x - GOOL
מתמטיקה 5יחידות שאלון 806 1 תלמידים יקרים ספר תרגילים זה הוא פרי שנות ניסיון רבות של המחבר בהגשה לבחינות הבגרות במתמטיקה הן בבתי הספר התיכוניים ,הן בבתי הספר הפרטיים והן במכינות האוניברסיטאיות. שאלות תלמידים וטעויות נפוצות וחוזרות הולידו את הרצון להאיר את הדרך הנכונה לעומדים בפני מקצוע חשוב זה. הספר מסודר לפי נושאים ומכיל את כל חומר הלימוד על פי תכנית הלימודים של משרד החינוך .הניסיון מלמד כי לתרגּול בקורס זה חשיבות יוצאת דופן ,ולכן ספר זה בולט בהיקפו ובמגוון התרגילים המופיעים בו. לכל התרגילים בספר פתרונות מלאים באתר www.GooL.co.il הפתרונות מוגשים בסרטוני וידאו המלווים בהסבר קולי ,כך שאתם רואים את התהליכים בצורה מובנית ,שיטתית ופשוטה ,ממש כפי שנעשה בשיעור פרטי .הפתרון המלא של השאלה מכוון ומוביל לדרך חשיבה נכונה בפתרון בעיות דומות מסוג זה. תקוותי היא שספר זה ישמש מורה-דרך לכם התלמידים ויוביל אתכם להצלחה. יוחאי טוויג 2 תוכן העניינים פרק – 1טכניקה אלגברית8 ...................................................................................... : פירוק הטרינום8 ................................................................................................................. : משוואות9 .......................................................................................................................... : משוואה ממעלה ראשונה9 ................................................................................................... : מערכת שתי משוואות בשני נעלמים ממעלה ראשונה10............................................................. : משוואות עם אינסוף פתרונות וללא פתרון11........................................................................... : משוואה ממעלה שנייה11.................................................................................................... : משוואות ממעלה שלישית ומשוואות דו-ריבועיות12................................................................ : משוואות עם פרמטרים12.................................................................................................... : משוואות עם שורשים13...................................................................................................... : משוואות עם ערך מוחלט13................................................................................................. : מערכת משוואות ממעלה שנייה14......................................................................................... : תשובות סופיות14.............................................................................................................. : אי שוויוניים16 ................................................................................................................... : אי-שוויונים ממעלה ראשונה16............................................................................................ : אי-שוויונים ממעלה שנייה16............................................................................................... : אי-שוויונים ממעלה שלישית17............................................................................................ : אי-שוויונים עם מנה17........................................................................................................ : אי-שוויונים כפולים -מערכת וגם17...................................................................................... : שאלות מסכמות – אי-שוויונים18......................................................................................... : תשובות סופיות18.............................................................................................................. : תחום הגדרה19................................................................................................................. : תשובות סופיות19.............................................................................................................. : פרק – 2חקירת משוואות ממעלה ראשונה ושנייה20 ...................................................... : חקירת משוואות ממעלה ראשונה20 .....................................................................................: תשובות סופיות21.............................................................................................................. : חקירת משוואות ממעלה שנייה22 ........................................................................................ : תשובות סופיות22.............................................................................................................. : פרק – 3בעיות מילוליות23 ...................................................................................... : הקדמה כללית23 ................................................................................................................ : שאלות יסודיות23.............................................................................................................. : תשובות סופיות23.............................................................................................................. : בעיות תנועה24 ................................................................................................................... : בעיות ללא אחוזים עם נעלם אחד ושניים24............................................................................ : בעיות תנועה עם אחוזים25.................................................................................................. : בעיות תנועה עם משפט פיתגורס26....................................................................................... : מהירות מושפעת מזרמים26................................................................................................ : 3 מהירות ממוצעת26............................................................................................................ : שאלות מסכמות27............................................................................................................. : תשובות סופיות29.............................................................................................................. : בעיות הספק30 ................................................................................................................... : שאלות שונות30................................................................................................................. : תשובות סופיות31.............................................................................................................. : שאלות שונות32 .................................................................................................................. : בעיות תנועה32.................................................................................................................. : בעיות הספק36.................................................................................................................. : תשובות סופיות37.............................................................................................................. : תירגול נוסף38 .................................................................................................................... : בעיות תנועה שונות38......................................................................................................... : תשובות סופיות43.............................................................................................................. : פרק – 4סדרות44 .................................................................................................. : סדרה חשבונית44 ............................................................................................................... : שאלות44.......................................................................................................................... : תשובות סופיות47.............................................................................................................. : סדרה הנדסית48 ................................................................................................................. : שאלות48.......................................................................................................................... : תשובות סופיות51.............................................................................................................. : סדרה הנדסית אינסופית מתכנסת52 .................................................................................... : שאלות53.......................................................................................................................... : תשובות סופיות56.............................................................................................................. : סדרת נסיגה57 ....................................................................................................................: שאלות57.......................................................................................................................... : תשובות סופיות59.............................................................................................................. : פרק - 5הסתברות קלאסית60 .................................................................................. : הגדרות כלליות60.............................................................................................................. : שאלות יסודיות61.............................................................................................................. : שאלות עם שני ניסויים61.................................................................................................... : שאלות עם הסתברות מותנית62........................................................................................... : שאלות עם נעלמים63.......................................................................................................... : שאלות הנפתרות באמצעות טבלה דו-מימדית64...................................................................... : התפלגות בינומית ונוסחת ברנולי -שאלות יסודיות65.............................................................. : התפלגות בינומית ונוסחת ברנולי -שאלות עם הסתברות מותנית66............................................ : התפלגות בינומית ונוסחת ברנולי -שאלות עם נעלמים67.......................................................... : שאלות מסכמות68............................................................................................................. : תשובות סופיות74.............................................................................................................. : 4 שאלות שונות לפי נושאים75 ................................................................................................: כפל וחיבור הסתברויות – מאורעות בלתי תלויים75................................................................. : כפל וחיבור הסתברויות – מאורעות תלויים76......................................................................... : תרגילים הכוללים שימוש בדיאגרמת עץ78............................................................................. : תרגילים עם נעלמים – כפל וחיבור הסתברויות ,דיאגרמת עץ80................................................. : התפלגות בינומית ונוסחת ברנולי83....................................................................................... : טבלה דו מימדית89............................................................................................................ : תרגילים בהסתברות מותנה ונוסחת בייס עם נעלם אחד93........................................................ : תרגילים בהסתברות מותנה ונוסחת בייס עם שני נעלמים94...................................................... : תרגילים הכוללים טבלה עם שלוש עמודות94.......................................................................... : תרגילי חישוב הכוללים שימוש בנוסחאות בהסתברות95........................................................... : תרגילי הוכחה בעזרת נוסחאות ההסתברות96........................................................................ : תשובות סופיות98.............................................................................................................. : פרק – 6גאומטריה אוקלידית100............................................................................................ : רקע ,קווים וזוויות ,משולשים100........................................................................................ : משולש כללי ,משולש שווה שוקיים ,משולש ישר זווית100..................................................... : חפיפת משולשים102............................................................................................................ : זווית חיצונית למשולש ומשולש ישר זווית103....................................................................... : קטעים מיוחדים במשולש105............................................................................................... : מרובעים106........................................................................................................................ : המעגל113........................................................................................................................... : פרופורציה דמיון118............................................................................................................ : שאלות שונות129................................................................................................................. : שאלות ללא פרופורציה129 .................................................................................................. : שאלות הכוללות פרופורציה ודמיון132 .................................................................................. : תשובות סופיות141 ............................................................................................................ : פרק – 7טריגונומטריה במישור142......................................................................................... : משולש ישר זווית142........................................................................................................... : זהויות טריגונומטריות145................................................................................................... : משוואות טריגונומטריות148................................................................................................ : טריגונומטריה במישור153................................................................................................... : שאלות שונות169................................................................................................................. : תשובות סופיות177 ............................................................................................................ : פרק – 8חשבון דיפרנציאלי179................................................................................................: נגזרות ומשיקים179............................................................................................................ : שאלות יסודיות – גזירת פונקציות180 ................................................................................... : שאלות שונות – שימושי הנגזרת183 ...................................................................................... : שאלות עם פרמטרים184 ..................................................................................................... : 5 תשובות סופיות186 ............................................................................................................ : חקירת פונקצית פולינום188................................................................................................. : תשובות סופיות192 ............................................................................................................ : חקירת פונקציות מנה ופונקציות שורש194............................................................................: מציאת תחום הגדרה196 ..................................................................................................... : מציאת נקודות קיצון ותחומי עלייה וירידה197 ....................................................................... : מציאת אסימפטוטות המקבילות לצירים197 .......................................................................... : חקירת פונקצית מנה199 ..................................................................................................... : חקירת פונקצית שורש203 ................................................................................................... : שאלות עם תחומי קעירות ונקודות פיתול208 ......................................................................... : תשובות סופיות210 ............................................................................................................ : חקירת פונקציות עם פרמטר216........................................................................................... : תשובות סופיות217 ............................................................................................................ : חקירת פונקציות טריגונומטריות219.................................................................................... : הגדרות כלליות219 ............................................................................................................ : שאלות221 ........................................................................................................................ : תשובות סופיות227 ............................................................................................................ : פרק - 9בעיות קיצון230 .......................................................................................... : בעיות קיצון עם מספרים230 ................................................................................................ : בעיות בהנדסת המישור231 ................................................................................................. : בעיות קיצון בפונקציות וגרפים234 ....................................................................................... : בעיות קיצון בהנדסת המרחב236 .......................................................................................... : בעית קיצון עם תנועה237 .................................................................................................... : תשובות סופיות238 ............................................................................................................ : בעיות קיצון – שאלות שונות239........................................................................................... : בעיות בהנדסת המישור239 ................................................................................................. : בעיות בהנדסת המרחב241 .................................................................................................. : בעיות בפונקציות וגרפים242 ................................................................................................ : תשובות סופיות245 ............................................................................................................ : פרק - 10חשבון אינטגרלי246 ................................................................................... : סיכום כללי האינטגרציה246................................................................................................ : הגדרה וחוקים יסודיים246 ................................................................................................. : חישוב שטחים באמצעות האינטגרל (מקרים פרטיים)246 ......................................................... : חישוב נפחים באמצעות האינטגרל247 ................................................................................... : שאלות לפי נושאים247........................................................................................................ : שאלות יסודיות – חישובי אינטגרלים247 ............................................................................... : שאלות יסודיות – מציאת פונקציה קדומה250 ........................................................................ : האינטגרל המסוים252 ....................................................................................................... : חישובי שטחים – פונקציה פולינומית252 ............................................................................... : 6 שאלות עם פרמטר259 ........................................................................................................ : חישובי שטחים כאשר נתונה נגזרת הפונקציה260 .................................................................... : חישובי שטחים – פונקציה רציונאלית262 .............................................................................. : חישובי שטחים – פונקצית שורש263 ..................................................................................... : חישובי שטחים – פונקציות טריגונומטריות265 ....................................................................... : מציאת נפח גוף סיבוב268 .................................................................................................... : בעיות קיצון עם אינטגרלים268 ............................................................................................ : תשובות סופיות269 ............................................................................................................ : הקשר בין גרף הפונקציה לגרף הנגזרת273............................................................................ : פרק – 11חשבון דיפרנציאלי -תרגילים מסכמים278............................................................... : תרגילים העוסקים בפונקציה פולינומית278.......................................................................... : תשובות סופיות288 ............................................................................................................ : תרגילים העוסקים בפונקציה רציונאלית291......................................................................... : תשובות סופיות301 ............................................................................................................ : תרגילים העוסקים בפונקצית שורש (אי-רציונאלית)305......................................................... : תשובות סופיות325 ............................................................................................................ : תרגילים העוסקים בפונקציות טריגונומטריות331................................................................. : חקירות פונקציה טריגונומטרית339 ...................................................................................... : תשובות סופיות348 ............................................................................................................ : פרק - 12בעיות מקסימום ומינימום -תרגילים מסכמים356.................................................... : תרגילים העוסקים בפונקציה פולינומית356.......................................................................... : תרגילים העוסקים בפונקציה רציונאלית360........................................................................ : תרגילים העוסקים בפונקצית שורש366.................................................................................: פרק – 13חשבון אינטגרלי -תרגילים מסכמים371 ........................................................ : תרגילים העוסקים בפונקציה פולינומית371.......................................................................... : תרגילים העוסקים בפונקציה רציונאלית381......................................................................... : תרגילים העוסקים בפונקצית שורש386.................................................................................: פרקי תרגול מבגרויות ונספחים 391............................................................................... הערות: .1הסקיצות בשאלות החקירה מופיעות בצורה מרוכזת בסוף דפי התשובות. .2כל פרק מורכב מחלק תיאורטי ותרגול אשר מופיעים בצורה מלאה ומפורטת באתר ,למעט החלקים הקרויים 'תירגול נוסף' ושאלות החזרה מבחינות. .3קישור לחוברת מתכונות.http://www.gool.co.il/Misc/806_exams_gool.pdf : 7 : – טכניקה אלגברית1 פרק :פירוק הטרינום :פרק את הביטויים הבאים לפי פירוק טרינום 2 x2 7 x 15 )2 4 x2 8x 3 )1 6 x2 5x 1 )4 3x2 11x 6 )3 x2 5x 4 )6 2 x2 x 6 )5 x2 33x 62 )8 x2 8x 15 )7 :פרק את הביטויים הבאים 4 x2 8x 3 )9 6 x2 5x 1 )10 x2 5x 4 )11 :תשובות סופיות 3x 2 x 3 )3 2 x 3 x 5 )2 2 x 1 2 x 3 )1 x 1 x 4 )6 x 2 2 x 3 )5 3x 1 2 x 1 )4 2 x 1 2 x 3 )9 x 2 x 31 )8 x 3 x 5 )7 . x 1 x 4 )11 3x 1 2 x 1 )10 8 :משוואות :משוואה ממעלה ראשונה 2 x x 24 7 2x 7 .ג :) פתור את המשוואות הבאות1 .ב 6 x 2 8 .א 7 x 5 2 x 4 x 13 .ה 2x 6 8 x .ד 2 5x 7 3x 8 .ז 6 x 3 5 7 x x 5x 7 .ו :) פתור את המשוואות הבאות2 7 x 4 3 4x x .ב 3 x 1 4 2 .א 5x 3x 7 4 21 .ד 6 4 x 6 x 3x .ג .ו x x 5 x 2 7 x 8 .ה 7 x 1 x x 3 2 0 :) פתור את המשוואות הבאות3 4 x 3x 1 15 10 5 x 1 6 x 1 3x 1 1 6 5 4 x x 5 x 1 3 7 x x 4 .א 3 9 2 4 7 .ג x x x 3 5 15 2 3 x 3 4 x x 2 . ה 5 15 .ב .ד .ו :) פתור את המשוואות הבאות4 1 x 0 .ב 2 x 1 5 4 .ד 2 x 1 3x 2 1 2 0 .א 4 x 3 1 .ג x x2 x5 1 1 .ה 3x 2 6 x x 9 :) פתור את המשוואות הבאות5 x2 2 3x 1 .א 2 3x 5 x 9 x 15 3 5 0 .ג 2 2 x 12 3x 2 7 2 3 0 .ב 2 x 1 x 1 2 2x 4 x 2 24 x 36 12 .ד x 3 :מערכת שתי משוואות בשני נעלמים ממעלה ראשונה :) פתור את המשוואות הבאות6 5 x 2 y 14 .ב 5 x 3 y 23 x 3y 5 .א x 3y 3 :) פתור את המשוואות הבאות7 5 x 2 y 2 .ג x 4 y 4 3x 2 y 16 .ב x 5 y 14 3x y 11 .א y 5 y x 3 .ה y 2x 4 2 x 3 y 5 .ד 5 x 7 y 11 :) פתור את המשוואות הבאות8 x 3 x y y 1 16 4 .ב 8 3 2 x y 4 x 11 0 3 y x 2 4 x 2 3 y .א 2 x 3 y 5 y 4 x 3 3 3x 1 2 4 5 x y 10 x 3 x 1 y 1 4 2 .ג :) פתור את המשוואות הבאות9 7 4 x y 3 .ג 2 5 x 7 y 3 3 x y 2 .ב 9 4 7 x y 10 3 1 x y 4 .א 5 1 4 x y )10פתור את המשוואות הבאות: x y 2 y xy 5 א. x y 2 xy 20 ב. y 3x 4 20 5 x 4 xy 22 ג. 6 x xy 20 משוואות עם אינסוף פתרונות וללא פתרון: )11פתור את המשוואות הבאות: א6 x 2 2 x 5 4 x . ב5 x 3 x 4 x 2 x 3 . 2 x y 4 y 1 x ד. 2 7 y x 3 x y x 2 y 1 ג. 4 x 8 y 5 משוואה ממעלה שנייה: )12פתור את המשוואות הבאות: אx2 3x 10 0 . ב x 10 x 16 0 . 2 ד2 x 2 6 x 5 0 . ג25x2 20 x 4 0 . )13פתור את המשוואות הבאות: א4 x2 5x 7 4 x2 3 . ב x x 5 1 3x 1 x 4 . ג2 x 5 2 x 3 10 x 21 . 2 2 )14פתור את המשוואות הבאות (משוואה חסרת :) b ב32 x2 18 0 . אx2 36 0 . )15פתור את המשוואות הבאות (משוואה חסרת :) c ב5 x x 0 . א7 x2 14 x 0 . 2 11 :) פתור את המשוואות הבאות16 4x 1 x 2 2 .א 3 2 x 3 2x 5 4 0 .ג 2 2 x 2 2 x 1 1 x 2 x 9 x x 2 18 .ב x3 2 :ריבועיות-משוואות ממעלה שלישית ומשוואות דו :) פתור את המשוואות הבאות17 x 4 3x 2 2 0 . ב 5x4 3x2 8 0 .א 2 x3 5 x 2 2 x 5 0 . ד 2 x3 7 x 2 7 x 2 0 . ג :משוואות עם פרמטרים :) פתור את המשוואות הבאות18 mx 3m 5x 1 .א 1 1 a 3x ax 3 .ב 3 a x 2a x 2b x2 2 a2 b2 .ג m 1 m 1 .ד x 1 x 1 x 1 ax x 2 .ה 3 3 2 a a 2a 2a 4a 2a a 2a 2 a 2 :) פתור את מערכות המשוואות הבאות19 ax y 2 .ב x ay 4 x my 1 .א x y m m 1 x 2m 3 y 5 .ד m 2 x 2m 1 y 10m x ym .ג m x m2 y 1 2a b x 2a b y 8ab .ה 2 2 2a b x 2a b y 8a 2b 12 :) פתור את המשוואות הריבועיות הבאות20 x2 2 x 4a a 2 3 .ב x2 2mx m2 1 0 .א 1 1 1 0 .ד ax a ax x2 m x 10 2m2 5x .ג a 1 x b x b a m .ו 2 1 x 2 m2 x 1 0 .ה x 1 a b a b x a b a b .ז :משוואות עם שורשים :) פתור את המשוואות הבאות21 x2 x .ב 4x 3 5 .א 2 x 16 3 x 1 .ד 3x 1 x 13 .ג x2 5x 12 2 6 x .ו 3x 5 x 17 .ה 2x 1 3 7 x 1 .ח x 1 2 x 5 11 x 2 .ז 2x 3 3 x 2 .י 9 x 8 3 x 4 2 .ט 2 x 2 5 x 4 3x 2 .יב x 3 x 2 4 x 1 .יא 3 x 1 2 x 3 2 x 2 .יג :משוואות עם ערך מוחלט 3x 24 x .ב :) פתור את המשוואות הבאות22 2 x 11 7 .א 2 x 8 x 10 .ד 12 x 3x .ג 14 3x 2 x 5 .ו 4 x 5 2 x 13 .ה x 2 6 2x 4 .ח x 7 2x .ז 10 3x x 4 2 x 6 .י x 2 2x 6 4x 8 .ט 13 :מערכת משוואות ממעלה שנייה :) פתור את מערכות המשוואות הבאות23 2 2 2 x y 36 2 x 3 y 10 .ב x 2 y 2 20 x y 6 .א x 2 2 y 2 17 xy 10 .ד 2 2 3x 4 y 16 2 2 5 x 3 y 17 .ג 2 2 x 2 xy 8 y 8 2 3xy 2 y 4 .ו x 2 xy 20 y 2 0 x 6 y 1 .ה 16 x 2 y 2 391 4 x y 23 .ח x 2 y 2 33 x y 11 .ז .י x3 y 3 243 x y 9 .ט 3 3 x y 91 2 2 x y xy 30 xy 24 2 y x 7 y x 10 0 x y 10 x 3 y 2 2 x y 9 xy 25 3 5 x y 21 .יא 8 1 13 x y .יב 2 2 x y xy 84 2 2 x 2 xy y 5 x 5 y 24 .יד .יג :תשובות סופיות 1 . זx 3 . וx 2 . הx 2 . דx 8 . גx 0 . בx 1 2 1 1 . x 1 . וx 4 . הx 1 . דx 2 . גx . בx 3 4 2 . x 21 . וx 10 . הx 1 . דx 1 . גx 30 . בx 18 . x 2 . הx 2 . דx 3 . גx 1 . בx 8 4 1 . ,9 . ב 4, .) א6 . x 6 , x 3 . דx 7 . גx 7 . בx 6 5 3 .x .) א1 .) א2 .) א3 .) א4 .) א5 . 7, 10 . ה 2,3 . ד 0,1 . ג 4, 2 . ב 2,5 .) א7 . 1,1 . ג 3,1 . ב1,1 .) א9 14 7, 2 . ג 7,1 . ב 6,5 .) א8 2, 4 . ג 2,10 . ב 1, 3 .) א10 אין פתרון למערכת המשוואות.ג אינסוף פתרונות. אין פתרון ב.) א11 . אינסוף פתרונות.ד 2 . גx1 2 , x2 8 . בx1 2 , x2 5 5 1 . x1 1 , x2 10 . גx1 1 , x2 1 . בx1 0 , x2 1 4 1 3 x1 0 , x2 . בx1 0 , x2 2 .) א15 x . בx 6 5 4 . x1 0 , x2 5 . גx 5 , x 3 . בx1 2 , x2 1.2 . אין פתרון למשוואה. דx . דx1 1 , x2 2 , x3 .) א12 .) א13 .) א14 .) א16 1 . גx 1 . בx 1, 2 .) א17 2 1 . x1 1 , x2 1 , x3 2 2 a2 9 3m 1 . בm 5, x .) א18 6a m5 m 1 2a 4 4a 2 , 2 2m 1, m 2 . ד m2 m 1, . ב m 1, 1 .) א19 . ג 2 m a 1 a 1 . x a 1 . הx m . דx a b . גx x m 5, 2m . גx a 1,3 a .ב x m 1, m 1 .) א20 2a b, 2a b .ה a b a b a 1 . זb 0, x , ab . וx 1, 2 . הa 0, x a 3 .ד , a b a b b m 1 x 5 . חx 3 . זx 4, 3 . וx 6 . הx 5 . דx 8 . גx 2 . בx 7 .) א21 .x 8 9 . x 2 . יגx 1 . יבx 6 . יאx 2, 2 . יx 12 .ט x 7 . זx 24, 4 1 . וx 9, 1 . הx 6 . דx 3 . גx 6,12 . בx 2,9 .) א22 5 3 1 . x 0 . יx 0, 12 . טx 12, 1 .ח 3 . 5, 2 , 5, 2 . ד 2, 1 . ג 4, 2 . ב 2, 4 , 4, 2 .) א23 . 5, 3 . ח 7, 4 .ז 1 1 5 1 1 3, , 3, , 2,1 , 2, 1 . ו 2, , , .ה 2 2 11 11 2 1 1 . , . יא 6,5 , 5, 6 . י 3,6 , 6,3 .ט 2 3 . 4,6 , 6, 4 , 3,8 , 8, 3 .יב . 1.65,6.35 , 6.35,1.65 7, 4 , 4, 7 .יג . 5, 45 , 5, 45 , 45,5 , 45, 5 .יד 15 אי שוויוניים: מה מותר? .1לחבר או לחסר כל מספר או ביטוי. .2לכפול או לחלק בכל מספר או ביטוי חיובי. מה אסור? .1לכפול או לחלק בביטוי שלא יודעים את סימנו. .2להעלות בחזקה זוגית כשיש אגף שלילי. .3לכפול או לחלק בכל מספר או ביטוי שלילי תוך הפיכת סימן אי-השוויון. .4להעלות בחזקה אי זוגית. .5להעלות בחזקה זוגית אם שני אגפי אי-השוויון אינם שליליים. אי-שוויונים ממעלה ראשונה: פתור את אי-השוויונים הבאים: 45x 26 109 )1 )3 )5 )7 )2 6 x 2 3x 1 2 x 5 )4 4 x 2 20 8 x 4 9 x 1 2 3 x6 x4 12 x 3 4 )6 4 6 x 8 8 3x 4 )8 7 x 3x 1 x 4 7 10 5 3 1 4x 6 2 2 2 x 2 אי-שוויונים ממעלה שנייה: פתור את אי-השוויונים הבאים: )9 x 2 144 x 12 x 32 )10 2 x 2 x 5 0 )11 x 2 x 4 35 )12 x2 13x 30 0 )13 x 3 x 7 8x 56 )14 )15 x x 2 89 2 x 5 3x2 12 x 0 )17 )19 x 1 x 6 x 2 3x 2 x 3 16 4 x 3 2 5x 6 )16 2 )18 x2 10 x 25 0 )20 2 x2 2 x 24 0 :שוויונים ממעלה שלישית-אי :השוויונים הבאים-פתור את אי x 1 x 2 x 3 0 )21 x x 2 x 1 0 )22 x 2 x3 25x 0 )24 2x 2 3x 2 x 1 0 )23 8x 20 3x 5 0 )26 x 2 3x 5 x 2 0 )25 x x3 6 x2 9 x 0 )28 2 x 6 x 1 0 x x 2 x 4 x 1 0 )30 2 )27 6 x 3 0 )29 :שוויונים עם מנה-אי :השוויונים הבאים-פתור את אי x 1 0 )31 x2 9 x 1 3 )32 3x 2 x 3 0 )34 2 x 10 x 12 1 0 x 16 )33 1 0 3 x 1 2x 1 0 x 5 )35 2 2 )36 1 0 )38 x 5x 6 x 1 1 )37 x2 1 0 )40 2 x 8 x 12 x2 7 x 6 0 )39 x 2 3x 7 2 : מערכת וגם- שוויונים כפולים-אי 0 0 6 1 2 )42 x4 :השוויונים הבאים-פתור את אי 3 x 1 5 )41 8 3x 4 )44 5 2x 2 x 10 7 x 20 )46 3 5 4 x 5 3x 8 9 x 11 )48 15 5 3 17 1 x 1 1 )43 x 1 6x 38 x 3 5x 7 )45 1 2x 6 x 2 4 3 )47 :שוויונים-שאלות מסכמות – אי :השוויונים הבאים-פתור את אי x x 5 3x 15 2 x 1 x(4 x) )50 x x 5 3x 1 0 )52 2 x x 7 x 4 x 2 0 )51 x 1 2 x 3 x 12 0 )53 x 1 4 x x x 3 2 x 5 0 )54 5 2x x 8 2 3 2 x 5 0 x 8 )49 4 x 6 x 1 0 )55 2 0 )56 x2 x 3 0 )57 x2 2 x 4x 0 )58 x 2x 3 x7 0 )60 2 x x3 2 2 x2 6x 9 0 )59 x3 x x 1 1 )61 2 x 4 x2 x2 2 x2 x x )62 2 x 6x 8 x 4 x 2 3 2 1 1 0 )64 x 1 x x 3 1 x x2 3x 10 6 5x x 2 )63 1 ? g x x 1 2 )65 x4 x 1 x מעל הפונקציהf x נמצאת הפונקציהx ) לאלו ערכי66 x3 x 3 :תשובות סופיות . x 13 )8 x 12 )7 x ) אף6 x 5 )5 x 2 )4 x ) אף3 x ) כל2 x 3 )1 . 9 x 3 )12 5 x 2 )11 x 4 , x 8 )10 12 x 12 )9 . 4 x 0 )16 4 x 8 )15 x 7 , x 11 )14 x 2 , x 15 )13 . x ) כל20 x 3 , x 5 )19 x 5 , x 5 )18 0 x 4 )17 1 )23 x 0 )22 1 x 2 אוx 3 2 2 . x 3 )29 x 0 , x 3 )28 x 2 , 1 x 3 )27 x 1 )26 x 2 3 2 1 . x , x )32 3 x 1 , x 3 )31 x 1 , 2 x 4 3 2 1 . x 2 )37 x 1 )36 x 5 )35 2 x 3 , x 3 )34 x 4 , x 4 2 5 x 0 , x 5 )24 2 x 1 , x 18 )21 )25 )30 )33 1 2 . x 0 )43 x 3 )42 2 x 4 )41 x 2 , x 6 )40 1 x 6 )39 2 x 3 )38 3 2 2 )49 . )48 1 x 13 )47 x 10 )46 2.5 x 7 )45 x 2 , x 2 )44 5 3 4 1 x 7 , x 2 , 5 x )52 x 2 , 1 x 4 )51 x 4 )50 3 . x 1 , 2 x 6 , 6 x )55 x 3 , 0 x 2.5 )54 . 1 x 1.5 , 4 x 12 )53 . x 3 , 0 x 1 , x 4 )58 3 x )57 2.5 x 8 , 8 x )56 . x 2 , 2 x 4 )61 7 x )60 1 x 0 , 1 x 3 , 3 x )59 . x 7 )65 x 1 )64 x ) אף63 x 0 , 1 x 2 , 4 x )62 3 . 3 x , 3 x )66 5 2 x :תחום הגדרה :) מצא את תחום ההגדרה של הפונקציות הבאות1 f x 2 x 3 .ב f x x .א 5x x4 x2 .ד f x 3x 1 2 x .ג .ו f x x 2 3x 10 .ה x 1 x 2 x .ז f x f x x 9x 3 f x :) מצא את תחום ההגדרה של הפונקציות הבאות2 f x f x 1 x x6 .ב x2 5x 6 x 1 .ד f x f x x 2 3 .א 2x2 x 3 x2 5x 9 .ג :תשובות סופיות x 5 , x 2 . הx 4 . דx 1 . גx 3 . בx 0 .) א1 2 . x 2 , 2 x 1 , 1 x 2 . ז3 x 0 , x 3 .ו 1 2 . x 3 , 2 x 1 . דx 1 , x 1 . ג6 x 2 . בx 7 .) א2 19 פרק – 2חקירת משוואות ממעלה ראשונה ושנייה: חקירת משוואות ממעלה ראשונה: שלבי עבודה: .1נפתור את המשוואה. .2נאתר את ערכי הפרמטר המאפסים את המכנה בכל שלבי הפתרון. .3נבדוק לכל ערך כזה בנפרד כמה פתרונות יש למשוואה על ידי הצבתו במשוואה המקורית. שאלות: )1פתור את המשוואה. kx 6k 2x 3k 2 : )2פתור את המשוואה. a2 x 1 3ax 4 x a : 2kx 5 y 2k 2 . )3פתור את מערכת המשוואות: 2 x y 10 )4נתונה המשוואה . m mx 2 3 2 3x :מצא אלו ערכי mלמשוואה: א .פתרון יחיד. ב .אף פתרון. ג .אינסוף פתרונות. )5נתונה המשוואהk 2 5 2 x 3 15 2kx : א .מצא לאלו ערכי kלמשוואה: .1פתרון יחיד. .2אף פתרון. .3אינסוף פתרונות. ב .מצא לאלו ערכי kפתרון המשוואה: .1חיובי. .2מקיים את אי-השוויון2 x 3 x : 20 mx 2m 6x 2 )6נתונה המשוואה: m 2 m 5 m 7m 10 .מצא לאלו ערכי mלמשוואה: א .פתרון יחיד. ב .אף פתרון. ג .אינסוף פתרונות. 4 a x 3 2a 1 y 3 )7נתונה מערכת המשוואות הבאה: x ay 1 . א .מצא לאלו ערכי aלמערכת המשוואות: .1פתרון יחיד. .2אף פתרון. .3אינסוף פתרונות. ב .מצא לאלו ערכי aפ תרון מערכת המשוואות מקיים את אי -השיוויון. 2 x y 1 : x 3ay a )8נתונה מערכת המשוואות: ax 3 y 4a 3 . א .מצא לאלו ערכי aלמערכת המשוואות: .1פתרון יחיד. .2אף פתרון. .3אינסוף פתרונות. ב .מצא לאלו ערכי aנקודת החיתוך בין הישרים (המיוצגים על ידי המשוואות) נמצאת ברביע השלישי. תשובות סופיות: a )2 x 3k )1 a 1 )5א k 3 .3 k 0 .2 k 0 , k 3 .1 .ב 0 k .1 .או k 3וגם k 3 0 k 15 .2וגם . k 3 m )6א m 3, m 2, m 5 .ב m 3, m 2, m 5 .ג .אף . )7א a 1 .3 a 3 .2 a 3, a 1 .1 .ב 3 a .או a 10וגם . a 1 )8א a 1 .3 a 1 .2 a 1, a 1 .1 .ב. 1 a 0 . )4 k 5,2k )3 x א m 3 .ב m 3 .ג. m 3 . 21 חקירת משוואות ממעלה שנייה: שאלות: )1פתור את המשוואה. x2 mx 12m2 0 : )2פתור את המשוואה. 2 x2 5m2 11m 1 x 5m : )3נתונה המשוואה . x2 mx 9 0 :מצא לאלו ערכי mלמשוואה: א .שני פתרונות ממשיים שונים. ב .פתרון ממשי אחד. ג .אין פתרונות ממשיים כלל. . 3 m x2 4mx 2m 0מצא לאלו ערכי mלמשוואה: )4נתונה המשוואה m 3 : א .שני פתרונות ממשיים שונים. ב .פתרון ממשי אחד. ג .אין פתרונות ממשיים כלל. )5נתונה הפונקציה. y 2mx2 mx 1 : מצא לאלו ערכי mהפונקציה אינה חותכת את ציר ה . x - y m 2 9 x 2 m 3 x 4 )6נתונה הפונקציה m 3 : מצא לאלו ערכי mהפונקציה נמצאת מעל ציר ה x -לכל ערך של . x )7נתון אי השיוויון. mx2 m 4 x 1 x2 : מצא לאלו ערכי mאי השיוויון מתקיים לכל ערך של . x תשובות סופיות: m 1 )2 x1 3m , x2 4m )1 2 )3א 6 m .או m 6ב m 6 .ג. 6 m 6 . )4א 0 m .או m 3וגם m 3ב m 0, m 3 .ג. 3 m 0 . 2 m 3 )6 8 m 0 )5או . m 0 )7 m 3 5 . x1 5m , x2 22 פרק – 3בעיות מילוליות: הקדמה כללית: הגדרה: אחוז אחד הוא מאית השלם. בעית תנועה: זמן Xמהירות = דרך. בעית הספק: הספק Xזמן = עבודה. הערות: .1אם לא צוין אחרת ,המהירויות בכל שאלה קבועות. .2אם לא צוין אחרת ,ההספקים בכל שאלה קבועים. שאלות יסודיות: )1א .כמה הם 20%מ?300- ב .כמה הם 120%מ ?300- ג .מהו המספר הגדול מ 300-ב ?20%- )2א .חולצה עלתה ₪ 240והתייקרה ב .30%-מה מחירה כעת? ב .נעליים עלו ₪ 450והוזלו ב .40%-מה מחירם כעת? )3מכונית נסעה במהירות 80קמ"ש ואז הורידה את מהירותה ב .20%- מה מהירותה כעת? )4אופנוע נסע במהירות xוהעלה את מהירותו ב.30%- בטא באמצעות xאת מהירותו כעת. )5צינור מילא בריכה בקצב של xליטר בשעה. לאחר מכן ירד הספק המילוי שלו ב 20%-ולבסוף עלה הספק המילוי שלו ב.30%- בטא באמצעות xאת הספק המילוי שלו כעת. תשובות סופיות: )1א 60 .ב 360 .ג )2 360 .א ₪ 312 .ב 64 )3 ₪ 270 .קמ"ש . 1.04x )5 1.3x )4 23 בעיות תנועה: בעיות ללא אחוזים עם נעלם אחד ושניים: )1מכונית נוסעת מ A-ל B-במהירות של 90קמ"ש .בדרך חזרה נסעה המכונית במהירות של 60קמ"ש .בסה"כ נמשכה הנסיעה הלוך וחזור 20שעות. א .כמה שעות נסעה המכונית לכל כיוון? ב .מהי הדרך שעברה המכונית? )2אוטובוס ומשאית יוצאים בו זמנית משני יישובים Aו B-בהתאמה .מהירות האוטובוס היא 60קמ"ש ומהירות המשאית היא 80קמ"ש .האוטובוס הגיע ליישוב Bשעה ו 40-דקות מאוחר יותר מהזמן שלקח למשאית להגיע ליישוב .A א .כמה זמן נסע האוטובוס וכמה זמן נסעה המשאית? ב .מהו המרחק בין שתי הערים? )3הולכת רגל יצאה לטיול במהירות מסוימת. לאחר שעה וחצי יצא בעקבותיה מאותו מקום הולך רגל נוסף במהירות הגדולה ממהירותה ב 4.5-קמ"ש .הולך הרגל השיג את הולכת הרגל שעה לאחר שיצא לדרכו. א .מהי מהירות ההליכה של הולכת הרגל? ב .מהו המרחק שעברו עד שנפגשו? )4שני רוכבי אופניים יוצאים בו זמנית מעיר א' לעיר ב' .הרוכב הראשון נוסע במהירות קבועה ומגיע לעיר ב' לאחר 5שעות .הרוכב השני נוסע במשך השעתיים הראשונות במהירות הקטנה ב 2-קמ"ש ממהירות הרוכב הראשון. לאחר מכן הוא מגביר את מהירותו ב 14-קמ"ש ומגיע לעיר ב' שעה ו 20-דקות לפני הרוכב הראשון. א .באיזו מהירות נסע הרוכב הראשון? ב .איזו דרך עבר הרוכב השני בכל חלק? )5משאית נוסעת מרחק של 245ק"מ בכל יום במהירות קבועה. יום אחד נסעה המשאית במשך שעתיים וחצי במהירות הרגילה ,לאחר מכן עצרה לתדלוק במשך 24דקות ואז המשיכה בנסיעה במהירות הגדולה ב 70-קמ"ש ממהירותה הקודמת. המשאי ת הגיעה ליעדה שעה לפני השעה שהיא מגיעה בכל יום. א .באיזו מהירות נוסעת המשאית בכל יום? ב .כמה זמן לוקח למשאית להגיע ליעדה בכל יום? )6רוכב אופניים יצא בשעה 06:00לרכיבה במהירות 24קמ"ש .בשעה 07:00יצא מאותו מקום רוכב אופנוע באותו כיוון ובמהירות של 40קמ"ש. באיזו שעה ובאיזה מרחק מנקודת היציאה ישיג רוכב האופנוע את רוכב האופניים? 24 )7אוטובוס נוסע מעיר א' לעיר ב' הרחוקה ממנה ב 800-ק"מ. לאחר שעבר האוטובוס 135ק"מ במהירות קבועה הוא עצר להתרעננות במשך חצי שעה. לאחר מכן המשיך האוטובוס את נסיעתו במהירות הגדולה ב 43-קמ"ש ממהירותו הקודמת עד לעיר ב' .סך כל הזמן שהיה האוטובוס בדרך הוא 7שעות. א .מה הייתה המהירות ההתחלתית של האוטובוס? ב .מה היה המרחק שעבר האוטובוס אחרי ההתרעננות עד לעיר ב'? )8המרחק בין ת"א לנצרת הוא 103ק"מ .בשעה 08:00יצאה מכונית מנצרת לת"א במהירות 90קמ"ש .בשעה 08:20יצאה משאית מת"א לנצרת במהירות 56קמ"ש. באיזו שעה ייפגשו המכונית והמשאית? )9משאית נסעה מדימונה לאילת ,מרחק של 200ק"מ 50 .דקות אחריה יצאה מכונית מדימונה לאילת במהירות הגבוהה ב 30-קמ"ש והגיעה לאילת 40דקות לפני המשאית. מצא את מהירות המכונית. בעיות תנועה עם אחוזים: )10מכונית נסעה במהירות מסוימת במשך שעתיים .אחר כך העלתה את מהירותה ב 25%- ונסעה עוד שעה וחצי .בסך הכול עברה המכונית 310ק"מ. מה הייתה מהירותה ההתחלתית של המכונית? )11מכונית נוסעת מעיר א' לעיר ב' מרחק של 480ק"מ במהירות קבועה. בדרכה חזרה נסעה המכונית במשך שעה במהירות הקבועה. לאחר מכן עצרה להתרעננות של 36דקות ואז הגבירה את מהירותה ב 25%-ממהירותה הקודמת והגיעה בחזרה לעיר א' 24דקות פחות מהזמן שלקח לה להגיע לעיר ב'. באיזו מהירות נסעה המכונית מעיר א' לעיר ב'? )12רכבת משא ורכבת נוסעים יוצאות מעיר א' לעיר ב' מרחק של 360ק"מ. מהירות רכבת הנוסעים גדולה ב 20%-ממהירות רכבת המשא. רכבת הנוסעים התעכבה 40דקות בתחנה ,ולכן יצאה באיחור מהתחנה של עיר א'. עם זאת היא הגיעה לעיר ב' 20דקות לפני רכבת המשא. א .מה הן המהירויות של שתי הרכבות? ב .כ מה זמן נסעה רכבת הנוסעים מעיר א' לעיר ב'? )13מכונית ומונית נוסעות מנקודה Aלנקודה .Bהמכונית נוסעת במהירות קבועה ומגיעה לנקודה Bכעבור 4שעות .המונית נוסעת במשך 3שעות המהירות הקטנה ב 10-קמ"ש ממהירות המכונית ולאחר מכן מגבירה את מהירותה ב 50%-ומגיעה לנקודה Bיחד עם המכונית. א .מהי מהירות המכונית? ב .מהו המרחק בין נקודה Aלנקודה ?B 25 בעיות תנועה עם משפט פיתגורס: )14שתי מכוניות יצאו מהעיר ,האחת לכיוון מזרח והשנייה לכיוון צפון .לאחר שלוש שעות המרחק בין שתי המכוניות היה 300ק"מ .מהירות מכונית אחת גדולה ב 20-קמ"ש ממהירות המכונית השנייה. א .מהן המהירויות של שתי המכוניות? ב .מה היה המרחק של כל מכונית מהעיר לאחר שלוש שעות? )15שני הולכי רגל יוצאים משני יישובים Aו B-המרוחקים זה מזה 13ק"מ. היישוב Aממוקם בצפון מערב ביחס ליישוב Bכמתואר באיור ממול. הולך הרגל מיישוב Aהולך דרומה והולך הרגל מיישוב Bהולך מערבה 13 .ק"מ הולך הרגל מיישוב Aיוצא שעתיים לפני הולך הרגל השני. לאחר שלוש שעות מיציאתו נפגשו שני הולכי הרגל. B מהירות הולך הרגל מיישוב Bגדולה ב 25%-ממהירות הולך הרגל השני. באיזו מהירות הלך כל אחד משני הולכי הרגל? A )16רוכב אופנוע יצא מביתו מזרחה במהירות מסוימת ונסע במשך חצי שעה .לאחר מכן ,פנה צפונה ,הגדיל את מהירותו ב 20%-ונסע כך שעה נוספת .לאחר שעה זו פנה חזרה לכיוון ביתו ,העלה את מהירותו ל 65-קמ"ש ונסע (בקו ישר) עד שהגיע חזרה לביתו. א .מצא את מהירותו של רוכב האופנוע ביציאה מביתו אם ידוע שעבר בסך הכול 150ק"מ. ב .מה הייתה מהירותו הממוצעת של רוכב האופנוע (בכל חלקי הדרך)? מהירות מושפעת מזרמים: )17סירה שטה בנהר שבו מהירות הזרם היא 3קמ"ש עם כיוון זרם המים. לאחר חצי שעה החליטו אנשי הסירה לשנות את כיוונם וחזרו במשך שעתיים לנקודת המוצא שלהם .מהירות הסירה במים עומדים קבועה במשך כל השייט. א .מצא את מהירות הסירה. ב .מהו המרחק הכולל ששטה הסירה? מהירות ממוצעת: )18אופנוע עובר מרחק של 200ק"מ במהירות מסוימת .לאחר מכן מאיץ האופנוע ומגדיל את מהירותו ב .40%-הוא נוסע במהירות זו ועובר מרחק של 280ק"מ .המהירות הממוצעת של האופנוע היא 96קמ"ש. א .כמה זמן נסע האופנוע? ב .באיזו מהירות התחיל האופנוע את נסיעתו? 26 שאלות מסכמות: )19המרחק בין ת"א לקריית שמונה הוא 180ק"מ .שני רוכבי אופנוע יצאו בו זמנית ,האחד מת"א לקריית שמונה והשני מקריית שמונה לת"א .כעבור 45דקות הרוכבים עדיין לא נפגשו והמרחק ביניהם היה 52.5ק"מ .רוכב האופנוע שיצא מת"א הגיע ליעדו 15דקות לפני שהרוכב השני הגיע ליעדו. מצא את מהירויות רוכבי האופנוע. )20רכבת נוסעת בקו ת"א – ב"ש במשך שעה ורבע. יום אחד ,לאחר חצי שעת נסיעה ,הייתה תקלה ברכבת והיא נאלצה לעצור ל 10-דקות עד שהתקלה תוקנה .כדי לנסות ולהגיע ליעדה בזמן העלתה את מהירותה ב 10-קמ"ש בהמשך הדרך והגיעה ליעדה באיחור קל של 5דקות בלבד .מצא את מהירות הרכבת. )21אדם הולך ברגל מביתו למקום העבודה שלו במהירות מסוימת. יום אחד יצא מביתו מאוחר מאוד ולכן נאלץ להגביר את מהירות ההליכה שלו ב 3-קמ"ש. הוא הגיע לעבודה בזמן והדרך ארכה מחצית מהזמן שבדרך כלל היא אורכת. מצא את מהירות ההליכה של האדם (בשגרה). )22שני הולכי רגל הולכים זה לקראת זה ,האחד מנקודה Aלנקודה Bוהשני מנקודה B לנקודה Aהם נפגשים כעבור חצי שעה וממשיכים ליעדם .הולך הרגל הראשון הגיע לנקודה 25 Bדקות לפני שהולך הרגל השני הגיע לנקודה .A מצא את היחס בין מהירויות הולכי הרגל. )23היישובים Aו B-נמצאים על גדת נהר בעל זרם קבוע. יום אחד ,יצאה ספינה מיישוב Aליישוב Bבמהירות מסוימת. שעה לאחר מכן יצאה ספינה שנייה מיישוב Bליישוב Aוכעבור שעתיים פגשה את הספינה הראשונה .הספינות המשיכו ליעדן וחזרו חזרה ליישוב המוצא באותו יום. למחרת ,שוב יצאה הספינה מיישוב Aליישוב Bאך במהירות כפולה מביום הקודם. הספינה מיישוב Bיצאה גם היא במהירות כפולה לכיוון היישוב Aאך הפעם רק חצי שעה אחרי שיצאה הספינה הראשונה .כעבור שעה עוד לא פגשה את הספינה הראשונה אך הייתה במרחק של שני ק"מ ממנה. מצא את עוצמת הזרם אם ידוע שכיוונו מיישוב Aליישוב .B )24שלושה רוכבי אופנוע יצאו מירושלים לאילת ונסעו דרך עין גדי. המרחק בין עין גדי לאילת הוא 240ק"מ .שלושת הרוכבים יצאו מירושלים בהפרשי זמן קבועים והגיעו לעין גדי באותו זמן .הרוכב שיצא ראשון הגיע לאילת שעה אחרי שהגיע לשם הרוכב שיצא שני .הרוכב שיצא שלישי הגיע לאילת ומיד פנה חזרה ופגש את הרוכב שיצא ראשון במרחק 80ק"מ מאילת .מצא את מהירויות רוכבי האופנוע. 27 )25מכונית ואופנוע יצאו באותו זמן מנקודה Aלנקודה .B כשהאופנוע היה באמצע הדרך הייתה המכונית במרחק 16ק"מ מנקודה .B כשהאופנוע היה במרחק 6ק"מ מנקודה Bהמכונית הייתה במרחק 12ק"מ מנקודה .B א .מצא את המרחק בין הנקודה Aלנקודה .B ב .פי כמה גדולה מהירות האופנוע ממהירות המכונית? )26דן ורן עורכים מרוץ לאורך מסלול של 10ק"מ .מהירותו של דן גדולה ב 5-קמ"ש ממהירותו של רן .שניהם יצאו למרוץ באותו זמן ודן הגיע לקו הסיום יותר מ20- דקות לפני רן .מהו תחום המספרים בו נמצאת מהירותו של רן? )27רכבת נוסעת בקו ת"א – ב"ש במשך שעה ורבע .יום אחד ,לאחר חצי שעת נסיעה ,הייתה תקלה ברכבת והיא נאלצה לעצור ל 10-דקות עד שהתקלה תוקנה .כדי לנסות ולהגיע ליעדה בזמן העלתה את מהירותה ב 10-קמ"ש בהמשך הדרך והגיעה ליעדה באיחור קל שלא עלה על 5דקות (שים לב – הרכבת הגיעה באיחור ,אך איחור זה לא עלה על 5דקות). מצא את תחום המספרים בו נמצאת מהירות הרכבת. )28שלושה חברים הלכו מבית הספר לספורטק בהליכה מהירה. מהירותו של הראשון הייתה גדולה ב 8-קמ"ש ממהירותו של השני וב m -קמ"ש ממהירותו של השלישי ,לכן ,הגיע הראשון mשעות לפני השני ושעתיים לפני השלישי. א .הבע באמצעות mאת מהירותו וזמן הליכתו של החבר הראשון. ב .לאלו ערכים של mיש לבעיה פתרון? 28 תשובות סופיות: )1א 8 .שעות הלוך ו 12-שעות חזור .ב 720 .ק"מ. )2א .אוטובוס – 6שעות ו 40-דקות .משאית – 5שעות .ב 400 .ק"מ. )3א 3 .קמ"ש .ב 7.5 .קמ"ש. )4א 12 .קמ"ש .ב 20 .ק"מ ו 40-ק"מ. )5א 50 .קמ"ש .ב 4 .שעות ו 54-דקות. 60 ,8:30 )6ק"מ. )7א 90 .קמ"ש .ב 665 .ק"מ. .8:50 )8 80 )9קמ"ש. 80 )10קמ"ש. 80 )11קמ"ש. )12א 60 .קמ"ש 72קמ"ש .ב 5 .שעות. )13א 90 .קמ"ש ב 360 .ק"מ. )14א 60 .קמ"ש ו 80-קמ"ש .ב 180 .ק"מ ו 240-ק"מ. 4 )15קמ"ש ו 5-קמ"ש. )16א 50 .קמ"ש .ב 60 .קמ"ש. )17א 5 .קמ"ש .ב 8 .ק"מ. )18א 5 .שעות .ב 80 .קמ"ש. 90 )19קמ"ש 80 ,קמ"ש. 80 )20קמ"ש. 3 )21קמ"ש. .1.5 )22 4 )23קמ"ש. 60 )24קמ"ש 80 ,קמ"ש 120 ,קמ"ש. )25א 24 .ק"מ .ב.1.5 . 10 )26קמ"ש 0 x קמ"ש. 80 )27קמ"ש 35 x קמ"ש. )2m(8 m )8m(m 2 ,v )28א. 2 m 16 m2 16 t ב. 4 m 8 . 29 בעיות הספק: שאלות שונות: )1טבח הכין פנקייקים בקצב קבוע במשך שעתיים .אחר כך העלה את קצב עבודתו ב 25%-והכין פנקייקים עוד שעה וחצי בקצב החדש .בסך הכול הכין הטבח 310 פנקייקים .כמה פנקייקים בשעה הכין הטבח בשעתיים הראשונות לעבודתו? )2צינור ממלא בריכה בקצב קבוע .לאחר שעתיים נפתח צינור נוסף הממלא את הבריכה בקצב של 25%מהצינור הראשון .לאחר עוד שעה וחצי התמלאה הבריכה לאחר שנכנסו אליה בסה"כ 310ליטר מים. כמה ליטרים לשעה מכניס הצינור הראשון לבריכה? )3צינור א' ממלא בריכה בשלוש שעות .צינור ב' ממלא את אותה בריכה בשעתיים. שני הצינורות נפתחו יחדיו בשעה .10:00באיזו שעה תהיה הבריכה מלאה? )4קבוצת פועלים סללה כביש .את השליש הראשון של הכביש סללו בקצב של 10מטר ביום .את השליש השני של הכביש סללו בקצב הגדול ב 15-מטר ביום מהקצב בו סללו את השליש השלישי של הכביש .זמן סלילת הש ליש הראשון היה שווה לזמן סלילת שאר הכביש .מצא את קצב סלילת השליש האחרון של הכביש. )5למיכל שני ברזים ,ברז א' ממלא אותו וברז ב' מרוקן אותו .יום אחד כאשר במיכל היו 20%מנפח הקיבול שלו ,פתחו בטעות את שני הברזים בו זמנית והמיכל התרוקן תוך 6דקות .מצא בכמה זמן ממלא ברז א' לבדו את המיכל כשהוא ריק אם ידוע שזמן זה ארוך ב 5-דקות מהזמן הדרוש לברז ב' לרוקן את המיכל כשהוא מלא. )6שתי קבוצות של חקלאים אספו מלונים משדה .תחילה ,עבדה רק הקבוצה המהירה יותר ואספה מלונים משליש מהשדה .אחר כך ,עבדה רק הקבוצה האיטית יותר ואספה מלונים מעוד שישית מהשדה .לבסוף ,הצטרפה הקבוצה המהירה לעבודה ויחד אספו מלונים במשך 9ימים נוספים .מתחילת איסוף המלונים ועד סיומו עברו 29ימים .מצא בכמה ימים יכולה הייתה הקבוצה המהירה לאסוף את המלונים מכל השדה לו עבדה לבדה. )7מורה שברשותו היו מבחני המתמטיקה של כל השכבה 224 ,במספר ,תכנן לבדוק אותם תוך מספר ימים מסוים .הוא התחיל בעבודתו ואחרי 6ימי עבודה ,קיבל לידיו עוד 7מבחנים שנשכחו בבית הספר וקיבל הודעה כי עליו להחזיר את הבחינות 3ימים לפני המועד שתכנן .הוא חישב וגילה שכדי לעמוד ביעד עליו לבדוק עוד 11מבחנים בכל יום. בכמה ימים תכנן המורה לסיים את בדיקת המבחנים? 30 )8למיכל שנפחו 300ליטר יש שני ברזים :ברז אחד למילוי והשני להרקה .מילוי המיכל (כשהוא ריק) אורך 8דקות יותר מריקון המיכל (כשהוא מלא) .יום אחד, כשהמיכל היה מלא ,פתחו בטעות את שני הברזים והמיכל התרוקן בפחות מחצי שעה .באיזה תחום מספרי נמצאת כמות המים הנכנסת למיכל בדקה מברז המילוי? )9שני פועלים תכננו לבצע עבודה מסוימת כך שהראשון יעבוד 8ימים ואחריו השני יעבוד 6ימים .ואולם 4 ,ימים אחרי תחילת העבודה חלה הפועל הראשוןוהפסיק לעבוד והפועל השני נאלץ לעבוד mימים לבדו וגם אז הסתיימה רק 75%מהעבודה. א .הבע באמצעות mאת הזמן שבו כל פועל היה מסיים את העבודה לו עבד לבדו. ב .לאלו ערכים של mיש לבעיה פתרון? תשובות סופיות: 80 )1פנקייקים. 80 )2ליטרים בשנה. .11:12 )3 15 )4מטרים ליום. 15 )5דקות. 24 )6ימים. 14 )7ימים. )8בין 15ליטרים ל 37.5-ליטרים. )16(m 3 )9א, 4m 12 . 2m 9 .ב. m 3 . 31 שאלות שונות: בעיות תנועה: )1בשעה 8 : 00בבוקר יצא הולך רגל מקיבוץ לכיוון חיפה .באותה שעה יצא רוכב קטנוע מחיפה לאותו הקיבוץ .שניהם נעו באותו כביש ומהירויותיהם לא השתנו בזמן התנועה .מהירות רוכב הקטנוע הייתה גדולה ב 12 -קמ"ש מזו של הולך הרגל 50 .דקות לאחר השעה 8 : 00הולך הרגל ורוכב הקטנוע טרם נפגשו וידוע כי המרחק ביניהם היה 16ק"מ 30 .דקות לאחר פגישתם הגיע רוכב הקטנוע לקיבוץ .מצא את מהירות הולך הרגל ואת המרחק בין הקיבוץ לעיר חיפה. )2סירת מנוע נעה בין שתי נקודות ציון .הסירה עוברת את המרחק שבין הנקודות הלוך ושוב במשך 14שעות .המרחק בין שתי נקודות הציון הוא 48ק"מ .ידוע כי באותו הזמן שעוברת הסירה מרחק של 4ק"מ עם הזרם היא עוברת רק 3 ק"מ נגד הזרם .מהי מהירות זרם המים בנהר ומהי מהירות הסירה במים עומדים? )3אוטובוס יוצר לדרך שאורכה 500ק"מ ,ומהירותו קבועה .אחרי נסיעה של שעתיים ,הקטין נהג האוטובוס את המהירות ,ולכן איחר בשעה אחת בדיוק. לו היה נוסע הנהג במהירות הנמוכה לאורך כל הדרך היה מאחר ליעדו בשעה וארבעים דקות .מצא את מהירותו הרגילה של האוטובוס. )4שני רוכבי אופניים יצאו בבת אחת זה לקראת זה ממקומות Aו , B -האחד מ A -ל B -והשני מ B -ל . A -הם נפגשו בדרך וכל אחד מהם המשיך לנוע ליעד בלי להתעכב .רוכב האופניים מ Aהגיע ל 4 B -שעות לאחר הפגישה ,ואילו רוכב האופניים מ B -הגיע ל 9 A -שעות לאחר הפגישה .מהירויות רוכבי האופניים לא השתנו בשעות התנועה .בכמה שעות עבר כל אחד מרוכבי האופניים את המרחק בין המקומות Aו . B - )5במגרש ספורט מדדו שני ספורט אים את אורכו של מסלול ריצה .כשהם יוצאים משני קצותיו ,זה לקראת זה .לאחר שצעדו כל אחד 50צעדים ,נשאר ביניהם מרחק של 17מטרים .כל צעד של הספורטאי הראשון היה קצר ב 10 -ס"מ מצעדו של הספורטאי השני .את המסלול כולו עובר הספורטאי הראשון ב24 - מטרים יותר מאשר הספורטאי השנ י .הצעדים של כל אחד מהספורטאים לא השתנו באורכם במשך המדידה .מהו אורך מסלול הריצה? )6המרחק מקיבוץ לחיפה הוא 40ק"מ .בשעה 7בבוקר יצא טנדר ובו דברי דואר מן הקיבוץ לחיפה .כעבור 20דקות יצאה אחריו מכונית מן הקיבוץ במהירות של 45קמ"ש כדי להוסיף את החבילה על דברי הד ואר .היא הדביקה את הטנדר וחזרה מיד לקיבוץ .ברגע שעברה את מחצית הדרך ממקום הפגישה עם הטנדר 32 לקיבוץ ,הגיע הטנדר לחיפה .מהירות הטנדר ומהירות המכונית לא השתנו בזמן הנסיעה .מצא את מהירות הטנדר. )7שני תיירים יצאו ביחד מ A -ל . B -התייר הראשון לא התעכב בדרכו והגיע לB - 1 לאחר 2שעות .התייר השני ,לאחר שעבר 4 1 6 מהדרך ,חזר ל A -שהה שם 15 דקות ואחר -כך הלך ל . B -שני התיירים הגיעו ל B -באותו זמן .התייר השני עבר כל קילומטר 4דקות פחות מהתייר הראשון .מהירות ההליכה של שני התיירים לא השתנתה בעת ההליכה .מצא את מהירותו (בקמ"ש) של כל אחד מהתיירים. )8על שפת הנהר נמצאות שלוש תחנות של ספינות דיג B , A :ו . C -התחנה B נמצאת בין Aל , C -במרחק 12ק"מ מ . C -כיוון זרם המים בנהר הוא מ A - ל . C -ספינ ת דיג שלה מנוע קטן עוברת את הדרך מ A -ל C -ב 6 -שעות. ספינת הדיג שלה מנוע גדול ,שמהירותה גדולה פי הקטן ,עוברת את הדרך מ B -ל C -ב 45 -דקות. מצא את מהירות זרם המים בנהר. 3 ממהירות הספינה עם המנוע )9שלושה כלי רכב יצאו זה אחר זה בבוקר אחד מתל אביב לאילת .אופנוע יצא בשעה , 7 : 00מכונית משא ב 8 : 00 -ומונית ב 24( 8 : 24 -דקות אחרי השעה .)8 : 00 מהירויותיהם היו קבועות והן היו סדרה חשבונית .המונית הדביקה את רוכב האופנוע חצי שעה לאחר שהדביקה את מכונית המשא ,ומכונית המשא הדביקה את רוכב האופנוע במרחק 180ק"מ מתל אביב .שלושת כלי הרכב נעו כולם באותו מסלול .מצא את מהירויות כלי הרכב. )10משאית יצאה מתל אביב למחנה צבאי בדרום .אחריה יצא אוטובוס במהירות הגדולה ב 12 -קמ"ש ממהירותה ,והוא הגיע למחנה באותו הזמן שהיא הגיעה. שעתיים וחצי לפני שהגיעו למחנה ,וכשהאוטובוס היה כבר בנסיעה ,יצא לקראתם מן המחנה רוכב אופנוע שמהירותו גדולה פי 2ממהירות המשאית. הוא פגש את המשאית 10דקות לפני שפגש את האוטובוס .כל כלי הרכב נסעו באותו כביש ,ומהירויותיהם לא השתנו בזמן הנסיעה .מצא את מהירותה של המשאית. )11המרחק בין עיר Aלעיר Bהוא 300ק"מ .משאית יצאה מעיר Aונסעה במהירות קבוע של Vקמ"ש לכיוון עיר . Bבדרכה חזרה הגדילה המשאית את מהירותה ב U -קמ"ש ,כלומר נסעה במהירות של U Vקמ"ש .ידוע שהמהירות הממוצעת של המשאית בכל דרכה (הלוך וחזור) ,הייתה 60קמ"ש. אילו המשאית הייתה חוזרת מעיר Bלעיר Aבמהירות V Uקמ"ש ,אזי המהירות הממוצעת בכל הדרך (הלוך וחזור) הייתה רק חשב את המהירויות Vו.U - 33 100 3 קמ"ש. )12המרחק בין הנקודות Aו B -הוא 64ק"מ .רוכב אופניים יצא מנקודה A לכיוון נקודה Bונסע במהירות קבועה 40 .דקות לאחר שיצא לדרכו ,יצא מנקודה Aלכיוון נקודה Bרוכב קטנוע שנסע במהירות קבועה של 36קמ"ש. רוכב הקטנוע הדביק את רוכב האופניים בנקודה Cומיד הסתובב וחזר על עקבותיו באותה מהירות לנקודה . Aרוכב האופניים שהמשיך בנסיעתו בלי עיכובים ,הגיע לנקודה Bברגע שהקטנוע עבר את מחצית הדרך מ C -ל . A - מצא את מהירות רוכב האופניים. )13הזמן הדרוש לגוף ראשון לעבור 160ק"מ ארוך ב 5 -שעות מן הזמן הדרוש לגוף שני לעבור 90ק"מ .מהירות הגוף הראשון גדולה ב m -קמ"ש ממהירות הגוף השני ( .) m 0 א .בטא באמצעות mאת מהירות הגוף השני. ב .מצא לאלו ערכים של mיקבלו מהירויות הגופים ערכים חיוביים בלבד. )14שני כלי רכב יצאו מנקודה Aבו זמנית בשעה 07:00בבוקר ונסעו לנקודה , B לפגישה שתוכננה להתקיים בשעה 10:00בבוקר .הרכב הראשון הגיע לפגישה בזמן והרכב השני שנסע במהירות הקטנה ב 16-קמ"ש ממהירות הרכב הראשון הגיע לפגישה 48דקות מאוחר יותר .מצא את המרחק בין הנקודות AוB - וחשב את המהירות של כל אחד מכלי הרכב. )15המרחק בין Aל B -הוא 360ק"מ .נהג משאית תכנן לעבור את כל הדרך מ A - 1 מהדרך הגביר הנהג את ל B -במהירות קבועה של xקמ"ש .לאחר שעבר 4 מהירותו ל x 15 -קמ"ש ,ולכן הגיע לנקודה Bשעה וחצי לפני המועד המתוכנן .חשב את . x )16המרחק בין הנקודות Aל B -בנהר הוא xק"מ .הנהר זורם מ A -לB - במהירות של 6קמ"ש .אדם שט מ A -ל B -וחוזר חזרה מ B -ל . A -סך כל הזמן שארך השיט היה 8שעות .אלו לא היה זרם בנהר ,האדם היה שט את הדרך הלוך ושוב בזמן של 6שעות .מה המרחק בין שתי הנקודות Aו , B x ? - ומה הייתה מהירותו בלי מהירות זרם הנהר? )17המרחק בין שתי ערים הוא 450ק"מ .משאית יצאה לדרכה מעיר אחת לשנייה. לאחר שנסעה במהירות קבועה במשך שעתיים ,נאלצה להתעכב במשך 40דקות בגלל תקלה .לאחר תיקון התקלה המשיכה המשאית מיד בדרכה ,אך במהירות קבועה הגדולה ב 5-ק"מ לשעה ממהירותה הקודמת .המשאית הגיעה לעיר השנייה 25דקות לאחר הזמן שתוכנן מראש .מה הייתה מהירות המשאית לפני התקלה? 34 )18רכבת משא נוסעת מידי יום במהירות קבועה מתחנה Aלתחנה . Bהמרחק בין 1 Aל B -הוא 180ק"מ .יום אחד ,אחרי שעברה 3 מהדרך ,עצרה הרכבת עצירה לא מתוכננת מראש למשך 30דקות .כדי שהרכבת תספיק להגיע ל B -על פי לוח הזמנים הר גיל ,היה צריך להגביר את מהירותה לאחר העצירה ב 20-קמ"ש. מצא את המהירות הרגילה של הרכבת. )19בין הנקודות Aו B -מובילות שתי דרכים .הדרך הראשונה אורכה 60ק"מ, והדרך השנייה ארוכה ממנה ב .20%-רוכב קטנוע נסע מ A -ל B -בדרך הקצרה במהירות קבועה ,וחזר בדרך הארוכה במהירות קבועה ,הגדולה ב 6-קמ"ש ממהירותו הראשונה .זמן הנסיעה בחזרה (מ B -ל ) A -היה ארוך ב 5-דקות מזמן הנסיעה מ A -ל . B -מצא את המהירות שבה נסע רוכב הקטנוע בכל כיוון ואת זמן הנסיעה (הלוך ושוב). )20רוכב אופניים עובר בדרך כלל את המרחק בין Aל B -במהירות קבועה במשך 5 3 שעות ו 20-דקות .באחד הימים יצא רוכב האופניים מ A -ועבר 4 של הדרך במהירות הגדולה ב 10-קמ"ש ממהירותו הרגילה ,ולכך התעייף ואת שאר הדרך עבר במהירות קטנה ב 15-קמ"ש ממהירותו הרגילה .ביום זה הוא הגיע לB - לאחר 5שעות ו 40-דקות לאחר שיצא מ. A - א .מהי מהירותו הרגילה של רוכב האופניים? ב .מהו המרחק בין Aל? B - )21המרחק בין שתי ערים א' ו -ב' הוא 126ק"מ .שני רוכבי אופניים ,שיצאו בו זמנית ,האחד מעיר א' והשני מעיר ב' ,ונסעו זה לקראת זה במהירויות קבועות, נפגשו אחרי שלוש שעות .הרוכב שיצא מעיר א' עבר את כל הדרך עד לעיר ב' בשעה ו 45-דקות פחות מהרוכב שיצא מעיר ב' לעיר א'. מצא את המהירות של כל אחד מרוכבים האופניים. )22מ A -ל C -יש שתי דרכים .הדרך הראשונה היא הדרך המישורית , ACשאורכה 24ק"מ .הדרך השנייה מתחילה בעלייה ABשל 8ק"מ ,ואח"כ ירידה BCשל 18ק"מ .מהירותו של רוכב אופניים במישור היא xקמ"ש ,בעלייה מהירותו x 4 קמ"ש ,ובירידה מהירותו x 6 קמ"ש .ידוע שאם רוכב האופניים יבחר לנסוע מ A -ל C -בדרך הראשונה או בדרך השנייה ,זמן הנסיעה יהיה זהה .חשב את ( xכמה פתרונות לבעיה?). 35 )23מונית נסעה מעיר א' לעיר ב' בכביש ראשי במהירות קבועה .בדרך חזרה נסעה המונית בדרך עפר הקצרה ב 40%-מהכביש ,אך מהירותה פחתה ב.20%- א .בכמה אחוזים התקצר או התארך זמן הנסיעה בדרך חזרה (לעומת הנסיעה בכיוון הראשון)? ב .מה הייתה מהירות המונית בכיוון השעון ,אם ידוע שאורך הכביש היה 360 ק"מ ,וזמן הנסיעה בחזרה התקצר בשעה? בעיות הספק: )24כתב יד נמסר להדפסה לשתי כתבניות .הכתבנית השנייה ניגשה לעבודה שעתיים אחרי הראשונה 6 .שעות לאחר שהכתבנית הראשונה ניגשה לעבודה סיימו שתיהן יחד את ההדפסה של 60%מכתב היד .הן המשיכו בהדפסה וסיימו אותה יחד .לאחר סיום העבודה התברר שהכתבנית הראשונה ביצעה 3 10 מן העבודה .קצב העבודה של הכתבניות לא השתנה במשך העבודה. בכמה שעות הייתה כל אחת מהכתבניות יכולה לבצע את העבודה לבדה? )25בבריכה שני פתחים :פתח אחד גדול ופתח שני קטן יותר .אם מכניסים לבריכה הריקה מים רק דרך הפתח הקטן במשך 6שעות ,ולאחר מכן במשך שעה ו12 - דקות מכניסים מים דרך שני הפתחים יחד ,הבריכה מתמלאת כולה .כמו כן ידוע ,שאם מכניסים לבריכה הריקה מים רק דרך הפתח הגדול במשך 3שעות ולאחר מכן ממשיכים להכניס מים דרך פתח זה במשך 9שעות ,אך בו בזמן מוציאים מים דרך הפתח הקטן ,הבריכה כולה מתמלאת במים. מצא בכמה שעות תתמלא הבריכה ,אם יכניסו מים רק דרך הפתח הקטן. )26שני פועלים קיבלו על עצמם לבצע עבודה מסוימת .ביום הראשון התחיל הפועל הראשון לעבוד לבדו .הפועל הראשון עבד במשך 3שעות ,ואז הצטרף אליו הפועל השני .כעבור 6שעות נוספות של עבודה משותפת של שני הפועלים, התברר שהם סיימו 55%מהעבודה .ביום השני עבדו הפועלים יחדיו עד שסיימו את כל העבודה .לאחר סיום העבודה ,התברר שכל אחד מהפועלים ביצע בדיוק מחצית מהעבודה .בכמה שעות היו שני הפועלים מסיימים את על העבודה אלו עבדו כל הזמן ביחד? )27שני צינורות ממלאים מיכל כשהם פתוחים ביחד במשך 6שעות .יום אחד, כשהמיכל היה ריק ,פתחו רק את הצינור הראשון למשך הזמן שלוקח לצינור השני למלא מחצית מיכל .סגרו את הצינור הראשון ופתחו רק את הצינור השני למשך הזמן שלוקח לצינור הראש ון למלא שליש מיכל .כתוצאה מכך התמלאו בסך הכול 5/6מיכל .מצא בכמה שעות יכול כל אחד מהצינורות למלא לבד מיכל ריק. 36 )28על שתי קבוצות פועלים הוטל לסלול כביש בין הערים Aו . B -במשך הימים הראשונים עבדו הקבוצות בנפרד .תחילה עבדה רק הקבוצה הראשונה וסללה 1/4מהכביש .לאחר מכן הפסיקה הקבוצה הראשונה את עבודתה ,ורק הקבוצה השנייה עבדה .קבוצה זו סללה ,עד לגמר היום ה 1/3 , 36 -מהכביש. ביום ה 37 -החלו שתי הקבוצות לעבוד במשותף ,וסיימו את סלילת הכביש תוך 12ימים .הספק הקבוצות לא השתנה במשך כל ימי עבודתן .בכמה ימים הייתה יכולה כל קבוצ ה לסלול את הכביש לבדה? כמה פתרונות לבעיה? 36 )29שתי קבוצות פועלים עבדו בסלילת כביש משני קצותיו .הקבוצה השנייה סללה בכל יום 5מטר יותר מאשר הקבוצה הראשונה ,ועבדה בסך הכול 2ימים יותר. ידוע שהקבוצה השנייה סללה בסך הכול רק 16aמטרים ( aפרמטר חיובי). קצב העבודה של ש תי הקבוצות נשאר קבוע בכל זמן הסלילה. סמן ב x -את מספר המטרים שסללה הקבוצה הראשונה בכל יום ,ומצא לאלו ערכים של הפרמטר aיקבל xערכים חיוביים בלבד. תשובות סופיות: )1מהירות הולך הרגל היא 6קמ"ש .המרחק בין הקיבוץ לעיר חיפה הוא 36ק"מ. )2מהירות הזרם היא 1קמ"ש .מהירות הסירה במים עומדים היא 7קמ"ש. 100 )3קמ"ש. )4הרוכב הראשון ב 10 -שעות והרוכב השני ב 15 -שעות 72 )5 .מטרים. 30 )6קמ"ש. )7מהירות התייר הראשון 5 :קמ"ש ,מהירות התייר השני 7.5 :קמ"ש. 1 )8קמ"ש. 45 )9קמ"ש 60 ,קמ"ש 75 ,קמ"ש 36 )10 .קמ"ש. 25 )11קמ"ש 50 ,U קמ"ש 24 )12 .U קמ"ש. 14 m m2 100m 196 )13א. 2 ב. 0 m 2 . 45 )15קמ"ש 36 )16 .ק"מ 12 ,קמ"ש. 228 )14ק"מ 76 ,קמ"ש 60 ,קמ"ש. 75 )17קמ"ש )18 .קמ"ש. )19הלוך 90קמ"ש וחזור 96קמ"ש .זמן כולל 85דקות. או :הלוך 48 :קמ"ש וחזור 54קמ"ש .זמן כולל 155דקות. )20א 30 .קמ"ש .ב 160 .ק"מ 24 )21 .קמ"ש 18 ,קמ"ש. 24 )22או 12קמ"ש )23 .א .25% .ב 90 .קמ"ש. 10 )24הכתבנית הראשונה ב 30 -שעות ,הכתבנית השנייה ב -שעות)25 . 1 13 )26שעות. 3 9שעות. )27הצינור הראשון ב 15 -שעות והצינור השני ב 10 -שעות או הצינור הראשון ב 12 -שעות והצינור השני ב 12 -שעות. )28הקבוצה הראשונה 48 :ימים והקבוצה השנייה 72 :ימים או הקבוצה הראשונה 86.4 :והקבוצה השנייה 43.2 :ימים. . a 2.5 )29 37 תירגול נוסף: בעיות תנועה שונות: )1רוכב אופניים נוסע מעיר א' לעיר ב' במהירות של 20קמ"ש. שלוש שעות אחריו יוצא מאותו מקום רוכב אופנוע במהירות של 80קמ"ש. רוכב האופנוע הגיע לעיר ב' שלוש שעות לפני רוכב האופניים. א .כמה שעות נסע רוכב האופניים? ב .מהו המרחק בין שתי הערים? )2גלעד ורוני יוצאים בו זמנית משני ישובים Aו B-בהתאמה והולכים זה לקראת זה במהירות קבועה .מהירות ההליכה של גלעד היא 4קמ"ש ומהירותו של רוני היא 6קמ"ש .ידוע כי רוני הגיעה ליישוב 4 Aשעות לפני שגלעד הגיע ליישוב .B א .מהו המרחק בין שני היישובים? ב .כמה זמן הלך כל אחד מהם? )3שני רוכבי אופניים יוצאים בו זמנית משני ישובים Aו B-זה לקראת זה. מהירות רוכב אחד גדולה ב 10-קמ"ש ממהירותו של הרוכב השני .הרוכב המהיר הגיע ליעדו לאחר 3שעות בעוד הרוכב השני הגיע רק אחרי 5שעות. א .מה המהירויות של שני רוכבי האופניים? ב .מהו המרחק שנסעו? )4שתי מכוניות נסעו יחד לטיול מהעיר לכפר .המכונית הראשונה נסעה במהירות קבועה והגיעה לכפר לאחר 8שעות .המכונית השנייה נסעה במשך שעתיים במהירות הקטנה ממהירות המכונית הראשונה ב 10 -קמ"ש ,לאחר מכן היא עצרה להתרעננות במשך 40דקות וחזרה לנסיעה במהירות הגדולה ב 54-קמ"ש ממהירות המכונית הראשונה .המכונית השנייה הגיעה לכפר שעתיים לפני המכונית הראשונה. א .באיזו מהירות נסעה המכונית הראשונה? ב .מהו המרחק בין העיר לכפר? )5שני רוכבי אופנים המרוחקים זה מזה במרחק של 80ק"מ יצאו בו זמנית זה לקראת זה .מהירות רוכב אחד גדולה ב 2-קמ"ש ממהירות הרוכב השני. לאחר שעתיים של רכיבה המרחק בניהם היה 12ק"מ. א .באיזו מהירות רכב כל רוכב? ב .האם לאחר עוד 20דקות הם ייפגשו? 38 )6שתי מכוניות הנמצאות במרחק של 700ק"מ יצאו בו זמנית זו לקראת זו. מכונית אחת מהירה מהשנייה ב 15-קמ"ש .לאחר שלוש שעות היה מרחק בניהן 325ק"מ. א .באיזו מהירות נסעו שתי המכוניות? ב .האם לאחר עוד 20דקות שתי המכוניות תפגשנה? )7רוכב אופניים והולך רגל יצאו ב 10:00-מנקודה Aלנקודה .B מהירות ההליכה של הולך הרגל היא 7קמ"ש ומהירותו של רוכב האופניים היא 16קמ"ש. רוכב האופניים הגיע לנקודה Bלאחר שלוש וחצי שעות מזמן יציאתם. א .באיזה שעה היה המרחק בניהם 27ק"מ? ב .מהו המרחק בין Aל.B- ג .לאחר כמה זמן הגיע הולך הרגל לנקודה ?B )8אופנוע יוצא מעיר א' לכיוון מערב במהירות של 50קמ"ש. לאחר שעתיים יוצאת מכונית מעיר ב' הממוקמת מזרחה מעיר א' במרחק של 40ק"מ אחרי האופנוע .מהירות המכונית היא 120קמ"ש. א .לאחר כמה זמן השיגה המכונית את רוכב האופנוע מזמן יציאתה? ב .איזה מרחק נסע רוכב האופנוע עד שהשיגה אותו המכונית? )9מטוס טס מידי שבוע מיעד א' ליעד ב' המרוחק ממנו 5,000ק"מ במהירות קבועה. שבוע א חד טס המטוס במשך שעתיים במהירות הרגילה .לאחר מכן האט את מהירותו ב 300-קמ"ש ולאחר כשעתיים האיץ בחזרה והגביר את מהירותו ב 700-קמ"ש. המטוס הגיע ליעד ב' 15דקות מוקדם יותר מאשר הגיע בכל שבוע. באיזו מהירות טס המטוס בכל שבוע? )10שתי מכוניות יוצאות מעיר א' לכיוון עיר ב' הנמצאת במרחק של 560ק"מ ממנה. מכונית אחת נסעה במהירות קבועה במשך כל הדרך .המכונית השנייה נסעה במהירות הגדולה ב 10-קמ"ש ממהירות המכונית הראשונה במשך שעתיים וחצי .לאחר מכן היא עצרה למשך חצי שעה ואז המשיכה בנסיעתה במהירות הגדולה ב 10-קמ"ש ממהירותה הקודמת .בסה"כ הגיעה המכונית השנייה לעיר ב' שעה לפני שהגיעה המכונית הראשונה. א .באיזו מהירות נסעה המכונית הראשונה? ב .כמה זמן נסעה המכונית השנייה מעיר א' לעיר ב'? )11מכונית נסעה מעיר א' לעיר ב' המרוחקת ממנה 760ק"מ במהירות מסוימת. בדרכה חזור היא נסעה במשך שעתיים במהירות זו ,לאחר מכן עצרה לתדלוק וארוחת צהריים במשך שעה ואז המשיכה בדרכה במהירות הגדולה ממהירותה הקודמת ב19- קמ"ש .בסה"כ המכונית הגיעה ליער א' באותו הזמן שהגיעה לעיר ב'. א .באיזו מהירות נסעה המכונית מעיר א' לעיר ב'? ב .כמה זמן נסעה המכונית מעיר לעיר? 39 )12רוכב אופניים יצא לדרך במהירות קבועה .לאחר שעה וחצי יצא בעקבותיו ומאותה הנקודה רוכב אופניים נוסף שמהירותו גדולה ממהירות הרוכב הראשון ב 6-קמ"ש. הרוכב השני השיג את הראשון במרחק של 70ק"מ מנקודת המוצא שלהם. א .באיזו מהירות נסעו שני רוכבי האופניים? ב .כמה זמן היה הרוכב הראשון על הדרך עד שהשיגו הרוכב השני? )13מכונית יוצאת מעיר א' לעיר ב' המרוחקת ממנה 360ק"מ .לאחר שעתיים יוצאת מכונית נוספת בעקבותיה .מהירות המכונית השנייה גדולה ב 30-קמ"ש ממהירות המכונית הראשונה .שתי המכוניות הגיעו לעיר ב' יחד. א .באיזו מהירות נסעה המכונית הראשונה? ב .כמה זמן נסעה המכונית השנייה? )14המרחק בין שתי ערים הוא 800ק"מ .בשעה 8:00יצאה מכונית מעיר אחת לכיוון השנייה. לאחר כשעה יצאה מהעיר השנייה מכונית נוספת כלפי המכונית הראשונה במהירות הגדולה ב 20-קמ"ש ממהירותּה .המכוניות נפגשו באמצע הדרך. א .באיזה שעה נפגשו המכוניות? ב .באיזו מהירות נסעה כל מכונית? )15המרחק בין שתי ערים הוא 920ק"מ .בשעה 6:00יוצאת משאית סחורה מעיר א' לכיוון עיר ב' .לאחר 46דקות יוצא אוטובוס מעיר ב' לכיוון עיר א' .מהירות האוטובוס גדולה ב 20-קמ"ש ממהירות המשאית .שני הרכבים נפגשו באמצע הדרך. א .באיזו שעה נפגשו האוטובוס והמשאית? ב .באיזו מהירות נסע האוטובוס? )16מכונית ומשאית יוצאות בו זמנית משני מקומות שהמרחק בניהם הוא 570ק"מ. המכונית והמשאית נפגשו לאחר 3שעות .ידוע כי בזמן שהמכונית עוברת מרחק של 300ק"מ ,המשאית עוברת מרחק של 270ק"מ. א .באיזו מהירות נסעה המכונית? ב .איזה מרחק נסעה המשאית עד לנקודת פגישתן? )17שתי מכוניות נוסעות זו לקראת זו משני קצוות של כביש מהיר שאורכו הוא 880ק"מ. ידוע כי בזמן שמכונית אחת עוברת מרחק של 264ק"מ ,המכונית השנייה עוברת 528ק"מ. המכונית המהירה הגיעה לקצה הכביש 5שעות לפני שהמכונית השנייה הגיעה לקצה הכביש השני. א .באילו מהירויות נסעו שתי המכוניות? ב .כמה זמן נסעה המכונית האיטית עד שהגיעה לקצה הכביש? 40 )18מכונית נוסעת מעיר Aלעיר Cמרחק של 360ק"מ ועוברת דרך עיר Bהנמצאת בין שתי הערים .המכונית נוסעת במהירות קבועה מעיר Aעד לעיר Bולאחר מכן מגבירה את מהירותה ב 20%-וממשיכה עד שמגיעה לעיר .Cידוע כי זמן הנסיעה של המכונית מעיר Aל B-הוא 3שעות וזמן הנסיעה מעיר Bל C-הוא שעתיים וחצי. א .מצא את המהירות של המכונית בשני חלקי הדרך. ב .הראה כי העיר Bנמצאת בדיוק באמצע הדרך בין שתי הערים Aו.C- )19משאית מביאה סחורה מידי יום מיישוב א' ליישוב ב' המרוחק ממנו 630ק"מ. המשאית נוסעת במהירות קבועה בכל יום .יום אחד נסעה המשאית במהירות הנמוכה ממהירותה הרגילה ב .20%-לאחר 3שעות ראה נהג המשאית כי הוא עומד לאחר ,ולכן הגביר את מהירותו ב 21-קמ"ש ממהירותו הנוכחית .המשאית הגיעה ליעדה בדיוק באותו הזמן שהיא מגיעה בכל יום .באיזו מהירות נוסעת המשאית בכל יום? )20רוכב אופניים הנמצא במרחק של 140ק"מ מזרחה מהעיר יוצא בשעה 9:00לכיוון העיר. לאחר 45דקות יוצא מהעיר רוכב אופניים נוסף שמהירותו קטנה ממהירות הרוכב הראשון ב 20-קמ"ש ונוסע לכיוון דרום .לאחר שעתיים נוספות היה המרחק בין שני רוכבי האופניים 50ק"מ. א .מצא את מהירות רוכב האופניים הראשון אם ידוע כי היא קטנה מ 40.1 -קמ"ש. ב .באיזה מרחק היה רוכב האופניים השני מהעיר כאשר הגיע הרוכב הראשון לעיר? )21אופנוע יוצא מהעיר בשעה 7:00דרומה .לאחר שעה יוצאת מכונית מהעיר לכיוון מזרח. מהירות האופנוע היא 50קמ"ש ומהירות המכונית היא 100קמ"ש. לאחר פרק זמן מסוים המרחק בין המכונית לאופנוע הוא 250ק"מ. א .באיזו שעה המרחק בין המכונית והאופנוע הוא 250ק"מ ? ב .באיזה מרחק הייתה המכונית מהעיר כאשר היא הייתה במרחק של 250ק"מ מהאופנוע? )22מהירות סירה במים עומדים גדולה פי 4ממהירות זרם הנהר. סירה שטה בנהר שאורכו 30ק"מ מתחילתו ועד סופו. הסירה שטה את כל הנהר הלוך וחזור במשך 8שעות. א .באיזו מהירות תשוט הסירה במים עומדים? ב .כמה זמן שטה הסירה בכל כיוון? 41 )23שתי סירות שמהירותן במים עומדים זהה יוצאות מאותה נקודה בנהר ,האחת לכיוון צפון והשנייה לכיוון דרום .מהירות הזרם בנהר היא 20קמ"ש לכיוון צפון. לאחר 4שעות היה המרחק בין שתי הסירות 240ק"מ. א .באיזו מהירות שטות הסירות במים עומדים? ב .לאחר 4שעות ,פי כמה היה גדול המרחק של הסירה ששטה צפונה מהמרחק של הסירה השנייה? )24שלושה נערים יצאו לשייט בסירת מנוע בעלת מהירות קבועה .במשך שעה הם שטו בנהר שקט .לאחר מכן עקב רוחות חזקות נוצר זרם בנהר שמהירותו היא 2קמ"ש לכיוון המסלול של הנערים .לאחר שעה נוספת השתנו הרוחות ומהירות הזרם נשארה 2קמ"ש, אך נגד כיוון השייט שלהם .הנערים שטו בת נאים אלו במשך שעה .בסה"כ עברו הנערים בשלוש שעות אלו מרחק של 18ק"מ. א .באיזו מהירות משיט המנוע את הסירה במים עומדים? ב .מהו המרחק שעברה הסירה בכל שעה? )25מכונית נוסעת במהירות ממוצעת של 84קמ"ש .את נסיעתה התחילה במהירות מסוימת ולאחר שלוש שעות האיצה ב 20-קמ"ש והמשיכה כך עוד 7שעות. א .באיזו מהירות נסעה המכונית בהתחלה? ב .איזה מרחק עברה המכונית? )26מכונית נוסעת במהירות ממוצעת של 80קמ"ש מרחק של 480ק"מ .את החלק הראשון של הנסיעה היא נסעה במהירות מסוימת ולאחר 4שעות האטה את מהירותה ב 30-קמ"ש. א .באיזו מהירות נסעה המכונית בכל חלק של הנסיעה? ב .פי כמה גדולה הדרך שעברה המכונית ב 4-השעות הראשונות לעומת שאר הדרך הנותרת? )27אופנוע עובר במשך 5שעות מרחק של 350ק"מ .לאחר מכן מגביר נהג האופנוע את מהירותו ונוסע במשך פרק זמן מסוים מרחק של 450ק"מ .המהירות הממוצעת של האופנוע בכל זמן נסיעתו היא 80קמ"ש. א .כמה זמן נסע האופנוע לאחר שהגביר את מהירותו? ב .בכמה קמ"ש הגביר נהג האופנוע את מהירותו? )28אופנוע ומשאית יצאו יחד מעיר א' לכיוון עיר ב' הרחוקה ממנה ב 240-ק"מ. מהירות האופנוע גדולה ב 15-קמ"ש ממהירות המשאית. במהלך הדרך האופנוע עצר ל 48-דקות של התרעננות ולכן הגיע יחד עם המשאית לעיר ב'. א .באיזו מהירות נסע האופנוע? ב .כמה זמן לקח למשאית להגיע לעיר ב'? 42 תשובות סופיות: )1א 8 .