פונקציה קווית

‫חדוא לכלכלנים‪ / 10142 /‬אבשלום קורן‪2007 /‬ג‬
‫הפונקציה הליניארית (קווית)‬
‫(יחידות ‪ 1-2‬עמודים ‪)35-53‬‬
‫נתונה ע"י הנוסחה ‪. f ( x)  ax  b‬‬
‫תיאורה הגרפי הוא קו ישר‪.‬‬
‫מקדמי הפונקציה הליניארית‪:‬‬
‫‪b , a‬‬
‫תכונות המקדם ‪: a‬‬
‫‪ .1‬ה‪ a -‬מציין את שיפוע הישר ומשמעותו‪ :‬בכמה יחידות גדל‪/‬קטן ערך ה‪ Y -‬על כל גידול של‬
‫ה‪ X -‬ביחידה אחת‪.‬‬
‫‪y2  y1‬‬
‫‪a‬‬
‫נוסחה לחישוב השיפוע על פי שתי נקודות המונחות על הישר‪, ( x1  x2 ) :‬‬
‫‪x2  x1‬‬
‫‪ .2‬מגמת הישר על פי סימן השיפוע‬
‫כאשר‪:‬‬
‫‪ a  0 ‬הישר עולה‬
‫‪ a  0 ‬הישר יורד‬
‫‪ a  0 ‬הישר אופקי (מקביל לציר ה‪)X -‬‬
‫‪ .4‬כאשר‬
‫‪ : a  0‬ככל שה‪ a -‬גדול יותר‪ ,‬הישר עולה בצורה תלולה יותר‪.‬‬
‫כאשר‬
‫‪ : a  0‬ככל שה‪ a -‬קטן יותר‪ ,‬הישר יורד בצורה תלולה יותר‪.‬‬
‫‪ .5‬נתונים הישרים‪:‬‬
‫ה‬
‫‪ y  a1x  b1‬ו‪y  a2 x  b2 -‬‬
‫תנאי להקבלה של ‪ 2‬הישרים‪:‬‬
‫שים לב ‪ :‬משוואת ישר המקביל לציר ‪y‬‬
‫‪( a1  a2‬לישרים מקבילים שיפועים שווים ולהפך)‬
‫(ניצב לציר ה‪ ) x -‬היא מהדגם ‪ . x  k‬ישר זה אינו מייצג פונקציה ואין לו‬
‫שיפוע מוגדר‪.‬‬
‫מציאת משוואת ישר‬
‫מקרה ‪ - I‬על פי שיפוע נתון ‪  a ‬ונקודה המונחת על הישר ‪ x1, y1 ‬‬
‫מציבים בנוסחת הישר את הגדלים הידועים ‪ y1  ax1  b‬ומחלצים את ‪ . b‬מציגים את הישר‬
‫בצורה כללית עם המקדמים הידועים ‪ a‬ו‪. b -‬‬
‫דרך אחרת – על ידי שימוש בנוסחה‪. y  y1  a( x  x1 ) :‬‬
‫מקרה ‪II‬‬
‫‪ -‬על פי שתי נקודות המונחות על הישר ‪ x1, y1  ,  x2 , y2 ‬‬
‫‪y2  y1‬‬
‫מחשבים את השיפוע על פי הנוסחה‬
‫‪x2  x1‬‬
‫תכונת המקדם ‪b‬‬
‫‪  0,b  ‬היא נקודת החיתוך של הישר עם ציר ה‪. y -‬‬
‫‪ a ‬ולאחר מכן ממשיכים כמו במקרה א'‪.‬‬
‫‪ ‬כאשר ‪ b  0‬הישר עובר דרך ראשית הצירים‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫חדוא לכלכלנים‪ / 10142 /‬אבשלום קורן‪2007 /‬ג‬
‫הפונקציה הריבועית‬
‫(יחידות ‪ 1-2‬עמודים ‪)54-64‬‬
‫נתונה על ידי הנוסחה ‪f ( x)  ax 2  bx  c‬‬
‫‪,‬‬
‫‪ a  0‬‬
‫תיאורה הגרפי נקרא פרבולה‬
‫מבחינים בין ‪ 2‬סוגי פרבולות‪:‬‬
‫פרבולה הפוכה ("בוכה")‬
‫‪a0‬‬
‫פרבולה ישרה ("מחייכת")‬
