הורד את ספר הקורס

‫מתמטיקה ‪ 5‬יחידות שאלון ‪807‬‬
‫‪1‬‬
‫תלמידים יקרים‬
‫ספר תרגילים זה הוא פרי שנות ניסיון רבות של המחבר בהגשה לבחינות‬
‫הבגרות במתמטיקה הן בבתי הספר התיכוניים‪ ,‬הן בבתי הספר הפרטיים‬
‫והן במכינות האוניברסיטאיות‪.‬‬
‫שאלות תלמידים וטעויות נפוצות וחוזרות הולידו את הרצון להאיר את‬
‫הדרך הנכונה לעומדים בפני מקצוע חשוב זה‪.‬‬
‫הספר מסודר לפי נושאים ומכיל את כל חומר הלימוד על פי תכנית‬
‫הלימודים של משרד החינוך‪ .‬כל פרק פותח בסיכום ההגדרות‪ ,‬המשפטים‬
‫והמתכונים הקשורים לנושא הפרק‪ ,‬לאחריו מופיעה טבלת הסרטונים‬
‫באתר ולבסוף קובץ תרגילים‪ .‬הניסיון מלמד כי לתרגּול בקורס זה חשיבות‬
‫יוצאת דופן‪ ,‬ולכן ספר זה בולט בהיקפו ובמגוון התרגילים המופיעים בו‪.‬‬
‫לכל התרגילים בספר פתרונות מלאים באתר ‪www.GooL.co.il‬‬
‫הפתרונות מוגשים בסרטוני וידאו המלווים בהסבר קולי‪ ,‬כך שאתם רואים‬
‫את התהליכים בצורה מובנית‪ ,‬שיטתית ופשוטה‪ ,‬ממש כפי שנעשה‬
‫בשיעור פרטי‪ .‬הפתרון המלא של השאלה מכוון ומוביל לדרך חשיבה נכונה‬
‫בפתרון בעיות דומות מסוג זה‪.‬‬
‫תקוותי היא שספר זה ישמש מורה‪-‬דרך לכם התלמידים ויוביל אתכם‬
‫להצלחה‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫תוכן העניינים‪:‬‬
‫פרק ‪ – 1‬גיאומטריה אנליטית‪7..................................................................................... :‬‬
‫נקודה וישר‪7 ...................................................................................................................... :‬‬
‫תשובות סופיות‪14 ...................................................................................................... :‬‬
‫המעגל‪15 ............................................................................................................................ :‬‬
‫תשובות סופיות‪22 ...................................................................................................... :‬‬
‫האליפסה‪24 ....................................................................................................................... :‬‬
‫תשובות סופיות‪27 ...................................................................................................... :‬‬
‫הפרבולה‪28 ........................................................................................................................ :‬‬
‫תשובות סופיות‪32 ...................................................................................................... :‬‬
‫מקומות גאומטריים‪33 ....................................................................................................... :‬‬
‫תשובות סופיות‪35 ...................................................................................................... :‬‬
‫תרגילי הוכחה‪36 ................................................................................................................ :‬‬
‫תרגול מבגרויות‪37 .............................................................................................................. :‬‬
‫תשובות סופיות‪43 ...................................................................................................... :‬‬
‫פרק ‪ - 2‬טריגונומטריה במרחב‪44 .................................................................................. :‬‬
‫הגדרות יסודיות‪44 ............................................................................................................. :‬‬
‫שאלות יסודיות – סימון זוויות במרחב‪45 ....................................................................... :‬‬
‫תזכורת – הגדרות טריגונומטריות במישור‪46 ....................................................................... :‬‬
‫התיבה והקובייה‪47 ............................................................................................................ :‬‬
‫תיבה שבסיסה ריבוע‪47 ............................................................................................... :‬‬
‫תיבה שבסיסה מלבן‪50 ................................................................................................ :‬‬
‫קובייה‪53 .................................................................................................................. :‬‬
‫מנסרה ישרה‪54 .................................................................................................................. :‬‬
‫מנסרה שבסיסה משולש שווה צלעות‪54 .......................................................................... :‬‬
‫מנסרה שבסיסה משולש שווה שוקיים‪55 ........................................................................ :‬‬
‫מנסרה שבסיסה משולש ישר זווית‪56 ............................................................................. :‬‬
‫פירמידה ישרה‪57 ............................................................................................................... :‬‬
‫פירמידה שבסיסה ריבוע‪58 ........................................................................................... :‬‬
‫פירמידה שבסיסה מלבן‪60 ........................................................................................... :‬‬
‫פירמידה שבסיסה משולש שווה צלעות‪65 ....................................................................... :‬‬
‫פירמידה שבסיסה משולש שווה שוקיים‪66 ...................................................................... :‬‬
‫פירמידה שבסיסה הוא משולש ישר זווית‪66 .................................................................... :‬‬
‫תשובות סופיות‪67 ...................................................................................................... :‬‬
‫תירגול נוסף‪69 ....................................................................................................................:‬‬
‫תיבה‪69 ..................................................................................................................... :‬‬
‫‪3‬‬
‫מנסרה ישרה‪71 .......................................................................................................... :‬‬
‫פירמידה‪73 ................................................................................................................ :‬‬
‫תשובות סופיות‪76 ...................................................................................................... :‬‬
‫תרגול מבגרויות‪77 .............................................................................................................. :‬‬
‫תשובות סופיות‪78 ...................................................................................................... :‬‬
‫פרק ‪ – 3‬ווקטורים‪79 .................................................................................................. :‬‬
‫ווקטורים גיאומטריים‪79 .................................................................................................... :‬‬
‫שאלות‪81 .................................................................................................................. :‬‬
‫תשובות סופיות‪88 ...................................................................................................... :‬‬
‫וקטורים אלגבריים‪89 ......................................................................................................... :‬‬
‫שאלות‪94 .................................................................................................................. :‬‬
‫תשובות סופיות‪105 .................................................................................................... :‬‬
‫תרגול מבגרויות‪107............................................................................................................. :‬‬
‫וקטורים גיאומטריים ‪107 ..............................................................................................‬‬
‫וקטורים אלגבריים ‪109 .................................................................................................‬‬
‫תשובות סופיות‪114 .................................................................................................... :‬‬
‫פרק ‪ – 4‬מספרים מרוכבים‪115 ..................................................................................... :‬‬
‫שאלות‪117.......................................................................................................................... :‬‬
‫תשובות סופיות‪122 .................................................................................................... :‬‬
‫תרגול מבגרויות‪123............................................................................................................. :‬‬
‫תשובות סופיות‪128 .................................................................................................... :‬‬
‫פרק ‪ – 5‬בעיות גדילה ודעיכה‪129 .................................................................................. :‬‬
‫שאלות חישוב יסודיות‪129 ........................................................................................... :‬‬
‫שאלות העוסקות במציאת הכמות הסופית‪130 ................................................................ :‬‬
‫שאלות העוסקות במציאת הכמות ההתחלתית‪130 ........................................................... :‬‬
‫שאלות העוסקות במציאת אחוז הגידול‪/‬הדעיכה או בסיס הגידול‪/‬דעיכה‪131 ........................ :‬‬
‫שאלות העוסקות במציאת הזמן‪132 .............................................................................. :‬‬
‫שאלות שונות (כל הנושאים יחד)‪133 .............................................................................. :‬‬
‫תשובות סופיות‪136 .................................................................................................... :‬‬
‫תירגול נוסף‪137...................................................................................................................:‬‬
‫תרגול מבגרויות‪141............................................................................................................. :‬‬
‫תשובות סופיות‪142 .................................................................................................... :‬‬
‫פרק ‪ –6‬חוקי חזקות ומשוואות מעריכיות ולוגריתמיות‪143 .................................................. :‬‬
‫חוקי חזקות‪143.................................................................................................................. :‬‬
‫שאלות יסודיות – חוקי חזקות ושורשים‪143 ................................................................... :‬‬
‫משוואות מעריכיות‪144........................................................................................................ :‬‬
‫שאלות יסודיות – משוואות מעריכיות‪144 ...................................................................... :‬‬
‫‪4‬‬
‫משוואות לוגריתמיות‪145.................................................................................................... :‬‬
‫שאלות יסודיות – חוקי הלוגריתמים ומשוואות לוגריתמיות‪146 ........................................ :‬‬
‫אי שוויונים מעריכיים‪149.................................................................................................... :‬‬
‫אי‪-‬שוויונים לוגריתמיים‪149................................................................................................ :‬‬
‫תירגול נוסף‪150...................................................................................................................:‬‬
‫חזרה על חוקי חזקות ושורשים‪150 ............................................................................... :‬‬
‫תשובות סופיות‪152 .................................................................................................... :‬‬
‫משוואות מעריכיות‪153 ............................................................................................... :‬‬
‫תשובות סופיות‪156 .................................................................................................... :‬‬
‫הגדרת הלוגריתם ומשוואות לוגריתמיות יסודיות‪157 ....................................................... :‬‬
‫תשובות סופיות‪160 .................................................................................................... :‬‬
‫חוקי הלוגריתמים ומשוואות לוגריתמיות‪161 .................................................................. :‬‬
‫תשובות סופיות‪165 .................................................................................................... :‬‬
‫מעבר מבסיס לבסיס ומשוואות לוגריתמיות‪166 .............................................................. :‬‬
‫תשובות סופיות ‪168 .................................................................................................... :‬‬
‫אי‪-‬שוויוניים לוגריתמיים‪169 ....................................................................................... :‬‬
‫תשובות סופיות‪169 .................................................................................................... :‬‬
‫פרק ‪ - 7‬חשבון דיפרנציאלי‪170 .................................................................................... :‬‬
‫פונקציות מעריכיות‪170....................................................................................................... :‬‬
‫הגדרות כלליות‪170 ..................................................................................................... :‬‬
‫שאלות יסודיות – חישובי נגזרות‪172 ............................................................................. :‬‬
‫שאלות העוסקות בשימושי הנגזרת‪172 ........................................................................... :‬‬
‫שאלות שונות העוסקות בחקירה של פונקציות מעריכיות‪173 ............................................. :‬‬
‫תשובות סופיות‪180 .................................................................................................... :‬‬
‫תירגול נוסף‪184...................................................................................................................:‬‬
‫תשובות סופיות‪189 .................................................................................................... :‬‬
‫פונקציות לוגריתמיות‪191.................................................................................................... :‬‬
‫הגדרות כלליות‪191 ..................................................................................................... :‬‬
‫שאלות יסודיות – חישובי נגזרות‪192 ............................................................................. :‬‬
‫שאלות העוסקות בשימושי הנגזרת‪194 ........................................................................... :‬‬
‫שאלות שונות העוסקות בחקירה‪194 ............................................................................. :‬‬
‫תשובות סופיות‪200 .................................................................................................... :‬‬
‫תירגול נוסף‪204...................................................................................................................:‬‬
‫תשובות סופיות‪209 .................................................................................................... :‬‬
‫פונקצית חזקה עם מעריך רציונאלי‪211.................................................................................:‬‬
‫הגדרות כלליות‪211 ..................................................................................................... :‬‬
‫שאלות שונות‪212 ....................................................................................................... :‬‬
‫‪5‬‬
‫תשובות סופיות‪215 .................................................................................................... :‬‬
‫תירגול נוסף‪216...................................................................................................................:‬‬
‫תשובות סופיות‪220 .................................................................................................... :‬‬
‫פרק ‪ - 8‬חשבון אינטגרלי‪222 ....................................................................................... :‬‬
‫פונקציות מעריכיות‪222....................................................................................................... :‬‬
‫שאלות יסודיות – אינטגרל כללי‪222 .............................................................................. :‬‬
‫שאלות יסודיות – אינטגרל מסוים‪223 ........................................................................... :‬‬
‫חישובי שטחים‪223 ..................................................................................................... :‬‬
‫חישובי נפחים‪225 ....................................................................................................... :‬‬
‫תירגול נוסף‪226...................................................................................................................:‬‬
‫תשובות סופיות‪231 .................................................................................................... :‬‬
‫פונקציות לוגריתמיות‪233.................................................................................................... :‬‬
‫שאלות יסודיות – אינטגרל כללי‪233 .............................................................................. :‬‬
‫שאלות יסודיות – אינטגרל מסוים‪233 ........................................................................... :‬‬
‫חישובי שטחים‪234 ..................................................................................................... :‬‬
‫חישובי נפחים‪236 ....................................................................................................... :‬‬
‫תירגול נוסף‪237...................................................................................................................:‬‬
‫תשובות סופיות‪241 .................................................................................................... :‬‬
‫פונקצית חזקה עם מעריך רציונאלי‪243.................................................................................:‬‬
‫שאלות כלליות‪243 ...................................................................................................... :‬‬
‫תירגול נוסף‪244...................................................................................................................:‬‬
‫תשובות סופיות‪248 .................................................................................................... :‬‬
‫תרגול מבגרויות (חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי יחד)‪249........................................................ :‬‬
‫תשובות סופיות‪263 .................................................................................................... :‬‬
‫הערות‪:‬‬
‫‪ .1‬הסקיצות בשאלות החקירה מופיעות בצורה מרוכזת בסוף דפי התשובות‪.‬‬
‫‪ .2‬כל פרק מכיל סרטוני תיאוריה ותרגול מלאים ומפורטים באתר‪ ,‬למעט החלקים‬
‫"תירגול נוסף" והשאלות מהבגרויות‪.‬‬
‫‪ .3‬קישור לחוברת בחינות חזרה‪.http://www.gool.co.il/Misc/807_exams_gool.pdf :‬‬
‫‪6‬‬
‫פרק ‪ – 1‬גיאומטריה אנליטית‪:‬‬
‫נקודה וישר‪:‬‬
‫נוסחאות כלליות‪:‬‬
‫‪ .1‬המרחק בין הנקודות ‪ A  x1 , y1 ‬ו‪ B  x2 , y2  -‬יחושב לפי‪. d   x2  x1    y2  y1  :‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x1  x2‬‬
‫‪y  y2‬‬
‫‪ .2‬אמצע הקטע ‪ M‬שקצוותיו הם‪ A  x1 , y1  :‬ו‪ B  x2 , y2  -‬הוא‪:‬‬
‫‪, yM  1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪y y‬‬
‫‪y y‬‬
‫‪ .3‬שיפוע ישר בין שתי נקודות ‪ A  x1 , y1 ‬ו‪ B  x2 , y2  -‬הוא‪. mAB  2 1  1 2 :‬‬
‫‪x2  x1 x1  x2‬‬
‫‪. xM ‬‬
‫משוואת הישר‪:‬‬
‫‪ .4‬משוואת ישר מפורשת היא מהצורה‪. y  mx  n :‬‬
‫כאשר‪ m :‬הוא שיפוע הישר ו‪ n -‬הוא ערך ה ‪ y -‬של נקודת החיתוך של הישר עם ציר ה‪. y -‬‬
‫‪ .5‬נוסחה למציאת משוואת ישר‪. y  y1  m  x  x1  :‬‬
‫מצב הדדי בין שני ישרים‪:‬‬
‫‪ .6‬ישרים מקבילים מקיימים‪. m1  m2 , n1  n2 :‬‬
‫‪ .7‬ישרים חותכים מקיימים‪. m1  m2 :‬‬
‫‪ .8‬ישרים מתלכדים מקיימים‪. m1  m2 , n1  n2 :‬‬
‫שיפועים של ישרים‪:‬‬
‫‪ .9‬שיפועי ישרים מאונכים מקיימים‪. m1  m2  1 :‬‬
‫‪ .10‬הקשר בין שיפוע ישר לזווית שהוא יוצר עם הכיוון החיובי של ציר ה ‪. m  tan  : x -‬‬
‫חלוקת קטע ביחס נתון‪:‬‬
‫‪ .11‬שיעורי נקודה ‪ P‬המחלקת קטע שקצותיו ‪ A  x1 , y1 ‬ו‪ B  x2 , y2  -‬ביחס של ‪k : l‬‬
‫‪k  x1  l  x2‬‬
‫‪k  y1  l  y2‬‬
‫הם‪:‬‬
‫‪; yP ‬‬
‫‪k l‬‬
‫‪k l‬‬
‫‪( xP ‬בהצלבה)‪.‬‬
‫‪7‬‬
‫הצגה כללית של ישר ומרחקים‪:‬‬
‫‪ .12‬הצגה כללית של ישר (צורה סתומה)‪. Ax  By  C  0 :‬‬
‫‪ .13‬מרחק הנקודה ‪ A  x1 , y1 ‬מהישר ‪ Ax  By  C  0‬הוא‪:‬‬
‫‪Ax1  By1  C‬‬
‫‪A 2  B2‬‬
‫‪.d ‬‬
‫כאשר‪: B  0 :‬‬
‫‪ ‬אם הנקודה מעל הישר מורידים את הערך המוחלט‪.‬‬
‫‪ ‬אם הנקודה מתחת לישר מורידים את הערך המוחלט ומוסיפים‬
‫מינוס לאחד האגפים‪.‬‬
‫‪ .14‬המרחק בין שני ישרים מקבילים‪ Ax  By  C1  0 :‬ו ‪ Ax  By  C2  0 -‬כאשר‪B  0 :‬‬
‫הוא‪:‬‬
‫‪C1 - C2‬‬
‫‪A 2  B2‬‬
‫‪ d ‬ומתקיים בהעדר הערך המוחלט‪:‬‬
‫‪ ‬אם‪  d  0  , C1  C2 :‬אז הישר ‪ Ax  By  C1  0‬מתחת ל‪. Ax  By  C2  0 -‬‬
‫‪ ‬אם‪  d  0 , C1  C2 :‬אז הישר ‪ Ax  By  C1  0‬מעל ל‪. Ax  By  C2  0 -‬‬
‫שאלות‪:‬‬
‫‪ )1‬הנקודות ‪ A  2, 7  , B  10, 4 ‬ו ‪ C  6,11 -‬הן שלושה קדקודים של מקבילית‪.‬‬
‫מצא את שיעורי הקדקוד הרביעי‪.‬‬
‫‪ y‬שלה גדול פי ‪ 3‬משיעור ה‪x -‬‬
‫‪ )2‬נתונה נקודה ‪ B‬ברביע השלישי‪ ,‬ששיעור ה‪-‬‬
‫שלה ומרחקה מהנקודה ‪ A  4,1‬הוא ‪ .5‬מצא את שיעורי הנקודה ‪.B‬‬
‫‪ )3‬התאם בין משוואות הישרים הבאים לישרים בשרטוט‪:‬‬
‫ד‪. y  x  1 .‬‬
‫א‪. y  x  3 .‬‬
‫ב‪. y   x  1 .‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫ה‪. y  x .‬‬
‫‪. y  2x  3‬‬
‫‪ )4‬במשולש ‪ ABC‬נתונים שיעורי הקדקודים‪. A  5, 1 , B  3,7  , C  5,5 :‬‬
‫הוכח שהמשולש ישר זווית ושווה שוקיים‪.‬‬
‫‪ )5‬נתון מעוין ‪ ABCD‬שבו נתונים הקדקודים ‪ A  9,1‬ו‪. B  5, 7  -‬‬
‫משוואת הישר עליו מונח האלכסון ‪ AC‬היא ‪. x  3 y  6  0‬‬
‫א‪ .‬מצא את משוואת הישר עליו מונח האלכסון ‪.BD‬‬
‫ב‪ .‬מצא את משוואת הישר עליו מונחת הצלע ‪.BC‬‬
‫‪8‬‬
‫‪ )6‬שלוש המשוואות הבאות מייצגות את הישרים המופיעים‬
‫בשרטוט‪. 2 x  y  8  0 , x  y  2  0 , x  4 y  4  0 :‬‬
‫א‪ .‬חשב את שטח המשולש ‪.DEF‬‬
‫ב‪ .‬נתון‪ .BC = 3 :‬חשב את אורך הקטע ‪.AB‬‬
‫‪ BD )7‬הוא התיכון לצלע ‪ AC‬במשולש ‪ ABC‬שבו נתון הקדקוד ‪. A  6,1‬‬
‫משוואת התיכון ‪ BD‬היא ‪ x  y  1‬ומשוואת הצלע ‪ BC‬היא ‪. 3x  5 y  67‬‬
‫מצא את שיעורי הקדקוד ‪.C‬‬
‫‪ )8‬הנקודה ‪ P‬נמצאת על הקטע ‪ .AB‬נתון‪. A  2, 5 , B  12,16  :‬‬
‫‪AP 2‬‬
‫מצא את ערכי הנקודה ‪ ,P‬אם נתון כי‪ :‬‬
‫‪PB 5‬‬
‫‪.‬‬
‫‪ )9‬קדקודי משולש ‪ ABC‬הם‪. A  1,3 , B  6,0 , C  4, 12  :‬‬
‫מצא את שיעורי מרכז הכובד של המשולש‪.‬‬
‫(מרכז כובד של משולש הוא מפגש תיכוני המשולש)‪.‬‬
‫‪ )10‬מצא את שיעורי מרכז הכובד של משולש ‪ABC‬‬
‫שקדקודיו הם‪. A  x1 , y1  , B  x2 , y2  , C  x3 , y3  :‬‬
‫‪ )11‬קודקודי המשולש ‪ ABC‬הם‪. A  5,1 , B  7, 3 , C  1, 4  :‬‬
‫מצא א ת אורכו של חוצה הזווית היוצא מקדקוד ‪.A‬‬
‫‪ )12‬א‪ .‬מצא את מרחק הנקודה ‪  2, 4 ‬מהישר ‪. 4 x  3 y  11  0‬‬
‫ב‪ .‬מצא את מרחק הנקודה ‪  4,3‬מהישר ‪. y  3x  1‬‬
‫ג‪ .‬מצא את מרחק הנקודה ‪  3, 11‬מהישר ‪. x  5  0‬‬
‫‪ )13‬מצא את שיעורי הנקודות על הישר ‪ x  y  7  0‬שמרחקן‬
‫מהישר ‪ 2 x  y  5  0‬הוא‪. 20 :‬‬
‫‪ )14‬מצא את שטחו של משולש שקדקודיו הם‪. A  2, 2 , B  1,1 , C  5, 2  :‬‬
‫‪ )15‬נתון משולש ‪ ABC‬שבו נתונים הקדקודים‪. A 1,1 , B 13,6  :‬‬
‫הקדקוד ‪ C‬נמצא על הישר ‪ 2 x  y 19  0‬ונמצא מתחת לצלע ‪.AB‬‬
‫מצא את שיעורי הקדקוד ‪ C‬אם ידוע ששטח המשולש הוא ‪.13‬‬
‫‪9‬‬
‫‪ )16‬נתון משולש שצלעותיו מונחות על הישרים‪:‬‬
‫‪I: x  2 y  1  0 , II: x  2 y 11  0 , III: 2 x  y  6  0‬‬
‫מצא שיעורי נקודה הנמצאת בתוך המשולש‪ ,‬שמרחקה מישר ‪ I‬שווה למרחקה‬
‫מישר ‪ III‬ושמרחקה מישר ‪ II‬הוא מחצית מהמרחק משני ישרים אלה‪.‬‬
‫‪ )17‬מצא משוואת ישר ששיפועו ‪ 3‬אם ידוע שהנקודה ‪ G  7, 3‬נמצאת מתחתיו‬
‫ובמרחק ‪ 2 10‬ממנו‪.‬‬
‫‪ )18‬מצא משוואת ישר שעובר בנקודה ‪ A  2, 6 ‬ומרחקו מהנקודה ‪ B  2,9 ‬הוא ‪. 5‬‬
‫‪ )19‬מצא משוואת ישר שעובר בנקודה ‪ A 1, 2 ‬ומרחקו מהנקודה ‪ B  3,10 ‬הוא ‪.4‬‬
‫‪ )20‬מצא משוואת ישר שעובר בנקודה ‪ A 10,8‬ומרחקו מהנקודה ‪ B  7, 1‬הוא ‪.3‬‬
‫‪ )21‬מצא משוואת ישר שעובר בנקודה ‪ A  6,1‬ומרחקו מהנקודה ‪ B  2, 7 ‬הוא ‪.10‬‬
‫‪ )22‬מצא משוואת ישר‪ ,‬המקביל לישר ‪ 3x  4 y  8  0‬ונמצא במרחק ‪ 4‬ממנו‪.‬‬
‫‪ )23‬נתון המלבן ‪ . ABCD‬משוואותיהן של שתיים מצלעות המלבן הן ‪AB : 3x  y  0‬‬
‫ו‪ . CD : 3x  y  6  0 -‬הקדקוד ‪ B‬נמצא בראשית הצירים‪ .‬נתון כי הצלע ‪AB‬‬
‫ארוכה פי ‪ 4‬מהצלע ‪ .BC‬מצא את שטח המלבן ואת מפגש אלכסוני המלבן‪ ,‬אם‬
‫ידוע שהוא ברביע הרביעי‪.‬‬
‫‪ )24‬צלע של ריבוע מונחת על הישר ‪. 3x  2 y  5  0‬‬
‫אלכסוני הריבוע נפגשים בנקודה ‪. B 1, 1‬‬
‫מצא את משוואות הישרים עליהם מונחות הצלעות האחרות של הריבוע‪.‬‬
‫‪ )25‬נתון ישר שעובר בראשית הצירים ושיפועו חיובי‪.‬‬
‫מצא את משוואת הישר אם נתון שהוא נמצא מעל הנקודות ‪ P  4,1‬ו‪Q  7, 2  -‬‬
‫וסכום המרחקים ממנו לנקודות אלה הוא ‪. 3 10‬‬
‫‪ )26‬במשולש ‪ BKP‬נתון כי הצלע ‪ BK‬מונחת על הישר ‪ x  y  3  0‬והצלע ‪ BP‬מונחת‬
‫על הישר ‪ . x  2 y  3  0‬אורך הגובה לצלע ‪ BP‬הוא ‪ 3 5‬ואורך הגובה לצלע ‪KP‬‬
‫הוא ‪ .5‬מצא את שיעורי קדקוד ‪ P‬אם ידוע שראשית הצירים נמצאת בתוך‬
‫המשולש‪.‬‬
‫‪10‬‬
‫‪ )27‬במרובע ‪ ABCD‬ידוע כי שיפוע הצלע ‪ BC‬הוא ‪ 3‬ושיעורי הנקודה ‪ A‬הם‪. 1, 4  :‬‬
‫א‪ .‬איזה מרובע הוא המרובע ‪ ?ABCD‬הראה חישוב מתאים‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫נתון גם‪, D  4,13 :‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ mCD  ‬ו‪ -‬ס"מ ‪. BC  90‬‬
‫ב‪ .‬איזה מרובע הוא המרובע ‪ ABCD‬כעת?‬
‫הראה חישוב מתאים‪.‬‬
‫נתון גם‪. B  8, 7  :‬‬
‫ג‪ .‬איזה מרובע הוא המרובע ‪ ABCD‬כעת?‬
‫הראה חישוב מתאים‪.‬‬
‫ד‪ .‬חשב את שטח המרובע ‪.ABCD‬‬
‫‪ )28‬המרובע ‪ ABCD‬הוא מעוין‪.‬‬
‫ידוע כי שיעורי אחת הנקודות במעוין הם‪.  0, 6  :‬‬
‫כמו כן‪ ,‬ידוע גם כי משוואת האלכסון ‪AC‬‬
‫היא‪ y  1.5x  6 :‬ואחת ממשואות הצלעות‬
‫היא‪. 5 y  x  4 :‬‬
‫א‪ .‬מצא את משוואת האלכסון השני‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא את שאר קודקודי המעוין‪.‬‬
‫‪ )29‬המשולש ‪ ABC‬הוא משולש שווה שוקיים ‪.  AB  AC ‬‬
‫מעבירים במשולש את הגובה לבסיס ‪ AD‬ומסמנים נקודה ‪ E‬על הבסיס ‪BC‬‬
‫כך שמתקיים‪.DE =BE :‬‬
‫קדקוד הראש ‪ A‬נמצא בראשית הצירים ונתון‬
‫כי‪. D(5,7) , E(8.5, 2.5) :‬‬
‫א‪ .‬מצא את שיעורי שאר קודקודי המשולש‪.‬‬
‫ב‪ .‬כתוב את משוואת השוק ‪.AC‬‬
‫‪ )30‬נתון משולש ‪ .ABC‬הנקודה ‪ D‬נמצאת על הצלע ‪ BC‬של המשולש ‪ ABC‬כך‬
‫שהקטע ‪ AD‬מחלק אותו לשני משולשים שווי שטח ‪ ABD‬ו‪.ACD-‬‬
‫הצלע ‪ BC‬מונחת על הישר‪ y  4 :‬וידוע כי שיעור ה‪ x -‬של הנקודה ‪C‬‬
‫הוא‪ . xC  1 :‬כמו כן נתון‪. mAB  2 , A(7,8) :‬‬
‫א‪ .‬מצא את משוואת הצלע ‪.AB‬‬
‫ב‪ .1 .‬איזה קטע הוא ‪ AD‬בתוך המשולש ‪?ABC‬‬
‫‪ .2‬מצא את שיעורי הנקודות ‪ B‬ו‪.D-‬‬
‫ג‪ .1 .‬חשב את אורך הצלע ‪ BC‬ואת אורך הקטע ‪.AD‬‬
‫‪ .2‬איזה משולש הוא המשולש ‪?ABC‬‬
‫‪11‬‬
‫‪ )31‬המרובע ‪ ABCD‬הוא טרפז‪ .‬הנקודה ‪ E‬היא אמצע הבסיס ‪ AB‬וידוע כי היא‬
‫נמצאת על ציר ה ‪ . x -‬שיעורי הנקודה ‪ B‬הם ‪  3, 2 ‬והצלע ‪ AD‬מונחת על‬
‫הישר‪ . x  5 :‬אורך הקטע ‪ DE‬הוא ‪ 80‬כך ש‪ D-‬ברביע השלישי‬
‫וכן‪DEC  90 :‬‬
‫א‪ .‬מצא את שיעורי הנקודות ‪ D , A‬ו‪.E-‬‬
‫ב‪ .‬מצא את משוואת הקטע ‪CE‬‬
‫ואת משוואת הבסיס ‪.CD‬‬
‫ג‪ .‬מצא את שיעורי הנקודה ‪.C‬‬
‫ד‪ .‬חשב את שטח המשולש ‪.DEC‬‬
‫‪ AD )32‬ו‪ BE-‬הם בהתאמה גבהים לצלעות ‪ BC‬ו‪ AC-‬במשולש ‪.ABC‬‬
‫ידוע כי שיעורי נקודת פגישת הגבהים ‪ K‬הם‪. 1,3 :‬‬
‫שיעורי הנקודות ‪ D‬ו‪ E-‬הם‪. D  2, 4  , E 3,5 :‬‬
‫א‪ .‬מצא את משוואת הגובה ‪AD‬‬
‫ואת משוואת הצלע ‪.AC‬‬
‫ב‪ .‬מצא את שיעורי הקדקוד ‪.A‬‬
‫ג‪ .‬מצא את משוואת הגובה ‪BE‬‬
‫ואת משוואת הצלע ‪.BC‬‬
‫ד‪ .‬מצא את שיעורי הקדקוד ‪.B‬‬
‫‪ )33‬נתון מעוין ‪.ABCD‬ידוע כי הצלע ‪ CD‬מונחת על הישר ‪. y  7‬‬
‫אלכסוני המעוין ‪ AC‬ו‪ BD-‬נפגשים בנקודה‪. M  0.5, 3 :‬‬
‫שיפוע האלכסון ‪ AC‬הוא ‪.-4‬‬
‫א‪ .‬מצא את משוואת האלכסון ‪.AC‬‬
‫ב‪ .‬מצא את שיעורי הנקודה ‪.C‬‬
‫ג‪ .‬חשב את שטח המשולש ‪.BMC‬‬
‫‪y‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫‪x‬‬
‫‪M‬‬
‫‪C‬‬
‫‪ )34‬נתון מרובע ‪ ABCD‬שקדקודיו הם‪. A(3,13) , B(2, 4) , C(9,3) , D(8,14) :‬‬
‫מורידים גבהים ‪ AE‬ו‪ CF-‬לאלכסון ‪.BD‬‬
‫א‪ .‬מצא את משוואת האלכסון ‪ BD‬ואת אורכו‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא את שיעורי הנקודות ‪ E‬ו ‪.F-‬‬
‫ג‪ .‬מצא את אורכי הגבהים ‪ AE‬ו‪.CF-‬‬
‫ד‪ .‬חשב את שטח המרובע ‪.ABCD‬‬
‫‪12‬‬
‫‪D‬‬
‫‪ )35‬על הישר ‪ y  5‬מסמנים את הנקודות‪. A  7, 5 ; B  2, 5 :‬‬
‫הנקודה ‪ C‬נמצאת על הישר‪. y  x  5 :‬‬
‫‪C‬‬
‫‪y‬‬
‫נסמן את שיעור ה ‪ x -‬של הנקודה ‪ C‬ב ‪. t -‬‬
‫א‪ .‬הבע באמצעות ‪ t‬את שיעור ה‪ y -‬של הנקודה ‪.C‬‬
‫‪x‬‬
‫ב‪ .‬ידוע כי אורך הצלע ‪ AC‬הוא ‪ 17‬ס"מ‪.‬‬
‫‪x‬‬
‫‪A‬‬
‫‪ .1‬הבע באמצעות ‪ t‬את המרחקים של ‪ C‬מ ‪ A-‬ומ ‪.B-‬‬
‫‪ .2‬מצא את ‪ t‬ואת אורך הצלע ‪.BC‬‬
‫ג‪ .‬מסמנים נקודה ‪ D‬על המשך הצלע ‪ .AB‬ידוע כי ‪ D‬נמצאת ברביע השלישי‪.‬‬
‫מצא את שיעורי הנקודה ‪ D‬המקיימת ששטח המשולש ‪ DAC‬יהיה גדול ב ‪16-‬‬
‫יחידות משטח המשולש ‪.ABC‬‬
‫‪ )36‬המשולש ‪ ABC‬הוא שווה שוקיים ‪ AB  BC‬‬
‫ובו נתון‪ B  x, 6  , A  4,12  :‬ו‪-‬ו‪. C  4,8 -‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫‪A‬‬
‫מצא את ‪. x‬‬
‫הוכח כי המשולש הוא ישר זווית‪.‬‬
‫‪x‬‬
‫‪C‬‬
‫‪ .1‬מצא את משוואת הצלע ‪.AC‬‬
‫‪ .2‬מסמנים את נקודת החיתוך של הצלע ‪ AC‬עם ציר ה ‪ y -‬ב‪.D-‬‬
‫מצא את שיעורי הנקודה ‪.D‬‬
‫‪ .1‬מצא נקודה ‪ E‬ברביע הראשון ‪  xE  5‬כך שהמשולש ‪ DCE‬יהיה גם‬
‫שווה שוקיים וישר זווית ‪.  C  90‬‬
‫‪S DCE‬‬
‫‪ .2‬חשב את יחס השטחים בין המשולשים‪:‬‬
‫‪S ABC‬‬
‫‪.‬‬
‫‪ )37‬באיור שלפניך נתונה מקבילית ‪.ABCD‬‬
‫ידועים קדקודי המקבילית הבאים‪ A  1, y  :‬ו ‪ x ( . B  x, 4  -‬ו ‪ y -‬נעלמים)‪.‬‬
‫שיפוע הצלע ‪ CD‬הוא ‪ 0.2‬ואורכה הוא‪. dCD  104 :‬‬
‫א‪ .‬מצא את ‪ x‬ו‪ y -‬אם ידוע כי ‪ B‬ברביע הראשון‪.‬‬
‫ב‪ .‬נתון גם כי הקדקוד ‪ C‬נמצא על ציר ה‪ x -‬בחלקו החיובי‬
‫וכי‪ . dBC  17 :‬מצא את שיעורי הקדקוד ‪C‬‬
‫(מצא שתי אפשרויות)‪.‬‬
‫ג‪ .‬סמן את נקודת החיתוך של הצלע ‪ AB‬עם ציר‬
‫ה ‪ y -‬ב‪.E-‬שטח המרובע ‪ EOCB‬הוא ‪ 25.9‬יח"ש‪.‬‬
‫מצא את האפשרות הנכונה עבור הנקודה ‪C‬‬
‫מבין אלו שמצאת בסעיף הקודם‪.‬‬
‫‪13‬‬
:‫תשובות סופיות‬
. B  1, 3 )2 D 18, 0  )1
.IV .‫ ה‬.III .‫ ד‬.I .‫ ג‬.V .‫ ב‬.II .‫) א‬3
1
8
3
8
. lBC : y   x  6 .‫ ב‬. lBD : y  3x  22 .‫) א‬5
. C 14,5 )7
.AB = ‫ יחידות אורך‬3 .‫ ב‬. SDEF  ‫ יח"ש‬18 .‫) א‬6
x1  x2  x3 y1  y2  y3 
,
 )10 . M  3, 3 )9 . P  2,1 )8
3
3


.‫ יחידות אורך‬1.697 )11 . 
. S ABC  ‫ יח"ש‬2.5 )14 .  4,3 ,  2 ,9  )13 .2 .‫ ג‬.
3 3
2

. y  2 x  10 , y 
4
3
2
4
x  6 )18
11
11
. y   x  7 )21

2

. y  3x  4 )17 .  1, 4  )16
1
3
1
3
8
.‫ ב‬.3 .‫) א‬12
10
. C 11,3 )15
3
4
. x  10 ‫ או‬y  1 x  5 )20 . x  1 ‫ או‬y   x  2
.  2.1, 3.3 , S  ‫ יח"ש‬14.4 )23
1
. P  2, 2  )26
2
. y  3x )25
3
)19
4
. 3x  4 y  28  0 , 3x  4 y 12  0 )22
2
3
2
3
2
3
. 3x  2 y  15  0 , y   x  3 , y   x  3 )24
.‫ לא ניתן להצביע על אף תכונה‬.‫ מרובע כללי כלשהו‬.‫) א‬27
.‫ ניתן להראות כי יש למרובע שני זוגות צלעות נגדיות מקבילות ושוות וזווית ישרה‬.‫ מלבן‬.‫ב‬
.S = ‫ יח"ש‬90 .‫ ד‬.‫ ניתן להראות כי קיימות זוג צלעות סמוכות שוות‬.‫ ריבוע‬.‫ג‬
2
2
.‫) א‬28
3
3
‫ קטע במשולש שחוצה אותו לשני משולשים‬- ‫ תיכון‬.1 .‫ ב‬. y  2 x  22 .‫) א‬30
. y  8x .‫ ב‬. B(12, 2) , C(2,16) .‫) א‬29 .  5,5 ,  4,0  ,  1,1 .‫ ב‬. y  x  1
. AD  5 , BC  10 .1 .‫ ג‬. B(9, 4) , D(4, 4) .2 .‫שווי שטח הוא תיכון‬
‫ משולש ישר זווית – אם במשולש יש תיכון לצלע ששווה למחציתה אז‬.2
.‫המשולש הוא ישר זווית‬
1
2
1
1
1
, CD : y  x  5 .‫ ב‬. D  5, 8 , A  5, 2  , E  1,0  .‫) א‬31
2
2
2
1
1
. AD : y   x  3 , AC : y   x  8 .‫) א‬32 . SDEC = ‫ יח"ש‬30 .‫ ד‬. C  5, 3 .‫ג‬
3
3
. CE : y   x 
. B  4, 2  .‫ ד‬. BE : y  x  2 , BC : y  3x  10 .‫ ג‬. A  7,1 .‫ב‬
. SBMC  SDMC  ‫ סמ"ר‬34 .‫ג‬
C  0.5, 7  .‫ ב‬y  4 x  5 .‫) א‬33
. dCF  72 , dAE  8 .‫ ג‬. E(5,11) , F(3,9) .‫ ב‬. dBD  200 , y  x  6 .‫) א‬34
. AC  2t 2  14t  49 ; BC  2t 2  4t  4 .1 .‫ ב‬. C  t , t  5 .‫) א‬35 . SABCD  80 .‫ד‬
. D  20, 5 .‫ג‬
.
SDCE 1
 .2 . E  2, 4  .1 .‫ד‬
SABC 2
. t  8 ; BC  ‫ ס"מ‬10 .2
D  0,10  .2 y  0.5x  10 .1 .‫ ג‬. x  2 .‫) א‬36
. C 8, 0  .‫ ג‬. C 8,0  , C 10,0  .‫ ב‬. x  9 ; y  2 .‫) א‬37
14
‫המעגל‪:‬‬
‫הגדרה‪:‬‬
‫המקום הגאומטרי של כל הנקודות‪ ,‬הנמצאות במרחק קבוע מנקודה קבועה במישור‬
‫נקרא מעגל‪.‬‬
‫משוואת מעגל‪:‬‬
‫משוואת מעגל שמרכזו בנקודה ‪ M  a, b ‬ורדיוסו ‪ R‬היא‪.  x  a    y  b   R2 :‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫משוואת מעגל קנוני‪:‬‬
‫משוואת מעגל קנוני (שמרכזו בראשית הצירים ‪ ) M  0, 0 ‬ורדיוסו ‪ R‬היא‪. x  y  R :‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫משיק למעגל‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫משוואת המשיק למעגל ‪  x  a    y  b   R2‬בנקודה ‪ A  x1 , y1 ‬שעליו‬
‫היא‪.  x  a  x1  a    y  b  y1  b   R2 :‬‬
‫מיתר המחבר שתי נקודות השקה‪:‬‬
‫משוואת המיתר‪ ,‬המחבר את שתי נקודות ההשקה של שני המשיקים‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫למעגל ‪  x  a    y  b   R2‬היוצאים מהנקודה ‪ A  x1 , y1 ‬שמחוץ‬
‫למעגל היא‪.  x  a  x1  a    y  b  y1  b   R2 :‬‬
‫שאלות‪:‬‬
‫‪ )1‬מצא את מרכזם ורדיוסם של המעגלים הבאים‪:‬‬
‫א‪.‬‬
‫‪.  x  3   y  5  49‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪.  x    y 2  10‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪.  x  m    y  n   m2  n 2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ )2‬מצא את משוואתו של מעגל שעובר בנקודה ‪ A  4,5‬ומרכזו בנקודה ‪. O  2, 1‬‬
‫‪ )3‬מצא את משוואתו של מעגל שעובר בנקודה ‪ , A 11, 2 ‬רדיוסו ‪ 13‬ומרכזו נמצא על‬
‫הישר ‪. y  2 x  1‬‬
‫‪ )4‬מצא את משוואתו של מעגל שהנקודות ‪ A  2,3‬ו‪ B  4, 3 -‬הן קצות הקוטר שלו‪.‬‬
‫‪15‬‬
‫‪ )5‬מצא את משוואתו של מעגל שמרכזו נמצא על הישר ‪ , x  4‬רדיוסו ‪ 10‬והוא חותך‬
‫מציר ה ‪ x -‬מיתר שאורכו ‪.12‬‬
‫‪ )6‬מצא את משוואת ו של מעגל החוסם משולש שקדקודיו‬
‫הם‪. A  22, 24 , B  10, 40 , C  30, 28 :‬‬
‫‪ )7‬מצא את משוואתו של מעגל המשיק לשני הצירים ורדיוסו ‪.4‬‬
‫‪ )8‬מצא את משוואתו של מעגל שמשיק לציר ה ‪ y -‬ולישר ‪ y  6‬ומרכזו‬
‫על הישר ‪ y  3x  2‬ברביע הראשון‪.‬‬
‫‪ )9‬מצא את משוואות המשיקים למעגל ‪  x  12   y  2 2  25‬בנקודות על המעגל‬
‫שבהן ‪. y  5‬‬
‫‪ )10‬נתון מעגל שמשוואתו ‪.  x  32   y  4 2  25‬‬
‫א‪ .‬מצא את נקודות החיתוך של המעגל עם הצירים‪.‬‬
‫ב‪ .‬העבירו קוטר במעגל‪ ,‬המאונך לציר ה‪ . x -‬מצא את שטח המרובע הנוצר על‬
‫ידי נקודות החיתוך שמצאת בסעיף א' ונקודת החיתוך של הקוטר עם‬
‫המעגל הנמצאת ברביע הראשון‪.‬‬
‫‪ )11‬נתון ישר שמשוואתו ‪ . y  2 x  10‬הישר חותך את ציר ה‪ x -‬בנקודה ‪ A‬ואת‬
‫ציר ה ‪ y -‬בנקודה ‪ .B‬בנקודה ‪ A‬מעבירים משיק למעגל שהקטע ‪ AB‬הוא קוטרו‪.‬‬
‫המשיק חותך את ציר ה ‪ y -‬בנקודה ‪ .C‬מצא את אורך הקטע ‪.BC‬‬
‫‪ )12‬נתון ישר שמשוואתו ‪ . y  x‬הישר חותך מעגל קנוני שמשוואתו ‪ x2  y 2  32‬בשתי‬
‫נקודות‪ A ,‬ו‪ , B -‬כאשר ‪ A‬ברביע הראשון‪ .‬בנקודה ‪ A‬עובר מעגל נוסף‪ ,‬המשיק‬
‫למעגל הקנוני ובעל אותו רדיוס‪ .‬מצא את משוואת המעגל הנוסף ואת משוואת‬
‫המשיק המשותף לשני המעגלים העובר בנקודה ‪. A‬‬
‫‪ )13‬בטרפז שווה שוקיים ‪ ABCD‬נתון כי הבסיס הגדול‪ , DC ,‬מונח על הישר‬
‫‪ 3x  y  9  0‬והשוק ‪ AD‬מונחת על הישר ‪. x  y  3  0‬‬
‫שיעורי קדקוד ‪ B‬הם ‪.  3, 8‬‬
‫מצא את משוואת המעגל החוסם את הטרפז ‪. ABCD‬‬
‫‪16‬‬
‫‪ )14‬מצא את מרכזם ורדיוסם של המעגלים הבאים‪:‬‬
‫ב‪x  2 x  y  20 y  1  0 .‬‬
‫א‪x2  10 x  y 2  6 y  2  0 .‬‬
‫ג‪x2  8x  y 2  14 y  0 .‬‬
‫ד‪x 2  y 2  2 y  0 .‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫ה‪x 2  x  y 2  3  0 .‬‬
‫‪4‬‬
‫ו‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x2  2mx  y 2  6my  m2  0‬‬
‫‪ )15‬משוואתו של מעגל היא ‪. x2  y 2  6mx  2  m  2 y  4m  4  0‬‬
‫מצא את ערכו של ‪ m‬אם ידוע שמרכז המעגל נמצא על הישר ‪. y  2 x  7‬‬
‫‪ )16‬משוואתו של מעגל היא ‪. x2  y 2  8x  12 y  48  0‬‬
‫מצא את אורכו של המיתר שחותך הישר ‪ y  2 x  4‬מהמעגל בלי למצוא את‬
‫נקודות הקצה של המיתר‪.‬‬
‫‪ )17‬מצא משוואת מעגל העובר בנקודה ‪ 1,8‬המשיק לשני הצירים‪.‬‬
‫‪ )18‬מצא את אורך המשיק למעגל שמשוואתו ‪ x2  y 2  4 x  14 y  37  0‬היוצא‬
‫מהנקודה ‪. A 10, 3‬‬
‫‪ )19‬מצא את משוואת המשיק ואת משוואת הנורמל למעגל‬
‫שמשוואתו ‪ x2  y 2  4 x  6 y  3  0‬בנקודה ‪. A  5, 4 ‬‬
‫‪ )20‬מצא את נקודת החיתוך של המשיקים למעגל שמשוואתו‬
‫בנקודות שבהן ‪. x  1‬‬
‫‪x 2   y  1  5‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ )21‬נתון מעגל שמרכזו בנקודה ‪  2, 6 ‬והוא עובר בראשית הצירים‪ .‬המעגל חותך את‬
‫הצירים בשתי נקודות נוספות‪ A ,‬ו ‪. B -‬‬
‫א‪ .‬הוכח כי המשיקים למעגל בנקודות ‪ A‬ו ‪ B -‬מקבילים זה לזה‪.‬‬
‫ב‪ .‬הוכח את סעיף א' בל י למצוא את משוואות המשיקים או את שיפועיהם‪.‬‬
‫‪ )22‬נתון המעגל ‪  x  12   y  32  20‬והישר ‪. y  2 x  m‬‬
‫לאלו ערכים של הפרמטר ‪ m‬הישר משיק למעגל ולאלו ערכים של ‪ m‬הישר חותך‬
‫את המעגל?‬
‫‪ )23‬א‪ .‬מצא את משוואת המיתר במעגל שמשוואתו ‪, x2  y 2  2 x  19  0‬‬
‫המחבר את נקודות ההשקה של המשיקים היוצאים מהנקודה ‪. A  3,8‬‬
‫ב‪ .‬מצא את משוואת המיתר במעגל שמשוואתו ‪ , x2   y  12  5‬המחבר את‬
‫נקודות ההשקה של המשיקים היוצאים מהנקודה ‪. A  5,1‬‬
‫‪17‬‬
‫‪ )24‬נתון מעגל שמשוואתו ‪ x2  y 2  16 x  48  0‬ונקודה ‪ , P‬שנמצאת על החלק החיובי‬
‫של ציר ה‪ . y -‬הישר המחבר את נקודות ההשקה של המשיקים היוצאים למעגל‬
‫מנקודה ‪ P‬חותך את ציר ה‪ y -‬בנקודה ‪ . Q‬נתון‪. PQ  14 :‬‬
‫מצא את שיעורי הנקודה ‪. Q‬‬
‫‪ )25‬נתון מעגל שמשוואתו ‪ . x2  y 2  16 x  12 y  64  0‬המעגל משיק מבחוץ למעגל‬
‫קנוני‪ .‬מצא את משוואת המעגל הקנוני‪ ,‬את נקודת ההשקה בין המעגלים ואת‬
‫משוואת המשיק המשותף העובר בנקודה זו‪.‬‬
‫‪ )26‬המעגלים ‪ x2  y 2  22 x  6 y  m‬ו‪ x2  y 2  26 -‬נחתכים בזווית ישרה‪.‬‬
‫מצא את ערכו של ‪. m‬‬
‫‪ )27‬מצא את משווא תו של מעגל החוסם ריבוע‪ ,‬שאחד מקדקודיו נמצא בראשית‬
‫הצירים ומשוואת אחד מאלכסוניו היא ‪. 3x  y  10  0‬‬
‫‪ )28‬הישרים‪ 9 y  11x  94 :‬ו ‪ y  3x  14 -‬נחתכים בנקודה ‪.B‬‬
‫דרך נקודה זו עובר מעגל שמרכזו הוא‪. M  9,1 :‬‬
‫ידוע כי מעגל זה חותך את הישרים (חוץ מהנקודה ‪)B‬‬
‫בשתי נקודות ‪ A‬ו‪( C-‬ראה איור)‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא את שיעורי הנקודה ‪.B‬‬
‫ב‪ .‬מצא את משוואת המעגל‪.‬‬
‫ג‪ .‬מצא את שיעורי הנקודה ‪ – A‬נקודת החיתוך‬
‫של הישר שמשוואתו‪ y  3x  14 :‬עם המעגל‪.‬‬
‫‪ )29‬נתון מעגל המשיק לציר ה ‪ x -‬בנקודה ‪.A‬‬
‫מהנקודה ‪ E‬שעל ציר ה‪ x -‬מעלים אנך המשיק למעגל בנקודה ‪( B‬ראה איור)‪.‬‬
‫הקטע ‪ BC‬מקביל לציר ה ‪ x -‬ו‪ O-‬היא נקודת ראשית הצירים‪.‬‬
‫יוצרים טרפז ישר זווית ‪ ABCO‬ששטחו הוא ‪ 170‬סמ"ר‪.‬‬
‫ידוע כי‪ C  0,10  :‬ו‪ 10 -‬ס"מ ‪. AE ‬‬
‫א‪ .1 .‬מצא את שיעורי הנקודה ‪.B‬‬
‫‪ .2‬מצא את שיעורי הנקודה ‪.A‬‬
‫ב‪ .‬כתוב את משוואת המעגל‪.‬‬
‫‪ )30‬הנקודה )‪ A(17, 4‬נמצאת על המעגל שמשוואתו‪. ( x  7)2  ( y  4)2  R 2 :‬‬
‫הישר ‪ x  1‬חותך את המעגל בשתי נקודות ‪ B‬ו‪ C-‬כך‬
‫ש‪ B-‬נמצאת ברביע הרביעי‪ .‬מעבירים את הקטע ‪AD‬‬
‫המאונך לישר ‪ BC‬וידוע כי הנקודה ‪ D‬היא אמצע ‪.BC‬‬
‫א‪ .‬מצא את רדיוס המעגל‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא את שיעורי הנקודות ‪ B‬ו‪.C-‬‬
‫ג‪ .1 .‬חשב את מרחק הנקודה ‪ A‬מהישר‪x  1 :‬‬
‫‪ .2‬חשב את שטח המשולש ‪.ABC‬‬
‫‪18‬‬
‫‪ )31‬נתון משולש ‪ .ABC‬משוואות הצלעות ‪ AB‬ו ‪ BC-‬במשולש ‪ ABC‬הן‬
‫בהתאמה‪ 2 y  x  56 :‬ו‪ . 8 y  x  104 -‬מעבירים גבהים לצלעות ‪ AB‬ו‪BC-‬‬
‫אשר נחתכים בנקודה )‪ M(0, 2‬שבתוך המשולש‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא את משוואות הגבהים‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא את שיעורי הנקודה ‪.B‬‬
‫ג‪ .‬מצא את משוואת המעגל שמרכזו‬
‫בנקודה ‪ M‬ורדיוסו הוא הקטע ‪.BM‬‬
‫‪ )32‬באיור שלפניך מתואר המעגל‪.  x  4   y  3  25 :‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫המעגל חותך את הצירים בנקודות ‪ B , A‬ו‪.O-‬‬
‫א‪ .‬מצא את נקודות החיתוך של המעגל עם הצירים‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא נקודה ‪ C‬הנמצאת על היקף המעגל ברביע‬
‫הראשון כך שהמרובע ‪ ABCO‬יהיה מלבן‪.‬‬
‫ג‪ .‬חשב את היקף המלבן‪.‬‬
‫‪ )33‬המעגל‪ a  0 ,  x  a    y  1  a  4 :‬חותך את ציר ה‪ x -‬בנקודה שבה‪. x  1 :‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫א‪ .‬מצא את ‪. a‬‬
‫ב‪ .‬מצא את נקודות החיתוך של המעגל הנתון עם המעגל‪.  x  1   y  2   10 :‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫ג‪ .‬כתוב את משוואת הישר העובר דרך נקודות החיתוך של שני המעגלים‪.‬‬
‫ד‪ .‬חשב את שטח המשולש שיוצר הישר שמצאת בסעיף הקודם עם הצירים‪.‬‬
‫‪ )34‬הנקודות ‪ M‬ו‪ D-‬נמצאות על הישר‪. y  12 :‬‬
‫ידוע כי שיעור ה‪ x -‬של הנקודה ‪ M‬הוא ‪ 9‬וכי המרחק של הנקודה ‪M‬‬
‫מראשית הצירים גדול ב‪ 6 -‬מהמרחק בין הנקודות ‪ D‬ו‪( M-‬ראה איור)‪.‬‬
‫בונים מעגל שמרכזו נמצא בנקודה ‪ M‬ורדיוסו והוא האורך ‪.DM‬‬
‫א‪ .1 .‬מצא את מרחק הנקודה ‪ M‬מראשית הצירים‪.‬‬
‫‪M‬‬
‫‪D‬‬
‫‪ .2‬מצא את שיעור ה‪ x -‬של הנקודה ‪.D‬‬
‫ב‪ .‬כתוב את משוואת המעגל‪.‬‬
‫ג‪ .‬האם המעגל הזה חותך את הצירים?‬
‫‪x‬‬
‫הראה חישוב מתאים לטענתך‪.‬‬
‫‪ )35‬מעגל שמרכזו בנקודה ‪ M 15,12 ‬משיק לציר ה ‪y -‬‬
‫בנקודה ‪ B‬וחותך את ציר ה ‪ x -‬בשתי נקודות ‪ A‬ו‪C-‬‬
‫כמתואר באיור‪.‬‬
‫א‪ .‬כתוב את משוואת המעגל‪.‬‬
‫‪19‬‬
‫‪y‬‬
‫‪y  12‬‬
‫מהנקודה ‪ C‬מעלים אנך לציר ה‪ x -‬שחותך את המעגל בנקודה נוספת ‪.D‬‬
‫דרך הנקודה ‪ D‬עובר משיק למעגל‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא את שיעורי הנקודות ‪ C‬ו‪.D-‬‬
‫ג‪ .‬מצא את משוואת המשיק למעגל בנקודה ‪.D‬‬
‫‪ )36‬באיור שלפניך נתון מעגל שמרכזו בנקודה ‪.M‬‬
‫המעגל חותך את ציר ה ‪ y -‬בנקודות ‪ A‬ו‪.B-‬‬
‫‪y‬‬
‫מעבירים משיק למעגל‪ 6 x  7 y  191 :‬דרך הנקודה ‪. C 12,17  :‬‬
‫‪C‬‬
‫א‪ .‬כתוב את משוואת הרדיוס ‪.MC‬‬
‫ב‪ .‬ידוע כי הנקודה ‪ M‬נמצאת על הישר‪. y  10 :‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ .1‬מצא את שיעורי הנקודה ‪.M‬‬
‫‪ .2‬מצא את אורך רדיוס המעגל‪.‬‬
‫‪ .3‬כתוב את משוואת המעגל‪.‬‬
‫ג‪ .‬מצא את נקודות החיתוך של המעגל עם ציר ה‪. y -‬‬
‫ד‪ .‬חשב את שטח המשולש ‪.AMB‬‬
‫‪A‬‬
‫‪M‬‬
‫‪B‬‬
‫‪ )37‬באיור שלפניך נתון מעגל שמרכזו בנקודה ‪ M‬הנמצאת על ציר ה‪. x -‬‬
‫המעגל חותך את ציר ה ‪ x -‬בנקודה ‪ .A‬מסמנים את ראשית הצירים ב‪.O-‬‬
‫ידוע כי ‪ A‬היא אמצע הקטע ‪ MO‬ושיעוריה הם‪. A  5, 0  :‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫מצא את משוואת המעגל‪.‬‬
‫כתוב את משוואת הישר שעובר דרך הנקודה ‪A‬‬
‫ושיפועו הוא ‪.0.5‬‬
‫מצא את נקודת החיתוך הנוספת של הישר‬
‫שמצאת עם המעגל‪.‬‬
‫סמן את הנקודה שמצאת בסעיף הקודם ב‪B-‬‬
‫וחשב את שטח המשולש ‪.AMB‬‬
‫‪ )38‬באיור שלפניך נתון מעגל שמשוואתו היא‪.  x  4   y  2  8 :‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫מסמנים את נקודות החיתוך של המעגל עם ציר ה‪ x -‬ב‪ A-‬ו‪( B-‬ראה איור)‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא את שיעורי הנקודות ‪ A‬ו ‪.B-‬‬
‫‪y‬‬
‫מעבירים אנך לציר ה‪ y -‬מנקודת מרכז המעגל ‪M‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪A‬‬
‫ומסמנים את חיתוכם ב‪.P-‬‬
‫‪x‬‬
‫ב‪ .‬מצא נקודה ‪ Q‬כך שהמרובע ‪AMPQ‬‬
‫‪M‬‬
‫‪P‬‬
‫יהיה מקבילית‪ .‬נמק‪.‬‬
‫ג‪ .‬כתוב את משוואת הישר ‪.PQ‬‬
‫ד‪ .‬הוכח כי הישר שמצאת בסעיף הקודם משיק למעגל בנקודה ‪.  2, 4 ‬‬
‫‪20‬‬
‫‪B‬‬
‫‪ )39‬נתון מעגל שרדיוסו ‪  R  16 , R‬ומשיק לציר ה‪ x -‬בנקודה שבה‪. x  16 :‬‬
‫א‪ .‬הבע באמצעות ‪ R‬את משוואת המעגל וציין האם הוא חותך‬
‫את ציר ה‪ y -‬או לא‪ .‬נמק‪.‬‬
‫‪A‬‬
‫מהנקודה ‪ A  22,18‬שעל המעגל מעבירים משיק‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא את ‪ R‬וכתוב את משוואת המעגל‪.‬‬
‫ג‪ .‬כתוב את משוואת המשיק למעגל בנקודה ‪.A‬‬
‫‪x‬‬
‫ד‪ .‬מצא את משוואת המשיק למעגל בנקודה ‪B‬‬
‫שבה‪ xB  xM :‬אם ידוע כי הוא המאונך למשיק הקודם‪.‬‬
‫‪y‬‬
‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫‪M‬‬
‫‪16, 0 ‬‬
‫ה‪ .‬המשיקים נחתכים בנקודה ‪.C‬‬
‫‪ .1‬מצא את שיעורי הנקודה ‪.C‬‬
‫‪ .2‬מצא את שטח המשולש ‪.ABC‬‬
‫‪ )40‬באיור שלפניך נתון מעגל שמשוואתו‪ a,  x  a    y  1  5 :‬פרמטר‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫ידוע כי המעגל חותך את ציר ה‪ x -‬בנקודה‪. A 10,0  :‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫ה‪.‬‬
‫מצא את ‪ a‬אם ידוע כי‪. a  10 :‬‬
‫מצא את הנקודה ‪ - B‬נקודת החיתוך השנייה‬
‫‪C‬‬
‫‪M‬‬
‫של המעגל עם ציר ה‪. x -‬‬
‫‪x‬‬
‫‪B‬‬
‫‪A‬‬
‫כתוב את משוואת הקוטר העובר דרך‬
‫הנקודה ‪ B‬ומרכז המעגל ‪.M‬‬
‫מצא את נקודת החיתוך השנייה של הקוטר עם המעגל‪.‬‬
‫מעבירים אנך מנקודת החיתוך שמצאת בסעיף הקודם לציר ה‪y -‬‬
‫בנקודה ‪ .D‬הנקודה ‪ E‬היא הנקודה בעלת שיעור ה ‪ y -‬הגדול ביותר על‬
‫המעגל‪ .‬מחברים את הנקודות ‪ E‬ו‪ D-‬כך שנוצר המחומש ‪.DECBO‬‬
‫חשב את שטחו‪.‬‬
‫‪y‬‬
‫‪E‬‬
‫‪ )41‬באיור שלפניך נתון מעגל שמשוואתו‪ R,  x  5   y  3  R2 :‬רדיוס המעגל‪.‬‬
‫ידוע כי המעגל עובר בראשית הצירים‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא את רדיוס המעגל וכתוב את משוואת המעגל‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא את הנקודות ‪ A‬ו‪ - B -‬החיתוך‬
‫של המעגל עם הצירים (ראה איור)‪.‬‬
‫ג‪ .‬מסמנים נקודה ‪ C‬על ציר ה ‪ x -‬כך‬
‫ש‪ A-‬היא אמצע הקטע ‪.CO‬‬
‫‪x‬‬
‫‪C‬‬
‫‪A‬‬
‫‪ .1‬מצא את שיעורי הנקודה ‪.C‬‬
‫‪ .2‬חשב את שטח המשולש ‪.ABC‬‬
‫‪2‬‬
‫‪21‬‬
‫‪D‬‬
‫‪O‬‬
‫‪2‬‬
‫‪y‬‬
‫‪B‬‬
‫‪O‬‬
:‫תשובות סופיות‬
. M  m, n  , R  m2  n2 .‫ ג‬M  0.5,0 , R  10 .‫ ב‬M  3, 5 , R  7 .‫) א‬1
. M (3, 3)  x  2   y  1  72 )2
2
2
.  x  1  y 2  18 )4 .  x  7.8   y  14.6  169 ‫ או‬ x  1   y  3  169 )3
2
2
 x  2   y  4
2
2
 x  4    y  8
 1360 )6
2
2
2
2
 x  2   y  4
2
2
 100 ‫ או‬ x  4    y  8  100 )5
2
2
 4 )8
2
.  x  4   y  4   16 )7
2
2
.‫ יח"ש‬27 .‫ ב‬ 0,0 ,  6,0  ,  0, 8 .‫) א‬10 4 x  3 y  27 -‫ ו‬4 x  3 y  35  0 )9
. y   x  8 , ( x  8)2  ( y  8)2  32 )12 .‫ יחידות אורך‬12.5 )11
. ( x 1)2  ( y  4)2  20 )13
. M (4,7) , R  65 .‫ ג‬. M (1, 10) , R  10 .‫ ב‬. M (5, 3) , R  6 .‫) א‬14
. M  m, 3m  , R  3m .‫ ו‬. M  0.5,0  , R  2 .‫ ה‬. M  0, 1 , R  1 .‫ד‬
. ( x 13)2  ( y 13)2  169 ‫ ( או‬x  5)2  ( y  5)2  25 )17 . 2 80 )16 . m  1 )15
. (5,1) )20 . x  3 y  7  0 :‫ נורמל‬, y  3x  19 :‫) משיק‬19 . 8 )18
. x  1 .‫ ב‬. x  4 y  11  0 .‫) א‬23 . 9  m  11 :‫ חותך‬, m  9,11 :‫) משיק‬22
. x2  y 2  16 , A(3.2, 2.4) , 4 x  3 y  20  0 )25 . Q(0, 6) ‫ או‬Q(0, 8) )24
. ( x  3)2  ( y  1)2  10 )27 . m  26 )26
.  4, 2  .‫ ( ג‬x  9)2  ( y 1)2  170 .‫ ב‬ 2,8 .‫) א‬28
.  x  22   y  10  100 .‫ ב‬. A  22, 0  .2 . B 12,10  .1 .‫) א‬29
2
2
. S  128 .2 d  16 .1 .‫ ג‬. C(1,12) , B(1, 4) .‫ ב‬. R  10 .‫) א‬30
. x2  ( y  2)2  900 .‫ ג‬ 24,16  .‫ ב‬. y  8x  2 , y  2 x  2 .‫) א‬31
.S = ‫ יח"ש‬28 .‫ ג‬C 8, 6  .‫ ב‬O  0,0 , A  0,6  , B 8,0  .‫) א‬32
.S 
1
.‫ ד‬y  2 x  1 .‫ ג‬ 0, 1 ,  2,3 .‫ ב‬a  1 .‫) א‬33
4
. ( x  9)2  ( y 12)2  81 .‫ ב‬. x  18 .2 d 15 .1 .‫) א‬34
‫ אפס מתקבלת משוואה‬y - ‫ – כאשר מציבים ב‬x -‫ המעגל אינו חותך את ציר ה‬.‫ג‬
.(12,0) – ‫ בנקודה אחת‬x -‫ המעגל חותך את ציר ה‬.‫ריבועית ללא פתרון‬
3
4
. y   x  42 .‫ ג‬. C  24,0 , D  24, 24  .‫ ב‬.  x  15   y  12  225 .‫) א‬35
2
22
2
7
6
; B  0,3 .‫ג‬
.  x  6   y  10  85 .3 . 85 .2 . M  6,10  .1 .‫ ב‬. y  x  3 .‫) א‬36
2
2
.‫ יח"ש‬42 .‫ד‬
A  0,17 
. SAMB  ‫ יח"ש‬10 .‫ ד‬. B 13, 4  .‫ ג‬. y  0.5x  2.5 .‫ ב‬.  x  10   y 2  25 .‫) א‬37
2
. y  x  2 .‫ ג‬. Q  2, 0  .‫ ב‬. A  2,0  ; B  6,0  .‫) א‬38
. y -‫ המעגל אינו חותך את ציר ה‬,  x  16   y  R   R2 .‫) א‬39
2
y  43 x  5 13 .‫ד‬
y   34 x  34 12 .‫ג‬
 x 16   y 10
2
2
2
 100 , R  10 .‫ב‬
.‫ יח"ש‬50 .2 . C 14, 24  .1 .‫ה‬
.10, 2  .‫ ד‬. y  0.5x  3 .‫ ג‬. B  6,0  .‫ ב‬. a  8 .‫) א‬40
. SDECBO  ‫ יח"ש‬11  5 5 .‫ה‬
2
2
. A 10,0  ; B  0,6  .‫ ב‬.  x  5   y  3  34 , R  ‫ יחידות אורך‬34 .‫) א‬41
. SABC  ‫ יח"ש‬30 .2 . C  20,0  .1 .‫ג‬
23
‫האליפסה‪:‬‬
‫הגדרה‪:‬‬
‫המקום הגאומטרי של כל הנקודות‪ ,‬שסכום מרחקיהן משתי נקודות קבועות‬
‫במישור קבוע‪ ,‬נקרא אליפסה‪ .‬הנקודות הקבועות נקראות מוקדי האליפסה‪.‬‬
‫מושגים באליפסה‪:‬‬
‫‪ .1‬הציר הגדול‪ :‬הקטע שהאליפסה חותכת מציר ה‪( x -‬ראה איור)‪.‬‬
‫‪ .2‬הציר הקטן‪ :‬הקטע שהאליפסה חותכת מציר ה‪( y -‬ראה איור)‪.‬‬
‫‪ .3‬מרכז האליפסה‪ :‬מפגש צירי האליפסה (ראה איור)‪.‬‬
‫באליפסה קנונית מרכז האליפסה נמצא בראשית הצירים‪.‬‬
‫‪ .4‬מוקדי האליפסה‪ :‬שתי נקודות קבועות שבעבורך סכום המרחקים מכל נקודה על‬
‫האליפסה הוא גודל קבוע השווה ל‪ . 2a -‬המוקדים יסומנו ב ‪ F1 -‬ו ‪ F2 -‬ושיעוריהם‬
‫הם‪. F2  c,0  , F1  c,0  :‬‬
‫‪ .5‬רדיוסי ווקטור‪ :‬המרחקים של כל נקודה על האליפסה משני המוקדים‪.‬‬
‫‪cx‬‬
‫אורך הרדיוס מנקודה ‪  x, y ‬שעל האליפסה למוקד הימני הוא‪:‬‬
‫‪a‬‬
‫‪cx‬‬
‫אורך הרדיוס מנקודה ‪  x, y ‬שעל האליפסה למוקד הימני הוא‪. r2  a  :‬‬
‫‪a‬‬
‫‪. r1  a ‬‬
‫‪ .6‬מיתר‪ :‬קטע המחבר שתי נקודות שעל האליפסה‪.‬‬
‫‪ .7‬קוטר‪ :‬מיתר העובר דרך מרכז האליפסה‪.‬‬
‫משוואות וקשרים‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x‬‬
‫‪y‬‬
‫‪ .8‬משוואת אליפסה קנונית היא‪ 2  1 :‬‬
‫‪2‬‬
‫‪a‬‬
‫‪b‬‬
‫או‪. b2 x2  a 2 y 2  a 2b2 :‬‬
‫‪ .9‬הקשר בין הפרמטרים של האליפסה הוא‪. a2  b2  c2 :‬‬
‫‪b2‬‬
‫‪ .10‬מכפלת שיפועי מיתר באליפסה והקוטר החוצה אותו היא קבועה ושווה ל‪.  2 -‬‬
‫‪a‬‬
‫‪24‬‬
‫שאלות‪:‬‬
‫‪ )1‬מצא את אורך צירי אליפסה שמשוואתה ‪. x2  4 y 2  36‬‬
‫‪ )2‬מצא את משוואתה של אליפסה שאורך צירה הגדול הוא ‪ 18‬ואורך‬
‫צירה הקטן הוא ‪. 2 3‬‬
‫‪ )3‬מצא את משוואתה של אליפסה שאורך צירה הגדול הוא ‪12‬‬
‫והמרחק בין מוקדיה ‪. 8 2‬‬
‫‪ )4‬מצא את משוואתה של אליפסה שאורך צירה הקטן הוא ‪8‬‬
‫והיא עוברת בנקודה ‪.  3 3, 2 ‬‬
‫‪ )5‬מצא את משוואתה של אליפסה שחסומה במעגל שמשוואתו‬
‫ומוקד אחד שלה הוא בנקודה ‪.  10, 0 ‬‬
‫‪ )6‬מצא את משוואתה של אליפסה שחותכת את ציר ה ‪y -‬‬
‫‪x 2  y 2  16‬‬
‫בנקודה ‪ 0, 2 5 ‬‬
‫והמרחק בין המוקד הימני לקדקוד הימני בה הוא ‪.2‬‬
‫‪ )7‬מצא את משוואתה של אליפסה שעוברת בנקודות ‪  2, 6 ‬ו‪.  14,1 -‬‬
‫‪ )8‬מצא על האליפסה ‪ 3x2  4 y 2  144‬את הנקודות שהפרש מרחקיהן‬
‫מהמוקדים הוא ‪.4‬‬
‫‪ )9‬מצא את משוואתה של אליפסה שעוברת בנקודה ‪  3,1‬ומכפלת‬
‫המרחקים מנקודה זו למוקדים הוא ‪.6‬‬
‫‪ )10‬מצא על האליפסה ‪ x2  3 y 2  12‬את הנקודות שמהן רואים את הקטע‬
‫שבין שני המוקדים בזווית ישרה‪.‬‬
‫‪ )11‬מצא את משוואתו של קוטר באליפסה ‪ x2  4 y 2  50‬ששיפועו חיובי ואורכו ‪. 56‬‬
‫‪x2 y 2‬‬
‫‪ )12‬נתונים האליפסה ‪   1‬והישר ‪ . y  2 x  k‬מצא לאלו ערכים של‬
‫‪30 24‬‬
‫הפרמטר ‪ k‬הישר משיק לאליפסה ולאלו ערכים של הפרמטר‬
‫חותך את האליפסה‪.‬‬
‫‪k‬‬
‫הישר‬
‫‪ )13‬מצא את שטחו של ריבוע החסום באליפסה ‪ 3x2  5 y 2  120‬כך שצלעותיו‬
‫מקבילות לצירים‪.‬‬
‫‪25‬‬
‫‪ )14‬מצא את שטחו של ריבוע החסום באליפסה‬
‫כך שצלעותיו מקבילות לצירים‪.‬‬
‫‪b2 x 2  a 2 y 2  a 2b2‬‬
‫‪ )15‬באליפסה ‪ 5x2  9 y 2  90‬חסום מלבן שצלעותיו מקבילות לצירים‪.‬‬
‫מצא את שטח המלבן אם שתיים מצלעותיו עוברות במוקדי האליפסה‪.‬‬
‫‪ )16‬באליפסה ‪ x2  5 y 2  16‬חסום משולש שווה צלעות כך שקדקוד אחד שלו הוא‬
‫הקדקוד הימני של האליפסה‪ .‬מצא את שיעורי קדקודיו האחרים‪.‬‬
‫‪ )17‬באלי פסה חסום משולש שווה צלעות כך שקדקוד אחד שלו הוא הקדקוד הימני של‬
‫האליפסה וק דקודיו האחרים הם נקודות החיתוך של האליפסה עם ציר ה ‪. y -‬‬
‫מצא את משוואת האליפסה אם אחד ממוקדיה נמצא בנקודה ‪.  4 2, 0 ‬‬
‫‪ )18‬מצא באליפסה ‪ 2 x2  3 y 2  12‬משוואת מיתר שנקודת האמצע שלו היא ‪. 1.5,1‬‬
‫‪ )19‬ישר שמשוואתו ‪ x  y  3  0‬חותך מאליפסה מיתר שאמצעו בנקודה ‪.  2, 1‬‬
‫מצא את משוואת האליפסה אם ידוע שהיא עוברת בנקודה ‪.  2 2, 2 ‬‬
‫‪x2‬‬
‫‪y2‬‬
‫‪‬‬
‫‪ )20‬נתונה המשוואה ‪ 1‬‬
‫‪a 2 a 2  25‬‬
‫‪.  0  a  5‬‬
‫א‪ .1 .‬לאיזה ערך של ‪ a‬המשוואה מייצגת מעגל?‬
‫‪ .2‬לאלו ערכים של ‪ a‬המשוואה מייצגת אליפסה?‬
‫ב‪ .‬הוכח כי בעבור ‪ a  4‬אין אף נקודה על האליפסה שממנה רואים את‬
‫הקטע שבין המוקדים בזווית ישרה‪.‬‬
‫‪26‬‬
:‫תשובות סופיות‬
.
x2 y 2

 1 )4
36 16
.
x2 y 2

 1 )3
36 4
.
.
.S 
x2 y 2

 1 )7
16 8
x2 y 2

 1 )9
12 4
. y  6 x )11
4a 2b2
)14
a 2  b2
. y   x  2.5 )18
.
.
x2 y 2

 1 )6
36 20
. 2a  12 , 2b  6 )1
.
x2 y 2

 1 )5
16 6
. (4, 24) , (4,  24) , (4, 24) , (4,  24) )8
. ( 6, 2) , ( 6, 2) , ( 6,  2) , ( 6,  2) )10
. S  ‫ יח"ש‬60 )13
.
x2 y 2