שעות .ב 160 .ק"מ. )2א 48 .ק"מ .ב .גלעד 12 -שעות ורוני 8-שעות. )3א 15 .קמ"ש ו 25-קמ"ש .ב 75 .ק"מ. )4א 60 .קמ"ש .ב 480 .ק"מ. )5א 16 .קמ"ש 18 ,קמ"ש .ב .לא. )6א 55 .קמ"ש ו 70-קמ"ש .ב .לא. )7א .13:00 .ב 56 .ק"מ ג 8 .שעות. )8א .שעתיים .ב 200 .ק"מ. 800 )9קמ"ש. )10א 70 .קמ"ש .ב 7 .שעות. )11א 95 .קמ"ש .ב 8 .שעות. )12א 14 .קמ"ש ו 20-קמ"ש .ב 5 .שעות. )13א 60 .קמ"ש .ב 4 .שעות. )14א .13:00 .ב 80 .קמ"ש ו 100-קמ"ש. )15א .10:36 .ב 120 .קמ"ש. )16א 100 .קמ"ש .ב 270 .ק"מ. )17א 88 .קמ"ש ו 176-קמ"ש .ב 10 .שעות. )18א 60 .קמ"ש ו 72-קמ"ש. 70 )19קמ"ש. )20א 40 .קמ"ש .ב 55 .ק"מ. )21א .10:00 .ב 200 .ק"מ. )22א 8 .קמ"ש .ב 3 .שעות ו 5-שעות. )23א 30 .קמ"ש .ב .פי .5 )24א 6 .קמ"ש .ב 6 .ק"מ 8 ,ק"מ ו 4-ק"מ. )25א 70 .קמ"ש .ב 840 .ק"מ. )26א 90 .קמ"ש ו 60-קמ"ש .ב .פי .3 )27א 5 .שעות .ב 20 .קמ"ש. )28א 75 .קמ"ש .ב 4 .שעות. 43 פרק – 4סדרות: סדרה חשבונית: .1נוסחת האיבר הכללי: נוסחת האיבר הכללי של סדרה חשבונית המתחילה באיבר a1והפרשּה הוא d נתונה ע"י , an a1 d n 1 :כאשר n :הוא מיקום האיבר שערכו anבסדרה. .2כלל נסיגה של סדרה חשבונית: כלל נסיגה של סדרה חשבונית anשהפרשּה הוא dואיברּה הראשון הוא a1 נתון ע"י. an1 an d : .3נוסחת הסכום של סדרה חשבונית: סכום nהאיברים הראשונים של סדרה חשבונית anשהפרשּה הוא dואיברּה n a1 an הראשון הוא a1נתון ע"י: 2 . Sn בהצבת נוסחת האיבר הכללי מקבלים: n 2a1 d n 1 2 . Sn שאלות: )1נתונה הסדרה החשבונית. 17,11, 5, 1, 7,... : מצא את האיבר האחרון בסדרה אם ידוע שיש בה 43איברים. )2בסדרה חשבונית האיבר השישי הוא 15והאיבר העשירי הוא .31 מצא מהו האיבר הראשון בסדרה ומהו הפרש הסדרה. )3מצא כמה איברים יש בסדרה החשבונית: . 2, 4 12 , 7, 9 12 , 12, 14 12 , ..., 49 12 )4בסדרה חשבונית סכום האיברים השני ,החמישי והשמיני הוא 87וההפרש בין האיבר השנים -עשר לאיבר השישי הוא .24 מצא כמה איברים בסדרה אם ידוע שהאיבר האחרון בה הוא .201 )5תחביב אחה"צ של שימי הפרעוש הוא לקפוץ על טומי הכלב .מנהגו של שימי הוא לקפוץ בדקה הראשונה 4קפיצות ובכל דקה שאחריה לקפוץ 3קפיצות יותר מדקה הקודמת .כמה דקות אורך תחביב אחה"צ של שימי אם ידוע שבדקה האחרונה הוא קופץ 46קפיצות? 44 )6כמה מספרים תלת ספרתיים שמתחלקים ב 6-יש בין 201ל?550- )7כמה איברים חיוביים ישנם בסדרה החשבונית. 91, 88, 85, 82, ... : )8מצא את ערכו של xאם ידוע שהאיברים הבאים הם איברים עוקבים בסדרה חשבונית. x 3, 3x 4, x2 1 : an 1 an 3 )9נתונה סדרה המוגדרת באמצעות כלל הנסיגה הבא: a1 5 . הוכח שהסדרה חשבונית ומצא מהו האיבר התשעה -עשר שלה. )10בסדרה חשבונית a1 , a2 , a3 ... anידוע כי סכום ארבעת האיברים הראשונים וסכום האיברים ה 6-עד ה 9-הם מספרים נגדיים. א .הוכח. a5 0 : ב .נתון . a3 a11 24 :מצא את a1 :ואת . d ג. מגדירים סדרה חשבונית חדשה bnהמקיימת. bn 2an 3 : מצא את ערך האיבר השלילי הראשון בסדרה ואת מיקומו הסידורי. )11מצא את סכום ארבעה-עשר האיברים הראשונים בסדרה החשבונית. 3, 2, 7,12,... : )12נתונה הסדרה החשבונית. 13, 7, 1, 5,.... : כמה איברים יש לחבר בסדרה (החל מהראשון) כדי להגיע לסכום של ?987 )13תחביב אחה"צ של מימי הפרעושה הוא לקפוץ על טומי הכלב .מנהגה של מימי הוא לקפוץ בדקה הראשונה 11קפיצות ובכל דקה שאחריה לקפוץ 2קפיצות יותר מדקה הקודמת .כמה דקות אורך תחביב אחה"צ של מימי אם ידוע שבכל אחה"צ היא קפצה 416קפיצות? )14נתונה הסדרה החשבונית. 71, 67, 63,... : כמה איברים לכל הפחות יש לחבר בסדרה כדי שהסכום המתקבל יהיה חיובי? )15נתונה הסדרה החשבונית. 4 , 13 , 22 , 31 ,... : בסדרה יש 36איברים .חשב את סכום ארבעה -עשר האיברים האחרונים בסדרה. )16נתונה הסדרה החשבונית. 4, 9,14,19,...,599 : מחקו כל איבר שלישי בסדרה .מצא את סכום האיברים שנותרו. )17סכום nהאיברים האחרונים בסדרה חשבונית בת 3nאיברים גדול ב 1024 - מסכום nהאיברים הראשונים שבה. א .בטא את nבאמצעות הפרש הסדרה. d , ב .נתון כי הפרש הסדרה הוא .8כמה איברים בסדרה? 45 )18נתונה סדרה שבה . Sn 2n2 4n א .מצא את ערכם של שלושת האיברים הראשונים בסדרה. ב .הוכח כי הסדרה חשבונית ומצא את הפרשה. )19בסדרה חשבונית ידוע כי סכום האיברים העומדים במקומות ה , 5-ה 7-וה16 - הוא אפס .כמו כן ידוע כי סכום שלושת האיברים הראשונים הוא .132 א .מצא את האיבר הראשון בסדרה ואת הפרש הסדרה. ב .מצא את האיבר השלילי הראשון בסדרה. ג .מצא כמה איברים יש לחבר (החל מהאיבר הראשון) כדי לקבל סכום .210 )20נתונים שני טורים חשבוניים: 150 , 144 , 138 , ..... 90 , 93 , 96 , ..... . לשני הטורים אותו מספר איברים .ידוע כי סכום האיברים האחרונים של שני הטורים (האיבר האחרון מהטור הראשון והאיבר אחרון מהטור השני) הוא אפס. א .מצא את מספר האיברים שבכל טור. ב .מחברים את nהאיברים הראשונים מהטור הראשון יחד עם nהאיברים הראשונים מהטור השני .ידוע כי חיבור הסכומים הוא .3480 מצא את nאם ידוע שהוא קטן מ.20- )21נתונות שתי סדרות החשבוניות הבאות an :שהפרשה הוא d1ו bn -שהפרשה הוא . d 2 ידוע כי. d1 2d2 : סכום 50האיברים הראשונים של שתי הסדרות שווה והאיבר העומד במקום ה20- בסדרה anגדול ב 1-מהאיבר העומד במקום ה 37-בסדרה . bn א .מצא את הפרש הסדרה . d1 - an ב .ידוע כי האיבר a10קטן ב 1-מ 5-פעמים האיבר . b50מצא את a1ואת . b1 )22נתונה הסדרה החשבונית. 21, 17, 13,... : בסדרה יש 18איברים .חשב את סכום האיברים הנמצאים במקומות האי-זוגיים ואת סכום האיברים הנמצאים במקומות הזוגיים. )23בסדרה חשבונית שהפרשה dובה 2nאיברים סכום האיברים במקומות האי-זוגיים הוא 552וסכום האיברים במקומות הזוגיים הוא .612 הוכח כי . nd 60 )24בסדרה חשבונית ,שבה מספר אי-זוגי של איברים ,גדול סכום כל איברי הסדרה 14 פי 15 1מסכום איברי הסדרה הנמצאים במקומות האי-זוגיים. כמה איברים יש בסדרה? 46 )25לפניך שלושה איברים סמוכים בסדרה חשבונית. 2 x 23 , x 16 , x 5 : א .1 .מצא את . x .2מצא את הפרש הסדרה. ב .ידוע כי . a12 0 :מצא את . a1 ג .האיבר האחרון בסדרה הוא. an 308 : מצא את סכום כל האיברים החיוביים העומדים במקומות האי -זוגיים. )26בסדרה חשבונית שבה מספר זוגי של איברים נתון כי סכום ריבועי האיברים העומדים במקומות ה 4-וה 5-שווה לריבוע האיבר העומד במקום ה .6-האיבר הראשון אינו אפס. א .הוכח את הטענות הבאות: . a1 4d .1 . S9 0 .2 ב .האיבר העומד במקום ה 6-גדול ב 2-מהאיבר העומד במקום ה.5- מצא את a1ואת . d ג .מצא את מספר איברי הסדרה אם ידוע כי סכום האיברים העומדים במקומות הזוגיים הוא .504 )27בסדרה חשבונית שבה 2nאיברים ידוע כי סכום כל האיברים גדול ב66- מפעמיים סכום האיברים העומדים במקומות האי-זוגיים. א .הוכח כי . dn 66 ב .ידוע כי הפרש הסדרה הוא .3הבע באמצעות a1את סכום nהאיברים הראשונים. ג .סכום nהאיברים הראשונים הוא .187מצא את האיבר החיובי הקטן ביותר בסדרה ואת מיקומו הסידורי בסדרה. תשובות סופיות: 20 )3 d 4 , a1 5 )2 a43 235 )1איברים 48 )4איברים 15 )5קפיצות. 58 )6מספרים 31 )7איברים חיוביים . a19 59 )9 x 1 , x 4 )8 )10ב a1 12 , d 3 .ג 21 )12 S14 413 )11 b5 3 .איברים 16 )13 .דקות. 512 37 )14איברים )17 23920 )16 3647 )15 .א. d )18א a1 6, a2 10, a3 14 .ב. d 4 . n ב 24 .איברים. )19א a1 50 , d 6 .ב a10 4 .ג )20 n 6 .א n 81 .ב. n 16 . )21א d1 4 .ב )22 a1 52 , b1 95 .זוגיים S 135 :זוגיים. S 99 : 29 )24איברים )25 .א x 50 .2 d 11 .1 .ב a1 121 .ג. S 2156 . )26ב a1 8 , d 2 .ג )27 n 36 .ב S 22a1 693 .ג. a9 1 . 47 סדרה הנדסית: .1נוסחת האיבר הכללי: נוסחת האיבר הכללי של סדרה הנדסית המתחילה באיבר a1ומנתּה היא qנתונה ע"י הנוסחה , an a1q n1 :כאשר n :הוא מיקום האיבר שערכו anבסדרה. .2כלל נסיגה של סדרה הנדסית: כלל נסיגה של סדרה הנדסית anשמנתּה היא qואיברּה הראשון הוא a1נתון ע"י הקשר הבא. an1 an q : .3נוסחת הסכום של סדרה הנדסית: סכום nהאיברים הראשונים של סדרה הנדסית anשמנתּה היא qואיברּה הראשון הוא a1נתון ע"י: a1 q n 1 q 1 . Sn שאלות: )1נתונה הסדרה ההנדסית. 1 , 1 , 1, 3,... : 9 3 מצא את האיבר האחרון בסדרה אם ידוע שיש בה 9איברים. )2מצא כמה איברים יש בסדרה ההנדסית: . 9 , 3 , 1 ,..., 64 81 64 16 4 )3בסדרה הנדסית האיבר השישי הוא 8והאיבר העשירי הוא .128 מצא מהו האיבר הראשון בסדרה ומהי מנת הסדרה. )4בסדרה הנדסית ההפרש בין האיבר השביעי לאיבר החמישי הוא 432וההפרש בין האיבר החמישי לשלישי הוא .48מצא מהו האיבר הראשון בסדרה ומהי מנת הסדרה. )5בסדרה הנדסית עולה ההפרש בין האיבר השמיני לאיבר הרביעי הוא 3120 וסכום האיברים השני והרביעי הוא .5.2 מצא מהו האיבר הראשון בסדרה ומהי מנת הסדרה. 48 )6תחביב אחה"צ של שימי הפרעוש הוא לקפוץ על טומי הכלב .מנהגו של שימי הוא לקפוץ בדקה הראשונה 4קפיצות ובכל דקה שאחריה לקפוץ פי 3קפיצות מדקה הקודמת .כמה דקות אורך תחביב אחה"צ של שימי אם ידוע שבדקה האחרונה הוא קופץ 324קפיצות? )7מצא את ערכו של xאם ידוע שהאיברים הבאים הם איברים עוקבים בסדרה הנדסית . x 6, x 4, 4 x 1 :מצא גם את מנת הסדרה. an 1 2an )8נתונה סדרה המוגדרת באמצעות כלל הנסיגה הבא: a1 3 . הוכח שהסדרה הנדסית ומצא מהו האיבר השמיני בה. )9מצא את סכום תשעת האיברים הראשונים בסדרה ההנדסית. 5,10, 20, 40,.... : )10תחביב אחה"צ של מימי הפרעושה הוא לקפוץ על טומי הכלב .מנהגה של מימי הוא לקפוץ בדקה הראשונה 2קפיצות ובכל דקה שאחריה לקפוץ פי 5קפיצות מדקה הקודמת .כמה דקות אורך תחביב אחה"צ של מימי אם ידוע שבכל אחה"צ היא קפצה 1562קפיצות? )11סכום nהאיברים האחרונים בסדרה הנדסית בת 3nאיברים שמנתה ,2גדול פי 256מסכום nהאיברים הראשונים בה .כמה איברים בסדרה? )12בסדרה הנדסית עולה שבה nאיברים ,סכום n 3האיברים האחרונים גדול פי 8מסכום n 3האיברים הראשונים בה .מצא את מנת הסדרה. )13סכום כל האיברים בסדרה הנדסית הוא .252האיבר האחרון בסדרה גדול ב 120 -מהאיבר השני בה .מצא כמה איברים יש בסדרה אם ידוע שמנתה .2 )14המספרים x 13 , x 9 , 2x 3 :הם שלושת האיברים הראשונים בסדרה הנדסית עולה שכל איבריה חיוביים. א .מצא את . x ב .1 .כתוב את נוסחת האיבר הכללי בסדרה זו. .2מצא שני איברים סמוכים בסדרה שסכומם הוא .18750 ג. ידוע כי האיבר האחרון בסדרה הוא. an 511 : מצא את סכום 7האיברים האחרונים בסדרה. 49 )15נתונה הסדרה הבאה . 4 , 12 , 36 ,...., an :מוסיפים לכל איבר בסדרה זו שישית מהאיבר הבא אחריו ויוצרים סדרה חדשה bnבאופן הבא: a a a2 a , b2 a2 3 , b3 a3 4 , ...... , bn an n1 6 6 6 6 . b1 a1 א .הוכח כי הסדרה bnהיא סדרה הנדסית ומצא את מנתה. ב .הראה כי היחס בין סכום nהאיברים הראשונים של הסדרה anובין 2 סכום nהאיברים הראשונים של הסדרה bnהוא 3 . 2 ג .מצא שני איברים סמוכים בסדרה bnשסכומם מהווה 9 מ. a8 - )16נתונה הסדרה ההנדסית. 7,14, 28,... : בסדרה יש 8איברים .חשב את סכום האיברים הנמצאים במקומות האי-זוגיים ואת סכום האיברים הנמצאים במקומות הזוגיים. )17בסדרה הנדסית ובה 2nאיברים סכום האיברים במקומות הזוגיים גדול פי 4 מסכום האיברים במקומות האי-זוגיים .חשב את מנת הסדרה. )18נתונה סדרה הנדסית שמנתה qובה מספר זוגי של איברים. בטא באמצעות qאת היחס בין סכום איברי הסדרה כולה לסכום האיברים הנמצאים במקומות הזוגיים שבה. )19בסדרה הנדסית שבה 2n 1איברים ,סכום nהאיברים הראשונים קטן פי 9 מסכום nהאיברים הבאים אחריהם .האיבר האחרון בסדרה גדול ב 30-מהאיבר הראשון שבה .מצא את האיבר הראשון בסדרה. )20א .הראה כי בסדרה הנדסית שבה 2nאיברים היחס בין סכום האיברים העומדים במקומות האי-זוגיים לבין סכום כל איברי הסדרה תלוי במנת בסדרה. בסדרה הנדסית שבה מספר זוגי של איברים ידוע כי סכום כי האיברים העומדים במקומות האי -זוגיים קטן פי 4מסכום כל איברי הסדרה .האיבר הראשון בסדרה זו קטן ב 2-ממנת הסדרה. ב .כתוב נוסחה לאיבר כללי של סדרה זו. ג .מצא שני איברים סמוכים בסדרה שסכומם הוא .324 )21בסדרה הנדסית שבה 12איברים סכום כל איברי הסדרה גדול פי 3מסכום האיברים כאשר מחליפים את סימני כל האיברים העומדים במקומות האי -זוגיים. א .מצא את מנת הסדרה. ב .ידוע כי ההפרש בין האיבר החמישי לאיבר הרביעי בסדרה הוא .8 מצא את האיבר הראשון בסדרה. ג .חשב את סכום כל האיברים העומדים במקומות הזוגיים בסדרה. 50 )22באחת ממדינות המזרח היה מלך שאהב משחקי חשיבה .לכבוד יום הולדתו הכין לו השר הבכיר שבממלכתו משחק מיוחד המכיל 25משבצות ו 2-חיילי משחק. המלך ,מרוב התלהבות ושמחה לא ידע כיצד לגמול לשר החכם ושאל אותו מה ירצה בתמורה .השר סרב לקבל דבר על מתנתו עד שלבסוף החליט המלך לתת לשר מחצית מכל אוצרות הממלכה המונים כ 40-מיליון אבנים יקרות .לאחר ששמע על כך השר ,הוא החליט לאתגר את המלך והעלה את ההצעה הבאה: תן לי אבן יקרה אחת והכפל אותה בכל משבצת שבמשבצות המשחק באופן הבא: כנגד המשבצת הראשונה -אבן אחת, כנגד השנייה -שתי אבנים, כנגד השלישית -ארבע אבנים וכן הלאה... המלך הסכים להצעה. א .כמה אבנים המלך ייתן לשר כנגד המשבצת האחרונה במשחק? ב .העזר בכמות האבנים שברשותו של השר וקבע האם הצעתו שוות-ערך יותר מהחלטת המלך לתת לו מחצית מאוצרות הממלכה. ג .סמוך לפני שנתן המלך את האבנים לשר ,הציעה בתו של המלך הצעה נוספת והיא :תן עבור כל משבצת זוגית 2nאבנים, כאשר nהוא מספר המשבצת .האם כדאי למלך לקבל את הצעת בתו או להישאר עם ההצעה המקורית של השר? תשובות סופיות: a9 729 )1 n 7 )2 1 , q 2 )3 4 a1 2 )4 3 . q 3, a1 2 1 1 5 )6 q 5, a1 דקות, x 11 q 3 )7 . )5 3 2 25 5 )10 S9 2555 )9 a8 384 )8דקות.n 6 )13 q 2 )12 . n 12 )11 . .x q )14א x 14 .ב .2 an 5n1 .1 .ג a6 , a7 .ג. S7* 61, 034,375 . )15א q 3 .ג )16 b5 , b6 .אי-זוגיים S 595 :זוגיים. q 4 )17 S 1190 : 1 q 1 3 )20 a1 )19א. )18 8 q q 1 ) Sn ( o S2 n ב an 3n1 .ג. a5 , a6 . )21א q 2 .ב a1 1 .ג. S6( p ) 2730 . )22א a25 16,777, 216 .ב .לפי הצעת השר יהיו לו 33,554,431אבנים ולפי הצעת המלך יהיו לו 20,000,000אבנים ג. Sn 22,369,620 , 4,16,64,..., 224 . 51 סדרה הנדסית אינסופית מתכנסת: .1הגדרה: סדרה הנדסית anהמקיימת q 0 , q 1 :נקראת סדרה הנדסית אינסופית מתכנסת. .2נוסחת הסכום של סדרה הנדסית אינסופית מתכנסת: הסכום של סדרה הנדסית אינסופית מתכנסת anניתן לחישוב ע"י שימוש בכלל lim q n 0 :והצבתו בנוסחת הסכום של סדרה הנדסית. n a1 מתקבל הכלל הבא: 1 q .S .3סכום סופי של איברים בסדרה הנדסית אינסופית מתכנסת: כאשר מתבקשים לחשב סכום של nאיברים ראשונים בסדרה הנדסית אינסופית מתכנסת יש להשתמש בנוסחת הסכום הרגילה: a1 q n 1 q 1 . Sn כאשר מתבקשים לחשב סכום של nאיברים בסדרה הנדסית אינסופית מתכנסת המתחילים באיבר akיש להשתמש בנוסחת הסכום הרגילה באופן הבא: ak q n 1 q 1 . Sn 52 שאלות: 1 3 )1מצא את סכום כל איברי הסדרה ההנדסית הבאה. 12 , 4 , 1 , ... : 1 )2סכום כל איברי סדרה הנדסית אינסופית שמנתה 4 הוא .32 מצא את האיבר הראשון בסדרה. )3נתונה סדרה הנדסית אינסופית יורדת שסכומה .62.5ידוע כי האיבר השני בסדרה הוא . 10מצא את האיבר הראשון ואת מנת הסדרה (שתי אפשרויות). )4האיבר הראשון בסדרה הנדסית אינסופית יורדת הוא .14סכום האיברים 1 3 במקומות הזוגיים הוא . 9מצא את סכום האיברים במקומות האי -זוגיים. *הערה :שתי השאלות הבאות מסכמות את סוגי הסכומים וייצוג סדרות שונות באמצעות סדרה נתונה כפי שמקובל בנושא זה ואינן מייצגות אורך של שאלת בגרות. )5נתונה סדרה הנדסית אינסופית מתכנסת anשמנתּה . q 0 , q 1 , q מגדירים שלוש סדרות חדשות cn , bn :ו d n -באופן הבא: הסדרה: bn הכלל: b3 a1 a2 a3 c3 a42 a32 bn a1 a2 a3 .. an S a n cn an21 an2 cn dn b1 a1 c1 a22 a12 d1 S a a1 b2 a1 a2 c2 a a d 2 S a a2 d3 S a a3 d n S a an 2 2 2 3 הסכום S aהוא סכום הסדרה , anוהסכום Sa n :הוא סכום nהאיברים הראשונים של הסדרה . an א .קבע אלו מבין הסדרות cn , bnו d n -הן הנדסיות והבע את מנתן ע"י . q ב .הבע באמצעות a1בלבד את סכום הסדרה ההנדסית שמצאת בסעיף הקודם. ג .מסמנים את סכום ריבועי האיברים של הסדרה ההנדסית שמצאת בסעיף א' ב . S S -הוכח כי לא קיים ערך של qעבורו סכום ריבועי האיברים , S S ,שווה לסכום הסדרה הנ"ל בריבוע. 53 )6נתונה סדרה הנדסית אינסופית יורדת an :שמנתה . q מגדירים סדרה חדשה bnבאופן הבא: a a a1 a , b2 S2* 2 , b3 S3* 3 ,..., bn Sn* n ,.. 1 q 1 q 1 q 1 q כאשר S n* :מייצג את סכום הסדרה anהחל מהאיבר ( anועד אינסוף). . b1 S1* א. ב. ג. ד. ה. ו. ז. ח. הוכח כי הסדרה bnהיא גם הנדסית אינסופית יורדת וכתוב את נוסחת האיבר הכללי שלה באמצעות a1ו . q - ידוע כי סכום הסדרה bnהוא 126וכי סכום 8האיברים הראשונים בסדרה anגדול פי 6560מהאיבר התשיעי בסדרה . bnמצא את a1ו. q - היעזר בסעיף הקודם והוכח כי מתקיים. b2 b3 ... bn ... 42 : חשב את סכום האיברים העומדים במקומות הזוגיים בסדרה . bn חשב את סכום האיברים העומדים במקומות האי-זוגיים בסדרה . bn מחליפים את סימני האיברים העומדים במקומות האי-זוגיים בסדרה . bn כך שנוצרת הסדרה . bn* :חשב את סכום הסדרה *. bn מחליפים את סימני האיברים העומדים במקומות הזוגיים בסדרה . bn כך שנוצרת הסדרה . bn** :חשב את סכום הסדרה **. bn מעלים בריבוע את כל איברי הסדרה . bnמסמנים את הסכום המתקבל בS S - (מלשון .)square :כמו כן ,מסמנים את סכום הסדרה המקורית bnב. Sb - הראה כי. Sb2 S S : ט. 2 הוכח כי היחס בין סכום איברי הסדרה anוסכום איברי הסדרה bnהוא 3 *הערה :השאלות הבאות הינן שאלות מסכמות ברמת בגרות: )7נתונה סדרה הנדסית אינסופית יורדת שסכומה .24מאיברי הסדרה הנתונה יצרו את סדרה חדשה באופן הבא. a1 a2 , a2 a3 , a3 a4 , a4 a5 , ... : א .הוכח שהסדרה החדשה היא הנדסית אינסופית יורדת. ב .ידוע שסכום כל איברי הסדרה החדשה הוא .32 מצא את האיבר הראשון והמנה של הסדרה המקורית. )8בסדרה הנדסית אינסופית יורדת anידוע כי סכום האיברים העומדים במקומות 2 3 האי-זוגיים גדול פי 1מסכום האיברים העומדים במקומות הזוגיים. א .מצא את מנת הסדרה. מחברים כל שני איברים בסדרה הנתונה ויוצרים סדרה חדשה . bn ב .הוכח כי הסדרה bnגם היא הנדסית יורדת ומצא את מנתה. ג. הראה כי סכום הסדרה bnשווה לסכום הסדרה . an ד .סכום שתי הסדרות יחד הוא .1000מצא את האיבר הראשון בסדרה . an 54 . )9נתונה סדרה הנדסית אינסופית a1 , a2 , a3 , .....שמנתה היא . 0 q 1 , q נגדיר את הסכומים הבאים. T a1 a2 a5 a6 a9 a10 , ... , V a3 a7 a11 ... : נתון כי. T 6V : א .מצא את מנת הסדרה . q ב .פי כמה קטן Vמסכום כל האיברים העומדים במקומות האי -זוגיים בסדרה? ג .מצא את האיבר הראשון אם ידוע כי סכום האיברים העומדים במקומות 1 3 האי-זוגיים הוא . 1365 )10נתונה הסדרה ההנדסית הבאה a1 , a2 , a3 , ..... , a2n :שמנתה היא . q בונים סדרה חדשה מריבועי כל האיברים הסדרה באופן הבא: . a12 , a22 , a32 , ..... , a22n א .הוכח כי היחס בין סכום nהאיברים הראשונים בסדרת הריבועים ובין סכום כל האיברים העומדים במקומות האי-זוגיים בסדרה הנתונה תלוי רק באיבר הראשון של הסדרה. בסדרה הנדסית אינסופית יורדת שסכומה 640ידוע כי סכום 10האיברים הראשונים כאשר מעלים אותם בריבוע גדול פי 320מסכום 10האיברים הראשונים העומדים במקומות האי -זוגיים בסדרה. ב .מצא את מנת הסדרה. ג .מחברים את כל איברי הסדרה החל מאיבר anכלשהו. ידוע כי סכום זה קטן פי 16מסכום הסדרה המקורי. מצא את האיבר . an )11נתונה סדרה הנדסית אינסופית a1 , a2 , a3 , .....שמנתה היא . q 0 , q 1 , q נגדיר את הסכומים הבאים. T a1 a3 a6 a8 a11 a13 , ... , V a2 a7 a12 ..... : נתון כי. V 0.3T : א .מצא את מנת הסדרה . q מחליפים את הסימנים של כל האיברים העומדים במקומות האי -זוגיים ומתקבלת סדרה חדשה שסכומה הוא .12 ב .מצא את האיבר הראשון בסדרה המקורית. ג .מעלים את כל איברי הסדרה בריבוע .חשב את סכום הסדרה כעת. 55 :תשובות סופיות S 18 2 )4 3 4 1 1 q , a1 12 אוq , a1 50 )3 5 2 5 a1 24 )2 S 18 )1 : bn הסדרה.) א5 an 1 q n 1 1 an 1 q n 1 1 bn 1 Sn 1 Sn 1 q n 1 1 q 1 q bn Sn Sn qn 1 an q n 1 an q n 1 q 1 . היא אינה הנדסיתn - היות והיא תלויה ב 2 2 2 cn 1 an2 2 an21 an2 q 4 an2 q 2 an q q 1 . 2 2 2 2 2 q 2 : הנדסיתcn :הסדרה 2 2 cn an 1 an an q an an q 1 : d n הסדרה a1 a a1 1 1 q q n q n q n 1 1 bn 1 S an 1 1 q n 1 a1 1 q an 1 n 1 n n 1 a1 bn S an a 1 q a q q 1 a 1 1 q q 1 n 1 an 1 q . היא אינה הנדסיתn - היות והיא תלויה ב . S c n 2 2 c1 a22 a12 a1 q 1 a12 .ב 2 2 1 qc 1 q 1 q . q 0, 1 : מקבלים כי פתרון המשוואה הואS( s ) S 2 : מההשוואה.ג . היא שברan כולם נפסלים מכיוון שמנת הסדרה הנתונה עבורוq הסדרות אינן מתכנסות ולכן לא קיים ערך שלq 1 עבור . מש"ל.השיוויון יתקיים -63 . ז63 . ו94.5 . ה31.5 . דa1 56 , q a 1 . בbn 1 q n1 .) א6 1 q 3 . b1 b2 ... bn .. : משמעוS 2 : הסכום. ט7938 .ח 2 . ברור כי הביטויים אינם שווים. b12 b22 ... bn2 .. : משמעוS( s ) :הסכום . a1 200 .ד 1 bn1 a2 n1 a2 n 2 q 2 . בq 0.6 .) א8 . a1 16, q .) ב7 3 bn a2 n 1 a2 n 1 .) א9 2 1 . S 288 . גa1 16 . בq .) א11 3 . a5 20 . גq 0.5 .) ב10 a1 1024 . ג5 פי. בq 56 סדרת נסיגה: שאלות: an 1 an 2n 11 )1נתונה סדרה המוגדרת על פי כלל הנסיגה הבא: a1 6 . א .מצא את האיבר השלישי בסדרה. ב .נתון כי האיבר השלושה-עשר בסדרה הוא . 18מצא את a14ו . a12 - ג. נתון כי האיבר השלושים ואחת בסדרה הוא . kהבע באמצעות kאת a32ו. a30 - ד .מצא את מיקומם של שני איברים סמוכים בסדרה שההפרש ביניהם הוא .113 ה .הסבר מדוע אין שני איברים סמוכים בסדרה שההפרש ביניהם הוא .62 an 1 an 2n )2נתונה סדרה המוגדרת על פי כלל הנסיגה הבא: a1 0 . נתון כי . ak 72הבע באמצעות kאת . ak 2 2 an 1 2an n 31 . )3נתונה סדרה המוגדרת על פי כלל הנסיגה הבא: a7 t מצא את ערכו של tשבעבורו האיברים a7 , a8 , a9הם איברים עוקבים בסדרה חשבונית. )4סדרה שהאיבר הכללי בה הוא anמוגדרת על פי כלל הנסיגה הבא. an1 an 6n 2 : מגדירים סדרה חדשה שהאיבר הכללי בה הוא bnבאופן הבא. bn an1 an : א .הוכח שהסדרה bnהיא סדרה חשבונית ומצא את הפרשה. ב .חשב את . b1 )5סדרה שהאיבר הכללי בה הוא anמוגדרת על פי כלל הנסיגה הבא. an1 3an 4 : מגדירים סדרה חדשה שהאיבר הכללי בה הוא bnבאופן הבא. bn an 2 : א .הוכח שהסדרה bnהיא סדרה הנדסית ומצא את מנתה. ב .נתון . b5 162 :חשב את . a1 )6סדרה מוגדרת ע"י הכלל. a1 3 , an1 3an 10n 5 : מגדירים סדרה חדשה המקיימת לכל nטבעי. bn an 5n : א .הוכח כי הסדרה bnהיא סדרה הנדסית. ב .חשב את האיבר . b5 ג .חשב את הסכום. b2 b4 b6 ..... b12 : 57 )7סדרה מוגדרת לכל nטבעי ע"י הנוסחה. a1 k , an1 8n an 3 : א .הבע באמצעות kאת ארבעת האיברים הראשונים בסדרה. ב .הוכח כי סדרת האיברים העומדים במקומות האי-זוגיים וסדרת האיברים העומדים במקומות הזוגיים הן חשבוניות ומצא את הפרשן. ג .חשב את סכום 20האיברים הראשונים בסדרה. 3an )8סדרה מוגדרת ע"י כלל הנסיגה הבא: 2an 3 4 7an מגדירים סדרה חדשה לפי: an . a1 2 , an1 . bn א .הוכח כי הסדרה bnהיא חשבונית ומצא את הפרשּה. ב .חשב את הסכום הבא. b2 b4 b6 ..... b22 : )9אדם המעוניין לקנות רכב קיבל שתי הצעות מחיר. ההצעה הראשונה: לשלם בתשלום הראשון ₪ 1000ובכל תשלום שאחריו סכום הגדול ב ₪ 500-מהתשלום הקודם. ההצעה השנייה: לשלם בתשלום הראשון ₪ 7200ובכל תשלום שאחריו סכום הקטן ב ₪ 450-מהתשלום הקודם. ידוע כי מספר התשלומים בהצעה השנייה קטן ב 4-ממספר התשלומים שבהצעה הראשונה. א .כמה תשלומים יצטרך לשלם לפי כל הצעה. ב .מה מחיר הרכב? )10סדרה מקיימת את כלל הנסיגה. a1 1 , an1 3n an 7 : א .חשב את 5האיברים הראשונים וקבע האם הסדרה היא חשבונית. ב .הוכח כי לכל nטבעי מתקיים. an2 an 3 : ג .כתוב נוסחה לסכום nהאיברים הראשונים העומדים במקומות האי-זוגיים בסדרה. ד .חשב את הסכום הבא. a1 a3 a5 ....... a17 : 58 )11סדרה מוגדרת לפי כלל הנסיגה הבא. an1 an 2 3n 2 : א .1 .הבע את an 2באמצעות . an .2מצא את מיקומו הסידורי של איבר הגדול ב 652-מהאיבר העומד שני מקומות לפניו. ב .הנוסחה לסכום nהאיברים הראשונים של אחת מהסדרות המיוצגות ע"י כלל הנסיגה הנ"ל היא. Sn 1.5 3n n2 n 1.5 : חשב את הסכום הבא. a6 a7 a8 .... a11 : ג. מהו האיבר הראשון של הסדרה המיוצגת ע"י כלל הנסיגה ונוסחת הסכום הנ"ל? 2an )12סדרה מוגדרת ע"י כלל הנסיגה: an 5 . a1 6 , an1 an 3 מגדירים סדרה חדשה bnהמקיימת לכל nטבעי: an . bn א .הוכח כי הסדרה bnהיא הנדסית ומצא את מנתה. ב .כתוב נוסחה ל bn -באמצעות nבלבד. ג. חשב את הסכום הבא. b1 b2 b3 b4 ..... b10 : תשובות סופיות: )1א a3 22 .ב a12 5 , a14 33 .ג a30 k 49 , a32 k 51 .ד. a62 , a63 . )4 t 33 )3 ak 2 74 4k )2א . d 6 .ב )5 b1 4 .א . q 3 .ב. a1 0 . )6א bn1 3bn .ב b5 648 .ג. S 1594320 . )7א a4 19 k , a3 k 8 , a2 11 k , a1 k .ב 8 .ג.830 . 2 )8ב. 3 )10א a1 1 , a2 -5 , a3 4 , a4 -2 , a5 7 .ג 1.5n2 0.5n . )9 S11 p 267א 12 .לפני הראשונה ו 8-לפני השנייה ב.₪ 45,000 . ) Sn(oד. S9(o) 117 . )11א a4 .2 an2 an 8 3n 4 .1 .ב S611 265458 .ג. a1 5 . )12א q 2.5 .ב bn 1.5 2.5n1 .ג. S10* 4086.74 . 59 פרק - 5הסתברות קלאסית: הגדרות כלליות: .1ההסתברות להתרחשות מאורע : Aמספר האפשרויות הרצוי . P A מספר האפשרויות הכולל .2המאורע המשלים למאורע . P A 1 P A :A .3חיתוך ואיחוד מאורעות Aו. P A B P A P B P A B :B- .4מאורעות זרים הם מאורעות שלא יכולים להתקיים בו זמנית. עבור מאורעות זרים Aו B-מתקיים. P A B P A P B , P A B 0 : .5מאורעות נקראים בלתי תלויים אם קיום האחד מהם לא משפיע על ההסתברות לקיומו של השני. עבור מאורעות בלתי תלויים Aו B-מתקיים. P A B P A P B : .6אם מתקיים P A B P A P B :המאורעות תלויים. P A B .7הסתברות מותנית של מאורע Aבהינתן מאורע Bמוגדרת: P B . P A / B .8צורה כללית של טבלת הסתברויות עבור מאורעות Aו:B- A A B P A B P A B P B B P A B P A B P B P A P A 1 קשרים מידיים מהטבלה: א. P A B P A B P B . ב. P A B P A B P B . ג. P A B P A B P A . ד. P A B P A B P A . .9התפלגות בינומית :חישוב kהצלחות מתוך nניסיונות בלתי תלויים כאשר ההסתברות להצלחה בניסיון בודד היא pנתונה ע"י: 60 nk n . Pn k p k 1 p k שאלות יסודיות: )1בכד 3כדורים כחולים ו 7-כדורים לבנים. מה ההסתברות להוצאת כדור כחול בהוצאה אקראית של כדור מהכד? )2בכד 2כדורים כחולים 3 ,כדורים אדומים ו 7-כדורים לבנים. מה ההסתברות שבהוצאה אקראית של כדור מהכד לא ייצא כדור אדום? )3מהי ההסתברות שבסיבוב סביבון לא יתקבל "נס"? )4עבור שני מאורעות A ,ו B-נתון. P A B 0.4 , P B 0.3 , P A 0.6 : מצא את . P A B )5עבור שני מאורעות A ,ו B-נתון. P A B 0.95 , P B 0.5 , P A 0.2 : מצא את . P A B )6עבור שני מאורעות A ,ו B-נתון. P A B 0.65 , P B 0.25 , P A 0.8 : קבע האם המאורעות זרים והאם הם תלויים. )7נתון כי שני מאורעות A ,ו B -בלתי תלויים .בנוסף נתון. P B 0.4 , P A 0.75 : מצא את . P A B שאלות עם שני ניסויים: )8בכד 3כדורים כחולים ו 7-כדורים אדומים .אדם מוציא באקראי כדור מהכד, ולאחריו מוציא עוד כדור. א .מה ההסתברות ששני הכדורים כחולים? ב .מה ההסתברות ששני הכדורים באותו צבע? ג .מה ההסתברות ששני הכדורים אינם באותו צבע? )9בכד 3כדורים כחולים 2 ,כדורים אדומים ו 5-כדורים ירוקים .אדם מוציא באקראי כדור מהכד ,מחזיר אותו לכד ואז מוציא עוד כדור. א .מה ההסתברות ששני הכדורים כחולים? ב .מה ההסתברות ששני הכדורים באותו צבע? ג .מה ההסתברות ששני הכדורים אינם באותו צבע? )10בחדר 4גברים ו 5-נשים .מוציאים באקראי שלושה אנשים מהחדר (בלי החזרה). מה ההסתברות שמתוך השלושה יש יותר גברים מנשים? 61 )11נתונים שני כדים :בכד א' שלושה כדורים כחולים ואחד לבן ובכד ב' שני כדורים כחולים ושלושה לבנים .לואיזה מטילה מטבע לא הוגנת שבה הסיכוי לקבלת "עץ" כפול מהסיכוי לקבלת "פלי" .אם יוצא "עץ" היא מוציאה כדור מכד א' ואם יוצא "פלי" היא מוציאה שני כדורים מכד ב'. מה ההסתברות שלא ייצא ללואיזה אף כדור לבן? )12ליואב יש בכיסו הימני 3גולות כחולות ו 5-שחורות ובכיסו השמאלי 4גולות כחולות ו 4-שחורות .יואב מוציא גולה מכיסו הימני .אם היא כחולה הוא מחזיר אותה לכיס הימני ואם היא שחורה הוא מעביר אותה לכיס השמאלי. אחר כך הוא מוציא גולה מכיסו השמאלי .מה ההסתברות ששתי הגולות שהוציא באותו צבע? שאלות עם הסתברות מותנית: )13בכד 3כדורים כחולים ו 7-כדורים אדומים. אדם מוציא באקראי כדור מהכד ,ולאחריו מוציא עוד כדור. א .מה ההסתברות ששני הכדורים כחולים? ב .מה ההסתברות ששני הכדורים באותו צבע? ג .ידוע ששני הכדורים באותו צבע .מה ההסתברות ששניהם כחולים? )14בכד 3כדורים כחולים 2 ,כדורים אדומים ו 5-כדורים ירוקים. אדם מוציא באקראי כדור מהכד ,מחזיר אותו לכד ואז מוציא עוד כדור. א .מה ההסתברות ששני הכדורים כחולים? ב .מה ההסתברות ששני הכדורים באותו צבע? ג .ידוע ששני הכדורים באותו צבע .מה ההסתברות ששניהם כחולים? )15בחדר 4גברים ו 5-נשים .מוציאים באקראי שלושה אנשים מהחדר (בלי החזרה). ידוע שמתוך השלושה יש יותר גברים מנשים .מה ההסתברות שכולם גברים? )16נתונים שני כדים :בכד א' שלושה כדורים כחולים ואחד לבן ובכד ב' שני כדורים כחולים ושלושה לבנים .לואיזה מטילה מטבע לא הוגנת שבה הסיכוי לקבלת "עץ" כפול מהסיכוי לקבלת "פלי" .אם יוצא "עץ" היא מוציאה כדור מכד א ' ואם יוצא "פלי" היא מוציאה שני כדורים מכד ב'. א .מה ההסתברות שלא ייצא ללואיזה אף כדור לבן? ב .ידוע שללואיזה לא יצא אף כדור לבן ,מה ההסתברות שבהטלת המטבע יצא "עץ"? )17במשחק מזל הסיכוי להרוויח ₪ 10הוא 0.3והסיכוי להרוויח ₪ 20הוא .0.2 ישנו סיכוי של 0.5לא להרוו יח כלל .אדם שיחק במשחק פעמיים וידוע שהרוויח יותר מ .₪ 20-מה הסיכוי שהרוויח ?₪ 40 62 )18כדי להתקבל לעבודה בחברת "קוקה-קולה" יש לעבור שלושה ראיונות ע"י שלושה בעלי תפקידים בסדר הבא: אחראי משמרת ,מנהל ראשי ומנכ"ל החברה. כל בעל מקצוע נותן חוות דעת חיובית או שלילית בלבד. כדי שמועמד יקבל עבודה בחברה עליו לעבור בהצלחה לפחות את אחד מהראיונות עם אחראי המשמרת והמנהל הראשי אך הראיון עם המנכ"ל חייב לעבור בהצלחה (כדי שמועמד יקבל עבודה המנכ"ל צריך לתת לו חוות דעת חיובית) .ידוע כי אחראי המשמרת נותן חוות דעת חיובית ל 1/6-מהמועמדים. המנהל הראשי קורא את חוות הדעת של אחראי המשמרת וב 2/3-מהמקרים נותן חוות דעת הפוכה מזו של אחראי המשמרת .מנכ"ל החברה נותן חוות דעת חיובית ל 80%-מהמועמדים ללא קשר לחוות הדעת הקודמות. א .מה ההסתברות לקבל חוות דעת חיובית מהמנהל הראשי? ב .ידוע כי המנהל הראשי נתן חוות דעת חיובית ,מה ההסתברות שגם אחראי המשמרת נתן חוות דעת חיובית? ג .מה ההסתברות להתקבל לחברה? שאלות עם נעלמים: )19בכד מספר מסוים של כדורים 3 .כחולים והשאר אדומים. הסיכוי להוציא שני כדורים אדומים מהכד (בלי החזרה) הוא .5/14 כמה כדורים בכד? )20ההסתברות של צלף לפגוע במטרה בירייה הראשונה היא pוהיא גדולה מההסתברות שלו להחטיא .אם הוא פוגע ,עולה ההסתברות שלו לפגוע בירייה הבאה ב 0.1-ואם הוא מחטיא היא יורדת ב .0.1-הצלף ירה למטרה פעמיים. ההסתברות שפגע במטרה בדיוק בירייה אחת היא .0.38 א .מצא את . p ב .מה ההסתברות שהצלף פגע פעמיים במטרה אם ידוע שהוא פגע בה לפחות פעם אחת? )21רפי קנה במכולת חבילה של מסטיק "מנטוס" .ידוע כי יש בחבילה 10סוכריות, חלקן ורודות וחלקן צהובות. רפי מוציא באקראי (ללא החזרה) שתי סוכריות מהחבילה שקנה. ידוע כי ההסתברות ששתי הסוכריות תהיינה ורודות קטנה פי 4מההסתברות להוציא סוכריות בצבעים שונים. א .כמה סוכריות מכל צבע יש בכל חבילה? ב .רפי מחזיר את הסוכריות לחבילה ומוציא באקראי 3סוכריות (ללא החזרה). מה ההסתברות שכל הסוכריות שהוציא רפי הן צהובות? 63 שלומי ,חברו הטוב של רפי ,קנה 3חבילות "מנטוס". ג .שלומי מוציא באקראי סוכרייה מכל חבילה .האם ההסתברות של שלומי להוציא 3סוכריות צהובות גבוהה או נמוכה מזו של רפי? ד .שלומי מוציא מכל חבילה שתי סוכריות .מה ההסתברות שלו להוציא מכל חבילה סוכרייה ורודה ואחר כך צהובה? )22בתוך כד ישנם 8כדורים ,חלקם אדומים וחלקם לבנים .מוציאים באקראי כדור ,מניחים אותו בצד ומוציאים כדור נוסף. א .מצא כמה כדורים יש בכד מכל צבע אם ידוע כי ההסתברות שהכדור השני שהוצא הוא לבן היא .3/8 ב .ידוע כי הכדור השני שהוצא הוא לבן ,מה ההסתברות שהכדור הראשון שיצא הוא אדום? )23בכד ישנם 12כדורים ,חלקם לבנים וחלקם שחורים .אם מוציאים עם החזרה שני כדורים מהכד ההסתברות ששניהם יהיו בעלי אותו הצבע היא .13/18 א .מה ההסתברות להוציא כדור שחור אם ידוע כי יש יותר כדורים שחורים? על 40%מהכדורים השחורים רשום מספר ועל מחצית הכדורים הלבנים רשום מספר. ב .מה ההסתברות להוציא מהכד כדור שחור שרשום עליו מספר? ג .איזה חלק מבין הכדורים שרשום עליהם מספר מהווים הכדורים הלבנים? שאלות הנפתרות באמצעות טבלה דו-מימדית: 70% )24מאוהדי מכבי ת"א הם גברים והשאר נשים 40% .מהאוהדים מעשנים. נתון כי 45%מהאוהדים הם גברים שאינם מעשנים. א .מהו אחוז הנשים המעשנות מבין אוהדי מכבי? ב .בוחרים באקראי אוהד מכבי .מה ההסתברות שהוא גבר או שהוא מעשן? ג .בוחרים באקראי אישה שאוהדת מכבי .מה ההסתברות שהיא מעשנת? ד .האם מין האוהד והעובדה שהוא מעשן הם מאורעות תלויים? 65% )25מהפחיות המיוצרות במפעל משקאות הן רגילות והשאר דיאט 80% .מהפחיות המיוצרות תקינות והשאר פגומות .נתון כי 7%מהפחיות הן פחיות דיאט פגומות. א .בוחרים באקראי פחית .מה ההסתברות שהיא פחית רגילה ותקינה? ב .בוחרים באקראי פחית דיאט .מה ההסתברות שהיא פגומה? ג .בוחרים באקראי פחית פגומה .מה ההסתברות שהיא דיאט? ד .האם סוג הפחית ותקינותה הם מאורעות תלויים? 64 80% )26מהתלמידים בכיתה עברו את המבחן בתנ"ך ו 70%-עברו את המבחן בהיסטוריה 75% .מבין התלמידים שעברו את המבחן בתנ"ך עברו גם את המבחן בהיסטוריה. א .בוחרים באקראי תלמיד .מה ההסתברות שהוא נכשל בשתי הבחינות? ב .תלמיד נכשל במבחן בהיסטוריה .מה ההסתברות שהוא עבר את המבחן בתנ"ך? ג .ידוע שתלמיד עבר בדיוק מבחן אחד .מה ההסתברות שזה המבחן בתנ"ך? )27בעיר גדולה ל 80%-מהתושבים יש רישיון נהיגה .מבין בעלי רישיון הנהיגה 30%הם גברים 60% .מהגברים הם בעלי רישיון נהיגה .בחרו באקראי שתי נשים מהעיר .מה ההסתברות שלשתיהן אין רישיון נהיגה? 10% )28מהאנשים באוכלוסייה עיוורי צבעים .קיימת בדיקה הבוחנת אם אדם הוא עיוור צבעים .אם עיוור צבעים ניגש לבדיקה ישנו סיכוי של 80%שהבדיקה תקבע שהוא עיוור צבעים .אם אדם שאינו עיוור צבעים ניגש לבדיקה ישנו סיכוי של 5%שהבדיקה תקבע שהוא עיוור צבעים .מהם אחוזי האמינות של הבדיקה (אחוז המקרים בהם הבדיקה מאבחנת נכונה את הנבדק)? )29בסניף "תנו לחיות לחיות" בירושלים יש כלבים וחתולים בלבד ,בעלי פרווה כהה או פרווה בהירה 55% .מהחיות בסניף הם כלבים .אחוז החתולים בעלי הפרווה הכהה גדול פי 3מאחוז הכלבים בעלי הפרווה הבהירה. מבין בעלי הפרווה הכהה 60%הם כלבים .בוחרים באקראי חתול מהסניף. מה ההסתברות שהוא בהיר פרווה? )30בית ספר תיכון מציע לתלמידיו 3מגמות ריאליות לבחירה :פיזיקה ,כימיה ומחשבים 40% .מתלמידי מגמות אלה הם בנים .הבנים מהווים 2/5מתלמידי הפיזיקה 5/12 ,מתלמידי הכימיה ו 1/3-מתלמידי המחשבים. 1/4מהבנים הם תלמידי פיזיקה. א .האם יש תלות בין העובדה שתלמיד לומד פיזיקה למין התלמיד? ב .מהו אחוז לומדי המחשבים מקרב הבנים? התפלגות בינומית ונוסחת ברנולי -שאלות יסודיות: )31אדם מסובב חמש פעמים סביבון .מה ההסתברות שיקבל פעמיים "נס"? )32מה ההסתברות לקבלת 5פעמים "נס" בשמונה סיבובי סביבון? )33הסיכוי לעבור את מבחן התיאוריה הוא .0.7עשרה אנשים ניגשים למבחן התיאוריה .מהי ההסתברות שבדיוק שישה מהם יעברו? 65 )34בכד 6כדורים כחולים ו 4-לבנים .אדם מוציא מהכד כדור ,מסתכל על צבעו ומחזיר אותו לכד .הוא חוזר על הפעולה 4פעמים נוספות. מה ההסתברות שמתוך חמשת הכדורים הוציא: א .בדיוק ארבע יהיו כחולים? ב .חמישה יהיו כחולים? ג .לפחות ארבעה יהיו כחולים? ד .הרוב יהיו כחולים? ה .לפחות אחד יהיה כחול? ו .הראשון והאחרון בלבד יהיו כחולים? )35בכד 6כדורים כחולים ו 4-לבנים .אדם מוציא מהכד כדור ,מסתכל על צבעו ומחזיר אותו לכד .הוא חוזר על הפעולה 4פעמים נוספות .ידוע שרוב הכדורים שהוציא כחולים .מה ההסתברות שכולם כחולים? )36יערה מצליחה לקלוע לסל בשלושה מכל ארבעה ניסיונות .כדי להתקבל לנבחרת הכדורסל של בית הספר עליה להצליח לקלוע ברוב הפעמים מתוך 6ניסיונות קליעה לסל .ידוע שיערה התקבלה לנבחרת הכדורסל .מה ההסתברות שהצליחה לקלוע את כל הקליעות? התפלגות בינומית ונוסחת ברנולי -שאלות עם הסתברות מותנית: )37בכד יש 9כדורים ,חלקם כחולים והשאר לבנים .מוציאים כדור מהכד ,אם הוא כחול אז מחזירים אותו לכד ומוסיפים 4כדורים לבנים ואם הוא לבן אז מחזירים אותו לכד ומוסיפים 4כדורים כחולים .לאחר מכן מוציאים כדור נוסף .ידוע כי ההסתברות שהכדור הראשון שיצא הוא כחול אם ידוע כי הכדור השני כחול היא .6/11 א .מצא כמה כדורים כחולים יש בכד. ב .חוזרים על התהליך 6פעמים ,כלומר בכל פעם מחזירים את המצב לקדמותו, מוציאים באקראי כדור ופועלים בהתאם לחוקים. מצא את ההסתברות שלפחות פעם אחת יבחרו שני כדורים כחולים בזה אחר זה. )38בסיטונאות מזון ידוע כי 40%מתוך הסכו"ם החד-פעמי הוא תוצרת חו"ל והשאר תוצרת הארץ 40% .מבין הסכו"ם המיובא מחו"ל הם צבעוניים והשאר שקופים. א .מה ההסתברות לבחור בסיטונאות המזון סכו"ם שקוף המיובא מחו"ל? ב .1 .בוחרים 5כלים בחנות באופ ן אקראי .מה ההסתברות שלכל היותר כלי אחד הוא כלי שקוף תוצרת חו"ל? .2מה ההסתברות שבדיוק אחד מחמשת הכלים הוא כלי שקוף תוצרת חו"ל אם ידוע כי לכל היותר כלי אחד הוא שקוף תוצרת חו"ל? 66 ג. בוחרים שני כלים באופן אקראי וידוע כי ההסתברות ששניהם שקופים היא . 0.4096איזה חלק מהווים כלי הסכו"ם השקופים מבין כלי הסכו"ם תוצרת הארץ? )39בחדר יש xגברים ו 3x -נשים .משחקים את המשחק הבא: בוחרים באקראי שני אנשים מהחדר בזה אחר זה (ללא החזרה). ידוע כי ההסתברות לבחור שני אנשים מאותו המין היא .13/22 א .מצא כמה נשים יש בחדר. ב .ידוע כי האדם השני שנבחר הוא גבר ,מה ההסתברות שגם הראשון שנבחר הוא גבר? ג .משחקים את המשחק 4פעמים .ידוע כי בכל הפעמים נבחר גבר בפעם השנייה ,מה ההסתברות שבדיוק ב 3-פעמים יבחר גבר גם בפעם הראשונה. התפלגות בינומית ונוסחת ברנולי -שאלות עם נעלמים: )40בוחרים שלושה גברים באקראי מעיר גדולה. ההסתברות שכולם מעשנים היא .0.027מה ההסתברות שרובם מעשנים? )41בוחרים שלוש נשים מעיר גדולה .ההסתברות ששתיים מהן מעשנות קטנה פי 4 מההסתברות ששתיים מהן לא מעשנות .מה ההסתברות שכולן מעשנות? )42בכד 10כדורים ,חלקם לבנים והשאר שחורים .נמרוד מוציא 9פעמים כדור מהכד 3 8 (עם החזרה) .הסיכוי שיצאו פי 2כדורים שחורים מלבנים גדול פי 3מהסיכוי שיצאו פי 2כדורים לבנים משחורים .מצא כמה כדורים מכל צבע בכד. )43מפעל מייצר שולחנות וכיסאות .בוחרים 4רהיטים .ידוע כי ההסתברות שכולם יהיו כיסאות זהה להסתברות שיהיה שולחן אחד בדיוק בניהם. א .מצא את ההסתברות לבחור כיסא. במפעל צובעים את הרהיטים בשחור או לבן. רבע מהשולחנות נצבעים בשחור ורבע מהכיסאות נצבעים בלבן. ב .מה ההסתברות לבחור כיסא שחור? ג .איזה חלק מבין הרהיטים הלבנים מהווים השולחנות? )44בחדר xגברים ו 3x -נשים .מוציאים באקראי שני אנשים מהחדר. ההסתברות שהם יהיו מאותו מין היא .0.6מצא את גודלו של . x חוזרים על התהליך 4פעמים. מה הסיכוי שבשלוש מתוך 4הפעמים ייצאו מהחדר שתי נשים? 67 )45במבחן רב ברירה עם 5שאלות שוות ניקוד ,לכל שאלה יש nתשובות מהן רק אחת נכונה .ישנו סיכוי של 50%ששי יידע את התשובה הנכונה לשאלה במבחן. אם שי לא יודע את התשובה לשאלה הוא מנחש. ההסתברות ששי יקבל במבחן 60גדולה פי 1 1מההסתברות שיקבל .80 3 מצא את ערכו של . n )46כדי להתקבל לקורס טיס יש לעבור גיבוש וראיון .כל המועמדים ניגשים גם לראיון וגם לגיבוש 40% .מהניגשים לגיבוש עוברים אותו ו 35%-מהניגשים לראיון עוברים אותו 5/17 .מאלה שלא התקבלו לקורס טיס לא התקבלו בגלל הריאיון בלבד 3 .חברים ניסו להתקבל לקורס טיס .ידוע שרובם התקבלו. מה ההסתברות שכולם התקבלו? שאלות מסכמות: )47כדי להתקבל לחברת היי -טק יש לעבור ראיונות משלושה בעלי תפקידים בסדר הבא :מהנדס ראשי ,אחראי משמרת ומנכ"ל החברה .כל אחד מבעלי התפקידים נותן חוות דעת חיובית או שלילית על המועמד לעבודה. מועמד שמתקבל לחברה חייב לקבל חוות ד עת חיובית משלושת בעלי התפקידים. ידוע כי המהנדס הראשי נותן חוות דעת חיובית ל 3/5-מהמועמדים. אחראי המשמרת קורא את חוות הדעת של המהנדס הראשי וב 1/6-מהמקרים נותן חוות דעת הפוכה מזו של המהנדס הראשי .מנכ"ל החברה קורא את חוות הדעת של אחראי המשמרת וב 7/10-נותן חוות דעת זהה לשלו. א .1 .מה ההסתברות שמועמד יקבל חוות דעת חיובית מאחראי המשמרת? .2ידוע כי אחראי המשמרת נתן חוות חיובית .מה ההסתברות שהמהנדס הראשי נתן חוות דעת שלילית. ב .מה ההסתברות שמועמד יקבל עבודה בחברה? ג .מה ההסתברות שמועמד יקבל חוות דעת שלילית מהמנכ"ל? לאחר העדר עובדים שינתה החברה את מדיניותה וקבעה כי כדי להתקבל לעבודה יש לעבור לפחות שני ראיונות בהצלחה ,אך חוות הדעת של המנכ"ל חייבת להיות חיובית. ד .מה ההסתברות כעת לקבל עבודה בחברה? )48במדינה מסוימת 19/60מהאזרחים הם גברים ו 41/60-הן נשים 30% .מבין מרכיבי המשקפיים במדינה זו הם גברים ו 40%-מבין אלו שלא מרכיבים משקפיים הם גברים. א .מה ההסתברות למצוא אישה במדינה זו שלא מרכיבה משקפיים? ב .בוחרים 4אנשים .מה ההסתברות שבדיוק שניים מהם הם נשים שלא מרכיבות משקפיים? ג .בוחרים אזרח .ידוע כי הוא גבר .מה ההסתברות שהוא מרכיב משקפיים? 68 )49בעיר מסוימת ההסתברות לבחור אדם מעשן גדולה פי 3מההסתברות לבחור אדם המרכיב משקפיים.ידוע כי החלק של התושבים שמרכיבים משקפיים מבין כל התושבים המעשנים הוא .1/12 א .מצא מהי ההסתברות לבחור מעשן מתוך כל מרכיבי המשקפיים. ב .ידוע כי 15%מהתושבים הם מרכיבים משקפיים בלבד. מצא את ההסתברות לבחור תושב שלא מרכיב משקפיים. ג .בוחרים 6תושבים באופן אקראי. מה ההסתברות שמחצית מהם אינם מרכיבים משקפיים ואינם מעשנים? )50בבית ספר מסוים ישנם תלמידים המרכיבים משקפיים .ידוע כי אם בוחרים 3 תלמידים אז ההסתברות ששלושתם מרכיבים משקפיים היא .0.027 א .מצא את אחוז מרכיבי המשקפיים בבית הספר. בבית הספר ההסתברות להיתקל בתלמיד גדולה ב 0.1-מההסתברות להיתקל בתלמידה ואחוז הבנים שמרכיבים משקפיים זהה לאחוז הבנות שמרכיבות משקפיים. ב .מה ההסתברות להיתקל בחצר בית הספר בתלמיד שאינו מרכיב משקפיים? ג .איזה חלק מכלל הבנות בבית הספר מהוות הבנות שמרכיבות משקפיים? ד .בוחרים 4תלמידים .ידוע כי כולן בנות .מה ההסתברות כי אחת מהן תרכיב משקפיים? )51כדי להתקבל לעבוד בחברת ההיי-טק Technoיש לעבור שני ראיונות משני בעלי מקצוע ,תחילה ע"י המהנדס הראשי ואחריו ע"י מנכ"ל החברה. כל בעל מקצוע נותן חוות דעת חיובית ,שלילית או שנמנע מלקבוע. כדי שמועמד יתקבל לחברה עליו לעבור לפחות ראיון אחד עם חוות דעת חיובית. ידוע כי המהנדס הראשי נותן חוות דעת חיובית ל 1/5-מהמועמדים ו 2/7-מהם הוא משאיר ללא קביעה .המנכ"ל קורא את חוות הדעת של המהנדס הראשי וקובע את חוות הדעת שלו בצורה הבאה: אם המהנדס נתן חוות דעת חיובית אז המנכ"ל ייתן גם חוות דעת חיובית ב60%- מהמקרים .אם המהנדס נתן חוות דעת שלילית אז המנכ"ל נמנע מלקבוע ב60%- מהמקרים ובשאר המקרים הוא נותן חוות דעת חיובית .אם המהנדס נמנע מלקבוע אז המנכ"ל ייתן חוות דעת חיובית או שלילית בלבד .הסיכוי שהמנכ"ל ייתן במקרה זה חוות דעת חיובית גדול פי 3מהסיכוי שייתן חוות דעת שלילית. א .מה ההסתברות לקבל חוות דעת חיובית מהמנכ"ל? ב .ידוע כי המנכ"ל נתן חוות דעת חיובית ,מה ההסתברות שגם המהנדס נתן חוות דעת חיובית? ג .מה ההסתברות להתקבל לחברה? ד .ביום מסוים הגיעו 5מועמדים .מה ההסתברות שבדיוק 3מהם קיבלו עבודה באותו היום? 69 )52בכד יש 12כדורים חלקם אדומים וחלקם שחורים. מוציאים עם החזרה שני כדורים מהכד. א .מצא את מספר הכדורים האדומים שבכד אם ידוע כי ההסתברות ששני הכדורים שהוצאו הם שחורים היא .4/9 ב .חלק מהכדורים עשויים מעץ והשאר עשויים מפלסטיק. ידוע כי 25%מהכדורים האדומים עשויים מעץ וכי 50%מהכדורים העשויים מעץ הם אדומים .מצא את ההסתברות לבחור כדור שחור העשוי מפלסטיק. ג .מוציאים מהכד 5כדורים בזה אחר זה עם החזרה. מה ההסתברות להוציא 4כדורים אדומים העשויים מפלסטיק? ד .מוציאים מהכד 5כדורים בזה אחר זה עם החזרה. ידוע כי כולם עשויים מפלסטיק ,מה ההסתברות ש 3-מהם בצבע אדום? )53בבית ספר בעיר מסוימת נערכו שני מבחנים 80% .מהתלמידים עברו את המבחן הראשון 1/4 .מבין התלמידים שעברו את המבחן הראשון עברו גם את השני ו 1/2- מהתלמידים שנכשלו במבחן הראשון נכשלו גם בשני. א .בוחרים באקראי תלמיד. מה ההסתברות שהוא עבר את אחד המבחנים בלבד? ב .בוחרים באקראי 4תלמידים. מה ההסתברות שבדיוק אחד מהם עבר את אחד המבחנים בלבד? ג .איזה חלק מבין התלמידים שנכשלו במבחן השני מהווה קבוצת התלמידים שנכשלו גם במבחן הראשון? )54במפעל גדול ההסתברות שמתוך 4עובדים לפחות אחד ירכיב משקפיים היא .0.5904 א .מה ההסתברות לבחור עובד שלא מרכיב משקפיים? ידוע כי 40%מהפועלים שמרכיבים משקפיים הם מעשנים ו 20%-מבין העובדים המעשנים הם מרכיבים משקפיים. ב .מה ההסתברות לבחור עובד שמרכיב משקפיים בלבד או מעשן בלבד? ג .בוחרים באקראי 5עובדים .מה ההסתברות שרוב העובדים שנבחרו הם מעשנים? )55במפעל לייצור ברגים פועלים שני פסי ייצור – פס ייצור א' ופס ייצור ב'. ידוע כי אם בוחרים 5ברגים אז ההסתברות ש 3-מהם מיוצרים ע"י פס הייצור השני גדולה פי 4.5מההסתברות שאחד מהם מיוצר ע"י פס הייצור הנ"ל. א .מצא את ההסתברות לבחור בורג המיוצר ע"י פס הייצור הראשון. מתוך כל 100ברגים שהמפעל מייצר 7פגומים .ומתוך כל 10ברגים היוצאים מפס הייצור הראשון אחד הוא פגום. ב .מהו אחוז הברגים התקינים שמיוצרים ע"י פס הייצור השני? ג .איזה חלק מבין הברגים הפגומים מהווים אלו שיוצאים מפס הייצור הראשון? 70 )56בכד יש פי 5כדורים כחולים מאדומים .מוציאים מהכד כדור. אם הוא כחול אז משאירים אותו בחוץ ואם הוא אדום אז מחזירים אותו לכד. לאחר מכן מוציאים כדור נוסף מהכד. ידוע כי ההסתברות להוציא שני כדורים בצבעים שונים היא.175/612 : א .כמה כדורים מכל צבע יש בכד? ב .ידוע כי הכדור השני שנבחר הוא כחול ,מה ההסתברות שהכדור הראשון שנבחר היה אדום? ג .חוזרים על התהליך 5פעמים .ידוע כי בכל הפעמים הכדור השני שהוצא הוא כחול .מה ההסתברות שברוב הפעמים הכדור הראשון שיצא הוא אדום? )57בחדר יש פי 4נשים מגברים .משחקים את המשחק הבא :בוחרים באקראי אדם מהחדר .אם נבחר גבר אז הוא יוצא מהחדר ואם נבחרה אישה אז היא נשארת. לאחר מכן בוחרים אדם נוסף. א .מצא כמה גברים יש בחדר אם ידוע כי ההסתברות שייבחרו שני אנשים שונים היא.236/725 : ב .ידוע כי בפעם השנייה נבחר גבר ,מה ההסתברות שגם בפעם הראשונה יבחר גבר? ג .משחקים את המשחק 4פעמים .ידוע כי בכל ארבעת הפעמים נבחר גבר בפעם השנייה .מה ההסתברות שברוב המקרים יצא גבר גם בפעם הראשונה? )58בעיר מסוימת נערכות בחירות .ידוע כי אם בוחרים 4תושבים אז ההסתברות שלפחות אחד מהם יצביע למועמד ב' היא .65/81 א .איזה חלק מהתושבים הצביעו למועמד א'? בעיר יש תושבים מבוגרים וצעירים. ידוע כי 2/3מהצעירים הצביעו למועמד א' וכי ההסתברות לבחור מבוגר שהצביע למועמד ב' היא .2/15 ב .מהו אחוז התושבים הצעירים שהצביעו למועמד ב'? ג .איזה אחוז מהווים התושבים הצעירים מבין אלו שהצביעו למועמד א'? )59לכבוד חנוכה קנתה סבתא תקווה לשתי נכ דותיה ,שני ושרון ,סביבונים עם סוכריות בתוכם .בכל סביבון יש 7סוכריות שוקולד ו 4-סוכריות מנטה. שרון לקחה סביבון אחד והוציאה ממנו באקראי (ללא החזרה) 4סוכריות. א .מה ההסתברות שכל הסוכריות שהוציאה שרון הן סוכריות מנטה? שני לקחה 4סביבונים (אחרים) והוציאה באקראי מכל סביבון סוכרייה אחת. ב .האם ההסתברות ששני תוציא 4סוכריות מנטה גבוהה יותר או נמוכה יותר מההסתברות שחשבת בסעיף א'? נמק. 71 ג .שני הוציאה באקראי סוכרייה אחת מכל סביבון מתוך ארבעת הסביבונים שברשותה .ידוע שבין הסוכריות שבידה יש יותר סוכריות מנטה .מה ההסתברות שכל הסוכריות שיש לשני ביד יהיו בטעם מנטה? )60כדי לקבל עבודה בחברת Makidoיש לעבור ראיונות משני בעלי מקצוע: מהנדס ראשי ומנכ"ל החברה .המהנדס הראשי נותן חוות דעת חיובית ברבע מהמקרים ,בשליש מהמקרים הוא נמנע מלתת חוות דעת ובשאר המקרים הוא נותן חוות דעת שלילית .מ נכ"ל החברה קורא את חוות הדעת של המהנדס וקובע את חוות דעתו באופן הבא: אם המהנדס נתן חוות דעת חיובית אז הוא נותן חוות דעת חיובית ב 90%-מהמקרים וב 10%-מהמקרים הוא נמנע מלתת חוות דעת .אם המהנדס נמנע מלקבוע אז המנכ"ל נותן חוות דעת שלילית במחצית המקרים או חיובית במחצית המקרים. אם המהנדס נותן חוות דעת שלילית אז ההסתברות שהמנכ"ל ייתן חוות דעת חיובית גדולה פי 2מההסתברות שימנע מלתת דעת וההסתברות שימנע מלתת חוות דעת גדולה פי 2מההסתברות שייתן חוות דעת שלילית. א .מה ההסתברות שמועמד יקבל חוות דעת חיובית לפחות באחד הראיונות? ב .אם ידוע כי מועמד קיבל חוות דעת חיובית אחת לפחות מה ההסתברות שהמהנדס ימנע מלתת חוות דעת? ג .1 .מה ההסתברות שמתוך 5מועמדים לפחות אחד יקבל עבודה אם ידוע כי כדי להתקבל לעבודה יש לקבל שתי חוות דעת חיוביות? .2כיצד תשתנה התוצאה של חלק 1אם כדי לקבל עבודה יש לקבל לפחות חוות דעת חיובית אחת ואף חוות דעת שלילית? )61בעיר מסוימת נערכו בחירות מקומיות .ידוע כי אם בוחרים באקראי 4אזרחים שתמַ צא אישה אחת ביניהם קטנה פי 16מההסתברות להיתקל באישה ההסתברות ִ באופן אקראי. א .מה הוא אחוז הגברים בעיר? בעיר שלושה מועמדים 1/11 .מהמצביעים למועמד א' הם גברים60% , מהמצביעים למועמד ב' הם גברים ו 25%-מהמצביעים למועמד ג' הם גברים. אחוז המצביעים למועמד ג' הוא .20% ב .איזה מועמד קיבל את רוב הקולות? ג .איזה חלק מבין כל הנשים מהווה קבוצת הנשים שהצביעו למועמד המנצח? )62בחדר xגברים ו x 2 -נשים .זורקים קוביית משחק מאוזנת. אם מתקבל מספר הגדול מ 4-אז מוסיפים לחדר xגברים ואם מתקבל מספר הקטן או שווה ל 4-אז מוסיפים לחדר xנשים. לאחר מכן מוציאים אדם מהחדר. א .מצא כמה נשים יש בחדר אם ידוע כי ההסתברות לבחור אישה היא .21/33 ב .מה ההסתברות שתצא אישה מהחדר לאחר שנוספו לחדר נשים אם ידוע כי וודאי יצאה אישה מהחדר? 72 אנשי החדר לובשים חולצות אדומות או לבנות בלבד .ידוע כי החלק היחסי של האנשים הלובשים חולצות לבנות בחדר גדול פי 16מהחלק היחסי של הגברים הלובשים חולצות אדומות .כמו כן ההסתברות של הגברים מבין כל אלו שלובשים חולצות אדומות היא .0.25 ג .מצא מה ההסתברות לבחור גבר הלובש חולצה אדומה בחדר. ד .1 .בוחרים 5אנשים מהחדר (ללא הוצאה) וידוע כי כולם לובשים חולצות אדומות .מה ההסתברות שרובם נשים? .2מה ההסתברות שכל הנשים לובש ות חולצות אדומות אם ידוע כי רוב הנשים לובשות חולצות אדומות? )63באוניברסיטה מסוימת ידוע כי חלק מהסטודנטים נעזרים בספרי לימוד חיצוניים להעשרת הידע שלהם ,וכי ההסתברות לבחור 2סטודנטים הנעזרים בספרי לימוד חיצוניים קטנה ב 0.1-מההסתברות לבחור שני סטודנטים שלא נעזרים בספרי לימוד חיצוניים. א .מהו אחוז הסטודנטים שנעזרים בספרי לימוד חיצוניים? האוניברסיטה מוכרת ספרי לימוד ב 3-מקצועות לכלל הסטודנטים: ספר א' ,ספר ב' וספר ג' .כל סטודנט יכול לקנות רק ספר אחד. ידוע כי כמות הסטודנטים שקנו את ספר א' וכמות הסטודנטים שקנו את ספר ג' 1 6 זהות .כמוכן ,מאלו שקנו את ספר ג' נעזרים גם בספרים חיצוניים. 3 7 מהסטודנטים שקנו את ספר ב' נעזרים בספרי לימוד חיצוניים וכמות 1 הסטודנטים שקנו את ספר א' ונעזרים בספרי לימוד חיצוניים מהווים מכלל 9 הסטודנטים שנעזרים בספרי לימוד חיצוניים. ב .מהו אחוז הסטודנטים שקנו את ספר ב' ולא נעזרים בספרי לימוד חיצוניים? ג .איזה חלק מהווים הסטודנטים שקנו את ספר ג' מכלל הסטודנטים שלא נעזרים בספרי לימוד חיצוניים? ד .בוחרים 4סטודנטים שלא נעזרים בספרי לימוד חיצוניים. מה ההסתברות שאחד מהם קנה את ספר ג'? 73 תשובות סופיות: . P( A B) 0.35 )5 . P( A B) 0.9 )4 .0.75 )3 .0.75 )2 .0.3 )1 7 8 1 )6לא זרים ותלויים )8 . P( A B) 0.85 )7 .א . .ב . .ג. 15 15 15 1 8 1 77 8 17 31 19 9 )13 .א . .ב . .ג. . .ב . .ג)12 . )11 . )10 . . )9א. 8 15 15 144 15 42 100 50 50 1 15 8 2 9 38 9 .ג )16 . )15 . .א . .ב. )17 . . .ב. )14א. 4 16 15 17 100 100 38 26 1 11 21 . 8 )19כדורים )20 .א . p 0.6 .ב. ג. ב. )18א. 45 11 18 40 1 27 1 ג .גבוהה ד. P 0.0189 . )21א 4 .ורודות ו 6-צהובות ב. 6 125 6 1 1 5 5 )23א P .ב P .ג. . )22א 5 .אדומים ו 3-לבנים ב. 5 3 6 7 )24א .15% .ב . 0.85 .ג . 0.5 .ד .כן )25 .א . 0.52 .ב . 0.2 .ג . 0.35 .ד .בלתי תלויים. 1 1 2 2 . )29 . 93.5% )28 . )26א . 0.1 .ב . .ג)27 . . 3 225 3 3 )30א .בלתי תלויים .ב. 0.2001 )33 . 0.023 )32 . 0.264 )31 .12.5% . )34א . 0.259 .ב . 0.078 .ג . 0.337 .ד . 0.683 .ה . 0.98976 .ו. 0.114 )35 . 0.023 . )37 . 0.214 )36א 6 .כדורים כחולים ב.0.88989 . 2 2 30 )38א 0.24 .ב0.61224 .2 0.65389 .1 . ג. 0.0196 . )39א 9 .נשים ב. ג. 11 3 49 3 4 )42 . 0.008 )41 . 0.216 )40לבנים 6 ,שחורים )43 .א P 0.8 .ב P 0.6 .ג. . 7 32 71 7 2 17 5 ד. . ג. ב. .2 )44א . x 4 .ב )47 . )46 . n 5 )45 . 0.299 .א.1 . 150 20 17 75 30 90 1 15 )49א P B A .ב P(A) 0.8 .ג. P6 3 0.1318 . )48א P 0.1 .ב P 0.0486 .ג. 4 19 31 2 27 32 1 ד. P 0.34414 . ג. ב. )51 P א. )50א 30% .ב P 0.4 .ג .ד. 9 50 81 3 50 1 189 15 7 ג 0.0146 . P ג. . ד )53 0.1323 .א P 0.7 .ב. )52א 4 .כדורים ב. 7 2500 1024 12 4 )54א P 0.8 .ב P 0.44 .ג )55 P 0.31744 .א P 0.4 .ב 95% .ג. . 7 )56א 15 .כחולים ו 3-אדומים ב 17/101 .ג. 0.03645 . 25 P 1 2 ג. 0.0193 . )57א 6 .גברים ו 24-נשים ב .הסתברות לגבר בפעם הראשונה: 141 1 1 1 2 256 ג. . ב 20% .ג )59 60% .א. )58א. ב .גבוהה יותר 8 330 3 14641 330 2 14 55 ג )61 0.9324 .2 0.7204 .1 .א 25% .ב .מועמד א' ג. . ב. )60א. 3 55 84 1 9 459 16 ד. P 0.2732 . )63א 45% .ב 20% .ג. .2 ג 0.05 .ד.1 . )62א 5 .נשים .ב. 11 34 512 21 . 74 שאלות שונות לפי נושאים: כפל וחיבור הסתברויות – מאורעות בלתי תלויים: )1בבניין העירייה יש שני מתקני הבטחה נגד פורצים. ההסתברות שהמתקן הראשון יפעל בזמן אמת היא 0.92וההסתברות שהמתקן השני יפעל בזמן אמת היא .0.86 א .מה ההסתברות שהמתקן הראשון יפעל והשני לא? ב .מה ההסתברות ששני המתקנים יפעלו? ג .מה ההסתברות שאף מתקן לא יפעל? )2צובעים את הפאות של קובייה בת 8פאות כך 3 :פאות כחולות 2 ,פאות אדומות 2 ,פאות צהובות ופאה אחת ירוקה .זורקים את הקובייה פעמיים. חשב את ההסתברויות הבאות: א .שתי הפאות הן בצבע ירוק. ב .שתי הפאות הן בצבע כחול. ג .שתי הפאות באותו הצבע. )3בכד יש 6כדורים שחורים ו 4-לבנים .מוציאים כדור מהכד ולאחר הסתכלות בצבעו מחזירים אותו לכד ומוציאים כדור נוסף .חשב את ההסתברויות הבאות: א .ששני הכדורים שהוצאו הם שחורים. ב .ששני הכדורים הם מאותו הצבע. ג .שהכדור השני הוא לבן. )4בכד יש 4כדורים אדומים 3 ,כדורים לבנים ו 2-כדורים כחולים .מוציאים שני כדורים מהכד עם החזרה ,דהיינו ,לאחר הוצאת הכדור הראשון ,מחזירים אותו בחזרה לכד ורק אז מוציאים את הכדור השני .חשב את ההסתברויות הבאות: א .ששני הכדורים שהוצאו הם לבנים. ב .ששני הכדורים שהוצאו הם מאותו הצבע. ג .ששני הכדורים שהוצאו לא כחולים. ד .שהכדור השני הוא כחול. )5כדי לקבל תואר במכללת חולון יש לעבור לפחות שניים מתוך שלושה מבחנים. ההסתברות שדורון יעבור את המבחן הראשון היא .0.9ההסתברות שיעבור את המבחן השני היא 0.6וההסתברות שיעבור את המבחן השלישי היא .0.8 א .מה ההסתברות שדורון יעבור רק מבחן אחד? ב .מה ההסתברות שדורון יעבור את שלושת המבחנים? ג .מה ההסתברות שדורון יעבור לכל היותר שני מבחנים? ד .מה ההסתברות שדורון יקבל תואר? 75 )6בתוך שקית ישנם 4קלפים אדומים 3 ,קלפים צהובים וקלף אחד ירוק. מוציאים עם החזרה שלושה קלפים מהשקית. א .מה ההסתברות שבכל שלושת הפעמים יצא הקלף הירוק? ב .מה ההסתברות שיצאו שני קלפים צהובים? ג .מה ההסתברות שכל הקלפים יהיו בעלי אותו הצבע? כפל וחיבור הסתברויות – מאורעות תלויים: )7תלמיד הרוצה להוציא רישיון לרכב צריך לעבור בחינה עיונית ולאחר מכן בחינה מעשית .ההסתברות שיעבור את הבחינה העיונית היא .0.7אם הוא עבר את הבחינה העיונית אז ההסתברות שיעבור את הבחינה המעשית היא 0.9ואם הוא נכשל בבחינה העיונית אז ההסתברות שיעבור את הבחינה המעשית היא .0.5 א .מה ההסתברות שיעבור התלמיד רק את הבחינה המעשית? ב .מה ההסתברות שהתלמיד ייכשל בשתי הבחינות? ג .מה ההסתברות שתלמיד יעבור את שתי הבחינות? )8בכד 5כדורים אדומים ו 3-כדורים ירוקים .מוציאים באקראי כדור מהכד ,אם הוא אדום אז מחזירים אותו חזרה לכד ומוציאים כדור נוסף .אם הוא ירוק אז משאירים אותו בחוץ ומוציאים כדור נוסף. א .מה ההסתברות ששני הכדורים שהוצאו הם ירוקים? ב .מה ההסתברות שהכדור השני שהוצא הוא אדום? ג .מה ההסתברות ששני הכדורים שהוצאו בעלי אותו הצבע? )9בתוך ארגז ישנם 7ספלים הממוספרים מ 1-עד .7 מוציאים ספל אחד ,משאירים אותו בחוץ ומוציאים ספל נוסף. א .מה ההסתברות ששני הספלים שהוצאו הם בעלי מספרים זוגיים? ב .מה ההסתברות ששני הספלים שהוצאו הם בעלי מספרים המתחלקים ב?3- ג .מה ההסתברות ששני הספלים שהוצאו הם בעלי מספרים שסכומם גדול מ ?10- )10במעטפה יש 30בולים ,מתוכם 6בולים פגומים. מוציאים שני בולים בזה אחר זה מהמעטפה. א .מה ההסתברות ששני הבולים שהוצאו הם פגומים? ב .מה ההסתברות שהבול הראשון שהוצא אינו פגום אך הבול השני פגום? ג .מה ההסתברות שהבול השני פגום? ד .מה ההסתברות ששני הבולים או פגומים או אינם פגומים? 76 )11בכיתה ישנם 24בנים ו 18-בנות .מוציאים באקראי 3ילדים מהכיתה בזה אחר זה. חשב את ההסתברויות הבאות: א .שכל שלושת הילדים יהיו בנים. ב .שכל שלושת הילדים יהיו מאותו המין. ג .שתהיה בקבוצה לפחות בת אחת. ד .שיהיה בקבוצה לכל היותר בן אחד. )12בתוך שקית יש 6חטיפי "מקופלת" ו 4-חטיפי "במבה". מוציאים באקראי 3חטיפים מהשקית בזה אחר זה .חשב את: א .ההסתברות שיצאו 3חטיפי במבה. ב .ההסתברות שיצאו לכל היותר שני חטיפי במבה. ג .ההסתברות שיצאו לפחות שני חטיפי מקופלת. )13צלף יורה למטרה שלוש פעמים .ההסתברות שיקלע בפעם הראשונה היא .0.7 ההסתברות שיקלע לאחר מכן תלויה בקליעה הקודמת .אם קלע הצלף בירייה הקודמת אז ההסתברות שלו לקלוע שנית היא 0.8אך אם הוא החטיא אז ההסתברות שלו לקלוע כעת היא .0.6 א .מה ההסתברות שיקלע בכל שלושת הפעמים? ב .מה ההסתברות שיקלע בירייה השלישית בלבד? ג .מה ההסתברות שיקלע הקלע בירייה אחת בלבד? ד .מה ההסתברות שיקלע לכל היותר פעם אחת? )14שחקן כדורגל בועט לשער שלוש פעמים .ההסתברות שיבקיע בפעם הראשונה היא . 0.6ההסתברות שיבקיע לאחר מכן תלויה בבקיעה הקודמת .אם השחקן הבקיע אז ההסתברות שיבקיע שנית היא 0.8אך אם הוא החמיץ אז ההסתברות שיחמיץ שנית היא .0.3חשב את: א .ההסתברות שיבקיע השחקן בכל שלושת הפעמים. ב .ההסתברות שיבקיע השחקן בפעם השנייה בלבד. ג .ההסתברות שיבקיע השחקן פעם אחת בלבד. ד .ההסתברות שיבקיע השחקן לפחות פעם אחת. 77 תרגילים הכוללים שימוש בדיאגרמת עץ: )15בעיר מסוימת 40%מהתושבים הם גברים והשאר נשים. ידוע כי 40%מהגברים מרכיבים משקפיים ו 60%-מהנשים לא מרכיבות משקפיים .בוחרים באקראי תושב מהעיר .חשב את ההסתברויות הבאות: א .שנבחר גבר שלא מרכיב משקפיים. ב .שנבחרה אישה שמרכיבה משקפיים. ג .שהתושב שנבחר מרכיב משקפיים. )16צל ף יורה למטרה שלוש פעמים .אם בירייה הקודמת הוא פגע אז ההסתברות שיפגע שוב בירייה הבאה היא 0.8אך אם הוא החטיא בירייה הקודמת אז ההסתברות שיפגע בירייה שאחריה היא .0.6הצלף החטיא בירייה הראשונה. חשב את ההסתברויות הבאות: א .הצלף יחטיא גם בשתי היריות הבאות. ב .הצלף יפגע בירייה השלישית. ג .הצלף יפגע בירייה אחת בלבד. ד .הצלף יחטיא בירייה השלישית. )17אם ביום מסוים יורד גשם אז ההסתברות שביום שאחריו לא ירד גשם היא 0.4אך אם ביום מסוים לא יורד גשם ההסתברות שירד גשם ביום שאחריו היא .0.9 ביום שלישי ירד גשם .חשב את ההסתברויות הבאות: א .ביום חמישי לא ירד גשם. ב .בימים :שלישי ,רביעי וחמישי ירד גשם. ג .בימים רביעי וחמישי לא ירד גשם. )18במפעל שמיכות שלושה פסי ייצור .פס הייצור הראשון מייצר 40%מהמוצרים ,פס הייצור השני מייצר 30%מהמוצרים ופס הייצור השלישי מייצר את ה 30%- הנותרים 50% .מהמוצרים של פס הייצור הראשון 10% ,מהמוצרים של פס הייצור השני ו 80%-ממוצרי הפס השלישי מיועדים ליצוא .בוחרים באקראי מוצר .חשב את: א .ההסתברות שהמוצר מיוצר על ידי פס הייצור השני ומיועד לייצוא. ב .ההסתברות שהמוצר מיועד ליצוא. ג .ההסתברות שהמוצר לא יוצר על ידי פס הייצור הראשון ואינו מיועד לייצוא. )19במשחק "חיש -חש" אפשר לזכות ב ₪ 50 ,₪ 100-או לא לזכות כלל. ההסתברות לזכות במשחק בודד ב ₪ 100-היא ,0.2ההסתברות לזכות ב ₪ 50- היא 0.35וההסתברות לא לזכות כלל היא .0.45רועי משחק פעמיים .חשב את: א .ההסתברות שרועי יזכה ב ₪ 50-בסה"כ. ב .ההסתברות שרועי יזכה לפחות ב.₪ 100- ג .ההסתברות שרועי לא יזכה במשחק השני. 78 )20בכד א' יש 5כדורים אדומים ו 2-כדורים לבנים .בכד ב' יש 4כדורים אדומים ו 6-כדורים לבנים .בוחרים באקראי כד ומוציאים ממנו בזה אחר זה שני כדורים בלי החזרה. א .מה ההסתברות שיצאו שני כדורים בעלי אותו הצבע? ב .מה ההסתברות שהכדור השני הוא אדום? ג .מבין כל האפשרויות בהן הכדור השני הוא אדום ,מה ההסתברות שגם הכדור הראשון שיצא יהיה אדום? )21זורקים קוביית משחק פעם אחת .אם היא מראה מספר המתחלק ב 3-בלי שארית רושמים אותו אך אם היא מראה מספר אחר זורקים אותה שנית. חוזרים על הת הליך פעם שנייה ושלישית כאשר בפעם השלישית רושמים את המספר שהתקבל .חשב את ההסתברויות הבאות: א .המספר שנרשם הוא זוגי. ב .המספר שנרשם גדול מ.4- ג .המספר שנרשם מתחלק ב 3-בלי שארית. ד .המספר שנרשם לא מתחלק ב.3- )22ישנם שני כדים .בכד א' יש 4כדורים כחולים ו 2-כדורים צהובים ובכד ב' יש 3 כדורים כחולים ו 6-כדורים צהובים .זורקים קובייה .אם מתקבל מספר המתחלק ב 3-בלי שארית אז מוציאים כדור מכד א' ואם מתקבל מספר שאינו מתחלק ב 3-אז מוציאים כדור מכד ב' .לאחר מכן זורקים את הקובייה שנית וחוזרים על התהליך ומוציאים כדור שני( .ההוצאות הן בלי החזרה). א .מה ההסתברות שיבחרו שני כדורים כחולים? ב .מה ההסתברות שיבחרו שני כדורים צהובים? ג .מה ההסתברות שיבחרו שני כדורים מאותו הצבע? )23בכד יש 4כדורים ירוקים ו 2-כדורים לבנים .מוציאים כדור מהכד ,אם הוא ירוק אז משאירים אותו בחוץ ומוציאים כדור נוסף ואם הוא לבן אז מחזירים אותו לכד ולאחר מכן מוציאים כדור נוסף .חוזרים על התהליך פעם שנייה ולאחר מכן מוציאים כדור שלישי .חשב את ההסתברויות הבאות: א .מה ההסתברויות ששלושת הכדורים שהוצאו יהיו ירוקים? ב .מה ההסתברות ששלושת הכדורים שהוצאו יהיו בעלי אותו הצבע? ג .מה ההסתברות שיצאו לפחות שני כדורים ירוקים? ד .מה ההסתברות שיצא בדיוק כדור לבן אחד? )24בכד יש 8כדורים שחורים ו 5-כדורים סגולים .מוציאים בלי החזרה 3כדורים. מה ההסתברות שיצא לפחות כדור אחד סגול? 79 תרגילים עם נעלמים – כפל וחיבור הסתברויות ,דיאגרמת עץ: מציאת ההסתברות :P )25קלע יורה למטרה פעמיים .ההסתברות שיקלע בירייה בודדת היא .)P < 0.5( P מצא את Pאם ידוע כי ההסתברות שיקלע פעם אחת בדיוק היא .0.48 44% )26מעובדי מפעל הם מנהלים והשאר הם פועלים .ההסתברות שפועל מעשן היא 0.7וההסתברות שמנהל מעשן היא .Pבוחרים באקראי עובד מהמפעל. מצא את Pאם ידוע כי ההסתברות שהעובד שנבחר מעשן היא .0.48 )27במפעל מסוים המונה 5000עובדים 1500 ,הם מנהלים והשאר הם פועלים פשוטים. ההסתברות שמנהל מעשן היא Pוההסתברות שפועל מעשן היא .2P+0.1 בוחרים באקראי עובד .מצא את ההסתברות Pאם ידוע כי ההסתברות שהעובד שנבחר אינו מעשן היא .0.59 )28ההסתברות שקלע יפגע במטרה בירייה בודדת היא .Pהקלע יורה שתי יריות. מצא את Pאם ידוע כי ההסתברות שיפגע בשתי הפעמים קטנה פי 16 מההסתברות שיחטיא בשתיהן. )29שני צלפים יורים למטרה ירייה אחת .ידוע כי ההסתברות שהצלף הראשון יפגע גדולה פי 3מההסתברות שהצלף השני יפגע .מצא את ההסתברות של כל צלף לפגוע בירייה בודדת אם ידוע כי ההסתברות שבדיוק אחד מהם יפגע היא .0.66 )30במשחק "חיש חש" אפשר לזכות ב ₪ 100 ,₪ 200-או בכלום .ידוע כי ההסתברות לזכות ב ₪ 200-היא 0.1וההסתברות לזכות ב ₪ 100-היא .P שחקן משחק שני משחקים .ההסתברות שלא יזכה כלל גדולה פי 36 מההסתברות שיזכה ב.₪ 400- א .מצא את .P ב .חשב את ההסתברות של השחקן לזכות לפחות ב.₪ 200- )31שני שחקני שחמט משחקים שני משחקים .ידוע כי ההסתברות של השחקן הראשון לנצח במשחק בודד היא 0.36וההסתברות שינצח בתחרות כולה היא .0.2304 א .מצא את ההסתברות שהשחקן השני ינצח במשחק בודד. ב .חשב את ההסתברות שהתחרות כולה תסתיים בתיקו. 80 )32שני שחקני שחמט משחקים שני משחקים .ההסתברות של כל שחקן לנצח במשחק בודד היא זהה .ההסתברות שהשחקן הראשון ינצח לפחות במשחק אחד היא . 0.64מצא את ההסתברות של כל שחקן לנצח במשחק בודד. )33צלף יורה שלוש יריות למטרה .אם הצלף פוגע בירייה מסוימת אז ההסתברות שיפגע גם בירייה הבאה היא .Qאם הצלף מחטיא בירייה מסוימת אז ההסתברות שיפגע בירייה הבאה היא .Pהצלף מחטיא בירייה הראשונה .ידוע כי ההסתברות שה צלף יפגע בירייה השנייה והשלישית היא 0.12וההסתברות שהצלף יפגע בירייה השנייה ויחטיא בשלישית היא .0.18 א .מצא את Pו.Q- ב .חשב את ההסתברות שהצלף יפגע בירייה השלישית. ג .חשב את ההסתברות שהצלף יפגע בירייה אחת לפחות. )34שני שחקני כדורסל זורקים זריקה אחת לסל .ההסתברות שהשחקן הראשון יקלע היא Pוההסתברות שהשחקן השני יחטיא היא .)Q < 0.5( Q ידוע כי ההסתברות ששני השחקנים יקלעו היא 0.28וההסתברות ששני השחקנים יחטיאו היא .0.18מצא את Pו.Q- מציאת מספר :x )35בכד יש xכדורים 8 .מהם ירוקים והשאר כחולים .מוציאים באקראי עם החזרה שני כדורים מהכד .מצא את xאם ידוע כי ההסתברות להוציא שני כדורים ירוקים היא .0.64 )36בכד יש 12כדורים חלקם אדומים וחלקם שחורים .מוציאים עם החזרה שני כדורים מהכד .מצא את מספר הכדורים האדומים שבכד אם ידוע כי ההסתברות ששני הכדורים שהוצאו הם שחורים היא .4/9 )37במעטפה יש 8מכתבים .רובם מיועדים להישלח בתוך הארץ והשאר לחו"ל. מוציאים באופן אקראי מהמעטפה שני מכתבים בלי החזרה בזה אחר זה. מצא את מספר המכתבים המיועדים להישלח לחו"ל אם ידוע כי ההסתברות שהמכתב הראשון שהוצא מיועד לארץ והשני לחו"ל היא .3/14 )38בכד יש 8כדורים ירוקים והשאר כחולים .מוציאים עם החזרה שני כדורים מהכד .מצא כמה כדורים יש בכד אם ידוע כי ההסתברות להוציא שני כדורים בצבעים שונים היא 4/9ויש יותר כדורים ירוקים מכחולים. )39בתוך קלמר יש 5עפרונות ועוד xעטים .מוציאים כלי כתיבה מהקלמר ,אם הוא עפרון אז מחזירים אותו לק למר ומוציאים כלי כתיבה נוסף. אם הוא עט אז משאירים אותו בחוץ ומוציאים כלי כתיבה נוסף .מצא כמה עטים יש בקלמר אם ידוע כי ההסתברות להוציא שני עטים היא .1/6 81 )40בקופסא א' ישנם 5זוגות נעליים ו 3-זוגות מגפיים. בקופסא ב' יש 8פריטים x -זוג ות נעליים והשאר הם זוגות מגפיים. מוציאים באקראי מקופסא א' זוג כלשהו ומעבירים אותו לקופסא ב'. לאחר מכן מוציאים מקופסא ב' זוג .כמה זוגות נעליים יש בקופסא ב' אם ידוע כי ההסתברות להוציא בפעם השנייה זוג מגפיים היא .17/24 )41בקלמר יש 6עפרונות ו 3-עטים .בתיק יש 9כלי כתיבה x -עפרונות והשאר עטים .מוציאים באקראי מהקלמר כלי כתיבה ומכניסים אותו לתיק .לאחר מכן מוציאים מהתיק כלי כתיבה נוסף .מצא כמה עפרונות יש בתיק אם ידוע כי ההסתברות שכלי הכתיבה שהוצא מהקלמר שונה מכלי הכתיבה שהוצא מהתיק היא .13/30 )42בתוך כד ישנם 8כדור ים ,חלקם אדומים וחלקם לבנים .מוציאים באקראי כדור ,מניחים אותו בצד ומוציאים כדור נוסף .מצא כמה כדורים יש מכל צבע אם ידוע כי ההסתברות שהכדור השני שהוצא הוא לבן היא .3/8 )43בתוך כד ישנם 10כדורים ,חלקם צהובים וחלקם כחולים .מוציאים באקראי כדור ,מתבוננים בו ולאחר מכן מוציאים כדור נוסף .מצא כמה כדורים יש מכל צבע בכד אם ידוע כי ההסתברות שיצא לפחות כדור אחד כחול היא .44/45 )44בתוך שק ישנם 9כדורים ,חלקם סגולים וחלקם ירוקים .מוציאים באקראי כדור ,אם הוא סגול אז משאירים אותו בחוץ ואם הוא ירוק אז מחזירים אותו חזרה לכד .לאח ר מכן מוציאים כדור נוסף .מצא כמה כדורים מכל צבע יש בשק אם ידוע כי ההסתברות שהכדור השני שיבחר יהיה סגול היא .11/36 82 התפלגות בינומית ונוסחת ברנולי: תרגילים יסודיים: )45צלף יורה למטרה .ידוע כי מתוך 2000יריות הוא פוגע ב 1200-מהן. הצלף יורה 4יריות למטרה .חשב את ההסתברויות הבאות: א .שהצלף יפגע בדיוק פעמיים במטרה. ב .שהצלף יפגע במטרה בכל ארבעת הפעמים. ג .שהצלף יפגע לפחות פעמיים במטרה. ד .שהצלף לא יפגע במטרה כלל. )46ב 70%-מהמכוניות יש רדיו .בוחרים באקראי 5מכוניות. חשב את ההסתברויות הבאות: א .בדיוק ב 3-מתוך 5המכוניות יהיה רדיו. ב .בכל 5המכוניות יהיה רדיו. ג .ב 4-מתוך 5המכוניות יהיה רדיו. ד .לפחות ב 3-מכוניות יהיה רדיו. )47במכללה המונה 20,000סטודנטים ישנם 6000בנים והשאר בנות. בוחרים באקראי 5סטודנטים .חשב את ההסתברויות הבאות: א .מתוך 5הסטודנטים תהיה לכל היותר בת אחת. ב .מתוך 5הסטודנטים יהיה לכל היותר בן אחד. ג .יבחרו 3סטודנטים בנים מתוך החמישה. ד .יבחרו לכל היותר 3סטודנטים בנים. )48בבה"ס הספר 40%מהתלמידים הם בנים והשאר בנות. בוחרים באופן אקראי 4תלמידים .חשב את ההסתברויות הבאות: א .שנבחרו 2בנים ו 2-בנות. ב .שתבחר בת אחת. ג .שיבחרו יותר בנים מבנות. ד .שמספר הבנים שנבחרו יהיה שונה ממספר הבנות שנבחרו. )49רפי וגיל משחקים 4משחקי שש -בש .מתוך 60משחקים בודדים ששיחקו השניים ,ניצח רפי ב 48-פעמים .חשב את: א .ההסתברות שרפי ינצח במשחק אחד. ב .שגיל ינצח בתחרות. ג .שרפי ינצח בתחרות. ד .שהתחרות תסתיים בתיקו. 83 )50ט נק יורה טיל על חומה .ההסתברות שהטיל יפגע בחומה היא .0.6 כדי להפיל את החומה יש לפגוע בה לפחות עם 3טילים .הטנק יורה 4טילים. מה ההסתברות שהטנק יפיל את החומה? הוצאה עם החזרה: )51בתוך סל קניות יש 6תפוחים ו 4-תפוזים .מוציאים עם החזרה 4פירות מהסל. חשב את ההסתברויות הבאות: א .להוציא שני תפוחים ושני תפוזים. ב .להוציא 3תפוחים ותפוז אחד. ג .רוב הפירות שמוציאים יהיו תפוחים. ד .לא להוציא תפוחים כלל. )52בתוך קופסה יש 4כדורים אדומים ו 2-כדורים ירוקים. מוציאים עם החזרה 4כדורים מהקופסה .חשב את ההסתברויות הבאות: א .שכל הכדורים שהוצאו הם מאותו הצבע. ב .שהוצאו לפחות שני כדורים ירוקים ולכל היותר 3כדורים ירוקים. ג .שהוצא לפחות כדור אחד אדום ולכל היותר 3כדורים אדומים. )53בתוך קלמר יש 8עפרונות ו 2-עטים .מוציאים עם החזרה 5כלי כתיבה מהקלמר. א .הראה כי ההסתברות להוציא 3עפרונות ו 2-עטים גדולה פי 4 מההסתברות להוציא 2עפרונות ו 3-עטים. ב .חשב את ההסתברות להוציא 5כלי כתיבה מאותו הסוג. ג .חשב את ההסתברות להוציא כלי כתיבה שונים. בעיות שונות – התפלגות בינומית אחת: )54זורקים קובייה 4פעמים .חשב את ההסתברויות הבאות: א .שיתקבל בכל פעם המספר .4 ב .שיתקבל בדיוק פעמיים המספר .3 ג .שיתקבל פעמיים מספר הקטן מ .4- ד .שיתקבל בכל ארבעת הפעמים מספר המתחלק ב 3-בלי שארית. )55במבחן יש 5שאלות ולכל שאלה 3תשובות שרק אחת מהן נכונה. א .מה ההסתברות לענות נכון בניחוש על כל השאלות? ב .מה ההסתברות לקבל ציון של 60במבחן? ג .נניח שתלמיד יודע את התשובות הנכונות ל 2-מתוך 5השאלות. מה ההסתברות שתלמיד זה יקבל 100במבחן? ד .מה ההסתברות שהתלמיד בסעיף הקודם יקבל ציון של 60לפחות? 84 )56ההסתברות ששחקן כדורסל יקלע לסל בזריקה בודדת היא .0.7השחקן זורק כדורים עד שהוא קולע 4פעמים .מה ההסתברות שהשחקן יזרוק בדיוק 6כדורים? )57זורקים קובייה עד שהמספר 5מתקבל בדיוק 4פעמים. מה ההסתברות לזרוק את הקובייה בדיוק 5פעמים? תרגילים הכוללים שתי התפלגויות בינומיות: )58בעיר מסוימת 40%מהגברים מרכיבים משקפיים ו 30%-מהבנות מרכיבות משקפיים. א .בוחרים באקראי 4גברים .מה ההסתברות שבדיוק 3מהם מרכיבים משקפיים? ב .בוחרים באקראי 5נשים .מה ההסתברות שלכל היותר אישה אחת תרכיב משקפיים? ג .מה ההסתברות שמבין 4הגברים ו 5-הנשים שנבחרו יהיו בדיוק 3 גברים שמרכיבים משקפיים ואישה אחת לכל היותר שמרכיבה משקפיים? 2 )59קלעים יורים למטרה .ההסתברות שהקלע הראשון יפגע היא 0.9וההסתברות שהקלע השני יפגע היא .0.6הקלע הראשון יורה 5יריות והקלע השני יורה 3 יריות .חשב את ההסתברויות הבאות: א .שהקלע הראשון יפגע בדיוק ב 2-יריות והקלע השני יפגע רק בירייה אחת במטרה. ב .שני הקלעים יפגעו כל אחד 3פעמים במטרה. ג .שני הקלעים לא יפגעו כלל במטרה. ד .שני הקלעים יפגעו אותו מספר פגיעות כל אחד במטרה. )60בכד א' יש 4כדורים לבנים ו 6-כדורים שחורים .בכד ב' יש 8כדורים לבנים ו 2- כדורים שחורים .מוציאים באקראי 4כדורים עם החזרה מכד א' ו 5-כדורים עם החזרה מכד ב'. א .הראה כי ההסתברות להוציא שני כדורים לבנים ושני כדורים שחורים מכד א' גדולה פי 54מההסתברות להוציא כדור לבן אחד ו 4-כדורים שחורים מכד ב'. ב .חשב את ההסתברות להוציא 4כדורים שחורים מכד א' וגם מכד ב'. ג .חשב את ההסתברות להוציא 3כדורים שחורים מכד א' וגם מכד ב'. ד .מה היא ההסתברות להוציא לפחות 3כדורים שחורים מכד א' וגם מכד ב'? 85 )61במשפחה מרובת ילדים 40%מהבנים ו 30%-מהבנות היו בחופשה בחו"ל. בוחרים באקראי 5בנים ו 5-בנות. א .חשב את ההסתברות שבדיוק בן אחד ובת אחת היו בחו"ל. ב .חשב את ההסתברות שבדיוק שני בנים היו בחו"ל ואף אחת מהבנות שנבחרו לא הייתה בחו"ל. ג .חשב את ההסתברות שכל הבנים שנבחרו לא היו בחו"ל ו 2-בנות היו בחו"ל. ד .חשב את ההסתברות שבדיוק 2מתוך 10הילדים שנבחרו היו בחו"ל. )62זורקים שתי קוביות משחק – אחת ירוקה והשנייה כחולה 4 ,פעמים כל אחת. חשב את ההסתברויות הבאות: א .שיתקבל מספר הגדול מ 4-פעם אחת בקובייה הירוקה ו 3-פעמים בקובייה הכחולה. ב .שיתקבל המספר 5בשתי הקוביות בכל הזריקות שלהן. ג .שיתקבל מספר זוגי בקובייה הירוקה ב 3-מתוך 4הזריקות שלה ומספר אי-זוגי בקובייה הכחולה ב 3-מתוך 4הזריקות שלה. ד .שיתקבל מספר הגדול מ 3-לפחות 3פעמים בקובייה הירוקה ולכל היותר 3פעמים בקובייה הכחולה. תרגילים מורכבים – מציאת ההסתברות להצלחה בניסיון בודד: )63כדי להתקבל למגמת הנדסה במכללת חולון סטודנט צריך לעבור לפחות אחד משני מבחנים .ההסתברות להצליח במבחן הראשון היא 0.2וההסתברות להצליח במבחן השני היא .0.5בוחרים 5סטודנטים שרוצים להתקבל למגמה הנ"ל. א .מה ההסתברות שסטודנט בודד יתקבל למגמה? ב .מה ההסתברות ששניים מתוך 5הסטודנטים יתקבלו למגמה? ג .מה ההסתברות שלפחות 2מתוך 5הסטודנטים יתקבל למגמה? )64בעיר מסוימת המונה 500,000תושבים ,ישנם 300,000גברים והשאר נשים. ידוע כי 40%מהגברים מעשנים ו 90%-מהנשים מעשנות. א .בוחרים תושב באופן אקראי .מה ההסתברות שהוא תושב מעשן? ב .בוחרים 5מהתושבים הנ"ל. .1מה ההסתברות שלכל היותר תושב אחד הוא מעשן? .2מה ההסתברות שכל התושבים שנבחרו הם מעשנים? 86 )65א .מצא את ההסתברות שבמשפחה שבה 5ילדים יהיו בדיוק 3בנות אם ידוע כי ההסתברויות להולדת בן ובת זהים. ב .מבין כל המשפחות בעיר מסוימת בעלות 5ילדים ומתוכן 3בנות ,בוחרים באקראי 4משפחות. .1מה ההסתברות שבדיוק ל 3-מהמשפחות הנ"ל יהיו 3בנות? .2מה ההסתברות שלפחות ל 3-משפחות מהמשפחות הנ"ל יהיו 3בנות? )66בכיתה שבה 45תלמידים ישנם 18בנים .בוחרים באקראי 3תלמידים מהכיתה. א .מה ההסתברות שתבחרנה בדיוק שתי בנות? ב .חוזרים על התהליך הנ"ל כל חצי שנה. מה ההסתברות שבמשך שנתיים יבחרו רק פעם אחת שתי בנות ובן? תרגילים המכילים התפלגות שבה יותר משתי אפשרויות בניסיון בודד: 3 )67פאות של קובייה הן אדומות .פאה אחת היא כחולה ועוד שתי פאות הן צהובות .זורקים את הקובייה 4פעמים. א .מה ההסתברות לקבל ב 3-מתוך 4הזריקות צבע אדום? ב .מה ההסתברות לקבל לכל היותר פעם אחת צבע כחול? ג .מה ההסתברות לקבל בכל 4הזריקות את הצבע הצהוב? ד .מה ההסתברות לקבל צבע זהה בכל 4הזריקות? )68שחקן שחמט מנוסה מנצח ב 70%-מהמשחקים ,ב 20%-מהם הוא נשאר בתיקו ובשאר הוא מפסיד .השחקן משחק בטורניר 4משחקים ברצף. א .מה ההסתברות שהשחקן ינצח ב 3-מתוך 4המשחקים? ב .מה ההסתברות שהשחקן יסיים בתיקו בכל 4המשחקים? ג .מה ההסתברות שהשחקן יפסיד לכל היותר במשחק אחד? ד .מה ההסתברות שהשחקן ינצח לפחות ב 3-משחקים? )69בכד יש 4כדורים שחורים 3 ,כדורים לבנים ו 3-כדורים כחולים. מוציאים עם החזרה 5כדורים מהכד. א .הראה כי ההסתברות שבדיוק 2כדורים יהיו לבנים זהה להסתברות שבדיוק 2כדורים יהיו כחולים. ב .מה ההסתברות שבדיוק 4כדורים הם לבנים? ג .מה ההסתברות שבדיוק 4כדורים הם שחורים? ד .מה ההסתברות שבדיוק 4כדורים יהיו מאותו הצבע? 87 )70אדם מתקשר לחברו .ההסתברות שהחבר יענה לטלפון היא ,0.6ההסתברות שהקו יהיה תפוס היא 0.3וההסתברות שלא יענה כלל היא .0.1מתקשרים 4 פעמים .חשב את ההסתברויות הבאות: א .פעמיים בדיוק הקו יהיה תפוס. ב .לכל היותר פעם אחת לא יענו. ג .החבר יענה לטלפון בכל 4הפעמים. ד .החבר יענה לשיחה לכל היותר 3פעמים. )71צובעים את הפאות של סביבון בעל 8פאות כך 3 :פאות באדום 2 ,פאות בכחול, 2פאות בירוק ופאה אחת בצהוב. א .מה ההסתברות שמתוך 4פעמים שמסובבים את הסביבון הוא לא ייפול אף פעם על פאה אדומה? ב .מה ההסתברות שמתוך 5פעמים שמסובבים את הסביבון הוא ייפול 4 פעמים על פאה כחולה? ג .מה ההסתברות שמתוך 3פעמים שמסובבים את הסביבון הוא ייפול לפחות פעמיים על פאה צהובה? ד .