , 1 : 2 x y z 5 0 :
1הוא ישר החיתוך בין שני המישורים.
המישור 3מכיל את הישר 1ויוצר זווית של 60oעם הישר
. 2 : x 1,3, 4 t 1,1,0
מצא את משוואת המישור . 3
104
1
:תשובות סופיות
)1
. (7,1, 2) )5
. u (4,11,5) )4
. D(6, 8,1) )3
. u (5,8,0) , v (5,8,6) )2
. N (1, 5,10) . ב. EF (5, 1, 0) .) א7 . Q (12,8) . ב. AB (9, 4) .) א6
. u (0, 7,6) , v (4,7,6) )9 . D(6, 8,1) )8
. 21 )11 . 10 . ה. (7, 24, 2) . ד. (6,14, 2) . ג. (1,10, 4) . ב. (5, 4, 6) .) א10
.יח"ש10.173 )16 .180 . ג. 90 . ב. 97.277 .) א15 .102.19 )14 . כן.) ב13
. l : x (5, 2) t (6,8) )20 .) לא19 .) כן18 . w (3, 6,5) אוw (3,6, 5) )17
. l : x t (0,1,0) )23 . l : x (2, 7,1) s(4, 2,1) )22 l : x (4,1,1) t (1,1,3) )21
.) מקבילים27 .) מתלכדים26 . (7, 5,0) )25 . l : x (3, 1, 4) t (0,0,1) )24
. (1,8, 1) ,) נחתכים31 .) מקבילים30 .) מצטלבים29 . (1,5, 0) ,) נחתכים28
. : x (1, 4,0) t (2,10, 2) s(1,1,1) )34 . k 2 . ב. k 2 .) א32
. : x 0,1, 1 t 1,9, 3 s 0,1, 6 )36 . : x (2, 2,5) t (1,0, 4) s(8,9, 6) )35
. : x t (1,0,0) s(0,0,1) )38 : x t (1,0,0) s(5, 2, 1) )37
. לא על המישור. ב. על המישור.) א40 . : x (7,0,0) t (0,0,1) s(7,12,0) )39
1
2
. : x (0,0, 4) t (0,1,0) s(6,0, 4) )45 . : x (0,0,8) t (0, 2, 8) s(8,0, 8) )44
. l : x (0, 8,0) t (0, 2,1) )43 . (3, 0, 0) , (0, 4 , 0) , (0, 0 9) )42 . k 3 )41
. : 3x 6 y z 6 0 )48 . : x 3 y 8z 0 )47 . : 2 x 3 y z 19 0 )46
. k 3 )52 . : y 0 )51 12 x 16 y z 1 0 )50 y 2 z 2 0 )49
.) הישר מוכל56 .) מקבילים55 . (1, 1,3) ,) הישר חותך54 . יח"נ6 )53
. l : x t (1,9,13) )59 . a 1 , b 7 )58 (3, 0, 4) ,) הישר חותך57
. k 2 . ג. k 3 . ב. k 2, 3 .) א61 . נחתכים. ג. מקבילים. ב. מתלכדים.) א60
105
. l : x (2,6,0) t (2,16,12) )63 . A' B 'C ' D ' : 2 y z 2 0 )62
1
3
. l : x t (1,9,13) )68 . l : x (3,0,0) t (3,0, 18) )67 . l : x (0, 2, 2) t (4, 2,0) )66
. l : x (0, 4,10) t (4, 7 ,10) )65 . l : x (0, 2, 2) t (1, 2, 4) )64
. l ' : x (5, 13,0) t (7,11, 2) )70 . 1 : y z 0 , 2 : x y z 6 0 )69
. 108 )76 . 90 )75 . 43.94 )74 .18.87 )73 . 21.19 )72 . 26.01 )71
.2
1
)82 . 5 )81 . B(5, 4, 2) אוB(5, 4, 6) )80 .יח"ש12.75 )79 . 54 )78 91 )77
2
. (1, 9,5) ( או4,5,1) )84 . : 3x 2 y z 7 0 או : 3x 2 y z 21 0 )83
. 4 )89 .
24
15
יח"א4.46 )86 . יח"נ20.5 )85
)88 . 22 )87 .
29
41
. 3 : x 2 y 2 z 3 0 )91 . 1' : 3x 4 y 5z 10 0 , 2' : 3x 4 y 5z 30 0 )90
10
. 2 )94 .1.567 )93 .
)92
6
. l : x 0, 2.5,8.5 t 2, 2.75, 1.75 , l : x 0,7,7 t 8, 11, 7 )95
. m 4,
4
)97 . 1 : 2 x 2 y z 7 0 , 2 : y 2 z 6 0 . ב. מקבילים.) א96
7
. : 3x y 3z 15 0 )99 . l : x (3, 1,1) k (5, 2, 4) )98
3
4
4
5
. 3 : 2 x y z 5 0 או 3 : x 2 y z 58 0 )103 .יח"ש10.476 )102
. l : x (0, 14, 15 ) t (14,14, 21) )101 . (0, 0,14 ) ( או0, 0, 4) )100
106
תרגול מבגרויות:
וקטורים גיאומטריים
)1בפירמידה ,ABCDEשבסיסה ABCDהוא מקבילית,
נתון כי . EA EC
א .הוכח :אם הבסיס ABCDהוא מלבן,
אז . ED EB
ב .נסח את הטענה ההפוכה לטענה שבסעיף א,
והוכח אותה.
)2נתונה תיבה .ABCDA'B'C'D
נסמןAA' w , AD v , AB u :
נתוןv 1 , u w 2 :
נקודה Fמקיימת . BF t BC
tהוא פרמטר.
הנקודה Eהיא אמצע האלכסון .A'D
א .הראה כי לא קיים ערך של tשעבורו . EAF 30
ב.
1
( )1מצא את הערך של tשעבורו
5
( )2היכן נמצאת הנקודה Fעבור הערך של tשמצאת :בתוך הקטע ,BC
באחד מקצות הקטע BCאו מחוץ לקטע ?BCנמק.
=. cos EAF
ג .אם EFמקביל למישור הפאה ' ,ABB'Aמצא את היחס שבו הנקודה Fמחלקת
את הקטע .BCנמק.
ד .האם נפח הפירמידה AEDFתלוי בערך של ? tאם כן -הסבר מדוע.
אם לא – חשב את נפח הפירמידה.
)3נתונה פירמידה SABCDשבסיסה ABCD
הוא מקבילית (ראה ציור).
נסמן. SD v , SA w , SB u :
א .הבע באמצעות u , vוw -
את הווקטור . SC
ב .נתון גם, w 2a , u a , SC=SA , SD=SB :
. ASB , ASD , DSB 90
1
הראה כי
2
. cos cos
107
)4נתונה מנסרה ישרה ' ABCA'B'Cשבסיסה
משולש שווה צלעות .הנקודה Eנמצאת על
המקצוע ABכך ש . 0 x 1 AE kAB -
א.
נתון כי הזווית בין המישור A'EC
למישור ABCהיא הזווית .A'EA
מצא את הערך של . k
נתון, A'EA 45 , AC=2 :
הזווית בין המישור A'ECלמישור ABCהיא . A'EA
ב .חשב את הזווית בין המישור ABCלמישור .A'BC
נקודה Fנמצאת על המישור ( A'BCלאו דווקא על )BCכך ש AF -מאונך ל, BC -
ומתקיים. A'F t A'C mA'B :
ג .סמן , AB' v , AC' u , AA' w :והוכח כי . t m
)5נתונים הווקטורים( AB w , AC v , AD u :ראה ציור).
נתון, DAB 90 , BAC DAC 60 :
u v w 2
א.
האם ייתכן ששלושת הווקטורים u , v , w
נמצאים במישור אחד? נמק.
נתון גם כי הווקטור AP au bv wמאונך
למישור a ,ABCו b -הם פרמטרים (ראה ציור).
ב .מצא את האורך של ( APערך מספרי).
ג .היעזר בחישובים טריגונומטריים ומצא את הזווית בין המישור PCBובין
המישור .ABC
)6נתונה פירמידה ישרה ,SABCשבסיסה ABCהוא משולש
שווה צלעות .גובה הפירמידה הוא .SO
נקודה Eהיא אמצע ( SOראה ציור).
נקודה Fמקיימת. SF tSC :
נסמן. OS w , AC v , AB u :
2
3
2
9
1
9
נקודה Kמקיימת. SK u v w :
מצא את הערך של , tאם ידוע שהנקודות K ,Fו E -נמצאות על ישר אחד.
108
)7במשולש ,ABCגובה המשולש לצלע ABהוא .CD
נסמן. AD t AB , CB v , CA u :
3
נתון:
4
. CB 2 , CA 1 , cos ACB
א .חשב את הערך של tבעזרת חשבון וקטורים.
ב .סרטט את המשולש ABCואת הגובה CDכך שהסרטוט יתאים לערך
של tשחישבת בסעיף א.
ג .נקודה Eנמצאת על הצלע ( BCבין Bל .)C -
CE 3
נתון גם= :
BE 5
הבע את AEבאמצעות uו h -בלבד.
.נסמן. CD h :
וקטורים אלגבריים
)8נתון טרפז שווה שוקיים ( AB DC ABCDראה ציור).
נתון כי . DAB 120
נסמן. AB tu , AD v , DC u :
א )1( .הבע את tבאמצעות uו. v -
( )2הבע את הווקטור BC
באמצעות u , v , uו. v -
נתון. v 1, y, 0 , u 8, 6, 10 :
ב )1( .מצא את שיעור ה y -של הווקטור ( . vמצא את שתי האפשרויות).
( )2מבין שני הערכים של yשמצאת בתת סעיף ב ( ,)1מצא עבור איזה ערך
של yהבסיס DCהוא קוטר במעגל שהטרפז חסום בו.
הערה :אפשר לפתור את סעיף ב בלי להסתמך על הפתרון של סעיף א.
)9נתון מישור שמשוואתו . 2 x y z 3 0
הנקודות B 1, 2, m ו A 1, 2, k -נמצאות במישור זה.
הישר BGמאונך למישור .
א .מצא את שיעורי הנקודה ,Gאם גם נתון כי , BG 96ושיעור ה x -של
הנקודה Gהוא חיובי.
ב .דרך הנקודה Gשאת שיעוריה מצאת בסעיף א ,ודרך הנקודה E 11, 6, 17
עובר ישר lהחותך את המישור בנקודה .F
הוכח כי הנקודות ,B ,Aו F -נמצאות על ישר אחד.
ג .מצא את המצב ההדדי בין הישר AFלציר ה. x -
109
)10נתון משולש ABCשווה שוקיים וישר זווית. C 90 ,
שניים מקדקודי המשולש הם C 6, 2, 2 :ו. A 3, 2,1 -
המישור : 2 x y 2z 15 0מקביל למישור .ABC
א )1( .מצא את שתי האפשרויות לשיעורי הקדקוד .B
( )2נסמן את שתי האפשרויות Bב B1 -ו . B2 -
האם הקדקוד Cנמצא על הישר ? B1B2נמק.
ב .נקודה Dנמצאת במישור .
מצא את נפח הפירמידה . DAB1B2
)11נתונה פירמידה SABCDשבסיסה ABCDהוא מקבילית.
השיעורים של ארבעה מבין קדקודי הפירמידה הם:
S 1,1,8 , C 2, 2, 1 , B 4, 2,5 , A 6, a,9
בסיס הפירמידה נמצא במישור : x 2, 1, 4 t 4, 3,5 s 2, 1,1 :
א .חשב את נפח הפירמידה ( SABCDערך מספרי).
ב .המישור חותך את הצירים בנקודות .K ,L ,M
מצא את היחס בין נפח הפירמידה SABCDלבין נפח הפירמידה OKLM
( – Oראשית הצירים).
ג .האם הישר שעליו נמצא גובה הפירמידה SABCDחותך את כל המישורים
שעליהם מונחות פאות הפירמידה ?OKLMנמק.
)12נתון מקבילון '( ABCDA'B'C'Dגוף שכל
פאותיו הן מקביליות).
נקודה Lהיא אמצע המקצוע 'DD
B'E
נקודה Eנמצאת על המקצוע ' BBכך ש 3 -
EB
נתון כי המקצוע ' AAמאונך למישור .AEL
המישור חותך את המקצוע ' CCבנקודה K
.
(ראה ציור).
נסמן. CK mCC' , AA' w , AD v , AB u :
א .מצא את הערך של . m
ב .נתון כי ההצגה הפרמטרית של הישר ' CCהיא , x 4,5,8 t 1, 1, 2
הנקודה 2, 1,3נמצאת במישור ,AELושיעורי הקדקוד ' Cהם x, y, 0
מצא את מרחק הקדקוד Cמהמישור .AEL
110
)13נתונות משוואות של שני מישורים:
1 :2 x y 2 z 10 0
2 :2 x y 2 z 10 0
ונתון ישר שהצגתו הפרמטרית היא:
l : x 0,10, 0 t 0, 2,1
הישר lחותך את המישור 1בנקודה ,B
ואת המישור 2הוא חותך בנקודה .P
הנקודה A 5, 0, z נמצאת במישור ( 1ראה ציור).
מהנקודות Aו B -העבירו אנכים למישור , 2החותכים את המישור
בנקודה Dו C -בהתאמה.
מצא את נפח הפירמידה ( PABCDשבסיסה .)ABCD
)14נתונה פירמידה ABCDTשבסיסה ABCDהוא מקבילית.
. 2x 2 y z 4 0
משוואת מישור הבסיס היא:
הצגה פרמטרית של הישר TBהיא. x 1, 2, 7 t 3, 2,1 :
א .מצא את השיעורים של הקדקוד .B
ב .אלכסוני המקבילית ABCDנפגשים בנקודה .M
אחת מהנקודות Mו D -נמצאת על ציר ה , x -ואחת מהן נמצאת על ציר ה. z -
קבע איזו מהנקודות נמצאת על ציר ה . x -נמק.
ג .דרך נקודה על הישר TBהעבירו אנך למישור המקבילית .ABCDהאנך חותך את
המישור בנקודה .E
( )1מצא הצגה פרמטרית של הישר ( BEההיטל של הישר TBעל מישור
המקבילית).
( )2מצא את המצב ההדדי בין הישר BEלאלכסון .BD
)15נתונים שני מישורים 1ו 2 -המקבילים זה לזה.
המרחק בין שני המישורים הוא .2
מישור 1עובר דרך הנקודות A 2, 0,3ו. B 0, 0, 6 -
מישור 2עובר דרך הנקודה . C 2, 0, 2
מצא את משוואת המישור 1ואת משוואת המישור . 2
(מצא את שתי האפשרויות לכל אחד מהמישורים).
111
)16נתונה פירמידה ישרה .SABC
נסמן. SA u , SB v , SC w :
1
3
1
3
1
3
Mהיא נקודה במישור כך ש. SM u v w -
נתון. u v v w u w :
א .הוכח כי הווקטור SMמאונך למישור .ABC
3
3
3
3
v ,
, 2 , u ,
נתון גם, 2 :
2
2
2
2
. w 0, 3, 2 , C 0, 3, 0
ב .מצא את משוואת המישור .ABC
ג .דרך קדקוד Cהעבירו מישור המקביל למקצוע ABויוצר זווית של 30
עם המישור .ABCמצא את משוואת המישור ( מצא את שני הפתרונות).
)17נתונים שני ישרים מצטלבים .קטע ABנמצא על
אחד הישרים ,וקטע CFנמצא על הישר האחר.
נקודה Eהיא אמצע הקטע ( ABראה ציור).
נסמן. EA w , FE v , CF u :
נתון. v w , v u :
u 7 , v 13 , w 5
35
קוסינוס הזווית בין הווקטורים wו u -הוא
10
.
א .מצא את גודל הזווית .ABC
נתון גם . A 0,2,3 , B 2,6,3 :מישור עובר דרך הנקודה Bומאונך לישר .AB
ב .מצא את משוואת המישור .
ג .היעזר בתשובתך לסעיף א ומצא את גודל הזווית שבין הישר BCלמישור .
112
)18במשולש ABCהתיכון לצלע BCהוא .AT
הנקודה Lנמצאת על הצלע .AC
ATו BL -נפגשים בנקודה ( Mראה ציור).
נסמן. BM BL , AM AT , AB u , AC v :
א.
AL 3
נתון= :
LC 4
.
מצא את הערך של ואת הערך של .
ב ) 1( .מצא את המשוואה של המקום הגיאומטרי שעליו מונחות הנקודות ,Bשעבורן
המשולש ABCמתקיים. A 1,0 , v 7,7 , AT 50 :
על פי הנתונים שבתת סעיף ב ( ) 1והנתון שבסעיף א ענה על תת סעיפים ( )2ו.)3( -
( )2מצא את השיעורים של הנקודה .L
( )3אם הישר MBמקביל לציר ה , y -מצא את השיעורים של הקדקוד .B
הערה :הפתרון של סעיף ב אינו תלוי בפתרון של סעיף א.
)19הישר lעובר דרך הנקודות A 0, 0,1ו . B 1,1, 0 -
הישר מאונך למישור 1וחותך את המישור בנקודה .D
המישור 1עובר דרך ראשית הצירים .O
א .מצא את שטח המשולש .OAD
ב )1( .המישור 2מכיל את ציר ה x -ומקביל לישר . l
מצא את הזווית בין הישר lובין ישר החיתוך שבין המישור 1למישור . 2
( )2מצא את המרחק של הישר lמישר החיתוך שבין המישור 1למישור . 2
113
תשובות סופיות:
)1ב .אם כל זוג מקצועות צדדיים נגדיים בפירמידה ABCDE
שבסיסה ABCDמקבילית מאונכים זה לזה ,הרי שבסיסה ABCDהוא מלבן.
1
)2ב )2( t 1 )1( .הנקודה Fבקצה הקטע BCג.
2
1
ד .הנפח לא תלוי ב t -והוא שווה ל. -
3
t הנקודה Fבאמצע הקטע BC
)3א. SC u v w .
1
)4א.
2
k ב. 30 .
)5א .לא ב 2 6 .ג. 70.53 .
1
)6
3
.t
1
)7א.
4
7
8
3
2
t ב .איור בצד .ג. AE u h .
v
uv
BC u v )2( t
)8א)1( .
u
u
1
ב)1( .
7
. y 7 )2( y 7,
)9א G 9, 2, 1 .ג AF .מצטלב עם ציר ה. x -
)10א )2( B1 7, 6, 1 , B2 5, 2, 3 )1( .כן .ב 18 .יחידות נפח.
)11א 12 .יחידות נפח .ב .8 .ג .כן.
3
)12א.
4
17
.129 )13
27
)14א 2, 0, 8 .ב .נקודה Dג)1( .
m ב 9 6 .יח'.
)2( 2, 0, 8 r 1, 0, 2 מתלכדים.
3x 6 y 2 z 12 0 : 1 )15או 3x 6 y 2 z 12 0
3x 6 y 2 z 2 0 : 2או . 3x 6 y 2 z 2 0
)16ב z 0 .ג y 3z 3 0 .או . y 3z 3 0
)17א ABC 80.9 .ב : x 2 y 14 0 .ג. 9.1 .
)18א 0.7 , 0.6 .ב. 4, 17 )3( 4,3 )2( x 6 y 7 200 )1( .
2
2
)19א.
6
2
ב)2( 90 )1( .
2
2
.
114
פרק – 4מספרים מרוכבים:
הגדרות כלליות:
ע"י הסימון i 1 :מגדירים את המספר מהצורה:
חלק ממשי aוחלק מדומה . bהמספרים aו b -הם ממשיים.
z a bi
כמספר מרוכב בעל
aנקרא הרכיב הממשי של zומסומן גם ( Re z מלשון.)Real :
bנקרא הרכיב המדומה של zומסומן גם ( Im z מלשון.)Imaginary :
צמוד קומפלקסי (מרוכב):
לכל מספר מרוכב z a biקיים מספר צמוד המסומן ב z -וערכו. z a bi :
מישור גאוס והצגה קוטבית (פולרית) של מספר מרוכב:
ניתן לאפיין מספר מרוכב zע"י הצגתו במישור שבו ציר ה x -מייצג את , aגודל
הערך הממשי של , zוציר ה y -מייצג את , bגודל הערך המדומה של . z
מישור זה נקרא מישור גאוס ומופיע באיור הסמוך.
במישור גאוס ניתן לאפיין כל נקודה ע"י הזוג a, b :
או ע"י הערך המוחלט של המספר (מרחקו מ ) 0, 0 -
והזווית שלו בין הקרן החיובית של הציר הממשי לרדיוס.
הצמד הנ"ל מוגדר כהצגה קוטבית של מספר מרוכב
ויסומן. R, :מספר מרוכב בהצגה קוטבית:
. z R cos i R sin R cos i sin Rcis
נוסחאות ומעברים:
.1מעבר מהצגה קוטבית לקרטזית (אלגברית). R a 2 b2 , tan b :
a
.2מעבר מהצגה קרטזית לקוטבית. a R cos , b R sin :
.3גודל של מספר מרוכב zיסומן z :ויחושב. z R a 2 b2 :
115
פעולות חשבון בהצגה קוטבית:
.1כפל מספרים מרוכבים. z1 z2 R1cis1 R2cis2 R1R2cis1 2 :
.2
z1 R1cis1 R1
חילוק מספרים מרוכביםcis1 2 :
z2 R2cis 2 R2
.
משפט דה-מואבר:
כדי להעלות מספר מרוכב zבחזקת nנעזר בקשר. Rcis Rncis n :
n
שורשים של מספר מרוכב:
כדי להוציא שורש - nי של מספר מרוכב zהשווה למספר מרוכב אחר z0 R0cis0
2 k
zk n R0 cis 0
נבצע : 1 k n :
n
n
116
. z n z0 R0cis0 / n
שאלות:
)1רשום עם : i
א1 .
ד.
3
)2חשב:
אi .
ד.
i4
ב.
4
ה.
5
25
ג.
ב.
i
ג.
i
ה.
i5
ו.
i17
2
3
)3רשום את ערכם של aו b -בעבור המספרים המרוכבים הבאים:
א.
2 5i
ב.
3i
ג.
3 1
i
2 2
ד.
7i
ה.
4
ו.
0
)4פתור את המשוואות הבאות:
בx 36 0 .
אx 2 1 .
2
ג.
x 2x 5 0
2
)5פתור את המשוואה הבאה. x2 x 1 0 :
)6פתור את המשוואה הבאה. z 2 iz 6 0 :
)7נתון . z1 2 3i , z2 5 2i :חשב את ערכי הביטויים המרוכבים הבאים:
אz1 z2 .
בz1 z2 .
ג.
z1 z2
)8רשום את המספר הצמוד של המספרים המרוכבים הבאים:
א.
2 5i
ב.
3i
ג.
3 1
i
2 2
ד.
7i
ה.
4
ו.
0
)9חשב:
א.
11 2i
2i
ב.
3 7i
2 5i
)10פתור את המשוואה הבאה. 3z 11 iz 7i :
117
ג.
19 9i
2 3i
)11פתור את המשוואה הבאה. iz 5 4i :
)12פתור את מערכת המשוואות הבאה ( zו w -משתנים מרוכבים):
3z iw 5 4i
.
5i z 2w 5 8i
)13פתור את המשוואות הבאות שבהן aו b -ממשיים:
ב3a 8 5bi 2b ai 3i .
א2a 3i 10 bi .
)14פתור את המשוואה הבאה:
2 z 7i iz z 3
)15חשב את ערכי המספרים המרוכבים הבאים:
ב8 6i .
א5 12i .
)16פתור את המשוואה הבאה. z 2 2 1 2i z 8i 0 :
)17פתור את המשוואה הבאה. iz 2 2 1 i z 6 15i 0 :
)18פתור את המשוואה הבאה. z 2 i z 6 0 :
)19נתונה המשוואה הבאה mi 2 z 2 2 m 2i z 1 0 :
מצא לאלו ערכים של הפרמטר המרוכב
א .יש פתרון יחיד.
ב .אין פתרון.
m
למשוואה:
)20כתוב את המספרים המרוכבים הבאים בהצגה אלגברית:
ג.
ב6cis135 .
א2cis60 .
ו.
ה4cis690 .
ד4cis 30 .
ז.
ח.
3cis270
ט.
cis180
4cis330
8cis90
cis0
)21הפוך להצגה קוטבית:
א.
1 i
ב.
3 i
ג.
1
3
i
2 2
ה.
6i
ו.
i
ז.
4
ט.
1
י.
0
118
ד.
3 4i
ח.
1
)22חשב את ערכי הביטויים הבאים:
א.
2cis120o 3cis60o
ב.
cis 210o 5cis 40o
ד.
1
2cis 40o
ה.
6cis30o 2cis 210o
o
ג.
12cis315
3cis90o
)23נתון המספר המרוכב . z Rcisהבע באמצעות Rו -את המספרים:
א.
z
ד.
1
z
ב.
1
z
ג.
z
ה.
iz
ו.
zz
)24הראה כי המספרים הבאים הם ממשיים טהורים:
אz z .
בz z .
ג.
z
z
z
z
)25הראה כי המספרים הבאים הם מדומים טהורים:
אz 2 z 2 .
1 1
z
z
ב.
)26הוכח את הטענות הבאות:
אz i z z iz .
ב.
2
z z z
)27מצא את ק דקודיו של ריבוע החסום במעגל קנוני שרדיוסו 2במישור גאוס אם
ידוע שצלעותיו מקבילות לצירים.
)28ריבוע חסום במעגל קנוני במישור גאוס .אחד מקודקודי הריבוע הוא .1 3i
מצא את קדקודיו האחרים.
)29משולש שווה צלעות חסום במעגל קנוני במישור גאוס.
אחד מקודקודי המשולש הוא .1 3iמצא את קדקודיו האחרים.
)30משולש שווה שוקיים ,שזווית הבסיס שלו היא 30oחסום במעגל קנוני במישור
גאוס .קדקוד הראש של המשולש הוא .1 3iמצא את קדקודיו האחרים.
119
z )31הוא מספר מרוכב במישור גאוס הנמצא מחוץ למעגל היחידה.
קבע אם המספרים הבאים נמצאים בתוך מעגל היחידה ,עליו או מחוץ לו:
א.
ב.
z
1
z
ג.
z
z
ד.
zz
)32חשב את ערכי הביטויים הבאים תוך שימוש בנוסחת דה-מואבר:
2cis30
o 3
א.
ה.
1
3
i
2
2
ב.
2cis14
o 5
ג.
4
1 i
ד.
3
3 i
15
)33פתור את המשוואות הבאות:
אz 2 36cis120o .
ב.
2
z 4 9cis80o
ג.
1
3
i
2 2
z5
)34מצא את סכום ומכפלת שורשי היחידה מסדר .4
)35נתון המספר המרוכב . z x yi
מצא את המקום הגאומטרי במישור גאוס המתקבל בעבור המשוואהz 2 :
)36נתון המספר המרוכב . z x yi
מצא את המקום הגאומטרי במישור גאוס המתקבל בעבור המשוואהz 3i 5 :
)37נתון המספר המרוכב . z x yiמצא את המקום הגאומטרי במישור גאוס
המתקבל בעבור המשוואהz i z i 1 3i :
)38בסדרה חשבונית האיבר השביעי הוא a7 13 3iוהאיבר השלישי הוא . a3 5 9i
מצא את סכום עשרת האיברים הראשונים בסדרה.
)39בסדרה הנדסית האיבר החמישי הוא a5 32 16iוהאיבר השני הוא . a2 2 4i
א .מצא את האיבר הראשון בסדרה ואת מנת הסדרה ,אם נתון שמנת
הסדרה היא מספר מרוכב הנמצא על הציר המדומה במישור גאוס.
ב .מצא את סכום חמשת האיברים הראשונים בסדרה.
)40נתונים שלושה איברים סמוכים בסדרה הנדסית .האיבר הראשון ביניהם הוא .2
נתון כי אם מוסיפים לאיבר השלישי 4iמתקבלים שלושה איברים סמוכים
בסדרה חשבונית .מצא את שלושת איברי הסדרה ההנדסית (שתי אפשרויות).
120
)41פתור את המשוואה. z z z 2 i 4i Im z :
2
)42פתור את המשוואה. 2 3x x1 i 13 :
2
)43פתור את המשוואה. z 3 z :
)44הוכח :אם מקדמי משוואה ריבועית הם מספרים ממשיים ואין למשוואה פתרונות
ממשיים אז פתרונות המשוואה הם שני מספרים צמודים.
)45נתונים שני מספרים מרוכבים שאינם ממשיים טהורים.
הוכח :אם סכום המספרים ממשי ומכפלתם ממשית אז המספרים צמודים.
)46נתון מספר מרוכב , zשאינו ממשי טהור ואינו מדומה טהור.
הוכח כי אם z 1ממשי אז zעל מעגל היחידה.
z
)47הוכח את הנוסחה הבאהR1cis1 R2cis2 R1R2cis1 2 :
z )48הוא מספר מרוכב על מעגל היחידה ברביע הראשון.
נתון . z 4 z 3 2 3 :מצא את . arg z
z )49הוא מספר מרוכב על מעגל היחידה.
מצא את ערך הביטוי , z izאם ידוע שהוא ממשי.
z1 )50ו z2 -הם פתרונות המשוואה הבאה. z 2 2cos z 1 0 :
מצא את גודל הזווית O ( z1oz2ראשית הצירים).
121
:תשובות סופיות
. 5i . ה. 3i . ד. 5i . ג. 2i . ב. i .) א1
. i . ו. i . ה.1 . ד. i . ג. 1 . ב. i .) א2
3
1
, b . ג. a 3 , b 1 . ב. a 2 , b 5 .) א3
2
2
. x 1 2i ,1 2i . ג. x 6i . ב. x i .) א4 . a 0 , b 0 . ו. a 4 , b 0 .ה
. a 0 , b 7 . ד. a
1
2
.16 11i . ג. 3 5i . ב. 7 i .) א7 . z 2i , 3i )6 . x
3i 1
3i
,
)5
2
2 2
3 1
i . ג. 3 i . ב. 2 5i .) א8
2 2
. z 4 5i )11 . z 4 i )10 . 5 3i . ג. 1 i . ב. 4 3i .) א9
. a 2 , b 1 . ב. a 5 , b 3 .) א13 . z 2 3i , w 5 i )12
. 0 . ו. 4 . ה. 7i . ד.
1
1
2
2
. z1 2 5i , z2 3i )17
. z1 2 , z2 4i )16 . z (3 i) . ב. z (3 2i) .) א15 . z 2 i )14
. m 2i . ב. m i .) א19 . z1 3i , z2 2i )18
. 8i . ו2 3 2i . ה. 2 3 2i . ד. 2 3 2i . ג. 3 2 3 2i . ב.1 3i .) א20
.1 . ט. 1 . ח3i .ז
. 6cis90 . ה. 5cis53.13 . ד. cis240 . ג. 2cis330 . ב. 2cis45 .) א21
. 0 . י. cis0 . ט. cis180 . ח. 4cis0 . ז. cis270 .ו
1
2
. 4cis30 . ה. cis(40) . ד. 4cis225 . ג. 5cis170 . ב. 6 .) א22
1
R
1
R
. cis(180 ) . ד. Rcis(180 ) . ג. cis( ) . ב. Rcis( ) .) א23
. R 2 . ו. Rcis(90 ) .ה
.1 3i ,1 3i , 2 )29 . 3 i , 1 3i , 3 i )28 .1 i , 1 i , 1 i ,1 i )27
. על המעגל. ג. בתוך המעגל. ב. מחוץ למעגל.) א31 .1 3i , 1 3i , 2 )30
.1 . ה. 8i . ד. 4 . ג. 32cis70 . ב. 8i .) א32 . מחוץ למעגל.ד
. z0 6cis60 , z1 6cis240 .) א33
. z0 3cis40 , z1 3cis130 , z2 3cis220 , z3 3cis310 .ב
. z0 cis12 , z1 cis84 , z2 cis156 , z3 cis228 , z4 cis300 .ג
. x2 ( y 3)2 25 )36 . x2 y 2 4 )35 . 1 : מכפלה, 0 :) סכום34
2x2 2 y 2
1 )37
. S5 20 25i . ב. a1 2 i , q 2i .) א39 . S10 75 15i )38 .
3
5
. x 2, 1 )42 . z1 3 4i , z2 3 4i )41 . 2, 4 2i ,6 8i או2, 2i , 2 )40
. z1 0, z2 i , z3 i , z4 1, z5 1 )44 . z1 0, z2 1, z3 i , z4 1, z5 i )43
. 2 )50 . z iz 2 , 2 )49 . arg( z) 30 )48
122
תרגול מבגרויות:
)1בסדרה הנדסית , a1 , a2 , a3...נתון . a7 64 64i , a4 8 8i :מצא את . a1
)2קדקודי מתומן משוכלל ( ABCDEFGHמצולע בעל שמונה צלעות) נמצאים במישור
גאוס ,ומרכז המתומן נמצא בראשית הצירים .נתון כי קדקוד Aהוא . z 1 i
מצא את הקדקודים Bו .H -הצג אותם באמצעות מספרים מרוכבים.
)3נתון מקום גיאומטרי המקיים. z x yi , z z i 3x z i :
מצא את משוואת הישר המשיק לגרף של המקום הגיאומטרי הנתון עבור. x 0 :
)4ענה על הסעיפים הבאים:
z i
2
א )1( .נתונות נקודות המקיימות
z 2 3i
. z x yi ,
רשום באמצעות xו y -את משוואת המקום הגיאומטרי של נקודות אלה.
( ) 2באיזה רביע/רביעים נמצא המקום הגיאומטרי שאת משוואתו רשמת
בתת סעיף א ( ?)1נמק.
ב ) 1( .מצא את שיעורי הנקודות הנמצאות על המקום הגיאומטרי שאת משוואתו
רשמת ,ומקיימות . z 1.25
( ) 2איזה מרובע נוצר כאשר מחברים את הנקודות שבתת סעיף ב( ?)1נמק.
2
)5נתונה המשוואה
1
8
. 2z 2 m 2 x i 0
- zמספר מרוכב - m .פרמטר מרוכב.
א z1 .ו z2 -הם פתרונות המשוואה הנתונה.
1 1
מצא עבור איזה ערך של mמתקיים 4
z1 z2
.
ב )1( .מצא עבור אילו ערכים של mיש למשוואה הנתונה פתרון יחיד.
הראה כי פתרונות המשוואה הנתונה עבור כל הערכים
של mשמצאת בתת סעיף ב (:)1
( )2נמצאים על ישר אחד העובר בראשית הצירים.
( ) 3נמצאים על מעגל אחד שמרכזו בראשית הצירים.
123
z2 , z1 )6ו z3 -הם שלושה מספרים מרוכבים שונים הנמצאים על ישר אחד שעובר
דרך ראשית הצירים z1 .ו -נמצאים ברביע הראשון ,ו z3 -נמצא ברביע השלישי.
נסמן . z1 r1 cos i sin
א.
z1 z3
האם המנה
z2 z3
היא מספר ממשי ,מספר מדומה טהור או מספר שהוא לא
ממשי ולא מדומה טהור? נמק.
z1 z3 1
נתון גם כי z1ו z3 -נמצאים על מעגל היחידה ,ו -
z2 z3 2
.
ב .חשב את הערך המוחלט של . z2
ג z4 .הוא הצמוד של . z1
הבע באמצעות את שטח המשולש הנוצר על ידי הנקודות . z4 , z3 , z1
)7נתונה סדרה. i , i 2 , i3 ,..., i n ,... :
א .הראה כי כל איברי הסדרה מיוצגים במישור גאוס על ידי קדקודי ריבוע חסום
במעגל היחידה (מעגל שרדיוסו 1ומרכזו בראשית הצירים).
ב )1( .הראה כי סכום 4nהאיברים הראשונים בסדרה הוא מספר ממשי.
