‫מדינת ישראל‬ ‫סוג הבחינה‪:‬‬ ‫משרד החינוך‬ ‫מועד הבחינה‪:‬‬ ‫מספר השאלון‪:‬‬ ‫א‪ .‬בגרות לבתי ספר על־יסודיים‬ ‫ב‪ .‬בגרות לנבחנים אקסטרניים‬ ‫חורף תשע"ג‪2013 ,‬‬ ‫‪316 ,035806‬‬ ‫הצעת תשובות לשאלות בחינת הבגרות‬ ‫מתמטיקה‬ ‫‪ 5‬יחידות לימוד — שאלון ראשון‬ ‫הוראות לנבחן‬ ‫א‪.‬‬ ‫משך הבחינה‪ :‬שלוש שעות וחצי‪.‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫מבנה השאלון ומפתח ההערכה‪ :‬בשאלון זה שלושה פרקים‪.‬‬ ‫ג‪.‬‬ ‫פרק ראשון‬ ‫—‬ ‫אלגברה והסתברות‬ ‫פרק שני‬ ‫—‬ ‫גאומטריה וטריגונומטריה‬ ‫פרק שלישי‬ ‫—‬ ‫—‬ ‫‪2‬‬ ‫‪16 3 #2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫—‬ ‫במישור‬ ‫—‬ ‫‪16 3 #2‬‬ ‫חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי‬ ‫—‬ ‫‪16 3 #2‬‬ ‫—‬ ‫סה"כ‬ ‫—‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ 33 3‬נקודות‬ ‫‪1‬‬ ‫—‬ ‫‪ 33 3‬נקודות‬ ‫‪ 33 3‬נקודות‬ ‫‪ 100‬נקודות‬ ‫‪1‬‬ ‫חומר עזר מותר בשימוש‪:‬‬ ‫(‪)1‬‬ ‫מחשבון לא גרפי‪ .‬אין להשתמש באפשרויות התכנות במחשבון הניתן לתכנות‪.‬‬ ‫שימוש במחשבון גרפי או באפשרויות התכנות במחשבון עלול לגרום לפסילת הבחינה‪.‬‬ ‫(‪)2‬‬ ‫ד‪.‬‬ ‫דפי נוסחאות (מצורפים)‪.‬‬ ‫הוראות מיוחדות‪:‬‬ ‫(‪)1‬‬ ‫אל תעתיק את השאלה; סמן את מספרה בלבד‪.‬‬ ‫(‪)2‬‬ ‫התחל כל שאלה בעמוד חדש‪ .‬רשום במחברת את שלבי הפתרון‪ ,‬גם כאשר‬ ‫החישובים מתבצעים בעזרת מחשבון‪.‬‬ ‫הסבר את כל פעולותיך‪ ,‬כולל חישובים‪ ,‬בפירוט ובצורה ברורה ומסודרת‪.‬‬ ‫חוסר פירוט עלול לגרום לפגיעה בציון או לפסילת הבחינה‪.‬‬ ‫(‪)3‬‬ ‫לטיוטה יש להשתמש במחברת הבחינה או בדפים שקיבלת מהמשגיחים‪.‬‬ ‫שימוש בטיוטה אחרת עלול לגרום לפסילת הבחינה‪.‬‬ ‫ההנחיות בשאלון זה מנוסחות בלשון זכר ומכוונות לנבחנות ולנבחנים כאחד‪.‬‬ ‫בהצלחה!‬ ‫‪/‬המשך מעבר לדף‪/‬‬ ‫מתמטיקה‪ ,‬חורף תשע"ג‪ ,‬מס' ‪316 ,035806‬‬ ‫‪-2-‬‬ ‫שאלה ‪1‬‬ ‫דן יצא מתל אביב להרצליה על אופניו‪ ,‬ורכב במהירות קבועה של ‪ v‬קמ"ש‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫כעבור ‪ 2‬שעה מרגע היציאה של דן‪ ,‬גם אילנית יצאה על אופניה מתל אביב להרצליה‪ ,‬ורכבה באותו מסלול במהירות‬ ‫הגדולה ב־ ‪ 2‬קמ"ש ממהירותו של דן‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫אילנית ודן נפגשו בדרך להרצליה‪ ,‬ו־ ‪ 2‬שעה לאחר הפגישה הגיעה אילנית להרצליה‪.‬‬ ‫מצא באיזה תחום מספרים נמצאת המהירות ‪ , v‬אם נתון כי מסלול הרכיבה מתל אביב להרצליה קטן מ־ ‪ 25‬ק"מ‬ ‫וגדול מ־ ‪ 9‬ק"מ‪.