‫חדוא לכלכלנים‪ / 10142 /‬אבשלום קורן‪2007 /‬ג‬ ‫הפונקציה הליניארית (קווית)‬ ‫(יחידות ‪ 1-2‬עמודים ‪)35-53‬‬ ‫נתונה ע"י הנוסחה ‪. f ( x)  ax  b‬‬ ‫תיאורה הגרפי הוא קו ישר‪.‬‬ ‫מקדמי הפונקציה הליניארית‪:‬‬ ‫‪b , a‬‬ ‫תכונות המקדם ‪: a‬‬ ‫‪ .1‬ה‪ a -‬מציין את שיפוע הישר ומשמעותו‪ :‬בכמה יחידות גדל‪/‬קטן ערך ה‪ Y -‬על כל גידול של‬ ‫ה‪ X -‬ביחידה אחת‪.‬‬ ‫‪y2  y1‬‬ ‫‪a‬‬ ‫נוסחה לחישוב השיפוע על פי שתי נקודות המונחות על הישר‪, ( x1  x2 ) :‬‬ ‫‪x2  x1‬‬ ‫‪ .2‬מגמת הישר על פי סימן השיפוע‬ ‫כאשר‪:‬‬ ‫‪ a  0 ‬הישר עולה‬ ‫‪ a  0 ‬הישר יורד‬ ‫‪ a  0 ‬הישר אופקי (מקביל לציר ה‪)X -‬‬ ‫‪ .4‬כאשר‬ ‫‪ : a  0‬ככל שה‪ a -‬גדול יותר‪ ,‬הישר עולה בצורה תלולה יותר‪.‬‬ ‫כאשר‬ ‫‪ : a  0‬ככל שה‪ a -‬קטן יותר‪ ,‬הישר יורד בצורה תלולה יותר‪.‬‬ ‫‪ .5‬נתונים הישרים‪:‬‬ ‫ה‬ ‫‪ y  a1x  b1‬ו‪y  a2 x  b2 -‬‬ ‫תנאי להקבלה של ‪ 2‬הישרים‪:‬‬ ‫שים לב ‪ :‬משוואת ישר המקביל לציר ‪y‬‬ ‫‪( a1  a2‬לישרים מקבילים שיפועים שווים ולהפך)‬ ‫(ניצב לציר ה‪ ) x -‬היא מהדגם ‪ . x  k‬ישר זה אינו מייצג פונקציה ואין לו‬ ‫שיפוע מוגדר‪.‬‬ ‫מציאת משוואת ישר‬ ‫מקרה ‪ - I‬על פי שיפוע נתון ‪  a ‬ונקודה המונחת על הישר ‪ x1, y1 ‬‬ ‫מציבים בנוסחת הישר את הגדלים הידועים ‪ y1  ax1  b‬ומחלצים את ‪ . b‬מציגים את הישר‬ ‫בצורה כללית עם המקדמים הידועים ‪ a‬ו‪. b -‬‬ ‫דרך אחרת – על ידי שימוש בנוסחה‪. y  y1  a( x  x1 ) :‬‬ ‫מקרה ‪II‬‬ ‫‪ -‬על פי שתי נקודות המונחות על הישר ‪ x1, y1  ,  x2 , y2 ‬‬ ‫‪y2  y1‬‬ ‫מחשבים את השיפוע על פי הנוסחה‬ ‫‪x2  x1‬‬ ‫תכונת המקדם ‪b‬‬ ‫‪  0,b  ‬היא נקודת החיתוך של הישר עם ציר ה‪. y -‬‬ ‫‪ a ‬ולאחר מכן ממשיכים כמו במקרה א'‪.‬‬ ‫‪ ‬כאשר ‪ b  0‬הישר עובר דרך ראשית הצירים‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫חדוא לכלכלנים‪ / 10142 /‬אבשלום קורן‪2007 /‬ג‬ ‫הפונקציה הריבועית‬ ‫(יחידות ‪ 1-2‬עמודים ‪)54-64‬‬ ‫נתונה על ידי הנוסחה ‪f ( x)  ax 2  bx  c‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪ a  0‬‬ ‫תיאורה הגרפי נקרא פרבולה‬ ‫מבחינים בין ‪ 2‬סוגי פרבולות‪:‬‬ ‫פרבולה הפוכה ("בוכה")‬ ‫‪a0‬‬ ‫פרבולה ישרה ("מחייכת")‬ ‫‪a0‬‬ ‫לכל פרבולה ישנה נקודה מיוחדת שבה מקבלת הפרבולה את ערכה המינימלי (כאשר ‪) a  0‬‬ ‫או את ערכה המקסימלי (כאשר ‪ .) a  0‬נקודה זו נקראת קודקוד הפרבולה‪ .