( )2מצא את הסכום של 19האיברים הראשונים בסדרה.
ג .נתונה סדרה של nמספרים מרוכבים. z1 , z2 , z3 , ... , zn :
איברי הסדרה מיוצגים במישור גאוס על ידי nקדקודים של מצולע משוכלל
בעל nצלעות החסום במעגל היחידה .איברים עוקבים בסדרה מייצגים
קדקודים סמוכים במצולע נגד כיוון השעון .נתון גם כי . z1 1
( )1רשום בהצגה קוטבית את האיבר ( znהבע באמצעות .) n
( )2רשום משוואה שפתרונותיה מיוצגים על ידי nהקדקודים של המצולע
המשוכלל.
1
z
)8נתון מספר מרוכב ( zשהוא לא ממשי) המקיים . z 0 , z 2cos
א .הבע באמצעות את . zמצא את שני הפתרונות.
ב.
1
האם הביטוי
zn
z n הוא מספר ממשי טהור או מספר מדומה טהור
או מספר המורכב ממספר ממשי וממספר מדומה? נמק.
( nהוא מספר טבעי z .הוא המספר הנתון).
124
)9נתון כי מספר מרוכב zנמצא ברביע הראשון מחוץ למעגל היחידה.
סרטט במערכת צירים סקיצה של מעגל היחידה ,ומקם בסרטוט את המספר , z
ואת:
א.
ב.
ג.
1
z
1
.נמק.
z
. z zנמק.
.נמק.
z )10הוא מספר מרוכב הנמצא ברביע הרביעי ,והערך המוחלט שלו הוא .1
1
נתון 3 :
z
O . 1 היא ראשית הצירים .מצא במשולש : Ozz
א .את זוויות המשולש.
ב .את אורכי הצלעות של המשולש.
)11נתונה המשוואה . z 3 w
3
נתון כי אחד מהפתרונות של המשוואה הוא i
2
1
2
.z
הראה כי מכפלה של כל שני פתרונות של המשוואה גם היא פתרון של המשוואה.
z1
z1 )12ו z2 -הם מספרים מרוכבים שונים מאפס .נתון כי
z2
הוא מספר מדומה טהור.
הוכח כי הישר העובר דרך הנקודה z1וראשית הצירים מאונך לישר העובר דרך
הנקודה z2וראשית הצירים.
(הנקודות z1ו z2 -מייצגות במישור גאוס את המספרים הנתונים).
z )13הוא מספר מרוכב.
א .פתור את המשוואה . z i 2 z 3
ב .הראה כי כאשר nהוא מספר טבעי ,אז z 6nיכול לקבל רק שני ערכים.
125
)14הנקודות A a, 0 ו . a 0 , B a, 0 -
המקום הגיאומטרי של כל הנקודות שמרחקן מהנקודה Aגדול פי 2ממרחקן
מהנקודה Bזהה למקום הגיאומטרי של מספרים מרוכבים zהמקיימים . z b 4
aו b -הם פרמטרים ממשיים.
א .מצא את הערך של aואת הערך של . b
ב .מלבן , TNEFשצלעותיו מקבילות לצירים ,חסום במקום הגיאומטרי המתואר
בפתיח .שיעור ה y -של הקדקודים Eו F -קטנים מ.0-
המספר המרוכב z 2 iyמייצג את הקדקוד Tשל המלבן.
הנקודה Cנמצאת על ציר ה x -כך ש . CN CF 16 -
מצא את השיעורים של הנקודה .C
)15המקום הגיאומטרי של המספרים המרוכבים zמקיים. z 12 5i 7 :
המקום הגיאומטרי של המספרים המרוכבים w x iyמקיים. arg w 45 :
( arg wהיא הזווית בהצגה הקוטבית של .) w
המקום הגיאומטרי של המספרים המרוכבים wחותך את המקום הגיאומטרי של
המספרים המרוכבים zבנקודות Bו .C -
א .סרטט באותה מערכת צירים סקיצות של שני המקומות הגיאומטריים.
ב .הנקודות Bו C -מייצגות במישור גאוס את המספרים המרוכבים z1וz2 -
בהתאמה .מצא את . arg z2 z1
)16ענה על הסעיפים הבאים:
א .סרטט במישור גאוס סקיצה של המקום הגיאומטרי של המספרים
המרוכבים zהמקיימים . z 3 3i 3 :נמק.
ב .המקום הגיאומטרי שבסעיף א' נפגש עם ציר ה x -בנקודה . z1
נתונה הנקודה . M 3, 3 נסמן ב O -את ראשית הצירים.
המספר המרוכב z2נמצא על המקום הגיאומטרי שבסעיף א כך
שהמרובע z1Mz2Oהוא דלתון .מצא את הזווית החדה של הדלתון.
ג )1( .מצא את הארגומנט של . z2
( )2מבין המספרים המרוכבים zשבסעיף א ,מהו המספר שיש לו הארגומנט
הגדול ביותר? מהו ארגומנט זה?
126
)17ענה על הסעיפים הבאים:
4
2z 1
z , הוא מספר מרוכב.
א .פתור את המשוואה 1
z 1
ב .האם שלושה מן הפתרונות שמצאת בסעיף א נמצאים על המקום הגיאומטרי
של המספרים המרוכבים wהשונים מ 0 -ומקיימים?107 arg w 253 :
נמק.
127
תשובות סופיות:
. a1 1 i )1
)2
2, 0
. B : 0, 2i , H:
. y 0 )3
)4א )2( xy 0.5 )1( .רביע שני ורביעי .ב)1( .
)2( 0.5,1 , 0.5, 1 , 1,0.5 , 1, 0.5מלבן.
2
2
2
2
, m2 2
)5א m 2 0.5i .בi )1( .
2
2
2
2
. m1 2
1
( )2הם נמצאים על הישר )3( y x :הם נמצאים על המעגל:
16
)6א .מספר ממשי טהור ב z2 3 .ג. sin 2 .
. x2 y 2
360 n 1
z n 1 )2( zn cis
)7ב -1 )2( .ג )1( .
n
)8א z2 cos i sin , z1 cos i sin .ב .מספר ממשי טהור.
)9סקיצה בסוף.
)10א 30 , 30 , 120 .ב. 3 ,1 ,1 .
3 1
)13א i )1( .
2 2
.z
)14א b 5 , a 3 .ב. C 5, 0 .
)15א .סקיצה בסוף ב. arg z2 z1 90 .
)16א .סקיצה בסוף .ב 60 .ג , z 3 )2( 120 )1( .הארגומנט הוא .180
)17א 0.2 0.6i , 0 , 0.2 0.6i , 2 .ב .כן.
סקיצות לשאלות הבאות:
)9
)16
)15
128
פרק – 5בעיות גדילה ודעיכה:
הגדרת בעיית גדילה ודעיכה מעריכית:
הכמות לאחר פרק זמן , tהמסומנת , M tכאשר הכמות ההתחלתית היא M 0וקצב
הגידול/דעיכה הוא qניתנת ע"י הנוסחה הבאה. M t M 0 qt :
100 p
כאשר הגדילה או הדעיכה נתונים באחוזים נמצא את הבסיס לפי:
100
. q
שאלות חישוב יסודיות:
)1מצא את שיעור הגדילה/דעיכה מתוך אחוז הגדילה/דעיכה הנתון בבעיה.
א .מחיר מוצר גדל ב 20%-לשנה.
ג.
ב .מחיר מוצר יורד ב 40%-לשנה.
ד .מחיר דירה עולה ב 15%-לשנה.
אוכלוסיה מתרבה ב 5%-לשנה.
מחירו של פסל גדל פי 3כל שנה.
ה .כמות דבורים גדלה פי 2כל יום.
ו.
ז .רכב מאבד רבע מערכו בכל שנה.
ח .מנייה מאבדת מחצית מערכה כל חודש.
)2מצא את אחוזי הגדילה/דעיכה מתוך הבסיסים הבאים:
בq 1.6 .
אq 1.2 .
גq 0.85 .
ד.
q 0.72
)3מצא את : M 0
א.
107.2 M 0 1.056
)4מצא את : q
א25 10 q6 .
ב.
ב.
9.35 7 q10.5
ה.
)5מצא את : t
א10 1.05t 70 .
ב.
ד.
70.8 M 0 1.124
ג.
2213.68 M 0 1.48
512.36 6 107 q40
ג.
103 2.4 106 q 25
6.42 10 10 q
ו.
13.25 9.2 q12.3
1
3
3
7
4
62 0.8t 39.68
129
ג.
7 107 0.82t 105
שאלות העוסקות במציאת הכמות הסופית:
)6אוכלוסיית חיידקים מתרבה בכל דקה פי .2
בשעה 10:30בדקו במעבדה מדגם ובו 50חיידקים.
א .כמה חיידקים יהיו כעבור דקה אחת?
ב .כמה חיידקים יהיו כעבור שתי דקות?
ג .כמה חיידקים יהיו בשעה ?10:50
)7כמות של חומר רדיואקטיבי קטנה בצורה מעריכית בכל שבוע ב .2.8%-
במעבדה נשקלה כמות של 2000גרם של החומר.
א .מה תהיה כמות החומר כעבור שבועיים?
ב .מה תהיה כמות החומר כעבור שלושה חודשים?
ג .האם תישאר כמות מסוימת מהחומר כעבור שנה בת 52שבועות?
)8מספר החסידות המגיעות כל שנה לאגם החולה יורד בצורה מעריכית בקצב
של 2.4%בשנה .אם מספר החסידות שהגיעו השנה היה ,6,000מה יהיה מספר
החסידות שיגיעו עוד 7שנים?
)9מספר התושבים בהרצליה בשנת 1990היה .80,000אחוז הגידול באוכלוסיית
העיר הוא 3%בשנה .מה יהיה מספר התושבים בהרצליה בשנת ?1998
שאלות העוסקות במציאת הכמות ההתחלתית:
)10מספר הזברות בטנזניה גדל בצורה מעריכית בקצב של 1.6%בשנה.
כיום יש בטנזניה 45,000זברות .כמה זברות היו בטנזניה לפני 16שנים?
)11מחירו של מוצר לאחר 3שנים הוא .₪ 250ערך המוצר יורד ב 25%-מדי שנה.
מה היה מחירו ההתחלתי?
)12שרון רצה בכל יום מרחק הגדול ב 10%-מאשר ביום הקודם.
ידוע כי שרון רצה ביום השישי מרחק של 2.5ק"מ.
כמה ק"מ רצה שרון ביום הראשון?
)13או כלוסייה במדינה מסוימת מתרבה בצורה מעריכית ב 3.1%-בשנה.
כיום יש במדינה זו 528,000תושבים.
א .כמה תושבים יהיו במדינה זו בעוד 3שנים?
ב .כמה תושבים היו במדינה זו לפני 4שנים?
130
)14כמות אצות באגם מתרבה בצורה מעריכית.
בכל שנה גדלה הכמות פי 4מאשר בשנה שקדמה לה.
כיום יש באגם 2 105ק"ג אצות.
א .מה תהיה כמות האצות בעוד שנתיים?
ב .מה הייתה כמות האצות לפני שנה?
ג .מה תהיה כמות האצות בעוד שנתיים ושלושה חודשים?
שאלות העוסקות במציאת אחוז הגידול/הדעיכה או בסיס הגידול/דעיכה:
)15מספר הלידות בבית החולים "איכילוב" גדל בצורה מעריכית.
לפני 8שנים היו ב"איכילוב" 500לידות בחודש והשנה יש 600לידות בחודש.
מהו אחוז הגידול במספר הלידות החודשי משנה לשנה ב"איכילוב"?
)16מספר תושבים במדינה מסוימת גדל בשיעור קבוע.
במשך 10שנים גדלה האוכלוסייה במדינה מ 5.4-מיליון
תושבים ל 7.2-מיליון תושבים.
א .מה הוא קצב הריבוי בכל שנה במדינה?
ב .אם קצב הגידול של האוכלוסייה יישמר ,מה יהיה מספר
התושבים כעבור 10שנים נוספות?
)17בגן חיות ספרו את מספר התוכים .בספירה הראשונה נספרו 1200תוכים.
בספירה השנייה ,כעבור 6חודשים ,נספרו 1450תוכים.
א .מה הוא קצב הגידול החודשי של התוכים?
ב .מה יהיה מספרם של התוכים כעבור שנה וחצי מהספירה הראשונה?
)18כמות העצים ביער גדלה בצורה מעריכית .אם כמות העצים ביער בשנת 1950
הייתה 5 104טון עצים ובשנת 1990הייתה 107טון עצים ,מה היה אחוז
הגידול השנתי (בהנחה שהגידול היה קבוע)?
)19כמות חומר רדיואקטיבי קטנה בצורה מעריכית .החומר נשקל שלוש פעמים ביום
מסוים .בשעה 7:00בבוקר היה משקל החומר 120ק"ג.
בשעה 10:30בבוקר היה משקל החומר 95ק"ג.
א .מהו קצב התפרקות החומר הרדיואקטיבי לחצי שעה?
ב .מה תהיה כמות החומר בשעה 15:00אחר הצהריים?
5
)20מכונית מאבדת
8
מערכה במשך 10שנים.
א .מהו קצב ירידת הערך של המכונית בכל שנה?
ב .איזה אחוז מערכה תאבד המכונית כעבור 15שנה?
131
)21מספר התושבים ביפן גדל פי 2תוך 20שנים.
מה אחוז הגידול השנתי באוכלוסיית יפן?
)22מספר התושבים במדינה מסוימת גדל פי 3.5ב 40-שנים.
א .מצא מהו אחוז הריבוי השנתי.
ב .מצא פי כמה יגדל מספר התושבים כעבור 58שנים?
)23מספר החיידקים במבחנה גדל בצורה מעריכית .אם לפני 6שעות היו במבחנה 200
חיידקים ועכשיו יש בה 500חיידקים ,כמה חיידקים יהיו בה בעוד 4שעות?
שאלות העוסקות במציאת הזמן:
)24הריבית על תכנית חיסכון בבנק מסוים היא 2.4%בשנה.
אדם הפקיד בתוכנית החיסכון .₪ 12,000תוך כמה שנים יהיו ברשותו ?₪ 15,000
)25אוכלוסיית הדובים בקוטב הצפוני מכפילה את עצמה כל 18שנה.
אם היום יש בקוטב הצפוני 6,000דובים ,בעוד כמה שנים יהיו 8,000דובים?
)26חומר רדיואקטיבי מתפרק בצורה מעריכית.
אם בתוך 4שעות הוא מאבד 20%ממשקלו ,תוך כמה זמן יאבד 60%ממשקלו?
)27חומר רדיואקטיבי מתפרק בצורה מעריכית.
אם בתוך 4שעות הוא מאבד 20%ממשקלו ,תוך כמה זמן יאבד 50%ממשקלו?
)28זמן מחצית החיים של חומר רדיואקטיבי הוא 16ימים.
תוך כמה ימים יאבד שליש ממשקלו?
)29בשעה 08:00נלקחו שני חומרים רדיואקטיביים .מחומר א' נלקחו 150גרם וזמן
מחצית החיים שלו הוא 10שעות .מחומר ב' נלקחו 117.4גרם וזמן מחצית החיים
שלו הוא 18שעות .באיזו שעה משקל החומרים יהיה זהה?
132
שאלות שונות (כל הנושאים יחד):
)30בנק א' נותן ריבית של 3%כל שנתיים בתוכנית חיסכון מסוימת.
בנק ב' נותן ריבית של 4.5%כל 3שנים בתוכנית חיסכון אחרת.
אדם מתכוון להפקיד סכום כסף מסוים לתקופה של 18שנה.
באיזה בנק כדאי לו להשקיע את כספו?
)31נתונות שתי תרביות חיידקים ,כל אחת גדלה בצורה מעריכית.
בשעה מסוימת בתרבית א' היו 4,000חיידקים ובתרבית ב' היו 500חיידקים.
נסמן:
- t1הזמן שחלף עד שבתרבית א' היו פי 2חיידקים מאשר בתרבית ב'.
- t2הזמן שחלף עד שבתרבית ב' היו פי 2חיידקים מאשר בתרבית א'.
t1
חשב את היחס
t2
.
)32מספר החיידקים בתרבית גדל ב p % -בכל שעה.
בשעה מסוימת מספר החיידקים היה . mכעבור tשעות הוציאו mחיידקים
מהתרבית וכעבור עוד tשעות היו 6mחיידקים בתרבית.
הבע את tבאמצעות . p
)33נתונה הפונקציה. f x 700 1.08x 200 x :
מצא את ערך ה x -של נקודת הקיצון של הפונקציה וקבע את סוגה.
)34נתונות שתי בריכות דגים .בבריכה א' קצב הריבוי של מספר הדגים הוא 10%בחודש
ובבריכה ב' הוא 20%בחודש .כמות הדגים בבריכה א' גדולה פי 5מכמות הדגים
בבריכה ב' .בעוד כמה חוד שים לערך ההפרש בין כמות הדגים בבריכה א' לכמות
הדגים בבריכה ב' יהיה מקסימלי?
)35כמות עצים ביער גדלה בצורה מעריכית לפי אחוז ריבוי של 15%לשנה.
בשנת 1990נספרו כמות עצים מסוימת ביער .בשנת 2000כרתו 30,000עצים
ולאחר 5שנים נוספות ,בשנת ,2005נספרו ביער 753365עצים.
מצא כמה עצים היו ביער בשנת .1990
)36ערכה של דירה יורד מדי שנה באחוז קבוע של .6%ידוע כי ערך הדירה לאחר 10
שנים מיום מכירתה נמוך ב ₪ 35,000-ממחירה המקורי.
א .מצא את המחיר ההתחלתי של הדירה.
ב .מצא לאחר כמה שנים ערך הדירה ירד מתחת ל.₪ 30,000-
)37שני בנקים מציעים שתי תכניות חיסכון כלהלן:
בנק א' מציע תכנית חיסכון ל 8-שנים שבסופה סכום הקרן יגדל ב .80%-
בנק ב' מציע תכנית חיסכון ל 6-שנים שבסופה סכום הקרן יגדל ב.60%-
א .באיזה בנק אחוז הריבית השנתית גבוה יותר?
ב .דני משקיע סכום כסף kלפי תכנית חיסכון של בנק א' ובתום התוכנית הוא
מעביר את הסכום שעומד לרשותו לתכנית החיסכון של בנק ב'.
133
רפי משקיע סכום כסף זהה kלפי תכנית חיסכון של בנק ב' ובתום התכנית
הוא מעביר את הסכום שעומד לרשותו לתכנית החיסכון של בנק א'.
למי יהיה סכום גדול יותר בתום שתי התכניות?
נמק את תשובתך והראה חישוב מתאים.
)38שווי שתי מכוניות המוצעות למכירה הוא:
מכונית א' ₪ 60,000 -ומכונית ב'.₪ 85,000-
ידוע כי ערך מכונית ב' יורד ב 4%-בכל שנה וערך מכונית א' יורד ב 2.5%-בכל שנה.
א .מצא בעוד כמה שנים יהיו המחירים של שתי המכוניות זהים.
ב .סיגל רוצה לקנות מכונית ולרשותה עומד סכום של .₪ 40,000
איזו מכונית תוכל לקנות סיגל קודם ולאחר כמה שנים מיום הצעתן?
)39כמות אצות בים מתרבה בצורה מעריכית .ידוע כי לאחר 40שנים כמות אצות
מכפילה את עצמה .כדי לצמצם את כמות האצות מבצעים עבודות ניקיון מדי שנה
ובהן מנקים כ 200-ק"ג אצות .בחוף מסוים היו בשנת 1990כ 1200-ק"ג אצות.
א .מצא את קצב גידול האצות השנתי.
ב .מצא כמה אצות יהיו בחוף המסוים בשנת 1993לאחר הניקיון באותה שנה.
)40נתונות שתי כמויות התחלתיות זהות ,האחת גדלה בצורה מעריכית והשנייה קטנה
בצורה מעריכית .לשתי הכמויות אחוז גדילה/דעיכה קבוע והוא .5%
א .האם הזמן שבו הכמות הראשונה תגדל לכמות הכפולה מהכמות
ההתחלתית שלה שווה לזמן שבו תקטן הכמות השנייה למחצית מהכמות
ההתחלתית שלה? נמק והראה חישוב מתאים.
ב .ללא קשר לנתון הקודם ,הראה כי כדי ששתי הכמויות יגיעו ליעדיהן באותו
הזמן אז הבסיסים שלהן q1 , q2 צריכים להיות מספרים הופכיים.
)41כמות חומר רדיואקטיבי קטנה בצורה מעריכית לפי אחוז קבוע pמדי שעה.
ביום מסוים היו kגרם מהחומר .לאחר 3שעות הוסיפו עוד kגרם לכמות שנותרה
ולאחר 3שעות נוספות מתברר שנשארו kגרם מהחומר .מצא את .p
)42ערך מנייה מסוימת גדל בצורה מעריכית.
ידוע כי בשנת 1980הייתה המנייה שווה kשקלים.
המנייה גדלה באחוז קבוע של 2%לשנה עד לשנת 1992ומשם צנחה בקצב של 5%
לשנה במשך 8שנים נוספות.
לאחר מכן גדלה המנייה בקצב שנתי קבוע עד לשנת .2010
אדם הרוצה לקנות את המנייה שנת 2010נוכח לדעת כי מחירה הוא . 1.5k
מצא באיזה אחוז עלתה המנייה לאחר הצניחה שלה.
)43מספר העופות בשמורת טבע גדל לפי אחוז קבוע של 3%לשנה .בשנה מסוימת
נספרו 2300עופות בשמורה ,לאחר 5שנים הוסיפו לשמורת הטבע 1000עופות
נוספים.
א .מצא כמה עופות יהיו בשמורה לאחר 5שנים נוספות.
ב .מצא תוך כמה שנים יהיה מספר העופות בשמורה זהה לזה שמצאת
בסעיף א' אילולא היו מוסיפים את 1000העופות הנוספים ,אלא אם
הייתה גדילה רציפה.
134
)44אדם מפקיד סכום של ₪ 120,000לפי ריבית דריבית של 12%בשנה.
כעבור tשנים הוא משך את כל הסכום שעמד לרשותו והפקיד אותו ל t -שנים
נוספות בתכנית חיסכון חדשה לפי ריבית דריבית של .15%בתום תקופה זו עמד
לרשותו סכום של .₪ 330,252
א .מצא את . t
לאחר תקופה זו הוא מפקיד את סכום הכסף הסופי בתכנית לפי ריבית דריבית
מסוימת .לאחר 5שנים עמד לרשותו סכום של .₪ 821,772
ב .מצא את אחוז הריבית החדש.
)45ערכן של שת י חלקות אדמה יורד בצורה מעריכית .ידוע כי בזמן שערכה של אדמה
א' מגיע למחצית מערכה המקורי ,ערכה של אדמה ב' מגיע ל 30%-מערכה המקורי.
לאחר 50שנים אדמה א' מאבדת 60%מערכה.
א .מצא את אחוז הדעיכה של אדמה ב'.
ב .ידוע כי לאחר 100שנים ערכן של שתי האדמות שווה .ערכה המקורי של
אדמה ב' הוא .₪ 100,000מצא את ערכה המקורי של אדמה א'.
)46מספר העופות בשמורת טבע גדל לפי אחוז קבוע של pאחוזים לשנה.
בשנה מסוימת נספרו 3000עופות בשמורה ,לאחר 4שנים הוסיפו
לשמורה 1000עופות נוספים.
א .מצא את אחוז הגידול השנתי pאם ידוע כי לאחר 4שנים נוספות היו
בשמורת 5647עופות.
ב .מצא לאחר כמה שנים יהיו 5647עופות אילולא היו מוסיפים
את 1000העופות הנוספים.
)47כוורת דבורים ידוע כי בכל 10שעות כמות הדבורים גדלה פי .1.5
א .מצא באיזה אחוז גדלה כמות הדבורים בכל שעה.
ב .מוציאים לאחר 10שעות 3000דבורים וידוע כי נשארו 1500דבורים.
חשב כמה דבורים היו בתחילה בכוורת.
)48אדם מפקיד kשקלים בתוכנית חיסכון לפי ריבית שנתית של .p%לאחר 5שנים
הוא מושך מהחיסכון kשקלים ולאחר 5שנים נוספות מתברר כי הצטבר בפיקדון
שלו סך הכול .₪ 2.5kמצא את .p
)49ערך מנייה מסוימת גדל בצורה מעריכית.
ידוע כי בשנת 1995הייתה המנייה שווה kשקלים.
המנייה גדלה באחוז קבוע של 5%לשנה עד לשנת 2000ושם צנחה בקצב של 8%
לשנה במשך 6שנים נוספות .לאחר מכן גדלה המנייה בקצב שנתי קבוע עד
לשנת .2010אדם הרוצה לקנות את המנייה בשנת 2010נוכח לדעת כי מחירה
הוא . kמצא באיזה אחוז עלתה המנייה לאחר צניחתה.
135
תשובות סופיות:
)1א 1.2 .ב .0.6 .ג .1.05 .ד .1.15 .ה .2 .ו .3 .ז 0.75 .ח.0.5 .
)2א 20% .גדילה .ב 60% .גדילה .ג 15% .דעיכה .ד 28% .דעיכה.
)3א .80 .ב .45 .ג.150 .
)4א .1.165 .ב .0.7469 .ג .0.732 .ד .1.028 .ה .0.22 .ו.1.03 .
)5א 39.88 .ב .2 .ג.33.01 .
)6א .100 .ב .200 .ג.52,428,800 .
)7א 1889.56 .ג' .ב 1422.4 .ג' .ג .כן 456.747 .ג'.
5,062 )8חסידות.
101,342 )9תושבים 34,907 )10 .זברות.₪ 592.6 )11 .
1.41 )12ק"מ )13 .א 578,642 .תושבים .ב 467,304 .תושבים.
)14א 3,200,000 .ק"ג .ב 50,000 .ק"ג .ג 4,525,483.4 .ק"ג.
)16 .2.3% )15א .1.029 .ב 9.6 .מיליון תושבים.
)17א .1.032 .ב 2117 .תוכים.14.16% )18 .
)19א .0.9671 .ב 70.35 .גרם )20 .א .0.90657 .ב.77.1% .
)22 .3.5% )21א 3.18% .ב 921 )23 .6.15 .חיידקים.
9.41 )24שנים 7.47 )25 .שנים 16.43 )26 .שעות 12.43 )27 .שעות.
9.36 )28ימים )30 .16:00 )29 .בנק א'.
t
ln 3
1
)32 . 1 )31
t2 2
100 P
ln
100
, x 17.04 )33מינימום 11 )34 .חודשים 100,000 )35עצים.
.t
)36א ₪ 75,858.5 .ב .לאחר 15שנים )37א .בנק ב' ב .לשניהם אותו הסכום.
)38א .לאחר 22.46שנים .ב .מכונית א' ולאחר 16שנים.
)39א 1.017 .ב 653.48 .ק"ג אצות.
)40א .הכמות השנייה תגיע ליעדה לפני הראשונה )42 14.82% )41ב.5.95%-
)43א 4250 .עופות ב 20.77 .שנים )44א t 4 .ב. p 20% .
)45א 3.13% .ב )46 ₪ 25,909 .א .5% .ב 12.96 .שנים.
)47א .ב .4.1%-ב 3000 .דבורים )49 16.63% )48ב.6.6%-
136
תירגול נוסף:
)1בבריכת דגים נספרו 20,000דגים.
כשלוש שנים לאחר מכן התבצעה ספירה נוספת ובה היו 28098דגים.
א .מצא את אחוז הגדילה השנתי של הדגים.
ב .אחר 4שנים נוספות הוציאו מהבריכה 40,000דגים.
מצא כמה דגים יישארו בבריכה לאחר שנה מהוצאת ה 40,000-דגים.
)2כמות עצים ביער גדלה בצורה מעריכית לפי אחוז ריבוי של 15%לשנה.
בשנת 1990נספרו כמות עצים מסוימת ביער .בשנת 2000כרתו 30,000עצים
ולאחר 5שנים נוספות ,בשנת ,2005נספרו ביער 753365עצים.
מצא כמה עצים היו ביער בשנת .1990
)3מדען שוקל כמות חומר רדיואקטיבית 3פעמים ביום מסוים.
בשקילה הראשונה כמות החומר היא 120גרם.
לאחר שלוש שעות כמות החומר הייתה 61.44גרם.
בשקילה השלישית 31.457גרם.
א .מצא את אחוז הדעיכה של החומר הרדיואקטיבי.
ב .מצא לאחר כמה שעות מהשקילה השנייה התבצעה השקילה השלישית.
)4אחוז ריבוי אוכלוסייה בעיר מטרופולין הוא כזה שכל 30שנים מכפילה העיר את
כמות תושביה.
א .מצא את קצב הגידול השנתי של תושבי העיר.
ב .אחוזי הריבוי בעיר גוטהם ובעיר מטרופולין זהה ,אך ידוע כי כל 10שנים
עוזבים את העיר גוטהם כ 10,000-תושבים .בשנת 1970היו בעיר גוטהם
40,000תושבים .מצא כמה אנשים יהיו בעיר גוטהם בשנת .1988
)5הערך של משאית הובלה יורד מדי שנה באחוז קבוע .ידוע כי ערך המשאית
לאחר 4שנים מיום מכירתה נמוך ב 20,000-ממחירה המקורי .כמו כן ,ערך
המשאית לאחר 8שנים הוא .₪ 56,000מצא את המחיר המקורי של המשאית
ואת האחוז שבו ערכה יורד מדי שנה.
)6ערך של מכונית היום הוא .45,000המכונית יצאה לשוק לפני 3שנים וערכה קטן
מדי שנה באחוז קבוע של .8%
א .מה המחיר המקורי של המכונית?
ב .מה יהיה מחיר המכונית לאחר 3שנים מהיום?
ג .מצא תוך כמה שנים המכונית תרד עד לרבע מערכה בזמן שיצאה לשוק.
137
)7ערכן של אדמה עידית ואדמה זיבורית גדל בצורה מעריכית מדי שנה.
ידוע כי הערך של דונם אדמה עידית גדול פי 5מהערך של דונם אדמה זיבורית.
הערך של האדמה הזיבורית גדל ב 8%-והערך של האדמה העידית גדל ב 4%-
לשנה .מצא בעוד כמה שנים ישתוו המחירים של דונם אדמה מכל סוג.
)8ערכן של אדמה עידית ואדמה זיבורית גדל בצורה מעריכית מדי שנה.
ידוע כי הערך של דונם אדמה עידית גדול פי 6מהערך של דונם אדמה זיבורית.
הערך של האדמה הזיבורית גדל באחוז קבוע הגדול פי 2מהאחוז שבו גדל הערך
של האדמה העידית .מצא את אחוז הגדילה של האדמה הזיבורית אם ידוע כי
המחירים של דונם אדמה מכל סוג ישתוו לאחר 62.4שנים.
)9ערכן של שתי מכוניות ,האחת חדשה והש נייה ישנה ,מתנהג בצורה מעריכית.
ערך המכונית החדשה גדול פי 2מערך המכונית הישנה ויורד באחוז מסוים מידי
שנה .כמו כן ,ידוע כי ערך המכו נית הישנה גדל באותו האחוז מדי שנה.
לאחר 20שנים מהיום שבו הוצעו המכוניות למכירות פומביות ערכן השתווה.
מצא את אחוז הגדילה או הדעיכה של כל מכונית.
)10אדם מפקיד לתכנית חיסכ ון סכום מסוים לפי ריבית דריבית של .3%
ערך מכונית יורד בכל שנה ב .3%-ידוע כי סכום המכונית גדול פי 3מהסכום
שהפקיד האדם בתכנית החיסכון .מצא לאחר כמה זמן יוכל האדם למשוך את
הכסף שיעמוד לרשותו ולקנות את המכונית.
)11כמות חומר רדיואקטיבי מאבד 60%ממשקלו תוך 8שעות.
קצב הדעיכה של החומר הוא מעריכי.
א .מצא את קצב הדעיכה של החומר לשעה.
ב .מצא תוך כמה זמן יאבד החומר 90%ממשקלו.
ג .ידוע כי לאחר 3.5שעות איבד החומר 10גרם ממשקלו.
מצא את כמות החומר הרדיואקטיבי ההתחלתית.
ד .מה הייתה כמות החומר הרדיואקטיבי 3שעות לפני שנערכה
המדידה הראשונה.
ה .בכמה אחוזים קטן החומר הרדיואקטיבי מ 3-שעות לפני המדידה
הראשונה עד למדידה הראשונה?
)12לשרון שתי חוות נמלים שבהן קצב ריבוי הנמלים הוא מעריכי וגדל ב 4%-ליום.
בסוף כל שבוע (לאחר 7ימים) שרון לוקחת כמות נמלים קבועה מחווה א'
ומעבירה אותם לחווה ב' .שרון סופרת את כמות הנמלים בכל חווה ביום מסוים
ומגלה כי כמויות הנמלים בשתי החוות הן 3,000נמלים בכל חווה .בספירה נוספת
שערכה שרון לאחר שבועיים מיום מדידתה הקודם (ולאחר ההעברה) מצאה שרון
כי בחווה ב' יש 1,500נמלים יותר מבחווה א' .מצא כמה נמלים מעבירה שרון
מחווה א' לחווה ב' לאחר כל 7ימים.
138
)13תרבית חיידקים גדלה בצורה מעריכית .מדען שקל את כמות החיידקים
בשעה 10:00בבוקר ומצא כי יש בתרבית kחיידקים.
בשעה 14:00ערך המדען שקילה נוספת ומצא כי משקל החיידקים הוא .1.35k
בשעה 20:00ערך המדען שקילה נוספת ומצא כי משקל החיידקים הוא 741.14גרם.
א .מצא את קצב הגידול של החיידקים בכל שעה.
ב .מצא את המשקל של התרבית בשעה 10:00בבוקר.
ג .מצא את המשקל של התרבית בשעה 6:00בבוקר.
ד .כדי שהמדען יצליח בניסויו משקל התרבית חייב לעבור משקל של 1ק"ג
במהלך יום המדידות הנ"ל (עד שעה 12בלילה .)24:00 -האם המדען יצליח
או ייכשל בניסוי?
)14סוחר קנה בריכת דגים ובה 1000דגי סלמון .ידוע כי כל שבוע כמות הדגים
בבריכה גדלה ב .7%-לאחר 5שבועות מוכר הסוחר 500דגי סלמון.
א .מצא כמה דגים יהיו לסוחר בבריכה לאחר חודשיים (חודש בן 4שבועות)
מזמן הקנייה.
ב .מצא כמה דגים יהיו לסוחר בבריכה לאחר חודשיים מזמן הקנייה ,אם ידוע
כי לאחר הוצאת 500הדגים מהבריכה קצב הגידול של דגים עלה ל.10%-
)15סוללה בעלת קיבולת מקסימלית של 9וולט נטענת בקצב של 14%לדקה.
א .חשב תוך כמה זמן תטען הסו ללה אם ידוע כי מטען הסוללה ההתחלתי
הוא 3וולט.
ב .חשב תוך כמה זמן תטען הסוללה אם ידוע כי לאחר שהגיעה ל 6-וולט
מוציאים ממנה 2וולט (באופן חד-פעמי) ואוגרים אותו בקבל.
)16בתרבית 4 104חיידקים .לאחר 4שעות כמות החיידקים היא . 5 105
א .מצא את קצב הגידול של החיידקים בכל שעה.
ב .מדען גילה כי לאחר שבתרבית יש 106חיידקים אז קצב הגדילה שלהם יורד
ב .30%-תוך כמה זמן יהיו בתרבית 107חיידקים מאז המדידה הראשונה?
)17בכוורת דבורים ידוע כי בכל 10שעות כמות הדבורים גדלה פי .1.5
א .מצא באיזה אחוז גדלה כמות הדבורים בכל שעה.