‬‬ ‫פתרון לשאלה ‪1‬‬ ‫זמן (שעות)‬ ‫מהירות (קמ"ש)‬ ‫‪t‬‬ ‫‪v‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪t- 2‬‬ ‫‪v+2‬‬ ‫דן עד הפגישה‬ ‫אילנית עד הפגישה‬ ‫אילנית אחרי הפגישה‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪v+2‬‬ ‫לכן אורך כל המסלול הוא‪:‬‬ ‫)‪II. S = t (v + 2‬‬ ‫על ידי פתיחת סוגריים ופישוט מקבלים מ־ ‪:I‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪t= 4v+ 2‬‬ ‫מקבלים‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫) ‪(v + 2) (t - 2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪(v + 2): 2‬‬ ‫‪1 1‬‬ ‫‪t- 2 + 2 =t‬‬ ‫הזמן שבו אילנית עוברת את כל המסלול‪:‬‬ ‫מפתרון האי־שוויונים‬ ‫‪v:t‬‬ ‫‪1‬‬ ‫) ‪I. v : t = (v + 2) (t - 2‬‬ ‫אורך המסלול עד הפגישה‪:‬‬ ‫נציב ‪ t‬ב־ ‪ II‬ונקבל‪:‬‬ ‫דרך (ק"מ)‬ ‫‪S = 0.25v2 + v + 1‬‬ ‫‪9 1 0.25v2 + v + 11 25‬‬ ‫‪ 8‬קמ"ש ‪ 41 v 1‬קמ"ש‬ ‫‪/‬המשך בעמוד ‪/3‬‬ ‫מתמטיקה‪ ,‬חורף תשע"ג‪ ,‬מס' ‪316 ,035806‬‬ ‫‪-3-‬‬ ‫שאלה ‪2‬‬ ‫א‪.‬‬ ‫(‪ )1‬אם מכניסים אחד מהסימנים ‪ H , 2 , G , 1‬למשבצת הריקה שבביטוי‪:‬‬ ‫‪4 (1 + 2 + 3 + ... + n) 2‬‬ ‫מתקבל אי־שוויון הנכון לכל ‪ n‬טבעי‪.‬‬ ‫‪12 + 22 + 32 + ... + n2‬‬ ‫בחר בסימן המתאים‪.‬‬ ‫(‪ )2‬הוכח באינדוקציה או בדרך אחרת כי האי־שוויון שבתת־סעיף א (‪ )1‬מתקיים לכל ‪ n‬טבעי‪.‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫נתונה סדרה חשבונית שאיבריה הם‪58 , 62 , 66, ... , (4n + 6) :‬‬ ‫הבע את סכום הסדרה באמצעות ‪. ) n 212 ( n‬‬ ‫הערה‪ :‬אין קשר בין סעיף א לסעיף ב‪.‬‬ ‫פתרון לשאלה ‪2‬‬ ‫א‪.‬‬ ‫(‪)1‬‬ ‫הסימן המתאים הוא‪:‬‬ ‫(‪)2‬‬ ‫בדיקה עבור ‪: n = 1‬‬ ‫‪( #‬ולא ‪ ,1‬כי אז אי־השוויון לא מתקיים עבור ‪). n = 1‬‬ ‫‪12 #12‬‬ ‫נניח כי הטענה נכונה עבור ‪ k‬טבעי כלשהו‪:‬‬ ‫‪12 + 22 + 32 + ... + k2 # (1 + 2 + 3 + ... + k) 2‬‬ ‫נוכיח כי הטענה נכונה עבור ‪ , k + 1‬כלומר צ"ל‪:‬‬ ‫‪12 + 22 + 32 + ... + k2 + (k + 1) 2 # (1 + 2 + 3 + ... + k + k + 1) 2‬‬ ‫הוכחה‪:‬‬ ‫מהנחת האינדוקציה נובע‪:‬‬ ‫לכן מספיק להוכיח‪:‬‬ ‫‪12 + 22 + 32 + ... + k2 + (k + 1) 2 # (1 + 2 + 3 + ... + k) 2 + (k + 1) 2‬‬ ‫‪(1 + 2 + 3 + ... + k) 2 + (k + 1) 2 # (1 + 2 + 3 + ... + k + k + 1) 2‬‬ ‫על פי סכום של סדרה חשבונית‪:‬‬ ‫‪k‬‬ ‫)‪1 + 2 + 3 + ... + k = 2 (1 + k‬‬ ‫‪k +1‬‬ ‫)‪2 (2 + k‬‬ ‫לכן נותר להוכיח‪:‬‬ ‫= ‪1 + 2 + 3 + ... + k + k + 1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪k2‬‬ ‫‪2 + (k + 1) 2 # (k + 1) (2 + k) 2‬‬ ‫(‬ ‫‪1‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪k‬‬ ‫)‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫לאחר הצמצום בגורם החיובי ‪: (k + 1) 2‬‬ ‫‪k2 + 4 (2 + k) 2‬‬ ‫‪4 #‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪k 2 + 4 # 4 + 4k + k 2‬‬ ‫לכן הטענה נכונה לכל ‪ n‬טבעי‬ ‫‪/‬המשך בעמוד ‪/4‬‬ ‫מתמטיקה‪ ,‬חורף תשע"ג‪ ,‬מס' ‪316 ,035806‬‬ ‫‪-4‬‬‫המשך פתרון לשאלה ‪ .2‬א‪)2( .