 1 )2
81 3
x2 y 2

 1 )17
48 16
. 12  k  12 :‫ חותך‬, k  12 :‫) משיק‬12
. (1, 3) , (1,  3) )16
. a  12.5 .2 . a  12.5 .1 .‫) א‬20
27
. S  ‫ יח"ש‬26
2
)15
3
x2 y 2
.   1 )19
16 8
‫הפרבולה‪:‬‬
‫הגדרה‪:‬‬
‫המקום הגאומטרי של כל הנקודות‪ ,‬שמרחקן מנקודה קבועה שווה למרחקן מישר‬
‫קבוע נקרא פרבולה‪ .‬הנקודה הקבועה נקראת מוקד הפרבולה והישר הקבוע נקרא‬
‫מדריך הפרבולה‪.‬‬
‫מושגים בפרבולה‪:‬‬
‫‪ .1‬מוקד‪ :‬נקודה קבועה שמרחק כל נקודה על הפרבולה ממנה שווה‬
‫למרחק הנקודה מהמדריך‪.‬‬
‫‪ .2‬מדריך‪ :‬ישר קבוע שמרחק כל נקודה על הפרבולה אליו שווה‬
‫למרחק הנקודה מהמוקד‪.‬‬
‫‪ .3‬קדקוד הפרבולה‪ :‬ראשית הצירים‪.‬‬
‫‪p‬‬
‫‪ .4‬רדיוס‪ :‬מרחק בין המוקד לנקודה שעל הפרבולה‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪.r  x‬‬
‫‪ .5‬מיתר‪ :‬קטע המחבר בין שתי נקודות על הפרבולה‪.‬‬
‫‪ .6‬קוטר (לא בחומר)‪ :‬ישר המקביל לציר הסימטריה של הפרבולה‬
‫(ציר ה‪ x -‬אצלנו)‪.‬‬
‫משוואת הפרבולה‪:‬‬
‫‪ .7‬משוואת הפרבולה הקנונית היא‪ y 2  2 px :‬כאשר ‪ p‬הוא פרמטר הפרבולה‪.‬‬
‫משיק לפרבולה‪:‬‬
‫‪ .8‬משוואת המשיק לפרבולה ‪ y 2  2 px‬בנקודה ‪ A  x0 , y0 ‬שעליה‬
‫היא‪. y y0  p  x  x0  :‬‬
‫‪ .9‬שיפוע המשיק לפרבולה ‪ y 2  2 px‬בנקודה ‪ A  x0 , y0 ‬שעליה הוא‪. m  p :‬‬
‫‪y0‬‬
‫‪28‬‬
‫מיתר המחבר שתי נקודות השקה‪:‬‬
‫‪ .10‬משוואת המיתר‪ ,‬המחבר את שתי נקודות ההשקה של שני המשיקים‬
‫לפרבולה ‪ y 2  2 px‬היוצאים מהנקודה ‪ A  x0 , y0 ‬שמחוץ לפרבולה‬
‫היא‪. y y0  p  x  x0  :‬‬
‫תיאורים גרפיים‪:‬‬
‫פרבולה שמשוואתה ‪: y 2  2 px‬‬
‫פרבולה שמשוואתה ‪: y 2  2 px‬‬
‫‪29‬‬
‫שאלות‪:‬‬
‫‪ )1‬נתונה הפרבולה ‪ . y 2  18 x‬מצא מהו הפרמטר‪ ,‬המוקד והמדריך שלה‪.‬‬
‫‪)2‬‬
‫מצא את משוואתה של פרבולה שהישר ‪x  3‬‬
‫הוא המדריך שלה‪.‬‬
‫‪ )3‬מצא את משוואתה של פרבולה שהמרחק בין המוקד שלה למדריך שלה הוא ‪.5‬‬
‫‪ )4‬מצא את משוואתה של פרבולה שעוברת בנקודה ‪.  9, 6 ‬‬
‫‪ )5‬מצא את משוואתה של פרבולה שמוקדה מתלכד עם המוקד הימני‬
‫של האליפסה ‪. x2  2 y 2  18‬‬
‫‪ )6‬מצא נקודות על הפרבולה ‪ y 2  6 x‬שמרחקן מהמוקד הוא ‪.4‬‬
‫‪ )7‬מצא נקודות על הפרבולה ‪ y 2  8x‬שמרחקן מהמוקד שווה למרחקן מהקדקוד‪.‬‬
‫‪ )8‬מצא נקודות על הפרבולה ‪ y 2  2 px‬שמרחקן מהמוקד שווה למרחקן מהקדקוד‪.‬‬
‫‪ )9‬מצא את שטחו של משולש שווה צלעות שקדקוד אחד שלו נמצא בראשית הצירים‬
‫ושני קדקודיו האחרים מונחים על הפרבולה ‪. y 2  10 x‬‬
‫‪ )10‬הבע באמצעות ‪ p‬את שטחו של משולש שווה צלעות שקדקוד אחד שלו נמצא‬
‫בראשית הצירים ושני קדקודיו האחרים מונחים על הפרבולה ‪. y 2  2 px‬‬
‫‪ )11‬נתונה הפרבולה ‪ . y 2  2 px‬הבע באמצעות ‪ p‬את שטחו של משולש שווה צלעות‬
‫שקדקוד אחד שלו מונח על ציר ה‪ , x -‬וקדקודיו האחרים מונחים על מדריך‬
‫הפרבולה אם ידוע שמפגש תיכוני המשולש הוא מוקד הפרבולה‪.‬‬
‫‪ )12‬את נקודה ‪ A‬שעל הפרבולה ‪ y 2  20 x‬חיברו עם המוקד ‪ F‬וגם העבירו ממנה‬
‫אנך למדריך‪ .‬היקף הטרפז‪ ,‬שבסיסיו הם האנך והקטע על ציר ה ‪ x -‬שבין מוקד‬
‫הפרבולה למדריך שלה‪ ,‬שוק אחת שלו היא ‪ AF‬והשוק השנייה שלו מונחת על‬
‫המדריך‪ ,‬הוא ‪ . 27.5‬חשב את שטח הטרפז‪.‬‬
‫‪ )13‬קצות מיתר בפרבולה ‪ y 2  4 x‬הם ‪ A‬ו ‪ . B -‬מצא את שיעורי הנקודה ‪ B‬אם ידוע‬
‫שהמיתר עובר במוקד הפרבולה ושערך ה‪ x -‬של נקודה ‪ A‬הוא ‪. 4‬‬
‫‪ )14‬מצא משוואת מיתר בפרבולה ‪ , y 2  16 x‬שעובר בראשית הצירים ומרחקו מהמוקד‬
‫‪8‬‬
‫הוא‬
‫‪5‬‬
‫‪.‬‬
‫‪30‬‬
‫‪ )15‬מצא משוואת מיתר בפרבולה ‪ , y 2  2 x‬שאמצעו בנקודה ‪. 1 , ‬‬
‫‪4 2‬‬
‫‪1 1‬‬
‫‪‬‬
‫‪ )16‬נתונה הפרבולה ‪ y 2  4 x‬והישר ‪ , y  2 x  k‬לאיזה ערך של‬
‫לפרבולה?‬
‫‪‬‬
‫‪k‬‬
‫הישר משיק‬
‫‪ )17‬נתונה הפרבולה ‪. y 2  6 x‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫א‪ .‬מצא את משוואות המשיקים לפרבולה בנקודות שבהן ‪. x  1‬‬
‫ב‪ .‬הוכח שנקודת החיתוך של הנורמלים בנקודות אלה נמצאת על ציר ה ‪. x -‬‬
‫‪ )18‬הנקודות ‪ A‬ו ‪ B -‬נמצאות על הפרבולה ‪ . y 2  12 x‬נתון כי ‪ . y A  4‬מצא את שיעורי‬
‫נקודה ‪ B‬אם ידוע שהמשיקים לפרבולה בנקודות הנתונות יוצרים זווית ישרה‪.‬‬
‫‪ )19‬נקודה ‪ A‬נמצאת על הפרבולה ‪ y 2  28x‬ברביע הרביעי‪ .‬אורך הנורמל לפרבולה‬
‫מנקודה ‪ A‬עד לציר ה‪ x -‬הוא ‪ . 7 5‬מצא את משוואת הנורמל‪.‬‬
‫‪ )20‬מרחק המוקד של הפרבולה ‪ y 2  8x‬ממשיק לה ששיפועו חיובי הוא ‪. 8‬‬
‫מצא את משוואת המשיק‪.‬‬
‫‪ )21‬נתונה הפרבולה ‪ . y 2  2 px‬הבע באמצעות ‪ p‬את שיעורי הנקודה שעל‬
‫הפרבולה ברביע הראשון‪ ,‬שמרחק המשיק בה ממוקד הפרבולה הוא ‪. p‬‬
‫‪I . y 2  6 x , II . y 2  12 x‬‬
‫‪ )22‬נתונות שתי פרבולות‪:‬‬
‫ישר שעובר בראשית הצירים חותך את הפרבולות בנקודות ‪ A‬ו ‪. B -‬‬
‫הראה כי המשיקים בנקודות ‪ A‬ו‪ B -‬מקבילים‪.‬‬
‫‪ )23‬נתונה הפרבולה ‪ y 2  14 x‬והנקודה ‪ ,  1, 3‬ממנה יוצאים שני משיקים לפרבולה‪.‬‬
‫מצא את משוואת המיתר המחבר בין נקודות ההשקה‪.‬‬
‫‪ )24‬נתונה הפרבולה ‪ y 2  18x‬ונקודה ברביע השלישי‪ ,‬ששיעור ה ‪ x -‬שלה קטן ב‪1 -‬‬
‫משיעור ה ‪ y -‬שלה‪ .‬מהנקודה יוצאים שני משיקים לפרבולה‪ .‬המיתר המחבר בין‬
‫נקודות ההשקה יוצר עם הצירים משולש ששטחו ‪.18‬‬
‫מצא את משוואת המיתר‪.‬‬
‫‪ )25‬מצא את משוואתו של מעגל שמרכזו במוקד הפרבולה ‪ y 2  24 x‬והוא משיק‬
‫למדריך שלה‪.‬‬
‫‪ )26‬מצא את משוואתו של מעגל שמרכזו בנקודה ‪ 8, 0 ‬והוא משיק לפרבולה‬
‫בשתי נקודות‪.‬‬
‫‪31‬‬
‫‪y 2  10 x‬‬
‫‪ )27‬נתונה הפרבולה ‪ y 2  2 px‬ומעגל שמרכזו על ציר ה ‪ x -‬והוא משיק לפרבולה‬
‫מבפנים בשתי נקוד ות‪ .‬הישר המחבר בין נקודות ההשקה יוצר עם המשיקים‬
‫בנקודות אלה משולש שווה צלעות‪ .‬הבע באמצעות ‪ p‬את משוואת המעגל‪.‬‬
‫‪ )28‬הנקודה ‪ A  2,3‬נמצאת על פרבולה‪ .‬מצא את משוואתו של מעגל שמשיק לפרבולה‬
‫בנקודה ‪ A‬ומשיק לציר ה ‪. y -‬‬
‫‪ )29‬נתונה הפרבולה ‪ y 2  2 px‬שבה ‪. p  4‬‬
‫הישר ‪ x  2‬חותך את הפרבולה בנקודות ‪ A‬ו‪ . B -‬מצא את שיעורי קדקוד ‪C‬‬
‫של משולש ‪ ABC‬שמוקד הפרבולה הוא מפגש האנכים האמצעיים בו‪.‬‬
‫‪ )30‬אליפסה שמשוואתה ‪ x2  4 y 2  16‬חותכת את הפרבולה ‪ y 2  2 px‬בשתי נקודות‪.‬‬
‫המרובע שקדקודיו הם נקודות החיתוך‪ ,‬מרכז האליפסה וקדקודה הימני של‬
‫האליפסה הוא מעוין‪ .‬מצא את משוואת הפרבולה‪.‬‬
‫תשובות סופיות‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪. y 2  12 x )5 . y 2  4 x )4 . y 2  10 x )3 . y 2  12 x )2 . p  9, F (4 , 0) )1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪p‬‬
‫‪p‬‬
‫‪p‬‬
‫‪) , ( ,‬‬
‫‪) )8 . (1, 8) , (1,  8) )7 . (2 , 15) , (2 ,  15) )6‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪4‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ 300 3 )9‬יח"ש ‪12 3p 2 )10 . SOAB ‬יח"ש ‪ 3 3p 2 )11 . S ABO ‬יח"ש ‪. S ABC ‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪5‬‬
‫‪ 40 )12‬יח"ש ‪ B( , 1) )13 . S ABCF ‬או )‪ y  2 x )14 . B( ,1‬או ‪. y  2 x‬‬
‫‪4‬‬
‫‪4‬‬
‫‪8‬‬
‫‪3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ )17 . k  )16 . y  2 x  2 )15‬א‪. B(6 , 9) )18 . y  x  1 , y   x  1 .‬‬
‫‪4‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪7‬‬
‫‪. 7 x  3 y  7  0 )23 . A( p, 3 p) )21 . y  x  2 )20 . y  x  7 )19‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪8‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪. ( x  8)  y  55 )26 . ( x  6)  y  144 )25 . y  9 x  18 )24‬‬
‫‪1‬‬
‫‪25‬‬
‫‪1‬‬
‫‪. C ( p  2,0) )29 . ( x  1 )2  ( y  4)2 ‬‬
‫‪)28 . ( x  2 p)2  y 2  4 p 2 )27‬‬
‫‪4‬‬
‫‪16‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪. y 2  1 x )30‬‬
‫‪2‬‬
‫‪p‬‬
‫‪4‬‬
‫‪.( ,‬‬
‫‪32‬‬
‫מקומות גאומטריים‪:‬‬
‫הגדרה‪:‬‬
‫מקום גאומטרי הוא אוסף נקודות בעלות תכונה מסוימת‪.‬‬
‫מקום גאומטרי הוא משוואה המקשרת בין ‪ x‬ל‪. y -‬‬
‫טכניקות מרכזיות במציאת מקומות גיאומטריים‪:‬‬
‫בשאלות של מקום גאומטרי נפוץ השימוש בדברים הבאים‪:‬‬
‫‪ .1‬שיפועים‪:‬‬
‫‪ ‬שיפועי ישרים מקבילים (שווים זה לזה)‪.‬‬
‫‪ ‬שיפועי ישרים מאונכים (מכפלתם היא ‪.)- 1‬‬
‫‪ ‬שלוש נקודות שעל אותו ישר שומרות על אותו שיפוע‪.‬‬
‫‪ .2‬משפט פיתגורס‪.‬‬
‫‪ .3‬אמצע קטע ‪ /‬חלוקת קטע ביחס נתון‪.‬‬
‫‪ .4‬משיק למעגל – המשיק מאונך לרדיוס – רמז לשימוש במשפט פיתגורס‪.‬‬
‫‪ .5‬קטע מרכזים‪:‬‬
‫‪ ‬במעגלים המשיקים מבחוץ – סכום הרדיוסים‪.‬‬
‫‪ ‬במעגלים המשיקים מבפנים – הפרש הרדיוסים‪.‬‬
‫‪ .6‬משפטים מגאומטריה (תאלס‪ ,‬משפט חוצה הזווית‪ ,‬דמיון משולשים)‬
‫‪ .7‬אם נתונה משוואה בשאלה – ניתן להשתמש בה על ידי הצבת נקודה‬
‫שעליה במשוואה‪.‬‬
‫‪33‬‬
‫שאלות‪:‬‬
‫‪ )1‬מצא את המקום הגאומטרי של כל הנקודות שמרחקן מהנקודה ‪A  7, 6 ‬‬
‫שווה למרחקן מהנקודה ‪. B  9, 2 ‬‬
‫‪ )2‬מצא את המקום הגאומטרי של כל הנקודות שמרחקן מהנקודה ‪A  3, 6 ‬‬
‫גדול פי ‪ 3‬ממרחקן מהנקודה ‪. B  1,10 ‬‬
‫‪ )3‬מצא את המקום הגאומטרי של כל הנקודות שמרחקן מהנקודה ‪1, 0 ‬‬
‫קטן פי ‪ 3‬ממרחקן מהישר ‪. x  9‬‬
‫‪ )4‬מצא את המקום הגאומטרי של מרכזי כל המעגלים שעוברים בנקודה ‪ 6, 0 ‬‬
‫ומשיקים לישר ‪. x  6‬‬
‫‪ )5‬נתונים שני ישרים‪ I . 3x  y  6  0 , II . 2 x  6 y 1  0 :‬מצא את המקום‬
‫הגאומטרי של כל הנקודות שמרחקן מישר ‪ I‬גדול פי ‪ 4‬ממרחקן מישר ‪. II‬‬
‫‪ )6‬מצא את המקום הגאומטרי של מרכזי כל המעגלים שמשיקים לציר ה ‪y -‬‬
‫ומשיקים מבפנים למעגל קנוני שרדיוסו ‪ .4‬מהן ההגבלות?‬
‫‪ )7‬מצא את המקום הגאומטרי של אמצעי כל הקטעים‪ ,‬המחברים את‬
‫הנקודה ‪  4, 10 ‬עם נקודות על הישר ‪. y  6 x  2‬‬
‫‪ )8‬נתון מעגל שמשוואתו ‪ . x2  y 2  12 x  16 y  0‬מצא את המקום הגאומטרי‬
‫של אמצעי כל המיתרים במעגל שעוברים בראשית הצירים‪.‬‬
‫‪ )9‬נתון מעגל שמשוואתו ‪ . x2  y 2  36‬הכפילו את שיעורי ה‪ y -‬של כל הנקודות‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫על המעגל ב‪ . -‬מצא את המקום הגאומטרי שמתקבל באופן הזה‪.‬‬
‫‪ )10‬נתונות הנקודות ‪ A  2, 0 ‬ו‪ . B 10, 0  -‬מצא את המקום הגאומטרי של מרכזי‬
‫הכובד של כל המשולשים ‪ ABC‬אם ידוע שקדקוד ‪ C‬מונח על הישר ‪. y  3x  12‬‬
‫מהי ההגבלה?‬
‫‪ )11‬נתון המעגל ‪ . x2  y 2  4 x  10 y  11  0‬מצא את המקום הגאומטרי של כל‬
‫הנקודות שאורך המשיק מהן למעגל שווה למרחקן מהנקודה ‪.  7, 2 ‬‬
‫‪ )12‬מצא את המקום הגאומטרי של כל הנקודות שמהן רואים את‬
‫המעגל ‪  x  22   y  12  9‬בזווית של ‪.120o‬‬
‫‪34‬‬
‫‪ )13‬מצא את המקום הגאומטרי של כל הנקודות שמהן רואים את המעגל‬
‫‪  x  a 2   y  b 2  R2‬בזווית של ‪. 60o‬‬
‫‪ )14‬נתון מעגל שמרכזו ‪ M‬ומשוואתו ‪ . x2  y 2  12 x  64  0‬מנקודה ‪ A‬שעל המעגל‬
‫העבירו אנך לציר ה‪ x -‬שחותך את ציר ה‪ x -‬בנקודה ‪ B‬והמשכו חותך את המעגל‬
‫בנקודה ‪ . C‬בנקודה ‪ B‬העבירו מקביל לישר ‪ AM‬ובנקודה ‪ C‬העבירו מקביל‬
‫לציר ה ‪ . x -‬המקביל ל‪ AM -‬והמקביל לציר ה‪ x -‬נפגשים בנקודה ‪ . D‬מצא את‬
‫המקום הגאומטרי של נקודה ‪ . D‬מהן ההגבלות?‬
‫‪x2 y 2‬‬
‫‪‬‬
‫‪ )15‬האליפסה ‪ 1‬‬
‫‪16 9‬‬
‫החיובי של ציר ה‪ y -‬בנקודה ‪ . B‬מנקודה ‪ C‬שעל ציר ה‪ x -‬בין ‪ O‬ל‪A -‬‬
‫( ‪ O‬ראשית הצירים) העלו אנך לציר ה‪ x -‬שחותך את הישר ‪ AB‬בנקודה ‪. D‬‬
‫חותכת את חלקו החיובי של ציר ה‪ x -‬בנקודה ‪ A‬ואת חלקו‬
‫מצא את המקום הגאומטרי של נקודת מפגש הישרים‬
‫‪BC‬‬
‫ו ‪. OD -‬‬
‫‪ )16‬נתון מעגל קנוני שרדיוסו ‪ .3‬מנקודה ‪ A‬שעל המעגל הורידו אנך לציר ה ‪ x -‬שחותך‬
‫את ציר ה‪ x -‬בנקודה ‪ . C‬נסמן ב‪ B -‬את אמצע הקטע ‪ . AC‬מנקודה ‪ C‬העבירו‬
‫מקביל ל‪ O ( AO -‬ראשית הצירים)‪ .‬מצא את המקום הגאומטרי של מפגש‬
‫הישרים ‪ BO‬והמקביל ל‪. AO -‬‬
‫‪ )17‬נתונות הנקודות ‪ A  4, 0 ‬ו‪ . B  2, 0  -‬מצא את המקום הגאומטרי של כל הנקודות‬
‫‪ C‬כך שהקטע ‪ O ( CO‬ראשית הצירים) הוא חוצה זווית ‪ C‬במשולש ‪. ABC‬‬
‫‪ )18‬נתון מעגל קנוני שרדיוסו ‪ . R‬את נקודה ‪ A‬שעל המעגל חיברו עם ראשית הצירים‬
‫ועל הקטע ‪ O ( AO‬ראשית הצירים) סימנו נקודה ‪ B‬כך שמתקיים ‪. AB : BO  a : b‬‬
‫מנקודה ‪ A‬העבירו אנך לציר ה ‪ x -‬ומנקודה ‪ B‬העבירו אנך לציר ה ‪. y -‬‬
‫א‪ .‬מצא את המקום הגאומטרי של מפגש האנכים הללו‪.‬‬
‫ב‪ .‬המקום הגאומטרי שמצאת בסעיף א' חותך את ציר ה ‪ y -‬בנקודות ‪ P‬ו‪. Q -‬‬
‫מצא את אורך הקטע ‪. PQ‬‬
‫תשובות סופיות‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪x2 y 2‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 1 )3 . ( x  1 )2  ( y  12)2  38 )2 . y  2 x )1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪4‬‬
‫‪9‬‬
‫‪8‬‬
‫‪2‬‬
‫‪. y  6 x 16 )7 . y  16  8x ,  4  x, y  4 )6 . x  11y  4  0 , 7 x  13 y  8  0 )5‬‬
‫‪. y 2  24 x )4 .‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪x‬‬
‫‪y‬‬
‫‪. y  3x  7 )11 . y  3x  16 , x  5 )10 .   1 )9 . ( x  3)2  ( y  4)2  25 )8‬‬
‫‪36 16‬‬
‫‪. x  6, 10  y  10 )14 . ( x  a)  ( y  b)2  4R2 )13 . ( x  2)2  ( y 1)2  12 )12‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x2 y 2‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 1 )16 . 3x  8 y 12  0 , 0  x  4 , 0  y  3 )15‬‬
‫‪36 9‬‬
‫‪2bR‬‬
‫‪. PQ ‬‬
‫‪ )18‬א‪ . b2 x2  (a  b)2 y 2  R2b2 .‬ב‪.‬‬
‫‪ab‬‬
‫‪35‬‬
‫‪. ( x  4)2  y 2  16 )17 .‬‬
‫תרגילי הוכחה‪:‬‬
‫‪ )1‬הנקודה ‪ P‬נמצאת על המעגל ‪ . x2  y 2  R2‬בנקודה ‪ P‬מעבירים משיק למעגל‬
‫שחותך את הישרים ‪ x  R‬ו ‪ x   R -‬בנקודות ‪ A‬ו‪ . B -‬הוכח‪. yA  yB  R2 :‬‬
‫‪ )2‬הנקודה ‪ P‬נמצאת על המעגל ‪ , x2  y 2  R2‬שחותך את ציר ה ‪ y -‬בנקודות‬
‫‪ A  0, R ‬ו‪ . B  0,  R  -‬בנקודה ‪ P‬מעבירים משיק למעגל שחותך את הישר ‪y  R‬‬
‫בנקודה ‪ . T‬הוכח‪. OT BP :‬‬
‫‪ )3‬הנקודה ‪ P‬נמצאת על האליפסה ‪ , b2 x2  a 2 y 2  a 2b2‬ש‪ F1 -‬ו‪ F2 -‬הם מוקדיה‪.‬‬
‫הוכח‪ O ( PO2  PF1  PF2  a2  b2 :‬ראשית הצירים)‪.‬‬
‫‪ )4‬הנקודה ‪ P‬נמצאת על האליפסה ‪ , b2 x 2  a 2 y 2  a 2b2‬שקדקודה הימני הוא ‪A‬‬
‫וקדקודה השמאלי הוא ‪ . B‬הישר ‪ AP‬חותך את הישר ‪ x  a‬בנקודה ‪K‬‬
‫והישר ‪ BP‬חותך את הישר ‪ x  a‬בנקודה ‪ . L‬הוכח‪. yK  yL  4b2 :‬‬
‫‪ )5‬הנקודה ‪ P‬נמצאת על האליפסה ‪. b2 x2  a 2 y 2  a 2b2‬‬
‫הוכח‪ :‬היחס בין ריבוע אורך האנך‪ ,‬היורד מנקודה ‪ P‬לציר הגדול‪ ,‬ובין מכפלת‬
‫שני קטעי הציר הגדול שמשני צידי האנך הוא גודל קבוע‪.‬‬
‫‪ )6‬הנקודה ‪ P‬נמצאת על האליפסה ‪ , b2 x2  a 2 y 2  a 2b2‬שקדקודה הימני הוא ‪, A‬‬
‫קדקודה השמאלי הוא ‪ B‬ומוקדה הימני הוא ‪ . F1‬הישר ‪ AP‬חותך את‬
‫‪a2‬‬
‫‪a2‬‬
‫‪BP‬‬
‫‪M‬‬
‫‪ x ‬בנקודה ‪. N‬‬
‫חותך את הישר‬
‫והישר‬
‫‪ x ‬בנקודה‬
‫הישר‬
‫‪c‬‬
‫‪c‬‬
‫הוכח‪. MF1 N  90o :‬‬
‫‪ )7‬נתונה האליפסה ‪. b2 x2  a 2 y 2  a 2b2‬‬
‫‪b2‬‬
‫הוכח כי מכפלת שיפועי מיתר וקוטר החוצה אותו היא‬
‫‪a2‬‬
‫‪.‬‬
‫‪ )8‬בפרבולה ‪ y 2  2 px‬מעבירים נורמל‪.‬‬
‫הוכח כי היטלו של הנורמל על ציר ה‪ x -‬הוא גודל קבוע‪.‬‬
‫‪ )9‬בפרבולה ‪ y 2  2 px‬מעבירים משיקים משתי נקודות שעליה‪ A ,‬ו ‪. B -‬‬
‫המשיקים נפגשים בנקודה ‪ . C‬הוכח‪. yA  yB  2 yC :‬‬
‫‪ )10‬בנקודה ‪ , A‬שעל הפרבולה ‪ y 2  2 px‬מעבירים משיק לפרבולה שחותך את המדריך‬
‫שלה בנקודה ‪ . B‬ממוקד הפרבולה מעלים אנך לציר ה ‪ x -‬שחותך את המשיק‬
‫בנקודה ‪ . C‬הוכח‪ - F ( FB  FC :‬מוקד הפרבולה)‪.‬‬
‫‪ )11‬בפרבולה ‪ y 2  2 px‬מעבירים מיתר‪ ,‬החותך את הפרבולה בנקודות ‪ A‬ו‪. B -‬‬
‫המיתר חותך את ציר ה ‪ x -‬בנקודה ‪ . C‬הוכח‪. xA  xB   xC 2 :‬‬
‫‪36‬‬
‫תרגול מבגרויות‪:‬‬
‫‪ )1‬נתון מעגל שמשוואתו ‪x2  y 2  4 x  6 y  887‬‬
‫בנקודה ‪ A  20, 21‬שעל המעגל העבירו משיק למעגל‪.‬‬
‫נקודה ‪ C‬נמצאת על קוטר המעגל ‪AB‬‬
‫‪1‬‬
‫‪3‬‬
‫כך ש ‪. AC  AB -‬‬
‫נקודה ‪ E‬נמצאת על המשיק‪ ,‬ונקודה ‪ P‬נמצאת‬
‫על הקטע ‪ EC‬כך ש ‪( CE=5CP -‬ראה ציור)‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא את שיעורי הנקודה ‪.C‬‬
‫ב‪ .‬הבע את השיעורים של הנקודה ‪ E‬באמצעות השיעורים‬
‫של הנקודה ‪ ,P‬ומצא את משוואת המקום הגיאומטרי‬
‫של כל הנקודות ‪ P‬הנוצרות באופן שתואר‪.‬‬
‫‪ )2‬נתונות הנקודות ‪ A  0, 0 ‬ו‪E  3,6  -‬‬
‫נקודה ‪ B‬נמצאת על המשך ‪ AE‬כך‬
‫ש‪( AB=AC -‬ראה ציור)‪ ,‬ושטח המשולש ‪CAE‬‬
‫גדול פי ‪ 3‬משטח המשולש ‪.CEB‬‬
‫א‪ .‬מצא את שיעורי הקדקוד ‪.B‬‬
‫ב‪ .‬נקודה ‪ P‬נמצאת על המשך ‪ BC‬כך ש ‪.PC=2BC -‬‬
‫מצא את משוואת המקום הגאומטרי של הנקודות ‪ P‬הנוצרות באופן זה‪.‬‬
‫ג‪ .‬הנקודה ‪  4, 40 ‬נמצאת על המקום הגיאומטרי שאת משוואתו מצאת בסעיף ב‪.‬‬
‫מצא עבור נקודה זו את משוואת האנך ל‪ BC-‬העובר דרך ‪.C‬‬
‫‪ )3‬נתון מעגל‪ ,‬שמרכזו ‪ M‬נמצא ברביע רביעי‪.‬‬
‫המעגל משיק לציר ה ‪. y -‬‬
‫במקבילית ‪ ABCD‬הצלע ‪ DC‬משיקה למעגל זה‬
‫בנקודה ‪ ,D‬כמתואר בציור‪.‬‬
‫נתון‪ . A  3,5 , B  7,8 :‬רדיוס המעגל הוא ‪.5‬‬
‫שטח המקבילית ‪ ABCD‬הוא ‪.13‬‬
‫א‪ .‬מצא את משוואת הישר ‪.DC‬‬
‫ב‪ .‬מצא את השיעורים של הנקודה שבה המעגל‬
‫משיק לציר ה ‪. y -‬‬
‫‪37‬‬
‫‪ )4‬נקודה ‪ E‬נמצאת על אליפסה שמשוואתה ‪. x2  4 y 2  36‬‬
‫האליפסה חותכת את ציר ה‪ x -‬בנקודות ‪ A‬ו‪.B -‬‬
‫א‪ .‬מצא את משוואת העקום שעליו נמצא המקום הגיאומטרי של‬
‫מפגשי התיכונים במשולש ‪.ABE‬‬
‫ב‪ .‬הנקודות ‪  2, y ‬נמצאות על המקום הגיאומטרי שאת משוואתו מצאת‬
‫בסעיף א‪ .‬חיברו נקודות אלו עם הנקודות ‪ A‬ו ‪ ,B -‬ונוצר מצולע‪.‬‬
‫מצא את שטח המצולע‪.‬‬
‫ג‪ .‬האליפסה הנתונה התקבלה ממעגל על ידי הכפלת שיעורי ה‪ y -‬של כל אחת‬
‫מהנקודות על המעגל בקבוע‪ ,‬בלי לשנות את שיעורי ה ‪ x -‬שלהן‪.‬‬
‫(‪ )1‬מהי משוואת המעגל?‬
‫(‪ )2‬האם למעגל ולמקום הגיאומטרי שמצאת בסעיף א יש נקודות חיתוך? נמק‪.‬‬
‫‪x2‬‬
‫‪y2‬‬
‫‪‬‬
‫‪ )5‬נתונה המשוואה ‪ 1‬‬
‫‪a 2 a 2  16‬‬
‫א‪ .‬עבור אילו ערכים של ‪ a‬מייצגת המשוואה‪:‬‬
‫‪.a  0 ,a  4 ,‬‬
‫(‪ )1‬אליפסה?‬
‫(‪ )2‬מעגל?‬
‫ב‪ .‬ידוע כי המשוואה הנתונה מייצגת אליפסה‪.‬‬
‫באליפסה חסומים‪ :‬עיגול הנוגע באליפסה‬
‫בנקודות החיתוך שלה עם ציר ה‪, y -‬‬
‫וריבוע שצלעותיו מקבילות לצירים (ראה ציור)‪.‬‬
‫היחס בין שטח העיגול החסום לבין שטח‬
‫‪4‬‬
‫הריבוע החסום הוא‬
‫‪9‬‬
‫‪ .‬מצא את הערך של ‪. a 2‬‬
‫הערה‪ :‬פתרון סעיף ב אינו תלוי בפתרון סעיף א‪.‬‬
‫‪ A )6‬ו‪ B -‬הן נקודות כלשהן על‬
‫הפרבולה ‪p  0 , y 2  2 px‬‬
‫כך שהמיתר ‪ AB‬מקביל לציר‬
‫ה ‪ . y -‬ישר‪ ,‬המשיק לפרבולה‬
‫בנקודה ‪ ,A‬חותך בנקודה ‪C‬‬
‫את הישר שעובר דרך הנקודה ‪B‬‬
‫ומקביל לציר ה‪( x -‬ראה ציור)‪.‬‬
‫א‪ )1( .‬הבע באמצעות ‪ p‬את משוואת המקום הגיאומטרי של הנקודות ‪ C‬הנוצרות‬
‫באופן שתואר‪.‬‬
‫(‪ ) 2‬סרטט במערכת צירים סקיצה של המקום הגיאומטרי שאת משוואתו מצאת‪.‬‬
‫ב‪ .‬נתון כי שיעור ה‪ y -‬של נקודה ‪ ,C‬הנמצאת על המקום הגיאומטרי שאת‬
‫משוואתו מצאת‪ ,‬הוא ‪. y  2 p‬‬
‫חשב במקרה זה את הזווית שבין המשיק לפרבולה‪ ,CA ,‬ובין ציר ה ‪. x -‬‬
‫‪38‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ )7‬נתון משולש ‪ ABC‬ששטחו‬
‫‪2‬‬
‫קדקודי המשולש ‪ B‬ו‪ C -‬מונחים על הישר ‪. y  x  1‬‬
‫שיעורי הקדקוד ‪ A‬הם ‪. 12,3‬‬
‫‪.12‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ P‬היא נקודת החיתוך של התיכונים במשולש‪ .‬שיעור ה ‪ y -‬של ‪ P‬הוא‬
‫‪2‬‬
‫א‪ .‬מצא את השיעורים של שני הקדקודים האחרים במשולש ‪.ABC‬‬
‫ב‪ .‬מעבירים ישר המקביל לצלע ‪ ,BC‬וחותך את הצלעות האחרות (ולא את‬
‫המשכיהן) בנקודות ‪ D‬ו‪ .E -‬האורך של ‪ DE‬הוא ‪. 8‬‬
‫מצא את משוואת הישר ‪.DE‬‬
‫‪.5‬‬
‫‪ )8‬נתונה הפרבולה ‪. y 2  2 x‬‬
‫ישר המשיק לפרבולה בנקודה ‪ A‬נפגש‬
‫בנקודה ‪ E‬עם ישר המשיק לפרבולה‬
‫בנקודה ‪ A( .B‬ברביע הראשון ו‪ B -‬ברביע הרביעי)‪.‬‬
‫דרך הנקודה ‪ A‬העבירו ישר החותך את‬
‫המשך ‪ EB‬בנקודה ‪ C‬כך ש‪,CE=EB -‬‬
‫כמתואר בציור‪.‬‬
‫א‪ .‬הראה כי ‪. yE  yA  yB   xA  xB‬‬
‫ב‪ .‬הראה כי ‪ CA‬מקביל לציר ה‪. x -‬‬
‫‪x2 y 2‬‬
‫‪‬‬
‫‪ )9‬האליפסה ‪ 1‬‬
‫‪a 2 b2‬‬
‫בנקודות ‪ A‬ו‪ ,A' -‬ואת ציר ה‪ y -‬היא חותכת‬
‫בנקודות ‪ B‬ו‪ ,B' -‬כמתואר בציור‪.‬‬
‫‪5‬‬
‫א‪ .‬נתון כי הישר ‪ y   x‬מאונך לישר ‪,A'B‬‬
‫‪4‬‬
‫והמרחק בין הנקודה ‪ B‬לאחד המוקדים של‬
‫האליפסה הוא ‪.5‬‬
‫חותכת את ציר ה ‪y -‬‬
‫מצא את משוואת האליפסה‪.‬‬
‫ב‪ F1 .‬ו‪ F2 -‬הם המוקדים של האליפסה‪ E .‬היא נקודה על‬
‫האליפסה‪ .‬מצא את ההיקף של המשולש ‪.EF1F2‬‬
‫ג‪ .‬מקרבים את מוקדי האליפסה זה לזה לאורך ציר ה ‪. x -‬‬
‫נוצרת אליפסה קנונית חדשה העוברת גם היא דרך הנקודות ‪ A‬ו‪ ,A' -‬ומוקדיה‬
‫הם '‪ F1‬ו ‪ E' . F2' -‬היא נקודה על האליפסה החדשה כך ש‪ E'E -‬מקביל לציר ה ‪. y -‬‬
‫הגובה לצלע '‪ F1' F2‬במשולש ‪ E'F'1 F'2‬גדול פי ‪  k  1 k‬מהגובה לצלע ‪F1F2‬‬
‫במשולש ‪. EF1F2‬‬
‫(‪ )1‬הבע באמצעות ‪ k‬את משוואת האליפסה החדשה‪.‬‬
‫(‪ )2‬עבור איזה ערך של ‪ k‬המוקדים '‪ F1‬ו‪ F2' -‬יתלכדו לנקודה אחת‬
‫בראשית הצירים? נמק‪.‬‬
‫‪39‬‬
‫‪ )10‬במשולש ‪ ABC‬משוואת הצלע ‪ AB‬היא ‪ , y  x  1‬ומשוואת הצלע ‪ AC‬היא ‪. y   x  3‬‬
‫הנקודה ‪ D  6,3‬נמצאת על הצלע ‪.BC‬‬
‫‪BD 1‬‬
‫נתון כי ‪‬‬
‫‪DC 3‬‬
‫‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא את משוואת המעגל החוסם את המשולש ‪.ABC‬‬
‫ב‪ .‬הנקודה ‪ D  6,3‬נמצאת על הפרבולה ‪. y 2  2 px‬‬
‫ישר המשיק לפרבולה בנקודה ‪ D‬נפגש בנקודה ‪ F‬עם ישר העובר דרך ‪ C‬כך‬
‫ש‪ .FD=FC -‬מצא את שטח המשולש ‪.FDC‬‬
‫‪ )11‬במשולש ישר זווית ‪ ABC‬נתון‪, C  4, 2  , ACB  90 :‬‬
‫משוואת היתר ‪ AB‬היא ‪, 2 x  y  3  0‬‬
‫שיעור ה ‪ x -‬של קדקוד ‪ A‬גדול משיעור ה‪ x -‬של קדקוד ‪.B‬‬
‫א‪ .‬מצא את השיעורים של קדקוד ‪ A‬ואת השיעורים של קדקוד ‪ ,B‬שעבורם ניצבי‬
‫המשולש ‪ ABC‬מקבילים לצירים‪.‬‬
‫ב‪ .‬נתון כי ניצבי המשולש ‪ ABC‬אינם מקבילים לצירים‪ ,‬אך אורך היתר שלו זהה‬
‫לאורך היתר במשולש שבסעיף א‪.‬‬
‫מצא את השיעורים של קדקוד ‪ A‬ואת השיעורים של קדקוד ‪ B‬במקרה זה‪.‬‬
‫‪x2 y 2‬‬
‫‪‬‬
‫‪ )12‬נתונה האליפסה ‪ 1‬‬
‫‪a 2 b2‬‬
‫‪ F1‬ו‪ F2 -‬הם מוקדי האליפסה וקדקודיה‬
‫הם‪.B1 ,B ,A1 ,A :‬‬
‫נתון כי המוקד ‪ F1‬הוא אמצע הקטע ‪.AF2‬‬
‫‪( a  b ,‬ראה ציור)‪.‬‬
‫דרך מרכז האליפסה ושניים מקדקודיה‬
‫העבירו מעגל‪ .‬נתון כי קוטר המעגל ‪. 17‬‬
‫א‪ .‬מצא את משוואת האליפסה‪.‬‬
‫ב‪ .‬העבירו עוד שלושה מעגלים אחרים דרך מרכז האליפסה‬
‫ושניים מקדקודיה‪ .‬המרכזים של ארבעת המעגלים הם‬
‫קדקודים של מרובע‪.‬‬
‫המרובע הנמצא במישור ‪  x, y ‬הוא בסיס של פירמידה שקדקודה הוא ‪. S  0,3, 4 ‬‬
‫מצא את נפח הפירמידה‪.‬‬
‫‪40‬‬
‫‪ )13‬שני מעגלים שמרכזיהם נמצאים ברביע השני‪ ,‬משיקים‬
‫לציר ה ‪ y -‬בנקודות ‪ A  0,1‬ו‪. B  0,3 -‬‬
‫המעגלים משיקים זה לזה בנקודה ‪( M‬ראה ציור)‪.‬‬
‫א‪ .‬המשיק המשותף לשני המעגלים חותך את ציר ה ‪y -‬‬
‫בנקודה ‪.C‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫הראה כי ‪. MC= AB‬‬
‫ב‪ ) 1( .‬מצא את משוואת המקום הגיאומטרי של נקודות‬
‫ההשקה ‪ M‬הנוצרות באופן שתואר‪.‬‬
‫(‪ )2‬מהי הצורה של המקום הגיאומטרי של הנקודות ‪,M‬‬
‫ובאיזה רביע‪/‬רביעים הוא נמצא?‬
‫ג‪ .‬המדריך של הפרבולה ‪ y 2  2 px‬משיק למקום הגיאומטרי שאת משוואתו‬
‫מצאת בסעיף ב‪.‬‬
‫מצא את השיעורים של הנקודות על הפרבולה שמרחקן מהמוקד שלה הוא ‪.10‬‬
‫‪ )14‬נתונות הנקודות‪. A  0,6  , B  -8,0  :‬‬
‫דרך הנקודה ‪ E‬שעל הקטע ‪ AB‬מעבירים ישר‬
‫המקביל לציר ה ‪( x -‬הנקודה ‪ E‬שונה מ‪ A-‬ומ‪.)B-‬‬
‫הישר חותך את ציר ה‪ y -‬בנקודה ‪.C‬‬
‫הישר ‪ BC‬חותך את הישר ‪ OE‬בנקודה ‪.P‬‬
‫‪ – O‬ראשית הצירים (ראה ציור)‪.‬‬
‫א‪ .‬הראה כי המקום הגיאומטרי שעליו‬
‫נמצאות הנקודות ‪ P‬הנוצרות באופן שתואר‪,‬‬
‫נמצא על קו ישר‪.‬‬
‫ב‪ .‬הנקודה ‪ P0‬נמצאת על המקום הגיאומטרי שמצאת בסעיף א‪ ,‬כך שהנקודה ‪E‬‬
‫היא מרכז המעגל החוסם את המשולש ‪ .ABO‬מצא את שטח המשולש ‪. AP0O‬‬
‫‪ )15‬הנקודות ‪ C  x1 , y1 ‬ו ‪ D  x2 , y2  -‬נמצאות ברביע הראשון על הפרבולה ‪. y 2  4 x‬‬
‫‪4‬‬
‫א‪ )1( .‬הראה כי שיפוע המיתר ‪ CD‬הוא‬
‫‪y2  y1‬‬
‫‪.m ‬‬
‫(‪ )2‬הנקודה ‪  x,3‬היא אמצע המיתר ‪.CD‬‬
‫מצא את ‪. m‬‬
‫ב‪ .‬נתון כי מרחק כל נקודה על הפרבולה הנתונה מהישר ‪ x  a‬שווה למרחקה‬
‫מהנקודה ‪. 1, 0 ‬‬
‫מרחק הנקודה ‪ C‬מהישר ‪ x  2a‬הוא ‪.6‬‬
‫(‪ )1‬מהו הערך של ‪ ? a‬נמק‪.‬‬
‫(‪ )2‬מצא את משוואת הישר ‪.CD‬‬
‫‪41‬‬
‫‪ )16‬ענה על הסעיפים הבאים‪:‬‬
‫א‪ .‬מצא את המשוואה של המקום הגאומטרי של הנקודות‪ ,‬שהמרחק של כל אחת מהן‬
‫מהישר ‪ , 5x  12 y  13  0‬הוא ‪.3‬‬
‫ב‪ .‬מהי משוואת המקום הגיאומטרי של מרכזי המעגלים המשיקים בשתי נקודות‬
‫למקום הגיאומטרי שמצאת בסעיף א?‬
‫ג‪ .‬האם ציר ה‪ y -‬יכול להשיק בנקודה ‪  0, 0 ‬לאחד המעגלים שבסעיף ב? נמק‪.‬‬
‫‪ )17‬נקודה ‪ A‬נמצאת ברביע הראשון על‬
‫הפרבולה שמשוואתה ‪. y3  3x‬‬
‫ישר המשיק לפרבולה בנקודה ‪B‬‬
‫מקביל למיתר ‪ – O( OA‬ראשית הצירים)‪.‬‬
‫דרך הנקודה ‪ A‬העבירו ישר המקביל לציר‬
‫ה ‪ . x -‬הישר חותך את המשיק בנקודה ‪C‬‬
‫(ראה ציור)‪.‬‬
‫נסמן‪ - xC :‬שיעור ה ‪ x -‬של הנקודה ‪.C‬‬
‫‪ - xA‬שיעור ה‪ x -‬של הנקודה ‪.A‬‬
‫היעזר בעובדה שהנקודה ‪ C‬נמצאת על הפרבולה שמשוואתה ‪ y 2  4 x‬וענה על‬
‫הסעיפים א‪ ,‬ב ו‪-‬ג‪.‬‬
‫א‪ .‬הבע באמצעות ‪ xC‬ו‪. xA -‬‬
‫ב‪ .‬הבע באמצעות ‪ xC‬את השיפוע של הישר ‪.OA‬‬
‫ג‪ .‬נתון גם כי שטח המשולש ‪ BCA‬הוא ‪ .0.5625‬מצא את השיעורים של הנקודה ‪.C‬‬
‫‪42‬‬
:‫תשובות סופיות‬
. y  0.7 x  16 , E  5s  32,5t  20  .‫ ב‬. C 8,5 .‫) א‬1
2
2
. y  8 .‫ ג‬.  x  8   y  16  720 .‫ ב‬. B  4,8 .‫) א‬2
.  0, 3 .‫ ב‬. CD : y  0.75x  0.5 .‫) א‬3
2
x
.‫) אין נקודות חיתוך‬2( x2  y 2  36 )1( .‫ ג‬.‫ סמ"ר‬6 2 .‫ ב‬.  y 2  1 .‫) א‬4
4
. a 2  9 .‫ ב‬. a  2 2 )2( . 0  a  4 , a  2 2 )1( .‫) א‬5
2
3
 1 1
. y  x  1 .‫ ב‬ 4 ,5  ,  7,8 .‫) א‬7
 2 2
. 26.565 .‫ ב‬.‫) בצד‬2( y 2   px )1( .‫) א‬6
.k 
5
x2
y2
x2 y 2


1

 1 .‫) א‬9
)2(
)
1
(
.‫ג‬
16
.‫ב‬
4
25 16
25 16k 2
.36 .‫ ב‬ x  6    y  1  16 .‫) א‬10
2
2
. B 1.6, 0.2 , A  3.1, 3.2 .‫ ב‬B  2.5, 2  , A  4, 5 .‫) א‬11
x2 y 2
. 8 2 .‫ב‬

 1 .‫) א‬12
9
8
.‫ ברביע השני‬x   y  2  1 ‫) קשת המעגל‬2( x   y  2  1 )1( .‫) א‬13
2
2
2
2
.  9, 6 ,  9, 6  .‫ג‬
.‫ יח"ר‬8 .‫) ב‬14
2
1
2
)2( a  1 )1( .‫ ב‬m  )2( .‫) א‬15
3
3
3
.‫ לא‬.‫ ג‬5x  12 y  13  0 .‫ ב‬5x  12 y  52  0 ,  5x  12 y  26  0 .‫) א‬16
. y  x 1
4
1.5
 1 
. C  2 ,3  .‫ג‬
.‫ ב‬xA  xC .‫) א‬17
 4
43