ב .מוציאים לאחר 10שעות 3000דבורים מהכוורת וידוע כי נשארו 1,500
דבורים .חשב כמה דבורים היו בתחילה בכוורת.
)18ידוע כי לאחר שמקום השורץ נמלים עובר ריסוס אז הן מתות בצורה מעריכית.
המדביר אומר ללקוח כי לאחר 3שעות כ 90%-מהנמלים וודאי ימותו.
א .מצא את הקצב בו מתות הנמלים בכל שעה.
ב .חשב כמה זמן צריך הלקוח לחכות כדי שלפחות מחצית מהנמלים ימותו.
139
תשובות סופיות:
)1א 12% .ב 4719 .דגים 100000 )2 .עצים.
)3א .דועך ב .20%-ב 3 .שעות.
)4א 1.023 .ב 48,598 .תושבים.
,₪ 91,634.8 )5יורד ב 6%-לשנה.
)6א ₪ 57,789 .ב ₪ 35,040 .ג 16.62 .שנים.
42.64 )7שנים.
6% )8
1.73% )9
18.3 )10שנים )11 .א 0.891 .ב 20.1 .שעות .ג k 30.278 .ד 42.79 .ג' .ה.29.26% .
323 )12נמלים )13 .א 1.078 .ב 350 .גרם ג 259.25 .גרם ד .יצליח.
)14א 1105 .דגים .ב 1201 .דגים.
)15א 8.38 .דקות .ב 11.47 .דקות.
)16א 1.88 .ב 10.1 .שעות.
)17א .ב .4.1%-ב 3000 .דבורים.
)18א .בקצב של 1.535לשעה .ב .כ 54-דקות . t 0.903
140
תרגול מבגרויות:
)1ענה על הסעיפים הבאים:
א .בעיירה מסוימת נמצא כי אצל כל הגברים בעיירה שיער הראש נושר בדעיכה
מעריכית מגיל עשרים ואחת והלאה.
כל שנה הגברים מאבדים 0.1%משיער ראשם.
מצא כעבור כמה שנים מגיל עשרים ואחת יאבדו הגברים 0.2997%משיער
ראשם.
ב .נמצא כי אצל כל הילדות בעיירה מספר השערות גדל מאז הלידה בצורה
מעריכית.
ביום מסוים היו לילדה מהעיירה 100,000שערות.
כעבור mשנים נוספו לה 15,000שערות.
הבע באמצעות mבכמה אחוזים גדל כל שנה מספר השערות של הילדה.
)2הכמויות של שני סוגי דגים ,סוג א' וסוג ב' ,גדלות בצורה מעריכית.
כמות הדגים מסוג א' גדלה כל חודש פי , q1
וכמות הדגים מסוג ב' גדלה כל חודש פי . q2
כעבור מספר חודשים כמות הדגים מסוג א' גדלה פי ,2וכמות הדגים מסוג ב'
גדל הפי q2 .4גדול ב 8.7%-מ . q1 -מצא את מספר החודשים שבהם כמות הדגים
מסוג א' גדלה פי ,2וכמות הדגים מסוג ב' גדלה פי .4
)3בשעה 8:00היו 100גרם של חומר רדיואקטיבי Iו 100 -גרם של חומר רדיואקטיבי .II
הכמות של כל אחד מהחומרים קטנה עם הזמן בצורה מעריכית.
כעבור חצי שעה נותרו 80גרם של חומר Iו 64 -גרם של חומר .II
כעבור כמה שעות (מהשעה ) 8:00יהיה ההפרש בין הכמויות של שני החומרים שווה
ל 25-גרם?
)4משקל העץ בשני יערות ,יער Iויער ,IIגדל עם הזמן לפי פונקציות
מעריכיות f x N0 a xו g x M0 b x -בהתאמה.
העצים בשני היערות ניטעו באותו תאריך.
ביום הנטיעה היו ביער 10,000 Iטון עץ ,וכעבור שנה היו בו 15,000טון עץ.
ביום הנטיעה היו ביער 40,000 IIטון עץ ,וכעבור שנה היו בו 45,000טון עץ.
א .מצא את הפונקציה f x ואת הפונקציה . g x
ב .מצא כעבור כמה זמן מיום הנטיעה יהיה משקל העץ ביער Iגדול ממשקל העץ
ביער .II
ג .סרטט בקו מלא ( ) סקיצה של גרף הפונקציה f x ובקו מרוסק ()---
סקיצה של גרף הפונקציה , g x החל מיום הנטיעה .ציין מספרים על הצירים.
ד .כעבור כמה זמן מיום הנטיעה ההפרש בין משקל העץ ביער IIלמשקל העץ
ביער Iיהיה גדול ביותר?
בתשובותיך דייק עד שתי ספרות אחרי הנקודה העשרונית.
141
)5בתאריך 1/1/2005הופקד בבנק א' סכום כסף מסוים ,ובאותו תאריך הופקד גם
בבנק ב' אותו סכום כסף .בכל אחד מהבנקים סכום הכסף שהופקד גדל כל שנה
באחוז קבוע.
כעבור 7שנים היו בבנק א' 12,298שקלים ובבנק ב' היו 13,162שקלים.
כעבור כמה שנים מהתאריך 1/1/2005יהיה בבנק ב' סכום כסף הגדול
ב 25%-מסכום הכסף שיהיה בבנק א'?
)6קבלן מציע דירות למכירה בתשלומים חודשיים .בתאריך 1/1/2012התשלום
החודשי עבור הדירה היה 5,900שקל ,ובכל חודש התשלום גדל ב.0.2%-
המשכורת החודשית של רן בתאריך 1/1/2012הייתה 8,000שקל ,ובכל חודש היא
גדלה ב . 1.2%-רן יכול להתחיל לשלם עבור הדירה רק אחרי התאריך שבו התשלום
החודשי עבור הדירה יהיה 60%ממשכורתו החודשית.
כעבור כמה חודשים שלמים מהתאריך 1/1/2012יוכל רן להתחיל לשלם עבור
הדירה?
תשובות סופיות:
)1
)2
)3
)4
)5
)6
א .לאחר 3שנים .ב.100m 1.15 100 .
לאחר 8.31חודשים.
כעבור 1.55שעות.
x
אg x 40000 1.125 , f x 10000 1.5x .
ב .כעבור יותר מ 4.82-שנים .ג .בצד.
ד .כעבור 0.52שנים.
23שנים.
21חודשים.
142
:– חוקי חזקות ומשוואות מעריכיות ולוגריתמיות6 פרק
:חוקי חזקות
:סיכום חוקי החזקות
a n a m a nm
.3
a m bm a b
.6
a
b
m
b
a
m
a1 a
a
n m
m
an
a nm
m
a
a nm .5
am
.9
a 0 1 .1
.2
1
am
am a
bm b
.8
.4
m
.7
:סיכום חוקי השורשים
m
a a
n m
n
n
m
.3
m
m
a mn a .6
m
a a
1
m
a ma
b
b
a a
.2
m
.5
1
2
.1
a m b m a b .4
:שאלות יסודיות – חוקי חזקות ושורשים
:) חשב ללא מחשבון את ערכי הביטויים הבאים1
93 27 2
39 81
.ב
23 25
.ד
23 2 7
2 4 25
109 255 81
403 1255
.א
.ג
:) פשט את הביטויים הבאים2
k
k
2a b ab
2 m 2
k 13m
3
1
7 m4
k
.ב
1 x n 3 x n 5
x2
x n2
.ד
2m
2
3
3 2
a2
4ab 2
b
4
4b 3
4b 1 4b 2
.א
.ג
22 8
. 5
:) חשב ללא מחשבון את ערך הביטוי הבא3
128
5
143
:) הכנס לתוך שורש את המספרים החופשיים4
36
2
.ג
.ב
3 2
.א
x x
.ה
23 3
.ד
:) הוצא מהשורש את הכופל הגדול ביותר5
48 .ב
12 .א
.ג
63
5 3
3
.ה
x5
54
.ד
:משוואות מעריכיות
. x y : הואa x a y : פתרון כללי של משוואת מעריכית מהצורה.1
. a x 1 a0 : שכןx 0 : הואa x 1 : פתרון של משוואה מהצורה.2
ללא תלותa x b x 1 : שכןx 0 : הואa x b x : פתרון של משוואה מהצורה.3
.בבסיסים
:שאלות יסודיות – משוואות מעריכיות
:פתור את המשוואות הבאות
25 0.2
2x 2
1 x
1
125
1
2 32
8
)8
2 2 16 )14
x
2x
13 x
e e
x
3 x 1
1
x
e
)13
2 6 x 6 x 2 6 x 1 227 )17
5 3x 3x1 162 )16
22 x 6 2 x 8 0 )20
e2 e x e x 1 e 1 )19
x
4 5 3
9 2 2
x 1
35 x 3 33 x 7 )6
)7
1
27 9 3 )10
3
3x 5x )11
x
x
2x
3
4
2 x
3x
4
9
3
16
3 x
5
1
8
7 x
)9
2 x /3 2
)12
e x 2e x 3e4 )15
1 x
2
5 x 25 2
5 x 1 145 )18
2
)23
3
6 x 4 6 x 3 0 )22
5 25x 26 5x 5 0 )21
e1 x e1 x e2 1 )26
e2 x e x 2 0 )25
20
8
)24
3 x
9 1
9 1
144
x
תשובות סופיות:
2b3
1
5
1
.ב . k .ג.
)1א . 2 .ב . .ג . .ד )2 . 40 .א.
a
5
8
3
1
x
. 3ד. 2 )3 . x .
)4א . 18 .ב . 75 .ג . 9 .ד . 3 24 .ה. x3 .
)5א . 2 3 .ב . 4 3 .ג . 3 7 .ד . 3 3 2 .ה. x 1 )7 . x 5 )6 . x 2 x .
1
1
)13 . x 3 )12 . x 0 )11 . x )10 . x 2 )9 . x 1 )8
6
2
. x 1, 2 )20 . x 1 )19 . x 2 )18 . x 1 )17 . x 4 )16 . x 4 )15
. x 3 )14 . x 1,
. x 1 )21
1
)24 . x 0,1 )23 . x 0 )22
2
. x 1 )26 . x 0 )25 . x 1,
משוואות לוגריתמיות:
.1הגדרת הלוגריתם a x b loga b x :כאשר. a , b 0 , a 1 :
לוגריתם על בסיס aשל bמוגדר כחזקה שיש להעלות את aעל מנת שיהיה
שווה ל . b -ערך חזקה זו הוא . xערך לוגריתם יכול להיות חיובי ,שלילי או אפס.
נפתור משוואות לוגריתמיות ע"י מעבר לפי ההגדרה למשוואה מעריכית מתאימה.
.2דוגמאות כלליות:
. 2 8 log 2 8 3
3
. 34 81 log3 81 4
. 102 100 log10 100 2
. 16 4 log16 4 0.5
1
1
log5
2
25
25
. 60 1 log6 1 0
. 52
.3חוקי יסוד בלוגריתמים:
בlog a a 1 .
ב. log a 1 0 .
.4חוקי הלוגריתמים:
א .מכפלה לסכום. log a x y log a x log a y :
x
ב .מנה להפרש. log a log a x log a y :
y
ג .מקדם למעריך. loga bn n loga b :
145
.5חזקה לוגריתמית. alog x x :
a
log m b
.6מעבר מבסיס לבסיס:
log m a
, log a b כאשר. a , m 0 ; a , m 1 ; b 0 :
.7לוגריתם על בסיס eנקרא הלוגריתם הטבעי ומסומן. loge x ln x :
שאלות יסודיות – חוקי הלוגריתמים ומשוואות לוגריתמיות:
)1חשב ללא מחשבון את ערכי הביטויים הלוגריתמים הבאים:
ג.
אlog 2 32 .
בlog1000 .
log 25 5
ו.
log a a 4
ד.
log8 4
ז.
1
a a
ה.
1
16
log 4
log a
)2חשב ללא מחשבון את ערכי הביטויים הלוגריתמיים הטבעיים הבאים:
א.
ב.
ln e 2
1
e4
ג.
ln
1
e e
ln
)3פתור את המשוואות הלוגריתמיות הבאות (שימוש בהגדרת הלוג):
בlog 2 x 16 .
אlog36 6 x .
log 1 x 1.5
ד.
log x 64 3
ה.
log x 25 2
ו.
log x 3x 4 2
ז.
ln x 2
ח.
1
2
ג.
9
ln x
)4חשב ללא מחשבון את ערכי הביטויים הבאים (שימוש בחוקי הלוגים):
ב2log 2 log 25 .
אlog6 8 log6 9 log6 2 .
ג.
log3 2 log3 4
3log3 6 2 log 3 12
)5נתון . log3 2 a :הבע באמצעות aאת ערכי הביטויים הבאים:
א.
log3 16
בlog3 6 .
גlog3 24 .
146
ד. log3 1.5 .
)6נתון . log2 3 a , log 2 5 b :הבע באמצעות aו b -את ערכי הביטויים הבאים:
אlog 2 45 .
בlog 2 60 .
ג. log 2 7.5 .
)7חשב ללא מחשבון את ערכי הביטויים הבאים (חזקה לוגריתמית):
ד. e2 ln 3 .
ב4log 5 .
גeln 3 .
א6log 8 .
6
2
)8נתון . log2 3 a , log3 5 b :הבע באמצעות aו b -את ערכי הביטויים הבאים:
אlog3 50 .
בlog 2 30 .
גlog5 22.5 .
)9פתור את המשוואות הלוגריתמיות הבאות (שימוש בהגדרת הלוג מספר פעמים):
א.
log x x 2 6 x 3
ב.
log3 log x x 2 6 x 1
ג.
log5 log 2 x 2 7 0
ד.
log5 25x 20 x
)10פתור את המשוואות הלוגריתמיות הבאות (שימוש בחוקי הלוגריתמים):
א.
1
ln e2 x ln 2 x
2
ג.
2log 2 2 x 2 log 2 16 x log 2 x 1 1
ב.
log5 4 x 3 log5 7
)11פתור את המשוואות הלוגריתמיות הבאות (הצבת tוקבלת משוואה ריבועית):
אlog 22 x log 2 x 2 0 .
ב3ln 2 x ln x 2 .
ג.
ה.
log 4 x log x 4 2.5
1
ln ex 2
x
ד.
log x log x 10 x 2
ln e2 x3 ln
)12פתור את המשוואות הלוגריתמיות הבאות (הוצאת לוג משני אגפי המשוואה):
א.
x log3 x 81
ב.
25
x
ג.
x ln x e6 x
ד.
ה.
log5 x x 1
1
1
log5 x x 1
log 5 x x 1
4
x
ו.
1
x1ln x
e
147
x log5 x
log 2 x 6
4
x
2 3ln x
1
x
e 2
x
:)) פתור את המשוואות הלוגריתמיות הבאות (בסיסים שונים13
.ג
5 x 8 .ב
2 x 5 .א
e x 1
.ה
ex
1
2
.ד
:תשובות סופיות
2
1
. ד. . ג.3 . ב.5 .) א1
3
2
1
. x e2 . ז. x 4 . ו. x 5 . ה. x 4 . ד. x 27 . ג. x 65,536 . ב. x .) א3
2
1
. 1 a . ד. 3a 1 . ג. a 1 . ב. 4a .) א5 . 3 . ג. 2 . ב. 2 .) א4 . x
.ח
e
1
1
1
. 9 . ד. 3 . ג. 25 . ב. 8 .) א7 . a b . ג. 2 a b . ב. 2a b .) א6
2
2
2
2
1
1 a ab
1
. 1
. ג.
. ב. 2b .) א8
b
ab
2 2 2
a
. x 1 . ד. x 3 . ג. x 3 . ב. x 3 .) א9
. x 6 . ג. x 2.5 . ב. x 0 .) א10
1 1
1
1
1
. x 3 , . ה. x
,10 . ד. x 16, 2 . ג. x 3 e2 , . ב. x 4, .) א11
100
e
2
e e
1
1
1
1
. x e , e . ו. x 3 . ה. x 16, . ד. x e3 , 2 . ג. x ,5 . ב. x 9, .) א12
4
e
25
9
. . ה. x 0.693 . ד. x 0.693 . ג. x 1.292 . ב. x 2.322 .) א13
. 1.5 . ג. 4 . ב. 2 .) א2 . 1.5 . ז.4 . ו. 2 . ה.
148
:אי שוויונים מעריכיים
. 0 a 1 : עבורx y - וa 1 : עבורx y : הואa x a y :השוויון- פתרון אי
:פתור את אי השיוויונים הבאים
2 4
x
x 2 1
1
4
2 x 1
)2
3
e x 3 )4
e
5x
25 5 6 5
x
x
1
1 x
3
27
x 1
e 2 x )3
13 x
1
1
7
7
)6
e2 x 2e x 1 0 )8
)1
)5
e2 x 5e x 4 0 )7
:תשובות סופיות
x
1
)5
8
x ln 3 )4
0 x 1 )3
. x 0 )8
1
2
x 1 1 x )2 x )1
4
3
x 0 ln 4 x )7 0 x 1 )6
:שוויונים לוגריתמיים-אי
. 0 a 1 : עבורx y - וa 1 : עבורx y : הואloga x log a y :השוויון- פתרון אי
:השוויונים הבאים-פתור את אי
log6 x 2 5 x 1 )2
log 2 x log 2 5x 20 )1
log 1 1 3x log 1 7 x )4
log3 x log9 15 2 x )3
2
2
ln x 3 )6
ln x ln x 2 12 )5
6
1
)8
2
2
ln x
ln x
ln 2 x 6ln x 7 )7
:תשובות סופיות
2 3 x 4 )5 3 x
1
1
)4 3 x 7 )3 1 x 0 , 5 x 6 )2 x 5 )1
3
2
. x 1 וגם
1
149
e3
x e 2 )8
1
x e7 )7 0 x e3 )6
e
:תירגול נוסף
:חזרה על חוקי חזקות ושורשים
: a n a m a nm ,
an
a n m :פשט את הביטויים הבאים לפי הכללים
am
a12 a 2 a 4 a3 )3
a 4 a 5 a 9 )2
a 2 a 6 )1
a 3a8
)6
a4
a 2b3a8b12
)9
a 7 b9
323334 )12
a16
)5
a7
b10b12
)8
b 2b 6b 7
26 22 )11
a8
)4
a3
b 2 b 7 b3
)7
b 5b 4
a16b 4 a10b8 a 6b12
)10
a3b5 a 2b 2 a 4
21251336
)15
2936512
21735
)14
21434
31952456
)17
530318
316
)13
314
46 7 4 7 3
)16
7 6 4 4 43
: a n a nm :פשט את הביטויים הבאים לפי הכלל
m
a a
a a
a a
a b a
2 4
3 3
7 2
2 8
4 6
6 2
2 3
6 5
12
a 23b 28
2 3
4 5
5 7
335 240
)23
220
)26
)29
a
a
6 4
)20
a2
a
2 6
)19
5
8 2
a14
3 3
3 3
3 5 3
5 5 3
5 3
2
3 2
4
2 6
31 7
2 10
11 18
a13
4 )21
a
)22
2
3 4
)25
2 2 29
a 20 a 3 b5
4
)28
a 30b15 b3
3
2 7
)24
6
)27
5
510 53
39516
150
)18
2
)30
n
: ab a nbn , n :פשט את הבאים לפי הכללים
b
b
a
n
a b
4 8 4
a b
6 3 2
)33
an
2
a8
2 )35
b
a 2 a 7b9
3 6 4 )39
b a b
30
a 6b10
3 4 5 )38
a b b
54 2 36
)42
35 57
2 3
18 39 )41
3 2
a 3b7
4 )36
b
2
40 20
a b
)32
2
3
)31
4
a5
4 )34
b
3
12
a 4b10
3 8 )37
ab
20
a 2 3 b 20
)40
a 5 b 2 7
3
3
2
35 26 22
6 5 2 )43
3 2 3
:a
n
1
a
n ,
a
b
n
60 33 )46
1
2
2
)51
3
4
)50
7
ab )54
2433
2 )53
32
1
a 24b 25
)58
a 3 6 b 2 2 b 20
4
5
2
3
2
5
a 2 4 a 3b12b 4
)57
11 15
a b
3
a 4 a 2b 6
)56
6
ab
8
:)) חשב ללא מחשבון את ערכי הביטויים הבאים (שורשים59
.ג
25 .ב
49 .א
.ו
2
3
2
6
.ה
252
.ט
4
16
.ח
.יב
6
84
.יא
32
24 )47
3
4
1024
32 )44
1
)48
3
a4
3 )55
b
5
:פשט את הבאים לפי הכללים
2
4
)52
5
n
23 )45
6
)49
5
3
b
a
3
151
7 128
.ד
5
243
.ז
4
25
.י
3
2
יג.
2
1000
טז.
2 32
יט.
16 7 8
3
7
1000
יד.
2
6
טו.
2 18
יז.
4 5 20
יח.
9 5 27
כ.
72
2
81
כא.
3
5
3
3
)60הכנס לתוך השורש את המקדם שלפניו:
א.
5 2
ב.
3 6
ג.
24
2
ד.
75
5
ה.
4 300
10
ו.
34 7
ז.
45 3
ח.
2 3 20
5
)61הוצא מתוך השורש את השלם הגדול ביותר:
ג.
ב50 .
א40 .
3
ז.
ו108 .
ה250 .
5
4
י162 .
ט972 .
ד.
ח.
320
56
3
90
160
5
)62חשב ללא מחשבון את ערכי הביטויים הבאים:
א.
ה.
2
3
1
3
ב.
8
3
814 64
3
5
ו.
1
ג.
32
2
1
1.5
1
25
343 3 100 2
ז.
1
2
ד.
5
2
1
2
4
1
16 4 8 3 4
תשובות סופיות:
256 )11 a 23b17 )10 a3b6 )9 b 7 )8 b3 )7 a 7 )6 a 9 )5 a 5 )4 a 21 )3 a18 )2 a 8 )1
a 4 )22 a 45 )21 a 23 )20 a 24 )19 a12 )18 3 )17 7/4 )16 40 )15 24 )14 9 )13 39 )12
b2
a b )33 a b )32 a b )31 3 )30 1 )29 3 )28 a )27 3 )26 37 )25 2 )24 a 22 )23
a
a 32
a15
225 )42 5832 )41 a3b18 )40 a90b60 )39 a36b12 )38 a 20b40 )37 a 6b6 )36 8 )35 12 )34
b
b
25
27
49
25
1
1
1
1
64
)52 )51
)50
)49 3 )48 )47
)46 )45 )44
)43
8
16
27
8
9
729
16
36
16
5
2
152
6 3
12 6
16 32
b12
1
1
1
1
1
-2 . ד2 . ג- 5 . ב7 .) א59 6 )58 5 )57 15 )56 16 )55 2 2 )54 6 )53
a
ab
b
a
ab
6
10 . יד100 . יג-8 . יב . יא5 . י . ט . ח- 27 . ז16 . ו4 .ה
.3 . כא6 . כ2 . יט3 . יח20 . יז8 . טז6 .טו
.3
32
.ח
25
3072 .ז
5
4
567 .ו
48 .ה
3 .ד
6 .ג
54 .ב
50 .) א60
. 3 4 2 . י3 5 4 . ט2 5 5 . ח2 3 7 . ז3 3 4 . ו5 10 . ה3 10 . ד8 5 . ג5 2 . ב2 10 .) א61
.
1
10
.ז
.ו
2
49
27
.ה
4
32
1
. ד125 .ג
.ב
243
8
4 .) א62
:משוואות מעריכיות
:)פתור את המשוואות הבאות (שימוש בחוקי החזקות היסודיים
25 5x
2
x
5x )12
4x 2x1 )13
2
3x
6x
2
36 x1
2 x 32
)1
32 x 27
)2
5x 25x1 625
)3
4
8
)4
3x 81x2 92 x1
)5
100x 10000 x1 )7
2
4
1 )8
3 27 9 )9
3 )14
4
x
5
10 x 10 x 100 )15
x
2x
125
3
x3 3
1
)10
25
2 8
x 3x
x2
3x
)16
27
3
4
x
2 )11
x1 2
32
x
5
3
4
x
1
2
)6
:)פתור את המשוואות הבאות (הבסיס הוא שבר
3
8
2
2
4
7
3
27
5
2 x 1
2 x2 9 x
5
49
7
x 1
2
3
7
2
5
3
3 x2 x
x2
27 )25
3 x
49 )26
2 x 7
7
5
125 )27
46 x
25 )28
16 2
3 x 5
8
2
8
x 5 3
1
4
3 x2
4 1
x 4 )22
4
2
3x
4
2
)23
25
5
3
27
2
153
3x
)21
2
3 x
x
x 8
4 x1
8 )24
1
)17
27
x
1
x
4 8 )18
2
1
27
9
x 2
x
8
1
x
32 2
)19
4 x 1
)20
:)פתור את המשוואות הבאות (שימוש בחוקי שורשים
m
. n a m a n :תזכורת
x 1
5x 25 )41
3
8x 2 32 x 5 1024 )35
27 x 81 3x )42
5
100 10 x
x
2
3
10, 000 )43
x
1
9 x 3 )44
27
32 2 x
x
2
4 x
1
)45
8
1
9
5 125 )30
x
2x
)36
256
4 8x
3
22 x 1 4 x 64 256 )31
x
3 5 27 x 1 )37
102 x 1 1000 3 10 x )38
81 3 27
8
4
1 )46
x
8
2 x
3x 2 81 )29
x
4
54 x 3
x9
)39
9
27
x
3x 2
125 5x 1
25x
1
)32
9
5
3 x
5
)33
x
25x 2
)40 1 7 343x 7 x )34
125
49
:)פתור את המשוואות הבאות (מכפלת בסיסים שונים
3x2 20 405 2 x )50
2x 5x 1000 )47
7 106 )54
5 3x4 2187 5x2 )51
4 3x 2x 144 )48
3x1 2x2 5x3 0.02 )55
2 x 1 3x 2 7 x 392 )52
5x 1 3x 2 125 )49
3x 2x 729 103 5 x )53
7x
x
2
1
10x
2
4
:)פתור את המשוואות הבאות (משוואות עם פעולות חיבור וחיסור
2
3 x 1 2
64
x
1
3
3.75 )70
3x2 3x2 240 )63
3x 3x 18 )56
17
)64
16
5x 6 5x 875 )57
2 x 3 2 x 1
32 x 31 x 4 )71
252 x 512 x 124 )72
3 x 1
3
2178 27
468 6 2
x
2
8x 2 3x 1 410 4
3
10
x 1
2
x 1
x2
1
x
2
6 10 5
3
x 1
x2
x 1
3
)73
)74
6 x 3 )75
4
x 1
)76
x 2
3
x 1
81
x 3
3
4 x 3
18 3
3 x2
5
54 )65
245 )66
3 125 28 )67
x
22 x1 4x2 66 )68
16
x
1
2
4
2 x
154
1
2
14 )69
2x 4 2x 80 )58
7 10x 10x 600 )59
7 3x 2 3x
5
)60
27
8x 8x2 1040 )61
2 x 2 x5 1056 )62
:)פתור את המשוואות הבאות (משוואות עם פעולות חיבור וחיסור
7x
8
x
3 )90
x
7 4 7 5
36 x 7 6 x 6 0 )84
2x2 2 x 8.5 )77
16x2 96 4x1 1 )85
3x 32 x 8 )78
8
77
)91
3 x
9 4
81 16
2 24 x1 3 4x 1 )86
5x 52 x 26 )79
41.5 x1 3 26 x3 56 )87
7 x4 7 x 350 )80
x
3x 2
6
3x
)92
32 x 3x 2 3x 2 3x 1
25 2 x 68 5 2 x 2 82
)93
2x 2
2x 3
2
23
1
3
x 3
1
x2
2
1
3 23
x 1
1
26
3
1 )88
1
x
4
22 x 7 2x 8 0 )81
9x 36 3x 243 0 )82
3 )89
16x1 65 4x 4 0 )83
:פתור את מערכות המשוואות הבאות
x 1
y 1
2 3 17
)100
x 1
y
3
2
3
21
x 3 y
8
2
)97
2 x7 y
3
81
y x 1
)94
x
y
3 3 36
x
y
3 7 20
)101
x
y
9 3 49 582
3 x 7 y
7
7
)98
2 x 12 y
256
2
x y 3 0
)95
x
y
2 2 2
2 x 5 y 29
)102
x
y
3 4 2 25 1298
2 x 3 y 5
)99
x
y
2 3 1
2 x 1 y
)96
x
y2
4 3 3 15
:השוויונים המעריכיים הבאים-פתור את אי
. a x a y x y : אז0 a 1 : ואםa x a y x y : אזa 1 : אם:תזכורת
3x2 27 )104
2 x 16
)103
)106
16 x 8x1
)105
2 16 x 32 x 1 )108
27 x 3x 3x3
)107
0.36 x1 0.313 x )110
1
64 x 1024
2
)109
0.6x 1 0.6x
)111
1
52 x1
25
x
2
2
x
1
32
x 1
1
4
3 2 x
)112
155
2
1
x2
x
1
x2
5 )114
625
4
27
9
2
81
3
3 x 1
2 x2 3 x
2
8
3
3
2
1
x1
27 3
9
2 x
1
100
)116
5
4
2
4 x
16 )118
1
3x 2 27 )120
9
1 125 5x 5x
2
1
)113
x 2 1
10001 x
2 x 1
25
5
16
125 3 5x 58 x
3
)115
x
2
)117
)119
)122
1 42 x1 2x1 128
)121
0 25x 5x 5 625x )124
0 8x 2x 16
)123
10 x 2
3 9 0 )126
9
16x 4x 12 0
)125
2 x 3 24 x 2
)127
3
9x
2
16
2 x 6
2 x 5x )128
5
7
2 x 5
x2
343
)129
:תשובות סופיות
2
)10 - 2.5 )9 2 )8 - 2 )7 -40.5 )6 - 10 )5 1.75 )4 2 )3 1.5 )2 5 )1
3
2
1
- 0.5 )18 -3 )17 1 , - )16 1 , -2 )15 7 , -1 )14 0.5 , 1 )13 )12 1 , )11
3
4
2
1
2
2
)23 2 )22 - 4 )21 2 )20 0.8 )19
, -3 )28
, -4 )27 . )26 )25 - 1 )24
3
3
3
2
5
1
2
8
3.75 )38
)37 - 1.44 )36 )35 )34 6.5 )33 - )32 2 )31 2 )30 6 )29
17
6
9
15
2
2 )48 3 )47 1 , -3 )46 -2 )45 )44 3 , -1 )43 4 , -1 )42 -2 )41 -3 )40 -8 )39
3
1
-3 )60 2 )59 4 )58 3 )57 2 )56 1 )55 2 )54 3 )53 2 )52 3 )51 2 )50 2 )49
1
1
1
1
4
)73
)72 1 )71 0 )70
)69 .1 )68 0 )67
)66 6 )65 -3 )64 3 )63 5 )62
)61
3
2
2
4
3
.2,3 )82 3 )81 -3 , -1 )80 2 , 0 )79 2 )78 1 , 3 )77 2 )76 0 )75 2 )74
1
)91 1 )90 -4 )89 - 6 , -3 )88 1 )87 -1 )86 - 2.5 )85 -1 , 0 )84 - 2 , 1 )83
2
156
1,1 )99 2, 1 )98 9, 2 )97 1,1 )96 2,1 )95 2,3 )94 3 )93 1 )92
x 4 )103 2,2 , 4.26,1.418 )102 3,1 , 3.182,1.318 )101 2,1 )100
x 1 , x 0.25 )108 x 3 , x 1 ) 107 x 0.25 )106 x 3 )105 x 5 )104
1
1
x 1 )113 x )112 x 1 , x 2 )111 x 2 )110 x 2 )109
4
9
9
1
1
1 x )119 x 4 , x )118 x 1.5 )117 x 1 )116
x 1 )115
8
2
2
3
x 2 )121 4 x 1 )120
4 x 1 )123 3 x 1 , x 2 )122
5
. x 1 , x 2 )129 x 6 )128 x 3 )127 0 x 2 )126 x 1 )125 x 1)124
x 4 , x 0 )114
:הגדרת הלוגריתם ומשוואות לוגריתמיות יסודיות
:חשב את ערכי הלוגריתמים הבאים
.) b 0 , a 0 1 : (כאשרa b loga b x : הגדרת הלוגריתם:תזכורת
x
log5 5 )3
log3 81 )2
log 2 8
)1
log125 5 )6
log32 8 )5
log9 243
)4
)8
log 49 7
)7
log 1 16 )9
log32 64
2
log 1
4
log 1
3
3
4
log 1
1
)12
8
1
)15
9
3 )18
27
log
5
1
3
25
log 0.01
125 )21
10
)24
4
1000
log 1 625 )11
log 1 27 )10
25
3
27
)14
125
3
log 5
log 3 7
log
5
log
157
3
9
)13
4
1
)17
343
log 3 5 125 )16
81 )20
log 1 5 128 )19
3
1
27
log 2
8
100
)23
10
log
10
)22
1000
: במשוואות הלוגריתמיות הבאותx מצא את
log6 x 1 )27
log 2 x 5 )26
log3 x 2 )25
log7 x 0 )30
log 4 x 2 )29
log3 x 3 )28
1
)33
3
log 3 x 4 )32
log 1 x 2 )31
x 2 0 )36
7 log128 x 3 0 )35
log 1 x
8
log
5
5
3
4log9 x 2 0 )34
: במשוואות הלוגריתמיות הבאותx מצא את
log x 25 2 )39
log x 6 1 )38
log x 3 1 )37
log x 64 3 )42
log x 625 4 )41
log x 64 2 )40
log x
1
4 )45
81
log x
4
2 )44
9
log x
1
3 )43
8
:)פתור את המשוואות הלוגריתמיות הבאות (שימוש בהגדרת הלוגריתם
log5 6 7 x 3 )48
log 64 x 3
1
)51
3
log0.2 2 x 1 2 )54
log 2 x 5 4 )47
log5 x 1 1 )46
1
)50
2
log6 3x 2 0 )49
log 4 4 x 1
log
3
7 x 2 2 )53
log
5
3x 1 4 )52
2
log3 x 2 x 3 )57
9
log6 13x x 2 2 )56
log 4 10 x x 2 2 )55
log3 x 2 x 2 28 3 )60
log 2 x 2 6 x 13 3 )59
log 2 x 2 6 x 10 1 )58
log7 x 4 80 0 )63
log3 x3 44 4 )62
log 4 x3 11 2 )61
x2 5
log 2
2 )66
x
log3
20 x 68
2 )65
5x 2
log 4
3x 1
1 )64
x2
log x 2 x 2 6 x 5 2 )69
log x 3x 2 5 x 3 2 )68
log x 2 x 2 9 x 2 )67
log x2 4 x 5 2 )72
log x 2 x 2 x 6 2 )71
log x 4 x 2 3x 2 )70
158
log
log
x 1
x
2
x 2 2 )75
4 3x 3x 2 )78
2
x2 3
log
8
log x 4 )74
x
log x3 3x 11 2 )73
x 5 4 )77
log 4 10 x x 2 2 )76
x 3
:)פתו ר את המשוואות הלוגריתמיות הבאות (שימוש בהגדרת הלוגריתם מספר פעמים
2log9 log5 2 x 1 1 )80
log 1 log3 x 2 7.5 x
1
)82
2
log 2 log3 x 3 30 5 )81
log 25 2 5x 2 x 2 )84
1
log 2 log 0.25 x 2 1 )83
4
16
log3 log 2 x 1 )79
log5 4 log 6 3 log 4 x 2 15 1 )86
log5 log3 log3 5 x 2 7 0 )85
:)פתו ר את המשוואות הלוגריתמיות הבאות (מתקבלת משוואה מעריכית
log3 5 2 x 1 4 )88
log 2 5x 3 7 )87
log5 5x 120 x 2 )90
log 2 12 2 x x 1 )89
log9 10 3x 9 x )92
log 4 5 2 x1 16 x )91
log 4 17 4x x 2 )94
log5 30 5x x 3 )93
log 2 5 2x 1 1 2 x 4 )96
log5 49 5x 120 2 x 1 )95
x
1
3log 2 9 2 3 1 15 2 x )98
log8 3 23 83 x 6 x 1 )97
:פתור את המשוואות הלוגריתמיות הבאות
והחזר את ההצבהt פתור משוואה עבור, log a x t : היעזר בהצבה של:הדרכה
. עפ"י הגדרת הלוגריתםx למציאת
log2 x
2
2 log 2 x 15 0
)100
6
1
log 7 x
)102
log 7 x
159
log3 x
2
16
2 log 4 x 5 log 4 x 3
2
)99
)101
5 log 64 x 1
6
)104
12
2
3
log3 x 1 log3 x
)103
log16 x log16 x 2 2
)106
log3 x log3 x 2
)105
log64 x
2
log3 x
2
log3 x
2
27 3
)107
:תשובות סופיות
6
1
1
)8
)7 )6 0.6 )5 2.5 )4 1 )3 4 )2 3 )1
5
2
3
8
7
1
-2.5 )22 -0.9 )21 )20 )19 )18 -9 )17 .9 )16 6 )15 - 3 )14 -2 )13
9
15
12
81
1
1
1
0.5 )33
)32 9 )31 1 )30 . )29
)28 6 )27 32 )26 9 )25 )24 - 0.1 )23
625
16
27
8
1
1
1
)45 1.5 )44
)43 4 )42 5 )41 8 )40 5 )39
)38 3 )37 0.2 )36 8 )35 3 )34
3
2
6
1
4,9 )56 2,8 )55 12 )54
)53 8 )52 1 )51 0.25 )50 1 )49 -17 )48 11 )47 4 )46
7
1
1 1
- 1,5 )66 2 )65 -9 )64 3 )63 5 )62 3 )61 1, )60 1,5 )59 4,2 )58 , )57
2
3 9
.-1 )77 8,2 )76 3 )75 2 )74 5 )73 1 )72 2 )71 )70 5 )69 1.5 )68 9 )67
1.5 )12 - 2 )11 -3 )10 -4 )9
7 )86 2 )85 -2 )84
1
1
)83 - 6,13.5 )82 6 )81 63 )80 8 )79 1, )78
2
2
-3,-1 )96 0.974 ,1 )95 2,0 )94 1,2 )93 2,0 )92 1,3 )91 1 )90 2 )89 4 )88 3 )87
3
3,9 )103
1
1
1
1
1
,343 )102 , 64 )101
,8 )100
,81 )99 -12,- 3 )98 )97
49
2
3
32
81
1
. , 27 )107 2 )106 3 )105 4,8 )104
27
160
:חוקי הלוגריתמים ומשוואות לוגריתמיות
:תזכורת – חוקי הלוגריתמים
log a x log a y log a x y
log a x log a y log a
x
y
log a x n log a x
n
:חשב את ערכי הביטויים הבאים
log 2 10 log 2 6.4
)3
log8 4 log8 16
)2
log3 6 log3 1.5
)1
log 2 768 log 2 6
)6
log 4 192 log 4 3
)5
log5 150 log5 6
)4
log0.25 80 log0.25 5
)9
log0.2 2 log0.2 10
)8
log81 120 log81 40
)7
3log3 6 log3 3.375 )12
log 4 1.6 2log 4 10 )11
2log6 2 log6 9 )10
log 4 24 log 4 5 log 4 10 log 4 3 )14
log3 18 log3 6 log3 4 )13
log6 10 log6 5 log6 288 log 6 4 )16
log5 50 log5 20 log5 2 log 5 4 )15
1
5
1
log 1 log 1 2 log 1 10 log 1 8 )18
2 5 2
3 5
5
5
1
log 3 25 2log 3 2 log 3 60 )17
2
1
log 7 81 2log 7 6 log 7 84 )20
4
1
1
3
log 3 2 6 log 3 2 3 log 3 2 4 )19
2
2
2
:חשב את ערכי הביטויים הבאים
k log a a k : הפוך את המספרים השלמים לביטוי לוגריתמי לפי:טיפ
.וחבר אותם לביטויים הנוספים לפי חוקי הלוגריתמים
. 3 log2 2 log 2 8 :2 לביטוי לוגריתמי על בסיס של3 נהפוך את:דוגמא
3
log 7 4 log 7 8
)23
log 7 2
log 4 125
)22
log 4 5
log 3 16
)21
log 3 8
log 7 5 log 7 3 4
)26
log 7 225 log 2 256
log 2 5 log 2 2 1
)25
log 2 200 3
log3 6 2
)24
log3 108 log3 2
log 4 18 log 4 2 log 4 36
)28
2log 4 6 3log 4 8 4
2 3log 5 log 50
)27
1 log128 5log 2
2 2log3 4 log3 8 89
4 log3 0.01 2log3 18
)29
161
:)10 חשב את ערכי הביטויים הבאים (הלוגריתם לפי בסיס
log 8
)32
log 8
log 8
)31
log16
log 36 0.5log 6
)35
log12 log 2
log 72 log 8
)34
log 27
log 27
)30
log 9
log 24 log 3
)33
log 2
1 log 5
)36
log 2 2 log 5
:)10 ) הוכח את נכונות השוויוניים הבאים (לפי בסיס37
log125 1 log 2
1
log 5 1 log 2
2 log 25 2log8
6
log 3 16
log 9 2log 5 log 4
2
log10 log 2 log 6
.א
.ב
.ג
:)פתור את המשוואות הבאות (איחוד ביטויים באמצעות חוקי הלוגריתמים
log15 x log15 x 2 1 )39
log 4 x log 4 x 6 2 )38
log35 x 8 log35 x 6 1 )41
log 2 x log 2 x 3 2 )40
log3 x 105 log3 x 1 3 )43
log 2 x 14 log 2 x 3 )42
log 2 2 x 8 2 log 2 5 x )45
log 2 3x 4 log 2 x 2 1 )44
log 2 11x 4 log 2 2 x 1 log 2 2 x 3 )47
log3 x 2 11 1 log3 2 x 1 )46
log5 30 x 9 log5 4 x 5 log5 3x 2 )48
2log5 x 1 log5 2 x 3.5 log5 x )49
log 2 x 4 log 2 x 2 log 2 x 3 3 )50
log 7 12 x 35
1 )51
2 log 7 x
162
:)פתור את המשוואות הבאות (שימוש בהגדרת הלוגריתם וקבלת משוואה מעריכית
log 2 5x 19 3 log 2 8 5x )53
log3 2x 2 log3 2 x 14 2 )52
log3 25x 8 2 x log3 5 )55
1 x 2 log3 2 log3 4 x 32 )54
x log 2 4 log 2 2x 28 x 3 )57
log3 9x3 1 x 5 log3 3x3 1 )56
:)פתור את המשוואות הבאות (פתיחה באמצעות חוקי הלוגריתמים
log 4 16 x log 4 64 x 12 )59
log3 x log3 3x 6 )58
x
2 )61
8
log 2 32 x log 2 128x 48 )60
16
log 4 4 x )63
x
27
log3 log3 81x 10 )62
x
16
log 2 x 2 log 2 8 x log 2 )64
x
log 2 x log 2
log 4 x 2 log 4
log3 3x
2
log3 3x2 1 )65
81
log3 27 x3 log3 3x 2 log3 3 )67
x
log5 25x
2
log5 25 x 2 1 )66
125
2log5 x log5 2 2 )69
x
x3
x
log 2 log 2 32 x 2 log 2
2 )68
128
2
343
log 7 2
x 1 0 )71
2
log 7 x 4
125
log5 x 2 log5 2 2 )70
x
:תרגילי הבעה – חוקי הלוגריתמים
: את הביטויים הבאיםa הבע באמצעות. log 2 7 a :) נתון72
log 2 14 .א
log 2 49 .ב
: את הביטויים הבאיםa הבע באמצעות. log3 5 a :) נתון73
log3 125 .א
log3 0.2 .ב
163
)74נתון . log 24 6 a :הבע באמצעות aאת הביטויים הבאים:
אlog 24 2 .