‬‬ ‫דרך אחרת להוכחה‪:‬‬ ‫נסמן‪:‬‬ ‫‪A = 1 + 2 + ... + k‬‬ ‫‪B = k +1‬‬ ‫לכן נותר להוכיח‪:‬‬ ‫‪A2 + B2 # (A + B) 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪A2 + B2 # A2 + 2A$B + B2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪0 # 2A:B‬‬ ‫מאחר ש־ ‪ A 2 0‬ו־ ‪ B 2 0‬הוכחנו את מה שנותר להוכיח‪.‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫‪ a1 = 58‬ו־ ‪d = 4‬‬ ‫לפי הנתון‪:‬‬ ‫נסמן את מספר האיברים בסדרה ב־ ‪. k‬‬ ‫לפי הנוסחה לאיבר כללי בסדרה חשבונית‪I. a k = 58 + 4 (k - 1) :‬‬ ‫לפי הנתון‪:‬‬ ‫מ־ ‪ I‬ו־ ‪ II‬מקבלים‪:‬‬ ‫לכן‪:‬‬ ‫‪II. a k = 4n + 6‬‬ ‫‪k = n - 12‬‬ ‫‪n - 12‬‬ ‫))‪2 (2 : 58 + 4 (n - 13‬‬ ‫= ‪Sk‬‬ ‫‪0‬‬ ‫)‪S k = (n - 12) (32 + 2n‬‬ ‫‪/‬המשך בעמוד ‪/5‬‬ ‫מתמטיקה‪ ,‬חורף תשע"ג‪ ,‬מס' ‪316 ,035806‬‬ ‫‪-5-‬‬ ‫שאלה ‪3‬‬ ‫בחדר ‪ I‬נמצאים ‪ k‬נשים ו־ ‪ k‬גברים (‪ .) k 21‬בחדר ‪ II‬נמצאים ‪ k‬נשים ו־ ‪ 3k‬גברים‪.‬‬ ‫מטילים קובייה מאוזנת‪.‬‬ ‫אם מתקבל מספר המתחלק ב־ ‪ , 3‬בוחרים בזה אחר זה בלי החזרה‪ 2 ,‬אנשים מחדר ‪. I‬‬ ‫אם מתקבל מספר שאינו מתחלק ב־ ‪ , 3‬בוחרים בזה אחר זה בלי החזרה‪ 2 ,‬אנשים מחדר ‪. II‬‬ ‫‪15‬‬ ‫כאשר בוחרים באופן זה‪ ,‬ההסתברות לבחור ‪ 2‬נשים מחדר ‪ I‬גדולה פי ‪ 7‬מההסתברות לבחור ‪ 2‬נשים מחדר ‪. II‬‬ ‫א‪.‬‬ ‫מצא את ‪. k‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫מצא את ההסתברות לבחור ‪ 2‬נשים באופן שתואר‪.‬‬ ‫ג‪.‬‬ ‫ידוע שנבחר לפחות גבר אחד באופן שתואר‪.‬‬ ‫מהי ההסתברות שנבחרו בדיוק ‪ 2‬גברים מחדר ‪? I‬‬ ‫פתרון לשאלה ‪3‬‬ ‫א‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ההסתברות לבחור בחדר ‪ I‬היא‪. 6 = 3 :‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫ההסתברות לבחור בחדר ‪ II‬היא‪. 