xC
3
‫פרק ‪ - 2‬טריגונומטריה במרחב‪:‬‬
‫הגדרות יסודיות‪:‬‬
‫‪N‬‬
‫הגדרה‪ :‬ישר המאונך לכל הישרים במישור העוברים‬
‫דרך עקבו נקרא אנך למישור‪.‬‬
‫באיור הסמוך הישר ‪ ON‬מאונך לישרים ‪ AO, BO CO‬שעל המישור‪.‬‬
‫משפט‪ :‬אם ישר מאונך לשני ישרים במישור העוברים‬
‫‪N‬‬
‫דרך עקבו אזי הוא מאונך למישור כולו‪.‬‬
‫באיור הסמוך הישר ‪ ON‬מאונך לישרים ‪ AO, CO‬שעל המישור‬
‫ולכן מאונך למישור כולו‪.‬‬
‫משפט‪ :‬בכל נקודה במישור אפשר להעלות אנך אחד בלבד‪.‬‬
‫משפט‪ :‬מנקודה שמחוץ למישור אפשר להוריד אנך אחד בלבד למישור זה‪.‬‬
‫משפט‪ :‬שני אנכים למישור אחד הם מקבילים‪.‬‬
‫באיור הסמוך ניתן לראות כי שני אנכים הם מקבילים‪.‬‬
‫הגדרה‪ :‬ישר החותך מישור ואינו מאונך למישור זה נקרא משופע למישור‪.‬‬
‫הקטע המחבר את עקב האנך עם עקב המשופע נקרא היטל‬
‫המשופע על המישור‪.‬‬
‫באיור הסמוך הקטע ‪ AC‬הוא אנך למישור ‪ AB ,P‬הוא משופע למישור‬
‫ו‪ BC-‬הוא היטל המשופע‪.‬‬
‫הגדרה‪ :‬אורך אנך המורד מנקודה שמחוץ למישור אל המישור נקרא‬
‫מרחק הנקודה מהמישור‪.‬‬
‫הגדרה‪ :‬זווית בין ישר ומישור היא הזווית שבין הישר (המשופע)‬
‫ובין היטלו של הישר על המישור‪.‬‬
‫באיור הסמוך הזווית שבין הישר המשופע ‪ AB‬לבין המישור ‪ P‬היא‪. ABC :‬‬
‫הגדרה‪ :‬שני מישורים שאינם נחתכים נקראים מישורים מקבילים‪.‬‬
‫הגדרה‪ :‬אורך האנך המורד מנקודה שעל פ ני מישור אחד אל מישור המקביל לו‬
‫נקרא המרחק בין המישורים‪.‬‬
‫‪44‬‬
‫הגדרה‪ :‬שני מישורים נחתכים יוצרים צורה גיאומטרית הנקראת פינה‪.‬‬
‫ישר החיתוך של שני המישורים נקרא מקצוע‪ ,‬והמישורים היוצרים‬
‫את הפינה נקראים פאות‪.‬‬
‫‪B‬‬
‫באיור הסמוך הקטע ‪ AB‬הוא ישר החיתוך של שני‬
‫המישורים ‪ P1‬ו‪ P2-‬הנקרא מקצוע‪.‬‬
‫‪P1‬‬
‫‪A‬‬
‫הצורות הסגורות של המישורים נקראות פאות וכל הצורה נקראת פינה‪.‬‬
‫שאלות יסודיות – סימון זוויות במרחב‪:‬‬
‫הערה‪ :‬הגדרות מדויקות של הצורות המרחביות תופענּה בהמשך הפרק‪.‬‬
‫‪ )1‬במנסרה '‪ ABCA'B'C‬שבסיסה משולש שווה‬
‫שוקיים ‪  AB  AC ‬הנקודה ‪ D‬היא אמצע‬
‫המקצוע ‪ .BC‬סמן את הזווית בין הישר ‪A'D‬‬
‫לבין הבסיס ‪.ABC‬‬
‫‪ )2‬נתונה תיבה '‪ .ABCDA'B'C'D‬סמן את הזווית בין‬
‫האלכסון '‪ BD‬לבין הבסיס ‪.ABCD‬‬
‫‪ )3‬נתונה תיבה '‪( ABCDA'B'C'D‬ראה איור)‪.‬‬
‫סמן את הזווית בין האלכסון '‪ AC‬לבין הפאה ‪.D'C'CD‬‬
‫‪ )4‬נתונה תיבה '‪ .ABCDA'B'C'D‬סמן את הזוויות בין‪:‬‬
‫א‪ .‬האלכסון ‪ B'D‬לבין הפאה ‪.B'C'CB‬‬
‫ב‪ .‬האלכסון ‪ B'D‬לבין הפאה ‪.D'C'CD‬‬
‫‪ SABCD )5‬היא פירמידה ישרה שבסיסה מלבן (ראה איור)‪.‬‬
‫סמן את הזווית בין המקצוע ‪ SB‬לבין הבסיס ‪.ABCD‬‬
‫‪ SABC )6‬היא פירמידה ישרה שבסיסה משולש‬
‫שווה שוקיים ‪.  AB  AC ‬‬
‫סמן את הזווית בין המקצוע ‪ SA‬לבין הבסיס ‪.ABC‬‬
‫תשובות סופיות‪:‬‬
‫‪A'DA )1‬‬
‫‪D'BD )2‬‬
‫‪AC'D )3‬‬
‫‪ )4‬א‪DB'C .‬‬
‫‪45‬‬
‫ב‪B'DC' .‬‬
‫‪SBE )5‬‬
‫‪. SAO )6‬‬
‫תזכורת – הגדרות טריגונומטריות במישור‪:‬‬
‫הגדרות הפונקציות הטריגונומטריות‪:‬‬
‫הניצב שמול הזווית‬
‫היתר‬
‫הניצב שליד הזווית‬
‫היתר‬
‫הניצב שמול הזווית‬
‫הניצב שליד הזווית‬
‫משפט פיתגורס‪. a2  b2  c2 :‬‬
‫משפט הסינוסים‪:‬‬
‫הגדרה‪:‬‬
‫במשולש‪ ,‬צלע חלקי סינוס הזווית שמולה הוא גודל קבוע‬
‫והוא שווה לפעמיים רדיוס המעגל החוסם‪.‬‬
‫‪a‬‬
‫‪b‬‬
‫‪c‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫בצורה מתמטית‪ 2 R :‬‬
‫‪sin  sin  sin ‬‬
‫‪.‬‬
‫משפט הקוסינוסים‪:‬‬
‫‪c2  a 2  b2  2ab cos ‬‬
‫או‬
‫‪a 2  b2  c 2‬‬
‫‪. cos  ‬‬
‫‪2ab‬‬
‫שטחים של משולשים ומרובעים‪:‬‬
‫‪a  h ab sin  a 2 sin  sin ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫שטח משולש ניתן לחישוב ע"י‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2sin ‬‬
‫‪k k sin ‬‬
‫‪.S  1 2‬‬
‫שטח מרובע ניתן לחישוב ע"י אלכסוניו‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪46‬‬
‫‪. S ‬‬
‫התיבה והקובייה‪:‬‬
‫הגדרה‪:‬‬
‫גוף מרחבי הבנוי משני מלבנים זהים מקבילים במרחב (‪ ABCD‬ו‪)A'B'C'D'-‬‬
‫הקרויים בסיסי התיבה‪ .‬כל מקצוע צדדי ('‪)AA' , BB' , CC' , DD‬‬
‫נקרא גובה התיבה‪ .‬המקצועות הצדדיים שווים זה לזה‬
‫ומאונכים למישורי הבסיס של התיבה‪.‬‬
‫'‪D‬‬
‫'‪C‬‬
‫'‪A‬‬
‫'‪B‬‬
‫‪D‬‬
‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫נוסחאות‪:‬‬
‫הנוסחה‬
‫‪S  a b‬‬
‫‪V  a b h‬‬
‫‪M  2h  a  b ‬‬
‫‪P  2h  a  b   2ab‬‬
‫‪d  a 2  b2  h2‬‬
‫‪A‬‬
‫תיאור מילולי‬
‫שטח בסיס התיבה‬
‫נפח התיבה‬
‫שטח מעטפת התיבה‬
‫שטח פנים‬
‫אלכסון ראשי בתיבה‬
‫‪ .1‬תיבה שבסיסה ריבוע‪ :‬תיבה שבסיסיה הם ריבועים‪.‬‬
‫מתקיים‪ a  b :‬בכל הנוסחאות‪.‬‬
‫‪ .2‬קובייה‪ :‬אם בסיסי התיבה הם ריבועים וגובה התיבה שווה לאורך מקצוע‬
‫הבסיס‪ ,‬דהיינו‪ a  b  h :‬אזי התיבה נקראת קובייה‪.‬‬
‫תיבה שבסיסה ריבוע‪:‬‬
‫‪ )1‬בתיבה '‪ ABCDA'B'C'D‬שבסיסה ריבוע‪ ,‬אורך אלכסון הבסיס ‪ AC‬הוא ‪ 15.2‬ס"מ‪.‬‬
‫אורך המקצוע הצדדי '‪ AA‬הוא ‪ 10‬ס"מ‪.‬‬
‫'‪D‬‬
‫'‪C‬‬
‫א‪ .‬חשב אורך מקצוע הבסיס‪.‬‬
‫ב‪ .‬חשב נפח התיבה ושטח הפנים‪.‬‬
‫'‪A‬‬
‫'‪B‬‬
‫ג‪ .‬חשב את '‪ ,BC‬אלכסון הפאה ‪ ,BB'C'C‬ואת‬
‫אלכסון התיבה '‪.AC‬‬
‫‪D‬‬
‫‪C‬‬
‫ד‪ .‬חשב את זווית ‪ , AC'B‬שבין האלכסון '‪BC‬‬
‫בפאה ‪ BB'C'C‬לבין אלכסון התיבה '‪.AC‬‬
‫‪B‬‬
‫‪47‬‬
‫‪A‬‬
‫‪ )2‬נתונה תיבה '‪ ABCDA'BC'D‬שבסיסה‬
‫ריבוע‪ .‬אורך האלכסון '‪ AD‬של הפאה הצדדית‬
‫'‪ ADD'A‬הוא ‪ 16.8‬ס"מ‪ .‬הזווית שנוצרת בין שני‬
‫האלכסונים '‪ AD‬ו‪ AB' -‬היא בת ‪. 58‬‬
‫א‪ .‬חשב את אורך אלכסון הבסיס‪.B'D' ,‬‬
‫ב‪ .‬חשב את אורך מקצוע הבסיס ‪.AB‬‬
‫ג‪ .‬חשב את גובה התיבה '‪.AA‬‬
‫ד‪ .‬חשב את נפח התיבה‪.‬‬
‫'‪C‬‬
‫'‪D‬‬
‫'‪B‬‬
‫‪D‬‬
‫‪C‬‬
‫'‪D‬‬
‫‪D‬‬
‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫הוא ריבוע‪ .‬אורך האלכסון של הפאה הצדדית‬
‫הוא ‪ 10‬ס"מ‪ .‬הזווית שבין אלכסוני‬
‫הפאות הצדדיות היא בת ‪. 48‬‬
‫א‪ .‬חשב את אורך האלכסון של הבסיס‬
‫העליון ' ‪. B ' D‬‬
‫ב‪ .‬חשב את שטח הבסיס של התיבה‪.‬‬
‫‪ )5‬בתיבה ריבועית '‪ ABCDA'B'C'D‬מעבירים את האלכסונים '‪ B'D‬ו‪A'C'-‬‬
‫במישור הבסיס העליון‪ .‬האלכסונים נפגשים בנקודה ‪ O‬כך שנוצר‬
‫המשולש ‪ .BOD‬נתון כי‪ BOD  23 :‬וכי אורך מקצוע הבסיס‬
‫‪48‬‬
‫'‪A‬‬
‫'‪B‬‬
‫‪ )4‬בתיבה '‪ ,ABCDA'B'C'D‬שבסיסה ‪ABCD‬‬
‫של התיבה הוא ‪ 6‬ס"מ‪.‬‬
‫א‪ .‬חשב את היקף המשולש ‪.BOD‬‬
‫ב‪ .‬חשב את הזווית שנוצרת בין הצלע ‪ OD‬של‬
‫המשולש ‪ BOD‬ומישור הפאה ‪.AA'D'D‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫'‪C‬‬
‫‪ )3‬נתונה תיבה '‪ ABCDA'BC'D‬שבסיסה ריבוע‪.‬‬
‫אורך אלכסון הבסיס ‪ BD‬הוא ‪ 16‬ס"מ ונפח‬
‫התיבה הוא ‪ 1408‬סמ"ק‪ .‬חשב‪:‬‬
‫א‪ .‬גובה התיבה '‪.DD‬‬
‫ב‪ .‬הזווית שבין אלכסון התיבה '‪ BD‬לבסיס ‪.ABCD‬‬
‫ג‪ .‬אורך מקצוע הבסיס ‪.AB‬‬
‫'‪A‬‬
‫‪A‬‬
‫‪ )6‬בתיבה '‪ ABCDA'B'C'D‬שבסיסה ריבוע מעבירים את‬
‫האלכסונים '‪ AC‬ו‪ .B'D-‬האלכסונים נחתכים בנקודה ‪ O‬שבתוך התיבה‪.‬‬
‫מהנקודה ‪ O‬מעבירים את הקטע ‪ OE‬כך ש‪ E-‬היא אמצע‬
‫המקצוע ‪ .AD‬ידוע כי אורך מקצוע הבסיס של התיבה‬
‫הוא ‪ 8‬ס"מ ואורך אלכסון התיבה הוא ‪ 12‬ס"מ‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא את אורך גובה התיבה‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא את אורך הקטע ‪.OE‬‬
‫‪ )7‬בתיבה ריבועית וישרה '‪ ABCDA'B'C'D‬מסמנים את אורך הגובה ב‪. h -‬‬
‫מעבירים את הקטעים '‪ AC , AB‬ו‪ B'C-‬כך שנוצר‬
‫המשולש ‪ AB'C‬כמתואר באיור‪ .‬הזווית הנוצרת בין אנך‬
‫לצלע ‪ AC‬במשולש ‪ AB'C‬ומישור הבסיס ‪ ABCD‬היא ‪. ‬‬
‫א‪ .‬הבע באמצעות ‪ h‬ו‪  -‬את אורך מקצוע‬
‫הבסיס של התיבה‪.‬‬
‫ב‪ .‬הבע באמצעות ‪ h‬ו‪  -‬את נפח התיבה‪.‬‬
‫‪ )8‬בתיבה הריבועית '‪ ABCDA'B'C'D‬שלפניך מעבירים את אלכסון הבסיס‬
‫העליון '‪ .B'D‬הנקודות ‪ E‬ו ‪ F-‬נמצאות על אמצעי המקצועות '‪ A'B‬ו‪B'C'-‬‬
‫כך שהקטע ‪ EF‬חותך את האלכסון'‪ B'D‬בנקודה ‪.O‬‬
‫מקצים נקודה נוספת – ‪ - G‬הנמצאת על הגובה '‪DD‬‬
‫כך ש‪ . DG  a :‬מעבירים את הקטעים ‪ GO‬ו‪ DO-‬כך‬
‫שנוצר המשולש ‪ .DOG‬אורך מקצוע הבסיס‬
‫הוא ‪ k‬וגובה התיבה הוא ‪. h‬‬
‫א‪ .‬הבע באמצעות ‪ k‬ו‪ a -‬את שטח המשולש ‪.DOG‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪a‬‬
‫מצא את היחס‪:‬‬
‫‪h‬‬
‫עבורו מתקיים‪. SDOG  SD'OG :‬‬
‫‪ )9‬בתיבה '‪ ABCDA'B'C'D‬הבסיס ‪ ABCD‬הוא ריבוע‪ .‬גובה התיבה הוא ‪. h‬‬
‫נתון‪. A'DC'   :‬‬
‫‪1 ‬‬
‫‪2h  sin   ‬‬
‫א‪ .‬הראה כי אורך הצלע בבסיס התיבה הוא‪ 2  :‬‬
‫‪.‬‬
‫‪cos ‬‬
‫ב‪ .‬לאלו ערכים של ‪ ‬יש פתרון לבעיה?‬
‫‪49‬‬
‫תיבה שבסיסה מלבן‪:‬‬
‫'‪B‬‬
‫'‪C‬‬
‫‪ )10‬בתיבה '‪ ABCDA'B'C'D‬נתון‪:‬‬
‫‪ 7‬ס"מ ‪ 12 , AA' ‬ס"מ ‪ 8 , AD ‬ס"מ ‪. AB ‬‬
‫חשב את אורך האלכסון '‪ BD‬ואת הזווית‬
‫בינו לבין בסיס התיבה‪.‬‬
‫'‪D‬‬
‫'‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫‪C‬‬
‫‪A‬‬
‫‪D‬‬
‫‪ )11‬בתיבה שלפניך אורכי צלעות הבסיס הם‪:‬‬
‫‪ 12‬ס"מ = ‪ 5 , AB‬ס"מ = ‪ .BC‬הזווית בין '‪BC‬‬
‫אלכסון הפאה‪ ,BB'C'C ,‬לבסיס ‪ ABCD‬היא ‪. 40‬‬
‫'‪B‬‬
‫א‪ .‬חשב את גובה התיבה '‪.CC‬‬
‫‪C‬‬
‫ב‪ .‬חשב את אורך אלכסון הבסיס‪.AC ,‬‬
‫ג‪.‬‬
‫חשב את הזווית בין אלכסון התיבה '‪ AC‬לבסיס ‪B .ABCD‬‬
‫ד‪ .‬חשב את אורך אלכסון התיבה '‪AC‬‬
‫ה‪ .‬חשב את נפח התיבה‪.‬‬
‫ו‪ .‬חשב את שטח מעטפת התיבה‪.‬‬
‫'‪C‬‬
‫'‪D‬‬
‫'‪C‬‬
‫‪ )12‬נתונה תיבה '‪.ABCDA'B'C'D‬‬
‫אורך צלע הבסיס‪ 9 :‬ס"מ ‪. AB ‬‬
‫אלכסון הפאה ‪ BB'C'C‬הוא‪ 15 :‬ס"מ ‪. BC' ‬‬
‫חשב את הזווית בין '‪ ,BC‬אלכסון‬
‫הפאה ‪ ,BB'C'C‬לאלכסון התיבה '‪.AC‬‬
‫‪50‬‬
‫‪D‬‬
‫‪A‬‬
‫'‪D‬‬
‫'‪A‬‬
‫'‪B‬‬
‫‪C‬‬
‫‪D‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫'‪A‬‬
‫'‪B‬‬
‫‪D‬‬
‫‪C‬‬
‫‪8‬‬
‫ס"מ‬
‫‪65°‬‬
‫‪B‬‬
‫‪ 6‬ס"מ‬
‫‪A‬‬
‫'‪D‬‬
‫'‪C‬‬
‫‪C‬‬
‫'‪D‬‬
‫'‪C‬‬
‫‪ )13‬נתונה תיבה '‪ ,ABCDA'B'C'D‬בה מתקיים‪:‬‬
‫‪ 8‬ס"מ ‪ 6 , AD ‬ס"מ ‪. AB ‬‬
‫הזווית בין אלכסון התיבה '‪ AC‬לבסיס ‪ ABCD‬היא בת ‪. 65‬‬
‫א‪ .‬חשב את גובה התיבה '‪.CC‬‬
‫ב‪ .‬חשב את נפח התיבה ושטח הפנים שלה‪.‬‬
‫‪ )14‬נתונה תיבה '‪ ABCDA'B'C'D‬שבסיסה‬
‫מלבן‪ .‬גובה התיבה '‪ AA‬הוא ‪ 7.4‬ס"מ‪.‬‬
‫אורך אלכסון הפאה ‪ 13‬ס"מ ‪. BC' ‬‬
‫הזווית בין אלכסון הפאה ‪ A'B‬לבסיס ‪ABCD‬‬
‫היא בת ‪. 37‬‬
‫א‪ .‬חשב את אורכי צלעות הבסיס‪.‬‬
‫ב‪ .‬חשב את שטח המעטפת ושטח‬
‫הפנים של התיבה‪.‬‬
‫'‪A‬‬
‫‪13‬‬
‫ס"מ‬
‫'‪A‬‬
‫'‪B‬‬
‫‪D‬‬
‫‪7.4‬‬
‫ס"מ‬
‫‪B‬‬
‫‪A‬‬
‫‪ )15‬בתיבה '‪ ABCDA'B'C'D‬נתון‪:‬‬
‫‪ 6.2‬ס"מ = ‪ 8 , BC‬ס"מ = ‪ 10 , AB‬ס"מ = '‪ .AA‬חשב‪:‬‬
‫א‪ .‬אלכסון הבסיס‪ ,AC :‬אלכסון הפאה‪AD' :‬‬
‫ואלכסון התיבה‪.AC' :‬‬
‫ב‪ .‬חשב את הזווית בין '‪ ,AD‬אלכסון‬
‫הפאה '‪ ,ADD'A‬לאלכסון התיבה '‪. D'AC' :AC‬‬
‫ג‪ .‬חשב את נפח התיבה ושטח המעטפת‪.‬‬
‫‪ )16‬נתונה תיבה '‪ 12 .ABCDA'B'C'D‬ס"מ ‪. AB ‬‬
‫אורך אלכסון הבסיס ‪ BD‬הוא ‪ 15‬ס"מ‪.‬‬
‫נפח התיבה הוא ‪ 864‬סמ"ק‪ .‬חשב את‪:‬‬
‫א‪ .‬רוחב הבסיס של התיבה‪.BC ,‬‬
‫‪C‬‬
‫ב‪ .‬גובה התיבה‪.AA' ,‬‬
‫ג‪ .‬הזווית בין אלכסון התיבה '‪ BD‬לבסיסה ‪.ABCD‬‬
‫‪5‬ב‬
‫'‪C‬‬
‫‪ )18‬בתיבה '‪( ABCDA'B'C'D‬ראה ציור) נתון‪:‬‬
‫‪ 12‬ס"מ ‪ 10 , AB ‬ס"מ ‪ . AD ‬הזווית שבין‬
‫אלכסון הפאה '‪ AB‬לבין הבסיס ‪ABCD‬‬
‫היא בת ‪. 35‬‬
‫א‪ .‬חשב את גובה התיבה '‪.BB‬‬
‫ב‪ .‬חשב את '‪ ,AD‬אלכסון הפאה '‪.ADD'A‬‬
‫ג‪ .‬חשב את הזווית שבין '‪ AD‬לבין הבסיס ‪.ABCD‬‬
‫‪ )19‬נתונה תיבה '‪ ABCDA'B'C'D‬שבסיסה מלבן‬
‫(ראה ציור)‪ .‬אורך גובה התיבה '‪ AA‬הוא ‪ 10‬ס"מ‪.‬‬
‫א‪ .‬אורך '‪ ,AB‬אלכסון הפאה '‪ ABB'A‬הוא ‪ 14‬ס"מ‪.‬‬
‫חשב את אורך המקצוע ‪.AB‬‬
‫ב‪ .‬הזווית שבין '‪ ,AD‬אלכסון הפאה '‪,ADD'A‬‬
‫לבין הבסיס ‪ ABCD‬היא בת ‪. 40‬‬
‫חשב את נפח התיבה‪.‬‬
‫ג‪ .‬חשב את שטח מעטפת התיבה‪.‬‬
‫‪51‬‬
‫'‪A‬‬
‫'‪B‬‬
‫‪D‬‬
‫‪C‬‬
‫‪10‬‬
‫ס"מ‬
‫‪6.2‬‬
‫ס"מ‬
‫‪B‬‬
‫‪ 8‬ס"מ‬
‫‪A‬‬
‫'‪D‬‬
‫'‪C‬‬
‫‪ )17‬בתיבה '‪( ABCDA'B'C'D‬ראה ציור)‪ ,‬נתון‪:‬‬
‫‪ 12‬ס"מ ‪ 8 , AD ‬ס"מ ‪ 14 , DC ‬ס"מ ‪. CC' ‬‬
‫א‪ .‬חשב את האורך של אלכסון הבסיס‪.AC ,‬‬
‫ב‪ .‬חשב את הזווית שבין אלכסון התיבה '‪AC‬‬
‫לבין הבסיס ‪.ABCD‬‬
‫ג‪ .‬חשב את שטח המעטפת של התיבה‪.‬‬
‫ד‪ .‬חשב את שטח הפנים של התיבה‪.‬‬
‫'‪D‬‬
‫'‪A‬‬
‫'‪B‬‬
‫‪D‬‬
‫‪B‬‬
‫‪A‬‬
‫‪ )20‬נתונה תיבה '‪ ABCDA'B'C'D‬שבה‬
‫‪ 10‬ס"מ ‪ 12 , AB ‬ס"מ ‪( AD ‬ראה ציור)‪.‬‬
‫הזווית שבין אלכסון התיבה‪AC' ,‬‬
‫לבין הבסיס ‪ ABCD‬היא בת ‪. 38‬‬
‫א‪ .‬חשב את אלכסון הבסיס‪.‬‬
‫ב‪ .‬חשב את גובה התיבה‪.‬‬
‫ג‪ .‬חשב את שטח פני התיבה‪.‬‬
‫‪ )21‬נתונה תיבה '‪( ABCDA'B'C'D‬ראו סרטוט)‬
‫שבה‪ 10 :‬ס"מ ‪ 12 , AB ‬ס"מ ‪ 8 , AD ‬ס"מ ‪. AA' ‬‬
‫א‪ .‬חשב את אורך ‪ ,A'D‬אלכסון‬
‫הפאה '‪.ADD'A‬‬
‫ב‪ .‬חשב את אורך האלכסון של התיבה ‪.B'D‬‬
‫‪ )22‬נתונה תיבה '‪ ABCDA'B'C'D‬שבסיסה מלבן‪.‬‬
‫מעבירים את האלכסונים ‪ BD‬ו‪ BD'-‬כך שמתקיים‪. DBD'  ABD   :‬‬
‫אורך האלכסון ‪ BD‬יסומן ב ‪. a -‬‬
‫א‪ .‬הבע באמצעות ‪ a‬ו‪  -‬את‪:‬‬
‫‪ .1‬אורך התיבה – ‪.AB‬‬
‫‪ .2‬רוחב התיבה – ‪.AD‬‬
‫‪ .3‬גובה התיבה – '‪.AA‬‬
‫‪3‬‬
‫ב‪ .‬מצא את ‪ ‬אם ידוע כי נפח התיבה הוא ‪. 0.64a‬‬
‫‪ )23‬בתיבה '‪ ABCDA'B'C'D‬שבסיסה מלבן מעבירים את האלכסון '‪ B'D‬בבסיס‬
‫העליון‪ .‬מאמצע האלכסון ‪ M‬מעבירים את הקטעים ‪ DM‬ו‪ BM-‬כך שנוצר‬
‫המשולש ישר הזווית ‪.BMD  BMD  90‬‬
‫אורך מקצוע הבסיס ‪ AB‬הוא ‪ 5a‬ואורך‬
‫הקטע ‪ DM‬הוא ‪. 4a‬‬
‫א‪ .‬הבע באמצעות ‪ a‬את אורך המקצוע ‪.AD‬‬
‫ב‪ .‬מעבירים את הקטע ‪ .AM‬חשב את זווית ‪.MAD‬‬
‫ג‪ .‬מצא את ‪ a‬אם ידוע כי שטח המשולש ‪MAD‬‬
‫הוא ‪ 125‬סמ"ר (עגל למספר שלם)‪.‬‬
‫‪ )24‬בתיבה '‪ ABCDA'B'C'D‬נתון‪ . BD'  m :‬הזווית שבין האלכסון '‪ BD‬לבסיס‬
‫‪ ABCD‬היא ‪ ‬והזווית שבין האלכסון '‪ BD‬לפאה צדדית '‪ ABB'A‬היא ‪. ‬‬
‫הבע באמצעות ‪  , m‬ו‪  -‬את נפח התיבה‪.‬‬
‫‪52‬‬
‫קובייה‪:‬‬
‫'‪C‬‬
‫‪ )25‬בקובייה '‪ ABCDA'B'C'D‬אורך המקצוע הוא ‪ 8‬ס"מ‪.‬‬
‫הנקודה ‪ O‬היא מפגש אלכסוני הבסיס התחתון‪.‬‬
‫מצא את הזווית שבין '‪ OA‬לפאה '‪.ABB'A‬‬
‫'‪D‬‬
‫'‪A‬‬
‫'‪B‬‬
‫‪D‬‬
‫‪C‬‬
‫‪O‬‬
‫‪B‬‬
‫‪ )26‬נתונה קובייה '‪.ABCDA'B'C'D‬‬
‫מעבירים את האלכסון '‪ A'C‬בבסיס העליון‪.‬‬
‫מהנקודה ‪ E‬שעל האלכסון '‪ A'C‬מותחים‬
‫את הקטע ‪ CE‬השווה באורכו לקטע ‪.A'E‬‬
‫כמו כן מורידים גובה ‪ EF‬ממישור הבסיס העליון '‪.A'B'C'D‬‬
‫(‪ EF‬מאונך ל‪ .)A'C'-‬הנקודה ‪ F‬נמצאת על האלכסון הראשי ‪.A'C‬‬
‫נסמן‪ . A'F  m , A'CE   :‬הבע באמצעות ‪ ‬ו‪ m -‬את נפח הקובייה‪.‬‬
‫‪ )27‬נתונה קובייה '‪ .ABCDA'B'C'D‬מעבירים את האלכסונים '‪ A'C‬ו ‪ B'D'-‬בבסיס‬
‫העליון ומסמנים ב‪ E-‬את פגישתם‪ .‬מהנקודה ‪ E‬מעבירים את‬
‫הקטעים ‪ AE, BE, CE‬ו‪DE-‬‬
‫כך שנוצרת הצורה המרחבית ‪.ABCDE‬‬
‫א‪ .‬איזו צורה היא ‪ ?ABCDE‬נמק‪.‬‬
‫ב‪ .‬חשב את הזווית שנוצרת בין הקטע ‪AE‬‬
‫ומישור הפאה ‪.AA'D'D‬‬
‫ג‪ .‬חשב את הנפח הכלוא בתוך הקובייה ומחוץ‬
‫לצורה ‪ ABCDE‬אם ידוע כי שטח הפנים של הקובייה הוא ‪ 384‬סמ"ר‪.‬‬
‫‪53‬‬
‫‪A‬‬
‫מנסרה ישרה‪:‬‬
‫הגדרה‪:‬‬
‫גוף מרחבי הבנוי משני מצולעים זהים המקבילים זה לזה במרחב‪ .‬המקצועות‬
‫הצדדיים המחברים את קדקודי הבסיסים המתאימים נקראים גובהי המנסרה‪.‬‬
‫כל גובה במנסרה ישרה מאונך למישורי הבסיס העליון והתחתון‪.‬‬
‫במסגרת שאלון ‪ 807‬נעסוק במנסרות הבאות‪:‬‬
‫א‪ .‬מנסרה שבסיסה משולש שווה צלעות‪.‬‬
‫ב‪ .‬מנסרה שבסיסה משולש שווה שוקיים‪.‬‬
‫ג‪ .‬מנסרה שבסיסה משולש ישר זווית‪.‬‬
‫הערה‪ :‬התיבה וקובייה הן מקרים פרטיים של מנסרות ישרות שבסיסן‬
‫מלבן וריבוע בהתאמה‪.‬‬
‫מנסרה שבסיסה משולש שווה צלעות‪:‬‬
‫‪ )28‬במנסרה משולשת וישרה '‪ ABCA'B'C‬שבסיסה משולש שווה‬
‫צלעות מעבירים את האלכסונים '‪ AB‬ו‪ AC'-‬כך שנוצר המשולש‬
‫'‪ .AB'C‬הזווית שבין האנך לצלע ‪ BC‬במשולש ‪ABC‬‬
‫והאנך לצלע '‪ B'C‬במשולש '‪ AB'C‬היא ‪. 40‬‬
‫אורך גובה המנסרה הוא ‪ 14‬ס"מ‪.‬‬
‫א‪ .‬חשב את שטח המשולש '‪.A'B'C‬‬
‫ב‪ .‬חשב את נפח המנסרה‪.‬‬
‫‪ )29‬במנסרה משולשת וישרה '‪ ABCA'B'C‬שבסיסה משולש שווה צלעות מעבירים‬
‫בבסיס העליון '‪ A'B'C‬את התיכונים ‪ B'E , A'D‬ו‪C'F-‬‬
‫אשר נחתכים בנקודה ‪ .M‬מהנקודה ‪ M‬מעבירים את‬
‫הקטעים ‪ MC‬ו‪ MB-‬כך שנוצר המשולש ‪.MCB‬‬
‫גובה המנסרה שווה באורכו למקצוע בסיס המנסרה‪.‬‬
‫חשב את הזווית שבין האנך לצלע ‪BC‬‬
‫במשולש ‪ MCB‬למישור הבסיס ‪.ABC‬‬
‫‪54‬‬
‫‪ )30‬במנסרה משולשת וישרה '‪ ABCA'B'C‬שבסיסה משולש שווה צלעות הנקודות ‪E‬‬
‫ו‪ F-‬הן בהתאמה אמצעי המקצועות '‪ A'B‬ו‪ .A'C'-‬מעבירים את הקטעים ‪AE‬‬
‫ו‪ ,AF-‬כך שנוצר המשולש ‪ .AEF‬אורך מקצוע הבסיס של‬
‫המנסרה הוא ‪ 10‬ס"מ וגובה המנסרה הוא ‪ 12‬ס"מ‪.‬‬
‫א‪ .‬חשב את אורכי הצלעות של המשולש ‪.AEF‬‬
‫ב‪ .‬חשב את הזווית שבין גובה המנסרה '‪AA‬‬
‫למישור המשולש ‪.AEF‬‬
‫‪ )31‬במנסרה משולשת וישרה '‪ ABCA'B'C‬שבסיסה משולש שווה צלעות מעבירים‬
‫בבסיס העליון '‪ A'B'C‬את התיכונים ‪ B'E , A'D‬ו‪ C'F-‬אשר נחתכים ב‪.M-‬‬
‫מהנקודה ‪ M‬מעבירים את הקטעים ‪ MA‬ו‪ MB-‬כך שנוצר המשולש ‪.MAB‬‬
‫גובה המנסרה שווה באורכו למקצוע בסיס המנסרה ויסומן ב‪. 2a -‬‬
‫א‪ .‬הבע באמצעות ‪ a‬את אורך הקטע ‪.MA‬‬
‫ב‪ .‬חשב את הזווית שבין הקטע ‪ MA‬ומישור‬
‫הבסיס ‪.ABC‬‬
‫ג‪ .‬חשב את הזווית שבין הגובה למקצוע ‪AB‬‬
‫במישור ‪ MAB‬לבין מישור הבסיס ‪.ABC‬‬
‫ד‪ .‬חשב את הזווית שבין ‪ MA‬והפאה ‪.AA'B'B‬‬
‫ה‪ .‬הבע באמצעות ‪ a‬את שטח הפנים של המנסרה‪.‬‬
‫מנסרה שבסיסה משולש שווה שוקיים‪:‬‬
‫‪ )32‬נתונה מנסרה משולשת וישרה '‪ ABCA'B'C‬שבסיסה הוא משולש שווה‬
‫שוקיים ‪ .  AC  BC ‬מאמצעי המקצועות '‪ A'B‬ו‪ AB-‬מעבירים את הקטע ‪.EF‬‬
‫ידוע כי אורך מקצוע הבסיס ‪ AB‬הוא ‪ k‬ס"מ והוא קטן‬
‫פי ‪ 2‬מאורך שוק הבסיס ‪ . AC‬נסמן‪. FCE   :‬‬
‫א‪ .‬הבע באמצעות ‪ k‬ו‪  -‬את נפח המנסרה‪.‬‬
‫ב‪ .‬חשב את נפח המנסרה אם ידוע כי‪, 2EF  CE :‬‬
‫וכי שטח הבסיס ‪ ABC‬הוא ‪ 15‬סמ"ר‪.‬‬
‫‪ )33‬במנסרה משולשת וישרה '‪ ABCA'B'C‬שבסיסה הוא משולש שווה שוקיים‬
‫‪  AC  BC ‬מעבירים את האלכסונים '‪ AB‬ו‪ CB'-‬כך שנוצר המשולש ‪.AB'C‬‬
‫ידוע כי הזווית שבין אנך למקצוע ‪ AC‬במשולש ‪ABC‬‬
‫ואנך למקצוע ‪ AC‬במשולש ‪ AB'C‬היא ‪45‬‬
‫(האנכים נפגשים על המקצוע ‪ AC‬בנקודה ‪ .)E‬זוויות‬
‫הבסיס ‪ ABC‬הן‪. ACB  30 , ABC  CAB  75 :‬‬
‫גובה המנסרה הוא ‪ 5‬ס"מ‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא את אורך המקצוע ‪.AC‬‬
‫ב‪ .‬חשב את הזווית שבין האלכסון '‪ CB‬למישור הבסיס‪.‬‬
‫‪55‬‬
‫‪ )34‬נתונה מנסרה '‪ ABCA'B'C‬שבה הבסיס הוא משולש שווה שוקיים ‪,  AC  BC ‬‬
‫אורך השוק היא ‪ k‬וזווית הראש היא ‪ . ‬הזווית שבין המישור ‪ABC‬למישור '‪ABC‬‬
‫היא ‪ . ‬הבע באמצעות ‪  , k‬ו ‪  -‬את נפח המנסרה‪.‬‬
‫מנסרה שבסיסה משולש ישר זווית‪:‬‬
‫‪ )35‬במנסרה '‪ ABCA'B'C‬שבסיסה הוא משולש ישר זווית ‪ABC  90‬‬
‫‪‬‬
‫הנקודות ‪ F ,E‬ו‪ G-‬הן בהתאמה אמצעי המקצועות '‪ A'C' ,B'C‬ו‪AB-‬‬
‫כמתואר באיור‪ .‬מסמנים את מידות הבסיס ‪. AB  5t , BC  12t :ABC‬‬
‫הזווית שבין הקטע ‪ GE‬למישור הבסיס ‪ ABC‬היא‪. 36.86 :‬‬
‫א‪ .‬הבע באמצעות ‪ t‬את גובה המנסרה‪.‬‬
‫ב‪ .‬חשב את הזווית שבין הקטע ‪GF‬‬
‫ולמישור הבסיס ‪.ABC‬‬
‫ג‪ .‬מצא את ‪ t‬אם ידוע כי אורך הקטע ‪GF‬‬
‫הוא‪ 3825 :‬ס"מ‪.‬‬
‫‪ )36‬א‪ .‬הוכח את הטענה‪ :‬תיכון במשולש חוצה אותו לשני‬
‫משולשים שווי שטח‪.‬‬
‫כלומר‪ ,‬הקטע ‪ AD‬הוא תיכון במשולש ‪.ABC‬‬
‫הראה כי‪. SABD  SACD :‬‬
‫במנסרה '‪ ABCA'B'C‬שבסיסה הוא משולש ישר זווית ‪ABC  90‬‬
‫‪‬‬
‫הנקודות ‪ F‬ו‪ G-‬מחלקות את מקצוע הבסיס ‪ BC‬לשלושה חלקים שווים‪.‬‬
‫הנקודה ‪ E‬היא אמצע המקצוע '‪ .B'C‬ידוע כי אורך הקטע ‪ EF‬הוא ‪ 10‬ס"מ‬
‫ואורך המקצוע ‪ BC‬הוא ‪ 24‬ס"מ‪ .‬שטח המשולש ‪ AFG‬הוא ‪ 40‬סמ"ר‪.‬‬
‫ב‪ .‬איזה משולש הוא המשולש ‪ ?EFG‬מצא את זוויותיו‪.‬‬
‫ג‪ .‬מצא את גובה המנסרה‪.‬‬
‫ד‪ .‬היעזר בטענה שהוכחת בסעיף א' ומצא את‬
‫אורך המקצוע ‪( .AB‬רמז‪ :‬התבונן במשולש ‪ABF‬‬
‫ומצא את הצלע ‪ AB‬באמצעות שטחו)‪.‬‬
‫ה‪ .‬חשב את שטח המעטפת של המנסרה‪.‬‬
‫‪56‬‬
‫‪ )37‬לפניך מנסרה ישרה שבסיסה משולש ישר זווית ‪.  ABC  90‬‬
‫ידוע כי הפאה הצדדית ‪ AA'B'B‬היא ריבוע וכי אורך המקצוע ‪BC‬‬
‫גדול פי ‪ 3‬מ ‪ .AB-‬הנקודות ‪ E‬ו‪ G-‬נמצאות על אמצעי‬
‫המקצועות '‪ B'C‬ו‪ AB-‬בהתאמה‪.‬‬
‫מעבירים את הקטעים ‪ A'E ,A'G‬ו‪.GE-‬‬
‫א‪ .‬חשב את הזווית הנוצרת בין הקטע ‪GE‬‬
‫ומישור הבסיס‪.‬‬
‫ב‪ .‬חשב את הזווית הנוצרת בין הקטע ‪GE‬‬
‫ומישור הפאה ‪.AA'B'B‬‬
‫ג‪ .‬נתון כי‪ . EGA'  69 :‬חשב את זווית ‪.EA'G‬‬
‫פירמידה ישרה‪:‬‬
‫הגדרה‪:‬‬
‫גוף מרחבי הבנוי ממצולע כלשהו‪ ,‬המהווה את בסיס הפירמידה‪ ,‬ומקצועות היוצאים‬
‫מכל קדקודי המצולע ונפגשים בנקודה אחת הנקראת קדקוד הפירמידה‪ .‬בפירמידה‬
‫ישרה כל המקצועות שווים‪.‬‬
‫במסגרת שאלון ‪ 807‬נעסוק בפירמידות הישרות הבאות‪:‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫ה‪.‬‬
‫פירמידה שבסיסה מלבן‪.‬‬
‫פירמידה שבסיסה ריבוע‪.‬‬
‫פירמידה שבסיסה משולש שווה צלעות‪.‬‬
‫פירמידה שבסיסה משולש שווה שוקיים‪.‬‬
‫פירמידה שבסיסה משולש ישר זווית‪.‬‬
‫קדקוד הפירמידה‬
‫קדקוד הפירמידה‬
‫מישור‬
‫הבסיס‬
‫הגדרה‪ :‬גובה הפירמידה הוא קטע היוצא מקדקוד הראש של הפירמידה‬
‫ומאונך למישור הבסיס‪.‬‬
‫משפט‪ :‬בפירמידה ישרה‪ ,‬ג ובה הפירמידה תמיד נופל בנקודת מרכז המעגל‬
‫החוסם את מצולע הבסיס‪.‬‬
‫‪57‬‬
‫מישור‬
‫הבסיס‬
‫באיורים הבאים מופיע חתך מישורי של בסיסי הפירמיד ות ובו מסומנת נקודת מרכז‬
‫המעגל החוסם את המצולעים‪.‬‬
‫‪S h‬‬
‫נפח פירמידה‪ :‬נפח פירמידה ששטח בסיסה הוא ‪ S‬וגובהה ‪ h‬הוא‪:‬‬
‫‪3‬‬
‫פירמידה שבסיסה ריבוע‪:‬‬
‫‪.V ‬‬
‫‪S‬‬
‫‪ )38‬נתונה פירמידה מרובעת משוכללת‬
‫(הבסיס הוא ריבוע) ‪ .SABCD‬אורך מקצוע‬
‫הבסיס הוא ‪ 25‬ס"מ‪ .‬הזווית בין מקצוע‬
‫צדדי לבסיס היא זווית בת ‪. 35‬‬
‫א‪ .‬חשב את אלכסון הבסיס‪.‬‬
‫ב‪ .‬חשב את גובה הפירמידה‪.‬‬
‫ג‪ .‬סמן נקודה ‪ E‬כאמצע ‪ BC‬וחשב את הזווית‬
‫שבין ‪ SE‬לבסיס הפירמידה‪.‬‬
‫‪ )39‬נתונה פירמידה מרובעת משוכללת ‪.SABCD‬‬
‫אורך מקצוע הבסיס הוא ‪ 12‬ס"מ‪.‬‬
‫אורך מקצוע צדדי הוא ‪ 20‬ס"מ‪.‬‬
‫א‪ .‬חשב אורך גובה של פאה צדדית‪.‬‬
‫ב‪ .‬חשב את שטח הפנים של הפירמידה‪.‬‬
‫ג‪ .‬חשב זווית בין מקצוע צדדי לבסיס‪.‬‬
‫‪58‬‬
‫‪D‬‬
‫‪C‬‬
‫‪25‬‬
‫ס"מ‬
‫‪O‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫‪S‬‬
‫‪D‬‬
‫‪C‬‬
‫‪25‬‬
‫ס"מ‬
‫‪O‬‬
‫‪B‬‬
‫‪A‬‬
‫‪ )40‬נתונה פירמידה ישרה ‪ SABCD‬שבסיסה ריבוע בעל אורך צלע ‪ . a‬אורך מקצועות‬
‫הפירמידה הוא ‪ . 3a‬מעבירים את האלכסון ‪ AC‬ועליו מסמנים את הנקודה ‪E‬‬
‫‪. ‬‬
‫‪CE 1 ‬‬
‫המחלקת אותו ביחס של ‪  1:3‬‬
‫‪ AE 3 ‬‬
‫מהקדקוד ‪ S‬מעבירים את הקטע ‪.SE‬‬
‫א‪ .‬הבע באמצעות ‪ a‬את גובה הפירמידה‪.‬‬
‫ב‪ .‬חשב את הזווית הנוצרת בין הקטע ‪SE‬‬
‫לגובה הפירמידה‪.‬‬
‫ג‪ .‬מצא את ‪ a‬אם ידוע כי שטח המעטפת של הפירמידה‬
‫הוא‪ 560 :‬סמ"ר‪.‬‬
‫‪ )41‬נתונו ת שתי פירמידות ריבועיות ישרות‪ SABCD :‬ו‪.S'A'B'C'D'-‬‬
‫אורך מקצוע הבסיס בפירמידה הראשונה הוא ‪ a‬וגובהה הוא ‪. 2a‬‬
‫אורך מקצוע הבסיס בפירמידה השנייה הוא ‪ 2a‬וגובהה הוא ‪. a‬‬
‫א‪ .‬קבע לאיזו פירמידה יש נפח גדול יותר‪.‬‬
‫ב‪ .‬כעת משנים את הגובה של כל פירמידה כך שנפחן‬
‫יהיה זהה והוא‪ . a 3 :‬מצא את יחס בין המקצוע‬
‫הצדדי של הפירמידה ‪ SABCD‬למקצוע הצדדי‬
‫של הפירמידה '‪.S'A'B'C'D‬‬
‫ג‪ .‬דנה טוענת כי מאחר שנפח שתי הפירמידות‬
‫זהה‪ ,‬הרי גם שטח הפנים שלהן זהה‪.‬‬
‫האם דנה צודקת?‬
‫הוכח את טענתך באמצעות חישוב מתאים‪.‬‬
‫‪ )42‬נתונה פירמידה מרובעת משוכללת וישרה‪.‬‬
‫אורכו של מקצוע הבסיס הוא ‪ 10‬ס"מ ואורכו של המקצוע הצדדי הוא ‪ 16‬ס"מ‪.‬‬
‫חשב את‪:‬‬
‫א‪ .‬הזווית שבין המקצוע הצדדי והבסיס‪.‬‬
‫ב‪ .‬גובה הפירמידה‪.‬‬
‫ג‪ .‬הזווית שבין הפאה הצדדית והבסיס‪.‬‬
‫ד‪ .‬נפח הפירמידה‪.‬‬
‫ה‪ .‬שטח הפנים של הפירמידה‪.‬‬
‫‪ )43‬נתונה פירמידה מרובעת‪ ,‬משוכללת וישרה‪ .‬אורך מקצוע הבסיס הוא ‪ b‬והזווית‬
‫שבין המקצוע הצדדי לבסיס היא ‪ . ‬הבע באמצעות ‪ b‬ו‪  -‬את נפח הפירמידה‬
‫ואת שטח המעטפת שלה‪.‬‬
‫‪59‬‬
‫‪ )44‬נתונה פירמידה מרובעת‪ ,‬משוכללת וישרה‪ .‬אורכו של מקצוע הבסיס הוא ‪a‬‬
‫והזווית שבין שתי פאות צדדיות סמוכות היא ‪ . ‬זווית הבסיס של פאה צדדית‬
‫היא ‪ . ‬הבע באמצעות ‪ ‬את ‪. sin ‬‬
‫‪ )45‬נתונה פירמידה מרובעת‪ ,‬משוכללת וישרה‪ .‬הזווית שבין שני מקצועות צדדיים‬
‫סמוכים היא ‪ 2‬והזווית שבין שני מקצועות צדדיים נגדיים היא ‪. 2‬‬
‫‪sin ‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫הוכח‪:‬‬
‫‪sin ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪.‬‬
‫‪ )46‬נתונה פירמידה מרובעת‪ ,‬משוכללת וישרה‪ .‬גובה הפירמידה הוא ‪ h‬והזווית שבין‬
‫שתי פאות צדדיות היא ‪. ‬‬
‫הראה כי מקצוע הבסיס של הפירמידה הוא‪ 2 cos  :‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ )47‬בקובייה '‪ ABCDA'B'C'D‬חסומה פירמידה ‪ SABCD‬שבה‬
‫כל המקצועות שווים‪ .‬בסיס הפירמידה מונח על בסיס‬
‫הקובייה‪ .‬מצא את גודל הזווית שבין המקצוע הצדדי של‬
‫הפירמידה לפאה צדדית של הקובייה‪ ,‬שלהם‬
‫קדקוד משותף‪.‬‬
‫‪h‬‬
‫‪.‬‬
‫‪cos‬‬
‫'‪B‬‬
‫'‪C‬‬
‫'‪A‬‬
‫'‪D‬‬
‫‪S‬‬
‫‪B‬‬
‫‪C‬‬
‫‪D‬‬
‫פירמידה שבסיסה מלבן‪:‬‬
‫‪A‬‬
‫‪S‬‬
‫‪ )48‬נתונה פירמידה מרובעת וישרה ‪SABCD‬‬
‫שבסיסה מלבן‪ .‬אורכי צלעות הבסיס הם‪:‬‬
‫‪ 12‬ס"מ = ‪ 5 ,AB‬ס"מ = ‪ .BC‬אורך גובה הפירמידה‬
‫הוא‪ 15 :‬ס"מ = ‪.SO‬‬
‫א‪ .‬חשב את נפח הפירמידה‪.‬‬
‫ב‪ .‬חשב את אורך אלכסון הבסיס‪.‬‬
‫ג‪ .‬חשב את הזווית בין מקצוע צדדי לבסיס‪.‬‬
‫‪D‬‬
‫‪C‬‬
‫‪5‬‬
‫ס"מ‬
‫‪B‬‬
‫‪ )49‬נתונה פירמידה מרובעת ישרה ‪SABCD‬‬
‫שבסיסה מלבן‪ .‬אורכי צלעות הבסיס הם‪:‬‬
‫‪ 12‬ס"מ = ‪ 5 ,AB‬ס"מ = ‪ .BC‬אורך גובה הפירמידה‬
‫הוא‪ 15 :‬ס"מ = ‪.SH‬‬
‫‪C‬‬
‫א‪ .‬חשב את גובה הפאה הצדדית ‪.SBC‬‬
‫ב‪ .‬חשב את גובה הפאה הצדדית ‪.ABS‬‬
‫ג‪ .‬חשב את שטח המעטפת של הפירמידה‪.‬‬
‫ד‪ .‬הנקודה ‪ E‬היא אמצע ‪.BC‬‬
‫חשב את הזווית שבין ‪ SE‬לבסיס ‪.ABCD‬‬
‫‪60‬‬
‫‪O‬‬
‫‪ 12‬ס"מ‬
‫‪A‬‬
‫‪S‬‬
‫‪15‬‬
‫ס"מ‬
‫‪5‬‬
‫ס"מ‬
‫‪D‬‬
‫‪H‬‬
‫‪B‬‬
‫‪ 12‬ס"מ‬
‫‪A‬‬
‫‪ )50‬נתונה פירמידה ישרה ומרובעת‬
‫שבסיסה ‪ ABCD‬הוא מלבן‪.‬‬
‫נתון‪ :‬אורך אלכסון הבסיס ‪ AC‬הוא ‪ 10‬ס"מ‪.‬‬
‫גובה הפירמידה ‪ SO‬הוא ‪ 12‬ס"מ‪.‬‬
‫א‪ .‬חשב את אורך המקצוע הצדדי‪.‬‬
‫‪C‬‬
‫ב‪ .‬חשב את הזווית בין מקצוע צדדי לבסיס‪.‬‬
‫ג‪ .‬נתון כי זווית הראש של הפאה הצדדית ‪ SBC‬היא ‪. 40‬‬
‫חשב את אורך מקצוע הבסיס ‪.BC‬‬
‫ד‪ .‬חשב את אורך המקצוע ‪ AB‬ואת נפח הפירמידה‪.‬‬
‫‪ )51‬נתונה פירמידה ‪ ,SABCD‬מרובעת וישרה‬
‫שבסיסה מלבן‪ E .‬אמצע ‪ 16 .BC‬ס"מ = ‪.AB‬‬
‫גובה הפירמידה‪ 10 :‬ס"מ = ‪.SO‬‬
‫א‪ .‬חשב את הזווית שבין הקטע ‪SE‬‬
‫לבסיס הפירמידה ‪.ABCD‬‬
‫‪C‬‬
‫ב‪ .‬חשב את מקצוע ‪ BC‬אם נתון‬
‫‪E‬‬
‫כי נפח הפירמידה הוא ‪ 480‬סמ"ק‪.‬‬
‫ג‪ .‬סמן ב‪ F-‬את אמצע המקצוע ‪.AB‬‬
‫חשב את הזווית שבין ‪ SF‬לבסיס הפירמידה‪.‬‬
‫‪S‬‬
‫‪D‬‬
‫‪O‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫‪S‬‬
‫‪D‬‬
‫‪O‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫‪ )52‬נתונה פירמידה ‪ SABCD‬שבסיסה מלבן‪ .‬זווית הראש של פאה צדדית ‪SAB‬‬
‫היא ‪ . 56‬אורך מקצוע הבסיס ‪ AB‬שווה ל ‪ 12-‬ס"מ‪.‬‬
‫‪S‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫ה‪.‬‬
‫ו‪.‬‬
‫חשב את אורך הגובה ‪ SE‬של הפאה ‪.SAB‬‬
‫חשב את אורך המקצוע הצדדי ‪.SA‬‬
‫נתון כי אורך המקצוע ‪ AD‬הוא ‪ 8‬ס"מ‪.‬‬
‫חשב את גובה הפירמידה‪.‬‬
‫‪C‬‬
‫חשב את נפח הפירמידה‪.‬‬
‫חשב את הזווית בין הקטע ‪ SE‬לבסיס הפירמידה‪.‬‬
‫חשב זווית בין מקצוע צדדי לבסיס‪.‬‬
‫‪ )53‬נתונה פירמידה ‪ SABCD‬מרובעת וישרה‬
‫שבסיסה מלבן‪ .‬אורך המקצוע ‪ AB‬הוא ‪ 15‬ס"מ‪.‬‬
‫הגובה ‪ SE‬של הפאה הצדדית ‪ SAB‬הוא ‪ 20‬ס"מ‪.‬‬
‫גובה הפירמידה ‪ SO‬הוא ‪ 18‬ס"מ‪.‬‬
‫א‪ .‬חשב את אורך מקצוע הבסיס ‪.AD‬‬
‫ב‪ .‬חשב את גובה הפאה הצדדית ‪.SBC‬‬
‫ג‪ .‬חשב את שטח המעטפת של הפירמידה‪.‬‬
‫‪61‬‬
‫‪D‬‬
‫‪B‬‬
‫‪A‬‬
‫‪E‬‬
‫‪S‬‬
‫‪D‬‬
‫‪C‬‬
‫‪O‬‬
‫‪B‬‬
‫‪E‬‬
‫‪A‬‬
‫‪S‬‬
‫‪ )54‬נתונה פירמידה ישרה ‪ .SABCD‬הבסיס ‪ ABCD‬הוא‬
‫הוא מלבן שבו‪ 8 :‬ס"מ = ‪ 6 ,AB‬ס"מ = ‪.BC‬‬
‫אורך מקצוע צדדי הוא ‪ 17‬ס"מ‪.‬‬
‫א‪ .‬חשב את הזווית ‪. CSA‬‬
‫ב‪ .‬חשב את הזווית ‪. CSB‬‬
‫ג‪ .‬חשב את נפח הפירמידה‪.‬‬
‫‪ )55‬נתונה פירמידה ‪ SABCD‬מרובעת וישרה‬
‫שבסיסה מלבן‪ .‬גובה הפירמידה שווה‬
‫ל‪ 24-‬ס"מ‪ .‬הגובה ‪ SE‬בפאה הצדדית ‪SBC‬‬
‫שווה ל‪ 26-‬ס"מ‪ .‬חשב את‪:‬‬
‫א‪ .‬אורך המקצוע ‪.AB‬‬
‫ב‪ .‬הזווית בין הקטע ‪ SE‬לבסיס ‪.ABCD‬‬
‫ג‪ .‬נפח הפירמידה הוא ‪ 2400‬סמ"ק‪.‬‬
‫חשב את אורך המקצוע ‪.BC‬‬
‫‪D‬‬
‫‪C‬‬
‫‪6‬‬
‫ס"מ‬
‫‪O‬‬
‫‪B‬‬
‫‪A‬‬
‫‪ 8‬ס"מ‬
‫‪S‬‬
‫‪24‬‬
‫ס"מ‬
‫‪26‬‬
‫ס"מ‬
‫‪D‬‬
‫‪C‬‬
‫‪O‬‬
‫‪E‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫‪S‬‬
‫‪ )56‬נתונה פירמידה מרובעת וישרה ‪.SABCD‬‬
‫בסיס הפירמידה הוא מלבן‪ .‬אורכי‬
‫צלעות הבסיס הם‪ 5 :‬ס"מ = ‪ 12 , BC‬ס"מ = ‪.AB‬‬
‫זווית הראש של הפאה הצדדית ‪ SBC‬היא ‪. 42‬‬
‫א‪ .‬חשב אורך מקצוע צדדי‪.‬‬
‫ב‪ .‬חשב את שטח הפאה ‪.SBC‬‬
‫ג‪ .‬חשב את גובה הפירמידה‪.SO ,‬‬
‫‪D‬‬
‫‪C‬‬
‫‪5‬‬
‫ס"מ‬
‫‪ )57‬הבסיס ‪ ABCD‬של פירמידה ישרה‬
‫ומרובעת ‪ SABCD‬הוא מלבן (ראה ציור)‪.‬‬
‫נתון‪ 17:‬ס"מ ‪ 25 , AD ‬ס"מ ‪ 12 , AB ‬ס"מ ‪. SH ‬‬
‫א‪ .‬חשב את אלכסון הבסיס של הפירמידה‪.‬‬
‫ב‪ .‬חשב את המקצוע הצדדי של הפירמידה‪.‬‬
‫ג‪ .‬חשב את הזווית שבין מקצוע צדדי לבין‬
‫בסיס הפירמידה‪.‬‬
‫‪ )58‬הבסיס ‪ ABCD‬של פירמידה ישרה‬
‫ומרובעת ‪ SABCD‬הוא מלבן (ראה ציור)‪.‬‬
‫נתון‪ 15 :‬ס"מ ‪ 20 , AD ‬ס"מ ‪ . AB ‬הגובה‬
‫של הפאה הצדדית ‪ SAB‬הוא ‪ 22‬ס"מ ‪. SE ‬‬
‫א‪ .‬חשב את גובה הפירמידה‪.‬‬
‫ב‪ .‬חשב את נפח הפירמידה‪.‬‬
‫ג‪ .‬חשב את הזווית שבין הישר ‪ SE‬לבין בסיס הפירמידה‪.‬‬
‫‪62‬‬
‫‪O‬‬
‫‪B‬‬
‫‪ 12‬ס"מ‬
‫‪A‬‬
‫‪ )59‬הבסיס ‪ ABCD‬של פירמידה ישרה ומרובעת ‪SABCD‬‬
‫הוא מלבן (ראה ציור)‪.‬‬
‫נתון‪ 16 :‬ס"מ ‪ 17 , AD ‬ס"מ ‪. AB ‬‬
‫הגובה של הפאה הצדדית ‪ SAB‬הוא ‪ 12‬ס"מ ‪. SE ‬‬
‫א‪ .‬חשב את גובה הפירמידה‪.‬‬
‫ב‪ .‬חשב את אורך המקצוע הצדדי של הפירמידה‪.‬‬
‫ג‪ .‬חשב את הזווית שבין המקצוע הצדדי לבין‬
‫בסיס הפירמידה‪.‬‬
‫‪ )60‬הבסיס ‪ ABCD‬של פירמידה ישרה ומרובעת ‪SABCD‬‬
‫הוא מלבן (ראה ציור)‪.‬‬
‫נתון‪ 20 :‬ס"מ ‪ 8 , AB ‬ס"מ ‪. SH ‬‬
‫הגובה של הפאה הצדדית ‪ SAB‬הוא ‪ 12‬ס"מ ‪. SE ‬‬
‫א‪ .‬חשב את האורך ‪.AD‬‬
‫ב‪ .‬חשב את אורך ‪.DH‬‬
‫ג‪ .‬חשב את נפח הפירמידה‪.‬‬
‫‪ )61‬הבסיס ‪ ABCD‬של פירמידה ישרה ומרובעת ‪SABCD‬‬
‫הוא מלבן (ראה ציור)‪.‬‬
‫נתון‪ 15 :‬ס"מ ‪ 20 , AB ‬ס"מ ‪ E . BC ‬היא האמצע‬
‫של ‪ .AB‬הזווית שבין הישר ‪ SE‬לבסיס היא בת ‪. 55‬‬
‫א‪ .‬חשב את גובה הפירמידה‪.‬‬
‫ב‪ F .‬היא האמצע של ‪ .BC‬חשב את זווית‬
‫שבין הישר ‪ SF‬לבין בסיס הפירמידה‪.‬‬
‫ג‪ .‬חשב את גובה הפאה הצדדית ‪.SAB‬‬
‫ד‪ .‬חשב את שטח הפאה ‪.SAB‬‬
‫‪ )62‬הבסיס ‪ ABCD‬של פירמידה ישרה ומרובעת ‪SABCD‬‬
‫הוא מלבן (ראה ציור)‪ .‬גובה הפירמידה הוא ‪ 17‬ס"מ‪.‬‬
‫הגובה של הפאה הצדדית ‪ SAB‬הוא ‪ 22‬ס"מ ‪. SE ‬‬
‫א‪ .‬חשב את הזווית שבין הישר ‪ SE‬לבין‬
‫בסיס הפירמידה‪.‬‬
‫ב‪ .‬חשב את מקצוע הבסיס‪.BC ,‬‬
‫ג‪ .‬חשב את מקצוע הבסיס‪ ,AB ,‬אם נפח‬
‫הפירמידה הוא ‪ 1000‬סמ"ק‪.‬‬
‫‪63‬‬
‫‪ )63‬הבסיס ‪ ABCD‬של פירמידה ישרה‬
‫ומרובעת ‪ SABCD‬הוא מלבן (ראה ציור)‪.‬‬
‫נתון‪ 15 :‬ס"מ ‪ 20 , AD ‬ס"מ ‪. AB ‬‬
‫זווית הראש של הפאה הצדדית ‪ SAB‬היא בת ‪. 38‬‬
‫א‪ .‬חשב את הגובה של הפאה הצדדית ‪.SAB‬‬
‫ב‪ .‬חשב את הזווית שבין ‪ SF‬לבין בסיס הפירמידה‪.‬‬
‫ג‪ .‬חשב את גובה הפירמידה‪.‬‬
‫‪ )64‬הבסיס ‪ ABCD‬של פירמידה ישרה‬
‫ומרובעת ‪ SABCD‬הוא מלבן (ראה ציור)‪.‬‬
‫נתון‪ 15 :‬ס"מ ‪ 20 , AD ‬ס"מ ‪. AB ‬‬
‫זווית הראש של הפאה הצדדית ‪ SAB‬היא בת ‪. 38‬‬
‫א‪ .‬חשב את גובה הפאה ‪.SAB‬‬
‫ב‪ .‬חשב את גובה הפירמידה‪.‬‬
‫ג‪ .‬חשב את זווית הראש של הפאה ‪.SAD‬‬
‫‪ )65‬נתונה פירמידה ישרה ‪ SABCD‬שבסיסה מלבן‪ .‬מאמצעי המקצועות הצדדיים‬
‫מעבירים קטעים כך שנוצר המלבן ‪.EFGH‬‬
‫ידוע כי שטח מלבן זה הוא ‪ 48‬סמ"ר וכי אורך‬
‫האלכסון שלו הוא ‪ 10‬ס"מ‪.‬‬
‫הזווית ‪ HSF‬היא בת ‪. 50‬‬
‫א‪ .‬מצא את מידות הבסיס ‪.ABCD‬‬
‫ב‪ .‬מצא את גובה הפירמידה‪.‬‬
‫ג‪ .‬חשב את שטח הפנים של הפירמידה‪.‬‬
‫‪ )66‬נתונות שתי פירמידות ישרות שבסיסן מלבן‪ :‬האחת ‪SABCD -‬‬
‫והשנייה – '‪ .S'A'B'C'D‬הקטעים ‪ SH‬ו‪ S'H'-‬הם בהתאמה הגבהים של שתי‬
‫הפירמידות‪ .‬ידוע כי‪AB  2k , BC  k , HS  3k :‬‬
‫וכי‪. A'B'  3k , B'C'  k , H'S'  2k :‬‬
‫א‪ .‬לפניך מספר טענות ‪ -‬קבע אלו נכונות ואלו שגויות‪ .‬נמק‪.‬‬
‫‪ .1‬לשתי הפירמידות אותו שטח פנים‪.‬‬
‫‪ .2‬לשתי הפירמידות אותו הנפח‪.‬‬
‫‪ .3‬בשתי הפירמידות הזווית שבין מקצוע צדדי‬
‫לבסיס הפירמידה שווה‪.‬‬
‫‪ .4‬אורך מקצוע צדדי בפירמידה ‪ SABCD‬גדול יותר‬
‫מאורך מקצוע צדדי בפירמידה '‪.S'A'B'C'D‬‬
‫‪64‬‬
‫ב‪ .‬מצא את הערך של ‪ k‬בעבורו סכום הנפחים של שתי‬
‫הפירמידות יהיה שווה לנפחה של קובייה בעלת אורך מקצוע של ‪ 4‬ס"מ‪.‬‬
‫‪ )67‬נתונה פירמידה ישרה ‪ SABCD‬שבסיסה מלבן‪.‬‬
‫ידוע כי מקצוע הבסיס ‪ BC‬שווה באורכו לגובה הפירמידה ויסומן ב ‪. t -‬‬
‫כמו כן נתון כי אלכסון הבסיס ‪ AC‬גדול פי ‪ 4‬מהמקצוע ‪.BC‬‬
‫א‪ .‬הבע באמצעות ‪ t‬את אורך המקצוע ‪.AB‬‬
‫ב‪ .‬הורד גובה ‪ SH‬למקצוע ‪ BC‬במישור‬
‫הפאה ‪ SBC‬וחשב את הזווית הנוצרת‬
‫בינו לבין מישור הבסיס ‪.ABCD‬‬
‫ג‪ .‬חשב את הזויות שבין שני מקצועות צדדיים שאינם סמוכים‪.‬‬
‫ד‪ .‬מסמנים את פגישת התיכונים בפאה ‪ SBC‬ב‪ .N-‬מעבירים קטע היוצא‬
‫מנקודת פגישת האלכסונים במישור הבסיס ‪ ABCD‬לנקודה ‪.N‬‬
‫חשב את הזווית שהוא יוצר עם הבסיס‪.‬‬
‫פירמידה שבסיסה משולש שווה צלעות‪:‬‬
‫‪ )68‬נתונה פירמידה ישרה ‪ SABC‬שבסיסה הוא משולש שווה צלעות‪.‬‬
‫מעבירים את הגובה ‪ SD‬בפאה הצדדית ‪ ASB‬וכן את הגובה ‪CD‬‬
‫בבסיס ‪ . ABC‬זווית הבסיס של פאה צדדית במנסרה היא ‪50‬‬
‫ושטח המעטפת הוא‪ 89.38 :‬סמ"ר‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא את אורך מקצוע הבסיס של המנסרה‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא את גובה המנסרה‪.‬‬
‫ג‪ .‬חשב את הזווית ‪.SDC‬‬
‫ד‪ .‬חשב את הזווית שבין המקצוע ‪ SC‬לבסיס הפירמידה‪.‬‬
‫‪ )69‬נתונה פירמידה משולשת‪ ,‬משוכללת וישרה‪.‬‬
‫אורכו של מקצוע הבסיס הוא ‪ 12‬ס"מ ואורכו של המקצוע הצדדי הוא ‪ 14‬ס"מ‪.‬‬
‫א‪ .‬חשב את הזווית שבין המקצוע הצדדי ובסיס הפירמידה‪.‬‬
‫ב‪ .‬חשב את גובה פירמידה‪.‬‬
‫ג‪ .‬חשב את הזווית שבין הפאה הצדדית ובסיס הפירמידה‪.‬‬
‫ד‪ .‬חשב את הזווית שבין שתי פאות צדדיות סמוכות בפירמידה‪.‬‬
‫‪ )70‬נתונה פירמידה משולשת‪ ,‬משוכללת וישרה‪ .‬הזווית שבין שתי פאות צדדיות‬
‫‪1‬‬
‫סמוכות היא ‪ . ‬זווית הבסיס של פאה צדדית היא ‪ . ‬הוכח‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪65‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪. sin   sin‬‬
‫פירמידה שבסיסה משולש שווה שוקיים‪:‬‬
‫‪ )71‬נתונה פירמידה ישרה ‪ SABC‬שבסיסה הוא משולש שווה שוקיים ‪.  AC  BC ‬‬
‫מעבירים גבהים למקצוע ‪ SC‬במישורי הפאות ‪ SAC‬ו‪ SBC-‬כך שהזווית הנוצרת‬
‫בין מישורים אלו היא ‪ . ADB  42‬ידוע כי אורך המקצוע ‪ AB‬הוא ‪ 8‬ס"מ‪.‬‬
‫‪DC 2‬‬
‫הגובה ‪ AD‬בפאה ‪ SAC‬מחלק את המקצוע ‪ SC‬ביחס‪ :‬‬
‫‪SD 3‬‬
‫‪.‬‬
‫א‪ .‬חשב את אורך הגובה ‪.AD‬‬
‫ב‪ .‬חשב את זווית הראש בפאה ‪.SAC‬‬
‫ג‪ .‬חשב את שטח משולש הבסיס ‪.ABC‬‬
‫‪ )72‬נתונה פירמידה משוכללת וישרה ‪.SABC‬‬
‫הבסיס הוא משולש שווה שוקיים ‪,  AC  BC ‬‬
‫אורך שוקו ‪ k‬וזווית הראש שלו היא ‪ . 2‬אורך כל מקצוע צדדי בפירמידה‬
‫גם הוא ‪ . k‬הבע באמצעות ‪ k‬ו‪  -‬את נפח הפירמידה‪.‬‬
‫פירמידה שבסיסה הוא משולש ישר זווית‪:‬‬
‫‪ )73‬נתונה פירמידה ישרה ‪ SABC‬שבסיסה הוא משולש ישר זווית ‪.  ABC  90‬‬
‫בפירמידה זו מעבירים גובה ‪ SD‬בפאה הצדדית ‪ SBC‬כך שנוצר המשולש ‪.SAD‬‬
‫ידוע כי משולש זה הוא שווה שוקיים ובו נסמן‪. SA  AD  2m :‬‬
‫הזווית הנוצרת בין הגובה ‪ SD‬ומישור הבסיס תסומן ב‪. SDA   -‬‬
‫א‪ .‬הראה כי הגובה ‪ SD‬בפאה ‪ SBC‬שווה באורכו‬
‫למקצוע הבסיס ‪.AB‬‬
‫ב‪ .‬מה ניתן לומר על המשולשים‪ SAB‬ו‪SAD-‬‬
‫במקרה זה?‬
‫ג‪ .‬הבע באמצעות ‪ m , ‬את גובה הפירמידה‪.‬‬
‫‪ )74‬נתונה פירמידה משולשת וישרה שבסיסה משולש ישר זווית‪.‬‬
‫אחד מהניצבים במשולש הוא ‪ c‬והזווית שמולו היא ‪ . ‬הזווית שבין המקצוע‬
‫הצדדי לבסיס היא ‪ . ‬הבע באמצעות ‪  , c‬ו‪  -‬את נפח הפירמידה‪.‬‬
‫‪66‬‬
‫תשובות סופיות‪:‬‬
‫‪ )1‬א‪ 10.748 .‬ס"מ‪ .‬ב‪ 1155.2 .‬סמ"ק ‪ 660.959 , V ‬סמ"ר ‪. S ‬‬
‫ג‪ 14.68 .‬ס"מ‪ 18.19 ,‬ס"מ‪ .‬ד‪. AC'B  36.21 .‬‬
‫‪ )2‬א‪ 16.29 .‬ס"מ‪ .‬ב‪ 11.518 .‬ס"מ‪ .‬ג‪ 12.23 .‬ס"מ‪ .‬ד‪ 1622.485 .‬סמ"ק ‪. V ‬‬
‫‪ )3‬א‪ 11 .‬ס"מ‪ .‬ב‪ 34.51 .‬ג‪ 11.313 .‬ס"מ‪ )4 .‬א‪ 8.13 .‬ס"מ‪ .‬ב‪ 33.09 .‬סמ"ר‪.‬‬
‫‪h 2‬‬
‫‪2h 3‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪ )5‬א‪ 51 .‬ס"מ‪ .‬ב‪ )6 . 8.1 .‬א‪ 4 .‬ס"מ‪ 4.47 .‬ס"מ‪ )7 .‬א‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪tan ‬‬
‫‪tan ‬‬
‫‪a 1‬‬
‫‪3ka‬‬
‫‪ . SDOG ‬ב‪ )9 .  .‬ב‪. 0    90 .‬‬
‫‪ )8‬א‪.‬‬
‫‪h 2‬‬
‫‪4 2‬‬
‫‪.‬‬
‫‪ 16.031 )10‬ס"מ ‪. D'BD  25.89 , BD' ‬‬
‫‪ )11‬א‪ 4.195 .‬ס"מ ‪ CC ' ‬ב‪13 .‬ס"מ ‪ AC ‬ג‪ 17.886 .‬ד‪13.66 .‬ס"מ ‪AC ' ‬‬
‫‪. AC ' B  30.96 )12‬‬
‫ה‪ 251.7 .‬סמ"ק ‪ V ‬ו‪142.63 .‬סמ"ר ‪. M ‬‬
‫‪ )13‬א‪ 21.44 .‬ס"מ ‪ CC ' ‬ב‪1029.36 .‬סמ"ק ‪ 696.46 ,V ‬סמ"ר ‪. P ‬‬
‫‪ )14‬א‪ 9.82 .‬ס"מ ‪10.688 , AB ‬ס"מ ‪ BC ‬ב‪ 303.5184 .‬סמ"ר ‪ 513.43 , M ‬סמ"ר ‪. P ‬‬
‫‪ )15‬א‪10.121 .‬ס"מ ‪11.766 , AC ‬ס"מ ‪14.227 , AD ' ‬ס"מ ‪ AC ' ‬ב‪. 34.22 .‬‬
‫ג‪ 496 .‬סמ"ק ‪ 284 ,V ‬סמ"ר ‪ )16 . M ‬א‪ 9 .‬ס"מ=‪ BC‬ב‪8 .‬ס"מ ‪ h ‬ג‪. 28.072 .‬‬
‫‪ )17‬א‪14.42 .‬ס"מ ‪ AC ‬ב‪ 44.15 .‬ג‪ 560 .‬סמ"ר ד‪ 752 .‬סמ"ר‪.‬‬
‫‪ )18‬א‪ 8.4 .‬ס"מ ‪ BB ' ‬ב‪13.06 .‬ס"מ ‪ AD ' ‬ג‪. 40.03 .‬‬
‫‪ )19‬א‪ 9.8 .‬ס"מ ‪ AB ‬ב‪ 1,167.9 .‬סמ"ק ‪ V ‬ג‪ 434.4 .‬סמ"ר‪.‬‬
‫‪ )20‬א‪15.62 .‬ס"מ‪ .‬ב‪12.2 .‬ס"מ ‪ h ‬ג‪ 776.8 .‬סמ"ר ‪. P ‬‬
‫‪ )21‬א‪14.42 .‬ס"מ ‪ A ' D ‬ב‪17.55 .‬ס"מ ‪. B ' D ‬‬
‫‪ )22‬א‪ a tan  .3 a sin  .2 a cos .1 .‬ב‪. 53.13 .‬‬
‫‪ )23‬א‪ a 7 .‬ב‪ 70.6 .‬ג‪. a  5 .‬‬
‫‪. V  m3 sin   sin   cos2   sin 2  )24‬‬
‫‪.  m sin 2 cos   )26 . 24.095 )25‬‬
‫‪3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ )27‬א‪ .‬הצורה היא פירמידה ישרה שבסיסה ריבוע‪ .‬ב‪ 24.1 .‬ג‪ 341 .‬סמ"ק‪.‬‬
‫‪ )28‬א‪ 160.68 .‬סמ"ר‪ .‬ב‪ 2250 .‬סמ"ק‪. 73.89 )29 .‬‬
‫‪ )30‬א‪ 13 .‬ס"מ‪ 13 ,‬ס"מ‪ 5 ,‬ס"מ‪ .‬ב‪. 19.84 .‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ )31‬א‪ MA  2.3a .‬ב‪ 60 .‬ג‪ 73.9 .‬ד‪ 14.47 .‬ה‪. P  15.46a .‬‬
‫‪15‬‬
‫‪15k 3 tan ‬‬
‫‪ V ‬ב‪.‬‬
‫‪ )32‬א‪.‬‬
‫‪8‬‬
‫‪3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪V  k 3 sin  cos tan  )34‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫סמ"ק‪.‬‬
‫‪ )33‬א‪ 10 .‬ס"מ‪ .‬ב‪. 26.56 .‬‬
‫‪ )35‬א‪ 4.875t .‬ב‪ 39.1 .‬ג‪. t  8 .‬‬
‫‪ )36‬ב‪ .‬משולש שווה שוקיים‪66.42, 47.15 .‬‬
‫ג‪ 84 .‬ס"מ‪ .‬ד‪ 10 .‬ס"מ‪.‬‬
‫ב‪B'GE  53.3 .‬‬
‫ה‪ 60 84 .‬סמ"ר‪ )37 .‬א‪EGH  32.31  .‬‬
‫‪ )38‬א‪ 35.36 .‬ס"מ ב‪12.378 .‬ס"מ ‪ h ‬ג‪. 44.72 .‬‬
‫‪ )39‬א‪19.079 .‬ס"מ ב‪ 601.89 .‬ס"מ ‪ P ‬ג‪. 64.896 .‬‬
‫‪67‬‬
‫ג‪. GA'E  75.6 .‬‬
‫‪ )40‬א‪ a 8.5 .‬ב‪ 6.9 .‬ג‪. a  2 .‬‬
‫‪19‬‬
‫‪4‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ )41‬א‪ VS'A'B'C'D'  a3  VSABCD  a3 .‬ב‪ .‬פי‬
‫‪82‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪.4‬‬
‫ג‪ .‬דנה טועה ‪. PS ' A' B 'C ' D '  9a2  PSABCD  7a2‬‬
‫‪ )42‬א‪ 63.77 .‬ב‪ 206 .‬ס"מ‬
‫ג‪70.79 .‬‬
‫‪3‬‬
‫‪b tan a‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪, M  2b2‬‬
‫‪tan 2   )43‬‬
‫‪2‬‬
‫‪4‬‬
‫‪3 2‬‬
‫‪.V ‬‬
‫ד‪ 478.42 .‬סמ"ק ה‪ 402.65 .‬סמ"ר‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪)44‬‬
‫‪1  cos ‬‬
‫‪. 30 )47 . sin  ‬‬
‫‪ )48‬א‪ 300 .‬סמ"ק ‪ V ‬ב‪13 .‬ס"מ ג‪. 66.57 .‬‬
‫‪ )49‬א‪16.155 .‬ס"מ ב‪15.207 .‬ס"מ ג‪ 263.26 .‬סמ"ר ‪ M ‬ד‪. 68.2 .‬‬
‫‪ )50‬א‪13 .‬ס"מ ב‪ 67.38 .‬ג‪ 8.89 .‬ס"מ ‪ BC ‬ד‪ 4.579 .‬ס"מ ‪162.83 , AB ‬סמ"ק ‪V ‬‬
‫‪ )51‬א‪ 51.34 .‬ב‪ 9 .‬ס"מ ‪ BC ‬ג‪. 65.77 .‬‬
‫‪ )52‬א‪11.284 .‬ס"מ ‪ SE ‬ב‪12.78 .‬ס"מ ‪ SA ‬ג‪10.551 .‬ס"מ ‪ h ‬ד‪ 337.632 .‬סמ"ק ‪V ‬‬
‫ה‪ 69.24 .‬ו‪. 55.65 .‬‬
‫‪ )53‬א‪17.435 .‬ס"מ ‪ AD ‬ב‪19.5 .‬ס"מ ‪ SF ‬ג‪ 640 .‬סמ"ר ‪. M ‬‬
‫‪ )54‬א‪ 34.21 .‬ב‪ 20.328 .‬ג‪ 260 .‬סמ"ק ‪.V ‬‬
‫‪ )55‬א‪ 20 .‬ס"מ ‪ AB ‬ב‪ 67.38 .‬ג‪15 .‬ס"מ ‪. BC ‬‬
‫‪ )56‬א‪ 6.976 .‬ס"מ ב‪16.282 .‬סמ"ר ‪ SSBC ‬ג‪ 2.533 .‬ס"מ ‪. h ‬‬
‫‪ )57‬א‪ 30.23 .‬ס"מ ב‪19.3 .‬ס"מ ג‪. 38.44 .‬‬
‫‪ )58‬א‪ 20.68 .‬ס"מ ‪ h ‬ב‪ 2, 068.2 .‬סמ"ק ‪ V ‬ג‪. 70.07 .‬‬
‫‪ )59‬א‪ 8.94 .‬ס"מ ‪ h ‬ב‪14.7 .‬ס"מ ג‪. 37.45 .‬‬
‫‪ )60‬א‪ . AD = 17.89 .‬ב‪13.42 .‬ס"מ ‪ DH ‬ג‪ 954.1 .‬סמ"ק ‪. V ‬‬
‫‪ )61‬א‪14.28 .‬ס"מ ‪ h ‬ב‪ 62.29 .‬ג‪17.43 .‬ס"מ ד‪130.7 .‬סמ"ר ‪.‬‬
‫‪ )62‬א‪ 50.6 .‬ב‪ 27.93 .‬ס"מ ‪ BC ‬ג‪ 6.32 .‬ס"מ ‪. AB ‬‬
‫‪ )63‬א‪ 29.04 .‬ס"מ ב‪ 75.03 .‬ג‪ 28.05 .‬ס"מ ‪. h ‬‬
‫‪ )64‬א‪ 29.04 .‬ס"מ ב‪ 28.05 .‬ס"מ ‪ h ‬ג‪. 28.27 .‬‬
‫‪ )65‬א‪ 12 .‬ס"מ ו ‪ 16-‬ס"מ‪ .‬ב‪ 21.44 .‬ס"מ‪ .‬ג‪ 823 .‬סמ"ר‪.‬‬
‫‪ )66‬א‪ .1 .‬נכון‪ .‬הנפח הוא‪. V  2k 3 :‬‬
‫‪ .2‬לא נכון‪ .‬הזוויות המתקבלות הן‪. 69.56 , 51.67 :‬‬
‫‪ .3‬נכון‪ .‬מתקבל‪ . k 10.25  k 6.5 :‬ב‪. k  3 16 .‬‬
‫ג‪ASC  126.86 .‬‬
‫‪ )67‬א‪ AB  t 15 .‬ב‪SHM  27.31 .‬‬
‫‪ )68‬א‪ 10 .‬ס"מ‪ .‬ב‪ 5.21 .‬ס"מ‪ .‬ג‪ . 61 .‬ד‪. 42 .‬‬
‫‪ )69‬א‪ 60.339 .‬ב‪ 148 .‬ס"מ‪ .‬ג‪ 74.106 .‬ד‪. 67.2 .‬‬
‫‪ )71‬א‪ 11.16 .‬ס"מ‪ .‬ב‪ 53.13 .‬ג‪ 47.27 .‬סמ"ר‪.‬‬
‫‪k 3 sin 2  4cos 2   1‬‬
‫‪)72‬‬
‫‪12cos ‬‬
‫ד‪. NMH  14.47 .‬‬
‫‪.V ‬‬
‫‪ )73‬א‪ SD  AB  4mcos  .‬ב‪ .‬המשולשים חופפים‪ .‬ג‪. 2 3m cos  .‬‬
‫‪c3 tan ‬‬
‫‪)74‬‬
‫‪12 tan  sin ‬‬
‫‪.V ‬‬
‫‪68‬‬
‫תירגול נוסף‪:‬‬
‫תיבה‪:‬‬
‫‪ )1‬בסיס התיבה '‪ ABCDA'B'C'D‬הוא ריבוע שאורך צלעו ‪ 10‬ס"מ‪.‬‬
‫גובה התיבה הוא ‪ 24‬ס"מ‪ .‬הנקודה ‪ E‬נמצאת על אמצע‬
‫המקצוע '‪ A'B‬וממנה מעבירים את הקטעים ‪ CE‬ו‪.DE-‬‬
‫א‪ .‬חשב את אורך הקטע ‪.CE‬‬
‫ב‪ .‬חשב את זווית ‪.CED‬‬
‫ג‪ .‬מורידים גובה ‪ EF‬במישור המשולש ‪.CDE‬‬
‫חשב את הזווית שהוא יוצר עם מישור הבסיס ‪.ABCD‬‬
‫‪ )2‬בתיבה '‪ ABCDA'B'C'D‬שבסיסה ריבוע מעבירים את האלכסון ‪.B'D‬‬
‫הזווית שבין אלכסון התיבה לבסיס התיבה ‪ ABCD‬היא ‪. 56‬‬
‫ידוע כי אורך אלכסון התיבה ‪ B'D‬הוא ‪ 24‬ס"מ‪.‬‬
‫א‪ .‬חשב את גובה התיבה‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא את אורך בסיס הריבוע ‪.ABCD‬‬
‫ג‪ .‬חשב את נפח התיבה‪.‬‬
‫‪ )3‬בתיבה ריבועית '‪ ABDCA'B'C'D‬מעבירים אלכסונים בבסיס‬
‫העליון '‪ .A'B'C'D‬האלכסונים נפגשים בנקודה ‪ O‬וממנה מעבירים‬
‫את הקטע ‪ AO‬שאורכו ‪ 10‬ס"מ‪ .‬אורך גובה התיבה הוא ‪ 8‬ס"מ‪.‬‬
‫א‪ .‬חשב את הזווית שבין הקטע ‪ AO‬למישור הבסיס ‪.ABCD‬‬
‫ב‪ .‬חשב את אורך צלע הבסיס‪.‬‬
‫ג‪ .‬חשב את נפח התיבה‪.‬‬
‫‪ )4‬בתיבה '‪ ABCDA'B'C'D‬שבסיסה ריבוע מקצים נקודה ‪E‬‬
‫באמצע הגובה '‪ .CC‬מעבירים את הקטעים ‪ AB' , AE‬ו‪.B'E-‬‬
‫ידוע כי שטח הפנים של התיבה הוא ‪ 264‬סמ"ר וסכום כל‬
‫מקצועותיה הוא ‪ 80‬ס"מ‪ .‬חשב את היקף המשולש ‪.AB'E‬‬
‫‪ )5‬בתיבה ריבועית '‪ ABCDA'B'C'D‬ידוע כי גובה התיבה גדול‬
‫פי ‪ 2‬ממקצוע הבסיס‪ .‬מעבירים את הקטעים '‪ AC , AB‬ו‪B'C-‬‬
‫כך שנוצר המשולש ‪ AB'C‬כמתואר באיור‪.‬‬
‫שטח המשולש ‪ AB'C‬הוא ‪ 24‬סמ"ר‪.‬‬
‫א‪ .‬חשב את הזווית הנוצרת בין הצלע '‪ AB‬של‬
‫המשולש ומישור הבסיס ‪.ABCD‬‬
‫ב‪ .‬מצא את אורך מקצוע הבסיס של התיבה‪.‬‬
‫ג‪ .‬חשב את נפח התיבה‪.‬‬
‫‪69‬‬
‫‪ )6‬נתונה תיבה '‪ ABCDA'B'C'D‬שבסיסה הוא ריבוע‪ .‬מקצים נקודות ‪ E‬ו ‪ F-‬על‬
‫אמצעי המקצועות '‪ B'C‬ו‪ A'B'-‬בהתאמה כך שנוצר המשולש ‪.EDF‬‬
‫אורך גובה התיבה הוא ‪ 12‬ס"מ והזווית הנוצרת בין‬
‫הקטע ‪ FD‬להיטלו על מישור הבסיס ‪ ABCD‬היא ‪. 50‬‬
‫א‪ .‬מצא את האורך של מקצוע הבסיס בתיבה‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא את הזווית הנוצרת בין הקטע ‪ FD‬להיטלו על‬
‫הפאה הצדדית ‪.AA'D'D‬‬
‫‪ )7‬נתונה תיבה '‪ ABCDA'B'C'D‬שבסיסה מלבן‪ .‬רוחב המלבן גדול‬
‫פי ‪ 2‬מאורכו ושווה לגובה המלבן ‪.  2AD  2AA'  AB‬‬
‫מעבירים את האלכסון ‪ BD‬בבסיס ‪ ABCD‬ואת‬
‫אלכסון התיבה '‪.BD‬‬
‫א‪ .‬חשב את הזווית שבין האלכסון '‪ BD‬למישור‬
‫הבסיס ‪.ABCD‬‬
‫ב‪ .‬מצא את שטח המעטפת של התיבה אם ידוע כי‬
‫נפחה הוא ‪ 432‬סמ"ק‪.‬‬
‫‪ )8‬בתיבה '‪ ABCDA'B'C'D‬שבסיסה מלבן מעבירים את האלכסונים‬
‫'‪ AC‬ו‪ BD'-‬הנחתכים בנקודה ‪ .M‬ידוע כי המשולש ‪ AMB‬הוא ישר‬
‫זווית ‪ .  AMB  90‬אורך אלכסון התיבה הוא ‪ 2a‬וגובה התיבה‬
‫שווה באורכו למקצוע הבסיס הקטן ‪.BC‬‬
‫א‪ .‬הבע באמצעות ‪ a‬את אורכי מקצועות הבסיס‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא את הזווית שבין אלכסון התיבה '‪ BD‬לבין‬
‫הפאה הצדדית '‪.ADD'A‬‬
‫ג‪ .‬מצא את ‪ a‬אם ידוע כי נפח התיבה הוא ‪ 27 2‬סמ"ק‪.‬‬
‫‪ )9‬בתיבה '‪ ABCDA'B'C'D‬שבסיסה מלבן מקצים נקודה ‪ E‬באמצע‬
‫המקצוע '‪ .C'D‬מהנקודה ‪ E‬מעבירים את הקטעים ‪ BE‬ו‪ DE-‬כך‬
‫שנוצר המשולש ‪ .BED‬מסמנים את אורכי מקצועות‬
‫התיבה‪ . AB  3a , AD  2a :‬ידוע כי גובה התיבה שווה‬
‫באורכו למקצוע הבסיס ‪.AD‬‬
‫א‪ .‬מצא את הזווית הנוצרת בין הצלע ‪ BE‬למישור‬
‫הפאה הצדדית ‪.BB'C'C‬‬
‫ב‪ .‬הבע באמצעות ‪ a‬את היקף המשולש ‪.BDE‬‬
‫ג‪ .‬מצא את ‪ a‬אם ידוע כי היקף המשולש ‪ BDE‬קטן ב‪ 14-‬ס"מ‬
‫מהיקף הבסיס ‪.ABCD‬‬
‫‪70‬‬
‫‪ )10‬נתונה קובייה '‪ .ABCDA'B'C'D‬מעבירים את האלכסון בבסיס‬
‫העליון '‪ A'C‬ומקצים נקודה ‪ M‬באמצעו‪ .‬מהנקודה ‪ M‬מעבירים‬
‫את הקטעים ‪ AM‬ו‪ CM-‬כך שנוצר המשולש ‪.AMC‬‬
‫נתון‪ 6 :‬ס"מ ‪. AMC  120 , AM ‬‬
‫א‪ .‬הסבר מדוע המשולש ‪ AMC‬הוא שווה שוקיים‪.‬‬
‫ב‪ .‬חשב את אורך הגובה של הקובייה‪.‬‬
‫ג‪ .‬חשב את נפח הקובייה‪.‬‬
‫מנסרה ישרה‪:‬‬
‫‪ )11‬במנסרה משולשת וישרה '‪ ABCA'B'C‬שבסיסה משולש שווה צלעות מעבירים את‬
‫האלכסונים '‪ AB‬ו ‪ AC'-‬ואת הקטע ‪ D( AD‬אמצע '‪ .)B'C‬הזווית שבין ‪ AD‬למישור‬
‫הבסיס ‪ ABC‬היא ‪ . 40‬אורך גובה המנסרה הוא ‪ 14‬ס"מ‪.‬‬
‫א‪ .‬חשב את אורך מקצוע בסיס המנסרה‪.‬‬
‫ב‪ .‬חשב את הזווית הנוצרת בין האלכסון '‪AB‬‬
‫למישור הבסיס ‪.ABC‬‬
‫ג‪ .‬חשב את שטח המשולש '‪.AB'C‬‬
‫ד‪ .‬חשב את נפח המנסרה‪.‬‬
‫‪ )12‬במנסרה ישרה ומשולשת '‪ ABCA'B'C‬שבסיסה משולש שווה צלעות מסמנים את‬
‫אמצע מקצוע הבסיס ‪ AB‬בנקודה ‪ E‬וממנה מעבירים את הקטעים ‪ FE , CE‬ו‪,C'E-‬‬
‫כך ש‪ FE-‬הוא חוצה זווית במשולש '‪ .CEC‬זווית '‪ FEC‬תסומן ב ‪ .  -‬מקצוע הבסיס‬
‫של המנסרה הוא ‪. k‬‬
‫א‪ .‬הבע באמצעות ‪ k‬ו‪  -‬את גובה המנסרה‪.‬‬
‫ב‪ .‬הבע באמצעות ‪ k‬ו‪  -‬את שטח המשולש '‪.FEC‬‬
‫ג‪ .‬נתון‪ . k  6 ,   30 :‬חשב את נפח המנסרה‪.‬‬
‫‪ )13‬במנסרה משולשת וישרה '‪ ABCA'B'C‬שבסיסה משולש שווה‬
‫צלעות מסמנים את אמצעי המקצועות ‪ AB‬ו‪ CC'-‬בנקודות ‪ E‬ו‪ F-‬בהתאמה‪.‬‬
‫ידוע כי גובה המנסרה שווה למקצוע הבסיס ומסומן ב‪. 2x -‬‬
‫אורך הקטע ‪ FE‬הוא ‪ 16‬ס"מ והזווית ‪ EAF‬היא ‪. 63.434‬‬
‫א‪ .‬הבע באמצעות ‪ x‬את אורך הקטע ‪ AF‬ממשולש ‪.AFE‬‬
‫ב‪ .‬מצא את ‪( x‬עגל למספר שלם)‪.‬‬
‫(רמז‪ :‬השתמש במשפט פיתגורס במשולש ‪.)ACF‬‬
‫ג‪ .‬חשב את נפח המנסרה‪.‬‬
‫‪71‬‬
‫‪ )14‬במנסרה משולשת וישרה '‪ ABCA'B'C‬שבסיסה משולש שווה צלעות מעבירים את‬
‫אלכסוני הפאות '‪ AB‬ו‪ AC'-‬ומסמנים‪. B'AC'  2 :‬‬
‫אורך כל אלכסון הוא ‪. k‬‬
‫א‪ .1 .‬הבע באמצעות ‪ k‬ו‪  -‬את אורך מקצוע הבסיס‬
‫של המנסרה‪.‬‬
‫‪ .2‬הבע באמצעות ‪ k‬ו‪  -‬את אורך גובה המנסרה‪.‬‬
‫‪ .3‬הבע באמצעות ‪ k‬ו‪  -‬את נפח המנסרה‪.‬‬
‫ב‪ .‬חשב את נפח המנסרה כאשר‪. k  5 ,   15 :‬‬
‫‪ )15‬במנסרה משולשת וישרה '‪ ABCA'B'C‬שבסיסה הוא משולש שווה‬
‫שוקיים ‪  AC  BC ‬אורך המקצוע ‪ AC‬הוא ‪ 8‬ס"מ‪ .‬ידוע כי זווית‬
‫הראש ‪ ACB‬היא בת ‪ 20‬וכי גובה המנסרה הוא ‪ 4‬ס"מ‪.‬‬
‫מעבירים את האלכסונים '‪ AC‬ו ‪.AB'-‬‬
‫א‪ .‬חשב את אורכי האלכסונים '‪ AC‬ו‪.AB'-‬‬
‫ב‪ .‬חשב את הזווית שבין האלכסונים '‪ AB‬ו ‪AC'-‬‬
‫למישור הבסיס ‪.ABC‬‬
‫ג‪ .‬חשב את נפח המנסרה‪.‬‬
‫‪ )16‬נתונה מנסרה משולשת וישרה '‪ ABCA'B'C‬שבסיסה הוא משולש שווה‬
‫שוקיים ‪ .  AC  BC ‬מאמצע הגובה '‪ AA‬מעבירים את הקטעים ‪ CE‬ו‪,B'E-‬‬
‫כך שנוצר המשולש '‪ .CEB‬נתון‪. BB'  2t , AC  5t , ACB  40 :‬‬
‫א‪ .‬חשב את הזוויות הנוצרות בין כל אחת מצלעות‬
‫המשולש '‪ CEB‬למישור הבסיס ‪.ABC‬‬
‫ב‪ .‬חשב את היקף המשולש '‪.CEB‬‬
‫‪ )17‬במנסרה '‪ ABCA'B'C‬שבסיסה הוא משולש ישר‬
‫זווית ‪  ABC  90‬מעבירים את האלכסונים ‪ A'B‬ו‪ BC'-‬כך‬
‫שנוצר המשולש '‪ .A'BC‬ידוע כי‪ 15.6 :‬ס"מ ‪ 10 , BC' ‬ס"מ ‪A'B ‬‬
‫וכי‪ 22.4 :‬ס"מ ‪. AB  BC ‬‬
‫א‪ .‬מצא את גובה המנסרה '‪.AA‬‬
‫ב‪ .‬חשב את הזווית שבין האלכסון '‪ BC‬למישור‬
‫הבסיס ‪.ABC‬‬
‫ג‪ .‬חשב את נפח המנסרה‪.‬‬
‫‪72‬‬
‫פירמידה‪:‬‬
‫‪ )18‬נתונה פירמידה ישרה ‪ SABCD‬שבסיסה ריבוע‪ .‬מידות גובה הפירמידה‬
‫ומקצוע הפירמידה הצדדי הם בהתאמה‪ 14 :‬ס"מ ו‪ 18-‬ס"מ‪.‬‬
‫א‪ .‬חשב את אורך מקצוע הבסיס‪.‬‬
‫ב‪ .‬חשב את נפח הפירמידה‪.‬‬
‫ג‪ .‬חשב את שטח הפנים של הפירמידה‪.‬‬
‫ד‪ .‬חשב את זווית הראש של פאה צדדית בפירמידה‪.‬‬
‫ה‪ .‬חשב את הזווית שבין המקצועות ‪ SB‬ו‪.SD-‬‬
‫‪ )19‬בפירמידה ישרה ‪ SABCD‬שבסיסה ריבוע מעבירים את הגובה ‪ SO‬למקצוע הבסיס‬
‫‪ BC‬בפאה הצדדית ‪ SBC‬וידוע כי הזווית שהוא יוצר עם מישור‬
‫הבסיס ‪ ABCD‬היא‪. 75 :‬‬
‫א‪ .‬פי כמה גדול גובה הפירמידה מאורך מקצוע הבסיס שלה?‬
‫ידוע כי גובה הפירמידה הוא ‪ 18.66‬ס"מ‪.‬‬
‫ב‪ .‬חשב את הזווית הנוצרת בין גובה הפירמידה‬
‫ובין אחד המקצועות הצדדיים‪.‬‬
‫ג‪ .‬חשב את זווית הראש של אחת הפאות הצדדיות‪.‬‬
‫ד‪ .‬חשב את הזווית הנוצרת שבין שני המקצועות ‪ SD‬ו‪.SB-‬‬
‫‪ )20‬נתונה פירמידה ישרה ‪ SABCD‬שבסיסה ריבוע‪ .‬מאמצעי המקצועות ‪ AD‬ו‪BC-‬‬
‫מעבירים את הקטע ‪ EF‬ויוצרים את המשולש ‪ .SEF‬הנקודה ‪ G‬נמצאת על אמצע ‪SF‬‬
‫וידוע כי המשולש ‪ SEF‬הוא שווה צלעות‪ .‬מסמנים‪. GE  k :‬‬
‫א‪ .‬הבע באמצעות ‪ k‬את נפח הפירמידה‪.‬‬
‫ב‪ .‬חשב את זווית הבסיס של פאה צדדית‪.‬‬
‫ג‪ .‬חשב את הזווית שבין מקצוע צדדי לבסיס‬
‫הפירמידה‪.‬‬
‫ד‪ .‬מעבירים את הקטעים ‪ BE‬ו‪ BG-‬כך שנוצר‬
‫המשולש ‪ .BEG‬ידוע כי היקפו הוא‪ 28.17 :‬ס"מ‪.‬‬
‫מצא את ‪. k‬‬
‫‪ )21‬נתונה פירמידה ישרה ‪ SABCD‬שבסיסה מלבן‪.‬‬
‫ידוע כי‪ 8 :‬ס"מ ‪ 12 , BC ‬ס"מ ‪. AB ‬‬
‫הזווית שבין המקצוע ‪ SB‬ומישור הבסיס היא‪. 60 :‬‬
‫א‪ .‬חשב את האורך של אלכסון בסיס הפירמידה‪.‬‬
‫ב‪ .‬חשב את אורך גובה הפירמידה‪.‬‬
‫ג‪ .‬חשב את שטח הפנים של הפירמידה‪.‬‬
‫ד‪ .‬חשב את נפח הפירמידה‪.‬‬
‫‪73‬‬
‫‪ )22‬נתונה פירמידה ישרה ‪ SABCD‬שבסיסה מלבן‪ .‬ידוע כי אורך‬
‫המקצוע ‪ AB‬של המלבן הגדול פי ‪ 2‬מאורך המקצוע ‪.BC‬‬
‫הזווית הנוצרת בין מקצוע צדדי למישור בסיס הפירמידה‬
‫היא ‪ . 60‬נפח הפירמידה הוא‪ 72 15 :‬סמ"ק‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא את מידות בסיס הפירמידה (‪ AB‬ו‪.)BC-‬‬
‫ב‪ .‬חשב את זווית הראש של הפאה הצדדית ‪.SAB‬‬
‫ג‪ .‬חשב את שטח הפנים של הפירמידה‪.‬‬
‫‪ )23‬נתונה פירמידה ישרה ‪ SABCD‬שבסיסה מלבן‪.‬‬
‫מקצועות הפירמידה מקיימים‪. SB  3k , AB  2k , BC  k :‬‬
‫א‪ .‬מצא את זוויות הבסיס של הפאות ‪ SAB‬ו‪.SBC-‬‬
‫ב‪ .‬הבע באמצעות ‪ k‬את גובה הפירמידה‪.‬‬
‫ג‪ .‬מצא את ‪ k‬בעבורו נפח הפירמידה יהיה‬
‫שווה ל‪ 232-‬סמ"ק‪.‬‬
‫‪ )24‬נתונה פירמידה ישרה ‪ SABCD‬שבסיסה מלבן‪.‬‬
‫מעבירים את האלכסון ‪ AC‬ומורידים את הגובה ‪.SH‬‬
‫אורך מקצוע צדדי הוא ‪ k‬ומסמנים את הזווית‪ACB   :‬‬
‫וכן זווית הראש של הפאה ‪ SBC‬היא‪. 2 :‬‬
‫א‪ .‬הבע באמצעות ‪ k‬ו‪  -‬את מידות הבסיס ‪.ABCD‬‬
‫ב‪ .‬הבע באמצעות ‪ k‬ו‪  -‬את גובה הפירמידה‪.‬‬
‫ג‪ .‬מצא את ‪ ‬אם ידוע כי אורך גובה הפירמידה שווה למחצית‬
‫מאורך האלכסון ‪.AC‬‬
‫‪ )25‬נתונה פירמידה ישרה ‪ SABC‬שבסיסה הוא משולש שווה צלעות‪ .‬ידוע כי אורך‬
‫מקצוע הבסיס שלה הוא ‪ 12‬ס"מ וכי אורך מקצוע צדדי שלה הוא ‪ 14‬ס"מ‪.‬‬
‫א‪ .‬חשב את שטח בסיס הפירמידה ‪.ABC‬‬
‫ב‪ .‬חשב את גובה הפירמידה‪.‬‬
‫ג‪ .‬חשב את נפח הפירמידה‪.‬‬
‫ד‪ .‬חשב את שטח הפנים של הפירמידה‪.‬‬
‫ה‪ .‬חשב את הזווית שבין מקצוע צדדי למישור‬
‫הבסיס ‪ ABC‬בפירמידה‪.‬‬
‫‪ )26‬נתונה פירמידה ישרה ‪ SABC‬שבסיסה הוא משולש‬
‫שווה שוקיים ‪ .  AC  BC ‬ידוע כי משולש הפאה ‪ SAC‬הוא שווה צלעות שאורך‬
‫צלעו היא ‪ 16‬ס"מ‪ .‬זווית הראש של הפאה ‪ SAB‬היא‪. 30 :‬‬
‫‪74‬‬
‫א‪ .‬מצא את אורך המקצוע ‪.AB‬‬
‫ב‪ .‬חשב את הזוויות שבין המקצוע ‪SC‬‬
‫למישור הבסיס ‪.ABC‬‬
‫ג‪ .‬חשב את שטח המעטפת של הפירמידה‪.‬‬
‫ד‪ .‬חשב את נפח הפירמידה‪.‬‬
‫‪ )27‬נתונה פירמידה ישרה ‪ SABC‬שבסיסה הוא משולש שווה שוקיים ‪.  AC  BC ‬‬
‫מורידים גובה ‪ SD‬בפאה הצדדית ‪ SAB‬ואת גובה הפירמידה ‪.SH‬‬
‫ידוע כי המשולש ‪ SCD‬הוא שווה שוקיים שבו‪ 12:‬ס"מ ‪SC  CD ‬‬
‫ו‪. SCD  50 -‬‬
‫א‪ .‬מצא את אורך גובה הפירמידה‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא את אורך המקצוע ‪.AB‬‬
‫ג‪ .‬חשב את הזווית שבין המקצועות ‪ AS‬ו‪.CS-‬‬
‫ד‪ .‬חשב את הזווית שבין המקצועות ‪ AS‬ו‪.BS-‬‬
‫‪ )28‬נתונה פירמידה ישרה ‪ SABC‬שבסיסה הוא משולש ישר זווית ‪.  ABC  90‬‬
‫ידוע כי אורך מקצוע צדדי בפירמידה הוא ‪ 8‬ס"מ וכי שטח משולש הבסיס‬
‫הוא ‪ 24‬סמ"ר‪ .‬הפאה הצדדית ‪ SAB‬היא משולש שווה צלעות‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא את מידות מקצועות הבסיס‪.‬‬
‫ב‪ .‬חשב את אורך גובה הפירמידה‪.‬‬
‫ג‪ .‬חשב את הזווית שבין המקצוע ‪ SB‬למישור‬
‫הבסיס ‪.ABC‬‬
‫‪ )29‬לפניך שתי הצורות המרחביות הבאות‪:‬‬
‫‪ .1‬פירמידה ישרה שבסיסה משולש ישר זווית בעל מקצועות‬
‫ניצבים במידות ‪ a , 2a‬וגובה ‪. 2a‬‬
‫‪ .2‬פירמידה ישרה שבסיסה מלבן במידות ‪ a , 2a‬וגובה ‪. 2a‬‬
‫א‪ .‬לפניך מספר טענות‪ ,‬קבע אלו מהן נכונות ואלו שגויות‬
‫ונמק את קביעותיך באמצעות חישוב מתאים‪.‬‬
‫‪ .1‬הנפח של פירמידה ‪ 2‬גדול פי ‪ 2‬מהנפח של פירמידה ‪.1‬‬
‫‪ .2‬הזויות שיוצר גובה הפירמידה עם כל אחד מהמקצועות‬
‫הצדדיים בשתי הפירמידות שווה‪.‬‬
‫‪ .3‬שטח המעטפת של פירמידה ‪ 2‬גדול פי ‪ 2‬משטח‬
‫המעטפת של פירמידה ‪.1‬‬
‫ב‪ .‬הבע באמצעות ‪ a‬את אורך מקצוע קובייה שנפחה שווה‬
‫לסכום הנפחים של פירמידות ‪ 1‬ו‪.2-‬‬
‫‪75‬‬
‫תשובות סופיות‪:‬‬
‫‪ )1‬א‪ 26.476 .‬ס"מ‪ .‬ב‪ 21.771 .‬ג‪. 67.38 .‬‬
‫‪ )2‬א‪ 19.8 .‬ס"מ ב‪ 9.48 .‬ס"מ ג‪ 1791.22 .‬סמ"ק‪.‬‬
‫‪ )3‬א‪ 53.13 .‬ב‪ 8.48 .‬ס"מ‪ .‬ג‪ 576 .‬סמ"ק‪.‬‬
‫‪ 26.6 )4‬ס"מ או ‪ 27.6‬ס"מ‪.‬‬
‫‪ )5‬א‪ . 63.43 .‬ב‪ 4 .‬ס"מ‪ .‬ג‪ 128 .‬סמ"ק‪.‬‬
‫‪ )6‬א‪ 9 .‬ס"מ‪ .‬ב‪.16.7 .‬‬
‫‪ )7‬א‪ 24.1 .‬ב‪ 216 .‬סמ"ר‪.‬‬
‫‪ )8‬א‪ a , a 2 .‬ב‪ 45 .‬ג‪. a  3 .‬‬
‫‪ )9‬א‪ 27.9 .‬ב‪ 9.3a .‬ג‪. a  20 .‬‬
‫‪ )10‬א‪ .‬הקטעים ‪ AM‬ו‪ CM-‬שווים וזאת ניתן לראות בשני המשולשים ‪ AMO‬ו‪CMO-‬‬
‫כאשר ‪ O‬אמצע האלכסון ‪ .AC‬ב‪ 3 .‬ס"מ‪ .‬ג‪ 27 .‬סמ"ק‪.‬‬
‫‪ )11‬א‪ 19.26 .‬ס"מ‪ .‬ב‪ . 36 .‬ג‪ 209.7 .‬סמ"ר‪ .‬ד‪ 2250 .‬סמ"ק‪.‬‬
‫‪3k 2‬‬
‫‪ )12‬א‪ 0.5k 3 tan 2 .‬ב‪ tan 2  tan   .‬‬
‫‪8‬‬
‫‪ )13‬א‪x 2  256 .‬‬
‫ג‪ 81 3 .‬סמ"ק‪.‬‬
‫ב‪ x  8 .‬ג‪ 1024 3 .‬סמ"ק‪.‬‬
‫‪ )14‬א‪ k 3 sin2  3 1 4sin2  )3( k 1  4sin 2  )2( 2k sin  )1( .‬ב‪ 12.4 .‬סמ"ק‪.‬‬
‫‪ )15‬א‪ 80 ,4.87 .‬ב‪ 26.56 , 55.21 .‬ג‪ 43.77 .‬סמ"ק‪.‬‬
‫‪ )16‬א‪ 11.3 , 16.29  , 21.8  .‬ב‪. 14.04t .‬‬
‫‪ )17‬א‪ 6 .‬ס"מ‪ .‬ב‪ 22.61 .‬ג‪ 345.6 .‬סמ"ק‪.‬‬
‫‪ )18‬א‪ 16 .‬ס"מ‪ .‬ב‪ 1194.66 .‬סמ"ק‪ .‬ג‪ 772 .‬סמ"ר‪ .‬ד‪ 52.7 .‬ה‪. 77.88 .‬‬
‫‪ )19‬א‪ .‬פי ‪ .1.86‬ב‪ 20.75 .‬ג‪ 29 .‬ד‪. 41.5 .‬‬
‫‪4k 3‬‬
‫‪ )20‬א‪.‬‬
‫‪9‬‬
‫ב‪ 63.43 .‬ג‪ 50.76 .‬ד‪. k  10 .‬‬
‫‪ )21‬א‪ 208 .‬ס"מ‪ .‬ב‪ 12.48 .‬ס"מ‪ .‬ג‪ 364.23 .‬סמ"ר‪ .‬ד‪ 399.36 .‬סמ"ק‪.‬‬
‫‪ )22‬א‪ 12 .‬ס"מ‪ 6 ,‬ס"מ‪ .‬ב‪ . 53.13 .‬ג‪ 294.46 .‬סמ"ר‪.‬‬
‫‪ )23‬א‪ 70.52 , 80.4  .‬ב‪ k 7.75 .‬ג‪. k  5 .‬‬
‫‪ )24‬א‪ 2k sin  , 2 k sin  tan  .‬ב‪ . k 1  tan 2  .‬ג‪.   35.26 .‬‬
‫‪ )25‬א‪ 36 3 .‬סמ"ר‪ .‬ב‪ 148 .‬ס"מ‪ .‬ג‪ 24 111 .‬סמ"ק‪ .‬ד‪ 290 .‬סמ"ר‪ .‬ה‪. 60.33 .‬‬
‫‪ )26‬א‪ 8.28 .‬ס"מ‪ .‬ב‪ 70.52 .‬ג‪ 285.7 .‬סמ"ר‪ .‬ד‪ 321.27 .‬סמ"ק‪.‬‬
‫‪ )27‬א‪ 9.19 .‬ס"מ‪ .‬ב‪ 12.83 .‬ס"מ‪ .‬ג‪ 69 .‬ד‪. 64.6 .‬‬
‫‪ )28‬א‪ 10  8  6 .‬ס"מ‪ .‬ב‪ 39 .‬ס"מ‪ .‬ג‪. 51.31 .‬‬
‫‪ )29‬א‪ .1 .‬הטענה נכונה‪ .2 .‬הטענה נכונה‪ .3 .‬הטענה אינה נכונה‪ .‬ב‪. a 3 2 .‬‬
‫‪76‬‬
‫תרגול מבגרויות‪:‬‬
‫‪ )1‬במשולש ‪ ABC‬נתון‪, CAB   , AB  a :‬‬
‫‪( CBA  ‬ראה ציור)‪.‬‬
‫הבע באמצעות ‪  , a‬ו‪  -‬את נפח הגוף שנוצר‬
‫כאשר המשולש מסתובב סביב הצלע ‪.AB‬‬
‫‪ )2‬נתונה פירמידה ישרה ‪SABCD‬‬
‫שבסיסה ‪ ABCD‬הוא ריבוע‪.‬‬
‫‪ H ,G ,F ,E‬הן נקודות האמצע של‬
‫צלעות הבסיס (ראה ציור)‪.‬‬
‫נתון כי גובה הפירמידה שווה לצלע‬
‫הבסיס‪ .‬חשב את גודל הזווית שבין‬
‫המישור ‪ SHG‬למישור ‪.SFE‬‬
‫‪ )3‬נתון חרוט ישר שקדקודו ‪ ,S‬ומרכז הבסיס שלו הוא ‪.O‬‬
‫‪ ,D ,B‬ו‪ C -‬הן נקודות על ההיקף של בסיס החרוט‪.‬‬
‫‪ DC‬הוא קוטר‪.‬‬
‫נתון‪, BOC  40 :‬‬
‫הזווית בין המישור ‪ SBC‬למישור של בסיס‬
‫החרוט היא ‪. 55‬‬
‫חשב את גודל הזווית ‪.DSC‬‬
‫‪ )4‬נתונה פירמידה ישרה ‪ SABCD‬שבסיסה ‪ ABCD‬הוא ריבוע‪.‬‬
‫‪ M‬היא נקודה על המקצוע ‪ SC‬כך ש‪ DMB -‬היא הזווית‬
‫שבין שתי פאות סמוכות (ראה ציור)‪.‬‬
‫נתון‪. DMB  2 :‬‬
‫זווית הבסיס בפאה צדדית היא ‪. ‬‬
‫א‪ .‬מצא את הערך של המכפלה ‪. sin   sin ‬‬
‫ב‪ .‬האם ייתכן ש‪ ?   45 -‬נמק‪.‬‬
‫‪77‬‬
‫‪ )5‬נתונה פירמידה ישרה ‪ABCDE‬‬
‫שבסיסה ריבוע (ראה ציור)‪.‬‬
‫הזווית בין פאה צדדית בפירמידה‬
‫לבסיס הפירמידה היא ‪. 70‬‬
‫א‪ .‬מצא את גודל זווית הראש בפאה צדדית‪.‬‬
‫ב‪ .‬נפח הפירמידה הוא ‪ 11‬סמ"ק‪.‬‬
‫מצא את האורך של צלע הבסיס של הפירמידה‪.‬‬
‫‪ )6‬נתונה פירמידה ישרה ‪ EABCD‬שבסיסה ‪ABCD‬הוא ריבוע‪.‬‬
‫‪ F‬היא נקודה על המקצוע ‪ ,EC‬ו‪ G-‬היא נקודה על‬
‫המקצוע ‪ ED‬כך שנוצר המישור ‪.GFBA‬‬
‫‪ ,EL‬הגובה ל‪ DC-‬בפאה ‪ ,EDC‬חותך את ‪ GF‬בנקודה ‪.K‬‬
‫‪ KM‬הוא אנך אמצעי ל ‪( AB-‬ראה ציור)‪.‬‬
‫הזווית בין פאה צדדית של הפירמידה לבסיס‬
‫הפירמידה היא ‪ . 70‬הזווית בין המישור ‪GFBA‬‬
‫לבסיס הפירמידה ‪ . 40‬גובה הפירמידה הוא ‪ 2.75‬ס"מ‪.‬‬
‫מצא את האורך של הקטע ‪.KL‬‬
‫תשובות סופיות‪:‬‬
‫‪)1‬‬
‫‪tan 2  tan 2 ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ tan   tan  ‬‬
‫‪‬‬
‫‪ a3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪.V ‬‬
‫‪. 38.94 )2‬‬
‫‪. 73.37 )3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ )4‬א‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ )5‬א‪ 37.76 .‬ב‪ 2.89 .‬ס"מ‪.‬‬
‫ב‪ .‬לא‪.‬‬
‫‪ 1.369 )6‬ס"מ‪.‬‬
‫‪78‬‬
‫פרק ‪ – 3‬ווקטורים‪:‬‬
‫ווקטורים גיאומטריים‪:‬‬
‫‪A‬‬
‫הגדרה כללית‪:‬‬
‫להלן תיאור של ווקטור גיאומטרי‪:‬‬
‫ווקטור שמוצאו בנקודה ‪ A‬ומסתיים בנקודה ‪ B‬יסומן באופן הבא‪. AB :‬‬
‫ניתן לסמן ווקטור באות קטנה באופן הבא‪( u :‬אותיות מקובלות לסימון הן‪.) u, v , w :‬‬
‫‪B‬‬
‫מהאיור לעיל מתקיים‪. AB  u :‬‬
‫קשרים בין ווקטורים‪:‬‬
‫‪ .1‬ווקטורים שווים‪ :‬שני ווקטורים נקראים שווים אם הם זהים בגודלם ובכיוונם‪.‬‬
‫דוגמא לווקטורים שווים‪:‬‬
‫מתקיים‪. AB  CD :‬‬
‫‪C‬‬
‫‪D‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫‪ .2‬ווקטורים מקבילים‪ :‬שני ווקטורים שכיוונם זהה נקראים מקבילים‪.‬‬
‫‪ ‬ניתן להביע את האחד באמצעות השני ע"י כפל בסקלר‪.‬‬
‫‪ ‬ווקטורים מקבילים נקראים גם "ווקטורים תלויים ליניארית"‪.‬‬
‫דוגמא לתלות בין ווקטורים מקבילים‪:‬‬
‫עבור ‪   1‬מתקיים‪, v   u :‬‬
‫‪A‬‬
‫‪D‬‬
‫‪B‬‬
‫או‪. AB    CD :‬‬
‫‪C‬‬
‫‪ .3‬אם זוג ווקטורים במרחב‪ AB   u   v   w :‬ו ‪ CD  au  bv  c w -‬מקבילים‬
‫אז מתקיים‪.      :‬‬
‫‪c‬‬
‫‪b‬‬
‫‪a‬‬
‫‪A‬‬
‫ווקטור המסומן ‪ BA‬הוא בעל גודל זהה לווקטור ‪AB‬‬
‫וכיוון הפוך לו‪ .‬במקרה זה מתקיים‪. BA  u :‬‬
‫‪B‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫*הערה‪:‬‬
‫שני ווקטורים ‪ u‬ו‪ v -‬יקראו מקבילים אם מתקיים‪ v   u :‬כאשר הגודל ‪ ‬יכול‬
‫לקבל כל ערך מספרי בתחום ‪ .   0‬בפרט עבור ‪   0‬כיוונם הפוך ב‪. 180 -‬‬
‫‪79‬‬
‫ווקטורים הפורשים מישור‪:‬‬
‫כל שני ווקטורים שאינם מקבילים‪ ,‬כלומר‪ ,‬בלתי תלויים זה בזה‪ ,‬פורשים מישור‪.‬‬
‫דוגמא‪:‬‬
‫הווקטורים ‪ u‬ו ‪ v -‬בעלי כוונים שונים ולכן פורשים‬
‫את המישור ‪. ‬‬
‫קומבינציה לינארית של ווקטורים‪:‬‬
‫‪ .1‬כל ווקטור שנמצא במישור (או מקביל למישור זה) ניתן להצגה ע"י קומבינציה‬
‫ליניארית של שני ווקטורים הפורשים את המישור‪.‬‬
‫‪ .2‬כל ווקטור שהוא קומבינציה ליניארית של שני ווקטורים הפורשים את המישור‪,‬‬
‫מקביל למישור‪.‬‬
‫‪ .3‬אם ניתן להביע ווקטור שקומבינציה לינארית של שני ווקטורים אחרים (או יותר)‬
‫אז שלושת הווקטורים נקראים תלויים ליניארית (ניתן לבטא כל ווקטור‬
‫באמצעות האחרים)‪.‬‬
‫דוגמא‪:‬‬
‫עבור המישור הנפרש לעיל‪ ,‬ניתן להציג כל ווקטור ‪ w‬המוכל‪ ,‬או מקביל‬
‫למישור ‪ ‬באופן הבא‪ w    u    v :‬כאשר‪  ,  :‬מספרים ממשיים כלשהם‪.‬‬
‫במקרה זה שלושת הווקטורים ‪ u , v‬ו‪ w -‬נקראים תלויים ליניארית‪.‬‬
‫המכפלה הסקלרית וגודל של ווקטור‪:‬‬
‫מכפלה סקלרית של שני ווקטורים ‪ u‬ו‪ v -‬תסומן‪ u  v :‬ותחושב ע"י הנוסחה הבאה‪:‬‬
‫‪u  v  u  v  cos ‬‬
‫כאשר‪  :‬היא הזווית הנוצרת בין נקודת חיבור מוצאי הווקטורים ובין כיווני‬
‫הווקטורים כמתואר באיור‪.‬‬
‫‪uv‬‬
‫ניתן למצוא את הזווית שבין שני ווקטורים ע"י‪:‬‬
‫‪uv‬‬
‫‪. cos  ‬‬
‫גודל של ווקטור נתון ע"י‪ , u  u 2 :‬או‪. u  u 2 :‬‬
‫‪2‬‬
‫*הערה‪:‬‬
‫המכפלה הסקלרית ‪ u  v‬בין שני ווקטורים מקבלת ערך מספרי בלבד! היא יכולה‬
‫להיות חיובית‪ ,‬שלילית או אפס כפי שנראה בהמשך‪.‬‬
‫‪80‬‬
‫שאלות‪:‬‬
‫‪ )1‬במקבילית ‪ ABCD‬נתון‪AB  u , AD  v :‬‬
‫מצא את כל הווקטורים במקבילית ששווים‬
‫ל‪ u -‬או ‪. v‬‬
‫'‪D‬‬
‫'‪C‬‬
‫‪ )2‬בתיבה '‪ABCDA'B'C'D‬‬
‫נתון‪. AB  u , AD  v , AA'  w :‬‬
‫מצא את כל הווקטורים בתיבה‬
‫ששווים ל ‪ v , u -‬או ‪. w‬‬
‫'‪A‬‬
‫'‪B‬‬
‫‪D‬‬
‫‪C‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫‪S‬‬
‫‪ )3‬בפירמידה ‪ SABCD‬שבסיסה ריבוע‬
‫נתון‪. AB  u , AD  v , AS  w :‬‬
‫מצא את כל הווקטורים שבפירמידה‬
‫השווים ל ‪ v , u -‬או ‪. w‬‬
‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫‪D‬‬
‫‪ )4‬בטרפז ‪ ABCD‬שבשרטוט‬
‫נתון‪. AB  u , AD  v , AD  3BC :‬‬
‫מצא את כל הווקטורים בטרפז שניתן‬
‫להביעם באמצעות ‪ u‬או ‪. v‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫‪C‬‬
‫‪D‬‬
‫‪ )5‬בטרפז ‪ ABCD‬שבשרטוט‬
‫נתון‪. AB  u , AD  v , AD  3BC :‬‬
‫‪A‬‬
‫א‪ .‬הבע באמצעות ‪ u‬ו‪ v -‬את הווקטורים ‪ AC‬ו‪. DC -‬‬
‫ב‪ .‬הנקודה ‪ E‬היא אמצע הצלע ‪.AD‬‬
‫הבע באמצעות ‪ u‬ו‪ v -‬את הווקטור ‪. BE‬‬
‫ג‪ .‬הנקודה ‪ F‬היא אמצע הצלע ‪.CD‬‬
‫‪D‬‬
‫הבע באמצעות ‪ u‬ו‪ v -‬את הווקטור ‪. AF‬‬
‫‪B‬‬
‫‪C‬‬
‫‪A‬‬
‫‪S‬‬
‫‪ )6‬בפירמידה ‪ SABCD‬שבסיסה ריבוע‬
‫נתון‪. AB  u , AD  v , AS  w :‬‬
‫א‪ .‬הבע באמצעות ‪ v , u‬ו‪ w -‬את‬
‫‪C‬‬
‫הווקטורים ‪ AC‬ו ‪. SC -‬‬
‫ב‪ .‬הנקודה ‪ N‬היא אמצע המקצוע ‪.SD‬‬
‫הבע באמצעות ‪ v , u‬ו‪ w -‬את הווקטור ‪. BN‬‬
‫‪81‬‬
‫‪B‬‬
‫‪D‬‬
‫‪A‬‬
‫‪ )7‬הנקודה ‪ P‬נמצאת על הקטע ‪ AB‬כך ש‪ . AP : PB  2 : 3 :‬נתון‪. AB  u :‬‬
‫הבע באמצעות ‪ u‬את הווקטורים ‪ AP‬ו‪. PB -‬‬
‫‪ )8‬הנקודה ‪ P‬נמצאת על הקטע ‪ AB‬כך ש‪ . AP : PB  3: 5 :‬נתון‪. AP  u :‬‬
‫הבע באמצעות ‪ u‬את הווקטורים ‪ PB‬ו‪. AB -‬‬
‫‪AP‬‬
‫‪ )9‬הנקודה ‪ P‬נמצאת על הקטע ‪ AB‬כך ש‪  :‬‬
‫‪AB‬‬
‫‪ .‬נתון‪. AB  u :‬‬
‫הבע באמצעות ‪ u‬את הווקטורים ‪ AP‬ו‪. PB -‬‬
‫‪AP‬‬
‫‪ )10‬הנקודה ‪ P‬נמצאת על הקטע ‪ AB‬כך ש‪  :‬‬
‫‪PB‬‬
‫הבע באמצעות ‪ u‬את הווקטורים ‪ AP‬ו‪. PB -‬‬
‫‪ .‬נתון‪. AB  u :‬‬
‫‪ )11‬בטרפז ‪ ABCD‬שבשרטוט‬
‫נתון‪. AB  u , AD  v , AD  3BC :‬‬
‫‪B‬‬
‫‪C‬‬
‫‪DF‬‬
‫הנקודה ‪ F‬נמצאת על הצלע ‪ CD‬ומקיימת‪  :‬‬
‫‪FC‬‬
‫הבע באמצעות ‪ v , u‬ו‪  -‬את הווקטור ‪. AF‬‬
‫‪D‬‬
‫‪.‬‬
‫‪A‬‬
‫‪ )12‬בתיבה '‪ ABCDA'B'C'D‬נתון‪. AB  u , AD  v , AA'  w :‬‬
‫'‪D‬‬
‫'‪C‬‬
‫‪A'P‬‬
‫הנקודה ‪ P‬נמצאת על המקצוע '‪ A'B‬ומקיימת‪  :‬‬
‫'‪A'B‬‬
‫‪CQ‬‬
‫והנקודה ‪ Q‬נמצאת על המקצוע ' ‪ CC‬ומקיימת‪  :‬‬
‫‪C .‬‬
‫'‪QC‬‬
‫הבע באמצעות ‪  , w , v , u‬ו‪  -‬את הווקטור‪. PQ :‬‬
‫‪ )13‬בטרפז ‪ ABCD‬שבשרטוט נתון‪. AB  u , AD  v , AD  3BC :‬‬
‫הנקודה ‪ E‬נמצאת באמצע הצלע ‪.CD‬‬
‫‪C‬‬
‫‪AF‬‬
‫הנקודה ‪ F‬נמצאת על הצלע ‪ AD‬ומקיימת‪  :‬‬
‫‪FD‬‬
‫מצא את ערכו של ‪ ‬שבעבורו מתקיים ‪. FE AB‬‬
‫‪82‬‬
‫'‪A‬‬
‫'‪B‬‬
‫‪D‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫‪B‬‬
‫‪.‬‬
‫‪D‬‬
‫‪A‬‬
‫‪ )14‬בטרפז ‪ ABCD‬שבשרטוט נתון‪. AB  u , AD  v , AD  3BC :‬‬
‫‪C‬‬
‫הנקודה ‪ E‬נמצאת באמצע הצלע ‪.CD‬‬
‫‪AF‬‬
‫הנקודה ‪ F‬נמצאת על הצלע ‪ AD‬ומקיימת‪  :‬‬
‫‪FD‬‬
‫מצא את ערכו של ‪ ‬שבעבורו מתקיים‪. FE AC :‬‬
‫‪B‬‬
‫‪.‬‬
‫‪A‬‬
‫‪D‬‬
‫‪ )15‬בתיבה '‪ ABCDA'B'C'D‬נתון‪. AB  u , AD  v , AA'  w :‬‬
‫‪A'P‬‬
‫הנקודה ‪ P‬נמצאת על המקצוע '‪ A'B‬ומקיימת‪  :‬‬
‫'‪A'B‬‬
‫‪CQ‬‬
‫והנקודה ‪ Q‬נמצאת על המקצוע '‪ CC‬ומקיימת‪  :‬‬
‫‪.‬‬
‫'‪QC‬‬
‫א‪ .‬הבע באמצעות ‪  , w , v , u‬ו‪  -‬את הווקטור ‪. PQ‬‬
‫ב‪ .‬האם קיימים ערכי ‪ ‬ו‪  -‬שבעבורם ‪ ? PQ AC‬נמק‪.‬‬
‫ג‪ .‬הנקודה ‪ E‬היא מפגש אלכסוני הפאה '‪.ABB'A‬‬
‫מצא את ערכי ‪ ‬ו ‪  -‬אם נתון כי ‪. PQ EC‬‬
‫‪ )16‬בתיבה '‪ ABCDA'B'C'D‬נתון‪. AB  u , AD  v , AA'  w :‬‬
‫‪A'P‬‬
‫הנקודה ‪ P‬נמצאת על המקצוע '‪ A'B‬ומקיימת‪  :‬‬
‫'‪A'B‬‬
‫‪CQ‬‬
‫והנקודה ‪ Q‬נמצאת על המקצוע '‪ CC‬ומקיימת‪  :‬‬
‫‪.‬‬
‫'‪QC‬‬
‫'‪D‬‬
‫'‪C‬‬
‫'‪A‬‬
‫'‪B‬‬
‫‪D‬‬
‫‪C‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫'‪D‬‬
‫'‪C‬‬
‫'‪A‬‬
‫'‪B‬‬
‫‪D‬‬
‫‪C‬‬
‫א‪ .‬הבע באמצעות ‪  , w , v , u‬ו‪  -‬את הווקטור ‪. PQ‬‬
‫ב‪ .‬מהו ערכו של ‪ ‬שבעבורו הווקטור ‪ PQ‬מקביל לפאה '‪?ADD'A‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫ג‪ .‬האם קיים ערך של ‪ ‬שבעבורו הווקטור ‪ PQ‬מקביל לבסיס ‪?ABCD‬‬
‫‪ )17‬נתונה מנסרה משולשת '‪ABCA'B'C‬‬
‫ובה נתון‪. AB  u , AC  v , AA'  w :‬‬
‫'‪C‬‬
‫‪A'M‬‬
‫הנקודה ‪ M‬נמצאת על המקצוע '‪ A'C‬ומקיימת‪  :‬‬
‫'‪MC‬‬
‫‪BN‬‬
‫‪.‬‬
‫והנקודה ‪ N‬נמצאת על המקצוע ‪ BC‬ומקיימת‪  :‬‬
‫‪BC‬‬
‫'‪A‬‬
‫'‪B‬‬
‫‪A‬‬
‫‪C‬‬
‫א‪ .‬הבע באמצעות ‪  , w , v , u‬ו‪  -‬את הווקטור ‪. NM‬‬
‫‪B‬‬
‫ב‪ .‬מהו ערכו של ‪ ‬שבעבורו הווקטור ‪ NM‬מקביל לפאה'‪?ACC'A‬‬
‫ג‪ .‬נתון כי הווקטור ‪ NM‬מקביל לפאה '‪ .ABB'A‬הבע את ‪ ‬באמצעות ‪. ‬‬
‫‪83‬‬
‫‪B‬‬
‫‪ )18‬במשולש ‪ ABC‬הנקודה ‪ D‬היא אמצע הצלע ‪ BC‬והנקודה ‪E‬‬
‫‪AE‬‬
‫נמצאת על הצלע ‪ AC‬כך שמתקיים‪ 2 :‬‬
‫‪CE‬‬
‫‪D‬‬
‫‪P‬‬
‫‪.‬‬
‫הנקודה ‪ P‬היא מפגש הקטעים ‪ AD‬ו‪.BE-‬‬
‫נגדיר‪ , AB  u , AC  v :‬וכן‪. BP  s  BE , AP  t  AD :‬‬
‫א‪ .‬הבע באמצעות ‪ t , v , u‬ו ‪ s -‬את הווקטור ‪ AP‬בשתי דרכים שונות‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא באיזה יחס מחלקת הנקודה ‪ P‬את הקטע ‪ AD‬ואת הקטע ‪.BE‬‬
‫‪C‬‬
‫‪ )19‬בטרפז ‪ ABCD‬שבשרטוט נתון‪. AD  3BC :‬‬
‫הנקודה ‪ E‬נמצאת באמצע הצלע ‪ CD‬והנקודה ‪ F‬נמצאת‬
‫באמצע הצלע ‪ .AD‬הנקודה ‪ P‬היא מפגש‬
‫הקטעים ‪ AE‬ו‪ .CF-‬מצא באיזה יחס מחלקת‬
‫‪D‬‬
‫הנקודה ‪ P‬את הקטע ‪ AE‬ואת הקטע ‪.CF‬‬
‫‪E‬‬
‫‪B‬‬
‫‪C‬‬
‫‪E‬‬
‫‪P‬‬
‫ב‪ .‬חשב את היחס ‪:‬‬
‫‪QPE‬‬
‫‪DPB‬‬
‫‪S‬‬
‫‪A‬‬
‫‪F‬‬
‫‪ )20‬במשולש ‪ ABC‬הנקודה ‪ D‬היא אמצע הצלע ‪ AB‬והנקודה ‪E‬‬
‫נמצאת על הצלע ‪ AC‬כך שמתקיים‪. DE BC :‬‬
‫הנקודה ‪ P‬היא אמצע הקטע ‪ DE‬והמשך הקטע ‪BP‬‬
‫חותך את הצלע ‪ AC‬בנקודה ‪.Q‬‬
‫א‪ .‬מצא באיזה יחס מחלקת הנקודה ‪ Q‬את הצלע ‪.AC‬‬
‫‪S‬‬
‫‪A‬‬
‫‪A‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪E‬‬
‫‪P‬‬
‫‪C‬‬
‫‪.‬‬
‫‪ )21‬במקבילון '‪ ABCDA'B'C'D‬נתון‪. DA  u , DC  v , DD'  w :‬‬
‫הנקודה ‪ F‬נמצאת באמצע המקצוע '‪,CC‬‬
‫'‪C‬‬
‫הנקודה ‪ E‬נמצאת על המקצוע '‪AA‬‬
‫ומקיימת‪ A'E  2AE :‬והנקודה ‪ P‬נמצאת‬
‫‪F‬‬
‫על המקצוע '‪ BB‬ומקיימת‪. B'P  k  B'B :‬‬
‫'‪D‬‬
‫נתון‪. DP  t  DE  s  DF :‬‬
‫‪C‬‬
‫א‪ .‬הבע באמצעות ‪ w , v , u‬ו ‪ k -‬את הווקטור ‪. DP‬‬
‫ב‪ .‬מצא באיזה יחס מחלקת הנקודה ‪ P‬את המקצוע '‪.BB‬‬
‫ג‪ .‬האם הנקודות ‪ F ,E , D‬ו‪ P-‬נמצאות על אותו מישור? נמק‪.‬‬
‫‪84‬‬
‫‪D‬‬
‫‪B‬‬
‫'‪B‬‬
‫‪P‬‬
‫'‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫‪E‬‬
‫‪D‬‬
‫‪A‬‬
‫‪ )22‬חשב את המכפלה הסקלרית של הווקטורים ‪ u‬ו‪ v -‬על פי הנתונים על גודלם‬
‫והזווית שביניהם‪:‬‬
‫ב‪  120o , v  5 , u  4 .‬‬
‫א‪  60o , v  2 , u  3 .‬‬
‫ד‪  180o , v  3 , u  8 .‬‬
‫ג‪  30o , v  6 , u  2 .‬‬
‫ו‪  90o , v  4 , u  7 .‬‬
‫ה‪  0o , v  5 , u  3 .‬‬
‫‪ )23‬חשב את הזווית בין הווקטורים ‪ u‬ו ‪ v -‬על פי הנתונים על גודלם והמכפלה‬
‫הסקלרית שלהם‪:‬‬
‫א‪u  v  6 , v  4 , u  3 .‬‬
‫ב‪u  v  4 3 , v  2 , u  4 .‬‬
‫ד‪u  v  12 , v  6 , u  2 .‬‬
‫ג‪u  v  0 , v  5 , u  9 .‬‬
‫‪ )24‬נתונים שני וקטורים ‪ u‬ו‪ v -‬שאורכם‪ . u  6 , v  3 :‬הזווית ביניהם היא ‪.120o‬‬
‫חשב את גודלו של הווקטור ‪ PQ‬שמוגדר‪. PQ  2u  3v :‬‬
‫‪ )25‬נתונים שני וקטורים ‪ u‬ו‪ v -‬המאונכים זה לזה שאורכם‪. u  4 , v  5 :‬‬
‫חשב את גודלו של הווקטור ‪ MN‬שמוגדר‪. MN  0.5u  v :‬‬
‫‪ )26‬נתונים שני וקטורים ‪ u‬ו‪ v -‬שאורכם‪ . u  6 , v  3 :‬הזווית ביניהם היא ‪.120o‬‬
‫חשב את גודל הזווית ‪QPM‬‬
‫אם נתון‪. PQ  2u  3v , PM  4u  v :‬‬
‫‪ )27‬המשולש ‪ ABC‬הוא משולש ישר זווית ( ‪.) BAC  90o‬‬
‫הנקודה ‪ D‬היא אמצע היתר ‪ BC‬והנקודה ‪ E‬נמצאת על הניצב ‪.AC‬‬
‫הנקודה ‪ P‬היא מפגש הקטעים ‪ AD‬ו‪.BE-‬‬
‫‪AP‬‬
‫נתון‪ 3 :‬‬
‫‪PD‬‬
‫‪B‬‬
‫‪D‬‬
‫‪P‬‬
‫‪. AC  12 , AB  8 ,‬‬
‫חשב את גודל הזווית ‪. DPC‬‬
‫‪C‬‬
‫‪ )28‬נתונה מנסרה משולשת וישרה '‪ ABCA'B'C‬שבסיסה משולש שווה‬
‫צלע ות שאורך כל אחת מצלעותיו הוא ‪ .6‬גובה המנסרה הוא ‪.8‬‬
‫'‪C‬‬
‫הנקודה ‪ M‬היא אמצע המקצוע '‪ A'C‬והנקודה ‪ N‬נמצאת על‬
‫המקצוע ‪ BC‬ומקיימת‪. BN  2CN :‬‬
‫נסמן‪. AB  u , AC  v , AA'  w :‬‬
‫‪C‬‬
‫חשב את גודל הזווית‪. MAN :‬‬
‫‪A‬‬
‫‪E‬‬
‫'‪A‬‬
‫'‪B‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫‪85‬‬
‫‪ )29‬בפירמידה ‪ SABCD‬שבסיסה ריבוע המקצוע ‪ SA‬הוא גובה הפירמידה‪.‬‬
‫‪S‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫נתון‪ . AB  AD  AS  k :‬נסמן‪. AB  u , AD  v , AS  w :‬‬
‫הנקודה ‪ Q‬היא אמצע המקצוע ‪SC‬‬
‫והנקודה ‪ P‬היא אמצע המקצוע ‪.SB‬‬
‫חשב את גודל הזווית‪. PAQ :‬‬
‫‪B‬‬
‫‪C‬‬
‫‪ )30‬בתיבה '‪ABCDA'B'C'D‬‬
‫‪D‬‬
‫‪1‬‬
‫נתון‪AD  AA' , AB  u , AD  v , AA'  w :‬‬
‫‪2‬‬
‫‪. AB ‬‬
‫‪A‬‬
‫'‪D‬‬
‫'‪C‬‬
‫'‪A‬‬
‫'‪B‬‬
‫‪A'P‬‬
‫הנקודה ‪ P‬נמצאת על המקצוע '‪ A'B‬ומקיימת‪  :‬‬
‫'‪A'B‬‬
‫‪C‬‬
‫והנקודה ‪ Q‬היא אמצע המקצוע '‪.DD‬‬
‫‪D‬‬
‫‪5‬‬
‫‪6‬‬
‫א‪ .‬מהו ערכו של ‪ ‬שבעבורו מתקיים‪? AP  AQ :‬‬
‫‪B‬‬
‫ב‪ .‬הבע באמצעות ‪ ‬את ‪ cos PAQ‬והראה כי לכל ערך‬
‫של ‪ ‬הזווית ‪ PAQ‬חדה‪.‬‬
‫ג‪ .‬מהו ערכו של ‪ ‬שבעבורו הזווית ‪PAQ‬‬
‫מקיימת‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3 5‬‬
‫‪? cos PAQ ‬‬
‫‪ )31‬הוכח כי בכל מרובע ‪ ABCD‬מתקיים‪. AC  BD  AB  CD  AD  BC :‬‬
‫‪ )32‬נתון מלבן ‪ .ABCD‬הוכח כי לכל נקודה כלשהי ‪ P‬מתקיים‪. PA  PC  PB  PD :‬‬
‫‪ )33‬נתון ריבוע ‪ .ABCD‬הנקודה ‪ P‬היא אמצע הצלע ‪ BC‬והנקודה ‪ Q‬היא‬
‫אמצע הצלע ‪ .CD‬הוכח כי מתקיים‪. SABCD  AP  AQ :‬‬
‫‪ )34‬נתון מרובע ‪ .ABCD‬הנקודה ‪ P‬היא אמצע הצלע ‪ AB‬והנקודה ‪ Q‬היא‬
‫‪AD  BC‬‬
‫אמצע הצלע ‪ .CD‬הוכח כי מתקיים‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪. PQ ‬‬
‫‪ )35‬נתונה פירמידה משולשת ‪ SABC‬שבה ‪ AS  BC‬ו‪. BS  AC -‬‬
‫הוכח‪. CS  AB :‬‬
‫‪ )36‬הוכח‪ :‬וקטור המאונך לשני וקטורים בלתי תלויים במישור מאונך‬
‫לכל הווקטורים שבמישור‪.‬‬
‫‪86‬‬
‫‪A‬‬
‫‪ )37‬א‪ .‬הנקודה ‪ M‬היא מפגש התיכונים במשולש ‪ .ABC‬הוכח‪. MA  MB  MC  0 :‬‬
‫ב‪ .‬נתונה פירמידה משולשת ‪.SABC‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫הנקודה ‪ P‬היא מפגש התיכונים בפאה ‪ .SBC‬הוכח‪AB  AC  AS :‬‬
‫‪3‬‬
‫‪. AP ‬‬
‫ג‪ .‬נתון בנוסף כי ‪ AS‬ו ‪ AP -‬מאונכים ל‪. BC -‬‬
‫הוכח כי ‪( . AB  AC‬הדרכה‪ :‬סמן ‪.) AB  u , AC  v , AS  w‬‬
‫‪ )38‬הנקודה ‪ P‬נמצאת בתוך מרובע כלשהו ‪ABCD‬‬
‫כך שהמשולשים ‪ APD‬ו ‪ BPC-‬הם משולשים‬
‫ישרי זווית וש"ש ( ‪.) AP  PD , BP  PC‬‬
‫הנקודה ‪ E‬היא אמצע הצלע ‪ .CD‬הוכח‪. PE  AB :‬‬
‫(הדרכה‪ :‬סמן ‪.) PB  a , PC  b , PA  c , PD  d‬‬
‫‪B‬‬
‫‪C‬‬
‫‪P‬‬
‫‪E‬‬
‫‪D‬‬
‫‪A‬‬
‫‪ )39‬בטטראדר ‪ SABC‬נתון‪. AB  u , AC  v , AS  w :‬‬
‫הנקודה ‪ P‬נמצאת על המקצוע ‪ AS‬ומקיימת‪. AP    AS :‬‬
‫הנקודה ‪ Q‬נמצאת על הפאה ‪ SBC‬ומקיימת‪. SQ   SB  SC  :‬‬
‫א‪ .‬מצא את הקשר בין ‪ ‬ו‪  -‬שבעבורו ‪ PQ‬מקביל למישור ‪.ABC‬‬
‫‪1‬‬
‫ב‪ .‬נתון‪:‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ . PQ  BC ,    ‬הוכח‪. AB  AC :‬‬
‫‪ )40‬נתונה פירמידה שבסיסה מלבן‪.‬‬
‫הוכח כי אם שלושה המקצועות הצדדיים שבה שווים‪,‬‬
‫אז גם המקצוע הצדדי הרביעי שווה להם‪.‬‬
‫‪87‬‬
:‫תשובות סופיות‬
. u  DC , v  BC )1
, u  DC  D ' C '  A ' B '  AB , v  AD  BC  A ' D '  B ' C ' )2
. u  DC  AB , v  AD  BC , w  AS )3
. w  AA '  DD '  CC '  BB '
1
3
2
3
2
1
. AF  v  u .‫ ב‬. AC  u  v , DC  u  v .‫)א‬5
3
1
2
2
1
2
. BN  u  v  w .‫ב‬
. AC  v  u , SC  u  v  w .‫) א‬6
8
3
. AP   u , PB  (1   )u )9
5
3
1
3
. BC  v )4
1
2
. AF  v  u .‫ג‬
2
5
3
5
. AB  u , PB  u )8 . AP  u , BP  u )7

1
u , PB 
u )10
1 
1 
1 
1
w )12
.  1 )14 .   2 )13 . PQ  (1   )u  v 
1 
1
1
.   ,   1 .‫ ג‬.‫ לא‬.‫ ב‬. PQ  (1   )u  v 
w .‫) א‬15
2
1 
1
w .‫) א‬16
.‫ לא‬.‫ ג‬.  1 .‫ ב‬. PQ  (1   )u  v 
1 


  ) v  w .‫) א‬17
. 
.‫ ג‬.   1 .‫ ב‬. NM  (  1)u  (
 1
1 
. AF 

u
3 
v )11
3  3
1
2
. AP 
1
2
2
3
. BP : PE  3 : 2 , AP : PD  4 :1 .‫ ב‬. AP  tu  tv , AP  (1  s)u  sv .‫) א‬18
.
SQPE
S DPB