‬הישר האנכי העובר‬ ‫דרך הקודקוד מחלק את הפרבולה לשני ענפים סימטריים נקרא ציר הסימטריה של הפרבולה‬ ‫(ראה שרטוט)‪.‬‬ ‫ציר הסימטריה‬ ‫הפרבולה‬ ‫קודקוד הפרבולה‬ ‫מציאת שיעורי קודקוד הפרבולה‬ ‫הצבת שיעור ה‪ x -‬בפונקציה או‬ ‫‪b2‬‬ ‫‪4a‬‬ ‫‪, ykodkod  c ‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪2a‬‬ ‫‪xkodkod  ‬‬ ‫תכונות המקדמים‬ ‫‪-a‬‬ ‫‪ a  0 ‬פרבולה ישרה ‪ a  0 ,‬פרבולה הפוכה‬ ‫‪ ‬ככל שה ‪ a -‬גדל בערכו המוחלט הפרבולה "צרה" יותר‪.‬‬ ‫(ראה ציור)‬ ‫‪ - b‬כאשר ‪ b  0‬קודקוד הפרבולה מונח על ציר ה‪. y -‬‬ ‫‪ - c‬הנקודה ‪  0,c ‬היא נקודת החיתוך של הפרבולה עם ציר ה‪. y -‬‬ ‫‪2‬‬ ‫חדוא לכלכלנים‪ / 10142 /‬אבשלום קורן‪2007 /‬ג‬ ‫נקודות החיתוך של הפרבולה עם ציר ה ‪x -‬‬ ‫‪ b  b 2  4ac‬‬ ‫יש לפתור את המשוואה ‪ ax 2  bx  c  0‬על ידי הנוסחה‬ ‫‪2a‬‬ ‫מספר נקודות החיתוך של הפרבולה עם ציר ה‪ x -‬הוא כמספר הפתרונות של המשוואה‪.‬‬ ‫‪. x1, 2 ‬‬ ‫הביטוי תחת השורש ‪ b 2  4ac‬נקרא דיסקרמיננטה ומסומן באות ‪. ‬‬ ‫‪‬‬ ‫מספר נקודות‬ ‫חיתוך עם ציר ה‪x -‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪ 2‬נקודות חיתוך‬ ‫‪0‬‬ ‫הפרבולה משיקה‬ ‫לציר ה‪x-‬‬ ‫נקודת ההשקה היא‬ ‫קודקוד הפרבולה‬ ‫‪0‬‬ ‫אין נקודות חיתוך‬ ‫הפרבולה "מרחפת"‬ ‫‪a0‬‬ ‫‪a0‬‬ ‫שלבים בשרטוט פרבולה‬ ‫‪ .1‬סימן ה‪ a -‬מצביע על צורת הפרבולה ‪ :‬ישרה או הפוכה‬ ‫‪ .2‬מחשבים את שיעורי הקודקוד‪.‬‬ ‫‪ .3‬בוחרים שניים ‪-‬שלושה ערכי ‪ x‬מעל ומתחת לשיעור ה‪ x -‬של הקודקוד רצוי במרחק סימטרי‬ ‫ממנו ומחשבים את ערכי ה‪ y -‬על ידי הצבה בפונקציה‪.‬‬ ‫זכור‪:‬‬ ‫לערכי ‪ x‬הרחוקים במרחק שווה מהקודקוד יש ערך ‪ y‬זהה (בגלל הסימטריה)‬ ‫‪ .4‬מתווים את הפרבולה בעזרת הנקודות שמצאנו‪.‬‬ ‫דרך נוספת היא למצוא את נקודות החיתוך של הפרבולה עם ציר ה‪( x -‬אם יש כאלה) ובעזרתן‬ ‫ובסיוע השלבים הקודמים להתוות את גרף הפרבולה‪.‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ג‬2007 /‫ אבשלום קורן‬/ 10142 /‫חדוא לכלכלנים‬ )66 ‫ סעיף‬, 66 ‫חוקי החזקות והשורשים (עמוד‬ 1. 2. a b  a c  a b c a  b c  a bc 6. 7. a0  1 , a  0 a b     b a 3. ab  a b c c a 8. 4.  a  b 9. 5. c a a    c , b0 b b c  a c  bc 10. c a b  1 1 , b  ab b a a c a0 c , a, b  0 1 ac  c a b a c  c ab   a c b ‫ מספרים טבעיים כלשהם‬b, c )90 ‫ סעיף‬87 ‫חוקי הלוגריתמים (עמוד‬ 1. loga x  b  ab  x 5. log a  x  y   log a x  log a y 2. loga a  1 6. 3. log a 1  0 7. x log a    log a x  log a y  y log a xn  n  log a x 4. a log a x  x 8. log a b  log m b :‫נוסחה לשינוי בסיס‬ log m a :‫הערות‬ a, c  1 , a, c  0 - ‫ ו‬x, y  0 ‫ בנוסחאות הנ"ל יש להניח כי‬ log x  log10 x  10 ‫ מתכוונים לבסיס‬,‫ כאשר בסיס הלוגריתם אינו מצוין‬ ln x  loge x  ‫ לוגריתם הטבעי‬ :‫חוקים‬ b ln x  b  e  x , x  0 ln e  1 , ln1  0 , eln x  x , x ln  x  y   ln x  ln y , ln    ln x  ln y , ln x k  k  ln x , ln e k  k  y ‫משוואות מעריכיות‬ a f  x  a g x   f  x   g  x  8 x 5  1     25  2 x1    58 x  52 2 x1  58 x  54 x2  8  x  4 x  2  x  2 ax  b  x  log m b log m a  :‫דוגמה‬ a x  b ‫ פתרון המשוואה‬.II 3x  12  x  4 .I log12  2.26 log3 :‫דוגמה‬ ‫חדוא לכלכלנים‪ / 10142 /‬אבשלום קורן‪2007 /‬ג‬ ‫משוואות לוגריתמיות‬ ‫‪log a f  x   b  f  x   ab .I‬‬ ‫דוגמה‪log 4  2 x  1  1.5  41.5  2 x  1  8  2 x  1  x  3.5 :‬‬ ‫‪log a f  x   log a g  x   f  x   g  x  .II‬‬ ‫‪2‬‬ ‫דוגמה‪:‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ logb 4   logb 8  log b x  l og b 4 2  log b 8 3  log b x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪l og b 8  l og b 4  log b x  log b    log b x  x  2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫בעיות גידול ודעיכה‬ ‫(עמודים ‪)68-75‬‬ ‫תהליכי גידול‪/‬צמיחה – גידול טבעי של אוכלוסיות‪ :‬אנשים‪ ,‬עצים‪ ,‬חיידקים וכדומה‪ .‬גידול של‬ ‫כסף המופקד בתכנית חיסכון‬ ‫תהליכי דעיכה ‪ -‬התפרקות רדיואקטיבית‪ ,‬ירידת ערך של מכונה וכדומה‪.