6 = 3 :‬‬ ‫מכאן‪:‬‬ ‫ההסתברות לבחור ‪ 2‬נשים מחדר ‪ I‬היא‪:‬‬ ‫‪1 k k -1‬‬ ‫‪ 2 p = 3 : 2k : 2k - 1‬נשים ‪P f‬‬ ‫מחדר ‪I‬‬ ‫וההסתברות לבחור ‪ 2‬נשים מחדר ‪ II‬היא‪:‬‬ ‫‪2 k k -1‬‬ ‫‪ 2 p = 3 : 4k : 4k - 1‬נשים ‪P f‬‬ ‫מחדר ‪II‬‬ ‫לפי הנתון‪:‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪ 2p‬נשים ‪ 2 p = 7 P f‬נשים ‪P f‬‬ ‫מחדר ‪I‬‬ ‫מחדר ‪II‬‬ ‫‪0‬‬ ‫מפתרון המשוואה‪ ,‬אחרי צמצום ב־ ‪ , k - 1‬מקבלים‪:‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫‪ 2 p‬נשים‬ ‫מחדר ‪II‬‬ ‫‪+ Pf‬‬ ‫‪k=4‬‬ ‫‪ 2 p‬נשים‬ ‫מחדר ‪I‬‬ ‫‪ 2( = P f‬נשים)‪P‬‬ ‫‪1 1 3‬‬ ‫‪2 1 3‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪ 2( = 3 : 2 : 7 + 3 : 4 : 15 = 105‬נשים)‪P‬‬ ‫‪/‬המשך בעמוד ‪/6‬‬ ‫‪-6‬‬‫המשך פתרון לשאלה ‪3‬‬ ‫ג‪.‬‬ ‫מתמטיקה‪ ,‬חורף תשע"ג‪ ,‬מס' ‪316 ,035806‬‬ ‫‪ 2 p‬גברים ‪f‬‬ ‫מחדר ‪I‬‬ ‫= ‪ p‬לפחות‬ ‫לפחות‬ ‫גבר ‪1‬‬ ‫‪ p‬גבר ‪P f 1‬‬ ‫‪P‬‬ ‫‪/‬‬ ‫‪ 2‬גברים‬ ‫מחדר ‪I‬‬ ‫‪Pf‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪ 2( = 1 - 105‬נשים)‪ p = 1 - P‬לפחות ‪P f‬‬ ‫גבר ‪1‬‬ ‫‪ 2 p 1 1 3‬גברים‬ ‫‪= 3: 2 : 7‬‬ ‫מחדר ‪I‬‬ ‫לכן‪:‬‬ ‫‪ p = 15‬לפחות‬ ‫‪188‬‬ ‫גבר ‪1‬‬ ‫‪/‬‬ ‫‪Pf‬‬ ‫‪ 2‬גברים ‪P f‬‬ ‫מחדר ‪I‬‬ ‫‪/‬המשך בעמוד ‪/7‬‬ ‫מתמטיקה‪ ,‬חורף תשע"ג‪ ,‬מס' ‪316 ,035806‬‬ ‫‪-7-‬‬ ‫שאלה ‪4‬‬ ‫נתון משולש ‪ . KHE‬נקודות ‪ M‬ו־ ‪ G‬נמצאות על הצלעות ‪ KH‬ו־ ‪ EH‬בהתאמה‬ ‫‪E‬‬ ‫‪K‬‬ ‫כך ש־ ‪. GM z EK‬‬ ‫נקודה ‪ F‬נמצאת על הצלע ‪. EH‬‬ ‫‪F‬‬ ‫המשכי הקטעים ‪ GM‬ו־ ‪ FK‬נפגשים בנקודה ‪( L‬ראה ציור)‪.‬‬ ‫‪M‬‬ ‫נתון‪. B KML =B KFH :‬‬ ‫א‪.‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫נתון גם‪:‬‬ ‫‪G‬‬ ‫‪H‬‬ ‫הוכח כי ‪. 3KHE +3FLG‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪L‬‬ ‫‪EF‬‬ ‫‪ 12.5 , GE = 5‬ס"מ = ‪ 5 , EH‬ס"מ = ‪. LG‬‬ ‫(‪ )1‬מצא את האורך של ‪. EK‬‬ ‫‪MH‬‬ ‫(‪ )2‬מצא את היחס ‪. KH‬‬ ‫פתרון לשאלה ‪4‬‬ ‫א‪.‬‬ ‫נתון‪:‬‬ ‫‪GM z EK‬‬ ‫‪BKML =BKFH‬‬ ‫צ"ל‪:‬‬ ‫‪TKHE +TFLG‬‬ ‫הוכחה‪:‬‬ ‫נסמן‪BKML =BKFH = a :‬‬ ‫‪ BEKH = 180 o - a‬זוויות חד־צדדיות בין מקבילים משלימות ל־ ‪180 o‬‬ ‫‪ BLFG = 180 o - a‬זווית צמודה ל־ ‪BKFH‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪BEKH =BLFG‬‬ ‫‪BKEH =BFGL‬‬ ‫זוויות מתחלפות בין מקבילים הן שוות‬ ‫‪0‬‬ ‫‪TKHE +TFLG‬‬ ‫על פי ז‪.‬ז‪.‬‬ ‫‪/‬המשך בעמוד ‪/8‬‬ ‫‪-8‬‬‫המשך פתרון לשאלה ‪4‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫נתון גם‪:‬‬ ‫(‪ )1‬מהנתון נובע‪:‬‬ ‫לפי משפט תלס או לפי דמיון‬ ‫במשולשים ‪ FKE‬ו־ ‪:FLG‬‬ ‫מתמטיקה‪ ,‬חורף תשע"ג‪ ,‬מס' ‪316 ,035806‬‬ ‫‪EF 3‬‬ ‫‪GE = 5‬‬ ‫‪ 12.5‬ס"מ = ‪EH‬‬ ‫‪ 5‬ס"מ = ‪LG‬‬ ‫‪EF 3‬‬ ‫‪FG = 2‬‬ ‫‪EK EF‬‬ ‫‪LG = FG‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪EK 3‬‬ ‫‪LG = 2‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪EK = 7.5‬‬ ‫(‪ )2‬מהדמיון שבסעיף א נובע‪:‬‬ ‫‪EK EH‬‬ ‫‪FG = LG‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪FG = 3‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪EG = 7.5‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪GH = 5‬‬ ‫לפי משפט תלס או לפי דמיון‬ ‫במשולשים ‪ HKE‬ו־ ‪:HMG‬‬ ‫‪MH GH‬‬ ‫‪KH = EH‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪MH‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪KH = 12.5 = 5‬‬ ‫‪/‬המשך בעמוד ‪/9‬‬ ‫מתמטיקה‪ ,‬חורף תשע"ג‪ ,‬מס' ‪316 ,035806‬‬ ‫‪-9-‬‬ ‫שאלה ‪5‬‬ ‫משולש ‪ ABC‬חסום במעגל‪ .‬המיתר ‪ AF‬חותך את ‪ BC‬בנקודה ‪. G‬‬ ‫‪A‬‬ ‫המיתר ‪ AE‬חותך את ‪ BC‬בנקודה ‪( D‬ראה ציור)‪.‬‬ ‫נתון‪BF = BG :‬‬ ‫‪B BAF =B CAE‬‬ ‫א‪.‬‬ ‫הוכח כי ‪. 3AGB ,3ACE‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫נתון גם‪ 2 :‬ס"מ = ‪ 5 , CE‬ס"מ = ‪ 6 , AC‬ס"מ = ‪. GC‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪G‬‬ ‫‪B‬‬ ‫חשב את האורך של המיתר ‪. AE‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪F‬‬ ‫פתרון לשאלה ‪5‬‬ ‫א‪.‬‬ ‫נתון‪:‬‬ ‫‪BBAF =BCAE‬‬ ‫‪BF = BG‬‬ ‫‪TAGB ,TACE‬‬ ‫צ"ל‪:‬‬ ‫‪ BF = CE‬זוויות היקפיות שוות נשענות על מיתרים שווים‬ ‫הוכחה‪:‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪BG = CE‬‬ ‫‪ BABC =BAEC‬זוויות היקפיות הנשענות על אותה קשת הן שוות‬ ‫‪0‬‬ ‫‪ BAGB =BACE‬סכום זוויות במשולש הוא ‪180 o‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪ TAGB ,TACE‬על פי ז‪.‬צ‪.‬ז‬ ‫ב‪.‬‬ ‫‪ 2‬ס"מ = ‪ 5 CE‬ס"מ = ‪ 6 AC‬ס"מ = ‪GC‬‬ ‫נתון גם‪:‬‬ ‫מהחפיפה בסעיף א נובע‪:‬‬ ‫‪AC = AG = 5‬‬ ‫‪AB = AE‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪cos BAGC = 5‬‬ ‫במשולש שווה־שוקיים ‪ AGC‬מתקיים‪:‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪cos BAGB = - 5‬‬ ‫לפי משפט הקוסינוסים‬ ‫‪3‬‬ ‫) ‪AB2 = 22 + 52 - 2 : 2 : 5: (- 5‬‬ ‫במשולש ‪:ABG‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪41‬‬ ‫ס"מ = ‪AE‬‬ ‫&‬ ‫‪41‬‬ ‫ס"מ = ‪AB‬‬ ‫‪/‬המשך בעמוד ‪/10‬‬ ‫מתמטיקה‪ ,‬חורף תשע"ג‪ ,‬מס' ‪316 ,035806‬‬ ‫‪- 10 -‬‬ ‫שאלה ‪6‬‬ ‫נתון משולש שווה־צלעות ‪. ABC‬‬ ‫‪A‬‬ ‫נקודה ‪ T‬נמצאת בתוך המשולש (ראה ציור)‪.‬‬ ‫נתון‪ n , B TBC = a :‬ס"מ = ‪ d , CT‬ס"מ = ‪ t , BT‬ס"מ = ‪. AT‬‬ ‫‪2‬‬ ‫אורך צלע המשולש הוא ‪ 2‬ס"מ‪.‬‬ ‫א‪.