1
.‫ ב‬. AQ : QC  1: 2 .‫) א‬20
3
. CF : PF  2 :1 )19
.‫ כן‬.‫ ג‬. B ' P : PB  1: 5 .‫ ב‬. DP  u  v  (1  k )w .‫) א‬21
. 0 .‫ ו‬.15 .‫ ה‬. 24 .‫ ד‬. 6 3 .‫ ג‬. 10 .‫ ב‬. 3 .‫) א‬22
. MN  29 )25 . PQ  18.248 )24 . 0 .‫ ד‬. 90 .‫ ג‬.150 .‫ ב‬. 60 .‫) א‬23
. 24.095 )29 . 70.623 )28 . 55.49 )27 . 31.87 )26
.   2  1 .‫) א‬39 . 
1
2
1
3
.‫ ג‬. cos( PAQ) 
.‫ ב‬.  .‫) א‬30
1
2
4
1 1  2
2
88
‫וקטורים אלגבריים‪:‬‬
‫הגדרה כללית‪:‬‬
‫וקטור שמוצאו בראשית הצירים ‪  0, 0 ‬וסופו בנקודה‪  x, y  :‬במישור ייכתב בצורתו‬
‫האלגברית באופן הבא‪. u   x, y  :‬‬
‫דוגמאות‪:‬‬
‫הווקטור ‪ u   4, 2 ‬נמצא במישור ‪,  xy ‬‬
‫מוצאו בנקודה ‪ A  0, 0 ‬וסופו בנקודה ‪. B  4, 2 ‬‬
‫הווקטור‪ u   2, 4,5 :‬נמצא במרחב הקרטזי‪.‬‬
‫מוצאו בראשית הצירים ‪A  0,0,0 ‬‬
‫‪5‬‬
‫‪B‬‬
‫וסופו בנקודה‪. B  2, 4,5 :‬‬
‫‪4‬‬
‫‪A‬‬
‫‪2‬‬
‫ווקטור שמוצאו אינו בראשית הצירים‪:‬‬
‫ווקטור שמוצאו בנקודה ‪ A  x1 , y1 , z1 ‬וסופו בנקודה‪ B  x2 , y2 , z2  :‬ייכתב ע"י חישוב‬
‫הפרש נקודת סופו ממוצאו באופן הבא‪:‬‬
‫‪u  AB  B  A   x2  x1 , y2  y1 , z2  z1 ‬‬
‫אמצע קטע וחלוקת קטע ביחס נתון‪:‬‬
‫‪ .1‬אמצע הקטע ‪ M‬שקצוותיו הם‪ A  x1 , y1 , z1  :‬ו‪B  x2 , y2 , z2  -‬‬
‫‪x1  x2‬‬
‫‪y  y2‬‬
‫‪z z‬‬
‫‪, yM  1‬‬
‫הוא‪, zM  1 2 :‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪. xM ‬‬
‫‪ .2‬שיעורי נקודה ‪ P‬המחלקת קטע שקצותיו ‪ A  x1 , y1 , z1 ‬ו‪ B  x2 , y2 , z2  -‬ביחס של ‪ k : l‬הם‪:‬‬
‫‪k  x1  l  x2‬‬
‫‪k  y1  l  y2‬‬
‫‪k  z1  l  z2‬‬
‫‪; yP ‬‬
‫‪; zP ‬‬
‫‪k l‬‬
‫‪k l‬‬
‫‪k l‬‬
‫‪. xP ‬‬
‫מכפלה סקלרית וגודל של ווקטור בהצגה אלגברית‪:‬‬
‫מכפלה סקלרית של שני ווקטורים ‪ ‬ו‪ v -‬תסומן‪ u  v :‬ותחושב ע"י הנוסחה הבאה‪:‬‬
‫‪u  v  u  v  cos ‬‬
‫כאשר ‪ ‬היא הזווית הנוצרת בין נקודת חיבור מוצאי הווקטורים ובין כיווני הווקטורים‪.‬‬
‫‪89‬‬
‫מכפלה סקלרית של ווקטורים‪ u   x1 , y1 , z1  , v   x2 , y2 , z2  :‬תחושב באופן הבא‪:‬‬
‫‪. u  v   x1 , y1 , z1  x2 , y2 , z2   x1x2  y1 y2  z1z2‬‬
‫גודלו של ווקטור ‪ u   x1 , y1 , z1 ‬נתון ע"י‪. u  u 2  x12  y12  z12 :‬‬
‫הצגה פרמטרית של ישר‪:‬‬
‫ישר כללי במרחב ניתן להצגה ע"י שני ווקטורים‪.‬‬
‫הווקטור ‪ a‬נקרא ווקטור ההעתקה‪.‬‬
‫מוצאו תמיד בראשית הצירים וסופו על נקודה כלשהי על הישר הנתון‪.‬‬
‫הווקטור ‪ u‬נקרא ווקטור הכיוון של הישר‪.‬‬
‫זה הוא ווקטור שנמצא על הישר עצמו מוצאו בנקודה אחת וסופו‬
‫בנקודה אחרת לאורך הישר‪.‬‬
‫‪B‬‬
‫‪C‬‬
‫‪A‬‬
‫הקשר בין שני הווקטורים נתון ע"י‪: x  a  tu :‬‬
‫כאשר ‪ t‬הוא מספר ממשי כלשהו ו ‪ x -‬הוא ווקטור המתקבל ע"י בחירה של ‪ t‬שמוצאו‬
‫בראשית הצירים וסופו על נקודה על הישר ‪. l‬‬
‫דוגמא‪:‬‬
‫עבור הנקודות‪ B  5,3,1 , A  0,0,0  :‬ו ‪ C  7, 0,10  -‬נקבל את הווקטורים הבאים‪:‬‬
‫‪a  AB  B  A   5,3,1 ; u  BC  C  B   7,0,10   5,3,1   2, 3,9 ‬‬
‫לכן הצגה פרמטרית של הישר היא‪. l : x   5,3,1  t  2, 3,9  :‬‬
‫*הערות‪:‬‬
‫‪ .1‬לישר יש אינסוף הצגות פרמטרים הנבדלות זו מזו בבחירת ווקטור ההעתקה‬
‫ווקטור הכיוון‪ .‬ההצגה הבאה גם מתאימה לישר שבדוגמא‪:‬‬
‫‪l : x   7,0,10   t  6,9, 27 ‬‬
‫‪ .2‬הווקטור ‪ x‬המתקבל ע"י הצבת ‪ t0‬בהצגה פרמטרית אחת של ישר‪ ,‬יתקבל ע"י‬
‫הצבת ‪ t1‬בהצגה פרמטרית אחרת של אותו הישר‪.‬‬
‫‪ .3‬הנקודה ‪ B‬באיור לעיל אינה בהכרח סופו של הווקטור ‪ a‬ומוצאו של הווקטור ‪. u‬‬
‫כדי לכתוב הצגה פרמטרית של ישר מספיק לקחת שתי נקודות כלשהן למציאת‬
‫הווקטור ‪( u‬למשל הנקודה ‪ C‬יחד עם נקודה ‪ D‬הנמצאת על המשך הישר)‬
‫ונקודה נוספת למציאת הווקטור ‪. a‬‬
‫‪ .4‬הצגה פרמטרית של ישר היא למעשה חיבור של שני ווקטורים גיאומטריים‬
‫במרחב הנותן ווקטור שמוצאו בראשית הצירים וסופו על הישר הנתון‪.‬‬
‫‪90‬‬
‫מצב הדדי בין ישרים‪:‬‬
‫ישנם ‪ 4‬מצבים הדדים בין זוג ישרים במרחב‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫ישרים מתלכדים‪ :‬שני הישרים הם למעשה ישר אחד‪.‬‬
‫ישרים מקבילים‪ :‬שני הישרים בעלי אותו כיוון ולעולם אינם נפגשים במרחב‪.‬‬
‫ישרים נחתכים‪ :‬שני ישרים במרחב עם כיוונים שונים הנחתכים בנקודה כלשהי‪.‬‬
‫ישרים מצטלבים‪ :‬שני ישרים במרחב עם כיוונים שונים שאינם נפגשים במרחב‪.‬‬
‫כדי לקבוע את המצב ההדדי בין שני ישרים נבצע את הבדיקה הדו‪-‬שלבית הבאה‪:‬‬
‫האם הישרים באותו כיוון (האם וקטורי‬
‫הכיוון שלהם שומרים על אותו יחס)?‬
‫כן‬
‫לא‬
‫האם לישרים נקודה משותפת‬
‫(האם נקודה מישר אחד‬
‫נמצאת על הישר השני)?‬
‫כן‬
‫מתלכדים‬
‫האם לישרים יש נקודת חיתוך‬
‫כלשהי?‬
‫כן‬
‫לא‬
‫נחתכים‬
‫מקבילים‬
‫לא‬
‫מצטלבים‬
‫הצגה פרמטרית של מישור‪:‬‬
‫מישור כלשהו במרחב ניתן להצגה ע"י שלושה ווקטורים‪.‬‬
‫הווקטור ‪ a‬הוא ווקטור ההעתקה‪.‬‬
‫מוצאו תמיד בראשית הצירים וסופו בנקודה כלשהי על המישור‪.‬‬
‫הווקטורים ‪ u‬ו ‪ v -‬הם וקטורי הכיוון של המישור‪.‬‬
‫אלו הווקטורים הפורשים את המישור‪.‬‬
‫הקשר בין שלושת הווקטורים נתון ע"י‪ : x  a  tu  sv :‬‬
‫כאשר ‪ t , s‬הם מספרים ממשיים כלשהם ו ‪ x -‬הוא ווקטור המתקבל ע"י בחירתם אשר‬
‫מוצאו בראשית הצירים וסופו על נקודה על המישור ‪. ‬‬
‫‪91‬‬
‫משוואת מישור‪:‬‬
‫ניתן להציג מישור ע"י משוואה באופן הבא‪,  : ax  by  cz  d  0 :‬‬
‫כאשר‪  x, y, z  :‬היא נקודה על המישור והמקדמים ‪ a, b, c‬הם שיעורי ווקטור הנורמל‬
‫של המישור המסומן‪. h   a, b, c  :‬‬
‫מצב הדדי בין ישר למישור‪:‬‬
‫ישנם ‪ 3‬מצבים הדדיים בין ישר ומישור במרחב‪:‬‬
‫‪ ‬הישר חותך את המישור‪.‬‬
‫‪ ‬הישר מקביל למישור‪.‬‬
‫‪ ‬הישר מוכל במישור‪.‬‬
‫מוכל‬
‫מקביל‬
‫חותך‬
‫כדי לדעת מהו המצב ההדדי בין ישר ומישור יש להציב נקודה כללית של הישר‬
‫במשוואת המישור ולבדוק‪:‬‬
‫‪ ‬אם למשוואה המתקבלת יש פתרון יחיד אז הישר חותך את המישור‪.‬‬
‫‪ ‬אם למשוואה אין אף פתרון אז הישר מקביל למישור‪.‬‬
‫‪ ‬אם למשוואה יש אינסוף פתרונות אז הישר מוכל במישור‪.‬‬
‫מצב הדדי בין מישורים‪:‬‬
‫בין שני מישורים ישנם ‪ 3‬מצבים הדדיים‪:‬‬
‫‪ ‬המישורים נחתכים ‪ -‬במקרה זה יש להם ישר משותף הנקרא ישר החיתוך‪.‬‬
‫‪ ‬המישורים מקבילים – לשני המישורים וקטורים פורשים זהים אך ווקטור‬
‫העתקה שונה‪.‬‬
‫‪ ‬המישור מתלכדים ‪ -‬במקרה זה שני המישורים מייצגים את אותו המישור‪.‬‬
‫עבור שני מישורים כלליים‪ 1 : a1 x  b1 y  c1 z  d1  0 :‬ו‪ 2 : a2 x  b2 y  c2 z  d2  0 -‬‬
‫נקבע את המצב ההדדי ביניהם באופן הבא‪:‬‬
‫מתלכדים‬
‫מקבילים‬
‫נחתכים‬
‫‪a1 b1 c1 d1‬‬
‫‪  ‬‬
‫‪a2 b2 c2 d 2‬‬
‫‪a1 b1 c1 d1‬‬
‫‪  ‬‬
‫‪a2 b2 c2 d 2‬‬
‫כל מצב אחר‬
‫‪92‬‬
‫חישובי זוויות ונוסחאות‪:‬‬
‫‪u v‬‬
‫‪ .1‬זווית ‪ ‬בין שני וקטורים ‪ u , v‬תחושב ע"י‪:‬‬
‫‪uv‬‬
‫‪. cos  ‬‬
‫‪u1  u2‬‬
‫‪ .2‬זווית חדה ‪ ‬בין שני ישרים ‪ l1  a1  tu1‬ו‪ l2  a2  su2 -‬תחושב‪:‬‬
‫‪u1  u2‬‬
‫‪. cos  ‬‬
‫‪ .3‬זווית חדה ‪ ‬בין ישר ‪ l  a  tu‬ומישור‪ : ax  by  cz  d  0 :‬‬
‫‪uh‬‬
‫תחושב ע"י הנוסחה הבאה‪:‬‬
‫‪uh‬‬
‫‪. sin  ‬‬
‫‪ .4‬זווית חדה ‪ ‬בין שני מישורים‪1 : a1 x  b1 y  c1 z  d1  0 :‬‬
‫‪h1  h2‬‬
‫ו‪  2 : a2 x  b2 y  c2 z  d2  0 -‬תחושב ע"י‪:‬‬
‫‪h1  h2‬‬
‫‪. cos  ‬‬
‫חישובי מרחקים ונוסחאות‪:‬‬
‫‪ .1‬מרחק בין שתי נקודות ‪ A  x1 , y1 , z1 ‬ו ‪ B  x2 , y2 , z2  -‬במרחב יחושב באופן הבא‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪. dAB   x2  x1    y2  y1    z2  z1 ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ .2‬מרחק בין נקודה ‪ A  x1 , y1 , z1 ‬לישר הנתון בהצגה פרמטרית‪ l : x  a  tu :‬יחושב‬
‫ע"י העברת אנך מהנקודה לישר וחישוב אורכו‪ .‬כדי למצוא את נקודת החיתוך יש‬
‫להשוות את מכפלת הווקטור האנך בווקטור הכיוון של הישר לאפס‪.‬‬
‫‪ .3‬מרחק בין נקודה ‪ A  x1 , y1 , z1 ‬למישור‪  : ax  by  cz  d  0 :‬יחושב ע"י‪:‬‬
‫‪ax1  by1  cz1  d‬‬
‫‪a 2  b2  c2‬‬
‫‪.d ‬‬
‫‪ .4‬מרחק בין שני ישרים מקבילים יחושב ע"י שימוש בנקודה מאחד הישרים‬
‫ומציאת מרחקּה מהישר השני כמתואר בסעיף ‪.2‬‬
‫‪ .5‬מרחק בין ישר ומישור (המקביל לו) יחושב ע"י שימוש בנקודה שעל הישר ומציאה‬
‫מרחקּה מהמישור כמתואר בסעיף ‪.3‬‬
‫‪ .6‬מרחק בין שני מישורים מקבילים יחושב לפי אחת מהאפשרויות הבאות‪:‬‬
‫‪ ‬שימוש בנקודה שעל מישור אחד ומציאת מרחקּה מהמישור השני‪.‬‬
‫‪ ‬שימוש בנוסחה‪:‬‬
‫‪d1  d 2‬‬
‫‪a 2  b2  c 2‬‬
‫‪.d ‬‬
‫‪ .7‬מרחק בין ישרים מצטלבים יחושב ע"י כתיבת משוואת מישור של אחד הישרים‬
‫ומציאת מרחקו מהישר השני כמתואר בסעיף ‪.5‬‬
‫‪93‬‬
‫שאלות‪:‬‬
‫‪ )1‬שרטט את הווקטורים הבאים‪:‬‬
‫א‪u   4, 2  .‬‬
‫ב‪v   5,1 .‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪w   3, 4 ‬‬
‫ד‪a   0,3 .‬‬
‫ה‪b   5, 0  .‬‬
‫‪ )2‬נתונה תיבה שמידותיה נתונות במערכת הצירים שלפניך‪.‬‬
‫מצא מהו הווקטור ‪ u‬ומהו הווקטור ‪ v‬על פי השרטוט‪:‬‬
‫‪6‬‬
‫‪8‬‬
‫‪5‬‬
‫‪ )3‬בשרטוט נתונה מקבילית ששיעורי‬
‫שלושה מקדקודיה נתונים (ראה איור)‪.‬‬
‫מצא את שיעורי הקדקוד ‪.D‬‬
‫‪10‬‬
‫‪ )4‬נתונה תיבה שמידותיה נתונות במערכת הצירים שלפניך‪.‬‬
‫מצא מהו הווקטור ‪ u‬על פי השרטוט‪:‬‬
‫‪11‬‬
‫‪8‬‬
‫‪ )5‬בשרטוט נתון משולש ששיעורי קדקודיו נתונים‪.‬‬
‫מצא את שיעורי מפגש התיכונים במשולש‪.‬‬
‫‪)6‬‬
‫א‪ .‬מצא את הווקטור ‪ AB‬אם נתונות הנקודות ‪ A  3,5‬ו‪. B  6,1 -‬‬
‫ב‪.‬‬
‫מצא את שיעורי הנקודה ‪ Q‬אם נתונה הנקודה ‪P 8,11‬‬
‫והווקטור ‪. PQ   4, 3‬‬
‫‪94‬‬
‫‪ )7‬א‪ .‬מצא את הווקטור ‪ EF‬אם נתונות הנקודות ‪ E  2,0, 3‬ו‪. F  7, 1, 3 -‬‬
‫ב‪.‬‬
‫מצא את שיעורי הנקודה ‪ N‬אם נתונה הנקודה ‪M  0, 4,1‬‬
‫והווקטור ‪. MN   1, 1,9 ‬‬
‫‪ )8‬בשרטוט נתונה מקבילית ששיעורי‬
‫שלושה מקדקודיה נתונים‪.‬‬
‫מצא את שיעורי הקדקוד ‪.D‬‬
‫‪6‬‬
‫‪ )9‬נתונה תיבה שמידותיה נתונות במערכת הצירים שלפניך‪.‬‬
‫מצא מהו הווקטור ‪ u‬ומהו הווקטור ‪: v‬‬
‫‪7‬‬
‫‪4‬‬
‫‪ )10‬נתונים שני וקטורים‪ . u   3,7,1 , v   2, 3,5 :‬חשב‪:‬‬
‫א‪u  v  .‬‬
‫ב‪u  v  .‬‬
‫ג‪2u  .‬‬
‫ד‪3u  v  .‬‬
‫ה‪u  v  .‬‬
‫‪ )11‬חשב את גודלו של הווקטור ‪. u  1, 2, 4 ‬‬
‫‪ )12‬נתונים ארבעת קדקודי המרובע ‪:ABCD‬‬
‫‪. D  7, 5, 2  , C  3, 5, 0  , B  0, 2, 1 , A  4, 2,1‬‬
‫הוכח כי המרובע הוא מקבילית‪.‬‬
‫‪ )13‬נתונים ארבעת קודקודי המרובע ‪:ABCD‬‬
‫‪. D  4,3, 1 , C  1,8, 4  , B  2,5,3 , A 1, 2, 0 ‬‬
‫א‪ .‬הוכח כי המרובע הוא טרפז‪.‬‬
‫ב‪ .‬האם הטרפז שווה שוקיים?‬
‫‪ )14‬חשב את הזווית שבין הווקטורים ‪ u   3, 7,1‬ו‪. v   2, 3,5 -‬‬
‫‪ )15‬חשב את הזווית שבין הווקטורים ‪ u‬ו‪: v -‬‬
‫א‪u   2, 2,5 , v   4,0,1 .‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪u   6, 3,1 , v   2,5,3‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪u   2,1,3 , v   4, 2, 6 ‬‬
‫‪ )16‬מצא את שטחו של משולש ‪ ABC‬שקדקודיו הם‪. C  5, 1, 0  , B  0,3, 2  , A  3, 2,1 :‬‬
‫‪95‬‬
‫‪ )17‬נתונים הווקטורים‪. u   2, 1,0 , v   5,0,3 :‬‬
‫מצא וקטור ‪ w‬שמכפלתו ב‪ u -‬היא ‪ 0‬ומכפלתו ב‪ v -‬היא ‪ 0‬אם ידוע שגודלו הוא ‪. 70‬‬
‫‪ )18‬האם הנקודה ‪ A  7,0,3‬נמצאת על הישר ‪? : x   4,3,0   t 1, 1,1‬‬
‫‪ )19‬האם הנקודה ‪ B  4, 2, 10 ‬נמצאת על הישר ‪? : x  t  2, 1,5‬‬
‫‪ )20‬מצא את הצגתו הפרמטרית של ישר במישור שעובר בנקודות ‪ A  5, 2 ‬ו ‪. B 1, 6  -‬‬
‫‪ )21‬מצא את הצגתו הפרמטרית של ישר במרחב שעובר בנקודות ‪ C  3, 0, 2 ‬ו‪. D  4,1,1 -‬‬
‫‪ )22‬מצא את הצגתו הפרמטרית של ישר במרחב שעובר בנקודה ‪G  2, 7,1‬‬
‫ומקביל לישר ‪. : x   0,3, 1  t  4, 2,1‬‬
‫‪ )23‬מצא את הצגתו הפרמטרית של ציר ה‪ y -‬במרחב‪.‬‬
‫‪ )24‬מצא את הצגתו הפרמטרית של ישר במרחב שעובר בנקודה ‪M  3, 1, 4 ‬‬
‫ומקביל לציר ה‪. z -‬‬
‫‪ )25‬מצא את נקודת החיתוך של הישר ‪ : x  1, 2,6  t  2,1, 2 ‬עם המישור ‪.  x y ‬‬
‫‪ )26‬מצא את המצב ההדדי בין הישרים הבאים‪.‬‬
‫אם הם נחתכים מצא גם את נקודת החיתוך ביניהם‪.‬‬
‫‪. 2 : x  12, 5, 4  s  10, 2, 4  , 1 : x   2, 3,0  t  5, 1, 2 ‬‬
‫‪ )27‬מצא את המצב ההדדי בין הישרים הבאים‪.‬‬
‫אם הם נחתכים מצא גם את נקודת החיתוך ביניהם‪.‬‬
‫‪. 4 : x   2,0, 6  s  6, 3, 3 , 3 : x   0,1, 7   t  2,1,1‬‬
‫‪ )28‬מצא את המצב ההדדי בין הישרים הבאים‪.‬‬
‫אם הם נחתכים מצא גם את נקודת החיתוך ביניהם‪.‬‬
‫‪. 5 : x   3,5,1  t  4,0, 1 , 6 : x   1,7, 4  s  1,1, 2 ‬‬
‫‪ )29‬מצא את המצב ההדדי בין הישרים הבאים‪.‬‬
‫אם הם נחתכים מצא גם את נקודת החיתוך ביניהם‪.‬‬
‫‪. 7 : x   3,0,0  t  2, 2,5 , 8 : x   0,1, 5  s  3,1, 2 ‬‬
‫‪96‬‬
‫‪ )30‬מצא את המצב ההדדי בין הישרים הבאים‪.‬‬
‫אם הם נחתכים מצא גם את נקודת החיתוך ביניהם‪.‬‬
‫‪. 9 : x   4,1, 1  t 3,0, 1 , 10 : x  s  6,0, 2 ‬‬
‫‪ )31‬מצא את המצב ההדדי בין הישרים הבאים‪.‬‬
‫אם הם נחתכים מצא גם את נקודת החיתוך ביניהם‪.‬‬
‫‪, 11 : x   2,8, 1  t 1,0,0 ‬‬
‫‪12 : x   5,8, 2   s  2,0, 1‬‬
‫‪ )32‬מצא את ערכו של הפרמטר ‪ k‬שבעבורו הישרים הבאים‪:‬‬
‫‪x   k  1, 7, k   s 1  k 2 , k 2  2, 6  , 1 : x   k  1,1  k ,6   t 1, 2, 2 ‬‬
‫‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫א‪ .‬מקבילים‪.‬‬
‫ב‪ .‬מתלכדים‪.‬‬
‫‪ )33‬נתונות הנקודות‪. A  3, 1,5 , B  k , 1,3 , C  6,3, 1 , D  2,3, k  :‬‬
‫הראה כי לכל ערך של ‪ k‬הישרים ‪ AB‬ו ‪ CD -‬מצטלבים‪.‬‬
‫‪ )34‬מצא את הצגתו הפרמטרית של מישור שעובר בנקודות הבא‪:‬‬
‫‪. C  0, 3,1 , B  3,6, 2  , A 1, 4, 0 ‬‬
‫‪ )35‬מצא את הצגתו הפרמטרית של מישור שעובר בנקודה ‪, Q  6, 7, 1‬‬
‫ומכיל את הישר ‪. : x   2, 2,5  t 1,0, 4 ‬‬
‫‪ )36‬נתונים שני ישרים‪: x   0,1, 1  t 1,9, 3 :‬‬
‫‪1‬‬
‫‪: x   2,16,11  s  0,1, 6  ,‬‬
‫‪2‬‬
‫‪.‬‬
‫הראה שהישרים נחתכים ומצא הצגה פרמטרית של המישור המכיל אותם‪.‬‬
‫‪ )37‬מצא את הצגתו הפרמטרית של מישור שעובר בנקודה ‪D  5, 2, 1‬‬
‫ומכיל את ציר ה‪. x -‬‬
‫‪ )38‬מצא את הצגתו הפרמטרית של המישור ‪.  xz ‬‬
‫‪z‬‬
‫‪ )39‬נתונה תיבה שמידותיה נתונות במערכת הצירים שלפניך‪.‬‬
‫מצא את הצגתו הפרמטרית של המישור המקווקו‬
‫‪y‬‬
‫‪x‬‬
‫‪97‬‬
‫‪ )40‬קבע האם הנקודות הבאות נמצאות על המישור ‪:  : 2 x  y  3z  6  0‬‬
‫א‪ . D  5,7,1 .‬ב‪. E  2, 1,1 .‬‬
‫‪ )41‬מצא את ערכו של‬
‫‪k‬‬
‫שבעבורו הנקודה ‪ A 1, k , 1‬נמצאת על‬
‫המישור‪.  : k x 2 y   k  1 z  7  0 :‬‬
‫‪ )42‬נתונה משוואת מישור‪.  : 3x  2 y  z  9  0 :‬‬
‫מצא את נקודות החיתוך של המישור עם שלושת הצירים‪.‬‬
‫‪ )43‬נתונה משוואת מישור‪.  : 4 x  y  2 z  8  0 :‬‬
‫מצא הצגה פרמטרית של הישר שהמישור חותך מהמישור ‪.  y z ‬‬
‫‪ )44‬נתונה משוואת מישור‪ .  : x  4 y  z  8  0 :‬כתוב הצגה פרמטרית של המישור‪.‬‬
‫‪ )45‬נתונה משוואת מישור‪ .  : 2 x  3 z 12  0 :‬כתוב הצגה פרמטרית של המישור‪.‬‬
‫‪ )46‬נתונה הצגה פרמטרית של מישור‪.  : x   2, 5,0  t 1,0, 2   s  0, 1,3 :‬‬
‫מצא את משוואת המישור‪.‬‬
‫‪ )47‬נתונה הצגה פרמטרית של מישור‪.  : x  t  2, 2,1  s 3,1,0  :‬‬
‫מצא את משוואת המישור‪.‬‬
‫‪ )48‬המישור ‪ ‬עובר בנקודות‪. C  4, 1, 0 , B  2, 0, 0  , A 1, 0, 3 :‬‬
‫מצא את משוואת המישור‪.‬‬
‫‪ )49‬נתונים שני ישרים‪: x   5, 4,1  t  0, 2, 1 :‬‬
‫‪1‬‬
‫‪: x   0, 6, 2   s  0, 2,1 ,‬‬
‫‪2‬‬
‫‪.‬‬
‫הראה שהישרים מקבילים ומצא את משוואת המישור המכיל אותם‪.‬‬
‫‪ )50‬נתונים שני ישרים‪: x   1,1,3  t  3, 2, 4  :‬‬
‫‪1‬‬
‫‪: x   7,1,0   s  4, 3,0  ,‬‬
‫הראה שהישרים מצטלבים ומצא את משוואת המישור המכיל את הישר‬
‫ומקביל לישר ‪. 2‬‬
‫‪ )51‬מצא משוואת מישור שעובר בנקודה ‪ A  6, 0, 1‬ומכיל את ציר ה ‪. z -‬‬
‫‪ )52‬נתונה משוואת מישור‪.  :  k  2 x   k 2  2k  3 y 3z  k 2  1  0 :‬‬
‫לאיזה ערך של ‪ k‬המישור מקביל לציר ה‪( y -‬ולא מכיל אותו)?‬
‫‪98‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪.‬‬
‫‪ )53‬פאותיו של טטראדר נמצאות על המישורים ‪, y  0 , x  0‬‬
‫ו‪ . x  3 y  2 z  6  0 -‬מצא את נפח הטטראדר‪.‬‬
‫‪z0‬‬
‫‪ )54‬נתונים הישר והמישור הבאים‪:‬‬
‫‪.  : 2 x  y  3z  6  0 , : x   5,0,1  t  4,1, 2 ‬‬
‫קבע את המצב ההדדי שביניהם‪.‬‬
‫אם הישר חותך א ת המישור מצא גם את נקודת החיתוך‪.‬‬
‫‪ )55‬נתונים הישר והמישור הבאים‪:‬‬
‫‪.  : x  3 y 2 z 11  0 , : x   2, 1,6  t  1,1, 2 ‬‬
‫קבע את המצב ההדדי שביניהם‪.‬‬
‫אם הישר חותך א ת המישור מצא גם את נקודת החיתוך‪.‬‬
‫‪ )56‬נתונים הישר והמישור הבאים‪:‬‬
‫‪.  : 2 x  y  6 z  11  0 , : x   6,1,0   t 3,0, 1‬‬
‫קבע את המצב ההדדי שביניהם‪.‬‬
‫אם הישר חותך א ת המישור מצא גם את נקודת החיתוך‪.‬‬
‫‪ )57‬נתונים הישר והמישור הבאים‪:‬‬
‫‪.  : x   1,0, 2  s 1,0, 2  r 3,0, 1 , : x   0,3, 2  t 1, 1, 2 ‬‬
‫קבע את המצב ההדדי שביניהם‪.‬‬
‫אם הישר חותך א ת המישור מצא גם את נקודת החיתוך‪.‬‬
‫‪ )58‬נתונים הישר והמישור הבאים‪:‬‬
‫‪.  : 2 x  y  z  4  0 , : x  1, a,3  t  4,1  b,0 ‬‬
‫מצא את ערכי ‪ a‬ו ‪ b -‬בעבורם הישר מוכל במישור‪.‬‬
‫‪ )59‬נתונים שני המישורים הבאים‪.  2 : 4 x  y  z  6  0 , 1 : x  3 y  2 z  1  0 :‬‬
‫מצא הצגה פרמטרית של ישר המקביל לשני המישורים ועובר בראשית‪.‬‬
‫‪ )60‬נתונים שני מישורים‪ .‬קבע את המצב ההדדי ביניהם‪:‬‬
‫א‪.  2 : 4 x  2 y  8z 10  0 , 1 : 2 x  y  4 z  5  0 .‬‬
‫ב ‪.  4 : 3x  9 y  3z  8  0 ,  3 : x  3 y  z  1  0 .‬‬
‫ג‪.  6 : 2 x  3 y  z  5  0 ,  5 : 5 x  2 y  z  3  0 .‬‬
‫‪99‬‬
‫‪ )61‬נתונים שני המישורים הבאים‪:‬‬
‫‪. 1 : 2 x   k  k  y  2 z  1  0 ,  2 : 4 x  12 y  4 z  k 2  2  0‬‬
‫‪2‬‬
‫מצא את ערכי‬
‫א‪ .‬נחתכים‬
‫‪k‬‬
‫עבורם המישורים‪:‬‬
‫ב‪ .‬מקבילים‬
‫ג‪ .‬מתלכדים‬
‫‪ )62‬במקבילון '‪ ABCDA'B'C'D‬נתונים שלוש הקדקודים הבאים‪:‬‬
‫‪. C  5, 2, 2  , B  9, 0, 2  , A 1, 1, 4 ‬‬
‫מצא את משוואת המישור עליו מונחת הפאה '‪ A'B'C'D‬אם ידוע‬
‫שהנקודה ‪  2, 1, 0 ‬נמצאת עליו‪.‬‬
‫‪ )63‬נתונים שני מישורים נחתכים‪.  2 : 2 x  y  z  10  0 , 1 : 4 x  y  2 z  2  0 :‬‬
‫מצא הצגה פרמטרית של ישר החיתוך שבין המישורים‪.‬‬
‫‪ )64‬נתונים שני מישורים נחתכים‪.  4 : 2 x  3 y  z  4  0 ,  3 : 8x  2 y  3z  2  0 :‬‬
‫מצא הצגה פרמטרית של ישר החיתוך שבין המישורים‪.‬‬
‫‪ )65‬נתונים שני מישורים נחתכים‪.  6 : 5x  2 z  20  0 ,  5 : 3x  3 y  z  2  0 :‬‬
‫מצא הצגה פרמטרית של ישר החיתוך שבין המישורים‪.‬‬
‫‪ )66‬נתונים שני מישורים נחתכים‪.  8 : z  2  0 ,  7 : x  2 y  z  6  0 :‬‬
‫מצא הצגה פרמטרית של ישר החיתוך שבין המישורים‪.‬‬
‫‪ )67‬מצא הצגה פרמטרית של ישר החיתוך של המישור ‪ : 6 x  5 y  z  18  0‬‬
‫עם המישור ‪.  xz ‬‬
‫‪ )68‬נתונים שני מישורים‪.  2 : 4 x  y  z  6  0 , 1 : x  3 y  2 z  1  0 :‬‬
‫מצא הצגה פרמטרית של ישר המקביל לשני המישורים ועובר בראשית‪.‬‬
‫‪ )69‬המישורים ‪  1‬ו ‪  2 -‬מאונכים זה לזה‪.‬‬
‫הישר ‪ : x   4,1, 1  t  2, 1,1‬הוא ישר החיתוך שבין המישורים‪.‬‬
‫מצא את משוואות המישורים אם ידוע שהמישור ‪  1‬עובר בראשית‪.‬‬
‫‪ )70‬נתונים ישר ומישור‪.  : 4 x  2 y  3z  6  0 , : x   2,0,5  t  3,1, 1 :‬‬
‫מצא הצגה פרמטרית של הישר שהוא היטלו של הישר על המישור‪.‬‬
‫‪100‬‬
‫‪ )71‬מצא את הזווית שבין הישרים הבאים‪:‬‬
‫‪2 : x   7,0, 1  s  0,5, 1 ,‬‬
‫‪1 : x   3, 11, 2   t  2, 4, 1‬‬
‫‪ )72‬מצא את הזווית שבין הישר והמישור הבאים‪:‬‬
‫‪ : 2 x  y  3z  5  0 , : x  1,0,3  t  3,1, 5‬‬
‫‪ )73‬מצא את הזווית שבין הישר והמישור הבאים‪:‬‬
‫‪ : 3x  2 y  2 z  9  0 , : x   2,0,5  t  2,1, 2 ‬‬
‫‪ )74‬מצא את הזווית שבין המישורים הבאים‪:‬‬
‫‪ 2 : 5x  y  z  10  0 , 1 : 3x  2 y  z  8  0‬‬
‫‪ )75‬מצא את הזווית שבין המישורים הבאים‪:‬‬
‫‪ 2 : 4 x  7 y  5z  3  0 , 1 : 4 x  3 y  z  12  0‬‬
‫‪ )76‬מצא את המרחק שבין הנקודות ‪ A  1,3, 2 ‬ו‪. B  9,1,0  -‬‬
‫‪ )77‬מצא את המרחק שבין הנקודה ‪ A  4,12, 5‬לישר ‪. : x  1,1, 4   t 3, 1, 2 ‬‬
‫‪ )78‬מצא את המרחק שבין הנקודה ‪ A 13, 1, 19 ‬לישר ‪. : x  t  2,0, 7 ‬‬
‫‪ )79‬נתונות הנקודות‪. C  6, 4, 0  , B  2, 1, 0  , A 1, 6, 1 :‬‬
‫חשב את שטח המשולש ‪.ABC‬‬
‫‪ )80‬על הישר ‪ : x   5, 2,0  t  0,1, 1‬מונחת הצלע ‪ AB‬של ריבוע ‪.ABCD‬‬
‫אחד מקודקודי הריבוע הוא ‪. D  5, 4, 2 ‬‬
‫מצא את שיעורי הקדקוד ‪( B‬שתי אפשרויות)‪.‬‬
‫‪ )81‬מצא את המרחק שבין הנקודה ‪ A  5,3, 1‬למישור ‪. x  2 y  2 z 12  0‬‬
‫‪ )82‬מצא את מרחקו של המישור ‪ 4x  2 y  4z  15  0‬מראשית הצירים‪.‬‬
‫‪ )83‬מצא משוואת מישור המאונך לישר ‪: x  1, 8,3  t  3, 2,1‬‬
‫ונמצא במרחק ‪ 14‬מהנקודה ‪. A  4,5, 9 ‬‬
‫‪101‬‬
‫‪ )84‬נתונים ישר ומישור‪.  : 2 x  4 y  4 z  15  0 , : x   7,19, 3  t  3,14, 4  :‬‬
‫מצא את הנקודות שעל הישר שמרחקן מהמישור הוא ‪.6.5‬‬
‫‪ )85‬חשב את נפחה של פירמידה משולשת ‪ SABC‬שקדקודיה הם‪:‬‬
‫‪. S 11, 2, 4  , C  6, 4, 0  , B  2, 1, 0  , A 1, 6, 1‬‬
‫‪ )86‬בפירמידה משולשת ‪ SABC‬המקצועות ‪ SB ,SA‬ו‪ SC-‬מאונכים זה לזה‪.‬‬
‫נתון‪. SA  6 , SB  8 , SC  12 :‬‬
‫חשב את אורכו של גובה הפירמידה היורד מהקדקוד ‪ S‬לבסיס ‪.ABC‬‬
‫‪ )87‬נתונים שני ישרים‪: x   4,6, 4   t  2,3,0  :‬‬
‫‪1‬‬
‫‪: x  1,7,1  s  2,3,0  ,‬‬
‫‪2‬‬
‫‪.‬‬
‫הראה שהישרים מקבילים ומצא את המרחק ביניהם‪.‬‬
‫‪ )88‬נתונים ישר ומישור‪.  : 2 x  6 y  z  6  0 , : x   2, 4,1  t  5,1, 4  :‬‬
‫הראה שהישר מקביל למישור ומצא את המרחק שבין הישר למישור‪.‬‬
‫‪ )89‬נתונים שני מישורים‪.  2 : 2 x  2 y  z  5  0 , 1 : 2 x  2 y  z  7  0 :‬‬
‫הראה שהמישורים מקבילים ומצא את המרחק שביניהם‪.‬‬
‫‪ )90‬נתונה משוואת מישור‪.  : 3x  4 y  5z 10  0 :‬‬
‫מצא משוואת מישור המקביל למישור הנתון והנמצא במרחק ‪ 8‬ממנו‪.‬‬
‫‪ )91‬נתונים שני מישורים מקבילים‪.  2 : x  2 y  2 z 12  0 , 1 : x  2 y  2 z  6  0 :‬‬
‫מצא את משוואת המישור המקביל לשני המישורים הנתונים והנמצא במרחק‬
‫שווה משניהם‪.‬‬
‫‪ )92‬נתונים שני הישרים הבאים‪:‬‬
‫‪. l1 : x   3, 2,6  t  4,1, 2 , l2 : x   0, 2, 7   s 1,0, 1‬‬
‫הראה שהישרים מצטלבים ומצא את המרחק שביניהם‪.‬‬
‫‪ )93‬נתונים שני הישרים המצטלבים הבאים‪:‬‬
‫‪. 4 : x   2, 1,9  s  6, 1,0  , 3 : x   1,0,5  t 1,1, 2 ‬‬
‫מצא את המרחק שביניהם‪.‬‬
‫‪ )94‬מצא את מרחק הישר ‪ : x   4, 2, 1  t  1,1,6 ‬מציר ה‪. z -‬‬
‫‪102‬‬
‫‪ )95‬נתונה קובייה '‪ ABCDA'B'C'D‬שנפחה הוא ‪ .8‬משוואת המישור שעליו מונח‬
‫הבסיס ‪ ABCD‬היא‪. 1 : 4 x  y  3z  28  0 :‬‬
‫משוואת המישור שעליו מונחת הפאה '‪ ABB'A‬היא‪.  2 : x  2 y  2 z  6  0 :‬‬
‫מצא הצגה פרמטרית של הישר שעליו מונח המקצוע ‪ 2( CD‬אפשרויות)‪.‬‬
‫‪ )96‬נתונים שני ישרים‪: x   2,1,5  t  5, 4, 2  :‬‬
‫‪1‬‬
‫‪: x   7,3, 1  s  5, 4, 2  ,‬‬
‫א‪ .‬מצא את המצב ההדדי שבין הישרים‪.‬‬
‫ב‪ .‬המישור ‪  1‬מכיל את שני הישרים והמישור ‪  2‬נמצא בין שני הישרים‬
‫במרחק שווה מכל אחד מהם‪ ,‬מקביל לשני הישרים ומאונך למישור ‪.  1‬‬
‫מצא את משוואות המישורים ‪  1‬ו‪.  2 -‬‬
‫‪ )97‬נתונים שני מישורים‪.  2 : x  y  2 z  4  0 , 1 : 2 x  y  4 z  8  0 :‬‬
‫המישור ‪  3‬מכיל את ישר החיתוך של שני המישורים וחותך את ציר ה ‪y -‬‬
‫בנקודה ‪ A‬כך שמתקיים‬
‫‪OA  m‬‬
‫(‪ O‬ראשית הצירים)‪.‬‬
‫הזווית שבין המישור ‪  2‬למישור ‪  3‬היא ‪ ‬ונתון כי‪. cos   2 :‬‬
‫‪3‬‬
‫מצא את הערכים האפשריים של הפרמטר ‪. m‬‬
‫‪ )98‬נתונות שלוש נקודות‪. O  3,1,0  , B  2, 1, 0  , A  3, 1,1 :‬‬
‫הנקודות ‪ A‬ו ‪ B-‬נמצאות על היקפו של מעגל שהנקודה ‪ O‬היא מרכזו‪.‬‬
‫מצא הצגה פרמטרית של הישר המשיק למעגל בנקודה ‪A‬‬
‫(הישר נמצא במישור המעגל)‪.‬‬
‫‪ )99‬הנקודה ‪ A  4, 0, 1‬נמצאת על כדור שמרכזו ‪. O 1,1, 2 ‬‬
‫מצא את משוואת המישור המשיק לכדור בנקודה ‪.A‬‬
‫‪ )100‬נתונים מישור וישר‪. : x  1,5,5  t 1,1,0  ,  : 2 x  y  2 z  1  0 :‬‬
‫מצא נקודה על חלקו החיובי של ציר ה‪ z -‬הנמצאת במרחקים שווים‬
‫מהמישור ומהישר‪.‬‬
‫‪ )101‬נתונים שני מישורים‪.  2 : 4 x  2 y  4 z 1  0 , 1 : 2 x  4 y  4 z  5  0 :‬‬
‫מצא הצגה פרמטרית של ישר‪ ,‬שנמצא במרחק ‪ 2‬ממישור ‪  1‬ובמרחק ‪6‬‬
‫ממישור ‪(  2‬מצא הצגה של ישר אחד מתוך ‪ 4‬אפשריים)‪.‬‬
‫‪103‬‬
‫‪2‬‬
‫‪.‬‬
‫‪ )102‬נתונים ישר ומישור‪: x   0, 3,0   t 1,1, 8 :‬‬
‫ישר נוסף‪,‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪. : 6x  2 y  z  5  0 ,‬‬
‫‪ ,‬המקביל למישור ‪ , ‬עובר בנקודה ‪ P 1, 0, 4 ‬וחותך את הישר‬
‫בנקודה ‪ .Q‬מבין הנקודות שבמישור ‪ , ‬הנקודה '‪ P‬היא הקרובה ביותר‬
‫לנקודה ‪ P‬והנקודה '‪ Q‬היא הקרובה ביותר לנקודה ‪.Q‬‬
‫מצא את שטח המלבן '‪.PQQ'P‬‬
‫(הדרכה‪ :‬הבע באמצעות ‪ t‬את וקטור הכיוון של ‪.) 2‬‬
‫‪ )103‬נתונים שני מישורים‪.  2 : 3x  y  2 z  11  0 , 1 : 2 x  y  z  5  0 :‬‬
‫‪ 1‬הוא ישר החיתוך בין שני המישורים‪.‬‬
‫המישור ‪  3‬מכיל את הישר ‪ 1‬ויוצר זווית של ‪ 60o‬עם הישר‬
‫‪. 2 : x  1,3, 4   t 1,1,0 ‬‬
‫מצא את משוואת המישור ‪.  3‬‬
‫‪104‬‬
‫‪1‬‬
:‫תשובות סופיות‬
)1
. (7,1, 2) )5
. u  (4,11,5) )4
. D(6, 8,1) )3
. u  (5,8,0) , v  (5,8,6) )2
. N (1, 5,10) .‫ ב‬. EF  (5, 1, 0) .‫) א‬7 . Q  (12,8) .‫ ב‬. AB  (9, 4) .‫) א‬6
. u  (0, 7,6) , v  (4,7,6) )9 . D(6, 8,1) )8
. 21 )11 . 10 .‫ ה‬. (7, 24, 2) .‫ ד‬. (6,14, 2) .‫ ג‬. (1,10, 4) .‫ ב‬. (5, 4, 6) .‫) א‬10
.‫יח"ש‬10.173 )16 .180 .‫ ג‬. 90 .‫ ב‬. 97.277 .‫) א‬15 .102.19 )14 .‫ כן‬.‫) ב‬13
. l : x  (5, 2)  t (6,8) )20 .‫) לא‬19 .‫) כן‬18 . w  (3, 6,5) ‫ או‬w  (3,6, 5) )17
. l : x  t (0,1,0) )23 . l : x  (2, 7,1)  s(4, 2,1) )22 l : x  (4,1,1)  t (1,1,3) )21
.‫) מקבילים‬27 .‫) מתלכדים‬26 . (7, 5,0) )25 . l : x  (3, 1, 4)  t (0,0,1) )24
. (1,8, 1) ,‫) נחתכים‬31 .‫) מקבילים‬30 .‫) מצטלבים‬29 . (1,5, 0) ,‫) נחתכים‬28
. : x  (1, 4,0)  t (2,10, 2)  s(1,1,1) )34 . k  2 .‫ ב‬. k  2 .‫) א‬32
.  : x   0,1, 1  t 1,9, 3  s  0,1, 6 )36 .  : x  (2, 2,5)  t (1,0, 4)  s(8,9, 6) )35
.  : x  t (1,0,0)  s(0,0,1) )38  : x  t (1,0,0)  s(5, 2, 1) )37
.‫ לא על המישור‬.‫ ב‬.‫ על המישור‬.‫) א‬40 .  : x  (7,0,0)  t (0,0,1)  s(7,12,0) )39
1
2
.  : x  (0,0, 4)  t (0,1,0)  s(6,0, 4) )45 .  : x  (0,0,8)  t (0, 2, 8)  s(8,0, 8) )44
. l : x  (0, 8,0)  t (0, 2,1) )43 . (3, 0, 0) , (0, 4 , 0) , (0, 0  9) )42 . k  3 )41
. : 3x  6 y  z  6  0 )48 .  : x  3 y  8z  0 )47 .  : 2 x  3 y  z  19  0 )46
. k  3 )52 .  : y  0 )51 12 x  16 y  z 1  0 )50 y  2 z  2  0 )49
.‫) הישר מוכל‬56 .‫) מקבילים‬55 . (1, 1,3) ,‫) הישר חותך‬54 .‫ יח"נ‬6 )53
. l : x  t (1,9,13) )59 . a  1 , b  7 )58 (3, 0, 4) ,‫) הישר חותך‬57
. k  2 .‫ ג‬. k  3 .‫ ב‬. k  2, 3 .‫) א‬61 .‫ נחתכים‬.‫ ג‬.‫ מקבילים‬.‫ ב‬.‫ מתלכדים‬.‫) א‬60
105
. l : x  (2,6,0)  t (2,16,12) )63 . A' B 'C ' D ' : 2 y  z  2  0 )62
1
3
. l : x  t (1,9,13) )68 . l : x  (3,0,0)  t (3,0, 18) )67 . l : x  (0, 2, 2)  t (4, 2,0) )66
. l : x  (0, 4,10)  t (4, 7 ,10) )65 . l : x  (0, 2, 2)  t (1, 2, 4) )64
. l ' : x  (5, 13,0)  t (7,11, 2) )70 . 1 : y  z  0 ,  2 : x  y  z  6  0 )69
. 108 )76 . 90 )75 . 43.94 )74 .18.87 )73 . 21.19 )72 . 26.01 )71
.2
1
)82 . 5 )81 . B(5, 4, 2) ‫ או‬B(5, 4, 6) )80 .‫יח"ש‬12.75 )79 . 54 )78 91 )77
2
. (1, 9,5) ‫( או‬4,5,1) )84 .  : 3x  2 y  z  7  0 ‫ או‬ : 3x  2 y  z  21  0 )83
. 4 )89 .
24
15
 ‫ יח"א‬4.46 )86 .‫ יח"נ‬20.5 )85
)88 . 22 )87 .
29
41
.  3 : x  2 y  2 z  3  0 )91 . 1' : 3x  4 y  5z  10  0 ,  2' : 3x  4 y  5z  30  0 )90
10
. 2 )94 .1.567 )93 .
)92
6
. l : x   0, 2.5,8.5  t  2, 2.75, 1.75 , l : x   0,7,7   t 8, 11, 7  )95
. m  4, 
4
)97 . 1 : 2 x  2 y  z  7  0 ,  2 : y  2 z  6  0 .‫ ב‬.‫ מקבילים‬.‫) א‬96
7
.  : 3x  y  3z  15  0 )99 . l : x  (3, 1,1)  k (5, 2, 4) )98
3
4
4
5
.  3 : 2 x  y  z  5  0 ‫ או‬ 3 : x  2 y  z  58  0 )103 .‫יח"ש‬10.476 )102
. l : x  (0, 14, 15 )  t (14,14, 21) )101 . (0, 0,14 ) ‫( או‬0, 0, 4) )100
106
‫תרגול מבגרויות‪:‬‬
‫וקטורים גיאומטריים‬
‫‪ )1‬בפירמידה ‪ ,ABCDE‬שבסיסה ‪ ABCD‬הוא מקבילית‪,‬‬
‫נתון כי ‪. EA  EC‬‬
‫א‪ .‬הוכח‪ :‬אם הבסיס ‪ ABCD‬הוא מלבן‪,‬‬
‫אז ‪. ED  EB‬‬
‫ב‪ .‬נסח את הטענה ההפוכה לטענה שבסעיף א‪,‬‬
‫והוכח אותה‪.‬‬
‫‪ )2‬נתונה תיבה ‪.ABCDA'B'C'D‬‬
‫נסמן‪AA'  w , AD  v , AB  u :‬‬
‫נתון‪v  1 , u  w  2 :‬‬
‫נקודה ‪ F‬מקיימת ‪. BF  t BC‬‬
‫‪ t‬הוא פרמטר‪.‬‬
‫הנקודה ‪ E‬היא אמצע האלכסון ‪.A'D‬‬
‫א‪ .‬הראה כי לא קיים ערך של ‪ t‬שעבורו ‪. EAF  30‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫(‪ )1‬מצא את הערך של ‪ t‬שעבורו‬
‫‪5‬‬
‫(‪ )2‬היכן נמצאת הנקודה ‪ F‬עבור הערך של ‪ t‬שמצאת‪ :‬בתוך הקטע ‪,BC‬‬
‫באחד מקצות הקטע ‪ BC‬או מחוץ לקטע ‪ ?BC‬נמק‪.‬‬
‫=‪. cos EAF‬‬
‫ג‪ .‬אם ‪ EF‬מקביל למישור הפאה '‪ ,ABB'A‬מצא את היחס שבו הנקודה ‪ F‬מחלקת‬
‫את הקטע ‪ .BC‬נמק‪.‬‬
‫ד‪ .‬האם נפח הפירמידה ‪ AEDF‬תלוי בערך של ‪ ? t‬אם כן‪ -‬הסבר מדוע‪.‬‬
‫אם לא – חשב את נפח הפירמידה‪.‬‬
‫‪ )3‬נתונה פירמידה ‪ SABCD‬שבסיסה ‪ABCD‬‬
‫הוא מקבילית (ראה ציור)‪.‬‬
‫נסמן‪. SD  v , SA  w , SB  u :‬‬
‫א‪ .‬הבע באמצעות ‪ u , v‬ו‪w -‬‬
‫את הווקטור ‪. SC‬‬
‫ב‪ .‬נתון גם‪, w  2a , u  a , SC=SA , SD=SB :‬‬
‫‪. ASB   , ASD   , DSB  90‬‬
‫‪1‬‬
‫הראה כי‬
‫‪2‬‬
‫‪. cos   cos  ‬‬
‫‪107‬‬
‫‪ )4‬נתונה מנסרה ישרה '‪ ABCA'B'C‬שבסיסה‬
‫משולש שווה צלעות‪ .‬הנקודה ‪ E‬נמצאת על‬
‫המקצוע ‪ AB‬כך ש ‪.  0  x  1 AE  kAB -‬‬
‫א‪.‬‬
‫נתון כי הזווית בין המישור ‪A'EC‬‬
‫למישור ‪ ABC‬היא הזווית ‪.A'EA‬‬
‫מצא את הערך של ‪. k‬‬
‫נתון‪, A'EA  45 , AC=2 :‬‬
‫הזווית בין המישור ‪ A'EC‬למישור ‪ ABC‬היא ‪. A'EA‬‬
‫ב‪ .‬חשב את הזווית בין המישור ‪ ABC‬למישור ‪.A'BC‬‬
‫נקודה ‪ F‬נמצאת על המישור ‪( A'BC‬לאו דווקא על ‪ )BC‬כך ש ‪ AF -‬מאונך ל‪, BC -‬‬
‫ומתקיים‪. A'F  t A'C  mA'B :‬‬
‫ג‪ .‬סמן‪ , AB'  v , AC'  u , AA'  w :‬והוכח כי ‪. t  m‬‬
‫‪ )5‬נתונים הווקטורים‪( AB  w , AC  v , AD  u :‬ראה ציור)‪.‬‬
‫נתון‪, DAB  90 , BAC  DAC  60 :‬‬
‫‪u  v  w 2‬‬
‫א‪.‬‬
‫האם ייתכן ששלושת הווקטורים ‪u , v , w‬‬
‫נמצאים במישור אחד? נמק‪.‬‬
‫נתון גם כי הווקטור ‪ AP  au  bv  w‬מאונך‬
‫למישור ‪ a ,ABC‬ו‪ b -‬הם פרמטרים (ראה ציור)‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא את האורך של ‪( AP‬ערך מספרי)‪.‬‬
‫ג‪ .‬היעזר בחישובים טריגונומטריים ומצא את הזווית בין המישור ‪ PCB‬ובין‬
‫המישור ‪.ABC‬‬
‫‪ )6‬נתונה פירמידה ישרה ‪ ,SABC‬שבסיסה ‪ ABC‬הוא משולש‬
‫שווה צלעות‪ .‬גובה הפירמידה הוא ‪.SO‬‬
‫נקודה ‪ E‬היא אמצע ‪( SO‬ראה ציור)‪.‬‬
‫נקודה ‪ F‬מקיימת‪. SF  tSC :‬‬
‫נסמן‪. OS  w , AC  v , AB  u :‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪9‬‬
‫‪1‬‬
‫‪9‬‬
‫נקודה ‪ K‬מקיימת‪. SK  u  v  w :‬‬
‫מצא את הערך של ‪ , t‬אם ידוע שהנקודות ‪ K ,F‬ו‪ E -‬נמצאות על ישר אחד‪.‬‬
‫‪108‬‬
‫‪ )7‬במשולש ‪ ,ABC‬גובה המשולש לצלע ‪ AB‬הוא ‪.CD‬‬
‫נסמן‪. AD  t AB , CB  v , CA  u :‬‬
‫‪3‬‬
‫נתון‪:‬‬
‫‪4‬‬
‫‪. CB  2 , CA  1 , cos ACB ‬‬
‫א‪ .‬חשב את הערך של ‪ t‬בעזרת חשבון וקטורים‪.‬‬
‫ב‪ .‬סרטט את המשולש ‪ ABC‬ואת הגובה ‪ CD‬כך שהסרטוט יתאים לערך‬
‫של ‪ t‬שחישבת בסעיף א‪.‬‬
‫ג‪ .‬נקודה ‪ E‬נמצאת על הצלע ‪( BC‬בין ‪ B‬ל ‪.)C -‬‬
‫‪CE 3‬‬
‫נתון גם‪= :‬‬
‫‪BE 5‬‬
‫הבע את ‪ AE‬באמצעות ‪ u‬ו ‪ h -‬בלבד‪.‬‬
‫‪ .‬נסמן‪. CD  h :‬‬
‫וקטורים אלגבריים‬
‫‪ )8‬נתון טרפז שווה שוקיים ‪(  AB DC  ABCD‬ראה ציור)‪.‬‬
‫נתון כי ‪. DAB  120‬‬
‫נסמן‪. AB  tu , AD  v , DC  u :‬‬
‫א‪ )1( .‬הבע את ‪ t‬באמצעות ‪ u‬ו‪. v -‬‬
‫(‪ )2‬הבע את הווקטור ‪BC‬‬
‫באמצעות ‪ u , v , u‬ו‪. v -‬‬
‫נתון‪. v   1, y, 0 , u  8, 6, 10 :‬‬
‫ב‪ )1( .‬מצא את שיעור ה‪ y -‬של הווקטור ‪( . v‬מצא את שתי האפשרויות)‪.‬‬
‫(‪ )2‬מבין שני הערכים של ‪ y‬שמצאת בתת סעיף ב (‪ ,)1‬מצא עבור איזה ערך‬
‫של ‪ y‬הבסיס ‪ DC‬הוא קוטר במעגל שהטרפז חסום בו‪.‬‬
‫הערה ‪ :‬אפשר לפתור את סעיף ב בלי להסתמך על הפתרון של סעיף א‪.‬‬
‫‪ )9‬נתון מישור ‪ ‬שמשוואתו ‪. 2 x  y  z  3  0‬‬
‫הנקודות ‪ B 1, 2, m ‬ו ‪ A  1, 2, k  -‬נמצאות במישור זה‪.‬‬
‫הישר ‪ BG‬מאונך למישור ‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא את שיעורי הנקודה ‪ ,G‬אם גם נתון כי ‪ , BG  96‬ושיעור ה ‪ x -‬של‬
‫הנקודה ‪ G‬הוא חיובי‪.‬‬
‫ב‪ .‬דרך הנקודה ‪ G‬שאת שיעוריה מצאת בסעיף א‪ ,‬ודרך הנקודה ‪E 11, 6, 17 ‬‬
‫עובר ישר ‪ l‬החותך את המישור ‪ ‬בנקודה ‪.F‬‬
‫הוכח כי הנקודות ‪ ,B ,A‬ו ‪ F -‬נמצאות על ישר אחד‪.‬‬
‫ג‪ .‬מצא את המצב ההדדי בין הישר ‪ AF‬לציר ה‪. x -‬‬
‫‪109‬‬
‫‪ )10‬נתון משולש ‪ ABC‬שווה שוקיים וישר זווית‪. C  90 ,‬‬
‫שניים מקדקודי המשולש הם‪ C  6, 2, 2  :‬ו‪. A  3, 2,1 -‬‬
‫המישור ‪  : 2 x  y  2z 15  0‬מקביל למישור ‪.ABC‬‬
‫א‪ )1( .‬מצא את שתי האפשרויות לשיעורי הקדקוד ‪.B‬‬
‫(‪ )2‬נסמן את שתי האפשרויות ‪ B‬ב ‪ B1 -‬ו ‪. B2 -‬‬
‫האם הקדקוד ‪ C‬נמצא על הישר ‪ ? B1B2‬נמק‪.‬‬
‫ב‪ .‬נקודה ‪ D‬נמצאת במישור ‪. ‬‬
‫מצא את נפח הפירמידה ‪. DAB1B2‬‬
‫‪ )11‬נתונה פירמידה ‪ SABCD‬שבסיסה ‪ ABCD‬הוא מקבילית‪.‬‬
‫השיעורים של ארבעה מבין קדקודי הפירמידה הם‪:‬‬
‫‪S 1,1,8 , C  2, 2, 1 , B  4, 2,5 , A  6, a,9 ‬‬
‫בסיס הפירמידה נמצא במישור‪ : x   2, 1, 4  t  4, 3,5  s  2, 1,1 :‬‬
‫א‪ .‬חשב את נפח הפירמידה ‪( SABCD‬ערך מספרי)‪.‬‬
‫ב‪ .‬המישור ‪ ‬חותך את הצירים בנקודות ‪.K ,L ,M‬‬
‫מצא את היחס בין נפח הפירמידה ‪ SABCD‬לבין נפח הפירמידה ‪OKLM‬‬
‫(‪ – O‬ראשית הצירים)‪.‬‬
‫ג‪ .‬האם הישר שעליו נמצא גובה הפירמידה ‪ SABCD‬חותך את כל המישורים‬
‫שעליהם מונחות פאות הפירמידה ‪ ?OKLM‬נמק‪.‬‬
‫‪ )12‬נתון מקבילון '‪( ABCDA'B'C'D‬גוף שכל‬
‫פאותיו הן מקביליות)‪.‬‬
‫נקודה ‪ L‬היא אמצע המקצוע '‪DD‬‬
‫‪B'E‬‬
‫נקודה ‪ E‬נמצאת על המקצוע '‪ BB‬כך ש‪ 3 -‬‬
‫‪EB‬‬
‫נתון כי המקצוע '‪ AA‬מאונך למישור ‪.AEL‬‬
‫המישור חותך את המקצוע '‪ CC‬בנקודה ‪K‬‬
‫‪.‬‬
‫(ראה ציור)‪.‬‬
‫נסמן‪. CK  mCC' , AA'  w , AD  v , AB  u :‬‬
‫א‪ .‬מצא את הערך של ‪. m‬‬
‫ב‪ .‬נתון כי ההצגה הפרמטרית של הישר '‪ CC‬היא ‪, x   4,5,8  t 1, 1, 2 ‬‬
‫הנקודה ‪  2, 1,3‬נמצאת במישור ‪ ,AEL‬ושיעורי הקדקוד '‪ C‬הם ‪ x, y, 0 ‬‬
‫מצא את מרחק הקדקוד ‪ C‬מהמישור ‪.AEL‬‬
‫‪110‬‬
‫‪ )13‬נתונות משוואות של שני מישורים‪:‬‬
‫‪1 :2 x  y  2 z  10  0‬‬
‫‪ 2 :2 x  y  2 z  10  0‬‬
‫ונתון ישר שהצגתו הפרמטרית היא‪:‬‬
‫‪l : x   0,10, 0   t  0, 2,1‬‬
‫הישר ‪ l‬חותך את המישור ‪  1‬בנקודה ‪,B‬‬
‫ואת המישור ‪  2‬הוא חותך בנקודה ‪.P‬‬
‫הנקודה ‪ A  5, 0, z ‬נמצאת במישור ‪(  1‬ראה ציור)‪.‬‬
‫מהנקודות ‪ A‬ו ‪ B -‬העבירו אנכים למישור ‪ ,  2‬החותכים את המישור‬
‫בנקודה ‪ D‬ו ‪ C -‬בהתאמה‪.‬‬
‫מצא את נפח הפירמידה ‪( PABCD‬שבסיסה ‪.)ABCD‬‬
‫‪ )14‬נתונה פירמידה ‪ ABCDT‬שבסיסה ‪ ABCD‬הוא מקבילית‪.‬‬
‫‪. 2x  2 y  z  4  0‬‬
‫משוואת מישור הבסיס היא‪:‬‬
‫הצגה פרמטרית של הישר ‪ TB‬היא‪. x  1, 2, 7   t  3, 2,1 :‬‬
‫א‪ .‬מצא את השיעורים של הקדקוד ‪.B‬‬
‫ב‪ .‬אלכסוני המקבילית ‪ ABCD‬נפגשים בנקודה ‪.M‬‬
‫אחת מהנקודות ‪ M‬ו‪ D -‬נמצאת על ציר ה‪ , x -‬ואחת מהן נמצאת על ציר ה‪. z -‬‬
‫קבע איזו מהנקודות נמצאת על ציר ה‪ . x -‬נמק‪.‬‬
‫ג‪ .‬דרך נקודה על הישר ‪ TB‬העבירו אנך למישור המקבילית ‪ .ABCD‬האנך חותך את‬
‫המישור בנקודה ‪.E‬‬
‫(‪ )1‬מצא הצגה פרמטרית של הישר ‪( BE‬ההיטל של הישר ‪ TB‬על מישור‬
‫המקבילית)‪.‬‬
‫(‪ )2‬מצא את המצב ההדדי בין הישר ‪ BE‬לאלכסון ‪.BD‬‬
‫‪ )15‬נתונים שני מישורים ‪  1‬ו ‪  2 -‬המקבילים זה לזה‪.‬‬
‫המרחק בין שני המישורים הוא ‪.2‬‬
‫מישור ‪  1‬עובר דרך הנקודות ‪ A  2, 0,3‬ו‪. B  0, 0, 6  -‬‬
‫מישור ‪  2‬עובר דרך הנקודה ‪. C  2, 0, 2 ‬‬
‫מצא את משוואת המישור ‪  1‬ואת משוואת המישור ‪.  2‬‬
‫(מצא את שתי האפשרויות לכל אחד מהמישורים)‪.‬‬
‫‪111‬‬
‫‪ )16‬נתונה פירמידה ישרה ‪.SABC‬‬
‫נסמן‪. SA  u , SB  v , SC  w :‬‬
‫‪1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ M‬היא נקודה במישור כך ש‪. SM  u  v  w -‬‬
‫נתון‪. u  v  v  w  u  w :‬‬
‫א‪ .‬הוכח כי הווקטור ‪ SM‬מאונך למישור ‪.ABC‬‬
‫‪3‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 3‬‬
‫‪‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪v   , ‬‬
‫‪, 2  , u    , ‬‬
‫נתון גם‪, 2  :‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 2‬‬
‫‪‬‬
‫‪. w   0, 3, 2  , C  0, 3, 0 ‬‬
‫ב‪ .‬מצא את משוואת המישור ‪.ABC‬‬
‫ג‪ .‬דרך קדקוד ‪ C‬העבירו מישור ‪ ‬המקביל למקצוע ‪ AB‬ויוצר זווית של ‪30‬‬
‫עם המישור ‪ .ABC‬מצא את משוואת המישור ‪( ‬מצא את שני הפתרונות)‪.‬‬
‫‪ )17‬נתונים שני ישרים מצטלבים‪ .‬קטע ‪ AB‬נמצא על‬
‫אחד הישרים‪ ,‬וקטע ‪ CF‬נמצא על הישר האחר‪.‬‬
‫נקודה ‪ E‬היא אמצע הקטע ‪( AB‬ראה ציור)‪.‬‬
‫נסמן‪. EA  w , FE  v , CF  u :‬‬
‫נתון‪. v  w , v  u :‬‬
‫‪u  7 , v  13 , w  5‬‬
‫‪35‬‬
‫קוסינוס הזווית בין הווקטורים ‪ w‬ו‪ u -‬הוא‬
‫‪10‬‬
‫‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא את גודל הזווית ‪.ABC‬‬
‫נתון גם‪ . A  0,2,3 , B  2,6,3 :‬מישור ‪ ‬עובר דרך הנקודה ‪ B‬ומאונך לישר ‪.AB‬‬
‫ב‪ .‬מצא את משוואת המישור ‪. ‬‬
‫ג‪ .‬היעזר בתשובתך לסעיף א ומצא את גודל הזווית שבין הישר ‪ BC‬למישור ‪. ‬‬
‫‪112‬‬
‫‪ )18‬במשולש ‪ ABC‬התיכון לצלע ‪ BC‬הוא ‪.AT‬‬
‫הנקודה ‪ L‬נמצאת על הצלע ‪.AC‬‬
‫‪ AT‬ו ‪ BL -‬נפגשים בנקודה ‪( M‬ראה ציור)‪.‬‬
‫נסמן‪. BM   BL , AM   AT , AB  u , AC  v :‬‬
‫א‪.‬‬
‫‪AL 3‬‬
‫נתון‪= :‬‬
‫‪LC 4‬‬
‫‪.‬‬
‫מצא את הערך של ‪ ‬ואת הערך של ‪. ‬‬
‫ב‪ ) 1( .‬מצא את המשוואה של המקום הגיאומטרי שעליו מונחות הנקודות ‪ ,B‬שעבורן‬
‫המשולש ‪ ABC‬מתקיים‪. A 1,0 , v   7,7  , AT  50 :‬‬
‫על פי הנתונים שבתת סעיף ב (‪ ) 1‬והנתון שבסעיף א ענה על תת סעיפים (‪ )2‬ו‪.)3( -‬‬
‫(‪ )2‬מצא את השיעורים של הנקודה ‪.L‬‬
‫(‪ )3‬אם הישר ‪ MB‬מקביל לציר ה‪ , y -‬מצא את השיעורים של הקדקוד ‪.B‬‬
‫הערה ‪ :‬הפתרון של סעיף ב אינו תלוי בפתרון של סעיף א‪.‬‬
‫‪ )19‬הישר ‪ l‬עובר דרך הנקודות ‪ A  0, 0,1‬ו ‪. B 1,1, 0  -‬‬
‫הישר מאונך למישור ‪  1‬וחותך את המישור בנקודה ‪.D‬‬
‫המישור ‪  1‬עובר דרך ראשית הצירים ‪.O‬‬
‫א‪ .‬מצא את שטח המשולש ‪.OAD‬‬
‫ב‪ )1( .‬המישור ‪  2‬מכיל את ציר ה‪ x -‬ומקביל לישר ‪. l‬‬
‫מצא את הזווית בין הישר ‪ l‬ובין ישר החיתוך שבין המישור ‪  1‬למישור ‪.  2‬‬
‫(‪ )2‬מצא את המרחק של הישר ‪ l‬מישר החיתוך שבין המישור ‪  1‬למישור ‪.  2‬‬
‫‪113‬‬
‫תשובות סופיות‪:‬‬
‫‪ )1‬ב‪ .‬אם כל זוג מקצועות צדדיים נגדיים בפירמידה ‪ABCDE‬‬
‫שבסיסה ‪ ABCD‬מקבילית מאונכים זה לזה‪ ,‬הרי שבסיסה ‪ ABCD‬הוא מלבן‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ )2‬ב‪ )2( t  1 )1( .‬הנקודה ‪ F‬בקצה הקטע ‪ BC‬ג‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫ד‪ .‬הנפח לא תלוי ב‪ t -‬והוא שווה ל‪. -‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ t ‬הנקודה ‪ F‬באמצע הקטע ‪BC‬‬
‫‪ )3‬א‪. SC  u  v  w .‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ )4‬א‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ k ‬ב‪. 30 .‬‬
‫‪ )5‬א‪ .‬לא ב‪ 2 6 .‬ג‪. 70.53 .‬‬
‫‪1‬‬
‫‪)6‬‬
‫‪3‬‬
‫‪.t ‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ )7‬א‪.‬‬
‫‪4‬‬
‫‪7‬‬
‫‪8‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ t  ‬ב‪ .‬איור בצד‪ .‬ג‪. AE  u  h .‬‬
‫‪ v ‬‬
‫‪uv‬‬
‫‪BC    u  v )2( t ‬‬
‫‪ )8‬א‪)1( .‬‬
‫‪u‬‬
‫‪u ‬‬
‫‪1‬‬
‫ב‪)1( .‬‬
‫‪7‬‬
‫‪. y  7 )2( y  7,‬‬
‫‪ )9‬א‪ G  9, 2, 1 .‬ג‪ AF .‬מצטלב עם ציר ה‪. x -‬‬
‫‪ )10‬א‪ )2( B1  7, 6, 1 , B2  5, 2, 3 )1( .‬כן‪ .‬ב‪ 18 .‬יחידות נפח‪.‬‬
‫‪ )11‬א‪ 12 .‬יחידות נפח‪ .‬ב‪ .8 .‬ג‪ .‬כן‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ )12‬א‪.‬‬
‫‪4‬‬
‫‪17‬‬
‫‪.129 )13‬‬
‫‪27‬‬
‫‪ )14‬א‪  2, 0, 8 .‬ב‪ .‬נקודה ‪ D‬ג‪)1( .‬‬
‫‪ m ‬ב‪ 9 6 .‬יח'‪.‬‬
‫‪ )2(  2, 0, 8  r 1, 0, 2 ‬מתלכדים‪.‬‬
‫‪ 3x  6 y  2 z 12  0 : 1 )15‬או ‪3x  6 y  2 z 12  0‬‬
‫‪ 3x  6 y  2 z  2  0 :  2‬או ‪. 3x  6 y  2 z  2  0‬‬
‫‪ )16‬ב‪ z  0 .‬ג‪ y  3z  3  0 .‬או ‪. y  3z  3  0‬‬
‫‪ )17‬א‪ ABC  80.9 .‬ב‪  : x  2 y 14  0 .‬ג‪. 9.1 .‬‬
‫‪ )18‬א‪   0.7 ,   0.6 .‬ב‪.  4, 17  )3(  4,3 )2(  x  6   y  7   200 )1( .‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ )19‬א‪.‬‬
‫‪6‬‬
‫‪2‬‬
‫ב‪)2( 90 )1( .‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪.‬‬
‫‪114‬‬
‫פרק ‪ – 4‬מספרים מרוכבים‪:‬‬
‫הגדרות כלליות‪:‬‬
‫ע"י הסימון‪ i  1 :‬מגדירים את המספר מהצורה‪:‬‬
‫חלק ממשי ‪ a‬וחלק מדומה ‪ . b‬המספרים ‪ a‬ו‪ b -‬הם ממשיים‪.‬‬
‫‪z  a  bi‬‬
‫כמספר מרוכב בעל‬
‫‪ a‬נקרא הרכיב הממשי של ‪ z‬ומסומן גם ‪( Re  z ‬מלשון‪.)Real :‬‬
‫‪ b‬נקרא הרכיב המדומה של ‪ z‬ומסומן גם ‪( Im  z ‬מלשון‪.)Imaginary :‬‬
‫צמוד קומפלקסי (מרוכב)‪:‬‬
‫לכל מספר מרוכב ‪ z  a  bi‬קיים מספר צמוד המסומן ב‪ z -‬וערכו‪. z  a  bi :‬‬
‫מישור גאוס והצגה קוטבית (פולרית) של מספר מרוכב‪:‬‬
‫ניתן לאפיין מספר מרוכב ‪ z‬ע"י הצגתו במישור שבו ציר ה‪ x -‬מייצג את ‪ , a‬גודל‬
‫הערך הממשי של ‪ , z‬וציר ה‪ y -‬מייצג את ‪ , b‬גודל הערך המדומה של ‪. z‬‬
‫מישור זה נקרא מישור גאוס ומופיע באיור הסמוך‪.‬‬
‫במישור גאוס ניתן לאפיין כל נקודה ע"י הזוג‪ a, b  :‬‬
‫או ע"י הערך המוחלט של המספר (מרחקו מ ‪)  0, 0  -‬‬
‫והזווית שלו בין הקרן החיובית של הציר הממשי לרדיוס‪.‬‬
‫הצמד הנ"ל מוגדר כהצגה קוטבית של מספר מרוכב‬
‫ויסומן‪.  R,  :‬מספר מרוכב בהצגה קוטבית‪:‬‬
‫‪. z  R cos  i  R sin   R  cos  i sin    Rcis‬‬
‫נוסחאות ומעברים‪:‬‬
‫‪ .1‬מעבר מהצגה קוטבית לקרטזית (אלגברית)‪. R  a 2  b2 , tan   b :‬‬
‫‪a‬‬
‫‪ .2‬מעבר מהצגה קרטזית לקוטבית‪. a  R cos , b  R sin  :‬‬
‫‪ .3‬גודל של מספר מרוכב ‪ z‬יסומן‪ z :‬ויחושב‪. z  R  a 2  b2 :‬‬
‫‪115‬‬
‫פעולות חשבון בהצגה קוטבית‪:‬‬
‫‪ .1‬כפל מספרים מרוכבים‪. z1  z2   R1cis1    R2cis2   R1R2cis1  2  :‬‬
‫‪.2‬‬
‫‪z1 R1cis1 R1‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫חילוק מספרים מרוכבים‪cis1   2  :‬‬
‫‪z2 R2cis 2 R2‬‬
‫‪.‬‬
‫משפט דה‪-‬מואבר‪:‬‬
‫כדי להעלות מספר מרוכב ‪ z‬בחזקת ‪ n‬נעזר בקשר‪.  Rcis   Rncis  n  :‬‬
‫‪n‬‬
‫שורשים של מספר מרוכב‪:‬‬
‫כדי להוציא שורש ‪- n‬י של מספר מרוכב ‪ z‬השווה למספר מרוכב אחר ‪z0  R0cis0‬‬
‫‪  2 k ‬‬
‫‪ zk  n R0  cis  0 ‬‬
‫נבצע‪ : 1  k  n :‬‬
‫‪n ‬‬
‫‪n‬‬
‫‪116‬‬
‫‪. z n  z0  R0cis0 / n‬‬
‫שאלות‪:‬‬
‫‪ )1‬רשום עם ‪: i‬‬
‫א‪1  .‬‬
‫ד‪.‬‬
‫‪3 ‬‬
‫‪ )2‬חשב‪:‬‬
‫א‪i  .‬‬
‫ד‪.‬‬
‫‪i4 ‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪4 ‬‬
‫ה‪.‬‬
‫‪5 ‬‬
‫‪25 ‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪i ‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪i ‬‬
‫ה‪.‬‬
‫‪i5 ‬‬
‫ו‪.‬‬
‫‪i17 ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ )3‬רשום את ערכם של ‪ a‬ו‪ b -‬בעבור המספרים המרוכבים הבאים‪:‬‬
‫א‪.‬‬
‫‪2  5i‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪3i‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪3 1‬‬
‫‪ i‬‬
‫‪2 2‬‬
‫ד‪.‬‬
‫‪7i‬‬
‫ה‪.‬‬
‫‪4‬‬
‫ו‪.‬‬
‫‪0‬‬
‫‪ )4‬פתור את המשוואות הבאות‪:‬‬
‫ב‪x  36  0 .‬‬
‫א‪x 2  1 .‬‬
‫‪2‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪x  2x  5  0‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ )5‬פתור את המשוואה הבאה‪. x2  x  1  0 :‬‬
‫‪ )6‬פתור את המשוואה הבאה‪. z 2  iz  6  0 :‬‬
‫‪ )7‬נתון‪ . z1  2  3i , z2  5  2i :‬חשב את ערכי הביטויים המרוכבים הבאים‪:‬‬
‫א‪z1  z2  .‬‬
‫ב‪z1  z2  .‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪z1  z2 ‬‬
‫‪ )8‬רשום את המספר הצמוד של המספרים המרוכבים הבאים‪:‬‬
‫א‪.‬‬
‫‪2  5i‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪3i‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪3 1‬‬
‫‪ i‬‬
‫‪2 2‬‬
‫ד‪.‬‬
‫‪7i‬‬
‫ה‪.‬‬
‫‪4‬‬
‫ו‪.‬‬
‫‪0‬‬
‫‪ )9‬חשב‪:‬‬
‫א‪.‬‬
‫‪11  2i‬‬
‫‪‬‬
‫‪2i‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪3  7i‬‬
‫‪‬‬
‫‪2  5i‬‬
‫‪ )10‬פתור את המשוואה הבאה‪. 3z 11  iz  7i :‬‬
‫‪117‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪19  9i‬‬
‫‪‬‬
‫‪2  3i‬‬
‫‪ )11‬פתור את המשוואה הבאה‪. iz  5  4i :‬‬
‫‪ )12‬פתור את מערכת המשוואות הבאה ( ‪ z‬ו ‪ w -‬משתנים מרוכבים)‪:‬‬
‫‪3z  iw  5  4i‬‬
‫‪. ‬‬
‫‪5i z  2w  5  8i‬‬
‫‪ )13‬פתור את המשוואות הבאות שבהן ‪ a‬ו‪ b -‬ממשיים‪:‬‬
‫ב‪3a  8  5bi  2b  ai  3i .‬‬
‫א‪2a  3i  10  bi .‬‬
‫‪ )14‬פתור את המשוואה הבאה‪:‬‬
‫‪2 z  7i  iz  z  3‬‬
‫‪ )15‬חשב את ערכי המספרים המרוכבים הבאים‪:‬‬
‫ב‪8  6i  .‬‬
‫א‪5  12i  .‬‬
‫‪ )16‬פתור את המשוואה הבאה‪. z 2  2 1  2i  z  8i  0 :‬‬
‫‪ )17‬פתור את המשוואה הבאה‪. iz 2  2 1  i  z  6  15i  0 :‬‬
‫‪ )18‬פתור את המשוואה הבאה‪. z 2  i z  6  0 :‬‬
‫‪ )19‬נתונה המשוואה הבאה‪ mi  2 z 2  2  m  2i  z  1  0 :‬‬
‫מצא לאלו ערכים של הפרמטר המרוכב‬
‫א‪ .‬יש פתרון יחיד‪.‬‬
‫ב‪ .‬אין פתרון‪.‬‬
‫‪m‬‬
‫למשוואה‪:‬‬
‫‪ )20‬כתוב את המספרים המרוכבים הבאים בהצגה אלגברית‪:‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ב‪6cis135 .‬‬
‫א‪2cis60 .‬‬
‫ו‪.‬‬
‫ה‪4cis690 .‬‬
‫ד‪4cis  30 .‬‬
‫ז‪.‬‬
‫ח‪.‬‬
‫‪3cis270‬‬
‫ט‪.‬‬
‫‪cis180‬‬
‫‪4cis330‬‬
‫‪8cis90‬‬
‫‪cis0‬‬
‫‪ )21‬הפוך להצגה קוטבית‪:‬‬
‫א‪.‬‬
‫‪1 i ‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪3 i ‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪‬‬
‫‪i‬‬
‫‪2 2‬‬
‫ה‪.‬‬
‫‪6i ‬‬
‫ו‪.‬‬
‫‪i ‬‬
‫ז‪.‬‬
‫‪4‬‬
‫ט‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫י‪.‬‬
‫‪0‬‬
‫‪118‬‬
‫‪‬‬
‫ד‪.‬‬
‫‪3  4i ‬‬
‫ח‪.‬‬
‫‪1 ‬‬
‫‪ )22‬חשב את ערכי הביטויים הבאים‪:‬‬
‫א‪.‬‬
‫‪2cis120o  3cis60o ‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪cis 210o  5cis  40o  ‬‬
‫ד‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪2cis 40o‬‬
‫ה‪.‬‬
‫‪6cis30o  2cis 210o ‬‬
‫‪o‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪12cis315‬‬
‫‪‬‬
‫‪3cis90o‬‬
‫‪ )23‬נתון המספר המרוכב ‪ . z  Rcis‬הבע באמצעות ‪ R‬ו ‪  -‬את המספרים‪:‬‬
‫א‪.‬‬
‫‪z‬‬
‫ד‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪z‬‬
‫‪‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪z‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪z‬‬
‫ה‪.‬‬
‫‪iz‬‬
‫ו‪.‬‬
‫‪zz‬‬
‫‪ )24‬הראה כי המספרים הבאים הם ממשיים טהורים‪:‬‬
‫א‪z  z .‬‬
‫ב‪z  z .‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪z‬‬
‫‪z‬‬
‫‪‬‬
‫‪z‬‬
‫‪z‬‬
‫‪ )25‬הראה כי המספרים הבאים הם מדומים טהורים‪:‬‬
‫א‪z 2  z 2 .‬‬
‫‪1 1‬‬
‫‪‬‬
‫‪z‬‬
‫‪z‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪ )26‬הוכח את הטענות הבאות‪:‬‬
‫א‪z  i z  z  iz .‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪z z  z‬‬
‫‪ )27‬מצא את ק דקודיו של ריבוע החסום במעגל קנוני שרדיוסו ‪ 2‬במישור גאוס אם‬
‫ידוע שצלעותיו מקבילות לצירים‪.‬‬
‫‪ )28‬ריבוע חסום במעגל קנוני במישור גאוס‪ .‬אחד מקודקודי הריבוע הוא ‪.1  3i‬‬
‫מצא את קדקודיו האחרים‪.‬‬
‫‪ )29‬משולש שווה צלעות חסום במעגל קנוני במישור גאוס‪.‬‬
‫אחד מקודקודי המשולש הוא ‪ .1  3i‬מצא את קדקודיו האחרים‪.‬‬
‫‪ )30‬משולש שווה שוקיים‪ ,‬שזווית הבסיס שלו היא ‪ 30o‬חסום במעגל קנוני במישור‬
‫גאוס‪ .‬קדקוד הראש של המשולש הוא ‪ .1  3i‬מצא את קדקודיו האחרים‪.‬‬
‫‪119‬‬
‫‪ z )31‬הוא מספר מרוכב במישור גאוס הנמצא מחוץ למעגל היחידה‪.‬‬
‫קבע אם המספרים הבאים נמצאים בתוך מעגל היחידה‪ ,‬עליו או מחוץ לו‪:‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪z‬‬
‫‪1‬‬
‫‪z‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪z‬‬
‫‪z‬‬
‫ד‪.‬‬
‫‪zz‬‬
‫‪ )32‬חשב את ערכי הביטויים הבאים תוך שימוש בנוסחת דה‪-‬מואבר‪:‬‬
‫‪ 2cis30 ‬‬
‫‪o 3‬‬
‫א‪.‬‬
‫‪‬‬
‫ה‪.‬‬
‫‪ 1‬‬
‫‪3 ‬‬
‫‪i  ‬‬
‫‪  ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 2cis14 ‬‬
‫‪o 5‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪4‬‬
‫‪1  i ‬‬
‫ד‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3 i ‬‬
‫‪‬‬
‫‪15‬‬
‫‪ )33‬פתור את המשוואות הבאות‪:‬‬
‫א‪z 2  36cis120o .‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪z 4   9cis80o ‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪‬‬
‫‪i‬‬
‫‪2 2‬‬
‫‪z5 ‬‬
‫‪ )34‬מצא את סכום ומכפלת שורשי היחידה מסדר ‪.4‬‬
‫‪ )35‬נתון המספר המרוכב ‪. z  x  yi‬‬
‫מצא את המקום הגאומטרי במישור גאוס המתקבל בעבור המשוואה‪z  2 :‬‬
‫‪ )36‬נתון המספר המרוכב ‪. z  x  yi‬‬
‫מצא את המקום הגאומטרי במישור גאוס המתקבל בעבור המשוואה‪z  3i  5 :‬‬
‫‪ )37‬נתון המספר המרוכב ‪ . z  x  yi‬מצא את המקום הגאומטרי במישור גאוס‬
‫המתקבל בעבור המשוואה‪z  i  z  i  1  3i :‬‬
‫‪ )38‬בסדרה חשבונית האיבר השביעי הוא ‪ a7  13  3i‬והאיבר השלישי הוא ‪. a3  5  9i‬‬
‫מצא את סכום עשרת האיברים הראשונים בסדרה‪.‬‬
‫‪ )39‬בסדרה הנדסית האיבר החמישי הוא ‪ a5  32  16i‬והאיבר השני הוא ‪. a2  2  4i‬‬
‫א‪ .‬מצא את האיבר הראשון בסדרה ואת מנת הסדרה‪ ,‬אם נתון שמנת‬
‫הסדרה היא מספר מרוכב הנמצא על הציר המדומה במישור גאוס‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא את סכום חמשת האיברים הראשונים בסדרה‪.‬‬
‫‪ )40‬נתונים שלושה איברים סמוכים בסדרה הנדסית‪ .‬האיבר הראשון ביניהם הוא ‪.2‬‬
‫נתון כי אם מוסיפים לאיבר השלישי ‪ 4i‬מתקבלים שלושה איברים סמוכים‬
‫בסדרה חשבונית‪ .‬מצא את שלושת איברי הסדרה ההנדסית (שתי אפשרויות)‪.‬‬
‫‪120‬‬
‫‪ )41‬פתור את המשוואה‪. z  z  z  2  i  4i  Im  z  :‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ )42‬פתור את המשוואה‪. 2  3x  x1 i  13 :‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ )43‬פתור את המשוואה‪. z 3  z :‬‬
‫‪ )44‬הוכח‪ :‬אם מקדמי משוואה ריבועית הם מספרים ממשיים ואין למשוואה פתרונות‬
‫ממשיים אז פתרונות המשוואה הם שני מספרים צמודים‪.‬‬
‫‪ )45‬נתונים שני מספרים מרוכבים שאינם ממשיים טהורים‪.‬‬
‫הוכח‪ :‬אם סכום המספרים ממשי ומכפלתם ממשית אז המספרים צמודים‪.‬‬
‫‪ )46‬נתון מספר מרוכב ‪ , z‬שאינו ממשי טהור ואינו מדומה טהור‪.‬‬
‫הוכח כי אם ‪ z  1‬ממשי אז ‪ z‬על מעגל היחידה‪.‬‬
‫‪z‬‬
‫‪ )47‬הוכח את הנוסחה הבאה‪R1cis1  R2cis2  R1R2cis1  2  :‬‬
‫‪ z )48‬הוא מספר מרוכב על מעגל היחידה ברביע הראשון‪.‬‬
‫נתון‪ . z 4  z 3  2  3 :‬מצא את ‪. arg  z ‬‬
‫‪ z )49‬הוא מספר מרוכב על מעגל היחידה‪.‬‬
‫מצא את ערך הביטוי ‪ , z  iz‬אם ידוע שהוא ממשי‪.‬‬
‫‪ z1 )50‬ו‪ z2 -‬הם פתרונות המשוואה הבאה‪. z 2  2cos  z  1  0 :‬‬
‫מצא את גודל הזווית ‪ O ( z1oz2‬ראשית הצירים)‪.‬‬
‫‪121‬‬
:‫תשובות סופיות‬
. 5i .‫ ה‬. 3i .‫ ד‬. 5i .‫ ג‬. 2i .‫ ב‬. i .‫) א‬1
. i .‫ ו‬. i .‫ ה‬.1 .‫ ד‬. i .‫ ג‬. 1 .‫ ב‬. i .‫) א‬2
3
1
, b   .‫ ג‬. a  3 , b  1 .‫ ב‬. a  2 , b  5 .‫) א‬3
2
2
. x  1  2i ,1  2i .‫ ג‬. x  6i .‫ ב‬. x  i .‫) א‬4 . a  0 , b  0 .‫ ו‬. a  4 , b  0 .‫ה‬
. a  0 , b  7 .‫ ד‬. a 
1
2
.16  11i .‫ ג‬. 3  5i .‫ ב‬. 7  i .‫) א‬7 . z  2i ,  3i )6 . x   
3i 1
3i
, 
)5
2
2 2
3 1
 i .‫ ג‬. 3  i .‫ ב‬. 2  5i .‫) א‬8
2 2
. z  4  5i )11 . z  4  i )10 . 5  3i .‫ ג‬. 1  i .‫ ב‬. 4  3i .‫) א‬9
. a  2 , b  1 .‫ ב‬. a  5 , b  3 .‫) א‬13 . z  2  3i , w  5  i )12
. 0 .‫ ו‬. 4 .‫ ה‬. 7i .‫ ד‬.
1
1
2
2
. z1  2  5i , z2  3i )17
. z1  2 , z2  4i )16 . z  (3  i) .‫ ב‬. z  (3  2i) .‫) א‬15 . z    2 i )14
. m  2i .‫ ב‬. m  i .‫) א‬19 . z1  3i , z2  2i )18
. 8i .‫ ו‬2 3  2i .‫ ה‬. 2 3  2i .‫ ד‬. 2 3  2i .‫ ג‬. 3 2  3 2i .‫ ב‬.1  3i .‫) א‬20
.1 .‫ ט‬. 1 .‫ ח‬3i .‫ז‬
. 6cis90 .‫ ה‬. 5cis53.13 .‫ ד‬. cis240 .‫ ג‬. 2cis330 .‫ ב‬. 2cis45 .‫) א‬21
. 0 .‫ י‬. cis0 .‫ ט‬. cis180 .‫ ח‬. 4cis0 .‫ ז‬. cis270 .‫ו‬
1
2
. 4cis30 .‫ ה‬. cis(40) .‫ ד‬. 4cis225 .‫ ג‬. 5cis170 .‫ ב‬. 6 .‫) א‬22
1
R
1
R
. cis(180   ) .‫ ד‬. Rcis(180   ) .‫ ג‬. cis( ) .‫ ב‬. Rcis( ) .‫) א‬23
. R 2 .‫ ו‬. Rcis(90   ) .‫ה‬
.1  3i ,1  3i ,  2 )29 .  3  i ,  1  3i , 3  i )28 .1  i , 1  i , 1  i ,1  i )27
.‫ על המעגל‬.‫ ג‬.‫ בתוך המעגל‬.‫ ב‬.‫ מחוץ למעגל‬.‫) א‬31 .1  3i ,  1  3i , 2 )30
.1 .‫ ה‬. 8i .‫ ד‬. 4 .‫ ג‬. 32cis70 .‫ ב‬. 8i .‫) א‬32 .‫ מחוץ למעגל‬.‫ד‬
. z0  6cis60 , z1  6cis240 .‫) א‬33
. z0  3cis40 , z1  3cis130 , z2  3cis220 , z3  3cis310 .‫ב‬
. z0  cis12 , z1  cis84 , z2  cis156 , z3  cis228 , z4  cis300 .‫ג‬
. x2  ( y  3)2  25 )36 . x2  y 2  4 )35 . 1 :‫ מכפלה‬, 0 :‫) סכום‬34
2x2 2 y 2