‫‪a0‬‬
‫לכל פרבולה ישנה נקודה מיוחדת שבה מקבלת הפרבולה את ערכה המינימלי (כאשר ‪) a  0‬‬
‫או את ערכה המקסימלי (כאשר ‪ .) a  0‬נקודה זו נקראת קודקוד הפרבולה‪ .‬הישר האנכי העובר‬
‫דרך הקודקוד מחלק את הפרבולה לשני ענפים סימטריים נקרא ציר הסימטריה של הפרבולה‬
‫(ראה שרטוט)‪.‬‬
‫ציר הסימטריה‬
‫הפרבולה‬
‫קודקוד הפרבולה‬
‫מציאת שיעורי קודקוד הפרבולה‬
‫הצבת שיעור ה‪ x -‬בפונקציה או‬
‫‪b2‬‬
‫‪4a‬‬
‫‪, ykodkod  c ‬‬
‫‪b‬‬
‫‪2a‬‬
‫‪xkodkod  ‬‬
‫תכונות המקדמים‬
‫‪-a‬‬
‫‪ a  0 ‬פרבולה ישרה ‪ a  0 ,‬פרבולה הפוכה‬
‫‪ ‬ככל שה ‪ a -‬גדל בערכו המוחלט הפרבולה "צרה" יותר‪.‬‬
‫(ראה ציור)‬
‫‪ - b‬כאשר ‪ b  0‬קודקוד הפרבולה מונח על ציר ה‪. y -‬‬
‫‪ - c‬הנקודה ‪  0,c ‬היא נקודת החיתוך של הפרבולה עם ציר ה‪. y -‬‬
‫‪2‬‬
‫חדוא לכלכלנים‪ / 10142 /‬אבשלום קורן‪2007 /‬ג‬
‫נקודות החיתוך של הפרבולה עם ציר ה ‪x -‬‬
‫‪ b  b 2  4ac‬‬
‫יש לפתור את המשוואה ‪ ax 2  bx  c  0‬על ידי הנוסחה‬
‫‪2a‬‬
‫מספר נקודות החיתוך של הפרבולה עם ציר ה‪ x -‬הוא כמספר הפתרונות של המשוואה‪.‬‬
‫‪. x1, 2 ‬‬
‫הביטוי תחת השורש ‪ b 2  4ac‬נקרא דיסקרמיננטה ומסומן באות ‪. ‬‬
‫‪‬‬
‫מספר נקודות‬
‫חיתוך עם ציר ה‪x -‬‬
‫‪0‬‬
‫‪ 2‬נקודות חיתוך‬
‫‪0‬‬
‫הפרבולה משיקה‬
‫לציר ה‪x-‬‬
‫נקודת ההשקה היא‬
‫קודקוד הפרבולה‬
‫‪0‬‬
‫אין נקודות חיתוך‬
‫הפרבולה "מרחפת"‬
‫‪a0‬‬
‫‪a0‬‬
‫שלבים בשרטוט פרבולה‬
‫‪ .1‬סימן ה‪ a -‬מצביע על צורת הפרבולה ‪ :‬ישרה או הפוכה‬
‫‪ .2‬מחשבים את שיעורי הקודקוד‪.‬‬
‫‪ .3‬בוחרים שניים ‪-‬שלושה ערכי ‪ x‬מעל ומתחת לשיעור ה‪ x -‬של הקודקוד רצוי במרחק סימטרי‬
‫ממנו ומחשבים את ערכי ה‪ y -‬על ידי הצבה בפונקציה‪.‬‬
‫זכור‪:‬‬
‫לערכי ‪ x‬הרחוקים במרחק שווה מהקודקוד יש ערך ‪ y‬זהה (בגלל הסימטריה)‬
‫‪ .4‬מתווים את הפרבולה בעזרת הנקודות שמצאנו‪.‬‬
‫דרך נוספת היא למצוא את נקודות החיתוך של הפרבולה עם ציר ה‪( x -‬אם יש כאלה) ובעזרתן‬
‫ובסיוע השלבים הקודמים להתוות את גרף הפרבולה‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫ג‬2007 /‫ אבשלום קורן‬/ 10142 /‫חדוא לכלכלנים‬
)66 ‫ סעיף‬, 66 ‫חוקי החזקות והשורשים (עמוד‬
1.