מה ההסתברות שמתוך 4פעמים שמסובבים את הסביבון הוא ייפול פעם אחת לכל היותר על פאה ירוקה? תרגילים הכוללים נעלמים – התפלגות בינומית: )72אם מוציאים מתוך פס ייצור לקיסמי שיניים 4קיסמי שיניים ההסתברות שכולם פגומים היא .0.0001 א .מה ההסתברות להוציא קיסם שיניים פגום מפס הייצור? ב .מה ההסתברות שמתוך 4הקיסמים כולם יהיו תקינים? ג .מה ההסתברות שמתוך 4הקיסמים שניים בדיוק יהיו פגומים? )73מבדיקה של משרד הרישוי נמצא כי מתוך 2000נבחנים שעשו טסט ראשון, 1400עברו בהצלחה. א .חשב את ההסתברות להצליח לעבור את בחינת הנהיגה. ב .חשב את ההסתברות לבחור 5תלמידים שמתוכם 3עברו את בחינת הנהיגה. ג .חשב את ההסתברות לבחור 4תלמידים שמתוכם אף אחד לא עבר את בחינת הנהיגה. )74אם בוחרים 4תושבים מעיר מסוימת אז ההסתברות שלפחות אחד מהם ירכיב משקפיים היא .0.8704 א .חשב את ההסתברות שתושב אחד ירכיב משקפיים. ב .בוחרים 5תושבים .מה ההסתברות שלפחות 4מהם ירכיבו משקפיים? 88 )75ההסתברות להוציא עפרון מקלמר היא Pוהיא יותר גדולה מההסתברות להוציא כלי כתיבה אחר .ידוע שמבין שני כלי כתיבה שמוציאים מהקלמר עם החזרה ההסתברות שאחד מהם בדיוק יהיה עפרון היא .0.32 א .מצא את .P ב .חשב את ההסתברות שמתוך 5כלי כתיבה שמוציאים מהקלמר אף אחד לא יהיה עפרון. )76קלע יורה למטרה 4פעמים .ההסתברות שלו לפגוע בירייה בודדת היא .P א .מצא את Pאם ידוע כי ההסתברות של הקלע לפגוע פעמיים שווה להסתברות שלו לפגוע 3פעמים. ב .מצא את ההסתברות של הקלע לפגוע פעם אחת במטרה. )77בעיר מסוימת ההסתברות שלמשפחה יהיה מחשב בבית היא .Pבוחרים באקראי 5משפחות מעיר זו. א .מצא את Pאם ידוע כי ההסתברות שלשתי משפחות בדיוק יהיה מחשב קטנה פי 4מההסתברות של 3-משפחות יהיה מחשב. ב .הראה כי ההסתברות של 4-משפחות בדיוק יהיה מחשב גדולה פי 2 מההסתברות של 3-משפחות בדיוק יהיה מחשב. )78ההסתברות להצליח במבחן מסוים היא .Pידוע שאם בוחרים 3תלמידים אז ההסתברות שלושתם יעברו את המבחן קטנה פי 16מ.P- א .מצא את .P ב .חשב את ההסתברות ששלושתם יכשלו במבחן. טבלה דו מימדית: תרגילים הכוללים הסתברות מותנה: )79בעיר מסוימת 70%מהתושבים תומכים בקיום פעילויות אחה"צ לילדים. ל 60%-מהתושבים יש ילדים בבית ול 40%-אין ילדים כלל. ל 36%-מהתושבים יש ילדים והם תומכים בקיום פעילויות אחה"צ. א .מה הוא אחוז התושבים שאינם תומכים בקיום פעילויות אחה"צ ויש להם ילדים? ב .מה הוא אחוז התומ כים בקיום הפעילויות מבין התושבים שיש להם ילדים? ג .מה הוא אחוז התושבים שאינם תומכים בקיום פעילויות אחה"צ לילדים מבין התושבים שאין להם ילדים? 89 )80במכללה המונה 16,000סטודנטים ,נערכו שני מבחני סוף סמסטר. 9600סטודנטים עברו את המבחן הראשון ו 20%-מהם עברו את השני. 1920סטודנטים עברו את שני המבחנים. א .מה הוא אחוז הסטודנטים שלא עברו אף מבחן? ב .מה הוא אחוז הסטודנטים שעברו את המבחן הראשון מבין אלו שעברו את המבחן השני? ג .מה הוא אחוז הסטודנטים שעברו את המבחן השני מבין אלו שעברו את המבחן הראשון? ד .מה הוא אחוז הסטודנטים שלא עברו אף מבחן מבין אלו שלא עברו את המבחן הראשון? )81בחברה מסוימת מספר הנשים גדול פי 3ממספר הגברים .ידוע כי ההסתברות לבחור עובד שהוא מרכיב משקפיים היא 30% .0.4מבין העובדים שמרכיבים משקפיים הם גברים. א .מה ההסתברות לבחור עובד שהוא אישה שאינה מרכיבה משקפיים? ב .בוחרים עובד באקראי ,ידוע שנבחר גבר .מה ההסתברות שהוא מרכיב משקפיים? ג .בוחרים עובד באקראי ,ידוע שהעובד שנבחר מרכיב משקפיים. מה ההסתברות שזו אישה? )82במדינה מסוימת 60%מהאזרחים בעד הממשלה ו 40%-הם נגד. 48%מהאזרחים הם גמלאים ו 25%-מהגמלאים בעד הממשלה. א .מה הוא אחוז האזרחים שאינם גמלאים מבין אלה שנגד הממשלה? ב .בוחרים אזרח באקראי .ידוע כי הוא בעד הממשלה. מה ההסתברות שהוא לא גמלאי? ג .בוחרים אזרח באקראי .ידוע כי הוא נגד פעולות הממשלה. מה ההסתברות שהוא גמלאי? )83מחצית מתלמידי התיכון נעזרים במורים פרטיים. בסוף השנה נערך מבחן מסכם והתברר כי 60%מבין התלמידים שנעזרו במורים פרטיים עברו את המבחן בהצלחה 20% .מהתלמידים שלא נעזרו במורים פרטיים נכשלו במבחן. א .איזה אחוז מתלמידי התיכון עברו את המבחן בהצלחה? ב .איזה אחוז מבין התלמידים שלא נעזרים במורים פרטיים עברו את המבחן? ג .בוחרים באופן אקראי תלמיד .ידוע כי הוא נכשל במבחן. מה ההסתברות שהוא לא נעזר במורים פרטיים? 90 )84מספר הבנות במכללה גדול פי 1.5ממספר הבנים 20% .מהבנים לומדים מקצוע הומאני ,ו 36%-מכלל הסטודנטים לומדים מקצוע ריאלי. א .מה הוא אחוז הבנות שלומדות מקצוע ריאלי? ב .בוחרים באופן אקראי סטודנט .ידוע כי נבחרה בת. מה ההסתברות שהיא לומדת מקצוע הומאני? ג .מה הוא אחוז הבנים מבין כל אלו שלומדים מקצוע הומאני? תרגילים הניתנים לפתירה גם על ידי דיאגרמת עץ: )85במפעל מסוים 3 7 מהעובדים הם נשים ו 4 -הם גברים. 7 70%מהנשים הן מעשנות ו 7 -מהגברים מעשנים. 8 א .מה הוא אחוז העובדים שלא מעשנים במפעל? ב .בוחרים עובד וידוע כי נבחר עובד מעשן .מה ההסתברות שזו אישה? ג .מבין העובדים שלא מעשנים ,מה ההסתברות לבחור גבר? )86בכפר מסוים 2 3 מהתושבים הם גברים ו 1 -הם נשים. 3 ידוע כי 60%מהגברים מרכיבים משקפיים ו 25%-מהנשים לא מרכיבות משקפיים. א .מה ההסתברות להיתקל בגבר שלא מרכיב משקפיים בכפר? ב .בוחרים באקראי תושב .ידוע כי נבחרה אישה. מה ההסתברות שהיא מרכיבה משקפיים? ג .בוחרים באקראי תושב. .1מה ההסתברות שהוא מרכיב משקפיים? .2פי כמה גדול אחוז הגברים שמרכיבים משקפיים מאחוז הנשים שמרכיבות משקפיים? )87בכד יש 8כדורים כחולים ו 4-כדורים ירוקים .מוציאים באקראי בלי החזרה שני כדורים מהכד. א .מה ההסתברות להוציא שני כדורים כחולים? ב .מה ההסתברות שהכדור השני שיצא הוא כחול? ג .אם ידוע שהכדור השני שהוצא הוא כחול ,מה ההסתברות שהכדור הראשון גם יהיה כחול? )88בכד יש 10כדורים צהובים ו 4-כדורים שחורים. מוציאים באקראי בלי החזרה שני כדורים מהכד. א .מה ההסתברות להוציא שני כדורים צהובים? ב .מה ההסתברות שהכדור השני שיצא הוא צהוב? ג .אם ידוע כי הכדור השני שהוצא הוא צהוב ,מה ההסתברות שגם הראשון הוא צהוב? 91 )89בכד א' יש 5כדורים לבנים ו 3-כדורים שחורים .בכד ב' יש 4כדורים לבנים וכדור אחד שחור .מוציאים כדור מכד א' .אם הוא שחור אז מוציאים כדורים נוסף מכד א' ואם הוא לבן אז מוציאים כדור מכד ב' .ידוע כי הכדור השני שהוצא הוא שחור .חשב את ההסתברות שהכדור הוצא מכד ב'. )90בכד א' יש 3כדורים ירוקים ו 2-כדורים אדומים .בכד ב' יש 4כדורים ירוקים וכדור אחד אדום .מוציאים כדור מכד א' .אם הוא ירוק אז מוציאים כדור נוסף מכד א' ואם הוא אדום אז מוציאים כדור מכד ב' .ידוע שהכדור השני שהוצא הוא אדום .מה ההסתברות שהוא הוצא מכד א'? )91בכד יש 5כדורים אדומים 3 ,כדורים כחולים ו 2-כדורים צהובים. מוציאים בלי החזרה שני כדורים מהכד. א .מה ההסתברות להוציא שני כדורים אדומים? ב .מה ההסתברות להוציא שני כדורים מאותו הצבע? ג .ידוע כי שני הכדורים שהוצאו הם מאותו הצבע ,מה ההסתברות שהם אדומים? )92בכד יש 6כדורים אדומים 3 ,כדורים לבנים ו 2-כדורים סגולים. מוציאים בלי החזרה שני כדורים מהכד .ידוע כי שני הכדורים שהוצאו הם בעלי אותו הצבע ,מה ההסתברות ששניהם סגולים? )93קלע יורה שתי יריות למטרה .ההסתברות שיפגע בירייה הראשונה היא .0.6 אם הוא פגע בירייה הראשונה אז ההסתברות ש יפגע גם בשנייה היא .0.8 אם הוא החטיא בירייה הראשונה אז ההסתברות שיפגע בשנייה היא .0.5 א .מה ההסתברות שהקלע יפגע בירייה אחת בדיוק? ב .מה ההסתברות שהקלע יפגע בירייה השנייה? ג .ידוע כי הקלע פגע בירייה השנייה ,מה ההסתברות שהוא פגע גם בירייה הראשונה? ד .ידוע כי הקלע פגע בירייה השנייה ,מה ההסתברות שהוא פגע במטרה פעם אחת בדיוק? )94בארץ מסוימת כל יום הוא יום שמש או יום גשום. ההסתברות ליום שמש לאחר יום שמש היא 0.4וההסתברות ליום גשום לאחר יום גשום היא .0.7ביום ראשון היה גשום. א .מה ההסתברות שהיום השלישי יהיה גם גשום? ב .ידוע כי היום השלישי הוא גשום ,מה ההסתברות שהיום השני יהיה יום שמש? 92 תרגילים בהסתברות מותנה ונוסחת בייס עם נעלם אחד: )95בעיר מסוימת המונה 200,000תושבים ידוע כי 120,000מהם מרכיבים משקפיים. מחצית מהתושבים שמעשנים הם מרכיבים משקפים ו 20%-מהתושבים שמרכיבים משקפיים הם מעשנים. א .מהו אחוז התושבים שמעשנים? ב .מהו אחוז התושבים שמעשנים ומרכיבים משקפיים? ג .מהו אחוז התושבים שלא מעשנים ולא מרכיבים משקפיים? 45% )96מהסטודנטים באוניברסיטה משתמשים במחשב נייד והשאר משתמשים במחברות. 4 9 מבין הסטודנטים שמשתמשים במחשב נייד אינם מרכיבים משקפיים והסטודנטים שמשתמשים במחברות ולא מרכיבים משקפיים מהווים 60%מכלל הסטודנטים שלא מרכיבים משקפיים. א .מהו אחוז הסטודנטים שמשתמשים במחשב נייד ולא מרכיבים משקפיים? ב .מהו אחוז הסטודנטים שמשתמשים במחברות מבין אלו שמרכיבים משקפיים? ג .מה ההסתברות לבחור סטודנט שלא מרכיב משקפיים? )97בחברה מסוימת עובדים פי 4גברים מנשים. ל 75%-מהגברים אין תואר שני ו 6 -מבין העובדים בלי תואר שני הם גברים. 7 א .מהו אחוז הגברים בחברה בלי תואר שני? ב .בוחרים באקראי עובד .ידוע כי יש לו תואר שני. מה ההסתברות שזו אישה? ג .הראה כי ההסתברות להיתקל באקראי באישה העובדת בחברה זהה להסתברות להיתקל בגבר עם תואר שני. )98במפעל מסוים יש פי 3עובדים גברים מנשים .ל 2 -מהנשים יש רישיון נהיגה 7 ומספר הגברים בעלי הרישיון במפעל מהווים 6 7 מכלל העובדים עם רישיון. א .הראה כי למחצית מהעובדים יש רישיון נהיגה. ב .מה ההסתברות לבחור גבר מבין העובדים בלי רישיון נהיגה? ג .מה ההסתברות לבחור אישה בלי רישיון מבין כל הנשים העובדות במפעל? 93 תרגילים בהסתברות מותנה ונוסחת בייס עם שני נעלמים: )99בעיר מסוימת 45%מהתושבים הם גברים ו 55%-הם נשים. 3 8 מבין מרכיבי המשקפים בעיר הם גברים ו 50%-מהתושבים שאינם מרכיבים משקפיים הם נשים. א .מהו אחוז מרכיבי המשקפיים בעיר? ב .בוחרים באקראי תושב .ידוע כי הוא גבר .מה ההסתברות שהוא מרכיב משקפיים? ג .פי כמה גדולה ההסתברות לפגוש אישה שלא מרכיבה משקפיים מגבר שמרכיב משקפיים? )100במשחק כדורגל 27%מהצופים הם ילדים והשאר מבוגרים. 40%מבין האוהדים של קבוצה א' הם ילדים ו 80%-מבין האוהדים של קבוצה ב' הם מבוגרים .לאיזו קבוצה יש יותר אוהדים? תרגילים הכוללים טבלה עם שלוש עמודות: )101בארץ מסוימת יש 3מפלגות – מפלגה א' ,ב' ו-ג' .בבחירות מצביעים גברים ונשים. ידוע כי 55%מהאזרחים הם גברים 60% .מהאזרחים הצביעו למפלגה א'. 15%הצביעו למפלגה ב' ו 25%-הצביעו למפלגה ג' 75% .מבין המצביעים למפלגה א' הם גברים ו 80%-מבין המצביעים למפלגה ג' הם נשים. א .מצא איזה חלק מהגברים הצביע למפלגה א'. ב .מצא איזה חלק מהנשים הצביע למפלגה ב'. )102במפעל מסוים מייצרים שוקולד ווניל על ידי 3מכונות .מכונה א' מייצרת 80% מהמוצרים .מכונה ב' מייצרת 6%מהמוצרים ומכונה ג' מייצרת .14% ידוע כי מכונה א' מייצרת 80%ממוצרי הווניל ומכונה ב' מייצרת פי 5יותר ממוצרי הווניל מאשר מוצרי השוקולד .סך כל מוצרי הווניל שהמפעל מייצר הם 76% מכלל המוצרים. א .מהו אחוז מוצרי השוקולד המיוצרים על ידי מכונה ב' ? ב .איזה חלק מבין מוצרי השוקולד מיוצרים על ידי מכונה א' ? ג .איזה חלק מבין המוצרים של מכונה ג' מהווים מוצרי הווניל ? )103במשק יש תרנגולים ,אפרוחים ואווזים מפוטמים .עקב בצורת קשה 47% מהעופות איבדו משקל רב .אחוז האווזים במשק הוא .20%ידוע כי 75% מהאפרוחים ומהאווזים ירדו במשקל ו 1/6-מהתרנגולות ירדו גם כן במשקל. א .מה הוא אחוז התרנגולים במשק? ב .מה ההסתברות לבחור תרנגול שלא איבד משקל כלל? ג .בוחרים עוף מהמשק .ידוע כי הוא לא איבד משקל כלל. מה ההסתברות שהוא אפרוח? 94 תרגילי חישוב הכוללים שימוש בנוסחאות בהסתברות: A )104ו B-הם שני מאורעות בלתי תלויים בניסוי מקרי .נתון. P(A) 0.9 , P(B) 0.4 : חשב את :א P(A B) .ב. P(A B) . A )105ו B-הם שני מאורעות בלתי תלויים בניסוי מקרי. נתון . P(A B) 0.3 , P(B) 0.5 :חשב את: א. P(A) . ב. P(A B) . ג. ). P(A B ד. )( . P(A Bרמז :אם Aו B-בלתי תלויים אז גם Aו B -בלתי תלויים). A )106ו B-הם שני מאורעות בלתי תלויים בניסוי מקרי. נתון . P(A B) 0.92 , P(A) 0.8 :חשב את: א. P(B) . ב. P(A B) . ג. הראה כי מתקיים התנאי. P(A B) P(A) : A )107ו B-הם שני מאורעות בניסוי מקרי. נתון. P(A B) 0.1 , P(A) 0.4 , P(B) 0.75 : א .הוכח כי המאורעות Aו B-הם בלתי תלויים. ב .חשב את. P(A B) : (הסתמך על הטענה כי אם Aו B-בלתי תלויים אז גם Aו B -בלתי תלויים). A )108ו B-הם שני מאורעות בניסוי מקרי. 3 3 2 , P( A ) נתון, P(B) : B 8 4 5 א. P(A) . ב. ג. . P( B A) חשב את: ). P(A B ). P(A B A )109ו B-הם שני מאורעות בניסוי מקרי. P A 4 14 נתוןB 1 : . P(A B) , P(A B) , 15 15 2 P B A חשב את ) P(Aואת ). P(B 95 A )110ו B-הם שני מאורעות בניסוי מקרי. נתון B 2 : P B 5 A P A . P(A B) 0.15 , P(A B) 0.55 , חשב את ) P(Aואת ). P(B A )111ו B-הם שני מאורעות בניסוי מקרי. נתון. P(A) P(B) , P(A B) 0.18 , P(A B) 0.72 : חשב את ) P(Aואת ) P(Bאם ידוע כי המאורעות Aו B-הם בלתי תלויים. A )112ו B-הם שני מאורעות בניסוי מקרי. נתון. P(A) P(B) , P(A B) 0.24 , P(A B) 0.86 : חשב את ) P(Aואת ) P(Bאם ידוע כי המאורעות Aו B-הם בלתי תלויים. תרגילי הוכחה בעזרת נוסחאות ההסתברות: A )113ו B-הם מאורעות הניסוי מקרי .נתון. A B : א .הוכח. P(A) P A B P(B) : ב A .ו B-הם מאורעות תלויים. A )114ו B-הם שני מאורעות בניסוי מקרי .הוכח: א. P(A B) P(A B) P(A) . ב. . P(A B) P(A) 1- P B A A )115ו B-הם שני מאורעות בניסוי מקרי .הוכח. P A B P A B 1 : A )116ו B-הם שני מאורעות בניסוי מקרי .נתון . P(A) 0.7 , P(B) 0.9 :הוכח: א. 0.9 P(A B) 1 . ב. 0.6 P(A B) 0.7 . A )117ו B-הם שני מאורעות בניסוי מקרי .נתון . P(A) 0.4 , P(B) 0.7 :הוכח: א. 0.1 P(A B) 0.4 . ב. 0.7 P(A B) 1 . 96 )118בניסוי מקרי ההסתברות למאורע Aהיא P(A) 0.4 :וההסתברות למאורע Bהיא . P(B) 0.2 :הוכח: א. . 0.4 P(A B) 0.6 ב. . 0.8 P(A B) 1 A )119ו B-הם שני מאורעות בניסוי מקרי .נתון . P(A) 0.3 , P(B) 0.8 :הוכח: א. 0.1 P(A B) 0.3 . ב. P B A 1 . ג. 1 3 1 3 . P AB 8 8 A )120ו B-הם שני מאורעות בניסוי מקרי שמרחב המדגם שלו הוא . הוכח: .A B -A B א. ב. ). P(A B) 1 P(A) P(B) P(A B ג. אם Aו B-הם מאורעות בלתי תלויים אז גם Aו B -יהיו בלתי תלויים. )121א .הוכח בעזרת דיאגרמת וון את הנוסחה: ). P(A B) P(A) P(B) P(A B ב .הוכח בעזרת דיאגרמת וון כי כאשר Aו B-הם קבוצות זרות אז מתקיים. P(A B) P(A) P(B) : A )122ו B-הם שני מאורעות בניסוי מקרי. הוכח כי הנתונים הבאים הם בלתי אפשריים לקיום: . P(A) 0.6 , P(B) 0.8 , P(A B) 0.7 97 תשובות סופיות: )1 א 0.1288 .ב0.7912 . )4א. 1 9 )6א. 1 512 )9א. 1 7 )12א. 1 30 29 81 ב. 135 ב. 512 ב. 1 21 ב. א0.384 . )14 )16א0.16 . ג )2 . 0.0112 .א. 49 81 ג. ד )5 . 2 .א. 9 0.116 ג )7 . 23 .א. 0.15 1 29 ב. 128 4 ג. 21 29 30 1 64 )10א. ג )13 . 2 .א. 3 0.448 ב. 24 145 9 64 ב. ב. ג )3 . 9 .א. 32 ג. 0.432 0.568 ג 0.2.ד )11 . 97 .א. 145 ב 0.072 .ג. 13 25 5 ד.0.876 . ג )8 .0.63 .א. 0.15 9 25 ב. ג. 2 . 3 28 ב. 295 448 ג. 223 448 253 1435 ב. 71 287 ג. 1182 1435 ד. 561 . 1435 ד.0.212 . 0.164 ב 0.056 .ג 0.176 .ד )15 . 0.964 .א 0.24 .ב 0.24 .ג.0.4 . ב 0.72 .ג 0.36 .ד )17 . 0.28 .א 0.28 .ב 0.36 .ג.0.04 . )18א 0.03 .ב0.47 . ג )19 . 0.33 .א. 1 8 )21א .ב 23 .ג 19 .ד. 2 54 27 27 )25 . 115 )24 143 P 0.6 )26 0.315 )22 .א. P 0.2 ב. 73 405 )27 0.4825 ג )20 .0.45 .א. 52 105 118 405 ג )23 . 191 .א. 1 5 ב. P 0.2 405 )28 P 0.2 39 70 ב. ב. 32 135 , P2 0.3 )29 ג. 64 . 117 ג. 52 75 ד. 37 . 75 . P1 0.9 )30א P 0.3 .ב )31 .0.28.א P 0.5 .ב. P 0.4 )32 .0.3796 . )33א P 0.3 , Q 0.4 .ב 0.33 .ג. x 10 )35 P 0.7 , Q 0.6 )34 .0.51 . 5 )42 . x 5 )41 . x 2 )40 . x 4 )39 .12 )38 .2 )37 .4 )36אדומים ו 3-לבנים. 8 )43כחולים ו 2-צהובים 3 )44 .סגולים ו 6-ירוקים. )45א 0.3456 .ב 0.1296 .ג 0.8208 .ד.0.0256 . )46א 0.3087 .ב 0.16807 .ג 0.36015 .ד.0.83692 . )47א 0.03078 .ב 0.52822 .ג 0.1323 .ד.0.96922 . )48א 0.3456 .ב 0.1536 .ג 0.1792 .ד.0.6544 . )49א 0.0256 .ב 0.0272 .ג 0.8192 .ד.0.4752 )50 .0.1536 . )51א 0.3456 .ב 0.3456 .ג 0.4752 .ד )52 .0.0256 .א. )53ב 0.328 .ג )54 .0.672 .א. )57 .0.21609 )56 5 1944 1 1296 ב. 25 216 3 8 ג . .ד. 1 81 17 81 ב. 32 81 )55 .א. ג. 64 . 1 243 81 ב. 40 243 ג. 1 27 ד. 19 27 . )58 .א 0.1536 .ב 0.52822 .ג.0.08113 . )59א 0.0023 .ב 0.0157 .ג 6.4 107 .ד )60 .0.0193 .ב 0.00082 .ג 0.0176 .ד.0.02752 . )61א 0.09335 .ב 0.05808 .ג 0.024 .ד.0.17543 . )62 256 א. 6561 )64א. )66 ב. P 0.6 1053 א. 2365 5.95 107 ג 0.0625 .ד.0.2929. )63אP 0.6 . ב)65 .0.07776 .2 0.08704 .1 . ב )67 .0.304 .א. 1 4 5 א. 16 ב 0.86805 .ג. )68א 0.4116 .ב 0.0016 .ג 0.9477 .ד.0.6517 . 98 1 81 P ב 0.2304 .ג.0.91296 . ב.0.09346 .2 0.08392 .1 . ד.0.0756 . .0.1335 . ד0.0768 . ג0.02835 .) ב69 . 189 .ד 256 11 256 .ג 15 1024 625 4096 .ב .) א71 .0.8074 . ד0.1296 . ג0.9477 . ב0.2646 .) א70 P 0.1 .) א72 .0.0081 . ג0.3087 . בP 0.7 .) א73 .0.0486 . ג0.6561 .ב .0.1536 . בP 0.6 .) א76 .0.00032 . בP 0.8 .) א75 .0.08704 .ב .15% . ג60% . ב24% .) א79 . 27 .ב P 64 1 4 P 0.4 .) א74 .) א78 P 0.8 .) א77 .0.7 . ג0.48 . ב0.47 .) א81 . 80% . ד20% . ג60% . ב32% .) א80 P .12.5% .ג 14 15 .1.6 .2 .P 7 13 . ב4% .) א84 P 0.65 .1 .ג )89 . P 9 13 1 . ג80% . ב70% .) א83 .0.9 .ג 3 P 0.75 .ב .ג P 5 7 .P . P 18 .ב 67 P 0.67 .ב 1 19 P 4 .א 15 P 45 91 )86 . P .) א88 . P )92 . P 5 .ג 7 .) א94 . P 5 .ג 14 5 17 .ד P P 14 45 12 17 0.8 . ב10% .) א82 P 0.375 .ב 7 . גP 2 11 3 .ב .ג P 2 9 .ב 20% .) א85 P 14 33 .) א87 .) א91 . P 15 )90 19 P 0.68 .ב P 0.32 .) א93 . P 1 . ב60% .) א97 . P 0.5 . ג50% . ב20% .) א96 .28% . ג12% . ב24% .) א95 3 .') ב100 .2 פי.ג . 8 .ג 53 P 0.4 P 1 3 . ב40% .) א99 . P 5 .ג . ב48% .) א103 . 51 . ג0.8 . ב1% .) א102 70 7 P 2 9 .ב P P 9 14 9 11 .) ב98 .) א101 .0.48 . ב0.6 .) א106 .0.7 . ד0.2 . ג0.8 . ב0.6 .) א105 .0.94 . ב0.36 .) א104 . P(A) 0.4 , P(B) 0.8 )109 .0.88 . ג0.32 . ב0.8 .) א108 .0.9 .) ב107 . P(A) 0.8 , P(B) 0.3 )112 P(A) 0.3 , P(B) 0.6 )111 . P(A) 0.2 , P(B) 0.5 )110 99 פרק – 6גאומטריה אוקלידית: רקע ,קווים וזוויות ,משולשים: שאלות: )1נתון, CAB DAC : O O . EAB 80 , FAD 60 חשב את הזויות הבאות: . FAB , EAC , CAB FAE 2 EAD )2חשב את סכום הזויות הבאות (נמק): . 2 4 6 )3מצא את זוגות הישרים המקבילים בשרטוט הבא (נמק). תשובות סופיות: FAB 120 , EAC 50 , CAB 30 )1 . d c , a c , e f )3 180 )2 משולש כללי ,משולש שווה שוקיים ,משולש ישר זווית: משפטים כלליים במשולשים: .1סכום הזוויות במשולש הוא .180O .2סכום שתי צלעות במשולש גדול מהצלע השלישית. .3במשולש מול הזווית הגדולה נמצאת הצלע הגדולה ולהפך. במשולש מול הזווית הקטנה נמצאת הצלע הקטנה ולהפך. במשולש מול זוויות שוות נמצאות צלעות שוות ולהפך. 100 משפטים במשולש שווה שוקיים: .1במשולש שווה שוקיים זוויות הבסיס שוות זו לזו. (משפט הפוך) משולש שבו שתי זוויות שוות הוא משולש שווה שוקיים. .2במשולש שווה שוקיים חוצה זווית הראש ,הגובה לבסיס והתיכון לבסיס מתלכדים. (משפט הפוך) משולש שבו חוצה זווית הוא גם גובה או חוצה זווית הוא גם תיכון או גובה הוא גם תיכון הוא משולש שווה שוקיים. משפטים במשולש שווה צלעות: הגדרה :משולש שבו כל הצלעות שוות הוא משולש שווה צלעות. .1במשולש שווה צלעות כל הזוויות שוות . 60 ( .2משפט הפוך) משולש שבו כל הזוויות שוות הוא משולש שווה צלעות. שאלות: A )4המשולש ABCשבציור הוא משולש שווה שוקיים ).(AB=AC AGחוצה את זווית . A Mהיא נקודה כלשהי על .AG הוכח כי.BM = CM : C )5המשולש ABCשבציור הוא משולש שווה שוקיים ).(AB=AC AGו BP-חוצים את הזוויות Aו ABC -בהתאמה. הנקודה Qנמצאת על המשך .AG P נתון.GM = GQ : הוכח. B1 B3 : C M G A M 1 2 G Q 101 B 3 B חפיפת משולשים: הגדרה: משולשים חופפים הם משולשים ששווים זה לזה בכל צלעותיהם ובכל זוויותיהם בהתאמה. D AB DE , AC DF , BC EF ABC DEF A D, B E, C F A F E C B משפטי החפיפה: .1משפט חפיפה צלע-זווית -צלע (צ.ז.צ) :אם בין שני משולשים שוות שתי צלעות והזווית שביניהן בהתאמה אז המשולשים חופפים. .2משפט חפיפה זווית-צלע -זווית (ז.צ.ז) :אם בין שני משולשים שוות שתי זוויות והצלע שביניהן בהתאמה אז המשולשים חופפים. .3משפט חפיפה צלע-צלע -צלע (צ.צ.צ) :אם בין שני משולשים שוות שלוש צלעות בהתאמה אז המשולשים חופפים. .4משפט חפיפה צלע-צלע -והזווית הגדולה (צ.צ.ז) :אם בין שני משולשים שוות שתי צלעות והזווית שמול הצלע הגדולה מביניהן בהתאמה אז המשולשים חופפים. שאלות: A )6בציור נתון. AC EC , DC BC : הוכח: א. CDE CBA . ב. ADE ABE . D C )7בציור נתון. DBC ACB , ABC DCB : הוכח. AB DC : E B A D E C B A )8בציור נתון. AC DE , AB BE AD : הוכח :הנקודה Dהיא אמצע הצלע . BC C B D 102 E זווית חיצונית למשולש ומשולש ישר זווית: זווית חיצונית למשולש: הגדרה: זווית חיצונית למשולש היא זווית הכלואה בין צלע במשולש להמשך צלע הסמוכה לה. משפט :זווית חיצונית למשולש שווה לסכום שתי הזוויות הפנימיות שאינן צמודות לה. משפטים במשולש ישר זווית: .1סכום הזוויות החדות במשולש ישר זווית הוא . 90 .2במשולש שזוויותיו , 30 , 60 , 90הניצב שמול הזווית של ה 30 -שווה למחצית היתר. ( .3משפט הפוך ל ) 2-אם במשולש ישר זווית אחד הניצבים שווה למחצית היתר, אז הזווית שמול ניצב זה היא בת . 30 .4במשולש ישר זווית התיכון ליתר שווה למחצית היתר. ( .5משפט הפוך ל :) 4-אם במשולש תיכון שווה למחצית הצלע אותה הוא חוצה, אז המשולש ישר זווית (כאשר הזווית ממנה יוצא התיכון היא הזווית הישרה). .6משפט פיתגורס :במשולש ישר זווית סכום ריבועי הניצבים שווה לריבוע היתר. כלומר(2 :יתר) = (2ניצב) (2 +ניצב). ( .7משפט הפוך למשפ ט פיתגורס) אם במשולש סכום ריבועי שתי צלעות שווה לריבוע הצלע השלישית ,אז המשולש ישר זווית. שאלות: )9הוכח את המשפט" :זווית חיצונית למשולש שווה לסכום שתי הזוויות הפנימיות שאינן צמודות לה". A )10המשולש ABCשבציור הוא משולש שווה צלעות. נתון.AN = BM : הוכח. NQC 60o : N Q C 103 M B )11המשולש ABCשבציור הוא משולש שווה שוקיים ).(AB = AC נתון 18 , ABD 30o , DAC 90o :ס"מ = .BC חשב את אורכו של הקטע .BD A C B D )12המשולש ABCשבציור הוא משולש ישר זווית ( .) ABC 90o BQהוא הגובה ליתר ACו BP-הוא התיכון ליתר .AC B נתון. BQ 12 BP : חשב את גודלה של הזווית . C Q C A P )13המשולש BDCשבציור הוא משולש שווה שוקיים ).(BD=DC B ACחוצה את הזווית . BAEנתון. DC AE : חשב את גודלה של הזווית . ACB C D E AD )14הוא גובה במשולש .ABC נתון. BC 25cm , AC 20cm , AB 15cm : A A א .מצא את אורכו של ADואת שטח המשולש .ABC ב .האם המשולש ABCישר זווית? נמק. C )15המשולש ABCהוא שווה שוקיים . AB AC על השוק ACועל הבסיס BCבונים משולשים שווי צלעות ACEו.BCD- מחברים את הנקודה Dעם הקדקודים Aו.E- א .הוכח. ABD ACD : ב .ידוע גם כי. DE BC : הוכח. ADE 90 : תשובות סופיות: C 75 )12 BD 6cm )11 ACB 90 )13 )14א SABC 150cm , AD 12cm .ב .כן. 2 104 D B קטעים מיוחדים במשולש: קטע אמצעים במשולש: הגדרה :קטע המחבר אמצעי שתי צלעות במשולש נקרא קטע אמצעים במשולש. .1קטע אמצעים במשולש מקביל לצלע השלישית ושווה למחציתה. ( .2משפט הפוך :) 1קטע היוצא מאמצע צלע במשולש ומקביל לצלע השלישית חוצה את הצלע השנייה (כלומר הוא קטע אמצעים במשולש). ( .3משפט הפוך :) 2קטע המחבר שתי צלעות במשולש ,מקביל לצלע השלישית ושווה למחציתה הוא קטע אמצעים במשולש. מפגש התיכונים במשולש: .1שלושת התיכונים במשולש נפגשים בנקודה אחת המחלקת כל תיכון ביחס של 1:2כך שהחלק הקצר קרוב לצלע. .2אם נקודה מחלקת תיכון (אחד) במשולש ביחס של 1:2כך שהחלק הקצר קרוב לצלע ,נקודה זו היא מפגש התיכונים במשולש. .3נקודת מפגש התיכונים במשולש נקראת גם מרכז הכובד של המשולש. A שאלות: )16הקטע MNהוא קטע אמצעים במשולש . ABC AQהוא גובה לצלע .BC 1 N 2 3 הוכח. N1 N2 : C AF )17הוא גובה לצלע BCו CG -הוא תיכון לצלע במשולש . ABCהקטע GHמאונך לצלע . BC א .הוכח. BH HF : ב .נתון בנוסף כי הגובה AFחוצה את התיכון GCושגודלו של AFהוא 12ס"מ. חשב את אורך הקטע . EF )16בEF 3cm . . MQ 3cm )17 105 B Q A AB G E C )18המשולש ABCשבציור הוא מש"ש ( ) AB AC שבו AHהוא הגובה לבסיס ,CD .BCהתיכון C לשוק ,ABיוצר זווית של 30oעם הבסיס .BC נתון . DQ BC , BC 12 3 cm :חשב את אורך הקטע .MQ תשובות סופיות: P M B H F A Q D M H B מרובעים: הגדרה :מרובע הוא מצולע בעל 4צלעות. משפט :סכום הזוויות במרובע הוא . 360o מקבילית: הגדרה :מקבילית היא מרובע שבו שני זוגות של צלעות נגדיות מקבילות. תכונות המקבילית: .1במקבילית כל שתי צלעות נגדיות שוות זו לזו. A B .2במקבילית כל שתי זוויות נגדיות שוות. .3במקבילית סכום כל שתי זוויות סמוכות הוא .180 D C .4במקבילית האלכסונים חוצים זה את זה. .5היקף מקבילית סכום הצלעות ,שטח מקבילית צלע גובה לצלע. כדי להוכיח כי מרובע הוא מקבילית נשתמש באחת הדרכים הבאות: .1מרובע שבו כל זוג צלעות נגדיות מקבילות הוא מקבילית. .2מרובע שבו כל זוג צלעות נגדיות שוות הוא מקבילית. .3מרובע שבו זוג צלעות שוות ומקבילות הוא מקבילית. .4מרובע שבו כל זוג זוויות נגדיות שוות הוא מקבילית. .5מרובע שאלכסוניו חוצים זה את זה הוא מקבילית. מלבן: הגדרה :מלבן הוא מרובע שכל זוויותיו ישרות. (מסקנה :מלבן הוא סוג של מקבילית). תכונות המלבן (בנוסף לתכונות המקבילית): B A C D .1ארבע זוויות המלבן שוות והן זוויות ישרות. .2האלכסונים במלבן שווים זה לזה .3היקף מלבן סכום הצלעות ,שטח מלבן צלע גובה לצלע. 106 כדי להוכיח כי מרובע הוא מלבן נשתמש באחת הדרכים הבאות: .1מרובע שבו שלוש זוויות ישרות הוא מלבן. .2מקבילית שבה זווית ישרה היא מלבן. .3מקבילית שבה האלכסונים שווים היא מלבן. מעוין: A הגדרה :מעוין הוא מרובע שכל צלעותיו שוות. (מסקנה :מעוין הוא סוג של מקבילית). תכונות המעוין (בנוסף לתכונות המקבילית): A B B C D D .1במעוין כל הצלעות שוות. C .2במעוין האלכסונים מאונכים זה לזה. .3במעוין האלכסונים הם חוצי זוויות. .4היקף מעוין צלע ,4 שטח מעוין צלע גובה לצלע (/2 אלכסון אלכסון). כדי להוכיח כי מרובע הוא מעוין נשתמש באחת הדרכים הבאות: .1מרובע שבו כל הצלעות שוות הוא מעוין. .2מקבילית שבה שתי צלעות סמוכות שוות היא מעוין. .3מקבילית שבה האלכסונים מאונכים זה לזה היא מעוין. .4מקבילית שבה אלכסון חוצה זווית היא מעוין (מספיק אחד). B A ריבוע: הגדרה :ריבוע הוא מרובע שכל צלעותיו שוות וכל זוויותיו שוות. (מסקנה :ריבוע הוא סוג של מקבילית ,סוג של מלבן וסוג של מעוין). C מכאן ,שבנוסף לתכונות שבהגדרת הריבוע מתקיים כי אלכסוני הריבוע חוצים זה את זה ,שווים זה לזה ,מאונכים זה לזה וחוצים את זוויות הריבוע. היקף ריבוע צלע ,4 שטח ריבוע (2 צלע) (2/2 אלכסון) כדי להוכיח כי מרובע הוא ריבוע נשתמש באחת הדרכים הבאות: .1מלבן שבו האלכסונים מאונכים הוא ריבוע. .2מלבן שבו אלכסון חוצה זווית הוא ריבוע. 107 D .3מלבן שבו שתי צלעות סמוכות שוות הוא ריבוע. .4מעוין שבו האלכסונים שווים הוא ריבוע. .5מעוין שבו זווית ישרה הוא ריבוע. טרפז: הגדרה :טרפז הוא מרובע שבו זוג אחד בלבד של צלעות נגדיות מקבילות. היקף טרפז סכום הצלעות ,שטח טרפז (/2 גובה סכום הבסיסים). טרפז כללי: טרפז ישר זווית: טרפז שווה שוקיים: משפטים הנוגעים לטרפז שווה שוקיים: .1בטרפז שווה שוקיים הזוויות שליד אותו בסיס שוות זו לזו. ( .2משפט הפוך) טרפז שבו הזוויות שליד אותו בסיס שוות זו לזו הוא טרפז שווה שוקיים. .3בטרפז שווה שוקיים האלכסונים שווים זה לזה. ( .4משפט הפוך) טרפז שבו האלכסונים שווים זה לזה הוא טרפז שווה שוקיים. קטע אמצעים בטרפז: הגדרה :קטע אמצעים בטרפז הוא קטע המחבר את אמצעי השוקיים בטרפז. .1קטע אמצעים בטרפז מקביל לבסיסים ושווה למחצית סכומם. ( .2משפט הפוך) קטע היוצא מאמצע שוק אחת בטרפז ומקביל לבסיסים ,חוצה את השוק השנייה (כלומר הוא קטע אמצעים בטרפז). 108 A דלתון: הגדרה :דלתון הוא מרובע שבו שני זוגות של צלעות סמוכות שוות. (מסקנה :דלתון הוא מרובע שניתן לפרק לשני משולשים B שווי שוקיים בעלי בסיס משותף). D C תכונות האלכסונים בדלתון: .1האלכסון הראשי בדלתון חוצה את זוויות הראש ,חוצה את האלכסון המשני ומאונך לו. .2האלכסון הראשי אינו בהכרח גדול מהאלכסון המשני. .3היקף דלתון סכום הצלעות ,שטח דלתון (/2 אלכסון אלכסון). משפחת המרובעים: 109 A שאלות: )1המשולשים ABCו ACD -שבציור הם משולשים שווי שוקיים ( .) AB AC AD נתון. BAD 80o : חשב את גודלה של הזווית . BCD B D C )2נתונה מקבילית ABCDשאלכסוניה נפגשים בנקודה . M נתון. AC 20cm , BC 12 DB , DQ AC : חשב את אורך הקטע . AQ B A Q M C D )3את הצלע ABבמקבילית ABCDהאריכו כאורכה עד לנקודה . T הוכח BTCD :מקבילית. A B )4נתון מלבן ABCDשבו . DM MC הוכח. MAB MBA : M D C )5נתונה מקבילית ABCDובה CM , BQ , APו DN -הם חוצי הזוויות C , B , Aו D -בהתאמה. הוכח TRLS :מלבן. )6נתון מעוין ABCDשאלכסוניו נפגשים בנקודה . M האריכו את הצלע ABעד לנקודה Eכך B שמתקיים. ED DB : A הוכח. AD AE : M )7נתון מלבן ABCDשאלכסוניו נפגשים בנקודה . M האריכו את הצלע ABכאורכה עד לנקודה Fואת הצלע ADכאורכה עד לנקודה Eכמתואר בשרטוט. הוכח :המרובע EBDF E הוא מעוין. C D E A B M C 110 D F )8המרובע ABCDהוא מקבילית שבה אורך הצלע AB גדולה פי 2מהצלע .ADממשיכים את הצלע ADעד לנקודה Kומחברים אותה לקודקוד .B מעבירים את הקטע FEכך ש F-היא אמצע הקטע .BK EFחותך את הצלע ABבנקודה Gומקביל לצלע .AD א .הוכח כי המרובע AGEDהוא מעוין. ב .שטח המעוין AGEDהוא 20סמ"ר. חשב את שטח המרובע DCBK אם ידוע כי Aהיא אמצע הקטע .DK E B )9בריבוע ABCDנתון כי . AE BF הוכח. DE AF : A M F D C A )10נתון מעוין ABCDשאלכסוניו נפגשים בנקודה . M E 1 נתון. EBA 15o , MB AB , AE FC : 2 הוכח :המרובע EBFD B הוא ריבוע. M D F C )11נתון טרפז ABCDשאורכי צלעותיו נתונים בשרטוט. חשב את שטח הטרפז (פתור כתרגיל חישוב). B 5cm A 13cm 20cm D C 26cm A B )12נתון מלבן ABCDשאלכסוניו נפגשים בנקודה . O נתון. MN DC : הוכח DMNC :טרפז שווה שוקיים. N O C 111 M D )13המרובע ABCDהוא טרפז ישר זווית . A 90הנקודה Mנמצאת על אמצע האלכסון BDשל הטרפז וממנה מעבירים את הקטעים MEו MF-השווים זה לזה ומחברים אותה עם הקודקוד .A נתון כי ME MF :וכי. DFM 90 : א .הוכח. AFM MBE : ב .נתון כי. AE FD 1 , BC 32 : כמו כן. AM BC : .1מצא את אורך הקטע .BE .2חשב את שטח הטרפז .ABCD KN )14הוא קטע אמצעים בטרפז ישר זווית ( ) AD AB , AB DCשאלכסוניו נפגשים בנקודה . O ABCD A B O נתון. AD 12cm , DC 2 AB , ADB 45O : חשב את אורך הקטע . LM N M K L D C A )15בדלתון ABCDהאריכו את האלכסון המשני משני צדיו כמתואר בשרטוט כך שמתקיים: . KD BL הוכח :המרובע ALCKהוא דלתון. L B M C תשובות סופיות: BCD 140 )1 186 )11סמ"ר = S )8 AQ 5cm )2ב 60 .סמ"ר. )13ב 3 .1 .ס"מ 24 .2 .סמ"ר. LM 6cm )14 . 112 D K המעגל: הגדרות: מעגל – המקום הגאומטרי של כל הנקודות שמרחקן מנקודה קבועה קבוע. הנקודה הקבועה נקראת מרכז המעגל. רדיוס – קטע המחבר את מרכז המעגל עם נקודה על המעגל. מיתר – קטע המחבר שתי נקודות שעל המעגל. קוטר – מיתר העובר במרכז המעגל. מרכז המעגל היקף מעגל = . 2 R מיתר שטח מעגל = . R 2 קשת – חלק מהיקף המעגל. גזרה – חלק משטח המעגל. זווית מרכזית – זווית שקדקודה במרכז המעגל ושוקיה רדיוסים. זווית היקפית – זווית שקדקודה על היקף המעגל ושוקיה מיתרים. משפטים במעגל: משפטים העוסקים במיתרים במעגל: .1מיתרים שווים נשענים על קשתות שוות ולהפך. .2על מיתרים שווים נשענות זוויות מרכזיות שוות ולהפך. .3מיתרים שווים נמצאים במרחקים שווים ממרכז המעגל. ( .4משפט הפוך ל ) 3-מיתרים הנמצאים במרחק שווה ממרכז המעגל שווים. .5אנך למיתר ממרכז המעגל חוצה את המיתר. ( .6משפט הפוך ל ))1( 5-רדיוס החוצה מיתר מאונך לו. ( .7משפט הפוך ל )) 2( 5-קטע היוצא מאמצע מיתר ומאונך לו ,עובר במרכז המעגל. 113 משפטים העוסקים בזוויות במעגל: .8שתי זוויות היקפיות הנשענות על אותה קשת/קשתות שוות ,שוות ביניהן. ( .9משפט הפוך ל )8-זוויות היקפיות שוות נשענות על קשתות שוות. .10זווית היקפית שווה למחצית הזווית המרכזית הנשענת על אותה קשת. .11זווית היקפית הנשענת על קוטר היא זווית ישרה. ( .12משפט הפוך ל ) 11-מיתר עליו נשענת זווית היקפית ישרה הוא קוטר. משפטים העוסקים במשיק למעגל ושני משיקים למעגל: .13משיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה. ( .14משפט הפוך ל )13-קטע המאונך לרדיוס בקצהו משיק למעגל. .15שני משיקים למעגל היוצאים מאותה נקודה שווים זה לזה. .16קטע המחבר את מרכז המעגל עם נקודה שממנה יוצאים שני משיקים חוצה את הזווית בין המשיקים. .17הזווית הכלואה בין משיק למיתר שווה לזווית ההיקפית הנשענת על המיתר מצדו השני. משפטים העוסקים בשני מעגלים: .18קטע המרכזים של שני מעגלים נחתכים חוצה את המיתר המשותף ומאונך לו. .19קטע המרכזים (או המשכו) של שני מעגלים משיקים עובר בנקודת ההשקה. משפטים העוסקים במעגל חוסם ומעגל חסום: .20מרכז מעגל החוסם משולש הוא מפגש האנכים האמצעיים במשולש. .21מרכז מעגל החסום במשולש הוא מפגש חוצי הזווית במשולש. .22במרובע החסום במעגל ,סכום כל שתי זוויות נגדיות הוא .180o ( .23משפט הפוך ל )22-אם במרובע סכום זוג זוויות נגדיות הוא ,180oהמרובע בר חסימה במעגל. .24במרובע החוסם מעגל סכום זוג צלעות נגדיות שווה לסכום הזוג השני. ( .25משפט הפוך ל ) 24-אם במרובע סכום זוג צלעות נגדיות שווה לסכום הזוג השני אז ניתן לחסום בתוכו מעגל. .26כל מצולע משוכלל ניתן לחסום במעגל וניתן לחסום בתוכו מעגל. 114 שאלות: AB ,CD )1ו KL-הם מיתרים במעגל שמרכזו , Oוהם חותכים את הקטע ,MGהעובר במרכז המעגל ,בנקודות E ,F ו M-בהתאמה .נתון. KL CD , CF FD : א .הוכח. KM ML : ב .נתון בנוסף כי , AB MG הוכח. MO OE : G A K C O E F . ML EB M D L B 550 )2חשב את גודל הזוויות ו -במעגל הנתון. β 500 400 AB )3ו BC-הם מיתרים במעגל שמרכזו . O נתון. BA OC , AGC 60o : חשב את גודלה של הזווית . AOC BC ,AD ,AC ,AB )4ו CD-הם מיתרים במעגל שמרכזו ( Oהמיתר ADעובר ב.)O- הקטע BEחותך את המיתר ACבנקודה .G נתון. BE CD , BG GE : הוכח. BC CD : )5המרובע ABCDהוא מלבן החסום במעגל. מהקדקוד Dמעבירים את המיתר DFהחותך את הצלע ABבנקודה .Eידוע כי. AF CF : הצלע ADשל המלבן תסומן ב. a - א .הוכח כי המשולש DAEהוא שווה שוקיים. ב .נתון גם כי. BC BF : .1הבע באמצעות aאת רדיוס המעגל. .2חשב את הזוויות המרכזיות של הקשתות( AB ; BC :אין צורך לסרטט אותן). 115 α A G C B O A B G C O E D )6מהנקודה Aשעל היקף המעגל מעבירים את המיתרים AC , ABו .AD-הקטע BEחותך את המיתר ADבנקודה Eכך שהקטעים DEו BC-שווים. המיתרים ACו BD-שווים זה לזה. א .הוכח. ABC BED : ב .1 .הוכח כי המשולש ABEהוא שווה שוקיים. .2הוכח כי. BAE CBA 180 : B )7הצלעות AD ,ABו DC-של המקבילית ABCDמשיקות למעגל בנקודות L , Bו K-בהתאמה (ראה שרטוט). נתון. KC 6cm , BC 14cm : חשב את היקף המקבילית. A L C K D A )8הצלעות ACו BC-של המשולש ABCמשיקות למעגל שמרכזו , Oבנקודות Kו B-בהתאמה. הצלע ABעוברת בנקודה .O נתון. AB 15cm , AK KC : א .חשב את גודלה של זווית . A ב .חשב את אורכו של רדיוס המעגל. K O C B H B )9הקדקודים Bו C-של המלבן ABCDמונחים על מעגל. הצלע ADמשיקה למעגל בנקודה Gוהצלע AB חותכת את המעגל בנקודה .Hהוכח. C2 C3 : (הדרכה :סמן .) AGH G 2 1 3 C AB )10הוא קוטר במעגל שמרכזו .O מהנקודה Aמעבירים את המיתרים ACו AG-ואת המשיק ADכך שהמשולש ACDשווה שוקיים. הישר CDחותך את היקף המעגל בנקודה ,Eאת המיתר AGבנקודה Fועובר דרך מרכז המעגל .O המיתר BGמקביל לישר החותך .CD א .חשב את זוויות המשולש .ACD ב .הוכח כי. AF FG : ג .רדיוס המעגל יסומן ב . R -הוכח כי. DC 3R : 116 A D )11המעגלים שמרכזיהם Mו G-משיקים מבחוץ זה לזה ומשיקים מבפנים למעגל שמרכזו .O נתון כי רדיוס המעגל שמרכזו Oהוא . 8cm חשב את היקף המשולש . OMG O M G AD )12הוא התיכון לצלע BCבמשולש .ABC א .הוכח :אם מרכז המעגל החסום במשולש ABC נמצא על ADאז המשולש ABCהוא שווה שוקיים. ב .בהמשך לסעיף א' ,האם מרכז המעגל החוסם את משולש ABCנמצא על ?AD )13חשב את גודלה של הזווית בשרטוט הבא: 350 550 500 α 300 )14בטרפז ישר זווית ABCDשבו השוק ADמאונכת לבסיסים ABו DC-הנקודות Kו L-נמצאות על הצלעות DCו AD-בהתאמה ,כך שהקטעים BKו CL-הם חוצי הזוויות ו C -בהתאמה .חוצי הזוויות נפגשים בנקודה .M הוכח :את המרובע DKMLניתן לחסום במעגל. )15המרובע ABCDחסום במעגל. המשכי המיתרים ABו ED-נפגשים בנקודה .F הקטע FDחותך את היקף המעגל בנקודה Eכך שמתקיים. AB AE : נתון כי הזווית BCDהיא ישרה. א .הוכח כי הקטע DFשווה לקוטר המעגל. נתון כי DF BF :וכי רדיוס המעגל הוא 12ס"מ. ב .הוכח כי המרובע AEDBהוא טרפז. ג .חשב את היקף הטרפז .AEDB )16חשב את גודלו של xבשרטוט הבא: 117 B תשובות סופיות: . AOC 40 )3 35 , 95 )2 2 )5ב 1.3a .1 . 2 )8אA 30 . 70 )13 AB 135 .2 R a 1 ; BC 45 ב 5 .ס"מ )10 .א30 , 30 , 120 . 48 )7ס"מ = . P 16 )11ס"מ = . P )15ג 60 .ס"מ. x 2 )16 . פרופורציה דמיון: פרופורציה: משפט תאלס: .1שני ישרים מקבילים החותכים שוקי זווית מקצים עליהן קטעים פרופורציוניים. .2משפט הפוך :אם שני ישרים החותכים שוקי זווית מקצים עליהן קטעים פרופורציוניים הישרים מקבילים. AD AE .3משפט תאלס +ההפוך: DB EC E . DE BC AD AE DE .4משפט תאלס המורחב +ההפוך: AB AC BC A D C . DE BC BE AE AB .5משפט תאלס "שעון חול" +ההפוך: ED EC DC B A B . AB DC E D C משפט חוצה הזווית: .6חוצה זווית במשולש מחלק את הצלע שמול הזווית ביחס הזהה ליחס בין הצלעות שביניהן הוא כלוא ולהפך. אםA1 A2 : AB AC אז: BD DC ולהיפך. 118 A 2 1 C D B דמיון משולשים: הגדרה: משולשים דומים הם משולשים ששווים זה לזה בכל זוויותיהם ושצלעותיהם שומרות בהתאמה על אותו יחס. DEF F E, C A ABC D, B AB AC BC DE DF EF D A F E C B משפטי הדמיון: .1משפט דמיון זווית -זווית (ז.ז) :אם בין שני משולשים שוות שתי זוויות אז המשולשים דומים. .2משפט דמיון צלע -זווית -צלע (צ.ז.צ) :אם בין שני משולשים שתי צלעות שומרות על אותו יחס והזוויות שבניהן שווה אז המשולשים דומים. .3משפט דמיון צלע -צלע -צלע (צ.צ.צ) :אם בין שני משולשים שלוש הצלעות שומרות על אותו יחס אז המשולשים דומים. .4משפט דמיון צלע -צלע -והזווית הגד ולה (צ.צ.ז) :אם בין שני משולשים שתי לצעות שומרות על אותו יחס והזווית שמול הצלע הגדולה מביניהם שווה אז המשולשים דומים. יחס בין גדלים במשולשים דומים: .1בין שני משולשים דומים היחס בין הגבהים ,התיכונים ,חוצי הזווית ,ההיקפים, רדיוס המעגל החוסם ורדיוס המעגל החסום הוא כיחס הדמיון. .2היחס בין שטחי משולשים דומים הוא ריבוע יחס הדמיון. 119 פרופורציות במשולש ישר זווית: .1במשולש ישר זווית ,הגובה ליתר בריבוע שווה למכפלת היטלי הניצבים על היתר. .2במשולש ישר זווית ,ניצב בריבוע שווה למכפלת היתר והיטל הניצב על היתר. ( .3משפט הפוך ל ) 1-אם במשולש גובה לצלע אחת בריבוע שווה למכפלת היטלי הצלעות האחרות על צלע זאת ,המשולש ישר זווית. פרופורציות במעגל: .1אם שני מיתרים מחתכים במעגל ,אז מכפלת קטעי המיתר האחד שווה למכפלת קטעי המיתר השני. .2אם מנקודה שמחוץ למעגל יוצאים שני חותכים למעגל ,אז מכפלת חותך אחד בחלקו החיצוני שווה למכפלת החותך השני בחלקו החיצוני. .3אם מנקודה שמחוץ למעגל יוצאים חותך ומשיק למעגל ,אז מכפלת החותך בחלקו החיצוני שווה לריבוע המשיק. שאלות: )1מצא את ערכו של xבשרטוטים הבאים: ב. א. )2בטרפז ABCDהאלכסונים נפגשים בנקודה .Q בנקודה Qהעבירו קטע המקביל לבסיסי הטרפז וחותך את שוקי הטרפז בנקודות Mו N-כמתואר בשרטוט. נתון. QB 3cm , DQ 9cm , DC 18cm : C חשב את גודל הקטע . MQ 120 A B N Q M D AK MC AL )3בשרטוט נתון: KC BM LB A . א .הוכח :המרובע KLMCהוא מקבילית. ב .נתון. BC 10cm , AL 1.5BL : K L חשב את אורך הקטע .LK C B M H )4הטרפז ABCDהוא שווה שוקיים. חוסמים מעגל בתוך הטרפז אשר משיק לו בנקודות F ,Eו G-כמתואר באיור. הקטעים DFו CE-חוצים את זוויות הטרפז ונחתכים בנקודה .M א .הוכח כי הנקודה Mהיא מרכז המעגל החסום. ב .חשב את זוויות הטרפז. ג .ממשיכים את GFואת ADכך שהם נפגשים בנקודה .H EM חשב את היחס FH G B A E F M C D . )5במשולש ABCמעבירים את התיכונים BDוCE- אשר נפגשים בנקודה .Mבמשולש BDCמעבירים את התיכונים CLו BK-הנפגשים בנקודה .O א .הוכח כי. 3LM BL : ב .הוכח כי. AC MO : ג .נתון . SBLC 27 :חשב את שטח המשולש .MOL A )6הנקודות C ,B ,Aו D-מונחות על היקפו של מעגל שמרכזו .O הרדיוס DOחוצה את הזווית . BOC נתון. BC 10cm , AC 12cm , AB 8cm : חשב את אורכו של הקטע .MN O C M D 121 N B )7במעגל שרדיוסו הוא 10ס"מ המיתרים ABו BC-מאונכים זה לזה. הנקודה Dהיא אמצע הקשת . BC הקטע ADחותך את המיתר BCבנקודה .E אורך המיתר ABהוא 12ס"מ. א .חשב את אורך הקטע .BE מהנקודה Dמעבירים מיתר החותך את המיתר BC בנקודה Fומקביל למיתר .AB ב .הוכח כי מיתר זה עובר דרך מרכז המעגל. ג .חשב את אורך הקטע .FE )8נתון משולש .ABCהקטע AEחוצה את זווית Aשל המשולש. ממשיכים את AEעד לנקודה Dכך שנוצר המשולש .BDC Fהיא נקודה על הצלע BCהמקיימת. DF FE DC : הצלע ABמקבילה לצלע .DC א .הוכח כי. AC EF : ב. AB FE הוכח: BE CE ג. הָ ְמשך את הקטע DFעד לנקודה Hשעל הצלע .AB ידוע כי המרובע ACDHהוא בר חסימה. חשב את זוויות המשולש .DEF . )9במשולש ABCהעבירו את הקטע הוכח. AKB ABC : BK כך ש. AKB ABC - A K B C A הצלע BK )10נתונה מקבילית . BKMCהמשיכו את הקטע ACחותך את הצלע KMבנקודה . L הוכח. LC BC LM AC : עד לנקודה . A L M C 122 K B )11מעבירים משיק AEלמעגל הנתון באיור. מנקודת ההשקה מעבירים את המיתרים ABוAC- כך שנוצר המשולש .ABCידוע כי. AC BC : המשך המיתר BCנפגש עם המשיק בנקודה .E המיתר ABחוצה את זווית . CBD א .הוכח כי הקטע BDמקביל למיתר .AC ב .הוכח ABD CBA :וכתוב את יחס הדמיון. ג. DE BD הוכח: BE AB . )12נתון משולש .ABCעל הצלע ABשל המשולש ABCבונים משולש שווה צלעות .ABD הצלע ACחותכת את הצלע BDבנקודה Eאשר ממנה מעבירים ישר EFהמקביל לצלע .BCנתון כי. DCB 40 , DBC 80 : א .הוכח כי המשולשים ABEו CDE-דומים. ב .הוכח. FC CE AE DF : ג .נתון כי. BC 1.5 EF : AE 1 .1הוכח : CE 2 . S ABE .2חשב את יחס השטחים: SCDE . )13מהקדקוד Cשל המשולש BCDמעבירים את הקטע AC כך שהמשולש ACDהוא שווה שוקיים . AC AD הנקודה Fנמצאת על הצלע CDכך שמתקיים: . D CBF , 3 ACD BEC א .הוכח כי הקטע BFחוצה את זווית . B ב .הוכח כי.AEB FEC : ג .הוכח כי: BE AE BC FC . )14המעגלים שמרכזם בנקודות Mו N-משיקים זה לזה מבפנים בנקודה Aכך שהיקף המעגל הפנימי עובר בנקודה .M דרך הנקודה Aמעבירים משיק. ABהוא קוטר במעגלים ו C-היא נקודה הנמצאת על היקף המעגל הפנימי כך שהמיתר BDמשיק למעגל הפנימי בנקודה זו. א .הוכח ABD CBN :וחשב את יחס הדמיון. ב .נתון כי . AD 8 :חשב את רדיוס המעגל הגדול. ג .הוכח. 2CD BC : 123 )15נתונים שני מעגלים בעלי רדיוס זהה Mו.N- מעבירים שני משיקים למעגלים ABו CD-הנחתכים בנקודה .K מעבירים את הרדיוסים ANו DN-במעגל השמאלי ו BM-ו CM-במעגל הימני. א .הוכח. KN KM : ב .הוכח כי המרובע ACMNהוא טרפז שווה שוקיים. ג .רדיוס המעגלים הוא Rוידוע כי המשולש BKCהוא שווה צלעות. הבע באמצעות Rאת היקף הטרפז .ACMN )16על הצלעות של המשולש ABCהקצו את הנקודות Dו E-כך שהמרובע AEDB הוא בר חסימה .הנקודה Dמחלקת את הצלע BCכך שהקטע BDגדול פי 3מהקטע .DC א .הוכח. ABC DEC : ב .נתון גם כי. AC CE 36 : חשב את אורך הקטע .DC ג .מעבירים מהקודקוד Aאת הקטע AFהמקביל לקטע .DEנתון כי. AC 9 : DF חשב את היחס: BC . )17הישרים ABו AC-חותכים את המעגל בנקודות Dו E-בהתאמה כך שהמיתרים BDו BC-מאונכים זה לזה .הקטע CGחוצה את הקשת הקטנה BGDוחותך את המיתר BDבנקודה .F AC 13 נתון: AB 12 .נסמן. AB t : א .הבע באמצעות tאת אורך המיתר .BC BF 3 ב .נתון כי רדיוס המעגל הוא 5ס"מ וכי: DF 5 חשב את אורך הקטע .AB )18המשולש ABCחסום במעגל. Aגובה לצלע BCו AE-קוטר במעגל. א .הוכח. BAD EAC : נתון גם כי. CE 21 , AD 6 , CD 8 : ב .חשב את רדיוס המעגל. 124 . )19הקטע ABמשיק למעגל בנקודה .Aמהנקודה Bמעבירים ישר חותך למעגל החותך אותו בנקודות Cו.D- Eהיא נקודה על המעגל כך ש . AEC 90 - נתון כי המיתר ACחוצה את זווית .BCE א .הוכח. ABC EAC : ב. ג. BC CE נסמן ב R -את רדיוס המעגל .הוכח: 2 .R איזה מרובע יהיה המרובע ADCE אם יתקיים . 2CE BC :נמק. )20במשולש ABCהנקודות Dו E-נמצאות על הצלעות BCו AB-בהתאמה. נתון כי. ADC BED , DE AC : א .הוכח כי המשולשים ADCו BED-דומים. ב .הוכח. AD BD AB DE : ג .ידוע כי הנקודה Dמחלקת את BD 4 הצלע BCבאופן הבא : DC 5 וכי. AD BD 16 : חשב את המכפלה. AB AC : . A )21המשולש ABCחסום במעגל שמרכזו . Oהצלע BC היא קוטר המעגל .הקטע BMמאונך לרדיוס . OD נתון. AC 2OM : C O א .הוכח. AB 2BD : ב. S BOM חשב את היחס: S BAC M B . D ABC )22הוא משולש שווה שוקיים ( ) AB ACשבו השוק גדולה פי 2מהבסיס .המשיכו את הבסיס משני צדדיו עד לנקודות D ו E-כך שמתקיים BC CEו. D CAE - נתון. SABC m : בטא באמצעות mאת שטח המשולש .ADE )23המרובע ABCDהוא טרפז. AB CD , מעבירים את קטע האמצעים EFהחותך את אלכסון הטרפז BDבנקודה .K ידוע כי הקטע AKמקביל לשוק BCשל הטרפז. 125 E C A B D א .הוכח כי המרובע ABFKהוא מקבילית. ב .נסמן . SBKF S :הבע באמצעות Sאת שטח הטרפז .ABCD )24בין המשיקים המקבילים mו n -מעבירים מעגל כך ש AB-הוא הקוטר היוצא משתי נקודות ההשקה שלהם .הנקודות Dו C-נמצאות על המשכי המשיקים כך שהמרובע ABCDהוא טרפז. אלכסוני הטרפז נפגשים בנקודה Eשנמצאת על היקף המעגל .ידוע כי. SABC 3 SDAB : שטח המשולש ADEיסומן ב . S - בטא באמצעות Sאת שטח הטרפז .ABCD )25נתון משולש .ABCעל הצלע BCשל המשולש ABC בונים משולש נוסף .BDCהצלעות DCו AB-נחתכות בנקודה .Mהצלע ABחוצה את זווית B וידוע כי. 2 ACD B : א .הוכח. ACM DBM : AC AM ב .הוכח: BC CM AM 8 וכי אורך הצלע BDהוא 6ס"מ. ג .נתון כי : CM 5 . S BDM סכום הצלעות ACו BC-הוא 19.5ס"מ .חשב את היחס: S BMC . AB )26הוא קוטר במעגל שמרכזו .Oמהנקודה Cשעל היקף המעגל מעבירים את הרדיוס COואת המיתר CDהחותך את הקוטר בנקודה . E מהנקודה Dמעבירים את המיתרים BDו .AD- AD AE ידוע כי המיתר CDמקיים: BD BE א. ב. ג. .נתון. AD DE : הוכח כי הרדיוס COמאונך לקוטר .AB הוכח. COE BDA : נתון כי אורך המיתר BDהוא 16.2ס"מ ואורך הקטע CEהוא 10ס"מ. .1חשב את רדיוס המעגל. SCOE .2חשב את היחס: S BDA . 126 AB )27הוא קוטר במעגל .מהנקודה Aמעבירים מיתר .AC הנקודה Dנמצאת מחוץ למעגל וממנה מעבירים משיק CDוישר חותך .DEידוע כי הישר DEחותך את הקוטר ABבנקודה Gומאונך למיתר ACבנקודה .H א .הוכח. ACD BGE : ב. S AH 4 נתון כי AHG :חשב את היחס: AC SGHCB 5 . AB )28ו CD-הם קטרים במעגל שמרכזו .O מעבירים מיתר החותך את ABבנקודה Mכך שמתקיים2AM BM : ואת CDבנקודה Fכך שמתקיים . FM CD :ידוע כי זווית BMFהיא . 30 מעבירים את המיתרים ACו AD-כך שנוצר המשולש .ACD א .הוכח. CAB BMF : ב .1 .הוכח כי המשולשים ADCו FOM-דומים. .2פי כמה קטן הקטע FOמרדיוס המעגל? ג .מעבירים מהקדקוד Dשל המשולש ACDקטע העובר דרך הנקודה Mוחותך את המיתר AC בנקודה .Gחשב פי כמה גדול שטח המשולש DGCמשטח המשולש .MOF )29מצא את ערכם של xו y -בשרטוט הבא: )30במשולש ישר זווית שאורכי ניצביו mו n -נתון כי אורך הגובה ליתר הוא . h 1 1 1 הראה שמתקיים 2 2 : 2 h m n (אין צורך ברישום מסודר של הוכחה). )31הוכח את המשפט :אם במשולש גובה לצלע אחת בריבוע שווה למכפלת היטלי הצלעות האחרות על צלע זאת ,המשולש ישר זווית. 127 )32חשב את גודלם של xו y -בשרטוטים הבאים: ב. א. 2 4 2 3 4 8 5 )33הוכח את המשפט :אם מנקודה שמחוץ למעגל יוצאים חותך ומשיק למעגל, מכפלת החותך בחלקו החיצוני שווה לריבוע המשיק. )34הוכח את המשפט :אם מנקודה שמחוץ למעגל יוצאים שני חותכים למעגל, מכפלת חותך אחד בחלקו החיצוני שווה למכפלת החותך השני בחלקו החיצוני. תשובות סופיות: )1אx 2 . בx 1 . 2 3 )3 MQ 4.5cm )2ב )4 LK 6cm .ב 60 ,120 .ג. . )5ג )7 MN 1cm )6 3 .א BE 6 .ג )8 EF 2 .ג72 , 72 , 36 . SABE 1 )12ג .2 . SCDE 4 5 )17א BC t .ב )18 AB 14.4 .ב 5.5 .ס"מ )19ג .ריבוע. 12 SBOM 1 )23 SADE 6m )22ב. 16S )24 6S . )20ג )21 AB AC 36 . SBAC 4 SCOE 25 AH 2 S . )25ג )26 BDM 0.8 .ג.2 R 9 .1 . )27ב . SBDA 81 AC 3 SBMC BF 7 )14ב 4 .ס"מ )15 .ג )16 9R .ב 3 .ס"מ ג. BC 16 )28ב .2 .קטן פי 6ג .שטח המשולש DGCגדול פי 18משטח המשולש .MOF )32 y 6 , x 52 )29א y 2 , x 3 .ב. x 5 , y 3 . 128 שאלות שונות: שאלות ללא פרופורציה: )1במשולש ABCמעבירים את שלושת הגבהים. AD , BE , CF : הגבהים נפגשים בנקודה . Q א .הוכח. ACF ABE : ב .הוכח כי מרובע QDCEהוא מרובע בר-חסימה. ג. הוכח. ADF ADE : )2במשולש E , ABCאמצע F , ABעל BCו EFמקביל ל. AC - Gעל ACו EG -מקביל ל. BC - בלי להשתמש במשפטים על קו אמצעים במשולש הוכח: א .המשולש AEGוהמשולש EBFחופפים. ב .על פי הסעיף הקודם ,הוכח כי קטע במשולש החוצה צלע של המשולש ומקביל לצלע השלישית במשולש הוא קטע אמצעים. )3במשולש שווה שוקיים , ( AB AC ) ABC BDהוא תיכון לשוק . CBD 30 , AC א .הוכח כי משולש ABCהוא משולש שווה צלעות. (הדרכה :הורד אנכים AFו DE -לבסיס BC 1 1 2 2 A D והוכח כי) DE AF BD : ב .אם נתון כי אורך התיכון BDהוא aס"מ, חשב אם אורך צלע המשולש ואת שטחו. B C A )4במשולש ) C 90 ( ABCהנקודה Eמונחת על היתר . ABמהנקודה Eמעבירים אנך ליתר, החותך את המשך הניצב BCבנקודה Fואת הניצב AC בנקודה . D E D נתון כי 10 :ס"מ 12 , AD ס"מ 8 , EB ס"מ . AE הוכח כי. ADE DFC : B 129 C DF )5מנקודה Mהנמצאת מחוץ למעגל מעבירים חותך MPQ M ומשיק . MNמנקודה Kהנמצאת בהמשך MPQמעבירים ישר מקביל למיתר , QNהחותך את המשך המשיק MN בנקודה . L א .הוכח כי. QNL NPQ : ב .הוכח כי המרובע KPNLהוא בר-חסימה. P Q N K L )6נתונה מקבילית . ABCD על הצלע ABבונים ריבוע ABEFועל F E הצלע ADריבוע . ADKMהוכח כי M המשולש KCEהוא משולש שווה A B שוקיים וישר -זווית. )7 א. K D C הוכח :אם במשולש התיכון לצלע שווה למחצית הצלע אותה הוא חוצה, M אזי המשולש הוא משולש ישר זווית. ב. בציור הנתון RS :הוא קטע אמצעים R S O במשולש NO . MNPהוא חוצה זווית . MNP הוכח כי. MON 90 : P N )8הוכח כי :במשולש ישר זווית ,התיכון ליתר שווה למחצית היתר. נסח והוכח את המשפט ההפוך למשפט שבסעיף א. )9בטרפז . ( BC AD) ABCD נתון כי :נקודה Eנמצאת באמצע אלכסון AC ונקודה Fנמצאת באמצע אלכסון . BD א .הסבר מדוע קטע האמצעים של הטרפז ABCD עובר דרך הנקודות Eו. F - ב .נתון כי . AD 4 EF :הוכח כי. AD 2 BC : )10נתון מלבן MNPQשבו . QN 2 NP אלכסוני המלבן נפגשים בנקודה . O האריכו את הקטע MQכאורכו ) . (MQ QT א .הוכח כי. MO OT : ב .הוכח כי. OT PQ : C B F E D A N M O P Q T 130 D E )11במעגל שבציור נתון כי המיתר ACמאונך למיתר . BD שני המיתרים נחתכים בנקודה . F דרך הנקודה Fמורידים אנך למיתר . AB המשכו של האנך חותך את המיתר DCבנקודה . E A C F הוכח כי. DE EC : B )12הוכח את המשפט :שני משיקים למעגל היוצאים מנקודה אחת חיצונית ,שווים באורכם AB .ו AC -הם שני משיקים למעגל. . AC aנקודה Mנמצאת על הקשת . CB QPמשיק למעגל בנקודה . M A הוכח כי :היקף המשולש APQלא תלוי המקומה של B P M Q C הנקודה Mעל הקשת CBוהוא גודל קבוע השווה ל. 2a - )13טרפז ( AB DC) ABCDחסום במעגל כך שמרכז המעגל Oנמצא מחוץ לטרפז. נתון כי 9 :ס"מ 21 AB ס"מ , CD גובה הטרפז הוא 8ס"מB . רדיוס המעגל הוא . R C א .הבע באמצעות Rאת המרחק ממרכז המעגל : O .1לבסיס הקטן של הטרפז . AB .2לבסיס הגדול של הטרפז . CD ב .חשב את גודלו של רדיוס המעגל . R A D C )14במשולש ישר זווית , ( ABC 90 ) ABCחוסמים מעגל כך שנקודות ההשקה הן P , M :ו. Q - M כמו כן ,נתון כי AQ 2a :ו. QC a - הבע את היקף המשולש ABCבאמצעות . a A 131 B P Q C שאלות הכוללות פרופורציה ודמיון: )15שני מעגלים משיקים זה לזה בנקודה . M רדיוס המעגל הגדול הוא Rורדיוס המעגל הקטן הוא . r מעבירים משיק משותף לשני המעגלים. MNהוא המרחק שבין נקודת ההשקה של שני המעגלים לבין המשיק המשותף שלהם. 2R r הוכח כי: Rr M R r N MN )16א .הוכח כי :במשולש ישר זווית בעל זווית חדה בת , 30הניצב שמול הזווית שווה למחצית היתר. ב .בטרפז שווה שוקיים ABCDהאלכסונים ניצבים לשוקיים. הוכח כי :אם הזווית החדה בטרפז שווה ל , 60 -אזי נקודת מפגש האלכסונים מחלקת כל אלכסון ביחס .1: 2 KMN )17הוא משולש שווה שוקיים ) . ( KM KNמנקודה כלשהי Pהנמצאת על הבסיס MNמורידים אנך לשוק KM K ואנך לשוק KNהחותכים אותן בנקודות Aו B -בהתאמה. א .הוכח כי KAPBהוא מרובע בר חסימה. ב .הסבר מדוע הנקודה Eהנמצאת באמצע הבסיס , MN נמצאת על היקף המעגל החוסם את המרובע . KAPB )18נסח והוכח את משפט קטע אמצעים בטרפז. MNהוא קטע אמצעים בטרפז . ( AB CD) ABCD A B N E P C D M N נסמן. CD b , AB a : M F E B 1 2 הוכח כי. EF (a b) : A )19שני מעגלים שווים O1 ,ו , O2 -שמחוגיהם שווים ל 10 -ס"מ, נחתכים בנקודות Aו . B -מהנקודה Cשעל המשך המיתר המשותף ABשל שני המעגלים יוצא המשיק CDלאחד מהמעגלים .נתון כי 9 5 :ס"מ CD ו 16 -ס"מ . O1O2 חשב את אורך הקטע . CB C B D O2 O1 A (היעזר בעובדה ש AB -חוצה את הקטע O1O2ומאונך לו). 132 B C , B , A )20ו D -הן נקודות על המעגל K .היא נקודה על BCכך ש . BK CD -נתון. AB AD : א .הוכח. BAK DAC : ב .המשך הקטע AKחותך את המעגל בנקודה . N הוכח. BN CD : K A C D M )21במשולש MNPהגבהים NQו PR -נפגשים בנקודה . O נתון כי. OR OQ : א .הוכח כי . NO OP ב .הוכח כי :משולש MNPשווה שוקיים. ג .הוכח כי. MQ MR : Q R N P )22א .הוכח את המשפט :שני מיתרים הנחתכים בתוך מעגל מחלקים זה את זה, כך שמכפלת קטעי האחד שווה למכפלת קטעי האחר. ב .במעגל שרדיוסו , Rהקוטר ABמאונך למיתר . CD הקוטר והמיתר נחתכים בנקודה . Eנתון כי . AE : EB 1: 4 הבע את שטח המשולש ADCבאמצעות . R )23א .הוכח כי :במרובע חסום במעגל ,סכום הזוויות הנגדיות שווה ל.180 - ב .מרובע ABCDחסום במעגל AC .חוצה את הזווית . DAB בנקודה Cמעבירים משיק למעגל .המשכי הצלעות ABוAD - A חותכים את המשיק בנקודות Eו F -בהתאמה. .1הוכח כי. CDF ABC : .2הוכח כי. ABC CDF : ג .נתון 9ס"מ 4 , AB ס"מ . DF חשב את אורך הקטע . BC B E D C F )24מעגל Oמשיק לישר lבנקודה CD . Eהוא קוטר במעגל. בנקודה Cמעבירים משיק למעגל החותך את הישר lבנקודה . B בנקודה Dמעבירים משיר למעגל החותך את הישר lבנקודה . A א .הוכח כיAOB 90 : ב .הוכח כי. AOE OBE : ג .נתון כי 6 :ס"מ 13 , R ס"מ . EB AE , AB חשב את אורכי הקטעים EBו. AE - 133 O D C B E A l A )25במשולש ABCנתון כי AD :הוא התיכון לצלע . BC DEהוא חוצה הזווית DF , ADBהוא חוצה הזווית ADC F E (ראה ציור) .הוכח כי. EF BC : C )26בריבוע ABCDנתון כי :אלכסוניו נפגשים בנקודה . M BEחוצה את הזווית DBAוחותך את D D C האלכסון ACבנקודה ( Nראה ציור). DE MN ואת היחס א .מצא את היחס EA NA B M E . N B ב .הוכח כי המשולש ENA :הוא משולש שווה שוקיים. ג .הוכח כי. DE 2 MN : )27במשולש שווה שוקיים ABCנתון כי: 20ס"מ 24 , AC BC ס"מ . AB במשולש זה חסום מעגל ,המשיק לשתי השוקיים A C E F בנקודות Eו . F - א .הוכח כי EF :מקביל לבסיס. ב .חשב את אורך הקטע . EF B )28במשולש ישר זווית ( PST 90) PSTחסום חצי מעגל שמרכזו Oנמצא על יתר . PT א .הוכח כי OSחוצה את הזווית . PST ב .נתון כי 18 :ס"מ PS ו 24 -ס"מ . TS חשב את אורכי הקטעים OPו. OT - A P O N S )29במשולש , ABCבו , B 90 נתון כי 6 :ס"מ 12 , FC ס"מ 16 , BC ס"מ AB הקטע FMמאונך ליתר , ACוהקטע MNמקביל ליתר . AC חשב את אורך הקטע . MN T M B M N F A )30משולש MPNחסום במעגל .ישר NQמשיק למעגל זה בנקודה . N נתון כי( NP RQ :ראה ציור). א .הוכח כי. QRN MRQ : ב .נתון כי 5 :ס"מ MN ו 4 -ס"מ . RN חשב את . RQ M P N 134 R Q C )31בטרפז . ( AB DC) ABCD נתון כי 9 :ס"מ 18 , DC ס"מ . AB דרך נקודת מפגש האלכסונים , Eמעבירים ישר MN המקביל לבסיסי הטרפז. מצא את אורכו של . MN D C M N E A B )32א .הוכח :חוצה זווית במשולש מחלק את הצלע שמול הזווית חלוקה פנימית לפי היחס של שתי הצלעות הכולאות את הזווית. ב .המעגל החסום במשולש ABCמשיק בנקודה Fלצלע . CB A נתון כי 4 :ס"מ 7 BF ס"מ , AD .CF חוצה הזווית Aמחלק את הקטע CBלשני קטעים המתייחסים זה לזה כמו . 3 : 2 חשב את אורכי הצלעות ACו. AB - B D F )33משולש שווה שוקיים ( AB AC) ABCחסום במעגל. דרך קדקוד Bעובר משיק למעגל .דרך קדקוד Cעובר ישר המקביל ל , AB -וחותך את משיק בנקודה ( Eראה ציור). CBE A BAC א .הוכח: ב .נתון כי 27 :ס"מ AC ו12 -ס"מ . CE חשב את אורך הקטע . BC )34בטרפז ( AB CD) ABCDנתון כי. AB 3 CD : אלכסוני הטרפז נפגשים בנקודה . O דרך הנקודה Aמעבירים מקביל ל , BD -החותך את המשך הצלע CDבנקודה ( Eראה ציור). נסמן את שטח המשולש DOCבאמצעות . S C C B E A B O C E D הבע את שטח הטרפז ABCEבאמצעות . S ABCD )35הוא טרפז שווה שוקיים ). ( AD BC , AB CD Oהוא מרכז המעגל החסום בטרפז ו E -היא נקודת ההשקה של השוק BCעם המעגל ( Oראה ציור). א .הוכח כי. OE 2 BE EC : ב .הוכח כי :הגובה בטרפז שווה שוקיים החוסם מעגל הוא הממוצע ההנדסי של שני הבסיסים של הטרפז. 135 A B E O C D )36במשולש ישר -זווית ( PQR 90) PQRנתון: hהוא הגובה ליתר x ,ו y -הם הניצבים, aו b -הם היטלי הניצבים xו y -בהתאמה (ראה ציור). y א .הוכח כי הגובה ליתר הוא ממוצע גאומטרי של היטלי הניצבים על היתר. h a b : R b Q x h N P M ב .הוכח כי כל ניצב הוא ממוצע גאומטרי של היתר והיטל הניצב על היתר. y b (a b) , x a (a b) : ג. מקדקוד Qמעבירים חוצה זווית החותך את היתר PRבנקודה . M הוכח כי. PM : MR a : b : )37במשולש ABCהתיכון BEוהקטע ALנחתכים בנקודה . K הקטע EFמקביל ל ( AL -ראה ציור) .נתון כי. LC 5 BL : א .הוכח כי. LF 2.5 BL : ב. BK 2 הוכח כי : BE 7 A E K . C F L )38א .הוכח את המשפט :היחס בין השטחים של שני משולשים דומים שווה לריבוע יחס הדימיון. G ב .במקבילית ABCDנקודה Eנמצאת על הצלע , BCכך ש. BE : CE 2 : 3 - המשך הקטע AEחותך את המשך הצלע DC E בנקודה . Gנתון 18סמ"ר . SCEG C .1חשב את שטח המשולש . ABE .2חשב את שטח המשולש . ABC B A D )39א .הוכח כי :במשולשים דומים היחס בין הגבהים המתאימים שווה ליחס הדמיון של המשולשים. ב .במשולש ABCחסום חצי מעגל שרדיוסו 6ס"מ. קוטר המעגל PQמקביל לצלע CD . ABהוא גובה במשולש ABCוחותך את הקוטר PQבנקודה ( Eראה ציור). נתון כי 20 :ס"מ . AB חשב את אורך הקטע . CE B 136 B C Q E P D A ABCD )40הוא טרפז ) . ( BC ADהצלעות BCו CD -הן מיתרים במעגל. הצלע ABמשיקה למעגל בנקודה ( Bראה ציור). C א .הוכח כי. ABD DCB : ב .נתון כי 5 :ס"מ 12.8 , BC ס"מ . AD חשב את אורך האלכסון . BD D )41מנקודה Aהנמצאת מחוץ למעגל שרדיוסו , Rמעבירים חותך וחותך , AODשעובר דרך מרכז המעגל , O כך ש . CDB BDA BAD - נתון גם. BC n , AB m : A B A ABC C B O הוכח כי. DC 2 n2 m n : )42א .הוכח כי :חותכים למעגל היוצאים מנקודה אחת מחוץ למעגל יוצרים קטעים פרופורציוניים כך שמכפלת כל החותך בחלקו מחוץ למעגל היא גודל קבוע. A ב .נתון משולש . ABCמעגל העובר דרך הקדקודים Aו, B - חותך הצלעות ACו BC -בנקודות Fו M -בהתאמה. F .1הוכח כי. ACM BCF : .2נתון כי 48 :ס"מ 40 , BC ס"מ , AC C 16ס"מ . AF מצא את אורך המיתר . BM )43בטרפז ABCDאורך הבסיס ABהוא aואורך הבסיס CDהוא .b אלכסוני הטרפז נפגשים בנקודה . O דרך הנקודה Oמעבירים מקביל לבסיסים החותך את ADבנקודה Eואת BCבנקודה . F a b הוכח כי מתקיים: ab . EO OF B M B F C 137 A a A E O b )44מנקודה Aמעבירים שני חותכים למעגל ,חותך ABCוחותך , ADE כך שהנקודה Bנמצאת באמצע הקשת , CDו CED 2 CAD - (ראה ציור). B א .הוכח. ECB ACE : ב .נתון כי 4 :ס"מ 9 ,CB ס"מ . AC חשב את אורך הקטע . CE D D D C E MN )45הוא קטע במעגל שמרכזו ב. O - PKמשיק למעגל בנקודה Pומאונך ל. NQ - Q P הנקודה Qנמצאת על המשך המיתר ( MPראה ציור). K N א .הוכח כי. MP KN PK PN : ב .הוכח כי. MP PQ : O C A )46בציור נתון כי. AB EF CD : 1 1 1 הוכח כי: EF AB CD M E . D F A )47א .הוכח כי :הגובה ליתר במשולש ישר-זווית מחלק את המשולש לשני משולשים ,שכל אחד מהם דומה למשלוש כולו. T ב .מעויין ABCDחוסם מעגל שמרכזו ב . O - נתון כי :אורך הרדיוס המעגל OTהוא 24ס"מ B D B O ואורך צלע המעויין הוא 50ס"מ. מצא את אורך האלכסון . ( BD AC ) BD C )48משולש ABCחסום במעגל .חוצה זווית BACחותך את המעגל בנקודה Dואת הצלע BCבנקודה ( Fראה ציור). מנקודה Dהורד אנך על הצלע CBהחותך אותה בנקודה . Eנתון כי. AB : AC 5 : 3 : הוכח כי. BC 8 EF : C A E B F D )49נקודה Dהיא אמצע היתר ACהמשולש ישר זווית . ( B 90) ABC בנקודה Dמעלים אנך לצלע ACהחותך את הניצב ABבנקודה E (ראה ציור). נתון כי 8 :ס"מ . AB m , AC D הבע את CEו BE -באמצעות . m A E C 138 B )50במשולש ABCנתון כי15 :ס"מ , AB AC 18ס"מ . CB דרך מרכז המעגל Oהחסום במשולש עובר הקטע EFהמקביל לבסיס FN . BCוEM - A O F E הם אנכים לבסיס . BC חשב את שטח המלבן . EFNM B N C M )51א .הוכח כי :הזווית הכלואה בין משיק ומיתר בעלי נקודה משותפת, שווה לזווית ההיקפית הנשענת על מיתר זה. E ב .שני מעגלים משיקים מבחוץ בנקודה . A F דרך נקודה זו עוברים שני ישרים ,החותכים A M את המעגלים בנקודות M , E , Fו . N - הוכח כי. AMN AFE : N E )52במשולש ישר -זווית , ( GEF 90) EFG EPהוא הגובה ליתר . GF נתון כי 24 :ס"מ 32 , EF ס"מ . GE F חשב את אורכי הקטעים GP , PF , GF :ו. EP - P G MQ )53הוא התיכון לבסיס במשולש שווה שוקיים . (MN MP) MNP Sהיא נקודה על המשך הצלע . MN M המשך התיכון MQחותך את הקטע PSבנקודה . E הקטע EFמקביל ל ( NP -ראה ציור). א .הוכח כי. MP : MS NF : FS : ב .נתון כי 20 :ס"מ 4 , MP ס"מ . NF חשב את אורך הקטע . FS P M Q E N F S 139 N M NP )54הוא קוטר במעגל , MT , MN . Oו SP -הם משיקים למעגל Oבנקודות T , Nו P -בהתאמה. א .הוכח כי. MOS 90 : ב .הוכח כי רדיוס המעגל שווה ל. MN SP - T O S P DE )55הוא קוטר במעגל .בנקודה Dמעבירים משיק למעגל. מנקודה , Aשעל המעגל ,מעבירים ישר המקביל לקוטר . DE הישר חותך את המשיק למעגל בנקודה ( Fראה ציור). א .הוכח כי. AD2 AF DE : E ב .נתון 4ס"מ 9 , AF ס"מ . DE חשב את שטח הטרפז . AFDE A D N )56א .הוכח כי המחוג המאונך למיתר המעגל חוצה אותו. ב .בציור שלפניך המיתרים EFו MN -מאונכים זה לזה. O נתון כי 3 :ס"מ 8 , EB ס"מ 4 , BF ס"מ . MB .1חשב את אורך הקטע . NB .2מצא את המרחק המיתר EFממרכז המעגל . O F F A B E M C )57מעגל שמרכזו בנקודה Oחסום במשולש ישר-זווית ). ( C 90 E נתון כי 30 :ס"מ 18 , AB ס"מ . AC D חשב את אורך הקטע . ED O A B )58במשולש PS MPQחוצה את הזווית . ST MP , MPQ נתון כי 27 :ס"מ 45 , MP ס"מ . QP חשב את אורך הקטע . TP M S P T Q 140 :תשובות סופיות 1 3 . 3 a 2 : שטח המשולש, . a (3 17) )14 . R ס"מ10.625 .ב . BC ס"מ6 .) ג23 2 3 a : אורך צלע המשולש.) ב3 3 R 2 10.52 .2 . SACD 8 25 R 2 4.52 .1 .) א13 R 2 .) ב22 . CB ס"מ15 )19 MN 2 DE , 2 .) א26 . AE ס"מ9 , EB ס"מ4 .) ג24 NA 2 EA OT ס"מ 120 90 , OP ס"מ .) ב28 . EF ס"מ9.6 .) ב27 7 7 . MN ס"מ12 )31 1 . RQ ס"מ6 .) ב30 . MN ס"מ3 )29 3 . AC ס"מ9 , AB ס"מ6 .) ב32 . S ABCE 28 S )34 . BC ס"מ18 .) ב33 .CE ס"מ9 .) ב39 . SABC סמ"ר20 .2 SABE סמ"ר8 .1 .) ב38 . CE ס"מ6 .) ב44 . BM ס"מ28 .) ב42 . BD ס"מ8 .) ב40 m2 32 32 , CE )49 m m . BD ס"מ60 .) ב47 . BE . SEFNM סמ"ר50.625 )50 . EP ס"מ19.2 , GP ס"מ25.6 , PF ס"מ14.4 , GF ס"מ40 )52 . S AFDE סמ"ר29.07 .) ב55 . FS ס"מ6 .) ב53 .TP = ס"מ16.875 )58 .DE = ס"מ3 )57 . ס"מ1 .2 141 NB ס"מ6 .1 .) ב56 פרק – 7טריגונומטריה במישור: משולש ישר זווית: הגדרות הפונקציות הטריגונומטריות: הניצב שמול הזווית היתר הניצב שליד הזווית היתר הניצב שמול הזווית הניצב שליד הזווית משפט פיתגורס. a2 b2 c2 : שאלות: )1מצא את ערכו של / xבמשולשים ישרי הזווית הבאים: 750 400 700 A )2המשולש ABCשבציור הוא משולש ישר זווית ( .) B 90o ADהוא התיכון לניצב . BC נתון. AB 6cm , C 28o : מצא. AD ? , BAD ? : C )3המשולש ABCשבציור הוא משולש ישר זווית ( .) B 90o BDהוא התיכון ליתר ו AE -הוא חוצה הזווית . A נתון. BC 8cm , BD 5.6cm : מצא. BE ? , BAE ? : C 142 B D A D E B )4מצא את זויותיו של מעויין שאורכי אלכסוניו 24ס"מ ו 18-ס"מ. D A )5המשולש ABCחסום במעגל כך שהצלע ACהיא קוטר המעגל. המשיק למעגל בנקודה Aוהמשך הצלע CBנפגשים בנקודה . D נתון. DAB 32o , BD 4cm : מצא את אורכו של רדיוס המעגל. B C )6במשולש שווה שוקיים שבו השוק ארוכה ב 4 -ס"מ מהבסיס נתון כי זווית הראש היא . 34.92oמצא את שטח המשולש. A )7המשולש ABCשבציור הוא משולש ישר זווית ( .) B 90o נתון. AB a , A : הבע באמצעות ו a -את היקף המשולש. C B A )8המשולש ABCשבציור הוא משולש ישר זווית ( .) B 90o ADהוא התיכון לניצב . BC נתון. AB b , C : הבע באמצעות ו b -את אורכי הקטעים BDו . AD - C B D )9במשולש ישר זווית אחת הזוויות החדות היא ואורך חוצה זווית זו הוא . k הבע באמצעות ו k -את שטח המשולש ואת אורך היתר. )10טרפז ABCDהוא טרפז ישר זווית ( .) B C 90o הנקודה Gנמצאת על השוק BCכך ש. AG DG - נתון. BAG , AG DG m : הבע באמצעות ו m -את שטח הטרפז. )11המשולש ABCהוא ישר זווית . A 90 הקטעים ADו AE-הם בהתאמה גובה ליתר וחוצה זווית. מסמנים. DAE , DE k : א .הבע באמצעות kו -את שטח המשולש .ABC ב .חשב את שטח המשולש ABC אם ידוע כי 30 :ו . k 2 - 143 B A G C D )12במלבן ABCDמסמנים את הנקודות Eו F-הנמצאות על הצלעות ABו BC-בהתאמה כך שE- מקיימת 3AE BE :ו F-היא אמצע הצלע .BC אורך הצלע ADשווה לאורך הקטע .BE מעבירים את הקטעים DF , EFו DE-כך שנוצר במשולש .DEF א .סמן ב t -את אורך הקטע AEוהבע באמצעות t את אורכי צלעות המשולש .DEF ב .חשב את זוויות המשולש .EDF )13משולש שווה שוקיים שאורך שוקו kוזווית הבסיס שלו היא חוסם מעגל. הבע באמצעות ו k -את רדיוס המעגל. )14בטרפז ישר זווית חסום מעגל .אורך השוק הארוכה בטרפז היא bוהזווית שהיא יוצרת עם הבסיס הגדול היא .הבע באמצעות ו b -את אורכו של הבסיס הגדול בטרפז ואת שטחו. *הערה :השאלות הבאות משלבות ידע בגיאומטריה ובטריגונומטריה יחד: )15דרך הקדקודים C , Aו D-של המקבילית ABCD מעבירים מעגל .היקף המעגל חוצה את הצלע AB בנקודה .(AE=BE) Eנתון כי DCהוא קוטר במעגל וכי המיתר DEחוצה את זווית .D א .הוכח כי המיתר CEחוצה את זוויות .C ב .רדיוס המעגל יסומן ב . R -הבע באמצעות Rאת היקף המקבילית. ג .מצא את רדיוס המעגל אם ידוע כי שטח המקבילית הוא 16 3סמ"ר. )16מהנקודה Aשמחוץ למעגל מעבירים משיק ABוישר חותך .ACD מעבירים את המיתרים השווים BCו .BE-כמו כן מעבירים את המיתר .DEאורך המיתר CEשונה מאורך המשיק .AB א .הוכח כי המרובע ABECהוא טרפז. ב .הוכח כי. 2 BEC EDC : ג .איזה מרובע יהיה המרובע BEDC אם יתקיים? EDC 90 : ד .נתונים 6 , A 40 :ס"מ = 9 ,ACס"מ = 8 , ABס"מ = .CE חשב את שטח המרובע .ABEC 144 :תשובות סופיות . 29.745 . ה 40.005 . דx 3.931cm . גx 8.114cm . בx 15.665cm .) א1 . BE 3.294cm , BAE 22.792 )3 AD 8.236cm , BAD 43.24 )2 . S 28.618cm )6 R 6.04cm )5 73.74, 73.74, 106.26, 106.26 )4 2 . AD b2 b2 4 tan 2 b 2 tan , BD )8 P a 1 tan 1 )7 cos tan 2 . AC ,S )9 cos 2 2 m sin m cos k2 . סמ"ר24 . בS .) א11 )10 2 cos 2 tan 2 . 81.86 , 51 , 47.14 . בDE t 10 , EF t 11.25 , DF t 18.25 .) א12 1 b sin 1 1 2 , S b2 sin 1 sin )14 R k cos tan )13 b sin 2 2 2 tan 2 . סמ"ר34.43 . ד. ריבוע.) ג16 . ס"מ4 . ג6R .) ב15 k cos 2 k 2 cos 2 :זהויות טריגונומטריות :זהויות של סכום והפרש זוויות :זהויות היסוד :זהויות של זווית כפולה :המעגל הטריגונומטרי המעגל הטריגונומטרי הוא מעגל היחידה .)1 (מעגל קנוני שרדיוסו 145 :טבלת ערכי הפונקציות הטריגונומטריות לזוויות המיוחדות 0 sin cos 0 1 45 60 0 2 30 1 1 2 2 2 2 3 2 4 2 3 2 2 2 1 2 1 2 90 1 0 tan 0 3 3 1 3 cot 3 1 3 3 0 4 2 0 2 : 90 ערכים עבור זוויות בכפולות של sin 0o 0 cos 0o 1 tan 0o 0 sin 90o 1 cos 90o 0 tan 90o sin180o 0 cos180o 1 tan180o 0 sin 270o 1 cos 270o 0 tan 270o :הזהויות של המעגל הטריגונומטרי tan 180o tan cos 180o cos sin 180o sin tan 180o tan cos 180o cos sin 180o sin tan tan cos cos sin sin 146 :שאלות :) הוכח את הזהויות הבאות1 sin tan sin 90 cos3 3 o tan 2 sin 2 tan 2 sin 2 cos3 cos sin 2 cos .ב sin 2 sin 2 2 1 cos 1 cos .ד . tan tan sin cos cos .א .ג :) הוכח את הזהות הבאה2 :) הוכח את הזהויות הבאות3 4sin cos cos 2 sin 4 sin 3 cos3 sin cos .ב 2 1 sin 2 .א 1 sin 6 .ד cos4 sin 4 cos 2 .ג cos sin 2cot 2 sin cos .ו cos 2 2sin 2 cos 2 1 cot 2 sin 4 2 .ה 2 :) ענה בלי להשתמש במחשבון4 cos 45o tan 225o sin150o sin 510o cos930o sin 315o cos120o cos 210o tan120o tan 225o . tan 30o sin 180o sin 90o cos 2 sin 330o 1 :) הוכח את הזהות הבאה5 cos sin 147 משוואות טריגונומטריות: תזכורת – פתרון כללי של משוואה טריגונומטרית: פתרון כללי של המשוואה sin x sin :הוא מהצורה. x1 2 k , x2 2 k : פתרון כללי של המשוואה cos x cos :הוא מהצורה. x1,2 2 k : פתרון כללי של המשוואה tan x tan :הוא מהצורה. x k : שאלות: )1פתור את המשוואות הבאות (כתוב פתרון כללי): 1 א. 2 ג. sin x 3 2 1 ה. 2 sin x 2 ב. 2 1 ד. 2 sin x sin x ו. 3 2 tan x ח. tan x 1 טsin x 0.7 . י. cosx 0.6 ז. cos x 1 3 cos x יאtan x 5 . )2כתוב את הפתרון הכללי של המשוואות הבאות: 1 א. 2 sin 3x ב2cos 2 x 3 . גtan5x 1 . ד3sin 2 x 2 . ה3cos3x 1 . ו2 tan 4 x 1 . 148 :)) כתוב את הפתרון הכללי של המשוואות הבאות (זווית מורכבת3 cos 75 3x 2 .ב 2 sin x sin 3x .ד sin x sin 120 x sin 2 x 30 3 .א 2 tan 50 x 1.3 .ג .ו sin 2 x sin x 30 .ה cos x cos 40 x .ח cos x cos3x .ז tan2 x tan 60 x tan x tan 3x .ט .י :) כתוב את הפתרון הכללי של המשוואות הבאות4 sin x 1 .ב sin x 0 .א cos x 0 .ד sin x 1 .ג cos x 1 .ו cos x 1 .ה tan x 1 .ח tan x 0 .ז :)) כתוב את הפתרון הכללי של המשוואות הבאות (טכניקה אלגברית5 sin 2 x 1 .ב 4 cos 2 x 3 .א 4 sin x cos3x 0 .ד tan 2 2 x 3 .ג 2cos2 x 3 cos x 0 .ו sin 2 x 2sin 2 2 x 0 .ה 3sin 2 x sin x 2 .ח 2sin 2 x sin x 1 0 .ז cos2 x 2cos x 3 .י 6sin 2 x sin x 1 0 .ט tan 2 x 4 tan x 1 .יב tan 2 x 3tan x 4 0 .יא 149 :)) כתוב את הפתרון הכללי של המשוואות הבאות (שימוש בזהויות יסוד6 sin x cos x 45 .ב sin x cos x .א 2cos2 x 3sin x .ד 2 cos x sin 2 x .ג 3 1 .ה sin 2 x cos x 4 cos2 x sin 2 x sin x .ו sin x tan x 0 .ח sin 2 x 2cos2 x 1.5 .ז :)) כתוב את הפתרון הכללי של המשוואות הבאות (שימוש בזהויות ממעגל היחידה7 cos 2 x cos3x .ב sin x sin 3x .א sin 3x cos 180 x .ד sin x cos x 6 .ג :) (כתוב פתרון כלליcos x -) פתור את המשוואות הבאות ע"י חלוקה ב8 3sin x cos x .ב sin x 2cos x .א 2sin x 5cos x .ד 4sin x 7cos x .ג 3sin 2 x cos2 x sin 2 x 8cos2 x .ה .ו :)) כתוב את הפתרון הכללי של המשוואות הבאות (שימוש בזהויות של זווית כפולה9 2 sin x sin 2 x 0 .ב sin x sin 2 x 0 .א 2cos 2 x sin 4 x 0 .ד 4cos x sin 2 x .ג cos 2 x 2sin x .ו 3cos x cos 2 x 0 .ה 2sin 2 x cos 2 x 2 .ח sin x cos 2 x 1 .ז :) פתור את המשוואות הבאות בתחום המצוין לידן10 0 x : cos 4 x sin 2 x 1 .ג 180,180 : cos 4 x 1 3sin 2 x .ב 150 :תשובות סופיות x1 45 360k , x2 135 360k .ב x1 30 360k , x2 150 360k .) א1 x1 30 360k , x2 210 360k . דx1 60 360k , x2 240 360k .ג . x 30 180k . זx1,2 150 360k . וx1,2 60 360k .ה . x1 44.42 360k , x2 135.57 360k . טx 45 180k .ח . x 78.69 180k . יאx1,2 126.87 360k .י . x1 75 180k , x2 105 180k . בx1 10 120k , x2 50 120k .) א2 x1 20.9 180k , x2 69.09 180k . דx 9 36k .ג . x 6.64 45k . וx1,2 23.5 120k .ה x1 10 180k , x2 40 180k . בx1 30 180k , x2 90 180k .) א3 . x1 45 90k , x2 180k . דx 2.431 180k .ג . x 60 180k . וx1 30 360k , x2 50 120k .ה . x 20 60k . יx 90k . טx 20 180k . חx 90k .ז x 90 180k . דx 270 360k . גx 90 360k . בx 180k .) א4 . x 45 180k . חx 180k . זx 180 360k . וx 360k .ה x1,2 30 360k , x3,4 150 360k .) א5 x1 30 360k , x2 150 360k , x3 30 360k , x4 210 360k .ב x1 180k , x2 30 60k . דx1 30 90k , x2 30 90k .ג x1 90k , x2 15 180k , x3 75 180k .ה x1 90 180k , x2,3 150 360k .ו . x1 90 360k , x2 210 360k , x3 30 360k .ז x1 90 360k , x2 41.8 360k , x3 221.8 360k .ח x1 30 360k , x2 150 360k , x3 19.4 360k , x4 199.4 360k .ט x1 75.96 180k , x2 45 180k . יאx 360k .י . x1 75 180k , x2 15 180k .יב . x1,2 60 360k . גx 22.5 180k . בx 45 180k .) א6 . x1,2 60 360k . הx1 30 360k , x2 150 360k .ד . x1 30 360k , x2 150 360k , x3 270 360k .ו . x 180k . ח. x1,2 45 360k , x3,4 135 360k .ז x 120 180k . גx1 36 72k , x2 180 360k . בx 90k .) א7 . x1 22.5 90k , x2 45 180k .ד x 60.25 180k . גx 18.43 180k . בx 63.43 180k .) א8 . x 30 180k . וx 70.52 180k . הx 68.19 180k .ד 151 x1 180k , x2,3 135 360k . בx1 360k , x2 60 120k .) א9 x1 45 90k , x2 135 180k . דx 90 180k .ג x1 21.1 360k , x2 158.9 360k . וx1,2 106.3 360k .ה . x1 180k , x2 30 360k , x3 150 360k .ז . x1 60 360k , x2 120 360k , x3 60 360k , x4 240 360k .ח . x 0,0.38 ,0.615 , . בx1,2,3,4 165, 105,15,75 .) א10 152 טריגונומטריה במישור: משפט הסינוסים: הגדרה: במשולש ,צלע חלקי סינוס הזווית שמולה הוא גודל קבוע והוא שווה לפעמיים רדיוס המעגל החוסם. a b c בצורה מתמטית 2 R : sin sin sin . משפט הקוסינוסים: c2 a 2 b2 2ab cos או a 2 b2 c 2 2ab . cos מתי נשתמש בכל משפט: נשתמש במשפט הסינוסים כאשר: א .נתונות שתי זוויות וצלע. ב .נתונות שתי צלעות והזווית מול אחת מהן. ג .נתון רדיוס המעגל החוסם וצלע/זווית נוספת. נשתמש במשפט הקוסינוסים כאשר: א .נתונות שתי צלעות והזווית ביניהן. ב .נתונות שלוש צלעות. כאשר ישנם יותר נתונים מאשר בסעיפים שלהלן ייתכן שנוכל להשתמש בשני המשפטים .בבחירת המשפט שבו נשתמש כדאי לזכור שבמשפט הסינוסים ייתכנושתי תשובות לזווית ,גם אם בפועל רק אחת נכונה ,ובמשפט הקוסינוסים תתקבל בוודאות הזווית הנכונה. שטחים של משולשים ומרובעים: a h ab sin a sin sin שטח משולש ניתן לחישוב ע"י: 2 2 2sin k k sin .S 1 2 שטח מרובע ניתן לחישוב ע"י אלכסוניו: 2 2 153 . S שאלות: )1מצא את ערכו של / x / yבמשולשים הבאים ( Rהוא רדיוס המעגל החוסם ,נתוני הצלעות בס"מ): ב. א. 1150 420 560 ד. ג. 220 ה. 600 )2מצא את ערכו של / xבמשולשים הבאים: )3נתון משולש שווה שוקיים ) AB AC ( ABCשאורך השוק שלו הוא 22ס"מ וגודלה של זווית הבסיס בו הוא CD . 70oהוא חוצה זווית הבסיס . C מצא את אורכו של הקטע . AD 154 )4אלכסוני המלבן ABCDנפגשים בנקודה . M הנקודה Gנמצאת על המשך הצלע . AD נתון. DG 1.2cm , AB 4cm , AD 3cm : מצא את גודלו של הקטע . GM )5מרובע שאורכי אלכסוניו 8ס"מ ו 11-ס"מ חסום במעגל שאורך רדיוסו הוא 6ס"מ. חשב את זוויות המרובע. A )6הצלע ABבמשולש ABCהיא מיתר במעגל שמרכזו . O הצלע ACעוברת במרכז המעגל כמתואר בשרטוט. נתון. BAC 38o , OC 3cm , BC 9cm : מצא את אורכם של רדיוס המעגל ושל הצלע . AB O B C )7אחד האלכסונים במקבילית יוצר זווית של 30oעם צלע אחת של המקבילית וזווית של 61.05עם הצלע הסמוכה לה .אחת מצלעות המקבילית גדולה ב3- ס"מ מהצלע הסמוכה לה .חשב את היקף המקבילית. )8המשולש ABDחסום במעגל שרדיוסו . Rהמשך הצלע ADוהמשיק למעגל בנקודה Bנפגשים בנקודה .C נתון. ADB , C : הבע באמצעות , Rו -את אורך הקטע . BC D C B BE )9ו CF-הם תיכונים במשולש ABCהנפגשים בנקודה .M מהנקודה Fמעבירים קטע GDכך שמתקיים AC DC :ו. GD BE - א. AG 3 הוכח : BD 4 . ב .נתון כי 4 :ס"מ . ME חשב את אורך הקטע .DG ג .נתון כי. ACD 48.189 : הוכח כי המשולש DGCהוא שווה שוקיים. )10נתון משולש .ABCהקודקודים Bו C-של המשולש ABCנמצאים על מעגל שמרכזו .Oמרכז המעגל Oמונח על הצלע .AC אורך הצלע ABהוא 12ס"מ ואורך הקטע AOהוא 4.5ס"מ. זווית BACהיא . 60 א .חשב את רדיוס המעגל. ב .מעבירים את הקוטר BDואת הקטע ADכך שנוצר המשולש .ADBחשב את זווית .ADB 155 A )11המשולש ABCהוא שווה שוקיים AB AC החסום במעגל שרדיוסו . Rהנקודה Eהיא אמצע הבסיס BCוהנקודה D היא אמצע הקשת . AB ידוע כי זווית הבסיס של המשולש היא . 80 א .הבע באמצעות Rאת הקטעים CDו.DE- ב r .הוא רדיוס המעגל החוסם את המשולש .CED הבע באמצעות Rאת . r AC ,AB )12ו AD-הם מיתרים במעגל המקיימים. BC BD : מהנקודה Eשעל המעגל מעבירים את המיתרים AEו .BE- המיתרים BEו AD-נחתכים בנקודה .F נתון כי. AC AF EF : א .הוכח. ABF ABC : ב .נתון גם. 3 CAB DAE : הוכח כי המשולש AFEהוא שווה צלעות. )13המרובע ABCDהוא טרפז שווה שוקיים . AB CD , AD BC מידות הטרפז הן 12 :ס"מ 8 , CD ס"מ 6 , BC ס"מ . AB א .