 1 )37
. S5  20  25i .‫ ב‬. a1  2  i , q  2i .‫) א‬39 . S10  75  15i )38 .
3
5
. x  2,  1 )42 . z1  3  4i , z2  3  4i )41 . 2, 4  2i ,6  8i ‫ או‬2, 2i ,  2 )40
. z1  0, z2  i , z3  i , z4  1, z5  1 )44 . z1  0, z2  1, z3  i , z4  1, z5  i )43
. 2 )50 . z  iz  2 ,  2 )49 . arg( z)  30 )48
122
‫תרגול מבגרויות‪:‬‬
‫‪ )1‬בסדרה הנדסית ‪ , a1 , a2 , a3...‬נתון‪ . a7  64  64i , a4  8  8i :‬מצא את ‪. a1‬‬
‫‪ )2‬קדקודי מתומן משוכלל ‪( ABCDEFGH‬מצולע בעל שמונה צלעות) נמצאים במישור‬
‫גאוס‪ ,‬ומרכז המתומן נמצא בראשית הצירים‪ .‬נתון כי קדקוד ‪ A‬הוא ‪. z  1  i‬‬
‫מצא את הקדקודים ‪ B‬ו ‪ .H -‬הצג אותם באמצעות מספרים מרוכבים‪.‬‬
‫‪ )3‬נתון מקום גיאומטרי המקיים‪. z  x  yi , z  z  i  3x  z  i :‬‬
‫מצא את משוואת הישר המשיק לגרף של המקום הגיאומטרי הנתון עבור‪. x  0 :‬‬
‫‪ )4‬ענה על הסעיפים הבאים‪:‬‬
‫‪z i‬‬
‫‪2‬‬
‫א‪ )1( .‬נתונות נקודות המקיימות‬
‫‪z 2  3i‬‬
‫‪. z  x  yi ,‬‬
‫רשום באמצעות ‪ x‬ו‪ y -‬את משוואת המקום הגיאומטרי של נקודות אלה‪.‬‬
‫(‪ ) 2‬באיזה רביע‪/‬רביעים נמצא המקום הגיאומטרי שאת משוואתו רשמת‬
‫בתת סעיף א (‪ ?)1‬נמק‪.‬‬
‫ב‪ ) 1( .‬מצא את שיעורי הנקודות הנמצאות על המקום הגיאומטרי שאת משוואתו‬
‫רשמת‪ ,‬ומקיימות ‪. z  1.25‬‬
‫(‪ ) 2‬איזה מרובע נוצר כאשר מחברים את הנקודות שבתת סעיף ב(‪ ?)1‬נמק‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ )5‬נתונה המשוואה‬
‫‪1‬‬
‫‪8‬‬
‫‪. 2z 2   m  2 x  i  0‬‬
‫‪ - z‬מספר מרוכב‪ - m .‬פרמטר מרוכב‪.‬‬
‫א‪ z1 .‬ו‪ z2 -‬הם פתרונות המשוואה הנתונה‪.‬‬
‫‪1 1‬‬
‫מצא עבור איזה ערך של ‪ m‬מתקיים ‪  4‬‬
‫‪z1 z2‬‬
‫‪.‬‬
‫ב‪ )1( .‬מצא עבור אילו ערכים של ‪ m‬יש למשוואה הנתונה פתרון יחיד‪.‬‬
‫הראה כי פתרונות המשוואה הנתונה עבור כל הערכים‬
‫של ‪ m‬שמצאת בתת סעיף ב (‪:)1‬‬
‫(‪ )2‬נמצאים על ישר אחד העובר בראשית הצירים‪.‬‬
‫(‪ ) 3‬נמצאים על מעגל אחד שמרכזו בראשית הצירים‪.‬‬
‫‪123‬‬
‫‪ z2 , z1 )6‬ו‪ z3 -‬הם שלושה מספרים מרוכבים שונים הנמצאים על ישר אחד שעובר‬
‫דרך ראשית הצירים‪ z1 .‬ו ‪ -‬נמצאים ברביע הראשון‪ ,‬ו‪ z3 -‬נמצא ברביע השלישי‪.‬‬
‫נסמן ‪. z1  r1  cos   i sin  ‬‬
‫א‪.‬‬
‫‪z1  z3‬‬
‫האם המנה‬
‫‪z2  z3‬‬
‫היא מספר ממשי‪ ,‬מספר מדומה טהור או מספר שהוא לא‬
‫ממשי ולא מדומה טהור? נמק‪.‬‬
‫‪z1  z3 1‬‬
‫נתון גם כי ‪ z1‬ו‪ z3 -‬נמצאים על מעגל היחידה‪ ,‬ו‪ -‬‬
‫‪z2  z3 2‬‬
‫‪.‬‬
‫ב‪ .‬חשב את הערך המוחלט של ‪. z2‬‬
‫ג‪ z4 .‬הוא הצמוד של ‪. z1‬‬
‫הבע באמצעות ‪ ‬את שטח המשולש הנוצר על ידי הנקודות ‪. z4 , z3 , z1‬‬
‫‪ )7‬נתונה סדרה‪. i , i 2 , i3 ,..., i n ,... :‬‬
‫א‪ .‬הראה כי כל איברי הסדרה מיוצגים במישור גאוס על ידי קדקודי ריבוע חסום‬
‫במעגל היחידה (מעגל שרדיוסו ‪ 1‬ומרכזו בראשית הצירים)‪.‬‬
‫ב‪ )1( .‬הראה כי סכום ‪ 4n‬האיברים הראשונים בסדרה הוא מספר ממשי‪.‬‬
‫(‪ )2‬מצא את הסכום של ‪ 19‬האיברים הראשונים בסדרה‪.‬‬
‫ג‪ .‬נתונה סדרה של ‪ n‬מספרים מרוכבים‪. z1 , z2 , z3 , ... , zn :‬‬
‫איברי הסדרה מיוצגים במישור גאוס על ידי ‪ n‬קדקודים של מצולע משוכלל‬
‫בעל ‪ n‬צלעות החסום במעגל היחידה‪ .‬איברים עוקבים בסדרה מייצגים‬
‫קדקודים סמוכים במצולע נגד כיוון השעון‪ .‬נתון גם כי ‪. z1  1‬‬
‫(‪ )1‬רשום בהצגה קוטבית את האיבר ‪( zn‬הבע באמצעות ‪.) n‬‬
‫(‪ )2‬רשום משוואה שפתרונותיה מיוצגים על ידי ‪ n‬הקדקודים של המצולע‬
‫המשוכלל‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪z‬‬
‫‪ )8‬נתון מספר מרוכב ‪( z‬שהוא לא ממשי) המקיים ‪. z  0 , z   2cos ‬‬
‫א‪ .‬הבע באמצעות ‪ ‬את ‪ . z‬מצא את שני הפתרונות‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫האם הביטוי‬
‫‪zn‬‬
‫‪ z n ‬הוא מספר ממשי טהור או מספר מדומה טהור‬
‫או מספר המורכב ממספר ממשי וממספר מדומה? נמק‪.‬‬
‫( ‪ n‬הוא מספר טבעי‪ z .‬הוא המספר הנתון)‪.‬‬
‫‪124‬‬
‫‪ )9‬נתון כי מספר מרוכב ‪ z‬נמצא ברביע הראשון מחוץ למעגל היחידה‪.‬‬
‫סרטט במערכת צירים סקיצה של מעגל היחידה‪ ,‬ומקם בסרטוט את המספר ‪, z‬‬
‫ואת‪:‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪z‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ .‬נמק‪.‬‬
‫‪z‬‬
‫‪ . z  z‬נמק‪.‬‬
‫‪ .‬נמק‪.‬‬
‫‪ z )10‬הוא מספר מרוכב הנמצא ברביע הרביעי‪ ,‬והערך המוחלט שלו הוא ‪.1‬‬
‫‪1‬‬
‫נתון‪ 3 :‬‬
‫‪z‬‬
‫‪ O . 1 ‬היא ראשית הצירים‪ .‬מצא במשולש ‪: Ozz‬‬
‫א‪ .‬את זוויות המשולש‪.‬‬
‫ב‪ .‬את אורכי הצלעות של המשולש‪.‬‬
‫‪ )11‬נתונה המשוואה ‪. z 3  w‬‬
‫‪3‬‬
‫נתון כי אחד מהפתרונות של המשוואה הוא ‪i‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪.z   ‬‬
‫הראה כי מכפלה של כל שני פתרונות של המשוואה גם היא פתרון של המשוואה‪.‬‬
‫‪z1‬‬
‫‪ z1 )12‬ו‪ z2 -‬הם מספרים מרוכבים שונים מאפס‪ .‬נתון כי‬
‫‪z2‬‬
‫הוא מספר מדומה טהור‪.‬‬
‫הוכח כי הישר העובר דרך הנקודה ‪ z1‬וראשית הצירים מאונך לישר העובר דרך‬
‫הנקודה ‪ z2‬וראשית הצירים‪.‬‬
‫(הנקודות ‪ z1‬ו‪ z2 -‬מייצגות במישור גאוס את המספרים הנתונים)‪.‬‬
‫‪ z )13‬הוא מספר מרוכב‪.‬‬
‫א‪ .‬פתור את המשוואה ‪. z i  2 z  3‬‬
‫ב‪ .‬הראה כי כאשר ‪ n‬הוא מספר טבעי‪ ,‬אז ‪ z 6n‬יכול לקבל רק שני ערכים‪.‬‬
‫‪125‬‬
‫‪ )14‬הנקודות ‪ A  a, 0 ‬ו ‪. a  0 , B  a, 0  -‬‬
‫המקום הגיאומטרי של כל הנקודות שמרחקן מהנקודה ‪ A‬גדול פי ‪ 2‬ממרחקן‬
‫מהנקודה ‪ B‬זהה למקום הגיאומטרי של מספרים מרוכבים ‪ z‬המקיימים ‪. z  b  4‬‬
‫‪ a‬ו‪ b -‬הם פרמטרים ממשיים‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא את הערך של ‪ a‬ואת הערך של ‪. b‬‬
‫ב‪ .‬מלבן ‪ , TNEF‬שצלעותיו מקבילות לצירים‪ ,‬חסום במקום הגיאומטרי המתואר‬
‫בפתיח‪ .‬שיעור ה‪ y -‬של הקדקודים ‪ E‬ו ‪ F -‬קטנים מ‪.0-‬‬
‫המספר המרוכב ‪ z  2  iy‬מייצג את הקדקוד ‪ T‬של המלבן‪.‬‬
‫הנקודה ‪ C‬נמצאת על ציר ה‪ x -‬כך ש ‪. CN  CF  16 -‬‬
‫מצא את השיעורים של הנקודה ‪.C‬‬
‫‪ )15‬המקום הגיאומטרי של המספרים המרוכבים ‪ z‬מקיים‪. z  12  5i  7 :‬‬
‫המקום הגיאומטרי של המספרים המרוכבים ‪ w  x  iy‬מקיים‪. arg  w  45 :‬‬
‫( ‪ arg  w‬היא הזווית בהצגה הקוטבית של ‪.) w‬‬
‫המקום הגיאומטרי של המספרים המרוכבים ‪ w‬חותך את המקום הגיאומטרי של‬
‫המספרים המרוכבים ‪ z‬בנקודות ‪ B‬ו ‪.C -‬‬
‫א‪ .‬סרטט באותה מערכת צירים סקיצות של שני המקומות הגיאומטריים‪.‬‬
‫ב‪ .‬הנקודות ‪ B‬ו‪ C -‬מייצגות במישור גאוס את המספרים המרוכבים ‪ z1‬ו‪z2 -‬‬
‫בהתאמה‪ .‬מצא את ‪. arg  z2  z1 ‬‬
‫‪ )16‬ענה על הסעיפים הבאים‪:‬‬
‫א‪ .‬סרטט במישור גאוס סקיצה של המקום הגיאומטרי של המספרים‬
‫המרוכבים ‪ z‬המקיימים‪ . z  3  3i  3 :‬נמק‪.‬‬
‫ב‪ .‬המקום הגיאומטרי שבסעיף א' נפגש עם ציר ה ‪ x -‬בנקודה ‪. z1‬‬
‫נתונה הנקודה ‪ . M  3, 3 ‬נסמן ב‪ O -‬את ראשית הצירים‪.‬‬
‫המספר המרוכב ‪ z2‬נמצא על המקום הגיאומטרי שבסעיף א כך‬
‫שהמרובע ‪ z1Mz2O‬הוא דלתון‪ .‬מצא את הזווית החדה של הדלתון‪.‬‬
‫ג‪ )1( .‬מצא את הארגומנט של ‪. z2‬‬
‫(‪ )2‬מבין המספרים המרוכבים ‪ z‬שבסעיף א‪ ,‬מהו המספר שיש לו הארגומנט‬
‫הגדול ביותר? מהו ארגומנט זה?‬
‫‪126‬‬
‫‪ )17‬ענה על הסעיפים הבאים‪:‬‬
‫‪4‬‬
‫‪ 2z 1 ‬‬
‫‪ z , ‬הוא מספר מרוכב‪.‬‬
‫א‪ .‬פתור את המשוואה ‪  1‬‬
‫‪ z 1 ‬‬
‫ב‪ .‬האם שלושה מן הפתרונות שמצאת בסעיף א נמצאים על המקום הגיאומטרי‬
‫של המספרים המרוכבים ‪ w‬השונים מ ‪ 0 -‬ומקיימים‪?107  arg  w  253 :‬‬
‫נמק‪.‬‬
‫‪127‬‬
‫תשובות סופיות‪:‬‬
‫‪. a1  1  i )1‬‬
‫‪)2‬‬
‫‪‬‬
‫‪2, 0‬‬
‫‪‬‬
‫‪. B :  0, 2i  , H:‬‬
‫‪. y  0 )3‬‬
‫‪ )4‬א‪ )2( xy  0.5 )1( .‬רביע שני ורביעי‪ .‬ב‪)1( .‬‬
‫‪ )2(  0.5,1 ,  0.5, 1 ,  1,0.5 , 1, 0.5‬מלבן‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪, m2  2 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪ )5‬א‪ m  2  0.5i .‬ב‪i )1( .‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪. m1  2 ‬‬
‫‪1‬‬
‫(‪ )2‬הם נמצאים על הישר‪ )3( y   x :‬הם נמצאים על המעגל‪:‬‬
‫‪16‬‬
‫‪ )6‬א‪ .‬מספר ממשי טהור ב‪ z2  3 .‬ג‪. sin 2 .‬‬
‫‪. x2  y 2 ‬‬
‫‪ 360  n  1 ‬‬
‫‪z n  1 )2( zn  cis ‬‬
‫‪ )7‬ב‪ -1 )2( .‬ג‪ )1( .‬‬
‫‪n‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ )8‬א‪ z2  cos   i sin  , z1  cos   i sin  .‬ב‪ .‬מספר ממשי טהור‪.‬‬
‫‪ )9‬סקיצה בסוף‪.‬‬
‫‪ )10‬א‪ 30 , 30 , 120 .‬ב‪. 3 ,1 ,1 .‬‬
‫‪3 1‬‬
‫‪ )13‬א‪ i )1( .‬‬
‫‪2 2‬‬
‫‪.z ‬‬
‫‪ )14‬א‪ b  5 , a  3 .‬ב‪. C  5, 0  .‬‬
‫‪ )15‬א‪ .‬סקיצה בסוף ב‪. arg  z2  z1   90 .‬‬
‫‪ )16‬א‪ .‬סקיצה בסוף‪ .‬ב‪ 60 .‬ג‪ , z  3 )2( 120 )1( .‬הארגומנט הוא ‪.180‬‬
‫‪ )17‬א‪ 0.2  0.6i , 0 ,  0.2  0.6i ,  2 .‬ב‪ .‬כן‪.‬‬
‫סקיצות לשאלות הבאות‪:‬‬
‫‪)9‬‬
‫‪)16‬‬
‫‪)15‬‬
‫‪128‬‬
‫פרק ‪ – 5‬בעיות גדילה ודעיכה‪:‬‬
‫הגדרת בעיית גדילה ודעיכה מעריכית‪:‬‬
‫הכמות לאחר פרק זמן ‪ , t‬המסומנת ‪ , M t‬כאשר הכמות ההתחלתית היא ‪ M 0‬וקצב‬
‫הגידול‪/‬דעיכה הוא ‪ q‬ניתנת ע"י הנוסחה הבאה‪. M t  M 0  qt :‬‬
‫‪100  p‬‬
‫כאשר הגדילה או הדעיכה נתונים באחוזים נמצא את הבסיס לפי‪:‬‬
‫‪100‬‬
‫‪. q‬‬
‫שאלות חישוב יסודיות‪:‬‬
‫‪ )1‬מצא את שיעור הגדילה‪/‬דעיכה מתוך אחוז הגדילה‪/‬דעיכה הנתון בבעיה‪.‬‬
‫א‪ .‬מחיר מוצר גדל ב ‪ 20%-‬לשנה‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ב‪ .‬מחיר מוצר יורד ב‪ 40%-‬לשנה‪.‬‬
‫ד‪ .‬מחיר דירה עולה ב‪ 15%-‬לשנה‪.‬‬
‫אוכלוסיה מתרבה ב‪ 5%-‬לשנה‪.‬‬
‫מחירו של פסל גדל פי ‪ 3‬כל שנה‪.‬‬
‫ה‪ .‬כמות דבורים גדלה פי ‪ 2‬כל יום‪.‬‬
‫ו‪.‬‬
‫ז‪ .‬רכב מאבד רבע מערכו בכל שנה‪.‬‬
‫ח‪ .‬מנייה מאבדת מחצית מערכה כל חודש‪.‬‬
‫‪ )2‬מצא את אחוזי הגדילה‪/‬דעיכה מתוך הבסיסים הבאים‪:‬‬
‫ב‪q  1.6 .‬‬
‫א‪q  1.2 .‬‬
‫ג‪q  0.85 .‬‬
‫ד‪.‬‬
‫‪q  0.72‬‬
‫‪ )3‬מצא את ‪: M 0‬‬
‫א‪.‬‬
‫‪107.2  M 0 1.056‬‬
‫‪ )4‬מצא את ‪: q‬‬
‫א‪25  10  q6 .‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪9.35  7  q10.5‬‬
‫ה‪.‬‬
‫‪ )5‬מצא את ‪: t‬‬
‫א‪10 1.05t  70 .‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫‪70.8  M 0 1.124‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪2213.68  M 0 1.48‬‬
‫‪512.36  6 107  q40‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪103  2.4 106  q 25‬‬
‫‪6.42 10  10  q‬‬
‫ו‪.‬‬
‫‪13.25  9.2  q12.3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪7‬‬
‫‪4‬‬
‫‪62  0.8t  39.68‬‬
‫‪129‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪7 107  0.82t  105‬‬
‫שאלות העוסקות במציאת הכמות הסופית‪:‬‬
‫‪ )6‬אוכלוסיית חיידקים מתרבה בכל דקה פי ‪.2‬‬
‫בשעה ‪ 10:30‬בדקו במעבדה מדגם ובו ‪ 50‬חיידקים‪.‬‬
‫א‪ .‬כמה חיידקים יהיו כעבור דקה אחת?‬
‫ב‪ .‬כמה חיידקים יהיו כעבור שתי דקות?‬
‫ג‪ .‬כמה חיידקים יהיו בשעה ‪?10:50‬‬
‫‪ )7‬כמות של חומר רדיואקטיבי קטנה בצורה מעריכית בכל שבוע ב ‪.2.8%-‬‬
‫במעבדה נשקלה כמות של ‪ 2000‬גרם של החומר‪.‬‬
‫א‪ .‬מה תהיה כמות החומר כעבור שבועיים?‬
‫ב‪ .‬מה תהיה כמות החומר כעבור שלושה חודשים?‬
‫ג‪ .‬האם תישאר כמות מסוימת מהחומר כעבור שנה בת ‪ 52‬שבועות?‬
‫‪ )8‬מספר החסידות המגיעות כל שנה לאגם החולה יורד בצורה מעריכית בקצב‬
‫של ‪ 2.4%‬בשנה‪ .‬אם מספר החסידות שהגיעו השנה היה ‪ ,6,000‬מה יהיה מספר‬
‫החסידות שיגיעו עוד ‪ 7‬שנים?‬
‫‪ )9‬מספר התושבים בהרצליה בשנת ‪ 1990‬היה ‪ .80,000‬אחוז הגידול באוכלוסיית‬
‫העיר הוא ‪ 3%‬בשנה‪ .‬מה יהיה מספר התושבים בהרצליה בשנת ‪?1998‬‬
‫שאלות העוסקות במציאת הכמות ההתחלתית‪:‬‬
‫‪ )10‬מספר הזברות בטנזניה גדל בצורה מעריכית בקצב של ‪ 1.6%‬בשנה‪.‬‬
‫כיום יש בטנזניה ‪ 45,000‬זברות‪ .‬כמה זברות היו בטנזניה לפני ‪ 16‬שנים?‬
‫‪ )11‬מחירו של מוצר לאחר ‪ 3‬שנים הוא ‪ .₪ 250‬ערך המוצר יורד ב‪ 25%-‬מדי שנה‪.‬‬
‫מה היה מחירו ההתחלתי?‬
‫‪ )12‬שרון רצה בכל יום מרחק הגדול ב‪ 10%-‬מאשר ביום הקודם‪.‬‬
‫ידוע כי שרון רצה ביום השישי מרחק של ‪ 2.5‬ק"מ‪.‬‬
‫כמה ק"מ רצה שרון ביום הראשון?‬
‫‪ )13‬או כלוסייה במדינה מסוימת מתרבה בצורה מעריכית ב ‪ 3.1%-‬בשנה‪.‬‬
‫כיום יש במדינה זו ‪ 528,000‬תושבים‪.‬‬
‫א‪ .‬כמה תושבים יהיו במדינה זו בעוד ‪ 3‬שנים?‬
‫ב‪ .‬כמה תושבים היו במדינה זו לפני ‪ 4‬שנים?‬
‫‪130‬‬
‫‪ )14‬כמות אצות באגם מתרבה בצורה מעריכית‪.‬‬
‫בכל שנה גדלה הכמות פי ‪ 4‬מאשר בשנה שקדמה לה‪.‬‬
‫כיום יש באגם ‪ 2 105‬ק"ג אצות‪.‬‬
‫א‪ .‬מה תהיה כמות האצות בעוד שנתיים?‬
‫ב‪ .‬מה הייתה כמות האצות לפני שנה?‬
‫ג‪ .‬מה תהיה כמות האצות בעוד שנתיים ושלושה חודשים?‬
‫שאלות העוסקות במציאת אחוז הגידול‪/‬הדעיכה או בסיס הגידול‪/‬דעיכה‪:‬‬
‫‪ )15‬מספר הלידות בבית החולים "איכילוב" גדל בצורה מעריכית‪.‬‬
‫לפני ‪ 8‬שנים היו ב"איכילוב" ‪ 500‬לידות בחודש והשנה יש ‪ 600‬לידות בחודש‪.‬‬
‫מהו אחוז הגידול במספר הלידות החודשי משנה לשנה ב"איכילוב"?‬
‫‪ )16‬מספר תושבים במדינה מסוימת גדל בשיעור קבוע‪.‬‬
‫במשך ‪ 10‬שנים גדלה האוכלוסייה במדינה מ‪ 5.4-‬מיליון‬
‫תושבים ל‪ 7.2-‬מיליון תושבים‪.‬‬
‫א‪ .‬מה הוא קצב הריבוי בכל שנה במדינה?‬
‫ב‪ .‬אם קצב הגידול של האוכלוסייה יישמר‪ ,‬מה יהיה מספר‬
‫התושבים כעבור ‪ 10‬שנים נוספות?‬
‫‪ )17‬בגן חיות ספרו את מספר התוכים‪ .‬בספירה הראשונה נספרו ‪ 1200‬תוכים‪.‬‬
‫בספירה השנייה‪ ,‬כעבור ‪ 6‬חודשים‪ ,‬נספרו ‪ 1450‬תוכים‪.‬‬
‫א‪ .‬מה הוא קצב הגידול החודשי של התוכים?‬
‫ב‪ .‬מה יהיה מספרם של התוכים כעבור שנה וחצי מהספירה הראשונה?‬
‫‪ )18‬כמות העצים ביער גדלה בצורה מעריכית‪ .‬אם כמות העצים ביער בשנת ‪1950‬‬
‫הייתה ‪ 5  104‬טון עצים ובשנת ‪ 1990‬הייתה ‪ 107‬טון עצים‪ ,‬מה היה אחוז‬
‫הגידול השנתי (בהנחה שהגידול היה קבוע)?‬
‫‪ )19‬כמות חומר רדיואקטיבי קטנה בצורה מעריכית‪ .‬החומר נשקל שלוש פעמים ביום‬
‫מסוים‪ .‬בשעה ‪ 7:00‬בבוקר היה משקל החומר ‪ 120‬ק"ג‪.‬‬
‫בשעה ‪ 10:30‬בבוקר היה משקל החומר ‪ 95‬ק"ג‪.‬‬
‫א‪ .‬מהו קצב התפרקות החומר הרדיואקטיבי לחצי שעה?‬
‫ב‪ .‬מה תהיה כמות החומר בשעה ‪ 15:00‬אחר הצהריים?‬
‫‪5‬‬
‫‪ )20‬מכונית מאבדת‬
‫‪8‬‬
‫מערכה במשך ‪ 10‬שנים‪.‬‬
‫א‪ .‬מהו קצב ירידת הערך של המכונית בכל שנה?‬
‫ב‪ .‬איזה אחוז מערכה תאבד המכונית כעבור ‪ 15‬שנה?‬
‫‪131‬‬
‫‪ )21‬מספר התושבים ביפן גדל פי ‪ 2‬תוך ‪ 20‬שנים‪.‬‬
‫מה אחוז הגידול השנתי באוכלוסיית יפן?‬
‫‪ )22‬מספר התושבים במדינה מסוימת גדל פי ‪ 3.5‬ב‪ 40-‬שנים‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא מהו אחוז הריבוי השנתי‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא פי כמה יגדל מספר התושבים כעבור ‪ 58‬שנים?‬
‫‪ )23‬מספר החיידקים במבחנה גדל בצורה מעריכית‪ .‬אם לפני ‪ 6‬שעות היו במבחנה ‪200‬‬
‫חיידקים ועכשיו יש בה ‪ 500‬חיידקים‪ ,‬כמה חיידקים יהיו בה בעוד ‪ 4‬שעות?‬
‫שאלות העוסקות במציאת הזמן‪:‬‬
‫‪ )24‬הריבית על תכנית חיסכון בבנק מסוים היא ‪ 2.4%‬בשנה‪.‬‬
‫אדם הפקיד בתוכנית החיסכון ‪ .₪ 12,000‬תוך כמה שנים יהיו ברשותו ‪?₪ 15,000‬‬
‫‪ )25‬אוכלוסיית הדובים בקוטב הצפוני מכפילה את עצמה כל ‪ 18‬שנה‪.‬‬
‫אם היום יש בקוטב הצפוני ‪ 6,000‬דובים‪ ,‬בעוד כמה שנים יהיו ‪ 8,000‬דובים?‬
‫‪ )26‬חומר רדיואקטיבי מתפרק בצורה מעריכית‪.‬‬
‫אם בתוך ‪ 4‬שעות הוא מאבד ‪ 20%‬ממשקלו‪ ,‬תוך כמה זמן יאבד ‪ 60%‬ממשקלו?‬
‫‪ )27‬חומר רדיואקטיבי מתפרק בצורה מעריכית‪.‬‬
‫אם בתוך ‪ 4‬שעות הוא מאבד ‪ 20%‬ממשקלו‪ ,‬תוך כמה זמן יאבד ‪ 50%‬ממשקלו?‬
‫‪ )28‬זמן מחצית החיים של חומר רדיואקטיבי הוא ‪ 16‬ימים‪.‬‬
‫תוך כמה ימים יאבד שליש ממשקלו?‬
‫‪ )29‬בשעה ‪ 08:00‬נלקחו שני חומרים רדיואקטיביים‪ .‬מחומר א' נלקחו ‪ 150‬גרם וזמן‬
‫מחצית החיים שלו הוא ‪ 10‬שעות‪ .‬מחומר ב' נלקחו ‪ 117.4‬גרם וזמן מחצית החיים‬
‫שלו הוא ‪ 18‬שעות‪ .‬באיזו שעה משקל החומרים יהיה זהה?‬
‫‪132‬‬
‫שאלות שונות (כל הנושאים יחד)‪:‬‬
‫‪ )30‬בנק א' נותן ריבית של ‪ 3%‬כל שנתיים בתוכנית חיסכון מסוימת‪.‬‬
‫בנק ב' נותן ריבית של ‪ 4.5%‬כל ‪ 3‬שנים בתוכנית חיסכון אחרת‪.‬‬
‫אדם מתכוון להפקיד סכום כסף מסוים לתקופה של ‪ 18‬שנה‪.‬‬
‫באיזה בנק כדאי לו להשקיע את כספו?‬
‫‪ )31‬נתונות שתי תרביות חיידקים‪ ,‬כל אחת גדלה בצורה מעריכית‪.‬‬
‫בשעה מסוימת בתרבית א' היו ‪ 4,000‬חיידקים ובתרבית ב' היו ‪ 500‬חיידקים‪.‬‬
‫נסמן‪:‬‬
‫‪ - t1‬הזמן שחלף עד שבתרבית א' היו פי ‪ 2‬חיידקים מאשר בתרבית ב'‪.‬‬
‫‪ - t2‬הזמן שחלף עד שבתרבית ב' היו פי ‪ 2‬חיידקים מאשר בתרבית א'‪.‬‬
‫‪t1‬‬
‫חשב את היחס‬
‫‪t2‬‬
‫‪.‬‬
‫‪ )32‬מספר החיידקים בתרבית גדל ב‪ p % -‬בכל שעה‪.‬‬
‫בשעה מסוימת מספר החיידקים היה ‪ . m‬כעבור ‪ t‬שעות הוציאו ‪ m‬חיידקים‬
‫מהתרבית וכעבור עוד ‪ t‬שעות היו ‪ 6m‬חיידקים בתרבית‪.‬‬
‫הבע את ‪ t‬באמצעות ‪. p‬‬
‫‪ )33‬נתונה הפונקציה‪. f  x   700 1.08x  200 x :‬‬
‫מצא את ערך ה ‪ x -‬של נקודת הקיצון של הפונקציה וקבע את סוגה‪.‬‬
‫‪ )34‬נתונות שתי בריכות דגים‪ .‬בבריכה א' קצב הריבוי של מספר הדגים הוא ‪ 10%‬בחודש‬
‫ובבריכה ב' הוא ‪ 20%‬בחודש‪ .‬כמות הדגים בבריכה א' גדולה פי ‪ 5‬מכמות הדגים‬
‫בבריכה ב'‪ .‬בעוד כמה חוד שים לערך ההפרש בין כמות הדגים בבריכה א' לכמות‬
‫הדגים בבריכה ב' יהיה מקסימלי?‬
‫‪ )35‬כמות עצים ביער גדלה בצורה מעריכית לפי אחוז ריבוי של ‪ 15%‬לשנה‪.‬‬
‫בשנת ‪ 1990‬נספרו כמות עצים מסוימת ביער‪ .‬בשנת ‪ 2000‬כרתו ‪ 30,000‬עצים‬
‫ולאחר ‪ 5‬שנים נוספות‪ ,‬בשנת ‪ ,2005‬נספרו ביער ‪ 753365‬עצים‪.‬‬
‫מצא כמה עצים היו ביער בשנת ‪.1990‬‬
‫‪ )36‬ערכה של דירה יורד מדי שנה באחוז קבוע של ‪ .6%‬ידוע כי ערך הדירה לאחר ‪10‬‬
‫שנים מיום מכירתה נמוך ב‪ ₪ 35,000-‬ממחירה המקורי‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא את המחיר ההתחלתי של הדירה‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא לאחר כמה שנים ערך הדירה ירד מתחת ל‪.₪ 30,000-‬‬
‫‪ )37‬שני בנקים מציעים שתי תכניות חיסכון כלהלן‪:‬‬
‫בנק א' מציע תכנית חיסכון ל ‪ 8-‬שנים שבסופה סכום הקרן יגדל ב ‪.80%-‬‬
‫בנק ב' מציע תכנית חיסכון ל‪ 6-‬שנים שבסופה סכום הקרן יגדל ב‪.60%-‬‬
‫א‪ .‬באיזה בנק אחוז הריבית השנתית גבוה יותר?‬
‫ב‪ .‬דני משקיע סכום כסף ‪ k‬לפי תכנית חיסכון של בנק א' ובתום התוכנית הוא‬
‫מעביר את הסכום שעומד לרשותו לתכנית החיסכון של בנק ב'‪.‬‬
‫‪133‬‬
‫רפי משקיע סכום כסף זהה ‪ k‬לפי תכנית חיסכון של בנק ב' ובתום התכנית‬
‫הוא מעביר את הסכום שעומד לרשותו לתכנית החיסכון של בנק א'‪.‬‬
‫למי יהיה סכום גדול יותר בתום שתי התכניות?‬
‫נמק את תשובתך והראה חישוב מתאים‪.‬‬
‫‪ )38‬שווי שתי מכוניות המוצעות למכירה הוא‪:‬‬
‫מכונית א' ‪ ₪ 60,000 -‬ומכונית ב'‪.₪ 85,000-‬‬
‫ידוע כי ערך מכונית ב' יורד ב‪ 4%-‬בכל שנה וערך מכונית א' יורד ב‪ 2.5%-‬בכל שנה‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא בעוד כמה שנים יהיו המחירים של שתי המכוניות זהים‪.‬‬
‫ב‪ .‬סיגל רוצה לקנות מכונית ולרשותה עומד סכום של ‪.₪ 40,000‬‬
‫איזו מכונית תוכל לקנות סיגל קודם ולאחר כמה שנים מיום הצעתן?‬
‫‪ )39‬כמות אצות בים מתרבה בצורה מעריכית‪ .‬ידוע כי לאחר ‪ 40‬שנים כמות אצות‬
‫מכפילה את עצמה‪ .‬כדי לצמצם את כמות האצות מבצעים עבודות ניקיון מדי שנה‬
‫ובהן מנקים כ ‪ 200-‬ק"ג אצות‪ .‬בחוף מסוים היו בשנת ‪ 1990‬כ‪ 1200-‬ק"ג אצות‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא את קצב גידול האצות השנתי‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא כמה אצות יהיו בחוף המסוים בשנת ‪ 1993‬לאחר הניקיון באותה שנה‪.‬‬
‫‪ )40‬נתונות שתי כמויות התחלתיות זהות‪ ,‬האחת גדלה בצורה מעריכית והשנייה קטנה‬
‫בצורה מעריכית‪ .‬לשתי הכמויות אחוז גדילה‪/‬דעיכה קבוע והוא ‪.5%‬‬
‫א‪ .‬האם הזמן שבו הכמות הראשונה תגדל לכמות הכפולה מהכמות‬
‫ההתחלתית שלה שווה לזמן שבו תקטן הכמות השנייה למחצית מהכמות‬
‫ההתחלתית שלה? נמק והראה חישוב מתאים‪.‬‬
‫ב‪ .‬ללא קשר לנתון הקודם‪ ,‬הראה כי כדי ששתי הכמויות יגיעו ליעדיהן באותו‬
‫הזמן אז הבסיסים שלהן ‪  q1 , q2 ‬צריכים להיות מספרים הופכיים‪.‬‬
‫‪ )41‬כמות חומר רדיואקטיבי קטנה בצורה מעריכית לפי אחוז קבוע ‪ p‬מדי שעה‪.‬‬
‫ביום מסוים היו ‪ k‬גרם מהחומר‪ .‬לאחר ‪ 3‬שעות הוסיפו עוד ‪ k‬גרם לכמות שנותרה‬
‫ולאחר ‪ 3‬שעות נוספות מתברר שנשארו ‪ k‬גרם מהחומר‪ .‬מצא את ‪.p‬‬
‫‪ )42‬ערך מנייה מסוימת גדל בצורה מעריכית‪.‬‬
‫ידוע כי בשנת ‪ 1980‬הייתה המנייה שווה ‪ k‬שקלים‪.‬‬
‫המנייה גדלה באחוז קבוע של ‪ 2%‬לשנה עד לשנת ‪ 1992‬ומשם צנחה בקצב של ‪5%‬‬
‫לשנה במשך ‪ 8‬שנים נוספות‪.‬‬
‫לאחר מכן גדלה המנייה בקצב שנתי קבוע עד לשנת ‪.2010‬‬
‫אדם הרוצה לקנות את המנייה שנת ‪ 2010‬נוכח לדעת כי מחירה הוא ‪. 1.5k‬‬
‫מצא באיזה אחוז עלתה המנייה לאחר הצניחה שלה‪.‬‬
‫‪ )43‬מספר העופות בשמורת טבע גדל לפי אחוז קבוע של ‪ 3%‬לשנה‪ .‬בשנה מסוימת‬
‫נספרו ‪ 2300‬עופות בשמורה‪ ,‬לאחר ‪ 5‬שנים הוסיפו לשמורת הטבע ‪ 1000‬עופות‬
‫נוספים‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא כמה עופות יהיו בשמורה לאחר ‪ 5‬שנים נוספות‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא תוך כמה שנים יהיה מספר העופות בשמורה זהה לזה שמצאת‬
‫בסעיף א' אילולא היו מוסיפים את ‪ 1000‬העופות הנוספים‪ ,‬אלא אם‬
‫הייתה גדילה רציפה‪.‬‬
‫‪134‬‬
‫‪ )44‬אדם מפקיד סכום של ‪ ₪ 120,000‬לפי ריבית דריבית של ‪ 12%‬בשנה‪.‬‬
‫כעבור ‪ t‬שנים הוא משך את כל הסכום שעמד לרשותו והפקיד אותו ל‪ t -‬שנים‬
‫נוספות בתכנית חיסכון חדשה לפי ריבית דריבית של ‪ .15%‬בתום תקופה זו עמד‬
‫לרשותו סכום של ‪.₪ 330,252‬‬
‫א‪ .‬מצא את ‪. t‬‬
‫לאחר תקופה זו הוא מפקיד את סכום הכסף הסופי בתכנית לפי ריבית דריבית‬
‫מסוימת‪ .‬לאחר ‪ 5‬שנים עמד לרשותו סכום של ‪.₪ 821,772‬‬
‫ב‪ .‬מצא את אחוז הריבית החדש‪.‬‬
‫‪ )45‬ערכן של שת י חלקות אדמה יורד בצורה מעריכית‪ .‬ידוע כי בזמן שערכה של אדמה‬
‫א' מגיע למחצית מערכה המקורי‪ ,‬ערכה של אדמה ב' מגיע ל‪ 30%-‬מערכה המקורי‪.‬‬
‫לאחר ‪ 50‬שנים אדמה א' מאבדת ‪ 60%‬מערכה‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא את אחוז הדעיכה של אדמה ב'‪.‬‬
‫ב‪ .‬ידוע כי לאחר ‪ 100‬שנים ערכן של שתי האדמות שווה‪ .‬ערכה המקורי של‬
‫אדמה ב' הוא ‪ .₪ 100,000‬מצא את ערכה המקורי של אדמה א'‪.‬‬
‫‪ )46‬מספר העופות בשמורת טבע גדל לפי אחוז קבוע של ‪ p‬אחוזים לשנה‪.‬‬
‫בשנה מסוימת נספרו ‪ 3000‬עופות בשמורה‪ ,‬לאחר ‪ 4‬שנים הוסיפו‬
‫לשמורה ‪ 1000‬עופות נוספים‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא את אחוז הגידול השנתי ‪ p‬אם ידוע כי לאחר ‪ 4‬שנים נוספות היו‬
‫בשמורת ‪ 5647‬עופות‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא לאחר כמה שנים יהיו ‪ 5647‬עופות אילולא היו מוסיפים‬
‫את ‪ 1000‬העופות הנוספים‪.‬‬
‫‪ )47‬כוורת דבורים ידוע כי בכל ‪ 10‬שעות כמות הדבורים גדלה פי ‪.1.5‬‬
‫א‪ .‬מצא באיזה אחוז גדלה כמות הדבורים בכל שעה‪.‬‬
‫ב‪ .‬מוציאים לאחר ‪ 10‬שעות ‪ 3000‬דבורים וידוע כי נשארו ‪ 1500‬דבורים‪.‬‬
‫חשב כמה דבורים היו בתחילה בכוורת‪.‬‬
‫‪ )48‬אדם מפקיד ‪ k‬שקלים בתוכנית חיסכון לפי ריבית שנתית של ‪ .p%‬לאחר ‪ 5‬שנים‬
‫הוא מושך מהחיסכון ‪ k‬שקלים ולאחר ‪ 5‬שנים נוספות מתברר כי הצטבר בפיקדון‬
‫שלו סך הכול ‪ .₪ 2.5k‬מצא את ‪.p‬‬
‫‪ )49‬ערך מנייה מסוימת גדל בצורה מעריכית‪.‬‬
‫ידוע כי בשנת ‪ 1995‬הייתה המנייה שווה ‪ k‬שקלים‪.‬‬
‫המנייה גדלה באחוז קבוע של ‪ 5%‬לשנה עד לשנת ‪ 2000‬ושם צנחה בקצב של ‪8%‬‬
‫לשנה במשך ‪ 6‬שנים נוספות‪ .‬לאחר מכן גדלה המנייה בקצב שנתי קבוע עד‬
‫לשנת ‪ .2010‬אדם הרוצה לקנות את המנייה בשנת ‪ 2010‬נוכח לדעת כי מחירה‬
‫הוא ‪ . k‬מצא באיזה אחוז עלתה המנייה לאחר צניחתה‪.‬‬
‫‪135‬‬
‫תשובות סופיות‪:‬‬
‫‪ )1‬א‪ 1.2 .‬ב‪ .0.6 .‬ג‪ .1.05 .‬ד‪ .1.15 .‬ה‪ .2 .‬ו‪ .3 .‬ז‪ 0.75 .‬ח‪.0.5 .‬‬
‫‪ )2‬א‪ 20% .‬גדילה‪ .‬ב‪ 60% .‬גדילה‪ .‬ג‪ 15% .‬דעיכה‪ .‬ד‪ 28% .‬דעיכה‪.‬‬
‫‪ )3‬א‪ .80 .‬ב‪ .45 .‬ג‪.150 .‬‬
‫‪ )4‬א‪ .1.165 .‬ב‪ .0.7469 .‬ג‪ .0.732 .‬ד‪ .1.028 .‬ה‪ .0.22 .‬ו‪.1.03 .‬‬
‫‪ )5‬א‪ 39.88 .‬ב‪ .2 .‬ג‪.33.01 .‬‬
‫‪ )6‬א‪ .100 .‬ב‪ .200 .‬ג‪.52,428,800 .‬‬
‫‪ )7‬א‪ 1889.56 .‬ג'‪ .‬ב‪ 1422.4 .‬ג'‪ .‬ג‪ .‬כן‪ 456.747 .‬ג'‪.‬‬
‫‪ 5,062 )8‬חסידות‪.‬‬
‫‪ 101,342 )9‬תושבים‪ 34,907 )10 .‬זברות‪.₪ 592.6 )11 .‬‬
‫‪ 1.41 )12‬ק"מ‪ )13 .‬א‪ 578,642 .‬תושבים‪ .‬ב‪ 467,304 .‬תושבים‪.‬‬
‫‪ )14‬א‪ 3,200,000 .‬ק"ג‪ .‬ב‪ 50,000 .‬ק"ג‪ .‬ג‪ 4,525,483.4 .‬ק"ג‪.‬‬
‫‪ )16 .2.3% )15‬א‪ .1.029 .‬ב‪ 9.6 .‬מיליון תושבים‪.‬‬
‫‪ )17‬א‪ .1.032 .‬ב‪ 2117 .‬תוכים‪.14.16% )18 .‬‬
‫‪ )19‬א‪ .0.9671 .‬ב‪ 70.35 .‬גרם‪ )20 .‬א‪ .0.90657 .‬ב‪.77.1% .‬‬
‫‪ )22 .3.5% )21‬א‪ 3.18% .‬ב‪ 921 )23 .6.15 .‬חיידקים‪.‬‬
‫‪ 9.41 )24‬שנים‪ 7.47 )25 .‬שנים‪ 16.43 )26 .‬שעות‪ 12.43 )27 .‬שעות‪.‬‬
‫‪ 9.36 )28‬ימים‪ )30 .16:00 )29 .‬בנק א'‪.‬‬
‫‪t‬‬
‫‪ln 3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪)32 . 1  )31‬‬
‫‪t2 2‬‬
‫‪ 100  P ‬‬
‫‪ln ‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 100 ‬‬
‫‪ , x  17.04 )33‬מינימום‪ 11 )34 .‬חודשים ‪ 100,000 )35‬עצים‪.‬‬
‫‪.t ‬‬
‫‪ )36‬א‪ ₪ 75,858.5 .‬ב‪ .‬לאחר ‪ 15‬שנים ‪ )37‬א‪ .‬בנק ב' ב‪ .‬לשניהם אותו הסכום‪.‬‬
‫‪ )38‬א‪ .‬לאחר ‪ 22.46‬שנים‪ .‬ב‪ .‬מכונית א' ולאחר ‪ 16‬שנים‪.‬‬
‫‪ )39‬א‪ 1.017 .‬ב‪ 653.48 .‬ק"ג אצות‪.‬‬
‫‪ )40‬א‪ .‬הכמות השנייה תגיע ליעדה לפני הראשונה ‪ )42 14.82% )41‬ב‪.5.95%-‬‬
‫‪ )43‬א‪ 4250 .‬עופות ב‪ 20.77 .‬שנים ‪ )44‬א‪ t  4 .‬ב‪. p  20% .‬‬
‫‪ )45‬א‪ 3.13% .‬ב‪ )46 ₪ 25,909 .‬א‪ .5% .‬ב‪ 12.96 .‬שנים‪.‬‬
‫‪ )47‬א‪ .‬ב‪ .4.1%-‬ב‪ 3000 .‬דבורים ‪ )49 16.63% )48‬ב‪.6.6%-‬‬
‫‪136‬‬
‫תירגול נוסף‪:‬‬
‫‪ )1‬בבריכת דגים נספרו ‪ 20,000‬דגים‪.‬‬
‫כשלוש שנים לאחר מכן התבצעה ספירה נוספת ובה היו ‪ 28098‬דגים‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא את אחוז הגדילה השנתי של הדגים‪.‬‬
‫ב‪ .‬אחר ‪ 4‬שנים נוספות הוציאו מהבריכה ‪ 40,000‬דגים‪.‬‬
‫מצא כמה דגים יישארו בבריכה לאחר שנה מהוצאת ה‪ 40,000-‬דגים‪.‬‬
‫‪ )2‬כמות עצים ביער גדלה בצורה מעריכית לפי אחוז ריבוי של ‪ 15%‬לשנה‪.‬‬
‫בשנת ‪ 1990‬נספרו כמות עצים מסוימת ביער‪ .‬בשנת ‪ 2000‬כרתו ‪ 30,000‬עצים‬
‫ולאחר ‪ 5‬שנים נוספות‪ ,‬בשנת ‪ ,2005‬נספרו ביער ‪ 753365‬עצים‪.‬‬
‫מצא כמה עצים היו ביער בשנת ‪.1990‬‬
‫‪ )3‬מדען שוקל כמות חומר רדיואקטיבית ‪ 3‬פעמים ביום מסוים‪.‬‬
‫בשקילה הראשונה כמות החומר היא ‪ 120‬גרם‪.‬‬
‫לאחר שלוש שעות כמות החומר הייתה ‪ 61.44‬גרם‪.‬‬
‫בשקילה השלישית ‪ 31.457‬גרם‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא את אחוז הדעיכה של החומר הרדיואקטיבי‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא לאחר כמה שעות מהשקילה השנייה התבצעה השקילה השלישית‪.‬‬
‫‪ )4‬אחוז ריבוי אוכלוסייה בעיר מטרופולין הוא כזה שכל ‪ 30‬שנים מכפילה העיר את‬
‫כמות תושביה‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא את קצב הגידול השנתי של תושבי העיר‪.‬‬
‫ב‪ .‬אחוזי הריבוי בעיר גוטהם ובעיר מטרופולין זהה‪ ,‬אך ידוע כי כל ‪ 10‬שנים‬
‫עוזבים את העיר גוטהם כ‪ 10,000-‬תושבים‪ .‬בשנת ‪ 1970‬היו בעיר גוטהם‬
‫‪ 40,000‬תושבים‪ .‬מצא כמה אנשים יהיו בעיר גוטהם בשנת ‪.1988‬‬
‫‪ )5‬הערך של משאית הובלה יורד מדי שנה באחוז קבוע‪ .‬ידוע כי ערך המשאית‬
‫לאחר ‪ 4‬שנים מיום מכירתה נמוך ב‪ 20,000-‬ממחירה המקורי‪ .‬כמו כן‪ ,‬ערך‬
‫המשאית לאחר ‪ 8‬שנים הוא ‪ .₪ 56,000‬מצא את המחיר המקורי של המשאית‬
‫ואת האחוז שבו ערכה יורד מדי שנה‪.‬‬
‫‪ )6‬ערך של מכונית היום הוא ‪ .45,000‬המכונית יצאה לשוק לפני ‪ 3‬שנים וערכה קטן‬
‫מדי שנה באחוז קבוע של ‪.8%‬‬
‫א‪ .‬מה המחיר המקורי של המכונית?‬
‫ב‪ .‬מה יהיה מחיר המכונית לאחר ‪ 3‬שנים מהיום?‬
‫ג‪ .‬מצא תוך כמה שנים המכונית תרד עד לרבע מערכה בזמן שיצאה לשוק‪.‬‬
‫‪137‬‬
‫‪ )7‬ערכן של אדמה עידית ואדמה זיבורית גדל בצורה מעריכית מדי שנה‪.‬‬
‫ידוע כי הערך של דונם אדמה עידית גדול פי ‪ 5‬מהערך של דונם אדמה זיבורית‪.‬‬
‫הערך של האדמה הזיבורית גדל ב‪ 8%-‬והערך של האדמה העידית גדל ב ‪4%-‬‬
‫לשנה‪ .‬מצא בעוד כמה שנים ישתוו המחירים של דונם אדמה מכל סוג‪.‬‬
‫‪ )8‬ערכן של אדמה עידית ואדמה זיבורית גדל בצורה מעריכית מדי שנה‪.‬‬
‫ידוע כי הערך של דונם אדמה עידית גדול פי ‪ 6‬מהערך של דונם אדמה זיבורית‪.‬‬
‫הערך של האדמה הזיבורית גדל באחוז קבוע הגדול פי ‪ 2‬מהאחוז שבו גדל הערך‬
‫של האדמה העידית‪ .‬מצא את אחוז הגדילה של האדמה הזיבורית אם ידוע כי‬
‫המחירים של דונם אדמה מכל סוג ישתוו לאחר ‪ 62.4‬שנים‪.‬‬
‫‪ )9‬ערכן של שתי מכוניות‪ ,‬האחת חדשה והש נייה ישנה‪ ,‬מתנהג בצורה מעריכית‪.‬‬
‫ערך המכונית החדשה גדול פי ‪ 2‬מערך המכונית הישנה ויורד באחוז מסוים מידי‬
‫שנה‪ .‬כמו כן‪ ,‬ידוע כי ערך המכו נית הישנה גדל באותו האחוז מדי שנה‪.‬‬
‫לאחר ‪ 20‬שנים מהיום שבו הוצעו המכוניות למכירות פומביות ערכן השתווה‪.‬‬
‫מצא את אחוז הגדילה או הדעיכה של כל מכונית‪.‬‬
‫‪ )10‬אדם מפקיד לתכנית חיסכ ון סכום מסוים לפי ריבית דריבית של ‪.3%‬‬
‫ערך מכונית יורד בכל שנה ב‪ .3%-‬ידוע כי סכום המכונית גדול פי ‪ 3‬מהסכום‬
‫שהפקיד האדם בתכנית החיסכון‪ .‬מצא לאחר כמה זמן יוכל האדם למשוך את‬
‫הכסף שיעמוד לרשותו ולקנות את המכונית‪.‬‬
‫‪ )11‬כמות חומר רדיואקטיבי מאבד ‪ 60%‬ממשקלו תוך ‪ 8‬שעות‪.‬‬
‫קצב הדעיכה של החומר הוא מעריכי‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא את קצב הדעיכה של החומר לשעה‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא תוך כמה זמן יאבד החומר ‪ 90%‬ממשקלו‪.‬‬
‫ג‪ .‬ידוע כי לאחר ‪ 3.5‬שעות איבד החומר ‪ 10‬גרם ממשקלו‪.‬‬
‫מצא את כמות החומר הרדיואקטיבי ההתחלתית‪.‬‬
‫ד‪ .‬מה הייתה כמות החומר הרדיואקטיבי ‪ 3‬שעות לפני שנערכה‬
‫המדידה הראשונה‪.‬‬
‫ה‪ .‬בכמה אחוזים קטן החומר הרדיואקטיבי מ‪ 3-‬שעות לפני המדידה‬
‫הראשונה עד למדידה הראשונה?‬
‫‪ )12‬לשרון שתי חוות נמלים שבהן קצב ריבוי הנמלים הוא מעריכי וגדל ב ‪ 4%-‬ליום‪.‬‬
‫בסוף כל שבוע (לאחר ‪ 7‬ימים) שרון לוקחת כמות נמלים קבועה מחווה א'‬
‫ומעבירה אותם לחווה ב'‪ .‬שרון סופרת את כמות הנמלים בכל חווה ביום מסוים‬
‫ומגלה כי כמויות הנמלים בשתי החוות הן ‪ 3,000‬נמלים בכל חווה‪ .‬בספירה נוספת‬
‫שערכה שרון לאחר שבועיים מיום מדידתה הקודם (ולאחר ההעברה) מצאה שרון‬
‫כי בחווה ב' יש ‪ 1,500‬נמלים יותר מבחווה א'‪ .‬מצא כמה נמלים מעבירה שרון‬
‫מחווה א' לחווה ב' לאחר כל ‪ 7‬ימים‪.‬‬
‫‪138‬‬
‫‪ )13‬תרבית חיידקים גדלה בצורה מעריכית‪ .‬מדען שקל את כמות החיידקים‬
‫בשעה ‪ 10:00‬בבוקר ומצא כי יש בתרבית ‪ k‬חיידקים‪.‬‬
‫בשעה ‪ 14:00‬ערך המדען שקילה נוספת ומצא כי משקל החיידקים הוא ‪.1.35k‬‬
‫בשעה ‪ 20:00‬ערך המדען שקילה נוספת ומצא כי משקל החיידקים הוא ‪ 741.14‬גרם‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא את קצב הגידול של החיידקים בכל שעה‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא את המשקל של התרבית בשעה ‪ 10:00‬בבוקר‪.‬‬
‫ג‪ .‬מצא את המשקל של התרבית בשעה ‪ 6:00‬בבוקר‪.‬‬
‫ד‪ .‬כדי שהמדען יצליח בניסויו משקל התרבית חייב לעבור משקל של ‪ 1‬ק"ג‬
‫במהלך יום המדידות הנ"ל (עד שעה ‪ 12‬בלילה ‪ .)24:00 -‬האם המדען יצליח‬
‫או ייכשל בניסוי?‬
‫‪ )14‬סוחר קנה בריכת דגים ובה ‪ 1000‬דגי סלמון‪ .‬ידוע כי כל שבוע כמות הדגים‬
‫בבריכה גדלה ב‪ .7%-‬לאחר ‪ 5‬שבועות מוכר הסוחר ‪ 500‬דגי סלמון‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא כמה דגים יהיו לסוחר בבריכה לאחר חודשיים (חודש בן ‪ 4‬שבועות)‬
‫מזמן הקנייה‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא כמה דגים יהיו לסוחר בבריכה לאחר חודשיים מזמן הקנייה‪ ,‬אם ידוע‬
‫כי לאחר הוצאת ‪ 500‬הדגים מהבריכה קצב הגידול של דגים עלה ל‪.10%-‬‬
‫‪ )15‬סוללה בעלת קיבולת מקסימלית של ‪ 9‬וולט נטענת בקצב של ‪ 14%‬לדקה‪.‬‬
‫א‪ .‬חשב תוך כמה זמן תטען הסו ללה אם ידוע כי מטען הסוללה ההתחלתי‬
‫הוא ‪ 3‬וולט‪.‬‬
‫ב‪ .‬חשב תוך כמה זמן תטען הסוללה אם ידוע כי לאחר שהגיעה ל ‪ 6-‬וולט‬
‫מוציאים ממנה ‪ 2‬וולט (באופן חד‪-‬פעמי) ואוגרים אותו בקבל‪.‬‬
‫‪ )16‬בתרבית ‪ 4 104‬חיידקים‪ .‬לאחר ‪ 4‬שעות כמות החיידקים היא ‪. 5 105‬‬
‫א‪ .‬מצא את קצב הגידול של החיידקים בכל שעה‪.‬‬
‫ב‪ .‬מדען גילה כי לאחר שבתרבית יש ‪ 106‬חיידקים אז קצב הגדילה שלהם יורד‬
‫ב ‪ .30%-‬תוך כמה זמן יהיו בתרבית ‪ 107‬חיידקים מאז המדידה הראשונה?‬
‫‪ )17‬בכוורת דבורים ידוע כי בכל ‪ 10‬שעות כמות הדבורים גדלה פי ‪.1.5‬‬
‫א‪ .‬מצא באיזה אחוז גדלה כמות הדבורים בכל שעה‪.‬‬
‫ב‪ .‬מוציאים לאחר ‪ 10‬שעות ‪ 3000‬דבורים מהכוורת וידוע כי נשארו ‪1,500‬‬
‫דבורים‪ .‬חשב כמה דבורים היו בתחילה בכוורת‪.‬‬
‫‪ )18‬ידוע כי לאחר שמקום השורץ נמלים עובר ריסוס אז הן מתות בצורה מעריכית‪.‬‬
‫המדביר אומר ללקוח כי לאחר ‪ 3‬שעות כ‪ 90%-‬מהנמלים וודאי ימותו‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא את הקצב בו מתות הנמלים בכל שעה‪.‬‬
‫ב‪ .‬חשב כמה זמן צריך הלקוח לחכות כדי שלפחות מחצית מהנמלים ימותו‪.‬‬
‫‪139‬‬
‫תשובות סופיות‪:‬‬
‫‪ )1‬א‪ 12% .‬ב‪ 4719 .‬דגים‪ 100000 )2 .‬עצים‪.‬‬
‫‪ )3‬א‪ .‬דועך ב ‪ .20%-‬ב‪ 3 .‬שעות‪.‬‬
‫‪ )4‬א‪ 1.023 .‬ב‪ 48,598 .‬תושבים‪.‬‬
‫‪ ,₪ 91,634.8 )5‬יורד ב‪ 6%-‬לשנה‪.‬‬
‫‪ )6‬א‪ ₪ 57,789 .‬ב‪ ₪ 35,040 .‬ג‪ 16.62 .‬שנים‪.‬‬
‫‪ 42.64 )7‬שנים‪.‬‬
‫‪6% )8‬‬
‫‪1.73% )9‬‬
‫‪ 18.3 )10‬שנים‪ )11 .‬א‪ 0.891 .‬ב‪ 20.1 .‬שעות‪ .‬ג‪ k  30.278 .‬ד‪ 42.79 .‬ג'‪ .‬ה‪.29.26% .‬‬
‫‪ 323 )12‬נמלים‪ )13 .‬א‪ 1.078 .‬ב‪ 350 .‬גרם ג‪ 259.25 .‬גרם ד‪ .‬יצליח‪.‬‬
‫‪ )14‬א‪ 1105 .‬דגים‪ .‬ב‪ 1201 .‬דגים‪.‬‬
‫‪ )15‬א‪ 8.38 .‬דקות‪ .‬ב‪ 11.47 .‬דקות‪.‬‬
‫‪ )16‬א‪ 1.88 .‬ב‪ 10.1 .‬שעות‪.‬‬
‫‪ )17‬א‪ .‬ב‪ .4.1%-‬ב‪ 3000 .‬דבורים‪.‬‬
‫‪ )18‬א‪ .‬בקצב של ‪ 1.535‬לשעה‪ .‬ב‪ .‬כ ‪ 54-‬דקות ‪.  t  0.903‬‬
‫‪140‬‬
‫תרגול מבגרויות‪:‬‬
‫‪ )1‬ענה על הסעיפים הבאים‪:‬‬
‫א‪ .‬בעיירה מסוימת נמצא כי אצל כל הגברים בעיירה שיער הראש נושר בדעיכה‬
‫מעריכית מגיל עשרים ואחת והלאה‪.‬‬
‫כל שנה הגברים מאבדים ‪ 0.1%‬משיער ראשם‪.‬‬
‫מצא כעבור כמה שנים מגיל עשרים ואחת יאבדו הגברים ‪ 0.2997%‬משיער‬
‫ראשם‪.‬‬
‫ב‪ .‬נמצא כי אצל כל הילדות בעיירה מספר השערות גדל מאז הלידה בצורה‬
‫מעריכית‪.‬‬
‫ביום מסוים היו לילדה מהעיירה ‪ 100,000‬שערות‪.‬‬
‫כעבור ‪ m‬שנים נוספו לה ‪ 15,000‬שערות‪.‬‬
‫הבע באמצעות ‪ m‬בכמה אחוזים גדל כל שנה מספר השערות של הילדה‪.‬‬
‫‪ )2‬הכמויות של שני סוגי דגים‪ ,‬סוג א' וסוג ב'‪ ,‬גדלות בצורה מעריכית‪.‬‬
‫כמות הדגים מסוג א' גדלה כל חודש פי ‪, q1‬‬
‫וכמות הדגים מסוג ב' גדלה כל חודש פי ‪. q2‬‬
‫כעבור מספר חודשים כמות הדגים מסוג א' גדלה פי ‪ ,2‬וכמות הדגים מסוג ב'‬
‫גדל הפי ‪ q2 .4‬גדול ב‪ 8.7%-‬מ‪ . q1 -‬מצא את מספר החודשים שבהם כמות הדגים‬
‫מסוג א' גדלה פי ‪ ,2‬וכמות הדגים מסוג ב' גדלה פי ‪.4‬‬
‫‪ )3‬בשעה ‪ 8:00‬היו ‪ 100‬גרם של חומר רדיואקטיבי ‪ I‬ו‪ 100 -‬גרם של חומר רדיואקטיבי ‪.II‬‬
‫הכמות של כל אחד מהחומרים קטנה עם הזמן בצורה מעריכית‪.‬‬
‫כעבור חצי שעה נותרו ‪ 80‬גרם של חומר ‪ I‬ו ‪ 64 -‬גרם של חומר ‪.II‬‬
‫כעבור כמה שעות (מהשעה ‪ ) 8:00‬יהיה ההפרש בין הכמויות של שני החומרים שווה‬
‫ל‪ 25-‬גרם?‬
‫‪ )4‬משקל העץ בשני יערות‪ ,‬יער ‪ I‬ויער ‪ ,II‬גדל עם הזמן לפי פונקציות‬
‫מעריכיות ‪ f  x   N0  a x‬ו ‪ g  x   M0  b x -‬בהתאמה‪.‬‬
‫העצים בשני היערות ניטעו באותו תאריך‪.‬‬
‫ביום הנטיעה היו ביער ‪ 10,000 I‬טון עץ‪ ,‬וכעבור שנה היו בו ‪ 15,000‬טון עץ‪.‬‬
‫ביום הנטיעה היו ביער ‪ 40,000 II‬טון עץ‪ ,‬וכעבור שנה היו בו ‪ 45,000‬טון עץ‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא את הפונקציה ‪ f  x ‬ואת הפונקציה ‪. g  x ‬‬
‫ב‪ .‬מצא כעבור כמה זמן מיום הנטיעה יהיה משקל העץ ביער ‪ I‬גדול ממשקל העץ‬
‫ביער ‪.II‬‬
‫ג‪ .‬סרטט בקו מלא ( ) סקיצה של גרף הפונקציה ‪ f  x ‬ובקו מרוסק (‪)---‬‬
‫סקיצה של גרף הפונקציה ‪ , g  x ‬החל מיום הנטיעה‪ .‬ציין מספרים על הצירים‪.‬‬
‫ד‪ .‬כעבור כמה זמן מיום הנטיעה ההפרש בין משקל העץ ביער ‪ II‬למשקל העץ‬
‫ביער ‪ I‬יהיה גדול ביותר?‬
‫בתשובותיך דייק עד שתי ספרות אחרי הנקודה העשרונית‪.‬‬
‫‪141‬‬
‫‪ )5‬בתאריך ‪ 1/1/2005‬הופקד בבנק א' סכום כסף מסוים‪ ,‬ובאותו תאריך הופקד גם‬
‫בבנק ב' אותו סכום כסף‪ .‬בכל אחד מהבנקים סכום הכסף שהופקד גדל כל שנה‬
‫באחוז קבוע‪.‬‬
‫כעבור ‪ 7‬שנים היו בבנק א' ‪ 12,298‬שקלים ובבנק ב' היו ‪ 13,162‬שקלים‪.‬‬
‫כעבור כמה שנים מהתאריך ‪ 1/1/2005‬יהיה בבנק ב' סכום כסף הגדול‬
‫ב ‪ 25%-‬מסכום הכסף שיהיה בבנק א'?‬
‫‪ )6‬קבלן מציע דירות למכירה בתשלומים חודשיים‪ .‬בתאריך ‪ 1/1/2012‬התשלום‬
‫החודשי עבור הדירה היה ‪ 5,900‬שקל‪ ,‬ובכל חודש התשלום גדל ב‪.0.2%-‬‬
‫המשכורת החודשית של רן בתאריך ‪ 1/1/2012‬הייתה ‪ 8,000‬שקל‪ ,‬ובכל חודש היא‬
‫גדלה ב ‪ . 1.2%-‬רן יכול להתחיל לשלם עבור הדירה רק אחרי התאריך שבו התשלום‬
‫החודשי עבור הדירה יהיה ‪ 60%‬ממשכורתו החודשית‪.‬‬
‫כעבור כמה חודשים שלמים מהתאריך ‪ 1/1/2012‬יוכל רן להתחיל לשלם עבור‬
‫הדירה?‬
‫תשובות סופיות‪:‬‬
‫‪)1‬‬
‫‪)2‬‬
‫‪)3‬‬
‫‪)4‬‬
‫‪)5‬‬
‫‪)6‬‬
‫א‪ .‬לאחר ‪ 3‬שנים‪ .‬ב‪.100m 1.15 100 .‬‬
‫לאחר ‪ 8.31‬חודשים‪.‬‬
‫כעבור ‪ 1.55‬שעות‪.‬‬
‫‪x‬‬
‫א‪g  x   40000 1.125 , f  x   10000 1.5x .‬‬
‫ב‪ .‬כעבור יותר מ‪ 4.82-‬שנים‪ .‬ג‪ .‬בצד‪.‬‬
‫ד‪ .‬כעבור ‪ 0.52‬שנים‪.‬‬
‫‪ 23‬שנים‪.‬‬
‫‪ 21‬חודשים‪.‬‬
‫‪142‬‬
:‫– חוקי חזקות ומשוואות מעריכיות ולוגריתמיות‬6 ‫פרק‬
:‫חוקי חזקות‬
:‫סיכום חוקי החזקות‬
a n  a m  a nm
.3
a m  bm   a  b 
.6
a
 
b
m
b
 
a
m
a1  a
a 
n m
m
an
 a nm
m
a
 a nm .5
am 
.9
a 0  1 .1
.2
1
am
am  a 
 
bm  b 
.8
.4
m
.7
:‫סיכום חוקי השורשים‬
m
a a
n m
n
n
m
.3
m
m
a  mn a .6
m
a a
1
m
a ma

b
b
a a
.2
m
.5
1
2
.1
a  m b  m a  b .4
:‫שאלות יסודיות – חוקי חזקות ושורשים‬
:‫) חשב ללא מחשבון את ערכי הביטויים הבאים‬1
93  27 2
39  81
.‫ב‬
23  25
.‫ד‬
23  2 7
2 4  25
109  255  81
403 1255
.‫א‬
.‫ג‬
:‫) פשט את הביטויים הבאים‬2
k 
k 
 2a b    ab 
2 m 2
 k 13m
3
1
 7 m4
k
.‫ב‬
1 x n 3  x n 5

x2
x n2
.‫ד‬
2m
2
3
3 2
 a2 
4ab 2   
 b 
4
4b 3
4b 1  4b  2
.‫א‬
.‫ג‬
22  8
. 5
:‫) חשב ללא מחשבון את ערך הביטוי הבא‬3
128
5
143
:‫) הכנס לתוך שורש את המספרים החופשיים‬4
36
2
.‫ג‬
.‫ב‬
3 2
.‫א‬
x x
.‫ה‬
23 3
.‫ד‬
:‫) הוצא מהשורש את הכופל הגדול ביותר‬5
48 .‫ב‬
12 .‫א‬
.‫ג‬
63
5 3
3
.‫ה‬
x5
54
.‫ד‬
:‫משוואות מעריכיות‬
. x  y :‫ הוא‬a x  a y :‫ פתרון כללי של משוואת מעריכית מהצורה‬.1
. a x  1  a0 :‫ שכן‬x  0 :‫ הוא‬a x  1 :‫ פתרון של משוואה מהצורה‬.2
‫ ללא תלות‬a x  b x  1 :‫ שכן‬x  0 :‫ הוא‬a x  b x :‫ פתרון של משוואה מהצורה‬.3
.‫בבסיסים‬
:‫שאלות יסודיות – משוואות מעריכיות‬
:‫פתור את המשוואות הבאות‬
 25  0.2 
2x 2
1 x
 1 


 125 
1
2  32   
8
)8
2  2  16 )14
x
2x
13 x
e  e
x
3 x 1
1
 x 
e 
)13
2  6 x  6 x  2  6 x 1  227 )17
5  3x  3x1  162 )16
22 x  6  2 x  8  0 )20
e2  e x  e x 1  e  1 )19
x
4 5 3
    
9 2 2
 x 1
35 x 3  33 x  7 )6
)7
1
27     9 3 )10
3
3x  5x )11
x
x
2x
3
 
4
2 x
3x
4
9
    
3
 16 
3 x
5
 1 


 8
7 x
)9
2 x /3 2
)12
e x  2e x  3e4 )15
1 x

2
5 x  25 2
 5 x 1  145 )18
2
)23
3
6 x  4  6 x  3  0 )22
5  25x  26  5x  5  0 )21
e1 x  e1 x  e2  1 )26
e2 x  e x  2  0 )25
20
8
)24
 3 x
9 1
9 1

144
x
‫תשובות סופיות‪:‬‬
‫‪2b3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪5‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ .‬ב‪ . k .‬ג‪.‬‬
‫‪ )1‬א‪ . 2 .‬ב‪ . .‬ג‪ . .‬ד‪ )2 . 40 .‬א‪.‬‬
‫‪a‬‬
‫‪5‬‬
‫‪8‬‬
‫‪3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ . 3‬ד‪. 2 )3 .  x .‬‬
‫‪ )4‬א‪ . 18 .‬ב‪ . 75 .‬ג‪ . 9 .‬ד‪ . 3 24 .‬ה‪. x3 .‬‬
‫‪ )5‬א‪ . 2 3 .‬ב‪ . 4 3 .‬ג‪ . 3 7 .‬ד‪ . 3 3 2 .‬ה‪. x  1 )7 . x  5 )6 . x 2 x .‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪)13 . x  3 )12 . x  0 )11 . x   )10 . x  2 )9 . x  1 )8‬‬
‫‪6‬‬
‫‪2‬‬
‫‪. x  1, 2 )20 . x  1 )19 . x  2 )18 . x  1 )17 . x  4 )16 . x  4 )15‬‬
‫‪. x  3 )14 . x  1,‬‬
‫‪. x  1 )21‬‬
‫‪1‬‬
‫‪)24 . x  0,1 )23 . x  0 )22‬‬
‫‪2‬‬
‫‪. x  1 )26 . x  0 )25 . x  1, ‬‬
‫משוואות לוגריתמיות‪:‬‬
‫‪ .1‬הגדרת הלוגריתם‪ a x  b  loga b  x :‬כאשר‪. a , b  0 , a  1 :‬‬
‫לוגריתם על בסיס ‪ a‬של ‪ b‬מוגדר כחזקה שיש להעלות את ‪ a‬על מנת שיהיה‬
‫שווה ל‪ . b -‬ערך חזקה זו הוא ‪ . x‬ערך לוגריתם יכול להיות חיובי‪ ,‬שלילי או אפס‪.‬‬
‫נפתור משוואות לוגריתמיות ע"י מעבר לפי ההגדרה למשוואה מעריכית מתאימה‪.‬‬
‫‪ .2‬דוגמאות כלליות‪:‬‬
‫‪. 2  8  log 2 8  3 ‬‬
‫‪3‬‬
‫‪‬‬
‫‪. 34  81  log3 81  4‬‬
‫‪‬‬
‫‪. 102  100  log10 100  2‬‬
‫‪‬‬
‫‪. 16  4  log16 4  0.5‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ log5‬‬
‫‪ 2‬‬
‫‪25‬‬
‫‪25‬‬
‫‪. 60  1  log6 1  0‬‬
‫‪‬‬
‫‪. 52 ‬‬
‫‪ .3‬חוקי יסוד בלוגריתמים‪:‬‬
‫ב‪log a a  1 .‬‬
‫ב‪. log a 1  0 .‬‬
‫‪ .4‬חוקי הלוגריתמים‪:‬‬
‫א‪ .‬מכפלה לסכום‪. log a  x  y   log a x  log a y :‬‬
‫‪x‬‬
‫ב‪ .‬מנה להפרש‪. log a    log a x  log a y :‬‬
‫‪y‬‬
‫‪ ‬‬
‫ג‪ .‬מקדם למעריך‪. loga bn  n loga b :‬‬
‫‪145‬‬
‫‪ .5‬חזקה לוגריתמית‪. alog x  x :‬‬
‫‪a‬‬
‫‪log m b‬‬
‫‪ .6‬מעבר מבסיס לבסיס‪:‬‬
‫‪log m a‬‬
‫‪ , log a b ‬כאשר‪. a , m  0 ; a , m  1 ; b  0 :‬‬
‫‪ .7‬לוגריתם על בסיס ‪ e‬נקרא הלוגריתם הטבעי ומסומן‪. loge x  ln x :‬‬
‫שאלות יסודיות – חוקי הלוגריתמים ומשוואות לוגריתמיות‪:‬‬
‫‪ )1‬חשב ללא מחשבון את ערכי הביטויים הלוגריתמים הבאים‪:‬‬
‫ג‪.‬‬
‫א‪log 2 32 .‬‬
‫ב‪log1000 .‬‬
‫‪log 25 5‬‬
‫ו‪.‬‬
‫‪log a a 4‬‬
‫ד‪.‬‬
‫‪log8 4‬‬
‫ז‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪a a‬‬
‫ה‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪16‬‬
‫‪log 4‬‬
‫‪log a‬‬
‫‪ )2‬חשב ללא מחשבון את ערכי הביטויים הלוגריתמיים הטבעיים הבאים‪:‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪ln e 2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪e4‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪ln‬‬
‫‪1‬‬
‫‪e e‬‬
‫‪ln‬‬
‫‪ )3‬פתור את המשוואות הלוגריתמיות הבאות (שימוש בהגדרת הלוג)‪:‬‬
‫ב‪log 2 x  16 .‬‬
‫א‪log36 6  x .‬‬
‫‪log 1 x  1.5‬‬
‫ד‪.‬‬
‫‪log x 64  3‬‬
‫ה‪.‬‬
‫‪log x 25  2‬‬
‫ו‪.‬‬
‫‪log x  3x  4   2‬‬
‫ז‪.‬‬
‫‪ln x  2‬‬
‫ח‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪9‬‬
‫‪ln x  ‬‬
‫‪ )4‬חשב ללא מחשבון את ערכי הביטויים הבאים (שימוש בחוקי הלוגים)‪:‬‬
‫ב‪2log 2  log 25 .‬‬
‫א‪log6 8  log6 9  log6 2 .‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪log3 2  log3 4‬‬
‫‪3log3 6   2  log 3 12 ‬‬
‫‪ )5‬נתון‪ . log3 2  a :‬הבע באמצעות ‪ a‬את ערכי הביטויים הבאים‪:‬‬
‫א‪.‬‬
‫‪log3 16‬‬
‫ב‪log3 6 .‬‬
‫ג‪log3 24 .‬‬
‫‪146‬‬
‫ד‪. log3 1.5 .‬‬
‫‪ )6‬נתון‪ . log2 3  a , log 2 5  b :‬הבע באמצעות ‪ a‬ו‪ b -‬את ערכי הביטויים הבאים‪:‬‬
‫א‪log 2 45 .‬‬
‫ב‪log 2 60 .‬‬
‫ג‪. log 2 7.5 .‬‬
‫‪ )7‬חשב ללא מחשבון את ערכי הביטויים הבאים (חזקה לוגריתמית)‪:‬‬
‫ד‪. e2 ln 3 .‬‬
‫ב‪4log 5 .‬‬
‫ג‪eln 3 .‬‬
‫א‪6log 8 .‬‬
‫‪6‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ )8‬נתון‪ . log2 3  a , log3 5  b :‬הבע באמצעות ‪ a‬ו‪ b -‬את ערכי הביטויים הבאים‪:‬‬
‫א‪log3 50 .‬‬
‫ב‪log 2 30 .‬‬
‫ג‪log5 22.5 .‬‬
‫‪ )9‬פתור את המשוואות הלוגריתמיות הבאות (שימוש בהגדרת הלוג מספר פעמים)‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫א‪.‬‬
‫‪log x  x 2  6 x   3‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪log3 log x  x 2  6 x   1‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪log5 log 2  x 2  7   0‬‬
‫‪‬‬
‫ד‪.‬‬
‫‪log5  25x  20   x‬‬
‫‪‬‬
‫‪ )10‬פתור את המשוואות הלוגריתמיות הבאות (שימוש בחוקי הלוגריתמים)‪:‬‬
‫א‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪ln  e2 x    ln 2  x‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪2log 2  2 x  2   log 2 16  x   log 2  x  1  1‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪log5  4 x  3  log5 7‬‬
‫‪ )11‬פתור את המשוואות הלוגריתמיות הבאות (הצבת ‪ t‬וקבלת משוואה ריבועית)‪:‬‬
‫א‪log 22 x  log 2 x  2  0 .‬‬
‫ב‪3ln 2 x  ln x  2 .‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ה‪.‬‬
‫‪log 4 x  log x 4  2.5‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ ln  ex 2 ‬‬
‫‪x‬‬
‫ד‪.‬‬
‫‪log x  log x 10 x   2‬‬
‫‪ln  e2 x3   ln‬‬
‫‪ )12‬פתור את המשוואות הלוגריתמיות הבאות (הוצאת לוג משני אגפי המשוואה)‪:‬‬
‫א‪.‬‬
‫‪x log3 x  81‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪25‬‬
‫‪x‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪x ln x  e6 x‬‬
‫ד‪.‬‬
‫ה‪.‬‬
‫‪log5 x  x  1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1 ‬‬
‫‪log5 x  x  1‬‬
‫‪log 5 x  x  1‬‬
‫‪4‬‬
‫‪x‬‬
‫ו‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪  x1ln x‬‬
‫‪e‬‬
‫‪147‬‬
‫‪x log5 x ‬‬
‫‪‬‬
‫‪log 2 x 6‬‬
‫‪4‬‬
‫‪x‬‬
‫‪2 3ln x‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ x‬‬
e 2
x
:)‫) פתור את המשוואות הלוגריתמיות הבאות (בסיסים שונים‬13
.‫ג‬
5 x  8 .‫ב‬
2 x  5 .‫א‬
e x  1
.‫ה‬
ex 
1
2
.‫ד‬
:‫תשובות סופיות‬
2
1
.‫ ד‬. .‫ ג‬.3 .‫ ב‬.5 .‫) א‬1
3
2
1
. x  e2 .‫ ז‬. x  4 .‫ ו‬. x  5 .‫ ה‬. x  4 .‫ ד‬. x  27 .‫ ג‬. x  65,536 .‫ ב‬. x  .‫) א‬3
2
1
. 1  a .‫ ד‬. 3a  1 .‫ ג‬. a  1 .‫ ב‬. 4a .‫) א‬5 . 3 .‫ ג‬. 2 .‫ ב‬. 2 .‫) א‬4 . x 
.‫ח‬
e
1
1
1
. 9 .‫ ד‬. 3 .‫ ג‬. 25 .‫ ב‬. 8 .‫) א‬7 . a  b  .‫ ג‬. 2  a  b .‫ ב‬. 2a  b .‫) א‬6
2
2
2
2
1
1 a ab
1
. 1
.‫ ג‬.  
.‫ ב‬. 2b  .‫) א‬8
b
ab
2 2 2
a
. x  1 .‫ ד‬. x  3 .‫ ג‬. x  3 .‫ ב‬. x  3 .‫) א‬9
. x  6 .‫ ג‬. x  2.5 .‫ ב‬. x  0 .‫) א‬10
1 1
1
1
1
. x  3 , .‫ ה‬. x 
,10 .‫ ד‬. x  16, 2 .‫ ג‬. x  3 e2 , .‫ ב‬. x  4, .‫) א‬11
100
e
2
e e
1
1
1
1
. x  e , e .‫ ו‬. x  3 .‫ ה‬. x  16, .‫ ד‬. x  e3 , 2 .‫ ג‬. x  ,5 .‫ ב‬. x  9, .‫) א‬12
4
e
25
9
.  .‫ ה‬. x  0.693 .‫ ד‬. x  0.693 .‫ ג‬. x  1.292 .‫ ב‬. x  2.322 .‫) א‬13
. 1.5 .‫ ג‬. 4 .‫ ב‬. 2 .‫) א‬2 . 1.5 .‫ ז‬.4 .‫ ו‬. 2 .‫ ה‬.
148
:‫אי שוויונים מעריכיים‬
. 0  a  1 :‫ עבור‬x  y - ‫ ו‬a  1 :‫ עבור‬x  y :‫ הוא‬a x  a y :‫השוויון‬- ‫פתרון אי‬
:‫פתור את אי השיוויונים הבאים‬
2 4
x
x 2 1
1
4
2 x 1
)2
3
e x  3 )4
e
5x
25  5  6  5
x
x
1
1 x
3
 27
x 1
 e 2 x )3
13 x
1
1
   
7
7
)6
e2 x  2e x  1  0 )8
)1
)5
e2 x  5e x  4  0 )7
:‫תשובות סופיות‬
x
1
)5
8
x  ln 3 )4
0  x  1 )3
. x  0 )8
1
2
x  1  1  x )2 x  )1
4
3
x  0  ln 4  x )7 0  x  1 )6
:‫שוויונים לוגריתמיים‬-‫אי‬
. 0  a  1 :‫ עבור‬x  y - ‫ ו‬a  1 :‫ עבור‬x  y :‫ הוא‬loga x  log a y :‫השוויון‬- ‫פתרון אי‬
:‫השוויונים הבאים‬-‫פתור את אי‬
log6  x 2  5 x   1 )2
log 2 x  log 2  5x  20  )1
log 1 1  3x   log 1  7  x  )4
log3 x  log9 15  2 x  )3
2
2
ln x  3 )6
ln x  ln  x 2  12  )5
6
1
)8
 2
2
ln x
ln x
ln 2 x  6ln x  7 )7
:‫תשובות סופיות‬
2 3  x  4 )5 3  x 
1
1
)4 3  x  7 )3 1  x  0 , 5  x  6 )2 x  5 )1
3
2
. x  1 ‫וגם‬
1
149
e3
 x  e 2 )8
1
 x  e7 )7 0  x  e3 )6
e
:‫תירגול נוסף‬
:‫חזרה על חוקי חזקות ושורשים‬
: a n a m  a nm ,
an
 a n m :‫פשט את הביטויים הבאים לפי הכללים‬
am
a12 a 2 a 4 a3 )3
a 4 a 5 a 9 )2
a 2 a 6 )1
a 3a8
)6
a4
a 2b3a8b12
)9
a 7 b9
323334 )12
a16
)5
a7
b10b12
)8
b 2b 6b 7
26 22 )11
a8
)4
a3
b 2 b 7 b3
)7
b 5b 4
a16b 4 a10b8 a 6b12
)10
a3b5 a 2b 2 a 4
21251336
)15
2936512
21735
)14
21434
31952456
)17
530318
316
)13
314
46 7 4 7 3
)16
7 6 4 4 43
:  a n   a nm :‫פשט את הביטויים הבאים לפי הכלל‬
m
a  a 
a  a 
a  a 
 a  b  a
2 4
3 3
7 2
2 8
4 6
6 2
2 3
6 5
12
a 23b 28
 2  3 
4 5
5 7
335 240
)23
220
)26
)29
a 
a 
6 4
)20
a2
a 
2 6
)19
5
8 2
a14
3  3
3  3
3  5 3
5  5 3
5 3
2
3 2
4
2 6
31 7
2 10
11 18
 a13 
 4  )21
a 
)22
2 
3 4
)25
2 2 29
a 20  a 3   b5 
4
)28
a 30b15  b3 
3 
2 7
)24
6
)27
5
510  53 
39516
150
)18
2
)30
n
 
:  ab   a nbn ,    n :‫פשט את הבאים לפי הכללים‬
b
b
a
n
a b 
4 8 4
a b 
6 3 2
)33
an
2
 a8 
 2  )35
b 
 a 2 a 7b9 
 3 6 4  )39
b a b 
30
 a 6b10 
 3 4 5  )38
a b b 
  54 2 36 

 )42
 35  57 


2 3 
 18 39  )41
3 2 
 a 3b7 
 4  )36
 b 
2
40 20
 a b
)32
2
3
)31
4
 a5 
 4  )34
b 
3
12
 a 4b10 
 3 8  )37
ab 
20
  a 2 3 b 20 

 )40
 a 5  b 2 7 


3
3
2
 35 26 22 
 6 5 2  )43
3 2 3 
:a
n
1
a
 n ,  
a
b
n
60  33 )46
1
2
 2
   )51
 3
 4
   )50
 7
 ab  )54
 2433 
 2  )53
 32 
1


a 24b 25

 )58
  a 3 6  b 2 2 b 20 


4

5
2
3
2
5
  a 2 4 a 3b12b 4 

 )57
11 15


a b


3
 a 4 a 2b 6 

 )56
6
 ab 
8
:)‫) חשב ללא מחשבון את ערכי הביטויים הבאים (שורשים‬59
.‫ג‬
 25 .‫ב‬
49 .‫א‬

.‫ו‬
2
3
 2 
6
.‫ה‬
252
.‫ט‬
4
16
.‫ח‬

.‫יב‬
6
84
.‫יא‬
32
 24 )47
3
4
1024
32 )44
1
  )48
3
 a4 
 3  )55
b 
5
:‫פשט את הבאים לפי הכללים‬
2
 4
   )52
 5

n
23 )45
6
  )49
5
3
b
 
a
3
151

 7 128
.‫ד‬
5
243

.‫ז‬
4
 25
.‫י‬
3
2
‫יג‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪1000‬‬
‫טז‪.‬‬
‫‪2  32‬‬
‫יט‪.‬‬
‫‪16  7 8‬‬
‫‪3‬‬
‫‪‬‬
‫‪7‬‬
‫‪ 1000 ‬‬
‫יד‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪6‬‬
‫טו‪.‬‬
‫‪2  18‬‬
‫יז‪.‬‬
‫‪4  5  20‬‬
‫יח‪.‬‬
‫‪9  5 27‬‬
‫כ‪.‬‬
‫‪72‬‬
‫‪2‬‬
‫‪81‬‬
‫כא‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫‪5‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ )60‬הכנס לתוך השורש את המקדם שלפניו‪:‬‬
‫א‪.‬‬
‫‪5 2‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪3 6‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪24‬‬
‫‪2‬‬
‫ד‪.‬‬
‫‪75‬‬
‫‪5‬‬
‫ה‪.‬‬
‫‪4 300‬‬
‫‪10‬‬
‫ו‪.‬‬
‫‪34 7‬‬
‫ז‪.‬‬
‫‪45 3‬‬
‫ח‪.‬‬
‫‪2 3 20‬‬
‫‪5‬‬
‫‪ )61‬הוצא מתוך השורש את השלם הגדול ביותר‪:‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ב‪50 .‬‬
‫א‪40 .‬‬
‫‪3‬‬
‫ז‪.‬‬
‫ו‪108 .‬‬
‫ה‪250 .‬‬
‫‪5‬‬
‫‪4‬‬
‫י‪162 .‬‬
‫ט‪972 .‬‬
‫ד‪.‬‬
‫ח‪.‬‬
‫‪320‬‬
‫‪56‬‬
‫‪3‬‬
‫‪90‬‬
‫‪160‬‬
‫‪5‬‬
‫‪ )62‬חשב ללא מחשבון את ערכי הביטויים הבאים‪:‬‬
‫א‪.‬‬
‫ה‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪3‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪8‬‬
‫‪‬‬
‫‪3‬‬
‫‪814  64‬‬
‫‪3‬‬
‫‪5‬‬
‫‪‬‬
‫ו‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪32‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1.5‬‬
‫‪ 1 ‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ 25 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪343 3 100 2‬‬
‫ז‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫ד‪.‬‬
‫‪5‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ 1‬‬
‫‪2 ‬‬
‫‪ 4‬‬
‫‪1‬‬
‫‪16 4  8 3  4‬‬
‫תשובות סופיות‪:‬‬
‫‪256 )11 a 23b17 )10 a3b6 )9 b 7 )8 b3 )7 a 7 )6 a 9 )5 a 5 )4 a 21 )3 a18 )2 a 8 )1‬‬
‫‪a 4 )22 a 45 )21 a 23 )20 a 24 )19 a12 )18 3 )17 7/4 )16 40 )15 24 )14 9 )13 39 )12‬‬
‫‪b2‬‬
‫‪a b )33 a b )32 a b )31 3 )30 1 )29 3 )28 a )27 3 )26 37 )25 2 )24 a 22 )23‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a 32‬‬
‫‪a15‬‬
‫‪225 )42 5832 )41 a3b18 )40 a90b60 )39 a36b12 )38 a 20b40 )37 a 6b6 )36 8 )35 12 )34‬‬
‫‪b‬‬
‫‪b‬‬
‫‪25‬‬
‫‪27‬‬
‫‪49‬‬
‫‪25‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪64‬‬
‫‪)52  )51‬‬
‫‪)50‬‬
‫‪)49 3 )48  )47‬‬
‫‪)46 )45 )44‬‬
‫‪)43‬‬
‫‪8‬‬
‫‪16‬‬
‫‪27‬‬
‫‪8‬‬
‫‪9‬‬
‫‪729‬‬
‫‪16‬‬
‫‪36‬‬
‫‪16‬‬
‫‪5‬‬
‫‪2‬‬
‫‪152‬‬
‫‪6 3‬‬
‫‪12 6‬‬
‫‪16 32‬‬
b12
1
1
1
1
1
-2 .‫ ד‬2 .‫ ג‬- 5 .‫ ב‬7 .‫) א‬59 6 )58 5 )57 15 )56 16 )55 2 2 )54 6 )53
a
ab
b
a
ab
6
10 .‫ יד‬100 .‫ יג‬-8 .‫ יב‬ .‫ יא‬5 .‫ י‬ .‫ ט‬ .‫ ח‬- 27 .‫ ז‬16 .‫ ו‬4 .‫ה‬
.3 .‫ כא‬6 .‫ כ‬2 .‫ יט‬3 .‫ יח‬20 .‫ יז‬8 .‫ טז‬6 .‫טו‬
.3
32
.‫ח‬
25
3072 .‫ז‬
5
4
567 .‫ו‬
48 .‫ה‬
3 .‫ד‬
6 .‫ג‬
54 .‫ב‬
50 .‫) א‬60
. 3 4 2 .‫ י‬3 5 4 .‫ ט‬2 5 5 .‫ ח‬2 3 7 .‫ ז‬3 3 4 .‫ ו‬5 10 .‫ ה‬3 10 .‫ ד‬8 5 .‫ ג‬5 2 .‫ ב‬2 10 .‫) א‬61
.
1
10
.‫ז‬
.‫ו‬
2
49
27
.‫ה‬
4
32
1
.‫ ד‬125 .‫ג‬
.‫ב‬
243
8
4 .‫) א‬62
:‫משוואות מעריכיות‬
:)‫פתור את המשוואות הבאות (שימוש בחוקי החזקות היסודיים‬
25  5x
2
x
 5x )12
4x  2x1 )13
2
3x
6x
2
36 x1
2 x  32
)1
32 x  27
)2
5x  25x1  625
)3
4 
8
)4
3x  81x2  92 x1
)5
100x  10000 x1 )7
2
4
 1 )8
 3  27   9 )9
 3 )14
4
x
5
10 x 10 x   100 )15
x
2x
125
3 

x3 3
1
)10

25
2  8
x 3x
x2
3x

)16
27
3
4
x
 2 )11
x1 2
32
x
5
3
4
x
1
2
)6
:)‫פתור את המשוואות הבאות (הבסיס הוא שבר‬
3
8 
2
2
4 
7
 3
27  
5
2 x 1
2 x2 9 x
5
49  
7
x 1
2
 
3
7
 
2
5
 
 3
3 x2  x
x2
 27 )25
3 x
 49 )26
2 x 7
7
 
5
 125 )27
46 x
 25 )28
16   2
3 x 5
8
2
8

x 5 3
1
 
4
3 x2
4  1
 x 4   )22
4
2 
3x
4
2
)23
  
25
5
3
27  
2
153
3x 
)21
2
3 x
x
x 8
4 x1
 8 )24
1
)17
27
x
1
x
   4  8 )18
2
1
27   
9
x 2
x
8
1
 
x
32  2 
)19
4 x 1
)20
:)‫פתור את המשוואות הבאות (שימוש בחוקי שורשים‬
m
. n a m  a n :‫תזכורת‬
x 1
5x  25 )41
3
8x   2  32 x   5 1024 )35
27  x 81  3x )42
5
100  10 x
x
2
3
 10, 000 )43
x
 1 
9     x 3 )44
 27 
32  2 x
x
2
4 x
1
)45

8
1 
 
9 
 5   125 )30
x
2x
)36
256 
4  8x
3
22 x 1  4 x  64  256 )31
x
3  5 27 x  1 )37
102 x 1  1000  3 10 x )38
81 3  27
8
4
 1 )46
x
8
2 x
3x 2  81 )29
x
4
54 x 3 
x9
)39
9
27

x
 3x 2 
125  5x 1
25x

1
)32
9
5
3 x
5
)33
x
25x 2
)40  1   7  343x  7 x )34
125
 49 
:)‫פתור את המשוואות הבאות (מכפלת בסיסים שונים‬
3x2  20  405  2 x )50
2x  5x  1000 )47
 7 106 )54
5  3x4  2187  5x2 )51
4  3x  2x  144 )48
3x1  2x2  5x3  0.02 )55
2 x 1  3x 2  7 x  392 )52
5x 1  3x 2  125 )49
3x  2x  729 103  5 x )53
7x
x
2
1
10x
2
4
:)‫פתור את המשוואות הבאות (משוואות עם פעולות חיבור וחיסור‬
2 
3 x 1 2
 64
x
1
3
 3.75 )70
3x2  3x2  240 )63
3x  3x  18 )56
17
)64
16
5x  6  5x  875 )57
2 x 3  2 x 1 
32 x  31 x  4 )71
252 x  512 x  124 )72
3 x 1
3
 2178  27
468  6  2
x
2
8x  2  3x 1  410  4
3
10
x 1
2
x 1
x2
1
x
2
 6 10  5
3
x 1
x2
x 1
3
)73
)74
 6 x 3 )75
4
x 1
)76
x 2
3
x 1
81
x 3
3
4 x 3
 18  3
3 x2
5
 54 )65
 245 )66
 3 125  28 )67
x
22 x1  4x2  66 )68
16
x
1
2
4
2 x
154
1
2
 14 )69
2x  4  2x  80 )58
7 10x  10x  600 )59
7  3x  2  3x 
5
)60
27
8x  8x2  1040 )61
2 x  2 x5  1056 )62
:)‫פתור את המשוואות הבאות (משוואות עם פעולות חיבור וחיסור‬
7x
8
 x
 3 )90
x
7 4 7 5
36 x  7  6 x  6  0 )84
2x2  2 x  8.5 )77
16x2  96  4x1  1 )85
3x  32 x  8 )78
8
77
)91
3  x
9 4
81  16
2  24 x1  3  4x  1 )86
5x  52 x  26 )79
41.5 x1  3  26 x3  56 )87
7 x4  7 x  350 )80
x
3x  2
6
3x
)92


32 x  3x  2 3x  2 3x  1
25  2 x  68 5  2 x  2  82
)93

2x  2
2x  3
2
23
1
 
3
x 3
1
x2
2
1
 3  23
x 1
1
 26   
 3
 1 )88
1
x
4
22 x  7  2x  8  0 )81
9x  36  3x  243  0 )82
 3 )89
16x1  65  4x  4  0 )83
:‫פתור את מערכות המשוואות הבאות‬
x 1
y 1

2  3  17
)100

x 1
y
3

2

3

21


x 3 y

8
2
)97
 2 x7 y
3

81


 y  x 1
)94
 x
y
3  3  36
x
y

3  7  20
)101
 x
y

9  3  49  582
3 x 7 y

7
7
)98
 2 x 12 y
 256

2
x  y  3  0
)95
 x
y
2  2  2
2 x  5 y  29

)102

x
y

3  4  2  25  1298
2 x  3 y  5

)99
 x
y

2  3  1
2 x  1  y
)96

x
y2
4  3  3  15
:‫השוויונים המעריכיים הבאים‬-‫פתור את אי‬
. a x  a y  x  y :‫ אז‬0  a  1 :‫ ואם‬a x  a y  x  y :‫ אז‬a  1 :‫ אם‬:‫תזכורת‬
3x2  27 )104
2 x  16
)103
)106
16 x  8x1
)105
2 16 x  32 x  1 )108
27 x  3x  3x3
)107
0.36 x1  0.313 x )110
1
64 x     1024
2
)109
0.6x 1  0.6x
)111
 1 
52 x1   
 25 
x
2
2
x
 1 
 