2.
a b  a c  a b c
a 
b c
 a bc
6.
7.
a0  1 , a  0
a
b
   
b
a
3.
ab
 a b c
c
a
8.
4.
 a  b
9.
5.
c
a a
   c , b0
b b
c
 a c  bc
10.
c
a b 
1
1
, b  ab
b
a
a
c
a0
c
, a, b  0
1
ac  c a
b
a c  c ab 
 a
c
b
‫ מספרים טבעיים כלשהם‬b, c
)90 ‫ סעיף‬87 ‫חוקי הלוגריתמים (עמוד‬
1.
loga x  b  ab  x
5.
log a  x  y   log a x  log a y
2.
loga a  1
6.
3.
log a 1  0
7.
x
log a    log a x  log a y
 y
log a xn  n  log a x
4.
a log a x  x
8.
log a b 
log m b
:‫נוסחה לשינוי בסיס‬
log m a
:‫הערות‬
a, c  1 , a, c  0 - ‫ ו‬x, y  0 ‫ בנוסחאות הנ"ל יש להניח כי‬
log x  log10 x  10 ‫ מתכוונים לבסיס‬,‫ כאשר בסיס הלוגריתם אינו מצוין‬
ln x  loge x  ‫ לוגריתם הטבעי‬
:‫חוקים‬
b
ln x  b  e  x , x  0
ln e  1 , ln1  0 , eln x  x ,
x
ln  x  y   ln x  ln y , ln    ln x  ln y , ln x k  k  ln x , ln e k  k
 y
‫משוואות מעריכיות‬
a f  x  a g x   f  x   g  x 
8 x
5
 1 
 
 25 
2 x1
 
 58 x  52
2 x1
 58 x  54 x2  8  x  4 x  2  x  2
ax  b  x 
log m b
log m a

:‫דוגמה‬
a x  b ‫ פתרון המשוואה‬.II
3x  12  x 
4
.I
log12
 2.26
log3
:‫דוגמה‬
‫חדוא לכלכלנים‪ / 10142 /‬אבשלום קורן‪2007 /‬ג‬
‫משוואות לוגריתמיות‬
‫‪log a f  x   b  f  x   ab .I‬‬
‫דוגמה‪log 4  2 x  1  1.5  41.5  2 x  1  8  2 x  1  x  3.5 :‬‬
‫‪log a f  x   log a g  x   f  x   g  x  .II‬‬
‫‪2‬‬
‫דוגמה‪:‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ logb 4   logb 8  log b x  l og b 4 2  log b 8 3  log b x‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪8‬‬
‫‪l og b 8  l og b 4  log b x  log b    log b x  x  2‬‬
‫‪4‬‬
‫בעיות גידול ודעיכה‬
‫(עמודים ‪)68-75‬‬
‫תהליכי גידול‪/‬צמיחה – גידול טבעי של אוכלוסיות‪ :‬אנשים‪ ,‬עצים‪ ,‬חיידקים וכדומה‪ .‬גידול של‬
‫כסף המופקד בתכנית חיסכון‬
‫תהליכי דעיכה ‪ -‬התפרקות רדיואקטיבית‪ ,‬ירידת ערך של מכונה וכדומה‪.‬‬