בlog 24 3 .
)75נתון . log 4 a :הבע באמצעות aאת הביטויים הבאים:
אlog16 .
בlog 2 .
גlog8 .
)76נתון . log3 5 b , log3 6 a :הבע באמצעות aו b -את הביטויים הבאים:
אlog3 30 .
בlog3 1.2 .
גlog3 150 .
)77נתון . log4 5 b , log4 3 a :הבע באמצעות aו b -את הביטויים הבאים:
אlog 4 0.12 .
בlog 4 2.4 .
)78נתון . log7 5 b , log7 8 a :הבע באמצעות aו b -את הביטויים הבאים:
אlog 7 40 .
בlog7 320 .
)79נתון . log5 2 b , log5 3 a :הבע באמצעות aו b -את הביטויים הבאים:
א.
log5 6
ב.
log5 3 72
)80נתון . log8 3 b , log8 10 a :הבע באמצעות aו b -את הביטויים הבאים:
אlog8 0.03 .
ב.
10
27
5
log8
)81נתון . log3 8 b , log3 7 a :הבע באמצעות aו b -את הביטויים הבאים:
א.
64
343
log 3
ב.
49
512
log 3 4
164
: alog b b :חשב את ערכי הביטויים הבאים באמצעות הנוסחה
a
3
1
7
3
log
22log2 3 )86
10log 2 )85
0.24log0.24 6 )84
5log5 12 )83
2log2 3 )82
32log2 3 )91
8log2 3 )90
27log3 2 )89
9log3 4 )88
33log3 4 )87
5
49
log5 64
)96
81
5
1
8
log
log 2 243
9
)101
3
3log
2
8
5
)106
)95
3
log3 16
)94
log36 4
)93
125 log5 3 )92
64log2 5 )98
3log9 2 )97
32log3 6 )103
51log5 2 )102
6
4
)100
5log125 8 )99
271log3 2 )105
4
log 4 9
2
)104
:תשובות סופיות
1 )14 3 )13 6 )12 2 )11 2 )10 - 2 )9 1 )8
0.5 )25 1 )24 5 )23 3 )22
1
)7 7 )6 3 )5 2 )4 6 )3 2 )2 2 )1
4
4
)21 - 2 )20 10.5 )19 -1.5 )18 - 2 )17 -2 )16 3 )15
3
4
)34 .3 )33 .2 )32 .0.75 )31 1.5 )30 0.5 )29 2 )28 1 )27 0.5 )26
3
-0.25 ,1 )47 2,4 )46 2 )45 )44 3 )43 2 )42 13 )41 4 )40 5 )39 8 )38
.1 )36 .2.5 )35
. )56 0,1.292 )55 2,3 )54 1 )53 4 )52 5,7 )51 8 )50 0.5 )49
2,
1
1
)64 2 )63 )62
16
9
1 1
,
)48
3 4
1
1
1
4 , 6 )59 9 ,
)58 2 )57
13 )60
2
4
27
1
1
1
, 3 )65
)68 )67 0.2 )66
5 )69 1 ,
4
3
9
2,4 )61 2 ,
49 , 76 )71 5 , 5 )70
3a 1
1 a
.ב
.) א74 a . ב3a .) א73 2a . בa 1 .) א72
2
2
2a b . בa b .) א78 a 1 b . בa 2b .) א77 a 2b . גa b . בa b .) א76
2a 3b
a 3b
2
ab
b 2a
3 )82
. ב2b 3a .) א81
.ב
.) א80 b a .ב
.) א79
4
5
3
2
2
1
)92 243 )91 27 )90 8 )89 16 )88 64 )87 9 )86 2 )85 6 )84 12 )83
27
1
2 )97 4 )96 27 )95 4 )94 4 4 )93
)101 0.25 )100 2 )99 56 )98
81
2
216 )105 3 )104 1.5 )103 10 )102
.9
)106
25
1.5a . ג0.5a . ב2a .) א75
165
:מעבר מבסיס לבסיס ומשוואות לוגריתמיות
:חשב ללא מחשבון את ערכי הביטויים הבאים
. a, m 0 1 , b 0 , log a b
log m b
:תזכורת
log m a
log 2 5 log 25 4 )2
log3 6 log6 3 )1
log0.1 5 log 25 100 )4
log 27 4 log 2 3 )3
log5 8 log7 25 log 2 49 )6
log 3 7 log
log81 49 log32 3 log7 2 )8
log 4 169 log9 64 log13 243 )7
343
9 )5
:הוכח את השוויוניים שלפניך
1
log 6 log 2 6 3 )10
8
log 7 25 log5 7 2 )9
log3 8 log5 3 log 2 5 3 )12
log 4 25 log5 4 2 )11
log16 3 log5 4 log3 25 1 )14
log3 5 log5 8 log3 2 log 2 5 log3 40 )13
log a b logc a logb a logc b log c ab )16
log 2 25 log5 9 log81 2 1 )15
:פתור את המשוואות הבאות
log81 x log3 x 5 )18
log 2 x log8 x 4 )17
log3 x 3log 27 x 2 3 )20
5log5 x log 1 x 11 )19
log5 x log125 x 3 )22
log 2 x 4log16 x 8 )21
x 7
log3 81x log 27 )24
9 3
log 2 8x log16 x 7 )23
log x 2 log 2 x 2 )26
4
log 2 32 x 2 log8 3 12 )25
x
4 log x 5 3 2 log 25 x )28
log x 3 6log 27 x 1 )27
log6 16 x 3 log x 5 6 2 )30
log3 6 x log x 3 2 )29
log 2 4 x log8 x 4 3.5 )32
log5 x 4.5 log5 x 125 )31
25
3
166
log x 4 3log 4 x 16 4 )33
1 4
log x 27 x log81x 0 )34
3 5
2log 4 x 8 log x 16 x 9 )35
6 x log36 x 4 )36
2
5 )37
25 x
2 log
2
log x 5 log5 x 5 x
תרגילי הבעה – נוסחת המעבר בין בסיסים:
)38נתון . log 2 5 a :הבע באמצעות aאת ערכי הביטויים הבאים:
א.
log5 2
ב.
log 4 5
ג.
log16 5
)39נתון . log 4 6 a :הבע באמצעות aאת ערכי הביטויים הבאים:
א.
log 2 3
ב.
log32 36
ג.
log 216 96
)40נתון . log3 5 a :הבע באמצעות aאת ערכי הביטויים הבאים:
א.
log3 15
ב.
log15 3
ג.
log9 25
)41נתון . log 2 a :הבע באמצעות aאת ערכי הביטויים הבאים:
אlog80 .
בlog8 40 .
ג.
log80 2000
)42נתון . log5 6 a :הבע באמצעות aאת ערכי הביטויים הבאים:
א.
log36 30
ב.
log 216 180
ג.
log 1 125
6
167
x
3 log
)43נתון . log 2 0.3 :חשב את ערכי הביטויים הבאים:
אlog 2 100 .
ב.
log8 40
ג.
log 1 5
4
)44
1
א .הוכח כי לכל a, b 0 1מתקיימת הטענה הבאה:
logb a
b
ב .נתון . log a 5 b :הוכח כי מתקיים:
logb 5
. log a b
. log a b
ג .נתון. 2 log3 a log(bc ) 3 1 :
הוכח כי לכל a, b, c 0 1 :מתקיים. a2 b c :
פתור את המשוואות הבאות (הוצאת לוג משני אגפים):
xlog2 x 16 )45
xlog3 x 3 )46
x1log3 x 729 )47
x3log5 x2 5 )48
x2log3 x8 81x )49
x
)50
8
x93log2 x
תשובות סופיות :
2
2
)5 - 1 )4
)3 1 )2 1 )1
3
3
1
1
1
, 27 )24
, 16 )23
, 125 )22 4 )21
243
128
125
1
1
, 5 )28
, 55 )31 0.2 ,3 )30 2 )29
)32
625
5 5
1
1
1
1
, 66 )36
, 4 )35
)38 3א .ב.
)37
3
a
36
25
128
2a 1
1
ג.
ג )41 a .א 3a 1 .ב.
)40א a 1 .ב.
3a
a 1
1
1
7
1
3,
)43א 13 .ב 1 .ג)46 0.25 ,4 )45 . 1 .
3
3
6
9
1
. 8 , 3 )50
2
3 )20 25 )19 81 )18 8 )17 0.1 )8 15 )7 12 )6 2
168
1
, 3 )27 2 )26 0.07 ,4 )25
3
1
,2
.3 )34 4 )33
4 2
a2
a
a
)39א 2a 1 .ב 0.8a .ג.
ג.
3a
4
2
1.5
2a 1
a 1
a3
ג.
ב.
)42א.
a
3a
2a
3a 1
1
1
1
3,
)49 3 5 , )48 9 ,
)47
81
5
27
:שוויוניים לוגריתמיים-אי
log5 x 2 1 )2
:השוויוניים הבאים-פתור את אי
log 4 x 3 0 )1
log x 4 log 10 2 x )4
log 1 x 2 3 log 1 x 5 )6
3
3
log0.5 3 x 2 )3
log 2 x 2 log 2 2 x 3 )5
log 2 x 2 3x 2 0 )8
log 4
x3 1
)10
x2 2
log 24 x 3log 4 x 2 0 )12
1
log 1 x 2 x 1 )7
2
2
9
log 2 x 2 0 )9
16
log 2
x 5
1 )11
x2
:תשובות סופיות
1 x 2 )6 x 5 )5 2 x 5 )4 x 1 )3
2 x 7 )2 3 x 4 )1
5
3 3
5
1
1
x , x )9 x 1 , x 4 )8 x 0 , x 1 )7
4
4 4
4
2
2
. 0 x 4 , x 16 )12 9 x 2 )11 2 x 7 )10
169
פרק - 7חשבון דיפרנציאלי:
פונקציות מעריכיות:
הגדרות כלליות:
להלן תיאורים גרפיים של פונקציה מעריכית כללית מהצורהf x a x :
עבור a 1 :ו: 0 a 1-
תכונות כלליות:
.1הפונקציות מוגדרות לכל . x
.2הפונקציות תמיד חיוביות.
.3הפונקציות תמיד חותכות את ציר ה y -בנקודה. 0,1 :
.4עבור a 1 :הפונקציה עולה בכל ת.ה .ועבור 0 a 1 :הפונקציה יורדת בכל ת.ה.
עבור הפונקציות f x e xו f x e x -נקבל:
170
תכונות נוספות:
.1שיפוע המשיק לגרף הפונקציה f x e xבנקודת החיתוך עם ציר ה y -הוא .1
.2שיפוע המשיק לגרף הפונקציה f x e xבנקודת החיתוך עם ציר ה y -הוא .-1
נגזרות של פונקציות מעריכיות:
הפונקציה
הנגזרת
y ax
y ' a x ln a
f x
y ' a f x f ' x ln a
ya
y ex
f x
y ' ex
y ' e f x f ' x
ye
תזכורת – כללי הגזירה:
מספר כלל
הפונקציה
תיאור
.1
y a f x
מכפלה בקבוע
.2
y f x g x
סכום פונקציות
.3
y f x g x
מכפלת פונקציות
.4
f x
g x
.5
y f g x
y
מנת פונקציות
פונקציה מורכבת
171
הנגזרת
y ' a f ' x
y ' f ' x g ' x
y ' f ' x g x f x g ' x
f ' x g x f x g ' x
2
g x
y ' f ' g x g ' x
y'
:שאלות יסודיות – חישובי נגזרות
f x ex
2
3 x
:)) גזור את הפונקציות הבאות (סכום פונקציות1
f x 3e x e2 x e x 2 x 1 .א
.ב
ex
f x 3x 4 x
2
f x 23 x
.ד
.ג
:)) גזור את הפונקציות הבאות (מכפלת פונקציות2
f x x 2 e4x .ב
f x x e x .א
f x x 1 2 .ג
x
:)) גזור את הפונקציות הבאות (מנת פונקציות3
x2
f x x .א
e
x
e
.ב
f x x
e 1
:)) גזור את הפונקציות הבאות (פונקציה מורכבת4
f x
e
3x
f x e2 x e2 x .ב
.ג
e 1
x
f x 5 e2 x 1 .א
3
:)) גזור את הפונקציות הבאות (שאלות שונות5
f x e 1 .ב
f x e2x .א
x
f x x 2 1 e x
.ד
f x e x
.ג
f x e3 x 2
.ו
f x e x x 2 4 x 1
.ה
f x x3e2x
.ח
1
x
.ז
f x e2 x1 1 x
.י
f x e2 x x 4
.ט
1
.יא
x3
f x 3x
e
f x
f x
e
x
.יד
ex
1 e x 1
.טז
f x
f x ex
.יב
e e
e x e x
x
1
f x
1
x
2 x2
2
ex
x2 1
f x x
e
.יג
.טו
:שאלות העוסקות בשימושי הנגזרת
. A 1, e בנקודהf x e x ) מצא את משוואת המשיק לפונקציה6
. x 0 בנקודה שבהf x e2x xe x ) מצא את משוואת המשיק לפונקציה7
172
)8מצא את משוואות המשיקים לפונקציה f x e 1 e x e2 xבנקודות החיתוך
של הפונקציה עם הישר . y e
)9נתונה הפונקציה. y e2 x 3ex :
לפונקציה העבירו משיק דרך הנקודה שבה . x 2 :מצא את משוואת המשיק.
)10שיפוע המשיק לפונקציה f x a 32 x1 3xbבנקודה 1,15הוא . 21ln 3
מצא את ערכי הפרמטרים aו. b -
שאלות שונות העוסקות בחקירה של פונקציות מעריכיות:
)11מצא את תחום ההגדרה של הפונקציות הבאות:
א.
ד.
ז.
2x 1
ex
1
f x 2x
e 3e x 2
f x
e 4e 3
x
2x
ב.
ה.
3
e 1
x
e e x
f x x x
e e
x
f x
ג.
x 1
ex 5
ו.
ex 1
f x
5x 2
f x
)12מצא את נקודות הקיצון של הפונקציה הבאה. f x x 2e x :
ex
. f x
)13מצא את נקודת הקיצון של הפונקציה הבאה:
x2
ax 2 bx 9
)14נתונה הפונקציה:
ex
הפונקציה משיקה לציר ה x -בנקודה שבה . x 1.5
מצא את ערכי הפרמטרים aו b -ואת נקודות הקיצון של הפונקציה.
. f x
)15נתונה הפונקציה . f x 8x p 2x q :לפונקציה יש נקודת קיצון
בנקודה . log 2 3, 19 מצא את ערכי הפרמטרים pו. q -
)16מצא את האסימפטוטות של הפונקציה הבאהf x e2x e x :
e x e x
f x
)17מצא את האסימפטוטות של הפונקציה הבאה:
e2 x
173
f x
ex 5
f x x
)18מצא את האסימפטוטות של הפונקציה הבאה:
e 1
e2 x 1
)19מצא את האסימפטוטות של הפונקציה הבאה:
ex 5
f x
e x e x
)20מצא את האסימפטוטות של הפונקציה הבאה:
e x e x
)21מצא את האסימפטוטות של הפונקציה הבאה:
f x
ex 2
e2 x 5e x 6
ex
)22מצא את האסימפטוטות של הפונקציה הבאה:
x2
f x
f x
x3 1
f x x
)23מצא את האסימפטוטות של הפונקציה הבאה:
e
)24מצא את האסימפטוטות של הפונקציה הבאה:
x 1
e3 x e
f x
)25מצא את האסימפטוטות של הפונקציה הבאהf x x 3e x :
1
)26מצא את האסימפטוטות של הפונקציה הבאהf x xe x :
x2 a
)27נתונה הפונקציה:
be x
f x
לפונקציה יש נקודת פיתול בנקודה . 1, 2
e
מצא את ערכי הפרמטרים aו b -ואת נקודת הפיתול השנייה של הפונקציה.
)28חקור את הפונקציות הבאות עפ"י הסעיפים הבאים:
.1מציאת תחום ההגדרה של הפונקציה.
.2מציאת נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים.
.3מציאת נקודות הקיצון של הפונקציה וקביעת סוגן.
.4כתיבת תחומי העלייה והירידה של הפונקציה.
174
א.
ג.
ה.
f x x 1 e x
1
x2
4
ב.
f x x 2e
ד.
f x
ו.
2
e 1
x2
f x x 2 1 e x
x
2
f x ex
e2 x 1
e x 1
f x
)29נתונה הפונקציה . f x x 3 e xחקור על פי הסעיפים הבאים:
א.
ב.
ג.
ד.
ה.
מציאת תחום ההגדרה של הפונקציה.
מציאת נקודות הקיצון של הפונקציה.
תחומי עלייה וירידה של הפונקציה.
נקודות חיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים.
סרטוט סקיצה של גרף הפונקציה.
)30נתונה הפונקציה . f x e2 x 8e x 6 x 10חקור על פי הסעיפים הבאים:
א.
ב.
ג.
ד.
ה.
מציאת תחום ההגדרה של הפונקציה.
מציאת נקודות הקיצון של הפונקציה.
תחומי עלייה וירידה של הפונקציה.
מציאת נקודת החיתוך של גרף הפונקציה עם ציר ה . y -
סרטוט סקיצה של גרף הפונקציה.
)31נתונה הפונקציה
א.
ב.
ג.
ד.
ה.
4x
2
e0.5 x
מציאת תחום ההגדרה של הפונקציה.
מציאת נקודות הקיצון של הפונקציה.
תחומי עלייה וירידה של הפונקציה.
נקודות חיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים.
סרטוט סקיצה של גרף הפונקציה.
x3
)32נתונה הפונקציה
ex
א.
ב.
ג.
ד.
ה.
. f x חקור על פי הסעיפים הבאים:
. f x חקור על פי הסעיפים הבאים:
מציאת תחום ההגדרה של הפונקציה.
מציאת נקודות הקיצון של הפונקציה.
תחומי עלייה וירידה של הפונקציה.
נקודות חיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים.
סרטוט סקיצה של גרף הפונקציה.
175
)33נתונה הפונקציה . f x 2 x 3xחקור את הפונקציה על פי הסעיפים הבאים:
א.
ב.
ג.
ד.
ה.
מציאת תחום ההגדרה של הפונקציה.
מציאת נקודות הקיצון של הפונקציה.
תחומי עלייה וירידה של הפונקציה.
נקודות חיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים.
סרטוט סקיצה של גרף הפונקציה.
x
)34נתונה הפונקציה
א.
ב.
ג.
ד.
ה.
ו.
ז.
x 2 1
. f x 2eחקור את הפונקציה על פי הסעיפים הבאים:
מציאת תחום ההגדרה של הפונקציה.
מציאת נקודות הקיצון של הפונקציה.
תחומי עלייה וירידה של הפונקציה.
נקודות חיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים.
מציאת אסימפטוטות המקבילות לצירים.
סרטוט סקיצה של גרף הפונקציה.
לאלו ערכי mיש למשוואה f x mבדיוק פתרון אחד?
1
)35נתונה הפונקציה . f x x 2e xחקור את הפונקציה על פי הסעיפים הבאים:
א.
ב.
ג.
ד.
ה.
ו.
ז.
ח.
מציאת תחום ההגדרה של הפונקציה.
מציאת נקודות הקיצון של הפונקציה.
תחומי עלייה וירידה של הפונקציה.
נקודות חיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים.
מציאת אסימפטוטות המקבילות לצירים.
מציאת נקודות פיתול של הפונקציה.
כתיבת תחומי הקעירות כלפי מעלה ומטה.
סרטוט סקיצה של גרף הפונקציה.
e3 x
)36נתונה הפונקציה:
12 x 2 1
א.
ב.
ג.
ד.
ה.
. f x
מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה.
מצא את נקודות הקיצון של הפונקציה וקבע את סוגן.
כתוב את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה.
מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים.
סרטט סקיצה של גרף הפונקציה.
176
1
12
)37שיפוע המשיק לגרף הפונקציה f x 3 x2 6 x k :בנקודה שבה x 1 :הוא:
10
e
e
.
א .מצא את ערך הפרמטר kוכתוב את הפונקציה.
ב .מצא את נקודת הקיצון של הפונקציה.
ג .סרטט סקיצה של גרף הפונקציה.
ד.
הוכח על סמך הסקיצה את אי-השוויון הבא e2 :
1
3 x 2 6 x 1
e
. 0
)38נתונה הפונקציה הבאה . f x e2x ae x b :גוזרים את הפונקציה פעמיים וידוע
כי כאשר x ln 23הנגזרות מקיימות. f ' x f '' x 8 :
א .מצא את . a
משוואת המשיק לגרף הפונקציה בנקודה מסוימת היא. y 16 x 7 16ln 2 :
ב .מצא את שיעור ה x -של נקודת ההשקה.
ג .מצא את . b
ד .מצא את נקודת החיתוך של הפונקציה עם ציר ה. x -
)39נתונות הפונקציות הבאות f x 6 x e x :ו. g x ae x e2 x b -
ידוע כי לשתי הפונקציות נקודת קיצון שבה אותו שיעור xוכי שתיהן
נפגשות על ציר ה. y -
א .מצא את ערכי הפרמטרים aו . b -
ב .הראה כי לשתי הפונקציות תחומי עלייה וירידה משותפים.
)40לגרף הפונקציה f x ax 2 ebx :יש נקודת קיצוןa, b 0 . 2, 4e :
2
א.
ב.
ג.
ד.
ה.
מצא את ערכי הפרמטרים aו b -וכתוב את הפונקציה.
מצא את נקודות הקיצון הנוספות של הפונקציה וקבע את סוגן.
מצא את נקודות החיתוך של הפונקציה עם הצירים.
סרטט סקיצה של גרף הפונקציה.
מעבירים ישר . y k :באיזה תחום ערכים צריך להימצא kכדי שהישר
יחתוך את גרף הפונקציה ב 4-נקודות שונות?
177
x2 6 x 7
f x יש קיצון בנקודה שבה. x 1 :
)41לפונקציה:
eax 1
א.
ב.
ג.
ד.
ה.
מצא את ערך הפרמטר . a
האם יש לגרף הפונקציה נקודות קיצון נוספות? אם כן מצא אותן.
כתוב את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה.
מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים.
סרטט סקיצה של גרף הפונקציה.
e2 x
)42הישר x 6הוא אסימפטוטה אנכית של הפונקציה:
x2 m
. f x
א .מצא את ערך הפרמטר mוכתוב את הפונקציה.
ב .מצא את נקודות הקיצון של הפונקציה וקבע את סוגן.
ג .מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים.
ד .סרטט סקיצה של גרף הפונקציה.
)43נתונה הפונקציה. f ( x) x3 e2 x :
א .מצא את הנקודות המקיימות f ' x 0 :וקבע כמה מהן הן נקודות קיצון.
ב .מצא את האסימפטוטות המקבילות לצירים של הפונקציה.
ג .סרטט סקיצה של גרף הפונקציה.
ד .בכמה נקודות חותך הישר y 0.01את גרף הפונקציה?
)44נתונה הפונקציה הבאה . f x e2x ae x b :גוזרים את הפונקציה פעמיים וידוע
כי כאשר x ln 23הנגזרות מקיימות. f ' x f '' x 12 :
א .מצא את . a
משוואת המשיק לגרף הפונקציה בנקודה מסוימת היא. y 22 x 28 22ln 2 :
ב .מצא את שיעור ה x -של נקודת ההשקה.
ג .מצא את . b
ד .האם הפונקציה חותכת את ציר ה ? x -אם כן מצא את הנקודות.
178
1
)45נתונה הפונקציה . a 0 , f x x a x :לפונקציה יש נקודת קיצון שבה:
ln 2
א .מצא את . a
ב .כתוב את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה.
הנקודה שבה x 2היא נקודת החיתוך של גרף הפונקציה f x
עם גרף הפונקציה. g x x2 2x kx 2x :
ג .מצא את . k
ד .מצא נקודה נוספת שבה הגרפים נחתכים.
)46נתונה הפונקציה. f x 32 x 2 31 x :
א .מצא את משוואת המשיק לגרף הפונקציה בנקודת החיתוך שלה
עם ציר ה. y -
ב .הוכח כי גרף הפונקציה אינו חותך את ציר ה. x -
ג .מצא את נקודת הקיצון של הפונקציה וקבע את סוגה.
179
.x
:תשובות סופיות
2 x 3 e x 3x e . ב3ex 2e2 x e x 2 .) א1
2x 1 x ln 2 ln 2 . ג2 xe4 x 1 2 x . ב1 x e x .) א2
2
x2 x
e2 x e2 x
ex
30e2 x e2 x 1 ) א4
.ג
.ב
.ב
.) א3
2
x
2x
2 x
x
2 x ln3 3x ln 4 4 x . ד3ln 2 23 x .ג
2
5e 4 x 6e3 x
2
e
1
x
3e
2
e
e e
3
3 x 2
. וe
x
x
2
2 x 3 .ה
x 1
2
1
e1/ x
2 .ג
x
e .ד
x
e
e x . ב2e2 x .) א5
e x x 1
e 1/ x
2 x 1
2 x
2 2x
. יאe 1 2 x . יe 2 x 7 . טx e 3 2 x .ח
.ז
x2
x2
x 1 .טו
.טז
x
2
ex
1 e
x 1 2
e
e
4
e x
x
2
.יד
2 x x 2 1
ex
2
.יג
3x 2 1 x
.יב
e3 x
y e2 e x e2 , y e 1 x e )8 y 3x 1 )7
x ln5 . גx 0 . בx כל.) א11 b 1 , a 2 )10
y ex )6
y 2e4 x 3ex 3e4 )9
2
. וx כל. הx 0 , x ln 2 .ד
5
4
. min 3,e3 )13 max 2, 2 , min 0,0 )12
e
min 1.5,0 , max 3.5,0.483 , b 12 , a 4 )14
. x 0 , x ln 3 . ז0 x
. p 27 , q 35 )15
1
5
. x ln5 , y )19 x 0 , y 5 , y 1 )18 y 0 )17 y 0 )16
1
3
. ln 2, 1 : נקודת אי הגדרה, x ln3 , y , y 0 )21 . y 1 , y 1 )20
. y 0 )25 x
1
, y 0 )24 y 0 )23 . x 0 , y 0 )22
3
. 3,
10
, a 1 , b 1 )27
3
e
. x 0 : יורדתx 0 : עולה.4
0,0 : נקודת אי הגדרה,
x 0 )26
min 0, 1 .3 1, 0 , 0, 1 .2 x כל.1 .) א28
. x 1 , x 1 : עולה.4
2
פיתול 1, .3 0,1 .2 x כל.1 .ב
e
4
4
max 2, , min 0, 0 , max 2, .3 0,0 .2 x כל.1 .ג
e
e
. 2 x 0 , x 2 : יורדתx 2 , 0 x 2 : עולה.4
.x0
min 0.5, e0.25 .3
0,1 .2
: יורדתx 0 : עולה.4 . max 0,1 .3 0,1 .2
x כל.1 .ה
0, 2e .2
x כל.1 .ו
. x 0.5 : יורדתx 0.5 : עולה.4
. x 0 : יורדתx 0 : עולה.4
min 0, 2e1 .3
180
1
x כל.1 .ד
. x 2 : תחומי ירידה2 x : תחומי עלייה. גmin 2, e2 . בx כל.) א29
. 3, 0 , 0. 3 .ד
max 0,3 , min ln3,1.59 . בx כל.) א30
0,3 .ד
0 x ln3 : תחומי ירידהx 0 אוx ln 3 : תחומי עלייה.ג
4
4
1 x 1 : תחומי עלייה. ג. min 1, 0.5 , max 1, 0.5 . ב. x כל.) א31
e
e
. 0, 0 . ד. x 1 או1 x :תחומי ירידה
27
. 0,0 . דx 3 : יורדת, x 3 : עולה. גmax 3, 3 . בx כל.) א32
e
. 0, 0 . ד. x 0.91 : יורדת0.91 x : עולה. ג. min 0.91, 0.67 . בx כל.) א33
2
min 1,
max 1,2 e
e
. בx כל.) א34
y 2 . ה 0,2 . דx 1 , x 1 : יורדת1 x 1 : עולה.ג
. m 2, m 2 e , m
. אין. ד0 x
2
.ז
e
1 e2
1
1
: יורדת, x : עולה. גmin , . בx 0 .) א35
2
2
2 4
. x 0 קעורה כלפי מעלה לכל. ז. אין. ו 0,0 : נקודת אי הגדרהx 0 .ה
x
1 3 e
1 e1.5
1
1
, x : עולה. ג. Max ,
, Min ,
. בx כל.) א36
6
2
2 4
6 4
1
6
. 0,1 . ד. x
. 1, e2 . בf x
1
e
3 x 2 6 x 1
1
:יורדת
2
, k 1 .) א37
. 0 f ( x) e2 נמצא בתחוםf ( x) ניתן לראות עפ"י הגרף כי ערך הפונקציה.ד
. 0, 0 . דb 5 . גx ln 2 . בa 4 .) א38
. x ln 6 : יורדותx ln 6 : עולות. ב. a 12 , b 12 .) א39
0, 0 . ג. Max 2,
4
, Min 0, 0 .ב
e
f x x 2e
1
x2
4
, a 1 , b 0.25 .) א40
.0 k
4
.ה
e
48
1
. x 1 , x 11 : יורדת1 x 11 : עולה. ג. 11, 2 : כן. ב. a .) א41
e
2
3
3
. 1,0 , 7,0 , 0, 7e .ד
181
e6
e
. 0, . גMax 2, 4 , Min 3, . ב. f x 2
, m 6 .) א42
2e
6
x 6
3
1
1
2x
. נקודות2 . דy 0 . ב. Min 1.5, 3 e3 : נקודת הקיצון היא. x 0, 1.5 .) א43
8
3
. לא. דb 10 . גx ln 2 . בa 7 .) א44
. 0, 0 . דk 1 . גx
1
1
: יורדתx
: עולה. בa 2 .) א45
ln 2
ln 2
1
. Min , 3 243 . גy x ln 81 7 .) א46
3
182
סקיצות לשאלות החקירה:
)29
) 30
) 32
)35
)41
)33
)31
)34
)36
)37
)42
)40
)43
183
תירגול נוסף:
)1חקור את הפונקציה y e4 x1לפי הסעיפים הבאים:
א .מצא תחום ההגדרה.