‬‬ ‫‪t‬‬ ‫‪r ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪f  t   A0  1 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 100 ‬‬ ‫תהליך צמיחה מעריכי מתואר על ידי הנוסחה‪:‬‬ ‫‪t‬‬ ‫‪r ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪f  t   A0  1 ‬‬ ‫תהליך דעיכה מעריכי מתואר על ידי הנוסחה ‪ :‬‬ ‫‪ 100 ‬‬ ‫כאשר‪:‬‬ ‫‪ - t  0‬עתיד ‪,‬‬ ‫‪t‬‬ ‫‪r%‬‬ ‫‪A0‬‬ ‫‪f t ‬‬ ‫ הזמן שחלף ממועד המוגדר כזמן אפס‪.‬‬‫ אחוז הגידול ‪/‬ההתרבות ליחידת זמן‪.‬‬‫ כמות התחלתית ‪ ,‬כלומר הכמות בזמן אפס‪.‬‬‫‪ -‬הכמות לאחר ‪ t‬יחידות זמן‬ ‫‪ - t  0‬עבר‬ ‫הערות‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫הגידול‪/‬הדעיכה משתנים בצורה מעריכית‬ ‫קצב הגידול‪/‬הדעיכה התקופתי קבוע‪.‬‬ ‫יחידת הזמן של ‪ r‬שווה ליחידת הזמן של ‪t‬‬ ‫‪5‬‬ ‫חדוא לכלכלנים‪ / 10142 /‬אבשלום קורן‪2007 /‬ג‬ ‫הפונקציה‬ ‫הצגה‪:‬‬ ‫המעריכית (עמודים ‪ 67-68‬סעיפים ‪)69-70‬‬ ‫‪f  x  ax‬‬ ‫‪ a  0 , a  1‬‬ ‫‪,‬‬ ‫תכונות‪:‬‬ ‫‪ .1‬תחום ההגדרה של ‪ a‬הוא ‪. ‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪ .2‬הפונקציה חיובית לכל ‪ x‬כלומר ‪ a  0‬לכל ‪. x‬‬ ‫מתכונות ‪ 1‬ו‪ 2 -‬יוצא ש ‪f :     -‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪ .3‬אם ‪ a  1‬הפונקציה מונוטונית עולה‪ 1‬לכל ‪ , x‬כלומר אם ‪ x1  x2‬אז ‪a x1  a x2‬‬ ‫אם ‪ 0  a  1‬הפונקציה מונוטונית יורדת‪ 2‬לכל ‪ , x‬כלומר אם ‪ x1  x2‬אז ‪a x1  a x2‬‬ ‫הפונקציה‬ ‫הלוגריתמית (עמוד ‪ 84‬סעיפים ‪)84-85‬‬ ‫הצגה‪f  x   log a x :‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪a  0 , a  1 ‬‬ ‫תכונות‪:‬‬ ‫‪ .1‬תחום ההגדרה של ‪ log a x‬הוא ‪. x  0‬‬ ‫‪ .2‬טווח הפונקציה הוא ‪. ‬‬ ‫מתכונות ‪ 1‬ו‪ 2 -‬יוצא ש ‪f :     -‬‬ ‫‪ .3‬אם ‪ a  1‬הפונקציה מונוטונית עולה לכל ‪ , x‬כלומר ‪x1  x2  loga x1  loga x2‬‬ ‫אם ‪ 0  a  1‬הפונקציה מונוטונית יורדת לכל ‪ , x‬כלומר ‪x1  x2  loga x1  loga x2‬‬ ‫‪ 1‬ובשפה פורמלית‪ :‬מונוטונית עולה ממש‬ ‫‪ 2‬ובשפה פורמלית‪ :‬מונוטונית יורדת ממש‬ ‫‪6‬‬