‬‬ ‫‪n2 - t2‬‬ ‫הוכח כי‬ ‫‪4d‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫הבע את שטח המשולש ‪ ATC‬באמצעות ‪ a‬ו־ ‪. d‬‬ ‫= )‪. sin (a - 30o‬‬ ‫‪t‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪d‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪B‬‬ ‫פתרון לשאלה ‪6‬‬ ‫א‪.‬‬ ‫לפי משפט הקוסינוסים במשולש ‪:BTC‬‬ ‫לפי משפט הקוסינוסים במשולש ‪:TBA‬‬ ‫מ־ ‪ I‬ומ־ ‪ II‬מקבלים‪:‬‬ ‫‪n2 = 22 + d2 - 2 : 2 : d cos a‬‬ ‫‪I.‬‬ ‫)‪II. t2 = 22 + d2 - 2 : 2 : d cos (60 o - a‬‬ ‫‪n2 - t2‬‬ ‫‪o‬‬ ‫‪4d = cos (60 - a) - cos a‬‬ ‫‪0‬‬ ‫לפי הזהות להפרש הקוסינוסים‪:‬‬ ‫‪60 o‬‬ ‫‪60 o - 2a‬‬ ‫‪= - 2 sin 2 sin‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪n2 - t2‬‬ ‫‪4d‬‬ ‫‪0‬‬ ‫)‪= sin (a - 30 o‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫‪n2 - t2‬‬ ‫‪4d‬‬ ‫‪STATC = STABC - STABT - STTBC‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪STATC = 2 : 2 : 2 sin 60 o - 2 : 2 : d sin (60 o - a) - 2 : 2 : d sin a‬‬ ‫‪0‬‬ ‫)‪STATC = 3 - d (sin (60 o - a) + sin a‬‬ ‫‪/‬המשך בעמוד ‪/11‬‬ ‫‪- 11 -‬‬ ‫נתונה הפונקציה‬ ‫א‪.‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪x2 + 3a2‬‬ ‫מתמטיקה‪ ,‬חורף תשע"ג‪ ,‬מס' ‪316 ,035806‬‬ ‫שאלה ‪7‬‬ ‫= )‪ a . f (x‬הוא פרמטר‪. a 2 0 ,‬‬ ‫מצא (הבע באמצעות ‪ a‬במידת הצורך)‪:‬‬ ‫(‪ )1‬את תחום ההגדרה של הפונקציה )‪. f(x‬‬ ‫(‪ )2‬את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה )‪ f(x‬עם הצירים (אם יש כאלה)‪.‬‬ ‫(‪ )3‬את האסימפטוטות המאונכות לצירים של הפונקציה )‪( f(x‬אם יש כאלה)‪.‬‬ ‫(‪ )4‬את נקודות הקיצון של הפונקציה )‪( f(x‬אם יש כאלה)‪ ,‬וקבע את סוגן‪.‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫סרטט סקיצה של גרף הפונקציה )‪. f(x‬‬ ‫ג‪.‬‬ ‫ידוע שלפונקציה )‪ f(x‬יש שתי נקודות פיתול בלבד ובהן ‪. x = ! a‬‬ ‫(‪ )1‬היעזר בגרף של )‪ , f(x‬והבע באמצעות ‪ a‬את התחום שבו פונקציית הנגזרת השנייה )‪ f ''(x‬חיובית‪,‬‬ ‫ואת התחום שבו היא שלילית‪ .‬נמק‪.‬‬ ‫(‪ )2‬הבע באמצעות ‪ a‬את שיעורי ה־ ‪ x‬של נקודות הקיצון של )‪ , f '(x‬וקבע את סוגן‪.‬‬ ‫ד‪.‬‬ ‫הבע באמצעות ‪ a‬את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה )‪ , f '(x‬על ידי הישר ‪ x = a‬ועל ידי ציר ה־ ‪. x‬‬ ‫סמן במערכת צירים את השטח המבוקש‪.‬‬ ‫פתרון לשאלה ‪7‬‬ ‫א‪.‬‬ ‫(המכנה תמיד חיובי‪ ,‬כי הוא סכום של מספר חיובי ומספר אי־שלילי‪).‬‬ ‫(‪)1‬‬ ‫)‪ f(x‬מוגדרת לכל ‪x‬‬ ‫(‪)2‬‬ ‫נקודת החיתוך עם ציר ה־ ‪:y‬‬ ‫‪2‬‬ ‫)‬ ‫‪a2‬‬ ‫(‪)3‬‬ ‫אסימפטוטה אופקית‪:‬‬ ‫‪y=0‬‬ ‫‪. (0 ,‬‬ ‫אין נקודות חיתוך עם ציר ה־‪. x‬‬ ‫אין אסימפטוטה אנכית‪.