ב .מצא נקודת קיצון.
ג .מצא תחומי עלייה וירידה וקביעת סוג הקיצון.
ד .מצא חיתוכים עם הצירים.
ה .מצא אסימפטוטות המקבילות לצירים (במידה ויש).
ו .סרטט סקיצה של גרף הפונקציה.
)2חקור את הפונקציה y xe xלפי הסעיפים הבאים:
א .מצא תחום ההגדרה.
ב .מצא נקודת קיצון.
ג .מצא תחומי עלייה וירידה וקביעת סוג הקיצון.
ד .מצא חיתוכים עם הצירים.
ה .מצא אסימפטוטות המקבילות לצירים (במידה ויש).
ו .סרטט סקיצה של גרף הפונקציה.
)3חקור את הפונקציה y x 2 e xלפי הסעיפים הבאים:
א.
ב.
ג.
ד.
ה.
ו.
מצא תחום ההגדרה.
מצא נקודת קיצון.
מצא תחומי עלייה וירידה וקביעת סוג הקיצון.
מצא חיתוכים עם הצירים.
מצא אסימפטוטות המקבילות לצירים (במידה ויש).
סרטט סקיצה של גרף הפונקציה.
)4חקור את הפונקציה y x2 5x 5 e xלפי הסעיפים הבאים:
א.
ב.
ג.
ד.
ה.
ו.
מצא תחום ההגדרה.
מצא נקודת קיצון.
מצא תחומי עלייה וירידה וקביעת סוג הקיצון.
מצא חיתוכים עם הצירים.
מצא אסימפטוטות המקבילות לצירים (במידה ויש).
סרטט סקיצה של גרף הפונקציה.
184
ex
)5חקור את הפונקציה
x2
א.
ב.
ג.
ד.
ה.
ו.
y לפי הסעיפים הבאים:
מצא תחום ההגדרה.
מצא נקודת קיצון.
מצא תחומי עלייה וירידה וקביעת סוג הקיצון.
מצא חיתוכים עם הצירים.
מצא אסימפטוטות המקבילות לצירים (במידה ויש).
סרטט סקיצה של גרף הפונקציה.
x2
)6חקור את הפונקציה y x 1לפי הסעיפים הבאים:
e
א.
ב.
ג.
ד.
ה.
ו.
מצא תחום ההגדרה.
מצא נקודת קיצון.
מצא תחומי עלייה וירידה וקביעת סוג הקיצון.
מצא חיתוכים עם הצירים.
מצא אסימפטוטות המקבילות לצירים (במידה ויש).
סרטט סקיצה של גרף הפונקציה.
)7חקור את הפונקציה x 4
y לפי הסעיפים הבאים:
x
2
e
א.
ב.
ג.
ד.
ה.
ו.
מצא תחום ההגדרה.
מצא נקודת קיצון.
מצא תחומי עלייה וירידה וקביעת סוג הקיצון.
מצא חיתוכים עם הצירים.
מצא אסימפטוטות המקבילות לצירים (במידה ויש).
סרטט סקיצה של גרף הפונקציה.
ex
)8חקור את הפונקציה
ex 1
א.
ב.
ג.
ד.
ה.
ו.
y לפי הסעיפים הבאים:
מצא תחום ההגדרה.
מצא נקודת קיצון.
מצא תחומי עלייה וירידה וקביעת סוג הקיצון.
מצא חיתוכים עם הצירים.
מצא אסימפטוטות המקבילות לצירים (במידה ויש).
סרטט סקיצה של גרף הפונקציה.
185
)9חקור את הפונקציה y x 2e xלפי הסעיפים הבאים:
א .מצא תחום ההגדרה.
ב .מצא נקודת קיצון.
ג .מצא תחומי עלייה וירידה וקביעת סוג הקיצון.
ד .מצא חיתוכים עם הצירים.
ה .מצא אסימפטוטות המקבילות לצירים (במידה ויש).
ו .סרטט סקיצה של גרף הפונקציה.
2
x ex
y לפי הסעיפים הבאים:
)10חקור את הפונקציה
x
א.
ב.
ג.
ד.
ה.
ו.
מצא את תחום ההגדרה.
מצא נקודת קיצון.
מצא תחומי עלייה וירידה וקביעת סוג הקיצון.
מצא את נקודת החיתוך עם ציר ה. y -
מצא אסימפטוטות המקבילות לצירים (במידה ויש).
סרטט סקיצה של גרף הפונקציה.
1
)11חקור את הפונקציה
e e x
x
א.
ב.
ג.
ד.
ה.
ו.
מצא תחום ההגדרה.
מצא נקודת קיצון.
מצא תחומי עלייה וירידה וקביעת סוג הקיצון.
מצא חיתוכים עם הצירים.
מצא אסימפטוטות המקבילות לצירים (במידה ויש).
סרטט סקיצה של גרף הפונקציה.
e x
)12חקור את הפונקציה
x 2 15
א.
ב.
ג.
ד.
ה.
y לפי הסעיפים הבאים:
y לפי הסעיפים הבאים:
מצא תחום ההגדרה.
מצא נקודת קיצון.
מצא תחומי עלייה וירידה וקביעת סוג הקיצון.
מצא אסימפטוטות המקבילות לצירים (במידה ויש).
סרטט סקיצה של גרף הפונקציה.
186
)13נתונה הפונקציה. f x e x 3 x 9 x :
2
א.
ב.
ג.
ד.
ה.
3
מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה.
מצא את נקודות הקיצון של הפונקציה וקבע את סוגן.
כתוב את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה.
מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים.
סרטט סקיצה של גרף הפונקציה.
)14נתונה הפונקציה. f x 3x2 4 e6 x :
א.
ב.
ג.
ד.
ה.
מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה.
מצא את נקודות הקיצון של הפונקציה וקבע את סוגן.
כתוב את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה.
מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים.
סרטט סקיצה של גרף הפונקציה.
e x 24
. f x 2
)15נתונה הפונקציה:
x 24
2
א.
ב.
ג.
ד.
ה.
ו.
מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה.
מצא את נקודות הקיצון של הפונקציה וקבע את סוגן.
כתוב את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה.
מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים.
כתוב את האסימפטוטות האנכיות של גרף הפונקציה.
סרטט סקיצה של גרף הפונקציה.
ae x
f x יש נקודת קיצון:
)16לפונקציה:
xb
א .מצא את ערכי הפרמטרים aו . b -
ב.
ג.
ד.
ה.
4
. 4,5e
מהו תחום ההגדרה של הפונקציה?
כתוב את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה.
מצא את נקודת החיתוך של גרף הפונקציה עם ציר ה. y -
סרטט סקיצה של גרף הפונקציה.
)17נתונה הפונקציה הבאה. f x e2 x 6e x 8 :
א.
ב.
ג.
ד.
מצא את נקודת הקיצון של הפונקציה.
כתוב את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה.
מצא את נקודות החיתוך של הפונקציה עם הצירים.
סרטט סקיצה של גרף הפונקציה.
187
)18נתונה הפונקציה. f x 4x 41 x :
הישר y 5חותך את גרף הפונקציה בשתי נקודות Aו.B-
א .הוכח כי אחת מהנקודות נמצאת על ציר ה . y -
ב .הוכח כי שיעור ה x -של נקודת הקיצון של הפונקציה שווה לממוצע של
שיעורי ה x -של הנקודות Aו.B-
ג .כתוב את משוואת המשיק בנקודת הקיצון של הפונקציה.
)19נתונה הפונקציה. f x x3 ekx :
ידוע כי יש לגרף הפונקציה נקודת קיצון שבה . x 1
א .מצא את kוכתוב את הפונקציה.
ב .האם יש לגרף ה פונקציה נקודות קיצון נוספות? אם כן מצא אותן.
ג .כתוב את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה.
ד .סרטט סקיצה של גרף הפונקציה.
188
:תשובות סופיות
. 0, e4 . ד.ה. עולה בכל ת.ג
. אין קיצון. בx כל.) א1
. 0, 0 . ד. x 1 : יורדתx 1 : עולה. גMin 1, e1 . בx כל.) א2
. 0, 2 , 2,0 . דx 3 : יורדתx 3 : עולה. גMin 3, e3 . בx כל.) א3
. 0 x 3 : יורדתx 0 , x 3 : עולה. גMax 0,5 , Min 3, e3 . בx כל.) א4
. 0,5 , 3.61,0 , 1.38,0 .ד
. 0, 12 . ד. x 2 , x 1 : יורדתx 1 : עולה. גMin 1, e1 . בx 2 .) א5
x 0 , x 2 : יורדת0 x 2 : עולה. גMin 0, 0 , Max 2, 4e3
. x 2 .ה
. בx כל.) א6
. 0, 0 .ד
x 4 , x 6 : יורדת4 x 6 : עולה. גMin 4, 0 , Max 6, 4e6 . בx כל.) א7
. 0,16 , 4,0 .ד
. אין חיתוכים עם הצירים כלל. ד.ה. יורדת בכל ת. ג. אין קיצון. ב. x 0 .) א8
. x 0 : y 1 , x 0 : y 0 , x 0 .ה
. 0, 0 . דx 0 : יורדתx 0 : עולה. גMin 0, 0 .ב
x כל.) א9
. אין חיתוכים. דx 1 : יורדתx 0 , x 1 : עולה. גMax 1,1 e . בx 0 .) א10
. x 0 : y 1 .ה
. y 0 . ה 0, 12 . דx 0 : יורדתx 0 : עולה. גMax 0,0.5 . ב. x כל.) א11
e5
1
Min 5, , Max 3, 3 . בx 15 .) א12
6e
10
1
0, . דx 15 , x 5 , x 3 : יורדתx 15 , 5 x 3 : עולה.ג
15
. x 15 .ה
. 1 x 3 : יורדתx 1 , x 3 : עולה. ג. Max 1, e5 , Min 3, e27 . בx כל.) א13
. 0,1 .ד
. Max ,
4 4
, Min 1, e6 . בx כל.) א14
8
3
3
e
.
2 2
,0 ,
, 0 , 0, 4 .ד
3 3
4
4
x 1 : יורדתx , x 1 : עולה.ג
3
3
189
. Max 0,
1
, Min 5, e , Min 5, e . בx 24 .) א15
24e24
. x 24 , 0 x 5 , x 5 : יורדתx 24 , 5 x 0 , x 5 : עולה.ג
. x 24 . ה 0, 24 .ד
24e
1
. 0, . דx 3 , x 4 : יורדתx 4 : עולה. גx 3 . ב. a 5 , b 3 .) א16
3
5
. x ln 3 : יורדתx ln 3 : עולה. ב. Min ln 3, 1 .) א17
. ln 2,0 , ln 4,0 , 0,3 .ג
. y 4 .) ג18
. x 1 : יורדתx 0 , x 1 : עולה. ג. לא. בf ( x) x3e3x , k 3 .) א19
:סקיצות לשאלות
)5
y
y
)4
)10
y
)9
)14
)2
y
)7
y
x
y
y
)6
y
x
x
)13
y
)1
x
x
)8
y
x
x
)3
x
x
x
y
y
) 12
y
) 11
y
x
)19
)17
) 16
y
y
x
x
x
y
) 15
y
x
x
190
x
x
פונקציות לוגריתמיות:
הגדרות כלליות:
להלן תיאורים גרפיים של פונקציה לוגריתמית כללית מהצורהf x log a x :
עבור a 1 :ו: 0 a 1 -
תכונות כלליות:
.1לפונקציות תחום הגדרה. x 0 :
.2הפונקציות תמיד חותכות את ציר ה x -בנקודה. 1, 0 :
.3עבור a 1 :הפונקציה עולה בכל ת.ה .ועבור 0 a 1 :הפונקציה יורדת בכל
ת.ה.
עבור הפונקציות f x ln x loge xנקבל:
תכונות נוספות:
.1שיפוע המשיק לגרף הפונקציה f x ln xבנקודת החיתוך עם ציר ה x -הוא .1
191
:תחום הגדרה של פונקציה לוגריתמית
. f x 0 : הואy log f x :תחום ההגדרה של פונקציה לוגריתמית מהצורה
:נגזרות של פונקציות לוגריתמיות
הנגזרת
1
x ln a
y log a x
f ' x
f x ln a
y log a f x
y'
y'
הפונקציה
1
x
f ' x
y ln x
y'
y'
y ln f x
f x
:שאלות יסודיות – חישובי נגזרות
f x ln x 3x
2
:)) גזור את הפונקציות הבאות (סכום פונקציות1
. בf x 3ln x 4ln x 2 ln 5x 1 .א
f x ln e x 1
.ד
f x log 2 x 5log3 2 x 1
.ו
x 1
x 1
.ג
f x log 2 x 5log3 2 x 1
.ה
f x ln
:)) גזור את הפונקציות הבאות (מכפלה ומנה של פונקציות2
2
f x x ln x .א
f x 3x 1 ln x .ב
f x
ln x 2
ln x 2
ln x
x
.ג
f x ln x x
.ה
f x
.ד
192
:)) גזור את הפונקציות הבאות (פונקציות מורכבות3
f x 3ln x .ב
f x ln 3 x .א
2
f x
ln 2 x 1
ln x 1
2
f x x ln x
2
f x x 2 ln 2 x
.ד
.ג
:)) גזור את הפונקציות הבאות (שאלות שונות4
f x ln x 2 .א
.ב
f x ln e2 x
.ד
f x x3 ln x
.ג
f x e x ln x
.ו
f x e x ln x
.ה
f x ln x 4
.ח
f x ln x 2
.ז
f x x ln x ln x 2
.י
f x x 2 2ln x 1
.ט
f x ln x
.יב
2
4
.יד
f x ln
x2
x
.יג
x 5 .טז
f x ln
2
x 1
f x ln
x 3
x3
.טו
f x ln x
.יז
.יט
f x ln
x 1
x 1
f x ln 2 x 2ln x 3 .יא
3
f x ln x 2 1 .יח
f x ln x
.כ
f x ln
1
2 x
.כב
f x ln 3
1 5x
1 5x
.כד
f x
ln 3 x
x
.כו
f x
ln x
f x
f x ln x x 2 a 2
f x e
x
ln 4 x
.כא
1 x
.כג
1 x
ln x
f x
.כה
x
f x ln
3
x
ln x
f x
.כח
ln x
2
.כז
x
x
.כט
f x
ln x 2
.ל
f x ln 2 x
193
1
ln 2 x
.לא
שאלות העוסקות בשימושי הנגזרת:
)5מצא את משוואת המשיק לפונקציה f x ln xבנקודה . A e,1
ln 2 x a
f x בנקודה 1 , 1הוא . e
)6שיפוע המשיק לפונקציה
ln x b
3
e
מצא את ערכי הפרמטרים aו . b -
)7הגרפים של הפונקציות f x ln xו g x 1נחתכים בנקודה Aברביע
הראשון .בנקודה Aהעבירו משיק ל . f x -
מצא את משוואת המשיק והוכח שמשיק זה עובר דרך הראשית.
ln x 2
)8לפונקציה
x
g x העבירו משיק בנקודה שבה . x e2
מצא את משוואת המשיק.
)9מצא את משוואת המשיק לגרף הפונקציה y x ln x 2 1בנקודה שבה . x 1
שאלות שונות העוסקות בחקירה:
)10מצא את תחום ההגדרה של הפונקציות הבאות:
בf x ln x 2 .
אf x ln x .
ג.
ד.
f x ln e x 4
ז.
f x ln x 1
ה.
x 1
ln x 1
f x
ו.
f x log3 x 2 8x 20
1
ln x 2ln x 3
2
)11מצא את נקודות הקיצון של הפונקציה הבאה. f x 2ln x x 2 :
)12מצא את נקודות הקיצון של הפונקציה הבאה. f x x 2 ln x :
2 ln x 1
)13מצא את נקודות הקיצון של הפונקציה הבאה:
x
. f x
)14מצא את נקודות הקיצון של הפונקציה הבאה. f x log24 x log2 x :
194
f x
a ln x b
1
. f x הנקודה
)15נתונה הפונקציה:
2
x
e
e2 ,היא נקודת קיצון של
הפונקציה .מצא את ערכי הפרמטרים aו . b -
)16נתונה הפונקציה:
2
1
. f x a ln x b ln2 xהנקודה 3 e , היא נקודת
ln x 1
8
קיצון של הפונקציה .מצא את ערכי הפרמטרים aו. b -
)17מצא את האסימפטוטות של הפונקציה הבאהf x ln x 3 :
)18מצא את האסימפטוטות של הפונקציה הבאה:
1
ln x 1
)19מצא את האסימפטוטות של הפונקציה הבאה:
2 ln x 1
ln x 1
f x
)20מצא את האסימפטוטות של הפונקציה הבאה:
ln x 2
ln 2 x 4
f x
)21מצא את האסימפטוטות של הפונקציה הבאה:
ln x
x
f x
f x
x2 1
)22מצא את האסימפטוטות של הפונקציה הבאה:
ln 2 x 1
f x
)23מצא את האסימפטוטות של הפונקציה הבאהf x x ln x 2 :
)24נתונה הפונקציה . f x ln x :מצא את נקודת הפיתול של הפונקציה.
x
)25חקור את הפונקציות הבאות עפ"י הסעיפים הבאים:
.1מציאת תחום ההגדרה של הפונקציה.
.2מציאת נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים.
.3מציאת נקודות הקיצון של הפונקציה וקביעת סוגן.
.4כתיבת תחומי העלייה והירידה של הפונקציה.
א.
1 2
x 4 x 3ln x
2
ד.
y x ln x
y
בy x ln x .
גy x ln x x .
הy x 2 ln x .
וy ln x 2 1 .
195
)26נתונה הפונקציה . f x 2 x ln 2 xחקור לפי הסעיפים הבאים:
א.
ב.
ג.
ד.
ה.
מציאת תחום ההגדרה של הפונקציה.
מציאת נקודות הקיצון של הפונקציה וקביעת סוגן.
כתיבת תחומי העלייה והירידה של הפונקציה.
נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים.
סרטוט סקיצה של גרף הפונקציה.
x
)27נתונה הפונקציה
ln x 1
א.
ב.
ג.
ד.
ה.
ו.
. f x חקור לפי הסעיפים הבאים:
תחום הגדרה של הפונקציה.
מציאת נקודות הקיצון של הפונקציה וקביעת סוגן.
כתיבת תחומי העלייה והירידה של הפונקציה.
מציאת נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים.
סרטוט סקיצה של גרף הפונקציה.
מצא לאלו ערכי kהישר y kחותך את הפונקציה בשתי נקודות.
)28נתונה הפונקציה . f x log24 x log2 xחקור לפי הסעיפים הבאים:
א.
ב.
ג.
ד.
ה.
תחום הגדרה של הפונקציה.
מציאת נקודות הקיצון של הפונקציה וקביעת סוגן.
כתיבת תחומי העלייה והירידה של הפונקציה.
מציאת נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים.
סרטוט סקיצה של גרף הפונקציה.
)29נתונה הפונקציה. f x ln x :
א .מהו תחום ההגדרה של הפונקציה?
ב .הוכח כי גרף הפונקציה עולה בכל תחום הגדרתו.
מגדירים פונקציה נוספת. g x ln x :
ג .מצא את נקודות החיתוך של שני הגרפים.
ד .הנקודה Aנמצאת על גרף הפונקציה f x והנקודה Bנמצאת על גרף
הפונקציה . g x ידוע כי לנקודות Aו B-אותו שיעור . xA xB , x
מצא את שיעור ה x -של שתי הנקודות אם ידוע כי המשיקים לגרפים של
הפונקציות בנקודות אלו מקבילים.
196
ln x
x
f x ו-
)30נתונה שתי הפונקציות הבאות:
x
ln x
. g x
א .קבע אילו מהמשפטים הבאים נכונים ואלו שגויים .נמק זאת ע"י חישוב
מתאים ותקן במשפטים השגויים את הטעות.
.1לשתי הפונקציות אותו תחום הגדרה.
.2לשתי הפונקציות יש נקודת קיצון מאותו סוג ובעלות שיעור xזהה.
.3לשתי הפונקציות תחומי עלייה וירידה זהים.
.4לשתי הפונקציות יש אסימפטוטות אנכיות.
ב .בוחרים באקראי שתי נקודות ,אחת על כל גרף ,כך ששיעור ה x -שלהן
זהה .הוכח כי מכפלת שיעורי ה y -של כל זוג נקודות כאלו שווה ל.1-
)31נתונה הפונקציה הבאה. y ln x2 6 x 7 :
א.
ב.
ג.
ד.
מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה.
מהן האסימפטוטות של הפונקציה המקבילות לציר ה ? y -
מצא את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה.
לפניך 4גרפים , III , II , I :ו .IV-איזה מהגרפים מתאים לפונקציה
הנתונה .נמק.
)32נתונה הפונקציה. y ln x2 2 x 1 :
א.
ב.
ג.
ד.
מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה.
מהי האסימפטוטה של הפונקציה המקבילה לציר ה ? y -
מצא את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה.
לפניך 4גרפים , III , II , I :ו .IV-איזה מהגרפים מתאים לפונקציה
הנתונה .נמק.
ה .העזר בגרף שבחרת וכתוב את תחומי השליליות של הפונקציה.
197
)33לפניך הפונקציה הבאה. f x ln 1 ln x :
א.
ב.
ג.
ד.
מה הוא תחום ההגדרה של הפונקציה?
הוכח כי הפונקציה יורדת בכל תחום הגדרתה.
מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם ציר ה . x -
סרטט סקיצה של גרף הפונקציה.
2x 1
)34נתונה הפונקציה הבאה:
x 1
א.
ב.
ג.
ד.
ה.
. y ln
מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה.
כתוב את האסימפטוטות האנכיות של גרף הפונקציה.
מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם ציר ה . x -
הראה כי גרף הפונקציה יורד בכל תחום הגדרתו.
סרטט סקיצה של גרף הפונקציה.
)35נתונה הפונקציה הבאה. f x x ln3 x 2ln 2 x :
א .הראה כי נגזרת הפונקציה היא. f ' x ln3 x 5ln 2 x 4ln x :
ב .מצא את התחום בו הפונקציה עולה.
ג .1 .מצא את נקודות החיתוך של הפונקציה עם ציר ה. x -
.2מצא את התחום בו הפונקציה חיובית.
ד .לפניך 4גרפים .קבע איזה מהם מתאר את הפונקציה f x
ונמק את בחירתך.
)36נתונה הפונקציה. f x ln3 x 3ln x :
א.
ב.
ג.
ד.
ה.
מה הוא תחום ההגדרה של הפונקציה.
מצא את נקודות החיתוך של הפונקציה עם ציר ה. x -
מצא את נקודות הקיצון של הפונקציה וקבע את סוגן.
סרטט סקיצה של גרף הפונקציה.
מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה f x
עם הפונקציה. g x ln x :
198
)37
א .פתור את המשוואה הבאה. ln x e ln x e ln 2 0.5 :
נתונה הפונקציה. f x ln x e ln x e :
ב .הראה כי הפונקציה יורדת בכל תחום הגדרתה.
ג .מצא את משוואת המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה. x e :
xa
)38נתונה הפונקציה הבאה:
ln x a
א.
ב.
ג.
ד.
a , y פרמטר חיובי. a 1 ,
הבע באמצעות aאת:
.1תחום ההגדרה של הפונקציה.
.2הנקודה המקיימת . y ' 0
.3נקודת החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים.
.4האסימפטוטה האנכית של הפונקציה.
ידוע כי גרף הפונקציה עולה רק בתחום . x e 2 :מצא את . a
סרטט סקיצה של גרף הפונקציה בתחום . x 1
נתון הישר . y k :מצא בסקיצה את תחום הערכים של kעבורו לישר
ולגרף הפונקציה לא תהיה אף נקודה משותפת.
1
)39נתונה הפונקציה הבאה:
x
. y ln x
א .1 .מהו תחום ההגדרה של הפונקציה?
.2יש לגרף הפונ קציה אסימפטוטה מקבילה לציר ? yאם כן מצא אותה.
ב .מצא את נקודת הקיצון של גרף הפונקציה וקבע את סוגה.
ג .כתוב את תחומי העלייה והירידה של גרף הפונקציה.
199
:תשובות סופיות
2
.ג
x 1 x 1
. f ' x
f ' x
2x 3
.ב
x 2 3x
f ' x
3
4
5
.) א1
x x 2 5x 1
1
10
1
10
. ו. f '( x)
.ה
x ln 2 (2 x 1) ln 3
x ln 2 (2 x 1) ln 3
. f ' x
1 ln x
.ג
x2
f ' x
ex
.ד
ex 1
3x 1
f ' x 3x 1 6ln x
. ב. f '( x) ln x 1 .) א2
x
1 x
4
. f '( x)
. ה. f '( x)
.ד
x(ln x 2)2
2 x ln x x
. f '( x) 2 x ln x(ln x 1) . ג. f ' x
6 ln x
3ln 2 x
. ב. f ' x
.) א3
x
x
2(ln x 1)
. f '( x)
.ד
x(ln x 1)3
1
1
.) א4
e x ln x . ה2 . דx 2 3ln x 1 . גx 2ln x 1 .ב
x
x2
2
1
2 ln x 2 3x
2
4
2
. יאln x 1 . י4 x ln x .ט
.ח
. זe x 2 x ln x .ו
x
x
x
x
x
3
2
.טז
x 5 x 1
e ln x
.כא
2 x ln x
1
.כ
2 x ln x
1 3ln x
.כו
3x 2
3
2
2
. יד
.יג
2
x 1
x x 2
6
.טו
2
x 9
x2 a2 x
x x a x a
2
2
2
2 ln x
5
.כה
.כד
3 1 25x 2
x x
ln x 4
.ל
ln 5 x
ln x 2 2
ln 2 x 2
.כט
2
.יט
2x
x 1
1
.כג
2 x 2 1
3ln 2 x ln 3 x
.כח
x2
. a 2 , b 2 )6
2
1
. y x )5
e
4 ln x
.יב
x
3
.יח
1
.יז
2x
1
.כב
4 2x
2 ln x ln 2 x
.כז
x2
.
2 ln 4 x 1
.לא
x ln 3 x
1
2
6
. y ln 2 x x 1 )9 y 4 x 2 )8 y x )7
e
e
e
. x ln 4 . ד. x 2 או10 x . ג. x 0 . ב. x 0 .) א10
. max 1, 1 )11 . x e . ז. x e3 , e1 וגם0 x . ו. 0 x e .ה
1
1
1
. min( , ) )12
e 2e
. x 3 )17 . a 1 , b 1 )16 . a 1 , b 1 )15
. min(4, 1) )14 . max e, , קצהmin( e , 0) )13
e
200
1
)18נקודת אי הגדרה )19 . y 0 , x e 0, 0 נקודת אי הגדרה
e
1
1
)20נקודת אי הגדרה . y 0 , x 0 )21 y 0 , x 2 , e2 ,
e 4
. , 0, 2 y 2 , x
3
)22נקודת אי הגדרה )23 . 0, 0 נקודת אי הגדרה )24 . 0, 2
2 e3
. e3 ,
)25א .4 max 1, 3.5 , min 3,ln 27 7.5 .3 x 0 .1 .עולה0 x 1 , x 3 :
יורדת.1 x 3 :
ב.3 1, 0 .2 x 0 .1 .
גx 0 .1 .
e, 0 .2
min e1 , e1
min 1, 1 .3
.4עולה x e1 :יורדת. 0 x e1 :
.4עולה x 1 :יורדת. 0 x 1 :
ד .4 min e2 , .3 1,0 .2 x 0 .1 .עולה x e2 :יורדת. 0 x e2 :
e
2
הx 0 .1 .
1, 0 .2
1
1
1
1
x יורדת:
.4 min , .3עולה:
e
e
e 2e
.0 x
ו .1 .כל .4 min 0, 0 .3 0, 0 .2 xעולה x 0 :יורדת. x 0 :
1
1 8
)26א . 0 x .בmax 2 , 2 , min 1, 0 .
ג .עלייה 1 x :או 2
e
e e
1
ירידה . 2 x 1 :ד. (1, 0) .
e
,0 x
)27א 0 x e .ב . min(e2 , e2 ) .ג .עלייה , e2 x :ירידה 0 x e2 :וגם . x e
ד .אין .ו. k e2 .
)28א . 0 x .ב . min(4, 1) .ג .עלייה , 4 x :ירידה 0 x 4 :ד. (1,0) , (16,0) .
. f '( x) ג . 1,0 , e,1 .ד. x 4 e .
1
)29א . x 1 .ב .מתקבל 0 :
2 x ln x
)30א .1 .לא נכון .תחום ההגדה של ) f ( xהוא x 0 , x 1 :ותחום ההגדרה
של ) g ( xהוא. x 0 :
.2לא נכון .לשתי הפונקציות נקודת קיצון שבה x eאך עבור )f ( x
מדובר במינימום ועבור ) g ( xמדובר במקסימום.
.3לא נכון .עבור ) : f ( xעולה x e :יורדת. x 1 , 0 x e :
ועבור ) : g ( xעולה 0 x e :יורדת. x e :
.4נכון.
ln x
x
y ו-
ב .לגבי כל נקודה נאמר כי שיעור ה y -שלה הוא:
x
ln x
x ln x
נכפול 1 :
.y
ln x x
)31א x 1 , x 7 .ב . x 7, 1 .ג .עולה x 7 :יורדת. x 1 :
201
.y
ד .III .הסבר :באיורים Iו II-גרף הפונקציה לא בתחום.
באיור IVתחומי העלייה והירידה הפוכים.
)32א x 1 .ב x 1 .ג .עולה x 1 :יורדתx 1 :
ד .I .הסבר :באיור IIתחומי העלייה והירידה הפוכים.
באיורים IIIו IV-יש אסימפטוטה מיותרת .ה. x 1 , 2 x 0 .
)33א( . 0 x e .שימו לב כי תנאי ת.ה .הם 1 ln x 0 :וגם .) x 0
1
ב 0 .
x 1 ln x
1
)34א, x 1 .
2
1x
1 ln x
- f '( x) ולכן הפונקציה יורדת בת.ה .ג. 1, 0 .
1
2
. x ב. x ,1 .ג. 2, 0 .
3
ד .מתקבל 0 :
2 x 1 x 1
. y'
)35ב. x 1 , e4 x e1 .
ג 2 .1 .נקודות והן . 1, 0 , e2 , 0 :הנקודה שבה x 0 :לא קיימת עקב ת.ה.
. x 1 , x e2 .2
ד – III .בראשית הצירים יש חור ולא אסימפטוטה.
שאר הנתונים כפי שהתקבלו בסעיפים הקודמים.
)36א . x 0 .ב . 1, 0 , e 3 , 0 , e 3 , 0 .ג. Min e, 2 , Max e1 , 2 .
ה. 1, 0 , e2 , 2 , e2 , 2 .
1
e
. y ' גx ln 2 .
)37א . x e .ב .מתקבל 0 :
2e
x x e
a
.y
. x 1 a .4 . 0,
)38א .3 . e a, e .2 . x a , x 1 a .1 .
ln a
דk e .
בa 2 .
)39א x 0 .2 x 0 .1 .ב Min 1,1 .ג .עולה x 1 :יורדת. 0 x 1 :
202
סקיצות לשאלות:
)26
) 34
) 27
)36
)28
)38
203
)33
תירגול נוסף:
)1נתונה הפונקציה הבאה. y x ln x 4 :
א.
ב.
ג.
ד.
מהו תחום ההגדרה של הפונקציה?
מצא את נקודת הקיצון של הפונקציה וקבע את סוגה.
מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים.
סרטט סקיצה של גרף הפונקציה.
)2נתונה הפונקציה הבאה. y ln x 3 2 x :
א .מהו תחום ההגדרה של הפונקציה ?
ב .מצא את נקודות הקיצון של הפונקציה בתחום הגדרתה.
ג .מצא את האסימפטוטה האנכית של גרף הפונקציה.
)3נתונה הפונקציה הבאה. y ln x2 4 x 3 :
א.
ב.
ג.
ד.
מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה.
מצא את האסימפטוטות האנכיות של הפונקציה.
הראה כי נקודת הקיצון של הפונקציה נמצאת על ציר ה . x -
סרטט סקיצה של גרף הפונקציה.
)4נתונה הפונקציה הבאה. f x ln x2 :
א .חקור את הפונקציה לפי הסעיפים הבאים:
.1מהו תחום ההגדרה של הפונקציה?
.2האם יש לפונקציה נקודות קיצון? נמק והראה חישוב מתאים.
.3האם יש לפונקציה אסימפטוטה אנכית? אם כן מהי?
.4כתוב את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה.
.5מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם ציר ה. x -
.6סרטט סקיצה של גרף הפונקציה.
2
ב .נתונה הפונקציה. g x ln x :
מצא את נקודות החיתוך של שני הגרפים.
)5נתונה הפונקציה. f x ln x a ln x 2 :
2
ידוע כי גרף הפונקציה חותך את ציר ה x -בנקודה שבה. x e2 :
א .מצא את . a
ב .מצא האם גרף הפונקציה חותך את ציר ה x -בנקודות נוספות.
ג .הראה כי הפונקציה מקבלת ערך מינימלי שהוא .-1
204
)6נתונה הפונקציה הבאה a , y ln 2 x a :פרמטר.
א.