מצא את זווית ( Cעגל למספר שלם). ב .מצא את אורך אלכסון הטרפז. ג .חשב את רדיוס המעגל החוסם את הטרפז. )14המרובע ABCDהוא טרפז ישר זווית . AB CD , B 90 מסמנים את הבסיס AB t :וידוע כי. AD 3t , DC 1.6t : היקף הטרפז הוא 40 :ס"מ. א .הבע באמצעות tאת אורך האלכסון .AC ב .ידוע גם כי. D 60 : .1חשב את אורך הקטע .AC .2חשב את שטח הטרפז. )15המשולש ABCהוא שווה שוקיים AB AC בעל זווית ראש 36החסום במעגל שקוטרו 16ס"מ .מעבירים תיכון לשוק .BD א .מצא את אורך הבסיס BCבמשולש. ב .חשב את אורך התיכון .BD ג .מסמנים: - r1רדיוס המעגל החוסם את המשולש .ABD - r2רדיוס המעגל החוסם את המשולש .BCD r1 הוכח את היחס הבא 2cos 36 : r2 . 156 )16המרובע ABCDהוא טרפז . AB CD מעבירים את האלכסון BDהמקיים. BCD ADB : נתון כי 20 :ס"מ 10 , CD ס"מ 5 , AD ס"מ . AB כמו כן ידוע כי השוק BCגדולה פי 2מהאלכסון .BD א .הראה כי השוק BCשווה לבסיס .CD ב .חשב את זווית .C ג .ממשיכים את שוקי הטרפז ADו BC-עד לנקודה Eשמחוץ לטרפז. חשב את רדיוס המעגל החוסם את המשולש .CDE )17באיור שלפניך נתון המרובע .ABCDידוע כי . D 90 :נסמן את הצלעות באופן הבא. AB 6 x , BC 5x , CD 8x , AD 3x : א .חשב את זווית .BDC ב E .היא נקודה הנמצאת על אמצע הצלע .BC מעבירים את הקטעים AEו DE-כך שDE- S ABE מקביל ל .AB-חשב את היחס הבא: S ECD . )18מהנקודה Oמעבירים את הקטעים OC , OB , OAו.OD- ידוע כי זווית AOBשווה לזווית CODוהיא מסומנת ב. - המשולש CODהוא ישר זווית . CDO 90 נתונים האורכים. AO 8 , BO 9 , DO 10 : מסמנים. BC 1.4m , CD 1.5m : א .הבע באמצעות mאת . sin (העזר במשולש CODובטא תחילה את .)CO ב .נתון גם כי . AB m :מצא את mאם ידוע כי רדיוס המעגל החוסם את 2 המשולש AOBהוא 3 ג. .8 חשב את זווית .BOC )19במשולש ABCהזווית Aהיא בת . 60 מעבירים את הקטע ADכך שנוצרת זווית. ADB 60 : ידוע כי AB 28וכי הצלע ADבמשולש ABDגדולה פי 1.5מהצלע .BD א .מצא את אורך הצלע .BD ב .היקף המשולש ABCהוא. P 5 7 7 : .1סמן DC t :והבע באמצעות tאת אורך הצלע .AC .2מצא את . t ג .חשב את שטח המשולש .ABC 157 )20מהנקודה Aמעבירים את הקטעים ABו .AC-הנקודה D היא אמצע ACוממנה מעבירים את DEהמקביל ל.AB- הנקודות E , Cו F-נמצאות על אותו הישר. ידוע כי המשולשים DEF , ABDו DCE-הם שווי שוקיים. AB BD , DC CE , EF DE : נתון כי. AD 8 : א .חשב את אורך הקטע .BF ב .מחברים את הנקודות Bו.C - חשב את אורך הצלע .BC )21בשרטוט נתון. AD 5cm , AC 8cm , AB 6cm : הנקודה Dהיא אמצע הצלע . BC חשב את אורך הקטע . BC A C B D )22הצלע ACבמשולש ABCגדולה פי 4מהצלע . AB הנקודה Eהיא אמצע הצלע ACוהנקודה Dנמצאת על הצלע BC כך שמתקיים . DC 2BDנתון. BC b , AB a : הבע באמצעות aו b -את אורך הקטע . DE A E C )23המשולש ABDחסום במעגל שרדיוסו . R המשך הצלע ADוהמשיק למעגל בנקודה Bנפגשים בנקודה .C נתון. ADB , C : הבע באמצעות , Rו -את אורך הקטע . BC B D D A C B AC )24ו BD -הם מיתרים במעגל שרדיוסו , Rשנפגשים בנקודה . M זווית Bהיא זווית ישרה. נתון. DC q , DM p , AB k : הבע באמצעות p , k , Rו q -את אורך הקטע . MC D M C )25חשב את שטחי המשולשים הבאים: א. A ב. 240 320 480 158 B )26חשב את שטחו של טרפז שווה שוקיים שאורך האלכסון שלו 8ס"מ והוא יוצר זווית של 15עם הבסיסים. )27אורכו של מלבן הוא mורוחבו . nהזווית שבין אלכסוני המלבן היא . 2mn הוכח כי מתקיים: m2 n 2 . sin )28במשולש ישר זווית ) B 90o ( ABC נתון. A , AB m : הבע באמצעות ו m -את שטח המשולש . BCD BD חוצה את הזווית B . )29באיור שלפניך נתון משושה משוכלל ששטחו הכולל הוא. S : א .הבע באמצעות Sאת אורך צלע המשושה. ב .מעבירים אלכסונים במשושה כך שנוצר המלבן .BFEC ג .הבע באמצעות Sאת שטח המלבן. )30המשולש ABCהוא שווה שוקיים בעל זווית ראש . AB AC , אורך הבסיס BCהוא . kעל השוק ABבונים משולש ישר זווית ABD ובו . D 90 א .הבע באמצעות kו -את אורך שוק המשולש .ABC ב .הניצב ADבמשולש ABDשווה ל 0.85k -וכי. ABD 40 : מצא את זוויות המשולש .ABC ג .חשב את שטח המרובע ABCDאם ידוע כי . k 6 )31במשולש ABCאורך הצלע ACהוא 8ס"מ ואורך הצלע ABהוא 10ס"מ. הנקודה Eהיא אמצע הצלע ACוהנקודה Dמקיימת :ס"מ . AD 3 DE 2 ידוע כי : BC 5 . א .מצא את אורך הקטע .DE ב .חשב את רדיוס המעגל החוסם את המשולש .ADE ג .חשב את שטח המרובע .BCED )32המרובע ABCDהוא טרפז . AB CD הקטע ACהוא אלכסון בטרפז. מסמנים. AC m , ACD , ADC : א .הבע באמצעות , ו m -את אורך הבסיס הגדול .DC ב. SADC נתון כי האלכסון ACמקיים 3 : SABC ג. חשב את שטח הטרפז אם ידוע כי 40 , 60 :ו. m 8 - 159 .הבע באמצעות , ו m -את הבסיס .AB )33המרובע ABCDהוא מלבן .מעבירים את האלכסון BD וממשיכים אותו עד לנקודה Eשמחוץ למלבן. מחברים את הנקודה Eעם הקודקוד .C ידוע כי אורך הצלע ADשל המלבן הוא 6ס"מ וכי אורך הקטע BEהוא 9ס"מ .הזווית CBEהיא .115 א .מצא את אורך הקטע .CE ב .מצא את אורך האלכסון .BD ג .חשב את שטח המשולש .DCE )34המרובע ABCDהוא טרפז . AB CD ממשיכים את השוקיים ADו BC-עד לפגישתם בנקודה .E ידוע כי. DE CE : מעבירים את האלכסון ACאשר חוצה את זווית .C מסמנים את הבסיס הגדול DCב k -ואת. ACD : א .הבע באמצעות kו -את הבסיס הקטן של הטרפז .AB ב .הבע באמצעות kו -את שטח המשולש .ABC ג .חשב את שטח המשולש ABCכאשר 12 , 15 :ס"מ . k )35נתונה מקבילית ABCDובה מעבירים את האלכסונים ACו BD-אשר נחתכים בנקודה Mכמתואר באיור. מסמנים. AB k , BDC , ACD : א. AC sin הוכח כי אלכסוני המקבילית מקיימים: BD sin . ב .1 .הבע באמצעות , ו k -את שטח המשולש .DMC .2הבע באמצעות , ו k -את שטח המקבילית .ABCD ג. AC 4k 2 sin 2 נתון כי 2 : .הראה כי שטח המקבילית הוא: BD sin )36המרובע ABCDהוא מעוין ובו . D 60מעבירים את האלכסון ACואת הקטע CEכך שהנקודה Eנמצאת על BE הצלע ABומחלקת אותה ביחס 4 : AE . א .חשב את זווית .AEC ב .נתון כי שטח המשולש AECהוא 8.66סמ"ר. חשב את שטח המעוין. 160 . )37הקטע DEמקביל לצלע BCבמשולש ABCכמתואר באיור. נתון כי. BD 129 , BC 15 , CE 13 : ידוע כי זווית AEDהיא . 60 א .חשב את אורך הקטע DEאם ידוע כי הוא קטן מ 10-ס"מ. ב .חשב את שטח המשולש .ADE )38המשולש ABCחסום במעגל כך ש AB-הוא קוטר. הנקודה Dהיא אמצע הקשת BCוממנה מעבירים את המיתרים ADו BD-ומעלים גובה DEלצלע . BC מסמנים DE k :ונתון כי. ABC 10 : א .הבע באמצעות kאת רדיוס המעגל. ב .הבע באמצעות kאת שטח המשולש .ABF ג .מצא את kאם ידוע כי שטח המשולש ABFהוא 15.363סמ"ר. )39במשולש ABCהקטע BEחוצה את זווית .B הנקודה Dהיא אמצע הצלע ABומקיימת. DE CE : ידוע כי. BC 6 , BE 8 , BD 9 : א .מצא את זווית .B ב .חשב את שטח המשולש .ADE )40נתון המעוין .ABCDאורך האלכסון הגדול במעוין ACגדול פי 1.8מצלע המעוין. א .חשב את זוויות המעוין. מהקודקוד Dמעבירים את הקטע DEשאורכו הוא . m הקטע DEחותך את האלכסון ACבנקודה .G הזווית EDCתסומן ב . - ב .הבע באמצעות mו -את אורך הקטע .CE ג .הבע באמצעות mו -את שטח המשולש .EGC )41המשולש ABCחסום במעגל כמתואר באיור. מעבירים את המיתר ADהחוצה את זווית .BAC ידוע כי . BAC 40 , ACB 60 :מסמנים. AD k : א .הבע באמצעות kאת אורך המיתר .BD ב .ידוע כי שטח המשולש ABDהוא 7.368סמ"ר. מצא את ( kעגל למספר שלם). 161 )42המשולש ABCהוא שווה שוקיים . AB AC ממשיכים את הצלע ACעד לנקודה Dכך שאורך שוק המשולש גדולה פי 3.8 מהקטע .ADידוע כי . D 60 :אורך הקטע BDהוא 21ס"מ. א .מצא את אורך הקטע .AD ב .חשב את שטח המשולש .ABC )43במקבילית ABCDאורך האלכסון ACהוא 79ס"מ. היקף המקבילית הוא 20ס"מ וידוע כי. B 120 : א .מצא את אורכי צלעות המקבילית. ב .חשב את שטח המקבילית. ג .מסמנים נקודה Eעל האלכסון ACכך שהמרובע CBEDהוא בר חסימה. חשב את רדיוס המעגל החוסם את המרובע .CBED )44המרובע ABCDהוא מלבן החסום במעגל .מהקדקוד Dמעבירים את המיתר DFהחותך את הצלע ABבנקודה .E ידוע כי . AF CF :הצלע ADשל המלבן תסומן ב. a - א .הוכח כי המשולש DAEהוא שווה שוקיים. ב .נתון גם כי. BC BF : .1הבע באמצעות aאת רדיוס המעגל. .2חשב את הזוויות המרכזיות של הקשתותAB ; BC : (אין צורך לסרטט אותן). )45המרובע ABCDחסום במעגל כמתואר באיור. ידוע כי. AB b , BC a , CD a , AD 3b : א .הבע באמצעות aו b -את . cos BCD ב .הוכח כי אם BDקוטר אז מתקיים. a b 5 : ג .נתון כי רדיוס המעגל הוא 3ס"מ. הסתמך על סעיף ב' וחשב את שטח המרובע .ABCD )46המשולש ABCהוא ישר זווית C 90ובו. B 2 : מעבירים מעגל שרדיוסו Rדרך הקדקודים Bו C-אשר חותך את צלעות המשולש בנקודות Dו.E- המיתר BEחוצה את זווית .B א .הבע באמצעות Rו -את שטח המשולש .ABE ב .ידוע כי המשולש ABEהוא שווה שוקיים וכי אורך המיתר CEהוא 6ס"מ .חשב את שטח המשולש .ABE 162 )47במשולש שווה שוקיים ) AB AC ( ABCשאורך השוק בו הוא kוזווית AB . הבסיס שלו היא BE , חוצה את זווית Bו CD -הוא הגובה לשוק k 2 sin sin 4 2 . SADE הוכח כי שטח המשולש ADEהוא: 3 4sin 2 )48נתון משולש שווה שוקיים AB AC ABCהחסום במעגל. מהקדקוד Cמעבירים את המיתר CEהחותך את השוק AB בנקודה .Dידוע כי Eהיא אמצע הקשת ABוהיחס בין הקטעים BDו CD-הוא .4:7מסמנים. ACD : א .מצא את זוויות המשולש ( ABCעגל למספרים שלמים). ב .חשב את אורך המיתר BEאם ידוע כי רדיוס המעגל החוסם שווה ל 8-ס"מ. AC )49ו BD-הם מיתרים במעגל שרדיוסו , Rשנפגשים בנקודה . M זווית Bהיא זווית ישרה. נתון. MCB , MBC : א .הבע באמצעות , Rו -את שטח המשולש . BDC 1 2 ב .נתון . SBDC R 2 , 2 :חשב את . A D M C )50בטרפז שווה שוקיים ,שאורך השוק שבו הוא bוהזווית שליד הבסיס הגדול היא נתון שהאלכסונים מאונכים זה לזה. א .הבע באמצעות ו b -את אורכי בסיסי הטרפז. ב .חשב את אם ידוע שהבסיס הגדול ארוך פי 3מהבסיס הקטן. )51המיתר ABהוא קוטר במעגל שרדיוסו Rו AD-הוא מיתר. ממשיכים את המיתר BDומעבירים משיק מהנקודה .A המשיק והמשך המיתר נפגשים בנקודה .C מסמנים. BAD : א .הבע באמצעות ו R-את שטח המשולש .ABD ב .הבע באמצעות ו R-את שטח המשולש .ACD ג .מצא את אם ידוע כי שטח המשולש ABDקטן פי 4משטח המשולש .ACD 163 B )52המרובע ABCDהוא מקבילית .הקטע AEמקצה על הצלע DCקטעים המקיימים. 3CE DE : מעבירים תיכון DFלצלע AEבמשולש .ADE ידוע כי . ADF CDF :מסמנים. CE k : א .הבע באמצעות kו -את אורך הקטע .AE ב .מעבירים את האלכסון .AC הבע באמצעות kו -את היקף המשולש .ACE ג .היקף המשולש ACEהוא . 4.5kמצא את . *הערה :השאלות הבאות משלבות ידע בגיאומטריה ובטריגונומטריה יחד: )53המרובע ABCDהוא מלבן .מעבירים את האלכסונים ACו .BD- הנקודה Eנמצאת על הצלע ABשל המלבן ומחלקת אותה כך ש . 2BE AE -ידוע כי הקטע OEמאונך לאלכסון AC ושווה ל .BE-הקטע CEחותך את האלכסון BDבנקודה .G א .הוכח כי הקטע CEמאונך לאלכסון .BD ב .הוכח כי מתקיים. 4GE AE : ג .נתון כי שטח המשולש BEGהוא 5סמ"ר. חשב את שטח המלבן .ABCD )54באיור שלפניך נתון מחומש משוכלל ACBDE (כל זוויותיו הן )108בעל אורך צלע . a א .הבע באמצעות aאת אלכסון המחומש .AD ב .הבע באמצעות aאת רדיוס המעגל החוסם את המחומש. ג .הבע באמצעות aאת שטח המחומש. ד .אורך רדיוס המעגל החוסם את המחומש הוא 6ס"מ. חשב את שטח המחומש. )55במשולש ABCהזווית Cהיא. 60 :מעבירים את הקטע ADכך שנוצרים המשולשים ACDו.ABD- ידוע כי רדיוס המעגל החוסם את המשולש ACDהוא 3 :ס"מ . R1 כמו כן רדיוס המעגל החוסם את המשולש ABDהוא 3 :ס"מ . R2 א .הוכח כי המשולש ABCהוא ישר זווית. ב .היקף המשולש ABCהוא12 4 3 :ס"מ . P חשב את שטח המשולש. 164 )56המשולש ABCהוא שווה צלעות .הקטע DEעובר דרך הקדקוד Aכך שנוצרים שני משולשים ABDו .ACE-ידוע כי ACחוצה את זווית DCEבמשולש .DCE א .הוכח. AB CE : ב .הוכח. BC DE DC AE : ג .נתון 8 :ס"מ DC וכי. AC DE : .1חשב את שטח המשולש .DCE .2חשב את שטח המשולש .ABD )57מהנקודה Aמעבירים את הקטעים AD , AC , ABו AE-כך שמתקיים BAC CAD :ו . AB AE - מעבירים את האלכסון BEבמחומש .ABCDE מתקיים . BE CD :ידוע כי המרובע BCDEהוא בר חסימה. א .הוכח כי המרובע BCDEהוא טרפז שווה שוקיים. ב .נתון כי המשולש ACDהוא ש"ש ( .) AC AD הוכח כי. ABD ACE : ג .ידוע כי ADC 3 2.5 :ו. ADE 3 10 - הוכח כי משולש ADEהוא ישר זווית. ד .נסמן. AB m : .1הבע באמצעות mאת צלעות הטרפז .BCDE .2הבע באמצעות mאת שטח המחומש .ABCDE .3מצא את mאם ידוע כי שטח המחומש ABCDEהוא 46.284סמ"ר. (עגל למספר שלם). )58הטרפז ABCDהוא שווה שוקיים .חוסמים מעגל בתוך הטרפז אשר משיק לו בנקודות F ,Eו G-כמתוארבאיור. הקטעים DFו CE-חוצים את זוויות הטרפז ונחתכים בנקודה .M א .הוכח כי הנקודה Mהיא מרכז המעגל החסום. ב .חשב את זוויות הטרפז. ג .ממשיכים את GFואת ADכך שהם EM נפגשים בנקודה .Hחשב את היחס FH . )59המרובע BDECהוא טרפז . BC DE המשכי השוקיים BDו CE-נפגשים בנקודה Aכך שהמשולש ABCהוא שווה שוקיים . AB BC נתון 18 :ס"מ . ADE 30 , AB 165 C H B G A E F M D א .סמן את אורך הבסיס DEב x -ואת שטח הטרפז BDECב . S -הבע את Sבאמצעות . x ב .על הקטע ADבונים ריבוע .ידוע כי שטחו קטן ב 1-סמ"ר משטח הטרפז .BDEC S ADE חשב את היחס: S ABC . )60במעגל שמרכזו Oמעבירים את הקטרים ABו CD-המאונכים זה לזה. Eהיא נקודה על היקף המעגל המקיימת 15 :ס"מ . BE DE מעבירים את המיתר .AEהקטע OMמאונך למיתר AE ושווה למיתר .DE א .הוכח כי המרובע OMEBהוא טרפז ישר זווית. ב .מצא את אורך המיתר .BE נתון כי שטח הטרפז הוא 90סמ"ר. ג .מצא את רדיוס המעגל. ד .חשב את זווית .B )61דרך הנקודה Aמעבירים שני משיקים למעגל ABו.AC- הנקודות Dו E-נמצאות על היקף המעגל ומהן מעבירים את המיתרים DE , DCו .BD- ממשיכים את המיתר BEעד לנקודה Fשמחוץ למעגל כך ש DF-מאונך למיתר BD ושווה באורכו לרדיוס המעגל .נתון כי. BFD BDC : א .הוכח כי. BFD ABC : ב .הוכח כי המרובע ADFBהוא טרפז. אורך המשיק ACהוא 8ס"מ ואורך המיתר CDהוא 6ס"מ. ג .חשב את שטח הטרפז. ד .חשב את זוויות הטרפז. BD )62הוא אלכסון במרובע הבר-חסימה .ABCDהנקודות Eו F-הן בהתאמה אמצעי הצלעות ADו AB-במרובע .מעבירים את הקטעים BEוCF- כך ש . BE CD :נתון כי הזוויות Aו BFE -משלימות ל .180 - א .הוכח. BCD BFE : 1 נתון כי BE 7.5 :וכי: 15 . GE HD 17 ב .חשב את אורך הקטע .FE ג .נתון כי רדיוס המעגל החוסם את המשולש BED הוא 4.001 :ס"מ = .Rמצא את זווית . EBD 166 :תשובות סופיות 138.618 או 41.382 . ג 34.231 . בx 18.585cm , y 22.199cm .) א1 . 73.898, x 3.606cm . ה 24.474 או 155.526 .ד . AD 13.064cm )3 90 . ד 105.962 . ג 20.742 . בx 5.646cm .) א2 . 66.444, 113.556, 41.810, 138.190 )5 GM 3.360cm )4 . R 5.395cm , AC 10.790cm )8 P 22cm )7 R 9.242cm , AB 14.56cm )6 24.32 . ב.R = ס"מ10.5 .) א10 DG 18 .) ב9 . R ס"מ6.29 . ס"מ ג11.66 . ב68 .) א13 . r 1.15R . בDE 1.48R CD R 3 .) א11 . סמ"ר78 .2 . ס"מ13 .1 . בAC 32.36t 2 448t 1600 .) א14 R 13.77 . גC 28.9 .) ב16 ס"מ10.1 . ס"מ ב9.4 .) א15 .56.89 . גm 16 . בsin 1.5m 100 2.25m 2 .) א18 . SABE 0.934 . ב37.72 .) א17 SECD . ס"מ17.19 . ס"מ ב4.94 .) א20 S 18.18 . ג3 .2 1.5 28 3 t .1 . ב4 .) א19 . BC . S 16cm )26 2 R sin sin sin )23 DE 1 2 b a 2 )22 BC 10cm )21 9 S 8.641cm2 . בS 75.801cm2 .) א25 2 2 3 . S .ב 2S 0.62S .) א29 27 SBCD MC p2 q2 pqk )24 R m2 tan 2 sin 45 cos 2sin 45 . S 37.18 . ג44.4 , 67.78 , 67.78 .ב )28 k .) א30 2sin 2 . S 21.48 . גR 2 . בDE 1.6 1.26 .) א31 . SABCD 31.2 . גAB m sin m sin . בDC .) א32 3sin sin . ס"מ63.05 . ס"מ ג14.19 . ס"מ ב12.75 .) א33 k 2 tan 2 sin 2 k tan .ב .) א34 S סמ"ר7.754 .ג 2 2 tan 2 tan 2 2k 2 sin sin k 2 sin sin . S 86.6 . ב109.1 .) א36 . .2 .1 .) ב35 sin 2sin . סמ"ר34.48 . ס"מ ב7 .) א37 . k 6 . גS 2 k sin10 k 0.426k 2 . בR 1.21k .) א38 3 2sin 50sin 40 2sin 2 40 . S 12.52 . ב40.72 .) א39 0.35m2 sin 2 sin 128.32 . . ג1.27m sin . ב128.32 ; 51.68 .) א40 sin 25.84 167 . S 172.77 . ס"מ ב5 .) א42 k 7 . בBD .R k sin 20 .) א41 sin100 37 . גS סמ"ר18.18 . בAB= ס"מ7 - וBC = ס"מ3 .) א43 3 . 45 , 135 .2 R a 1 . S 36 . בS R tan 2 .) א46 2 2 1.3a .1 .) ב44 2 a 2 5b2 .) א45 a 2 3b2 . BE 7.75 . ב58 , 58 , 64 .) א48 סמ"רS 14.4 . גcos BCD . 22.5 . בS 2R2 sin cos sin 90 .) א49 . 75 .ב b sin 135 sin 45 , b sin 45 sin 45 .) א50 2R 2 cos3 . 26.56 . גS . בS R 2 sin 2 .) א51 sin 14.47 . גPACE k 6k sin k 25 24cos 2 . בAE 6k sin .) א52 . S 8 3 .) ב55 . S 85.57 . ד1.72a 2 . ג0.85a . ב1.618a .) א54 . סמ"ר120 .) ג53 . SABD 4 3 .2 SCDE =16 3 .1 .) ג56 . BC 0.4663m , DE 0.4663m , CD 0.4776m , BE 1.2175m .1 .) ד57 . 2 .ג 3 60 ,120 .) ב58 m ס"מ8 .3 0.7232m2 .2 . B=67.38 . דR 13 . גBE 10 .) ב60 .16.73 .ג FE 4 S ADE 16 . בS 81 0.25x2 .) א59 S ABC 81 .) ב62 26.56,116.56,59.19,120.8 .) ד61 168 שאלות שונות: )1במשולש ABCחסום מעגל שרדיוסו . Rנתון כי . A , B א .חשב את רדיוס המעגל החוסם במשולש בעזרת . , , R ב .נתון כי . 30 :חשב את רדיוס המעגל החסום במשולש בעזרת . R K )2במקבילית MNPQנקודה Eנמצאת על הצלע PQ כך ש ( MEN 90 -ראה ציור). נתון 12 :ס"מ . MNE 40 , MQP 70 , MQ מצא את הגובה , MFואת הגובה . NK M N )3במשולש ישר -זווית P 90 PA MNPהוא גובה ליתר ו NF -חוצה את הזווית . MNP M PAו NF -נחתכים בנקודה ( Eראה ציור). נתון 24 :ס"מ . MNP 40 , NP F א .מצא את אורך הקטע . NA E ב .מצא את אורך הקטע . EF P F E A N P )4אלכסוני המלבן MNPQנחתכים בנקודה . O מנקודה Oמעלים אנך ל QN -החותך את QP a בנקודה ( Kראה ציור). נתון. NP a , MOQ 2 : א .הבע את אורך הקטע OKבאמצעות ו . a - P ב .הבע את היקף המשולש NOKבאמצעות ו . a - N )5בטרפז ישר -זווית ABCDחסום מעגל שמרכזו . O הנקודה Mהיא נקודת ההשקה של המעגל עם השוק . ABנתון 12 :ס"מ . BAD , AM א .הבע את רדיוס המעגל בעזרת . ב .הבע את היקף הטרפז בעזרת . Q M O 2β Q K B C M O α A D A )6במשולש ישר -זווית ( ABCראה ציור) נתון: 8ס"מ . ABC , ACB 90 , BC CDהוא הגובה ליתר. CEהוא חוצה-הזווית . ACD הבע את אורך הקטע AEבאמצעות . 169 E D C B )7נתון מעגל שרדיוסו . Rמצולע משוכלל בעל 9צלעות חוסם את המעגל הזה. מצולע משוכלל אחר בעל 9צלעות חסום בתוך מעגל זה .חשב את היחס בין שטח המצולע החוסם את המעגל לשטח המצולע החסום במעגל זה. )8 ABC הוא משולש שווה -שוקיים AB AC שאורך בסיסו 12ס"מ. ADהוא הגובה לבסיס , BCו CE-הוא הגובה לשוק .AB שני הגבהים נחתכים בנקודה . Oנתון. 45 ABC : א .הבע את היחס AO : DOבאמצעות . ב .הראה כי בעבור 60הביטוי שמצאת בסעיף א' מתאים לתכונות הגאומטריות של משולש שווה-צלעות. A )9במשולש ABCחסום מעגל שמרכזו Mורדיוסי ( rראה ציור). נתון. B 62 , C 46 : א .הבע באמצעות rאת אורך הצלע . BC ב .נתון 16 :ס"מ . BC מצא את . r M C )10במחומש משוכלל ( ABCDEראה ציור) אורך האלכסון ACהוא 15ס"מ. חשב את שטח המחומש. B A B E C D )11מנקודה Cהנמצאת מחוץ למעגל שמרכזו Mורדיוסו R מעבירים משיק CDוחותך CBAלמעגל (ראה ציור). 3 נתון. CD R : 5 א .מצא את זוויות המשולש . CAD ב .הבע באמצעות Rאת שטח המשולש . BCD )12מנקודה , Aהנמצאת מחוץ למעגל שמרכזו , O יוצאים שני משיקים למעגל AB ,ו ( AC -ראה ציור). נתון 10 , BAC 2 :ס"מ . AO א .הבע באמצעות את , S1 A שטח המרובע . ABOC ב .הבע באמצעות את , S 2 שטח המשולש . BOC ג .הראה שאם , 30אזי. S1 4 S2 : 170 D M B A B O C C ABCD )13הוא טרפז ישר-זווית . C D 90 נקודה Eנמצאת על הצלע ( DCראה ציור). נתון AE BE k , AEB 90 :ו . CBE - הבע באמצעות kו -את שטח הטרפז. C B E A D )14א .במעושר משוכלל ,ששטחו 100סמ"ר ,חוסמים מעגל. מצא את רדיוס המעגל החסום במעושר. ב .מעושר משוכלל חסום במעגל ,שאת רדיוסו מצאת בסעיף א'. מצא את שטח המעושר המשוכלל הזה. ABC )15הוא משולש שווה -שוקיים AB AC שבו זווית הראש היא זווית חדה. נתון כי זווית הבסיס היא ואורך הבסיס BCהוא . 2a A ADהוא הגובה לבסיס BCו CE -הוא הגובה לשוק . AB הגבהים ADו CE -נפגשים בנקודה ( Oראה ציור). א .הבע באמצעות aו -את אורכי הקטעים COו . CE - CO ב .הבע באמצעות את היחס CE . E O ג .חשב את היחס שמצאת בסעיף ב' כאשר , 60 והסבר מהי המשמעות הגאומטרית של התוצאה שקיבלת. C B D )16מנקודה Aיוצאים שני משיקים למעגל שמרכזו , Oשאורכם m (כלומר .) AB AC m :נקודות ההשקה הן B A ו , C -והזווית שבין המשיקים היא BAC α (ראה ציור). א .הבע באמצעות mו -את שטח המשולש . ABC ב .הבע באמצעות mו -את שטח המשולש . BOC ג .הבע באמצעות את היחס שבין שטחו של המשולש BOCלבין שטחו של המשולש . ABC ד .בדוק את תשובתך לסעיף ג' למקרה המיוחד שבו . 90 )17במשולש ישר -זווית DACנתון . DAC מאריכים את הניצב ACכך ש. AB d - נתון כי( DBA :ראה ציור). סמן. AC x : הבע את xבאמצעות , dו. - O C D β α C 171 B A d B A )18נתון משולש ישר-זווית . C 90 ABC CEהוא הגובה ליתר AD .הוא חוצה-הזווית . CAB CEו AD -נחתכים בנקודה ( Pראה ציור). נתון. CAB , AC m : הבע באמצעות mו -את: א .אורך הקטע . AE B ב .אורך הקטע . PD E P D )19בטרפז שווה-שוקיים AD BC ABCDהאלכסונים נפגשים בנקודה ( Mראה ציור). נתון, DAC DBC 90 : 11 , ADC BCD 65ס"מ . DC C חשב את שטח המשולש . AMD )20הקטעים ABו CD -נחתכים בנקודה . O נתון כי 9 , OAC 60 :ס"מ , CO 6ס"מ 14 , AC ס"מ , OD 10ס"מ . OB חשב את . ODB C A B M D D A O B C N )21במשולש MNPגודל הזווית Mהוא . 54 נתון כי אורך הצלע MNהוא 12ס"מ (ראה ציור), והצלע NPארוכה ב 7-ס"מ מהצלע . MP א .חשב את אורך הצלע . NP ב PA .הוא תיכון לצלע . MN חשב את שטח המשולש . PAN 54° M P )22המשולש שווה-שוקיים AB AC ABCחסום במעגל (ראה ציור). נתון . ABC :כמו כן ידוע שאורך רדיוס המעגל הוא 20ס"מ. א .הבע בעזרת את שטח המשולש . ABC ב .חשב את שטח המשולש ABC בעבור . 45 A B )23במשולש ABC הזווית Cהיא בת , 60אורך הצלע ABהוא 13ס"מ, והיקף המשולש הוא 7 13ס"מ .חשב את שטח המשולש. 172 C )24בטרפז שווה-שוקיים אורך הבסיס הגדול ABשווה לאורך הלאכסון. זווית הבסיס היא ,) 60 ( ראה ציור .הבע באמצעות את היחס שבין שטח המשולש ACD לשטח המשולש . ABC ABCD C AD BC D β A B )25הקדקודים Aו B -של המשולש ABD נמצאים על היקף מעגל שאורך רדיוסו 12ס"מ ומרכזו . O הקדקוד Dשל המשולש ABDנמצא על הרדיוס . OA א .הבע בעזרת ו -את שטח המשולש . ABD A B β α C O D ב .חשב את היחס שבין שטח המשולש ABCלשטח המשולש . ABD N )26משולש MNPחסום במעגל. המיתר NQחוצה את הזווית . MNP נתון MPN 70 , MNP 80 :ו 12 -ס"מ . NP חשב את אורך המיתר . MQ P M Q )27נתון טרפז .) AB CD ( ABCD הנקודה Eהיא נקודת המפגש של אלכסוני הטרפז. נתון. CBD , CEB , BE m , DC BC : הבע את אורכי בסיס הטרפזAB : ו CD -באמצעות , mו . - C α E m β A B )28במשולש RSTנתון QT :הוא חוצה-הזווית , RTS . TRQ 45 , RST , RQ 2 , QS m א .הבע את sin באמצעות . m 2 ב .נתון כי: 3 D . m חשב את זוויות המשולש . RST S Q T R )29במשולש שוום שוקיים AB AC ABCהתיכון לשוק שווה באורכו לרדיוס המעגל החוסם את המשולש .חשב את זווית הבסיס של המשולש. )30נתון משולש שצלעותיו . t , 2t , kt א .לאיזה ערכים של הקבוע kהמשולש הוא קהה זווית? ב .נתון . k 7חשב את אורך חוצה הזווית . BAC 173 )31בתוך הריבוע ABCDנתון ,העבירו ארבעה קטעים היוצרים את אותה זווית עם צלעות הריבוע כך שהתקבל ריבוע פנימי . PQRS PQ א .הוכח כי cos sin : AB B α Q . α ב .לאיזו זווית מתקיים. PR AB : A P R α S α D C P PS )32הוא גובה במשולש ( PMQראה ציור). נתון. PS h, MPS , SPQ : א .הבע את שטח המשולש PMQ באמצעות , hו. - F Q ב .מעגל שקוטרו PSחותך את הצלעות PM S ו PQ -בנקודות Eו F -בהתאמה (ראה ציור). .1הבע באמצעות ו -את . ESF .2הבע באמצעות ו -את היחס בין שטח המשולש ESF לשטח המשולש . PMQ E M )33במשולש ABCהצלעות הן b , aו c -והזוויות שמונחות מולן הן , :ו -בהתאמה. א .הבע את אורך התיכון ( maהתיכון לצלע ) aבאמצעות הצלעות bו c - והזווית ב .בדוק את הנוסחה שמצאת למקרה שבו המשולש ABCהוא שווה צלעות. )34במשולש שווה שוקיים , ( AB AC ) ABC BMהוא תיכון לשוק (ראה ציור). נתון כי רדיוס המעגל החוסם את המשולש ABC הוא 10ס"מ וכן נתון ש . BAC 50 - א .מצא את גודל הזווית . BMC ב .ממשיכים את BMעד לנקודה , Dכך שרדיוס המעגל החוסם את המשולש ABDהוא 14ס"מ. מצא את שטח המשולש . AMD )35משולש שווה שוקיים ( BC BE) BCEחסום במעגל שרדיוסו . Rזווית הבסיס של המשולש BCE היא .בנקודה Eהעבירו משיק למעגל החותך את המשך השוק BCבנקודה ( Fראה ציור). א .בטא את שטח המשולש BEFבאמצעות Rו . - 174 A D M B C E F B C ב .מצא את הערך של שבעבורו שטח המשולש המשולש . BEF BCE שווה לשטח )36בטרפז ( BC ED) BCDEאורך הבסיס BCהוא 12ס"מ .הזווית שבין הבסיס BCלשוק DCהיא .80אורך האלכסון BDהוא 16ס"מ ,והוא חוצה את הזווית . CBEחשב את היקף הטרפז. A )37במשולש ישר -זווית APDמחלקים את הזווית הישרה Pלשלוש זוויות שוות. כלומר. ( APB BPC CPD 30) : נתון כי. PAD PB m : א .היעזר במשפט הסינוסים ,והבע את BD , AC , AB ו CD -באמצעות mו . - AC BD ב .הוכח כי 3 : AB CD α B m C 30° 30° 30° D . P B A )38בטרפז שווה שוקיים , ( AD BC , AB DC ) ABCD Fהיא נקודה על השוק , BCכך ש DF -חוצה את F הזווית CDAו AF -חוצה את הזווית ( DABראה ציור). נתון. FAB , AB b : C הבע באמצעות bו -את אורך הבסיס . DC EFG )39משולש שווה צלעות Mהיא נקודה על המעגל. נתון( MGE :ראה ציור). א .הוכח כי. ME MF MG : ב .אם ME Rמה תוכל לומר על D E חסום במעגל שרדיוסו . R M β ? MG G )40משולש שווה שוקיים . ( AD AE ) ADEחסום במעגל שרדיוסו . R ישר המשיק למעגל בנקודה Dחותך את המשך הצלע AEבנקודה . F נתון. (60 180) DAE : A א .הבע את שטח המשולש ADFבאמצעות Rו. - ב .הבע באמצעות את היחס שבין שטח E המשולש ADEובין שטח המשולש . ADF ג .חשב את אם שטח המשולש ADEשווה לשטח המשולש . ADF 175 F F D B C )41במעוין ABCDהנקודה Eהיא אמצע הצלע . CD נתון( AEB , ADC :ראה ציור). הוכח כי: 3 25 16cos 2 β E . cos α D )42נתון טרפז ABCDונתון מעגל .השוק DCהוא קוטר המעגל. השוק ABמשיקה למעגל ,והבסיסים ADו BC - משיקים גם הם למעגל בנקודות Dו C -בהתאמה. נתון כי. AB d , B : א .הבע באמצעות dאת סכום בסיסיו של הטרפז. ב .הבע באמצעות dו -את היקף הטרפז ואת השטח של הטרפז. ג .נתון שהיקף הטרפז 25ס"מ ושטחו 25סמ"ר. חשב את הזווית החדה . )43במשולש שווה שוקיים PMN A ) A ( PM PNהיא A D d β B C P 1 5 נקודה על הגובה , PBכך ש . PA PB - הישר NAחותך את השוק PMבנקודה ( Dראה ציור). נתון DNB , DMN :ו. BN a - א .חשב את היחס . tan : tan N ב .חשב את היחס . PM : DM D A α β M B )44במעגל שמרכזו Oורדיוסו Rמעבירים שני קטרים ABו CD -הנחתכים בזווית של . 60מיתר , AEהיוצר זווית עם הקוטר , AB E D חותך את הקוטר CDבנקודה ( Fראה ציור). F א .הבע את שטח המשולש ACFבאמצעות Rו . - 60° α A ב .הוכח שכאשר , 30שטח המשולש ACF O 3 8 B הוא . 3 R 2 C 176 :תשובות סופיות 1 b) R )1 2 2 2 2 . KN ס"מ21.52 , MF ס"מ11.28 )2 . EF ס"מ5.975 . ב. NA ס"מ18.385 .) א3 . a) 4R sin sin cos . a 2sin 1 1 tg .ב cos . OK . 24 1 tg .ב 2 a .) א4 2cos 2 .2 .12 tg 2 .) א5 tg 20 1 1 1 1.132 )7 . AE 8sin tg tg 8tg tg )6 2 sin 40 cos 20 2 2 . 2 (כלומר מפגשAO 2 DO : מתקיים.ב tg cos 2 tg 2 1 .) א8 2 tg 2 cos .)הגבהים הוא גם מפגש התיכונים . r 16 / tg 59 tg 67 ס"מ3.98 . ב. BC r tg 59 tg 67 4.02 r .) א9 . S סמ"ר147.86 )10 2 . S 0.0495 R . ב. D 90 , A 16.7 , C 73.3 .) א11 . S1 100 sin cos 50 sin 2 .) א12 . S2 50 sin 2 sin 180 2 50 sin 2 sin 2 .ב 1 2 .) (או כל תשובה שקולהS k 2 1 2sin cos )13 . S סמ"ר90.45 .ב 2 : היחס הוא.ג 3 . CO 1 .ב CE 2sin 2 . r ס"מ5.548 .) א14 . CE 2a sin , CO a .) א15 sin .)(בדומה למפגש התיכונים במשולש 1 2 . SBOC m2 sin tg 2 2 .ב 1 2 . SABC m2 sin .) א16 . tg 2 2 : יחס השטחים.ג . tg 2 45 1 1 - ויחס השטחים שווה ל, הוא ריבועABOC במקרה זה.ד . AC x d . PD m 1 cos cos 2 2m sin 2 tg )17 tg tg 2 2m sin tg . ב. AE m cos .) א18 2 2 cos 2 . ODB 44.7 )20 . S סמ"ר9.07 )19 177 . SPAN סמ"ר8.2 .ב . סמ"ר400 .ב . NP ס"מ10.38 .) א21 . S 800 sin 2 sin 2 .) א22 . SABC 3 3 סמ"ר5.196 )23 sin 3 2 1 4cos :) יחס השטחים הוא24 sin . או כל תשובה שקולה . . DC m sin .ב sin cos . SABD 288 sin cos 2 sin .) א25 sin sin , AB m sin )27 sin sin . MQ ס"מ15.43 )26 . 20.7 )29 . 45 , 60 , 75 או45 , 120 , 15 .ב . sin 1 .) א28 m 2 t 0.667 . ב. 1 k 3 או5 k 3 .) א30 3 1 ESF 180 ( ) .1 . בSMPQ h2 (tan tan ) .) א32 2 1 . SEFS : SMPQ sin 2 sin 2 .2 4 . 15 )31 . ma 3 b .ב 2 ma . SAMD סמ"ר 1 b2 c 2 2 b c cos .) א33 2 54.1 .ב . PBCDE 51.09 )36 . 45 . בSBEF BD 3m 2 cos , AB . DC BMC 79.5 2 R 2 sin 3 sin 2 sin 3 m 3 m sin(30 ) , AC 2 sin 2 sin(60 ) sin b tan )38 tan 3 . CD . 30 .ג .) א35 .) א37 m sin(30 ) 2 sin(60 ) cos .הוא קוטר במעגל S cos(1.5 ) . 90 . גADE .ב S ADF cos(0.5 ) .) א34 MG .) ב39 SADF 2 R 2 cos3 sin 2 cos(1.5 ) .) א40 1 S d 2 sin P 2d d sin . בAD BC d .) א42 2 9 4 . PM : DM 1.125 . בtan : tan 0.8 .) א43 8 5 .S 178 3R 2 sin(30 ) .) א44 4 sin(60 ) פרק – 8חשבון דיפרנציאלי: נגזרות ומשיקים: פונקציות נפוצות: הפונקציה : f x x 2הפונקציה : f x x3הפונקציה : f x x הפונקציה : f x x 5 x3 4 x : f x 2 פונקציה עם מכנה ,למשל: x 1 הנגזרת: לכל פונקציה f x קיימת פונקציה ,הנקראת פונקציית הנגזרת (או רק "הנגזרת") ומסומנת , f ' x המתקבלת ממנה על פי כללי הגזירה. כללי הגזירה: .1 .2 .3 .4 .5 כלל גזירה מס' . f x xn f ' x n x n1 :1 כלל גזירה מס' ( 2כפל בקבוע). f x axn f ' x n ax n1 : כלל גזירה מס' ( 3נגזרת של קבוע). f x a f ' x 0 : כלל גזירה מס' ( 4סכום והפרש). f x u v f ' x u ' v ' : כלל גזירה מס' ( 5פונקציה מורכבת). f x u n f ' x n u n1 u ' : 1 1 1 .6כלל גזירה מס' ( 6נגזרת של ) f ' x 2 : x x x .7כלל גזירה מס' ( 7מכפלה). f x u v f ' x u ' v v ' u : . f x u u 'v v 'u .8כלל גזירה מס' ( 8מנה): f ' x v v2 .9כלל גזירה מס' ( 9שורש): 1 2 x . f x . f x x f ' x 179 שיפוע של פונקציה: .1השיפוע ( ) mשל פונקציה f x בנקודה A x1 , y1 שעל הפונקציה הוא ערך הנגזרת בנקודה , A x1 , y1 כלומר. m f ' x1 : .2השיפוע של המשיק לפונקציה f x בנקודה A x1 , y1 שעל הפונקציה שווה לשיפוע הפונקציה בנקודה . A x1 , y1 .3משוואת המשיק לפונקציה f x בנקודה A x1 , y1 שעליה מתקבלת על ידי הנוסחה למציאת ישר. y y1 m x x1 : שאלות יסודיות – גזירת פונקציות: )1גזור את הפונקציות הבאות (גזירה יסודית): בf x x 7 . אf x x3 . ד. f x x ה. f x x2 ח. f x x 3 ו. f x x 1 f x x3 ט. 1 1 ז. ג. f x x2 3 f x x4 )2גזור את הפונקציות הבאות (כפל בקבוע): א. f x 2 x3 ב. f x 3x 7 ג. 1 4 x 2 ד. x6 7 f x ה. f x 8x ו. f x 3x 2 ז. 4 x f x 6x 2 ט. f x 2 1 ח. f x x3 f x 3 )3גזור את הפונקציות הבאות (נגזרת של קבוע): א. 7 ב. 8 f x 12 f x )4גזור את הפונקציות הבאות (סכום והפרש של ביטויים פולינומים): א. f x x3 2 x 2 3x 5 ב. 1 4 x3 3x 2 f x x 4 6 4 5 ג. f x 7 x 2 23x 6 ד. f x 6 x2 8x 4 ה. 1 2 x x3 2 ו. x4 67 8 f x 180 f x :)) גזור את הפונקציות הבאות (פונקציה פולינומית מורכבת5 f x 3 x x 2 2 f x x3 6 5 .ג 2 x 1 f x 3 .ב f x 5x 2 .א .ה 5 x .ד 4 3 f x 3 4 :)) גזור את הפונקציות הבאות (פונקצית מנה עם פולינום במכנה6 1 x2 2 f x 3 x f x f x .ג f x .ו 2 .ב x 1 .ה x 3x 2 3 .א x 3 f x 3 .ד x 6 .ז f x x5 f x :)) גזור את הפונקציות הבאות (מכפלת פונקציות פולינום7 3 f x 5x 1 x 3 .א f x 5x 1 x 3 .ב f x 3x 2 x .ד f x x3 6 x f x x 3x 7 .ו f x x 2 x3 .ה f x x 2 2 x 2 3 .ח f x 3x3 3x 1 .ז f x 3x 4 4 x 2 x 2 5x 2 .י f x 3x 2 x 2 10 x .ט f x x x 2 3x 4 .יא 4 .ג :)) גזור את הפונקציות הבאות (מכפלת פונקציות מורכבות8 2 2 f x 2 x3 3x 5 .ב f x x2 4 .א f x x 2 1 2 x 1 3 2 f x x3 2 x 1 2 .ד 3 .ג :)) גזור את הפונקציות הבאות (פונקצית מנה עם פילונום במונה ובמכנה9 x2 1 f x 5 x 12 x2 8 f x x 1 3 f x 3 x f x x 2 3 f x .ב .א .ה .ח x2 1 x2 3 1 f x x 2 x 1 f x x 1 .י f x x3 x 2 2 1 x .ט f x .ד .ו 2 x2 2 x2 f x 2 x 4 3x 1 1 2x 181 .ג .ז :)) גזור את הפונקציות הבאות (פונקצית שורש10 f x 4 x 1 .ב f x x .א f x x 3 1 .ג f x x3 x f x x2 x 3 .ו f x 3x 1 x .ה .ד :)) גזור את הפונקציות הבאות (פונקציות משולבות11 f x 2 x .ב f x x 1 .א f x 10 3x .ד f x 3x 2 1 .ג f x 3x 2 8 x .ו f x 2x2 7 x .ה 1 x .ח f x x2 1 2x .ז .י f x x x2 4 2 .ט 2 x3 x 2 x 5 x x x .יא 1 x2 1 x .יג f x x f x f x f x f x x3 1 x 2 3 x x x2 7 x2 5 x 1 x 1 f x .יב f x .יד f x .טז x .טו x 1 :)) גזור את הפונקציות הבאות (פרמטרים12 f x x 2a x 4a f x .ג ax 2 x c .ב 3 b f x ax 4 bx .א f x a bx 2 c .ד :) גזור פעמיים את הפונקציות הבאות13 x 5x 6 f x 2 x 10 x3 f x 2 x 4 x2 2 x 4 f x 2x 2x2 f x ( x 1)2 2 x 1 f x x 1 .ב .ד 3 f x .ו 182 x3 ( x 1)2 .א .ג .ה שאלות שונות – שימושי הנגזרת: )14מצא את שיפוע הפונקציה f x 2 x3 7 xבנקודה . 2, 2 1 )15מצא את שיפוע הפונקציה x 3 2 f x בנקודה שבה . x 2 )16מצא את שיפוע המשיק לפונקציה f x 4 xבנקודה שבה . x 1 )17מצא את משוואת המשיק לפונקציה f x 2 4 x 33בנקודה שבה . x 1 )18מצא את משוואת המשיק לפונקציה f x 8בנקודה שבה . y 2 x 1 )19מצא את משוואות המשיקים לפונקציה f x x2 2 x 8בנקודות החיתוך שלה עם ציר ה . x - )20מצא את משוואת המשיק לפונקציה f x x4 2 xששיפועו .2 x3 3x 1 )21מצא את משוואת המשיק לפונקציה x2 2 f x בנקודה שבה . x 1 )22נתון כי הישר 2 y 3x 3משיק לגרף הפונקציה . f x 3 x מצא את נקודת ההשקה. 1 )23מצא את משוואת המשיק לפונקציה: x f x העובר בנקודה . 3, 0 1 x )24מצא את משוואת המשיק לפונקציה f x x :בנקודה שבה. x 1 : )25מצא את משוואת המשיק לפונקציה f x 3x2 8 xבנקודה שבה. x 4 : )26נתונה הפונקציה הבאה. f x 4 x 2 x : א. 1 מצא את משוואת המשיק לגרף הפונקציה המקביל לישר: 2 ב .מצא את נקודת החיתוך של המשיק עם ציר ה . x - 183 . y 3x )27מצא את משוואת המשיק לפונקציה f x 1 :אם ידוע ששטח המשולש x שהוא יוצר עם הצירים הוא 4.5יחידות שטח. 4 )28מצא את משוואת המשיק לפונקציה x 1 )29מצא את משוואת המשיק לפונקציה f x ששיפועו .-2 x 3 x2 x 2 f x בנקודה שבה . x 2 )30מצא את משוואות המשיקים לפונקציה f x 1 3היוצרים עם הכיוון החיובי 3x של ציר ה x -זווית של .135o 1 2 1 )31הפונקציות x מצא את kואת נקודת ההשקה. y ו y x 2 k -משיקות זו לזו. )32מצא את משוואת המשיקים המשותפים לפונקציות 1 הבאות. y x 2 5 , y x 2 : 4 שאלות עם פרמטרים: )33שיפוע המשיק לפונקציה f x ax2 4 xבנקודה שבה x 3הוא .8 מצא את ערכו של הפרמטר aואת משוואת המשיק. 1 )34נתונה הפונקציה . a 0 , f x axהמשיק לפונקציה בנקודה שבה 2 הוא בעל שיפוע .1מצא את ערך הפרמטר . a x )35נתונה הפונקציה a) , y x3 a x :פרמטר) .שיפוע המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה x 1הוא .5מצא את ערך הפרמטר . a A )36נתונה הפונקציה: x בנקודה שבה x 1הוא .2מצא את ערך הפרמטר . A A) , y 2 x פרמטר) .שיפוע המשיק לגרף הפונקציה 184 2 )37הישר y 4 x bמשיק לגרף הפונקציה 3 x2 מצא את bואת נקודת ההשקה. 2 )38שיפוע המשיק לפונקציה ax 3 . f x f x בנקודה שבה y 2הוא .-4 מצא את ערכו של הפרמטר aואת משוואת המשיק. 2 1 )39הישר y ax משיק לגרף הפונקציה xc 2 מצא את ערכי הפרמטרים aו . c - g x בנקודה . x 0 )40הישר y 3xמשיק לגרף הפונקציה . f x x x b מצא את bואת נקודת ההשקה. a )41שיפוע המשיק לפונקציה bx 1 מצא את ערכי הפרמטרים aו b -ואת משוואת המשיק. f x בנקודה 1, 6 הוא .-6 )42לאילו ערכי kישיק הישר y 5x 6לגרף הפונקציה ? f x x3 2 x2 4 x k לכל ערך כזה של kמצא את נקודת ההשקה. x2 3 )43נתונה הפונקציה: x f x ונתון הישר. y 2 x : א .מצא את נקודת החיתוך של הפונקציה והישר הנמצאת ברביע הראשון. ב .מצא את משוואות המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שמצאת בסעיף הקודם. ג .חשב את השטח שנוצר בין המשיק והצירים. )44באיור שלפניך מתוארים הגרפים של הפונקציות f x x :ו. g x x 2 - א .מצא את נקודות החיתוך של הגרפים. ב .מצא את משוואת המשיק לגרף הפונקציה f x העובר דרך נקודת החיתוך שמצאת הנמצאת ברביע הראשון. ג .מצא את נקודת החיתוך הנוספת של המשיק שמצאת עם גרף הפונקציה . g x y )g ( x )f ( x x )45א .בטא באמצעות tאת משוואת המשיק לפונקציה f x x2 1בנקודה שבה . x t ב .מצא את ערכיו של tאם נתון שהמשיק עובר בנקודה . 1,1 185 :תשובות סופיות . 43 .ט . 32 .ט 4 x 1 3 3 x 9 x 1 .ח 2 2 x . ז 1 3 . ו 4 . ה1 . ד2x . ג7x 6 . ב3x 2 .) א1 2 x x 6 x5 . ד2x3 . ג21x6 . ב6x 2 .) א2 7 4 6 3 . ח 2 . ז 3 . ו8 .ה x x x 2 . 12 x 8 . ד14 x 23 . גx3 x 3 . ב3x2 4 x 3 .) א4 0 . ב0 .) א3 2 4 . 0.5x3 . וx 3x2 .ה 4 8 x 1 3 . . ה 5 x 2 . ד6 x x2 1 2 x . ג15x 2 x3 6 . ב15 5x 2 2 .) א5 3 4 3 . 6 x 5 2 2 .ז 3 x . ו 2 2x 3 x 2 3x . ה 2 6 x2 8x 3 .ח 2 3 . ב 2 .) א6 2 x x .ג . ג 5x 12 20 x 44 . ב10 x 14 .) א7 . x2 6 x 3 18 7 x 9 x2 56 x 20 .ט 9 2 . ד 3 4 x x 6 x 7 .ו 36 x3 9 x 2 .ז 5x 4 . ה9x 2 .ד . 9 x2 20 x 8 . יא36x5 75x4 24x3 24x2 40x 8 .י . 3 x 12 x3 2 3x3 2 x2 2 . ג30 x2 x 1 3x 5 . ב4 x x 2 4 .) א8 . 2 2 x 1 x2 1 8x 2 3x 2 .ד 2 . 8x x 4 x 2 .ד .ג 2 2 x 1 x 2 3 1 .ה x2 . 1 x 2 x x 5 x 12 . x 3 .ו .ה 2 x3 2x x 4x 7 2 2 x2 7 x . ה 3x 1 1 x 2 1.5 x2 2 x 1 2 1 x 1.5 1 x2 . . 2 2 .ד 2 10 3x x2 4 . יג abx bx 2 c 2 3x 2 1 . ט 1 2x x 3 2 x 3x x 2 x3 2 x 1 2 x 1 .ד x 1 1 2x .) א9 9 .ו x4 .ז 2 2 . ב1 .) א10 x 1 2 x 1 .) א11 2 x 1 1 .ב 2x .ג 2 x 5x2 .ז 1 2x 2 x 2a 186 2 5 4 .ו x 6x . יב3 x 1 1 52 .יא . טז x 4a .ח .ב 2 x2 2 x 3 .ח 2 9x 1 . ד3x .ג 2 x 2 x3 1 3x 3 x2 2 .י 5 x 12 2 x x 2 3 x 2 7 . י x .ט 2 5 x 2 24 x 5 2 x 1 2 x x 1 .ג 2 .טו 2x x x x3 17 x x 2 5 1.5 2ax 1 . ב4ax3 b 3 b .יד .) א12 2 . f ' x 2 x 20 x 262 , f '' x 2 x 10 . f ' x x 2 x 2 12 . f ' x x2 4 6 x 1 2 , f '' x 448 2 x 10 3 8 x x 2 12 . בf ' x x2 4 3 . דf ' x x 1 x 3 .ו , f '' x 12 4 5 x 1 x 1 2 f ' x 1 1 y x 3 )18 y 24 x 22 )17 2 2 1,3 )22 2 x2 8 4 , f '' x 3 .) א13 2 4x x 4x , f '' x x 1 3 x 2 x 3 x 1 3 4 1 2 x , f '' x x 1 4 6x x 1 4 .ג .ה m 2 )16 m 4 )15 m 17 )14 y 12 x 9 )21 y 2 x 3 )20 y 6 x 24, y 6 x 12 )19 1 1 1 1 y x 2 )24 y x 1 )23 2 2 2 2 1 3 11 15 . y x )29 y 2 x 8 )28 y x )27 1 , 0 . בy 3x 1 .) א26 16 8 16 4 3 y 22 x 56 )25 1 1 y x 1 , y x 1 )30 3 3 a 2 )34 a 2 , y 8x 18 )33 . y 2x 1 , y 2 x 1 )32 1,1 , k 1.5 )31 . A 1 )36 a 4 )35 . a 2 , y 4x 2 )38 1,5 , y 4 x 9 )37 1 8 . b 2 , a 6 , y 6 x 12 )41 b 4 , 4,12 )40 a , c 4 )39 .k 158 27 1 13 : , : אוk 6 :1,1 )42 3 3 1 . גy 1.5x 3.5 . ב1, 2 .) א43 12 . 0.5, 0.25 . גy 0.5x 0.5 . ב 0, 0 , 1,1 .) א44 .S 4 . t 0 , t 2 . בy 2tx t 2 1 .) א45 187 חקירת פונקצית פולינום: נקודות קיצון (נקודות מינימום/מקסימום): מינימום או מקסימום מקומי (פנימי) B, C, D - מינימוםאו מקסימום קצה – .A מינימום או מקסימום מוחלט – .D נקודות קיצון מקומיות: שיפוע המשיק לפונקציה בנקודות קיצון מקומיות הוא אפס. בנקודה שבה שיפוע המשיק לפונקציה הוא אפס תיתכן נקודת קיצון מקומית – נקודה כזו נקראת נקודה חשודה כקיצון .ניתן לבדוק אם היא אכן נקודת קיצון. מציאת נקודות קיצון מקומיות: א .נגזור את הפונקציה. ב .נשווה את הנגזרת לאפס ונחלץ את ערכי ה- x של הנקודות החשודות כקיצון. ג .נציב את ערכי ה x -מסעיף ב' בפונקציה המקורית לקבלת ערכי ה. y - ד .נקבע אם הנקודה היא נקודת קיצון ונסווג את סוג הקיצון על ידי טבלה או נגזרת שנייה. שאלות: )1מצא את נקודת הקיצון של הפונקציה . f x 10 x x 2 )2נתונה הפונקציה . f x x3 12 x א .מהן נקודות הקיצון של הפונקציה? ב .מהם תחומי העלייה והירידה של הפונקציה? 188 )3נתונה הפונקציה. f x x4 10 x2 9 : א .מהן נקודות הקיצון של הפונקציה? ב .מהם תחומי העלייה והירידה של הפונקציה? )4נתונה הפונקציה. f x x4 4 x3 32 : א .מהן נקודות הקיצון של הפונקציה? ב .מהם תחומי העלייה והירידה של הפונקציה? )5לפונקציה f x ax x3 5 :יש נקודת קיצון בנקודה שבה . x 1 מצא את ערכו של הפרמטר . a )6נתונה הפונקציה . f x ax3 x 2 :ידוע שהנקודה x 1נקודת קיצון. מצא את הקבוע . a )7לפונקציה f x Ax3 Bx2 1 :יש נקודת קיצון ששיעוריה. 2,3 : מצא את ערכי הפרמטרים . A , B )8לפונקציה f x Ax3 Bx2 4 x :יש נקודת קיצון ב x 1 -ו. x 4 - מצא את הפרמטרים ואת שיעור ה y -של שתי נקודות הקיצון. )9נתונה הפונקציה . f x ax3 bx2 :ידוע שהנקודה 1, 2 נקודת קיצון. מצא את הפרמטרים . a, b )10לפונקציה f x ax4 bx2 35 :יש נקודת קיצון ששיעוריה . 2,3 מצא את ערכי הפרמטרים aו . b - )11נתונה הפונקציה . f x 10 x x 2 :ענה על הסעיפים הבאים: א. ב. ג. ד. ה. מהו תחום ההגדרה של הפונקציה? מצא את נקודות הקיצון של הפונקציה. מצא את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה. מצא את נקודות החיתוך של הפונקציה עם הצירים. סרטט סקיצה של גרף הפונקציה. 189 )12נתונה הפונקציה . f x x3 12 x :חקור את הפונקציה על פי הסעיפים הבאים: א. ב. ג. ד. ה. מציאת תחום הגדרה. מציאת נקודות קיצון של הפונקציה. כתיבת תחומי העלייה והירידה של הפונקציה. מציאת נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים. סרטוט סקיצה של גרף הפונקציה. )13נתונה הפונקציה . f x x4 10 x2 9 :חקור את הפונקציה על פי הסעיפים הבאים: א. ב. ג. ד. ה. מציאת תחום הגדרה. מציאת נקודות קיצון של הפונקציה. כתיבת תחומי העלייה והירידה של הפונקציה. מציאת נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים. סרטוט סקיצה של גרף הפונקציה. )14נתונה הפונקציה . f x x4 4 x3 32 :חקור את הפונקציה על פי הסעיפים הבאים: א. ב. ג. ד. ה. מציאת תחום הגדרה. מציאת נקודות קיצון של הפונקציה. כתיבת תחומי העלייה והירידה של הפונקציה. מציאת נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם ציר ה. y - סרטוט סקיצה של גרף הפונקציה. )15נתונה הפונקציה . f x x3 :חקור את הפונקציה על פי הסעיפים הבאים: א. ב. ג. ד. ה. מציאת תחום הגדרה. מציאת נקודות קיצון של הפונקציה. כתיבת תחומי העלייה והירידה של הפונקציה. מציאת נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים. סרטוט סקיצה של גרף הפונקציה. )16נתונה הפונקציה. f x 2 x3 3ax2 54 x 50 : א .לאלו ערכים של הפרמטר aעולה הפונקציה בכל תחום הגדרתה? ב .הצב בפונקציה a 6וחקור את הפונקציה על פי הסעיפים הבאים :תחום הגדרה ,נקודות קיצון ,תחומי עלייה וירידה ,נקודת חיתוך עם ציר ה , y -סרטוט. 190 )17נתונה הפונקציה d ) , y 3x3 6 x2 4 x d :פרמטר). ידוע כי הפונקציה חותכת של ציר ה x -בנקודה שבה. x 2 : א .מצא את . d ב .האם יש לפונקציה נקודות קיצון? ג .כתוב את תחומי העלייה וירידה של הפונקציה. ד .מצא את נקודת החיתוך של הפונקציה עם ציר ה. y - ה .סרטט סקיצה של גרף הפונקציה. )18לפניך גרף הפונקציהf ( x) x3 3x : א. ב. ג. ד. ה. ו. ז. ח. מהו מספר הפתרונות של המשוואה . f ( x) 5 מהו מספר הפתרונות של המשוואה . f ( x) 2 מהו מספר הפתרונות של המשוואה . f ( x) 0.5 עבור איזה ערך של kלמשוואה f ( x) kיש בדיוק פתרון אחד. עבור איזה ערך של kלמשוואה f ( x) kיש בדיוק שני פתרונות. עבור איזה ערך של kלמשוואה f ( x) kיש בדיוק שלושה פתרונות. האם קיים ערך של kעבורו למשוואה f ( x) kאין פתרון. מצא את התחומים בהם הפונקציה היא חח"ע. y ) (- , x ) ( ,- 191 תשובות סופיות: max 5,25 )1 )2א 2, 16 min, 2,16 max . ב .עלייה x 2 , x 2 :ירידה2 x 2 : )3א5, 16 min , 5, 16 min . , 0,9 max ב .עלייה x 5 , 5 x 0 :ירידה. x 5 , 0 x 5 : )4א min 3,5 .ב .עלייה x 3 :ירידה. x 3 : a 3 )5 a 23 )6 . A -1 , B 3 )7 1 3 1 2 , B - , 1, 2 , 4, 18 )8 3 2 6 3 . a 2 , b 16 )10 b 6, a 4 )9 .A )11א .כל xב 5,25 max .ג .עלייה x 5 :ירידה x 5 :ד. 0,0 , 10,0 . )12א .כל xב (2, 16)min , 2,16 max .ג .עלייהx 2 , x 2 : ירידה 2 x 2 :ד. 0,0 , 12,0 , 12,0 . )13א .כל xב5, 16 min , 5, 16 min . , 0,9 max ג .עלייה . x 5 , 5 x 0 :ירידה 0 x 5 :או x 5 ד. 0,9 , 1,0 , 3,0 . )14א .כל xב min 3,5 .ג .תחומי עלייה x 3 :תחומי ירידה x 3 :ד. 0,32 . )15א .כל xב .אין .ג .עולה לכל xד. 0,0 . )16א 6 a 6 .ב .תחום הגדרה :כל . xנקודות קיצון:אין .תחומי עלייה :כל . x תחומי ירידה :אין .נקודת חיתוך עם הצירים. 0 , 50 : 2 )17א d 8 .ב .לא ג .יורדת בתחום 3 x ד. 0,8 . )18א .1 .ב .2 .ג .3 .ד k 2 , k 2 .הk 2 . ז .לא .ח. x 1 , 1 x 1 , x 1 . 192 ו 2 k 2 . סקיצות לשאלות החקירה: )11 ) 14 )16 ) 12 ) 13 )15 )17 193 חקירת פונקציות מנה ופונקציות שורש: סעיפי חקירה מלאה של פונקציה: .1תחום הגדרה. .2נקודות קיצון. .3תחומי עלייה וירידה. .4נקודות חיתוך עם הצירים. .5אסימפטוטות מקבילות לצירים. .6נקודות פיתול. .7תחומי קעירות כלפי מעלה וקעירות כלפי מטה. .8סרטוט. תחום הגדרה של פונקציה: .1כל פולינום מוגדר לכל . x .2בפונקציה עם מכנה ,אסור שיתקבל אפס במכנה. .3בפונקציה עם שורש ,אסור שיתקבל מספר שלילי בתוך השורש. אסימפטוטות: .1אסימפטוטה אנכית -הגדרה: f x הישר x k :הוא אסימפטוטה אנכית של פונקציה מהצורה: g x y f x אם הוא מקיים g k 0 :וגם . f k 0 :בצורה מתמטית :אם : g x f x או : g x limאו שניהם אז הישר x k :הוא אסימפטוטה אנכית f x לפונקציה g x .y lim x k x k הסבר כללי: בעבור ערכי xשמאפסים את המכנה ,אבל לא את המונה יש אסימפטוטה אנכית. כאשר ערך xמאפס את המכנה וגם את המונה יש לפרק את המונה והמכנה (על ידי נוסחאות כפל מקוצר או טרינום למשל) ולצמצם .אם אחרי הצמצום אותו ערך של x עדיין מאפס את המכנה תתקבל אסימפטוטה אנכית ,אך אם ערך xזה לא מאפס את המכנה אחרי שצומצם אין אסימפטוטה אנכית אלא נקודת אי הגדרה. 194 .2אסימפטוטה אופקית -הגדרה: f x ישר מהצורה y n :הוא אסימפטוטה אופקית לפונקציה מהצורה: g x f x f x limאו n : אם מתקיים n : x g x g x y limאו שניהם. x אופן החישוב הכללי: נתונה הפונקציה ( f x ax n ...יש בפונקציה קו שבר אחד!) m bx ... אם , m nלפונקציה אין אסימפטוטה אופקית. אם , m nלפונקציה יש אסימפטוטה אופקית שמשוואתה . y a b אם , m nלפונקציה יש אסימפטוטה אופקית שמשוואתה . y 0 .3חוקי גבולות לאינסוף: במקרים רבים נרצה לדעת האם פונקציה מסוימת מתכנסת לערך כלשהו כאשר xשואף לערכים ההולכים וגדלים (לאינסוף ,או למינוס אינסוף). עבור ערכי xשהולכים וגדלים (או קטנים) נרשום x :או x בהתאמה. ישנם 4מצבים בהם ערך הפונקציה בשאיפת xלאחד הקצוות ניתן לחישוב ישיר: 1 1 x הגבול " " 0 : . lim x 1 הגבול: x limניתן לפיצול לשני מקרים: x 0 1 1 א .אם( x 0 :מתקרב ל 0-מהכיוון החיובי) אז" : x 0 1 1 ב .אם( x 0 :מתקרב ל 0-מהכיוון השלילי) אז " " : . xlim 0 x 0 " . xlim 0 הגבול מהצורה ( מכפלת שני ביטויים של xאשר כל אחד מהם שואף לאינסוף בפני עצמו) מקיים. : הגבול מהצורה ( סכום שני ביטויים של xאשר כל אחד מהם שואף לאינסוף בפני עצמו) מקיים. : ישנם 3מקרים בהם לא ניתן לדעת מהו ערך הפונקציה בלקיחת הגבול בצורה ישירה והם: הגבול מהצורה: 0 הגבול מהצורה( :מנת שני ביטויים שהולכים וקטנים עם שאיפת .) x 0 (מנת שני ביטויים שהולכים וגדלים עם שאיפת .) x הגבול מהצורה( :הפרש של שני ביטויים שהולכים וגדלים עם שאיפת .) x במקרים אלו נעזר בפישוטים שהוצגו לעיל על מנת למצוא את ערך הגבול עצמו. 195 תחומי קמירות וקעירות ונקודות פיתול: .1תחומי קעירות – הגדרה: פונקציה f x קעורה כלפי מטה (קמורה) בתחום x0 : x1 אם לכל xבתחום הנ"ל המשיק לפונקציה נמצא מעל לגרף הפונקציה. כדי למצוא תחומי קעירות כלפי מטה יש למצוא תחום שבו. f '' x 0 : פונקציה f x קעורה כלפי מעלה (קעורה) בתחום x0 : x1 אם לכל xבתחום הנ"ל המשיק לפונקציה נמצא מתחת לגרף הפונקציה. כדי למצוא תחומי קעירות כלפי מעלה יש למצוא תחום שבו. f '' x 0 : .2נקודת פיתול – הגדרות: נקודת פיתול היא נקודה שבה הפונקציה עוברת מתחום קעירות כלפי מטה לקעירות כלפי מעלה ולהיפך. נקודת פיתול מקיימת f '' x 0 :כאשר ערך הנגזרת השנייה משנה את סימנו בתחום שלפני ואחרי הנקודה המאפסת אותו. בנקודת פיתול המשיק לגרף הפונקציה חותך אותה ולא רק משיק לה מכיוון אחד. שאלות: מציאת תחום הגדרה: )1מצא את תחום ההגדרה של הפונקציות הבאות: 1 אx . 2 f x x2 2x ד. x 3 ז. י. f x x2 f x 2 x x2 4x 1 f x 2 x 1 x ב 1 . 2 1 f x 2 ה. x 4 f x 4 x3 x 2 x2 1 f x 2 ח. x 2x 8 1 f x 3 יא. x x 196 ג. f x x3 x 2 4 x 1 5 x3 4 x ו. f x 2 x 1 6 ט. f x 2 x 1 x2 יב. x3 4 x f x )2מצא את תחום ההגדרה של הפונקציות הבאות: בf x 2 x 3 . אf x x . ד. f x 3x 1 2 x ז. 5x x4 י. יג. x2 x3 9 x 1 1 x f x f x f x ה. ח. יא. יד. ג. f x x 4 f x x 2 3x 10 ו. f x x2 x 2 f x ט. x2 5x 6 x 1 1 f x x x6 x 2 3 יב. 2x2 x 3 x2 5x 9 x 1 f x x 2 x f x f x מציאת נקודות קיצון ותחומי עלייה וירידה: 6x )3נתונה הפונקציה: x 10 x 9 2 . f x א .מהן נקודות הקיצון של הפונקציה? ב .מהם תחומי העלייה והירידה של הפונקציה? מציאת אסימפטוטות המקבילות לצירים: )4מצא את האסימפטוטות המקבילות לצירים של הפונקציה. f x 1 3 : x2 5x2 1 . f x 2 )5מצא את האסימפטוטות המקבילות לצירים של הפונקציה: x 9 2 x2 5x 2 . f x )6מצא את האסימפטוטות המקבילות לצירים של הפונקציה: 1 3x 2 3x )7מצא את האסימפטוטות המקבילות לצירים של הפונקציה: x 2 x 15 2 . f x 6 x3 5 x 1 . f x )8מצא את האסימפטוטות המקבילות לצירים של הפונקציה: 1 2x2 )9מצא את האסימפטוטות המקבילות לצירים של הפונקציה. f x ax b : x b 197 x2 4 )10מצא את האסימפטוטות המקבילות לצירים של הפונקציה: x 2 3x 2 x2 )11מצא את האסימפטוטות המקבילות לצירים של הפונקציה: 2 x2 4 x . f x . f x )12מצא את האסימפטוטות המקבילות לצירים של הפונקציה. f x 2x 1 : x 4 )13מצא את האסימפטוטות המקבילות לצירים של הפונקציה: x 4 x . f x )14מצא את האסימפטוטות המקבילות לצירים של הפונקציה: x . f x 1 x )15מצא את האסימפטוטות המקבילות לצירים של הפונקציה: 2x x x )16מצא את האסימפטוטות המקבילות לצירים של הפונקציה: 3x )17מצא את האסימפטוטות המקבילות לצירים של הפונקציה: x2 5 5x x 2 16 . f x . f x . f x 4 x2 1 . f x 2 )18נתונה הפונקציה: ax x b האסימפטוטה האופקית של הפונקציה ואחת האסימפטוטות האנכיות של הפונקציה נפגשות בנקודה . 1, 2 מצא את ערכי הפרמטרים aו. b - ax 8 )19נתונה הפונקציה: xb x . f x הפונקציה חותכת את האסימפטוטה האופקית שלה בנקודה . 16, 2 מצא את ערכי הפרמטרים aו . b - 198 חקירת פונקצית מנה: )20נתונה הפונקציה . f x x 1 :חקור את הפונקציה לפי הסעיפים הבאים: x א. ב. ג. ד. ה. ו. מציאת תחום הגדרה. מציאת נקודות קיצון של הפונקציה. כתיבת תחומי העלייה והירידה של הפונקציה. מציאת נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים. מציאת אסימפטוטות המקבילות לצירים. סרטוט סקיצה של גרף הפונקציה. )21נתונה הפונקציה . f x 2 x 1 :חקור את הפונקציה לפי הסעיפים הבאים: x 3 א. ב. ג. ד. ה. ו. מציאת תחום הגדרה. מציאת נקודות קיצון של הפונקציה. כתיבת תחומי העלייה והירידה של הפונקציה. מציאת נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים. מציאת אסימפטוטות המקבילות לצירים. סרטוט סקיצה של גרף הפונקציה. 6x )22נתונה הפונקציה: x 5x 4 2 א. ב. ג. ד. ה. ו. מציאת תחום הגדרה. מציאת נקודות קיצון של הפונקציה. כתיבת תחומי העלייה והירידה של הפונקציה. מציאת נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים. מציאת אסימפטוטות המקבילות לצירים. סרטוט סקיצה של גרף הפונקציה. )23נתונה הפונקציה: א. ב. ג. ד. ה. ו. . f x חקור את הפונקציה לפי הסעיפים הבאים: x 2 3x x2 3 . f x חקור את הפונקציה לפי הסעיפים הבאים: מציאת תחום הגדרה. מציאת נקודות קיצון של הפונקציה. כתיבת תחומי העלייה והירידה של הפונקציה. מציאת נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים. מציאת אסימפטוטות המקבילות לצירים. סרטוט סקיצה של גרף הפונקציה. 199 6 x 2 10 x 6 )24נתונה הפונקציה: 3x 2 10 x 3 א. ב. ג. ד. ה. ו. . f x חקור את הפונקציה לפי הסעיפים הבאים: מציאת תחום הגדרה. מציאת נקודות קיצון של הפונקציה. כתיבת תחומי העלייה והירידה של הפונקציה. מציאת נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים. מציאת אסימפטוטות המקבילות. סרטוט סקיצה של גרף הפונקציה. 2 x2 5x 2 )25נתונה הפונקציה הבאה: 4x א. ב. ג. ד. ה. ו. תחום הגדרה. נקודות קיצון. קביעת סוג הקיצון ותחומי עלייה וירידה. חיתוך עם הצירים. מציאת אסימפטוטה אנכית. סרטוט סקיצה. x2 5x 6 )26נתונה הפונקציה: x 3 א. ב. ג. ד. ה. ו. . f x חקור את הפונקציה לפי הסעיפים הבאים: מציאת תחום הגדרה. מציאת נקודות קיצון של הפונקציה. כתיבת תחומי העלייה והירידה של הפונקציה. מציאת נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים. מציאת אסימפטוטות המקבילות לצירים. סרטוט סקיצה של גרף הפונקציה. x 2 3x 2 )27נתונה הפונקציה: x2 1 א. ב. ג. ד. ה. ו. . y חקור לפי הסעיפים הבאים: . f x חקור את הפונקציה לפי הסעיפים הבאים: מציאת תחום הגדרה. מציאת נקודות קיצון של הפונקציה. כתיבת תחומי העלייה והירידה של הפונקציה. מציא ת נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים. מציאת אסימפטוטות המקבילות לצירים. סרטוט סקיצה של גרף הפונקציה. 200 ax 4 )28לגרף הפונקציה: x2 א. ב. ג. ד. ה. f ( x) יש נקודת קיצון שבה . x 8 מצא את aוכתוב את הפונקציה. כתוב את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה. מצא את נקודות החיתוך של הפונקציה עם הצירים. מצא את האסימפטוטות המקבילות לצירים. סרטט סקיצה של גרף הפונקציה. 3x 2 . f ( x) 2 )29נתונה הפונקציה: 2x 8 א. ב. ג. ד. ה. ו. מהו תחום הגדרה של הפונקציה? מצא את נקודות הקיצון של הפונקציה. קבע את סוג הקיצון ותחומי העלייה והירידה של הפונקציה. מצא את נקודות החיתוך עם הצירים של הפונקציה. מצא את האסימפטוטות המקבילות לצירים של הפונקציה. סרטט סקיצה של גרף הפונקציה. a2 x 4 )30נתונה הפונקציה: 2 x2 1 a) , y קבוע) .ידוע כי שיפוע המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה x 1 :הוא. m 4 : א .מצא את כל הערכים האפשריים עבור . a ב .מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים. ג .מצא את נקודת החיתוך בין המשיק הנתון ומשיק העובר דרך נקודת החיתוך של גרף הפונקציה עם ציר ה. y - 5x 1 )31נתונה הפונקציה הבאה: x5 א. ב. ג. ד. ה. ו. . f x 1.5x חקור לפי הסעיפים הבאים: תחום הגדרה. נקודות קיצון וסוגן. תחומי עלייה וירידה. חיתוך עם הצירים. מציאת אסימפטוטות המקבילות לצירים. סרטוט סקיצה. 201 xa )32נתונה הפונקציה: x 1 . a 1 , f x א .מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה. ב .מצא את האסימפטוטות של הפונקציה המקבילות לצירים. ג .הבע באמצעות aאת השיעורים של נקודת החיתוך של גרף הפונקציה עם ציר ה x -ועם ציר ה . y - ד .1 .מצא עבור אילו ערכים של aהפונקציה ) f ( xעולה לכל xבתחום ההגדרה. .2ישר המשיק לגרף הפונקציה ) f ( xבנקודה שבה x aמקביל לישר המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה. x 2 : מצא את הערך של aאם נתון כי הפונקציה עולה לכל . x x 2 ax 6 )33נתונה הפונקציה: x2 a) , f x פרמטר). ידוע שאחת מנקודות הקיצון של הפונקציה נמצאת על ציר ה. y - א .מצא את הערך של . a ב .הצב את הערך של aשמצאת בסעיף א' ומצא: .1את תחום ההגדרה של הפונקציה. .2את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים (אם יש כאלה). .3את השיעורים של נקודות הקיצון של הפונקציה ,וקבע את סוגן. .4את האסימפטוטות של הפונקציה המקבילות לצירים (אם יש כאלה). ג .עבור אלו ערכי xהפונקציה שלילית? ד .נתון הישר . y k :עבור אלו ערכי kאין נקודות משותפות לישר ולגרף הפונקציה? נמק. x3 )34נתונה הפונקציה A : x2 A ( , y פרמטר). גרף הפונקציה עובר בנקודה . 3 A, A א. ב. ג. ד. ה. ו. מצא את ערך הפרמטר . A כתוב את תחום ההגדרה של הפונקציה. הוכח כי גרף הפונקציה יורד לכל . x מצא את נקודת החיתוך של גרף הפונקציה עם ציר ה. y - סרטט סקיצה של גרף הפונקציה. נתון הישר . y k :האם קיים ערך של kעבורו הישר חותך את גרף הפונקציה בשתי נקודות שונות? נמק. 202 ax 2 20 x 28 )35נתונה הפונקציה: x 2 2a . f x ידוע כי גרף הפונקציה חותך את האסימפטוטה האופקית שלו בנקודה . 0.5,3 א. ב. ג. ד. ה. ו. מצא את ערך הפרמטר aוכתוב את הפונקציה ואת תחום הגדרתה. מצא את נקודות הקיצון של הפונקציה וקבע את סוגן. כתוב את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה. מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים. סרטט סקיצה של גרף הפונקציה. העזר בגרף הפונקציה וקבע עבור אלו ערכים של kהישר y k :יחתוך את גרף הפונקציה בנקודה אחת בלבד. 9 x2 )36א .הוכח כי לגרף הפונקציה: x2 k ב .הוכח כי הפונקציה f x מוגדרת לכל xאם ידוע כי שיעור ה y -של f x יש נקודת קיצון שנמצאת על ציר ה . y - נקודת הקיצון הוא .3 ג .מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם ציר ה. x - ד .מצא את האסימפטוטה האופקית של הפונקציה. ה .סרטט סקיצה של גרף הפונקציה וקבע בכמה נקודות יחתוך אותו הישר . y 1 נמק את תשובתך. חקירת פונקצית שורש: )37נתונה הפונקציה . f x x 3 :חקור את הפונקציה לפי הסעיפים הבאים: א. ב. ג. ד. ה. ו. מציאת תחום הגדרה. מציאת נקודות קיצון של הפונקציה. כתיבת תחומי העלייה והירידה של הפונקציה. מציאת נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים. מציאת אסימפטוטות המקבילות לצירים. סרטוט סקיצה של גרף הפונקציה. )38נתונה הפונקציה . f x x 4 x 1 :חקור את הפונקציה לפי הסעיפים הבאים: א. ב. ג. ד. ה. ו. מציאת תחום הגדרה. מציאת נקודות קיצון של הפונקציה. כתיבת תחומי העלייה והירידה של הפונקציה. מציאת נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים. מציאת אסימפטוטות המקבילות לצירים. סרטוט סקיצה של גרף הפונקציה. 203 )39נתונה הפונקציה . f x x 6 x :חקור את הפונקציה לפי הסעיפים הבאים: א. ב. ג. ד. ה. מציאת תחום הגדרה. מציאת נקודות קיצון של הפונקציה. כתיבת תחומי העלייה והירידה של הפונקציה. מציאת נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים. סרטוט סקיצה של גרף הפונקציה. 4 x )40נתונה הפונקציה: x2 3 א. ב. ג. ד. ה. ו. מציאת תחום הגדרה. מציאת נקודות קיצון של הפונקציה. כתיבת תחומי העלייה והירידה של הפונקציה. מציאת נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים. מציאת אסימפטוטות המקבילות לצירים. סרטוט סקיצה של גרף הפונקציה. 9 x2 )41נתונה הפונקציה: x א. ב. ג. ד. ה. ו. . f x חקור את הפונקציה לפי הסעיפים הבאים: . f x חקור א ת הפונקציה לפי הסעיפים הבאים: מציאת תחום הגדרה. מציאת נקודות קיצון של הפונקציה. כתיבת תחומי העלייה והירידה של הפונקציה. מציאת נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים. מציאת אסימפטוטות המקבילות לצירים. סרטוט סקיצה של גרף הפונקציה. x2 2 x )42נתונה הפונקציה הבאה: x2 א. ב. ג. ד. . f ( x) מה הוא תחום ההגדרה של הפונקציה? מצא את נקודות קיצון של הפונקציה וקבע את סוגן. מצא את נקודת החיתוך של גרף הפונקציה עם ציר ה. x - סרטט סקיצה של גרף הפונקציה. 204 x2 4 . f x )43נתונה הפונקציה הבאה: x א. ב. ג. ד. מצא את נקודת החיתוך של הפונקציה עם ציר ה. x - האם ניתן להעביר משיק לגרף הפונקציה המקביל לציר ה? x - נמק והראה חישוב מתאים. כתוב את משוואת המשיק לגרף הפונקציה העובר דרך נקודת החיתוך שלה עם ציר ה . x - חשב את שטח המשולש הכלוא בין המשיק והצירים. x3 )44נתונה הפונקציה הבאה: x 1 . f x א .מהו תחום הגדרה של הפונקציה? ב .כמה נקודות יש לגרף הפונקציה שהמשיק העובר דרכן מקביל לציר ה? x - מצא אותן. ג .כתוב את משוואות המשיקים בנקודות שמצאת בסעיף הקודם. 2 )45נתונה הפונקציה . f x 9 x :חקור לפי הסעיפים הבאים: x א. ב. ג. ד. ה. ו. מציאת תחום הגדרה. מציאת נקודות קיצון של הפונקציה. כתיבת תחומי העלייה והירידה של הפונקציה. מציאת נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים. מציאת אסימפטוטות המקבילות לצירים. סרטוט סקיצה של גרף הפונקציה. )46נתונה הפונקציה הבאה: ax 6 a , f x פרמטר. 9 x y מעבירים משיק לגרף הפונקציה בנקודת החיתוך שלה עם ציר ה . - 2 ידוע כי הוא מקביל לישר. 3 y x 0 : א .מצא את ערך הפרמטר . a ב .כתוב את תחום ההגדרה של הפונקציה. ג .מצא את נקודת הקיצון של הפונקציה. ד .כתוב את התחומי העלייה והירידה של הפונקציה. 205 x xk , g x )47נתונות שתי הפונקציות הבאות: x xk ידוע כי הפונקציות חותכות זו את זו בנקודה שבה. x 0.8 : א .מצא את . k k ) , f x פרמטר חיובי). ב. ג. האם הפונקציות נחתכות בנקודה נוספת מלבד לנקודה הנתונה? אם כן מצא אותה. מצא את משוואת המשיק לגרף הפונקציה ) f ( xבנקודה שבה. x 0.52 : )48נתונה הפונקציה הבאה: א. ב. ג. ד. kx k x2 k , f x פרמטר חיובי. .1מהו תחום ההגדרה של הפונקציה? (בטא באמצעות .) k .2מהן האסימפטוטות האנכיות של הפונקציה? הראה כי הפונקציה עולה עבור כל ערך של kבתחום הגדרתה. כתוב את משוואת המשיק לגרף הפונקציה בנקודת החיתוך שלה עם ציר ה . x - (בטא באמצעות .) k המשיק אשר מצאת בסעיף הקודם חותך את אחת האסימפטוטות של הפונקציה בנקודה .Aידוע כי שטח המשולש הכלוא בין המשיק ,ציר ה x - והאסימפטוטה הנ"ל הוא 4סמ"ר . Sמצא את ערך הפרמטר . k x2 )49נתונה הפונקציה: x4 . f ( x) מגדירים פונקציה נוספת. g ( x) f ( x) : א .כתוב בצורה מפורשת את הפונקציה ). g ( x ב .לפניך מספר טענות המתייחסות לפונקציות ) f ( xו . g ( x) -קבע אילו מהטענות הבאות נכונות ואלו אינן נכונות .הצדק את קביעותיך באמצעות חישוב מתאים: .1לפונקציות תחום הגדרה זהה. .2שתי הפונקציות עולות בכל תחום הגדרתן. .3שתי הפונקציות חותכות את ציר ה x -באותה נקודה. .4לשתי הפונקציות יש אסימפטוטה משותפת. ג .מצא את נקודות החיתוך של כל פונקציה עם ציר ה . y - אסף פתר את סעיפים א' ו-ב' והחליט לטעון את הטענה הבאה: היות והפונקציה ) g ( xמוגדרת להיות g ( x) f ( x) :אזי ניתן למצוא את שיעור ה y -של כל נקודה שעל גרף הפונקציה ) f ( xע"י כך שנמצא תחילה את שיעור הy - של הנקודה בעלת אותו שיעור xעל הגרף של ) g ( xונעלה אותה בריבוע. ד .האם אסף צודק? נמק בצורה איכותית (חישובים אינם נדרשים) את שיקולך. 206 x )50לפניך הפונקציות הבאות: x 1 x ; g x x 1 . f x א .קבע אילו מהטענות הבאות נכונות ואלו אינן נכונות. הצדק את קביעותיך באמצעות חישוב מתאים: .1לשתי הפונקציות יש את אותו תחום ההגדרה. .2לשתי הפונקציות יש נקודות קיצון הנמצאות על הישר. y x : .3הפונקציות לא חותכות זו את זו. 2 מגדירים פונקציה נוספת והיא. h x g x : ב .כתוב באופן מפורש את הפונקציה החדשה. h x : ג .האם תחום ההגדרה של הפונקציה h x ד. זהה לשל ? g x באיור הסמוך ישנם שני גרפים .קבע על סמך הסעיפים הקודמים איזו פונקציה כל גרף מתאר מבין הפונקציות . f x , g x , h x :נמק את בחירותיך. k x2 )51לפניך שלוש פונקציות: x2 א. ; h x x2 k x2 . k 0 ; f x x2 k x2 ; g x קבע אילו מהטענות הבאות נכונות ואלו אינן נכונות .הצדק את קביעותיך באמצעות חישוב מתאים: .1לפונקציות f x ו g x -תחום הגדרה זהה ,השונה מתחום ההגדרה של. h x : .2קיימת פונקציה אשר אינה חותכת את ציר ה x -כלל. .3הפונקציות h x :ו g x -הפוכות זו מזו בתחומי העלייה והירידה שלהן (כאשר אחת עולה השנייה יורדת). .4לפונקציה f x :יש נקודת קיצון אחת בלבד. מסמנים נקודה A 0, 12 עם ציר ה. y - ידוע כי מרחקה מאחת מנקודות החיתוך של גרף הפונקציה f x עם ציר ה x -שאינה בראשית הוא. d 6 : ב .מצא את . k ג .מצא את נקודות הקיצון של גרף הפונקציה f x וקבע את סוגן. ד .לפניך איור ובו מסורטטות הסקיצות של שלושת הפונקציות. קבע עפ"י הסעיפים הקודמים איזה גרף שייך לכל פונקציה. 207 שאלות עם תחומי קעירות ונקודות פיתול: )52מצא את נקודות הפיתול ואת תחומי הקעירות של הפונקציה. f x x4 6 x3 12 x 2 : )53מצא את נקודות הפיתול ואת תחומי הקעירות של הפונקציה. f x 3x 2 2 : x 2x )54מצא את נקודות הקיצון והפיתול של הפונקציה: x 1 . f x )55מצא את נקודות הקיצון והפיתול של הפונקציה. f x x x 2 3 : a )56נתונה הפונקציה: x b הנקודה 1,1היא נקודת פיתול של הפונקציה .מצא את ערכי הפרמטרים aו. b - 2 a , b , f x פרמטרים. )57נתונה הפונקציה . f x 1 12 2 :חקור את הפונקציה לפי הסעיפים הבאים: x א. ב. ג. ד. ה. ו. ז. ח. מציאת תחום הגדרה. מציאת נקודות קיצון של הפונקציה. כתיבת תחומי העלייה והירידה של הפונקציה. מציאת נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים. מציאת אסימפטוטות המקבילות לצירים. מציאת נקודות פיתול. מציאת תחומי הקעירות כלפי מעלה ומטה. סרטוט סקיצה של גרף הפונקציה. 2x )58נתונה הפונקציה: x x א. ב. ג. ד. ה. ו. ז. ח. x . f x חקור את הפונקציה לפי הסעיפים הבאים: מציאת תחום הגדרה. מציאת נקודות קיצון של הפונקציה. כתיבת תחומי העלייה והירידה של הפונקציה. מציאת נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים. מציאת אסימפטוטות המקבילות לצירים. מציאת נקודות פיתול. מציאת תחומי הקעירות כלפי מעלה ומטה. סרטוט סקיצה של גרף הפונקציה. 208 )59חקור את הפונקציות הבאות לפי הסעיפים הבאים: .1מציאת תחום הגדרה. .2מציאת נקודות חיתוך עם הצירים. .3מציאת אסימפטוטות המקבילות לצירים. .4מציאת נקודות קיצון וקביעת סוגן. .5מציאת תחומי העלייה והירידה של הפונקציה. .6מציאת נקודות הפיתול של הפונקציה. .7מציאת תחומי הקמירות והקעירות של הפונקציה. .8סרטוט סקיצה של גרף הפונקציה. א. x 1 x2 ג. x3 x2 4 ה. x 1 f x x 1 3 f x f x 2 x2 ב. 2 ד. 2 ו. x 1 x3 x 1 f x f x x2 1 x 2 x 5 f x *ללא סעיפים 6ו.7- ז. x2 4 x 3 x2 4 f x ח. * ללא סעיפים 6ו.7- 209 x3 x 2 x2 1 f x :תשובות סופיות . x כל.י- טx 4, 2 . חx 1, 2 . זx 1 . וx 2 . הx 3 . דx כל: ג- ) א1 . x 0,2, 2 . יבx 0, 1 .יא 1 . דx 4 . גx 3 . בx 0 .) א2 2 . 3 x 0 , x 3 . יx 1.5 , x 1 . טx 3 , 2 x 1 , x 1 .ח . x 4 . ז2 x 1 . ו5 x 2 . הx . x 7 . יד1 x 1 . יגx 1 , 1 x 2 . יב6 x 2 , x 2 .יא . x 3 , 3 x 9 : יורדתx 1 , 3 x 3 : עולה. בmin 3, , max 3, 1 .) א3 8 2 3 1 2 )6 x 3 , y 5 )5 x 2 , y 3 )4 3 . 2,4 :הגדרה- נקודת אי, x 1 , y 1 )10 x b , y a )9 .) אין8 x 3 , x 5 , y 0 )7 y 1 )11 2 x 2 , x 2 , y 3 )17 y 3 )16 x 1 , y 2 )15 . x 1 , y 1 )14 x 4 )13 x 2 , y 0 )12 0,0 :הגדרה- נקודת אי, x 2 , y min 1, 2 , max 1, 2 . x 0 . אין ה.ד 1 . בx 0 .) א20 . b 1 , a 2 )19 b 3 , a 2 )18 x 0, 1 x 1 : יורדת, x 1 או1 x : עולה.ג 1 . y 2, x 3 . ה , 0 , 0, . ד.ה. הפונקציה יורדת בכל ת. אין ג. בx 3 .) א21 3 2 , x 1, 2 x 2 : תחומי עלייה.ג 2 min 2, , max 2, 6 .ב 3 x 1, x 4 .) א22 . y 0, x 1, x 4 . ה 0, 0 . דx 2 או2 x 4 :תחומי ירידה 1 1 3 x 1 : יורדת, x 3 או1 x : עולה. גmin 1, , max 3,1 . בx כל.) א23 2 2 . y 1 . ה 3, 0 , 0, 0 .ד 3 1 1 min 1,1 , max 1, . בx , x 3 .) א24 8 2 3 1 1 . x 3 , x , y 2 . ה 0,2 . דx 1 או1 x 3 : תחומי ירידהx וגם 3 3 x 1 , x 1 : עולה. גMax 1, 2.25 , Min 1, 0.25 . בx 0 .) א25 1 x 1 : תחומי עלייה.ג . x 0 . ה 0.5,0 , 2,0 . דx 0 , 1 x 1 :יורדת 0, 2 , 2, 0 . הפונקציה עולה בכל תחום הגדרתה ד. אין ג. בx 3 .) א26 . 3,1 יש נקודת אי הגדרה ששיעוריה, אין.ה 0, 2 , 2, 0 . הפונקציה עולה בכל תחום הגדרתה ד. אין ג. בx 1 .) א27 1 . 1, יש נקודת אי הגדרה ששיעוריה, y 1, x 1 .ה 2 210 x 8 , x 0 : יורדת8 x 0 : עולה. בf x x4 , a 1 .) א28 x2 . x 0 , y 0 . ד 4, 0 .ג 0, 0 . דx 0 , x 2 : עולהx 0 , x 2 : יורדת. גMax 0, 0 . בx 2 .) א29 . x 2 , y 1.5 .ה . 1, 0 אשר עובר בנקודהy 4 x 4 : המשיק. ג1, 0 , 0, 4 . בa 2 .) א30 x 9 , x 1 : עולה. גMin 1, 0.5 , Max 9, 24.5 . בx 5 .) א31 . x 5 . ה 2,0 , ,0 , 0, 0.2 .ד 1 3 x 5 , 9 x 1 :יורדת . a 2 .2 a 1 .1 . ד a, 0 , 0, a . גx 1 , y 1 . בx 1 .) א32 . 3 k 5 . דx 2 . גx 2 .4 Max 3,0 , Min 4,5 .3 0, 3 .2 x 2 .1 . בa 3 .) א33 . x כל, f ( x) 3x 2 20 x 28 , a 3 .) א35 x2 6 2 x 3 לא. ו 0, 2.5 . דx 2 . בA 1 .) א34 : יורדתx 2 , x 3 : עולה. גMax 2,8 , Min 3, 13 .ב . k 8, 13 ,3 . ו 2,0 , 0, 4 23 , 4 23 ,0 .ד . באף נקודה. הy 1 . ד 3, 0 , 3, 0 . גk 3 .) ב36 . אין. ה 3, 0 . ד.ה. הפונקציה עולה בכל ת. קצה גmin 3,0 . בx 3 .) א37 .1 x 2 : יורדת2 x : עולה. קצה גmax 1,0 , min 2, 2 . בx 1 .) א38 . אין. ה1,0 , 4,0 .ד 4 x 6 : ירידה, x 4 : עלייה. קצה גmin 6,0 , max 4, 4 2 . בx 6 .) א39 קצהmin 0,0 , max 1,1 . בx 0 .) א40 0,0 , 6,0 .ד . y 0 . ה 0, 0 . ד1 x : יורדת0 x 1 : עולה.ג . x אף: עולה. קצה גmin 3,0 , קצהmax 3,0 . בx 0 וגם3 x 3 .) א41 . x 0 . ה 3,0 , 3,0 . דx 0 , 3 x 3 :יורדת 2, 0 .ג 1 min 2, 0 , max 3, . בx 0 , x 2 .) א42 27 S 4 2 . דy 2 2 x 4 2 . לא ג.ב 2, 0 .) א43 . y 6 . ג 9, 6 . בx 0 , x 1 .) א44 קצהmin 3,0 , קצהmax 3,0 . בx 0 וגם3 x 3 .) א45 . x 0 . ה 3,0 , 3,0 . דx 0 , 3 x 3 : יורדת, x אף: עולה.ג 1.5 x 3 : עולה 3 x 1.5 : יורדת. ד 1.5, 3 . ג 3 x 3 . בa 1 .) א46 . y 0.74 x 0.1352 . ג 0.6, 0.57 , כן. בk 0.48 .) א47 211 )48א x k .2 k x k .1 .ב 0 . x2 )49א. x4 k2 k x 2 1.5 f '( x) ג y k x .ד. k 4 . g ( x) ב .1 .לא נכון .2נכון .3נכון .4נכון ג . 1 2 ; g ( x) : 0, f ( x) : 0, 12 x2 ד .אסף צודק )50 .א .1 .לא נכון .2נכון .3נכון ב. x 1 ד )51 I h( x) , II f ( x) .א .1 .לא נכון .2לא נכון .3נכון .4נכון בk 24 . h( x) ג .לאh( x) : x 1 , ג 0, 0 Min , 4,32 2 Max .ד. I g ( x) , II f ( x) , III h( x) . , 1,7 , 2,16 )52קעירות כלפי מעלה: x2 או , x 1קעירות כלפי מטה.1 x 2 : , 2,1 )53קעירות כלפי מעלה , x 2 :קעירות כלפי מטה. 0 x 2 : 27 8 )55 4,קיצון : )54קיצון . min 2,4 :פיתול : 16 3 )56 )57 b 3 , a 4אx 0 . 1 min , פיתול. 1, 1 , 2,0 : 1 2 ב max 2, 2 .ג .עולה 0 x 2 :יורדת: 4 1 2 x0, x2 ד , 0 , 1, 0 .ה, y 2 . 2 ז .קעירות כלפי מעלה , x 3 :קעירות כלפי מטה. 0 x 3 : )58א 0 x 1 .ב .אין .ג .יורדת בכל תחום הגדרתה .ד .אין. x0 ו. 3, 2 . 9 1 ה x 1 , y 2 .נקודת אי הגדרה . 0,0 :ו , 1 . 9 1 1 ז .קעירות כלפי מעלה x 1 :או , 0 x קעירות כלפי מטה. x 1 : 9 9 סקיצות לשאלות החקירה: ) 20 )21 ) 22 )23 ) 24 ) 25 ) 26 )27 212 . )34 )31 )37 )41 )58 ) 40 ) 29 ) 28 ) 36 ) 35 ) 39 )57 )45 213 ) 38 ) 42 :59 שאלה . 0 x 2 : עולה.5 max 2,0.25 .4 x 0 , y 0 .3 1, 0 .2 x 0 .1 .א . x 3 : קעורה כלפי מעלה.7 3, .6 x 0 , x 2 :יורדת 9 2 . x 0 , 0 x 3 :קעורה כלפי מטה . x 1 , x 0 : עולה.5 min 0,0 .4 x 1 , y 2 .3 0, 0 .2 x 1 .1 .ב . x 1 , 1 x 1 1 2 : קעורה כלפי מעלה.7 , .6 1 x 0 :יורדת 2 2 9 .x . min 12,5.2 , max 12, 5.2 .4 x 2 .3 1 :קעורה כלפי מטה 2 0, 0 .2 x 2 .1 .ג . 12 x 2 , 2 x 2 , 2 x 12 : יורדתx 12 , x 12 : עולה.5 . 2 x 0 , x 2 : קעורה כלפי מעלה.7 . 0, 0 .6 . x 2 , 0 x 2 :קעורה כלפי מטה . x 3 , x 1 : עולה.5 max 3, 6.75 .4 x 1 .3 0, 0 .2 x 1 .1 .ד . x 0 : קעורה כלפי מעלה.7 0, 0 .6 3 x 1 :יורדת . x 1 , 1 x 0 :קעורה כלפי מטה .ה. יורדת בכל ת.5 . אין.4 x 1 , y 1 .3 1,0 , 0, 1 .2 x 1 .1 .ה 1 . x 1 , 3 x 1 : קעורה כלפי מעלה.7 3, , 1, 0 .6 8 . x 3 , 1 x 1 :קעורה כלפי מטה x 2 , x 5 , y 1 .3 0, 0.1 , 1,0 , 1,0 .2 x 2,5 .1 .ו . 0.359 x 2 , 2 x 2.78 : עולה.5 min 0.359, 0.11 , max 2.78, 3.89 .4 . x 0.359 , 2.78 x 5 , x 5 :יורדת . אין.4 x 2 , y 1 .3 3,0 , 1,0 , 0, 0.75 .2 x 2 .1 .ז .ה. יורדת בכל ת.5 214 ח. min 0,0 , max 2, 4 .4 x 1 .3 0, 0 .2 x 1 .1 . .5עולה x 1 , x 2 , x 0 :יורדת. 2 x 1 , 1 x 0 : .6אין .7 .קעורה כלפי מעלה x 1 , x 1 :קעורה כלפי מטה. x 1 : סקיצות: א. ב. ג. ד. ה. ו. ז. ח. 215 חקירת פונקציות עם פרמטר: סיווג נקודות קיצון באמצעות '' : y אם הנקודה A x1 , y1 היא נקודה החשודה לקיצון אז: אם f '' x1 0הנקודה A x1 , y1 היא נקודת מינימום. אם f '' x1 0הנקודה A x1 , y1 היא נקודת מקסימום. שאלות: )1מצא וסווג את נקודות הקיצון של הפונקציה. f x x3 12 x : )2מצא וסווג את נקודות הקיצון של הפונקציה. f x x2 6 x 16 : )3מצא וסווג את נקודות הקיצון של הפונקציה b 0 , f x x3 3b2 x :פרמטר. סרטט סקיצה של גרף הפונקציה. 2x )4נתונה הפונקציה: a x2 2 א. ב. ג. ד. ה. מציאת תחום הגדרה. מציאת נקודות קיצון של הפונקציה. כתיבת תחומי העלייה והירידה של הפונקציה. מציאת נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים. סרטוט סקיצה של גרף הפונקציה. )5נתונה הפונקציה: א. ב. ג. ד. ה. ו. f x . a 0 חקור לפי הסעיפים הבאים: 1 x2 2 x b f x . b 1חקור לפי הסעיפים הבאים: מציאת תחום הגדרה. מציאת נקודות קיצון של הפונקציה. כתיבת תחומי העלייה והירידה של הפונקציה. מציאת נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים. מציאת אסימפטוטות המקבילות לצירים. סרטוט סקיצה של גרף הפונקציה. 216 )6נתונה הפונקציה: f x 4 x b2 x 2 . b 0 חקור את הפונקציה לפי הסעיפים הבאים: א. ב. ג. ד. ה. מציאת תחום הגדרה. מציאת נקודות קיצון של הפונקציה. כתיבת תחומי העלייה והירידה של הפונקציה. מציאת נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים. סרטוט סקיצה של גרף הפונקציה. x2 m )7נתונה הפונקציה: ax 4 a, m , y פרמטרים קבועים כאשר. a 0 : ידוע כי אחת מנקודות הקיצון של הפונקציה נמצאת על ציר ה. y - א .מצא את הערך של הפרמטר . m ב .הצב את הערך של mשמצאת בסעיף א' והבע באמצעות aאת: .1תחום ההגדרה של הפונקציה. .2נקודות הקיצון של הפונקציה וקבע את סוגן. .3האסימפטוטות לגרף הפונקציה המקבילות לצירים. ג .סרטט סקיצה וסמן בה את נקודות הקיצון ואת משוואות האסימפטוטות שהבעת באמצעות aבסעיף הקודם. ד .ידוע כי נקודת הקיצון שאינה על ציר ה , y -נמצאת במרחקים שווים מהצירים. מצא את הערך של הפרמטר . a ה .נתון הישר. y k : מצא עבור אילו ערכים של kאין לישר ולגרף הפונקציה נקודות משותפות כלל. תשובות סופיות: min 3, 25 )2 min 2, 16 , max 2,16 )1 min b, 2b3 , max b,2b3 )3 )4א .כל xב max a, , min a, .ג .עולה , a x a :יורדת. x a, x a : a a 1 1 ד 0,0 .ה. y 0 . 1 1 1 1 , x יורדת x b : )5א x b .ב max , 2 .ג .עולה x b :או b b b b 1 1 ד . b2 1,0 , 1,0 0,ה. x b , y 1 . 217 b b ,2b2 , min , 2b2 . בb x b .) א6 2 2 b b b b x x b : יורדת . b x , : עולה, קצהmin b,0 2 2 2 2 , קצהmax b,0 , max . b,0 , b,0 , 0,0 .ד . 0 k 4 . הa 2 . דx 4 4 8 16 .3 Max 0, 0 , Min , 2 .2 x .1 . בm 0 .) א7 a a a a :סקיצות לשאלות )5 )4 )7 218 )3 )6 חקירת פונקציות טריגונומטריות: הגדרות כלליות: תיאור גרפי של פונקצית הסינוס: y sin x : y x תיאור גרפי של פונקצית הקוסינוס: y cos x : y x תיאור גרפי של פונקצית הטנגנס: y tan x : x 219 y הנגזרות הטריגונומטריות היסודיות: הפונקציה הנגזרת y sin x y ' cos x y cos x y ' sin x y tan x 1 cos 2 x 1 y' 2 sin x y' y cot x זוגיות של פונקציות: .1פונקציה f x תקרא זוגית אם היא מקיימת את התכונה הבאה. f x f x : .2פונקציה f x תקרא אי-זוגית אם היא מקיימת את התכונה הבאה. f x f x : .3פונקציה אשר אינה מקיימת אף אחת מהתכונות הנ"ל אינה זוגית ואינה אי-זוגית. מחזוריות של פונקציות: .1פונקציה f x תיקרא מחזורית במחזור Tאם היא מקיימת: f x T f x לכל xבתחום הגדרתה. .2מחזור של פונקציות טריגונומטריות: הפונקציה f x sin xמחזורית במחזור T 2שכן. sin x 2 sin x : הפונקציה f x cos xמחזורית במחזור T 2שכן. cos x 2 cos x : הפונקציה f x tan xמחזורית במחזור T שכן. tan x tan x : הפונקציה f x cot xמחזורית במחזור T שכן. cot x cot x : .3מחזור של פונקציות מהצורה( y a c f mx n :כאשר f x מחזורית במחזור ) Tתלוי רק במקדם של xוהוא .T / m :דוגמאות: הפונקציה f x sin 3x מחזורית במחזור .T 2 / 3 הפונקציה f x 5 2cos 2 x מחזורית במחזור .T הפונקציה f x tan 0.1x מחזורית במחזור .T / 0.1 10 220 שאלות: )1גזור את הפונקציות הבאות: אf x sin x 3cos x x . בf x 2 x sin x 4 tan x . sin x 1 sin x ג. f x )2גזור את הפונקציות הבאות: אf x sin 3x 2cos5x . ב. )3גזור את הפונקציות הבאות: אf x sin 3 x . ג. cos 2 x 1 sin 2 x f x בf x 2cos x . 4 f x sin 2 x הf x cos2 2 x . ד. f x sin 3 2 x ו. f x tan 2 4 x )4גזור את הפונקציות הבאות: א. f x sin 3x ב. )5גזור את הפונקציות הבאות: אf x sin 2 x cos2 x . ג. sin 2 x cos 2 x f x בf x sin 4 2 x cos4 2 x . f x sin 4 x cos4 x )6מצא את משוואת המשיק לפונקציה f x cos x :בנקודה . A , 3 2 )7מצא את משוואת המשיק לפונקציה f x sin 2 x :בנקודה שבה )8מצא את משוואת המשיק לפונקציה f x tan 3x :בנקודה שבה 6 2 9 .x .x )9מצא את משוואות המשיקים לפונקציה f x 4sin 2 x :בנקודות החיתוך של הפונקציה עם הישר y 1בתחום . 