 32 
x 1
1
 
4
3 2 x
)112
155
2
1
x2
x
 1 
x2

  5 )114
 625 
4
27   
9
2
81  
3
3 x 1
2 x2 3 x
2
 8 
3
 3
 
 2
1
x1
   27  3
9
2 x
 1 


 100 
)116
 5
4  

 2 
4 x
 16 )118
1
 3x 2  27 )120
9
1  125  5x  5x
2
1
)113
x 2 1
 10001 x
2 x 1
 25 
 5 
 16 
125  3 5x  58 x
3
)115
x
2
)117
)119
)122
1  42 x1  2x1  128
)121
0  25x  5x  5  625x )124
0  8x  2x  16
)123
10 x 2
 3  9  0 )126
9
16x  4x  12  0
)125
2 x  3  24  x  2
)127
3
9x 
2
16
 2  x 6
2 x    5x )128
5
7
2 x 5
x2
 343
)129
:‫תשובות סופיות‬
2
)10 - 2.5 )9 2 )8 - 2 )7 -40.5 )6 - 10 )5 1.75 )4 2 )3 1.5 )2 5 )1
3
2
1
- 0.5 )18 -3 )17 1 , - )16 1 , -2 )15 7 , -1 )14 0.5 , 1 )13  )12 1 , )11
3
4
2
1
2
2
)23 2 )22 - 4 )21 2 )20 0.8 )19
, -3 )28
, -4 )27 . )26  )25 - 1 )24
3
3
3
2
5
1
2
8
3.75 )38
)37 - 1.44 )36 )35  )34 6.5 )33 - )32 2 )31 2 )30 6 )29
17
6
9
15
2
2 )48 3 )47 1 , -3 )46 -2 )45  )44 3 , -1 )43 4 , -1 )42 -2 )41 -3 )40 -8 )39
3
1
-3 )60 2 )59 4 )58 3 )57 2 )56 1 )55  2 )54 3 )53 2 )52 3 )51 2 )50 2 )49
1
1
1
1
4
)73
)72 1 )71 0 )70
)69 .1 )68 0 )67
)66 6 )65 -3 )64 3 )63 5 )62
)61
3
2
2
4
3
.2,3 )82 3 )81 -3 , -1 )80 2 , 0 )79 2 )78 1 ,  3 )77 2 )76 0 )75 2 )74

1
)91 1 )90 -4 )89 - 6 , -3 )88 1 )87 -1 )86 - 2.5 )85 -1 , 0 )84 - 2 , 1 )83
2
156
1,1 )99  2, 1 )98  9, 2  )97 1,1 )96  2,1 )95  2,3 )94 3 )93 1 )92
x  4 )103  2,2  , 4.26,1.418  )102  3,1 ,  3.182,1.318 )101  2,1 )100
x  1 , x  0.25 )108 x  3 , x  1 ) 107 x  0.25 )106 x  3 )105 x  5 )104
1
1
 x  1 )113 x  )112 x  1 , x  2 )111 x  2 )110 x  2 )109
4
9
9
1
1
1  x  )119 x  4 , x  )118 x  1.5 )117 x  1 )116
 x  1 )115
8
2
2
3
 x  2 )121 4  x  1 )120
4  x  1 )123 3  x  1 , x  2 )122
5
. x  1 , x  2 )129 x  6 )128 x  3 )127 0  x  2 )126 x  1 )125 x  1)124
x  4 , x  0 )114 
:‫הגדרת הלוגריתם ומשוואות לוגריתמיות יסודיות‬
:‫חשב את ערכי הלוגריתמים הבאים‬
.) b  0 , a  0  1 :‫ (כאשר‬a  b  loga b  x :‫ הגדרת הלוגריתם‬:‫תזכורת‬
x
log5 5 )3
log3 81 )2
log 2 8
)1
log125 5 )6
log32 8 )5
log9 243
)4
)8
log 49 7
)7
log 1 16 )9
log32 64
2
log 1
4
log 1
3
3
4
log 1
1
)12
8
1
)15
9
3 )18
27
log
5
1
3
25
log 0.01
125 )21
10
)24
4
1000
log 1 625 )11
log 1 27 )10
25
3
27
)14
125
3
log 5
log 3 7
log
5
log
157
3
9
)13
4
1
)17
343
log 3 5 125 )16
81 )20
log 1 5 128 )19
3
1
27
log 2
8
100
)23
10
log
10
)22
1000
:‫ במשוואות הלוגריתמיות הבאות‬x ‫מצא את‬
log6 x  1 )27
log 2 x  5 )26
log3 x  2 )25
log7 x  0 )30
log 4 x  2 )29
log3 x  3 )28
1
)33
3
log 3 x  4 )32
log 1 x  2 )31
x  2  0 )36
7 log128 x  3  0 )35
log 1 x 
8
log
5
5
3
4log9 x  2  0 )34
:‫ במשוואות הלוגריתמיות הבאות‬x ‫מצא את‬
log x 25  2 )39
log x 6  1 )38
log x 3  1 )37
log x 64  3 )42
log x 625  4 )41
log x 64  2 )40
log x
1
 4 )45
81
log x
4
 2 )44
9
log x
1
 3 )43
8
:)‫פתור את המשוואות הלוגריתמיות הבאות (שימוש בהגדרת הלוגריתם‬
log5  6  7 x   3 )48
log 64  x  3 
1
)51
3
log0.2  2 x  1  2 )54
log 2  x  5  4 )47
log5  x  1  1 )46
1
)50
2
log6  3x  2   0 )49
log 4  4 x  1 
log
3
 7 x  2  2 )53
log
5
 3x  1  4 )52
2 

log3  x 2  x   3 )57
9 

log6 13x  x 2   2 )56
log 4 10 x  x 2   2 )55
log3  x  2 x 2  28  3 )60
log 2  x 2  6 x  13  3 )59
log 2  x 2  6 x  10   1 )58
log7  x 4  80   0 )63
log3  x3  44   4 )62
log 4  x3  11  2 )61
x2  5
log 2
 2 )66
x
log3
20 x  68
 2 )65
5x  2
log 4
3x  1
 1 )64
x2
log x  2 x 2  6 x  5  2 )69
log x  3x 2  5 x  3  2 )68
log x  2 x 2  9 x   2 )67
log x2  4 x  5  2 )72
log x  2 x 2  x  6   2 )71
log x  4 x 2  3x   2 )70
158
log
log
x 1
x
2
 x  2   2 )75
 4  3x  3x   2 )78
2
x2 3
log
8
log x    4 )74
x
log x3  3x  11  2 )73
 x  5  4 )77
log 4 10 x  x 2   2 )76
x 3
:)‫פתו ר את המשוואות הלוגריתמיות הבאות (שימוש בהגדרת הלוגריתם מספר פעמים‬
2log9  log5  2 x  1   1 )80


log 1 log3  x 2  7.5 x   
1
)82
2
log 2  log3  x  3  30   5 )81
log 25  2  5x  2   x  2 )84

1 

log 2  log 0.25  x 2     1 )83
4 


16

log3  log 2 x   1 )79


log5 4  log 6 3  log 4  x 2  15  1 )86
 

log5 log3 log3  5 x 2  7   0 )85
:)‫פתו ר את המשוואות הלוגריתמיות הבאות (מתקבלת משוואה מעריכית‬
log3  5  2 x  1  4 )88
log 2  5x  3  7 )87
log5  5x  120   x  2 )90
log 2 12  2 x   x  1 )89
log9 10  3x  9   x )92
log 4  5  2 x1  16   x )91
log 4 17  4x   x  2 )94
log5  30  5x   x  3 )93
log 2  5  2x 1  1  2 x  4 )96
log5  49  5x  120   2 x  1 )95

x
1

3log 2 9  2 3  1  15  2 x )98
log8  3  23  83 x   6 x  1 )97
:‫פתור את המשוואות הלוגריתמיות הבאות‬
‫ והחזר את ההצבה‬t ‫ פתור משוואה עבור‬, log a x  t :‫ היעזר בהצבה של‬:‫הדרכה‬
.‫ עפ"י הגדרת הלוגריתם‬x ‫למציאת‬
 log2 x 
2
 2  log 2 x  15  0
)100
6
1
log 7 x
)102
log 7 x 
159
 log3 x 
2
 16
2   log 4 x   5  log 4 x  3
2
)99
)101
5  log 64 x  1
6
)104
12
2

3
log3 x  1 log3 x
)103
log16 x  log16 x  2  2
)106
log3 x  log3 x  2
)105
 log64 x 
2
 log3 x 
2

 log3 x 
2
 27  3
)107
:‫תשובות סופיות‬
6
1
1
)8
)7 )6 0.6 )5 2.5 )4 1 )3 4 )2 3 )1
5
2
3
8
7
1
-2.5 )22 -0.9 )21  )20  )19  )18 -9 )17 .9 )16 6 )15 - 3 )14 -2 )13
9
15
12
81
1
1
1
0.5 )33
)32 9 )31 1 )30 . )29
)28 6 )27 32 )26 9 )25  )24 - 0.1 )23
625
16
27
8
1
1
1
)45 1.5 )44
)43 4 )42 5 )41 8 )40 5 )39
)38 3 )37 0.2 )36 8 )35 3 )34
3
2
6
1
4,9 )56 2,8 )55 12 )54
)53 8 )52 1 )51 0.25 )50 1 )49 -17 )48 11 )47 4 )46
7
1
1 1
- 1,5 )66 2 )65 -9 )64 3 )63 5 )62 3 )61 1,  )60 1,5 )59 4,2 )58 ,  )57
2
3 9
.-1 )77 8,2 )76 3 )75 2 )74 5 )73 1 )72 2 )71  )70 5 )69 1.5 )68 9 )67
1.5 )12 - 2 )11 -3 )10 -4 )9
7 )86 2 )85 -2 )84 
1
1
)83 - 6,13.5 )82 6 )81 63 )80 8 )79 1,  )78
2
2
-3,-1 )96 0.974 ,1 )95 2,0 )94 1,2 )93 2,0 )92 1,3 )91 1 )90 2 )89 4 )88 3 )87
3
3,9 )103
1
1
1
1
1
,343 )102 , 64 )101
,8 )100
,81 )99 -12,- 3 )98  )97
49
2
3
32
81
1
. , 27 )107 2 )106 3 )105 4,8 )104
27
160
:‫חוקי הלוגריתמים ומשוואות לוגריתמיות‬
:‫תזכורת – חוקי הלוגריתמים‬
log a x  log a y  log a  x  y 
log a x  log a y  log a
x
y
log a  x   n  log a x
n
:‫חשב את ערכי הביטויים הבאים‬
log 2 10  log 2 6.4
)3
log8 4  log8 16
)2
log3 6  log3 1.5
)1
log 2 768  log 2 6
)6
log 4 192  log 4 3
)5
log5 150  log5 6
)4
log0.25 80  log0.25 5
)9
log0.2 2  log0.2 10
)8
log81 120  log81 40
)7
3log3 6  log3 3.375 )12
log 4 1.6  2log 4 10 )11
2log6 2  log6 9 )10
log 4 24  log 4 5  log 4 10  log 4 3 )14
log3 18  log3 6  log3 4 )13
log6 10  log6 5  log6 288  log 6 4 )16
log5 50  log5 20  log5 2  log 5 4 )15

1
5
1
 log 1  log 1 2   log 1 10  log 1 8 )18
2 5 2
3 5
5 
5
1
log 3 25  2log 3 2  log 3 60 )17
2
1
 log 7 81  2log 7 6  log 7 84 )20
4
1
1
3
log 3 2 6  log 3 2 3  log 3 2 4 )19
2
2
2
:‫חשב את ערכי הביטויים הבאים‬
k  log a a k :‫ הפוך את המספרים השלמים לביטוי לוגריתמי לפי‬:‫טיפ‬
.‫וחבר אותם לביטויים הנוספים לפי חוקי הלוגריתמים‬
. 3  log2 2  log 2 8 :2 ‫ לביטוי לוגריתמי על בסיס של‬3 ‫ נהפוך את‬:‫דוגמא‬
3
log 7 4  log 7 8
)23
log 7 2
log 4 125
)22
log 4 5
log 3 16
)21
log 3 8
log 7 5  log 7 3  4
)26
log 7 225  log 2 256
log 2 5  log 2 2  1
)25
log 2 200  3
log3 6  2
)24
log3 108  log3 2
log 4 18  log 4 2  log 4 36
)28
2log 4 6  3log 4 8  4
2  3log 5  log 50
)27
1  log128  5log 2
2  2log3 4  log3 8 89
4  log3 0.01  2log3 18
)29
161
:)10 ‫חשב את ערכי הביטויים הבאים (הלוגריתם לפי בסיס‬
log 8
)32
log 8
log 8
)31
log16
log 36  0.5log 6
)35
log12  log 2
log 72  log 8
)34
log 27
log 27
)30
log 9
log 24  log 3
)33
log 2
1  log 5
)36
log 2  2 log 5
:)10 ‫) הוכח את נכונות השוויוניים הבאים (לפי בסיס‬37
log125  1  log 2
1
log 5  1  log 2
2  log 25  2log8
6
log 3 16
log 9  2log 5  log 4
2
log10  log 2  log 6
.‫א‬
.‫ב‬
.‫ג‬
:)‫פתור את המשוואות הבאות (איחוד ביטויים באמצעות חוקי הלוגריתמים‬
log15 x  log15  x  2   1 )39
log 4 x  log 4  x  6   2 )38
log35  x  8  log35  x  6   1 )41
log 2 x  log 2  x  3  2 )40
log3  x  105  log3  x  1  3 )43
log 2  x  14   log 2 x  3 )42
log 2  2 x  8  2  log 2  5  x  )45
log 2  3x  4   log 2  x  2   1 )44
log 2 11x  4   log 2  2 x  1  log 2  2 x  3 )47
log3  x 2  11  1  log3  2 x  1 )46
log5  30 x  9   log5  4 x  5  log5  3x  2  )48
2log5  x  1  log5  2 x  3.5  log5 x )49
log 2  x  4   log 2  x  2   log 2  x  3  3 )50
log 7 12 x  35
 1 )51
2 log 7 x
162
:)‫פתור את המשוואות הבאות (שימוש בהגדרת הלוגריתם וקבלת משוואה מעריכית‬
log 2  5x  19   3  log 2 8  5x  )53
log3  2x  2   log3  2 x  14   2 )52
log3  25x  8  2  x log3 5 )55
1   x  2  log3 2  log3  4 x  32  )54
x log 2 4  log 2  2x  28  x  3 )57
log3  9x3  1  x  5  log3  3x3  1 )56
:)‫פתור את המשוואות הבאות (פתיחה באמצעות חוקי הלוגריתמים‬
log 4 16 x   log 4  64 x   12 )59
log3 x  log3  3x   6 )58
x
 2 )61
8
log 2  32 x   log 2 128x   48 )60
16
 log 4  4 x  )63
x
 27 
log3    log3 81x   10 )62
 x 
 16 
log 2 x 2  log 2 8 x   log 2   )64
 x
log 2 x  log 2
log 4 x 2  log 4
 log3 3x 
2
 log3 3x2  1 )65
 81 
log3  27 x3   log3  3x 2   log3    3 )67
 x
 log5 25x 
2
 log5 25 x 2  1 )66
 125 
2log5 x  log5  2   2 )69
 x 
 x3 
 x 
log 2    log 2  32 x 2   log 2 
  2 )68
 128 
 2
 343 
log 7  2 
 x   1  0 )71
2
 log 7 x  4
 125 
log5 x 2  log5  2   2 )70
 x 
:‫תרגילי הבעה – חוקי הלוגריתמים‬
:‫ את הביטויים הבאים‬a ‫ הבע באמצעות‬. log 2 7  a :‫) נתון‬72
log 2 14 .‫א‬
log 2 49 .‫ב‬
:‫ את הביטויים הבאים‬a ‫ הבע באמצעות‬. log3 5  a :‫) נתון‬73
log3 125 .‫א‬
log3 0.2 .‫ב‬
163
‫‪ )74‬נתון‪ . log 24 6  a :‬הבע באמצעות ‪ a‬את הביטויים הבאים‪:‬‬
‫א‪log 24 2 .‬‬
‫ב‪log 24 3 .‬‬
‫‪ )75‬נתון‪ . log 4  a :‬הבע באמצעות ‪ a‬את הביטויים הבאים‪:‬‬
‫א‪log16 .‬‬
‫ב‪log 2 .‬‬
‫ג‪log8 .‬‬
‫‪ )76‬נתון‪ . log3 5  b , log3 6  a :‬הבע באמצעות ‪ a‬ו‪ b -‬את הביטויים הבאים‪:‬‬
‫א‪log3 30 .‬‬
‫ב‪log3 1.2 .‬‬
‫ג‪log3 150 .‬‬
‫‪ )77‬נתון‪ . log4 5  b , log4 3  a :‬הבע באמצעות ‪ a‬ו‪ b -‬את הביטויים הבאים‪:‬‬
‫א‪log 4 0.12 .‬‬
‫ב‪log 4 2.4 .‬‬
‫‪ )78‬נתון‪ . log7 5  b , log7 8  a :‬הבע באמצעות ‪ a‬ו‪ b -‬את הביטויים הבאים‪:‬‬
‫א‪log 7 40 .‬‬
‫ב‪log7 320 .‬‬
‫‪ )79‬נתון‪ . log5 2  b , log5 3  a :‬הבע באמצעות ‪ a‬ו‪ b -‬את הביטויים הבאים‪:‬‬
‫א‪.‬‬
‫‪log5 6‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪log5 3 72‬‬
‫‪ )80‬נתון‪ . log8 3  b , log8 10  a :‬הבע באמצעות ‪ a‬ו‪ b -‬את הביטויים הבאים‪:‬‬
‫א‪log8 0.03 .‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪10‬‬
‫‪27‬‬
‫‪5‬‬
‫‪log8‬‬
‫‪ )81‬נתון‪ . log3 8  b , log3 7  a :‬הבע באמצעות ‪ a‬ו‪ b -‬את הביטויים הבאים‪:‬‬
‫א‪.‬‬
‫‪64‬‬
‫‪343‬‬
‫‪log 3‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪49‬‬
‫‪512‬‬
‫‪log 3 4‬‬
‫‪164‬‬
: alog b  b :‫חשב את ערכי הביטויים הבאים באמצעות הנוסחה‬
a
3
1
 
7
3
log
22log2 3 )86
10log 2 )85
0.24log0.24 6 )84
5log5 12 )83
2log2 3 )82
32log2 3 )91
8log2 3 )90
27log3 2 )89
9log3 4 )88
33log3 4 )87
5
49
log5 64
)96
81
5
1
8
log
log 2 243
9
)101  
3
3log
2
8
5
)106
)95
3
log3 16
)94
log36 4
)93
125 log5 3 )92
64log2 5 )98
3log9 2 )97
32log3 6 )103
51log5 2 )102
6
4
)100
5log125 8 )99
271log3 2 )105
4
log 4 9
2
)104
:‫תשובות סופיות‬
1 )14 3 )13 6 )12 2 )11 2 )10 - 2 )9 1 )8
0.5 )25 1 )24 5 )23 3 )22
1
)7 7 )6 3 )5 2 )4 6 )3 2 )2 2 )1
4
4
)21 - 2 )20 10.5 )19 -1.5 )18 - 2 )17 -2 )16 3 )15
3
4
)34 .3 )33 .2 )32 .0.75 )31 1.5 )30 0.5 )29 2 )28 1 )27 0.5 )26
3
-0.25 ,1 )47 2,4 )46 2 )45  )44 3 )43 2 )42 13 )41 4 )40 5 )39 8 )38
.1 )36 .2.5 )35
.  )56 0,1.292 )55 2,3 )54 1 )53 4 )52 5,7 )51 8 )50 0.5 )49
2,
1
1
)64 2 )63 )62
16
9
1 1
,
)48
3 4
1
1
1
4 , 6 )59 9 ,
)58 2 )57
13 )60
2
4
27
1
1
1
, 3 )65
)68 )67 0.2 )66
5 )69 1 ,
4
3
9
2,4 )61 2 ,
49 , 76 )71 5 ,  5 )70
3a  1
1 a
.‫ב‬
.‫) א‬74 a .‫ ב‬3a .‫) א‬73 2a .‫ ב‬a  1 .‫) א‬72
2
2
2a  b .‫ ב‬a  b .‫) א‬78 a  1  b .‫ ב‬a  2b .‫) א‬77 a  2b .‫ ג‬a  b .‫ ב‬a  b .‫) א‬76
2a  3b
a  3b
2
ab
b  2a
3 )82
.‫ ב‬2b  3a .‫) א‬81
.‫ב‬
.‫) א‬80 b  a .‫ב‬
.‫) א‬79
4
5
3
2
2
1
)92 243 )91 27 )90 8 )89 16 )88 64 )87 9 )86 2 )85 6 )84 12 )83
27
1
2 )97 4 )96 27 )95 4 )94 4 4 )93
)101 0.25 )100 2 )99 56 )98
81
2
216 )105 3 )104 1.5 )103 10 )102
.9
)106
25
1.5a .‫ ג‬0.5a .‫ ב‬2a .‫) א‬75
165
:‫מעבר מבסיס לבסיס ומשוואות לוגריתמיות‬
:‫חשב ללא מחשבון את ערכי הביטויים הבאים‬
. a, m  0  1 , b  0 , log a b 
log m b
:‫תזכורת‬
log m a
log 2 5  log 25 4 )2
log3 6  log6 3 )1
log0.1 5  log 25 100 )4
log 27 4  log 2 3 )3
log5 8  log7 25  log 2 49 )6
log 3 7  log
log81 49  log32 3  log7 2 )8
log 4 169  log9 64  log13 243 )7
343
9 )5
:‫הוכח את השוויוניים שלפניך‬
1
log 6  log 2 6  3 )10
8
log 7 25  log5 7  2 )9
log3 8  log5 3  log 2 5  3 )12
log 4 25  log5 4  2 )11
log16 3  log5 4  log3 25  1 )14
log3 5  log5 8  log3 2  log 2 5  log3 40 )13
log a b  logc a  logb a  logc b  log c ab )16
log 2 25  log5 9  log81 2  1 )15
:‫פתור את המשוואות הבאות‬
log81 x  log3 x  5 )18
log 2 x  log8 x  4 )17
log3 x  3log 27 x 2  3 )20
5log5 x  log 1 x  11 )19
log5 x  log125 x  3 )22
log 2 x  4log16 x  8 )21
 x 7
log3  81x   log 27    )24
9 3
log 2 8x   log16 x  7 )23
log x 2  log 2 x  2 )26
 4
log 2  32 x 2   log8  3   12 )25
x 
4  log x 5  3  2  log 25 x )28
log x 3  6log 27 x  1 )27
log6 16 x  3  log x 5 6  2 )30
log3  6  x   log x 3  2 )29
log 2  4 x   log8 x 4  3.5 )32
log5 x  4.5  log5 x 125 )31
25
3
166
‫‪log x 4  3log 4 x 16  4 )33‬‬
‫‪1 4‬‬
‫‪log x  27 x   log81x     0 )34‬‬
‫‪3 5‬‬
‫‪2log 4 x 8  log x 16 x   9 )35‬‬
‫‪ 6 x   log36 x  4 )36‬‬
‫‪2‬‬
‫‪5 )37‬‬
‫‪25 x‬‬
‫‪  2  log‬‬
‫‪2‬‬
‫‪log x 5  log5 x  5 x‬‬
‫תרגילי הבעה – נוסחת המעבר בין בסיסים‪:‬‬
‫‪ )38‬נתון‪ . log 2 5  a :‬הבע באמצעות ‪ a‬את ערכי הביטויים הבאים‪:‬‬
‫א‪.‬‬
‫‪log5 2‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪log 4 5‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪log16 5‬‬
‫‪ )39‬נתון‪ . log 4 6  a :‬הבע באמצעות ‪ a‬את ערכי הביטויים הבאים‪:‬‬
‫א‪.‬‬
‫‪log 2 3‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪log32 36‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪log 216 96‬‬
‫‪ )40‬נתון‪ . log3 5  a :‬הבע באמצעות ‪ a‬את ערכי הביטויים הבאים‪:‬‬
‫א‪.‬‬
‫‪log3 15‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪log15 3‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪log9 25‬‬
‫‪ )41‬נתון‪ . log 2  a :‬הבע באמצעות ‪ a‬את ערכי הביטויים הבאים‪:‬‬
‫א‪log80 .‬‬
‫ב‪log8 40 .‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪log80 2000‬‬
‫‪ )42‬נתון‪ . log5 6  a :‬הבע באמצעות ‪ a‬את ערכי הביטויים הבאים‪:‬‬
‫א‪.‬‬
‫‪log36 30‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪log 216 180‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪log 1 125‬‬
‫‪6‬‬
‫‪167‬‬
‫‪x‬‬
‫‪3  log‬‬
‫‪ )43‬נתון‪ . log 2  0.3 :‬חשב את ערכי הביטויים הבאים‪:‬‬
‫א‪log 2 100 .‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪log8 40‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪log 1 5‬‬
‫‪4‬‬
‫‪)44‬‬
‫‪1‬‬
‫א‪ .‬הוכח כי לכל ‪ a, b  0  1‬מתקיימת הטענה הבאה‪:‬‬
‫‪logb a‬‬
‫‪b‬‬
‫ב‪ .‬נתון‪ . log a 5  b :‬הוכח כי מתקיים‪:‬‬
‫‪logb 5‬‬
‫‪. log a b ‬‬
‫‪. log a b ‬‬
‫ג‪ .‬נתון‪. 2  log3 a  log(bc ) 3  1 :‬‬
‫הוכח כי לכל‪ a, b, c  0  1 :‬מתקיים‪. a2  b  c :‬‬
‫פתור את המשוואות הבאות (הוצאת לוג משני אגפים)‪:‬‬
‫‪xlog2 x  16 )45‬‬
‫‪xlog3 x  3 )46‬‬
‫‪x1log3 x  729 )47‬‬
‫‪x3log5 x2  5 )48‬‬
‫‪x2log3 x8  81x )49‬‬
‫‪x‬‬
‫‪)50‬‬
‫‪8‬‬
‫‪x93log2 x ‬‬
‫תשובות סופיות ‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪)5 - 1 )4‬‬
‫‪)3 1 )2 1 )1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪, 27 )24‬‬
‫‪, 16 )23‬‬
‫‪, 125 )22 4 )21‬‬
‫‪243‬‬
‫‪128‬‬
‫‪125‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪, 5 )28‬‬
‫‪, 55 )31 0.2 ,3 )30 2 )29‬‬
‫‪)32‬‬
‫‪625‬‬
‫‪5 5‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪, 66 )36‬‬
‫‪, 4 )35‬‬
‫‪ )38 3‬א‪ .‬ב‪.‬‬
‫‪)37‬‬
‫‪3‬‬
‫‪a‬‬
‫‪36‬‬
‫‪25‬‬
‫‪128‬‬
‫‪2a  1‬‬
‫‪1‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ג‪ )41 a .‬א‪ 3a  1 .‬ב‪.‬‬
‫‪ )40‬א‪ a  1 .‬ב‪.‬‬
‫‪3a‬‬
‫‪a 1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪7‬‬
‫‪1‬‬
‫‪3,‬‬
‫‪ )43‬א‪ 13 .‬ב‪ 1 .‬ג‪)46 0.25 ,4 )45 . 1 .‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪6‬‬
‫‪9‬‬
‫‪1‬‬
‫‪. 8 , 3 )50‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3 )20 25 )19 81 )18 8 )17 0.1 )8 15 )7 12 )6 2‬‬
‫‪168‬‬
‫‪1‬‬
‫‪, 3 )27 2 )26 0.07 ,4 )25‬‬
‫‪3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪,2‬‬
‫‪.3 )34 4 )33‬‬
‫‪4 2‬‬
‫‪a2‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a‬‬
‫‪ )39‬א‪ 2a  1 .‬ב‪ 0.8a .‬ג‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪3a‬‬
‫‪4‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1.5‬‬
‫‪2a  1‬‬
‫‪a 1‬‬
‫‪a3‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪ )42‬א‪.‬‬
‫‪a‬‬
‫‪3a‬‬
‫‪2a‬‬
‫‪3a  1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪3,‬‬
‫‪)49 3 5 , )48 9 ,‬‬
‫‪)47‬‬
‫‪81‬‬
‫‪5‬‬
‫‪27‬‬
‫‪‬‬
:‫שוויוניים לוגריתמיים‬-‫אי‬
log5  x  2   1 )2
:‫השוויוניים הבאים‬-‫פתור את אי‬
log 4  x  3  0 )1
log  x  4   log 10  2 x  )4
log 1  x 2  3  log 1  x  5 )6
3
3
log0.5  3  x   2 )3
log 2  x  2  log 2  2 x  3 )5
log 2  x 2  3x   2  0 )8
log 4
x3 1
 )10
x2 2
log 24 x  3log 4 x  2  0 )12
1 

log 1  x 2  x   1 )7
2 
2 
9

log 2  x 2    0 )9
16 

log 2
x 5
 1 )11
x2
:‫תשובות סופיות‬
1  x  2 )6 x  5 )5 2  x  5 )4 x  1 )3
2  x  7 )2 3  x  4 )1
5
3 3
5
1
1
  x   ,  x  )9 x  1 , x  4 )8   x  0 ,  x  1 )7
4
4 4
4
2
2
. 0  x  4 , x  16 )12 9  x  2 )11 2  x  7 )10
169
‫פרק ‪ - 7‬חשבון דיפרנציאלי‪:‬‬
‫פונקציות מעריכיות‪:‬‬
‫הגדרות כלליות‪:‬‬
‫להלן תיאורים גרפיים של פונקציה מעריכית כללית מהצורה‪f  x   a x :‬‬
‫עבור‪ a  1 :‬ו‪: 0  a  1-‬‬
‫תכונות כלליות‪:‬‬
‫‪ .1‬הפונקציות מוגדרות לכל ‪. x‬‬
‫‪ .2‬הפונקציות תמיד חיוביות‪.‬‬
‫‪ .3‬הפונקציות תמיד חותכות את ציר ה‪ y -‬בנקודה‪.  0,1 :‬‬
‫‪ .4‬עבור‪ a  1 :‬הפונקציה עולה בכל ת‪.‬ה‪ .‬ועבור‪ 0  a  1 :‬הפונקציה יורדת בכל ת‪.‬ה‪.‬‬
‫עבור הפונקציות ‪ f  x   e x‬ו‪ f  x   e x -‬נקבל‪:‬‬
‫‪170‬‬
‫תכונות נוספות‪:‬‬
‫‪ .1‬שיפוע המשיק לגרף הפונקציה ‪ f  x   e x‬בנקודת החיתוך עם ציר ה‪ y -‬הוא ‪.1‬‬
‫‪ .2‬שיפוע המשיק לגרף הפונקציה ‪ f  x   e x‬בנקודת החיתוך עם ציר ה‪ y -‬הוא ‪.-1‬‬
‫נגזרות של פונקציות מעריכיות‪:‬‬
‫הפונקציה‬
‫הנגזרת‬
‫‪y  ax‬‬
‫‪y '  a x  ln a‬‬
‫‪f  x‬‬
‫‪y '  a f  x   f '  x   ln a‬‬
‫‪ya‬‬
‫‪y  ex‬‬
‫‪f  x‬‬
‫‪y '  ex‬‬
‫‪y '  e f  x  f '  x ‬‬
‫‪ye‬‬
‫תזכורת – כללי הגזירה‪:‬‬
‫מספר כלל‬
‫הפונקציה‬
‫תיאור‬
‫‪.1‬‬
‫‪y  a  f  x‬‬
‫מכפלה בקבוע‬
‫‪.2‬‬
‫‪y  f  x  g  x‬‬
‫סכום פונקציות‬
‫‪.3‬‬
‫‪y  f  x  g  x‬‬
‫מכפלת פונקציות‬
‫‪.4‬‬
‫‪f  x‬‬
‫‪g  x‬‬
‫‪.5‬‬
‫‪y  f  g  x ‬‬
‫‪y‬‬
‫מנת פונקציות‬
‫פונקציה מורכבת‬
‫‪171‬‬
‫הנגזרת‬
‫‪y '  a  f ' x‬‬
‫‪y '  f ' x  g ' x‬‬
‫‪y '  f ' x  g  x  f  x  g ' x‬‬
‫‪f ' x  g  x  f  x  g ' x‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ g  x ‬‬
‫‪y '  f '  g  x   g '  x ‬‬
‫‪y' ‬‬
:‫שאלות יסודיות – חישובי נגזרות‬
f  x   ex
2
3 x
:)‫) גזור את הפונקציות הבאות (סכום פונקציות‬1
f  x   3e x  e2 x  e x  2 x  1 .‫א‬
.‫ב‬
 ex
f  x   3x  4 x
2
f  x   23 x
.‫ד‬
.‫ג‬
:)‫) גזור את הפונקציות הבאות (מכפלת פונקציות‬2
f  x   x 2  e4x .‫ב‬
f  x   x  e x .‫א‬
f  x    x  1  2 .‫ג‬
x
:)‫) גזור את הפונקציות הבאות (מנת פונקציות‬3
x2
f  x   x .‫א‬
e
x
e
.‫ב‬
f  x  x
e 1
:)‫) גזור את הפונקציות הבאות (פונקציה מורכבת‬4
f  x 
e
3x
f  x   e2 x  e2 x .‫ב‬
.‫ג‬
e 1
x
f  x   5  e2 x  1 .‫א‬
3
:)‫) גזור את הפונקציות הבאות (שאלות שונות‬5
f  x   e  1 .‫ב‬
f  x   e2x .‫א‬
x
f  x    x 2  1 e x
.‫ד‬
f  x  e x
.‫ג‬
f  x   e3 x 2
.‫ו‬
f  x   e x  x 2  4 x  1
.‫ה‬
f  x   x3e2x
.‫ח‬
1
x
.‫ז‬
f  x   e2 x1 1  x 
.‫י‬
f  x   e2 x  x  4 
.‫ט‬
1
.‫יא‬
x3
f  x   3x
e
f  x 
f  x 
e
x
.‫יד‬
ex
1  e x 1
.‫טז‬
f  x 
f  x   ex 
.‫יב‬
e e
e x  e x
x
1
f  x 
1
x
2  x2
2
ex
x2  1
f  x  x
e
.‫יג‬
.‫טו‬
:‫שאלות העוסקות בשימושי הנגזרת‬
. A 1, e  ‫ בנקודה‬f  x   e x ‫) מצא את משוואת המשיק לפונקציה‬6
. x  0 ‫ בנקודה שבה‬f  x   e2x  xe x ‫) מצא את משוואת המשיק לפונקציה‬7
172
‫‪ )8‬מצא את משוואות המשיקים לפונקציה ‪ f  x    e  1 e x  e2 x‬בנקודות החיתוך‬
‫של הפונקציה עם הישר ‪. y  e‬‬
‫‪ )9‬נתונה הפונקציה‪. y  e2 x  3ex :‬‬
‫לפונקציה העבירו משיק דרך הנקודה שבה‪ . x  2 :‬מצא את משוואת המשיק‪.‬‬
‫‪ )10‬שיפוע המשיק לפונקציה ‪ f  x   a  32 x1  3xb‬בנקודה ‪ 1,15‬הוא ‪. 21ln 3‬‬
‫מצא את ערכי הפרמטרים ‪ a‬ו‪. b -‬‬
‫שאלות שונות העוסקות בחקירה של פונקציות מעריכיות‪:‬‬
‫‪ )11‬מצא את תחום ההגדרה של הפונקציות הבאות‪:‬‬
‫א‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫ז‪.‬‬
‫‪2x 1‬‬
‫‪ex‬‬
‫‪1‬‬
‫‪f  x  2x‬‬
‫‪e  3e x  2‬‬
‫‪f  x ‬‬
‫‪e  4e  3‬‬
‫‪x‬‬
‫‪2x‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ה‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫‪e 1‬‬
‫‪x‬‬
‫‪e  e x‬‬
‫‪f  x  x x‬‬
‫‪e e‬‬
‫‪x‬‬
‫‪f  x ‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪x 1‬‬
‫‪ex  5‬‬
‫ו‪.‬‬
‫‪ex 1‬‬
‫‪f  x ‬‬
‫‪5x  2‬‬
‫‪f  x ‬‬
‫‪ )12‬מצא את נקודות הקיצון של הפונקציה הבאה‪. f  x   x 2e x :‬‬
‫‪ex‬‬
‫‪. f  x ‬‬
‫‪ )13‬מצא את נקודת הקיצון של הפונקציה הבאה‪:‬‬
‫‪x2‬‬
‫‪ax 2  bx  9‬‬
‫‪ )14‬נתונה הפונקציה‪:‬‬
‫‪ex‬‬
‫הפונקציה משיקה לציר ה‪ x -‬בנקודה שבה ‪. x  1.5‬‬
‫מצא את ערכי הפרמטרים ‪ a‬ו ‪ b -‬ואת נקודות הקיצון של הפונקציה‪.‬‬
‫‪. f  x ‬‬
‫‪ )15‬נתונה הפונקציה‪ . f  x   8x  p  2x  q :‬לפונקציה יש נקודת קיצון‬
‫בנקודה ‪ .  log 2 3, 19 ‬מצא את ערכי הפרמטרים ‪ p‬ו‪. q -‬‬
‫‪ )16‬מצא את האסימפטוטות של הפונקציה הבאה‪f  x   e2x  e x :‬‬
‫‪e x  e x‬‬
‫‪f  x ‬‬
‫‪ )17‬מצא את האסימפטוטות של הפונקציה הבאה‪:‬‬
‫‪e2 x‬‬
‫‪173‬‬
‫‪f  x ‬‬
‫‪ex  5‬‬
‫‪f  x  x‬‬
‫‪ )18‬מצא את האסימפטוטות של הפונקציה הבאה‪:‬‬
‫‪e 1‬‬
‫‪e2 x  1‬‬
‫‪ )19‬מצא את האסימפטוטות של הפונקציה הבאה‪:‬‬
‫‪ex  5‬‬
‫‪f  x ‬‬
‫‪e x  e x‬‬
‫‪ )20‬מצא את האסימפטוטות של הפונקציה הבאה‪:‬‬
‫‪e x  e x‬‬
‫‪ )21‬מצא את האסימפטוטות של הפונקציה הבאה‪:‬‬
‫‪f  x ‬‬
‫‪ex  2‬‬
‫‪e2 x  5e x  6‬‬
‫‪ex‬‬
‫‪ )22‬מצא את האסימפטוטות של הפונקציה הבאה‪:‬‬
‫‪x2‬‬
‫‪f  x ‬‬
‫‪f  x ‬‬
‫‪x3  1‬‬
‫‪f  x  x‬‬
‫‪ )23‬מצא את האסימפטוטות של הפונקציה הבאה‪:‬‬
‫‪e‬‬
‫‪ )24‬מצא את האסימפטוטות של הפונקציה הבאה‪:‬‬
‫‪x 1‬‬
‫‪e3 x  e‬‬
‫‪f  x ‬‬
‫‪ )25‬מצא את האסימפטוטות של הפונקציה הבאה‪f  x    x  3e x :‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ )26‬מצא את האסימפטוטות של הפונקציה הבאה‪f  x   xe x :‬‬
‫‪x2  a‬‬
‫‪ )27‬נתונה הפונקציה‪:‬‬
‫‪be x‬‬
‫‪f  x ‬‬
‫לפונקציה יש נקודת פיתול בנקודה ‪. 1, 2 ‬‬
‫‪ e‬‬
‫מצא את ערכי הפרמטרים ‪ a‬ו ‪ b -‬ואת נקודת הפיתול השנייה של הפונקציה‪.‬‬
‫‪ )28‬חקור את הפונקציות הבאות עפ"י הסעיפים הבאים‪:‬‬
‫‪ .1‬מציאת תחום ההגדרה של הפונקציה‪.‬‬
‫‪ .2‬מציאת נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים‪.‬‬
‫‪ .3‬מציאת נקודות הקיצון של הפונקציה וקביעת סוגן‪.‬‬
‫‪ .4‬כתיבת תחומי העלייה והירידה של הפונקציה‪.‬‬
‫‪174‬‬
‫א‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ה‪.‬‬
‫‪f  x    x  1 e x‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ x2‬‬
‫‪4‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪f  x   x 2e‬‬
‫ד‪.‬‬
‫‪f  x ‬‬
‫ו‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪e 1‬‬
‫‪x2‬‬
‫‪f  x    x 2  1 e x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪2‬‬
‫‪f  x   ex‬‬
‫‪e2 x  1‬‬
‫‪e x 1‬‬
‫‪f  x ‬‬
‫‪ )29‬נתונה הפונקציה ‪ . f  x    x  3 e x‬חקור על פי הסעיפים הבאים‪:‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫ה‪.‬‬
‫מציאת תחום ההגדרה של הפונקציה‪.‬‬
‫מציאת נקודות הקיצון של הפונקציה‪.‬‬
‫תחומי עלייה וירידה של הפונקציה‪.‬‬
‫נקודות חיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים‪.‬‬
‫סרטוט סקיצה של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫‪ )30‬נתונה הפונקציה ‪ . f  x   e2 x  8e x  6 x  10‬חקור על פי הסעיפים הבאים‪:‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫ה‪.‬‬
‫מציאת תחום ההגדרה של הפונקציה‪.‬‬
‫מציאת נקודות הקיצון של הפונקציה‪.‬‬
‫תחומי עלייה וירידה של הפונקציה‪.‬‬
‫מציאת נקודת החיתוך של גרף הפונקציה עם ציר ה ‪. y -‬‬
‫סרטוט סקיצה של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫‪ )31‬נתונה הפונקציה‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫ה‪.‬‬
‫‪4x‬‬
‫‪2‬‬
‫‪e0.5 x‬‬
‫מציאת תחום ההגדרה של הפונקציה‪.‬‬
‫מציאת נקודות הקיצון של הפונקציה‪.‬‬
‫תחומי עלייה וירידה של הפונקציה‪.‬‬
‫נקודות חיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים‪.‬‬
‫סרטוט סקיצה של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫‪x3‬‬
‫‪ )32‬נתונה הפונקציה‬
‫‪ex‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫ה‪.‬‬
‫‪ . f  x  ‬חקור על פי הסעיפים הבאים‪:‬‬
‫‪ . f  x  ‬חקור על פי הסעיפים הבאים‪:‬‬
‫מציאת תחום ההגדרה של הפונקציה‪.‬‬
‫מציאת נקודות הקיצון של הפונקציה‪.‬‬
‫תחומי עלייה וירידה של הפונקציה‪.‬‬
‫נקודות חיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים‪.‬‬
‫סרטוט סקיצה של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫‪175‬‬
‫‪ )33‬נתונה הפונקציה ‪ . f  x   2 x  3x‬חקור את הפונקציה על פי הסעיפים הבאים‪:‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫ה‪.‬‬
‫מציאת תחום ההגדרה של הפונקציה‪.‬‬
‫מציאת נקודות הקיצון של הפונקציה‪.‬‬
‫תחומי עלייה וירידה של הפונקציה‪.‬‬
‫נקודות חיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים‪.‬‬
‫סרטוט סקיצה של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ )34‬נתונה הפונקציה‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫ה‪.‬‬
‫ו‪.‬‬
‫ז‪.‬‬
‫‪x 2 1‬‬
‫‪ . f  x   2e‬חקור את הפונקציה על פי הסעיפים הבאים‪:‬‬
‫מציאת תחום ההגדרה של הפונקציה‪.‬‬
‫מציאת נקודות הקיצון של הפונקציה‪.‬‬
‫תחומי עלייה וירידה של הפונקציה‪.‬‬
‫נקודות חיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים‪.‬‬
‫מציאת אסימפטוטות המקבילות לצירים‪.‬‬
‫סרטוט סקיצה של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫לאלו ערכי ‪ m‬יש למשוואה ‪ f  x   m‬בדיוק פתרון אחד?‬
‫‪1‬‬
‫‪ )35‬נתונה הפונקציה ‪ . f  x   x 2e x‬חקור את הפונקציה על פי הסעיפים הבאים‪:‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫ה‪.‬‬
‫ו‪.‬‬
‫ז‪.‬‬
‫ח‪.‬‬
‫מציאת תחום ההגדרה של הפונקציה‪.‬‬
‫מציאת נקודות הקיצון של הפונקציה‪.‬‬
‫תחומי עלייה וירידה של הפונקציה‪.‬‬
‫נקודות חיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים‪.‬‬
‫מציאת אסימפטוטות המקבילות לצירים‪.‬‬
‫מציאת נקודות פיתול של הפונקציה‪.‬‬
‫כתיבת תחומי הקעירות כלפי מעלה ומטה‪.‬‬
‫סרטוט סקיצה של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫‪e3 x‬‬
‫‪ )36‬נתונה הפונקציה‪:‬‬
‫‪12 x 2  1‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫ה‪.‬‬
‫‪. f  x ‬‬
‫מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה‪.‬‬
‫מצא את נקודות הקיצון של הפונקציה וקבע את סוגן‪.‬‬
‫כתוב את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה‪.‬‬
‫מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים‪.‬‬
‫סרטט סקיצה של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫‪176‬‬
‫‪1‬‬
‫‪12‬‬
‫‪ )37‬שיפוע המשיק לגרף הפונקציה‪ f  x   3 x2 6 x k :‬בנקודה שבה‪ x  1 :‬הוא‪:‬‬
‫‪10‬‬
‫‪e‬‬
‫‪e‬‬
‫‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא את ערך הפרמטר ‪ k‬וכתוב את הפונקציה‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא את נקודת הקיצון של הפונקציה‪.‬‬
‫ג‪ .‬סרטט סקיצה של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫הוכח על סמך הסקיצה את אי‪-‬השוויון הבא‪ e2 :‬‬
‫‪1‬‬
‫‪3 x 2  6 x 1‬‬
‫‪e‬‬
‫‪. 0‬‬
‫‪ )38‬נתונה הפונקציה הבאה‪ . f  x   e2x  ae x  b :‬גוזרים את הפונקציה פעמיים וידוע‬
‫כי כאשר ‪ x  ln 23‬הנגזרות מקיימות‪. f '  x   f ''  x   8 :‬‬
‫א‪ .‬מצא את ‪. a‬‬
‫משוואת המשיק לגרף הפונקציה בנקודה מסוימת היא‪. y  16 x  7  16ln 2 :‬‬
‫ב‪ .‬מצא את שיעור ה‪ x -‬של נקודת ההשקה‪.‬‬
‫ג‪ .‬מצא את ‪. b‬‬
‫ד‪ .‬מצא את נקודת החיתוך של הפונקציה עם ציר ה‪. x -‬‬
‫‪ )39‬נתונות הפונקציות הבאות‪ f  x   6 x  e x :‬ו‪. g  x   ae x  e2 x  b -‬‬
‫ידוע כי לשתי הפונקציות נקודת קיצון שבה אותו שיעור ‪ x‬וכי שתיהן‬
‫נפגשות על ציר ה‪. y -‬‬
‫א‪ .‬מצא את ערכי הפרמטרים ‪ a‬ו ‪. b -‬‬
‫ב‪ .‬הראה כי לשתי הפונקציות תחומי עלייה וירידה משותפים‪.‬‬
‫‪ )40‬לגרף הפונקציה‪ f  x   ax 2  ebx :‬יש נקודת קיצון‪a, b  0 .  2, 4e  :‬‬
‫‪2‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫ה‪.‬‬
‫מצא את ערכי הפרמטרים ‪ a‬ו ‪ b -‬וכתוב את הפונקציה‪.‬‬
‫מצא את נקודות הקיצון הנוספות של הפונקציה וקבע את סוגן‪.‬‬
‫מצא את נקודות החיתוך של הפונקציה עם הצירים‪.‬‬
‫סרטט סקיצה של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫מעבירים ישר‪ . y  k :‬באיזה תחום ערכים צריך להימצא ‪ k‬כדי שהישר‬
‫יחתוך את גרף הפונקציה ב‪ 4-‬נקודות שונות?‬
‫‪177‬‬
‫‪x2  6 x  7‬‬
‫‪ f  x  ‬יש קיצון בנקודה שבה‪. x  1 :‬‬
‫‪ )41‬לפונקציה‪:‬‬
‫‪eax 1‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫ה‪.‬‬
‫מצא את ערך הפרמטר ‪. a‬‬
‫האם יש לגרף הפונקציה נקודות קיצון נוספות? אם כן מצא אותן‪.‬‬
‫כתוב את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה‪.‬‬
‫מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים‪.‬‬
‫סרטט סקיצה של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫‪e2 x‬‬
‫‪ )42‬הישר ‪ x  6‬הוא אסימפטוטה אנכית של הפונקציה‪:‬‬
‫‪x2  m‬‬
‫‪. f  x ‬‬
‫א‪ .‬מצא את ערך הפרמטר ‪ m‬וכתוב את הפונקציה‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא את נקודות הקיצון של הפונקציה וקבע את סוגן‪.‬‬
‫ג‪ .‬מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים‪.‬‬
‫ד‪ .‬סרטט סקיצה של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫‪ )43‬נתונה הפונקציה‪. f ( x)  x3  e2 x :‬‬
‫א‪ .‬מצא את הנקודות המקיימות‪ f '  x   0 :‬וקבע כמה מהן הן נקודות קיצון‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא את האסימפטוטות המקבילות לצירים של הפונקציה‪.‬‬
‫ג‪ .‬סרטט סקיצה של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫ד‪ .‬בכמה נקודות חותך הישר ‪ y  0.01‬את גרף הפונקציה?‬
‫‪ )44‬נתונה הפונקציה הבאה‪ . f  x   e2x  ae x  b :‬גוזרים את הפונקציה פעמיים וידוע‬
‫כי כאשר ‪ x  ln 23‬הנגזרות מקיימות‪. f '  x   f ''  x   12 :‬‬
‫א‪ .‬מצא את ‪. a‬‬
‫משוואת המשיק לגרף הפונקציה בנקודה מסוימת היא‪. y  22 x  28  22ln 2 :‬‬
‫ב‪ .‬מצא את שיעור ה‪ x -‬של נקודת ההשקה‪.‬‬
‫ג‪ .‬מצא את ‪. b‬‬
‫ד‪ .‬האם הפונקציה חותכת את ציר ה ‪ ? x -‬אם כן מצא את הנקודות‪.‬‬
‫‪178‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ )45‬נתונה הפונקציה‪ .  a  0  , f  x   x  a x :‬לפונקציה יש נקודת קיצון שבה‪:‬‬
‫‪ln 2‬‬
‫א‪ .‬מצא את ‪. a‬‬
‫ב‪ .‬כתוב את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה‪.‬‬
‫הנקודה שבה ‪ x  2‬היא נקודת החיתוך של גרף הפונקציה ‪f  x ‬‬
‫עם גרף הפונקציה‪. g  x   x2  2x  kx  2x :‬‬
‫ג‪ .‬מצא את ‪. k‬‬
‫ד‪ .‬מצא נקודה נוספת שבה הגרפים נחתכים‪.‬‬
‫‪ )46‬נתונה הפונקציה‪. f  x   32 x  2  31 x :‬‬
‫א‪ .‬מצא את משוואת המשיק לגרף הפונקציה בנקודת החיתוך שלה‬
‫עם ציר ה‪. y -‬‬
‫ב‪ .‬הוכח כי גרף הפונקציה אינו חותך את ציר ה‪. x -‬‬
‫ג‪ .‬מצא את נקודת הקיצון של הפונקציה וקבע את סוגה‪.‬‬
‫‪179‬‬
‫‪.x‬‬
:‫תשובות סופיות‬
 2 x  3 e x 3x  e .‫ ב‬3ex  2e2 x  e x  2 .‫) א‬1
2x 1  x ln 2  ln 2  .‫ ג‬2 xe4 x 1  2 x  .‫ ב‬1  x  e x .‫) א‬2
2
x2  x
e2 x  e2 x
ex
30e2 x  e2 x  1 ‫) א‬4
.‫ג‬
.‫ב‬
.‫ב‬
.‫) א‬3
2
x
2x
2 x
x
2 x ln3  3x  ln 4  4 x .‫ ד‬3ln 2  23 x .‫ג‬
2
5e 4 x  6e3 x
2
e
 1
x
3e
2
e
e e
3
3 x 2
.‫ ו‬e
x
x
2
 2 x  3 .‫ה‬
 x  1
2
 1
e1/ x
 2 .‫ג‬
x
e .‫ד‬
x
e
e x .‫ ב‬2e2 x .‫) א‬5
e x  x  1
e 1/ x
2 x 1
2 x
2 2x
.‫ יא‬e 1  2 x  .‫ י‬e  2 x  7  .‫ ט‬x e  3  2 x  .‫ח‬
.‫ז‬
x2
x2
 x  1 .‫טו‬
.‫טז‬
x
2
ex
1  e 
x 1 2
e
e
4
 e x 
x
2
.‫יד‬
2 x  x 2  1
ex
2
.‫יג‬
3x 2 1  x 
.‫יב‬
e3 x
y   e2  e  x  e2 , y   e  1 x  e )8 y  3x  1 )7
x  ln5 .‫ ג‬x  0 .‫ ב‬x ‫ כל‬.‫) א‬11 b  1 , a  2 )10
y  ex )6
y  2e4 x  3ex  3e4 )9
2
.‫ ו‬x ‫ כל‬.‫ ה‬x  0 , x  ln 2 .‫ד‬
5
4
. min 3,e3 )13 max  2, 2  , min  0,0  )12
e 

min 1.5,0 , max  3.5,0.483 , b  12 , a  4 )14
. x  0 , x  ln 3 .‫ ז‬0  x 

. p  27 , q  35 )15

1
5
. x  ln5 , y   )19 x  0 , y  5 , y  1 )18 y  0 )17 y  0 )16
1
3
.  ln 2, 1 :‫ נקודת אי הגדרה‬, x  ln3 , y   , y  0 )21 . y  1 , y  1 )20
. y  0 )25 x 
1
, y  0 )24 y  0 )23 . x  0 , y  0 )22
3
.  3,
10 
, a  1 , b  1 )27
3 
 e 
. x  0 :‫ יורדת‬x  0 :‫ עולה‬.4
 0,0  :‫ נקודת אי הגדרה‬,
x  0 )26
min  0, 1 .3 1, 0 ,  0, 1 .2 x ‫ כל‬.1 .‫) א‬28
. x  1 , x  1 :‫ עולה‬.4
2
‫ פיתול‬ 1,  .3  0,1 .2 x ‫ כל‬.1 .‫ב‬

e
4
 4

max  2,  , min  0, 0  , max  2,  .3  0,0  .2 x ‫ כל‬.1 .‫ג‬
e
 e

. 2  x  0 , x  2 :‫ יורדת‬x  2 , 0  x  2 :‫ עולה‬.4
.x0
min 0.5, e0.25  .3
 0,1 .2
:‫ יורדת‬x  0 :‫ עולה‬.4 . max  0,1 .3  0,1 .2
x ‫ כל‬.1 .‫ה‬
 0, 2e  .2
x ‫ כל‬.1 .‫ו‬
. x  0.5 :‫ יורדת‬x  0.5 :‫ עולה‬.4
. x  0 :‫ יורדת‬x  0 :‫ עולה‬.4
min  0, 2e1  .3
180
1
x ‫ כל‬.1 .‫ד‬
. x  2 :‫ תחומי ירידה‬2  x :‫ תחומי עלייה‬.‫ ג‬min  2,  e2  .‫ ב‬x ‫ כל‬.‫) א‬29
.  3, 0  ,  0.  3 .‫ד‬
max  0,3 , min  ln3,1.59  .‫ ב‬x ‫ כל‬.‫) א‬30
 0,3 .‫ד‬
0  x  ln3 :‫ תחומי ירידה‬x  0 ‫ או‬x  ln 3 :‫ תחומי עלייה‬.‫ג‬
4 

 4 
1  x  1 :‫ תחומי עלייה‬.‫ ג‬. min  1,  0.5  , max 1, 0.5  .‫ ב‬. x ‫ כל‬.‫) א‬31
e 

 e 
.  0, 0  .‫ ד‬. x  1 ‫ או‬1  x :‫תחומי ירידה‬
27
.  0,0  .‫ ד‬x  3 :‫ יורדת‬, x  3 :‫ עולה‬.‫ ג‬max  3, 3  .‫ ב‬x ‫ כל‬.‫) א‬32
 e 
.  0, 0  .‫ ד‬. x  0.91 :‫ יורדת‬0.91  x :‫ עולה‬.‫ ג‬. min  0.91, 0.67  .‫ ב‬x ‫ כל‬.‫) א‬33

2 

min  1,
 max 1,2 e
e


.‫ ב‬x ‫ כל‬.‫) א‬34
y  2 .‫ ה‬ 0,2  .‫ ד‬x  1 , x  1 :‫ יורדת‬1  x  1 :‫ עולה‬.‫ג‬
. m  2, m  2 e , m 
.‫ אין‬.‫ ד‬0  x 
2
.‫ז‬
e
 1 e2 
1
1
:‫ יורדת‬, x  :‫ עולה‬.‫ ג‬min  ,  .‫ ב‬x  0 .‫) א‬35
2
2
2 4 
. x  0 ‫ קעורה כלפי מעלה לכל‬.‫ ז‬.‫ אין‬.‫ ו‬ 0,0  :‫ נקודת אי הגדרה‬x  0 .‫ה‬
x
1 3 e 
 1 e1.5 
1
1
, x  :‫ עולה‬.‫ ג‬. Max  ,
 , Min  ,
 .‫ ב‬x ‫ כל‬.‫) א‬36
6
2
2 4 
6 4 
1
6
.  0,1 .‫ ד‬.  x 
.  1, e2  .‫ ב‬f  x  
1
e
3 x 2  6 x 1
1
:‫יורדת‬
2
, k  1 .‫) א‬37
. 0  f ( x)  e2 ‫ נמצא בתחום‬f ( x) ‫ ניתן לראות עפ"י הגרף כי ערך הפונקציה‬.‫ד‬
.  0, 0 .‫ ד‬b  5 .‫ ג‬x  ln 2 .‫ ב‬a  4 .‫) א‬38
. x  ln 6 :‫ יורדות‬x  ln 6 :‫ עולות‬.‫ ב‬. a  12 , b  12 .‫) א‬39

 0, 0  .‫ ג‬. Max  2,

4
 , Min  0, 0  .‫ב‬
e
f  x   x 2e
1
 x2
4
, a  1 , b  0.25 .‫) א‬40
.0  k 

4
.‫ה‬
e

48
1
. x  1 , x  11 :‫ יורדת‬1  x  11 :‫ עולה‬.‫ ג‬. 11, 2  :‫ כן‬.‫ ב‬. a  .‫) א‬41


e
2
3


3
.  1,0 ,  7,0 ,  0, 7e  .‫ד‬
181
 e6 
e




.  0,   .‫ ג‬Max  2,  4  , Min  3,  .‫ ב‬. f  x   2
, m  6 .‫) א‬42
2e 
6
x 6


 3
1
1
2x


.‫ נקודות‬2 .‫ ד‬y  0 .‫ ב‬. Min  1.5, 3 e3  :‫ נקודת הקיצון היא‬. x  0, 1.5 .‫) א‬43
8
3


.‫ לא‬.‫ ד‬b  10 .‫ ג‬x  ln 2 .‫ ב‬a  7 .‫) א‬44
.  0, 0  .‫ ד‬k  1 .‫ ג‬x  
1
1
:‫ יורדת‬x  
:‫ עולה‬.‫ ב‬a  2 .‫) א‬45
ln 2
ln 2
1

. Min  , 3 243  .‫ ג‬y   x ln 81  7 .‫) א‬46
3

182
‫סקיצות לשאלות החקירה‪:‬‬
‫‪)29‬‬
‫‪) 30‬‬
‫‪) 32‬‬
‫‪)35‬‬
‫‪)41‬‬
‫‪)33‬‬
‫‪)31‬‬
‫‪)34‬‬
‫‪)36‬‬
‫‪)37‬‬
‫‪)42‬‬
‫‪)40‬‬
‫‪)43‬‬
‫‪183‬‬
‫תירגול נוסף‪:‬‬
‫‪ )1‬חקור את הפונקציה ‪ y  e4 x1‬לפי הסעיפים הבאים‪:‬‬
‫א‪ .‬מצא תחום ההגדרה‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא נקודת קיצון‪.‬‬
‫ג‪ .‬מצא תחומי עלייה וירידה וקביעת סוג הקיצון‪.‬‬
‫ד‪ .‬מצא חיתוכים עם הצירים‪.‬‬
‫ה‪ .‬מצא אסימפטוטות המקבילות לצירים (במידה ויש)‪.‬‬
‫ו‪ .‬סרטט סקיצה של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫‪ )2‬חקור את הפונקציה ‪ y  xe x‬לפי הסעיפים הבאים‪:‬‬
‫א‪ .‬מצא תחום ההגדרה‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא נקודת קיצון‪.‬‬
‫ג‪ .‬מצא תחומי עלייה וירידה וקביעת סוג הקיצון‪.‬‬
‫ד‪ .‬מצא חיתוכים עם הצירים‪.‬‬
‫ה‪ .‬מצא אסימפטוטות המקבילות לצירים (במידה ויש)‪.‬‬
‫ו‪ .‬סרטט סקיצה של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫‪ )3‬חקור את הפונקציה ‪ y   x  2  e x‬לפי הסעיפים הבאים‪:‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫ה‪.‬‬
‫ו‪.‬‬
‫מצא תחום ההגדרה‪.‬‬
‫מצא נקודת קיצון‪.‬‬
‫מצא תחומי עלייה וירידה וקביעת סוג הקיצון‪.‬‬
‫מצא חיתוכים עם הצירים‪.‬‬
‫מצא אסימפטוטות המקבילות לצירים (במידה ויש)‪.‬‬
‫סרטט סקיצה של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫‪ )4‬חקור את הפונקציה ‪ y   x2  5x  5 e x‬לפי הסעיפים הבאים‪:‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫ה‪.‬‬
‫ו‪.‬‬
‫מצא תחום ההגדרה‪.‬‬
‫מצא נקודת קיצון‪.‬‬
‫מצא תחומי עלייה וירידה וקביעת סוג הקיצון‪.‬‬
‫מצא חיתוכים עם הצירים‪.‬‬
‫מצא אסימפטוטות המקבילות לצירים (במידה ויש)‪.‬‬
‫סרטט סקיצה של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫‪184‬‬
‫‪ex‬‬
‫‪ )5‬חקור את הפונקציה‬
‫‪x2‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫ה‪.‬‬
‫ו‪.‬‬
‫‪ y ‬לפי הסעיפים הבאים‪:‬‬
‫מצא תחום ההגדרה‪.‬‬
‫מצא נקודת קיצון‪.‬‬
‫מצא תחומי עלייה וירידה וקביעת סוג הקיצון‪.‬‬
‫מצא חיתוכים עם הצירים‪.‬‬
‫מצא אסימפטוטות המקבילות לצירים (במידה ויש)‪.‬‬
‫סרטט סקיצה של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫‪x2‬‬
‫‪ )6‬חקור את הפונקציה ‪ y  x 1‬לפי הסעיפים הבאים‪:‬‬
‫‪e‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫ה‪.‬‬
‫ו‪.‬‬
‫מצא תחום ההגדרה‪.‬‬
‫מצא נקודת קיצון‪.‬‬
‫מצא תחומי עלייה וירידה וקביעת סוג הקיצון‪.‬‬
‫מצא חיתוכים עם הצירים‪.‬‬
‫מצא אסימפטוטות המקבילות לצירים (במידה ויש)‪.‬‬
‫סרטט סקיצה של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫‪ )7‬חקור את הפונקציה ‪ x  4 ‬‬
‫‪ y ‬לפי הסעיפים הבאים‪:‬‬
‫‪x‬‬
‫‪2‬‬
‫‪e‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫ה‪.‬‬
‫ו‪.‬‬
‫מצא תחום ההגדרה‪.‬‬
‫מצא נקודת קיצון‪.‬‬
‫מצא תחומי עלייה וירידה וקביעת סוג הקיצון‪.‬‬
‫מצא חיתוכים עם הצירים‪.‬‬
‫מצא אסימפטוטות המקבילות לצירים (במידה ויש)‪.‬‬
‫סרטט סקיצה של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫‪ex‬‬
‫‪ )8‬חקור את הפונקציה‬
‫‪ex 1‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫ה‪.‬‬
‫ו‪.‬‬
‫‪ y ‬לפי הסעיפים הבאים‪:‬‬
‫מצא תחום ההגדרה‪.‬‬
‫מצא נקודת קיצון‪.‬‬
‫מצא תחומי עלייה וירידה וקביעת סוג הקיצון‪.‬‬
‫מצא חיתוכים עם הצירים‪.‬‬
‫מצא אסימפטוטות המקבילות לצירים (במידה ויש)‪.‬‬
‫סרטט סקיצה של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫‪185‬‬
‫‪ )9‬חקור את הפונקציה ‪ y  x 2e x‬לפי הסעיפים הבאים‪:‬‬
‫א‪ .‬מצא תחום ההגדרה‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא נקודת קיצון‪.‬‬
‫ג‪ .‬מצא תחומי עלייה וירידה וקביעת סוג הקיצון‪.‬‬
‫ד‪ .‬מצא חיתוכים עם הצירים‪.‬‬
‫ה‪ .‬מצא אסימפטוטות המקבילות לצירים (במידה ויש)‪.‬‬
‫ו‪ .‬סרטט סקיצה של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x  ex‬‬
‫‪ y ‬לפי הסעיפים הבאים‪:‬‬
‫‪ )10‬חקור את הפונקציה‬
‫‪x‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫ה‪.‬‬
‫ו‪.‬‬
‫מצא את תחום ההגדרה‪.‬‬
‫מצא נקודת קיצון‪.‬‬
‫מצא תחומי עלייה וירידה וקביעת סוג הקיצון‪.‬‬
‫מצא את נקודת החיתוך עם ציר ה‪. y -‬‬
‫מצא אסימפטוטות המקבילות לצירים (במידה ויש)‪.‬‬
‫סרטט סקיצה של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ )11‬חקור את הפונקציה‬
‫‪e  e x‬‬
‫‪x‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫ה‪.‬‬
‫ו‪.‬‬
‫מצא תחום ההגדרה‪.‬‬
‫מצא נקודת קיצון‪.‬‬
‫מצא תחומי עלייה וירידה וקביעת סוג הקיצון‪.‬‬
‫מצא חיתוכים עם הצירים‪.‬‬
‫מצא אסימפטוטות המקבילות לצירים (במידה ויש)‪.‬‬
‫סרטט סקיצה של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫‪e x‬‬
‫‪ )12‬חקור את הפונקציה‬
‫‪x 2  15‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫ה‪.‬‬
‫‪ y ‬לפי הסעיפים הבאים‪:‬‬
‫‪ y ‬לפי הסעיפים הבאים‪:‬‬
‫מצא תחום ההגדרה‪.‬‬
‫מצא נקודת קיצון‪.‬‬
‫מצא תחומי עלייה וירידה וקביעת סוג הקיצון‪.‬‬
‫מצא אסימפטוטות המקבילות לצירים (במידה ויש)‪.‬‬
‫סרטט סקיצה של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫‪186‬‬
‫‪ )13‬נתונה הפונקציה‪. f  x   e x 3 x 9 x :‬‬
‫‪2‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫ה‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה‪.‬‬
‫מצא את נקודות הקיצון של הפונקציה וקבע את סוגן‪.‬‬
‫כתוב את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה‪.‬‬
‫מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים‪.‬‬
‫סרטט סקיצה של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫‪ )14‬נתונה הפונקציה‪. f  x    3x2  4  e6 x :‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫ה‪.‬‬
‫מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה‪.‬‬
‫מצא את נקודות הקיצון של הפונקציה וקבע את סוגן‪.‬‬
‫כתוב את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה‪.‬‬
‫מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים‪.‬‬
‫סרטט סקיצה של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫‪e x 24‬‬
‫‪. f  x  2‬‬
‫‪ )15‬נתונה הפונקציה‪:‬‬
‫‪x  24‬‬
‫‪2‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫ה‪.‬‬
‫ו‪.‬‬
‫מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה‪.‬‬
‫מצא את נקודות הקיצון של הפונקציה וקבע את סוגן‪.‬‬
‫כתוב את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה‪.‬‬
‫מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים‪.‬‬
‫כתוב את האסימפטוטות האנכיות של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫סרטט סקיצה של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫‪ae x‬‬
‫‪ f  x  ‬יש נקודת קיצון‪:‬‬
‫‪ )16‬לפונקציה‪:‬‬
‫‪xb‬‬
‫א‪ .‬מצא את ערכי הפרמטרים ‪ a‬ו ‪. b -‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫ה‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪4‬‬
‫‪.  4,5e‬‬
‫מהו תחום ההגדרה של הפונקציה?‬
‫כתוב את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה‪.‬‬
‫מצא את נקודת החיתוך של גרף הפונקציה עם ציר ה‪. y -‬‬
‫סרטט סקיצה של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫‪ )17‬נתונה הפונקציה הבאה‪. f  x   e2 x  6e x  8 :‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫מצא את נקודת הקיצון של הפונקציה‪.‬‬
‫כתוב את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה‪.‬‬
‫מצא את נקודות החיתוך של הפונקציה עם הצירים‪.‬‬
‫סרטט סקיצה של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫‪187‬‬
‫‪ )18‬נתונה הפונקציה‪. f  x   4x  41 x :‬‬
‫הישר ‪ y  5‬חותך את גרף הפונקציה בשתי נקודות ‪ A‬ו‪.B-‬‬
‫א‪ .‬הוכח כי אחת מהנקודות נמצאת על ציר ה ‪. y -‬‬
‫ב‪ .‬הוכח כי שיעור ה‪ x -‬של נקודת הקיצון של הפונקציה שווה לממוצע של‬
‫שיעורי ה ‪ x -‬של הנקודות ‪ A‬ו‪.B-‬‬
‫ג‪ .‬כתוב את משוואת המשיק בנקודת הקיצון של הפונקציה‪.‬‬
‫‪ )19‬נתונה הפונקציה‪. f  x   x3  ekx :‬‬
‫ידוע כי יש לגרף הפונקציה נקודת קיצון שבה ‪. x  1‬‬
‫א‪ .‬מצא את ‪ k‬וכתוב את הפונקציה‪.‬‬
‫ב‪ .‬האם יש לגרף ה פונקציה נקודות קיצון נוספות? אם כן מצא אותן‪.‬‬
‫ג‪ .‬כתוב את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה‪.‬‬
‫ד‪ .‬סרטט סקיצה של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫‪188‬‬
:‫תשובות סופיות‬
.  0, e4  .‫ ד‬.‫ה‬.‫ עולה בכל ת‬.‫ג‬
.‫ אין קיצון‬.‫ ב‬x ‫ כל‬.‫) א‬1
.  0, 0  .‫ ד‬. x  1 :‫ יורדת‬x  1 :‫ עולה‬.‫ ג‬Min  1, e1  .‫ ב‬x ‫ כל‬.‫) א‬2
.  0, 2  ,  2,0  .‫ ד‬x  3 :‫ יורדת‬x  3 :‫ עולה‬.‫ ג‬Min  3, e3  .‫ ב‬x ‫ כל‬.‫) א‬3
. 0  x  3 :‫ יורדת‬x  0 , x  3 :‫ עולה‬.‫ ג‬Max  0,5 , Min  3, e3  .‫ ב‬x ‫ כל‬.‫) א‬4
.  0,5 ,  3.61,0  , 1.38,0  .‫ד‬
.  0, 12  .‫ ד‬. x  2 , x  1 :‫ יורדת‬x  1 :‫ עולה‬.‫ ג‬Min  1, e1  .‫ ב‬x  2 .‫) א‬5
x  0 , x  2 :‫ יורדת‬0  x  2 :‫ עולה‬.‫ ג‬Min  0, 0  , Max  2, 4e3 
. x  2 .‫ה‬
.‫ ב‬x ‫ כל‬.‫) א‬6
.  0, 0  .‫ד‬
x  4 , x  6 :‫ יורדת‬4  x  6 :‫ עולה‬.‫ ג‬Min  4, 0  , Max  6, 4e6  .‫ ב‬x ‫ כל‬.‫) א‬7
.  0,16  ,  4,0  .‫ד‬
.‫ אין חיתוכים עם הצירים כלל‬.‫ ד‬.‫ה‬.‫ יורדת בכל ת‬.‫ ג‬.‫ אין קיצון‬.‫ ב‬. x  0 .‫) א‬8
. x  0 : y  1 , x  0 : y  0 , x  0 .‫ה‬
.  0, 0  .‫ ד‬x  0 :‫ יורדת‬x  0 :‫ עולה‬.‫ ג‬Min  0, 0  .‫ב‬
x ‫ כל‬.‫) א‬9
.‫ אין חיתוכים‬.‫ ד‬x  1 :‫ יורדת‬x  0 , x  1 :‫ עולה‬.‫ ג‬Max 1,1  e  .‫ ב‬x  0 .‫) א‬10
. x  0 : y  1 .‫ה‬
. y  0 .‫ ה‬ 0, 12  .‫ ד‬x  0 :‫ יורדת‬x  0 :‫ עולה‬.‫ ג‬Max  0,0.5 .‫ ב‬. x ‫ כל‬.‫) א‬11

e5 
1 

Min  5,  , Max  3,  3  .‫ ב‬x   15 .‫) א‬12
6e 

 10 
1

 0,   .‫ ד‬x  15 , x  5 , x  3 :‫ יורדת‬x   15 ,  5  x  3 :‫ עולה‬.‫ג‬
15 

. x   15 .‫ה‬
. 1  x  3 :‫ יורדת‬x  1 , x  3 :‫ עולה‬.‫ ג‬. Max  1, e5  , Min  3, e27  .‫ ב‬x ‫ כל‬.‫) א‬13
.  0,1 .‫ד‬

. Max   ,
4 4 
, Min 1, e6  .‫ ב‬x ‫ כל‬.‫) א‬14
8 
3
3
e



. 

2   2 
,0 , 
, 0  ,  0, 4  .‫ד‬
3   3 

4
4
 x  1 :‫ יורדת‬x   , x  1 :‫ עולה‬.‫ג‬
3
3
189


. Max  0, 
1 
 , Min  5, e  , Min  5, e  .‫ ב‬x   24 .‫) א‬15
24e24 
. x  24 , 0  x  5 , x  5 :‫ יורדת‬x   24 ,  5  x  0 , x  5 :‫ עולה‬.‫ג‬


. x   24 .‫ ה‬ 0,  24  .‫ד‬
24e
1




.  0,   .‫ ד‬x  3 , x  4 :‫ יורדת‬x  4 :‫ עולה‬.‫ ג‬x  3 .‫ ב‬. a  5 , b  3 .‫) א‬16
3
5


. x  ln 3 :‫ יורדת‬x  ln 3 :‫ עולה‬.‫ ב‬. Min  ln 3, 1 .‫) א‬17
.  ln 2,0 ,  ln 4,0  ,  0,3 .‫ג‬
. y  4 .‫) ג‬18
. x  1 :‫ יורדת‬x  0 , x  1 :‫ עולה‬.‫ ג‬.‫ לא‬.‫ ב‬f ( x)  x3e3x , k  3 .‫) א‬19
:‫סקיצות לשאלות‬
)5
y
y
)4
)10
y
)9
)14
)2
y
)7
y
x
y
y
)6
y
x
x
)13
y
)1
x
x
)8
y
x
x
)3
x
x
x
y
y
) 12
y
) 11
y
x
)19
)17
) 16
y
y
x
x
x
y
) 15
y
x
x
190
x
x
‫פונקציות לוגריתמיות‪:‬‬
‫הגדרות כלליות‪:‬‬
‫להלן תיאורים גרפיים של פונקציה לוגריתמית כללית מהצורה‪f  x   log a x :‬‬
‫עבור‪ a  1 :‬ו‪: 0  a  1 -‬‬
‫תכונות כלליות‪:‬‬
‫‪ .1‬לפונקציות תחום הגדרה‪. x  0 :‬‬
‫‪ .2‬הפונקציות תמיד חותכות את ציר ה‪ x -‬בנקודה‪. 1, 0  :‬‬
‫‪ .3‬עבור‪ a  1 :‬הפונקציה עולה בכל ת‪.‬ה‪ .‬ועבור‪ 0  a  1 :‬הפונקציה יורדת בכל‬
‫ת‪.‬ה‪.‬‬
‫עבור הפונקציות ‪ f  x   ln x  loge x‬נקבל‪:‬‬
‫תכונות נוספות‪:‬‬
‫‪ .1‬שיפוע המשיק לגרף הפונקציה ‪ f  x   ln x‬בנקודת החיתוך עם ציר ה‪ x -‬הוא ‪.1‬‬
‫‪191‬‬
:‫תחום הגדרה של פונקציה לוגריתמית‬
. f  x   0 :‫ הוא‬y  log f  x  :‫תחום ההגדרה של פונקציה לוגריתמית מהצורה‬
:‫נגזרות של פונקציות לוגריתמיות‬
‫הנגזרת‬
1
x ln a
y  log a x
f ' x
f  x   ln a
y  log a f  x 
y' 
y' 
‫הפונקציה‬
1
x
f ' x
y  ln x
y'
y' 
y  ln f  x 
f  x
:‫שאלות יסודיות – חישובי נגזרות‬
f  x   ln  x  3x 
2
:)‫) גזור את הפונקציות הבאות (סכום פונקציות‬1
.‫ ב‬f  x   3ln x  4ln  x  2  ln 5x 1 .‫א‬
f  x   ln  e x  1
.‫ד‬
f  x   log 2 x  5log3  2 x  1
.‫ו‬
x 1
x 1
.‫ג‬
f  x   log 2  x   5log3  2 x  1
.‫ה‬
f  x   ln
:)‫) גזור את הפונקציות הבאות (מכפלה ומנה של פונקציות‬2
2
f  x   x ln x .‫א‬
f  x    3x  1 ln x .‫ב‬
f  x 
ln x  2
ln x  2
ln x
x
.‫ג‬
f  x   ln x  x
.‫ה‬
f  x 
.‫ד‬
192
:)‫) גזור את הפונקציות הבאות (פונקציות מורכבות‬3
f  x   3ln x .‫ב‬
f  x   ln 3 x .‫א‬
2
f  x 
ln 2 x  1
 ln x  1
2
f  x   x ln x
2
f  x   x 2 ln 2 x
.‫ד‬
.‫ג‬
:)‫) גזור את הפונקציות הבאות (שאלות שונות‬4
f  x   ln  x  2  .‫א‬
.‫ב‬
f  x   ln e2 x
.‫ד‬
f  x   x3 ln x
.‫ג‬
f  x   e x  ln x
.‫ו‬
f  x   e x ln x
.‫ה‬
f  x   ln  x 4 
.‫ח‬
f  x   ln  x 2 
.‫ז‬
f  x   x ln x  ln x 2
.‫י‬
f  x   x 2  2ln x  1
.‫ט‬
f  x    ln x 
.‫יב‬
2
4
.‫יד‬
f  x   ln
x2
x
.‫יג‬
 x  5 .‫טז‬
f  x   ln
2
 x  1
f  x   ln
x 3
x3
.‫טו‬
f  x   ln x
.‫יז‬

.‫יט‬
f  x   ln
x 1
x 1
f  x   ln 2 x  2ln x  3 .‫יא‬
3
f  x   ln x 2  1 .‫יח‬
f  x   ln x
.‫כ‬
f  x   ln
1
2 x
.‫כב‬
f  x   ln 3
1  5x
1  5x
.‫כד‬
f  x 
ln 3 x
x
.‫כו‬
f  x
 ln x 

f  x 

f  x   ln x  x 2  a 2
f  x  e
x
ln 4 x
.‫כא‬
1 x
.‫כג‬
1 x
ln x
f  x 
.‫כה‬
x
f  x   ln
3
x
ln x
f  x
.‫כח‬
 ln x 

2
.‫כז‬
x
x
.‫כט‬
f  x 
ln  x 2 
.‫ל‬
f  x   ln 2 x 
193
1
ln 2 x
.‫לא‬
‫שאלות העוסקות בשימושי הנגזרת‪:‬‬
‫‪ )5‬מצא את משוואת המשיק לפונקציה ‪ f  x   ln x‬בנקודה ‪. A  e,1‬‬
‫‪ln 2 x  a‬‬
‫‪ f  x  ‬בנקודה ‪  1 , 1‬הוא ‪. e‬‬
‫‪ )6‬שיפוע המשיק לפונקציה‬
‫‪ln x  b‬‬
‫‪3‬‬
‫‪e‬‬
‫‪‬‬
‫מצא את ערכי הפרמטרים ‪ a‬ו ‪. b -‬‬
‫‪ )7‬הגרפים של הפונקציות ‪ f  x   ln x‬ו ‪ g  x   1‬נחתכים בנקודה ‪ A‬ברביע‬
‫הראשון‪ .‬בנקודה ‪ A‬העבירו משיק ל ‪. f  x  -‬‬
‫מצא את משוואת המשיק והוכח שמשיק זה עובר דרך הראשית‪.‬‬
‫‪ln x 2‬‬
‫‪ )8‬לפונקציה‬
‫‪x‬‬
‫‪ g  x  ‬העבירו משיק בנקודה שבה ‪. x  e2‬‬
‫מצא את משוואת המשיק‪.‬‬
‫‪ )9‬מצא את משוואת המשיק לגרף הפונקציה ‪ y  x ln  x 2  1‬בנקודה שבה ‪. x  1‬‬
‫שאלות שונות העוסקות בחקירה‪:‬‬
‫‪ )10‬מצא את תחום ההגדרה של הפונקציות הבאות‪:‬‬
‫ב‪f  x   ln  x 2  .‬‬
‫א‪f  x   ln x .‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫‪f  x   ln  e x  4 ‬‬
‫ז‪.‬‬
‫‪f  x   ln x  1‬‬
‫ה‪.‬‬
‫‪x 1‬‬
‫‪ln x  1‬‬
‫‪f  x ‬‬
‫ו‪.‬‬
‫‪f  x   log3  x 2  8x  20 ‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ln x  2ln x  3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ )11‬מצא את נקודות הקיצון של הפונקציה הבאה‪. f  x   2ln x  x 2 :‬‬
‫‪ )12‬מצא את נקודות הקיצון של הפונקציה הבאה‪. f  x   x 2 ln x :‬‬
‫‪2 ln x  1‬‬
‫‪ )13‬מצא את נקודות הקיצון של הפונקציה הבאה‪:‬‬
‫‪x‬‬
‫‪. f  x ‬‬
‫‪ )14‬מצא את נקודות הקיצון של הפונקציה הבאה‪. f  x   log24 x  log2 x :‬‬
‫‪194‬‬
‫‪f  x ‬‬
‫‪a ln x  b‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ . f  x  ‬הנקודה‬
‫‪ )15‬נתונה הפונקציה‪:‬‬
‫‪2 ‬‬
‫‪x‬‬
‫‪e ‬‬
‫‪  e2 ,‬היא נקודת קיצון של‬
‫‪‬‬
‫הפונקציה‪ .‬מצא את ערכי הפרמטרים ‪ a‬ו ‪. b -‬‬
‫‪ )16‬נתונה הפונקציה‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ . f  x   a ln x  b ln2 x‬הנקודה ‪  3 e ,  ‬היא נקודת‬
‫‪ ln x  1‬‬
‫‪‬‬
‫‪8‬‬
‫קיצון של הפונקציה‪ .‬מצא את ערכי הפרמטרים ‪ a‬ו‪. b -‬‬
‫‪ )17‬מצא את האסימפטוטות של הפונקציה הבאה‪f  x   ln  x  3 :‬‬
‫‪ )18‬מצא את האסימפטוטות של הפונקציה הבאה‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ln x  1‬‬
‫‪ )19‬מצא את האסימפטוטות של הפונקציה הבאה‪:‬‬
‫‪2 ln x  1‬‬
‫‪ln x  1‬‬
‫‪f  x ‬‬
‫‪ )20‬מצא את האסימפטוטות של הפונקציה הבאה‪:‬‬
‫‪ln x  2‬‬
‫‪ln 2 x  4‬‬
‫‪f  x ‬‬
‫‪ )21‬מצא את האסימפטוטות של הפונקציה הבאה‪:‬‬
‫‪ln x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪f  x ‬‬
‫‪f  x ‬‬
‫‪x2 1‬‬
‫‪ )22‬מצא את האסימפטוטות של הפונקציה הבאה‪:‬‬
‫‪ln 2 x  1‬‬
‫‪f  x ‬‬
‫‪ )23‬מצא את האסימפטוטות של הפונקציה הבאה‪f  x   x ln x  2 :‬‬
‫‪ )24‬נתונה הפונקציה‪ . f  x   ln x :‬מצא את נקודת הפיתול של הפונקציה‪.‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ )25‬חקור את הפונקציות הבאות עפ"י הסעיפים הבאים‪:‬‬
‫‪ .1‬מציאת תחום ההגדרה של הפונקציה‪.‬‬
‫‪ .2‬מציאת נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים‪.‬‬
‫‪ .3‬מציאת נקודות הקיצון של הפונקציה וקביעת סוגן‪.‬‬
‫‪ .4‬כתיבת תחומי העלייה והירידה של הפונקציה‪.‬‬
‫א‪.‬‬
‫‪1 2‬‬
‫‪x  4 x  3ln x‬‬
‫‪2‬‬
‫ד‪.‬‬
‫‪y  x ln x‬‬
‫‪y‬‬
‫ב‪y  x ln x .‬‬
‫ג‪y  x ln x  x .‬‬
‫ה‪y  x 2 ln x .‬‬
‫ו‪y  ln  x 2  1 .‬‬
‫‪195‬‬
‫‪ )26‬נתונה הפונקציה ‪ . f  x   2 x ln 2 x‬חקור לפי הסעיפים הבאים‪:‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫ה‪.‬‬
‫מציאת תחום ההגדרה של הפונקציה‪.‬‬
‫מציאת נקודות הקיצון של הפונקציה וקביעת סוגן‪.‬‬
‫כתיבת תחומי העלייה והירידה של הפונקציה‪.‬‬
‫נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים‪.‬‬
‫סרטוט סקיצה של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ )27‬נתונה הפונקציה‬
‫‪ln x  1‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫ה‪.‬‬
‫ו‪.‬‬
‫‪ . f  x  ‬חקור לפי הסעיפים הבאים‪:‬‬
‫תחום הגדרה של הפונקציה‪.‬‬
‫מציאת נקודות הקיצון של הפונקציה וקביעת סוגן‪.‬‬
‫כתיבת תחומי העלייה והירידה של הפונקציה‪.‬‬
‫מציאת נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים‪.‬‬
‫סרטוט סקיצה של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫מצא לאלו ערכי ‪ k‬הישר ‪ y  k‬חותך את הפונקציה בשתי נקודות‪.‬‬
‫‪ )28‬נתונה הפונקציה ‪ . f  x   log24 x  log2 x‬חקור לפי הסעיפים הבאים‪:‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫ה‪.‬‬
‫תחום הגדרה של הפונקציה‪.‬‬
‫מציאת נקודות הקיצון של הפונקציה וקביעת סוגן‪.‬‬
‫כתיבת תחומי העלייה והירידה של הפונקציה‪.‬‬
‫מציאת נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים‪.‬‬
‫סרטוט סקיצה של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫‪ )29‬נתונה הפונקציה‪. f  x   ln x :‬‬
‫א‪ .‬מהו תחום ההגדרה של הפונקציה?‬
‫ב‪ .‬הוכח כי גרף הפונקציה עולה בכל תחום הגדרתו‪.‬‬
‫מגדירים פונקציה נוספת‪. g  x   ln x :‬‬
‫ג‪ .‬מצא את נקודות החיתוך של שני הגרפים‪.‬‬
‫ד‪ .‬הנקודה ‪ A‬נמצאת על גרף הפונקציה ‪ f  x ‬והנקודה ‪ B‬נמצאת על גרף‬
‫הפונקציה ‪ . g  x ‬ידוע כי לנקודות ‪ A‬ו ‪ B-‬אותו שיעור ‪.  xA  xB  , x‬‬
‫מצא את שיעור ה‪ x -‬של שתי הנקודות אם ידוע כי המשיקים לגרפים של‬
‫הפונקציות בנקודות אלו מקבילים‪.‬‬
‫‪196‬‬
‫‪ln x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ f  x  ‬ו‪-‬‬
‫‪ )30‬נתונה שתי הפונקציות הבאות‪:‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ln x‬‬
‫‪. g  x ‬‬
‫א‪ .‬קבע אילו מהמשפטים הבאים נכונים ואלו שגויים‪ .‬נמק זאת ע"י חישוב‬
‫מתאים ותקן במשפטים השגויים את הטעות‪.‬‬
‫‪ .1‬לשתי הפונקציות אותו תחום הגדרה‪.‬‬
‫‪ .2‬לשתי הפונקציות יש נקודת קיצון מאותו סוג ובעלות שיעור ‪ x‬זהה‪.‬‬
‫‪ .3‬לשתי הפונקציות תחומי עלייה וירידה זהים‪.‬‬
‫‪ .4‬לשתי הפונקציות יש אסימפטוטות אנכיות‪.‬‬
‫ב‪ .‬בוחרים באקראי שתי נקודות‪ ,‬אחת על כל גרף‪ ,‬כך ששיעור ה ‪ x -‬שלהן‬
‫זהה‪ .‬הוכח כי מכפלת שיעורי ה‪ y -‬של כל זוג נקודות כאלו שווה ל‪.1-‬‬
‫‪ )31‬נתונה הפונקציה הבאה‪. y  ln  x2  6 x  7  :‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה‪.‬‬
‫מהן האסימפטוטות של הפונקציה המקבילות לציר ה ‪? y -‬‬
‫מצא את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה‪.‬‬
‫לפניך ‪ 4‬גרפים‪ , III , II , I :‬ו‪ .IV-‬איזה מהגרפים מתאים לפונקציה‬
‫הנתונה‪ .‬נמק‪.‬‬
‫‪ )32‬נתונה הפונקציה‪. y  ln  x2  2 x  1 :‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה‪.‬‬
‫מהי האסימפטוטה של הפונקציה המקבילה לציר ה ‪? y -‬‬
‫מצא את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה‪.‬‬
‫לפניך ‪ 4‬גרפים‪ , III , II , I :‬ו‪ .IV-‬איזה מהגרפים מתאים לפונקציה‬
‫הנתונה‪ .‬נמק‪.‬‬
‫ה‪ .‬העזר בגרף שבחרת וכתוב את תחומי השליליות של הפונקציה‪.‬‬
‫‪197‬‬
‫‪ )33‬לפניך הפונקציה הבאה‪. f  x   ln 1  ln x  :‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫מה הוא תחום ההגדרה של הפונקציה?‬
‫הוכח כי הפונקציה יורדת בכל תחום הגדרתה‪.‬‬
‫מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם ציר ה ‪. x -‬‬
‫סרטט סקיצה של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫‪2x 1‬‬
‫‪ )34‬נתונה הפונקציה הבאה‪:‬‬
‫‪x 1‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫ה‪.‬‬
‫‪. y  ln‬‬
‫מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה‪.‬‬
‫כתוב את האסימפטוטות האנכיות של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם ציר ה ‪. x -‬‬
‫הראה כי גרף הפונקציה יורד בכל תחום הגדרתו‪.‬‬
‫סרטט סקיצה של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫‪ )35‬נתונה הפונקציה הבאה‪. f  x   x  ln3 x  2ln 2 x  :‬‬
‫א‪ .‬הראה כי נגזרת הפונקציה היא‪. f '  x   ln3 x  5ln 2 x  4ln x :‬‬
‫ב‪ .‬מצא את התחום בו הפונקציה עולה‪.‬‬
‫ג‪ .1 .‬מצא את נקודות החיתוך של הפונקציה עם ציר ה‪. x -‬‬
‫‪ .2‬מצא את התחום בו הפונקציה חיובית‪.‬‬
‫ד‪ .‬לפניך ‪ 4‬גרפים‪ .‬קבע איזה מהם מתאר את הפונקציה ‪f  x ‬‬
‫ונמק את בחירתך‪.‬‬
‫‪ )36‬נתונה הפונקציה‪. f  x   ln3 x  3ln x :‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫ה‪.‬‬
‫מה הוא תחום ההגדרה של הפונקציה‪.‬‬
‫מצא את נקודות החיתוך של הפונקציה עם ציר ה‪. x -‬‬
‫מצא את נקודות הקיצון של הפונקציה וקבע את סוגן‪.‬‬
‫סרטט סקיצה של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה ‪f  x ‬‬
‫עם הפונקציה‪. g  x   ln x :‬‬
‫‪198‬‬
‫‪)37‬‬
‫א‪ .‬פתור את המשוואה הבאה‪. ln  x  e   ln  x e   ln 2  0.5 :‬‬
‫נתונה הפונקציה‪. f  x   ln  x  e   ln  x e  :‬‬
‫ב‪ .‬הראה כי הפונקציה יורדת בכל תחום הגדרתה‪.‬‬
‫ג‪ .‬מצא את משוואת המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה‪. x  e :‬‬
‫‪xa‬‬
‫‪ )38‬נתונה הפונקציה הבאה‪:‬‬
‫‪ln  x  a ‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫‪ a , y ‬פרמטר חיובי‪. a  1 ,‬‬
‫הבע באמצעות ‪ a‬את‪:‬‬
‫‪ .1‬תחום ההגדרה של הפונקציה‪.‬‬
‫‪ .2‬הנקודה המקיימת ‪. y '  0‬‬
‫‪ .3‬נקודת החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים‪.‬‬
‫‪ .4‬האסימפטוטה האנכית של הפונקציה‪.‬‬
‫ידוע כי גרף הפונקציה עולה רק בתחום‪ . x  e  2 :‬מצא את ‪. a‬‬
‫סרטט סקיצה של גרף הפונקציה בתחום ‪. x  1‬‬
‫נתון הישר‪ . y  k :‬מצא בסקיצה את תחום הערכים של ‪ k‬עבורו לישר‬
‫ולגרף הפונקציה לא תהיה אף נקודה משותפת‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ )39‬נתונה הפונקציה הבאה‪:‬‬
‫‪x‬‬
‫‪. y  ln x ‬‬
‫א‪ .1 .‬מהו תחום ההגדרה של הפונקציה?‬
‫‪ .2‬יש לגרף הפונ קציה אסימפטוטה מקבילה לציר ‪ ? y‬אם כן מצא אותה‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא את נקודת הקיצון של גרף הפונקציה וקבע את סוגה‪.‬‬
‫ג‪ .‬כתוב את תחומי העלייה והירידה של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫‪199‬‬
:‫תשובות סופיות‬
2
.‫ג‬
 x  1 x  1
. f ' x 
f ' x 
2x  3
.‫ב‬
x 2  3x
f ' x 
3
4
5