ב.
ג.
ד.
הבע באמצעות aאת:
.1תחום ההגדרה של הפונקציה.
.2האסימפטוטה האנכית של גרף הפונקציה.
באיזה תחום צריך להימצא aעבורו האסימפטוטה של הפונקציה
תהיה מימין לציר ה ? y -
.1הראה כי עבור התחום שמצאת בסעיף הקודם יש לגרף
הפונקציה נקודת קיצון עם שיעור xחיובי.
.2הוכח כי נקודת הקיצון של הפונקציה נמצאת על ציר הx -
וקבע את סוגה.
מצא את aאם ידוע כי הפונקציה עולה בתחום. x 4 :
)7נתונה הפונקציה הבאה k , y x k ln x k 1 :פרמטר.
א .הוכח כי הנגזרת של הפונקציה היא. y ' ln x k :
ב.
ג.
ד.
ה.
הבע באמצעות kאת:
.1נקודת הקיצון של הפונקציה וקבע את סוגה.
.2נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים.
ידוע כי נקודת הקיצון של הפונקציה נמצאת על ציר ה . y -מצא את . k
סרטט סקיצה של גרף הפונקציה.
העזר בסקיצה של גרף הפונקציה והוכח כי אי -השוויון
הבא x 1 ln x 1 1 1 :מתקיים עבור כל . x
)8נתונה הפונקציה. f x x ln x :
2
א .כתוב את תחום ההגדרה של הפונקציה.
ב .1 .הוכח כי נגזרת הפונקציה היא. f ' x ln x 2ln x :
.2הראה כי אחת מנקודות הקיצון של הפונקציה נמצאת על ציר ה . x -
ג .האם יש לגרף הפונקציה אסימפטוטות? נמק.
ד .נתון הישר . y 4 x :מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הישר.
2
x
)9נתונה הפונקציה הבאה:
xa
א .הבע באמצעות aאת:
a 0 , f x lnפרמטר.
.1תחום ההגדרה של הפונקציה.
.2האסימפטוטות של הפונקציה המקבילות לצירים.
ב .הוכח כי גרף הפונקציה עולה בכל תחום הגדרתו.
1
ג .נגזרת הפונקציה מקיימת:
2
. f ' 1 מצא את . a
ד .סרטט סקיצה של גרף הפונקציה.
205
)10נתונה הפונקציה a 0 , f x ln 2 x a :פרמטר.
א .הראה כי הנגזרת השנייה של הפונקציה היא:
2 2ln x a
2
x a
. f '' x
ב .הבע באמצעות aאת שיעורי הנקודה המאפסת את הנגזרת השנייה.
ג .מצא את שיפוע המשיק לגרף הפונקציה העובר דרך הנקודה המאפסת
את הנגזרת השנייה.
ד .הבע באמצעות aאת משוואת המשיק הנ"ל.
2
e
ה .המשיק חותך את ציר ה y -בנקודה שבה . y 1מצא את . a
)11נתונה הפונקציה הבאה. y k ln x x3 :
ידוע כי שיפוע המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה x 3הוא .-26
א .מצא את kוכתוב את הפונקציה.
ב .כתוב את תחום ההגדרה של הפונקציה.
ג .מצא את נקודת הקיצון של הפונקציה וקבע את סוגה.
ד .היעזר בסעיף הקודם והוכח את הטענות הבאות:
.1גרף הפונקציה אינו חותך את ציר ה. x -
.2גרף הפונקציה שלילי בכל תחום הגדרתו.
ה .סרטט סקיצה של גרף הפונקציה.
)12
א .פתור את המשוואה הבאה. ln 2 x 2ln x 0 :
ב .הוכח כי הנגזרת של הפונקציה:
f x x ln x
3
היא. f ' x ln x 3 ln x :
2
3
3ln 2 x 6ln x
. f '' x
ג .הוכח כי הנגזרת השנייה של הפונקציה f x היא:
x
ד .הראה כי אחת מהנקודות המקיימות f '' x 0נמצאת על ציר ה . x -
)13
א .פתור את המשוואה הבאה. ln 2 10 x2 ln 10 x2 0 :
(רמז :סמן t ln 10 x2 ופתור עבור .) t
לפניך הפונקציות הבאות. f x ln 2 10 x 2 , g x ln 10 x 2 :
ב .קבע אלו מהמשפטים הבאים נכונים לגבי הפונקציות ואלו לא .נמק כל
הסבר בחישוב מתאים.
.1לשתי הפונקציות אותו תחום הגדרה.
.2לשתי הפונקציות יש נקודת קיצון אחת הנמצאת על ציר ה. y -
.3הגרפים של הפונקציות נחתכים ב 2-נקודות בלבד.
.4הפונקציות חותכות את ציר ה x -באותן הנקודות.
206
ג .סרטט סקיצה של גרף הפונקציה g x על סמך מה שקבעת בסעיף ב'.
)14נתונה הפונקציה הבאה. f x ln 2 x 2ln x :
א.
ב.
ג.
ד.
ה.
ו.
מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה.
הראה כי אין לפונקציה נקודות קיצון כלל.
כתוב את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה.
מצא את נקודות החיתוך של הפונקציה עם ציר ה. x -
סרטט סקיצה של גרף הפונקציה.
נתון הישר . y k :האם קיימים ערכי kעבורם הישר יחתוך את גרף
הפונקציה בנקודה אחת בלבד? אם כן – מצא אותם.
)15נתונה הפונקציה. y log 2 3x 1 :
א.
ב.
ג.
ד.
כתוב את תחום ההגדרה של הפונקציה.
הראה כי גרף הפונקציה עולה בכל תחום הגדרתו.
הראה כי גרף הפונקציה עובר בראשית הצירים.
סרטט סקיצה של גרף הפונקציה.
)16נתונה הפונקציה הבאה. y x2 log0.5 x2 :
א .מהו תחום ההגדרה של הפונקציה?
ב .מצא את נקודות הקיצון של הפונקציה וקבע את סוגן.
ג .כתוב את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה.
)17נתונה הפונקציה הבאה. y log3 x2 ax 9 :
ידוע כי יש לגרף הפונקציה אסימפטוטה אנכית. x 3 :
א .מצא את . a
ב .מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים.
ג .הישר y 6חותך את גרף הפונקציה בשתי נקודות .מצא את נקודות אלו.
x2
x 1
, f x log 1
)18נתונות הפונקציות הבאות:
x
3 x2
. g x 1 log 1
3
א .מצא את תחום ההגדרה של כל פונקציה.
ב .הראה כי הגרפים של הפונקציות לא נחתכים באף נקודה.
ג .מצא את משוואת הישר המשיק לגרף הפונקציה f x בנקודת
החיתוך שלה עם ציר ה . y -
207
)19נתונה הפונקציה הבאה. y log4 x 2 log16 x2 4 :
א .מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה.
ב .הראה כי גרף הפונקציה עולה בכל תחום הגדרתו.
ג .מעבירים ישר y 1החותך את גרף הפונקציה.
מצא את שיעור ה x -של נקודת החיתוך.
1
1
)20נתונה הפונקציה הבאה:
log 2 x 2 log 4 x
א.
ב.
ג.
ד.
.y
מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה.
כתוב את משוואת המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה . x 4
מצא את נקודות החיתוך של המשיק עם הצירים.
חשב את שטח המשולש הכלוא בין המשיק והצירים.
)21נתונה הפונקציה הבאה. y x log x a :
3
נגזרת הפונקציה מקיימת:
ln10
א .מצא את . a
. f ' 3
ב .כתוב את משוואת המשיק בנקודה הנ"ל.
ג .חשב את שטח המשולש הנוצר בין המשיק והצירים.
208
תשובות סופיות:
)1א . x 0 .ב . Min e3 , e3 .ג. e4 , 0 .
)2א 0 x 1.5 .ב 1,1 .ג. x 0 .
)3א .1 x 3 .ב . x 1,3 .ג. 2, 0 .
)4א. x 0 .1 .
2x
.2לא .הנגזרת היא:
x2
y ' והרי ש. x 0 .3 . x 0 -
.4עולה x 0 :יורדת . 1,0 , 1,0 .5 . x 0 :ב. 1, 0 , e2 , 4 .
)5א . a 1 .ב . 1, 0 .ג .לגרף הפונקציה נקודת מינימום יחידה והיא. e, 1 :
לכן ערך הפונקציה המינימלי הוא .-1
)6א x a .2 x a .1 .ב . a 0 .ג .1 .מתקבל. x 1 a 1 () 0 :
Min 1 a,0 .2
ד. a 3 .
)7ב . k ,0 , e k ,0 , 0, k ln k 1 .2 . 1 k , 1 .1 .ג. k 1 .
)8א . x 0 .ב . 1, 0 .ג .לא .גרף הפונקציה שואף ל 0-בגבול שלו.
ד. e2 , 4e2 , 2 , 2 .
e e
4
1
a
)9א . x 0, a .2 x a , x 0 .1 .ב .מתקבלת הנגזרת 0 :
x x a
. y'
ג. a 1 .
)10ב. a e,1 .
2
ג.
e
.m
2a
ד 1 .
e
2
e
. y x ה. a 1 .
)11א . y 3ln x x3 , k 3 .ב . x 0 .ג. Max 1, 1 .
ד .2 + .1 .הערך המקסימלי של הפונקציה הוא -1ולכן גרף הפונקציה לא
נוגע בציר ה x -וכולו שלילי )12 .א. x 1 , e2 .
)13א . x1,2 3 , x3,4 2.7 .ב .1 .לא .עבור f ( x) :ת.ה .הוא. 3.16 x 3.16 :
עבור g ( x) :ת.ה .הוא. 3 x 3 :
.2כן .עבור ) f ( xהנקודה . Max 0,5.3 :עבור g ( x) :הנקודה. Max 0,1.5 :
.3לא .מסעיף א' ניתן לראות כי הגרפים חותכים זה את זה ב 4-נקודות שונות.
.4כן. 3,0 , 3,0 .
)14א . 0 x 1 , x e2 .ב .ניתן לראות כי:
2ln x 2
2ln x 2
ln x 1
x
x
f '( x)
xe
2
2
2 ln x 2ln x 2 x ln x 2ln x x ln 2 x 2ln x
הפתרון נפסל עקב ת.ה .ולכן אין נקודות קיצון כלל.
ג . 1, 0 , e2 , 0 .ד .עולה . x e2 :יורדת. 0 x 1 :
209
. k 0 : ובאף נקודה כאשרk 0 הגרף תמיד יחתך בשתי נקודות כאשר. לא.ו
. y'
3
1
0 : מתקבל. ב. x .) א15
3
3x 1 ln 2
. Max 0.606,0.53 , Max 0.606,0.53 . ב. x 0 .) א16
. 0.606 x 0 , x 0.606 : יורדתx 0.606 , 0 x 0.606 : עולה.ג
. 24,6 , 30,6 . ג. 4,0 , 2,0 . ב. a 6 .) א17
. x 0 , x 2 : g ( x) עבור. x 1 , x 2 : f ( x) עבור.) א18
1
ln 2
x
. ג.) אינה בתחום1.5( הנקודה המתקבלת.ב
ln 3
ln 3
4
2
0 : מתקבל. ב. x 2 .) א19
. x 2 2.266 . ג. y ' 2
15
x 4 ln 4
.y
4 5 ln16 5 ln16
5
5 ln16
, 0 , 0,
x
. ב. x 2 , x 3 .) א20
. ג. y
5
ln 4
4ln 4
ln 4
.
2 5 ln16
.S
.ד
5ln 4
27
3
9
x
.S
. ג. y
. ב. a 2 .) א21
ln100
ln10
ln10
2
)7
)4
y
y
:סקיצות לשאלות
)3
)1
y
y
x
x
x
x
)14
y
)13
y
) 11
y
)9
y
x
x
x
x
)15
y
x
210
פונקצית חזקה עם מעריך רציונאלי:
הגדרות כלליות:
m
הצורה הכללית של פונקצית חזקה עם מעריך רציונאלי. f x x n :
m
תזכורת a n :
m
a
n
am
n
.
1
n
להלן מספר דוגמאות לפונקציה מהצורה: f x x n x :
תכונות כלליות:
m
n
.1פונקצית חזקה f x x :מוגדרת לכל xעבור n :אי-זוגי
ומוגדרת לכל x 0עבור nזוגי.
m
b
.2הפונקציה f x ax b n :מוגדרת לכל xעבור n :אי-זוגי ולכל
a
עבור nזוגי.
נגזרת של פונקצית חזקה:
הפונקציה
m
n
הנגזרת
m mn 1
y' x
n
yx
m
m
1
ax b n
n
m
y ax b n
211
y' a
x
דוגמאות:
2 1
2 1
.1
3
1/3
3x
3 x
1
3
2
x
3
2
1
3
2
x
3
f ' x
1 101 1 1 109
1 1
1 1
x
x
.2
9/10
10
10
10 x
10 10 x9
.3
.4
.5
1
3
2 x 5
4
1
2
2
3
6 5x
5
1
5
x 7
4
1
3/4
3/5
6 5x
. f x 3 x2 x
1
. f x 10 x x10 f ' x
1
3
. f x 4 2 x 5 2 x 5 4 f ' x 1 2 x 5 4 2 1
2 2 x 5
1
2
3
4
2
3
. f x 5 6 5 x 2 6 5 x 5 f ' x 2 6 5 x 5 5 2
5
1
1
x 7 4
4
4
5
f ' x
1
1
1
x 7 4
1/4
x 7 x 7
4
. f x
שאלות שונות:
)1גזור פעמיים את הפונקציות הבאות:
א.
f x 3 x2
ב.
f x 3 x2 1
ג.
f x 3 x 2 1 x
)2נתונה הפונקציה. f x 3 x 6 x 6 :
א.
ב.
ג.
ד.
ה.
מהו תחום ההגדרה של הפונקציה?
מצא את נקודות החיתוך של הפונקציה עם הצירים.
הוכח כי הפונקציה עולה בכל תחום הגדרתה.
סרטט סקיצה של גרף הפונקציה.
מגדירים פונקציה נוספת . g x f x :קבע לגבי כל טענה האם היא
נכונה או שגויה .נמק.
.1לשתי הפונקציות אותו תחום הגדרה.
.2שתי הפונקציות חותכות את הצירים באותן הנקודות.
.3שתי הפונקציות עולות בכל תחום הגדרתן.
212
)3נתונה הפונקציה k , f x x3 k 3 x 8 :פרמטר.
ידוע כי הפונקציה חותכת את ציר ה x -בנקודה שבה . x 2.741
א .מצא את ערך הפרמטר , kעגל למספר שלם.
ב .הראה כי אחת מנקודות הקיצון של הפונקציה נמצאת גם היא על ציר ה . x -
ג .כתוב את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה.
ד .סרטט סקיצה של גרף הפונקציה.
3
ה .העזר בסקיצה ו קבע כמה פתרונות יהיו למשוואה הבאה. x 9 3 x 8 :
)4נתונות הפונקציות הבאות. g x 5 2 x 2.6 , f x x 2 :
2
א .מצא את נקודות החיתוך של הפונקציות עם ציר ה . x -
ב .מגדירים פונקציה חדשה. h x f x g x :
כתוב מפורשות את הפונקציה ) h( xואת תחום הגדרתה.
ג .מצא את נקודות הקיצון של הפונקציה . h x
ד .סרטט סקיצה של גרף הפונקציה . h x
ה .מצא עבור אלו ערכים של kיחתוך הישר y kאת גרף הפונקציה
ב 3-נקודות שונות.
5 x 2 66 x 440
. f x
)5נתונה הפונקציה הבאה:
6
x
א .מהו תחום ההגדרה של הפונקציה?
האם יש לפונקציה אסימפטוטה אנכית?
ב .האם הפונקציה חותכת את הצירים בתחום ? 0 :18 :נמק ע"י חישוב.
ג .מצא את נקודות הקיצון של הפונקציה.
ד .סרטט סקיצה של גרף הפונקציה.
ה .מגדירים פונקציה נוספת g x :המקיימת . g x f x :לפניך מספר
טענות המתייחסות לפונקציה g x קבע אלו מהטענות הבאות נכונות
ואלו שגויות .נמק ע"י הסבר או חישוב מתאים.
g x .1חיובית בכל התחום . 0 :18
.2ל g x -אותן נקודות קיצון (אותם שיעורים ואותו סוג) כמו . f x
.3ל g x -אותו תחום הגדרה כמו ל. f x -
213
)6נתונה הפונקציה הבאה. f x x 4 9 x :
א.
ב.
ג.
ד.
ה.
מה הוא תחום ההגדרה של הפונקציה?
מצא את נקודות הקיצון של הפונקציה (מקומיות וקצה) וקבע את סוגן.
כתוב את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה.
על סמך הסעיפים הקודמים קבע כמה פתרונות יש
למשוואה הבאה x 4 9 x k :כאשר:
. k 2 .1
. k 1 .2
קבע איזה מבין הגרפים הבאים מתאר את הנגזרת של הפונקציה .נמק.
214
:תשובות סופיות
. f ' x
. f ' x
2x
3 3 x2 1
. f ' x
2
2
3 x
3
, f '' x
2
9 x4
3
.) א1
2 x2 3
.ב
, f '' x
9 x 2 1 5/3
2 5x
2 1 5x
.ג
, f '' x
3
9 3 x4
3 x
1 26 x
0 : הנגזרת. ג. 64,0 , 0, 6 . ב. x 0 .) א2
6 x5/6
. לא נכון.3 . שונהy - החיתוך עם ציר ה. לא נכון.2 . נכון.1 .ה
.ה. בתf ' x
. 1 x 1 : יורדת, x 1 , x 1 : עולה. ג. Max 1,16 ; Min 1,0 . ב. k 9 .) א3
.2 .ה
. x כל, h x x 2
2 5
2 x 2.6 . ב. 2,0 ,
1.3,0 .) א4
. 0 k 9 . ה. Max 1,9 ; Min 2,0 .ג
. לא. ב. אסימפטוטה אנכיתx 0 , x 0 .) א5
. נכון.3 . לא נכון.2 . נכון.1 . ה. Min 4, 495.27 ; Max 2, 491.77 .ג
. קצהMin 9, 0 , קצהMin 0, 0 ; Max 6,3.22 . ב. 0 x 9 .) א6
. שני פתרונותk 1 . אין פתרוןk 2 . ד. 6 x 9 : יורדת, 0 x 6 : עולה.ג
.B .ה
:סקיצות לשאלות
)5
)4
215
)3
)2
תירגול נוסף:
כתוב את תחום ההגדרה של הפונקציות הבאות:
y 4 x )1
1
)5
x
y 7 x )2
y
6
)6
1
x
7
y
y 3 x 1 )3
)7
3x
3x 7
3
y 8 2 3 x )4
y
)8
x2 2x
3
2x 4
y
20
גזור את הפונקציות הבאות:
y 4 x 4 x )9
y 27 3 x 1 )10
y x 2 3 x )11
y 3 x3 6 x )12
2
5
3x 1 )13
)15
y x 2 4 8 4 x 3
3
6
)17
x2
)19
3
y
5
4x x3
x2
5
)14
7
y 10 8 7 x
y x3 7 1 x )16
2
y
)18
y
x x
)20
3
x 1
4
4 3x
y
7
y
לפניך מספר פונקציות .מצא את ערך הנגזרת של הפונקציה בנקודה המצוינת לידה:
)21
10
x4
5
x 1 ; y
x 81 ; y x 2 81 4 x )23
x 3 ; y 2 x 3 3x 1 )22
x4
)24
5
4x
x 8 ; y
)25מצא את משוואת המשיק לגרף הפונקציה y x2 3x 4 3 x :בנקודה שבה. x 1 :
)26מצא את משוואת המשיק לגרף הפונקציה y 4 6 x x :בנקודה שבה. x 10 :
5
2x
)27מצא את משוואת המשיק לגרף הפונקציה:
x 258.5
2
6
)28מצא את משוואת המשיק לגרף הפונקציה:
x x3
216
3
y בנקודה שבה. x 16 :
y בנקודה שבה. x 1 :
)29באיור שלפניך נתונה הפונקציה. f x 4 8x 16 :
מעבירים משיק לגרף הפונקציה דרך נקודת החיתוך שלה עם ציר ה . y -
y
א .מצא את משוואת המשיק.
C
ב .מעלים אנך לציר ה x -מקצה תחום ההגדרה
f x
של הפונקציה כך שנוצר טרפז ישר זווית .ABCO
x
O
חשב את שטחו.
B
A
)30באיור שלפניך נתונה הפונקציה הבאה. f x 2 x 4 4 x :
א .מצא את משוואת המשיק לגרף הפונקציה העובר דרך . 1, 6
ב .מצא את משוואת הנורמל לפונקציה בנקודה . 1, 6
ג.
y
f x
חשב את השטח הנוצר ע"י שני הישרים והצירים.
x
)31נתונות הפונקציות הבאות. g x 3 6 x 2 ; f x 3 x :
א .מצא את נקודות החיתוך של שני הגרפים.
ב .קבע באלו תחומים מתקיים. f x g x :
ג.
מצא את משוואת המשיק לגרף הפונקציה g x
העובר דרך נקודת החיתוך הרחוקה יותר מהראשית מבין
הנקודות שמצאת.
)32נתונות הפונקציות הבאות. g x 5 32 x ; f x 5 32 x :
א .מצא את נקודת החיתוך של הפונקציות.
ב .כתוב את משוואות המשיקים לגרפים של הפונקציות
העוברים דרך נקודת החיתוך.
ג .חשב את שטח המשולש שנוצר בין המשיקים וציר ה. x -
)33לפניך מספר פונקציות.
מצא את שיעורי הנקודה ששיפוע המשיק העובר דרכה הוא המצוין לידה:
1
6
אm 15 ; f x 3 5x 1 .
m
; f x
ב.
x
ג.
1
x
; f x 5 2x
20
40
m
ד.
)34נתונה הפונקציה הבאה. f x 3 x 1 :
מצא את משוואת המשיק המקביל לישר. y 3x :
217
6
x 2 27 x
x
128
m 15 ; f x
)35נתונה הפונקציה הבאה. f x 4 2 x :
מצא את משוואת המשיק המאונך לישר. 2 y x 4 :
)36באיור שלפניך מתואר הגרף של הפונקציה. f x x 1 3 9 x :
א .מצא נקודה על הפונקציה ששיפוע המשיק העובר דרכה הוא .0
ב .כתוב את משוואת המשיק העובר דרך הנקודה
שמצאת בסעיף הקודם.
ג .כתוב את משוואת המשיק לגרף הפונקציה העובר
דרך נקודת החיתוך שלה עם ציר ה x -הקרובה
x
יותר לראשית.
f x
ד .חשב את שטח המשולש הנוצר בין שני
המשיקים שמצאת וציר ה. y -
y
)37נתונה הפונקציה הבאה A) , f x x A 3 3x :פרמטר).
ידוע כי שיפוע המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה x 9 :הוא. m 6 :
מצא את . A
)38נתונה הפונקציה הבאה A) , f x 4 2 x 7 Ax2 :פרמטר).
1
ידוע כי שיפוע המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה x 4.5 :הוא:
2
מצא את . A
Ax B
)39נתונה הפונקציה:
3
x
.m
A, B) . f x פרמטרים) .משוואת המשיק לגרף
הפונקציה דרך הנקודה x 1 :היא . 3 y x 14 :מצא את Aואת . B
1 x
)40נתונה הפונקציה:
Ax B
5
A, B) , f x פרמטר) .משוואת המשיק לגרף
הפונקציה דרך הנקודה x 2 :היא . 45 y 2 x 19 :מצא את Aואת . B
)41לפניך מספר פונקציות .מצא את נקודות הקיצון הפנימיות שלהן וקבע את סוגן.
בf x 3 x 2 6 x 2 .
אf x x 4 2 x 8 .
ג.
x6
3
x
f x
7x
x 11
5
ד.
218
f x
)42מצא את נקודות החיתוך עם הצירים של הפונקציות הבאות:
בf x x 25 6 x 4 .
אf x x 2 128 4 x .
2
ג.
x 4 x 2
x
f x
ד.
x2 4
f x 3
x 8
)43חקור את הפונקציות הבאות לפי הסעיפים הבאים:
.1תחום הגדרה.
.2מציאת נקודות חיתוך עם הצירים.
.3מציאת נקודות קיצון מקומיות (פנימיות) וקצה וקביעת סוגן.
.4מציאת תחומי העלייה והירידה.
.5מציאת אסימפטוטות אנכיות.
.6סרטוט סקיצה.
א.
f x 4 6 x
ב.
f x x 12 5 x
ג.
f x x 2 36 4 x
ד.
f x x 5 3 1 3x
ה.
4
4
2x 3
f x
ו.
9
3
x
5
f x
ח.
6 3x
x2 4
י.
x 2 16
3
7x
ז.
ט.
8x 2
x2 1
x9
x6
4
f x
f x 3 x 10
5
f x
f x
)44נתונה הפונקציה. f x x 1 7 x 4 :
א.
ב.
ג.
ד.
ה.
מהו תחום ההגדרה של הפונקציה?
מצא את נקודות החיתוך של הפונקציה עם ציר ה. x -
מצא את נקודת הקיצון של הפונקציה וקבע את סוגה.
סרטט סקיצה של גרף הפונקציה.
לפניך 4סרטוטים .קבע איזה סרטוט מתאר את גרף הנגזרת של הפונקציה.
נמק את בחירתך.
219
:תשובות סופיות
.x
.y'
7
)7
3
. x 0 )6 . x 0 )5 . x
x 2 7 x 2 )11 .
y'
3 2
3 x
49
. y'
10
10
. y'
. y'
.y
8 7 x
6
5 5 x 2
3
1
3
x 1
2
. x ) כל3 . x ) כל2 . x 0 )1
)10 . y ' 4
1
2
21x 2 22 x3
7 7 1 x
. y'
6
)16
12 x 13x3
5 5 x7
)9 . x 2 )8
4 4 x3
. y ' 5 3 3x 1 )13
)14
4x x x 6 x 3
)20
6 x 3 x 1
33
11
x 1
)26
32
16
3
)17 . y '
6
2
)4
3
. y'
. y'
3 19 x3
6 6 x5
9.5 x 2 6 x 6
8
4 x 3
5
24
)19 . y '
7
7
4 3x
11
)12
)15
)18
. y 3x 3 )25 .0.35 )24 .546 )23 .2.25 )22 .-8 )21
. סמ"ר3.5 . ב. y 0.25x 2 .) א29 . y 20 x 23 )28 . y 10.25x 163.2 )27
2
7
. סמ"ר67.25 . ג. y x 6
.y
1
x 3 .ג
64
. סמ"ר320 . ג. y
. y 3x 3
2
)34 . 1, 28 , 81,972 .ד
9
2
. ב. y 3.5x 2.5 .) א30
7
. x 1 ; x 64 . ב. 1,1 , 64, 4 .) א31
1
1
x2 ; y
x 2 .ב
80
80
. 0, 2 .) א32
28 1
, .) א33
. 16, 2.4 . ג. 64,3 . ב.
135 3
. סמ"ר22.84 . ד. y 2 x 2 . ג. y 6 3 2 . ב. 7, 6 3 2 .) א36 . y 2 x 3 )35
3
8
. A B 1 )40 . A 2 ; B 3 )39 . A
1
)38
16
. A 18 )37
1
. Min 6, . ד. Min 3,6.24 . ג. Max 1,3 . ב. Min 3.2, 3.59 .) א41
5
. 0, 2 . ד1, 0 . ג. 5,0 , 4,0 , 0, 31.5 . ב. 0,0 , 16,0 .) א42
. אין.5 .ה. יורדת בכל ת.4 . קצהMin 6, 0 .3 . 0,1.56 , 6,0 .2 . x 6 .1 .) א43
. x 2 : עולה, x 2 : יורדת.4 . Min -2,-11.48 .3 . -12,0 , 0,0 .2 . x כל.1 .ב
220
. אין.5
. 0 x 2 :יורדת.4 . Min 2,-38 .3 . 6,0 , 0,0 .2 . x 0 .1 .ג
. אין.5 . x 2 :עולה
. x -1 : יורדת.4 . Max -1,6.35 .3 . , 0 , -5, 0 , 0,5 .2 . x כל.1 .ד
1
3
. אין.5 . x -1 :עולה
. y 0 , x -1.5 .5 .ה. יורדת בכל ת.4 . אין.3 . 0,3.03 .2 . x -1.5 .1 .ה
. Min 27,16 , Max 27, 4 .3 . -1,0 , -729,0 .2 . x 0 .1 .ו
. x 0 .5 . x -27 , x 27 : עולה. -27 x 27 : יורדת.4
. Max 0.5, 0.91 , Min , 1.24 .3 . 0.25,0 , 0, 1.14 .2 . x כל.1 .ז
2
9
2
1
2
1
: עולה. x , x : יורדת.4
9
2
9
2
2
. Max , 0.353 .3 . 0, 0.357 .2 . x 2 .1 .ח
9
. y 0 .5 . x
.x 2 , x
2
: יורדת.4
9
. y 0 , x 2 .5 . x 2 , x
2
:עולה
9
. 6 x 5 : יורדת.4 . Min 5, 4 .3 . 0,5.75 .2 . x 6 .1 .ט
. x -6 .5 . x 5 :עולה
. Max 8, 48 , Min 0.4, 8.44 .3 . 4,0 , -4,0 .2 . x 7 .1 .י
. x 7 .5 . x 7 , 0.4 x 8 , : עולה. x 8 , x 0.4 : יורדת.4
.ה
.ד
y
.ג
x
x
.י
.ח
x
.ז
x
x
4
, 0.356 . ג. 0,0 ;
11
. ד.B . ה. Max
221
.ו
y
y
y
x
x
x
.ט
y
y
y
y
y
y
:'י-'סקיצות לסעיפים א
.ב
.א
x
x
1,0 . ב. x כל.) א44
פרק - 8חשבון אינטגרלי:
פונקציות מעריכיות:
אינטגרלים מיידים של פונקציות מעריכיות:
אינטגרלים של פונקציות מורכבות
a mx n
c
m ln a
emx n
c
m
אינטגרלים יסודיים
ax
c
ln a
mx n
a dx
c
mx n
e dx
x
x
a dx
e dx e
x
שאלות יסודיות – אינטגרל כללי:
)1חשב את האינטגרלים הבאים:
x
3x
x
א 5e e e 1 dx .
ג.
e4 x 1 dx
6
ב.
dx
ד.
e x dx
5
2x
2
3
x
x
e
)2חשב את האינטגרלים הבאים:
א.
e2 x 1
e x 1 dx
ב.
)3חשב את האינטגרלים הבאים:
4x
x
א e e dx .
ג.
ב.
2 x 42 x 103 x
dx
5x
ד.
3e3 x 5e2 x 4e x 2
dx
ex 1
dx
e
x 1 2
1
x
4 e 3 e4 x dx
)4חשב את האינטגרלים הבאים:
א.
ex
e x 3 dx
ב.
x
3 e dx
e x 3x 2
222
ג.
2
xe x dx
שאלות יסודיות – אינטגרל מסוים:
)5נתונה נגזרת של פונקציה. f ' x 2e x 1x :
e
1
מ צא את הפונקציה אם ידוע שהיא עוברת בנקודה . ln 2,3
4
)6נתונה נגזרת של פונקציה. f ' x e2 x e x 2 :
מצא את הפונקציה אם ידוע שערך הפונקציה בנקודת המינימום שלה הוא . 1
2
)7נתונה נגזרת של פונקציה. f ' x 6 x 2e x 12 :
3
x
מצא את הפונקציה אם ידוע שהיא עוברת בנקודה . 1, 2
e
חישובי שטחים:
)8נתונות הפונקציות. f x e x , g x e x :
מצא את גודל השטח הכלוא בין הפונקציות
לישר . x ln 3
)9נתונה הפונקציה. f x 3x :
מצא את גודל השטח הכלוא בין הפונקציה,
הישר y 9וציר ה. y -
)10נתונה הפונקציה. f x e2x e x :
לפונקציה העבירו משיק בראשית הצירים.
מצא את גודל השטח הכלוא בין הפונקציה,
המשיק והישר . x 2
)11נתונות הפונקציות:
. f x e , g x e3x , h x 16e x
חשב את גודל השטח הכלוא שבין
שלוש הפונקציות.
x
223
)12נתונה הפונקציה. f x 5 e x :
העבירו לפונקציה משיק ששיפועו . e
חשב את גודל השטח הכלוא
בין הפונקציה ,המשיק וציר ה. x -
ניתן להשאיר eו ln-בתשובה.
)13נתונה הפונקציה . 0 b f x eb x :גודל השטח הכלוא בין הפונקציה,
המשיק לפונקציה העובר בראשית הצירים וציר ה y -הוא . e 2
4
מצא את ערכו של הפרמטר . b
)14נתונות הפונקציות, g x e x :
1
x
2
. f x e
מנקודה הנמצאת על גרף הפונקציה g x ברביע הראשון הורידו אנך לשני
הצירים .המשך האנך לציר ה y -חותך את הפונקציה f x ומנקודת החיתוך
יורד אנך נוסף לציר ה x -כך שנוצר מלבן.
הוכח כי שטחו המקסימלי של מלבן כזה הוא . 3
e
)15באיור שלפניך מתוארים הגרפים של הפונקציותf x e2x :
ו . g x e2x -מעבירים אנך לציר ה x -את הישר x a
כמתואר באיור .אנך זה יוצר את השטחים S1ו . S 2 -
ידוע כי השטח S1גדול פי 3מהשטח . S 2מצא את . a
y
)g ( x
)f ( x
a 0
S1
xa
x
S2
)16נתונה הפונקציה. f ( x) e2 x1 2ex 2 :
הנקודה Aהיא נקודת המינימום של הפונקציה.
א .מצא את שיעורי הנקודה .A
y
)f ( x
x
מחברים את הנקודה Aעם ראשית הצירים.
ב .כתוב את משוואת הישר המחבר את הנקודה Aעם הראשית.
ג .חשב את השטח הכלוא בין גרף הפונקציה ,הישר וציר
ה x -אם ידוע כי גרף הפונקציה חותך את ציר ה x -בנקודה שבה . x 1.7
A
224
e x eax
. f ( x)
)17נתונה הפונקציה:
4
y
)f ( x
e3 1
ידוע כי הפונקציה עוברת דרך הנקודה :
4e2
. 1 ,
x
א .מצא את aוכתוב את הפונקציה.
ב .באיור שלפניך מתואר גרף הפונקציה ) f ( xוהישר. y 0.1x :
חשב את השטח המוגבל בין גרף הפונקציה ,הישר ,ציר yוהאנך. x 2 :
)18באיור שלפניך מתוארים הגרפים של שלוש פונקציות:
. h x 242 x .III . g x 4x .II . f x 2x .I
א .קבע איזה גרף מתאר כל פונקציה.
ב .מצא את שיעורי הנקודות B , AוC-
(נקודות החיתוך שבין הגרפים).
ג .חשב את השטח המסומן באיור.
y
)19א .גזור את הפונקציה הבאה. y e x x 1 :
ב .באיור שלפניך מתוארים הגרפים של
הפונקציות. f ( x) xe x , g ( x) -e x :
)f ( x
S 2e2
x
מעבירים ישר a 0 , x aהחותך את הגרפים של שתי
הפונקציות ויוצר את השטח המתואר הכלוא בין הגרפים של שניהם,
ציר ה y -והישר .ידוע כי שטח זה שווה ל . 2e2 -מצא את . a
)g( x
חישובי נפחים:
)20נתונות הפונקציות. f x e x , g x e x :
השטח הכלוא בין הפונקציות והישר x ln 2
מסתובב סביב ציר ה. x -
חשב את נפח גוף הסיבוב שנוצר.