‬‬ ‫‪x=0‬‬ ‫(‪)4‬‬ ‫עבור ‪x 2 0‬‬ ‫‪f' (x) 1 0‬‬ ‫עבור ‪x 1 0‬‬ ‫‪f' (x) 2 0‬‬ ‫מכאן שיש מקסימום בנקודה‬ ‫&‬ ‫‪f' (x) = 0‬‬ ‫‪- 12x‬‬ ‫‪(x2 + 3a2) 2‬‬ ‫= )‪f' (x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫) ‪(0 , 2‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪/‬המשך בעמוד ‪/12‬‬ ‫מתמטיקה‪ ,‬חורף תשע"ג‪ ,‬מס' ‪316 ,035806‬‬ ‫ ‪- 12‬‬‫המשך פתרון לשאלה ‪7‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪x‬‬ ‫ג‪.‬‬ ‫מהנתון נובע‪f'' (a) = f'' (- a) = 0 :‬‬ ‫(‪)1‬‬ ‫‪ f'' (x) 2 0‬עבור ‪ x 2 a‬או ‪ , x 1- a‬כי בתחומים אלה )‪ f(x‬קעורה כלפי מעלה ‪. ,‬‬ ‫‪ f'' (x) 1 0‬עבור ‪ , - a 1 x 1 a‬כי בתחום זה )‪ f(x‬קעורה כלפי מטה ‪. +‬‬ ‫(‪)2‬‬ ‫‪x2a‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪-a 1x1a‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪x 1- a‬‬ ‫‪-a‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪x‬‬ ‫)‪f'' (x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫)‪f' (x‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫ל־ )‪ f' (x‬יש מקסימום בנקודה שבה ‪x = - a‬‬ ‫ויש מינימום בנקודה שבה‬ ‫ד‪.‬‬ ‫‪x=a‬‬ ‫על פי סעיף א(‪ f'(x) :)4‬שלילית עבור ‪ x 2 0‬ו־ ‪. f'(0) = 0‬‬ ‫לכן השטח המבוקש ‪ S‬נמצא מתחת לציר ה־ ‪ x‬בגבולות שבין ‪ 0‬ל־ ‪: a‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪# f' (x) dx = - [f (x)] a0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪S =-‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2a2‬‬ ‫=‪S‬‬ ‫‪/‬המשך בעמוד ‪/13‬‬ ‫מתמטיקה‪ ,‬חורף תשע"ג‪ ,‬מס' ‪316 ,035806‬‬ ‫‪- 13 -‬‬ ‫שאלה ‪8‬‬ ‫נתונה הפונקציה‬ ‫א‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪f (x) = - sin x + 2 sin x‬‬ ‫בקטע ‪. 0G x G 3r‬‬ ‫בקטע הנתון מצא‪:‬‬ ‫(‪ )1‬עבור אילו ערכי ‪ x‬הפונקציה מוגדרת‪.‬‬ ‫(‪ )2‬את השיעורים של נקודות הקיצון של הפונקציה‪ ,‬וקבע את סוגן‪.‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫ג‪.‬‬ ‫(‪)1‬‬ ‫סרטט סקיצה של גרף הפונקציה בקטע הנתון‪.‬‬ ‫(‪)2‬‬ ‫מצא משוואת ישר המשיק לגרף הפונקציה בשתי נקודות בדיוק‪.‬‬ ‫‪ ? 21 sin x 2‬נמק‪.‬‬ ‫האם יש ערכים של ‪ x‬בקטע הנתון שעבורם מתקיים האי־שוויון ‪sin x‬‬ ‫פתרון לשאלה ‪8‬‬ ‫א‪.