.‫) א‬1
x x  2 5x 1
1
10
1
10


.‫ ו‬. f '( x) 
.‫ה‬
x ln 2 (2 x  1) ln 3
x ln 2 (2 x  1) ln 3
. f ' x 
1  ln x
.‫ג‬
x2
f ' x 
ex
.‫ד‬
ex  1
3x  1 

f '  x    3x  1  6ln x 
 .‫ ב‬. f '( x)  ln x  1 .‫) א‬2
x 

1 x
4
. f '( x) 
.‫ ה‬. f '( x) 
.‫ד‬
x(ln x  2)2
2 x ln x  x
. f '( x)  2 x ln x(ln x  1) .‫ ג‬. f '  x  
6 ln x
3ln 2 x
.‫ ב‬. f '  x  
.‫) א‬3
x
x
2(ln x  1)
. f '( x) 
.‫ד‬
x(ln x  1)3
1
1

.‫) א‬4
e x  ln x   .‫ ה‬2 .‫ ד‬x 2  3ln x  1 .‫ ג‬x  2ln x  1 .‫ב‬
x
x2

2
1
2 ln x  2  3x
2
4
2
.‫ יא‬ln x  1  .‫ י‬4 x ln x .‫ט‬
.‫ח‬
.‫ ז‬e x   2 x ln x  .‫ו‬
x
x
x
x
x

3
2
.‫טז‬

x  5 x 1
e ln x
.‫כא‬
2 x ln x
1
.‫כ‬
2 x ln x
1  3ln x
.‫כו‬
3x 2
3
2
2
.‫ יד‬
.‫יג‬
2
x 1
x  x  2
6
.‫טו‬
2
x 9
x2  a2  x
x x a x a
2
2
2
2  ln x
5
.‫כה‬
.‫כד‬
3 1  25x 2 
x x
ln x  4
.‫ל‬
ln 5 x
ln  x 2   2
ln 2  x 2 
.‫כט‬
2
.‫יט‬
2x
x 1
1
.‫כג‬
2  x 2  1
3ln 2 x  ln 3 x
.‫כח‬
x2
. a  2 , b  2 )6
2
1
. y  x )5
e
4  ln x 
.‫יב‬
x
3
.‫יח‬
1
.‫יז‬
2x
1
.‫כב‬
4  2x
2 ln x  ln 2 x
.‫כז‬
x2
.
2  ln 4 x  1
.‫לא‬
x ln 3 x
1
2
6
. y  ln 2  x  x 1 )9 y   4 x  2 )8 y  x )7
e
e
e
. x  ln 4 .‫ ד‬. x  2 ‫ או‬10  x .‫ ג‬. x  0 .‫ ב‬. x  0 .‫) א‬10
. max 1,  1 )11 . x  e .‫ ז‬. x  e3 , e1 ‫ וגם‬0  x .‫ ו‬. 0  x  e .‫ה‬
1
1
 1
. min( ,  ) )12


e 2e
. x  3 )17 . a  1 , b  1 )16 . a  1 , b  1 )15
. min(4, 1) )14 . max  e,  ,‫ קצה‬min( e , 0) )13
e
200
‫‪1‬‬
‫‪ )18‬נקודת אי הגדרה ‪ )19 . y  0 , x  e  0, 0 ‬נקודת אי הגדרה‬
‫‪e‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ )20‬נקודת אי הגדרה ‪. y  0 , x  0 )21 y  0 , x  2 ,  e2 , ‬‬
‫‪e  4‬‬
‫‪. ,  0, 2  y  2 , x ‬‬
‫‪3 ‬‬
‫‪ )22‬נקודת אי הגדרה ‪ )23 .  0, 0 ‬נקודת אי הגדרה ‪ )24 .  0, 2 ‬‬
‫‪2 e3 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪.  e3 ,‬‬
‫‪‬‬
‫‪ )25‬א‪ .4 max 1, 3.5 , min  3,ln 27  7.5 .3 x  0 .1 .‬עולה‪0  x  1 , x  3 :‬‬
‫יורדת‪.1  x  3 :‬‬
‫ב‪.3 1, 0  .2 x  0 .1 .‬‬
‫ג‪x  0 .1 .‬‬
‫‪ e, 0  .2‬‬
‫‪min  e1 , e1 ‬‬
‫‪min 1, 1 .3‬‬
‫‪ .4‬עולה‪ x  e1 :‬יורדת‪. 0  x  e1 :‬‬
‫‪ .4‬עולה‪ x  1 :‬יורדת‪. 0  x  1 :‬‬
‫ד‪ .4 min  e2 ,   .3 1,0  .2 x  0 .1 .‬עולה‪ x  e2 :‬יורדת‪. 0  x  e2 :‬‬
‫‪e‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫ה‪x  0 .1 .‬‬
‫‪1, 0  .2‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1 ‬‬
‫‪ 1‬‬
‫‪ x ‬יורדת‪:‬‬
‫‪ .4 min  ,   .3‬עולה‪:‬‬
‫‪e‬‬
‫‪e‬‬
‫‪ e 2e ‬‬
‫‪.0  x ‬‬
‫ו‪ .1 .‬כל ‪ .4 min  0, 0 .3  0, 0  .2 x‬עולה‪ x  0 :‬יורדת‪. x  0 :‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1 8‬‬
‫‪ )26‬א‪ . 0  x .‬ב‪max  2 , 2  , min 1, 0  .‬‬
‫ג‪ .‬עלייה‪ 1  x :‬או ‪2‬‬
‫‪e‬‬
‫‪e e ‬‬
‫‪1‬‬
‫ירידה‪ . 2  x  1 :‬ד‪. (1, 0) .‬‬
‫‪e‬‬
‫‪,0  x ‬‬
‫‪ )27‬א‪ 0  x  e .‬ב‪ . min(e2 , e2 ) .‬ג‪ .‬עלייה‪ , e2  x :‬ירידה‪ 0  x  e2 :‬וגם ‪. x  e‬‬
‫ד‪ .‬אין‪ .‬ו‪. k  e2 .‬‬
‫‪ )28‬א‪ . 0  x .‬ב‪ . min(4, 1) .‬ג‪ .‬עלייה‪ , 4  x :‬ירידה‪ 0  x  4 :‬ד‪. (1,0) , (16,0) .‬‬
‫‪ . f '( x) ‬ג‪ . 1,0  ,  e,1 .‬ד‪. x  4 e .‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ )29‬א‪ . x  1 .‬ב‪ .‬מתקבל‪ 0 :‬‬
‫‪2 x ln x‬‬
‫‪ )30‬א‪ .1 .‬לא נכון‪ .‬תחום ההגדה של )‪ f ( x‬הוא‪ x  0 , x  1 :‬ותחום ההגדרה‬
‫של )‪ g ( x‬הוא‪. x  0 :‬‬
‫‪ .2‬לא נכון‪ .‬לשתי הפונקציות נקודת קיצון שבה ‪ x  e‬אך עבור )‪f ( x‬‬
‫מדובר במינימום ועבור )‪ g ( x‬מדובר במקסימום‪.‬‬
‫‪ .3‬לא נכון‪ .‬עבור )‪ : f ( x‬עולה‪ x  e :‬יורדת‪. x  1 , 0  x  e :‬‬
‫ועבור )‪ : g ( x‬עולה‪ 0  x  e :‬יורדת‪. x  e :‬‬
‫‪ .4‬נכון‪.‬‬
‫‪ln x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ y ‬ו‪-‬‬
‫ב‪ .‬לגבי כל נקודה נאמר כי שיעור ה‪ y -‬שלה הוא‪:‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ln x‬‬
‫‪x ln x‬‬
‫‪‬‬
‫נכפול‪ 1 :‬‬
‫‪.y‬‬
‫‪ln x x‬‬
‫‪ )31‬א‪ x  1 , x  7 .‬ב‪ . x  7, 1 .‬ג‪ .‬עולה‪ x  7 :‬יורדת‪. x  1 :‬‬
‫‪201‬‬
‫‪.y‬‬
‫ד‪ .III .‬הסבר‪ :‬באיורים ‪ I‬ו‪ II-‬גרף הפונקציה לא בתחום‪.‬‬
‫באיור ‪ IV‬תחומי העלייה והירידה הפוכים‪.‬‬
‫‪ )32‬א‪ x  1 .‬ב‪ x  1 .‬ג‪ .‬עולה‪ x  1 :‬יורדת‪x  1 :‬‬
‫ד‪ .I .‬הסבר‪ :‬באיור ‪ II‬תחומי העלייה והירידה הפוכים‪.‬‬
‫באיורים ‪ III‬ו‪ IV-‬יש אסימפטוטה מיותרת‪ .‬ה‪. x  1 ,  2  x  0 .‬‬
‫‪ )33‬א‪( . 0  x  e .‬שימו לב כי תנאי ת‪.‬ה‪ .‬הם‪ 1  ln x  0 :‬וגם ‪.) x  0‬‬
‫‪1‬‬
‫ב‪ 0 .‬‬
‫‪x 1  ln x ‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ )34‬א‪, x  1 .‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 1x‬‬
‫‪1  ln x‬‬
‫‪ - f '( x) ‬ולכן הפונקציה יורדת בת‪.‬ה‪ .‬ג‪. 1, 0  .‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ . x  ‬ב‪. x   ,1 .‬ג‪.  2, 0  .‬‬
‫‪3‬‬
‫ד‪ .‬מתקבל‪ 0 :‬‬
‫‪ 2 x  1 x  1‬‬
‫‪. y' ‬‬
‫‪ )35‬ב‪. x  1 , e4  x  e1 .‬‬
‫ג‪ 2 .1 .‬נקודות והן‪ . 1, 0  ,  e2 , 0  :‬הנקודה שבה‪ x  0 :‬לא קיימת עקב ת‪.‬ה‪.‬‬
‫‪. x  1 , x  e2 .2‬‬
‫ד‪ – III .‬בראשית הצירים יש חור ולא אסימפטוטה‪.‬‬
‫שאר הנתונים כפי שהתקבלו בסעיפים הקודמים‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪‬‬
‫‪ )36‬א‪ . x  0 .‬ב‪ . 1, 0  , e 3 , 0 , e 3 , 0 .‬ג‪. Min  e, 2 , Max  e1 , 2  .‬‬
‫ה‪. 1, 0 ,  e2 , 2  ,  e2 , 2  .‬‬
‫‪1‬‬
‫‪e‬‬
‫‪ . y ' ‬ג‪x  ln 2 .‬‬
‫‪ )37‬א‪ . x  e .‬ב‪ .‬מתקבל‪ 0 :‬‬
‫‪2e‬‬
‫‪x  x  e‬‬
‫‪a ‬‬
‫‪‬‬
‫‪.y‬‬
‫‪. x  1  a .4 .  0,‬‬
‫‪ )38‬א‪ .3 .  e  a, e  .2 . x  a , x  1  a .1 .‬‬
‫‪ ln a ‬‬
‫ד‪k  e .‬‬
‫ב‪a  2 .‬‬
‫‪ )39‬א‪ x  0 .2 x  0 .1 .‬ב‪ Min 1,1 .‬ג‪ .‬עולה‪ x  1 :‬יורדת‪. 0  x  1 :‬‬
‫‪202‬‬
‫סקיצות לשאלות‪:‬‬
‫‪)26‬‬
‫‪) 34‬‬
‫‪) 27‬‬
‫‪)36‬‬
‫‪)28‬‬
‫‪)38‬‬
‫‪203‬‬
‫‪)33‬‬
‫תירגול נוסף‪:‬‬
‫‪ )1‬נתונה הפונקציה הבאה‪. y  x  ln x  4 :‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫מהו תחום ההגדרה של הפונקציה?‬
‫מצא את נקודת הקיצון של הפונקציה וקבע את סוגה‪.‬‬
‫מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים‪.‬‬
‫סרטט סקיצה של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫‪ )2‬נתונה הפונקציה הבאה‪. y  ln x  3  2 x :‬‬
‫א‪ .‬מהו תחום ההגדרה של הפונקציה ?‬
‫ב‪ .‬מצא את נקודות הקיצון של הפונקציה בתחום הגדרתה‪.‬‬
‫ג‪ .‬מצא את האסימפטוטה האנכית של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫‪ )3‬נתונה הפונקציה הבאה‪. y  ln   x2  4 x  3 :‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה‪.‬‬
‫מצא את האסימפטוטות האנכיות של הפונקציה‪.‬‬
‫הראה כי נקודת הקיצון של הפונקציה נמצאת על ציר ה ‪. x -‬‬
‫סרטט סקיצה של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫‪ )4‬נתונה הפונקציה הבאה‪. f  x   ln  x2  :‬‬
‫א‪ .‬חקור את הפונקציה לפי הסעיפים הבאים‪:‬‬
‫‪ .1‬מהו תחום ההגדרה של הפונקציה?‬
‫‪ .2‬האם יש לפונקציה נקודות קיצון? נמק והראה חישוב מתאים‪.‬‬
‫‪ .3‬האם יש לפונקציה אסימפטוטה אנכית? אם כן מהי?‬
‫‪ .4‬כתוב את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה‪.‬‬
‫‪ .5‬מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם ציר ה‪. x -‬‬
‫‪ .6‬סרטט סקיצה של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫ב‪ .‬נתונה הפונקציה‪. g  x    ln x  :‬‬
‫מצא את נקודות החיתוך של שני הגרפים‪.‬‬
‫‪ )5‬נתונה הפונקציה‪. f  x    ln x   a ln  x 2  :‬‬
‫‪2‬‬
‫ידוע כי גרף הפונקציה חותך את ציר ה‪ x -‬בנקודה שבה‪. x  e2 :‬‬
‫א‪ .‬מצא את ‪. a‬‬
‫ב‪ .‬מצא האם גרף הפונקציה חותך את ציר ה‪ x -‬בנקודות נוספות‪.‬‬
‫ג‪ .‬הראה כי הפונקציה מקבלת ערך מינימלי שהוא ‪.-1‬‬
‫‪204‬‬
‫‪ )6‬נתונה הפונקציה הבאה‪ a , y  ln 2  x  a  :‬פרמטר‪.‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫הבע באמצעות ‪ a‬את‪:‬‬
‫‪ .1‬תחום ההגדרה של הפונקציה‪.‬‬
‫‪ .2‬האסימפטוטה האנכית של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫באיזה תחום צריך להימצא ‪ a‬עבורו האסימפטוטה של הפונקציה‬
‫תהיה מימין לציר ה ‪? y -‬‬
‫‪ .1‬הראה כי עבור התחום שמצאת בסעיף הקודם יש לגרף‬
‫הפונקציה נקודת קיצון עם שיעור ‪ x‬חיובי‪.‬‬
‫‪ .2‬הוכח כי נקודת הקיצון של הפונקציה נמצאת על ציר ה‪x -‬‬
‫וקבע את סוגה‪.‬‬
‫מצא את ‪ a‬אם ידוע כי הפונקציה עולה בתחום‪. x  4 :‬‬
‫‪ )7‬נתונה הפונקציה הבאה‪ k , y   x  k   ln  x  k   1 :‬פרמטר‪.‬‬
‫א‪ .‬הוכח כי הנגזרת של הפונקציה היא‪. y '  ln  x  k  :‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫ה‪.‬‬
‫הבע באמצעות ‪ k‬את‪:‬‬
‫‪ .1‬נקודת הקיצון של הפונקציה וקבע את סוגה‪.‬‬
‫‪ .2‬נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים‪.‬‬
‫ידוע כי נקודת הקיצון של הפונקציה נמצאת על ציר ה ‪ . y -‬מצא את ‪. k‬‬
‫סרטט סקיצה של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫העזר בסקיצה של גרף הפונקציה והוכח כי אי ‪-‬השוויון‬
‫הבא‪  x  1  ln  x  1 1  1 :‬מתקיים עבור כל ‪. x‬‬
‫‪ )8‬נתונה הפונקציה‪. f  x   x  ln x  :‬‬
‫‪2‬‬
‫א‪ .‬כתוב את תחום ההגדרה של הפונקציה‪.‬‬
‫ב‪ .1 .‬הוכח כי נגזרת הפונקציה היא‪. f '  x    ln x   2ln x :‬‬
‫‪ .2‬הראה כי אחת מנקודות הקיצון של הפונקציה נמצאת על ציר ה ‪. x -‬‬
‫ג‪ .‬האם יש לגרף הפונקציה אסימפטוטות? נמק‪.‬‬
‫ד‪ .‬נתון הישר‪ . y  4 x :‬מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הישר‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ )9‬נתונה הפונקציה הבאה‪:‬‬
‫‪xa‬‬
‫א‪ .‬הבע באמצעות ‪ a‬את‪:‬‬
‫‪ a  0 , f  x   ln‬פרמטר‪.‬‬
‫‪ .1‬תחום ההגדרה של הפונקציה‪.‬‬
‫‪ .2‬האסימפטוטות של הפונקציה המקבילות לצירים‪.‬‬
‫ב‪ .‬הוכח כי גרף הפונקציה עולה בכל תחום הגדרתו‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫ג‪ .‬נגזרת הפונקציה מקיימת‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ . f ' 1 ‬מצא את ‪. a‬‬
‫ד‪ .‬סרטט סקיצה של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫‪205‬‬
‫‪ )10‬נתונה הפונקציה‪ a  0 , f  x   ln 2  x  a  :‬פרמטר‪.‬‬
‫א‪ .‬הראה כי הנגזרת השנייה של הפונקציה היא‪:‬‬
‫‪2  2ln  x  a ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ x  a‬‬
‫‪. f ''  x  ‬‬
‫ב‪ .‬הבע באמצעות ‪ a‬את שיעורי הנקודה המאפסת את הנגזרת השנייה‪.‬‬
‫ג‪ .‬מצא את שיפוע המשיק לגרף הפונקציה העובר דרך הנקודה המאפסת‬
‫את הנגזרת השנייה‪.‬‬
‫ד‪ .‬הבע באמצעות ‪ a‬את משוואת המשיק הנ"ל‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪e‬‬
‫ה‪ .‬המשיק חותך את ציר ה ‪ y -‬בנקודה שבה ‪ . y    1‬מצא את ‪. a‬‬
‫‪ )11‬נתונה הפונקציה הבאה‪. y  k ln x  x3 :‬‬
‫ידוע כי שיפוע המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה ‪ x  3‬הוא ‪.-26‬‬
‫א‪ .‬מצא את ‪ k‬וכתוב את הפונקציה‪.‬‬
‫ב‪ .‬כתוב את תחום ההגדרה של הפונקציה‪.‬‬
‫ג‪ .‬מצא את נקודת הקיצון של הפונקציה וקבע את סוגה‪.‬‬
‫ד‪ .‬היעזר בסעיף הקודם והוכח את הטענות הבאות‪:‬‬
‫‪ .1‬גרף הפונקציה אינו חותך את ציר ה‪. x -‬‬
‫‪ .2‬גרף הפונקציה שלילי בכל תחום הגדרתו‪.‬‬
‫ה‪ .‬סרטט סקיצה של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫‪)12‬‬
‫א‪ .‬פתור את המשוואה הבאה‪. ln 2 x  2ln x  0 :‬‬
‫ב‪ .‬הוכח כי הנגזרת של הפונקציה‪:‬‬
‫‪f  x   x  ln x ‬‬
‫‪3‬‬
‫היא‪. f '  x    ln x   3  ln x  :‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3ln 2 x  6ln x‬‬
‫‪. f ''  x  ‬‬
‫ג‪ .‬הוכח כי הנגזרת השנייה של הפונקציה ‪ f  x ‬היא‪:‬‬
‫‪x‬‬
‫ד‪ .‬הראה כי אחת מהנקודות המקיימות ‪ f ''  x   0‬נמצאת על ציר ה ‪. x -‬‬
‫‪)13‬‬
‫א‪ .‬פתור את המשוואה הבאה‪. ln 2 10  x2   ln 10  x2   0 :‬‬
‫(רמז‪ :‬סמן ‪ t  ln 10  x2 ‬ופתור עבור ‪.) t‬‬
‫לפניך הפונקציות הבאות‪. f  x   ln 2 10  x 2  , g  x   ln 10  x 2  :‬‬
‫ב‪ .‬קבע אלו מהמשפטים הבאים נכונים לגבי הפונקציות ואלו לא‪ .‬נמק כל‬
‫הסבר בחישוב מתאים‪.‬‬
‫‪ .1‬לשתי הפונקציות אותו תחום הגדרה‪.‬‬
‫‪ .2‬לשתי הפונקציות יש נקודת קיצון אחת הנמצאת על ציר ה‪. y -‬‬
‫‪ .3‬הגרפים של הפונקציות נחתכים ב ‪ 2-‬נקודות בלבד‪.‬‬
‫‪ .4‬הפונקציות חותכות את ציר ה‪ x -‬באותן הנקודות‪.‬‬
‫‪206‬‬
‫ג‪ .‬סרטט סקיצה של גרף הפונקציה ‪ g  x ‬על סמך מה שקבעת בסעיף ב'‪.‬‬
‫‪ )14‬נתונה הפונקציה הבאה‪. f  x   ln 2 x  2ln x :‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫ה‪.‬‬
‫ו‪.‬‬
‫מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה‪.‬‬
‫הראה כי אין לפונקציה נקודות קיצון כלל‪.‬‬
‫כתוב את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה‪.‬‬
‫מצא את נקודות החיתוך של הפונקציה עם ציר ה‪. x -‬‬
‫סרטט סקיצה של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫נתון הישר‪ . y  k :‬האם קיימים ערכי ‪ k‬עבורם הישר יחתוך את גרף‬
‫הפונקציה בנקודה אחת בלבד? אם כן – מצא אותם‪.‬‬
‫‪ )15‬נתונה הפונקציה‪. y  log 2  3x  1 :‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫כתוב את תחום ההגדרה של הפונקציה‪.‬‬
‫הראה כי גרף הפונקציה עולה בכל תחום הגדרתו‪.‬‬
‫הראה כי גרף הפונקציה עובר בראשית הצירים‪.‬‬
‫סרטט סקיצה של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫‪ )16‬נתונה הפונקציה הבאה‪. y  x2 log0.5  x2  :‬‬
‫א‪ .‬מהו תחום ההגדרה של הפונקציה?‬
‫ב‪ .‬מצא את נקודות הקיצון של הפונקציה וקבע את סוגן‪.‬‬
‫ג‪ .‬כתוב את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה‪.‬‬
‫‪ )17‬נתונה הפונקציה הבאה‪. y  log3  x2  ax  9  :‬‬
‫ידוע כי יש לגרף הפונקציה אסימפטוטה אנכית‪. x  3 :‬‬
‫א‪ .‬מצא את ‪. a‬‬
‫ב‪ .‬מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים‪.‬‬
‫ג‪ .‬הישר ‪ y  6‬חותך את גרף הפונקציה בשתי נקודות‪ .‬מצא את נקודות אלו‪.‬‬
‫‪x2‬‬
‫‪x 1‬‬
‫‪, f  x   log 1‬‬
‫‪ )18‬נתונות הפונקציות הבאות‪:‬‬
‫‪x‬‬
‫‪3 x2‬‬
‫‪. g  x   1  log 1‬‬
‫‪3‬‬
‫א‪ .‬מצא את תחום ההגדרה של כל פונקציה‪.‬‬
‫ב‪ .‬הראה כי הגרפים של הפונקציות לא נחתכים באף נקודה‪.‬‬
‫ג‪ .‬מצא את משוואת הישר המשיק לגרף הפונקציה ‪ f  x ‬בנקודת‬
‫החיתוך שלה עם ציר ה ‪. y -‬‬
‫‪207‬‬
‫‪ )19‬נתונה הפונקציה הבאה‪. y  log4  x  2  log16  x2  4 :‬‬
‫א‪ .‬מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה‪.‬‬
‫ב‪ .‬הראה כי גרף הפונקציה עולה בכל תחום הגדרתו‪.‬‬
‫ג‪ .‬מעבירים ישר ‪ y  1‬החותך את גרף הפונקציה‪.‬‬
‫מצא את שיעור ה‪ x -‬של נקודת החיתוך‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪ )20‬נתונה הפונקציה הבאה‪:‬‬
‫‪log 2  x  2  log 4 x‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫‪.y‬‬
‫מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה‪.‬‬
‫כתוב את משוואת המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה ‪. x  4‬‬
‫מצא את נקודות החיתוך של המשיק עם הצירים‪.‬‬
‫חשב את שטח המשולש הכלוא בין המשיק והצירים‪.‬‬
‫‪ )21‬נתונה הפונקציה הבאה‪. y  x log  x  a  :‬‬
‫‪3‬‬
‫נגזרת הפונקציה מקיימת‪:‬‬
‫‪ln10‬‬
‫א‪ .‬מצא את ‪. a‬‬
‫‪. f '  3 ‬‬
‫ב‪ .‬כתוב את משוואת המשיק בנקודה הנ"ל‪.‬‬
‫ג‪ .‬חשב את שטח המשולש הנוצר בין המשיק והצירים‪.‬‬
‫‪208‬‬
‫תשובות סופיות‪:‬‬
‫‪ )1‬א‪ . x  0 .‬ב‪ . Min  e3 , e3  .‬ג‪.  e4 , 0  .‬‬
‫‪ )2‬א‪ 0  x  1.5 .‬ב‪ 1,1 .‬ג‪. x  0 .‬‬
‫‪ )3‬א‪ .1  x  3 .‬ב‪ . x  1,3 .‬ג‪.  2, 0  .‬‬
‫‪ )4‬א‪. x  0 .1 .‬‬
‫‪2x‬‬
‫‪ .2‬לא‪ .‬הנגזרת היא‪:‬‬
‫‪x2‬‬
‫‪ y ' ‬והרי ש‪. x  0 .3 . x  0 -‬‬
‫‪ .4‬עולה‪ x  0 :‬יורדת‪ . 1,0  ,  1,0  .5 . x  0 :‬ב‪. 1, 0  ,  e2 , 4  .‬‬
‫‪ )5‬א‪ . a  1 .‬ב‪ . 1, 0  .‬ג‪ .‬לגרף הפונקציה נקודת מינימום יחידה והיא‪.  e, 1 :‬‬
‫לכן ערך הפונקציה המינימלי הוא ‪.-1‬‬
‫‪ )6‬א‪ x  a .2 x  a .1 .‬ב‪ . a  0 .‬ג‪ .1 .‬מתקבל‪. x  1  a  1  ()  0 :‬‬
‫‪Min 1  a,0  .2‬‬
‫ד‪. a  3 .‬‬
‫‪ )7‬ב‪ .  k ,0 ,  e  k ,0  ,  0, k  ln k 1  .2 . 1  k , 1 .1 .‬ג‪. k  1 .‬‬
‫‪ )8‬א‪ . x  0 .‬ב‪ . 1, 0  .‬ג‪ .‬לא‪ .‬גרף הפונקציה שואף ל‪ 0-‬בגבול שלו‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫ד‪.  e2 , 4e2  ,  2 , 2  .‬‬
‫‪e e ‬‬
‫‪4‬‬
‫‪1‬‬
‫‪a‬‬
‫‪ )9‬א‪ . x  0, a .2 x  a , x  0 .1 .‬ב‪ .‬מתקבלת הנגזרת‪ 0 :‬‬
‫‪x  x  a‬‬
‫‪. y' ‬‬
‫ג‪. a  1 .‬‬
‫‪ )10‬ב‪.  a  e,1 .‬‬
‫‪2‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪e‬‬
‫‪.m ‬‬
‫‪2a‬‬
‫ד‪ 1 .‬‬
‫‪e‬‬
‫‪2‬‬
‫‪e‬‬
‫‪ . y  x ‬ה‪. a  1 .‬‬
‫‪ )11‬א‪ . y  3ln x  x3 , k  3 .‬ב‪ . x  0 .‬ג‪. Max 1, 1 .‬‬
‫ד‪ .2 + .1 .‬הערך המקסימלי של הפונקציה הוא ‪ -1‬ולכן גרף הפונקציה לא‬
‫נוגע בציר ה‪ x -‬וכולו שלילי‪ )12 .‬א‪. x  1 , e2 .‬‬
‫‪ )13‬א‪ . x1,2  3 , x3,4  2.7 .‬ב‪ .1 .‬לא‪ .‬עבור‪ f ( x) :‬ת‪.‬ה‪ .‬הוא‪. 3.16  x  3.16 :‬‬
‫עבור‪ g ( x) :‬ת‪.‬ה‪ .‬הוא‪. 3  x  3 :‬‬
‫‪ .2‬כן‪ .‬עבור )‪ f ( x‬הנקודה‪ . Max  0,5.3 :‬עבור‪ g ( x) :‬הנקודה‪. Max  0,1.5 :‬‬
‫‪ .3‬לא‪ .‬מסעיף א' ניתן לראות כי הגרפים חותכים זה את זה ב‪ 4-‬נקודות שונות‪.‬‬
‫‪ .4‬כן‪.  3,0  ,  3,0 .‬‬
‫‪ )14‬א‪ . 0  x  1 , x  e2 .‬ב‪ .‬ניתן לראות כי‪:‬‬
‫‪2ln x 2‬‬
‫‪‬‬
‫‪2ln x  2‬‬
‫‪ln x  1‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪f '( x) ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ xe‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2 ln x  2ln x 2 x ln x  2ln x x ln 2 x  2ln x‬‬
‫הפתרון נפסל עקב ת‪.‬ה‪ .‬ולכן אין נקודות קיצון כלל‪.‬‬
‫ג‪ . 1, 0 ,  e2 , 0 .‬ד‪ .‬עולה‪ . x  e2 :‬יורדת‪. 0  x  1 :‬‬
‫‪209‬‬
. k  0 :‫ ובאף נקודה כאשר‬k  0 ‫ הגרף תמיד יחתך בשתי נקודות כאשר‬.‫ לא‬.‫ו‬
. y' 
3
1
 0 :‫ מתקבל‬.‫ ב‬. x   .‫) א‬15
3
 3x  1 ln 2
. Max  0.606,0.53 , Max  0.606,0.53 .‫ ב‬. x  0 .‫) א‬16
. 0.606  x  0 , x  0.606 :‫ יורדת‬x  0.606 , 0  x  0.606 :‫ עולה‬.‫ג‬
.  24,6 ,  30,6  .‫ ג‬.  4,0  ,  2,0  .‫ ב‬. a  6 .‫) א‬17
. x  0 , x  2 : g ( x) ‫ עבור‬. x  1 , x  2 : f ( x) ‫ עבור‬.‫) א‬18
1
ln 2
x
.‫ ג‬.‫) אינה בתחום‬1.5( ‫ הנקודה המתקבלת‬.‫ב‬
ln 3
ln 3
4
2
 0 :‫ מתקבל‬.‫ ב‬. x  2 .‫) א‬19
. x  2  2.266 .‫ ג‬. y '  2
15
 x  4 ln 4
.y
 4  5  ln16    5  ln16 
5
5  ln16
, 0  ,  0,
x
.‫ ב‬. x  2 , x  3 .‫) א‬20
 .‫ ג‬. y  
5
ln 4 
4ln 4
ln 4

 
.
2  5  ln16 
.S 
.‫ד‬
5ln 4
27
3
9
x
.S 
.‫ ג‬. y 
.‫ ב‬. a  2 .‫) א‬21
ln100
ln10
ln10
2
)7
)4
y
y
:‫סקיצות לשאלות‬
)3
)1
y
y
x
x
x
x
)14
y
)13
y
) 11
y
)9
y
x
x
x
x
)15
y
x
210
‫פונקצית חזקה עם מעריך רציונאלי‪:‬‬
‫הגדרות כלליות‪:‬‬
‫‪m‬‬
‫הצורה הכללית של פונקצית חזקה עם מעריך רציונאלי‪. f  x   x n :‬‬
‫‪m‬‬
‫תזכורת‪ a n :‬‬
‫‪m‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪a‬‬
‫‪n‬‬
‫‪am ‬‬
‫‪n‬‬
‫‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪n‬‬
‫להלן מספר דוגמאות לפונקציה מהצורה‪: f  x   x  n x :‬‬
‫תכונות כלליות‪:‬‬
‫‪m‬‬
‫‪n‬‬
‫‪ .1‬פונקצית חזקה‪ f  x   x :‬מוגדרת לכל ‪ x‬עבור‪ n :‬אי‪-‬זוגי‬
‫ומוגדרת לכל ‪ x  0‬עבור ‪ n‬זוגי‪.‬‬
‫‪m‬‬
‫‪b‬‬
‫‪ .2‬הפונקציה‪ f  x    ax  b  n :‬מוגדרת לכל ‪ x‬עבור‪ n :‬אי‪-‬זוגי ולכל‬
‫‪a‬‬
‫עבור ‪ n‬זוגי‪.‬‬
‫נגזרת של פונקצית חזקה‪:‬‬
‫הפונקציה‬
‫‪m‬‬
‫‪n‬‬
‫הנגזרת‬
‫‪m mn 1‬‬
‫‪y'  x‬‬
‫‪n‬‬
‫‪yx‬‬
‫‪m‬‬
‫‪m‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ ax  b  n‬‬
‫‪n‬‬
‫‪m‬‬
‫‪y   ax  b  n‬‬
‫‪211‬‬
‫‪y'  a‬‬
‫‪x‬‬
‫דוגמאות‪:‬‬
‫‪2 1‬‬
‫‪2 1‬‬
‫‪.1‬‬
‫‪ 3‬‬
‫‪1/3‬‬
‫‪3x‬‬
‫‪3 x‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪3‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x‬‬
‫‪3‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ f ' x ‬‬
‫‪1 101 1 1 109‬‬
‫‪1 1‬‬
‫‪1 1‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ x ‬‬
‫‪‬‬
‫‪.2‬‬
‫‪9/10‬‬
‫‪10‬‬
‫‪10‬‬
‫‪10 x‬‬
‫‪10 10 x9‬‬
‫‪.3‬‬
‫‪.4‬‬
‫‪.5‬‬
‫‪1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ 2 x  5‬‬
‫‪4‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 6  5x ‬‬
‫‪5‬‬
‫‪1‬‬
‫‪5‬‬
‫‪ x  7‬‬
‫‪4‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪3/4‬‬
‫‪3/5‬‬
‫‪ 6  5x ‬‬
‫‪. f  x   3 x2  x‬‬
‫‪1‬‬
‫‪. f  x   10 x  x10  f '  x  ‬‬
‫‪1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪. f  x   4 2 x  5   2 x  5  4  f '  x   1  2 x  5  4  2  1‬‬
‫‪2  2 x  5‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪4‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪. f  x   5  6  5 x 2   6  5 x  5  f '  x   2  6  5 x  5   5  2‬‬
‫‪5‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪ x  7 4  ‬‬
‫‪4‬‬
‫‪4‬‬
‫‪5‬‬
‫‪ f ' x  ‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪  x  7 4‬‬
‫‪1/4‬‬
‫‪x  7  x  7‬‬
‫‪4‬‬
‫‪. f  x ‬‬
‫שאלות שונות‪:‬‬
‫‪ )1‬גזור פעמיים את הפונקציות הבאות‪:‬‬
‫א‪.‬‬
‫‪f  x   3 x2‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪f  x   3 x2 1‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪f  x   3 x 2 1  x ‬‬
‫‪ )2‬נתונה הפונקציה‪. f  x   3 x  6 x  6 :‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫ה‪.‬‬
‫מהו תחום ההגדרה של הפונקציה?‬
‫מצא את נקודות החיתוך של הפונקציה עם הצירים‪.‬‬
‫הוכח כי הפונקציה עולה בכל תחום הגדרתה‪.‬‬
‫סרטט סקיצה של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫מגדירים פונקציה נוספת‪ . g  x    f  x  :‬קבע לגבי כל טענה האם היא‬
‫נכונה או שגויה‪ .‬נמק‪.‬‬
‫‪ .1‬לשתי הפונקציות אותו תחום הגדרה‪.‬‬
‫‪ .2‬שתי הפונקציות חותכות את הצירים באותן הנקודות‪.‬‬
‫‪ .3‬שתי הפונקציות עולות בכל תחום הגדרתן‪.‬‬
‫‪212‬‬
‫‪ )3‬נתונה הפונקציה‪ k , f  x   x3  k 3 x  8 :‬פרמטר‪.‬‬
‫ידוע כי הפונקציה חותכת את ציר ה ‪ x -‬בנקודה שבה ‪. x  2.741‬‬
‫א‪ .‬מצא את ערך הפרמטר ‪ , k‬עגל למספר שלם‪.‬‬
‫ב‪ .‬הראה כי אחת מנקודות הקיצון של הפונקציה נמצאת גם היא על ציר ה ‪. x -‬‬
‫ג‪ .‬כתוב את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה‪.‬‬
‫ד‪ .‬סרטט סקיצה של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫ה‪ .‬העזר בסקיצה ו קבע כמה פתרונות יהיו למשוואה הבאה‪. x  9 3 x  8 :‬‬
‫‪ )4‬נתונות הפונקציות הבאות‪. g  x   5 2 x  2.6 , f  x    x  2 :‬‬
‫‪2‬‬
‫א‪ .‬מצא את נקודות החיתוך של הפונקציות עם ציר ה ‪. x -‬‬
‫ב‪ .‬מגדירים פונקציה חדשה‪. h  x   f  x   g  x  :‬‬
‫כתוב מפורשות את הפונקציה )‪ h( x‬ואת תחום הגדרתה‪.‬‬
‫ג‪ .‬מצא את נקודות הקיצון של הפונקציה ‪. h  x ‬‬
‫ד‪ .‬סרטט סקיצה של גרף הפונקציה ‪. h  x ‬‬
‫ה‪ .‬מצא עבור אלו ערכים של ‪ k‬יחתוך הישר ‪ y  k‬את גרף הפונקציה‬
‫ב ‪ 3-‬נקודות שונות‪.‬‬
‫‪5 x 2  66 x  440‬‬
‫‪. f  x ‬‬
‫‪ )5‬נתונה הפונקציה הבאה‪:‬‬
‫‪6‬‬
‫‪x‬‬
‫א‪ .‬מהו תחום ההגדרה של הפונקציה?‬
‫האם יש לפונקציה אסימפטוטה אנכית?‬
‫ב‪ .‬האם הפונקציה חותכת את הצירים בתחום‪ ? 0 :18 :‬נמק ע"י חישוב‪.‬‬
‫ג‪ .‬מצא את נקודות הקיצון של הפונקציה‪.‬‬
‫ד‪ .‬סרטט סקיצה של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫ה‪ .‬מגדירים פונקציה נוספת‪ g  x  :‬המקיימת‪ . g  x    f  x  :‬לפניך מספר‬
‫טענות המתייחסות לפונקציה ‪ g  x ‬קבע אלו מהטענות הבאות נכונות‬
‫ואלו שגויות‪ .‬נמק ע"י הסבר או חישוב מתאים‪.‬‬
‫‪ g  x  .1‬חיובית בכל התחום ‪. 0 :18‬‬
‫‪ .2‬ל‪ g  x  -‬אותן נקודות קיצון (אותם שיעורים ואותו סוג) כמו ‪. f  x ‬‬
‫‪ .3‬ל‪ g  x  -‬אותו תחום הגדרה כמו ל‪. f  x  -‬‬
‫‪213‬‬
‫‪ )6‬נתונה הפונקציה הבאה‪. f  x   x  4 9  x :‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫ה‪.‬‬
‫מה הוא תחום ההגדרה של הפונקציה?‬
‫מצא את נקודות הקיצון של הפונקציה (מקומיות וקצה) וקבע את סוגן‪.‬‬
‫כתוב את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה‪.‬‬
‫על סמך הסעיפים הקודמים קבע כמה פתרונות יש‬
‫למשוואה הבאה‪ x  4 9  x  k :‬כאשר‪:‬‬
‫‪. k  2 .1‬‬
‫‪. k  1 .2‬‬
‫קבע איזה מבין הגרפים הבאים מתאר את הנגזרת של הפונקציה‪ .‬נמק‪.‬‬
‫‪214‬‬
:‫תשובות סופיות‬
. f ' x 
. f ' x 
2x


3 3 x2 1
. f ' x 
2
2
3 x
3
, f ''  x   
2
9  x4
3
.‫) א‬1
2 x2  3
.‫ב‬
, f ''  x    
9 x 2  1 5/3


2  5x
2 1  5x
.‫ג‬
, f ''  x    
3
9 3 x4
3 x
1 26 x
 0 :‫ הנגזרת‬.‫ ג‬.  64,0  ,  0, 6  .‫ ב‬. x  0 .‫) א‬2
6 x5/6
.‫ לא נכון‬.3 .‫ שונה‬y -‫ החיתוך עם ציר ה‬.‫ לא נכון‬.2 .‫ נכון‬.1 .‫ה‬
.‫ה‬.‫ בת‬f '  x  
. 1  x  1 :‫ יורדת‬, x  1 , x  1 :‫ עולה‬.‫ ג‬. Max  1,16 ; Min 1,0  .‫ ב‬. k  9 .‫) א‬3
.2 .‫ה‬
. x ‫ כל‬, h  x    x  2
2 5
2 x  2.6 .‫ ב‬.  2,0  ,
 1.3,0  .‫) א‬4
. 0  k  9 .‫ ה‬. Max  1,9 ; Min  2,0  .‫ג‬
.‫ לא‬.‫ ב‬.‫ אסימפטוטה אנכית‬x  0 , x  0 .‫) א‬5
.‫ נכון‬.3 .‫ לא נכון‬.2 .‫ נכון‬.1 .‫ ה‬. Min  4, 495.27  ; Max  2, 491.77  .‫ג‬
.‫ קצה‬Min  9, 0  ,‫ קצה‬Min  0, 0 ; Max  6,3.22 .‫ ב‬. 0  x  9 .‫) א‬6
.‫ שני פתרונות‬k  1 .‫ אין פתרון‬k  2 .‫ ד‬. 6  x  9 :‫ יורדת‬, 0  x  6 :‫ עולה‬.‫ג‬
.B .‫ה‬
:‫סקיצות לשאלות‬
)5
)4
215
)3
)2
‫תירגול נוסף‪:‬‬
‫כתוב את תחום ההגדרה של הפונקציות הבאות‪:‬‬
‫‪y  4 x )1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪)5‬‬
‫‪x‬‬
‫‪y  7 x )2‬‬
‫‪y‬‬
‫‪6‬‬
‫‪)6‬‬
‫‪1‬‬
‫‪x‬‬
‫‪7‬‬
‫‪y‬‬
‫‪y  3 x  1 )3‬‬
‫‪)7‬‬
‫‪3x‬‬
‫‪3x  7‬‬
‫‪3‬‬
‫‪y  8 2  3 x )4‬‬
‫‪y‬‬
‫‪)8‬‬
‫‪x2  2x‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ 2x  4‬‬
‫‪y‬‬
‫‪20‬‬
‫גזור את הפונקציות הבאות‪:‬‬
‫‪y  4 x  4 x )9‬‬
‫‪y  27  3 x  1 )10‬‬
‫‪y   x  2   3 x )11‬‬
‫‪y   3  x3   6 x )12‬‬
‫‪2‬‬
‫‪5‬‬
‫‪ 3x  1 )13‬‬
‫‪)15‬‬
‫‪y   x 2  4  8  4 x  3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪6‬‬
‫‪)17‬‬
‫‪x2‬‬
‫‪)19‬‬
‫‪3‬‬
‫‪y‬‬
‫‪5‬‬
‫‪4x  x3‬‬
‫‪x2‬‬
‫‪5‬‬
‫‪)14‬‬
‫‪7‬‬
‫‪y  10  8  7 x ‬‬
‫‪y  x3  7 1  x )16‬‬
‫‪2‬‬
‫‪y‬‬
‫‪)18‬‬
‫‪y‬‬
‫‪x x‬‬
‫‪)20‬‬
‫‪3‬‬
‫‪x 1‬‬
‫‪4‬‬
‫‪ 4  3x ‬‬
‫‪y‬‬
‫‪7‬‬
‫‪y‬‬
‫לפניך מספר פונקציות‪ .‬מצא את ערך הנגזרת של הפונקציה בנקודה המצוינת לידה‪:‬‬
‫‪)21‬‬
‫‪10‬‬
‫‪x4‬‬
‫‪5‬‬
‫‪x 1 ; y ‬‬
‫‪x  81 ; y   x 2  81 4 x )23‬‬
‫‪x  3 ; y  2 x  3 3x  1 )22‬‬
‫‪x4‬‬
‫‪)24‬‬
‫‪5‬‬
‫‪4x‬‬
‫‪x 8 ; y ‬‬
‫‪ )25‬מצא את משוואת המשיק לגרף הפונקציה‪ y   x2  3x  4 3 x :‬בנקודה שבה‪. x  1 :‬‬
‫‪ )26‬מצא את משוואת המשיק לגרף הפונקציה‪ y  4 6  x  x :‬בנקודה שבה‪. x  10 :‬‬
‫‪5‬‬
‫‪2x‬‬
‫‪ )27‬מצא את משוואת המשיק לגרף הפונקציה‪:‬‬
‫‪x  258.5‬‬
‫‪2‬‬
‫‪6‬‬
‫‪ )28‬מצא את משוואת המשיק לגרף הפונקציה‪:‬‬
‫‪x  x3‬‬
‫‪216‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ y ‬בנקודה שבה‪. x  16 :‬‬
‫‪ y ‬בנקודה שבה‪. x  1 :‬‬
‫‪ )29‬באיור שלפניך נתונה הפונקציה‪. f  x   4 8x  16 :‬‬
‫מעבירים משיק לגרף הפונקציה דרך נקודת החיתוך שלה עם ציר ה ‪. y -‬‬
‫‪y‬‬
‫א‪ .‬מצא את משוואת המשיק‪.‬‬
‫‪C‬‬
‫ב‪ .‬מעלים אנך לציר ה‪ x -‬מקצה תחום ההגדרה‬
‫‪f  x‬‬
‫של הפונקציה כך שנוצר טרפז ישר זווית ‪.ABCO‬‬
‫‪x‬‬
‫‪O‬‬
‫חשב את שטחו‪.‬‬
‫‪B‬‬
‫‪A‬‬
‫‪ )30‬באיור שלפניך נתונה הפונקציה הבאה‪. f  x    2 x  4 4 x :‬‬
‫א‪ .‬מצא את משוואת המשיק לגרף הפונקציה העובר דרך ‪. 1, 6 ‬‬
‫ב‪ .‬מצא את משוואת הנורמל לפונקציה בנקודה ‪. 1, 6 ‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪y‬‬
‫‪f  x‬‬
‫חשב את השטח הנוצר ע"י שני הישרים והצירים‪.‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ )31‬נתונות הפונקציות הבאות‪. g  x   3 6 x  2 ; f  x   3 x :‬‬
‫א‪ .‬מצא את נקודות החיתוך של שני הגרפים‪.‬‬
‫ב‪ .‬קבע באלו תחומים מתקיים‪. f  x   g  x  :‬‬
‫ג‪.‬‬
‫מצא את משוואת המשיק לגרף הפונקציה ‪g  x ‬‬
‫העובר דרך נקודת החיתוך הרחוקה יותר מהראשית מבין‬
‫הנקודות שמצאת‪.‬‬
‫‪ )32‬נתונות הפונקציות הבאות‪. g  x   5 32  x ; f  x   5 32  x :‬‬
‫א‪ .‬מצא את נקודת החיתוך של הפונקציות‪.‬‬
‫ב‪ .‬כתוב את משוואות המשיקים לגרפים של הפונקציות‬
‫העוברים דרך נקודת החיתוך‪.‬‬
‫ג‪ .‬חשב את שטח המשולש שנוצר בין המשיקים וציר ה‪. x -‬‬
‫‪ )33‬לפניך מספר פונקציות‪.‬‬
‫מצא את שיעורי הנקודה ששיפוע המשיק העובר דרכה הוא המצוין לידה‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪6‬‬
‫א‪m  15 ; f  x   3 5x  1 .‬‬
‫‪m‬‬
‫‪; f  x ‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪x‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪x‬‬
‫‪; f  x   5 2x ‬‬
‫‪20‬‬
‫‪40‬‬
‫‪m‬‬
‫ד‪.‬‬
‫‪ )34‬נתונה הפונקציה הבאה‪. f  x   3 x  1 :‬‬
‫מצא את משוואת המשיק המקביל לישר‪. y  3x :‬‬
‫‪217‬‬
‫‪6‬‬
‫‪x 2  27 x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪128‬‬
‫‪m  15 ; f  x  ‬‬
‫‪ )35‬נתונה הפונקציה הבאה‪. f  x   4 2  x :‬‬
‫מצא את משוואת המשיק המאונך לישר‪. 2 y  x  4 :‬‬
‫‪ )36‬באיור שלפניך מתואר הגרף של הפונקציה‪. f  x    x  1 3 9  x :‬‬
‫א‪ .‬מצא נקודה על הפונקציה ששיפוע המשיק העובר דרכה הוא ‪.0‬‬
‫ב‪ .‬כתוב את משוואת המשיק העובר דרך הנקודה‬
‫שמצאת בסעיף הקודם‪.‬‬
‫ג‪ .‬כתוב את משוואת המשיק לגרף הפונקציה העובר‬
‫דרך נקודת החיתוך שלה עם ציר ה‪ x -‬הקרובה‬
‫‪x‬‬
‫יותר לראשית‪.‬‬
‫‪f  x‬‬
‫ד‪ .‬חשב את שטח המשולש הנוצר בין שני‬
‫המשיקים שמצאת וציר ה‪. y -‬‬
‫‪y‬‬
‫‪ )37‬נתונה הפונקציה הבאה‪ A) , f  x    x  A 3 3x :‬פרמטר)‪.‬‬
‫ידוע כי שיפוע המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה‪ x  9 :‬הוא‪. m  6 :‬‬
‫מצא את ‪. A‬‬
‫‪ )38‬נתונה הפונקציה הבאה‪ A) , f  x   4 2 x  7  Ax2 :‬פרמטר)‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫ידוע כי שיפוע המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה‪ x  4.5 :‬הוא‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫מצא את ‪. A‬‬
‫‪Ax  B‬‬
‫‪ )39‬נתונה הפונקציה‪:‬‬
‫‪3‬‬
‫‪x‬‬
‫‪.m  ‬‬
‫‪ A, B) . f  x  ‬פרמטרים)‪ .‬משוואת המשיק לגרף‬
‫הפונקציה דרך הנקודה‪ x  1 :‬היא‪ . 3 y  x  14 :‬מצא את ‪ A‬ואת ‪. B‬‬
‫‪1 x‬‬
‫‪ )40‬נתונה הפונקציה‪:‬‬
‫‪Ax  B‬‬
‫‪5‬‬
‫‪ A, B) , f  x  ‬פרמטר)‪ .‬משוואת המשיק לגרף‬
‫הפונקציה דרך הנקודה‪ x  2 :‬היא‪ . 45 y  2 x 19 :‬מצא את ‪ A‬ואת ‪. B‬‬
‫‪ )41‬לפניך מספר פונקציות‪ .‬מצא את נקודות הקיצון הפנימיות שלהן וקבע את סוגן‪.‬‬
‫ב‪f  x    3 x  2 6 x  2 .‬‬
‫א‪f  x   x 4 2 x  8 .‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪x6‬‬
‫‪3‬‬
‫‪x‬‬
‫‪f  x ‬‬
‫‪7x‬‬
‫‪x  11‬‬
‫‪5‬‬
‫ד‪.‬‬
‫‪218‬‬
‫‪f  x ‬‬
‫‪ )42‬מצא את נקודות החיתוך עם הצירים של הפונקציות הבאות‪:‬‬
‫ב‪f  x    x  25 6 x  4 .‬‬
‫א‪f  x   x 2  128 4 x .‬‬
‫‪2‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪x  4 x 2‬‬
‫‪x‬‬
‫‪f  x ‬‬
‫ד‪.‬‬
‫‪x2  4‬‬
‫‪f  x  3‬‬
‫‪x 8‬‬
‫‪ )43‬חקור את הפונקציות הבאות לפי הסעיפים הבאים‪:‬‬
‫‪ .1‬תחום הגדרה‪.‬‬
‫‪ .2‬מציאת נקודות חיתוך עם הצירים‪.‬‬
‫‪ .3‬מציאת נקודות קיצון מקומיות (פנימיות) וקצה וקביעת סוגן‪.‬‬
‫‪ .4‬מציאת תחומי העלייה והירידה‪.‬‬
‫‪ .5‬מציאת אסימפטוטות אנכיות‪.‬‬
‫‪ .6‬סרטוט סקיצה‪.‬‬
‫א‪.‬‬
‫‪f  x  4 6  x‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪f  x    x  12  5 x‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪f  x    x 2  36  4 x‬‬
‫ד‪.‬‬
‫‪f  x    x  5  3 1  3x‬‬
‫ה‪.‬‬
‫‪4‬‬
‫‪4‬‬
‫‪2x  3‬‬
‫‪f  x ‬‬
‫ו‪.‬‬
‫‪9‬‬
‫‪3‬‬
‫‪x‬‬
‫‪5‬‬
‫‪f  x ‬‬
‫ח‪.‬‬
‫‪6  3x‬‬
‫‪x2  4‬‬
‫י‪.‬‬
‫‪x 2  16‬‬
‫‪3‬‬
‫‪7x‬‬
‫ז‪.‬‬
‫ט‪.‬‬
‫‪8x  2‬‬
‫‪x2  1‬‬
‫‪x9‬‬
‫‪x6‬‬
‫‪4‬‬
‫‪f  x ‬‬
‫‪f  x   3 x  10 ‬‬
‫‪5‬‬
‫‪f  x ‬‬
‫‪f  x ‬‬
‫‪ )44‬נתונה הפונקציה‪. f  x    x  1 7 x 4 :‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫ה‪.‬‬
‫מהו תחום ההגדרה של הפונקציה?‬
‫מצא את נקודות החיתוך של הפונקציה עם ציר ה‪. x -‬‬
‫מצא את נקודת הקיצון של הפונקציה וקבע את סוגה‪.‬‬
‫סרטט סקיצה של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫לפניך ‪ 4‬סרטוטים‪ .‬קבע איזה סרטוט מתאר את גרף הנגזרת של הפונקציה‪.‬‬
‫נמק את בחירתך‪.‬‬
‫‪219‬‬
:‫תשובות סופיות‬
.x  
.y' 
7
)7
3
. x  0 )6 . x  0 )5 . x 
 x  2  7 x  2  )11 .
y'  
3 2
3 x
49
. y'  
10
10
. y'  
. y' 
.y
8  7 x 
6
5 5  x  2
3
1
3
 x  1
2
. x ‫) כל‬3 . x ‫) כל‬2 . x  0 )1
)10 . y '  4 
1
2
21x 2  22 x3
7 7 1  x 
. y' 
6
)16
12 x  13x3
5 5 x7
)9 . x  2 )8
4 4 x3
. y '  5 3  3x  1 )13
)14
4x x  x  6 x  3
)20
6 x 3 x 1
33
11
x 1
)26
32
16
3
)17 . y ' 
6
2
)4
3
. y' 
. y' 
3  19 x3
6 6 x5
9.5 x 2  6 x  6
8
 4 x  3
5
24
)19 . y ' 
7
7
 4  3x 
11
)12
)15
)18
. y  3x  3 )25 .0.35 )24 .546 )23 .2.25 )22 .-8 )21
.‫ סמ"ר‬3.5 .‫ ב‬. y  0.25x  2 .‫) א‬29 . y  20 x  23 )28 . y  10.25x  163.2 )27
2
7
.‫ סמ"ר‬67.25 .‫ ג‬. y   x  6
.y
1
x  3 .‫ג‬
64
.‫ סמ"ר‬320 .‫ ג‬. y  
. y  3x  3
2
)34 . 1, 28 , 81,972  .‫ד‬
9
2
.‫ ב‬. y  3.5x  2.5 .‫) א‬30
7
. x  1 ; x  64 .‫ ב‬. 1,1 ,  64, 4  .‫) א‬31
1
1
x2 ; y 
x  2 .‫ב‬
80
80
.  0, 2  .‫) א‬32
 28 1 
,  .‫) א‬33
. 16, 2.4  .‫ ג‬.  64,3 .‫ ב‬. 
 135 3 
.‫ סמ"ר‬22.84 .‫ ד‬. y  2 x  2 .‫ ג‬. y  6 3 2 .‫ ב‬.  7, 6 3 2  .‫) א‬36 . y  2 x  3 )35
3
8
. A  B  1 )40 . A  2 ; B  3 )39 . A 


1
)38
16
. A  18 )37
1
. Min  6,   .‫ ד‬. Min  3,6.24  .‫ ג‬. Max 1,3 .‫ ב‬. Min  3.2, 3.59 .‫) א‬41
5

.  0, 2  .‫ ד‬1, 0  .‫ ג‬.  5,0 ,  4,0 ,  0, 31.5 .‫ ב‬.  0,0 , 16,0  .‫) א‬42
.‫ אין‬.5 .‫ה‬.‫ יורדת בכל ת‬.4 .‫ קצה‬Min  6, 0  .3 .  0,1.56  ,  6,0  .2 . x  6 .1 .‫) א‬43
. x  2 :‫ עולה‬, x  2 :‫ יורדת‬.4 . Min  -2,-11.48 .3 .  -12,0  ,  0,0  .2 . x ‫ כל‬.1 .‫ב‬
220
.‫ אין‬.5
. 0  x  2 :‫יורדת‬.4 . Min  2,-38 .3 .  6,0  ,  0,0  .2 . x  0 .1 .‫ג‬
.‫ אין‬.5 . x  2 :‫עולה‬


. x  -1 :‫ יורדת‬.4 . Max  -1,6.35 .3 .  , 0  ,  -5, 0  ,  0,5 .2 . x ‫ כל‬.1 .‫ד‬
1
3

.‫ אין‬.5 . x  -1 :‫עולה‬
. y  0 , x  -1.5 .5 .‫ה‬.‫ יורדת בכל ת‬.4 .‫ אין‬.3 .  0,3.03 .2 . x  -1.5 .1 .‫ה‬
. Min  27,16 , Max  27, 4  .3 .  -1,0 ,  -729,0  .2 . x  0 .1 .‫ו‬
. x  0 .5 . x  -27 , x  27 :‫ עולה‬. -27  x  27 :‫ יורדת‬.4


. Max  0.5, 0.91 , Min   , 1.24  .3 .  0.25,0  ,  0, 1.14  .2 . x ‫ כל‬.1 .‫ז‬
2
 9

2
1
2
1
:‫ עולה‬. x   , x  :‫ יורדת‬.4
9
2
9
2
2

. Max  , 0.353  .3 .  0, 0.357  .2 . x  2 .1 .‫ח‬
9

. y  0 .5 .   x 
.x  2 , x 
2
:‫ יורדת‬.4
9
. y  0 , x  2 .5 . x  2 , x 
2
:‫עולה‬
9
. 6  x  5 :‫ יורדת‬.4 . Min  5, 4  .3 .  0,5.75 .2 . x  6 .1 .‫ט‬
. x  -6 .5 . x  5 :‫עולה‬
. Max 8, 48 , Min  0.4, 8.44  .3 .  4,0 ,  -4,0  .2 . x  7 .1 .‫י‬
. x  7 .5 . x  7 , 0.4  x  8 , :‫ עולה‬. x  8 , x  0.4 :‫ יורדת‬.4
.‫ה‬
.‫ד‬
y
.‫ג‬
x
x
.‫י‬
.‫ח‬
x
.‫ז‬
x
x
 4

, 0.356  .‫ ג‬.  0,0  ;
 11

.‫ ד‬.B .‫ ה‬. Max  
221
.‫ו‬
y
y
y
x
x
x
.‫ט‬
y
y
y
y
y
y
:'‫י‬-'‫סקיצות לסעיפים א‬
.‫ב‬
.‫א‬
x
x
 1,0 .‫ ב‬. x ‫ כל‬.‫) א‬44
‫פרק ‪ - 8‬חשבון אינטגרלי‪:‬‬
‫פונקציות מעריכיות‪:‬‬
‫אינטגרלים מיידים של פונקציות מעריכיות‪:‬‬
‫אינטגרלים של פונקציות מורכבות‬
‫‪a mx  n‬‬
‫‪c‬‬
‫‪m  ln a‬‬
‫‪emx  n‬‬
‫‪c‬‬
‫‪m‬‬
‫אינטגרלים יסודיים‬
‫‪ax‬‬
‫‪c‬‬
‫‪ln a‬‬
‫‪mx  n‬‬
‫‪ a dx ‬‬
‫‪c‬‬
‫‪mx  n‬‬
‫‪ e dx ‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ a dx ‬‬
‫‪ e dx  e‬‬
‫‪x‬‬
‫שאלות יסודיות – אינטגרל כללי‪:‬‬
‫‪ )1‬חשב את האינטגרלים הבאים‪:‬‬
‫‪x‬‬
‫‪3x‬‬
‫‪x‬‬
‫א‪ 5e  e  e  1 dx .‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪e4 x 1 dx‬‬
‫‪ 6‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪ dx‬‬
‫ד‪.‬‬
‫‪ e x  dx‬‬
‫‪5‬‬
‫‪2x‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ 3‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ e‬‬
‫‪ )2‬חשב את האינטגרלים הבאים‪:‬‬
‫א‪.‬‬
‫‪e2 x  1‬‬
‫‪ e x  1 dx‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪ )3‬חשב את האינטגרלים הבאים‪:‬‬
‫‪4x‬‬
‫‪x‬‬
‫א‪  e  e  dx .‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪2 x  42 x  103 x‬‬
‫‪dx‬‬
‫‪‬‬
‫‪5x‬‬
‫ד‪.‬‬
‫‪3e3 x  5e2 x  4e x  2‬‬
‫‪dx‬‬
‫‪‬‬
‫‪ex 1‬‬
‫‪dx‬‬
‫‪ e ‬‬
‫‪x 1 2‬‬
‫‪‬‬
‫‪1 ‬‬
‫‪x‬‬
‫‪  4 e  3 e4 x  dx‬‬
‫‪ )4‬חשב את האינטגרלים הבאים‪:‬‬
‫א‪.‬‬
‫‪ ex ‬‬
‫‪  e x  3  dx‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ 3  e  dx‬‬
‫‪  e x  3x 2 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪222‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪xe x dx‬‬
‫‪‬‬
‫שאלות יסודיות – אינטגרל מסוים‪:‬‬
‫‪ )5‬נתונה נגזרת של פונקציה‪. f '  x   2e x  1x :‬‬
‫‪e‬‬
‫‪1‬‬
‫מ צא את הפונקציה אם ידוע שהיא עוברת בנקודה ‪.  ln 2,3 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪4‬‬
‫‪ )6‬נתונה נגזרת של פונקציה‪. f '  x   e2 x  e x  2 :‬‬
‫מצא את הפונקציה אם ידוע שערך הפונקציה בנקודת המינימום שלה הוא ‪. 1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ )7‬נתונה נגזרת של פונקציה‪. f '  x   6 x 2e x  12 :‬‬
‫‪3‬‬
‫‪x‬‬
‫מצא את הפונקציה אם ידוע שהיא עוברת בנקודה ‪.  1, 2 ‬‬
‫‪e‬‬
‫חישובי שטחים‪:‬‬
‫‪ )8‬נתונות הפונקציות‪. f  x   e x , g  x   e x :‬‬
‫מצא את גודל השטח הכלוא בין הפונקציות‬
‫לישר ‪. x  ln 3‬‬
‫‪ )9‬נתונה הפונקציה‪. f  x   3x :‬‬
‫מצא את גודל השטח הכלוא בין הפונקציה‪,‬‬
‫הישר ‪ y  9‬וציר ה‪. y -‬‬
‫‪ )10‬נתונה הפונקציה‪. f  x   e2x  e x :‬‬
‫לפונקציה העבירו משיק בראשית הצירים‪.‬‬
‫מצא את גודל השטח הכלוא בין הפונקציה‪,‬‬
‫המשיק והישר ‪. x  2‬‬
‫‪ )11‬נתונות הפונקציות‪:‬‬
‫‪. f  x   e , g  x   e3x , h  x   16e x‬‬
‫חשב את גודל השטח הכלוא שבין‬
‫שלוש הפונקציות‪.‬‬
‫‪x‬‬
‫‪223‬‬
‫‪‬‬
‫‪ )12‬נתונה הפונקציה‪. f  x   5  e x :‬‬
‫העבירו לפונקציה משיק ששיפועו ‪.  e‬‬
‫חשב את גודל השטח הכלוא‬
‫בין הפונקציה‪ ,‬המשיק וציר ה‪. x -‬‬
‫ניתן להשאיר ‪ e‬ו ‪ ln-‬בתשובה‪.‬‬
‫‪ )13‬נתונה הפונקציה‪ .  0  b  f  x   eb x :‬גודל השטח הכלוא בין הפונקציה‪,‬‬
‫המשיק לפונקציה העובר בראשית הצירים וציר ה‪ y -‬הוא ‪. e  2‬‬
‫‪4‬‬
‫מצא את ערכו של הפרמטר ‪. b‬‬
‫‪ )14‬נתונות הפונקציות‪, g  x   e x :‬‬
‫‪1‬‬
‫‪x‬‬
‫‪2‬‬
‫‪. f  x  e‬‬
‫מנקודה הנמצאת על גרף הפונקציה ‪ g  x ‬ברביע הראשון הורידו אנך לשני‬
‫הצירים‪ .‬המשך האנך לציר ה‪ y -‬חותך את הפונקציה ‪ f  x ‬ומנקודת החיתוך‬
‫יורד אנך נוסף לציר ה‪ x -‬כך שנוצר מלבן‪.‬‬
‫הוכח כי שטחו המקסימלי של מלבן כזה הוא ‪. 3‬‬
‫‪e‬‬
‫‪ )15‬באיור שלפניך מתוארים הגרפים של הפונקציות‪f  x   e2x :‬‬
‫ו‪ . g  x   e2x -‬מעבירים אנך לציר ה‪ x -‬את הישר ‪x  a‬‬
‫כמתואר באיור‪ .‬אנך זה יוצר את השטחים ‪ S1‬ו ‪. S 2 -‬‬
‫ידוע כי השטח ‪ S1‬גדול פי ‪ 3‬מהשטח ‪ . S 2‬מצא את ‪. a‬‬
‫‪y‬‬
‫)‪g ( x‬‬
‫)‪f ( x‬‬
‫‪ a  0‬‬
‫‪S1‬‬
‫‪xa‬‬
‫‪x‬‬
‫‪S2‬‬
‫‪ )16‬נתונה הפונקציה‪. f ( x)  e2 x1  2ex  2 :‬‬
‫הנקודה ‪ A‬היא נקודת המינימום של הפונקציה‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא את שיעורי הנקודה ‪.A‬‬
‫‪y‬‬
‫)‪f ( x‬‬
‫‪x‬‬
‫מחברים את הנקודה ‪ A‬עם ראשית הצירים‪.‬‬
‫ב‪ .‬כתוב את משוואת הישר המחבר את הנקודה ‪ A‬עם הראשית‪.‬‬
‫ג‪ .‬חשב את השטח הכלוא בין גרף הפונקציה‪ ,‬הישר וציר‬
‫ה ‪ x -‬אם ידוע כי גרף הפונקציה חותך את ציר ה ‪ x -‬בנקודה שבה ‪. x  1.7‬‬
‫‪A‬‬
‫‪224‬‬
‫‪e x  eax‬‬
‫‪. f ( x) ‬‬
‫‪ )17‬נתונה הפונקציה‪:‬‬
‫‪4‬‬
‫‪y‬‬
‫)‪f ( x‬‬
‫‪e3  1 ‬‬
‫ידוע כי הפונקציה עוברת דרך הנקודה‪ :‬‬
‫‪4e2 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪. 1 ,‬‬
‫‪‬‬
‫‪x‬‬
‫א‪ .‬מצא את ‪ a‬וכתוב את הפונקציה‪.‬‬
‫ב‪ .‬באיור שלפניך מתואר גרף הפונקציה )‪ f ( x‬והישר‪. y  0.1x :‬‬
‫חשב את השטח המוגבל בין גרף הפונקציה‪ ,‬הישר‪ ,‬ציר ‪ y‬והאנך‪. x  2 :‬‬
‫‪ )18‬באיור שלפניך מתוארים הגרפים של שלוש פונקציות‪:‬‬
‫‪. h  x   242 x .III . g  x   4x .II . f  x   2x .I‬‬
‫א‪ .‬קבע איזה גרף מתאר כל פונקציה‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא את שיעורי הנקודות ‪ B , A‬ו‪C-‬‬
‫(נקודות החיתוך שבין הגרפים)‪.‬‬
‫ג‪ .‬חשב את השטח המסומן באיור‪.‬‬
‫‪y‬‬
‫‪ )19‬א‪ .‬גזור את הפונקציה הבאה‪. y  e x  x  1 :‬‬
‫ב‪ .‬באיור שלפניך מתוארים הגרפים של‬
‫הפונקציות‪. f ( x)  xe x , g ( x)  -e x :‬‬
‫)‪f ( x‬‬
‫‪S  2e2‬‬
‫‪x‬‬
‫מעבירים ישר ‪  a  0 , x  a‬החותך את הגרפים של שתי‬
‫הפונקציות ויוצר את השטח המתואר הכלוא בין הגרפים של שניהם‪,‬‬
‫ציר ה ‪ y -‬והישר‪ .‬ידוע כי שטח זה שווה ל‪ . 2e2 -‬מצא את ‪. a‬‬
‫)‪g( x‬‬
‫חישובי נפחים‪:‬‬
‫‪ )20‬נתונות הפונקציות‪. f  x   e x , g  x   e x :‬‬
‫השטח הכלוא בין הפונקציות והישר ‪x  ln 2‬‬
‫מסתובב סביב ציר ה‪. x -‬‬
‫חשב את נפח גוף הסיבוב שנוצר‪.‬‬
‫‪225‬‬
‫תירגול נוסף‪:‬‬
‫‪ )21‬נתונה הפונקציה הבאה‪. f  x   e2 x1 :‬‬
‫חשב את השטח הכלוא בין גרף הפונקציה‪ ,‬הישר ‪ x  2‬והצירים‪.‬‬
‫‪ )22‬באיור שלפניך נתונים הגרפים של הפונקציות‪f  x   e x :‬‬
‫ו‪. g  x   ke x  2 -‬‬
‫ידוע כי הגרפים חותכים זה את זה בנקודה שבה ‪. x  ln 3‬‬
‫א‪ .‬מצא את ‪. k‬‬
‫ב‪ .‬חשב את השטח המוגבל בין הגרפים של‬
‫הפונקציות‪ ,‬הצירים והישר‪. x  ln 4 :‬‬
‫‪y‬‬
‫)‪f ( x‬‬
‫)‪g ( x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ )23‬באיור שלפניך נתון גרף הפונקציה‪. f  x   e x :‬‬
‫מעבירים ישר דרך נקודת החיתוך של גרף הפונקציה עם‬
‫ציר ה ‪ y -‬ודרך הנקודה שבה ‪. x  1‬‬
‫א‪ .‬מצא את משוואת הישר‪.‬‬
‫‪y‬‬
‫)‪f ( x‬‬
‫‪x‬‬
‫מעבירים ישר נוסף המקביל לישר שמצאת קודם וחותך‬
‫את ציר ה‪ y -‬בנקודה‪. y  3 :‬‬
‫ב‪ .‬מצא את משוואת הישר השני‪.‬‬
‫ג‪ .‬חשב את השטח הכלוא בין שני הישרים‪ ,‬ציר ה ‪ y -‬וגרף הפונקציה אם ידוע‬
‫כי הישר השני חותך את גרף הפונקציה בנקודה שבה ‪. x  1.8‬‬
‫‪)24‬‬
‫א‪ .‬מצא את משוואת המשיק לגרף הפונקציה‪f  x   e x :‬‬
‫בנקודת החיתוך שלו עם ציר ה‪. y -‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪y‬‬
‫)‪f ( x‬‬
‫באיור שלפניך מתוארים הגרפים של הפונקציה ‪f  x ‬‬
‫והמשיק‪ .‬חשב את השטח הכלוא בין הפונקציה‪,‬‬
‫המשיק והישר‪. x  3 :‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ )25‬באיור שלפניך מתוארים הגרפים של הפונקציות‪f  x   eax1  2 :‬‬
‫‪1‬‬
‫ו‪ . g  x   e1ax  2 -‬ידוע כי הפונקציות נחתכות בנקודה שבה‬
‫‪3‬‬
‫א‪ .‬מצא את ‪ a‬וכתוב את הפונקציות‪.‬‬
‫ב‪ .‬חשב את השטח המוגבל בין הגרפים של שתי‬
‫הפונקציות‪ ,‬ציר ה‪ x -‬והישר ‪. x  2‬‬
‫‪x‬‬
‫‪226‬‬
‫‪.x ‬‬
‫‪y‬‬
‫)‪f ( x‬‬
‫)‪g ( x‬‬
‫‪ )26‬נתונה הפונקציה‪. f  x   e2 x  1 :‬‬
‫א‪ .‬מצא את משוואת המשיק לגרף הפונקציה בנקודת‬
‫החיתוך שלה עם ציר ה ‪. y -‬‬
‫ב‪ .‬מצא את נקודת החיתוך של המשיק עם ציר ה ‪. x -‬‬
‫ג‪ .‬חשב את השטח המוגבל בין גרף הפונקציה‪ ,‬המשיק‪,‬‬
‫ציר ה ‪ x -‬והישר‪. x  3 :‬‬
‫‪y‬‬
‫)‪f ( x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪y‬‬
‫‪ )27‬באיור שלפניך מתואר גרף הפונקציה‪. f  x   e x2 :‬‬
‫מעבירים משיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה ‪x  1‬‬
‫ומעבירים ישר המקביל לציר ה‪ x -‬ויוצא מנקודת החיתוך‬
‫של גרף הפונקציה עם ציר ה ‪. y -‬‬
‫‪x‬‬
‫א‪ .‬כתוב את משוואת המשיק והראה כי הוא עובר‬
‫דרך ראשית הצירים‪.‬‬
‫ב‪ .‬חשב את השטח המוגבל בין גרף הפונקציה‪ ,‬המשיק והישר‪.‬‬
‫)‪f ( x‬‬
‫‪y‬‬
‫‪ )28‬נתונה הפונקציה‪. f  x   e x  x  1 :‬‬
‫הנקודה ‪ A‬היא נקודת החיתוך של גרף הפונקציה עם ציר‬
‫ה ‪ y -‬והנקודה ‪ B‬נמצאת על גרף הפונקציה ובה ‪. xB  1‬‬
‫א‪ .‬מצא את משוואת הישר העובר דרך הנקודות ‪ A‬ו‪.B-‬‬
‫ב‪ .‬חשב את השטח הכלוא בין הישר ‪ AB‬וגרף הפונקציה‪.‬‬
‫)‪f ( x‬‬
‫‪B‬‬
‫‪A‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ )29‬נתונה הפונקציה‪. f  x   e x2  2 x  1 :‬‬
‫הנקודה ‪ A‬היא נקודת המינימום של הפונקציה‬
‫והנקודה ‪ B‬נמצאת בראשית הצירים‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא את שיעורי הנקודה ‪.A‬‬
‫‪x‬‬
‫ב‪ .‬כתוב את משוואת הישר העובר דרך הנקודות ‪ A‬ו‪.B-‬‬
‫ג‪ .‬חשב את השטח הכלוא בין גרף הפונקציה‪ ,‬הישר ‪ AB‬וציר ה‪. y -‬‬
‫‪y‬‬
‫)‪f ( x‬‬
‫‪ )30‬נתונה הפונקציה‪. f  x    a  x  e x :‬‬
‫א‪ .‬הוכח כי‪. f '  x    a  1  x  e x :‬‬
‫ב‪ .‬שיפוע המשיק לגרף הפונקציה ‪ f  x ‬בנקודה‬
‫‪x‬‬
‫שבה ‪ x  3‬הוא אפס‪ .‬מצא את ‪. a‬‬
‫‪x‬‬
‫)‪g ( x‬‬
‫ג‪ .‬באיור שלפניך מתואר גרף הפונקציה‪. g  x    3  x  e :‬‬
‫מורידים אנך לציר ה‪ x -‬מנקודת הקיצון של הפונקציה‪.‬‬
‫חשב את השטח המוגבל בין גרף הפונקציה ‪ , g  x ‬הצירים והאנך‪.‬‬
‫‪227‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫‪y‬‬
‫‪ )31‬נתונה הפונקציה‪. f  x   e x 2 xk :‬‬
‫ידוע ששיפוע המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה ‪ x  3‬הוא ‪. 4e3‬‬
‫‪x‬‬
‫א‪ .‬כתוב את נגזרת הפונקציה ‪. f  x ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪y‬‬
‫)‪g ( x‬‬
‫ב‪ .‬באיור שלפניך מתואר גרף הפונקציה‪. g  x   2  x  1 e x 2 x :‬‬
‫מצא את השטח המוגבל בין גרף הפונקציה ‪ g  x ‬והצירים‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪y‬‬
‫‪ )32‬נתונה הפונקציה‪. f  x   x  e9x :‬‬
‫‪3‬‬
‫)‪g ( x‬‬
‫א‪ .‬הוכח‪. f '  x   1  27 x3  e9 x :‬‬
‫‪3‬‬
‫ב‪ .‬באיור שלפניך נתונה הפונקציה‪. g  x   1  27 x3  e9 x :‬‬
‫‪x‬‬
‫חשב את השטח הכלוא בין גרף הפונקציה והצירים‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫‪y‬‬
‫‪ )33‬באיור שלפניך מתוארים הגרפים של הפונקציות‪f  x   9x :‬‬
‫ו ‪. g  x   9  3x -‬‬
‫א‪ .‬מצא את נקודת החיתוך של שתי הפונקציות‪.‬‬
‫ב‪ .‬חשב את השטח המוגבל בין שני הגרפים וציר ה‪. y -‬‬
‫‪x‬‬
‫‪y‬‬
‫‪ )34‬באיור שלפניך מתוארים הגרפים של הפונקציות‪f  x   2 x :‬‬
‫‪A‬‬
‫ו‪ . g  x   4x -‬ישר ‪ x  t‬חותך את הגרפים של הפונקציות‬
‫‪B‬‬
‫בנקודות ‪ A‬ו‪ B-‬כמתואר באיור‪ .‬ידוע כי אורך הקטע ‪ AB‬הוא ‪.240‬‬
‫‪xt‬‬
‫א‪ .‬מצא את ‪. t‬‬
‫‪x‬‬
‫ב‪ .‬הוכח כי הגרפים של שתי הפונקציות נחתכים על ציר ה ‪. y -‬‬
‫ג‪ .‬חשב את השטח הכלוא בין הגרפים של שתי הפונקציות והישר שמצאת‪.‬‬
‫‪y‬‬
‫‪ )35‬נתונות הפונקציות‪ f  x   2x :‬ו‪. g  x   4k  x -‬‬
‫ידוע כי הגרפים של שתי הפונקציות נחתכים בנקודה שבה ‪. x  4‬‬
‫א‪ .‬מצא את ‪. k‬‬
‫ב‪ .‬חשב את השטח המוגבל בין הגרפים של שתי‬
‫הפונקציות‪ ,‬הישר ‪ x  8‬וציר ה ‪. x -‬‬
‫‪x‬‬
‫‪y‬‬
‫‪ )36‬באיור שלפניך מתוארים הגרפים של‬
‫הפונקציות‪ f  x   3x2 :‬ו‪. g  x   3x5  26 -‬‬
‫א‪ .‬מצא את נקודת החיתוך של הגרפים‪.‬‬
‫‪x‬‬
‫ב‪ .‬מצא את נקודות החיתוך של הגרפים עם ציר ה‪. y -‬‬
‫ג‪ .‬חשב את השטח המוגבל בין הגרפים של שתי הפונקציות וציר ה ‪. y -‬‬
‫‪228‬‬
‫‪ )37‬באיור שלפניך מתוארים הגרפים של הפונקציות‪f  x   3x :‬‬
‫‪y‬‬
‫‪A‬‬
‫ו‪ . g  x   9x -‬ישר ‪  t  0 x  t‬חותך את הגרפים של הפונקציות‬
‫‪B‬‬
‫בנקודות ‪ A‬ו‪ B-‬כמתואר באיור‪ .‬ידוע כי אורך הקטע ‪ AB‬הוא ‪.702‬‬
‫‪xt‬‬
‫א‪ .‬מצא את ‪. t‬‬
‫‪x‬‬
‫ב‪ .‬הוכח כי הגרפים של שתי הפונקציות נחתכים על ציר ה ‪. y -‬‬
‫ג‪ .‬חשב את השטח הכלוא בין הגרפים של שתי הפונקציות והישר שמצאת‪.‬‬
‫‪y‬‬
‫‪ )38‬באיור שלפניך נתונות הפונקציות‪f  x   e2 x  x 2  k :‬‬
‫)‪g ( x‬‬
‫)‪f ( x‬‬
‫ו‪ . g  x   2e x  x 2 -‬ידוע כי המרחק בין שתי נקודות החיתוך‬
‫של הגרפים עם ציר ה‪ y -‬הוא ‪.4‬‬
‫א‪ .‬מצא את ‪. k‬‬
‫‪x‬‬
‫ב‪ .‬מצא את נקודת החיתוך שבין שני הגרפים‪.‬‬
‫ג‪ .‬חשב את השטח המוגבל ע"י הגרפים של שתי הפונקציות וציר ה‪. y -‬‬
‫‪)39‬‬
‫‪y‬‬
‫א‪ .‬גזור את הפונקציה הבאה‪. f  x     x  1 e x :‬‬
‫)‪g ( x‬‬
‫נתונה הפונקציה‪. g  x   xe x  kx :‬‬
‫ידוע כי שיפוע המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה ‪ x  1‬הוא ‪.1‬‬
‫ב‪ .‬מצא את ‪ k‬וכתוב את הפונקציה‪.‬‬
‫ג‪ .‬היעזר בסעיף א' וחשב את השטח המוגבל בין גרף הפונקציה‪ ,‬ציר ה ‪x -‬‬
‫והישר ‪. x  2‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ln 4‬‬
‫‪)40‬‬
‫‪y‬‬
‫א‪ .‬חשב את האינטגרל‪.   e2 x  5e x  4 dx :‬‬
‫)‪f ( x‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ln‬‬
‫‪2‬‬
‫באיור שלפניך מתואר גרף הפונקציה‪. f  x   e2 x  5e x  4 :‬‬
‫ב‪.‬‬
‫חשב את השטח הכלוא בין גרף הפונקציה‪ ,‬ציר ה‪x -‬‬
‫‪x  ln 12‬‬
‫‪x‬‬
‫והישר ‪( x  ln 0.5‬המקווקו)‪.‬‬
‫ג‪ .‬הסבר מדוע התוצאות שקיבלת בסעיפים א' וב' שונות‪.‬‬
‫‪ )41‬נתונה הפונקציה‪. f  x   e x  e x :‬‬
‫א‪ .‬הוכח כי הפונקציה עולה בכל תחום הגדרתה‪.‬‬
‫ב‪ .‬מעבירים ישר ‪  t  0  x  t‬המאונך לציר ה‪x -‬‬
‫וחותך את גרף הפונקציה‪ .‬ידוע כי השטח הכלוא בין‬
‫‪1‬‬
‫‪3‬‬
‫גרף הפונקציה‪ ,‬ציר ה ‪ x -‬והאנך הוא‪ . S  1 :‬מצא את ‪. t‬‬
‫‪229‬‬
‫‪y‬‬
‫)‪f ( x‬‬
‫‪xt‬‬
‫‪x‬‬
‫‪y‬‬
‫)‪f ( x‬‬
‫‪ )42‬נתונה הפונקציה‪. f  x   e2 x  16e2 x :‬‬
‫א‪ .‬מצא את נקודת הקיצון של הפונקציה‪.‬‬
‫ב‪ .‬מעבירים ישר ‪  t  0 x  t‬כמתואר באיור‪.‬‬
‫‪x‬‬
‫ידוע כי השטח הכלוא בין ישר זה‪ ,‬גרף הפונקציה‬
‫והצירים הוא‪. S  7.5 :‬‬
‫הוכח כי ישר זה יוצא מנקודת הקיצון שמצאת בסעיף א'‪.‬‬
‫‪y‬‬
‫‪ )43‬באיור שלפניך נתונות הפונקציות‪f  x   2e2 x  7e x :‬‬
‫ו‪. g  x   3e x  e2 x  3 -‬‬
‫א‪ .‬מצא את נקודות החיתוך של שני הגרפים‪.‬‬
‫ב‪ .‬חשב את השטח המוגבל בין שני הגרפים‪.‬‬
‫‪xt‬‬
‫)‪f ( x‬‬
‫‪x‬‬
‫)‪g ( x‬‬
‫‪ )44‬באיור שלפניך מתוארים הגרפים של הפונקציות‪f  x   4e2 x  e x :‬‬
‫ו‪. g  x   x 2  2 x -‬‬
‫א‪ .‬מצא את נקודות הקיצון של כל פונקציה וקבע את סוגן‪.‬‬
‫ב‪ .‬מעבירים ישר המחבר את נקודות הקיצון של שני‬
‫הגרפים כמתואר באיור‪ .‬כתוב את משוואת הישר‬
‫הנ"ל (עגל תוצאות למספרים שלמים)‪.‬‬
‫‪x‬‬
‫ג‪ .‬חשב את השטח המוגבל בין שני הגרפים‪,‬‬
‫ציר ה ‪ y -‬והישר הנ"ל‪.‬‬
‫‪)45‬‬
‫‪243‬‬
‫א‪ .‬פתור את המשוואה הבאה‪:‬‬
‫‪9x‬‬
‫‪y‬‬
‫‪. 9  3x ‬‬
‫‪y‬‬
‫)‪f ( x‬‬
‫ב‪ .‬באיור שלפניך מתוארים הגרפים של‬
‫הפונקציות‪ f  x   3x2 :‬ו‪. g  x   352 x -‬‬
‫הוכח כי השטח הכלוא בין שני הגרפים וציר‬
‫‪90‬‬
‫ה‪ y -‬שווה ל‪-‬‬
‫‪ln 3‬‬
‫‪x‬‬
‫‪.‬‬
‫‪230‬‬
‫)‪g ( x) f ( x‬‬
‫)‪g ( x‬‬
:‫תשובות סופיות‬
3e
2x
1
2
 c .‫ג‬
3x
52 x

 c .‫ב‬
ln 3 2ln 5
e3 x
 e x  x  c .‫) א‬1
3
1
1
. e2 x  2 x  e2 x  c .‫ד‬
2
2
5e x 
3e2 x
.
 2e x  2 x  c .‫ ב‬e x  x  c .‫) א‬2
2
.
0.4 x
3.2 x
200 x


 c .‫ג‬
ln 0.4 ln 3.2 ln 200
1 2 x2
e
 c .‫ב‬
2
1 4x x
e  e  c .‫) א‬3
4
3
4
. 8 ex  e
1
2
1
.‫ב‬
e  3x
. e x  c .‫ג‬
2
2
S  ‫ יח"ש‬18.41 )10 S  ‫ יח"ש‬10.72 )9 S  ‫ יח"ש‬1
1
3
 c .‫ד‬
2 e x  3  c .‫) א‬4
x
. f  x   1 e 2 x  e x  2 x  1 )6
4 x
3
f  x   2e x  e x  1.25 )5
1
x
)8 . f  x   2e x   1 )7
3
a  ln 2 )15 . b  2 )13 S  ‫ יח"ש‬0.192 )12
S  ‫ יח"ש‬3
1
)11
3
. S  ‫ יח"ש‬4.744 .‫ ג‬y    e  2  x .‫ ב‬A 1,  e  2  .‫) א‬16
.1.52 .‫ ב‬f  x  
e x  e2 x
, a  2 .‫) א‬17
4


. a  2 .‫ ב‬y '  xe x .‫) א‬19 . S  ‫ יח"ש‬1.03 .‫ ג‬A 1, 4  , B 1 , 2.52  , C  0,1 .‫) ב‬18
 3