225
תירגול נוסף:
)21נתונה הפונקציה הבאה. f x e2 x1 :
חשב את השטח הכלוא בין גרף הפונקציה ,הישר x 2והצירים.
)22באיור שלפניך נתונים הגרפים של הפונקציותf x e x :
ו. g x ke x 2 -
ידוע כי הגרפים חותכים זה את זה בנקודה שבה . x ln 3
א .מצא את . k
ב .חשב את השטח המוגבל בין הגרפים של
הפונקציות ,הצירים והישר. x ln 4 :
y
)f ( x
)g ( x
x
)23באיור שלפניך נתון גרף הפונקציה. f x e x :
מעבירים ישר דרך נקודת החיתוך של גרף הפונקציה עם
ציר ה y -ודרך הנקודה שבה . x 1
א .מצא את משוואת הישר.
y
)f ( x
x
מעבירים ישר נוסף המקביל לישר שמצאת קודם וחותך
את ציר ה y -בנקודה. y 3 :
ב .מצא את משוואת הישר השני.
ג .חשב את השטח הכלוא בין שני הישרים ,ציר ה y -וגרף הפונקציה אם ידוע
כי הישר השני חותך את גרף הפונקציה בנקודה שבה . x 1.8
)24
א .מצא את משוואת המשיק לגרף הפונקציהf x e x :
בנקודת החיתוך שלו עם ציר ה. y -
ב.
y
)f ( x
באיור שלפניך מתוארים הגרפים של הפונקציה f x
והמשיק .חשב את השטח הכלוא בין הפונקציה,
המשיק והישר. x 3 :
x
)25באיור שלפניך מתוארים הגרפים של הפונקציותf x eax1 2 :
1
ו . g x e1ax 2 -ידוע כי הפונקציות נחתכות בנקודה שבה
3
א .מצא את aוכתוב את הפונקציות.
ב .חשב את השטח המוגבל בין הגרפים של שתי
הפונקציות ,ציר ה x -והישר . x 2
x
226
.x
y
)f ( x
)g ( x
)26נתונה הפונקציה. f x e2 x 1 :
א .מצא את משוואת המשיק לגרף הפונקציה בנקודת
החיתוך שלה עם ציר ה . y -
ב .מצא את נקודת החיתוך של המשיק עם ציר ה . x -
ג .חשב את השטח המוגבל בין גרף הפונקציה ,המשיק,
ציר ה x -והישר. x 3 :
y
)f ( x
x
y
)27באיור שלפניך מתואר גרף הפונקציה. f x e x2 :
מעבירים משיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה x 1
ומעבירים ישר המקביל לציר ה x -ויוצא מנקודת החיתוך
של גרף הפונקציה עם ציר ה . y -
x
א .כתוב את משוואת המשיק והראה כי הוא עובר
דרך ראשית הצירים.
ב .חשב את השטח המוגבל בין גרף הפונקציה ,המשיק והישר.
)f ( x
y
)28נתונה הפונקציה. f x e x x 1 :
הנקודה Aהיא נקודת החיתוך של גרף הפונקציה עם ציר
ה y -והנקודה Bנמצאת על גרף הפונקציה ובה . xB 1
א .מצא את משוואת הישר העובר דרך הנקודות Aו.B-
ב .חשב את השטח הכלוא בין הישר ABוגרף הפונקציה.
)f ( x
B
A
x
)29נתונה הפונקציה. f x e x2 2 x 1 :
הנקודה Aהיא נקודת המינימום של הפונקציה
והנקודה Bנמצאת בראשית הצירים.
א .מצא את שיעורי הנקודה .A
x
ב .כתוב את משוואת הישר העובר דרך הנקודות Aו.B-
ג .חשב את השטח הכלוא בין גרף הפונקציה ,הישר ABוציר ה. y -
y
)f ( x
)30נתונה הפונקציה. f x a x e x :
א .הוכח כי. f ' x a 1 x e x :
ב .שיפוע המשיק לגרף הפונקציה f x בנקודה
x
שבה x 3הוא אפס .מצא את . a
x
)g ( x
ג .באיור שלפניך מתואר גרף הפונקציה. g x 3 x e :
מורידים אנך לציר ה x -מנקודת הקיצון של הפונקציה.
חשב את השטח המוגבל בין גרף הפונקציה , g x הצירים והאנך.
227
A
B
y
)31נתונה הפונקציה. f x e x 2 xk :
ידוע ששיפוע המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה x 3הוא . 4e3
x
א .כתוב את נגזרת הפונקציה . f x
2
y
)g ( x
ב .באיור שלפניך מתואר גרף הפונקציה. g x 2 x 1 e x 2 x :
מצא את השטח המוגבל בין גרף הפונקציה g x והצירים.
2
y
)32נתונה הפונקציה. f x x e9x :
3
)g ( x
א .הוכח. f ' x 1 27 x3 e9 x :
3
ב .באיור שלפניך נתונה הפונקציה. g x 1 27 x3 e9 x :
x
חשב את השטח הכלוא בין גרף הפונקציה והצירים.
3
y
)33באיור שלפניך מתוארים הגרפים של הפונקציותf x 9x :
ו . g x 9 3x -
א .מצא את נקודת החיתוך של שתי הפונקציות.
ב .חשב את השטח המוגבל בין שני הגרפים וציר ה. y -
x
y
)34באיור שלפניך מתוארים הגרפים של הפונקציותf x 2 x :
A
ו . g x 4x -ישר x tחותך את הגרפים של הפונקציות
B
בנקודות Aו B-כמתואר באיור .ידוע כי אורך הקטע ABהוא .240
xt
א .מצא את . t
x
ב .הוכח כי הגרפים של שתי הפונקציות נחתכים על ציר ה . y -
ג .חשב את השטח הכלוא בין הגרפים של שתי הפונקציות והישר שמצאת.
y
)35נתונות הפונקציות f x 2x :ו. g x 4k x -
ידוע כי הגרפים של שתי הפונקציות נחתכים בנקודה שבה . x 4
א .מצא את . k
ב .חשב את השטח המוגבל בין הגרפים של שתי
הפונקציות ,הישר x 8וציר ה . x -
x
y
)36באיור שלפניך מתוארים הגרפים של
הפונקציות f x 3x2 :ו. g x 3x5 26 -
א .מצא את נקודת החיתוך של הגרפים.
x
ב .מצא את נקודות החיתוך של הגרפים עם ציר ה. y -
ג .חשב את השטח המוגבל בין הגרפים של שתי הפונקציות וציר ה . y -
228
)37באיור שלפניך מתוארים הגרפים של הפונקציותf x 3x :
y
A
ו . g x 9x -ישר t 0 x tחותך את הגרפים של הפונקציות
B
בנקודות Aו B-כמתואר באיור .ידוע כי אורך הקטע ABהוא .702
xt
א .מצא את . t
x
ב .הוכח כי הגרפים של שתי הפונקציות נחתכים על ציר ה . y -
ג .חשב את השטח הכלוא בין הגרפים של שתי הפונקציות והישר שמצאת.
y
)38באיור שלפניך נתונות הפונקציותf x e2 x x 2 k :
)g ( x
)f ( x
ו . g x 2e x x 2 -ידוע כי המרחק בין שתי נקודות החיתוך
של הגרפים עם ציר ה y -הוא .4
א .מצא את . k
x
ב .מצא את נקודת החיתוך שבין שני הגרפים.
ג .חשב את השטח המוגבל ע"י הגרפים של שתי הפונקציות וציר ה. y -
)39
y
א .גזור את הפונקציה הבאה. f x x 1 e x :
)g ( x
נתונה הפונקציה. g x xe x kx :
ידוע כי שיפוע המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה x 1הוא .1
ב .מצא את kוכתוב את הפונקציה.
ג .היעזר בסעיף א' וחשב את השטח המוגבל בין גרף הפונקציה ,ציר ה x -
והישר . x 2
x
ln 4
)40
y
א .חשב את האינטגרל. e2 x 5e x 4 dx :
)f ( x
1
ln
2
באיור שלפניך מתואר גרף הפונקציה. f x e2 x 5e x 4 :
ב.
חשב את השטח הכלוא בין גרף הפונקציה ,ציר הx -
x ln 12
x
והישר ( x ln 0.5המקווקו).
ג .הסבר מדוע התוצאות שקיבלת בסעיפים א' וב' שונות.
)41נתונה הפונקציה. f x e x e x :
א .הוכח כי הפונקציה עולה בכל תחום הגדרתה.
ב .מעבירים ישר t 0 x tהמאונך לציר הx -
וחותך את גרף הפונקציה .ידוע כי השטח הכלוא בין
1
3
גרף הפונקציה ,ציר ה x -והאנך הוא . S 1 :מצא את . t
229
y
)f ( x
xt
x
y
)f ( x
)42נתונה הפונקציה. f x e2 x 16e2 x :
א .מצא את נקודת הקיצון של הפונקציה.
ב .מעבירים ישר t 0 x tכמתואר באיור.
x
ידוע כי השטח הכלוא בין ישר זה ,גרף הפונקציה
והצירים הוא. S 7.5 :
הוכח כי ישר זה יוצא מנקודת הקיצון שמצאת בסעיף א'.
y
)43באיור שלפניך נתונות הפונקציותf x 2e2 x 7e x :
ו. g x 3e x e2 x 3 -
א .מצא את נקודות החיתוך של שני הגרפים.
ב .חשב את השטח המוגבל בין שני הגרפים.
xt
)f ( x
x
)g ( x
)44באיור שלפניך מתוארים הגרפים של הפונקציותf x 4e2 x e x :
ו. g x x 2 2 x -
א .מצא את נקודות הקיצון של כל פונקציה וקבע את סוגן.
ב .מעבירים ישר המחבר את נקודות הקיצון של שני
הגרפים כמתואר באיור .כתוב את משוואת הישר
הנ"ל (עגל תוצאות למספרים שלמים).
x
ג .חשב את השטח המוגבל בין שני הגרפים,
ציר ה y -והישר הנ"ל.
)45
243
א .פתור את המשוואה הבאה:
9x
y
. 9 3x
y
)f ( x
ב .באיור שלפניך מתוארים הגרפים של
הפונקציות f x 3x2 :ו. g x 352 x -
הוכח כי השטח הכלוא בין שני הגרפים וציר
90
ה y -שווה ל-
ln 3
x
.
230
)g ( x) f ( x
)g ( x
:תשובות סופיות
3e
2x
1
2
c .ג
3x
52 x
c .ב
ln 3 2ln 5
e3 x
e x x c .) א1
3
1
1
. e2 x 2 x e2 x c .ד
2
2
5e x
3e2 x
.
2e x 2 x c . בe x x c .) א2
2
.
0.4 x
3.2 x
200 x
c .ג
ln 0.4 ln 3.2 ln 200
1 2 x2
e
c .ב
2
1 4x x
e e c .) א3
4
3
4
. 8 ex e
1
2
1
.ב
e 3x
. e x c .ג
2
2
S יח"ש18.41 )10 S יח"ש10.72 )9 S יח"ש1
1
3
c .ד
2 e x 3 c .) א4
x
. f x 1 e 2 x e x 2 x 1 )6
4 x
3
f x 2e x e x 1.25 )5
1
x
)8 . f x 2e x 1 )7
3
a ln 2 )15 . b 2 )13 S יח"ש0.192 )12
S יח"ש3
1
)11
3
. S יח"ש4.744 . גy e 2 x . בA 1, e 2 .) א16
.1.52 . בf x
e x e2 x
, a 2 .) א17
4
. a 2 . בy ' xe x .) א19 . S יח"ש1.03 . גA 1, 4 , B 1 , 2.52 , C 0,1 .) ב18
3
1
e4 1
1
. S יח"ש2.825 . בk 3 .) א22 S
)21 . יחידות נפח1 )20
S
2e
8
y e 1 x 3 . בy e 1 x 1 .) א23
יח"ש3 .ג
. S יח"ש2.45 . בy x 1 .) א24
.S
יח"ש4.54 . בg x e
13 x
+2 , f x e3 x1 +2 , a 3 .) א25
. S יח"ש2.5 . ג1, 0 . בy 2 x 2 .) א26
e
. S יח"ש1.5 0.14 . בy e 2 x 2 .) א28 S
2
. S יח"ש3.433 . גy
.S
5 ln 4
x
ln 2 2
e3 2e2 e
2
1.3 . בy e3 x .) א27
y 2.76 x . בA ln 2 2 , 5 ln 4 .) א29
2
e 1
. בf '( x) 2 x 1 e x 2 x .) א31 . S יח"ש2e2 4 10.78 . גa 4 .) ב30
e
225
32
1
.S
. גt 4 .) א34 S
. ב 2,81 .) א33 S 3 .) ב32
ln 4
ln 3
3 e
231
)36א 2,1 .ב 0,9 , 0, 217 .
4 ln 3
ג.
ln 3
735
)35א k 6 .ב.
32 ln 2
338
יח"ש )38 . S א k 3 .ב ln 3,7.2 .ג ln 27 .יח"ש . S
)37א t 3 .ג.
ln 3
3
)39א f '( x) xe x .ב , k 1 g ( x) xe x x .ג 3 2 .יח"ש . S
e
5
)40א 4ln 8 9 1.3 .ב S 2.6 .ג .בסעיף א' חּושב ערך האינטגרל בלבד.
8
S
52 יח"ש . S
בסעיף ב' ניתן לראות כי חלקו שלילי ולכן יש לפצל אותו כדי לקבל ערך מקסימלי.
1
)42א )43 . ln 2,8 .א ln 3, 3 , ln 1 , 2 1 .ב. S 13 2ln 27 6.74 .
)41בt ln 3 .
9
3
3
)44א Min 1, 1 , Min ln 1 ,3 .ב y 13x 12 .ג 3.46 .יח"ש )45 . Sא. x 1 .
2
232
פונקציות לוגריתמיות:
אינטגרלים מיידים של פונקציות לוגריתמיות:
אינטגרל של פונקציה מורכבת
1
אינטגרל יסודי
1
1
x dx ln x c
ax b dx a ln ax b c
שאלות יסודיות – אינטגרל כללי:
)1חשב את האינטגרלים הבאים:
א.
4
2
3
x x 1 3x 1 dx
ב.
x 2 3x 4
x dx
x3
dx
2
9
x
ג.
)2חשב את האינטגרלים הבאים:
א.
x 2 3x 5
x 1 dx
ב.
x3 x 2 5 x 6
dx
x2
ג.
x4 3
x 1 dx
)3חשב את האינטגרלים הבאים:
א.
ד.
2x
dx
3
e x e x
e x e x dx
2
x
ב.
ה.
x 1
dx
2x
cos x
sin x dx
2
x
x
ג.
e
e 5 dx
שאלות יסודיות – אינטגרל מסוים:
1
)4נתונה נגזרת של פונקציה:
x4
. f ' x 2x
מצא את הפונקציה אם ידוע שהיא עוברת בנקודה . 5, 28
)5נתונה נגזרת שנייה של פונקציה. f '' x 6 x 12 :
x
מצא את הפונקציה אם ידוע שהיא עוברת בנקודה 1, 2 וששיפועה
בנקודה זו הוא .3
233
x
חישובי שטחים:
)6נתונה הפונקציה. f x 1 :
x
חשב את גודל השטח הכלוא בין הפונקציה,
הישרים x 1ו x 4 -וציר ה . x -
ניתן להשאיר lnבתשובה.
2
4
, g x
)7נתונות הפונקציות:
x 1
8 x
. f x
חשב את גודל השטח הכלוא בין הפונקציות,
הישר x 4והצירים.
x2 3
. f x
)8נתונה הפונקציה:
x 1
חשב את גודל השטח הכלוא בין גרף הפונקציה,
המשיק לפונקציה בנקודה שבה x 2ואנך לציר
ה x -העובר בנקודת המינימום של הפונקציה.
אפשר להשאיר ביטוי עם lnבתשובה.
a 1
a
f x ו-
)9באיור שלפניך נתונות הפונקציות:
x2
x 1
ידוע כי הגרפים של הפונקציות נחתכים בנקודה שבה . x 3
g x בתחום. x 0 :
א .מצא את aוכתוב את שתי הפונקציות.
ב .חשב את השטח המוגבל ע"י הגרפים של שתי
הפונקציות ,ציר ה y -והישר . x e
b
)10נתונה הפונקציה:
x
. f x 7 ax
ידוע כי משוואת המשיק לגרף הפונקציה בנקודת
החיתוך שלה עם ציר ה x -היא. y 18x 9 :
א .מצא את aו b -וכתוב את הפונקציה.
מעבירים ישר המקביל לציר ה y -שחותך את גרף
הפונקציה בנקודה Aואת משוואת המשיק בנקודה .B
אורך הקטע ABהוא .18
ב .מצא את משוואת הישר הנ"ל אם ידוע כי הנקודה Aנמצאת מימין
לנקודת החיתוך של גרף הפונקציה עם ציר ה. x -
ג .חשב את השטח המוגבל בין גרף הפונקציה ,המשיק והישר.
234
4
)11הנגזרת של הפונקציה f x היא:
x2
. f ' x
משוואת המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה x 2 :היא. y 4 x :
א .מצא את הפונקציה . f x
ב .באיור שלפניך מתוארים גרף הפונקציה f x
והמשיק בתחום . x 0 :חשב את השטח המוגבל
בין גרף הפונקציה ,המשיק ,ציר ה x -והישר . x e2
2
)12באיור שלפניך נתונה הפונקציה:
x
f x בתחום. x 0 :
מעבירים את הישרים x 4 , x k , x k 2 , x k 3 :כמתואר ). (k 4
א .הבע באמצעות kאת השטחים S1 :ו. S 2 -
ב .הראה כי ההפרש S2 S1 :אינו תלוי בk -
וחשב את ערכו.
ג .נתון כי השטח S 2גדול פי 3מהשטח . S1
מצא את . k
k
4
)13נתונות הפונקציות f x :ו -
2x 5
x
גרף הפונקציה g x חותך את ציר ה y -בנקודה שבה . y 0.4
. g x
y
א .מצא את הפונקציה . g x
ב .מצא את נקודת החיתוך של שני הגרפים.
ג .חשב את השטח המוגבל ע"י שני הגרפים והישר . x 1
x
)14באיור מתוארים הגרפים של הפונקציותf x ln e x 1 :
ו g x ln e2 x e3 x -בתחום. x 0 :
y
א .הראה כי הגרפים נחתכים על ציר ה . y -
ב.
מעבירים ישר a 1 , x aהמאונך לציר הx -
אשר חותך את הגרפים של שתי הפונקציות ויוצר
את השטח ( Sראה איור).
מצא את ערכו של aעבורו מתקיים. S 4 :
235
S
)f ( x
x
xa
)g ( x
2
)15באיור שלפניך מתוארים הגרפים של הפונקציה:
3x 1
f x והישר. y x :
א .מצא את נקודת החיתוך של הפונקציות הנמצאת ברביע הראשון.
מעבירים אנך לציר ה x a - x -הנמצא מימין לנקודת
החיתוך שמצאת בסעיף הקודם .האנך החותך את הגרפים
ויוצר את השטחים S1ו S 2 -המתוארים האיור.
ב.
S1
xa
מצא את הערך של aעבורו השטח S 2
2
3
x
1
2
יהיה שווה ל. ln 7 -
ג.
y
S2
S1
עבור ערך ה a -שמצאת בסעיף הקודם חשב את יחס השטחים:
S2
.
חישובי נפחים:
1
)16נתונה הפונקציה:
x
. f x
x 1וx 3 -
השטח הכלוא בין הפונקציה ,הישרים
וציר ה x -מסתובב סביב ציר ה . x -
מצא את נפח גוף הסיבוב שנוצר באופן זה.
אפשר להשאיר lnבתשובה.
)17נתונה הפונקציה:
ex
e 1
2x
. f x
השטח הכלוא בין הפונקציה ,הצירים והישר x ln 3מסתובב סביב ציר ה . x -
חשב את נפח גוף הסיבוב שנוצר.
2
)18נתונה הפונקציה:
x
. f x x
השטח הכלוא בין הפונקציה ,הישרים x aו ) 0 a ( x a 3 -
וציר ה x -מסתובב סביב ציר ה . x -
חשב את נפח גוף הסיבוב המינימלי שנוצר באופן הזה.
236
תירגול נוסף:
k
)19הנגזרת של הפונקציה f x היא:
x
. f ' x 8x
ידוע כי יש לפונקציה נקודת מינימום ).(1,1
א .מצא את kואת הפונקציה . f x
ב .כתוב את תחום ההגדרה של הפונקציה.
ג .כתוב את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה.
ד .האם הפונקציה חותכת את ציר ה ? x -נמק את תשובתך.
3x a
)20נתונה הפונקציה:
x
. f x
ידוע כי שיפוע המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה x 1הוא .6
א .מצא את . a
ב .מצא את נקודת החיתוך של גרף הפונקציה עם ציר ה. x -
ג .חשב את השטח המוגבל בין גרף הפונקציה ,ציר ה x -והישר . x e
10
)21באיור שלפניך מתוארים הגרפים של הפונקציות:
x
ו. g x x 7 -
f x
א .מצא את נקודות החיתוך של שני הגרפים.
ב .חשב את השטח הכלוא בין שני הגרפים.
a
)22באיור שלפניך נתונות הפונקציות:
x
f x ו. g x x 2 2 -
ידוע כי הגרפים נחתכים בנקודה שבה . x 2
א .מצא את . a
ב .חשב את השטח המוגבל בין שני הגרפים ,הצירים
והישר . x e2
y
4
)23באיור שלפניך מתואר גרף הפונקציה:
x
. f x
ידוע כי השטח המוגבל בין
והישרים x 4 :ו x 4 t -הוא . ln 81מצא את . t
)f ( x
S ln81
גרף הפונקציה ,ציר ה x -
237
x
3
)24באיור שלפניך נתונה הפונקציה:
4e x
3
3
והישר. g x 2 x :
4e
4e
f x
y
א .מצא את נקודות החיתוך של שתי הפונקציות.
ב .חשב את השטח המוגבל בין הגרפים של שתי הפונקציות.
x
1
)25נתונה הפונקציה:
ax 5
a , f x פרמטר .שיפוע המשיק לגרף
הפונקציה בנקודת החיתוך שלה עם ציר ה y -הוא .- 0.12
א .מצא את aוכתוב את הפונקציה.
ב .כתוב את משוואת המשיק.
ג .חשב את השטח המוגבל בין גרף הפונקציה,
המשיק והישר . x 2
y
)f ( x
x
2
)26גרף הפונקציה m :
x5
ה x -בנקודה שבה . x 4
m , f x פרמטר ,חותך את ציר
א .מצא את ערך הפרמטר . m
ב .כתוב את משוואת הישר העובר דרך נקודות החיתוך
של גרף הפונקציה עם הצירים.
ג .חשב את השטח המוגבל בין גרף הפונקציה והישר
שמצאת בסעיף הקודם.
y
x
)f ( x
4
x
)27נתונה הפונקציה f x x 5 :בתחום. x 0 :
א .כתוב את משוואת המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה . x 1
מעבירים ישר המקביל לציר ה y -מנקודת המינימום של
הפונקציה .הישר חותך את משוואת המשיק בנקודה .A
ב .מצא את שיעורי הנקודה .A
ג .חשב את השטח המוגבל ע"י גרף הפונקציה,
המשיק והישר.
)f ( x
x
y
3
x
)28באיור שלפניך נתונות הפונקציות f x 3x 2 :ו. g x -
א .מצא את נקודת החיתוך של שתי הפונקציות.
ב .חשב את השטח המוגבל בין הגרפים של שתי
הפונקציות ,ציר ה x -והישר. x e3 :
238
y
x
6
)29באיור שלפניך נתונה הפונקציה:
6 x
מנקודת החיתוך של גרף הפונקציה f x עם ציר הy -
f x בתחום. x 0 :
y
מעבירים את הפרבולה. g x x2 4 x 1 :
א .מצא את נקודת הקדקוד של הפרבולה.
ב .חשב את השטח הכלוא בין שני הגרפים ואנך
היוצא מנקודת הקדקוד של הפרבולה.
x
y
8
)30באיור שלפניך מתואר גרף הפונקציה k :
x2
בתחום . x 0 :ידוע כי גרף הפונקציה חותך את
הישר y x 4 :בנקודה שבה. x 4 :
f x
x
א .מצא את . k
ב .חשב את השטח המוגבל בין גרף הפונקציה ,ציר ה x -והישר. x 6 :
)31נתונה הפונקציה x 2 :
. f x
2
y
x
א .מצא את נקודת המינימום של הפונקציה.
מעבירים ישר דרך נקודת המינימום של הפונקציה
והנקודה שבה . x 4
ב .מצא את משוואת הישר.
ג .חשב את השטח המוגבל בין הישר וגרף הפונקציה (העזר באיור).
x
)32
א .גזור את הפונקציה הבאה. y 2 x x ln x :
y
)f ( x
y 1
באיור שלפניך מתואר גרף הפונקציה. f x ln x :
x
מעבירים ישר y 1החותך את גרף הפונקציה בנקודה .A
מנקודת החיתוך של גרף הפונקציה עם ציר ה x -מעלים אנך לישר.
ב .היעזר בסעיף א' וחשב את השטח הכלוא בין גרף
הפונקציה ,האנך והישר.
)33
x2
א .הוכח כי הנגזרת של הפונקציה y 2 ln x 1 :היא. y ' x ln x :
4
באיור שלפניך מתואר גרף הפונקציה. f x x ln x :
מעלים את הישר x eהמאונך לציר ה x -החותך את
גרף הפונקציה.
ב .חשב את השטח הכלוא בין גרף הפונקציה,
האנך וציר ה. x -
239
)f ( x
xe
x
y
)34
x3
א .גזור את הפונקציה הבאה. y x x ln x :
3
D
A
באיור ש לפניך מתוארים הגרפים של הפונקציותf x ln x :
ו . g x x 2 -מעבירים את הישרים x 1ו x 2 -המקבילים
לציר ה . y -ישרים אלו חותכים את הגרפים של הפונקציות
בנקודות A ,B,C,Dבהתאמה.
ב .חשב את השטח .ABCD
)35
y
C
x
B
x
y 2ln x 2 x ln
א .הראה כי הנגזרת של הפונקציה :
x2
x
. y ' ln
היא :
x2
באיור שלפניך מתוארים הגרפים של הפונקציות f x ln x :ו. g x ln x 2 -
ב .קבע איזה מבין הגרפים II , Iמתאר את f x ואיזה את . g x נמק.
ג .מצא את נקודת החיתוך של כל גרף עם ציר ה . x -
ד .מנקודת החיתוך הגדולה יותר שמצאת בסעיף
הקודם מעלים אנך לציר ה x -מהנקודה ,D
החותך את הגרף השני בנקודה ( Aראה איור).
מעבירים אנך נוסף x 4החותך את הגרפים
בנקודות Bו .C-העזר בסעיף א' וחשב את
השטח - ABCDהכלוא בין שני הגרפים.
240
y
I
B
A
II
x
C
x4
D
:תשובות סופיות
. ln | x 3| c . ג.
x2
3x 4ln x c .ב
2
.
. 3ln x 2ln x 1
4ln 3x 1
c .) א1
3
x3 x 2
x2
7 x 8ln | x 2 | c . ב. 2 x 3ln | x 1| c .) א2
3
2
2
.
x 4 x3 x 2
x 4ln | x 1| c .ג
4 3 2
1
2
. ln | e x e x | c . ד. ln | e x 5 | c . ג. ln | x 2 2x | c . ב. ln | x2 3 | c .) א3
. f ( x) x3 ln | x | x 2 )5
f x x 2 ln x 4 3 )4
. ln | sin x | c .ה
S יח"ש4ln 2 2 )8 . S יח"ש2.17 )7
. S יח"שln 4 )6
2
1
, g x
.) א9
x 1
x2
4
. S 6 ln 256 יח"ש11.54 . גx 2 . בf x 7 2 x , a 2 , b 4 .) א10
x
4
. S יח"ש6 4ln 2 . בf x .) א11
x
. k 8 . גS2 S1 ln16 . בS1 2ln k ln16 , S2 2ln k .) א12
. S יח"ש1.76 . בa 2 , f x
a 2 .) ב14
. S יח"שln 5 13 1.674 . ג 2, 2 . בg x
. V יח"נln 2 )17 . V יח"נ ln 3 )16 .
2
S1
5.955 .ג
S2
2
.) א13
2x 5
. a 5 . ב1,1 .) א15
. V יח"נ 19 4ln 4 )18
2
1
0 x 1 : יורדת, x 1 : עולה.ג
x 0 .ב
k 8 , f x 4 x 8ln x 3 .) א19
2
ולכןx - הנקודה הנמוכה ביותר בתחום הגדרתה נמצאת מעל לציר ה. לא.ד
.גם כל גרף הפונקציה
. S יח"ש3e ln 64 12 . ג 2, 0 . בa 6 .) א20
. S יח"ש10.5 10 ln 2 ln 5 . ב 2,5 , 5, 2 .) א21
. t 8 )23
2
3
. S יח"ש30 12 ln 2 .ב
a 12 .) א22
5
. S יח"ש5 ln 64 . ב 0, 3 , 3e, 3 .) א24
8
4e e
. S יח"ש0.1 .ג
y 0.12 x 0.2 .ב
241
a 3 , f x
1
.) א25
3x 5
2
3
y x 1 . בm 2 .) א26
5
5
. S יח"שln16 2 0.772 . ג 2, 7 . בy 3x 13 .) א27
. S יח"ש4.8 ln 25 1.58 .ג
1
3
. S יח"ש7 6 ln 8 ln 6 5.6 . ב 2,5 .) א29 . S יח"ש10 . ב1,3 .) א28
1
2
. S יח"ש3 ln16 . גy x 1 . ב 2, 0 .) א31 . S יח"ש24 16ln 2 .ב
k 4 .) א30
. S יח"שe 2 . בy ' 1 ln x .) א32
1
3
. S יח"ש3 ln 4 1.94 . בy ' x2 ln x .) א34
.S
e2 1
.) ב33
4
4
. S יח"ש3ln 0.863 . ד1,0 , 3,0 . ג. f x I , g x II .) ב35
3
242
פונקצית חזקה עם מעריך רציונאלי:
אינטגרלים מיידים של פונקצית חזקה עם מעריך רציונאלי:
אינטגרל של פונקציה מורכבת
1
c
אינטגרל יסודי
m
ax b n
dx
m
a 1
n
m
n
dx ax b
m
תנאי לקיום האינטגרציה 1 :
n
m
ax b
n
m
1
n
m
n
x
x m dx x dx
c
m
1
n
n
.
שאלות כלליות:
)1נתונה הפונקציה a) , f x 4 5x 6 ax :פרמטר) .
ידוע כי גרף הפונקציה חותך את ציר ה x -בנקודה שבה . x 2
א .מצא את הפרמטר aוכתוב את הפונקציה.
x
ב .מהו תחום ההגדרה של הפונקציה?
ג .מצא את נקודת קיצון הקצה של הפונקציה.
f x
ד .מצא את משוואת המשיק לגרף הפונקציה העובר
דרך נקודת החיתוך שלה עם ציר ה. x -
ה .באיור שלפניך מתואר גרף הפונקציה f x והמשיק שמצאת בסעיף
הקודם .מורידים אנך מהמשיק אל נקודת קיצון הקצה של הפונקציה
שמצאת בסעיף ג' .חשב את השטח הנוצר בין גרף הפונקציה f x
והמשיק.
y
)2באיור שלפניך נתונים הגרפים של הפונקציות. f x 3 x , g x 2 6 x :
א .מצא את נקודת החיתוך של הגרפים.
ב .חשב את השטח הכלוא בין שני הגרפים וציר ה. y -
)f ( x
)g ( x
x
243
y
)3הנגזרת של הפונקציה f x היא:
1
4
6 5x
. f ' x
5
y
ידוע כי הפונקציה חותכת את ציר ה x -בנקודה שבה. x 1.2 :
א .מצא את הפונקציה . f x
)g ( x
ב .חשב את השטח הכלוא בין גרף
הפונקציה , f x גרף הפונקציהg x 10 x :
וציר ה. x -
3
1
)4נתונה הפונקציה x 2 :
5 x 2
3
x
)f ( x
. f x
y
f x
א .מצא את משוואת המשיק לגרף הפונקציה
בנקודה שבה . x 3
ב .חשב את השטח הכלוא בין גרף הפונקציה , f x
המשיק וציר ה . y -
x
y
S1
)5נתונה הפונקציה. f x 3 x 4 x :
S2
x
א .מהו תחום ההגדרה של הפונקציה?
ב .מצא את נקודות החיתוך של הפונקציה עם ציר ה. x -
ג .באיור שלפניך מתואר גרף הפונקציה ברביע הראשון.
השטח הכלוא בין גרף הפונקציה וציר ה x -יסומן ב. S1 -
מעבירים ישר x kאשר יוצר את השטח S 2כמתואר.
מצא את kאם ידוע כי. S1 S2 :
f x
תירגול נוסף:
)6חשב את האינטגרלים הבאים:
3
ב.
א xdx .
ד.
3
dx
x
ז.
2 x 3dx
י.
3
dx
7 x 12
3
3
8
4 x 2 x dx
4
ה.
x4
dx
4
x
ח.
5 xdx
4
יא.
7
dx
14 2 x
244
5
ג.
x x dx
ו.
x3 3x 5
dx
x
ט.
1 4 x 5 4 x 1 dx
יב.
5
3
dx
x 1
4
1 x
5
4
)7חשב את ערכי האינטגרלים הבאים:
x
8
א.
4 x dx
ד.
x 2 3x 2
dx
4
x
5
ב.
16
5 x 1 dx
4
0
ג.
2
dx
4
6 x
ו.
4
x
3.5 4 3 5 2 x 6 dx
3
9
ה.
x 6
dx
x2
1 3
5
10
19
8
)8נתונה הנגזרת הבאה. f ' x 2 x 3 4 x :
ידוע כי הפונקציה עוברת בנקודה 2,3מצא את הפונקציה.
)9נתונה הנגזרת הבאה. f ' x 3 5x 7 :
ידוע כי הפונקציה חותכת את ציר ה x -בנקודה שבה . x 4מצא את הפונקציה.
10
2
x
1
)10נתונה הנגזרת הבאה:
5
x 1
ציר ה y -בנקודה שבה . y 6מצא את הפונקציה.
. f ' x ידוע כי הפונקציה חותכת את
)11נתונה הנגזרת הבאה . f ' x 3 x 6 x :ידוע כי הישר y 6 x 380משיק לגרף
הפונקציה .מצא את הפונקציה.
x2 2 x 3
)12נתונה הנגזרת הבאה:
x
. f ' x ידוע כי שיעור ה y -של נקודת
הקיצון של הפונקציה הוא .4מצא את הפונקציה.
)13באיור שלפניך מופיע גרף הפונקציה. f x x 4 3 x :
א .מצא את נקודות החיתוך של הפונקציה עם ציר ה. x -
ב .חשב את השטח הנוצר בין גרף הפונקציה והצירים.
y
f x
x
x2 4
. f x
)14באיור שלפניך מצויר גרף הפונקציה:
x
א .מהו תחום ההגדרה של הפונקציה?
ב .מצא את נקודת החיתוך של הפונקציה עם ציר ה. x -
ג .מעבירים אנך לציר ה y -מהנקודה . 4, 6
חשב את השטח הנוצר בין גרף הפונקציה והצירים.