‫‪t‬‬
‫‪r ‬‬
‫‪‬‬
‫‪f  t   A0  1 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 100 ‬‬
‫תהליך צמיחה מעריכי מתואר על ידי הנוסחה‪:‬‬
‫‪t‬‬
‫‪r ‬‬
‫‪‬‬
‫‪f  t   A0  1 ‬‬
‫תהליך דעיכה מעריכי מתואר על ידי הנוסחה ‪ :‬‬
‫‪ 100 ‬‬
‫כאשר‪:‬‬
‫‪ - t  0‬עתיד ‪,‬‬
‫‪t‬‬
‫‪r%‬‬
‫‪A0‬‬
‫‪f t ‬‬
‫ הזמן שחלף ממועד המוגדר כזמן אפס‪.‬‬‫ אחוז הגידול ‪/‬ההתרבות ליחידת זמן‪.‬‬‫ כמות התחלתית ‪ ,‬כלומר הכמות בזמן אפס‪.‬‬‫‪ -‬הכמות לאחר ‪ t‬יחידות זמן‬
‫‪ - t  0‬עבר‬
‫הערות‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫הגידול‪/‬הדעיכה משתנים בצורה מעריכית‬
‫קצב הגידול‪/‬הדעיכה התקופתי קבוע‪.‬‬
‫יחידת הזמן של ‪ r‬שווה ליחידת הזמן של ‪t‬‬
‫‪5‬‬
‫חדוא לכלכלנים‪ / 10142 /‬אבשלום קורן‪2007 /‬ג‬
‫הפונקציה‬
‫הצגה‪:‬‬
‫המעריכית (עמודים ‪ 67-68‬סעיפים ‪)69-70‬‬
‫‪f  x  ax‬‬
‫‪ a  0 , a  1‬‬
‫‪,‬‬
‫תכונות‪:‬‬
‫‪ .1‬תחום ההגדרה של ‪ a‬הוא ‪. ‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ .2‬הפונקציה חיובית לכל ‪ x‬כלומר ‪ a  0‬לכל ‪. x‬‬
‫מתכונות ‪ 1‬ו‪ 2 -‬יוצא ש ‪f :     -‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ .3‬אם ‪ a  1‬הפונקציה מונוטונית עולה‪ 1‬לכל ‪ , x‬כלומר אם ‪ x1  x2‬אז ‪a x1  a x2‬‬
‫אם ‪ 0  a  1‬הפונקציה מונוטונית יורדת‪ 2‬לכל ‪ , x‬כלומר אם ‪ x1  x2‬אז ‪a x1  a x2‬‬
‫הפונקציה‬
‫הלוגריתמית (עמוד ‪ 84‬סעיפים ‪)84-85‬‬
‫הצגה‪f  x   log a x :‬‬
‫‪,‬‬
‫‪a  0 , a  1 ‬‬
‫תכונות‪:‬‬
‫‪ .1‬תחום ההגדרה של ‪ log a x‬הוא ‪. x  0‬‬
‫‪ .2‬טווח הפונקציה הוא ‪. ‬‬
‫מתכונות ‪ 1‬ו‪ 2 -‬יוצא ש ‪f :     -‬‬
‫‪ .3‬אם ‪ a  1‬הפונקציה מונוטונית עולה לכל ‪ , x‬כלומר ‪x1  x2  loga x1  loga x2‬‬
‫אם ‪ 0  a  1‬הפונקציה מונוטונית יורדת לכל ‪ , x‬כלומר ‪x1  x2  loga x1  loga x2‬‬
‫‪ 1‬ובשפה פורמלית‪ :‬מונוטונית עולה ממש‬
‫‪ 2‬ובשפה פורמלית‪ :‬מונוטונית יורדת ממש‬
‫‪6‬‬