0, 221 )10שיפוע המשיק לפונקציה a ( , f x sin x a :פרמטר) בנקודה שבה y 1 3 בתחום 0, הוא .מצא את ערך הפרמטר . a 4 2 )11נתונה הפונקציה a (, f ( x) a sin 2 x 5sin x ax :פרמטר) בתחום. 0 x : ידוע כי הישר y ax 2 :חותך את גרף הפונקציה בנקודה שבה 6 .x א .מצא את aוכתוב את הפונקציה ). f ( x ב .מצא נקודה על גרף הפונקציה בתחום הנתון שבה שיפוע המשיק הוא. m 2 : ג .האם קיימות נקודות נוספות בתחום הנתון ששיפוע המשיק דרכן הוא ? 2 נמק את תשובתך. ד .כתוב את משוואת המשיק העובר דרך הנקודה שמצאת. )12נתונות הפונקציות הבאות f ( x) x2 cos2 x :ו. g ( x) x2 sin 2 x - א .הוכח כי ההפרש f ( x) g ( x) :שווה ל . cos 2x - ב .מצא את נקודות החיתוך של הפונקציות בתחום. x : ג .ישר 0 t 1 , x tחותך את הגרפים בנקודות Aו B-ומהן מעבירים משיקים לפונקציות .ידוע כי ההפרש בין שיפוע המשיק של גרף הפונקציה ) g ( xלשיפוע המשיק של גרף הפונקציה ) f ( xהוא .1 מצא את כל הערכים האפשריים עבור . t )13מצא את תחום ההגדרה של הפונקציות הבאות בתחום הנתון: א0, 2 . sin x 1 cos 2 x ג0, 2 . f x tan x ב , . f x 1 sin x cos x f x )14מצא את נקודות הקיצון של הפונקציה f x sin x cos x :בתחום. 0 : 2 : 1 2 )15מצא את נקודות הקיצון של הפונקציה f x sin x x :בתחום. 0 : 2 : sin x 1 )16מצא את נקודות הקיצון של הפונקציה: sin x 1 f x בתחום. 0 : 2 : 1 1 )17מצא את נקודות הקיצון המוחלטות של הפונקציהf x sin 5 x sin 3 x 2sin x : 5 3 בתחום. 0 :1.5 : 222 )18לפונקציה a, b (, f x a sin x b sin3 x :פרמטרים) יש נקודת קיצון ששיעוריה . 7 , 1מצא את ערכי הפרמטרים aו . b - 6 1 )19מצא את האסימפטוטות האנכיות לפונקציה: sin 3x f x בתחום. 0 : : 1 1 )20מצא את האסימפטוטות האנכיות לפונקציה: sin x cos x f x בתחום. 0 : : )21מצא את האסימפטוטות האנכיות לפונקציה f x tan x :בתחום. : : )22מצא את האסימפטוטות האנכיות לפונקציה f x sin 2 x 2sin x :בתחום. 0 : 2 : )23נתונה הפונקציה f x x 2cos x :בתחום . 0, 2 חקור לפי הסעיפים הבאים: א. ב. ג. ד. ה. מציאת תחום ההגדרה של הפונקציה. מציאת נקודות הקיצון של גרף הפונקציה. תחומי עלייה וירידה של גרף הפונקציה. מציאת נקודת החיתוך של גרף הפונקציה עם ציר ה . y - סרטוט סקיצה של גרף הפונקציה. )24נתונה הפונקציה: א. ב. ג. ד. ה. f x 1 1בתחום . 0, חקור לפי הסעיפים הבאים: sin x cos x מציאת תחום ההגדרה של הפונקציה. מציאת נקודות הקיצון של גרף הפונקציה. תחומי עלייה וירידה של גרף הפונקציה. מציאת נקודת החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים. סרטוט סקיצה של גרף הפונקציה. )25נתונה הפונקציה f x 4sin 2 x 2 :בתחום . 0 x א .מצא את נקודות החיתוך של הפונקציה עם הצירים בתחום הנתון. ב .מצא את נקודות הקיצון של הפונקציה בתחום הנתון וקבע את סוגן. ג .סרטט סקיצה של גרף הפונקציה. ד .מעבירים את הישר . y kהיעזר בסקיצה ומצא לאילו ערכי kהישר יחתוך את גרף הפונקציה בשתי נקודות בדיוק. 223 ה .העבירו ישר המשיק לפונקציה בנקודת המקסימום המוחלט שלה .כמו כן העבירו מנקודה זו אנך לציר . x מצא את שטח המלבן הנוצר על ידי הצירים ,המשיק והאנך. )26נתונה הפונקציה f ( x) cos2 x cos x 2 :בתחום. 0 x 2 : א .מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים. ב .מצא את נקודות הקיצון של גרף הפונקציה וקבע את סוגן. ג .כתוב את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה. ד .סרטט סקיצה של גרף הפונקציה. 1 m )27נתונה הפונקציה m) , 1 m 3 , y cos x sin mx :פרמטר). הנגזרת של הפונקציה מתאפסת כאשר: 2 .x א .מצא את ערך הפרמטר . m ב .האם הנקודה שבה: 2 x היא נקודת קיצון? אם כן קבע את סוגה. אם לא נמק מדוע. ג .מצא כמה נקודות קיצון מקומיות יש לגרף הפונקציה בתחום. 0 x 2 : ד .מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם ציר ה x -בתחום הנתון. )28נתונה הפונקציה הבאה y sin x 1 cos x :בתחום. 0 x 1.5 : א .מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים. ב .מצא את נקודות הקיצון של גרף הפונקציה. ג .סרטט סקיצה של גרף הפונקציה. ד .כמה פתרונות יש למשוואה sin x 1 cos x 1 :בתחום הנתון? )29נתונה הפונקציה. f x sin 2 x cos x 1 : א. ב. ג. מצא בתחום 0, את נקודות החיתוך עם הצירים של הפונקציה ואת נקודות הקיצון שלה. הוכח שהפונקציה זוגית. שרטט את הפונקציה בתחום . , 224 )30נתונה הפונקציה f x 4 x 3tan x :בתחום . , 2 3 6 חקור את הפונקציה על פי הסעיפים הבאים: א .מציאת תחום ההגדרה של הפונקציה. ב .מציאת נקודות הקיצון של גרף הפונקציה. ג .תחומי עלייה וירידה של גרף הפונקציה. ד .מציאת נקודת החיתוך של גרף הפונקציה עם ציר ה . y - ה .מציאת אסימפטוטות אנכיות. ו .סרטוט סקיצה של גרף הפונקציה. )31נתונה הפונקציה f ( x) tan 2 x 8sin 2 x :בתחום. 0.25 x 0.25 : א .מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים בתחום הנתון. ב .כתוב את האסימפטוטות האנכיות של גרף הפונקציה. ג .מצא את נקודות הקיצון של גרף הפונקציה בתחום הנתון. ד .סרטט סקיצה של גרף הפונקציה בתחום הנתון. )32נתונה הפונקציה f x tan x 2 4 x :בתחום . 0, 4 חקור את הפונקציה על פי הסעיפים הבאים: א .מציאת תחום ההגדרה של הפונקציה. ב .מציאת נקודות הקיצון של גרף הפונקציה. ג .סרטוט סקיצה של גרף הפונקציה. )33נתונה הפונקציה f ( x) x cos x x :בתחום. 3 x 3 : א .מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם ציר ה . x - ב .1 .הראה כי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם ציר ה x -מאפסות את הנגזרת של הפונקציה. . 2קבע אלו נקודות מנקודות החיתוך הן נקודות קיצון ואלו אינן נקודות קיצון ומצא את סוג הקיצון בכל מקרה. 2 )34נתונה הפונקציה k , y cos x k :פרמטר ,בתחום. 0 x 2 : 2 הפונקציה חותכת את ציר ה x -בנקודה שבה 3 .x א .מצא את kוכתוב את הפונקציה. ב .מצא את נקודת המקסימום שאיננה מוחלטת בתחום הנתון. ג .האם יש לגרף הפונקציה נקודות מינימום שאינן מוחלטות? אם כן מהן? 225 )35נתונה הפונקציה m ( , f ( x) m sin x k cos2 x :פרמטר). מעבירים משיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה x שמשוואתו. y 6 x 6 7 : א .מצא את ערכי הפרמטרים kו . m - ב .מצא את נקודות הקיצון בתחום. 0.5 x 1.5 : ג .סרטט סקיצה של גרף הפונקציה וקבע עפ"י הסקיצה בכמה נקודות גרף הפונקציה חותך את ציר ה x -בתחום הנ"ל. )36נתונה הפונקציה k ( , f ( x) tan x kx :פרמטר) בתחום. 0 x : א .מצא את האסימפטוטה האנכית של הפונקציה בתחום הנתון. הפונקציה g ( x) tan 2 x kx :חותכת את הפונקציה ) f ( xבשתי נקודות החיתוך שלה עם ציר ה x -בתחום הנתון. ב .מצא את ערך הפרמטר . k ג .מצא את נקודות הקיצון של הפונקציה ) f ( xבתחום הנתון וקבע את סוגן. ד .סרטט סקיצה של גרף הפונקציה ). f ( x )37לפניך הפונקציות הבאות f x cos x :ו. g x cos x 1 - הפונקציה ) f ( xמוגדרת בתחום 0.5 x 1.5והפונקציה ) g ( xמוגדרת בתחום . 0 x 2 א .האם הגרפים חותכים את ציר ה x -בתחום הנתון? הראה חישוב מתאים. ב .האם הגרפים חותכים זה את זה בתחום הנתון? אם כן מצא את נקודות החיתוך. ג .מצא את נקודת הקיצון של הפונקציה ) f ( xבתחום הנתון וקבע את סוגה. ד .לפניך ארבעה איורים III , II , I :ו.IV- קבע על סמך הסעיפים הקודמים איזה איור מתאר את הגרף של )f ( x ואיזה מתאר את הגרף של ) . g ( xנמק. 226 :תשובות סופיות . cos x 1 sin x 2 2sin x 2 x cos x .ג . . 4 .ב cos2 x cos x 3sin x 1 .) א1 2 . ב3cos3x 10sin5x .) א2 1 sin 2x 8 tan 4 x . ו2sin 4x . ה6sin 2 2 x cos2 x . דsin 2x . ג8cos3 x sin x . ב3sin 2 x cos x .) א3 2 cos 4 x 3cos3x cos 2 2 x 1 . sin 4x .ג 4sin 4x .ב . y 12 x 2sin 2x .) א5 4 3 )8 3 .a .ב cos 2 x cos 2 x y 2 x )7 2 sin 3x .) א4 1 3 y x )6 2 12 2 1 3 5 3 )10 . y 2 3x 1 , y 2 3x 1 )9 2 3 3 . y 2 x 3 . ד. לא. ג , 3 . בf ( x) 2sin 2 x 5sin x 2 x , a 2 .) א11 2 . t1,2 3 3 . ג , 6.05 , ,1.11 , ,1.11 , , 6.05 .) ב12 12 12 4 4 4 4 5 , 3 3 וגם x . בx , וגם0 x 2 .) א13 4 4 2 2 3 .x , וגם0 x 2 .ג 2 2 5 . קצהmax 2 .1 , , 2 min , max , 2 , קצהmin 0,1 )14 4 4 .x , 5 . קצהmax 2 , , min 3 3 , 3 5 2 6 3 , קצהmin 0,0 )15 , max , 3 2 6 3 . b 4 , a 3 )18 max ,2 min , 2 )17 . מוחלטmax ,0 )16 15 2 15 2 2 x 2 ,x 2 )21 2 x0, x 2 2 , x )20 . 0 x 2 .) א23 2 , x )19 3 3 7 1 11 1 ,1 , ,1 )22 4 6 4 6 x0, x , x 5 5 . קצהmin 0,2 , max , 3 , min , 3 , קצהmax 2 ,2 2 .ב 6 6 6 6 . 0,2 .ד 6 5 : תחומי ירידה0 x או 6 6 3 x : קעירות כלפי מעלה.ז 2 2 x 227 5 x 2 : תחומי עלייה.ג 6 3 3 , , , . ו. אין.ה 2 2 2 2 .0 x או 2 . min 3 x 2 :קעירות כלפי מטה 2 , 2 2 4 x .ב וגם0 x .) א24 2 3 : תחומי ירידהx וגם x : תחומי עלייה.ג ,0 . ד0 x 4 4 2 4 .x 0 , x 2 , x : אנכית.ה 3 5 . min 0, 2 , max , 2 min , 6 , max , 2 . ב. 0, 2 ; , 0 ; , 0 .) א25 12 12 4 4 . . הk 2 וגם6 k 2 .ד 2 Max 0, 2 , Min , 2.25 , Max , 0 . ב , 0 , 0, 2 .) א26 3 2 x , 1 x 2 : עולה. גMin 1 23 , 2.25 , Max 2 , 2 3 3 2 . 0 x , x 1 :יורדת 3 3 . 0.5 , 0 , 1.5 , 0 . נקודות ד2 . נקודת פיתול ג. בm 2 .) א27 3 5 , , 1.29 , 1.5 , 0 . ב ,0 , ,0 , 0,1 .) א28 6 2 2 1 . קצהmin 0,0 , max , , קצהmin , 2 : קיצון ,0 , 0,0 : חיתוך.) א29 2 3 4 . פתרונות2 . ד 0,1 , ,1.29 6 2 2 , max ,0.36 , קצהmin ,13.57 . בx וגם x 6 3 2 6 3 6 x 2 3 2 3 6 6 : תחומי ירידה, x .) א30 : תחומי עלייה. קצה גmin , 0.36 6 : אנכית. ה 0,0 . ד. x וגם 2 2 2 .0 x : קעירות כלפי מטה, x 0 או 2 6 . Min , 27 , Max , 27 . גx 0.25 . ב 0,0 , 0.23 ,0 .) א31 6 6 . קצהmax 4,0 , min 2, 1.16 , קצהmax 0,0 . בx 0.44 , x 3.56 וגם0 x 4 .) א32 x : קעירות כלפי מעלה. ז 0,0 . וx . פיתול 0, 0 .2 0,0 , Max 2 ,0 , Min 2 ,0 .1 . ב 0, 0 , 2 , 0 , 2 , 0 .) א33 . לא. ג , 0.25 . בy cos x 0.5 , k 0.5 .) א34 2 . בשתי נקודות. ג. 0.5 , 6 , 0.5 ,6 , 1.5 , 6 . בm 6 , k 7 .) א35 228 4 . k 1.27 . בx 0.5 .) א36 . Max 0,0 , Min 0.15 , 0.07 , Max 0.84 , 3.9 , Min , 4 .ג 2 1 , 2 3 . 4 1 , , . כן. בg ( x) : , 0 , f ( x) : 0.5 , 0 , 1.5 , 0 . כן.) א37 2 3 . f ( x) - II איור. g ( x) - I איור. דMin 0.5 ,0 , Max ,1 , Min 1.5,0 .ג 229 פרק - 9בעיות קיצון: שלבי עבודה: .1נגדיר את אחד הגדלים בשאלה כ. x - .2נבטא את שאר הגדלים בשאלה באמצעות . x .3נבנה פונקציה שמבטאת את מה שרצו שיהיה מינימלי/מקסימלי. .4נגזור את הפונקציה ,נשווה לאפס ונחלץ את ערך/ערכי ה. x - .5נוודא שערך ה x -מסעיף ד' הוא אכן מינימום/מקסימום באמצעות '' ( yאו טבלה). .6ננסח את התשובה לשאלה המקורית. בעיות קיצון עם מספרים: )1מבין כל זוגות המספרים שסכומם 14מצא את הזוג שמכפלתו מקסימלית. )2נתונים שלושה מספרים שסכומם .24המספר הראשון שווה למספר השני. מצא מהם המספרים אם ידוע שמכפלתם מקסימלית. )3מצא את המספר החיובי שאם נוסיף לו את המספר ההופכי לו הסכום המתקבל יהיה מינימלי. )4נתונים שלושה מספרים שסכומם הוא .36ידוע שמספר אחד זהה לשני. א .מה צריכים להיות שלושת המספרים כדי שמכפלתם תהיה מקסימלית? ב .כיצד תשתנה התוצאה אם מספר אחד יהיה גדול פי 2מהשני במקום שווה לו? ג .באיזה מקרה תהיה מכפלה גדולה יותר? x )5ו y -הם שני מספרים המקיימים. x 6 y 60 : א .הבע את yבאמצעות . x ב .מה צריכים להיות המספרים xו y -כדי שמכפלת ריבועיהם תהיה מקסימלית? ג .מהי המכפלה הנ"ל? )6נתונים שני מספרים חיוביים pו q -שסכומם . a p n הראה שכאשר מתקיים q m ערך הביטוי n ( p n q mו m -טבעיים) מקסימלי. 230 בעיות בהנדסת המישור: )7מבין כל המשולשים שווי השוקיים שהיקפם 24ס"מ מצא את אורך בסיסו של המשולש בעל השטח הגדול ביותר. )8א .מבין כל המשולשים שווי השוקיים שהיקפם aמצא את בסיסו של המשולש בעל השטח הגדול ביותר. ב .הוכח :מבין כל המשולשים שווי השוקיים בעלי אותו היקף המשולש בעל השטח הגדול ביותר הוא משולש שווה צלעות. )9במשולש ישר זווית סכום אורכי הניצבים הוא 12ס"מ. א .מה צריך להיות אורך כל ניצב ,כדי שטח המשולש יהיה מקסימלי? ב .מהו השטח המקסימלי? ג .מה יהיה אורך היתר במשולש במקרה זה? A )10במשולש ישר זווית ) B 90o ( ABCהנקודה Eנמצאת על היתר ACכך שהמרובע EDBFהוא מלבן. נתון. BC 16cm , AB 20cm : מצא את שטחו של המלבן בעל השטח הגדול ביותר. E C D F B A )11במשולש ישר זווית ) B 90o ( ABCהנקודה Eנמצאת על היתר ACכך שהמרובע EDBFהוא מלבן. נתון. BC b , AB a : מצא את שטחו של המלבן בעל השטח הגדול ביותר. E C )12במשולש ישר הזווית AD B 90 , ABCהוא תיכון לניצב .BCידוע כי סכום אורכי הניצבים הוא 20ס"מ. מצא מה צריכים להיות אורכי הניצבים עבורם אורך התיכון ADיהיה מינימלי. 231 D F B )13נתון מלבן שאורכי צלעותיו הם 8ס"מ ו 12 -ס"מ כמתואר באיור. מקצים קטעים באורכים של xו 4x -על צלעות המלבן כך שנוצרים המלבנים המקווקווים. מצא את xעבורו סכום שטחי המלבנים הוא מינימלי. )14נתון ריבוע בעל אורך צלע של 16ס"מ .מקצים קטע שאורכו xעל הצלע העליונה ושני קטעים שאורכם 2x על הצלעות הצדדיות כמתואר באיור כך שנוצר המחומש המקווקו .מצא מה צריך להיות ערכו של xעבורו שטח המחומש יהיה מקסימלי. x 2x 2x )15הנקודות K , L , M , Nמקצות קטעים שווים במלבן ABCD כך ש. BK BL DM DN x : צלעותיו של המלבן הן 20ס"מ ו 12-ס"מ. א .הבע באמצעות xאת סכום שטחי המשולשים: . AKN KBL CLM DNM ב .מצא מה צריך להיות xכדי ששטח המרובע LKNMיהיה מקסימלי. ג .מה הוא השטח של המרובע LKNMבמקרה זה? )16המרובע ABCDהוא מקבילית .מהקדקוד Bמעבירים את הצלע EFהנפגשת עם המשכי הצלעות DCו .AD-ידוע כי מידות המקבילית הן 2 :ס"מ 8 , AB ס"מ . AD מסמנים את אורך הצלע DEב . x - א .הבע באמצעות xאת אורך הצלע .DF ב .מצא את xעבורו סכום הצלעות DEו DF-הוא מינימלי. ג .מה הוא הסכום המינימלי? )17חיים הוא אחד מעובדי חברת "דפוס יהלום בע"מ". תפקידו של חיים הוא להדביק גלויות על משטחי קרטון בעלי שטח מינימלי כך שיישארו רווחים של 3ס"מ מקצות הקרטון העליון והתחתון ,ו 5-ס"מ מצידי הקרטון (ראה איור) .יום אחד קיבל חיים שיחת טלפון מלקוח אנונימי ששאל אותו את השאלה הבאה: 3 "יש לי מגוון גדול של גלויות במידות שונות אשר שטחן 5 זהה והוא 60סמ"ר .מה הן המידות של גלויה אשר שטח 3 משטח הקרטון שלה יהיה מינימלי?" א .עזור לחיים לענות ללקוח על שאלתו והראה דרך חישוב. ב .מה יהיו מידות הקרטון עבור הגלויה המסוימת? 232 5 )18אלינה קיבלה משימה בשיעור מלאכה :יש להכין מסגרת לתמונה מלוח עץ ששטחו הכולל הוא 242סמ"ר כך שעובי המסגרת בצדדים יהיה 2ס"מ ובקצוות העליון והתחתון – 4ס"מ (ראה איור) .כדי לבחור את מידות לוח העץ ,אלינה צריכה לדעת את השטח המקסימלי שעליה לנסר עבור המקום לתמונה (השטח המסומן). א .מה יהיו מידות לוח העץ שאלינה צריכה להזמין עבור המשימה? ב .מה יהיה השטח המקסימלי לתמונה עבור המידות שאלינה בחרה? )19במעגל שמרכזו Oורדיוסו 10 5 cmהעבירו מיתר AB שמרחקו ממרכז המעגל הוא . 4cm במקטע שיוצר המיתר חסום מלבן כמתואר בשרטוט. מצא את היקפו של המלבן בעל ההיקף הגדול ביותר. A B O )20במעגל שמרכזו Oורדיוסו Rהעבירו מיתר AB שמרחקו ממרכז המעגל הוא . a במקטע שיוצר המיתר חסום מלבן כמתואר בשרטוט. מצא את היקפו של המלבן בעל ההיקף הגדול ביותר. A B O )21שני הולכי רגל יוצאים בו זמנית לדרכם ,האחד מעיר Aמערבה לעיר Bוהשני מעיר Bדרומה לעיר .C המרחק בין הערים Aו B-הוא 20ק"מ. מהירות הרוכב שיצא מ A-היא 4קמ"ש ומהירות הרוכב השני 2קמ"ש .כעבור כמה זמן מיציאת הרוכבים יהיה המרחק ביניהם מינימלי? מצא גם את המרחק המינימלי. B A C גלידריה )22אדם נמצא על אי במרחק 0.5ק"מ מהחוף .על החוף ,במרחק של 3ק"מ מהנקודה הקרובה ביותר לאי ,נמצאת גלידריה .האדם שוחה במהירות של 8 קמ"ש ורץ על החוף במהירות של 10קמ"ש .לאיזה מרחק מהגלידריה עליו לשחות כדי להגיע לגלידריה בזמן הקצר ביותר? D )23אדם מתכנן לבנות מרפסת בביתו ורוצה להציב מעקה סביב המרפסת .שטח המרפסת המתוכנן הוא 24מ"ר. מחיר מעקה בחזית המרפסת ( ) BCהוא ₪ 120למטר C ומחיר מעקה בצידי המרפסת הוא ₪ 40למטר. מה צריכים להיות ממדי המרפסת כדי שמחיר המעקה יהיה מינימלי? 233 אי בית A B בעיות קיצון בפונקציות וגרפים: )24נתונה הפונקציה . f x 6 x x2מנקודה Aשעל הפונקציה ברביע הראשון הורידו אנכים לצירי השיעורים כך שנוצר מלבן כמתואר בסרטוט .מה צריכים להיות שיעורי הנקודה Aכדי ששטח המלבן יהיה מקסימלי? y A x )25נתונות הפונקציות f x x2 12 :ו g x 2 x x 2 -כמתואר: הנקודות Aו B-נמצאות בהתאמה על הגרפים של הפונקציות f x :ו g x -כך שהקטע ABמקביל לציר ה. y - מצא מה צריכים להיות שיעורי הנקודה Aכדי שאורך הקטע ABיהיה מינימלי. )26באיור שלפניך מתוארים הגרפים של הפונקציות f x x2 8x 18 :ו. g x x 2 4 x - הנקודה Aנמצאת על גרף הפונקציה f x והנקודה Bנמצאת על גרף הפונקציה g x כך שהקטע ABמקביל לציר ה . y -מעבירים אנכים מהנקודות Aו B-לציר ה y -כך שנוצר מלבן (המסומן). נסמן את שיעור ה x -של הנקודה Aב . t - א .הבע באמצעות tאת שטח המלבן המסומן. ב .מצא את ערכו של tעבורו שטח המלבן הוא מקסימלי. ג .מה יהיה שטח המלבן במקרה זה? )27נתונה הפונקציה . f ( x) 36 x2 :על גרף הפונקציה ברביע הראשון מסמנים נקודה .A מהנקודה Aמעבירים ישר המקביל לציר ה x -שחותך את ציר ה y -בנקודה .Cהנקודה Bהיא נקודת החיתוך של הפונקציה עם ציר ה x -ו O-ראשית הצירים. א .מה צריכים להיות שיעורי הנקודה Aכדי ששטח הטרפז ABOCיהיה מקסימלי? ב .מה יהיה שטח הטרפז במקרה זה? 4 )28נתונה הפונקציה: x f ( x) ונתון הישר . y x 3 :הנקודה A נמצאת על גרף הפונקציה ) f ( xוהנקודה Bנמצאת על גרף הישר כך שהקטע ABמקביל לציר ה . y -מצא מה צריכים להיות שיעורי הנקודה Aכדי שאורך הקטע ABיהיה מינימלי. 234 1 2 1 x )29נתונות שתי פונקציות f x x 2 :ו . g x - מסמנים נקודה Aעל גרף הפונקציה f x ונקודה Bעל גרף הפונקציה g x כך שהקטע ABמקביל לציר ה . y - מצא את שיעורי הנקודות Aו B-עבורן אורך הקטע ABמינימלי. 9x x 8 f x והישר: )30באיור שלפניך מתוארים הגרפים של הפונקציה: 25 x 1 הנקודות Aו B-נמצאות על הגרפים של הפונקציות כך שהקטע ABמקביל לציר ה . y -מהנקודות Aו B-מותחים אנכים לציר ה y -כך שנוצר המלבן .ABCD נסמן את שיעור ה x -של הנקודה Aב . t - א .הבע באמצעות tאת היקף המלבן .ABCD ב .מצא את tעבורו היקף המלבן הוא מינימלי. ג .מה יהיה ההיקף במקרה זה? y y )f ( x x )31נתונה הפונקציה f x 2והישר . y 2 xבין הישר והפונקציה ברביע x 1 הראשון חסמו מלבן .מצא את מידות המלבן שהיקפו מינימלי. x 12 )32נתונה הפונקציה: x2 3 f ( x) בתחום. x 0 : מקצים נקודה Aעל גרף הפונקציה וממנה מורידים אנכים לצירים כך שנוצר המלבן ABCOכמתואר באיור. א .מצא מה צריכים להיות שיעורי הנקודה Aעבורם שטח המלבן יהיה מקסימלי. ב .מה צריכים להיות שיעורי הנקודה Aעבורם שטח המלבן יהיה מינימלי בתחום הנ"ל. x 10 )33נתונה הפונקציה: x2 . f ( x) מעבירים משיק לגרף הפונקציה דרך נקודת החיתוך שלה עם ציר ה. y - א .מצא את משוואת המשיק. מסמנים נקודה Aעל גרף הפונקציה ) f ( xברביע הראשון ו B-על גרף המשיק כך שהקטע ABמקביל לציר ה . y - ב .מצא את שיעורי הנקודה Aעבורן אורך הקטע ABהוא מינימלי. ג .מה יהיה אורך הקטע ABבמקרה זה? 235 .y A D B C )34נתונה הפונקציה . f x 13מצא שיעורי נקודה על הפונקציה ברביע הראשון, x שסכום הקטעים שהמשיק בה מקצה על הצירים הוא מינימלי. y )35נתונות הפונקציות f x 2 xו. g x 1 x3 - A 3 את הנקודה A שעל f x חיברו עם הנקודה , B x B שנמצאת מתחתיה על g x כך שהקטע ABמקביל לציר ה. y - מה צריכים להיות שיעורי הנקודה Aכדי שאורך הקטע ABיהיה מקסימלי? )36המשולש ABCהוא שווה שוקיים ).(AB=AC באיור שלפניך מתואר גרף הפונקציה. f ( x) 6 3 x : הנקודה Aנמצאת על גרף הפונקציה ברביע הראשון. מהנקודה Aמותחים אנכים לצירים אשר חותכים אותם בנקודות Bו C-כמתואר באיור. נסמן את שיעור ה x -של הנקודה Aב . t - א .הבע באמצעות tאת סכום הקטעים .AC+AB ב .מצא את ערכו של tעבורו סכום הקטעים הנ"ל יהיה מינימלי. )37נתונות הפונקציות f x 1 x 2ו .) b 0 ( g x bx 2 -הפונקציות נחתכות בנקודות A ו .B-מצא את ערכו של bשבעבורו הקטע AOמינימלי ( –Oראשית הצירים). בעיות קיצון בהנדסת המרחב: )38נתונה תיבה שבסיסה ריבוע ושטח הפנים שלה הוא 96סמ"ר. מצא את מידות התיבה שנפחה מקסימלי. )39נתונה תיבה שבסיסה ריבוע ושטח פניה (ללא המכסה) הוא 75סמ"ר. מצא את אורך צלע הבסיס של התיבה שנפחּה הוא מקסימלי. )40נתונה תיבה שבסיסה הוא מלבן שבו צלע אחת גדולה פי 2מהצלע הסמוכה לה כמתואר באיור .ידוע כי גובה התיבה hוצלע המלבן הקטנה xמקיימים . x h 9 :מצא מה צריכים להיות מידות בסיס התיבה כדי שנפחּה יהיה מקסימלי. h x 2x 236 )41נתונה תיבה שגובהה הוא hובסיסה הוא ריבוע שאורך צלעו היא . x נתון כי צלע הריבוע וגובה התיבה מקיימים. 4 x h 63 : א .הבע את hבאמצעות . x ב .הבע את שטח הפנים של התיבה באמצעות . x ג .מה צריך להיות ערכו של xכדי ששטח הפנים יהיה מקסימלי? )42ליוסי משטח פח אשר הוא רוצה לבנות תיבה ממנו שנפחה הכולל הוא 225סמ"ק .יוסי רוצה שאורך הבסיס יהיה גדול פי 5מרוחבו כמתואר באיור הסמוך .כמות הפח שיש בידי יוסי מוגבלת ולכן הוא רוצה לדעת מה היא הכמות המינימלית של פח שעליו להשתמש בכדי להשיג את מבוקשו .מצאו את כמות הפח המינימלית. 5x x )43לבניית תיבה שנפחה 144סמ"ק ואורך בסיסה גדול פי 2מרוחב בסיסה דרושים שני חומרים להם שני מחירים שונים :החומר לבסיס התחתון יקר פי 3מהחומר לפאות הצדדיות והבסיס העליון .מהן מידות התיבה הזולה ביותר שניתן לבנות? )44מכל הגלילים הישרים שהיקף פרישת המעטפת שלהם הוא kמצא את נפחו של הגליל בעל הנפח המקסימלי. )45באיור שלפניך מתוארים תיבה שבסיסה ריבוע וגליל החסום בתוך התיבה. רדיוס הגליל יסומן ב x -וגובהו ב . h -ידוע כי הסכום של xו h -הוא 12ס"מ. א .הבע באמצעות xאת אורך מקצוע הבסיס של התיבה. h ב .1 .הבע באמצעות xאת נפח הגליל. .2הבע באמצעות xאת נפח התיבה. ג .מצא את xעבורו הנפח הכלוא בין התיבה לגליל יהיה מינימלי. x )46נתונה פירמידה מרובעת ,משוכללת וישרה .אורך מקצוע צדדי בפירמידה הוא k ושטח המעטפת שלה הוא . Sהוכח. S 2k 2 : )47הוכח שמכל החרוטים הישרים שנפחם kסמ"ק ,החרוט בעל שטח המעטפת המינימלי הוא זה שגובהו 3 6kס"מ. (שטח מעטפת של חרוט הוא , Rכאשר הוא הקו היוצר של החרוט). בעית קיצון עם תנועה: )48מהירותו של רכב היא vקמ"ש ועליו לנסוע דרך של Sק"מ. v2 v ₪לכל ק"מ נסיעה ו 48 - לרכב יש הוצאות נסיעה של 200 400 ₪לכל שעת נסיעה. הראה שכדי שהוצאותיו יהיו מינימליות על הרכב לנסוע במהירות של 80קמ"ש. 237 :תשובות סופיות .' מקרה א. ג16 ,12 ,8 . ב12 ,12 ,12 .) א4 1 )3 8,8,8 )2 7,7 )1 . M 22500 . גx 30 , y 5 . בy 10 x .) א5 6 . ס"מ6 2 8.48 . סמ"ר ג18 . ס"מ ב6- ס"מ ו6 .) א9 . ס"מ2.5 .) א8 . יח"ר8 )7 . ס"מ16 , ס"מ4 )12 .יחידות שטח ab )11 S סמ"ר80 )10 4 . S סמ"ר128 . גx 8 . ב2 x2 32 x 240 .) א15 x 6 )14 x 2.75 )13 . L 18 . גx 6 , L x2 6 x 8x . בDF .) א16 x2 x2 . ס"מ20 X ס"מ12 . ס"מ ב10 X ס"מ6 .) א17 . S 98 . ס"מ ב22 ס"מ על11 .) א18 . ק"מ80 : המרחק, שעות4 )21 . יחידות אורך2 5R 2a )20 ס"מ92 )19 . A 0.5,12.25 )25 . A 4,8 )24 .4X6 )23 . ק"מ2 1 )22 3 . S 128 . בA 2,32 .) א27 S 8 . גt 1 . בS 2t 3 12t 2 18t .) א26 1 . A 1, , B 1, 1 )29 A 2, 2 )28 2 .2 X 1 )31 ס"מP 12.88 . גt 4 1.28t 2 0.72t 16 3 P .ב .) א30 t 1 4 . AB 24 . גA 4, 7 . בy 3x 5 .) א33 A 0, 4 . בA 2, 2 .) א32 1 . b 1 )37 t 2.25 . בl t 6 3 t .) א36 A 1, 2 )35 3, )34 3 3 . ס"מ3 : גובה. ס"מ12 , ס"מ6 :) בסיס40 . ס"מ5 )39 4X4X4 )38 . ס"מ5- ס"מ ו15 , ס"מ3 )42 x 9 . גp 14 x2 252 x . בh 63 4 x .) א41 .V יחידות נפח k3 )44 . ס"מ8X6X3 )43 216 . x 8 . גV 48x2 4 x3 .2 V 12 x2 x3 .1 . ב2x .) א45 238 בעיות קיצון – שאלות שונות: בעיות בהנדסת המישור: D C )1בטרפז שווה-שוקיים )AB||CD( ABCDאורך השוק הוא 4ס"מ ואורך הבסיס הקטן הוא 6ס"מ. DEהוא הגובה מקדקוד ( Dראה ציור). מה צריך להיות אורך הקטע AEכדי ששטח הטרפז יהיה מקסימלי? B E B A x )2נתון מלבן . ABCDנסמן ב x -את אחת מצלעות המלבן (ראה ציור). א .אם היקף המלבן הוא 60ס"מ בטא באמצעות xאת שטח המלבן. C ב .אם היקף המלבן הוא pמצא מה צריכות להיות אורכי צלעות המלבן כדי ששטחו יהיה מקסימלי (הבע את אורכי הצלעות באמצעות .) p B )3נתון מלבן ABCDכך ש5 -ס"מ = , AD = BC 10ס"מ = . AB = CDעל צלעות המלבן מקצים קטעים ( AP AQ CS CR x :ראה ציור). מה צריך להיות ערכו של xכדי ששטח המקבילית PQRSיהיה מקסימלי? A D P A Q S C D R E )4במשולש ישר זווית ( C 90 ) ABCסכום אורכי הניצבים הוא 8ס"מ .על היתר ABבונים ריבוע .ABDE מה צריכים להיות אורכי הניצבים, כדי ששטח המחומש AEDBCיהיה מינימלי. A D B C )5בחצי עיגול שרדיוסו 8ס"מ חוסמים מלבן , ABCDכך שהצלע ABשל המלבן מונחת על הקוטר ,והקדקודים Cו D -מונחים על הקשת (ראה ציור) .מה צריך להיות אורך הצלע ABכדי ששטח המלבן יהיה מקסימלי? A )6במשולש ישר -זווית , ( B 90 ) ABCסכום אורכי הניצבים הוא 30ס"מ AD.הוא תיכון לניצב .BC חשב מה צריכים להיות אורכי הניצבים, על מנת שריבוע אורך התיכון יהיה מינימלי. 239 C D B 8 )7בחוברת פרסום ,שטח כל עמוד הוא 600סמ"ר. רוחב השוליים בראש העמוד ובתחתיתו הוא 8ס"מ, ורוחב השוליים בצדדים הוא 3ס"מ. מצא מה צריך להיות האורך והרוחב של כל עמוד כדי שהשטח המיועד לדפוס יהיה מקסימלי (השטח המקווקו בציור). B 3 E )8בריבוע ABCDהנקודות G , F , Eנמצאות על הצלעות DC , BC , ABבהתאמה, F כך ש ( CF = CG , BE = BF -ראה ציור). נתון כי האורך של צלע הריבוע הוא 6ס"מ. א .סמן ב x -את BFואת , BEוהבע באמצעות xאת הסכום של שטחי המשולשים EBFוFCG - C (השטח המקווקו בציור). ב .1 .מצא את xשעבורו סכום שטחי המשולשים הוא מינימלי. .2חשב את הסכום המינימלי של שטחי המשולשים. B )9נתון ריבוע ABCDשאורך צלעו 10ס"מ. Eהיא נקודה כלשהי מחוץ לריבוע ,כך שהמשולש DEC הוא שו"ש ( .)ED = ECשוקי המשולש חותכות את הצלע ABבנקודות Mו( N -ראה ציור). מצא מה צריך להיות אורך הקטע AMכדי שהסכום של שטחי המשולשים BNC , AMD , EMNיהיה מינימלי. A D G E M N C A D )10נתון מעגל שרדיוסו . Rבמעגל זה חסום טרפז שו"ש ,כך שהבסיס הגדול של הטרפז הוא קוטר במעגל (ראה ציור). מבין כל הטרפזים החסומים באופן זה ,הבע באמצעות R את אורך הבסיס הקטן בטרפז ששטחו מקסימלי. )11נתונה גזרה של רבע עיגול שמרכזו Oורדיוסו 10ס"מ. בונים מלבן ,ABCDכך שרבע המעגל משיק לצלע DC בנקודת האמצע שלה ,והקודקודים Aו B -נמצאים על הרדיוסים התוחמים את הגזרה (ראה ציור). מבין כל האלכסונים של המלבנים ABCDשנוצרים באופן זה ,מצא את אורךהאלכסון הקצר ביותר. O B A C 240 D A ABCDE )12הוא מחומש המורכב ממשולש ABEוממלבן ( EBCDראה ציור). נתון 2 :ס"מ = 4 , BCס"מ = . AB = AE מצא את השטח של המחומש ששטחו מקסימלי. B E C D )13מתבוננים בכל המשולשים ישרי הזווית ABC החוסמים חצי מעגל שרדיוסו Rכמתואר בציור. מהן זוויות המשולש שסכום הניצבים שלו הוא מינימלי? A C )14במעגל שרדיוסו Rחסומים משולשים כך שהגודל של 2 הזווית בכל אחד מהמשולשים הוא 5 . מצא את הזוויות במשולש בעל ההיקף המקסימלי. בעיות בהנדסת המרחב: )15גובהו של "מגדל" הבנוי משתי קוביות (לאו דווקא שוות) הוא 8ס"מ.מה צריך להיות אורך המקצוע של הקובייה התחתונה כדי שנפח המגדל (סכום נפחי הקוביות) יהיה מינימלי? )16בונים תיבה שגובהה yס"מ ,ובסיסה ריבוע, שאורך צלעו xס"מ (ראה ציור) ,כך שההיקף של כל אחת מהדפנות הצדדיות שווה ל 12 -ס"מ .מה צריך להיות אורך צלע הבסיס כדי שנפח התיבה יהיה מקסימלי? )17יש לבנות תיבה פתוחה מלמעלה ,שבסיסה ריבוע ושטח פניה 75סמ"ר (במקרה זה שטח הפנים מורכב מבסיס אחד ומארבע פאות צדדיות). מכל התיבות שאפשר לבנות ,מצא את ממדי התיבה (צלע הבסיס וגובה) שנפחה מקסימלי. )18יש להכין מחוט תיל "שלד" (מסגרת) של תיבה ,שבסיסה ריבוע ונפחה 1000סמ"ק. מהו האורך המינימלי של החוט הנחוץ ליצירת התיבה? )19מחוט שאורכו aס"מ יש לבנות מנסרה משולשת ישרה, 241 B 72 שבסיסה הוא משולש שווה צלעות. מצא איזה חלק מאורך החוט יש להקצות לצלע הבסיס xואיזה חלק לגובה yכדי שיתקיים (בטא ע"י :) a א .שטח המעטפת של המנסרה יהיה מקסימלי. ב .נפח המנסרה יהיה מקסימלי. )20מכל הפירמידות המרובעות ,המשוכללות והישרות ,שאורך המקצוע הצדדי שלהן הוא , aמצא את נפחה של הפירמידה בעלת הנפח המקסימלי. )21מכל הפירמידות הישרות ,שבסיסן ריבוע ושטח הפנים שלהן הוא 200סמ"ר ,חשב את נפחה של הפירמידה בעלת הנפח המקסימלי. )22אלכסון החתך הצירי של גליל ישר הוא 12ס"מ (ראה ציור). מצא מה צריכים להיות גובה הגליל ורדיוס בסיסו כדי שנפחו יהיה מקסימלי. 12 )23נתון מיכל גלילי פתוח מלמעלה שקיבולו 64מ"ק. המיכל עשוי כולו מפח .הראה כי שטח הפח הוא מינימלי כאשר רדיוס הבסיס הוא 4 3 מטר. )24מבין כל החרוטים שאורך הקו היוצר שלהם הוא 10ס"מ (ראה ציור), מהו נפח החרוט שנפחו מקסימלי? 10 בעיות בפונקציות וגרפים: )25מנקודה , Aהנמצאת על גרף הפונקציה , y x2 5xמורידים אנכים לצירים כך שנוצר מלבן ( ABOCראה ציור). א .מה צריכים להיות שיעורי הנקודה Aכדי שהיקף המלבן יהיה מקסימלי? ב .מה צריכים להיות שיעורי הנקודה Aכדי שהיקף המלבן יהיה מינימלי? 242 y )26בפרבולה y 9 x2חוסמים מלבן , ABCDכך שהצלע AB מונחת על ציר ה ( x -ראה ציור). מה צריך להיות אורך הצלע CDכדי ששטח x המלבן יהיה מקסימלי? C D A B )27טרפז ABCDחסום בין גרף הפרבולה y 9 x 2 לבין ציר ה( x -ראה ציור). y A א .מה צריכים להיות שיעורי הנקודה Aכדי ששטח הטרפז ABCDיהיה מקסימלי? ב .חשב את השטח המקסימלי של טרפז .ABCD x C B )28נתונה הפרבולה . y x 2 12ישר המקביל לציר הx - y חותך את הפרבולה בנקודות Aו( B -ראה ציור). מחברים את הנקודות Aו B -עם ראשית הצירים.O , א .מה צריך להיות אורך הקטע ABכדי ששטח המשולש AOBיהיה מקסימלי? ב .מהו השטח המקסימלי של המשולש ? AOB 1 2 D A B x y 1 4 )29נתונים הגרפים של שתי פרבולות. y x 2 3x , y x 2 7 : קו מקביל לציר ה y -חותך את שתי הפרבולות בנקודות Pו( Q -ראה ציור) .מבין כל הקטעים המתקבלים באופן זה ,מצא את האורך המינימלי של הקטע .PQ P Q x )30נתון גרף הפונקציה . y xעל ציר ה x -נתונה הנקודה )( A(4.5,0ראה ציור). מצא על גרף הפונקציה נקודה ,M כך שריבוע המרחק AMיהיה מינימלי. y M x )., (A )31מצא על הישר f ( x) 3x 4את הנקודה הקרובה ביותר לנקודה ). (0,1 243 y )32בציור שלפניך מתוארים הגרפים של הפונקציות. g ( x) 36 6 x , f ( x) 3x : מלבן חסום בין הגרפים של הפונקציות ובין ציר ה, x - כמתואר בציור .מצא את השטח הגדול ביותר האפשרי למלבן שחסום באופן זה. x )33דרך איזו נקודה על הפרבולה y x2 2 xצריך להעביר משיק ,כדי ששטח הטרפז ,הנוצר על ידי המשיק והישרים x 0 , x 1 :וy 0 - (השטח המקווקו שבציור) יהיה מינימלי? y x )34נקודה Bנמצאת על גרף הפונקציה y x 2ברביע הראשון. Aהיא הנקודה ) (0, aכאשר ידוע כי ( a 0.5ראה ציור). א .בטא באמצעות aאת שיעורי הנקודה ,Bשעבורה המרחק ABהוא מינימלי. ב .מצא עבור איזה ערך של aהמרחק המינימלי הוא .2 y A B x )35נתונה הפרבולה , y x 2ונתון משיק לפרבולה שמשוואתו היא . y 6 x 9בנקודה ) (t , t 2שעל הפרבולה מעבירים משיק נוסף לפרבולה. המשיקים נחתכים בנקודה ( Mראה ציור). א .הבע את משוואת המשיק הנוסף באמצעות . t ב .מצא את tשעבורו אורך הקטע ,המחבר את הנקודה Mעם קודקוד הפרבולה יהיה מינימלי. y ) (t,t x M y )36במערכת צירים נתונות הנקודות ) A(2, 2ו. B(2, 2) - ראשית הצירים היא בנקודה M .Oהיא נקודה על ציר ה x -בתחום . x 0מה צריכים להיות שיעורי הנקודה ,Mכדי שהסכוםOM + MA + MB : יהיה מינימלי? 244 ) A( , x M O ) B( ,- תשובות סופיות: . AE 1.7cm )1 )4 )7 )8 )9 )2א . x 30 x .ב .כל צלע שווה ל. 0.25 p - . x 3.75cm )3 24 )6 . AB 2 32 cm )5 . AC BC 4cmס"מ = 6 ,BCס"מ = .AB אורך 40 :ס"מ ,רוחב 15 :ס"מ. א . S x2 6 x 18 .ב . x 3 .1.ב 9 .2 .סמ"ר. )10 . AM 5 / 2בסיס קטן = 12 3 )12 4 5 cm )11 . Rסמ"ר. 3 3 2 , , )14 . 45 , 45 , 90 )13 10 10 5 4 )15ס"מ. . )17צלע הבסיס 5 :ס"מ .גובה 2.5 :ס"מ. 1 1 )19אa , y a . 12 6 1 9 . x ב. x y a . 4 )16ס"מ. 120 )18ס"מ. 4 3 3 a )20 27 . 500 )21 3 )22גובה 48 :ס"מ .רדיוס 24 :ס"מ. 403.1 )24סמ"ק. )25א . A(3, 6) .ב A(0, 0) .או . A 5, 0 . CD 2 3 )26 )27א . A(1,8) .ב )28 .32 .א . AB 4 .ב. SAOB 16 . .8 )32 . (1.5,0.5) )31 . M (4, 2) )30 . PQ 4 )29 (0.5,0.75) )33 )34א B( (2a 1) / 2, (2a 1) / 2) .ב. 4.25 . )35א . y 2t x t 2 .ב. M (0.845,0) )36 . t 3 / 37 . 245 סמ"ק . פרק - 10חשבון אינטגרלי: סיכום כללי האינטגרציה: הגדרה וחוקים יסודיים: כלל האינטגרציה של פונקציה פולינומית n 1 : ax n1 עבור מקדם קבוע aנקבל c : n 1 x n 1 c , n 1 . x n dx . n 1 , ax n dx חישוב שטחים באמצעות האינטגרל (מקרים פרטיים): .1שטח הכלוא בין גרף פונקציה וציר ה: x - b S f x dx a .2שטח הכלוא בין שני גרפים כך שגרף אחד כולו מעל השני: b S1 g x f x dx a c S 2 f x g x dx b S S1 S2 .3שטח הכלוא בין שני גרפים וציר ה : x - c b b a S f x dx g x dx c 246 b a חישוב נפחים באמצעות האינטגרל: .1נפח הגוף שנוצר עקב סיבוב הפונקציה f x סביב ציר ה x -בגבולות x a :ו x b -נתון ע"י האינטגרל הבא: b . V f x dx 2 a .2בפרט עבור גוף הנוצר ע"י בסיס שטח הכלוא בין הגרפים של הפונקציות f x ו g x -נקבל את הנוסחה הבאה: b 2 2 . V f x g x dx a אינטגרלים טריגונומטריים: cos x dx sin x c dx cot x c 1 x 2 ; sin sin x dx cos x c ; dx tan x c 1 x 2 cos שאלות לפי נושאים: שאלות יסודיות – חישובי אינטגרלים: )1מצא את האינטגרלים הבאים: 3 א x dx . ב. 5 x ד. 3 ג. dx 4 ה 2 x5 dx . 3 ז. ו. 5 4 x2 1 3 x 16 x 4 x dx 6 2 3 )2מצא את האינטגרלים הבאים: 3 א x dx . 12x dx 2x dx 7dx 4 x3 2ax 2 ח 5 ax b b dx . ב 1 dx . 3 x 3 a x 1 ג 2 4 3 dx . x x a x 3 2 x x 2 dx ד. x3 247 :) מצא את האינטגרלים הבאים3 x dx .ב x 4 3 x dx .ד x 1 2 dx .א 1 dx x .ג :) מצא את האינטגרלים הבאים4 18 dx 2 6 x 5 .ג 3 2 7x 4 5x 1 dx dx .ב 3 .א 1 dx .ד 6x 3 ax b dx .ה :) מצא את תוצאת החילוק5 x 4 x3 x 2 14 x 3 x3 .ג x3 x 2 3x 5 .ב x 1 x 2 5 x 14 .א x2 x3 5 x 2 4 x 20 .ה x5 x3 4 x 2 9 .ד x 3 :) מצא את האינטגרלים הבאים6 2 x 5 x 14 dx .א x2 x x 3x 5 dx .ב x 1 3 2 3 2 x 4 x 9 dx .ד x 3 5 4 2 2 x x 4 x 1 dx 2x 1 4 3 2 x x x 14 x 3 dx x3 .ג 3 2 x 5 x 4 x 20 dx .ה x5 .ו :) מצא את האינטגרלים הבאים7 x2 dx 2 2 x 4 x 1 .ג x2 dx .ב 2 3 x 6 2 8x x 1 dx .ו 6x 3 dx .ה x x2 3 2x dx .א 2 2 x 1 x x2 2 2 x 6x x 2 248 3 2 dx .ד dx .ז :) חשב את האינטגרלים הבאים8 4 cos3x 2sin 4 x cos2 3x dx .ב 4 sin x 3cos x 5 dx .א 2 cos x 1 cos 2 x sin x cos2 x dx .ג :)) חשב את האינטגרלים הבאים (שימוש בזהויות9 sin 3x cos3x dx 2sin x cos x dx .ב sin sin x dx .ד 2 4 .א x cos 4 x dx .ג :) חשב את האינטגרלים הבאים10 sin x dx 2 cos x cos x dx sin x .ב .א cos x sin x dx .ג 2 :) חשב את האינטגרלים הבאים11 1 cos cos 2 sin 2 x 4cos 3 dx .א x sin 2 x dx .ד sin 1 dx 10 x .ג x sin 4 x dx .ה sin x cos x cos 2 x dx .ז 4x tan 2 2 dx xdx sin 7 x cos 5x dx 4 x .ב sin x cos x sin dx 2 x cos 4 x dx sin sin sin cos .ו .ח 1 .י .יב 4 2 sin x cos x dx .ט cos x cos 2 x sin x sin 2 x dx .יא 2 4xdx .יד cos 3 4xdx .טז cos 4 2xdx .יח cos 249 2 2 xdx .יג 3 xdx .טו 4 xdx .יז 1 cos 2 x sin 5 x sin x יט. 1 cos 2 x dx כ. sin 4 x sin 2 x dx כא. sin 3 x 1 cos x dx כב. 1 cos3 x cos2 x dx 2 כג. x cos4 xdx 2 sin שאלות יסודיות – מציאת פונקציה קדומה: )12נתונה נגזרת של פונקציה. f ' x 3x2 7 : מצא את הפונקציה אם ידוע שהיא עוברת בנקודה . 2, 1 )13נתונה נגזרת של פונקציה. f ' x 2 x 6 : ערך הפונקציה בנקודת הקיצון שלה הוא .5מצא את הפונקציה. )14הנגזרת של פונקציה f x היא . f ' x x2 8x 2 :נתון. f 2 1 : א .מצא את . f x ב .מצא את משוואת המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה . x 1 )15נתונה הנגזרת של פונקציה . f ' x 9 x2 4 : f x ערך הפונקציה בנקודה x 1הוא .3 א .מצא את משוואת המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה. x 1 : ב .מצא את . f x ג. מצא את נקודות החיתוך של המשיק עם הצירים. )16הנגזרת של פונקציה f x היא. f ' x 2 x 3 : לפונקציה משיק ששיפועו הוא .- 3 א .מצא את שיעור ה x -של נקודת ההשקה. ב .מצא את f x אם ידוע כי ערך הפונקציה באותה הנקודה הוא .7 250 )17הנגזרת של פונקציה f x היא. f ' x 6 x 5 : המשיק לפונקציה בנקודה Aיוצר זווית של 45עם הכיוון החיובי של ציר ה. x - א .מצא את שיעור ה x -של הנקודה .A ב .מצא את f x אם ידוע כי ערך הפונקציה באותה הנקודה הוא .- 6 ג. מצא את משוואת המשיק. )18הנגזרת של פונקציה f x היא. f ' x 3x 4 : הישר y 2 x 5משיק לגרף הפונקציה .מצא את . f x )19נתונה הנגזרת השנייה של פונקציה . f '' x 6 x 6 :שיפוע הפונקציה בנקודת הפיתול שלה הוא - 12וערך הפונקציה בנקודה זו הוא .1מצא את הפונקציה. )20נתונה הנגזרת השנייה של הפונקציה . f '' x 8x 6 : f x א .מצא את f ' x אם ידוע כי לפונקציה יש נקודת קיצון ב . x 2 - ב .מצא את f x אם ידוע כי ערך הפונקציה בנקודת הקיצון הוא .2/3 )21נתונה הנגזרת השנייה של הפונקציה . f '' x 2 x 3 : f x א .שיפוע המשיק לפונקציה בנקודה שבה x 1הוא .4מצא את . f ' x ב .ערך הפונקציה בנקודת ההשקה הוא .5מצא את . f x )22נתונה הנגזרת השנייה של פונקציה. f '' x 1 83 : x המשיק לפונקציה בנקודת הפיתול שלה הוא הישר . y 4מצא את הפונקציה. )23נתונה נגזרת של פונקציה. f ' x x 2 x 1 2 : שיפוע המשיק לפונקציה בנקודה שבה y 5 2הוא .3מצא את הפונקציה. 3 )24נתונה נגזרת של פונקציה. f ' x cos x 4sin 2 x : 1 מצא את הפונקציה אם ידוע שהיא עוברת בנקודה . ,1 2 6 )25נתונה הנגזרת השנייה של פונקציה. f '' x 4sin 2 x cos x : שיפוע הפונקציה בנקודה , הוא .3מצא את הפונקציה. 251 )26הנגזרת של הפונקציה ) f ( xהיא. f '( x) cos x sin x : א .ידוע כי הפונקציה המקורית עוברת בראשית הצירים. הוכח כי הנגזרת ) f '( xוהפונקציה המקורית ) f ( xמקיימות את המשוואה. f ( x) f '( x) 2sin x 1 : ב .מגדירים פונקציה חדשה ) g ( xבאופן הבא. g ( x) f ( x) f '( x) : .1מצא את נקודת המקסימום הנמצאת ברביע הראשון והקרובה ביותר לציר ה y -של הפונקציה ). g ( x .2מצא את נקודת המקסימום הנמצאת ברביע הראשון והקרובה ביותר לציר ה y -של הפונקציה ). f ( x .3כתוב את משוואת הישר העובר דרך שתי הנקודות שמצאת. האינטגרל המסוים: )27בסרטון זה מוסבר האינטגרל המסוים. 1 חשב את האינטגרל המסוים הבא. x 2 6 x 1 dx : 2 חישובי שטחים – פונקציה פולינומית: )28בסרטון זה מוסבר כיצד להשתמש באינטגרל המסוים כדי לחשב שטחים. נתונה הפונקציה. y 2 x 4 : חשב את השטח המוגבל שמתחת הישר, ציר ה x -והישרים x 1ו . x 2 - )29חשב את השטח המוגבל בין גרף הפונקציה , f ( x) x 2 2 x 3 :ציר הx - והישרים x 1ו . x 3 - )30נתונה הפונקציה . y x 3 2 א .מצא את נקודת החיתוך של הפונקציה עם ציר ה. x - ב .חשב את השטח המוגבל בין הפונקציה לצירים. 252 )31נתונה הפונקציה. y x2 4 x 5 : א .מצא את נקודות החיתוך של הפונקציה עם ציר ה. x - ב .מצא את השטח המוגבל בין גרף הפונקציה, ציר ה x -וציר ה. y - )32נתונה הפונקציה . y x2 4 א .מצא את נקודות החיתוך של הפונקציה עם ציר ה. x - ב .חשב את השטח המוגבל בין הפונקציה לציר ה . x - )33מצא את השטח המוגבל תחת הפונקציהf ( x) x3 2 x 2 x : וציר ה x -כמתואר באיור: )34נתונה הפונקציה . y x2 4 x 8 חשב את השטח המוגבל בין גרף הפונקציה ,הצירים וקדקוד הפרבולה. )35בסרטון זה מוסבר כיצד לחשב שטח שמתחת לציר ה. x - נתונה הפונקציה . y x2 x 6 חשב את השטח המוגבל שמתחת לפונקציה ולצירים שברביע הרביעי. )36נתונה הפונקציה . f ( x) x 4 x 2 חשב את השטח המוגבל שמתחת הפונקציה וציר ה x -שברביע השלישי. 253 1 2 )37נתונה הפונקציה. f ( x) x 4 2 x 2 : חשב את השטח המוגבל שבין הפונקציה לציר ה. x - )38חשב את האינטגרל המסוים של הפונקציה y x2 6 x 5בין 0ל.5- האם התוצאה מייצגת את סכום השטחים? S1 S2 : אם כן ,הסבר .אם לא ,נמק וחשב את סכום זה. 2 )39א .חשב את ערך האינטגרל הבא. x3 1 dx : 2 ב .נתונה הפונקציה. f x x3 1 : מעבירים ישרים x 2 :ו x 2 -כך שנוצרים השטחים S1ו S 2 -כמתואר באיור. חשב את סכום השטחים S1 S2 :והסבר מדוע תוצאת החישוב שונה מסעיף א'. )40נתונה הפונקציה. y x3 x2 2 x : יוצרים את השטחים S1ו S 2 -בין גרף הפונקציה וציר ה x -כמתואר באיור. א .מצא את נקודות החיתוך של הפונקציה עם ציר ה. x - ב .חשב את השטח הכלוא בין גרף הפונקציה וציר ה. x - )41נתונות הפונקציותf x x 2 1 , g x 7 x 2 : חשב את גודל השטח הכלוא בין הגרפים של הפונקציות הנ"ל. )42נתונות הפונקציות. y x 9 ; y x 3 : חשב את השטח המוגבל בין שתי הפונקציות. 2 254 )43נתונות הפונקציות הבאות: . f x x2 4 x 12 , g x x 6 חשב את גודל השטח הכלוא בין הגרפים של הפונקציות הנ"ל. )44נתונה הפונקציה. y 3x2 6 x 9 : א .מצא נקודות חיתוך של הפונקציה עם הצירים (נסמנן ב A-ו.)B- ב .חשב את השטח המוגבל בין הפונקציה לישר .AB )45נתונה הפרבולה y x2 6 x :והישר . y 5 חשב את השטח המוגבל בין גרף הפרבולה לישר. )46חשב את השטח המוגבל בין גרפים של הפונקציות: . y x2 4 x ; y x2 6 )47נתונה הפונקציה. f x x3 : חשב את השטח המוגבל בין גרף הפונקציה, הישר y 8וציר ה y -כמתואר באיור. )48נתונות הפונקציות הבאות: . g x x 4 ; f x x2 4 x מסמנים את השטח הכלוא בין שני הגרפים וציר ה y -ב, S1 - ואת המשך השטח הכלוא בין הגרפים ב S 2 -כמתואר באיור. א .מצא את נקודות החיתוך של הפונקציות. ב. S1 חשב את היחס שבין השטחים: S2 255 . )49נתונה הפונקציה f ( x) x3 4 x 5 :והישר . y 5 א .מצא את נקודות החיתוך של הפונקציה והישר. ב .חשב את השטח המוגבל ביניהן. )50נתונה הפונקציה. f ( x) x3 3x2 3x : הישר ACחותך את גרף הפונקציה בנקודות הבאות. A 0, 0 , B 1,1 , C 2, 2 : חשב את השטח המוגבל בין הפונקציה לישר .AC )51נתונות הפונקציות f x x 2 :ו g x x 2 -כמתואר באיור. 2 2 א .התאם בין הפונקציות לגרפים Iו.II- ב .מסמנים את השטחים שבין כל פונקציה והצירים ב S1 - ו S 2 -כמתואר באיור. הראה כי השטחים S1ו S 2 -שווים זה לזה. )52בסרטון זה מוסבר כיצד לחשב שטח של פונקציה ללא גרף נתון. חשב את גודל השטח הכלוא בין הפונקציות. f x x3 , g x x : )53חשב את גודל השטח הכלוא בין הפונקציה f x x3 4 xלציר ה . x - )54מצא את השטח הכלוא בין גרף הפונקציהy x 2 : לבין גרף הפונקציה. y 2 x x2 : )55בסרטון זה מוסבר מהו שטח מורכב. נתונות שתי פונקציות: . f x x2 2x 1 , g x x2 6x 9 חשב את גודל השטח הכלוא בין הפונקציות ובין ציר ה. x - 256 )56הפונקציות המתוארות בשרטוט הן. y 3x ; y x2 4x 6 : א .מצא את קדקוד הפרבולה. ב .מצא נקודת חיתוך של הפרבולה עם הישר. ג .חשב את השטח המסומן שבשרטוט. )57נתונות הפונקציות. y x2 4x 14 , y x2 4 x 6 : א .מצא את שיעורי ה x -של קדקודי הפרבולות. ב .חשב את נקודת החיתוך בין שתי הפונקציות. ג .חשב את השטח המסומן בשרטוט. )58נתונות הפונקציות. f ( x) ( x 3)2 , g ( x) ( x 3)2 : חשב את השטח המוגבל בין שתי הפונקציות וציר ה . x - 1 2 )59נתונות שתי הפונקציות, y x 2 : 2 1 2 .y x א .מצא את השטח המוגבל בין שתי הפונקציות לציר ה . x - ב .מצא את השטח המוגבל בין שתי הפונקציות לציר ה . y - )60נתונות הפונקציות. y x2 , y 8 x2 : חשב את השטח המוגבל על ידי שתי הפונקציות וציר ה x -ברביע הראשון. )61נתונה הפרבולה. y x2 4 x 3 : מעבירים ישר המקביל לציר ה x -מקדקוד הפרבולה. א .מצא את שיעורי קדקוד הפרבולה. ב .מצא את השטח המוגבל בין גרף הפונקציה ,הישר והצירים. 257 )62נתונות הפרבולות הבאות: . f ( x ) x 2 5 x , g ( x) x 2 3 x חשב את השטח המוגבל בין הגרפים של הפרבולות וציר ה . x - )63נתונה הפונקציה . f ( x) x2 6 x 12 :ישר העובר בראשית הצירים חותך את גרף הפונקציה בנקודה שבה x 4כמתואר באיור. א .מצא את משוואת הישר. ב .מצא את נקודת החיתוך השנייה של הישר והפונקציה. ג .מצא את השטח המוגבל בין הישר ,גרף הפונקציה, ציר ה x -והישר . x 4 )64נתונה הפונקציה. y 2 x2 : מעבירים משיק לגרף הפונקציה מהנקודה. A 1, 2 : המשיק חותך את ציר ה x -בנקודה .B חשב את השטח המוגבל בין הפונקציה ,המשיק וציר ה . x - )65נתונה הפונקציה. y 3x2 2 : מעבירים משיק לגרף הפונקציה בנקודה (.)1,5 חשב את השטח המוגבל בין הפונקציה ,המשיק וציר . y )66נתונה הפונקציה. f x x 2 : מנקודת החיתוך שלה עם ציר ה y -מעבירים משיק. א .מצא את משוואת המשיק. ב .מצא את נקודת החיתוך של המשיק עם ציר ה . x - ג .חשב את השטח הכלוא בין המשיק ,גרף הפונקציה וציר ה( x -השטח המסומן). 2 )67נתונה הפונקציה . y x2 4 בנקודה ( )1,3העבירו משיק. א .מצא את משוואת המשיק. ב .מצא את השטח המוגבל בין הפונקציה, המשיק וציר ה . y - ג .חשב את השטח המוגבל בין הפונקציה, המשיק וציר ה . x - 258 )68משוואת הפרבולה היא. f ( x) 2 x2 3x 2 : הנקודות B 2, 0 , C 0, 2 הן נקודות חיתוך של הפרבולה עם הצירים .המשיק לפרבולה בנקודה Dמקביל לישר .BC א .מצא את משוואת המשיק. ב .מצא את השטח המוגבל בין הפרבולה ,המשיק וציר ה . x - ג .מצא את השטח המוגבל בין הפרבולה ,המשיק וציר ה . y - )69נתונה הפונקציה. y x 4 : 2 מעבירים משיק לגרף הפונקציה דרך הנקודה שבה. x 6 : א .מצא את משוואת המשיק. ב .חשב את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה ,המשיק וציר ה . x - שאלות עם פרמטר: )70נתונה הפרבולה. y ax2 8 : שיפוע המשיק לגרף הפרבולה בנקודה שבה x 2הוא .-2 א .חשב את . a ב .חשב את השטח המוגבל על ידי המשיק, הפרבולה וציר . y y ax 2 a ( ,פרמטר). )71הפונקציה המתוארת בשרטוט היא: המרובע ABCDהוא ריבוע. הקדקוד Bנמצא על גרף הפונקציה. ידוע כי אורך צלע הריבוע היא 2יחידות. מצא את ערך הפרמטר aואת השטח המסומן בסרטוט. )72נתונה הפונקציה . y x3 מעבירים אנך לציר ה a ( x a : x -פרמטר חיובי) כך שנוצר שטח הכלוא בין האנך ,גרף הפונקציה וציר ה. x - א .הבע באמצעות aאת השטח המקווקו בציור. ב .חשב את aאם ידוע כי שטח זה שווה ל . a 2 - 259 )73נתונה הפונקציה . f x kx x2 :הישר y 9חותך את גרף הפונקציה בשתי נקודות. ידוע כי שיעור ה x -של אחת מנקודות החיתוך הוא . x 9 א .מצא את ערך הפרמטר . k ב .מצא את נקודת החיתוך השנייה בין שני הגרפים. ג .חשב את השטח המוגבל בין גרף הפונקציה, הישר וציר ה( x -השטח המסומן). y x חישובי שטחים כאשר נתונה נגזרת הפונקציה: )74נגזרת הפונקציה f x היא. f ' x 3x2 8x 12 : הישר y 5חותך את גרף הפונקציה f x על ציר ה. y - א .מצא את הפונקציה . f x ב .מצא את השטח המוגבל בין הישר והפונקציה. )75הנגזרת של הפונקציה f x המתוארת באיור שלפניך היא. f ' x 3 2 x : ישר ABשמשוואתו y 6 :חותך את גרף הפונקציה f x בנקודות Aו.B- מנקודות אלו מורידים אנכים לציר ה x -כך שנוצר מלבן .ABCD ידוע ששיעור ה x -של הנקודה Aהוא .4 א .מצא את הפונקציה . f x ב .חשב את השטח הכלוא בין גרף הפונקציה, המלבן וציר ה . x - )76באיור שלפניך מתוארות הפונקציות שנגזרותיהן: . f ' x 4 2 x , g ' x 2 x 1 ידוע ששתי הפונקציות חותכות את ציר ה x -כאשר. x 4 : א .מצא את הפונקציות. ב .חשב את השטח המוגבל בין הגרפים של שתי הפונקציות וציר ה( x -המסומן). 260 )f ( x )77נתונה פונקציה . f x משוואת המשיק לפונקציה f x בנקודה שבה x 2 :היא. y x 13 : הנגזרת של הפונקציה היא. f ' x 4 x 7 : א .מצא את הפונקציה . f x ב .חשב את השטח הכלוא בין המשיק ,גרף הפונקציה וציר ה . y - )78נתונה פונקציה f x שנגזרתּה היא. f ' x 3x2 6 x 9 : ישר ששיפועו 15משיק לפונקציה ברביע הרביעי בנקודה שבה. y 20 : א .מצא את הפונקציה . f x y ב .האם יש עוד משיקים לגרף הפונקציה בעלי שיפוע ?15 אם כן -מצא אותם. x ג .1 .הראה כי הנקודה שבה x 7משותפת למשיק שמצאת בסעיף הקודם ולפונקציה . f x .2מצא את השטח הכלוא בין גרף הפונקציה והמשיק שמצאת בסעיף הקודם (ראה איור). )f ( x )79באיור שלפניך חותך גרף הפונקציה f ( x) x2 :את גרף הפונקציה ) g ( xבנקודה שבה . x 2 הנגזרת של הפונקציה ) g ( xהיא. g '( x) 2 x 8 : א .מצא את הפונקציה ). g ( x ב .חשב את השטח הכלוא בין שני הגרפים וציר ה( x -המסומן). y )f ( x )80באיור שלפניך מתוארים גרף הפונקציה f x והישר. y 2 x : נגזרת הפונקציה f x היא f ' x 2 x 6 :וידוע הישר חותך את הפונקציה בנקודה שבה ערך ה y -הוא .16 x א .מצא את הפונקציה . f x ב .האם יש לגרף הפונקציה ולישר עוד נקודות חיתוך? אם כן מצא אותן. ג .חשב את השטח המוגבל בין גרף הפונקציה והישר. 261 חישובי שטחים – פונקציה רציונאלית: )81נתונות שתי פונקציות. f x 12 , g x x : x חשב את גודל השטח הכלוא בין הפונקציות, הישר x 2וציר ה. x - )82 א. 2 1 מבין כל המשיקים לגרף הפונקציה: x 2 x3 f x y מצא את משוואת המשיק ששיפועו מינימלי. ב .באיור שלפניך מתוארים הגרפים של הפונקציה והמשיק שמצאת בסעיף א' .חשב את השטח הכלוא בין גרף הפונקציה ,המשיק ואנך לציר ה x -היוצא מנקודת החיתוך של המשיק עם ציר ה. x - 1 x2 2x , g x )83נתונות שתי פונקציות: x2 x2 )f ( x x f x חשב את גודל השטח הכלוא בין הפונקציות, הישר x 2וציר ה. x - )84באיור שלפניך מתוארים הגרפים של הפונקציותf x 2 x 2 : a ו- x2 a) , g x קבוע) בתחום . x 0 :ידוע כי הגרפים נחתכים ברביע הראשון בנקודה הנמצאת על הישר. y 4 x : א .מצא את נקודת החיתוך של הגרפים ואת . a ב .חשב את השטח המוגבל בין שני הגרפים ,ציר ה x -והישר. x 4 : a x2 )85גרף הפונקציה a) f ( x) 2 :קבוע) חותך את ציר ה x -בנקודה . 6, 0 x א .מצא את aוכתוב את הפונקציה. ב .חשב את השטח המוגבל בין גרף הפונקציה, ציר ה x -והישר. x 2 : 262 )86נתונה הפונקציה: A 2 2 x A A) , f x פרמטר). y 1 ידוע כי שיפוע הפונקציה בנקודת החיתוך שלה עם ציר ה y -הוא: 9 א .מצא את ערך הפרמטר . A ב. ג. ד. ה. . f x כתוב את משוואת המשיק לגרף הפונקציה בנקודת החיתוך עם ציר ה. y - הראה כי המשיק חותך את גרף הפונקציה בנקודה שבה. x 4.5 : העבר ישר אופקי מנקודת החיתוך של המשיק וגרף הפונקציה מהסעיף הקודם. מצא את נקודת החיתוך הנוספת של ישר זה עם גרף הפונקציה. חשב את השטח כלוא בין המשיק ,הישר וגרף הפונקציה (היעזר באיור). x חישובי שטחים – פונקצית שורש: 3 )87באיור שלפניך נתונה הפונקציה x : x מעבירים ישר y 4 x :החותך את גרף הפונקציה . f x בנקודה Aהמסומנת באיור. א .מצא את שיעורי הנקודה .A ב .חשב את השטח הכלוא בין גרף הפונקציה , f x הישר , y 4 xציר ה x -ואנך לציר ה. x 4 : x - 1 )88באיור שלפניך נתונה הפונקציה x : 2x . f x y )f ( x ג .מצא את נקודת המינימום שלה. ד .מנקודת המינימום של הפונקציה מעבירים ישר x לנקודה 2, 0 :שעל ציר ה . x -מצא את השטח הכלוא בין גרף הפונקציה ,הישר ואנך לציר ה x -היוצא מהנקודה 2, 0 עד לנקודת החיתוך עם גרף הפונקציה. 16 )89באיור שלפניך מתוארים הגרפים של הפונקציות: x f x ו. g x 2 x - א .מצא את נקודת החיתוך של הגרפים. ב .חשב את השטח המוגבל בין שני הגרפים ,ציר הx - והישר. x 9 : 263 )90נתונה הפונקציה . f x x 6 x :חשב את גודל השטח הכלוא בין הפונקציה ,המשיק לפונקציה בנקודת המינימום שלה וציר ה. y - )91נתונה הפונקציה x f x ברביע הראשון. x 1 2 לפונקציה העבירו משיק העובר בראשית הצירים. חשב את גודל השטח הכלוא בין הפונקציה ,המשיק והישר . x 3 1 )92באיור שלפניך מתואר גרף הפונקציה: x מעבירים שני אנכים לציר ה x -והם x 4 :ו. t 4 , x t - . f x 1 נסמן - S1 :השטח הכלוא בין גרף הפונקציה וציר ה . x - - S 2השטח הכלוא בין גרף הפונקציה ,ציר ה x -והאנכים. ידוע כי . 8S1 S2 :מצא את . t x x 8 )93נתונה הפונקציה: x . f x א .ענה על הסעיפים הבאים: .1מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה. .2מצא את נקודת החיתוך של הפונקציה עם ציר ה. x - .3הראה כי הפונקציה עולה בכל תחום הגדרתה. 17 ב .מעבירים משיק לגרף הפונקציה ששיפועו הוא: 16 ג .חשב את השטח הכלוא בין גרף הפונקציה ,ציר ה x -ואנך לציר הx - . m מצא את נקודת ההשקה. מנקודת ההשקה שמצאת בסעיף הקודם. x b , g x 2x )94נתונות שתי פונקציות: גודל השטח הכלוא בין הפונקציות וציר הx - f x b 0 הוא 2 2יחידות שטח .מצא את ערכו של הפרמטר . b 3 32 )95באיור שלפניך מתוארים הגרפים של הפונקציות f x x 2 :ו- x g x ברביע הראשון .מעבירים ישר x aהחותך את גרף הפונקציה g x ויוצר את השטח הכלוא בין שני הגרפים ,ציר ה x -והישר. 1 3 ידוע כי שטח זה שווה ל . S 85 -מצא את . a )g ( x x 264 x a y )f ( x 3 3 f ( x ) ו- )96באיור שלפניך מתוארים הגרפים של הפונקציות: x x מעבירים שני ישרים x k :ו x t -אשר חותכים של את הגרפים של הפונקציות . g ( x) ויוצרים את הקטעים ABו .CD-ידוע כי. AB 2CD : א .הראה כי. k 4t : ב .השטח הכלוא בין הגרפים של הפונקציות והישרים x k :ו x t -הוא . S 12 :מצא את .t )97 3 א .מצא עבור איזה ערך של aיתקיים 1dx 0 : 2x 1 1 3 ב .באיור שלפניך מתואר גרף הפונקציה 1 : . f x 2x 1 מעבירים שני אנכים לציר ה x -והם x 1 :ו x 13 -כך a . y S2 x S1 שנוצרים השטחים S1 :ו. S 2 - מצא את נקודת החיתוך של הפונקציה עם ציר ה. x - ג .1 .חשב את השטח הכלוא בין גרף הפונקציה ,ציר ה x -והאנך . S1 , x 1 )f ( x . 2היעזר בתוצאה שקיבלת ובסעיף א' וקבע לכמה שווה השטח. S 2 : נמק את טענתך. 9 )98באיור שלפניך מתוארת הפונקציה: 2x 1 . f x מעבירים את הישרים המקבילים לציריםx 13 : ו y 3 -כך שנוצר המלבן ABCDכמתואר באיור. הישר y 3חותך את גרף הפונקציה בנקודה .M א .מצא את שיעורי הנקודה .M ב .מסמנים את השטח הכלוא בין גרף הפונקציה S1 2 והישרים ב S1 -ואת שטח המלבן ב . S 2 -הראה כי: S2 13 חישובי שטחים – פונקציות טריגונומטריות: )99נתונות הפונקציותf x sin x , g x cos x : חשב את גודל השטח הכלוא בין הפונקציות לציר ה y -ברביע הראשון. 265 . )100נתונה הפונקציה. f x x 2sin x : בתחום שבין ראשית הצירים לנקודת המקסימום הראשונה מימינה העבירו לפונקציה משיק ששיפועו .1 א .מצא את משוואת המשיק. ב .חשב את גודל השטח הכלוא בין הפונקציה, המשיק וציר ה x -ברביעים הראשון והשני. sin 2 x 1 )101באיור שלפניך מתואר גרף הפונקציה: 2 f ( x) בתחום. 0.25 x 1.75 : מעבירים משיק ABדרך נקודת המקסימום של הפונקציה ומעלים אנך לציר הx - מנקודת החיתוך הראשונה של גרף הפונקציה עם ציר ה x -בתחום הנתון המסומנת ב C -כך שנוצר המלבן .ABCO השטח הכלוא בין גרף הפונקציה וציר ה x -יסומן ב( S1 -המקווקו). השטח הכלוא בין צלעות המלבן ,גרף הפונקציה וציר ה y -יסומן ב. S 2 - א .מצא את משוואת הצלע ABשל המלבן. ב. S1 חשב את היחס: S2 . )102באיור שלפניך נתונה הפונקציה y sin x x :בתחום. 0 x 2 : א .האם יש לפונקציה נקודות קיצון פנימיות בתחום הנתון? ב .מורידים אנך מגרף הפונקציה לציר ה x -בנקודה שבה . x 2 :מעבירים ישר המקביל לציר ה x -מהנקודה שמאפסת את הנגזרת .הראה כי השטחים S1וS 2 - המסומנים בסרטוט שווים. )103באיור שלפניך מתוארים הגרפים של הפונקציה הבאות: f ( x) cos2 xו g ( x) sin 2 x cos x -בתחום. 0 x : א .מצא את נקודות החיתוך של הגרפים בתחום הנתון. ב .חשב את השטח הכלוא בין שני הגרפים. השתמש בזהותcos 2 cos2 sin 2 : 266 )104הנגזרת של הפונקציה ) f ( xהיא. f '( x) cos 2 x sin x : א .מצא את שיעורי ה x -של הנקודות המקיימות f '( x) 0 :בתחום. 0 x 2 : ידוע כי הנקודה המקיימת f '( x) 0אשר אינה קיצון נמצאת על ציר ה. x - ב .מצא את הפונקציה ). f ( x ג .באיור שלפניך מתואר גרף הפונקציה בתחום הנתון. חשב את השטח הכלוא בין גרף הפונקציה והצירים. )105א .נתונה הפונקציה. y x2 cos x 2 x sin x 2cos x : הוכח כי הנגזרת של הפונקציה היא. y ' x2 sin x : באיור שלפניך נתונה הפונקציהf ( x) x 2 sin x : בתחום. x : ב .הראה כי גרף הפונקציה עובר בראשית הצירים. ג .חשב את השטח הכלוא בין גרף הפונקציה וציר ה x -בתחום הנתון. )106נתונה הפונקציה a, b , f x a cos x b sin x :פרמטרים. הפונקציה חותכת את ציר ה x -בנקודה שבה x והיא חיובית בתחום . 0, 4 גודל השטח הכלוא מתחת לפונקציה בתחום 0, הוא . 2 2 2 4 מצא את ערכי הפרמטרים aו . b - 267 4 מציאת נפח גוף סיבוב: )107נתונה הפונקציה . f x x2 1 :השטח הכלוא בין הפונקציה, הישר x 3והצירים מסתובב סביב ציר ה. x - חשב את נפח גוף הסיבוב המתקבל באופן זה. )108בשרטוט נתונות הפונקציות ברביע הראשון. f x x , g x 1 : x מצא את נפח גוף הסיבוב שנוצר ,כאשר השטח הכלוא בין הפונקציות והישר x 2מסתובב סביב ציר ה. x - 1 )109נתונות הפונקציות, g x cos x : cos x השטח הכלוא בין הפונקציות לישר 6 . f x x המסתובב סביב ציר ה . x -חשב את נפח גוף הסיבוב שנוצר. בעיות קיצון עם אינטגרלים: 2 a 1 )110מצא את ערכו של a שבעבורו ערך האינטגרל 2 x 1 dx מינימלי. a b 1 )111בשרטוט נתונה הפונקציה: x 1 f x . 1 b 2 לאיזה ערך של bהשטח הכלוא בין הפונקציה, הישרים x bו x 2 -וציר ה x -מקסימלי? )112בשרטוט נתונות הפונקציות: f x 2x , g x 6 x מהנקודות Aו ,B-הנמצאות על ציר ה x -והמרחק ביניהן הוא ,2העלו אנכים לציר ה . x -השטח הכלוא בין האנכים, שתי הפונקציות וציר ה x -מסתובב סביב ציר ה . x - מצא מה צריכים להיות שיעורי הנקודה Aכדי שנפח גוף הסיבוב המתקבל באופן זה יהיה מקסימלי. 268 B A :תשובות סופיות x6 x4 x5 x4 c .ה c .ד c . ג2x6 c .ב c .) א1 5 9 2 4 . 7x c ו x 4 ax3 ax 2 bx c .ח 5 3 b . x5 x3 1 4 x 4 2 x 2 x c .ז 6 6 3 x 2 1 1 a x2 1 c .) א2 3 2 c . ג 2 c .ב 2 x x 2 x 2a 2x x1.5 2 3 3 c .) א3 x c .ב . 8 x 2 x c . ד2 x c .ג 1.5 3 1 1 . 2x 2 c .ד x x 3 2 7 x c .ב 35 5 3 c .ג 6x 5 . x 4 2 3 . הx x 3 2 3 cos 4 x 2 6x 3 c .ד 3 x5 x3 2 x x c 4 x .ה . .ו 5 3 1 1 c .) א7 c . ב2 . ג 3 x 1 3 x 6 1 c 2 x 4 x 1 c .ה x3 2 x 2 x2 5 x c 7 x c .) א6 .ג .ב 3 2 2 2 . 2 x 2 6 x x3 sin 3x 3 c .) א4 2 x x x 4 2 x3 5 x 2 3 x xc . .ד 3 2 4 3 2 . ax b 20 4 3a . דx 2 x 5x 1 . גx2 2 x 5 . בx 7 .) א5 3 2 . x 2 2 c . ד 2 5 x 1 2 4 tan 3x 3 .ז x 2 1 c 4 . ו6 x x2 c .ה c . ב cos x 3sin x 4tan x 5x c .) א8 sin 2 x cos6 x 1 c . ג c . ב cos 2 x c .) א9 cos( x) tan x x c .ג 2 12 2 1 1 1 1 c . ב2 sin x c .) א10 x sin 2 x c .ד . sin 3 x c .ג 3 cos x 2 4 1 1 1 x cot 10 x c .ג tan 4 x c . ב cos 2 x 12sin c .) א11 10 4 2 3 1 1 1 1 cos 4 x c . זx cos 2 x c .ו sin 2 x c .ה sin 2 x c .ד 16 2 2 2 1 1 cos12 x cos 2 x c . יtan x cot x c . טtan x x c .ח 24 4 1 1 1 1 3 1 x sin 4 x c . יבsin x c .יא . x sin 8 x c . ידx sin 2 x c .יג 2 16 2 4 4 16 3 1 3 1 cos 4 x cos12 x c .טז sin x sin 3x c .טו 16 48 4 12 . 269 3 8 1 1 3 1 1 sin 8 x sin16 x c .יח x sin 2 x sin 4 x c .יז 16 128 8 4 32 1 . cos x cos 2 x c . כא2sin x c . כ cot x x c .יט 4 1 1 1 1 1 sin 6 x c . כג3x sin 2 x 2sin x c .כב . x sin 2 x sin 4 x 16 64 64 192 2 . x . f ( x) x2 6 x 14 )13 f ( x) x3 7 x 5 )12 x3 2 4 x 2 2 x 23 .) א14 3 3 3 . 0, 2 , 0.4,0 . גf x 3x 4 x 4 . בy 5x 2 .) א15 . y 5x 27 . בf x . f x x2 3x 7 . בx 0 .) א16 . f x 3x 2 4 x 11 )18 2 y x 5 . ג. f x 3x 2 5x 8 . בx 1 .) א17 . f ( x) x3 3x2 9 x 10 )19 4 x3 3x 2 4 x 6 . בf ' x 4 x 2 6 x 4 .) א20 3 x3 3 1 . f x x 2 6 x . בf ' x x2 3x 6 .) א21 3 2 6 2 2 3 3 x2 4 . f ( x) x 2 x 1 2 x 3 )23 f x x 6 )22 3 3 2 x . f ( x) sin 2 x cos x x 1 )25 f ( x) sin x 2cos2x 2 )24 . f x .15 )27 . y 0.746 x 4.172 .3 0.75 , 2 1 .2 0.5 ,3 .1 .) ב26 . יח"ש9 . ב 3, 0 .) א30 . יח"ש10 2 )29 . יח"ש15 )28 3 2 1 . ב 2,0 , 2,0 .) א32 . יח"ש33 . ב 1,0 , 5,0 .) א31 3 3 1 4 2 1 . 8 )38 . יח"ש4 )37 יח"ש4 )36 יח"ש13.5 )35 יח"ש10 )34 ) יח"ש33 3 12 15 3 1 1 . יח"ש21 )41 . יח"ש3 . ב 1,0 , 0,0 , 2,0 .) א40 יח"ש9.5 . ב4 .) א39 3 12 1 2 5 . יח"ש10 )45 . יח"ש13.5 . בA 0, 9 , B 3,0 .) א44 יח"ש57 )43 יח"ש20 )42 6 3 6 1 5 . 2 . ב1,3 , 4,0 .) א48 . יח"ש12 )47 . יח"ש21 )46 3 11 1 .) יח"ש50 . יח"ש8 . ב 2,5 , 0,5 , 2,5 .) א49 2 1 .) יח"ש54 . יח"ש8 )53 יח"ש0.5 )52 . II g x , I f x .) א51 3 .יח"ש10 270 2 5 . ג1,3 . ב 2, 2 .) א56 ) יח"ש55 6 3 1 . יח"ש18 )58 . יח"ש65 . ג1,11 . בx 2 , x 2 .) א57 3 5 7 4 . יח"ש4 )60 יח"ש1 . יח"ש ב.) א59 12 12 3 1 4 . יח"ש16 )62 יח"ש. ב 2,1 .) א61 3 3 5 1 . יח"ש1 )65 .יח"ש )64 . יח"ש7 . ג 3,3 . בy x .) א63 6 6 2 7 1 .יח"ש . ג. יח"ש. בy 2 x 5 .) א67 . יח"ש. ג1, 0 . בy 4 x 4 .) א66 3 12 3 2 2 2 . יח"ש. בy 4 x 20 .) א69 . יח"ש. ג. יח"ש2 . בy x 4 .) א68 3 3 3 2 1 4 1 . יח"ש2 , a )71 . יח"ש. בa .) א70 3 2 3 2 . יח"ש3 .יח"ש81 a4 1 . ג1,9 . בk 10 .) א73 . a 2 .ב .) א72 4 3 1 .יח"ש189 . בf x x3 4 x2 12 x 5 .) א74 3 1 . יח"ש27 . בf x x2 3x 10 .) א75 6 . יח"ש46.5 . בf x 4 x x2 , g x x2 x 12 .) א76 . יח"ש5 1 . בf x 2 x2 7 x 5 .) א77 3 . יח"ש546.75 .2 7,133 .1 . גy 15x 28 . בf x x3 3x2 9 x .) א78 . יח"ש5 2 1 . בg x x 4 .) א79 3 1 . ג 0, 0 . בf x x2 6 x .) א80 3 1 . יח"ש1 )83 יח"ש. בy x 2 .) א82 8 יח"ש1 )81 . יח"ש85 . יח"ש8 . בf x 36 x 2 1 , a 36 .) א85 יח"ש13 . ב 2,8 , a 32 .) א84 2 x 3 5 1 1 2 . יח"ש. ה 1.5, . דy x . בA 6 .) א86 8 9 6 3 271 יח"ש1.75 . בMin 0.5,1.5 .) א88 יח"ש15.5 . בA 1, 4 .) א87 . t 16 )92 יח"ש0.5 )91 . יח"ש2.26 )90 יח"ש48 . ב 4,8 .) א89 . יח"ש88 . ג16,14 . בf ' x 1 4 x x 0 .3 4, 0 .2 x0 . S2 S1 2 .2 S1 2 .1 . ג 5, 0 . בa 13 .) א97 . t 1 .) ב96 a 9 )95 .1 .) א93 b2 )94 . יח"ש . בy x 2 .) א100 יח"ש0.41 )99 . M 5,3 .) א98 . S1 3 2 1.538 . בy 1 .) א101 S2 3 2 . S 0.5 2 2 2.934 . ב. היא נקודת פיתול , הנקודה, אין נקודת קיצון.) א102 3 2 1 , .) א103 1.299 . ב 0,1 , 2 3 4 1 7 11 1 , . יח"ש. גf ( x) sin 2 x cos x . בx , .) א104 2 2 6 6 2 . S 1.5 . b 2 , a 2 )106 S 2 2 4 11.74 .) ג105 .V יח"נ0.243 )109 V יח"נ )108 V 3 5 יח"נ69 )107 . A 1 , 0 )112 b 1 )111 a )110 9 2 3 4 1 272 1 הקשר בין גרף הפונקציה לגרף הנגזרת: חוקים כלליים עבור נגזרת ראשונה: .1כאשר f x עולה f ' x ,חיובית ולהיפך. .2כאשר f x יורדת f ' x ,שלילית ולהיפך. .3כאשר ל f x -יש נקודת קיצון, f ' x מחליפה סימן (חותכת את ציר ה ) x -ולהיפך. חוקים כלליים עבור נגזרת שנייה: .4כאשר f ' x עולה אז f '' x חיובית ו f x -קעורה כלפי מעלה. .5כאשר f ' x יורדת אז f '' x שלילית ו f x -קעורה כלפי מטה. .6כאשר ל f ' x -יש קיצון ,אז f '' x מחליפה סימן (חותכת את ציר ה ) x -ולהיפך. דוגמא עבור הפונקציה. f x x3 12 x : נגזרת הפונקציה היא. f ' x 3x2 12 : הנגזרת השנייה היא. f '' x 6 x : ניתן לראות את חוקים 1-6לעיל באיור הסמוך. שאלות: )1נתון גרף של פונקציה. צייר על אותה מערכת צירים את גרף הנגזרת. נמק את שיקוליך בסרטוט. )2נתון גרף של פונקציה. צייר על אותה מערכת צירים את גרף הנגזרת. נמק את שיקוליך בסרטוט. )3נתון גרף הנגזרת של פונקציה. צייר על אותה מערכת צירים את גרף הפונקציה אם ידוע שהיא עוברת בראשית הצירים. נמק את שיקוליך בסרטוט. 273 )4נתון גרף הנגזרת של פונקציה. צייר על אותה מערכת צירים את גרף הפונקציה אם ידוע שהיא עוברת בראשית הצירים. נמק את שיקוליך בסרטוט. )5נתון גרף הנגזרת של פונקציה .צייר על אותה מערכת צירים את גרף הפונקציה אם נתון. f 0 0 : נמק את שיקוליך בשרטוט. )6נתון גרף הנגזרת של פונקציה .צייר על אותה מערכת צירים את גרף הפונקציה ואת גרף הנגזרת השנייה אם נתון. f 0 0 : נמק את שיקוליך בשרטוט. )7נתון גרף הנגזרת של פונקציה .צייר על אותה מערכת צירים את גרף הפונקציה ואת גרף הנגזרת השנייה אם נתון. f 0 0 : נמק את שיקוליך בשרטוט. )8נתונה הפונקציה. f x x2 6 x 5 : א . 1 .מצא את נקודות החיתוך של הפונקציה עם הצירים. .2מצא את נקודות הקיצון של הפונקציה. ב .סרטט סקיצה של גרף הפונקציה f x ושל גרף הנגזרת . f ' x )9נתונה הפונקציה. f x x3 3x : א . 1 .מצא את נקודות החיתוך של הפונקציה עם הצירים. .2מצא את נקודות הקיצון של הפונקציה. ב .סרטט סקיצה של גרף הפונקציה f x ושל גרף הנגזרת . f ' x 274 )10לפונקציה f x יש נקודת קיצון אחת. הערך המקסימלי שלה מתקבל בנקודה שבה. x 2 : א .מהו סימן הנגזרת עבור? x 2 : ב .מהו סימן הנגזרת עבור? x 2 : ג .איזה מבין הגרפים הנ"ל יכול לתאר את גרף הנגזרת: .1 .2 .3 .4 1 3 )11נתונה הפונקציה. f x x3 x 2 15x : א .מצא את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה. ב .איזה מבין הגרפים הבאים מתאר סקיצה של הנגזרת ? f ' x נמק. .1 .3 .2 .4 275 )12נתונה הפונקציה. f x x4 4 x3 : א .מצא את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה. ב .סרטט באמצעות נתונים אלו את הגרף של נגזרת הפונקציה. )13ענה על הסעיפים הבאים: א .סרטט את גרף פונקצית הנגזרת , f ' x ,של , f x אם ידוע כי לf x - יש שתי נקודות קיצון :מקסימום כאשר x 1 :ומינימום כאשר. x 3 : ב .נתונה הפונקציה f x ולה 3נקודות קיצון :מקסימום כאשרx 0,5 : ומינימום כאשר . x 2 :סרטט את גרף הנגזרת של הפונקציה . f x ג .סרטט את גרף הנגזרת , f ' x ,של , f x אם ידוע כי היא יורדת לכל . x והנגזרת שלה מתאפסת בנקודה שבה. x 3 : )14בשרטוט נתונים הגרפים של פונקציה ושל נגזרתה. א .קבע איזה מהגרפים I ,או ,IIשייך לפונקציה ואיזה לנגזרת .נמק. ב .כמה נקודות פיתול יש לפונקציה? נמק וסמן אותן על השרטוט. I ג .נתון. Q 2,1 , P 2, 4 : מצא את גודלו של השטח הכלוא בין גרף I לציר ה ( x -השטח המקווקו בשרטוט). P Q II 276 :תשובות סופיות )4 )3 )2 )1 )7 )6 )5 . min 3, 4 .2 5, 0 , 1, 0 , 0,5 .1 .) א8 . min 1, 2 , max 1, 2 .2 0, 0 , 3, 0 , 3, 0 .1 .) א9 .1 . ג. f ' x 0 . ב. f ' x 0 .) א10 . x 0 , 0 x 3 : יורדתx 3 : עולה.) א12 .1 . ב. 5 x 3 :יורדת . יח"ש3 . ג. נקודות3 . בI : f ' x , II : f x .) א14 x 5 , x 3 : עולה.) א11 )10 .) ג13 277 )9 :סקיצות לשאלות )8 .) ב13 .) א13 : תרגילים מסכמים- – חשבון דיפרנציאלי11 פרק :תרגילים העוסקים בפונקציה פולינומית :תרגילים העוסקים בנגזרות יסודיות :גזור את הפונקציות הבאות y x 1 y x 3 4 x 2 4 x 3 )3 y x 2 2 x 1 y 2 4 x2 2 x 6 2 x x 7 y 2 )6 )2 y x2 )1 y x 2 1 x 2 3 )5 y 3x 3 3x )4 5 7 4 x5 1 x x 7 5 2 )8 1 2 1 x x4 2 3 )7 y )9 2 y )12 x3 9 x y x 1 )11 3 x3 3x 2 6 x 9 y )10 5 y 4 x 5 )15 y 3x 2 )14 y x 1 )13 2 4 4 . y ' 4 x 4 x )5 8 y ' 3 x 8 x 4 )3 1 1 . y ' 4 x 1 )9 y ' 5 x 6 4 x 4 )8 y ' x )7 2 3 3 y ' 9 x 3 )4 6 2 .y' 2 3x 2 28 x 49 )12 2 :תשובות סופיות y ' 2 x 2 )2 y ' 2 x )1 y ' 16 x3 12 x2 2 x )6 y ' 4 x3 x2 3 )11 . y ' 16 4 x 5 )15 3 y ' 24 3x 2 )14 7 y' 3x 2 6 x 6 )10 5 y ' 6 x 1 )13 5 . f ' x0 m :תרגילים העוסקים במציאת שיפוע המשיק לגרף הפונקציה לפי הכלל :) חשב את שיפוע המשיק לגרפים של הפונקציות הבאות בנקודות הרשומות לידן16 x 7 , f ( x) x 3 5 x 2 5 x . ב x 1 , f ( x) 2 x2 x .א x5 15 x3 20 x 4 x 2 , f ( x) .ד 5 x 1 , f ( x) x x 3 x 2 1 .ו x 1 , f ( x) x 4 x 3 x 0 , f ( x) 278 2 .ג 1 7 1 6 1 5 1 4 x x x x .ה 7 6 5 4 )17לפניך מספר פונקציות .לכל פונקציה מצא את שיעורי הנקודות עבורם שיפוע המשיק הוא המצוין לידה. 2 ב m 0 , f ( x) x x 2 . אm 13 , f ( x) 5x2 3x . ג. דm 6 , f ( x) x 2 6 x 2 . m 20 , f ( x) 2 x3 14 x )18א .מצא נקודה על גרף הפונקציה y 3x2 x 2 :אשר המשיק העובר דרכה מקביל לישר. y 5x 2 : ב .מצא נקודה על גרף הפונקציה y x3 3x2 2 x :אשר המשיק העובר דרכה מקביל לישר. y x 3 : )19נתונה הפונקציה הבאה. y 3x2 12 x : הראה כי שיפוע המשיקים לגרף הפונקציה בנקודות החיתוך שלה עם ציר הx - הם מספרים נגדיים. תרגילים העוסקים במציאת משוואת משיק לפי הנוסחה, y y1 m x x1 : כאשר - x1 , y1 :נקודת ההשקה ו m -שיפוע המשיק. )20מצא את משוואת המשיק לגרפים של הפונקציות הבאות בנקודות הרשומות לידן: בx 1 , y x3 4 x . אx 3 , y x2 4 x 5 . ג. 2 x 0 , y x x 5 x3 6 x 2 9 x ה. 3 ד x 1 , y 3x 4 4 x 3 5 x . x 3 , y ו. זx 0 , y 3x 2 4 6 x . 4 x7 2 x10 7 5 x 1 , y חx 2 , y x x 1 3x 8 . )21נתונה הפונקציה . y x3 3x 12 :מצא את משוואת המשיק לגרף הפונקציה העובר דרך נקודת החיתוך שלה עם ציר ה. y - )22נתונה הפונקציה . y x2 7 x 10 :מצא את משוואות המשיקים לגרף הפונקציה העוברים דרך נקודות החיתוך שלה עם ציר ה . x - 279 )23נתונה הפונקציה y 2 x2 5x 3 :ונתון הישר. y 4 x 4 : א .מצא את נקודות החיתוך של הפונקציה והישר. ב .מצא את משוואות המשיקים לגרף הפונקציה בנקודות החיתוך שמצאת. )24נתונה הפונקציה y 4 x3 :ונתון הישר. y 4 x : א .מצא את נקודות החיתוך של הפונקציה והישר. ב .מצא את משוואות המשיקים לגרף הפונקציה בנקודות החיתוך שמצאת. )25נתונות הפונקציות f ( x) x2 3x 4 :ו. g ( x) 5x x2 - א .מצא את משוואות המשיקים לכל הפונקציה העוברים דרך הנקודה שבה . x 1 ב .מצא את נקודת החיתוך של שני המשיקים שמצאת בסעיף הקודם. )26נתונה הפונקציה. f ( x) x3 4 x2 3x 3 : הישר y 3חותך את גרף הפונקציה ) f ( xבשלוש נקודות. א .מצא את נקודות החיתוך בין הפונקציה והישר. ב .מצא את משוואות המשיקים בנקודות החיתוך. תרגילים העוסקים במציאת משוואת המשיק כאשר נתון מידע הקשור לשיפוע: )27א .נתונה הפונקציה. f ( x) 4 x2 x 3 : מצא את משוואת המשיק לגרף הפונקציה ששיפועו. m 9 : ב .נתונה הפונקציה. f ( x) x3 2 x2 : מצא את משוואות המשיקים לגרף הפונקציה ששיפועם. m 1 : 2 ג .נתונה הפונקציה. f ( x) x x 4 : מצא את משוואות המשיקים לגרף הפונקציה ששיפועם. m 0 : )28א .נתונה הפונקציה. f ( x) x4 12 x 4 : מצא את משוואת המשיק לגרף הפונקציה המקביל לישר. y 44 x 1 : ב .מצא את משוואות המשיקים לגרף הפונקציהf ( x) x 2 1 x 1 : המקבילים לישר. 3 y 12 x 5 : )29א .מצא את משוואות המשיקים לגרף הפונקציהf ( x) x3 1.5x2 4 x 1 : בעלי שיפוע .2 ב .מצא את משוואות המשיקים לגרף הפונקציהy 2 x 3x 10 x 3 : ששיפועם הוא. m 2 : 2 280 3 תרגילים עם פרמטרים: )30נתונה הפונקציה . y ax2 4 x 5 :ידוע כי שיפוע המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה x 2הוא .8מצא את . a )31נתונה הפונקציה. y x2 a : ידוע כי לגרף הפונקציה יש משיק שמשוואתו. y 2 x 2 : א .מצא את נקודת ההשקה. ב .מצא את . a )32נתונה הפונקציה . y x3 6 x2 ax :ידוע כי שיפוע המשיק לגרף הפונקציה בנקודת החיתוך שלה עם ציר ה y -הוא .5מצא את aוכתוב את הפונקציה. x2 )33נתונה הפונקציה. y 8 x 20 : A ידוע כי משוואת המשיק לגרף הפונקציה העובר דרך אחת מנקודות החיתוך שלה עם ציר ה x -היא. y 12 x 24 : א .מצא את .A ב .מצא את משוואת המשיק העובר דרך נקודת החיתוך השנייה של הפונקציה עם ציר ה. x - )34נתונה הפונקציה הבאה. f ( x) x 1 x 2 a : ידוע כי . f '(1) 2 :מצא את . a x4 )35נתונה הפונקציה 2 x3 4 x 2 4 : A . f ( x) ידוע כי המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה x 2מקביל לציר ה . x - א .מצא את .A ב .האם יש לגרף הפונקציה משיקים נוספים המקבילים לציר ה ? x -אם כן, מצא את המשוואות שלהם. )36נתונה הפונקציה. f ( x) x5 Bx3 4 x : המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה x 1מקביל לישר. y 24 x : א .מצא את .B ב .כתוב את משוואת המשיק. ג .האם יש משיק נוסף לגרף הפונקציה המקביל לישר ? y 24 x במידה וכן מצא את משוואתו. 281 )37נתונה הפונקציה . f ( x) Ax2 Bx 5 :ידוע כי f (1) 12 :וגם. f '(1) 8 : מצא את Aו.B- )38נתונה הפונקציה. f ( x) 3x3 4 x2 Ax C : ידוע כי הפונקציה חותכת את ציר ה y -בנקודה שבה. y 5 : שיפוע המשיק לגרף הפונקציה דרך נקודה זו הוא .4מצא את Aו.C- )39נתונה הפונקציה. f ( x) Ax3 Bx2 8 : משוואת המשיק לגרף הפונקציה העובר דרך הנקודה שבה x 2היא. y 12 x 28 : מצא את Aו.B- )40נתונה הפונקציה . f ( x) Ax4 Bx2 10 :שיפוע הפונקציה בנקודה 1,18הוא .18 א .מצא את Aו.B- ב .הראה כי הפונקציה אינה חותכת את ציר ה. x - )41נתונות הפונקציות f ( x) 3x2 Ax :ו. g ( x) x2 B - ידוע כי הפונקציות נחתכות בנקודה שבה x 1 :ולשתיהן יש את אותו השיפוע בנקודה שבה . x 0.25מצא את Aו.B- )42נתונות הפונקציות f ( x) Ax2 10 x :ו. g ( x) x2 Bx 16 - ידוע כי הפונקציות נחתכות בנקודה שבה. x 1 : כמו כן לשתי הפונקציות יש את אותו השיפוע בעבור . x 8.5מצא את Aו.B- תרגילים שונים – שימושי הנגזרת: )43באיור שלפניך נתונה הפונקציה. y x 6 x 16 : הנקודה Aהיא נקודת החיתוך של הפונקציה עם ציר ה y -והנקודה B היא נקודת החיתוך החיובית של הפונקציה עם ציר ה. x - א .מצא את משוואת המיתר העובר דרך הנקודות Aו.B- ב .מצא את משוואת המשיק לפונקציה המקביל לישר שמצאת בסעיף הקודם. 2 282 )44נתונה הפרבולה. f ( x) x2 8x 12 : א .מצא את נקודות החיתוך של הפרבולה עם ציר ה. x - ב .דרך נקודות החיתוך של גרף הפרבולה עם ציר ה x - מעבירים משיקים .מצא את משוואות המשיקים הללו. ג .מצא את נקודת החיתוך של שני המשיקים. ד .חשב את שטח המשולש הנוצר בין שני המשיקים וציר ה. x - )45נתונה הפונקציה. f ( x) x3 27 x : א .מצא את שיעורי הנקודות שהמשיק העובר דרכן מקביל לציר ה. x - ב .כתוב את משוואות המשיקים העוברים דרך הנקודות שמצאת. ג .חשב את שטח המלבן הנוצר בין שני המשיקים שמצאת והאנכים לציר ה x -היוצאים מנקודות ההשקה. )46נתונות הפונקציות f ( x) 8 x2 :ו. g ( x) Ax2 15.5x 1 - ידוע כי הגרפים של הפונקציות נחתכים בנקודה שבה. x 1 : א .מצא את .A ב .הראה כי המשיקים לכל פונקציה בנקודת החיתוך שבה x 1מאונכים זה לזה( .תזכורת :השיפועים m1 , m2של שני ישרים מאונכים מקיימים - m1 m2 1 :מכפלתם שווה ל .)-1- )47באיור שלפניך מתואר גרף הפונקציה. f ( x) 2 x2 10 x 13 : א .מצא את משוואת המשיק לגרף הפונקציה העובר דרך הנקודה שבה . x 2 ב .מצא את משוואת הנורמל לפונקציה העובר דרך נקודת ההשקה של המשיק שמצאת. ג .חשב את שטח המשולש הנוצר בין הנורמל ,המשיק והצירים. (היעזר באיור). )48נתונה הפונקציה . f ( x) Ax2 6 x 9 :שיפוע הפונקציה בנקודה שבה x 3הוא אפס. א .מצא את .A ב .הראה כי הפונקציה משיקה לציר ה. x - ג .מעבירים את הישר y 1החותך את הפונקציה ) f ( xבשתי נקודות. מצא את משוואות המשיקים לגרף הפונקציה בנקודת החיתוך שלה עם הישר. 283 )49נתונה הפונקציה. f ( x) 2 x 5 : 8 א. y )f ( x מצא את משוואת המשיק לגרף הפונקציה )f ( x בנקודה שבה. x 2 : ב .מצא את נקודת החיתוך של משיק זה עם הישר . y 17 x ג .חשב את שטח המשולש שנוצר בין המשיק ,הישר וציר ה( y -ראה איור). x )50נתונה הפונקציה . a, b 0 , f ( x) a x b :ידוע כי ערך הנגזרת הוא אפס כאשר . x 1כמו כן הישר y 15x 27משיק לפונקציה בנקודה שבה. x 2 : א .מצא את ערכי הפרמטרים aו . b - 5 ב. מצא שתי נקודות על הפונקציה ) f ( xועל הפונקציהg ( x) 7.5 x 1 24 : 4 בעבורה שיפוע המשיק זהה לשני הגרפים. תרגילים העוסקים במציאת נקודות קיצון לפי הכלל , f ' x 0 :סיווגן ומציאת תחומי עלייה וירידה: )51מצא את נקודות הקיצון של הפונקציות הבאות: ב y x 4 x 3x 8 . אy x2 6 x 8 . 2 דy x5 80 x . y x x 3 ג. 2 ה. x5 26 x3 25 x 5 3 3 y )52לפניך מספר פונקציות .רשום בעבור כל פונקציה את תחומי העלייה והירידה שלה: 3 2 אy x 7 x 10 . בy x 12 x . 2 4 גy x 2 x 1 . y 16 x 2 x ד. ה. 1 1 y x3 x 2 2 x 3 2 ו. ז. y 2 x 5 ח. 6 x3 6 x 2 15 x y 3 7 y 4 x )53נתונה הפונקציה הבאה. y x4 3x3 4 x : א .הראה כי הנקודה שבה x 2 :היא נקודת קיצון. ב .כתוב את הנגזרת השנייה של הפונקציה. ג .קבע על פי הנגזרת השנייה את סוג הקיצון של נקודה זו. 284 )54נתונה הפונקציה. y x3 6 x 2 : א .הראה כי יש לפונקציה נקודת קיצון על ציר ה x -וקבע את סוגה. ב .מצא את נקודות הקיצון הנוספות של הפונקציה וכתוב את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה. )55א .מצא את הערך הגדול ביותר של הפונקציה. y 27 x2 : ב .מצא את הערך הקטן ביותר של הפונקציה. y x4 8x2 10 : )56נתונה הפונקציה. y 4 x3 x : א .הראה כי אין לפונקציה נקודות קיצון. ב .הראה כי הפונקציה עולה תמיד. תרגילים העוסקים במציאת נקודות קיצון מוחלטות כאשר נתונה פונקציה בקטע מסוים: )57מצא את נקודות הקיצון המוחלטות בעבור כל פונקציה בתחום הנתון לידה: ב4 x 4 , y 16 x2 . א1 x 7 , y x2 2 x . ג. ד1 x 5 , y x3 7.5x2 12 x . 2 x 4 , y x3 3x2 9 x ה6 x 6 , y x4 50 x2 3 . )58נתונה הפונקציה y x3 6 x2 9 x 6 :בתחום הסגור. 0;5 : א .מצא את נקודות קיצון הקצה בתחום הסגור הנ"ל. ב .מצא את נקודות הקיצון המקומיות בתחום הנ"ל. ג .קבע אלו נקודות הן נקודות הקיצון המוחלטות. )59נתונה הפונקציה f ( x) x3 36 x :בתחום. 8;6 : א .מצא את שיעורי נקודות קיצון הקצה בתחום הנתון. ב .מצא את שיעורי נקודות הקיצון המקומיות. ג .מצא אלו נקודות הן נקודות הקיצון המוחלטות בתחום הנתון. 285 תרגילים העוסקים בחקירה מלאה של פונקציה פולינומית: )60חקור את הפונקציות הבאות לפי הסעיפים הבאים: .1תחום הגדרה. .2מציאת נקודות הקיצון של הפונקציה. .3קביעת סוג הקיצון ומציאת תחומי העלייה והירידה של הפונקציה. .4מציאת נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים (במידה ויש). .5סרטוט סקיצה של גרף הפונקציה. אy x 2 8x 12 . בy x3 12 x . ג. 2 דy x x 12 2 x 9 . y x x 8 הy x 4 4 x . ז. 6 y 3x 1 ו. x4 x2 1 4 2 4 ח. y 6 x y 8 תרגילים שונים העוסקים בחקירות: )61נתונה הפונקציה . f ( x) x ax2 3x 3 :הישר y 5חותך את גרף הפונקציה בנקודה שבה . x 2 א .