‬‬ ‫‪sin x $ 0‬‬ ‫(‪)1‬‬ ‫עבור כל ‪ x‬בקטע הנתון‪:‬‬ ‫(‪)2‬‬ ‫(עבור ‪ 2r 1 x 1 3r‬או ‪:) 01 x 1r‬‬ ‫( ‪ sin x‬מוגדר רק כאשר ‪) sin x $ 0‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ 0# x # r‬או ‪2r # x # 3r‬‬ ‫)‪cos x ( sin x - 1‬‬ ‫‪2 sin x‬‬ ‫‪cos x = 0‬‬ ‫‪sin x - 1 = 0‬‬ ‫או‬ ‫‪2‬‬ ‫‪Z‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪]] x = 2‬‬ ‫[‬ ‫‪5‬‬ ‫‪]] x = 2 r‬‬ ‫\‬ ‫‪3r‬‬ ‫לא בתחום ההגדרה ‪x = 2‬‬ ‫‪5r‬‬ ‫‪x= 2‬‬ ‫‪3r‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪3‬‬ ‫מקסימום בנקודות‪:‬‬ ‫מינימום בנקודות‪:‬‬ ‫)‪(3r , 0‬‬ ‫‪f' (x) = 0‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪x= 2‬‬ ‫‪5r‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫&‬ ‫= )‪f' (x‬‬ ‫‪2r‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫)‪(2r , 0‬‬ ‫)‪(r , 0‬‬ ‫‪5r‬‬ ‫‪1‬‬ ‫)‪( 2 , - 2‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪0‬‬ ‫)‪f(x‬‬ ‫‪4‬‬ ‫)‪(0 , 0‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪1‬‬ ‫)‪(2 , - 2‬‬ ‫‪/‬המשך בעמוד ‪/14‬‬ ‫מתמטיקה‪ ,‬חורף תשע"ג‪ ,‬מס' ‪316 ,035806‬‬ ‫ ‪- 14‬‬‫המשך פתרון לשאלה ‪8‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫(‪)1‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪x‬‬ ‫(‪)2‬‬ ‫ג‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪y =- 2‬‬ ‫‪r 2r 5r 3r‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪0‬‬ ‫(ישר העובר דרך שתי נקודות המינימום)‬ ‫‪1‬‬ ‫האי־שוויון ‪ 2 sin x 2 sin x‬שקול ל־ ‪. f (x) 2 0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫לכן אין ערכים שעבורם מתקיים האי־שוויון ‪ , 2 sin x 2 sin x‬כי ‪ f (x) # 0‬לכל ‪ x‬בתחום ההגדרה‪.‬‬ ‫‪/‬המשך בעמוד ‪/15‬‬ ‫מתמטיקה‪ ,‬חורף תשע"ג‪ ,‬מס' ‪316 ,035806‬‬ ‫‪- 15 -‬‬ ‫שאלה ‪9‬‬ ‫מחלקים חוט שאורכו ‪ k‬לשני חלקים (לאו דווקא חלקים שווים) ‪.‬‬ ‫מחלק אחד של החוט יוצרים מעגל ומהחלק האחר יוצרים ריבוע‪.‬‬ ‫‪5r‬‬ ‫סכום השטחים של שתי הצורות הוא מינימלי כאשר היקף המעגל הוא ‪. r + 4‬‬ ‫מצא את הערך של ‪. k‬‬ ‫פתרון לשאלה ‪9‬‬ ‫היקף המעגל‪:‬‬ ‫‪) 0# x # k ( x‬‬ ‫היקף הריבוע‪:‬‬ ‫‪k-x‬‬ ‫סכום השטחים‪:‬‬ ‫‪x 2‬‬ ‫‪k-x‬‬ ‫‪S = r:( 2r ) + ( 4 ) 2‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪x (r + 4) - rk‬‬ ‫‪8r‬‬ ‫‪rk‬‬ ‫‪I. x = r + 4‬‬ ‫&‬ ‫= '‪S‬‬ ‫‪S' = 0‬‬ ‫‪rk‬‬ ‫(הנקודה ‪ r + 4‬נמצאת בקטע ]‪)[0 , k‬‬ ‫בדיקת מינימום‪:‬‬ ‫לפי הנתון‪:‬‬ ‫מ־ ‪ I‬ו־ ‪ II‬מקבלים‪:‬‬ ‫‪r+4‬‬ ‫‪S'' = 8r 2 0‬‬ ‫‪5r‬‬ ‫‪II. x = r + 4‬‬ ‫‪k=5‬‬ ‫זכות היוצרים שמורה למדינת ישראל‬ ‫אין להעתיק או לפרסם אלא ברשות משרד החינוך‬