245
f x
x
y
)15באיור שלפניך מתואר גרף הפונקציה. f x 2 4 x :
מעבירים אנכים לצירים מנקודות החיתוך של גרף
הפונקציה עם הצירים כך שנוצר המלבן .ABCO
מסמנים את השטח שבין גרף הפונקציה והצירים ב S1 -
y
S1
x
f x
S2
S1
ואת השטח שבין גרף הפונקציה והאנכים ב . S 2 -מצא את היחס:
S2
)16באיור שלפניך מתואר גרף הפונקציה. f x x 3 4 x 2 :
מנקודת המינימום של הפונקציה מעבירים אנך לציר ה . x -
מצא את השטח הכלוא בין גרף הפונקציה ,האנך וציר ה. x -
.
y
f x
x
)17באיור שלפניך מתוארים הגרפים של הפונקציותf x x 2 :
y
II
ו g x 32 3 x -בתחום. x 0 :
I
א .קבע איזה מבין הגרפים Iו II-שייך לכל פונקציה.
ב .מצא את נקודות החיתוך של הגרפים.
ג .חשב את השטח הכלוא בין הגרפים של שתי הפונקציות.
*הערה :בתרגיל הבא יש שימוש גם באינטגרל לוגריתמי.
1
)18הנגזרת של הפונקציה ) f ( xהיא. f '( x) 2 3 x 2 :
x
א .מצא את הפונקציה ) f ( xאם ידוע כי
x
y
)g ( x
)f ( x
הישר 4 y 8x 7 :חותך אותה כאשר. x 1 :
ב .באיור שלפניך מתואר גרף הפונקציה ) f ( xבתחום. x 0 :
x
33
4
מגדירים פונקציה נוספת x 2 :
4
g x ואף היא מסורטטת באיור.
.1מצא את נקודת החיתוך של הפונקציות.
.2חשב את השטח הכלוא ביניהן והישר. x 2 :
)19נתונה הפונקציה הבאה. f x 5 x 210 x 3 :
א .חשב את השטח הכלוא בין גרף הפונקציה והצירים.
ב .מעבירים אנך לציר ה a) , x a , x -פרמטר).
מצא את הערך של aעבורו השטח הכלוא בין
גרף הפונקציה וציר ה x -בין נקודת החיתוך שלהם
7 1.2
ועד לאנך הואa :
66
S כאשר Sהוא השטח
שמצאת בסעיף הקודם.
246
y
)f ( x
x a
x
S
)20באיור שלפניך נתונים הגרפים של הפונקציות הבאות; f x 4 3 x :
א .מצא את נקודת החיתוך של הגרפים בתחום. x 0 :
ב .מעבירים אנך לציר ה a) , x a , x -פרמטר).
ידוע כי השטח שנוצר בין שני הגרפים מנקודת
3
החיתוך שלהם ועד לאנך הוא:
16
מצא את . a
x3 B
)21נתונה הפונקציה הבאה:
a
x
1
3
x
. g x
y
)f ( x
x a
42סמ"ר.
x
)g ( x
a, B ( , f x פרמטרים).
מגדירים פונקציה נוספת. g x a x :
ידוע כי מכפלת הפונקציות שווה לביטוי הבא. f x g x x3 8 :
א .מצא את ערך הפרמטר . B
מגדירים את פונקצית ההפרש הבאה. h x f x g x :
ב .מצא את ערך הפרמטר aאם ידוע כי . h 8 258
ג.
באיור שלפניך מצוירים הגרפים של הפונקציות f x ו. g x -
.1התאם לכל גרף את הפונקציה המתאימה I :ו.II-
.2מצא את נקודת הקיצון של הפונקציה . f x
.3מורידים אנך לציר ה x -מנקודת הקיצון של הפונקציה . f x
חשב את השטח הכלוא בין גרף הפונקציה , g x האנך וציר ה. x -
y
I
I
II
x
247
:תשובות סופיות
.y
27
27
. ד. 1.2,1.2 .ג
x
32
16
. x 1.2 . בf x 4 5x 6 x , a 1 .) א1
. S יח"ש0.48 .ה
. S יח"ש1
1
5
5
.ב
66
11
. ב1,1 .) א2
28
15
45
. S יח"ש4.56 . בy 2 x .) א4
16
16
f x 6 5 x .) א3
1.5
3
. k
8
0.2296.. .ג
. S יח"ש
1
1
. 0, 0 , , 0 , , 0 . ב. x כל.) א5
8
8
5 5 11
x c . ג. 2 x 2 1.6 4 x5 c . ב. 0.75 3 x 4 c .) א6
11
3
2
4
16
4
. 3 2 x 3 c . ז. x7 2 x3 10 x c . ו. 4 x7 4 x3 c .ה
8
7
7
3
24
5
5
5
7
6
6
. 8 7 x 12 c . י. 5 1 4 x 5 4 x 1 c . ט. 0.8 4 5 x c .ח
49
24
24
35
5
3
4
. 0.8 4 1 x 4 4 x 1 c . יב. 5 14 2 x c .יא
8
13
1
2
1
. 40 . ו. 4 . ה.126.4 . ד.18 . ג. 33.76 . ב. 45 .) א7
32
8
3
3
3
3
4
4
. f x 3 5x 7 12.15 )9 . f x x 2 3 4 x 2 )8
20
16
1
1
4
3
. f x 12.5 5 x 1 x 1 18 )10
3
6
. 4.5 3 x2 c . ד.
. f x 0.4 x5
4 3
4
x 6 x 8
)12
3
15
f x
3 3 x4 6 6 x7
5
297 )11
4
7
7
. S יח"ש16 . ב 0,0 ; 8,0 .) א13
. S יח"ש27.2 6.4 2 18.14 . ג. 2, 0 . ב. x 0 .) א14
. S יח"ש1
301
1.627 )16
480
.
S1
4 )15
S2
1
3
. S יח"ש213 . ג. 0,0 ; 8,64 . ב. I g x ; II f x .) א17
1
x
. S יח"ש3 ln 4 .2 . 0.5,1.28 .1 . ב. f x
. a 8 .ב
1
. , 2 .) א20
8
33
4
x 2 2 .) א18
4
10
33
. a .ב
31
S יח"ש
23
.) א19
66
. S יח"ש0.75 .3 . 1,9 .2 . II g x ; I f x .1 . ג. a 3 . ב. B 8 .) א21
248
תרגול מבגרויות (חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי יחד):
)1נתונה פונקציית הנגזרת השנייה e
1
. f '' x
2 x 1
לפונקציה f x יש נקודת קיצון ב . 0,3 -מצא את . f x
2
)2נתון הגרף של פונקציית הנגזרת ( f ' x ראה ציור).
כמו כן נתון. f a d , f 0 s , f b p , f c k :
א .הבע באמצעות פרמטרים מתאימים:
( )1את השיעורים של נקודות הקיצון
של f x וקבע את סוגן .נמק.
( )2את השיעורים של נקודת הפיתול של . f x נמק.
ב .נסמן - x1 :שיעור ה x -של נקודת הפיתול של . f x
- x2שיעור ה x -של נקודת המינימום של . f x
x2
הבע באמצעות פרמטרים מתאימים את ערך האינטגרל . f ' x e f x dx
x1
e
)3נתונה הפונקציה
e x
. f x העבירו ישר המשיק לגרף
4
e
הפונקציה ברביע הרביעי ,שמשוואתו . y x 8
חשב את השטח המוגבל על ידי המשיק ,על
ידי גרף הפונקציה ועל ידי הישר . x 2e
2ln x 1
)4נתונה פונקציית הנגזרת
x
נתון כי הפונקציה f x מוגדרת בתחום , x 0ויש לה נקודת פיתול בנקודה
. f ' x
שבה . f x b
א .מצא את הפונקציה ( f x הבע באמצעות .) b
ב ) 1( .מצא את השיעורים של נקודות הקיצון של ( f x אם יש כאלה) וקבע
את סוגן( .הבע באמצעות bבמידת הצורך).
( )2מצא תחומי קעירות כלפי מעלה וכלפי מטה של . f x
ג )1( .מצא עבור אילו ערכים של bהגרף של f x חותך את ציר ה x -בשתי נקודות.
( )2סרטט סקיצה של גרף הפונקציה , f x עבור הערכים של bשמצאת בתת
סעיף ג ( ,)1אם נתון כי . b 0ציין בסקיצה את נקודת הפיתול.
249
)5מצא על גרף הפונקציה f x 2xאת הנקודה הקרובה ביותר לישר . y x ln 4
ln ax
)6בציור מוצגת סקיצה של גרף הפונקציה
x
ln ax
. a 1 , g x
ונתונה הפונקציה
x
, f x
מעבירים ישר דרך נקודות הקיצון של שתי
הפונקציות f x ו . g x -
השטח המוגבל על ידי הישר ,על ידי הגרפים של שתי הפונקציות ועל ידי
הישר x eשווה ל . ln 2 2e 1 -מצא את משוואת הישר העובר דרך נקודת
הפיתול של f x ודרך נקודת הפיתול של . g x
e x ae x
)7נתונה הפונקציה
e x ae x
א .מצא עבור , a 0ועבור ( a 0הבע באמצעות aבמידת הצורך):
a , f x הוא פרמטר.
( )1את תחום ההגדרה של הפונקציה ,ואת האסימפטוטות שלה המקבילות לצירים.
( )2תחומי עלייה וירידה של הפונקציה (אם יש כאלה).
( )3נקודות חיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים.
(השאר lnבתשובותיך במידת הצורך).
ב .ידוע כי נקודת החיתוך של גרף הפונקציה עם ציר ה y -נמצאת בחלק השלילי
של הציר .סרטט סקיצה של גרף הפונקציה עבור:
( )1עבור . a 0
( )2עבור . a 0
x
x
2
g x sin
cos
)8נתונות הפונקציות , f x log3 x 6 x 18 :
6
3
5
.0 x
המוגדרות לכל xבתחום
3
בציור מוצג הגרף של הפונקציה g x בתחום הנתון.
ענה על הסעיפים א-ב עבור התחום הנתון.
א ) 1( .מצא את השיעורים של נקודות הקיצון המוחלט של הפונקציה , f x וקבע
את סוגן .דייק עד שתי ספרות אחרי הנקודה העשרונית.
( )2נתון כי הישר y kמשיק לגרף f x ולגרף של g x באותה נקודה.
( g ' x שווה לאפס רק בנקודה אחת) .העתק למחברתך את הגרף של , g x
ובאותה מערכת צירים סרטט סקיצה של גרף הפונקציה . f x
x
ב.
x
cos
( )3פתור את המשוואה
6
3
( )1באיזה תחום , f ' x 0ובאיזה תחום ? f ' x 0
. log x 2 6 x 18 sin נמק.
( )2מצא את השטח המוגבל על ידי הגרף של , f ' x על ידי ציר ה x -ועל ידי
הישרים x 2ו . x 4 -
250
x2 2 x a
)9נתונה הפונקציה
e x
a . f x הוא פרמטר.
א .מהו תחום ההגדרה של הפונקציה ? f x
ב .מצא עבור אילו ערכים של aיש לפונקציה f x שתי נקודות קיצון.
ג .דרך נקודות הקיצון של הפונקציה העבירו ישרים המאונכים לציר ה . x -
המרחק בין הישרים הוא .6מצא את ערך הפרמטר . a
הצב את הערך של aשמצאת ,וענה על הסעיפים ד -ז:
ד .מצא את סוגי הקיצון של הפונקציה . f x
ה .מצא את נקודות החיתוך של גרף
הפונקציה f x עם הצירים.
דייק עד שתי ספרות אחרי הנקודה העשרונית.
ו .סרטט סקיצה של גרף הפונקציה . f x
ז .לפניך סקיצה של גרף פונקציית הנגזרת . f ' x
מצא את השטח המוגבל על ידי הגרף של , f ' x על ידי
הישר , x 5על ידי ציר ה , y -ועל ידי ציר ה . x -
)10נתונה הפונקציה f x logb ax בתחום . 0 b 1 , a 0 ,1 x 2
בתחום הנתון הערך הגדול ביותר של הפונקציה הוא ,4והערך הקטן ביותר של
הפונקציה הוא .2מצא את הערך של aואת הערך של . b
3x x 2
)11נתונה הפונקציה
tan x
f x log a tan x logb בתחום
2
. 0 a 1 , 0 x
מצא את שיעורי ה x -של נקודות הקיצון של f x בתחום הנתון (אם יש כאלה)
וקבע את סוגן.
251
)12נתונות שלוש פונקציות :III , II , I
. I. y 2x 4 , II. y ln x , III. y ln x 2 x 4
א .מצא את תחום ההגדרה של כל אחת מהפונקציות ,ומצא את האסימפטוטות
שלהן המקבילות לצירים (אם יש כאלה).
ב ) 1( .סרטט במערכת צירים אחת סקיצה של גרף הפונקציה Iוסקיצה
של גרף הפונקציה .IIציין מספרים על ציר ה . x -
( ) 2הסבר מדוע נקודת החיתוך בין הגרפים של הפונקציות Iו II -חייבת
להימצא בתחום .1 x 2
ג )1( .מצא תחומי עלייה וירידה של הפונקציה ( IIIאם יש כאלה).
( )2ציין בין אילו ערכי xשלמים ועוקבים נמצאת נקודת החיתוך של גרף
הפונקציה IIIעם ציר ה . x -נמק.
( )3לגרפים שסרטטת בתת סעיף ב ( ,)1הוסף בקו מרוסק ( )---סקיצה
של גרף הפונקציה .III
ד .חשב את השטח המוגבל על ידי הגרף של הפונקציה ,IIעל ידי הגרף של
הפונקציה IIIועל ידי הישרים x 1.5ו. x 2.5 -
)13נתונה הפונקציה . f x 1 x e x
א .הראה כי . f ' x xe x
ב .מצא את השיעורים של נקודות הקיצון של הפונקציה , f x וקבע את
סוגן (אם יש כאלה).
ג .מצא את השיעורים של נקודות החיתוך של גרף הפונקציה f x עם הצירים.
ד .סרטט סקיצה של גרף הפונקציה . f x
a
ה .הראה כי עבור a 0מתקיים . f x dx e
1
ו.
( )1חשב את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה , f x על ידי ציר ה x -ועל
ידי ציר ה. y -
a
( )2הסבר מדוע עבור a 0מתקיים . f x dx e 2
1
252
)14נתונה הפונקציה . f x ln 1 e x x
1
3
א.
ב.
ג.
ד.
מהו תחום ההגדרה של הפונקציה ? f x
Mו N -הן נקודות על גרף הפונקציה , f x ששיעורי ה x -שלהן שונים מאפס.
שיעור ה x -של Mהוא , x0ושיעור ה x -של Nהוא . x0הוכח כי שיפוע הישר
שמשיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה , x 0שווה לשיפוע הקטע .MN
מצא את האסימפטוטות של פונקציית הנגזרת f ' x המקבילות לצירים
(אם יש כאלה).
( )1מצא עבור אילו ערכי xפונקציית הנגזרת f ' x היא שלילית.
( ) 2מצא את השטח המוגבל על ידי הגרף של פונקציית הנגזרת f ' x ועל
ידי שני הצירים.
)15נתונה הפונקציה a , f x ln x2 a הוא פרמטר . a 0
לגרף הפונקציה יש שיפוע מקסימלי ושיפוע מינימלי בנקודות שבהן . y 3ln 2
א .מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה . f x
ב .מצא את הערך של . a
ג .מצא את גודל השיפוע המקסימלי של , f x ואת גודל השיפוע המינימלי של . f x
הצב a 4וענה על סעיף ד.
ד ) 1( .מצא את השיעורים שלנקודת הקיצון של הפונקציה . f x
( )2מצא את תחומי הקעירות כלפי מעלה וכלפי מטה של הפונקציה . f x
( )3סרטט סקיצה של גרף הפונקציה . f x
)16נתונה הפונקציה f x 2x3 bהמוגדרת לכל b . xהוא פרמטר גדול מ.1-
א )1( .הבע באמצעות bאת האסימפטוטה של הפונקציה f x המקבילות
לצירים (אם יש כאלה).
( )2מצא תחומי עלייה וירידה של הפונקציה ( f x אם יש כאלה).
( )3הבע באמצעות bאת השיעורים של נקודות החיתוך של גרף
הפונקציה f x עם הצירים.
( )4סרטט סקיצה של גרף הפונקציה . f x
ב .נתונה הפונקציה g x המקיימת . g x f x
( )1הבע באמצעות bאת ה אסימפטוטות של הפונקציה g x המקבילות
לצירים (אם יש כאלה).
( )2סרטט סקיצה של גרף הפונקציה . g x
ג .הבע באמצעות bאת השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה , g x על ידי
הצירים ועל ידי הישר . x 3
253
)17נתונה הפונקציה ( x 0 , f x ln x xראה ציור).
ונתון הישר . y x 4
א .העתק למחברתך את הגרף של f x והוסף
לו סרטוט של הישר הנתון .נמק.
2
נקודה Aנמצאת על גרף הפונקציה f x
ונקודה Bנמצאת על הישר הנתון.
ב .מצא את האורך המינימלי של הקטע ,ABאם הקטע מקביל לציר ה. y -
ג .מצא את האורך המינימלי של הקטע ,ABאם הקטע מאונך לישר הנתון.
ד .מבין כל הקטעים האפשריים ,מהו האורך המינימלי של הקטע ?ABנמק.
)18נתון כי הפונקציות f x ו , g x -המוגדרת לכל , xמקיימות:
3
g ' x e f x x
2
f ' x 2x 3
ישר המשיק לגרף הפונקציה f x בנקודת הקיצון שלה ,חותך את ציר הy -
1
בנקודה שבה
4
.y
א ) 1( .מצא את נקודות החיתוך של הגרף של פונקציית הנגזרת g ' x עם הצירים.
( )2מצא את תח ומי העלייה והירידה (אם יש כאלה) של פונקציית הנגזרת . g ' x
( )3נתון גם g ''' x 0 :עבור . x 1.5
g ''' x 0עבור x 1.5
סרטט סקיצה של גרף פונקציית הנגזרת . g ' x נמק.
ב.
1 14
לישר y e 1ולפונקציה g x יש נקודה משותפת אחת בלבד.
2
מצא את הפונקציה . g x נמק.
254
)19נתונה הפונקציה . f x e20.5x
מעגלים שמרכזם בראשית הצירים
נפגשים עם גרף הפונקציה (ראה ציור).
מבין כל הרדיוסים של מעגלים אלה
מצא את הרדיוס המינימלי.
2
)20נתונה הפונקציה
a
1 ax 1
2
a
a . f x הוא פרמטר בפונקציה . f x
a
נתון כי הפונקציה F a בתחום a 0מקיימת. F a f x dx :
0
א .מצא את הפונקציה . F a
ב .בתחום a 0מצא:
( )1את השיעורים של נקודות הקיצון של הפונקציה , F a וקבע את סוגן.
( )2את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה F a עם הצירים (אם יש כאלה).
ג.
סרטט סקיצה של גרף הפונקציה F a בתחום . a 0
a ln x
)21נתונה הפונקציה
x
. a 0 , f x
א .מצא:
( )1את תחום ההגדרה של הפונקציה.
( )2את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים (אם יש כאלה).
( )3את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה.
ב .סרטט סקיצה של גרף הפונקציה.
ג .השטח ,החסום על ידי גרף הפונקציה ,על ידי ציר ה x -ועל ידי הישר העובר
בנקודת הקיצון של הפונקציה ומאונך לציר ה , x -מסתובב סביב ציר ה. x -
8
נפח גוף הסיבוב שמתקבל הוא
3
.
מצא את הערך של . a
255
)22נתונה הפונקציה f x x 2 a e0.5xהמוגדרת לכל a . xהוא פרמטר.
2
א )1( .האם הפונקציה f x היא זוגית או אי -זוגית? נמק.
( )2האם פונקציית הנגזרת f ' x היא זוגית או אי-זוגית? נמק.
בציור שלפניך מוצג הגרף של פונקציית
הנגזרת f ' x בתחום . x 0
בתחום זה יש לפונקציית הנגזרת f ' x מקסימום
מוחלט ומינימום מוחלט ,כמתואר בציור.
אחת מ נקודות החיתוך של הגרף עם ציר הx -
5
היא נקודה שבה
2
.x
ב .מצא את שיעורי ה( x -ערכים מספריים) של המקסימום המוחלט ושל
המינימום המוחלט של פונקציית הנגזרת f ' x בתחום . x 0
ג.
סרטט סקיצה של גרף פונקציית הנגזרת f ' x בכל תחום ההגדרה שלה.
ד .מצא את שיעור ה x -של נקודת ההשקה שבה שיפוע המשיק לגרף
הפונקציה f x הוא:
( )1הגדול ביותר בכל תחום הגדרתה .נמק.
( )2הקטן ביותר בכל תחום הגדרתה .נמק.
)23נתונות הפונקציות f x ו. g x -
הפונקציה f x ופונקציית הנגזרת g ' x
מקיימות. g ' x 2 f x :
בציור שלפניך מוצגים הגרפים Iו II -של
הפונקציות f x ן . g ' x -
א .קבע איזה גרף הוא של הפונקציה , f x ואיזה גרף הוא של פונקציית
הנגזרת . g ' x נמק.
ב .נתון גם, g ' x 2 xe x :
2
1
0.25
e
. g 0.5
מצא עבור אילו ערכים של xהגרף של הפונקציה f x נמצא מעל הגרף של
הפונקציה . g x
256
ג .הישר l1עובר דרך נקודת המינימום של הפונקציה f x ודרך נקודת
המקסימום של פונקציית הנגזרת . g ' x
הישר l2עובר דרך המקסימום של הפונקציה f x ודרך נקודת
המינימום של פונקציית הנגזרת . g ' x
מצא את משוואת הישר , l1ואת משוואת הישר . l2
ד .השטח ,המוגבל על ידי הישר , l1על ידי הגרף של הפונקציה f x ועל ידי
הגרף של פונקציית הנגזרת , g ' x הוא . S1
השטח ,המוגבל על ידי הישר , l2על ידי הגרף של הפונקציה f x ועל ידי
הגרף של פונקציית הנגזרת , g ' x הוא . S2
S1
מהו היחס
S2
? נמק.
)24בציור שלפניך מוצג הגרף של פונקציית
2 3 x 2
הנגזרת
3
x
מוגדרת לכל . x
. f ' x הפונקציה f x
א .היעזר בגרף של פונקציית הנגזרת , f ' x ומצא:
( )1את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה . f x נמק.
( )2את תחומי הקעירות כלפי מעלה וכלפי מטה של הפונקציה f x
(אם יש כאלה) .נמק.
ב .נתון כי הישר y 1משיק לגרף הפונקציה f x בנקודת המינימום שלה.
מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה f x עם הצירים.
ג.
לפניך ארבעה גרפים .IV – Iאיזה גרף עשוי לתאר את הפונקציה ? f x נמק.
257
)25נתונה פונקציית הנגזרת
2ln x 2 ln x
2
x 1 ln x
. f ' x
א )1( .מצא את תחום ההגדרה של . f ' x
( )2אחת משתי האסימפטוטות האנכיות של f ' x היא . x 0
מצא את האסימפטוטה האנכית השנייה.
( )3מצא את נקודות החיתוך של הגרף של f ' x עם הצירים (אם יש כאלה).
( )4מצא את התחומים שבהם f ' x היא שלילית ,ואת התחומים שבהם היא
חיובית.
ב .ידוע כי לפונקציית הנגזרת f ' x יש גם אסימפטוטה אופקית. y 0 ,
סרטט סקיצה של הגרף של פונקציית הנגזרת . f ' x
ג .הישר y 4משיק לגרף הפונקציה f x בנקודה שבה . x e
( )1מצא את השיעורים של נקודת ההשקה .נמק.
( )2הסבר מדוע . f e3 4
( )3השטח ,המוגבל על ידי הגרף של פונקציית הנגזרת
f ' x ועל ידי ציר ה x -
בתחום , e2 x e3שווה ל . 0.5 -מצא את הערך של . f e3
a x 1
)26נתונה הפונקציה
a2x 1
. 0 a 1 , f x
א .מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה . f x
ב .הראה כי הפונקציה f x היא אי זוגית.
ג.
מצא תחומי עלייה וירידה של הפונקציה ( f x אם יש כאלה).
ד .סרטט סקיצה של גרף הפונקציה . f x
ה .ידוע שפונקציית הנגזרת f ' x היא פונקציה זוגית.
העבירו ישר lהמשיק לגרף הפונקציה f x בנקודה שבה , x 1
והעבירו ישר אחר המשיק לגרף הפונקציה f x בנקודה אחרת.T ,
שני המשיקים מקבילים זה לזה.
( Tהיא הנקודה היחידה על גרף הפונקציה f x שבה המשיק מקביל ל). l -
הבע באמצעות ( aבמידת הצורך) את השיעורים של הנקודה .Tנמק.
258
)27נתונות הפונקציות. a 0 , g x eax , f x eax :
א.
סמן במערכת צירים את השטח הכלוא בין הגרפים של הפונקציות f x וg x -
1
והישר
a
1
והישר . x
a
x ואת השטח הכלוא בין הגרפים של הפונקציות f x וg x -
ב .השטחים שסימנת בסעיף א מסתובבים סביב ציר ה . x -
הבע כפונקציה של aאת הנפח הכולל של גוף הסיבוב שנוצר. V a ,
ג.
סרטט סקיצה של גרף הפונקציה . V a
kx
)28נתונה הפונקציה
ln x
k , f x הוא פרמטר שונה מ.0-
א .מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה . f x
ב )1( .מצא עבור אילו ערכים של kלפונקציה f x יש מקסימום.
נתון כי בתחום x 1הפונקציה f x מקבלת את כל הערכים y 2ורק אותם.
( )2מצא את הערך של . k
( )3נתון גם כי הישר x 1הוא האסימפטוטה היחידה של הפונקציה . f x
סרטט סקיצה של גרף הפונקציה f x בכל תחום הגדרתה.
ג.
מבין המשיקים לגרף הפונקציה f x בתחום , x 1מצא את נקודת ההשקה
של המשיק ששיפועו מינימלי.
)29נתונה הפונקציה
x
. f x 2e
א .מצא:
( )1את תחום ההגדרה של הפונקציה . f x
( )2את תחומי העלייה והירידה של פונקציית הנגזרת . f ' x
ב .מצא את השיעורים של נקודת הקיצון של הפונקציה , y 2 f ' x והראה
כי נקודה זו נמצאת על גרף הפונקציה . x 0 , y f x 2
ג .הפונקציות y 2 f ' x ו y f x 2 -נפגשות בנקודה אחת בלבד (הנקודה
שמצאת בסעיף ב) .השטח המוגבל על ידי הגרפים של שתי פונקציות אלה
ועל ידי הישר , a 1 , x aשווה ל. 8e 2 f a -
מצא את הערך של . aתוכל להשאיר lnבתשובתך.
259
)30נתונה הפונקציה . f x xn ln x n הפרמטר nהוא מספר טבעי זוגי.
א .מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה . f x
ב .קבע אם הפונקציה f x היא זוגית או אי -זוגית .נמק.
ג .הראה כי יש רק ישר אחד המשיק לגרף הפונקציה f x ומקביל לציר
ה x -ומצא את משוואתו.
)31בציור שלפניך מוצג הגרף של פונקציית הנגזרת , f ' x
המוגדרת לכל . x
א .על פי הגרף של , f ' x מצא תחומי קעירות
כלפי מעלה וכלפי מטה של הפונקציה , f x
המוגדרת לכל . xנמק.
סרטט נתון כי גרף הפונקציה f x חותך את ציר הy -
בחלקו השלילי.
ב .סקיצה של גרף הפונקציה . f x
ג .נתון גם a , f x x a e0.5x x :הוא פרמטר.
היעזר בנתונים בגרף של , f ' x וחשב את השטח המוגבל על ידי גרף
2
הפונקציה f x ועל ידי הצירים.
)32נתונה הפונקציה c , f x log 4 x2 4 x c הוא פרמטר.
נתון כי לפונקציה יש אסימפטוטה שמשוואתה . x 2
א )1( .מצא את ערך הפרמטר . c
( )2מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה.
( )3מצא את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה.
( ) 4מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים.
( )5סרטט סקיצה של גרף הפונקציה.
ב )1( .נתונה הפונקציה . g x f x
סרטט סקיצה של גרף הפונקציה . g x
( )2עבור אילו ערכים של kיש למשוואה g x kיש שני פתרונות?
260
)33נתונה הפונקציה
2 x 3
eax
a , f x הוא פרמטר.
א )1( .מהו תחום ההגדרה של הפונקציה ? f x
( )2מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה f x עם הצירים.
ב .בציור שלפניך מוצג הגרף של פונקציית הנגזרת . f '' x
היעזר בנתונים הרשומים בגרף ,ומצא:
( )1ערך מספרי עבור שיעור ה x -וערך
מספרי עבור שיעור ה y -של
נקודת הקיצון של הפונקציה f x
וקבע את סוגה.
( )2ערך מספרי עבור שיעור ה x -וערך מספרי עבור שיעור
ה y -של נקודת הפיתול של הפונקציה . f x
( )3את תחומי הקעירות כלפי מעלה וכלפי מטה של הפונקציה . f x
ג.
סרטט סקיצה של גרף הפונקציה . f x
3 9ln 3x 1
)34נתונה הפונקציה
3x 1
( f x ראה ציור).
א .מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה . f x
ב.
( )1מצא את נ קודת החיתוך של גרף הפונקציה f x
עם ציר ה. x -
( )2השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה ,על
e 1
ידי ציר ה x -ועל ידי הישרים
3
e 1
.a
ו x a -הוא .3.5נתון כי
3
היעזר בנגזרת של , y ln 2 3x 1ומצא את . a
x
4
ג.
e3 1
.x
לפונקציה f x יש נקודת קיצון אחת בלבד בנקודה שבה
3
מצא עבור אילו ערכי xהפונקציה f x שלילית וגם פונקציית הנגזרת
f ' x
שלילית.
261
262
תשובות סופיות:
. f x 0.25ln 2 x 1 0.5ex2 0.5x 3 )1
)2א b, p )2( max 0, s , min c ,k )1( .פיתול .ב. e p e k .
0.525 )3יח"ר . S e ln 0.5 0.5e
)4א f x ln 2 x ln x b 0.75 .בmin e ,b 1 )1( .
( )2קעירות מעלה , 0 x e1.5 :קעירות מטה x e1.5 :ג )2( b 1 )1( .סקיצה בסוף.
. A 1, 2 )5
1
2
. x e1.5 )6
)7א .עבור )2( . y 1 )1( : a 0עולה לכל . ln a , 0 )3( . x
עבור )2( x ln -a , y 1 )1( : a 0יורדת)3( x ln -a , x ln -a :
1 a
1 a
. 0,
ב .סקיצות בסוף.
)8א min 3, 2 )1( .מוחלט max 0, 2.63 ,מוחלט )2( .סקיצה בסוף. 3, 2 )3( .
ב, f ' x 0 : 0 x 3)1( .
5
3
0.192 )2( f ' x 0 : 3 x יח"ר.
x2 2 x 7
a 7 , f x דmax 3,0.4 , min 3, 80.34 .
)9א .כל . xב . a 2 .ג.
e x
ה 3.83,0 , 1.83,0 .ו .סקיצה בסוף .ז 7.607 .יח"ר.
1
2
)10
,b
4
2
.a
. min 1.5,log a 2.25 )11
)12א :I .תחום ההגדרה :כל , xאסימפטוטות :אין.
:IIתחום ההגדרה , x 0 :אסימפטוטות. x 0 :
:IIIתחום ההגדרה , x 0 :אסימפטוטות. x 0 :
ב )1( .סקיצה בסוף )2( .הפונקציה Iיורדת בכל תחום הגדרתה וחותכת את ציר
ה x -כאשר , x 2ופונקציה IIעולה בכל תחום הגדרתה וחותכת את ציר
ה x -כאשר . x 1
ג )1( .תחומי עלייה , x 0 :תחומי ירידה :אף )2( . xבין 1ל )3( .2 -סקיצה בסוף.
1
ד.
2
)13ב max 0,1 .ג.
.
1
)14א .כל xג.
3
0,1 , 1, 0 ד .סקיצה בסוף ו. e 2 )1( .
2
2
2
3
1
2
y , y ד. ln1 ln 2 )2( x ln 2 )1( .
263
1
1
)15א .כל xב a 4 .ג .שיפוע מקסימלי , :שיפוע מינימלי:
2
2
דmin 0, ln 4 )1( .
.
( )2קעירות כלפי מעלה , 2 x 2 :קעירות כלפי מטה x 2 :או x 2
( )3סקיצה בסוף.
1
)16א )2( y b )1( .עלייה :כל , xירידה :אף 0, b , 3 log 2 b, 0 )3( . x
8
7
. 3b
( )4סקיצה בסוף ב )2( y b )1( .סקיצה בסוף ג.
8ln 2
)17א .סקיצה בסוף ב 4 .ג8 .
ד. 8 .
1
1
)18א )2( 0, 1 e2 , 1 , 0 )1( .עלייה :כל , xירידה :אף )3( xסקיצה בסוף.
2 2
1
2
ב. g x e x 3 x2 1 .
2
. 5 )19
ln a 1
1
)20א.
F a בmax e 1, , min 0, 0 )1( .
a2 1
e
2
( 0, 0 )2
ג .סקיצה בסוף.
)21א )3( 1, 0 )2( x 0 )1( .עלייה , x e :ירידה0 x e :
ב .סקיצה בסוף ג. a 1 .
)22א f x )1( .היא פונקציה זוגית ( f ' x )2היא אי זוגית.
2
1
ב.
2
2
x מקסימום מוחלט x 5 ,מינימום מוחלט .ג .סקיצה בסוף
1
1
)2( x
ד)1( .
2
2
.x
1
1
S1
, l1 : x
)23א g x - II , f x - I .ב x 1 .ג.
l2 : x ד 1 .
S2
2
2
.
)24א )1( .עלייה x 1 :או , x 0ירידה x 0 : )2( 0 x 1 :או : , x 0אין.
ב 3.375, 0 , 0, 0 .ג .גרף .III
)25א)3( x e )2( x e , x 0 )1( .
e , 0 , 1, 0
2
( )4חיובית1 x e , e x e2 :
שלילית x e2 :או . 0 x 1ב .סקיצה בסוף ג.-4.5 )3( e2 , 4 )1( .
a2
)26א x 0 .ג .עלייה x 0 :או , x 0ירידה :אין .ד .סקיצה בסוף ה .
1 a2
e2 e2 2
)27א .סקיצה בסוף ב.
a
V a ג .סקיצה בסוף.
2
)28א x 1 .או 0 x 1ב)2( k 0 )1( .
e
264
)3( k סקיצה בסוף ג. e2 , e .
. 1,
. a 1 ln 3 . גmin 1, 2e . ב0 x 1 : ירידה, x 1 :) עלייה2( x 0 .) א29
1
. היא פונקציה זוגית גf x . בx 0 .) א30
e
0.393 . סקיצה בסוף ג. בx 1 : , x 1 : .) א31
.y
. 1 e0.5
x 2 : ירידה, x 2 :) עלייה3( x 2 )2( c 4 )1( .) א32
. k 0 )2( ) סקיצה בסוף1( .) סקיצה בסוף ב5( . 3, 0 , 1, 0 , 0,1 )4(
8
)2( min 1, 4 e
e
. 1,
)1( . ב 3, 0 , 0, 6 )2( x ) כל1( .) א33
. סקיצה בסוף. ג. x 1 : , x 1 : )3(
1
4
13
1
e2 1
e 1
e3 1
e 3 1
.
. גa
)2(
, 0 )1( . בx .) א34
x
3
3
3
3
3
265
סרטוטים עבור השאלות בחשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי:
)4ג () 2
)7ב () 1
)7ב ()2
)8א ()2
)9ו.
)12ב ()1
)12ב ()2
)13ד
)15ד ()3
)16א ()4
)16ב ()2
266
)17א
)20ג
)18א ()3
)25ב
)22ג
)26ד
)27א
)27ג
)28ב ()3
)31ב
)32א ()5
267
)32ב ()1
)33ג
268
© Copyright 2024