מצא את הפרמטר . a ב .מצא את הנקודות המקיימות . f '( x) 0 ג .האם יש לפונקציה נקודות קיצון? ד .כתוב את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה. 3 )62נתונה הפונקציה. f ( x) x4 3x3 x2 a : ידוע כי הפונקציה עוברת בראשית הצירים. א .מצא את הפרמטר . a ב .מצא את נקודות הקיצון של הפונקציה וקבע את סוגן. ג .כתוב את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה. )63נתונה הפונקציה. y x 2 x 1 : 2 א. ב. ג. ד. מצא את נקודות הקיצון של הפונקציה וקבע את סוגן. כתוב את תחומי העלייה וירידה של הפונקציה. מצא את נקודות החיתוך של הפונקציה עם הצירים. סרטט סקיצה של גרף הפונקציה. 286 )64נתונה הפונקציה. y x 3 2 x : 2 א. ב. ג. ד. מצא את נקודות הקיצון של הפונקציה וקבע את סוגן. כתוב את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה. מצא את נקודות החיתוך של הפונקציה עם הצירים. סרטט סקיצה של גרף הפונקציה. )65נתונה הפונקציה. a 6 , y 2 x2 x a : ידוע שלפונקציה יש נקודת קיצון שבה . x 4 2 א. ב. ג. ד. ה. מצא את הפרמטר aוכתוב את הפונקציה. האם יש לפונקציה עוד נקודות קיצון? אם כן ,מצא אותן. כתוב את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה. מצא האם יש לפונקציה נקודות חיתוך עם הצירים. סרטט סקיצה של גרף הפונקציה. )66לגרף הפונקציה f ( x) x3 4 x2 kx :מעבירים משיק y 21x 6החותך אותו בנקודה שבה . x 6 א. ב. ג. ד. ה. ו. מצא את . k מצא את נקודת ההשקה של המשיק עם הפונקציה ). f ( x מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים. האם יש לגרף הפונקציה נקודות קיצון? כתוב את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה ). f ( x סרטט סקיצה של גרף הפונקציה ). f ( x )67נתונה הפונקציה. y 3x3 6 x2 4 x d : ידוע שהפונקציה חותכת את ציר ה x -בנקודה שבה . x 2 א .מצא את . y ב .האם יש לפונקציה נקודות קיצון? ג .כתוב את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה. ד .מצא את נקודת החיתוך של הפונקציה עם ציר ה. y - ה .סרטט סקיצה של גרף הפונקציה. )68נתונה הפונקציה. f ( x) 3 3x 5 : 4 א. ב. ג. ד. מצא את נקודת הקיצון של הפונקציה וקבע את סוגה. כתוב את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה. מצא את נקודות החיתוך של הפונקציה עם הצירים. סרטט סקיצה של גרף הפונקציה. 287 :תשובות סופיות 2, 0 23 ,1 275 . ב1,8 .) א17 .-18 . ו0 . ה-16 . ד105 . ג212 . ב3 .) א16 m 12 )19 1, 0 . ב1, 0 .) א18 . 0. 12 43 , 5 275 . ד1,16 1, 16 .ג y 6 x . הy 29 x 17 . דy 25x . גy x 2 . בy 2 x 20 .) א20 y 3x 12 )21 y 48x 68 . חy 4 x 24 . זy 356 .ו 1,0 , 0.5,6 .) א23 y 3x 6 , y 3x 15 )22 y 0 , y 12x 8 , y 12x 8 . ב 0,0 , 1, 4 , 1, 4 .) א24 0,3 , 1,3 , 3,3 .) א26 3,10 . בy 5x 5 , y 3x 1 .) א25 y x 1 , y 7 x 2.5 .ב y x , y x 274 . בy 9 x 1 .) א27 y 3x 3 , y 2 x 5 , y 6 x 15 .ב y 4 x 4 , y 4 x 5 13 y 44 x 44 .) א28 y 0 , y 9 13 27 .ב 27 .ג a 1 )30 y 2x 10 ; y 2x 17 . בy 2x 9 , y 2 x 4.5 .) א29 a 5 , y x3 6 x 2 5x )32 a 1 . ב1, 0 .) א31 . y 4 , כן.ב .) א35 a 1 )34 y 12 x 120 . בA 1 .) א33 y 24 x 14 , כן. גy 24 x 14 . בB 5 .) א36 A 1 , B 7 .) א40 A 2 , B 3 )39 A 4 , C 5 )38 A 1 , B 6 )37 y -2 x 32 . בy -2 x 16 .) א43 A 2 , B -7 )42 A 1 , B 3 )41 A4 16 . ג 4,8 .ii y -4 x 24 , y 4 x-8 .i. ב 2,0 , 6,0 .) א44 .) א46 .648 . גy 54 . ב 3, 54 , 3,54 .) א45 y 2 x 5 , y 2 x 7 . גA 1 .) א48 .1.25 . גy 0.5x . בy 2 x 5 .) א47 A 7.5 3,96 ,1,0 .ב a 3 , b 1 .) א50 .16.5 . ג1,17 . בy 16 x 33 .) א49 . אין קיצון. ד 3,0 1, 4 . ג 3, 10 13 ,8 1427 . ב 3, 1 .) א51 . 5, 333 13 , 5,333 13 , 1,16 158 , 1, 16 158 .ה 2 x 2 : יורדx 2 , x 2 : עולה. בx 3.5 : יורדx 3.5 : עולה.) א52 0.5 x 0 , x 0.5 : עולה. ד0 x : יורדx 0 , x 23 : עולה.ג . x עולה לכל. ו1 x 2 : יורדx 1 , x 2 : עולה. הx 0.5 , 0 x 0.5 :יורד 2 3 .Min . גf ''( x) 12 x2 18x .) ב53 . x יורד לכל. חx 2.5 : יורדx 2.5 : עולה.ז 4 x 0 : יורדx 4 , x 0 : עולהMax 4,32 . בMin 0,0 .) א54 .- 6 . ב.27 .) א55 . מוחלטMax 7,35 . מוחלטMin 1, 1 .) א57 . מוחלטMax 0,16 . מוחלטMin 4, 0 .ב . מוחלטMax 1,5 . מוחלטMin 3, 27 .ג 288 . מוחלטMax 1, 20.5 . מוחלטMin 1, 5.5 .ד . מוחלטMax 0,3 . מוחלטMin 5, 622 .ה . Min 1, 10 , Max 3, 6 . ב 0, 6 , 5, 26 .) א58 . מוחלטMax 0, 6 , Max 3, 6 . מוחלטMin 5, 26 .ג 12, 83.13 , 12,83.13 .ב 8, 224 , 6,0 .) א59 . Mint 8, 224 , Maxt 12,83.13 .ג :4 עד1 תשובות לסעיפים.60 . 0,12 , 6,0 , 2,0 .4 . x 4 : יורדx 4 : עולה.3 . Min 4, 4 .2 . x כל.1 .א . 2 x 2 : יורדx 2 , x 2 : עולה.3 . Min 2, 16 , Max 2,16 .2 . x כל.1 .ב 2 23 . Min -2 3 ,-75 27 , Max -8,0 .2 . x כל.1 . ג. 0,0 , 12,0 .4 2 : עולה.3 3 . 2 x 9 : יורדx 2 , x 9 : עולה.3 . Min 9, 243 , Max 2,100 .2 . x כל.1 . ד. 0,0 , 8,0 .4 . 8 x 2 23 : יורדx 8, x 2 . x 1 : יורדx 1 : עולה.3 . Min 1, 3 .2 . x כל.1 . ה. 0,0 , 12,0 , 4.5,0 .4 . Min 1,0 , Max 0,0.25 .4 + 2 . x כל.1 . ו. 0,0 , 3 4,0 .4 . Min 13 , 0 .2 . x כל.1 . זx 1 , 0 x 1 : יורד1 x 0 , x 1 : עולה.3 . Min 6, 0 .2 . x כל.1 . ח. 13 , 0 , 0,1 .4 . x 13 : יורדx 13 : עולה.3 . 6, 0 , 0, 68 .4 . x 6 : יורדx 6 : עולה.3 :סקיצות . x 1 - עולה בכל תחום הגדרתה חוץ מ. ד. לא. ג. (1, 4) . ב. a 3 .) א61 5 ) , Min(0,0) . ב. a 0 .) א62 , 2 x 14 , x 0 : עולה. ג. Min(-2,-4) , Max(- 14 , 256 . x 2 , 14 x 0 :יורדת . 1 x 1 : יורדת, x 1 , x 1 : עולה. בMax 1,0 , Min 1, 4 .) א63 289 ג )64 . 1,0 , 2,0 , 0, 2 .אMax(2, 0) , Min 2 23 , 274 . ב .עולה , x 2 , x 2 23 :יורדת . 2 x 2 23 :ג. 2,0 , 3,0 , 0, 12 . 2 )65א y 2 x2 x 4 , a 4 .ב . 0,0 , 2,32 , 4,0 .ג .עולה, 0 x 2 , x 4 : יורדת . x 0 , 2 x 4 :ד. 4,0 , 0,0 . )66א k 10 .ב 1, 15 .ג . 0, 0 .ד .לא .ה .עולה בכל תחום הגדרתה. )67א . d 8 .ב .לא .ג .יורדת בכל תחום הגדרתה .ד. (0,8) . )68א . Min 1 23 , 0 .ב .עולה בתחום . x 1 23 :יורדת בתחום. x 1 23 : ג. 1 23 , 0 , (0,1875) . סקיצות של שאלות :63-68 290 :תרגילים העוסקים בפונקציה רציונאלית :תרגילים העוסקים בנגזרות יסודיות :גזור את הפונקציות הבאות y x 6 )3 6 x x 3 y )6 x6 )9 x2 6 y x x2 2 4 4x 1 )2 x y x 2 3x 4 y )5 x2 2 x2 y y y 6 )8 x 8 x 12 y 3x )7 2x 1 y 2 x2 6 x 8 y 2 )10 x 2x 1 2 2 )1 x2 5x 4 y )4 x x 9 y 3 )11 2 x 9 )12 1 x x 2 7 x 12 )14 x4 x3 x )13 x2 1 y :תשובות סופיות .y' 3 8 )5 x 2 x3 y ' 1 . y' . y' x 4 )4 x2 6 2 x 8 2 8 x 12 36 x 9 x 9 3 2 )11 y ' 2 x 2 21x 48 .y' )14 x5 y' 1 6 )3 6 x2 )8 y' 3 2 x 1 8 x 2 14 x 22 x 2 2 x 1 y' 291 y' )10 2 x4 4 x2 1 x 2 1 2 2 )13 1 )2 x2 )7 y' y' y' 1 )1 x2 y' 6 18 )6 x 2 x3 x 2 12 x 6 x 2 6 2 2x 4 x2 x 2 4 3 )9 )12 תרגילים העוסקים במציאת שיפוע המשיק לגרף הפונקציה לפי הכלל. f ' x0 m : )15חשב את שיפוע המשיק לגרפים של הפונקציות הבאות בנקודות הרשומות לידן: x 1 א. x2 ג. x 1 , f ( x) 3x 2 x2 x 2 , f ( x) 2 ב. 3x 2 x 1 x 2 3x 5 ד. 3x 2 x 2 x 2 , f ( x) x 0 , f ( x) )16לפניך מספר פונקציות .מצא את הנקודות שבהן שיפוע הפונקציה הוא : m x2 m 3 , f ( x) א. x 3 1 x m , f ( x) 2 ג. 36 x 8 5 4 , f ( x) x ב. 9 x 1 x 16 ד. x m m 4 , f ( x) x 2 4 x תרגילים העוסקים במציאת משוואת משיק לפי הנוסחה, y y1 m x x1 : כאשר - x1 , y1 :נקודת ההשקה ו m -שיפוע המשיק. )17מצא את משוואת המשיק לגרפים של הפונקציות הבאות בנקודות הרשומות לידן: 2x 5 x2 , y 2 ב. x 5 x2 2x x 1 , y א. x3 ג. x6 x 12 x 36 2 2 x 7 , y 3x ד. )18מצא את משוואת המשיק לגרף הפונקציה: x 3 y x2 2x 4 2 x 1 x3 , y העובר דרך נקודת החיתוך שלה עם ציר ה . x - 4 )19נתונה הפונקציה: x2 x 2 .y א .מצא את נקודת החיתוך של הפונקציה עם ציר ה. x - ב .מצא את משוואת המשיק לגרף הפונקציה בנקודת החיתוך שלה עם ציר ה. x - 292 1 )20נתונה הפונקציה: x2 . f ( x) מעבירים לגרף הפונקציה משיק בנקודה שבה . x 3 א .מצא את משוואת המשיק. ב .מצא את נקודות החיתוך של המשיק עם הצירים. ג .חשב את שטח המשולש הכלוא בין המשיק לצירים. x4 5 1 )21נתונה הפונקציה : 2 2 x . f ( x) א .האם יש לגרף הפונקציה נקודות חיתוך עם ציר ה? x - ב .כתוב את משוואת המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה. x 1 : ג .האם יש לגרף הפונקציה משיק נוסף המקביל למשיק שמצאת בסעיף הקודם? אם כן – כתוב את משוואתו. x 1 )22נתונה הפונקציה: x 1 .y א .מצא את משוואת המשיק לגרף הפונקציה בנקודת החיתוך שלה עם ציר ה . y - ב .חשב את שטח המשולש הכלוא בין המשיק שמצאת לצירים. 4x 2 )23נתונות הפונקציות הבאות: 2x . g ( x) x 3 2 , f ( x ) א .מצא את נקודות החיתוך של הפונקציות. ב .מצא את משוואות המשיקים לכל פונקציה העוברים דרך הנקודה הנמצאת ברביע הראשון. תרגילים העוסקים במציאת משוואת המשיק כאשר נתון מידע הקשור לשיפוע: 4x 6 )24נתונה הפונקציה: x . f ( x) א .מצא את משוואות המשיקים לגרף הפונקציה שהשיפוע שלהם הוא .6 ב .מצא את המרחק בין שתי נקודות החיתוך של שני המשיקים עם ציר ה. y - )25 א. ב. x2 מצא את משוואות המשיקים לגרף הפונקציה: x 1 לישר. y 3x 10 : x2 מצא את משוואות המשיקים לגרף הפונקציה: x2 לישר. y 3x 10 : 293 f ( x) המקבילים f ( x) המקבילים תרגילים עם פרמטרים: x 2 kx 5 )26נתונה הפונקציה: x . f ( x) הישר y 6 x 14משיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה . x 1 א .מצא את הפרמטר . k ב .מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם ציר ה . x - ג .האם קיים עוד משיק לגרף הפונקציה המקביל למשיק זה? אם כן ,מצא את משוואתו. x2 3 )27המשיק לגרף הפונקציה: xA f ( x) בנקודה שבה x 1מקביל לציר ה . x - מצא את .A 2 x 2 kx 3 )28נתונה הפונקציה: x2 . f ( x) ידוע כי גרף הפונקציה חותך את ציר ה x -בנקודה שבה . x 1 א .מצא את הפרמטר . k ב .האם גרף הפונקציה חותך את ציר ה x -בעוד נקודות? אם כן ,מצא אותן. ג .מצא את משוואות המשיקים לגרף הפונקציה בנקודות החיתוך עם ציר ה. x - 12 )29נתונה הפונקציה: 9 ax 2 הישר x 3הוא אסימפטוטה אנכית של הפונקציה. . f ( x) א .מצא את הפרמטר . a ב .האם יש לגרף הפונקציה עוד אסימפטוטות? ג .מצא את משוואת המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה . x 0 8x 4 )30נתונה הפונקציה: x2 a הישר x 4הוא אסימפטוטה אנכית של הפונקציה. . f ( x) א .מצא את הפרמטר . a ב .האם יש לגרף הפונקציה עוד אסימפטוטות? ג .מצא את משוואת המשיק לגרף הפונקציה בנקודת החיתוך שלו עם הישר 4 y 2 x 1 0 :הנמצאת על ציר ה. x - 294 mx 2 2 x 3 )31נתונה הפונקציה: x2 1 . f ( x) ידוע כי לפונקציה יש אסימפטוטה אופקית. y 3 : א .מצא את . m ב .מצא את משוואת המשיק לגרף הפונקציה בנקודת החיתוך שלה עם האסימפטוטה האופקית . y 3 x 1 )32נתונה הפונקציה A : x2 3 . f ( x) ידוע כי לפונקציה יש אסימפטוטה אופקית. y 3 : א .מצא את .A ב .מצא את משוואת המשיק לגרף הפונקציה בנקודת החיתוך שלה עם האסימפטוטה האופקית . y 3 2 x2 1 )33נתונה הפונקציה A : x2 2 . f ( x) ידוע כי לפונקציה יש אסימפטוטה אופקית. y 5 : א .מצא את .A ב .הראה כי הפונקציה אינה חותכת את האסימפטוטה האופקית שלה. Ax 2 1 )34נתונה הפונקציה B : x2 1 . f ( x) ידוע כי לפונקציה יש אסימפטוטה אופקית. y 1 : כמו כן ,שיפוע הפונקציה בנקודה שבה x 1הוא .1 א .מצא את Aואת .B ב .הראה כי הפונקציה אינה חותכת את האסימפטוטה האופקית שלה. 295 תרגילים שונים – שימושי הנגזרת: 2x2 )35באיור שלפניך נתונות הפונקציה: 2x 3 f ( x) והישר. y 8 : א .מצא את נקודות החיתוך של הישר והפונקציה. ב .כתוב את משוואות המשיקים לגרף הפונקציה )f ( x העוברים דרך נקודות החיתוך שלה עם הישר. ג .מצא את נקודת החיתוך של שני המשיקים. ד .חשב את שטח המשולש הנוצר בין שני המשיקים לישר . y 8 10 x )36נתונה הפונקציה: x2 1 שבה . x 2חשב את שטח המשולש הנוצר בין המשיק לצירים. . f ( x) מעבירים לפונקציה משיק בנקודה x 1 )37נתונה הפונקציה: x2 . f ( x) א .הראה כי הפונקציה עולה תמיד. ב .מצא את משוואת המשיק המאונך לישר y 9 x :העובר דרך נקודת ההשקה הנמצאת ברביע ראשון. )38א. ב. x2 3 מצא את שיפוע המשיק לפונקציה: x f ( x) בנקודה שבה. x 1 : x2 4 x מצא את משוואות המשיקים לגרף הפונקציה: x2 g ( x) המקבילים למשיק שאת שיפועו מצאת בסעיף א'. ג. x2 1 מצא את משוואות המשיקים לפונקציה: x7 h( x) המאונכים למשיק שאת שיפועו מצאת בסעיף א'. תרגילים העוסקים בחקירה מלאה של פונקציה רציונאלית: חקור את הפונקציות שבעמוד הבא לפי הסעיפים הבאים: א .תחום הגדרה. ב .מציאת נקודות הקיצון של הפונקציה. ג .קביעת סוג הקיצון ומציאת תחומי העלייה והירידה של הפונקציה. ד .מציאת נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים (במידה ויש). ה .מציאת אסימפטוטות המקבילות לצירים. ו .סרטוט סקיצה של גרף הפונקציה. 296 16 x 2 3x 4 )39 x 2 x2 5x 2 )40 x y x 2 10 x 25 y )41 x 2 3 )43 x x2 y 5 3x 12 1 )45 5 5 x )42 4 5 x x2 )44 6 8 y 1 2 x x y 1 3 )46 x 10 x 25 y 2 4 )47 3x 6 x 9 y 6 )48 x 9 1 1 )49 x2 x3 y 1 1 )50 x 1 x 5 2 y 2 y y y חקור את הפונקציות הבאות לפי הסעיפים הבאים: א .תחום הגדרה. ב .מציאת נקודות הקיצון של הפונקציה. ג .קביעת סוג הקיצון ומציאת תחומי העלייה והירידה של הפונקציה. ד .מציאת נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים (במידה ויש). ה .מציאת אסימפטוטות המקבילות לצירים. ו .סרטוט סקיצה של גרף הפונקציה. 2 x2 8x 8 f ( x) 2 )51 x 5x 4 5x 1 )53 x5 2 )52 x 4 f ( x) 3x 5 3x 2 )54 2 x2 8 f ( x) 1.5 x f ( x) 9 1 )55נתונה הפונקציה: 2 x a ( , y ax פרמטר). ידוע כי גרף הפונקציה עובר בנקודה . 3, 7.5 א .מצא את ערך הפרמטר aוכתוב את הפונקציה. ב .מצא את נקודות הקיצון של הפונקציה וקבע את סוגן. ג .כתוב את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה. 297 9 )56נתונה הפונקציה: 10 ax 2 x 2 .y ידוע כי יש לפונקציה אסימפטוטה אנכית. x 5 : א .מצא את ערך הפרמטר . a ב .האם יש לפונקציה עוד אסימפטוטות? אם כן ,מהן? ג .מצא את נקודת הקיצון של הפונקציה וקבע את סוגה. ד .כתוב את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה. a )57נתונה הפונקציה: 2x 5 2 a ( , y פרמטר). בנקודה שבה . y 2 ידוע שהפונקציה חותכת את ציר ה- א .מצא את הפרמטר . a ב .מה תחום ההגדרה של הפונקציה? ג .מצא את נקודת הקיצון של הפונקציה וקבע את סוגה. ד .האם יש לפונקציה נקודות חיתוך עם ציר ה ? x -אם כן – מצא אותן. y )58ענה על הסעיפים הבאים: 9 x2 א .הוכח כי לגרף הפונקציה: x2 k ב. ג. ד. ה. שנמצאת על ציר ה. y - ידוע כי שיעור ה y -של נקודת הקיצון הוא .3 הוכח כי הפונקציה ) f ( xמוגדרת לכל . x מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם ציר ה . x - מצא את האסימפטוטה האופקית של הפונקציה. סרטט סקיצה של גרף הפונקציה וקבע בכמה נקודות יחתוך אותו הישר . y 1נמק את תשובתך. ax 4 )59לגרף הפונקציה: x2 א. ב. ג. ד. f ( x) יש נקודת קיצון a ( , f ( x) פרמטר) יש נקודת קיצון שבה . x 8 מצא את aוכתוב את הפונקציה. כתוב את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה. מצא את נקודות החיתוך של הפונקציה עם הצירים. סרטט סקיצה של גרף הפונקציה. 298 ax 2 20 x 28 )60נתונה הפונקציה: x 2 2a a ( , f ( x) פרמטר). ידוע כי גרף הפונקציה חותך את האסימפטוטה האופקית שלו בנקודה . 0.5,3 א. ב. ג. ד. ה. ו. מצא את ערך הפרמטר aוכתוב את הפונקציה. מצא את נקודות הקיצון של הפונקציה וקבע את סוגן. כתוב את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה. מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים. סרטט סקיצה של גרף הפונקציה. היעזר בגרף הפונקציה וקבע לאלו ערכים של kהישר f ( x ) :יחתוך את גרף הפונקציה בנקודה אחת בלבד. ax 30 )61הפונקציה: x 6x a 2 a ( , f ( x) פרמטר) מוגדרת לכל . x ידוע כי לפונקציה יש נקודת קיצון שבה . x 2 א .מצא את aוכתוב את הפונקציה. ב .האם יש לפונקצ יה נקודות קיצון נוספות? אם כן מצא אותן. ג .כתוב את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה. ד .מצא את נקודות החיתוך של הפונקציה עם הצירים. ה .סרטט סקיצה של גרף הפונקציה. a2 x 4 a ( , y 2פרמטר). )62נתונה הפונקציה: 2x 1 ידוע כי שיפוע המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה x 1הוא . m 4 א .מצא את כל הערכים האפשריים בעבור . a ב .מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים. ג .מצא את נקודת החיתוך בין המשיק הנתון ומשיק העובר דרך נקודת החיתוך של גרף הפונקציה עם ציר ה. y - x 2 ax 6 )63נתונה הפונקציה: x2 a ( , f ( x) פרמטר). ידוע שאחת מנקודות הקיצון של הפונקציה נמצאת על ציר ה. y - א .מצא את הערך של הפרמטר . a ב .הצב את הערך של aשמצאת בסעיף א' ומצא: .1את תחום ההגדרה של הפונקציה. .2את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים (אם יש כאלה). .3את השיעורים של נקודות הקיצון של הפונקציה ,וקבע את סוגן. .4את האסימפטוטות של הפונקציה המקבילות לצירים (אם יש כאלה). 299 ג .לאלו ערכי xהפונקציה שלילית? ד .נתון הישר . y k :לאלו ערכי kאין נקודות משותפות לישר ולגרף הפונקציה? נמק. xa )64נתונה הפונקציה: x 1 א. ב. ג. ד. a 1 , f ( x) פרמטר. מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה. מצא את האסימפטוטות של הפונקציה המקבילות לצירים. הבע באמצעות aאת השיעורים של נקודת החיתוך של גרף הפונקציה עם ציר ה x -ועם ציר ה. y - .1מצא לאלו ערכים של aהפונקציה ) f ( xעולה לכל xבתחום ההגדרה. .2ישר המשיק לגרף הפונקציה ) f ( xבנקודה שבה x aמקביל לישר המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה . x 2 מצא את הערך של aאם נתון כי הפונקציה עולה לכל . x x3 )65נתונה הפונקציה A : x2 A ( , y פרמטר). גרף הפונקציה עובר בנקודה. 3 A, A : א. ב. ג. ד. ה. ו. מצא את ערך הפרמטר . A כתוב את תחום ההגדרה של הפונקציה. הוכח כי גרף הפונקציה יורד לכל . x מצא את נקודת החיתוך של גרף הפונקציה עם ציר ה. y - סרטט סקיצה של גרף הפונקציה. נתון הישר . y k :האם קיים ערך של kבעבורו הישר חותך את גרף הפונקציה בשתי נקודות שונות? נמק. x2 m )66נתונה הפונקציה: ax 4 m , a 0 , y פרמטרים. ידוע כי אחת מנקודות הקיצון של הפונקציה נמצאת על ציר ה. y - א .מצא את הערך של הפרמטר . m ב .הצב את הערך של mשמצאת בסעיף א' והבע באמצעות aאת: .1תחום ההגדרה של הפונקציה. .2נקודות הקיצון של הפונקציה וקבע את סוגן. .3האסימפטוטות לגרף הפונקציה המקבילות לצירים. ג .סרטט סקיצה וסמן בה את נקודות הקיצון ואת משוואות האסימפטוטות שהבעת באמצעות aבסעיף הקודם. 300 נמצאת במרחקים, y - ידוע כי נקודת הקיצון שאינה על ציר ה.ד . a מצא את הערך של הפרמטר.שווים מהצירים אין לישר ולגרף הפונקציהk מצא לאלו ערכים של. y k : נתון הישר.ה .נקודות משותפות כלל :תשובות סופיות 2,3 . ב 4.5,13.5 , 1.5, 1.5 1 3 .) א16 1 1 2 . ד . ג . ב- 1 .) א15 4 9 25 2 4 1 1 y x 1 . בy x .) א17 2,19 . ד2, 16 , 2, 16 .ג 9 9 4 4 4 y 2 x 4 )18 y x 8 .ד y 28x 188 .ג 3 y 1.5x 3 .ב 2, 0 .) א19 . y 2 x 3 . גy 2 x 7 . ב. לא.) א21 .8 . ג 4,0 , 0, 4 . בy 4 x .) א20 1 . בy 2 x 1 .) א22 4 .24 . בy 6x 8 , y 6x 16 .) א24 y 3x , y 4 x . ב1,3 , 1,1 .) א23 . y 3x 2 , y 3x 18 . בy 3x 1 , y 3x 9 )25 A 1 )27 . y 6 x 6 . כן. ג 5,0 , 1,0 . בk 4 .) א26 . y x 1 , 9 y 4 x 6 .( ג1.5, 0) . כן. בk 5 .) א28 . y 43 . גy 0 , x 3 . כן. ב. a 1 y 2 x 3 . בm 3 .) א31 63 y 32 x 16 0 . גy 0 , x 4 . בa 16 A 3 .) א33 y 0.5x 2.5 . בA 3 2.4, 4.8 . גy 8x 24 , 9y 8x 24 . ב 2,8 , 6,8 .) א35 A 3 , B 2 ולכןf '( x) 1 x 2 2 0 : מתקייםx לכל.) א37 S 17 .) א29 .) א30 .) א32 .) א34 1 )36 .6.4 .ד 15 9 y x 5 . ב.הפונקציה עולה תמיד . y 0.5x 0.5 , y 0.5x 20.5 . גy 2 x , y 2 x 8 . ב- 2 .) א38 x 0 , 0.5 x 0.5 : עולה. גMax 0.5, 13 , Min 0.5,19 . בx 0 .) א39 . x 0 . ה. אין. ד. x 0.5 , x 0.5 :יורדת x 1 , x 1 : עולה. גMax 1, 9 , Min 1, 1 . בx 0 .) א40 . x 0 . ה 0.5,0 , 2,0 .ד . x 0 , 1 x 1 :יורדת x 5 , x 5 : עולה. גMin 5, 20 , Max 5,0 . בx 0 .) א41 301 . x 0 . ה 5, 0 . ד. x 0 , 5 x 5 :יורדת 0 x 2.5 : עולה. גmax 2.5,1.8 . בx 0 .) א42 . x 0 , y 1 . ה 5,0 , 1,0 . ד. x 0 , x 2.5 :יורדת . x 0 , x 3 : יורדת0 x 3 : עולה. גMax 3,5 13 . בx 0 .) א43 1,0 , 0.6,0 .ד Min 2 23 , 18 . בx 0 .) א44 . x 0 , y 5 .ה . x 0 , y 1 . ה 2,0 , 4,0 . ד. 0 x 2 23 : יורדתx 0 , x 2 23 : עולה.ג . עולה בכל תחום הגדרתה. ג. אין נקודות קיצון. בx 0 .) א45 . x 0 . ה 2,0 , 2,0 .ד 0,0.12 .ד x 5 : יורדתx 5 : עולה. ג. אין נקודות קיצון. בx 5 .) א46 x 1 , x 1 : עולה. גMax 1, 13 . בx 1,3 .) א47 . y 0, x 5 .ה . y 0 x 1,3 . ה. 0, 94 : y - חיתוך עם ציר ה. דx 1 , x 3 :יורדת x 0 , x 3 : יורדתx 3 , x 0 : עולה. גMax 0, 23 . בx 3 .) א48 . y 0 x 3 . ה. 0, 23 : y - חיתוך עם ציר ה.ד . יורדת בכל תחום הגדרתה. ג. אין נקודות קיצון. בx 3, 2 .) א49 y 0 , x 3, 2 . ה 0.5, 0 , 0, 16 .ד x 1 , x 3 : יורדתx 5 , x 3 : עולה. גMax 3, 1 . בx 1, 5 .) א50 . y 0 , x 1, 5 . ה 0, 0.8 .ד :39-50 סקיצות של שאלות . x 1 , 2 x 2 : עולה. גMax 2, 0 , Min 2,1 197 . בx 1, 4 .) א51 . x 1, 4 , y 2 . ה. 0, 2 , 2,0 . ד. x 4 , x 2 , x 2 :יורדת . x 4 , x 7 13 : עולה. גMin 7 13 , 7 95 , Max 4, 0 . בx 53 .) א52 . x 53 . ה 0, 3.2 , 4, 0 . ד. x 53 , 4 x 7 13 :יורדת 302 . x 9 , x 1 : עולה. גMin 1, 0.5 , Max 9, 24.5 . בx 5 .) א53 . x 5 . ה 2, 0 , 0, 0 . ד. , 0 , 0, 0.2 x 0 , x 2 :עולה 1 3 . ד. x 5 , 9 x 1 :יורדת . x 0 , x 2 : יורדת. גMax 0,0 . בx 2 .) א54 . x 2 , y 1.5 .ה :51-54 סקיצות של שאלות 9 1 , a 2 .) א55 2 x . x 0 , -1.5 x 1.5 :יורדת , x -1.5 , x 1.5 : עולה. גMax -1.5,-6 , Min 1.5,6 . ב. y 2 x . x 1 , x 2 : עולה. דMax 2, 0.5 . גy 0 , x 1 . כן. בa 8 .) א56 Max(0, 2) . גx כל. בa 10 .) א57 . x 5 , x 2 :יורדת . 3,0 , 3,0 . ג. k 3 : מתקבל.) ב58 . x - אין חיתוך עם ציר ה.ד . הגרף שואף לישר ואינו חותך אותו. באף נקודה. ה. y 1 .ד . 4, 0 . ג. x 8 , x 0 : יורדת, 8 x 0 : עולה. ב. f ( x) . Max 2,8 , Min 3, 13 . ב. f ( x) x4 , a 1 .) א59 x2 3x 2 20 x 28 , a 3 .) א60 x2 6 . 2, 0 , 0, 4 23 , 4 23 , 0 . ד. 2 x 3 : יורדתx 2 , x 3 : עולה.ג . k 8, 13 ,3 .ו . 4,5 - כן. ב.) נפסלa 6 : (הפתרוןy 10 x 30 , a 10 .) א61 x 6 x 10 2 . 0, 3 , 3,0 . ד. x 2 , x 4 : יורדת2 x 4 : עולה.ג . 1, 0 אשר עובר בנקודהy 4 x 4 : המשיק. ג1,0 , 0, 4 . ב. a 2 .) א62 . x 2 .4 Max 0, 3 , Min 4,5 .3 0, 3 .2 x 2 .1 . ב. a 3 .) א63 a,0 , 0, a .ג x 1 , y 1 . בx 1 .) א64 . 3 k 5 . ד. x 2 .ג . a 2 .2 a 1 .1 .ד 303 )65א . A 1 .ב . x 2 .ג .הנגזרת בנויה ממנה של מספר שלילי בחיובי ולכן תמיד ( ) שלילית :שלילי () 5 2 x 2 . y ' ד. 0, 2.5 . ו .לא .אין נקודות על גרף הפונקציה בעלות שיעור yזהה. )66א( m 0 .מתקבל am 0 :וידוע כי a 0 :לכן נותרנו עם הפתרון הנ"ל). 4 4 8 16 ב.3 . Max 0, 0 , Min , 2 .2 . x .1 . a a a a סקיצות של שאלות 58-61 :ו:65-66 - 304 . x ד . a 2 .ה. 0 k 4 . :)רציונאלית-תרגילים העוסקים בפונקצית שורש (אי y x 2 16 x )3 x 1 x )6 y x 2 3x 2 )9 y y x2 x2 x 1 :תרגילים העוסקים בנגזרות יסודיות :גזור את הפונקציות הבאות y x 3 x )2 y x )1 y x2 x )5 y 2x 1 x 2 )8 y y x x4 6x2 8 )18 y 3x 1 1 x )21 x2 x 1 y x )4 x 1 x 1 )7 y y x 2 4 x 2 )11 )12 )15 y y 2 x 1 x x y x 5x 2 )10 y )14 x2 4 y x 1 x 1 y )20 )13 x2 4 y x 10 x 2 x )17 8 2 6 x )16 x 1 x2 )19 :תשובות סופיות .y' 2 x 2x 1 )4 2 x y ' 2x 8 )3 x y ' 1 y' x 1 )6 2x x 2 . y ' 3x 4 x x 21 )7 2 x x 2 1 . y ' 5x 2 .y' x 5x 2x 3 )10 . y ' )9 2 5x 2 2 x 2 3x 2 x 2 4 x2 4 )13 . y ' x 10 )16 . y ' . y ' 6 x 10 x 8 3x )12 2 x3 x 2 6 1 x 5 2 x y' 3x 4 12 x 2 8 x4 6 x2 8 . y' x 1 )21 2x x x 2 x 1 3 )18 y ' 24 3x 1 y' x2 1 2x2 x 305 1 x 3 2 x y' )2 . y ' 2x x 1 2 x )1 x2 )5 2 x 1 1 )8 2x 1 2 x 2 y' y ' 2x x 2 )15 y ' x x2 4 )11 2 x2 4 2 4 x2 4 2 x 1 3x 1 x )14 8 7 )20 x 2 2 x2 x y' 3 2 x 2 2 )17 x2 )19 x 1 תרגילים העוסקים במציאת תחום ההגדרה של פונקציות: )22לפניך מספר פונקציות ,מצא את תחום ההגדרה שלהן .תזכורת: תחום הגדרה של פונקציה המכילה ביטוי עם שורש y f ( x) :הואf ( x) 0 : )f ( x תחום הגדרה של פונקציה אי-רציונאלית: )g ( x y הוא. g ( x) 0 : א. y x ב. y x 5 ג. y 7 2x ד. y x2 1 ה. y x2 2x ו. y x2 4 x 5 ז. y x2 3 x ח. y x 3 3x 2 4 x ט. y 2x 2 x י. y x 2 3 x 2 x יא. 4 x x2 יב. x x 5 y יג. x2 4 x 4 x 2 16 יד. x6 x y טו. x2 3x 8 יז. יט. y 2x 81 4 x 2 x x 4 2 y y טז. y y 4 y x 2 25 יח. x 1 x3 כ. 25 x x 2 x2 y y )23א .נתונה הפונקציה הבאה k ( , y kx2 18 :פרמטר). ידוע כי תחום ההגדרה שלה הוא . x 3 , x 3 :מצא את ערך הפרמטר . k ב .נתונה הפונקציה הבאה k ( , y k 3x 2 :פרמטר). ידוע כי תחום ההגדרה שלה הוא . 1 x 1 :מצא את ערך הפרמטר . k ג. x נתונה הפונקציה הבאה: xk k ( , y פרמטר). לפונקציה יש אסימפטוטה אנכית . x 7 :מצא את ערך הפרמטר . k ד .נתונה הפונקציה הבאה: 6 x2 k k ( , y פרמטר). לפונקציה יש אסימפטוטות אנכיות . x 4 :מצא את . k 306 )24נתונה הפונקציה הבאה a , b ( , y ax x b :פרמטרים) ידוע כי הפונקציה עוברת בנקודה 2, 2 :וכי תחום הגדרתה הוא . x 2 :מצא את aואת . b )25נתונה הפונקציה הבאה a , b ( , y ax2 bx 3 :פרמטרים) .ידוע כי הפונקציה עוברת בנקודה 1, 4 :וכי תחום הגדרתה הוא . x 3 :מצא את aואת . b )26נתונה הפונקציה a , b ( , y ax2 bx 12 :פרמטרים) .ידוע כי הפונקציה אינה מוגדרת בתחום . 4 x 3 :מצא את aואת .b תרגילים העוסקים במציאת שיפוע המשיק לגרף הפונקציה לפי הכלל. f ' x0 m : )27חשב את שיפוע המשיק לגרפים של הפונקציות הבאות בנקודות הרשומות לידן: ב x 4 , f ( x) x 2 x . אx 1 , f ( x) 3x x . ג. x 9 , f ( x) x 2 4 x 2x 3 ה. x x ד. x3 x 3 , f ( x) ו. x 1 , f ( x) x 2 , f ( x) x x 2 4 x 8 )28לפניך מספר פונקציות .מצא את שיעורי הנקודות עבורם שיפוע המשיק הוא המצוין לידה. 2 ב, f ( x ) 4 x 7 . 5 אm 1.5 , f ( x) 3x 2 . ג. 1 1 , f ( x) x x 4 4 m m דm 2 , f ( x) x 2 12 . ה m 2 , f ( x) x x 1 . ו. m 5, f x x 3 x )29א .מצא נקודה על גרף הפונקציה y 2 x 4 x 5 :אשר המשיק העובר דרכה מקביל לישר. y 2 x 2 : ב .מצא נקודה על גרף הפונקציה y 3x 3x2 24 :אשר המשיק העובר דרכה מקביל לישר. y 4 x 7 : 307 )30א .נתונה הפונקציה הבאה. f ( x) x2 24 : מצא את שיפוע הפונקציה בנקודה שבה. x 2 : ב .מגדירים פונקציה נוספת. g ( x) 3x2 240 : מצא נקודה על גרף הפונקציה שבה שיפוע המשיק העובר דרכה שווה לשיפוע הפונקציה שמצאת בסעיף א'. האם קיימת יותר מנקודה אחת? אם כן ,מצא את כולן .אם לא ,נמק. ג .הראה כי לשתי הפונקציה יש את אותו השיפוע בעבור. x 0 : מהו השיפוע? )31נתונות שתי הפונקציות הבאות f ( x) x 3 :ו. g ( x) 2 5 x - א .מצא את שיעור ה x -בעבורו לשתי הפונקציות יש את אותו השיפוע. ב .הראה כי הפונקציות גם נחתכות בנקודה זו. )32נתונות שתי הפונקציות הבאות f ( x) 2 x 6 :ו. g ( x) 6 9 x - א .מצא את שיעור ה x -בעבורו לשתי הפונקציות יש את אותו השיפוע. ב .הראה כי הפונקציות גם נחתכות בנקודה זו. 1 )33נתונה הפונקציה הבאה36 x 27 : 3 . f ( x) 5 4 x 3 מצא נקודה על גרף הפונקציה ששיפוע המשיק העובר דרכה שווה ל.12- הנחייה :לאחר הגזירה הוצא גורם משותף בתוך השורש שבמכנה השני וסמן t 4 x 3 :ופתור משוואה בעבור . t x )34מצא שתי נקודות על גרף הפונקציה x 1 דרכן הוא. m 1 : y ששיפוע המשיק העובר תרגילים העוסקים במציאת משוואת משיק לפי הנוסחה, y y1 m x x1 : כאשר - x1 , y1 :נקודת ההשקה ו m -שיפוע המשיק. )35מצא את משוואת המשיק לגרפים של הפונקציות הבאות בנקודות הרשומות לידן: א. x 1 , y 3x 2 x ב. x 7 , y 2x 5 ג. x 4 , y 2 x 2 8 x ד. 2 , y x2 2x 3 308 x2 ה. x 2 , y x x2 5 ז. x2 x2 ו. x6 , y ח. x6 x x3 , y x 2 3x 4 x x 1 , y )36נתונה הפונקציה הבאה. y x 4 x : א .מצא את נקודות החיתוך של הפונקציה עם ציר ה. x - ב .כתוב את משוואת הישר המשיק לגרף הפונקציה דרך נקודת החיתוך שלה עם ציר ה x -שאינה בראשית הצירים. 1 )37נתונה הפונקציה הבאהx : 3 . y 2x א .מצא את נקודות החיתוך של הפונקציה עם ציר ה. x - ב .כתוב את משוואת הישר המשיק לגרף הפונקציה דרך נקודת החיתוך שלה עם ציר ה x -שאינה בראשית הצירים. )38לגרף הפונקציה f ( x) x 2 x :מעבירים משיק בנקודה שבה . y 3 א .מצא את משוואת המשיק. ב .מצא את נקודות החיתוך של משיק זה עם הצירים. ג .חשב את שטח המשולש שנוצר בין המשיק לצירים. )39נתונה הפונקציה הבאה. y x2 4 x 9 : א .מצא את נקודות החיתוך של הפונקציה עם ציר ה. y - ב .כתוב את משוואת הישר המשיק לגרף הפונקציה דרך נקודת החיתוך שלה עם ציר ה . y - )40נתונה הפונקציה הבאה. y 3x 25 2 x2 1 : א .מצא את נקודת החיתוך של הפונקציה עם ציר ה. y - ב .כתוב את משוואת הישר המשיק לגרף הפונקציה דרך נקודת החיתוך שלה עם ציר ה . y - )41נתונה הפונקציה. f ( x) x2 x : א .מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם ציר ה . x - ב .מצא את משוואת המשיק לגרף הפונקציה בנקודת החיתוך שלה עם ציר ה x -הנמצאת ברביע הראשון. ג .מהנקודה Aשנמצאת על המשיק מורידים אנך לציר ה x - 309 כך שנוצר משולש בין המשיק ,האנך וציר ה ( x -ראה איור). ידוע כי שטח המשולש הוא . S 12מצא את שיעורי הנקודה .A )42נתונה הפונקציה הבאה. y x x 2 4 : מעבירים לגרף הפונקציה משיק בנקודה . x 1.5 א .מצא את משוואת המשיק. ב .מצא את נקודת החיתוך של המשיק עם ציר ה . y - ג .מעבירים אנך לציר ה y -מנקודת ההשקה של המשיק. חשב את שטח המשולש הנוצר בין המשיק ,האנך וציר ה. y - )43נתונה הפונקציה. f ( x) x2 8x 12 : א .מה תחום ההגדרה של הפונקציה? ב .הראה כי המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה x 3 עובר בראשית הצירים. x )44נתונה הפונקציה2 x 3 : 3 . f ( x) א .מצא את שיפוע המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה. x 11 : ב .כתוב את משוואת המשיק הנ"ל. ג .האם יש לגרף הפונקציה משיק נוסף המקביל למשיק שמצאת בסעיף הקודם? אם כן – כתוב את משוואתו. 3x 1 )45נתונה הפונקציה: x . f ( x) א .מצא את משוואת המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה. x 1 : ב .חשב את שטח המשולש הכלוא בין המשיק שמצאת לצירים. 1 )46נתונה הפונקציה הבאה: 2x 1 . f ( x) א .מצא את נקודת החיתוך של גרף הפונקציה עם ציר ה. y - ב .מצא את משוואת המשיק לגרף הפונקציה דרך נקודת החיתוך עם ציר ה. y - ג .חשב את שטח המשולש הנוצר בין המשיק שמצאת לצירים. 310 x2 3 )47נתונה הפונקציה: x f ( x) ונתון הישרa : . א .מצא את נקודת החיתוך של הפונקציה והישר הנמצאת ברביע הראשון. הנחייה :השווה בין שני הביטויים והעלה בריבוע את המשוואה ופתור משוואה דו-ריבועית על ידי סימון. x 2 t : ב .מצא את משוואות המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שמצאת בסעיף הקודם. תרגילים העוסקים במציאת משוואת המשיק כאשר נתון מידע הקשור לשיפוע: תזכורת: בחלק מהתרגילים יש לה יעזר בתכונות השיפועים של ישרים מקבילים ומאונכים: ישרים מקבילים הם בעלי אותו השיפוע ולהפך. מכפלת השיפועים של ישרים מאונכים תמיד .- 1 כגון שני ישרים בעלי שיפועים m1 , m2 :אזי. m1 m2 1 : )48א .כתוב את משוואת המשיק לגרף הפונקציהf ( x) 4 x 2 : המקביל לישר. 2 y x 3 : ב. כתוב את משוואת המשיק לגרף הפונקציהf ( x) 10 x 7 : המקביל לישר. y 5x : ג. כתוב את משוואת המשיק לגרף הפונקציהf ( x) 3x x : המאונך לישר. 4 y 5 x : ד .כתוב את משוואת המשיק לגרף הפונקציהf ( x) 4 x 3 2 x : המאונך לישר. y x : )49נתונה הפונקציה. f ( x) 8 x x : א .מצא על גרף הפונקציה ) f ( xנקודה שבה שיפוע המשיק העובר דרכה הוא .3 ב .מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם ציר ה . x - ג .כתוב את משוואת הישר העובר דרך הנקודה שמצאת בסעיף א' ונקודת החיתוך עם ציר ה x -שאינה ראשית הצירים. )50נתונה הפונקציה f ( x) x 10 x :באיור הסמוך. א .מצא את שיעורי הנקודות Aו - B-נקודות החיתוך של הפונקציה עם ציר ה. x - ב .מצא את שיעורי הנקודה Cהמקיימת. f '( x) 0 : ג .מצא את משוואת המשיק לגרף הפונקציה המקביל לישר .BC 311 )51נתונות הפונקציה הבאות. g ( x) 4 2 x 3 , f ( x) x2 x : א .מצא את משוואת המשיק לגרף הפונקציה ) f ( xבעל השיפוע . m 20 ב .מצא את נקודות החיתוך של המשיק שמצאת בסעיף הקודם והפונקציה ). g ( x ג .מצא את משוואת המשיק לגרף הפונקציה ) g ( xבנקודת החיתוך שמצאת בסעיף הקודם. )52נתונות הפונקציות הבאות. f ( x) 4 3x 2 , g ( x) 2 x x 3 : הראה כי לשתי הפונקציות משיק משותף ששיפועו הוא .3 )53נתונה הפונקציה הבאה. f ( x) 4 x 10 x : א .מצא את משוואת המשיק לגרף הפונקציה המאונך לישר. y 0.5x 51 : ב .הראה כי הישר הנתון בסעיף הקודם הוא נורמל לפונקציה בנקודת ההשקה. x2 )54נתונה הפונקציה: x3 א. ב. ג. ד. . f ( x) מהו תחום ההגדרה של הפונקציה? מצא את נקודת החיתוך של הפונקציה עם ציר ה. x - מצא את הנקודה אשר שיפוע המשיק לגרף הפונקציה העובר דרכה הוא .0 כתוב את משוואת הישר העובר דרך הנקודות שמצאת בסעיפים ב' ו-ג'. 4 x )55נתונה הפונקציה: x2 . f ( x) א .מהו תחום ההגדרה של הפונקציה? ב .האם הפונקציה חותכת את ציר ה ? x -אם כן ,באיזו נקודה? ג .הראה כי לא קיים ישר המשיק לגרף הפונקציה ומקביל לישר. y 6 : x3 )56נתונה הפונקציה הבאה: x 1 . f ( x) א .מהו תחום הגדרה של הפונקציה? ב .כמה נקודות יש לגרף הפונקציה ששיפוע המשיק העובר דרכן מקביל לציר ה ? x -מצא אותן. ג .כתוב את משוואות המשיקים בנקודות שמצאת בסעיף הקודם. 312 )57נתונות הפונקציות הבאות. f ( x) x , g ( x) 3 3x : א .מצא את נקודת החיתוך של שתי הפונקציות. ב .הראה כי הגרפים מאונכים זה לזה בנקודת החיתוך שמצאת. ג .מצא את משוואות המשיקים לכל פונקציה בנקודת החיתוך שמצאת. ד .מהנקודות Aו B-הנמצאות על הגרפים של הפונקציות ) f ( xוg ( x) - בהתאמה מעבירים ישר המקביל לציר ה . y -ידוע כי הפונקציות מאונכות זו לזו בנקודות Aו .B-מצא את הנקודות Aו.B- )58נתונות הפונקציות הבאות. f ( x) 2 x 2 x 2 , g ( x) 2 x 2 10 x : מסמנים נקודה Aעל גרף הפונקציה ) f ( xונקודה Bעל גרף הפונקציה ) g ( xכמתואר באיור. ידוע כי הישר ABמקביל לציר ה . y - מעבירים מהנקודות Aו B-משיקים לכל פונקציה. ידוע כי המשיקים מקבילים. א .מצא את שיעורי הנקודות Aו.B- ב .מצא את משוואות המשיקים. תרגילים עם פרמטרים: )59ענה על השאלות הבאות: 2 א .נתונה הפונקציה A( , f ( x) A x 3x :פרמטר). ידוע כי שיפוע המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה x 4 :הוא .25 מצא את .A ב .נתונה הפונקציה A( , f ( x) 2 5x A :פרמטר). ידוע כי שיפוע המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה x 2 :הוא .1 מצא את .A ג .נתונה הפונקציה A( , f ( x) x2 Ax 25 :פרמטר). ידוע כי שיפוע המשיק לגרף הפונקציה בנקודת החיתוך שלה עם ציר ה y -הוא .2מצא את .A ד .נתונה הפונקציה A( , f ( x) x A x 1 :פרמטר). ידוע כי שיפוע הפונקציה בנקודה שבה x 3 :הוא .3מצא את .A x ה .נתונה הפונקציה: xA A( , f ( x) פרמטר) .ידוע כי שיפוע הפונקציה 1 בנקודה שבה x 1 :הוא 18 .מצא את .Aהבחן בין שני מקרים. 313 ו .נתונה הפונקציה: 1 x 2 Ax 4 A( , f ( x) פרמטר). ידוע כי שיפוע הפונקציה בנקודת החיתוך שלה עם ציר ה y -הוא .4 מצא את .A )60נתונה הפונקציה הבאה A , B ( , f ( x) 2 x A Bx :פרמטרים). משוואת המשיק לגרף הפונקציה בנקודת החיתוך שלה עם ציר הy - היא . y 3x 1 :מצא את Aואת .B )61נתונה הפונקציה הבאה A , B ( , f ( x) x2 Ax B :פרמטרים). משוואת המשיק לגרף הפונקציה בנקודת שבה x 1 :היא. y x 2 : מצא את Aואת .B )62נתונה הפונקציה a , f ( x) a x 3 :פרמטר. ידוע כי הפונקציה עוברת ב. A 12, a 4 - א .מצא את ערך הפרמטר . a ב .מצא את משוואת המשיק לגרף הפונקציה בנקודה .A ג .חשב את השטח שנוצר בין המשיק לצירים. )63נתונה הפונקציה a , f ( x) a 3x 16 :פרמטר. ידוע כי הישר y 2 x 8חותך את גרף הפונקציה בנקודה שבה . x 11 א .מצא את נקודת החיתוך. ב .מצא את ערך הפרמטר . a ג .האם הישר חותך את גרף הפונקציה בעוד נקודה? אם כן ,מהי? ד .האם הישר הנתון הוא המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שמצאת בסעיף א'? אם כן ,נמ ק .אם לא ,מצא את משוואת המשיק. )64הגרפים של הפונקציות f ( x) x2 2 x 5 :ו k ( , g ( x) x2 k x -פרמטר) נחתכים בנקודה שבה. x 6.25 : א .מצא את ערך הפרמטר . k ב .מה הוא תחום ההגדרה של הפונקציה )? g ( x ג .האם הגרפים של הפונקציות ) f ( xו g ( x) -נחתכים בעוד נקודות? אם כן – מצא אותן. ד .מצא את משוואות המשיקים לגרפים של שתי הפונקציות בנקודות החיתוך שלהם. 314 x xk )65נתונות שתי הפונקציות הבאות: , g ( x) x xk ידוע כי הפונקציות חותכות זו את זו בנקודה שבה. x 0.8 : k ( , f ( x) פרמטר). א .מצא את ערך הפרמטר . k ב .האם הפונקציות נחתכות בנקודה נוספת מלבד לנקודה הנתונה? אם כן – מצא אותה. ג .מצא את משוואת המשיק לגרף הפונקציה ) f ( xבנקודה שבה. x 0.52 : xA )66נתונה הפונקציה הבאה: xB A , B ( , f ( x) פרמטרים). 1 שיפוע המשיק לגרף הפונקציה בנקודה 0, 13 :הוא: 18 . א .מצא את Aואת .B ב .מצא את נקודת החיתוך של הפונקציה עם ציר ה y -והראה כי בעבור שני המקרים מתקבלת אותה הנקודה. )67נתונה הפונקציה הבאה: x Ax 2 Bx A , B ( , f ( x) פרמטרים). שיפוע המשיק לגרף הפונקציה בנקודה: 1 1, 12הוא: 8 .מצא את Aואת .B )68נתונה הפונקציה הבאה . f ( x) x Ax 3 :ידוע כי. f '(1) 2.25 : א .מצא את ערך הפרמטר .A ב .כתוב את משוואת המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה. x 1 : ג .כתוב את משוואת הישר המאונך לגרף הפונקציה ועובר דרך נקודת ההשקה הנ"ל (נורמל לפונקציה). x7 )69נתונה הפונקציה הבאה: x A 2 A , f ( x) פרמטר. ידוע כי לגרף הפונקציה יש אסימפטוטה אנכית. x 4 : א .מצא את Aואת האסימפטוטה האנכית הנוספת של גרף הפונקציה. ב .מצא את משוואת המשיק לגרף הפונקציה בנקודה. x 2 : ג .מצא את נקודת החיתוך של המשיק והאסימפטוטה. x 4 : 315 תרגילים שונים – שימושי הנגזרת: )70באיור שלפניך מתוארים הגרפים של הפונקציות f ( x) x :ו. g ( x) x2 - א .מצא את נקודות החיתוך של הגרפים. ב .מצא את משוואת המשיק לגרף הפונקציה ) f ( xהעובר דרך נקודת החיתוך שמצאת הנמצאת ברביע הראשון. ג .מצא את נקודת החיתוך הנוספת של המשיק שמצאת עם גרף הפונקציה ). g ( x 1 )71באיור שלפניך מתוארים הגרפים של הפונקציות: x 5 f ( x) ו. g ( x) x 3.5 - א .מצא את הנקודה - Aנקודת החיתוך של הגרפים. ב .מצא את משוואות המשיקים לכל גרף העוברים דרך נקודת החיתוך. ג .המשיקים חותכים את ציר ה x -בנקודות Bו C-כך שנוצר המשולש .ABCחשב את שטח המשולש. kx x 5 . f ( x) ידוע כי: )72נתונה הפונקציה: 2 12 . f '(9) א .מצא את kוכתוב את הפונקציה. ב .מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם ציר ה . x - ג .כתוב את משוואת המשיק לגרף הפונקציה העובר דרך נקודת החיתוך שבה xחיובי שמצאת בסעיף הקודם. )73נתונה הפונקציה הבאה: A x2 4 A , f ( x) פרמטר. א .הראה כי הפונקציה אינה חותכת את ציר ה x -כלל. ב .מצא את Aאם ידוע כי הפונקציה חותכת את ציר ה y - בנקודה שבה . y 5 ג .כתוב את משוואת המשיק לגרף הפונקציה בנקודת החיתוך שלה עם ציר ה . y - A B )74נתונה הפונקציה: x x A , B ( , f ( x) פרמטרים). מעבירים לגרף הפונקציה שני משיקים .משיק אחד עובר דרך הנקודה 3 שבה x 4ושיפועו הוא: 8 שבה x 1וידוע כי הוא מקביל לישר . 2 y 5x 3 :מצא את Aואת .B . m משיק שני מעבירים דרך הנקודה 316 x 1 )75נתונה הפונקציה: x 1 . f ( x) א .הראה כי הפונקציה אינה חותכת את הצירים כלל. ב .מצא נקודה על גרף הפונקציה ששיפוע המשיק העובר הוא .0 ג .כתוב את משוואת המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה . x 5 x2 4 )76נתונה הפונקציה הבאה: x א. ב. ג. ד. . f ( x) מצא את נקודת החיתוך של הפונקציה עם ציר ה. x - האם ניתן להעביר משיק לגרף הפונקציה המקביל לציר ה? x - נמק והראה חישוב מתאים. כתוב את משוואת המשיק לגרף הפונקציה העובר דרך נקודת החיתוך שלה עם ציר ה. x - חשב את שטח המשולש הכלוא בין המשיק לצירים. תרגילים העוסקים במציאת נקודות קיצון לפי הכלל , f ' x 0 :סיווגן ומציאת תחומי עלייה וירידה: )77לפניך הפונקציות הבאות: מצא את נקודות הקיצון שלהן(כולל נקודות קיצון קצה במידה וישנן) וקבע את סוגן (זכור למצוא תחילה את תחום ההגדרה ולפסול נקודות שאינן נמצאות בו). 2 בy x x 2 . אy x x . גy x 2 4 x 25 . דy x 4 8x 2 16 . ז. x 1 x2 y x ה. x3 y ח. x 3x x 2 2 ו. x x 3 y )78נתונה הפונקציה הבאה. y x2 3x 4 : א .מהו תחום ההגדרה של הפונקציה? ב .מהן נקודות הקיצון של הפונקציה (כולל נקודות קיצון קצה)? ג .כתוב את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה. 317 y )79נתונה הפונקציה הבאה. y x2 3x 4.5 : א .מהו תחום ההגדרה של הפונקציה? ב .מהן נקודות הקיצון של הפונקציה (כולל נקודות קיצון קצה)? ג .כתוב את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה. )80נתונה הפונקציה. y x2 3x x : א .כתוב את תחום ההגדרה של הפונקציה. ב .הראה כי אין לפונקציה נקודות קיצון מקומיות כלל. ג .כתוב את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה. תרגילים העוסקים בחקירה מלאה של פונקציה אי-רציונאלית: חקור את הפונקציות הבאות לפי הסעיפים הבאים: א .תחום הגדרה. ב .מציאת נקודות הקיצון של הפונקציה. ג .קביעת סוג הקיצון ומציאת תחומי העלייה והירידה של הפונקציה. ד .מציאת נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים (במידה ויש). ה .מציאת אסימפטוטות המקבילות לצירים. ו .סרטוט סקיצה של גרף הפונקציה. y 2 x x )81 16 x 1 y 2x )82 4 y x 2 4 x 5 )83 y x3 x )84 y x x 2 5x 7 )85 y x 8 x 1 )86 x )87 x2 y x 8 )89 x2 )91 x )88 x2 3x 2 x2 3 y x )90 10 x y y )92 318 x2 4 9 x2 y y )93נתונה הפונקציה. f ( x) 16 x x 2 : א .מה תחום ההגדרה של הפונקציה? ב .מצא את נקודות הקיצון של הפונקציה (מקומיים וקצוות). ג .כתוב את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה. ד .סרטט סקיצה של גרף הפונקציה. )94נתונה הפונקציה. f ( x) 2 36 x x 2 : א .מה תחום ההגדרה של הפונקציה? ב .מצא את נקודות הקיצון של הפונקציה (מקומיים וקצוות). ג .כתוב את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה. ד .סרטט סקיצה של גרף הפונקציה. )95נתונה הפונקציה. f ( x) x2 5x 4 : א .מה תחום ההגדרה של הפונקציה? ב .מצא את נקודות הקיצון של הפונקציה (מקומיות וקצוות). ג .כתוב את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה. ד .מצא את נקודת החיתוך של הפונקציה עם ציר ה. y - ה .סרטט סקיצה של גרף הפונקציה. )96נתונה הפונקציה. f ( x) x2 24 x 25 : א .מה תחום ההגדרה של הפונקציה? ב .כתוב את נקודות קיצון הקצה של הפונקציה. ג .כתוב את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה. ד .סרטט סקיצה של גרף הפונקציה. )97נתונה הפונקציה k , f ( x) x2 10 x 16 k :פרמטר. ידוע כי לפונקציה יש נקודת מקסימום הנמצאת על ציר ה. x - א .מצא את ערך הפרמטר . k ב .מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה. ג .האם יש לפונקציה עוד נקודות קיצון כלשהן? אם כן ,מצא אותן. אם ,לא נמק מדוע והראה חישוב מתאים. ד .כתוב את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה. 319 )98נתונה הפונקציה. f ( x) k 9 x 2 : ידוע כי לפונקציה נקודת קיצון שבה. y 12 : א .מצא את ערך הפרמטר . k ב .מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה. ג .האם יש לפונקציה עוד נקודות קיצון כלשהן? אם כן ,מצא אותן .אם לא, נמק מדוע והראה חישוב מתאים. ד .כתוב את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה. )99נתונה הפונקציה. f ( x) x 1 2 x 1 : א .מה תחום ההגדרה של הפונקציה? ב .מצא את נקודות הקיצון של הפונקציה. ג .מצא את נקודות החיתוך של הפונקציה עם ציר ה. x - ד .כתוב את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה. )100נתונה הפונקציה k , f ( x) x k 11 2 x :פרמטר. ידוע כי הפונקציה עוברת בנקודה ). (5, 6 א .מצא את ערך הפרמטר . k ב .מה תחום ההגדרה של הפונקציה? ג .האם יש לפונקציה נקודות קיצון כלשהן? אם כן ,מצא אותן ואם לא ,נמק מדוע. ד .מצא את נקודות החיתוך של הפונקציה עם ציר ה. x - )101נתונה הפונקציה k , f ( x) 3x k x :פרמטר. ידוע כי הפונקציה חותכת את ציר ה x -בנקודה שבה . x 16 א .מצא את ערך הפרמטר . k ב .מצא את נקודות הקיצון של הפונקציה. ג .כתוב את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה. ד .סרטט סקיצה של גרף הפונקציה. )102נתונה הפונקציה k , f ( x) k x x :פרמטר. ידוע כי הישר y 3חותך את הפונקציה בנקודה שבה . x 9 א .מצא את ערך הפרמטר . k ב .האם הישר y 3חותך את גרף הפונקציה בעוד נקודות? אם כן ,מצא אותן. ג .מצא את נקודות הקיצון של הפונקציה וקבע את סוגן. ד .מצא את נקודות החיתוך של הפונקציה עם הצירים. 320 x2 )103נתונה הפונקציה 4 x : 8 א. ב. ג. ד. ה. . f ( x) מה תחום ההגדרה של הפונקציה? מצא את נקודות הקיצון של הפונקציה וקבע את סוגן. כתוב את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה. מצא את נקודות החיתוך של הפונקציה עם ציר ה. x - סרטט סקיצה של גרף הפונקציה. )104נתונה הפונקציה k . f ( x) kx k x 4 :פרמטר. ידוע כי הפונקציה עוברת בנקודה. (4, 4k ) : א .מצא את ערך הפרמטר . k ב .האם יש לפונקציה נקודות קיצון? ג .כתוב את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה. ד .מצא את נקודות החיתוך של הפונקציה עם ציר ה. x - ה .סרטט סקיצה של גרף הפונקציה. )105נתונה הפונקציה. f ( x) x 16 x : א .מה תחום ההגדרה של הפונקציה? ב .מצא את נקודות הקיצון של הפונקציה. ג .כתוב את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה. ד .סרטט סקיצה של גרף הפונקציה. )106נתונה הפונקציה k . f ( x) kx 4 x :פרמטר. ידוע כי הפונקציה חותכת את ציר ה x -בנקודה שבה . x 2 א .מצא את ערך הפרמטר . k ב .כתוב את תחום ההגדרה של הפונקציה. ג .האם הפונקציה חותכת את ציר ה x -בעוד נקודות? אם כן ,מצא אותן ואם לא נמק. ד .האם יש לפונקציה נקודות קיצון? אם כן ,מצא אותן ואם לא ,נמק. )107נתונה הפונקציה m , f ( x) x 9 2 x m :פרמטר. א .הראה כי הפונקציה עולה בכל תחום הגדרתה. ב .כתוב את תחום ההגדרה של הפונקציה. ג .מצא את mאם ידוע כי הפונקציה עוברת בנקודה ). (3, 2 ד .מצא את נקודות קיצון הקצה של הפונקציה. 321 )108נתונה הפונקציה. f ( x) x 16 x2 : א .מה תחום ההגדרה של הפונקציה? ב .מצא את נקודות הקיצון של הפונקציה וקבע את סוגן. ג .מצא את נקודות החיתוך של הפונקציה עם הצירים. ד .סרטט סקיצה של גרף הפונקציה. )109נתונה הפונקציה k , f ( x) 8 x2 kx :פרמטר. הישר y 2 x 4משיק לפונקציה בנקודת החיתוך שלה עם ציר ה . x - א .מצא את ערך הפרמטר . k ב .מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה. ג .מצא את נקודות הקיצון של הפונקציה. ד .כתוב את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה. x2 x )110נתונה הפונקציה: 4 16 א. ב. ג. ד. ה. ו. .y כתוב את תחום ההגדרה של הפונקציה. האם יש לגרף הפונקציה נקודות קיצון מקומיות (פנימיות)? אם כן ,מצא אותן. מצא את נקודת קיצון הקצה של הפונקציה. האם יש לגרף הפונקציה נקודות חיתוך עם הצירים? אם כן ,מצא אותן. סרטט סקיצה של גרף הפונקציה. נתון הישר . y m :לאלו ערכים של mיש לישר ולגרף הפונקציה נקודה משותפת אחת בלבד? x2 2 x )111נתונה הפונקציה הבאה: x2 א. ב. ג. ד. . f ( x) מה הוא תחום ההגדרה של הפונקציה? מצא את נקודת קיצון של הפונקציה וקבע את סוגה. מצא את נקודת החיתוך של גרף הפונקציה עם ציר ה. x - סרטט סקיצה של גרף הפונקציה. 322 )112נתונה הפונקציה הבאה: ax 6 9 x2 a , f ( x) פרמטר. מעבירים משיק לגרף הפונקציה בנקודת החיתוך שלה עם ציר ה . y - ידוע כי הוא מקביל לישר. 3 y x 0 : א .מצא את ערך הפרמטר . a ב .כתוב את תחום ההגדרה של הפונקציה. ג .מצא את נקודת הקיצון של הפונקציה. ד .כתוב את התחומי העלייה והירידה של הפונקציה. )113לפניך שלוש פונקציות: ; h( x) x x k x xk . k 0 ; f ( x ) x k ; g ( x) א .קבע אלו מהטענות הבאות נכונות ואלו לא נכונות והצדק את קביעותיך באמצעות חישוב מתאים: .1לכל הפונקציות יש את אותו תחום ההגדרה. .2כל הפונקציות עולות בכל תחום הגדרתן. .3כל הפונקציות חותכות את ציר ה x -פעם אחת בלבד. מעבירים משיקים לגרפים של הפונקציות f ( x) :ו g ( x) -בנקודת החיתוך שלהם עם ציר ה . y -ידוע כי שיפוע המשיק לגרף הפונקציה g ( x) :גדול 1 4 ב -משיפוע המשיק לגרף הפונקציה ). f ( x ב .1 .בטא באמצעות kאת שיפועי המשיקים לכל פונקציה. .2מצא את . k ג .לפניך 4איורים ,קבע איזה איור מייצג כל פונקציה .נמק את בחירותיך. 323 *הערה :בשאלה הבאה נדרש ידע בפתרון אי-שוויונים ממעלה גבוהה. x )114נתונה הפונקציה: x 4 2 . f ( x) א .מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה. ב .גזור את הפונקציה ). f ( x מגדירים פונקציה נוספת ) g ( xהמקיימת. g ( x) f ( x) : 2 לפי כללי הגזירה של פונקציה מורכבת ניתן לכתוב את הנגזרת של ) g ( xבאופן הבא. g '( x) 2 f ( x) f '( x) : ג .כתוב את הנגזרת של הפונקציה ) g ( xלפי המכפלה הנ"ל וצמצמם במידת האפשר. הראה כי הביטוי הסופי של הנגזרת הוא: 4 x2 2 4 2 x . g '( x) ד .באופן כללי ,לפי כלל הגזירה הנ"ל ,אלו נקודות על גרף הפונקציה )f ( x הן נקודות החשודות לקיצון בעבור )? g ( x ה .1 .האם לגרף הפונקציה ) g ( xיש נקודות קיצון במקרה שלנו? נמק על פי הסעיף הקודם. .2מה ניתן לומר על גרף הפונקציה ) f ( xלפי זה? ו .לפניך שתי סקיצות: קבע איזו סקיצה מתארת את גרף הפונקציה ) . f ( xנמק את בחירתך. 324 :תשובות סופיות x 2 , x 0 . הx 1 , x 1 . דx 3.5 . גx 5 . בx 0 .) א22 x 1 , x 0 . יx 2 . ט. 1 x 0 , x 4 . חx 0 . זx 1 , x 5 .ו 2 . טוx 0 . ידx 4 . יגx 5 , x 0 . יבx 0 .יא 3 x 2 , 0 x 25 . כx 0 . יטx 3 , x 1 . יח4.5 x 4.5 .יז . x 5 , x 5 . טזx 2 a 1 , b 7 )26 a 2 , b 1 )25 a 1 , b 2 )24 . -16 . ד- 7 . ג3 . ב2 .) א23 2 1 5 28 . ו .ה . ד66 . ג3.5 . ב3.5 .) א27 9 16 6 20 . 9,36 , , . ו 2, 2 9 27 1 10 10 1 , , . ה 4, 2 . ד , . ג 8,5 . ב1,1 .) א28 9 27 36 72 2 נפסלתx 2 הנקודה. 2, 252 . בm .) א30 2,12 . ב 1, 2 .) א29 28 1 28 1, 6 )33 5, 4 .) א32 4,1 .) א31 m 0 . ג.עקב העלאה בריבוע 1 3 2 . בy 5.5x 3.5 .) א35 . 0,0 , 2.25, 4.5 )34 3 1 2 5 5 y x 1 . וy 4 x 2 . הy 1.25x 2 .ד 3 3 18 6 . y 38x 104 . גy x . y 0.5x-8 . ב16,0 , 0,0 .) א36 . y 2 x 4 . חy 3.75x 4.5 .ז 1 1 . ב , 0 0, 0 .) א37 36 36 2 . 0,0 , 1,0 .) א41 y 3x 4 . ב 0, 4 .) א40 y x 3 . ב 0,3 .) א39 3 2 3 .6.75 . ג 0,-3 , 4.5,0 . בy x-3 .) א38 y x- 3.825. . ג 0, 1.35 . בy 3.4 x 1.35 .) א42 . A(5, 6) . גy 1.5x 1.5 .ב . הגרף עובר בראשית הצירים. y 3 3 x : משוואת המשיק. ב2 x 6 .) א43 1 . בm 2.4 .) א44 15 1 1 .0.5. גy x 1 . ב 0,1 .) א46 4.225. בy 1 x 3 .) א45 4 4 . מתקבל פתרון שנפסל עקב העלאה בריבוע. לא. גy 2.4 x 8 y 4 x 0.25 . גy 5x 4 . בy 0.5x 6 .) א48 . y 1.5x 3.5 .ב y .) א47 . 9 y x 64 . ג 0,0 , 64,0 .( ב1, 7) .) א49 y x 1.75 .ד 3,12 . בy 20 x 48 .) א51 2, 0 .ב y x 37.5 .ג 3 25, 25 . ב 0,0 , 100,0 .) א50 4 x 8 .ג 3 4, 0 . בx 4 , x 0 .) א55 . y 0.5x 1 . ד 1,0.5 .ג x 2 .) א54 y 2 x 36 .) א53 y 3x 2 )52 y 325 . 0.75, 0.75 .) א57 . y 6 . ג 9, 6 . בx 0 , x 1 .) א56 . A 0.25,0.5 , B 0.25,1.5 . דy x 3 , y 3x 1.25 3 .ג 3 4 1 1 1 1 x 6 1 , y x 6 7 . בA 6, 2 6 4 , B 6, 2 6 4 .) א58 6 2 6 2 . A B 4 )61 A 1 , B 2 )60 .-64 . ו2,5 . ה1 . ד20 . ג15 . ב4 .) א59 .y . 7 y 3x 65 . ד. לא. גa 2 .( ב11,14) .) א63 . S 6 . גy 13 x 2 . בa 2 .) א62 . אין עוד נקודות חיתוך בניהם. גx 0 . בk 3 .) א64 . y 11.9x 42.8125 , y 10.5x 34.0625 .ד . y 0.74 x 0.1352 . ג 0.6, 0.57 . כן. בk 0.48 .) א65 1 . A B 2 )67 0, . בA 9 , B 9 .) א66 4 9 3 4 9 . y x 2 . גy 2.25x 0.25 . בA 1 .) א68 . 4, .ג. y x . בx 4 , A 16 .) א69 72 18 9 4 1 . .S 7 y . גy 0.5x 0.5 . ב 0,0 , 1,1 .) א70 5 x 3 , y 6.5 2 2 x . בA 5.5, 2 .) א71 . גy 2 8 4 2 y 5 . גA 10 .) ב73 y 0.25x 0.25 . ג 0,0 , 1,0 . בk 1 , f ( x) 2, 0 .) א76 x x .) א72 2 4 y 0.125x 2.375 . ג 3, .) ב75 A 1 , B 7 )74 2 4 x 4 2 . ג. f '( x) 0 : מאחר שאין פתרון למשוואה, לא.ב 2 Min(0,0) , Max(1.6,1.619) , Min(2,0) . בMax(0,0) , Min(0.25,-0.25) .) א77 . S 4 2 . דy . Min(0, 0) , Max 3, 1 . הMax(0, 4) , Min(2,0) , Min(-2,0) . דMin(2, 21) .ג 2 3 . Max -4, . ח. אין קיצונים כלל. זMax(0, 0) .ו 50 -4 . x 4 : יורדתx 1 : עולה. גMin 4,0 , Min 1,0 . בx 4 , x 1 .) א78 . x 1.5 : יורדתx 1.5 : עולה. גMin 1.5,1.5 . בx כל.) א79 . x 3 : יורדתx 0 : עולה. גx 3 , x 0 .) א80 . x 1 : יורדת0 x 1 : עולה. גMax 1,1 , Min 0,0 . בx 0 .) א81 . אין. ה. 0,0 , 4,0 .ד 326 . 1 1 1 1 1 1 1 x : יורדתx : עולה. גMax , , Min , 0 . בx .) א82 16 8 8 16 16 8 8 . אין. ה , 0 .ד 8 1 5 5 - x -1 , x 0 : עולה. גMin - ,0 4 4 5 ,Max -1,1 ,Min 0,0 . בx - .) א83 4 . אין. ה. - , 0 0, 0 . ד-1 x 0 :יורדת 4 5 . Min 1,0 , Min 0,0 , Min 1,0 , Max -0.57,0.62 . ב1 x 0 , x 1 .) א84 . 0,0 , 1,0 , 1,0 . ד0.57 x 0 : יורדת1 x 0.57 , x 1 : עולה.ג . אין.ה Max 2, 2 ,Min 1.75, 2.004 . ב. x כל.) א85 . אין. ה. 0, 0 . ד2 x 1.75 : יורדתx 2 , x 1.75 : עולה.ג . אין. ה. אין. ד. עולה בכל תחום הגדרתה. גMin 1,3 . בx 1 .) א86 . x 2 : יורדת0 x 2 : עולה. גMin 0, 0 , Max 2, 2 . בx 0 .) א87 4 . אין. ה. 0, 0 .ד . x 2 . ה. 0, 0 . ד. יורדת בכל תחום הגדרתה. גMax 0,0 . בx 0 , x 2 .) א88 x 0 : יורדת8 x 0 : עולה. גMin 8, 0 . בx 8 , x 0 .) א89 . x 0 . ה. 8,0 .ד x 10 . ה 0, 0 . ד. עולה בכל תחום הגדרתה. ג. אין קיצון. בx 10 .) א90 . אין. ה. 0, 0 . דx 0 : יורדתx 0 : עולה. גMin 0, 0 . ב. x כל.) א91 4 3 x 0 : יורדת0 x 3 : עולה. גMin 0, . ב3 x 3 .) א92 3 4 . x 3 . ה 0, , 2, 0 .ד 3 327 סקיצות של שאלות :81-92 )93א 0 x 16 .ב Min(0,0) , Min(16,0) , Max(8,8) .ג .עולה. 0 x 8 : יורדת. 8 x 16 : )94א 0 x 36 .בMax(0,0) , Max(36,0) , Min(18, 36) . ג .עולה .18 x 36 :יורדת. 0 x 18 : )95א x 1 , x 4 .ב Min(1,0) , Min(4,0) .ג .עולה . x 4 :יורדת . x 1 :ד. (0, 2) . )96א x 25 , x 1 .ב Min(1,0) , Min(25,0) .ג .עולה . x 1 :יורדת. x 25 : סקיצות של שאלות:93-96 : )97א k 3 .ב 2 x 8 .ג .כן – ישנן נקודות קיצון קצה. Min 2, 3 , Max 8, 3 : ד .עולה . 2 x 5 :יורדת. 5 x 8 : )98א k 4 .ב 3 x 3 .ג .כן – ישנן נקודות קיצון קצה. Min 3,0 , Max 3,0 : ד .עולה . 3 x 0 :יורדת. 0 x 3 : )99א x 1 .ב Max(1,0) , Min(0, 1) .ג. 1,0 , 3,0 . ד .עולה . x 0 :יורדת. 1 x 0 : )100א . k 2 .ב . x 5.5 .ג .כן – ישנה נקודת קיצון קצה. (5.5, 7.5) : לא קיימת נקודת קיצון מקומית מאחר ש x 5 -המתקבל בעת השוואת הנגזרת לאפס נפסל כי אינו מקיים את המשוואה המקורית .ד. (1, 0) . הנקודה שבה x 7אינה מקיימת את המשוואה המקורית ולכן נפסלת. )101א . k 12 .ב . Min(4, 12) , Max(0,0) .ג .עולה . x 4 :יורדת. 0 x 4 : )102א . k 4 .ב . (1,3) .ג . Min(0,0) , Max(4, 4) .ד. 0,0 , 16,0 . )103א . x 0 .ב . Min(4, 6) , Max(0,0) .ג .עולה x 4 :יורדת. 0 x 4 : ד. 0, 0 , 3 1024, 0 . 328 )104א . k 2 .ב .יש קיצון קצה . (0, 4) -ג .עולה בכל תחום הגדרתה .ד. (1, 0) . )105א . 0 x 16 .בMin(0, 4) , Max(8, 2 8) , Min(16, 4) . ג .עולה , 0 x 8 :יורדת. 8 x 16 : )106א . k 1 .ב . 0 x 4 .ג .לא .ד .אין קיצונים. )107א .יש להראות כי הנגזרת מורכבת מחיבור של שני ביטויים שחיוביים תמיד ומכאן שסימן הנגזרת חיובי והפונקציה עולה בכל תחום הגדרתה. - f '( x ) 2 1 x 91 2 x הנגזרת בנויה משני ביטויים חיוביים. ב . 0 x 4.5 .ג . m 2 .ד. Min(0, 1) , Max(4.5, 2 4.5) . )108א . 4 x 4 .ב . Min(4, 4) , Max( 8, 2 8) , Min(4, 4) .ג. 0, 4 , 8, 0 . )109א . k 1 .ב . 8 x 8 .ג. Min 8, 8 , Max 2, 4 , Min 8, 8 . ד .עולה , 8 x 2 :יורדת. 2 x 8 : )110א x 2 .ב .אין נקודות קיצון .ג . 2, .ד .אין נקודות חיתוך עם הצירים. 8 1 1 ו. 8 .m 1 . Min 2 , 0 , Max 3,ג. 2, 0 . )111א . x 0 , x 2 .ב . 27 )112א . a 1 .ב . 3 x 3 .ג. 1.5, 3 . ד .יורדת . 3 x 1.5 :עולה. 1.5 x 3 : סקיצות של שאלות ( 101-111אלו שיש בהן גרף): 329 )113א .1הטענה אינה נכונה. תחומי ההגדרה הם. f ( x) : x k ; g ( x) : x k ; h( x) : x k : .2הטענה אינה נכונה. 1 הפונקציה f ( x) :עולה תמיד שכן 0 : 2 xk x 2k g '( x) הפונקציה g ( x) :גם עולה תמיד שכן 0 : 1.5 x k . f '( x) כי הנקודה x 2kאינה בתחום ההגדרה וערך הנגזרת בתחום ההגדרה חיובי .לפונקציה h( x) :יש נקודת מינימום ב x 23 k -אשר בתוך תחום הגדרתה ולכן היא יורדת בעבור. k x 23 k : .3הטענה אינה נכונה. נקודות החיתוך. f ( x) : k ,0 ; g ( x) : 0,0 ; h( x) : k,0 , 0,0 : 1 ב.1 . k , g '(0) 1 2 k )114א . 2 x 0 , x 2 .ב. . k 4 .2 . f '(0) ג. I g ( x) , II f ( x) , IV h( x) . x2 4 x x2 4 2 2 x 4 2 . f '( x) ד .נקודות החיתוך של ) f ( xעם ציר ה x -ונקודות המאפסות את הנגזרת של ). f ( x ה .1 .לא .ל f ( x) -אין נק' קיצון והנקודה 0, 0 אינה קיצון בעבור ). g ( x .2יורדת בכל תחום הגדרתה .ו.I . 330 תרגילים העוסקים בפונקציות טריגונומטריות: מעבר בין מעלות לרדיאנים: להלן נוסחאות המעבר בין זווית הנתונה במעלות לזווית הנתונה ברדיאנים ולהיפך: ממעלות לרדיאנים: מרדיאנים למעלות: R 180 180 R )1לפניך מספר זוויות הנתונות ברדיאנים ,כתוב את ערכן במעלות: א . ב. ה. 5 5 ט. 12 ג. 3 ז. 9 7 יא. 3 0.5 6 3 2 ו. י. ד. 4 ח. 12 7 יב. 6 )2לפניך מספר זוויות הנתונות במעלות ,כתוב את ערכן ברדיאנים: א90 . ו115 . ג30 . ח225 . ב45 . ז135 . ה10 . י345 . ד20 . ט315 . )3חשב את ערכי הביטויים הבאים: 3 בsin . 2 3 וcos . 2 3 יtan . 2 אsin . 3 הcos . 3 טtan . 3 דsin . 4 חcos . 4 יבtan . 4 גsin . 6 זcos . 6 יאtan . 6 )4הצב בכל פונקציה את הערכים שלידה וחשב (הזווית נתונה ברדיאנים): 2 5 , א: y 2sin x . 3 2 ג. : y sin 2 x 8 , x , , , 12 3 ה: y 3sin x cos3x . 2 5 , ב: y 3cos x . 3 2 2 x , , , 3 2 ד: y cos 2 x . x , 0, 331 8 , x , , , 12 3 x , x , , 0, x , , 0, x , , 0, 4 x , , 0, 4 4 , , 4 4 , 4 3 4 3 , 4 3 , , 4 3 , 4 3 , 4 3 4 3 , 4 3 , , , 3 2 3 2 3 2 , 3 2 , 3 2 3 2 , , 3 2 3 2 , 3 2 , , , 2 2 3 , 2 2 , 3 : y cos 2 2 x 2 3 2 2 3 , 2 2 , 2 2 3 3 , , 3 2 2 3 : y cos 2 x .ח 2 3 : y sin 2 2 x .ט 2 2 2 , , , .ז , , , 3 : y sin 2 x 2 2 2 3 .ו , , 3 , , , , , 3 : y 4cos x sin 4 x 2 3 , , , , , , , , 2 2 , , , , , 4 3 3 , , , , 4 x , , 0, x , , 0, , x , , 0, 2 , 4 x , , 0, , 4 x , , 0, x , , 0, 4 , , 2 2 , .י 3 : y tan x .יא 2 , 3 : y tan 2 x .יב 2 , 3 : y tan 2 x .יג 2 , 3 : y sin x tan x .יד 2 , 3 : y cos x tan x .טו 2 :)) חשב את ערכי הביטויים הבאים (הזווית נתונה ברדיאנים5 x 1, 2,3 : y cos x .ב x 1, 2,3 : y sin x .א x -1,-2.5,-5 : y sin x .ד x -1,-2.5,-5 : y tan x x 1, 2,3 : y tan x .ג x -1,-2.5,-5 : y cos x .ה .ו x -1,-0.5,3 : y cos 2 x sin 2 x .ח x 2,4,5 : y tan 2 x sin 3x .ז :)) הצב בפונקציות הבאות את ערכי הזוויות שלידן (הזויות ברדיאנים6 x 0,1, 2 : y x cos x .ב x 0,1, 2 : y x sin x .א x 1.5, 2.5, 3 : y x2 cos x .ד x 6, 0.3, 0.25 : y x sin x 2 x 1.5, 2.5, 3 : y x2 sin x .ג x 1, 3,0.5 : y x2 tan x 1 .ה .ו 332 x -0.5,1, 2.6 : y 2 x cos 2 x x 1, 2,3 : y x sin x .ח x 1, 1, 2, 2,3, 3 : y x tan x 2 .ז .י x 1, 2,3 : y x cos x .ט x 1, 1, 2, 2,3, 3 : y x2 cos x .יב x 1, 1, 2, 2,3, 3 : y x2 sin x .יא :תרגילים העוסקים בנגזרות יסודיות :) גזור את הפונקציות הבאות7 y 2cos x .ב y cos x 5sin x .ד y tan x 3sin x .ו y x 2 2cos x .ח y sin x 3cos x x .י y 3sin x .א y 2 tan x .ג y 4sin x 3cos x .ה y sin x 2 x .ז y 3x 3tan x .ט :) גזור את הפונקציות הבאות8 y cos 4 x .ב y sin 3x 2cos5x .ד y tan 5x sin 3x .ו y 3x 3cos 2 x .ח y cos 0.4 4 x .י y sin 3x .א y tan 2 x .ג y 4sin 3x cos 2 x .ה y sin 3x x2 3x .ז y sin 3x .ט :) גזור את הפונקציות הבאות9 y x cos x .ב y x 2 cos x .ד y x 3 sin x .ו y cos x 1 sin x 2 .ח y cos x 1 tan x 1 y x sin x .א y 2 x tan x .ג y 2 x sin x 4 tan x .ה y cos x sin x .ז .י y cos x sin x 1 .ט y x 2 3 tan 4 x .יב y sin 3x cos 2 x 1 .יא 333 y sin x .יד cos x 2 y sin x .טז sin x 5 y cos x .טו tan x 3 cos 2 x .יח 1 sin 2 x y cos x 2 .יז sin x sin x .כ sin x 1 y cos 3x 1 .יט sin x 2 y y y sin x .יג x :) גזור את הפונקציות הבאות10 y cos2 x .ב y sin 2 x .א y sin 3 x .ד y tan 2 x .ג .ו y 2cos4 x .ה y cos2 2 x .ח y sin 3 2 x .ז y tan 2 4 x y x sin 2 x .י y x cos x 2 .ט y sin 2 x cos2 x .יב y x2 sin x cos2 x .יא y sin 4 2 x cos4 2 x .יד y sin 4 x cos4 x .יג y x 3 sin x .טז y x sin x .טו 2 y sin x .יח cos 2 x 1 2 y cos 2 x 1 .יז sin x :שאלות העוסקות בשימושי הנגזרת : בנקודות הבאותy sin x :) מצא את שיפוע הפונקציה11 x .ב x 0.5 .ג x 0 .א : בנקודות הבאותy 3cos 2 x :) מצא את שיפוע הפונקציה12 x .ג x 0.5 .ב x 0 .א 334 )13מצא את שיפוע הפונקציה y tan x cos x :בנקודות הבאות: א. x0 ב. 3 .x ג. 4 x )14מצא את שיפוע הפונקציה y x sin 3x :בנקודות הבאות: א. 6 2 ב. 3 x .x ג. 4 x x )15חשב את הזווית הנוצרת בין שיפוע המשיק לגרף הפונקציה cos 2 x : 2 בנקודה שבה: 3 y x וציר ה. x - )16חשב את הזווית הנוצרת בין שיפוע המשיק לגרף הפונקציהy sin x tan x : בנקודה שבה: 4 x והכיוון החיובי של ציר ה. x - )17מצא את הזווית הנוצרת בין המשיק לגרף הפונקציה y sin x cos x :בנקודות הבאות והכיוון החיובי של ציר ה: x - א. x0 ב. 2 x ג. 4 x ד. 6 x )18מצא את משוואת המשיק לגרף הפונקציה y cos x :בנקודה שבה: )19מצא את משוואת המשיק לגרף הפונקציה y sin 2 x :בנקודה שבה: )20מצא את משוואת המשיק לגרף הפונקציה y tan 3x :בנקודה שבה: sin x 1 )21מצא את משוואת המשיק לגרף הפונקציה: 2 6 .x 2 9 y בנקודה שבה: )22מצא את משוואת המשיק לגרף הפונקציה y tan 3x x :בנקודה שבה: 335 .x .x 4 .x 4 .x )23מצא את משוואת המשיק לגרף הפונקציה y x2 cos x :בנקודה שבה: 2 .x )24מצא את משוואת המשיק לגרף הפונקציה y sin x cos x :בנקודה שבה. x : 2 sin x )25מצא את משוואת המשיק לגרף הפונקציה: sin x 1 2sin x 2 )26באיור שלפניך נתונה הפונקציה: 3 y בנקודה שבה: 4 .x f x בתחום. : : מעבירים משיק לגרף הפונקציה f x מנקודת החיתוך שלה עם ציר ה. y - א .מצא את שיעורי נקודת החיתוך של הפונקציה עם ציר ה . y - ב .כתוב את משוואת המשיק. ג .מצא את נקודת החיתוך של המשיק עם ציר ה. x - )27נתונה הפונקציה f x x cos2 x :בתחום. : : 2 2 מעבירים משיק לגרף הפונקציה f x מהנקודה שבה: 4 .x א .כתוב את משוואת המשיק. ב .מצא את נקודות החיתוך של המשיק עם הצירים. )28מצא את משוואות המשיקים לגרף הפונקציה f x 4sin 2 x :בנקודות החיתוך של הפונקציה עם הישר y 1בתחום.0 : : )29נתונות הפונקציות f x 4cos x :ו g x sin 2 x -בתחום. 0 x 2 : א .מצא את נקודות החיתוך שלהן בתחום הנתון. ב .מצא את משוואות המשיקים לגרף הפונקציה f x העוברים דרך נקודות החיתוך שמצאת בסעיף הקודם. 336 )30נתונות הפונקציות f x 2sin 2 x :ו g x sin x 1 -בתחום. 0 x 1.5 : א .מצא את נקודות החיתוך שלהן בתחום הנתון. ב .מצא את משוואות המשיקים לגרף הפונקציה f x העוברים דרך נקודות החיתוך שמצאת בסעיף הקודם. )31מצא את משוואות המשיקים לגרפים של הפונקציות הבאות בעלי השיפוע הנתון: א m 2 ; f x 2sin x .בתחום. 0 : : 2 ב m 2 ; f x sin 4 x .בתחום. 0 : : 4 ג m 2 ; f x 3x cos x .בתחום. : : 2 2 ד m 1.5 3 ; f x sin 2 x cos 2 x .בתחום. 0 : : 2 )32נתונה הפונקציה . f x 1 sin 2 x :מצא עבור אלו ערכים של xבתחום0 : 2 : שיפוע המשיק לגרף הפונקציה הוא .-1 )33מצא את משוואת המשיק לגרף הפונקציהf x cos 2 x 3 : המקביל לישר y x 3 :בתחום.0 : : )34מצא את משוואת המשיק לגרף הפונקציהf x 3tan x 2 : המקביל לישר y 3x 2 :בתחום. 0 : : 1 3 )35מצא את משוואות המשיקים לגרף הפונקציהf x sin 4 x cos 2 x : 4 2 בתחום 0 : :בעלי השיפוע .-1 שאלות עם פרמטרים – שימושי הנגזרת: )36נתונה הפונקציה a ( f x a sin x cos3x :פרמטר) בתחום.0 : 2 : שיפוע המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה: 337 3 x הוא .2מצא את . a )37נתונה הפונקציה a ( f x a cos 2 x cos3x :פרמטר) בתחום.0 : 2 : שיפוע המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה: 3 x הוא . 3מצא את . a )38שיפוע המשיק לגרף הפונקציה f x a tan x :בנקודה שבה x הוא .3 א .מצא את . a ב .כתוב את משוואת המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה . x )39לגרף הפונקציה a ( f x sin x a cos x :פרמטר) מעבירים משיק מנקודת החיתוך שלה עם ציר ה . y - א .הבע באמצעות aאת משוואת המשיק. ב .מצא את aאם ידוע כי שיפוע המשיק הוא 1וכתוב את משוואת המשיק. 1 )40נתונה הפונקציה הבאה: sin x k k ( f x פרמטר חיובי). 3 ידוע כי שיפוע הפונקציה בנקודה שבה x :הוא: 6 8 א .מצא את kוכתוב את משוואת המשיק. . ב .מצא את נקודות החיתוך של המשיק עם הצירים. ג .חשב את שטח המשולש שהמשיק יוצר עם הצירים. k )41נתונה הפונקציה הבאה 2sin 2 x : cos x k ( f x פרמטר חיובי). 2 מעבירים משיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה: 3 .x א .הבע באמצעות kאת שיפוע המשיק. ב .המשיק מאונך לישר . 8 y x 4 :מצא את . k ג .כתוב את משוואת המשיק. 2 )42נתונה הפונקציה הבאה: a tan x a ( f x פרמטר). 2 א .הראה כי נגזרת הפונקציה היא: a sin 2 x . f ' x ב .ידוע כי שיפוע המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה: 6 מצא את . a 338 x הוא .-4 חקירות פונקציה טריגונומטרית: תחומי הגדרה: )43כתוב את תחום ההגדרה של הפונקציות הבאות בתחום :0 : 2 אy sin 2 x 5 . ג. בy 3 cos x . דy tan x sin x . y tan x הy tan 2 x 2cos x . ז. 1 sin 2 x 3 ח. cos x y x ט. sin x 1 y cos x יא. 4sin 2 x 3 י. y x 2 4sin x cos x יג. sin 2 x 1 12 טו. tan x ו. y tan 2 x tan x y sin x sin 2 x 0.5 cos x 2 יב. cos 2 x 1 6 יד. cos x 4 y 7 טז. tan 2 x y 1 יח. sin x cos x y y )44הפונקציה a ( y tan ax 3 :פרמטר) אינה מוגדרת עבור: 2 )45הפונקציה: sin x a a ( y פרמטר) אינה מוגדרת עבור: sin x )46הפונקציה: a cos 2 x מצא את . a 2 y y 2 y 1 1 יז. sin x cos x y 4 6 . x מצא את . a . x מצא את . a a ( y פרמטר חיובי) אינה מוגדרת עבור. x 0 : נקודות קיצון: )47מצא את נקודות הקיצון המקומיות של הפונקציות הבאות בתחום הנתון: א[0 : 2 ] : y sin x . ב[0 : 2 ] : y cos x . ג[ : ] : y tan x . ד[0 : ] : y 2sin 2 x . ה[0 : 0.5 ] : y 2cos3x 3x . ו. 339 [0 : ] : y 2sin x x 3 2 )48מצא את נקודות הקיצון המקומיות של הפונקציה: sin x y בתחום. [0 : 2 ] : 4 )49מצא את נקודות הקיצון המקומיות של הפונקציה: cos x y בתחום. [ : ] : )50מצא את נקודות הקיצון המקומיות של הפונקציה y sin 2 x :בתחום. [0 : ] : )51מצא את נקודות הקיצון המקומיות של הפונקציה y cos2 x 2 :בתחום. [0 : ] : )52מצא את נקודות הקיצון (מקומיות וקצה) של הפונקציהy sin x cos x : בתחום [0 : 2 ] :וקבע את סוגן. x )53מצא את נקודות הקיצון (מקומיות וקצה) של הפונקציה: 2 בתחום [0 : 2 ] :וקבע את סוגן. y sin x )54מצא את נקודות הקיצון המקומיות וקיצון הקצה של הפונקציות הבאות בתחום הנתון: א[0 : ] : y 3sin 2 x . ב[0 : ] : y 2cos x x . ג[0 : ] : y sin 2 x 5 . ד[0 : ] : y cos2 x cos x . )55מצא את נקודות הקיצון המקומיות וקיצון הקצה של הפונקציות הבאות בתחום הנתון וקבע את סוגן. א[0 : 0.5 ] : y cos 4 x 3 . ב[0 : ] : y sin x cos x . ג[0 : ] : y sin 2 x 2cos x . ד[0 : 0.5 ] : y cos2 x 2 sin x . 2 3 )56מצא את נקודות הקיצון המוחלטות של הפונקציה f x sin 2 2 x x :בתחום. [0 : ] : 1 1 )57מצא את נקודות הקיצון המוחלטות של הפונקציהf x sin 5 x sin 3 x 2sin x : 5 3 בתחום. [0 :1.5 ] : sin x 1 )58מצא את נקודות הקיצון המוחלטות של הפונקציה: sin x 1 340 f x בתחום. [0 : 2 ] : )59מצא את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה f x sin 2 x :בתחום. 0 : : cos x 1 )60מצא את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה: 3 f x בתחום. 0 : : )61מצא את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה f x tan x sin x :בתחום. 0 x : )62מצא את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה f x cos2 x :בתחום. : : )63הוכח כי הפונקציה f x tan x sin x :אינה יורדת כלל. )64הוכח כי הפונקציה f x sin x 2 x :יורדת לכל . x )65נתונה הפונקציה a ( f x sin x ax :פרמטר). א .מצא תחום ערכים של aעבורם הפונקציה תמיד עולה. ב .מצא תחום ערכים של aעבורם הפונקציה תמיד יורדת. ג .האם בקצוות התחומים שמצאת עבור aבסעיפים הקודמים ,הנקודות שמקיימות f ' x 0 :הן נקודות קיצון? )66נתונה הפונקציה a ( f x a cos x x 3 :פרמטר). 2 לפונקציה יש נקודת קיצון שבה: 3 . x מצא את . a )67נתונה הפונקציה a ( f x a sin 2 x cos x :פרמטר). לפונקציה יש נקודת קיצון שבה: 6 . x מצא את . a 7 )68לפונקציה f x a sin x b sin 3 x :יש נקודת קיצון ששיעוריה הם, 1 : 6 מצא את ערכי הפרמטרים aו .b - . 341 אסימפטוטות אנכיות: )69מצא את האסימפטוטות האנכיות לפונקציות הבאות בתחום המצוין לידן: 1 א. sin 3x 1 1 . [0 : ] : f x ב. sin x cos x . [0 : ] : f x ג.[ : ] : f x tan x . 1 )70לפונקציה: sin ax 0.5 a ( f x פרמטר בתחום ) 0 : 3 :אסימפטוטה אנכית: א .מצא את . a ב .הראה כי אם האסימפטוטה הייתה: 18 x אז היה מתקבל ערך a הגדול פי 3מזה שמצאת בסעיף הקודם. 3 )71נתונה הפונקציה: cos 2 x a a ( f x פרמטר). א .הסבר מדוע עבור a 1 :הפונקציה מוגדרת לכל . x ב .האם הפונקציה מוגדרת לכל xעבור תחום ערכים נוסף של ? aאם כן – מהו? אם לא – נמק. ג .מצא את aאם ידוע כי לפונקציה יש אסימפטוטה אנכית. x 0.5 : cos x )72נתונה הפונקציה: a sin 2 x 3 a ( f x פרמטר) בתחום. 0.5 : 0.5 : א .מצא את aאם ידוע כי לפונקציה יש אסימפטוטה אנכית: ב .הראה כי לפונקציה יש אסימפטוטה אנכית הנגדית ל- 342 3 3 .x x בתחום הנתון. 6 .x חקירות חלקיות שונות ללא פרמטרים: )73נתונה הפונקציה f x x 3 2sin 2 x :בתחום. 0.5 : 0.5 : א .הוכח כי נגזרת הפונקציה היא. f ' x 3 2sin 2 x : ב .מצא את נקודות הקיצון של הפונקציה (מקומיות וקצה) וקבע את סוגן. ג .כתוב את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה. )74נתונה הפונקציה f x x cos x x :בתחום. 3 : 3 : א .מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם ציר ה . x - ב .הראה כי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם ציר ה x -מאפסות את הנגזרת של הפונקציה. ג .קבע אלו נקודות מנקודות החיתוך הן קיצון ואלו אינן קיצון .מצא את סוג הקיצון בכל מקרה. )75נתונה הפונקציה f x 2sin 2 2 x sin 4 x :בתחום.0 : : א .בכמה נקודות חותך גרף הפונקציה את ציר ה x -בתחום הנתון? ב .כמה נקודות קיצון יש לגרף הפונקציה בתחום הנתון? מצא אותן וקבע את סוגן. sin 2 x 1 )76נתונה הפונקציה: 2 f x בתחום. 0.5 : 0.5 : א .מצא את כל הנקודות על גרף הפונקציה בתחום הנתון ששיפוע המשיק 3 העובר דרכן הוא 2 . ב .הראה כי הערך המקסימלי של הפונקציה בתחום הנתון הוא .1 ג .כתוב את משוואת המשיק העובר דרך נקודת המקסימום המוחלטת של הפונקציה בתחום הנתון ודרך הנקודה שמצאת בסעיף א' הנמצאת ברביע השני. )77נתונה הפונקציה. f x sin x cos x : 2 א .הראה כי הנגזרת של הפונקציה היא. f ' x 2cos 2 x : ב .הוכח כי גרף הפונקציה לא יורד מתחת לציר ה. x - ג .מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם ציר ה x - בתחום. 2 : 2 : 343 )78נתונה הפונקציה. f x x sin x x sin x : א .הראה כי הנגזרת של הפונקציה היא. f ' x 2 x sin 2 x : ב .הראה כי הנקודה שבה x 0היא נקודת מינימום של הפונקציה. ג .מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה f x עם גרף הפרבולה g x x 2 :בתחום. 1.2 :1.2 : )79נתונות הפונקציות הבאות. g x x2 sin 2 x ; f x x 2 cos2 x : א .הוכח כי ההפרש f x g x :שווה ל . cos 2x - ב .מצא את נקודות החיתוך של הפונקציות בתחום. : : ג .ישר t ( x tפרמטר בתחום ) 0 t 1 :חותך את הגרפים של הפונקציות f x ו g x -בנקודות Aו B-בהתאמה .דרך הנקודות Aו B-מעבירים משיקים לפונקציות .ידוע כי ההפרש בין שיפוע המשיק לגרף הפונקציה f x ושיפוע המשיק לגרף הפונקציה g x הוא .1מצא את כל הערכים האפשריים עבור . t חקירות חלקיות שונות עם פרמטרים: )80נתונה הפונקציה a ( f x a cos 2 x 2sin x :פרמטר) בתחום.0 : : ידוע כי שיפוע המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה: 4 x הוא. m 2 2 : א .מצא את . a ב .מצא את נקודות הקיצון (מקומיות וקצה) של הפונקציה בתחום הנתון וקבע את סוגן. ג .כתוב את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה. )81נתונה הפונקציה a ( , f x sin 2 x a sin x :פרמטר) בתחום.0 : : ידוע כי לגרף הפונקציה יש נקודת קיצון שבה: 4 .x א .מצא את aוכתוב את הפונקציה. ב .מצא את שאר נקודות הקיצון של הפונקציה בתחום הנתון וקבע את סוגן. ג .מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם ציר ה x -בתחום הנתון. 344 1 a )82נתונה הפונקציה a ( f x sin x cos ax :פרמטר שלם ושונה מ.)0- x הוא .0.5 ידוע כי שיפוע המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה: א .מצא את . a ב .כתוב את משוואת המשיק. ג .מצא את נקודת הקיצון המקומית של גרף הפונקציה בתחום. 0 x : )83נתונה הפונקציה k ( f x sin3 x k sin x :פרמטר) בתחום. : : 3 שיפוע המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה x :הוא 8 3 . א .מצא את . k ב .מצא את נקודות הקיצון של הפונקציה בתחום הנתון וקבע את סוגן. ג .היעזר בסעיפים הקודמים וקבע האם יש למשוואהsin3 x 3sin x 3 : יש פתרון .אם כן מהו? 1 m )84נתונה הפונקציה, f x cos x sin mx : m פרמטר בתחום. 1 m 3 : הנגזרת של הפונקציה מתאפסת כאשר. x 0.5 : א .מצא את . m ב .האם הנקודה שבה x 0.5 :היא נקודת קיצון? אם כן קבע את סוגה. אם לא נמק מדוע. ג .מצא כמה נקודות קיצון מקומיות יש לגרף הפונקציה בתחום. 0 x 2 : ד .מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם ציר ה x -בתחום. 0 x 2 : )85נתונה הפונקציה a ( f x a sin 2 x 5sin x ax :פרמטר) בתחום.0 : : ידוע כי הישר y ax 2 :חותך את גרף הפונקציה בנקודה שבה: א. ב. ג. ד. 6 .x מצא את aוכתוב את הפונקציה. מצא נקודה על גרף הפונקציה בתחום הנתון שבה שיפוע המשיק הוא .2 האם קיימות נקודות נוספות בתחום הנתון ששיפוע המשיק העובר דרכן הוא ?2נמק את תשובתך. כתוב את משוואת המשיק העובר דרך הנקודה שמצאת. חקירת מלאות: )86חקור את הפונקציות הבאות בתחום המצוין לידן לפי הסעיפים הבאים: .1תחום הגדרה .2 .נקודות קיצון (מקומיות וקצה) .3 .תחומי עלייה וירידה. .4נקודות חיתוך עם הצירים (במידה ויש) .5אסימפטוטות אנכיות .6שרטוט. 345 * הערה :אין צורך למצוא נקודות חיתוך עם ציר ה x -בסעיפים א' ו-ג'. א0 : 2 : f x x 2cos x . ג. ב : : f x sin 2 x cos x 1 . 2 6 : 3 : f x 4 x 3tan x ד. 1 1 cos x sin x 0 : : f x )87נתונה הפונקציה f x x 1 2sin x :בתחום.0 : 2 : א .מצא את נקודות הקיצון (מקומיות וקצה) של הפונקציה בתחום הנתון וקבע את סוגן. ב .כתוב את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה. ג .סרטט סקיצה של גרף הפונקציה. )88נתונה הפונקציה f x 2sin 2 x sin x 1 :בתחום.0 :1.5 : א. ב. ג. ד. מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים בתחום הנתון. מצא את נקודות הקיצון (מקומיות וקצה) של הפונקציה בתחום הנתון וקבע את סוגן. כתוב את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה. סרטט סקיצה של גרף הפונקציה. )89נתונה הפונקציה f x cos2 x cos x 2 :בתחום.0 : 2 : א. ב. ג. ד. מצא את נקודות החיתוך של הפונקציה עם הצירים. מצא את נקודות הקיצון (מקומיות וקצה) של הפונקציה בתחום הנתון וקבע את סוגן. כתוב את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה. סרטט סקיצה של גרף הפונקציה. 3 5 : )90נתונה הפונקציה f x sin 2 x cos 2 x :בתחום: 8 8 . א .מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם ציר ה x - ב .מצא את נקודות הקיצון (מקומיות וקצה) של הפונקציה בתחום הנתון וקבע את סוגן. ג .סרטט סקיצה של גרף הפונקציה. 346 2 3 )91נתונה הפונקציה f x sin 3x x 2 :בתחום. 0 x : א. ב. ג. ד. מצא את נקודות הקיצון המקומיות של גרף הפונקציה בתחום הנתון. סרטט סקיצה של גרף הפונקציה בתחום הנתון. האם גרף הפונקציה חותך את ציר ה x -בתחום הנתון? היעזר בסעיפים הקודמים וקבע כמה פתרונות יש 2 3 למשוואה? sin 3x x 2 1 : )92נתונה הפונקציה f x sin x 1 cos x :בתחום. 0 :1.5 : א. ב. ג. ד. מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים. מצא את נקודות הקיצון (מקומיות וקצה) של גרף הפונקציה בתחום הנתון וקבע את סוגן. סרטט סקיצה של גרף הפונקציה. כמה פתרונות יש למשוואה sin x 1 cos x 1 :עבור xבתחום הנתון? sin x )93נתונה הפונקציה: sin x 2 f x בתחום. x : א .מצא את נקודות הקיצון המקומיות של הפונקציה בתחום הנתון. ב .מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם ציר ה . x - ג .סרטט סקיצה של גרף הפונקציה. sin 2 x 1 )94נתונה הפונקציה: sin x f x בתחום. 0.5 x 0.5 : א .מצא את האסימפטוטה אנכית של גרף הפונקציה בתחום הנתון. ב .הראה כי גרף הפונקציה עולה בכל תחום הגדרתו בתחום הנתון. ג .סרטט סקיצה של גרף הפונקציה. 347 :תשובות סופיות .י 270 . .1 .יב 75 .ט .ח 20 .ז 30 .ו 36 . ה45 .ד 60 . ג90 . ב180 .) א1 . 210 . יב420 .יא 23 7 5 23 3 . י . ט . ח .ז .ו .ה .ד .ג .ב .) א2 12 36 18 4 4 9 6 4 2 4 3 . יא .י 3 .1, 15 3 .ט 2 .ח 2 3 1 . ז0 .ו .ה 2 2 2 1 .ד . ג1 .ב 2 2 3 .) א3 2 3 1 2 1 3 2 , , . ד. 0, , , . ג. - 3 , -3 , -1.5 , 0 . ב. 0, 0, 3 , 2 .) א4 2 2 2 2 2 2 .-4 , -4 , 4 , 0 , 0 , 0 , 0 .ו 1 1 1 1 2 2 4 4 1 1 . 1,1,1, 0, 0, , , 0, 0, 0, 0 .י 4 4 1 , - 1 , -1.59 , 3 , -3 .ה 1 1 3 3 2 2 4 4 3 3 0, 0, 0,1,1, , , 0, 0, 0, 0 4 4 .1,1,1, , , , , 0, 0, 0, 0 . ח0, 0, 0, , , , ,1,1,1,1 .ז .ט . 0,0,0, , , 3 , 3 ,0,0,0,0 . יב0,0,0,1, 1, 3 , 3 , , , , .יא . 0,0,0,1.707, 1.707, 2.59, 2.59, , , , . יד. 0,0,0,1,1,3,3, , , , .יג . 1, 1,1,1.707, 0.2928, 2.23, 1.23, , , , .טו .1.55, 2.18, 0.142 . ג0.54, 0.416, 0.989 . ב0.841,0.9,0.141 .) א5 . 1.55,0.747,3.38 . ו0.54, 0.801,0.283 . ה0.841, 0.598,0.958 .ד . 1.325, 0.301,0.68 . ח1.43, 6.26,0 .ז . 2.179,7.05,9.989 . ד1.252,5.651,9.14 . ג1,1.54,1.583 . ב0,1.84, 2.909 .) א6 . 0.841,1.818,0.423 . ח0.211, 2.5,32.132 . ז39.43,0,0 . ו3.55,10.14,1.796 .ה .1.557,1.557, 4.37, 4.37, 0.427, 0.427 . י0.54, 0.832, 2.969 .ט . 0.54,0.54, 1.66, 1.66, 8.9, 8.9 . יב0.84, 0.84,3.63, 3.63,1.27, 1.27 .יא 2 . גy ' 2sin x . בy ' 3cos x .) א7 cos 2 x 1 . y ' cos x 2 . זy ' 2 3cos x . וy ' 4cos x 3sin x .ה cos x 3 . y ' cos x 3sin x 1 . יy ' 3 2 . טy ' 2 x 2sin x .ח cos x . y ' sin x 5cos x . דy ' 348 2 . גy ' 4sin 4 x . בy ' 3cos3x .) א8 cos 2 2 x 5 3cos 3x . וy ' 12cos3x 2sin 2 x .ה y ' 3cos3x 2 x 3 . זy ' cos 2 5 x . y ' 4sin 0.4 4 x . יy ' 3cos 3x . טy ' 3 6sin 2 x .ח y ' 3cos3x 10sin 5x . דy ' 2x . גy ' cos x x sin x . בy ' sin x x cos x .) א9 cos 2 x 4 y ' 2 sin x x cos x . הy ' 2 x cos x x2 sin x .ד 2 cos x y ' cos 2 x cos x 2sin x . חy ' cos 2 x . זy ' 3 sin x x cos x .ו y ' 2 tan x y ' cos x y ' 2 x tan 4 x . y' 4 x 2 3 cos 2 4 x 3sin x cos x sin 2 x 1 cos x tan x 3 . y ' 2 . y' sin 2 x 1 1 sin 2 x cos x sin x 1 2 . יבy ' 3cos3x cos 2 x 1 2sin 3x sin 2 x .יא . טוy ' 2 2 1 sin x . יy ' cos 2 x sin x .ט cos2 x 1 2cos x cos x 2 . יחy ' . כ. y ' 2 . ידy ' x cos x sin x .יג x2 1 2cos x 5cos x . יזy ' .טז 2 2 sin x sin x 5 3sin 3x sin x 6sin 3x cos x cos 3x cos x sin x 2 2 .יט 2sin x . גy ' sin 2 x . בy ' sin 2 x .) א10 cos3 x 8sin 4 x . y ' 6sin 2 2 x cos 2 x . זy ' 3 . וy ' 8cos3 x sin x .ה cos 4 x . y ' 3sin 2 x cos x . דy ' . y ' x sin 2 x sin 2 x . יy ' 2 x cos x cos x x sin x .ט y ' 2sin 4 x .ח . y ' sin 4 x . יג. y ' 2sin 2 x . יב. y ' 2 x sin x x2 cos x sin 2x .יא . y ' 2 x sin x 1 cos x . טו. y ' 4sin 4 x .יד . y' sin 2 x sin x cos3 x cos x 2 . יז. y ' 3 sin x 2 x 3 sin x cos x .טז 2 sin x . y' 349 cos3 x cos x sin 2 x sin x cos 2 x 1 2 .יח .2.7 . ג4.866 . ב1 .) א13 .0 . ג0 . ב0 .) א12 .127.72 )16 1 2 .y x .y 12 . 65.86 )15 .0 . ג-1 . ב1 .) א11 -1.12 . ג4 . ב1 .) א14 3 )18 . 53.8 . ד54.73 . ג45 . ב45 .) א17 2 2 4 x 0.603 )21 . y 12 x 3 )20 . y 2 x )19 4 3 . y 2 x 1 2 )24 . y 2 3 . 1, 0 . גy x 2 4 x 3 8 )23 . y 5x 1 1.5 )22 2 2 . ב 0, .) א26 3 3 . y 0.2426 x 0.2236 )25 2.164, 0 , 0, 0.6168 . בy 0.285x 0.6168 .) א27 y 2 3x 0.813, y 2 3x 10.06 )28 3 y 4 x 6 , y 4 x 2 . ב , 0 , , 0 .) א29 2 2 7 1 y 2 , y x 3 5.848 . ב , 2 , , .) א30 2 6 2 . y 1.5 3x 3.97, y 1.5 3x 1.51 . דy 2 x 0.5 . גy 2 x . y 3x 1.034, y 3x 2.5 3 . בy 2 x .) א31 2 6 5 2 )33 3 .x , 6 6 )32 . y 3x 2, y 3x 3 2 )34 . y 3x 3 . בa 3 .) א38 a 1 )37 a 4 )36 y x 0.009, y x 1.657 )35 . a 2, y x 2 . בy x a .) א39 S 0.868 . ג 0, 0.613 , 2.83, 0 . בy . y 8 x 3 1 3 x , k 1.5 .) א40 8 2 48 16 3 3 . גk 3 . ב2 k 3 1 .) א41 3 350 3 5 4 7 4 3 3 2 2 2 2 . x , , , . הx , . דx , . גx כל. בx כל.) א43 . a 2 .) ב42 4 4 .x 3 3 3 . טx , . חx 0, , , , 2 . זx , .ו 2 2 2 2 2 2 2 4 5 19 7 23 11 , , , . x כל. יגx 0, , 2 . יבx , , , . יאx .י 3 3 3 3 12 12 12 12 2 . x 0,0.5 , ,1.5 , 2 . טזx 0, , 2 . טוx כל.יד . x 0,0.5 , ,1.5 , 2 . יחx 0,0.5 , ,1.5 , 2 .יז 0,1 , 2 ,1 , , 1 .ב 3 , 1 , ,1 .) א47 . a 1 )46 2 2 a 1 )45 2 a2 )44 7 3 , 0.09 . ו , 5.39 . ה , 2 , , 2 . אין ד.ג 6 18 4 4 ,1 , 0, 0 , , 0 )50 2 3 , 2 , , 2 )48 2 2 , 4 , , 4 , 0, 4 )49 . , 2 , ,3 , 0,3 )51 2 5 , 2 , max , 2 , קצהmin 0,1 )52 4 4 . קצהmax 2 ,1 , min 5 . קצהmax 2 , , min 3 , 3 5 2 6 3 , קצהmin 0, 0 )53 , max , 3 2 6 . קצהmin 0, 0 , max ,3 , min , 3 , קצהmax , 0 .) א54 4 4 3 . קצהmin 0, 2 , max , 2.25 , min , 0.886 , קצהmax , 2 .ב 6 6 5 . קצהmin 0, 5 , max , 4 , קצהmin , 5 .ג 2 . קצהmax 0, 0 , min , , קצהmax , 2 .ד 3 4 1 . קצהmax , 4 , min , 2 , קצהmax 0, 4 .) א55 2 4 351 . קצהmin , 1 , קצהmin 0,1 , max , 2 .ב 4 . קצהmax , 2 , קצהmin 0, 2 .ג . קצהmin 0,1 , max ,1.5 , קצהmin , 2 .ד 4 2 13 5 , 1.63 . מוחלטmax , 0.28 )56 . מוחלטmin 24 24 3 , 0 )58 2 מוחלטmax , 2 3 2 . מוחלטmax 3 3 x : יורדת, x , 0 x :) עולה59 4 4 4 4 .) יורדת בכל התחום60 3 4 2 2 , מוחלטmin , 2 )57 15 15 2 3 2 4 2 4 , x , x , x :) עולה62 .) עולה בכל התחום61 3 4 3 4 . לא. גa 1 . בa 1 .) א65 x , 0 x , x :יורדת 4 2 . b 4, a 3 )68 a .x , 2 2 1 )67 2 2 2 3 3 a2 )66 . גx 0, , . בx 0, , .) א69 . a 4 .) א72 a 1 .) ג71 a 3 . בa 1 .) א70 . min , 4.72 , max , 0.4 , min , 0.314 , max , 0.72 .) ב73 2 6 3 2 6 3 . x 2 6 3 2 : יורדת x , x : עולה.ג . פיתול 0, 0 , max 2 , 0 , min 2 , 0 . ג 0, 0 , 2 , 0 , 2 , 0 .) א74 . נקודות שונות5 .) א75 5 9 13 , 0.414 , max , 2.41 , min , 0.414 , max , 2.41 .ב 16 16 16 16 . min .y 352 9 5 1 3 x . ג , , , .) א76 7 14 12 4 12 4 . , 2 , , 2 .) ג78 1.25 ,0 , 0.25 ,0 , 0.75 ,0 , 1.75 ,0 .) ג77 .t 5 3 . ג ,1.11 , , 6.05 .) ב79 12 12 4 4 , 5 min 0,1 , max ,1.5 , min ,1 , max ,1.5 , min ,1 . בa 1 .) א80 6 2 6 5 5 x , x : יורדת0 x , x : עולה.ג 6 2 6 6 2 6 . f ( x) sin 2 x 2 sin x , a 2 .) א81 1 1 3 . max 0, 0 , min , , max , 0.414 , min , , max , 0 .ב 4 2 2 4 2 . 0, 0 , , 0 .ג . 0.5 , 1.5 . גy 0.5x 0.57 . בa 2 .) א82 . לא. גmin ,0 , max 0.5 , 2 , min 0.5 , 2 , max ,0 . בk 3 .) א83 נקודות2 . ג. הנגזרת חיובית לפניה ואחריה. פיתול. בm 2 .) א84 0.5 ,0 , 1.5 ,0 .ד 2 y 2 x 3 . ד. לא. ג , 3 . בf ( x) 2sin x 5sin x 2 x , a 2 .) א85 2 . 0 x 2 .1 .) א86 .6 , min , 3 , קצהmax 2 , 2 2 .2 5 6 5 6 . קצהmin 0, 2 , max , 3 6 6 . אין.5 . 0, 2 .4 5 5 x : יורדת0 x , x 2 : עולה.3 6 6 6 6 1 .6 , max , , קצהmin , 2 .2 x .1 .ב 3 4 1 קצהmin , 2 , max , , min 0, 0 3 4 3 x 0, 3 x : יורדת x 3 ,0 x 2 2 3 : עולה.3 . אין.5 , 0 , , 0 , 0, 0 .4 353 2 2 ,13.57 .2 x וגם x .1 .ג 6 3 2 3 .6 , קצהmin קצהmin , 0.36 , max , 0.36 6 x 2 וגם 6 x 6 2 : יורדת x : עולה.3 3 6 6 x 2 .5 0, 0 .4 min , 2 2 .2 x וגם0 x .1 .ד 2 4 .6 0 x 4 : יורדתx 2 וגם . x 4 x : עולה.3 3 .5 , 0 .4 2 4 5 , max , 7.96 , min 2 , 7.28 max 0,1 , min , 0.315 .) א87 3 3 5 5 . 0 x , x 2 : יורדת x : עולה.ב 3 3 3 3 .ג 5 . 0, 1 , , 0 , , 0 , 1.5 , 0 .) א88 6 6 . ד. min 0, 1 , max 0.5 , 2 , min 1.08 , 1.24 , max 1.5 ,0 .ב 0.5 x 1.08 : יורדת0 x 0.5 ,1.08 x 1.5 : עולה.ג 3 max , 0 , min , 2.25 , max 2 , 2 . ב. , 0 , 0, 2 .) א89 2 3 x , x 2 : עולה. גmax 0, 2 , min , 2.25 3 2 3 3 2 . 0 x , x :יורדת .ד 3 3 5 , 0 , , 0 , , 0 .) א90 8 8 8 .ג 3 min , 1.41 , max ,1.41 .ב 8 8 354 .ב 5 11 max ,1.58 , min ,1.38 , max , 4.54 .) א91 4 12 12 . פתרון אחד. ד. לא.ג .ג 5 , min , 1.29 , max 1.5 , 0 . ב 0.5 ,0 , 1.5 ,0 .) א92 6 . פתרונות2 . דmin 0,1 , max ,1.29 6 .ג 0, 0 .ב 1 min 0.5 , 1 , max 0.5 , .) א93 3 x0 .ג 355 .) א94 פרק - 12בעיות מקסימום ומינימום -תרגילים מסכמים: תרגילים העוסקים בפונקציה פולינומית: )1נתונים שלושה מספרים שסכומם הוא .45ידוע שמספר אחד זהה לשני. א .מה צריכים להיות שלושת המספרים כדי שמכפלתם תהיה מקסימלית? ב .כיצד תשתנה התוצאה אם מספר אחד יהיה גדול פי 2מהשני (במקום זהה לו)? ג .באיזה מקרה (א' או ב') המכפלה תהיה גדולה יותר? הראה דרך חישוב. )2 א. מבין כל המספרים המקיימים 3x y 60 :מצא את המספרים xוy - שמכפלת ריבועיהם מקסימלית. ב .מהי המכפלה הנ"ל? )3סכום שלושה מספרים הוא .11ידוע כי המספר הראשון גדול ב 4-מהמספר השני .הראה כי המספרים שמכפלתם היא מקסימלית מקיימים: א .מכפלת שני המספרים הקטנים שווה למספר הגדול. ב .ערך המכפלה של שלושת המספרים שווה לריבוע המספר הגדול מבניהם. )4סכום שלושה מספרים הוא .26מספר אחד גדול פי 3מהשני. מצא את שלושת המספרים שסכום ריבועיהם הוא מינימלי. )5במלבן שצלעותיו הן 6ס"מ ו 18-ס"מ חסומים שני מלבנים מקווקווים .אורך אחד המלבנים המקווקווים גדול פי 3מרוחב המלבן השני. א .מה צריך להיות האורך xכדי שסכום שטחי שני המלבנים יהיה מקסימלי. ב .בעבור ה x -שמצאת מהו סכום השטחים הללו? )6יוסי רוצה לקנות דף מחשב צבעוני ומיוחד בעל היקף של 60ס"מ כדי להכין ברכה ליום הולדתה של חברתו רחל .המדפסת של יוסי אינה מדפיסה עד גבולות הדף אלא משאירה מרחק של ס"מ אחד מקצות הדף העליון והתחתון ,ומרחק של 2ס"מ מצידי הדף (ראה איור) .יוסי רוצה לבחור דף שבו השטח שהמדפסת תוכל להדפיס יהיה מקסימלי. מה הן מידות הדף שיוסי צריך לקנות כדי שהשטח המודפס יהיה מקסימלי? 356 )7בריבוע ABCDחסומים שני משולשים ישרי -זווית GBE ו ECF -כמתואר באיור .ידוע שאורך הקטע AGהוא 5ס"מ ואורך צלע הריבוע ABCDהוא 13ס"מ. המשולש ECFהוא משולש ישר זווית וש"ש (.)CE=CF א .מצא מה צריך להיות אורך שוק המשולש ECF בעבורו סכום שטחי שני המשולשים הנ"ל יהיה מינימלי. ב .מה יהיה השטח הלבן במקרה זה? )8במלבן שצלעותיו הן 30ס"מ ו 25 -ס"מ חסומים שני ריבועים ומלבן (המסומנים) כמתואר באיור. מסמנים את צלע הריבוע ב. x - א .מצא מה צריך להיות אורך צלע הריבוע כדי שסכום השטחים של שני הריבועים והמלבן יהיה מינימלי. ב .בעבור אורך הצלע שמצאת מהו סכום השטחים המינימלי? )9במלבן שמידותיו הן 12ס"מ ו 10 -ס"מ חסומים בצדדים למעלה שני ריבועים ומלבן מתחתיהם במרכז. א .מצא מה צריך להיות אורך צלע הריבוע כדי 10 שסכום השטחים של שני הריבועים והמלבן יהיה מינימלי. ב .מה יהיה השטח שלהם במקרה זה? 12 )10במלבן ABCDשמידותיו הן 40ס"מ ו 16-ס"מ מקצים נקודות על צלעות המלבן כך שמתקיים. AE BF CG DH x : א .הבע באמצעות xאת שטחי ארבעת המשולשים. AEH BEF CGF DGH : ב .מצא מה צריך להיות xבעבורו שטח המרובע EFGHיהיה מינימלי. ג .מה יהיה שטח המרובע EFGHבמקרה זה ? )11נתון מלבן שמידותיו הן 8ס"מ על 40ס"מ. מעבירים ישרים המקבילים לצלעות המלבן כך שנוצרים 4מלבנים. מסמנים צלע אחת של המלבן הימני ב , x -כך שהצלע הסמוכה לה גדולה פי 4ממנה כמתואר באיור ובמלבן השמאלי בונים משולש. א .בטא באמצעות xאת סכום השטחים של המלבן והמשולש המקווקווים. ב .מצא מה צריכות להיות מידות המלבן הימני כדי שסכום השטחים הנ"ל יהיה מינימלי. ג .מה יהיה השטח הלבן במקרה זה? 357 )12נתון ריבוע בעל אורך צלע של 16ס"מ .מקצים קטע שאורכו x על הצלע העליונה ושני קטעים שאורכם הוא 2xעל הצלעות 2x x הצדדיות כמתואר באיור ,כך שנוצר המחומש המקווקו. מצא מה צריך להיות ערכו של xבעבורו שטח המחומש יהיה מקסימלי. 2x )13באיור שלפניך מתוארים הגרפים של הפונקציות: . f ( x) 16 2 x3 , g ( x) 6 x2 18x מסמנים נקודה Aעל גרף הפונקציה ) f ( xברביע השני ומותחים ממנה ישר המקביל לציר ה y -שחותך את גרף x הפונקציה ) g ( xבנקודה .B א .מצא את שיעורי הנקודה Aבעבורם אורך הקטע ABיהיה מינימלי. ב .מה יהיה אורך הקטע ABבמקרה זה? y )14באיור שלפניך מתוארים הגרפים של הפונקציות: . f ( x) x 3 8 , g ( x ) x 2 x 6 מסמנים נקודה Aעל גרף הפונקציה ) f ( xומורידים ממנה ישר המקביל לציר ה y -שחותך את גרף הפונקציה ) g ( xבנקודה .B א .מצא מה צריכים להיות שיעורי הנקודה A כדי שאורך הקטע ABיהיה מקסימלי. ב .מה יהיה האורך המקסימלי? )15באיור שלפניך מתוארות הפונקציות. f ( x) x2 3 , g ( x) 20x x2 : מעבירים קטע ABהמקביל לציר ה y -כך שהנקודה Aנמצאת על גרף הפונקציה ) g ( xוהנקודה Bנמצאת על גרף הפונקציה ). f ( x א .נסמן את שיעור ה x -של הנקודה Aב . t - הבע באמצעות tאת אורך הקטע .AB ב .מה צריך להיות tכדי שאורך הקטע AB יהיה מקסימלי? ג .מהו האורך ABבמקרה זה? )16מעבירים ישר ABהמקביל לציר ה x -כך שהנקודות Aו B-נמצאות על גרף הפונקציה . f ( x) 48 x2מהנקודות Aו B-מורידים אנכים לציר ה x -כך שנוצר מלבן .ABCD א .מצא מה צריכים להיות שיעורי הנקודה Bבעבורם שטח המלבן ABCDיהיה מקסימלי. ב .בעבור שיעורי הנקודה Bשמצאת מה יהיה השטח? 358 )f ( x A B )g ( x )17באיור שלפניך נתונות הפונקציותf ( x) x3 8 : ו g ( x) 6 x2 24 -הנקודה Aנמצאת על גרף הפונקציה ) f ( xוהנקודה Bנמצאת על גרף הפונקציה ) g ( xכך שהקטע ABמקביל לציר ה . y - א .מצא את שיעורי הנקודה AבתחוםxA 4 : בעבורם הקטע ABיהיה מקסימלי. ב .מה יהיה אורך הקטע ABבמקרה זה? )18באיור שלפניך מתוארים הגרפים של הפונקציותf ( x) x2 x 7 : ו . g ( x) 2 x 5 -הנקודה Aנמצאת על גרף הפונקציה ) f ( xונקודה Bנמצאת על גרף הפונקציה ) g ( xכך שהקטע ABמקביל לציר ה. y - נסמן את שיעור ה x -של הנקודה Aב. t - א .הבע באמצעות tאת שיעורי הנקודה .B ב .מצא את tבעבורו אורך הקטע ABיהיה מינימלי. ג .בעבור הערך של tשמצאת בסעיף הקודם ,מה יהיה אורך הקטע ?AB )19באיור שלפניך מתואר גרף הפונקציה . f ( x) x2 7 x הנקודה Aנמצאת על גרף הפונקציה ברביע הראשון. מהנקודה Aמורידים אנכים לצירים כך שנוצר מלבן. א .מצא מה צריכים להיות שיעורי הנקודה Aבעבורם היקף המלבן יהיה מקסימלי. ב .מה צריכים להיות שיעורי הנקודה Aבעבורם היקף המלבן יהיה מינימלי? )20נתונה תיבה שבסיסה הוא ריבוע .ידוע כי סכום כל המקצועות הוא 60ס"מ.נסמן את אורך צלע הבסיס ב x -ואת גובה התיבה ב . h - h א .הבע את hבאמצעות . x ב .מצא את מידות התיבה עבורן נפחה הוא מקסימלי. x ג .מה הוא הנפח המקסימלי של התיבה? )21נתון גליל שרדיוס בסיסו הוא rוגובהו . h ידוע כי סכום הרדיוס והגובה הוא 6ס"מ. מצא את מידות רדיוס הגליל וגובהו בעבורם נפח הגליל יהיה מקסימלי. 359 x h r תשובות סופיות: )1א .15 , 15 , 15 .ב .15 , 20 , 10 .ג .מקרה א' )2 .א . x 10 , y 30 .ב. M 90000 . )3המספרים )5 .12 , 10 , 4 )4 . 6 , 3 , 2 :א . x 3 .ב. S 54 . 14 )6ס"מ 16 ,ס"מ )7 .א 4 .ס"מ .ב )8 . S 125 .א . x 10 .ב. S 350 . )9א 4 .ס"מ .ב )10 . S 56 .א . 2 x2 56 x .ב . x 14 .ג. S 248 . )11א . 6 x2 36 x 160 .ב 3 .ס"מ על 12ס"מ .ג. x 6 )12 . S 214 . 26 . A 13 , 7 27ב. AB 14 275 . )13א . A(1,18) .ב )14 .6 .א . )15א . 2t 2 20t 3 .ב . t 5 .ג )16 . AB 47 .א . B(4,32) .ב. S 256 . )17א . A(0,8) .ב )18 . AB 32 .א . B(t , 2t 5) .ב . t 0.5 .ג. AB 11.75 . )19א . A(4,12) .ב )20 . A(0,0) .א . h 15 2 x .ב .5X5X5 .ג.V 125 . . r 4 , h 2 )21 תרגילים העוסקים בפונקציה רציונאלית: )1נתונים שני מספרים xו y -שמקיימים. 2 x2 y 27 : א .הבע את yבאמצעות . x ב .מה צריכים להיות המספרים כדי שסכומם יהיה מינימלי? )2 א .מבין כל המשולשים שווי השוקיים ששטחם הוא 128סמ"ר מצא את אורך הבסיס ואורך גובהו במשולש שבו סכום אורך הבסיס וגבהו הוא מינימלי. ב .מה יהיה הסכום במשולש זה? )3מכפלת שלושה מספרים היא .27ידוע כי המספר הראשון זהה לשני. נסמן ב x -את המספר הראשון. א .הבע באמצעות xאת המספר השלישי. ב .מצא את שלושת המספרים שסכומם מינימלי. )4נתונים שני מספרים חיוביים .ידוע כי המספר הראשון גדול פי 4מהמספר השני .מחברים את המספר השני עם ההופכי של המספר הראשון. א .מצא מה יהיו המספרים בעבורם חיבור זה יהיה מינימלי. ב .מה הוא ערך החיבור? 360 )5נתונים שלושה מספרים חיוביים כך שהמספר השני גדול פי 3מהמספר הראשון והמספר השלישי גדול פי 9מהמספר הראשון .המספר הראשון יסומן ב. x - א .הבע באמצעות xאת המספרים השני והשלישי. ב .הבע באמצעות xאת הסכום בין המספר הראשון למספרים ההופכיים של המספרים השני והשלישי. ג .מצא את שלושת המספרים בעבורם הסכום שהבעת בסעיף הקודם הוא מינימלי. )6נתונים שני מספרים .ידוע כי המספר הראשון גדול ב 14 -מהמספר השני. סמן ב x -את המספר הקטן .מצא את המספרים בעבורם ההפרש בין המספר ההופכי של המספר הקטן למספר ההופכי של המספר הגדול הוא מקסימלי. x )7ו y -הם שני מספרים חיוביים המקיימים. xy y 16 : א .הבע את yבאמצעות . x ב .מצא מה צריכים להיות xו y -בעבורם הסכום x y :יהיה מינימלי. ג .מה יהיה הסכום במקרה זה? )8בבית הדפוס "עמירן" רוצים לעצב גלויה על גבי קרטון ששטחו הכולל הוא 242סמ"ר .הנהלת החברה החליטה שיש להשאיר רווחים של ס"מ אחד מקצות הדף העליון והתחתון ו 2-ס"מ מצידי הדף. א .מצא מה צריכות להיות מידות הקרטון כדי שהשטח של התמונה יהיה מקסימלי. ב .מה יהיה השטח במקרה זה? )9בחלון מלבני ששטחו הכולל הוא 192מ"ר בונים סורגי מתכת מ 7-מוטות 3 :מאונכים ו 4-אופקיים (ראה איור). מצא מה צריכים להיות אורכי המוטות המינימליים שיחסמו את חלון זה. )10נתון מלבן ששטחו 1176סמ"ר .מקצים בצדדי המלבן העליון והתחתון קטעים שאורכם 2ס"מ ובצדדי המלבן הימניים קטעים שאורכם 6ס"מ כך שנוצרים שישה מלבנים .מסמנים שלושה מלבנים כמתואר באיור .חשב מה צריכות להיות מידות המלבן כדי שסכום שטחי המלבנים המסומנים יהיה מקסימלי. )11בתור תשתית לקיר עץ ,קנו רפי וחבריו מוטות מתכת. מחיר המוטות נקבע בהתאם לאורכם. החבורה העמידה 10מוטות מתכת מאונכים ולאחר מכן תפסו אותם עם שלושה מוטות נוספים אופקים כמתואר בתרשים. 361 אחד מחבריו של רפי מדד וגילה ששטח המלבן שנוצר הוא 120מ"ר. רפי בתגובה שמח ואמר "איזה יופי! עכשיו אני יודע שהשקעתנו הייתה מינימלית " .מצא מה צריכים להיות אורכי המוטות המינימליים בעבור השטח שמדד חברו של רפי. )12לרותי צבעי מים ומשטח עץ ששטחו הכולל הוא 162סמ"ר. רותי רוצה לצייר מלבן במרכז המשטח כך שמרחקו מצידי המשטח 2ס"מ ומהקצוות העליון והתחתון של המשטח 4 -ס"מ2 . רותי ראתה שהמשטח שברשותה לא עומד בתנאים אלו ולכן החליטה לקנות משטח חדש .כשהגיעה רותי לנגר הוא אמר לה שמחיר העץ נקבע לפי מידו תיו .איזה מידות רותי צריכה לבקש כדי לקבל משטח שבו היא תוכל לצייר מלבן בעל שטח מקסימלי לפי דרישותיה? 4 2 4 )13נתון מלבן ששטחו הוא 135סמ"ר. מעבירים ישרים המקבילים לצלעות המלבן ומקצים עליהם קטעים באורכים של 6ו 10-ס"מ (ראה איור) .על ידי הקצאת קטעים אלו נוצרים מלבנים נוספים המסומנים באיור. א .מצא מה צריכות להיות מידות המלבן הנתון בעבורם סכום שטחי מלבנים אלו יהיה מינימלי. ב .מה יהיה השטח הלבן במקרה זה? )14לדני גלויה מלבנית במידות לא ידועות ששטחה הכולל הוא 12סמ"ר. דני רוצה לקנות קרטון כדי להדביק את הגלויה במרכזו. כשהלך דני לחנות כלי מלאכה אמר לו המוכר שניתן לבחור קרטון על פי שטח .דני הדגיש למוכר שהוא רוצה שהגלויה 1 תהיה מודבקת במרכז הקרטון כך שמרחקה מצידי הקרטון יהיה 1ס"מ בלבד ומרחקה מהקצוות העליון והתחתון יהיה 3ס"מ .המוכר נתן לדני קרטון בעל שטח מינימלי בעבור הגלויה שלו. א .מה הן מידות הגלויה בעבורן שטח הקרטון הוא מינימלי? ב .מה הוא שטח הקרטון שנתן המוכר לדני? )15לרבקה קרטון מלבני ששטחו הכולל הוא 162סמ"ר. רבקה רוצה לחתוך מלבן במרכז הקרטון כדי שתוכל להשתמש בשארית הקרטון כמסגרת לתמונה .כדי שהקרטון לא יקרע רבקה צריכה לשמור על רווחים של 2ס"מ מצידי הקרטון ו 4-ס"מ מקצותיו העליון והתחתון .מה הן מידות הקרטון בעבורן שטח המלבן שרבקה תחתוך יהיה מקסימלי? 362 3 1 גלויה 3 4 2 2 4 )16במשולש הישר זווית ABCחוסמים מלבן BDEFכמתואר באיור. מידות המלבן הן. DE 6 , EF 12 : מסמנים את אורך הצלע ABב. x - א .הבע באמצעות xאת אורך הצלע .BC ב .מצא את אורכי הניצבים ABו BC-של המשולש בעל השטח המינימלי? x2 1 )17נתונות הפונקציות, g ( x) 2 : 16 x . f ( x) הנקודה Aנמצאת על גרף הפונקציה ) g ( xוהנקודה B נמצאת על גרף הפונקציה ) f ( xכך שהקטע ABמקביל לציר ה. y - א .מצא את שיעורי הנקודה Aבעבורם אורך הקטע ABיהיה מינימלי. ב .מה יהיה אורך הקטע ABבמקרה זה? 16 )18הנקודה Aנמצאת על גרף הפונקציה x3 f ( x) x ברביע הראשון. מהנקודה Aמורידים אנכים לצירים כפי שמתואר באיור כך שנוצר המלבן .ABOCמצא מה צריכים להיות שיעורי הנקודה Aכדי ששטח המלבן יהיה מינימלי. 8 )19באיור שלפניך נתונה הפונקציה x O f ( x) x ברביע הראשון. מנקודה Aשעל גרף הפונקציה מורידים אנכים לצירים כך שמתקבל מלבן .ABOC א .מצא מה צריכים להיות שיעורי הנקודה Aכדי שהיקף המלבן ABOCיהיה מינימלי. ב .מה הוא ההיקף המינימלי? 1 )20באיור שלפניך מתוארים הגרפים של הפונקציות: x מעבירים ישר המקביל לציר ה y -שחותך את גרף הפונקציה )f ( x f ( x) ו. g ( x) 4 x2 1 - בנקודה Aואת גרף הפונקציה ) g ( xבנקודה .B א .מצא מה צריכים להיות שיעורי הנקודה Aבעבורם אורך הקטע ABיהיה בעל אורך מינימלי. ב .מה יהיה האורך ABבמקרה זה והיכן תמוקם הנקודה ? B 363 O 16 )21באיור שלפניך מתואר גרף הפונקציה: x2 f ( x) x ברביע הראשון. הנקודה Aנמצאת על גרף הפונקציה וממנה מורידים אנכים לצירים שיוצרים את המלבן - O( ABOCראשית הצירים). נסמן ב t -את שיעור ה x -של הנקודה .A א .בטא באמצעות tאת שיעור ה y -של הנקודה A ואת שטח המלבן .ABOC ב .מצא מה צריך להיות ערכו של tבעבורו שטח המלבן יהיה מינימלי. ג .מה יהיה שטח המלבן במקרה זה? )22באיור שלפניך נתון גרף הפונקציה: 8 3 x2 f x x ברביע הראשון. הנקודה Aנמצאת על גרף הפונקציה ). f ( x מנקודה זו מורידים אנכים לצירים כך שנוצר מלבן (בעל השטח המקווקו). הנקודה Aתסומן ב- 8 3 t2 . A t ,t א .הבע באמצעות tאת היקף המלבן. ב .מצא את ערכו של tבעבורו היקף המלבן יהיה מינימלי. ג .בעבור הערך של tשמצאת בסעיף הקודם ,מה יהיה שטחו של המלבן? x5 )23נתונה הפונקציה: x4 y f ( x) ברביע הראשון. מהנקודה Aשעל גרף הפונקציה מורידים אנכים לצירים כך שנוצר המלבן .ABOCמצא מה צריכים להיות שיעורי הנקודה Aכדי ששטח המלבן יהיה מינימלי. A )f ( x x B )24נתונה תיבה שבסיסה מלבן ונפחה הוא .V 288 ידוע כי אורך הבסיס גדול פי 3מרוחבו (ראה איור). h מסמנים ב x -את מקצוע המלבן הקטנה וב h -את גובה התיבה. x א .הבע את hבאמצעות . x 3x ב .הבע את שטח הפנים של התיבה באמצעות . x ג .מצא את מידות התיבה בעבורם שטח הפנים של התיבה יהיה מינימלי. )25נפח תיבה שבסיסה ריבוע הוא 729סמ"ר. נסמן ב x -את אורך מקצוע הבסיס וב h -את גובה התיבה. h א .הבע את hבאמצעות . x ב .הבע את שטח הפנים של התיבה באמצעות . x x x ג .מה צריך להיות xבעבורו שטח הפנים של התיבה יהיה מינימלי? 364 C O )26נפח קופסה בצורת תיבה הפתוחה מלמעלה הוא 36סמ"ר. בסיס הקופסה הוא מלבן שרוחבו גדול פי 2מאורכו. א .מצא את מידות בסיס הקופסה בעבורן שטח הפנים שלה יהיה מינימלי. ב .מה יהיה גובה הקופסה במקרה זה? x 2x )27נתון גליל שרדיוסו rוגובהו . h ידוע כי רדיוס הגליל וגובהו מקיימים. r 2 h 128 : h א .1 .הבע באמצעות rאת גובה הגליל. r .2הבע באמצעות rאת שטח הפנים של הגליל. ב .מצא את אורך הרדיוס בעבורו שטח הפנים של הגליל יהיה מינימלי. ג .מה יהיה נפח הגליל במקרה זה? )28הנפח של קופסת עפרונות בצורת גליל הוא .V 512 ידוע כי הקופסה פתוחה מלמעלה. h רדיוס הקופסה יסומן ב x -וגובה הקופסה יסומן ב. h - x א .הבע באמצעות xאת גובה הקופסה ואת שטח הפנים שלה. ב .מצא את רדיוס הקופסה בעבורו שטח הפנים שלה יהיה מינימלי. ג .מה יהיה שטח הפנים של הקופסה במקרה זה? תשובות סופיות: 27 27 )1א . y 2 .ב )2 . x 3 , y 1.5 .א .16 , 16 .ב32 . )3 .א2 . x 2x 2 1 1 1 . S x ג. 7 , -7 )6 . , 2 , 6 . )4א . , 2 .ב )5 .1 .א . 3x , 9 x .ב. 3 3x 9 x 2 16 . y ב . x 3 , y 4 .ג )8 . S 7 .א 11 .ס"מ ו 22 -ס"מ .ב. S 162 . )7א. x 1 .ב.3 , 3 , 3 . 12 )9ו 16-מטרים 14 )10 .ס"מ ו 84 -ס"מ 6 )11 .ו 20-מטרים. 9 )12ס"מ על 18ס"מ )13 .א 15 .ס"מ על 9ס"מ .ב. S 75 . 6x )14א 2.ס"מ על 6ס"מ .ב )15 . S 48 .א. x 12 1 9 )16ס"מ על 18ס"מ )17 .א . A(2,0.25) .ב. A(2, 4) )18 . AB . 2 BC ב 12 .ס"מ ו 24-ס"מ. )19א . A(2,6) .ב )20 . p 16 .א . A 0.5, 2 .ב , AB=2 .הנקודה Bעל ציר ה . x - )21א . S t 2 16t . t 162 .ב .t 2 .ג. S 12 . t 16 )22א 6 . t2 . P 4t ב . t 2 .ג. A 10,2.5 )23 . S 14 . 365 768 96 )24א . h 2 .ב. x x 2916 729 . S 2 x 2 ג )26 . x 9 .א . 3 , 6 .ב. h 2 . )25א . h 2 .ב. x x 256 128 )27א 2 r 2 .2 . h 2 .1 . . S ב . r 4 .ג.V 128 . r r 1024 512 )28א x 2 , h 2 . . S ב . x 8 .ג. S 192 . x x . S 6 x 2 ג. x 4 4 , 12 , 6 . תרגילים העוסקים בפונקצית שורש: x )1ו y -הם שני מספרים המקיימים. x y 15 : א .הבע את yבאמצעות . x ב .מצא את xו y -בעבורם סכום השורשים שלהם יהיה מקסימלי. )2נתונים שני מספרים חיוביים xו y -המקיימים. 3x y 36 : א .הבע את yבאמצעות . x ב .מצא את המספרים בעבורם סכום השורשים שלהם מקסימלי. ג .מה יהיה סכום השורשים שלהם במקרה זה? )3נתון המעוין .ABCDידוע כי סכום אורכי האלכסונים של המעוין הוא 80ס"מ .הנקודה Oהיא נקודת פגישת האלכסונים במעוין. הקטע AOיסומן ב . x - א .הבע את אורכי האלכסונים באמצעות . x ב .מה צריך להיות ערכו של xבעבורו אורך צלע המעוין היא מינימלית? )4באיור שלפניך מתואר טרפז ישר זווית ABCDהמחולק למלבן ומשולש ישר זווית .גובה הטרפז BCגדול פי 3מהבסיס הקטן AB ואורך השוק הארוכה ADהוא . 360 הבסיס הקטן יסומן ב. x - א .הבע באמצעות xאת אורך הבסיס הגדול .DC ב .מצא את ערכו של xבעבורו אורך הבסיס DC יהיה מקסימלי. 366 )5המשולש ABCהוא משולש ישר זווית .הנקודה Dנמצאת על הניצב BCכך שהקטע BDגדול פי 2מהקטע .CD ידוע כי סכום הניצבים הוא 13ס"מ. א .מצא את אורכי הניצבים בעבורם אורך הקטע AD יהיה מינימלי. ב .מה יהיה אורך היתר ACבמקרה זה? )6המשולש ABCהוא שווה שוקיים ).(AB=AC הקטע AEהוא גובה לבסיס .BC ידוע כי סכום אורכי הבסיס והגובה הוא 20ס"מ. הגובה AEיסומן ב. x - א .הבע באמצעות xאת היקף המשולש .ABC ב .מצא את xבעבורו ההיקף שהבעת בסעיף הקודם הוא מינימלי. ג .בעבור הערך של xשמצאת בסעיף הקודם מה הוא השטח של המשולש? )7המרובע ABCDהוא ריבוע .הנקודה Eנמצאת על הצלע ADשל הריבוע והנקודה Gנמצאת על המשך הצלע .ADמעבירים את הקטעים BE ו BG-ומוסיפים את הנקודה ,Fכך שהמרובע BEFGהוא מלבן כמתואר באיור .הקטע AGגדול פי 2מהצלע BEשל המלבן וסכום הצלע BEואלכסון המלבן GEהוא 16ס"מ. הקטע BEיסומן ב. x - א .הבע באמצעות xאת אורך הקטע .AE ב .מצא את xבעבורו אורך צלע הריבוע תהיה מקסימלית (היעזר במשולש .)ABE )8המרובע ABCDהוא מקבילית .הנקודה Oהיא פגישת האלכסונים ACו.BD- ידוע כי האלכסון BDמאונך לצלעות BCו AD-של המקבילית. כמו כן האלכסון ACגדול ב 27 -ס"מ מהצלע .BC סמן את הצלע BCב x -וענה על השאלות הבאות: א .הבע באמצעות xאת אורך הקטע .CO ב .הבע באמצעות xאת אורך הקטע .BO ג .מצא בעבור איזה ערך של xיהיה אורך הקטע BOמקסימלי. 367 )9המרובע ABCDהוא טרפז שווה שוקיים. מורידים את הגבהים לטרפז AEו BF-כך שהמרובע ABFEהוא ריבוע .ידוע כי אורך שוק בטרפז הוא 5ס"מ .מצא מה צריך להיות אורך הבסיס הקטן ABבעבורו אורך הבסיס DCיהיה מקסימלי. )10באיור שלפניך נתונים הגרפים של הפונקציותf ( x) x 3 : y ו . g ( x) 4 x -מסמנים נקודה Aעל גרף הפונקציה )g ( x ונקודה Bעל גרף הפונקציה ) f ( xכך שהקטע ABמקביל לציר ה . y - א .מצא מה צריכים להיות שיעורי הנקודה Aעבורם אורך הקטע ABיהיה מקסימלי. ב .מה יהיה אורך הקטע ABבמקרה זה? )f ( x A )g ( x B x )11נתונים הגרפים של הפונקציות f ( x) 2 x2 30 :ו. g ( x) 8 x - הנקודה Aנמצאת על גרף הפונקציה ) f ( xוהנקודה Bנמצאת על גרף הפונקציה ) g ( xכך שהקטע ABמקביל לציר ה . y - )f ( x נסמן את שיעור ה x -של הנקודה Aב . t - א .הבע באמצעות tאת: )g ( x .1שיעורי הנקודה .B x .2אורך הקטע .AB ב .מצא את tבעבורו אורך הקטע ABיהיה מינימלי. y A B )12נתונה הפונקציה . f ( x) 2 4 x :הנקודה Aנמצאת על גרף הפונקציה )f ( x ברביע הראשון .מורידים אנכים לצירים כך שנוצר המלבן המסומן. מסמנים את שיעור ה x -של הנקודה Aב. t - A א .הבע באמצעות tאת היקף המלבן. ב .מצא את tבעבורו היקף המלבן יהיה מינימלי. )f ( x ג .מה יהיה היקף המלבן במקרה זה? x y )13נתונה הפונקציה . f ( x) 4 5 x :הנקודה Aנמצאת על גרף הפונקציה )f ( x ברביע הראשון .מורידים אנכים לצירים כך שנוצר המלבן המסומן. מסמנים את שיעור ה x -של הנקודה Aב. t - א .הבע באמצעות tאת היקף המלבן. )f ( x ב .מצא את tבעבורו היקף המלבן יהיה מינימלי. x ג .מה יהיה היקף המלבן במקרה זה? 368 y A 3 4 y )14באיור שלפניך מתואר גרף הפונקציה. f ( x) 6 x 2 : א .מצא נקודה על גרף הפונקציה ברביע הראשון שמרחקה מראשית הצירים הוא מינימלי. ב .האם קיימת נקודה על גרף הפונקציה שמרחקה מראשית x הצירים הוא מקסימלי? אם כן היכן היא ממוקמת? )f ( x y 1 4 )15באיור שלפניך מתואר גרף הפונקציה. f ( x) x 2 : A )f ( x הנקודה ) A(0,6נמצאת על ציר ה y -והנקודה Bהיא נקודה כלשהי על גרף הפונקציה ברביע השני. מצא את שיעורי הנקודה Bבעבורם המרחק בין Aל B-יהיה מינימלי. B x y )f ( x )16נתון גרף הפונקציה. f ( x) 2 x : מצא נקודה על גרף הפונקציה ברביע הראשון שמרחקה מהנקודה ) A(6,0מינימלי. )17נתון גרף הפונקציה. f ( x) 3 x : מצא נקודה על גרף הפונקציה ברביע הרביעי שמרחקה מהנקודה ) A(5.5,0הוא מינימלי. A x y A x )18באיור שלפניך מתואר גרף הפונקציה. f ( x) 8 x 2 x : הנקודה Aנמצאת על גרף הפונקציה ) f ( xברביע הראשון. מהנקודה Aמותחים אנכים לצירים ABו AC- כמתואר באיור .מצא את שיעורי הנקודה Aבעבורם x סכום הקטעים AB ACיהיה מקסימלי. 369 )f ( x y A C )f ( x B :תשובות סופיות . x y 7.5 . ב. y 15 x .) א1 . 4 3 6.92 . ג. x 3 , y 27 . ב. y 36 3x .) א2 . x 20 . ב. AC 2 x , BD 80 2 x .) א3 . x 2 . ב. DC x 3 40 x2 .) א4 . AC 97 . ב. AB 4 , BC 9 .) א5 . 48 . ג. x 8 . ב. P 2 1.25x2 10 x 100 20 x .) א6 . x 6 . ב. AE 16 3x .) א7 3x 2 27 x 1 182 . ב. CO 0.5x 13.5 .) א8 . x 9 . ג. BO 4 2 4 . AB 1 )9 . AB 1 . ב. A(4,8) .) א10 . t 1 . ב. AB 2t 2 8 t 30 .1 . B(t ,8 t ) .1 .) א11 . P 10 . ג. t 3 . ב. P 2t 4 4 t .) א12 . P 18 . ג. t 1 . ב. P 2t 8 5 t .) א13 . y - ( והיא נמצאת על ציר ה0,6.75) הנקודה, כן. ב. A(2.5,0.5) .) א14 . (16,0) )18 . (1, 3) )17 . (4, 4) )16 . B(4, 4) )15 370 פרק – 13חשבון אינטגרלי -תרגילים מסכמים: תרגילים העוסקים בפונקציה פולינומית: מציאת פונקציה קדומה: 3x 1 )1נתונה הפונקציה: x g ( x) ונתונה הנגזרת של הפונקציה ): f ( x k ( , f '( x) kx2 3xפרמטר) .ידוע ששיפוע המשיק לפונקציה ) g ( xבנקודה 1 שבה 2 x זהה לשיפוע המשיק לפונקציה ) f ( xבנקודה שבה . x 4 א .מצא את ערך הפרמטר . k ב .מצא את הפונקציה ) f ( xאם ידוע שהפונקציות נחתכות בנקודה שבה . x 1 )2נתונה הנגזרת של הפונקציה ) k , f '( x) kx 2 : f ( xפרמטר. 6x 1 ידוע כי הפונקציה ) f ( xחותכת את הפונקציה x g ( x) בנקודה שבה y 5וכי שיפוע המשיק לפונקציה ) f ( xבנקודת החיתוך שלהן הוא . m 4 א .מצא את ערך הפרמטר . k ב .מצא את הפונקציה ). f ( x 4x 1 )3הפונקציה ) f ( xמשיקה לפונקציה: x . g ( x) בנקודת ההשקה העבירו משיק שמשוואתו . y x 2 הנגזרת של הפונקציה ) f ( xהיא. f '( x) x : א .מצא את נקודת ההשקה. ב .מצא את הפונקציה ). f ( x )4נתונה הנגזרת של הפונקציה a , b , f '( x) ax2 5x b f ( x) :פרמטרים. לפונקציה יש קיצון בנקודה שבה . x 1ידוע ששיפוע המשיק לגרף 3x 16 הפונקציה x g ( x) בנקודה שבה x 2זהה לשיפוע המשיק של גרף הפונקציה ) f ( xבאותה נקודה. א .מצא את aואת . b ב .מצא את הפונקציה ) f ( xאם ידוע שהיא עוברת בראשית הצירים. ג .הראה שאין לפונקציה ) f ( xעוד נקודות חיתוך עם ציר ה x -מלבד ראשית הצירים. 371 3 )5נגזרת הפונקציה ) f ( xהיא: 4 4x 4 g ( x) יש משיק משותף בנקודה שבה . x 4 לפונקציה ) f ( xולפונקציה x k , f '( x) kx 7פרמטר .ידוע כי א .מצא את משוואת המשיק. ב .מצא את ערך הפרמטר . k ג .מצא את הפונקציה ). f ( x )6נתונה הנגזרת של הפונקציה ) a , f '( x) ax2 3x : f ( xפרמטר. משוואת המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה x 1היא . y 3x 8.5 א .מצא את ערך הפרמטר . a ב .מצא את הפונקציה ). f ( x ג .האם יש לגרף הפונקציה עוד משיקים בעלי שיפוע זהה למשיק זה? אם כן – מצא אותם ,אם לא ,נמק. )7הנגזרת של הפונקציה ) f ( xהיא a , b , f '( x) ax3 bx :פרמטרים. ידוע כי משוואת המשיק לפונקציה באחת מנקודות החיתוך שלה עם ציר ה x -היא. y 16 x 32 : כמו כן מתקיים גם. f '(1) 4 : א .מצא את ערכי הפרמטרים aו . b - ב .מצא את הפונקציה ). f ( x )8הנגזרת של הפונקציה ) f ( xהיא k , f '( x) 3x2 kx 3 :פרמטר. ידוע כי ערך הנגזרת בנקודה שבה x 1הוא .-4 כמו כן הישר y 4חותך את גרף הפונקציה בנקודת החיתוך של עם ציר ה. y - א .מצא את ערך הפרמטר . k ב .מצא את הפונקציה ). f ( x ג .האם הישר y 4חותך את גרף הפונקציה בעוד נקודות? אם כן ,מהן? )9הנגזרת השנייה של הפונקציה ) f ( xהיא. f ''( x) 12 x : לפונקציה יש נקודת קיצון על ציר ה x -שבה . x 2 א .האם יש לפונקציה עוד נקודות קיצון? ב .מצא את הפונקציה ). f ( x 372 חישובי שטחים (ללא מציאת פונקציה קדומה): )10לפניך הגרפים של הפונקציות: . y 13x 1 , f ( x) x3 12x 1 הוכח. S1 S2 : )11לפניך נתונות שתי הפונקציות הבאות: . g ( x) 3x2 12 x , f ( x) 1.5x2 3x 36 א .מצא את נקודות החיתוך של הפונקציות. ב .חשב את השטח הנוצר בין שתי הפונקציות. )12נתונות הפונקציהf ( x) x 2 16 : והישר. y x 14 : א .מצא את נקודות החיתוך של הגרפים. ב .חשב את השטח המוגבל בין הגרפים ברביע הראשון. )13נתונה הפונקציה. f ( x) x3 4 x : א .מצא את נקודות החיתוך של הפונקציה עם ציר ה. x - ב .הוכח שציר ה x -מחלק את השטח הכלוא בינו לבין הפונקציה לשני חלקים שווים. x2 )14לגרף הפונקציה 8 : 2 f ( x) מעבירים ישר העובר דרך נקודות החיתוך של הפונקציה עם הצירים ושיפועו שלילי. א .מצא את נקודות החיתוך של הפונקציה עם הצירים. ב .מצא את משוואת הישר. ג .חשב את השטח הכלוא בין גרף הפונקציה לישר. )15לגרף הפונקציה f ( x) x2 3x 4 :מעבירים משיק בעל שיפוע חיובי דרך נקודת החיתוך שלה עם ציר ה x -כמתואר באיור. א .מצא את משוואת המשיק. ב. S1 חשב את יחס השטחים S2 המסומנים באיור. 373 )16לגרף הפונקציה f ( x) x2 2 x 3 :מעבירים משיק בנקודה שבה( x 2 :ראה איור). א .מצא את משוואת המשיק. ב .חשב את השטח הכלוא בין גרף הפונקציה, המשיק וציר ה . x - )17באיור שלפניך מתוארים גרף הפונקציהf ( x) 4 x x3 : והישר. y 4 x 8 : א .מצא את נקודת החיתוך בין שני הגרפים. ב .חשב את השטח הכלוא בין הפונקציה, הישר וציר ה( . y -המסומן). )18באיור שלפניך מתוארים גרף הפונקציהf ( x) x3 8 : והישר. y x 8 : א .מצא את נקודות החיתוך בין שתי הפונקציות. ב .חשב את השטח הכלוא בין שתי הפונקציות )19הישר y 4חותך את גרף הפונקציהf ( x) ( x 1)2 : בנקודה Aשברביע הראשון. חשב את השטח הכלוא בין גרף הפונקציה, הישר וציר ה( y -המסומן). )20באיור שלפניך מתוארות הפונקציות: f ( x) 16 x2ו. g ( x) x2 2 x 4 - א .מצא את נקודות החיתוך של הגרפים. ב .חשב את השטח הכלוא בין שני הגרפים לציר ה. x - )21נתונה הפונקציה . f ( x) x2 10 x :הישר y 9 :חותך את גרף הפונקציה בשתי נקודות Aו B-כמתואר באיור. מנקודות אלו מורידים אנכים לציר ה x -כך שנוצר מלבן .ABCD א .מצא את נקודות החיתוך של הישר y 9עם גרף הפונקציה ). f ( x ב .מצא את שטח המלבן .ABCD ג .חשב את השטח הכלוא בין גרף הפונקציה, המלבן וציר ה ( x -השטח המסומן). 374 )22נתונה הפונקציה . f ( x) x 2 6 x 5 :מעבירים ישר ששיפועוm 1 : וחותך את ציר ה x -שנקודה שבה . x 8 :מישר זה מורידים אנך לגרף הפונקציה לנקודת המקסימום שלה ומעלים אנך מנקודת החיתוך שלה עם ציר ה. x - א .מצא את משוואת הישר. ב .מצא את נקודת הקיצון של הפונקציה. ג .חשב את השטח המוגבל על ידי הישר וגרף הפונקציה. )23נתונות הפונקציות f ( x) x3 2 x2 2 :ו, g ( x) 2 x2 bx 2 - ( bפרמטר) .הפונקציות נחתכות בנקודה שבה. x 2 : א .מצא את ערך הפרמטר . b ב .מצא את שאר נקודות החיתוך של שתי הפונקציות. ג .חשב את השטח המוגבל על ידי הגרפים של שתי הפונקציות (השטח המתואר באיור). )24לגרף הפונקציה f ( x) x2 4 x 21 :מעבירים משיקים בנקודות שבהן y 9 :כמתואר באיור .משיקים אלו נחתכים בנקודה .A א .כתוב את משוואות המשיקים. ב .מצא את שיעורי הנקודה .A ג .חשב את השטח המוגבל על ידי המשיקים לגרף הפונקציה (השטח המסומן). 6 )25א .חשב את האינטגרל הבא. x 2 8 x 12 dx : 0 ב .באיור שלפניך מתואר גרף הפונקציה. f ( x) x 8x 12 : חשב את השטח הכלוא בין גרף הפונקציה ,ציר ה y - וציר ה . x - ג .הסבר מדוע התוצאה שקיבלת אינה תואמת את זו של סעיף א'. 2 )26נתונה הפונקציה . f ( x) 9 x2 :מהנקודה A 1,8שעל הגרף הפונקציה מעבירים ישרים לנקודות החיתוך של הפונקציה עם ציר ה B x -ו C-כך שנוצר המשולש .ABC א .מצא את שיעורי הנקודות Bו.C- ב .חשב את השטח המוגבל בין גרף הפונקציה למשולש ( ABCהשטח המסומן). 375 )27נתונה הפונקציה. f ( x) x3 3x2 18x 40 : ידוע כי לפונקציה יש נקודת חיתוך עם ציר הx - שבה . x 5מנקודה זו מעבירים ישר החותך את הפונקציה בנקודת החיתוך שלה עם ציר ה( y -ראה איור). א .כתוב את משוואת הישר. ב .מצא את השטח הכלוא בין גרף הפונקציה לישר (השטח המסומן). )28נתונות הפונקציותf ( x) x2 7 x 10 : ו. g ( x) x2 7 x 12 - א .מצא את נקודות החיתוך של שתי הפונקציות עם ציר ה ? x - ב .חשב את השטח המוגבל בין שתי הפונקציות לציר ה . x - )29באיור שלפניך מתוארות הפונקציותf ( x) x2 2 x k : ו . g ( x) 4 x x 2 -ידוע כי אחת מנקודות החיתוך של הפונקציות עם ציר ה x -היא זהה ואינה ראשית הצירים. א .מצא את ערך הפרמטר . k ב .חשב את השטח המוגבל בין שני הגרפים של הפונקציות וציר ה . x - )30נתונה הפונקציה. f ( x) x3 6 x2 9 x 3 : מהנקודה 3, 0 שעל ציר ה x -מעבירים ישר החותך את גרף הפונקציה בנקודת החיתוך שלה עם ציר ה. y - א .מצא את משוואת הישר. ב .מצא את נקודות הקיצון של הפונקציה וקבע את סוגן. ג .חשב את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה ,הישר שמצאת בסעיף א' ואנכים לציר ה x -מנקודות הקיצון. )31באיור שלפניך מתוארת הפונקציה. f ( x) x 1 : 2 מנקודת החיתוך של הפונקציה עם ציר ה y -מעבירים ישר l1 ששיפועו הוא . m 2כמו כן מעבירים ישר נוסף l2המקביל לישר l1וחותך את גרף הפונקציה בנקודה שבה . x 5 א .מצא את משוואות הישרים l1ו . l2 - ב .מצא את שאר נקודות החיתוך של הישרים הנ"ל עם הפונקציה. ג .חשב את השטח המוגבל בין גרף הפונקציה ,הישרים וציר ה x - (השטח המסומן). 376 חישובי שטחים (כולל מציאת פונקציה קדומה): )32נתונה הנגזרת. f '( x) 6 x : ידוע שהפונקציה חותכת את ציר ה x -בנקודה שבה. x 5 : א .מצא את הפונקציה ). f ( x ב .חשב את השטח המוגבל בין גרף הפונקציה לציר ה . x - )33לגרף הפונקציה ) f ( xשנגזרתה היא f '( x) x2 x 2 :מעבירים משיק מנקודת המקסימום שלה .ידוע שמשיק זה חותך את גרף הפונקציה בעוד נקודה והיא . 2.5,3 א .מצא את נקודת המקסימום. ב .מצא את הפונקציה. ג .חשב את השטח המוגבל בין גרף הפונקציה למשיק (עגל לשתי ספרות אחרי הנקודה). )34הנגזרת של פרבולה מרחפת ) f ( xהיא. f '( x) 2 x : מהנקודה 2,10 שעל גרף הפרבולה מעבירים ישר y המאונך למשיק שם (נורמל) (ראה איור). א .מצא את משוואת הפרבולה. ב .מצא את משוואת הישר . y ג .חשב את השטח המוגבל בין גרף הפרבולה ,הישר והצירים. )35נתונה הנגזרת. f '( x) 2 x 3 : ידוע שגרף הפונקציה חותך את ציר ה y -בנקודה שבה. y 4 : א .מצא את הפונקציה ). f ( x ב .חשב את השטח המוגבל בין גרף הפונקציה לצירים. )36הנגזרת השנייה של הפונקציה ) f ( xהיא. f ''( x) 4 : לפונקציה יש נקודת מינימום . 1, 8 א .מצא את הפונקציה ). f ( x ב .חשב את השטח המוגבל בין גרף הפונקציה לציר ה . x - )37משוואת המשיק לגרף הפונקציה ) f ( xבנקודה שבהx 2 : היא . y x 3 :נגזרת הפונקציה היא. f '( x) x 3 : א .מצא את הפונקציה ). f ( x ב .חשב את השטח המוגבל בין המשיק לגרף הפונקציה (ראה איור). 377 )38הישר y x 16משיק לגרף הפונקציה ) f ( xבנקודה שבה. x 4 : נגזרת הפונקציה היא. f '( x) x 3 : א .מצא את הפונקציה ). f ( x ב .חשב את השטח הכלוא בין המשיק ,גרף הפונקציה וציר ה( x -ראה איור). )39הנגזרות של הגרפים ) f ( xו g ( x) -הן. f '( x) 2 x , g '( x) 10 2 x : הפונקציות חותכות זו את זו בנקודה ). (2.5,18.75 א .מצא את הפונקציות ) f ( xו. g ( x) - ב .היעזר באיור וחשב את השטח המוגבל בין שתי הפונקציות וציר ה. y - )40הישר y 2 x 5משיק לגרף הפונקציה ) f ( xבנקודה שבה. x 1 : נגזרת הפונקציה ) f ( xהיא. f '( x) 2 x 4 : א .מצא את הפונקציה ). f ( x ב .חשב את השטח המוגבל בין גרף הפונקציה ,המשיק, ציר ה x -והישר( . x 3 :ראה איור) )41הנגזרת של הפרבולה ) f ( xהיא. f '( x) 2 x 6 : ידוע שהפרבולה חותכת את ציר ה y -בנקודה שבה . y 5 מנקודה זו מעבירים משיק לגרף הפרבולה (ראה איור). א .מצא את ). f ( x ב .חשב את השטח מוגבל בין גרף הפרבולה ,המשיק וישר היוצא מנקודת הקיצון של הפרבולה (ראה איור). 378 :תשובות סופיות 1 3 1 . ב. k 1 .) א1 6 1 1 . f ( x) x3 2.5x2 2x . בa 3 , b 2 .) א4 . f ( x) x 2 2 .ב. 1,3 .) א3 2 2 3 . f ( x) x 2 7 x 10 . ג. k 2 . ב. y 0.25x 6 .) א5 4 1 . y 3x 5 . כן. ג. f ( x) 2 x3 1.5x2 6 . ב. a 6 .) א6 8 . f ( x) x2 2 x 2 . ב. k 2 .) א2 . f ( x) x3 1.5x 2 . f ( x) x4 4 x2 . ב. a 4 , b 8 .) א7 . 3, 4 , 1, 4 . כן. ג. f ( x) x3 2 x2 3x 4 . ב. k 4 .) א8 . יח"ש162 . ב 4, 0 , 2,36 .) א11 . f ( x) 2 x3 24 x 32 . ב. כן.) א9 5 6 . 2,0 , 0,0 , 2,0 .) א13 . S 44 . ב. 6, 20 , 5,9 .) א12 .S 5 1 . ג. y 2 x 8 . ב. 0,8 , 4, 0 , 4, 0 .) א14 3 S 7 . 1 . ב. y 5x 20 .) א15 S2 8 . יח"ש12 . ב. 2, 0 .) א17 . S 7 . ב. y 2 x 7 .) א16 12 1 . ב. 1,7 , 0,8 , 1,9 .) א18 2 2 . S 43 . ב. 3, 7 , 2,12 .) א20 3 . יח"ש9 )19 . S 2 . ג. SABCD 72 . ב. 1,9 , 9,9 .) א21 3 2 . S 2 . ג. Max 3, 4 . ב. y x 8 .) א22 3 . S 4 . ג. 0, 2 , 2, 14 . בb 4 .) א23 . S 94 2 . ג. A 2, 41 . ב. y 8x 57 , y 8x 25 .) א24 3 1 . האינטגרל של סעיף א' מכיל ערכים חיוביים ושליליים יחדיו. ג. S 21 . ב.0 .) א25 3 . S 42 פעולת האינטגרל מחסרת בין השניים ומכיוון שהגדלים החיוביים והשליליים .0 שווים בערך מוחלט (וזאת ניתן לראות לפי החישוב של סעיף ב') התקבל הסכום 3 4 . S 93 . ב. y 8x 40 .) א27 . S 12 . ב. C 3, 0 , B 3, 0 .) א26 . S 25 1 1 . ב. k 8 .) א29 . S 4 . ב. 2, 0 , 3, 0 , 4, 0 , 5, 0 .) א28 3 3 379 . S 8 . ג. Max 1, 7 , Min 3,3 . ב. y 3 x .) א30 .S 6 1 . ג. 1, 4 , 4,9 . ב. yl2 2 x 6 , yl1 2 x 1 .) א31 12 . S 500 . ב. f ( x) 3x2 75 .) א32 ולכן משוואתו תהיהx - משיק בנקודת המקסימום מקביל לציר ה. 2,3 .) א33 ניתן להבין שמשוואת 2.5,3 מאחר שהנקודה הנוספת היא. y k מהסוג . 2,3 ולכן נקודת המקסימום תהיהy 3 המשיק היא x3 x 2 1 25 . S 11 11.391 . ג. f ( x) 2 x .ב 3 2 3 64 2 . S 214 . ג. 4 y x 42 . ב. f ( x) x2 6 .) א34 3 5 . S 20 . ב. f ( x) x2 3x 4 .) א35 6 1 . S 21 . ב. f ( x) 2 x2 4 x 6 .) א36 3 1 1 . S 1 . ב. f ( x) x 2 3x 5 .) א37 3 2 2 1 . S 42 . ב. f ( x) x 2 3x 8 .) א38 3 2 1 . S 31 . ב. f ( x) 25 x2 , g ( x) 10 x x2 .) א39 4 5 . S 2 . בf ( x) x2 4 x 6 .) א40 12 . S 9 .ב 380 f ( x) x 2 6 x 5 .) א41 תרגילים העוסקים בפונקציה רציונאלית: 12 )1הנגזרת של הפונקציה ) f ( xהיא 3 : x4 . f '( x) ידוע כי משוואת המשיק לגרף הפונקציה בנקודה הנמצאת ברביע הראשון היא. y 15x 16 : א .מצא את הפונקציה ). f ( x מעבירים ישר y 2.75xהחותך את גרף הפונקציה בנקודה Aהנמצאת ברביע הראשון. ב .מצא את שיעורי הנקודה .A ג .חשב את השטח הכלוא בין גרף הפונקציה לישרים y 2.75x :ו. x 4 - 16 )2נתונה הפונקציה: x3 . f ( x) 2 א .מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם ציר ה . x - ב .חשב את השטח המוגבל בין גרף הפונקציה ,ציר הx - והישר. x 4 : 27 )3א .מצא את משוואת המשיק לגרף הפונקציה 3x 1 : x2 בנקודה שבה. x 1 : f ( x) ב .חשב את השטח הכלוא בין גרף הפונקציה ,המשיק והישר. x 4 : a )4נתונה הפונקציה: x3 f ( x) 8 בתחום a ( , x 0 :פרמטר). ידוע כי משוואת המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה x 1 :היא. y 3x 4 : א .מצא את aוכתוב את הפונקציה. ב .חשב את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה ,המשיק והצירים. a x2 )5נתונה הפונקציה: x2 y a) , f x פרמטר חיובי). 2 ידוע כי שיפוע הפונקציה בנקודה שבה x a :הוא: 9 . )f ( x x א .מצא את ערך הפרמטר . a ב .כתב את משוואת המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה . x a ג .היעזר בסרטוט שבצד וחשב את השטח הכלוא בין גרף הפונקציה ,המשיק ואנך לציר ה x -מנקודת החיתוך של המשיק עם ציר ה. x - 381 6 )6הנגזרת של פונקציה f x היא: x4 . f ' x 4 ידוע כי משוואת המשיק לגרף הפונקציה בנקודה הנמצאת ברביע הראשון היא. y 10 x 6 : א .מצא את הפונקציה . f x מעבירים את הפונקציה . g x 64 x2 4 x 2 :הגרפים נחתכים בנקודה .A ב .מצא את שיעורי הנקודה .A ג .הוכח כי גרף הפונקציה f x שלילי עבור x 0.7 y )f ( x וכי גרף הפונקציה g x שלילי עבור. x 0.25 : x ד .היעזר בסקיצה שבצד וחשב את השטח הכלוא בין שני הגרפים ,ציר ה x -והישרים x 0.7 :ו . x 0.25 - 1 2 1 )7נתונה הפונקציה הבאה: x 2 x3 x 4 )g ( x . f x א .מצא את נקודות הקיצון של הפונקציה וקבע את סוגן. ב .כתוב את האסימפטוטות של הפונקציה המקבילות לצירים. ג .סרטט סקיצה של גרף הפונקציה. ד .חשב את השטח הכלוא בין גרף הפונקציה ,ציר ה x -ואנך לציר הx - היוצא מנקודת המקסימום של הפונקציה. )8נתונה הפונקציה הבאה x 2 : . f x 4 2 x א .הוכח כי גרף הפונקציה חותך את ציר ה x -בנקודת הקיצון שלו. ב .כתוב את נקודות הקיצון של הפונקציה. 4 מעבירים את הישר: 81 y החותך את גרף הפונקציה בנקודה Aברביע השני. y ג .מצא את שיעורי הנקודה .A ד .חשב את השטח הכלוא בין גרף הפונקציה ,הישר ואנך לישר מנקודת המקסימום של הפונקציה. 4 )9נתונה הפונקציה הבאה x 1 : x2 y x )f ( x . f x א .מצא את נקודת הקיצון של הפונקציה וקבע את סוגה. מעבירים פרבולה A) , g x Ax2 :פרמטר) דרך נקודת הקיצון של הפונקציה. ב .מצא את ערך הפרמטר . A y )f ( x S2 382 x S1 )g ( x ג. מעבירים אנך לציר ה , x 3 : x -כך שנוצרים השטחים: S1שבין הגרפים של הפונקציות f x , g x וציר ה . x - S2שבין הגרפים של הפונקציות f x , g x והאנך. S2 חשב את יחס השטחים: S1 80 )10נתונה הפונקציה: x4 . k ) , f x k פרמטר). גרף הפונקציה חותך את ציר ה x -בשתי נקודות שהמרחק בניהן הוא 4יחידות. א .מצא את . k y ב .כתוב את משוואת הנורמל לפונקציה בנקודת )f ( x החיתוך שלה עם ציר ה x -ברביע הראשון. x ג .היעזר באיור שלפניך וחשב את השטח הכלוא בין גרף הפונקציה ,הנורמל והישר. x 4 : 162 )11נתונות הפונקציות הבאות 2 : 3x3 . g x 6 x3 50 , f x א .מצא את נקודות החיתוך של הפונקציות. ב .היעזר באיור שלפניך וחשב את השטח הכלוא בין הגרפים של הפונקציות ,הצירים והאנך. x 2 : a )12נתונות הפונקציות הבאות: x3 )g ( x y )f ( x x a) , g x 2 x , f x פרמטר). ידוע כי הפונקציות נחתכות בנקודה שבה . x 2 א .מצא את ערך הפרמטר . a ב .האם הגרפים של הפונקציות נחתכים בנקודות נוספות? אם כן מצא אותן. ג .מעבירים אנך k ) x kחיובי) החותך את הגרפים של שתי הפונקציות ויוצר את השטח . S y )g ( x )f ( x x 7 היעזר באיור שלפניך ומצא את kעבורו מתקיים: 9 383 .S 2 3 )13נתונה הפונקציה הבאה: x3 a) , f x a פרמטר) .מעבירים לגרף הפונקציה משיק מנקודת החיתוך שלו עם ציר ה . x -מסמנים נקודה Aעל המשיק ונקודה Bעל גרף הפונקציה ומעבירים את הישר .AB א .מצא את ערך הפרמטר aאם ידוע כי לפונקציה f x יש אסימפטוטה אופקית. y 3 : A )f ( x B ב .כתוב את משוואת המשיק. x ג .ידוע כי . x B 3 , xA 2 : היעזר באיור שלפניך וחשב את השטח הכלוא בין גרף הפונקציה ,המשיק והישר .AB 4 x3 kx 1 )14נתונה הפונקציה הבאה: x3 k ) , f x פרמטר) ידוע כי לפונקציה נקודת קיצון שבה. x 0.5 : א .מצא את ערך הפרמטר kוקבע את סוג הקיצון. ב .הוכח כי לגרף הפונקציה אין נקודות קיצון נוספות. ג .מצא את האסימפטוטה האופקית של הפונקציה. ד .באיור שלפניך מתואר גרף הפונקציה והאסימפטוטה האופקית שלו. מעבירים אנך לאסימפטוטה דרך נקודת הקיצון. )y f ( x חשב את השטח הנוצר באופן זה. x 384 y :תשובות סופיות . S 1.125 . גA 2,5.5 . בf ( x) 4 3x .) א1 x3 . S 2.5 . ב 2, 0 .) א2 . S 182.25 . בy 51x 82 .) א3 . S 3 . בf ( x) 8 1 , a 1 .) א4 x3 2 2 . גy x 2 . בa 3 .) א5 3 9 2 . S 2.537 . דA 0.5, 12 . בy 4 x 3 2 .) א6 x 1 1 .S . ד. סקיצה למטה. גx 0 , y 0 . בmin 1, 0 , max 2, .) א7 24 16 .S 2 .S 4 1 125 0.0964 . ד 1.5, . גmin 2, 0 , max 4, .) ב8 1296 81 64 S 13 . 2 . גA 1 . ב. min 2, 4 .) א9 S1 41 .S 437 7.283 . גy 0.1x 0.2 . ב. k 5 .) א10 60 . S 73.75 . ב. 2, 4 , 1,56 .) א11 . k 3 . ג 2, 4 - כן. בa 32 .) א12 7 . גy 9 x 9 . בa 3 .) א13 9 . S 0.5 . דy 4 . גk 3 .) א14 .S 5 :7 סקיצה לשאלה y f ( x) 385 x תרגילים העוסקים בפונקצית שורש: )1הנגזרת של הפונקציה ) f ( xהיא 2 x : k 2 x k , f '( x) פרמטר. ידוע כי שיפוע המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה x 4 :הוא. m 7.75 : א .מצא את ערך הפרמטר . k ב .מצא את הפונקציה ) f ( xאם ידוע כי המשיק לגרף הפונקציה משיק לה בנקודת החיתוך שלה עם ציר ה . x - 1 )2הנגזרת של הפונקציה ) f ( xהיא: x k , f '( x) kx פרמטר. נתונה הפונקציה . g ( x) 2 x 2 9 x 4 :ידוע כי המשיק לגרף הפונקציה )g ( x בנקודה שבה x 3 :מקביל למשיק לגרף הפונקציה ) f ( xבנקודה שבה. x 1 : א .מצא את ערך הפרמטר . k ב .מצא את הפונקציה ) f ( xאם ידוע כי היא חותכת את גרף הפונקציה ) g ( xבנקודה שבה. y 77 : )3א. מצא על גרף הפונקציה g ( x) 2 x :נקודה שבה שיעור ה x - שווה לשיעור ה. y - ב .הנגזרת של הפונקציה ) f ( xהיא: 3 2 x . f '( x) 1 ידוע כי הפונקציה ) f ( xחותכת את הפונקציה ) g ( xבנקודה שמצאת בסעיף הקודם .מצא את הפונקציה ). f ( x ג .האם הגרפים של הפונקציה ) f ( xו g ( x) -נחתכים בנקודות נוספות? אם כן ,מצא אותן. 4 )4הנגזרת של הפונקציה ) f ( xהיא k : x ידוע כי גרף הפונקציה עולה בתחום 0 x 4 :ויורד בתחום. x 4 : א .מצא את ערך הפרמטר . k k , f '( x) פרמטר. ב .מצא את הפונקציה אם ידוע כי ערכה המרבי הוא.8 : ג .מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם ציר ה . x - 386 1 1 f ( x) )5באיור שלפניך מתוארים הגרפים של הפונקציות: ו2 - x x . g ( x) א .מצא את נקודת החיתוך של הגרפים. ב .מעבירים את הישרים x 4 :ו y 4 -כך שנוצר ריבוע. .1חשב את השטח הכלוא בין הישרים הנ"ל והגרפים של שתי הפונקציות. .2חשב את היחס בין השטח שמצאת בסעיף הקודם לשטח הריבוע. 64k )6נתונות הפונקציות הבאות; g x kx : x k ) , f x פרמטר) . א .הבע באמצעות kאת שיעורי נקודת החיתוך של הפונקציות. ב .ידוע כי השטח הכלוא בין הגרפים של הפונקציות ,ציר ה x - והאנך x 25 :הוא .1024מצא את . k 1 9 1 )7באיור שלפניך מתוארים הגרפים של הפונקציות; g x 2 : 16 x x f x ברביע הראשון .מנקודת החיתוך של הגרפים מעבירים משיק לפונקציה . f x א .הראה כי הגרפים נחתכים בנקודה שבה. x 4 : ב .כתוב את משוואת המשיק. ג .מנקודת החיתוך של המשיק עם ציר הx - מעלים אנך החותך את הגרפים של הפונקציות בנקודות Aו .B-חשב את השטח הכלוא בין הגרפים של הפונקציות והישר .AB y A )g ( x )f ( x x B 5 5 ; g x )8באיור שלפניך מתוארים הגרפים של הפונקציות: x x . f x מעבירים שני ישרים x k :ו k t , x t -אשר חותכים את הגרפים של הפונקציות ויוצרים את הקטעים ABו .CD-ידוע כי. AB 3CD : א .הראה כי. k 9t : ב .השטח הכלוא בין הגרפים של הפונקציות C והישרים x k :ו x t -הוא. S 80 : xk x D מצא את . k y )f ( x A xt B )g ( x 387 2 )9נתונה הפונקציה: 2x 1 . f x 16 x y )f ( x א .מהו תחום ההגדרה של הפונקציה? ב .מצא את נקודת הקיצון של הפונקציה וקבע את סוגה. x ג .מעבירים אנך לציר ה y -ומנקודת הקיצון. חשב את השטח הכלוא בין גרף הפונקציה ,האנך וציר ה. y - 32 )10נתונה הפונקציה הבאה: x . f x x2 y )f ( x א .הוכח כי הפונקציה עולה בכל תחום הגדרתה. ב .מצא את משוואת המשיק לגרף הפונקציה בנקודת החיתוך שלה עם ציר ה . x - ג .חשב את השטח הכלוא בין גרף הפונקציה ,המשיק והאנך x 9כמתואר באיור שלפניך. x y )f ( x )11א .מצא עבור איזה ערך של aיתקיים: 2 a 3) , 1 פרמטר). dx 0 2 x 5 3 a S1 S2 x 2 באיור שלפניך מתואר גרף הפונקציה: 2x 5 מעבירים שני אנכים לציר ה x -והם x 3 :ו x 7 -כך שנוצרים השטחים S1 :ו . S 2 - ב .מצא את נקודת החיתוך של הפונקציה עם ציר ה. x - ג .1 .חשב את השטח הכלוא בין גרף הפונקציה ,ציר ה x - . f ( x) 1 והאנך . S1 , x 3 . 2היעזר בתוצאה שקיבלת ובסעיף א' וקבע לכמה שווה השטח . S 2 נמק את טענתך. 6 )12באיור שלפניך מתוארים הגרפים של הפונקציות f ( x) 6 x2 :ו- x ברביע הראשון .מעבירים ישר a) , x aפרמטר) החותך את גרף הפונקציה g x ויוצר את השטח הכלוא בין שני הגרפים ,ציר ה x -והישר (השטח המסומן). ידוע כי שטח זה שווה ל . S 14 - מצא את ערך הפרמטר . a x x a )g ( x )f ( x 388 g ( x) y x x k )13נתונה הפונקציה הבאה: x k ) , f x פרמטר). עבור x 1 :מתקיים כי. f 2 1 676 : א .מצא את ערך הפרמטר kאם ידוע כי ידוע כי הפונקציה עולה בכל תחום הגדרתה. ב .מצא את נקודת החיתוך של גרף הפונקציה עם ציר ה. x - ג .סרטט סקיצה של גרף הפונקציה. ד .חשב את השטח כלוא בין גרף הפונקציה ,ציר ה x -והאנך. x 36 : k 1 )14נתונה הפונקציה הבאה: x 2x k ) , f x פרמטר). א .הוכח כי גרף הפונקציה לא חותך את הצירים לכל ערך של . k ב .באיור שלפניך מתואר גרף הפונקציה . f x מעבירים את האנכים x 4 , x 8 :כך שנוצר השטח המסומן .ידוע כי השטח הכלוא בין גרף הפונקציה, x האנכים וציר ה x -שווה ל . 42 2 44 :מצא את . k y )f ( x 3 )15הנגזרת של פונקציה f x :היא: 6x 5 חותך את ציר ה x -בנקודה הנמצאת על הישר.18 y 12 x 10 : . f ' x ידוע כי גרף הפונקציה א .מצא את הפונקציה. f x : מגדירים פונקציה חדשה . g x f x f ' x :ענה על השאלות הבאות: 2 ב .כתוב את הפונקציה g x בצורה מפורשת. ג. חשב את השטח הכלוא בין גרף הפונקציה , g x ציר ה x - והאנכים x 1 :ו . x 5 - 389 :רציונאלית-תשובות סופיות – פונקציה אי . f ( x) x x2 14 . בk 1 .) א1 . f x 2 x2 2 x 79 . בk 4 .) א2 . 9, 6 - כן. גf ( x) x 3 x 6 . ב 4, 4 .) א3 . 0,0 , 16,0 . גf ( x) 8 x 2 x . בk 2 .) א4 . 1 3 . S 8 4 3 1.405 . גy 11 .2 S 11 .1 .ב 16 1 3 x .) ב7 . k 4 .ב 16 4 1,1 .) א5 16,16k .) א6 5 . גmin 0.375, 2 . בx 0.5 .) א9 . k 36 .) ב8 8 2 . S 32 . גy 10 x 40 .) ב10 3 1 1 . a 4 )12 . S2 .2 . S1 .1 . ג. 4.5, 0 . ב. a 7 .) א11 2 2 .S . S 445.5 . ד. סקיצה בצד. ג 9, 0 . בk 27 .) א13 . S 56 . גg x 6 x 5 3 .ב 6x 5 f x 6 x 5 .) א15 . k 10 .) ב14 :13 סקיצה לשאלה 390 תוכן עניינים – בגרויות משנים קודמות ונספחים: פרק – 12בעיות מילוליות – תרגול מבגרויות392 ...................................................................... : בעיות תנועה392 ................................................................................................................ : בעיות הספק395 ................................................................................................................ : תשובות סופיות397 ........................................................................................................... : פרק – 13סדרות – תרגול מבגרויות398 ................................................................................. : תשובות סופיות400 ........................................................................................................... : פרק – 14הסתברות – תרגול מבגרויות401 ............................................................................. : תשובות סופיות408 ........................................................................................................... : פרק – 15גיאומטריה אוקלידית – תרגול מבגרויות409 .............................................................. : תשובות סופיות418 ........................................................................................................... : פרק – 16טריגונומטריה – תרגול מבגרויות419 ....................................................................... : תשובות סופיות426 ........................................................................................................... : פרק – 17חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי – תרגול מבגרויות427 .................................................... : תשובות סופיות446 ........................................................................................................... : נספח – 1משפטים בגאומטריה452 ...................................................................................... : נספח – 2דף ההוראות הרשמי לשאלון 459 ........................................................................:806 נספח – 3עקרונות מנחים לבדיקת בחינות הבגרות460 .............................................................. : 391 פרק – 14בעיות מילוליות – תרגול מבגרויות: בעיות תנועה: )1רוכב אופניים יצא בשעה 08 : 00מעיר , Aורוכב אופניים שני יצא בשעה 09 : 00מעיר . Aכל אחד מהרוכבים רכב במהירות קבועה לעיר . B המרחק בין Aל B -הוא 45ק"מ .כאשר הרוכב הראשון הגיע לעיר , Bהרוכב השני עדיין לא הגיע לעיר Bוהיה במרחק של 25ק"מ ממנה. מהירות הרוכב הראשון גדולה ב m -קמ"ש ממהירות הרוכב השני ,וידוע כי . 0 m 5 א .הבע באמצעות mאת שני הפתרונות האפשריים למהירות הרוכב השני. ב .נסמן את שני הפתרונות שהבעת בסעיף א ב x1 -וב. x2 - מצא עבור אילו ערכי mמתקיים . x1 x2 11 )2הולך רגל יוצא כל בוקר להליכה לאורך מסלול שאורכו הכולל הוא 24ק"מ. הוא יוצא מביתו לכיוון מזרח והולך mק"מ. אחר כך הוא פונה צפונה והולך 1.5שעות. לאחר מכן הוא חוזר לביתו בדרך הקצרה ביותר (ראה ציור). בדרכו חזרה הוא הולך 60דקות פחות מהזמן שבו הוא הולך בשני הכיוונים יחד ,מזרח וצפונה .בכל קטעי הדרך הוא הולך באותה מהירות קבועה. חשב את . m )3רוכב אופניים אחד יצא ממקום Aאל מקום , Bובאותה שעה בדיוק יצא רוכב אופניים אחד ממקום Bאל מקום ( . Aהמהירויות של רוכבי האופניים אינן משתנות) .כעבור 4שעות נפגשו רוכבי האופניים .הזמן ,שנדרש לרוכב האופניים שיצא מ A -לעבור את הדרך שבין Aל , B -גדול ב 108 -דקות מהזמן שנדרש לרוכב האופניים שיצא מ B -לעבור דרך זו. א .מצא את היחס בין המהירות של רוכב האופניים שיצא מ B -לבין המהירות של רוכב האופניים שיצא מ. A - ב .מצא בכמה שעות עבר כל אחד מרוכבי האופניים את הדרך שבין Aל . B - )4רוכב אופניים רכב מעיר Aלעיר . B במסלול שבין שתי הערים יש תחילה עלייה ואחר כך ירידה (ראה ציור). מהירות הרוכב בירידה היא קבועה ,וגדולה ב 10 -קמ"ש ממהירותו בעלייה. הרוכב עבר את הדרך מה A -ל B -ב 4.5שעות, ואת הדרך מ B -ל A -עבר ב 6 -שעות. מהירות הרוכב בעלייה שבדרך מ A -ל B -שווה למהירות הרוכב בעלייה שבדרך מ B -ל , A -וגם מהירות הרוכב בירידה בכל אחת מהדרכים היא אותה מהירות. אורך המסלול בין שתי הערים הוא 70ק"מ. א .מצא את מהירות הרוכב בעלייה. ב .מצא את אורך המסלול מ E -ל. B - 392 )5נהג יצא מעיר Aלכיוון עיר . Bהמרחק בין שתי הערים הוא 120ק"מ. בהתחלה נסע הנהג במהירות קבועה כפי שתכנן ,אבל כעבור 3/4שעה מתחילת נסיעתו הייתה תקלה ברכבו .הנהג חזר מיד לכיוון , Aונסע 10ק"מ במהירות של 50קמ"ש עד למוסך הנמצא בדרך ל . A -המוסך טיפל בתקלה במשך 33דקות, ומיד לאחר הטיפול יצא הנהג לכיוון Bבמהירות הקטנה ב 10 -קמ"ש ממהירות נסיעתו עד התקלה .הוא הגיע ל B -באיחור של שעה אחת לעומת השעה המתוכננת. מה הייתה מהירות הנסיעה של הנהג עד התקלה? )6רוכב אופניים יצא ממושב Aאל מושב , Bולאחר 1/2שעה יצא רוכב אופניים שני ממושב Bאל מושב . Aהרוכבים נפגשו לאחר שהרוכב השני עבר 1/4מהמרחק שבין Bל . A -ביום אחר ,יצא רוכב האופניים הראשון ממושב Aאל מושב B 1/2שעה אחרי שרוכב האופניים השני יצא ממושב Bאל מושב . A הרוכבים נפגשו באמצע הדרך שבין Aל . B -מהירויות הרוכבים לא השתנו. א .חשב את היחס בין מהירות הרוכב הראשון ובין מהירות הרוכב השני. ב .ידוע שאם שני הרוכבים יוצאים באותו רגע זה לקראת זה ,הם נפגשו במרחק bק"מ מאמצע הדרך שבין Aל . B - הבע באמצעות bאת הדרך שבין Aל. B - )7משאית יצאה מעיר Aלעיר . Bבדיוק באותו רגע יצאה מכונית מעיר Bלעיר . A כאשר הגיעה המכונית ל A -היא חזרה מיד ל , B -וכאשר הגיעה ל B -היא מיד שוב יצאה ל . A -המכונית פגשה בדרכה את המשאית 3פעמים ,לפני שהמשאית הגיעה ל . B - הפגישה הראשונה הייתה כעבור 2שעות מרגע היציאה של המכונית והמשאית לדרך. 2 הפגישה השנייה הייתה כעבור 3 4שעות מרגע היציאה. הפגישה השלישית הייתה במרחק 40ק"מ מ . B - מצא את המהירות של המשאית( .המהירויות של המשאית והמכונית אינן משתנות). )8רוכב אופנוע יצא מ , A -ובאותה שעה יצא רוכב אופניים מ . B -הם רכבו זה לקראת 1 זה ונפגשו בדרך .רוכב האופנוע הגיע ל Bכעבור 4 האופניים הגיע ל A -כעבור 4שעות מרגע הפגישה( .מהירויות הרוכבים היו קבועות). שעה מרגע הפגישה ,ורוכב א .מצא את היחס בין המהירות של רוכב האופנוע למהירות של רוכב האופניים. ב .מצא באיזה תחום מספרים נמצאת המהירות של כל אחד מהרוכבים. (מהירות רוכב האופנוע אינה עולה על 120קמ"ש). 393 )9דן יצא מתל אביב להרצליה על אופניו ,ורכב במהירות קבועה של vקמ"ש. כעבור 1/2שעה מרגע היציאה של דן ,גם אילנית יצאה על אופניה מתל אביב להרצליה ,ורכבה באותו מסלול במהירות הגדולה ב 2 -קמ"ש ממהירותו של דן. א ילנית ודן נפגשו בדרך להרצליה ו 1/2-שעה לאחר הפגישה הגיעה אילנית להרצליה. מצא באיזה תחום מספרים נמצאת המהירות , vאם נתון כי מסלול הרכיבה מתל אביב להרצליה קטן מ 25 -ק"מ וגדול מ 9 -ק"מ. )10נמל Aונמל Bנמצאים על אותה גדה של נהר ,שכיוון הזרם שלו הוא מ A -ל. B - רפסודה הפליגה בשעה 9 : 00בבוקר מנמל Aאל נמל Bוהיא נישאה על גבי הזרם של הנהר כך שמהירות הרפסודה היא מהירות הזרם .באותה שעה הפליגה סירה מנמל ( Bנגד כיוון הזרם) לכיוון נמל . Aמהירות הסירה במים עומדים היא 15קמ"ש. הסירה הגיעה לנמל , Aומיד חזרה אל נמל . B ידוע כי הרפסודה והסירה יגיעו לנמל Bבאותה שעה. נתון כי הרפסודה והסירה נפגשו לראשונה כעבור 5שעות מרגע הפלגתן. האם הסירה והרפסודה יגיעו לנמל Bעד לשעה 9 : 00בערב באותו היום? נמק. מהירות הזרם ומהירות הסירה במים עומדים הן קבועות. הערה :בחישוביך דייק עד שתי ספרות אחרי הנקודה העשרונית. )11משאית יצאה מעיר , Aוכעבור 6שעות מרגע יציאתה הגיעה לעיר . B זמן מה אחרי יציאת המשאית יצאה מכונית מעיר , Aוהגיעה לעיר 2 Bשעות לפני המשאית .המשאי ת והמכונית נפגשו כעבור שעה מרגע היציאה של המכונית. המהירויות של המשאית ושל המכונית היו קבועות. מצא כמה שעות אחרי רגע היציאה של המשאית יצאה המכונית (מצא את שני הפתרונות). )12רץ Iורץ IIיצאו באותו רגע מאותו מקום .הם רצו במהירות קבועה ובאותו כיוון. המהירות של רץ Iהייתה 6קמ"ש ,והמהירות של רץ IIהייתה 7.5קמ"ש. כעבור 20דקות מרגע היציאה של שני הרצים ,יצא רץ IIIמאותו מקום ובאותו כיוון והוא רץ במהירות קבועה. רץ IIIפגש בדרך את רץ Iושעה אחר כך הוא פגש את רץ . II מצא כמה שעות עברו מרגע היציאה של רץ IIIעד לפגישתו עם רץ . II 394 בעיות הספק: )13שני צינורות ,צינור Iוצינור , IIממלאים יחד במים את כל הנפח של בריכה במשך 6 שעות( .קצב הזרמת המים של כל אחד מהצינורות אינו משתנה). יום אחד ,צינור Iמילא לבדו רבע מנפח הבריכה ,וצינור IIמילא לבדו עוד רבע מנפח הבריכה וכך התמלא חצי מנפח הבריכה במשך mשעות. א )1( .הבע באמצעות mאת הזמן הדרוש לצינור Iלמלא את כל נפח הבריכה לבדו. ( )2מצא עבור איזה ערך של mיש פתרון אחד לבעיה. ב .נתון כי כאשר כמות המים בבריכה היא 70%מנפח הבריכה ,צינור Iממלא לבדו את נפח הבריכה הנותר במשך 3שעות .מצא את mבמקרה זה. )14במפעל לייצור מחשבונים עובדים פועלים ותיקים ופועלים חדשים. פועל ותיק ופועל חדש התבקשו להרכיב מחשבונים .לו פועל ותיק היה עובד 1/3מהזמן שנדרש לעובד חדש לבצע לבד עבודה זו ,ופועל חדש היה עובד 1/3מהזמן שנדרש לעובד ותיק לבצע לבד עבודה זו ,אז יחד הם היו מבצעים 13/18מעבודה זו. פועל ותיק מבצע לבד את העבודה במספר שעות קטן יותר מזה הדרוש לפועל חדש. א .מצא פי כמה גדול מספר השעות הדרוש לפועל חדש לבצע לבד את העבודה ,ממספר השעות הדרוש לפועל ותיק לבצע לבד את העבודה. ב .נתון כי פועל ותיק מרכיב 9מחשבונים בשעה .בצוות עבודה יש פועל אחד חדש ושני פועלים ותיקים .מצא בכמה שעות הצוות מרכיב 168מחשבונים. )15צינור הזרים לבריכה 10מ"ק בקצב קבוע .לאחר הפסקה של 1/3שעה הוגבר קצב ההזרמה של הצינור ב 3 -מ"ק לשעה .בקצב המוגבר הזרים הצינור עוד 20מ"ק מים. הזמן שהצינור הזרים את המים ,כולל ההפסקה ,זהה לזמן שהיה נדרש לצינור ,לו היה מזרים 30מ"ק מים בלי הפסקה בקצב שלפני ההגברה. א .חשב כמה זמן הזרים הצינור את המים עד ההפסקה. ב .נתון גם כי הצינור ממלא 1/3מנפח בריכה ריקה ב 18 -שעות ,כאשר הוא מזרים מים בקצב שלפני ההגברה .שני צינורות מזרימים יחד מים לבריכה הריקה באותו קצב .קצב זה קטן מהקצב המוגבר של הצינור נתון וגדול מהקצב שלפני ההגברה .באיזה תחום שעות יהיה הזמן שבו שני הצינורות ימלאו את הבריכה? 395 )16פועל Iופועל IIעובדים במפעל לייצור חלקי חילוף. שני הפועלים מבצעים יחד עבודה מסוימת. קצב העבודה הרגיל של פועל Iשונה מקצב העבודה הרגיל של פועל . II אם כל אחד מהפועלים יגביר את קצב העבודה הרגיל שלו ב , 50% -ההפרש בין זמן העבודה של שני הפועלים יחד בקצב הרגיל ובין זמן העבודה שלהם יחד בקצב המוגבר יהיה 2/15מהזמן הנדרש לפועל Iלבצע לבד את העבודה בקצב הרגיל שלו. א .מצא את היחס בין הזמן שבו פועל Iמבצע לבד את העבודה ובין הזמן שבו פועל IIמבצע לבד עבודה זו. ב .העבודה ששני הפועלים מבצעים יחד היא הכנה של 300חלקי חילוף. הפועלים ביצעו יחד עבודה זו בקצב הרגיל שלהם ב 6 -ימים. כמה חלקי חילוף ביום מכין לבד פועל Iבקצב הרגיל שלו? )17ראובן ושמעון חופרים יחד תעלה אחת ב 12 -שעות. אם ראובן חופר לבד 1/3מהתעלה ,ולאחר שהוא מסיים את חלקו שמעון חופר 1 3 לבד את יתר התעלה ,החפירה מסתיימת כעבור 23שעות. כמה תעלות שלמות לכל היותר יחפור ראובן לבד בפחות מ 100 -שעות? התעלות זהות לתעלה הנתונה .הספקי העבודה של שמעון ושל ראובן אינם משתנים. 396 תשובות סופיות: 25 m m2 130m 625 25 m m2 130m 625 , x2 )1א. 2 2 ב. 4 m 5 . )2 )3 )4 )5 . x1 8ק"מ . m א .היחס הוא .1.25 :ב 9 .שעות ו 7.2-שעות. א 10 .קמ"ש ב 50 .ק"מ. 80קמ"ש. 5 )6א. 3 ב. 8b . 40 )7קמ"ש. )8א 4 .ב .מהירות רוכב האופנוע גדולה מ 72 -וקטנה או שווה ל 120 -קמ"ש. מהירות רוכב האופניים גדולה מ 18 -קמ"ש וקטנה או שווה ל 30 -קמ"ש. . 4 v 8 )9 )10לא .הם יגיעו לנמל 12.07 Bשעות לאחר יציאתם. )11שעה או 2שעות. 2 3 1 )12שעות. )13א m 6 )2( 2m 2 m2 6m , m 6 )1( .ב. m 6.25 . )14א .פי 1.5ב 7 .שעות. 5 )15א. 6 3 5 שעות ב .בין 21שעות ל 27 -שעות. )16א 1.5 .ב 20 .חלקי חילוף. )17לכל היותר 3תעלות שלמות. 397 פרק – 15סדרות – תרגול מבגרויות: )1נתונה סדרה חשבונית שיש בה nאיברים .האיבר הראשון בסדרה הוא a1 (שונה מאפס) ,והפרש הסדרה הוא . dבונים סדרה חדשה שגם בה nאיברים. האיבר הראשון בסדרה החדשה גדול פי 4מהאיבר הראשון בסדרה הנתונה ,והפרש הסדרה החדשה גם הוא . dסכום הסדרה החדשה גדול פי 2מסכום הסדרה הנתונה. א .בטא את a1באמצעות dו. n - ב .אם מגדילים את הפרש הסדרה הנתונה ב ( 3 -בלי לשנות את a1ואת ,) nמקבלים סדרה חשבונית שסכומה גדול פי 2מסכום הסדרה הנתונה. הראה כי הפרש הסדרה הנתונה הוא . 2 an )2ו ak -הם שני איברים בסדרה חשבונית במקום ה n -ובמקום ה k -בהתאמה. הפרש הסדרה הוא , dוהאיבר הראשון בסדרה הוא . a1 md - mמספר טבעי. d 0 , א )1( .הראה כי מתקיים . an ak a1 d n k m 2 ( )2הבע באמצעות k , nו m -את המקום בסדרה של איבר השווה לסכום של שני האיברים anו. ak - ב )1( .הבע באמצעות d , a1ו m -את הסכום . a34 a65 ( )2נתון . a34 a65 a109 :סכום 79האיברים הראשונים בסדרה הוא . 7900 מצא את dואת . a1 )3נתונה סדרה הנדסית אין -סופית יורדת .כל איבר בסדרה זו קטן פי 2מסכום כל האיברים שאחריו .סכום הסדרה ההנדסית הנתונה הוא . 4 מצא את סכום כל האיברים שאחרי האיבר העשירי. )4נתונה סדרה חשבונית שאיבריה הם58,62,66,..., 4n 6 : הבע את סכום הסדרה באמצעות . n 12 n )5נתונה סדרה . anסכום nהאיברים הראשונים בסדרה הוא: Sn n2 5n 2 6 10 ... 4n 2 א .מצא נוסחה לאיבר הכללי anבסדרה הנתונה. ב .מתבוננים באיברים של הסדרה הנתונה ,שערך כל אחד מהם קטן מ . 102 - חשב את הערך הגדול ביותר שיכול להתקבל עבור סכום מסוים של איברים כאלה (לאו דווקא הסכום של כל האיברים). 398 )6נתונה סדרה : an ונתונה סדרת הסכומים : Sn . a1 , a2 , a3 ,..., an ,... . S1 ,S2 ,S3 ,...,Sn ,... Snהוא סכום nהאיברים הראשונים בסדרה . an סדרת הסכומים Snמקיימת לכל nטבעי. b 0 , S1 3 , Sn1 b Sn 3 : א .הוכח כי הסדרה anהיא סדרה הנדסית שהמנה שלה היא . b ב .נתון כי . b 1בונים מהסדרה anשתי סדרות הנדסיות Iו: II - II. a1 , a3 , a5 , a7 ,... I. a3 , a7 , a11 , a15 ,... Tהוא הסכום של אין-סוף איברי הסדרה , I Mהוא סכום של אין -סוף איברי הסדרה . II M הבע באמצעות bאת היחס T .פשט את הביטוי ככל האפשר. )7נתונה סדרה הנדסית אין סופית יורדת. a1 , a2 , a3 , a4 , ... : סכום כל איברי הסדרה בלי האיבר הראשון הוא . 6 מחליפים את הסימנים של כל האיברים הנמצאים במקומות הזוגיים בסדרה, . a1 , a2 , a3 , a4 ,... ומתקבלת סדרה הנדסית חדשה: סכום כל איברי הסדרה החדשה בלי האיבר הראשון הוא . 3 מהאיברים של הסדרה נתונה בנו סדרה שלישית: 1 1 1 , , , ... a2 a3 a4 . א .הוכח כי הסדרה השלישית היא סדרה הנדסית. ב .נתון כי סכום nהאיברים הראשונים בסדרה השלישית הוא . 273.25מצא את . n )8בסדרה חשבונית יש 3nאיברים. סכום nהאיברים האחרונים גדול פי 2מסכום nהאיברים הקודמים להם. א .הוכח שסכום nהאיברים הראשונים הוא . 0 ב .נתון גם שסכום האיברים החמישי והשביעי הוא . 0 סכום כל איברי הסדרה הוא . 726 מצא את הפרש הסדרה. )9נתונה סדרה חשבונית . a1 , a2 , a3 ,...שלושה איברים עוקבים בסדרה an , an1 , an2 מקיימיםan22 an2 216 , an an1 an2 54 : א .מצא את האיבר . an ב .לקחו חלק מהאיברים בסדרה הנתונה ובנו סדרה חשבונית חדשה: a5 , a9 , a13 ,..., a4k 1 סכום כל האיברים בסדרה החדשה הוא . 450 האיבר הראשון בסדרה הנתונה בפתיח הוא . a1 21מצא את הערך של . k 399 :תשובות סופיות d n 1 .) א1 4 . a1 22 , d 2 )2( a1 97 m d )1( . בn k m 1 )2( .) א2 . a1 .S 4096 )3 59049 . 2 n 16 n 12 )4 . 884 . בan 6n 8 .) א5 . M 1 b2 2 .) ב6 T b . n 7 .) ב7 . d 2 .) ב8 . k 10 . בan 15 .) א9 400 פרק – 16הסתברות – תרגול מבגרויות: )1ידוע כי בכפר מסוים 20%מהתושבים חולים במחלת מעיים. רופא הכפר בדק את כל התושבים 90% .מהחולים בכפר אובחנו על ידו כחולים, ו 10% -מהבריאים בכפר אובחנו על ידו כחולים. א .מהו אחוז התושבים בכפר שלגביהם הרופא ביצע אבחנה שגויה? הרופא נתן תרופה לכל מי שאובחן על ידו כחולה. התרופה גרמה לפריחה אצל 60%מהחולים שאובחנו כחולים, ואצל 25%מהבריאים שאובחנו כחולים. ב .מהי ההסתברות שתושב בכפר הוא חולה ,אם ידוע שיש לו פריחה? )2בשכבה י"א יש שתי כיתות :י"א 1ו -י"א . 2 בכיתה י"א 1יש 40תלמידים ,ולמחציתם יש מחשב נישא. בכיתה י"א 2יש 35תלמידים ,ול 40% -מהם יש מחשב נישא. א .בחרו באקראי תלמיד משכבה י"א ,ונמצא שיש לו מחשב נישא. מהי ההסתברות שהוא לומד בכיתה י"א ? 2 ב .בחרו באקראי בזה אחר זה (בלי החזרה) 2תלמידים בכיתה י"א , 1ובאותו אופן בחרו 2תלמידים מכיתה י"א . 2מהי ההסתברות של 2 -התלמידים בכיתה י"א 1 וגם ל 2 -התלמידים מכיתה י"א 2אין מחשב נישא? )3בוחרים באקראי 3אנשים מעיר גדולה .ההסתברות ששלושתם הם בעלי השכלה גבוהה היא . 0.064ההסתברות לבחור באקראי אדם שמרכיב משקפיים מבין בעלי השכלה גבוהה בעיר קטנה פי 2מההסתברות לבחור באקראי אדם שמרכיב משקפיים מבין אלו שאינם בעלי השכלה גבוהה. א .ידוע שאדם מהעיר מרכיב משקפיים. מהי ההסתברות שהוא בעל השכלה גבוהה? ב .בוחרים באקראי 4אנשים מבין תושבי העיר שאינם בעלי השכלה גבוהה. 81 ההסתברות שארבעתם אינם מרכיבים משקפיים היא 256 . מהי ההסתברות שאדם בעיר מרכיב משקפיים והוא גם בעל השכלה גבוהה? 401 )4באחד הדוכנים בלונה פארק אפשר להשתתף במשחק שבו מסובבים שני גלגלים A ,ו . B -כל גלגל מחולק ל 20 -גזרות שוות (לכל אחת מהגזרות יש אותה הסתברות שהגלגל ייעצר עליה ,והגלגל אינו נעצר בגבול שבין הגזרות). בגלגל Aיש 2גזרות אדומות והשאר שחורות. בגלגל Bיש 4גזרות אדומות והשאר שחורות. תור אחד במשחק מורכב משני שלבים: בשלב הראשון – משתתף במשחק מסובב את הגלגל . A בשלב השני – אם הגלגל Aנעצר על גזרה אדומה בשלב הראשון ,המשתתף מסובב את הגלגל . Bאם הגלגל Aנעצר על גזרה שחורה בשלב הראשון ,המשתתף מסובב שוב את הגלגל . A א .ידוע שבתור אחד בשלב הראשון נעצר הגלגל Aעל גזרה אדומה. מהי ההסתברות שבתור זה התקבלה בשלב השני גזרה שחורה? ב ) 1( .מהי ההסתברות שבתור אחד תתקבל לפחות גזרה אדומה אחת? ( ) 2אם ידוע כי בתור אחד הייתה לפחות אחת מהגזרות אדומה ,מהי ההסברות שבתור זה התקבלה רק גזרה אדומה אחת? ג .משתתף משחק nתורות .הבע באמצעות nאת ההסתברות שלא תתקבל כלל גזרה אדומה. )5ברשותנו שתי קוביות משחק הנראות זהות .קובייה אחת מאוזנת והאחרת לא מאוזנת. בהטלת הקובייה המאוזנ ת ההסתברות לקבל אחד מהמספרים הרשומים על פאות הקובייה היא אותה הסתברות עבור כל אחד מהמספרים. 1 בהטלת הקובייה הלא -מאוזנת ההסתברות לקבל את המספר 6היא 3 . א )1( .זורקים 3פעמים את הקובייה המאוזנת. מהי ההסתברות לקבל בדיוק 2פעמים את המספר ? 6 ( )2זורקים 3פעמים את הקובייה הלא -המאוזנת. מהי ההסתברות לקבל בדיוק 2פעמים את המספר ? 6 ב .בוחרים באקראי אחת משתי קוביות ,וזורקים 3פעמים את הקובייה שבוחרים. ( )1מהי ההסתברות לקבל בדיוק 2פעמים את המספר ? 6 ( )2ידוע כי המספר 6התקבל בדיוק 2פעמים. מהי ההסתברות שנבחרה הקובייה הלא – מאוזנת? ג .זורקים nפעמים את הקובייה הלא – מאוזנת. הבע באמצעות nאת ההסתברות לקבל לפחות פעם אחת את המספר . 6 402 )6משפחה יצאה לטיול במכונית הנוסעת על 4גלגלים חדשים. בתא המטען של המכונית יש גלגל רזרבי אחד. ההסתברות שיהיה נקר (פנצ'ר) בגלגל חדש בזמן הטיול היא . 0.05 ההסתברות שיהיה נקר בגלגל הרזרבי בזמן הטיול היא . 0.25 א .מהי ההסתברות שיהיה נקר בדיוק בגלגל אחד מבין ארבעת הגלגלים החדשים? ב .בתחילת הטיול היה נקר בגלגל אחד ,והמשפחה החליפה את הגלגל בגלגל הרזרבי. ( )1מהי ההסתברות שאחרי ההחלפה יהיה נקר רק בגלגל הרזרבי מבין ארבעת הגלגלים? ( )2מהי ההסתברות שאחרי ההחלפה יהיה נקר רק בגלגל אחד מבין ארבעת הגלגלים? ( )3ידוע כי אחרי ההחלפה היה נקר רק בגלגל אחד מבין ארבעת הגלגלים. מהי ההסתברות שהנקר היה בגלגל הרזרבי? )7בחברת תקשורת גדולה נבדקו הרגלי הצפייה של הלקוחות .