1
e4  1
1
. S  ‫ יח"ש‬2.825 .‫ ב‬k  3 .‫) א‬22 S 
)21 .‫ יחידות נפח‬1  )20
S
2e
8
y   e  1 x  3 .‫ ב‬y   e  1 x  1 .‫) א‬23
‫ יח"ש‬3 .‫ג‬
. S  ‫ יח"ש‬2.45 .‫ ב‬y  x  1 .‫) א‬24
.S
‫ יח"ש‬4.54 .‫ ב‬g  x   e
13 x
+2 , f  x   e3 x1 +2 , a  3 .‫) א‬25
. S ‫ יח"ש‬2.5 .‫ ג‬1, 0  .‫ ב‬y  2 x  2 .‫) א‬26
e
. S  ‫ יח"ש‬1.5   0.14 .‫ ב‬y   e  2 x  2 .‫) א‬28 S 
2
. S  ‫ יח"ש‬3.433 .‫ ג‬y 
.S 
5  ln 4
x
ln 2  2
e3  2e2  e
2
1.3 .‫ ב‬y  e3 x .‫) א‬27
y  2.76 x .‫ ב‬A  ln 2  2 , 5  ln 4  .‫) א‬29
2
e 1
.‫ ב‬f '( x)  2  x  1 e x 2 x .‫) א‬31 . S  ‫ יח"ש‬2e2  4  10.78 .‫ ג‬a  4 .‫) ב‬30
e
225
32
1
.S 
.‫ ג‬t  4 .‫) א‬34 S 
.‫ ב‬ 2,81 .‫) א‬33 S  3 .‫) ב‬32
ln 4
ln 3
3 e
231
‫‪ )36‬א‪  2,1 .‬ב‪ 0,9 ,  0, 217  .‬‬
‫‪4  ln 3‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪ln 3‬‬
‫‪735‬‬
‫‪ )35‬א‪ k  6 .‬ב‪.‬‬
‫‪32 ln 2‬‬
‫‪338‬‬
‫יח"ש ‪ )38 . S ‬א‪ k  3 .‬ב‪  ln 3,7.2  .‬ג‪ ln 27 .‬יח"ש ‪. S ‬‬
‫‪ )37‬א‪ t  3 .‬ג‪.‬‬
‫‪ln 3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ )39‬א‪ f '( x)  xe x .‬ב‪ , k  1 g ( x)  xe x  x .‬ג‪ 3  2 .‬יח"ש ‪. S ‬‬
‫‪e‬‬
‫‪5‬‬
‫‪ )40‬א‪ 4ln 8  9  1.3 .‬ב‪ S 2.6 .‬ג‪ .‬בסעיף א' חּושב ערך האינטגרל בלבד‪.‬‬
‫‪8‬‬
‫‪S‬‬
‫‪ 52 ‬יח"ש ‪. S ‬‬
‫בסעיף ב' ניתן לראות כי חלקו שלילי ולכן יש לפצל אותו כדי לקבל ערך מקסימלי‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ )42‬א‪ )43 .  ln 2,8 .‬א‪  ln 3, 3 ,  ln 1 , 2 1  .‬ב‪. S  13  2ln 27 6.74 .‬‬
‫‪ )41‬ב‪t  ln 3 .‬‬
‫‪9‬‬
‫‪3‬‬
‫‪‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ )44‬א‪ Min  1, 1 , Min  ln 1 ,3  .‬ב‪ y  13x  12 .‬ג‪ 3.46 .‬יח"ש ‪ )45 . S‬א‪. x  1 .‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪232‬‬
‫פונקציות לוגריתמיות‪:‬‬
‫אינטגרלים מיידים של פונקציות לוגריתמיות‪:‬‬
‫אינטגרל של פונקציה מורכבת‬
‫‪1‬‬
‫אינטגרל יסודי‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ x dx  ln x  c‬‬
‫‪ ax  b dx  a ln ax  b  c‬‬
‫שאלות יסודיות – אינטגרל כללי‪:‬‬
‫‪ )1‬חשב את האינטגרלים הבאים‪:‬‬
‫א‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪4‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪  x  x  1  3x  1  dx‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪x 2  3x  4‬‬
‫‪ x dx‬‬
‫‪x3‬‬
‫‪dx‬‬
‫‪2‬‬
‫‪9‬‬
‫‪x‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪ )2‬חשב את האינטגרלים הבאים‪:‬‬
‫א‪.‬‬
‫‪x 2  3x  5‬‬
‫‪ x  1 dx‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪x3  x 2  5 x  6‬‬
‫‪dx‬‬
‫‪‬‬
‫‪x2‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪x4  3‬‬
‫‪ x  1 dx‬‬
‫‪ )3‬חשב את האינטגרלים הבאים‪:‬‬
‫א‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫‪2x‬‬
‫‪dx‬‬
‫‪3‬‬
‫‪e x  e x‬‬
‫‪ e x  e x dx‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ה‪.‬‬
‫‪x 1‬‬
‫‪dx‬‬
‫‪ 2x‬‬
‫‪cos x‬‬
‫‪ sin x dx‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪e‬‬
‫‪ e  5 dx‬‬
‫שאלות יסודיות – אינטגרל מסוים‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ )4‬נתונה נגזרת של פונקציה‪:‬‬
‫‪x4‬‬
‫‪. f '  x   2x ‬‬
‫מצא את הפונקציה אם ידוע שהיא עוברת בנקודה ‪.  5, 28‬‬
‫‪ )5‬נתונה נגזרת שנייה של פונקציה‪. f ''  x   6 x  12 :‬‬
‫‪x‬‬
‫מצא את הפונקציה אם ידוע שהיא עוברת בנקודה ‪ 1, 2 ‬וששיפועה‬
‫בנקודה זו הוא ‪.3‬‬
‫‪233‬‬
‫‪x‬‬
‫חישובי שטחים‪:‬‬
‫‪ )6‬נתונה הפונקציה‪. f  x   1 :‬‬
‫‪x‬‬
‫חשב את גודל השטח הכלוא בין הפונקציה‪,‬‬
‫הישרים ‪ x  1‬ו‪ x  4 -‬וציר ה ‪. x -‬‬
‫ניתן להשאיר ‪ ln‬בתשובה‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪4‬‬
‫‪, g  x ‬‬
‫‪ )7‬נתונות הפונקציות‪:‬‬
‫‪x 1‬‬
‫‪8 x‬‬
‫‪. f  x ‬‬
‫חשב את גודל השטח הכלוא בין הפונקציות‪,‬‬
‫הישר ‪ x  4‬והצירים‪.‬‬
‫‪x2  3‬‬
‫‪. f  x ‬‬
‫‪ )8‬נתונה הפונקציה‪:‬‬
‫‪x 1‬‬
‫חשב את גודל השטח הכלוא בין גרף הפונקציה‪,‬‬
‫המשיק לפונקציה בנקודה שבה ‪ x  2‬ואנך לציר‬
‫ה ‪ x -‬העובר בנקודת המינימום של הפונקציה‪.‬‬
‫אפשר להשאיר ביטוי עם ‪ ln‬בתשובה‪.‬‬
‫‪a 1‬‬
‫‪a‬‬
‫‪ f  x  ‬ו‪-‬‬
‫‪ )9‬באיור שלפניך נתונות הפונקציות‪:‬‬
‫‪x2‬‬
‫‪x 1‬‬
‫ידוע כי הגרפים של הפונקציות נחתכים בנקודה שבה ‪. x  3‬‬
‫‪ g  x  ‬בתחום‪. x  0 :‬‬
‫א‪ .‬מצא את ‪ a‬וכתוב את שתי הפונקציות‪.‬‬
‫ב‪ .‬חשב את השטח המוגבל ע"י הגרפים של שתי‬
‫הפונקציות‪ ,‬ציר ה‪ y -‬והישר ‪. x  e‬‬
‫‪b‬‬
‫‪ )10‬נתונה הפונקציה‪:‬‬
‫‪x‬‬
‫‪. f  x   7  ax ‬‬
‫ידוע כי משוואת המשיק לגרף הפונקציה בנקודת‬
‫החיתוך שלה עם ציר ה ‪ x -‬היא‪. y  18x  9 :‬‬
‫א‪ .‬מצא את ‪ a‬ו‪ b -‬וכתוב את הפונקציה‪.‬‬
‫מעבירים ישר המקביל לציר ה ‪ y -‬שחותך את גרף‬
‫הפונקציה בנקודה ‪ A‬ואת משוואת המשיק בנקודה ‪.B‬‬
‫אורך הקטע ‪ AB‬הוא ‪.18‬‬
‫ב‪ .‬מצא את משוואת הישר הנ"ל אם ידוע כי הנקודה ‪ A‬נמצאת מימין‬
‫לנקודת החיתוך של גרף הפונקציה עם ציר ה‪. x -‬‬
‫ג‪ .‬חשב את השטח המוגבל בין גרף הפונקציה‪ ,‬המשיק והישר‪.‬‬
‫‪234‬‬
‫‪4‬‬
‫‪ )11‬הנגזרת של הפונקציה ‪ f  x ‬היא‪:‬‬
‫‪x2‬‬
‫‪. f ' x  ‬‬
‫משוואת המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה‪ x  2 :‬היא‪. y  4  x :‬‬
‫א‪ .‬מצא את הפונקציה ‪. f  x ‬‬
‫ב‪ .‬באיור שלפניך מתוארים גרף הפונקציה ‪f  x ‬‬
‫והמשיק בתחום‪ . x  0 :‬חשב את השטח המוגבל‬
‫בין גרף הפונקציה‪ ,‬המשיק‪ ,‬ציר ה‪ x -‬והישר ‪. x  e2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ )12‬באיור שלפניך נתונה הפונקציה‪:‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ f  x  ‬בתחום‪. x  0 :‬‬
‫מעבירים את הישרים‪ x  4 , x  k , x  k 2 , x  k 3 :‬כמתואר )‪. (k  4‬‬
‫א‪ .‬הבע באמצעות ‪ k‬את השטחים‪ S1 :‬ו‪. S 2 -‬‬
‫ב‪ .‬הראה כי ההפרש‪ S2  S1 :‬אינו תלוי ב‪k -‬‬
‫וחשב את ערכו‪.‬‬
‫ג‪ .‬נתון כי השטח ‪ S 2‬גדול פי ‪ 3‬מהשטח ‪. S1‬‬
‫מצא את ‪. k‬‬
‫‪k‬‬
‫‪4‬‬
‫‪ )13‬נתונות הפונקציות‪ f  x    :‬ו ‪-‬‬
‫‪2x  5‬‬
‫‪x‬‬
‫גרף הפונקציה ‪ g  x ‬חותך את ציר ה‪ y -‬בנקודה שבה ‪. y  0.4‬‬
‫‪. g  x ‬‬
‫‪y‬‬
‫א‪ .‬מצא את הפונקציה ‪. g  x ‬‬
‫ב‪ .‬מצא את נקודת החיתוך של שני הגרפים‪.‬‬
‫ג‪ .‬חשב את השטח המוגבל ע"י שני הגרפים והישר ‪. x  1‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ )14‬באיור מתוארים הגרפים של הפונקציות‪f  x   ln  e x  1 :‬‬
‫ו‪ g  x   ln  e2 x  e3 x  -‬בתחום‪. x  0 :‬‬
‫‪y‬‬
‫א‪ .‬הראה כי הגרפים נחתכים על ציר ה ‪. y -‬‬
‫ב‪.‬‬
‫מעבירים ישר ‪  a  1 , x  a‬המאונך לציר ה‪x -‬‬
‫אשר חותך את הגרפים של שתי הפונקציות ויוצר‬
‫את השטח ‪( S‬ראה איור)‪.‬‬
‫מצא את ערכו של ‪ a‬עבורו מתקיים‪. S  4 :‬‬
‫‪235‬‬
‫‪S‬‬
‫)‪f ( x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪xa‬‬
‫)‪g ( x‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ )15‬באיור שלפניך מתוארים הגרפים של הפונקציה‪:‬‬
‫‪3x  1‬‬
‫‪ f  x  ‬והישר‪. y  x :‬‬
‫א‪ .‬מצא את נקודת החיתוך של הפונקציות הנמצאת ברביע הראשון‪.‬‬
‫מעבירים אנך לציר ה‪ x  a - x -‬הנמצא מימין לנקודת‬
‫החיתוך שמצאת בסעיף הקודם‪ .‬האנך החותך את הגרפים‬
‫ויוצר את השטחים ‪ S1‬ו‪ S 2 -‬המתוארים האיור‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪S1‬‬
‫‪xa‬‬
‫מצא את הערך של ‪ a‬עבורו השטח ‪S 2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪x‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫יהיה שווה ל‪.  ln 7 -‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪y‬‬
‫‪S2‬‬
‫‪S1‬‬
‫עבור ערך ה ‪ a -‬שמצאת בסעיף הקודם חשב את יחס השטחים‪:‬‬
‫‪S2‬‬
‫‪.‬‬
‫חישובי נפחים‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ )16‬נתונה הפונקציה‪:‬‬
‫‪x‬‬
‫‪. f  x ‬‬
‫‪ x  1‬ו‪x  3 -‬‬
‫השטח הכלוא בין הפונקציה‪ ,‬הישרים‬
‫וציר ה‪ x -‬מסתובב סביב ציר ה ‪. x -‬‬
‫מצא את נפח גוף הסיבוב שנוצר באופן זה‪.‬‬
‫אפשר להשאיר ‪ ln‬בתשובה‪.‬‬
‫‪ )17‬נתונה הפונקציה‪:‬‬
‫‪ex‬‬
‫‪e 1‬‬
‫‪2x‬‬
‫‪. f  x ‬‬
‫השטח הכלוא בין הפונקציה‪ ,‬הצירים והישר ‪ x  ln 3‬מסתובב סביב ציר ה ‪. x -‬‬
‫חשב את נפח גוף הסיבוב שנוצר‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ )18‬נתונה הפונקציה‪:‬‬
‫‪x‬‬
‫‪. f  x  x ‬‬
‫השטח הכלוא בין הפונקציה‪ ,‬הישרים ‪ x  a‬ו ‪) 0  a ( x  a  3 -‬‬
‫וציר ה‪ x -‬מסתובב סביב ציר ה ‪. x -‬‬
‫חשב את נפח גוף הסיבוב המינימלי שנוצר באופן הזה‪.‬‬
‫‪236‬‬
‫תירגול נוסף‪:‬‬
‫‪k‬‬
‫‪ )19‬הנגזרת של הפונקציה ‪ f  x ‬היא‪:‬‬
‫‪x‬‬
‫‪. f '  x   8x ‬‬
‫ידוע כי יש לפונקציה נקודת מינימום )‪.(1,1‬‬
‫א‪ .‬מצא את ‪ k‬ואת הפונקציה ‪. f  x ‬‬
‫ב‪ .‬כתוב את תחום ההגדרה של הפונקציה‪.‬‬
‫ג‪ .‬כתוב את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה‪.‬‬
‫ד‪ .‬האם הפונקציה חותכת את ציר ה ‪ ? x -‬נמק את תשובתך‪.‬‬
‫‪3x  a‬‬
‫‪ )20‬נתונה הפונקציה‪:‬‬
‫‪x‬‬
‫‪. f  x ‬‬
‫ידוע כי שיפוע המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה ‪ x  1‬הוא ‪.6‬‬
‫א‪ .‬מצא את ‪. a‬‬
‫ב‪ .‬מצא את נקודת החיתוך של גרף הפונקציה עם ציר ה‪. x -‬‬
‫ג‪ .‬חשב את השטח המוגבל בין גרף הפונקציה‪ ,‬ציר ה‪ x -‬והישר ‪. x  e‬‬
‫‪10‬‬
‫‪ )21‬באיור שלפניך מתוארים הגרפים של הפונקציות‪:‬‬
‫‪x‬‬
‫ו‪. g  x    x  7 -‬‬
‫‪f  x ‬‬
‫א‪ .‬מצא את נקודות החיתוך של שני הגרפים‪.‬‬
‫ב‪ .‬חשב את השטח הכלוא בין שני הגרפים‪.‬‬
‫‪a‬‬
‫‪ )22‬באיור שלפניך נתונות הפונקציות‪:‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ f  x  ‬ו‪. g  x   x 2  2 -‬‬
‫ידוע כי הגרפים נחתכים בנקודה שבה ‪. x  2‬‬
‫א‪ .‬מצא את ‪. a‬‬
‫ב‪ .‬חשב את השטח המוגבל בין שני הגרפים‪ ,‬הצירים‬
‫והישר ‪. x  e2‬‬
‫‪y‬‬
‫‪4‬‬
‫‪ )23‬באיור שלפניך מתואר גרף הפונקציה‪:‬‬
‫‪x‬‬
‫‪. f  x ‬‬
‫ידוע כי השטח המוגבל בין‬
‫והישרים‪ x  4 :‬ו‪ x  4  t -‬הוא ‪ . ln 81‬מצא את ‪. t‬‬
‫)‪f ( x‬‬
‫‪S  ln81‬‬
‫גרף הפונקציה‪ ,‬ציר ה ‪x -‬‬
‫‪237‬‬
‫‪x‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ )24‬באיור שלפניך נתונה הפונקציה‪:‬‬
‫‪4e  x‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫והישר‪. g  x   2 x  :‬‬
‫‪4e‬‬
‫‪4e‬‬
‫‪f  x ‬‬
‫‪y‬‬
‫א‪ .‬מצא את נקודות החיתוך של שתי הפונקציות‪.‬‬
‫ב‪ .‬חשב את השטח המוגבל בין הגרפים של שתי הפונקציות‪.‬‬
‫‪x‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ )25‬נתונה הפונקציה‪:‬‬
‫‪ax  5‬‬
‫‪ a , f  x  ‬פרמטר‪ .‬שיפוע המשיק לגרף‬
‫הפונקציה בנקודת החיתוך שלה עם ציר ה‪ y -‬הוא ‪.- 0.12‬‬
‫א‪ .‬מצא את ‪ a‬וכתוב את הפונקציה‪.‬‬
‫ב‪ .‬כתוב את משוואת המשיק‪.‬‬
‫ג‪ .‬חשב את השטח המוגבל בין גרף הפונקציה‪,‬‬
‫המשיק והישר ‪. x  2‬‬
‫‪y‬‬
‫)‪f ( x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ )26‬גרף הפונקציה‪ m :‬‬
‫‪x5‬‬
‫ה ‪ x -‬בנקודה שבה ‪. x  4‬‬
‫‪ m , f  x  ‬פרמטר‪ ,‬חותך את ציר‬
‫א‪ .‬מצא את ערך הפרמטר ‪. m‬‬
‫ב‪ .‬כתוב את משוואת הישר העובר דרך נקודות החיתוך‬
‫של גרף הפונקציה עם הצירים‪.‬‬
‫ג‪ .‬חשב את השטח המוגבל בין גרף הפונקציה והישר‬
‫שמצאת בסעיף הקודם‪.‬‬
‫‪y‬‬
‫‪x‬‬
‫)‪f ( x‬‬
‫‪4‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ )27‬נתונה הפונקציה‪ f  x    x  5 :‬בתחום‪. x  0 :‬‬
‫א‪ .‬כתוב את משוואת המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה ‪. x  1‬‬
‫מעבירים ישר המקביל לציר ה ‪ y -‬מנקודת המינימום של‬
‫הפונקציה‪ .‬הישר חותך את משוואת המשיק בנקודה ‪.A‬‬
‫ב‪ .‬מצא את שיעורי הנקודה ‪.A‬‬
‫ג‪ .‬חשב את השטח המוגבל ע"י גרף הפונקציה‪,‬‬
‫המשיק והישר‪.‬‬
‫)‪f ( x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪y‬‬
‫‪3‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ )28‬באיור שלפניך נתונות הפונקציות‪ f  x   3x 2 :‬ו‪. g  x   -‬‬
‫א‪ .‬מצא את נקודת החיתוך של שתי הפונקציות‪.‬‬
‫ב‪ .‬חשב את השטח המוגבל בין הגרפים של שתי‬
‫הפונקציות‪ ,‬ציר ה‪ x -‬והישר‪. x  e3 :‬‬
‫‪238‬‬
‫‪y‬‬
‫‪x‬‬
‫‪6‬‬
‫‪ )29‬באיור שלפניך נתונה הפונקציה‪:‬‬
‫‪6 x‬‬
‫מנקודת החיתוך של גרף הפונקציה ‪ f  x ‬עם ציר ה‪y -‬‬
‫‪ f  x  ‬בתחום‪. x  0 :‬‬
‫‪y‬‬
‫מעבירים את הפרבולה‪. g  x    x2  4 x  1 :‬‬
‫א‪ .‬מצא את נקודת הקדקוד של הפרבולה‪.‬‬
‫ב‪ .‬חשב את השטח הכלוא בין שני הגרפים ואנך‬
‫היוצא מנקודת הקדקוד של הפרבולה‪.‬‬
‫‪x‬‬
‫‪y‬‬
‫‪8‬‬
‫‪ )30‬באיור שלפניך מתואר גרף הפונקציה‪ k :‬‬
‫‪x2‬‬
‫בתחום‪ . x  0 :‬ידוע כי גרף הפונקציה חותך את‬
‫הישר‪ y  x  4 :‬בנקודה שבה‪. x  4 :‬‬
‫‪f  x ‬‬
‫‪x‬‬
‫א‪ .‬מצא את ‪. k‬‬
‫ב‪ .‬חשב את השטח המוגבל בין גרף הפונקציה‪ ,‬ציר ה‪ x -‬והישר‪. x  6 :‬‬
‫‪ )31‬נתונה הפונקציה‪ x  2  :‬‬
‫‪. f  x ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪y‬‬
‫‪x‬‬
‫א‪ .‬מצא את נקודת המינימום של הפונקציה‪.‬‬
‫מעבירים ישר דרך נקודת המינימום של הפונקציה‬
‫והנקודה שבה ‪. x  4‬‬
‫ב‪ .‬מצא את משוואת הישר‪.‬‬
‫ג‪ .‬חשב את השטח המוגבל בין הישר וגרף הפונקציה (העזר באיור)‪.‬‬
‫‪x‬‬
‫‪)32‬‬
‫א‪ .‬גזור את הפונקציה הבאה‪. y  2 x  x ln x :‬‬
‫‪y‬‬
‫)‪f ( x‬‬
‫‪y 1‬‬
‫באיור שלפניך מתואר גרף הפונקציה‪. f  x   ln x :‬‬
‫‪x‬‬
‫מעבירים ישר ‪ y  1‬החותך את גרף הפונקציה בנקודה ‪.A‬‬
‫מנקודת החיתוך של גרף הפונקציה עם ציר ה‪ x -‬מעלים אנך לישר‪.‬‬
‫ב‪ .‬היעזר בסעיף א' וחשב את השטח הכלוא בין גרף‬
‫הפונקציה‪ ,‬האנך והישר‪.‬‬
‫‪)33‬‬
‫‪x2‬‬
‫א‪ .‬הוכח כי הנגזרת של הפונקציה‪ y   2 ln x  1 :‬היא‪. y '  x ln x :‬‬
‫‪4‬‬
‫באיור שלפניך מתואר גרף הפונקציה‪. f  x   x ln x :‬‬
‫מעלים את הישר ‪ x  e‬המאונך לציר ה ‪ x -‬החותך את‬
‫גרף הפונקציה‪.‬‬
‫ב‪ .‬חשב את השטח הכלוא בין גרף הפונקציה‪,‬‬
‫האנך וציר ה‪. x -‬‬
‫‪239‬‬
‫)‪f ( x‬‬
‫‪xe‬‬
‫‪x‬‬
‫‪y‬‬
‫‪)34‬‬
‫‪x3‬‬
‫א‪ .‬גזור את הפונקציה הבאה‪. y   x  x ln x :‬‬
‫‪3‬‬
‫‪D‬‬
‫‪A‬‬
‫באיור ש לפניך מתוארים הגרפים של הפונקציות‪f  x   ln x :‬‬
‫ו‪ . g  x   x 2 -‬מעבירים את הישרים ‪ x  1‬ו ‪ x  2 -‬המקבילים‬
‫לציר ה ‪ . y -‬ישרים אלו חותכים את הגרפים של הפונקציות‬
‫בנקודות ‪ A ,B,C,D‬בהתאמה‪.‬‬
‫ב‪ .‬חשב את השטח ‪.ABCD‬‬
‫‪)35‬‬
‫‪y‬‬
‫‪C‬‬
‫‪x‬‬
‫‪B‬‬
‫‪ x ‬‬
‫‪y  2ln  x  2   x ln ‬‬
‫א‪ .‬הראה כי הנגזרת של הפונקציה‪ :‬‬
‫‪ x2‬‬
‫‪x ‬‬
‫‪. y '  ln ‬‬
‫היא‪ :‬‬
‫‪ x2‬‬
‫באיור שלפניך מתוארים הגרפים של הפונקציות‪ f  x   ln x :‬ו‪. g  x   ln  x  2 -‬‬
‫ב‪ .‬קבע איזה מבין הגרפים ‪ II , I‬מתאר את ‪ f  x ‬ואיזה את ‪ . g  x ‬נמק‪.‬‬
‫ג‪ .‬מצא את נקודת החיתוך של כל גרף עם ציר ה ‪. x -‬‬
‫ד‪ .‬מנקודת החיתוך הגדולה יותר שמצאת בסעיף‬
‫הקודם מעלים אנך לציר ה‪ x -‬מהנקודה ‪,D‬‬
‫החותך את הגרף השני בנקודה ‪( A‬ראה איור)‪.‬‬
‫מעבירים אנך נוסף ‪ x  4‬החותך את הגרפים‬
‫בנקודות ‪ B‬ו‪ .C-‬העזר בסעיף א' וחשב את‬
‫השטח ‪ - ABCD‬הכלוא בין שני הגרפים‪.‬‬
‫‪240‬‬
‫‪y‬‬
‫‪I‬‬
‫‪B‬‬
‫‪A‬‬
‫‪II‬‬
‫‪x‬‬
‫‪C‬‬
‫‪x4‬‬
‫‪D‬‬
:‫תשובות סופיות‬
. ln | x  3| c .‫ ג‬.
x2
 3x  4ln x  c .‫ב‬
2
.
. 3ln x  2ln x  1 
4ln 3x  1
 c .‫) א‬1
3
x3 x 2
x2
  7 x  8ln | x  2 | c .‫ ב‬.  2 x  3ln | x  1| c .‫) א‬2
3
2
2
.
x 4 x3 x 2
   x  4ln | x  1|  c .‫ג‬
4 3 2
1
2
. ln | e x  e x | c .‫ ד‬. ln | e x  5 | c .‫ ג‬. ln | x 2  2x |  c .‫ ב‬. ln | x2  3 | c .‫) א‬3
. f ( x)  x3  ln | x |  x  2 )5
f  x   x 2  ln x  4  3 )4
. ln | sin x | c .‫ה‬
S  ‫ יח"ש‬4ln 2  2 )8 . S  ‫ יח"ש‬2.17 )7
. S  ‫ יח"ש‬ln 4 )6
2
1
, g  x 
.‫) א‬9
x 1
x2
4
. S  6  ln 256  ‫ יח"ש‬11.54 .‫ ג‬x  2 .‫ ב‬f  x   7  2 x  , a  2 , b  4 .‫) א‬10
x
4
. S  ‫ יח"ש‬6  4ln 2 .‫ ב‬f  x   .‫) א‬11
x
. k  8 .‫ ג‬S2  S1  ln16 .‫ ב‬S1  2ln k  ln16 , S2  2ln k .‫) א‬12
. S  ‫ יח"ש‬1.76 .‫ ב‬a  2 , f  x  
a  2 .‫) ב‬14
. S  ‫ יח"ש‬ln 5 13  1.674 .‫ ג‬ 2, 2  .‫ ב‬g  x  

. V  ‫ יח"נ‬ln 2 )17 . V  ‫ יח"נ‬ ln 3 )16 .
2
S1
 5.955 .‫ג‬
S2
2
.‫) א‬13
2x  5
. a  5 .‫ ב‬1,1 .‫) א‬15
. V  ‫ יח"נ‬ 19  4ln 4  )18
2
1

0  x  1 :‫ יורדת‬, x  1 :‫ עולה‬.‫ג‬
x  0 .‫ב‬

k  8 , f  x   4 x  8ln x  3 .‫) א‬19
2
‫ ולכן‬x - ‫ הנקודה הנמוכה ביותר בתחום הגדרתה נמצאת מעל לציר ה‬.‫ לא‬.‫ד‬
.‫גם כל גרף הפונקציה‬
. S  ‫ יח"ש‬3e  ln 64 12 .‫ ג‬ 2, 0  .‫ ב‬a  6 .‫) א‬20
. S  ‫יח"ש‬10.5  10  ln 2  ln 5 .‫ ב‬ 2,5 ,  5, 2  .‫) א‬21
. t  8 )23
2
3
. S  ‫ יח"ש‬30  12 ln 2 .‫ב‬
a  12 .‫) א‬22
5
. S  ‫ יח"ש‬5  ln 64 .‫ ב‬ 0, 3  ,  3e, 3  .‫) א‬24
8
 4e   e 
. S  ‫ יח"ש‬0.1 .‫ג‬
y  0.12 x  0.2 .‫ב‬
241
a  3 , f  x 
1
.‫) א‬25
3x  5
2
3
y   x  1 .‫ ב‬m  2 .‫) א‬26
5
5
. S  ‫ יח"ש‬ln16  2  0.772 .‫ ג‬ 2, 7  .‫ ב‬y  3x  13 .‫) א‬27
. S  ‫ יח"ש‬4.8  ln 25  1.58 .‫ג‬
1
3
. S  ‫ יח"ש‬7  6  ln 8  ln 6   5.6 .‫ ב‬ 2,5 .‫) א‬29 . S  ‫ יח"ש‬10 .‫ ב‬1,3 .‫) א‬28
1
2
. S  ‫ יח"ש‬3  ln16 .‫ ג‬y  x  1 .‫ ב‬ 2, 0  .‫) א‬31 . S  ‫ יח"ש‬24 16ln 2 .‫ב‬
k  4 .‫) א‬30
. S  ‫ יח"ש‬e  2 .‫ ב‬y '  1  ln x .‫) א‬32
1
3
. S  ‫ יח"ש‬3  ln 4  1.94 .‫ ב‬y '  x2  ln x .‫) א‬34
.S 
e2  1
.‫) ב‬33
4
4
. S  ‫ יח"ש‬3ln  0.863 .‫ ד‬1,0  ,  3,0  .‫ ג‬. f  x   I , g  x   II .‫) ב‬35
3
242
‫פונקצית חזקה עם מעריך רציונאלי‪:‬‬
‫אינטגרלים מיידים של פונקצית חזקה עם מעריך רציונאלי‪:‬‬
‫אינטגרל של פונקציה מורכבת‬
‫‪1‬‬
‫‪c‬‬
‫אינטגרל יסודי‬
‫‪m‬‬
‫‪ ax  b  n‬‬
‫‪dx ‬‬
‫‪m ‬‬
‫‪a    1‬‬
‫‪n‬‬
‫‪‬‬
‫‪m‬‬
‫‪n‬‬
‫‪dx    ax  b ‬‬
‫‪m‬‬
‫תנאי לקיום האינטגרציה‪ 1 :‬‬
‫‪n‬‬
‫‪m‬‬
‫‪  ax  b ‬‬
‫‪n‬‬
‫‪m‬‬
‫‪1‬‬
‫‪n‬‬
‫‪m‬‬
‫‪n‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x m dx   x dx ‬‬
‫‪c‬‬
‫‪m‬‬
‫‪1‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫‪‬‬
‫‪.‬‬
‫שאלות כלליות‪:‬‬
‫‪ )1‬נתונה הפונקציה‪ a) , f  x   4 5x  6  ax :‬פרמטר) ‪.‬‬
‫ידוע כי גרף הפונקציה חותך את ציר ה‪ x -‬בנקודה שבה ‪. x  2‬‬
‫א‪ .‬מצא את הפרמטר ‪ a‬וכתוב את הפונקציה‪.‬‬
‫‪x‬‬
‫ב‪ .‬מהו תחום ההגדרה של הפונקציה?‬
‫ג‪ .‬מצא את נקודת קיצון הקצה של הפונקציה‪.‬‬
‫‪f  x‬‬
‫ד‪ .‬מצא את משוואת המשיק לגרף הפונקציה העובר‬
‫דרך נקודת החיתוך שלה עם ציר ה‪. x -‬‬
‫ה‪ .‬באיור שלפניך מתואר גרף הפונקציה ‪ f  x ‬והמשיק שמצאת בסעיף‬
‫הקודם‪ .‬מורידים אנך מהמשיק אל נקודת קיצון הקצה של הפונקציה‬
‫שמצאת בסעיף ג'‪ .‬חשב את השטח הנוצר בין גרף הפונקציה ‪f  x ‬‬
‫והמשיק‪.‬‬
‫‪y‬‬
‫‪ )2‬באיור שלפניך נתונים הגרפים של הפונקציות‪. f  x   3 x , g  x   2  6 x :‬‬
‫א‪ .‬מצא את נקודת החיתוך של הגרפים‪.‬‬
‫ב‪ .‬חשב את השטח הכלוא בין שני הגרפים וציר ה‪. y -‬‬
‫)‪f ( x‬‬
‫)‪g ( x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪243‬‬
‫‪y‬‬
‫‪ )3‬הנגזרת של הפונקציה ‪ f  x ‬היא‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪4‬‬
‫‪ 6  5x ‬‬
‫‪. f ' x  ‬‬
‫‪5‬‬
‫‪y‬‬
‫ידוע כי הפונקציה חותכת את ציר ה ‪ x -‬בנקודה שבה‪. x  1.2 :‬‬
‫א‪ .‬מצא את הפונקציה ‪. f  x ‬‬
‫)‪g ( x‬‬
‫ב‪ .‬חשב את השטח הכלוא בין גרף‬
‫הפונקציה ‪ , f  x ‬גרף הפונקציה‪g  x   10 x :‬‬
‫וציר ה‪. x -‬‬
‫‪3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ )4‬נתונה הפונקציה‪ x 2 :‬‬
‫‪5 x 2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪x‬‬
‫)‪f ( x‬‬
‫‪. f  x ‬‬
‫‪y‬‬
‫‪f  x‬‬
‫א‪ .‬מצא את משוואת המשיק לגרף הפונקציה‬
‫בנקודה שבה ‪. x  3‬‬
‫ב‪ .‬חשב את השטח הכלוא בין גרף הפונקציה ‪, f  x ‬‬
‫המשיק וציר ה ‪. y -‬‬
‫‪x‬‬
‫‪y‬‬
‫‪S1‬‬
‫‪ )5‬נתונה הפונקציה‪. f  x   3 x  4 x :‬‬
‫‪S2‬‬
‫‪x‬‬
‫א‪ .‬מהו תחום ההגדרה של הפונקציה?‬
‫ב‪ .‬מצא את נקודות החיתוך של הפונקציה עם ציר ה‪. x -‬‬
‫ג‪ .‬באיור שלפניך מתואר גרף הפונקציה ברביע הראשון‪.‬‬
‫השטח הכלוא בין גרף הפונקציה וציר ה ‪ x -‬יסומן ב‪. S1 -‬‬
‫מעבירים ישר ‪ x  k‬אשר יוצר את השטח ‪ S 2‬כמתואר‪.‬‬
‫מצא את ‪ k‬אם ידוע כי‪. S1  S2 :‬‬
‫‪f  x‬‬
‫תירגול נוסף‪:‬‬
‫‪ )6‬חשב את האינטגרלים הבאים‪:‬‬
‫‪3‬‬
‫ב‪.‬‬
‫א‪ xdx .‬‬
‫ד‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫‪dx‬‬
‫‪x‬‬
‫ז‪.‬‬
‫‪2 x  3dx‬‬
‫י‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫‪dx‬‬
‫‪7 x  12‬‬
‫‪3‬‬
‫‪‬‬
‫‪3‬‬
‫‪‬‬
‫‪8‬‬
‫‪‬‬
‫‪  4 x  2 x dx‬‬
‫‪4‬‬
‫ה‪.‬‬
‫‪x4‬‬
‫‪dx‬‬
‫‪4‬‬
‫‪x‬‬
‫‪‬‬
‫ח‪.‬‬
‫‪5  xdx‬‬
‫‪4‬‬
‫יא‪.‬‬
‫‪7‬‬
‫‪dx‬‬
‫‪14  2 x‬‬
‫‪244‬‬
‫‪‬‬
‫‪5‬‬
‫‪‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪  x  x dx‬‬
‫ו‪.‬‬
‫‪x3  3x  5‬‬
‫‪dx‬‬
‫‪‬‬
‫‪x‬‬
‫ט‪.‬‬
‫‪1  4 x  5 4 x  1 dx‬‬
‫יב‪.‬‬
‫‪5‬‬
‫‪‬‬
‫‪3 ‬‬
‫‪dx‬‬
‫‪x 1 ‬‬
‫‪4‬‬
‫‪1 x ‬‬
‫‪5‬‬
‫‪4‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ )7‬חשב את ערכי האינטגרלים הבאים‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪x ‬‬
‫‪‬‬
‫‪8‬‬
‫א‪.‬‬
‫‪4 x dx‬‬
‫ד‪.‬‬
‫‪x 2  3x  2‬‬
‫‪dx‬‬
‫‪4‬‬
‫‪x‬‬
‫‪5‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪16‬‬
‫‪5 x  1 dx‬‬
‫‪4‬‬
‫‪0‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪dx‬‬
‫‪4‬‬
‫‪6 x‬‬
‫ו‪.‬‬
‫‪4 ‬‬
‫‪x‬‬
‫‪3.5  4  3  5 2 x  6 dx‬‬
‫‪3‬‬
‫‪9‬‬
‫ה‪.‬‬
‫‪x 6‬‬
‫‪dx‬‬
‫‪x2‬‬
‫‪1 3‬‬
‫‪‬‬
‫‪5‬‬
‫‪‬‬
‫‪10‬‬
‫‪19‬‬
‫‪8‬‬
‫‪ )8‬נתונה הנגזרת הבאה‪. f '  x   2 x  3 4 x :‬‬
‫ידוע כי הפונקציה עוברת בנקודה ‪  2,3‬מצא את הפונקציה‪.‬‬
‫‪ )9‬נתונה הנגזרת הבאה‪. f '  x   3 5x  7 :‬‬
‫ידוע כי הפונקציה חותכת את ציר ה ‪ x -‬בנקודה שבה ‪ . x  4‬מצא את הפונקציה‪.‬‬
‫‪10‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪x‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ )10‬נתונה הנגזרת הבאה‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪5‬‬
‫‪x 1‬‬
‫ציר ה ‪ y -‬בנקודה שבה ‪ . y  6‬מצא את הפונקציה‪.‬‬
‫‪ . f '  x  ‬ידוע כי הפונקציה חותכת את‬
‫‪ )11‬נתונה הנגזרת הבאה‪ . f '  x   3 x  6 x :‬ידוע כי הישר ‪ y  6 x  380‬משיק לגרף‬
‫הפונקציה‪ .‬מצא את הפונקציה‪.‬‬
‫‪x2  2 x  3‬‬
‫‪ )12‬נתונה הנגזרת הבאה‪:‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ . f '  x  ‬ידוע כי שיעור ה‪ y -‬של נקודת‬
‫הקיצון של הפונקציה הוא ‪ .4‬מצא את הפונקציה‪.‬‬
‫‪ )13‬באיור שלפניך מופיע גרף הפונקציה‪. f  x   x  4 3 x :‬‬
‫א‪ .‬מצא את נקודות החיתוך של הפונקציה עם ציר ה‪. x -‬‬
‫ב‪ .‬חשב את השטח הנוצר בין גרף הפונקציה והצירים‪.‬‬
‫‪y‬‬
‫‪f  x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x2  4‬‬
‫‪. f  x ‬‬
‫‪ )14‬באיור שלפניך מצויר גרף הפונקציה‪:‬‬
‫‪x‬‬
‫א‪ .‬מהו תחום ההגדרה של הפונקציה?‬
‫ב‪ .‬מצא את נקודת החיתוך של הפונקציה עם ציר ה‪. x -‬‬
‫ג‪ .‬מעבירים אנך לציר ה‪ y -‬מהנקודה ‪.  4, 6 ‬‬
‫חשב את השטח הנוצר בין גרף הפונקציה והצירים‪.‬‬
‫‪245‬‬
‫‪f  x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪y‬‬
‫‪ )15‬באיור שלפניך מתואר גרף הפונקציה‪. f  x   2  4 x :‬‬
‫מעבירים אנכים לצירים מנקודות החיתוך של גרף‬
‫הפונקציה עם הצירים כך שנוצר המלבן ‪.ABCO‬‬
‫מסמנים את השטח שבין גרף הפונקציה והצירים ב ‪S1 -‬‬
‫‪y‬‬
‫‪S1‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪x‬‬
‫‪f  x‬‬
‫‪S2‬‬
‫‪S1‬‬
‫ואת השטח שבין גרף הפונקציה והאנכים ב‪ . S 2 -‬מצא את היחס‪:‬‬
‫‪S2‬‬
‫‪ )16‬באיור שלפניך מתואר גרף הפונקציה‪. f  x   x  3 4 x  2 :‬‬
‫מנקודת המינימום של הפונקציה מעבירים אנך לציר ה ‪. x -‬‬
‫מצא את השטח הכלוא בין גרף הפונקציה‪ ,‬האנך וציר ה‪. x -‬‬
‫‪.‬‬
‫‪y‬‬
‫‪f  x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ )17‬באיור שלפניך מתוארים הגרפים של הפונקציות‪f  x   x 2 :‬‬
‫‪y‬‬
‫‪II‬‬
‫ו‪ g  x   32 3 x -‬בתחום‪. x  0 :‬‬
‫‪I‬‬
‫א‪ .‬קבע איזה מבין הגרפים ‪ I‬ו‪ II-‬שייך לכל פונקציה‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא את נקודות החיתוך של הגרפים‪.‬‬
‫ג‪ .‬חשב את השטח הכלוא בין הגרפים של שתי הפונקציות‪.‬‬
‫*הערה‪ :‬בתרגיל הבא יש שימוש גם באינטגרל לוגריתמי‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ )18‬הנגזרת של הפונקציה )‪ f ( x‬היא‪. f '( x)  2  3 x  2 :‬‬
‫‪x‬‬
‫א‪ .‬מצא את הפונקציה )‪ f ( x‬אם ידוע כי‬
‫‪x‬‬
‫‪y‬‬
‫)‪g ( x‬‬
‫)‪f ( x‬‬
‫הישר‪ 4 y  8x  7 :‬חותך אותה כאשר‪. x  1 :‬‬
‫ב‪ .‬באיור שלפניך מתואר גרף הפונקציה )‪ f ( x‬בתחום‪. x  0 :‬‬
‫‪x‬‬
‫‪33‬‬
‫‪4‬‬
‫מגדירים פונקציה נוספת‪ x  2  :‬‬
‫‪4‬‬
‫‪ g  x  ‬ואף היא מסורטטת באיור‪.‬‬
‫‪ .1‬מצא את נקודת החיתוך של הפונקציות‪.‬‬
‫‪ .2‬חשב את השטח הכלוא ביניהן והישר‪. x  2 :‬‬
‫‪ )19‬נתונה הפונקציה הבאה‪. f  x   5 x  210 x  3 :‬‬
‫א‪ .‬חשב את השטח הכלוא בין גרף הפונקציה והצירים‪.‬‬
‫ב‪ .‬מעבירים אנך לציר ה‪ a) , x  a , x -‬פרמטר)‪.‬‬
‫מצא את הערך של ‪ a‬עבורו השטח הכלוא בין‬
‫גרף הפונקציה וציר ה‪ x -‬בין נקודת החיתוך שלהם‬
‫‪7 1.2‬‬
‫ועד לאנך הוא‪a :‬‬
‫‪66‬‬
‫‪ S ‬כאשר ‪ S‬הוא השטח‬
‫שמצאת בסעיף הקודם‪.‬‬
‫‪246‬‬
‫‪y‬‬
‫)‪f ( x‬‬
‫‪x  a‬‬
‫‪x‬‬
‫‪S‬‬
‫‪‬‬
‫‪ )20‬באיור שלפניך נתונים הגרפים של הפונקציות הבאות‪; f  x   4 3 x :‬‬
‫א‪ .‬מצא את נקודת החיתוך של הגרפים בתחום‪. x  0 :‬‬
‫ב‪ .‬מעבירים אנך לציר ה‪ a) , x  a , x -‬פרמטר)‪.‬‬
‫ידוע כי השטח שנוצר בין שני הגרפים מנקודת‬
‫‪3‬‬
‫החיתוך שלהם ועד לאנך הוא‪:‬‬
‫‪16‬‬
‫מצא את ‪. a‬‬
‫‪x3  B‬‬
‫‪ )21‬נתונה הפונקציה הבאה‪:‬‬
‫‪a‬‬
‫‪x‬‬
‫‪1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪x‬‬
‫‪. g  x ‬‬
‫‪y‬‬
‫)‪f ( x‬‬
‫‪x  a‬‬
‫‪ 42‬סמ"ר‪.‬‬
‫‪x‬‬
‫)‪g ( x‬‬
‫‪ a, B ( , f  x  ‬פרמטרים)‪.‬‬
‫מגדירים פונקציה נוספת‪. g  x   a x :‬‬
‫ידוע כי מכפלת הפונקציות שווה לביטוי הבא‪. f  x   g  x   x3  8 :‬‬
‫א‪ .‬מצא את ערך הפרמטר ‪. B‬‬
‫מגדירים את פונקצית ההפרש הבאה‪. h  x   f  x   g  x  :‬‬
‫ב‪ .‬מצא את ערך הפרמטר ‪ a‬אם ידוע כי ‪. h 8  258‬‬
‫ג‪.‬‬
‫באיור שלפניך מצוירים הגרפים של הפונקציות ‪ f  x ‬ו‪. g  x  -‬‬
‫‪ .1‬התאם לכל גרף את הפונקציה המתאימה‪ I :‬ו‪.II-‬‬
‫‪ .2‬מצא את נקודת הקיצון של הפונקציה ‪. f  x ‬‬
‫‪ .3‬מורידים אנך לציר ה‪ x -‬מנקודת הקיצון של הפונקציה ‪. f  x ‬‬
‫חשב את השטח הכלוא בין גרף הפונקציה ‪ , g  x ‬האנך וציר ה‪. x -‬‬
‫‪y‬‬
‫‪I‬‬
‫‪I‬‬
‫‪II‬‬
‫‪x‬‬
‫‪247‬‬
:‫תשובות סופיות‬
.y
27
27
.‫ ד‬.  1.2,1.2  .‫ג‬
x
32
16
. x  1.2 .‫ ב‬f  x   4 5x  6  x , a  1 .‫) א‬1
. S  ‫ יח"ש‬0.48 .‫ה‬
. S  ‫ יח"ש‬1
1
5
5
.‫ב‬
66
11
.‫ ב‬1,1 .‫) א‬2
28
15
45
. S  ‫ יח"ש‬4.56 .‫ ב‬y  2 x  .‫) א‬4
16
16
f  x    6  5 x  .‫) א‬3
1.5
3
. k   
8
 0.2296.. .‫ג‬
. S  ‫יח"ש‬
1
1
.  0, 0  ,  , 0  ,   , 0  .‫ ב‬. x ‫ כל‬.‫) א‬5
8

 8

5 5 11
x  c .‫ ג‬. 2 x 2  1.6 4 x5  c .‫ ב‬. 0.75 3 x 4  c .‫) א‬6
11
3
2
4
16
4
. 3  2 x  3  c .‫ ז‬. x7  2 x3  10 x  c .‫ ו‬. 4 x7  4 x3  c .‫ה‬
8
7
7
3
24
5
5
5
7
6
6
. 8  7 x  12   c .‫ י‬.  5 1  4 x   5  4 x  1  c .‫ ט‬. 0.8 4  5  x   c .‫ח‬
49
24
24
35
5
3
4
. 0.8 4 1  x   4 4  x  1  c .‫ יב‬.  5 14  2 x   c .‫יא‬
8
13
1
2
1
. 40 .‫ ו‬. 4 .‫ ה‬.126.4 .‫ ד‬.18 .‫ ג‬. 33.76 .‫ ב‬. 45 .‫) א‬7
32
8
3
3
3
3
4
4
. f  x   3  5x  7   12.15 )9 . f  x   x 2  3  4 x   2 )8
20
16
1
1
4
3
. f  x   12.5 5  x  1   x  1  18 )10
3
6
. 4.5 3 x2  c .‫ ד‬.
. f  x   0.4 x5 
4 3
4
x 6 x 8
)12
3
15
f  x 
3 3 x4 6 6 x7
5

 297 )11
4
7
7
. S  ‫ יח"ש‬16 .‫ ב‬ 0,0  ; 8,0  .‫) א‬13
. S  ‫ יח"ש‬27.2  6.4 2 18.14 .‫ ג‬.  2, 0  .‫ ב‬. x  0 .‫) א‬14
. S  ‫ יח"ש‬1
301
1.627 )16
480
.
S1
 4 )15
S2
1
3
. S  ‫ יח"ש‬213 .‫ ג‬.  0,0 ; 8,64  .‫ ב‬. I  g  x  ; II  f  x  .‫) א‬17
1
x
. S  ‫ יח"ש‬3  ln 4 .2 .  0.5,1.28 .1 .‫ ב‬. f  x    
. a  8 .‫ב‬
1 
.  , 2  .‫) א‬20
8 
33
4
 x  2   2 .‫) א‬18
4
10
 33 
. a    .‫ב‬
 31 
S  ‫יח"ש‬
23
.‫) א‬19
66
. S  ‫ יח"ש‬0.75 .3 . 1,9  .2 . II  g  x  ; I  f  x  .1 .‫ ג‬. a  3 .‫ ב‬. B  8 .‫) א‬21
248
‫תרגול מבגרויות (חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי יחד)‪:‬‬
‫‪ )1‬נתונה פונקציית הנגזרת השנייה ‪ e‬‬
‫‪1‬‬
‫‪. f ''  x  ‬‬
‫‪ 2 x  1‬‬
‫לפונקציה ‪ f  x ‬יש נקודת קיצון ב‪ .  0,3 -‬מצא את ‪. f  x ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ )2‬נתון הגרף של פונקציית הנגזרת ‪( f '  x ‬ראה ציור)‪.‬‬
‫כמו כן נתון‪. f  a   d , f  0  s , f b   p , f  c   k :‬‬
‫א‪ .‬הבע באמצעות פרמטרים מתאימים‪:‬‬
‫(‪ )1‬את השיעורים של נקודות הקיצון‬
‫של ‪ f  x ‬וקבע את סוגן‪ .‬נמק‪.‬‬
‫(‪ )2‬את השיעורים של נקודת הפיתול של ‪ . f  x ‬נמק‪.‬‬
‫ב‪ .‬נסמן‪ - x1 :‬שיעור ה ‪ x -‬של נקודת הפיתול של ‪. f  x ‬‬
‫‪ - x2‬שיעור ה‪ x -‬של נקודת המינימום של ‪. f  x ‬‬
‫‪x2‬‬
‫הבע באמצעות פרמטרים מתאימים את ערך האינטגרל ‪.  f '  x   e f  x  dx‬‬
‫‪x1‬‬
‫‪e‬‬
‫‪ )3‬נתונה הפונקציה‬
‫‪e x‬‬
‫‪ . f  x  ‬העבירו ישר המשיק לגרף‬
‫‪4‬‬
‫‪e‬‬
‫הפונקציה ברביע הרביעי‪ ,‬שמשוואתו ‪. y  x  8‬‬
‫חשב את השטח המוגבל על ידי המשיק‪ ,‬על‬
‫ידי גרף הפונקציה ועל ידי הישר ‪. x  2e‬‬
‫‪2ln x  1‬‬
‫‪ )4‬נתונה פונקציית הנגזרת‬
‫‪x‬‬
‫נתון כי הפונקציה ‪ f  x ‬מוגדרת בתחום ‪ , x  0‬ויש לה נקודת פיתול בנקודה‬
‫‪. f ' x ‬‬
‫שבה ‪. f  x   b‬‬
‫א‪ .‬מצא את הפונקציה ‪( f  x ‬הבע באמצעות ‪.) b‬‬
‫ב‪ ) 1( .‬מצא את השיעורים של נקודות הקיצון של ‪( f  x ‬אם יש כאלה) וקבע‬
‫את סוגן‪( .‬הבע באמצעות ‪ b‬במידת הצורך)‪.‬‬
‫(‪ )2‬מצא תחומי קעירות כלפי מעלה ‪ ‬וכלפי מטה ‪ ‬של ‪. f  x ‬‬
‫ג‪ )1( .‬מצא עבור אילו ערכים של ‪ b‬הגרף של ‪ f  x ‬חותך את ציר ה ‪ x -‬בשתי נקודות‪.‬‬
‫(‪ )2‬סרטט סקיצה של גרף הפונקציה ‪ , f  x ‬עבור הערכים של ‪ b‬שמצאת בתת‬
‫סעיף ג (‪ ,)1‬אם נתון כי ‪ . b  0‬ציין בסקיצה את נקודת הפיתול‪.‬‬
‫‪249‬‬
‫‪ )5‬מצא על גרף הפונקציה ‪ f  x   2x‬את הנקודה הקרובה ביותר לישר ‪. y  x  ln 4‬‬
‫‪ln  ax ‬‬
‫‪ )6‬בציור מוצגת סקיצה של גרף הפונקציה‬
‫‪x‬‬
‫‪ln  ax ‬‬
‫‪. a  1 , g  x  ‬‬
‫ונתונה הפונקציה‬
‫‪x‬‬
‫‪, f  x ‬‬
‫מעבירים ישר דרך נקודות הקיצון של שתי‬
‫הפונקציות ‪ f  x ‬ו ‪. g  x  -‬‬
‫השטח המוגבל על ידי הישר‪ ,‬על ידי הגרפים של שתי הפונקציות ועל ידי‬
‫הישר ‪ x  e‬שווה ל‪ . ln 2  2e   1 -‬מצא את משוואת הישר העובר דרך נקודת‬
‫הפיתול של ‪ f  x ‬ודרך נקודת הפיתול של ‪. g  x ‬‬
‫‪e x  ae x‬‬
‫‪ )7‬נתונה הפונקציה‬
‫‪e x  ae x‬‬
‫א‪ .‬מצא עבור ‪ , a  0‬ועבור ‪( a  0‬הבע באמצעות ‪ a‬במידת הצורך)‪:‬‬
‫‪ a , f  x  ‬הוא פרמטר‪.‬‬
‫(‪ )1‬את תחום ההגדרה של הפונקציה‪ ,‬ואת האסימפטוטות שלה המקבילות לצירים‪.‬‬
‫(‪ )2‬תחומי עלייה וירידה של הפונקציה (אם יש כאלה)‪.‬‬
‫(‪ )3‬נקודות חיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים‪.‬‬
‫(השאר ‪ ln‬בתשובותיך במידת הצורך)‪.‬‬
‫ב‪ .‬ידוע כי נקודת החיתוך של גרף הפונקציה עם ציר ה ‪ y -‬נמצאת בחלק השלילי‬
‫של הציר‪ .‬סרטט סקיצה של גרף הפונקציה עבור‪:‬‬
‫(‪ )1‬עבור ‪. a  0‬‬
‫(‪ )2‬עבור ‪. a  0‬‬
‫‪x ‬‬
‫‪x‬‬
‫‪2‬‬
‫‪g  x   sin ‬‬
‫‪  cos ‬‬
‫‪ )8‬נתונות הפונקציות‪ , f  x   log3  x  6 x  18 :‬‬
‫‪ 6 ‬‬
‫‪ 3 ‬‬
‫‪5‬‬
‫‪.0  x ‬‬
‫המוגדרות לכל ‪ x‬בתחום‬
‫‪3‬‬
‫בציור מוצג הגרף של הפונקציה ‪ g  x ‬בתחום הנתון‪.‬‬
‫ענה על הסעיפים א‪-‬ב עבור התחום הנתון‪.‬‬
‫א‪ ) 1( .‬מצא את השיעורים של נקודות הקיצון המוחלט של הפונקציה ‪ , f  x ‬וקבע‬
‫את סוגן‪ .‬דייק עד שתי ספרות אחרי הנקודה העשרונית‪.‬‬
‫(‪ )2‬נתון כי הישר ‪ y  k‬משיק לגרף ‪ f  x ‬ולגרף של ‪ g  x ‬באותה נקודה‪.‬‬
‫( ‪ g '  x ‬שווה לאפס רק בנקודה אחת)‪ .‬העתק למחברתך את הגרף של ‪, g  x ‬‬
‫ובאותה מערכת צירים סרטט סקיצה של גרף הפונקציה ‪. f  x ‬‬
‫‪x‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪x‬‬
‫‪  cos ‬‬
‫(‪ )3‬פתור את המשוואה ‪‬‬
‫‪ 6 ‬‬
‫‪ 3 ‬‬
‫(‪ )1‬באיזה תחום ‪ , f '  x   0‬ובאיזה תחום ‪? f '  x   0‬‬
‫‪ . log  x 2  6 x  18  sin ‬נמק‪.‬‬
‫(‪ )2‬מצא את השטח המוגבל על ידי הגרף של ‪ , f '  x ‬על ידי ציר ה ‪ x -‬ועל ידי‬
‫הישרים ‪ x  2‬ו ‪. x  4 -‬‬
‫‪250‬‬
‫‪x2  2 x  a‬‬
‫‪ )9‬נתונה הפונקציה‬
‫‪e x‬‬
‫‪ a . f  x  ‬הוא פרמטר‪.‬‬
‫א‪ .‬מהו תחום ההגדרה של הפונקציה ‪? f  x ‬‬
‫ב‪ .‬מצא עבור אילו ערכים של ‪ a‬יש לפונקציה ‪ f  x ‬שתי נקודות קיצון‪.‬‬
‫ג‪ .‬דרך נקודות הקיצון של הפונקציה העבירו ישרים המאונכים לציר ה ‪. x -‬‬
‫המרחק בין הישרים הוא ‪ .6‬מצא את ערך הפרמטר ‪. a‬‬
‫הצב את הערך של ‪ a‬שמצאת‪ ,‬וענה על הסעיפים ד ‪-‬ז‪:‬‬
‫ד‪ .‬מצא את סוגי הקיצון של הפונקציה ‪. f  x ‬‬
‫ה‪ .‬מצא את נקודות החיתוך של גרף‬
‫הפונקציה ‪ f  x ‬עם הצירים‪.‬‬
‫דייק עד שתי ספרות אחרי הנקודה העשרונית‪.‬‬
‫ו‪ .‬סרטט סקיצה של גרף הפונקציה ‪. f  x ‬‬
‫ז‪ .‬לפניך סקיצה של גרף פונקציית הנגזרת ‪. f '  x ‬‬
‫מצא את השטח המוגבל על ידי הגרף של ‪ , f '  x ‬על ידי‬
‫הישר ‪ , x  5‬על ידי ציר ה‪ , y -‬ועל ידי ציר ה ‪. x -‬‬
‫‪ )10‬נתונה הפונקציה ‪ f  x   logb  ax ‬בתחום ‪. 0  b  1 , a  0 ,1  x  2‬‬
‫בתחום הנתון הערך הגדול ביותר של הפונקציה הוא ‪ ,4‬והערך הקטן ביותר של‬
‫הפונקציה הוא ‪ .2‬מצא את הערך של ‪ a‬ואת הערך של ‪. b‬‬
‫‪ 3x  x 2 ‬‬
‫‪ )11‬נתונה הפונקציה ‪‬‬
‫‪ tan x ‬‬
‫‪ f  x   log a  tan x   logb ‬בתחום‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪. 0  a 1 , 0  x ‬‬
‫מצא את שיעורי ה‪ x -‬של נקודות הקיצון של ‪ f  x ‬בתחום הנתון (אם יש כאלה)‬
‫וקבע את סוגן‪.‬‬
‫‪251‬‬
‫‪ )12‬נתונות שלוש פונקציות ‪:III , II , I‬‬
‫‪. I. y  2x  4 , II. y  ln x , III. y  ln x  2 x  4‬‬
‫א‪ .‬מצא את תחום ההגדרה של כל אחת מהפונקציות‪ ,‬ומצא את האסימפטוטות‬
‫שלהן המקבילות לצירים (אם יש כאלה)‪.‬‬
‫ב‪ ) 1( .‬סרטט במערכת צירים אחת סקיצה של גרף הפונקציה ‪ I‬וסקיצה‬
‫של גרף הפונקציה ‪ .II‬ציין מספרים על ציר ה ‪. x -‬‬
‫(‪ ) 2‬הסבר מדוע נקודת החיתוך בין הגרפים של הפונקציות ‪ I‬ו ‪ II -‬חייבת‬
‫להימצא בתחום ‪.1  x  2‬‬
‫ג‪ )1( .‬מצא תחומי עלייה וירידה של הפונקציה ‪( III‬אם יש כאלה)‪.‬‬
‫(‪ )2‬ציין בין אילו ערכי ‪ x‬שלמים ועוקבים נמצאת נקודת החיתוך של גרף‬
‫הפונקציה ‪ III‬עם ציר ה ‪ . x -‬נמק‪.‬‬
‫(‪ )3‬לגרפים שסרטטת בתת סעיף ב (‪ ,)1‬הוסף בקו מרוסק (‪ )---‬סקיצה‬
‫של גרף הפונקציה ‪.III‬‬
‫ד‪ .‬חשב את השטח המוגבל על ידי הגרף של הפונקציה ‪ ,II‬על ידי הגרף של‬
‫הפונקציה ‪ III‬ועל ידי הישרים ‪ x  1.5‬ו‪. x  2.5 -‬‬
‫‪ )13‬נתונה הפונקציה ‪. f  x   1  x  e x‬‬
‫א‪ .‬הראה כי ‪. f '  x    xe x‬‬
‫ב‪ .‬מצא את השיעורים של נקודות הקיצון של הפונקציה ‪ , f  x ‬וקבע את‬
‫סוגן (אם יש כאלה)‪.‬‬
‫ג‪ .‬מצא את השיעורים של נקודות החיתוך של גרף הפונקציה ‪ f  x ‬עם הצירים‪.‬‬
‫ד‪ .‬סרטט סקיצה של גרף הפונקציה ‪. f  x ‬‬
‫‪a‬‬
‫ה‪ .‬הראה כי עבור ‪ a  0‬מתקיים ‪.  f  x  dx  e‬‬
‫‪1‬‬
‫ו‪.‬‬
‫(‪ )1‬חשב את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה ‪ , f  x ‬על ידי ציר ה ‪ x -‬ועל‬
‫ידי ציר ה‪. y -‬‬
‫‪a‬‬
‫(‪ )2‬הסבר מדוע עבור ‪ a  0‬מתקיים ‪.  f  x  dx  e  2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪252‬‬
‫‪ )14‬נתונה הפונקציה ‪. f  x   ln 1  e x   x‬‬
‫‪1‬‬
‫‪3‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫מהו תחום ההגדרה של הפונקציה ‪? f  x ‬‬
‫‪ M‬ו‪ N -‬הן נקודות על גרף הפונקציה ‪ , f  x ‬ששיעורי ה‪ x -‬שלהן שונים מאפס‪.‬‬
‫שיעור ה ‪ x -‬של ‪ M‬הוא ‪ , x0‬ושיעור ה‪ x -‬של ‪ N‬הוא ‪ .  x0‬הוכח כי שיפוע הישר‬
‫שמשיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה ‪ , x  0‬שווה לשיפוע הקטע ‪.MN‬‬
‫מצא את האסימפטוטות של פונקציית הנגזרת ‪ f '  x ‬המקבילות לצירים‬
‫(אם יש כאלה)‪.‬‬
‫(‪ )1‬מצא עבור אילו ערכי ‪ x‬פונקציית הנגזרת ‪ f '  x ‬היא שלילית‪.‬‬
‫(‪ ) 2‬מצא את השטח המוגבל על ידי הגרף של פונקציית הנגזרת ‪ f '  x ‬ועל‬
‫ידי שני הצירים‪.‬‬
‫‪ )15‬נתונה הפונקציה ‪ a , f  x   ln  x2  a ‬הוא פרמטר ‪. a  0‬‬
‫לגרף הפונקציה יש שיפוע מקסימלי ושיפוע מינימלי בנקודות שבהן ‪. y  3ln 2‬‬
‫א‪ .‬מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה ‪. f  x ‬‬
‫ב‪ .‬מצא את הערך של ‪. a‬‬
‫ג‪ .‬מצא את גודל השיפוע המקסימלי של ‪ , f  x ‬ואת גודל השיפוע המינימלי של ‪. f  x ‬‬
‫הצב ‪ a  4‬וענה על סעיף ד‪.‬‬
‫ד‪ ) 1( .‬מצא את השיעורים שלנקודת הקיצון של הפונקציה ‪. f  x ‬‬
‫(‪ )2‬מצא את תחומי הקעירות כלפי מעלה ‪ ‬וכלפי מטה ‪ ‬של הפונקציה ‪. f  x ‬‬
‫(‪ )3‬סרטט סקיצה של גרף הפונקציה ‪. f  x ‬‬
‫‪ )16‬נתונה הפונקציה ‪ f  x   2x3  b‬המוגדרת לכל ‪ b . x‬הוא פרמטר גדול מ‪.1-‬‬
‫א‪ )1( .‬הבע באמצעות ‪ b‬את האסימפטוטה של הפונקציה ‪ f  x ‬המקבילות‬
‫לצירים (אם יש כאלה)‪.‬‬
‫(‪ )2‬מצא תחומי עלייה וירידה של הפונקציה ‪( f  x ‬אם יש כאלה)‪.‬‬
‫(‪ )3‬הבע באמצעות ‪ b‬את השיעורים של נקודות החיתוך של גרף‬
‫הפונקציה ‪ f  x ‬עם הצירים‪.‬‬
‫(‪ )4‬סרטט סקיצה של גרף הפונקציה ‪. f  x ‬‬
‫ב‪ .‬נתונה הפונקציה ‪ g  x ‬המקיימת ‪. g  x   f  x ‬‬
‫(‪ )1‬הבע באמצעות ‪ b‬את ה אסימפטוטות של הפונקציה ‪ g  x ‬המקבילות‬
‫לצירים (אם יש כאלה)‪.‬‬
‫(‪ )2‬סרטט סקיצה של גרף הפונקציה ‪. g  x ‬‬
‫ג‪ .‬הבע באמצעות ‪ b‬את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה ‪ , g  x ‬על ידי‬
‫הצירים ועל ידי הישר ‪. x  3‬‬
‫‪253‬‬
‫‪ )17‬נתונה הפונקציה ‪( x  0 , f  x    ln x   x‬ראה ציור)‪.‬‬
‫ונתון הישר ‪. y  x  4‬‬
‫א‪ .‬העתק למחברתך את הגרף של ‪ f  x ‬והוסף‬
‫לו סרטוט של הישר הנתון‪ .‬נמק‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫נקודה ‪ A‬נמצאת על גרף הפונקציה ‪f  x ‬‬
‫ונקודה ‪ B‬נמצאת על הישר הנתון‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא את האורך המינימלי של הקטע ‪ ,AB‬אם הקטע מקביל לציר ה‪. y -‬‬
‫ג‪ .‬מצא את האורך המינימלי של הקטע ‪ ,AB‬אם הקטע מאונך לישר הנתון‪.‬‬
‫ד‪ .‬מבין כל הקטעים האפשריים‪ ,‬מהו האורך המינימלי של הקטע ‪ ?AB‬נמק‪.‬‬
‫‪ )18‬נתון כי הפונקציות ‪ f  x ‬ו‪ , g  x  -‬המוגדרת לכל ‪ , x‬מקיימות‪:‬‬
‫‪3‬‬
‫‪‬‬
‫‪g '  x   e f  x  x  ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪f ' x   2x  3‬‬
‫ישר המשיק לגרף הפונקציה ‪ f  x ‬בנקודת הקיצון שלה‪ ,‬חותך את ציר ה‪y -‬‬
‫‪1‬‬
‫בנקודה שבה‬
‫‪4‬‬
‫‪.y‬‬
‫א‪ ) 1( .‬מצא את נקודות החיתוך של הגרף של פונקציית הנגזרת ‪ g '  x ‬עם הצירים‪.‬‬
‫(‪ )2‬מצא את תח ומי העלייה והירידה (אם יש כאלה) של פונקציית הנגזרת ‪. g '  x ‬‬
‫(‪ )3‬נתון גם‪ g '''  x   0 :‬עבור ‪. x  1.5‬‬
‫‪ g '''  x   0‬עבור ‪x  1.5‬‬
‫סרטט סקיצה של גרף פונקציית הנגזרת ‪ . g '  x ‬נמק‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪1  14‬‬
‫לישר ‪ y  e  1‬ולפונקציה ‪ g  x ‬יש נקודה משותפת אחת בלבד‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫מצא את הפונקציה ‪ . g  x ‬נמק‪.‬‬
‫‪254‬‬
‫‪ )19‬נתונה הפונקציה ‪. f  x   e20.5x‬‬
‫מעגלים שמרכזם בראשית הצירים‬
‫נפגשים עם גרף הפונקציה (ראה ציור)‪.‬‬
‫מבין כל הרדיוסים של מעגלים אלה‬
‫מצא את הרדיוס המינימלי‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ )20‬נתונה הפונקציה‬
‫‪a‬‬
‫‪ 1  ax  1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪a‬‬
‫‪ a . f  x   ‬הוא פרמטר בפונקציה ‪. f  x ‬‬
‫‪a‬‬
‫נתון כי הפונקציה ‪ F  a ‬בתחום ‪ a  0‬מקיימת‪. F  a    f  x  dx :‬‬
‫‪0‬‬
‫א‪ .‬מצא את הפונקציה ‪. F  a ‬‬
‫ב‪ .‬בתחום ‪ a  0‬מצא‪:‬‬
‫(‪ )1‬את השיעורים של נקודות הקיצון של הפונקציה ‪ , F  a ‬וקבע את סוגן‪.‬‬
‫(‪ )2‬את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה ‪ F  a ‬עם הצירים (אם יש כאלה)‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫סרטט סקיצה של גרף הפונקציה ‪ F  a ‬בתחום ‪. a  0‬‬
‫‪a ln x‬‬
‫‪ )21‬נתונה הפונקציה‬
‫‪x‬‬
‫‪. a  0 , f  x ‬‬
‫א‪ .‬מצא‪:‬‬
‫(‪ )1‬את תחום ההגדרה של הפונקציה‪.‬‬
‫(‪ )2‬את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים (אם יש כאלה)‪.‬‬
‫(‪ )3‬את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה‪.‬‬
‫ב‪ .‬סרטט סקיצה של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫ג‪ .‬השטח‪ ,‬החסום על ידי גרף הפונקציה‪ ,‬על ידי ציר ה ‪ x -‬ועל ידי הישר העובר‬
‫בנקודת הקיצון של הפונקציה ומאונך לציר ה‪ , x -‬מסתובב סביב ציר ה‪. x -‬‬
‫‪8‬‬
‫נפח גוף הסיבוב שמתקבל הוא‬
‫‪3‬‬
‫‪.‬‬
‫מצא את הערך של ‪. a‬‬
‫‪255‬‬
‫‪ )22‬נתונה הפונקציה ‪ f  x    x 2  a  e0.5x‬המוגדרת לכל ‪ a . x‬הוא פרמטר‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫א‪ )1( .‬האם הפונקציה ‪ f  x ‬היא זוגית או אי ‪-‬זוגית? נמק‪.‬‬
‫(‪ )2‬האם פונקציית הנגזרת ‪ f '  x ‬היא זוגית או אי‪-‬זוגית? נמק‪.‬‬
‫בציור שלפניך מוצג הגרף של פונקציית‬
‫הנגזרת ‪ f '  x ‬בתחום ‪. x  0‬‬
‫בתחום זה יש לפונקציית הנגזרת ‪ f '  x ‬מקסימום‬
‫מוחלט ומינימום מוחלט‪ ,‬כמתואר בציור‪.‬‬
‫אחת מ נקודות החיתוך של הגרף עם ציר ה‪x -‬‬
‫‪5‬‬
‫היא נקודה שבה‬
‫‪2‬‬
‫‪.x ‬‬
‫ב‪ .‬מצא את שיעורי ה‪( x -‬ערכים מספריים) של המקסימום המוחלט ושל‬
‫המינימום המוחלט של פונקציית הנגזרת ‪ f '  x ‬בתחום ‪. x  0‬‬
‫ג‪.‬‬
‫סרטט סקיצה של גרף פונקציית הנגזרת ‪ f '  x ‬בכל תחום ההגדרה שלה‪.‬‬
‫ד‪ .‬מצא את שיעור ה‪ x -‬של נקודת ההשקה שבה שיפוע המשיק לגרף‬
‫הפונקציה ‪ f  x ‬הוא‪:‬‬
‫(‪ )1‬הגדול ביותר בכל תחום הגדרתה‪ .‬נמק‪.‬‬
‫(‪ )2‬הקטן ביותר בכל תחום הגדרתה‪ .‬נמק‪.‬‬
‫‪ )23‬נתונות הפונקציות ‪ f  x ‬ו‪. g  x  -‬‬
‫הפונקציה ‪ f  x ‬ופונקציית הנגזרת ‪g '  x ‬‬
‫מקיימות‪. g '  x   2 f  x  :‬‬
‫בציור שלפניך מוצגים הגרפים ‪ I‬ו‪ II -‬של‬
‫הפונקציות ‪ f  x ‬ן ‪. g '  x  -‬‬
‫א‪ .‬קבע איזה גרף הוא של הפונקציה ‪ , f  x ‬ואיזה גרף הוא של פונקציית‬
‫הנגזרת ‪ . g '  x ‬נמק‪.‬‬
‫ב‪ .‬נתון גם‪, g '  x   2 xe x :‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0.25‬‬
‫‪e‬‬
‫‪. g  0.5 ‬‬
‫מצא עבור אילו ערכים של ‪ x‬הגרף של הפונקציה ‪ f  x ‬נמצא מעל הגרף של‬
‫הפונקציה ‪. g  x ‬‬
‫‪256‬‬
‫ג‪ .‬הישר ‪ l1‬עובר דרך נקודת המינימום של הפונקציה ‪ f  x ‬ודרך נקודת‬
‫המקסימום של פונקציית הנגזרת ‪. g '  x ‬‬
‫הישר ‪ l2‬עובר דרך המקסימום של הפונקציה ‪ f  x ‬ודרך נקודת‬
‫המינימום של פונקציית הנגזרת ‪. g '  x ‬‬
‫מצא את משוואת הישר ‪ , l1‬ואת משוואת הישר ‪. l2‬‬
‫ד‪ .‬השטח‪ ,‬המוגבל על ידי הישר ‪ , l1‬על ידי הגרף של הפונקציה ‪ f  x ‬ועל ידי‬
‫הגרף של פונקציית הנגזרת ‪ , g '  x ‬הוא ‪. S1‬‬
‫השטח‪ ,‬המוגבל על ידי הישר ‪ , l2‬על ידי הגרף של הפונקציה ‪ f  x ‬ועל ידי‬
‫הגרף של פונקציית הנגזרת ‪ , g '  x ‬הוא ‪. S2‬‬
‫‪S1‬‬
‫מהו היחס‬
‫‪S2‬‬
‫? נמק‪.‬‬
‫‪ )24‬בציור שלפניך מוצג הגרף של פונקציית‬
‫‪2 3 x  2‬‬
‫הנגזרת‬
‫‪3‬‬
‫‪x‬‬
‫מוגדרת לכל ‪. x‬‬
‫‪ . f '  x  ‬הפונקציה ‪f  x ‬‬
‫א‪ .‬היעזר בגרף של פונקציית הנגזרת ‪ , f '  x ‬ומצא‪:‬‬
‫(‪ )1‬את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה ‪ . f  x ‬נמק‪.‬‬
‫(‪ )2‬את תחומי הקעירות כלפי מעלה ‪ ‬וכלפי מטה ‪ ‬של הפונקציה ‪f  x ‬‬
‫(אם יש כאלה)‪ .‬נמק‪.‬‬
‫ב‪ .‬נתון כי הישר ‪ y  1‬משיק לגרף הפונקציה ‪ f  x ‬בנקודת המינימום שלה‪.‬‬
‫מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה ‪ f  x ‬עם הצירים‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫לפניך ארבעה גרפים ‪ .IV – I‬איזה גרף עשוי לתאר את הפונקציה ‪ ? f  x ‬נמק‪.‬‬
‫‪257‬‬
‫‪ )25‬נתונה פונקציית הנגזרת‬
‫‪2ln x   2  ln x ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x  1  ln x ‬‬
‫‪. f ' x ‬‬
‫א‪ )1( .‬מצא את תחום ההגדרה של ‪. f '  x ‬‬
‫(‪ )2‬אחת משתי האסימפטוטות האנכיות של ‪ f '  x ‬היא ‪. x  0‬‬
‫מצא את האסימפטוטה האנכית השנייה‪.‬‬
‫(‪ )3‬מצא את נקודות החיתוך של הגרף של ‪ f '  x ‬עם הצירים (אם יש כאלה)‪.‬‬
‫(‪ )4‬מצא את התחומים שבהם ‪ f '  x ‬היא שלילית‪ ,‬ואת התחומים שבהם היא‬
‫חיובית‪.‬‬
‫ב‪ .‬ידוע כי לפונקציית הנגזרת ‪ f '  x ‬יש גם אסימפטוטה אופקית‪. y  0 ,‬‬
‫סרטט סקיצה של הגרף של פונקציית הנגזרת ‪. f '  x ‬‬
‫ג‪ .‬הישר ‪ y  4‬משיק לגרף הפונקציה ‪ f  x ‬בנקודה שבה ‪. x  e‬‬
‫(‪ )1‬מצא את השיעורים של נקודת ההשקה‪ .‬נמק‪.‬‬
‫(‪ )2‬הסבר מדוע ‪. f  e3   4‬‬
‫(‪ )3‬השטח‪ ,‬המוגבל על ידי הגרף של פונקציית הנגזרת‬
‫‪ f '  x ‬ועל ידי ציר ה ‪x -‬‬
‫בתחום ‪ , e2  x  e3‬שווה ל ‪ . 0.5 -‬מצא את הערך של ‪. f  e3 ‬‬
‫‪a x 1‬‬
‫‪ )26‬נתונה הפונקציה‬
‫‪a2x 1‬‬
‫‪. 0  a  1 , f  x ‬‬
‫א‪ .‬מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה ‪. f  x ‬‬
‫ב‪ .‬הראה כי הפונקציה ‪ f  x ‬היא אי זוגית‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫מצא תחומי עלייה וירידה של הפונקציה ‪( f  x ‬אם יש כאלה)‪.‬‬
‫ד‪ .‬סרטט סקיצה של גרף הפונקציה ‪. f  x ‬‬
‫ה‪ .‬ידוע שפונקציית הנגזרת ‪ f '  x ‬היא פונקציה זוגית‪.‬‬
‫העבירו ישר ‪ l‬המשיק לגרף הפונקציה ‪ f  x ‬בנקודה שבה ‪, x  1‬‬
‫והעבירו ישר אחר המשיק לגרף הפונקציה ‪ f  x ‬בנקודה אחרת‪.T ,‬‬
‫שני המשיקים מקבילים זה לזה‪.‬‬
‫(‪ T‬היא הנקודה היחידה על גרף הפונקציה ‪ f  x ‬שבה המשיק מקביל ל‪). l -‬‬
‫הבע באמצעות ‪( a‬במידת הצורך) את השיעורים של הנקודה ‪ .T‬נמק‪.‬‬
‫‪258‬‬
‫‪ )27‬נתונות הפונקציות‪. a  0 , g  x   eax , f  x   eax :‬‬
‫א‪.‬‬
‫סמן במערכת צירים את השטח הכלוא בין הגרפים של הפונקציות ‪ f  x ‬ו‪g  x  -‬‬
‫‪1‬‬
‫והישר‬
‫‪a‬‬
‫‪1‬‬
‫והישר ‪. x  ‬‬
‫‪a‬‬
‫‪ x ‬ואת השטח הכלוא בין הגרפים של הפונקציות ‪ f  x ‬ו‪g  x  -‬‬
‫ב‪ .‬השטחים שסימנת בסעיף א מסתובבים סביב ציר ה ‪. x -‬‬
‫הבע כפונקציה של ‪ a‬את הנפח הכולל של גוף הסיבוב שנוצר‪. V a  ,‬‬
‫ג‪.‬‬
‫סרטט סקיצה של גרף הפונקציה ‪. V a ‬‬
‫‪kx‬‬
‫‪ )28‬נתונה הפונקציה‬
‫‪ln x‬‬
‫‪ k , f  x  ‬הוא פרמטר שונה מ‪.0-‬‬
‫א‪ .‬מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה ‪. f  x ‬‬
‫ב‪ )1( .‬מצא עבור אילו ערכים של ‪ k‬לפונקציה ‪ f  x ‬יש מקסימום‪.‬‬
‫נתון כי בתחום ‪ x  1‬הפונקציה ‪ f  x ‬מקבלת את כל הערכים ‪ y  2‬ורק אותם‪.‬‬
‫(‪ )2‬מצא את הערך של ‪. k‬‬
‫(‪ )3‬נתון גם כי הישר ‪ x  1‬הוא האסימפטוטה היחידה של הפונקציה ‪. f  x ‬‬
‫סרטט סקיצה של גרף הפונקציה ‪ f  x ‬בכל תחום הגדרתה‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫מבין המשיקים לגרף הפונקציה ‪ f  x ‬בתחום ‪ , x  1‬מצא את נקודת ההשקה‬
‫של המשיק ששיפועו מינימלי‪.‬‬
‫‪ )29‬נתונה הפונקציה‬
‫‪x‬‬
‫‪. f  x   2e‬‬
‫א‪ .‬מצא‪:‬‬
‫(‪ )1‬את תחום ההגדרה של הפונקציה ‪. f  x ‬‬
‫(‪ )2‬את תחומי העלייה והירידה של פונקציית הנגזרת ‪. f '  x ‬‬
‫ב‪ .‬מצא את השיעורים של נקודת הקיצון של הפונקציה ‪ , y  2  f '  x ‬והראה‬
‫כי נקודה זו נמצאת על גרף הפונקציה ‪. x  0 , y  f  x 2 ‬‬
‫ג‪ .‬הפונקציות ‪ y  2  f '  x ‬ו ‪ y  f  x 2  -‬נפגשות בנקודה אחת בלבד (הנקודה‬
‫שמצאת בסעיף ב)‪ .‬השטח המוגבל על ידי הגרפים של שתי פונקציות אלה‬
‫ועל ידי הישר ‪ , a  1 , x  a‬שווה ל‪. 8e  2  f  a  -‬‬
‫מצא את הערך של ‪ . a‬תוכל להשאיר ‪ ln‬בתשובתך‪.‬‬
‫‪259‬‬
‫‪ )30‬נתונה הפונקציה ‪ . f  x   xn  ln  x n ‬הפרמטר ‪ n‬הוא מספר טבעי זוגי‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה ‪. f  x ‬‬
‫ב‪ .‬קבע אם הפונקציה ‪ f  x ‬היא זוגית או אי ‪-‬זוגית‪ .‬נמק‪.‬‬
‫ג‪ .‬הראה כי יש רק ישר אחד המשיק לגרף הפונקציה ‪ f  x ‬ומקביל לציר‬
‫ה ‪ x -‬ומצא את משוואתו‪.‬‬
‫‪ )31‬בציור שלפניך מוצג הגרף של פונקציית הנגזרת ‪, f '  x ‬‬
‫המוגדרת לכל ‪. x‬‬
‫א‪ .‬על פי הגרף של ‪ , f '  x ‬מצא תחומי קעירות‬
‫כלפי מעלה ‪ ‬וכלפי מטה ‪ ‬של הפונקציה ‪, f  x ‬‬
‫המוגדרת לכל ‪ . x‬נמק‪.‬‬
‫סרטט נתון כי גרף הפונקציה ‪ f  x ‬חותך את ציר ה‪y -‬‬
‫בחלקו השלילי‪.‬‬
‫ב‪ .‬סקיצה של גרף הפונקציה ‪. f  x ‬‬
‫ג‪ .‬נתון גם‪ a , f  x    x  a  e0.5x  x :‬הוא פרמטר‪.‬‬
‫היעזר בנתונים בגרף של ‪ , f '  x ‬וחשב את השטח המוגבל על ידי גרף‬
‫‪2‬‬
‫הפונקציה ‪ f  x ‬ועל ידי הצירים‪.‬‬
‫‪ )32‬נתונה הפונקציה ‪ c , f  x   log 4  x2  4 x  c ‬הוא פרמטר‪.‬‬
‫נתון כי לפונקציה יש אסימפטוטה שמשוואתה ‪. x  2‬‬
‫א‪ )1( .‬מצא את ערך הפרמטר ‪. c‬‬
‫(‪ )2‬מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה‪.‬‬
‫(‪ )3‬מצא את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה‪.‬‬
‫(‪ ) 4‬מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים‪.‬‬
‫(‪ )5‬סרטט סקיצה של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫ב‪ )1( .‬נתונה הפונקציה ‪. g  x    f  x ‬‬
‫סרטט סקיצה של גרף הפונקציה ‪. g  x ‬‬
‫(‪ )2‬עבור אילו ערכים של ‪ k‬יש למשוואה ‪ g  x   k‬יש שני פתרונות?‬
‫‪260‬‬
‫‪ )33‬נתונה הפונקציה‬
‫‪2  x  3‬‬
‫‪eax‬‬
‫‪ a , f  x  ‬הוא פרמטר‪.‬‬
‫א‪ )1( .‬מהו תחום ההגדרה של הפונקציה ‪? f  x ‬‬
‫(‪ )2‬מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה ‪ f  x ‬עם הצירים‪.‬‬
‫ב‪ .‬בציור שלפניך מוצג הגרף של פונקציית הנגזרת ‪. f ''  x ‬‬
‫היעזר בנתונים הרשומים בגרף‪ ,‬ומצא‪:‬‬
‫(‪ )1‬ערך מספרי עבור שיעור ה‪ x -‬וערך‬
‫מספרי עבור שיעור ה ‪ y -‬של‬
‫נקודת הקיצון של הפונקציה ‪f  x ‬‬
‫וקבע את סוגה‪.‬‬
‫(‪ )2‬ערך מספרי עבור שיעור ה‪ x -‬וערך מספרי עבור שיעור‬
‫ה ‪ y -‬של נקודת הפיתול של הפונקציה ‪. f  x ‬‬
‫(‪ )3‬את תחומי הקעירות כלפי מעלה ‪ ‬וכלפי מטה ‪ ‬של הפונקציה ‪. f  x ‬‬
‫ג‪.‬‬
‫סרטט סקיצה של גרף הפונקציה ‪. f  x ‬‬
‫‪3  9ln  3x  1‬‬
‫‪ )34‬נתונה הפונקציה‬
‫‪3x  1‬‬
‫‪( f  x  ‬ראה ציור)‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה ‪. f  x ‬‬
‫ב‪.‬‬
‫(‪ )1‬מצא את נ קודת החיתוך של גרף הפונקציה ‪f  x ‬‬
‫עם ציר ה‪. x -‬‬
‫(‪ )2‬השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה‪ ,‬על‬
‫‪e 1‬‬
‫ידי ציר ה‪ x -‬ועל ידי הישרים‬
‫‪3‬‬
‫‪e 1‬‬
‫‪.a ‬‬
‫ו ‪ x  a -‬הוא ‪ .3.5‬נתון כי‬
‫‪3‬‬
‫היעזר בנגזרת של ‪ , y  ln 2  3x  1‬ומצא את ‪. a‬‬
‫‪x‬‬
‫‪4‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪e3 1‬‬
‫‪.x‬‬
‫לפונקציה ‪ f  x ‬יש נקודת קיצון אחת בלבד בנקודה שבה‬
‫‪3‬‬
‫מצא עבור אילו ערכי ‪ x‬הפונקציה ‪ f  x ‬שלילית וגם פונקציית הנגזרת‬
‫‪f ' x‬‬
‫שלילית‪.‬‬
‫‪261‬‬
262
‫תשובות סופיות‪:‬‬
‫‪. f  x   0.25ln 2 x 1  0.5ex2  0.5x  3 )1‬‬
‫‪ )2‬א‪  b, p  )2( max  0, s  , min c ,k  )1( .‬פיתול‪ .‬ב‪. e p  e k .‬‬
‫‪ 0.525 )3‬יח"ר ‪. S  e ln 0.5  0.5e ‬‬
‫‪ )4‬א‪ f  x   ln 2 x  ln x  b  0.75 .‬ב‪min  e ,b  1 )1( .‬‬
‫(‪ )2‬קעירות מעלה‪ , 0  x  e1.5 :‬קעירות מטה‪ x  e1.5 :‬ג‪ )2( b  1 )1( .‬סקיצה בסוף‪.‬‬
‫‪. A 1, 2  )5‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪. x  e1.5 )6‬‬
‫‪ )7‬א‪ .‬עבור ‪ )2( . y  1 )1( : a  0‬עולה לכל ‪.  ln a , 0 )3( . x‬‬
‫עבור ‪ )2( x  ln -a , y  1 )1( : a  0‬יורדת‪)3( x  ln -a , x  ln -a :‬‬
‫‪1 a ‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 1 a ‬‬
‫‪.  0,‬‬
‫ב‪ .‬סקיצות בסוף‪.‬‬
‫‪ )8‬א‪ min  3, 2  )1( .‬מוחלט‪ max  0, 2.63 ,‬מוחלט‪ )2( .‬סקיצה בסוף‪.  3, 2 )3( .‬‬
‫ב‪, f ' x  0 : 0 x  3)1( .‬‬
‫‪5‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ 0.192 )2( f '  x   0 : 3  x ‬יח"ר‪.‬‬
‫‪x2  2 x  7‬‬
‫‪ a  7 , f  x  ‬ד‪max  3,0.4  , min  3, 80.34  .‬‬
‫‪ )9‬א‪ .‬כל ‪ . x‬ב‪ . a  2 .‬ג‪.‬‬
‫‪e x‬‬
‫ה‪  3.83,0  ,  1.83,0  .‬ו‪ .‬סקיצה בסוף‪ .‬ז‪ 7.607 .‬יח"ר‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪)10‬‬
‫‪,b‬‬
‫‪4‬‬
‫‪2‬‬
‫‪.a ‬‬
‫‪. min 1.5,log a 2.25 )11‬‬
‫‪ )12‬א‪ :I .‬תחום ההגדרה‪ :‬כל ‪ , x‬אסימפטוטות‪ :‬אין‪.‬‬
‫‪ :II‬תחום ההגדרה‪ , x  0 :‬אסימפטוטות‪. x  0 :‬‬
‫‪ :III‬תחום ההגדרה‪ , x  0 :‬אסימפטוטות‪. x  0 :‬‬
‫ב‪ )1( .‬סקיצה בסוף‪ )2( .‬הפונקציה ‪ I‬יורדת בכל תחום הגדרתה וחותכת את ציר‬
‫ה‪ x -‬כאשר ‪ , x  2‬ופונקציה ‪ II‬עולה בכל תחום הגדרתה וחותכת את ציר‬
‫ה‪ x -‬כאשר ‪. x  1‬‬
‫ג‪ )1( .‬תחומי עלייה‪ , x  0 :‬תחומי ירידה‪ :‬אף ‪ )2( . x‬בין ‪ 1‬ל‪ )3( .2 -‬סקיצה בסוף‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫ד‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ )13‬ב‪ max  0,1 .‬ג‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ )14‬א‪ .‬כל ‪ x‬ג‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫‪  0,1 ,  1, 0 ‬ד‪ .‬סקיצה בסוף ו‪. e  2 )1( .‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ y   , y ‬ד‪.  ln1  ln 2 )2( x  ln 2 )1( .‬‬
‫‪263‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ )15‬א‪ .‬כל ‪ x‬ב‪ a  4 .‬ג‪ .‬שיפוע מקסימלי‪ , :‬שיפוע מינימלי‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫ד‪min  0, ln 4 )1( .‬‬
‫‪.‬‬
‫(‪ )2‬קעירות כלפי מעלה‪ , 2  x  2 :‬קעירות כלפי מטה‪ x  2 :‬או ‪x  2‬‬
‫(‪ )3‬סקיצה בסוף‪.‬‬
‫‪ 1‬‬
‫‪‬‬
‫‪ )16‬א‪ )2( y  b )1( .‬עלייה‪ :‬כל ‪ , x‬ירידה‪ :‬אף ‪ 0,  b  ,  3  log 2 b, 0  )3( . x‬‬
‫‪ 8‬‬
‫‪‬‬
‫‪7‬‬
‫‪. 3b ‬‬
‫(‪ )4‬סקיצה בסוף ב‪ )2( y  b )1( .‬סקיצה בסוף ג‪.‬‬
‫‪8ln 2‬‬
‫‪ )17‬א‪ .‬סקיצה בסוף ב‪ 4 .‬ג‪8 .‬‬
‫ד‪. 8 .‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ )18‬א‪ )2(  0, 1 e2  , 1 , 0  )1( .‬עלייה‪ :‬כל ‪ , x‬ירידה‪ :‬אף ‪ )3( x‬סקיצה בסוף‪.‬‬
‫‪2   2 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫ב‪. g  x   e x 3 x2  1 .‬‬
‫‪2‬‬
‫‪. 5 )19‬‬
‫‪ ln  a  1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪ )20‬א‪.‬‬
‫‪ F  a  ‬ב‪max  e  1,  , min  0, 0 )1( .‬‬
‫‪a2  1‬‬
‫‪e‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫(‪ 0, 0  )2‬‬
‫ג‪ .‬סקיצה בסוף‪.‬‬
‫‪ )21‬א‪ )3( 1, 0  )2( x  0 )1( .‬עלייה‪ , x  e :‬ירידה‪0  x  e :‬‬
‫ב‪ .‬סקיצה בסוף ג‪. a  1 .‬‬
‫‪ )22‬א‪ f  x  )1( .‬היא פונקציה זוגית (‪ f '  x  )2‬היא אי זוגית‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ x ‬מקסימום מוחלט ‪ x  5 ,‬מינימום מוחלט‪ .‬ג‪ .‬סקיצה בסוף‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪)2( x ‬‬
‫ד‪)1( .‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪.x‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪S1‬‬
‫‪, l1 : x  ‬‬
‫‪ )23‬א‪ g  x  - II , f  x  - I .‬ב‪ x  1 .‬ג‪.‬‬
‫‪ l2 : x ‬ד‪ 1 .‬‬
‫‪S2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪.‬‬
‫‪ )24‬א‪ )1( .‬עלייה‪ x  1 :‬או ‪ , x  0‬ירידה‪ x  0 :  )2( 0  x  1 :‬או ‪ :  , x  0‬אין‪.‬‬
‫ב‪  3.375, 0 ,  0, 0  .‬ג‪ .‬גרף ‪.III‬‬
‫‪ )25‬א‪)3( x  e )2( x  e , x  0 )1( .‬‬
‫‪ e , 0 , 1, 0‬‬
‫‪2‬‬
‫(‪ )4‬חיובית‪1  x  e , e  x  e2 :‬‬
‫שלילית‪ x  e2 :‬או ‪ . 0  x  1‬ב‪ .‬סקיצה בסוף ג‪.-4.5 )3(  e2 , 4  )1( .‬‬
‫‪a2 ‬‬
‫‪ )26‬א‪ x  0 .‬ג‪ .‬עלייה‪ x  0 :‬או ‪ , x  0‬ירידה‪ :‬אין‪ .‬ד‪ .‬סקיצה בסוף ה‪ .‬‬
‫‪1  a2 ‬‬
‫‪e2  e2  2‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ )27‬א‪ .‬סקיצה בסוף ב‪.‬‬
‫‪a‬‬
‫‪ V a ‬ג‪ .‬סקיצה בסוף‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ )28‬א‪ x  1 .‬או ‪ 0  x  1‬ב‪)2( k  0 )1( .‬‬
‫‪e‬‬
‫‪264‬‬
‫‪ )3( k  ‬סקיצה בסוף ג‪.  e2 , e  .‬‬
‫‪‬‬
‫‪.  1,‬‬
‫‪‬‬
. a  1  ln 3 .‫ ג‬min 1, 2e  .‫ ב‬0  x  1 :‫ ירידה‬, x  1 :‫) עלייה‬2( x  0 .‫) א‬29
1
.‫ היא פונקציה זוגית ג‬f  x  .‫ ב‬x  0 .‫) א‬30
e
 0.393 .‫ סקיצה בסוף ג‬.‫ ב‬x  1 :  , x  1 :  .‫) א‬31
.y
. 1  e0.5
x  2 :‫ ירידה‬, x  2 :‫) עלייה‬3( x  2 )2( c  4 )1( .‫) א‬32
. k  0 )2( ‫) סקיצה בסוף‬1( .‫) סקיצה בסוף ב‬5( .  3, 0 ,  1, 0  ,  0,1 )4(
 8 
 )2( min 1, 4 e
e

. 1,


)1( .‫ ב‬ 3, 0  ,  0, 6  )2( x ‫) כל‬1( .‫) א‬33
.‫ סקיצה בסוף‬.‫ ג‬. x  1 :  , x  1 :  )3(
1
4
 13

1
e2  1
e 1 
e3 1
e 3 1

.
.‫ ג‬a 
)2( 
, 0 )1( .‫ ב‬x   .‫) א‬34
x

3
3
3
3
 3



265
‫סרטוטים עבור השאלות בחשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי‪:‬‬
‫‪ )4‬ג (‪) 2‬‬
‫‪ )7‬ב (‪) 1‬‬
‫‪ )7‬ב (‪)2‬‬
‫‪ )8‬א (‪)2‬‬
‫‪ )9‬ו‪.‬‬
‫‪ )12‬ב (‪)1‬‬
‫‪ )12‬ב (‪)2‬‬
‫‪ )13‬ד‬
‫‪ )15‬ד (‪)3‬‬
‫‪ )16‬א (‪)4‬‬
‫‪ )16‬ב (‪)2‬‬
‫‪266‬‬
‫‪ )17‬א‬
‫‪ )20‬ג‬
‫‪ )18‬א (‪)3‬‬
‫‪ )25‬ב‬
‫‪ )22‬ג‬
‫‪ )26‬ד‬
‫‪ )27‬א‬
‫‪ )27‬ג‬
‫‪ )28‬ב (‪)3‬‬
‫‪ )31‬ב‬
‫‪ )32‬א (‪)5‬‬
‫‪267‬‬
‫‪ )32‬ב (‪)1‬‬
‫‪ )33‬ג‬
‫‪268‬‬