נמצא כי מספר הלקוחות שצופים בערוצי אקטואליה גדול פי 4ממספר הלקוחות שאינם צופים בהם. 5 6 75%מהלקוחות שאינם צופים בערוצי סרטים ,צופים בערוצי אקטואליה. מהלקוחות שצופים בערוצי סרטים ,צופים בערוצי אקטואליה. בוחרים באקראי לקוח מבין הלקוחות שהרגלי הצפייה שלהם נבדקו. ההסתברות שהוא צופה בערוצי סרטים היא . p א )1( .הבע באמצעות pאת ההסתברות שהלקוח שנבחר צופה בערוצי סרטים וגם בערוצי אקטואליה. ( )2מצא את . p ב ) 1( .נמצא שהלקוח שנבחר אינו צופה בערוצי סרטים. מהי ההסתברות שהוא אינו צופה בערוצי אקטואליה? ( ) 2מבין הלקוחות שאינם צופים בערוצי סרטים בחרו באקראי 5לקוחות. מהי ההסתברות שלפחות 1מהם צופה בערוצי אקטואליה? 403 )8בקבוצה של 40אנשים יש 16גברים והשאר נשים. ל 12 -גברים בקבוצה יש רישיון נהיגה ,ול 16 -נשים בקבוצה יש רישיון נהיגה. א .בוחרים באקראי אדם מהקבוצה. מהי ההסתברות שייבחר אדם שיש לו רישיון נהיגה. ב .בוחרים באקראי אדם מהקבוצה .לאחר שהאדם חוזר לקבוצה שוב בוחרים באקראי אדם מהקבוצה. מהי ההסתברות שלפחות פעם אחת ייבחר אדם שיש לו רישיון נהיגה? ג .האם המאורע "לבחור מהקבוצה גבר" והמאורע "לבחור מהקבוצה אדם שיש לו רישיון נהיגה" הם מאורעות בלתי תלויים? נמק. ד .לכמה נשים בקבוצה צריך שיהיה רישיון נהיגה כדי לקבוע שבקבוצה הנתונה רישיון נהיגה אינו תלוי במ ין האדם? (מספר הגברים והנשים בקבוצה אינו משתנה ,ומספר הגברים בעלי רישיון אינו משתנה). )9חברה מייצרת טלפונים ניידים חדשניים עם "מסך תלת ממד". כדי לבדוק את הביקוש לטלפונים אלה ,ערכה החברה סקר טלפוני. בסקר השתתפו צעירים ומבוגרים .חלק מהמשתתפים בסקר הצהירו שלא יקנו את הטלפון החדשני והשאר הצהירו שיקנו אותו .נמצא כי 50%מהמבוגרים הצהירו כי יקנו את הטלפון החדשני. 2/3מבין אלה שהצהירו כי לא יקנו את הטלפון החדשני ,היו צעירים. 1/5מהמשת תפים בסקר היו צעירים שגם טענו כי לא יקנו את הטלפון החדשני. א .בסקר השתתפו 2000איש. כמה צעירים השתתפו בסקר? ב .כמה צעירים ,מבין הצעירים שהשתתפו בסקר ,הצהירו שיקנו את הטלפון החדשני? )10ענה על שני הסעיפים הבלתי תלויים הבאים: א .מחלקים 2כדורים לבנים וכדור אחד שחור בין שני כדים. בכל כד חייב להיות לפחות כדור אחד. בוחרים באקראי כד ומוציאים ממנו כדור אחד. מצא באיזה אופן צריך לחלק את הכדורים בין שני הכדים. כדי שהסיכוי להוציא כדור לבן יהיה הגדול ביותר? ב .בכד אחד יש 5כדורים 2 :לבנים ו 3 -שחורים. ( )1מוציאים באקראי 5פעמים כדור מהכד עם החזרה (בכל פעם מחזירים לכד את הכדור שהוצא) .מהי ההסתברות להוציא בדיוק פעמיים כדור לבן? ( )2מוציאים באקראי 6פעמים כדור מהכד עם החזרה .מהי ההסתברות להוציא בדיוק 3פעמים כדור לבן כך שהכדור הלבן השלישי יוצא בפעם השישית? 404 )11נערך סקר בקרב מספר גדול של סטודנטים (בנים ובנות). חצי מהסטודנטים המשתתפים בסקר היו בנים .בסקר נמצא כי מספר הבנות הסובלות מרעש גדול פי 3ממספר הבנים הסובלים מרעש. נמצא גם כי 5%מבין הבנים סובלים מרעש. א .ידוע כי אחד מהמשתתפים בסקר שנבחר באקראי ,סובל מרעש. מהי ההסתברות שהנבחר הוא בת? ב .בחרו באקראי 5סטודנטים מבין משתתפי הסקר. ידוע כי לכל היותר 2מבין 5הסטודנטים שנבחרו באקראי ,סובלים מרעש. מהי ההסתברות שבדיוק אחד מהם סובל מרעש? )12בחדר Iנמצאים kנשים ו k -גברים . k 1בחדר IIנמצאים kנשים ו 3k -גברים. מטילים קובייה מאוזנת .אם מתקבל מספר המתחלק ב , 3 -בוחרים בזה אחר זה בלי החזרה 2 ,אנשים מחדר . Iאם מתקבל מספר שאינו מתחלק ב , 3 -בוחרים בזה אחר זה בלי החזרה 2 ,אנשים מחדר . IIכאשר בוחרים באופן זה ,ההסתברות לבחור 2נשים מחדר Iגדולה פי 15/7מההסתברות לבחור 2נשים מחדר . II א .מצא את . k ב .מצא את ההסתברות לבחור 2נשים באופן שתואר. ג .ידוע שנבחר לפחות גבר אחד באופן שתואר. מהי ההסתברות שנבחרו בדיוק 2גברים מחדר ? I )13הוועדה המארגנת של התחרות "נולד לשיר" מתלבטת אם ישפוט בתחרות רק שופט א' או יצטרפו אליו שני שופטים נוספים :שופט ב' ושופט ג'. ההצבעה של שופט א' לא תשתנה אם הוא ישפוט לבד או אם ישפוט עם האחרים. ההצבעה של כל אחד מהשוטפים אינה תלויה בהצבעה של השופטים האחרים. אם ישפוט בתחרות רק שופט א' -יעבור המתחרה לשלב נוסף בתחרות אם השופט יצביע בעדו .אם ישפטו שלושת השופטים – יעבור המתחרה לשלב נוסף בתחרות אם לפחות 2מהשופטים יצביעו בעדו .יוסי הוא אחד המתמודדים בתחרות. נתון כי ההסתברות ששופט א' יצביע בעד יוסי שווה להסתברות ששופט ב' יצביע בעדו. ההסתברות ששופט ג' יצביע בעד יוסי היא . 0.5 א .האם ההסתברות שיוסי יעבור לשלב נוסף בתחרות אם ישפוט בתחרות רק שופט א' ,שווה להסתברות שיוסי יעבור לשלב נוסף בתחרות אם ישפטו בתחרות שלושת השופטים? נמק. ב .לבסוף הוחלט שבתחרות ישפטו שלושת השופטים. נתון כי ההסתברות ,ששופט א' הצביע בעד יוסי אם ידוע כי יוסי עבר לשלב נוסף בתחרות גדולה מ. 0.8 - מצא את תחום הערכים של ההסתברות ששופט א' הצביע בעד יוסי. 405 )14מבין כל תלמידי י"ב בעיר מסוימת מאתרים תלמידים שיתאימו לקורס ייחודי. הקורס מתאים רק לתלמידים שיש להם יכולת טכני. הבוחנות מאבחנות 80%מבין התלמידים שאכן יש להם יכולת כבעלי יכולת טכנית, ומאבחנות 10%מבין התלמידים שאין להם יכולת טכנית כבעלי יכולת טכנית. מבין התלמידים שאובחנו כבעלי יכולת טכנית ,אחוז התלמידים שאכן יש להם יכולת טכנית גדול פי 4מאחוז התלמידים (בקבוצה זו) שאין להם יכולה זו. א .מהי ההסתברות שלתלמיד י"ב בעיר זו אכן יש יכולת טכנית? ב .באותה עיר כל אלה שאובחנו כבעלי יכולת טכנית השתתפו בקורס ורק הם. בעיר יש 600תלמידי י"ב. מבין המשתתפים בקורס לכמה תלמידים אין יכולת טכנית? )15בעיר מסוימת יש תושבים המשתתפים בחוג לריקודי עם ,יש תושבים המשתתפים בחוג לתאטרון ויש תושבים המשתתפים בשני החוגים .נמצא כי המאורע "תושב העיר משתתף בחוג לריקודי עם" והמאורע "תושב העיר משתתף בחוג לתאטרון" הם מאורעות בלתי תלויים .מספר התושבים שמשתתפים בחוג לריקודי עם גדול פי 2ממספר התושבים שמשתתפים בחוג לתיאטרון. מבין התושבים שמשתתפים בחוג לתאטרון 60% ,משתתפים בחוג לריקודי עם. א .מהו אחוז התושבים בעיר שמשתתפים בחוג לריקודי עם וגם בחוג לתאטרון? ב .יום אחד נערך בעיר כנס שהשתתפו בו כל התושבים המשתתפים לריקודי עם ,ורק הם .עיתונאי ראיין 6משתתפים בכנס שנבחרו באקראי. מהי ההסתברות שלפחות 2מהם משתתפים בחוג לתאטרון? )16אבא ודני משחקים בזריקת כדור לסל .בכל משחק שני סיבובים .המנצח בסיבוב מקבל נקודה אחת .אם הסיבוב מסתיים בתיקו ,כל אחד מקבל חצי נקודה. נתון :ההסתברות שדני ינצח בסיבוב היא , 0.1 ההסתברות שאבא ינצח בסיבוב היא . 0.2 ההסתברות שהסיבוב יסתיים בתיקו היא . 0.7 הסיבובים אינם תלויים זה בזה. א .מהי ההסתברות שאבא יצבור בשני הסיבובים יותר מנקודה אחת? ב .מהי ההסתברות שדני יצבור בשני הסיבובים לפחות נקודה אחת? ג .ידוע כי דני צבר בשני הסיבובים לפחות נקודה אחת. מהי ההסתברות שאחד הסיבובים הסתיים בתיקו והאחר הסתיים בניצחון של דני? ד .אבא ודני משחקים 4פעמים את המשחק שמתואר בפתיח (בכל משחק שני סיבובים) .מהי ההסתברות שדני יצבור לפחות נקודה אחת 2פעמים בדיוק? 406 )17בעיר גדולה כל אחד מתלמידי כיתה י"ב בשנה מסוימת בוחר באחד משני המסלולים לטיול שנתי :מסלול א' או מסלול ב'. נמצא 75% :מן התלמידים שבחרו במסלול א' הן בנות. 10%מן הבנות בחרו במסלול ב'. 40%מן התלמידים הן בנות. א .בוחרים באקראי תלמיד י"ב (בן/בת). מהי ההסתברות שהוא בחר במסלול א'? ב .כאשר בוחרים באקראי תלמיד י"ב (בן/בת) ,האם המאורע "התלמיד הוא בת" והמאורע "התלמיד (בן/בת) בחר במסלול א'" הם מאורעות בלתי תלויים? נמק. ג .בחרו באקראי כמה בנות מבין התלמידים. נמצא שההסתברות שלפחות אחת מהן בחרה במסלול א' היא . 0.99 (הבחירות של המסלולים על ידי הבנות שנבחרו הן בלתי תלויים). כמה בנות נבחרו? 407 תשובות סופיות: )1 )2 )3 )4 27 א 10% .מהמקרים בוצעה אבחנה שגויה .ב. 32 19 7 . ב. א. 221 17 1 ב.0.05 . א. 4 17 ג. 0.81n . א 0.8 .ב)2( .0.19 )1( . 19 . n 2 16 7 2 5 ג.1 . ()2 ב)1( . ()2 )5א)1( . 72 6859 )6א. 40000 5 )7אp )1( . 6 9 21 48 3 19 2527 6859 . ()3 ()2 ב)1( . 8000 32000 28 1023 . ( 0.6 )2ב)2( 0.25 )1( . 1024 )8א 0.7 .ב 0.91 .ג .לא .ד. 18 . )9א 1600 .ב.1200 . 432 216 ()2 )10א .כד א' 1 :לבן ,כד ב' 1 :לבן ו 1 -שחור .ב)1( . 3125 625 45 3 . ב. )11א. 136 4 15 11 . ג. )12א k 4 .ב. 188 105 )13א .ההסתברות שווה .ב. 0.6 p 1 . 1 )14א. 3 ב 40 .תלמידים. )15א 18% .ב. 0.58798 . 7 )16א 0.32 .ב 0.68 .ג. 34 ד. 0.284 . )17א 0.48 .ב .המאורעות הם בלתי תלויים ג .שתי בנות. 408 . פרק – 17גיאומטריה אוקלידית – תרגול מבגרויות: ABC )1הוא משולש שווה צלעות החסום במעגל. Nו P -הו נקודות על המעגל. BNו AP -נפגשים בנקודה ( Sראה ציור). נתון. PC BN : הוכח כי: א .המשולש BSPהוא שווה צלעות. ב .המרובע SPCNהוא מקבילית. ג. AN PC . ABCD )2הוא דלתון שבו AB ADו . BC DC - Eנקודה על הצלע , BCו F -נקודה על הצלע . DC כך ש DE -חוצה את הזווית , ADC ו BF -חוצה את הזווית . ABC BFו DE -נפגשים בנקודה ( Gראה ציור). א .הוכח: (. GB GD )1 (. BGE DGF )2 ב .הוכח כי המרובע DBEFהוא טרפז שווה שוקיים. )3במשולש שווה שוקיים ABC AC AB חסום מלבן GFEDכך שהקדקודים DוE - מונחים על הצלע , ABוהקדקודים FוG - מונחים על הצלעות BCו CA -בהתאמה. נקודה , Lהנמצאת על צלע המלבן , GF היא מפגש התיכונים במשולש . ABC דרך הנקודה Lהעבירו אנך לצלע , BC החותך את BCבנקודה ( Kראה ציור). א .הוכח כי . KAB ~ KLF ~ EFB אם 15ס"מ 18 , AB ס"מ , BC חשב: ב .את אורך הקטע . KFנמק. ג .את אורך הקטע . FEנמק. 409 )4במעגל המיתר ABחותך את הקוטר CD בנקודה , Gואת הקוטר FEבנקודה ( Hראה ציור). א .אם 2ס"מ 5.5 , AG BH ס"מ , GB ורדיוס המעגל הוא 6ס"מ ,מצא את האורך של הקטע GCואת האורך של הקטע . HE נמק GC ( .ו HE -קטנים מרדיוס המעגל). ב .הוכח כי . AC BE )5במעגל שמרכזו Oחסום מרובע . ABCD DCהוא קוטר .המשכי הצלעות DAוCB - נפגשים בנקודה ( Eראה ציור). נתון. BOC , OB DE : א .הבע באמצעות את . ABO ב .נתון כי שטח המשולש OBCשווה לשטח המשולש . BEAהוכח כי . OBC BEA )6נתון ריבוע . ABCD דרך הקדקוד Bהעבירו ישר . TR ARו CT -מאונכים לישר זה (ראה ציור). א .הוכח כי. AR CT TR : ב .הבע את שטח המרובע ACTR באמצעות . TR )7נתון משולש ABCחד זווית. BEהוא גובה לצלע , AC ו AD -הוא גובה לצלע . BC הגבהים נפגשים בנקודה . N FMהוא אנך אמצעי לצלע , AC ו GM -הוא אנך אמצעי לצלע ( BCראה ציור). א .הוכח: (. BAC GFC )1 (. ABN MFG )2 (. ANB ~ GMF )3 ב. BN מצא את היחס FM .נמק. 410 )8נתון משולש חד-זווית . ABC CEהוא גובה לצלע BAו BD -הוא גובה לצלע . AC א .הוכח: ( )1המשולש DBCחסום במעגל החוסם את המשולש . EBC (. DBC DEC )2 BFו CG -מאונכים להמשכי הקטע EDכמתואר. הוכח: ב. DCB ~ FEB . ג. DGC ~ BEC . )9נתון טרפז שווה שוקיים . BC AD ABCD דרך הקדקוד Dהעבירו אנך ל AD -וישר המקביל לשוק . ABהאנך חותך את המשך האלכסון ACבנקודה , Mוהישר המקביל חותך את המשך האלכסון בנקודה ( Fראה ציור). נסמן . CAD , BAC א .הוכח כי . ABC ~ FDA ב .הוכח כי . CDM MDF ג. AC MC הוכח כי AF MF . )10שני מעגלים ,שיש להם אותו רדיוס , R משיקים זה לזה בנקודה . M מעבירים מיתר MBבמעגל שמרכזו , O 2 ומיתר MAבמעגל שמרכזו O1 כך ש ( AMB 90 -ראה ציור). א )1( .נמק מדוע . O1MO2 180 ( )2הוכח כי . AO1 BO2 ב .במשולש AMBהעבירו תיכון לצלע . AB הבע באמצעות Rאת אורך התיכון .נמק. 411 )11מנקודה Aיוצאים למעגל חותך AF וישר המשיק למעגל בנקודה . N החותך נפגש עם המעגל בנקודות Dו. E - מנקודה Fיוצא ישר המשיק למעגל בנקודה , M ונפגש עם המשך המשיק ANבנקודה ( Bראה ציור). נתון. AD DE EF : הוכח: א. AN MF . ב. ADN FEM . ג .במרובע MNDEיש שתי צלעות מקבילות זו לזו. )12נתון משולש . ABCהנקודות E , Dו F - נמצאות על הצלעות AC , ABו BC -בהתאמה כך ש DE BC -ו ( FE BA -ראה ציור). א .נתון :שטח המשולש ADEהוא , S1 שטח המשולש EFCהוא . S2 BF הבע באמצעות S1ו S2 -את היחס FC .נמק. ב .הוכח כי שטח המשולש BEFשווה ל. S1 S2 - )13במשולש ישר זווית CAB 90 CAB הניצב ABהוא קוטר במעגל שמרכזו . O היתר BCחותך את המעגל גם בנקודה . P המשיק למעגל בנקודה Pחותך את הניצב CAבנקודה ( Eראה ציור). א .הוכח כי . CE EA ב. CP 2 אם נתון כי EA 3 המשולש CPEהוא 2סמ"ר, מצא את שטח המשולש . PABנמק. ,וכי שטח 412 )14במשולש ישר זווית ACB 90 ABC AFהוא תיכון לצלע . BC התיכונים במשולש נפגשים בנקודה . M דרך הנקודה Mהעבירו ישר המקביל לצלע , BC וחותך את הצלעות ABו AC -בנקודות Dו E - בהתאמה (ראה ציור). א. DE חשב את היחס BC .נמק. ב .ידוע כי DCהוא חוצה זווית . ACB חשב את גודל הזוויות החדות במשולש . ABC )15במשולש ABCהנקודות Dו E -נמצאות על הצלעות ABוAC - בהתאמה כך ש CD . DE BC -ו BE -נחתכים בנקודה . F AFחותך את DEבנקודה , Mוהמשכו חותך את BCבנקודה ( Nראה ציור). הוכח: א. DM EM = BN CN EM DM . = BN CN ג. DM=EMו. BN=CN - ב. . BA )16הוא קוטר במעגל שמרכזו . O דרך Oהעבירו אנך ל . BA - המשיק למעגל בנקודה Pחותך את האנך בנקודה . Lהמשך המיתר AP חותך את האנך בנקודה , Kוהמיתר BP חותך את האנך בנקודה ( Mראה ציור). א .הוכח כי . KL=LM ב .נתון 24 :ס"מ = , BPרדיוס המעגל הוא 13ס"מ. המשיק למעגל בנקודה Pחותך את המשך הקוטר BAבנקודה . Fמצא את אורך הקטע . AF 413 )17נתון כי במשולש AEFחוצה זווית EAF הוא D . ADהיא נקודת ההשקה של הצלע EF למעגל ,החותך את הצלעות AEו AF - בנקודות Bו C -בהתאמה. המעגל עובר גם דרך קדקוד ( Aראה ציור). הוכח: א. BC EF . ב. ABD ~ DCF . ג. AD BD DF AB . )18נתונה מקבילית E . ABCDו H -הן נקודות על המשכי הצלעות CDו AB -בהתאמה. EHחותך את ADואת BCבנקודות Fו G - בהתאמה (ראה ציור) .נתון . ED=EF א )1( .הוכח כי . HG=HB ( )2הוכח כי . AGH FBH ב .נתון גם 2 :ס"מ = 3 , FDס"מ =, EF 7ס"מ = 4 , BGס"מ =. AB ( )1מצא את האורך של . BH AF ( )2מצא את היחס GC . )19שני מעגלים Iו II -נחתכים בנקודות Gו. F - הישר STמשיק למעגל Iבנקודה , S ולמעגל IIבנקודה . T המשך SFחותך את מעגל IIבנקודה , B והמשך TFחותך את מעגל Iבנקודה A (ראה ציור). א. ST TB הוכח כי = AS ST . ב )1( .הוכח כי . AGF SFA SAF ( )2הוכח כי אם הנקודות G , Aו B -נמצאות על ישר אחד ,אז SFA 60 414 )20הצלעות CAו CB -של המשולש ABCמשיקות למעגל בנקודות Dו B -בהתאמה .קוטר המעגל FBמונח על הצלע . ABנקודה Eנמצאת על הצלע ACכך שEF - משיק למעגל (ראה ציור). א .האם המרובע FEDBהוא בר חסימה במעגל? נמק. נתון 15 :ס"מ = 5 , ECס"מ =. AE ב .הוכח כי. CB+EF=ED+CD : ג .חש את האורך של . EFנמק. ד .חשב את גודל הזוויות במשולש . FDB )21נתון משולש . KHEנקודות Mו G -נמצאות על הצלעות KHו EH -בהתאמה כך ש. GM EK - נקודה Fנמצאת על הצלע . EHהמשכי הקטעים GM ו FK -נפגשים בנקודה ( Lראה ציור). נתון. KML KFH : א .הוכח כי . KHE ~ FLG ב. EF 3 נתון גם : GE 5 12.5 ,ס"מ = 5 , EHס"מ =. LG ( )1מצא את האורך של . EK MH ( )2מצא את היחס KH . )22משולש ABCחסום במעגל .המיתר AFחותך את BCבנקודה . Gהמיתר AEחותך את BC בנקודה ( Dראה ציור). נתון. BAF CAE , BF BG : א .הוכח כי . AGB ACE ב .נתון גם 2 :ס"מ = 5 , CEס"מ = 6 , ACס"מ =. GC חשב את האורך של המיתר . AE 415 )23ענה על הסעיפים הבאים: א .הוכח כי אם במשולש שני תיכונים שווים זה לזה המשולש הוא שווה שוקיים. ב .במשולש ABCהנקודות M , Lו K -הן אמצעי הצלעות CA , CBו AB -בהתאמה .הנקודה P היא נקודת מפגש של התיכונים במשולש ,ונתון שהיא נמצאת על מעגל העובר דרך הנקודות M , L ו( C -ראה ציור) .נתון גם כי . AL=BM ( )1הוכח כי . BM AC ( )2הוכח כי . AK=AM )24מרובע AKLMחסום במעגל AM .הוא קוטר .אלכסוני המרובע נפגשים בנקודה ( Fראה ציור). נתון 30 :ס"מ = a , MLס"מ =FL שטח המשולש ALKקטן פי 3משטח המשולש . ALM א .מצא את אורך הגובה לצלע LAבמשולש . ALK ב .הבע באמצעות aאת אורך הקטע . KF ג .הוכח כי . AFM ~ KFL ד .נתון גם 42.5ס"מ =. ML a , AF מצא את . a )25נתונה מקבילית . ABCDהצלע ABמשיקה למעגל שמרכזו Oבנקודה . Fהמשך הצלע CB משיק למעגל בנקודה ( Gראה ציור). נתון. AF=AD : א .הוכח כי הנקודה Fנמצאת על הישר . DG ב .נתון גם. FC DC , BO=BC : ( )1הוכח כי . OF=FC 1 2 ( )2הוכח כי . FB= BO 416 )26משולש שווה צלעות ABCחסום במעגל .נקודות DוL - נמצאות על המעגל כך ש . BD LC -המיתרים AL ו BD -נחתכים בנקודה ( Eראה ציור). א .הוכח כי המרובע LEDCהוא מקבילית. ב )1( .הוכח כי ADEהוא משולש שווה צלעות. ( )2הוכח כי . LC+LB=LA )27מנקודה Aיוצא ישר המשיק למעגל בנקודה , B ויוצא ישר אחר החותך את המעגל בנקודות Cו. D - הנקודה Eהיא אמצע המיתר . DC הנקודה Mהיא מרכז המעגל (ראה ציור). א .הוכח כי המרובע AEMBהוא בר חסימה במעגל. ב .אלכסוני המרובע , AEMBשהוא בר חסימה במעגל, נפגשים בנקודה . T נתון כי הנקודה Tהיא מפגש התיכונים במשולש . BDC הוכח כי . TB2 2MT TA ג. 10 נתון: 2 ס"מ = 1 , TEס"מ =. MT מצא את רדיוס המעגל החוסם את המרובע . AEMB AC )28הוא קוטר במעגל שמרכזו . O1 BDהוא קוטר במעגל שמרכזו . O 2 ישר משיק למעגלים O1וO 2 - בנקודות Aו B -בהתאמה. המשיק חותך את קטע המרכזים O1O2 בנקודה ( Eראה ציור). נתון :רדיוס המעגל O1הוא 30ס"מ. רדיוס המעגל O 2הוא 20ס"מ. אורך קטע המרכזים O1O2הוא 90ס"מ. א. O1E ( )1מצא את היחס O2C .נמק. ( )2הוכח כי . EO1C ~ EO2 D ב .הוכח כי הנקודה Eנמצאת על הישר . CD 417 תשובות סופיות: )3 )4 )5 )6 ב 3 .ס"מ .ג 4.8 .ס"מ. א 1 .ס"מ 1 ,ס"מ. א. ABO 90 - 0.5 . 2 ב. 0.5 TR . )7ב.2 . )10ב. R . S1 )12א. S2 . )13ב 32 .סמ"ר. 2 )14א. 3 55 5ס"מ. )16ב. 119 ב. 26.57 , 63.43 . 29 )18ב 10.5 )1( .ס"מ ()2 14 )20א .לא .ג 3 .ס"מ ד. 26.57 , 90 , 63.43 . . MH 2 )21ב 7.5 )1( .ס"מ ()2 KH 5 . )22ב 41 .ס"מ. 1 2 )24א 10 .ס"מ בa 900 . 3 ס"מ ד. a 7.5 . )27ג 3 .ס"מ. 9 )28א)1( . 5 . 418 פרק – 18טריגונומטריה – תרגול מבגרויות: )1בטרפז שווה שוקיים DC ABCD AB אורך הבסיס הגדול CDהוא , a אורך הבסיס הקטן ABהוא b ואורך השוק הוא . d הזווית ליד הבסיס הגדול DCהיא ( ראה ציור). א .הוכח כי אורך אלכסון הטרפז הוא . ab d 2 ב .הזווית בין אלכסון הטרפז ובין הבסיס הגדול של הטרפז היא . sin a 2 ab הוכח כי אם 90אז sin 2b 2 . )2בטרפז שווה שוקיים ABCD הזווית ליד הבסיס הגדול היא . Eהיא נקודה על השוק ADכך שECD - (ראה ציור) .נתון כי אורך השוק של הטרפז שווה לאורך הבסיס הקטן . AB א .הבע באמצעות ו -את היחס בין השטח המשולש DECלשטח SDEC המשולש BDC SBDC . ב .נתון , AEC 90אורך אלכסון הטרפז גדול פי 1.5מאורך הבסיס הקטן . AB SDEC חשב את היחס SBDC . B , A )3ו C -הן נקודות על מעגל שמרכזו . M ACו BM -נחתכים בנקודה ( Dראה ציור). נתון, CBM 2 ACB : שטח המשולש CBDגדול פי 1.5משטח המשולש . CDM חשב את . CBM 419 )4בטרפז BC ABCD AD נתון, BC b , AB a , AC BD : . d b AD d , CD c אלכסוני הטרפז נפגשים בנקודה ( Oראה ציור). א .הוכח כי. a2 c2 b2 d 2 : ב .דרך קדקוד Bמעבירים ישר המקביל לשוק . CD הישר חותך את הבסיס ADבנקודה . M bd נתון , ABM הוכח כי: ac ג. . cos הבע באמצעות b , ו: d - ( )1את שטח המשולש . ABM ( )2את שטח הטרפז . ABCD )5בציור שלפניך טרפז שווה שוקיים . AD BC ABCD נתון. BDC , CAD : א .הוכח כי היחס בין שטח המשולש AEDלשטח 2 SAED sin 2 . המשולש BECהוא SBEC sin 2 ב. SAED 1 נתון גם, 30 : SBEC 4 .מצא את . )6הנקודה Oהיא מרכז המעגל החסום במשולש . ABCהמעגל משיק לצלע BC בנקודה Dולצלע ABבנקודה . F המשיכו את ODעד Kואת OFעד P כך ש OD DK -ו . OF FP - א .הוכח כי . FD BO ב .הוכח כי . BO PK ג .נסמן :רדיוס המעגל החסום הוא , r . ABC 2 , BAC 2 הבע באמצעות , ו r -את שטח המשולש . BOC 420 )7משולש חד זווית ABCחסום במעגל שמרכזו . O CFהוא קוטר במעגל ,והמשך הרדיוס BO חותך את הצלע ACבנקודה , Dכמתואר בציור. נתוןABD : הקשת BCארוכה פי 2מהקשת . FB א .חשב את גודל הזווית . BAC ב .הבע באמצעות את היחס בין שטח המשולש BADלשטח המשולש . BAC ג. AD 2 נתון גם כי AB 3 .מצא את . )8נתון טרפז שווה שוקיים . AB CD , AB CD ABCD הנקודות Eו F -הן אמצעי הצלעות AB ו CD -בהתאמה (ראה ציור). א .הוכח כי EFמאונך ל. CD - ב .על BCכקוטר בנו מעגל שמרכזו . Oנתון כי EFמשיק למעגל בנקודה ( Gראה ציור). הוכח. EB FC 2GO : ג .נתון - R , BC 2R , GCB :רדיוס המעגל. הבע את גובה הטרפז ABCDבאמצעות ו . R - )9לשני מעגלים משיק משותף המשיק לשניהם בנקודה . P נקודות Cו D -נמצאות על מעגל אחד ונקודות Aו B -נמצאות על המעגל האחר כך שהקטעים ADו CB -נפגשים בנקודה P (ראה ציור). נתון :רדיוס המעגל העובר דרך הנקודות D , Cו P -הוא 4.5ס"מ, CD 3 AB 2 . DCP , BAP , א .מצא את רדיוס המעגל העובר דרך הנקודות B , Aו. P - ב .הבע באמצעות ו -את אורך הקטע . BD ג. PD 3 אם נתון גם כי PB 2 ,הראה כי . BD 3sin 1 24sin 2 ( ו -הן זוויות חדות). 421 )10נתון טרפז שווה שוקיים DC ABCD AB החוסם מעגל שמרכזו AB . Oו DC -משיקים למעגל בנקודות Eו F -בהתאמה EF .הוא קוטר במעגל (ראה ציור) .האורך של שוק הטרפז הוא . b 2 נתון כי . sin C sin 90 C הבע באמצעות : b א .את רדיוס המעגל החסום בטרפז. ב .את אורך הבסיס הקטן . AB בתשובותיך השאר שלוש ספרות אחרי הנקודה העשרונית. )11במשולש ישר זווית AFC 90 AFC הנקודה Kנמצאת על הגובה ליתר כך ש FAK -ו. KAC - Bהיא נקודה על היתר ACכך ש( AKB 90 -ראה ציור). רדיוס המעגל החוסם את המשולש AFCהוא R ורדיוס המעגל החוסם את המשולש AKBהוא . r א. AF ( )1הבע באמצעות ו -את היחס AK R ( )2הבע באמצעות ו -את היחס . r . ב .הבע באמצעות Rו r -בלבד את רדיוס המעגל החוסם את המשולש . AKF )12טרפז שווה שוקיים DC AB ABCDחסום במעגל שמרכזו . Mהבסיס ABהוא קוטר במעגל זה .אלכסוני הטרפז נפגשים בנקודה . L המשך MLחותך את DCבנקודה ( Kראה ציור). KL נתון כי . BAD הבע באמצעות את היחס LM )13נתון מעוין E . ABCDו F -הן נקודות על הצלעות ADו AB -בהתאמה כך שAE=AF - ו . FB 2AF -נתון כי . DCB 60 א .מצא את גודל הזווית . FCB ב .נתון כי אורך האלכסון ACהוא . b הבע באמצעות bאת היקף המרובע . AECF 422 . )14נתון משולש שווה צלעות . ABCנקודה T נמצאת בתוך המשולש (ראה ציור). נתון n TBC :ס"מ =, CT dס"מ = t , BTס"מ =. AT אורך צלע המשולש הוא 2ס"מ. א. n2 t 2 הוכח כי 4d . sin 30 ב .הבע את שטח המשולש ATCבאמצעות ו . d - )15הנקודה Oהיא מרכז המעגל החסום במשולש . ABC המשך AOחותך את הצלע BCבנקודה . E המשך COחותך את הצלע ABבנקודה ( Fראה ציור). נתון. ABC , BAC : א. ב. AE הבע באמצעות ו -את היחס CF AE 1 . 60 , נתון גם CF 2 . 1 2 הראה כי רדיוס המעגל החוסם את המשולש ACBשווה ל. BC - )16מרובע ABCDחסום במעגל .המיתר BD חוצה את הזווית ( ABCראה ציור). נתון. ADC 120 , BC=3 3 , AB= 3 : א )1( .מצא את גודל הזווית . ABD ( )2מצא את אורך המיתר . BD ב .נקודה Kנמצאת על המיתר BDכך ש ABK ~ DBA -בהתאמה. מצא את שטח המשולש . ABK 423 )17נתון טרפז שווה שוקיים . AD=BC ABCD השוק ADהיא קוטר במעגל שמרכזו . O השוק BCמשיקה למעגל בנקודה . F המעגל חותך את הבסיס DCבנקודה ( Eראה ציור). נתון. BCD : א .הבע באמצעות את גודל הזווית . FOD ב )1( .הבע באמצעות את גודל הזווית . ODF DE ( )2הבע באמצעות את היחס DC . )18במשולש ABCהאנך האמצעי לצלע BAחותך את הצלעות BCו BA -בנקודות Eו D -בהתאמה (ראה ציור). נתון. ABC , BAC : א )1( .הבע באמצעות ו -את . EAC CE ( )2הבע באמצעות ו -את היחס EB . נתון גם AE :חוצה זווית 10 , BACס"מ . 40 , AC ב .חשב את הרדיוס של המעגל החסום במשולש . ABC )19שני מעגלים ,גדול וקטן ,משיקים מבפנים בנקודה . A נקודה Fנמצאת על המעגל הגדול כך שקטע המרכזים של שני המעגלים נמצא על AF . AFחותך את המעגל הקטן בנקודה . Eדרך נקודה Bשעל המעגל הקטן העבירו ישר המקביל למשיק המשותף לשני המעגלים. המקביל חותך את המעגל הגדול בנקודה ( Cראה ציור). רדיוס המעגל הגדול הוא , Rורדיוס המעגל הקטן הוא . rנתון. FAB , BAC : א )1( .הבע באמצעות ו -את . BCAנמק. ב. AC ( )2הבע רק באמצעות ו -את היחס AB R הבע באמצעות ו -את היחס . r 424 . )20במשולש שווה שוקיים AB=AC ABC BMהוא תיכון לשוק (ראה ציור). נתון. BAC 50 : א .חשב את גודל הזווית הקהה . AMB ממשיכים את BMעד הנקודה . D נתון גם: רדיוס המעגל החוסם את המשולש ABCהוא 10ס"מ. רדיוס המעגל החוסם את המשולש ABDהוא 14ס"מ. ב .חשב את זוויות המשולש . AMD )21במשולש ישר זווית ACB=90 ACB נקודה G היא אמצע הניצב . ACנקודה Pנמצאת על GBכך ש ( BG 4 PGראה ציור). רדיוס המעגל החוסם את המשולש CGBהוא . R נתון. GC=BC : א .הבע באמצעות Rאת רדיוס המעגל החוסם את המשולש . ACB ב .הבע באמצעות Rאת מרחק הנקודה Pממרכז המעגל החוסם את המשולש . ACB 425 :תשובות סופיות sin1.5 sin .) א2 sin 0.5 sin .0.1562 .ב . 41.41 )3 . bd tan a d b bd tan )2( )1( .) ג4 2 2 d b .106.1 .) ב5 r tan cot .) ג6 2 sin cos . 40.89 .ג . ב60 .) א7 sin 30 sin 120 2 . SBOC . 2R sin 2 .) ג8 . BD 36sin 2 81sin 2 108sin sin cos . בr 3 .) א9 . 0.382b . ב0.393b .) א10 . R r .ב R cos 2 AF cos )2( )1( .) א11 2 r cos AK cos . cos 2 )12 . 2.063b . ב23.41 .) א13 . 3 d sin 60 sin .) ב14 sin cos AE 2 .) א15 . CF sin sin 2 .יח"ר . 3 3 . ב4 )2( 30 )1( .) א16 16 sin 2 )2( 45 )1( . ב270 2 .) א17 1 sin 2 sin . ס"מ3.42 .ב )2( )1( .) א18 sin cos 2 cos . 2 .ב )2( 90 )1( .) א19 cos cos . 40.34 , 79.44 , 60.22 . ב100.56 .) א20 . 426 R .ב 2 10 R .) א21 2 פרק – 19חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי – תרגול מבגרויות: )1בציור שלפניך מוצגות סקיצות של שני גרפים :גרף Iוגרף . II אחד הגרפים הוא של פונקציית הנגזרת , f ' x והגרף האחר הוא של פונקציית הנגזרת השנייה . f '' x א .איזה גרף הוא של f ' x ואיזה גרף הוא של ? f '' x נמק. ב .מצא את שיעורי ה x -של נקודות הקיצון של הפונקציה . f x נמק. ג. מצא את שיעורי ה x -של נקודות הפיתול של הפונקציה . f x נמק. ד .הוכח שהשטח המוגבל על ידי גרף IIוציר ה( x -השטח המקווקו בציור) שווה לשטח המוגבל על ידי גרף IIוהצירים (השטח המנוקד בציור). sin 2 x )2נתונה הפונקציה 2 א .הראה כי . f ' x 2sin 2 x . f x x ב )1( .האם לפונקציה f x יש נקודות קיצון? נמק. ( )2האם לפונקציה f x יש נקודות פיתול? נמק. ג .בציור שלפניך מוצג הגרף של הפונקציה g x x sin 2 x בתחום . x בתחום הנתון מצא את כל השטח המוגבל על ידי הגרף של g x ועל ידי הישר . y x )3נתון משולש שאחת מצלעותיו היא 10ס"מ ,וגובה המשולש לצלע זו הוא 5ס"מ. (המשולש אינו קהה-זווית). א .מבין כל המשולשים שהם כאלה ,מצא את צלעות המשולש שהיקפו מינימלי. ב .מה הן תכונות המשולש שאת צלעותיו מצאת בסעיף א? 427 cos x )4נתונה הפונקציה 1 sin x 3 בתחום ( x ראה ציור). 2 2 f x מעבירים משיק לגרף הפונקציה בנקודת החיתוך של הגרף עם ציר ה . y - מצא את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה, על ידי המשיק ועל ידי ציר ה. x - xa )5נתונה הפונקציה x b . a b , a ,b 0 , f x המשיקים לגרף הפונקציה בנקודות החיתוך עם הצירים מקבילים זה לזה. א .הוכח כי . a 2b הצב a 2bוענה על סעיפים ב -ז שלפניך (הבע באמצעות bבמידת הצורך). ב .מצא את האסימפטוטות של הפונקציה f x המקבילות לצירים. ג. מצא את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה ( f x אם יש כאלה) .נמק. ד .מצא נקודות חיתוך של הפונקציה f x עם הצירים. ה .מצא תחומי קעירות כלפי מעלה וכלפי מטה . ו .סרטט סקיצה של גרף הפונקציה . f x ז .סרטט סקיצה של גרף הפונקציה עבור . b 0נמק את שיקוליך בסרטוט הגרף עבור תחומי עלייה וירידה ועבור תחומי קעירות כלפי מעלה וכלפי מטה. )6נתונה הפונקציה . f x x 2 24 העבירו ישר המשיק לגרף הפונקציה בנקודה A שבה . x tבנקודה Aהעבירו ישר המקביל לציר ה x -וחותך את גרף הפונקציה בנקודה . B בנקודה Bהעבירו עוד משיק לגרף הפונקציה. המשיקים נפגשים בנקודה Cשעל ציר ה( y -ראה ציור). א .הראה כי הפונקציה זוגית. ב .מצא את הערך של tשעבורו שטח המשולש ABC הוא מינימלי. 428 )7נתונה הפונקציה x b 2 2 x 4 . b 2 , f x א .מצא (הבע באמצעות bבמידת הצורך): ( )1את תחום ההגדרה של הפונקציה ,ואת האסימפטוטות שלה המקבילות לצירים. ( )2את השיעורים של נקודות החיתוך של הפונקציה עם הצירים. ( )3את השיעורים של נקודות הקיצון של הפונקציה וקבע את סוגן. ב .סרטט סקיצה של גרף הפונקציה. ג .על פי הסקיצה של גרף הפונקציה ,מצא את התחום שבו פונקציית הנגזרת f ' x שלילית וגם פונקציית הנגזרת השנייה f '' x שלילית ,אם ידוע כי ל f x -יש נקודת פיתול אחת בלבד .נמק. x 2 cos 2 1 2 f x בתחום . 3 x 3 )8נתונה הפונקציה 2 x 2 cos 2 א .הראה כי הפונקציה f x היא זוגית. ב .מצא את האסימפטוטות האנכיות של הפונקציה בתחום הנתון. ג .לפונקציה יש שלוש נקודות מקסימום בתחום הנתון. מצא את השיעורים של נקודות אלה. ד .העבירו ישר דרך נקודות המקסימום של הפונקציה. מצא בתחום x את השטח המוגבל על ידי הישר ,על ידי גרף הפונקציה ,על ידי שתי האסימפטוטות של הפונקציה ועל ידי ציר ה . x - )9נתונה הפונקציה . a 0 , f x ax מנקודה B b, 0 העבירו אנך לציר ה . x - Cהיא נקודה כלשהי על גרף הפונקציה . f x מנקודה Cהעבירו ישר המקביל לציר הx - וחותך את האנך בנקודה . D הנקודה Eהיא אמצע הקטע ( BDראה ציור). נתון כי עבור C 2, 4 שטח המשולש CBE הוא מקסימלי .מצא את הערך של aואת הערך של . b 429 2 x 4 4 x3 2 x 2 8 . x 2 , f x )10נתונה הפונקציה x2 א .בציור מוצגת סקיצה של גרף הפונקציה f x עבור . x 0 מעבירים ישר המשיק לגרף הפונקציה f x בנקודה שבה . x 1מצא את השטח המוגבל על ידי הגרף של , f x על ידי המשיק ועל ידי ציר ה y -עבור . x 0 ב )1( .מצא תחומי עלייה וירידה של הפונקציה ( f x אם יש כאלה) עבור כל תחום ההגדרה של הפונקציה. ( ) 2סרטט סקיצה של גרף הפונקציה עבור כל תחום ההגדרה שלה. ג .נתונה הפונקציה . g x f x סרטט סקיצה של גרף הפונקציה . g x )11נתונה הפונקציה f x 2 cos x sin 2 xבתחום . x עבור התחום הנתון ענה על סעיפים א-ד. א .מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה f x עם הצירים (אם יש כאלה). ב .מצא את נקודות הקיצון המוחלט של הפונקציה , f x וקבע את סוגן. ג )1( .סרטט סקיצה של גרף הפונקציה . f x ( )2סרטט סקיצה של גרף פונקציית הנגזרת . f ' x ( f x גזירה גם בקצות התחום הנתון). ד .נתון כי גרף הפונקציה g x a cos x sin 2 xמשיק לציר ה x -בתחום הנתון בנקודה אחת בלבד .מהו הערך של ? aנמק. x 2 6 x 12 )12נתונה הפונקציה x2 6 x 9 . f x א )1( .מצא את האסימפטוטות המקבילות של הפונקציה f x המקבילות לצירים. ( )2מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה f x עם הצירים (אם יש כאלה). ( ) 3מצא את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה . f x ( )4סרטט סקיצה של גרף הפונקציה . f x ב ) 1( .מצא את האסימפטוטות של פונקציית הנגזרת f ' x המקבילות לצירים. ( )2סרטט סקיצה של גרף פונקציית הנגזרת . f ' x נמק. 430 )13נתונה הפונקציה f x sin xבתחום ( 0 x ראה ציור). מעבירים שני ישרים שמשוואותיהם, x a : 2 .x a 2 .0 a S1הוא השטח המוגבל על ידי שני הישרים ,על ידי גרף הפונקציה f x ועל ידי ציר ה ( x -השטח המקווקו בציור) S2 .הוא סכום של שני שטחים ,שכל אחד מהם מוגבל על ידי גרף הפונקציה , f x על ידי אחד הישרים ועל ידי ציר ה ( x -סכום השטחים המנוקדים בציור). S1 מצא עבור איזה ערך של aהיחס S2 הוא מקסימלי. x2 a )14נתונה הפונקציה 1 a . f x 2הוא פרמטר. a 0 , x 3a א .מצא (הבע באמצעות aבמידת הצורך): ( )1את תחום ההגדרה של הפונקציה. ( )2תחומי עלייה וירידה של הפונקציה. ( )3את שיעורי ה x -של נקודות הפיתול של הפונקציה .נמק. ( )4נקודות חיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים (אם יש כאלה). ( )5אסימפטוטות של הפונקציה המאונכות לצירים (אם יש כאלה). ב .סרטט סקיצה של גרף הפונקציה . f x ג .הסבר את השינויים בגרף הפונקציה f x עבור a 0לעומת גרף הפונקציה עבור : a 0 ( )1בתחום ההגדרה של הפונקציה. ( )2בנקודות הפיתול של הפונקציה. )15נתונות הפונקציות. g x x 4 , f x x 4 : א .מצא את תחום ההגדרה של כל אחת מהפונקציות הנתונות. לפונקציות יש משיק משותף ,המשיק לגרף הפונקציה f x בנקודה שבה . x x0 ב )1( .הבע באמצעות x0את השיעורים של הנקודה שבה המשיק המשותף משיק לגרף הפונקציה . g x ( ) 2מצא את השיעורים של נקודת ההשקה שהבעת בתת סעיף ב ()1 (ערכים מספריים). ג .השטח המוגבל על ידי המשיק המשותף ,על ידי גרף הפונקציה g x ועל ידי ציר ה , x -מסתובב סביב ציר ה . x -מצא את נפח של גוף הסיבוב שנוצר. 431 3 3 )16נתונה הפונקציה f x 2 tan 2 xבתחום x 2 2 . א .בתחום הנתון: ( )1מצא את ערכי ה x -שעבורם הפונקציה f x אינה מוגדרת. ( )2מצא את האסימפטוטות של הפונקציה f x המקבילות לצירים (אם יש כאלה). ( )3מצא את השיעורים של נקודות הקיצון של הפונקציה , f x וקבע את סוגן. ( )4סרטט סקיצה של גרף הפונקציה . f x ב. ( )1מצא את פונקציית הנגזרת של הפונקציה . g x tan x x 2 ( )2בתחום 0 x מצא את השטח המוגבל על ידי הישר 3 2 הישר 2 , y על ידי , x על ידי הגרף של הפונקציה f x ועל ידי ציר ה. x - היעזר בפונקציית הנגזרת של . g x )17נתונה הפונקציה ax x a2 2 a . f x הוא פרמטר שונה מאפס. א .עבור a 0מצא (הבע באמצעות aבמידת הצורך): ( )1את תחום ההגדרה של הפונקציה. ( )2את האסימפטוטות של הפונקציה המקבילות לצירים. ( )3תחומי עלייה וירידה של הפונקציה (אם יש כאלה). ( )4נקודות חיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים (אם יש כאלה). ב .סרטט סקיצה של גרף הפונקציה עבור . a 0 ג .נתונה הפונקציה . a 0 , g x f x a ( )1מה הן האסימפטוטות של הפונקציה ( ? g x הבע באמצעות aבמידת הצורך). ( )2מה הם הערכים שהפונקציה g x יכולה לקבל? (הבע באמצעות aבמידת הצורך). )18נתונה הפונקציה f x cos x 2 2 x בתחום . 0.5 x 2.5 א .בתחום הנתון מצא את השיעורים של נקודות הקיצון של הפונקציה ,וקבע את סוגן. ב .בתחום הנתון סרטט סקיצה של גרף הפונקציה. ג .בתחום 0 x 2מצא את השטח המוגבל על ידי הגרף של פונקציית הנגזרת f ' x ועל ידי ציר ה . x -תוכל להיעזר בסקיצה של פונקציית הנגזרת . f ' x דייק עד שתי ספרות אחרי הנקודה העשרונית. 432 )19נתונה מדשאה בצורת מלבן . ABCDלאורך צלעות המלבן BAו CD -יש שבילי הליכה .אורך הצלע BA הוא 0.4ק"מ ,ואורך הצלע CDהוא 0.3ק"מ .אדם עומד בקדקוד Cשל המדשאה ורוצה להגיע לקדקוד . A הוא הולך לאורך הקטע CEשעל השביל , CDאחר כך הולך לאורך הקטע EFשעל המדשאה וממשיך לאורך הקטע FAשעל השביל ( BAראה ציור). האדם הולך במהירות של 6קמ"ש לאורך השבילים ,ועל המדשאה הוא הולך במהירות של 4קמ"ש .מה צריך להיות אורך הקטע EFכדי שהאדם יגיע ל A -בזמן הקצר ביותר? דייק עד שתי ספרות אחרי הנקודה העשרונית. 1 )20נתונה הפונקציה cos x . f x א .מצא אם הפונקציה f x היא זוגית ,אי זוגית או לא זוגית ולא אי זוגית .נמק. ב .בתחום : 0 x 2 ( )1מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה ,ואת האסימפטוטות של הפונקציה המקבילות לצירים (אם יש כאלה). ( )2מצא את השיעורים של נקודות הקיצון של הפונקציה וקבע את סוגן .נמק. ( )3סרטט סקיצה של גרף הפונקציה .ציין ערכים על ציר ה . x - ג .לסרטוט שסרטטת בתת סעיף ב ( )3הוסף סקיצה של גרף הפונקציה f x בתחום . 2 x 0ציין ערכים על ציר ה. x - ד .השטח ברביע הראשון המוגבל על ידי הגרף של , f x על ידי הישר , y 2 על ידי הישר 2 , x על ידי ציר ה x --ועל ידי ציר ה , y -מסתובב סביב ציר ה . x - מצא את הנפח של גוף הסיבוב שנוצר. ה .בתחום שבין ל , -רשום בצורה כללית את השיעורים: ( )1של נקודות המינימום של הפונקציה . f x ( )2של נקודות המקסימום של הפונקציה . f x 433 )21נתונה הנגזרת השנייה של הפונקציה : f x 6 x 2 3x 3 1 x 2 5 . f '' x הפונקציה f x מוגדרת לכל . x א .מבין הגרפים IV , III , II , Iשלפניך ,איזה גרף מתאר את פונקציית הנגזרת ? f ' x נמק. ב )1( .מצא תחומי קעירות כלפי מטה ותחומי קעירות כלפי מעלה של הפונקציה ? f x נמק. ( )2היעזר בגרף של f ' x שבסעיף א ,ומצא בין אילו שני מספרים שלמים עוקבים נמצא שיעור ה x -של נקודת הקיצון של . f x נמק. ( )3סרטט סקיצה של גרף הפונקציה , f x אם ידוע כי הגרף חותך את ציר הx - רק בנקודה אחת שבה . x 3 לפניך סקיצה של גרף פונקציית הנגזרת השלישית . f ''' x ג. מצא את השטח המוגבל על ידי הגרף , f ''' x על ידי ציר ה x -וציר ה y -ועל ידי הישר x 2 בתחום . x 0 )22נתונות משוואות של שתי פרבולות . g x x2 x , f x a 2 x 2 aהוא פרמטר שונה מ. 0 - הפרבולות נפגשות בנקודות Oו - O ( A -הוא ראשית הצירים). א .הבע באמצעות aאת השיעורים של הנקודה . A ב .מצא את השיעורים של הנקודה Aשעבורה השטח ,המוגבל על ידי הגרף , f x על ידי ציר ה x -ועל ידי האנך לציר ה x -העובר דרך הנקודה , Aהוא מקסימלי. 434 x )23נתונה הפונקציה 2x 2 . f x א )1( .מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה. ( ) 2מצא את האסימפטוטות של הפונקציה המקבילות לצירים (אם יש כאלה). ( ) 3מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים (אם יש כאלה). ( )4מצא את השיעורים של נקודות הקיצון של הפונקציה ,וקבע את סוגן. ( )5סרטט סקיצה של גרף הפונקציה. ב .נתונה הפונקציה , g x המוגדרת בתחום ההגדרה של . f x הנגזרת של g x מקיימת. g ' x f x f ' x : מצא את תחום הירידה של הפונקציה . g x נמק. CD )24הוא קוטר במעגל שרדיוסו . R ABהוא מיתר במעגל המאונך לקוטר CD וחותך אותו בנקודה Eכך ש( CE R -ראה ציור). הבע באמצעות Rאת השטח המקסימלי של המשולש . ABC )25ענה על הסעיפים הבאים: א .נתון כי הפונקציה f x היא פונקציה רציונלית המקיימת: לפונקציה יש שלוש אסימפטוטות. y 0 , x 1 , x 4 : הפונקציה מוגדרת לכל x 4 , x 1 f 0 0f 1.5 0 - f ' x 0רק עבור . 1 x 4 f x 0עבור x 4ו f x 0 -עבור . x 1( )1על פי הנתונים שבסעיף זה ,סרטט סקיצה אפשרית של גרף הפונקציה . f x ( )2על פי הגרף שסרטט ,הראה כי לפונקציית הנגזרת f ' x יש נקודת קיצון בתחום , 1 x 4וקבע את סוגה .נמק. אין צורך למצוא את השיעורים של נקודות הקיצון. ב .נתון גם כי הפונקציה f x מקיימת 3a 3bx 2 x2 ax 4 aו b -הפרמטרים .מצא את הפונקציה . f x 435 . f x )26נתונה הפונקציה f x 4sin 2 x cos2 xבתחום . 0 x בתחום הנתון: א .מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה f x עם הצירים. ב .מצא את נקודות הקיצון של הפונקציה , f x וקבע את סוגן. ג. סרטט סקיצה של גרף הפונקציה . f x 1 8 1 2 ד )1( .נתונה הפונקציה . g x x sin 4 x הראה כי . g ' x f x ( ) 2בתחום הנתון מצא את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה f x ועל ידי ציר ה. x - )27ישר המשיק לפרבולה y x 2בנקודה שבה . 0 x 1 המשיק יוצר משולש עם ציר ה x -ועם הישר . x 1 מצא את השטח המקסימלי של המשולש הנוצר באופן שתואר. )28נתונה הפונקציה , f x cos3 3x המוגדרת לכל . x א. 2 בתחום 3 0 x מצא: ( )1את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים. ( )2את השיעורים של נקודות הקיצון של הפונקציה ,וקבע את סוגן. ב )1( .הוכח כי הפונקציה זוגית. 2 2 ( )2סרטט סקיצה של גרף הפונקציה בתחום x 3 3 ג. . 2 2 רשום את משוואת הישרים המשיקים לגרף הפונקציה בתחום x 3 3 ומאונכים לציר ה. y - 436 , )29נתונה הפונקציה x 1 x2 9 . f x א .מצא: ( )1את תחום ההגדרה של הפונקציה. ( )2את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים (אם יש כאלה). ( )3את האסימפטוטות של הפונקציה המקבילות לצירים. ( )4את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה. ב .סרטט סקיצה של גרף הפונקציה. t ג. מצא את הסימן של האינטגרל המסוים , k t f ' x dxאם נתון k כי kו tגדולים מ . 3 -נמק. )30הפונקציה f x היא פונקציית מנה המוגדרת עבור . x 1בציור מוצג הגרף של פונקציית הנגזרת . f ' x א .מצא את תחומי הקעירות כלפי מעלה וכלפי מטה של הפונקציה . f x נמק. ב .נתון כי לפונקציה f x יש שתי אסימפטוטות בלבד . y 1 , x 1 :גרף הפונקציה f x חותך את ציר ה y -בנקודה שבה . y 1סרטט סקיצה של גרף הפונקציה , f x על פי תשובתך לסעיף א ועל פי הנתונים שבסעיף ב. ג. ax b נתון גם cx d c , b , aו d -הם פרמטרים שונים באפס. ( )1הבע באמצעות aאת c , bו. d - . f x ( )2חשב את השטח המוגבל על ידי הגרף של פונקציית הנגזרת , f ' x על ידי הישר x 1ועל ידי הצירים. 437 6 )31נתונה הפונקציה x 3a 2 2 a . f x הוא פרמטר. a 0 , א .מצא (הבע באמצעות aבמידת הצורך): ( )1את תחום ההגדרה של הפונקציה . f x ( )2את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה f x עם הצירים (אם יש כאלה). ( )3את האסימפטוטות המאונכות לצירים של הפונקציה ( f x אם יש כאלה). ( )4את נקודות הקיצון של הפונקציה ( , f x אם יש כאלה) ,וקבע את סוגן. ב .סרטט סקיצה של גרף הפונקציה . f x ג. ידוע שלפונקציה f x יש שתי נקודות פיתול בלבד ובהן . x a ( )1היעזר בגרף של , f x והבע באמצעות aאת התחום שבו פונקציית הנגזרת השנייה f '' x חיובית ,ואת התחום שבו היא שלילית .נמק. ( )2הבע באמצעות aאת שיעורי ה x -של נקודות הקיצון של f ' x וקבע את סוגן. ד .הבע באמצעות aאת השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה , f ' x על ידי הישר x aועל ידי ציר ה . x -סמן במערכת צירים את השטח המבוקש. 1 2 )32נתונה הפונקציה f x sin x sin xבקטע . 0 x 3 א .בקטע הנתון מצא: ( )1עבור אילו ערכי xהפונקציה מוגדרת. ( )2את השיעורים של נקודות הקיצון של הפונקציה ,וקבע את סוגן. ב )1( .סרטט סקיצה של גרף הפונקציה בקטע הנתון. ( ) 2מצא משוואת ישר המשיק לגרף הפונקציה בשתי נקודות בדיוק. ג .האם יש ערכים של xבקטע הנתון שעבורם מתקיים 1 2 האי שוויון . sin x sin xנמק. )33מחלקים חוט שאורכו kלשני חלקים (לאו דווקא חלקים שווים). מחלק אחד של החוט יוצרים מעגל ומהחלק השני יוצרים ריבוע. 5 סכום השטחים של שתי הצורות הוא מינימלי כאשר היקף המעגל הוא 4 מצא את הערך של . k 438 . 2 7 )34נתונה הפונקציה g x sin x בתחום 3 3 .0 x א .מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה g x עם הצירים. ב .מצא את השיעורים של נקודות החיתוך של גרף הפונקציה g x עם גרף הפונקציה . f x sin x ג. הנקודה Aנמצאת על גרף הפונקציה g x והנקודה Bנמצאת על גרף הפונקציה f x כך שהקטע ABמקביל לציר ה . y - ( )1מצא את האורך המקסימלי של הקטע . AB ( )2כמה קטעים כמו ABשאורכם מקסימלי מתקבלים בתחום הנתון? נמק. )35נתונות שתי פונקציותg x x2 c , f x x 2 4 x b : bו c -הם פרמטרים גדולים מ. 0 - לגרפים של שתי הפונקציות יש משיק משותף בנקודה משותפת . P א .הבע באמצעות ( bבמידת הצורך) את השיעורים של הנקודה . P ב .סרטט במערכת צירים אחת סקיצה של גרף הפונקציה f x וסקיצה של גרף הפונקציה , g x אם ידוע כי . b 4 הישר x aחותך את המשיק המשותף בנקודה , Dאת הגרף של f x בנקודה A ואת הגרף של g x בנקודה , A , D ( Bו B -הן שלוש נקודות שונות). ג .הראה כי הישר PDהוא תיכון במשולש . PAB ד .השטח המוגבל על ידי הגרף , f x על ידי המשיק המשותף ועל ידי הישרים x a ו , x a -הוא . Sהבע באמצעות Sאת השטח המוגבל על ידי הגרף של , f x על ידי הגרף של g x ועל ידי הישרים x aו. x a - )36נתון כי הפונקציה הזוגית f x 8 ax bx 2 cמוגדרת בתחום 2 x 2בלבד. b , aו c -הם פרמטרים . c 0 א .מצא את הערך של הפרמטר aואת הערך של הפרמטר . b הצב את הערך של aואת הערך של , bוענה על הסעיפים ב -ג. ב .מעבירים ישר המשיק לגרף הפונקציה f x בנקודה שבה , x 2ומעבירים ישר המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה . x 2 49 2 השטח המוגבל על ידי שני המשיקים ועל ידי ציר ה x -הוא 2 מצא את הערך של הפרמטר . c 439 . ג. בתחום 2 x 2נתונה הפונקציה g x המקיימת . g x f x מעבירים ישר המשיק לגרף הפונקציה g x בנקודה שבה , x 2ומעבירים ישר המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה . x 2 מהו סוג המרובע שנוצר על ידי שני הישרים המשיקים לגרף הפונקציה f x ושני הישרים המשיקים לגרף הפונקציה ? g x נמק. x )37נתונה הפונקציה 2 f x x 2 cosבתחום . 2 x 5 א ) 1( .מצא תחומי עלייה וירידה של פונקציית הנגזרת f ' x (אם יש כאלה) בתחום הנתון. ( )2הראה כי פונקציית הנגזרת f ' x חיובית בתחום הנתון. ( )3רק על פי התשובות לתת סעיפים ( )1ו ,) 2( -סרטט סקיצה של פונקציית הנגזרת f ' x בתחום הנתון. ( )4כמה פתרונות יש למשוואה f ' x 40בתחום הנתון? נמק. ב ) 1( .רשום את הערך המקסימלי של פונקציית הנגזרת השנייה f '' x בתחום הנתון. ( ) 2האם השטח ,המוגבל על ידי הגרף של פונקציית הנגזרת f ' x ועל ידי הגרף של פונקציית הנגזרת השנייה f '' x בתחום הנתון ,שווה לערך של האינטגרל 5 המסוים ? f ' x f '' x dx :נמק. 2 )38נתונה הפונקציה f x המוגדרת לכל xונתונה הפונקציה . g x 1 נתון k , g x dx 0 , g x k 2 x :הוא פרמטר. 0 א .מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה g x עם הצירים. ב .נתון גם כי בתחום x 0מתקיים. f 0 k , f '' x 0 , f x g x : סרטט באותה מערכת צירים סקיצה של הפונקציה g x וסקיצה של הפונקציה f x בתחום . x 0נמק. ג .בתחום x 0איזה שטח גדול יותר :השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה f x והצירים או השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה , g x על ידי ציר ה x -ועל ידי הישר ? x 1נמק. 3 2 ד .נתון גם a , f x x 3x ax f 0 :הוא פרמטר. הגרף של g x משיק לגרף f x בנקודה הנמצאת בתחום . x 0 מצא את הפונקציה . f x 440 )39דני יצא מנקודה Aהנמצאת בשדה במרחק 1ק"מ מהכביש . BCהוא הלך בשדה בקו אלכסוני במהירות קבועה , vוהגיע לכביש BC בנקודה כלשהי ( Nראה ציור). 13 דני הלך בכביש במהירות הגדולה פי 12 בכביש .המרחק בין Bל C -הוא 6ק"מ. מהו אורך המסלול ANCאם ידוע שדני עבר אותו בזמן המינימלי? מהמהירות שבה הלך בשדה והגיע לנקודה C x2 x a a . f x 2הוא פרמטר גדול מ . 1 - )40נתונה הפונקציה x xa הפונקציה f x מוגדרת לכל . x א )1( .מצא את האסימפטוטות של f x המקבילות לצירים (אם יש כאלה). ( ) 2מצא את השיעורים של נקודות הקיצון של , f x וקבע את סוגן( .הבע באמצעות aבמידת הצורך). ( )3ידוע כי גרף הפונקציה f x חותך את ציר ה x -בשתי נקודות בדיוק. סרטט סקיצה של גרף הפונקציה . f x ב .בתחום , x 0השטח המוגבל על ידי הגרף של , f ' x על ידי הישר x 1 1 ועל ידי ציר ה , x -שווה ל . -חשב את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה f x 2 עם ציר ה( x -מצא ערכים מספריים). )41במשולש שווה שוקיים AB=AC ABCאורך השוק הוא . b BDהוא גובה לשוק DE . ACהוא אנך לבסיס . BC סמן BAC=2xומצא מה צריך להיות הגודל של , BACכדי שאורך האנך DE יהיה מקסימלי .בתשובתך דייק עד שתי ספרות אחרי הנקודה העשרונית. 441 )42בטבלה שלפניך מוצגים ערכים מסוימים של הפונקציה f x בקטע . 1 x 2 1.4 1.43 1.2 1.28 1.3 1.36 1.1 1.19 x f x הפונקציה f x חיובית בקטע הנתון ,ואין לה נקודות קיצון פנימיות בקטע זה. נתון כי פונקציית הנגזרת השנייה f '' x שלילית בקטע הנתון. א .קבע מהו הסימן של . f ' 1.2 נמק. ב .קבע אם הטענה f ' 1.3 f ' 1.2 f ' 1.1נכונה .נמק. נתונה הפונקציה g x f x בקטע .1 x 2 ג. בקטע הנתון מצא תחומי עלייה וירידה של הפונקציה ( g x אם יש כאלה) .נמק. ד .הראה כי בתחום 1.1 x 1.3אין פתרון למשוואה . g ' x f ' x )43נתונות הפונקציות , g x sin 2 x , f x 2sin 2 xבתחום . 0 x א .בתחום הנתון מצא: ( )1את שיעורי ה x -של נקודות החיתוך בין הגרפים של שתי הפונקציות. ( )2את נקודות החיתוך של כל אחת משתי הפונקציות עם ציר ה . x - ב. sin 2 x ( )1נתונה הפונקציה 2 ( )2בתחום 0 x מצא את השטח הכלוא בין הגרפים של שתי . h x x הראה כי . h ' x f x הפונקציות f x ו. g x - 442 )44נתונה הפונקציה a . f x ax 2 9הוא פרמטר גדול מ . 0 - א )1( .מהו תחום ההגדרה של הפונקציה ? f x ( )2הראה כי לפונקציה f x אין נקודות פיתול. ב )1( .מהו תחום ההגדרה של פונקציית הנגזרת ? f ' x ( )2הבע באמצעות aאת האסימפטוטות האופקיות של פונקציית הנגזרת . f ' x ( ) 3מצא תחומי עלייה וירידה של פונקציית הנגזרת ( f ' x אם יש כאלה). ( )4סרטט סקיצה של גרף פונקציית הנגזרת . f ' x ג. השטח ,המוגבל על ידי הגרף של פונקציית הנגזרת , f ' x על ידי ציר הx - ועל ידי הישר x 4שווה ל . 2 -בלי לחשב את הערך של , aחשב את הערך המספרי של f 4 ואת הערך המספרי של . f 4 )45בציור שלפניך מוצג הגרף של פונקציית הנגזרת . f ' x האסימפטוטה היחידה של הפונקציה f x היא . x 0 נתון כי יש פתרון אחד בלבד למשוואה f x 2 ופתרון אחד בלבד למשוואה . f x 2 א .רק על פי נתוני השאלה ,סרטט סקיצה של הפונקציה . f x נמק. ב. ax 2 b . f ' x נתון גם כי פונקציית הנגזרת f ' x היא: ax 2 aו b -הם פרמטרים שונים מ . 0 - מצא את הפונקציה ( f x בלי פרמטרים). 443 )46נתונות שתי פונקציות. g x 8x 2 x 4 , f x x 8 x2 : א )1( .לשתי הפונקציות יש אותו תחום הגדרה .מצא את תחום ההגדרה. ( ) 2מצא את נקודות החיתוך של כל אחת מהפונקציות f x ו g x -עם הצירים. ב .מצא את השיעורים של נקודות הקיצון המוחלט של כל אחת מהפונקציות וקבע את סוגן. ג .על פי הסעיפים א ו -ב ,סרטט סקיצה של גרף הפונקציה , f x וסרטט סקיצה של גרף הפונקציה . g x ד .לפניך ארבע גרפים . IV-I איזה מהגרפים מתאר את פונקציית הנגזרת ? g ' x נמק. )47נתונה הפונקציה x 2 . f x 2 2 x 1 א )1( .מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה . f x ( )2מצא את האסימפטוטות של הפונקציה f x המקבילות לצירים. ( )3מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה f x עם הצירים. ( ) 4מצא את השיעורים של נקודות הקיצון של הפונקציה , f x וקבע את סוגן. ב .רק על פי סעיף א ,סרטט סקיצה של גרף הפונקציה . f x ג. רק על פי הסקיצה של גרף הפונקציה f x שסרטטת, מצא את התחום שבו מתקיים: פונקציית הנגזרת f ' x שלילית ופונקציית הנגזרת השנייה f '' x חיובית. נמק. 444 )48נתון מלבן . ABCD הצלע DCמונחת על הקוטר של חצי מעגל שהרדיוס שלו Rומרכזו Mכך ש. DC R - הצלע ADמשיקה לחצי המעגל בנקודה , D והקדקוד Bנמצא על המעגל (ראה ציור). נסמן - S x , BMC xשטח המלבן . ABCD א .מצא מה צריך להיות , xכדי ששטח המלבן S x יהיה מקסימלי. ב .הבע באמצעות Rאת השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה S x ועל ידי ציר ה x -בתחום 2 .0 x 445 תשובות סופיות: )1א f '' x II , f ' x I .ב x 0, 1 .ג. x 0.6,0.4,1 . )2 )3 )4 )5 )6 ב )1( .לא )2( .כן .ג .יח"ר . S א 10 .ס"מ 5 2 ,ס"מ 5 2 ,ס"מ .ב .משולש ישר זווית וש"ש. א 3 2 2 .יח"ר . S ב x b , y 1 .ג .עולה בכל ת.ה .ד. 2b, 0 , 0, 2 . ה .קעורה כלפי מטה , x b :כלפי מעלה . x b :ו .סקיצה בסוף .ז .סקיצה בסוף. ב. t 6 . b2 )7א )1( .ת.ה , x 2 :אסימפטוטות. b, 0 , 0, )2( . x 2 , y 1 : 4 4 b2 (,1 )3 4 b . min b , 0 , maxב .סקיצה סוף. 4 b ג. x 2 . )8ב x , 3 .ג 2 ,0.5 , 0,0.5 , 2 ,0.5 .ד 2 .יח"ר . S . a 8 , b 6 )9 )10א 1.5 .יח"ר S ס )1( .עולה עבור )2( . x 2 , x 2 :סקיצה בסוף ג .סקיצה בסוף. 3 )11א 0,1 .ב max ,3 .מוחלט min , ,מוחלט .ג .סקיצות בסוף .ד. a 1 . 3 4 1 )12א )3( 0,1 )2( y 1 , x 3 )1( .עלייה 3.5 x 3 :ירידה x 3 :או . x 3.5 3 ( )4סקיצה בסוף .ב )2( y 0 , x 3 )1( .סקיצה בסוף. )13א x 15 .או x 15בy 1 , y 1 , x 15 , x 15 . 3 ג .סקיצה בסוף .ד. 8 .k 1 )14א )1( .כל )2( xעלייה , x 0 :ירידה 0, 1 )4( x a , x a )3( x 0 : 3 ( y 0 )5ב .סקיצה בסוף .ג )2( x 3a , x 3a )1( .אין נקודות פיתול. )15א x 4 : g x , x 4 : f x .ב 8, 2 )2( x0 , x0 4 )1( .ג. 2 . 2 3 3 3 3 3 )2( x , x , x , x )16א)1( . , x , x , x 2 2 2 2 2 2 2 2 x ( )4( min , 0 , min 0, 0 , , min , 0 )3סקיצה בסוף. 2 ב)2( g ' x tan 2 x )1( . 3 9 . )17א x a )1( .או )3( y a , y a , x a , x a )2( x aירידהx a , x a : עלייה :אין )4( .אין. ב .סקיצה בסוף. 446 . g x 2a אוg x 0 )2( x a , x a , y 2a , y 0 )1( .ג min 2.5,0.315 , max 2,1 , min 1,0.54 , max 0,1 , min 0.5,0.315 .) א18 . 0.92 . סקיצה בסוף ג.ב . ק"מ0.4025 )19 3 , x , 0 x 2 :) תחום הגדרה1( . ב. זוגיתf x הפונקציה.) א20 2 2 3 ) סקיצה בסוף3( min 2 ,1 , max , 1 , min 0,1 )2( x , x :אסימפטוטות 2 2 2 . max 2 k , 1 )2( min 2 k ,1 )1( . ה 2 3 12.02 . סקיצה בסוף ד.ג 3 1 1 . 0 - ל1 ) בין2( x 1 אוx : 1 x : )1( . בIV גרף.) א21 2 2 . 4.638 . ג.) סקיצה בסוף3( x .) סקיצה בסוף5( min 8, 4 , max 0, 0 )4( 0, 0 )3( x 2 )2( x 2 , x 0 )1( .) א22 . 2 x 8 .ב .a 1 7 . ג0 . ב. x )2( x )1( .) א23 2 6 2 2 6 . . f x 9 6x x 2 3x 4 2 3 3 2 R )24 4 .) נקודת קיצון מסוג מקסימום ב2( .) סקיצה בסוף1( .) א25 3 max ,1 , min , 0 , max ,1 , min 0, 0 , min , 0 . ב , 0 , , 0 , 0, 0 .) א26 4 2 4 2 . )2( . סקיצה בסוף ד.ג 2 8 . )27 27 2 min , 1 , max ,1 , 0, 1 )2( , 0 , , 0 , 0, 1 )1( .) א28 3 3 2 6 . y 0 , y 1 , y 1 . ג.) סקיצה בסוף2( .ב y 1 , y 1 , x 3 , x 3 )3( ) אין2( x 3 אוx 3 )1( .) א29 . שלילי. סקיצה בסוף ג. ב. 9 x 3 אוx 3 : ירידהx 9 :) עלייה4( . 1 )2( d a , c a , b a )1( . סקיצה בסוף ג. בx 1: , x 1: .) א30 סקיצה בסוף. בmax 0, 2 )4( y 0 )3( 0, 2 )2( x ) כל1( .) א31 a a . a x a כאשרf '' x 0 x a אוx a כאשרf '' x 0 )1( .ג 2 2 . 447 1 .ד 2a 2 xmin a , xmax a )2( 1 1 max , 0 , min , , max 0, 0 )2( 2 x 3 או0 x )1( .) א32 2 2 1 1 1 . לא. גy )2( ) סקיצה בסוף1( . בmax 3 , 0 , min 2 , , max 2 , 0 2 2 2 . k 5 )33 7 3 4 3 3 3 5 2 , , , 0 , 0, , , , . ב , 0 , .) א34 3 2 3 2 3 2 3 3 2 .) שני קטעים2( 1 )1( .ג . 2S . סקיצה בסוף ד. ב 1, b 3 .) א35 . מעוין. גc 3 . בb 2 , a 0 .) א36 ) אין פתרונות בתחום הנתון4( .) סקיצה בסוף3( . אין: ירידה, 2 x 5 :) עלייה1( .) א37 .) כן2( 2.25 )1( .ב על ידי ציר, g x השטח המוגבל על ידי הפונקציה. סקיצה בסוף ג. ב , 0 , 0, 1 .) א38 2 3 2 . f x x 3x 2 x 1 . דx 1 ועל ידי הישרx - ה . ק"מ6.2 )39 1 4a 1 . 2,0 , 1,0 .) סקיצה בסוף ב3( max 2a, , min 0, 1 )2( y 1 )1( .) א40 4a 1 . 109.47 )41 . אין: ירידה1 x 2 : עלייה. הטענה נכונה ג. חיובי ב.) א42 , 0 , 0, 0 : g x , , 0 , 0, 0 : f x )2( x , x , x 0 )1( .) א43 4 2 , 0 , 2 2 )2( .ב אין: ירידה, x כל:) עלייה3( y a , y a )2( x ) כל1( . בx ) כל1( .) א44 . f 4 5 , f 4 5 .) סקיצה בסוף ג4( 1 . סקיצה בסוף ב.) א45 x )2( 8 x 8 )1( .) א46 . f x x 8, 0 , 0, 0 , 8, 0 :g x , 8, 0 , 0, 0 , min 0, 0 , min 8, 0 : f x , min 2, 4 , max 2, 4 : f x .ב 8, 0 , min 8, 0 , max 2, 4 , max 2, 4 :g x . I גרף. ד. סקיצה בסוף.ג 1 max , 3 , min 2, 0 )4( 2 2, 0 , 0, 4 )3( y 1, x 1, x 1 )2( x 1, x 1 )1( .) א47 .1 x 2 . סקיצה בסוף ג.ב 1 2 .1 R 2 .ב 448 .) א48 3 סרטוטים עבור השאלות בחשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי. )7ב )5ו )5ז )10ב ()2 )10ג )11ג ()1 )11ג ()2 )12א ()4 )12ב ()2 )13ג )14ב )16א ()4 449 )17ב )20ב ()3 )18ב )20ג )23א ()5 )21ב ()3 )26ג )25א ()1 )29ב )28ב ()2 450 )30ב )31ב )32ב ()1 )35ב )37א ()3 )40א ()3 )44ב ()4 )45א )47ב )46ג 451 נספח – 1משפטים בגאומטריה: רשימת משפטים בגאומטריה שניתן לצטט בבחינת הבגרות בלי הוכחה: הערות כלליות: .1בשאלות בגאומטריה יש לנמק כל שלב בפתרון על ידי כתיבת המשפט הגאומטרי המתאים .משפטים ידועים ניתנים לציטוט על ידי ציון שמם .את כל יתר המשפטים יש לנסח במדויק .המשפטים שאותם ניתן לרשום על ידי ציון שמם הם: משפט פיתגורס ,משפט תאלס ,המשפט ההפוך למשפט תאלס ,משפט תאלס המורחב, משפט חוצה הזווית ,ארבעה משפטי החפיפה :צ.ז.צ ,.ז.צ.ז ,.צ .צ .צ ,.צלע ,צלע והזווית מול הצלע הגדולה (ורק משפטים אלה) ,משפטי הדמיון ,צ.ז.צ ,.ז.ז ,.צ .צ .צ,. זווית בין משיק ומיתר. .2סדר המשפטים המופיע ברשימה זו אינו לפי סדר הוכחתם. .3במהלך פתרון שאלה בבחינת הבגרות ,אין צורך להוכיח את המשפטים ברשימה ,אלא אם יש בשאלה דרישה מפורשת לכך. .4אין לחפוף משולשים על ידי צ.ז.ז .אלא להראות שוויון הזווית השלישית ולהשתמש במשפט ז.צ.ז. .5ניתן להשתמש בנוסחאות הבאות לחישוב שטחים: א .שטח מקבילית שווה למכפלת צלע המקבילית בגובה לצלע זו. ב .שטח משולש שווה למחצית מכפלת צלע בגובה לצלע זו. ג .שטח מעוין שווה למחצית מכפלת האלכסונים. ד .שטח טרפז שווה למכפלת הגובה במחצית סכום הבסיסים. ה .שטח עיגול שרדיוסו rשווה ל. r - 2 452 המשפטים: .1זוויות צמודות משלימות זו את זו ל.180 - .2זוויות קודקודיות שוות זו לזו. .3במשולש ,מול זוויות שוות מונחות צלעות שוות. .4במשולש שווה שוקיים זוויות הבסיס שוות זו לזו. .5סכום כל שתי צלעות במשולש גדול מהצלע השלישית. .6במשולש שווה שוקיים ,חוצה זווית הראש ,התיכון לבסיס והגובה לבסיס מתלכדים. .7אם במשולש חוצה זווית הוא גובה ,אז המשולש הוא שווה שוקיים. .8אם במשולש חוצה זווית הוא תיכון ,אז המשולש הוא שווה שוקיים. .9אם במשולש גובה הוא תיכון ,אז המשולש הוא שווה שוקיים. .10במשולש (שאינו שווה צלעות) ,מול הצלע הגדולה יותר מונחת זוית גדולה יותר. .11במשולש (שאינו שווה זוויות) ,מול הזווית הגדולה יותר מונחת צלע גדולה יותר. .12סכום הזוויות של משולש הוא .180 .13זווית חיצונית למשולש שווה לסכום שתי הזוויות הפנימיות שאינן צמודות לה. .14קטע אמצעים במשולש מקביל לצלע השלישית ושווה למחציתה. .15ישר החוצה צלע אחת במשולש ומקביל לצלע שניה ,חוצה את הצלע השלישית. .16קטע שקצותיו על שתי צלעות משולש ,מקביל לצלע השלישית ושווה למחציתה הוא קטע אמצעים. .17משפט חפיפה צ.ז.צ. .18משפט חפיפה ז.צ.ז. .19משפט חפיפה צ.צ.צ. .20משפט חפיפה שתי צלעות והזווית שמול הצלע הגדולה מבין השתיים. .21האלכסון הראשי בדלתון חוצה את זוויות הראש ,חוצה את האלכסון השני ומאונך לו. .22שני ישרים נחתכים על ידי ישר שלישי .אם יש זוג זוויות מתאימות שוות ,אז שני הישרים מקבילים. .23שני ישרים נחתכים על ידי ישר שלישי .אם יש זוג זוויות מתחלפות שוות אז שני הישרים מקבילים. 453 .24שני ישרים נחתכים על ידי ישר שלישי .אם סכום זוג זוויות חד -צדדיות הוא 180אז שני הישרים מקבילים. .25אם שני ישרים מקבילים נחתכים על ידי ישר שלישי אז: א .כל שתי זוויות מתאימות שוות זו לזו. ב .כל שתי זוויות מתחלפות שוות זו לזו. ג .סכום כל זוג זוויות חד-צדדיות הוא .180 .26במקבילית כל שתי זוויות נגדיות שוות זו לזו. .27במקבילית כל שתי צלעות נגדיות שוות זו לזו. .28במקבילית האלכסונים חוצים זה את זה. .29מרובע שבו כל זוג זוויות נגדיות שוות הוא מקבילית. .30מרובע שבו כל שתי צלעות נגדיות שוות זו לזו הוא מקבילית. .31מרובע שבו זוג צלעות מקבילות ושוות הוא מקבילית. .32מרובע שאלכסוניו חוצים זה את זה הוא מקבילית. .33במעוין האלכסונים חוצים את הזוויות. .34מקבילית שבה אלכסון הוא חוצה זווית היא מעוין. .35במעוין האלכסונים מאונכים זה לזה. .36מקבילית שבה האלכסונים מאונכים זה לזה היא מעוין. .37אלכסוני המלבן שווים זה לזה. .38מקבילית שבה האלכסונים שווים זה לזה היא מלבן. .39בטרפז שווה שוקיים הזוויות שליד אותו בסיס שוות זו לזו. .40טרפז בו הזוויות שליד אותו בסיס שוות זו לזו הוא טרפז שווה שוקיים. .41בטרפז שווה שוקיים האלכסונים שווים זה לזה. .42טרפז בו האלכסונים שווים זה לזה הוא טרפז שווה שוקיים. .43קטע האמצעים בטרפז מקביל לבסיסים ושווה למחצית סכומם. .44בטרפז ,ישר החוצה שוק אחת ומקביל לבסיסים ,חוצה את השוק השנייה. .45שלושת התיכונים במשולש נחתכים בנקודה אחת. .46נקודת חיתוך התיכונים מחלקת כל תיכון ביחס .2:1 (החלק הקרוב לקדקוד הוא פי 2מהחלק האחר). .47כל נקודה על חוצה זווית נמצאת במרחקים שווים משוקי זווית זו. 454 .48אם נקודה נמצאת במרחקים שווים משני שוקי זווית אז היא נמצאת על חוצה הזווית. .49שלושת חוצי הזוויות של משולש נחתכים בנקודה אחת שהיא מרכז המעגל החסום במשולש. .50בכל משולש אפשר לחסום מעגל. .51כל נקודה ,הנמצאת על האנך האמצעי של קטע ,נמצאת במרחקים שווים מקצות הקטע. .52כל נקודה ,הנמצאת במרחקים שווים מקצות קטע ,נמצאת על האנך האמצעי לקטע. .53כל משולש ניתן לחסום במעגל. .54במשולש ,שלושת האנכים האמצעיים נחתכים בנקודה אח שהיא מרכז המעגל החוסם את המשולש. .55שלוש ת הגבהים במשולש נחתכים בנקודה אחת. .56ניתן לחסום מרובע במעגל אם ורק אם סכום זוג זוויות נגדיות שווה ל.180 - .57מרובע קמור חוסם מעגל אם ורק אם סכום שתי צלעות נגדיות שווה לסכום שתי הצלעות הנגדיות האחרות. .58כל מצולע משוכלל אפשר לחסום במעגל. .59בכל מצולע משוכלל אפשר לחסום מעגל. .60דרך כל שלוש נקודות שאינן על ישר אחד עובר מעגל אחד ויחיד. .61במעגל ,שתי זוויות מרכזיות שוות זו לזו אם ורק אם שתי הקשתות המתאימות להן שוות זו לזו. .62במעגל ,שתי זוויות מרכזיות שוות זו לזו אם ורק אם שני המיתרים המתאימים להן שווים זה לזה. .63במעגל ,מיתרים שווים זה לזה אם ורק אם שתי הקשתות המתאימות להם שוות זו לזו. .64מיתרים השווים זה לזה נמצאים במרחקים שווים ממרכז המעגל. .65מיתרים במעגל אחד הנמצאים במרחקים שווים ממרכזו שווים זה לזה. .66במעגל ,אם מרחקו של מיתר ממרכז המעגל קטן יותר ממרחקו של מיתר אחר ,אז מיתר זה ארוך יותר מהמיתר האחר. 455 .67האנך ממרכז המעגל למיתר חוצה את המיתר ,חוצה את הזווית המרכזית המתאימה למיתר וחוצה את הקשת המתאימה למיתר. .68קטע ממרכז המעגל החוצה את המיתר מאונך למיתר. .69במעגל ,זווית היקפית שווה למחצית הזווית המרכזית הנשענת על אותה הקשת. .70במעגל ,לזוויות היקפיות שוו ת קשתות שוות ומיתרים שווים. .71במעגל ,לקשתות שוות מתאימות זוויות היקפיות שוות. .72במעגל ,כל הזוויות ההיקפיות הנשענות על מיתר מאותו צד של המיתר שוות זו לזו. .73זווית היקפית הנשענת על קוטר היא זווית ישרה ( .) 90 .74זווית היקפית בת 90נשענת על קוטר. .75במעגל ,זווית פנימית שווה למחצית סכום שתי הקשתות הכלואות בין שוקי הזווית ובין המשכיהן. .76במעגל ,זווית חיצונית שווה למחצית הפרש שתי הקשתות הכלואות בין שוקי הזווית ובין המשכיהן. .77המשיק למעגל מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה. .78ישר המאונך לרדיוס בקצהו הוא משיק למעגל. .79זווית בין משיק ומיתר שווה לזווית ההיקפית הנשענת על מיתר זה מצידו השני. .80שני משיקים למעגל היוצאים מאותה נקודה שווים זה לזה. .81קטע המחבר את מרכז המעגל לנקודה ממנה יוצאים שני משיקים למעגל ,חוצה את הזווית שבין המשיקים. .82קטע המרכזים של שני מעגלים נחתכים ,חוצה את המיתר המשותף ומאונך לו. .83נקודת ההשקה של שני מעגלים המשיקים זה לזה ,נמצאת על קטע המרכזים או על המשכו. .84משפט פיתגורס :במשולש ישר זווית ,סכום ריבועי הניצבים שווה לריבוע היתר. .85משפט פיתגורס ההפוך :משולש בו סכום ריבועי שתי צלעות שווה לריבוע הצלע השלישית הוא ישר זווית. .86במשולש ישר זווית ה תיכון ליתר שווה למחצית היתר. .87משולש בו התיכון שווה למחצית הצלע אותה הוא חוצה הוא משולש ישר זווית. .88אם במשולש ישר זוית ,זוית חדה של , 30אז הניצב מול זוית זו שווה למחצית היתר. 456 .89אם במשולש ישר זוית ניצב שווה למחצית היתר ,אז מול ניצב זה זוית שגודלה . 30 .90משפט תאלס :ש ני ישרים מקבילים החותכים שוקי זווית ,מקצים עליהם קטעים פרופורציוניים. .91משפט תאלס המורחב :ישר המקביל לאחת מצלעות המשולש חותך את שתי הצלעות האחרות או את המשכיהן בקטעים פרופורציוניים. .92משפט הפוך למשפט תאלס :שני ישרים המקצים על שוקי זווית ארבעה קטעים פרופורציוניים הם ישרים מקבילים. .93חוצה זווית פנימית במשולש מחלק את הצלע שמול הזווית לשני קטעים אשר היחס ביניהם שווה ליחס הצלעות הכולאות את הזווית בהתאמה. .94ישר העובר דרך קדקוד משולש ומחלק את הצלע שמול קדקוד זה חלוקה פנימית ביחס של שתי הצלעות האחרות (בהתאמה) הוא חוצה את זווית המשולש שדרך קדקודה הוא עובר. .95חוצה זווית חיצונית במשולש ,שאינו מקביל לצלע המשולש ,מחלק את הצלע שמול הזווית הצמודה לה חלוקה חיצונית ביחס של שתי הצלעות הכולאות את הזווית הפנימית הצמודה לה. .96ישר העובר דרך קדקוד משולש ומחלק את הצלע שמול קדקוד זה חלוקה חיצונית כיחס הצלעות האחרות (בהתאמה) הוא חוצה את הזווית החיצונית שדרך קודקודה הוא עובר. .97משפט דמיון צ.ז.צ. .98משפט דמיון ז.ז. .99משפט דמיון צ.צ.צ. .100במשולשים דומים: א .יחס גבהים מתאימים שווה ליחס הדמיון. ב .יחס חוצי זוויות מתאימות שווה ליחס הדמיון. ג .יחס תיכונים מתאימים שווה ליחס הדמיון. ד .יחס ההיקפים שווה ליחס הדמיון. ה .יחס הרדיוסים של המעגלים החוסמים שווה ליחס הדמיון. ו .יחס הרדיוסים של המעגלים החסומים שווה ליחס הדמיון. ז .יחס השטחים שווה לריבוע יחס הדמיון. 457 .101הגובה ליתר במשולש ישר זווית הוא ממוצע הנדסי של היטלי הניצבים על היתר. .102סכום הזוויות הפנימיות של מצולע קמור הוא ).180(n 2 458 נספח – 2דף ההוראות הרשמי לשאלון :806 459 נספח – 3עקרונות מנחים לבדיקת בחינות הבגרות: מטרת מסמך זה היא להביא לידיעת המורים את השגיאות השכיחות ואת אופן הערכתן בבדיקת השאלות בבחינת הבגרות .במסמך נרשום כמה אחוזים מורידים על שגיאות רק במקרים כלליים שאינם תלויים בשאלה ספציפית ,בשאר המקרים רק נתאר את השגיאה. עקרונות כלליים שאלות בבחינה ייבדקו על פי סדר הופעתן בלבד .נבחן חייב לציין איזה חלק מהבחינה הוא טיוטה .כל שאלה שנבחן התחיל לפתור ולא מחק ,לא רשם "טיוטה" או לא רשם "לא לבדוק" ,תיבדק לפי סדר הופעתה ולא יתקבל ערעור בעניין זה. החלטה על מספר נקודות שמורידים על טעות תלויה באופי השגיאה ,ביכולת לבדוק את המשך השאלה ,ברמת הקושי שנוצרה עקב השגיאה וכדומה .בכל מקרה ,אם נבחן טעה טעות גסה (ראה בהמשך דוגמאות) ,יקבל נקודות רק לסעיפים שאינם קשורים בטעות זו .למשל ,קבלת הסתברות גדולה מ 1-ושימוש בתוצאה זו גם בהמשך השאלה יגרום לפסילת כל השאלה ,אך אם בהמשך הנבחן אינו משתמש בתוצאה זו הרי שרק עבור הסעיף השגוי לא יינתנו נקודות. ניקוד סעיפי השאלות בבחינת הבגרות אינו מתחלק שווה בשווה בין הסעיפים אלא תלוי ברמת המורכבות של הסעיף ,ברמת הקושי של הסעיף יחסית לסעיפים אחרים. נבחן שביצע פעולה לא חוקית במהלך הפתרון ייקנס גם אם קיבל תשובה נכונה. למשל :חילק ב x -את המשוואה x 2 - x = 0ללא ציון , x 0ייקנס גם אם פתרון הבעיה הוא x=1בלבד. נבחן שהעתיק בצורה שגויה מהשאלון ביטוי או נתון ,ייקנס בצורה משמעותית אם שינה את רמת הקושי של השאלה. נבחן שהניח הנחה שגויה ,המפשטת את כל השאלה ,לא יקבל נקודות לשאלה זו. נבחן שרשם ישירות תשובה ,בלי לרשום את הדרך ,לא יקבל נקודות לסעיף גם במקרים שהתשובה מתקבלת בחישוב פשוט .ייתכן שהוא יוחשד בהעתקה (פרט למקרים פשוטים של פתרון משוואה ריבועית). בכל מקרה רלוונטי על הנבחן לסמן יחידות מידה בתשובה .למשל ,בזוויות יש לסמן מעלות ליד המספר ,אחרת מדובר במידת הזווית ברדיאנים. על טעות ברישום סדר האיברים בזוג סדור מורידים .5% על טעות חשבונית מורידים בין 5%ל( 15% -תלוי באופי השגיאה). 460 בשאלה מילולית מכל סוג תלמיד חייב להגדיר את המשתנים באופן ברור (מילולי) ולרשום בסוף תשובה מילולית. אם נבחן לא פסל תוצאות שיש לפסול ,ייקנס בהתאם לאופי הטעות. נבחן שפתר שאלה המנוסחת באופן כללי ,עבור מקרה פרטי ,לא יקבל ניקוד לשאלה. לדוגמה :במקום פרמטר נבחן הציב מספר קבוע ופתר את השאלה למקרה זה. מותר להגיע לתשובה על ידי ניסוי וטעייה ,בתנאי שהנבחן מראה את כל הניסיונות, ובתנאי שלא צוין שעל הנבחן לפתור את השאלה על סמך סעיפים קודמים .אם נבחן לא מראה את כל הניסיונות הוא עשוי להיחשד בהעתקה. בסעיפים בהם נרשם "נמק" ,יש לנמק באמצעים מקובלים כגון באופן אלגברי ו/או באופן מילולי .ללא נימוק ,הנבחן לא יקבל נקודות לסעיף זה. שימוש בטכניקות או בידע שאינו חלק מתוכנית הלימודים חייב הסבר של הנבחן, שיכלול את מהות הטכניקה ומדוע אפשר להשתמש בה במקום שבו השתמש .לא מספיק לרשום ביטוים כגון" :שיטת הקרוס"" ,מכפלה ווקטורית"" ,משפט גרין" ועוד. נבחן שלא ייתן הסבר משכנע ,לא יקבל נקודות בסעיף זה. עצם השימוש בנוסחאות או בטכניקות שאינן בתוכנית הלימודים איננו פסול ובתנאי שהנבחן יראה הבנה בתהליכים אלה. הנחיות חשובות בנוגע לשעתוק: - יש לשלוח למרב"ד שתי מחברות :מחברת המקור והמחברת המשועתקת. המחברת המשועתקת חייבת להיות זהה למקור. סדר השאלות ותוכנן חייב להיות זהה למקור.- אם אין התאמה מלאה בין מחברת המקור לבין המחברת המשועתקת ,הנבחן ייחשד באי שמירה על טוהר הבחינות והבחינה תטופל בהליך המקובל למחברות חשודות בהעתקה. 461 דגשים בהתאם לנושאי הלימוד .1שאלות מילוליות על הנבחן להגדיר את הנעלמים ולרשום תשובה סופית ברורה. אם נבחן טעה ביחידות מידה כגון ביחידות זמן ,ביחידות מרחק וכד' ,ההורדה היא משמעותית. אם נבחן תרגם מושגים כגון "גדול ב" או "קטן ב" בצורה שגויה ,ההורדה היא משמעותית. נבחן שבנה טבלה מסודרת ומלאה ולא המשיך בתהליך הפתרון ,יקבל ציון חלקי בלבד. .2אינדוקציה מתמטית אם נבחן לא רשם נכון את הנחת האינדוקציה או לא רשם נכון את מה שצריך להוכיח ,מפסיקים לבדוק את השאלה. נבחן שרשם בהנחת האינדוקציה "נניח לכל nטבעי" ,נקנס ב.20% - חובה לרשום משפט סיכום. .3אלגברה בסדרות מותר לרשום את כל איברי הסדרה הרלוונטיים וכך להגיע לתשובה ,אך אם שגה בדרך פתרון זו בחישוב אחד האיברים או בסכומם לא יקבל נקודות לסעיף. בשאלת גידול ודעיכה אם נבחן פתר לפי גדילה במקום דעיכה או להפך לא יקבל נקודות לשאלה. נבחן שטעה בחוקי חזקות לא יקבל נקודות על הסעיף ועל סעיפים הנובעים ממנו (למשל ,רשם .) 3 5x 15x , (53 )x =15x אם נבחן השתמש בחוקי לוגריתמים באופן שגוי ,לא יקבל נקודות על הסעיף (למשל ,רשם כי לוגריתם של מכפלה שווה למכפלת הלוגריתמים או כל טעות דומה). 462 .4חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי אם נבחן מציב במקום פרמטר ערך מסוים קבוע ,במקום שבו היה עליו להביע פתרונות באמצעות הפרמטר ,מפסיקים לבדוק את השאלה. נבחן שטעה בחישוב תחום ההגדרה ובעקבות שגיאה זו הפתרון השתנה בצורה משמעותית ,ייקנס לא רק בסעיף תחום ההגדרה אלא גם בסעיפים נוספים בהם טעות זו הקלה על הפתרון. למשל :אם בשל טעות בתחום ההגדרה התקבלה פונקציה ללא אסימפטוטה אנכית, וכתוצאה מכך השתנה גרף הפונקציה באופן משמעותי ,הנבחן ייקנס גם בסעיפים נוספים בהתאם לשאלה. נבחן שקיבל תוצאות שאינן מתיישבות עם הנתון בשאלה ,ייקנס בכל הסעיפים המושפעים מתשובתו. למשל :אם נתון בשאלה כי לפונקציה יש נקודת קיצון ובעקבות טעות בתחום ההגדרה קיבל הנבחן כי לפונקציה אין נקודות קיצון ,במקרה זה ייקנס הנבחן על תחומי עליה וירידה וכד'. נבחן שציין תחום הגדרה ולא התייחס לנקודות אי הגדרה ,לא יקבל נקודות על תחום ההגדרה וכן על הסעיפים הקשורים. נבחן שרשם בתחום ההגדרה אי שוויון חזק במקום אי שוויון חלש או להפך ,לא יקבל נקודות לסעיף זה. בחקירה של פונקציה טריגונומטרית אין להשאיר את התשובה במעלות. אם בגזירה של פונקציה מורכבת נבחן לא התייחס לפונקציה הפנימית ,במרבית המקרים מפסיקים לבדוק את הסעיף ולפעמים אפילו את השאלה כולה (אם הפתרון בנוי על הגזירה) .החלטה על מספר נקודות שמורידים על הטעות תלויה באופי השגיאה ,ביכולת לבדוק את המשך השאלה ,ברמת הקושי שנוצרה ועוד .בכל מקרה ,אם נבחן טעה טעות גסה בנגזרת ,יקבל נקודות רק לסעיפים שאינם קשורים לנגזרת אם נבחן שרטט אסימפטוטות לא נכונות ,או שרטט גרף מחוץ לתחום ההגדרה ,או שרטט גרף החותך את ציר ה x -בצורה שגויה ,או חותך אסימפטוטה אנכית ,לא יקבל נקודות לסעיף. 463 לדוגמה ,טעות נפוצה בשרטוט גרפים עם אסימפטוטות: אם בפונקציית מנה ,נבחן כפל את הפונקציה במכנה ,ו"קיבל" פונקציה ללא מכנה (למשל ,פולינום) ,לא יקבל נקודות לכל השאלה. בבדיקת סוג הקיצון של פונקציית מנה ,נבחן חייב להסביר מדוע מספיק לגזור את המונה בלבד .אין לרשום את נגזרת המונה כנגזרת השנייה של הפונקציה. כאשר לפונקציה אין נקודות קיצון בתחום מסוים ,על הנבחן לנמק את העלייה/הירידה של הפונקציה בתחום זה. בפונקציות בעלות תחום סגור יש להתייחס לקצות התחום בעת רישום נקודות קיצון. נבחן ששגה בפתרון של אי שוויון ,לא יקבל נקודות לסעיף זה ולסעיפים הקשורים. במציאת פונקציה קדומה: - אם הטעות היא רק ברמה של מקדם קבוע ,מורידים נקודות רק על הפונקציה הקדומה וממשיכים לבדוק על פי השגיאה. בכל מקרה אחר של טעות ,מפסיקים לבדוק את הסעיף הרלוונטי. במקרה שנבחן טעה טעות גסה במציאת הפונקציה הקדומה ,לא יקבל נקודותעל הסעיף ועל סעיפים הנובעים ממנו e x 1 (למשל רשם: x 1 .) e x dx נבחן שלא רשם בכתיבת האינטגרל , dxלא רשם סוגריים במקום הנכון וכדומה, ייקנס ב .5% - 464 בעת חישוב האינטגרל חייבים לרשום את הצבת הגבולות בפונקציה הקדומה. נבחן שטעה בזיהוי השטח הנדרש בשאלה וחישב שטח אחר מהמבוקש ,יקבל נקודות רק עבור מציאת הפונקציה הקדומה. בחשבון אינטגרלי של פונקציות טריגונומטריות על הנבחן לעבוד ברדיאנים ,אחרת לא יקבל ניקוד עבור החישוב. נבחן שקיבל שטח שלילי ורשם בשרשרת השוויונות ערך מוחלט רק על התוצאה הסופית יקבל נקודות רק עבור מציאת הפונקציה הקדומה. אם השאיר את תוצאת השטח כמספר שלילי לא יקבל נקודות לסעיף זה. אם במציאת נפח גוף סיבוב נבחן רשם ריבוע ההפרש של פונקציות במקום הפרש הריבועים ,מפסיקים לבדוק את הסעיף הרלוונטי. אם נבחן שכח לרשום πבמציאת נפח גוף סיבוב ,מורידים .10% .5בעיות ערך קיצון בניית הפונקציה הנכונה מהווה כ 50% -מהשאלה. אם יש טעות חמורה בגזירה ,מפסיקים לבדוק את השאלה. אי בדיקת מינימום/מקסימום גורמת להורדה של עד .10% נבחן ששגה משמעותית בבניית הפונקציה ,לא יקבל נקודות לכל השאלה. .6טריגונומטריה במישור ובמרחב נבחן שהשתמש בזהויות טריגונומטריות שגויות ,לא יקבל ניקוד על הסעיף. נבחן שהשתמש במשפט הסינוסים עם רדיוס של מעגל שאיננו חוסם את המשולש שעבורו השתמש במשפט ,מפסיקים לבדוק את השאלה. מפסיקים לבדוק תשובה שבה הפתרון מבוסס על הנחת יסוד שגויה .למשל ,שימוש בשיקול גיאומטרי שגוי כגון :תיכון הוא חוצה זווית.... אין להשאיר תשובה מהצורה ) sin(90-αאו ) cos(π-αוכד'. בטריגונומטריה במישור ובמרחב ,נבחן חייב לרשום באיזה משולש הוא מבצע תהליך .אם לא רשם את המשולש ולא ברור לאיזה משולש הכוונה ,הוא לא יקבל נקודות לסעיף. נבחן שטעה בפונקציה טריגונומטרית או במשפט הסינוסים ,או במשפט הקוסינוסים ,לא יקבל נקודות לסעיף. אם נבחן שגה בזיהוי של זווית במרחב מפסיקים לבדוק את השאלה. 465 במקרים רבים בחירת הזווית נעשית על ידי גישה אינטואיטיבית ולא על פי הגדרה ומכך נובעות מרבית הטעויות ,בפרט אם יש צורך לזהות זווית במקרים פחות סטנדרטיים. לדוגמה :מועד ב' מיוחד תשס"ז טעות נפוצה בפתרון שאלה זו ,היא זיהוי שגוי של הזווית המסומנת בשרטוט ב.)*( - .7סטטיסטיקה והסתברות נבחן שרשם עץ מלא ונכון ולא המשיך ,יקבל נקודות עבור העץ. נבחן שחישב מקרים אפשריים וחיבר ביניהם ושכח מקרה אחד יקבל ,בדרך כלל, חלק מנקודות הסעיף .אם שכח יותר ממקרה אחד לא יקבל נקודות על הסעיף. נבחן שקיבל הסתברות גדולה מ 1-או הסתברות שלילית לא יקבל נקודות על הסעיף .השתמש בכך גם בהמשך לא יקבל נקודות לשאלה כולה. על הנבחן להגדיר בבירור את המאורעות ולפרט את כל תהליך הפתרון כולל הצבות. כדי לקבל נקודות לפתרון שאלה בהת פלגות נורמלית יש למלא במחברת את הגרף בשלמות (המשתנה והאחוזים) ,או לחילופין להסביר כל סעיף בנפרד .תשובה סופית בלבד לא תזכה בנקודות. 466 .8גיאומטרית המישור יש לנמק כל שלב גיאומטרי על ידי ציטוט משפט מתאים. כל נימוק חסר ייקנס ב.10%- מותר להשתמש רק במשפטים הנמצאים ברשימת המשפטים שפורסמה באתר המפמ"ר .שימוש בטענה שאיננה נמצאת ברשימת המשפטים מחייבת הוכחה. היעדר הוכחה במקרה כזה ייחשב כדילוג על שלבים בהוכחה. .9גיאומטריה אנליטית לא יתקבל פתרון על פי שרטוט בלבד. .10וקטורים אם נבחן צמצם וקטורים במכפלה סקלרית ,מפסיקים לבדוק את השאלה. אם נבחן חילק וקטור בווקטור ,הנבחן ייקנס גם אם לטעות אין השפעה על הפתרון. נבחן שלא סימן ווקטורים בצורה תקנית ייקנס. .11מספרים מרוכבים טיפול שגוי של נבחן בערך המוחלט של מספר מרוכב ,מביא להפסקת הבדיקה. אירמה ג'ן מפמ"ר מתמטיקה 467 נספח – 4הנחיות לרישום לאתר הבגרויות של :GOOL .1כניסה לאתר .2מומלץ לצפות בסרטון ההדרכה "איך מתחילים": http://bagrut.gool.co.il/ Academic/FreeChapter/1/co.il.http://bagrut.gool .3בעמוד הראשי יש ללחוץ על "קורס הכנה לבגרות לתלמידי קידום" (לפי 3/4/5יחידות). .4ללחוץ על מלבן ירוק מצד ימין למעלה: "לחץ כאן לרכישת קורס מלא ושלם ₪ Xבמקום ."₪ Y .5יש לוודא שהקורס הנכון בעגלה. יש להירשם לאתר ולמלא פרטים אישיים ע"פ ההנחיות. .6יש לסמן את הקובייה " -קראתי את התקנון ואני מאשר" ולאחר מכן ללחוץ על "המשך". .7לאחר הרישום ייפתח עמוד הקופה .יש לסמן Vבתיבת "יש לי קופון" ולרשום את מספר תעודת הזהות שלכם (ללא 0בהתחלה) .8ללחוץ על "הפעל". .9הסכום לתשלום יהיה ,₪ 0ללחוץ על "הוסף הזמנה -ללא תשלום". .10ספר התרגילים נמצא בעמוד ממנו רכשתם את הקורס. הורידו למחשבכם ו/או הדפיסו אותו. .11בכל בעיה יש לפנות דרך "צור קשר" באתר: Home/ContactUs/http://bagrut.gool.co.il ולציין שם מלא ,סניף הלימודים בקידום ,מספר ת.ז ,מייל ומס' טלפון. במידה וקיבלתם הודעה "קופון לא קיים במערכת" אנא פנו להנהלת סניף קידום בו אתם לומדים כדי שהם ישלחו אלינו מייל עם מס' ת.ז שלכם המאשר את היותכם רשומים בקידום. זהו ...תתחדשו ,יש לכם מנוי באתר !!!GOOL השיעורים יופיעו לכם ב"הקורסים שלי". מאחלים לכם הצלחה ,צוות אתר GOOL 468
© Copyright 2024